/
Автор: Биттенкорт Ж.А.
Теги: физика плазмы солнечная система физика естественные науки кинетика гидродинамика издательство физматлит
ISBN: 978-5-9221-1169-0
Год: 2009
Текст
J. A. Bittencourt
Fundamentals of Plasma Physics
Third Edition
Springer
2004
Ж. А. Биттенкорт
ОСНОВЫ ФИЗИКИ
ПЛАЗМЫ
Перевод с английского под общей редакцией
академика РАН Л. М. Зеленого
Редактор перевода к.ф.-м.н. А. М. Садовский
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2009
®
УДК 533^0*1
ББК^бб; 22.632
Б 66
Биттенкорт Ж. А. Основы физики плазмы / Пер. с англ. под
общ. ред. Л.М. Зеленого. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 584 с. -
ISBN 978-5-9221-1169-0.
Учебник посвящен основам физики плазмы, устоявшимся представлениям и
результатам. Плазменно-волновые явления рассматриваются исходя из явного
кинетического описания. В тексте приводятся необходимые дополнительные
сведения из гидродинамики и кинетической теории.
Для студентов старших курсов и аспирантов, впервые обратившихся к
изучению предмета.
© ФИЗМАТЛИТ, 2009
ISBN 978-5-9221-1 169-0 © Springer-Verlag, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского издания 13
Предисловие 15
Глава 1. Введение 18
§ 1. Основные свойства плазмы 18
1.1. Определение плазмы (18). 1.2. Плазма как четвертое
состояние вещества (18). 1.3. Генерация плазмы (19). 1.4.
Коллективные явления и взаимодействия между частицами (20).
1.5. Некоторые основные процессы, протекающие в плазме (21).
§ 2. Критерии для определения плазмы 23
2.1. Квазинейтральность (23). 2.2. Дебаевское
экранирование (24). 2.3. Плазменная частота (26).
§ 3. Плазма в природе 29
3.1. Солнце и его атмосфера (29). 3.2. Солнечный ветер (29).
3.3. Магнитосфера и радиационные пояса ван Аллена (30).
3.4. Ионосфера (31). 3.5. Плазма за пределами Солнечной
системы (32).
§ 4. Приложения физики плазмы 33
4.1. Управляемый термоядерный синтез (33). 4.2. Магнито-
гидродинамический генератор (37). 4.3. Плазменный
двигатель (37). 4.4. Другие плазменные устройства (38).
§ 5. Теоретическое описание процессов в плазме 39
5.1. Общее рассмотрение самосогласованной динамики (39).
5.2. Теоретические подходы (41).
Задачи 42
Глава 2. Движение заряженной частицы в постоянных и
однородных электромагнитных полях 47
§ 1. Введение 47
§ 2. Сохранение энергии 48
§ 3. Однородное электростатическое поле 50
§ 4. Однородное постоянное магнитное поле 50
4.1. Формальное решение уравнения движения (50). 4.2.
Решение в декартовой системе координат (53). 4.3. Магнитный
момент (55). 4.4. Ток намагничивания (57).
§ 5. Однородные электростатические и магнитостатические поля ... 60
5.1. Формальное решение уравнения движения (60). 5.2.
Решение в декартовой системе координат (63).
§ 6. Дрейф под воздействием внешней силы 64
Задачи 66
Глава 3. Движение заряженной частицы в неоднородном
постоянном магнитном поле 68
§ 1. Введение 68
§ 2. Пространственная неоднородность магнитного поля 69
2.1. Дивергентные элементы (70). 2.2. Элементы, связанные
с градиентом и кривизной магнитного поля (72). 2.3. Шировые
элементы (73).
§ 3. Уравнение движения в приближении первого порядка 73
§ 4. Сила, усредненная за один период вращения 75
4.1. Сила, параллельная полю (76). 4.2. Сила,
перпендикулярная полю (77). 4.3. Полная усредненная сила (78).
§ 5. Градиентный дрейф 79
§ 6. Ускорение ведущего центра параллельно полю 80
6
Оглавление
6.1. Сохранение магнитного момента и магнитного потока (80).
6.2. Магнитные зеркала (81). 6.3. Продольный адиабатический
инвариант (85).
§ 7. Центробежный дрейф 87
§ 8. Комбинированный градиентный и центробежный дрейф 90
Задачи 91
Глава 4. Движение заряженной частицы в переменных
электромагнитных полях 96
§ 1. Введение 96
§ 2. Медленно меняющееся электрическое поле 96
2.1. Уравнение движения и поляризационный дрейф (96).
2.2. Диэлектрическая постоянная плазмы (98).
§ 3. Произвольно меняющееся электрическое поле 100
3.1. Решение уравнения движения (100). 3.2. Физическая
интерпретация (102). 3.3. Тензор подвижности (104). 3.4.
Тензор проводимости плазмы (105). 3.5. Циклотронный
резонанс (105).
§ 4. Изменяющееся во времени магнитное поле и неоднородное
электрическое поле 107
4.1. Уравнение движения и адиабатические инварианты (108).
4.2. Магнитный нагрев плазмы (111).
§ 5. Сводка дрейфов ведущего центра и соответствующие им токи 112
5.1. Дрейфы ведущего центра (112). 5.2. Плотности
тока (113).
Задачи 113
Глава 5. Элементы кинетической теории плазмы 119
§ 1. Введение 119
§ 2. Фазовое пространство 120
2.1. Фазовое пространство одной частицы (120). 2.2.
Многочастичное фазовое пространство (121). 2.3. Элементы
объема (121).
§ 3. Функция распределения 122
§ 4. Средняя скорость и концентрация частиц 123
§ 5. Уравнение Больцмана 124
5.1. Бесстолкновительное уравнение Больцмана (125).
5.2. Якобиан преобразования фазового пространства (127).
5.3. Влияние взаимодействий между частицами (128).
§ 6. Релаксационное приближение для столкновительного члена ... 129
§ 7. Уравнение Власова 130
Задачи 132
Глава 6. Средние значения и макроскопические переменные .... 135
§ 1. Среднее значение физической величины 135
§2. Средняя скорость и собственная скорость 136
§3. Поток 136
§4. Плотность потока частиц 139
§ 5. Тензор потока импульса 140
§ 6. Тензор давления 141
6.1. Понятие давления (141). 6.2. Сила на единицу
площади (141). 6.3. Сила, действующая на единицу объема (143).
6.4. Скалярное давление и абсолютная температура (143).
§ 7. Вектор потока тепла 145
Оглавление
7
§ 8. Тензор третьего ранга потока тепла 145
§ 9. Тензор полного потока энергии 146
§ 10. Высшие моменты функции распределения 148
Задачи 148
Глава 7. Состояние равновесия 152
§ 1. Равновесная функция распределения 152
1.1. Общий принцип детального равновесия и парные
столкновения (152). 1.2. Инварианты суммирования (154). 1.3. Функция
распределения Максвелла-Больцмана (155). 1.4. Определение
постоянных коэффициентов (156). 1.5. Локальная функция
распределения Максвелла-Больцмана (158).
§2. Наиболее вероятное распределение 159
§ 3. Смесь различных сортов частиц 160
§ 4. Свойства функции распределения Максвелла-Больцмана 161
4.1. Распределение по компонентам скорости (161). 4.2.
Распределение по модулю скорости (163). 4.3. Средние скорости
молекул (165). 4.4. Распределение тепловой кинетической
энергии (166). 4.5. Случайный поток частиц (167). 4.6.
Кинетическое давление и поток тепла (168).
§5. Равновесие в присутствии внешних сил 169
§ 6. Степень ионизации в состоянии равновесия и формула Саха. . . 171
Задачи 174
Глава 8. Макроскопические уравнения переноса 179
§ 1. Моменты уравнения Больцмана 179
§2. Общее уравнение переноса 180
§ 3. Сохранение массы 182
3.1. Вывод уравнения непрерывности (182). 3.2. Вывод
уравнения методом гидродинамики (183). 3.3. Столкновительный
член (184).
§ 4. Закон сохранения импульса 185
4.1. Вывод уравнения движения (185). 4.2. Столкновительный
член (187).
§5. Уравнение сохранения энергии 188
5.1. Вывод уравнения переноса энергии (1-88). 5.2. Физическая
интерпретация (190). 5.3. Приближения (191).
§ 6. Модель холодной плазмы 192
§ 7. Модель теплой плазмы 194
Задачи 195
Глава 9. Макроскопические уравнения для проводящей жидкости 200
§ 1. Макроскопические переменные для плазмы как проводящей
жидкости 200
§ 2. Уравнение непрерывности 203
§ 3. Уравнение движения 203
§ 4. Уравнение сохранения энергии 205
§ 5. Электромагнитные уравнения для проводящей жидкости 207
5.1. Уравнения Максвелла, содержащие ротор (208). 5.2.
Сохранение электрического заряда (208). 5.3. Обобщенный закон
Ома (209).
§ 6. Упрощенные магнитогидродинамические уравнения 213
Задачи 215
8 Оглавление
Глава 10. Проводимость и диффузия в плазме 217
§ 1. Введение 217
§ 2. Уравнение Ланжевена 217
§ 3. Линеаризация уравнения Ланжевена 219
§ 4. Проводимость постоянного тока и подвижность электронов . . . 220
4.1. Изотропная плазма (220). 4.2. Анизотропная магнитоплаз-
ма (221).
§ 5. Проводимость переменного тока и подвижность электронов . . . 225
§ 6. Проводимость с учетом движения ионов 226
§ 7. Плазма как диэлектрик 226
§ 8. Диффузия свободных электронов 228
§ 9. Диффузия электронов в магнитном поле 230
§ 10. Амбиполярная диффузия 231
§ 11. Диффузия в полностью ионизованной плазме 235
Задачи 237
Глава 11. Некоторые основные явления в плазме 244
§ 1. Электронные колебания в плазме 244
§ 2. Дебаевское экранирование 248
§ 3. Вывод дебаевского экранирования с использованием уравнения
Власова 252
§ 4. Плазменный слой 253
4.1. Физический механизм (254). 4.2. Электрический
потенциал стенки (254). 4.3. Внутренняя структура плазменного
слоя (256).
§ 5. Плазменный зонд 261
Задачи 263
Глава 12. Простые приложения магнитогидродинамики 270
§ 1. Основные уравнения магнитогидродинамики 270
1.1. Модификация Паркера уравнения движения (271). 1.2. Два
адиабатических уравнения Чу-Голдбергера-Лоу (ЧГЛ) (273).
1.3. Специальные случаи двух адиабатических уравнений (274).
1.4. Интеграл энергии (276).
§ 2. Магнитная вязкость и число Рейнольдса 278
§ 3. Диффузия магнитных силовых линий 280
§4. Вмороженность силовых линий в плазму 281
§ 5. Магнитное давление 284
§ 6. Изобарические поверхности 286
§ 7. Удержание плазмы в магнитном поле 287
Задачи 290
Глава 13. Пинч-эффект 292
§ 1. Введение 292
§ 2. Равновесный пинч 293
§ 3. Пинч Беннета 298
§ 4. Динамические модели пинчей 300
§ 5. Неустойчивости в плазменном цилиндрическом пинче 305
§ 6. Перетяжечная неустойчивость 306
§ 7. Изгибная неустойчивость 308
§ 8. Конфигурации с вогнутым полем 309
Задачи 310
Оглавление
9
Глава 14. Электромагнитные волны в вакууме 313
§ 1. Волновое уравнение 313
§2. Решение в плоских волнах 314
§ 3. Гармойические волны 315
§ 4. Поляризация 318
§ 5. Поток энергии 323
§ 6. Волновые пакеты и групповая скорость 325
Задачи 328
Глава 15. Магнитогидродинамические волны 333
§ 1. Введение 333
1.1. Альфвеновские волны (333). 1.2. Магнитозвуковые
волны (334).
§ 2. МГД-уравнения для сжимаемой невязкой проводящей жидкости 336
2.1. Основные уравнения (336). 2.2. Вывод уравнения для
скорости жидкости (337).
§ 3. Распространение перпендикулярно магнитному полю 338
§ 4. Распространение параллельно магнитному полю 339
§5. Распространение в произвольных направлениях 341
5.1. Альфвеновская волна (342). 5.2. Быстрые и медленные
МГД-волны (342). 5.3. Фазовые скорости (342). 5.4.
Поверхности волновой нормали (344).
§ 6. Влияние тока смещения 345
6.1. Основные уравнения (346). 6.2. Уравнения для скорости
жидкости (346). 6.3. Распространение поперек магнитостатиче-
ского поля (347). 6.4. Распространение вдоль магнитостатиче-
ского поля (347).
§ 7. Затухание МГД-волн 348
7.1. Альфвеновские волны (349). 7.2. Звуковые волны (349).
7.3. Магнитозвуковые волны (350).
Задачи 350
Глава 16. Волны в холодной плазме 353
§ 1. Введение 353
§ 2. Основные уравнения магнитоионной теории 354
§ 3. Решения для плоских волн и линеаризация 355
§ 4. Распространение волн в изотропной электронной плазме 356
4.1. Вывод дисперсионного соотношения (356). 4.2. Бесстолк-
новительная плазма (357). 4.3. Усредненный по времени вектор
Пойнтинга (360). 4.4. Влияние столкновений (361).
§ 5. Распространение волн в холодной замагниченной плазме 364
5.1. Вывод дисперсионного соотношения (364). 5.2. Уравнение
Эпплтона-Хартри (367).
§ 6. Распространение параллельно Во 368
§ 7. Распространение перпендикулярно Во 372
§ 8. Распространение в произвольных направлениях 376
8.1. Резонансы и точки отражения (376). 8.2. Поверхности
волновой нормали (380). 8.3. Диаграмма СМА (381).
§ 9. Некоторые специальные явления в холодной плазме 383
9.1. Свистящие атмосферики (383). 9.2. Геликоны (386).
9.3. Вращение Фарадея (387).
Задачи 389
10
Оглавление
Глава 17. Волны в теплой плазме 395
§ 1. Введение 395
§ 2. Волны в полностью ионизованной изотропной теплой плазме . . 395
2.1. Вывод уравнений для скоростей электронов и ионов (395).
2.2. Продольные волны (397). 2.3. Поперечные волны (400).
§ 3. Основные уравнения для волн в теплой плазме с магнитным
полем 401
§ 4. Волны в теплом электронном газе в магнитном поле 403
4.1. Вывод дисперсионных соотношений (403). 4.2.
Распространение волн вдоль магнитного поля (404). 4.3. Распространение
волн перпендикулярно магнитному полю (406). 4.4.
Распространение волн в произвольных направлениях (409).
§5. Волны в полностью ионизованной теплой магнитной плазме ... 410
5.1. Вывод дисперсионных соотношений (410). 5.2.
Распространение волн вдоль магнитного поля (412). 5.3. Распространение
волн перпендикулярно магнитному полю (416). 5.4.
Распространение волн в произвольных направлениях (418).
§ 6. Выводы 418
Задачи 419
Глава 18. Волны в горячей изотропной плазме 420
§ 1. Введение 420
§ 2. Основные уравнения 420
§ 3. Общие уравнения для плоской волны в горячей изотропной
плазме 421
3.1. Возмущение плотности заряда и плотности тока (422).
3.2. Решение линеаризованного уравнения Власова (423).
3.3. Выражение для плотности тока (425). 3.4. Разделение на
различные моды (425).
§ 4. Электростатическая продольная волна в горячей изотропной
плазме 426
4.1. Вывод дисперсионного соотношения (426). 4.2. Предел
холодной плазмы (428). 4.3. Предел высокой фазовой
скорости (428). 4.4. Дисперсионное соотношение для функции
распределения Максвелла (430). 4.5. Затухание Ландау (434).
§ 5. Поперечная волна в горячей изотропной плазме 437
5.1. Вывод дисперсионного соотношения (437). 5.2. Результат
для холодной плазмы (438). 5.3. Дисперсионное соотношение
для функции распределения Максвелла (438). 5.4. Затухание
Ландау поперечных волн (439).
§ 6. Двухпотоковая неустойчивость 440
§ 7. Выводы 442
7.1. Продольная мода (442). 7.2. Поперечная мода (443).
Задачи 443
Глава 19. Волны в горячей замагниченной плазме 448
§ 1. Введение 448
§ 2. Распространение волн вдоль магнитостатического поля в
горячей плазме 449
2.1. Линеаризованное уравнение Власова (449). 2.2.
Решение линеаризованного уравнения Власова (449). 2.3.
Возмущение плотности тока (454). 2.4. Разделение на различные
моды (455). 2.5. Продольная плазменная волна (457). 2.6. По-
Оглавление
11
перечные электромагнитные волны (457). 2.7. Затухание во
времени поперечных электромагнитных волн (460). 2.8.
Циклотронное затухание ПП поперечной волны (461). 2.9.
Неустойчивости ПП поперечной волны (463).
§ 3. Распространение волн поперек магнитостатического поля в
горячей плазме 465
3.1. Решение линеаризованного уравнения Власова (466).
3.2. Плотность тока и тензор проводимости. (467). 3.3.
Вычисление интегралов (469). 3.4. Разделение на различные
моды (473). 3.5. Дисперсионные соотношения (474). 3.6.
Квазиэлектростатическая мода (475). 3.7. ТЕМ-мода (479).
§ 4. Выводы 480
4.1. Распространение вдоль Во в горячей замагниченной
плазме (480). 4.2. Распространение поперек В0 в горячей
замагниченной плазме (481).
Задачи 482
Глава 20. Взаимодействие частиц в плазме 486
§ 1. Введение 486
§ 2. Парные столкновения 487
§3. Динамика парных столкновений 491
§ 4. Вычисление угла рассеяния 494
4.1. Две абсолютно упругие сферы (494). 4.2. Кулоновский
потенциал взаимодействия (495).
§ 5. Сечения рассеяния 496
5.1. Дифференциальное сечение рассеяния (497). 5.2.
Интегральное сечение рассеяния (499). 5.3. Сечение передачи
импульса (499).
§6. Сечения в модели твердых сфер 501
6.1. Дифференциальные сечения рассеяния (501). 6.2.
Интегральное сечение рассеяния (501). 6.3. Сечение передачи
импульса (501).
§7. Сечения для кулоновского потенциала 502
7.1. Дифференциальное сечение рассеяния (502). 7.2.
Интегральное сечение рассеяния (503). 7.3. Сечение передачи
импульса (503).
§ 8. Экранировка кулоновского потенциала 504
Задачи 508
Глава 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка 511
§ 1. Введение 511
§ 2. Уравнение Больцмана 512
2.1. Вывод интеграла столкновений Больцмана (512). 2.2.
Якобиан преобразований (515). 2.3. Допущения в выводе интеграла
столкновений Больцмана (516). 2.4. Скорость изменения
физических величин в результате столкновений (518).
§ 3. Я-функция Больцмана 519
3.1. Я-теорема Больцмана (520). 3.2. Анализ Я-теоремы
Больцмана (521). 3.3. Максимизация энтропии или
минимизация Н при выводе равновесной функции распределения (524).
3.4. Смесь различных видов частиц (525).
§4. Интеграл столкновений Больцмана для слабоионизованной
плазмы 526
12
Оглавление
4.1. Разложение функции распределения по сферическим
гармоникам (526). 4.2. Приближенное выражение для интеграла
столкновений Больцмана (527). 4.3. Скорость изменения
импульса вследствие столкновений (529).
§ 5. Уравнение Фоккера-Планка 530
5.1. Вывод столкновительного члена для уравнения Фоккера-
Планка (530). 5.2. Коэффициенты уравнения Фоккера-Планка
для кулоновских столкновений (534). 5.3. Приложение для
электрон-ионных столкновений (538).
Задачи 538
Глава 22. Явления переноса в плазме 543
§ 1. Введение 543
§ 2. Электропроводность незамагниченной плазмы 543
2.1. Решение уравнения Больцмана (544). 2.2. Плотность
электрического тока и проводимость (545). 2.3. Проводимость для
максвелловской функции распределения (547).
§ 3. Электрическая проводимость замагниченной плазмы 548
3.1. Решение уравнения Больцмана (548). 3.2. Плотность
электрического тока и проводимость (550).
§ 4. Свободная диффузия 553
4.1. Возмущенная функция распределения (553). 4.2. Поток
частиц (553). 4.3. Коэффициент свободной диффузии (554).
§ 5. Диффузия в магнитном поле 555
5.1. Решение уравнения Больцмана (555). 5.2. Поток частиц
и коэффициенты диффузии (557).
§ 6. Поток тепла 559
6.1. Общее выражение для вектора потока тепла (559).
6.2. Теплопроводность при постоянном кинетическом
давлении (560). 6.3. Теплопроводность в адиабатическом
случае (561).
Задачи 562
Приложение А. Полезные векторные тождества 566
Приложение В. Полезные соотношения для декартовых и
криволинейных координат 569
§ 1. Декартовы координаты 569
§ 2. Цилиндрические координаты 570
§ 3. Сферические координаты 571
Приложение С. Физические константы (СИ) 573
Приложение D. Соотношения между единицами в системах СИ и
СГС 574
Приложение Е. Основные плазменные параметры 575
Приложение F. Приблизительные значения некоторых плазменных
параметров 577
Предметный указатель 578
Предисловие редактора русского издания
В настоящее время перед студентом или аспирантом, который
намерен изучить физику плазмы и активно работать в одной из ее
областей, стоит проблема выбора учебника, посвященного именно основам
физики плазмы, устоявшимся представлениями и результатам. Такого
учебника, который должен обеспечить возможность углубленного
изучения выбранной области и свободное чтение литературы по физике
плазмы. Старые учебники уже давно стали раритетами и найти их
даже в библиотеках не так-то просто. Новых книг по физике плазмы
на русском языке издано совсем немного, а те, которые изданы,
рассматривают в основном частные вопросы. При этом в последние годы
на английском языке вышел ряд новых учебников и по физике плазмы,
и по физике плазменных явлений в космосе.
Книга профессора Национального института Космических
исследований в Сан-Жозе, Бразилия, Ж. Биттенкорта стоит особняком даже
в ряду англоязычных книг и, возможно, представляет именно такой
учебник. Дело в том, что в ней рассматриваются все плазменные
явления исходя из явного кинетического описания, и автор строго и очень
последовательно построил все изложение, отталкиваясь от уравнений
Больцмана и Власова. Кроме того, это, пожалуй, первый учебник,
в котором автор не опускает выкладок и не просит читателя сделать их
самостоятельно. Он проводит читателя последовательно, шаг за шагом
через все математические преобразования, отмечая моменты, которые
могут оказаться непонятными студенту. Все формулы в книге даются
в международной системе СИ. В книге содержится множество задач
по каждой из рассматриваемых тем.
К недостаткам учебника можно отнести тот факт, что «нельзя
объять необъятное», и в нем практически нет рассмотрения вопросов
устойчивости плазмы и всего «зоопарка» неустойчивых плазменных
колебаний. (Для изучения плазменных неустойчивостей читатель может
обратиться к трехтомнику А. Б. Михайловского.) Второй недостаток,
связанный, скорее, с трудностями для переводчиков, — это несколько
архаичная терминология, которую использует автор. Мы постарались,
где это было возможно, заменить ее на современную.
Перевод книги был выполнен сотрудниками Института
космических исследований Российской академии наук: Н. Бузулукова перевела
14 Предисловие редактора русского издания
главы 1 и 5-7, Д. Чугунин — главы 2-4 и 8-10, А. Струминский —
главы 14-22, А. Садовский — Предисловие, главы 11-13, приложения
и предметный указатель.
Редактирование перевода выполнено к. ф.-м.н. А. Садовским. В тех
местах, где русская и английская терминология заметно
различаются, редактором и переводчиком были добавлены необходимые
разъяснения.
Перевод и издание книги осуществлены при поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований.
Академик Л.М. Зеленый
Предисловие
Главная задача этой книги — дать последовательное, четкое и
единообразное введение в физику плазмы, базирующееся на кинетической
теории. В основном книга будет полезна студентам последних курсов
университета и аспирантам первого года обучения, впервые
столкнувшимся с предметом. Предполагается, что читатель знаком с основами
векторного анализа, теорией дифференциальных уравнений и функций
комплексного переменного, а также прослушал курсы классической
механики и электродинамики. Книгу можно читать, не обращаясь для
поиска необходимого материала к другим учебникам или
справочникам, поскольку в тексте приводятся необходимые дополнительные
сведения из гидродинамики и кинетической теории.
На протяжении всей книги большое внимание уделяется скорее
четкости и простоте изложения, а не формальным математическим
выкладкам. Все выводы подробно разъясняются, а везде, где это
возможно, раскрывается их физический смысл. Уравнения логически
следуют друг из друга и не требуют от читателя проведения громоздких
алгебраических выкладок с целью заполнить пробелы в понимании.
Четкость, простота и законченность книги делают ее удобной для
самостоятельного изучения и заочного обучения.
Структура книги следующая. Гл. 1 представляет собой краткое
введение в физику плазмы и ее назначение — дать читателю общий обзор
рассматриваемого предмета. В ней описываются основные процессы
и свойства плазмы. Движение заряженных частиц под действием
заданных электрических и магнитных полей подробно изложено в гл. 2,
3 и 4. В следующих пяти главах рассматриваются
фундаментальные уравнения, необходимые для элементарного описания процессов
в плазме. В гл. 5 даются определения фазового пространства и
функции распределения и выводятся основополагающие дифференциальные
кинетические уравнения, описывающие эволюцию функции
распределения в фазовом пространстве. Гл. 6 посвящена определению
макроскопических переменных через функции распределения в фазовом
пространстве и обсуждению их физического смысла. Понятие равновесной
функции распределения Максвелла-Больцмана вводится в гл. 7, где,
наряду с выводом равновесного решения уравнения Больцмана,
анализируются некоторые его свойства. В гл. 8 выводятся макроскопические
уравнения переноса для плазмы, рассматриваемой как смесь различных
взаимопроникающих жидкостей, а в гл. 9 обсуждаются макроскопиче-
16
Предисловие
ские уравнения переноса в плазме, которая рассматривается как одна
проводящая жидкость.
Оставшаяся часть книги посвящена применению этих
основополагающих уравнений для описания различных важных процессов,
происходящих в плазме. В гл. 10 обсуждаются проблемы электрической
проводимости и диффузии в плазме. В гл. 11 рассмотрены такие
фундаментальные плазменные процессы, как колебания электронов в плазме
и дебаевское экранирование. Простые приложения уравнений
магнитной гидродинамики: описания удержания плазмы магнитными полями
и пинч-эффекта даются в гл. 12 и 13. Следующие шесть глав
посвящены волновым процессам в плазме. Обзор основных понятий, связанных
с распространением электромагнитных волн в вакууме, приводится
в гл. 14. В гл. 15 анализируется распространение низкочастотных волн
в плазме с высокой проводимостью и вводится понятие
гидродинамических волн. В гл. 16 и 17 рассматриваются различные волновые моды
в холодной и теплой плазме соответственно. В гл. 18 и 19 исследуются
различные вопросы распространения волн в горячей плазме без
магнитного поля и в горячей замагниченной плазме. Процессы столкновений
в плазме рассматриваются в гл.20, а в гл.21 вводятся интегралы
столкновений Больцмана и Фоккера—Планка. В заключение в гл. 22
представлены некоторые приложения уравнения Больцмана к анализу
процессов переноса в плазме.
В конце каждой главы приведены задачи для самостоятельного
решения, которые служат дополнительной иллюстрацией применений
теории и расширяют материал глав книги. Большая часть задач
организована так, чтобы дать студенту четкие указания для поиска решения,
при этом уже в условии задачи зачастую описываются промежуточные
шаги, а иногда ответ можно найти в самой формулировке.
Нумерация уравнений внутри каждой из глав начинается заново
в каждом параграфе. Когда ссылка на уравнение состоит из трех чисел,
то первое число указывает на главу, а последние два — на параграф
и уравнение соответственно. Внутри одной главы первое число
опускается. Векторные величины обозначены жирным шрифтом (например,
г), а единичные векторы — «крышкой» над соответствующим символом
(например, г). Тензоры второго и третьего рангов обозначены
каллиграфическим шрифтом (например, Q).
В книге использована рационализированная система единиц СИ
(MKSA). Эта система основана на четырех основных величинах: длине,
массе, времени и силе тока. Название системы возникло при
сокращении их единиц измерения: метра (м), килограмма (кг), секунды (с),
и ампера (А).
Книга содержит больше материала, чем обычный семестровый курс
лекций. Это допускает некоторую свободу в выборе тем изложения, что
зависит от уровня и требуемого профиля курса, а также от интересов
студентов. В полном объеме материал книги можно изложить за два
семестра.
Предисловие
17
В этой книге, как и в любом другом введении в тот или иной раздел
физики, рассматриваемые темы не затрагивают всех областей физики
плазмы. Например, не описаны экспериментальные вопросы. Более
того, некоторые важные теоретические проблемы также рассмотрены
очень кратко, а некоторые оставлены для специализированных курсов
физики плазмы. К ним относятся, например, плазменные
неустойчивости, излучение плазмы, нелинейная теория плазмы и плазменная
турбулентность.
Я благодарен множеству людей, которые, прямо или косвенно,
помогали мне в работе над этой книгой, особенно моим студентам,
предоставившим мне возможность проверить идеи, ставшие основой
книги, в различных курсах лекций, прочитанных мной на протяжении
последних 25 лет. Количество информации в подобных книгах
действительно огромно, и, конечно, могут встречаться какие-то ошибки.
Обратная связь читателей с автором будет только приветствоваться.
Я хочу поблагодарить ряд профессоров, студентов и научных
сотрудников всего мира, которые работали с первыми двумя изданиями этой
книги и внесли вклад в ее улучшение.
Дж.А. Биттенкорт
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Основные свойства плазмы
1.1. Определение плазмы
Слово плазма используется для описания самых разных
макроскопически нейтральных веществ, содержащих большое число
взаимодействующих свободных электронов и ионизованных атомов или
молекул, которым свойственно коллективное поведение вследствие
наличия дальнодействующих кулоновских сил. Однако не любую среду,
содержащую заряженные частицы, можно назвать плазмой. Для того
чтобы группа заряженных и нейтральных частиц вела себя как плазма,
она должна удовлетворять определенным условиям, или критериям,
существования плазмы. Эти критерии будут рассмотрены подробно
в следующем параграфе.
Слово плазма пришло из греческого языка и означает нечто
вылепленное, формирующееся 0. Впервые этот термин был введен в 1929 г.
Тонксом и Ленгмюром для обозначения некоторой внутренней,
удаленной от границ области светящегося ионизованного газа, генерируемого
в трубке электрическим разрядом, причем ионизованный газ в целом
оставался электрически нейтральным.
1.2. Плазма как четвертое состояние вещества
В физике часто считается, что вещество в известной нам части
Вселенной может существовать в одном из четырех агрегатных
состояний: твердом, жидком, газообразном и плазменном. Силы связи,
которые удерживают частицы, составляющие рассматриваемый объект,
отличаются для твердых тел, жидкостей и газов. Они относительно
велики в твердых телах, малы в жидкостях и практически отсутствуют
в газообразном состоянии. В каком из агрегатных состояний находится
вещество, зависит от хаотической кинетической энергии (тепловой
энергии) его атомов и молекул, т. е. от температуры вещества. Сос-
1) От древнегреческого слова «плазма», которое означало изваяние, а также
вымысел. С ним было связано слово «пластика». — Примеч. ред.
§ 1. Основные свойства плазмы
19
тояние вещества определяется энергией связи и тепловой энергией его
частиц.
При нагреву вещества в твердом или жидком агрегатном состоянии
кинетическая энергия его атомов или молекул увеличивается до тех
пор, пока они не смогут преодолеть потенциальную энергию связи.
Увеличение кинетической энергии приводит к фазовому переходу. Для
заданного давления фазовый переход происходит всегда при одной
и той же температуре. Количество энергии, требуемое для фазового
перехода, называется скрытой теплотой.
Если газу, состоящему из молекул, передать достаточное
количество энергии, то в результате столкновений между частицами, тепловая
энергия которых больше молекулярной энергии связи, будет
постепенно происходить распад молекул и образование атомного газа. При
повышении температуры все больше атомов будет обладать кинетической
энергией, достаточной, чтобы посредством столкновении преодолеть
энергию связи наиболее удаленных электронов с ядром атома. Этот
процесс приводит к возникновению ионизованного газа, или плазмы.
Однако такой переход от газа к плазме не является фазовым переходом
в термодинамическом смысле, поскольку он происходит постепенно
с повышением температуры.
1.3. Генерация плазмы
Плазму можно получить, повышая температуру вещества до тех
пор, пока относительная ионизация не станет достаточно большой. При
термодинамическом равновесии степень ионизации и температура
электронов тесно связаны. Эта взаимосвязь выражается формулой Саха
(см. гл. 7). Несмотря на то что плазма, находящаяся в локальном
термодинамическом равновесии, часто встречается в природе (например,
различные виды астрофизической плазмы), в лабораторных условиях
такая плазма возникает очень редко.
Другой способ генерации плазмы связан с использованием
процессов ионизации, которые повышают степень ионизации до величин,
намного больших ее значения при термодинамическом равновесии. В
лабораторных условиях существует множество методов создания плазмы;
в зависимости от метода, полученная плазма может иметь большую
или малую плотность, высокую или низкую температуру, она может
быть стабильной или нестационарной, устойчивой или неустойчивой
и т. д. Рассмотрим кратко наиболее известные процессы —
фотоионизацию и электрический разряд в газах.
В процессах фотоионизации ионизация происходит при
поглощении падающих фотонов, энергия которых равна или больше потенциала
ионизации поглощающего атома. Избыток энергии фотона переходит
в кинетическую энергию образовавшейся пары электрон—ион. Так,
например, энергия ионизации электронов атомарного кислорода, наиболее
удаленных от ядра, равна 13,6 эВ. Такую энергию можно получить
при освещении атома электромагнитным излучением с длиной волны,
20
Гл. 1. Введение
порядка или меньшей 91 нм, т.е. излучением, лежащим в области
далекого ультрафиолета. Ионизации можно также добиться, освещая
атом рентгеновским или гамма-излучением, длины волн которых еще
меньше. В частности, ионосфера Земли представляет собой фотоиони-
зованную плазму (см. §3).
В газовом разряде электрическое поле, приложенное к
ионизованному газу, ускоряет свободные электроны до энергий, достаточно высо-.
ких, чтобы при столкновениях с ними атомы ионизировались.
Характерная особенность процесса заключается в том, что прикладываемое
электрическое поле намного эффективнее передает энергию легким
электронам, а не относительно тяжелым ионам. Поэтому в газовом
разряде электронная температура обычно выше ионной температуры,
поскольку передача тепловой энергии от электронов к более тяжелым
частицам происходит очень медленно.
Если источник ионизации выключить, то вследствие рекомбинации
степень ионизации будет постепенно уменьшаться, пока не достигнет
равновесного значения, зависящего от температуры среды. В
лабораторных условиях процессы рекомбинации происходят настолько
быстро, что за доли секунды плазма полностью исчезает.
1.4. Коллективные явления и взаимодействия между частицами
Взаимодействия частиц плазмы определяют многие ее свойства.
Одно из основных отличий плазмы от обычных жидкостей и твердых
тел — наличие в ней коллективных явлений. Вследствие дальнодей-
ствующего характера кулоновских сил каждая заряженная частица
в плазме одновременно взаимодействует с множеством других
заряженных частиц. Это приводит к возникновению важных
коллективных эффектов, отвечающих за разнообразие физических процессов
в плазме.
Динамика частиц в плазме определяется как внутренними полями,
зависящими от свойств и характера движения частиц, так и внешними
полями. Основной тип взаимодействия между частицами —
электромагнитное взаимодействие. Квантовые эффекты незначительны, за
исключением некоторых случаев близких столкновений.
В плазме следует разделять взаимодействия между
заряженными частицами и между заряженными и нейтральными частицами.
Заряженная частица создает электрическое поле и взаимодействует
с другими заряженными частицами в соответствии с законом
Кулона, т. е. сила взаимодействия уменьшается пропорционально квадрату
расстояния. Более того, при движении заряженной частицы возникает
магнитное поле, которое при этом влияет на движение других зарядов.
При сближении заряженной и нейтральной частиц электрическое поле
искажает электронное облако нейтральной частицы, что приводит к
появлению близкодействующих сил, действие которых заметно только на
расстояниях порядка размера атома, т. е. расстояниях, достаточно
малых, когда возникает возмущение движения орбитальных электронов.
§ 1. Основные свойства плазмы
21
Эти силы следует учитывать, если расстояние между центрами
взаимодействующих частиц порядка их диаметра, и они практически равны
нулю, когда расстояние между частицами возрастает. Свойства этих
сил можно описать только в рамках квантовомеханического
рассмотрения. Во многих случаях такие взаимодействия приводят к появлению
постоянного или индуцированного дипольного момента.
Исходя из свойств взаимодействий между частицами следует
различать слабоионизованную и сильноионизованную плазму. В слабоиони-
зованной плазме взаимодействия заряженных частиц с нейтральными
доминируют над кулоновскими. Когда степень ионизации становится
такой, что начинают преобладать кулоновские столкновения, плазма
считается сильно ионизованной. По мере того как степень ионизации
возрастает, кулоновские взаимодействия начинают определять
динамику плазмы, так что в полностью ионизованной плазме все частицы
испытывают только кулоновские взаимодействия.
1.5. Некоторые основные процессы, протекающие в плазме
Поскольку в плазме либо часть, либо все частицы электрически
заряжены и поэтому взаимодействуют с электромагнитными полями,
и, даже более того, создают такие поля, возникает множество новых
явлений, которые отсутствуют в обычных жидкостях и твердых
телах. Например, магнитное поле, используемое для нагрева и
удержания плазмы в исследованиях контролируемых термоядерных реакций,
только подчеркивает необычность процессов, протекающих в плазме.
Обычно для исследования всех характеристик того или иного процесса
поведение плазмы необходимо изучать, учитывая как электрические,
так и магнитные поля.
Благодаря высокой подвижности электронов плазма обычно
является очень хорошим электрическим проводником, а также проводником
тепла. Из-за высокой электропроводности плазма не поддерживает
электростатических полей. В некоторой степени исключение
составляют поля в направлении, перпендикулярном любым присутствующим
магнитным полям, поскольку такие поля препятствуют движению
заряженных частиц в этом направлении.
При возникновении в плазме градиентов плотности частицы будут
диффундировать из областей с большей плотностью в области с
меньшей плотностью. Хотя задачи диффузии в незамагниченной плазме
в чем-то похожи на задачи диффузии в обычных жидкостях,
существует и фундаментальное различие. Из-за своей низкой массы электроны
стремятся диффундировать быстрее ионов, и в результате
разделения зарядов возникает самосогласованное электрическое поле. Это
поле способствует диффузии ионов и уменьшает скорость диффузии
электронов, так что диффузия электронов и ионов происходит
примерно с одинаковой скоростью. Этот процесс называется амбиполярной
диффузией. Если к плазме приложено внешнее магнитное поле, то
диффузия заряженных частиц поперек силовых линий магнитного поля
22
Гл. 1. Введение
уменьшается, что приводит к идее использования магнитных полей для
удержания плазмы. Диффузия заряженных частиц поперек магнитных
силовых линий, при которой коэффициент диффузии пропорционален
1/Б2, где В — магнитная индукция, называется классической
диффузией, в отличие от бомовской диффузии, когда коэффициент диффузии
пропорционален \/В (см. гл. 10).
Важная особенность плазмы — способность поддерживать
множество волновых процессов. Примерами могут служить продольные
электростатические плазменные волны и высокочастотные поперечные
электромагнитные волны. В низкочастотной области важными
волновыми модами в замагниченной плазме являются так называемые альф-
веновские волны и магнитозвуковые волны. Каждую из множества
волновых мод можно охарактеризовать дисперсионным
соотношением, представляющим собой функциональную связь между частотой
волны uj, волновым числом к и поляризацией волны. Исследование
волновых процессов дает важную информацию о свойствах плазмы
и очень полезно для ее диагностики.
Диссипативные процессы, такие как столкновения, приводят к
затуханию амплитуды волны. Это значит, что энергия волны передается
частицам плазмы. В плазме также существует важный бесстолкнови-
тельный механизм затухания волн, известный как затухание Ландау.
Физический механизм затухания Ландау представляет собой захват
некоторых частиц плазмы (тех, которые движутся со скоростями,
близкими к фазовой скорости волны) в потенциальной яме между
двумя горбами волны, что приводит к обмену энергией между волной
и частицами.
В плазме часто возникают волновые моды с возрастающей
амплитудой в результате неустойчивостей, когда энергия частиц плазмы
передается полю волны. Исследование неустойчивостей важно для
описания ряда физически интересных явлений, включая динамические
процессы в плазме. Существование в плазме множества разных типов
неустойчивостей значительно усложняет задачу удержания горячей
плазмы в лаборатории, и, следовательно, изучение неустойчивостей
плазмы становится необходимым при рассмотрении управляемого
термоядерного синтеза.
Поведение плазмы также определяется ее электромагнитным
излучением. По излучению можно судить о свойствах плазмы. Механизмы,
которые вызывают поглощение или испускание излучения плазмой,
можно разделить на две группы: излучение отдельных молекул или атомов
и излучение, возникающее вследствие ускорения зарядов. Одновременно
с процессом ионизации плазмы обычно протекает противоположный
процесс — рекомбинация ионов и электронов и, как следствие,
формирование нейтральных частиц. Когда возбужденные частицы, образовавшиеся
в ходе рекомбинации, переходят в основное состояние, часто
испускается электромагнитное излучение (связанно-связанный переход). Это
излучение формирует линейчатый спектр плазмы. С другой сторо-
§ 2. Критерии для определения плазмы
23
ны, любая заряженная частица, движущаяся с ускорением,
излучает. Излучение, испускаемое заряженной частицей, которая тормозится
определенного^рода столкновительными взаимодействиями,
называется тормозным излучением. Если заряженная частица и до, и после
столкновения остается свободной, то процесс называется свободно-
свободным тормозным излучением. При тормозном излучении может
испускаться или поглощаться электромагнитное излучение с любой
длиной волны. Если первоначально свободная заряженная частица
захватывается другой частицей в процессе излучения, то процесс
называется свободно-связанным излучением (свободно-связанный
переход). Центростремительное ускорение заряженной частицы при ее
движении по спирали вокруг силовых линий магнитного поля
приводит к возникновению циклотронного излучения, которое встречается
в замагниченной плазме. Излучение черного тела, испускаемое
плазмой в состоянии термодинамического равновесия, существенно лишь
для астрофизики, поскольку, чтобы плазма излучала как черное тело,
необходимы большие характерные размеры плазменного образования.
§ 2. Критерии для определения плазмы
2.1. Квазинейтральность
Если нет внешних возмущений, то плазма будет макроскопически
нейтральной или квазинейтральной. Это означает, что в условиях
равновесия и в отсутствие внешних сил в объеме плазмы, достаточно
большом, чтобы в нем содержалось большое число частиц, но все
еще достаточно малом по сравнению с характерными масштабами
изменений макроскопических параметров, таких как плотность и
температура, суммарный электрический заряд равен нулю. Внутри плазмы
поля микроскопических пространственных зарядов нейтрализуют друг
друга, и в достаточно большой области суммарный пространственный
заряд отсутствует.
Если макроскопическая нейтральность плазмы нарушается, то
потенциальная энергия, связанная с результирующими кулоновскими
силами, будет огромной по сравнению с тепловой кинетической энергией
частицы. В качестве примера рассмотрим плазму с концентрацией
заряженных частиц 1020 м-3 и положим, что концентрация электронов (пе)
внутри сферы радиуса г = 10~3 м отличается на 1 % от концентрации
положительных ионов (щ). Обозначая заряд иона е, а заряд электрона
-е, получаем, что суммарный заряд (q) внутри сферы равен
д=|тгг3(п,-пе), (2.1)
а электрический потенциал (ф) на поверхности сферы
*=4^=ё(п-^ (2-2)
24 Гл. 1. Введение
где бо — диэлектрическая проницаемость вакуума. Подставляя в (2.2)
численные значения, получаем ф = 6 • 103 В. Вспоминая, что 1 эВ =
= 1,602 • 10"19 Дж, находим, что кТ = 1 эВ при Г = 11 600 К, где
к — постоянная Больцмана (1,380 • 10~23 Дж/К). Таким образом,
чтобы средняя тепловая энергия частицы была равна потенциальной
энергии электрического поля, температура плазмы должна составлять
несколько миллионов градусов Кельвина.
Отклонения от макроскопической электронейтральности конечно
же могут иметь место, но только на расстояниях, когда
существует баланс между тепловой энергией частицы, стремящейся нарушить
электронейтральность, и электростатической потенциальной энергией,
возникающей при любом разделении зарядов, которая стремится
восстановить электронейтральность. Это расстояние по порядку величины
равно характерному плазменному параметру длины, называемому деба-
евской длиной. В отсутствие внешних сил плазма не может
поддерживать отклонения от макроскопической нейтральности на расстояниях,
больших этого значения, поскольку заряженные частицы способны
легко перемещаться и «нейтрализовать» любую область с избыточным
пространственным зарядом в ответ на появление больших кулоновских
сил.
2.2. Дебаевское экранирование
Дебаевская длина (дебаевский радиус) — важный физический
параметр, необходимый для описания плазмы. Она дает предельное
расстояние, на котором ощущается влияние электрического поля
отдельной заряженной частицы (или поверхности некоторого
ненулевого потенциала) на другие заряженные частицы внутри плазмы.
Заряженные частицы выстраиваются таким образом, что эффективно
экранируют любые электростатические поля на расстояниях порядка
или больше дебаевского радиуса. Экранирование электростатических
полей является следствием коллективных эффектов в плазме.
Расчеты расстояния экранирования впервые были проведены Дебаем для
электролитов. В гл. 11 будет показано, что дебаевская длина (А^)
прямо пропорциональна квадратному корню из температуры (Т), обратно
пропорциональна квадратному корню из концентрации электронов (пе)
и определяется выражением
1 /9
Xd = (^) (2.3)
\пее )
Выше было отмечено, что дебаевский радиус можно также
рассматривать как предельное расстояние, на котором в плазме могут возникать
флуктуации электрического потенциала, соответствующего
превращению тепловой кинетической энергии частицы в электростатическую
потенциальную энергию.
§ 2. Критерии для определения плазмы
25
Когда в плазме появляется граничная поверхность, порождаемые
этой поверхностью возмущения будут существовать только на
расстояниях порядка \d от поверхности. В окрестности любой поверхности
в плазме существует слой толщины порядка А#, называемый
переходным слоем, внутри которого условие квазинейтральности может
не соблюдаться. За пределами области переходного слоя в плазме
поддерживается макроскопическая нейтральность.
Обычно значение А# очень мало. Например, в газовом разряде, где
типичные значения Т и пе составляют примерно 104 К и 1016 м-3
соответственно, А# = 10~4 м. Для ионосферы Земли типичные
значения пе = 1012 м-3 и Т = 103 К, что дает А^> = 10~3 м. С другой
стороны, в межзвездном пространстве дебаевская длина может быть
равна нескольким метрам.
Удобно определить дебаевскую сферу как сферу внутри плазмы
с радиусом, равным А#. Любые электростатические поля, создаваемые
вне ее, эффективно экранируются заряженными частицами и не дают
значительного вклада в электрическое поле, существующее в центре.
Следовательно, любой заряд в плазме коллективно взаимодействует
только с зарядами, которые находятся внутри дебаевской сферы, а его
воздействие на другие заряды незначительно. Число электронов No
внутри дебаевской сферы дается выражением
Л.-И,"-К^)" (2.4,
Эффект дебаевского экранирования характерен для любой плазмы,
хотя в произвольной среде, содержащей заряженные частицы, его
может и не наблюдаться. Необходимое и очевидное условие
существования плазмы можно задать следующим образом: физические размеры
системы должны быть велики по сравнению с А#. В противном случае
будет просто недостаточно места для работы коллективного эффекта
экранирования и группа заряженных частиц не будет вести себя
подобно плазме. Если L — характерные размеры плазменного образования,
то первый критерий для определения плазмы будет следующим:
L > \D. (2.5)
Поскольку эффект экранирования — это результат коллективного
поведения частиц внутри сферы Дебая, необходимо также, чтобы число
электронов в сфере Дебая было очень велико. Тогда вторым
критерием для определения плазмы будет
пеАЬ»1. ' (2.6)
Это означает, что среднее расстояние между электронами, которое
— 1 /3
грубо можно оценить как пе ' , должно быть очень мало по сравнению
26
Гл. 1. Введение
с А£>. Число
называется плазменным параметром, а условие g <^ I —
плазменным приближением. Этот параметр также представляет собой
отношение средней потенциальной энергии взаимодействия между частицами
к средней кинетической энергии плазмы.
Заметим, что условие (2.5) уже подразумевает макроскопическую
зарядовую нейтральность: если условие выполнено, то отклонения от
нейтральности, естественно, могут иметь место только на расстояниях
порядка \р. Тем не менее макроскопическая нейтральность иногда
рассматривается как третий критерий существования плазмы, хотя
это условие не является независимым. Его можно выразить в виде
ne = J2ni- (2-8)
2.3. Плазменная частота
Важным свойством плазмы является сохранение зарядовой
нейтральности на макроскопических масштабах. Если в плазме
нарушается равновесие, то силы, связанные с образовавшимся внутренним
пространственным зарядом, вызывают коллективное движение частиц,
которое приводит к восстановлению изначальной зарядовой
нейтральности. Эти коллективные движения характеризуются частотой
собственных колебаний — плазменной частотой. Поскольку такие
коллективные колебания представляют собой высокочастотные колебания,
то ионы вследствие большой массы в них практически не участвуют.
Электроны коллективно осциллируют относительно тяжелых ионов,
а необходимая возвращающая сила обеспечивается кулоновским
притяжением между ионами и электронами. Период этих собственных
колебаний плазмы дает важный временной масштаб, с которым
сопоставляются диссипативные механизмы, приводящие к уничтожению
коллективных движений электронов.
Рассмотрим однородную и покоящуюся в начальный момент
времени плазму и предположим, что вследствие каких-то внешних сил
внутри плазмы возникло небольшое разделение зарядов (см. рис. 1). Когда
внешняя возмущающая сила исчезает, внутреннее электрическое поле,
которое образуется вследствие разделения зарядов, ускоряет
электроны в попытке восстановить зарядовую нейтральность. Однако из-за
своей инерции электроны проходят дальше положения равновесия,
и возникает электрическое поле противоположного направления. Эта
последовательность движений, с непрерывным переходом кинетической
энергии в потенциальную и обратно, циклически повторяется, т. е.
возникают быстрые коллективные колебания электронов
относительно более тяжелых ионов. При этом в среднем, на макроскопическом
уровне, в плазме поддерживается зарядовая нейтральность. В гл. 11
§ 2. Критерии для определения плазмы
27
Недостаток Избыток
электронов \ / электронов
j^^^T Область ^^^г
^^вр заРяД°в°й ^^^Г
^^^^нейтральности ^^^Г
Щ1
I H электронов
Рис. 1. Электрическое поле, возникающее из-за разделения зарядов, приводит
к появлению силы, которая генерирует электронные плазменные колебания
будет показано, что частота коллективных электронных колебаний,
которая называется «(электронной) плазменной частотой», равна
Upe = (ъ£Л (2.9)
р \rneeoJ
Столкновения электронов с нейтральными частицами,
постепенно уменьшая амплитуду колебаний, приводят к их затуханию.
Условие слабого затухания требует, чтобы частота соударений электронов
с нейтралами (иеп) была меньше электронной плазменной частоты,
VVe > Ven, (2.10)
где vpe = cjpe/27r. В противном случае электроны не смогут двигаться
свободно и вследствие столкновений придут в равновесие с
нейтралами, а среду можно будет рассматривать как нейтральный газ. Таким
образом, уравнение (2.10) является четвертым критерием
существования плазмы. Этот критерий можно также записать в виде
ит>\, (2.11)
где т = \/ven — среднее время между соударениями электрона с
нейтралами, а и — частота обычных плазменных колебаний. Это означает,
что среднее время между столкновениями электронов должно быть
больше характерного времени, в течение которого изменяются
физические параметры плазмы.
Рассмотрим в качестве примера газ, в котором концентрация
электронов равна 1010 м-3, температура — 103 К, удовлетворяющий обоим
критериям: L ^> А# и ne\^D 0$> 1. Если концентрация нейтральных
частиц (пп) достаточно мала, как, например, в межзвездном газе, то
г будет достаточно велико, электроны будут вести себя независимо,
и, следовательно, такая среда может рассматриваться как плазма.
28
Гл. 1. Введение
С другой стороны, если пп на много порядков больше, чем пе, то
движение электронов будет связано с движением нейтралов и влияние
электронов на состояние газа будет пренебрежимо мало.
На рис. 2 приведены основные характеристики различных видов
лабораторной и космической плазмы в зависимости от ее температуры Т
и концентрации электронов пе, а также от параметров, которые зависят
от Т и пе, таких как дебаевская длина А^, электронная плазменная
частота оире и количество электронов Np внутри дебаевской сферы.
10*
10:
,20
101'
/ /
/ / ^ /
/ *-•■ w / /
/ л мгд-
/ ^>^ генераторы /,-•■ ■- - iry
/ ^ / -.f л:,.. , jy1 u
^f / 1 Л" Термоядерная j
/ Солнечная { плазма ^~4
// / а/мосфе^а
/ / ^^*—-,
/ /.■'«■■ j >S, /
Н ю,:
Л О-4 м
/Плазма /•% l ^^ / ш
^щелочных / разовые / /
// металлов , ?ра3рядг /
/ \„^+~' ' ,А :,А / 10-2м
t / Пламя '/'" "'; Л*^
7 *^^ ' 4-ч. ^■■)/ Солнечная /
J^ -'/- ' /х корона /
101*
10,(
ю8
106
ю4
Рис. 2. Характерные температуры и плотности электронов для некоторых видов
лабораторной и космической плазмы и их характерные физические параметры:
дебаевский радиус Ad, плазменная частота ире и число электронов в
дебаевской сфере Nd\ МГД — магнитогидродинамический
§ 3. Плазма в природе
29
§ 3. Плазма в природе
В прошлом столетии, с развитием астрофизики и теоретической
физики, сталскпонятным, что большая часть вещества в известной нам
Вселенной, за небольшими исключениями, такими как поверхности
холодных планет (например, Земли), представляет собой плазму.
3.1. Солнце и его атмосфера
Солнце, ближайшая к нам звезда, от которой полностью зависит
существование жизни на Земле, дает яркий пример плазменного
образования. Выделение энергии Солнцем определяется термоядерными
реакциями, происходящими глубоко в недрах звезды, где температура
превышает 1,2- 107 К, в которых образуются ионы гелия. Высокая
температура внутренней части и, следовательно, возникающие там
термоядерные реакции поддерживают Солнце в газообразном состоянии.
Поскольку масса Солнца велика (2 • 1030 кг), то гравитация не дает
звезде полностью разлететься, но, конечно, силы притяжения не могут
удержать энергичные частицы и излучение горячей солнечной плазмы.
У Солнца отсутствует явно выраженная поверхность. Наблюдаемая
часть Солнца называется солнечной атмосферой и подразделяется на
три основные области, или три слоя. Фотосфера, с температурой
около 6000 К, образует видимый диск — это слой, в котором газ
становится непрозрачным, толщина его составляет всего несколько
сотен километров. Фотосферу окружает красноватое кольцо, которое
называется хромосферой. Оно имеет толщину около 10000 км. За
пределами хромосферы можно увидеть похожие на языки пламени
протуберанцы, температура которых составляет порядка 100000 К.
Хромосферу окружает разреженная горячая плазма — корона,
простирающаяся в космическое пространство на миллионы километров.
Между хромосферой и более горячей короной, температура которой
превышает 106 К, возникает резкий градиент температуры.
У Солнца есть собственное, постоянно изменяющееся магнитное
поле, типичное значение которого на поверхности порядка 10~4 Тл,
а в солнечных пятнах (областях относительно холодного газа) оно
достигает примерно 0,1 Тл.
3.2. Солнечный ветер
В результате сверхзвукового расширения горячей солнечной короны
из Солнца в межпланетное пространство непрерывно вытекает с очень
большими скоростями высокопроводящая разреженная плазма,
состоящая в основном из протонов и электронов, которая получила
название солнечный ветер. Солнечное магнитное поле стремится остаться
вмороженным в истекающую плазму, поскольку последняя обладает
очень высокой проводимостью. Из-за вращения Солнца и радиального
движения солнечного ветра силовые линии магнитного поля
закручиваются, образуя спираль Архимеда (см. рис. 3). Типичные параметры
30
Гл. 1. Введение
солнечного ветра следующие: плотность электронов пе ~ 5 • 10б м-3,
электронная и ионная температуры Те ~ 5 • 104 К, Т; ^ 104 К
соответственно, магнитное поле В « 5 • Ю-9 Тл, скорость ие « 3 • 105 м/с.
Рис. 3. Схема межпланетного магнитного поля, представляющего собой в
плоскости эклиптики спирали Архимеда
3.3. Магнитосфера и радиационные пояса ван Аллена
При сверхзвуковом обтекании солнечным ветром магнитного поля
Земли происходит сжатие последнего на стороне, обращенной к
Солнцу. В результате образуется граница, названная магнитопаузой,
которая на солнечной стороне имеет приблизительно сферическую форму,
а в антисолнечном направлении — приблизительно цилиндрическую
форму (см. рис. 4). Внутренняя область, в которой магнитное поле
Земли вытесняет частицы и магнитное поле солнечного ветра, называется
магнитосферой.
Внутри магнитосферы были обнаружены радиационные пояса ван
Аллена. В этих областях энергичные заряженные частицы (в основном
электроны и протоны), захваченные магнитным полем, движутся по
сложным траекториям — по спирали вдоль геомагнитных силовых
линий, одновременно медленно дрейфуя вокруг Земли. Считается, что
внутренний пояс возникает благодаря космическим лучам,
проникающим в атмосферу и образующим протон-электронные пары, которые
затем захватываются магнитным полем Земли. Внешний пояс обязан
своим происхождением и существованием потокам плазмы, состоящей
в основном из протонов и электронов, которые время от времени
выбрасываются Солнцем. В зависимости от уровня солнечной активности
могут происходить очень сильные солнечные вспышки с выбросом
в пространство потоков горячей плазмы. Разделение на внутренний
§ 3. Плазма в природе
31
Ударная волна
Солнечный
ветер
/ Орбита
/ Луны
Рис. 4. Схема, изображающая магнитосферу в плоскости полдень-полночь.
Темными полумесяцами показаны области захваченных энергичных частиц
(радиационные пояса Ван Аллена). Турбулентная область между ударной
волной (головной ударной волной) и магнитопаузой называется магнитослоем.
Геоцентрические расстояния выражены в радиусах Земли
и внешний пояса отражает только высотную зависимость
энергетического спектра, а не две отдельные области захвата.
3.4. Ионосфера
Огромный естественного происхождения плазменный покров в
атмосфере, который охватывает Землю от высоты примерно 60 км до
высот в несколько тысяч километров, называется ионосферой.
Ионизованные частицы в ионосфере образуются в дневное время благодаря
поглощению компонентами атмосферы солнечного излучения в
жестком ультрафиолетовом и рентгеновском диапазонах. По мере того как
солнечное ионизирующее излучение проникает глубже в земную
атмосферу, оно встречает частицы более плотного газа, производя больше
электронов в единице объема. Однако поскольку в этом процессе
излучение поглощается, то существует высота, на которой скорость
производства электронов достигает максимума. Ниже этой высоты,
несмотря на увеличение плотности атмосферы, скорость производства
электронов уменьшается. Это связано с тем, что большая часть
ионизирующего излучения уже поглотилась на больших высотах.
32
Гл. 1. Введение
На рис. 5 приводятся некоторые сведения об относительной
концентрации и высотном распределении электронов и основных
положительных ионов, типичных для дневной ионосферы, для усредненных
солнечных условий. Магнитное поле Земли оказывает большое
влияние на динамику ионосферной плазмы. Аврора (полярное сияние) —
интересное явление, которое можно наблюдать в полярных областях
ионосферы, — представляет собой свечение верхних слоев атмосферы.
Это излучение вызывается энергичными частицами, идущими от
Солнца и из космоса, которые проникают в атмосферу вдоль геомагнитных
силовых линий около полюсов.
DQ
1000
500
400
300
200
inn
-
~-
^
Не+>
N2+
1
Н+
0+
1 У V \ '
s \ \е
о+\\
7\Nno+
r^^^l 1
_
-
—
у -
J -
н
\06
104
105
10ь
Концентрация, см
Рис. 5. Высотное распределение электронов и некоторых основных ионов,
типичное для дневной ионосферы и усредненных параметров солнечного ветра
3.5. Плазма за пределами Солнечной системы
За пределами Солнечной системы наблюдается много различных
видов плазмы в звездах, межзвездном пространстве, галактиках,
межгалактическом пространстве, далеко за пределами нашей
Галактики, в системах, которые были неизвестны до начала астрономических
исследований посредством космических аппаратов. В этих областях
наблюдается множество явлений, которые имеют большое значение
для космологии и астрофизики. Это межзвездные ударные волны от
взрывов далеких сверхновых, быстрые вариации рентгеновского
излучения нейтронных звезд, плотность которых совпадает с плотностью
в атомных ядрах, пульсации радиозвезд, или пульсаров (теоретически
описываются как быстро вращающиеся нейтронные звезды, плазма на
поверхности которых испускает синхротронное излучение), и плазмен-
§ 4. Приложения физики плазмы
33
ные явления вокруг удивительных черных дыр (это особые области
в пространстве, где вещество сжалось настолько сильно, а
гравитационное поле настолько велико, что ничто, ни материальные объекты, ни
даже свет, не йюгут вырваться из этого поля).
На поведение плазмы во Вселенной также оказывают влияние
магнитные поля. Например, Крабовидная туманность — богатый источник
плазменных явлений, и причина этого — магнитное поле. Широкое
распространение магнитных полей во Вселенной было показано
независимыми измерениями, и во время исследований были обнаружены
поля в широком диапазоне значений, которые изменяются от 10~9 Тл
в межзвездном пространстве до 1 Тл на поверхности
магнитно-переменных звезд.
§ 4. Приложения физики плазмы
В лабораторных условиях проводилось множество плазменных
экспериментов, способствовавших пониманию свойств плазмы, а также
необходимых для проверки и дальнейшего развития теории плазмы.
Прогресс в исследовании плазмы привел к широкому спектру ее
практических приложений, некоторые из которых будут кратко описаны
ниже.
4.1. Управляемый термоядерный синтез
Наиболее важным приложением искусственной плазмы является
контроль реакций термоядерного синтеза, которые могут дать
громадные возможности для производства энергии. Ядерным синтезом
называется процесс, в результате которого два легких ядра соединяются
и формируют более тяжелое ядро, полная конечная масса которого
будет немного меньше, чем полная первоначальная масса системы.
Дефект масс (Am) выделяется в виде энергии (Е) согласно известному
закону Эйнштейна Е = (Ат)с?, где с — скорость света. Реакция
ядерного синтеза представляет собой источник энергии звезд, в том числе
и Солнца. Удержание горячей плазмы в этом случае осуществляется
собственной гравитацией звезд.
В ядерном синтезе водорода в основных реакциях участвуют
изотопы водорода — дейтерий (2Н) и тритий (3Н):
2Н + 2Н —► 3Не + 1п + 3,27 МэВ, (4.1а)
2Н + 2Н —► 3Не + *Н + 4,03 МэВ, (4.16)
2Н + 3Н —► 4Не + 1п + 17,58 МэВ, (4.1в)
2Н + 3Не —► 4Не + *Н + 18,34 МэВ, (4.1г)
где через 1п обозначен нейтрон. Основная проблема достижения
управляемого синтеза — получение плазмы с очень высокой температурой
(с тепловой энергией не меньше чем 10 кэВ) и удержание этих ча-
3 Биттенкорт Ж.А.
34
Гл. 1. Введение
стиц вместе достаточно долгое время, для того чтобы осуществилось
большое количество реакций синтеза. Высокая температура
необходима, поскольку для осуществления синтеза положительно
заряженные ядра должны приблизиться друг к другу на очень малое
расстояние (примерно Ю-14 м), что требует наличия достаточной
кинетической энергии для преодоления электростатического кулоновского
отталкивания.
На рис. 6 представлены эффективные сечения для реакций ядерного
синтеза водорода (4.1) как функций энергии налетающей частицы.
Сечения становятся значительными только для налетающих частиц
с энергиями не ниже 10 кэВ.
Сечение рассеяния, барн
101—
Н + 3Не
Это означает, что плазма должна
иметь температуру порядка 108 К.
Другие реакции синтеза с
участием ядер с большими значениями
атомного числа Z требуют еще
более высоких энергий для
преодоления кулоновского отталкивания.
Было предложено и
построено много схем удержания плазмы,
в которых использовались разные
конфигурации магнитных полей.
Основные экспериментальные
попытки достижения необходимых
условий для термоядерного
синтеза можно свести к четырем типам:
1) открытые системы (магнитные
зеркала); 2) закрытые системы
(торы); 3) устройства с #-пинчем
и 4) синтез, основанный на
взаимодействии лазерного излучения
с мишенью.
Зеркальные установки
представляют собой линейные
устройства с продольным магнитным
полем для удержания частиц вдали
от стенок и с магнитными зеркалами (области сходящихся магнитных
силовых линий) на концах для уменьшения количества убегающих
частиц (см. рис. 7).
Четыре основные тороидальные системы отличаются друг от
друга тем, как в них изгибаются магнитные силовые линии. Это стелла-
раторы (изгибание силовых линий производится внешними винтовыми
проводниками), токамаки (полоидальное поле, создаваемое
внутренними токами плазмы, накладывается на тороидальное поле), мультиполи
(в основном имеют магнитные силовые линии в полоидальном направ-
Энергия, кэВ
Рис. 6. Сечения рассеяния
термоядерных реакций в барнах (1 барн =
= Ю-28 м2) в зависимости от
энергии в кэВ для реакций с участием
водорода, приведенных в (4.1)
§ 4. Приложения физики плазмы
35
лении, которые производятся внутренними проводниками) и Астрон
(внутренние пучки релятивистских частиц изменяют поле зеркала так,
что имеется устойчивая область с закрытыми силовыми линиями, в
которой удерживается плазма).
В устройствах с в-пинчем ток плазмы в азимутальном
направлении и долготное магнитное поле производят силу, сжимающую плазму
в поперечном сечении.
Магнитные ппоомо
силовые линии 11лазма
Кольцевой ток
Ток
тороидального
витка
Полоидальное
поле
Тороидальное
поле
Полоидальный ток
продольного поля
Осевой
плазменный Полное
ток ( магнитное поле
w
w
\ \
//
\
Плазма
Плазменный
ток
Магнитное
поле
Рис. 7. Рисунки, иллюстрирующие некоторые основные магнитные
конфигурации, которые используются для удержания плазмы: а — магнитные зеркала;
б — токамак; в — линейный 0-пинч
36
Гл. 1. Введение
И последняя схема зажигания реакции синтеза, в которой
используются импульсные лазеры, заключается в том, что на небольшом
твердом шарике (пеллете) из дейтерия и трития фокусируются сходящиеся
лазерные пучки, что приводит к быстрому симметричному нагреву
плазмы, после которого следует расширение нагретой окружающей
оболочки и сжатие ядра пеллеты вследствие отдачи (см. рис. 8).
Расширяющаяся чЛ
плазма
Сжимающееся
ядро
Пучок У X X.
отлазеРа и к Песета
Рис. 8. Иллюстрация схемы лазерного синтеза
В дополнение к проблемам нагрева плазмы и ее удержания, нужно
уделить внимание потерям энергии на излучение (преимущественно,
тормозное излучение электронов при столкновениях с ионами и
электронное циклотронное излучение). Излучательные потери
представляют серьезную проблему при работе установки с
самоподдерживающимся синтезом. На плотность плазмы (п), время удержания (т) и на
температуру налагаются следующие условия: чтобы синтезом
производилось больше энергии, чем требуется для нагрева и удержания
плазмы, и чтобы было достаточно энергии для компенсации потерь на
излучение. Получается, что произведение пт должно быть больше
минимального значения, которое, например, для реакции дейтерий-тритий
(при температуре Т > 107 К) оценивается приблизительно в 1020 м-3 • с
с для реакции дейтерий-дейтерий (при температуре
и около 1022
Т > 108 К). Это условие известно как критерий Лоусона.
Следовательно, управляемый синтез может быть осуществлен либо удержанием на
короткое время горячей плазмы с большой плотностью, либо
удержанием на более длинный период времени плазмы с меньшей плотностью
частиц. По этой причине некоторые эксперименты по ядерному синтезу
проводятся в режиме с высокой плотностью и коротким временем
удержания, т. е. используется импульсный метод.
Поскольку управляемый ядерный синтез может дать почти
неограниченный источник энергии, то это, конечно, одна из самых важных
научных задач, с которой столкнулось человечество, и успех в ее
разрешении даст огромный толчок развитию нашей цивилизации.
§ 4. Приложения физики плазмы
37
4.2. Магнитогидродинамический генератор
Магнитогидродинамический {МГЦ) генератор переводит
кинетическую энергию плотной плазмы, движущейся поперек магнитного
поля, в электрическую энергию. Хотя вовсю идут научные споры по
поводу этого устройства, основной принцип его действия достаточно
прост.
Предположим, что плазма течет со скоростью и (вдоль направления
оси х) поперек приложенного магнитного поля В (вдоль направления
оси у), как схематически
показано на рис. 9. Сила Ло- z k
ренца q(u x В) заставляет
ионы дрейфовать вверх (в
направлении оси z), а
электроны — вниз. Таким образом,
если поместить электроды
в стенки канала и соединить
их с внешней электрической
цепью, то потечет ток
плотностью J = crEind = au x В
(где а обозначает проводи-
у!
Электроды
AJ
Рис. 9. Схема, иллюстрирующая основные
принципы работы магнитогидродинамиче-
ского генератора
мость плазмы, a Eind — индуцированное электрическое поле) поперек
потока плазмы в направлении оси z. Эта плотность тока, в свою
очередь, создает силу J x В (в направлении оси х), которая замедляет
движение частиц плазмы. В итоге определенное количество
кинетической энергии, поступающей в плазменный генератор, переходит
в электрическую энергию, которая может быть использована внешним
потребителем. Этот процесс имеет то преимущество, что в нем
отсутствует неэффективный тепловой цикл.
4.3. Плазменный двигатель
Ракетный плазменный двигатель основан на процессе, в котором
электрическая энергия переходит в кинетическую энергию плазмы, что
представляет собой процесс,
обратный процессу, задействованному
и МГД-генераторе.
Ракетный плазменный двигатель
можно сконструировать, если
перпендикулярные друг другу
электрическое и магнитное поля приложить
к плазме (см. рис. 10). Полученная
и результате плотность тока J,
направленная параллельно
приложенному полю Е, приведет к
возникновению силы J х Е (на единицу объема), ускоряющей плазму в
направлении, противоположном движению ракеты. Согласно закону со-
JxB
4>
Рис. 10. Схема, иллюстрирующая
основные принципы работы
плазменного двигателя
38
Гл. 1. Введение
хранения импульса, соответствующая реактивная сила ускоряет ракету
в направлении, противоположном направлению движения потока
плазмы. Вылетевшая плазма всегда должна быть нейтральной, в противном
случае ракета станет заряженной и приобретет большой электрический
потенциал.
Важная особенность систем с плазменным двигателем состоит
в том, что они могут создавать постоянную (хотя и небольшую) тягу
в течение длительного периода времени, в отличие от систем с
химическими двигателями. Поскольку сила тяги плазменного ракетного
двигателя слишком мала для преодоления гравитационного поля
Земли, то в качестве первой ступени системы с плазменным двигателем
должны применяться химические ракетные двигатели, необходимые
для получения очень больших значений тяги, требуемой для
преодоления земной гравитации. Плазменный ракетный двигатель подходит
для дальних межпланетных и межзвездных космических путешествий.
4.4. Другие плазменные устройства
Кроме управляемого синтеза, МГД-генератора и плазменного
двигателя должны быть упомянуты и некоторые другие практические
применения физики плазмы.
Термоионный преобразователь энергии — это устройство, в
котором для преобразования тепловой энергии в электрическую цезиевую
плазму помещают между двумя электродами. Катод нагревается до
такой степени, что с его поверхности испускаются электроны, а анод
охлаждается. Благодаря использованию цезиевой плазмы при затрате
значительной части приложенной к катоду тепловой энергии возможна
генерация очень больших электрических токов.
Примеры практического применения газового разряда — это
обычные флюоресцентные трубки и неоновые лампы, используемые для
освещения и вывесок, ртутные газотроны, искровые разрядники, ряд
специальных трубок, таких как водородные тиратроны и игнитроны,
которые используются для коммутаций, и дуговые разряды, или плаз-
матроны, — источники температур, превышающих в два и более раз
температуры самого горячего газового пламени, которые используются
в металлургии для резки, плавки и сварки металлов.
Двумя основными приложениями в области передачи информации
являются распространение радиоволн на большие расстояния за счет
отражения от ионосферной плазмы и связь с космическими аппаратами
через плазменный слой, который образуется вокруг аппарата во время
его входа в атмосферу Земли.
И в заключение следует отметить, что существует такая область,
как твердотельная плазма. Если рассматривать кристаллическую
решетку при комнатной температуре, то очень легко проверить, что
твердые тела не удовлетворяют критерию дебаевского экранирования
N& >> 1. Тем не менее квантовые эффекты, связанные с принципом
§ 5. Теоретическое описание процессов в плазме
39
неопределенности, дают у некоторых твердых тел достаточно высокую
эффективную электронную температуру, чтобы получить достаточно
большое JVjr>, так что и у твердых тел можно обнаружить свойства
плазмы. Было^показано, что свободные электроны и дырки в
соответствующих твердых материалах, в основном полупроводниках, обладают
такими же видами колебаний и неустойчивостей, как и в газообразной
плазме. Наиболее подходящим применением твердотельной плазмы
является ее использование в электросхемах.
§ 5. Теоретическое описание процессов в плазме
Динамическое поведение плазмы определяется взаимодействием
частиц плазмы, внутренних полей, создаваемых частицами плазмы, и
внешних полей. Поскольку заряженные частицы в плазме находятся
в непрерывном движении, то возможно появление локальных
концентраций положительного или отрицательного заряда, которые приводят
к возникновению электрических полей. Кроме того, движения частиц
могут привести к генерации токов и, следовательно, магнитных полей.
Динамика частиц в плазме полностью описывается законами
классической (неквантовой) механики. Обычно импульс частиц плазмы
достаточно велик, плотность плазмы мала, а соответствующие длины волн
де Бройля намного меньше расстояния между частицами. Квантовые
эффекты оказываются важны только при очень больших плотностях
и очень малых температурах.
5.1. Общее рассмотрение самосогласованной динамики
Взаимодействие заряженных частиц с электромагнитными полями
описывается силой Лоренца. Для обычной частицы с зарядом q и
массой га, движущейся со скоростью v в присутствии электрического Е
и магнитного В полей, уравнение движения выглядит следующим
образом:
|-?(E + vxB), (5.1)
где р = rav — импульс частицы. Возможно, по крайней мере в
принципе, описывать динамику гцлазмы, решая уравнения движения для
каждой частицы плазмы, учитьГйа^ совокупное влияние на нее
внешнего, приложенного к плазме поля и внутренних полей, создаваемых
всеми остальными частицами плазмы.
Если полное число частиц равно TV, то мы имеем TV нелинейно
связанных дифференциальных уравнений движения, которые
необходимо решать одновременно. Нужно использовать самосогласованную
формулировку задачи, поскольку поля и траектории частиц полностью
взаимосвязаны, т. е. внутренние поля, связанные с наличием и
движением частиц плазмы, влияют на движение этих частиц, которые,
40
Гл. 1. Введение
в свою очередь, изменяют внутренние поля. Электромагнитные поля
подчиняются уравнениям Максвелла:
VxE = -f, (5.2)
VxB = /i0(j + 60^), (5.3)
V-E=£, (5.4)
V • В = 0, (5.5)
где ру J, бо, ро обозначают плотность заряда, плотность электрического
тока, диэлектрическую проницаемость вакуума и магнитную
проницаемость вакуума соответственно. Плотности заряда и тока в плазме
выражаются в виде
fp = W^9i' (5-6)
г
где суммирование производится по всем заряженным частицам,
которые находятся в надлежащим образом выбранном малом элементе
объема SV. Заметим, что поскольку мы имеем дело с дискретным
распределением зарядов рр и, следовательно, с дискретным
распределением плотности тока Jp, то они могут быть выражены через
дельта-функцию Дирака. Если рассматривать заряды как точечные,
то задача даже усложняется, так как поля в точках, где находятся
заряды, становятся сингулярными. Однако если 5V выбрано достаточно
большим и в нем содержится достаточно частиц, то выражения для рр
и Jp, полученные из (5.6) и (5.7), будут гладкими функциями, которые
подходят для проведения аналитических вычислений.
Хотя такой самосогласованный подход, в принципе, реален, на
практике его реализовать невозможно, если не используется некая
схема усреднения, поскольку число переменных огромно. Согласно
законам классической механики, чтобы определить положение и скорость
каждой частицы плазмы, движущейся под воздействием известных
сил, как функцию времени, необходимо знать начальное положение
и начальную скорость каждой частицы. Очевидно, что для систем,
состоящих из огромного числа взаимодействующих частиц, такие
начальные условия неизвестны. Более того, чтобы объяснить и предсказать
макроскопические явления, наблюдаемые в природе и лаборатории,
необязательно знать в деталях движение каждой отдельной частицы,
поскольку наблюдаемые макроскопические свойства плазмы возникают
благодаря среднему коллективному поведению достаточно большого
числа частиц. Именно поэтому следует отказаться от возможности
аналитически разрешить систему уравнений движения для большого
числа частиц.
§ 5. Теоретическое описание процессов в плазме
41
В наше время, с появлением больших и быстрых компьютеров,
можно численно проследить нелинейное движение многих частиц в
созданном ими самосогласованном поле и приложенном к этой системе
внешнем полежи, используя схемы усреднения или сглаживания для
самосогласованных полей, определить макроскопические переменные из
свойств движения отдельных частиц. Этот численный метод получил
название метода частиц. Он обеспечивает глубокое проникновение
в суть плазменных явлений как на макроскопическом, так и на
микроскопическом уровнях, дополняя аналитические теоретические модели
и результаты экспериментальных исследований.
5.2. Теоретические подходы
Для теоретического описания явлений, происходящих в плазме,
в основном применяются четыре основных подхода с несколькими
различными аппроксимациями, каждая из которых применяется для
разных условий в плазме.
Одно из полезных приближений называется теорией движения
частиц (методом частиц) и состоит в исследовании движения каждой
заряженной частицы в присутствии электрических и магнитных полей.
Этот подход в действительности не является методом теоретического
описания плазмы, а скорее представляет собой описание динамики
заряженной частицы в заданных полях. Тем не менее он очень важен
для лучшего понимания физического смысла динамических процессов
в плазме. Метод оказался полезным для предсказания поведения очень
разреженной плазмы, которое в основном определяется
взаимодействием частиц плазмы с внешними полями. Такая сильно разреженная
плазма существует, например, в радиационных поясах ван Аллена,
в солнечной короне, это плазма космических лучей, ускорителей
высоких энергий и электронно-лучевых трубок.
Поскольку плазма состоит из большого числа взаимодействующих
частиц, то для макроскопического описания ее динамики удобно
использовать статистический подход. Этот подход подразумевает
сильное уменьшение информации, необходимой для решения задачи. При
использовании кинетической теории необходимо знать только
функцию распределения рассматриваемой системы частиц. Задача состоит
в решении соответствующих кинетических уравнений, описывающих
эволюцию функции распределения ^-фазовом пространстве. Пример
такого кинетического уравнения — уравнение Власова, в котором
взаимодействие между заряженными частицами описывается
размазанными внутренними электромагнитными полями, согласующимися
с распределениями плотности электрического заряда в плазме, а
влияние близкодействующих взаимодействий (близкие столкновения) не
берется в расчет.
Если столкновения между частицами в плазме происходят
достаточно часто, то каждый из видов частиц может описываться локально
равновесной функцией распределения и каждый сорт частиц может
42
Гл. 1. Введение
рассматриваться как жидкость со своей локальной плотностью,
локальной макроскопической скоростью и локальной температурой. В этом
случае плазму можно рассматривать как смесь двух или большего
числа взаимопроникающих жидкостей. Такой подход называется дву-
жидкостной или многожидкостной гидродинамикой, в зависимости
от количества рассматриваемых сортов частиц. В дополнение к
обычным уравнениям электродинамики записывается система
гидродинамических уравнений, которые дают законы сохранения массы, импульса
и энергии каждого вида частиц в плазме.
Еще один подход состоит в рассмотрении всей плазмы как
единой проводящей жидкости и использовании смешанных
макроскопических переменных и соответствующих гидродинамических законов
сохранения. Эта теория обычно называется одножидкостной
гидродинамикой. Соответствующая упрощенная форма этой теории,
которая используется для исследования сильно низкочастотных явлений
в плазме с высокой проводимостью, когда магнитное поле
вморожено в плазму, обычно называется магнитогидродинамическим (МГД)
приближением.
Задачи
1.1. Внутриатомные или внутримолекулярные силы обычно
выражаются через потенциальную энергию V(r) как F(r) = —dV(r)/dr.
В случае нейтральных частиц, находящихся на больших межъядерных
расстояниях, вводится притягивающий потенциал ван дер Ваальса
(который представляет собой дальнодействующую часть потенциала
Леннарда-Джонса). Для таких атомов или молекул потенциал ван дер
Ваальса представим в виде
V(r) = -C(a0/rfRy,
где С — постоянная, которая зависит от типа частицы, ао — боров-
ский радиус (0,0529 нм), а через Ry обозначена постоянная Ридберга
(13,605 эВ). Вычислите силу притяжения ван дер Ваальса для
молекулы водорода (С = 24,0) и сравните ее с кулоновским притяжением
между протоном и электроном, расположенными на расстоянии г = Nao,
где TV > 1.
1.2. Рассмотрите изначально однородную плазму, в которой
плотность электронов и плотность ионов равны п. При помощи некоторого
внешнего воздействия возникло одномерное возмущение, такое что
электроны в плоскости у, z сместились на малое расстояние х (см.
рис. 11).
§5. Задачи
43
Рис. 11. Одномерное возмущение, при котором электроны, расположенные
в плоскости уу z, сместились на малое расстояние х
а) Используя теорему Гаусса, покажите, что возникающее
перпендикулярно возмущенной плоскости электрическое поле равно
б) Покажите, что уравнение движения (второй закон Ньютона)
каждого электрона под действием электрического поля
d2x (пе2\ п
—«- + ) Ж = 0.
ОТ \meoJ
Проверьте, что это уравнение описывает гармонические колебания
с частотой , /0
( пе \
"* = {^)
1.3. а) Вычислите количество энергии, выделяющееся при
сгорании 1 г дейтерия в ядерных реакциях (4.1), рассматривая в качестве
конечных продуктов реакции 4Не, *Н и 1п. Предположите, что два
возможных результата реакции 2Н + 2Н, приведенной в (4.1),
возникают с одинаковой вероятностью, б) Сколько энергии выделяется при
сгорании всего дейтерия, который присутствует в одном литре обычной
воды? Сравните это количество энергии С\энергией, получаемой при
сгорании одного литра бензина.
1.4. Вычислите кулоновскую силу отталкивания и
соответствующую потенциальную энергию кулоновского взаимодействия двух ядер
дейтерия, которые расположены на расстоянии 10~14 м друг от друга.
Какую температуру должна иметь дейтериевая плазма, если ее средняя
тепловая кинетическая энергия равна этой электрической
потенциальной энергии?
1.5. В МГД-генераторе плазма, проводимость которой равна а,
движется в направлении х со скоростью и поперек магнитного поля В
44
Гл. 1. Введение
(направленного по у). Два электрода, представляющие собой пластины
площади А, расположенные на расстоянии d, ориентированы
параллельно плоскости хууу как показано на рис.9.
а) Покажите, что разность потенциалов между этими двумя
пластинами равна
ф = Bud.
б) Покажите, что если к электродам подключена внешняя нагрузка
с сопротивлением Rl, to ток, текущий через электроды, будет равен
т _ Bud
Rl + Rp
где Rp — собственное сопротивление плазмы.
в) Покажите, что мощность, поступающая на нагрузку
р _ B2u2d2RL
L~ {RL + RPf
Удостоверьтесь, что эта мощность имеет максимальное значение
dPb/dRb = 0, когда Rl = Rp, и покажите, что максимальная
мощность, поступающая на нагрузку, равна
^L,max = ^B2U2dAa.
г) Получите численные значения для результатов вычислений
пунктов (а), (б) и (в), если В = 1 Тс, и = 100 м/с, а = 100 мОм/м, d = 0,1 м
и А = 1 м2.
1.6. Рассмотрим ракету, находящуюся вне действия
гравитационного поля Земли. Пусть
v — постоянная скорость выхлопных газов относительно ракеты;
u(t) — мгновенная скорость ракеты;
M{t) — мгновенная полная масса ракеты;
—dM/dt — постоянная скорость уменьшения M(t), т.е. масса
выхлопных газов, уходящих в единицу времени.
а) Покажите, что уравнение движения (второй закон Ньютона)
ракеты выглядит следующим образом:
|[м(«и*)] = ^[«-«(*)],
и что мгновенное ускорение ракеты равно
du _ _ v dM
~dt ~ ~M{t)~dT'
б) Проинтегрируйте уравнение движения, чтобы показать, что
u(t) = u(to) +v]n[M(to)/M(t)].
§5. Задачи
45
в) Пусть сгорание топлива в ракете происходит в течение интервала
времени St = t — to, и пусть M(i) <^ M(to). Покажите, что начальное
ускорение ракеты
/du\ _ v M(t0) - M{t) ^ v
\~dt)t0 ~ M(to) Si ~ Si'
г) Вычислите (du/dt)to и u(t) для ракеты с химическим топливом,
если v = 103 м/с, a St = 10 с, и для ракеты с плазменным двигателем,
если v = 104 м/с, a St = 100 дней. Для вычисления u(t) считайте, что
u{t0) =0и M(to) = \OM(t).
1.7. Используя уравнения Максвелла (5.3) и (5.4), получите
уравнение сохранения заряда
g+V-J = 0.
at
Это уравнения показывает, что в уравнениях Максвелла уже
подразумевается сохранение заряда.
1.8. Из уравнения Максвелла для циркуляции напряженности
электрического поля (5.2) получите уравнение
V В = const.
Отсюда следует, что (5.5) можно рассматривать в качестве начального
условия для уравнения (5.2), поскольку если V • В = 0 в некоторый
начальный момент времени, то из уравнения (5.2) следует, что это
условие остается верным и в любой другой момент времени.
1.9. Используя уравнения Максвелла, получите следующий закон
сохранения энергии для электромагнитных полей, известный как
теорема Пойнтинга:
д_
dt
Qe£2 + i/i#2) d3r + |(Е х Н) • dS = -
(J • E)d3r
для изотропных неферромагнитных и несегнетоэлектоических сред,
для которых D = бЕ и В = /iH. Объясните физический смысл каждого
слагаемого в этом уравнении. Какова физическая размерность каждого
из них?
1.10. Рассмотрите систему уравнений Максвелла:
VxH = J + ^,
at
V-E = £,
V • D = p.
46
Гл. 1. Введение
Для среды, в которой
D = e0E + P,
B = /i0(H + M),
где через Р обозначен вектор поляризации, а М — вектор
намагниченности, покажите, что полная плотность заряда (pt) и тока (Jt)
даются выражениями
Pt=P~V-P, (5.8)
Jt=J + |^ + VxM. (5.9)
Объясните, почему векторы Е и В рассматриваются в качестве
фундаментальных полей, a D и Н — в качестве вспомогательных.
Глава 2
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
В ПОСТОЯННЫХ И ОДНОРОДНЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
§ 1. Введение
В этой и двух следующих главах рассматривается движение
заряженных частиц в электрических и магнитных полях, т. е. движение
частиц изучается как функция координат и времени. Таким образом,
предполагается, что электрические и магнитные поля заданы, а
заряженные частицы не влияют на них. В частности, в этой главе
рассматриваются поля, постоянные во времени и однородные в пространстве.
Такая ситуация будет рассматриваться достаточно подробно, поскольку
многие более сложные случаи, которые затем будут изучаться в гл. 3, 4,
могут трактоваться как возмущения, добавленные к рассмотренной
в этой главе задаче.
Изучение движения заряженных частиц в заданных полях очень
важно, поскольку дает хорошее качественное понимание физики
некоторых динамических процессов в плазме. Оно также облегчает
изучение ряда макроскопических явлений, которые обусловлены
коллективным поведением большого числа частиц. Для описания
макроскопических явлений необязательно учитывать все элементы, необходимые для
полного описания микроскопического движения частицы, но можно
выделить наиболее важные, которые должны давать вклад в
коллективное поведение плазмы. Кроме того, выводить макроскопические
параметры намного проще и удобней из макроскопических уравнений
переноса, о которых будет говориться в гл. 8, 9.
Уравнение движения частицы с зарядом qy на которую действует
сила Лоренца F, возникающая вследствие присутствия электрического
(Е) и магнитного (В) полей, можно записать в виде
J = F = g(E + vxB), (1.1)
где р — импульс частицы, a v — ее скорость. Это уравнение остается
мерным и в релятивистском случае, если положить
р = 7^v.
(1.2)
48 Гл. 2. Движение в постоянных и однородных полях
Здесь т — масса покоя частицы, а 7 — так называемый лоренц-
фактор, который определяется как
7=(1-г,2/с2)-1/2, (1.3)
где с — скорость света в вакууме. В релятивистском случае
уравнение (1.1) можно переписать в виде
7mi+?(3(v,E)=?(E+vxB)' °-4)
Здесь учитывалось, что скорость изменения полной энергии
релятивистской частицы (U = ^тс2) равна dU/dt = q(v • Е), a dp/dt =
= d{Uv/c2)/dt.
Однако во многих рассматриваемых задачах член v2 /с2 намного
меньше единицы. Если v2/c2 <С 1, то 7 ~ 1 и ^ можно рассматривать
как константу (не зависящую от v). В результате уравнение (1.4)
преобразуется в следующее нерелятивистское выражение:
m^=g(E + vxB). (1.5)
Если полученная из уравнения (1.5) скорость не удовлетворяет
условию v2 <С с2, то данный результат будет неверным и вместо (1.5)
следует использовать релятивистское выражение (1.4).
Релятивистские эффекты становятся значимыми только для частиц с очень
высокими энергиями (например, протон с энергией 1 МэВ имеет
скорость 1,4- 107 м/с, т.е. v2/c2 ^0,002). Для рассматриваемых в этой
книге случаев предполагается, что ограничение v2 <C с2, которое
подразумевается в уравнении (1.5), верно. Также не учитываются все
эффекты, связанные с излучением.
§ 2. Сохранение энергии
В отсутствие электрического поля (Е = 0) уравнение движения
(1.5) имеет вид
m^ = ?(vxB). (2.1)
Поскольку сила, создаваемая магнитным полем, направлена
перпендикулярно скорости частицы, то она не совершает механической
работы. Домножая (2.1) скалярно на v и принимая во внимание, что
(v х В) • v = 0 для любого вектора v, получаем уравнение
которое говорит о том, что кинетическая энергия частицы (mv2/2)
и модуль ее скорости (г;) — константы. Таким образом, постоянное
магнитное поле не изменяет кинетическую энергию частицы. Результат
остается верным для любой пространственной зависимости вектора
§ 2. Сохранение энергии
49
магнитной индукции В. Однако если В меняется во времени, тогда,
согласно уравнениям Максвелла, также будет возникать электрическое
поле V х Е =^-8R/dt, которое будет влиять на движение частицы,
изменяя ее кинетическую энергию.
Когда присутствуют как магнитостатическое, так и
электростатическое поля, из (1.5) получаем
IG»»2)
:g(E-v). (2.3)
ния
Поскольку V х Е = 0, то можно выразить электростатическое поле
через электростатический потенциал Е = — V</>. В результате получаем
£(iW)=-,(V,«.v = -,W).! = -,,f. (2.4)
Это выражение можно представить в виде следующего закона сохране-
|(1™Ч#)=0, (2.5)
который показывает, что в присутствии постоянных электромагнитных
полей сумма кинетической и электрической потенциальной энергии
частицы остается неизменной. Следует заметить, что электрический
потенциал ф может рассматриваться как потенциальная энергия,
приходящаяся на единицу заряда.
Когда поля меняются во времени, т. е. V х Е ф О, то Е уже не
является градиентом скалярной функции. Но поскольку V • В = 0, то
можно ввести векторный потенциал А, так что В = V х А, и
уравнение (1.5.2) (уравнение 5.2 в гл. 1) можно записать в виде
VxE+| = VxE+|(VxA) = Vx(e + ^)=0. (2.6)
Следовательно, можно выразить электрическое поле как
E = -V</>-^. (2.7)
В данном случае система не является консервативной в обычном
понимании и интеграла энергии не существует, но можно провести
рассмотрение поведения системы, используя функцию^Лйера HotccL за-
ряженной частицы в электромагнитных полях L, которая определяется
следующим выражением:
L = X-mv2 - С/, (2.8)
где U — потенциальная энергия, зависящая от скорости, которая
дается выражением
и = я{ф-\-А). (2.9)
В этом параграфе предполагается, что энергия частицы изменяется
только в результате работы, совершаемой полем. Это предположение
не совсем верно, поскольку каждая заряженная частица в результате
4 Ьиттенкорт Ж.А.
50 Гл. 2. Движение в постоянных и однородных полях
ускорения испускает энергию в виде электромагнитных волн. Для
случаев, которые здесь будут рассмотрены, этот эффект обычно мал,
и им можно пренебречь.
§ 3. Однородное электростатическое поле
Согласно (1.1) движение заряженной частицы в электрическом поле
описывается следующим дифференциальным уравнением:
!=,Е. (3.1)
Для постоянного поля Е уравнение (3.1) может быть
проинтегрировано. В результате получаем
р(*)=дЕ* + ро, (3.2)
где ро = р(0) — начальный импульс частицы. Используя
нерелятивистское выражение для импульса,
p = mv = m—, (3.3)
at
и повторно проинтегрировав (3.2), получаем следующее выражение для
положения частицы как функции времени:
r(i) = ^(f)*2 + v0i + r0, (3.4)
где го — положение частицы, a vo — скорость в начальный момент
времени. Следовательно, частица движется с постоянным ускорением
qEi/m в направлении Е, если q > 0, и в противоположном направлении,
если q < 0. В направлении, перпендикулярном электрическому полю,
ускорение отсутствует и характеристики движения частицы остаются
неизменными.
§ 4. Однородное постоянное магнитное поле
4.1. Формальное решение уравнения движения
Если частица с зарядом q и массой т движется со скоростью v
в области пространства, где присутствует только магнитное поле В
(электрическое поле Е отсутствует), то уравнение движения будет
выглядеть следующим образом:
mJ=?(vxB). (4.1)
Для удобства разложим скорость v на две компоненты: параллельную
(vy) и перпендикулярную (vj_) магнитному полю (см. рис. 1):
v = vii+v_L. (4.2)
§ 4. Однородное постоянное магнитное поле
51
Подставляя (4.2) в (4.1) и учитывая, что (vy x В = 0), получаем
dv\\ dv± q / т^ч
dt ' dt
Поскольку члёй (vj_ x В)
перпендикулярен В, то компонента
этого уравнения, параллельная полю,
может быть записана как
га
(4.3)
£-*
(4.4)
а перпендикулярная
составляющая
^^(vixB).
dt rav '
(4.5)
Рис. 1. Разложение вектора скорости
на параллельную (v||) и
перпендикулярную (vj_) магнитному полю
компоненты
= Пс х v±,
(4.6)
Из уравнения (4.4) видно, что
скорость частицы вдоль В не
изменяется и остается равной
начальной скорости частицы. Что касается движения в перпендикулярной
к В плоскости, то (4.5) можно записать в виде
dv±
~df
где Пс — вектор, равный
пс = _вв = МВпс = аспс. (4.7)
т т
Таким образом, вектор Пс направлен вдоль В для отрицательно
заряженной частицы (q < 0) и в противоположном направлении для
положительно заряженной частицы (q > 0). Его величина Qc
всегда положительна (fic = \q\B/m). Единичный вектор ftc направлен
вдоль Пс.
Так как Пс не меняется и поскольку кинетическая энергия
сохраняется, то скорость v± (модуль vj_) также постоянна, а уравнение (4.6)
показывает, что ускорение частицы не меняется по модулю и
направлено перпендикулярно как vj_, так и В. Таким образом, ускорение
соответствует вращению вектора скорости vj_ в перпендикулярной В
плоскости с постоянной угловой скоростью Пс. Можно
проинтегрировать (4.6), учитывая, что Пс константа, avi = drc/dt:
vi = ficxrC) (4.8)
где вектор гс — радиус-вектор частицы относительно точки G (центр
вращения) в плоскости, перпендикулярной В и содержащей данную
частицу. Поскольку скорость частицы v± постоянна, то величина вектора
7V также постоянна. Таким образом, уравнение (4.8) показывает, что
скорость vj_ соответствует вращению радиуса-вектора гс с постоянной
угловой скоростью Qc вокруг точки G в перпендикулярной В плоско-
А*
52 Гл. 2. Движение в постоянных и однородных полях
сти. Следовательно, движение в плоскости, перпендикулярной В, будет
происходить по окружности радиуса гс. Текущий центр вращения
частицы (точка G, находящаяся на расстоянии гс от частицы) называется
ведущим центром. Такое круговое движение вокруг ведущего центра
проиллюстрировано на рис. 2.
q<0
Рис. 2. Круговое движение заряженной частицы вокруг ведущего центра в
однородном постоянном магнитном поле
Следует отметить, что согласно определению Пс, данному в (4.7),
вектор Пс всегда имеет то же направление, что и момент импульса
частицы (гс х р), вне зависимости от ее заряда.
Полная траектория частицы получается из суперпозиции
равномерного движения вдоль В (с постоянной скоростью уц) и кругового
движения в плоскости, перпендикулярной В (с постоянной
скоростью v±). Следовательно, частица движется
по спирали (см. рис. 3). Угол между В и
направлением движения частицы называется
питч-углом и определяется следующим
образом:
А В
а = arcsin ( — ] = arete; ( — ) , (4.9)
где v
vl +
q>0
Рис. З. Движение по
спирали в однородном
постоянном магнитном
поле положительно
заряженной частицы
полная скорость частицы (v2
Если v\\ = О, a vi/0, то мы
получаем а = 7г/2, и траекторией частицы
будет окружность в плоскости,
перпендикулярной В. В обратном случае, когда v± = 0,
а г>ц Ф 0, получаем а = 0 и частица движется
ВДОЛЬ В СО СКОРОСТЬЮ V||.
Величину угловой скорости
Пс =
т
т
(4.10)
называют угловой частотой вращения, а также гирочастотой,
циклотронной частотой или ларморовской частотой. Для электрона:
§ 4. Однородное постоянное магнитное поле
53
\q\ = 1,602 • 10~19 Кл, т = 9,109 • 10~31 кг, так что получаем
^(электрон) = 1,76- 10ПВ (с"1), (4.11)
■>*
где В выражено в теслах (или, что то же самое, Вб/м2). Аналогично,
для протона с т = 1,673 • 10~27 кг получаем
^(протон) = 9,58 • 107В (с"1). (4.12)
Радиус круговой орбиты
называется радиусом вращения или гирорадиусом, или
циклотронным радиусом, или ларморовским радиусом. Важно отметить, что
величина угловой скорости fic прямо пропорциональна В.
Соответственно, если увеличивается В, увеличивается и частота, а радиус
уменьшается. Также, чем меньше масса частицы, тем больше будет ее
гирочастота и меньше ее гирорадиус. Умножая (4.13) на В, получаем
выражение
Brc- k| -k|, (4.14)
которое показывает, что В, умноженное на гирорадиус частицы, равно
импульсу частицы на единицу заряда. Эту величину часто называют
магнитной жесткостью.
4.2. Решение в декартовой системе координат
До сих пор изложение не было связанно с какой-либо системой
координат. Рассмотрим теперь декартову систему координат (х, у, z),
такую что В = Bz. В этом случае векторное произведение v x В можно
записать в виде
v х В = del
х у z
vx vy vz
0 0 В
= B{vyx-vxy) (4.15)
и уравнение движения (4.1) преобразуется к виду
Знак (+) перед Qc соответствует положительно заряженной (q > 0),
а знак (—) отрицательно заряженной (q < 0) частице, поскольку
согласно данному в (4.10) определению величина fic всегда положительна.
Далее мы будем рассматривать только положительно заряженную
частицу. Случай отрицательного заряда может быть получен из решения
для положительного заряда, если в нем поменять знак перед Qc.
54 Гл. 2. Движение в постоянных и однородных полях
Выпишем (4.16) в декартовых координатах (для q > 0):
dt UcVv>
dt c x'
% = *•
(4.17)
(4.18)
(4.19)
^ + tfcvx = 0. (4.20)
Из последнего уравнения получаем, что vz(t) = vz(0) = г;ц, значению
компоненты скорости, параллельной В в начальный момент времени.
Для того чтобы получить решение уравнений (4.17) и (4.18), возьмем
в уравнении (4.17) производную по времени и подставим получившееся
выражение в (4.18). Получаем
dtz
Это однородное линейное дифференциальное уравнение, описывающее
колебания гармонического осциллятора с частотой Г2С, а его решение:
vx{t)=v±sm{Slct + e0), (4.21)
где v± — постоянная величина скорости частицы в плоскости (х,у)
(перпендикулярной В), #0 — постоянная интегрирования, которая
зависит от отношения начальных скоростей vx(0) и г^(0) согласно
выражению
tg(6>o) = vx(0)/vy(0). (4.22)
Для того чтобы определить vy(t), подставим (4.21) в левую часть
(4.17). Получаем
vy(t) = v± cos(Qct + в0). (4.23)
Следует отметить, что vx + v2 = v2±. Уравнение для компонент v можно
еще раз проинтегрировать по времени, что дает
x(t) = -gcos(ftci + в0) + Х0,
y{t) = g sin(Qci + в0) + Го,
Z(t) =V\\t + Zo,
где были введены обозначения
Х0 = хо+ ^cos(0o),
Уо = Уо- gsin(0o)-
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
(4.28)
Вектор г = хох + уоу + zoz определяет начальное положение частицы.
Из (4.24) и (4.25) видно, что
(х - Х0)2 + (у- Го)2 = (vjttc)2 = т\. (4.29)
§ 4. Однородное постоянное магнитное поле
55
Таким образом, траекторией частицы в нормальной к В плоскости
будет окружность с центром в точке (Хо,УЬ) и радиусом (v±/Qc).
Движение точки (Xo,Yo,z(t)) — мгновенного центра вращения —
соответствует траектории ведущего центра. Следовательно, ведущий
центр движется с постоянной скоростью v\\ вдоль В.
В плоскости (х, у) переменная </>(£), которая определяется как
ф(г) = arctg ^^- = -(Qct + во), Фо = -во, (4.30)
X — Ло
у положительно заряженной частицы уменьшается со временем. Если
магнитное поле направленно в сторону наблюдателя, то
положительный заряд описывает окружность по часовой стрелке. Для
отрицательно заряженной частицы fic нужно заменить на — Qc.
Следовательно, (4.30) показывает, что у отрицательного заряда ф{Ь) растет
со временем, и частица движется по окружности против часовой
стрелки, как показано на рис. 4. В итоге движение частицы
представляет цилиндрическую спираль с постоянным питч-углом. На рис. 5
показаны параметры спирали в декартовой системе координат.
XI х'0 Х0 ^
Рис. 4. Круговая траектория заряженной частицы в однородном и постоянном
поле В (вектор поля направлен на наблюдателя) и направление связанного
с таким движением электрического тока
4.3. Магнитный момент
Круговому движению заряженной частицы в магнитном поле
соответствует круговой электрический ток /. Если поле В направленно
на наблюдателя (рис.4), то этот ток течет по часовой стрелке.
Согласно закону Ампера направление магнитного поля, которое вызвано
таким круговым током, определяется правилом правой руки, т. е. если
большой палец правой руки указывает на направление тока /, то
остальные пальцы правой руки сгибаются по направлению магнитного
56 Гл. 2. Движение в постоянных и однородных полях
Проекция
спирали на
плоскость (х, у)
Рис. 5. Параметры винтовой траектории положительно заряженной частицы
в декартовой системе координат
поля. Таким образом, произведенное круговым движением заряженной
частицы магнитное поле В будет внутри орбиты частицы
противоположно направленным по отношению к внешнему полю В, но
вне орбиты оно будет иметь такое же направление, что и внешнее
поле. На расстоянии намного больше гс созданное кольцевым током /
магнитное поле будет аналогично полю диполя (рис.6). Поскольку
плазма является скоплением заряженных частиц, то, следовательно,
она обладает диамагнитными свойствами.
Магнитный момент т, связанный с круговым током, направлен
по нормали к площади А, которая ограничена орбитой частицы, и
противоположно внешнему полю В, как показано на рис. 7. Его величина
определяется как
|т| = ток • площадь орбиты = IA.
Этот круговой ток соответствует потоку заряда и равен
klfic
Тс
2тг
(4.31)
(4.32)
где Тс = 2n/Qc — период вращения частицы, который называется
циклотронным периодом или ларморовским периодом. Таким образом,
величина m определяется выражением
Ы = Жпг2=1_тсг1
(4.33)
§ 4. Однородное постоянное магнитное поле
57
4 4 в
Рис. 6. Генерируемое малым кольцевым то- Рис. 7. Связанный с кольцевым
ком магнитное поле, которое совпадает с по- током магнитный момент т,
лем магнитного диполя который вызван круговым
движением заряженной частицы во
внешнем поле В
Используя выражения Qc = \q\B/m и гс
писать как
v±/tic> (4.33) можно пере-
m =
1 2
2mv±
~В~
w±
В '
(4.34)
где W± — часть кинетической энергии, связанной с поперечной
скоростью v±. Таким образом, в векторной форме получаем
Win
В2
4.4. Ток намагничивания
(4.35)
Рассмотрим теперь вместо одной частицы коллектив заряженных
частиц, где в равных пропорциях содержатся положительно и
отрицательно заряженные частицы (для того чтобы не было внутренних
электростатических полей). Исследуем, например, случай
разреженной плазмы, в которой можно пренебречь столкновениями частиц
(бесстолкновительная плазма). Условие существования такой плазмы
состоит в следующем: среднее время между столкновениями должно
быть намного больше циклотронного периода. Это условие
выполняется, в частности, для многих видов космической плазмы. В бесстолкно-
вительной плазме, находящейся во внешнем магнитном поле,
магнитные моменты, обусловленные круговым вращением частиц, действуют
совместно. Это приводит к возникновению магнитного поля, которое
может достигнуть достаточно больших значений и заметно изменить
внешнее поле В, приложенное к плазме. Магнитное поле,
производимое круговыми движениями заряженных частиц, можно получить
из суммарной плотности тока, связанного с этими движениями.
58 Гл. 2. Движение в постоянных и однородных полях
Для вычисления конечной плотности электрического тока
рассмотрим макроскопический объем, содержащий большое количество
частиц. Пусть S будет элементом площади этого объема, ограниченным
кривой С, как показано на рис.8, а. Орбиты типа (1), которые пере-
Объем = А • dl
А
Рис. 8. Макроскопический объем, содержащий большое количество частиц, и
поверхность S. Показаны круговые электрические токи, пересекающие элемент
поверхности S, ограниченный кривой С (а). Положительное направление
вектора площади А (б)
секают ограничивающую поверхность только один раз, будут вносить
вклад в результирующий ток, в то время как орбиты типа (2),
которые пересекают поверхность дважды, не вносят вклада в суммарный
ток. Если обозначить через d\ элемент дуги кривой С, то количество
орбит, охватывающих dl, будет равно пА • dl, где п — число орбит
с током 7, приходящихся на единицу объема, а А — вектор
площади, ограниченной каждой орбитой. Вектор А направлен по нормали
к площади орбиты А и имеет положительное направление по
отношению к направлению вращения. Таким же образом поступательное
движение правого винта относится к его вращению. Получается, что А
указывает на наблюдателя, когда 7 течет против часовой стрелки, как
показано на рис. 8, б. Таким образом, суммарный ток, пересекающий
поверхность 5, определяется током, который течет вокруг dl,
проинтегрированным вдоль кривой С:
7П = ф7пА • dl.
(4.36)
Поскольку m = 7А, то магнитный момент на единицу объема, М (его
также называют вектором намагниченности), определяется
выражением
М = шп = п7А. (4.37)
Следовательно, (4.36) можно записать в виде
7n = &>М-<й =
(V х М) • dS,
(4.38)
§ 4. Однородное постоянное магнитное поле
59
где была использована теорема Стокса. Можно определить среднюю
плотность тока намагничивания, Jm, который пересекает
поверхность 5, как
1 JM • dS. (4.39)
In =
В результате из (4.38) и (4.39) мы получаем плотность тока
намагничивания
JM = V х М, (4.40)
а из (4.37) и (4.35) получаем
М = шп=-(^)в, (4.41)
где nW± означает кинетическую энергию на единицу объема,
приходящуюся на поперечную скорость частицы..
Плотность заряда рм> связанную с плотностью тока
намагничивания Jm, можно получить из уравнения непрерывности
5g£ + V-JM = 0. (4.42)
Поскольку Jm = V х М и для любого вектора а справедливо
V • (V х а) = 0, то плотность заряда рм постоянна.
В уравнении Максвелла
VxB = Mo(j + eoff) (4.43)
можно разделить суммарную плотность тока J на две части: плотность
тока намагничивания Jm и плотность тока J', которая определяется
другими источниками:
J=JM+J'. (4.44)
Выражая Jm через М подстановкой (4.40) в (4.43), получаем
уравнение f oF4
V х В = ро (V х М + J' + б0^J , ^£*45)
которое можно переписать в виде
Vx(iB-MH/+6°f- (4-46)
Определив напряженность магнитного поля Н как
В = аю(Н + М), (4.47)
можно записать (4.46) в виде
VxH-J' + eo^- (4.48)
ot
Таким образом, напряженность магнитного поля Н связана с током
от остальных источников J' так же, как В связан с полным током J.
60 Гл. 2. Движение в постоянных и однородных полях
Уравнения (4.40) и (4.47) являются основными отношениями в
классической теории магнитных материалов.
Если М пропорционально В или Н, то между ними существует
простое линейное отношение
М = ХжН, (4.49)
где постоянная \ш называется магнитной восприимчивостью среды.
Однако у плазмы М ос \/В (см. (4.41)), поэтому отношение между Н
и В (или М) нелинейно. В связи с этим рассматривать плазму как
аналог магнитных материалов обычно не очень удобно.
§ 5. Однородные электростатические
и магнитостатические поля
5.1. Формальное решение уравнения движения
Теперь рассмотрим движение заряженной частицы в присутствии
как электрического, так и магнитного полей, которые постоянны во
времени и однородны в пространстве. Нерелятивистское уравнение
движения выглядит следующим образом:
f=?(E + vxB). (5.1)
Если выделить параллельные и перпендикулярные к В компоненты
скорости и электрического поля:
v = V||+v_l, (5.2)
Е = Ец+Е_ь (5.3)
то можно разложить (5.1) на два уравнения:
^t=e(E1+vxxB). (5.5)
Уравнение (5.4) аналогично уравнению (3.1) и описывает движение
с постоянным ускорением qE»/m вдоль поля В. Следовательно,
согласно (3.2) и (3.4),
yl(')=(^L)* + vll(0)' <5-6>
4® = ъ{^)*+ *№* + *№• (5-7)
Для того чтобы решить уравнение (5.5), удобно разделить v_l на
две компоненты:
v_l(*) = v'_l(*) + vs, (5.8)
где we — постоянная скорость в плоскости, перпендикулярной В.
Следовательно, v^_ — скорость, которую будет видеть наблюдатель
§5. Однородные электростатические и магнитостатические поля 61
в системе координат, движущейся с постоянной скоростью v#.
Подставляя (5.8) в (5.5) и записывая перпендикулярную к В компоненту
электрического поля в виде (см. рис. 9)
получаем
т
dv'±_
„ /ЕхВ\ та
Ех = -(-?-)хВ,
= Я. (v'x + wE -
Ejl xB
~В2
)
хВ.
(5.9)
(5.10)
Это уравнение показывает, что в
системе координат, движущейся с
постоянной скоростью
Е± хВ
(Ej_ х В) х В
v#
Bz
(5.11)
Рис. 9. Векторное произведение из
уравнения (5.6) (В = В/Б)
движение частицы в плоскости,
перпендикулярной В, полностью
зависит от магнитного поля согласно
уравнению
m^ = 9(vixB). (5.12)
Таким образом, в этой системе координат компонента электрического
поля Ej_ исчезает, в то время как магнитное поле остается неизменным.
Уравнение (5.12) идентично (4.5) и означает, что в движущейся с
постоянной скоростью \е системе координат частица характеризуется
круговым движением с циклотронной частотой fic и радиусом гс:
= Пг х :
(5.13)
Полученные результаты показывают, что суммарное движение частицы
описывается суперпозицией кругового движения в плоскости,
перпендикулярной В, однородного движения с постоянной скоростью we,
которая перпендикулярна как В, так и Ej_, и постоянного ускорения
г/Ец/т вдоль В. Скорость частицы может быть выражена в векторной
форме, которая не зависит от системы координат:
v(t) = ncxrc + ^B+^ + v||(0).
(5.14)
Первый член правой части (5.14) представляет собой циклотронное
вращение, а следующие члены — это дрейфовая скорость ведущего
центра (перпендикулярная как Ej_, так и В), постоянное ускорение
ведущего центра параллельно В и начальная скорость параллельная В
соответственно.
Отметим, что скорость v# не зависит от массы и знака заряда и,
следовательно, одинакова как для положительно, так и для
отрицательно заряженных частиц. Ее обычно называют дрейфовой скоростью
62 Гл. 2. Движение в постоянных и однородных полях
плазмы или электрическим дрейфом плазмы. Поскольку Ец х В
то (5.11) можно также записать в виде
Е х В
О,
V£ =
(5.15)
В итоге полное движение частицы в перпендикулярной В плоскости
описывается циклоидой, показанной на рис. 10. Физическая
интерпретация такого движения по циклоиде заключается в следующем.
Электрическая сила gEj_, действуя одновременно с магнитной силой,
ускоряет частицу, увеличивая или уменьшая ее скорость в
зависимости от движения частицы относительно направления Ej_ и от знака
заряда. Согласно (4.13) радиус вращения будет увеличиваться с
увеличением скорости, и, следовательно, радиус кривизны линии, которую
описывает частица, меняется под воздействием Ej_. Это в результате
приводит к траектории в виде циклоиды с дрейфом в направлении,
перпендикулярном как Е, так и В. Получаются различные траектории,
которые зависят от начальных условий и от величины приложенных
электрического и магнитного полей.
( Ион
В ©
-►ЕхВ
G
Электрон
Рис. 10. Циклоида, представляющая собой траекторию ионов и электронов
в скрещенных электрическом и магнитном полях. Электрическое поле Е
действует совместно с магнитной индукцией В, что приводит к дрейфу в
направлении ЕхВ
Ионы намного тяжелее электронов, и, следовательно, ларморовский
радиус ионов больше, чем у электронов, а ларморовская частота
соответственно меньше. В результате дуга циклоиды, по которой движется
ион, будет больше дуги, по которой движется электрон, но количество
таких дуг циклоиды, которые электрон проходит за секунду, будет
больше, так что дрейфовая скорость остается одинаковой для обоих
типов частиц.
В бесстолкновительной плазме дрейфовая скорость не приводит
к появлению электрического тока, так как положительно и
отрицательно заряженные частицы движутся вместе. Когда столкновения между
заряженными и нейтральными частицами становятся значимыми, тогда
этот дрейф приводит к возникновению электрического тока, поскольку
§ 5. Однородные электростатические и магнитостатические поля 63
частота столкновения между ионами и нейтралами выше, чем частота
столкновения между электронами и нейтралами. Следовательно, ионы
движутся медленнее электронов. Ток будет течь перпендикулярно как
В, так и Е и будет направлен в сторону, противоположную v^. Этот
ток называют током Холла.
5.2. Решение в декартовой системе координат
Выберем декартову систему координат с осью z, направленной
параллельно В, так что
B = Bz, (5.16)
Е = ЕЛ + Еуу + Ezz. (5.17)
Используя (4.15), уравнение движения (5.1) можно записать в виде
^ = ^ [(Ех + vyB)x. + (Еу - vxB)y + Ezz]. (5.18)
Как и раньше, будем рассматривать случай положительного заряда.
Решение для отрицательного заряда может быть получено, если в
решении для положительного заряда изменить знак у fic.
Уравнение (5.18) можно сразу же проинтегрировать для z-kom-
поненты, и результат будет таким же, как (5.6) и (5.7). Для х- и
^-компонент возьмем сначала производную dvx/dt по времени и
подставим получившееся выражение для dvy/dt. В результате получим
^ + П& = П»£. (5.19)
Это неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее
колебания гармонического осциллятора с частотой fic. Его решением
будет сумма, состоящая из решения однородного уравнения, которое уже
было получено в (4.21), и частного решения (очевидно, что подходит
Еу/В). Таким образом, получаем
vx{t) = v'L sin{nct + в0) + ^, (5.20)
где v'± и во являются постоянными интегрирования. Уравнение для
vy(i) может быть получено, если подставить (5.20) в (5.18). Получаем
vy{t) = iir _ §■ •= ^cos(fic*+во) ~ §• (5-21)
Следовательно, компоненты скорости vx(t) и vy(t), которые лежат
в плоскости, перпендикулярной В, осциллируют с частотой fic и
амплитудой v'L. На это движение накладывается постоянный дрейф со
скоростью V£, которая равна
vB = ^x-^y. (5.22)
Это выражение соответствует (5.11) при В = Въ.
64 Гл. 2. Движение в постоянных и однородных полях
Следующее интегрирование (5.20) и (5.21) дает траекторию
частицы в плоскости (х,у):
x(t) = -g cos{ttct + в0) + §^ + Xo, (5.23)
y(t) = g sin(fic* + во) ~^t + У0, (5.24)
где Xo и Yo определяются согласно (4.27) и (4.28), но v необходимо
заменить на г/|_.
Таким образом, движение заряженной частицы в однородных
электростатических и магнитостатических полях состоит из трех
компонент:
а) постоянного ускорения дЕц/га вдоль поля В. Если Ец =0, то
частица движется вдоль В со скоростью, равной начальной;
б) вращения в плоскости, перпендикулярной В, с циклотронной
частотой Г2С = \q\B/m и радиусом rc = nv'±/£lc;
в) электрического дрейфа перпендикулярно В и Е со скоростью
vE = (Ex B)/B2.
§ 6. Дрейф под воздействием внешней силы
При наличии какой-либо дополнительной силы F (например,
силы гравитации или силы инерции, если движение рассматривается
в неинерциальной системе координат) уравнение движения (1.5)
должно быть переписано с участием этой силы:
^=g(E + vxB)+F. (6.1)
Формально результат действия этой силы аналогичен действию
электрического поля. Предположим, что сила F однородна и постоянна.
По аналогии со скоростью электрического дрейфа v#, определяемой
уравнением (5.15), дрейф, который вызывается нормальной к В
компонентой силы F, дается выражением
F х В ,л оч
vF = —г. (6.2)
Например, в случае однородного гравитационного поля имеем: F = rag,
где g — гравитационное ускорение, и скорость дрейфа равна
v5 = --^. (6.3)
Эта скорость дрейфа зависит от отношения m/q и, следовательно,
частицы с противоположными зарядами движутся в разные стороны
(рис. 11). Мы видели, что в системе координат, движущейся со
скоростью V£, компонента электрического поля Ej_ исчезает, но магнитное
§ 6. Дрейф под воздействием внешней силы
65
Ag Ион
Электрон
■>gxB
Рис. 11. Дрейф вращающейся частицы в скрещенных гравитационном и
магнитном полях
поле остается без изменений. Гравитационное поле, однако, нельзя
исключить таким способом.
В бесстолкновительной плазме существует связанная с
гравитационным дрейфом плотность электрического тока, Jg, имеющая
направление g х В и равная
г
где суммирование происходит по всем заряженным частицам,
содержащимся в выбранном соответствующим образом малом элементе
объема 5V. Используя (6.3), получаем
1'-k<X.m>)tr-^4r- <65>
г
где рт обозначает полную массовую плотность заряженных частиц.
Рассмотрим применимость уравнения.(6.2). Поскольку мы
использовали нерелятивистское уравнение движения, то, чтобы уравнение
(6.2) оставалось верным, необходимо наложить ограничение на
величину силы F. Величина поперечной скорости дрейфа определяется
выражением
vD = £. (6.6)
Следовательно, для того чтобы можно было применять
нерелятивистское уравнение движения, должно соблюдаться неравенство
§ « с, (6.7)
или, если F возникает под влиянием электростатического поля Е,
Щ- « с. (6.8)
Например, для магнитного поля 1 Тл (6.2) может использоваться, пока
Е]_ намного меньше 108 В/м. Если это условие не выполняется, задача
должна рассматриваться на основе релятивистского уравнения
движения. Хотя релятивистское уравнение движения может быть точно
проинтегрировано для постоянных В, Е и F, здесь этот вопрос
рассматриваться не будет и остается в качестве упражнения для читателя.
Г) Биттенкорт Ж.А.
66 Гл. 2. Движение в постоянных и однородных полях
Задачи
2.1. Найдите циклотронную частоту и ларморовский радиус для
а) электрона в ионосфере Земли на высоте 300 км, где магнитная
индукция В « 0,5 • Ю-4 Тл, электрон движется с тепловой скоростью
(кТ/т), Т = 1000 К, к — постоянная Больцмана;
б) протона с энергией 50 МэВ во внутреннем радиационном поясе
Земли в экваториальной плоскости на расстоянии \,5Re (где Re =
= 6370 км — радиус Земли) от центра Земли, В « 10~5 Тл;
в) электрона с энергией 1 МэВ во внешнем радиационном поясе
в экваториальной плоскости на расстоянии около ARe от центра Земли,
В « 10"7 Тл;
г) протона солнечного ветра, движущегося со скоростью 100 км/с
в магнитном поле В « Ю-9 Тл;
д) протона с энергией 1 МэВ в районе пятна в солнечной
фотосфере, считая что В « 0,1 Тл.
2.2. Найдите для электрона и иона 0+ в ионосфере Земли на
высоте 3000 км в экваториальной плоскости, где В « 0,5 • 10~4 Тл:
а) скорость гравитационного дрейфа wg\
б) вызванную гравитационным полем плотность тока Jp, принимая
во внимание, что пе = щ = 1012 м-3.
Предполагается, что g перпендикулярно В.
2.3. Рассмотрим частицу массы га и заряда qy движущуюся в
постоянных однородных электромагнитных полях, которые определяются
как Е = Е0у и В = Bqz. В начальный момент времени (t = 0) частица
находилась в состоянии покоя в начале системы координат. Покажите,
что частица движется по циклоиде:
Eq
в.
0 L
X(t) = ^ t-^sm(Qct)
По
(6.9)
у(*) = §^[1-сов(Пс*)]- (6.10)
Постройте траекторию частицы в плоскости z = 0 для q > 0 и для
q < 0 и рассмотрите случаи, когда v± > ve, v± = ve и v± < ve,
где v± обозначает скорость циклотронного движения частицы, a ve
обозначает скорость электромагнитного дрейфа.
2.4. В большинстве случаев траектория заряженной частицы
в скрещенных электрическом и магнитном полях представляет собой
циклоиду. Покажите, что если v = г^ох, В = Bqz и Е = ЕЬу, то
при vo = Ео/Во частица будет двигаться по прямой линии.
Объясните, как этот пример может быть использован при проектировке
масс-спектрометра.
2.5. Выведите релятивистское уравнение движения в форме (1.4),
основываясь на (1.1) и (1.2).
§6. Задачи
67
2.6. Запишите в векторной форме релятивистское уравнение
движения для заряженной частицы в присутствии однородного
постоянного магнитного поля" В = В^ъ и покажите, что компоненты этого
уравнения в декартовой системе координат описываются следующими
выражениями:
(ч»») = -(^г)«х, (6-12)
dt
d
где
Jt(ivz) = 0, (6.13)
7 = ^. (6-14)
а /3 = v/c. Покажите, что скорость и траектория заряженной частицы
описываются теми же формулами, что и в нерелятивистском случае,
только Qc заменяется на \q\Bo/(mj).
2.7. Рассмотрите движение релятивистской заряженной частицы
в присутствии скрещенных электрического (Е) и магнитного (В) полей,
которые постоянны во времени и однородны в пространстве. Какое
нужно сделать преобразование координат, чтобы поперечное
электрическое поле стало равным нулю? Получите уравнения для скорости
и траектории заряженной частицы.
Глава 3
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
В НЕОДНОРОДНОМ ПОСТОЯННОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 1. Введение
Если поля неоднородны в пространстве или меняются со временем,
то интегрирование уравнения движения (2.1.1) (уравнения (1.1) из
гл. 2) может оказаться очень трудной математической задачей.
Уравнение движения становится нелинейным, а теория движения крайне
сложной, и уже невозможно получить точное аналитическое
выражение для траектории заряженной частицы. Для поиска полного решения
необходимо применять численные методы интегрирования.
Однако есть один важный частный случай, когда если не нужно
знать движение частицы в подробностях, то можно получить
приблизительное, но в то же время полное решение без применения численного
интегрирования. Решение существует для достаточно сильного
магнитное поля, медленно меняющегося как в пространстве, так и во
времени, и слабого электрического поля. Во многих представляющих
интерес случаях поля приблизительно постоянны и однородны, по
крайней мере на расстояниях и временных интервалах порядка одного
обращения частицы вокруг силовой линии. Такая ситуация
наблюдается во многих экспериментах с лабораторной плазмой, включая те,
которые имеют отношение к проблеме управляемого термоядерного
синтеза, а также в множестве задач, связанных с космической плазмой.
В этой главе исследуется движение заряженной частицы в
статическом магнитном поле, которое слабо неоднородно в пространстве. Здесь
слабо понимается в том смысле, что пространственная вариация
магнитного поля внутри орбиты частицы мала по сравнению с величиной В.
Другими словами, рассматриваются только стационарные магнитные
поля, пространственное изменение которых на расстоянии порядка лармо-
ровского радиуса, гс, намного меньше величины самого поля.
Чтобы определить это допущение, предположим, что на расстояниях
порядка гс величина В изменяется на SB, так что 5В = rc\WB\, где
VB — градиент В. В силу сказанного выше предполагается, что
5В <С В. Следовательно, мы ограничимся случаем малого нарушения
однородности поля и получим уравнение траектории движения частицы
§ 2. Пространственная неоднородность магнитного поля 69
только в приближении первого порядка. Законы движения заряженной
частицы в стационарных полях в рамках этого приближения часто
называют дрейфовой теорией первого порядка. Эту теорию впервые
систематически стал^применять шведский физик Альфвен, ее также называют
приближением Алъфвена или приближением ведущего центра.
В этой теории широко используется понятие ведущего центра.
Выше было показано, что в однородном магнитном поле движение
частицы может рассматриваться как суперпозиция вращения вокруг
В и движения ведущего центра вдоль В. В случае неоднородного
поля В, удовлетворяющего условию 5В <С В, величина В в точке, где
находится частица, отличается от его значения в точке, где расположен
ведущий центр, очень незначительно. Проекция траектории движения
частицы на плоскость, которая перпендикулярна магнитному полю
и проходит через мгновенное положение
ведущего центра, почти не отличается от окружности
(рис. 1). Однако пространственное изменение В
должно приводить к постепенному дрейфу
ведущего центра поперек В, а также к постепенному
изменению скорости его движения вдоль В.
Обычно быстрое вращение заряженной
частицы вокруг В не представляет большого
интереса, поэтому удобно исключить его из уравнений
движения и сфокусировать внимание на дви- Траектория
г> заряженной частицы
жении ведущего центра. В движении ведущего v ^
центра малые колебания (малой амплитуды по ном^шгниТнЗТлё
сравнению с циклотронным радиусом), которые почти Не отличается
происходят во время одного периода вращения, от окружности
можно исключить посредством усреднения,
поскольку они являются проявлением пространственной
неоднородности магнитного поля. Таким образом, задача сводится к вычислению
средних (а не мгновенных) значений скорости поперечного дрейфа
и ускорения параллельно полю ведущего центра за период вращения.
§ 2. Пространственная неоднородность магнитного
поля
Любая из трех компонент напряженности магнитного поля, В =
- Вхх + Вуу + Bzz, может зависеть от трех координат х, у и z.
Следовательно, для полного описания пространственных изменений В
необходимы девять параметров. Эти параметры удобно представить
диадой (или тензором) VB, который в матричной форме имеет
следующий вид:
/дВх/дх дВу/дх dBz/dx\ /х\
vb = (х у z) двх/ду дву/ду двг/ду у . (2.1)
\дВх/дг дВу/dz 3Bz/dzJ \zj
70 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
Из этих девяти компонент только восемь являются независимыми, так
как из уравнения Максвелла
V.B = ^ + ^ + ^=0 (2.2)
ох ду oz
следует, что только два члена в дивергенции вектора независимы.
Если в области, где происходит движение частицы, также
выполняется условие J = 0, то на количество независимых компонент В
налагаются новые ограничения, поскольку в такой ситуации V х В = 0. Это
означает, что в области, в которой отсутствуют электрические токи, В
можно выразить через градиент скалярного магнитного потенциала,
В = Wm, (2.3)
где магнитный потенциал фт удовлетворяет уравнению Лапласа:
Ч2фт = 0. (2.4)
В области, где плотность электрического тока не равна нулю: V х В =
= pqJ, уже нельзя определить скалярный магнитный потенциал фт.
В этом случае для уменьшения количества независимых компонент
VB надо знать плотность электрического тока J.
Введем такую декартову систему координат, в которой в точке
начала системы координат магнитное поле направлено вдоль оси z:
В(0,0,0)=В0 = ДЯ (2.5)
Девять компонент VB можно для удобства разбить на четыре вида:
а) дивергентные элементы:
дВх/дх, дВу/ду, dBz/dz; (2.6а)
б) градиентные элементы:
дВг/дх, dBz/dy; (2.66)
в) элементы кривизны:
dBx/dz, dBy/dz; (2.6в)
г) шировые элементы:
дВх/ду, дВу/дх. (2.6г)
2.1. Дивергентные элементы
Сначала рассмотрим геометрию силовых линий магнитного поля,
соответствующих дивергентным элементам тензора VB. Поскольку
существует небольшое изменение компоненты Bz в направлении z
(т. е. dBz/dz ф 0), то по крайней мере один из членов, дВх/дх или
дВу/ду, также не равен нулю, как это хорошо видно из уравнения
(2.2). Здесь очень удобно использовать понятие магнитных силовых
§ 2. Пространственная неоднородность магнитного поля 71
линий, которые в любой точке параллельны полю В, а плотность
этих линий пропорциональна локальной величине В. Чтобы получить
дифференциальное уравнение силовой линии, определим
ds = dxk + dyy + dzz (2.7)
в качестве элемента дуги магнитной силовой линии. Тогда должно быть
верно соотношение
ds х В = 0, (2.8)
поскольку вектор ds параллелен В. Разложение векторного
произведена? _ dy _ dz
ния дает
Вх Ву
(2.9)
Поскольку нас интересуют только дивергентные элементы В и
поскольку предполагается, что в рассматриваемой области поле
направлено почти вдоль оси z, то в начале координат Bz и Ву можно разложить
в ряд Тейлора (см. рис. 2):
а
г(*ь0,0) = 3,(0,0,0) + (^) X! = (^) хи (2.10)
Ву(0,»ь0) = 5,(0,0,0) + (^) У1 = (^) уи (2.11)
где членами второго и более высоких порядков мы пренебрегли.
Отметим, что в начале координат Вх = Ву = 0. Следовательно, линии
Рис.2. Компоненты магнитного поля Вх и Ву в точках (#1,0,0) и (0,уь0),
которые находятся вблизи начала координат
магнитного поля пересекают плоскость z = 0 в точке (жьуьО), а
проекции на плоскости (х, z) (или у = 0) и (у, z) (или х = 0) удовлетворяют
следующим дифференциальным уравнениям:
= -к-£(тгЬ (»=°>- (212)
72 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
dz Bz ВЛду ) Ш {Х U)
(2.13)
соответственно. Эти уравнения показывают, что линии поля сходятся
или расходятся в плоскости (x,z) или плоскости (у, z), в зависимости
от знака членов дивергенции В. На рис. 3 показана геометрия силовой
линии, когда дВх/дх и дВу/ду положительны.
Рис. 3. Геометрия линий магнитного поля в присутствии вызванных
дивергенцией поля ненулевых положительных членов дВх/дх или дВу/ду
2.2. Элементы, связанные с градиентом и кривизной магнитного
поля
Рассмотрим векторное поле, которое имеет градиент в направлении
оси х, как показано на рис. 4:
B = Bzz = B0(l +ax)z.
(2.14)
zt
i
0
i i
k i
I
3
A
l w
Следует отметить, что в области, где J = О,
векторное поле не удовлетворяет уравнению
Максвелла V х В = 0, поэтому необходимо
добавить в (2.14) член, описывающий кривизну
поля, Вхх = Boazx. Таким образом, магнитное
поле, которое имеет градиент и кривизну и
удовлетворяет условию V х В = 0, записывается
как
B = B0(azx+(l +ax)z). (2.15)
Геометрия линий магнитного поля, которая
соответствует этому выражению, схематически
показана на рис. 5.
Обычно одновременно присутствуют все
члены, которые соответствуют и дивергенции,
и градиенту, и кривизне. На рис. 6 показано
поле В, у которого есть ненулевые дивергенция,
градиент и кривизна. Один из таких примеров
дает магнитное поле Земли (см. рис. 4 в гл. 1). В этом пункте
рассматривается воздействие каждого из этих членов на движение заряженной
частицы по отдельности. Поскольку при использовании приближения
Рис. 4. Геометрия
линий магнитного
поля для В с
ненулевым градиентом вдоль
оси х, согласно (2.14).
Данная геометрия
поля не удовлетворяет
условию V х В = О
§ 3. Уравнение движения в приближении первого порядка 73
§
Рис. 5. Геометрия линий
магнитного поля, у которого
имеются ненулевые члены,
связанные с градиентом и кривизной,
согласно уравнению (2.15)
первого порядка уравнения линейны, общий эффект будет равен сумме
эффектов, которые дает каждый их этих членов.
2.3. Шировые элементы
Шировые элементы (2.6) входят в ^-компоненту V х В, т. е. в
выражение В • (V х В), и приводят к скручиванию линий магнитного
поля друг относительно друга. Они не дают вклада в дрейфы первого
порядка, однако вид орбиты может немного измениться. Эти элементы
не приводят к каким-либо интересным эффектам, влияющим на
движение заряженных частиц, и в дальнейшем рассматриваться не будут.
§ 3. Уравнение движения в приближении первого
порядка
Предположим, что в нуле системы координат, который совпадает
\\ начальный момент времени с ведущим центром частицы, магнитное
ноле Во направлено по оси z\
B(0,0,0)=B0 = £0z. (3.1)
Движение частицы вблизи начала системы координат можно
описать, рассмотрев только линейное разложение магнитного поля в этой
области. Пусть г — радиус-вектор мгновенного положения частицы
и системе координат, связанной с ведущим центром (см. рис. 1). В
интересующей нас области (вблизи начала системы координат) магнитное
иоле можно разложить в ряд Тейлора:
B(r)=rB0 + r.(VB) + ..., (3.2)
где производные В вычисляются в начале системы координат.
Отметим, что в действительности мгновенное положение ведущего центра
Рис. 6. Схематичное изображение
магнитного поля, у которого имеются
ненулевые члены, связанные с его
градиентом, кривизной и дивергенцией
74 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
частицы немного сдвигается за один период вращения, в то время как
положение начала системы координат остается неизменным.
Поскольку предполагается, что пространственное изменение В на
расстоянии порядка ларморовского радиуса намного меньше самой
величины В, то в (3.2) можно пренебречь членами высоких порядков.
Ясно, что условие
<5£ = MVB)|«|B0| (3.3)
выполнено (см. § 1). Таким образом, магнитное поле в точке, в которой
находится частица, слабо отличается от поля в точке, привязанной
к ведущему центру. Элемент первого порядка г • (VB) можно
переписать в виде
r.(VB) = (r.V)B=(I|+y|; + 4)B =
где частные производные вычисляются в начале координат. Подставляя
(3.2) в уравнение движения (2.1.5) и учитывая, что Е = 0, получаем
т^ = q(v х В0) + qw х [г • (VB)]. (3.5)
По сравнению с первым последнее слагаемое в правой части —
величина первого порядка малости. Скорость частицы может быть записана
в виде суммы:
СО) , (п drK ] . dx<) /Q сч
v = v()+v() = __ + _ (3.6)
где v^ — возмущение первого порядка малости,
a v(°) — решение уравнения нулевого порядка
v^Klv^l, (3.7)
ну
m^r = 9(v(0) х Во)* (3-8)
которое уже рассматривалось в § 4 гл. 2. Поэтому, пренебрегая членами
второго порядка малости, можно записать
v х [г • (VB)] = v(°) х [г(°) • (VB)]. (3.9)
В результате уравнение движения (3.5) приводится к следующему
виду:
т^ = g(v х В0) + qvW x [г^ • (VB)]. (3.10)
Второй член в правой части уравнения представляет собой силу,
уже встречавшуюся в (2.6.1) (уравнение (6.1) в гл.2). Однако эта
дополнительная сила непостоянна, поскольку зависит от мгновенного
§ 4. Сила, усредненная за один период вращения 75
положения частицы и в течение одного периода вращения происходят
небольшие ее колебания. Поскольку нас интересует только сглаженное
движение ведущего центра, избавимся от этих колебаний, усреднив
эту силу за один период вращения. То есть дальше будет вычисляться
среднее значение силы qv*0) x [г^ • (VB)] за один период, что
позволит нам, используя уравнение (2.6.2), найти параллельное ускорение
ведущего центра и его поперечную скорость дрейфа.
§ 4. Сила, усредненная за один период вращения
Рассмотрим сначала случай, когда начальная скорость частицы
вдоль В равна нулю и ее траектория только незначительно отличается
от окружности. Для однородного магнитного поля это соответствует
наблюдению за траекторией частицы в системе координат, которая
движется со скоростью ведущего центра vy. Однако если силовые линии
изгибаются, то движущаяся параллельно В система координат уже
не будет инерциальной. Кривизна силовых линий приведет к
появлению центробежной силы и, следовательно, к центробежному дрейфу
частицы. Эта ситуация будет рассмотрена далее в § 7. На данный
момент предположим, что силовые линии не искривляются и система
координат движется со скоростью уц.
При указанных выше условиях нулевые приближения v(°) и г(°)
будут лежать в плоскости (х, у). Разложим силу
F = gv<°> x[r<°>.(VB)] (4.1)
на компоненту Fy, направленную вдоль В0 (параллельно оси z), и
компоненту Fj_, перпендикулярную В0 и лежащую в плоскости (х, у).
Используя локальную цилиндрическую систему координат {г,в, z), в
которой ось z параллельна магнитному полю Во в начале координат
(рис. 7), имеем
r(0).(VB)=r(°)J. (4.2)
q>0 \ q<0
Рис. 7. Локальная цилиндрическая система координат с магнитным полем Во,
параллельным оси z в начале координат
76 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
Из трех компонент магнитного поля В = Вгг + Ве§ + Bzz 0-компонен-
та параллельна v^ и, следовательно, не вносит вклада в F, в то время
как Вгг вносит вклад в Fy, a Bzz в F_l. Следовательно, из (4.1) и (4.2)
получаем
F|, = g(v(°) x f)r№ ^ = Mt,(°M°> ^2, (4.3)
F± = e(v(°) x z)r(°) ^ = Mt,<0V<°> ^f. (4.4)
Стоит отметить, что если q > 0, то v^ х г = i^z, а если g < О,
то v(°) х г = — r/°)z. Параметр г^ равен циклотронному радиусу,
соответствующему полю Во,
(0) = v^ = rrvv^ ( 5)
fie мд>* * '
и, принимая во внимание выражение для магнитного момента (2.3.34)
(уравнение (4.34) в гл. 2), можно записать (4.3) и (4.4) в виде
F||=2|m|^z, (4.6)
F± = -2|m|^r. (4.7)
Эти выражения верны как для положительно, так и для отрицательно
заряженных частиц.
Средние значения Fy и F_l за один гиропериод равны
<F„) = 2|m|8(± j^cw) =2|m|z((f^)), (4.8)
<Fx> = -2|m| (^ | Ц±т) = -2|m| (r (^) ) . (4.9)
Средняя сила (Fy), определяемая выражением (4.8), дает
параллельное ускорение ведущего центра, a (Fj_), определяемая (4.9), отвечает
за поперечную скорость дрейфа ведущего центра. Первая возникает
в результате действия ненулевых дивергентных членов В, а вторая —
ненулевых градиентных членов. Перейдем к вычислению каждой
компоненты силы по отдельности.
4.1. Сила, параллельная полю
Заметим, что в цилиндрических координатах выражение V • В = 0
будет выглядеть следующим образом:
;*№) +;*(*•>+ ё<в*> = °- (410)
Первый член может быть представлен в виде
H(rBr) = ^ + ^. (4.11)
§ 4. Сила, усредненная за один период вращения 77
Поскольку Вт = О, если г = 0, и так как около начала системы
координат Вг с изменением г меняется незначительно, можно принять, что
В^ = дВ^ (412)
Следовательно, из (4.12) и (4.11):
Теперь, усредняя это уравнение за один гиропериод, получаем
/двл = _\_ пдвв\ _ I /ад,\ (4 н)
\ дт /. 2 \т дО I 2\ dz Г У '
Так как В определено однозначно, то
МШ = J_
\г дО / 2тг
ф!^ = 0. (4.15)
Кроме того, поскольку dBz/dz внутри орбиты частицы — очень
медленно меняющаяся функция, то ее можно вынести за знак интеграла.
В результате с достаточной степенью точности получаем
/дВЛ _ 1
\ dz I 2тг
Гад* ,Л двг ад (л 1СЧ
В (4.16) мы заменили Bz на В, так как в интересующей нас области
пространственные вариации магнитного поля очень малы.
Окончательно из уравнений (4.14), (4.15) и (4.16) имеем
\ дт I 2dz У '
Из этого результата следует, что сила, параллельная полю (4.8), равна
dz'
(F,|) = -|m|^z = -|m|(V£)n, (4.18)
или, что то же самое,
(F||> = (mV)Bz = -H[(B • V)B]„, (4.19)
гак как m = —|m|z = — |m|B/J5, а производные вычисляются в начале
координат.
4.2. Сила, перпендикулярная полю
В плоскости, перпендикулярной магнитному полю, удобно
использовать двумерную декартову систему координат (ж, у), показанную
на рис. 8, такую что х = г cos в и у = rsin#.
Тогда
г = C9s(0)x + sin(0)y, (4.20)
д _ dx д dy д _ /^ д . , дч д (л о]\
дт dr дх dr ду ' дх ду'
78 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
Таким образом, получаем
= <cos2(0)^x) + (sin(0) cos(0)^y) +
+ (sin(0)cos(0)^x) +
,дВг
дх
sm2(^)^y
(4.22)
Рис. 8. Двумерная
система координат
в плоскости,
перпендикулярной
магнитному полю,
которая используется
для вычисления
силы (F_l)
Далее аппроксимируем (dBz/dx) выражением
(дВ/дх), a (dBz/dy) — (дВ/ду). Поскольку эти
функции меняются очень незначительно внутри
орбиты частицы, то они могут быть вынесены за
знак интегрирования, который содержится в
выражениях для средних в (4.22). Учитывая, что
(sin(0)cos(0)) = 0, a (cos2((9)) = (sin2((9)) = 1/2,
получаем
.ЭДЛ = }_дВ_~. \дВ_~
' дг / 2 дх Х 2 ду У*
Подстановка этого результата в (4.9) дает
дБ.
(4.23)
(F,) = -|m|(fx+-yJ
|m|(VB)±.
(4.24)
4.3. Полная усредненная сила
Приступим теперь к написанию общего выражения для полной
усредненной силы (F) = (Fy) + (Fj_). Из (4.18) и (4.24) получаем, что
(F) = -|m|(V£)|| - |m|(VB)_L = -|m|V5. (4.25)
Кроме того, можно использовать векторное тождество
(V х В) х В = (В • V)B - V (\в2\ (4.26)
и переписать (4.25) в виде
(F) = -^[(В • V)B - (V х В) х В]. (4.27)
Поскольку m = — |т|В/В, получаем
(F) = (т • V)B + m х (V х В). (4.28)
Это общепринятое выражение для силы, действующей на маленький
кольцевой ток, помещенный в пространственно неоднородное
магнитное поле. Первый член в правой части (4.28) определяет силу,
действующую на магнитный диполь.
§ 5. Градиентный дрейф 79
§ 5. Градиентный дрейф
Из (2.6.2) и (4.24) видно, что (F)j_ заставляет дрейфовать ведущий
центр со скоростью
vG=(F)^B = -l^(Vg)2xB. (5.1)
qB2 Q В2
Это так называемый градиентный дрейф, скорость которого
перпендикулярна как В, так и градиенту поля, а его направление зависит
от знака заряда. Таким образом, положительно и отрицательно
заряженные частицы дрейфуют в противоположные стороны, что приводит
к появлению электрического тока (см. рис. 9).
В направлен к наблюдателю
VB
кШШШи Электрон
• • • • •
** J
Рис. 9. Дрейф заряженной частицы вследствие наличия градиента поля,
перпендикулярного В
Физический смысл градиентного дрейфа можно объяснить
следующим образом. Поскольку ларморовский радиус частицы уменьшается
по мере увеличения магнитного поля, то радиус кривизны орбиты
частицы меньше в области более сильного поля В. Положительные
ионы вращаются по часовой стрелке при поле В, направленном на
наблюдателя, в то время как электроны в этом случае вращаются против
часовой стрелки, как показано на рис. 9, поэтому положительные ионы
дрейфуют влево, а электроны вправо.
Если плазма бесстолкновительная, то существует плотность тока
намагничивания Л<з, которая связана с градиентным дрейфом поперек
В и которая определяется выражением
Jg = ~5V^qiVGij ^5'2^
г
где суммирование проводится по всем сортам заряженных частиц,
которые находятся в выбранном элементе объема 5V. Из (5.1) и (5.2)
получаем
т I I V^ i Л (VB) х В ,- оч
J^ = i^Ew)4-' (5-3)
80 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
§ 6. Ускорение ведущего центра параллельно полю
Выражение (4.18) для (Fy) показывает, что когда магнитное поле
изменяется в направлении, параллельном вектору поля (т. е. силовые
линии, направленные вдоль 2, сходятся или расходятся, как это
показано на рис. 3), то сила, направленная вдоль z, ускоряет частицу
в сторону уменьшения магнитного поля независимо от того, имеет
она положительный или отрицательный заряд. Эта ситуация
проиллюстрирована на рис. 10. Существует несколько важных следствий такого
отталкивания вращающейся частицы от области схождения магнитных
силовых линий, которые мы обсудим ниже.
q>0
Рис. 10. Отражение заряженной частицы от области, где магнитные силовые
линии сходятся
6.1. Сохранение магнитного момента и магнитного потока
Применяя (4.18), можно записать уравнение движения вдоль В как
т
~dt
дв.
I!- /п \ I \OD^
^z = (F||) = -|m|—z
dz
(6.1)
Умножив обе части этого уравнения на г;ц = dz/dt, имеем (заменив |т|
на W±/B)
' """" (6.2)
mv\\
dt
d_
dt
1 2
-mv
\ _ W± дБ dz
) ~ В dz dt
где W± = mv\/2 — часть кинетической энергии, которая приходится
на движение в направлении поперек магнитного поля. Поскольку
полная кинетическая энергия заряженной частицы в магнитостатическом
поле постоянна, т. е.
W\\ + W± = const, (6.3)
то очевидно, что
im) = -i(w}l)
dt
dt"
d (\ 2\
-Jt (2mV\\) ■
(6.4)
§ 6. Ускорение ведущего центра параллельно полю 81
Следовательно, из (6.2) и (6.4) получаем
d п*т \ Wjl дВ dz W± dB ta сч
д^) = -Гв7л=-Гл-' (6'5)
где dB/dt означает скорость изменения В, которая ощущается
частицей, когда она движется в пространственно меняющемся магнитном
поле (т. е. в системе отсчета, связанной с частицей). Сравнивая этот
результат со следующим тождеством:
делаем вывод, что , /TJ_ ч
Кт)-* <">
или w
|m| = ^ = const. (6.8)
Следовательно, если частица движется в области со сходящимися или
расходящимися магнитными силовыми линиями, то ее циклотронный
радиус меняется, но магнитный момент остается постоянным. Это
постоянство магнитного момента частицы верно только в рамках
принятого приближения, т. е. когда пространственное изменение В внутри
орбиты частицы мало по сравнению с величиной В. Поэтому говорят,
что магнитный момент является адиабатическим инвариантом. Его
обычно называют первым адиабатическим инвариантом.
Магнитный поток Фт, протекающий через область, границей
которой служит один оборот частицы, равен
,с 2 о m^ir, 2-кт /rW±\ /c'm
• dS = ш1сВ = тг^-±В = _-_). (6.9)
Ф —
Следовательно,
<fB2 q2 V В J
^(Ф^) = _^-_|m| = 0, (6.10)
где принято во внимание, что |т| является инвариантом. То есть по
мере движения частицы в область схождения силовых линий она будет
вращаться все с меньшим и меньшим радиусом, так что магнитный
поток, протекающий через поверхность, ограниченную одной орбитой,
будет оставаться постоянным.
6.2. Магнитные зеркала
Важное следствие адиабатической инвариантности |т| и Фт
состоит в следующем. Поскольку должны сохраняться |т| и полная
кинетическая энергия, то во время движения частицы в области
сходящихся магнитных силовых линий ее поперечная кинетическая энергия
увеличивается, а продольная — И^ц — уменьшается. В конце
концов, если поле В становится достаточно сильным, скорость частицы
в направлении увеличения поля может стать равной нулю, а затем
6 Биттенкорт Ж.А.
82 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
поменять знак. После обращения скорость частицы будет
увеличиваться в направлении уменьшения поля, а ее поперечная скорость будет
уменьшаться. Таким образом, частицы отражаются от области
сходящихся магнитных силовых линий. Это явление называется магнитным
отражением и лежит в основе одного из методов удержания плазмы.
Если рассмотреть два магнитных зеркала, одно из которых
расположено напротив другого, как показано на рис. 11, то заряженные
Азимутальный ток
imssss^
Ю£|£Ж
ft^^^^NS^^^
^\S\\\\\SS
— Zm, 0 Zm, Z
Рис. 11. Схема, на которой показано расположение катушек, формирующих
коаксиальные магнитные зеркала для удержания плазмы. Также показано
распределение компоненты магнитной индукции
частицы будут отражаться этими зеркалами и двигаться то влево,
то вправо в области, которая находится между зеркалами, и,
следовательно, эти частицы будут захваченными. Эта область захвата
называется магнитной бутылкой. Такой конфигурацией пользовались
для удержания лабораторной плазмы.
Однако захват в системе с магнитными зеркалами не является
идеальным. Эффективность удержания заряженных частиц системой
коаксиальных магнитных зеркал можно измерять зеркальным
отношением Вт/Во, где Вт — напряженность магнитного поля в точке
отражения (где питч-угол частицы равен 7г/2), a Bq — напряженность
магнитного поля в центре магнитной бутылки.
§ 6. Ускорение ведущего центра параллельно полю 83
Рассмотрим заряженную частицу, у которой питч-угол в центре
магнитной бутылки равен ао. Пусть v — скорость частицы, которая
в стационарном магнитном поле остается неизменной. Тогда из условия
сохранения магнитного момента |m| = W±/B следует, что
^mv2(sm2a)/B = ± rm;2 (sin2 a0)/B0, (6.11)
где а — питч-угол частицы в точке, где напряженность магнитного
поля равна В. Таким образом, в любой точке внутри магнитной бутылки
для этой частицы выполняется следующее равенство:
sin2 a{z) _ sin2Qo(z) (p% . 9.
B{z) ~ B0(z) " (bU)
Предположим, что эта частица отразилась в горле зеркала, т. е. а =
= 7г/2 при B(z) = Bm. Тогда, из (6.12) следует
(sin2a0)/£0 = l/£m. (6.13)
Это означает, что частица, питч-угол которой равен ао в центре
бутылки, причем
ао = arcsin[(B0/Sm)1/2] = arcsin(i;_i_M))> (6.14)
отражается в точке, где напряженность поля равна Вт. Следовательно,
если у магнитной бутылки зеркальное отношение равно Вт/Во, то
частицы плазмы, у которых питч-углы в центре системы больше ао,
будут отражаться, не долетая до границы бутылки. С другой стороны,
если питч-угол частицы в центре бутылки будет меньше ао, то он
никогда не достигнет значения 7г/2. Это означает, что на границе бутылки
частица будет обладать ненулевой параллельной скоростью и убежит
через края системы зеркал. В результате возникает конус потерь —
конус с углом, равным половине ао, и вершиной в центре системы
(см. рис. 12), где частицы, векторы скоростей которых попадают в этот
конус, не будут захваченными. Конус потерь определяется зеркальным
отношением Вт/Во согласно (6.14).
Рис. 12. Конус потерь в системе коаксиальных магнитных зеркал
84 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
Рядом преимуществ обладают устройства для удержания плазмы,
у которых нет границ. Эти системы обладают конфигурацией поля,
в которой магнитные силовые линии замыкаются сами на себя.
Конструкция в виде тора (рис. 13), например, не имеет границ, но оказы-
Рис. 13. Магнитное поле с тороидальной геометрией
вается, что при удержании плазмы внутри тороидального магнитного
поля невозможно добиться равновесия, поскольку существует
радиальная неоднородность поля. Обычно в этом случае на тороидальное поле
накладывается полоидальное магнитное поле, и в результате силовые
линии закручиваются в спираль (как в токамакё). Однако
основная проблема большинства схем удержания плазмы — возникновение
неустоичивостей и небольших флуктуации относительно требуемой
равновесной конфигурации, что приводит к быстрой потере частиц из
магнитной ловушки. Проблема возникновения неустоичивостей очень
существенна, и, вероятнее всего, она возникает в любой возможной
схеме удержания плазмы магнитным полем.
Земная магнитосфера представляет собой хороший пример
природной магнитной ловушки, которая захватывает частицы солнечного
и космического происхождения. Эти заряженные частицы, захваченные
магнитным полем Земли, образуют так называемые радиационные
пояса ван Аллена. Как показано на рис. 14, геомагнитное поле около
Земли почти дипольное, причем магнитные силовые линии сходятся
к северному и южному магнитным полюсам.
Электроны и протоны, захваченные радиационными поясами ван
Аллена, движутся по приблизительно винтовой траектории вдоль
линий поля по направлению к магнитным полюсам, где в итоге
отражаются. Такие частицы совершают колебательные движения между
полюсами. Кроме этих колебаний, захваченные заряженные частицы
также испытывают градиентный дрейф и дрейф за счет кривизны
силовых линий в западом и восточном направлениях. Эта ситуация
рассмотрена ниже в данной главе.
§ 6. Ускорение ведущего центра параллельно полю 85
Внешний
пояс
Внутренний
пояс
Движение
заряженной частицы
Рис. 14. Дипольное приближение магнитного поля Земли. Радиационные пояса
иан Аллена расположены на экваторе для высокоэнергичных протонов на
расстоянии 1,5 радиусов Земли от ее центра и для энергичных электронов на
расстоянии около 3-4 радиусов
6.3. Продольный адиабатический инвариант
Рассмотрим частицу, запертую между двумя магнитными
зеркалами, которая колеблется вдоль силовых линий. Предположим, что
расстояние между двумя зеркалами меняется во времени очень медленно
по сравнению с периодом этих колебаний. Периодическому движению
частицы между двумя магнитными зеркалами (расстояние между
которыми изменяется медленно) соответствует адиабатический инвариант,
названный продольным адиабатическим инвариантом, который
определяется интегралом
J = cpv • d\ = <bv\\dl, (6.15)
где интеграл берется за один период полного колебания частицы в одну
и другую сторону между двумя точками отражения.
Для доказательства того, что J является адиабатическим
инвариантом, рассмотрим идеализированную ситуацию, показанную на рис. 15.
Поле В .направлено вдоль оси z и однородно в пространстве, за
исключением точек М\ и Мг, в которых поле увеличивается для создания
двух зеркал, разнесенных на расстояние L. Предположим, что
зеркало М\ приближается к другому со скоростью
Знак минус здесь указывает на то, что L уменьшается со временем.
Считаем, что эта скорость намного меньше продольной скорости
частицы, т. е. vm <С v\\. Таким образом, расстояние, которое преодолевает
86 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
\< L -1
^Vm
► (V\\)r
^— Ыг
Mi
Движущееся
зеркало
-►В
1
z
м2
Неподвижное
зеркало
Рис. 15. Схематичное изображение системы двух коаксиальных магнитных
зеркал, которые движутся навстречу друг другу
зеркало М\ за один период колебания частицы, мало по сравнению
с расстоянием L между зеркалами.
Поскольку предполагается, что В однородно в пространстве между
зеркалами (за исключением краев), то продольная скорость частицы ^ц
между ними может считаться постоянной. Пренебрегая малыми
краевыми эффектами, можно записать
2L
J = \v\\dl = 2v\\L. (6.17)
о
Скорость изменения J равна
где было использовано выражение (6.16). Чтобы вычислить dv\\/dt,
примем
dt At (2L/v\\Y У '
где Av\\ означает изменение скорости частицы ^ц при отражении от
движущегося зеркала, г At = (2L/v\\) — период колебаний между
зеркалами. Чтобы найти Д^ц, перейдем в систему координат, которая
движется вместе с магнитным зеркалом М\ со скоростью vm.
Обозначим эту движущуюся систему координат штрихом, а набегающую
и отраженную скорости частицы нижними индексами гиг
соответственно. Таким образом, получаем
(V\\)i = (V\\)i+Vm, (6-20)
(V\\)r = (V\\)r-Vm, (6.21)
что дает изменение скорости частицы при одном отражении:
bv\\ = (v\\)r-(v\\)i = 2vm, (6.22)
§ 7. Центробежный дрейф
87
так как в движущейся системе координат (v\\)i = (v\\)r, но направлены
они в противоположные стороны. Следовательно, (6.19) преобразуется
к виду '
dv\\ _ ZVrn _ VmV\\ ,n 9оч
dt ~ (2L/vn) ~ L ' У '
После подстановки этого результат в (6.18), получаем
g=*(2t,|L) = 0. (6.24)
Это означает, что J является адиабатическим инвариантом. Эту
величину также называют вторым адиабатическим инвариантом.
Параллельная кинетическая энергия заряженной частицы, которая захвачена
между двумя зеркалами, равна (учитывая, что J = 2v\\L)
Щ = >*if = ^? (6-25)
1 2 ГПГ
2 II 8L2
и быстро увеличивается с уменьшением L. Итальянский физик Ферми
указал на этот процесс как на механизм ускорения заряженных частиц
и применил его для объяснения происхождения высокоэнергичных
космических лучей. Ферми предположил, что если два облака в
космическом пространстве с магнитным полем, большим, чем величина поля
в пространстве между ними, движутся навстречу друг другу, то они
могут захватывать и ускорять заряженные частицы. Однако существует
ограничение на увеличение продольной скорости частицы, поскольку
направление скорости частицы в центре такой системы может в
конечном счете попасть в конус потерь и частица покинет эту систему
через ее края. Следует отметить, что магнитное зеркало, движущееся
к неподвижному зеркалу, вызывает на самом деле меняющиеся во
времени магнитные поля и, следовательно, электрические поля, которые
могут изменить кинетическую энергию частицы.
§ 7. Центробежный дрейф
До сих пор не рассматривались эффекты, связанные с кривизной
линий магнитного поля. Как уже говорилось, поле В, у которого
имеются только члены, связанные с кривизной, не удовлетворяет
уравнению V х В = 0, поэтому, в действительности, градиентный дрейф
и дрейф за счет кривизны магнитного поля всегда существуют
одновременно. В орбитальной теории первого порядка эффекты, возникающие
из-за каждой из компонент В, аддитивны.
Рассмотрим влияние членов кривизны дВх/дг и dBy/dz,
определение которых можно найти в (2.6в), на движение заряженной частицы.
Предположим, что эти члены малы настолько, что радиусы кривизны
линий магнитного поля намного больше циклотронного радиуса
частицы. Введем локальную систему координат, которая движется вдоль
88 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
линии магнитного поля со скоростью, равной продольной скорости
частицы v\\. Поскольку из-за кривизны линий поля такая система отсчета
не будет инерциальной, то появляется центробежная сила. Локальную
систему координат можно определить через единичные векторы В, rii
и П2, где В направлен вдоль силовой линии поля, rii — вдоль главной
нормали к линии поля, а П2 вдоль бинормали к линии магнитного поля,
как показано на рис. 16.
В + <Ш
В + <Ш
Рис. 16. Силовая линия магнитного поля с кривизной радиуса R. Показаны
единичный вектор В, который направлен вдоль магнитной линии, вектор
нормали rii и вектор бинормали П2 в произвольной точке. Заметим, что
rii х П2 = В
Действующая на частицу центробежная сила Fc в неинерциальной
системе определяется выражением
Fc = -^fib (7.1)
где R — радиус кривизны линии магнитного поля в данной
точке, a v\\ — мгновенная продольная скорость частицы. Центробежный
дрейф, который вызван этой силой, согласно (2.6.2) равен
Fc х В mvl (^
vc = -^^ = -^(nixB)- (72)
Чтобы выразить единичный вектор п через единичный вектор В,
который направлен вдоль линии магнитного поля, введем ds — элемент
дуги вдоль линии поля, ограниченный углом d<f), так что
ds = Rd<f). (7.3)
Пусть dB означает изменение В при смещении на ds (см. рис. 16), dB
направлен вдоль йь а его значение равно
\dB\ = \B\d<f> = dcf). (7.4)
Следовательно, ^
<ffi = ni#. (7.5)
§ 7. Центробежный дрейф
89
Разделив это выражение на уравнение (7.3), получаем
ds
П]_
R'
(7.6)
Производная d/ds вдоль В может быть записана как (В • V) и в
результате (7.6) принимает вид
"(B-V)B.
Подставив этот результат в уравнение (7.1), получаем
Fc = -mvjj(B- V)B.
Очевидно, что эта сила перпендикулярна магнитному полю В,
поскольку она, в соответствии с уравнением (7.1), направлена вдоль —Si
и приводит к центробежному дрейфу со скоростью
(7.7)
(7.8)
vc = ~3f[(B.V)S]xB.
qB
(7.9)
Учитывая, что В = SB, и вводя
продольную кинетическую
энергию Wj| = rm;jj/2, можно записать
уравнения (7.8) и (7.9) в виде
-fL[(B.V)Bll,
2Wt
(7.10)
Силовая
линия
q<0
Рис. 17. Относительное
направление дрейфа ведущего центра
частицы vc, который вызван кривизной
линий магнитного поля
vc = -^[(B-V)B]xB. (7.11)
qB
Таким образом, в каждой точке
траектории центробежный дрейф
направлен перпендикулярно
касательной плоскости к линии
магнитного поля, как показано на
рис. 17.
Центробежный дрейф приводит
к возникновению электрического
тока, поскольку частицы с разным
знаком заряда движутся в проти-
моположных направлениях. Из (7.11) и из определения плотности
электрического тока получается, что плотность тока, вызванная
центробежным дрейфом, равна
^Е(«^) = -^Е^|(В7]?'хВ' <7|2>
г г
где суммирование распространяется на все сорта заряженных частиц,
которые содержатся в малом элементе объема 6V.
90 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
§ 8. Комбинированный градиентный и центробежный
дрейф
Центробежный и градиентный дрейфы всегда появляются вместе и,
поскольку VB и Fc направлены в противоположные стороны, то эти
дрейфы имеют одинаковое направление (см. рис. 5). Следовательно, их
можно объединить, образовав некий комбинированный дрейф. Из (5.1)
и (7.11), получаем
vCG = vG + vc = -Т^Рфв) х В - ^J[(B • V)B] х В. (8.1)
qB qB
Если ток отсутствует (например, в вакууме), и V х В = 0, то,
используя векторное тождество (4.26), выражение (8.1) можно записать
в виде
vcG = ^H + ^i)(V^2)xB. (8.2)
В земной магнитосфере вблизи экваториальной плоскости
центробежный и градиентный дрейфы (В уменьшается с высотой) заставляют
положительно заряженные частицы медленно дрейфовать на запад,
а отрицательно заряженные частицы — на восток, вызывая ток,
который направлен с востока на запад. Этот ток называется кольцевым
током. На рис. 18 схематично показано движение заряженной части-
Магнитная
силовая
линия
Электрон
Ион
Рис. 18. Схематичное изображение (пропорции не соблюдены) движения
заряженной частицы в магнитном поле Земли. Долготный дрейф со скоростью vgc,
который вызван наличием градиента поля и кривизной поля В, приводит
к возникновению кольцевого тока, направленного с востока на запад
§8. Задачи
91
цы, которая захвачена магнитным полем Земли. Частицы совершают
колебательные движения вдоль линии поля между точками отражения
М\ и М2 и вследствие градиента и кривизны линий магнитного поля
дрейфуют по Долготе. В результате траектория, которую описывает
частица, похожа на
автомобильную шину,
опоясывающую Землю (рис. 19).
Эта оболочка определяет
поверхность, по которой
ведущий центр частицы
медленно дрейфует вокруг
Земли.
Периодическое
движение частицы по этой
дрейфовой поверхности
связано с существованием
адиабатического
инварианта, который
называют третьим
адиабатическим инвариантом и который равен полному магнитному потоку,
заключенному в дрейфовую поверхность. Очевидно, что в стационарном
случае этот поток постоянен. Здесь важно то, что полный магнитный
поток Фт через дрейфовую поверхность остается инвариантом, только
если поле меняется медленно во времени, т. е. когда период движения
частицы по дрейфовой поверхности мал по сравнению со временем,
за которое происходит значительное изменение магнитного поля. Этот
инвариант применяется в редких случаях, поскольку большинство
флуктуации В происходит на временных интервалах, которые малы по
сравнению с периодом дрейфа.
Рис. 19. Схематичное изображение долготного
дрейфа заряженной частицы вокруг Земли
Задачи
3.1. Опишите приближенно движение электрона в присутствии
направленного вдоль оси х постоянного электрического поля
и неоднородного магнитного поля, заданного выражением
В = В0а(х + г)х + В0[1 + а(х - z)]%
где Ео, Bq и а — положительные константы, \ах\ <С 1 и \az\ <C 1.
Предполагается, что в начальный момент времени электрон двигался
с постоянной скоростью вдоль оси z, v(t = 0) = i>oz. Проверьте, удо-
илетворяет ли это магнитное поле уравнению Максвелла V х В = 0.
92 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
3.2. Проверьте, имеется ли дрейф у заряженной частицы в
магнитном поле, которое определяется выражением
В = Ву(х)у + В0%
где Ву{х) и дВу/дх очень малы. Удовлетворяет ли это поле уравнению
Максвелла V х В = 0.
3.3. Система состоит из двух коаксиальных магнитных зеркал,
ось которых совпадает с осью z и которые симметричны
относительно плоскости z = 0, как показано на рис. 20. Опишите приближенно
движение заряженной частицы в этой системе магнитных зеркал, если
в точке z = 0 компоненты скорости частицы были равны г;ц = г;?
и v± = г/[. Какая должна быть зависимость между Во = B(z = 0)z,
Bm = B(z = ±zm)z и ао (питч-угол частицы при z = 0), чтобы частица
отражалась в точке zm?
Рис. 20. Геометрия силовых линий магнитного поля в системе, состоящей из
двух коаксиальных магнитных зеркал. Оси зеркал совпадают с осью z, система
симметрична относительно плоскости z = 0
3.4. В системе магнитных зеркал из задачи 3.3 примите, что
продольное магнитное поле изменяется во времени, так что "Baxiai =
= B(z,t)z. Считая, что магнитный момент
~mv2±(z,t)
является адиабатическим инвариантом (заметим, что его значение
одинаково в точках z = 0 и z = ±zm и что v2 = vl + v\), покажите, что
продольный адиабатический инвариант может быть записан в виде
| [B(zm,t)-B(z,t)]l/2dz = const.
— Zm
§8. Задачи
93
3.5. Имеется система магнитных зеркал, показанная на рис. 20.
Продольное магнитное поле определяется следующим выражением:
B(z) = B0[\ + (z/ao)2},
где Bq и ао — положительные константы. Отражение частицы
происходит в плоскостях z = —zm и z = zm.
а) Покажите, что для захваченной в эту систему зеркал заряженной
частицы z компонента скорости частицы определяется выражением
Ч
м-^Л©'-®
1/2
б) Покажите, что средняя сила, которая действует на ведущий
центр частицы вдоль оси z> равна
(F||>
н частица совершает простое гармоническое колебание между
отражающими плоскостями, период колебаний равен
1/2
Т = 2тга0
(_rn_V
\2\m\BoJ
в) Если движение частицы ограничено областью \z\ < zmt то
какие ограничения должны накладываться на величину полной энергии
и магнитного момента?
3.6. Имеется тороидальное магнитное поле, представленное на
рис.21.
а) Покажите, что магнитная индукция вдоль оси тора определяется
ныражением , ч
В = Д,(2)Ф.
где Ва — величина В на расстоянии г = а.
Аксиальное
магнитное
поле
Ток
Рис. 21. Линии магнитного поля при тороидальной геометрии
94 Гл. 3. Движение в неоднородном постоянном магнитном поле
б) Куда направлен градиентный дрейф, связанный с радиальным
изменением Вф? Рассмотрите качественно возникающее разделение
заряда. Влиянием кривизны линий магнитного поля можно пренебречь.
в) Если Е — электрическое поле, возникающее вследствие
разделения зарядов, то куда направлен дрейф Е х В?
г) Покажите, что в чисто тороидальном поле можно удержать
плазму за счет градиентного дрейфа и дрейфа Е х В.
3.7. Имеется пространственно неоднородное магнитостатическое
поле, которое в декартовой системе координат выглядит следующим
образом: ^ ^
B(x,z) = Bo[az5.+ (l +ax)z],
где Во и а — положительные константы, \ах\ <С 1 и \az\ <C 1.
а) Покажите, что это магнитное поле удовлетворяет уравнениям
Максвелла, при этом существуют и градиентные члены, и члены
кривизны. Запишите уравнение магнитной силовой линии.
б) Пусть электрон движется вблизи начала координат под
действием этого магнитного поля. Получите уравнение движения электрона
в декартовой системе координат.
в) Возьмите следующие начальные условия для электрона:
г(0) = (хо + i;_lo/^c)x,
v(0) = v±0y + ^zoz.
Решите уравнение движения методом возмущений, оставив только
члены первого порядка по отношению к малому параметру а.
Покажите, что после устранения периодической части выражения скорости
компоненты скорости будут равны
vx = av2z0t%
vy = -{a/nc) (^^io + ^o) У.
vz = vz0z.
г) Покажите, что усредненное положение электрона в плоскости
(x,z) находится на магнитной силовой линии, которая проходит через
его начальное положение.
д) Покажите, что скорости градиентного и центробежного дрейфов
определяются выражениями
vG = -(a/«c)(it;i)y,
vc = -(a/nc)v2z0yy
так что полная скорость дрейфа в точности совпадает с
непериодической частью vy.
3.8. Земное магнитное поле, по крайней мере на расстояниях
до нескольких радиусов Земли (Re), можно в первом приближении
§8. Задачи
95
представить в виде магнитного диполя, который расположен в центре
Земли.
а) Основываясь на том, что величина магнитного поля на одном из
полюсов на поверхности планеты приблизительно составляет 0,5 Гс,
вычислите магнитный момент диполя.
б) Рассмотрите движение электрона с энергией Е$ на расстоянии г*о
от центра, го > Re- Вычислите его циклотронную частоту и гироради-
ус.
в) Считая, что электрон движется в экваториальной плоскости,
вычислите скорость его градиентного и центробежного дрейфов и
определите время, за которое электрон продрейфует один раз вокруг Земли,
находясь на расстоянии г$.
г) Вычислите баунс-период электрона, за который он отражается
и проходит путь туда и обратно между магнитными зеркалами,
расположенными вблизи полюсов. Чему равна высота точек отражения?
Считайте, что в экваториальной плоскости W\\ = W±.
д) Получите численные значения для решений пп. (б), (в) и (г),
считая, что Eq = 1 МэВ, a tq = 4Re- Проверьте эти результаты,
сравнив их с типичными значениями для заряженных частиц во внешнем
радиационном поясе ван Аллена.
е) Вычислите плотность кольцевого тока в единицах А/м2, если
на расстоянии около ARe имеется изотропная популяция протонов
с энергией 1 МэВ и электронов с энергией 100 кэВ.
3.9. Представьте бесконечную прямую проволоку, по которой течет
ток I и которая равномерно заряжена отрицательным
электростатическим потенциалом ф. Исследуйте движение электрона в
непосредственной близости от проволоки, используя орбитальную теорию первого
порядка. Опишите в общих чертах траекторию, которую описывает
электрон, показав относительное направление скоростей
электромагнитного, градиентного и центробежного дрейфов.
3.10. Поле магнитного монополя можно представить в виде
В(г) = А4,
г
где А — константа. Решите уравнение движения для определения
траектории заряженной частицы в этом поле. (Вы можете обратиться
к книге: В. Rossi, S. Olbert. Introduction to the Physics of Space. Ch. 2. —
McGraw-Hill, 1970.)
3.11. Проанализируйте движение заряженной частицы в поле
магнитного диполя. Определите две константы движения и рассмотрите
их физический смысл. (Для помощи в решении этой задачи вы можете
обратиться к книге: 5. Stormer. The Polar Aurora. — University Oxford
Press, 1955; или к книге: В. Rossi, S. Olbert. Introduction to the Physics
of Space. Ch. 2. - McGraw-Hill, 1970.)
Глава 4
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ПОЛЯХ
§ 1. Введение
В этой главе рассмотрено движение заряженной частицы в
присутствии переменных полей. Сначала, в двух следующих параграфах,
изучены случаи, когда электрическое поле меняется во времени, а
магнитное поле остается постоянным. Кроме того, оба поля считаются
пространственно однородными. Условие постоянства и однородности
поля В выполняется с достаточной степенью точности, если
приложенное внешнее магнитостатическое поле намного больше магнитного
поля, которое вызывается меняющимся во времени полем Е. Кроме
того, предположение об однородном электрическом поле верно, если
циклотронный радиус заряженной частицы намного меньше
характерного размера пространственного изменения Е. Подразумевается, что
в §§ 2, 3 оба эти требования выполнены. В § 4 рассмотрен случай,
когда присутствуют изменяющееся во времени магнитное поле и
вызванное им неоднородное электрическое поле.
§ 2. Медленно меняющееся электрическое поле
2.1. Уравнение движения и поляризационный дрейф
Предположим, что характерное время изменения электрического
поля намного больше циклотронного периода частицы. Движение
заряженной частицы вдоль силовых линий магнитного поля описывается
уравнением (2.5.4) (уравнением (5.4) из гл. 2) и может быть записано
в следующей интегральной форме:
t
l(*)-v||(0) = £
_ 9
т
E\\(tf)dtf. (2.1)
Это выражение не дает нам никакой новой важной информации.
Поскольку поле Е меняется медленно, то компонента скорости
движения поперек линий магнитного поля будет не очень сильно от-
§ 2. Медленно меняющееся электрическое поле
97
личаться от той, что была бы при постоянном поле Е. Следовательно,
можно искать решение, для vj_ в виде (2.5.8). В результате, имеем
v±=v/_L+vB+Vp> (2.2)
где we = Е х В/В2 — скорость электромагнитного дрейфа плазмы
(2.5.11). В связи с тем что Е изменяется медленно, очевидно, что.уя
также меняется медленно со временем. Подстановка (2.2) .в уравнение
движения для перпендикулярной компоненты (2.5.5) скорости дает
m^(v± + vE + vp) = q\E± + (у'± + wE + vp) x B]. (2.3)
Из (2.5.11) we = (Ej_ x B)/jB2, поэтому (2.3) можно переписать в виде
dv± , d /Ej_ xB\ , dvv / т-» , т» ,п л\
Таким образом, положив
Vp = & Ы)' (2-5)
записываем (2.4) как
TO^r+TO^ = ^xB- (2-6)
Если вторым членом в левой части этого уравнения пренебречь, то
оно становится идентично (2.5.12). Сравнивая относительные
величины второго члена в левой части с правой частью (2.6), получаем
\mdvp/dt\ _ \(т2/дВ2)(&Е±/т2)\ _
Iffvl х В| \qv'±B\
= \(E±/B)/v'±\(u2m2)/(q2B2) = ЫШш/Пс?, (2.7)
где было сделано предположение, что Ej_ меняется во времени
гармоническим образом с характерной угловой частотой и. Учитывая, что
характерная частота много меньше циклотронной частоты,
и < fic. (2.8)
и если отношение \ve/v±\ также мало, то член m(dwp/dt) становится
пренебрежимо мал по сравнению с другими членами уравнения (2.6).
Получаем уравнение ;
rn^- = qw'± х В, (2.9)
которое идентично (2.5.12). Следовательно, v^_ соответствует
обычному круговому движению заряженной частицы вокруг магнитного поля
и не зависит от переменного электрического поля. На эту скорость
кругового движения накладываются скорости дрейфов:
VE = ExxB (2Ш)
7 Биттенкорт Ж.А.
98 Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
и
га /<9Е_|_\ /о 11\
v* = ^br)- (211)
Таким образом, результат действия медленно меняющегося
электрического поля представляет собой дополнительный дрейф со скоростью vp,
которая называется скоростью поляризационного дрейфа.
Поскольку для зарядов с разными знаками vp направлена в
противоположные стороны, то в нейтральной плазме меняющееся
электрическое поле приводит к проявлению поляризационного тока, в результате
чего плазма ведет себя как диэлектрик. Плотность
поляризационного тока Зр — это поток положительных и отрицательных зарядов
через единицу площади. Он определяется выражением
г г
где суммирование производится по всем положительным и
отрицательным зарядам, которые содержатся в малом элементе объема 6V', а рт —
массовая плотность плазмы.
2.2. Диэлектрическая постоянная плазмы
Поляризация в плазме возникает под действием переменного
электрического поля. Постоянное поле Е не приводит к поляризации, так
как для сохранения квазинейтральности могут передвигаться и ионы,
и электроны. Поскольку плазма обладает свойствами диэлектрика, то
при введении диэлектрической постоянной плазмы должна
учитываться плотность поляризационного тока Зр.
Представим полную плотность тока J в виде суммы плотности
поляризационного тока Зр и плотности тока Jo, возникающего из-за
других источников:
J = JP + J0. (2.13)
В результате, объединяя Зр с членом eod'E±/dt в правой части
уравнения Максвелла для V х В, получаем
f дВ± рш дВ± _ ( Рт\дЕ±_ дЕ± .
где
е = е0бг = е0(1 + -^) (2.15)
— эффективная диэлектрическая проницаемость в
перпендикулярном к магнитному полю направлении. В некоторых случаях
относительная диэлектрическая проницаемость плазмы ег может
быть очень большой. Например, если взять плазму с плотностью
1020 частиц/м3 и поле В = 1 Тл, то получим, что ег = 104.
§ 2. Медленно меняющееся электрическое поле
99
Плотность заряда рр, которая возникает в результате наличия
поляризационного тока Jp, должна удовлетворять уравнению сохранения
заряда:
m+v'3p = 0' (2Л6)
Из (2.16) и (2.12) получаем, что
Pp = -%V-E±. (2.17)
Полную плотность заряда можно представить в виде
Р = Ро + Рр, (2.18)
где ро соответствует плотности тока Jo- Предполагая, что компонента
электрического поля, параллельная магнитному, равна нулю, находим
V-E = i(A) + ?P) = ^--^V.E. (2.19)
бо бо со В
Отсюда, используя (2.15), получаем, что
V-E = ^. (2.20)
Таким образом, если ввести эффективную диэлектрическую
проницаемость б, то можно полностью учесть суммарную плотность заряда рр.
Теперь проверим правомочность введения эффективной
диэлектрической проницаемости плазмы. Для этого вычислим полную
плотность энергии, связанную с полем Е, которая в обычном диэлектрике
с эффективной диэлектрической проницаемостью б определяется
выражением €оЕ2/2. Плотность энергии электрического поля равна
WE = ±e0E2. (2.21)
Чтобы вычислить дополнительную кинетическую энергию частиц,
возникающую вследствие поляризационного дрейфа, нужно учесть, что
при изменении электрического поля на ДЕ_|_ за время At смещение
иедущего центра Дг, вызванное этим изменением, определяется
уравнением /:Q1^ v
Соответственно, работа, совершаемая электрическим полем, равна
AW = qE± • (Дг) = ^Е± • (ДЕ±) = Д (^тЕ2±/вЛ . (2.23)
Следовательно, с учетом (2.10), изменение кинетической энергии,
которое связано с поляризационным дрейфом, равно
AW = Д (^mt;|) . (2.24)
100 Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
Это говорит о том, что работа электрического поля, возникающего
из-за поляризационного дрейфа, равна кинетической энергии частицы
при ее движении со скоростью электромагнитного дрейфа v^.
Заметим, что we не приводит к обмену энергией между полем и частицей,
поскольку перемещение со скоростью v^ происходит в
перпендикулярном к электрическому полю направлении. Суммирование (2.24) по
всем частицам в единице объема дает изменение полной плотности
кинетической энергии системы:
AWV = A (^Pmv%) = Д famEl/B2) . (2.25)
На плотность кинетической энергии кругового движения частиц
изменение электрического поля не оказывает никакого воздействия.
Таким образом, полная плотность энергии (Wt = We + Wy), связанная
с электрическим полем, равна
WT = '-еоЕ2 + \pmv% = le0E* (l + ^) = \^\ (2.26)
где предполагается, что параллельная компонента электрического поля
отсутствует. На этом мы заканчиваем наше обсуждение законности
введения эффективной диэлектрической проницаемости плазмы.
§ 3. Произвольно меняющееся электрическое поле
3.1. Решение уравнения движения
Рассмотрим произвольно меняющееся во времени электрическое
поле, но опять будем считать, что это поле пространственно однородно.
Как и раньше, магнитное поле считается постоянным и однородным.
Временное изменение Е без потери общности можно представить в
гармоническом виде с угловой частотой и:
E(t) = E0e-luJt, (3.1)
где комплексная амплитуда Ео не зависит от времени. Для физической
интерпретации результатов должна рассматриваться только
действительная часть этого выражения. Так как уравнение движения (2.5.5)
линейно, то произвольное изменение Е во времени можно записать как
суперпозицию членов вида (3.1), которые будут соответствовать всем
возможным значениям и. С использованием (3.1) уравнение движения
приобретает вид
m|=g(E0e-w4vxB). (3.2)
Естественно ожидать, что вынужденные колебания заряженной
частицы имеют частоту, равную частоте воздействующего электрического
поля. Для удобства разложим вектор скорости частицы на две части:
v = vm + vee-^, (3.3)
§ 3. Произвольно меняющееся электрическое поле 101
где vm — скорость, связанная магнитным полем, которая не содержит
в себе временных вариаций с частотой cj, a ve — скорость, которая
вызвана осцилляцией электрического поля. Подстановка (3.3) в (3.2)
дает ^
Ш^Ж ~ iujrrwee~iUJt = ?(Eoe"ia,t + vm х В + ve x Be"*"). (3.4)
Слагаемые, в которые входит угловая частота cj, группируются
отдельно от тех, в которых эта частота отсутствует. В результате (3.4)
разделяется на два уравнения, одно из которых включает в себя только
скорость vm, связанную с магнитным полем,
m^f = <?vm x В, (3.5)
а второе содержит только скорость ve:
-iwmve = q(Eo + ve x В). (3.6)
Уравнение (3.5) соответствует обычному круговому движению частицы
вокруг линий магнитного поля с циклотронной частотой Ос.
Для решения (3.6) удобно разделить это уравнение на
параллельную и перпендикулярную В компоненты. Параллельная компонента
скорости находится сразу и равна
а перпендикулярная компонента удовлетворяет уравнению
(-ш + ^Вх) ve± = ^Ео±- (3.8)
V т ) т
Введем вектор циклотронной частоты
Пс = --В, (3.9)
т
тогда (3.8) можно переписать в виде
(icj + ncx)ve± = -^Ео±. (3.10)
Для решения этого уравнения умножим обе его части на сопряженный
оператор — (ш — ft6x). Отметим, что
(ги - ftcx)(iu + ncx)ve_L = (icj)2ve_L - toc x (Пс х ve_L) =
= (Sl2c-u2)we±. (3.11)
В 'результате (3.10) приводится к виду
Ve± = m ^-П1)Е0±- (ЗЛ2)
102 Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
Объединяя уравнения (3.12), (3.7) и (3.5), получим следующее
выражение для вектора полной скорости (3.3):
v = vm + —
т
е~гш\ (3.13)
3.2. Физическая интерпретация
Из уравнения (3.13) следует, что частицы совершают колебания
вдоль линий магнитного поля с частотой со и амплитудой vey, но эти
колебания скорости отстают по фазе на 90° от колебаний
приложенного электрического поля. Это хорошо видно, если взять
действительную часть векторов ve\\e~lu;t и Е0це-га;*:
Re{ve||e-^} = ^E0||sin(^), (3.14)
Ке{Е011е~ш} = Еоц cos(cot), (3.15)
которые отличаются по фазе ровно на 90°.
В плоскости, перпендикулярной В, движение частицы
представляет собой суперпозицию кругового вращения с циклотронной
частотой fic и колебания с частотой со и амплитудой, которая определяется
уравнением (3.12).
Чтобы понять физический смысл движения в перпендикулярной
В плоскости, разложим вектор осциллирующего электрического поля
на две компоненты с круговой поляризацией, которые вращаются
в противоположные стороны. Преимущество разложения на две
такие компоненты состоит в том, что часть уравнения (3.12), которая
относится к перпендикулярной компоненте скорости ve_L, распадается
на два отдельных уравнения для компонент с круговой поляризацией,
вращающихся в разные стороны. Итак,
Е± = Ея + EL = (Е0я + E0L)e-^, (3.16)
Е0я = ^(1+гВх)Е0±, (3.17)
E0L=l-(\-iBx)E0±, (3.18)
где В = В/В — единичный вектор, направленный вдоль магнитного
поля. Компонента Ея представляет собой вектор электрического поля
с круговой поляризацией, вращающийся вправо (по часовой стрелке),
а компонента El — вектор электрического поля с круговой
поляризацией, вращающийся влево (против часовой стрелки), если смотреть
по направлению магнитного поля В.
Чтобы понять физический смысл такого разложения, выберем де-
картову систему координат с осью z, направленной вдоль В, и осью х,
направленной вдоль Е_ь Имеем
BxE0i=zx (xEo±) = уЕ0± (3.19)
§3. Произвольно меняющееся электрическое поле 103
и, используя (3.17) и (3.18), получаем
Ед = Еоде-^ = l-E0±(9. + iy)e-iut,
Еь = Еоье-*"* = ±3>х(х - ty)e~4
(3.20)
(3.21)
Чтобы найти компоненты электрического поля, нужно взять
действительную часть данных уравнений, т. е.
Re{E#} = -Eo±(x.cQswt + ysmwt),
Re{Ez,} = -Eo^^cosujt — ysinujt).
(3.22)
(3.23)
Таким образом, поля Е# и Е^ постоянны по величине, но вращаются
с частотой и. Компонента Е# вращается по часовой стрелке, если
смотреть в направлении поля В, и называется правополяризованной
по кругу компонентой (RCP), а Е^ вращается против часовой
стрелки и называется левополяризованной по кругу (LCP) компонентой. Их
свойства показаны на рис. 1.
t =
2и
Рис. 1. Электрическое поле плоскополяризованной волны. Волна представлена
исктором Е_|_ и равна сумме векторов El и Ед для волн с левой и правой
круговой поляризацией соответственно
Чтобы перейти к анализу движения частицы в перпендикулярной
В плоскости, необходимо подставить разложенное на две части поле
(3.16) в уравнение (3.12). Применяя оператор (ъш — ftcx) к
правополяризованной компоненте Е#, получаем
(ico - Псх)Е0д =. ^{гш - ficx)(l + iBx)E0_L =
= itw(E0_L + гВ х E0_l) + ^(qB/m)B x E0_l - ^i(qB/m)Eo± =
= iicj(E0_L + гВ x E0_l) - ^i(qB/m)(E0± + Ш x E0_l) =
= %{ш - qB/m)E0R. (3.24)
104 Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
Аналогично получаем выражение для левополяризованной компоненты:
(ш - ficx)E0L = г(со + qB/m)E0L. (3.25)
Следовательно, Еоя и Eol являются собственными векторами
комплексного оператора, который входит в (3.12). Используя (3.24)
и (3.12), получаем
Ve_L
45)
1
-Еоя +
1
-Е,
'0L
(3.26)
[со ± Q,c а; =р Г2С
В этом уравнении верхний знак соответствует положительно
заряженной частице, а нижний отрицательно заряженной, так как по
определению Ос = \q\B/m всегда положительна. В результате ve± также
разбивается на два вектора, которые вращаются в противоположные
стороны:
Ve±=VR + VL, (3.27)
где
Vtf
vl
\mj lo =F Q,
1
Еоя,
Eol-
(3.28)
(3.29)
В случае положительно заряженного иона видно, что как только и
приближается к ионной циклотронной частоте (Пс*)» наступает
резонанс между ионом и левополяризованной компонентой электрического
поля. Для электрона при приближении со к электронной циклотронной
частоте (0Се) наступает резонанс с правополяризованной
компонентой.
3.3. Тензор подвижности
Выражение ve = ve|| + vя + vl можно переписать в более
компактной форме, если ввести тензор подвижности М, который
определяется уравнением
ve = М • Е0. (3.30)
Из (3.7), (3.28) и (3.29) видно, что тензор подвижности М во
вращающейся системе координат является диагональным, и в матричной
форме (3.30) приобретает следующий вид:
(-,
(ш ± Пс)
о
V
о
0 1/
о
/Eor\
[Eol].
\Ео\\)
(3.31)
Если вместо вращающейся системы мы перейдем к декартовой системе
координат с осью z, направленной вдоль магнитного поля, то в матрич-
§ 3. Произвольно меняющееся электрическое поле 105
ной форме уравнения (3.7) и (3.12) приобретают следующий вид:
/
№
■п*)
±-
iuQ.c
iwflc
V
о
и2.
(w2-n2)
о
о
V
(3.32)
3.4. Тензор проводимости плазмы
Обозначим в плазме через щ плотность электронов (с зарядом —е)
и ионов (с зарядом +е). Тогда плотность электрического тока может
быть выражена как
J = — щеуе + щеУг = noe(Mi — Ме) • Е, (3.33)
где Ме и Mi — тензоры подвижности электронов и ионов
соответственно. Вводя тензор проводимости <S, который удовлетворяет
уравнению
J = S • Е = (5e + Si) • Е, (3.34)
из (3.33) получим выражение для тензоров электронной и ионной
проводимостей соответственно:
Se = —щеМе, (3.35)
Si = щеМг. (3.36)
С помощью (3.32) эти проводимости можно выразить в матричной
форме в декартовой системе координат:
/
«Si
гще
гще
urrii
гиО,с
(^2 - <&)
iuQ.c
\
о
(w2 - <&)
(w2 - <&)
(w2 - <&)
a;2
((/-ft)
о
га)Пс
0
о>2
(w2 - <&)
0
0
V
0
(3.37)
(3.38)
Тензор проводимости S мнимый, и, следовательно, J и Е различаются
по фазе на 90°, поскольку выражения для J и Е получаются, если
брать действительную часть от (3.34) и (3.1) соответственно.
3.5. Циклотронный резонанс
Скорость, полученная в (3.7), (3.28) и (3.29), не описывает
движение частицы в случае, когда частота приложенного электрического
поля со равна циклотронной частоте этой частицы Ос. Например, когда
106 Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
электрическое поле вращается против часовой стрелки, если смотреть
вдоль В (LCP-компонента), то положительно заряженная частица
способна поглощать энергию электрического поля, так что ее скорость
увеличивается постоянно и непрерывно во времени. То же самое будет
и для электрона с RCP-компонентой приложенного электрического
поля, когда оо = Осе. Это явление называется циклотронным резонансом.
В этом случае для исследования движения частицы необходимо
вернуться к первоначальному уравнению движения и решить задачу
для и = Ос. Для простоты предположим, что компонента поля Е вдоль
В отсутствует, так что Е = E_l. Следовательно, имеем
Е = Е0±е-Шс', (3.39)
где Ос = \q\B/m. В рамках этого предположения скорость частицы
вдоль В постоянна и равна начальной. Компонента уравнения
движения в нормальной к магнитному полю плоскости приобретает вид
^ = ^[Еохе-ш=( + vx(t) х В]. (3.40)
Взяв от этого уравнения производную по времени, получаем
dvjL_q( -от? „-гпл , dv±
dt2
= ± f-mcEoxe-^ + ^xB). (3.41)
т \ at J
Используя (3.40), исключим в (3.31) dvj_/dt и, после перегруппировки
членов уравнения, получаем
^± + n2cv± = -ШДЕо^е-^ - 4(В х Ео_Ое-"Ч (3.42)
dt rn m
Решением этого неоднородного дифференциального уравнения
будет сумма решения однородного уравнения и частного решения
неоднородного уравнения. Решением однородного уравнения
^+O2cv±=0 (3.43)
at
является простое циклотронное движение, которое уже было
рассмотрено выше для vm. Частное решение (3.42) дается функцией
v_L=AfcTinct. (3.44)
Чтобы определить постоянный вектор А, продифференцируем (3.44) по
времени дважды:
^ = А(1-Шс«)е-*Ч (3.45)
^ф = -2гОсАе-Шс* - fi*v±. (3.46)
dt
§ 4. Изменяющееся во времени магнитное поле
107
Сравнивая (3.46) с (3.42), видим, что (3.44) удовлетворяет уравнению
(3.42), если
А = -*-Еп . -
Ч
2т^± 2Пст2
(В х Eo_l).
Следовательно, полным решением (3.42) будет выражение
v_l = vm + 2^(Eo_l Т гВ х E0±)te
-i€lct
(3.47)
(3.48)
где qB/m было заменено на ±QC (верхний и нижний знаки
соответствуют положительным и отрицательным зарядам). Используя
определения право- и левополяризованных по кругу компонент
электрического поля (3.17) и (3.18) соответственно, можно записать (3.48) для
положительно заряженной частицы (q > 0) в виде
v_l = vm + — E0Lte
т
и для отрицательно заряженной
частицы (q < 0) в виде
-i€lct
(3.49)
V_L
+ 1-EoRte-
т
-iQct
(3.50)
Видно, что скорость частицы
непрерывно увеличивается во времени.
Отметим, что выражения (g/ra)EoL и
(q/m)E0R дают постоянное
ускорение. Положительный заряд вступает
в резонанс с El, а отрицательный
с Ед. Частица движется по
окружности с увеличивающимся радиусом,
а ее скорость непрерывно
возрастает при движении по этой спирали
за счет энергии, электрического поля.
Типичная резонансная спираль для
электрона показана на рис. 2.
Это явление можно использовать
в качестве метода ускорения
частицы и, следовательно, увеличения кинетической температуры плазмы
благодаря столкновениям. Этот метод называют высокочастотным
нагревом плазмы на циклотронном резонансе.
Рис. 2. Траектория движения
электрона при циклотронном
резонансе в нормальной к
магнитному полю плоскости. Электрон
движется по спирали с
увеличивающимся радиусом
§ 4. Изменяющееся во времени магнитное поле
и неоднородное электрическое поле
Из уравнений Максвелла видно, что изменяющееся во времени
магнитное поле приводит к изменению в пространстве электрического
поля. Поле Е, связанное с изменяющимся полем В, удовлетворяет
108 Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
уравнению
VxE =
дБ
' dt '
(4.1)
Будем считать, что относительное изменение магнитного поля за
интервал времени порядка гиропериода очень мало.
4.1. Уравнение движения и адиабатические инварианты
Рассмотрим магнитное поле, направленное вдоль оси z,
предположим, что оно однородно в пространстве и внутри орбиты частицы
растет со временем. Согласно
закону Фарадея в этом случае вдоль
орбиты частицы индуцируется
электрическое поле (см. рис. 3), которое
ускоряет частицу, в результате чего
ее орбита уже не является
окружностью. Однако если изменение
поля В во времени невелико,
азимутальная компонента электрического
поля Е также будет мала, а орбита
будет мало отличаться от круговой.
Переходя к цилиндрическим
координатам, в которых В = Bz, и
полагая, что Е = ОЕо(г), запишем
уравнение (4.1) в виде
Рис. 3. Азимутальное
электрическое поле Е^, которое
индуцировано меняющимся во времени
магнитным полем. Магнитное поле
внутри орбиты частицы
однородно, направлено параллельно оси z
и медленно увеличивается во
времени
;!<'*>—£■ <4-2»
Интегрируя это уравнение по г
и принимая во внимание, что
(dB/dt) можно вынести за знак
интеграла, так как В представляет собой медленно меняющуюся
функцию, получаем уравнение
д , 1ТР ч , , дБ
w(rEe)dr=-^
r'dr',
(4.3)
из которого следует, что индуцированное электрическое поле равно
(4.4)
тр ! дВ
Поскольку г х z
форме:
-G, то (4.4) можно записать в следующей векторной
Е* = ~2г х ж. (4.5)
§ 4. Изменяющееся во времени магнитное поле
109
Подставив этот результат в уравнение для силы Лоренца, получаем
следующее уравнение движения:
dv 1 dQc , <^ /л ?\
v ^ = -2rXlT+ncXV- (4'6)
Вместо того чтобы решать (4.6) напрямую, определим сначала
зависимость между радиусом-вектором г и скоростью изменения В,
основываясь на вычислении изменения кинетической энергии частицы,
приходящейся на перпендикулярное направление движения, за один
гиропериод, которое происходит за счет действия индуцированного
электрического поля. Поскольку электрическое поле действует на
частицу с силой qEe, то увеличение поперечной кинетической энергии за
один гиропериод равно
6(lmv±) =qlv9'dr, (4.7)
где dr — элемент пути вдоль траектории частицы, т. е. v_l = dr/dt.
Ввиду того что поле меняется очень медленно, в (4.7) можно вычислить
интеграл по контуру, как в случае, если бы орбита была замкнута.
Используя теорему Стокса, заменим контурный интеграл на
поверхностный интеграл по невозмущенной орбите:
6 (Irroi) = в J(V х Ее) • dS = -g J ^ • S, (4.8)
5 5
где было использовано уравнение (4.1). Здесь через S обозначена
поверхность, которая ограничена циклотронной орбитой, направление
нормали к ней таково, что вследствие диамагнитных свойств плазмы
В • dS < 0 для ионов и В • dS > 0 для электронов. В результате (4.8)
принимает вид
S(lrnvi)=\q\^nrl (4.9)
Изменение магнитного поля за один гиропериод (2тг/£1с) равно
»-(!?)£• (410)
и, используя отношения r\ = v\/Vt2c и Пс = \q\B/m, (4.9) можно
записать в виде - 1
8 Umv±) = (kmv\lB) SB = \m\SB> (4.11)
где величина |m| = {mv\/2)/B — орбитальный магнитный момент
заряженной частицы. Поскольку левая часть (4.11) равна 5(|т|В),
получаем
5\т\=0. (4.12)
Это говорит о том, что в медленно меняющемся во времени магнитном
поле, для которого выполняется условие (6B/6t)(27r/Qc) <C В,
магнитный момент является инвариантом.
ПО Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
Исходя из того что магнитный момент остается постоянным, можно
легко получить
Втгг2с = const. (4.13)
Следовательно, как показано на рис. 4, при увеличении магнитного
поля гирорадиус частицы уменьшается. Далее, поскольку магнитный
поток Фт через ларморовскую орбиту определяется выражением
фт = BS = Bnrl (4.14)
видно, что магнитный поток через орбиту частицы также является
адиабатическим инвариантом. Следовательно, при увеличении
магнитного поля радиус орбиты уменьшается до такой степени, что орбита
частицы всегда охватывает одинаковое число линий магнитного поля.
Если изменяющееся во времени магнитное поле неоднородно в
пределах орбиты частицы и если его изменение несимметрично, тогда
индуцированное электрическое поле, действующее на частицу, может
существенно изменить ее орбиту, и она будет сильно отличаться от
представленной на рис. 4. В большинстве случаев, орбита частицы
будет очень сложной. Чтобы получить общее представление об орбите
частицы, давайте рассмотрим простой случай, когда магнитное поле
меняется во времени, но остается цилиндрически симметричным в
области радиуса Д, который намного больше циклотронного радиуса гс,
как это показано на рис. 5. Азимутальная компонента индуцированного
q<0
Рис. 4. Движение электрона
в меняющемся во времени
магнитном поле. Поле однородно
в пространстве и увеличивается
во времени
! /Р
Рис. 5. Движение отрицательно
заряженной частицы в
увеличивающемся магнитном поле (направленном от
наблюдателя) с цилиндрической
симметрией в области, ограниченной
радиусом R. R намного больше лармо-
ровского радиуса гс
§ 4. Изменяющееся во времени магнитное поле
111
электрического поля Е# в точке Р (см. рис. 5), исходя из (4.5), равна
E* = iRxf. (4.15)
На заряженную частицу в точке Р действуют скрещенные
электрическое и магнитное поля, приводя к дрейфу со скоростью, которая равна
-К»"")*!- <«•'«>
Ев хВ 1 /х> чу дВ\
Поскольку В направлено по оси z (перпендикулярно вектору R), (4.16)
записывается в виде
Следовательно, ведущий центр частицы дрейфует по направлению
к центру вдоль радиуса со скоростью дрейфа v#, которая определяется
(4.17). Так как частица движется внутрь, ее циклотронный радиус
уменьшается таким образом, что поток, проходящий через поверхность,
которая ограничена орбитой частицы, остается постоянным (см. рис. 5).
Поскольку плотность силовых линий магнитного поля увеличивается
с ростом напряженности магнитного поля, этот радиальный дрейф
частицы можно представить в виде радиального движения магнитных
силовых линий к центру орбиты со скоростью V£, ведущий центр при
этом прикреплен к какой-то одной силовой линии.
4.2. Магнитный нагрев плазмы
Тот факт, что орбитальный магнитный момент частицы является
адиабатическим инвариантом (|m| = -mv\jB = const), означает, что
поперечная кинетическая энергия (W± = -^mv2^) увеличивается
линейно с ростом магнитного поля В. Кроме того, поскольку проходящий
через орбиту частицы магнитный поток также постоянен, то при
увеличении плотности магнитного потока магнитная трубка сжимается,
а ведущий центр частицы движется по радиусу внутрь вместе с
радиальным перемещением магнитных силовых линий, как если бы он
был в них вморожен. Следовательно, увеличение плотности
магнитного потока в плазме приводит к сближению заряженных частиц друг
с другом, в результате происходит магнитное сжатие. В приведенном
случае двумерного сжатия увеличение плотности частиц (п)
пропорционально площади 7гг2, из чего следует, что при двумерном магнитном
сжатии п линейно растет с В. Точно так же, когда В уменьшается, п
тоже уменьшается, что приводит к магнитной декомпрессии. Таким
образом, для двумерного сжатия получаем, что W± ос В осп.
На этом свойстве основывается метод нагрева плазмы, известный
как магнитная накачка, который состоит из периодических
магнитного сжатия и декомпрессии плазмы. Сжатие и декомпрессия должны
112 Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
происходить за отрезок времени, который намного больше ларморов-
ского периода, но в то же время мал по сравнению со временем
релаксации, необходимым для установления теплового равновесия. При
двумерном сжатии-декомпрессии, которое возникает при изменении
продольного магнитного поля, скорость и энергия будут меняться
только в двух перпендикулярных магнитному полю направлениях.
Чтобы нагреть плазму в цикле сжатие-декомпрессия, необходимо,
чтобы во время сжатия часть увеличивающейся энергии W±
переходила в энергию W\\, на которую декомпрессия не действует. Эта передача
энергии происходит благодаря соударениям частиц, что увеличивает
их тепловую кинетическую энергию за счет энергии электрического
поля. Таким образом, в полном цикле, который состоит из сжатия,
времени установления и декомпрессии, часть увеличенной в
результате сжатия энергии W± передается через соударения в параллельную
полю В степень свободы, вызывая увеличение W\\, которая, в свою
очередь, не изменяется в результате декомпрессии, в то время как W±
соответственно уменьшается. Следовательно, периодическими
повторениями циклов адиабатического сжатия-декомпрессии, увеличивается
тепловая энергии плазмы и, соответственно, ее температура.
§ 5. Сводка дрейфов ведущего центра
и соответствующие им токи
5.1. Дрейфы ведущего центра
Электрическое поле 0:
ЕхВ (2.5.15)
(2.6.3)
(2.6.2)
(3.5.1)
(3.7.9)
Гравитационное поле:
Любая внешняя сила:
Градиент В:
Кривизна В:
vc =
V£ = -^-
rag x В
Y9 = 2 •
9 qB2
F x В
qB2
|m|(V£) xB
qB2 '
mvjj[(B-V)B] xB
Ф"
x) Первое число в номере уравнения — номер главы
§5. Задачи
113
Градиент и кривизна В (в вакууме):
v • т(^1 + 1М)(1/2УБ2)хВ
vGC = —А • («3.8.2)
qB
Поляризационный: , , ч
н m(dE±/dt)
Намагничивания:
Гравитационный:
vp = "*v^/^. (2.11)
5.2. Плотности тока
Зм = V х М. (2.4.40)
j, = £=*£!. (2.6.5)
Градиент В:
г
Кривизна В:
j°=-2GfE<)I(BT'xB- (3J,2)
г
Поляризационный:
Jp = Pm(dE±/dt) (212)
.6
Задачи
4.1. Магнитное поле направлено вдоль оси z (В = Boz). Изучите
тип поляризации следующего электрического поля:
Е = Eo(x.cosujt — ysinujt).
Нарисуйте ориентацию поля Е для моментов времени t = 0, t = tt/(2uj)
и t = 7t/cj. Как можно представить это поле в комплексном виде?
4.2. Опишите приблизительно движение электрона в присутствии
постоянного магнитного поля В = Bqz, если электрическое поле
меняется во времени по закону
Е=^£0(х + гу)е-Шс*,
где Ео и Во — положительные константы, a Qc — eBo/me. Какой
поляризацией обладает это электрическое поле?
4.3. Определите, решив уравнение движения, временной отклик
заряженной частицы в пространственно однородном переменном элек-
8 Биттенкорт Ж.А.
114 Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
трическом поле Е(£) = 9.Esmoot после включения этого поля в момент
t = 0. Предполагается, что первоначально при t = 0 частица покоилась
в начале координат. Постройте графики траектории частицы и ее
скорости как функции от времени.
4.4. Рассмотрите электрон, на который действуют постоянное и
однородное магнитное поле В = B^z и однородное, но меняющееся во
времени электрическое поле Е = yE'^sin^). Предполагается, что
движение происходит в плоскости (ж, у) и при t = 0 электрон находится
в состоянии покоя (vo = 0) в начале системы координат.
а) Покажите, что орбита электрона определяется уравнениями
x(t) = 6fi° 2 \£(cosnct - 1) - ^(cosoot - 1)
т(и - Qc)
ft,
x(t) = —A ^ (?fsin0c*" sinw0 •
m(cj - Szc) V^c /
б) Покажите, что в области низких частот, ио <С Ос> электрон
вращается с угловой частотой ио по эллиптической орбите, большая ось
которой перпендикулярна электрическому полю. Определите для этого
эллипса отношение малой и большой осей.
в) Покажите, что в области высоких частот, со ^> Ос, электрон
движется по окружности с циклотронной частотой Ос.
4.5. Проинтегрируйте (3.49) и (3.50) и определите траекторию
частицы в плоскости, перпендикулярной В. Схематично нарисуйте
траекторию частицы для q > 0 и q < 0.
4.6. Рассмотрите движение электрона в присутствии однородного
магнитного поля В = Bqz и электрического поля, которое осциллирует
с электронной циклотронной частотой Ос:
Е(£) = Eo(9.cosQct + ysmQct).
а) Какой поляризацией обладает это электрическое поле?
б) Получите следующие несвязанные дифференциальные
уравнения, которые определяют компоненты скорости vx(t) и vy(t)\
—=- -\-ilivx = 2—-\lcsm\lct,
dt rn
^ +f}2 = -2^ficcosfic*.
dt2 У rn
в) Предположим, что при t = 0 электрон покоится в начале системы
координат. Пренебрегая меняющимся во времени магнитным полем В,
покажите, что скорость электрона определяется уравнениями
Vx(t) = -t cos ftct.
v m
vv(t) — -tsmVtct.
§5. Задачи
115
г) Покажите, что траектория электрона описывается уравнениями
x(t) = -—t [ -5- cosfi,ct + -s- smfi,ct - -г ) ,
4.7. Решив уравнение движения, определите скорость и
траекторию электрона в присутствии однородного магнитостатического поля
В = Bqz и осциллирующего электрического поля
Е(£) = х.Ех sin ut + у-Бу cos cj£.
Используйте те же допущения и начальные условия, что и в
предыдущей задаче.
4.8. Рассмотрите движение электрона в пространственно
однородном магнитном поле В = Bzz, где Bz медленно меняется во времени
по закону
Bz(t)=B0(l-at).
Здесь Во и а — положительные константы, a \at\ <C 1. Имеются
следующие начальные условия: г(0) = (гс,0,0) и v(0) = (0, г;_|_о,0), где
гс — ларморовский радиус, v±o — ftcrCi Qc = \q\Bo/m.
а) Выпишите уравнение движения, в котором учитывается сила
Лоренца, и решите его методом возмущений, учитывая члены только
до первого порядка малости по параметру а. Покажите, что скорость
частицы определяется выражениями
vx(t) = — QcrcsmQct + -aficrc£(sinOc£ + fi,ctcosQct),
vy(i) = Clcrc cos fi,ct + -aClcrct(— cos Clct + Clct sin Qci).
б) Покажите, что орбита частицы определяется выражениями
x(t) =rc(l + ±ctf) costtct + ^(fic*2 - 1) sinfic*.
y(t) = ГС (l + \*t) 8шПс* - g(^2 " 1)сОвПс* " g,
^(0 = VzOt-
в) Найдите орбитальный магнитный момент и проверьте его на
адиабатическую инвариантность, учитывая члены только до первого
порядка малости включительно по параметру а.
4.9. Рассмотрите движение заряженной частицы в пространственно
однородном магнитном поле, которое медленно меняется во времени,
но сравнению с циклотронным периодом частицы.
116 Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
а) Покажите, что уравнение движения может быть записано в
векторной форме как
где Пс(*) = -qB(t)/m.
б) Считая, что В(£) = zBof(i), где Во — константа, получите
следующие уравнения движения частицы в перпендикулярной В
плоскости:
dx(t) _
72~ lLc
dtz
d2y(t)
dt2
+ Пс
= 0,
= 0,
где Ос = \q\B/m.
в) Введем комплексную переменную u(t) = x(i) + iy(t) и
функцию £(£), которая определяется выражением
^)=и(*)ехр^Шс|/(0^)-
Покажите, что £(£) удовлетворяет уравнению
г) Пусть £i(i) и £2(0 — два линейно независимых решения этого
уравнения, удовлетворяющие начальным условиям
6(0) = о, №(()/di)t0 = i,
6(0) = 1, {d&(t)/dt)t=o = 0.
Покажите, что решение для u(t) может быть записано в виде
t
<t) = {щ^)+иФщ/М+^П^(0)и0]}ехр[-^Пс lf(tf)dt%
о
где щ и duo/dt — начальное положение и начальная скорость частицы
соответственно.
д) Предположим, что частица изначально (t = 0) находится в начале
координат и движется со скоростью vq вдоль отрицательной части
оси у, т. е. щ = 0 и duo/dt = —ivo. Покажите, что
u(t) = -ivo£\(t)exp[--iO,c
f(tf)dtf]
§5. Задачи
117
и соответственно
t
v x(t) = v0^(t)sm[l-Qc[f(t,)dt,l
о
y(t) = -уоШ cosine \f(t')dt'].
о
4.10. а) Предположим, что функция f(t) в задаче 4.9 равна
охр (—at). Покажите, что в этом случае £(£) удовлетворяет уравнению
Бесселя нулевого порядка
dr2 r dr
где т = (f2c/2a) exp (—at). Найдите два решения этого уравнения,
удовлетворяющие начальным условиям, которые даны в задаче 4.9,
и объясните их физический смысл.
б) Рассмотрите случай, когда f(t) — (1 — at). Решите уравнение из
задачи 4.9 для £(£) в виде степенного ряда по а и найдите
траекторию частицы с точностью до порядка а. Покажите, что отношение
(vl + Vy)/B{t) не имеет членов порядка а, что подтверждает
адиабатическую инвариантность магнитного момента. Сравните этот
результат с результатом, полученным в задаче 4.8.
4.11. На электрон, который в начальный момент времени имеет
скорость vox. и находится в точке хо% действует электрическое поле
Е = х.Е cos (kx — wt). Покажите, что его скорость определяется
выражением
v(t) = vq cos(kx — ujt')dt'.
Используя метод малых возмущений, при котором в самом низком
порядке Е = 0, покажите, что
гр
v(t) =vo jt r{sin[fc£0 + (kv0 - w)t] - sin(fca;o)}.
Отметим, что возмущение скорости будет большим только тогда, когда
скорость г>о близка к фазовой скорости волны и/к.
4.12. Используя уравнение Максвелла (1.5.3) и уравнение (3.34),
которое определяет тензор проводимости плазмы <S, и полагая
изменение во времени (3.1), покажите, что
V х В = -шцо£ • Е,
118 Гл. 4. Движение в переменных электромагнитных полях
где £ — тензор диэлектрической проницаемости,
£ = е0 (1 + -*-s) ,
а 1 — единичный тензор, который в декартовой системе координат
может быть записан в виде
1 = хх + уу + zz.
Глава 5
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ПЛАЗМЫ
§ 1. Введение
Плазма состоит из огромного количества взаимодействующих
заряженных частиц. Для анализа такой системы удобно и разумно
использовать статистический подход. В этой главе рассматриваются
основные элементы кинетической теории, включая концепции
фазового пространства и функции распределения, которые необходимы
для статистического описания.
В функции распределения содержится вся интересная с физической
точки зрения информация о системе. Зная функцию распределения,
можно методично выводить макроскопические переменные,
представляющие физический интерес и необходимые для макроскопического
описания поведения плазмы. Макроскопические переменные являются
функциями пространства и времени и напрямую связаны со
средними значениями различных физических величин, характеризующих
частицу. Эти величины можно рассматривать как функции скоростей
частицы, а функция распределения используется как весовая функция
в фазовом пространстве.
Дифференциальное кинетическое уравнение, которому
удовлетворяет функция распределения, обычно называется уравнением Больцма-
на. Оно выводится в § 5. На этой стадии влияние столкновений частиц
учитываются лишь посредством обобщенного, не уточняемого столк-
новительного члена в этом кинетическом уравнении. В гл.21 будет
получено точное выражение для интеграла столкновения Болъцмана
и столкновителъного члена Фоккера-Планка. Здесь используется
только приблизительное выражение для столкновительного члена —
столкновителъный член Крука, полученный в рамках так называемого
релаксационного приближения. В последнем параграфе представлено
уравнение Власова для плазмы.
120
Гл. 5. Элементы кинетической теории плазмы
§ 2. Фазовое пространство
В любой момент времени для каждой частицы в плазме можно
указать радиус-вектор г, проведенный из начала координат к центру
масс частицы. В декартовой системе координат (рис. 1)
г = xx + ?/y + zz, (2.1)
где х, y,z обозначают единичные векторы вдоль осей х, у, z
соответственно.
Линейная скорость центра масс частицы выражается вектором
v = vxSi + vyy + vzz, (2.2)
где vx = dx/dt, vy = dy/dt, vz = dz/dt.
(Vx,Vy,Vz)
а б
Рис. 1. Радиус-вектор частицы в конфигурационном пространстве (а) и
пространстве скоростей (б)
По аналогии с конфигурационным пространством с
координатами, определяющими положение частицы (xty,z), удобно ввести
пространство скоростей, задаваемое координатами скорости (vXtvytvz).
В этом пространстве вектор скорости v можно представить как
радиус-вектор, проведенный из начала системы координат (vXivy,vz)
к центру масс частицы.
2.1. Фазовое пространство одной частицы
С точки зрения классической механики мгновенное динамическое
состояние каждой частицы можно определить ее положением и
вектором скорости. Следовательно, удобно ввести фазовое пространство,
определенное шестью координатами (ж,у,z,vx,vy, vz).
Очевидно, что в шестимерном пространстве динамическое
состояние каждой частицы представляется одной точкой. Координаты (r,v)
данной точки — это положение частицы и ее скорость. Когда частица
движется, представляющая ее точка описывает некоторую траекторию
в фазовом пространстве. В каждый момент времени динамическое
§ 2. Фазовое пространство
121
состояние системы, состоящей из N частиц, задается N точками в
фазовом пространстве. ,
2.2. Многочастичное фазовое пространство
Только что введенное понятие фазового пространства, которое
часто называют ^-пространством, — это фазовое пространство для
одной частицы, в отличие от многочастичного фазового пространства,
или Т-пространства, вводимого для всей системы частиц. В
последнем случае система, состоящая из N частиц без внутренних степеней
свободы, представляется точкой в 6N-мерном пространстве, в
котором определено 3N координат положения частиц (ri,r2,... ,г#) и 3N
координат скорости (vi, V2,..., vjv). Таким образом, точка в Г-про-
странстве соответствует единичному микроскопическому состоянию
всей системы частиц. Это многочастичное фазовое пространство часто
используется в статистической физике и современной кинетической
теории. Одночастичное фазовое пространство обычно наиболее удобно
использовать в элементарной кинетической теории и основах физики
плазмы, и именно это пространство рассматривается ниже.
2.3. Элементы объема
Малый элемент объема в конфигурационном пространстве
представляется как dr3 = dxdydz. Этот дифференциальный элемент объема
следует рассматривать не как математически бесконечно малую
величину, а как конечный элемент объема. Такой элемент должен быть,
с одной стороны, достаточно большим, для того чтобы содержать
большое число частиц, а с другой стороны — достаточно малым по
сравнению с характерными масштабами пространственных изменений
физических параметров, которые нас интересуют, например плотности
и температуры. Так, если в газе, содержащем 1018 молекул в 1 м3,
выбрать элемент объема dsr = 10~12 м-3, что в макроскопических
масштабах может рассматриваться как точка, то внутри d3r все еще
будет находиться 106 молекул. Плазму, в которой нельзя выбрать
дифференциальный элемент объема таким образом, как описано выше,
нельзя рассматривать статистическими методами.
Когда мы говорим, что частица находится внутри объема d3r при
заданном г, это значит, что координата х частицы лежит между х
и х + dx, координата у — между у и у + dy, а координата z —
между z и z + dz. To есть частица находится внутри элемента объема
dxdydz, расположенного на конце вектора г = хх. + уу + zi. Важно
отметить, что частицы, расположенные внутри d3r при заданном г,
могут иметь совершенно произвольные скорости, что означает разброс
точек в пространстве скоростей.
Малый элемент объема в пространстве скоростей представляется
как d3v = dvxdvydvz. Для того чтобы попасть в объем d3v,
находящийся в окрестности конца вектора скорости v, компонента скорости
частицы vx должна лежать между vx и vx + dvx, компонента vy — между
122
Гл. 5. Элементы кинетической теории плазмы
vy и vy + dvy
а компонента vz — между vz и vz + dvz.
Дифференциальные элементы объема d3r и d3v схематично показаны на рис. 2.
d3rd3v
а б
Рис. 2. Элементы объема: d3r = dxdydz около конца вектора г в
конфигурационном пространстве (а) и d3v = dvxdvydvz в пространстве скоростей около
конца вектора v (б)
В фазовом пространстве {^-пространстве) дифференциальный
элемент объема можно представить в виде шестимерного куба (рис. 3):
d3rd3v = dxdydzdvxdvydvz. (2.3)
Заметим, что в фазовом
пространстве внутри d3rd3v при
заданных (r,v) в объеме d3r при
данном г находятся только те
частицы, скорости которых лежат
в d3v при данном v. Число точек
внутри элемента объема d3rd3v
является в общем случае
функцией времени и положения этого
элемента фазового пространства.
Важно отметить, что координаты
г и v фазового пространства
рассматриваются как независимые
переменные, поскольку они
представляют положение отдельного
элемента объема (содержащего множество частиц) в фазовом
пространстве.
d3r Г
О
d3v
Рис. 3. Схематическое изображение
элемента объема d3rd3v в
шестимерном фазовом пространстве около
некоторой точки (r,v)
§ 3. Функция распределения
Пусть deJ\fa(rivit) обозначает число частиц сорта а внутри
элемента объема d3rd3v в окрестности координат (г, v) фазового пространства
в момент времени t. Функция распределения /Q(r, v,i) в фазовом
§ 4. Средняя скорость и концентрация частиц
123
пространстве определяется как плотность точек частиц сорта а в
фазовом пространстве:
fa(r,v,t) = ^/у>». (3.1)
а га v
Предполагается, что плотность точек в фазовом пространстве
изменяется при переходе от одного элемента объема к другому
незначительно, поэтому /а(г, v,£) можно рассматривать как непрерывную функцию
своих аргументов. По определению /a(r, v, t) — также положительная
и финитная функция в любой момент времени. В элементе объема
<ftrd3v, в котором координаты скоростей (vx,vy,vz) очень велики,
число точек относительно мало, поскольку в любой макроскопической
системе присутствует относительно мало частиц с очень большими
скоростями. Следовательно, из физических соображений мы получаем,
что /а(г, v, t) должна стремиться к нулю, по мере того как скорость
становится бесконечно большой.
Функция распределения в общем случае есть функция радиуса-
вектора г. В этом случае плазма называется неоднородной. Однако
в отсутствие внешних сил плазма, изначально неоднородная, в
результате взаимодействий между частицами с течением времени приходит
к равновесному состоянию. В этом однородном состоянии функция
распределения не зависит от г.
В пространстве скоростей функция распределения может быть
анизотропной, если она зависит от направления вектора скорости v, или
изотропной, когда она не зависит от направления вектора v, а только
от его величины, т. е. от скорости частицы v = |v|.
В статистическом описании разных типов плазмы используются
однородные или неоднородные и изотропные или анизотропные функции
распределения. Например, плазма в тепловом равновесии
характеризуется однородной, изотропной и не зависящей от времени функцией
распределения.
В статистическом смысле функция распределения дает полное
описание рассматриваемой системы. Зная /a(r, v, t), можно получить
значения всех интересующих нас макроскопических величин. Одна из
главных задач кинетической теории состоит в том, чтобы определить
функцию распределения данной системы. Дифференциальное
уравнение, которое определяет пространственные и временные вариации
функции распределения при данных условиях, известное как уравнение
Больцмана, выводится в § 5.
§ 4. Средняя скорость и концентрация частиц
Концентрация na(r,t) — это макроскопическая величина,
определенная в конфигурационном пространстве как число частиц сорта а
в единичном объеме независимо от их скорости. Концентрация полу-
124
Гл. 5. Элементы кинетической теории плазмы
чается интегрированием d6Afa(r,v,t) по всему пространству скоростей
и делением полученного результата на элемент объема d?r
конфигурационного пространства:
na(ryt) = ^r\d6Xa(r,v,t), (4.1)
d r J
V
или, используя обозначения (3.1),
па(гЛ)= f/a(r,v, *)<&;. (4.2)
V
Здесь знак обычного интеграла фактически представляет собой
тройной интеграл по всему пространству скоростей, т. е. по каждой из
переменных vXl vy- и vz от —оо до +ос. Для упрощения обозначений
и удобства будем использовать знак обычного интеграла, подразумевая,
что интеграл берется по всему пространству скоростей.
Средняя скорость ua(r,£) определяется как макроскопическая
скорость потока частиц сорта а в окрестности радиуса-вектора г
в момент времени t. Чтобы связать ua(r,£) с функцией
распределения, рассмотрим частицы сорта а, находящиеся в элементе объема
d?rd?v в окрестности (r,v) в момент времени t. Число таких частиц
deJ\fa(ryvyt). Среднюю скорость частиц сорта а можно определить
следующим образом. Во-первых, умножим d6Afa(r,vyt) на скорость
частиц v, затем проинтегрируем по всем возможным скоростям и в
заключение разделим результат на общее число частиц сорта а,
содержащееся в сггу независимо от скорости. Таким образом,
ua(r,t) = \ fvd67Va(r,v,f). (4.3)
V
Описанная процедура представляет собой обычное статистическое
определение средних значений. Используя /a(r, v, i), получаем
ua(r,£) = -1-, [v/a(r,v,*)<ft;. (4.4)
V
Отметим, что как na(r, t), так и ua(r, i) являются макроскопическими
величинами, которые зависят только от г и t.
Вывод макроскопических параметров из функции распределения
(таких, как поток импульса, давление, температура, поток тепла и т. д.)
детально рассматривается в гл. 6.
§ 5. Уравнение Больцмана
Для определения средних значений физических параметров
(макроскопических величин), необходимо знать функцию распределения
рассматриваемой системы. Зависимость функции распределения от неза-
§ 5. Уравнение Болъцмана
125
иисимых переменных г, v и t задается уравнением Болъцмана. В этом
параграфе рассматривается вывод бесстолкновительного уравнения
Вольцмана и уравнения с учетом взаимодействий между
частицами, без выводе какого-либо выражения для столкновительного члена.
5.1. Бесстолкновительное уравнение Болъцмана
Напомним, что выражение
<PAfa(r9v,t) = /a(r,v,t)d3rd3^ (5.1)
дает число частиц сорта а, которые в момент времени t находятся
и элементе объема d?rd?v фазового пространства в окрестности точки
с координатами (r,v). Предположим, что каждая частица находится
под действием внешней силы F. В отсутствие взаимодействий между
частицами частицы сорта а с координатами (r,v) в фазовом
пространстве в момент времени t по прошествии интервала времени dt
будут находиться в окрестно-
сти новых координат (r',v'):
r'(t + dt) = r(t) + vdt, (5.2)
v'(t + dt) = v(t) + adty (5.3)
где a = F/ma — ускорение
частицы, а та — ее масса.
Таким образом, все частицы
сорта а, которые в момент
времени t находятся в
элементе объема d3rd?v
фазового пространства в
окрестности координат (r,v), по
прошествии интервала времени dt
будут занимать новый элемент
О
t + dt
dzr'dzv'
d3rd3v
Рис. 4. В отсутствие столкновений
частицы, находящиеся в момент времени t
внутри элемента объема d3rd3v в
окрестности координат (г, v) по прошествии ин-
объема dVdV в окрестности тервала времени dt будут занимать новый
координат (г' v') (см. рис. 4). элемент объема d?r'd v' в окрестности
Поскольку как в момент вре- координат (r',v')
мени £, так и в момент времени t-\- dt рассматриваются одни и те же
частицы, в отсутствие столкновений получаем
fa(r'y,t + dt)dsr'dsv' = /a(r,v,t)d3rtfV
(5.4)
Элемент объема d3rd3v в результате движения частиц может
деформироваться. Соотношение между новым и начальным элементами
объема дается выражением
dVdV = | J|rfW4
(5.5)
где через J обозначен якобиан преобразования начальных координат
(r,v) в конечные (г',v'). В следующем пункте будет показано, что для
126
Гл. 5. Элементы кинетической теории плазмы
преобразования, заданного (5.2) и (5.3), \J\ = 1. Отсюда получаем
dVdV = d3rd3v, (5.6)
и (5.4) принимает вид
[/a(r', v', t + dt)- /а(г, v, *)]d3rd3*; = 0. (5.7)
Первый член в левой части уравнения (5.7) можно разложить в ряд
Тейлора в окрестности /a(r,v,t). Пренебрегая членами порядка (dt)2
и выше имеем
dfa_
dt ^
/а (г + vdt, v + а<Й, £ + d£) = /а(г, v, £) +
Используя оператор набла
dt. (5.8)
v = *l^|+*f <5-9>
и определяя оператор набла в пространстве скоростей
dfa{TdtV,t) +vV/a(r,v,t)+a-Vt/a(r,v,t)
dt. (5.11)
V" = *£ + ?£ + »£' (5Л0)
из (5.8) получаем
/а (г + vdt, v + а<Й, * + dt) = /а (г, v, £) +
+
Подстановка этого результата в (5.7) дает
dfa{rdtV,t) +v •V/a(r,v,t) + a-Vt,/a(r,v,t) = 0. (5.12)
Это и есть бесстолкновительное уравнение Больцмана.
Уравнение (5.12) можно переписать в виде
P/ag,V,t)=()| (513)
где оператор
g = | + vV + a.Ve (5.14)
представляет собой полную производную по времени в фазовом
пространстве. Уравнение (5.13) выражает закон сохранения плотности
точек в фазовом пространстве, представляющих частицы. Если мы
движемся вместе с такой точкой в фазовом пространстве и наблюдаем
за плотностью точек /a(r,v,£), то мы увидим, что эта плотность
остается постоянной во времени. Этот результат известен как теорема
Лиувилля. Заметим, что полученный результат применим только в спе-
§5. Уравнение Больцмана
127
циальных случаях, когда столкновения, а также потери на излучение,
процессы рождения и гибели частиц несущественны.
5.2. Якобиан преобразования фазового пространства
Для определения якобиана преобразования, заданного (5.2) и (5.3),
вспомним, что по определению
j = d(r',v') = d(x,y,z,vx,vy,vz) g lg.
<9(r, v) d(x,y,z,vx,vy,vz)
Это выражение соответствует детерминанту матрицы 6x6:
(дх'/дх ду'/дх dv'z/dx\
дх'/ду ду'/ду dv'Jdy j (5 J6)
dx'/dvz dy'/dvz ••• dv'Jdvz)
Внешнюю силу F можно представить в виде суммы:
F = F, + «a(vxB), (5.17)
где F' — сила, не зависящая от скорости, а второй член — зависящая
от скорости частицы сила, возникающая вследствие наличия внешнего
магнитного поля В. Только эта зависящая от скорости сила может
иметь отношение к нашей задаче. Частные производные, возникающие
в матрице якобиана, равны
М = £.. ду* = 1 dF*dt
дх0- lj1 dxj ma дх0-
M = Mt, pi = Sij + ^E(-2L^idtt (5.i8)
dvj J dvj J ma dvj
где использовались уравнения (5.2), (5.3) и (5.17), a Xij = xyyyz
и Vij = vXyvyyvz; Sij — символ Кронеккера. Матрицу (5.16) можно
переписать в виде
J~{(Jh (J)4)'. (5Л9)
где Ji (i= 1,2,3,4) — следующие подматрицы 3x3:
/1 О 0\
(j),= 0 1 0), (5.20)
\0 0 \)
(dF'Jdx dF'/dx dF'2/dx\
{J)2=°L[dF'x/dy dF;/dy dF'Jdy), (5.21)
ma \dFUdz dF'Jdz dF'Jdz)
/dt 0 0\
(J)3 = [ 0 dt 0 I , (5.22)
V0 0 dt)
128
Гл. 5. Элементы кинетической теории плазмы
(-04
—aBz аВу
1 -аВх
аВх 1
(5.23)
а постоянная а равна (qa/™>a)dt. Пренебрегая членами порядка {dt)2,
легко можно проверить, что |J| = 1. Таким образом, с точностью до
членов первого порядка по dt имеем
dVdV = d3rd3v.
(5.24)
Это и есть результат (5.6), который использовался в предыдущем
пункте.
5.3. Влияние взаимодействий между частицами
Для учета влияния взаимодействий между частицами уравнение
(5.12) следует изменить. В результате столкновений за время dt
часть частиц сорта а, находившихся внутри элемента объема d3rd3v
фазового пространства, может
t-\-dt
d3rd3v
rA . уйти из этого элемента
объема, а некоторые частицы
сорта а, изначально
находящиеся вне рассматриваемого
элемента объема, могут оказаться
в нем. Схематично эта
ситуация показана на рис. 5. В
общем случае число частиц
сорта а внутри элемента
объема d3rd3v в окрестности (г, v)
в момент времени t будет
отличаться от числа частиц
сорта а, относящихся к
этому самому элементу объема
в момент t + dt в
окрестности (г',у'). Будем
обозначать это суммарное
увеличение или уменьшение
количества частиц сорта а из-за столкновений за время dt в элементе объема
d3rd3v как
r*/a(lVM)l d3rd3yti (525)
1с "
о
Рис. 5. Иллюстрация движения элемента
объема d3rd3v в фазовом пространстве.
Показаны частицы, приходящие и
уходящие из этого элемента объема в
результате столкновений, произошедших за
время dt
St
icoll
где (Sfa/Sfycoii — скорость изменения /a(r»v, t) из-за столкновений.
Таким образом, при учете столкновений (5.7) переходит в
[/a(r', v', t + dt)- /a(r, v, t)]d3rd3v = (Ц^) d3rd3vt, (5.26)
V dt /coll
§6. Релаксационное приближение для столкновительного члена 129
а соответствующая модификация уравнения (5.12) выглядит
следующим образом:
^+v.V/a + a.V,/Q=(f)coii. (5.27)
Используя оператор полной производной по времени, определенный
в (5.14), можно переписать это уравнение в компактной форме:
Полученное уравнение очевидно неполно, поскольку точный вид
выражения для столкновительного члена неизвестен. В следующем
параграфе описывается очень простое выражение для столкновительного
члена, известное как модель Крука или релаксационное приближение.
Более сложные зависимости, такие как столкновителъный интеграл
Больцмана или столкновителъный член Фоккера-Планка,
рассматриваются в гл. 21.
§ 6. Релаксационное приближение
для столкновительного члена
Релаксационное приближение представляет собой очень простой
способ учета влияния столкновений. В этой модели
предполагается, что столкновения стремятся восстановить локальное равновесие,
характеризующееся локальной равновесной функцией распределения
fao(ry v). Считается, что в отсутствие внешних сил система,
изначально не находящаяся в равновесном состоянии и описываемая функцией
распределения /а(г, v,£), которая отличается от /ao(r»v), в результате
столкновений экспоненциально по времени стремится к
равновесному состоянию с характерным временем релаксации т. Время
релаксации по порядку величины равно времени между столкновениями,
и его можно также записать как z/ , где v — это релаксационная
частота столкновений. Данная модель впервые была предложена
Круком и математически может быть выражена следующим образом:
/<5/<Л _ (/« ~ Л*0) /g J\
V St ) coll Т
Если fa = /ао, то в соответствии с этим уравнением (5fa/8t)cou =
■= 0. Таким образом, в состоянии локального равновесия столкновения
не изменяют функции распределения.
Для того чтобы понять физический смысл релаксационной модели,
рассмотрим уравнение Больцмана с учетом этого столкновительного
члена. В отсутствие внешних сил и пространственных градиентов,
а также когда До и г не зависят от времени,
dfa _ (fa — Л*р) /g 2)
\) Ьиттенкорт Ж.А.
130
Гл. 5. Элементы кинетической теории плазмы
Соотношение можно переписать в виде
& Jot _|_ ±^_ _ JcxO /п о\
dt г т
Данное уравнение — обычное неоднородное дифференциальное
уравнение, для которого функция СеГ11т — решение однородного уравнения
(С — постоянная), а /ао — частное решение. Таким образом, полное
решение
/a(v, t) = Uo + [/«(v, 0) - и\е-'1\ (6.4)
Видно, что разница между fa и fao уменьшается экспоненциально во
времени со скоростью, зависящей от релаксационной частоты
столкновений v = 1/т.
Такая модель столкновений оказалась полезной и в некоторых
случаях приводит к результатам, практически идентичным тем, которые
получаются при использовании столкновительного интеграла Больцма-
на (см. гл. 21). Особенно хорошо модель описывает слабоионизованную
плазму, в которой важны только столкновения с нейтралами. Тем не
менее при таком подходе слишком упрощается описание самого
процесса релаксации и релаксационные частоты столкновений для разных
физических величин, таких как макроскопическая скорость, импульс
и энергия, описываются некорректно. В соответствии с
релаксационной моделью эти макроскопические величины стремятся к
равновесию с одинаковой скоростью v. Однако детальный анализ процесса
столкновения показывает, что это не так и времена релаксации для
разных макроскопических величин до некоторой степени различаются.
Для нерелятивистских скоростей можно показать, что времена
релаксации для средней скорости и импульса одинаковы и приблизительно
равны г, а время релаксации средней тепловой энергии
приблизительно равно (тр/2та)т. Отсюда получаем, что для столкновений
между электронами и нейтралами время релаксации кинетической
энергии электронов больше, чем время релаксации средней
скорости, а их отношение по порядку величины примерно равно
отношению массы нейтральной частицы к массе электрона. Таким образом,
применение релаксационной модели в значительной мере
ограничено только случаем столкновений между частицами с одинаковыми
массами. Несмотря на эти ограничения, релаксационная модель все
еще используется, отчасти из-за своей простоты, а отчасти из-за
того, что обычно дает первое приближение решения рассматриваемой
проблемы.
§ 7. Уравнение Власова
Очень полезным приближением для описания динамики плазмы
является следующее: считается, что движение частиц плазмы
управляется приложенными внешними полями в сумме с макроскопиче-
§ 7. Уравнение Власова
131
скими усредненными внутренними полями, сглаженными по
пространству и времени, которые появляются вследствие присутствия
и движения всех частиц плазмы. Однако задача получения
макроскопических ((Отлаженных) внутренних электромагнитных полей
является очень сложной и требует нахождения самосогласованного
решения.
Уравнение Власова — это уравнение в частных производных,
описывающее эволюцию функции распределения по времени в фазовом
пространстве и включающее в себя сглаженные макроскопические
инутренние электромагнитные поля. Уравнение Власова можно
получить из уравнения Больцмана (5.27), если положить столкновительный
член (6fa/6t)cou равным нулю, но учесть внутренние сглаженные
поля в выражении для сил:
Цг + v • V/a + — [Fext + qa(Ei + v х В*)] • V„/e = 0. (7.1)
С/Г ТП(х
Здесь Fext — внешняя сила, которая включает в себя силу
Лоренца, связанную с любыми внешними электрическими и магнитными
нолями, a Ej и Bi - внутренние сглаженные поля, возникающие
из-за наличия и движения заряженных частиц плазмы. Для того чтобы
внутренние макроскопические электромагнитные поля Е$ и В^ были
совместимы с макроскопическими зарядами и плотностями токов,
существующими в самой плазме, они должны удовлетворять уравнениям
Максвелла
V-Ei = ^, (7.2)
V • В* = 0°, (7.3)
VxE, = -^f (7.4)
VxB, = //o(j + e0^), (7.5)
где плотность заряда плазмы р и плотность тока в плазме J даются
иыражениями
p(r,t) = ^2qana(ryt) =^2яа\ fa{r,vyt)d3vy (7.6)
ос а I
J(r> *) = ^2 Q<*n<*(r> *)"«(*> *) = 5Z qa\ v£*(r» v> t)^v- (77)
Суммирование ведется по всем сортам заряженных частиц плазмы.
Здесь ua(r,t) обозначает макроскопическую среднюю скорость частиц
сорта а, полученную в (4.4).
Уравнения (7.1)—(7.7) представляют собой замкнутую систему
самосогласованных уравнений, которые должны решаться одновременно.
Например, в итерационной процедуре, задавая начальные приблизи-
132
Гл. 5. Элементы кинетической теории плазмы
тельные значения Е*(г,£) и В;(г, i), из уравнения (7.1) можно
получить /а(г, v, t) для всех сортов частиц. Подстановка полученных
значений fa в (7.6) и (7.7) дает величины заряда и плотности тока
в плазме (р и J), которые можно подставить в уравнения
Максвелла и решить их относительно ЕДг,t) и ВДг,t). Эти значения
затем вновь подставляются в уравнение Власова и так далее, до
получения самосогласованного решения для одночастичной функции
распределения.
Хотя уравнение Власова не включает в себя столкновительного
члена в правой части в явном виде, а следовательно, не учитывает
близкие столкновения, оно не столь ограничено в применении, как
может показаться, поскольку значительная часть эффектов
взаимодействий между частицами включена в силу Лоренца через внутренние
самосогласованные электромагнитные поля.
Задачи
5.1. Рассмотрим систему однородно распределенных по
пространству частиц с постоянной концентрацией щ. Функция распределения
по скорости f(y) такова, что
f(v) = Ко для \vi\ ^v0 (г = хуу, z),
f(v) = 0 для остальных случаев,
где Ко — положительная константа, не равная нулю. Получите
выражение для Ко через по и vq.
5.2. Рассмотрим следующую двумерную функцию распределения
Максвелла:
f-HL-\.
/K,0=noU^Jexp
2 . 2ч
m(vx +vy)
2кТ
а) Покажите, что щ корректно описывает плотность частиц, т. е.
число частиц на единицу площади.
б) Схематично изобразите в трехмерной проекции поверхность этой
функции распределения, нарисовав f(vXyvy) как функцию vx и vy.
Изобразите на этой поверхности кривые постоянной vx, постоянной vy
и постоянной /.
5.3. Электроны внутри системы, состоящей из двух коаксиальных
магнитных зеркал, можно описать так называемой функцией
распределения с конусом потерь:
™=?^£)Ч-&)'-(3)
§ 7. Задачи
133
где через v\\ и v± обозначены величины скоростей электронов в
направлениях, параллельном и перпендикулярном оси магнитной бутылки
соответственно^ и где aj = 2кТ\\/т и а\ = 2кТ±/т.
а) Покажите, что плотность электронов в магнитной бутылке
равна щ.
б) Проверьте применимость функции распределения с конусом
потерь к описанию магнитной бутылки, анализируя зависимость от г>ц
и v±. Изобразите в трехмерной проекции поверхность /(v) как
функцию V|| И V±.
5.4. Рассмотрите движение заряженных частиц в одномерном
случае в присутствии электрического потенциала V(x). Покажите прямой
подстановкой, что функция вида
дает решение уравнения Больцмана в стационарном случае.
5.5. а) Покажите, что уравнение Больцмана в цилиндрических
координатах будет иметь следующий вид:
+1 Лд + *±Ч + *Д "i = Д)
m у r<9r r <90 2<9iy \ St/coll'
где точка над символами обозначает производную по времени d/dt,
н Fr = m(d2r/dt2), F0 = mr(<P</>/d1?)9 Fz = m{d2z/dt2).
б) Покажите прямой подстановкой, что в присутствии
азимутального симметричного магнитного поля (в направлении z) решение
уравнения Больцмана при стационарных условиях дается функцией вида
/ = /(-^ту2, тг2ф + ягАф),
где рф = тг2ф + дгАф — постоянный обобщенный импульс,
л Аф — компонента ф магнитного потенциала А, определенного как
» = Vx А.
5.6. Покажите, что уравнение Власова для однородной плазмы,
находящейся под действием постоянного внешнего магнитостатического
моля Во, в равновесном состоянии удовлетворяет однородной функции
распределения f(v\\,v±), которая является цилиндрически
симметричной по отношению к магнитостатическому полю.
5.7. Энтропия системы может быть выражена через функцию
распределения как
S = -k
fln(f)d3rd3v.
134
Гл. 5. Элементы кинетической теории плазмы
Покажите, что для системы, которая удовлетворяет бесстолкновитель-
ному уравнению Больцмана, полная производная энтропии по времени
равна нулю.
5.8. Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, полную
энергию которого можно записать как
Е= ^(mv2 + cx2),
где с — константа, а х — перемещение. Покажите, что траектория
представляющей точки осциллятора в фазовом пространстве — эллипс.
Глава 6
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ
ПЕРЕМЕННЫЕ
§ 1. Среднее значение физической величины
В этой главе рассматривается метод, который дает возможность
получить значения различных физических величин, усредненные по
скоростям частиц плазмы. Макроскопические переменные, такие как
концентрация, скорость потока, давление газа, поток тепловой энергии
и т.д., можно рассматривать как средние значения физических
величин, описывающих коллективное поведение большого числа частиц.
Эти макроскопические переменные связаны с различными моментами
функции распределения. Формальное определение моментов функции
распределения дается в гл. 10.
Каждой частице плазмы можно приписать определенное свойство,
x(r,v, £), которое в общем случае может быть функцией положения
частицы г, скорости v и времени t. В качестве такого свойства,
например, можно выбрать массу, скорость, импульс или энергию частицы.
Для вычисления среднего значения величины x(r»v»0 вспомним,
что d6J\fa(r, v, t) — это число частиц сорта а в элементе фазового
объема d?rd?v в окрестности (г, v) в момент времени t. Таким образом,
значение x(r,v» t) для всех частиц сорта а в dsrd?v равно
X(r,V,t)d6^a(r,V,t) = X(r,V,0/a(r,V,0d3rdV (1.1)
Значение х(г,v» t) для всех частиц сорта а внутри элемента d?r
конфигурационного пространства, не зависящее от скоростей частиц,
получается интегрированием выражения (1.1) по всем возможным скоростям:
d3r[x(r,v,0/a(r,v,0dV (1.2)
v
Тогда среднее значение x(r»v»0 можно получить, разделив (1.2) на
число частиц сорта а внутри элемента d3r в окрестности г в момент
времени £, т. е на na(r, t)d?r. Таким образом, определим среднее зна-
136 Гл. 6. Средние значения и макроскопические переменные
чение свойства x(r> v> t) для частиц сорта а как
(X(r,v,t))a = ^Лу J X(r, v, t)/a (r, v, t)d3^. (1.3)
V
Символ (...)а обозначает среднее по пространству скоростей для
частиц сорта а. Заметим, что среднее значение всегда является функцией
только г и t и не зависит от v.
Если положить x(r>v>£) = 1, то получится выражение (5.4.2) для
концентрации na(r,t).
§ 2. Средняя скорость и собственная скорость
Рассмотрим в качестве х(г, v, t) скорость v частиц сорта а в
окрестности радиуса-вектора г в момент времени t. Подстановка v вместо
x(r,v,£) в выражение (1.3) дает нам макроскопическую среднюю
скорость, или скорость потока ua(r, t) для частиц сорта а:
UaM) = (V>a = ^Г7) |v/a(r,V,t)d3t;, (2.1)
которая совпадает с выражением, полученным в (5.4.4) (уравнение
(4.4) в гл. 5).
Заметим, что г, v и t рассматриваются как независимые
переменные, а средняя скорость ua(r,t) зависит от г и t. Если x(r»v»^) не
зависит от скорости частицы, то
(xM))a = XaM). (2.2)
Так, например, (ua) = ua. Далее будем опускать а после символов
среднего значения всякий раз, когда он явно лишний, т. е. (ua)a = ua.
Собственная скорость, или случайная скорость, са определяется
как скорость частиц сорта а по отношению к средней скорости ua(r, t):
ca = v-ua. (2.3)
Следовательно, всегда будет выполняться соотношение (са) — 0,
поскольку (va) = ua(r, t). Случайная скорость са ассоциируется с
тепловым, или случайным, движением частиц. Когда ua(r, t) равна нулю,
получаем са = v.
§ 3. Поток
Основываясь на понятии функции распределения, посредством
процедуры усреднения можно получить разные макроскопические
переменные. Многие из них, например плотность потока частиц (или
поток частиц), давление или тензор давления, а также вектор
§ 3. Поток
137
потока тепла (или поток тепловой энергии) определяются как
поток некоторой величины x(r, v, t). Поток величины x(r, v,t) — это
количество величины x(r, v, t), перенесенное через единицу площади
некоторой заданной поверхности за единицу времени.
Рассмотрим элемент поверхности dS, находящийся в плазме. Если
распределение скоростей изотропно, поток не будет зависеть от
относительной ориентации элемента поверхности dS. В общем случае, когда
функция распределения анизотропна, поток зависит от
пространственной ориентации dS. Поэтому предположим, что элемент поверхности,
но величине равный dS, ориентирован вдоль определенного
направления, которое задается единичным вектором п:
dS = dSn, (3.1)
где п — вектор нормали к элементу поверхности. В случае открытой
поверхности существуют два возможных направления вектора
нормали п, противоположные друг другу. Направление нормали, которое
считается положительным, связано
обхода периметра (ограничивающей
кривой) открытой поверхности
следующим соглашением: если за
положительное направление обхода
периметра горизонтальной открытой
поверхности берется направление
против часовой стрелки, то
положительная нормаль к этой
поверхности направлена вверх. Если за
положительное направление обхода
периметра берется направление по
часовой стрелке, то положительная
нормаль направлена вниз, как
показано на рис. 1. Для замкнутой по-
мерхности вектор единичной нормали
ленным наружу.
Частицы плазмы, пересекая поверхность dS, переносят некоторую
физическую характеристику, определяемую через x(r,v,£). Найдем
число частиц сорта а, которые проходят через dS за время dt.
Частицы со скоростями в интервале от v до v + dv, пересекающие
</S в интервале времени между t и t + dt, должны изначально
находиться внутри призмы с основанием dS и ребром vdt (рис. 2). Объем
•ггой призмы равен
d3r = dS • v dt = n • v dSdt. (3.2)
Из определения /a(r,v,t) легко получить, что внутри призмы число
частиц сорта а со скоростями, лежащими в интервале от v до v + dvy
равно
/а(г, v, t)d3rd3v = /а(г, v, t)n • v dSdtdsv. (3.3)
с положительным направлением
Рис. 1. Направление вектора
положительной нормали к элементу
поверхности dS в зависимости от
направления обхода периметра dS
по соглашению считается направ-
138 Гл. 6. Средние значения и макроскопические переменные
п • vdt
Рис. 2. Призма объемом d3r = dS • vdt = ii • vdSdt, содержащая частицы сорта
а со скоростями в интервале v и v + dvy которые пересекают dS в течение
времени dt
Тогда общее количество величины x(r, v, £), перенесенное через dS
за время dt, получается умножением этого числа частиц на x(r,v,£),
а затем интегрированием результата по всем возможным скоростям:
x(r,v,£)/Q(r,v,£)n • vd3vdSdt.
(3.4)
Заметим, что при интегрировании по пространству скоростей
учитываются вклады, соответствующие вращению сегмента vdt по всем
возможным направлениям относительно dS. Частицы, пересекающие
dS в таком направлении, что п • v положительно, дают положительный
вклад в величину потока по направлению п, а частицы, пересекающие
dS в направлении, для которого п • v отрицательно, дают
отрицательный вклад в величину потока по направлению п (рис. 3).
Полное количество величины x(r>v>£)> перенесенное частицами
сорта а за единицу времени через единицу площади, получается деле-
dS
dS
(-)
(+)
(-)
(+)
а б
Рис. 3. а — частицы, которые пересекают dS из области (—) в область (+),
дают положительный вклад в поток в направлении п, б — частицы, которые
пересекают dS из области (+) в область (—), дают отрицательный вклад
в поток в направлении п
§ 4. Плотность потока частиц
139
нием выражения (3.4) на dSdt. Таким образом, поток Фап(х) в
направлении п дается выражением
" Фап{х)= [x(r,V,0/a(r,V,*)n.vd4 (3.5)
V
или, с использованием символа средней величины,
$cm(x) = Па(г, t)(x(r, V, *)Й • v)a = 7la(x^n)a, (3.6)
где vn = n • v обозначает компоненту v вдоль направления, заданного
единичным вектором п.
Когда x(r,v, t) — скалярная величина, Фап(х) можно
рассматривать как компоненту векторного потока Фа(х) в направлении п:
Фап(Х) = п.фа(х), (3.7)
где
*a(x) = ^a(Xv)a. (3.8)
Если х(г, v, t) — векторная величина (в этом случае мы будем
обозначать ее Х(г, v, £)), поток будет диадой или тензором второго ранга:
Фа(Х) = па(Хлг)а. (3.9)
Если х(г, v, t) — диада, то поток будет тензором третьего ранга, и т. д.
В ряде ситуаций, представляющих практический интерес, важно
отдельно рассматривать вклад потока от средней скорости ua(r,£) и от
случайной скорости са частиц сорта а. Подставляя v = са + ua в (3.6)
получаем
$cm(x) = Па(хСап) + Па{хиап), (ЗЛО)
где сап = п • са и иап = п • ua.
В случае нулевой скорости течения ua = 0 или, что то же самое,
если положить, что dS берется в системе отсчета, движущейся со
средней скоростью ua, уравнение (3.10) переходит в
$cm(x) =Па{хСап), (3.11)
которое представляет собой поток x(r»v»£) вдоль п, обусловленный
случайным движением частиц сорта а.
§ 4. Плотность потока частиц
Плотность потока частиц или поток частиц определяется как
число частиц, проходящих через единичную площадку заданной
поверхности за единицу времени. Положив в (3.6) x(r»v»0 — 1 и
заметив, что (сап) — 0, получаем поток частиц сорта а в направлении п:
1- an = ^a\^n)a = ^a^an- (4.1)
Когда ua равно нулю, интерес представляет поток в положительном
направлении п, а не полный поток. Число частиц сорта а, которые
140 Гл. 6. Средние значения и макроскопические переменные
пересекают единичную площадку некоторой поверхности за единицу
времени в том же направлении, что и п, только вследствие случайного
движения, дается выражением
Г<+>(г,*) = f fi.ca/a(r,v,*)d3i;, (4.2)
где интеграл по пространству скоростей берется для таких скоростей,
для которых п • са > 0.
Случайный поток массы в положительном направлении п,
очевидно, дается выражением raaIan (r,t), где та — масса частицы сорта а.
§ 5. Тензор потока импульса
Тензор (диада) потока импульса определяется как полный импульс,
перенесенный через некоторый элемент поверхности ridS за
единицу времени, нормированный на единичную площадь. Пусть в (3.6)
x(r,v,£) — компонента импульса частиц сорта а в некотором
направлении, заданном единичным вектором j:
Xj = raav-j = maVj, (5.1)
тогда элемент Па<7-П(г, i) тензора потока импульса равен
Uajn(rtt) =Па(та(} • v)(v-fi))a = pma(VjVn)a, (5.2)
где рта = пата — плотность частиц сорта а. Таким образом,
элемент na<7-n(r, t) тензора потока импульса — это поток j-R компоненты
импульса частиц сорта а через элемент поверхности с нормалью п.
Поскольку v = са + ua, то
или, в виде тензора,
> + и тех.
uaua, (5.4)
где был использован тот факт, что (uaca) = ua(ca) = 0. В декартовой
системе координат (ж, у, z) тензор второго ранга потока импульса
можно выразить через его компоненты в следующем виде:
+ у9Паух -\-yyUayy + yzUayz + (5.5)
+ vxllazx +zyUazy + zzn
CX.ZZ'
Используя правила умножения матриц, Па можно записать как
(i*-axx *-*-axy *-*-axz\ /х\
Па2/х Rayy Rayz I I У I • (5-6)
iiazx i*-azy *-*-azz/ \^/
§ 6. Тензор давления
141
Обычно символы типа хх до и после (3 х 3)-матрицы опускают и
обозначают диаду только матрицей размера 3 х 3 с элементами Uaij.
Таким образом, Uaij соответствует элементу, находящемуся в г-й строке
и j-м столбце* Из (5.3) очевидно, что Па^ = Па^, и, следовательно,
(3 х 3)-матрица в (5.6) является симметричной. Поэтому только шесть
компонент тензора потока импульса независимы.
§ 6. Тензор давления
6.1. Понятие давления
Давление газа обычно определяется как действующая на единицу
площади поверхности сила, производимая молекулами газа
посредством их столкновений со стенками сосуда. Эта сила равна скорости
передачи импульса молекул газа стенкам сосуда. Такое определение
применимо также к любой поверхности, находящейся в газе, например
к поверхности любого твердого тела.
Определение давления можно обобщить на случай любой точки в
газе. Для этой цели определим давление на воображаемый элемент
поверхности dS = ridS, находящийся в газе и движущийся со средней
скоростью потока. В этом случае давление на dS — это скорость
передачи импульса молекулы, нормированная на единицу площади,
т. е. поток импульса через dS, определяемый случайным движением
частиц.
Если в газе присутствуют разные виды частиц, как, например,
в плазме, то удобно определить (парциальное) давление частиц
сорта а — поток импульса, переносимого частицами сорта а при их
движении через элемент поверхности ndS, который движется со средней
скоростью ua(r, i). Применив (3.11) в системе отсчета, связанной с dS,
и приняв, что x(r> v> t) есть j-я компонента импульса частиц сорта а,
macajy получим элемент Pajn тензора давления:
*ajn = Pma\CajCan/ • \P-i)
Тензор давления определяется как
'а — рта (саСа). (6.2)
Из (5.4) можно получить следующее соотношение между тензором Va
и тензором Па потока импульса:
Va = Па - /OmaUaUa. (6.3)
Они равны, только если скорость потока ua(r,£) равна нулю.
6.2. Сила на единицу площади
Рассмотрим малый элемент объема, ограниченный замкнутой
поверхностью S, внутри плазмы. Пусть dS = ridS — элемент площади,
принадлежащий S, с единичным вектором п, нормальным к этому
элементу поверхности и направленным наружу (см. рис.4). Сила на
142 Гл. 6. Средние значения и макроскопические переменные
единицу площади fa, действующая на элемент площади ridS
вследствие случайного движения частиц, дается выражением
fa = -Va ' П = -pma(Ca(can)). (6.4)
Здесь знак минуса появился по следующей причине. Предположим, что
все частицы сорта а имеют одинаковую скорость cQ. Если са образует
с п угол меньше 90°, то величина
па(са • ri)dS — число частиц,
покидающих за единицу времени объем,
ограниченный поверхностью S, через элемент dS.
Соответствующее изменение
(уменьшение) импульса плазмы, ограниченной
поверхностью 5, дается выражением
(ca • fi)dS, поскольку (ca • n)
положительно. С другой стороны, если
са образует с нормалью п угол, больший
чем 90°, то — па(са • n)dS — это
число частиц, за единичное время входящих
в рассматриваемый объем через dS.
Соответствующее изменение (увеличение)
импульса плазмы в объеме, ограниченном S,
будет снова — патпса(са • n)dS,
поскольку теперь (cQ • п) отрицательно.
получаем, что для произвольного
распределения скоростей отдельных частиц векторная величина
—пата(са(са • n))dS = — Vd - ndS (6.5)
представляет собой скорость изменения импульса плазмы внутри
замкнутой поверхности S в результате обмена частицами сорта а через
элемент поверхности iidS. Следовательно, сила на единицу
площади, приложенная к элементу поверхности, ориентированному вдоль
единичного вектора п, есть —Va • п. Если взять, например, элемент
площади, ориентированный вдоль направления х, т. е. п = х, то
где РаХх перпендикулярно поверхности и направлено в сторону
поверхности, так же как и гидростатическое давление, в то время как
компоненты Раух и Pazx — это компоненты давления, возникающие
из-за наличия сдвига, они тангенциальны поверхности, как показано
на рис. 5. В общем случае сила на единицу площади Pajn
действует в отрицательном направлении по отношению к оси, обозначенной
первым индексом (j>), на поверхность, нормаль которой направлена
наружу и параллельна оси, относящейся ко второму индексу (п). Если
же нормаль к поверхности направлена наружу, но в направлении,
противоположном оси, относящейся ко второму индексу (п), то сила
действует в направлении оси, обозначенной первым индексом (j).
• Объём ..V- -I
Рис. 4. Элемент объема V,
ограниченный замкнутой
поверхностью S с элементом
поверхности nd5,
направленным наружу
Обобщив этот результат,
§ 6. Тензор давления
143
. л
Рис. 5. Компоненты Раух и Pazx тензора давления V, соответствующие
тангенциальным сдвиговым силам, и компонента РаХх, нормальная к поверхности,
действующие на элемент поверхности, нормаль которой ориентирована так же,
как вектор х
6.3. Сила, действующая на единицу объема
Силу, действующую на единицу объема плазмы и обусловленную
случайным движением частиц, можно получить, проинтегрировав (6.5)
по всей замкнутой поверхности S, ограничивающей элемент объема
V, разделив результат на V, а затем определив предел при V,
стремящемся к нулю. Эта процедура — обычное определение дивергенции
вектора:
-V-Я
=-9%[Ц
Va • vidS
(67)
Согласно теореме Гаусса-Остроградского получаем
&Va • ndS
V • Va<fr.
(6.8)
Отсюда можно сделать вывод, что отрицательная дивергенция
тензора кинетического давления второго ранга (—V • Va) — это сила,
действующая на единичный объем плазмы вследствие случайного
движения частиц, a Va • п — это сила, действующая на единицу площади
поверхности, нормальной к единичному вектору п.
6.4. Скалярное давление и абсолютная температура
Важный макроскопический параметр представляет собой
скалярное, или среднее гидростатическое, давление ра. Оно определяется
как одна треть от следа тензора давления:
Ра о / v *aijdij — о / v *aii — о У*1olxx ~г *ауу т -*!azz )>
(6.9)
г>3
144 Гл. 6. Средние значения и макроскопические переменные
где 6ij — символ Кронеккера: 6ij = 1 для г = j и Sij = О для г Ф j.
Элемент тензора давления Рац, где г = х,у,г, дает гидростатическое
давление, нормальное к поверхности с индексом г. Из (6.1) получаем
Ра = ^Рта(с2ах + (?ау + (?az).. (6.10)
Поскольку 4 = с2ах + с2ау + 42, то
Ра = ^Рта{с2а). (6.11)
Другой важный параметр, использующийся для макроскопического
описания плазмы, — температура. Абсолютной температурой Та
частиц сорта а называется мера средней кинетической энергии
случайного движения частиц. Согласно определению, принятому в
термодинамике, абсолютная температура — это средняя тепловая энергия kTai/2,
относящаяся к каждой поступательной степени свободы (i = x,y,z),
т е
l-kTai=l-ma(c2ai), (6.12)
где к — постоянная Больцмана.
Если распределение случайной скорости изотропно, как в случае
функции распределения Максвелла-Больцмана, описывающей газ в
тепловом равновесии (эта функция будет рассматриваться в следующей
главе), то с2ах = с2ау = caz = 4/3, и, следовательно,
Ра = *ахх = ±ауу = -* azz = Рта\раг)'• (D.loj
Комбинируя (6.13) и (6.12), получаем
ра=пакТа (6.14)
— уравнение состояния идеального газа. Для функции распределения
Максвелла-Больцмана все недиагональные элементы кинетического
тензора давления равны нулю и
Va = (XX + УУ + Zz)Pa = lpa, (6.15)
где 1 — единичный тензор второго ранга, который в матричной форме
записывается как
/I и и\
(6.16)
В этом случае отрицательная дивергенция тензора давления второго
ранга равна
-У 'Va = ~ (^Рос+У-^Pa+Z—po^ =-Vpa. (6.17)
Таким образом, для изотропной по скоростям функции распределения
сила на единицу объема, возникающая вследствие случайных вариаций
§ 8. Тензор третьего ранга потока тепла
145
собственных скоростей, дается отрицательным градиентом скалярного
давления.
В некоторых задачах целесообразно представить общий вид тензора
давления в виде
Та = ХхРахх + ffPayy + ZZ^azz, (6.18)
или, в матричной форме,
*ахх
0
0
0
р
Гауу
0
0
0
*ОС2
Va= 0 Рауу 0 , (6.19)
V 0 0 PazJ
где диагональные элементы не равны друг другу, а все
недиагональные равны нулю. Это выражение соответствует случаю анизотропии
собственных скоростей и отсутствию сил сдвига и вязкого трения.
Эффекты вязкости и сдвиговых напряжений описываются
недиагональными элементами тензора давления. В большинстве случаев, когда
рассматривается плазма, эффекты вязкости относительно невелики
и недиагональными элементами в Va можно пренебречь.
В случае анизотропии в распределении скоростей в соответствии
с (6.12) для каждого направления в пространстве можно определить
свою собственную абсолютную температуру Tai.
§ 7. Вектор потока тепла
Компонента вектора потока тепла qan определяется как поток
случайной, или тепловой, энергии через поверхность, нормаль к которой
совпадает по направлению с вектором п. Пусть в (3.11) x(r»v»£) —
кинетическая энергия случайного движения частиц сорта а, т. е.
X = rnac2a/2, тогда соответствующий компонент потока вектора
теплоты вдоль п .
Чаи = Яа * П = -^рта(с2аСа • Й). (7.1)
Таким образом, вектор потока тепла дается выражением
Яа = 2рта(с2аСа). (7.2)
§ 8. Тензор третьего ранга потока тепла
Для наших целей удобно рассматривать тензор третьего ранга
потока тепла, определенный как
^da = Рта
(сасаса). (8.1)
Его компоненты в явном виде даются следующим соотношением:
^iotijk = Pma\CaiCajCak) - УР-^)
10 Биттенкорт Ж.А.
146 Гл. 6. Средние значения и макроскопические переменные
В декартовой системе координат тензор потока тепла задается
выражением
Qa = QaxX + Qayy + Qaz% (8.3)
где каждый из символов Qan — это тензор второго ранга (п = х, у, z),
который в матричной форме выглядит следующим образом:
(^iaxxn ^°laxyn ^%axzn\
tyayxn Wayyn ^iayzn I • УРч
^iazxn ^iazyn ^iazzn/
Соотношение между потоком вектора тепла qa и тензором третьего
ранга потока тепла Qa легко получить, если переписать (7.1) в виде
Qan — с>Р'та\\С'ахСосп) т \СауСосп) т \CazCocn/)- Урд)
Сравнив это уравнение с (8.2), видим, что qan можно выразить как
Qan = Т\ аххп i \°саууп ' ^°cazzn ). (8.6)
§ 9. Тензор полного потока энергии
По аналогии с определением тензора Qa (с компонентами Qaijk)
рассмотрим величину
Eaijk = Pma(ViVjVk)a, (9.1)
которая представляет собой одну из девяти компонент тензора
полного потока энергии £a(r,i). Данный тензор можно представить как
сумму трех слагаемых. Подставляя vi = uai + cai в (9.1) и раскрыв
скобки, получаем
\ViVjVk)a = {CaiCajCak H~ ^ai^a^ak Н~ ^aj^ak^ai Н~ ^ak^ai^aj Н~
~г ^ai^aj^ak ' ^aj^ak^ai ' ^ak^ai^aj ' ^ai^aj^ak)• W*^/
Поскольку (uai) = uai, a (cai) = О, то, используя (8.2) и (6.1), имеем
PmayJi'VjVk)a = Pma^ai^aj^ak ~r (Uq-, ' a)ijk ~r tyaijki W-^/
где введено следующее обозначение:
(Uq,, rcxjijk = ^ai-Lajk i ^aj^aki i ^ak-^aij- W-^/
Следовательно, тензор третьего ранга (9.1) можно записать как
£*(Г, *) = Pma(vvv)a = pmaUaUaUa + (иа, 7>а) + Qa. (9.5)
Таким образом, тензор полного потока энергии представляет собой
сумму двух слагаемых: потока энергии, переносимого
конвективным движением частиц, который выражается двумя первыми членами
в правой части уравнения (9.5), и потока тепловой энергии Qa,
возникающего вследствие случайного теплового движения частиц сорта а.
§ 9. Тензор полного потока энергии
147
Физическая интерпретация тензора третьего ранга Qa в некотором
смысле аналогична физической интерпретации вектора потока
тепла qa. Рассмотрим величину
2pma(v2v)a, (9.6)
которая представляет собой средний поток энергии, переносимый
частицами сорта а. Эта величина может быть записана как сумма трех
слагаемых. Подставляя в выражение (9.6) v = са + иа и раскрывая
скобки, получаем
2prna(v2v)a = ^prna{ua\la + 2(ua • Ca)ua +
+ c2aua + u2aca + 2(ua • ca)ca + c2aca)y (9.7)
и поскольку (ua) = ua, a (ca) = 0, то
(9.8)
С использованием (6.2) и (7.2), которые определяют Va и qa
соответственно, получаем выражение
2pma(v2v)a = WaUa + Ua • Va + Яа, (9.9)
где через Wa обозначена плотность средней кинетической энергии
частиц сорта а:
Wa = ^PmocUl + ^pma(c2a). (9.10)
Уравнение (9.9) записано аналогично (9.5). Видно, что поток
(скорость переноса на единичную площадь) можно представить как сумму
трех слагаемых: первое слагаемое в правой части уравнения (9.9)
дает поток средней кинетической энергии, переносимый
конвективными движениями; второе слагаемое — скорость производства работы,
совершаемой тензором кинетического давления, на единицу площади;
третье слагаемое — поток случайной тепловой энергии, переносимой
частицами вследствие наличия у них случайной тепловой скорости.
Полезно отметить, что в системе отсчета, движущейся со средней
скоростью ua(r, i), скорости частиц становятся равными их тепловым
скоростям, т. е. v = ca, и (9.9) переходит в (7.2), которое определяет
вектор потока тепловой энергии qa.
Если тепловые скорости са распределены одинаково по всем
направлениям, т. е. изотропно, то qa = 0 (поскольку подынтегральное
выражение является нечетной функцией от са). Следовательно, qa
можно рассматривать как частичную меру анизотропии распределения
по тепловым скоростям. Тензор третьего ранга потока тепловой
энергии Qa — значительно более широкое понятие, чем поток тепловой
ю*
148 Гл. 6. Средние значения и макроскопические переменные
энергии, и в этом смысле может рассматриваться как полная мера
анизотропии в распределении тепловых скоростей.
§ 10. Высшие моменты функции распределения
Первые четыре момента функции распределения /a(r, v, i)
относятся к концентрации тга(г,£), средней скорости ua(r, t), тензору
потока импульса Па(г, i) и тензору потока полной энергии £a(r,£)
соответственно. Для удобства ссылок приведем соответствующие
математические выражения еще раз:
Па(гЛ)= f/a(r,V,*)dV (10.1)
v
Uai(r,J) = (Vi)a 7-ТТ ^Л*(г, V, £)dV (10.2)
v
p
Uaij(r9t) = pma(ViVj)a = ma ViVjfa{r, V, t)($V, (Ю.З)
v
Eaijk(r,t) = Pma(ViVjVk)a = ГПа
ViVjVkfa(r,Vyt)d3V. (10.4)
Если средняя скорость ua(r, i) равна нулю и v = ca, тензор потока
импульса Па(г,£) становится равным тензору давления Va, а тензор
потока полной энергии £a(r, t) переходит в тензор потока тепловой
энергии Qa.
В качестве формального расширения данных определений можно,
когда это необходимо, ввести понятие высших моментов функции
распределения. Момент порядка N определяется следующим уравнением:
rW
MWh(*>t)
ViVj • • • Vkfa(r, V, t)d3Vy (10.5)
где в подынтегральном выражении (10.5) компоненты скорости Vi
встречаются N раз.
Задачи
6.1. Рассмотрите систему частиц, характеризующуюся функцией
распределения, которая использовалась в задаче 5.1 (гл. 5).
а) Покажите, что абсолютная температура системы дается
выражением 2
гр _ тур
ЗА; '
где т — масса каждой частицы, а к — постоянная Больцмана.
§ 10. Задачи
149
б) Получите следующее выражение для тензора давления:
где рш = пт, а 1 — единичный тензор второго ранга.
в) Покажите, что вектор потока тепла q = 0.
6.2. Пусть случайные скорости электронов в плазме удовлетворяют
следующей модифицированной функции распределения Максвелла-
Больцмана (считаем и = 0):
£1 \ ( т \ ( т \ \ т ((?х+(?у . с\
^ = п° (йДйТ) [ъЩ) ехр ["2* {-ТГ* + ц
а) Покажите, что концентрация электронов равна щ.
б) Покажите, что в декартовой системе координат с осью z,
совпадающей с параллельным направлением движения, тензор кинетического
давления дается выражением
V = по*[Т]_(хх + уу) + T||zz],
которое указывает на анизотропию в направлении z.
в) Вычислите вектор потока тепла q.
г) Покажите, что
l-m(vl) = l-kT±.
6.3. Для функции распределения с конусом потерь из задачи 5.3
(гл. 5) покажите, что
1 / 2\ 1 2
-т^ц) = -гпац,
1 / 2 \ 2
-m(v±) =ma±.
Сравните результаты с ответом к задаче 6.2 (г). Обоснуйте, почему
выражения для параллельной и перпендикулярной частей средней
тепловой энергии выглядят по-разному.
6.4. Исходя из принципов симметрии покажите, что в тензоре
потока тепловой энергии Q может быть только десять независимых
элементов. Учесть, что по определению Qijk = nm(ciCjCk) является
симметричным относительно перестановки двух из трех его индексов.
6.5. Плазма — смесь разных типов частиц. Частицы сорта а
имеют массу тау концентрацию гга, среднюю макроскопическую
скорость иа, случайную скорость са = v — ua, скалярное давление
Ра — пакТа, температуру Та = (ma/3fe)/(c^), тензор давления второго
ранга V = пата(саса) и вектор потока тепла qa = (пата/2)(саса).
150 Гл. 6. Средние значения и макроскопические переменные
Аналогичные величины можно определить для плазмы в целом.
Например, можно определить полную концентрацию как
гг0 = У^тга,
а
среднюю массу как
то = — >^ пата
и среднюю скорость потока как
no mo
uo = } патаиа.
Пс\ГПс\ *-^
Можно также определить альтернативную случайную скорость для
частиц сорта а по отношению к uo как сао = v — uo и
альтернативную абсолютную температуру как
соответствующий тензор давления как
'РаО = ^а^а(СаОСао)
и вектор потока тепла как
а) Покажите, что для плазмы в целом полный тензор давления
равен
Я) = ^(Ра + namawawa),
а
а полное скалярное давление дается выражением
Ро = "%2(Ра + namaw2a)y
а
где wa = ua — uo — макроскопическая скорость диффузии.
б) Покажите, что если са изотропно и, следовательно, (c2ai) =
= \/Ъ{с2а) для г = x,y,z, то полный вектор потока тепла дается
выражением Г j
qo = 5Z(qa + 2PaWa + 2п<*т<*'ш°'™а}'
а
в) Покажите, что если средняя температура То для плазмы в целом
задается выражением ро — щкТо, то
я-£!>.(*■. + =#)•
§ 10. Задачи
151
г) Докажите, что
-^nama(40) = -п0кТ0у
а
откуда следует выражение кТо/2 для средней тепловой энергии,
приходящейся на одну степень свободы.
6.6. а) Пусть частицы с массой га влетают в бесконечно малый
элемент объема d3r = dxdydz со скоростью и. Покажите, что скорость
увеличения импульса этого элемента дается выражением —V • (nrauu)d3r,
где п — концентрация газа.
б) Покажите, что если бесконечно малый элемент объема d3r
движется со средней скоростью частиц и, то в результате работы,
производимой кинетическим тензором давления V, энергия частиц внутри
d3r возрастает со скоростью, равной —V • (и • V)d3r.
в) Докажите, что (V • п) • и = (и • V) • п, где п — единичный
вектор нормали, направленный наружу по отношению к поверхности,
ограничивающей элемент объема.
6.7. Рассмотрите уравнение (5.6.4), которое представляет собой
решение уравнения Больцмана с релаксационным приближением для
столкновительного члена в отсутствие внешних сил и
пространственных градиентов, при условии что fao и время релаксации то не зависят
от времени. Покажите, что в соответствии с этим упрощенным
уравнением
Ga(t) = Ga0 + [Ga(0) - Ga0) ехрН/т),
где
Ga(t) = faXd3V = Па(х)а,
Ga0
faOXd3V=na(x)aO-
Таким образом, в соответствии с релаксационной моделью для
столкновительного члена все средние значения (х)а стремятся к
равновесному значению с одинаковой скоростью.
Глава 7
СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
§ 1. Равновесная функция распределения
Равновесной функцией распределения называется решение
уравнения Больцмана, не зависящее от времени и найденное для случая
отсутствия внешних сил. В равновесном состоянии взаимодействие
между частицами не вызывает каких-либо изменений в функции
распределения со временем, пространственные градиенты концентрации
частиц отсутствуют. В этом параграфе получено выражение для
равновесной функции распределения, которая называется функцией
распределения по скоростям Максвелла или Максвелла-Больцмана.
Для простоты рассмотрим газ, состоящий из частиц только одного
вида. Обобщение на случай смеси разных частиц будет рассмотрено
ниже. Пусть внешние силы на систему не действуют {Fext = 0), а
пространственное распределение частиц однородно. Тогда функция
распределения будет пространственно однородной (V/ = 0) и, поскольку
ищется стационарное решение уравнения Больцмана, то она не будет
зависеть от времени (df' /dt = 0), т. е. можно обозначить эту функцию
распределения через /(v). В соответствии с уравнением Больцмана
(5.5.27) (уравнение (5.27) в гл. 5), равновесная функция распределения
удовлетворяет условию
(%) =0. (1.1)
V dt ) coll
Следовательно, при равновесных условиях в результате межчастичного
взаимодействия функция распределения не меняется. В гл. 21 получено
выражение для равновесной функции распределения через столкнови-
тельный интеграл Больцмана. Однако в данной главе с целью
упрощения изложения рассматривается простой подход на основе принципа
детального равновесия статистической физики.
1.1. Общий принцип детального равновесия и парные
столкновения
В общем случае принцип детального равновесия утверждает, что
в условиях равновесия вероятность протекания любого
физического процесса равна вероятности протекания обратного ему процесса.
§ 1. Равновесная функция распределения
153
Для системы взаимодействующих частиц в состоянии равновесия этот
принцип гласит, что каждое столкновение в газе в точности
компенсируется соответствующим обратным столкновением.
Рассмотрим* упругое столкновение между двумя частицами,
скорости которых равны v и vi до столкновения и y' и y\ после
столкновения. Соответствующий обратный процесс — это упругое
столкновение, в котором частица с начальной скоростью v'
сталкивается с другой частицей с начальной скоростью y[, а скорости после
столкновения равны соответственно v и vi. Такая ситуация показана
схематично на рис. 1 в системе отсчета, в которой одна из частиц
покоится.
7711
Рис. 1. а — прямое парное столкновение; б — соответствующее обратное
парное столкновение. Здесь g = vi — v и g' = v{ — v'
Предположим, что скорости частиц до столкновения не зависели
друг от друга. Тогда число двойных столкновений в единицу времени
в фазовом пространстве в объеме d3r в окрестности радиуса-вектора г
между частицами, скорости которых лежат в й3г;-окрестности v, и
частицами, находящимися в том же самом элементе пространства d3r,
со скоростями, принадлежащими d3v\-окрестности vi (рис.2), пропор-
154
Гл. 7. Состояние равновесия
ционально произведению соответствующего числа частиц, т. е.
пропорционально (fd3rd3v)(f\d3rdsv\). Здесь через f\ обозначена f(v\).
d3rd3v , ; d3rd3vx
г \
О v d3v vi d3v\
Рис. 2. Схематичное представление элементов объемов d3rd3v и d3rd3v\
фазового пространства
Аналогично, положив скорости частиц взаимно независимыми,
получим, что число соответствующих обратных двойных столкновений,
происходящих за единицу времени в том же элементе объема d3r
в окрестности г в фазовом пространстве между частицами, скорости
которых лежат в ^^'-окрестности v', и частицами, скорости
которых принадлежат d3v[ -окрестности v[, пропорционально произведению
{f>dhd4>){f[(Prd4\l где /' = /(v') и /| = /(v',).
В соответствии с принципом детального равновесия в состоянии
равновесия эффект от каждого прямого столкновения компенсируется
эффектом от соответствующего обратного столкновения:
fhd*vd\x=f'f[d\'d*v[. (1.2)
Можно показать, что d3vd3v\ = d3vfd3v[ (см. §2 в гл. 21). Тогда
уравнение (1.2) дает
/(v)/(v,)=/(v')/(v{). (1.3)
Утверждение о том, что корреляция между скоростями частиц
отсутствует, известно как гипотеза о молекулярном хаосе. Она
хорошо обоснована для малых плотностей газа, если средняя длина
свободного пробега больше характерного масштаба, на котором
существенны силы, действующие между частицами. Хотя в общем
случае для плазмы это неверно, применимость функции распределения
Максвелла-Больцмана очень хорошо подтверждена экспериментально.
1.2. Инварианты суммирования
На этой стадии изложения удобно ввести понятие инвариантов
суммирования. Рассмотрим столкновение между двумя частицами,
и будем считать что x(v) — некая физическая величина (скалярная
или векторная), относящаяся к каждой частице. В общем случае эта
величина может быть функцией скорости частицы. Если сумма
величин x(v) двух частиц при столкновении сохраняется, то x(v) называют
§ 1. Равновесная функция распределения
155
инвариантом суммирования. Для столкновения двух частиц,
начальные скорости которых равны v и vi, а скорости после столкновения
равны v' и Vj соответственно, для инварианта суммирования будет
верным соотношение
X(v)+X(v1)=x(v')+X(v'1). (1.4)
Из законов сохранения массы, импульса и энергии следует, что эти
физические величины являются инвариантами суммирования для
двойных упругих столкновений. Обозначая массы двух сталкивающихся
частиц через га и тщ, можно записать законы сохранения массы,
импульса и энергии как
га + rai = га+ 7711, (1-5)
mv-\-m\V\ = mv'-\-m\v\, (1.6)
\mv2 + \mlV\ = im(v')2 + ^.(v',)2. (1.7)
Уравнение (1.5) тривиально, и не дает новой информации. Оно лишь
утверждает, что некая численная постоянная является инвариантом
суммирования. Уравнение (1.6) дает три уравнения, по одному для
каждой компоненты импульса. Четыре уравнения (1.6) и (1.7)
вместе с уравнениями, определяющими прицельный параметр b и угол
в плоскости столкновения е (подробный анализ динамики двойных
столкновений см. в гл. 20), образуют систему из шести уравнений,
решение которых дает шесть неизвестных величин, а именно
компоненты скоростей частиц v' и v[ после столкновения, выраженные
через заданные начальные скорости v и vi. Таким образом, задача
о парном столкновении является уникальной, поскольку решение ее
полностью определяется этими инвариантами суммирования. Любой
другой инвариант суммирования для данного процесса столкновения
не будет давать никакой дополнительной информации и не может
быть независимым. Следовательно, его можно выразить через
линейную комбинацию инвариантов суммирования, определенных
выражениями (1.5), (1.6) и (1.7).
1.3. Функция распределения Максвелла-Больцмана
Продолжим далее вывод равновесной функции распределения по
скоростям, исходя из (1.3) и понятия инвариантов суммирования. Взяв
натуральный логарифм от обеих сторон выражения (1.3), получаем
ln/ + ln/i=lnf+ 1п/[. (1.8)
Отсюда следует, что для процесса столкновения In/ — инвариант
суммирования. Следовательно, In/ можно записать как линейную
комбинацию инвариантов суммирования га, rav и mv2/2:
In/ = ra(a0 + ai • v- -^a2v2)y (1.9)
156
Гл. 7. Состояние равновесия
где ао, ai = а\хЯ. + а\уу + a\zz и а2 — некоторые постоянные.
Отрицательный знак перед а2 выбран для удобства записи последующих
уравнений. Расписав правую часть уравнения (1.9) в декартовых
координатах, получаем
In / = т[а0 + (а21х + а\у + a2lz)/(2a2)}-
- -ma2[(vx - а\х/а2)2 + (vy - а\у/а2)2 + (vz - a{z/a2)2} =
= т[а0 + а2/(2а2)} - -raa2(v - ai/a2)2. (1.10)
Обозначив новые константы через
hC = m[a0 + a?/(2a2)], (1.11)
v0 = a!/a2 (1.12)
можно записать (1.10) в виде
/ = Cexp[-ima2(v-v0)2]. (1.13)
Это выражение известно как равновесная функция распределения
Максвелла или Максвелла-Болъцмана.
1.4. Определение постоянных коэффициентов
В выражении для максвелловской функции распределения (1.13)
присутствуют пять неизвестных постоянных коэффициентов: С, а2,
Щх, v0yi V0z- Заметим, что такое же число коэффициентов содержится
и в первоначальном уравнении (1.9). Эти константы можно выразить
через наблюдаемые физические свойства системы: концентрацию гг,
среднюю скорость и и кинетическую температуру Т (или скалярное
давление р, поскольку из уравнения состояния: р = пкТ). Для
установления связи между наблюдаемыми величинами гг, и и Т и постоянными
коэффициентами С, a2, vo выполним следующую процедуру.
По определению концентрация
п
fd3v. (1.14)
Подставляя функцию распределения Максвелла (1.13) в (1.14),
получаем п
п — С exp[--raa2(v - v0)2}d3v. (1-15)
V
Если обозначить А = гпа2/2 и & = (vi — VQi), где г = х, у, z, то
уравнение (1.15) примет вид
+оо
п = С
ехр[-А(ех + £ + ez)№xd£yd£z. (1.16)
§ 1. Равновесная функция распределения
157
Интегрируя по всем возможным значениям £х, ^у и £2, получаем
п = С(1)3/2 = С(^_)3/2
\AJ \та2)
По определению средней скорости
(1.17)
u=(v) =
fvd3v.
(1.18)
Подставляя функцию распределения Максвелла в это выражение,
получаем
и
С
vexp[--ma2(v - vo)2]d3v.
(1.19)
Используя те же обозначения, что и в (1.16), можно записать
+оо
U
С
(£*х + £уу + 63) ехр[-Л(Й + U + Й)]#*<М& +
+оо
+ —v0
п
ехр[-Л(Й + Й + £)]#*#*#,. (1-20)
Первый тройной интеграл по всем возможным значениям £х, £у и £2
в правой части (1.20) исчезает, поскольку подынтегральное выражение
является нечетной функцией от £г- В соответствии с (1.16) второй
тройной интеграл равен п/С. Таким образом, получаем, что
u = v0, (1.21)
т. е. константа vo представляет собой среднюю скорость частиц.
Напомним, что скорость частицы v можно представить в виде
суммы ее случайной (собственной) скорости с и средней скорости и:
v = с + и. Если поступательное движение системы в целом
отсутствует, то vo = и = 0.
Рассмотрим теперь термодинамическое определение кинетической
температуры Т:
-nkT = ^nm(c2) = -т
fczd6v
(1.22)
где к — константа Больцмана. Подставляя в него выражение для
функции распределения Максвелла (1.13) и заметив, что c = v —u
и d3v = d3c, получаем
3-пкТ = Х-гпС
c2exp(-Ac")d6c.
(1.23)
158
Гл. 7. Состояние равновесия
Вычисление тройного интеграла по всем возможным значениям сх, суу
cz дает
kT=(^)(^f2. (1.24)
\па,2/ \та2/
Теперь из (1.17) и (1.24) можно найти С и а2'.
<*=± (1.26)
Подставляя эти значения в (1.13), получаем следующее выражение для
функции распределения Максвелла по случайным скоростям:
Это и есть равновесная функция распределения для системы
однородно распределенных по пространству частиц в отсутствие внешних
сил. Отметим, что концентрация п и температура Т — это постоянные,
не зависящие от г и t. Такая функция распределения представляет
собой единственное неизменное во времени распределение по скоростям
частиц газа для заданных п и Т. Каким бы ни было распределение по
скоростям в газе, который не находится в равновесном состоянии, его
функция распределения с течением времени стремится к виду (1.27)
при условии, что внешние силы на газ не действуют.
Если система в целом не участвует в поступательном движении
(например, помещена в контейнер), средняя скорость и равна нулю
и соответственно в уравнении (1.27) с = v. Равновесная функция
распределения зависит только от модуля случайной скорости с. Таким
образом, если в газ поместить идеально отражающую поверхность, /(с)
останется той же самой, поскольку модуль случайной скорости при
отражении от такой поверхности не изменяется.
Если плазма находится в равновесии и различные ее
составляющие — электроны, ионы и нейтральные частицы — имеют
одинаковую температуру, то для каждого сорта частиц распределение
по случайным скоростям будет совпадать с функцией распределения
Максвелла-Больцмана с соответствующим значением концентрации.
1.5. Локальная функция распределения Максвелла-Больцмана
Во многих представляющих практический интерес случаях газ
хотя и не находится в состоянии равновесия, но находится в
состоянии, близком к нему. В этом случае хорошим приближением
является предположение, что в окрестности любой точки газа
существует равновесное состояние с локальной функцией распределения
§ 2. Наиболее вероятное распределение
159
Максвелла-Больцмана следующего вида:
]3/2
/(r,v,*)=ji(r,*)
т
^{-!г1ЙгШг}' (1'28)
2тг/сТ(г, t)
где концентрация гг, температура Т и средняя скорость и являются
медленно меняющимися функциями г и £.
§ 2. Наиболее вероятное распределение
Мы получили, что функция распределения Максвелла-Больцмана
представляет собой решение уравнения Больцмана для газа в
состоянии равновесия в отсутствие внешних сил. Из процедуры вывода
выражения для функции распределения вытекает важное следствие:
вид функции распределения не зависит от сечения рассеяния частиц.
Это означает, что при описании состояния равновесия функция
распределения Максвелла-Больцмана в определенном смысле является
универсальной, ее можно получить, не рассматривая взаимодействия
между частицами в явном виде. Именно таким способом дается вывод
функции распределения Максвелла-Больцмана в статистической
физике, где показано, что эта функция — наиболее вероятное
распределение, удовлетворяющее макроскопическим условиям (ограничениям),
накладываемым на систему.
В статистической физике любой макроскопической системе
соответствует огромное число возможных микроскопических состояний,
каждое из которых описывается одинаковыми макроскопическими
параметрами, определяющими систему, такими как концентрация тг, средняя
скорость и и термодинамическая температура Т. Каждое
микроскопическое состояние считается равновероятным. Если произвольным
образом выбрать какое-либо микроскопическое состояние системы из
всех возможных микроскопических состояний, совместимых с
данными макроскопическими параметрами (такими как гг, и и Т),
вероятность выбора состояния с распределением Максвелла окажется гораздо
больше, чем какого бы то ни было другого состояния. Также можно
показать, что энтропия системы пропорциональна вероятности
выбора данного распределения. Следовательно, состояние с максимальной
энтропией — наиболее вероятное состояние, совместимое с
макроскопическими ограничениями, накладываемыми на систему.
Смысл функции распределения Максвелла-Больцмана можно
также проиллюстрировать следующим примером. Если разреженный газ
приведен в произвольное неравновесное состояние и если между
частицами наличествуют столкновения, которые позволяют газу
переходить из начального в различные другие состояния, то по прошествии
некоторого времени газ обязательно достигнет состояния с максвел-
ловским распределением его частиц по скоростям, поскольку почти все
возможные микроскопические состояния, совместимые с заданными
макроскопическими условиями, имеют распределение Максвелла.
160
Гл. 7. Состояние равновесия
Вывод наиболее вероятной функции распределения из принципов
статистической физики дает нам информацию лишь о равновесном
состоянии и не предоставляет никакой возможности узнать, например,
сколько времени потребуется некоторой функции распределения,
изначально не находящейся в равновесном состоянии, чтобы стать макс-
велловской (это зависит от конкретного вида выражения для сечения
рассеяния). Уравнение Больцмана с этой точки зрения гораздо более
общее и содержит информацию также и о неравновесных состояниях.
§ 3. Смесь различных сортов частиц
Пусть имеется смесь различных сортов частиц, причем каждый
сорт а характеризуется концентрацией гга, средней скоростью иа
и температурой Та. Тогда аналогично изложенному выше можно
провести вычисления для определения наиболее вероятного
распределения, удовлетворяющего этим макроскопическим параметрам.
Потребуем fafa\ = fafa\ Для каждого вида частиц, при этом условие
/а//31 = fafpi для а Ф & может не выполняться. Отметим, что если
у разных компонент смеси температуры и средние скорости различны,
то система не находится в состоянии равновесия. Для определения
наиболее вероятной функции распределения этой неравновесной смеси
газов (каждый из которых имеет свою собственную концентрацию,
среднюю скорость и температуру), максимизируем энтропию каждой
компоненты, для чего будем независимо применять (1.3) по очереди
ко всем компонентам смеси. Это также максимизирует энтропию всей
системы при данных макроскопических условиях. Задача совершенно
аналогична той, которую мы решали для однокомпонентного газа,
и приводит соответственно к
(УТЬ \ ^/^
2Ж) 6ХР
Таким образом, каждый сорт частиц имеет максвелловское
распределение по скоростям, но со своей собственной плотностью, средней
скоростью и температурой. Хотя данное распределение не является
равновесным для всей системы, поскольку не выполнено условие
равновесного состояния /а//31 = fafpi для всех а и А эт0 распределение
тем не менее остается наиболее вероятным распределением при
заданных макроскопических параметрах. Только при условии равенства
температур и средних скоростей всех компонент это состояние будет
равновесным. Действительно, если объединить две системы,
содержащие разные газы, температуры которых различаются, то через
некоторое время вследствие столкновений начнется перенос энергии между
разными газовыми составляющими. Процесс будет продолжаться, пока
не установится равновесие, при котором все компоненты смеси будут
иметь одинаковые температуру и среднюю скорость.
ma(v -иа)
(3.1)
§4. Свойства функции распределения Максвелла-Больцмана 161
§ 4. Свойства функции распределения
Максвелла-Больцмана
С равновесной функцией распределения приходится сталкиваться
довольно часто, поэтому ниже в этом параграфе описываются
некоторые ее основные свойства. Рассмотрим газ в состоянии теплового
равновесия со средней (потоковой) скоростью, равной нулю, и = 0.
Если средняя скорость не равна нулю, то положим, что наблюдатель
движется со скоростью, совпадающей со средней скоростью движения
газа. Таким образом, пусть v = с. Согласно определению функции
распределения число частиц в единице объема, скорости которых лежат
между v и v + dv, дается выражением
4.1. Распределение по компонентам скорости
Функция распределения по одной компоненте скорости g(vi)
определяется из условия, что g(vi)dvi равно числу частиц в единичном
объеме, г-я компонента скорости которых лежит между vi и vi + dvi,
независимо от значений двух других составляющих.
Например, ж-компонента g(vx)dvx получается интегрированием f(v)
по всем возможным значениям vv и vz:
g(vx)dvx
f(v)dvxdvydvz. (4.2)
Подставляя сюда выражение для функции распределения Максвелла-
Больцмана, получаем
(^ \ 3/2 / vxil? \
+оо +оо
^("IfW (4-3)
2kTj v
Каждый интеграл в (4.3) равен (2жкТ/т)х12. Отсюда
ЪКТ) 6ХР (-2fe#J^ (44)
Очевидно, что это выражение применимо к любой составляющей
вектора скорости. Оно показывает, что каждая из компонент скорости
имеет гауссово распределение, симметричное относительно среднего
значения (vi) = 0 для г = x,y,z. Функция распределения (4.4)
изображена на рис. 3. Заметим, что она уже нормирована соответствующим
11 Биттенкорт Ж.А.
п[т/(2тткТ)]^2
-{кТ/тУ2 О (кТ/т)1'2
Рис. 3. Равновесная функция распределения Максвелла для каждой
компоненты скорости является гауссовым распределением, математическое ожидание
для которого равно нулю ((vx) = 0), а среднеквадратичная ширина равна
(i&)l'2 = (kT/m)1'2
образом, т. е.
+оо
g(vx)dvx = п.
(4.5)
Тот факт, что среднее значение (vi) равно нулю, физически
очевиден и следует из соображений симметрии, поскольку любая
составляющая вектора скорости с одинаковой вероятностью может быть
как положительной, так и отрицательной. Можно также проделать
следующие математические выкладки:
+оо +оо
Ы =
1
[ 9Ыч<1ч = (^) '/2 | exp (-g) VidVi = 0, (4.6)
поскольку подынтегральное выражение — нечетная функция г>,.
Следовательно, если I — нечетное целое число, то
№)=0, I =1,3,5,..
(4.7)
С другой стороны, (v|) по определению положительно и представляет
собой дисперсию V{i
+оо
(v!) =
1
g(vi)Vidvi =
кТ
(4.8)
Этот результат согласуется с теоремой о равном распределении энергии
по степеням свободы, в соответствии с которой
^m(v!) = ±kT
(4.9)
§4. Свойства функции распределения Максвелла-Больцмана 163
для г = x,y,z. Среднеквадратичная ширина распределения Гаусса д(ъ\)
дается выражением
^1/2=0 • (4Л0)
из которого видно, что чем выше температура, тем больше будет
полуширина функции распределения g(vi).
Компоненты скорости ведут себя как статистически независимые
величины. Так как v2 = v^-\-v2 +vl, вероятность того, что скорость
частицы лежит между v и v + dv, равна произведению вероятностей
того, что компоненты скорости лежат между ViHVi + dvi для г = ж, у, z:
f(v)d3v _ g(vx)dvx g(vy)dvy g(vz)dvz (4 11)
n n n n
4.2. Распределение по модулю скорости
Поскольку функция распределения по скоростям Максвелла-
Больцмана изотропна, имеет смысл определить функцию
распределения по модулю скорости v = |v|. С этой целью рассмотрим
сферическую систему координат в пространстве скоростей (v,0, </>), показанную
схематически на рис. 4. Элемент объема d3v в пространстве скоростей,
лежащий между координатами (у,0,ф) и (v + dv,0 + d0tф + dф)t равен
d3v = v2smвdвdф. (4.12)
Функция распределения по модулю скорости F(v) определяется
следующим образом: F(v)dv равно числу частиц в единичном объеме,
модуль скорости которых лежит между v и v + dv, независимо от
направления вектора скорости v. Следовательно, для нахождения F(v)
надо проинтегрировать f(v) по всем скоростям, модули которых лежат
между v и v + dv, независимо от величин в и ф. Это значит, что
конец вектора скорости лежит в промежутке между двумя сферами,
имеющими радиусы, равные v и v + dv (рис. 5). Таким образом,
г г
F(v)dv --= f(v)v2 sinвdвdфdv. (4.13)
Поскольку f(v) зависит только от модуля v и не зависит от его
направления,
7Г 27Г
F(v)dv = f(v)v2dv
sm9d9
dф = 47гv2f(v)dv. (4.14)
Заметим, что 47rv2dv равно объему в пространстве скоростей,
показанному на рис.5. Подставляя в уравнение (4.14) функцию распределения
Максвелла-Больцмана /(г;), получаем распределение по модулю ско-
РтГ- ед^^^р (-=£). (4.15)
11*
164
Гл. 7. Состояние равновесия
kvy
v + dv . >-■'' "
Рис. 4. Сферическая система
координат (у,6,ф) в пространстве
скоростей
Рис. 5. Схематичное двумерное
представление элемента объема в
пространстве скоростей, содержащего все
частицы, модуль скорости которых лежит
между v и v + dv
Это выражение уже нормировано, поэтому
со
F(v)dv = п.
(4.16)
Из выражения для F(v) видно, что с ростом v экспоненциальный
множитель начинает уменьшаться быстрее, чем v2 растет. В результате
при некотором значении скорости v, которое называется наиболее
вероятной скоростью, возникает максимум F(v). График F(v) показан
на рис. 6.
F(v)k
Рис. 6. Распределение Максвелла по модулю скорости. Показана наиболее
вероятная скорость г>тр
§4. Свойства функции распределения Максвелла-Больцмана 165
4.3. Средние скорости молекул
Средняя арифметическая скорость равна
+оо
(V)
1
fvd3v
fvdvxdvydvz,
или
(v) = - F(v)vdv.
(4.17)
(4.18)
Эта величина по определению положительна, поскольку v = |v| всегда
больше нуля. Подставляя в (4.18) выражение (4.15) для F(v), получаем
со
о v /
(4.19)
Следовательно,
(v) = (8/7r),/2(fcr/m)1/2. (4.20)
Интегралы вида
т
х^ ехр(—ax2)dx,
(4.21)
где j — положительное целое число, часто встречаются при
вычислении средних значений с использованием распределения Максвелла по
скоростям. Для удобства выпишем здесь значения нескольких
интегралов вида (4.21):
/(0) = i^a-i/*, 1(1) = ±а-',
1(2) = 1.^-3/2, /(3) = \а-\
1(A) = 1ъ{'2а-ь1\ 1(5) = а"3.
О
Средний квадрат скорости молекул равен
(4.22)
+оо
(v2) =
fv2dvxdvydvz = — vA f(v)dv.
(4.23)
Подставляя сюда выражение для функции распределения Максвелла,
получаем
(v2) = 4тг (
т
л
3/2
2тг/сТУ
4 I mv \ J
v ехр' ~Wt '^'
(4.24)
166
Гл. 7. Состояние равновесия
откуда
(г;2) = ЗкТ/т. (4.25)
Этот результат можно также получить из (4.8), заметив, что v2 = г;2 +
+ v2+vl и (vl) = (у2) = (vl). Средняя квадратичная скорость дается
выражением
vTms = (v2)l/2 = (3kT/m)1/2. (4.26)
Наиболее вероятная скорость молекул vrnp соответствует
максимуму F(v), и ее можно получить из условия
№) = 0. (4.27)
\ dV J V=Vmp
Дифференцируя (4.15) по v, имеем
dF(v) 0 / mv2\ . 2 / mv\ ( mv2\ tA ооч
^r ^ 2иехР (-ш)+v (-*т)ехр {-ш) • (4-28)
что для условия максимума (4.27) дает
ушр = (2кТ/т)^2. (4.29)
Заметим, что все средние скорости (v), vrrns и ушр пропорциональны
множителю (ZuT/m)1/2 и vmp < (v) < vrms. Поэтому с увеличением
температуры значения средних скоростей будут увеличиваться, а при
одинаковой температуре частицы с большей массой будут двигаться
с меньшей скоростью. Также очевидно, что средняя кинетическая
энергия случайного движения частиц удовлетворяет соотношению
\m(v2) = \кТ. (4.30)
4.4. Распределение тепловой кинетической энергии
Распределение тепловой кинетической энергии G(E) частиц, где
Е = mv2/2, следует из того факта, что G(E)dE равно числу частиц
в единице объема, случайная кинетическая энергия которых лежит
в интервале между Е и Е + dE. Распределение частиц по энергиям
можно получить из уравнения (4.15), заменив v на (2E,/m)1/2, a dv на
dEj(2mE)xl2. Таким образом,
с<^М^Г("Ы-£)^ (43,)
После упрощения получаем
G{E)dE = V^Few^)dE- (4'32)
Функция G{E) показана на рис. 7.
§4. Свойства функции распределения Максвелла-Больцмана 167
Рис. 7. Распределение Максвелла тепловой кинетической энергии частиц.
Затемненная область показывает число частиц, случайные тепловые энергии
которых лежат между Е и Е + dE
4.5. Случайный поток частиц
В гл. 6 было показано, что поток частиц в некотором направлении,
определенном единичным вектором п, равен
Гп = n(vn)
/v • rid3v.
(4.33)
Рассмотрим некий элемент поверхности, расположенный в газе. Нас
будет интересовать, сколько частиц в единицу времени проходит через
единицу площади данной
поверхности вследствие случайного
движения. В уравнении (4.33)
учитываются частицы, приходящие к
элементу поверхности, определенному
нормалью п, со всех возможных
направлений. Поскольку
предполагается, что средняя скорость и
равна нулю, то поток, полученный из
(4.33), очевидно будет равен нулю,
так как (с) = 0. В этом случае
интересно рассмотреть поток только тех
частиц, которые благодаря своему
случайному движению пересекают
элемент поверхности с одной
стороны (например, так, что v • п
положительно).
Пусть dS — элемент поверхности, расположенный в начале
декартовой системы координат (ж, у, z) с нормалью вдоль оси z, т. е. dS = zdS
(рис.8). Рассмотрим только частицы, пересекающие zdS со стороны
z < 0, скорости которых лежат в пределах от v до v + dv и образуют
Рис. 8. Призма с основанием
dS = zdS, содержащая частицы,
скорости которых заключены
между v и v + dv, и которые пересекут
dS за интервал времени dt
168
Гл. 7. Состояние равновесия
с осью z угол 0, т.е. v • z = vcos{6). Записав d3v в сферических
координатах v, 0, ф,
d3v = v2 sin вйвйфёю,
(4.34)
получим плотность потока частиц, приходящих в результате
случайного движения к zdS из области z < 0:
т/2
2тг
rz =
fv3dv
sin 0 cos #d#
dф — rк
fv3dv.
(4.35)
Подставляя в это уравнение выражения для функции распределения
Максвелла f(v), находим
/ т \3/2
\2ixkT)
ехр
mv
~ШГ
v6dv.
(4.36)
(4.37)
После вычисления интеграла получаем
Г = п ( 1 = -n(v).
Здесь, поскольку функция распределения Максвелла изотропна и,
следовательно, (4.37) применимо к любому направлению внутри газа, у Г
был опущен индекс z.
Важно отметить, что случайный поток частиц обратно
пропорционален квадратному корню из массы частицы. Поэтому у электронов
в плазме плотность потока частиц будет намного больше, чем у ионов
(поскольку отношение массы электрона к массе протона равно 1/1836).
Эта разница электронного и ионного тепловых потоков частиц играет
очень важную роль во взаимодействии плазмы с помещенным в нее
материальным телом (см. гл. 11).
4.6. Кинетическое давление и поток тепла
Из определений тензора кинетического давления второго ранга
V = рт(сс) =т
и вектора потока тепла
q =
2Рт(с2с) = -га
ccfd3v
c2cfd3v,
(4.38)
(4.39)
(4.40)
подставив функцию распределения Максвелла, получаем
V = Рт((с2х)9.9. + (с2у)уу + (c2z)zz) = nfcT(xx + yy + zz)
и, поскольку интеграл от нечетной функции в подынтегральном
выражении равен нулю,
q = 0. (4.41)
§ 5. Равновесие в присутствии внешних сил
169
Таким образом, скалярное давление равно
р = пкТ. (4.42)
§ 5. Равновесие в присутствии внешних сил
Пусть газ, находящийся в состоянии равновесия, поместили в поле
консервативных сил, тогда функция распределения его частиц будет
отличаться от распределения Максвелла-Больцмана
экспоненциальным множителем, называемым распределением Больцмана. х)
Консервативную силу можно определить через потенциальную энергию £/(г)
как
F(r) = -Vf/(r). (5.1)
Видно, что консервативная сила является функцией только радиуса-
вектора г, поэтому равновесное решение уравнения Больцмана в этом
случае будет иметь вид
/(r,v) = /0(t;)V(r), (5.2)
где fo(v) — равновесная функция распределения
Максвелла-Больцмана, а ф(г) — скалярная функция, зависящая только от г, которую
нам надо определить. Это можно сделать, потребовав, чтобы (5.2)
удовлетворяло уравнению Больцмана при равновесных условиях в
присутствии консервативного поля:
v • V[/o(t#(r)] - 1 [Vtf (г)] • V„ [/o(t>)V(r)] = 0. (5.3)
Поскольку можно легко проверить, что
Vv/o
выражение (5.3) упрощается:
/о(г
Из него следует, что
V„/o(«) = ~Ш, (5.4)
/o(v)v • \уф(т) + J^VW W(r)] = 0. (5.5)
Так как dip = V • dr, (5.6) можно также записать в виде
1) Отметим, что у автора используется термин фактор, или множитель,
Больцмана, который в отечественной литературе по статистической физике
имеет другой смысл. — Примеч. ред.
170
Гл. 7. Состояние равновесия
Решением этого дифференциального уравнения будет функция вида
ф(г) = А0ехр[-^], (5.8)
где Д) — постоянная, которая может быть определена из условия
f(r,v)d3v = n(r), (5.9)
откуда получаем
п(г) = Д) ехр
С/(г)
кТ
h{v)d\.
(5.10)
Обозначая через щ концентрацию в области, где при условии
равновесия U(г) = 0, имеем
rfo(v)<Pv. (5.11)
щ =
Видно, что Д) = 1. Таким образом, равновесная функция
распределения (при и = 0) в присутствии поля консервативных сил имеет вид
/(г>и) = /о(^)ехр
J7(p)
кТ
( m \3/2
(\rnv2 + U)
кТ
. (5.12)
\*Ш) ехр1
Концентрация для системы, описываемой такой функцией
распределения по скоростям, равна
[/(г)1
п(г) = щ ехр
кТ
(5.13)
Множитель ехр[—U(r)/kT], отвечающий за неоднородность функции
/(г,г>) в (5.12), называется распределением Больцмана.
Важный частный случай представляет собой плазма в присутствии
консервативных сил электростатического поля:
Е = -V0(r),
(5.14)
где ф(г) — электростатический скалярный потенциал. Потенциальная
энергия в этом случае равна
Щт)=Яф{т). (5.15)
Таким образом, концентрация частиц с зарядом q, находящихся в
равновесии в электростатическом поле, дается выражением
яФ(?У.
п(г) = щ ехр
кТ
(5.16)
Это выражение очень полезно при анализе электростатического
экранирования в плазме (см. гл. 11).
§ 6. Степень ионизации в состоянии равновесия и формула Саха 171
§ 6. Степень ионизации в состоянии равновесия
и формула Саха
Используя методы статистической физики, можно определить
степень ионизации газа, находящегося в тепловом равновесии при
некоторой температуре Т, не вдаваясь в детали процесса ионизации. Для
ионизации атома или молекулы необходимо затратить определенное
количество энергии. Эту энергию удобнее выражать в электронволыпах.
Часто ее называют потенциалом ионизации. Значения потенциала
ионизации некоторых атомов приведены в табл. 1. Заметим, что
средняя энергия кТ, равная 1 эВ, соответствует температуре 11 600 К.
Очевидно, что средняя тепловая кинетическая энергия частицы (З/сТ/2)
становится больше ее энергии ионизации только при очень высоких
температурах. Тем не менее ниже будет показано, что можно получить
значительную степень ионизации, даже если средняя тепловая энергия
частицы намного меньше энергии ионизации. Такая возможность
возникает потому, что частицы с большими скоростями (хвост
распределения Максвелла) имеют достаточно большую энергию для ионизации
атома посредством столкновений. Степень ионизации при тепловом
равновесии в этом случае определяется балансом между скоростью
ионизации посредством столкновений и скоростью рекомбинации.
Чтобы найти относительную долю ионизованных и нейтральных
атомов в плазме при некоторой заданной температуре, будем
использовать функцию распределения частиц, аналогичную приведенной
в уравнении (5.13). Однако для решения задачи ионизации необходимо
учитывать квантовомеханические эффекты. Обозначая концентрации
частиц с энергиями Ua и Щ через па и щ соответственно, из уравне-
Таблица 1
Энергия потенциала ионизации U первого электрона для некоторых атомов
Элемент
Гелий (Не)
Аргон (А)
Азот (N)
Кислород (О)
Водород (Н)
Ртуть (Hg)
Железо (Fe)
Натрий (Na)
Калий (К)
Цезий (Cs)
U, эВ
24,59
15,76
14,53
13,62
13,60
10,44
7,87
5,14
4,34
3,89
172
Гл. 7. Состояние равновесия
ний, известных из статистической физики, получаем отношение па/щ'.
(Ua - Ub)] /g j4
— = — exp
пь дъ
kT
где да и дъ — это статистические веса для энергий Ua и Щ,
т. е. кратности вырождения уровней, определяющие число состояний
с энергиями Ua и Щ. Для частного случая системы, у которой
существуют только два уровня энергии, Ua и Щ, доля частиц а, которые
находятся в состоянии с более высокой энергией, равна
а =
ПЬ \ПЬ J
-1
(6.2)
а ■
(6.3)
(Па + Пб)
или, подставив (6.1) и обозначив U = Ua — Щ, имеем
(да/дь)ехр(-и/кГ)
(да/дъ)ехр(-и/кГ) + 1'
При решении задачи ионизации за состояние а принимается
состояние пары электрон-ион, за состояние b — состояние нейтрального
атома, a U = Ua — Щ полагается равным энергии ионизации.
Температура Т, для которой а = 0,5, т. е. 50% всех атомов находятся в
ионизованном состоянии (па = щ), определяется следующим выражением:
9а f U
дь V к1[/2
= 1,
откуда
Т\/2 =
U
(6.4)
(6.5)
к\п(да/дъ)'
На рис. 9 показана зависимость а от Г, определяемая уравнением (6.3).
0,5
А
\-
АТ
►
о
И/2
Рис. 9. Функция а(Т), показывающая долю частиц в ионизованном состоянии
как функцию температуры Т
§ 6. Степень ионизации в состоянии равновесия и формула Саха 173
Доля частиц в ионизованном состоянии изменяется от значения,
почти равного нулю, до практически равного единице в небольшом
температурном диапазоне. Оценить величину этого температурного
диапазона можно, представив кривую а(Т) прямой линией с углом
наклона, равным углу наклона реальной кривой а(Т) при Т\/2, и
определив разность температур ДТ, для которой а изменяется от а = О
до а =1. Тогда /Йп,(т\\ i
М/2
Полагая d(ga/gb)/dT = 0 из (6.3) получаем
U
V <П
Таким образом,
V dT JTl/2
U а2
T\ga/gb)eM-U/kT)\Tu2 4Tj
П/2
(6.7)
4Т1/2 MJ
AT = У1 Г17 , = — ,. (6.8)
кНда/дъ) [к\п(да/дь)}2
Отсюда видно, что чем больше отношение да/дь, тем меньше ДТ.
Поскольку газ в ионизованном состоянии вырожден существенно
сильнее, чем в нейтральном (да > дь), касательная к кривой а(Т),
заданной (6.5), в окрестности Т\/2 имеет сильный наклон, где и
происходит большая часть переходов из нейтрального состояния в
ионизованное. Таким образом, при да > дь кривая а(Т) выглядит почти
как ступенчатая функция, причем ионизация происходит вблизи Т\/2-
Кратность вырождения да и дь можно получить из квантомеханиче-
ских расчетов. Если пренебречь незначительным потенциалом
взаимодействия между ионом и свободным электроном, а также внутренними
степенями свободы частиц, то оказывается, что
да = /2тгше/сТ\3/2 1 (бд)
дь \ h2 ) ги1
где h — постоянная Планка, а щ — концентрация ионов. Отсюда имеем
^=2,405- 1021Т3/2-, (6.10)
gb ГЦ
где Т выражено в градусах Кельвина, а щ — в м-3. Подставив
этот результат в (6.1), получаем следующее выражение, известное как
формула Саха:
^ = 2,405 .Ю21Т3/2-!-ехр(-^У (6.11)
Поскольку 1 эВ = кТ при Т = 11 600 К, ее можно также переписать
в виде
^ = 3,00 • 1027Т3/21 exp f-g) , (6.12)
Пп Пг \ 1 )
174
Гл. 7. Состояние равновесия
где Г выражено в эВ, а щ — в м~6. Таким образом, когда полная
концентрация щ = щ + пп относительно мала, существенная степень
ионизации может быть получена при температурах, значительно
более низких, чем энергия ионизации, что и иллюстрирует рис. 10, где
2 Т, эВ
Рис. 10. Степень ионизации а = Пг/(пг + пп) как функция температуры для
атомарного водорода (U = 13,60 эВ). Разные кривые соответствуют разным
значениям концентрации nt = т + пп, выраженной в м
-з
показана степень ионизации водорода как функция температуры для
концентраций 1016, 1019, 1022 и 1025 м-3. Когда концентрация
становится меньше, значения AT и Т\/2 также сильно уменьшаются и
существенную степень ионизации можно получить уже при температурах,
намного ниже энергии ионизации атома водорода (13,6 эВ). Для такого
газа, как цезий, энергия ионизации которого равна всего лишь 3,89 эВ,
высокая степень ионизации возникает уже при относительно низких
температурах порядка 1000 К.
Задачи
7.1. Двумерный газ состоит только из одного типа частиц,
движение которых ограничено плоскостью z = 0, и характеризуется
однородной изотропной двумерной функцией распределения Максвелла-
Больцмана, причем и = 0:
/^=П0(25г)вХр"
m(v2x + v2y)
2кТ
где по — это число частиц на единицу площади.
а) Покажите, что наиболее вероятная скорость частиц равна
v.
тпр
= (кТ/гп)
1/2
§ 6. Задачи
175
1/2
б) Покажите, что концентрация частиц, скорости которых больше,
чем наиболее вероятная скорость, равна (1/е)*/2, где е — основание
натурального логарифма.
в) Покажите, что число частиц, пересекающих отрезок единичной
длины за единичное время (поток) только с одной стороны отрезка,
равно
г-?<■>-*(&)'
г) Покажите, что тензор давления второго ранга равен
Р = п0/сТ(хх + уу).
7.2. Рассмотрим газ, состоящий из частиц одного сорта и
характеризующийся равновесной функцией распределения Максвелла-
Больцмана, причем и = 0:
а) Покажите, что общее число частиц, пересекающих единичную
площадь за единичное время и лежащих в элементе dfi телесного угла,
равно
п0 / кТ у/2 л,п
— = -г— cos вам,
7Г \ZnmJ
где в — угол между ориентацией телесного угла и направлением
нормали к рассматриваемой поверхности.
б) Покажите, что доля частиц, которые пересекают единичную
площадь, перпендикулярную оси х, за единичное время только с
одной стороны и компоненты скорости которых лежат в интервале
d3v = dvxdvydvz в окрестности v, равно
1 /m\2 / mv2\ ,з
-(-) tfeexp^-^jdt,.
в) Получите выражение для тензора потока тепловой энергии для
газа с максвелловским распределением.
7.3. Распределение частиц по тепловой кинетической энергии Е
для максвелловского газа равно
2пЕ1/2 ( Е
\kTf
Получите выражение для наиболее вероятной энергии и покажите,
что скорость частиц с этой энергией равна (кТ/т)1/2.
7.4. Энтропия системы может быть выражена с помощью функции
распределения как
S=-k
f\nfd6vd6r.
176
Гл. 7. Состояние равновесия
Покажите, что для функции распределения Максвелла энтропия
удовлетворяет следующим термодинамическим соотношениям:
\dE)v,N T'
\dVJEtN Т'
где N — полное число частиц в системе, V — объем системы и Е =
= 3NkT/2 — полная энергия.
7.5. Получите выражение для спектрального распределения
интенсивности спектральной линии, излучаемой на центральной частоте щ,
при доплеровском (тепловом) уширении в предположении, что
излучающие атомы имеют максвелловское распределение по скоростям.
Остальные факторы, влияющие на профиль линии, не учитывать.
Указания: 1) изменение частоты вследствие доплеровского сдвига,
связанное с относительным (нерелятивистским) движением излучающих
атомов по отношению к направлению наблюдения (например,
направлению х), равно
Ух
V - щ = -Vq — ,
С
где с — скорость света в вакууме; 2) наблюдаемая интенсивность
в частотном диапазоне между v и v + dv, т. е. l{y)dv, пропорциональна
числу излучающих атомов на единичный объем, скорости которых
в направлении наблюдения (направлении х) лежат между vx и vx + dvx.
7.6. Рассмотрим смесь газов, в которой на единицу объема
приходится пе электронов и щ ионов кислорода, причем вся смесь находится
в состоянии теплового равновесия при температуре Т, а дрейфовая
скорость равна нулю.
а) Разделите движение частиц разных типов на движение в системе
отсчета, связанной центром масс системы двух частиц, и на
относительное движение частиц одного типа относительно частиц второго
типа, но с использованием приведенной массы. Вычислите якобиан J
такого преобразования и покажите, что \J\ = 1.
б) Покажите, что центры масс частиц имеют распределение
Максвелла по скоростям, а распределение частиц по относительным
скоростям также представляет собой распределение Максвелла, но с массой,
равной приведенной массе.
в) Какова будет величина Т, для которой 1/5 часть электронов
будет иметь относительную кинетическую энергию больше 2 эВ? Полезно
рассмотреть следующий интеграл:
оо
[ х2 exp(-ax2)dx = хоеМ-ах20) + jr^_ ^^1/2 }
Хо
где erfc(a1/2xo) — дополнительная функция ошибок.
§ 6. Задачи
177
7.7. Газ, состоящий из молекул Ог с концентрацией п и абсолютной
температурой Т, находится в состоянии равновесия. Получите
выражение для среднего значения величины, обратной скорости частицы, т. е.
(l/v).
7.8. Плазма находится в равновесии под действием внешнего
электростатического поля Е и гравитационного поля g. Пусть плазма
движется как целое с постоянной скоростью и относительно системы
отсчета наблюдателя. Получите выражение для функции
распределения частиц сорта а плазмы.
7.9. Частицы в атмосфере Земли находятся в состоянии равновесия
в присутствии гравитационного поля. Пусть атмосфера
(горизонтальная плоскость х, у) стратифицирована, имеет постоянную
температуру Г, а ускорение свободного падения равно g = — gz, и не зависит от
высоты. Получить выражение для концентрации na(z) в зависимости
от высоты z для частиц сорта а, выразив его через концентрацию
Па(%о) на некоторой высоте zo и шкалу высот На = kT/mag. Как
изменится выражение для na(z), если Т и д зависят от высоты?
7.10. Температуру плазмы, которая находится в тепловом
равновесии с нейтральным газом, можно определить экспериментально,
измеряя концентрацию электронов пе, например, посредством СВЧ-диаг-
ностики, и концентрацию нейтральных атомов, находящихся в данном
возбужденном состоянии по скорости переходов в состояние с более
низкой энергией. Определите температуру плазмы, состоящей только
из одного типа ионов, причем концентрация электронов равна 1020 м-3,
плазма находится в равновесии с газом с потенциалом ионизации 2 эВ
и концентрацией 1015 м-3.
7.11. Рассмотрим две большие камеры, которые связаны друг
с другом посредством лишь небольшого отверстия с площадью А
в очень тонкой стенке, разделяющей камеры (рис. 11). В камерах
находится идеальный газ при очень низком давлении, таком, что средняя
длина свободного пробега частицы
намного больше, чем размеры А.
Температуры в камерах равны Т\ и Тг
соответственно. Определить
отношение давлений р\/р2 в камерах,
считая, что в условиях равновесия
поток частиц через А из одной камеры
должен быть равен потоку частиц из ~ ,, п
„ r TT J Рис. 11. Две камеры, содержа-
другой камеры. Что изменится, если щие газ при низком давлении и
давление будет равным нормальному? сообщающиеся через небольшое
Дать физическое объяснение получен- отверстие площади А (к задаче
ным результатам. 7.11)
12 Биттенкорт Ж.А.
178
Гл. 7. Состояние равновесия
7.12. Используя законы сохранения импульса и энергии при
столкновениях, показать, что функция распределения Максвелла-Боль-
/(«) = п ^zuf ) ехР
77l(v — U)
" 2kf
цмана
\ь№г)
удовлетворяет следующему уравнению детального равновесия:
7.13. Показать, что средняя тепловая энергия, приходящаяся на
одну частицу в газе при термодинамическом равновесии, равна 1,292 х
х 10~4 эВ/К.
Глава 8
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
§ 1. Моменты уравнения Больцмана
В предыдущей главе было показано, что макроскопические
параметры плазмы, представляющие физический интерес, например,
концентрацию па, среднюю скорость иа, температуру Та и т.д., можно
найти, если известна функция распределения рассматриваемой системы.
В гл. 7 эти параметры были вычислены при помощи функции
распределения Максвелла-Больцмана для системы, находящейся в тепловом
равновесии. В принципе, для системы, которая не находится в тепловом
равновесии, функцию распределения можно получить, решив
уравнение Больцмана. Однако, как правило, нахождение решения уравнения
Больцмана представляет собой очень трудоемкую задачу. В этой главе
показано, что для определения макроскопических параметров
системы необязательно решать уравнение Больцмана. Дифференциальные
уравнения, описывающие временные и пространственные изменения
макроскопических переменных, можно получить непосредственно из
самого уравнения Больцмана, не решая его. Такие дифференциальные
уравнения называются макроскопическими уравнениями переноса,
и их решение, найденное при определенных допущениях, описывает
поведение макроскопических переменных.
Макроскопические переменные связаны с моментами функции
распределения, и уравнения переноса для этих переменных можно
вывести, если взять различные моменты уравнения Больцмана. Первые
три момента уравнения Больцмана получаются при его умножении на
та, mav и mav2/2 соответственно и последующем интегрировании
по пространству скоростей. Они приводят к уравнению сохранения
массы, уравнению сохранения импульса и уравнению сохранения
энергии. Однако система уравнений переноса, возникающая на каждом
этапе вычисления моментов уравнения Больцмана, неполна, поскольку
число уравнений недостаточно для определения всех макроскопических
переменных, которые фигурируют в системе. После вычисления
каждого более высокого момента уравнения Больцмана, необходимого для
замыкания системы, появляется новая макроскопическая переменная.
Поэтому на некотором этапе необходимо оборвать систему уравнений
переноса и ввести упрощение, определяющее самый высокий момент
12*
180
Гл. 8. Макроскопические уравнения переноса
функции распределения в этой системе. В результате, используя
такое упрощение, можно получить полную систему уравнений переноса,
которая позволяет найти все макроскопические переменные, входящие
в эту систему уравнений. Плазма состоит более чем из одного вида
частиц (электроны, ионы и нейтральные частицы), следовательно, для
каждого вида частиц выводится своя система уравнений переноса.
Существует несколько вариантов полных систем уравнений
переноса (или гидродинамических уравнений), которые определяются
различными принятыми допущениями. Среди возможных полных систем
макроскопических уравнений выделяются две широко применяемые
модели — так называемые модели холодной и теплой плазмы.
Уравнения, которые описывают эти две простые модели, и соответствующие
им приближения обсуждаются в §§ 6, 7 этой главы.
§ 2. Общее уравнение переноса
Выведем общее уравнение в частных производных, которое
описывает временные и пространственные изменения важных
макроскопических параметров. Пусть x(v) описывает некоторое физическое
свойство частиц в плазме, которое в общем случае можно представить
функцией, зависящей от скорости частиц. Среднее значение x(v)
находится посредством умножения функции распределения на это свойство
x(v) интегрированием произведения по всему пространству скоростей
и делением его на плотность частиц. Поэтому дифференциальное
уравнение, описывающее временное и пространственное изменение
среднего значения x(v)> можно вывести, умножив уравнение Больцмана на
функцию x(v) и проинтегрировав получившееся уравнение по всему
пространству скоростей.
Рассмотрим уравнение Больцмана для частиц сорта а:
f +v.V/a + a.V„/Q = (f)co;;. (2.1)
Как было описано выше, умножим каждый член на x(v) и
проинтегрируем получившееся уравнение по всему пространству скоростей:
*t«3»+
Xv • Vfad?v +
Ха • Vvfad3v =
*(f L"v (22)
Ниже каждое слагаемое уравнения (2.2) вычисляется по отдельности.
Пределы интегрирования не зависят от пространственных и
временных переменных, а потому частные производные по времени можно
вынести за знак интеграла и первый член в (2.2) можно переписать
ВВИДе * я* я /Г \ С я
^Л = 1(^л)-Квжл- (23)
§ 2. Общее уравнение переноса
181
Последний интеграл в (2.3) обращается в нуль, так как x(v) не зависит
от t. Используя определение среднего, данное в гл. 6, получаем
х^ = |(».<х>0).
(2.4)
Аналогично, для второго слагаемого в (2.2) можно записать
Xv-V/ad3« = V-(|"vx/Q<iV)-
favVXdzv-
/aXV-vrfV
(2.5)
Член, который содержит V • v, равен нулю, так как г, v и t —
независимые переменные. Также равен нулю член, который содержит Vx,
поскольку x(v) не зависит от пространственных переменных. Таким
образом, второй член уравнения (2.2) равен
Xv-V/ad3v = V-(na(xaV>
(2.6)
Таким же образом получаем, что третий член в (2.2) равен
Xa-Vvfad6v =
Vu • (ах/a) d3v - \faSL • Vvxd3v -
focX^v -3id3V.
(2.7)
Последний интеграл в (2.7) становится равным нулю, если
предположить, что
(2.8)
1
V-a= —Vv F
Это верно, если компонента силы Fi не зависит от соответствующей
составляющей скорости Vi, где г = х, у, z. Заметим, что это ограничение
остается верным и для силы, создаваемой движением в магнитном
поле, F = qav x В, поскольку в этом случае Fi также не зависит от Vi.
Например, для х-компоненты имеем
Fx = qa(vyBz -vzBy).
(2.9)
Видно, что (2.9) не зависит от vXJ это верно и для двух других
компонент. Первый интеграл в правой части (2.7) состоит из суммы
трех тройных интегралов:
+оо
V„ • (&xfa)d3v
*"-Е
_9_
dvi
(aixfa)dvxdvydvz.
(2.10)
Поскольку /a(r,v, £) должна быть равна нулю, если Vi стремится к
бесконечности, так как не существует частиц с бесконечной скоростью,
182
Гл. 8. Макроскопические уравнения переноса
то для каждого из этих тройных интегралов (г = х, у, z) получаем
+оо
+оо
dvQ
■(a>xXfa)dvxdvydvz =
dvydvz(axXfa\Z™)=0. (2.11)
Следовательно, первый интеграл в правой части (2.7) равен нулю.
Итак,
Ха • Vvfad3v = -na(a • V„x)a. (2.12)
Объединив уравнения (2.4), (2.6) и (2.12), получаем общее
уравнение переноса:
^(Па(х)*) + V • (nQ(xv)Q) - Па(а • Vvx)a= [^(Па(х)а)
coll
(2.13)
где член в правой части отвечает за скорость изменения х в результате
столкновений в единице объема для частиц сорта а:
St
К*(Х>а)
coll
X
№
coll
<fv.
(2.14)
Уравнения, которые выводятся в соответствующих параграфах этой
главы, являются общими и практически не зависят от конкретного вида
столкновительного члена. Вывод общего уравнения переноса для
случая, когда свойство х зависит от г, v и t, рассматривается в задаче 8.6.
§ 3. Сохранение массы
3.1. Вывод уравнения непрерывности
Уравнение переноса (2.13) записано в общем виде и подходит для
любой произвольной функции x(v)- Уравнение непрерывности, или
закон сохранения массы, получается, если в (2.13) принять х — та-
(х)а = та, (3.1а)
(xv)a = ma(v)a = raQua, (3.16)
V<,x = VvraQ =0. (3.1в)
Подстановка этих выражений в общее уравнение переноса дает
уравнение непрерывности:
дргг
dt
+ V • (pmaUa) = Sa,
(3.2)
где рта = пата — массовая плотность, а столкновительный член Sa,
который определяется выражением
Oq — 77l0
V at J coll \ ot J coll
(3.3)
§ 3. Сохранение массы
183
представляет собой скорость, с которой в результате столкновений в
единице объема появляются или исчезают частицы сорта а (с массой та).
Он учитывает процессы производства или исчезновения частиц типа а,
такие как ионизация, рекомбинация, прилипание, перенос заряда и т. п.
При отсутствии взаимодействий, приводящих к появлению или
потере частиц типа а, столкновительный член (3.3) становится равным
нулю, поскольку в этом случае при столкновениях масса сохраняется. При
Sa — 0 уравнение непрерывности выглядит следующим образом:
дрп
dt
+ V • (pmaUa) = 0.
(3.4)
(3.6)
плотность тока.
Поделив каждый член в (3.4) на гаа, уравнение непрерывности можно
записать через концентрацию па:
^+V-(naua) = 0. (3.5)
Уравнение сохранения электрического заряда следует из уравнения
(3.5), если его умножить на заряд частицы qa:
^ + V-Jo=0,
где ра = naqa — плотность заряда, a Ja = pauQ
3.2. Вывод уравнения методом гидродинамики
Уравнение непрерывности можно
также вывести методом
гидродинамики, так как па(г,£) и ua(r,£) —
макроскопические переменные.
Выберем объем жидкости V, ограниченный
замкнутой поверхностью 5, и пусть
dS — iidS — такой элемент площади
этой поверхности, что единичный
вектор нормали п направлен от
поверхности, как показано на рис. 1. Среднее
число частиц сорта а, которые будут
покидать объем V через элемент
площади dS за единицу времени,
определяется выражением
dS. (3.7)
Объем V
Поверхность S
Рис. 1. Замкнутая поверхность 5,
которая ограничивает
произвольный объем внутри жидкости У,
и элемент поверхности dS =
= iidS с нормалью,
направленной наружу
Следовательно, количество частиц
типа а, покидающих объем V за
единицу времени через всю поверхность 5, определяется интегрированием
по всей поверхности выражения (3.7):
Фпаиа • dS.
(3.8)
184
Гл. 8. Макроскопические уравнения переноса
С другой стороны, полное число частиц типа а, которые содержатся
в объеме V, в произвольный момент времени равно
nad3r.
(3.9)
Если предположить, что внутри объема V не происходит рождения или
потерь частиц, то количество покидающих этот объем частиц типа а
должно быть равно скорости уменьшения количества частиц сорта а
внутри V. В результате получаем
д_
'dt
фпаиа • dS
п(
г.
(3.10)
Используя теорему Гаусса-Остроградского, можно записать
фпаиа • dS
V • (nQua)d3r,
и (3.10) переписывается в виде
\дпа
dt
+ V • (паиа)
d3r = 0.
(3.11)
(3.12)
Поскольку это верно для любого произвольного объема V, то
подынтегральное выражение в (3.12) должно быть равно нулю. Следовательно,
мы получили выражение для уравнения непрерывности (3.5).
3.3. Столкновительный член
Рассмотрим теперь выражение для столкновительного члена Sai
который связан с некоторыми механизмами производства и потерь
частиц в плазме. Процессы, приводящие к производству и потерям
частиц, обычно имеют отношение к неупругим столкновениям, например
ионизация, рекомбинация или прилипание электронов.
Ионизацию можно учесть в уравнении непрерывности, если задать
коэффициент ионизации кг таким образом, чтобы количество
произведенных в единицу времени электронов равнялось кгпе.
Важный процесс, приводящий к потери электронов и ионов в
плазме, — рекомбинация электронов с ионами. Обозначим коэффициент
рекомбинации через kr. Его можно определить экспериментально.
Скорость рекомбинации электронов пропорциональна произведению
концентрации электронов и ионов. Предположим, что имеется только один
тип ионов, тогда щ = пе и, следовательно, член, отвечающий за потерю
электронов в процессе рекомбинации, можно записать как krn\.
Другим важным механизмом потери электронов является процесс
прилипания электронов. В этом случае скорость потери электронов
пропорциональна произведению концентраций электронов и
нейтральных частиц. В слабоионизованной плазме концентрацию нейтральных
§ 4. Закон сохранения импульса
185
частиц можно считать приблизительно постоянной, и член,
отвечающий за потерю электронов в результате прилипания, можно записать
как капе, где ка — частота столкновений с прилипанием, которая
определяется экспериментально.
Для вышеописанных типов неупругих столкновений столкновитель-
ный член Sa для электронов можно выразить в виде
Se = те(кгПе - кгп\ - капе). (3.13)
§ 4. Закон сохранения импульса
4.1. Вывод уравнения движения
Для вывода уравнения движения заменим в общем уравнении
переноса (2.13) x(v) на ^v. Если записать v = са + иа и принять во
внимание, что (са) = 0, то слагаемые общего уравнения переноса (2.13)
станут равными:
|(/^a<V>a)=/^a^+Ua^f (4.1а)
V • (Pma(w)a) = V • [Pma(uaUa + Ua(ca) + (ca)ua + (cQCQ))] =
= V- (PmaUaUa+pma(caCa)), (4.16)
= -na(Fx9. + Fyy + Fzz)a = -na(F)a. (4.1b)
Подставив эти выражения в (2.13), получим уравнение сохранения
импульса
Ртос-т^- + Ua-r^ + V • (ршаиаиа) + V • (Рта(саСа)) -
-nQ(F)Q=AQ, (4.2)
где Аа — столкновительный член,
J\-rv — TTln
V Ot /coll
ma Uq)
St
coll
Выражение pma(caca) соответствует тензору кинетического
давления Va, который уже был получен в уравнении (6.6.2) (уравнение 6.2
в гл. 6). Следовательно,
V-(pma(caca» = V-Pa. (4.4)
186
Гл. 8. Макроскопические уравнения переноса
Третий член в левой части (4.2) можно расписать следующим образом:
v * уРта^-а^-а) = ~К~\Рта^ах^-а) "г ~к~\Рта^ау^-а) "г тг~{Pma^az^-a) =
_ ( диа диа диа\
— Рта yUacx ^ т ^ау о т Uaz ^ J т
ду
Г f)( П 7/.—Л f)( П
+ и,
(JyPmocUoLX ) , d(pmaUgy) d(pmaUgZ)
дх ду dz
= Pma(Ua ' V)ua + Ua [V • (/0mQUQ)]. (4.5)
Подставляя (4.4) и (4.5) в (4.2) и используя уравнение непрерывности
(3.2), получаем
^ + (uQ • V)uQ] + V • Va - na(F)a =Aa- uaSa. (4.6)
Для первых слагаемых в скобках можно использовать оператор полной
(субстанциональной) производной по времени:
который соответствует изменению во времени, наблюдаемому в системе
отсчета, движущейся со средней скоростью иа. Если подставить
электромагнитную силу Лоренца и силу гравитации, то последний член
в левой части (4.6) приобретает следующий вид:
-na(F)a = -naqa(E + ua х В) - namag. (4.8)
В этом уравнении поля Е и В — это сглаженные макроскопические
поля. В результате уравнение движения может быть записано как
Pm<*-fif = ПосЧа{¥ + Ua X В) + pag - V • Va + Aa - UQSQ. (4.9)
Физический смысл этого уравнения состоит в следующем: скорость
изменения среднего импульса каждого элемента жидкости
обусловлена приложенными к жидкости внешними силами, сдвигом
(вязкости) и внутренним давлением самой жидкости, а также внутренними
силами, которые связаны со столкновительными процессами. Таким
образом, уравнение движения определяет условия, необходимые для
сохранения импульса, так же как уравнение непрерывности
определяет условия, которые необходимы для сохранения массы (количества
частиц).
В гл. 6 было показано, что член —Wa представляет собой
силу, приложенную к единице объема плазмы, которая возникает из-за
хаотичных изменений скорости частиц. Эта сила, приходящаяся на
единицу объема, состоит из сил, связанных со скалярным давлением,
и сил, вызванных поперечными сдвигами (сил вязкости). В
большинстве случаев вязкость в плазме очень незначительна и
недиагональными членами Va можно пренебречь. Кроме того, в особых случаях, когда
§ 4. Закон сохранения импульса
187
распределение скоростей изотропно, диагональные члены Va равны
между собой и равны скалярному кинетическому давлению ра. Таким
образом, пренебрегая влиянием вязкости и считая распределение
скоростей изотропным, получаем, что Va = — РсД> и сила, приходящаяся
на единицу объема, согласно (6.6.18) равна —V • Ра = — Vpa.
С учетом этих приближений и пренебрегая столкновениями,
которые приводят к появлению или потере частиц (Sa = 0), уравнение
сохранения импульса можно привести к виду
Prna^- =naqa(E + ua xB)+pag- Vpa + AQ. (4.10)
Аналогично выводу уравнения сохранения массы, приведенному
в § 3.2, уравнение сохранения импульса можно получить, основываясь
на гидродинамическом подходе. Здесь такой вывод рассматриваться не
будет.
4.2. Столкновительный член
Символ Аа обозначает скорость изменения среднего импульса
в единичном объеме, вызванную столкновениями. Поскольку при
упругих столкновениях сохраняется полный импульс системы, то
изменение импульса одной из частиц должно быть равно и противоположно
по знаку изменению импульса другой, принимающей участие в этом
столкновении частицы. Это означает, что столкновения, в которых
участвуют частицы одного сорта, не вызывают изменения полного
импульса в единичном объеме и, следовательно, в этом случае Аа = 0.
Однако для жидкостей, состоящих из частиц разных сортов, например
для плазмы, столкновительный член Аа в общем случае не равен нулю.
При столкновениях электронов с нейтральными частицами происходит
передача импульса от электронного газа нейтральному газу.
Столкновения между электронам и ионами также приводят к изменению
полного импульса электронного газа. Таким образом, при столкновениях
между частицами различных сортов столкновительный член должен
быть включен в уравнение сохранения импульса.
Для члена, ответственного за передачу импульса в результате
столкновений, часто используют следующее выражение:
Аа = -Рта^2^ар(^а ~Щ), (4.11)
(3
которое означает, что сила, приходящаяся на единицу объема и
действующая на частицы сорта а вследствие их столкновений с
частицами некоторого другого сорта /3, пропорциональна разнице средних
скоростей этих частиц. Константа vap (размерность которой равна
с-1) называется частотой соударений с передачей импульса между
частицами сорта а и частицами сорта /3. Поскольку полный импульс
в результате соударений должен сохраняться, то
Pma^(uQ - щ) + Pm/3^/3a(U/3 - UQ) = 0. (4.12)
188
Гл. 8. Макроскопические уравнения переноса
Следовательно, частоты соударений vap и vpa удовлетворяют
следующему важному соотношению:
Рта^а/З = Рт(3»(Зос (4.13)
Столкновительный член Аа, определенный (4.3), будет
рассматриваться подробнее в гл. 21. Там будет показано, что чаще всего выражение
(4.11) неверно, даже в случае небольшой разницы между средними
скоростями различных сортов частиц в плазме и максвелловских
распределений по скоростям.
§ 5. Уравнение сохранения энергии
5.1. Вывод уравнения переноса энергии
Для вывода уравнения переноса энергии подставим в общее
уравнение переноса (2.13) вместо x(v) кинетическую энергию частицы
mav2/2. В этом случае получаем
1
<4 = ^(ZPa+Pmaul),
V^X = «rnaVv(v • v) = ma(v . Vv)v = mav
(5.1)
(5.2)
Следовательно, члены в левой части общего уравнения переноса (2.13)
приобретают вид
д_( I \ \ _ 3 дра , д (1 2\
дг[Па[Х)а) ~ 2 т + т y2PmaUa)
1
(5.3а)
(5.36)
-na((F/ma) • V^x)a = ~na(F • v)Q. (5.3в)
Подставив эти выражения в (2.13), получаем уравнение сохранения
энергии
3 дра
2~дГ
где Ма
рений:
V • (nQ(xv)Q) = V • ~Ргпос{(у ' v)v)Q
+ я7 (^prnocul) + V • \^pma({v • v)v) J - na(F . v)Q = MQ,
dt\l. J 12 J (54)
— скорость изменения плотности энергии в результате соуда-
Ма = 2та
•4$)
'3„,_
dPv
coll
S(^Pma(v2)a)
Si
(5.5)
coll
Уравнение сохранения энергии (5.4) можно записать в
альтернативной форме. Рассмотрим сначала третье слагаемое в левой части
(5.4). Положив v = са + иа, получаем, что выражение ((v • v)v) равно
([(uQ + ca)(ua + cQ)](uQ + cQ)> = ({u2a + 2ua • ca + c2a)(ua + cQ)> =
u2aua + (4)uQ + 2(caca) • ua + (c )• (5.6)
§ 5. Уравнение сохранения энергии
189
Член рта(саса) — это тензор давления Va, a r/)mQ(4ca) —
определенный в гл. 6 вектор потока тепла qa. Там также было показано,
что nPrnot^V) =* 3pa/2. Следовательно,
2Pma((v • v)v)Q I = V • I ^pmau2aua + ^(3paua) + Va ' ua + q0
= V • Г^Pma^UaJ + ^{3pa)(V • UQ) +
+ i(ua • V)(3pa) + V • (Va • ua) + V . qa. (5.7)
Подставляя этот результат в (5.4) и используя обозначение D/Dt для
полной производной по времени (4.7), получаем
£ (Зь) + (*■) v • „„ +1 (i^) + v - (|р„„»>„) +
+ V • {Va • ua) + V • qQ - ria(F • v)a = Ma. (5.8)
Третий и четвертый члены в левой части можно записать как
dt
(■^РгпаЪа * Uaj + V • (^pma(Ua ' Ua)uaj = -иа-^- +
+ PmaUa • -^ + -UaV • (pmaUa) + /9maUa • [(uQ • V)uQ] =
1
dp,
Dua
^[^ + V-(pmaUa)J+pmaUa-igf. (5.9)
С использованием уравнения непрерывности (3.2) и уравнения
движения (4.6) последнее уравнение принимает вид
-u2aSa+riaUa- (F)Q - uQ • (V • Va) + ua • Aa - u^5Q. (5.10)
Подставляя этот результат обратно в (5.8), получаем
+ naUa • (F)Q + V-qa = Ma -Ua • Aa + ^a^a- (5.11)
Третье и четвертое слагаемые в левой части этого уравнения можно
объединить в одно:
V ■ (TV UQ) - Ua • (V • Va) = (Va ' V) • UQ. (5.12)
Также это можно проделать с пятым и шестым членами:
-nQ(F- v)a+naua • (F)Q = -nQ(F-cQ), (5.13)
поскольку
(F • v)a = (F • (ua + ca)> = (F)a • uQ + (F • ca>. (5.14)
190
Гл. 8. Макроскопические уравнения переноса
Если сила не зависит от времени, то (5.13) равно нулю, так как в этом
случае
(F.ca)=F-(ca)=0. (5.15)
Если от скорости зависит только сила, возникающая вследствие
наличия магнитного поля В, то (5.13) также равно нулю, поскольку
(F-cQ> = qa((v х В) • са) =
= qa(ua х В) • (cQ> + qa((c* х В) • cQ> = 0, (5.16)
где оба члена равны нулю, так как (са) = 0, а вектор (ca x В)
перпендикулярен са. В результате получаем следующую альтернативную
форму уравнения сохранения энергии:
ш (^г)+ %"v ■Ua + +0Pq 'v)'Ua + v'qa =
= Ma-ua-Aa + ^u2aSa. (5.17)
5.2. Физическая интерпретация
Физический смысл полученного уравнения состоит в следующем.
Первое слагаемое в левой части представляет собой полную скорость
изменения плотности тепловой энергии частиц в элементе
объема, который движется со средней скоростью потока жидкости ua.
Отметим, что плотность тепловой энергии определяется выражением
Зра/2 = рта(са}/2. Другие члены (5.17) вносят свой вклад в полное
изменение плотности тепловой энергии. Второй член левой части (5.17)
можно описать как изменение плотности тепловой энергии в результате
попадания в элемент объема частиц со средней скоростью ua. Третье
слагаемое связано с работой, которая производится над единичным
объемом вследствие наличия силы давления (тензора давления),
действующей на поверхность этого объема. Четвертый член представляет
собой изменение плотности тепловой энергии благодаря потоку тепла.
Члены в правой части (5.17) представляют собой скорость изменения
плотности тепловой энергии в результате столкновений. Как уже было
показано, если жидкость содержит только один сорт частиц, столкно-
вительные члены обращаются в нуль.
Применив уравнение непрерывности (3.2), можно объединить
первые два члена в уравнении переноса энергии. Разлагая в (3.2)
V • (pmaua), получаем
(— + Ua • Vj Рта + PmaV ' Ua = Sa- (5.18)
В результате имеем
V-Ua = —-(^-Sa). (5.19)
Рта \ Ot J
§ 5. Уравнение сохранения энергии
191
Подставив это выражение в (5.17) и принимая во внимание, что рта =
= пата и ра = пакТа, получаем альтернативную форму уравнения
переноса тепла, записанного через температуру Та:
|nQ/c^ + (PQ-V)-uQ + V-qQ = MQ-uQ.AQ+(^2Q-^)5Q.
(5.20)
5.3. Приближения
В зависимости от условий задачи можно применять некоторые
приближения, упрощающие уравнение переноса тепла.
а) Столкновительные члены обращаются в нуль или пренебрежимо
малы, а средняя скорость иа равна нулю: уравнение (5.20) сводится
к уравнению типа уравнения диффузии для Та. Если выбрать вектор
потока тепла в виде
qa = -KVTa, (5.21)
где К — теплопроводность, то (5.20) приводится к следующему виду:
^nak^=V-(KVTa). (5.22)
Коэффициент теплопроводности К связан с коэффициентом вязкости
жидкости.
б) Приближение невязкой жидкости: тензор давления становится
скаляром, а теплопроводность qa = 0. Если предположить, что
столкновительные члены тоже равны нулю, то уравнение сохранения энергии
(5.17) приобретает следующий вид:
^(^) + ^V-ua + +pa(V-ua)=0. (5.23)
Подставляя сюда выражение (5.19) для V • ua при Sa = 0, получаем
D (3pa \ 5pa Dprnt
D_ /ЗроЛ
Dt \ 2 )
2pm<x Dt
Откуда следует
0. (5.24)
J-JPoL О UpmoL /г ос\
Ра. О Рта.
Интегрирование этого уравнения дает
Ра = (Рта\Ъ^^ (5 2б)
Р0 V РтО /
где ро и рто — постоянные. Таким образом, получаем
PaPmf = COnst. (5.27)
Это уравнение адиабаты для газа, в котором отношение
коэффициентов удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном
объеме (7) равно 5/3. Стоит подчеркнуть, что уравнение переноса
192
Гл. 8. Макроскопические уравнения переноса
энергии сводится к этому уравнению адиабаты, только если влиянием
вязкости, теплопроводности и изменением энергии газа при
соударениях можно пренебречь.
Показатель адиабаты 7 связан с числом степеней свободы N газа
следующим соотношением:
7 = (2 + N)/N. (5.28)
Для частиц, не имеющих внутренних степеней свободы, например для
частиц одноатомного газа, единственные степени свободы которых —
это три возможные направления поступательного движения, имеем:
N = 3 и 7 — 5/3. Другие степени свободы возникают в присутствии
двухатомных или многоатомных молекул. Уравнение адиабаты, часто
использующееся в термодинамике, записывается в виде
рр^ = const. (5.29)
Дифференцирование этого уравнения дает
р-^ф-7Рр-(7+1)фго = 0. (5.30)
Также его можно записать в другом виде:
dp = №) dPm = V?dpm, (5.31)
где
V, = Ьр/РтУ'2 = ЬкТ/т)^2 (5.32)
— адиабатическая скорость звука в жидкости.
в) Уравнение, которое также часто используется в
термодинамике, — это изотермическое уравнение переноса энергии, записанное
для случая постоянной температуры жидкости. Из уравнения
состояния идеального газа следует: р = пкТ. Для изотермического процесса
Т = const получаем
dp = kTdn = (p/pm)dpm = V^dprn, (5.33)
где
VT = {p/pmyi2 = {kT/m){'2 (5.34)
— изотермическая скорость звука.
§ 6. Модель холодной плазмы
В предыдущем параграфе было показано, что дифференциальные
уравнения, которые описывают временные и пространственные
изменения макроскопических переменных, можно получить из моментов
уравнения Болъцмана. Макроскопические параметры всегда связаны
с моментами функции распределения fa(r,v,t). Первые четыре
момента функции распределения задают концентрацию па, среднюю
скорость иа, тензор потока импульса Па и тензор потока энергии £а.
§ 6. Модель холодной плазмы
193
Первый момент уравнения Больцмана дает уравнение
непрерывности для частиц сорта а, в которое входят концентрация па (или
массовая плотность рта) и средняя скорость иа. Чтобы найти эти
две макроскопические переменные, необходимо задать два
независимых макроскопических уравнения переноса. В результате нужно
рассматривать второй момент уравнения Больцмана, который дает
уравнение движения (или уравнение сохранения импульса) и в
которое входят средняя скорость иа, концентрация па и тензор
давления Vol- В результате получаем два уравнения переноса, в которые
входят три независимые переменные. Следовательно, система
уравнений переноса, полученных из моментов уравнения Больцмана,
всегда содержит больше переменных, чем независимых уравнений. Это
очень хорошо видно на примере трех уравнений переноса, выведенных
в этой главе. Уравнение переноса энергии, кроме переменных па,
иа и Va, также включает в себя вектор потока тепла qa. Более
общий вид закона сохранения энергии будет содержать тензор потока
энергии £а.
Таким образом, любая система уравнений переноса недостаточна
для создания замкнутой системы уравнений. Следовательно,
необходимо либо вводить определенное приближение, чтобы исключить
некоторые независимые переменные, либо выразить какие-то переменные
через остальные. Обычно для этого на определенном этапе
произвольно обрезают систему уравнений переноса, полученную рассмотрением
моментов уравнения Больцмана, и добавляют некоторое упрощающее
приближение для самого высокого из входящих в эту систему момента
функции распределения.
Самая простая из возможных замкнутых систем макроскопических
уравнений переноса называется моделью холодной плазмы. Эта
простая модель включает в себя только уравнения сохранения массы
и импульса. Самый высокий момент функции распределения, который
входит в уравнение сохранения импульса — тензор давления, — в
данной модели принимается равным нулю. Это означает, что влиянием
теплового движения частиц и силой, вызванной дивергенцией тензора
кинетического давления, пренебрегают. Здесь приведены два
уравнения переноса, которые входят в модель холодной плазмы:
^ + V-(pmQuQ)=SQ, (6.1)
Ршос-j^r- = naqa(E + ua х В) + pag - V • Va + Aa - uaSa. (6.2)
Если влиянием процессов, приводящих к появлению и потере частиц
сорта а (ионизация и рекомбинация), можно пренебречь, то Sa = 0.
Обычно в качестве столкновительного члена Аа используют
выражение (4.11). Фактически предполагается, что в модели холодной плазмы
температура равна нулю, поэтому функция распределения представля-
13 Биттенкорт Ж.А.
194
Гл. 8. Макроскопические уравнения переноса
ет собой дельта-функцию Дирака, пик которой совпадает с
макроскопической скоростью потока, /(г,v,t) = 5[v — u(r,£)].
Эта модель успешно применялась, например, при исследовании
распространения электромагнитных волн малой амплитуды в плазме,
с фазовыми скоростями намного больше тепловой скорости частиц.
Теория распространения высокочастотных волн в холодной замагни-
ченной плазме известна как магнитоионная теория.
§ 7. Модель теплой плазмы
Если в уравнении сохранения энергии пренебречь членом, в
который входит вектор потока тепла, то возникает замкнутая система
уравнений переноса. Таким образом, приближение задается равенством
V • qa = 0, которое означает, что процессы, идущие в плазме, не
приводят к переносу тепловой энергии. Это приближение также называется
адиабатическим приближением. Поскольку теплопроводность в этом
случае равна нулю, то, как следствие, вязкость в плазме отсутствует
и поэтому все недиагональные члены в тензоре давления равны нулю.
Кроме того, все диагональные составляющие Va равны и тензор
давления можно переписать просто как скалярное давление ра. В
результате в уравнении сохранения импульса член V • Va можно переписать
как V -ра.
В этом случае рассматриваются три макроскопические переменные:
плотность па, средняя скорость иа и скалярное давление ра. В
результате в модели теплой плазмы исследуются следующие три уравнения
переноса:
^p + V-0wia) = SQ, (7.1)
Pmac-^f = naqa(E + ua x В) + pag - VpQ + Aa - uaSa. (7.2)
_D ^ + ^(v ^ =Ma_Ua.Aa+ 1 „2Sa_ (73)
Если, кроме того, предположить, что изменение энергии, связанное
с соударениями, пренебрежимо мало, то уравнение переноса энергии
(7.3) сводится к следующему уравнению адиабаты (см. также §5):
Р*РшЪ = const- (7-4)
Как правило, по сравнению с моделью холодной плазмы, модель теплой
плазмы дает более точное описание происходящих в плазме процессов.
В более общих случаях, если плазма не находится в состоянии
локального равновесия, когда необходимо учитывать поток тепла и
вязкость, удобнее и проще рассматривать функцию распределения частиц
в фазовом пространстве. В этом случае плазму обычно называют
горячей. Для конкретной рассматриваемой задачи, решив
дифференциальное кинетическое уравнение, которое определяет изменение fa
§ 7. Задачи
195
в фазовом пространстве, и получив функцию распределения /а, можно
ввести макроскопические переменные посредством метода, описанного
в гл. 6.
Задачи
8.1. Рассмотрите простое стационарное уравнение движения
каждого сорта частиц в плазме, рассматриваемой как жидкость:
nq(E + и х В) - Vp = О,
где электрические (Е) и магнитные (В) поля однородные, а плотность
(п) и кинетическое давление (р) имеют пространственный градиент.
Умножив векторно это уравнение на В, покажите, что кроме дрейфа
Е х В также присутствует диамагнитный дрейф, который
определяется выражением
VD = 5-J (Vp) X В.
nqB
Дайте физическое обоснование этого дрейфа. Если существует какое-
либо движение ведущего центра, связанное с этим дрейфом, объясните
его природу. Объясните также, почему оно отсутствует в теории
движения отдельных частиц.
8.2. а) Из уравнений Максвелла
V
V-
V-
х Е
VxH
«0
Н = 0,
дн
т , дЕ
где Е и Н — электрические и магнитные поля в плазме, р — плотность
электрического заряда nq, a J — плотность электрического тока nqu,
покажите, что
б0Мо^(Е х Н) = V • Г - nq(E + u x В),
где ео//о(Е х Н) — плотность импульса электромагнитного поля,
а Т — тензор напряжения электромагнитного поля, члены которого
определяются выражением
Tij = eoEiEj + poHiHj — -^{е^Е + poH )5ij,
где Sij — символ Кронеккера.
13*
196
Гл. 8. Макроскопические уравнения переноса
б) Из этого уравнения, которое является уравнением сохранения
плотности электромагнитного импульса, и из уравнения непрерывности
^ + V.(nu) = 0
покажите, что уравнение переноса импульса
пт^ = nq(E + uxB)-V-P
может быть записано в виде
^ + v-n = o,
at
где G — плотность полного импульса,
G = пти + бо^о(Е х Н),
а П — тензор потока полного импульса (скорость переноса импульса
через единичную площадь):
П = nrauu + V-T.
в) Используя два последних уравнения Максвелла, покажите, что
уравнение переноса энергии
| (Нс20 + я (i™2) =-MH'V) -
- V • C^nmu2\i\ - V • q - V • (V • u) + nqu • E
можно записать в виде [заметим, что и • (и х В) = 0]
at
где W обозначает плотность полной энергии,
W = i(€0S2 + Мо#2 + пти2 + пга(с2)),
a S является потоком полной энергии (мощностью на единицу
площади):
S = ExH + :P-u+ ^пти(и2 + (с2)) + q.
8.3. Для исследования влияния столкновительного члена (4.11)
на макроскопическое движение жидкости, рассмотрите однородную
смесь разных жидкостей (все пространственные производные равны
нулю) без внешних сил, так что уравнение движения частиц сорта а
сокращается к виду
dxia
^^а/з(иа -U/j).
§ 7. Задачи
197
Решите это уравнение, определите u(i) для двухжидкостной и трех-
жидкостной смеси (в случае трехжидкостной смеси удобно
воспользоваться преобразованием Лапласа). Отметим, что в равновесии (когда
dua/dt = 0) скорости частиц всех сортов должны быть равны.
8.4. Рассмотрите однородную смесь различных жидкостей (все
пространственные производные равны нулю) без внешних сил, так что
уравнение движения частиц сорта а сокращается к виду
/5
а) Покажите, что скорость изменения плотности полной
кинетической энергии жидкости, Wk, определяется выражением вида
dWk v^ I / \2
ос,/3
где j
Wk = 12 2Ртау2а'
а
б) Рассмотрите теперь плотность полной тепловой энергии жидко-
СТИ
Если уравнение энергии для однородной смеси без действия внешних
сил равно
dTa v—v 2maua
dt /L^ rna + mp
ala ST^ ZrUaVap \ frr ^ ч ^1/3, ч
покажите, что тогда скорость изменения Wt равна
dWr v^ I / \2
—fa- = 2^ 2f}rnocU°c'(3^loc ~ П(3' '
Таким образом, плотность полной тепловой энергии Wt увеличивается
с точно такой же скоростью, с какой уменьшается плотность полной
кинетической энергии Wk- В качестве подсказки для решения этой
задачи отметим, что для любой функции, которая суммируется по двум
индексам, результат не меняется, если поменять эти индексы местами,
ос,/3 (3,а
ИЛИ «
22 fa/3 = ^ g (/a/? + //?<»)•
ol3 <x,/3
198
Гл. 8. Макроскопические уравнения переноса
8.5. Объясните, почему в уравнении энергии (5.17) отсутствует
член, содержащий плотность магнитного потока В.
8.6. Выведите следующее общее уравнение переноса, подобно
(2.13), для случая, когда величина х зависит от г, v и t:
• ^«((V ' V)x)a - Па((а • Vv)x)a =
S(na(x)a)
St
coll
8.7. Рассмотрите общее уравнение переноса из предыдущей задачи,
и пусть x(r,v,£) — хаотичный поток тепловой кинетической энергии,
т. е. функция -mQc2aca, где са = v — ua(r, t). Покажите, что (учитывая
силу Лоренца F)
f Мх).) = ^.
-Ф--(у)-("-+М'
V • (Па(ху)а) = V ' ( £ Рта (4 CaCa) + UaqaJ ,
wa((v • V)x)a = -(Q • V)■ua - (qa - V)uQ -
- [(ua • V)ua] • (Va + |pal) ,
1Q((a • V„)x)a = Pma(a ■ (саСа + ^а1))
Используя эти результаты для общего уравнения переноса, получите
следующее уравнение, которое известно как уравнение потока тепла:
(Е + uQ х В) • (Va + |pal) + qQ x BJ
Ц?-±<? ■'•)■{?> + &) +
+ V • ^рШа(с2асаса) + uaqaJ + (QQ • V) • ua +
+ (qa.VK-^(qaxB) = (|)
coll
8.8. В общем уравнении переноса из задачи 8.6 рассмотрите в
качестве x(r>v>0 хаотичный поток импульса macajCak. Покажите, что
в этом случае будут верны следующие уравнения:
f К(хЫ = ^f,
пафа=0,
§ 7. Задачи
199
Ъ y^ot\XVi)ot) — о [yiaijk ~г ^ai^ajk) »
„ /(v^2L\ - Р dUak P ,dUaj
^аЦ^л-/а = Pma\Q'jCak i Q>kCaj)i
где используется правило суммирования по повторяющимся индексам.
Подставьте эти результаты в общее уравнение переноса и выведите
следующее уравнение, которое известно как уравнение вязкого напря-
Этсеныя.
дР<*зЪ + JLfn ... +?i Р .Л + Р - - ^afc + Р иди<*з _
~ Prna\fljC'OLk i ^k^ocjl — ( 77 )
со//
8.9. Проверьте, что уравнение сохранения энергии для хаотичной
кинетической энергии -тас2а может быть получено из уравнения
вязкого напряжения (см. задачу 8.8), если положить j = к и
просуммировать по к.
8.10. Из уравнения теплового потока, которое было получено в
задаче 8.7, получите следующее упрощенное уравнение для теплового
потока в стационарном (и = 0) электронном газе:
^V(J^Wfice(qexB)=fe) .
2 \pmeJ \ St J coll
Сделайте все предположения, которые необходимы для получения
этого уравнения.
8.11. Используя релаксационную модель (или модель
столкновений Крука) для столкновительного члена,
№
= ~v(fa ~ До)
coll
и закон идеального газа ре = пекТе, покажите, что уравнение
теплового потока из задачи 8.10 приобретает вид
qe + ^(qexB) = -if0VTe,
тг ОКре
^0 ~~
2mev
— теплопроводность.
Глава 9
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Макроскопические переменные для плазмы
как проводящей жидкости
Плазму можно рассматривать как проводящую жидкую среду без
разделения на отдельные сорта частиц. Выведенные в предыдущей
главе гидродинамические уравнения описывают макроскопические
свойства каждого отдельного сорта частиц (электронов, ионов и нейтралов).
В этой главе выводятся уравнения переноса, которые дают
макроскопические свойства плазмы как целого без учета отдельных
компонентов. Любая макроскопическая переменная определяется комбинацией
вкладов всех сортов частиц плазмы. Таким образом, задаются
интересующие нас полные макроскопические параметры, например полные
массовые и зарядовые плотности, полная плотность тока, полный
тензор кинетического давления и полный вектор теплового потока.
По определению плотность — это масса, которая приходится на
единицу объема жидкости, т. е. ее можно задать посредством уравне-
ния v^ v^
Prn = /2 Рта = 22пата. (1.1)
ос а
Плотность заряда — электрический заряд, приходящийся на
единицу объема жидкости, т. е.
P = ^naqa. (1.2)
а
Средняя скорость жидкости и определяется следующим образом.
Полный импульс равен сумме импульсов каждого сорта частиц:
PmU = ^pmaUa. (1.3)
а
Следовательно, средняя скорость плазмы и равна средневзвешенному
значению, где скорость каждого сорта частиц входит пропорционально
их плотности.
§ 1. Макроскопические переменные для плазмы
201
Средняя скорость каждого сорта частиц, если рассматривать ее в
системе отсчета, движущейся с полной средней скоростью плазмы и,
называется скоростью диффузии wa:
Wa = Ua -U = Ua y^PmaUa. (1.4)
Рт ^—'
а
Плотность потока массы, или поток массы, определяется
выражением
Jm = ^2 патаиа = рти, (1.5)
а
а плотность тока, или поток заряда, записывается в виде
J = ^2naqaua = pu + ^2naqawa. (1.6)
а а
Отметим, что из определения (1.4) скорости диффузии wa в (1.5)
следует £)Q pmawa = 0.
Тензор газокинетического давления для каждого сорта частиц
в плазме определяется выражением (6.6.2)
где са = v — ua — собственная, или хаотическая, скорость частицы
сорта а. Отметим, что давление равно скорости, с которой импульс
переносится частицами через элемент поверхности, движущийся со
скоростью, равной средней скорости этих частиц. Исходя из
определения полной средней скорости плазмы и для частиц сорта а плазмы
необходимо ввести новую собственную скорость сао:
cao=v-u. (1.8)
Таким образом, полное давление — это скорость переноса импульса
всеми частицами плазмы через элемент поверхности, который
движется со скоростью, равной полной средней скорости и. Следовательно,
полный тензор кинетического давления V равен
V = ^Рта(СаОСао). (1.9)
а
Чтобы понять взаимосвязь тензора V, определяемого (1.9), и тензора
Va, определяемого (1.7), заменим в (1.8) и на иа — wa, a v на cQ +ua.
Получим
CQ0 = Ca+Wa. (110)
Таким образом,
Va =^Pma((ca+Wa)(ca+Wa)). (1.11)
а
202 Гл. 9. Макроскопические уравнения для проводящей жидкости
Разложив произведение, получаем
Va = ^ Prna((caCa) + (cQWa) + (waCa) + (wQWQ)). (1.12)
а
Из определения, поскольку wa — макроскопическая переменная,
видно, что (wa) = wa и, следовательно, (cawa) = (ca)wa = 0. Таким
образом, (1.12) переписывается в виде
V = ^Va + ^ Рта WaWa. (1.13)
а а
Отметим, что Va — давление, определяемое ua, a P - давление,
связанное с полной средней скоростью и.
Полное скалярное давление равно одной трети свертки V:
Р = zYlPii = ^^2^2Ргпа(СаОгСаОг) = g ^ Рта^о)' (1-14)
г г а а
Используя (1.13), получаем
Р = ^Р* + z^PmctWl. (1.15)
а а
В заключение дадим определение полного вектора потока тепла
4 1
q= 2^Рта^оСа0^' ^1Л6^
а
и плотности тепловой энергии плазмы как одной жидкости:
^ = ^Рта(с2а0)- (1-17)
а
Полезно соотнести вектор q, определяемый (1.16), с вектором
теплового потока qa частиц сорта а:
Ча = 2Рта(с2аСа). (1.18)
Для этого заменим в (1.16) сао на са + wa и разложим получившееся
выражение. В результате имеем
q= 2 ^2Prna[(c2aca) + w2a(ca) +2((wa -cQ)cQ) +
а
+ (4>wtt + w2awa + 2((ca) • wa)wa]. (1.19)
Второй и шестой члены в правой части этого уравнения равны нулю,
так как (са) = 0. Следовательно,
q= 2^Pma[(c2aca)+2wa • (caca) + (c2a)wa+.w2awa]. (1.20)
a
§ 3. Уравнение движения
203
Используя (1.18), (1.17) и уравнение ра = Ргпа{с2а)/?>, выражение (1.20)
можно записать в виде
^* , о 1 \
Q = ]^(qa + WQ ■ 7>Q + ^paWa + ^Pma^l^aj • (1.21)
а
В частности, в изотропном случае, когда давление Va =РсД, имеем:
wa • Va = wapa, и (1.21) переписывается как
q = ^2 (Qa + 2PaWa + 2Pma^Wa) * ^'22^
§ 2. Уравнение непрерывности
Чтобы получить уравнение непрерывности для плазмы как одной
жидкости, просуммируем уравнение (8.3.2) (уравнение (3.2) в гл. 8) по
всем сортам частиц плазмы:
ос ос ос
Получаем
^ + V-(pmu)=0, (2.2)
где рш и и определяются выражениями (1.1) и (1.3) соответственно.
При суммировании по всем сортам частиц столкновительныи член Sa
должен обратиться в нуль, поскольку полная масса системы
сохраняется. Следует отметить, что, используя оператор полной производной
по времени D/Dt = д/dt + u • V, уравнение (2.2) можно записать
в следующем виде:
5^+pmV.u = 0. (2.3)
§ 3. Уравнение движения
Аналогично, просуммировав уравнение сохранения импульса (8.4.9)
по всем сортам частиц в плазме, получаем
Y^Prna [-Jjt + K • V)uQj =^naqaE + ^2naqa(ua x В) +
ос ос ос
ос ос ос ос
Поскольку полный импульс частиц плазмы сохраняется, то при
суммировании по всем сортам частиц столкновительныи член, связанный
204 Гл. 9. Макроскопические уравнения для проводящей жидкости
с передачей импульса между разными видами частиц, исчезает.
Используя определения (1.1), (1.2), (1.6) и уравнение (1.13), выражение
(3.1) можно записать в виде
^2 Рта [^f + (Utt ' V)ua] = рЕ + J X В + Pmg - V • V +
а
+ ^ V • (pmaWaWa) - ^ UaSa- (3.2)
а а
Если использовать уравнение непрерывности, то слагаемое, в которое
входит Sai можно исключить:
£ uaSa = J2 и* [^ + V • Owu,
(3.3)
Объединив это уравнение с выражением в левой части уравнения (3.2),
получаем
J2 \д£^ + v . (proQUQUa)] . (3.4)
а
Теперь заменим среднюю скорость ua на wa + u и разложим
получившееся выражение. Учтем, что
^2 Рта^а = ^ Prna(^a ~ u) = pmU - pmU = 0. (3.5)
а а
В результате (3.4) можно записать, как
£ [^^1 + V • (ртаиаиа)] = ^ + +V • (pmuu) +
а
+ £V • (P-«wawQ) = рт [^ + (и • V)u] + и [^ + V • (рти)] +
ОС
+ ^ V • (pmaWocWa) = PmJ^ + ^Z V ' О9™*™*™*)' (36)
a a
где было использовано уравнение непрерывности (2.2) и оператор
полной производной по времени D/Dt. Подставив это выражение обратно
в уравнение движения (3.2), получаем уравнение сохранения импульса
для плазмы как единой среды:
Prn^=pE + JxB + pmg-V.V. (3.7)
Оно и представляет собой второй закон Ньютона в плазме.
§ 4. Уравнение сохранения энергии
205
§ 4. Уравнение сохранения энергии
Уравнение Сохранения энергии для плазмы, рассматриваемой как
одна проводящая жидкость, можно получить, просуммировав
уравнение (8.5.4) для частиц сорта а по всем сортам частиц:
Е Ш fa™^) +E V ' (\prna(v2v)a) -£>a(F • v>a = 0, (4.1)
a a a
где при суммировании по всем сортам частиц столкновительныи
член Ма исчезает. Теперь заменим v на cao + u и разложим каждый
член уравнения (4.1).
Преобразуя первое слагаемое, получаем
5Z Ш {2Рта^ ' ^а) = di Е 2Рша^с2^ + u2 + 2Wa ' U^] =
а а
-£(*)+£ М- <42>
где было использовано определение плотности тепловой энергии (1.17)
и тот факт, что Dapmawa = 0.
Перед рассмотрением второго слагаемого отметим, что
(V2v)a = (('4о + и* + 2са0 ' U)(CQ0 + U)) =
= (Ca0Ca0) + U2Wa + 2(ca0Cao) ' U +
+ (<4)u + u2u + 2(wQ • u)u, (4.3)
так как cao = ca + wa и (ca) = 0. Следовательно,
a a
+ V • (^Pma(ca0Ca0) • Uj + V • [^2 2^«(Ca0)U) +
a a
+ V-(£i/WAi). (4.4)
a
Используя определение вектора полного теплового потока q и тензора
полного кинетического давления V, перепишем (4.4) в виде
V' (^2^Pma(v2v)a) = V • q + V • (V • u) +
a
+ V-(|u)+V-(ipmU2u). (4.5)
206 Гл. 9. Макроскопические уравнения для проводящей жидкости
Преобразуя третье слагаемое в уравнении (4.1), получаем
^na(F • v)a=^na[qa(E • v)a+ga((v x В) • v)Q + ma(g • v)Q], (4.6)
a a
где мы предположили, что внешние силы имеют электромагнитную и
гравитационную природу. Поскольку (va) = ua и для любого вектора v
справедливо (v x В) • v = 0, получаем
^2па(¥ • v)Q = J • Е + Jm • g, (4.7)
а
где были использованы определения (1.5) и (1.6), а Е и g являются
сглаженными макроскопическими полями.
Объединяя полученные уравнения (4.2), (4.5) и (4.6), получаем
закон сохранения энергии в виде
+ V.q + V-(7>-u)-J-E-Jm.g = 0. (4.8)
Это уравнение можно еще упростить. Третий и четвертый члены (4.8)
могут быть объединены следующим образом:
| (£*.«•) + v ■ ('«.Л) = {и* [£ + v ■ (*.„)] + „ ■ („£).
(4.9)
Используя уравнение непрерывности (2.2) и уравнение движения (3.7),
уравнение (4.9) можно записать в виде
ри • Е + и • (J х В) + Jm • g - u • (V • V). (4.10)
Подставляя этот результат обратно в уравнение для энергии (4.8),
получаем
+ ^V.u + V-q+(P-V)-u = J.E-u-(JxB)-pu-E.
(4.11)
Первый член в левой части (4.11) представляет собой скорость
изменения полной плотности тепловой энергии плазмы (Зр/2) в системе
координат, которая движется с полной средней скоростью и. Второе
слагаемое описывает изменение энергии элемента объема в результате
передачи ему тепловой энергии из-за движения частиц. Третий член
представляет собой поток тепла, а четвертый равен работе,
производимой над элементом объема силами, которые вызваны давлением
(нормальная и тангенциальная компоненты). Члены в правой части
(4.11) представляют собой работу, совершаемую электрическим полем
над данным элементом объема в системе координат, которая движется
с полной средней скоростью и. Эти последние члены могут быть
объединены следующим образом. Вначале отметим, что плотность тока
Dt\2J
§ 5. Электромагнитные уравнения для проводящей жидкости 207
состоит из двух частей:
J = У^п^даиа = ^2naqawa + ^nagau = J' + pu, (4.12)
a a a
где pu — конвекционный ток, который равен потоку объемного заряда
со скоростью u, a J' — плотность тока проводимости, которая
представляет собой плотность тока в системе координат, движущейся со
средней скоростью среды и. С другой стороны, можно записать, что
и • (J х В) = -J • (и х В) = -J' • (и х В). (4.13)
Подставляя (4.13) и (4.12) в энергетическое уравнение (4.11), получаем
^(l) + lv-u+v-q+(7?,v)-u = J,-E'- (414)
где Е' = Е + и х В — электрическое поле, которое наблюдается в
системе координат, движущейся со средней скоростью среды и, а член
J' • Е' представляет собой скорость изменения плотности энергии,
связанную с джоулевым нагревом.
§ 5. Электромагнитные уравнения для проводящей
жидкости
В предыдущем параграфе были выведены макроскопические
уравнения переноса в проводящей жидкости — законы сохранения массы,
импульса и энергии. Как уже отмечалось, этот набор уравнений не
дает замкнутой системы, поэтому необходимо на определенном этапе
оборвать иерархию макроскопических уравнений и ввести некоторые
предположения или упрощения. Уравнение непрерывности связывает
плотность рт со средней скоростью и. Уравнение движения,
описывающее изменение средней скорости и, включает в себя тензор полного
кинетического давления V. Уравнение потока энергии, которое
описывает скорость изменения полной плотности тепловой энергии (Зр/2),
использует вектор теплового потока q. Более общее энергетическое
уравнение даст нам изменение полного тензора кинетического
давления V, но будет содержать полный тензор третьего ранга — тензор
теплового потока Q. Можно продолжать брать все более высокие
моменты уравнения Больцмана и вывести, например, уравнение переноса,
определяющее изменение тензора теплового потока Q. Поэтому чтобы
получить полную систему уравнений, необходимо оборвать иерархию
уравнений переноса на определенном этапе. Однако даже после
такого обрыва в уравнениях останутся электромагнитные переменные:
электрическое поле Е, магнитная индукция В, плотность тока J и
плотность заряда р. Следовательно, кроме гидродинамических
уравнений, необходимо ввести десять уравнений для электромагнитного поля,
которые должны установить взаимосвязь между переменными Е, В, J
и р. Эти уравнения рассматриваются ниже.
208 Гл. 9. Макроскопические уравнения для проводящей жидкости
5.1. Уравнения Максвелла, содержащие ротор
Уравнения Максвелла
VxE = -f, (5.1)
VxB
= Mo(j + e0^) (5.2)
дают шесть уравнении для компонент электрического и магнитного
полей и могут рассматриваться как уравнения, описывающие изменения
полей Е и В.
5.2. Сохранение электрического заряда
Уравнение сохранения электрического заряда можно получить, если
умножить уравнение сохранения массы (8.3.2) (уравнение (3.2) в гл. 8)
на qa/rria и просуммировать его по всем сортам частиц:
dt
($>afe) + V • ($>a<ZaU«) = £ (J*-) Sa. (5.3)
Используя определение р и J и учитывая, что полный электрический
заряд не меняется в результате столкновений, получаем
| + V-J = 0. (5.4)
Следует отметить, что (5.4) можно вывести другим путем — из
уравнения Максвелла (5.2) и уравнения Максвелла
V-E=£. (5.5)
Взяв дивергенцию от (5.2), получаем
V-J + e0^(V.E)=0, (5.6)
так как дивергенция ротора векторного поля равна нулю. Это
последнее уравнение в комбинации с (5.5) дает уравнение сохранения заряда
(5.4). Поэтому уравнения (5.4) и (5.5) не могут рассматриваться как
независимые. Как мы только что показали, уравнения Максвелла (5.2)
и (5.5) уже подразумевают сохранение электрического заряда.
Если взять дивергенцию от (5.1), то можно получить другое важное
свойство уравнений Максвелла:
|(V-B).= 0, (5.7)
ИЛИ
V В = const. (5.8)
Следовательно, уравнение Максвелла
V-B = 0
(5.9)
§ 5. Электромагнитные уравнения для проводящей жидкости 209
может рассматриваться, как начальное условие для (5.1), так как если
положить V • В = 0, то из (5.1) следует, что это условие остается
верным для любого момента времени.
5.3. Обобщенный закон Ома
Чтобы получить дифференциальное уравнение, которое описывает
изменение плотности тока J, поступим аналогично выводу уравнения
(5.4). Умножим уравнение сохранения импульса (8.4.9) на qa/ma и
просуммируем его по всем сортам частиц. В результате получаем
следующее уравнение:
Y^n*<l* (^J +^2naqa(ua • V)uQ =^na (^J (F)Q -
-M£(°£)'-]+5:(£)*.-£(£)«.*.. (5I0)
ОС ОС OL
Теперь введем тензор электрокинетического давления Vе для
частиц сорта а:
<рЕ = (*Л Va = naqa(caca). (5.11)
В результате для плазмы, рассматриваемой как единая проводящая
жидкость, мы имеем следующее аналогичное (1.13) равенство:
Vе = Y.V* + ]£n°fc*w°w°- (5.12)
ос ос
Следовательно, второе слагаемое в правой части (5.10) преобразуется
к виду
-V-
Е (■£)"•
= -V • Vе + V • (^ naqawawa). (5.13)
Используя уравнение непрерывности (8.3.2) и заменив иа на wa + и,
последний член в правой части (5.10) можно переписать как
-^2 y^-juaSa = -^wa —(naga) -^wQ[V- (naqawa)] -
ос ос ос
- £ wa[V • (naqau)] - u^ - u(V • J). (5.14)
a
Аналогично можно объединить первое и второе слагаемые в левой
части (5.10):
Y^n<*Q<*~7fr + X^na<?aWa " V)Wq + ЮПа9а11 ' V)wa +
+ p^ + (J-V)u. (5.15)
14 Биттенкорт Ж.А.
210 Гл. 9. Макроскопические уравнения для проводящей жидкости
Теперь подставим выражения (5.13), (5.14) и (5.15) в (5.10) и упростим
получившееся выражение. Используя векторное тождество для а и Ь,
V • (а • Ь) = b(V • а) + (а • V)b, (5.16)
и уравнение (4.12), получаем
^ + V.(uJ, + Ju) + V.p£; =
= E^(£)<F>-+E(S:)A- (5-17)
ос а
Уравнения (5.1), (5.2), (5.4) и (5.17) составляют десять уравнений,
которые дополняют уравнения сохранения массы, импульса и энергии для
проводящей жидкой среды. Однако уравнение (5.17) слишком сложно и
мало пригодно для практического применения. Можно получить очень
полезное и удобное выражение для полностью ионизованной плазмы,
состоящей из электронов и только одного сорта ионов. Ниже (5.17)
рассмотрено именно для такого случая.
Для полностью ионизованной плазмы, состоящей только из
электронов и одного сорта ионов с зарядом е, плотность электрического
тока J и плотность заряда р определяются выражениями
naqa^a = е(щщ - пеие), (5.18)
а
р = ^2naqa = е(щ -пе). (5.19)
а
Полная средняя скорость и, определенная в (1.3), становится равной
U = (PmeUe + РггЫЩ), (5.20)
Рт
где рш = рше + pmi- Объединив последнее уравнение с (5.18), получаем
JLf^iH + Jy (5.21)
Pmi \ me е/
Л_(Рг*и_1\ (5.22)
Рте \ ГГЦ в J
где \х = merrii/(me + га;) — приведенная масса.
Предположим теперь, что средние скорости электронов и ионов
в системе отсчета, движущейся со средней скоростью и плазмы (т. е.
скорости we и Wi), малы по сравнению с тепловыми скоростями.
В таком случае (5.12) приобретает следующий вид:
pE = VE + ve = ef^_^_\ (5.23)
е \тгы те/
§ 5. Электромагнитные уравнения для проводящей жидкости 211
Пусть проводящая жидкость находится в электромагнитном поле,
тогда слагаемое в уравнении (5.17), содержащее внешнюю силу, можно
переписать как
а а
= e2/ni+n14E + e2/niu.+ nLu\xR
\Шг ГПе/ \ГПг ГПе J
Подставив (5.21) и (5.22) в последнее уравнение и упростив его,
получаем
Vna(A)(F)a = e2(fl+ME +
^■—' \ГПа/ \ГГЫ ГПе/
а
+ е2 (Ю- + 1±) и х В + е ( -) J х В. (5.25)
\Шг ГПе/ \ГПг ГПе )
На данном этапе удобно упростить это уравнение, сделав одно
дополнительное допущение. Поскольку масса иона rrii намного больше массы
электрона те (например, для протона и электрона rrii/me « 1836), а на
больших масштабах верно предположение о зарядовой нейтральности
пе = щ = п, имеем
1 1
TTli ГПе
Пг Пе
ГПг ГПе
Пг Пе
те ггы
1
ГПе
п
те
^ п
те
Следовательно, из (5.23) получаем, что Vе = -(e/me)Ve
У па (**-) (F)a = ^!(Е + и х В) - ^J х В.
*-^ \maJ те те
а
Для столкновительного члена в уравнении (5.17) можно
использовать выражение (8.4.11), т.е.
Ае = -pmeVei(Ue ~ U»), (5.30)
А» = -рпЫЩе(Щ - Ue). (5.31)
Из (8.4.13) получаем, что pmiVie = Pmevei, так что
Е(—) Аа = epmevei(ue - щ) (— + —) = -vei3, (5.32)
\та/ \ГГЫ ГПе)
а.
где для перехода к J было использовано уравнение (5.18) и следующие
допущения: rrii > те и пе = щ = п.
14*
(5.26)
(5.27)
(5.28)
, а из (5.25)
(5.29)
212 Гл. 9. Макроскопические уравнения для проводящей жидкости
Подставляя теперь полученные результаты (5.23), (5.29) и (5.32)
в (5.17), имеем
^+V-(UJ, + Ju)-^V-Pe =
Ot ТПе
= — (Е + и х В) - — J х В - i/eiJ. (5.33)
ГПе ' ТПе
Отметим, что из предположения пе = щ следует р = О и J' = J.
В определенных случаях, когда Лии можно рассматривать как малые
возмущения, нелинейными членами, в которые входит произведение
этих переменных, можно пренебречь по сравнению с другими членами.
Если принять это допущение и использовать обозначение
а0 = —, (5.34)
mevei
которое является определением продольной электрической
проводимости, то (5.33) приобретает следующий вид:
^Ч^г ~ — V • Ve = Е + и х В - — J х В - -J. (5.35)
nez ot пе пе его
Это уравнение называют обобщенным законом Ома. Обычно в
магнитной гидродинамике учитывают члены только в правой части, а
остальными пренебрегают. Однако это не всегда оправдано.
Когда J не зависит от времени, т. е. в стационарном случае,
dJ/dt = 0. Если также предположить, что член, связанный с
давлением, пренебрежимо мал, V • Ve = 0, то (5.35) упрощается и записывается
как
J = а0(Е + и х В) - ^J х В. (5.36)
Последний член в этом уравнении связан с явлением, которое в
магнитной гидродинамике называется эффектом Холла, поэтому его
называют холловским членом. Этот член мал, если оо|В| намного
меньше величины пе, т. е. Q,ce <C vei. Получается, что когда частота
столкновений становится намного больше гирочастоты, холловским
членом можно пренебречь и (5.36) упрощается:
J = <70(E + uxB), (5.37)
В отсутствие внешнего магнитного поля (5.37) упрощается еще
сильнее, приобретает вид
J = a0E (5.38)
и представляет собой хорошо известный закон Ома.
§ 6. Упрощенные магнитогидродинамические уравнения 213
§ 6. Упрощенные магнитогидродинамические
уравнения
В двух последних параграфах было показано, что ряд
макроскопических уравнений переноса для каждого сорта частиц в плазме можно
заменить уравнениями переноса плазмы как однородной проводящей
жидкости, дополненными уравнениями электродинамики. Эта полная
система макроскопических уравнений для проводящей жидкости
обычно называется системой уравнений магнитной гидродинамики (МГД).
В своей самой общей форме эти уравнения практически эквивалентны
системе уравнений для отдельных сортов частиц, за исключением того
что теряется информация о переменных, описывающих отдельные сорта
частиц.
Однако на практике МГД-уравнения редко применяются в общем
виде. Обычно используется несколько приближений, которые
основаны на физических предпосылках, позволяющих исключить некоторые
слагаемые из полученных уравнений. В стационарном случае или при
слабой зависимости от времени МГД-уравнения становятся очень
удобными и во многих задачах приводят к важным результатам, которые
невозможно получить настолько просто другими путями, в частности,
если рассматривать отдельные уравнения для каждого сорта частиц.
Одно из приближений, часто использующихся в МГД, следующее.
В уравнении Максвелла (5.2) опускается член e^dE/dt. Правомочность
такого допущения, как будет показано ниже, удобно исследовать
посредством анализа размерностей. Плотность тока в общем виде можно
выразить как J = S Е, где S — тензор проводимости. Поэтому можно
записать
J~aE, (6.1)
со\д-ЕЩ~соЕ/т, (6.2)
где т — характерное время изменения электрического поля, а а —
характерная проводимость. В результате отношение двух членов в правой
части (5.2) равно \ж/м
Я^. (6.3)
J ат
Для большинства жидкостей, рассматриваемых в рамках МГД, а очень
велико, обычно больше 1 мОм/м, в то время как ео имеет порядок
10"11 Ф/м. Следовательно,
|9Е/0*| КГ11 ia л.
e0J—f—[ , (6.4)
J г
где т выражено в секундах. Из уравнения видно, что приближение
становится неприменимым, только если рассматриваются очень малые
характерные времена.
Кроме того, обычно предполагается, что электрическая
нейтральность на макроскопических масштабах поддерживается с высокой сте-
214 Гл. 9. Макроскопические уравнения для проводящей жидкости
пенью точности и, следовательно, плотность заряда р принимается
равной нулю.
Приближение, которое в системе МГД-уравнений может показаться
сомнительным, — это обобщенный закон Ома в форме (5.36). В этом
уравнении были опущены члены, содержащие производные по времени
и градиент давления (или дивергенцию тензора давления), хотя в
других МГД-уравнениях эти члены учитывались. Следовательно, это
приближение не является в полной мере справедливым. Обычно для
простоты предполагают, что все производные по времени
пренебрежимо малы, а плазма является почти холодной, и именно поэтому можно
использовать обобщенный закон Ома в форме (5.36).
Для удобства приведем систему упрощенных магнитогидродинами-
ческих уравнений:
(6.5)
(6.6)
(6.7)
(6.8)
(6.9)
В. (6.10)
Здесь не учитывались вязкость и теплопроводность, в результате
тензор давления стал обычном скалярным давлением. Отметим, что из
(6.9) следует
V-J = 0 (6.11)
— закон сохранения электрического заряда (если полная
макроскопическая плотность заряда р постоянна). Именно поэтому в данную
систему МГД-уравнений закон сохранения заряда не входит. За
исключением некоторых особых случаев, в (6.10) можно также пренебречь
холловским членом (ао/еп)3 х В.
Если электрическая проводимость очень велика, можно
использовать приближение идеально проводящей жидкости, т. е. положить
проводимость равной бесконечности. В этом случае закон Ома выглядит
следующим образом:
Е = -ихВ, (6.12)
а соответствующая система уравнений обычно называется системой
идеальных МГД-уравнений 0.
1) В русскоязычной литературе такую систему называют приближением
идеально проводящей плазмы. — Примеч. ред.
орт
dt
Du т ту
+ V • (pmu) = 0,
Vp,
Dt
Vp = K2Vpm,
VXB-»
V x В = iM>J,
ст0(Е + u x В) - ^J x
ne
§ 6. Задачи
215
Задачи
9.1. Покажите, что полная плотность кинетической энергии всех
сортов частиц в жидкости может быть записана как сумма полной
плотности тепловой энергии жидкости и кинетической энергии потоков
этих частиц, т. е.
* Л,2\ -ZPtSrl
J2 о Л™ fa2)" = Т + J2 2А
где
~2~ — 2_^ -^Ршос^аО) — 2_^ 2Ртос\Са) + ^ -pmaWa.
9.2. Покажите, что если нет потока тепла (q = 0), то джоулев
нагрев отсутствует (J7 • Е' = 0), а если тензор давления изотропен (V =
= pl), то уравнение сохранения энергии (4.14) сводится к следующему
адиабатическому уравнению:
PPs
-5/3 = const.
9.3. Используя МГД-приближение [см. (6.6)] и обобщенный закон
Ома в упрощенном виде (6.10) без учета холловского члена, получите
из уравнения сохранения импульса следующее уравнение:
Рш~Ш = а°(Е х В) + а°(и х в) х в - Vp.
Решите это уравнение, считая, что Е = 0 и р = const. Покажите, что
перпендикулярная к В компонента скорости жидкости равна
u±(t) = u±(0) ехр(-£/т),
где г — характерное время диффузии жидкости поперек линий
магнитного поля, которое дается уравнением
г = ргп
сгоВ2'
9.4. Объясните, почему в уравнениях (1.5) и (1.6) поток Jm равен
pmu, в то время как поток заряда J не равен ри.
9.5. Покажите, что тензор теплового потока Q для плазмы,
рассматриваемой как однородная среда, определяется выражением
Q = ^Pm*(c а0са0са0/ >
а
где сао = са + wa. Используйте суммирование тензоров теплового
потока для каждого сорта частиц Qa, включая диффузную скорость wa.
Упростите это выражения для изотропного случая.
216 Гл. 9. Макроскопические уравнения для проводящей жидкости
9.6. Выведите энергетическое уравнение более высокого порядка,
чем (4.14), в которое будет входить полная производная по времени
тензора полного давления DV/Dt.
9.7. Для идеально проводящей жидкости, которая характеризуется
скалярным давлением, и для стационарных условий, основываясь на
уравнении движения (6.6) и обобщенном законе Ома (6.10), получите
следующее уравнение для перпендикулярной В компоненты скорости
жидкости: 1 1
Глава 10
ПРОВОДИМОСТЬ И ДИФФУЗИЯ В ПЛАЗМЕ
§ 1. Введение
В предыдущих главах мы познакомились с основными
положениями кинетической теории и макроскопическими уравнениями переноса,
которые необходимы для изучения ряда важных явлений в плазме.
Основываясь на этих уравнениях, рассматривая плазму или как
многокомпонентную жидкость, или как единую проводящую жидкость,
можно исследовать многие свойства плазмы. Однако в ряде случаев
необходимое решение можно получить только посредством
кинетической теории.
В этой и последующих главах рассматриваются некоторые основные
свойства плазмы, которые могут послужить иллюстрацией применения
моделей холодной и теплой плазмы и использования функции
распределения в фазовом пространстве. Явления, которые можно описать,
рассматривая плазму как однородную проводящую жидкую среду,
получили название магнитогидродинамических (МГД) и будут описаны
в гл. 12, 13 и 15.
§ 2. Уравнение Ланжевена
Прежде чем перейти к рассмотрению проводимости и диффузии
в плазме, выведем очень простое уравнение движения слабоионизо-
ванной холодной плазмы, которое называется уравнением
Ланжевена. В слабоионизованной плазме концентрация заряженных частиц
намного меньше концентрации нейтральных частиц. В этом случае
превалируют столкновения заряженных частиц с нейтралами.
Макроскопическое уравнение движения электронов под воздействием силы
Лоренца и сил, вызванных столкновениями, записывается в виде
те^ = -е(Е + ие х В) + (Fco„)e, (2.1)
218
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
где ue(r, t) — средняя скорость электронов, a (¥соц)е — скорость
изменения среднего импульса электронов вследствие их столкновений
с нейтралами.
Феноменологически столкновительный член (Fco^)e можно
определить как произведение импульса электрона и постоянной
эффективной частоты столкновений электронов ис с тяжелыми (нейтральными)
частицами:
(FcoH)e = -УсГПе\1е. (2.2)
В этом выражении не учитывается средняя скорость движения
нейтральных частиц, поскольку они намного тяжелее электронов.
Заметим, это не означает, что скорости отдельных нейтральных частиц
равны нулю, а лишь говорит о том, что их распределение полностью
хаотично, поэтому их средняя скорость равна нулю. Используя для
столкновительного члена данное выражение, получаем уравнение,
которое называется уравнением Ланжевена:
me-j^jr- = _е(Е + ие х В) - vcme\ie. (2.3)
Физический смысл столкновительного члена в такой форме
заключается в следующем. В отсутствие электрического и магнитного полей
(2.3) сводится к уравнению
^ = -^ие> (2.4)
решение которого
ue(t) = ue(0) exp(-i/cr). (2.5)
Таким образом, столкновения электронов с нейтралами
экспоненциально уменьшают среднюю скорость электронов в течение времени,
которое определяется частотой столкновений.
Аналогичное уравнение можно записать и для ионов:
тЖ = Ze(E + Ui X В) " (ГсЫ/)ь (2>6)
где щ — средняя скорость, a Ze — заряд ионов. Во многих случаях,
например, когда рассматриваются высокочастотные колебания,
движением ионов можно пренебречь и положить щ = О, поскольку масса
иона обычно в 103 — 104 раз больше массы электрона. Тип плазмы, в
котором имеет значение только движение электронов, обычно называют
газом Лоренца. Тем не менее, когда присутствуют низкие частоты,
необходимо учитывать и движение ионов.
Несмотря на упрощения, используемые в уравнении Ланжевена,
оно успешно применяется для описания ряда явлений в плазме,
включая распространение электромагнитных волн в холодной магнитоплаз-
ме, в частности для исследования свойств распространения
электромагнитных волн в ионосфере Земли. Большое преимущество этого
уравнения — его простота.
§ 3. Линеаризация уравнения Ланжевена
219
§ 3. Линеаризация уравнения Ланжевена
В уравнение Ланжевена (2.3) входят нелинейные члены,
содержащие произведение двух переменных. В ряде случаев от
сложности, вносимой нелинейными членами, можно избавиться, использовав
линейное приближение, которое верно описывает колебания с малой
амплитудой.
В полную производную по времени входит нелинейный член
(ие • V)ue, который в гидродинамике называется инерционным членом.
Инерционным членом можно пренебречь, если средняя скорость и ее
пространственные производные малы или ие перпендикулярна своему
градиенту (как в случае поперечных волн).
В нелинейном члене ue x В магнитную индукцию B(r, t) можно
разложить на два слагаемых:
B(r,0 = Bo + B,(r,t), (3.1)
где Во — постоянная, а В7(г,£) — переменная составляющая
магнитного поля, так что
q(E + ue х В) = q(E + ue x B0 + ue x В7). (3.2)
Для случаев когда
|ие х Вг| « |Е|, (3.3)
в (3.2) можно пренебречь нелинейным членом ue x В7. В линейном
приближении уравнение Ланжевена имеет следующий вид:
те-кг = ~е(Е + ие х В0) - i/cmeue. (3.4)
Огромный практический интерес представляет собой ситуация,
когда переменные Е, В7 и ие меняются и во времени, и в пространстве
гармонически. Преимущество решения задачи для плоских волн в
том, что математически получить решение очень просто, кроме того,
любое сложное и физически осуществимое распространение волны
можно представить как суперпозицию плоских волн. Поэтому получим
решения для Е, В' и ие в виде плоских волн, которые записываются
как
Е, В7, ие ос ехр[г(к • г - ut)], (3.5)
где оо — угловая частота волны, к — волновой вектор (нормальный
к фронту волны), а г — радиус-вектор, проведенный от начала системы
координат к рассматриваемой точке фронта волны (см. рис. 1).
Дифференциальные операторы V и d/dt в уравнении (3.5),
описывающие пространственную и временную зависимости переменных,
преобразуются в простые алгебраические операторы V —> i k, a d/dt —>
—> — ioo соответственно. Подставляя (3.1) в уравнение Максвелла
V х В = —dB/dt, получаем
гк х Е = iouB', (3.6)
220
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
где, поскольку поле Во постоянно,
<9Во/<9£ = 0. Следовательно,
Подставляя этот результат в (3.3),
получаем следующее условие:
|ие х (к х E)/cj| <С |Е|. (3.8)
Нелинейный член ue x В'
может быть равным или меньшим
\(иекЕ)/оо\. Следовательно,
нелинейным членом можно пренебречь,
если
|гге(ВД|«1, (3.9)
или, что то же самое, если
\ие\ « \ш/к\. (3.10)
Член (со/к) — это фазовая скорость плоской волны. Поскольку она
по порядку величины равна скорости света с, а средняя скорость
электронов ие намного меньше с, то нелинейным членом можно
пренебречь. Однако при возникновении резонанса отношение и/к становится
малым, а скорость ие — большой. Следовательно, при рассмотрении
резонанса необходимо учитывать нелинейные члены и, соответственно,
использовать методы нелинейной теории.
§ 4. Проводимость постоянного тока и подвижность
электронов
В этом параграфе применим стационарное уравнение Ланжевена к
выводу выражения для проводимости постоянного тока в слабоиони-
зованной однородной плазме, для которой применима модель Лоренца
(электронный газ). Предполагается, что приложенное электрическое
поле однородно и постоянно.
4.1. Изотропная плазма
В отсутствие магнитного поля стационарное уравнение Ланжевена
для электронов имеет вид
-еЕ - rrieUcUe = 0. (4.1)
В этом случае действие приложенного электрического поля
динамически уравновешивается столкновениями электронов с нейтралами.
Плотность электрического тока, которая определяется движением
электронов, равна
J = -eneue. (4.2)
Рис. 1. Радиус-вектор г,
направленный из начала системы координат
(х, у, z) в точку Р на фронте
волны. Нормаль к фронту определяется
волновым вектором к
§ 4. Проводимость постоянного тока и подвижность электронов 221
Объединяя (4.1) и (4.2), имеем
j = Z^e. (4.3)
mevc
Из закона Ома J = <7оЕ получаем следующее выражение для
проводимости постоянного тока в изотропном электронном газе:
(Jo = —. (4.4)
mevc
Подвижность электронов Л4е определяется как отношение
средней скорости электронов к приложенному электрическому полю:
Ме = |. (4.5)
Из (4.1) получаем
Л*е = -— = -^- (4.6)
теь>с пее
4.2. Анизотропная магнитоплазма
В присутствии магнитного поля плазма становится пространственно
анизотропной. Стационарное уравнение Ланжевена можно записать
в виде
-е(Е + ие х В0) - 1Устеие = 0, (4.7)
где Во — постоянное и однородное магнитное поле. Используя (4.2),
получаем уравнение
^^J = e(E + uexB0), (4.8)
пее
которое можно записать в следующей форме:
J = a0(E + uexB0), (4.9)
где (Jo определяется уравнением (4.4). Это уравнение представляет
собой упрощенную форму обобщенного закона Ома (см. гл. 9).
Рассмотрим один важный частный случай: пусть столкновениями
можно пренебречь. Если ис —> 0, то проводимость постоянного тока
становится очень большой (<то —> оо) и в результате из (4.9) получаем
Е + ие хВ = 0. (4.10)
Это уравнение представляет собой упрощенный вид обобщенного
закона Ома для плазмы с очень большой проводимостью. В этом случае,
если домножить (4.10) векторно на Во и учесть, что
(uexB0) xB0 = -uei4 (4.11)
П°ЛУЧИМ ЕхВ
Ue_L = —2~. (412)
#0
Данное выражение говорит о том, что в отсутствие столкновений
электроны движутся с дрейфовой скоростью ие_ь направленной пер-
222
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
пендикулярно электрическому и магнитному полям. Поскольку оно не
зависит от заряда и массы частиц, то зависимость для дрейфовой
скорости ионов будет такой же. Это легко показать, если
рассмотреть уравнение Ланжевена для ионов. Таким образом, при отсутствии
столкновений электроны и ионы движутся вместе со скоростью, равной
скорости дрейфа (4.12), электрический ток отсутствует (J = 0). Если
столкновительными эффектами пренебрегать нельзя, то в результате
столкновений ионы будут тормозиться сильнее, чем электроны. В этом
случае будет наблюдаться электрический ток (получивший название
холловский ток), который равен (предполагается, что пе = щ)
J_l = епе(\1г± - ие±) (4.13)
и направлен перпендикулярно как Е, так и Во. Отметим, что
поскольку ue_L > Щ_ь ток течет в направлении — (Е х Во), противоположно
направлению дрейфа обоих типов частиц.
Вернемся к обобщенному закону Ома в упрощенной форме (4.9).
Перепишем уравнение в таком виде, чтобы плотность тока напрямую
зависела от приложенного электрического поля. Зададим тензор
проводимости постоянного тока S уравнением
J = S Е. (4.14)
Чтобы получить выражение для S, рассмотрим декартову систему
координат с осью z, направленной параллельно магнитному полю,
Во = Bqz. Заменив в (4.9) ие на — J/(ene), получаем
j = aoE-^(Jxz). (4.15)
епе
Учитывая, что
J х z = JySc- Jxy, (4.16)
получаем следующую систему уравнений для компонент х, у и z
уравнения (4.15):
х: Jx=v0Ex-^Jy, (4.17)
у: Jy=a0Ey + ^-JX9 (4.18)
z: Jz=a0Ez, C (4.19)
где 0,се — циклотронная частота электронов. Используем (4.17)
и (4.18), чтобы исключить Jy из первого уравнения, a Jx из второго.
В результате, получаем
^ = 2 °^2 ^о-Бж 2° ^2 аоЕу, (4.20)
VI + Псе v\ + П2се
Jy = 2С, п2 аоЕ* + 2 ,СП2 аоЕу. (4.21)
vc + uce vc + ilce
§ 4. Проводимость постоянного тока и подвижность электронов 223
В матричной форме эти выражения можно записать в виде
/.
= СГ0
vSlc
v\ + П2се
Vc* ice
v\ + nL
Vе о
2 . n2
2 i Г>2
г/с + f2ce
0
0
1/
(4.22)
что совпадает с уравнением (4.14). В результате тензор проводимости
постоянного тока равен
'°s.
<?н
0
-он
<г±
0
0
0
о\
s =
где были использованы обозначения
о~±
-его,
ISc* 'се
^с + ^с
:<т0 =
тге
теис'
(4.23)
(4.24)
(4.25)
(4.26)
Чтобы проиллюстрировать физический смысл компонент тензора «S,
удобно разбить приложенное электрическое поле на Ец —
параллельную Во компоненту — и Ej_, лежащую в плоскости, перпендикулярной
Во (см. рис. 2). Элемент тензора а± называется перпендикулярной
Е
iEll (all)
Во
-Е хВ0
(С7Н)
Е± (сг±)
Рис. 2. Относительная ориентация векторов Ец, Ej_ и —Е х Во. Проводимости
сгц, а± и ан определяются величиной электрического тока, который течет
вдоль соответствующих направлений
или поперечной проводимостью (также известной как педерсеновская
проводимость), так как он влияет на электрический ток, текущий
в направлении электрического поля, перпендикулярном магнитному
224
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
полю (|| E_l,-L B0), элемент <т# (называемый проводимостью Холла)
влияет на электрический ток, который течет в направлении,
перпендикулярном как электрическому, так и магнитному полям (J_ E, J_ Во).
Элемент <то — это продольная проводимость, поскольку он определяет
электрический ток, который течет вдоль магнитного поля (|| Ец, || Во).
Отметим, что проводимость <то для продольного электрического тока
равна проводимости изотропной плазмы.
На рис. 3 показана зависимость а± и <т# от отношения
циклотронной частоты к частоте столкновений. При росте отношения (QCe/vc)
0 2 4 Qce/Vc
Рис. 3. Зависимость холловской проводимости ан и проводимости в
перпендикулярном магнитному полю направлении а± от отношения циклотронной
частоты flee к частоте столкновений vc
а± и <т# быстро уменьшаются, причем а± уменьшается быстрее.
Таким образом, когда (ftce/uc) становится достаточно большим, поперек
магнитного поля течет очень небольшой ток по сравнению с током
вдоль линий магнитного поля. Следует отметить, что <то растет при
уменьшении ис и не зависит от величины В и, следовательно, от £2се.
Таким образом, в разреженно'й плазме, находящейся в относительно
сильном магнитном поле, электрический ток будет течь в основном
вдоль линий магнитного поля.
Стоит отметить, что при отсутствии магнитного поля (£2се = 0) из
(4.24), (4.25) и (4.26) следует, что а± = ао и ан = сто, т. е. плазма
становится изотропной.
Выведем выражение для подвижности электронов. Вследствие
анизотропии, которая вызвана присутствием магнитного поля, мы будем
иметь дело с тензором подвижности Ме- Определим тензор
подвижности электронов как
ие = Ме • Е. (4.27)
Поскольку J = — епеие = S • Е, получаем
Ме = —-S. (4.28)
пее
Явные выражения для компонент Ме могут быть легко получены из
уравнений (4.23)-(4.26).
§ 5. Проводимость переменного тока и подвижность электронов 225
§ 5. Проводимость переменного тока и подвижность
электронов
Теперь рассмотрим случай, когда электрическое поле Е(г, t) и
средняя скорость электронов ue(r,£) меняются во времени как ехр(—iut).
Уже упоминалось, что частную производную по времени d/dt от
гармонической функции можно заменить на (—га;). Следовательно,
линеаризованное уравнение Ланжевена (3.4) имеет вид
—iuome\ie = —е(Е + ue x Во) — гаег/сие, (5.1)
и его можно переписать как
—е(Е + ие х В0) - те{ус - ги)ие = 0. (5.2)
Это уравнение идентично уравнению (4.7), в котором частоту
столкновений vc заменили на (yc — iu). Таким образом, решение идентично
решению для тензора проводимости постоянного тока, полученному
в предыдущем параграфе, за исключением того что у каждого элемента
тензора необходимо заменить ис на (ус — гоо). Следовательно,
выражения для частотно-зависимых величин поперечной проводимости,
проводимости Холла и продольной проводимости записываются
соответственно как
{ус — гш) (г оч
o-i. = , у . ч2 ' со, (5.3)
[ус - ш) + Пс
_ (ус - JU>)QCe
[ус - ш)2 + П2С
yisc — гш ±Lce (К Л\
пе пе (ус + ги) /с сч
о~о = —т г^г = —2 27- (5.5)
ШеКус -ги) me(vZ+u>)
Если можно пренебречь столкновениями электронов с нейтралами
(ус — 0), то выражения для компонент тензора проводимости
переменного тока приобретают следующий вид:
2
о~±_ = —2—г^о, (5.6)
ш — \1се
ан = _uM~a0j (5 7)
ш - Г2се
a0 = i—. (5.8)
тесо
Комплексное значение проводимости означает, что между плотностью
тока и приложенным электрическим полем существует разность фаз.
Подвижность электронов легко получить исходя из уравнения
(4.28) для любого выражения, приведенного выше.
15 Биттенкорт Ж.А.
226
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
§ 6. Проводимость с учетом движения ионов
Тензор проводимости с учетом движения ионов можно вывести,
рассмотрев линеаризованное уравнение Ланжевена для частиц сорта а:
moc-^f =&*(E + ua xBo) -mavcaue, (6.1)
где vCOL — эффективная частота столкновений, или, другими словами,
декремент для частиц сорта а, появляющийся из-за их столкновений
с нейтральными частицами. Заметим, что уравнения Ланжевена для
каждого сорта заряженных частиц не связаны друг с другом.
Следовательно, полная плотность тока равна
J = ]С n"&*u<* = Y1За = (]С Sa)'E' (6-2^
а а а
а полный тензор проводимости
s = Y,s«- (б.з)
а
Для плазмы, состоящей из электронов и нескольких сортов ионов
(индекс j), исходя из уравнений (5.3), (5.4) и (5.5) получаем следующие
выражения для проводимостей, выраженные через плазменную частоту
<t_l = e0
о~н = ео
2 / • \ 2
ире(усе -гш) ^ шро(Усэ -гш)
(исе - 1ш)2 + Q2ce t-r* (i/cj - гш)2 + Q2cj
се
V- ^vi^ci-ш) 1 (6 4)
{Vce ~ гш)2 + Псе *~f {vcj ~ iwf + Ci\
<7\\ = ео
У "*№ 1 (б5)
г^-т + Е^ "»•. 1 (6.6)
[усе. — гш) t—J (yCj — гш) \
§ 7. Плазма как диэлектрик
Плазму можно также рассматривать как диэлектрик, описываемый
тензором диэлектрической проницаемости, в котором не
учитывается поведение составляющих его частиц. До этого параграфа плазма
рассматривалась как совокупность заряженных и нейтральных частиц,
которые взаимодействуют со своими внутренними полями. В этом
случае материальные уравнения имеют вид
D = e0E, (7.1)
В = МоН (7.2)
§ 7. Плазма как диэлектрик
227
и применяются для вакуума, а поведение плазмы определяется
движением и взаимодействиями заряженных частиц внутри плазмы.
Тензор диэлектрической проницаемости дает возможность
использовать другой подход, который связан только с макроскопическими
свойствами плазмы, а не с движением отдельных частиц. Вместо
уравнения Ланжевена возьмем следующее уравнение Максвелла:
VxB =
(j + eof), (7.3)
и опишем свойства плазмы тензором проводимости «S, который
определяется выражением
J = S Е. (7.4)
Подставляя (7.4) в (7.3) и предполагая, что изменение во времени имеет
гармонический характер, ехр(—iut), получаем
V х В = noS • Е - UJ/zoeoE. (7.5)
Если ввести единичный тензор 1, то можно записать
V х В = -iufioeo (l + —) - Е, (7.6)
ИЛИ
V х В = -шщ>£ • Е, (7.7)
где выражение
S = €o(l + —)-E (7.8)
называется тензором диэлектрической проницаемости плазмы.
Таким образом, использование тензора диэлектрической проницаемости
представляет собой другой подход к описанию плазмы, если сравнить
его с использовавшимися до этой главы. Применяя этот метод,
уравнение (7.1) можно переписать в виде
D = £ Е, (7.9)
где плазма рассматривается как диэлектрическая среда без глубокого
рассмотрения свойств и поведения составляющих ее частиц. Заметим,
что £ зависит от частоты и.
В матричной форме тензор диэлектрической проницаемости
записывается как
£ = е0[е2 б! 0), (7.10)
\0 (
где введены следующие обозначения:
'€.
£2
^0
^НИЯ
1 +
-62
€1
0
[•
0
0
«з
i
г
= <?Н
(7.11)
е2 = —ан, (7.12)
15*
228
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
63 = 1 + — а0. (7.13)
Для многокомпонентной плазмы в (7.8) следует использовать
полную проводимость, поэтому нужно подставить выражения для а±, ан
и сто, определяемые уравнениями (6.4), (6.5) и (6.6).
§ 8. Диффузия свободных электронов
Присутствие в законе сохранения импульса градиента давления
дает силу, которая стремится сгладить любые неоднородности в
плотности плазмы. Диффузия частиц в плазме вызвана силой,
обусловленной этим градиентом. Чтобы вывести коэффициент диффузии
электронов в теплой слабоионизованной плазме, будем использовать
уравнение сохранения импульса для электронов, где частота столкновений
электронов с нейтралами постоянна. Предположим, что отклонения от
состояния равновесия, вызванные неоднородностью плотности,
невелики, так что их можно рассматривать как величины первого порядка
малости. Это означает, что средняя скорость электронов ие также
является величиной первого порядка малости и, считая, что распределение
по скоростям приблизительно изотропно, тензор давления Ve можно
заменить на скалярное давление ре.
Рассмотрим случай, когда Е и В равны нулю, а температура
электронов Те постоянна. Для слабо неоднородной плотности электронов
можно записать
ne(r,t) =щ + п'е(г,г), (8.1)
ре(т, t) = ne(r, t)kTe = (n0 + п'е)кТе, (8.2)
где \п'е\ Спо - величина первого порядка малости, а щ постоянна.
Поскольку ие является также величиной первого порядка малости, то
уравнение непрерывности для газа электронов записывается в виде
n0^+n0V.ue = 0, (8.3)
где мы пренебрегли членом второго порядка малости n'e\ie. Из
уравнения сохранения импульса получаем
[due
L dt
где после линеаризации
щте
+ (ие • V)ue = -Vpe - nemeiycue, (8.4)
т-^г = -Vn'e - щис\1е. (8.5)
at me
Применив к этому уравнению дивергенцию, имеем
OCV-Ue) kTe v-72 / т-7 /О С\
п0-^—- = Vn'e ~ щус^ • ue. (8.6)
at me
§ 8. Диффузия свободных электронов
229
Используя (8.3) для подстановки noV • ue, получаем
^ = ^VVe-i/c^. (8.7)
dt2 me e dt
Это уравнение можно записать в следующем виде:
w'D^2<-v^ (88)
где величина
De = ^- (8.9)
mevc
имеет смысл коэффициента диффузии свободных электронов.
Для приблизительной оценки по порядку величины членов в
уравнении (8.8) введем г и L — характерное время и характерный масштаб
изменения величины п'е соответственно. Очевидно, что производная по
пространству будет порядка L-1, а производная по времени — порядка
г-1. Поэтому (8.8) можно переписать в виде
<^~^, (8.10)
AWe~L>e^f, (8.11)
(8.12)
-L2'
1 с»2 / /
1 о пе пе
"с дГ
Сравнение (8.10) с (8.12) показывает, что если vcr > 1, т. е. если
среднее количество столкновений электронов с нейтралами за характерное
время г достаточно велико, то можно пренебречь последним членом
в (8.8), и уравнение сводится к уравнению диффузии:
^=DeV2n>e. (8.13)
Следовательно, если скорость изменения плотности мала по
сравнению с частотой столкновений, концентрация электронов описывается
уравнением диффузии, коэффициент диффузии в котором определяется
выражением (8.9).
Условие vcr ^> 1 означает, что в уравнении сохранения импульса
можно пренебречь ускорительным членом, т. е. опустить due/dt. Из
линеаризованного уравнения (8.5), когда нет изменения ие во времени,
получаем
n0^ue = -^V<, (8.14)
ТПе
что может быть записано как
Te = -DeVrie, (8.15)
где Ге = щие — линеаризованный поток электронов.
230
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
Если заменить J на Ге, <то на De, a E на — Vn'e, то выражение
(8.15) оказывается идентичным простому закону Ома J = <7оЕ. Таким
образом, видно, что в стационарном случае поток электронов Ге
вызван градиентом плотности, аналогично электрическому току, который
возникает под воздействием электрического поля.
§ 9. Диффузия электронов в магнитном поле
Рассмотрим задачу диффузии электронов в постоянном и
однородном магнитном поле Во. Примем такие же допущения, как и в
предыдущем параграфе, кроме того, в уравнении движения будем пренебрегать
членом с ускорением due/dt. В линеаризованное уравнение сохранения
импульса (8.5), у которого производная по времени принята равной
нулю, теперь включим член с силой, которая обусловлена наличием
магнитного поля. Получаем следующее уравнение:
Ге = -DeVn'e - _5_(Г х Во). (9.1)
mevc
Выбрав декартову систему координат с осью z, направленной вдоль
поля В0, т. е. Во = Boz, получаем
Ге = -DeVn'e - ^(Г х z). (9.2)
Это уравнение будет аналогично (4.15), если Ге заменить на J, De
заменить на (Jo, a — Vn'e на Е. Стоит отметить, что £tcejvc = аоВо/(епе).
Поэтому, по аналогии с выражением J = S Е, можно записать
Ге = -V • Vn'e, (9.3)
где V — тензор диффузии (свободных частиц), который в матричной
форме выглядит следующим образом:
/ D± DH 0 \
V = -DH Al 0 , (9.4)
V 0 0 Dj
где были введены обозначения
£>± = Аие, (9.5)
v\ + Q2ce
Dh = ^e^ (9 6)
D|l = De = -*ZL. (9.7)
11 mevc
Уравнение диффузии для п'е в случае постоянного и однородного
магнитного поля выводится точно так же, как и уравнение диффузии
в предыдущем параграфе. Сначала запишем уравнение непрерывности
(8.3) в форме ;
^ + V • Г = 0. (9.8)
§ 10. Лмбиполярная диффузия
231
Подставив сюда выражение (9.3) для Ге, получаем
M = V.(p.Vn'e). (9.9)
Используя (9.4) и вычисляя выражение в правой части в декартовых
координатах, имеем
^< = х(0хМ+0„^) +
+ x|-D„$i + D1$i)+£(D|i#|. (9.10)
дх ду J \ " дг
Подставляя получившееся выражение в (9.9), находим
^-D±{^ WJ+ е^' (9Л1)
Поскольку D± < De и поскольку .D_l уменьшается с увеличением
|^се/^с| (подобно <t_l на рис. 3), диффузия частиц в направлении,
перпендикулярном магнитному полю, всегда меньше диффузии в
направлении, параллельном В. Для значений £2се, намного больших vc,
диффузия частиц поперек линий магнитного поля существенно уменьшается.
Стоит отметить, что для Г2се > vc из (9.5) и (9.6) приблизительно
получаем D_\_ ос \/В2 и Dh ос \/В.
В заключение этого параграфа, отметим, что если пренебречь
ускорением, то уравнение сохранения импульса для электронного газа
в присутствии сил, вызванных электромагнитным полем, при
постоянной температуре можно записать в следующей форме:
Ге = Ме(пеЕ + Ге х В) - DeVne. (9.12)
Из этого уравнения видно, что поток электронов вызван либо
электромагнитными полями, либо градиентом плотности, либо обоими этими
факторами. Отношение скалярной подвижности Ме к коэффициенту
диффузии, которое называется отношением Эйнштейна, равно
Ме е_
De ~ We
(9.13)
§ 10. Амбиполярная диффузия
В §8 было показано, что уравнение переноса импульса в
стационарном случае и в отсутствие электромагнитных сил при
постоянной температуре преобразуется в следующее уравнение диффузии для
электронов:
Ге = -DeVrie, (10.1)
232
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
где коэффициент диффузии свободных электронов равен
De = J*T^ (102)
mevCe
Здесь в vc добавлен нижний индекс е, чтобы показать, что
эффективная частота столкновений vce относится к столкновениям электронов
с нейтралами.
Если рассмотреть аналогичные уравнения для ионов в слабоионизо-
ванной плазме, используя те же приближения, то получается
следующее уравнение диффузии для ионов:
I\ = -AV< (10.3)
где icT
— коэффициент диффузии свободных ионов, a vci — эффективная
частота столкновений ионов с нейтралами.
При выводе уравнений (10.1) и (10.3) не учитывались
столкновения электронов с ионами. Поскольку коэффициент диффузии обратно
пропорционален массе частицы, электроны имеют тенденцию
диффундировать быстрее ионов, оставляя за собой область с преобладанием
положительных зарядов. Это приводит к возникновению
электрического поля, вызванного разделением зарядов, которое направлено в том
же направлении, что и диффузия, и которое ускоряет диффузию ионов
и замедляет диффузию электронов. Диффузию, в которой не
учитывается эффект разделения зарядов, называют свободной диффузией.
Однако в большинстве задач пренебрегать электрическим полем,
возникающим вследствие разделения зарядов, нельзя. Согласно
уравнению Максвелла, .
V • Е = -£ = e(jli ~ Пе), (10.5)
электрическое поле присутствует всегда, когда концентрация
электронов отличается от концентрации ионов. Чтобы оценить величину
электрического поля, возникающего вследствие разделения зарядов
в задаче о диффузии, воспользуемся анализом размерностей. Пусть
L — характерное расстояние, на котором плотность существенно
изменяется. Тогда из (10.5) можно получить, что
£~—, (10.6)
т. е. электрическая сила на единицу массы /# равна
fE = ^~ ink. (Ю.7)
т тео
Из (10.1) получаем, что сила диффузии на единицу массы fo будет
П0РЯДКЗ кТ кТп
fD = -*i_|Vn| ~ -^V. (10.8)
§ 10. Лмбиполярная диффузия
233
Поэтому электрической силой вследствие разделения зарядов можно
пренебречь, если /е <С /d или если
L2 << Щ = ^ (Ш9)
где Xd — радиус Дебая. Поскольку радиус Дебая обычно очень мал
(см. рис. 2, гл. 1), условие L <С Xd выполняется очень редко и в
большинстве задач диффузии в плазме нельзя пренебрегать электрическим
полем, возникающим вследствие разделения зарядов. Поэтому ниже
рассматривается задача о диффузии в плазме с учетом движения как
ионов, так и электронов и с учетом электрического поля
разделения зарядов Е. Диффузия электронов и ионов, которая определяется
полем, возникающим вследствие разделения зарядов Е, называется
амбиполярной диффузией. Поскольку электрическое поле замедляет
электроны и ускоряет ионы, два сорта заряженных частиц стремятся
достичь скорости диффузии, которая будет средним значением
скоростей диффузии ионов и электронов.
Для изучения амбиполярной диффузии предположим, что
изменения концентрации электронов и ионов имеют первый порядок малости,
так что (для а = е, г)
na(T,t)=no + ria(T,t)t (10.10)
где \п'а\ <С по, а средняя скорость иа очень мала. Принимая эти
допущения, получаем следующее линеаризованное уравнение сохранения
вещества (для а = е,г):
^+noV-uQ=0. (10.11)
Линеаризованный закон сохранения импульса в отсутствие магнитного
поля в предположении постоянства температуры принимает следующий
вид (для а = е, г):
fhb = 0^Е _ _M^lVr£ _ u (10.12)
Ot VTLol ГПаПо
где поле разделения зарядов Е удовлетворяет уравнению Максвелла
(10.5). Предполагается, что средняя скорость нейтралов равна нулю,
а также, поскольку плазма слабоионизованная, мы пренебрегаем
столкновениями электронов с ионами. Взяв дивергенцию от (10.2) и
использовав (10.11), имеем
~W~'^ ]~^ а~ са'еГ' (10ЛЗ)
Если подставить сюда выражение для V • Е из (10.5), получим следу-
щую систему уравнений для двух переменных, п'е и п'{.
д пе 2 / / / \ кТе Т-Т9 / дпе /лг. л . ч
W = <<* ~ Пе) - ^7V Ч ~ *<*-£. (Ю.14)
234
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
д Tii 2 / / / \ кТ{ т-т9 / дП4 /ЛГ. * г ч
w = ~^{щ -Пе) - ^Vni - ис'ж (10Л5)
Однако эти уравнения еще слишком сложны для тщательного
аналитического исследования, и для их упрощения мы сделаем несколько
дополнительных допущений.
Вспомним, что если vcr ^ 1, т. е. если в среднем электроны и ионы
в течение характерного времени диффузии г испытывают большое
число столкновений с нейтральными частицами, то можно пренебречь
членом d2nfa/dt2 (который возникает из-за члена в уравнении
движения, отвечающего за ускорение). Принимая во внимание это
предположение, мы будем пренебрегать членом в левой части уравнений (10.14)
и (10.15). Объединив эти уравнения, имеем
/cTeVVe + кТ&2п\ - mevj-^ - mivj^ = 0. (10.16)
Предположив в качестве второго допущения, что п'е = n'i = nf, получим
следующее уравнение диффузии:
k(Te+Ti)V2nf-(meuce+miuci)^r=0, (10.17)
dt
которое можно записать в форме
дп
m = DaV2ri, (10.18)
Da = fe(Te + Ti) (10.19)
mevce + miVd
— коэффициент амбиполярной диффузии. Стоит обратить внимание,
что объединение двух уравнений, (10.14) и (10.15), является
следствием наличия члена с электрическим полем и что упрощение п'е = п\
введено только после объединения этих двух уравнений в (10.16). Это
предположение подразумевает, что электрическое поле, возникающее
из-за разделения зарядов, вносит очень малые возмущения,
следовательно, дрейфовое движение ионов и электронов одинаково. Это
явление называется идеальной амбиполярной диффузией, поскольку при
ней происходит полное объединение двух типов заряженных частиц.
Вместо предположения о п'е = п\ можно принять менее
ограничивающее допущение
п[ = Сп'е, (10.20)
где С — постоянная. Используя это допущение в (10.16), получаем
sdne
~di
или
k(Te + CTi)V2n'e - {mevce + Спцус1)^ = 0, (10.21)
^=DaV2n'eJ (10.22)
§11. Диффузия в полностью ионизованной плазме 235
где коэффициент амбиполярной диффузии теперь равен
Da= ^+5^) . (10.23)
mevCe + CrriiVci
Разделение заряда равно
р = е{п[-п'е) = еп'е{С-\), (10.24)
а электрическое поле можно получить из уравнения Максвелла
V-E= еп«(с-1)> (10.25)
Это электрическое поле должно ускорять диффузию ионов и замедлять
диффузию электронов по сравнению со скоростью их свободной
диффузии, так что диффузия обоих сортов частиц одновременно представляет
хорошее приближение.
Ниже на основе анализа размерностей будет показано, что как
только отклонение от зарядовой нейтральности становится
существенным, электрическая сила становится очень большой. Сравнение
электрической силы на единицу массы f# = ааЕ/гаа с силой диффузии на
единицу массы f# = — (kTa/mano)Vn'a, которые по порядку величин
равны
fE~ Ьепе(с~1)у (10.26)
?71£о
кТп'
Ь ~ ^т. (Ю.27)
дает 2
!± „ L(C~l\ (10.28)
JD ЛЬ
В большинстве случаев L2 намного больше X2D, следовательно, если п\
существенно отличается от п'е, то сила, создаваемая электрическим
полем (которая стремится уравнять п\ и п'е), становится очень большой.
§11. Диффузия в полностью ионизованной плазме
Теперь рассмотрим задачу о диффузии в полностью ионизованной
плазме. Для простоты будем рассматривать плазму как однокомпонент-
ную проводящую жидкость, для которой уравнение движения в
стационарных условиях и в присутствии магнитного поля и градиента
давления записывается как
JxB = Vp, (11.1)
где J — полная плотность электрического тока, В — магнитная
индукция, ар— полное скалярное давление проводящей жидкости.
Стоит отметить, что электрическое поле равно нулю, поскольку плазма
236
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
на макроскопических масштабах нейтральна (р = 0). Это уравнение
нужно дополнить обобщенным законом Ома в упрощенной форме:
J = a0(E + uxB), (11.2)
где сто — продольная электрическая проводимость, а и — полная
макроскопическая скорость жидкой среды.
Умножив (11.2) векторно на В, получаем
J х В = а0(Е х В - £2и±), (11.3)
где u_l — компонента и, нормальная к внешнему полю В. Используя
(11.1) и преобразуя уравнение (11.3), имеем
Е хВ Vp /1 1 лч
Данный результат показывает, что полная скорость жидкости поперек
магнитного поля определяется дрейфом плазмы Е х В и скоростью
диффузии в направлении —Vp.
Поток, вызванный только диффузией, равен
Гх=пих = -^, <п-5)
<7qB
где п — плотность электронов (или ионов). Рассматривая плазму как
двухжидкостную среду (электроны и один тип ионов), получаем
P = Pe+Pi = nk{Te+Ti), (11.6)
так что в предположении о том, что температуры постоянны, (11.15)
принимает вид
г = _nk(Te + Ti)Vn = _D уп (1 { 7)
стоВ2
Величина Нт тл
сг0 В
называется коэффициентом классической диффузии для полностью
ионизованной плазмы.
Этот коэффициент диффузии, так же как и коэффициент диффузии
для слабоионизованной плазмы, пропорционален \/В2. Тем не менее
имеется существенное отличие между коэффициентом D±, который
определяется (11.8), и соответствующим коэффициентом для частично
ионизованной плазмы. В первую очередь необходимо отметить, что
в полностью ионизованной плазме величина D± не остается
постоянной, а зависит от плотности п. Кроме того, поскольку было показано,
что при максвелловском распределении по скоростям <то
пропорциональна Т3/2, то для полностью ионизованной плазмы D± уменьшается
с увеличением температуры, тогда как для частично ионизованной
плазмы ситуация прямо противоположная. И последнее. Коэффициент
§11. Задачи
237
диффузии D± в (11.8) был получен для плазмы, которая
рассматривалась как проводящая жидкость, где ионы и электроны
диффундируют вместе и, следовательно, амбиполярное электрическое поле
отсутствует.
В ряде экспериментов наблюдалась зависимость D± от магнитного
поля по закону В~{, а не В~2 и было обнаружено, что
разрушение удерживаемой плазмы во времени происходит экспоненциально
и необратимо. Кроме того, было найдено, что абсолютное значение
D± намного больше, чем дается выражением (11.8). Такое аномально
слабое удержание плазмы магнитным полем впервые в 1946 г. было
обнаружено в лабораторных условиях Бомом, который получил
полуэмпирическую зависимость
D^D° = mi- (1L9)
Поскольку здесь коэффициент диффузии не зависит от плотности,
плотность плазмы уменьшается во времени экспоненциально. Этот тип
диффузии в плазме называется бомовской диффузией.
Задачи
10.1. Рассмотрите твердотельную плазму с равным количеством
электронов (е) и дырок (К). На основе линеаризованного уравнения
Ланжевена (с а = e,h),
mot-^f = &*(Е + ua х В0) - mavcaue,
считая, что те = га^, vce = vch, зависимость Е и uQ от времени
гармоническая, ехр(—iut), и рассматривая задачу в прямоугольной системе
координат с осью z, направленной вдоль постоянного и однородного
магнитного поля Во, покажите, что тензор проводимости равен
/<г± 0 0\
5 = 20 а± 0 ,
\0 0 (то/
где <t_l и сто определяются уравнениями (5.3) и (5.5) соответственно.
Объясните, почему в этом случае <т# = 0.
10.2. Пусть в присутствии постоянных и однородных
электрического (Е) и магнитного (Во) полей средние скорости электронов и ионов
удовлетворяют следующим уравнениям движения:
те-гПГ = _е(Е + ие X В0) - теи(\1е - щ),
Шг-^Г = е(Е + иг X В0) - ГПеи(щ - Ue).
238
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
а) Найдите выражения для проводимостей <т#, а± и <то для
стационарного постоянного тока.
б) Вычислите тензор проводимости плазмы для переменного тока,
если ue, Mi и Е меняются пропорционально ехр(—iut), а Во постоянно.
10.3. Рассмотрите уравнение J = S • Е, где S определяется (4.23).
Используя прямоугольную систему координат, где Ех = Е±, Еу = О,
Ez = Е\\, а Во = Bqz (cm. рис.2), покажите, что в этой системе
координат
Jx — &j_Ej_t
Jy = о~нЕ±,
Jz=(T\\E\\-
На основе рис. 2 поясните физический смысл этого результата.
10.4. Каким физическим смыслом обладает комплексная
проводимость, которая определяется уравнениями (5.7) и (5.8)? Пусть E(r, t) =
= E(r)exp(—loot). Вычислите действительную часть E(r, t) и J(r,t) =
= <SE(r,£). Дайте физическую интерпретацию получившегося
результата, которая объясняет разность фаз между J и Е.
10.5. Выпишите выражения для компонент тензора
диэлектрической проницаемости £ для многокомпонентной замагниченной плазмы.
10.6. Рассмотрите электроны в плазме, на которые действует
малое, постоянное и однородное внешнее электрическое поле Е. Получите
выражение для неравновесной функции распределения электронов /
при стационарных условиях. Примените метод возмущений для
уравнения Больцмана (положив / = /i + /ь где |/i| <C /о, и пренебрегая
всеми членами второго порядка малости) и используйте
релаксационную модель (т-приближение) для столкновительного члена:
где v — частота столкновений при релаксации, а /о — равновесная
функция распределения Максвелла. Исходя из того что v не зависит
от скорости, получите выражение для электропроводности плазмы <то,
полагая J = oqE.
10.7. Решите задачу 10.6, только включите в рассмотрение
присутствие постоянного и однородного магнитного поля В0.
10.8. Представьте горизонтально слоистую ионосферу без
магнитного поля, состоящую только из электронов (с плотностью п,
температурой Т, зарядом —е, массой гае) и одного сорта ионов (с плотностью
п, температурой Т, зарядом +е, массой т^), в которой действуют
§11. Задачи
239
сила гравитации (g), вертикальный градиент давления (Vp) и
внутреннее электрическое поле (Е), которое вызвано разделением зарядов
и связано с амбиполярной диффузией. Силой гравитации для
электронов можно пренебречь, система рассматривается в состоянии
равновесия. Основываясь на бесстолкновительном уравнении движения
для электронов и ионов, покажите, что внутреннее электрическое поле
действует вниз на электроны и вверх на ионы с одинаковой силой
rrtig/2. Следовательно, суммарный эффект таков, как если бы ионы
и электроны имели равную массу rrii/2.
10.9. а) Чтобы решить уравнение диффузии
at
методом разделения переменных, положите
n{r,t) = S{r)T{t)
и покажите, что
Tk{t)=T0exp{-Dk2t),
(V2+&2)S(r)=0,
где к2 — постоянная разделения переменных, а То — константа.
б) Предположив, что S зависит только от координаты х, покажите,
что
S(x) = с(к) exp(ikx),
где к может иметь положительное или отрицательное значение, и что
оо
г
п(х, t) = c(k) exp(ikx — Dk2t)dk,
щ(х) = c(k)exp(ikx)dk,
где щ(х) = п(х,0) — известное начальное распределение плотности,
в) Используя метод Фурье, покажите, что
с(к) = — | no(x)exp(—ikx)dx
и, следовательно, что
n(x,t) =
1_
2(nDt)
1/2
no(x;)exp
{x-x'f
ADt
dx'.
240
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
г) Приняв в качестве начального условия
щ(х) = ехр(-х2/хо),
покажите, что
п^*) = (^Т«)1/2ехр["|(^Т4*)
где td = Xq/D — характерное время диффузии для сглаживания
плотности п.
д) Обобщите в декартовой системе координат задачу для
трехмерного случая, когда S — S(r).
10.10. Рассмотрите решение уравнения диффузии методом
разделения переменных для геометрии плазменного слоя, представленной
на рис. 4. Покажите, что решениями уравнения
п(ху t)
Рис. 4. Геометрия плазменного слоя для решения уравнения диффузии в
задаче 10.10
^^ + fc25(x) = 0,
dx
которые удовлетворяют граничному условию S = 0 при х = ±L, будут
S(x) = ^amcos[(ra + l/2)7cx/L]
ТП
S(x) = \ bmsin(m7rx/L).
Объясните, почему решение, состоящее из ряда синусов, не подходит
с физической точки зрения, а поскольку n(x,t) = S(x)T(i), плотность
выражается в виде
n(x,t) = ^amexp[-£>7r2(m+ \/2)2t/L2}cos[ir(m+ l/2)x/L].
§ 11. Задачи
241
В результате постоянная времени затухания для моды т равна
_ | L
Тт. —
тг(т+ 1/2)
D'
Это говорит о том, что более высокие моды затухают быстрее, чем
низкие. Как коэффициент аш выражается через щ(х)?
10.11. Покажите, что решение уравнения диффузии в
цилиндрической геометрии (см. рис. 5):
^1 + 1^)+^5(г) = 0,
dr
г dr
может быть записано через функции Бесселя Jm(kr). Покажите, как
нужно определить fc, чтобы п(г, i) удовлетворяла граничным условиям
п = 0 при г = Rq.
Плазма
Рис. 5. Цилиндрическая геометрия плазменного столба для решения уравнения
диффузии из задачи 10.11
10.12. Проверьте, что решение уравнения диффузии
^=DV2n(r,t)
в виде плоских волн приводит к следующему дисперсионному
соотношению между к и оо:
k2D = ш.
Покажите затем, что для диффузии свободных электронов
k2Vse = iuvce,
16 Биттенкорт Ж.А.
242
Гл. 10. Проводимость и диффузия в плазме
где Vse = (квТе/теу/2 = (ре/Рте)^2 — изотермическая скорость звука
в электронном газе, а кв — постоянная Больцмана. Покажите, что для
амбиполярнои диффузии
k2vsP = iujvCi,
где
Vsp =
/CB(Te + TQl1/2 /fi-+n,\l/2
= /Ре + Pi У
V Ртг /
Pr7
— изотермическая скорость звука в плазме. Вычислите фазовую
скорость и декремент для этих волн и выясните, являются они
продольными или поперечными.
10.13. Рассмотрите слабоионизованную плазму, помещенную в
однородное магнитостатическое поле В0, которое направлено вдоль оси z
декартовой системы координат.
а) Покажите, что уравнение диффузии для электронов (в
предположении, что Due/Dt = 0) с учетом электрического поля вследствие
разделения зарядов принимает следующий вид:
Ге = -V • (Vene) + пеМе - Е,
где
/ De± DeH 0 \
l-DeH De± 0
V 0 0 Dj
б) Выведите соответствующее уравнение для ионов с учетом
электрического поля разделения зарядов Е. Объедините уравнения для
электронов и ионов, чтобы устранить это электрическое поле.
Предполагая, что потоки электронов и ионов равны, Ге = Г*, и что их
концентрации также равны, пе = щ, определите коэффициент амбиполярнои
диффузии. Покажите, что он не зависит от наличия магнитостатиче-
ского поля.
10.14. Рассмотрите следующее уравнение теплового потока:
qe + ^(qexB) = -if0VTe,
которое было получено в задаче 8.11 для стационарного электронного
газа, помещенного в магнитное поле. Покажите, что это уравнение
можно записать в следующей форме:
qe = -/C-VTe.
§ 11. Задачи
243
Здесь /С — тензор теплопроводности
(к-
(К± -Кн
\кн -
где
2
кн = -^к0
V +ilce
ту ОКре
ко = ъ •
lmev
Глава 11
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
§ 1. Электронные колебания в плазме
Одно из фундаментальных свойств плазмы — ее способность в
условиях равновесия поддерживать зарядовую нейтральность на
макроскопических масштабах. Когда нарушается зарядовая нейтральность,
например при генерации достаточно большого отклонения от
квазинейтральности, сразу же возникают кулоновские силы,
стремящиеся восстановить квазинейтральность на макроскопических масштабах.
Поскольку кулоновские силы не могут существовать в плазме в
отсутствие внешних воздействий, то возникают высокочастотные
электронные колебания, которые в среднем поддерживают в плазме зарядовую
нейтральность.
В качестве простого примера рассмотрим малый сферический объем
в плазме и предположим, что в нем возник избыток отрицательного
заряда. Вследствие сферической симметрии соответствующее
электрическое поле радиально, направлено к центру сферы (см. рис. 1) и
вынуждает электроны двигаться радиально по направлению от центра
а б
Рис. 1. Радиальное электрическое поле Е, возникающее вследствие появления
избытка: а — отрицательного заряда внутри маленькой сферы, в этом случае
силы, действующие на электроны, заставляют их двигаться наружу из этой
сферы; б — положительного заряда, возникающая сила вынуждает электроны
двигаться по направлению к центру сферы
§ 1. Электронные колебания в плазме
245
сферы. Электроны приобретают кинетическую энергию в процессе
движения и обладают конечной инерцией, поэтому через некоторое время
сферический объем в плазме покинет больше электронов, чем это
необходимо для возобновления зарядовой нейтральности. Как следствие
внутри области появится избыток положительного заряда и возникнет
электрическое поле, направленное в противоположную сторону,
которое вынудит электроны двигаться по направлению к центру сферы.
Такое движение электронов туда и обратно в сферическом объеме плазмы
будет периодическим, т. е. возникнут электронные плазменные
колебания. Следовательно, плазма остается квазинейтральной, поскольку
полный заряд рассматриваемой сферической области, усредненный по
периоду колебаний, равен нулю. Частота этих колебаний обычно очень
высока, и так как ионы (по причине своей большой массы) не могут
двигаться с такой же скоростью и повторять колебания электронов, их
движением обычно пренебрегают.
Для исследования характеристик электронных плазменных
колебаний можно использовать модель холодной плазмы, в которой мы
пренебрегаем как тепловым движением частиц, так и силой, создаваемой
градиентом давления. Движение ионов не учитывается, а возмущение
плотности электронов предполагается малым и записывается в виде
Пе(г>*)=По+П/е(г,*)> (1.1)
где щ — равновесная концентрация частиц, а \п'е\ <С по. Аналогично,
предположим, что появляющееся электрическое поле Е(г,£) и средняя
скорость электронов ue(r,t) — величины первого порядка малости,
и, следовательно, уравнения можно линеаризовать. Линеаризованные
уравнения непрерывности и движения выглядят следующим образом:
^p)+n0V-ue(r,i)=0, (1.2)
^£i*)=__LE(r,t). (1.3)
at me
В уравнении движения предполагается, что изменение импульса газа
электронов вследствие столкновений пренебрежимо мало. Если
рассматривать только однократно заряженные ионы, то плотность заряда
дается выражением
p{r,t) = -e[n0 + n'eM)] +en0 = -erie(r,t), (1.4)
где считается, что концентрация ионов остается постоянной и
однородной и равна по (движением ионов пренебрегаем). Следовательно,
V.E(r>t) = ^^ = --ni(r>t). (1.5)
Уравнения (1.2), (1.3) и (1.5) составляют замкнутую систему
уравнений для неизвестных п'е(гчt), ue(r,t) и Е(г, £). Применяя операцию
246
Гл. 11. Некоторые основные явления в плазме
дивергенции к (1.3) и подставляя в него V ие из (1.2), получаем
^M_f5ov.E(r^)=0. (1.6)
dt2 rne v J
Комбинируя (1.5) и (1.6), чтобы исключить V • Е, имеем
£^+а|Х(г,«)=0, (1.7)
/ 2 Ч 1/2
где выражение
называется электронной плазменной частотой. Из уравнения (1.7)
видно, что rig(r, £) изменяется гармонически во времени с частотой,
равной плазменной:
n'e(r,t) = n'e(r) exp(-ioupet). (1.9)
На самом деле все возмущения первого порядка изменяются во
времени гармонически с частотой, равной плазменной частоте иоре.
Для доказательства этого утверждения удобно предположить, что все
возмущения первого порядка изменяются гармонически, т. е.
пропорциональны ехр(—ioot). В этом случае уравнения (1.2) и (1.3)
преобразуются к виду
п,
; = --noV-ue> (1.Ю)
ш
Ue = -^E (1.11)
иТПе
и их можно объединить, т. е.
г; = __^_У-Е. (1.12)
Подставляя выражение для п'е в (1.5), получаем
ш.
1 -^f I V-E = 0. (1.13)
Видно, что нетривиальное решение существует, только если ио = ооре.
Поэтому все возмущения должны изменяться во времени
гармонически, с частотой, равной электронной плазменной частоте. Более того,
фаза для всех переменных остается постоянной в пространстве, что
подразумевает отсутствие распространяющихся волн. Поэтому
колебания неподвижны. Из (1.11) видно, что скорость электронов имеет то
же направление, что и электрическое поле, поэтому такие колебания
являются продольными.
Электронные колебания в плазме по своему характеру
электростатические. Для иллюстрации рассмотрим уравнения Максвелла для
§ 1. Электронные колебания в плазме
247
ротора электрического и магнитного полей с возмущением, зависящим
гармонически от времени,
VxE = «jB, (1.14)
V х В = /xo(J - ги;е0Е). (1.15)
Плотность тока задается уравнением
J = -ещие = ^^Е, (1.16)
в котором для ие было использовано выражение (1.11). Отсюда
V х В = -ги;/х0бобгЕ, (1.17)
где относительная диэлектрическая проницаемость определяется как
ег=1-4- (118)
ш
Для электронных плазменных колебаний ио = иоре, следовательно, ег =
= 0 и (1.17) преобразуется к виду
VxB = 0. (1.19)
Поскольку ротор градиента любой скалярной функции равен нулю,
можно положить
В = Щ, (1.20)
где ф называется скалярным магнитным потенциалом. Подставляя
(1.20)—в—(1.14) и применяя операцию дивергенции к обеим частям
уравнения, получаем (так как дивергенция ротора любого вектора
р^вна нулю) уравнение Лапласа
V-(V^) = Vfy = 0. (1.21)
Единственное решение этого уравнения, которое не является
сингулярным и будет конечным при стремлении координат к бесконечности, —
это ф = const, поэтому В = 0. Следовательно, с рассматриваемыми
пространственными колебаниями заряда не связано никакое магнитное
поле.
Подводя итог, еще раз напомним, что электронные плазменные
колебания — это неподвижные продольные электростатические
колебания. Они также называются ленгмюровскими колебаними. Если
в (1.3) учесть влияние градиента давления и рассмотреть
адиабатические возмущения, то колебания переходят в распространяющиеся
возмущения, которые получили название волны пространственного
заряда или ленгмюровские волны. Характерные значения электронной
плазменной частоты для лабораторной и космической плазмы
приведены на рис. 2 в гл. 1.
248
Гл. П. Некоторые основные явления в плазме
§ 2. Дебаевское экранирование
Для исследования механизма, посредством которого плазма борется
с возмущениями электрического поля, рассмотрим электрическое поле,
возникающее в равновесной плазме при введении в нее заряженной
частицы. Очевидно, что для исследований такого электрического поля
можно выбрать любую заряженную частицу внутри плазмы. Для
определенности предположим, что такая пробная частица имеет заряд +Q,
и введем сферическую систему координат с началом координат,
совпадающим с положением пробной частицы. Стоит задача: определить
электростатический потенциал ф{г) вблизи пробной частицы Q,
возникающий вследствие совокупного влияния заряда пробной частицы и
заряженных частиц вокруг него. Поскольку положительный пробный
заряд притягивает отрицательно заряженные частицы и отталкивает
положительно заряженные, плотность электронов пе(г) и плотность
ионов щ(г) около начала координат будут отличаться, а на больших
расстояниях от пробной частицы электростатический потенциал
должен исчезать, поскольку пе(оо) = Пг(оо) = по. Задача стационарна,
а действующие электрические силы консервативны, поэтому
Е(г) = -Щ(т).
Из (7.5.16) следует, что
пе(г) = п0ехр
щ(т) = п0ехр
еф(г)
кТ
еф(г)
кТ
(2.1)
(2.2)
(2.3)
где предполагается, что электроны и ионы (с зарядом е) имеют
одинаковую температуру Т.
Полную плотность заряда, включая заряд пробной частицы Q,
можно выразить в виде
р(г) = -е[пе(г) - щ{т)] + Q6(t), (2.4)
где 5(г) — делыпа-фунщия Дирака. Используя (2.2) и (2.3), получаем
р(т) = -еп0 J [
еф(г)
кТ
еф(г)
кТ
} + QS(v). (2.5)
Подставляя (2.1) и (2.5) в уравнение Максвелла
V • Е(г) = ^,
получаем дифференциальное уравнение
€0 I
еф(г)
кТ
еф(тУ\\ =
кТ
]}--£<■
(2.6)
(2.7)
которое позволяет оценить электростатический потенциал ф(г).
§ 2. Дебаевское экранирование
249
Чтобы получить результат аналитически, предположим, что
возмущение электростатического потенциала мало, поэтому
электростатическая потенциальная энергия много меньше средней тепловой энергии,
т. е. "
еф(т) <С кТ. (2.8)
Используя это условие, можно сделать следующее приближение
(разложив экспоненту в степенной ряд):
ехр
■ еф(г)
кТ
1±^. (2-9)
Тогда уравнение (2.7) упрощается и принимает вид
V2«/>(r) - ^-ф(т) = -^(г), (2.10)
где через Ad обозначен дебаевский радиус
1/2
V Ще2 J ШреКтПе/
(2.11)
Поскольку задача сферически симметрична, электростатический
потенциал зависит только от расстояния г до пробной частицы и не
зависит от направления г. Таким образом, уравнение (2.10) в сферических
координатах (г ф 0) может быть записано в виде
r2dr
2 d ,, ч1 2
гТтЩ-^г) = 0 (г^0)- (2л2)
Чтобы решить это уравнение, вспомним, что электрическое поле
изолированной частицы с зарядом +Q, находящейся в вакууме, направлено
радиально в сторону от частицы и задается уравнением
Е« = 4^?- (2ЛЗ)
Поэтому электростатический кулоновский потенциал фс(г)
изолированной частицы равен
*"<r> = 4^f <2Л4)
Рядом с пробной частицей электростатический потенциал должен
совпадать с потенциалом частицы в свободном пространстве.
Следовательно, можно искать решение в виде
ф(г) = фс(г)Р(г) = ^-^-, (2.15)
где функция F(r) —> 1 при г —> 0. Более того, электростатический
потенциал должен стремиться к нулю при радиусе, стремящемся к-бес-
250
Гл. П. Некоторые основные явления в плазме
конечности, т.е. ф(г) —> 0 при г —> оо. Подставляя (2.15) в (2.12),
получаем следующее дифференциальное уравнение для F(r):
d2F(r) _ 2
drl
=tF{r)-
(2.16)
Это простое дифференциальное уравнение для F(f) имеет решение
вида
F(r) = Aexp(^ ) + £ехр( -^ J. (2.17)
\п
\п
Условие ф(т) —> 0 при больших г дает Л = 0, а условие равенства F(r)
единице, когда г стремится к нулю, приводит к В = 1. Следовательно,
решение (2.12) следующее:
Ф(г) = фс(г)ехр(-
У2г
Xd
1 Q
47Г€о ^
ехр
\/2г
' Ал
(2.18)
Это выражение известно как потенциал Дебая, поскольку данный
нестрогий вывод был впервые получен Дебаем и Хюккелем в теории
электролитов. Видно, что ф(г) становится намного меньше обычного
кулоновского потенциала, как только г превысит А^, называемую деба-
евской длиной (или дебаевским радиусом) (см. рис. 2). Следовательно,
Ф(г), Фс{г)
0 1 2 2^2r/XD
Рис. 2. Электростатический кулоновский потенциал фс(г) и дебаевский
потенциал ф(г) как функции расстояния до пробной частицы Q. Здесь
фо = у/2(Э/(4<ке0\п)
можно с какой-то долей уверенности утверждать, что заряженная
частица эффективно взаимодействует только с частицами,
расположенными на расстоянии меньше дебаевского радиуса, и оказывает
пренебрежимо малое влияние на частицы, расположенные на расстоянии
больше одной дебаевской длины.
§ 2. Дебаевское экранирование
251
Заряд пробной частицы Q нейтрализуется распределением заряда
вокруг нее. Из (2.5) и (2.9) получаем плотность заряда
Подставляя вместо ф(г) потенциал Дебая, получаем
Р(г
Q
ехр
Чтобы получить
пространству:
2тггЛЬ
полный заряд qt
V2r
+ Q6(t).
(2.19)
(2.20)
проинтегрируем (2.20) по всему
4t
p(r)d3r =
Q
27Г€0
-ехр
г
\/2?
Aitr2dr + Q
S(r)d3r.
(2.21)
Поскольку первый интеграл равен —Q, а второй — +Q, то qt = 0.
Основной вклад в первый интеграл в выражении (2.21) дают частицы
плазмы, находящиеся вблизи (причем чем ближе, тем вклад будет
больше) пробной частицы, поскольку подынтегральная функция
экспоненциально спадает с ростом г. Таким образом, за нейтрализацию
воздействия пробной частицы в основном отвечают частицы,
расположенные /внутри дебаевской сферы. Из уравнений (2.2) и (2.3) видно,
что около пробной частицы концентрация электронов больше
концентрации ирнов, поскольку положительная пробная частица притягивает
электроны и отталкивает ионы. Следовательно, совсем рядом с пробной
частицей существует дисбаланс в распределении зарядов и,
следовательно, присутствует электрическое поле. Видно, что экранирование
электрического поля эффективно на расстоянии порядка Ad. Таким
образом, для макроскопической квазинейтральности необходимо, чтобы
характерный размер плазмы L был намного больше Ad- Этот критерий
существования плазмы уже обсуждался в гл. 1.
Необходимо отметить: из уравнения (2.18) следует, что для г —> 0
потенциал Дебая становится очень большим и приближение еф(г) <С
<С кТ уже не будет верным. Чтобы проверить правильность этого
предположения и, следовательно, правильность (2.18), заметим, что
при Q = е можно переписать (2.18) в виде
еф
кТ
е2ехр(-\/2г/Ар) _ Ad ехр(-\/2г/Ар)
(2.22)
4<ке0гкТ 3ND r
где Nd — число электронов в дебаевской сфере. Поскольку Nd очень
велико практически для всех видов плазмы, очевидно, что соотношение
(2.22) много меньше единицы для любого г больше Xd/Nd-
Следовательно, дебаевский потенциал согласуется с приближением еф <С кТ,
которое использовалось для его вывода, если ограничиться
расстояниями до пробной частицы, большими чем Xd/Nd.
252
Гл. П. Некоторые основные явления в плазме
В заключение параграфа отметим, что практически везде в
литературе при выводе дебаевского потенциала движением ионов
пренебрегают и предполагают, что концентрация ионов постоянна и равна
невозмущенной концентрации электронов. В этом случае множитель 2
в уравнении (2.10) пропадает и выражение для дебаевского потенциала
будет следующим:
§ 3. Вывод дебаевского экранирования
с использованием уравнения Власова
В этом параграфе исследуется задача о дебаевском потенциале
с точки зрения кинетической теории. Как и раньше, будем
предполагать, что в плазме присутствует пробная частица с зарядом +Q,
которая находится в начале сферической системы координат. Для
вывода стационарных функций распределения электронов /е и ионов
fi и электростатического потенциала ф(г) вблизи пробной частицы
рассмотрим стационарное уравнение Власова для электронов и ионов,
в котором в выражение для силы входит только электрическое поле
Е(г) = -V0(r):
(3.1)
(3.2)
Поскольку
V • V/e + -
771
L(V0)-V„/e=O,
е
v • Vfi - —(V</>) ■ V„/i = 0.
па(г) =
fa (Г, V) = d?V,
(3.3)
полная плотность заряда (включая пробную частицу) может быть
представлена в виде
р(т) = -е [(/е - fi)d3v + QS(r), (3.4)
V
а уравнение Пуассона в виде
V0--
(fe-fi)d3v = -^S(r). (3.5)
Уравнения (3.1), (3.2) и (3.5) составляют замкнутую систему
уравнений, ИЗ КОТОрОЙ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ /е, fi И ф.
§ 4. Плазменный слой
253
Решение уравнений Власова (3.1) и (3.2) можно выразить через
распределение Максвелла, умноженное на распределение Больцмана
(см. §5, гл.7):
fa(r,v)=f0a(v)exp\-q^r)\
кТ
(3.6)
Когда электростатический потенциал исчезает, функция распределения
становится максвелловской (foa) c нулевой скоростью дрейфа.
Подставляя (3.6) в (3.5) (а = е,г), получаем
V0-
ео
ехр
(3)
f0ed3v-exp(-^
f0id6v\ = -Я*(г). (3.7)
1 ео
Обозначим равновесные концентрации электронов и ионов (когда
потенциал ф отсутствует) как щ:
щ =
foa(v)d3v, a = e,i.
(3.8)
Тогда (3.7) принимает вид
■ф &)-«-»(-£)]--;'<'>• <39>
Это уравнение совпадает с (2.7) и, следовательно, приводит к такому
же выражению для дебаевского потенциала.
§ 4. Плазменный слой
Если в плазму поместить какое-либо тело, то оно приобретет
отрицательный заряд и, следовательно, его потенциал, по отношению
к потенциалу плазмы, будет отрицательным. Вблизи границы тела
возникает пограничный слой, получивший название плазменный слой,
в котором плотности ионов и электронов различны. Внутри
плазменного слоя потенциал монотонно растет от некоторого отрицательного
значения на границе тела до величины, соответствующей потенциалу
невозмущенной плазмы. Толщина плазменного слоя, в котором
происходит отклонение от макроскопической зарядовой нейтральности,
примерно равна дебаевской длине.
Математическое объяснение этого явления крайне сложно и
выходит за рамки книги. Тем не менее основные физические механизмы,
ответственные за формирование плазменного слоя, достаточно просты.
В данном параграфе задача будет исследована аналитически и будут
получены некоторые простейшие оценки. Очевидно, что задача сильно
зависит от рассматриваемой геометрии. Для простоты предположим,
что стенка, ограничивающая плазму, — это бесконечная плоскость
х = 0, плазма находится в области х > 0, физических величин
зависящих от у и z нет.
254
Гл. 11. Некоторые основные явления в плазме
4.1. Физический механизм
Начнем с описания физического механизма формирования
плазменного слоя. Заряженные частицы плазмы, соударяясь со стенкой
во время своего хаотического теплового движения, по большей
части теряются плазмой. Ионы в основном рекомбинируют на стенке
и возвращаются в плазму уже как нейтральные частицы. Электроны
могут либо рекомбинировать, либо попасть в зону проводимости, если
поверхность стенки металлическая. В §4 гл.7 было показано, что в
случае изотропной функции распределения хаотический поток частиц,
т. е. количество частиц, сталкивающихся с единицей площади стенки
в единицу времени только с одной стороны стенки, определяется
формулой (см. уравнения (7.4.35) и (7.4.18))
Га = па(у)а/4, (4.1)
где (v)a — средняя скорость частиц сорта а. Для функции
распределения Максвелла-Больцмана находим (см. уравнение (7.4.20))
/8ч1/2 /кТ ч1/2
откуда получаем характерный поток частиц
/ кТ Ч1/2
Из этого результата очевидно, что если изначально концентрации
электронов и ионов равны, то поток электронов (Ге) будет
намного больше потока ионов (Г$), поскольку обычно (Те/те)1/2 намного
больше (Ti/rrii)1/2. Даже для самых легких ионов — ионов водорода —
mi/me = 1836. Следовательно, стенка, находящаяся в контакте с
плазмой, будет быстро накапливать отрицательный заряд, поскольку
количество электронов, сталкивающихся со стенкой в начальный момент
времени, намного больше, чем число ионов. Возникающий
отрицательный потенциал будет отталкивать электроны и притягивать ионы, так
что поток электронов будет уменьшаться, а поток ионов возрастать.
В итоге отрицательный потенциал стенки станет достаточно большим
и характерные потоки электронов и ионов, сталкивающихся со стенкой
станут равны. При таком плавающем отрицательном потенциале
стенка и плазма будут находиться в динамическом равновесии и
суммарный ток около стенки будет равен нулю.
4.2. Электрический потенциал стенки
Для оценки величины потенциала стенки после формирования
плазменного слоя рассмотрим стационарную задачу и предположим,
что электрический потенциал ф(х) на стенке (х = 0) задается как
ф(0) = ф„
(4.4)
§ 4. Плазменный слой
255
Примем, что относительное значение потенциала в плазме на большом
расстоянии от стенки равно нулю:
ф{оо) = 0. (4.5)
Предполагается, что электроны и ионы находятся в
термодинамическом равновесии при одинаковой температуре Г, под воздействием
консервативного электрического поля, возникающего из-за наличия
отрицательного потенциала на стенке. При х —» оо плазма становится
невозмущенной, концентрации электронов и ионов равными щ.
Согласно результатам, полученным в § 5 гл. 7, плотности электронов и ионов
можно выразить в виде
\еф(г)]
пе{г) = п0ехр
щ(т) = п0ехр
кТ
еф(г)
кТ
(4.6)
(4.7)
Важно отметить, что в уравнениях (4.6) и (4.7) не учитывается дрейф
частиц по направлению к стенке. Поскольку электроны и ионы,
сталкивающиеся со стенкой, в основном теряются, а не возвращаются
в плазму, то, чтобы возместить потери потери заряженных частиц,
должен существовать стационарный поток обоих сортов частиц по
направлению к стенке. Несмотря на свою недостаточность, (4.6) и (4.7)
все равно могут быть полезны для приблизительной оценки потенциала
стенки. Позже, при исследовании внутренней структуры плазменного
слоя, мы примем во внимание потоки частиц, дав их примерное
описание посредством уравнений гидродинамики.
Одно из граничных условий состоит в том, что в равновесии заряд
на стенке остается постоянным, поэтому
Je(0) = Ji(0). (4.8)
Используя (4.3), (4.6) и (4.7) и рассматривая только однозарядные
ионы, получаем соотношение
ш'/2ч^ьш"2ч-^ <«••>
которое можно переписать в виде
'*(-&) = &)'*■ <410>
Взяв от обеих частей равенства натуральный логарифм и решив
получившееся уравнение относительно потенциала стенки, имеем
*--(£)■"(£)• <411>
Более точные методы вычисления потенциала стенки приводят к
результатам, которые для Те = Т$ согласуются качественно с (4.11),
256
Гл. 11. Некоторые основные явления в плазме
несмотря на неточность (4.6) и (4.7), в которых не учитываются потоки
частиц по направлению к стенке.
Заметим, что в (4.11) величина потенциальной энергии около
стенки \e</)w\ по порядку величины совпадает со средней тепловой
энергией кТ частиц плазмы, поскольку
ефги _ 1
кТ
= т1п
(^). (4.12)
\meJ
Например, для водорода соотношение {еф^/кТ примерно равно 2,
а для более тяжелых ионов может быть близко к 3.
4.3. Внутренняя структура плазменного слоя
Для исследования внутренней структуры плазменного слоя
рассмотрим уравнения сохранения вещества и импульса для электронов
и ионов в стационарных условиях, причем все физические величины
зависят только от координаты х. Уравнение сохранения вещества
выглядит следующим образом (а = г, е):
-*—1 " = Па~} \-иа—г- = 0. (4.13)
ах ах ах
В уравнении сохранения импульса будем пренебрегать влиянием
вязких сил и аппроксимируем тензор кинетического давления обычным
скалярным давлением. В качестве уравнения состояния используем
уравнение состояния идеального газа ра = пакТа, в котором
температура предполагается постоянной. Поскольку толщина плазменного
слоя много меньше длины свободного пробега частиц плазмы,
столкновениями между частицами пренебрегаем. При этих предположениях
и в отсутствие магнитного поля уравнение движения, если принять
Е(г) = — V</>(r) и D/Dt = д/dt + иа • V = uad/dx, задается как
dua кТсх drict dф /л л ,ч
maUa^ = -^Tlb~qa^- (4Л4)
LLJU Юа LLJU LLJU
Чтобы упростить задачу, сделаем два предположения. Из (4.13) имеем
dx ua dx
а отношение по порядку величины левой части уравнения (4.14) к
первому слагаемому в правой части может быть представлено в виде
{duoc/dx)\ _ таи^ (л 1Лч
\{kTa/na){dna/dx)\ ~ кТос К ' '
Эти два предположения дают возможность пренебречь в (4.14) левой
частью при рассмотрении движения электронов и первым слагаемым
в правой, если рассматриваются ионы. Итак, для электронов
(пренебрегая их инерцией) имеем
kndn^_ed4 =Q ^ ^
пе dx dx
§ 4. Плазлренный слой 257
а для ионов (предполагая, что они холодные)
miUi^+et= 0- (418)
Эти два предположения оправданны, только если тепловая энергия
электронов много больше их кинетической энергии, а тепловая
энергия ионов много меньше их кинетической энергии. Таким образом,
используя (4.15), потребуем
теи2е < кТ < т^г2, (4.19)
чтобы оправдать предположения, сделанные в (4.17) и (4.18). Будем
предполагать, что условие (4.19) верно в плазменном слое. Это
предположение будет проверено позже.
Проинтегрировав (4.17), получаем
еф(х) = кТ \nne(x) + const (4.20)
и из условия пе = по, если ф = 0, находим
пе(х) = поехр
еф(х)
кТ
(4.21)
Данный результат совпадает с (4.6), и это неудивительно, поскольку
условие meul <^C кТ подразумевает, что мы пренебрегаем инерцией
электронов (те = 0) и, следовательно, их кинетической энергией.
Интегрируя (4.13), находим для ионов
щ{х)щ{х) = Си (4.22)
а интегрируя (4.18), получаем
еф(х) + \ггыи\{х) = С2, (4.23)
где С\ и Сг — постоянные. Из граничных условий следует, что при
х —> оо имеем: ф(оо) = 0, щ(оо) = щ, а щ(оо) = и^. Таким образом,
С\ = n0u0i, С2 = ^тги2^, (4.24)
и, используя эти результаты в (4.22) и (4.23), получаем
щ(х)щ(х) = щщ0, (4.25)
еф(х) + -тпги\(х) = 2miuli- (4-26)
Эти два уравнения можно скомбинировать, чтобы выразить щ(х) и
решить их относительно щ(х):
щ(х) = щ
{ 2еф(х)1-^2
(4.27)
ГПгЩг J
Данное уравнение для щ существенно отличается от (4.7), поскольку
в нем необходимо учитывать скорость течения ионов. Теперь находим,
17 Биттенкорт Ж.А.
258
Гл. 11. Некоторые основные явления в плазме
что поскольку в плазменном слое ф(х) < О, то щ(х) медленно убывает
по направлению к стенке, а не возрастает, как предсказывает (4.7).
Физическое объяснение такого поведения следующее: отрицательный
потенциал стенки вызывает ускорение ионов по мере их приближения
к ней, т. е. щ(х) увеличивается, а поскольку, как это следует из (4.25),
поток щ{х)щ(х) должен оставаться постоянным, щ(х) будет
уменьшаться согласно закону, задаваемому уравнением (4.27). Схематически
это поведение показано на рис. 3.
Слой
ф(х)
Плазма
Стенка
Рис. 3. Изменение электростатического потенциала ф(х), концентраций гц(х)
и пе(х) внутри плазменного слоя около бесконечной плоской стенки
Чтобы получить дифференциальное уравнение, описывающее
поведение электростатического потенциала ф(х), подставим (4.21) и (4.27)
в уравнение Пуассона
V2</>= — (пе -щ).
Получаем
с12ф
dx2
пре
бо
ехр
'еф_\ _
ж)
1 -
2еф
rrnuli
-1/2"
(4.28)
(4.29)
В этом уравнении необходимо определить скорость течения Щг вдали
от стенки. Уравнение нелинейно, и, чтобы получить его аналитическое
решение, требуется сделать еще одно предположение. Как мы видели,
\еф\ нарастает в плазме от нуля до величины порядка кТ на стенке, и,
§ 4. Плазменный слой
259
поскольку мы также предположили, что miuf0 больше кТ, то
ограничимся рассмотрением области около плазменной границы плазменного
слоя и будем предполагать, что \еф\ мало по сравнению как с /сГ,
так и с гПгЩо. Таким образом, в области около границы плазменного
слоя слагаемые в правой части (4.29) можно разложить в пределе
еф/кТ < 1 и еф/тги^ < 1:
(еф_\ 1 , ^Ф_
ехр\кт
)«l + g. (4.30)
)-1/2
«1 + -^-. (4.31)
ГПгЩг
В результате (4.29) преобразуется к виду
d ф _ ф
dx2 ~ X2'
(4.32)
где
Х2 = АЬ(1-^) (4.33)
Решая (4.32) с граничным условием ф(оо) = 0, получаем
ф(х) = Аехр(-х/Х), (4.34)
где А — постоянная. Поскольку мы предположили, что кТ <^С rriiU^, то
из (4.33) следует, что величина X является действительной и
приблизительно равна Ad.
Итак, абсолютная величина ф(х) экспоненциально спадает
(заметим, что А должно быть отрицательно, поэтому на самом деле ф(х)
растет) при движении внутри слоя в сторону плазмы и
асимптотически стремится к нулю на больших расстояниях от стенки. Поскольку
X ~ Ad, это изменение заметно только на расстоянии порядка дебаев-
ской длины. Решение для ф(х) верно только около плазменной границы
плазменного слоя, но если его продолжить в плазменный слой, то
можно применить граничное условие на стенке 0(0) = фш, которое дает
А = фш.
Если кТ больше ггци^, то X будет мнимым и электростатический
потенциал около стенки будет осциллирующей функцией расстояния.
Следовательно, условие
кТ < ггци20{ (4.35)
должно соблюдаться при формировании плазменного слоя. Оно
известно как критерий Бома.
Задача определения потенциала стенки с применением
гидродинамических уравнений не слишком проста. Все приближенные методы,
которые были предложены, при Те = Х^ достаточно хорошо согласуются
с приблизительным значением для фш, полученным в (4.11). Более
того, путь для определения скорости течения ионов що при х = оо
пока не найден, но приблизительная оценка может быть получена
17*
260
Гл. 11. Некоторые основные явления в плазме
следующим образом. Поскольку поток ионов должен быть постоянным,
из (4.25) следует, что можно приравнять поток ионов щи^ при х = оо
его значению на стенке ГДО). Используя (4.3) и подставив туда из (4.7)
щ, которое оценивается вблизи стенки, находим
/ кТ \1/2
г^ог = ■ -
Аналогично, для электронов можно приравнять поток электронов пеще
при х = оо его значению Ге(0) на стенке. Из (4.3), подставив
значение пе на стенке, полученное из (4.6), имеем
Ще
= (
кТ \'/2
\27гте
)•*•($)■ <«*>
Применяя (4.9), получаем
Ще = Щг- (4.38)
Для проверки правильности предположений, сделанных в (4.19)
отметим, что из уравнения сохранения вещества поток частиц,
заданный как па(х)и^(х), должен быть постоянным для всех х и
равным щща. Из (4.21) видно, что минимальное значение пе(х) равно
по ехр(ефи} JкТ), поскольку <\>w — отрицательно. Следовательно,
Щ = (^J Ще ^ и0е ехр (-^) . (4.39)
а используя (4.37), находим
^(S'"' (4-40)
или кТ
meul
> 2тг, (4.41)
что соответствует предположению (4.19). Аналогично, из (4.27)
максимальное значение щ(х) равно щ, так что
-(5)-
Щг > Щг- (4-42)
\Пг/
Применяя (4.36), находим
кТ \'/2
кТ _„„. ,2еф
?1<27гехр(^)«0,1, (4.44)
где последний результат был получен при подстановке значения 4>w
из (4.11). Таким образом, из (4.41) и (4.44) следует, что тепловая
энергия электронов будет больше их кинетической энергии, а для
ионов наблюдается обратная ситуация. Из (4.44) можно также видеть,
что критерий Бома формирования плазменного слоя удовлетворяется.
§ 5. Плазменный зонд
261
Хотя представленные результаты количественно являются очень
приблизительными, качественно они дают правильное описание
плазменного слоя.
§ 5. Плазменный зонд
Зонд представляет собой широко распространенный прибор,
служащий для измерения температуры и плотности плазмы как в
лаборатории, так и в космосе. Электростатический зонд был изначально
разработан Ленгмюром и Мотт-Смитом, а физический механизм его
работы хорошо объясняется представленной выше теорией
плазменного слоя.
Проводящий зонд или электрод помещается в плазму и при разных
значениях потенциала на зонде измеряется ток, протекающий через
него. Температуру и плотность электронов получают, используя
характеристики возникающей зависимости тока от потенциала. Когда
поверхность зонда плоская, вольтамперная характеристика зонда имеет
вид, аналогичный кривой, представленной на рис. 4.
Электронный ток
насыщения
Ионный ток ^
насыщения I
Накопление
электронов
Рис. 4. Характерная вольтамперная характеристика электростатического зонда,
помещенного в плазму. Плавающий потенциал зонда по отношению к
потенциалу плазмы обозначен как фш
Зонд в плазме будет окружен плазменным слоем, который
защищает основную часть плазмы от возмущения, вносимого зондом. Толщина
слоя — порядка дебаевской длины. Если через электрод ток не
протекает, то электрод имеет отрицательный плавающий потенциал <f>w,
который соответствует потенциалу стенки, рассматривавшемуся в преды-
262
Гл. 11. Некоторые основные явления в плазме
дущем параграфе. В условиях равновесия число электронов,
достигающих зонда в единицу времени, равно числу ионов, сталкивающихся
с зондом в единицу времени. Предположим, что ток положителен, если
он течет от зонда. Ток, связанный с электронами, направлен от зонда
и, следовательно, рассматривается как положительный; электрический
ток, создаваемый ионами, будет отрицательным. В условиях
равновесия полный ток через зонд равен нулю и его потенциал равен
плавающему потенциалу фш. Когда потенциал зонда делают меньше фШ1 ток,
создаваемый электронами, уменьшается, поскольку сила,
отталкивающая электроны вследствие наличия у зонда электрического поля,
возрастает. Если потенциал уменьшить еще сильнее, то ток, создаваемый
электронами, станет пренебрежимо мал и полный электрический ток
асимптотически приблизится к постоянному отрицательному значению,
соответствующему плотности электрического тока J^, связанной только
с потоком ионов. Ионы, которые приближаются к границе плазменного
слоя, попадают в потенциальную яму, и на создаваемый ими ток
уменьшение потенциала практически не влияет. С другой стороны,
когда значение потенциала увеличивается с некоторого отрицательного
значения фш, количество электронов, достигающих зонда в единицу
времени, становится больше количества ионов, поскольку сила,
отталкивающая электроны, уменьшается и полный электрический ток
становится положительным. Если электрический потенциал равен нулю, т. е.
потенциал зонда становится равным потенциалу плазмы, то, поскольку
тепловая скорость электронов существенно выше тепловой скорости
ионов, плотность электрического тока Joe становится намного
больше плотности тока, создаваемого ионами. Если потенциал становится
положительным, то возникает ситуация, когда током, создаваемым
ионами, можно пренебречь, но все электроны, достигающие границы
слоя, попадают на зонд. Для достаточно больших положительных
значений ф плотность электронного тока становится постоянной. Область
плато на вольтамперной характеристике зонда называется областью
насыщения электронного тока. Для еще более высоких значений ф
вольтамперная характеристика усложняется, так как следует
учитывать и другие эффекты.
Приблизительное выражение для величины электронного тока
вдали от области насыщения может быть получено из (4.6):
Je = Jeoexp(^) , (5.1)
где Jeo — значение плотности тока при потенциале, равном нулю.
Поскольку Ге = ne(v)e/A для 0 = 0, используя (4.2) для средней скорости
электронов, получаем
/ кТ Ч1/2
J-=e4S • (5-2)
§5. Задачи
263
где пе — плотность электронов в невозмущенной плазме. Заметим, что,
когда ф отрицателен, ионы, попадающие на границу плазменного слоя,
продолжают падать в потенциальную яму, создаваемую отрицательным
потенциалом збвда, и, следовательно, ионная плотность тока Ji в
области отрицательного потенциала остается постоянной. Таким образом,
полную плотность тока для ф < О можно выразить в виде
Jp = Je0exp(]^)-Ji (ф<0). (5.3)
Из этого уравнения можно получить, что
Г« = Н^И^ + Л)]}_1. (5-4)
Это выражение можно использовать для определения температуры
электронов следующим образом. Сначала потенциал электрода
делается отрицательным по отношению к потенциалу плазмы, причем его
значение таково, что ток создается только ионами. Измерение этого
тока дает значение Ji. Затем измеряется вольтамперная характеристика
зонда и строится кривая зависимости ln(Jp + Ji) от ф. Эта кривая
в некоторой области, соответствующей области, в которой потенциал
зонда меньше потенциала плазмы, представляет собой прямую. Наклон
этой прямой дает значение d/d</>[ln(Jp + Ji)], которое после
подстановки в (5.4) позволяет вычислить электронную температуру плазмы.
После определения электронной температуры Те можно из (5.2)
оценить концентрацию электронов:
Значение Jeo определяется из измерений тока, соответствующего
области плато (электронного насыщения) вольтамперной характеристики
зонда.
Задачи
11.1. Рассмотрите плазму (электроны и один сорт ионов) с
температурой То в стационарных условиях, в которую было привнесено
возмущение в виде точечного заряда +Q, помещенного в начало
координат. Используя бесстолкновительное гидродинамическое уравнение
для электронов и ионов (а = е, г)
совместно с уравнением состояния идеального газа ра = пакТ и
уравнением Пуассона
VV(r) = -*&,
264
Гл. П. Некоторые основные явления в плазме
получите следующее дифференциальное уравнение для дебаевского
потенциала ф(г):
Ъ2ф(г)-^ф(г) = -Я-5(г).
Л£> fc0
Предположите, что возмущение концентрации каждого сорта частиц
может быть представлено в виде па = щ + п'а, где щ — постоянная,
а \п'а\ ^С по- Какие предположения необходимы, чтобы получить этот
результат?
11.2. Проанализируйте задачу о дебаевском потенциале,
рассматривая только движение электронов (ионы остаются неподвижными)
и покажите, что в этом случае дифференциальное уравнение для
электрического потенциала ф(г) имеет вид
Ъ2ф(г)-±ф(г) = -Я-6(г).
11.3. При нарушении макроскопической нейтральности плазмы
внешними возмущениями электроны начинают совершать колебания
с плазменной электронной частотой соре = [ще2 / (тесо)}1/2.
Рассмотрите эти колебания с учетом движения ионов. Покажите, что в этом
случае частота колебаний пространственного заряда определяется
формулой
cj = (cj2pe+cj2pi)^2,
где LdPi = [ще2/(теео)]{/2. Используйте линеаризованные уравнения
непрерывности и движения для каждого сорта частиц и уравнения
Пуассона, рассмотрев только электрическое поле, возникающее из-за
разделения зарядов.
11.4. Оцените отрицательный электростатический потенциал фш,
который возникает на бесконечной плоской стенке, помещенной в
плазму, состоящую из электронов с зарядом —е и ионов с зарядом Ze
в стационарных условиях. Температуры электронов и ионов равны Те
и Ti соответственно.
11.5. Выведите выражение для дебаевского потенциала пробной
частицы заряда +Q, помещенной в плазму, состоящую из электронов
с зарядом — е и ионов с зарядом Ze, температуры электронов и ионов
равны Ге и Ti соответственно. Покажите, что если Те > Г^, то дебаев-
ская длина определяется температурой ионов Г^.
11.6. Используя следующие выражения для концентрации
электронов и ионов
\еф{г)'
пе(т) = п0ехр
щ(т) = п0ехр
кТ
еф(г)
кТ
§5. Задачи
265
в области плазменного слоя, формируемого бесконечной плоскостью
и полубесконечным слоем плазмы, выведите дифференциальное
уравнение, которому удовлетворяет электрический потенциал ф{х) в
плазменном слое. Покажите, что это дифференциальное уравнение можно
записать в виде 0
dF u/ел
где F = еф/кТ и £ = V2x/\d- Предположите, что пе = щ = щ, F = О
и dF/dt; = О при х = оо, и покажите, что
F(£) = 4arctn{exp[-(£-£0)]},
где £о — постоянная. Положив потенциал стенки равным фт и
предполагая, что еф/кТ <^С 1, покажите, что
'V2xy
ф(х) = фЬ) ехр
Л.
D
Ф™ = — ехр(£0).
11.7. Для плазменного слоя, формируемого около плоской стенки,
помещенной в плазму, предположите, что ионы на границе
плазменного слоя могут быть описаны посредством функции распределения
Максвелла:
,/ ч ( vm \3/2 Г mi(v-u0)l
где uo = i£ox — скорость потока. Покажите, что поток ионов на границе
слоя дается уравнением
Fix = no (^) V2 {ехр(-у2) + yV5F [1 + erf (у)]},
где у = uo[rrii/(2kT)]1/2, a erf — функция ошибок, определяемая как
2
erf (у) = .
V71" J
exp(—s)ds.
Вычислите dTix/dy. Функция ошибок становится равной нулю при
у = О, монотонно растет с ростом у и асимптотически стремится к
единице при у —» оо. Кроме того,
|[ег%)] = -^ехр(-2/2).
11.8. Объясните, как из экспериментальной характеристической
кривой ленгмюровского зонда площади А, помещенного в плазму
(см. рис. 5), где электрический потенциал измерялся по отношению
266
Гл. 11. Некоторые основные явления в плазме
Ток зонда
Рис. 5. Типичная вольтамперная характеристика плоского ленгмюровского
зонда, помещенного в плазму
к фиксированному потенциалу, определить Ji, Jeo> пространственный
потенциал ф8, плавающий потенциал ф$ относительно ф3 (необходимо
отметить, что ф$ — ф8 = фш), Те и пе.
11.9. Зонд Ленгмюра широко используется на спутниках для
измерения свойств плазмы. В одном из методов цепь устроена так, что
измеряются <11р/(1ф и с121р/(1ф2, где Ip = JPA, a A — площадь зонда.
Используйте (5.3), чтобы показать, что
(dlp/d4>) = kTe
((121р/(1ф2) е
Это выражение сразу же дает температуру электронов Те. Далее
покажите, что Jeo может быть получено из значений Те и сИр/(1ф при
известном значении ф согласно уравнению
dip
~&ф'
Плотность электронов пе можно вычислить из (5.5).
11.10. Газ электронов (лоренцевский газ) и стационарные ионы
взаимодействуют посредством внешнего электрического поля Е в
стационарных условиях. Используя уравнение Больцмана и
релаксационное приближение для столкновительного члена (частота
столкновений v постоянна)
7 кТе ( еф\
Je0 = _exp(-—)
§5. Задачи
267
для электронов и рассматривая адиабатический случай
n(r)[T(r)]-3/2 = const,
покажите, что функция распределения электронов задается
выражением
\тл/_ / VT\ , e
2кТ V*
- п (« 1 \mv2 (
f = fo{l-u[2kfV
t + _^_(v-E)
}•
Предположите, что / = /о + /ь где |/i | <^С /о, а /о — модифицированное
распределение Максвелла:
_ 13/2
/о(г,г>)
п г
ехр
2кТ(г)
2тт/сТ(г)
и линеаризуйте уравнение Больцмана. Член, содержащий V/i,
рассматривайте как величину второго порядка малости.
11.11. Используя функцию распределения из предыдущей задачи,
оцените плотность тока J и покажите, что градиент температуры
приводит к появлению электрического тока, связанного с
термоэлектрическими эффектами.
11.12. Рассмотрите задачу 11.10, положив Е = 0, а вместо
адиабатического процесса — процесс при постоянном давлении:
р = п(т)кТ(т) = const.
а) Покажите, что функция распределения электронов задается
выражением
/ = /о
1 -
1
5 mv
~2 2кТ
VT
б) Оцените вектор потока тепла q и покажите, что его можно
записать в виде
q=-#VT(r),
где теплопроводность К = 5kp/(2mv).
в) Чему в этом случае равна плотность тока J?
11.13. В предыдущей задаче предположите, что п = const, а /о —
модифицированная функция Максвелла-Больцмана,
/о(г,г>) =п
Получите функцию распределения электронов /(r,v) и покажите, что
вектор потока тепла равен
q=-KVT(r).
Получите выражение для теплопроводности К.
m
2тт/сТ(г)
6/2
ехр
Г 2 "1
mv
2кТ(г)
268
Гл. 11. Некоторые основные явления в плазме
11.14. Рассмотрите задачу 11.12 в присутствии внешнего
магнитного поля В, направленного вдоль оси z, и выведите следующее
выражение для неравновесной функции распределения:
с с \ Л 1 ( 5 mv2\ Г vQ.ce ( v ^ ^\
l/2 + fie
V2 + ft2,
М*+^)+га
VT
Покажите, что вектор потока тепла можно записать в виде
q=-/C-VT(r),
где /С — тензор теплопроводности, который в матричном виде выглядит
следующим образом:
/к± -кн о\
)С=[КН К± 0 ,
V о о щ)
причем
2
й± = I ^2~^0,
I/2 + QL
#11
5/ср
2тгш
#о.
Замечание. Решение дифференциального уравнения
&ф 0,се 0,се
записывается в виде
/1 = -ехр(—£-ф)— #'ехр(-^</>') v-V/0.
11.15. Коэффициент вязкости г\ определяется как вязкое
напряжение, производимое единичным градиентом скорости. Например, для
компоненты кинетического давления pxz
Рх
-V±u*(z).
Предположите, что равновесная функция распределения электронов
имеет вид
/o(r, v) = п (^) ехр [-^{[vx ~ ux(z))2 + v\ + v2z}
§ 5. Задачи
269
где ux[z) — средняя скорость потока в направлении х с градиентом в
направлении z. В отсутствие внешних сил и используя релаксационное
приближение с постоянной частотой столкновений z/, положите в
уравнении Больцмана в стационарных условиях / = /о + /ь где |/i| *С /о>
и покажите, что
/i(r,v) = -^fo{r,v)vz[vx ~ ux{z)]-^ux(z).
Затем получите pxz и покажите, что коэффициент вязкости задается
формулой
Глава 12
ПРОСТЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
МАГНИТОГИДРОДИНАМИКИ
§ 1. Основные уравнения магнитогидродинамики
Основные уравнения, описывающие поведение проводящей
жидкости, были представлены и обсуждались в гл. 9. Для удобства
воспроизведем здесь упрощенную форму магнитогидродинамических (МГД)
уравнений. Система уравнений включает в себя уравнение
непрерывности для проводящей жидкости
^+V-(PmU)=0, (1.1)
уравнение движения в виде
Pm^=JxB-Vp, (1.2)
уравнение сохранения энергии в адиабатической форме:
Vp = K2Vpm, (1.3)
где рт — полная массовая плотность, и — средняя потоковая скорость,
J — плотность электрического тока, В — магнитное поле, р — полное
давление в скалярной форме и Vs = (7P/Pm)1//2 — адиабатическая
скорость звука, где 7 — показатель адиабаты. К этим уравнениям
следует добавить два уравнения Максвелла в следующем виде:
VxB = /i0J, (1.4)
VxE = -f, (1.5)
и обобщенный закон Ома в упрощенном виде
J = ao(E + uxB), (1.6)
где его — электропроводность жидкости, а Е — электрическое поле.
В данной замкнутой системе МГД-уравнений предполагается, что
макроскопическая квазинейтральность поддерживается до высоких
порядков малости, поэтому плотность заряда р равна нулю. Как было
§ 1. Основные уравнения магнитогидродинамики 271
показано в § 6 гл. 9, член dEi/dt, входящий в уравнение
Максвелла, может быть опущен в случае очень низкочастотных явлений
и жидкости с высокой электропроводностью. Что касается
обобщенного закона Ома, то в нем пренебрегли всеми производными по
времени и градиентами давления, хотя подобные члены и могут
появиться в других МГД-уравнениях. Кроме того, были опущены
вязкость и теплопроводность, а тензор давления превратился в скалярное
давление.
Преимущество такого приближения состоит в том, что уравнения
сильно упрощаются, исчезает математическая сложность более общих
уравнений динамики проводящей жидкости, и поэтому облегчается
понимание физических процессов, которые имеют место в жидкости
с высокой проводимостью при очень низких частотах.
1.1. Модификация Паркера уравнения движения
В присутствии сильного магнитного поля тензор давления
невязкой проводящей жидкости анизотропен. Когда циклотронная частота
намного больше частоты столкновений, заряженные частицы
успевают между столкновениями совершить множество оборотов вокруг
магнитной силовой линии, поэтому существует равнораспределение
кинетической энергии частицы по двум независимым направлениям,
перпендикулярным В, но, в общем случае такого равнораспределения
не возникает при сравнении кинетической энергии с направлением,
параллельным В. Если обозначить скалярные давления в плоскостях,
перпендикулярной и параллельной В соответственно, как р± и рц
и рассмотреть локальную систему координат, в которой одна из осей
совпадает с вектором магнитного поля, то тензор давления в невязкой
жидкости можно записать как
/Р± 0 0\
V= 0 р± 0 . (1.7)
\0 О р\\)
Заметим, что использованные здесь перпендикулярный и параллельный
индексы не обозначают компонент вектора, а всего лишь показывают
части скалярного давления, связанного с плотностями кинетической
энергии движения частиц вдоль Вив плоскости, перпендикулярной В,
соответственно.
Если магнитное поле не является постоянным, то ориентация
локальной системы координат изменяется от точки к точке и при оценке
дивергенции тенора давления изменение направления ее осей следует
принять во внимание. Давление в (1.7) можно выразить как сумму
гидростатического скалярного давления р±_ и тензора, который привязан
к локальной системе координат:
Р=Р±1 + (рц-р±)ВВ,
(1.8)
272 Гл. 12. Простые приложения магнитогидродинамики
где 1 — единичный тензор:
(1.9)
а ВВ = ВВ/В2 — тензор, формируемый единичным вектором В:
/О 0 0\
ВВ= 0 0 0 . (1.10)
\о о \)
Уравнение движение теперь необходимо модифицировать с учетом
анизотропии тензора давления. Таким образом, получаем
Du
Pm^=JxB-V-P.
(1.11)
Для оценки V • V, где V задается уравнением (1.8), заметим, что
V • (р±1) = Vp±, (1.12)
и используем следующее равенство:
+
v • [(pi, -р±)вв] = (в • V) [(у,, -р±)—2
(P||-P±)^2j(V-B),
(1.13)
где второе слагаемое в правой части уравнения равно нулю, поскольку
V • В = 0. Отсюда
v-p = Vp± + (B-v) (рц-р_о-2
L £5
(1.14)
Более того, используя уравнение Максвелла (1.4), можно
переписать магнитную силу, действующую на единицу объема, как
1
J х В = — (V х В) х В.
Ро
(1.15)
Если разложить правую часть уравнения, используя векторное
тождество, то окажется, что
JxB = i[(B.V)B-V(b2)].
(1.16)
Подставляя уравнения (1.14) и (1.16) в уравнение движения (1.11),
получаем
Du
1 Dt
-v(^ + <fe> + (B-v)
В (рц-рх)В
Mo В2
(1.17)
Это уравнение отличается от обычного закона сохранения
импульса (1.2) для высокопроводящей невязкой жидкости только членом
(Р|| —р±.)/В2- Оно было получено, хотя и совершенно другим путем,
в 1957 г. Паркером, и поэтому на него обычно ссылаются как
модифицированное уравнение движения Паркера.
§ 1. Основные уравнения магнитогидродинамики 273
1.2. Два адиабатических уравнения Чу-Голдбергера-Лоу (ЧГЛ)
Для замыкания системы уравнений с уравнением движения (1.17)
необходимы условия, описывающие скорость изменения рц и р±. Они
заменяют известное уравнение адиабаты (1.3), которое используется
в изотропном случае. Пренебрегая в полном уравнении для потока
энергии (9.4.14) (уравнение (4.14) в гл.9) теплопроводностью и джоу-
левым нагревом, имеем
Ш (|) + (!)(V-u) + (7>.V).u = 0, (1.18)
где тензор давления V задается уравнением (1.8), а скалярное
давление р соответствует одной трети следа V, т. е.
Р=^(2р±+Рц). (1-19)
Отметим, что Зр/2 представляет собой полную плотность тепловой
энергии. Преобразуя V и используя (1.8), находим
(р . V) • и = b^V + (рн - р±)](ВВ • V) • и. (1.20)
Подставляя это выражение вместе с (1.19) в (1.18), получаем
^(2р± + р\\) + (рн + 4p±)V • и + 2(рц - р±)(ВВ • V) • и = 0. (1.21)
Сильное магнитное поле управляет движением частиц только в
направлении, перпендикулярном В, при этом частицы могут свободно
двигаться вдоль В. Таким образом, можно предположить, что вклад
в полную тепловую энергию от частиц, движущихся параллельно В,
должен удовлетворять уравнению сохранения энергии, аналогичному
(1.18). Это приводит к следующему уравнению для части полной
тепловой энергии вследствие хаотического движения частиц вдоль В:
^+P||V-u + 2P||(BB-V)-u = 0. (1.22)
Отсюда, разделяя уравнения для поперечной и продольной компонент,
получаем уравнение для р_\_:
^ + 2p±V • и - р±(ВВ • V) • и = 0. (1.23)
Уравнения (1.21) и (1.22) можно получить из уравнений более
высокого порядка, чем (9.4.14), включающих в себя скорость изменения
тензора давления V. Если такое уравнение, включающее выражение
DV/Dt, домножить на единичный тензор 1, то получим (1.21), а если
на тензор ВВ — то (1.22).
Уравнения (1.22) и (1.23) позволяют вычислить р\\ и р±. Их можно
выписать в более удобной форме. Во-первых, используем уравнение
Максвелла ЯТэ
VxE = -| (1.24)
18 Биттенкорт Ж.А.
274 Гл. 12. Простые приложения магнитогидродинамики
дВ Vx(uxB). (1.26)
и рассмотрим полностью проводящую жидкость, для которой
Е + ихВ = 0, (1.25)
тогда
т
Раскрывая выражение в правой части, используя векторное равенство
V х (и х В) = (В • V)u - B(V • и) - (и ■ V)B + u(V • В) и учитывая,
что V • В = 0, получаем
^ = (B-V)u-B(V-u). (1.27)
Если теперь скалярно умножить (1.27) на В/Б2, то получим
выражение 2
i^i = B.(B.V)u-V-u, (1.28)
которое можно переписать в виде
i^ = (BBV)u-Vu. (1.29)
Кроме того, из уравнения непрерывности (1.1) следует
V-u=- — ^. (1.30)
Рт Dt
Используя (1.29) и (1.30), чтобы убрать (ВВ • V) • и и V • и, получаем
±Щ[ _ ±Dprn 2DB^ =
РН Dt pm Dt В Dt ' V '
1 Dp± 1 Dpm 1 DB _Q (132)
p± Dt pm Dt В Dt
Эти два уравнения можно записать в более компактной форме
D ^"^-0, (1.33)
Dt\pl
£(ё)=°- (1-34)
Они были впервые получены Дж.Ф. Чу, М. Л. Голдбергером и Ф.Е. Лоу
(1956) и называются адиабатическими уравнениями для проводящей
жидкости в сильном магнитном поле. Они также известны как ЧГЛ-
уравнения и заменяют уравнение адиабаты в случае изотропной плазмы:
§-t(Pp^) = 0. (1.35)
1.3. Специальные случаи двух адиабатических уравнений
В качестве простого приложения двух адиабатических уравнений
рассмотрим сначала случай, в котором возмущения возникают только
параллельно магнитному полю, например звуковые волны, распро-
§ 1. Основные уравнения магнитогидродинамики 275
Dt \prnJ
страняющиеся вдоль силовых линий. Этот случай обычно называют
линейным сжатием параллельно магнитному полю или одномерным
сжатием. Магнитное поле считаем однородным и направленным вдоль
оси z. Таким образом, Вх = Ву = О, В = Bzz и д/дх = д/ду = 0.
В этом случае находим
(BB-V)-u= ^ = V и (1.36)
и из (1.29) видно, что В остается постоянным. Уравнения (1.31)
и (1.32) с DB/Dt = 0 дают
°-{PL\=0t (1.37)
= 0. (1.38)
\PrnJ
Если сравнить их с уравнением (1.35), то видно, что они совпадают,
если положить 7 = 3 вдоль силовых линий (одномерное сжатие) и 7 = 1
поперек.
Удобно ввести продольную и поперечную температуры в
соответствии с соотношениями
Р\\=пЩ, (1.39)
p_L=nfcTj_. (1.40)
Тогда в случае одномерного сжатия вдоль В имеем
Гц осп2, (1.41)
Т± = const. (1.42)
Данные соотношения показывают, что этот тип сжатия —
изотермический по отношению к перпендикулярной температуре Т±.
Следовательно, изменения р_\_ возникают только за счет изменения концентрации п,
а при изменениях р\\ меняется как п, так и Гц.
Еще один случай, представляющий интерес, — это двумерное
сжатие перпендикулярно магнитному полю, при котором все движение
сосредоточено в плоскости, поперечной магнитным силовым линиям.
Такой случай можно описать как движение магнитных силовых трубок,
совпадающее с движением частиц, содержащихся в них. Предполагая,
что магнитное поле направлено вдоль оси z (Вх = Ву = 0, В = Bzz),
а все изменения происходят только в плоскости, перпендикулярной z
(д/dz = 0), находим
(ВВ • V) ■ и = (z-ЦА • и = 0. (1.43)
Из (1.22) и (1.23) получаем
ПЩ _ P^Dprn= ( ,
Dt pm Dt У }
18*
276 Гл. 12. Простые приложения магнитогидродинамики
~W~^~dT~ ( ' 5)
Таким образом, в случае цилиндрического сжатия в плоскости,
перпендикулярной В, уравнения адиабаты принимают вид
s (£)-•• w
Й(5М=°- <М7>
D (v±
л
Сравнивая их с (1.35), получаем, что 7 принимает значение 1 вдоль
магнитного поля и 2 в плоскости, перпендикулярной ему. Из (1.39)
и (1.40) находим, что для двумерного (цилиндрически-симметричного)
сжатия, перпендикулярного В,
Тц= const, (1.48)
Т]_осп, (1.49)
т. е. в этом случае сжатие изотермическое по отношению к
параллельной температуре. Изменение рц возникает только вследствие
изменений концентрации п, а изменение р_\_ происходит за счет изменений
концентрации п и температуры Т±.
В случае трехмерного сферически-симметричного сжатия
Р\\=Р±=Р (1-50)
и (1.21) превращается в
5P_5pD^
Dt pm Dt v ;
Таким образом, получаем уравнение
D ( р
^is/3,-0, 0.52)
которое представляет собой обычное уравнение адиабаты (1.35) с 7 =
= 5/3. При любом адиабатическом сжатии на жидкость действуют
определенные силы, которые и дают возможность получить
необходимый тип адиабатического сжатия. Требуемая система сил определяется
из уравнения движения при условиях, соответствующих
анализируемой задаче.
1.4. Интеграл энергии
В конце этого параграфа покажем, что система гидромагнитных
уравнений (1.1)-(1.6) имеет интеграл энергии. Используя уравнение
Максвелла (1.4), подставим J в уравнение движения (1.2):
Pm^ = -(VxB)xB-Vp. (1.53)
§ 1. Основные уравнения магнитогидродинамики 277
Скалярно умножив его на и, получаем
^и • -^ = — и • (V х В) х В - и • Vp.
Левую часть уравнения можно представить в виде
(1.54)
Dm
рт\х • — = рт\х •
дм
1
>Рт
ди1
dt
+ (u • V)u2
a+(u.V)uj
д (\ 2
2U ~dt ' 2'
Используя уравнение непрерывности (1.1), чтобы исключить dpm/dt,
получаем
1 2^ Рта .1 / Г7\ 2
(1.55)
D\l д ( 1 9\ 1 2т-т / \ , 1 / г-7\ 2
PmU ' ~Ш== Ш \2PrnU ) ~ 2U (prnU) + 2Prn^U ' ™U =
Qpm^2)+V.(ipm^2u). (1.56)
at
Для преобразования слагаемого (и • V)p перепишем уравнение адиаба
ты (1.35) в виде
Pm Dt ^m ^^
и используем уравнение непрерывности
Dp
О
Dt
= -pm(V-u).
Объединяя эти два уравнения, получаем
<9р
^
+ (и • V)p + 7P(V • и) = 0.
Выражение (1.59) можно переписать в виде
^ + (l-7)(u-V)p + 7V.(pu) = 0.
Откуда получаем
(и • V)p =
1 dp
+
7
■V • (ри).
(1.57)
(1.58)
(1.59)
(1.60)
(1.61)
7 — 1 dt 7 — 1
Для преобразования в (1.54) слагаемого u(V x В) х В рассмотрим
абсолютно проводящую жидкость, для которой Е = —u x В, тогда,
используя соответствующее векторное тождество, имеем
и • (V х В) х В = -(и х В) • (V х В) = Е • (V х В) =
= B-(VxE)-V-(ExB). (1.62)
Применяя уравнение Максвелла (1.5), приходим к выражению
—u-(VxB) хВ
ро
£(!_)_±v-(ExB). (1.63)
278 Гл. 12. Простые приложения магнитогидродинамики
Подставляя (1.56), (1.61) и (1.63) в (1.54), получаем следующий закон
сохранения энергии:
\Рти> + ^ + g) + V • (1р„Уи + ^Ри + Е х Н) = 0.
(1.64)
Первые три слагаемых в этом уравнении представляют собой
плотность кинетической энергии, связанной с макроскопическим
движением жидкости, плотность тепловой и магнитной энергий соответственно,
а последние три слагаемых — поток макроскопической кинетической
энергии, поток тепловой энергии, переносимой с макроскопической
скоростью потока и, и поток электромагнитной энергии (который
дается вектором Пойнтинга Е х Н) соответственно.
Возьмем интеграл от (1.64) по всему пространству, т. е. по системе
жидкость-вакуум, и используем теорему Гаусса-Остроградского о
дивергенции, чтобы преобразовать интеграл от дивергенции в интеграл
по поверхности. Первые два слагаемых в интеграле по поверхности
обратятся в нуль, поскольку рт, р и и вне жидкости равны нулю.
Оставшийся член — это интеграл от вектора Пойнтинга, который для
изолированной системы также равен нулю. Итак, получаем следующий
интеграл сохранения энергии:
[ (\prnu2 + ^ + ^Л d3r = const. (1.65)
V
Первое слагаемое — это кинетическая энергия жидкости, второй —
тепловая свободная энергия, а последний — полная энергия магнитного
поля. Обычно энергию (1.65) делят на кинетическую энергию
К
и потенциальную энергию
U = [
v
тогда закон сохранения энергии приводится к виду К + U = const.
В этих уравнениях интегрирование производится по всему
пространству, включающему и плазму, и вакуум.
§ 2. Магнитная вязкость и число Рейнольдса
Изучение поведения магнитного поля очень важно для решения
многих задач МГД. Чтобы получить простое уравнение, описывающее
изменение В, возьмем ротор от обобщенного закона Ома (1.6):
VxJ = a0[V xE +V х (их В)]. (2.1)
-pmu2d3r
(1.66)
Р , в
+ 7^)d6r
7-1 2д0
(1.67)
§ 2. Магнитная вязкость и число Рейнольдса
279
Подставляя сюда плотность тока J и электрическое поле Е из
уравнений Максвелла (1.4) и (1.5), получаем
^ х (V х В) = /хоо-о [-^ + V х (и х В)
(2.2)
Используем следующее равенство (учитывая, что V • В = 0):
V х (V х В) = -V2B, (2.3)
тогда (2.2) преобразуется к виду
^=Vx(uxB)+77mV2B, (2.4)
где г}т называется коэффициентом магнитной вязкости 0:
Vm = —. (2.5)
Первое слагаемое в правой части уравнения (2.4) часто называют
потоковым членом, а второе — диффузионным членом. Для
сравнения вклада от этих слагаемых используем размерностныи анализ, тогда
приблизительно
|Vx(uxB)|«^, (2.6)
7?m|V2B|«r/m^, (2.7)
где L — некое характерное расстояние, на котором изменяются
физические параметры системы. Отношение потокового члена к
диффузионному называется магнитным числом Рейнольдса и равно
Rm = — ■ (2.8)
Tjrn
В большинстве задач МГД один из этих членов существенно больше
второго и соответственно Rm оказывается либо намного больше, либо
намного меньше единицы.
Интересно сравнить физический смысл магнитной вязкости г}т
и магнитного числа Рейнольдса Rm с обычной гидродинамической
вязкостью г? и числом Рейнольдса R. Для этого рассмотрим уравнение
Навье-Стокса
2± = f-±-Vp + m[V2u+l-V(V-u)}, (2.9)
где f — средняя сила на единицу массы жидкости, а щ —
кинематическая вязкость (вязкость, деленная на плотность). Сравнивая это
уравнение с (2.4), видим, что 77т отвечает за скорость изменения В,
1) В русскоязычной литературе также встречается название «коэффициент
диффузии магнитного поля». — Примеч. ред.
280 Гл. 12. Простые приложения магнитогидродинамики
т.е. ее роль практически аналогична роли r/ь отвечающей за скорость
изменения средней скорости жидкости и. Обычное число Рейнольдса
определяется как отношение инерционного члена (и • V)u к вязкому
77/cV2u. Используя размерностный анализ, получаем
|(u-V)u|*^, (2.10)
%|V2u|«%^, (2.11)
Li
откуда вытекает следующее выражение для гидродинамического числа
Рейнольдса (полностью аналогичное Rm):
R=—. (2.12)
§ 3. Диффузия магнитных силовых линий
При Rm <^ 1 основной вклад в уравнение (2.4) вносит
диффузионное слагаемое, и приблизительно можно написать
^=7?mV2B (i?m«l). (3.1)
Это уравнение представляет собой уравнение диффузии магнитных
силовых линий в стационарном проводнике и описывает распад
магнитного поля. Оно аналогично уравнению диффузии частиц, которое
рассматривалось в гл. 10. Характерное время уничтожения магнитного
поля можно получить из размерностного анализа, положив
\дВЩ « —, (3.2)
|ifr*V2B|«ib* (3.3)
где td — характерное время изменения параметров плазмы. Таким
образом, согласно (3.1) магнитные силовые линии диффундируют с
характерным временем диффузии порядка
г2
rD = — = L2ii0cfq. (3.4)
Для обычного проводника характерное время распада
магнитного поля очень мало. Если рассмотреть для примера медную сферу
радиуса 1 м, то время те> будет меньше 10 с. Для небесного тела,
вследствие его огромных размеров, время диффузии может быть очень
большим. Например, для земного ядра, если считать, что оно состоит
из расплавленного железа, характерное время распада магнитного поля
составляет приблизительно 104 лет, а магнитное поле Солнца должно
существовать на протяжении 1010 лет.
§ 4. Вмороженность силовых линий в плазму
281
АФЬ
§ 4. Вмороженность силовых линий в плазму
Совершенно^иной тип поведения плазмы и магнитного поля
наблюдается, если Rm > 1. В этом случае в (2.4) доминирует потоковое
слагаемое и уравнение принимает вид
f = Vx(uxB) (Дт»1). (4.1)
Из этого уравнения следует, что в жидкости с очень высокой
проводимостью магнитные силовые линии движутся только вместе с
жидкостью, а не диффундируют в ней. X. Альфвен дал объяснение такому
типу движения и предложил говорить, что магнитные силовые линии
вморожены в проводящую жидкость. В действительности жидкость
может свободно двигаться вдоль силовых линий, но любое движение
поперек линий поля уносит и силовые линии.
Для демонстрации эффекта вмороженности удобно ввести
понятие магнитной силовой трубки, которое применяется для
визуализации направления и величины В в различных точках пространства.
Можно представить, что пространство, заполненное магнитным полем,
поделено на множество
элементарных магнитных
силовых трубок, переносящих
одинаковый магнитный
поток АФв- Если Д5, пло- f~*b
щадка, расположенная в маг- \
нитной силовой трубке (см. у^гФ
рис. 1), перпендикулярна
магнитным силовым линиям, то Рис> 1. Элементарная магнитная силовая
величина В в некоторой точ- трубка. Величина В в точке Р равна
ке Р равна АФв/AS. Соглас- АФв/AS
но этому определению
величина В в каждой точке трубки обратно пропорциональна площади
поперечного сечения элементарной силовой трубки.
Рассмотрим замкнутую линию, точки которой движутся со
скоростью и через пространство, заполненное магнитным полем.
Предположим, что и — произвольная функция координат и времени
(необязательно равная потоковой скорости). Тогда замкнутая кривая может
изменять форму, двигаться поступательно или вращаться. Пусть в
момент времени t замкнутая кривая С\ ограничивала некую незамкнутую
поверхность S(t) = Si, и пусть через промежуток времени At та же
замкнутая кривая Сг ограничивала поверхность S(t + At) = S2 (см.
рис. 2). Поток магнитного поля через поверхность S в момент времени
t задается уравнением
Фя(*)= fB(r,t).dS. (4.2)
s
282 Гл. 12. Простые приложения магнитогидродинамики
Магнитный поток
uAt
4 dS = (uAt) x d\
Рис. 2. Замкнутая кривая, ограничивающая поверхность, которая движется
в магнитном поле со скоростью u(r, t), показанная в моменты времени t
и t + At. Закрашенная область — часть цилиндрической поверхности,
описывающейся элементом dl ограничивающей кривой
Скорость изменения магнитного потока через незамкнутую
поверхность S равна
dt
|в(г,*)-
dS
= lim -—
At^O At
[в(г,* + Д*)-<ЯЗ- [в(г,*).<ЯЗ
#2 S\
■ (4.3)
Если разложить магнитное поле В (г, t-\-At) в ряд Тейлора около
B(r, £), получим
B(r, t + At) = B(r, t) + ^g^ At + ,
Отсюда в пределе At —» 0 (4.3) приводится к виду
B(r,*)-dS =
(4.4)
d_
dt
lim
At
*{J
*Г-*+£
B(r,t)-dS- B(r,t)-dS
5,
(4.5)
Для оценки члена внутри скобок в правой части уравнения
используем тот факт, что для любой замкнутой поверхности из теоремы
Гаусса-Остроградского в момент времени t имеем
(bB-dS
V • Bd3r = О,
(4.6)
§ 4. Вмороженность силовых линий в плазму
283
так как V • В = 0. Если применить этот результат к замкнутой
поверхности, образованной Si, S>2 и сторонами цилиндрической поверхности
длины иД£, показанной на рис. 2, то получим
B(r, t)-dS+ B(r, t) • dS - ф B(r, t) • [{uAt) x d\] = 0,
$2 С\
(4.7)
где знак минус перед первым слагаемым возникает, поскольку внешняя
нормаль к поверхности S\ направлена противоположно нормали к 5г,
а — [(иД£) х d\] — элемент поверхности (с нормалью, направленной
наружу), который покрывает вектор d\ замкнутой кривой за время At.
Если подставить (4.7) в (4.5) и взять предел при At —» 0, то, заметив,
что в этом пределе S\ = £2 = S(t), получаем
d_
dt
B(r,t)-dS
93Ot'^ • dS + iB(r,t).(ux dl). (4.8)
Последнее слагаемое в правой части уравнения с помощью векторного
равенства преобразуется к виду
В(г,*) • (и х dl) = -[и х В(г,*)] • Л. (4.9)
Из теоремы Стокса выводим
1[и х B(r, t)} • dl) = [ V х [u x B(r, t)} • dS. (4.10)
с s
Таким образом, подставляя полученное выражение в (4.8), получаем
d
dt
B(r,*).dS
1дВ£Л) - V х [u x B(r,t)]\ • dS. (4.11)
Теперь предположим, что пространство заполнено жидкостью
с очень высокой проводимостью и соотношение (4.1), которое верно
для Rm > 1, выполняется. Если за скорость и в (4.11) принять
скорость жидкости, то из (4.1) и (4.11) можно сделать вывод, что
d_
dt
B(r,*)-dS
0.
(4.12)
Это уравнение математически выражает тот факт, что магнитный
поток, ограниченный замкнутой линией (через незамкнутую
поверхность S), движущейся со скоростью жидкости и, сохраняется.
Заметим, что этот вывод требует только, чтобы компонента скорости
замкнутой линии, перпендикулярная В, была равна компоненте
скорости жидкости в плоскости, перпендикулярной В, поскольку
компонента, параллельная В, не вносит никакого вклада в выражение и х В.
Таким образом, (4.1) подразумевает, что магнитные силовые линии
284 Гл. 12. Простые приложения магнитогидродинамики
вморожены в жидкость с большой электропроводностью и переносятся
любым движением жидкости вместе с ней в плоскости,
перпендикулярной силовым линиям. Однако на движение вдоль силовых линий
такого ограничения не налагается, и проводящая жидкость может
свободно течь в направлении, параллельном В.
Такого результата следовало ожидать и из физических
соображений, поскольку при движении проводящей жидкости поперек
магнитных силовых линий возбуждается электрическое поле, величина
которого пропорциональна компоненте скорости, перпендикулярной В.
Однако если проводимость жидкости бесконечна, то перпендикулярная
компонента скорости должна быть бесконечно малой, чтобы
электрический ток был конечным.
Если жидкость занимает конечный объем, то результат (4.12) уже
не будет верным. Используя (2.4), получаем из общего выражения
(4.11)
(1Фв 1
dt po<jq
V2B-dS, (4.13)
где из правой части видно, что возникает поскальзывание магнитных
силовых линий через замкнутую кривую.
§ 5. Магнитное давление
Понятие магнитного давления очень полезно при изучении
высокотемпературного удержания плазмы. В стационарных условиях МГД-
уравнения сводятся к следующей замкнутой системе магнитостати-
ческих уравнений:
Vp = JxB, (5.1)
V х В = /xqJ, (5.2)
V • В = 0. (5.3)
Если в этих уравнениях исключить J, то получим следующую
эквивалентную систему уравнений магнитостатики, в которую входит только
р и В:
Vp=— (VxB) xB, (5.4)
Ро
V • В = 0. (5.5)
Член в правой части (5.4) может быть переписан как дивергенция
магнитной части тензора электромагнитных напряжений. Используя
векторное равенство
(V х В) х В = (В • V)B - \V{B2) = V • (ВВ) - V • ф#2), (5.6)
§ 5. Магнитное давление
285
где 1 — единичный тензор, и следующее определение тензора
магнитных напряжений:
Т(т> = -(ВВ-к#2),
(5.7)
которое можно переписать в матричном виде (в декартовой системе
координат)
МО
BXBZ
(В2х-В2/2) ВХВУ
Т*"*) = ^ ( ВХ5У (Я* _ В2/2) ВуВ | f (5 8)
ВгВт. BzBy (Bz — В /2) i
JzJJx
можно записать (5.4) как
Vp = V-T(m\
или, что то же самое,
V • (1р - Т<т)) = 0.
(5.9)
(5.10)
Напряжение будет положительным, если происходит растяжение, и
отрицательным при сжатии. Таким образом, видно, что — Т(т)
можно определить как тензор магнитного давления, который играет ту
же роль, что и тензор давления
х\ в
0
—►—
z
жидкости. Заметим, что урав
нение (5.10) эквивалентно (5.1)
и (5.2).
Полезно рассмотреть
локальную систему координат,
в которой одна из осей
направлена вдоль магнитного поля В,
как показано на рис. 3. Для
локальной системы координат все
недиагональные элементы тензора магнитных напряжений исчезают,
поскольку В = Bz, так что
Рис. 3. Локальная система координат,
связанная с магнитным полем, в
которой ось z направлена параллельно
магнитному полю В в данной точке
7~(т) =
0 0
-В2/2й> 0
0 B2/2fi0j
(5.11)
Отсюда получаем, что основные напряжения — это натяжение В2 j2p^
вдоль магнитных силовых линий и давление В2/2цо перпендикулярно
магнитным силовым линиям, аналогичное взаимному отталкиванию
линий. Альтернативное выражение для (5.11) может быть записано
в виде
q-{m) _
{0 0
о о
i0 0
0 N
0
в2/^
-B2/2im> 0
+
о
о
-В2/2ц0
о
о
о
-В2/2мо
(5.12)
286 Гл. 12. Простые приложения магнитогидродинамики
Видно, что натяжение, которое вызывается магнитным потоком, можно
также назвать изотропным магнитным давлением В2/2ро, а
натяжение В2/ро действует вдоль магнитных силовых линий так, как если бы
они были эластичными лентами (рис. 4) Последнее выражение очень
В2/2р0
1 ■' ww Ш.т'
В2/цо
Рис. 4. Напряжения, вызванные магнитным потоком, могут быть разложены на
изотропное магнитное давление В2/2/ло и магнитное натяжение В2/ро вдоль
магнитных силовых линий
полезно, поскольку изотропное давление В2/2ро всегда можно
использовать совместно с давлением жидкости, что приводит к уменьшению
последнего.
§ 6. Изобарические поверхности
При рассмотрении процессов в плазме бывает удобно ввести
гипотетические поверхности, на которых кинетическое давление постоянно,
так называемые изобарические поверхности. В любой точке вектор Vp
перпендикулярен изобарической поверхности, проходящей через эту
точку. Из (5.1) следует, что Vp нормален к плоскости, содержащей J
и В, т. е.
JVp = 0, (6.1)
В • Vp = 0. (6.2)
Следовательно, и J, и В лежат на изобарических поверхностях. Для
иллюстрации рассмотрим частный случай, когда изобарические по-
§ 7. Удержание плазмы в магнитном поле 287
верхности представляют собой замкнутые концентрические
цилиндрические поверхности, причем кинетическое давление растет по
направлению к центральной оси этих концентрических поверхностей. Таким
образом, Vp направлен вдоль радиуса по направлению к оси цилиндра.
Из (6.1) и (6.2) видно, что ни В, ни J не пересекают
изобарических поверхностей, и, следовательно, цилиндрические изобарические
поверхности возникают при взаимодействии магнитных силовых линий
и электрических токов. Более того, из (5.1) следует, что магнитные
силовые линии и электрические токи, находящиеся на изобарической
поверхности, должны пересекать друг друга таким образом, чтобы
произведение J x В было равно Vp, как показано на рис. 5. Максимум
Vp
Магнитная
ось
Изобарические поверхности
Рис. 5. Изобарические концентрические цилиндрические поверхности, Vp
направлено радиально к центральной оси системы, а линии J и В лежат на
изобарических поверхностях и пересекают друг друга таким образом, что
произведение J x В равно Vp
кинетического давления находится на центральной оси системы,
которая совпадает с магнитной силовой линией. Поэтому эта ось обычно
называется магнитной осью магнитоплазменной системы.
§ 7. Удержание плазмы в магнитном поле
Предмет этого параграфа представляет значительный интерес для
теории контролируемых термоядерных реакций. Для простоты
рассмотрим частный случай, когда магнитное поле параллельно оси z, так что
В = Въ, а (5.10) приводится к виду
/(р + В2/2)мо 0 0 \
V- 0 (р + 52/2Мо) 0 =0. (7.1)
V 0 0 (р-В2/2Мо)/
Откуда получаем
/&к.
I&f
а
288 Гл. 12. Простые приложения магнитогидродинамики
д ^+^1]=о, (7.3)
ду \ 2/i0
В2
Кроме того, из V • В = 0 следует
f=0. (7.5,
так как в локальной системе координат вектор В направлен вдоль
оси z. Последнее уравнение и уравнение (7.4) показывают, что р и В
неизменны в направлении z. Решение (7.2) и (7.3), объединенное с этим
результатом, дает
p+e)=const- (7-6)
Следовательно, если плазма ограничена, то магнитное поле приводит
к радиальному уменьшению кинетического давления плазмы по мере
удаления от оси и к росту давления магнитного поля в этом
направлении. При этом их сумма в каждой точке системы остается постоянной
согласно (7.6). Кинетическое давление плазмы на внешней границе
можно сделать равным нулю, если магнитное поле достаточно велико.
В результате плазма оказывается ограниченной внешней поверхностью
системы, создаваемой посредством магнитного поля.
Пусть Во — величина магнитной индукции в плазме. Поскольку
кинетическое давление на границе равно нулю (в идеале), то можно
оценить постоянную в уравнении (7.6) из условия равенства давлений
на границе плазмы. Следовательно,
»+$гй- (7-7)
Максимальное магнитное давление, при котором происходит
удержание плазмы, равно
Ртах = 7Г~- (7'8)
2д0
Прибор, который используется для удержания плазмы магнитным
полем с прямыми силовыми линиями, показан на рис. 6. Он получил
название тета-пинч (в), поскольку удержание возникает за счет тока,
текущего в плазме в азимутальном (в) направлении. Плазма
изначально заперта в полой цилиндрической металлической емкости, сторона
которой в продольном направлении образует конденсатор. Если через
конденсатор разряжается большая разность потенциалов, то внутри
цилиндра возникают большие азимутальные токи и в плазме
генерируется магнитное поле в продольном направлении. Электрический
ток, индуцированный в плазме, также имеет азимутальное
направление, но направлен противоположно току в металлической трубке.
§ 7. Удержание плазмы в магнитном поле
289
Сила J х В, действующая на
плазму, толкает ее по
направлению к оси системы и
направлена в ту же сторону, до тех пор
пока не будет достигнут баланс
между кинетическим давлением,
возникающим вследствие
теплового движения частиц, и
магнитным давлением, которое
стягивает пинч или плазму.
Параметр /3, который
определяется как отношение
кинетического давления в некой точке
в плазме и магнитного давления
на границе системы, обычно
вводится как раз для измерения
относительных величин
кинетического и магнитного давлений. Он
равен
Р = 7^- (7-9)
в2/мо
Во/2мо
В2/ц0
Рис. 6. Магнитоплазма,
удерживаемая прямыми параллельными
силовыми линиями в тета-пинче
Заметим, что /3 может иметь
значение между 0 и 1, поскольку
поле внутри плазмы меньше Во. Из (7.7) можно выразить параметр /3
в виде
/3=1-(f). (7.10)
В схемах удержания плазмы существуют два специальных случая,
называемые установки с малым /3 и с большим /3. В устройствах с малым
/3 кинетическое давление плазмы мало по сравнению с магнитным
давлением на границе плазмы, а в приборах с большим /3 они одного
и того же порядка (/3 « 1).
Важное свойство плазмы — это ее диамагнитное поведение.
Уравнение (7.7) подразумевает, что магнитное поле внутри плазмы меньше
магнитного поля на ее границе. При увеличении кинетического
давления в плазме магнитное поле уменьшается. Под действием внешнего
поля В движение частиц вызывает внутренние электрические токи,
которые индуцируют магнитное поле противоположного направления.
Следовательно, результирующее магнитное поле в плазме меньше чем
поле на границе плазмы. Электрические токи, индуцированные в
плазме, зависят от концентрации и скоростей заряженных частиц. Поэтому
как только кинетическое давление в плазме увеличивается, возрастают
и индуцированные электрические токи, и магнитное поле, определяя,
таким образом, диамагнитные свойства плазмы.
19 Биттенкорт Ж.А.
290 Гл. 12. Простые приложения магнитогидродинамики
Задачи
12.1. Рассмотрите уравнение энергии, включающее в себя скорость
изменения тензора давлений V, которое было выведено в задаче 9.6
гл. 9. Покажите, что если это уравнение свернуть с единичным
тензором 1, то получится уравнение (1.21), а если с ВВ, то (1.22).
12.2. Выведите уравнение сохранения энергии, аналогичное (1.64),
но рассмотрев вместо (1.2) и (1.3) модифицированное уравнение
движения Паркера и уравнения энергии в рамках ЧГЛ-теории.
12.3. Вычислите минимальную магнитную индукцию (Во),
необходимую для удержания плазмы, если
а) внутреннее давление равно 100 атм;
б) температура равна 10 кэВ, а плотность 8 • 1021 м-3.
12.4. Плазма удерживается магнитным полем В величиной 5 В/м2,
направление которого неизменно. Пусть плазма имеет температуру
10 кэВ, а (3 = 0,4. Вычислите плотность плазмы. Если увеличить
температуру до 50 кэВ, то какова должна быть величина магнитного поля,
необходимого для удержания плазмы, если величина (3 не изменилась?
12.5. Вычислите время диффузии td и магнитное число Рей-
нольдса Rm для типичного МГД-генератора с L = 0,1 м, и = 103 м/с
и его = 100 мОм/м. Подтвердите, что в этом случае т& очень мало,
поэтому неоднородности магнитного поля быстро сглаживаются.
12.6. Рассмотрите плазму в форме прямого кругового цилиндра со
спиральным магнитным полем вида
В = Вв(г)ё + Bz(r)z.
Покажите, что сила на единицу объема, связанная с действием
магнитного давления и направленная к оси системы, для этой конфигурации
равна
± \2fioJ дг [ 2М0 _
а сила на единицу объема, возникающая вследствие магнитного
натяжения из-за кривизны магнитных силовых линий, имеет вид
^(B.v)B = -r|iM.
А*о / 2р>ог
12.7. Используя (4.1) для абсолютно проводящей жидкости и
нелинейное уравнение непрерывности (1.1), покажите, что изменение В
во времени в элементе жидкости связано с изменением плотности
согласно уравнению
£(B\ = _L(B.V)U.
Dt \PrnJ Prn
§ 7. Задачи
291
Используйте это соотношение, чтобы показать, что если в абсолютно
проводящей жидкости элементы жидкости изначально принадлежали
некоторой магнитной силовой линии, то они останутся лежать на этой
линии.
12.8. Граница земной магнитосферы в направлении Земля-Солнце
находится на расстоянии, на котором кинетическое давление частиц
солнечного ветра становится равным (модифицированному) давлению
магнитного поля Земли. Покажите, что расстояние до магнитопаузы от
центра Земли вдоль линии Земля-Солнце приблизительно
определяется соотношением / о 2 \
Rm = ( % I Re,
\lJ,0PrnUsJ
где Re — радиус Земли, рт — массовая плотность солнечного ветра,
us — невозмущенная скорость солнечного ветра, а Во —
невозмущенное магнитное поле Земли на поверхности магнитопаузы.
12.9. Рассмотрите цилиндрически симметричную колонну с
плазмой (д/dz = О, д/дв = 0), находящуюся в равновесии и удерживаемую
магнитным полем. Покажите, что в цилиндрических координатах
радиальная компонента (5.1) принимает вид
^- = Je(r)Bz(r)-Jz(r)Be(r).
Используя уравнение Максвелла (2.5), покажите, что
7 1 dBz
J в = -г—,
Mo dr
3 1 djrBp)
fior dr
Из этих результатов выведите основное уравнение равновесия
плазменной колонны с цилиндрической симметрией
dr у 2д0 2д0у/ Mo r
Объясните физический смысл слагаемых в этом уравнении.
19*
Глава 13
ПИНЧ-ЭФФЕКТ
§ 1. Введение
Задача удержания плазмы магнитным полем крайне важна для
исследований управляемого термоядерного синтеза и многих других
приложений. Поэтому в данной главе мы представим детальное
описание удержания плазмы для частного случая удержания плазмы
собственным азимутальным (в) магнитным полем, поддерживаемым
аксиальным током в плазме, который генерируется приложенным
электрическим полем.
Рассмотрим бесконечный цилиндр с проводящей жидкостью, в
котором в аксиальном направлении течет ток с плотностью J = Jz(r)z,
а возникающее магнитное поле имеет индукцию В = Ве(г)& (см.
рис. 1). Сила J х В, действующая на
плазму, вызывает радиальное
сжатие плазменного цилиндра.
Радиальное сжатие плазменного цилиндра
известно как пинч-эффект. В этом
R случае изобарические поверхности,
на которых р = const, представляют
Рис. 1. Конфигурация пинча, в ко- собой концентрические цилиндры.
торой плазма удерживается ази- П?ТПП11П ^о^,,™ „^ ЛЧ/1П,ЛЛФЛ„
F J F Плазма радиально сжимается,
мутальным магнитным полем, re- r
нерируемым аксиальным током, следовательно, растет как плотность
текущим вдоль плазменного ци- плазмы, так и ее температура. Ки-
линдра нетическое давление плазмы
препятствует сжатию цилиндра, а
магнитное поле стремится удержать плазму. Если эти силы равны, то можно
рассматривать стационарную задачу, когда плазма, в основном,
удерживается при некотором радиусе R, который остается постоянным во
времени. Такая конфигурация называется равновесный пинч. Когда
магнитное давление превышает давление плазмы, радиус цилиндра
изменяется во времени и возникает динамический пинч. В следующих
параграфах сначала рассматривается равновесный, а затем
динамический пинч.
§ 2. Равновесный пинч
293
§ 2. Равновесный пинч
Для простерты предположим, что плотность тока, магнитное поле
и кинетическое давление плазмы зависят только от радиального
расстояния до оси цилиндра. Для стационарных условий задачи
изменения во времени отсутствуют. Различные параметры равновесного пинча
показаны на рис. 2. Поскольку система цилиндрически симметрич-
Рис. 2. На схеме показаны различные параметры, ответственные за изменения
конфигурации равновесного пинча
на, то надо рассматривать только радиальные компоненты уравнения
(12.5.1) (уравнение 5.1 в гл. 12), следовательно
dp(r)
dr
= -Jz(r)Be{r).
(2.1)
Внутри цилиндра радиусом г протекает ток Iz(r), равный
т
Jz(r) • 27rrdr.
(2.2)
Заметим, что переменная г под знаком интеграла — это переменная
интегрирования. Из (2.2) получаем
dJM = 2*rJz{r).
dr '
(2.3)
294
Гл. 13. Пинч-эффект
Закон Ампера в интегральной форме дает зависимость В в (г) и полного
тока и приводит к соотношению
Мо
Ве(г) = £.1я(г) = & Jz(r)rdr.
(2.4)
Ряд результатов был получен без знания точного вида Jz(r). Если
проводящая жидкость находится внутри г = R почти полностью, то
магнитная индукция вне плазмы
В'Ю = Ш (Г>Д)'
где
/п =
Jx(r)-2irrdr = Iz(R)
(2.5)
(2.6)
— полный ток, протекающий внутри плазменного цилиндра.
Подстановка в (2.1) Во(г) и Jz(r) из (2.4) и (2.3) соответственно дает
выражение
Мг) = Мо т (r\dh{r)
dr 4тг2г2 { } dr '
(2.7)
которое можно переписать в виде
4„vm _ -Аг11^ш
(2.8)
Если проинтегрировать это уравнение отг = 0дог = Ли упростить
левую часть интегрированием по частям, то получаем
/ |Я\ я
47г2г р(г)
47Г
27rrp(r)dr ■
"З^о.
(2.9)
где /о = h{R) — полный ток, протекающий через поперечное сечение
плазменного цилиндра. Очевидно, что Iz(0) = 0. Рассматривая
плазменный цилиндр, удерживаемый в области 0 ^ г < R, получаем, что
р(г) равно нулю при г ^ R и конечно для 0 ^ г < R, поэтому первое
слагаемое в левой части (2.9) исчезает. Отсюда находим
г2 _ ««
io - —
8тг
Mo J
27rrp(r)dr.
(2.10)
Если парциальные давления электронов и ионов подчиняются закону
идеального газа, т. е.
Ре {г) =n(r)kTe,
Pi{r) = n(r)kTi,
(2.11)
(2.12)
§ 2. Равновесный пинч
295
то, предполагая, что электронная Те и ионная Ti температуры в
плазменном цилиндре постоянны, получаем
p(r)=Pe(r) +Pi(r) = n(r)k(Te+Ti). (2.13)
Следовательно, (2.10) принимает вид
R
г2 8тг,
Ц = —к(Те + Ti) 27rrn(r)dr (2.14)
Mo
и может быть переписано как
/02 = ^/с(Те + ВД, (2.15)
Мо
где
Nt =
27rrn(r)dr (2.16)
о
определяет число частиц на единицу длины плазменного цилиндра.
Уравнение (2.15) известно как соотношение Беннета. Оно дает
полный ток, который должен протекать по плазменному цилиндру,
чтобы удержать плазму, имеющую определенную температуру и
число частиц Ni на единицу длины. Ток, который требуется для
удержания плазмы, обычно очень велик. Например, предположим, что
Ni = 1019 м-1, а температура плазмы (Те + Т$) = 108 К. Поскольку
Мо = 47Г • 10~7 Гн/м, а к = 1,38 • 10~23 Дж/К, то в этом случае
необходимый ток /о будет составлять примерно миллион ампер.
Чтобы получить радиальное распределение р(г), выраженное через
Во(г), удобно начать с уравнения (2.1) и пойти немного другим путем.
Предположим, что переменные в уравнении Максвелла V х В = MoJ>
записанном в цилиндрических координатах, зависят только от радиуса,
т е
l£[rBe(r)]=toJz(r). (2.17)
Из этого уравнения следует, что
Л(Г) = 1^М + 1Щ (2.18)
Mo dr до г
Подставляя этот результат в (2.1), имеем
^=-^4[r2B»wl' (219>
Теперь проинтегрируем от г = 0 до произвольного г:
*<г)=*0)-2й;
\±[r2B2e(r)}dr. (2.20)
296
Гл. 13. Пинч-эффект
В частности, при г = R имеем p(R) = О и
R
\i[r2B*(r)]dr.
*°> = 2S
(2.21)
Подставляя этот результат в (2.20), получаем
R
X-Mr'Bl{r)]dr.
Р{Г) = 2JTo
(2.22)
Зависимость среднего давления р внутри цилиндра от полного тока
/о и радиуса цилиндра R можно найти, даже не вдаваясь в детали
радиального распределения. Среднее кинетическое давление в цилиндре
определяется формулой
р=^
27rrp(r)dr.
(2.23)
Упрощая это выражение интегрированием по частям, имеем
R
р=-^\
аг
(2.24)
поскольку первое слагаемое равно нулю (p(R) = 0). Подставляя
dp(r)/dr из (2.19), получаем
в-Дг(Д)
8тг2#2'
(2.25)
Это выражение показывает, что среднее кинетическое давление в
плазменном цилиндре в равновесных условиях равно магнитному давлению
на границе цилиндра.
Из (2.2), (2.4) и (2.22) можно вывести радиальное распределение
для Iz(r), Вв(г) и р(г), если известно распределение Jz(r). До
этого момента радиальная зависимость Jz{r) не обсуждалась. Ниже мы
рассмотрим два простых примера, чтобы проиллюстрировать
использование полученных уравнений.
В качестве первого примера рассмотрим случай, когда плотность
тока Jz{r) постоянна при г < R. Подставляя Jz = Io/ttR2 в (2.4),
получаем при г < R
Ве(г) = Л£
■кК г
rdr=^r (r<R).
■kR
(2.26)
§ 2. Равновесный пинч
297
Подставляя этот результат в (2.22) находим квадратичную зависимость
давления от радиуса
s, R
р{г) = 1 [ L* (Ёф1) dr = _^Д (1 _ 4V (2.27)
уу ' 2/м, J r2dr \4tt2R4 j 4тг2Д2 V RJ
Г
Заметим, что в этом случае давление на оси цилиндра р(0) равно
удвоенному среднему давлению р, заданному уравнением (2.25).
Радиальная зависимость различных физических величин для этого примера
показана на рис. 3.
О R г
Рис. 3. Радиальная зависимость азимутального магнитного поля Вв(г) и
давления плазмы р(г) в плазменном цилиндре с постоянной плотностью тока Jz(r).
Радиус цилиндра R
Для исследования равновесного пинча также представляет интерес
другое радиальное распределение Jz(r), когда плотность тока не равна
нулю только в очень узком слое на границе цилиндра. Эта модель
подходит для высокопроводящей жидкости. В случае абсолютно
проводящей плазмы ток не может проникнуть в плазму и существует только
на поверхности цилиндра. Эту поверхностную плотность тока удобно
выразить через дельта-функцию Дирака при г = R. В этом случае
в плазме магнитное поле отсутствует, и В в (г) не равно нулю только
при г > R. Из (2.5) следует, что магнитная индукция задается как
s*(r) = S§ (г>д)' (2-28)
где /о — полный аксиальный ток. Поэтому из (2.20) имеем
р(г)=р(0) (0<г<Я), (2.29)
т. е. кинетическое давление плазмы постоянно внутри цилиндрической
колонны и равно своей средней величине, полученной из (2.25).
Радиальная зависимость различных величин для этой модели приведена
на рис. 4. Таким образом, для абсолютно проводящего плазменного
цилиндра магнитное поле исчезает внутри цилиндра и спадает как
298
Гл. 13. Пинч-эффект
/м*
Рис. 4. Радиальная зависимость азимутального магнитного поля В${г) и
давления плазмы р(г) в плазменном цилиндре с поверхностной плотностью тока
Jz(r). Радиус цилиндра R
\/г вне его. Кинетическое давление плазмы постоянно внутри
цилиндра и равно нулю вне его. Пинч-эффект в этом случае возникает
вследствие резкого роста магнитного давления Bq/2jj,o на границе
плазменного цилиндра.
§ 3. Пинч Беннета
У. X. Беннет, первооткрыватель пинч-эффекта, исследовал
специальную модель равновесия продольного пинча, в котором радиальное
распределение различных величин таково, что дрейфовая скорость
частиц постоянна по всему поперечному сечению цилиндра.
Исследование этой модели иллюстрирует интересное использование уравнений,
выведенных в прошлом параграфе для равновесного пинча. Поскольку
масса ионов намного больше массы электронов, дрейфовая скорость
ионов намного меньше дрейфовой скорости электронов, и поэтому
в первом приближении ей можно пренебречь. Таким образом,
рассмотрим плотность тока, которая задается как
J (г) = — еп(г)ие.
(3.1)
Поскольку приложенное электрическое поле направлено вдоль оси z,
то J (г) = Jz(r)z и ие = — uezz, где uez — положительно и постоянно
(не зависит от г). Отсюда
Jz(r) = en(r)uez.
(3.2)
Подставляя это уравнение для Jz{r) и (2.13) для р(г) в
гидростатическое уравнение движения (2.1), получаем
k(Te + Ti)^ = -en(r)uezBe(r).
(3.3)
§ 3. Пинч Беннета
299
Если умножить это уравнение на r/[n(r)k(Te + Т$)] и
продифференцировать его по г, то получим
d
dr
г dn(r)
n(r) dr
euez d
k(Te + Ti) dr
[rBe{r)}.
Из (2.17) и (3.2) имеем
d_
dr
[гВв(г)\ = fi0euezrn(r).
Подставляя этот результат в (3.4), получаем
d_
dr
г dn(r)
n(r) dr
+
2 2
fioe uez
k(Te + Ti)
rn(r) = 0.
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Решение данного нелинейного дифференциального уравнения дает
радиальную зависимость концентрации п(г). Беннет получил решение
этого уравнения для граничных условий, когда п(г) симметрична
относительно оси г, где г = 0, и представляет собой гладкую функцию
от г
dn(r)
dr
= 0.
(3.7)
Решение (3.6) с граничным условием (3.7) называется распределением
Беннета и равно
где по = п(0), т. е. концентрации на оси пинча, а
2 2
, _ fipe uez
ЩТе+Тг)
(3.9)
и имеет размерность длины. Эта
радиальная зависимость показана на рис. 5.
Из (3.2) и (2.13) видно, что радиальные
зависимости Jz (r) и р(г) такие же как
и для п(г). Их можно использовать для
определения Ве(г) из (2.4).
Распределение Беннета (3.8)
показывает, что частицы наличествуют во всем
пространстве, вплоть до бесконечности,
но, поскольку п(г) спадает очень
быстро с ростом г, то для практических
целей можно считать, что распределение
плазмы симметрично и ограничено малой
цилиндрической областью около оси z.
Используя (3.8), получаем число частиц
0 г
Рис. 5. Распределение
Беннета для концентрации частиц
п(г) в равновесном
цилиндрическом плазменном пинче
300
Гл. 13. Пинч-эффект
Ni(R) на единицу длины в плазменном цилиндре радиуса R
R R
Ni(R) =
n(r) - 27rrdr = 2жщ
о
'-r^dr, (ЗЛО)
(1+noftr )
что дает
АГ;(Д)=1По^р2. (3.11)
1 + пфН
Поскольку частицы распределены по всему пространству вплоть до
бесконечности, то полное число частиц на единицу длины можно
получить из (3.11), если устремить R к оо:
Щоо) = ^. (3.12)
Если обозначить через а число частиц на единицу длины в цилиндре
радиуса R, то
°=fgKw <3I3)
Используя (3.11), получаем после простых преобразований
М)'/2Д=(Т^)1/2. (3.14)
Следовательно, если 90% частиц удерживается внутри плазменного
цилиндра радиуса R, т.е. а = 0,9, то
(поЬ)1/2Д = 3. (3.15)
Таким образом, даже если частицы распределены вплоть до
бесконечности, основная их часть находится в малой окрестности оси z.
Заметим, что поскольку (щЬ)1^2 имеет размерность, обратную длине,
то выражение (nob)l/2R можно считать нормализованным радиусом
плазменного цилиндра. В предположении, что плазма ограничена
цилиндрической поверхностью радиуса R и 90% частиц содержится
внутри этой поверхности, получаем, что радиус удовлетворяет соотношению
(3.15).
§ 4. Динамические модели пинчей
Простая теория равновесного пинча, представленная в прошлом
параграфе, верна только если радиус плазменного цилиндра неизменен
или если он изменяется намного медленнее, чем характерное время
установления постоянной температуры. В эксперименте статическая
или квазистатическая ситуации не наблюдаются, и необходимо
рассматривать динамическое поведение пинча. Сначала, когда ток
начинает течь по плазменной колонне, кинетическое давление обычно
слишком мало, чтобы противодействовать силе, создаваемой магнит-
§ 4. Динамические модели пинчей
301
ным давлением, поэтому радиус плазменного цилиндра уменьшается
и происходит пинчевание плазменной колонны.
Основные черты пинча, зависящего от времени, можно показать
на основе простей модели. Предположим, что полностью ионизованная
плазма заполняет внутреннюю часть (0 < г < Ro) полого
диэлектрического цилиндра радиуса Ro и длины L. Напряжение V приложено
к концам цилиндра, поэтому в плазме течет ток /. Этот ток генерирует
магнитное поле В$(г), которое вызывает пинчевание плазмы. Плазма
предполагается полностью проводящей, поэтому все токи протекают по
поверхности цилиндра, а внутри плазмы магнитный поток отсутствует.
Кроме того, можно пренебречь плазменным кинетическим давлением.
Пусть R(t) — радиус плазменного цилиндра в момент времени t (см.
рис. 6). Величина азимутального магнитного поля, примыкающего к
токовой оболочке при радиусе R(t), задается формулой
Be(R)
(4.1)
2тгД '
где I(t) — полный аксиальный ток в момент времени t. В частности
при t = 0 имеем R = Ro, и это уравнение дает начальное значение
магнитной индукции Bq(Rq). Магнитное давление рт(К), создаваемое
этим магнитным полем, действует на токовую оболочку, направлено
радиально по направлению к оси цилиндра и задается уравнением
pm(R) = ёШ = ^1Ш_ (4.2)
2д0
8тг2Д2
Сила на единицу длины токовой оболочки действует радиально по
направлению к оси симметрии и из (4.2) следует, что она равна
FOR) = tF(R) = -2irRPm(R)r = -*£&■?. (4.3)
Чтобы получить уравнение движения, описывающее зависимость
тока I(t) от мгновенного радиуса R(t) пинча, необходимо сделать
некоторые предположения о плазме. Мы будем рассматривать так
называемую модель снежного плуга, в которой считается, что токовая
^ 1 Токовый
слой
Плазма
Цилиндрический
диэлектрик
Рис. 6. Плазменный цилиндр с бесконечной проводимостью внутри полого
цилиндрического диэлектрика с током, протекающим по его поверхности
302
Гл. 13. Пинч-эффект
Площадь = 7г(Rl - Я2)
оболочка переносит все вещество, которое захватывается ею при ее
сжатии. Если рш — массовая плотность в начальный момент времени,
то масса на единицу длины, которая
переносится границей при ее
движении по направлению к оси в
момент времени t, когда радиус
токовой оболочки равен R, задается
выражением
Рис. 7. Площадь, захватываемая
токовой оболочкой при ее
движении от радиуса Rq до R(t)
M(R) = tt(R20 - R2)Pr)
(4.4)
На рис. 7 показано поперечное
сечение, охватываемое токовой
оболочкой при ее движении. Из второго закона Ньютона следует, что сила
магнитного давления и изменение импульса равны
А.
dt
[M(R)
dR
dt
F(R)
или, используя (4.3) и (4.4),
dt
7ГРт(^-Л2)^
4тгД '
(4.5)
(4.6)
Если известна функциональная зависимость пинчевого тока /(£), то
(4.6) позволяет оценить радиус пинча как функцию времени.
Зависимость между приложенным напряжением, током и размерами
(индуктивностью) плазменного цилиндра можно получить из закона
индукции Фарадея. Для этого рассмотрим замкнутую петлю,
изображенную на рис. 8, в которой внутренняя часть петли лежит в области
взаимодействия и двигается по направлению к оси симметрии вместе
с ней. Применяя закон Фарадея к петле, нарисованной штриховой
V
i^O
fr = 0
у,
© Вв{г)
R(t)
^Ш':.
®В9(г)
Рис. 8. Схематическое представление замкнутой петли, используемой в законе
Фарадея, когда внутренняя сторона петли лежит в области взаимодействия
и двигается внутрь плазмы вместе с ней
§ 4. Динамические модели пинчей
303
линией, получаем
фЕ-dl:
d_
' dt
([в-dsV
(4.7)
Замечая, что в интеграл, в который входит Е, вносит вклад только
сторона петли, лежащая на проводящей стенке, имеем
До
Be{r)dr. (4.8)
V_
L
d_
' dt
R(t)
Используя (4.1) и проинтегрировав, получаем
-£i{'<«>
In
i^O
R(t)
(4.9)
Если обозначить приложенное электрическое поле V/L через Eof(t),
где f(t) предполагается известной и нормированной так, что
максимальная величина приложенного электрического поля равна Е$, то
(4.9) преобразуется к
I(t) In
" До "
R(t)_
_ 2жЕ0
МО ,
f(t')dt'.
(4.10)
Это уравнение можно использовать, чтобы исключить I(t) из
уравнения движения (4.6), что приводит к следующему уравнению для
скорости изменения R(t):
Ei
$[\f{t')dt'\
dt[yn<) } dt\ wPmRlHRo/R)}2'
Удобно ввести следующие безразмерные переменные:
R
Ro
Eq
1/4
4
KtJ>OPmRo
и переписать (4.11) в безразмерном виде
_d_
dr
[(I-г
2\dx
}dr
1
х(\пх) LJ
f(r')dr'
i2
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
Это уравнение невозможно решить без знания вида функции /(£).
Тем не менее некоторые предположения о результатах можно сделать,
даже не решая его, а просто отметив, что изменение х достаточно
304
Гл. 13. Пинч-эффект
велико для промежутков времени, равных т = 1. Таким образом, из
(4.13) получаем закон изменения радиальной скорости пинча
/ F2 \1/4
\dR/dt\*svo= l-=2-) (4.15)
\ МоРтп )
Типичные условия эксперимента с использованием мелкомасштабного
цилиндрического пинча, состоящего из водородной или дейтериевой
плазмы, — начальная плотность порядка 10~8 г/см3, а приложенное
электрическое поле примерно 103 В/м, что дает скорость vq порядка
107 см/с. При этих условиях в трубке диаметром 10 см измеряемый
ток должен составлять 105 или 106 А.
Полезно рассмотреть частный случай, когда ток в пинче меняется
во времени по закону
I(t) = Iosm(ut)
Тогда из (4.6) сразу же получаем
lout.
А.
dr
(1-х2)
dr
где х дается уравнением (4.12), а
г2 2
1/4
t.
(4.16)
(4.17)
(4.18)
47гртггЯ0/
Чтобы получить зависимость х(т), необходимо решить уравнение
(4.17) численно. Соотношение между нормированным радиусом
динамического пинча и нормированным временем приведено на рис. 9.
Данная простейшая модель
показывает, что радиус плазменного цилиндра
стремится к нулю, когда значение
времени становится немного больше т.
Такой результат получается,
поскольку кинетическое давление плазмы не
учитывалось. Поэтому выводы,
приведенные выше, верны только для очень
небольших промежутков времени
после возникновения тока.
В приведенном выше анализе не
было затронуто важное явление,
относящееся к динамическим пинчам. Как
только токовая оболочка сдвигается
радиально к оси пинча, сжимая плазму, описанное выше поведение
изменяется. В пинче возникают радиальные волны, причем скорость их
распространения выше скорости оболочки. Волны, дойдя до оси
цилиндра, отражаются и начинают двигаться в сторону оболочки, где,
столкнувшись с ней, задерживают ее движение, и даже более того, могут
Рис. 9. Нормированный радиус
х = R/Rq динамического
пинча как функция нормированного
времени т (см. (4.17))
§ 5. Неустойчивости в плазменном цилиндрическом пинче 305
Рис. 10. Нормированный радиус плазменного цилиндра как функция
нормированного времени, в качестве примера баунса
изменить направление движения оболочки. Это явление получило
название бш/яс-движения. Такие движения происходят периодически,
а амплитуда каждого последующего баунса меньше предыдущего.
Радиус плазменного цилиндра обычно приходит к некоему равновесному
значению, меньшему До. На рис. 10 показано поведение цилиндра
радиуса R как функция от времени.
§ 5. Неустойчивости в плазменном цилиндрическом
пинче
Возможность достигнуть равновесного состояния в пинч-эффекте,
необходимого для удержания плазмы, существует, но это равновесное
состояние неустойчиво. В таком равновесном состоянии малое
отклонение от цилиндрической геометрии приводит к росту возмущений во
времени и разрушению плазменного цилиндра. Возникновение и рост
неустойчивостей (макронеустойчивостей) — причина того, что
получить долгоживущий пинч в лаборатории практически невозможно.
Детальный математический разбор неустойчивостей пинча
находится за рамками этой книги. Для простоты, ниже рассматривается
диамагнитная колонна плазмы, удерживаемая стационарным магнитным
полем. Поскольку плазма абсолютно диамагнитна, то магнитное поле
и, следовательно, магнитное давление внутри плазменного цилиндра
отсутствуют. Кинетическое давление плазмы предполагается
однородным внутри плазмы и равным нулю вне ее. В состоянии равновесия
магнитное давление на поверхность плазмы рто должно быть равно
кинетическому давлению плазмы р
P = PmO = ^f, (5.1)
где Во — магнитная индукция на поверхности плазмы. Резкая граница
плазмы — идеализация, ее практически невозможно получить в
лаборатории, так как частицы плазмы стараются продиффундировать сквозь
магнитные силовые линии с характерным временем ^а^Ь2, вследствие
конечной проводимости его плазмы (см. §3, гл. 12).
20 Биттенкорт Ж.А.
306
Гл. 13. Пинч-эффект
В цилиндрическом пинче удерживающие плазму магнитные
силовые линии имеют кривизну и являются вогнутыми по отношению
к плазме, а величина поля уменьшается с ростом расстояния до центра
кривизны силовых линий (рис. 11). Согласно закону Ампера,
азимутальное магнитное поле обратно пропорционально расстоянию г до оси
цилиндра.
в
Рис. 11. Неустойчивая равновесная конфигурация плазменного цилиндра.
Азимутальное поле В уменьшается при удалении от оси цилиндра
§ 6. Перетяжечная неустойчивость
Предположим, что равновесное состояние плазменного
цилиндрического пинча (рис. И) было нарушено волновым возмущением, с
гребнями и впадинами волны, лежащими на поверхности плазменного
цилиндра и цилиндрически симметричными относительно его оси,
как это схематически изображено на рис. 12. Рассмотрим цилиндр,
В < Во В > Во
^JJ : JjJ*'
Рис. 12. Перетяжечная неустойчивость
сжимающийся в одних местах и расширяющийся в других таким
образом, что его полный объем не меняется. Следовательно,
однородное кинетическое давление плазмы неизменно. Однако, поскольку
магнитное поле зависит от радиуса как 1/г, то величина этого поля
на поверхности возмущенного плазменного цилиндра будет меняться
от точки к точке. В точке, где радиус уменьшился по сравнению
с равновесным значением, магнитное давление, ограничивающее
поверхность плазмы, будет больше плазменного кинетического давления
и, следовательно, радиус плазменного образования будет уменьшаться,
увеличивая сжатие. В точках, где радиус увеличился по сравнению
с равновесным значением, плазменное кинетическое давление будет
больше магнитного давления на поверхности плазмы и возникнет сила,
действующая радиально, которая будет способствовать дальнейшему
расширению плазмы. Следовательно, впадины на цилиндре будут все
§ 6. Перетяжечная неустойчивость
307
глубже, а гребни выше. Начальное возмущение приводит к
возникновению сил, которые стараются его увеличить, поэтому начальное
равновесное состояние неустойчиво. Когда сжатие достигнет оси, цилиндр
превратится в аналог связки сосисок и поэтому такой тип
неустойчивости получил название перетяжечная неустойчивость или сосисочная
неустойчивость.
Возникновения перетяжечной неустойчивости можно избежать,
если внутри плазменного цилиндра ввести продольное магнитное поле.
Например, сгенерируем продольное магнитное поле, пропустив ток
через соленоидальную катушку, расположенную вокруг цилиндра. Из-за
высокой проводимости плазмы силовые линии будут вморожены, т. е.
при возникновении сжатия продольное магнитное поле также будет
сжиматься, а полное давление плазмы, которое оказывает
сопротивление возросшему магнитному давлению азимутального поля,
увеличится и не даст развиться сжатию. В точках, где радиус увеличился,
продольные силовые линии тоже двигаются вместе с плазмой, и таким
образом полное давление в плазме уменьшается, и в результате
равнодействующая сила заставит плазму сжаться. Этот случай схематически
проиллюстрирован на рис. 13.
Рис. 13. Продольное магнитное поле Bz, приложенное, чтобы предотвратить
возникновение неустойчивости перетяжки
Оценим отношение продольного магнитного поля Bz к
азимутальному полю Во, необходимое для стабилизации плазменного цилиндра
по отношению к перетяжечной неустойчивости. Если в точке сжатия
радиус цилиндра г уменьшился на величину dr, то, рассматривая
магнитный поток Фт = Bz7rr2 через поперечное сечение цилиндра
и учитывая, что он остается постоянным, получаем
(1ФШ = 7rr2dBz + Bz • 2nrdr = 0. (6.1)
Следовательно, изменение продольного магнитного поля равно
dBz = -2Bz-, (6.2)
г
а соответствующее магнитное давление возрастает на величину
dPz = (д« + <*д«)2 -Р~ = -BzdBz (6.3)
или, используя (6.2),
2до 2д0 мо
dpz = -^ — . (6.4)
Mo г
20*
308
Гл. 13. Пинч-эффект
Из закона Ампера легко получить, что для азимутального
магнитного поля вне цилиндра верно равенство
rBo(r) — const, (6.5)
поэтому азимутальное магнитное поле на сжимающейся поверхности
возрастет на величину
(6.6)
dBe = -Вв-.
г
Следовательно, соответствующий рост внешнего магнитного давления
(6.7)
, Ве,и B29dr
dpo = —dBe = - —.
Mo Mo r
Поэтому, чтобы плазменный цилиндр был устойчив относительно
возмущения перетяжки нужно, чтобы dpz > dpe или, используя (6.4)
и (6.7),
В\ > \Bl (6.8)
§ 7. Изгибная неустойчивость
Другой тип неустойчивости цилиндрического плазменного пинча —
изгибная неустойчивость. Искажение геометрии представляет собой
возмущение в виде изгиба цилиндра, но при этом однородное
круглое поперечное сечение цилиндра не меняется, как это показано на
рис. 14. Обычно может возникнуть несколько изгибов по длине цилин-
J ^С>
В <В0
Рис. 14. Изгибная неустойчивость
дра. Вблизи точки цилиндра, где развился изгиб, магнитные силовые
линии сближаются на вогнутой стороне и расходятся на выпуклой,
следовательно, внешнее магнитное давление возрастает на вогнутой
стороне и уменьшается на выпуклой. То есть изменения внешнего
магнитного давления приводят к увеличению возмущения. Поэтому
этот тип искажения геометрии нестабилен.
Развитию изгибной неустойчивости можно воспрепятствовать,
если приложить к цилиндру продольное магнитное поле, как в случае
с неустойчивостью перетяжки. При изгибном возмущении продоль-
§ 8. Конфигурации с вогнутым полем
309
ные магнитные силовые линии, вмороженные в плазму, вытягиваются
и возрастающее натяжение, действующее вдоль продольного
магнитного поля, противодействует внешней силе. В итоге цилиндрический
плазменный пийч стабилизируется (см. рис. 15).
Рис. 15. Возрастающее натяжение продольного магнитного поля, приложенного
к цилиндру, препятствует развитию изгибной неустойчивости
В практических приложениях плазма не является полностью
диамагнитной, и может возникнуть множество других полей. В общем
случае вычисление устойчивости цилиндрического плазменного
цилиндра представляет не слишком легкую задачу.
§ 8. Конфигурации с вогнутым полем
В конфигурации типа линейного пинча азимутальное магнитное
поле, удерживающее плазму, создается продольным током, текущим
вдоль цилиндра. В этом случае магнитные силовые линии вогнуты
относительно плазмы. Конфигурации такого типа неустойчивы, как это
было продемострировано при рассмотрении перетяжечной и изгибной
неустойчивостей.
Конфигурации, в которых магнитные силовые линии выпуклы
относительно плазмы, приводят к устойчивому равновесию, поскольку
величина магнитного поля растет в направлении от центра системы.
Если на поверхность плазмы действует возмущение в форме волны,
то магнитное давление на ее гребнях будет больше внутреннего
кинетического давления, и плазма будет стремиться восстановить
равновесную конфигурацию (в предположении, что возмущения не влияют
на кинетическое давление). Во впадинах кинетическое давление будет
больше магнитного и плазма будет стремиться расширяться.
Следовательно, для удержания плазмы желательно использовать
конфигурации магнитного поля, в которых силовые линии вогнуты к плазме.
Пример такого типа геометрии показан на рис. 16, он может быть
создан четыремя проводами с током и получил название каспа. Однако
присутствие резких границ и углов может привести к убеганию частиц
плазмы. Хотя и границы, и углы характерны для таких конфигураций,
310
Гл. 13. Пинч-эффект
Рис. 16. Удержание плазмы конфигурацией типа каспа, которая создается
четырьмя проводами с током
в большинстве методов удержания высокотемпературной плазмы
используются модификации конфигураций типа каспа.
Каспы более высоких порядков создаются выравниванием
нескольких пар проводов с током, например, как в конфигурации типа
штакетника, показанной на рис. 17.
&>.
ЩШфМ,
Рис. 17. Конфигурация типа штакетника для магнитного удержания плазмы
Задачи
13.1. Минимальная величина магнитной индукции Во,
необходимой для удержания плазмы при внутреннем давлении 100 атм, равна
5 Вб/м2 (см. задачу 12.3 в гл. 12). Предполагая, что это поле
создается аксиальным током, протекающим в плазменном цилиндре (как
в продольном пинч-эффекте) радиуса 10 см, покажите (применив закон
Ампера), что полный ток, необходимый для создания такого
магнитного поля на поверхности колонны, равен 2,6 • 106 А (1 атм = 105 Н/м2,
а ^0 = 4- 10"7 Гн/м).
§8. Задачи
311
13.2. Для равновесного пинча Беннета с цилиндрической
геометрией, используя (2.4), вычислите В в (г) и выражение для п(г)
(уравнение (3.8)). Постройте радиальные распределения p(r), Jz(r) и Вв(г).
13.3. Для равновесного тета-пинча, создаваемого азимутальным
током в направлении тета (J#), как показано на рис.6 в гл. 12,
определите выражения для радиальных распределений Je{r) и р(г) в
зависимости от Bz(r). Постройте графики этих радиальных распределений
для случая, когда Bz постоянно.
13.4. Используйте уравнения для компоненты скорости u_l,
нормальной к В, полученной в задаче 9.7 гл. 9, чтобы определить
относительные ориентации и, В, Е, J и Vp в тета-пинче.
13.5. В продольном равновесном пинче, схематически
изображенном на рис. 1, предположите, что радиальное распределение плотности
тока Jz(r) таково, что
Jz = 0 для 0 < г < а,
Jz = Jo = const для a <r <b,
Jz = 0 для г > Ъ.
Вычислите р(г) и В о (г) и нарисуйте графики этих функций. Покажите,
что если а —» Ь, то магнитное давление B2Qj2\x^ при г = b становится
равным р при г = 0, а если а —» 0, то ВЦц^ при г = Ъ становится
равным р при г = 0.
13.6. а) Покажите, что бессиловое магнитное поле удовлетворяет
соотношению
(V х В) х В = 0.
б) Положите V х В = а(г)В и покажите, что
В • Va = 0.
в) Покажите, что поверхности а = const составлены из магнитных
силовых линий.
г) Покажите, что а(г), определенная в б) для бессилового поля,
может быть выражена в виде
a = B-(VxB).
д) Проверьте, что для бессилового поля VB лежит на
соприкасающейся плоскости, т. е. на плоскости, содержащей В и нормаль
к силовой линии.
13.7. Рассмотрите следующее основное уравнение равновесия
плазменного цилиндра (см. задачу 12.9 гл. 12)
dr у 2fi0 2fi0J /jlq r
312
Гл. 13. Пинч-эффект
а) Покажите, что для тета-пинча это уравнение сводится к
в1
V + -^- = const,
2/хо
а для продольного пинча
dr у 2/jLoJ /х0г
б) Для цилиндрического винтового пинча, в котором как Be, так
и Bz не равны нулю, в предположении, что продольная плотность тока
и кинетическое давление плазмы задаются как
Л(г) = Jo U - j) (г<о),
р(г) = ро = const (г < о),
покажите, что
Ве(г) = ^ (г>а).
Покажите, что Bz(r) удовлетворяет уравнению
:>2 d2 1 Г d2/
2/х,
* _ ^ 1 \В1(Г)^
о 2/хо /хо J r
Из этого уравнения определите Bz(r) и постройте р(г), Л (г), В в (г)
и ДДг) как функции г.
Глава 14
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ВАКУУМЕ
§ 1. Волновое уравнение
В плазме может возбуждаться множество разнообразных типов
волн. Но, прежде чем приступить к изучению волновых явлений
в плазме, рассмотрим некоторые основные свойства электромагнитных
волн, распространяющихся в вакууме. Отправная точка для вывода
дифференциального уравнения в частных производных, описывающего
поведение электромагнитных волн в вакууме, — уравнения Максвелла.
Для вакуума (р — О, J = 0) их можно записать в виде
VE = 0, (1.1)
VB = 0, (1.2)
VxE = -|, (1.3)
VxB^f- (1-4)
Дифференцирование по времени обеих сторон (1.4) дает
Подстановка dB/dt из (1.3) приводит к уравнению
Используя векторное тождество
V х (V х Е) = V(V • Е) - V2E (1.7)
и замечая, что в вакууме V • Е = 0, получаем
V2E-1^=0. (1.8)
С ОТ
314
Гл. 14. Электромагнитные волны в вакууме
Аналогично, проделав ту же последовательность действий с (1.3),
получаем
V2B-i^?=0. (1.9)
с dt2
Уравнения (1.8) и (1.9) представляют собой векторные волновые
уравнения, которым удовлетворяют векторы электромагнитного поля Е и В
в вакууме. Скорость распространения такой волны равна с— 1/^/Мо^о •
Так как этим уравнениям удовлетворяет любая из компонент векторов
поля Е и В, то можно написать скалярное уравнение
vV-i^ = o. (l.io)
С ОТ
где ip(r,t) обозначает любую из компонент Е и В.
§ 2. Решение в плоских волнах
Нас интересуют решения дифференциального уравнения в частных
производных (1.10) в виде поперечных плоских волн, поскольку именно
они представляют собой наиболее простые и фундаментальные
электромагнитные волны. У поперечных плоских волн векторы полей Е
и В лежат в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения волны, и зависят только от расстояния от источника до этой
плоскости и, конечно, от времени. Такая плоскость, перпендикулярная
направлению распространения, называется волновым фронтом. Пусть
С обозначает расстояние от источника до плоскости волнового фронта,
а к — единичный вектор нормали к этой плоскости (см. рис. 1). Любую
z Фронт волны
Рис. 1. У поперечных плоских волн векторы поля не изменяются в заданной
плоскости волнового фронта, перпендикулярной направлению распространения
£. Они изменяются только в направлении ( и во времени
§ 3. Гармонические волны
315
точку Р волнового фронта можно задать радиус-вектором г,
проведенным из начала координат. Поэтому для любой точки некоторого
фиксированного волнового фронта к • г = £ = const — соотношение,
которое дает уравнение, определяющее этот волновой фронт. Проекции
единичного вектора к в декартовой системе координат даются
скалярными произведениями к • х, к • у, к • z.
Так как векторы поля Е и В постоянны вдоль волнового фронта
(перпендикулярно к), а изменяются только в направлении £ (и во
времени), то оператор набла можно переписать в виде
v = x^+y^ + z^ = kac- (21)
Следовательно, волновое уравнение в действительности одномерно и
зависит только от пространственной переменной £
|$"Ш=0. (2-2)
дС с2 dt2
Общим решением этого одномерного волнового уравнения будет
линейная комбинация произвольных функций, зависящих от переменных
С — ct и С + ct,
1>«,t) = f($-ct) + g(S + ct). (2.3)
Функция /(£ — ct) задает волну, распространяющуюся в
положительном направлении относительно (, a g(£ + ct) — волну,
распространяющуюся в отрицательном направлении относительно £, скорость
распространения равна с= 1/^/Мо^о •
§ 3. Гармонические волны
Рассмотрим важный частный случай плоских волн —
гармоническую волну, которая может быть представлена в виде (при
распространении в положительном направлении)
ф{(Л) = Acos[k(C - ct)} = Acos(k(-ut), (3.1)
где и = kc — угловая частота колебаний, а к — волновое число или
постоянная распространения. На рис. 2 показана временная и
пространственная зависимости для гармонической волны ф{С,Л), заданной
уравнением (3.1). Длина волны Л и период волнового движения Т
равны соответственно
х2п T=2![ = Ij (3.2)
к и и
где v — частота, равная количеству циклов в секунду.
316
Гл. 14. Электромагнитные волны в вакууме
t фиксировано
С фиксировано
-А
2тг/к
2<к/и
Рис. 2. Амплитуда гармонической плоской волны как функция пространства
и времени
Если определить волновой вектор к как вектор, нормальный
волновому фронту, с длиной, равной волновому числу (|к| = к), то,
поскольку ( — наименьшее расстояние от источника до волнового фронта,
можно записать Л
к г = (к/к) - г = С- (3.3)
Поэтому для гармонической плоской волны, распространяющейся
в произвольном направлении, которое определяется единичным
вектором к, справедливо
ф{тЛ) = Acos{\a-v-ut). (3.4)
Из аргумента косинуса в уравнении (3.4) видно, что плоскости
постоянной фазы задаются условием
к • г — ut = fc( — ut — const.
(3.5)
Фазовая скорость определяется как скорость распространения
плоскостей постоянной фазы (d^/dt) и находится дифференцированием по
времени выражения (3.5)
Vph = jfe-
(3.6)
Фазовая скорость будет больше нуля для волны, движущейся в
положительном направлении £, т. е. когда £ растет со временем, причем
соотношение fc( — ut остается постоянным. Наоборот, если взять
выражение
i/>(r,t) = Acos(k-r+ ut), (3.7)
описывающее волну, движущуюся в отрицательном направлении £, то
фазовая скорость будет отрицательной.
Как будет показано ниже, обычно удобно и чрезвычайно полезно
записывать (3.4) в комплексном виде
ip(r,t) = .Аехр[г(к • г — ut)],
(3.8)
где подразумевается, что волновые величины можно получить, взяв
действительную часть комплексных выражений. Реальная физическая
§ 3. Гармонические волны
317
величина (которая измеряется в эксперименте) дается действительной
частью комплексного числа. Использование комплексных выражений
намного упрощает математические вычисления в случае линейных
дифференциальных уравнений, так как они легко преобразуются в
простые алгебраические уравнения.
Если использовать комплексные обозначения (3.8) для векторов Е
и В при поиске решений в виде плоских волн, то операторы V, d/dt
переписываются в виде
д
У = гк,
dt
= —го\
(3.9)
так что уравнения Максвелла (1.1) и (1.4) в вакууме сводятся к
следующей простой (линейной и однородной) системе алгебраических
уравнений
к • Е = О,
к • В = О,
kxE = wB,
кхВ = -^Е.
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Таким образом, из (3.10) и (3.11) видно, что как вектор Е, так
и вектор В перпендикулярны к. Именно поэтому такие волны
называются поперечными. Далее, из (3.12) и (3.13) следует, что векторы
Е и В взаимно перпендикулярны, что проиллюстрировано на рис. 3.
Набор векторов, взятых в определенной последовательности (Е, В, к),
Фронт волны
Рис. 3. Волновой вектор к и векторы Е и В взаимно ортогональны
образует правую тройку ортогональных векторов. На рис. 4 показано
соотношение между векторами Е и В в плоской электромагнитной
волне, распространяющейся в вакууме.
318 Гл. 14. Электромагнитные волны в вакууме
Рис. 4. Векторы Е и В для плоской электромагнитной волны в вакууме.
Точки и кресты обозначают магнитные силовые линии, выходящие и входящие
в лист бумаги соответственно. Вертикальные линии обозначают электрическое
поле. Направление распространения задается волновым вектором к, который
в вакууме направлен вдоль вектора Е х В
§4. Поляризация
Согласно (3.8) векторы полей Е(г,£) и В(г,£), представленные
в виде гармонических плоских волн, распространяющихся в
положительном направлении £, являются решениями волнового уравнения. Их
можно переписать в следующем виде:
Е(г,£) = Е0 ехр[г(к • г - cot)} = E0exp[i(kC - cot)}, (4.1)
B(r, t) = B0 ехр[г(к • r - cot)} = B0 ехр[г(/с( - ut)}, (4.2)
где Ео, Во — постоянные векторные амплитуды, в общем случае
комплексные. Для исследования поляризации волны достаточно
рассмотреть только вектор напряженности электрического поля, так как
§4. Поляризация
319
для плоских волн вектор магнитной индукции всегда можно получить
из Е, используя (3.12).
Согласно (4.1), направление вектора напряженности электрического
поля Е всегда одно и то же, этот случай описывает волны с линейной
поляризацией. Это простейший тип поляризации волн.
В общем случае для того чтобы описать произвольную
поляризацию, представим вектор напряженности электрического поля в
заданной плоскости в виде суперпозиции двух линейно независимых
линейно поляризованных волн. Две такие линейно независимые волны
можно записать в виде
Ei (r, t) = e{Ei ехр[г(к • г - cot)}, (4.3)
E2(r, t) = е2Е2 ехр[г(к • г - ut)], (4.4)
где связанные с ними векторы магнитной индукции заданы как
Bi(r.t)
В2(г,*)
Единичные векторы ёь ё2
называются векторами
поляризации, они
перпендикулярны друг другу и лежат в
плоскости, нормальной к
волновому вектору к.
Тройка векторов (ei,e2,k)
образует правый ортонормиро-
ванный базис (см. рис.5).
Амплитуды Еь Е2 в общем
случае комплексные, что
позволяет существовать любой
разности фаз между двумя
волнами Ei(r,£), E2(r, i).
Поэтому общее решение для
гармонической плоской
волны, распространяющейся в направлении к, можно записать в виде
линейной комбинации двух независимых решений Еь Е2
Е(г,*) - (eiEi +e2E2)exp[i(k.r-ujt)}. (4.7)
Так как комплексные величины можно выразить как произведение их
действительной части и комплексного фазового множителя, то
Ех =£?ехр(ш1), (4.8)
Е2 = Е%ехр(га2), (4.9)
= -kxEi(r,£),
= -kxE2(r,t).
(4.5)
(4.6)
Фронт волны
Рис. 5. Ортогональные вектора
поляризации ёь ёг и волновой вектор к
320
Гл. 14. Электромагнитные волны в вакууме
где амплитуды Е®, Е® — действительные числа, a ai, Q2 - фазы
комплексных амплитуд Е\, Е"2. Отметим, что физический смысл имеет
только разность фаз, а не абсолютное значение ai, a2. Следовательно,
(4.7) преобразуется к
Е(г,£) = [eiE^exp(iai)-\-e2E^exp(ia2)]exp[i(k'r-Lut)]. (4.10)
Если Е\, E<i имеют одинаковые
фазы (ai = a2), то (4.10)
задает линейно поляризованную
волну. Модуль Е равен
£=(£j4£22)1/2, (4.11)
вектор поляризации волны
образует с направлением ei угол
0 = arctg(£2/£i). (4.12)
Вектор напряженности
электрического поля этой линейно
поляризованной волны показан
на рис. 6.
Если Е\, E<i имеют
различные фазы (а\ ф а2), то (4.10)
в общем случае задает эллиптически поляризованную волну.
Простейший случай дает равенство амплитуд Е\ = Е\ = Е° и
разность фаз, равная 7г/2, т. е. ai = 0 и а2 = 7г/2. Тогда, поскольку
ехр(±г7г/2) = ±г, уравнение (4.10) принимает вид
E(r, t) = Е°(е{ ± ге2) ехр[г(к • г - wt)]. (4.13)
Такую волну называют поляризованной по кругу. Чтобы
проиллюстрировать о чем идет речь, рассмотрим декартову систему координат, в
которой волна распространяется в направлении г, k = z, ei = х, ё2 = у.
Таким образом, взяв действительную часть от (4.13), получим для х-,
у-компонент электрического поля
Ex(z,i) =E°Stcos(kz-ut), (4.14)
Ey(z,i) = TE°ysm(kz-ut). (4.15)
Следовательно, в некоторой плоскости z = const поля таковы, что
вектор Е имеет постоянную длину Е°, но вращается по кругу с частотой
и. Для верхнего знака (т. е. когда ei + гё2) вектор вращается по
часовой стрелке при наблюдении фронта волны, уходящего от наблюдателя
(т. е. если смотреть в положительном направлении z), что показано на
рис. 7, а. Такую волну называют правополяризованной. Для нижнего
знака (ei — гё2) вращение направлено против часовой стрелки, как
показано на рис. 7, б. Говорят, что это левополяризованная по кругу
волна.
E(r,t)
0 EiM)
Рис. 6. Вектор напряженности
электрического поля линейно поляризованной
волны, представленный суперпозицией
двух независимых, линейно
поляризованных волн Е\у Е2, имеющих
одинаковую фазу
§ 4. Поляризация
321
Е(г,*)
Рис. 7. Вектор напряженности электрического поля: а — правополяризованной
по кругу волны (RCP) и б — левополяризованной волны (LCP). Волновой
вектор к направлен в лист бумаги
В самом общем случае амплитуды компонент различны (Е\ ф Е®),
векторы поля Еь Е2 имеют произвольную разность фаз (а\ ф а2).
Считая, (ei,e2,k) = (х, y,z), из (4.10) имеем
Ея(2:, t) = xE^exp^a^expf^fcz — cut)],
Ey(z,t) = yE° exp(ia2) exp[i(kz -cut)].
Взяв действительную часть этих выражений, получаем
Ex(z,t) = Ex*cos(hz-cut + a{), (4.18)
Ey(z,i) = E°cos(kz-ut + a2). (4.19)
Возводя (4.18) и (4.19) в квадрат и складывая получившиеся
выражения, имеем
(4.16)
(4Л7)
+
cos2(fcz - cut + a\) + cos2(fcz -ut + а2). (4.20)
Этот результат показывает, что в общем случае на некоторой
фиксированной плоскости z = const вектор напряженности электрического
поля Е совершает во времени эллиптическое движение.
Для случая а\ — 0 и а2 = 7г/2 уравнение (4.20) в плоскости z = 0
принимает вид
(§0 +(f0 =c°s2(-^)+cos2(-^+7r/2)=i' (4-21)
поскольку cos(</> + 7г/2) = — sin(</>) для любого угла ф. В этом случае
х-, у-компоненты вектора электрического поля задаются выражениями
Ex(0,i) = E^cos{cut),
Ey(0,t) = E°sm(cut).
(4.22)
(4.23)
21 Биттенкорт Ж.А.
322
Гл. 14. Электромагнитные волны в вакууме
Следовательно, конец вектора электрического поля описывает эллипс
в плоскости (х,у), вращаясь по часовой стрелке (правая поляризация),
когда волна распространяется от наблюдателя, как показано на рис. 8.
В случае а\ = 0 и ol<i = —7г/2 вектор электрического поля вращается
Рис. 8. Вектор напряженности электрического поля правой эллиптически
поляризованной волны (REP) (ol\ — О, oil — 7г/2), вращающийся по часовой стрелке
для наблюдателя уходящей волны. Волновой вектор к направлен в лист бумаги
против часовой стрелки, когда волна распространяется от наблюдателя
(левая эллиптически поляризация), как показано на рис. 9.
Сжатие описываемого эллипса и ориентация его главных осей по
отношению к оси х зависят от относительной величины амплитуд Е\,
Е\ и от разности фаз (с*2 — &\)- Рис. 10 иллюстрирует различные виды
поляризации волны, полученные из (4.18) и (4.19) в плоскости z = 0
для случая Е£ = Е®. Угол ф обозначает разность фаз ф = ol^ — а\.
Рис. 9. Вектор напряженности электрического поля левой эллиптически
поляризованной волны (LEP) (а\ = 0, ol<i = —к/2), вращающийся против часовой
стрелки для наблюдателя уходящей волны. Волновой вектор к направлен
в лист бумаги
§ 5. Поток энергии
323
ф = тг/2
Тг/2 < ф < ТГ
7г <ф< Зтг/2
0 = Зтг/2
Зтг/2 < ф < 2тг
> = 2тг
Рис. 10. Различные виды поляризации волн для случая, когда Е% = Е®,
полученные из (4.18) и (4.19) в плоскости z — 0. Угол ф обозначает разность фаз
(ф = 012 — Oil)
Из рисунка видно, что свойства вращения вектора Е в плоскости (х,у)
зависят от того, лежит ф между 0 и 7г или между 7г и 27г.
§ 5. Поток энергии
В направлении, перпендикулярном векторам Е и Н
электромагнитной волны, возникает поток энергии (количество энергии, проходящей
через единичную площадку за единицу времени), связанный с
электромагнитным полем волны. Этот поток энергии задается вектором
Пойнтинга
S = ExH. (5.1)
В вакууме векторы Н и В связаны между собой соотношением
В = /xqH. Также, в вакууме вектора Е, Н и волновой вектор к обра-
21*
324
Гл. 14. Электромагнитные волны в вакууме
зуют взаимно ортогональную тройку векторов. Отметим, что в случае
проводящей среды, например в плазме, это может быть и не так.
В такой среде, вследствие наличия поляризационных зарядов, из
уравнения Максвелла V • Е = р/бо следует, что к • Е ф 0. Тем не менее
направление потока энергии, заданного вектором Пойнтинга, всегда
перпендикулярно Е и Н.
Если векторы полей Е, Н выражены в комплексной форме, то
поток энергии, определяемый (5.1), называется комплексным
вектором Пойнтинга. Однако в этом случае, для того чтобы получить из
комплексных выражений реальные физические величины, необходима
некоторая осторожность, поскольку уравнение (5.1) содержит
произведение двух комплексных величин. Поток энергии в волне получается,
если использовать в (5.1) действительные части как Е, так и Н.
Для гармонических волн представляет интерес средний поток
энергии (за один период), который задается выражением
(S) = (Re{E} xRe{H}), (5.2)
где усреднение по времени получено путем интегрирования величин
по одному периоду гармонической волны и делением на период, a Re
означает действительную часть. Необходимо подчеркнуть, что
средний поток энергии (S) не задается выражением (Re{E x H}) или
Re{(ExH)}.
Покажем, что усредненный по времени поток энергии (S), заданный
(5.2), можно вычислить непосредственно из комплексных векторов
поля, не усредняя по периоду колебаний. Используем выражения
Е = Е0 exp(-zu;t) = (Ei + гЕ2) exp(-icut), (5.3)
Н = Н0 ехр(-г^) = (Hi + Ш2) exp(-icut), (5.4)
где Ei, E2, Hi, H2 — действительные амплитуды, а си — частота волны.
Взяв действительные части (5.3) и (5.4), получаем
Re{E} = Ei cos(out) + Е2 sin(u^), (5.5)
Re{H} = Hi cos(ut) + H2 sm(ut). (5.6)
Следовательно, (5.2) принимает вид
(S) = (Ei x Hi)(cos2M)> + (E2 x H2)(sin2M)> +
+ (Ei x Hi + E2 x H2)(cos(Lut) sm(u;t)). (5.7)
Используя следующие выражения для интегралов, определяющих
средние величины в (5.7):
т
1
Т
(cosz(ujt)) = - cosz(ujt)dt = -, (5.8)
2'
§ 6. Волновые пакеты и групповая скорость
325
(sinV)) = Т
т
sin2 (ut)dt= £, (5.9)
2'
о
т
1 г
(sin(u^) cos(cjt)) = — sm(cut) cos(cut)dt = О, (5.10)
T o
о
получаем
(S> = i(E1xH1+E2xH2). (5.11)
Теперь рассмотрим следующую величину:
Re{E х Н*} = Re{(E! -\- iE2)[cos(ujt) - isin(ujt)]x
х (Н! - iH2)[coe(ut) + ism(ut)]} = E{ х Hi + Е2 х Н2. (5.12)
Сравнивая этот результат с (5.11), получаем альтернативное
выражение для усредненного по времени потока энергии (5.2)
(S) = ^Re{ExH*}. (5.13)
В случае произвольной среды (не вакуума) усредненный по времени
поток энергии дается выражением
<S) = J(E-D*+B-H*)e3, (5.14)
где ёз — единичный вектор в направлении Е х Н.
§ 6. Волновые пакеты и групповая скорость
Пока рассматривались только простейшие волны, имеющие
определенные значения к и си. Однако на практике возмущения состоят
из волн, имеющих некоторый разброс волновых чисел к и частот си.
Волновой пакет — это суперпозиция волн с различными волновыми
числами к и частотами си. Это соответствует утверждению, что любое
волновое возмущение можно посредством Фурье-преобразования
представить в виде суперпозиции простейших гармонических колебаний
с различными частотами и волновыми числами, имеющими
соответствующие амплитуды.
Волновой пакет, состоящий из суперпозиции плоских
гармонических волн, распространяющихся в направлении-£, можно представить
как
+оо
ф(СЛ)= A(k)exp[i(k(-ut)]dk. (6.1)
Идея волнового пакета особенно полезна, когда есть только
небольшой разброс волновых чисел вокруг некоторого волнового числа ко.
326
Гл. 14. Электромагнитные волны в вакууме
Это также эквивалентно малому разбросу частот вокруг центральной
частоты и>о, так как для любого волнового движения существует
функциональная связь между к и си, которая зависит от среды и называется
дисперсионным соотношением. Таким образом, обычно
предполагается, что амплитуда А(к) максимальна вблизи некоторого центрального
волнового числа fco- В (6.1) к считается независимой переменной, а си —
функцией от fc, заданной дисперсионным соотношением си = и (к).
Зависимость амплитуды А(к) можно получить посредством
преобразования Фурье функции ?/>((, 0). Для этого умножим (6.1) (при
t = 0) на ехр(—ikQ и проинтегрируем полученное выражение по всем
возможным значениям £. Получаем
+оо
+оо
+оо
V>(C,0)expHfcCR= A(k')dk
exp[i(k' - k)C]dC. (6.2)
— oo —oo —oo
Используя следующее определение дельта-функции Дирака
+ оо
6(k' - k)
2тг
exp[i(kf - k)(]d(
(6.3)
и свойство
+oo
A{k')S{k' - k)dk' = A(k),
(6.4)
из (6.2) имеем
+ oo
A(k) =
2тг
^(C,0)exp(-iAC)dC-
(6.5)
Величину поля ф(С,Л) можно также выразить через временные
периодические функции от всех возможных частот, используя
соотношение
+оо
Шл)
А(си) exp[i(k( — cot)]dco,
(6.6)
где амплитуда А{и) задает частотный спектр. В этом случае и
считается независимой переменной, а дисперсионное соотношение дает
связь к = к{и). Амплитуда А{и) обычно имеет пик вблизи некоторой
центральной частоты uq и ее можно определить из преобразования
Фурье функции ip(0,t),
+оо
1
А(ш) =
2тг
-0(0, t)exp(icut)dt.
(6.7)
§ 6. Волновые пакеты и групповая скорость
327
Рассмотрим теперь волновой пакет, заданный уравнением (6.1),
где диапазон величин к достаточно мал и соответствует окрестности
некоторого волнового числа ко
ко — 6к ^ к ^ ко + 6к.
(6.8)
Если и (к) — медленно меняющаяся функция fc, то и (к) только
незначительно отклоняется от величины иоо = со(ко), и и (к) можно разложить
в ряд Тейлора вблизи ко, взяв только первые два члена разложения
w(k)=too + (k-ko)(^)ka. (6.9)
Таким образом, фазовый множитель в (6.1) можно записать как
(6.10)
<-(ж),<
[к( — u(k)t] = fcoC ~~ ^ot + (к — ко)
Это позволяет переписать выражение (6.1) для волнового пакета в виде
ф{(Л) =^m(C*)exp[i(*oC-w0t)], (6.11)
где
{ко+6к)
Фт((Л) =
(к0-6к)
А(к) ехр < i(k — ко)
\дк)к0
\dk.
(6.12)
Следовательно, волновой пакет ф((Л) соответствует в этом
случае волне с частотой too, промодулированной амплитудной функцией
Фт{(Л)- Типичная форма волнового пакета в некоторый
фиксированный момент времени показана на рис. 11.
Фазы постоянной амплитуды пакета задаются выражением
<-$&.-*
(6.13)
А Ф
--^ч Время фиксировано
Рис. 11. Амплитуда ф(СЛ) типичного волнового пакета. Амплитуда модуляции
фт{(,Л) показана пунктирной кривой
328
Гл. 14. Электромагнитные волны в вакууме
а скорость распространения этих плоскостей постоянной фазы d^/dt
называют групповой скоростью. Она получается путем
дифференцирования (6.13) по времени
Групповая скорость может быть выражена через фазовую скорость
(vPh — w/k) следующим образом:
Если среда такова, что фазовая скорость не является функцией к
(т. е. и (к) ос к), то групповая скорость равна фазовой скорости, а среда
называется недиспергирующей. Например, это может быть вакуум,
для которого и = ск. Если фазовая скорость уменьшается с ростом
к (т. е. dvph/dk < 0), тогда vg будет меньше, чем г^, и говорят, что
среда обладает нормальной дисперсией. Если же фазовая скорость
увеличивается с ростом к (т. е. dvph/dk > 0), то vg будет больше, чем
vph, и говорят, что среда обладает аномальной дисперсией.
Необходимо подчеркнуть, что во многих случаях фазовая скорость
волн в плазме превышает скорость света с. Этот факт не
противоречит теории относительности, так как бесконечно длинный цуг волн
постоянной амплитуды не содержит информацию. Эта информация,
однако, содержится в модуляции волны, а модуляция распространяется
с групповой скоростью, которая всегда меньше скорости света.
При выводе соотношений (6.11) и (6.12) в разложении и (к) в ряд
Тейлора учитывались только линейные по (к — ко) члены. В этом
случае пространственное изменение амплитуды ipm{(,t), которое задает
форму волнового пакета, оставалось неизменным во времени. Если
в (6.10) учесть члены более высокого по (к — ко) порядка, то форма
волнового пакета будет изменяться во времени, а пакет расплываться
по мере движения. Таким образом, понятие групповой скорости
полезно только для волновых пакетов с очень небольшим разбросом по
волновым числам и частотам.
Задачи
14.1. Выведите волновые уравнения, аналогичные (1.8) и (1.9) для
электрических и магнитных полей, рассматривая среду, в которой есть
пространственное распределение зарядов с плотностью p(r,t) и
пространственное распределение токов с плотностью J (г, t).
14.2. Рассмотрим плоскую электромагнитную гармоническую
волну с частотой v — 5 • 1015 Гц, распространяющуюся в положительном
направлении х в вакууме.
а) Какая длина волны соответствует этой частоте?
§ 6. Задачи
329
б) Вычислите соответствующие величины си, к.
в) Считая, что ^
Е = уЕо ехр(гкх — icut),
вычислите (V х Е) и — (dE/dt) и сравните результаты. Также
вычислите (V х В) и — (d'B/dt) и сравните результаты.
д) Вычислите вектор Пойнтинга S и средний вектор Пойнтинга (S).
14.3. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну,
распространяющуюся в положительном направлении х в вакууме, которую можно
разложить на две волны
Е = уЕ\ exp(ikx — icut) + ъЕ2 exp(ikx — icut + ia).
Покажите, что
S = f-^Л [Е\ cos2(kx - uut) + El cos2(kx - uut + a)] x,
14.4. Вектор напряженности электрического поля эллиптически
поляризованной волны, распространяющейся в вакууме, можно
выразить как
Е = [e1E'[)exp(iai) + e2E® ехр(ш2)] ехр(гк • г — icut).
а) Покажите, что связанный с ним вектор магнитной индукции
В = - ^Ei exp(ia\) — е\Е%ехр(га2)] ехр(гк • г — icut).
б) Покажите, что средняя по времени плотность энергии в волне
где
Е2 = (Е°{)2 + (Е°2)2 = с2В2.
в) Покажите, что средний поток энергии (S) равен фазовой
скорости (си/к = с) умноженной на среднюю плотность энергии волны, т. е.
(S) = c(W)e3 = ^(e0E2 + ^')ez,
где ёз обозначает единичный вектор в направлении Е х Н.
14.5. Покажите, что в произвольной среде (не вакууме) плотность
энергии, усредненная по времени одного цикла, для гармонических
плоских волн задается как
(W) = ^(E-D* + B.H*).
330
Гл. 14. Электромагнитные волны в вакууме
Покажите, что отсюда следует следующее выражение для среднего
вектора Пойнтинга (поток энергии):
(S) = |(E-D*+B.H*)e3.
14.6. Рассмотрите суперпозицию (Е = Ei + E2) следующих волн
Ei = eijEqexp(zai)exp [i(k • г — uot)]
и
Е2 = е2Е2 ехр(га2) ехр [г(к • г — uot)].
Проанализируйте результирующую поляризацию для следующих
случаев:
а) ai = а2иЕ$^ Е°{;
б) ai = а2 ± тг/2 и Е$ = Я? = E°;
в) а{=а2± тг/2 и^> Е\\
г) а\ = а2 + ф и Е"!> = £?, если ai = 0, а </> меняется от 0 до 27г;
д) Аналогично г), но Е% > Е® и а\ = ж/2.
14.7. Обобщите уравнения (6.1)—(6.5) для трехмерной декартовой
системы координат.
14.8. Покажите, что эволюцию во времени волнового пакета *ф(г,Ь)
можно выразить через его первоначальную форму ф(г,Ьо)
+оо
ф (г, t) = I G(r, t\ г', to)il>(r', t0)d3rf,
где G(r,t;rf,to) обозначает функцию Грина (или ядро интеграла),
которая зависит от дисперсионного соотношения ио(к)
G(r,*;r',*o)=(:M
з+°°
2тгУ
ехр [гк • (г - г') - iu(t - t')]d3k.
14.9. Проанализируйте смысл функции Грина в задаче 14.8 для
случая, когда ip(r,to) задается дельта-функцией Дирака
ф{тЛ) = 6(г-г0).
14.10. Вычислите функцию Грина для задачи 14.8- в вакууме
(ио = ск), где с — скорость света в вакууме. Покажите, что в этом
случае начальный волновой пакет ^(г,^) сохраняет свою форму, а
дисперсия отсутствует.
§ 6. Задачи
331
14.11. Рассмотрите одномерный волновой пакет в момент времени
t = О с амплитудой
(А(к) = 1 при - а ^ к ^ а,
\А(к) =0 в других случаях.
Покажите, что . , ч
ф(х,0) = 2—-—-.
Постройте графики А(к) и ф(х,0) и проверьте, что неопределенность
по х и к соответствует соотношению неопределенностей
(Ах) (Ак) > 4тг.
14.12. Рассмотрите одномерный волновой пакет в момент времени
t = О с амплитудой А(к), заданной в виде функции Гаусса
Л(/с)=ехр[-а2(/с-/с0)2],
где а, ко — постоянные.
а) Покажите, что ф(х,0) также задается функцией Гаусса вида
ф(х, 0) = —— ехр (гкох) ехр ( ^
а \ 4а
Постройте графики А(к) и Re{'0(x,O)}, приняв fc0 > (1/a).
б) Среднее размытие волнового пакета Ах можно определить как
корень среднеквадратичного отклонения
Ах~=((Ах)2)1/2,
где дисперсия задана в виде
+ оо
[ \ф\2 (х - (х ))2 dx
((Ах)2) = ((х - (х))2) = :^_ .
,|2
Щгйх
Аналогично, имеем
Ak = ((Ak)2)1'2,
где дисперсия к
+ СХЭ
|2
((Ак)2) = ((к-(к))2) =
\А\г (к - (к)У dk
+оо •
\A\2dk
332
Гл. 14. Электромагнитные волны в вакууме
Покажите, что для гауссовского волнового пакета
Ах = а,
2а
Следовательно, в этом случае,
Можно показать, что волновой пакет Гаусса является минимально
неопределенным пакетом, а в общем случае соотношение
неопределенностей 1
AxAk^ i
14.13. Вычислите ф(х,0) для одномерного волнового пакета, если
амплитуда А(к) задана в виде
А(к) = exp(-ikxo)
А(к) = 6(к-к0).
Для обоих случаев проверьте соотношение неопределенности для
волнового пакета, сформулированное в предыдущей задаче.
14.14. Рассмотрите бесконечно малую (исчезающую)
электромагнитную волну (для которой к = гах. с действительным а) с векторами
поля волны Е, Н, пропорциональными ехр(—г(к • г — cot)). Покажите,
что средняя величина вектора Пойнтинга (S) для исчезающей волны
равна нулю.
Глава 15
МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
§ 1. Введение
Наиболее фундаментальный тип волнового движения,
существующий в сжимаемой непроводящей жидкости, — это продольные
звуковые волны. Для этих волн изменения давления р и плотности рт,
связанные с сжатиями и разрежениями
жидкости, подчиняются уравнению адиа- t ;■
баты, часто встречающемуся в термоди- у ■*
намике, I
РРп
const,
(1.1)
4 к
где 7 — отношение теплоемкости при
постоянном давлении к теплоемкости
при постоянном объеме. Дифференцируя
(1.1), получаем
Vp = ™Vpm = V?Vpm, (1.2)
Рт
где
— скорость распространения волны,
равная адиабатической скорости звука.
На рис. 1 показаны области сжатия
и разрежения, связанные с продольным
движением звуковых волн.
1.1. Альфвеновские волны
В сжимаемой проводящей жидкости, помещенной в магнитное поле,
возможны и другие виды волнового движения.
Ранее было показано, что в магнитном поле напряженностью Во
магнитное напряжение сводится к натяжению В^/ро вдоль линий
поля и изотропному гидростатическому давлению В%/2ро (см. § 5,
гл. 12). Поскольку последнее связано с кинетическим давлением жид-
Рис. 1. Схематическое
представление продольных
звуковых волн,
распространяющихся в сжимаемой
непроводящей жидкости. Показаны
области сжатия и
разрежения, связанные с движением
продольных волн
334
Гл. 15. Магнитогидродинамические волны
кости, то линии магнитного поля под действием магнитного натяжения
Щ/ро ведут себя как эластичные резиновые шнуры. Кроме того, в
идеальной проводящей жидкости частицы как бы привязаны к линиям
магнитного поля (см. §4, гл. 12), т.е. силовые линии при натяжении
становятся похожи на шнуры, обладающие массой. Следовательно, по
аналогии с поперечными колебаниями упругих струн, можно ожидать,
что всякий раз, когда в проводящей жидкости возникает
незначительное отклонение от равновесных условий, линии магнитного поля будут
совершать поперечные колебания.
Скорость распространения этих поперечных колебаний, которая
называется альфвеновской скоростью, задается отношением
у = /Натяжение Л1/2 = (J%\ (M)
V Плотность / \/лоРгп J
На существование такого низкочастотного волнового движения в
проводящей замагниченной жидкости впервые обратил внимание в 1942 г.
Альфвен. Как будет показано ниже, важное свойство этих волн
заключается в отсутствии каких-либо флуктуации плотности рт или
давления жидкости р. Рис. 2 иллюстрирует поперечное движение жидкости
(и вмороженных силовых линий) для альфвеновских волн.
Рис. 2. Поперечные альфвеновские волны в сжимаемой и проводящей
замагниченной жидкости. Скорость распространения направлена вдоль магнитного
поля, а движения жидкости и возмущения магнитных силовых линий
перпендикулярны силовым линиям
1.2. Магнитозвуковые волны
В сжимаемой проводящей жидкости, помещенной в магнитное поле,
должны возникать и продольные колебания. При движении частиц
(и распространении волны) вдоль магнитных силовых линий
возмущений магнитного поля не возникает, так как частицы могут свободно
§ 1. Введение
335
к
двигаться в этом направлении.
Следовательно, в этом случае
волны будут продольными звуковыми
волнами, распространяющимися со
скоростью звука V^ вдоль силовых
линий (см. рис. 3).
С другой стороны, при
движении частиц (и
распространении волны) в направлении,
перпендикулярном магнитному полю,
возможен новый тип продольных
волн, поскольку теперь кроме
кинетического давления жидкости р
есть и магнитное давление Bq/2/jlo,
и, следовательно, скорость
распространения Vm ЭТИХ ВОЛН,
ПОЛУЧИВШИХ называние магнитозвуковых
или магнитоакустических (см. рис. 4), должна удовлетворять следую
щему соотношению, аналогичному (1.2):
э2
Рис. 3. Продольные звуковые
волны, распространяющиеся вдоль
линий магнитного поля в сжимаемой
проводящей магнитной жидкости
V (Р +
к.
2до
Vtffh,
Поэтому можно записать
d
V2 =
т dp„
Р +
2^о
= К2 +
РтО
dpr,
2до
(1.5)
(1.6)
РтО
где индекс нуль в рт относится к невозмущенному состоянию плазмы,
a Vs — адиабатическая скорость звука. Так как силовые линии вморо-
А >
С J
г
1
I i
k i
I i
*
I Zi
I i
i i
I I
i
i A
В
-► k
Рис. 4. Продольная магнитозвуковая волна распространяется перпендикулярно
линиям магнитного поля, вызывая сжатия и разрежения как силовых линий,
так и проводящей жидкости
336
Гл. 15. Магнитогидродинамические волны
жены в проводящую жидкость, то магнитный поток BdS через элемент
площади dS (нормаль к которому ориентирована вдоль магнитного
поля) и масса pmdS единичного столба с основанием dS сохраняются
при движении волны, причем (В/рт) = {Во/рто). Следовательно, (1.6)
можно привести к виду
V* = у* + А- ( &0Р™ \ =V2+y2 /17ч
Vm ^ ^ dPm \2»0Pm0 L n Vs^VA> [iJ)
где Va — альфвеновская скорость, определенная в (1.4).
При распространении в направлении под углом к магнитному полю,
волновое движение становится более сложным. Этот вопрос подробнее
рассматривается в § 5.
§ 2. МГД-уравнения для сжимаемой невязкой
проводящей жидкости
2.1. Основные уравнения
Для того чтобы исследовать распространение волн в проводящей
магнитной жидкости, рассмотрим сжимаемую невязкую, идеально
проводящую жидкость, помещенную в магнитное поле. Система
уравнений, которой подчиняется поведение такого рода жидкостей, была
приведена в § 1 гл. 12. Эти уравнения таковы:
^ + V-(Pmu)=0, (2.1)
pm^+Pm(u-V)u=-Vp + 3xB, (2.2)
Vp = Vs2VPm, (2.3)
V x В = ^0J, (2.4)
VxE = -|, (2.5)
E + u x В = 0. (2.6)
Для упрощения этой системы, комбинируя уравнения (2.2)-(2.4),
получаем
Рт^ + Рт(и ■ V)U = -VfVpm + -(V X В) X В, (2.7)
ОТ /Хо
а из уравнений (2.5) и (2.6):
Vx(uxB) = |. (2.8)
В условиях равновесия предполагается, что жидкость пространственно
однородна имеет постоянную плотность рто, равновесная скорость
равна нулю, а магнитное поле Во в жидкости однородно и постоянно.
§ 2. МГД-уравнения для сжимаемой невязкой проводящей жидкости 337
Для вывода дисперсионного уравнения для волн малой амплитуды
рассмотрим малые отклонения от равновесных значений:
B(r,t) = B0 + Bl(r,t), (2.9)
Pm(r, t) = ртО + Pml О, t), (2.10)
u(r,*) = Ul(r,*). (2.11)
Подставляя выражения (2.9)—(2.11) в (2.1), (2.7) и (2.8) и пренебрегая
членами второго порядка малости, получаем следующие
линеаризованные уравнения для величин первого порядка малости:
^.+/0m0(V-u,)=0, (2.12)
Рто^- + Vs2VPmi + -Во х (V х ВО = 0, (2.13)
eft ро
^i-Vx(UlxB0) = 0. (2.14)
2.2. Вывод уравнения для скорости жидкости
Уравнения (2.12)—(2.14) можно свести к одному уравнению
относительно переменной up Для этого сначала продифференцируем (2.13)
по времени:
-о^ + ^(^г) + >*Мж)]
0. (2.15)
Далее, используя (2.12) и (2.14), перепишем (2.15) в виде
д'т
dt
ys2V(V • щ) + VA х {V х [V х (и, х УА)}} = 0, (2.16)
где мы ввели вектор альфвеновской скорости
Уа= , В\1/2- (2.17)
(РОРгпо)
Без потери общности, решения (2.16) можно искать в виде плоских
волн
ui(r, t) = ui ехр(гк • г — iui). (2.18)
Ниже ui может обозначать как амплитуду, так все выражение (2.18).
В (2.16) можно заменить оператор V на гк, а частную производную по
времени на — iu
-Л+Т^к-иОк-Ул х {кх [кх (щ х VA)]} = 0. (2.19)
Так как для любых трех векторов А, В, С верно векторное тождество
А х (В х С) = (А • С)В - (А • В)С, (2.20)
22 Биттенкорт Ж.А.
338
Гл. 15. Магнитогидродинамические волны
то (2.19) сводится к выражению
-u>2ul + (V* + V]L)(k.ul)k+
(к • VA)[(k • VA)ui - (VA • uOk - (к • ui)VA)] = 0. (2.21)
Хотя получившееся уравнение кажется сложным, оно приводит к
поразительно простым решениям для волн, распространяющихся
параллельно и перпендикулярно магнитному полю.
§ 3. Распространение перпендикулярно магнитному
полю
Если волновой вектор к перпендикулярен вектору магнитной
индукции Во, то к • V^ = 0, и уравнение (2.21) можно упростить
-ш2щ + (V* + V|)(k • щ)к = 0. (3.1)
Откуда получаем
ui = A(V? + *1)(k-ui)k. (3.2)
Следовательно, ui параллельна к, поэтому к • ui = кщ, а решение для
ui дает продольную волну с фазовой скоростью
| = (vf + v2)I/2. (з.з)
Магнитное поле, связанное с этой продольной волной, можно найти
из (2.14). Полагая
Bi(r,t) = Biexp(ik-r-io;t), (3.4)
получаем
-cjBi - к х (ui x B0) = 0. (3.5)
Используя векторное тождество (2.20), и замечая, что к • Во = 0,
находим 7/1
В! = ^ттВ0. (3.6)
Из (2.6) следует, что электрическое поле, связанное с этой волной,
задается следующим образом:
Е = -щ х В0. (3.7)
Эта волна в некотором роде похожа на электромагнитную волну,
поскольку изменяющееся во времени магнитное поле перпендикулярно
направлению распространения, но параллельно магнитостатическому
полю, а электрическое поле перпендикулярно как направлению
распространения, так и магнитостатическому полю. Однако это продольная
волна, так как и массовая скорость, и флуктуации плотности,
связанные с волновым движением, направлены в направлении
распространения волны. Поэтому эта волна была названа магнитозвуковой волной.
§ 4. Распространение параллельно магнитному полю 339
Фазовая скорость (3.3) не зависит от частоты, следовательно волна
недиспергирующая. Как показано на рис. 4, магнитозвуковая волна
при распространении создает области сжатия и разрежения в
магнитных силовых ^линиях, но не меняет направления магнитного поля.
Поскольку проводимость жидкости бесконечна, то линии магнитного
поля и жидкость движутся вместе.
Возвращающая сила, возникающая в магнитозвуковой волне,
представляет собой градиент давления жидкости и градиент магнитного
давления. Если давление жидкости намного больше магнитного
давления, то влияние магнитных силовых линий пренебрежимо мало, так
что (со/к) = Vs и волна становится обычной звуковой волной. С другой
стороны, если магнитное поле очень велико, т. е. магнитное давление
намного выше давления жидкости, то фазовая скорость
магнитозвуковой волны становится равной альфвеновской скорости Уд.
Данная мода магнитозвуковой волны также известна как альфве-
новская волна сжатия или быстрая алъфвеновская волна 0.
§ 4. Распространение параллельно магнитному полю
Для волн, распространяющихся вдоль магнитного поля (k || Bq),
имеем к • Уд = Wa, и (2.21) приводится к виду
{k2V\ -ш2)щ + {V*/Vl - l)k2(VA ■ Ui)VA = 0. (4.1)
В этом случае возможны два вида волнового движения.
При векторе ui, параллельном В0 и к, из (4.1) находим, что
возможна продольная мода с фазовой скоростью
^ = VS. (4.2)
Это обыкновенная продольная звуковая волна, распространяющаяся
в направлении течения плазмы (см. рис. 3). С этой волной не связано
ни электрическое поле, ни плотность электрического тока, ни
магнитное поле.
Другой вид волнового движения — это поперечная волна с ui,
перпендикулярной Во и к. В этом случае ui • Уд = 0, и из (4.1) следует
фазовой скорость этой поперечной волны, известной как
алъфвеновская волна:
Ъ = Уа- (4-3)
Так как фазовая скорость не зависит от частоты, то дисперсия
отсутствует.
1) В отечественной литературе обычно быстрая магнитозвуковая волна. —
Примеч. ред.
22*
340
Гл. 15. Магнитогидродинамические волны
Магнитное поле, связанное с этой волной, согласно (2.14) и (3.5),
задается следующим выражением
Во
Bi
("/*)
Up
(4.4)
Поэтому магнитное поле возмущения перпендикулярно вектору
первоначальной магнитостатической индукции Bq. Если сложить малую
компоненту Bi с Во, то возникнет синусоидальная силовая линия,
показанная на рис. 5. Уравнение (3.7) определяет связанное с волной
электрическое поле.
Рис. 5. Схематическая иллюстрация, показывающая альфвеновские волны,
распространяющиеся вдоль магнитного поля, и соответствие между меняющимися
параметрами
Альфвеновская волна не приводит к колебаниям плотности
жидкости или давления, хотя и линии тока, и магнитные силовые линии
осциллируют в плоскости, перпендикулярной к Bq. Плотность
магнитной энергии такового волнового движения В\/2р$ равна плотности
кинетической энергии движения жидкости рш^и\/2. Это равенство
§5. Распространение в произвольных направлениях 341
энергий легко проверить, воспользовавшись (4.4)
Ж.
2fM>
Bow.
Blu\ _ 1
2
(4.5)
2р,0(ш/к)2
где были использованы уравнения (4.3) и (2.17).
Это мода альфвеновской волны известна как альфвеновская волна
сдвига или медленная альфвеновская волна 0.
§ 5. Распространение в произвольных направлениях
Теперь исследуем случай распространения волны в
произвольном направлении по отношению к вектору магнитной индукции В0.
Без потери общности можно ввести декартову
систему координат, в которой ось у
перпендикулярна плоскости, заданной волновым вектором
к и вектором магнитной индукции Во, а ось
z параллельна Во, как это показано на рис. 6.
Обозначая угол между к и Во как 0, имеем
k = fc(xsin0 + zcos0), (5.1)
VA = VA% (5.2)
ui = щхЯ. + щуу + u\zz, (5.3) I;г
k.VA = kVAcase, (5.4) k±
x
k- ui = k(u\x sin# + u\z cos 0), (5.5)
Va • ui = VAu\z. (5.6)
Подставляя эти выражения в (2.21), выполняя
необходимые алгебраические вычисления и
перегруппировывая члены, получаем уравнение
для х-компоненты
щх(-и2 + k2V2A + k2V2sm2 в) + ulz(k2Vs2 sin0 cos в) = О
для у-компоненты
Рис. 6. Декартова
система координат,
показывающая
относительную ориентацию
векторов к и Во
(5.7)
щу(-со2 + k2V2A cos2 В) = О (5.8)
ulx(k2Vszsm6cose) + u1z(-oj2 + k2V2cosz6) = 0. (5.9)
и для ^-компоненты
и2т/2 • л„ЛО/,ч ,„,. / ,.,2, т,2т/2_2
О В отечественной литературе данные названия практически не
употребляются, говорят просто «альфвеновская волна». В англоязычной литературе
термин «torsional Alfven wave» или «shear Alfven wave» используются, чтобы
подчеркнуть их отличие от альфвеновской волны сжатия «compressional Alfven
wave», которую обычно называют быстрой магнитозвуковой волной. — Примеч.
ред.
342
Гл. 15. Магнитогидродинамические волны
5.1. Альфвеновская волна
Из (5.8) при щу ф 0 следует, что существует линейно
поляризованная волна с колебаниями в направлении, перпендикулярном как к, так
и Во, и фазовой скоростью, заданной выражением
j = VAcos6. (5.10)
Легко видеть, что компоненты поля, связанные с этой волной, — это
В\у, и\у, Е\х и J\x, поэтому выражение определяет поперечную альф-
веновскую волну. Ее иногда называют чистой альфвеновской волной.
Отметим, что при распространении вдоль магнитостатического поля
(в = 0) уравнение (5.10) дает со /к = Уд. Однако поперек
магнитостатического поля (в = 90°) данная волна не распространяется, так как
uj/k = 0. Эта мода также известна как косая альфвеновская волна.
5.2. Быстрые и медленные МГД-волны
Уравнения (5.7) и (5.9) образуют систему двух связанных
уравнений для амплитуд и\х, щг. Чтобы система имела ненулевое решение
(т. е. щх, u\z не были равны нулю), детерминант матрицы
коэффициентов этой системы должен быть равен нулю. Поэтому, приравнивая
нулю детерминант следующей матрицы:
и- f{-u2 + k2V% + k2Vs2sm2e) (к2У2зтвсозв) \ (,]и
Jvl-[ (к2У28твсозв) (-co2 + k2Vs2cos26)J ' (0Ai)
получаем дисперсионное уравнение для фазовой скорости со/к
О' - {V° + Vl) (И' + VMcoe** = 0. (5.12)
Решая его относительно (со/к) , находим два действительных решения
(?)2 = ^^2+^±^^2 + ^2-4F^cos2^1/2- (5ЛЗ)
Решения со знаками плюс и минус называются соответственно
быстрой и медленной магнитогидродинамическими (МГД) волнами 0.
Отметим, что если взять квадратный корень от выражения (со/к) , то
это даст не две новые различные моды, а только волны с
противоположными направлениями распространения.
5.3. Фазовые скорости
Все три моды МГД-волн имеют постоянные фазовые скорости во
всех направлениях, задаваемые уравнениями (5.10) и (5.13), и поэтому
дисперсии в данном случае нет. На рис. 7 показаны графики зависимо-
1) В отечественной литературе также быстрой и медленной магнитозвуко-
выми волнами соответственно. — Примеч. ред.
§ 5. Распространение в произвольных направлениях 343
(У? + У?)1/2 V
к || Во
Рис. 7. Фазовые скорости (не зависящие от частоты) как функции угла между
векторами к и Во для чисто альфвеновских волн, быстрых и медленных МГД-
волн для а — Va > Vs и б — Va <VS
сти фазовой скорости от угла в между векторами к и Во для каждой
из этих волн для Va > Vs и Va < Vs.
Фазовая скорость быстрой МГД-волны возрастает от Уд (или Vs,
если Vs > Va) при в = 0 до (V^ + V\)x^ при в = 90°, тогда как фазовая
скорость медленной МГД-волны уменьшается от Vs (или Уд, если
Vs > VA) при в = 0 до нуля при в = 90°.
Поэтому, если Va > Vs, то быстрая МГД-волна становится альфве-
новской волной при в = 0 и магнитозвуковой волной при в = 90°, тогда
как медленная МГД-волна переходит в альфвеновскую при в = 0 и не
существует при в = 90°.
344
Гл. 15. Магнитогидродинамические волны
5.4. Поверхности волновой нормали
Зависимость фазовой скорости от угла между векторами к и Во
для волн удобно представлять посредством диаграммы поверхностей
фазовой скорости или иначе поверхностей волновой нормали,
которые показывают зависимость длины вектора фазовой скорости от
направления магнитного поля. На рис. 8 показана диаграмма волновой
Рис. 8. Диаграмма волновой нормали для альфвеновской волны,
иллюстрирующая вариации фазовой скорости при заданном направлении 0 волновой
нормали относительно направления магнитного поля
нормали для альфвеновской волны, построенная согласно (5.10). На
этом рисунке длина вектора, проведенного из начала координат в точку
Р кривой, дает фазовую скорость плоской волны в данном направлении
волновой нормали в относительно Bq. В трехмерном случае картина
получается вращением кривых, показанных на рис. 8, относительно
оси, направленной вдоль Bq. Полученная поверхность называется
поверхностью волновой нормали.
На рис. 9 показаны диаграммы волновой нормали для чистой
альфвеновской, медленной и быстрой звуковых волн для Уд > Vs
и Va <VS. Трехмерные поверхности волновой нормали получаются
путем вращения кривых, показанных на рис. 9, вокруг оси,
направленной вдоль В0. Поверхность волновой нормали, соответствующая
быстрой МГД-волне, — гладкая, замкнутая поверхность; поверхность,
состоящая из двух сфер, соприкасающихся в начале координат, соот-
§ 6. Влияние тока смещения
345
Быстрая
/ мгд
(vt + vs2)l/2
А £>о
Быстрая
/ мгд
(УХ + vi)
■2ч1/2
Рис. 9. Диаграммы волновой нормали для альфвеновской, быстрой и медленной
МГД-волн при а — Va > Vs и б — Va <VS
ветствует чистой альфвеновской волне. Внутри каждой из этих сфер
существует другая гладкая, замкнутая поверхность волновой нормали,
соответствующая медленной МГД-волне.
§ 6. Влияние тока смещения
В магнитной гидродинамике членом, отвечающим за ток смещения
eodE/dt, который появляется в уравнении Максвелла для V х В,
обычно пренебрегают. Как уже обсуждалось в § 6 гл. 9, это приближение
346
Гл. 15. Магнитогидродинамические волны
справедливо только для хорошо проводящих жидкостей при достаточно
низких частотах (значительно ниже ионной циклотронной частоты).
Учет тока смещения в основных уравнениях изменяет характеристики
распространения альфвеновских и магнитозвуковых волн. Однако
полученные результаты справедливы только при частотах, когда можно
не учитывать влияние разделения зарядов (иначе необходимо
рассматривать р фО).
6.1. Основные уравнения
Для исследования влияния тока смещения на распространение
МГД-волн в сжимаемой невязкой идеально проводящей жидкости
необходимо преобразовать (2.4) к виду
VxB = /z0J + 4^. (6.1)
Следовательно, плотность тока, которую нужно подставлять в член
J х В уравнения движения (2.2), теперь такова
j = -L
Mo
VxB+i^(uxB)|, (6.2)
где было использовано (2.6). Если применить выражения (2.9)—(2.11)
для волн малой амплитуды, то система линеаризованных уравнений
(2.12)—(2.14) для малых величин рш\, щ, Bj преобразуется к виду
^+pmo(V-u,)=0, (6.3)
Рто^ + Vs2VPml + ^Во х (V х В! + i^L х Во) = 0, (6.4)
^ - V х (и, х В0) = 0. (6.5)
6.2. Уравнения для скорости жидкости
Для того чтобы получить уравнение относительно только одной
переменной щ, возьмем производную по времени от (6.4), воспользуемся
(6.3) и (6.5), что дает
dt2
- К V(V • ui) + VA x {V x [V x (щ x VA)}}+
+ ?v*x(^x^)=a №6)
где V^ — альфвеновская скорость, определенная в (2.17). Согласно
векторному тождеству (2.20), имеем
Ya х {^f х Ya) = J?[yiui"(Ул' Ui)Ya]' (6J)
§ 6. Влияние тока смещения
347
так что (6.6) можно преобразовать к виду
it.
at2
(х + Щщ-Фа-щ
с2
V?V(V-u,)+
+ \А х {V х [V х (и, х УА)]} = 0. (6.8)
Очевидно, что это уравнение упрощается до (2.16) при (Va/c) -С 1.
Решение (6.8) в виде плоских волн в форме (2.18) дает
-со2
г2
1 + Щщ-(Уа-щ№
_ i-(i? + yj)(k.u1)k+
С J С
+ (к • УА)[(к • VA)u, - (УА • и,)к - (к • и,)Ул] = 0. (6.9)
6.3. Распространение поперек магнитостатического поля
При к _1_ Во имеем к • V^ = 0, так что (6.9) дает (V^ • ui) = 0 и
/2^
-со2
(l + Щ u, + (Vs2 + V2)(k • Ul)k = 0. (6.10)
Это уравнение аналогично (3.1), за исключением того что квадрат
частоты умножен на (l+V|/c2). Следовательно, фазовая скорость
продольной магнитозвуковой волны, распространяющейся поперек Во,
теперь становится равной
$ = (?Щ)"2 (в...)
к \i + vZ/<?J
6.4. Распространение вдоль магнитостатического поля
Исследование выражения (6.9) при к || Во показывает, что при
ui, параллельной V^ (т.е. Во) оно становится идентичным (2.21).
Следовательно, для продольной звуковой волны, распространяющейся
вдоль магнитного поля, полученные ранее результаты не изменяются.
Однако для поперечной альфвеновской волны, рассматривая
(ui _L к), имеем (V^ • ui) = 0, а (6.9) упрощается до
-со2 (\ + ^П ui + fcVju, = 0. (6.12)
Изменение в альфвеновской волне, вызванное током смещения,
следующее: квадрат частоты надо умножить на (1 + VjJ/c2). Следовательно,
фазовая скорость альфвеновской волны становится равна
ш Va
к 0+VJ/c2)1/2'
(6.13)
\2
В обычном пределе, (Va/c) < 1, (6.13) сводится к (4.3), а эффект
тока смещения не важен. Однако при использовании этих результатов
348
Гл. 15. Магнитогидродинамические волны
необходимо иметь в виду, что они справедливы только для частот,
когда можно пренебречь разделением зарядов, так как в уравнении
движения (2.13) членом с электрическим полем пренебрегалось.
§ 7. Затухание МГД-волн
В этом параграфе демонстрируется, что МГД-волны будут затухать,
если жидкость не идеально проводящая, но обладает конечной
проводимостью, или если необходимо учитывать вязкость. Обозначим
кинематическую вязкость (вязкость жидкости, деленную на плотность) щ,
а магнитную вязкость г}т, как уже определялось в (12.5.2) (уравнение
(2.5) гл. 12). Чтобы учесть дополнительные члены, линеаризованную
систему уравнений (2.12)—(2.14) следует изменить следующим
образом:
^•+pro0(V-u,) = 0, (7.1)
Рто^- + Vs2VPml + —Во х (V х ВО - pm0r?feV2ui = 0, (7.2)
^1 - V х (ui х Во) - r^V2!*! = 0. (7.3)
Хотя для сжимаемой жидкости использование простого выражения
PmOVk^ui для вязкой силы не совсем верно, тем не менее можно
ожидать, что такой подход даст правильное описание поведения
амплитуды возмущения. Током смещения в этом параграфе для простоты
пренебрегаем.
При поиске решений в виде плоских волн дифференциальные
операторы d/dt и V заменяются на —iuj и гк соответственно, так что
система дифференциальных уравнений (7.1)—(7.3) становится системой
алгебраических уравнений. Следовательно,
(к • ui) /n ЛХ
Рт\=РтО- -, (7-4)
ш
ыи, = ez±V?k+ —— В0 х (к х ВО - irjkk2uu (7.5)
РтО РоРтО
В! = Lb х (ui х Во)- (7-6)
и; + гт]шк
В результате подстановки (7.4) и (7.6) в (7.5) и некоторых
преобразований получаем
_ о,2 (i + mp) (i + ^\ щ + Л + «tip) v^(k • u,)k-
-VAx{kx[kx (и, x VA)]} = 0. (7.7)
§ 7. Затухание МГД-волн
349
Сравнивая это уравнение для ui с (2.19), видим, что результаты
такие же, как и раньше, за исключением того, что J1 теперь умножается
на (1 +{щк2/ш)(1 +1г)шк2/и), а V2 — на (1 + щшк2/и).
7.1. Альфвеновские волны
В случае поперечных альфвеновских волн, распространяющихся
вдоль Во, соотношение (4.3), связывающее о; и к, становится
следующим:
k2v!=uj2
i +
гщк
и>
1 +
ЩтГъ
= UJ
1 , г(г]к + г]т)к2 _ rjkrjmk4
(7.8)
Чтобы упростить выражение, предположим, что корректирующие
члены, учитывающие кинематическую и магнитную вязкость, малы, и
последним слагаемым в правой части (7.8) можно пренебречь.
Следовательно,
k2v!
■ Ш
1 +
г(г)к + Ут)к
■ иг
1 +
JJVk + Ут)ш
vl
(7.9)
где в правой части мы заменили uj/к на Уд. С использованием
биноминального разложения (1 4-х)1/2 « 1 + ж/2, справедливого при ж <С 1,
(7.9) сводится к
2VZA
(7.10)
Положительная мнимая часть выражения для к(и) отвечает за
затухание волн. Это легко увидеть, записывая к = kr +ik{, где кг и к{
действительные числа, и замечая, что выражение
exp(ikz) = exp(—kiz)exp(ikrz)
(7.11)
представляет собой волну, распространяющуюся вдоль оси z с
волновым числом кг, но имеющую амплитуду, спадающую по экспоненте до
1/е своей первоначальной интенсивности на расстоянии \/к{.
Выражение (7.10) показывает, что затухание альфвеновских волн
возрастает с частотой (или волновым числом), но быстро
уменьшается с ростом магнитного поля. Затухание также возрастает с ростом
обычной и магнитной вязкости. Последняя возрастает при уменьшении
проводимости жидкости.
7.2. Звуковые волны
Для продольных звуковых волн, распространяющихся вдоль Во,
выражение (4.2) преобразуется к виду
№ = и2 1 +
гщк
(7.12)
350
Гл. 15. Магнитогидродинамические волны
Считая, что члены, учитывающие сопротивление и вязкость, малы,
находим 2
Vs 2VS3
Этот результат показывает, что затухание звуковых волн быстро растет
с частотой, но уменьшается с ростом скорости звука. Как и ожидалось,
оно также возрастает с ростом вязкости жидкости.
7.3. Магнитозвуковые волны
Для продольных магнитозвуковых волн, распространяющихся
поперек Во, дисперсионное соотношение принимает вид (см. (3.3))
к2у2 Л + Щ^\ + к2у2 = ш2 Л + Щ^\ Л + iTh^\ (7И)
Будем считать, что кинематическая и магни^ая вязкости малы, и
пренебрежем членом, включающим в себя г\шщк*jJ1. После некоторых
преобразований (7.14) сводится к
k\V? + Vl)*J 1+г
.к"
Щ + Vm 1
-т
(7.15)
В правой части (7.15) можно заменить (o;2/fc2) на приближенный
результат (К2 + У|), так что (7.15) можно еще упростить и получить
следующее дисперсионное соотношение:
2
■, _ ш . и;
К — ~7То __ск I /о I I-
(v? + vh,/2 {v? + vl)
3/2
т +
(i + v.2/vi)
(7.16)
Таким образом, затухание магнитозвуковых волн также возрастает
с частотой, кинематической и магнитной вязкостью, но уменьшается
с ростом напряженности магнитного поля.
Задачи
15.1. Вычислить скорость альфвеновской волны для следующих
случаев.
а) Ионосфера Земли, предполагая пе = 107 м-3 и В = 10~7 Тл.
Переносчики положительного заряда — ионы атомов кислорода.
б) Солнечная корона, предполагая пе = 106 см-3 и В = 10 Гс.
Переносчики положительного заряда — протоны.
в) Межзвездное пространство, предполагая пе = 107 м-3 и
В = Ю-7 Тл. Переносчики положительного заряда — протоны.
15.2. Показать, что альфвеновская волна, распространяющаяся
вдоль магнитного поля, поляризована по кругу.
§ 7. Задачи
351
15.3. Для чистой альфвеновской волны, распространяющейся под
углом в к магнитостатическому полю Во с фазовой скоростью,
заданной (5.10), найти соотношения между компонентами В\у, щу, Е\х, J\x.
15.4. Учесть эффект конечной проводимости при выводе уравнений
для плоской альфвеновской волны, распространяющейся вдоль
магнитного поля. Показать, что решения вида exp (az — iuot) удовлетворяют
линеаризованным уравнениям и найти коэффициент а.
15.5. Плоская электромагнитная волна падает нормально на
поверхность проводящей жидкости с большой, но конечной
проводимостью <т, помещенной в однородное магнитное поле Во такое, что
к _1_ Во. Предположите, что магнитное поле падающей волны В
параллельно Во. Покажите, что в жидкость проникают две волновых моды.
Одна из них представляет собой незатухающую магнитозвуковую
волну, а другая имеет эффективную толщину скин-слоя S = (Vs/Vm)6rc,
где Vs и Уш — соответственно звуковая и магнитозвуковая скорости,
а 5ГС — глубина скин-слоя твердого проводника.
15.6. Пусть щ и щ обозначают продольную и поперечную
компоненты массовой скорости потока в направлении распространения для
быстрой и медленной МГД-волн. Показать, что щ и щ находятся
в фазе для быстрой волны и в противофазе 180° для медленной волны.
Также показать, что возмущения кинетического и магнитного давлений
находятся в фазе для быстрой волны и в противофазе для медленной
волны.
15.7. Рассмотреть следующую замкнутую систему МГД-уравнений
в так называемом приближении Чу-Голдбергера-Лоу
^ + V-(Pmu) = 0,
£te|T)=o.
Рт
Dt \pmBJ
Dt
D fj>±
V x В = /i0J,
E + u x В = 0.
352
Гл. 15. Магнитогидродинамические волны
В этой системе уравнений тензор давления V рассматривается в виде
(Рх 0 0\
Р = 0 рх 0 .
\0 0 pj
а) Принимая среднюю равновесную скорость равной нулю,
показать, что дисперсионное соотношение для магнитогидродинамических
волн можно записать в виде
Ртп0си2 + cos в (р\\ -p±-^)-k2 sin2 в f 2р± + *%\ =
_ р2±к4 sin2 в cos2 0
/9m0o; - Зрц/с cos 0
б) Показать, что эти волны неустойчивы при всех величинах 0,
меньших критического угла вс, который удовлетворяет уравнению
R2 -2
^ + р± (1 + sin2 0С) = fL sin2 0С + 2р., cos2 0С.
Глава 16
ВОЛНЫ В ХОЛОДНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 1. Введение
В этой главе исследуется задача о распространении волн в холодной
плазме. В модели холодной плазмы не учитывают тепловую
кинетическую энергию частиц, т. е. соответствующая функция распределения
по скоростям задается в виде дельта-функции Дирака, смещенной от
начала координат на величину макроскопической скорости жидкости.
Изучение волн в плазме чрезвычайно полезно для диагностики плазмы,
так как предоставляет информацию о ее свойствах. Теория
распространения волн в холодной однородной плазме, помещенной в магнитное
поле, называется магнитоионной теорией.
Существует два различных основных подхода, которые обычно
используются при анализе распространения волн в плазме. В первом
плазма рассматривается как среда с заданной проводимостью, или
диэлектрической постоянной, и волновым уравнением для такой среды,
выведенным из уравнений Максвелла. При наличии внешнего магни-
тостатического поля плазма эквивалентна анизотропному диэлектрику,
который характеризуется тензором диэлектрической проницаемости.
Второй подход заключается в том, что уравнения Максвелла
решаются одновременно с гидродинамическими уравнениями, описывающими
движение частиц. В этом случае волновое уравнение, как и
выражения для тензора диэлектрической проницаемости или проводимости,
в явном виде не выводятся. Вместо этого выводится дисперсионное
уравнение, связывающее волновое число к и частоту волны и. Вся
информация о распространении заданной волновой моды содержится
в соответствующем дисперсионном соотношении. Этот подход обычно
проще первого метода и будет использоваться ниже.
Если тепловая скорость частиц мала по сравнению с фазовой
скоростью волны, то членом с градиентом давления в уравнении
движения можно пренебречь. Отсюда следует, что модель холодной плазмы
удовлетворительно описывает волны с не слишком малыми фазовыми
скоростями, для которых уже можно не учитывать влияние давления.
23 Биттенкорт Ж.А.
354
Гл. 16. Волны в холодной плазме
Исследование распространения волн в теплой плазме (с учетом
градиента давления) является предметом следующей главы.
Представленное здесь исследование ограничивается волнами
малой амплитуды, так что анализ будет основываться на линейной
теории возмущений в предположении, что флуктуации параметров
плазмы (из-за наличия волн) малы (в первом приближении) по
сравнению невозмущенными параметрами. Плазма предполагается
однородной и бесконечной (нет граничных эффектов), а приложенное внешнее
магнитное поле — постоянным и однородным. Такую среду обычно
называют магнитоионной. Для простоты анализ будет проводиться
с использованием плоских волн. Это не нарушает общности
рассмотрения, поскольку практически любое реальное волновое движение можно
представить в виде суперпозиции плоских волн.
В обычной магнитоионной теории рассматривают только движение
электронов. Это приближение соответствует высокочастотным
волнам, т. е. волнам с частотами больше ионной циклотронной частоты.
Теория высокочастотных волн малой амплитуды, распространяющихся
в произвольном направлении относительно магнитного поля в
магнитоионной среде, известна как теория Эпплтона-Хартри и была названа
в честь Э. В. Эпплтона и Д. Р. Хартри, которые создали ее, изучая
распространение волн в ионосфере Земли. При частотах порядка
ионной циклотронной частоты и меньше необходимо учитывать движение
ионов. Теория распространения волн в холодной многокомпонентной
плазме представляет собой гидромагнитное расширение магнитоионной
теории.
§ 2. Основные уравнения магнитоионной теории
Холодный электронный газ описывается двумя
гидродинамическими переменными — концентрацией электронов n(r,t) и средней
скоростью электронов u(r, i). Они удовлетворяют уравнению
непрерывности дп
т +V.(nu)=0 (2.1)
и уравнению движения Ланжевена для электронов
т^- = q{E + и х В) - тип. (2.2)
Эти два уравнения дополняются уравнениями Максвелла
V-E = £, (2.3)
V • В = 0, (2.4)
VxE = -|, (2.5)
VxB = Mo(j + eo^). (2.6)
§ 3. Решения для плоских волн и линеаризация
355
При рассмотрении одного типа положительно заряженных частиц с
зарядом qi и концентрацией щ полная плотность электрического заряда
задается как
р = -en + qiUi. (2.7)
Так как движение ионов не рассматривается (щ = 0), плотность
электрического тока равна
J = -ercu. (2.8)
Как обсуждалось ранее, уравнение (2.4) рассматривается в качестве
начального условия для (2.5). Более того, уравнения (2.3) и (2.6)
можно скомбинировать, чтобы получить уравнение сохранения
электрического заряда.
§ 3. Решения для плоских волн и линеаризация
Разделим полную индукцию магнитного поля и концентрацию
электронов на две части,
B(r,*) = B0 + Bi(r,*), (3.1)
n(r,i) = n0 + ni(r,£), (3.2)
где Во — постоянное и однородное магнитное поле, щ —
невозмущенная электронная концентрация в отсутствие волн. Обозначая через i/>j
одну из компонент величин Е, Вь и, щ, можно записать, используя
плоские гармонические волны,
ipj(r, t) = ipj ехр(гк • г — iut), (3.3)
где к — волновой вектор, а и — частота. Использование одного и того
же символа для обозначения комплексной амплитуды и всего
выражения в (3.3) не должно запутать читателя, поскольку в теории линейных
волн один и тот же экспоненциальный множитель возникает с обеих
сторон любого уравнения и может быть сокращен.
Уравнение (2.2) остается слишком сложным для исследования из-за
нелинейных членов (и • V) и и и х В. Можно обойти эту трудность,
рассматривая и и Bi как величины первого порядка малости и
пренебрегая членами второго порядка. Как уже обсуждалось в § 3 гл. 10 при
рассмотрении волновых явлений, если пренебречь нелинейным членом
второго порядка u x Вь то средняя скорость электронов будет много
меньше, чем фазовая скорость волны и <^ и/к.
При поиске решения в виде плоских волн дифференциальные
операторы V, д/dt заменяются на гк, —iuj соответственно, и
дифференциальные уравнения становятся простыми алгебраическими уравнениями.
23*
356
Гл. 16. Волны в холодной плазме
Итак, пренебрегая членами второго порядка, сводим уравнения (2.2),
(2.5) и (2.6) к следующей форме:
—гити = -е(Е -fux B0) — тии,
kx E = cjBi,
гк х Bi = /io(—enou — ги;еоЕ),
(3.4)
(3.5)
(3.6)
где использовалось линеаризованное выражение (2.8). Эти три
уравнения, оперирующие зависимыми переменными u, E, Bi, можно
использовать для вывода дисперсионного соотношения для волн в холодном
электронном газе. Самый простой случай — это распространение волн
в холодной изотропной плазме с В0 — О, который исследуется ниже.
§ 4. Распространение волн в изотропной электронной
плазме
4.1. Вывод дисперсионного соотношения
При отсутствии приложенного внешнего магнитного поля (Во = 0)
из уравнения Ланжевена следует
е
и = — -
т(у — iuS)
Комбинируя (3.5), (3.6) и (4.1), получаем
Е.
кх(кхЕ)^-^АЕЛЕ.
(4.1)
(4.2)
т{у — гш) с
Удобно разделить вектор электрического поля на продольную
компоненту Ej (параллельную к) и поперечную компоненту Et
(перпендикулярную к),
E = Ej + Et, (4.3)
как это показано на рис. 1. Отметим, что индексы /, t относятся
Рис. 1. Продольная и поперечная компоненты вектора электрического поля
относительно волнового вектора к
§ 4. Распространение волн в изотропной электронной плазме 357
к направлению волнового вектора, а индексы ||, и _1_ — к вектору
магнитной индукции Во приложенного внешнего поля. Итак, имеем
кхЕ^О,
kx(kxEt) = -k2Eu
(4.4)
(4.5)
\m(v — гш) с
Это векторное уравнение можно разделить на продольную компоненту
а (4.2) принимает вид
№
гоицое щ
(Et + Е
U-
l<?(\+iv/w) с2
Е/=0
и поперечную компоненту
-№
c2(l+ii//w) с2
Е*.
(4.7)
(4.8)
Уравнение (4.7) дает следующее дисперсионное соотношение для /гро-
дольной моды (Ei ф 0):
u2(\+iv/uj)-uj2pe=0. (4.9)
Для поперечной моды (Et ф 0) из (4.8) следует дисперсионное
соотношение
{LU2-k2C2){\+iv/Lu)-LU2pe=0.
4.2. Бесстолкновительная плазма
(4.10)
Для простоты рассмотрим первым случай, в котором частота
столкновений много меньше частоты волны, v <С uj, и столкновениями
можно пренебречь. В пункте 4.4 мы учтем влияние столкновений. При
v <w дисперсионное соотношение (4.9) для продольной моды
приобретает вид
" "' (4.11)
2 2
U) =Upe,
тогда как для поперечной моды выражение (4.10) становится
следующим
(4.12)
кЧ=^-^ре.
Уравнение (4.11) показывает, что продольные колебания (Е/ Ф 0)
могут возникнуть только с частотой, равной плазменной ире. Эти
продольные колебания представляют собой колебания плазмы, которые
уже обсуждались в § 1 гл. 11. Из (4.1) видно, что электроны
осциллируют со скоростью
(4.13)
и = Ei.
ти)
Из (4.4) и (3.5) ясно, что Bj = 0, поэтому магнитного поля, связанного
с этими продольными колебаниями, не существует. Более того, нет
358
Гл. 16. Волны в холодной плазме
и распространения волн, так как нет относительного изменения фазы
от точки к точке. Следовательно, колебания продольные,
электростатические и стационарные. В следующей главе, посвященной
распространению волн в теплой плазме, будет показано, что такие электронные
плазменные колебания соответствуют пределу нулевой температуры
для продольной волновой моды, называемой электронной плазменной
волной.
Рассматривая теперь дисперсионное соотношение (4.12) для
поперечных волн (Et ф 0), получаем, что величина к2 положительна при
и > иоре и отрицательна при и < ире. Следовательно, для
распространяющихся волн (с действительной и) к становится мнимой величиной при
ш < соре. Записывая к = (З + ia, где а, /3 — действительные величины,
из (4.12) имеем: при и > ире (к = (3, а = 0) поперечная волна
распространяется с фазовой скоростью (и, деленная на действительную
часть к), которая задается выражением
VPh = T=n 2С/ 2x1/2 (">"ре). (4Л4)
Также при и > ире групповую скорость поперечных волн можно
получить дифференцированием (4.12) по fc,
При ш < ujpe величина к — мнимая (к = га), следовательно,
поперечная волна экспоненциально затухает, поскольку
Et ос ехр(гк( — iuot) = exp(—aQ exp(-iujt). (4.16)
Поэтому волна исчезает при возрастании величины £. Такие
экспоненциально затухающие волны называются ^распространяющимися
волнами и не переносят усредненную по времени энергию. Так как
(3 = 0, то легко видеть, что в этом случае
vph = оо (uj<ujpe), (4.17)
vg = 0 (u<LUpe). (4.18)
Также из (4.12) находим (при и < и>ре)
/2 _, ,2ч 1/2
а = Im{k} = ["ре "] , (4.19)
где Im обозначает мнимую часть числа.
График фазовой и групповой скорости как функции частоты волны
показан на рис. 2, а, а зависимость скорости затухания от частоты
волны показана на рис. 2, б. Отметим, что фазовая скорость всегда
больше скорости света с, а групповая скорость, которая является скоро-
§ 4. Распространение волн в изотропной электронной плазме 359
Скорость
t
Рис. 2. Зависимость от частоты фазовой скорости, групповой скорости и
скорости затухания а для поперечных волн в бесстолкновительном, холодном
и изотропном газе электронов
стью распространения сигнала, всегда меньше с, согласно требованиям
теории относительности. При со > соре из (4.14) и (4.15) находим
Vph
с,
(4.20)
т. е. при сверхвысоких частотах характеристики плоской волны в
плазме вырождаются до характеристик волны в вакууме. Такое поведение
можно ожидать и из физических соображений, так как в предельном
случае бесконечной частоты электроны не могут реагировать на
колебания электрического поля.
Дисперсионное соотношение (4.12) показано на рис. 3, где
построена зависимость со от действительной части к. Здесь мы будем
использовать обычное графическое представление дисперсионных соотношений,
строя зависимость со от к, а не к от со. Отметим, что в диапазоне частот
со < соре поперечная волна является нераспространяющейся.
360
Гл. 16. Волны в холодной плазме
ш = ск
Наклон равен
vg в точке Р
Волны
не распространяются
Наклон равен
vph в точке Р
0 к
Рис. 3. Дисперсионное соотношение ш(к) для поперечной волновой моды,
распространяющейся в изотропной холодной электронной плазме. Геометрически
показаны фазовая и групповая скорости в точке Р на кривой
Из определения vg = дсо/дк очевидно, что в заданной точке на
кривой и (к) групповая скорость задается наклоном касательной к кривой
в этой точке, тогда как фазовая скорость uj/k соответствует наклону
прямой, проведенной из начала координат к этой точке. Это
геометрическое представление проиллюстрировано на рис. 3.
4.3. Усредненный по времени вектор Пойнтинга
Вычислим усредненный по времени вектор Пойнтинга (S), который
определяет усредненный по времени поток энергии для поперечной
волны. Учитывая, что Bi = /ioHi, из (3.5) получаем
Н, = -(кхЕ),
(4.21)
а выражение для (S), приведенное в (14.5.13) (уравнение (5.13)
в гл. 14) преобразуется к виду
(S) = i Re{E x H?} = ^ Re{E x (k* x E*)} =
1
Re{k*E(r,t)E*(r,t)}ii, (4.22)
§4. Распространение волн в изотропной электронной плазме 361
где п — единичный вектор в направлении ExHj. Используя (3.3)
и рассматривая к как комплексную величину, преобразуем (4.22) к
(S) = n (^A Re{fc* exp[i(k - fc*)C]}. (4.23)
Поскольку к может быть как действительной при и > соре, так и
мнимой величиной при со < иоре, то из (4.23) следует
(S)=0 для {uj<upe) (4.24)
(S) =n(-e0E2^vg для (ш > иоре), (4.25)
где в (4.25) было использовано соотношение c2k/uj = vg, полученное в
уравнении (4.15). Таким образом, при и > и>ре поля переносят энергию
в направлении Е х Hi, а при и < ире потока энергии нет и волна
исчезает. По этой причине область и > ире называют областью
распространения.
Так как волна полностью отражается при и < иоре, то частоту
ио = иоре часто называют точкой отражения (где к равно нулю и vph
бесконечна). Можно показать, что энергия, передаваемая в
полубесконечный слой плазмы, равна нулю при нулевом /3, поэтому более общо:
любая частота, для которой (3 = 0 (т. е. vph = сю), является точкой
отражения. Однако, если плазменная среда ограничена, то даже при /3 = 0
некоторая энергия может передаваться через конечный прямоугольный
слой плазмы. Детали представлены в задаче 16.2. Этот эффект получил
название туннельный эффект.
4.4. Влияние столкновений
В основном столкновения ответственны за затухание волн. Прежде
чем анализировать дисперсионные соотношения (4.9) и (4.10) полезно
обсудить некоторые общие результаты, относящиеся к дисперсионным
соотношениям вида
к2 = А + гВ, (4.26)
где А, В — действительные величины. Если разложить к на
действительную и мнимую части
к = (3 + га, (4.27)
где /3, а — действительные, то легко проверить, что
A = Re{k2} = (32-a2, (4.28)
В = 1т{к2} = 2(3а. (4.29)
С другой стороны, так как волны пропорциональны ехр(гк( - loot),
имеем
exp(ifcC - iui) = ехр(-аС) ехр(г/?С _ ivt). (4.30)
Таким образом, знак /3 определяет направление распространения
волны, т. е. /3 > 0 подразумевает распространение в положительном на-
362
Гл. 16. Волны в холодной плазме
правлении, а (3 < О соответствует распространению в отрицательном
направлении. Знак а определяет рост или затухание амплитуды
волны при ее распространении. Если положительны как а, так и /?, то
волна распространяется в положительном направлении £ и
экспоненциально затухает. С другой стороны, если а и /3 имеют разные знаки, то
волна экспоненциально нарастает (см. рис.4). В любом случае, знак В
ехр(-аС)
А
ехр(-аС)
А
к ((3 < 0)
к (р > 0)
(а>0)
(а<0)
/с (/3 < 0)
/с (/3 > 0)
0
С
с
б
Рис. 4. В случае а — при а > 0 амплитуда волны экспоненциально затухает,
если волна распространяется в положительном направлении £ (/? > 0) и
экспоненциально растет, если волна распространяется в отрицательном направлении
( (/3 < 0), а в случае б — при а < 0 возникает противоположная ситуация
определяет, будет распространяющаяся волна расти или затухать. При
В > 0 амплитуда волны затухает с расстоянием, тогда как при В < 0
амплитуда волны растет. Аналогично, для дисперсионного
соотношения вида
и
= C + iD
(4.31)
можно легко показать, что для стоячих волн при D > 0 амплитуда
волны растет со временем, а при D < 0 амплитуда волны уменьшается.
Теперь рассмотрим дисперсионное соотношение (4.9) для
продольных колебаний,
(4.32)
UJ + IVUJ
Че = 0
ИЛИ
w =-[-iu ± (4ш1е
иУ'%
(4.33)
Это уравнение показывает, что при любом значении v мнимая часть ш
отрицательна. Поэтому колебание подавляется, так как оно
пропорционально ехр(—iut).
Для поперечной моды дисперсионное соотношение (4.10) дает
кЧ=С02
+ ■
iu)le(v/w)
(4.34)
i + (*//V)2 i + (i//w)2.
Следовательно, в полосе распространения значение В = Im{fc2}
отрицательно и распространяющиеся волны затухают на всех частотах.
На рис. 5 показан график коэффициента затухания а = Im{fc} как
§ 4. Распространение волн в изотропной электронной плазме 363
О 2 4 и/ш
Рис. 5. Скорость затухания а как функция частоты столкновений для
поперечной волновой моды, рассматривается такая частота, что ш > шре
функции нормированной частоты столкновений v/lu, рассчитанный
согласно (4.34) для заданной частоты и, много большей плазменной
частоты ире. Рис. 6 показывает дисперсионное соотношение ш(к) для
поперечной волны для различных значений v, причем v^ > v<i > v\ > 0.
0 к
Рис. 6. График дисперсионного соотношения ш(к) для поперечной волновой
моды в изотропной, холодной электронной плазме с учетом столкновений
(Уз > ^2 > Щ > 0)
364
Гл. 16. Волны в холодной плазме
§ 5. Распространение волн в холодной замагниченной
плазме
Рассмотрим теперь задачу о распространении волны в холодной
электронной плазме, к которой приложено внешнее однородное магни-
тостатическое поле. Наличие магнитостатического поля В0 привносит
в плазму пространственную анизотропию.
5.1. Вывод дисперсионного соотношения
Для случая наличия магнитного поля начнем вывод дисперсионного
соотношения с рассмотрения системы уравнений (3.4)-(3.6).
Комбинируя и перегруппировывая (3.5) и (3.6), упростим систему:
2
к х (к х Е) + ^-Е =
гшещ
бос2
и,
(1 +i-) u+ -*?-(u х Во) = --^-Е.
(5.1)
(5.2)
Обозначим через в угол между Во и к и выберем декартову систему
координат, в которой ось z параллельна Во, а ось у перпендикулярна
плоскости, образуемой векторами Во и к
(см. рис. 7). Имеем
В0 = ДЯ (5.3)
к = fcj_x + fcnz = к sin(0)x + к cos(0)z.
(5.4)
Отметим, что индексы || и _L
применяются для обозначения компонент,
параллельных и перпендикулярных
направлению магнитостатического поля Во,
а индексы / и t (использовавшиеся
в предыдущем параграфе) соответствуют
продольным и поперечным компонентам
вектора по отношению к волновому
вектору к.
При таком выборе системы координат
получаем
Рис. 7. Декартова система
координат (x,y,z) такая, что
ось z направлена вдоль Во, а
ось у перпендикулярна
плоскости, образованной Во и к
к х (к х Е) = к2 cos0(sin0£2 - cos9Ex)x + k2Eyy+
+ к2 sin 0(cos 6EZ - sin 6Ex)z. (5.5)
Используя этот результат в (5.1), находим следующие соотношения для
х-, у- и ^-компонент этого уравнения соответственно
к2с2
к2с2
1 - ^cos20 ЕХ + ^sin0cos0 Ez = с-^их,
гепо
сои
(5.6)
§ 5. Распространение волн в холодной замагниченной плазме 365
к с \ J-, ieno /r 7ч
г Еу = их, (5.7)
(^-зтвсозв) Ех + (\ - ^f sin2 ^ Ez = *-^иг, (5.8)
V и ) \ и ) еои>
которые могут быть записаны в матричной форме, как
'(■-•о«"> о»л ^-»-U|\ ^лл (59)
ту2sinecos^ 0 (l-772sin20)/ \EZJ eoUJ \uz)
Величина г\ = (kc/uj) называется показателем преломления среды.
Далее, чтобы записать (5.2) в матричной форме, заметим (см.
рис. 7), что
и х В0 = В0(иуЯ. - иху). (5.10)
Подставляя этот результат в (5.2), после некоторых алгебраических
преобразований получаем для х-, у- и ^-компонент этого уравнения
соответственно
их+№иу = -^-Ех, (5.11)
-i^ux+(l+i-)uy = -—Ey, (5.12)
(l+i-)uz-—Ez, (5.13)
где Qce — электронная циклотронная частота. Вводя теперь
обозначения
U= 1+г-, (5.14)
у = ^££, (5.15)
ш
Х = ^9 (5.16)
можно переписать (5.11)—(5.13) в матричной форме
/U %Y 0\ (их\ /Ех\
1-iY U 0)\uy)= =-—[Еу). (5.17)
Обращая матрицу размерности 3 х 3 из уравнения (5.17) и умножая
это уравнение на обратную матрицу, находим
/«~\ / U2 -iUY 0
[iUY U2 0 \\ЕУ . (5.18)
тшЩи - Y ) I 0 0 fjj2 _ у2
366
Гл. 16. Волны в холодной плазме
Теперь можно скомбинировать уравнения (5.9) и (5.18), чтобы
исключить компоненты скорости uXi uy и uz и получить систему уравнений
для компонент векторов, в которые входит только электрическое поле
(1_ WZY* -v2cos2в\Ех + ^^Еу+(г,2sineсозв)Ег=0, (5.19)
~W^E* + О - W^Y2 ~ ^) Ey = °' (5-20)
(ту2 sin в cos в)Ex + (l - j- - у?2 sin2 6") Ez = 0. (5.21)
По причинам, которые будут понятны позже, имеет смысл определить
следующие величины
5=1- fV (5.22)
U2 -Y2
D = ^-5, (5.23)
и2 - у2
Р = 1 - §• (5.24)
Используя эти обозначения, выражения (5.19)—(5.21) можно записать
в матричной форме
'(S - rf cos2 в) -iD г)2 sin в cos 9 \ /Ех\
iD (S-г]2) 0 \[ЕУ 1 = 0. (5.25)
rfsm6cos6 0 {Р-г}2sin2 в)] \EZJ
Чтобы существовало нетривиальное решение Е^О, детерминант
матрицы 3 х 3 в (5.25) должен обращаться в нуль. Это условие дает
следующее дисперсионное соотношение, получающееся прямым
вычислением детерминанта:
(S sin2 в + Р cos2 в)г)4 - [RL sin2 в + SP( 1 + cos2 в)]г]2 + Pi?L = 0,
(5.26)
где были использованы обозначения
R = S + D, L = S-D (5.27)
ИЛИ 1 1
5 = i(i? + L), Я = ±(Д-Ь) (5.28)
Как будет ясно далее, в этих обозначениях символы Д, L отвечают за
право и лево, а 5, D — за сумму и разность соответственно. Так как
(5.26) — квадратное уравнение относительно ту2, то в общем случае
существует два решения. Поэтому на каждой частоте может быть
два типа распространяющихся волн или две волновые моды. Однако
отметим, что если извлечь квадратный корень из тД то получатся два
значения 77, которые соответствуют противоположным направлениям
распространения, а не различным волновым модам.
§ 5. Распространение волн в холодной замагниченной плазме 367
5.2. Уравнение Эпплтона-Хартри
Это хорошо известное уравнение успешно использовалось для
анализа распространения радиоволн в ионосферной плазме с учетом
магнитного поля Земли. На самом деле, это просто дисперсионное
соотношение (5.26), записанное в другой форме. Чтобы получить уравнение
Эпплтона-Хартри, для начала запишем (5.26) в виде
V - Brf + С = О, (5.29)
где
A = Ssm2e + Pcos26, (5.30)
В = RLsin2 6 + SP{\+ cos2 в), (5.31)
С = PRL. (5.32)
Решая (5.29) относительно т?2, находим
г,2 = ±(В±у/В*-4АС). (5.33)
Теперь прибавим Arf к обеим сторонам (5.29) и перегруппируем его,
чтобы получить
V2= Af~C . (5.34)
Arf + A-B
Далее, подставим rf из (5.33) в правую сторону (5.34) и преобразуем,
получая
,2 = 1 КА-В + С) . (5.35)
2А - В ± л/Б2 - 4АС
Наконец, подставим необходимые выражения, которые определяют
величины А, В, С и 5, D, P, R, L:
V2 = 1 - f, (5.36)
ГД6 - -,1/2
Q = £T
y2sin20
2([/-Х) |_4(С-*>
У4 Sin4 (9 , v2 2 л
+ У cosz б
\2
(5.37)
Это выражение и есть хорошо известное уравнение Эпплтона-
Хартри. Оно справедливо для волн с большой, по сравнению с ионно-
циклотронной, частотой, так как при его выводе движением ионов
пренебрегалось.
Поскольку и (5.36), и (5.26) сложны для анализа, для простоты
сперва проанализируем дисперсионное соотношение в холодном
электронном газе для вектора к, параллельного или перпендикулярного Во.
Затем исследуем некоторые важные аспекты распространения волн под
произвольным углом в по отношению к Во, используя дисперсионное
соотношение (5.36) или (5.26).
368
Гл. 16. Волны в холодной плазме
§ 6. Распространение параллельно В0
При распространении волны вдоль магнитного поля в = О и (5.25)
упрощается до
0. (6.1)
Для того чтобы существовало нетривиальное решение (Е ф 0),
детерминант матрицы 3 х 3 в (6.1) должен быть равен нулю.
Непосредственным вычислением детерминанта находим три независимых условия
(S-7?2) -iD 0\
iD {S -rj1) 0 1
0 OP
(Ех
[Ey
\EZ
P = 0
rj2 = S + D = R
rj2 = S-D = L
(Ey = E, ф 0),
(Ex = Et ф 0),
(Ex = Егф О).
(6.2)
(6.3)
(6.4)
Используя уравнения (5.22)-(5.24) и (5.14)—(5.16), которые
определяют 5, Д Р и [/, Y, X соответственно, и пренебрегая столкновениями
(у — 0), из (6.2) находим
^2=^е. (6-5)
что соответствует продольным электронным плазменным
колебаниям, которые уже обсуждались в §4. Таким образом, эти колебания
вдоль Во не зависят от наличия магнитного поля. Так как в этом
случае распространения волн не происходит, то эти плазменные колебания
не образуют волновую моду.
Уравнение (6.3) дает поперечную правополяризованную по кругу
волну (ПКП) с дисперсионным уравнением
Vl=\-W^T)=R (6.6)
или, пренебрегая столкновениями (у = 0),
^ = '-^t)- (67)
Уравнение (6.4) соответствует поперечной левополяризованной по
кругу (ЛКП) волне с дисперсионным соотношением
й = х-фтъ = ь (6-8)
или, пренебрегая столкновениями (у = 0),
vl = \- —^—. (6.9)
§ 6. Распространение параллельно Во
369
Поляризацию этих двух поперечных волновых мод можно получить
из х-компоненты уравнения (6.1)
§£ = -^. (6.10)
&у о — Г]
Следовательно, для ПКП-волновой моды, подставляя rf = R, получаем
Ех
Ev
(ело
а для ЛКП-волновой моды, подставляя rf
Ех
L, имеем
= г.
(6.12)
Так как временная зависимость Е имеет вид ехр(—iuot), то, принимая
Ех ос cos(cjt), получаем, что для ПКП-волновой моды Еу ос sin(cjt),
а для ЛКП — Еу ос — sin(cjt). Следовательно, для наблюдателя,
смотрящего на уходящую волну (вдоль положительного направления z),
с течением времени поперечный вектор электрического поля Et
вращается по часовой стрелке для ПКП-волны, и против часовой стрелки для
ЛКП-волны, как показано на рис. 8. Отметим, что электрическое поле
Направление
вращения Et
Направление
вращения Et
Рис. 8. При распространении вдоль магнитостатического поля (9 = 0) вектор
электрического поля в ЛКП-волне вращается против часовой стрелки, а в ПКП-
волне — по часовой, если наблюдатель смотрит в направлении движения волны
в ПКП-волне вращается в том же направлении относительно
магнитного поля, что и электроны. Это означает, что ПКП-волна находится
в резонансе с циклотронным движением электронов, когда и = Qce,
и поэтому энергия поля волны передается электронам. Это поглощение
энергии ПКП электромагнитной волны электронами на электронной
циклотронной частоте используется для нагрева электронов плазмы.
Если учитывать движение ионов, то дисперсионное соотношение
слегка модифицируется и возникает резонанс между циклотронным
движением ионов и ЛКП-волной при и = Q,ci, поскольку ионы вращаются
в направлении Е* вектора ЛКП-волны.
24 Биттенкорт Ж.А.
370
Гл. 16. Волны в холодной плазме
Явление резонанса возникает, когда фазовая скорость волны
равняется нулю (vph = 0 или г] = 0). Таким образом, из (6.7) и
физических соображений, приведенных выше, становится ясно, что ПКП-
волна имеет резонанс при и = Qce, тогда как из (6.9) следует, что
у ЛКП-волны резонанс отсутствует (когда учитывается движение
ионов, ЛКП-волна имеет резонанс при и = £1ыУ Также, из (6.9) легко
проверить, что ЛКП-волна имеет точку отражения (L = 0) на частоте
w0l = ^[-nce + (n2ce + 4w2pey/2}, (6.13)
а из (6.7) получаем, что ПКП-волна имеет точку отражения (R = 0) на
частоте 1
^02 = ^[0* + iSlle + 4а£)1/2] = UJ0l + Псе. (6.14)
Из (6.9) для фазовой скорости ЛКП-волны получается выражение
^'^nTFT^V (615)
которое справедливо для и > cjoi- При и < o;oi волновое число к
мнимое и ЛКП волна — нераспространяющаяся. Следовательно, ЛКП-
волна распространяется только при и > cjoi-
Аналогично, для фазовой скорости ПКП-волны из (6.7) получается
выражение
Ы)Я = п " , 2 , 2x1/2- (6Л6)
(1 -ilce/UJ -U;pe/Uj ) '
которое справедливо при ш < ftce и при ш > cjo2- Следовательно, ПКП-
волна распространяется только в этих частотных диапазонах и
пропадает ПрИ Qce < UJ < CJ02-
Групповые скорости для ЛКП- и ПКП-волн в их диапазонах
распространения равны
/ \ -(д"\ - ^ + Псе)У2Ни;2 + иПсе - ^е)]1/2
^)ь ~ \dk)L - 2^ + Qce)2-Qce^e ' (ЬЛП
(^* = Шп = 2^-^ + п^ • (6Л8)
График фазовой скорости и групповой скорости как функция
частоты для этих двух поперечных мод показан на рис. 9. Те же
дисперсионные соотношения (6.7) и (6.9) построены на рис. 10 и 11, но в другом
виде. На них показана частота и в зависимости от действительной
части волнового числа к. На графиках отмечены частотные диапазоны,
в которых волны не распространяются.
ПКП волновая мода, на нижней ветви которой и < fice, называется
электронной циклотронной волной. Аналогично, если учитывается
движение ионов, то ЛКП-мода также имеет нижнюю ветвь при и < QCi,
§ 6. Распространение параллельно Во
371
Скорость
t^Ol Upe UJQ2
Рис. 9. Фазовая и групповая скорости как функции частоты для ПКП- и ЛКП-
волн, распространяющихся вдоль магнитного поля (к || Во)
Верхняя
к || Во
д = о
Электронные плазменные
колебания
Волны
/не распространяются
^02
Шре
о
Рис. 10. Дисперсия ПКП-волны, распространяющейся вдоль магнитного поля
(к || Во)
R = оо
rf = R
Нижняя
ветвь
24*
372
Гл. 16. Волны в холодной плазме
^02
^01
J>
Qc
о
ш = ск
к II Во
Электронные плазменные
колебания
Волны
не распространяются
Рис. 11. Дисперсия ЛКП-волны, распространяющейся вдоль магнитного поля
(к || Во)
с резонансом на частоте ftC{. ЛКП-волны с со < QCi известны также
как ионные циклотронные волны.
§ 7. Распространение перпендикулярно В0
Рассмотрим распространение волн в направлении, перпендикулярном
магнитостатическому полю (к _1_ Во). При в = 90° (5.25) упрощается
S -ID 0
%D (S-rf) 0
0 0 (Р - г}2^
Опять, для существования нетривиального решения (Е ф 0)
детерминант матрицы 3x3 из (7.1) должен быть равен нулю. Вычисление
этого детерминанта дает две независимые волновые моды
г?0 = Р (Е„^0),
(7.1)
r?x = *± (Ej.^0).
(7.2)
(7.3)
Индексы О и X относятся к обыкновенной и необыкновенной моде
соответственно. Подробные объяснения будут приведены ниже.
Из (7.2), используя (5.24), получаем дисперсионное уравнение
Jo
1-*
U
(7.4)
§ 7. Распространение перпендикулярно Во
373
или, используя (5.14) и (5.16) и пренебрегая столкновениями (у = 0),
(7.5)
Это соотношение идентично (4.12) для поперечных волн в холодной
изотропной плазме. Найденная мода не зависит от наличия магнитного
поля Во и по этой причине называется обыкновенной волной. Для
этой волновой моды, распространяющейся
перпендикулярно В0, электрическое
поле волны Е параллельно Во, поэтому
оно влияет только на скорости
электронов в направлении Во. Следовательно,
магнитной силы, влияющей на движение
электронов нет (и х Во = 0), и волна
распространяется так, как если бы Во
равнялось нулю. Обыкновенную волну будем
называть ТЕМ 0 (поперечной
электромагнитной модой), так как
электрическое и магнитное поле перпендикулярны
направлению распространения (Ец _L k,
В _1_ к). Электрическое поле волны
линейно поляризовано вдоль Во- Рис. 12
иллюстрирует относительную ориентацию этих
векторных полей.
Другая распространяющаяся мода (Ej_ ф 0), которая называется
необыкновенной волной, так как зависит от поля Во, имеет
дисперсионное соотношение, заданное уравнением (7.3),
Ец не вращается
Рис. 12. Векторная
диаграмма для обыкновенной
волны, распространяющейся
перпендикулярно
магнитному полю (в = 7г/2)
2 _ RL _ (, XU
-1
1 -
XV
U2-Y2
XY
U2-Y2
(7.6)
или, используя (5.14)—(5.16) и пренебрегая столкновениями (у = 0),
2 _ (и +ш£1се-и;ре)(и;
Vx — —
■ (jjClc
■Uve) _ (и? -Щ{)(Ш2 -L0I2)
2/2 гл2 2 \
2/2 2 \
Ш (Ш ~ UJuh)
(7.7)
где cjoi и о;о2 заданы посредством (6.13) и (6.14) соответственно, a u)uh
обозначает верхнюю гибридную частоту, определенную как
WUfc = (*&+f&)1/2-
(7.8)
У необыкновенной моды электрическое поле волны Е* обычно
имеет продольную компоненту (вдоль к) и поперечную компоненту
(перпендикулярную к), как показано на рис. 13. Следовательно, эти
1) От англ. transverse electromagnetic. — Примеч. ред.
374
Гл. 16. Волны в холодной плазме
вращается
в любом направлении
Рис. 13. Векторная
диаграмма для необыкновенной
волны, распространяющейся
перпендикулярно магнитному
полю (в = тг/2)
волны частично продольные и
частично поперечные. Из (7.1) поляризация
необыкновенной моды определяется как
% = it- (7-9)
Таким образом, эта мода обычно
эллиптически поляризована.
Необыкновенная мода также называется ТМ 0
(поперечной магнитной) модой, поскольку
магнитное поле волны перпендикулярно
направлению распространения.
Из (7.5) ясно, что обыкновенная
волна имеет точку отражения (vph —> оо
или
г] = 0) при и
СО':
ре
не имеет
резонансов (vph —> 0 или г] = оо). Для
необыкновенной волны из (7.7) следует
существование резонанса на верхней
гибридной частоте uuh и точек отражения при tool и а>02 (если учесть
движение ионов, то необыкновенная волна также имеет резонанс в
районе нижней гибридной частоты, u?lh = QceQCi).
Дисперсия обыкновенной волны совпадает с дисперсией поперечной
волновой моды в изотропной плазме, представленной на рис. 3. Эта
мода распространяется только при и > соре. Для необыкновенной волновой
моды график дисперсии (рис. 14) показывает, что эта мода
распространяется только при и > соо2 и при cj, лежащей между a;oi и о;о2- Для
других частот величина к мнимая, и фазовая скорость бесконечна.
Фазовые скорости обыкновенной и необыкновенной волн в
соответствующих диапазонах получаются из (7.5) и (7.7):
(vPh)o =
{vPh)x =
/2 2 ч
(7.10)
1/2
(ш -ujqi) ' (ш -ш02)
2^1/2'
(7.11)
Групповые скорости этих двух мод выводятся с помощью (7.5)
и (7.7) и справедливы для соответствующих областей распространения
.2
К)о
{Vg)x =
c(^-a4)J/>
2 \
(w -^02)
,2 41/2
ш[ш* - 2ш\&се + О + Q4ce + 3ft;
:^pe + Upe]
(7.12)
(7.13)
Зависимость фазовой скорости и групповой скорости от частоты волны
показана на рис. 15 для необыкновенной (ТМ) моды. Аналогичный
1) От англ. transverse magnetic (TM). — Примеч. ред.
§ 7. Распространение перпендикулярно Во
375
ш А
k_LB0
Волны
не распространяются
Рис. 14. Дисперсионное соотношение для необыкновенной волновой моды
(г) = RL/S), распространяющейся перпендикулярно магнитному полю (в = 7г/2)
Скорость
А
k_LB0
^01 Ш ре
Uuh
Рис. 15. Фазовая и групповая скорость как функции частоты для
необыкновенной волновой моды, распространяющейся перпендикулярно магнитному полю
(в = тг/2)
376
Гл. 16. Волны в холодной плазме
график для обыкновенной (ТЕМ) моды уже был представлен на рис. 2
(такой же, как для поперечной волны в изотропной плазме).
§ 8. Распространение в произвольных направлениях
8.1. Резонансы и точки отражения
Возвращаясь к (5.26), определим резонансы и точки отражения для
произвольных углов распространения по отношению к Во. Из (5.33)
и (5.30) видно, что резонансы возникают, когда
Ssin20 + Pcos20 = O (8.1)
tg20 = -?. (8.2)
или
Используя (5.22) и (5.24) и пренебрегая столкновениями (*/ = 0), из
(8.2) имеем
\-X = Y2(\-Xcos26) (8.3)
или, используя (5.15) и (5.16)
а;4 - LJ2(oj2pe + J&) + и2реП2сеcos2 в = 0. (8.4)
Таким образом, резонансные частоты задаются через угол в
уравнением
<4± = \Не+&се) ± [\He + ulef-ul^leCOs4\^. (8.5)
Зависимость этих двух резонансных частот от угла в построена на
рис. 16. Из (8.5) очевидно, что сумма квадратов lUq++lUq_ для
любого угла в всегда равна о;2е + Г22е. На рис.16 видно, что частота
резонанса на высоких частотах растет с ростом в от максимальной
из ujpe и Qce частоты при в = 0° до верхней гибридной резонансной
1/2
частоты (Ц;е + Г22е) при 6 = 90°. Резонансная частота на низких
частотах уменьшается от минимальной из ире и Qce частоты при
в = 0° до нуля при в = 90°. Резонансы при в = 0° и при в = 90°
называются основными резонансами. При в = 0° основные резонансы
задаются условиями S—>ооиР = 0, а при в = 90° основной резонанс
определяется условием S = 0.
Как видно из (5.26), точки отражения задаются формулой
PRL = 0. (8.6)
Это уравнение выполняется всякий раз, когда Р = 0, или R — 0, или
L = 0. Однако при в = 0° (5.26) упрощается до
rf - 2Sr] + RL = 0, (8.7)
и при в = 0° Р = 0 уже не является точкой отражения. Таким образом,
при распространении точно вдоль поля В0 точки отражения задаются
§ 8. Распространение в произвольных направлениях 377
ШСе < LUv
90 в, °
ООсе > Шре
0 30 60 90 0, °
Рис. 16. Резонансные частоты как функции угла в между Во и
направлением распространения волны в холодной электронной плазме для случаев:
а — flee < Шре И б — flce > 0Оре
условиями R = 0 и L = 0. Но для в Ф 0°, независимо от того, насколько
мало в, Р = 0 также соответствует точке отражения. Отметим, что при
этом частоты обрезания не зависят от в. Частоты обрезания и основные
резонансы приведены в табл. 1.
Таблица 1
Обрезания и основные резонансы для волн
в холодной электронной плазме
Обрезания
Р = 0 (в ф 0°)
R = 0
L = 0
Основные резонансы
в = 0° в = 90°
Р=0 S=0
R = oo
L = oo
378
Гл. 16. Волны в холодной плазме
Выражения для фазовой и групповой скорости при произвольных
углах распространения можно получить из дисперсионного
соотношения (5.26) или (5.36). Так как процедура подразумевает значительные
алгебраические преобразования, то здесь мы эти вычисления опустим.
Зависимости к, vph, vg от ш должны лежать где-то между
соответствующими кривыми при в = 0° (см. рис. 9, 10 и 11) и при в — 90°(рис. 2, б,
3, б, 14 и 15). Если угол в непрерывно меняется от 0° до 90°, то
соответствующие кривые для в = 0° должны при увеличении угла
сдвигаться к кривым при в = 90°.
На рис. 17 представлена и как функция действительной части fc,
а на рис. 18 изображены зависимости vph и vg от и для двух мод,
распространяющихся при угле в = 45° относительно Bq. При этом
важно отметить, что ветвь моды 2 (которая распространяется при
looi <со < cjo+) и ветвь моды / (которая распространяется при и > ире)
трансформируются при стремлении в к нулю в ЛКП-волны и
электронные плазменные колебания на частоте ujpe. Этот факт схематически
представлен на рис. 19.
На рис. 20 показан график зависимости фазовой скорости от
частоты, иллюстрирующий, как две моды, распространяющиеся при в — 0°
Рис. 17. Дисперсионное соотношение для двух мод, распространяющихся под
углом 45° относительно магнитостатического поля в холодной электронной
плазме
§ 8. Распространение в произвольных направлениях 379
Скорость
Ш0-
^01 Шре N02
Рис. 18. Фазовая и групповая скорости как функции частоты для двух мод,
распространяющихся под углом 45° относительно магнитостатического поля
в холодной электронной плазме
^0+
Рис. 19. Схема, показывающая, как ветви шо\ < и < и>о+ моды 2иш> ире
моды / при 9 > 0° соотносятся с ЛКП-волной и электронными плазменными
колебаниями при в = 0°
380
Гл. 16. Волны в холодной плазме
Продольные
колебания
X ЛКП
О X ПКП
Vph
<>
/.'' -v \
^0+
Wu/i
Рис. 20. Зависимость фазовой скорости от частоты для волн в холодной
электронной плазме, иллюстрирующая, как две моды, распространяющиеся при
в = 0° (ЛКП и ПКП) распадаются на две моды при в = 90° (О и X)
(ЛКП и ПКП-волны) переходят в две моды, распространяющиеся при
в = 90° (обыкновенную и необыкновенную волны).
8.2. Поверхности волновой нормали
Поверхность волновой нормали, известная также как поверхность
нормированной фазовой скорости, представляет собой график
функции нормированной фазовой скорости vph/c от угла в, построенный
в полярных координатах. Вследствие симметрии по азимутальному
углу в, поверхность волновой нормали представляет собой поверхность
вращения относительно Во. Для любого направления
распространения длина (правильно нормированная) линии, проведенной из начала
координат до пересечения с этой поверхностью, соответствует vph/c.
Форма поверхности волновой нормали в общем случае не совпадает
§ 8. Распространение в произвольных направлениях 381
с поверхностью волнового фронта. Типичная поверхность волновой
нормали представлена на рис.21, на котором скорость света показана
Медленная волна
Рис. 21. Типичная поверхность волновой нормали или поверхность фазовой
скорости
пунктиром (окружность). Два решения rj2, найденные из (5.26),
накладываются на одни и те же координатные оси в виде медленной
и быстрой волны. Медленная волна относится к моде с наибольшим
значением т?2, а быстрая волна — к моде с наименьшим значением
г]2. За некоторым исключением, быстрая волна обычно имеет фазовую
скорость больше с, а медленная волна — меньше.
8.3. Диаграмма СМА
Диаграмма СМА (Клеммова-Маллали-Эллиса) — другой простой
путь представления решений дисперсионного уравнения. Диаграмма
СМА строится в пространстве двух параметров, где по
горизонтальной оси отложен параметр X = и2е/и2, а по вертикальной —
Y2 = fi2e/o;2, и показывает все резонансы и точки отражения как
функции X и Y2. На этой диаграмме магнитное поле возрастает
в вертикальном направлении, концентрация электронов плазмы
растет в горизонтальном направлении, а частота электромагнитных волн
уменьшается в радиальном направлении (в каждом случае считается,
что меняется только один параметр, а все остальные фиксированы).
Кроме того, СМА-диаграмма делит плоскость (Х,У2) на несколько
областей, таких, что в каждой из них характерная топологическая
форма поверхности фазовой скорости остается неизменной.
382
Гл. 16. Волны в холодной плазме
Из выражения (8.3), которое определяет резонансные частоты,
видно, что при в = 0° положение резонансов на СМА-диаграмме
определяется прямой линией Y2 = 1, а при в = 90° — прямой линией
Y2 = 1 — X. Можно показать, что положением точек отражения,
определяемых из (8.6), будут кривые Y2 = (1 — X)2 при любом угле в
и X = 1 для любого угла, кроме в = 0°. Две кривые точек отражения
и две кривые основных резонансов делят плоскость [X, У2) на восемь
областей. В каждой из этих областей график зависимости
нормированной фазовой скорости vph/c от угла в (поверхность волновой нормали)
представлен для каждой волновой моды.
На рис. 22 показана СМА-диаграмма для волн в холодной
электронной плазме. Штриховые линии показывают положения точек отраже-
Y=ule/U2
А Р = 0 . 0 = 30°
\ ь = о
в = 30°
в = 90° \ Х = ш&ш2
S = 0
Рис. 22. Диаграмма СМА для волн в холодном электронном газе. Сплошные
линии показывают основные резонансы, а пунктирные линии — точки
отражения
§ 9. Некоторые специальные явления в холодной плазме 383
ния, непрерывные линии — положения основных резонансов
(пунктирная линия показывает положения резонансов при в = 30°). Штриховые
окружности представляют собой поверхность волновой нормали,
соответствующую скорости света. Теперь становятся очевидными термины
медленная и быстрая волны, используемые на рис. 21. Обозначения Р
(правая поляризация) и L (левая поляризация) появляются на
поверхности фазовой скорости только при распространении вдоль магнитной
оси (сверху диаграмм). Метки О (обыкновенная) и X
(необыкновенная) показаны только для угла 90° относительно направления
магнитного поля.
В некоторых областях СМА-диаграммы представлены только
отдельные моды. Так как границы областей пересекаются, то поверхности
волновых нормалей для этих мод изменяют свою форму, поэтому моды
могут появляться и исчезать. Например, в области I представлены
обе моды, но быстрая волна исчезает в области II. Аналогично, если
параметры изменяются вдоль пути из области VIII в область VII
(уменьшение концентрации электронов), то быстрая волна появляется
при пересечении границы L = 0 и т. д. Отметим, что одинаковые
частоты могут появиться в модах различных областей в зависимости
от величин концентрации электронов и магнитного поля. Также
отметим, что, хотя характерные формы поверхностей волновых нормалей
сохраняются внутри каждой ограниченной области, их размеры могут
изменяться. Детальное изучение СМА-диаграммы показывает, что она
дает очень подробную картину волн, распространяющихся в холодной
электронной плазме.
§ 9. Некоторые специальные явления в холодной
плазме
9.1. Свистящие атмосферики
Распространение свистящих атмосфериков 0 — это природное
явление, которое может возникнуть во время вспышки молнии в
атмосфере. Во время грозы генерируется импульс электромагнитной энергии
с основными компонентами на сверхнизких частотах. Этот импульс,
или волновой пакет, распространяется через ионосферу по некоему
каналу (дакту) вдоль магнитного поля Земли до удаленной точки
на земной поверхности (магнито-сопряженная точка). Когда вистлер
детектируется в этой точке (см. рис. 23) его называют коротким вис-
тлером. Однако этот электромагнитный сигнал может быть отражен
поверхностью Земли и распространиться обратно вдоль магнитного
поля Земли до точки, близкой к месту своего возникновения. Ес-
0 Также называются свистами или вистлерами. Ниже мы будем
использовать в основном второй термин. — Примеч. ред.
384
Гл. 16. Волны в холодной плазме
Рис. 23. Распространение атмосферного вистлера, иллюстрирующее также
детектирование короткого и длинного вистлера
ли вистлер детектируется в этой точке, то он называется длинным
вистлером 0.
По мере распространения богатого низкими частотами волнового
пакета через ионосферу, вдоль магнитного поля Земли, он начинает
расплываться за счет дисперсии, поскольку высокие частоты движутся
быстрее, чем низкие. Частоты вистлера находятся в звуковом
диапазоне, обычно между 100 Гц и 10 кГц. Поэтому в точку детектирования
высокие частоты доходят до приемника раньше низких, и, если
приемник соединен с громкоговорителем, то можно услышать спадающий
по высоте свист. Частоты вистлера обычно много меньше электронной
циклотронной частоты в ионосфере Земли.
В различных точках Земли расположены станции, которые
непрерывно регистрируют сонограммы активности вистлеров. Сонограмма
представляет собой спектр волновых частот в зависимости от времени
их прихода, как показано на рис. 24. Эти сонограммы крайне полезны
для изучения параметров ионосферы.
Распространение свистящих атмосфериков можно объяснить,
используя сверхнизкочастотную область и < flCe распространения
правой поляризованной по кругу волны (см. рис. 20). Для упрощения
анализа рассмотрим уравнение Эпплтона-Хартри (5.36), пренебрегая
столкновениями (U = 1). При распространении почти вдоль
магнитных силовых линий, и при и <С Qce и и <С ире, имеем Y cos в >
^> Y2 sin2 в/ [2(1 — X)] и (5.36), взятое со знаком минус, упрощается
до выражения
^2 = 1-ТЗ^- O.I)
1) Названия короткий и длинный вистлер в отечественной литературе
практически не встречаются. — Примеч. ред.
§ 9. Некоторые специальные явления в холодной плазме 385
Частота, кГц
4 Ь
80 Гц
0
_L
_L
1 Время, с
Рис. 24. Типичная сонограмма вистлера
Это уравнение часто называют дисперсионным уравнением
квазипродольной моды. При Y cos в > 1 (т. е. и <$С Qcecos6) уравнение (9.1)
переходит в
7?2=1 +
X
YcosO
Рассматривая X > Y (т. е. и?е ^> cjftce), получаем
11 \Ycose)
1/2
,ycos6>>
Фазовая скорость находится непосредственно из (9.3),
Vph
Ycos6\{/2
(Ycose\
или, подставляя Y — £1се/ш и X — ш^/ш2,
_ (иПсе COS 6>)'/2
Vph -С
(9.2)
(9.3)
(9.4)
(9.5)
Также из (9.3) следует выражение для групповой скорости в виде
a* ^HUcosfl)'/2
Таким образом, как фазовая, так и групповая скорости
пропорциональны квадратному корню из частоты и, следовательно, более высокие
частоты доходят до приемника немного раньше, чем низкие частоты,
производя спадающий по высоте свист, слышимый, если он
принимается с помощью простой антенны и громкоговорителя.
Характеристики распространения атмосферных вистлеров
следующие. Они располагаются в области VIII на диаграмме СМА. В этой
области, как показано на рис. 25, диаграмма волновой нормали для
ПКП-волны похожа на восьмерку. Поверхность волновой нормали
имеет резонансный конус, дающий максимальную величину угла в. Угол
25 Биттенкорт Ж.А.
386
Гл. 16. Волны в холодной плазме
Рис. 25. Пример
поверхности волновой
нормали для
вистлеров и геликонов
между направлением распространения волнового
пакета и магнитного поля также имеет
предельное значение, которое определяет максимальное
угловое отклонение (от магнитного поля)
направления, в котором может распространяться
волновой пакет. Можно показать, что
максимальное значение угла составляет около 19,5°.
Поэтому волновой пакет ограничен конусом менее 20°
вблизи магнитных силовых линий.
Эксперименты, проведенные с вистлерами,
подтвердили представленные здесь результаты.
Кроме того, если частота лежит вблизи (но
меньше) электронной циклотронной частоты, то
возможен рост частоты со временем прихода. Эти
типы вистлеров были названы вистлерами с
восходящей частотой. В режиме частоты, где
вистлеры изменяют тон от восходящего к
нисходящему, они известны как носовые вистлеры. Эти типы вистлеров также
наблюдались экспериментально.
9.2. Геликоны
Волны геликонов, экспериментально наблюдаемые в твердотельной
плазме, представляют собой явление, связанное с распространением
правой поляризованной по кругу волны в режиме сверх низких частот.
Название геликоны возникло, поскольку
конец вектора В описывает спираль.
Рассмотрим прямоугольный слой
твердотельной плазмы, показанный на рис. 26.
Толщина слоя равна d, другие два
линейных размера, ориентированные
перпендикулярно внешнему полю В, много больше.
Предположим, что низкочастотная {и <С ПСе)
ПКП-волна распространяется в направлении
поля В. Из дисперсионного соотношения (6.7)
для ПКП-волны в низкочастотном пределе
имеем
Обозначая коэффициент прохождения
электромагнитной волны во внешней среде по
отношению к слою как kv, получаем для
коэффициента отражения на границе плазмы
(kv — k)/(kv + k) = 1, так как и <^ Q,ce.
Следовательно, отражение волн на границе
плазмы практически полное. Поэтому волна будет
Твердотельная
- ■ >
- i
d
►
►
В
Рис. 26. Схематическое
представление
распространения геликонов в
твердотельном плоском
плазменном слое
§ 9. Некоторые специальные явления в холодной плазме 387
успешно отражаться на границах плазменного слоя и образовывать
стоячую волну, чьи резонансы приблизительно задаются условием
пХ = 2d, (9.8)
где Л — длина волны в плазменном слое толщины d, a n — целое
число. Так как Хк = 27г, то из (9.7) и (9.8) следует
ГЕ£(ЩХ/2 = А (9.9)
— условие резонанса стоячей волны. Имеет смысл добавить нижний
индекс п к и, чтобы идентифицировать резонансную частоту с
соответствующей величиной п, которая задает число стоячих волн. Итак,
(9.9) можно преобразовать к следующему удобному виду:
соп= (J^l) Qce. (9.10)
В некоторых экспериментах, проводимых с геликонами, частота
волны, возбуждаемой вдоль магнитного поля, непрерывно меняется
при сохранении величин ujpe, Qce, d. На частотах uj = ип, заданных
(9.10), существуют резонансы стоячей волны внутри плазменного слоя,
что приводит к большим волновым амплитудам, которые могут быть
измерены. График амплитуды волны внутри плазменного слоя в
зависимости от частоты позволяет определить резонансные частоты ип.
В натрии, который содержит примерно 1028 электронов/м3, первая
частота (п = 1) резонанса стоячей волны порядка 102 Гц в типичном
магнитном поле около 1 Тл. Отметим, что иоп пропорциональна п2.
В некоторых других экспериментальных исследованиях
фиксируются параметры d, ире, uj, а меняется величина поля В. В этом
случае резонансные частоты для стоячей волны появляются при таких
значениях поля В, для которых
Асе = (Псе)п = f^V (9.11)
9.3. Вращение Фарадея
Рассмотрим явление, известное как вращение Фарадея,
возникающее в диапазоне частот, где распространяются как ПКП-, так
и ЛКП-волны. Если плоскополяризованная волна распространяется
в плазме вдоль магнитного поля, то плоскость поляризации волны
начинает вращаться по мере распространения. Так как
плоскополяризованная волна может рассматриваться как суперпозиция ПКП- и
ЛКП-волн (как показано на рис. 27), которые распространяются
независимо, то это явление можно объяснить различием фазовых
скоростей ПКП- и ЛКП-волн.
Из рис. 9 видно, что ПКП-волна (при частотах больше чем uj^)
распространяется быстрее, чем ЛКП-волна. После прохождения заданного
25*
388
Гл. 16. Волны в холодной плазме
А х
I E
4 ZZ
+
Гщ.
Рис. 27. Плоскополяризованная волна как суперпозиция левой и правой
поляризованных по кругу волн Е = El + Ея
расстояния, при котором ПКП-волна пройдет N циклов, ЛКП-волна
(распространяющаяся медленнее) пройдет N + е циклов (е > 0).
Предполагается, что обе волны имеют одинаковые частоты. Поэтому
плоскость поляризации волны вращается против часовой стрелки (если
смотреть в направлении поля В), как показано на рис. 28.
= El
+
Рис. 28. Плоскость поляризации плоской волны начинает вращаться после
прохождения некоторого расстояния в плазме, поскольку ЛКП-волна
распространяется медленнее, чем ПКП-волна
Чтобы получить выражение для угла вращения Of, рассмотрим
декартову систему координат с волновым вектором, направленным
вдоль оси z (также как и поле Во), такую что при z = 0 вектор
электрического поля имеет только одну компоненту х, как показано на
рис. 27. Не нарушая общности, можно записать
E(z = 0, t) = StEo exp(-itot).
Это уравнение можно переписать в виде
(9.12)
Е(0, i) = ±Ео[(Я. + гу) + (х - iy)] exp(-iwt),
(9.13)
§9. Задачи
389
где первый и второй члены в квадратных скобках в правой части
соответствуют ПКП- и ЛКП-компонентам. Эти две компоненты
распространяются независимо, так что при любом z > О вектор электрического
поля задается как
E(z, t) = ^Eo(9. + гу) exp(ikRz — iut) + ^Eq(9. — гу) exp(ikbZ — iujt),
(9.14)
где kR, кь обозначают волновые числа для векторов ПКП- и ЛКП-волн
соответственно. Уравнение (9.14) можно преобразовать следующим
образом:
E(z,t) = ^E0exp[-i(kR + kL)z - Ш]{(х + гу) exp[-i(kR - kL)z}+
+ (х - гу) ехр[--г(&д - kL)z] =
= E0exp[-i(kR -f fcz> - io;t]{xcos[-(fcH - fcL)^] - у sin[-(^ - kL)z}}.
(9.15)
Уравнение (9.12) описывает линейно поляризованную волну в
направлении х при z = 0, а (9.15) также описывает линейно
поляризованную волну, но с направлением поляризации, повернутым против
часовой стрелки (если смотреть в направлении Во) на угол
0F = \(kR-kL)z. (9.16)
Следовательно, угол поворота в единицу расстояния 6f/z зависит от
разности между волновыми числами ПКП- и ЛКП-волн. Выражения
для kR и кь приведены в уравнениях (6.8) и (6.9) соответственно.
Измерения величины вращения Фарадея полезны для диагностики
плазмы и широко использовались для исследования свойств
ионосферы. Линейно поляризованная волна, испущенная спутником на орбите,
показывает направление вращения плоскости поляризации при
прохождении через ионосферную плазму. Измерение угла вращения вр
после прохождения волной плазмы дает информацию о полном числе
электронов (т.е., концентрацию электронов, проинтегрированную по
высоте) вдоль пути следования волны.
Задачи
16.1. Пусть плоская электромагнитная волна падает нормально на
плазму, занимающую полупространство х > 0, при х < 0 — вакуум (см.
рис. 29). Обозначим падающую, отраженную и прошедшую волну как
Ei = у exp(ifcox — iwt),
Er = уЕг ехр(—гкох — iut),
Et = yEt exp(ik\x — iut).
(fco) ■ (м
ki ► ; ■ ■ ■'■ ■ ■ ■ >
к*— :' kt
Рис. 29. Волновые вектора электромагнитной волны, падающей на плазму,
занимающую полупространство х > О
а) Покажите, что связанное с волной магнитное поле определяется
выражениями
Hi = z—— expUkox — iut),
Hr = — z-^- exp(—ikox — iut),
H* = z exp(ik\x — iut).
б) Из условия непрерывности Еу и Hz на границе х — О покажите,
что
/со - /ci
/со + к\
2/со
/с0 + /сГ
в) Проверьте, что отношение прошедшей средней мощности к
падающей средней мощности на границе х = О равно
Re{EtxHt*} = EtE? в
Re{E* х Н*} /с0 Р'
где fco — действительное и /3 = Re{/ci}. Покажите, что Т = О как
в точке отражения, так и при резонансе.
16.2. Рассмотрите плоскую электромагнитную волну, падающую
нормально на неограниченный прямоугольный слой плазмы,
занимающий пространство 0 ^ х ^ L, при х <0 и х> L — вакуум (см. рис. 30).
Используйте следующее представление вектора электрического поля
волны:
Е$ = уехр(гкох — iut) (падающая волна),
Ег = уЕгехр(—гкох — iut) (отраженная волна),
Е/ = yEfexp(ik\x - iut) (прямая волна),
Еь = yEbexp(-ik\x - iut) (обратная волна),
Et = yEtexp(iko(x - L) — iut) (прошедшая волна).
§9. Задачи
391
(ко)
—►
кг**-
kt
Рис. 30. Волновые вектора, связанные с электромагнитной волной, падающей
нормально на плазму
а) Вычислите соответствующие выражения для связанных с волной
магнитных полей.
б) Вычислите амплитуды Er, Ef, Еь, Et, используя условие
непрерывности Еу, Hz на границах х = 0, х = L.
в) Покажите, что отношение средней мощности прошедшей через
плазму к средней мощности падающей волны определяется
выражением ^ г„ „*-
т= Re{Et х Ht*}g=L
Re{Ei x HJ}X=0
EtEl
где
п-1
п-1
г) При ш < шре, где fci = га, а — действительно, покажите, что
Et = 4 [4ch(aL) + 2г (£■ - ^) sh(aL)
r-KM + i^-b)*»^)]-1.
Этот результат показывает, что некоторая энергия передается через
слой плазмы, даже если /3 = Re{fci} = 0. Это явление известно как
туннельный эффект.
16.3. Из дисперсионного соотношения (5.26) выведите выражение
для фазовой и групповой скорости для волны, распространяющейся под
произвольными углами в холодной магнитной плазме.
16.4. Используйте дисперсионное соотношение (4.10) для
поперечной моды в холодном изотропном электронном газе (В0 = 0), чтобы
получить декремент а — Im{fc}. Покажите, что при ш > ujpe декремент
приблизительно равен
а
1 + (и/ш)г
392
Гл. 16. Волны в холодной плазме
16.5. Рассмотрите распространение высокочастотных волн в
твердотельной плазме с одинаковым количеством электронов и дырок
(считая те = rrihy ve = Vh)> помещенной в магнитостатическое поле Bq.
Положите k = fcx и Во = £?o(cos#x + sinfly). Используйте уравнение
Ланжевена для электронов и дырок совместно с уравнениями
Максвелла и покажите, что
(-2UX - y2sin20 + U2)ux + (У2 sin 0 cos 0)% = 0,
(У2 sin в cos в)их + (-2иф - У2 cos2 в + U2)uy = О,
(_2[/0 _ у2 + [/2)uz = О,
где
U = Ue - Ufc,
2
ЧЛ _ ^Ре
А - —г,
л/- "се
1 -т/
Из этих уравнений для компонент выведите следующие дисперсионные
соотношения:
U У2 cos2 (9 У4 sin2 в cos2 6»
*=£-
2 2t/ 2[/(-2[/X-Y2sin20 + !72)'
j. t7 Y<1
Ф=2~2и-
Получите выражения для точек отражения и резонансов. В частности
для случая без столкновений (U = 1) покажите, что условиями
резонанса являются
о,2 = i{02ce + а£ ± [(Q2e + 2и,2е)2 - 8о,2еП2е cos2 в] У'\
J = 02е-
а для точек отражения
и2=1-(П2се + 4и>2ре±П2се),
и2 = П2се + 2uj2pe.
16.6. Используйте выражения (6.17) и (6.18) для групповых
скоростей левой и правой поляризованных по кругу волн соответственно,
чтобы показать стремление к нулю групповой скорости в резонансах
и точках отражения.
§9. Задачи
393
16.7. Рассмотрите задачу о распространении волн в произвольном
направлении в холодной магнитоплазме, включив при этом в
рассмотрение движение ионов (только одного типа).
а) Покажите, что дисперсионное соотношение получается из
уравнения, идентичного (5.25), за исключением того что теперь имеем
(пренебрегая столкновениями)
п 1 ле Х{
где (а = е, г)
D
= ■
Р
1 ■
-Y2
XeYe
= 1
Ха
Ya
-хе-
2
~ ш2
\ lea.
l-Y2
XiYi
■Xi,
б) Получите дисперсионное соотношение и покажите, что его
можно записать в виде
Ла_ Р(у2 - R)(y2 - L)
{Srf - RL)(V2 - Р)'
tz2o = -,„2
где в — угол между к и Bq, R = S + D, L = S — D.
в) Найдите и постройте график резонансов и точек отражения как
функцию 9.
16.8. Используя результаты предыдущей задачи, проанализируйте
различные волновые моды для частных случаев при в = 0 и в = 7г/2.
Сравните результаты с результатами для холодного электронного газа.
Постройте график, аналогичный графику, показанному на рис. 20.
16.9. Используя дисперсионные соотношения, полученные в
задаче 6.8, покажите, что в пределе и <С flc{ получается дисперсионное
соотношение для (шировой) альфвеновской волны (предел холодной
плазмы магнитозвуковых волн) при к, параллельном Во. При и < QCi
и к, параллельном Во, найдите следующее приближенное
дисперсионное соотношение для ионно-циклотронных волн (в предположении
1+с2Л^«г?2):
2 = 2c2Q2ci = 2шЪ
16.10. Используя (5.25) покажите, что поляризация волн,
распространяющихся под углом в относительно Во (рассматривается перпен-
394
Гл. 16. Волны в холодной плазме
дикулярная компонента вектора электрического поля), определяется
выражением
iEE = rf-S
Еу D
Используя этот результат, проверьте, что при в = О волны право- и ле-
вополяризованные, тогда как при в = 7г/2 поляризация необыкновенной
моды задается выражением
•Е± = -Р.
Еу S'
и эта мода обычно поляризована эллиптически.
16.11. Для геликона, или поляризованной по кругу волны,
покажите, что конец вектора магнитного поля волны описывает спираль.
16.12. Постройте график, аналогичный рис.20 для
распространения волны в холодной магнитоплазме, но как функцию ш от
действительной части к.
16.13. Рассмотрите плоский слой плазмы толщины L с
концентрацией п(х), где х — ось, перпендикулярная образцу. Плоскополяризо-
ванная монохроматическая электромагнитная волна падает нормально
на слой (считаем, что и значительно больше, чем rf > 0).
Найдите выражение для угла вращения Фарадея при пересечении волной
слоя плазмы, пренебрегая отражением от поверхности плазменного
слоя. Затем упростите это выражение, рассмотрев случаи п(х) = const
и п(х) = х при 0 < х < L.
Глава 17
ВОЛНЫ В ТЕПЛОЙ ПЛАЗМЕ
§ 1. Введение
В предыдущей главе были проанализированы свойства волн,
распространяющихся в холодной плазме. Расширим уже развитую теорию,
включив в рассмотрение градиент давления в уравнении движения,
и исследуем распространение волн в теплом электронном газе
(пренебрегая движением ионов) и в полностью ионизованной теплой плазме
(рассматривая электроны и только один тип ионов), как при наличии,
так и при отсутствии внешнего магнитного поля.
§ 2. Волны в полностью ионизованной изотропной
теплой плазме
2.1. Вывод уравнений для скоростей электронов и ионов
Рассмотрим полностью ионизованную плазму, состоящую из
электронов и только одного типа ионов, без внешнего магнитного поля.
Уравнения сохранения массы и импульса для электронов и ионов
имеют следующий вид:
^+V-(naua), (2.1)
та~- = qa(E + иа х В) Vpa - таиа/3(иа - щ), (2.2)
где для электронов а = е и (3 = i, а для ионов а = г и /3 = е. Эти
уравнения дополняются уравнением адиабаты для каждой компоненты
Ра^а1 = Const, (2.3)
где 7=1+ 2/iV — показатель адиабаты, а N — число степеней
свободы. Применив к (2.3) оператор V и используя уравнение идеального
газа ра = пакТа, перепишем (2.3) как
Vpa = jkBTaVna. (2.4)
396
Гл. 17. Волны в теплой плазме
Ограничимся волнами малых амплитуд, чтобы линеаризовать
уравнения, и предположим, что
na(r, t) = no + п'а ехр(гк • г — iuoi), \n'a\ <^ по, (2.5)
ua(r, t) = ua ехр(гк • г — iuot), ua <С \со/к\, (2.6)
E(r,t) = Еехр(гк-г-г^), (2.7)
B(r, t) = B ехр(гк • г - iut). (2.8)
Используя эти выражения в (2.1) и пренебрегая членами второго
порядка малости, находим
^ = i(k-ua). (2.9)
по ш
Аналогично, в (2.2) после подстановки Vpa из (2.4) и линеаризации
получаем
-iuJUa = ^Е - Vs2Jk^ - иар{иа - up), (2.10)
ТП(х TlQ
где Vsa = ("уквТа/тПа) — адиабатическая скорость звука для частиц
сорта а. Подставляя (2.9) в (2.10) и умножая на iu, получаем
следующее уравнение относительно переменных ua, up, E:
и2иа = iu-^E - К2ак(к • Ua) - iuvap(ua - up). (2.11)
Vfi Q-
Соотношение между электрическим полем и скоростями электронов
и ионов можно получить из уравнений Максвелла, где Е и В
изменяются гармонически согласно (2.7) и (2.8),
kxE = a;B, (2.12)
zkxB = /i0J-^E (2.13)
с
и из линеаризованного выражения для плотности плазменного тока
J = no^gaua = n0e(ui -ue). (2.14)
Комбинируя (2.12)—(2.14), находим
El = i-^(uel-ull), (2.15)
^ = igno(u«t-Uft) (216)
^€о 1 - г/2
где нижние индексы / и £ обозначают продольную и поперечную
компоненты по отношению волновому вектору к соответственно (см. рис. 1,
гл. 16), а г\ — коэффициент преломления кс/и.
§ 2. Волны в полностью ионизованной изотропной теплой плазме 397
Uet ( 7^-2 " iWie ) + "it ( Ш2 ~ -^ + ШЩе ) = 0. (2.20)
Подставляя (2.15) и (2.16) в (2.11) и выписывая уравнение для
каждого типа частиц (электронов и ионов) отдельно, получаем следующую
систему уравнений для продольных компонент электронных и ионных
скоростей
uei(uj2 - и2ре - k2V2e + iuvei) + ий(и2ре - iuvei) = 0, (2.17)
Veliki - iuvie) + u^(u;2 - cj^ - fcV,2 + iuvie) = 0 (2.18)
и для поперечных компонент
Uet (и2 - -5^+ia;i/ei j + Uit ( "^ - 2CJl/ei J =0, (2.19)
I-772 J V I"*?
Отметим, что член с градиентом давления оказывает влияние только
на продольную компоненту движения, и, следовательно, поперечные
моды такие же, как и в холодной плазме, но с учетом движения ионов.
2.2. Продольные волны
Чтобы упростить алгебраические вычисления, пренебрежем
столкновениями (vei = vie = 0). Для продольных волн детерминант
коэффициентов системы уравнений (2.17) и (2.18) должен быть равен нулю.
Это условие дает уравнение
(W2 _ ^ _ tfv* )(** - <£ - fc2^) - ufab = 0. (2.21)
Перемножая члены внутри скобок, можно преобразовать это уравнение
к виду
(v?ev%)k* + НХг+<4iV?e - uj\vI + v&]k?+
"ре r si ' wpi
+ u)2(u;2-w2pe-w2pi)=0. (2.22)
Отметим, что в модели холодной плазмы, в которой членом с
градиентом давления пренебрегается (т. е. Vse = VSi = 0), уравнение (2.22) дает
и2 — (uj2e 4-cjpJ, что соответствует продольным колебаниям плазмы,
когда рассматриваются как электроны, так и ионы.
Решая уравнение (2.22) относительно к2, получаем две
продольные волновые моды. Одна из них соответствует продольной
электронной плазменной волне, другая — продольной ионной
плазменной волне. Это электростатические волны, которые возникают
вследствие аккумуляции заряда, а не магнитного поля. Напротив, как
будет показано в п. 2.3, поперечные электромагнитные моды зависят
от магнитного поля и не зависят от флуктуации заряда. Хотя из
(2.22) несложно получить для к2 два точных решения, удобнее
проанализировать его для некоторых специальных случаев, чтобы под-
398
Гл. 17. Волны в теплой плазме
черкнуть роль, которую играет учет движения ионов и градиента
давления.
Для этого сначала перепишем (2.22), пренебрегая движением
ионов,
-Fs2eu,2fc2 + WV-u4) = 0 (2.23)
ИЛИ
w2 = w2pe + V?ek2. (2.24)
В данном случае V2e = ^квТе/те и, поскольку для плоских волн
сжатие одномерно, 7 = 3, а
J-J^+f3**^*
(^гИ <225>
Это уравнение известно как дисперсионное соотношение Бома-
Гросса для продольных электронных плазменных волн. Из
соотношения следует существование точки отражения при и = иоре. Для
сверхвысоких частот (и > иоре) фазовая скорость равна и/к = Vse,
т. е. фазовой скорости электронной звуковой волны.
Теперь рассмотрим движение ионов, предположив, что их
температура соответствует Vsi = 0 (холодные ионы). Тогда (2.22) приводится
к следующему виду:
В пределе высоких частот (и ^> ире) по-прежнему имеем to/k = Vsei но
теперь (2.22) показывает, что положение точки отражения
определяется соотношением ш = (соре + и>2{)1/2.
Проанализируем (2.22) в пределах высоких и низких частот.
Согласно определениям ире и VSi имеем
4eysi = y/A (2-27)
Поэтому (2.22) можно переписать в виде
(VLV&k* + HtVl{\ + Ti/Te) -u\Vi + V^}k2+
+ и;2(ш2-и;2ре-и;1{)=0. (2.28)
Для высоких частот, когда uj2 ^> u>pi(\ + Ti/Te), (2.28) сводится
к следующему уравнению:
(*М)*4 - "\Vl + V^k2 + u, V - u;2e - о,2,) = 0. (2.29)
Далее, рассматривая V2euj2 > У^(ире + ujpi), условие,
эквивалентное со2 > о;2ДТг/Те)(1 4-me/mi), которое удовлетворяет
предположению и2 > ^ргО + Т{/Те), можно прибавить к левой части (2.29)
§ 2. Волны в полностью ионизованной изотропной теплой плазме 399
Vsii^le +a;pi)^2 и преобразовать это уравнение к следующему
приближенному виду:
(V2k2 - ш2)(У2е - oj2 + и2ре + oj2pi) = 0. (2.30)
Из этого уравнения видно, что дисперсионное соотношение для
продольных ионных плазменных волн в высокочастотном пределе имеет
вид
u2 = Vs\k2. (2.31)
Для электронных плазменных волн дисперсионное соотношение
выглядит следующим образом:
w2=w2pe+w2pi + V2ek2. (2.32)
,2
к виду
Для низких частот, когда иг <Со,гД1 +7$/Те), (2.28) приводится
V2eV^/c4 + V£u&( 1 + Т,/Те)к2 - w2u;2pe = 0. (2.33)
Умножая это уравнение на —и2/ (и^екА) и предполагая, что к Ф 0,
получаем
Так как мы рассматриваем низкие частоты, где со/к немногим больше
VSi, то последним слагаемым в левой части (2.34) по сравнению со
вторым можно пренебречь. Таким образом, (2.34) в низкочастотном
пределе принимает вид
Используя (2.27), это соотношение можно переписать в виде
V2
v sp
J1 = V2k2, (2.36)
где
т/2 _ 1кв(Те +Tj) n ~7\
известная как плазменная скорость звука. Можно проверить, что
второй корень (2.33) соответствует исчезающей при низких частотах
волне.
График фазовой скорости в зависимости от частоты продольных
волн показан на рис. 1. Продольные волны с фазовой скоростью Vse
или VSi при высоких частотах представляют собой звуковые
колебания электронов или ионов соответственно. Низкочастотная волна,
распространяющаяся в плазме со скоростью звука, представляет собой
колебания как электронов, так и ионов, и называется ионно-звуковой
волной.
Vph
Поперечная
электромагнитная
волна
Продольная
электронная плазменная
волна
Продольная
ионная плазменная
волна
Рис. 1. Фазовая скорость как функция частоты для волн в полностью
ионизованной изотропной (Во = 0) теплой плазме. Кривые для продольных волн
также описывают случай распространения в направлении Во, если Во Ф 0
2.3. Поперечные волны
Для существования поперечной волновой моды (uet ф 0, uit ф 0)
детерминант системы уравнений (2.19) и (2.20) должен быть равен
нулю. Пренебрегая столкновениями, находим уравнение
ш
i-ч*
J1-
1-^
2 2
i-v'
= 0,
которое упрощается до
к2с2 =w2- {ш2ре + w2pi)
(2.38)
(2.39)
Полученное уравнение аналогично дисперсионному соотношению
(16.4.12) (уравнение (4.12) гл. 16) для поперечных волн в холодной
изотропной плазме, только теперь, поскольку учитывается движение
ионов, точка отражения соответствует (ш2е + ш2^ . Фазовая скорость
§ 3. Уравнения для волн в теплой плазме с магнитным полем 401
как функция частоты для дисперсионного соотношения (2.39) показана
на рис.1. Дисперсия, т.е. зависимость и от волнового вектора fc,
представлена н^рис. 2 для всех трех волновых мод.
\UJpe Н~ ^рг)
1/2
Поперечная
электромагнитная
волна
/ Продольная
/ электронная плазменная
волна
Ш = Vsek
Продольная
ионная плазменная
волна
Рис. 2. Дисперсионное соотношение для волновых мод в теплой изотропной
полностью ионизованной плазме
В заключение следует отметить, что в теплой полностью
ионизованной изотропной плазме возможны три волновых моды (по сравнению
с одной модой в случае холодной изотропной плазмы). Это поперечная
электромагнитная мода (также присутствующая в случае холодной
плазмы), продольная электронная плазменная мода и продольная
ионная плазменная мода.
§ 3. Основные уравнения для волн в теплой плазме
с магнитным полем
Основные уравнения для анализа распространения волн в теплой
полностью ионизованной плазме с магнитным полем — это
соотношения (2.1), (2.2) и (2.3). Действуя так же, как и в предыдущем
параграфе, но учитывая приложенное внешнее магнитостатическое поле Во,
26 Биттенкорт Ж.А.
402
Гл. 17. Волны в теплой плазме
получаем вместо (2.11) уравнение
и2иа = ги;-^(Е + иа хВ) + У52ак(к-иа) - itoiyap(ua - up). (3.1)
Это уравнение следует дополнить уравнениями (2.15) и (2.16), или, что
то же самое,
(3.2)
kx(kxE) + ^E = -=(Ui-ue).
С €0С
Выберем Декартову систему координат такую, что ось z направлена
вдоль Во, а волновой вектор к лежит в плоскости (х,у), как показано
на рис. 3. Получаем
В0 = В0%
к = кц + kj_ = к sin #х + к cos ву
(3.3)
(3.4)
и, следовательно, (3.1) и (3.2) преобразуются, соответственно
(см. (16.5.10) и (16.5.5)), к виду
и2иа - iuj—B0{uayx. - иаху) - Vsak2(sm9uax+
Яа
+ cos 9uaz) (sin 99. + cos#y) + iu:vap(\ia — up) = го;—Е (3.5)
771Q-
Л-Е-.
гещ
ue0
(и»-ив),
(3.6)
где компоненты тензора Л, который задает векторный оператор
[(с2/о;2)к х (к х ...) + (...)], можно записать в виде матрицы
/ (1 - г] cos2 9) 0 (г? sin 9 cos 9)\
Л=[ 0 (1-т?2) 0 . (3.7)
\(г)2 sin 9 cos 9) 0 (1 - г] sin2 9) J
Из определения матрицы Л видно, что произведение в левой части
(3.6) — это произведение матрицы Л на векторный столбец Е. Находя
Рис. 3. Декартова система координат, в которой ось z направлена вдоль Во,
а волновой вектор к лежит в плоскости (х,у)
§ 4. Волны в теплом электронном газе в магнитном поле 403
обратную матрицу А 1 (предполагается, что детерминант матрицы не
равен нулю) и умножая (3.6) на Л-1, получаем
Е = -^(Л)-1-(иг-ие), (3.8)
и во
поскольку (А)~ (А) = 1, где 1 — единичная диагональная матрица.
Уравнение (3.8) можно использовать, чтобы в (3.5) избавиться от Е.
Для электронов в (3.5) принимаем а = е, /3 = г, а для ионов — а = г,
Р = е. В итоге получаем систему из шести уравнений с шестью
неизвестными uaj (j = x,y,z, a = e,г). Приравнивание нулю детерминанта
этой системы дает дисперсионное соотношение.
§ 4. Волны в теплом электронном газе
в магнитном поле
Поскольку алгебраические вычисления достаточно сложны,
рассмотрим сначала простой случай электронного газа, помещенного во
внешнее магнитное поле, пренебрегая макроскопическим движением
ионов (иг = 0).
4.1. Вывод дисперсионных соотношений
Из (3.5) для электронов получаем (считая и* = 0)
ие + г (——) (иеук - иеху) - f -^%- J (sm6uex + cos^e2)(sin^x+
+ cosez)+i(^ue=(^yA)-lue. (4.1)
Используя обозначения, введенные в (16.5.14)—(16.5.16), (4.1) можно
переписать в виде
(у2 к2 9 у2 к2
- se2 sin виех + iYuey - se2 sin в cos 6uez
( V2k2 V2k2 о \^
iYuexy -f —^— sin 0 cos 6uex - se0 cos 6uez z =
V ш и J
= X(A)-lue. (4.2)
Определим тензор В посредством матрицы
/([/-a2sin20) iY -(a2sin0cos<9)\
В = I -iY U 0 , (4.3)
\- (a2 sin в cos в) 0 (U - a2 cos2 в) J
где a2 = (У2ек2/и2), тогда уравнение (4.2) приводится к виду
{В-ХА~1)ие = 0. (4.4)
26*
404
Гл. 17. Волны в теплой плазме
Нетривиальное решение этого уравнения (ие ф 0) существует только
тогда, когда детерминант матрицы равен нулю:
det{B-XA~l)=0.
(4.5)
Это условие дает дисперсионное соотношение для волн,
распространяющихся в теплом электронном газе, помещенном в магнитное поле.
Для упрощения анализа в двух следующих разделах исследуем
дисперсионное соотношение (4.5) для волн, распространяющихся
параллельно или перпендикулярно магнитному полю.
4.2. Распространение волн вдоль магнитного поля
При распространении волн вдоль магнитного поля (k || Bq) имеем
к = kz и в = 0, поэтому (3.7) и (4.3) упрощаются до
\\-п2)
о
0>
А-
(1-7?2
о
(4.6)
0
0
' U iY 0
-iY U 0
V 0 0 (U-a2)J
Таким образом, детерминант (4.5) сводится к детерминанту матрицы
X ч
В
(4.7)
det
(и
\
(1-ч0
-iY
0
iY
U
X
о
о
= 0
(4.8)
0 (U - а2 - X))
и определяет дисперсионные уравнения для поперечных волн (иех ф 0,
*еу
#0),
и -
X
(1-^2)
и для продольной волны (utz ф 0)
= ±У
(4.9)
U - а1 - X = 0.
(4.10)
Уравнение (4.9) дает следующие соотношения для знаков плюс и
минус:
X
^=\-
V
1
U-Y'
X
(4.11)
(4.12)
U + Y'
Эти дисперсионные соотношения соответствуют право- и левополяри-
зованным по кругу волнам (ПКП и ЛКП), полученным в §6 гл. 16
при исследовании поперечных волн в приближении холодной плазмы
(см. (16.6.6) и (16.6.8)).
§ 4. Волны в теплом электронном газе в магнитном поле 405
Для продольной волны, после подстановки в (4.10) U = 1 +iveu и
X = uj2/uj2, получаем дисперсионное соотношение
uj2 + iveu — '-'2
Ь£е + V*'k
2 h2
se*
(4.13)
Сравнивая с моделью холодной плазмы, видим, что вместо
продольных осцилляции на частоте иоре (которые присутствуют в модели
холодной плазмы) возникает дополнительная мода, которая называется
электронная плазменная волна. Если пренебречь столкновениями,
то выражение (4.13) переходит в дисперсионное соотношение (2.24),
полученное в § 2 для волн в изотропной теплой плазме.
В заключение отметим, что в теплом электронном газе для
вектора к, параллельного магнитному полю, существует три волновые моды:
поперечные ПКП- и ЛКП-волны и продольная электронная
плазменная волна. Добавление члена с градиентом давления в уравнение
движения для электронов не влияет на поведение поперечных волн.
Зависимость фазовой скорости от частоты для этих трех мод показана
на рис. 4. Дисперсия и (к) представлена на рис. 5.
ЛКП
РКП
к II Во
<>
Vat
РКП
Продольная
электронная плазменная
волна
и.
о
По
^01 Шре
^02
Рис. 4. Фазовая скорость как функция частоты для волн, распространяющихся
вдоль магнитного поля в теплом электронном газе
406
Гл. 17. Волны в теплой плазме
^02
woi
к II Во
■' Продольная
/ электронная плазменная
волна
/ ш = ск
ш = Vsek
<^
Пс
РКП
о
Рис. 5. График дисперсии для волн, распространяющихся вдоль магнитного
поля в теплом электронном газе
4.3. Распространение волн перпендикулярно магнитному полю
В случае волн, распространяющихся перпендикулярно направлению
магнитного поля (к _1_ Во), имеем: к = fcx и в = 90°, поэтому (3.7)
и (4.3) сводятся к выражениям
(4.14)
А =
В--
/1
0
\о
/
=
V
(1
(и
0
-rf)
0
-о?)
-iY
0
(1
iY
и
0
0
0
-v
0
0
и
(4.15)
Из полученных уравнений видно, что ^-компонента (4.4) не связана
с х- и у-компонентами. Таким образом, для поперечных волн и
движения электронов вдоль оси z (uez ф 0) выражение для ^-компоненты
уравнения (4.4) должно удовлетворять условию
U-
х_
0-Л
= 0
(4.16)
§ 4. Волны в теплом электронном газе в магнитном поле 407
или
г,2= 1 -
U
г72=1-£, (4.17)
которое аналогично дисперсионному соотношению для обыкновенных
поперечных волн (в которых электрическое поле колеблется в том же
направлении, что Во), найденному в § 7 гл. 16 (см. уравнение (16.7.4)).
Из (4.4), (4.14) и (4.15) очевидно, что уравнения для иех и иеу
связаны. Поэтому для существования нетривиального решения
(продольных волн для иех Ф 0 и поперечных волн для иеу Ф 0)
необходимо потребовать, чтобы детерминант матрицы коэффициентов
х- и у-компонент в уравнении (4.4) был равен нулю
/([/ - а2 - X) iY \
detj^ _iY ([/__A_}j=0. (4.18)
Пренебрегая столкновениями, получаем уравнение
(^ - V2ek2 - «£) (и? - -f&^j - ш*П2се = 0. (4.19)
Раскрывая скобки и группируя, имеем
+ (ш2-ш2ре)2-со2П2се=0. (4.20)
Это дисперсионное уравнение — квадратное относительно к2, поэтому
в общем случае будет две зависимости к2 от ш, т. е. две волновые
моды. Так как обычно Vse <^ с, то первым членом в квадратных скобках
с левой стороны (4.20) по сравнению со вторым можно пренебречь.
В этом приближении (4.20) принимает вид
С%2ек* - CV - <£ - <&)** + («* - «1е? ~ «Л& = О- (4.21)
Получить точное решение этого уравнения несложно, однако
интереснее проанализировать его в некоторых предельных случаях.
Сначала получим приближенное решение (4.21) в области, где
и2 > k2V2e, т. е. слагаемое c2V2ek4 меньше остальных. Для
положительного к2 это условие подразумевает, что фазовые скорости много
больше Vse. Поэтому данный предел называется высокоскоростным
пределом фазовой скорости. При выполнении этого условия (4.21)
упрощается до
■ со2П2се = 0 (4.22)
(со2 > k2V2e). (4.23)
k2c2
-fc2cV-^e
(Ш + LoQce —
("2
- nL)
+ («,*-
Cole)(CO2 -(jjQ.ce
2
~Upe "
- ftce)
/ j2 'i2
2 \
408
Гл. 17. Волны в теплой плазме
Это уравнение аналогично дисперсионному соотношению для
необыкновенной волны в холодной плазме, найденному в §7 гл. 16
(см. (16.7.7)), но (4.23) можно использовать только при и2 > k2Vse.
Далее, получим приближенное решение уравнения (4.21) в пределе
со2 <С k2Vse. Для положительных к это условие означает, что фазовые
скорости много меньше скорости света, т. е это низкоскоростной
предел фазовой скорости. В этом пределе (4.21) сводится к выражению
c2Vlk4
cV-oA-QL^O
ИЛИ
U,We + f4 + K2efc2 (U2«k4).
(4.24)
(4.25)
Если Во = 0 (т. е. £1се — 0), то это уравнение становится идентичным
дисперсионному соотношению для продольной электронной
плазменной волны (см. уравнение (2.24)). Оно дает решение (4.21) только при
условии uj2 <С k с2.
На рис. 6 показана зависимость фазовой скорости от частоты для
обыкновенной поперечной волны (4.17) и для двух мод,
описываемых (4.20). Отметим, что одна из двух последних мод — чисто
поперечная необыкновенная волна, а другая — частично поперечная
Vph
X
k_LB
<>
Vs.
о
Продольная
электронная плазменная
олна
0
Пс
^01 ^ре ^02
Рис. 6. Фазовая скорость как функция частоты для волн, распространяющихся
перпендикулярно магнитному полю в теплом электронном газе
§ 4. Волны в теплом электронном газе в магнитном поле 409
(т. е. необыкновенная электромагнитная волна в высокоскоростном
пределе фазовой скорости) и частично продольная (т. е.
электронная плазменная волна в низкоскоростном пределе фазовой
скорости). В последнем случае переход от практически поперечной
электромагнитной волны к практически продольной электронной плазменной
волне происходит в области частот, где фазовая скорость лежит между
с и Vse. Соответствующий график для дисперсионного соотношения
показан на рис. 7.
k_LB0
Продольная
электронная плазменная
волна X
ш = с/с
Vsek
0 *
Рис. 7. Дисперсия волн, распространяющихся перпендикулярно магнитному
полю в теплом электронном газе
4.4. Распространение волн в произвольных направлениях
При распространении волн в произвольном направлении
относительно магнитного поля дисперсионное соотношение получается из
уравнения (4.5), где тензоры Л и В определяются из (3.7) и (4.3). Для
произвольных углов между 0° и 90° можно ожидать, что зависимость
фазовой скорости от частоты будет находиться между зависимостями,
показанными на рис. 4 и 6. Поэтому, не вдаваясь в громоздкие
вычисления (4.5), представим на рис. 8 дисперсионные кривые;
заштрихованные области показывают, как происходит переход от в = 0° к в = 90°.
Легко проверить, что единственный резонанс существует для произ-
410
Гл. 17. Волны в теплой плазме
X ЛКП О X РКП
Продольная
электронная плазменная
олна
^01 Шре
Рис. 8. Зависимости фазовой скорости от частоты для волнового
распространения в теплом электронном газе, помещенном в магнитное поле
вольного угла примерно на частоте и — QCe cos в. Точки отражения для
любого угла распространения существуют при частотах и>о\, шре, с^02-
§ 5. Волны в полностью ионизованной теплой
магнитной плазме
Рассмотрим распространение плоских волн в полностью
ионизованной теплой плазме только с одним типом ионов, помещенной во
внешнее однородное магнитное поле.
5.1. Вывод дисперсионных соотношений
Уравнение движения электронов, согласно (3.5), имеет вид
и2ие + 1иПсе(иеух. - иеху)-
- Vsek2(sm виех + cos 9uez)(sin 0x + cos 0z)+
+ iuvei(\ie -\ii) = -—E, (5.1)
§5. Волны в полностью ионизованной теплой магнитной плазме 411
ионов
,2
игщ - iioQci(uiyX. - uixy)-
- V^k2(sin 6щх + cos 6v,iz)(sm 0x + cos 6z)+
toje.
+ uji/ie(ui - ue) = —E. (5.2)
Уравнения (5.1) и (5.2) относительно переменных ue, щиЕ
дополняются уравнением (3.6)
Д-Е=^(11е-11;),
(5.3)
где тензор Л определяется согласно (3.7).
Уравнения (5.1), (5.2) можно записать в более компактной форме
Ве.ие = -^Е-г-^(ие-и{)
UJVfle Ш
Вг-Щ = —Е-г-^(щ-ие),
ШГПг U)
где тензоры Ве и Bi определяются как
/(1 - a2 sin2 6) iYe -a2 sin в cos в ^
Ве = -iYe 1 О
\-a2sm6cos6 0 (1 -a2 cos2 в)/
/(1-б2sin261) -iYi -62sin0cos0N
Bi = [ iYi 1 0
\-b2 sin в cos в 0 (l-62cos20),
где Ye = (fice/w), Yi = {Qci/uj) и b2 = {Vffi/w2). Умножая (5.4) и (5.5)
на обратные матрицы B~l и В~1 соответственно, получаем
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
ие =
■'е
ге
ге
Ве-'-Е
гие
гь>%е j
UJ
Ui
U^-B-'-E+^.tUe-U,).
LUlfoi
(5.8)
(5.9)
Вычитание (5.9) из (5.8) и последующие преобразования дают
1 + ^В~{ + !2±Вг
ш е w
(ue
Ui) +
l-BTl+ l «-1
me
ГПг
в:
E = 0.
(5.10)
В результате, скомбинировав (5.10) и (5.3), чтобы избавиться от
переменной (ие - щ), получаем следующее уравнение, которое содержит
только напряженность электрического поля:
{[l + ^-i + ^fi-
• Л - хев:
где Хе — w2e/w2 и Хг = ш^/ш2. Это уравнение имеет вид
С ■ Е = 0,
1Д-1}-Е = 0, (5.11)
вид
(5.12)
412
Гл. 17. Волны в теплой плазме
где С обозначает матрицу, стоящую в фигурных скобках в (5.11).
Как и ранее, дисперсионное соотношение получается, если приравнять
нулю детерминант С,
det(C)=0. (5.13)
Если пренебречь столкновениями, то (5.13) упрощается до
det[A-XeB-1 -XiBrx}=0.
(5.14)
В следующем разделе, для того чтобы упростить алгебраические
вычисления, будем пренебрегать столкновениями и исследовать задачу
посредством уравнения (5.14).
5.2. Распространение волн вдоль магнитного поля
При в = 0° из (3.7), (5.6) и (5.7) получаем
(1 — т?2) 0 0>
А= I 0 (I-»?2) 0
0 0 1,
/ 1 «У, 0
Ве = -гУе 1 0
V 0 0 (1-а2)
/ 1 -iYi 0 N
Bi=[iYi 1 0
V0 0 (1-62)у
Матрицы, обратные (5.16) и (5.17), равны
/ 1 iYe
(5.15)
(5.16)
(5.17)
В:
ВГ1 =
(1-УР2) {\-Yi)
iYe l
(1-П2) (1-Уе2)
iYi
0
1
(5.18)
(1-У?) (1-У/)
гУг 1
(1-У/) (1-У/)
(1-^)/
о
V
о
о
о
1
(5.19)
(1-ь2)/
соответственно. Подставляя матрицы (5.15), (5.18) и (5.19) в (5.12)
и полагая ие{ = ще = 0, получаем
а\ а.2 О
—#2 aj О
О 0 а3
(5.20)
§5. Волны в полностью ионизованной теплой магнитной плазме 413
где
ах = 1 - г? - ^4 " "^-2. (5-20а)
1 - Y? 1 - Yl
_гХг¥г_ iXeYe ^щ
\-Yi \-Yl
а3=\--\2--^-2. (5.20в)
l—o 1 — а
Из этого матричного уравнения очевидно, что продольная компонента
Ez электрического поля не связана с поперечными компонентами Ех
и Еу.
Поэтому для продольных волн Ez Ф 0 коэффициент при Ez в (5.20)
должен быть равен нулю. Отсюда следует дисперсионное соотношение
1 - А - 7^2 =°- <5-21>
1—0 1 — а
Можно преобразовать это дисперсионное соотношение к виду
(5.22)
что идентично (2.22). Поскольку это квадратное уравнение
относительно к2, то существуют две продольные моды. Отметим, что эти
две продольные моды, распространяющиеся вдоль Во, не испытывают
влияния магнитного поля. Это дисперсионное соотношение было уже
проанализировано в § 2, где было показано, что эти две продольные
моды представляют собой электронную плазменную волну и ионную
плазменную волну.
Дисперсионное соотношение для поперечных волн Ех ф 0 и Еу Ф О
согласно (5.20) есть
Используя обозначения
5=1-^4-^5-5, (5.24)
1 - Y? 1 - Yt
D = f%-fzy-l (5-25)
и полагая
R = S + D, (5.26)
L = S-D, (5.27)
из (5.23) получаем
(ту2 - Д)(т?2 - L) = 0. (5.28)
414
Гл. 17. Волны в теплой плазме
г, используя
(5.29),
Еу _ S-rf
Ех iD
получаем
(Еу\ -4
Следовательно, существует две моды, которые определяются
дисперсионными соотношениями
(V2)R = R (5-29)
(v2)l = L (5.30)
и распространяются вдоль магнитного поля. Из ж-компоненты (5.20)
(5.31)
(5.32)
а, используя (5.30),
(!),=-'• <533>
Следовательно, дисперсионное соотношение (5.29) соответствует пра-
вополяризованной по кругу волне, а (5.30) левополяризованной по
кругу волне.
Зависимость фазовой скорости от частоты при распространении
вдоль Во показана на рис. 9. Точки отражений ш'01 и (Jq2 незначительно
отличаются от тех, что заданы уравнениями (16.6.13) и (16.6.14),
в результате учета движения ионов. Также, поскольку движение ионов
учитывалось, то помимо резонанса на Qce для ПКП-волн появился
также резонанс на ftC{ для ЛКП-волн.
В пределе сверхнизких частот фазовые скорости ПКП- и ЛКП-волн
стремятся к Va/(1 4-V|/c2) , а не к нулю, как в случае модели
холодной электронной плазмы. Этот результат можно объяснить
следующим образом. Для сверхнизкочастотных волн таких, что
ш < Qd, (5.34)
используя (5.24) и (5.25), получаем
R = L=l + ^-. (5.35)
Следовательно, используя определения ире, Qce и QCi, получаем
дисперсионное соотношение для ПКП- и ЛКП-волн в
сверхнизкочастотном пределе „ _
2 = 1 пот, (536)
еоВ20
Средняя плотность плазмы рт = щ (те + ггц) « пот,, а поскольку
ео = 1/ (мое2), то (5.36) можно переписать в виде
ту2 = 1 + С-Щ^ (5.37)
§5. Волны в полностью ионизованной теплой магнитной плазме 415
Vph
лкп
РКП
к II Во
Электронная плазменная
волна
Ионная плазменная
волна
Q *&сг *'с
4)2
V2 = VA/(l + Vj/c2)'/2 Шр = (ш2ре + ^)'/2
Рис. 9. Фазовая скорость как функция частоты для плоских волн,
распространяющихся вдоль магнитного поля в теплой полностью ионизованной плазме
или
Ч2 = ИЛ«
Va
(5.38)
где Va = {В%/цоРт)1/2 — альфвеновская скорость, определенная в
уравнении (15.1.4) (уравнение (1.4), гл. 15). Таким образом, из (5.38)
в пределе сверхнизких частот фазовая скорость обеих поперечных волн
определяется уравнением
Vph
VA
* (1+Vi/c2)
2\1/2'
(5.39)
Отметим, что в плазме, где V\ <С с2 (слабое магнитное поле Во или
высокая плотность), (5.39) сокращается до vph = Va- Этот предел
сверхнизких частот соответствует альфвеновским волнам,
обсуждавшимся в гл. 15.
416
Гл. 17. Волны в теплой плазме
5.3. Распространение волн перпендикулярно магнитному полю
Рассматривая теперь в = 90°, из (3.7), (5.6) и (5.7) получаем
(5.40)
(5.41)
(5.42)
Находя обратные матрицы (5.41) и (5.42) и пренебрегая
столкновениями, получаем из (5.12)
(5.43)
где
5, = 1 - Xi{l;b\ - ^Uf4. (5-44)
l-lf-Ь2 l-Y2-a2
& = 1 - , % ,. - , h 2. (5-45)
1 - Y2 - b2
l-Y2-b2
XiYi
\-Y?-a2
1-П2-а2
dx = ~г;г 2 - ^e;e 2> (5-46)
1 - YJ2 - 62 1 - Yl - a2
P = 1 - Xi - Xe. (5.47)
Из (5.43) ясно, что компонента Ez не связана с компонентами
электрического поля Ех и Еу.
Поэтому обыкновенная мода (поперечная мода не зависит от
магнитного поля и имеет Ez Ф 0) характеризуется дисперсионным
соотношением
rf = Р (5.48)
или
kV = о;2-(<£+«&). (5-49)
которое совпадает с (2.39).
Моды, включающие компоненты электрического поля Ех и Еу
(продольная для Ех Ф 0 и поперечная для Еу Ф 0), как видно из (5.43),
должны быть связаны и характеризоваться следующим дисперсионным
соотношением:
S2(S,-r?2)-D? = 0. (5.50)
Подстановка выражений для S\, S2 и D\ в (5.50) приводит к
кубическому относительно к2 уравнению, т. е. в общем случае в плазме
§5. Волны в полностью ионизованной теплой магнитной плазме 417
существуют три волновые моды. Подробное исследование
дисперсионного соотношения показывает, что эти три моды представляют собой
частично поперечную необыкновенную волну, продольную
электронную плазменную волну и продольную ионную плазменную волну.
На рис. 10 показана зависимость фазовой скорости от частоты для
четырех волновых мод, распространяющихся в направлении,
перпендикулярном магнитному полю. Основные элементы графика, которые
необходимо упомянуть, следующие: 1) наличие отражения в точках
1 /9
(ujpe -\-^pi) , ^oi и ^02' 2) переход от практически продольной
(электронной плазменной) волны к практически поперечной
электромагнитной (необыкновенной) волне в диапазоне частот, где фазовая скорость
лежит между Vse и с; 3) при сверхнизких частотах фазовая скорость
ионов стремится к пределу
Vph
Va + Vsp
1/2
(5.51)
X О
k_LB0
vi = {у\+<у2/{\ + уцгу uv = (С&+^)1/2
Рис. 10. Фазовая скорость как функция частоты для волн,
распространяющихся в теплой полностью ионизованной плазме
27 Биттенкорт Ж.А.
418
Гл. 17. Волны в теплой плазме
5.4. Распространение волн в произвольных направлениях
Для произвольных направлений распространения волн
дисперсионное соотношение задается (5.14). Так как подробный анализ этого
уравнения является достаточно сложной задачей, ограничимся тем,
что на рис. 11 представим график зависимости фазовой скорости от
частоты; заштрихованные области показывают, как меняются кривые
от 0 = 0° до 6> = 90о.
ХЛКП О X РКП
-- к || Во
k_LB0
Электронная плазменная
олна
0
Vi
v2
(^ + ^2Р)1/2/(1+^/с2)1/2
■■vA/{i + vZ/<?y*
>1/2
Ч> = (^ре+^рг)
Рис. 11. Фазовая скорость как функция частоты для волн,
распространяющихся в произвольном направлении относительно магнитного поля в теплой
полностью ионизованной плазме
§ 6. Выводы
Волны, распространяющиеся в теплой полностью ионизованной
плазме, можно разделить на следующие типы.
а) При В0 = О
Поперечная электромагнитная волна.
Продольная электронная плазменная волна.
Продольная ионная плазменная волна.
§ 6. Задачи
419
б) При к || В0
Поперечная правая поляризованная по кругу волна.
Поперечная левая поляризованная по кругу волна.
Продольная электронная плазменная волна.
Продольная ионная плазменная волна.
в) При к 1 В0
Поперечная обыкновенная волна.
Частично поперечная необыкновенная волна.
Продольная электронная плазменная волна.
Продольная ионная плазменная волна.
В нагретом электронном газе, в котором пренебрегается движением
ионов, продольная ионная плазменная мода отсутствует. В холодной
плазме как ионная плазменная мода, так и электронная плазменная
мода отсутствуют. Отметим, что для к _1_ Во электронная и
необыкновенная волны связаны.
Задачи
17.1. Покажите, что корни дисперсионного соотношения (2.33) при
сверхнизких частотах соответствуют исчезающей волне.
17.2. Постройте график функции ш от действительной части к,
аналогичный рис. 8, для волны, распространяющейся в теплом
электронном газе, помещенном в магнитное поле.
17.3. Покажите, что точки отражения lu'01 и lu'02 для ЛЦП-
и ПЦП-волн, распространяющихся вдоль магнитного поля в полностью
ионизованной теплой плазме (см. рис. 9) определяются выражениями
1/2
1/2
Сравните эти выражения с (16.6.13) и (16.6.14).
17.4. Проведите все необходимые для вывода (5.43) вычисления,
начиная с выражений (5.12), (5.40), (5.41) и (5.42).
17.5. Получите из (5.50) кубическое уравнение относительно к2,
проанализируйте дисперсионные соотношения для трех волновых мод,
распространяющихся поперек магнитного поля в полностью
ионизованной теплой плазме.
17.6. Постройте графики функции ш от действительной части fc,
аналогичные рис. 9, 10 и 11 для волн в полностью ионизованной теплой
плазме.
17.7. Покажите, что резонансы в теплой полностью
ионизованной магнитной плазме возникают примерно на частотах и = Qcecos6
и и = Qcicos6 (столкновениями частиц пренебречь).
27*
Глава 18
ВОЛНЫ В ГОРЯЧЕЙ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАЗМЕ
§ 1. Введение
В этой главе рассматривается распространение волн малой
амплитуды в неограниченной горячей плазме, которая с точки зрения
кинетической теории находится в условиях близких к равновесным. Для
решения задачи используется уравнение Власова, учитывается только
движение электронов. Ионы, вследствие своей большой массы,
предполагаются неподвижными. Основная цель этой главы — подчеркнуть
эффекты, возникающие при использовании уравнения Власова,
которые не наблюдаются в моделях холодной и теплой плазмы (гл. 16, 17).
Представленный здесь подход применим для случая изотропной
плазмы при отсутствии внешнего магнитного поля. Будет
показано, что плазменные волны можно разделить на три группы: первая
группа — продольные плазменные волны (также известные, как
волны пространственного заряда или ленгмюровские волны), вторая
и третья группы — два различных типа поляризации поперечной
электромагнитной волны. Глава завершается коротким обсуждением
неустойчивостей в плазме, которые возникают при взаимодействии
частиц плазмы с электрическим полем волны. Для иллюстрации явления
взаимодействия волна-частица рассматривается один важный пример,
так называемая двухпотоковая неустойчивость.
§ 2. Основные уравнения
Необходимые для теоретического исследования волн малой
амплитуды в неограниченном электронном газе в рамках кинетического
подхода уравнения — это уравнение Власова и уравнения Максвелла.
Уравнение Власова для функции распределения электронов
/(г, v,t) можно записать как
^ + v.V/(r,v,t) + {-^(r,t) + vxB(r,t)]+
+—)-V,,/(r,v,*) = 0, (2.1)
§ 3. Общие уравнения для плоской волны
421
где Fext — любая внешняя сила, приложенная к плазме, а Е(г, £),
В(г, i) — внутренние сглаженные, самосогласованные,
макроскопические поля (электрическое и индуцированное магнитное), связанные
с распределениями плотности заряда и плотности тока в плазме. Поля
Е(г, t) и B(r, t) подчиняются уравнениям Максвелла
у.Е(г,*) = £^, (2.2)
V-B(r,*)=0, (2.3)
VxB(r,t) = -M (2.4)
V х B(r,t) = /i0J(r,t) + ^^J^, (2.5)
где плотности заряда и тока определяются как
Кг> *) = $^ ^п*(г> *) = ^2 q°
f(r,v,t)d\ (2.6)
J(r, t) = 2^ qana{r, t)ua{r, t) = ^qa\ v/(r, v, t)d*v. (2.7)
a a I
Уравнения (2.1)—(2.7) образуют самосогласованную систему
уравнений, и были впервые введены в § 7 гл. 5. Стоит отметить, что хотя
столкновительный член в уравнении Власова в явном виде
отсутствует, для учета взаимодействия заряженных частиц вводится слагаемое
с внутренними самосогласованными электромагнитными полями.
§ 3. Общие уравнения для плоской волны в горячей
изотропной плазме
Рассмотрим неограниченный однородный электронный газ с
неподвижным нейтрализующим фоном ионов в отсутствие какого-либо
внешнего поля при равновесных условиях. Предположим, что в
некоторый момент времени какие-то электроны оказались незначительно
сдвинутыми относительно их равновесного положения. Результатом
такого малого возмущения электронного газа в пространстве будет
возникновение внутреннего электрического поля вследствие
разделения зарядов, и, следовательно, появление каких-то колебаний или
волн. Можно предположить, что ионы, благодаря своей большой массе,
останутся практически неподвижными, так как характерные частоты
ионных колебаний значительно больше. Поскольку отклонения от
равновесия малы, уравнения можно линеаризовать, т. е. произведением
двух неравновесных величин (величинами второго порядка малости)
можно пренебречь.
422
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
3.1. Возмущение плотности заряда и плотности тока
Чтобы описать малые отклонения от равновесия, запишем функцию
распределения для электронов в виде
/(r,v,t) = /oW + /,(r,v,t) (I/. <</о|),
(3.1)
где fo(v) — равновесная функция распределения, a /i(r, v,t) —
возмущение функции распределения, всегда меньшее, чем /о(^)- До
появления возмущения плазма находилась в равновесии, т. е.
макроскопические самосогласованные электрические и магнитные поля в плазме
отсутствовали, а плотности зарядов и токов были нулевыми.
Равновесная концентрация электронов равна концентрации ионов и одинакова
в любой точке пространства
п0
fo(v)d3v.
(3.2)
Так как f\(r,v,t) — величина первого порядка малости, то
внутренние электрические и магнитные поля, возникшие в результате
возмущения, также будут величинами первого порядка малости. Согласно
уравнению (2.6), возмущенная плотность заряда задается следующим
соотношением:
p(r, t) = ещ — е
f(r,v,t)d3v.
Используя (3.1) и (3.2), получаем
p(r,t) = -е
/i(r,v,t)dV
(3.3)
(3.4)
Возмущение плотности тока следует из (2.7) и, если ионы остаются
неподвижными, то оно оказывается равным
J(r,t) = -e
vf(r,v,t)d?v.
(3.5)
Подставляя (3.1) в (3.5) и считая, что плотность тока в равновесном
состоянии нулевая, т. е.
—е
vf0(r,v,t)d?v = 0
(3.6)
находим
J (г, t) = -е
vfi(r,v,t)d3v.
(3.7)
§ 3. Общие уравнения для плоской волны
423
3.2. Решение линеаризованного уравнения Власова
Подставляя (3.1) в уравнение Власова (2.1) в отсутствие какого-
либо внешнего поля, получаем
9/l(^V't)+v-V/1(r,v,t) - ^-[E(r,() + vx B(r,t)] • Ve/o(t;)-
- — [E(r, t) + v x B(r, t)] ■ V„/i (r, v, t) = 0. (3.8)
TTie
Так как E(r, t), B(r, t) и /i(r,v, t) — величины первого порядка
малости, то последний член в левой части (3.8) содержит произведение
двух величин первого порядка малости и представляет собой величину
второго порядка малости, т. е. им можно пренебречь по сравнению
с оставшимися членами. Таким образом, линеаризованное уравнение
Власова имеет вид
Э/1(У'*} + v • V/, (г, v,t)-— [E(r, () + vxB(r, t)} ■ Vvf0(v) = 0.
(3.9)
Удобный путь решения этого уравнения состоит в использовании
метода интегральных преобразований. Для задачи Коши это уравнение
упрощается посредством преобразования Лапласа по времени и
преобразования Фурье по пространственным переменным, что сводит
дифференциальное уравнение к алгебраическому, которое затем можно
решить относительно необходимых переменных. Далее, для возврата
к исходным переменным необходимо выполнить обратные
преобразования Лапласа и Фурье. Однако этот способ решения подразумевает
вычисление сложных контурных интегралов в комплексной плоскости,
что выходит за рамки этой книги. Поэтому без потери общности для
упрощения математических выкладок будем рассматривать решение
/i(r, v, £) в виде периодической гармонической функции относительно
пространственно-временных переменных
/i(r, v, t) = /i(v) ехр(гк • г - iu>t), (3.10)
где векторы описываются через координаты в декартовой системе
координат. При таком выборе /i(r, v,t) выражения (3.4) и (3.7) принимают
вид
p(r, t) = рехр(гк • г — iut), (3.11)
J(r, t)=3 ехр(гк • г - iut), (3.12)
где
(3.13)
(3.14)
р =
3 =
—е
—е
/.(v)d4
v/0(v)dV
424
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
Следовательно, макроскопические самосогласованные электрическое
и магнитное поля имеют такую же гармоническую зависимость от
пространственных координат и времени
E(r, t) = Еехр(гк • г - iut),
В (г, t) — В ехр(гк • г — iut).
(3.15)
(3.16)
Далее, так как предполагается, что равновесная функция
распределения fo(v) зависит только от модуля скорости, можно записать очень
полезное тождество ,. , ч
V-/oH = ^. (3.17)
Отсюда для члена в (3.9), содержащего силу Лоренца, имеем
[v х B(r,t)] • V„/0(«) = [v x B(r,t)] • l^- = 0. (3.18)
Подставляя (3.10), (3.15), (3.16) и (3.18) в уравнение Власова (3.9),
получаем
-iufi (v) + гк • v/, (v) - ^-Е • Vvf0(v) = 0.
(3.19)
Решение этого уравнения
/i(v)
(3.20)
ie E ■ У„/о(^)
те (cj — к • v)
Для определенности будем считать, что плоские волны
распространяются вдоль направления х, т. е. к = А;х. Поэтому, к • v = kvx
и решение (3.20) имеет следующий вид:
/.И
_ ie E • У„/0(«)
(3.21)
те {и - kvx)
При таком выборе системы координат продольная компонента
волнового электрического поля — это Е/ = Ех% а поперечная — Е* = Еуу +
+ Ez% как показано на рис. 1.
Рис. 1. Относительная ориентация волнового вектора к и электрического поля
волны Е в декартовой системе координат
§ 3. Общие уравнения для плоской волны
425
3.3. Выражение для плотности тока
Теперь получим выражения для компонент плотности тока J в
декартовой системе координат. Подставляя (3.21) в (3.14), получаем
л = -^-
[ у[Е-У„/0(«)]^
(и — kvx)
Отметим, что компонента х этого выражения равна
Jx —
ге
те
(uj-kvx)
(3.22)
(3.23)
где интегрирование происходит по трем переменным vx, vy, vz в
пределах от —оо до +оо. Используя тождество (3.17), замечаем, что
vx EjVj df0(v)d3v = 0
(и — kvx) v dv
(3.24)
для j = y,z, поскольку под интегралом стоит четная функция от Vj.
Следовательно, единственный вклад от члена Е • Vv/o(v) в я-компо-
ненту J дает член Edfo(v)/dvx, т. е. (3.23) можно переписать как
ге2
Jx — ^х
dfo(v)
<1лу.
(со — kvx) dvx
V
Аналогично, у- и z-компоненты (3.22) будут определяться как
ге2
j __z_ FT
Jz =
ге
(cj — kvx) dvy
(cj — kvx) dvz
(3.25)
(3.26)
(3.27)
Отметим, что JXr Jy и Jz линейно связаны с Ех, Еу и Ez
соответственно. Это свойство — следствие изотропии плазмы, которая существует
при отсутствии внешнего магнитного поля.
3.4. Разделение на различные моды
В заключение используем два уравнения Максвелла (2.4) и (2.5),
которые для полей, заданных (3.15) и (3.16), сводятся к
ifcxxE = iuB, (3.28)
ltd-.
г/сх х В = /xqJ 9"Е
(3.29)
В декартовой системе координат ххЕ = Eyz — Ezy, так что
компоненты векторов из уравнений (3.28) и (3.29) определяются как
426
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
иВх = 0, (3.30)
cuBy = -kEz, (3.31)
uBz = kEy (3.32)
и
fioJx - Цех = 0, (3.33)
с
-ikBz = fi0Jy - ^Еу, (3.34)
с
гкВу = /хоЛ - ™EZt (3.35)
с
где компоненты тока J заданы уравнениями (3.25)-(3.27).
Исследование этих уравнений показывает, что электромагнитные
поля можно разделить на четыре независимые группы, каждая из
которых зависит от следующих переменных:
а) Jx, Ex (уравнение (3.33)),
б) Вх (уравнение (3.30)),
в) Jy, Ey, Bz (уравнения (3.32) и (3.34)),
г) Jz, Ez, By (уравнения (3.31) и (3.35)).
Первая группа содержит электрическое поле и плотность тока в
направлении вектора к, т. е. вдоль нормали первоначального плоского
волнового возмущения в плазме, но не содержит магнитного поля. Эта
группа дает продольную плазменную волновую моду, так как средняя
скорость частиц направлена так же, как к. Вторая группа не задает
волновой моды, так как с ней не связаны никакие токи, и поэтому
она не влияет на коллективное движение электронов. Она только
показывает, что магнитного поля, связанного с продольными плазменными
волнами, нет, т. е. они электростатические. Третья и четвертая группы
зависят от электрических и магнитных полей, перпендикулярных к.
Плотность электрического тока и, очевидно, средняя скорость
движения частиц также перпендикулярны направлению нормали к волне.
Отметим, что Е, В и к образуют тройку взаимно перпендикулярных
векторов. Эти две группы образуют два различных типа поляризации
поперечной электромагнитной волны. В следующем параграфе
обсудим характеристики продольных плазменных волн. Характеристики
поперечной электромагнитной волны рассматриваются в § 5.
§ 4. Электростатическая продольная волна в горячей
изотропной плазме
4.1. Вывод дисперсионного соотношения
Собственное поведение продольной плазменной волны описывается
дисперсионным соотношением. Это уравнение, связывающее
переменные и и /с, определяет естественные волновые моды системы. Для вы-
§ 4. Электростатическая продольная волна
427
вода дисперсионного соотношения для продольной плазменной волны
используем (3.33) с Jx, заданным соотношением (3.25),
ujpeEx
JOjx —
TIqUJ
Ух df^d3v.
(kvx — uj) dvx
(4.1)
В результате деления этого уравнения на Ех ф О получаем
дисперсионное соотношение для продольной плазменной волны
1 = и*>е
UqUJ
Ух dMv>>d3v.
(kvx — uj) dvx
(4.2)
Удобно упростить (4.2) заметив, что
dfo(v)
Ух df°(v)d3v = -
(kvx — uj) dvx k
dvx \ (kvx — uj)
+ 1 )d3v =
dfo(y)
dvx (kvx — uj)
d3v, (4.3)
так как
ovx
+oo +00
dvv
dvz\fo(v)£Z = 0
(4.4)
—oo —oo
поскольку fo(v) равно нулю в обоих пределах. Следовательно,
дисперсионное соотношение принимает вид
1 _ ире
2 i
щк J
dfo(v)
i
dvx (vx — w/fc)
d?v.
(4.5)
Полезную альтернативную форму этого дисперсионного
соотношения можно получить путем интегрирования по частям по переменной
vx. Используя соотношение
UdV = UV\ba -
VdU
(4.6)
для интегрирования по vx в (4.5), где
U=-f Цтт,
(vx — oj/k)
V = f0(v),
dU
dvx
(vx — ui/k)2
dV=9mdVxt
ovx
(4.7)
428
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
преобразуем тройной интеграл в (4.5) к виду
+оо +оо +оо
d/oW l—dv dv dv =
dvx (vx-co/k)dVxdVydVz
dvv
dvz
-oo —oo
/o(«)
(vx — cd/k)
Vx= + 00
+00
+
/o(«)
(vx — uj/k)
2^Vx
h^_d\. (4.8)
(vx — oj/k)
Следовательно, дисперсионное соотношение (4.5) можно записать как
щк2
/о(«)
(vx — и>/к)
;d?v.
(4.9)
4.2. Предел холодной плазмы
Прежде чем приступить к дальнейшему анализу дисперсионного
соотношения (4.9), имеет смысл исследовать результаты для предельного
случая холодной плазмы, когда распределение электронов по скоростям
в равновесии задано в виде
fo{v) = no5{vx)5{vy)5(vz), (4.10)
где 5(х) — дельта-функция Дирака, определяемая как
+оо
5(х) = оо для х = О,
S(x)dx = 1.
(4.11)
Подставляя (4.10) в дисперсионное соотношение (4.9) и используя
следующее свойство дельта-функции Дирака:
+оо
f(x)S(x-xo)dx = f(x0), (4.12)
получаем
или
1 - ^21
к2
Г 6(ух)6(Уу)6{уг)^
(vx — и/к)
и =шре,
(4.13)
(4.14)
что согласуется с результатом для холодной плазмы, полученным
в §4 гл. 16.
4.3. Предел высокой фазовой скорости
Другой важный результат можно мгновенно получить из
дисперсионного соотношения (4.9) для предельного случая, когда фазовая
скорость волны и/к много больше, чем скорость почти всех элек-
§ 4. Электростатическая продольная волна
429
тронов. В пределе высокой фазовой скорости имеет смысл разложить
(1 - kvx/u)~ в биноминальный ряд и сохранить только первые члены,
так как kvx/u <С 1. Поскольку для любого |е| < 1 имеем
(1 _ с)~2 = 1 + 2б + Зб2 + 4б3 + ..., (4.15)
дисперсионное соотношение (4.9) (для |г>х| <^и/к) принимает форму
1 = -^
щи)2 J
.ЛИ ^ = 4Г1+2^«.>о + з4(«£>о +
(1 -kvx/wy u>z \ и u>z
(4.16)
где средние величины с индексом 0 вычислены с использованием
равновесной функции распределения fo(v). Так как плазма
предполагается неподвижной, то (vx) = их = О, и второе слагаемое в правой
части (4.16) исчезает. В первом приближении получаем и2 = си2е, что
опять совпадает с (4.14), полученным в пределе холодной плазмы. Для
небольшой коррекции результата для холодной плазмы рассмотрим
следующий ненулевой член разложения (4.16). Предполагая, что
функция распределения равновесная, и используя определение абсолютной
температуры
(^)о = (4)о = |(с2)о=^, (4.17)
где Те — температура электронного газа в равновесии, кв —
постоянная Больцмана, приводим дисперсионное соотношение (4.16) к виду
Так как второй член в правой части (4.18) в пределе высокой фазовой
скорости мал, то в этом малом члене (и только в нем) можно заменить
и на сире (которая по порядку величины равна и, когда этот член равен
нулю) и переписать (4.18) как
ш2 = ш1+3к2^^. (4.19)
"ре
ТПе
Этот результат известен как дисперсионное соотношение Бома-
Гросса. Отметим, что оно идентично результату, полученному в модели
теплой плазмы без учета столкновений и с отношением теплоемкостей
7 = 3. Так как 7 связано с числом степеней свободы N соотношением
7=^, (4-20)
то, очевидно, что 7 — 3 соответствует случаю, когда электронный газ
имеет одну степень свободы (N = 1), т. е. электроны движутся только
в направлении распространения волны.
Если в разложении в биноминальный ряд оставить дополнительные
члены, то можно получить дальнейшие приближения дисперсионного
соотношения. Во всех таких приближениях и остается действительной,
430
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
т. е. продольная плазменная волна имеет амплитуду, постоянную во
времени. Со временем нет ни роста, ни затухания волны. Обычно
ограничиваются приближениями дисперсионного соотношения,
соответствующими (4.19). Используя определение радиуса Дебая А#,
дисперсионное соотношение Бома-Гросса можно переписать в виде
UJ
= u4(l+3fc2Ab)
(4.21)
4.4. Дисперсионное соотношение для функции распределения
Максвелла
Рассмотрим дисперсионное соотношение для продольных волн (4.5)
в важном случае, когда fo(v) представляет собой функцию
распределения Максвелла для стационарной равновесной плазмы
Л("> = "° Urifefe) ехр
mev
' 2квТе
(4.22)
В этом случае тщательный анализ (4.5) показывает, что и имеет
отрицательную мнимую часть, что приводит к затуханию электронной
плазменной волны во времени. Это временное затухание, возникающее
при отсутствии столкновений, называется затуханием Ландау и
будет обсуждаться в следующем разделе.
Сейчас выведем дисперсионное соотношение для продольной
электронной волны, используя равновесную функцию распределения
Максвелла-Больцмана. Подстановка (4.22) в (4.5) дает
2
Upe ГПе
щк2 квТе J
vxfo(v) * =
(vx — и/к)
щк2 квТе
( ГПе \
\2тгквТе)
3/2
+оо
(vx — со/к)
ехр
ГПеУх
'2квТе
dvx
+оо
ехр -
+ 00
-pi-ign^- (423)
Второй и третий интегралы равны (2тгквТе/те) ' . Удобно ввести
следующие безразмерные параметры
С =
("/*)
ч =
(2квТе/те)
Vx
1/2'
(2квТе/те)
1/2'
(4.24)
(4.25)
§ 4. Электростатическая продольная волна
431
с использованием которых дисперсионное соотношение (4.23)
упрощается до
+оо
к2 = -U.
1
Ре/СвТе7Г1/2
qexp(-q )
q-C
dq.
(4.26)
Используя обозначение
+оо
1(C) =
1/2
qexp(-q )
q-C
dq
(4.27)
и заменяя (квТе/те) на X2dcl}2€, из (4.26) получаем
k2X2D + 1(C) = 0. (4.28)
Вычисление интеграла 1(C) не однозначно из-за особенности q = С,
когда для действительного о;(/с) знаменатель становится равным нулю
на действительной оси vx. Для комплексной ш(к), которая
соответствует затухающим волнам (Im{o;} < 0), или неустойчивым волнам
(Im{o;} > 0), особенность лежит вне пути интегрирования вдоль
действительной оси vx. Однако упрощенный вывод дисперсионного
соотношения не объясняет, какой именно контур интегрирования
необходимо выбрать в комплексной плоскости vx. Возможные контуры
интегрирования показаны на рис. 2 для следующих случаев: а — неустойчивая
lm{q}
lm{q}
lm{q}
Re{q}
Рис. 2. Интегрирование по контуру в комплексной плоскости v(x) для: а —
lm{cj} > 0; б - lm{cj} = 0; в - 1т{и} < 0
волна с Im{o;} > 0; б — действительная и(к)\ в — затухающая волна
Im{a;} < 0. Ландау первым правильно рассмотрел проблему как
задачу Коши. Если нас интересует поведение плазмы после начального
возмущения, то принцип причинности требует, чтобы до начала
работы источника полей не было. Согласно хорошо известной в теории
комплексных переменных теореме вычетов, значение интеграла в
комплексной области с замкнутым контуром интегрирования, показанным
на рис. 2, равно 2т умножить на сумму вычетов внутри замкнутого
контура. Интеграл равен нулю, если особенностей внутри контура
интегрирования нет. Таким образом, природа особенностей функции
интегрирования определяет поведение полей после начального
возмущения. Правильный конур интегрирования, предложенный Ландау,
432
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
проходит вдоль действительной оси v{x) так, чтобы обойти особенность
снизу, и замыкается бесконечной полуокружностью в верхней части
комплексной плоскости v(x), как показано на рис. 2.
Техника интегрирования по контуру, замкнутому неограниченной
полуокружностью в верхней части полуплоскости, работает, если вклад
интеграла вдоль полуокружности исчезает при стремлении радиуса
к бесконечности. Интеграл 1(C), заданный (4.27), нельзя взять
обычным методом вычетов, так как подинтегральная функция расходится
при q = ±гоо.
Для того чтобы привести этот интеграл к виду, который позволяет
взять его посредством вычетов или каким-либо другим методом,
заметим, что
-3— - 1 + -^> (4.29)
Q-C
Q-C
отсюда имеем
+оо
1(C) =
г'/2
О + -fTc) eM-Q2)dq. (4.30)
Первый интеграл с правой стороны этого уравнения равен единице,
поэтому
1(C) = 1 +
с
,г'/2
+оо
ехр(-д )
Q-C
dq.
(4.31)
Для взятия интеграла удобно ввести в выражении (4.31) параметр
5, определив его следующим образом:
+оо
G(C,8) =
1/2
expj-sq )
Q-C
dq.
(4.32)
Так как интеграл 1(C) имеет вид
I(C) = l+CG(C,l),
то дисперсионное соотношение (4.28) переходит в
k2X2D + l+CG(C,l) = 0.
(4.33)
(4.34)
Определение G(C, s) посредством (4.32) необходимо, поскольку
позволяет вычислять G(C, 1), преобразовав интеграл в дифференциальное
уравнение. Для начала заметим, что интеграл в (4.32) можно
переписать в виде
+оо
G(C,s) =
J_
r'/2
q+_C_
С2
exp(—sq2)dq.
(4.35)
§ 4. Электростатическая продольная волна
433
Первый интеграл в правой части этого уравнения исчезает, так как
под интегралом стоит четная функция q. Отсюда получаем другое
выражение для G(C,s):
+00
С
G(C,s) = ^j-2
exp(-sq2)^
q -С
(4.36)
Дифференцирование (4.36) по 5 дает
+оо
dG(C, s) = С_
ds ~ ^/2
q^M~^dq =
q -с
+оо
с
1 +
с1
q2~C>
exp(-sq2)dq. (4.37)
Вычислив первый интеграл, получаем —C/s1/2, так что
dGfs's) =—!щ- C2G(C, s). (4.38)
Далее, умножим это дифференциальное уравнение на exp(sC2) и
заметим, что
^[G(C,s)exp(sC2)] = exp(sC2) [^~ + C2G(C,i
Поэтому (4.38) можно переписать в виде
£[G(C, s) exp(sC2)} = —% exp(sC]
(4.39)
(4.40)
Интегрирование обеих частей этого уравнения в пределах от 5 = 0 до
5 = 1 дает
G(C, l)exp(C2) -G(C,0) = -С
(
или после перегруппировки членов
G(C, 1) = G(C,0)exp(-C2) - Сехр(-С2
^gp-da (4.41)
^ф-'ds. (4.42)
sl/z
Интеграл G(C, 0) легко вычисляется для случая слабого затухания
(большая фазовая скорость). В этом случае полюс при vx = и /к лежит
вблизи действительной оси vx, и G(C,0) вычисляется как несобствен-
28 Биттенкорт Ж.А.
434
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
ный интеграл следующим образом:
+оо
+Х
G(C,0) = -^
dq
lim
X—>оо
= lim
Х-^оо
И/2
In I
■ 1
nr1/2
1-7Г J
X-C
x + c
X
)]
dq 1
l
~~ nM2
7Г
ln(-l) =
1
И/2
Me**)
«n = ,vi/2
г7г
(4.43)
Интеграл G(C, 0) можно также вычислить методом вычетов, используя
соответствующий контур интегрирования в комплексной плоскости q,
как показано на рис. 2, б. Вычисление приводит к такому же
результату, если использовать главное значение интеграла в смысле Коши.
Поэтому (4.42) принимает вид
G(C, 1) = гтг1/2ехр(-С2) - Сехр(-С2
exp(sC ) ,
ei/2 as'
(4.44)
Интеграл, оставшийся в правой части (4.44), можно переписать в
другом виде, перейдя от переменной 5 к W2/C2. Итак, ds/s1/2 = 2dW/C и
G{C, 1)=гтг1/2ехр(-С2)-2
exp(W2 - C2)dW.
(4.45)
Хотя этот интеграл и нельзя вычислить в явном виде, он записан
в виде, удобном для численных расчетов.
Подстановка (4.45) в (4.34) приводит к следующему выражению для
дисперсионного соотношения:
с
-k2\2D = 1 +гСтг1/2ехр(-С2) - 2С
exp(W2 - C2)dW. (4.46)
Оставшийся здесь интеграл вычисляется численно, мнимый член
известен как член, ответственный за затухание Ландау. Формальная
процедура вычисления к как функции и (или наоборот) из этого
дисперсионного соотношения заключается в выборе заданной величины
С, определенной в (4.24), и численном вычислении соответствующего
значения дисперсионной функции. Уравнение (4.46) можно
использовать для вычисления волнового числа к.
4.5. Затухание Ландау
Покажем, что (4.46) отражает затухание во времени продольной
плазменной волны. Для этого удобно сделать приближенную оценку
дисперсионного соотношения. Специальный случай большой фазовой
§ 4. Электростатическая продольная волна
435
скорости и слабого затухания можно проанализировать
непосредственно. В то же время он дает частичную проверку точности
дисперсионного соотношения Бома-Гросса, полученного ранее. Более того, в
этом случае получается явное выражение для мнимой части и.
Поэтому найдем приближенное выражение для дисперсионной функции
в предельном случае С ^$> 1
2С
exp(W2 - C2)dW.
(4.47)
На первом этапе уравнение (4.47) можно переписать, сделав замену
переменных £ = С2 — W2, которая приводит к
/ с ч -1/2
(l - ^) exp(-£R.
(4.48)
Так как £ < С2 во всей области интегрирования, то (1 — £/С2)
можно разложить в биноминальный ряд
-1/2
(■-£)
-1/2
1 ^ - -а ^ Q/-.4
2&
8СЧ
+ ...+
1-3-
2пп\
^ (£)" + -
(4.49)
Если это разложение подставить в (4.48) и проинтегрировать каждый
член, заметив, что
Ш"»р«« = ^-
то получим
/1 = 1 +
с1
- ехр(-С2)
-^ + ^-+ +
2С2 АС4
п п(п — 1)
С2
С4
+ ...+
С
-2п
(4.50)
1 • 3 •... • (2п- 1)
+ ... + 0{ехр(-С2)},
° (4.51)
где 0{ехр(—С2)} — член порядка ехр(—С2). Хотя это асимптотическое
разложение расходится при п —► оо, но, если оставить в разложении
только несколько первых членов, то получится разумная оценка для
1\, поскольку С велико. Поэтому, оставляя только три первых члена
(4.51), получаем дисперсионное соотношение (4.46) в пределе высокой
фазовой скорости
^Л2 = JL + 3 _ i7rl/2Cexp(_C2)>
(4.52)
28*
436
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
С помощью (4.24), которое определяет С, и определения дебаевской
длины \d уравнение (4.42) можно переписать в виде
г(тг/2)1/2 ( и; ч3
СОре
4 = l+3fc%(^)2-4^f^Vexp[-^f^
<4е V\0jj k3X3D \UpeJ У\ 2k2\2D\UpeJ
(4.53)
В пределе высокой фазовой скорости второй член в правой части (4.53)
мал по сравнению с первым, а третий член экспоненциально мал по
сравнению с первым, поэтому плазма осциллирует с частотой, близкой
к плазменной частоте ире. Отметим, что этот предел соответствует
также пределу длинных волн. Поэтому (4.53) можно далее
аппроксимировать как
i
ехр
Р€ ГПе
г(тг/2)
1/2. ,5
2к\квТе/гпе)
к3(квТе/те)3/2
(4.54)
где в правой части (4.53) ш было заменено на ире, за исключением
экспоненциального члена, где вместо и2 было подставлено соотношение
Бома-Гросса (4.49).
Отметим, что первые два члена в (4.54) соответствуют результату
Бома-Гросса, тогда как мнимый член является новым. Разделяя и на
действительную и мнимую части, и = ur + iui, и замечая, что
2ojr
получаем (принимая uj.
t(7T/8)
: Ш.
ре J
U)i = --
1/2 4
wpe
k6(kBTe/me)
3/2
ехр
,2
°ре
L 2кг(квТе/гпе)
(4.55)
(4.56)
Этот отрицательный мнимый член в и ведет к затуханию во времени
амплитуды волны, так как для стоячей волны (где к — действительное)
волновая функция пропорциональна
exp(ikx — iut) = exp(ikx — iurt) exp(a^£).
(4.57)
Это затухание во времени амплитуды продольной плазменной волны
впервые обнаружил Л. Д. Ландау, и (4.56) называется декрементом
затухания Ландау.
Затухание Ландау амплитуды продольной плазменной волны
возникает в отсутствие явных диссипативных механизмов, таких как
столкновения электронов с тяжелыми частицами. Физический механизм,
ответственный за бесстолкновительное затухание Ландау, — это
взаимодействие волна-частица, т. е. взаимодействие электронов с волной
электрического поля Ex5icos(kx — cut). Электроны, которые в начале
имеют скорости, близкие к фазовой скорости волны, захватываются
внутри движущихся потенциальных барьеров волны, и этот захват
§ 5. Поперечная волна в горячей изотропной плазме 437
приводит к обмену энергией между электронами и волной. Для
функции распределения по скоростям Максвелла-Больцмана для малых к
фазовая скорость лежит далеко в хвосте распределения, и затуханием
можно пренебречь. Однако для значений к, близких к 1/А^,
фазовая скорость лежит ближе к максимуму, как это показано на рис. 3.
Следовательно, существует диапазон скоростей Av, близкий kv = и/к,
О со/к v
Рис. 3. Равновесная функция распределения электронов показывает, что
внутри интервала скоростей Av вблизи фазовой скорости (со/к) электронов,
движущихся медленнее, чем (со/к), больше, чем движущихся быстрее (со/к)
где электронов, движущихся медленнее ии/к, больше, чем движущихся
быстрее ии/к. Поэтому захват электронов волновым потенциалом будет
приводить в среднем к росту энергии электронов за счет энергии
волны. Это происходит в области, где производная dfo/dvx
отрицательна, как показано на рис. 3. В некоторых случаях первоначальное
распределение электронов по скоростям можно выбрать таким образом,
что частота щ становится положительной и возникает неустойчивое
состояние, когда амплитуда волны растет во времени. Это происходит,
если производная dfo/dvx положительна при vx = и/к.
Важно отметить, что декремент затухания Ландау зависит от
полюса подынтегральной функции из (4.31), который возникает, когда
величина компоненты электронной скорости vx (параллельная к) равна
фазовой скорости волны (и/к). Это свойство — математическое
отражение того факта, что взаимодействие волна-частица эффективно только
тогда, когда скорость электронов близка к фазовой скорости волны.
§ 5. Поперечная волна в горячей изотропной плазме
5.1. Вывод дисперсионного соотношения
Третья и четвертая независимые группы полей, состоящие из Jy,
Еу, Bz и Jz, Ez, By соответственно, отвечают за две разные
поляризации поперечной волновой моды. Для вывода дисперсионного
соотношения для поперечной электромагнитной волны рассмотрим сначала
438
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
уравнения (3.26), (3.32) и (3.34). Подстановка Bz из (3.32) в (3.34)
дает
- Jу.
Еу -
/I 2 2 2\ "V
б0(/с с -и )
Комбинируя его с (3.26), чтобы избавиться от Jy, получаем
Ev =
и\еи
noK - * О
■Ev
kvx — cj dvy
(5.1)
(5.2)
Точно так же, комбинируя (3.27), (3.31) и (3.35), находим, что
уравнение для Ez аналогично (5.2). Проинтегрировав по частям интеграл по
vy в (5.2), выражение можно упростить
+оо
dfoM 1 г ( \
V ^= + СХ)
vv = — оо
+оо
fo(v)dvy.
(5.3)
Первый член в правой части этого уравнения исчезает, так как fo(v)
стремится к нулю при vy = ±oo. Следовательно, из (5.2) получается
следующее дисперсионное соотношение для поперечной
электромагнитной волны:
kzcz-iuz =
щк
Му)
(vx — ш/к)
d3v.
(5.4)
5.2. Результат для холодной плазмы
Снова исследуем предельный случай холодной плазмы с функцией
распределения (4.10). Подставляя (4.10) в (5.4), и используя свойства
дельта-функции Дирака (4.12), находим
кЧ = и?
■ш„
(5-5)
Этот результат идентичен полученному в гл. 16 в модели холодной
плазмы (см. (16.4.12)).
5.3. Дисперсионное соотношение для функции распределения
Максвелла
Рассматривая в (5.4) распределение fo(v) в виде функции
распределения Максвелла-Больцмана, после интегрирования по vy и vz
получаем
+оо
,2 „2
kzc
■ U
ире 1/2
7Г
ехр(-д )
dq,
(5.6)
где были введены безразмерные параметры С и q согласно (4.24)
и (4.25) соответственно. Интеграл, появившийся в (5.6), такой же, как
интеграл G(C,s) для 5=1, определенный в (4.32), так что можно
переписать дисперсионное соотношение (5.6) в виде
kzcz-uz=uleCG(CA).
(57)
§ 5. Поперечная волна в горячей изотропной плазме 439
Для слабого затухания можно использовать (4.45), что приводит к
fcV -и2= u;e[i7rzCexp(-Cz) - 2С
exp(W2 - C2)dW). (5.8)
5.4. Затухание Ландау поперечных волн
В отличие от случая затухания Ландау продольных плазменных
волн, затухание Ландау поперечных электромагнитных волн, которое
возникает в (5.8), в силу малой отрицательной мнимой части ш
пренебрежимо мало. Для подтверждения сказанного выше оценим
приближенно дисперсионное соотношение (5.8) в пределе высокой фазовой
скорости. В этом пределе, когда С велико, можно использовать
уравнение (4.51). Для того чтобы получить первое приближение
действительной части и, достаточно оставить только первый член в (4.51), так что
в пределе высокой фазовой скорости выражение (5.8) упрощается до
к2 с2 =и2- u2ve + i7r^2u2peCexp(-C2). (5.9)
Этот результат похож на дисперсионное соотношение, полученное в
модели холодной плазмы без учета столкновений, за исключением члена,
отвечающего за затухание Ландау.
В пределе высокой фазовой скорости (С > 1) декремент затухания
Ландау очень мал, и в первом приближении может быть опущен.
В результате (5.9) упрощается к соотношению для холодной плазмы
(5.5). Из уравнения (5.5) видно, что при и > шре фазовая скорость
и/к больше с (скорость электромагнитных волн в вакууме). Поэтому
С оказывается порядка очень большой величины с/(2квТе/те)х/2. Так
как С очень велико, то затуханием Ландау поперечных волн можно
пренебречь.
Действительно, можно утверждать, что в этом случае член,
отвечающий за затухание Ландау, нулевой, так как интегрирование по
vx следует проводить только от —с до +с, а фазовая скорость всегда
больше с. Следовательно, полюс при vx = (и/к), или, что то же самое,
при q = С, лежит вне пути интегрирования вдоль действительной оси.
Поэтому условие для эффективного взаимодействия волна-частица для
поперечных электромагнитных волн в диапазоне частот
распространения не выполняется (так как и/к больше с), и, в результате, затухания
волны нет. С другой стороны, для продольной плазменной волны
существуют частоты, для которых фазовая скорость волны по порядку
величины совпадает с тепловой скоростью электронов, поэтому
взаимодействие волна-частица может успешно сработать, в результате чего
декремент затухания Ландау для продольных волн с малой фазовой
скоростью становится существенным.
440
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
§ 6. Двухпотоковая неустойчивость
В этом параграфе в качестве примера ситуации, когда
взаимодействие волна-частица приводит к росту амплитуды волны за счет
кинетической энергии частиц плазмы, рассмотрим так называемую
двухпотоковую неустойчивость. Хотя неустойчивость возникает в
достаточно широком диапазоне условий в пучке, будем
рассматривать простой случай двух противоположно направленных однородных
пучков электронов с одинаковой концентрацией щ/2. Первый поток
движется в направлении х со скоростью V£> = г>£>х, а второй — в
противоположном направлении со скоростью V£> = — г>£>х. Предположим,
что каждая частица в каждом потоке имеет скорость, равную скорости
пучка, т. е. все частицы предполагаются холодными, и функцию
распределения электронов можно представить с помощью дельта-функции
Дирака:
fo(v) = ^n0[6(vx - VD) + 5(vx + VD)]6(yy)6(yz).
(6.1)
Эта функция распределения показана на рис. 4 для ^-компоненты.
foM
(^-функция
Дирака
—vd 0 vd v*
Рис. 4. Иллюстрация г^-компоненты функции распределения (6.1)
Для продольных плазменных волн, распространяющихся в х-на-
правлении (k = fcx) в электронном газе, описываемом уравнением
Власова, из (4.9) следует дисперсионное соотношение
1
no k
/о(«)
(vx — ы/к)
rrfV
(6.2)
Подстановка (6.1) в (6.2) дает
+оо
1 = 2^Ре
+оо
6{vx-Vd) + 6{vx + Vd)
(kvx — uj)2
dvx
+oo
5(vy)dvy S(vz)dvz. (6.3)
§ 6. Двухпотоковая неустойчивость
441
Интегрируя по всем 5-функциям в (6.3), получаем
1
1 2
2Шре
+
[(kvo — cj)2 (kvo+u)2
(6.4)
Это дисперсионное соотношение записано для продольных волн (с
волновой нормалью в направлении первого электронного потока) в
электронной плазме с противоположно направленными потоками,
заданными функцией распределения (6.1). Предположим, что волновое число
к для продольной плазменной волны действительное (стоячие волны),
и исследуем возможность роста или затухания амплитуды волны во
времени.
Уравнение (6.4) можно привести к многочлену следующего вида:
и
<4-Ви;2 + С = О,
(6.5)
где
B = uL+2k2v2D,
ре
С = k2v2D(k2v2D - и.
(6.6)
(6.7)
Отметим, что В — всегда положительное число, а С может быть
либо положительным, если klvlD > ш^е, либо отрицательным, если
k2v2D < u2e. Уравнение (6.5) имеет два корня для и2, а именно:
«f-jB+^-c)
*§='в-(1в>-с)
1/2
1
1/2
(6.8)
(6.9)
Далее покажем, что неустойчивость может возникнуть только тогда,
когда k2v2D < и2е.
Вначале заметим, что С > О для k2v2D > u2e, поэтому как и2,
так и ш\ — положительные действительные величины и ни роста,
ни затухания амплитуды волны со временем нет. С другой стороны,
для k2v2D < и2е имеем С < О, откуда частота си2 — по-прежнему
положительная действительная, а и\ — отрицательная действительная.
Следовательно, и>2 имеет два мнимых значения (одно положительное,
а другое отрицательное). Положительное мнимое значение Ш2
соответствует неустойчивой моде, так как для Ш2 = i^2% с действительной
и положительной величиной Ш2% получаем: ехр(—zo^t) = exp(o;2i£).
Следовательно, скорость роста
^2г
\-\в + {1#-с)
1/2
-,1/2
С<0,
(6.10)
442
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
или, используя (6.6) или (6.7),
«* = Ь(ке + *Ч) + l(Ue + *Ч)2 - кЧп(кЧ1 - О]'/*}'/*,
(6.11)
которое справедливо для k2v2D < и2е.
Максимальная величина инкремента (6.11) соответствует
минимальной величине uj\ в (6.9), так как uj\{ — —и\. Исследуя производную
и\ по к, находим, что минимум и\ соответствует k2v2D = (3/8)ш2е,
а величина и\ равна при этом —и2е/8.
Следовательно, максимальная скорость роста
1
max _
1/2^ре-
(6.12)
§ 7. Выводы
7.1. Продольная мода
Дисперсионное соотношение (для к = /сх)
щи
(kvx — oj) dvx
Другие формы дисперсионного соотношения:
щк J
dfo(v)
1
dvx (vx — и/к)
v.
щк2 J
fo(v)
(vx — u>/k)
;d?V.
(4.2)
(4.5)
(4.9)
Для fo(v) — функции распределения Максвелла-Больцмана
с
-k2X2D = 1 +гСтг1/2ехр(-С2) - 2С
exp(W2 - C2)dW. (4.46)
В пределе холодной плазмы имеем стационарные
электростатические колебания с плазменной частотой
2 2
и =ире
(4.14)
В пределе высокой фазовой скорости получаем результат для
модели теплой плазмы (дисперсионное соотношение Бома-Гросса) для
электронной плазменной волны
2 2 , т2квТе
и = ш„р + бк
"ре
(4.19)
§ 7. Задачи
443
(4.56)
Декремент затухания Ландау (временного) равен (с и = иг +Ш{)
ш = i{*/syi^U г ш1 _ з
k\kBTe/mef/2 [ 2к\квТе/те) 2
7.2. Поперечная мода
Дисперсионное соотношение (для k = fcx)
к2с2-и2
щк
/о(«)
(vx — и/к)
d3v.
Для /o(v) — функции распределения Максвёлла-Больцмана
с
к2с2 -w2 = w2[m2Cexp(-C2) - 1С
(5.4)
exp{W2 - C2)dW]. (5.8)
В пределах холодной и теплой плазмы имеем
к2с2 = ш2-и2ре. (5.5)
В пределе высокой фазовой скорости получаем
кЧ =uj2- ш2ре + гтг'/2^еС7ехр(-С2). (5.9)
В этом случае затухания Ландау нет, поскольку vph ^ с.
Задачи
18.1. Поскольку продольная плазменная волна —
электростатическое колебание, можно вывести дисперсионное соотношение из
уравнения Пуассона, которому удовлетворяет электростатический
потенциал </>(г,£), не используя уравнения Максвелла. Рассмотрите задачу
о распространении продольных волн малой амплитуды в направлении
оси х в электронном газе (двигаются только электроны относительно
неподвижного фона ионов). Предположите, что
/(г, v, t) = /0(v) + /i(v) exp(ikx - tut),
E(r, t) = 9.Eexp(ikx — iut),
где |/i| <C /o, /o(v) — невозмущенная равновесная функция
распределения, a E(r,t) — внутреннее электрическое поле, возникшее в
электронном газе из-за возмущения малой амплитуды. Используя
линеаризованное уравнение Власова (пренебрегая членами второго порядка)
выразите /i(v) через Е = — V0 и Vv/o. Используя этот результат
444
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
в уравнении Пуассона, получите следующее дисперсионное
соотношение для продольных волн, распространяющихся в направлении оси х:
.2
1
по к
dfi
О
1
dvx {vx — w/k)
d»v.
18.2. Покажите, разложив в ряд подинтегральную функцию, что
с _
2С
exp(W2 - C2)dW = 2С2 5Z (- 1)ПГ
пп/^2п
п=0
1 .3-5-...-(2п- 1)(2п+1) '
Покажите для С <С 1 при (си/к) <С (2квТе/те)1/2, что дисперсионное
соотношение для продольной плазменной волны упрощается до
№ = -1
или
к2ГквТе^2
V ГПе J
Этот результат в низкочастотном пределе получается в
макроскопической модели теплой плазмы, когда для электронного газа используется
изотермическая скорость звука Vse = (квТе/те) ' .
18.3. а) Покажите, что дисперсионное соотношение для
продольной плазменной волны (k = fcx) для случая неограниченной однородной
плазмы, в которой учитывается движение электронов и ионов, можно
записать в виде
2
ирсх
4^ пок2 J
dft
Оа
1
dvx (vx — со/к)
d3v,
где а = г, е. Показать, что это дисперсионное соотношение можно
преобразовать к виду
i = i
+
((vx-u/kf)oe (ы-ш/к)\у
где а = г, е,
foocjv)
;<TV.
((Vx-w/kf) n»J (Vx-Uj/к)'
\ I Оа v
б) В модели холодной плазмы, для которой
foa = no5(vx)5(vy)5(vz),
покажите, что дисперсионное соотношение упрощается до
, ,2 _ . ,2 ,2 _ п0е2
§ 7. Задачи
445
где fi = memi/(me + raj — приведенная масса электрона и иона.
в) В пределе высокой фазовой скорости, раскладывая в
биноминальный ряд, покажите, что дисперсионное соотношение принимает форму
^
J-
1+3
к2 квТе
+ ... +
.2
1+3
к2 квЪ
Покажите, что это уравнение можно переписать как
+
1.
2 2
_ CJpe + Upj
А о
U)
1+3
/с kBTh
со2 М
+ ...
где Th — гибридная температура, которая определяется как
(т2Те+т2еТ^
Th =
(me +7Tli)
При каких условиях это соотношение упрощается до
дисперсионного соотношения Бома-Гросса для теплой электронной плазмы?
г) Покажите, что дисперсионное соотношение а) можно выразить
как
се
1 + гтг1/2Се ехр(-Се2) - 2Се [ exp(W2 - C2)dW
о
k2X2De
1
к2Х2
Di
Cei
1 + mx/2Ci exp(-C2) - 2d [ exp(W2 - C2)dW
о
где а = г, е,
л f €оквТа\
*Dct = o-
1/2
Gq- —
("/*)
(2/cBTa/ma)
1/2-
Для слабо демпфированных колебаний (щ <С о;г) в диапазоне
низких частот и малой фазовой скорости, определяемых условием
С{ > 1 > Се,
покажите, что дисперсионное соотношение упрощается до
De
446
Гл. 18. Волны в горячей изотропной плазме
Затем проверьте, что частота колебаний и декремент затухания Ландау
определяются как
\ ГГЦ /
(l+fc2A2De)
1/2'
Wi
/ТГШе \ !/2 /квТе \ '/2 к
Отметим, что условие d ^> 1 ^> Се выполнено только в том случае,
если Te/Ti > (1 + k2\2De), что предполагает сильно неизотермическую
плазму с горячими электронами и холодными ионами. Покажите, что
в диапазоне длинных волн
квТе\1/2
uv = *2 (к-Щ
\ ГГЦ J
что соответствует случаю низкочастотных ионных звуковых волн,
которые распространяются со скоростью звука, определяемой массой
ионов и электронной температурой.
18.4. Задана продольная плазменная волна, распространяющаяся
в направлении х (k = fcx) в плазме, чье равновесное состояние в
направлении нормали продольной плазменной волны характеризуется так
называемым резонансным распределением по скоростям:
fo(y) = Щ--Г- jr6(vy)6(vz),
п [vl + A2J
где А — постоянная.
а) Используя это выражение для fo(v) в дисперсионном
соотношении для продольной плазменной волны, заданной (4.9), получите
результат
j = UJpeA
+оо
2
dvx
к2 * _l(vx-u/k)2(vl+A2y
б) Вычислите интеграл а) по замкнутому контуру в верхней
полуплоскости (отметим, что существуют двойной полюс при vx = си/к и
единичный полюс при vx = iA) и получите дисперсионное соотношение
1 _ cjL 1
г 2 / ./- , - л\2 *
/с (u/k + iAy
в) Проанализируйте дисперсионное соотношение (со = сот + icoi)
и покажите, что продольная волна в этой плазме устойчива, определите
частоту колебаний (саг) и декремент затухания Ландау (u{). Сравните
этот декремент с соответствующей величиной для максвелловского
распределения скоростей для случаев, когда к\р <С 1и к\о ^ 1.
§ 7. Задачи
447
18.5. Решите линеаризованное уравнение Власова (3.9) методом
интегральных преобразований, применив преобразование Лапласа по
времени и преобразование Фурье для пространственных переменных.
Затем получите Дисперсионное соотношение для волновых мод в
горячей изотропной плазме.
18.6. Вычислите интеграл G(C,0), заданный (4.32) с s = 0, при
помощи вычетов, интегрируя по контуру в комплексной плоскости,
показанной на рис. 2.
18.7. Рассмотрите волну, распространяющуюся вдоль оси х в
плазме с электрическим полем
Ex(x,t) = Eosm(kx — cot).
а) Для малых смещений покажите, что электроны, движущиеся со
скоростью, примерно равной фазовой скорости волны, будут колебаться
с частотой
ш' =
(еЕ0к\1/2
\ те )
б) Найдите необходимые условия для захвата электронов волной.
18.8. Рассмотрите двухпотоковую неустойчивость, используя
макроскопические уравнения для холодной плазмы, для двух пучков
электронов с концентрациями
гг1,2 = опо + Щ,2 ехр(гкх — iut)
и средними скоростями
u\$ = =Ь^о + Щ,2 exp(ikx — iut).
Считайте, что электрическое поле задается как
Ех = Eq exp(ikx — iut).
Найдите дисперсионное соотношение для данной задачи и проверьте,
устойчивы ли колебания с действительными к.
Глава 19
ВОЛНЫ В ГОРЯЧЕЙ ЗАМАГНИЧЕННОИ
ПЛАЗМЕ
§ 1. Введение
В этой главе рассматривается распространение волн малой
амплитуды в горячей плазме с учетом анизотропии, возникающей из-за
наличия внешнего магнитного поля. Основное внимание уделяется
исследованию плазменных волн с волновым вектором к либо параллельным,
либо перпендикулярным внешнему магнитостатическому полю.
Плазменные волны, распространяющиеся вдоль
магнитостатического поля, как и раньше, можно разделить на три независимые группы.
Первая представляет собой продольные плазменные волны, вторая
и третья — поперечные электромагнитные волны с левой и правой
круговой поляризацией (лево- и правополяризованные).
При распространении волн поперек магнитостатического поля их
можно разделить на две группы. Первую группу представляют волны,
в которых вектор электрического поля перпендикулярен внешнему
магнитному полю (обозначаются как 7714), а вторую — волны, в которых
вектор электрического поля параллелен магнитному полю (ТЕМ) 0.
Продольная плазменная волна существует только при распространении
волны параллельно магнитостатическому полю (к [| В).
Математическое исследование задачи распространения волн в
горячей замагниченнои плазме в произвольном направлении по отношению
к направлению магнитостатического поля намного сложнее и поэтому
здесь рассматриваться не будет.
1) Данные сокращения произошли от английских выражений transverse
magnetic (TM) и transverse electromagnetic (ТЕМ). Ниже мы будем
пользоваться этими сокращениями. — Примеч. ред.
§ 2. Распространение волн вдоль магнитостатического поля 449
§ 2. Распространение волн вдоль магнитостатического
поля в горячей плазме
Рассмотрим распространение волн в неограниченной горячей
плазме, которая состоит из подвижных электронов и нейтрализующего
фона неподвижных ионов и находится в однородном магнитостатическом
поле Во.
Обозначим концентрацию электронов в равновесном состоянии (и
равную ей концентрацию ионов) как по. В отсутствие возмущений
однородная равновесная функция распределения электронов должна
удовлетворять уравнению Власова нулевого порядка
(v х В0) • Vv/0(v) = 0. (2.1)
Магнитное поле приводит к возникновению анизотропии в функции
распределения, поэтому обозначим равновесную функцию
распределения как fo(v\\,v±), где v\\ и v± — скорости электронов в параллельном
и перпендикулярном В0 направлениях соответственно.
2.1. Линеаризованное уравнение Власова
Как и ранее предположим, что возмущенную функцию
распределения можно представить в виде суммы малого возмущения /i(r,v,£) и
равновесного значения fo(v\\,v±):
f(r,v,t) = f0{v\\,v±) + fl{r,v,t), (2.2)
где |/i| <С /о- Электрическое поле E(r, t) и магнитное поле B(r, t),
связанные с плотностью заряда и плотностью тока в плазме и
зависящие от возмущения первого порядка /i(r, v, £), также являются
возмущениями первого порядка. Однако отметим, что если E(r, t) —
полное электрическое поле в плазме, то полное магнитное поле Bt(r, t)
определяется как
Bt(r,t) = B0 + B(r,t). (2.3)
Подставляя (2.2) и (2.3) в уравнение Власова (18.2.1) (уравнение (2.1)
гл. 18), пренебрегая всеми членами второго порядка, и замечая, что
равновесная функция распределения однородная, получаем следующее
линеаризованное уравнение Власова
^+v- V/i(r, v, 0 - jE(r,t)+vx B(r, *)] • V./oh^±)-
-^-[vxB0].Vt,/i(r>v>t)=0. (2.4)
2.2. Решение линеаризованного уравнения Власова
Для исследования характеристик плоских волн,
распространяющихся вдоль магнитостатического поля, предположим, что
пространственно-временная зависимость всех физических величин гармони-
29 Биттенкорт Ж.А.
450
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
ческая и определяется следующими выражениями:
Е(г, t) = Еехр(гк • г - iut),
В (г, t) = В ехр(гк • г — iut),
/1 (г, v, t) = /i (v) ехр(гк • г - iut),
(2.5)
(2.6)
(2.7)
где Е, В и /i(v) — не зависящие от времени и пространственных
координат комплексные (в общем случае) амплитуды. С такой
пространственно-временной зависимостью переменных линеаризованное
уравнение Власова приводится к виду
-t(w-k.v)/i(v)-l[vx Во] • V„/i(r,v,t) =
771,
= — |E + vxB]-V„/o(t;|,,t;±). (2.8)
771,
Чтобы решить это дифференциальное уравнение относительно f\(v),
введем цилиндрические координаты в пространстве скоростей У\\,у±,ф,
где v\\ — компонента вектора скорости вдоль магнитного поля
(см. рис. 1). Итак, Во = Bqz и
ух = v± cos ф, vy = v± sin ф, vz = V||.
Используя эти соотношения, можно записать
d
(2.9)
(1ф
(v) = (
dvx д dvy д dvz д \ * , \ _
1ф~д^~х ~1ф~дщ Иф~д^ i Jl(V) ~
= (-^+^)/iM = -(vxS).Vw/,(v). (2.10)
Подставляя это выражения в (2.8), получаем
-i(w-k.v)/1(v) + ^^ = ^-[E + vxB].Vt)/o(t;||,t;J.). (2.11)
/Tig 0/(p ТТЬе.
Рис. 1. Цилиндрическая система координат (ь\\,ь±,ф) в пространстве
скоростей, где ось v\\ направлена вдоль магнитостатического поля Во, a v± лежит
в плоскости (vx,vy), нормальной к Во
§2. Распространение волн вдоль магнитостатического поля 451
Используя выражение для электронной циклотронной частоты
Г2се = (еВо/те), можно переписать (2.11) в виде
df\ (v) _ i(co -Jc ♦ v)
йф
fi(v) = -^r[E + vxB]-Vvfo(vhv±). (2.12)
Из уравнения Максвелла V х Е можно выразить магнитное поле как
Пс
В= -(кхЕ).
(2.13)
Подставляя (2.13) в (2.12) и используя известное векторное равенство
v х (к х Е) = (v • к)к — (к • v)E, получаем в правой части (2.12):
е* 'с
-[E + vxB].Vv/o =
гаеГ2с
Trieste
_(i-?)«-v.A +
_ bj|\
fe(v ■ E) dfp
и dv\\
dfo_
(ЕхС08ф + Еу8шф)^+ЕМ
+
H— [(Ex cos ф + Ey sin ф)у± + Е\
me£lc
[\(\ - ^l) df° | kv±
Ц \ lj ) dv± uj
<} -
dfo_
dvw
в/о
(Ex cos ф + Ey sin ф) + £j| "J0
(2.T4)
Поскольку рассматривается распространение волн вдоль магнитного
поля, то к • v = kv\\ и к • Vv = k{b/dv\\).
Для удобства дальнейших вычислений выразим компоненту вектора
электрического поля в плоскости, перпендикулярной В0, в виде
линейной суперпозиции двух противоположно направленных компонент,
поляризованных по кругу. Замечая, что (х + гу)/л/2 и (х — гу)/л/2
представляют собой единичные комплексные векторы, компоненты
вектора напряженности электрического поля в декартовых координатах
E = EXZ + Eyy + Ezz (2.15)
можно переписать в виде
Е = Е+ЦХ + Е.^Х + Ezz. (2.16)
л/2 л/2
Здесь были использованы следующие обозначения:
Е±= (E*TiEy\ (2.17)
v2
Для наблюдателя, который смотрит в направлении Во, первое
слагаемое в правой части (2.16) представляет собой поле, поляризованное по
кругу, с вектором напряженности электрического поля, вращающимся
по часовой стрелке, а второе слагаемое — поле с круговой поля-
29*
452
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
ризацией и вектором напряженности, вращающимся против часовой
стрелки. Если круговая поляризация поля правая (левая) и большой
палец правой (левой) руки указывает в направлении распространения
(z), то остальные пальцы загибаются в направлении вращения вектора
электрического поля. Поэтому две линейно поляризованные взаимно
перпендикулярные компоненты электрического поля в плоскости (х,у),
нормальной к В0, могут быть представлены как две компоненты,
поляризованные по кругу с противоположными направлениями вращения.
Преимущество использования двух компонент с круговой
поляризацией состоит в том, что этот подход позволяет разделить окончательные
уравнения, описывающие поперечные электромагнитные моды, на две
независимые группы по отношению к полям.
Используя очевидное соотношение
Ехcosф + Еу sinф = -^(Е+е1ф + £_е~ '
V2
%
можно переписать (2.12) в виде
ffi(v) _ i(u-kv\\) , ( , =
йф Псе JlK }
е
е^с
(_ [V U! ) 8v± U! dv\\
^(JM"+
+E-e~i4>) + E\
dfo
dv\\
С использованием обозначений
F+(v) = F+(vhv±)e^
F.(v)=F-(vll,v±)e-i
F\\(y) = F\\(vhv±),
где
F+(v\\>v±)
F+(v\\>v±)
meQ,c
e
raeQc
kv± dfo_
dvw
(\ - tHi) ЁА + ^L
\ и ) dv± oj
Л _Ц\ dfo | kv±df0
\ и J dv± uj dv\\
E+
л/2'
E-
V5'
dfo
уравнение (2.19) переписывается как
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(1ф Clc
Для решения этого дифференциального уравнения предположим,
что
/i(v) = /,+(v) + /,_(v) + /,||(v),
(2.27)
§ 2. Распространение волн вдоль магнитостатического поля 453
где /i+(v), /i-(v) и /i|| — решения (2.26), соответствующие jF+(v),
F_(v) и jF||(v) в правой части (2.26). Следовательно,
дифференциальное уравнение, например для /i+(v), можно переписать как
£ {*♦<*
)ехр
г(и — kv\\)
Пс
Ф
F+(v\\,v±)exp
i{uj — kv\\)
"се
ф + гф
(2.28)
Интегрируя обе части этого уравнения по ф от ф = — оо до
произвольной величины ф, и замечая, что экспоненциальные члены исчезают
при ф = —оо, поскольку и имеет исчезающе малую положительную
мнимую часть, получаем
/i+(v)
Шс
cj — A; vii — Пс
-F+^y.vj.Je^ + C+exp
г(и> — /сг>ц)
0
(2.29)
Значение /i+(v) не должно изменяться, если ф возрастает или
уменьшается на величину, кратную 27Г, так как по физическому смыслу
/i + (v) должна быть однозначной функцией v. Это требование может
быть выполнено только в том случае, если С+ = 0. Поэтому имеем
где
/l+(V||,V_L) =
/i+(v) = /i + (T7||,t;j_)e**,
U) — kV\\ — Псе
F+(v\\,v±)-
Аналогично находим
где
f\-(v\\>v±
/i-(v) = f\-(v\\,v±)e
ы — kv\\ + Пс
F-(v\\,v±),
/i||(v) = /i||(v||,t;j.) = —|L-F||(t;||,t;.i)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
Подстановка соотношений (2.23), (2.24) и (2.25) в уравнения (2.31),
(2.33) и (2.34) соответственно дает следующее явное выражение для
комплексной амплитуды /i(v) возмущения функции распределения по
скоростям, в зависимости от вида равновесной функции распределения
электронов:
/.(v)
ге
+
me(cj — kv\\ — Псе)
ге
me(uj — kv\\ + Псе)
\ и) ) dv± и) dv\\
Л _^Ч\ dfp | kv_
\ и) ) dv± и
kv± dfp
dvn
у/2
Е-
+
7Г
dfo
7ne(cJ — kv\\) Ov\\
°+
En. (2.35)
454
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
2.3. Возмущение плотности тока
Поскольку зависимость электромагнитного поля от координаты и
времени гармоническая, т. е. пропорциональна ехр(гк • г — iut), то
можно предположить, что плотность тока ведет себя как
J(r, t) = J ехр(гк • г — iut),
где амплитуда плотности тока задается соотношением
J = -e
vfx(v)(Pv
(2.36)
(2.37)
и интегрирование производится по всему пространству скоростей.
Удобно разложить J на две перпендикулярные Во компоненты с
разными круговыми поляризациями и компоненту, направленную вдоль Во.
Для этого запишем скорость электронов в виде, аналогичном (2.16):
х + гу , х — гу , ^
v = v+—у=^- + V-—т=Л + v\\z,
(2.38)
где
у/2 V2
(2.39)
Представив v в такой форме, получаем следующие компоненты для J:
= (ух Т гуу)
у/2
J+
J- = -е
J\\ = -е
v+fi(v)d3v,
v-fi(v)(Pv,
v\\f\(v)d3v.
(2.40)
(2.41)
(2.42)
Согласно (2.27), (2.30), (2.32) и (2.34) можно заменить f\(v) на
/i(v) = /1+(v||>v_L)e^ + /i_(v||>v_L)e-^ + /1||(v||>v_L). (2.43)
Далее, следуя (2.9), получаем
v+ = -^v±e-
V- = —=v±e
V2
(2.44)
поэтому уравнения (2.40)-(2.42) преобразуются к виду
V2
(2.45)
§ 2. Распространение волн вдоль магнитостаттеского поля 455
J_ = -
V2
Jw = -e
v±e^[fl+(v\\,v±)e^ + /,_(«ц, v±)e~^ + f4(vhv±)}d3v,
(2.46)
v\\[f^hv±)e* + fi-(vhv±)e^ + fn(vhv±)]cPv. (2.47)
В цилиндрических координатах d?v = v±dv±dv\\d<f>. Интегрирование по
ф в пределах от 0 до 2-л- дает следующие простые результаты:
J+ =
J_ =
J„ =
оо
-л/2етг
+
v]_ dv±
00
fi+{v\\,v±)dv\\,
0 -ос
оо +оо
->/2етг
v\ dv±
fi-(v\\,v±)dv\\,
0 — оо
ОО +00
-2етг
v± dv±
v\\fi\\(v\\,v±)dv\\,
(2.48)
(2.49)
(2.50)
так как
2тг
е±{пф(1ф = 0 для 71=1,2,3..
= 27Г ДЛЯ П = 0.
(2.51)
Из (2.31), (2.33), (2.34), а также (2.23)-(2.25), видим, что J+, J_, Jy
зависят только от Е+, £"_, £"ц соответственно. Этот результат
обосновывает использование разложения векторов на сумму двух компонент
с противоположными круговыми поляризациями, лежащих в
плоскости, перпендикулярной В0, и продольной компоненты, направленной
вдоль Во.
2.4. Разделение на различные моды
Рассмотрим случай, когда все вектора поля изменяются как
ехр(гк • г — iut), где к = fcz, тогда из уравнений Максвелла имеем
кг х Е = сиВ, (2.52)
2CJ,
ikz х В = /x0J - -о-Е.
(2.53)
Заметив, что z х Е = уЕх — Я.ЕУ, выражения (2.52) и (2.53) можно
записать покомпонентно в виде
шВх = —кЕу,
сиВу = кЕх,
(2.54)
(2.55)
456
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
uBz = О, (2.56)
и
-гкВу = fi0Jx - г-^Ех, (2.57)
с
гкВх = fi0Jy - г-^Еу, (2.58)
с
0 = M0J||-^£||. (2.59)
С
Теперь аналогично (2.17) зададим
В± = (Бж TJBy). (2.60)
V2
Умножая (2.54) на 1/\/2 и (2.55) на =r/>/2 и складывая полученные
В± = тг-Е±. (2.61)
выражения, получаем
Отметим, что необходимо использовать либо верхние, либо нижние
знаки. Аналогично, комбинируя (2.57) и (2.58) и замечая, что
j = (JxTiJy)^ (2 62)
V2
получаем
ТкВ± = -fi0J± + ЦЕ±. (2.63)
с
Из этих уравнений видно, что полное электромагнитное поле можно
разделить на четыре независимые группы по следующим параметрам,
входящим в уравнения:
а) J||, E\\ (уравнение (2.59));
б) Bz (уравнение (2.56));
в) J_, E-, В- (уравнения (2.61) и (2.63), нижние знаки);
г) J+, £■_!_, В+ (уравнения (2.61) и (2.63), верхние знаки).
Отметим, что J+, J_, Jy зависят только от Е+, Е-, Е\\
соответственно. В первую группу входят электрическое поле и
электрический ток в направлении к, которое в данном разделе совпадает
с направлением Во. Более того, в эту группу не входит магнитное
поле. Именно поэтому это уравнение описывает электростатическую
продольную плазменную волну. Вторая группа не дает никакой
распространяющейся моды, а только с помощью (2.56) показывает, что для
волны, распространяющейся параллельно В0, зависящее от времени
магнитное поле в направлении распространения равно нулю. Третья
и четвертая группы представляют, соответственно, поперечные
электромагнитные волны с левой и правой круговыми поляризациями.
Таким образом, характеристики продольной плазменной волны и двух
поляризованных поперечных электромагнитных волн можно изучать по
отдельности.
§ 2. Распространение волн вдоль магнитостатического поля 457
2.5. Продольная плазменная волна
Для вывода дисперсионного соотношения для продольной
плазменной волны, распространяющейся вдоль магнитостатического поля Во,
подставим J\\ из* (2.50) в (2.59). Получаем
E\\=i
оо +оо
2-7ге , 7
v± av±
v\\fi\\(v\\,v±)dv\\. (2.64)
Из (2.34) и (2.25) следует, что можно заменить f\\\(v\\,v±) в (2.64).
Получаем следующее дисперсионное соотношение:
1 = _27r^i
щи
оо -f оо
V± dv_[
ал
(cj — kv\\) \dv\\
dv\\. (2.65)
Поскольку в цилиндрических координатах d3v = v±dv±v\\d(f), а
интеграл Jq77 d(j) = 27г, то найденное дисперсионное соотношение можно
переписать в виде
Зеп(£)Л- (266)
2
TlQUJ
(cj-Ьц)
Это соотношение, если поменять названия осей х и z местами (в
данном случае к параллельно В0 иг), совпадает с дисперсионным
уравнением (18.4.2) (уравнение (4.2) в гл. 18), выведенным для
случая распространения продольных волн в изотропной плазме. Таким
образом, продольная плазменная волна, распространяющаяся вдоль
магнитостатического поля, ведет себя так же как и плазменная волна,
распространяющаяся в изотропной плазме без внешнего
магнитостатического поля. Следовательно, магнитостатическое поле не влияет на
продольную плазменную волну. Этот результат становится очевидным,
если вспомнить, что магнитостатическое поле не действует на частицы,
движущиеся вдоль него, т. е. оно не влияет на распределение
электронов по продольным скоростям, а возмущение именно этой части
функции распределения описывает характеристики продольной плазменной
волны. Напомним, что эта волна была выделена как независимая
волновая мода.
2.6. Поперечные электромагнитные волны
Рассмотрим теперь две поляризованные по кругу поперечные волны
(вектор Е перпендикулярен направлению распространения z). Чтобы
получить дисперсионное соотношение для этих волн, сначала
избавимся в (2.61) и (2.63) от В± и выразим J± через Е±:
3± = Щи2-к2с2)Е± (2.67)
458
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
Подстановка J± из (2.48) и (2.49), где f\ + (v\\,v±) и f\_(v\\,v±)
задаются уравнениями (2.31) и (2.33) соответственно, дает
+оо
-е7г
ПсеУ/2
v\ dv±
. FfhVi ,«fo|| = *V - *2c2)S±. (2.68)
Подставляя (2.23) и (2.24) вместо jF±(v||,vj_), находим следующее
дисперсионное соотношение для поперечных электромагнитных волн
(Е± ф 0):
+ 00
По
^j_d^_L
(cj - kv\\)(df0/dv±) + kv±(df0/dv\\)
(CJ - feV|| =F^ce) "'
(2.69)
где верхний знак соответствует волне с правой круговой поляризацией,
а нижний знак — волне с левой круговой поляризацией.
Другой вид данного уравнения можно получить, если
проинтегрировать правую часть по частям. Сначала, интегрируя по частям
относительно v\\, имеем
v\ dv±
+оо
f kv±(dfo/dv\\)
((J - kv\\ =F ^ce)
oo +oo
dv\\ =
k2v2±fo
0 -oo
(CJ — kv\\ =F ^ce)
Затем, интегрируя по частям относительно v±, получаем
v±dv±dv\\.
(2.70)
+оо
(Ц-Ь||)
(и - kv\\ =F Псе)
dv\\
* (££)*- =
oo +оо
= -2
c£i$cr^*- (271)
0 — oo
Поскольку в цилиндрических координатах d3?; = v±dv±v\\d(/) и
J ^ d0 = 27г, то дисперсионное соотношение (2.69) может быть
представлено в виде
■2 ' г (и-Щ) , (1/2)*Ч I ,_ ^
к2с2 = „2 _ ^
щ
+
(и - Ьц т Г2се) (w _ ьу =р ftce)2
/о dV (2.72)
Исследуем сначала поведение плазмы в случае изотропной
равновесной функции распределения. Итак, возьмем в качестве /о функцию
распределения Максвелла-Больцмана (18.4.22). Отметим, что в этом
случае вектор Vvfo(v) параллелен v, так что слагаемое с силой
Лоренца [v x B(r, t)] • VvJqv) в линеаризованном уравнении Власова
§ 2. Распространение волн вдоль магнитостатического поля 459
(2.4) исчезает. Следовательно, для изотропной равновесной функции
распределения магнитное поле волны В (г, t) в линейном приближении
на поведение плазмы не влияет. Также легко проверить, что в случае
изотропного распределения все сомножители в числителе
подынтегральных функций в (2.69) и (2.72), которые содержат волновое число
/с, исчезают. Дисперсионное соотношение (2.69) упрощается до
wLtt
+оо
k4 = и2 + ~ре
По
v]_ dv±
u;(dfo/dv±)
(UJ — kV\\ =F Sice)
(2.73)
или
kzcz = uz +
UpeV
2n0
v±{dfo/dv±) d3v^
(to =f Псе) - kv\\
(2.74)
Другая форма этого уравнения, соответствующая (2.72), для
изотропного распределения имеет вид
к2с2 = ш1
щ
/о
(ш =F ^се) — kv\
■<Tv.
(2.75)
Подставляя fo(v) из (18.4.22) и интегрируя по v± и ф, получаем, что
дисперсионное соотношение (2.75) преобразуется к виду
tV-'-^(s5E)
1/2 с _г - ..2 ,
[ exp[-mev\\/(2kBTe)}
(и =F Псе) - kv\\
dvh (2.76)
где верхние и нижние знаки соответствуют правой и левой круговой
поляризации соответственно.
Удобно ввести безразмерные параметры
_ (ц Т Псе)/А;±
± (2/свТе/те)1/2'
0± =
и/к±
(2.77)
(2.78)
(2/свТе/те)1/2'
Нижние индексы волнового вектора /с «+» или «—» соответствуют
правой или левой круговой поляризации. Таким образом, (3± — это
фазовая скорость волны, нормированная на наиболее вероятную скорость
электронов (2квТе/те)1/2. Положив, как в (18.4.25),
4 =
(2/СвТе/7Пе)
1/2'
(2.79)
можно переписать дисперсионное соотношение (2.76) в упрощенной
форме:
к2±с2=и2+и2р±1(а±), (2.80)
460
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
где 1(а±) — следующий интеграл:
+оо
?2t£ldq. (2.81)
(q-a±)
>^>=w
1 ' —' ~2^
Этот интеграл совпадает с выражением (18.4.32) при s = 1 и
вычислялся в §4 гл. 18. Следовательно, с помощью (18.4.32) и (18.4.45)
уравнение (2.80) можно переписать в виде
к2±с2 = и2 + iyftJU*± ехр(-о4) - 2и2(3,
exp(W2 - a2±)dW. (2.82)
Это уравнение и есть дисперсионное соотношение для поперечных
электромагнитных волн с правой (верхний знак) и левой (нижний
знак) круговыми поляризациями, распространяющихся вдоль магни-
тостатического поля в горячей плазме, равновесное состояние
которой характеризуется изотропной функцией распределения Максвелла-
Больцмана.
2.7. Затухание во времени поперечных электромагнитных волн
Исследование (2.82) показывает, что, если к± действительно, то и
должна иметь отрицательную мнимую часть, т. е. волна со временем
затухает.
Чтобы решить вопрос, насколько существенно это затухание,
оценим асимптотическое разложение в ряд интеграла в (2.82) для случая
|а±| > 1. Согласно (18.4.51), в первом приближении (сохраняя только
первые члены) находим
exp(W2 - a2±)dW = ^-. (2.83)
Используя этот результат, а также определения (2.77) и (2.78),
приводим дисперсионное соотношение (2.82) к виду
к\г = ш2- ь&^щ^у + iV*<4eP± «ф(-<4). (2.84)
Более того, в первом приближении при |а±| > 1 можно опустить
экспоненциально затухающее слагаемое, так что (2.84) записывается
в форме
Это дисперсионное уравнение соответствует результатам, полученным
в рамках модели холодной плазмы, где верхний знак соответствует
правополяризованной волне, а нижний — левополяризованной.
Следовательно, модель холодной плазмы справедлива только при |а±| > 1.
В случае левополяризованной волны и заданной действительной вели-
§2. Распространение волн вдоль магнитостатического поля 461
чины к- из (2.85) находим, что и — действительная и удовлетворяет
условию
w>-1-nce + (\n2ce + w2pe)12. (2.86)
Фазовая скорость (и/к-) левополяризованной волны больше, чем
скорость света с при любых /с_, поэтому /3_ — большое число, по порядку
величины равное отношению скорости света с к тепловой скорости
электронов. Так как отношение а_//3_ = {ш + 0,се)/си положительно
и больше единицы, то |а_| ^> 1 при любых значениях fc_.
Следовательно, затухание Ландау левополяризованной волны, распространяющейся
вдоль магнитостатического поля в горячей плазме, всегда
пренебрежимо мало. Этот результат был также получен для случая поперечных
электромагнитных волн в горячей изотропной плазме. Более того, если
рассматриваются характеристики только левополяризованной по кругу
волны, то модель холодной плазмы является очень хорошим
приближением для всех действительных волновых чисел.
В случае правополяризованной волны с заданным действительным
волновым числом fc+ из (2.85) видно, что и действительна и
удовлетворяет условиям
О < и < -Q.ee, (2.87)
и>1-ПСе+{\п2ее+^Ре)1/2- (2-88)
Существование двух диапазонов собственных частот распространения
волн — важное свойство правополяризованной (ПП) волны; левопо-
ляризованная волна имеет только один диапазон собственных частот.
Однако полученные результаты для частот ш в интервале,
определяемом (2.87), являются приблизительными, особенно для частот порядка
ионной плазменной частоты и меньше, поскольку при столь низких
частотах движением ионов уже нельзя пренебрегать. По этой причине
диапазон сверхнизких частот (со < Qci) в выражении (2.87)
обсуждаться не будет. В диапазоне частот, определяемом уравнением (2.88),
фазовая скорость {ш/к+) правополяризованной волны всегда больше
скорости света с, а в диапазоне частот, определяемом (2.87), фазовая
скорость меньше с, хотя и сравнима с ней по порядку величины, за
исключением близкой к Q,ce области. Поэтому очевидно, что (3+ —
большое число и, поскольку а+//3+ = (си — ^се)/о; — порядка единицы,
то |а+| > 1, исключая частоты си, сравнимые с Qce. Следовательно,
временное затухание правополяризованной волны также пренебрежимо
мало, а модель холодной плазмы является хорошим приближением для
частот и у заметно отличающихся от fice.
2.8. Циклотронное затухание ПП поперечной волны
Для значений и в окрестности Q,ce фазовая скорость (ш/к+)
правополяризованной волны по порядку величины совпадает с тепловой
скоростью электронов или меньше ее, поэтому /3+^1. Следовательно,
462
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
поскольку а+//3+ = {ш — ^се)/о; много меньше единицы, то |а+| < 1.
Отсюда получаем, что асимптотическое разложение в ряд по обратным
степеням а±, как это было сделано в (2.83), верное при |а+| ^> 1, не
применимо для и, сравнимых с fice.
В качестве первого приближения для предельного случая |а+| <С 1
положим в дисперсионном соотношении (2.82) а+ равным нулю.
Получаем
(2.89)
га-га=
Vfice/
(2квТе/те)1/2
В первом приближении, так как (ш/к)/с < 1,в левой части (2.89)
можно пренебречь вторым членом по сравнению с первым. Следовательно
(2.89) сводится к выражению
3_ .(2квТе/теУ/2 (Ос ч2
г>/2 I Uv
(£)8=-<
СК
(2.90)
Решение этого уравнения относительно и дает
и = ur + iui,
где
\/37
щ = ~2к+
(2квТе/теУ/2 2(0^
(2квТе/теУ/2 2(ПС
тг1/2 U»
1/3
П 1/3
(2.91)
(2.92)
(2.93)
Так как у и есть отрицательная мнимая часть, то правополяризованная
волна с частотой и, близкой к Qce, первоначально распространявшаяся
вдоль магнитостатического поля, затухает со временем. Это
затухание обычно называют циклотронным затуханием, оно аналогично
затуханию Ландау для продольной плазменной волны.
Однако циклотронное затухание и затухание Ландау — это далеко
не одно и то же. Наиболее важное отличие состоит в том, что при
циклотронном затухании ускорение частицы перпендикулярно ее скорости,
а поскольку поперечное ускорение электрическим полем в первом
приближении не меняет компоненту скорости, параллельную магнитному
полю, то волна не может захватить частицу. Поэтому захватом частиц
при циклотронном затухании можно пренебречь. Заряженные
частицы, движущиеся вдоль силовых линий, будут чувствовать колебания
поперечного электрического поля на частоте, которая отличается от
частоты в системе покоя плазмы на величину доплеровского сдвига.
Так как электроны вращаются вокруг Во в том же направлении, что и
электрическое поле волны с правой круговой поляризацией (см. рис. 2),
то часть из них будет чувствовать колебания на частотах их
собственной циклотронной частоты и черпать энергию из волны. Как
§ 2. Распространение волн вдоль магнитостатического поля 463
Во
е
Е
Рис. 2. Иллюстрация резонанса, который возникает между электронами и
электрическим полем правополяризованной волны, распространяющейся вдоль Во,
при cj = Г2се
следствие такого взаимодействия волна-частица на резонансной
частоте и = fice, электроны поглощают энергию волнового электрического
поля, вызывая затухание волны. Если частиц вблизи резонанса нет,
то обмен энергией между волновым электрическим полем и частицами
отсутствует, и, следовательно, частота и — действительная.
В заключение отметим, что в предельном случае Г2се —> О, т. е.
в отсутствие внешнего магнитостатического поля, имеем: а± = (3± = С
и уравнение (2.82) становится идентичным дисперсионному
соотношению (18.5.8), записанному для поперечных волн в изотропной плазме.
2.9. Неустойчивости ПП поперечной волны
Выше было показано, что для изотропной и равновесной функции
распределения резонанс на частоте и = Q,ce между электронами и
правополяризованной волной приводит к затуханию амплитуды волны
со временем. Однако в зависимости от вида функции распределения
резонанс может привести к неустойчивостям, связанным с появлением
положительной мнимой части и.
Напомним, что если функция распределения по скоростям
изотропная, то, поскольку Vv/o(v) параллельно v, в линейном приближении
магнитное поле волны не влияет на поведение плазмы, и,
следовательно, слагаемое, содержащее силу Лоренца в линеаризованном
уравнении Власова, исчезает. Однако если распределение по скоростям
не изотропно, то влияние магнитного поля волны может оказаться
существенным и привести к неустойчивости. Хотя само магнитное
поле волны не обменивается с частицами энергией, оно приводит к
появлению силы, действующей на частицы в направлении z, которая
нарушает изотропию функции распределения в плоскости,
перпендикулярной Во. Такое взаимодействие поля с частицами может привести
k А
464
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
к неустойчивостям, тип которых определяется функцией распределения
частиц.
Пример подобной неустойчивости можно получить, если
рассмотреть следующую простую анизотропную равновесную функцию
распределения:
Mv\\v±) = 5(v\\)f0(v±), (2.94)
которая описывает распределение электронов, холодных в
направлении (z), но максвелловских в плоскости, перпендикулярной В0.
Подстановка (2.94) в дисперсионное соотношение (2.72) для правополяри-
зованной волны (верхний знак) дает
кЧ = и2
Щ
+оо
■+оо
(СО - kv\\ - Clce) "
2тг
fo(v±)v±dv±
d</>+
+
6{v\\)
2тг
(со — kv\\ — Г2се)
Tdv\\
7jk2v2±f0(v±)v±dv±
йф
Используя следующее свойство дельта-функции Дирака:
+оо
f(x) 6(х - х0) dx = f(xo),
(2.95)
(2.96)
заменяя fo(v±) выражением
и интегрируя, получаем
7 2 2 2
к с = to —си:
ре
+
к2(квТе/те)
(СО -Псе) (С0-Псе)2
Это уравнение можно переписать в виде
к-
2 _ со (со — Псе) — соресо(со — Псе)
(2.97)
(2.98)
(2.99)
С (СО - ПсеУ + СОре(кВТе/те)
Легко проверить, что при больших к2 частота волны и становится
комплексной. Поэтому, в пределе к2 —» оо знаменатель (2.99) стремится
к нулю, т. е.
ы2 - 2иПсе + П1 + "&**У™«) = 0.
°се i *исе ' 2
С
Решая квадратное уравнение, получаем
= п ±^уе(квТе/тПе){,\
LO ■
(2.100)
(2.101)
§ 3. Распространение волн поперек магнитостатического поля 465
Решение показывает, что при ur = Vtce могут появиться растущие
волновые моды (неустойчивость).
Если вместо (2.94) взять анизотропную функцию распределения
с некоторым разбросом по скоростям в направлении z, то можно
предположить, что неустойчивость будет слабее, а для изотропной
функции распределения возникнет затухание. Проверку этого утверждения
оставим читателю в качестве упражнения.
§ 3. Распространение волн поперек
магнитостатического поля в горячей плазме
Теперь рассмотрим задачу о распространении волн в направлении,
перпендикулярном внешнему однородному магнитостатическому полю
Во. Как и ранее, выберем ось z в направлении магнитостатического
поля, т. е. Во = АД Волновой вектор к перпендикулярен Во и
направлен вдоль оси х, к = /сх (см. рис. 3), где к — действительное число.
Рис. 3. Разложение вектора электрического поля волны на параллельную и
перпендикулярную Во компоненты, или на параллельную и перпендикулярную
составляющие по отношению к волновому вектору к
Предполагается, что все поля гармонически изменяются в пространстве
и времени как exp(ik • г — icut). Как и выше, положим
/(г, v, *) = fo(vhv±) + /i(rf v,*)f |/i| < /о,
(3.1)
где fo(v\\yv±) — равновесная функция распределения электронов в
присутствии магнитостатического поля, г>ц —vz — компонента скорости
электронов, параллельная В0, a v± — компонента скорости, лежащая
в плоскости (я, у), перпендикулярной Во.
Пусть возмущение функции распределения выглядит следующим
образом:
/i (r, v, t) = f\ (v) exp(ikx - hut), (3.2)
30 Биттенкорт Ж.А.
466
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
а волновые электрическое и магнитное поля:
E(r,£) = Eexp(ikx - iut), (3.3)
B(r, t)=B exp(ikx - iut), (3.4)
где /i(v), E, В — комплексные амплитуды, не зависящие от
пространственных координат и времени. Как и в предыдущем разделе, наша
цель — вывод дисперсионного уравнения, задающего функциональную
связь между и и к. Из анализа дисперсионного соотношения можно
будет выяснить поведение плазмы в рассматриваемом случае.
3.1. Решение линеаризованного уравнения Власова
Из линеаризованного уравнения Власова (2.4), заменив
дифференциальные операторы d/dt, V на —гш, гкх соответственно и используя
соотношение (2.10), получаем
df\ (v) _ i(co - к • у)
/i(v)
■\E + vxB]-VvfQ(vhv±), (3.5)
d(j) Г2Се ТПе^с
где теперь к • v = kvx = kv± cos ф. Из уравнения Максвелла кхЕ = о;В
имеем
B=«(Eyz-Eyy).
Используя это выражение, чтобы выразить В, получаем
к
v х В = -[(vyEy + vzEz)5i - vxEyy - vxEzz].
U)
Замечая, что
ovx dv±
d/o • i dfo
OVy OV±
dvz dv\\'
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
получаем
(E + v x В) ■ V„/0 = \Ex-(vyEy + vzEz
av±
dfo _ dfo
+ 5i„^„) + g („, J£ -«xg)cos*+ g£] E,. (3.11)
Таким образом, линеаризованное уравнение Власова (3.5) принимает
форму
§ 3. Распространение волн поперек магнитостатического поля 467
Интегрирующий множитель этого дифференциального уравнения
первого порядка имеет вид
к(ф) = ехр
Г^. (и — kv± cos ф) j '
1 г- о "Ф
« "се
= ехр
-Ш'ЧЭ*
(3.13)
Домножив обе стороны (3.12) на интегрирующий множитель (3.13),
получаем
^{/1(v)exp[-i(^-)0 + i(g)sin^]} =
+ #l^lexpf-if^U + if^sinJ. (3.14)
Выражение для /i(v) в результате интегрирования этого уравнения
по ф:
/i(v) =
mefic
ехр
V *'се / V "се /
+оо
cos <i".Ex +
+ sin ф"Еу) +
а/о
а/о
^--SW'+eN
х ехр
'(ё)*"+'(1&)8'" *"]"*"• <зл5>
Если переменную интегрирования заменить на ф! — ф — фп', то (3.15)
преобразуется к виду
/i(v) =
гаеГ2с
ехр
-z(g^)sin0
{J^[cos(0-*')£* +
+ sm(0 - ф>)еу] + [t. (уяЦ± - ,,g) С08{Ф _ л + ад] Ея} х
х ехр [г (^) с/)7 + г (^) sin(0 - с/)7)] #'■ (3.16)
Отметим, что ф появляется только как аргумент периодических
функций с периодом 27г, что соответствует физическим требованиям задачи,
так как f\ (v) — однозначная функция ф.
3.2. Плотность тока и тензор проводимости
Плотность тока задается выражением
J (r, t) = J exp(ikx — iut), (3.17)
30*
468
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
где комплексная амплитуда J
J =
v/i(v)d3u,
(3.18)
ИЛИ
J =
2тг
+ 00
v±dv±
dvzf\ (v) (v± cos фк + v± sin фу + y2z). (3.19)
Для вычисления компонент J удобно представить его в виде
J = S Е,
или в развернутой форме в декартовой системе координат
Jx ~~ ®хх^х "г ®ху^у ~г ^xz-l^zi
J у GyXJ-Jx T" (JyyJ-Jy T" CyZJl/Zl
Jz — o~zxEx + azyEy + <jzzEz,
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
где <S — тензор проводимости, чьи компоненты можно переписать
в матричной форме
5 =
'уя
'2/2/ иУ*
'гу ^ zz /
(3.24)
Если подставить /i(v) из (3.16) в (3.19) и полученное выражение
сравнить с уравнениями (3.21)—(3.23), то можно выразить компоненты
тензора проводимости в виде
о хх = А\В\(у\\,у±,ф)
<7ху = А\В2(У\\,У±,ф)
Oxz = А\Вз(У\\,У±,ф)
'ух
А2В\(у\\,у±,ф)
оуу = А2В2(у\\,у±,Ф)
Vyz = А2В3(у\\,У±,ф)
(Jzx = АгВ\(у\\,у±,ф)
<Jzy = АзВ2(у\\,у±,Ф),
<Jzz = АзВ3(у\\,у±,Ф),
где были использованы следующие обозначения:
В\(уц,у±,Ф) =
^со*{ф-ф')еМ9\(Ф'№',
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.29)
(3.30)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
(3.34а)
§ 3. Распространение волн поперек магнитостатического поля 469
#2(V||,V.L,0) =
J^- sin(tf> - ф') ехр[51 (ф')]еЦ/, (3.346)
а/о
Bsh, V±, 0) = [£ («,g - ^g) cos(0 - 0') + g] exp[5l(0')]#'
(3.34b)
(3.34r)
которые должны рассматриваться как подынтегральные функции
интегральных операторов
Ах
Лг
теО,с
те£1с
гаеГ2с
v]_dv±
2тг +оо
cos ф (1ф
о
оо
О
2тг
— оо
+ 00
v]_dv±
О
оо
vj_dvj_
sin ф (1ф
(1ф
dvz exp ( — i-pf^- sin 0 j , (3.34д)
dvzexp (—i-^r^ sin ф) , (3.34e)
0 — oo
2тг +oo
^ dvzexp (—^q-^ sine/)] , (3.34ж)
3.3. Вычисление интегралов
Сначала рассмотрим интегралы в уравнении (3.25) для ахх. При
упрощении этого выражения сначала удобнее вычислить интеграл
по ф'. Поэтому рассмотрим интеграл (3.34а):
h =
cos(c/)-(/)/)exp[pi((/>/)]#/-
(3.35)
Дифференцируя (3.34г) по ф', находим
/ л jV\ и . • ^се dQ\{6 )
(3.36)
Следовательно, поскольку d{exp[^i (</>')]} = exp[(7i(<//)]d(?i (</>'), интеграл
(3.35) приводится к виду
1\ =
kv\
ехр[51 (ф')Щ' + i^ | d{exp[gi(fi)}} , (3.37)
470
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
Поэтому
1\ =
kv\
ехр[51 (ф'))дф' - i^L ехр (&± sin ф) . (3.38)
Чтобы вычислить интеграл в (3.38), введем переменную
£ = %± (3.39)
« «се
и представим ехр[д\(ф')] в виде бесконечного ряда по функциям
Бесселя Jn(f):
ехр у-^Ф) exp[^sin(c/) - ф')) =
+оо
= ехр (*^Г^0 5Z Jn^) ехРМ</> - <Я] =
n= —oo
+оо
= ^2 Ъ(&ещ>(тф)еч>[г(и/Мсе-п)ф'], (3.40)
где Jn(0 — функция Бесселя первого рода порядка п. Множитель
ехр[г^ sin(0 — ф')} соответствует так называемой производящей
функции функций Бесселя. Подстановка (3.40) в (3.38) дает
1\ = -^ехр(г£ sin0) +
+оо Р
+ y~ ^2 Jn(£,) ехр(тф) \ exp[i(u/Qce -п)ф']<1ф (3.41)
или
гсо v~^ Jn(Q ехр(гпф)
,,-!.*«*,♦>+» £:!gJ|£S^.
(3.42)
На следующем шаге вычисления охх нужно найти интеграл по ф.
Подставляя в выражение (3.25) для охх уравнение (3.42), получаем
интеграл по ф
2тг
COS0
г ltd
£ kv±
+оо
Jn(£) ехр(гпф — г£ sin ф)
((jj/Псе - П)
йф. (3.43)
Первый член в квадратных скобках при интегрировании дает нуль.
Чтобы вычислить оставшиеся члены, заметим, что можно записать
cosc/> = - + --г-Лтф — 2£sin</>),
? ЫФ
(3.44)
§ 3. Распространение волн поперек магнитостатического поля 471
так что интеграл 1^ принимает вид
+оо 2п
kv± 2-^ (cj/Qce - n) 1 £
n=-cx) ^ i
ехр(тф — г£ sin ф)(1ф +
2тт
+j
d[exp(m</> — г£ sin ф)]\. (3.45)
}
Второй интеграл в фигурных скобках исчезает, тогда как первый
интеграл можно выразить через функции Бесселя согласно соотношению
2тг
ехр(гпф — г£ sin ф)<1ф = 27rJn(£),
(3.46)
которое также называется интегралом Бесселя. Итак, (3.45)
переписывается в виде
+оо
h =
2жгш ^-^ nJn(£)
^fl-^-L, ("/Псе-")"
(3.47)
Полученный результат можно записать в слегка иной форме, заметив,
что
2тгг
+оо
т Z7TI v—v
^* т? =— rv
nJni£)(b)/SlCe -П + П) _
(tj/Псе - П)
27гг ^-^
^* п= —оо
nJ"W+ (w/fice-n)_
Теперь, так как J_n(0 = (—l)nJn(0» имеем
+оо
п= —оо
а интеграл (3.48) упрощается:
Т _ 2тгг v^ n24(Q
£2 Z-, (cj/Qce - П) '
(3.48)
(3.49)
(3.50)
Из (3.25), (3.35) и (3.43) видно, что выражение для ахх можно записать
в виде
+0О
0~хх —
meQ,c
v\ dv±
ал
dv±
hdvz
(3.51)
472
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
Таким образом, подстановка (3.50) в (3.51) дает
оо +оо
0~хх —
2тгге"
v± dv±
dv>
Q.ce 9/c
kv
oX +°° 2 T2
ze_Ojo_ ST^ П Jn
_i_ dv± £-^ (cj/
П Jn{kv±/QCe)
((jj/Clce — n)
(3.52)
Это выражение для ахх справедливо для любой цилиндрически
симметричной равновесной функции распределения fo(v\\,v±).
Ниже для упрощения математических преобразований ограничимся
случаем равновесной изотропной функции распределения Максвелла-
Больцмана fo(v). Таким образом, для вычисления в (3.52) интегралов
по v±, vz будем рассматривать
те(у2± + v2z)
2квТе
(3.53)
Для вычисления интеграла по v± удобно ввести следующий параметр:
1.2
(3.54)
-= квТе к1
Определяя dfo/dv± и используя (3.54), приводим выражение (3.52) к
виду
оо
0~хх —
гще
ГПе^с
> +°° 2 Г / л2 \
? Е Rn^) \М®**(-Ш. (3.55)
п=—оо j( ^ '
Из теории функций Бесселя следующее выражение известно как
второй экспоненциальный интеграл Вебера:
ехр(-рН )Jn(at)Jn(bt) tdt= —к ехр
2р
а2 + 62
4р2
In(ab/2p2), (3.56)
где /п(ж) — функция Бесселя второго рода, которая связана с обычной
функцией Бесселя мнимого аргумента Jn(ix) соотношением
In(x) = (-i)nJn(ix).
Подстановка (3.56) в (3.55) дает
гще е
+оо
— У —
П21п(и)
meQCe У 2--' (а;/Г2Се — n) '
n= — oo
(3.57)
(3.58)
Компоненты тензора проводимости axz, ayz, azx, azy исчезают,
так как подынтегральная функция четная по vz. To есть выполнив
интегрирование по vz, получим, что
0~yZ — 0~zx — 0~Zy — U.
(3.59)
§ 3. Распространение волн поперек магнитостатического поля 473
Компонента ozz тензора проводимости для изотропной функции
распределения Максвелла-Больцмана упрощается:
2тг
+оо
Ozz — —
me£lc
v±dv±
(1ф
vzdvz ехр(—г£ sin ф)
[gexpb, (<//)]<¥•
О 0 -оо О
(3.60)
Интегралы в этом выражении можно вычислить аналогично
интегралам в выражении для ахх. Окончательно получаем
2 +°° г /-ч
_ гще _у7 \^ -Ы^)
@ zz — <-ч ^
те&с
^ (и
п= — оо
(oj/Q,ce - п)'
(3.61)
Компоненты аху, аух, ауу тензора проводимости для исследования
характеристик волн, распространяющихся поперек магнитостатического
поля в горячей плазме, вычислять не нужно. Вывод явных выражений
для этих компонент тензора S оставим читателю в качестве
упражнения.
3.4. Разделение на различные моды
Если подставить зависимости от пространственных и временных
переменных, заданные (3.3) и (3.4), и представить плотность
электрического тока как J = S • Е, то система уравнений Максвелла упрощается
к следующей форме:
fcx х Е = иВ, (3.62)
ik*xB = UqS-12^) -E = -^£-E, (3.63)
где через 1 обозначен единичный тензор, а
8 = 1 + —S (3.64)
CJ60
— тензор диэлектрической проницаемости. Расписывая (3.62) и (3.63)
по компонентам, получаем
Вх=0,
~~к
By,
Bz
(3.65)
(3.66)
(3.67)
2 У^хх-^х i txy-L-^y) — V,
kc
~ГГ^\еух^х + tyyhy) — ~~ £>z>
kc
U a TP - R
kc'
Jy.
(3.68)
(3.69)
(3.70)
474
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
Из (3.64), (3.58) и (3.61) следует, что
2 -17 +°° 2 г /_ч
_ 1 ^е" у^ п Jn(i/) (371)
1
(cj/Qce - п)
UjQ.ce ^ ^ ((jj/Qce ~ п) '
п= — оо
+ СХ)
^е"^ V . %Ы ., (3.72)
jS2ce Z^ (cj/S2ce - n)
а из (3.59), что
— tyz — tzx — tzy — U. (6.76)
Выражения для других компонент S для дальнейших математических
выкладок не понадобятся.
Исследование уравнений (3.65)-(3.70) показывает, что
описываемые волны — это электромагнитные поперечные волны, поскольку
в направлении их распространения (вдоль х) Вх = 0. Кроме того,
оставшиеся компоненты поля можно разделить на две независимые
группы:
а) Ех, Еу, Bz (уравнения (3.67), (3.68), (3.69)) (мода ТМ),
б) Ez, By (уравнения (3.66) и (3.70)) (мода ТЕМ).
Первая группа дает ТМ-моду, поскольку компонента волнового
магнитного поля в направлении распространения (х) отсутствует. Вторая
группа дает ТЕМ-моду, так как компоненты и электрического, и
магнитного полей вдоль направления распространения волны равны нулю
(см. рис. 3). Эту моду можно рассматривать как вырожденный случай
ТМ-моды. Поскольку электрическое поле направлено так же, как Во,
ТЕМ-моду еще называют (в магнитоионной теории) обыкновенной
волной, на которую Во не оказывает никакого влияния.
3.5. Дисперсионные соотношения
Для вывода дисперсионного уравнения для ТМ-моды сначала
объединим (3.68) и (3.69), чтобы убрать Ех. Получаем
blBz=L-^L\Ey. (3.74)
Ш \ ехх /
Подстановка Еу из (3.67) в (3.74) дает
Щ- - Чу + ^^ )Вг = 0. (3.75)
'-ХуЬух
Решение этого уравнения будет нетривиальным (т. е. Bz ф 0, а также
Ех и Еу ф 0), если выражение внутри скобок (3.75) будет равным
нулю, что приводит к следующему дисперсионному соотношению для
ТМ-моды: ,
"Ц ~~ У^хх^уу ^xytyx)) \O.i0)
€хх
где rj = (kc/w) — показатель преломления.
§ 3. Распространение волн поперек магнитостатического поля 475
Для вывода дисперсионного уравнения для ТЕМ-моды подставим
Ег из (3.66) в (3.70). Имеем
(г? - ezz)By = 0. (3.77)
Нетривиальное решение (т. е. Ву ф0, Ez ф 0) получается, если
г]2 = ezz. (3.78)
Это выражение представляет собой дисперсионное соотношение для
ТЕМ-моды.
3.6. Квазиэлектростатическая мода
ТМ-мода соответствует необыкновенной волне, полученной в маг-
нитоионной теории в пределе нулевой температуры. Поскольку
дисперсионное уравнение (3.76) для ТМ-моды имеет очень сложный вид, то
далее будем его анализировать только в предельном случае kc/и —» оо,
что соответствует условиям резонанса. \
Из (3.69) видно, что для конечных Ех, Еу компонента Bz волнового
магнитного поля в предельном случае кс/и —» оо должна равняться
нулю. Поэтому из (3.67) следует, что компонента Еу исчезает.
Следовательно, для существования нетривиального решения (Ех ф 0) при
кс/и —» оо необходимо, чтобы
ехх = 0. (3.79)
Это уравнение известно как дисперсионное соотношение для квази-
электростатической волны, распространяющейся поперек
магнитостатического поля, так как в данном случае волновое магнитное поле
пренебрежимо мало, а волновое электрическое поле существенно
только вдоль направления распространения. В этом пределе продольная
волна уже не связана с поперечной волной и дисперсионное
соотношение (3.79) относится только к продольной волне (Ех ф 0).
Действительно, дисперсионное соотношение (3.79) можно получить
непосредственно из законов электростатики, а не использовать уравнения
Максвелла. Поэтому (3.79) также называют дисперсионным соотношением
для электростатической волны, так как магнитное поле при выводе
можно опустить. Хотя соотношение (3.79) строго выполняется только
в пределе kc/и —» оо, его можно считать хорошим приближением и для
кс/и > 1.
Дисперсионное соотношение (3.79) для квазиэлектростатической
волны, записанное в явном виде, выглядит следующим образом:
2 -17 +°° 2 г /-ч
Ujilce У ±—' (Oj/ilce ~ Щ
476
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
Так как I-n(v) = In(v), то имеем
+оо
]Г nln(y)=0. (3.81)
Умножая (3.81) на (ujpe/uj£lce)(e ь'jv) и складывая с (3.80), находим
17% = е"* V ( "!"& y (3.82)
Это уравнение было получено Бернштейном, который показал, что
оно имеет решение для действительных и и к. Именно поэтому эти
решения часто называют модами Бернштейна.
Чтобы показать отсутствие комплексных решений для си, сначала
перепишем дисперсионное уравнение (3.82) в более удобной форме.
Используя разложение
+ ОС
exp(z7cosy) = Y^ In(V) exp(iny) (3.83)
п= — оо
и полагая в этом разложении у = 0, получаем
+оо
l=e~" Y, 7»(F)- (3-84)
п= — оо
Сложение (3.84) и (3.82) дает
1+17%=^-" V , in^ v (3.85)
Из (3.54) видно, что V действительная и положительная величина,
поэтому значение In(V) также действительно и больше нуля.
Следовательно, записывая угловую частоту в виде
и = cor + icui, (3.86)
где сог, со{ действительные и мнимые части и соответственно, можно
разделить (3.85) на действительную и мнимую части. Для
действительной части имеем
"Ре 71=-ОО
а для мнимой части —
1 , ^се + n((jJr — nQ.ce)
((jJr — nQ.ce) + UJi
(3.87)
_ +00
0 = -иле-" V /n(F)- ^ 2- (3'88)
„f^, (u;r-nf2ce)2 + u;2
§ 3. Распространение волн поперек магнитостатического поля 477
Можно показать, что соотношение (3.88) выполняется только в
случае щ = 0. Это означает, что дисперсионное уравнение для
квазиэлектростатической волны имеет только действительные решения для
частоты и, поэтому квазиэлектростатические волны не затухают и не
нарастают.
Теперь получим действительные решения для и в явном виде в двух
предельных случаях. Сначала рассмотрим случай V <С 1, который
соответствует пределу нулевой температуры, как это видно из уравнения
(3.54). Далее, проанализируем случай V ^> 1, который соответствует
пределу высоких температур.
Для V <С 1 (предел нулевой температуры) имеем I±(v) = й/2, а
I±n(p) — 0(Vn). Если значение ш/Осе не близко к п, то существенный
вклад в бесконечный ряд в правой части (3.83) дают только слагаемые,
соответствующие п = ±1, а остальные пренебрежимо малы. Таким
образом, (3.82) для V <С 1 принимает вид
„14 _—i-m + у> (389)
и упрощается до
uL (Uj/Qce+I) (W/Oce-I)
u, = (u^ + fi2e)'/2- (3.90)
Эта частота известна как частота верхнего гибридного резонанса —
верхняя гибридная частота. Эта частота уже появлялась в модели
холодной плазмы при рассмотрении распространения волн поперек
магнитостатического поля. Таким образом, теория горячей плазмы
в пределе нулевых температур подтверждает результаты, полученные
в рамках модели холодной плазмы.
Кроме этого, теория горячей плазмы предсказывает существование
других резонансных частот, которые невозможно учесть в модели
холодной плазмы. Дисперсионное соотношение (3.82) может также
выполняться, если положить и = nf2ce для п ^ 2. Тогда, если выполнено
условие (и/Псе — ri) = 0{Vn~x), нужно учитывать вклад только п-х
членов. Следовательно, теория горячей плазмы в пределе нулевой
температуры предсказывает резонансные частоты для каждой гармоники
электронной циклотронной частоты
и = nfi,ce, п ^ 2 (для 17<с1). (3.91)
В модели холодной плазмы эти резонансные частоты отсутствуют.
В высокотемпературном пределе (V ^> 1) имеем: e~vIn(v) =
= 0(V~1/2) и дисперсионное соотношение (3.82) выполняется при
и = nQ.ce, п > 1 (для V > 1). (3.92)
В предельном случае, когда V > 1, резонансы возникают как на
электронной циклотронной частоте, так и на всех ее гармониках.
478
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
Чтобы определить резонансные частоты промежуточных
значений V, необходимо решить уравнение (3.82) численно. Для нахождения
численного решения удобно переписать (3.82) в виде
+оо
F(u,/$W) = F% = 2e-^Jn(Z7) "У
(cj/ftce) - TlZ
(3.93)
F(w/fice,i/)
0,8
0,4
0
0,4
0,8
~^\
- \
[ 1
1
I
V^
i \
2
\
^
3 \
4 a
V
Cj/Qc
0,1
Рис.4. График функции F(Lj/£LCe,v),
заданной уравнением (3.93), от cj/f2ce
при фиксированной величине V (здесь
V = 0,1) для квазиэлектростатической
волны
График функции F(u/Q,ce,V) в
зависимости от ш/0.Се
приведен на рис. 4 для V = 0,1.
Точки пересечения этих кривых,
соответствующих v(£l2ce/u^e),
с горизонтальной прямой
задают нормированные
резонансные частоты, кратные си/0,се.
На рис. 5 показана
нормированная резонансная
частота ujQ.ce как функция
(I7)1/2 для заданной
величины 0,се/сире. Отметим, что
ниже каждой кривой
резонансной частоты, соответствующей
частотам больше верхней
гибридной частоты, существует
диапазон частот, в котором при любых значениях V резонанс не
возникает. Также, как это видно из рис. 5, при V <С 1 первая гармоника
электронной циклотронной частоты не является решением
дисперсионного соотношения (3.82).
Рис. 5. Кривые резонансных частот для квазиэлектростатической волны,
распространяющейся поперек магнитного поля, как функции (V)x^2 при
(Г2се/с<;ре)2 = 0,2. Резонансная частота, обозначенная как X, представляет
собой нормированную верхнюю гибридную частоту X = [и\е + £l2ce)x/2/Q,Ce
§ 3. Распространение волн поперек магнито статического поля 479
Важное отличие рассмотренных квазиэлектростатических волн от
продольных плазменных волн, проанализированных ранее, состоит
в отсутствии у квазиэлектростатических волн затухания Ландау.
Исследование распространения квазиэлектростатической волны в
произвольном направлении по отношению к Во оставляем читателю в
качестве упражнения.
3.7. ТЕМ-мода
Согласно (3.78) и (3.72), дисперсионное соотношение для ТЕМ-
моды, распространяющейся поперек магнитостатического поля в
горячей плазме, выглядит следующим образом:
v2 = i _ ^_e-v J2 Ш (3.94)
UjQ.ce *-^ (uJ/Qce ~ П)
п= —оо
Это уравнение необходимо анализировать численно. Однако, если
рассмотреть только специальные предельные случаи, некоторые полезные
результаты можно получить непосредственно, без численных расчетов.
В пределе низких температур V <С 1 следует учитывать только
член, соответствующий п = О, остальные члены малы и ими можно
пренебречь. Поэтому (3.94) при V <С 1 упрощается до
rj2=l-w2pe/w2, (3.95)
если использовать равенство /о(0) = 1. Это соотношение
представляет собой дисперсионное уравнение для обыкновенной (ТЕМ) волны,
полученное в модели холодной плазмы. Таким образом, при описании
характеристик ТЕМ-моды, распространяющейся поперек магнитного
поля, в пределе нулевой температуры теория горячей плазмы
согласуется с моделью холодной плазмы.
В случае высоких температур V ^> 1 имеем e~vIn(p) = 0(z7-1/2)
и (3.94) упрощается до соотношения
4=1, (3.96)
которое представляет собой дисперсионное соотношение для
электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме. Отметим, что
условие V > 1 и уравнения (3.54) и (3.96) эквивалентны неравенству
w>>4e£)'/2' (3-97)
которое показывает, что частота волны должна быть очень большой.
Следовательно, при V > 1 или при очень высоких частотах
теоретические результаты, полученные для горячей плазмы, согласуются
с предсказаниями модели холодной плазмы.
480
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
Далее, согласно теории горячей плазмы, существует резонанс ТЕМ-
моды на электронной циклотронной частоте и на всех ее гармониках,
так как, согласно (3.94), кс/и —» оо при
UJ = nQ.ce, П ^ 1.
(3.98)
Модель холодной плазмы не предсказывает существование этих резо-
нансов.
§ 4. Выводы
4.1. Распространение вдоль Во в горячей замагниченной плазме
Дисперсионное соотношение для продольной волны, если Во = Bqz
и k = kz, имеет вид
1 = иРе
(и — kv\\) \dv
?£) d\
(2.66)
и совпадает с уравнением, полученным для изотропной горячей плазмы.
Дисперсионное соотношение для двух поперечных мод:
+оо
v\ dv±
Г (и ~ kv\\){dfo/dv±) + kv±(dfo/dv\\)
((J — kv\\ =F Псе)
(2.69)
Верхний знак соответствует правополяризованной волне, а нижний —
левополяризованной. Можно записать это дисперсионное соотношение
в другой форме:
fc2c2 = J1 _ ^е
По
(со-кщ)
2Я 2
+
(l/2)kzvj
(и - Ь|| Т Псе) (и - Щ =F Псе)2
/о d3v. (2.72)
Если /о — изотропная функция распределения Максвелла-Больцма-
на, то
а±
к\с2 = и2 + iyfrJLl3± exp(-c4) - 2о4#
exp(W2 - a2±)dW.
(2.82)
В пределе, в соответствии с моделями холодной и теплой плазмы
4с2 = о;2-^е7^^- (2-85)
Ре (ш Т Псе) '
Затухание Ландау (временное) пренебрежимо мало, так как vp/» з> с.
Декремент циклотронного затухания для правополяризованной
§4. Выводы
481
волны при иг = Осе равен
щ = ~2 +
(2квТе/те)1/2 2 /ft
7Г1/2 V CJpe
1/3
(2.93)
4.2. Распространение поперек Во в горячей замагниченной
плазме
Если считать, что Во = Bqz, k = к% а /о — изотропная функция
распределения Максвелла-Больцмана, то дисперсионное соотношение
для ТМ-моды выглядит следующим образом:
'Ц = \^хх^уу ~ ^хуСух)- \о./Ь)
ТМ-мода соответствует необыкновенной волне в магнитоионной теории
(холодная плазма). Продольная и поперечные моды (по отношению к Е)
связаны.
В пределе кс/и —> оо (резонансное условие), ехх = 0, так что
1 = i^e^ у, п/таИ (380)
CJiZce У ^—' {UJ lice ~ П)
п= —оо
Это уравнение называется дисперсионным соотношением для
квазиэлектростатической моды (продольная мода с Ех Ф 0). В пределе
кс/и —» оо две ТМ-моды разделяются и уравнение (3.79) применимо
для анализа продольной моды. Резонансные частоты задаются
условиями п п , 1п
^ = « + ^е)1/2 (3-90)
в пределе холодной плазмы, а также модами Бернштейна
и = nQ.ce, n ^ 2 (для V < 1), (3.91)
о; = nfi,ce, п > 1 (для V > 1). (3.92)
Дисперсионное соотношение для ТЕМ-моды, если /о задается
функцией распределения Максвелла-Больцмана:
v2 = i _ J^e-* g , ^^ v (3.94)
UJ\lce t-^< ((jJ/llce ~ Щ
п=—оо
ТЕМ-мода соответствует обыкновенной волне в магнитоионной теории
(холодная плазма).
В рамках модели холодной плазмы (V <С 1)
rj2 = l-w2pe/uj2. (3.95)
В теории горячей плазмы резонансы задаются соотношением
и = nQ.ce, п>1. (3.98)
31 Биттенкорт Ж.А.
482
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
Задачи
19.1. Покажите, что первый и второй члены в правой части (2.16)
представляют собой право- и левополяризованные по кругу волновые
поля соответственно.
19.2. Из уравнения (3.60) выведите выражение (3.61) для azz.
19.3. Рассмотрите возмущения в виде плоских волн,
распространяющихся вдоль магнитостатического поля Во в горячем электронном газе,
равновесная функция распределения которых однородная и изотропная.
Покажите, что в сферических координатах в пространстве скоростей
(г>, 0, ф), если В0 = Bqz и волновой вектор к параллелен В0 (см. рис. 6),
линеаризованное уравнение Власова упрощается и принимает вид
Шсе^М + (и, - к • v)/,(v) = -ilE • V„/o(i;).
Докажите, что это дифференциальное уравнение имеет формальное
решение вида
/i(v) =
meflc
Е
V„/o(tO exp [JL (w - k • v') (ф - <//)] <И>',
где v' — вектор скорости с компонентами (ь,в,ф'). Учесть, что
v v dv
Вычислите в выражении для /i(v) интеграл и получите выражение
/i(v) = -
ге
\{A*-\)[x\dvx ldvv) +
me£lce \(A2 - 1)
k B0
iv
1
z
\
Ey
(Adfo
\ dvy
+
dvx J j
m
0 ?;
+
E*_dh
A dv.
9-
Рис. 6. Сферические координаты в пространстве скоростей (у,в,ф), где к, Во
параллельны оси (z)
§4. Задачи
483
где А = —{и — к • v)/fice. Из уравнений Максвелла получите
соотношение
CJ£0
vfi(v)d3v,
где Et = Е — Е"^х — поперечная часть электрического поля Е.
Используя в этом уравнении выражение для /i(v), покажите, что в итоге
получается дисперсионное соотношение с тремя волновыми решениями,
которые представляют собой обычную продольную волну, затухающую
по Ландау, и лево- и правополяризованные волны (с Ех = ±iEy).
19.4. Электронный газ помещен в однородное магнитостатическое
поле Во и характеризуется следующей модифицированной функцией
распределения Максвелла
V2 / 2 2
л/ ч / ГПе \ ( ГПе \ / ^1е^|| Ше
Tj_
Используйте эту функцию распределения в дисперсионном
соотношении (2.69) для правополяризованной поперечной волны,
распространяющейся вдоль Во, и после вычисления интегралов получите следующее
дисперсионное соотношение:
k2c2 = и2 - ти2ре - iirl/2uleT(a - (3) ехр(-а2)+
2ш2рег(а-р)
exp(W2 - a2)dW
где
r=l_T± a_ (U -Псе)/к п _ (и> /к)
Ц ' (2квЦ/те)1/2' ^ т(2квТ±/те)1/2'
Проанализируйте это дисперсионное соотношение и покажите
наличие или отсутствие неустойчивостей (положительная мнимая часть и)
и/или затухания (отрицательная мнимая часть и) волны, считая
волновой вектор k = kz действительным. Определите декремент
циклотронного затухания. Также рассмотрите изотропный случай, когда Тц = Т±.
19.5. В задаче 19.4 предположите, что в равновесном состоянии
функция распределения электронов по скоростям задана в виде
AM = * (sifcf-» {"ЯНЕ И + (Ч " «»)2]} •
что соответствует изотропному распределению, но с электронами,
дрейфующими со скоростью щ вдоль Bq. Покажите, что при таком
484
Гл. 19. Волны в горячей замагниченной плазме
выборе /o(v) дисперсионное соотношение для правополяризованной по
кругу волны упрощается до
.2
кЧ = J - ^1
ре
Щ
(cj — кщ) , / из
(W-Ьц -9.ee) У '
Для предельного случая Те = О найдите вид функции распределения
/o(v) и покажите, что дисперсионное соотношение принимает
следующий вид
к2с2 =uz-
2 ujpe(uj - кщ)
(CJ — кщ — Псе) '
19.6. Для неограниченного однородного электронного газа с
функцией распределения по скоростям
а0 1
/o(v)
щ-
' 2 / 2 . 2\2 '
тг (v + а0)
где ао — постоянная, покажите, что дисперсионное соотношение для
правополяризованной волны, распространяющейся вдоль магнитоста-
тического поля Во = Bqz, имеет вид
кЧ
2
: UJ
(u + ikao - Псе)'
Используя этот результат, покажите, что декремент циклотронного
затухания приблизительно равен
ш%
;к
CLqC
Пс
1/3
19.7. (а) Покажите, что из уравнений Власова и законов
электростатики можно получить следующее дисперсионное соотношение для
квазиэлектростатической волны, распространяющейся в произвольном
направлении по отношению к внешнему магнитостатическому полю Во
в горячей плазме:
nLv
uj2pe sin2 в
АЛ =_ехр(-77) Y, (1+^Яп)/п(17),
где
_ квТе к2 sin2 О
+оо
V —
me
Qi
ч - -J—
Пп — 1/2
ехр(-г;2)
Ve \ ГПе /
(vz + пПс
1/2
-U)
-dvz
UJ =
к cos 6Ve'
Sir.
nc
к cos 0Ve'
§4. Задачи
485
Функция In{v) — функция Бесселя второго рода, а в — угол между к
и Во (см. рис. 7).
Рис. 7. Относительная ориентация волнового вектора к и Во в декартовой
системе координат, где Во направлен вдоль z, a k лежит в плоскости [х, у)
(б) Перепишите это выражение в виде
! + ***« [Л.
те
-ги
dt exp{icut-
s"
cos(ncet)](k2V?/n2ce) sin2 в - \k2V2t2 cos2 0}
(в) Упростите его для случая очень слабого магнитостатического
поля и получите следующее выражение для частоты колебаний
l2 (ЪквТе
Jpe
+ П2 sin20.
Сравните этот результат с результатами, полученными в моделях
холодной и теплой плазмы для случаев, когда к параллелен В0 и к
перпендикулярен Во.
19.8. Выведите дисперсионное соотношение для волн малой
амплитуды, распространяющихся в произвольном направлении по
отношению к внешнему магнитостатическому полю Во = В<& в горячей
плазме. При выводе как можно дольше сохраняйте предположение
о произвольной величине магнитостатического поля. Затем
рассмотрите частный случай очень слабого магнитного поля. Для простоты
представьте функцию распределения в виде изотропного распределения
Максвелла-Больцмана. Можно использовать работу: Ira B. Bernstein.
Waves in a Plasma in a Magnetic Field // Phys. Rev. 1958. V. 109(1).
P. 10-21.
Глава 20
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ
§ 1. Введение
Фундаментальные свойства плазмы зависят от взаимодействия
между частицами плазмы и существующими силовыми полями. Эти
поля могут быть внешними или внутренними, связанными со свойствами
и движением самих частиц. В этой главе слова столкновение и
взаимодействие используются как синонимы. Понятие столкновения как
физического контакта между телами теряет смысл в микроскопическом
мире. На атомном уровне столкновение между частицами необходимо
рассматривать как взаимодействие между силовыми полями,
связанными с каждой из взаимодействующих частиц.
Столкновения можно разделить на две большие категории: упругие
и неупругие. В упругих столкновениях сохраняется масса, импульс
и энергия, т. е. не происходит изменения внутренней структуры частиц,
а также рождения и уничтожения частиц. В неупругих столкновениях
внутреннее состояние некоторых или всех задействованных частиц
изменяется, а частицы могут создаваться и разрушаться. В неупругих
столкновениях заряженная частица может рекомбинировать с
другими, чтобы сформировать нейтральную частицу, или она может
присоединить к себе нейтральную частицу, чтобы сформировать более
тяжелую заряженную частицу. Также может возрасти уровень энергии
электрона в атоме, а электроны могут быть выбиты из своих атомов,
что приводит к ионизации.
В плазме важно различать столкновение двух зарядов и
столкновения заряда с нейтральной частицей. Электрически заряженные частицы
взаимодействуют друг с другом согласно закону Кулона. Кулоновское
взаимодействие, вследствие своей зависимости 1/г2 — дальнодейству-
ющее, и поле одной частицы одновременно взаимодействует с большим
количеством других частиц. Таким образом, это многочастичное
взаимодействие. Напротив, поля, связанные с нейтральными частицами,
достаточно сильны только внутри электронных оболочек частиц.
Поэтому они являются близкодействующими, а взаимодействия
нейтральных частиц случайны, причем очень редко взаимодействие происходит
§ 2. Парные столкновения
487
более чем с одной частицей. Таким образом, эти близкодействующие
поля соответствуют в основном парным столкновениям.
Однако многочастичное кулоновское взаимодействие частиц может
рассматриваться как ряд одновременных парных столкновений.
Действительно, одно из возможных представлений многочастичных
столкновений состоит в том, чтобы рассматривать их как серию
последовательных двойных столкновений под малыми углами. Многочастичные
столкновения, которые являются результатом действия кулоновской
силы, чрезвычайно важны для понимания поведения плазмы и
подчеркивают значение описания плазмы как четвертого состояния вещества.
Тем не менее парные столкновения адекватно описывают плазменные
явления в случае слабоионизованной плазмы. Действительно, мы
используем понятие слабоионцзованной плазмы, подразумевая плазму,
в которой можно пренебречь многочастичным взаимодействием частиц.
В такой плазме электроны стремятся контролировать ситуацию, так
как из-за своей малой инерции они быстро откликаются на влияние
электрических и магнитных полей.
В этой главе процессы столкновений в плазме рассматриваются
с точки зрения классической динамики. Результаты справедливы с
хорошей степенью точности, даже несмотря на то, что внутренняя
структура частиц игнорируется. Однако еще более важно, что развиваемые
ниже подходы можно использовать независимо от того, какая механика
рассматривается — квантовая или классическая.
§ 2. Парные столкновения
Рассмотрим упругое столкновение двух частиц с массами т и т\ со
скоростями v и vi до столкновения, иу'и v[ после. На рис. 1 показано
такое парное столкновение в лабораторной системе координат. Далее
штрихом будем отмечать переменные после столкновения.
Удобно выбрать систему координат, в которой частица массы т
покоится, а частица массы т\ приближается с относительной
скоростью
g = V!-V. (2.1)
После столкновения относительная скорость равна
g^vi-v'. (2.2)
Схематически такое столкновение показано на рис. 2. Прицельный
параметр b определяется как минимальное расстояние между частицами
при отсутствии взаимодействия между ними, угол рассеяния обозначен
через х» ориентация орбитальной плоскости (или плоскости
столкновения) относительно некоторого заданного направления на
плоскости, нормальной к орбитальной плоскости — е.
v;
X /_^^
vi
O-
Рис. 1. Парное столкновение в лабораторной системе координат двух частиц
с массами т и т\ и скоростями v и vi
Скорость центра масс сталкивающихся частиц до столкновения
определяется как
после столкновения
со =
Сп =
rav + rrnvi
ra-hmi
rav' + raivi
m + 7711
(2.3)
(2.4)
Можно выразить начальные скорости через с0 и g. Из выражений
(2.3) и (2.1), которые определяют с0 и g соответственно, находим
v = с0 - —g, (2-5)
т
Vl=c0 + ^g, (2-6)
g' = vi
Рис. 2. Геометрия столкновения между частицей с массой т и скоростью v
и частицей массы т\ и скоростью vi в системе координат, где первая частица
покоится
§ 2. Парные столкновения
489
где /х — приведенная масса, равная
М = ^^. (2.7)
Аналогично, из (2.4) и (2.2) получаем выражения для скоростей после
столкновения
т
ь0 - -g', (2.8)
v',=cU^g'. (2-9)
Из закона сохранения импульса имеем
mv + m\V\ = mv' + m\v[ (2.10)
или, используя (2.3) и (2.4),
(га + mi)co = (m + mi)cQ. (2.11)
Таким образом, можно заключить, что
со = с£, (2.12)
т. е. скорость центра масс при столкновении не меняется.
Из закона сохранения энергии для упругих столкновений получаем
X-{mv2 + m{v\) = \\m{v'f +ml(v[)2} (2-13)
и, используя (2.5)-(2.9), прямыми вычислениями находим
-(mv2 +mxv2x) = -(m + ml)c20 + -fig2, (2.14)
iM^2 + ™iK)2] = ^(m^ (2.15)
Теперь, так как со = Cq, заключаем, что
д = д'. (2.16)
Следовательно, в упругих парных столкновениях сохраняется
модуль относительной скорости, а направление ее изменяется. Уравнения
(2.14) и (2.15) показывают, что полная мгновенная кинетическая
энергия системы двух частиц равна сумме кинетической энергии центра
масс и кинетической энергии движения одной частицы относительно
другой, вычисленной с использованием приведенной массы.
Угол между g и g' равен углу рассеяния, или углу отклонения,
который обозначен через %• Чтобы найти связь между векторами
относительных скоростей g и g;, выберем декартову систему
координат с осью z, направленной вдоль g, как показано на рис. 3. Таким
Рис. 3. Относительная ориентация скоростей g и g' в декартовой системе
координат, в которой g = gz. Угол е определяет относительную ориентацию
плоскости, содержащей траекторию частицы
образом, имеем
9х= 9У = О,
9z = 9 = д',
g'x = gsmxcose,
д'у = #sinxsin6,
g'z = gcose,
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
где б определяет ориентацию плоскости, в которой происходит
столкновение. Поэтому, зная начальные скорости и угол рассеяния %, можно
определить скорости после столкновения. Верно и обратное
утверждение: зная конечные скорости и угол рассеяния, можно определить
начальные скорости.
Интересно рассмотреть обратное столкновение (см. рис. 1 гл. 7),
в котором частица с начальной скоростью v' сталкивается с частицей
с начальной скоростью v{, после столкновения скорости становятся
равными v и vi соответственно. Для обратного столкновения угол
рассеяния % такой же, как и для прямого столкновения, так как
прицельный параметр 6, силы взаимодействия между частицами и
скорость их относительного движения g одинаковы.
Угол рассеяния, впервые появившийся в этой главе, —
единственный параметр, который определяется механизмом столкновений. Если
сила взаимодействия между частицами зависит только от расстояния
между ними, то % будет функцией следующих параметров:
а) силы взаимодействия между частицами,
б) модуля относительной скорости д,
в) значения прицельного параметра.
Поэтому, чтобы определить %, необходимо исследовать ньютонову
динамику парных столкновений.
§ 3. Динамика парных столкновений
491
§ 3. Динамика парных столкновений
Динамика парных столкновений определяется законом, которому
подчиняется сийа взаимодействия между частицами. Каждый
прицельный параметр b связан с определенным углом рассеяния х> причем
связь определяется силой,/действующей между частицами. Эта
информация содержится в дифференциальном сечении рассеяния, которое
будет определено в § 5.
Рассмотрим столкновение двух частиц с массами т и т\ в
системе отсчета, где первая частица покоится. Пусть г — радиус-вектор
частицы гп\ относительно частицы m (см. рис.4). Предположим, что
Траектория г(0)
Рис. 4. Траектория г(в) частицы с массой тп\ относительно частицы с массой m
сила взаимодействия между двумя частицами является центральной
и действует вдоль прямой линии, соединяющей их:
F(r) = F(r)r. (3.1)
Эта сила связана с потенциалом взаимодействия U(r):
F(r) = -W(r) = -^^r. (3.2)
Для центральных сил момент силы N = г х F(r) равен нулю,
поскольку F(r) параллельна г. Так как момент силы есть производная
момента импульса L по времени
N = % (3-3)
то можно заключить, что момент импульса — интеграл движения.
Более того, поскольку L = г х р, то г всегда перпендикулярен вектору
L, который не меняет направления в пространстве. Следовательно,
движение происходит в одной плоскости.
Используя^полярные координаты {г,в) и замечая, что единичные
вектора г и 6 зависят от в (см. рис. 5), получаем выражение для
492
Гл. 20. Взаимодействие частиц в плазме
мгновенной относительной скорости
dr _ dr^ dr _ dr^ dr_d6 ,~ ..
~dt ~ ~diY ~dt ~ ~dtr d6~di' { }
Можно показать, что dr/dO = e, тогда
(3.5)
dr dr^ , d6^
— = —r + r—0
dt dt dt
Рис. 5. Полярные координаты
{г, в). Показано, что единичные
векторы ги9 зависят от в
или, обозначая точкой над переменной
производную по времени,
г = гг + г(9в. (3.6)
Траекторию частицы можно легко получить, решив
эквивалентную задачу для одного тела, используя законы сохранения энергии и
момента импульса. Кинетическая энергия относительного движения
задается уравнением
К
1
-ДГ-Г:
-fi(r +г
2л2\
(3.7)
Воспользовавшись законом сохранения энергии, приравняем сумму
кинетической и потенциальной энергии в любой точке и начальную
кинетическую энергию fig2/2, поскольку начальная потенциальная энергия
равна нулю. Следовательно, имеем
L(f2 + r202) + U(r) = Lg2. (3.8)
Момент импульса относительно начала координат равен
L = г х (fir) = fir29(r x в).
(3-9)
Приравнивая момент импульса в произвольной точке к его начальной
величине Ьцд(г х в), получаем
г2в = Ьд.
(3.10)
Дифференциальное уравнение для орбиты г (в) легко получается из
(3.8) и (3.1). Запишем
dr _ dr du /q 11 \
~dt ~ d6~dt [ ' )
и, используем (3.10) и (3.8), чтобы избавиться от dO/dt и dr/dt.
Окончательное дифференциальное уравнение для г (в) имеет вид
'dry*
,d0)
1-^
2U(r)
м2
Преобразуя (3.12), получаем следующий результат:
d6 = ±-
J-
г
2U{r)
2
»9
-1/2
dr.
(3.12)
(3.13)
§ 3. Динамика парных столкновений
493
Выбор знака следует делать из физических соображений. Обозначим
координаты частицы, когда она находится на минимальном расстоянии,
через гш и 9Ш (см. рис. 4). Это положение называется вершиной
траектории, а прямая,, соединяющая вершину и начало, называется линией
апсид. Таким образом, вш определяет направление линии апсид. Знак
плюс в (3.13) следует использовать, если в больше чем вш, поскольку
для в > вт г растет вместе с в. С другой стороны, для в < вт г
уменьшается с ростом в, поэтому, если в меньше, чем бт, то в (3.13)
необходимо использовать знак минус. Этот результат показывает, что
траектория частицы симметрична относительно линии апсид.
Расстояние ближайшего приближения гш находится из (3.12),
если заметить, что dr/dO = 0 при г = гт. Таким образом,
Ь2 2U{rm) _ п
м
или
= 6
1-
2U(rm)
1-1/2
W
(3.14)
(3.15)
Чтобы вычислить угол рассеяния %, сначала заметим, что согласно
рис. 5
Х = тг-20т. (3.16)
Чтобы определить #ш, проинтегрируем (3.13) от вт до некоторого
произвольного угла в
О — On
(Гу L (О*
2U(ry-l/2
№2
dr',
(3.17)
где знак плюс используется при в > вт, а минус — при в < вт.
При г —» оо имеем: #(_) —» 0, а 0(+) —» 2вт, поэтому (3.17) задает
направление линии апсид:
г
2U(r)
м2
-1/2
dr.
(3.18)
Следовательно, угол рассеяния задается соотношением
Х(Ъ,д) = п-2
Ъ2 2U(r)
2 2
г ц,д
1-1/2
dr.
(3.19)
Для вычисления \ из этого уравнения необходимо знать прицельный
параметр 6, модуль начальной скорости д и потенциал
взаимодействия U (г).
494
Гл. 20. Взаимодействие частиц в плазме
§ 4. Вычисление угла рассеяния
В этом параграфе рассмотрим два примера использования (3.19)
для определения угла рассеяния х с использованием прицельного
параметра b и начальной относительной скорости д. Сначала
рассматривается столкновение между абсолютно упругими твердыми сферами, а
затем — случай взаимодействия кулоновских потенциалов.
4.1. Две абсолютно упругие сферы
Рассмотрим столкновение двух абсолютно упругих сфер с
радиусами R\ и i?2 (см. рис.6). Потенциальная энергия взаимодействия равна
СМ
для г > R\ +i?2,
ДЛЯ Г < R\ + i?2-
(4.1)
При b > R\ + i?2 взаимодействия нет, и следует положить гш = 6, а при
b < R\ + i?2, частицы сталкиваются и гш = R\ + i?2- Однако в обоих
случаях, поскольку частицы не проникают друг в друга, г > R\ + i?2>
поэтому (3.19) принимает вид
Г
-1/2
dr.
(4.2)
Чтобы взять этот интеграл, введем новую переменную у = Ь/r и
перепишем (4.2) в виде
Ь/г„
-1/2
(1-У2) ~" dy.
(4.3)
N \ /
>ЛЧЙ2
\
\
\
\
J'l v.
_-_.-L.-x X
"■■'.,,;
ft. /
1
r
Рис. 6. Столкновение двух идеально упругих и твердых сфер
§ 4. Вычисление угла рассеяния
495
Получаем
X
{7г - 2arcsin ( » , » ) для b ^ R\ + i?2,
О для6^Й1+Д2.
(4.4)
4.2. Кулоновский потенциал взаимодействия
Рассмотрим важный случай кулоновского потенциального поля,
потенциал взаимодействия в котором задается в виде
1 QQi
Щг)
47Гбо Г
(4.5)
где q и q\ — электрические заряды частиц с массами т и т\
соответственно. Подстановка (4.6) в (3.19) дает
х(М=тг-2
оо
Г ь
1-^-
991
г 2жсоцд г
-1/2
dr.
(4.6)
Расстояние наибольшего сближения гш можно найти из выражений
(3.15) и (4.6):
Гп = -Ьо + (Ы + ь2У'2' (47)
где для удобства введено обозначение
Ьо =
qq\
(4.8)
47ГбоМ£
Таким образом, bo — это расстояние, на котором потенциальная
энергия электростатического взаимодействия в два раза превышает
относительную кинетическую энергию на бесконечности. Замена переменной
у = \/г и подстановка значения bo из (4.9) в (4.7) приводит к
следующему выражению для угла отклонения:
1/Ггг
1/2
х(Ь,д) = тг-2Ь (\-b2y2-2b0y) ' dr.
(4.9)
Появившийся интеграл — табличный:
(а + (Зх + "ух2) xl2dx = arcsin
-27s - Р
(/?2-4а7)
1/2
(4.Ю)
где в нашем случае а = 1, (3 = — 260, 7 — ~~ Ь2. Учитывая пределы
интегрирования, где гш задано выражением (4.8), получаем для угла
отклонения
х(Ь,д) = 2 arcsin
№ + *)
2ч 1/2
(4.11)
496
Гл. 20. Взаимодействие частиц в плазме
Получившиеся уравнение можно переписать в другом виде
tg(|x) = ^- (4-12)
Заметим, что \ — 7Г/2 при Ь — bo, т. е. bo — это величина прицельного
параметра, при которой угол отклонения равен 90°. Если заряд обеих
частиц одинаков, то bo и х положительные величины. С другой
стороны, если заряды частиц различны, то и bo, и х отрицательны. Это
показано на рис. 7 для угла отклонения, равного 90°. Более того, из
q>0
Рис. 7. Рассеяние на кулоновском потенциале при угле отклонения \ — 90°
(4.13) следует, что х — я" при 6 = 0. Также х уменьшается с ростом b
и х — 0 только при b —» оо. Следовательно, рассеяние возникает при
всех (конечных) значениях прицельного параметра 6, т. е. обрезание b
отсутствует.
§ 5. Сечения рассеяния
Выше рассматривалось только взаимодействие между двумя
частицами. Сечение рассеяния обычно определяется через параметры пучка
одинаковых частиц, падающих на силовой центр (частицу мишени).
§ 5. Сечения рассеяния
497
Поэтому представим стационарный пучок одинаковых частиц массы
т\, равномерно размазанный в пространстве, падающий со скоростью
g = vi — v на силовой центр, который представляет собой частицу
массы га. Выберем систему координат, в которой частица массы га
неподвижна. Для простоты предположим, что пучок падающих частиц
моноэнергетический, т. е. все частицы пучка имеют одну и ту же
начальную скорость g относительно центра рассеяния. Так как
частицы в налетающем пучке предполагаются одинаковыми, то потенциал
взаимодействия один и тот же для всех частиц пучка.
Частица, падающая с некоторым прицельным параметром 6,
рассеивается в некоторый угол отклонения х> а частица с прицельным
параметром b + db — в угол х + Фб как это показано на рис. 8.
Число частиц, рассеянных за секунду в промежуток между углами х
и X + Фб зависит от плотности потока падающих частиц Г, т. е. от
числа частиц в падающем пучке, пересекающих единичную площадку,
перпендикулярную пучку, за единицу времени.
5.1. Дифференциальное сечение рассеяния
Пусть dN/dt — число частиц, рассеянных в единицу времени в
дифференциальный элемент телесного угла dfi,, ориентированный в
направлении (х»е), как показано на рис.,8. Дифференциальное сечение
рассеяния <т(х, б) (также называется уЩ)вой функцией
распределения) определяется как число частиц единичного падающего потока,
рассеянных в единицу времени в единичный телесный угол,
ориентированный в направлении (х, б). Таким образом, согласно определению
^=<х(Х,е)Г<йХ (5.1)
Число частиц, падающих с прицельным параметром, лежащим в
пределах b и b + db и орбитальной плоскостью, ориентированной между
углами б и c + dc, в единицу времени определяется выражением Tbdbde.
Эти же частицы рассеиваются в единицу времени в дифференциальный
элемент телесного угла <Ю, заключенный между х> X + d\ и б, б + dc.
Таким образом, имеем
^= Tbdbde. (5.2)
at
Сравнивая (5.1) и (5.2), замечаем, что согласно определению
дифференциального сечения рассеяния <т(х, б)
<r(x,e)dSl = bdbde. (5.3)
Так как dfi, = sin x^xdc, то это уравнение можно переписать как
<т(х, б) sin x^X = b db, (5.4)
откуда для дифференциального сечения рассеяния получаем
а{х,€) = -Ъ-\*\ (5.5)
32 Биттенкорт Ж.А.
498
Гл. 20. Взаимодействие частиц в плазме
Плоскость (х, у)
Рис. 8. Рассеяние частицы в поле центральной силы
Так как обычно \ уменьшается с ростом 6, а дифференциальное
сечение рассеяния <т(х, е) — положительная величина, равная числу
рассеянных частиц, то используется модуль величины db/dx- Величину
db/dx можно получить из выражения (3.19) для х(Р,д), если известен
потенциал взаимодействия.
Дифференциальное сечение рассеяния имеет размерность
площади и геометрически интерпретируется как число частиц, рассеянных
в элемент телесного угла d(l в единицу времени, которое равно числу
частиц падающего пучка, пересекающих в единицу времени площадь
равную а(х, e)dfi (или bdbde).
Вид <т(х,е) зависит от вида взаимодействия между частицами.
Если этот закон известен, то <т(х, б) вычисляется. Однако для этого
необходимо проводить квантово-механические расчеты, так как волно-
§ 5. Сечения рассеяния
499
вые пакеты сталкивающихся частиц перекрываются, и задача уже не
является классической. Для набора атомов или молекул, которые могут
рассматриваться как классические, т. е. когда каждая частица обладает
определенными "координатами и импульсом, необходимо, чтобы
размеры волновых пакетов частиц были малы по сравнению с расстоянием
между частицами. Для возможности исследования рассеяния в рамках
классической механики, волна де Бройля каждой частицы обязана
быть много меньше среднего расстояния между частицами.
Дифференциальное сечение рассеяния можно определить
непосредственно из эксперимента. Для наших целей достаточно рассматривать
дифференциальное сечение <т(х, б), которое уже учитывает природу
столкновений, как известную величину.
5.2. Интегральное сечение рассеяния
Интегральное сечение рассеяния at определяется как число
частиц единичного падающего потока, рассеянных в единицу времени во
всех направлениях от рассеивающего центра. Интегрируя <т(х, c)dfl по
соответствующему телесному углу, получаем
27Г 7Г
°t
<т(х, t)d£l
de
a(x,e)smxdx- (5.6)
Как <т(х, б), так и at зависят от величины относительной скорости
частиц д.
В частном случае, когда потенциал взаимодействия изотропен, т. е.
дифференциальное сечение рассеяния не зависит от б, (5.6)
интегрируется и получается выражение
at = 27г
a(x)smxdx- (5 J)
В частности, этот случай соответствует потенциалу кулоновского
взаимодействия.
5.3. Сечение передачи импульса
Сечение можно определить для различных процессов
взаимодействия. Ниже будет показано, что при столкновении передача
импульса — основной микроскопический процесс в таких явлениях, как
диффузия и подвижность. Поэтому имеет смысл определить сечение для
скорости передачи импульса ат как полный импульс, передаваемый
в единицу времени рассеивающему центру от единичного потока
импульса (импульс, приходящий на единицу площади, перпендикулярной
потоку, в единицу времени),
_ импульс, передаваемый за секунду
приходящий поток импульса
(5.8)
32*
500
Гл. 20. Взаимодействие частиц в плазме
Импульс частиц пучка до столкновения равен fig, где fi — приведенная
масса, ар — относительная скорость в начальный момент времени.
Следовательно, приходящий поток импульса равен Г fig. После
взаимодействия импульс в направлении падения частицы пучка, которая
была рассеяна под углом х, равен fig cos х- Следовательно импульс,
переданный рассеивающему центру, есть fig(\ — cosx)- Полный импульс,
передаваемый за секунду рассеивающему центру всеми рассеянными
частицами по всем направлениям, определяется выражением
Г«7
(1 -cosxMx>e)<ftl
(5.9)
Напомним, что <т(х, е) может рассматриваться как угловая функция
распределения. Так как полный поток приходящего импульса равен
Г fig, то выражение для сечения передачи импульса имеет вид
0~т =
(1 -cosxMx,e)<ftl
(5.10)
В частном случае изотропного потенциала взаимодействия, учитывая,
что сЮ, = sinx^x^e, можно проинтегрировать (5.10) по б и получить
am = 27г
(1 -cosx)cr(x)sinxdx-
(5.11)
Так как <т(х) — функция углового распределения, то сечение
может рассматриваться, как весовая функция для вычисления среднего
значения любой функции от угла рассеяния F(x)- Вклад в полную
величину F(x) частиц, рассеянных в угол dfi,, равен F(x)o~(x)dtt.
Полное число рассеянных частиц определяется выражением J a(x)dQ,
поэтому среднее значение F(x) по всем значениям х будет
F(X)a(X)dn
№)> =
(5.12)
<r(x)<Kl
Его можно переписать в виде
№)>
2тг
F(xMx)smXdx-
(5.13)
Согласно такому определению средних величин, (5.11) можно
переписать как
о~т = °t(l -cosx). (5.14)
§ 6. Сечения в модели твердых сфер
501
Таким образом, сечение передачи импульса — это нормированное
сечение, которое не учитывает рассеяние на нулевой угол, рассеяние на 90°
считается единицей, а рассеяние на 180° — двойкой. Такая нормировка
пропорциональна количеству импульса, передаваемого падающим
пучком рассеивающему центру.
§ 6. Сечения в модели твердых сфер
6.1. Дифференциальные сечения рассеяния
Чтобы вычислить <т(х, б) по формуле (5.5), сначала необходимо
переписать (4.5) для Ь < R\ + R2 в виде
b=(Rl+R2)cos(-X)
db_
dx
= l-(Rl+R2)sm(l-X).
(6.1)
(6.2)
Подстановка этих выражений в (5.5) приводит к дифференциальному
сечению рассеяния
(6.3)
6.2. Интегральное сечение рассеяния
Интегрируя (6.2) по всему телесному углу, получаем
at = 27г
-^ (Rx + Д2)2 sin Xdx = тг(Rx +R2)2
(6.4)
Следует упомянуть два простых частных случая. Для столкновения
электрона с молекулой радиуса R получаем а — R2/4 и at = ttR2. Для
молекул диаметра D, сталкивающихся друг с другом, а = D2/4 и at =
= 7TD2.
Заметим, что в модели твердых сфер существует ограничение на
величину прицельного параметра, вне которого столкновений нет.
Существование такого ограничения для величины b приводит к конечной
величине интегрального сечения рассеяния at.
6.3. Сечение передачи импульса
Из (6.3) и (5.11)получаем
2тг
-(Ri +i?2)2(l - cos x) sin xdx
= 1тг(Д1+Д2)2(|
sin хФ( "
cosxsmx^x)- (6.5)
502
Гл. 20. Взаимодействие частиц в плазме
Вычисление интеграла дает
ат = 7r(i?! + i?2)2. (6.6)
Средняя величина импульса, теряемого частицей, находится из
уравнения (5.13) и равна
</ед(1 -cosx)) = -f
Используя (5.11), получаем
fig( 1 - cos xMx) sin хФб (6.7)
<W(l-cosx)>=W—• (6.8)
Таким образом, из (6.4), (6.6) и (6.8) следует, что средняя величина
потерь импульса частицей в модели твердых сфер равна
(fig(\ -cos*)) = fig. (6.9)
Например, для столкновений электронов и нейтральных частиц
в слабоионизованной плазме массой электрона по сравнению с
массой нейтральной частицы можно пренебречь, и приведенная масса
становится равной массе электрона. В первом приближении, из (6.9)
видно, что весь импульс электрона теряется при столкновении с
нейтральной частицей. Предполагая, что можно пренебречь движением
тяжелых частиц, и обозначая частоту столкновения как v (это
число столкновений между нейтральными частицами и электронами за
секунду), получаем среднюю скорость потери импульса электроном,
равную vmeu, где и — скорость электрона. Однако в общем случае
электрон при столкновении с нейтральной частицей теряет не весь
импульс. Более того, модель абсолютно упругих твердых сфер —
не слишком хорошая модель взаимодействия электрона и
нейтральной частицы. Следовательно, скорость потери импульса записывается
как venmeu, где ven — эффективная частота столкновений при
передаче импульса между электронами и нейтральными частицами.
Это понятие уже использовалось в уравнении Ланжевена в гл. 10,
когда необходимо было учесть скорость передачи импульса вследствие
столкновений.
§ 7. Сечения для кулоновского потенциала
7.1. Дифференциальное сечение рассеяния
Дифференцируя (4.13), находим
db_\ Ъ2
dx
260cos2(x/2)
(7Л)
§ 7. Сечения для кулоновского потенциала
503
Таким образом, дифференциальное сечение рассеяния, определенное в
(5.5), становится равным
°{х)
2fcosinxcos (х/2)
Используя (4.13), преобразуем это уравнение к виду
*(Х)
4 sin4 (х/2)
(7.2)
(7.3)
Это выражение известно, как формула рассеяния Резерфорда. Так как
2 sin2 (х/2) = (1 — cosx), то его можно переписать как
°(х) =
bo
(1 -cosx)
(7.4)
Формула рассеяния Резерфорда показывает, что дифференциальное
сечение рассеяния равно Щ/\ при угле рассеяния х — я"» монотонно
растет при уменьшении х> и стремится к бесконечности при х>
стремящемся к нулю.
7.2. Интегральное сечение рассеяния
Так как дифференциальное сечение рассеяния быстро растет при
X, стремящемся к нулю, то и интегральное сечение рассеяния at
становится бесконечным. Из (5.7) и (7.4) получаем
o~t = 27г
<r(x)sinxdx = 27r&o
sinx
(1 -cosx)
■dx,
(7.5)
где Xmin = 0. Нижний предел был написан не в явном виде по
причинам, которые станут понятны ниже. Вычисление интеграла (7.5)
приводит к выражению
<Jt = тг&о
1
sin (xmin/2)
-1
(7.6)
которое ясно показывает, что at = оо при Xmin = 0. Частицы с малыми
углами отклонения вносят бесконечный вклад в ot.
7.3. Сечение передачи импульса
Подстановка (7.4) в (5.11) дает следующее выражение для сечения
передачи импульса:
Огп = 27Г
(1 - cosx)cr(x) sinx^X = 2тг^
TT^S^X, (7-7)
(1 -cosx)
504
Гл. 20. Взаимодействие частиц в плазме
где снова Xmin = 0. Вычислив интеграл, находим
4тг^1п
sin(xmin/2)
(7.8)
Полагая Xmin = 0, получаем, что ат = оо. Таким образом, кулоновский
потенциал дает бесконечные сечения at и ат. Бесконечность
возникает вследствие взаимодействия с частицами с очень малыми углами
отклонения.
§ 8. Экранировка кулоновского потенциала
Можно утверждать, что бесконечные значения at и ат, полученные
в предыдущем параграфе, возникают вследствие отсутствия обрезания
прицельного параметра Ь. Отметим, что малые величины х
соответствуют большим величинам 6, так что согласно (4.13) для Xmin = 0
имеем 6тах = оо. Чтобы получить конечные и имеющие физический смысл
величины at и ат, необходимо изменить основы нашего рассмотрения
взаимодействия отдельных заряженных частиц и ввести какой-либо
порог обрезания для прицельного параметра b = Ьс.
Из (5.3) и (5.6) для полного сечения рассеяния (считая, что а не
зависит от б) имеем
at = 2тт
bdb, (8.1)
где для прицельного параметра был введен порог обрезания b = bc.
С учетом этого порога обрезания сечение at для кулоновского
потенциала будет равным
ot = 7гЬ2с. (8.2)
Появление порога обрезания для b соответствует предположению, что
заряженные частицы, падающие с прицельным параметром b > bc, не
взаимодействуют с мишенью, а падение заряженных частиц с b < bc на
мишень описывается кулоновским потенциалом.
Отклонения, которые соответствуют углам, лежащим между 7г/2
и 7г и величинам b от 0 до 60, обычно называют большими углами
отклонения или близкими столкновениями. Если учитывать только
большие углы отклонения, то
°U large = 7Г&0 (тг/2 < X < ?г)> (8.3)
где bo заданно уравнением (4.9).
Как уже было упомянуто, заряженные частицы в плазме окружены
экранирующим облаком частиц противоположного знака. Простран-
§ 8. Экранировка кулоновского потенциала
505
ственный масштаб эффективной экранировки для рассматриваемых
заряженных частиц — это дебаевская длина, определяемая как
Хо=(^)"г (8.4,
\ще )
Сфера с радиусом, равным А#, окружающая заряженную частицу,
называется дебаевской сферой. В гл. 11 было показано, что частицы,
находящиеся внутри дебаевской сферы, экранируют кулоновский
потенциал, существенно уменьшая его влияние на частицы вне сферы.
Учитывая влияние экранировки, находим, что потенциал
взаимодействия определяется выражением
Таким образом, для г <С \в дебаевский потенциал (8.5) близок к ку-
лоновскому, а для г > А# он практически равен нулю.
Вычисления at с использованием кулоновского потенциала сложны,
и необходимы численные расчеты. Однако можно использовать простой
альтернативный подход, который приводит очень хорошему согласию
с результатами численных расчетов для дебаевского потенциала. Он
состоит в предположении, что потенциал взаимодействия является
чисто кулоновским при г < Хр и равен нулю при г > А#, как это показано
на рис. 9. Поэтому, удобно и более обоснованно обрезать прицельный
параметр в точке Ьс = А#, а не при Ьс = bo. В общем случае, имеем
AD > 60. (8.6)
Обычно принято отклонения, соответствующие &о < Ь < А#, т. е.
X < 7г/2, называть отклонениями на малые углы. Вклад в полное
сечение рассеяния от отклонений на малые углы определяется
выражением
0t, small = 27Г
bdb = 7r(X2D-bl) (х<тг/2). (8.7)
bo
Поэтому, поскольку \р > bo, из (8.3) и (8.7) следует
\2 \2
°t,small _ ЛР _ 1 ^ ЛР /о о\
&t, large 6q Ьо
Этот результат показывает, что большое количество частиц, слабо
взаимодействующих с частицей мишени и отклоняющихся на малые углы,
вносят существенно больший вклад, чем малое количество частиц,
сильно взаимодействующих с мишенью, что приводит к большим углам
отклонения. Следовательно, если прицельный параметр обрезан при
506
Гл. 20. Взаимодействие частиц в плазме
0
AD
Рис. 9. Приближение, используемое при выводе формулы at = tt\2d, состоит
в том, что экранировка полностью отсутствует при г < Ad и потенциал
взаимодействия частиц кулоновский, а при г > Ad частица мишени экранирована
полностью и взаимодействия нет
bc = Ad, to из (8.1) получается следующий результат для полного
сечения рассеяния:
at=n\2D. (8.9)
Для сечения передачи импульса, вводя обрезание при Ьс = \р, из
(7.8) находим
ат = 2тгЬ20\п(\ + ^>-
\ Ь0
поскольку из (4.12), приняв х = Хс при b = bc, имеем
l2\-1/2
(8.10)
8in(iXc)=h + |
Используя обозначение
А = ±°
(8.11)
(8.12)
и замечая, что обычно Л > 1, преобразуем выражение (8.10) к виду
аш = 2nbl In Л.
(8.13)
Можно показать, что для ат, также как и для at, большое количество
частиц, дающих малые угла отклонения, более важно, чем малое
количество частиц, рассеивающихся под большими углами.
§ 8. Экранировка кулоновского потенциала
507
Функция In Л слабо меняется при больших изменениях параметров,
от которых она зависит. Для лабораторной плазмы In Л лежит между
10 и 20. Для вычисления Л необходимо сделать некоторые
предположения. Для ^того, рассмотрим взаимодействие между электронным
газом (заряд q = —е) и газом однократно заряженных ионов (q\ = e,
Z = 1). Пусть по — концентрация электронов и ионов, образующих
плазму, и пусть температуры обеих компонент равны Т. Если
предположить, что электроны и ионы имеют максвелловскую равновесную
функцию распределения без токовой скорости, то прямыми
вычислениями находим
(в2) = \,
Щ J
fefix(yX-vYd6vd6VX
2лЗ„,лЗ„„ -
V V\
Щ
, (2>kT , 2\ j3 3A;T /q 1/1Ч
fe +vz)d6v = , (8.14)
\ ГГЦ ) 11
где k — постоянная Больцмана, а // — приведенная масса. Заменяя
в (4.19) дг средним значением, получаем для q\
-q = e
4тг£о/х(£2) 12тге0кТ'
(8.15)
Подстановка этого результата в выражение (8.12), где Хо определяется
(8.4), дает
(8.16)
А = ±^£^AD = 12тт0А3о = 9ND,
где No — число электронов в дебаевской сфере. В табл. 1 представлены
величины In Л для различных значений электронной плотности пе
и электронной температуры Т.
Таблица 1
Величины In Л для Z = 1 как функции Т(К) и пе(см_3)
Т/Пе
ю2
103
ю4
ю5
106
ю7
ю8
103
12,8
16,3
19,7
23,2
26,3
28,5
30,9
106
9,43
12,8
16,3
19,7
22,8
25,1
27,4
109
5,97
9,43
12,8
16,3
19,3
21,6
24,0
1012
5,97
9,43
v 12,8
15,9
18,1
20,5
1015
5,97
9,43
12,4
14,7
17,0
1018
5,97
8,96
11,2
13,6
1021
5,54
7,85
10,1
508
Гл. 20. Взаимодействие частиц в плазме
Задачи
20.1. Для дифференциального сечения рассеяния с угловой
зависимостью .
<Кх) = 2ao(3cos2x- 1),
где <7о — постоянная, вычислить полное сечение и сечение передачи
импульса.
20.2. Рассмотрите столкновение двух частиц с массами т и т\,
в котором частица т\ первоначально покоилась. Угол рассеяния в
системе центра масс обозначен как %, а в лабораторной системе (системе
неподвижного наблюдателя) как хь-
а) Покажите, что
i. SinX
tgXL =
cosx + (rn/rai)'
б) Покажите, что связь между дифференциальным сечением
рассеяния в лабораторной системе аь(хь) и сечением в системе центра масс
а(х) определяется выражением
= (у(х)[1+2(т/т,)совХ+(та/т,)']'/'-
1 + (m/mi)cosx
Заметьте, что при т\ = оо хь = X и o~l(xl) = &(х)-
в) Проверьте, что при т = т\ получается хь = х/2 и
Mxl) =4cos(x/2)a(x).
20.3. Рассмотрите две частицы, которые взаимодействуют с
прямоугольным потенциалом вида
ГО при г > а,
{-Uo при г < а.
а) Вычислите дифференциальное сечение рассеяния а(х) и
покажите, что оно определяется формулой (для Ъ < а)
, х = p2a2[pcos(x/2)-l][p-cos(x/2)]
4cos(x/2)[l-2pcos(x/2)+p2]2'
где 1 /9
б) Покажите, что полное сечение рассеяния равно
a
o~t = 2n \bdb = па2.
§8. Задачи
509
20.4. Рассмотрите общий случай обратного степенного закона для
силы, действующей между частицами,
F(r) = £,
где К — постоянная, а р — положительное целое число.
а) Найдите выражение для угла рассеяния %, дифференциального
сечения рассеяния а(х, б), полного сечения рассеяния at и сечения
передачи импульса ат.
б) Вычислите %> а(х^е)^ at и ат для случая максвелловского
распределения молекул при р = 5.
20.5. Пользуясь результатом задачи 20.4, а) для ат проверить, что
при р = 2 сечение передачи импульса определяется выражением
агп = 2тгА1(2)^
где А\(2) (I = 1 и р = 2) задается как
Мр) =
(1 -coszx)^o^0
2\ 1/(Р-0
Следовательно, частота столкновений
i/r(g) =namg,
зависящая от скорости, изменяется как д~3. Такая зависимость от д
приводит к явлению убегания электронов. Если электрическое поле Е
достаточно велико, то некоторые электроны за время между
столкновениями приобретут достаточную кинетическую энергию, отчего их
сечения взаимодействия и частоты столкновений уменьшатся. В
результате кинетическая энергия электронов уменьшится еще больше,
что приведет к дальнейшему уменьшению сечений рассеяния и частот
столкновений. Если Е достаточно велико, то частота столкновений
может уменьшиться так быстро, что сформируется ускоренный пучок
убегающих электронов.
20.6. Показать, что в случае кулоновских столкновений (р = 2)
М2) = ( ff ) Ч
2
Л
1п<1 + Л)- (, + л<)
510
Гл. 20. Взаимодействие частиц в плазме
где 6о — QQ\/(^п со/j,g2), Ai(p) определена в задаче 20.5 и Л = Хо/Ьо.
Для Л >> 1 покажите, что
Ai(2) = (^f) 2Ь^1пЛ = 21пЛ,
A2(2)=(njP\ 2Ь§(21пЛ-1) = 2(21пЛ-1).
Заметим, что так как для кулоновского потенциала К = qq\/4тгео, то
Глава 21
УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
И ФОККЕРА-ПЛАНКА
§ 1. Введение
Уравнение Больцмана впервые появилось в гл. 5. Влияние
столкновений учитывалось в правой части (см. уравнение (5.5.27))
посредством столкновительного члена самого общего вида (5fa/Si)C0\\,
который еще предстоит определить. В этой главе представлен вывод
больцмановского интеграла столкновений, в котором рассматриваются
только парные столкновения. Этот столкновительный член включает
в себя интегралы по скоростям частиц, поэтому уравнение Больцмана
становится интегро-дифференциальным уравнением. К несчастью, в
интеграле столкновений Больцмана учитываются только парные
столкновения, поэтому его применение для плазмы, где каждая заряженная
частица одновременно взаимодействует с большим числом соседних
заряженных частиц, ограничено. Многократные кулоновские
столкновения в плазме крайне важны, однако существует ряд случаев
(например, слабоионизованная плазма), когда именно парные столкновения
играют доминирующую роль.
Столкновительный член, предложенный непосредственно Больцма-
ном, применим к газу низкой плЪтности, в котором важны только
упругие парные столкновения. Парные столкновения могут испытывать
как нейтральные атомы или молекулы в разреженных газах, так и
заряженные и нейтральные частицы в плазме. Ранее было показано, что
в плазме важны не только эти типы взаимодействия частиц.
Необходимо учитывать многократные кулоновские столкновения, причем
в большинстве случаев они важнее парных столкновений. Тем не менее
в некоторых случаях столкновительный член Больцмана можно
использовать и в плазме, но полученные результаты требуют осторожной
интерпретации.
Кроме того, столкновительный член Фоккера-Планка, который
применим к взаимодействию заряженных частиц, можно получить из
интеграла столкновений Больцмана, если рассматривать столкновения
заряженных частиц как ряд последовательных, слабых (отклонение
частицы на малые углы) парных столкновений.
512 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
§ 2. Уравнение Больцмана
2.1. Вывод интеграла столкновений Больцмана
Столковительный член (Sfa/St)co\\ представляет собой скорость
изменения функции распределения /а(г, v, i) вследствие столкновений.
В результате столкновений за интервал времени dt некоторые частицы
сорта а, первоначально расположенные в фазовом пространстве вблизи
точки (г, v) в элементе объема d3rd3v, могут покинуть этот объем,
а другие частицы типа а, первоначально расположенные вне этого
элемента объема, могут туда попасть. Пусть ANa — средний приход
или убыль частиц сорта а в объеме dPrdPv, расположенном вблизи
точки (г, v), за время dt, т. е.
ANa=(^) d3rd3vdt. (2.1)
V Ot /coll
Удобно разделить ДАГа на две части
ДЛГа = ДЛГ+-ДАГ-, (2.2)
где AiV+ дает число частиц, поступивших в элемент объема за счет
столкновений, т. е. после столкновения частица сорта а находится
вблизи точки г в объеме d?r и имеет скорость в интервале d?v вблизи
v; AiV~ — это потери частиц сорта а, находившихся до столкновения
вблизи г в объеме d3r и имевших скорость в интервале d3v вблизи v.
Для вычисления ДЛГа, определенного в (2.1), сначала найдем AN~,
а затем — AiV+.
Для определения ДАТ" рассмотрим частицы сорта а,
расположенные вблизи точки г в объеме d?r со скоростями в интервале d3v
вблизи v, которые в результате столкновений с частицами некоторого
вида (сорта а или любых других) изменяют свою скорость, покидая
соответствующий интервал скоростей, но остаются в том же элементе
объема d3r вблизи точки г. Пусть эти частицы уходят в элемент объема
d?v\ вблизи vi в пространстве скоростей. Рассмотрим одиночную
частицу сорта а, расположенную в элементе фазового объема d3rd3v с
координатами вблизи точки (г, v). Можно считать, что частицы сорта /3,
расположенные в d3rd3v\ вблизи (г, vi), образуют поток, налетающий
на частицу сорта а. Отметим, что fp(r,v,t)d3v\ представляет собой
число частиц типа /3 в единице объема со скоростями, лежащими в
интервале d?v\ вблизи v\, и этот падающий поток можно выразить как
Г/5 = fp(T,vi,t)(Pvi\vi - v| = fp(r,vi,t)(Pvig. (2.3)
Рассмотрим частицы сорта /3, налетающие с прицельным параметром
в интервале b,b + db в плоскости столкновений, лежащей между
углами б и б + de. Среднее число столкновений частиц сорта /3 с частицами
сорта а за интервал времени dt равно числу частиц, пересекающих
элемент площади bdbde за время dt. Это число можно получить,
§ 2. Уравнение Больцмана
513
умножая поток частиц сорта /?, заданный уравнением (2.3), на элемент
площади bdbde и промежуток времени dt,
Tpbdbdedt = fp(r,vui)dzv\gbdbdedt. (2.4)
Это уравнение дает число частиц сорта /3 со скоростями в интервале
d?v\ вблизи vi, расположенных в цилиндре длиной gdt и поперечным
сечением bdbde (см. рис. 1). Объем цилиндра равен gbdbdedt. Здесь
bde
■^db
Рис. 1. Элемент объема высоты gdt с площадью сечения bdbde и сторонами,
лежащими между b, b + db и б, в + de
предполагается, что dt больше времени взаимодействия
сталкивающихся частиц. Чтобы определить число столкновений за время dt между
частицами, обозначенными в (2.4) как /?, со всеми частицами сорта а,
лежащими в элементе фазового объема d3rd3v вблизи (г, v), умножаем
(2.4) на число частиц сорта а в этом же элементе фазового объема
/а (г, v, t)d3rd3v и получаем
fa(r,v,t)d3rd3vfp(r,vut)d3vigbdbdedt. (2.5)
При выводе этого выражения предполагалось, что число
столкновений частиц сортов а и (3 со скоростями, лежащими в интервалах
d3v вблизи v и d?v\ вблизи vi соответственно и принадлежащими
одному и тому же элементу d3r вблизи точки г, пропорционально
произведению /Q(r, v, £)//з(г, vb£). Однако в системе взаимодействующих
частиц существование внутри заданного элемента объема d?r вблизи г
частицы с заданной скоростью у влияет на вероятность того, что
другая частица с определенной скоростью vi находится в это время в
том же объеме. Таким образом, в выражении (2.5) пренебрегается
любыми возможными корреляциями, которые могут существовать между
скоростями частиц и их координатами. Это предположение называется
приближением молекулярного хаоса и введено для удобства
вычислений. Оно представляет собой одно из возможных условий, налагаемых
на систему частиц, но не является универсальным.
33 Биттенкорт Ж.А.
514 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
Полное число частиц сорта а, расположенных в d3r вблизи точки г,
которое рассеивается из элемента пространства скоростей d3v вблизи
v за время dt, получается интегрированием выражения (2.5) по всем
возможным значениям 6, е и v\ и суммированием по всем возможным
сортам частиц /3
ДАТ" = /а(г>v,t)d3rd3vdtY^ [ [ [f^Y,YX,t)d3vxgbdbde, (2.6)
Р v\ b б
где тройной интеграл по vi представлен одним знаком интегрирования.
Для определения поступления частиц AiV+ поступим аналогично
нахождению AN~ и рассмотрим обратное столкновение, в котором
частица сорта а с начальной скоростью d3v' вблизи v' сталкивается
с частицей сорта /3 с начальной скоростью d3v[ вблизи v[ и
рассеивается в элемент скорости d3v вблизи v, событие происходит в
элементе объема d3r вблизи точки г. Среднее число столкновений между
одиночной частицей сорта а, расположенной в элементе фазового
объема d3rd3v' вблизи точки (r,v'), с частицами сорта /3, находящимися
в d3rd3vf вблизи точки (r.Vj), которые приближаются с прицельными
параметрами, лежащими в интервале от Ъ до 6 + db в плоскости
столкновений, лежащей под углами e,e + de, определяется уравнением
fp(r,v[,t)d3v[gfbdbdedt. (2.7)
Чтобы учесть все столкновения, происходящие внутри d3r вблизи г за
время dt между частицами сортов а и /3, при которых частица сорта а
рассеивается в элемент объема d3v вблизи v в пространстве скоростей,
надо умножить (2.7) на число частиц сорта а, которые первоначально
находились в d3rd3v', т.е. на fa(r,v',t)d3rd3v', проинтегрировать по
всем возможным значениям Ь, е и v{ и просуммировать по всем
возможным сортам частиц /3,
ДДГ+ = /а(г> v',t)d3rd3v'dtY^
р z
fp{rybt)d6v[g'bdbde, (2.8)
v[ Ь е
Очевидно, что д' = д = \v\ — V2I и при такой замене переменных
d3v'd3v[ = \J\d3vd3v{. (2.9)
В следующем разделе будет показано, что для этого преобразования
скоростей \J\ = 1, поэтому
d3v'd3v[ =d3vd3v{. (2.10)
Следовательно, (2.8) можно переписать в виде
ДАГ+ = fa(r,v',t)d3rd3vdtY^ \ \ \f(3(ry{,t)d3vxgbdbde. (2.11)
Р *>,' h e
§ 2. Уравнение Больцмана
515
Если теперь скомбинировать выражения для ААГ+ и AN~, заменить
в них bdbde на a(£l)d£l, то получится следующее выражение для
интеграла столкновений Больцмана:
v'fi
где введены обозначения
(2.12)
/i = /a(r,v,f*), (2.13а)
/^Mr.v',,*), (2.13b)
/a = /a(r,V,*), (2.13С)
fpi = fp(r,vut). (2.13d)
В явном виде уравнение Больцмана выглядит следующим образом:
+ v • V/a + а • Vv/a = ^ f j(/;/£i - faUi)d3viga(n)dn. (2.14)
Таким образом, уравнение Больцмана представляет собой интегро-
дифференциальное уравнение, включающее интегралы и частные
производные от функции распределения. В случае плазмы внешняя сила
F = гааа должна включать в себя силу Лоренца F = ga(E + vxB),
возникающую вследствие наличия внешних полей.
Для системы, состоящей из набора различных сортов частиц, одно
уравнение соответствует одному типу частиц. Например, для
ионизованного газа, состоящего из электронов, одного типа положительных
ионов и одного типа нейтральных частиц следует записать систему из
трех уравнений Больцмана, которые связаны друг с другом
посредством интеграла столкновений, содержащего функции распределения
электронов, ионов и нейтральных частиц. Так как столкновительный
член содержит произведения функций распределения, то уравнение
Больцмана нелинейно. Для системы, состоящей только из одного типа
частиц, суммирование по /3 исчезает, и столкновительный член
включает только произведение функций распределения частиц одного сорта.
2.2. Якобиан преобразований
Связь между дифференциалами скоростей d3vd3v\ и d3v'd3v\
задается уравнением
d3v'd3v[ = \J\d3vd3vu (2.15)
где J — якобиан преобразования переменных скорости от (v,vi)
к (v'.Vj), который можно записать в виде
j= d(v'>vi) = d(v'x,v'y,v'z,v[x,v[y,v[z) (2\Ь)
d(v,vi) d(yx,vy,vz,v\x,v\y,v\z)'
33*
516 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
что соответствует определителю матрицы
(J) =
dvx
dv'x
dvy
dvx
\dv\z
H
dvx
dvy_
dvy
dv!y_
dviz
dv[z\
dvx
dv[z
dvy
9v[z 1
dviz/
(2.17)
Используя (20.2.5) и (20.2.6) (уравнения (2.5) и (2.6) в гл. 20), можно
выразить d3v и d3v\ через cPcq и d3g как
d3vd3v\ = | Jc\d3cod3g,
(2.18)
где Jc — якобиан преобразования, представленного (20.2.5) и (20.2.6).
Рассмотрим сначала только компоненту х уравнения (2.18)
dvxdv\x =
dcoxdgx.
(2.19)
\d(vx,v\x)
\d(cox,gx) |
С помощью (20.2.5) и (20.2.6) вычисляем детерминант матрицы 2x2,
представленный в (2.19). Получаем
dvxdv\x = (^- + ^А dcoxdgx = dc0xdgx. (2.20)
Произведение трех таких сомножителей, которые соответствуют
компонентам х, у, и z, дает
d3vd3v{ =d3cod3g. (2.21)
Аналогично, используя (20.2.8) и (20.2.9), находим
d3v'd3v[ =d3clQd3gl. (2.22)
Мы уже видели, что со = с'0. Более того, g и g' отличаются только
направлением, но равны по модулю, а поскольку элемент объема не
меняется при простом повороте системы координат, то d3g = d3g'.
Следовательно, (2.21) и (2.22) равны
d3vd3vi =d3v'd3v[. (2.23)
2.3. Допущения в выводе интеграла столкновений Больцмана
Представленный здесь вывод интеграла столкновений Больцмана
основывается на четырех основных предположениях:
а) функция распределения существенно не меняется на расстоянии
порядка характерного масштаба, входящего в закон взаимодействия
частиц, и на времени масштаба свободного пробега;
б) влиянием внешних сил на величину сечения взаимодействия
можно пренебречь;
в) учитываются только парные столкновения;
§ 2. Уравнение Больцмана
517
г) скорости частиц до столкновения предполагаются не
коррелированными.
Первое предположение вполне разумно и используется при
вычислении (Sfaf*St)C0\\, когда все функции распределения оцениваются
в точке г в момент времени t. Элемент объема d3r берется много
большим характерного масштаба силы взаимодействия между частицами,
а интервал времени dt — большим характерного времени
взаимодействия. С другой стороны, если рассматриваются вариации функции
распределения, то элементы d3r и dt должны быть бесконечно малыми
величинами.
Далее, предполагалось, что влиянием внешних сил в задаче
столкновения двух тел можно пренебречь. Это справедливо, если внешняя
сила пренебрежимо мала по сравнению с силой взаимодействия между
частицами. Если модуль внешней силы сравним с величиной
близкодействующей силы взаимодействия между частицами, то процесс
столкновения видоизменяется. Постоянство относительной скорости
9 = |vi — v| полностью зависит от отсутствия внешних сил.
Предположение о парных столкновениях справедливо в
разреженных газах, где молекулы взаимодействуют посредством
близкодействующих сил. Однако это не так для кулоновских столкновений в плазме.
Так как кулоновская сила является дальнодействующей, заряженная
частица в плазме одновременно взаимодействует со всеми
заряженными частицами внутри сферы Дебая, т. е. заряженная частица в плазме
не движется свободно, а непрерывно взаимодействует с большим
количеством заряженных частиц. Тем не менее интеграл столкновений
Больцмана может использоваться как отправная точка для вывода
столкновительного члена в уравнении Фоккера-Планка для плазмы,
если предположить, что каждое отдельное взаимодействие приводит
к малым отклонениям траектории частицы и, так как каждое отдельное
взаимодействие относительно слабое, множество одновременных
взаимодействий может рассматриваться как последовательность слабых
парных столкновений. Таким образом, в общем случае, столкновитель-
ный член Больцмана не применим к процессам в плазме, а результаты,
полученные для случаев взаимодействия заряженных и нейтральных
частиц в слабоионизованной плазме, необходимо интерпретировать
с осторожностью.
Предположение г) известно как предположение о молекулярном
хаосе. Оно обоснованно для газов с малой плотностью, в которых
средняя длина свободного пробега много больше характерного
пространственного масштаба для силы взаимодействия между частицами.
Очевидно, что для плазмы это не совсем так, поскольку кулоновская
сила дальнодействующая. Обычно полная вероятность обнаружить
частицу сорта а со скоростью v и частицу сорта /3 со скоростью vi
в точке г в момент времени t пропорциональна
/a(r,v,t)//3(r,vbt)[l +^Mv,v1>r,t)], (2.24)
518 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
где ipap(v,vi,r,£) известна как корреляционная функция. При
выводе интеграла столкновений Больцмана мы пренебрегли корреляцией
между частицами, и считали общую вероятность пропорциональной
произведению /а(г, v,t)fp(r, v, t). Необратимый характер уравнения
Больцмана обсуждается в следующем пункте, он возникает как
следствие гипотезы о молекулярном хаосе. Чтобы избежать использования
этой гипотезы необходимо выводить уравнение Больцмана, используя
обратимые уравнения цепочки ББГКИ (Боголюбов, Борн, Грин, Кирк-
вуд и Ивон), что является единственной альтернативой нашему выводу.
Однако такой подход находится вне рамок данной книги.
Для газовых смесей, в которых характерный масштаб
взаимодействия много меньше среднего расстояния между частицами, а
временные и пространственные градиенты невелики, уравнение
Больцмана достаточно хорошо подтверждается результатами эксперимента,
и поэтому является одним из основных уравнений кинетической теории
газов.
2.4. Скорость изменения физических величин в результате
столкновений
В § 2 гл. 8 мы определили скорость изменения некоторой
физической величины x(v) B единичном объеме для частиц сорта а
вследствие столкновений с другими частицами плазмы как
8П<*(Х)
St
Используя интеграл столкновений Больцмана
-1 =\x(S-t) d*v- <2-25>
J coll J V ft /coll
(ж) и = £ f Vf'°f'(* - foMMtydtoPvu (2.26)
^ ftVi
получаем вместо (2.25) следующее выражение:
\8na(x)a~
St
= Е [ [ [(Mi - Mfi\)X9v(n)d£rfv$vx. (2.27)
о J J J
coll
P Qvi v
Напомним, что для каждого прямого столкновения существует
соответствующее обратное столкновение с таким же сечением. Поэтому
интегрирование по v и vi можно заменить интегрированием по v' и v[
соответственно с тем же результатом. Следовательно, первую группу
интегралов в (2.27) можно записать как
Е [ [ \f'Jh\X9°{tt)dto#v#vx = J2 [ [ \faffnx,9<r(tt)dnd>v(i
a J J J n J J J
j3vi,
Q v\ v P Q v\ v
(2.28)
§ 3. Н-функция Больцмана
519
где мы заменили d3vfd3v[ на d3vd3v\. Используя это выражение,
получаем в (2.27) столкновительный член в другой форме:
^#4 = Е f f f /"Л" М - x)9v№<md3vd3Vl. (2.29)
01 J coll *-^ J J J
a Qvi v
Отметим, что физическая величина x(v) связана с частицами типа а,
поэтому х' обозначает x(v')- Также подчеркнем, что только величина
х' в правой части (2.29) является функцией скорости после
столкновения v7. Полученный результат применим к частному случаю парных
упругих столкновений в разреженных газах, когда процессами
рождения и уничтожения частиц, а также потерями на излучение можно
пренебречь.
§ 3. Н-функция Больцмана
Интеграл столкновений Больцмана приводит к необратимости
изменений функции распределения. Как упоминалось ранее,
необратимость интеграла столкновений Больцмана — следствие предположения
о молекулярном хаосе, в котором корреляционными эффектами между
частицами пренебрегается.
Чтобы исследовать это свойство интеграла столкновений
Больцмана, введем функцию Больцмана H(i). Для простоты будем
рассматривать газ, состоящий только из одного сорта частиц, которые
равномерно распределены в пространстве (отсутствуют градиенты плотности).
Внешние силы также отсутствуют. Следовательно, функция
распределения не зависит от г и ее можно обозначить как /(v, £). Согласно
Больцману, определим функцию H(t) как
H(t) = ^f(v,t)\n[f(v,t)]<Pv. (3.1)
v
Для задач, учитывающих пространственные градиенты, функция H(t),
определенная в (3.1), соответствует функции Hioia\(t) единичного
объема п п
tftotal (t) =\\ /(Г, V, t) 1п[/(Г> V, t)}d3Td3V. (3.2)
Функция H(i) пропорциональна энтропии единичного объема
согласно уравнению
£ = -кН, (3.3)
где S — полная энтропия, V — объем системы, к — постоянная
Больцмана. Более общо, для систем с пространственными
градиентами, имеем
S=-kHtota]. (3.4)
520 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
3.1. if-теорема Больцмана
Я-теорема Больцмана утверждает, что если f(v,t) — решение
уравнения Больцмана, т. е.
Щ^- = | |[/(v',t)/(v'„*) - /(v,t)/(v,,t)]ffa(fi)dfidV (3.5)
dH(t)
TO
^f<0. (3.6)
Для доказательства этой теоремы рассмотрим производную по
времени от уравнения (3.1)
«fl-JO+Hflf^,. (37,
V
Подстановка (3.5) в (3.7) дает
^ = || |(1 + In/,)(/'/i' - fh)ga{V)dnd3vd3vu (3.8)
Q v v\
где /[ = /(vpi) и так далее. В (3.8) переменные интегрирования v и
vi можно поменять друг с другом без изменения значения интеграла,
поскольку и <т(П), и # = |vi — v| также не зависят от этой замены.
Таким образом, (3.8) можно переписать как
^ =\\\{ 1 + In /i)(/,'/' - M)ga{Sl)d£l#vi#v. (3.9)
Сложив уравнения (3.8) и (3.9) и поделив сумму на 2, получаем
^ = ^ III'2 + ln(//l)1(/,/l' " fh)9°{V)dm3vd3vx. (3.10)
В этом уравнении можно заменить скорости до столкновения на
скорости после столкновения без изменения величины интеграла, так
как для каждого прямого столкновения существует обратное
столкновение с тем же сечением <т(П). Выше уже было показано, что
d3v'd3v[ = d3vd3v\ и д = д'. Следовательно, (3.10) можно переписать
как
^*) = I|||[2 + in(/7.')](//. - /70^даш3Л. (3.11)
Q v v\
Теперь объединяем (3.10) и (3.11), получая
(f'fi-ffMtydnd'vd'vL (3.12)
dH(t) _ \_
dt ~ 4
Q v v\
In / "«
ff[
§ 3. Н-функция Больцмана
521
Ясно, что если в этом уравнении /'/( > //ь то ln(//i//'/() < 0 и,
следовательно, (dH/dt) < 0, так как все другие сомножители в
правой части (3.12) положительные. С другой стороны, если /'/( < ff\,
то 1п(//1//,/0 > 0, и снова (dH/dt) < 0. Когда /'/( = ffi оба
сомножителя равны нулю и (dH/dt) = 0, что соответствует состоянию
равновесия.
Это доказывает Я-теорему, поскольку отсюда следует, что если
/ удовлетворяет уравнению Больцмана, то функционал H(t) всегда
монотонно убывает во времени, пока не достигнет предельного
значения, после которого система во времени не изменяется. Это граничное
значение достигается только тогда, когда
/7i' = //i- (3.13)
Это условие необходимо для выполнения равенства dH/dt = 0 и,
следовательно, оно должно выполняться в состоянии равновесия.
Согласно уравнению Больцмана (3.5) равновесная функция распределения
удовлетворяет следующему интегральному уравнению
[/(v')/(v',) - /МДуОМфсШ3*, = 0, (3.14)
поэтому условие (3.13) также является достаточным условием для
состояния равновесия.
Полезно отметить, что (3.13) можно рассматривать как общий
принцип детального равновесия статистической физики, как это уже
обсуждалось в § 1 гл. 7, где этот принцип был использован для вывода
равновесной функции распределения Максвелла-Больцмана. Из (3.13)
можно сделать важный вывод, что равновесная функция
распределения не зависит от дифференциального сечения взаимодействия а(£1),
которое предполагается отличным от нуля. Таким образом, функция
распределения Максвелла-Больцмана — это единственное
распределение, которое может существовать в однородном газе, находящемся при
отсутствии внешних сил в равновесном состоянии.
3.2. Анализ if-теоремы Больцмана
Согласно (3.3), Я-теорема утверждает, что энтропия заданной
изолированной системы всегда растет во времени, пока система не
достигает состояния равновесия. Такое необратимое поведение
соответствует законам термодинамики, но противоречит законам механики,
которые обратимы. Если в какой-то момент времени изменить
направления скоростей всех частиц на противоположные, то законы механики
предсказывают, что каждая частица будет двигаться по своей прежней
траектории в обратном направлении. Однако мы видели, что столкно-
вительный член Больцмана приводит к необратимой эволюции во
времени функции распределения и функции H(t). Этот парадокс обязан
522 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
своим существованием предположению о молекулярном хаосе, которое
было использовано при выводе интеграла столкновений Больцмана.
Напомним, что, согласно предположению о молекулярном хаосе,
если /(г,v,t) пропорциональна вероятности найти частицу со
скоростью v в заданном элементе объема d3r вблизи г в момент времени t,
то вероятность одновременно найти в момент времени t в этом же
элементе объема d?r вблизи г частицу со скоростью v и частицу со
скоростью vi пропорциональна произведению /(г,v,£)/(r,v\,i).
Следовательно, это предположение пренебрегает любой возможной
корреляцией, которая может существовать между скоростями частиц.
Обычно состояние газа может удовлетворять или не удовлетворять
предположению о молекулярном хаосе, и поэтому функция распределения,
описывающая газ, либо удовлетворяет уравнению Больцмана, либо нет.
Функция распределения, которая описывает газ, будет подчиняться
уравнению Больцмана только в те моменты времени, когда гипотеза
о молекулярном хаосе для газа справедлива. Поэтому Я-теорема тоже
справедлива только тогда, когда выполнено это условие.
Покажем, что в моменты времени, когда газ удовлетворяет
условию молекулярного хаоса, функция H(i) имеет локальный максимум.
Для этого рассмотрим неравновесный газ, удовлетворяющий гипотезе
молекулярного хаоса, в момент времени t = to. Согласно Я-теореме,
в момент времени to + dt имеем (дН/dt) < 0. Рассмотрим второй газ,
полностью идентичный первому, в котором все молекулы имеют
скорости, противоположные по направлению скоростям соответствующих
молекул первого газа в момент времени t = to. Следовательно, в момент
времени to + dt, согласно Я-теореме, [дН /dt) < 0. С другой
стороны, вследствие инвариантности уравнений движения при обращении
времени, будущее второго газа соответствует прошлому первого. Это
означает, что для первого газа
^<0 при t = to + dt, (3.15а)
^^0 при t = to-dt. (3.15b)
Эти уравнения показывают, что в момент времени, когда условия
молекулярного хаоса выполнены, функция H(i) находится в локальном
максимуме. Эта ситуация показана на рис. 2, момент t = to обозначен
цифрой 2. В моменты времени, когда H(t) не соответствует локальному
максимуму, например моменты времени 1 и 3 на рис. 2, газ не
удовлетворяет предположению молекулярного хаоса. Отметим, что функция
дН/dt не обязательно должна быть непрерывной функцией времени
и может резко изменяться в результате столкновений.
Эволюция во времени H(t) определяется столкновениями между
частицами, которые происходят случайно и могут со временем, как
установить, так и разрушить состояние молекулярного хаоса. На рис. 3
показано, как H(t) может изменяться во времени. Моменты време-
§ 3. Н-функция Больцмана
523
Я® А
А,
to
£
Рис. 2. Состояние молекулярного хаоса соответствует локальному максимуму
функции #(£), как показано на рисунке в точке 2
ни, когда условие молекулярного хаоса выполнено, на кривой H(i)
выделены точками. Если условие молекулярного хаоса преобладает
большую часть времени как, например, в разреженных газах, то и H(t)
будет находиться в локальном максимуме большую часть времени.
Поскольку столкновения в газе случайны, моменты молекулярного
хаоса будут, возможно, распределены равномерным образом во времени.
С другой стороны, временные вариации функции H(t), полученные
с использованием функции распределения, удовлетворяющей
уравнению Больцмана, представлены гладкой кривой с отрицательным
наклоном. Эта кривая, показанная пунктиром на рис. 3, с минимальным
отклонением аппроксимирует все точки (моменты времени) реальной
кривой H(t), в которых выполняется условие молекулярного хаоса.
Таким образом, состояние молекулярного хаоса может
рассматриваться как удобная математическая модель, описывающая неравновесные
состояния системы.
#(*)А
Рис. 3. Эволюция во времени функции H(t) для газа, который в начальный
момент не находился в равновесии, показана жирной кривой. Пунктирная
линия представляет собой временные вариации H(t), предсказанные
уравнением Больцмана. Точками отмечены моменты времени, когда было выполнено
условие молекулярного хаоса
524 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
Уравнение Больцмана, которое справедливо, строго говоря, только
в моменты времени, когда газ удовлетворяет предположению о
молекулярном хаосе, может рассматриваться как верное в статистическом
смысле в любой момент времени. Аналогичное утверждение применимо
и для Я-теоремы.
3.3. Максимизация энтропии или минимизация Н при выводе
равновесной функции распределения
Равновесную функцию распределения Максвелла-Больцмана
можно получить посредством вычисления вариаций функционала H(t).
Выше было показано, что в условиях равновесия H(t) имеет минимум,
и поэтому для однокомпонентного газа в равновесии верно следующее
соотношение: г
SH = S[\fln(f)d3v]=0, (3.16)
V
где символ S перед выражением означает его первую вариацию
вследствие малых изменений функции распределения. Формально, вычисляя
вариацию (3.16), получаем
6Н =
(\+\nf)S[fd3v}=0. (3.17)
Однако существуют определенные макроскопические ограничения,
наложенные на систему. При слабом изменении / должны выполняться
основные законы сохранения (массы, энергии и импульса) для системы
в целом. Поэтому на вариационный интеграл (3.17) следует наложить
условия постоянства полной массы, импульса и энергии единичного
объема однородного газа системы, которые не меняются при
варьировании /. Постоянство массовой плотности при малых изменениях Sf
функции / требует, чтобы выполнялось равенство
6(рт) = т
6fd3v = 0. (3.18)
Аналогично, из условия постоянства плотности импульса следует
S(Pm(v)) = m\v6fd3v = 0, (3.19)
v
а из условия постоянства плотности энергии —
6(\рт№) = \т \v26fd3v = 0. (3.20)
V
Теперь можно вычислить экстремум (3.17) при условиях (3.18)-
(3.20), используя метод множителей Лагранжа. Умножая (3.18) на
множитель Лагранжа а\, г-ю компоненту (3.19) — на a,2i (г = x,y,z),
§ 3. Н-функция Больцмана
525
(3.20) — на аз, затем складывая полученные уравнения с (3.17),
получаем Л
ral(l +ln/ + ai +3L2-v + i;a3v2)5fd3v = 0, (3.21)
V
где а2 • v = d2Xvx + а>2уУу + a,2Zvz. Теперь вариации / абсолютно
произвольны, так как все ограничения, наложенные на систему, уже учтены
в (3.21). Следовательно, этот интеграл равен нулю тогда и только
тогда, когда
In/ = -(1 + ai + а2 • v + \azv2). (3.22)
Это уравнение идентично уравнению (7.1.9), решение которого
было получено в гл. 7 при выводе функции распределения Максвелла-
Больцмана. Следовательно, оно приводит к такой же равновесной
функции распределения
'-(гагГ-(^)- (323)
где с = v — и.
Максвеловская функция распределения является не только
равновесным решением уравнения Больцмана, но также и наиболее
вероятным распределением, соответствующим определенным
макроскопическим параметрам системы п, и, Т.
3.4. Смесь различных видов частиц
Для случая смеси различных типов частиц, когда каждая
компонента типа а имеет заданную концентрацию na, среднюю скорость ua
и температуру Та, по-прежнему можно выполнить вариационные
вычисления и определить наиболее вероятную функцию распределения
при ограничениях, заданных макроскопическими параметрами na, ua
и Ta для каждой компоненты смеси. Отметим, что полученное
состояние не будет равновесным до тех пор, пока средние скорости
и температуры не станут равными.
Для определения наиболее вероятной функции распределения такой
неравновесной смеси газов (каждая компонента имеет свою
собственную концентрацию, среднюю скорость и температуру), минимизируем
каждый функционал На независимо, причем
На —
/ah/adV (3.24)
Эта процедура также минимизирует и полный функционал Н смеси,
так как ,__
tf = ]Ttfa. (3.25)
a
Для компоненты сорта а, когда На минимален, 5На = 0 для малых
вариаций 5fa функции /а. Макроскопические параметры na, ua, и Ta
526 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
при варьировании fQ должны оставаться постоянными. Задача
полностью аналогична задаче, решенной в предыдущем разделе для одно-
компонентного газа, и приводит точно таким же образом к уравнению
(3.23) для каждого типа частиц. Поэтому каждый тип частиц имеет
функцию распределения Максвелла, но со своей собственной
концентрацией, средней скоростью и температурой. Хотя в целом система и
не находится в состоянии равновесия (до тех пор, пока не сравняются
средние скорости и температуры всех компонентов), тем не менее это
наиболее вероятная функция распределения для выбранной системы
при заданных условиях.
§ 4. Интеграл столкновений Больцмана
для слабоионизованной плазмы
В этом параграфе из уравнения Больцмана будет получено
приближенное выражение для столкновительного члена для
слабоионизованной плазмы, в которой столкновения между электронами и
нейтральными частицами играют основную роль. Функция распределения
нейтральных частиц предполагается гомогенной и изотропной.
Внешние силы, действующие на электроны, предполагаются малыми, т. е.
электроны практически равновесные. Следовательно,
пространственные неоднородности и анизотропия неравновесной функции
распределения электронов малы, так как это неравновесное состояние является
малым отклонением от равновесного. В равновесных условиях
предполагается, что электроны не имеют потоковых скоростей, а их функция
распределения изотропная и однородная.
4.1. Разложение функции распределения по сферическим
гармоникам
Пусть (у,в,ф) — сферические
координаты в пространстве скоростей,
как показано на рис. 4. Так как
анизотропия неравновесной функции
распределения очень мала, то
зависимость /(г, v, t) от в и ф слабая.
Поэтому /(r,v, £) можно разложить в ряд
по угловым переменным в и ф в
пространстве скоростей, удержав только
несколько первых членов этого
разложения. Поскольку ф меняется от 0 до
27Г, то можно разложить /(r,v,£) по ф
в ряд Фурье, а поскольку в меняется
от 0 до 7г, т. е. cos0 изменяется от +1
Рис.4. Сферические координа- до —1, то /(г,v,t) можно разложить
ты (у,0,ф) в пространстве ско- по полиномам Лежандра относитель-
ростей но cos#. Таким образом, можно рас-
§ 4. Интеграл Больцмана для слабоионизованной плазмы 527
смотреть следующее разложение функции распределения по
сферическим гармоникам:
оо ^оо
/(r,v,£) = ^ ^P™(cose)[fmn(r,v^)cos^)+gmn(r,v^)sin(m(fr)],
771=0 71=0
(4.1)
где функции P™(cos#) называются присоединенными полиномами
Лежандра, а функции fmn и дтп можно рассматривать как
коэффициенты разложения.
Первый член в разложении (4.1) соответствует т = 0 и п = 0,
и, поскольку Pq(cos#) = 1, он равен /оо(г,г>,£). Этот основной член
разложения совпадает с изотропной функции распределения,
описывающей равновесное состояние электронов. Член, соответствующий
т = 1 и п = 0 исчезает, поскольку Pf^costf) = 0. Следующий член
в (4.1), более высокого порядка, соответствует т = 0 и п = 1 и, так
как Pq (cos 0) = cos#, равен /oi(r, г>, £)cos#. Таким образом, поскольку
анизотропия предполагается малой, удерживаем в разложении (4.1) по
сферическим функциям только два ненулевых члена. Имеем
/(г, v, t) = /oo(r, v, t) + ^/oi (г, v, t), (4.2)
где cos# был заменен на (v • vz)/v (см. рис. 4). Второй член в правой
части (4.2) соответствует малой анизотропии, возникающей вследствие
пространственной неоднородности и внешних сил, действующих на
электроны.
4.2. Приближенное выражение для интеграла столкновений
Больцмана
Интеграл столкновений Больцмана в (2.12) может быть записан для
случая парных столкновений электронов с нейтральными частицами
в виде
'Sfe
(Щ =
\ St /coll
{f'Jn\-fefnx)9bdbdtd6vu (4.3)
где мы заменили a(Q)dQ на bdbde. Здесь /е — неравновесная функция
распределения электронов, a fn — изотропная и равновесная функция
распределения нейтральных частиц.
В первом приближении нейтральные частицы можно считать
стационарными. Кроме того, на них не влияют столкновения с электронами,
так как масса нейтральных частиц много больше, чем масса электрона.
Поэтому предполагаем, что
vi = v\ = 0, (4.4)
fm=U (4.5)
528 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
т. е. (4.3) преобразуется к виду
27Г ОО
(Щ =
\ St /coll
fn\d v\
de
{f'e-fe)gbdb.
Поскольку концентрация нейтральных частиц равна
fnidPvx,
(4.6)
(4.7)
то (4.6) можно переписать как
27Г ОО
\ 01 /coll
de
(fe-fe)9bdb.
(4.8)
Более того, из (4.2) следует, что функция распределения электронов
до столкновения задается выражением
fe = /e(r, V, t) = /оо(г, V, t) +
а после столкновения — выражением
lfo\(T,v,t),
(4.9)
fe = fe(ry,t) = Mr,v',t) +
>-foi(r,v',t) =
= /оо(г, t;,t) +
^(г.г;,*). (4.10)
В последнем уравнении предполагалось, что v = v\ поскольку потери
энергии электронами в результате столкновений малы, так как
нейтральные частицы считаются массивными и в первом приближении
покоящимися. Следовательно, v = g и v7 = g7 (см. уравнение (4.4)),
и так как g = g' (см. уравнение (20.2.16)), то v = v'. Однако заметим,
что векторы v ф v7. Поэтому из (4.9) и (4.10) получаем
£1 £ (v'-v)-vz. / .ч
fe~fe = ^ foi(T,V,t)-
(4.11)
Можно без потери общности выбрать ось vz параллельно начальной
относительной скорости электрона g. Следовательно,
(v7 - v) • vz = (g7 - g) • vz = g(cosx- 1) = v(cosx - 1)
(4.12)
где x — Угол рассеяния (угол между g и g7, как показано на рис. 3
в гл.20). Подставляя (4.12) в (4.11), получаем
fe~ fe = "(I -COSx)/0l(r,'M)-
(4.13)
§ 4. Интеграл Больцмана для слабоионизованной плазмы 529
Подстановка этого результата в (4.8) дает
27Г ОО
'Sf,
(¥L = -"^'<'•"■'>
de
(1 - cos x)bdb.
(4.14)
Сечение передачи импульса аш при столкновениях электронов и
нейтральных частиц определяется как (см. (20.5.10))
27Г ОО
(1 — cosx)tf"(fi)dfi :
т. е. (4.14) можно переписать как
'6f<
(1 — cos x)bdb,
{-ж)ыГ-Пп9аМг'ьЛ)-
(4.15)
(4.16)
Если, используя (4.9), подставить fo\(r,v,t) в (4.16), то, заметив, что
для этого случая (v • vz)/v = (g • vz)/g = 1, получаем
©coll = -n"V(7™(fe - £*) = -"rWfe ~ До), (4Л7)
где мы ввели vr(v) = nnvam — зависящую от скорости частоту
столкновений, а /оо (которая характеризует изотропное и равновесное
состояние электронов) заменили на /ео, согласно обозначению,
использовавшемуся ранее. Выражение (4.17) аналогично релаксационной
модели (или модели Крука) для столкновительного члена, представленной
в § 6 гл. 5, за исключением зависящей от скорости частоты
столкновений. Если задать силу взаимодействия между электронами и
нейтральными частицами, то можно найти сечение передачи импульса
ат и, следовательно, зависящую от скорости частоту релаксационных
столкновений vr(v).
4.3. Скорость изменения импульса вследствие столкновений
Скорость изменения плотности импульса газа электронов в
результате столкновений с нейтральными частицами определяется в
уравнении (8.4.3) как
S(PmeUe)
St
ГПе
J coll
(£)
d6v.
coll
Подставляя (4.17) в (4.18), получаем
-ГПе
vr(v)vfed3v + me
1Sr(v)vfe0d3V.
(4.18)
(4.19)
Если предположить, что частота релаксационных столкновений vr(v)
не зависит от скорости и считать, что у электронного газа в состоянии
34 Биттенкорт Ж.А.
530 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
равновесия нет потоковой скорости, т. е.
vfe0d3v, (4.20)
1
Пе
то (4.19) принимает вид
Ае = -ПеГПе1Угие = -pmeVrUe, (4.21)
где ие — средняя скорость электронов в неравновесном состоянии.
Уравнение (4.21) соответствует выражению, использовавшемуся при
выводе уравнения Ланжевена для скорости изменения плотности
импульса в результате столкновений, в которое постоянная частота
столкновений vc вводилась феноменологически.
§ 5. Уравнение Фоккера-Планка
В этом параграфе рассматривается вывод уравнения Фоккера-
Планка, в котором столкновительный член учитывает одновременные
кулоновские столкновения заряженных частиц. Для вывода
уравнения предположим, что отклонения заряженных частиц на большие
углы в результате кулоновского рассеяния можно рассматривать как
серию слабых парных столкновений {касательных столкновений), т. е.
как последовательность рассеяний на малые углы. Поэтому
столкновительный член в уравнении Фоккера-Планка можно получить
непосредственно из интеграла столкновений Больцмана, который
справедлив для парных столкновений, если предположить, что многократное
кулоновское столкновение можно заменить серией слабых (рассеяние
на малые углы) парных столкновений. Ниже рассматриваются
столкновения между частицами типов а и /3.
5.1. Вывод столкновительного члена для уравнения
Фоккера-Планка
Пусть x(v) — некоторая произвольная функция скорости, связанная
с частицей сорта а, тогда, согласно (2.27) и (2.29), скорость изменения
во времени величины x(v) B единичном объеме в результате
столкновений между частицами сортов а и /3 можно выразить как
|x(v) (^)coii d3v = \\ \U'J'0X ~ bMwMdSUPvKpv =
v Qv\ v
= [ [ \fafM ~ х)9°(П)<1Ш\<1\, (5.1)
Qv\ v
где через %' обозначена x(v')- В последнем выражении только величина
х' зависит от скорости v' после столкновения.
§ 5. Уравнение Фоккера-Планка
531
Для слабых парных столкновений (касательных столкновений)
можно записать
v7 = v + Av, (5.2)
где изменение Скорости Av в результате столкновения предполагается
малым. Так как
X' = x(v') = x(v + Av), (5.3)
то можно разложить х' в РЯД Тейлора в окрестности v
X(v + Av) = X(v) + £ g Д* + \ £ ^k A«^ + • • • (5-4)
г ij
Подставляя (5.4) в (5.1), получаем
Qv\ v \ г
ij l ° )
где мы пренебрегли членами более высоких порядков.
На следующем шаге необходимо вынести за скобки произвольную
функцию x(v) B уравнении (5.5). Это можно сделать путем вычисления
первой группы интегралов, содержащих d\/dvi, по частям и второй
группы интегралов, содержащих d2x/(dvidvj), по частям дважды.
Например, для компоненты х первой группы интегралов, содержащих
dx/dvi, имеем
^-Avxfa(v)f0[(vl)ga(n)dad3vld3v =
dvydvx^^dvx(v'x - Vx)/a(v)5<T(fi)dfi]//3(v1)d3Ul. (5.6)
Qv\ v
В выражении в скобках можно положить
Qv\ v
= I I I I /7i». /7ij_ .
dv,
dV = %?^- <5-7>
U = (v'x- vx)fa(v)ga(il)dSl, (5.8)
и взять интеграл по vx по частям. Получаем
^dvx(v'x - vx)fa(v)ga(n)dSl =
Г x(v)^[(u* " v*)f«(v)ga(n)dn}dvx, (5.9)
532 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
где первое слагаемое, появляющееся при интегрировании по частям,
равно нулю, поскольку / стремится к нулю при аргументе,
стремящемся к ±оо. Отсюда для интеграла в (5.6) находим
d^AvxfaWfaiv^gain^'v^v =
dvx
Qv\ v
Qvi v
[IxM^tAvx/aHW^dni/^Kvi)^^!;. (5.10)
Вычисляя в (5.5) по частям все остальные интегралы, получаем
следующее выражение для столкновительного члена:
х (^г)соп d"V = ~ f f fX^ ^;\bviU9°№<mbxd\xd\ +
J J J A
Qv\ v
+
1
a2
*[E £:{fa f f Avi9^)dnffiid3vi)]d3v +
1 Qvi
+
d3^. (5.11)
Определим величины
fit»;
(AviAvj)av =
Avig(T(Si)(Klfa(Pvi,
AviAvjg(r(£i)fflfpid3vi.
(5.12)
(5.13)
Qvi
Это модифицированные средние по углу рассеяния и функции
распределения по скоростям рассеивающих центров. Используя эти
обозначения, перепишем (5.11) в виде
*(f)co/VHXE^(/"(A^) +
+ ^E^(/^A^A^)-)]d3u- <5-14)
§ 5. Уравнение Фоккера-Планка
533
Поскольку это уравнение справедливо для любой функции x(v)> T0>
в частности, для \ — ' имеем
г %j
(5.15)
Это уравнение задает столкновительный член для уравнения
Фоккера-Планка. Средние величины (Avi)av и (AviAvj)av называются
коэффициентами динамического трения и диффузии в пространстве
скоростей уравнения Фоккера-Планка. Они задают среднюю скорость
изменения величин Avi и AviAvj в результате множества слабых
кулоновских столкновений.
Отметим, что в столкновительный член (5.15) в уравнении
Фоккера-Планка входят два члена с разными знаками, которые могут
привести к тому, что в среднем изменения /а из-за столкновений не
будет. Анализ размерностей (5.12) показывает, что коэффициент (Avi)av
в уравнении Фоккера-Планка имеет размерность силы, действующей
на единичную массу, и стремится ускорить или замедлить частицы,
пока они не достигнут средней равновесной скорости. Этот процесс
обычно называется динамическим трением. С другой стороны,
коэффициент (AviAvj)av в уравнении Фоккера-Планка представляет собой
диффузию в пространстве скоростей, происходящую до тех пор,
пока не будет достигнуто состояние равновесия. В условиях равновесия
диффузия в пространстве скоростей уравновешивается динамическим
трением, и в среднем изменения /а в результате столкновений нет,
поэтому столкновительный член в (5.15) исчезает. Рис. 5 схематически
иллюстрирует влияние этих процессов на функцию распределения.
FvA
Диффузия
~* ' в пространстве ^ ^
скоростей
Динамическое
трение
О
Рис.5. Схематическая иллюстрация процессов динамического трения и
диффузии в пространстве скоростей, связанных с коэффициентами уравнения
Фоккера-Планка
534 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
Процедуру разложения, использованную для вывода столкнови-
тельного члена уравнения Фоккера-Планка, можно обобщить на
любое количество членов. Однако на практике обычно
используются только первые два члена разложения, показанные в (5.15),
поэтому (5.15) может рассматриваться как разумная аппроксимация
столкновительного члена в случае, когда Av = (v7 — v) мало для
подавляющего большинства столкновений. Считается, что это
соответствует случаю дальнодействующей кулоновской силы.
Напомним, в § 8 гл. 20 было показано, что большое количество частиц,
слабовзаимодействующих с частицей мишени (что приводит к
малым углам отклонения), вносит основной вклад в полное сечение
рассеяния.
5.2. Коэффициенты уравнения Фоккера-Планка
для кулоновских столкновений
Оценим коэффициенты динамического трения (Avi)av и диффузии
в пространстве скоростей (AviAvj)av> которые появились в столкно-
вительном члене (5.15) уравнения Фоккера-Планка. Сначала удобно
выполнить интегрирование по телесному углу П, так как это не требует
знания вида функции распределения fp(v\). Запишем
(Avi)av =
{AVi}fmd3vu (5.16)
(AviAvj)av= [{AviAvAfatPvi, (5.17)
где фигурные скобки обозначают следующие интегралы по телесному
углу:
{Avi} = [ Aviga(n)dn, (5.18)
{AviAvj}=
AviAvjga(n)dn. (5.19)
Чтобы выполнить интегрирование по телесному углу, сперва
вспомним, что в системе координат центра масс из (20.2.5) и (20.2.8) следует
v = с0 - Ш1 g, (5.20)
v' = c0-^5^g', (5.21)
поэтому
Av = v/-v= ml (g-gO, (5.22)
§ 5. Уравнение Фоккера-Планка
535
В декартовой системе координат, в которой вектор д направлен вдоль
оси z (как показано на рис. 3 в гл. 20), имеем
9z = 9, 9х=ду = 0 (5.23)
д'х = #sinxcos6, (5.24)
д'у = р sin x sine, (5.25)
9z= 9 cos x- (5.26)
Подстановка (5.23)-(5.26) в (5.22) дает
Av = £—д[( 1 — cos x)z — sin x(cos ex + sin ey)]. (5.27)
та + mp
Дифференциальное сечение рассеяния для кулоновского потенциала
было получено в § 7 гл. 20 в виде
а(х) = f = Ь1 (5>28)
Ш 4sin2(X/2) (1-cosx)2
где bo определено в уравнении (20.4.9).
Переходя к вычислениям {Avi} для i = x,y,z, сначала найдем
{Avz}. Из (5.18), (5.27) и (5.28) имеем
{Avz} = -^—ffl
2тг
de
j^^dx, (5.29)
1 - cos x
где нижний предел интегрирования по х был взят равным Xmin, чтобы
избежать расходимости интеграла вблизи нуля. Как мы видели,
заряженные частицы в плазме, находящиеся друг от друга на расстоянии
больше длины Дебая А^, экранированы. Поэтому, чтобы избежать
бесконечностей в интеграле (5.29), считаем, что нижний предел Xmin
равен углу рассеяния при прицельном параметре Ъ — \о-
Исходя из (20.4.13), введем новую переменную
Отсюда получаем
и —
du
С1П
b
bo
= ctg(^x)-
dx
(1 -cosx)
2w
(5.30)
(5.31)
0+«)
Делая замену переменной и вводя порог обрезания Xd для прицельного
параметра, т. е.
ис = ^ = Л, (5.33)
оо
536 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
получаем в (5.29)
Шос + тр"
2и
{AVz} = 2п-И£-<?% ~^-2(-du) = 27Г—=2—^bglnO +Л2).
1 + и2 ТПа+ГП/з'
(5.34)
Обычно Л > 1, поэтому 1п(1 +Л2) « 2 In Л, и (5.34) упрощается до
{Avz}= 7 ^i (5-35)
та + тр 4тгефд2
где 6о было заменено выражением (20.4.9). Вводя обозначение
n zVlnA /г«м
0 = л 2 2 , (5.36)
4тг€0М
можно переписать (5.35) в виде
771/3 в
{Avz} = "'* ^. (5.37)
Рассмотрим величины {Ди^} и {Д^у}. Из (5.18) и (5.27) ясно, что
они включают в себя интегралы от cose или от sine в пределах от 0 до
27г, которые, очевидно, равны нулю. Поэтому
{Дг;я} = {Дг;у}=0. (5.38)
Аналогично можно показать, что из (5.19) и (5.27) следует
соотношение
{Д^} = 0 для i^j, (5.39)
поскольку для этих выражений интегралы по е в пределах от 0 до 2п
равны нулю.
Для оценки {Д^Д^} = {Д^} используем (5.19), (5.27) и (5.28).
Имеем
{Avl} = 2*^-^1
ma + mp
Xmin
sinx^X- (5-40)
Заменяя переменные в соответствии с (5.30), получаем
л
2 г л 2
{Avt} = 2тг "* Лъ\ -^j-2du = An, "* ЛЪ%-±
(та + тр)
(1+«Y {та+т0У "(1+Л")
(5.41)
Поскольку Л > 1, то (5.41) упрощается до
{Д^} = 4к Ш} ЛЬ* = т} ff2 (5.42)
(гпос + тр) (та + тр) 47Г€0Д д
§ 5. Уравнение Фоккера-Планка
537
или, используя обозначение (5.36)
ГПф
6
9 , Л' (543)
(та + т/з) £1пЛ
Аналогично, используя (5.19), (5.27) и (5.28), можно получить, что
27Г 7Г
{А^}
2
™>/3
3l2
(та + тр)'
;9%
cos2 ede
• з
sin x
{Дф =
2
О
2тг
(1 -cosx)
rdx,
3l2
^
(ma + га/з)
и
Вычисляя интеграл по е, находим
„21 _ ГДЛ,21 _ _ raff
sin ede
Xmin
sin3x
(1 -cosx):
{Д^} = {Д^}=7Г
(raa + mp)
Jb\
sin3x
Xmin
(1 -cosx)'
;dx-
■dx-
(5.44)
(5.45)
(5.46)
Если заменить переменные согласно (5.30), то легко получить
л
{Avl} = {Av2y} = 4n
2
ГП/з
(та +тр)2
= 2тг
J (1+и-
о
du =
ГПф
(та + тр)
,94
1п(1+Л2
1+Л2
(5.47)
Из условия Л > 1, заменяя 6о согласно (20.4.9), окончательно получаем
{Д1& = {Д„2} =
2
тр
Z2e4\nA
2
в
(5.48)
[гпос + т^)2 4тгвф2д (ma + mp)2 9
Следующий шаг в оценке коэффициентов в уравнении Фоккера-
Планка состоит в интегрировании {А^} и {Дг^Дг^-} для г, j = x,y,z
по функции распределения рассеивающих центров. Таким образом,
используя полученные результаты, находим
в
гпос + mp J
(та + m/з) J
if/3\drv\,
в
#1пЛ
f(3\d3vu
(Av2x)av = (Avzy)Q
т2р
в
Ц+ш^) J
Все остальные коэффициенты равны нулю.
fp\d3v{.
(5.49)
(5.50)
(5.51)
538 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
5.3. Приложение для электрон-ионных столкновений
Вычислим коэффициенты уравнения Фоккера-Планка для
электрон-ионных столкновений. Для простоты предположим, что электрон
взаимодействует с полем тяжелого и неподвижного положительного
иона. Это предположение разумно, так как в среднем скорости
электронов много больше скоростей ионов ((г>|) = 3kTi/rrii, a (vl) = 3kTe/me
и обычно Те/те > Тг/гпг). Таким образом, предполагая, что
положительные ионы неподвижны, можно представить их функцию
распределения по скоростям в виде дельта-функции Дирака
//51 = no6(vix)6(viy)6(v\z). (5.52)
Кроме того, поскольку га* ^> гае, можно считать, что (гае + га*) « га*
и /i«me. Подставляя (5.52) в уравнения (5.49)—(5.51), получаем
(Avz)av = ^, (5.53)
9
№)av = ^, (5-54)
(Avl)av = (Av2y)av = «£, (5.55)
где в определено в (5.36). Отметим, что \z направлена вдоль
начальных относительных скоростей, a vx и vy перпендикулярны начальным
относительным скоростям.
Задачи
21.1. Рассмотрите систему, состоящую из смеси частиц двух типов
с массами га и М, находящуюся под действием внешней силы F.
Обозначьте соответствующие функции распределения через / и д.
Выпишите для этой системы набор связанных уравнений Больцмана.
21.2. Рассмотрите плазму, в которой электроны и ионы
характеризуются следующими функциями распределения:
, / ГПе \3/2
, ( гщ \3/2
m
m
e(v-Ue)2
2кТе
i(v-Ui)2l
2kTi \
а) Вычислите разность {f'efi\ ~ fefu).
б) Покажите, что плазма находится в равновесии, т. е. выражение
(fefu ~ fefu) равно нулю тогда и только тогда, когда ие = щ и Те = Ti.
§5. Задачи
539
21.3. Покажите, используя метод множителей Лагранжа, что для
системы, которая описывается следующей модифицированной
функцией распределения Максвелла-Больцмана
лг'")=пм(й3/1оф("м)'
где Г — постоянная, энтропия S, заданная как
S = -k
/ln(/)ddt;dV
будет максимальной, если п — константа, не зависящая от г.
Рассмотрите систему, состоящую из N частиц в объеме V при температуре Т.
21.4. Рассмотрите случай максвелловских молекул, для которых
сила взаимодействия имеет вид
Р(г) = Щт,
г
где К — постоянная.
а) Не оговаривая вид функций распределения /a(v) и fp(v\) для
частиц сортов а и /3, покажите, что скорость изменения плотности
импульса частиц а за счет столкновений равна
(ж)соП = \таСа Шсо,!^ = Е^™"^^ - U«)>
71 Р
где isap — частота столкновении при передаче импульса,
ГПос
a Ai (5) — безразмерный параметр (порядка единицы), определяемый
по формуле (для р = 5 и / = 1)
1уаР = 27г^^прА1(5),
Кроме того,
Ai(p) = (1 - cos* x)vodvo
о
па =
пр =
v0 = b\
\fad\
V
fpd3vu
/ 2\1/(P-1
fM \
KK )
1
Ua = —
1 f
)
fv/ad3^,
V
v\fp\(Pv\.
np
540 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
б) Для такого же случая покажите, что скорость обмена энергией
для частиц типа а в единице объема в результате столкновений равна
($Ь-гЬ*№)-Л-
где
(та+тр)1 у р
■Та) +тр(щ -иа)2],
о/С оКТЬос
Тц
Ж«>
тр
Зкпр
c2afad3v,
21.5. Рассмотрите газ, представляющий собой смесь частиц двух
сортов (а = 1,2), каждый из которых характеризуется максвелловской
функцией распределения
£ ( \ / гпа \3/2 / mav2
/e<v> = n"Usf) ехр{-2кга
со своими собственными массой, концентрацией и температурой,
а) Сделайте следующее преобразование скорости:
Vl = V'c + M2g,
v2 = vc
м.
где vj, — скорость, аналогичная скорости центра масс, g
ная скорость компонент газа (g = vi — v2), а
относитель-
М\ =
М2
mxjTx
m{/T{+m2lT2'
ГП2/Т2
mi/Ti +ГП2/Т2'
Покажите, что Якобиан этого преобразования
j_ 0(vU)
d(vi,v2)
равен \J\ = 1, т. е. d3v'cd3g = d3v\d3v2.
б) Величина относительной скорости компонент д = \v\ — v2|
усредненная по обеим функциям распределения, задается формулой
<<?> =
77,1 ^2
ff/l(vi)/2(v2)^V,^V2.
§ 5. Задачи
541
Перейдите от переменных интегрирования vi и V2 к v'c и g и покажите,
что
\ тг / Vmi га2/
1/2
в) Если есть частицы только одного сорта, т. е. т\ = m<i = га,
Т\ = T<i = Т, п\ = П2 = п, то покажите, что
где (v) = (8kT/nm)1/2 — средняя скорость, а // = га/2 — приведенная
масса. Также покажите, что, если сечение рассеяния обозначить как
а, то частота столкновений в однородном максвелловском газе равна
/ \ л (кТ\1'2
v = па{д) = 4па ( — 1
\7zmJ
21.6. Рассмотрите следующие выражения, которые определяют
коэффициенты динамического трения и диффузии в пространстве
скоростей в уравнении Фоккера-Планка:
(AVi)av =
(AviAvj)av =
Qv\
Aviga(ty(mfpid3vi,
AviAvjgaitydttfpidPvi.
а) Используя рис. 6, проверьте, что
Avx = f—rpsmxcose,
д те
Avy = —- г-о sin y sine,
Л^ = ~1—^г—\^х ~ cosx)-
Для силы взаимодействия между
частицами, определяемой уравнением
F(r) = *г,
г Рис. 6. Система координат,
где К — постоянная, ар — положитель- показывающая
относительное целое число, покажите, что (см. урав- НУЮ ориентацию векторов
нение(5.18)) скорости g и g'
{Avx} = {Avy} = О,
{At,,} = м!^,
ТПос
542 Гл. 21. Уравнения Больцмана и Фоккера-Планка
где ц — приведенная масса, ат — сечение передачи импульса, заданное
уравнением
Г к\2/(р-1)
ат = 2тг — А\(р),
\М )
где
Ai(p) =
(1 -coszx)^o^0,
Также проверьте (см. (5.19)), что
{AviVj} = 0 для j^i
{Avl} = {Avl} = ,Ц- (А
2/(р-1)
А2(р),
2 3/^ \ 2/(р-1)
{Аь1} = 2*Ц- Л [2Мр)-А2(Р)}.
та \fig )
б) Для случая максвелловских молекул (р = 5), когда результаты
не зависят от f@\, покажите, что коэффициенты в уравнении Фоккера-
Планка равны
(Avx)av = (AVy)av = 0,
(Avz)av = vap(g)p,
(AviAvj)av = О для j ф i
(Au
где
z)av
V<X$
m*
2-
A2(b)
MS)
1/2
^p{92)d
2n{Ktx) 71^,(5),
ma
np
№)р = —\9Чр\#Ух (i =1,2).
в) Вычислите коэффициенты уравнения Фоккера-Планка для
случая кулоновских столкновений (р = 2), используя результаты (а) и
задачи 20.6, как интегралы от fp\, и сравните с результатами,
полученными в п. 5.2.
г) Вычислите коэффициенты уравнения Фоккера-Планка для
электрон-электронных столкновений, когда fp\ — максвелловская функция
распределения. Учтите (5.49)—(5.51).
Глава 22
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
§ 1. Введение
Явления переноса в плазме могут быть связаны как с внешними,
так и с внутренними силами. В пространственно однородной плазме
под влиянием внешних сил может возникнуть дрейф электронов. Такое
движение, вызванное внешними силами, можно объяснить
подвижностью частиц. Поскольку электроны обладают как массой, так и
электрическим зарядом, то под действием внешнего электрического поля
их движение связано с переносом массы и заряда. С другой стороны,
в пространственно неоднородной плазме столкновения заставляют
электроны дрейфовать из областей с высоким давлением в
области низкого давления. Пространственные градиенты давления связаны
с градиентами плотности или/и температуры. Движение электронов,
вызванное внутренними градиентами давления, называется диффузией.
Так как электроны, вследствие своего хаотичного теплового движения,
обладают кинетической энергией, то их дрейф подразумевает
перенос тепловой энергии, т. е. перенос тепла (теплопроводность). Если
плазма пространственно неоднородна и находится в поле внешних сил,
то поток частиц возникает вследствие диффузии и подвижности.
В этой главе рассматриваются основные явления переноса:
электропроводность, диффузия и теплопроводность в слабоионизованной
плазме, с использованием уравнения Больцмана и релаксационной
модели для столкновительного члена, в котором учитывается зависимость
частоты столкновений от скорости.
§ 2. Электропроводность незамагниченной плазмы
Выведем выражение для проводимости переменного тока в
слабоионизованной плазме, учитывая только столкновения электронов с
нейтральными частицами. Рассмотрим такие малые пространственную
неоднородность и анизотропию неравновесной функции распределения
электронов, для которых можно использовать результаты, полученные
544
Гл. 22. Явления переноса в плазме
в §4 гл.21. Таким образом, согласно (21.4.17) (уравнение (4.17) гл.21)
-vr(v)[f(r,v,t)-fo(v)}, (2.1)
имеем гХг/ j.\
= -i/r(t;)/i(r>v>t). (2.3)
coll
St J coll
где fo(v) — однородная, изотропная и равновесная функция
распределения для электронов, a vr(v) — частота релаксационных
столкновений, зависящая от скорости. В выражении (2.1) предполагается,
что нейтральные частицы стационарны и не испытывают отдачи при
столкновении с электронами вследствие своей большой массы.
2.1. Решение уравнения Больцмана
Предполагая, что функция распределения электронов /(r,v,£)
незначительно отличается от равновесной функции распределения
fo(v), можно положить
/(r,v,*) = /o(«) + /i(r,v,t), |/,|«/0, (2.2)
где /i(r, v,i) описывает малую анизотропию и пространственную
неоднородность электронов в неравновесном состоянии. Используя (2.2)
и релаксационную модель (2.1), получаем столкновительный член
уравнения Больцмана в виде
\Sf(r,vtt]
[ St
Подставляя (2.2) и (2.3) в уравнение Больцмана и пренебрегая
величинами второго порядка малости, имеем
MiliM + (v • V)/! (г, v, t) - — Е(г, t) ■ Vvf0(v) = -vr(v)fi (г, v, t),
dt me (2.4)
где электрическое поле напряженностью Е(г, t) — единственное
внешнее поле, приложенное к плазме.
Для оценки электропроводности можно считать, что возмущение
/i (r, v, t) функции распределения по скоростям практически не зависит
от координаты г, и поэтому можно решать задачу, пользуясь
функцией f\(v,i), так как основной эффект, связанный с пространственным
градиентом — это диффузия, а в настоящий момент нас интересует
плотность тока частиц, вызванная приложенным внешним
электрическим полем. Электрическое поле изменяется во времени гармонически
с частотой си как
E(r, t) = Е(г) ехр(-гс^). (2.5)
Предположим, что f\(v,i) совершает аналогичные колебания во
времени
/i(v,*) = /i(v)exp(-io;t)- (2-6)
Получаем, что уравнение Больцмана для векторных амплитуд
упрощается и принимает форму
-iw/, (v) - — Е(г) • Vo/0(«) = -vr(v)fi(v). (2.7)
TTLq
§ 2. Электропроводность незамагниченной плазмы 545
Используя следующее тождество (см. 18.3.17):
из (2.7) получаем
v dv
fjv) = ie E(r)'v df0(v)^
me v[u + iur(v)] dv
(2.8)
(2.9)
2.2. Плотность электрического тока и проводимость
Плотность электрического тока определяется как
J(r,t) = —ene(v)e = -е vf(r,v,t)dsv.
(2.10)
Используя (2.2), (2.6) и (2.9), находим, что
J(r, t) = J(r) exp(-iut)y
где
J(r,t) = -e
vf{(v)d3v = -
ге
v[E(r)-v] dMv)^
v[<jj + ivr(v)] dv
(2.11)
(2.12)
Этот результат предполагает, что электроны не имеют средней
потоковой скорости в равновесном состоянии, т. е.
1
и0 = —
По
vf0(v)d3v = 0.
(2.13)
В сферической системе координат (у,вуф) пространства скоростей
(см. рис. 1) имеем: d3v = v2dv sin вdвdф, поэтому (2.12) можно перепи-
Рис. 1. Сферические координаты ^,6,ф) в пространстве скоростей
546
Гл. 22. Явления переноса в плазме
сать в виде
2тг
J(r,*) = -
ге
те
vdv dfo(v)
[и + iur(v)] dv
sin Ode
v[E(r)-v]#. (2.14)
0 0 0
Используя следующее условие ортогональности:
7Г 27Г
47Г
ViVj sin 6d6d(f) = —vSij,
о о
где г, j = x,y,z, получаем
2тг
sin 6d6
о о
Следовательно, (2.14) принимает форму
оо
v[E(r) • v]# = ^VE(r)
О
J(r,t) =
2>me
E(r)
dfo(v)
[u + iur(v)] dv
dv.
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Для изотропной плазмы из соотношения J = аЕ находим
выражение для проводимости:
а = —
4-7гге2
Згае
dfo(v)
[lj + ivr(v)] dv
dv.
(2.18)
Можно получить выражение для проводимости в другом виде,
проинтегрировав (2.18) по частям:
_ 47гге2 J v3fo(v) 1
Згае [ [и + ivr(v)] j
00 ^ • 2
4-7тге
Зше
/о(«)
с£г>
-3 \
[и + м/(г)] J
dv.
(2.19)
Слагаемое вне знака интегрирования в правой части этого выражения
исчезает, так как при стремлении v к бесконечности fo(v) спадает до
нуля быстрее, чем растет v3 (изотропная функция распределения fo(v)
при стремлении v к бесконечности спадает экспоненциально).
Интегралы, появившиеся в выражениях (2.18) и (2.19), можно
вычислить в квадратурах только после того, как будут заданы fo(v) и
i/r(v). Функциональная зависимость частоты столкновений от скорости
обычно определяется экспериментально при измерении сечений
рассеяния.
§ 2. Электропроводность незамагниченной плазмы . 547
Если предположить, что частота столкновений не зависит от
скорости, то из (2.19) для любой произвольной fo(v) получается
а =
Ате
Зте(и + iVr)
fo(v)Sv2dv =
гще
те(и + %Vr)
ще vr
+ г-
2
ще и
те(и2 + и*) те(и2 + v2T)'
где по — равновесная концентрация электронов,
(2.20)
По = 47Г
fo(v)v2dv.
(2.21)
Выражение (2.20) аналогично выражению для продольной
проводимости, полученному в § 5 гл. 10 (см. уравнение (10.5.5)).
2.3. Проводимость для максвелловской функции распределения
Рассмотрим теперь случай, когда равновесная функция
распределения fo(v) максвелловская
/о^=п°(йЫ3/2ехр(-
Определяя безразмерную переменную
mev
2kT
получаем
t^^d^—^no^expK2)*.
3/2'
Подставляя это выражение в (2.18) и упрощая, находим
а =
8ще
Зу/тгт
dt; + iu
fexp(-Q
<%
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Это уравнение можно использовать для вычисления
электропроводности слабоионизованной плазмы, если равновесная функция
распределения электронов задана распределением Максвелла-Больцмана, при
любой зависимости частоты столкновений i/r(v) от скорости. В
частности, если частота столкновений не зависит от скорости, то легко
показать, что из (2.25) непосредственно следует (2.20).
548
Гл. 22. Явления переноса в плазме
§ 3. Электрическая проводимость замагниченной
плазмы
Рассмотрим плазму, помещенную во внешнее магнитостатическое
поле Во. Как и в предыдущем параграфе, предположим, что функция
распределения электронов в неравновесном состоянии возмущена слабо
относительно равновесной функции. Для вычисления проводимости
можно предположить, что плазма пространственно однородна. Поэтому
можно записать
/(v,t) = /o(«) + /,(v,t), |/.|«/o. (3.1)
Предположим, что приложенное к плазме переменное электрическое
поле имеет гармоническую зависимость от времени
E(r, i) = Е(г) exp(-itut). (3.2)
Следовательно,
/i(v,t) = /i(v)exp(-to;t). (3.3)
Полное магнитное поле можно разделить на
Bt(r, t) = B0 + В(г) exp(-itot), (3.4)
где Во — внешнее магнитное поле, а В(г,£) — величина первого
порядка малости, которая имеет такую же гармоническую зависимость
от времени, как и электрическое поле.
3.1. Решение уравнения Больцмана
Уравнение Больцмана, которому удовлетворяет однородная функция
распределения электронов, может быть записано в виде
^М _ £-\E(r,t) + v х Bt(r,t)] • Vv[fo(v) + /i(v,t)] =
= -vr(v)fi(r,v,t), (3.5)
где для столкновительного члена была использована релаксационная
модель (2.3). Из тождества (2.8) видно, что член (v x Bt) • Vv/o(v)
равен нулю, так как включает в себя скалярное произведение взаимно
ортогональных вектор-функций.
Пренебрегая членами второго порядка малости, получаем
линеаризованное уравнение Больцмана для векторных амплитуд
К(«) - tw]/i(v) - — (v х Во) • V„/,(v) = —E(r) • Vvf0(v). (3.6)
В цилиндрических координатах (у±,у\\,ф) в пространстве скоростей
(см. рис.2), где вектор v\\ направлен вдоль Во, из уравнения (19.2.10)
получим
(vxB0).VJ,(v) = -^i. (3.7)
§ 3. Электрическая проводимость замагниченной плазмы 549
Подставляя (3.7) в (3.6) и используя тождество (2.8), имеем
е
4fi(v) + Mv)-Wf/V\ _
4Ф ^се meQc
где Псе = еВо/те — электронная
циклотронная частота. Заметим, что скорость
v не зависит от ф, так как v2 = v2± + г|.
Удобно разложить вектор
электрического поля на правую поляризованную
по кругу (2?+), левую поляризованную
по кругу (Е-) и продольную (Е\\)
компоненты так, что
Е vdfo(v)
v dv
(3.8)
V2
V2
где
E± = -j={ExTiEy).
(3.10)
Аналогично можно разложить скорость
электрона
Рис. 2. Цилиндрические
координаты (у±,у\\,ф) в
пространстве скоростей
х + гу , х — гу
V2
V2
V- + VllZ,
где
v± = —= (vx T Ц,) = -7=-^ exp(=Fi<£),
(3-11)
(3.12)
так как vx = i;jl cos 0, г;у = v± sin </> и ехр(±гф) = cos </> ± i sin </>. Отсюда,
используя (3.9) и (3.11), имеем
^■(Я+е^ + Я-е-^ + ^н. (3.13)
Подставляя это выражение в уравнение Больцмана (3.8), получаем
Е • v = E+v- + E-V+ + 1?||V||
i|(£+e^ + S_e-^) + £ni
Как и в пункте 2.2 гл. 19, введем обозначения
F(v)= ev^djp
meilce y/2v "-V
'-** dfo(v)
1 dfojv)
v dv
F_(v)
v±e
meQCe y/2v dv
E-,
w=^?^
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
34*
550
Гл. 22. Явления переноса в плазме
которые позволяют записать (3.14) в виде
d/l(V) , fr (и) -JLJ
йф
+
Пс
/1(v) = F++F_+F||.
(3.18)
Это дифференциальное уравнение совпадает с (19.2.26), если заменить
—kv\\ на ivr(v). Поэтому его решение можно получить,
воспользовавшись соответствующими результатами пункте 2.2 гл. 19.
Следовательно, используя уравнения (19.2.27) и (19.2.34), получаем
/i(v) =
id с
и + ivr(v) — flc
-F+(v) +
Шс
и + ivr(v) + flc
-F_(v) +
+
Шс
и + iur(v)
F|,(v) (3.19)
или, подставляя (3.15)—(3.17) в (3.19),
f (v) = ie l df°^ { V± Г E+e
+
E-e
-гф
+
+
VWE\\ 1
и + ivr(v) \
(3.20)
3.2. Плотность электрического тока и проводимость
Предполагая, что в газе электронов средняя скорость потока в
равновесном состоянии равна нулю (щ = 0), можно записать плотность
электрического тока в виде
J = -e
v/i(v)tfV
(3.21)
Как и в уравнениях (3.9)-(3.12), можно разложить вектор плотности
тока на три компоненты
(3.22)
J+ =
J_ =
Jll =
—е
—е
—е
v+fx(v)d\,
v-f\(v)d*v,
v\\f\(v)dzv.
(3.23)
(3.24)
Для вычисления проводимости удобно использовать сферические
координаты (у,в,ф) в пространстве скоростей, так что v± =vsm6,
v\\ = vcos6 и d3v = v2dv sin вdвdф. Подставляя из (3.20) f\(v)
§3. Электрическая проводимость замагниченной плазмы 551
в выражения (3.22)-(3.24) для J+, J_ и Jy, переходя к сферическим
координатам, и интегрируя по ф с использованием (19.5.21), находим
sin3 6d6
dfo(v)
uj + ivriy) =F Qc
dt;
cfo,
(3.25)
h=-
2meA
cos2 0 sin 6d6
dfo(v)
uj + ivr(y) dv
dv.
(3.26)
Заметим, что в (3.25) должны использоваться как верхние, так и
нижние индексы. Интегрирование по в в двух последних уравнениях дает
J± = -
Згае
Е±
dfo(v)
и + ivr{y) =F ^ce dv
dv,
(3.27)
Jn=-
47гге
Зте
dfojv)
и + гг/г(г») dv
dv.
(3.28)
Преимущество использования правой и левой поляризованных по
кругу компонент в плоскости, нормальной к В0, состоит в том, что
соответствующие уравнения для J+ и J_ разделяются, и J+
зависит только от Е+) a J- зависит только от Е-. Поэтому, записывая
J = S • Е, где S — тензор проводимости для анизотропной плазмы, из
(3.27) и (3.28) получаем
а+ О О
О а+ О
0 0а
(3.29)
со следующими выражениями для элементов тензора проводимости
У df0(v)
(7± = -
оо
4-7гге2 Г
Згае
а\\ = -
Атё
oj + ivr{y) =F flee dv
оо
v3 dfojv)
-dv,
u> + ivr(v) dv
dv.
(3.30)
(3.31)
Отметим, что продольная проводимость <7ц совпадает с выражением,
полученным для плазмы без магнитного поля, рассмотренном в
предыдущем разделе.
Элемент тензора проводимости, выраженный в декартовых
координатах, где ось z направлена вдоль Во, можно получить следующим
552
Гл. 22. Явления переноса в плазме
образом. Перепишем (3.9) и (3.10) в матричной форме
(3.32)
Используя матричное соотношение, аналогичное (3.32), для плотности
тока J получаем
МЛ 1 (х х ° \ ЛМ
(3.33)
Подставляя (3.29) в (3.33) и упрощая, с помощью (3.32), находим
(3.34)
\JZJ \ 0 0 а\\) \EZ)
где
а± = 1(а+ + а_), (3.35)
о~н = 2^(а+ ~0> (3.36)
а <7+, <7_ и <7ц определяются выражениями (3.30) и (3.31).
Интегралы по скорости можно вычислить, если известна
зависимость vT от v. В общем случае, когда частота столкновений —
произвольная функция скорости, элементы тензора проводимости
необходимо определять численно. Если частота столкновений задается
полиномом относительно скорости v, то в предельных случаях очень высоких
или низких частот столкновений для проводимостей получаются
простые выражения. В частном случае, когда vr не зависит от v, интегралы
по г; в (3.30) и (3.31) легко вычисляются и в итоге имеем
<Г± = , iTl°e 7Г^> (3-37)
а\\ = Г*!- v <3-38)
11 те(и + ivT)
Если эти выражения подставить в (3.35) и (3.36), то получаются
следующие выражения для декартовых компонент <jjl и ан тензора
проводимости:
_ гп0е2(и + ivr) /Q QO,
aJL — — :—го—тго-г» уо.оУ)
те[(ш-\-гиг) — Qce]
гпое flee
те[(и-\-iur) — Qc
гще Псе /о Лг\\
§ 4. Свободная диффузия
553
Аналогичные результаты были получены в § 5 гл. 10 при исследовании
макроскопических уравнений переноса с постоянной частотой
столкновений.
§ 4. Свободная диффузия
В этом параграфе выводится выражение для коэффициента
свободной диффузии в слабоионизованной плазме, с частотой
релаксационных столкновений, зависящей от скорости vr(v). Для анализа
явления диффузии рассматривается пространственная неоднородность
электронной плотности. Предполагается, что равновесная функция
распределения электронов по скоростям имеет пространственную
неоднородность, но изотропна в пространстве скоростей. Обозначим ее
/о(г,г>). Так как мы рассматриваем поток электронов только за счет
диффузии, то предположим также, что внешнее электромагнитное поле
отсутствует. Ниже анализируется задача свободной диффузии в
стационарных условиях, когда все физические параметры не зависят от
времени.
4.1. Возмущенная функция распределения
Предположим, что при диффузии функция распределения
электронов /(г, v) отличается от равновесной функции /o(r, v) незначительно,
поэтому можно записать
/(r,v) = /oM) + /i(r,v), (4.1)
где /i(r,v) — величина первого порядка малости, такая что |/i| <C /о.
В стационарном состоянии и при отсутствии внешних сил, используя
релаксационную модель для столкновительного члена, приводим
уравнение Больцмана к виду
v-V/0(r>t;) = -i/r(t;)/1(r>v)> (4.2)
где были оставлены только члены первого порядка малости. Таким
образом, мы получаем возмущенную функцию распределения
/.(r,v) = -^vV/0(r,t,). (4.3)
4.2. Поток частиц
Выражение для плотности тока (или потока) электронов (считая
uo = 0) имеет вид
Te=ne(v)e = fv/Kr.vJd3!;. (4.4)
v
35 Биттенкорт Ж.А.
554
Гл. 22. Явления переноса в плазме
Подстановка (4.3) в (4.4) дает
Гл =
1
Vr(v)
v[v.Vf0(r,v)]d3v.
(4.5)
В сферических координатах (v,0, ф) в пространстве скоростей
(см. рис. 1) имеем: d3v = у2Бтв(1у(1в(1ф, откуда, используя выражение
(2.16), получаем
2тг
sin 6d6
v[v.V/o(r^)]#=y^2V/o(r^)
(4.6)
Таким образом, вектор потока электронов можно записать как
F - _4?г
1е" з
Vr(v)
Vfo(r,v)dv.
(4.7)
4.3. Коэффициент свободной диффузии
В общем случае функция распределения /о(г,г>) является функцией
концентрации пе, скорости v и температуры Те электронов, поэтому ее
обычно можно представить в виде
/o(r,t;)=neF(t;>Te)>
(4.8)
так как концентрация электронов появляется только в результате
нормировки функции распределения. Обычно функция fo(r,v)
представляет собой локальное максвелловское распределение.
Для вычисления коэффициента свободной диффузии электронов
предположим, что температура электронов в пространстве не меняет-
ся т е
Vf0(v,v) = Vne(r)F(v,Te) (4.9)
или, используя (4.8),
V/0(r,v) = Vne(r
/о(г,ц)
Пе(г)
(4.10)
Поставляя (4.10) в (4.7), получаем
47Г Vrie(r)
3 Пе(г) J
Ur(v)
Vfo(r,v)dv.
(4.П)
Определяя коэффициент свободной диффузии электронов De из
выражения
Ге =-£>eVne(r) (4.12)
§ 5. Диффузия в магнитном поле
555
и из (4.11), получаем для De следующее соотношение:
4тг 1
De 3 Пе(г) J
оо
v4
1/r(v)
fo(r,v)dv. (4.13)
Отметим, что, согласно (4.8) и (4.9), выражение для De дает
постоянную величину, не зависящую от г и г;.
Если считать, что fo(r,v) представляет собой локальную функцию
распределения Максвелла
/o(^) = ^(r)(^)3/2exp(-^), (4.H)
то (4.13) принимает вид
оо
~ 47г / те \3/2 Г v4 ( mev2\ , /Л 1 сч
°' = т\ъШ \wF)exp[~2m:)dv- (4Л5)
о
Кроме того, если рассмотреть постоянную и не зависящую от скорости
v частоту релаксационных столкновений, то интеграл в (4.15) легко
вычисляется (см. (7.4.22)), и мы получаем
De = Jt±e_ (416)
mevT
Такой же результат был получен в § 8 гл. 10 (см. (10.8.9)) с помощью
макроскопических уравнений переноса для теплой плазмы с
постоянной частотой столкновений.
§ 5. Диффузия в магнитном поле
В этом параграфе рассматривается задача диффузии электронов
в слабоионизованной плазме при наличии внешнего магнитостатиче-
ского поля Во. Мы исследуем ее, оставаясь в рамках предположений,
сделанных в предыдущем параграфе, за исключением внешнего
магнитного поля.
5.1. Решение уравнения Больцмана
Если оставить только члены первого порядка малости, то
линеаризованное уравнение Больцмана принимает форму
v • V/o(r,t;) - — (v х В0) • Vvfi(r,v) = -isr(v)fi(r,v). (5.1)
TTLq
Отметим, что ввиду изотропии /о(г,г>) по скоростям, мы использовали
тождество (2.8)
(v х В0) • V./oM) = 0. (5.2)
35*
556
Гл. 22. Явления переноса в плазме
В цилиндрических координатах в пространстве скоростей (у±,у\\,Ф)
(см. рис. 2) из (3.7) получаем
(v х Во) • V„/,(r, v) = -^f1- (5.3)
Выбрав единичный вектор z вдоль Во, можно записать
v-V/o(r,v)= (уа_ cos ф—у^ътф— + y\\—jf0(r,y). (5.4)
Подставляя (5.4) и (5.3) в (5.1), после преобразований получаем
_d_ ur(v)
(1ф QCe
/l(r'v) = ~sb {у±С08ф^у±8[пфЩ +v^)/o(r'^-
(5.5)
Чтобы решить это линеаризованное уравнение, предположим, что
/1(r,v) = F1(r,v)+F2(r,v) + F3(r,v), (5.6)
где Fi, F2, F3 — решения (5.5) для первого, второго и третьего
слагаемых, стоящих в скобках в правой части (5.5) соответственно,
т. е.
_d_ ur(v)
(1ф QCe
d^ vr(y)
(1ф Qc
T? f \ 1 • JL^/o(r»V)
Р2^ = -пГе^8тф—^'
_d_ ur(v)
йф QCe J
77. / \ ! df0(r,v)
(5.7)
(5.8)
(5.9)
Чтобы решить (5.7), перепишем его в форме
Ут(у)
_d_ vr(v)
<1ф QCe
F\ (r, v) = exp
Пс
1 ... ,8/о(г,«)
= -JU^C0S^ Дв
(5.10)
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
п / \ V-L d/o(r, г»)
О
cos </>' exp
г^)/
ф (1ф
_ dfo(r,v) Vr(v) Sill ф-Qce COS ф /cii\
— ~V± Б ГТ9 ^9 * W'11/
дх
vT(v)1 + QZC
Отметим, что F\(r,v) — периодическая функция относительно ф с
периодом 27Г.
§ 5. Диффузия в магнитном поле
557
Аналогично находим решения уравнений (5.8) и (5.9) в форме
Fo(r, v) = _уШг,у)Му)*тф-Псо8ф^
г-. / \ dfo(r,v) 1
(5.13)
Складывая выражения (5.11)—(5.13), получаем решение для /i(r,v),
выраженное через fo(r,v) и vr(v).
5.2. Поток частиц и коэффициенты диффузии
Выражение для компоненты х вектора потока электронов следует
из (4.4) и имеет вид
г —
J- р.х —
vxfi(r,v)d3v.
(5.14)
В цилиндрических координатах в пространстве скоростей (см. рис. 2)
d3v = v±_dv\_(1у\\(1ф и vx = v± cos</>. Следовательно,
ОО 27Г +00
dv±
йф
dv\\v\_cos ф/\(г ,v).
(5.15)
Используя (5.6), (5.11)—(5.13) и интегрируя уравнение по ф, получаем
оо +оо
Г\>х = —7Г
dv
jl
dv\\
vi
2 , о2
1 i/r (vr + fi;
Mv)dfir,v) -ъ dfo{r,v)
дх
ду
(5.16)
Для вычисления интегралов в (5.16) удобно использовать сферические
координаты в пространстве скоростей (у,в,ф) (рис.1). При переходе
к сферическим координатам (5.16) преобразуется в
Гех = —7Г
dv
о о
d6-
v]_ sin31
2 , o2
vr(y) +Q
vr(v)dfir'v)-n( dfo{r'v)
dx
ду
. (5.17)
Выполняя интегрирование по в, получаем
г - _iZ[
-L ex — л
v±Mv) df0(r, v) , _ 4тг
Mvf + ^ce 9X 3
У±Псе dfp(r,v)
Это уравнение можно записать в виде
Tex = -^[D±ne(r)]--^[DHne(r)l
dv.
(5.18)
(5.19)
558
Гл. 22. Явления переноса в плазме
где коэффициенты диффузии D± и Dh определяются как
D, ^ Х
ОО
.4
DH =
3 ne(r)
О
ОО
4тг 1 Г
3 пе(г) J
V(^A fo(r,v)dv, (5.20)
У\?сеп2 fo(r,v)dv. (5.21)
vr(v) +QC
Аналогично для у-компоненты вектора потока электронов получаем
Геу = -JL[DHne(r)} - §-y[D^ne{v)\ (5.22)
и для z-компоненты
Гег = -£[2?||Пе(г)], (5.23)
W
п 47Г !
3 Пе(г)
^fo(r,v)dv. (5.24)
Уравнения (5.19), (5.22) и (5.23) можно переписать в виде
Ге = -V • [2>пе(г)], (5.25)
где V — тензор коэффициента диффузии электронов в магнитном поле.
В декартовой системе координат с осью z, направленной вдоль Во,
тензор можно записать в матричной форме
/ Djl DH 0 \
V = -DH D± 0 . (5.26)
V о о dJ
Коэффициент диффузии £)ц совпадает с коэффициентом,
полученным для случая отсутствия магнитостатического поля (£)ц = De).
Поэтому диффузия частиц вдоль магнитного поля такая же, как и в
его отсутствие. Однако диффузия в плоскости, перпендикулярной Во,
подавляется магнитным полем, так как D± < £)ц, что следует из (5.20)
и (5.24).
В частном случае, когда fo(r,v) задана локальным распределением
Максвелла, как в (4.14), а частота столкновений не зависит от
скорости, интегралы в (5.20), (5.21) и (5.24) могут быть вычислены. В итоге,
получаем
К + "се
Dh = -£%rrDe, (5-28)
§ 6. Поток тепла
559
D\\=De = -^-t (5.29)
11 mevr
Это совпадает с результатами, полученными в §9 гл.10 с
использованием макроскопических уравнений переноса для теплой плазмы
(см. уравнения (10.9.4) и (10.9.7)).
§ 6. Поток тепла
Выведем выражение для вектора потока тепла qe и коэффициента
теплопроводности Ке, возникающих вследствие хаотичного движения
электронов в слабоионизованной плазме. Как и в предыдущих
параграфах, будем вычислять неравновесную функцию распределения /(r,v)
в стационарных условиях, используя метод возмущений для решения
уравнения Больцмана и релаксационную модель для столкновитель-
ного члена. Для упрощения предположим, что внешних
электромагнитных полей нет. Исследование теплового потока в
слабоионизованной плазме при наличии внешнего электромагнитного поля оставлено
в качестве упражнения для читателя и включено в задачи в конце
главы.
Используя (4.10) находим, что в этом случае уравнение Больцмана
такое же как (4.2). Поэтому, так же как в п. 4.1, имеем
/i(r,v) = "^)v'v/o(r,8)' (6Л)
6.1. Общее выражение для вектора потока тепла
Выражение для вектора потока тепла вследствие теплового
движения электронов имеет вид (в предположении uo = 0)
v2v/i(r,v)dV (6.2)
1
-2те
Подстановка (6.1) в (6.2) дает
1
qe = --гае
у2 „[„.и/./- олыз,
vr(y)
v[v.V/0(r,iO]dV (6.3)
В сферических координатах пространства скоростей, используя (4.6),
получаем ^
2тг
3-те
v" Vf0(r,v)]dv. (6.4)
Vr(v)
Это выражение задает вектор потока тепла электронов в зависимости
от вида функции распределения fo(r,v) и частоты релаксационных
столкновений vr(v).
560
Гл. 22. Явления переноса в плазме
6.2. Теплопроводность при постоянном кинетическом давлении
Вычислим интеграл (6.4) в случае, когда fo(r,v) задана локальной
функцией распределения Максвелла
fo(r,v) =пе(г)
3/2
ехр -
mev
(6.5)
27rkTe(r)J ^\ 2kTe(r)/
Здесь как пе, так и Те могут изменяться в пространстве, но так, чтобы
электронное кинетическое давление оставалось постоянным, т. е.
Ре = rce(r)fcTe(r) = const.
Из (6.6) имеем
Te(r)Vne(r) = -ne(r)VTe(r)
и, вычисляя градиент (6.5), находим
(6.6)
(6.7)
V/o(r,«) =
5 mev
2 2kTe(r)
Подстановка (6.8) в (6.4) дает
VTe(r) , f ,
(6.8)
qe = —-m,
Te(T)
VT(v)
5 mev
2 2kTe{r)
fo(r,v)dv. (6.9)
Это уравнение можно переписать в виде
qe = -KeVTe(v), (6.10)
где Ке — коэффициент теплопроводности задается следующим
выражением:
Ке =
27Г ГПе
~з~ЗД J
vr(y)
5 тег>
2 2/сТе(г)
fo(r,v)dv.
(6.11)
В частном случае, когда частота столкновений не зависит от
скорости, (6.11) можно записать как
КР
2-7Г ГПе
3 игТе(г)
Легко показать, что
v6fo(r,v)dv +
2kTe(r) J
v*fo(T,v)dv\. (6.12)
6х / 4 7 15/oTe(r)pe
о
CO
47rme
8,, 4, 105A;2Te2(r)pe
4тгтР
(6.13)
(6.14)
§ 6. Поток тепла
561
Отсюда, подставляя (6.13) и (6.14) в (6.12) и упрощая, получаем
следующее выражение для коэффициента теплопроводности для случая
постоянной vr\
Ъкре
КР =
2теиг
(6.15)
6.3. Теплопроводность в адиабатическом случае
Рассмотрим случай, когда кинетическое давление электронов не
постоянно, а изменяется в соответствии с адиабатическим законом
ре(г)[пе(т)] 7 = COnst,
(6Л6)
где 7 — постоянная адиабаты, равная отношению теплоемкостей при
постоянном давлении и постоянном объеме, которая может быть
выражена как
(6.17)
1 =
2 + АГ
N
где N обозначает число степеней свободы. Уравнение (6.16) можно
также переписать в виде
пе(т)[Те(т)]1^1-^ = const. (6.18)
Вычисляя градиент локальной функции распределения Максвелла (6.5)
и используя (6.18), получаем
V/o(r,t;) =
1
3 mev
7-1 2 2kTe(r)
V?Mr)
Te(T)
/o(r,v).
(6.19)
Подставим (6.19) в (6.4), в результате чего получаем уравнение для
вектора потока тепла
2тг VTe(r)
Vr{y)
1
3 mev
7-1 2 2A;Te(r)
/o(r,t;)di;. (6.20)
Ссылаясь на (6.10), находим следующее выражение для коэффициента
теплопроводности:
Ке =
27Г ГПе
vr[v)
1
3 mev
7-1 2 2kTe(r)
fo(r,v)dv. (6.21)
Для частного случая, когда частота столкновений не зависит от
скорости, можно использовать результаты, полученные в (6.13) и (6.14),
и (6.21) упрощается до
Ке= (2 | l ) 5kpe .
\ 7 - 1 / 2mevr
(6.22)
562
Гл. 22. Явления переноса в плазме
Если рассматриваются три степени свободы, соответствующие
трехмерному поступательному движению, то 7 — 5/3 и
4теиг'
(6.23)
Когда плазма находится во внешнем магнитостатическом поле Во,
возникает анизотропия потока тепловой энергии, и коэффициент
теплопроводности заменяется тензором /С согласно
<Ь = -К- VTe(r).
(6.24)
Выражения для компонент тензора теплопроводности можно получить
аналогично выражениям для компонент тензора диффузии,
представленным в § 5 этой главы. Вывод выражений для компонент /С в замаг-
ниченной плазме предоставляется читателю в качестве упражнения.
Задачи
22.1. В декартовой системе координат в пространстве скоростей
(см. рис. 1) компоненты выражены в сферических координатах (у,в,ф)
v = vv = г;(sin в cos фух + sin в sin флгу + cos 0vz).
а) Покажите, что (w)/v2 можно записать в матричной форме как
(sin2 в cos2 ф) (sin2 в sin ф cos ф) (sin в cos в cos ф)^
(sin2 в sin в cos ф) (sin2 в sin2 ф) (sin в cos в sin ф)
(sin в cos в cos ф) (sin в cos в sin ф) (cos2 в).
б) Докажите следующие соотношения ортогональности:
г
sin в(1в(1ф = 47Г,
7Г 27Г
/» р
О О
7Г 27Г
Sin 6(16(1фУг = О,
О О
7Г 27Г
Sin вйвйфУгУп
4тг 2с
О О
7Г 27Г
Бтв(1в(1фУгУ^к = О,
О О
где i,j,fc = x,y,z и (5i7 — символ Кронекера.
§ 6. Задачи
563
22.2. Используя функцию распределения Максвелла-Больцмана
(2.22) и определение (2.23), проверьте равенство (2.24).
22.3. Покажите, что когда частота столкновений не зависит от
скорости, уравнение (2.25) сводится к (2.20).
22.4. Рассмотрите уравнение (2.25), которое определяет
проводимость слабоионизованной плазмы для частоты столкновений vr(v),
зависящей от скорости.
а) Покажите, что в пределе высоких частот (tv2 > v2)
_ (ус + ги)ще2
теи
где
3^
|/г(0^ехр(Ч2)«.
б) Покажите, что в пределе низких частот (со2 <С ь%)
а =
ще
1 ги
где
v'c ЗлД
1 ^exp(-Ode.
"г(0
Ю2 3^ J
"r(0"
^4ехр(Ч2)^.
в) Для промежуточных частот покажите, что
о = -2—(i/cK\ + гсоК2),
где
Ki =
Зу7Г UCLJ
Ко
Зу7Г СО J
М0?е*Р(-?№,
£4exp(-£2K,
a i/c соответствует величине, определенной в пределе высоких частот
в а).
564
Гл. 22. Явления переноса в плазме
22.5. Если определить эффективную частоту столкновений
vef(v) так, что продольная электропроводность равна
о~ =
гще
me[(jJ + ivef(u)Y
то, сравнивая это выражение с (2.18), находим, что
и + ivef(u)
4тг J_
3 по
dfo(v)
и + ivr(v) dv
dv.
а) Покажите, что в пределе низких частот (и <С vef)
J_
Vef
4ttJ_
3 n0 J
V dfo
dv.
vr(v) dv
б) Покажите, что в пределе высоких частот (to > vef)
J_
4тг J_
3 n0
dv
Таким образом, в обоих пределах i/ef не зависит от и.
22.6. В выражении, полученном для vef в пункте б) предыдущей
задачи (высокочастотный предел), предположите, что /о — функция
распределения Максвелла-Больцмана и vr(v) = щуп, где щ —
постоянная, an — целое число.
а) Покажите, что в этом случае
7 Зл/^F V m ) Ч 2 J '
Зу^
где T(z) — гамма-функция, определяемая как
Г(г) =
&-^e-4t.
б) Найдите среднюю величину частоты столкновений (z/r(^))o> ис~
пользуя функцию распределения Максвелла-Больцмана, и покажите,
что
22.7. Выведите (3.34) из уравнений (3.29)-(3.33).
22.8. Покажите, что (3.30) и (3.31) переходят соответственно
в (3.37) и (3.38), если vr не зависит от v при любой fo(v).
§ 6. Задачи
565
22.9. Выведите (5.22) и (5.23), начиная с определения вектора
потока электронов и /i(r, v), заданной (5.6), (5.11), (5.12) и (5.13).
22.10. Рассмотрите задачу о переносе тепла в слабоионизованной
плазме, погруженной во внешнее магнитостатическое поле Во, и
получите выражение для вектора потока тепла qe и для компонент тензора
теплопроводности /С, рассматривая зависящую от скорости частоту
столкновений vr(v). Рассмотрите задачу в адиабатическом случае и в
случае постоянного кинетического давления.
Приложение А
ПОЛЕЗНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ТОЖДЕСТВА
В соотношениях ниже А, В, С, и D — векторные функции, а ф и
ф — скалярные.
А В = В А = АХВХ + АуВу + AZBZ,
АхВ=-ВхА=
X
Ах
вх
У
Ау
Ву
z
Л
В;
AXJDV)Z,
= (AyBz - AzBy)9. + (AXBZ - AzBx)y + (AyBx
A • (B x C) = (A x B) • С = (С х А) • В,
A x (В x С) = (A • C)B - (A • B)C,
(A x В) x С) = (A • С)В - (В • С)А,
(А х В) • (С х D) = (А • С)(В • D) - (А • D)(B • С),
(А х В) х (С х D) = [А • (В х D)]C - [А • (В х C)]D,
У(фф) = ф\7ф + грЧф,
V • (фА) = фУ ■ А + А • Щ,
V х (<^А) = ф{У х А) + (Уф) х А,
V • (А х В) = В • (V х А) - А • (V х В),
V(A • В) = (А • V)B + (В • V)А + А х (V х В) + В х (V х А),
V х (А х В) = A(V • В) + (В • V)А - B(V • А) - (А • V)B,
V х (V х А) = V(V • А) - (V • V)A,
V • (V х А) = О,
V х Уф) = О,
(V • V)</> = V2<^.
(О
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
Пусть г — радиус-вектор, отложенный из начала системы координат
в некоторую точку (х, у, z), тогда
Vr = 3,
(18)
Приложение А. Полезные векторные тождества 567
V х г = 0,
Vr= -,
г
*(;)-?•
v-(7) = -v2(i)=47*-
(19)
(20)
(21)
(22)
В соотношениях ниже V — объем, ограниченный замкнутой
поверхностью 5, а п — единичный вектор, направленный из замкнутой
поверхности S.
ф (jmdS =
Теорема Гаусса-Остроградского
(V^)dV.
(23)
J>A-ndS =
(V • A)dV,
J J
s v
ф(п x A)dS =
(V x A)dV.
(24)
(25)
Первая формула Грина
|</>(VV>)-ndS =
\ф(уЦ) + (V</>) • (V^)]dV.
Вторая формула (теорема) Грина
((/>VV - ipV2(t>)dV.
(26)
(27)
(b(</>v</> - V>v</>) • fids =
Векторная версия теоремы Грина
ф[В х (V х А) - А х (V х В)] • ndS =
{А • [V х (V х В)] - В • [V х (V х A)]}dV. (28)
Пусть С — замкнутый контур, элемент которого обозначен как dl,
а 5 — поверхность, натянутая на этот контур, тогда
§фй\ =
п х (V<t>)dS.
(29)
568 Приложение А. Полезные векторные тождества
Теорема Стокса
<bA-(fl =
(V х А) • ridS.
Если V — тензор второго порядка, то
V • (0D) = ф(Ч ■ V) + (Уф) ■ V,
V ■ iidS =
(V • V)dV.
(30)
(31)
(32)
Приложение В
ПОЛЕЗНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ
ДЕКАРТОВЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ
КООРДИНАТ
§ 1. Декартовы координаты
Ортогональные единичные векторы
х, у, z. (1.1)
Координатные линии
dx, dy, dz. (1.2)
Компоненты градиента скалярной функции гр
(W), = g. (1-3)
(V^)y = g. (1.4)
(W)» = ^. (1-5)
Дивергенция векторной функции А
V-A=^ + ^ + ^. (1.6)
ox oy dz
Компоненты ротора векторной функции А
(VxA)* = ^-^ (17)
(1.8)
(1.9)
(110)
36
(Vx
(Vx
A)tf =
A)a =
Лапласиан скалярной функции
Биттенкорт Ж.А.
vV =
d2</>
dAx
dz
. dAy
дх
Ф
,#ф
ду2
dAz
дх
_ дА*
ду '
, д*ф
+ dz2
570 Приложение В. Декартовы и криволинейные координаты
Компоненты дивергенции тензора V
(V-P)y = ^ + ^ + ^i, (1.12)
§ 2. Цилиндрические координаты
Ортогональные единичные векторы
Р, Ф, z. (2.1)
Координатные линии
dp, рйф, dz. (2.2)
Компоненты градиента скалярной функции ф
(W), = g, (2.3)
\_дф_
рдф
дф
dz
Дивергенция векторной функции А
т* = \%. (2.4)
(W)* = Й- (2.5)
v Л_ id(j>A„) | \дАф dAz
р dp р дф dz
Компоненты ротора векторной функции А
Лапласиан скалярной функции ■ф
(2.6)
(ухА^ = ^-ж- (2-8)
(VxA), = l«-l^. (2.9)
р op p дф
V>* = I»(,£)+"^ + ft (2.10)
р др У др ) р2 дф2 dz2
§ 3. Сферические координаты
571
Компоненты дивергенции тензора V
<*■»>♦-г^ + г^ + ^ + г»* <212>
(V.Pb=I^) + I^ + ^. ,2.,3,
§ 3. Сферические координаты
Ортогональные единичные векторы
г, 6, ф. (3.1)
Координатные линии
dr, rd6, rsmвdф. (3.2)
Компоненты градиента скалярной функции ф
(W)r = |£, (з.з)
(W)* = r?t (3.4)
г
d<r
(УФ)ф = -±-йш- (3-5)
^ г sin в дф
Дивергенция векторной функции А
у.А = ^а^+ 1 ^п|Л)+ 1 ^
r2 <9r rsin0 дв rsmO дф
Компоненты ротора векторной функции А
(V х А)г = }**£**> - -Ц^, (3.7)
rsinfl дв rsmv дф
(УхА)е = -Ц^-1^М, (3.8)
4 rsin0 дф г дф
(**А>*=^5гЧж- (3-9)
Лапласиан скалярной функции ф
^=1.°(№)+1°(ыт+1?*. (зло)
г2дг\ дт ) г2 sin 0 00 V дв J r2 sin2 в дф2
36*
572 Приложение В. Декартовы и криволинейные координаты
Компоненты дивергенции тензора V
(Т7 т>\ - Х д(г2Ргг) , 1 д(8'твРег) ,
2 Or rsin0 <90
rsmO дф r ^
4 J Tl or rsmv dv
rsmv дф г
4 /v^ r2 ar rsin0 dv
_1дЛфф 1
r sin в дф г
-{Dfr + cbgODtf). (3.13)
Приложение С
ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ (СИ)
ао
а. е. м.
с
е
9
G
h
к
те
тп
тр
ГПр/гПе
NA
NL
R
Ге
Vo
ео
Mo
Радиус Бора
Атомная единица массы
Скорость света в вакууме
Заряд электрона (элементарный заряд)
Ускорение свободного падения
Гравитационная постоянная
Постоянная Планка
Постоянная Больцмана
Масса покоя электрона
Масса покоя нейтрона
Масса покоя протона
Отношение масс протона и электрона
Постоянная Авогадро
Число Лошмидта
Молярная газовая постоянная (NAk)
Классический радиус электрона
Молярный объем при нормальных условиях
Электрическая постоянная
Магнитная постоянная
5,292- КГ11 м
1,661 • 10~27 кг
2,998- 108 м/с
1,602- 10~19 Кл
9,807 м/с2
6,671 - 10-11 Н-м/кг2
6,626 • 10~34 Дж • с
1,381 • 10~23 Дж/К
9,109- Ю-31 кг
1,675- 10~27 кг
1,673- 10~27 кг
1,863- 103
6,022- 1023 моль-1
2,687- 1025 м-3
8,314 Дж/(К-моль)
2,818- 10~15 м
22,4- 10~3 м3/моль
8,854- 10~12 Ф/м
4тг- 10~7 Гн/м
Система измерений СИ (МКСА) основана на четырех основных величинах:
длине, массе, времени и силе тока. Одно из ее названий получено из
обозначений этих величин: метр (м), килограмм (кг), секунда (с), Ампер (А).
Приложение D
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЕДИНИЦАМИ
В СИСТЕМАХ СИ И СГС
Емкость
Заряд
Проводимость
Ток
Электрическое поле
Энергия
Сила
Напряженность магнитного поля
Магнитный поток
Магнитная индукция
Разность потенциалов
Мощность
Давление
Сопротивление
1 Ф = (2,998)2- 10й см
1 Кл = 2,998 • 109 ед. СГС
1 (Ом-м)-1 = (2,998)2- 109 с"1
1 А = 1 Кл/с = 2,998 • 10й ед. СГС
1 В/м = (2,998- К)4)"1 ед. СГС
1 Дж = 107 эрг
1 эВ (электронвольт) = 1,602 • Ю-19 Дж
1 эВ = кТ, Т= 1,1602- 104 К
к — постоянная Больцмана
1 Р (Ry) = 13,61 эВ
1 Н = 105 дин
1 А/м = 4тг • 10~3 Э
1 Вб = 108 Гс • см2 (Мкс)
1 Тл = 104 Гс
1 В = (2,998- 102)-1 ед. СГС
1 Вт ее 1 Дж/с = 102 эрг/с
1 Н/м2 = 10 дин/см2
1 атм = 760 мм рт.ст. = 1,013 • 105 Н/м2
1 тор = 1 мм рт.ст.
1 Ом = (2,998)-2 • КГ11 с/см
Приложение Е
ОСНОВНЫЕ ПЛАЗМЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ
1. Электронная плазменная частота
шре = (^М =56,5п'/2 с-1 (1)
"ре - \^Го)
(если пе выражено в м 3).
2. Ионная плазменная частота
riiZ e
ГПгво
3. Дебаевский радиус
1/2 ,т>./2
*»-(£) -*<>©'
(если пе выражено в м 3, а Т в К).
4. Циклотронная частота электронов
где В выражено в Тл.
5. Циклотронная частота ионов
6. Магнитный момент частицы
7. Циклотронный радиус электрона
Ve± meVe±
се ~ о~
8. Циклотронный радиус иона
г . - Vi±
сг ~ Q ■
а "сг
еВ
_ ГПгУг±
~ ZeB '
(2)
(3)
ПСе = — = U6- 10ИБ с-1, (4)
те
О» = —• (5)
т = -^В = -^4^В. (6)
в2 в2
(7)
(8)
576 Приложение Е. Основные плазменные параметры
9. Число частиц в дебаевской сфере
Л^ = ^пеАЬ = 1,37-106^ (9)
(если пе выражено в м 3, а Т в К).
10. Альфвеновская скорость
Va=-At7^ (Ю)
(М0Рт)
1/2"
11. Проводимость
<70 = ^^. (И)
meve
12. Коэффициент диффузии электронов
meve
13. Коэффициент амбиполярной диффузии
п _ к(Те + Tj)
De = ^. (12)
14.
15.
16.
17.
-^а —
Магнитное давление
Магнитная вязкость
(meuen + ггыщп)'
Рт — су,, •
1
Г}т = •
Моего
Магнитное число Рейнольдса
Кулоновский логарифм
Л= 12тгпеЛ3г
„ _uL
} = 9ЛГп = 1,23-
it!
пУ2
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(если пе выражено в м-3, а Т в К).
18. Частоты столкновений электронов с ионами и нейтральными
частицами
i/ei = 3,62.10-4l?/2lnA (с"1), (18)
i/en = 2,60-104(72nnTe1/2 (с"1), (19)
где пе в м-3, а Т в К. Параметр а, имеющий порядок 10~10 м,
равен сумме радиусов сталкивающихся частиц, a In Л имеет значение
порядка 10.
Приложение F
ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ
ПЛАЗМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ
Тип плазмы
Межзвездный газ
Межпланетный газ
Солнечная корона
Солнечная атмосфера
Ионосфера
Газовый разряд
Горячая плазма
Разреженная горячая плазма
Плотная горячая плазма
Термоядерная плазма
По
106
108
1012
1020
1012
1020
1020
1018
1022
1022
т
ю-1
1
102
1
ю-1
1
102
102
102
104
Шре
6- 104
6- 105
6- 107
6- 1011
6- 107
6- 10й
6- 1011
6.10ю
6-1012
6-1012
Ad
1
1
ю-1
10"6
10"3
1(Г6
кг5
1(Г4
10"6
ю-5
n0AD
106
108
109
102
104
102
105
106
104
107
Величина пе в м 3, Т в эВ, шре в с ' и Ad в м.
^
Предметный указатель
Я-теорема Больцмана, 520
Атмосфера изотермическая, 177
Баунс-движение, 305
Бутылка магнитная, 82
Вариация функционала, 524
Вектор волновой, 316
— намагниченности, 58
— Пойнтинга, 323
— потока тепла, 145
Взаимодействие волна-частица,
436, 463
— кулоновское, 495
— частиц, 486-510
Вистлер, 383
Вмороженность, 281
Волна альфвеновская, 333, 339, 342,
345
косая, 342
сдвига, 341
сжатия, 339
чистая, 342
— высокочастотная, 353-394
вдоль магнитного поля, 368
поперек магнитного поля, 372
— звуковая, 333
— ионно-звуковая, 399
— левополяризованная, 320
— ленгмюровская, 244-247, 420
— магнитогидродинамическая,
333-352
быстрая, 339, 342
медленная, 341, 342
, распространение в
произвольном направлении, 341
, распространение
параллельно В, 339
, распространение
перпендикулярно В, 338
— магнитозвуковая, 334, 339
— необыкновенная, 373, 474
в горячей плазме, 474, 481
в теплой плазме, 408
в холодной плазме, 373, 481
— нераспространяющаяся, 358
— обыкновенная, 373, 474, 481
в горячей плазме, 474, 475,
479, 481
в теплой плазме, 408
в холодной плазме, 373
— плазменная, 399
ионная, 399
продольная, 397, 426
электронная, 399, 426
— плоская, 314
— правополяризованная, 320
— пространственного заряда, 247,
397, 420
— распространяющаяся, 358
— стоячая, 362
— циклотронная, 370, 393
ионная, 372
электронная, 370
Восприимчивость магнитная, 60
Вращение Фарадея, 387
Время релаксации, 129
— удержания, 36
Вычет, 431
Вязкость, 279
— кинематическая, 279
— магнитная, 279
Газ Лоренца, 218
— идеальный, 144
Геликон, 386
Генерация плазмы, 19
Геометрия магнитного поля, 69-73
, элементы
градиентные, 72
дивергентные, 70
, связанные с кривизной, 72
шировые, 73
Гидродинамика одножидкостная,
200-216
Гиропериод, 76, 109
Гирорадиус, 53
Гирочастота, 52
Предметный у к и ;штель
579
Гравитация, 64
Градиент магнитного поля, 72
Давление гидростатическое, 142,
143
— кинетическое, 143, 201
— магнитное, 284
—.определение, 141
—,сила, 142
— скалярное, 143, 202
—,тензор, 141
Двигатель плазменный, 37
Движение заряженной частицы,
47-118
— циклотронное, 50-55
— частицы по спирали, 52
Динамика плазмы, 39
— самосогласованная, 39
Дисперсия аномальная, 328
— нормальная, 328
Диффузия, 21, 191, 217
— амбиполярная, 21, 231-235
идеальная, 234
— бомовская, 22, 237
— свободная, 229, 554
Диэлектрическая проницаемость
относительная, 98, 227
Длина волны, 315
— свободного пробега, 517
Дрейф градиентный, 79
— поляризационный, 96, 98
— центробежный, 75
Дрейфы частиц, 112
Жесткость магнитная, 53
Закон Кулона, 486, 495
— Ома, 209, 212
обобщенный, 209, 212
— сохранения импульса, 185, 203
— сохранения массы, 182, 203
Затухание, 348, 358, 434
— Ландау, 22, 430-439
, декремент, 436
, качественное описание, 436
продольной волны, 434-437
электромагнитной волны, 439
— МГД-волн, 348
— бесстолкновительное, 22, 434-
437
— столкновительное, 358
— циклотронное, 461
Захват частицы, 436
юркала магнитные, 81
.Чнлчение среднее, 135
.Чомд плазменный, 261
Излучение, 22
тормозное, 23
ультрафиолетовое, 31
циклотронное, 23
— черного тела, 23
Ишмфиимт адиабатический, 81, 85,
108
— мерный, 81
— продольный, 85-87
Инварианты суммирования, 154
Интеграл столкновений Больцмана,
512 Г)19
— для слиОонопизованной плазмы,
526-530
— приближения, 5И)
Ионизация, И), 184
— фотонами, И)
Ионосфера, 31
Колебания нысокочистотпые, 26,
244
— плазменные, 26, 244
Константы физические, 573
Контур интегрироиииии, 431
Конус потерь, 83
Концентрация, 123, 136
Корреляция, 518
Коэффициент иязкости, 268
— диффузии, 228-231, 553-559
амбиполярной, 231
для постоянной частоты
столкновений, 230
, зависящий от скорости, 558
свободной, 229, 554
— теплопроводности, 191, 242, 560,
561
Коэффициенты уравнения
Фоккера-Планка, 533
Кратность вырождения, 172
Критерий Бома, 259
— Лоусона, 36
Лапласиан, 569-572
Линия апсид, 493
Лоренц-фактор, 48
МГД-генератор, 37
Магнитопауза, 30, 31
Магнитослой, 31
Магнитостатика, 284
580
Предметный указатель
Магнитосфера, 30, 31
Макронеустойчивость, 305
Масса протона, 573
— электрона, 573
Масса приведенная, 489
Множитель Лагранжа, 524
Мода
— ТЕМ, см. Волна обыкновенная
— ТМ, см. Волна необыкновенная
— Бернштейна, 475-479
— квазиэлектростатическая, 475,
481
— поперечная магнитная, см. Волна
необыкновенная
— поперечная электромагнитная,
см. Волна обыкновенная
Модель абсолютно твердых шаров,
501
— гидродинамическая, 179-216
— Крука, 129
— снежного плуга, 301
— теплой плазмы, 194
— холодной плазмы, 192
Молекулы максвелловские, 539, 542
Момент импульса, 52, 491
— магнитный, 56, 80-81, 92, 109
Моменты уравнения Больцмана, 179
— функции распределения, 148
Нагрев, 107
— джоулев, 207
— плазмы, 111
магнитный, 111
— циклотронный, 107
— электромагнитной волной, 107
Накачка магнитная, 111
Напряжение тангенциальное, 142
Натяжение силовых линий, 285
Необратимость, 519
Неустойчивость, 305, 440, 463
— в пространстве скоростей, 463
— геометрии пинча, 306
— двухпотоковая, 440, 447
— изгибная, 308
— инкремент, 442
— перетяжечная, 306
— скорость нарастания, 465
— сосисочная, 307
Область распространения, 361, 370,
374
Обрезание уравнений моментов, 180
Оператор набла, V, 126, 569-572
в конфигурационном
пространстве, 126
в пространстве скоростей, 126
Ось магнитная, 287
Отношение зеркальное, 82
— удельных теплоемкостей, 191
Отражение магнитное, 82
Пакет волновой, 325
Парадокс обратимости, 519
Параметр /?, 289
— плазменный, 26
— прицельный, 487
, обрезание, 504
, определение, 487
Параметры макроскопические
полные, 200
Переход свободно-свободный, 23
— свободно-связанный, 23
— связанно-связанный, 22
Период ларморовский, 56
— циклотронный, 56
Пинч Беннета, 298-300
— динамический, 300
— продольный, 298
— равновесный, 293
, поверхностный ток, 297
-,тета, 34, 288
— -эффект, 292-312
Питч-угол, 52
Плазма, 18-46
— в природе, 29
— количественные критерии
определения, 23
— космическая, 29-33
— межпланетная, 29
-^определение, 18, 23
—, основные процессы, 21
—,основные свойства, 18
—, приложения, 33
— слабоионизованная, 21
— твердотельная, 38
—, физические параметры, 575
—^характерные параметры, 28
Плотность, 200
— заряда, 131, 183, 200
— кинетической энергии, 147
— поляризационного тока, 98
— потока массы, 201
— потока частиц, 139, 201
-тока, 131, 183, 201
намагничивания, 59
Предметный ука;шпи>ль
581
Плотность энергии, 45
магнитного поля, 45, 196
Поверхности волновой нормали,
344, 380
— изобарические, 286
— фазовой скорости, 344, 380
Подвижность, 104, 221, 225
Показатель преломления, 365
Поле магнитное межпланетное, 30
типа каспа, 309
тороидальное, 34, 93
Полиномы Лежандра, 526
Полупроводник, 39
Полюс простой, 433, 446
Поляризация волн, 318
— круговая, 102, 103
левая, 320
правая, 320
— линейная, 319
Постоянная Больцмана, 573
— Планка, 573
— гравитационная, 573
— диэлектрическая, 98, 227
— магнитная, 573
— электрическая, 573
Потенциал векторный, 49
— взаимодействия, 491
— Дебая, 250, 264
— ионизации, 171
— скалярный, 49, 70, 247
магнитный, 70, 247
электростатический, 49
— стенки, 254
Поток, 136-139
— импульса, 140
— магнитный, 81, 91, ПО
— массы, 140, 201
-^определение, 136
— тепла, 145
— частиц, 139
— энергии, 146
Предел бесконечной проводимости,
214
Преобразование Фурье, 325
Преобразователь энергии
термоионный, 38
Приближение Альфвена, 69
— ведущего центра, 69
— молекулярного хаоса, 513
— релаксационное, 129
Прилипание, 184
Принцип детального равновесия,
152, 521
— причинности, 43I
Проводимость, 220 226, 543-553
— для постоянной частоты
столкновений, 223
—, зависящая от скорости, 551
— педерсеновская, 223
— поперечная, 223
— продольная, 224
— холловская, 224
Производная по времени полная,
186
в конфигурационном
пространстве, 186
в фазовом пространстве, 126
— субстанциональная, 186
Пространство конфигурационное,
120
— скоростей, 120
— фазовое, 120
Прохождение волны через границу
плазма-вакуум, 389
прямоугольный слой, 390
Пучки встречные, 440, 447
Равновесие термодинамическое,
152-178
— устойчивое, 309
Радиационный пояс, 30, 31
— внешний, 30
— внутренний, 30
Радиосвязь, 38
Радиус вращения, 53
— ларморовский, 53
— циклотронный, 53
Разложение по сферическим
функциям, 527
Разряд газовый, 20, 25
Распределение Больцмана, 169-170
— Максвелла-Больцмана, 155
— по скоростям резонансное, 446
— с конусом потерь, 132
Рассеяние, 494
— в кулоновском потенциале, 502
— на большие углы, 504
— на малые углы, 505
Реакции термоядерные, 33
Резонанс, 376
— в теплой плазме, 414
— в холодной плазме, 376, 377
— верхний гибридный, 374
582
Предметный указатель
Резонанс гиромагнитный, 104
— нижний гибридный, 374
— циклотронный, 105
ионный, 370
электронный, 370
Рекомбинация, 20, 184
Свист, см. Вистлер
Свистящий атмосферик, см. Вистлер
Сечение передачи импульса, 499
— рассеяния, 496-504
в термоядерных реакциях, 34
дифференциальное, 497
для кулоновского потенциала,
503
интегральное, 499
Сжатие изотермическое, 275, 276
— линейное, 275
— магнитное, 111
— сферическое, 276
— цилиндрическое, 275
Сила близкодействующая, 20, 486,
517
— дальнодействующая, 486
— Лоренца, 47
— магнитная, 47
— сдвигающая, 142
— тяжести, 64
— центральная, 491
— центробежная, 75
Символ Кронеккера, 144
Синтез термоядерный, 33
Скин-слой, 351
Скорость альфвеновская, 334, 337
— групповая, 328
— жидкости средняя, 200
— звука, 333, 396
адиабатическая, 192, 333
в газе электронов, 398
в жидкости, 333
изотермическая, 192, 241, 242
плазменная, 399
— наиболее вероятная, 166
— относительная, 487
— света, 573
— случайная, 136
— собственная, 136
— средняя, 124
— тепловая, 136
— фазовая, 316
Слой плазменный, 253
— вокруг космического аппарата, 38
Солнечный ветер, 29
Соотношение дисперсионное, 398,
403
Бома-Гросса, 398
— неопределенностей, 332
Состояние агрегатное, 18
Спираль Архимеда, 29, 30
Среда магнитоионная, 354
— недиспергирующая, 328
Статистическая физика, 119, 152
Стелларатор, 34
Столкновение, 153, 486-493
— неупругое, 486
— обратное, 153
— парное, 153, 487
— прямое, 153
— упругое, 486
Сфера дебаевская, 25
Схемы удержания, 34
Температура, 144
— абсолютная, 144
Тензор единичный, 118
— изотропного давления, 144
— магнитных напряжений
— Максвелловских напряжений,
195
— полного потока энергии, 146
— потока тепла, 145
Теорема Гаусса-Остроград<жого,
143, 184, 567
— Лиувилля, 126
— Пойнтинга, 45
— Стокса, 568
Теория дрейфовая первого порядка,
69
— магнитоионная, 194, 353
— одножидкостная, 200-216
Теплопроводность, 242, 559-562
— скалярная, 560, 562
-дензор, 242, 562
Ток Холла, 63, 222
Токамак, 34
Точки отражения, 376, 414
— в теплой плазме, 414
— в холодной плазме, 376
Трубка магнитная силовая, 281
Угол отклонения, 489
— рассеяния, 487, 489
Удержание плазмы, 34, 287
Предметный указатель
583
Уравнение адиабаты, 191, 194, 270
— вязкого напряжения, 199
— Больцмана, 124-130, 512-519
бесстол кновительное, 125
, вывод, 124-129, 512-515
интегро-дифференциальное,
515
, условия применимости, 516
— Власова, 130
— движения, 39, 186, 193, 196, 203
Паркера, 271
частицы, 43, 47, 48, 60
— диффузии, 229, 230
— Ланжевена, 217-220
— Лапласа, 247
— Навье-Стокса, 279
— непрерывности, 182, 203
— Пуассона, 258, 263, 444
— состояния идеального газа, 144
— теплопроводности, 191, 242, 561
— Фоккера-Планка, 530
— Эпплтона-Хартри, 367
Уравнения Максвелла, 40, 45
— материальные, 46, 226
— МГД, 213, 270
— переноса макроскопические,
179-216
в теплой плазме, 194
в холодной плазме, 192
для проводящей жидкости, 200
Ускорение Ферми, 87
Формула Резерфорда, 503
— Саха, 171
Фотоионизация, 19
Фронт волновой, 314
Функция Бесселя, 470-472
второго рода, 472
первого рода, 470
— Лагранжа, 49
— корреляционная, 518
— ошибок, 265
— распределения
одночастичная, 122
по модулю скорости, 163
по скоростям, 122
Хаос молекулярный, 513
Центр ведущий, 52
— масс, 488
Цепочка ББГКИ, 518
Циклоида, 62
Частица пробная, 248
Частицы, захваченные магнитным
полем, 30, 82
Частота ларморовская, 52
— обрезания, 377
— плазменная, 26, 246
ионная, 575
электронная, 27, 575
— столкновений, 129, 187, 509
релаксационная, 129
— циклотронная, 52
Число волновое, 315
— Рейнольдса, 278, 280
магнитное, 279
Ширина среднеквадратичная, 163
Экранирование дебаевское, 24, 248,
252
Энергия волны, 323
— наиболее вероятная, 175
— тепловая, 145, 202
плотность, 202
Эффект туннельный, 361, 391
— Холла, 212
Эффекты квантовые, 38, 171
Явление убегания электронов, 509
Явления переноса, 217, 543
Якобиан преобразования, 127, 515
Учебное издание
БИТТЕНКОРТ Жозе А.
ОСНОВЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
Редактор-организатор Т.Ю. Давыдовская
Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: A.M. Садовский
Оформление переплета: Н.В. Гришина
Подписано в печать 26.10.09. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 36,5. Уч.-изд. л. 37. Тираж 300 экз.
Заказ № К-1850.
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАЙК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано в ГУП
«ИПК Чувашия», 428019
г. Чебоксары, пр-т И.Яковлева, 13
ISBN 978-5-9221-1169-0
9"785922"1116901