Автор: Голант В.Е.   Жилинский А.П.   Сахаров И.Е.  

Теги: физика плазмы  

Год: 1977

Похожие

Основы физики плазмы

Основы физики плазмы и управляемого синтеза

Теория полностью ионизованной плазмы

Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный том III

Текст 
                    В. Е. ГОЛАНТ, А. П. ЖИЛИНСКИЙ, И. Е. САХАРОВ
ОСНОВЫ
ФИЗИКИ
ПЛАЗМЫ
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1977


УДК 533.9
Гол ант В. Е., Жилинский А. П., Саха-
Сахаров И. Е. Основы физики плазмы. М., А/гомиздат,
1977, 384 с.
Изложены основы современной физики плазмы. Охва-
Охвачен широкий диапазон условий, в том числе слабо- и силь-
ноионизованная плазма, плазма при отсутствии магнит-
магнитного поля и при существенном его влиянии. Наряду с
подробным количественным анализом процессов, опреде-
определяющих поведение плазмы, дано качественное обсуждение
физической картины этих процессов.
Книга предназначена для студентов, аспирантов, ин-
инженеров и научных работников, интересующихся физикой
плазмы и ее приложениями.
Рис. 101. Табл. 4. Список литературы 123 наимено-
наименования.
1977


ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга написана на основе курсов лекций, читавшихся авторами
студентам физических специальностей в Ленинградском политехни-
политехническом институте им. М. И. Калинина и научным работникам, на-
начинающим работать в области физики плазмы и ее приложений
в Физико-техническом институте им. А. Ф. Иоффе. Цель книги —
систематизированное изложение основ современной физики плаз-
плазмы. Мы стремились сочетать в ней достаточно подробный и обосно-
обоснованный количественный анализ процессов, определяющих поведе-
поведение плазмы, с качественным обсуждением физической картины
этих процессов.
В гл. 1 обсуждаются основные особенности плазмы, отличающие
ее от других состояний вещества. В гл. 2 описаны различные типы
столкновений, существенно влияющих на поведение плазмы, дан
краткий обзор имеющихся данных об их характеристиках. В гл. 3,
5 и 6 изложены методы кинетического описания свойств плазмы
(методы кинетического уравнения и уравнений моментов). Гл. 4
посвящена термодинамически равновесной плазме и, в частности,
анализу ионизационного равновесия. Кинетическое рассмотрение
отклонений от равновесия и их влияния на функции распределе-
распределения заряженных частиц по скоростям представлено в гл. 5. Там же
обсуждается распределение скоростей электронов в электрическом
поле при различных условиях. Детальное рассмотрение процессов
переноса заряженных частиц и их энергии в слабо- и сильноиони-
зованной плазме при отсутствии магнитного поля представлено в
гл. 7. На основе данных о коэффициентах переноса анализируется
ионизационный баланс и баланс энергий заряженных частиц в плаз-
плазме. Гл. 8—10 посвящены свойствам плазмы в магнитном поле. В
гл. 8 описывается движение заряженных частиц плазмы в магнитном
поле при различных его конфигурациях. Гл. 9 содержит анализ
процессов переноса, баланса заряженных частиц и их энергий в маг-
магнитном поле. Здесь обсуждается, в частности, влияние турбулент-
турбулентности плазмы на процессы переноса. Наконец, в гл. 10 рассматри-
рассматривается поведение полностью ионизованной плазмы в магнитном по-
поле, в первую очередь, равновесие и устойчивость удержания плазмы
магнитным полем.


JB конце книги приводится список литературы, включающий ос*
новные руководства и монографии по физике плазмы, издававшие-
издававшиеся в последние годы на русском языке, а также обзорные статьи
из сборников «Вопросы теории плазмы».
Из-за ограниченного объема книги мы не имели возможности
рассмотреть в ней вопросы, связанные с возбуждением и распрост-
распространением волн в плазме. Читатель может ознакомиться с ними по
монографиям и обзорам, представленным в списке литературы.
В процессе "написания книги значительную помощь оказали нам
сотрудники плазменной лаборатории кафедры физической электро-
электроники Ленинградского политехнического института. Считаем прият-
приятным долгом выразить им свою признательность.


ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — радиус плазмы
а — ускорение
Ьа — подвижность частиц сорта а
с — скорость света
Da — коэффициент диффузии частиц сорта а
DA — коэффициент амбиполярной диффузии
D^ — коэффициент термодиффузии
Dv — коэффициент диффузии в пространстве скоростей
DH — коэффициент диффузии магнитного поля
d — дипольный момент
Е — напряженность электрического поля
е — заряд электрона
<? — внутренняя энергия
%im — энергия перехода с уровня / на уровень т
%j — энергия возбуждения уровня /
?>i — энергия ионизации
F — шестимерная функция распределения
F — сила
ДФ) — амплитуда рассеяния
fa(v) — функция распределения частиц сорта а по скоростям
функция распределения по. полным скоростям
функция распределения по энергиям
/о, h — изотропная и направленная составляющие функции
распределения
G — сила, действующая на единицу объема плазмы
g — статистический вес
Н — напряженность магнитного поля
ъ — полиномы Эрмита — Чебышева
h — единичный вектор в направлении Н
2 постоянная Планка
функция Бесселя первого рода порядка s
j — плотность тока
/ — ток
fv
V
К — кинетическая энергия
kq — константа процесса q
k — волновое число
Жа -— коэффициент теплопроводности частиц сорта а
L — характерный размер плазмы
La — кулоновский логарифм в сечении столкновений частиц
сорта а
I — длина


М — момент количества движения
т9 — масса частицы сорта а
N -— число частиц
па — концентрация частиц сорта а
п __ концентрация заряженных частиц
Р — мощность
РЕ — мощность нагрева единицы объема плазмы электри-
электрическим полем .
Ра — импульс частицы сорта а
Ра — тензор потока импульса частиц сорта а
ра — давление частиц сорта а
рн — магнитное давление
Qap — число столкновений частиц сортов а и Р в единицу
времени
Qa — плотность потока энергии частиц сорта a
qa — плотность потока тепла частиц сорта а
q — запас устойчивости тороидальной магнитной ловушки
R — шестимерный радиус-вектор
R — радиус кривизны
Rap — сила трения, действующая на частицы сорта а в ре-
результате их столкновений с частицами сорта р
R^p — термосила, обусловленная столкновениями частиц
сортов аир
г — расстояние
г — радиус-вектор
га — радиус атома
rs — радиус сильного взаимодействия
rD — дебаевский радиус
5 •— площадь
^а$ "~ столкновительный член кинетического уравнения,
описывающий столкновения типа q между частицами
сорта а и Р
•So, 5j — столкновительные члены уравнений для компонент
функции распределения электронов
sa6 ~" полное поперечное сечение столкновений типа q
между частицами сорта а и Р
sa? ~~ тРанспортное сечение упругих столкновений
sa8> sa6 ~~ суммарное сечение неупругих столкновений, сечение
неупругих столкновений с малой и большой потерей
энергии
Т — температура
Та — температура частиц сорта a
t — время
U — потенциальная энергия взаимодействия
и — направленная скорость (средняя скорость)
ua — направленная скорость частиц сорта a
, и^, Up — компоненты направленной скорости, связанные
с движением в поле под действием градиентов кон-
концентрации, температуры и давления
uda — скорость дрейфа частиц сорта a
Up, ug — фазовая и групповая скорости волны
V — шестимерный вектор скорости
V — объем
v — скорость


va — скорость частиц сорта а
v0 — скорость центра инерции
v, vap — относительная скорость частиц сорта аир
va> v'> va3 — векторы скорости после столкновения
= (ЗГа/таI/2 — тепловая скорость
W — энергия
w — хаотическая компонента скорости
Za — зарядовое число частиц сорта a
а — коэффициент рекомбинации
Р — отношение кинетического давления к магнитному
Га — плотность потока частиц сорта a
Tv — плотность потока в пространстве скоростей
у — инкремент нарастания неустойчивости
у —- показатель адиабаты
Aq = q' —q — изменения величины q при столкновении
5/ь — символ Кронекера
Ьрх, Ьх — квантовомеханическая неопределенность импульса и
координаты
8 — электрическая проницаемость
g — прицельное расстояние
| — смещение элемента объема плазмы
г] — степень ионизации
т)а — коэффициент отражения частиц сорта a
Ъ — угол рассеяния
xag — коэффициент передачи энергии при столкновениях
частиц сорта а и Р
Л — диффузионная длина
Л — длина волны возмущения (в гл. 10)
Xag — длина свободного пробега частиц сорта а до их столк-
столкновения с частицами сорта р
%а — дебройлева длина волны частицы сорта a
jbi о — приведенная масса при столкновениях частиц сортов
а и Р
\i — магнитный момент
va3 "" частота столкновений частиц сорта аир
v^o (v) — транспортная частота упругих столкновений
)» va&(v)> vl д(у) ~~ частоты неупругих столкновений (соответственно пол-
а" ная суммарная частота, частота столкновений с боль-
большими и малыми потерями энергии)
va? """ частота столкновений, усредненная с весом v2
л; — тензор вязкости
ре — плотность заряда
р — плотность вещества
Р#а -~ лаРморовский радиус частиц сорта a
S — статистическая сумма
a — проводимость
°aj3 W "~ Дифференциальное сечение столкновений частиц сор-
сортов аир
т — характерное время
та8 ~~ сРеДне^ время между столкновениями частиц сортов
а и Р
та8 — среднее время обмена энергией между частицами сор-
сортов аир
Ф — магнитный поток
ф(г) — электростатический потенциал


ф — меридиональный угол
%а — коэффициент температуропроводности частиц сор-
сорта а
Ч? — волновая функция
— угол рассеяния (меридиональный)
— телесный угол
со — частота
ыНа — циклотронная частота частиц сорта а
con — плазменная частота
= dxdyaz — элемент объема
dvxdvydvz — элемент объема в пространстве скоростей
— d*rdzv — элемент объема в шестимерном фазовом пространстве
Операторы
grad — градиент
div — дивергенция
А — оператор Лапласа
rot — ротор
gradD — градиент в пространстве скоростей
div0 — дивергенция в пространстве скоростей
ЫЫ — оператор, обозначающий скорость изменения вели-
величины при столкновениях
< > — оператор усреднения
Индексы (нижние)
а, Р — сорт частицы
е — электрон
i — ион
е — область вне плазмы
i — область внутри плазмы
а — нейтральный атом
А — амбиполярная характеристика
Е — вел-ичина, связанная с электрическим полем
Н — величина, связанная с магнитным полем
/ — величина, связанная с током
|| -— направление, параллельное магнитному полю
JL — направление, перпендикулярное магнитному полю
t — направление, параллельное силе, действующей в пло-*
скости, перпендикулярной магнитному полю
g — значение параметра на границе плазмы
Индексы (верхние)
q — тип столкновений
е — упругие столкновения
п — неупругие столкновения
h — неупругие столкновения с большими потерями энер-
энергии
/ —- неупругие столкновения с малыми потерями энер-
энергии
i — ионизация
Е — величина, связанная с электрическим полем
Н — величина, связанная с магнитным полем


ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.1. Ионизованные газы и плазма
В любом газе при отличной от нуля абсолютной температуре не-
некоторое количество атомов ионизовано, т. е. наряду с нейтраль-
нейтральными имеются заряженные частицы — электроны и ионы. Однако
существенное влияние на свойства газа заряженные частицы оказы-
оказывают лишь при концентрациях, при которых создаваемый ими про-
пространственный заряд ограничивает их движение. С ростом концент-
концентрации это ограничение становится все более значительным и при
достаточно больших концентрациях взаимодействие положительно
и отрицательно заряженных частиц приводит к поддержанию мак-
макроскопической нейтральности в объемах, сравнимых по размеру
с объемом газа; при этом нарушения макроскопической нейтраль-
нейтральности приводят к появлению сильных электрических полей, быстро
восстанавливающих ее. Ионизованный газ при таких концентраци-
концентрациях и называется плазмой. Это название было предложено в 1923 г.
американским физиком Ленгмюром.
Таким образом, ионизованный газ при достаточно больших
концентрациях заряженных частиц превращается в плазму. Наи-
Наиболее естественный путь получения плазмы состоит в разогреве
газа до температур, при которых средняя энергия частиц сравнима
с энергией ионизации атомов или молекул. При температурах мно-
много меньших энергии ионизации отношение концентрации ионов
к концентрации нейтральных атомов мало. Оно возрастает с ростом
температуры, и при приближении средней энергии частиц к энергии
ионизации газ превращается в практически полностью ионизован-
ионизованную плазму.
Поскольку плазму можно получить при разогреве вещества,
находящегося в газообразном (третьем агрегатном) состоянии, ее
называют иногда четвертым состоянием вещества. Состояние рав-
равновесной плазмы, как и всякого газа, определяется ее составом,
концентрацией компонент и температурой. Обозначим парциальные
концентрации компонент плазмы яа, придавая индексу а значения
а (нейтральные частицы), i (ионы), е (электроны). Вообще говоря,
плазма может содержать различные виды (сорта) атомов и ионов.
В большинстве случаев (если это не оговорено) будем рассматривать
так называемую простую плазму, состоящую из нейтральных час-
частиц одного сорта, однозарядных ионов того же сорта и электронов.
Тогда степень ионизации rj можно определить как отношение кон-
9


центрации ионов к суммарной концентрации ионов и нейтральных
атомов:
ц — щ/ (nt + па). A.1)
Температуру плазмы Т будем выражать в энергетических едини-
единицах; она связана с обычно используемым определением темпера-
температуры соотношением
T = kTK, A.2)
где 7"к — температура, °К; k — постоянная Больцмана. Связь
средней энергии теплового движения частиц W с температурой плаз-
плазмы, как и для любого равновесного газа, дается равенством
W = C/2) Г* A.3)
В равновесной плазме задание концентраций и температуры полно-
полностью характеризует ее состояние. Температура такой плазмы опре-
определяет не только среднюю энергию, но и распределение частиц по
скоростям (максвелловское распределение). По концентрации и тем-
температуре плазмы можно найти степень ионизации, концентрацию
ионов, возбужденных атомов, фотонов и т. п. Однако далеко не всег-
всегда плазму можно считать равновесной. В частности, газоразряд-
газоразрядная плазма, получаемая обычно в лаборатории, далека от равнове-
равновесия. В некоторых случаях встречается так называемое частичное
равновесие, при котором распределение скоростей заряженных и
нейтральных частиц — максвелловское, но температуры, опреде-
определяющие это распределение для электронов и тяжелых частиц, раз-
различны. Для такой неизотермической плазмы можно ввести отдельно
электронную и ионную температуры Те, 7V В общем случае нерав-
неравновесной плазмы распределение скоростей заряженных частиц мо-
может существенно отличаться от максвелловского. Однако и здесь
будем говорить о температуре компонент плазмы, определяя ее
как меру средней энергии хаотического движения частиц в соответ-
соответствии с A.3). Разумеется, для получения полной информации о по-
поведении неравновесной плазмы сведений о средних энергиях (тем-
(температуре) компонент недостаточно — необходимо знать функцию
распределения частиц по скоростям.
§ 1.2. Квазинейтральность плазмы
Характерной особенностью плазмы является ее макроскопи-
макроскопическая нейтральность, поддерживающаяся вследствие взаимной
компенсации пространственного заряда положительных ионов и
электронов. Однако такая компенсация имеет место лишь в сред-
среднем — в достаточно больших объемах и за достаточно большие
интервалы времени. Поэтому говорят, что плазма — квазинейтраль-
квазинейтральная среда. Размеры областей и промежутки времени, в пределах
которых может нарушаться компенсация объемного заряда, назы-
называют пространственным и временным масштабами разделения за-
зарядов.
10


Определим пространственный масштаб разделения зарядов.
Представим, что в некотором объеме плазмы нейтральность наруше-
нарушена. Для простоты будем считать, что это нарушение происходит
в результате смещения плоско-
плоского слоя электронов. При этом
образуются слои отрицательно-
отрицательного и положительного объемных
зарядов (рис. 1.1, а). Электри-
Электрическое поле между слоями экви-
эквивалентно полю плоского кон-
конденсатора. Напряженность поля
Е определяется поверхностной
плотностью заряда а на «об-
«обкладках»:
Е = 4jxg = Ыпеех> A.4)
где е — заряд; пе — плотность
электронов; х — смещение слоя.
Распределение поля и потенциа-
потенциала ф показано на рис. 1.1, б, в.
Полная разность потенциалов
<Pi равна
Фг « El = 4nneexl A.5)
(/—толщина слоя). Очевидно,
что нарушение нейтральности,
вызванное смещением слоя элек-
электронов, может поддерживаться
лишь в случае, если высота по-
потенциального барьера поля объ-
объемного заряда меньше энергии
хаотического движения электро-
электронов и ионов: ecpi<.Te> Тг.
В противном случае движение
частиц под действием электри-
электрического поля быстро приводит
к восстановлению нейтральности. Подставляя в это неравенство
величину Афе и полагая х & /, получаем 4ппее2Р<^Т или
1<УТ/4ппее2, A.6)
где Т — меньшая из величин Те или Тг. Величина, стоящая, в пра-
правой части, определяет с точностью до численного коэффициента
максимальный масштаб разделения зарядов в плазме. Эту величину
называют радиусом Дебая по имени физика, который впервые ввел
ее для электролитов. Обозначим дебаевский радиус
rD = VT/4nnee\ A.7)
Поскольку он имеет большое распространение в физике плазмы и
будет часто встречаться в дальнейшем, запишем также его числен-
И


ное значение г о « 500VT/n, где го дается в см, п — в см~39
Т — в вв. В условиях, когда электронная и ионная температуры
существенно различны, вводят иногда электронный и ионный де-
баевские радиусы: гое ~ ~V1\ и rot ~ VTj. При этом масштаб
длительного разделения зарядов характеризуется меньшей из этих
величин.
Определим временной масштаб разделения зарядов. Для этого
обратимся снова к рис. 1.1 и рассмотрим движение электронов пос-
после нарушения нейтральности. В области нахождения электронного
слоя на электроны действует сила притяжения со стороны ионов,
равная еЕ = 4ппее2х [см. A.4)]. Уравнение движения электронов
имеет вид
med2xldt2 = — 4ппее2х. A.8)
Оно описывает гармонические колебания с частотой
сор = V4nnee2/me. A,9)
Нетрудно понять природу этих колебаний электронного слоя.
Слой притягивается к ионному, проходит мимо него по инерции,
снова притягивается и т. д. Колебания не затухают, поскольку не
рассматриваются тепловое движение заряженных частиц и дисси-
диссипация, Колебания пространственного заряда при нарушении ква-
квазинейтральности были впервые обнаружены Ленгмюром. Их назы-
называют плазменными, или ленгмюровскими, колебаниями. Частоту A.9)
соответственно называют плазменной, или ленгмюровской, часто-
частотой. Поскольку величина сор часто встречается в физике плазмы,
приведем также ее численное значение: о)р = 5,6 • 10*V/ie (cop
дано в сект1, пе—в сж~3).
Плазменные колебания определяют механизм восстановления
квазинейтральности. Очевидно, что в среднем, за много периодов
колебаний, плазму можно считать нейтральной. Поэтому временной
масштаб разделения зарядов в плазме определяется величиной
*. A.10)
Его связь с пространственным масштабом разделения зарядов A.7)
очень проста:
tD=rDJVTe9 A.11)
где vt = VTJme — тепловая скорость электронов.
Мы оценили масштабы спонтанных нарушений макроскопиче-
макроскопической нейтральности плазмы, связанных с тепловым движением заря-
заряженных частиц. Рассмотрим теперь нарушения нейтральности под
действием внешних электрических полей. При введении в плазму
или при помещении около ее границ заряженного тела вблизи этого
тела происходит разделение зарядов — заряды противоположного
знака притягиваются, а одинакового — отталкиваются от тела.
Поляризация плазмы приводит к экранированию внешнего поля,
12


Характерный пространственный масштаб такого экранирования
равен дебаевскому радиусу.
Рассмотрим, например, поле неподвижного сферического заря-
заряда в плазме. Потенциал поля ф вне заряда должен удовлетворять
уравнению Пуассона
дф = 4яр. A.12)
Для плазмы, содержащей однозарядные ионы и электроны, плот-
плотность пространственного заряда определяется разностью их кон-
концентраций:
р = е(т-пе). A.13)
При условиях, когда в области экранирования находится большое
число заряженных частиц, мгновенные значения концентраций
можно считать практически равными их средним значениям. Связь
этих средних концентраций с потенциалом при максвелловском рас-
распределении скоростей частиц определяется формулой Больцмана
(см. § 4.1):
п% = п ехр (— ец/Тг); пе = п ехр {еу1Те), A.14)
где п — концентрация заряженных частиц в невозмущенной об-
области (в которой плазма является нейтральной, т. е. пе = щ = п).
Подставляя выражения для пгипев уравнение Пуассона, получаем
самосогласованное уравнение для потенциала:
Аф = 4пеп [ехр (— е<$1Тг) — ехр (еу/Те)]. A.15)
Легко^найти решение уравнения A.15) для достаточно больших
расстояний от заряда, когда etp <^ Tiy Te. На таких расстояниях
можно использовать разложение экспонент в степенные ряды и ог-
раничиться первыми двумя членами разложения:
ехр ( — ey/Ti) « 1 — eqITu ехр (eqlTe) « 1 + ey/Te.
Подставляя их в уравнение A.15), приведем его к виду
Аф + A/гЬ) Ф = 0, A.16)
где rD = 1ТеТг/4ппе2 (Тё + Г*)]1'2 A.17)
представляет собой общее выражение для дебаевского радиуса при
произвольном соотношении между Те и Tt. При Te^>Tt или
Tt ^> Те это выражение переходит в A.7). Сферически-симметрич-
Сферически-симметричное решение уравнения, обращающееся в 0 на бесконечности, имеет
вид
Ф = (С/г) ехр (— г! г о)*
В этом легко убедиться, подставляя его в A.16). Для того чтобы на
малых расстояниях, когда экранировка отсутствует, это решение
переходило в обычный кулоновский потенциал заряда q, следует
положить С = q. Тогда выражение для потенциала можно запи-
записать следующим образом:
Ф = (<//г) ехр ( — r/rD). A.18)
13


Видно, что при г <^го потенциал практически совпадает с куло-
новским, при r> td потенциал значительно меньше кулоновского
из-за экранирующего действия плазмы. Таким образом, характер-
характерный масштаб области экранирования определяется дебаевским ра-
радиусом. Этот результат получен для поля сферического заряда
при условиях, когда в области экранирования потенциальная энер-
энергия е(р ж qelro меньше тепловой. Характер экранирования при
условии ец) ^ Те очевидно, должен оставаться таким же и для дру-
другого способа создания полей, поскольку его можно описать с по-
помощью совокупности точечных зарядов. Во многих случаях и при
потенциалах, превышающих этот предел, характерный масштаб
области нарушения квазинейтральности имеет порядок дебаевского
радиуса.
Проведенное рассмотрение позволяет более точно определить
условия квазинейтральности. В соответствии с ним взаимодействие
объемных зарядов электронов и ионов поддерживает электриче-
электрическую нейтральность плазмы в объемах с размерами, существенно
большими го и за времена, много большие обратной плазменной
частоты to & l/cop. Для того чтобы эти условия выполнялись
в плазме, необходимо соблюдение неравенств
L>rD; t>fo, A.19)
где L — характерный размер плазмы; т — характерное время из-
изменения ее параметров. В сущности, эти неравенства определяют
концентрацию заряженных частиц, при превышении которой ио-
ионизованный газ можно называть плазмой. Обычно они выполняют-
выполняются с большим запасом. Поэтому даже в относительно небольших
объемах, размер которых много меньше характерных размеров
плазмы, положительный и отрицательный заряды компенсируют
друг друга. Для плазмы, в которой отрицательный заряд создается
электронами, а положительный — однозарядными ионами, это
означает, что их концентрации должны быть практически одина-
одинаковы:
пеж /i|> | пг — пе |. A.20)
Учитывая это, будем иногда опускать индексы е, I при обозначении
концентрации заряженных частиц.
§ 1.3. Особенности движения заряженных частиц в плазме
Основные свойства плазмы определяются движением в ней заря-
заряженных частиц. Здесь мы лишь кратко остановимся на некоторых
его особенностях. При отсутствии внешних полей характер движе-
движения заряженных частиц в слабоионизованной плазме, где основное
влияние на их движение оказывают столкновения с нейтральными
частицами, аналогичен характеру движения атомов в обычном га-
газе. При условиях, когда длина свободного пробега много меньше
размеров плазмы, траектория движения состоит из более или менее
14


Рис. 1.2
протяженных отрезков прямых,
соответствующих периодам меж-
между столкновениями, и областей
столкновения, в пределах кото-
которых изменяются направление
движения и скорость частиц
(рис. 1.2, а). При этом столкно-
столкновения можно считать точечными,
поскольку эффективный радиус
взаимодействия заряженных частиц с нейтральными много меньше
длины свободного пробега.
Существенное отличие свойств плазмы от свойств газа нейт-
нейтральных частиц связано прежде всего с воздействием на движение
заряженных частиц электрического и магнитного полей. Электри-
Электрическое поле (внешнее <поле и поле пространственного заряда) вызы-
вызывает ускорение заряженных частиц в период между столкновения-
столкновениями. В среднем за много периодов такое ускорение приводит к появ-
появлению направленного движения частиц и к увеличению скорости
хаотического движения, т. е. к нагреву плазмы. При этом нагрев
электронной и ионной компонент оказывается неодинаковым.
Электроны приобретают обычно большую энергию, чем ионы. Маг-
Магнитное поле приводит к закручиванию траекторий заряженных
частиц в плоскости перпендикулярной полю. При условиях, когда
радиус вращения заряженных частиц в магнитном поле (так назы-
называемый ларморовский радиус) много меньше длины свободного про-
пробега, влияние поля на движение частиц весьма существенно. Их
перемещение в направлении, перпендикулярном магнитному полю
на расстояния большие ларморовского радиуса, может быть при
этом обусловлено столкновениями или дрейфом заряженных
частиц, связанным с электрическим полем, с неоднородностью
магнитного поля.
Другая важная особенность движения заряженных частиц прояв-
проявляется в сильноионизованной плазме, когда определяющую роль
играют столкновения заряженных частиц друг с другом. Эта особен-
особенность связана с тем, что кулоновский потенциал, определяющий
взаимодействие между заряженными частицами, медленно умень-
уменьшается с расстоянием. Поэтому взаимодействие существенно на рас-
расстояниях, много больших размеров атомов. Ограничение радиуса
действия кулоновских сил связано лишь с экранированием поля
взаимодействия в плазме; предельный радиус можно считать равным
дебаевскому радиусу экранирования.Поскольку в сферу с радиусом,
равным дебаевскому, входит обычно большое количество электро-
электронов и ионов, взаимодействие заряженных частиц, строго говоря,
не сводится к парным столкновениям. Траектория движения час-
частицы при учете этих столкновений уже не может быть представлена
в виде ломаной линии с четко разделенными периодами столкнове-
столкновений и периодами между столкновениями, а носит более сложный
характер (см. рис. 1.2, б). При анализе приходится учитывать взаи-
15


модействие каждой частицы со многими другими, находящимися
в дебаевской сфере. Однако поскольку взаимодействие с частицами,
находящимися на больших расстояниях (масштаба дебаевского ра-
радиуса) приводит к отклонению частиц на малые углы, возможна
приближенная замена коллективного взаимодействия совокупностью
парных столкновений. Она недопустима лишь при больших кон-
концентрациях заряженных частиц, когда энергия взаимодействия меж-
между ними становится сравнимой с тепловой энергией. При этом свой-
свойства плазмы существенно отличаются от свойств идеального газа,
для которого применима модель парных столкновений. -
Оценим концентрацию, определяющую этот переход. Потенци-
Потенциальная энергия взаимодействия на расстояниях порядка дебаевско-
дебаевского радиуса дается соотношением [см. A.7)]
U&e2/rD = e3V 4лп/Т. A.21)
Она мала по сравнению с тепловой (U <^Т) при условии
п<^Т3/4пр\ A.22)
или п <^ 101973 (здесь п дано в см, Т — в эв). Неравенство A.22)
и определяет условия «слабого» взаимодействия, характерные для
идеального газа. Оно обычно выполняется.
Отметим в заключение, что для движения частиц в плазме в пе-
период между столкновениями можно практически всегда использо-
использовать классическое описание. Чтобы показать это, рассмотрим огра-
ограничения, накладываемые квантовомеханическим соотношением не-
неопределенностей. При концентрации заряженных частиц п среднее
расстояние между ними равно бгя^/г^3. Оно определяет макси-
максимально допустимую неопределенность в координате при описании
движения частиц. Соотношение неопределенностей позволяет найти
связанную с ней неопределенность импульса
bptthlbrtthn1^ A.23)
(ft— постоянная Планка). Чтобы можно было применять класси-
классическое описание, эта неопределенность должна быть много меньше
среднего импульса частицы:
A.24)
Используя A.23), получаем условие применимости классического
описания движения электронов в виде
п€(теТе)г/21Л3 A.25)
или п << Ю23Те12 (п—в см~3, Те—в эв). Это условие выполняется
практически для всех видов газовой плазмы (см. также § 1.4,
рис. 1.3). Поэтому можно сказать, что плазма — классический
объект. Иногда говорят о квантовой твердотельной плазме, имея
в виду поведение носителей тока в твердых телах — электронов в
металлах или электронов и дырок в полупроводниках. Для такой
16


плазмы условие типа A.24) не выполняется, и ее свойства долж-
должны описываться с помощью квантовой механики.
§ 1.4. Параметры плазмы
Приведем параметры некоторых типичных видов плазмы. Нач-
Начнем с плазменных объектов в космосе. Большинство звезд, включая
и наше Солнце, имеет, как известно, температуры, при которых
вещество находится в плазменном состоянии. Межзвездный газ
ионизован, и, несмотря на относительно малую концентрацию
заряженных частиц, его также можно считать плазмой, так как
характерный пространственный масштаб его на много порядков пре-
превышает дебаевский радиус. Плазма распространена и в ближнем
космосе. Она заполняет магнитосферу Земли и образует ионосфер-
ионосферные слои. Возмущения магнитосферы, связанные с потоками час-
частиц с Солнца (с так называемым солнечным ветром), также оказы-
оказываются плазменными. В табл. 1.1 приведены параметры плазмы для
некоторых из этих космических объектов.
В технике и в экспериментальных исследованиях широко ис-_
пользуются различные виды газовых разрядов. Это прежде
всего стационарные или импульсные электродные разряды —
так называемые тлеющие разряды с холодными электродами, про-
происходящие при относительно небольших токах, и дуговые разря-
разряды, характеризующиеся большими токами и сильным разогревом
электродов. Разряды такого типа давно используются в радио-
радиотехнике, в технике коммутации токов, для обработки материалов.
Сравнительно недавно они стали применяться для накачки газовых
лазеров. Газоразрядные источники плазмы— плазматроны —
е последнее время получили широкое распространение и во многих
технологических работах, прежде всего для осуществления высо-
высокотемпературных химических реакций (в так называемой плазмо-
хймии). При этом наряду с традиционными электродными разря-
разрядами используется плазма, создаваемая высокочастотными поля-
полями (ВЧ: и СВЧ-разряды) под действием излучения лазеров (лазерные
разряды). В табл. 1.2 представлены типичные параметры некоторых
видов газоразрядной плазмы.
Плазма — объект многих экспериментальных исследований.
В последние годы в связи с проблемой термоядерного синтеза ши-
широко ведутся исследования удержания плазмы магнитным полем и
ее нагрева. Ими охватывается большой диапазон условий, соответ-
соответствующих различным схемам, — от квазистационарных до импуль-
импульсных схем однократного действия. Широкие исследования плазмы
ведутся также в связи с проблемами магнитогидродинамического и
термоэлектронного преобразования энергии, создания плазменных
реактивных двигателей, движения космических летательных ап-
аппаратов через атмосферу. Не имея возможности представить харак-
характеристики всех видов плазмы, используемых в этих исследованиях,
приведем параметры плазмы лишь в типичных современных экспе-
17


Таблица 1.1
Объект
Ионосфера (слой Е)
Ионосфера (слой F)
Фотосфера Солнца
Солнечная корона
Межзвездная среда
Параметры
Газ
Ьоздух
Воздух
н
н
. н
L, см
106
106—107
5-Ю10
ЮН— 1Q12
1018
плазмы некоторых космических объектов
Я, э
1
1
1(Ю3)
1A02)
—
па, см-з
1012—Ю13
109—Ю12
—
—
—
пе, см— з
105
105—106
1014
10*—108
10-3—10
"Л
Ю-8—10-7
10-7—Ю-4
1
1
0,1—1
Т е, зв
0,03
0,03—0,1
1
100
0,01-1
Я€, см
102—ЮЗ
103—105
5-Ю-2
108
1Q8 — 1Q12
rD> см
0,3
0,2
-5.10-4
1—100
102—1Q4
рНе, см
1
1
З(З-Ю-з)
30@,3)
—
Примечания,
1. Таблица имеет иллюстративный характер. Большинство параметров дано с точностью до порядка.
2. В таблице L —характерный размер плазмы; Я —напряженность магнитного поля; %е—длина свободного пробега электронов; P//g — лар-
моровский радиус электронов.
3. Цифры в скобках относятся к полям солнечных пятен#


Таблица 1.2
Тип разряда
Разряд низкого давления
Тлеющий разряд
Дуговой разряд
Сверхвысокочастотный разряд
Разряд высокого давления
Разряд сверхвысокого давления
Стационарная лазерная плазма
ё
ю-2
1
1
10
103
105
103
Параметры
8
1
1
1
1
1
10~1
ю-1
1
Ю-2
10
—
1
1
газоразрядной плазмы
Р, вт/см*
10
ю-1
10—102
10
102
103—Ю4
104
1
3
с
1011
10Ю
1013
10х2
1015
10"
10"
3-10-4
з-ю-7
3-10-4
з-ю-6
з-ю-5
3-10-5
З-Ю-з
Те, дв
3—7
1—3
0,5—2
1—3
0,5—1
0,5—1
1—3
Та-"
з-ю-2
З-Ю-2
ю-1
5-Ю
0,5
0,5—1
1—3
%е, см
1
Ю-2
Ю-
Ю-3 ^
Ю-4
ю-6
10-4
rD, см
З-Ю-з
5-Ю-2
3-10-4
5-Ю-3
Ю-5
ю-7
ю-7
Примечания. 1. В таблице приводятся ориентировочные характеристики разрядов в некотором типичном режиме.
Они могут заметно изменяться в зависимости от режима и газового наполнения. Значения параметров приводятся с точностью
до порядка.
2. В таблице р — давление газа; а —радиуа плазмы; / — ток разряда; Р —мощность, вводимая в единицу объема плазмы;
Г —электронная температура; Та—температура газа; Л —длина свободного пробега электронов.


риментах по термоядерному синтезу и параметры, ожидаемые в тер-
термоядерных реакторах будущего (табл. 1.3). На рис. 1.3 приведены
типичные значения температуры и концентрации для следующих
плазменных объектов: твердотельной плазмы 1, ионосферы 2, сол-
солнечной короны 3, газоразрядной плазмы 4, лазерного термоядер-
1O'Z '
10° Ю1 10z Ю3
Рис. 1.3
ного эксперимента 5, квазистационарного термоядерного экспе-
эксперимента 6, лазерного термоядердного реактора (проект) 7, квази-
квазистационарного термоядерного реактора (проект) S.
Приведенные данные охватывают весьма широкий диапазон па-
параметров плазмы, используемой в лабораторных исследованиях и
в технике. Можно, однако, выделить из него наиболее распростра-
распространенные области основных параметров. Для низкотемпературной
плазмы это область концентраций от 1010 до 1018 см~в и область
электронных температур 1—10 эв. Для высокотемпературной плаз-
плазмы в экспериментах по термоядерному синтезу это область кон-
концентраций 1013 — ДО18 смг* и область температур 100 ве — 10 кэв,
20


Таблица 1.3
Параметры плазмы в экспериментах по управляемому
Тип эксперимента
Токамак
Тэта-пинч
Лазерный эксперимент
Квазистационаряый термоядерный ре-
реактор (проект)
Лазерный термоядерный реактор
(проект)
а, см
20
1
1
300
0,01—1
И, кэ
40
100
—
50
—
пе см— з
5101а
Ю17
Ю22
1014
1022—
1Q24
те> 9в
3-103
103
300
104
104
Tit эв
Ю3
5-103
300
Ю4
Ю4
термоядерному синтезу
Т?, сек
Ю-2
10-5
—
5
Ю-» —
% , см
106
100
Ю-5
105
ю-4—
10-ю
rD, CM
5-10-3
5-10-5
5-10-8
Ю-з
ю-6—
ю-7
рн ,см
5-Ю-з
Ю-з
—
Ю-з
—
РШ» см
0,1
0,03
—
0,5
—
Примечания:
1. Представленные в таблице данные получены для плазмы, создаваемой в водороде или дейтерии. Степень ионизации плазмы близка к еди-
единице.
2. В первых трех строках приведены ориентировочные параметры плазмы на типичных современных экспериментальных установках, в послед-
последних двух строках —типичные параметры плазмы в обсуждаемых в литературе проектах термоядерных реакторов будущего.
3. В таблице а— радиус плазмы; Н — напряженность магнитного поля; хц-— время удержания энергии в плазме; ТеТ^ — электронная и ион-
ная температуры; 9He^Hi~электронный и ионный ларморовские радиусы; %е— длина свободного пробега электронов.


ГЛАВА 2
СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ
§ 2.1. Применение законов сохранения
к столкновениям частиц
Как отмечалось в гл. 1, плазма представляет собой многокомпо-
многокомпонентный газ слабовзаимодействующих частиц. Поэтому для анализа
ее поведения обычно используют принятый в кинетической теории
газов подход, основанный на разбиении траекторий движения час-
частиц на области столкновений и участки между столкновениями. При
таком подходе в области взаимодействия частиц не учитывается вли-
влияние внешних полей, а на участках между столкновениями — силы
взаимодействия частиц. Поскольку радиус взаимодействия много
меньше длин свободного пробега, при рассмотрении кинетики
движения заряженных частиц нет необходимости интересоваться
их траекториями в процессе столкновений, достаточно знать лишь
последствия столкновений — изменения скоростей и состояний
сталкивающихся частиц. Описанный подход строго применим толь-
только к столкновениям заряженных частиц с нейтральными и нейтраль-
нейтральных частиц друг с другом. Взаимодействие заряженных частиц
друг с другом, как уже отмечалось, является более дальнодействую-
щим и носит коллективный характер. Однако в некотором прибли-
приближении его также можно рассматривать как совокупность незави-
независимых парных столкновений (см. § 2.4).
В этой главе будут рассмотрены различные виды столкновений,
существенные для описания поведения плазмы. Некоторые общие
характеристики столкновений можно получить с помощью законов
сохранения энергии и импульса, без рассмотрения конкретного
вида сил взаимодействия. Проще всего такой анализ провести для
парных столкновений, в которых не изменяется природа частиц.
Рассмотрим столкновение частиц сорта аир. Будем считать, что
в процессе столкновения воздействие внешних сил на частицы от-
отсутствует. В этом случае, как известно, импульс и энергия системы
взаимодействующих частиц остаются неизменными. Импульс си-
системы представляет сумму импульсов сталкивающихся частиц:
Р=Ра + H=tna va + ть v3, B.1)
где та, т$ — массы, a va, vp — векторы скорости частиц. Закон
сохранения импульса приводит к равенству импульсов системы до
и после столкновения:
Р = Р',
22


или
та va + т$ vp = ma vi + mp vp B.2)
(здесь и далее величины, характеризующие движение частиц после
столкновения, отмечены штрихами). Закон сохранения энергии
позволяет определить изменение в процессе столкновения суммар-
суммарной кинетической энергии системы:
К =К* + К$ = та vl/2 + mp oJ/2, B.3)
которое определяется равенством К —К' + Д?> или
$ ьЦ2 = та v?l2 + mp v?/2 + Д», B.4)
где Ag — суммарное изменение внутренней энергии частиц в ре-
результате столкновения.
Принято различать упругие столкновения, происходящие без
изменения внутреннего состояния частиц, и неупругие столкнове-
столкновения, В упругих столкновениях, очевидно, Д$=^0. Среди неупругих
выделяют соударения первого рода, в которых Д$ > 0, и второго
рода с Ag < 0. Примером первых могут служить столкновения, при-
приводящие к переходу атомов из основного в возбужденное состояние;
примером вторых — столкновения с обратными переходами. Та-
Таким образом, для столкновения с заданным изменением состояния
частиц законы сохранения энергии и импульса дают четыре урав-
уравнения, ограничивающие изменение скоростей частиц [равенство
B.4) и векторное равенство B.2), эквивалентное трем уравнениям
для компонент скорости]. Поэтому только две из шести компонент
векторов скорости частиц после соударения v^ и v? независимы;
они обусловлены силами взаимодействия между частицами и их
взаимным расположением.
Для более детального рассмотрения ограничений, накладывае-
накладываемых законами сохранения, удобно перейти к системе отсчета цент-
центра инерции. Как известно, координаты центра инерции системы из
двух частиц связаны с координатами этих частиц соотношением
ro=(Wa ra + m$ rp)/(ma + тр), B.5)
в котором га и гр—радиусы-векторы, характеризующие положение
частиц аир. Соответственно скорость движения центра инерции
равна
vo=dro/dt=(ma va + mp vp)/(ma + щ). B.6)
В силу закона сохранения импульса она остается постоянной в про-
процессе столкновения. Поэтому можно перейти к системе отсчета,
в которой центр инерции покоится, т. е. v0 = 0. В такой системе
скорости частиц связаны друг с другом соотношением mavao +
+ = 0 или
V0O = — (Ша1Щ) Vao. B.7)
23


Это позволяет выразить их через одну векторную величину — отно-
относительную скорость частиц
V - Va —V0 = VoO —Vpo. B.8)
Подставляя B.7) в B.8), получаем
vao = % v/(ma + mft); vpo = — ma v/(ma + mp). B.9)
Таким образом, движение сталкивающихся частиц полностью
определяется скоростью центра инерции v0 B.6) и скоростью от-
относительного движения v B.8). Нетрудно выразить через эти вели-
величины скорости частиц в лабораторной системе. Используя B.9),
находим
B.10)
С помощью B.10) определим суммарную кинетическую энергию:
К=та vl/2 + шэ vl/2 = [(ma + шэ)/2] v* + ^ap v*/2. B.1 Г)
Первое слагаемое в правой части называют обычно энергией центра
инерции, второе—энергией относительного движения] величина
Цар=/яа т$/(та + т$) B.12)
называется приведенной массой. Используя B.11), можно записать
закон сохранения энергии при столкновении B.4) в виде
Поскольку в процессе столкновения скорость и кинетическая
энергия центра инерции остаются неизменными (vo = v0), получим
^'2/2 + А». B.13)
Равенство B.13) показывает, что во внутреннюю энергию может
переходить только часть суммарной кинетической энергии /С,
соответствующая энергии относительного движения.
Полученные соотношения позволяют определить ограничения,
накладываемые на столкновения законами сохранения. Как видно
из B.9), скорости частиц в системе центра инерции vao, vp0 пропор-
диональны относительной скорости v. В соответствии с B.13) они
однозначно определяются законом сохранения энергии. Поэтому
независимыми параметрами в этой системе, не ограничиваемыми
законами сохранения, оказываются лишь углы, определяющие
поворот вектора относительной скорости v и соответственно векто-
векторов vao, Vf$0.
Обсудим более подробно случай упругих столкновений. Как
следует из B.13), при упругих столкновениях, когда Ag = 0, зна-
24


чение вектора относительной скорости не изменяется, он лишь ме-
меняет направление. Определим поворот вектора двумя углами ft и
i|), соответствующими сферической системе координат (рис. 2.1).
Угол ft, который является углом между векторами скорости до и
после соударения v и v', называется углом рассеяния. Он опреде-
определяется, очевидно, расстоянием между сталкивающимися частицами
и силами взаимодействия между ними. Угол i|) (меридиональный
угол) определяет положение плоскости взаимодействия (плоскости,
в которой лежат векторы v и v') относительно некоторой фиксиро-
фиксированной плоскости, проходящей через v. При центрально-симметрич-
центрально-симметричных силах взаимодействия этот угол зависит только от взаимного
расположения сталкивающихся
частиц.
Выразим через углы ft и *ф
изменение импульса и кинети-
кинетической энергии частиц при со-
соударении. Изменение импульса
частицы а
B.14)
можно с помощью B.9) связать
с изменением вектора относи-
относительной скорости:
т„
Av. B.15)
Рис. 2.1
Величина Av может быть выражена через углы ft ия|). Для этого пред-
представим ее в виде суммы трех проекций (см. рис. 2.1): проекции на
направление v, т. е. АуA) = v cos ft — v = — v A — cos ft]) и двух
проекций на перпендикулярные направления Avi2) == asirrfr cos-ф
и Av(Z) = v sin ft sint|). Поскольку угол г|э определяется лишь взаим-
взаимным расположением частиц, то при статистическом рассмотрении
столкновений по углу я|) проводят усреднение. При этом компонен-
компоненты Av2 и Ди3 обращаются в нуль, так как sin i|) = cos i|) = 0. Поэ-
Поэтому усредненное по -ф изменение вектора v равно Av == — A —
—cos ft) v = — A — cos ft) (va—vp). Подставляя его в B.15), полу-
получаем
— cosft)(va —vp) =
I — cosO)(ve—vp). B.16)
Из формулы видно, что изменение импульса пропорционально
относительной скорости сталкивающихся частиц. Его зависимость
25


от угла рассеяния определяется множителем A — cos ft), который
максимален при лобовом ударе (ft = я, cos Ф = — 1) и мал при
далеких столкновениях (ft->0, cos #-»• 1).
Для случая столкновения с медленной частицей (vp « va) фор-
формула B.16) дает относительную потерю импульса при столкновении:
Ее максимальная величина определяется отношением масс. При
столкновении легкой частицы с тяжелой (та << /пр) импульс может
измениться на противоположный: | Apjpa |макс = 2; при сравни-
сравнимых массах (та « /пр) возможна полная потеря импульса; наконец,
для столкновения тяжелой частицы с неподвижной легкой (та « щ)
максимальная потеря импульса порядка малого отношения масс
/
Изменение кинетической энергии частицы в лабораторной сис-
системе в результате соударения можно связать с изменением импульса:
Д/?а = та v?l2-ma i?/2=(ma/2) [(v0 Hh v;0J-(v0 + va0JJ -
=/nav0(v;0- va0)=v0Apa. B.18)
Используя B.16) и учитывая B.6), B.8), получаем
— cos д) [та vl—m$ vl — (т$~ та) v3 va].
Если распределение по скоростям частиц сорта |3 изотропно, то
после соответствующего усреднения третий член в скобках обра-
обратится в нуль. Тогда
АКа= —2 —-—A — cos#) | а а —- ] =
К+«р)я V 2 2 /
= — ка$ A — cos -&) (Ка—К$), B,19)
где коэффициент
*рJ B.20)
характеризует эффективность обмена энергией при столкновении
(его называют коэффициентом передачи энергии). Видно, что обмен
энергией между сталкивающимися частицами пропорционален
разности их начальных энергий. Зависимость эффективности обмена
энергией от угла рассеяния, как и для передачи импульса, опреде-
определяется множителем A —cosft). Зависимость от соотношения масс
определяется коэффициентом х, который максимален при та =
= /пр (хмакс = 0,5) и порядка малого отношения масс при ma <<
<< mp или ma « Щ.
26


Полученные выражения легко упростить для важнога случая
столкновения электронов с тяжелыми частицами (атомами или иона-
ионами), когда резко различаются массы сталкивающихся частиц:
та = те << т$ = та. Кроме того, при не очень больших энергиях
атомов (во всяком случае, при Ка < Кв) их скорость va = l/2Ka/ma
много меньше скорости электронов: va = ve >> up = va. Положе-
Положение центра инерции в рассматриваемом случае, очевидно, сов-
совпадает с положением тяжелой частицы, относительная скорость
практически равна скорости электрона v = \е—va«ve, а при-
приведенная масса — массе электрона
И-ео —те mJ\me + та) ~ те-
Поэтому задача о столкновении в системе центра инерции сводится
к задаче о движении электрона в поле неподвижного атома. Выраже-
Выражения B.16), B.19) для передачи импульса и энергии в упругих столк-
столкновениях при учете написанных неравенств принимают вид
Дре= —Ре A — cos О); АКе=—2 (те/та) A—cos О). B.21)
Здесь -& — угол рассеяния электрона при столкновении с неподвиж-
неподвижным атомом.
При неупругих столкновениях равенство B.13), следующее
из закона сохранения энергии, принимает вид
те vfe2B= me v2e/2—A%. B.22)
Оно означает, что изменение внутренней энергии тяжелой частицы
равно изменению кинетической энергии электрона; кинетическая
энергия тяжелой частицы не изменяется при столкновении. Этот
вывод верен с точностью до отношения масс электрона и атома для
любых столкновений электронов. Его можно получить непосредст-
непосредственно из закона сохранения импульса. Для неупругого столкновения
электрона с неподвижным атомом этот закон приводит к равенству
те ve=me \e + mava. B.23)
Перенося слагаемые, относящиеся к электронам, влево и возводя
уравнение в квадрат, находим mlvl^ml (ve — v*'J. Учитывая, что
vl<Zve, получаем неравенство для кинетической энергии атома
после столкновения:
Оно показывает, что максимальная доля кинетической энергии
электрона, которая может передаваться атому, равна те1та.
Такое же соотношение легко получить и для более сложных
столкновений. Так, для процесса ионизации при столкновении элект-
электрона с атомами нужно учитывать в законах сохранения импульс и


энергию вйовь образующегося электрона. Закон сохранения им-
импульса принимает при этом вид
тпе ve=ma Va + mev'e + me vi;
последний член в равенстве обозначает импульс вновь образовав-
образовавшегося электрона. Перенося слагаемые, относящиеся к электронам,
влево и возводя равенство в квадрат, получаем, как и раньше:
B-24)
т. е. Ка < (me/ma) Ke- Таким образом, и при столкновениях, сопро-
сопровождающихся ионизацией, доля кинетической энергии, переда-
передаваемая тяжелой частице, не более отношения масс melma. С точ-
точностью до этого малого отношения закон сохранения энергии для
процесса ионизации может быть записан в виде
К = К' + К"Ъи B.25)
где К"—энергия вновь образовавшегося электрона; <&%—энергия,
затрачиваемая на отрыв электрона от атома (энергия ионизации).
§ 2.2. Методы описания столкновений
Плазма представляет собой ансамбль большого числа хаоти-
хаотически движущихся и сталкивающихся частиц. В таком ансамбле
влияние столкновений на макроскопические параметры плазмы ус-
усреднено по большому числу соударений, т. е. статистически прояв-
проявляется обычно как средний результат большого числа столкнове-
столкновений. Более того, если невозможно пренебречь квантовомеханиче-
скими эффектами, то результат каждого соударения связан с исход-
исходным состоянием вероятностными соотношениями. Поэтому необ-
необходимо ввести статистические характеристики соударений.
Как отмечалось в предыдущем параграфе, при рассмотрении
столкновений произвольно движущихся частиц удобно перейти
к системе центра инерции. При этом скорости частиц будут одно-
однозначно связаны со скоростью относительного движения v. Посколь-
Поскольку скорость центра инерции не изменяется при взаимодействии,
результат столкновения сводится к изменению вектора относитель-
относительной скорости v, а в случае упругих столкновений — к его повороту.
Классическое уравнение, описывающее изменение вектора v, легко
получить из уравнений движения сталкивающихся частиц:
B.26)
где Fap = — Fpa — сила взаимодействия между частицами. Раз-
Разность этих уравнений dvjdt — dv$ldt = (l/ma + 1/щ) Fap опре-
определяет уравнение для относительной скорости
IAapdv/Л^Рор, B.27)
в котором \ха$— приведенная масса B.12).
28


Обычно силы взаимодействия между частицами можно считать
центральными. Потенциал f/ap (r), определяющий такое взаимо-
взаимодействие, зависит только от расстояния между сталкивающимися
частицами г = | ra — гр |; соответственно сила Fap = — grad U (r)
направлена параллельно вектору г = ra —Гр. В этом случае
B.27) можно представить в виде
\id2 rldf = — grad U (r),
B.28)
т. е. оно эквивалентно уравнению движения частицы с массой [х
в центрально-симметричном поле неподвижного силового центра
U (г). В дальнейшем будем иметь в виду именно эту эквивалентную
АЛЛ
~ A
A
W
I
\
Рис. 2.2
задачу. Ее классическое решение состоит в интегрировании уравне-
уравнения движения B.28) для заданного закона взаимодействия и задан-
заданных начальных условий. Начальные условия включают скорость
частицы v до соударения и ее расположение.
Расположение частиц в классической задаче о столкновении ха-
* р актер изуют обычно прицельным расстоянием g (расстоянием между
силовым центром и невозмущенной траекторией частицы) и поло-
положением в пространстве плоскости взаимодействия, проходящей
через силовой центр и невозмущенную траекторию. В поле цент-
центральных сил положение плоскости взаимодействия, очевидно, не
может измениться в процессе столкновения. Поэтому угол г|), ха-
характеризующий положение плоскости, в которой лежит скорость
частицы после столкновения, определяется только начальным рас-
расположением частиц. Форма траектории частицы и угол рассеяния Ф
при заданном законе взаимодействия однозначно определяются при-
прицельным расстоянием g. Смысл этого параметра поясняет рис. 2.2,
на котором изображена траектория движения частицы в поле сило-
силового центра А. Значение g может изменяться от нуля (лобовой
удар) до больших значений, при которых силы взаимодействия малы
(далекие столкновения). Соответственно угол рассеяния изменяется
от п (отражение) до нуля.
29


Установление зависимости между углом рассеяния и прицель-
прицельным параметром собственно и представляет задачу классической
теории столкновений. Выражение, определяющее эту зависимость,
можно получить с помощью законов сохранения, следующих из
уравнения движения B.28). Первый из них — закон сохранения
энергии:
/C=|xtfSo/2 = \iv2 (г)/2 -+ V (г) =[u>J/2 + м^ф/2 + U (г),
второй — закон сохранения момента количества движения:
М = lilv^ = |i[rX V]z =
Здесь v^ — скорость до столкновения; vr и v9 — компоненты
скорости в полярной системе координат в плоскости взаимодействия.
Определяя эти компоненты из написанных равенств, получаем урав-
уравнение для траектории
__[_ %__
dr Г VT Г* Т/2[Л (K—U) — |Х2/Г2 Г2 )Л — ?2/г2 _-
Интегрируя, находим для А<р = я — Ф (см. рис. 2.2)
гмин
где гмин — расстояние максимального сближения, при котором
обращается в нуль знаменатель подынтегрального выражения.
Формула B.29) при заданном потенциале взаимодействия U (г) ус-
устанавливает связь между углом рассеяния Ф и прицельным расстоя-
расстоянием I. Для малых углов рассеяния, когда U << К, она может быть
преобразована к виду
B-30)
Переходя к статистическому описанию, выделим такие столкно-
столкновения, для которых относительные скорости лежат в интервале
от v до v + dv. Частицы выделенной группы отличаются друг от
друга прицельным параметром ?. Поскольку взаимное расположе-
расположение сталкивающихся частиц случайно, нужно рассмотреть рас-
рассеяние группы частиц, налетающих на неподвижный силовой
центр широким потоком. Для столкновений электронов с тяжелыми
частицами эта задача полностью соответствует реальной ситуации,
так как тяжелая частица является практически неподвижным сило-
силовым центром. В общем случае ее решение позволяет определить
результаты реальных столкновений различных частиц после пере-
перехода к лабораторной системе координат.
30


Итак, пусть поток частиц со скоростью v и плотностью п нале-
налетает на рассеивающий центр А (рис. 2.3). Определим среднее чис-
число частиц dN'9 рассеивающихся в единицу времени в элемент телес-
телесного угла dQ вблизи направления, задаваемого углами Ф и а|), т. е.
в dQ = sin Ы ddi|). Очевидно, вероятность рассеяния пропорцио-
пропорциональна dQ. В то же время число рассеянных частиц пропорциональ-
пропорционально плотности налетающего потока (числу частиц, проходящих
//У
•С / ^s /
\
j \
i
i
i
4\
\
\
\
\
\
I
1
1
j _
1
1
/
/
/
/
Рис. 2.3
в единицу времени через единицу площади). Поэтому число час-
частиц, рассеянных в единицу времени в телесный угол dQ, равно
dNr = onvdQ. B.31)
Коэффициент пропорциональности а, имеющий размерность пло-
площади, характеризует вероятность рассеяния частиц в определенном
направлении. Он называется дифференциальным сечением рассея-
рассеяния. Это название соответствует физическому смыслу а. Действи-
Действительно, в соответствии с B.31) величина adu определяет площадь
элемента поверхности, перпендикулярной к направлению падаю-
падающего потока, попадая в который частицы рассеиваются в телесный
угол dQ: ds = odQ = о sin ЫЫ^. Нетрудно связать эту площадь
с соответствующим изменением прицельного параметра. Запишем со-
соотношение между ними (рис. 2.4): ds = ?d?di|). Здесь изменение
прицельного параметра d| соответствует изменению угла рассея-
рассеяния dft*. Сравнивая это соотношение с предыдущим, получаем фор-
формулу классической механики для дифференциального сечения
B.32)
<т =
* Приращение d$ имеет знак противоположный rf|, поскольку с ростом g
угол д уменьшается.
31


Она определяет величину о как функцию угла рассеяния #, если
известна связь между Ф и | B.29).
Мы привели классическое определение сечения рассеяния. Од-
Однако классическое рассмотрение возможно лишь в ограниченном
диапазоне условий. Оно полностью неприменимо для анализа не-
неупругих процессов, сопровождающихся изменением внутреннего
состояния частиц. Что касается упругих столкновений, то их клас-
классический анализ возможен, если имеет смысл понятие траектории,
т. е. если в каждый момент времени определены достаточно точно
координаты и импульс частицы. Прежде всего для этого необходи-
Рис. 2.4
mo, чтобы дебройлевская длина волны до взаимодействия была много
меньше характерного масштаба области взаимодействия: X =
= h/[iv « r0, v >> Я/(лг0. Если одна из частиц представляет собой
нейтральный атом, то радиус действия сил определяется его разме-
размерами, т. е. имеет порядок боровского радиуса га << Н2/тее2« 10~8 см.
При этом условие сводится к неравенству
v »(eVh)m
B.33)
Отсюда для электрон-атомных столкновений получаем, что Ке >>
» ^/h2 10 эв> для ион-атомных столкновений
— масса атома водорода).
В то же время возможность использования классической меха-
механики для определения изменения импульса частиц при столкнове-
столкновении ограничивается условием, чтобы изменение импульса Ар было
много больше квантовомеханической неопределенности импульса:
Ар >> 6р я^ hlbr. Так как Ьг должно быть много меньше гт (мини-
(минимального расстояния между частицами), то должно выполняться
32


неравенство Ар >> h/rm. Изменение импульса Ар в процессе взаимо-
взаимодействия равно импульсу силы:
Ар = FAt*F (rm) rjv * U (rn)/v.
Используя это соотношение, находим, что v«ermU (rm)ltt. Для
столкновений заряженных частиц с нейтральной значительное рас-
рассеяние должно наблюдаться при их проникновении внутрь электрон-
электронной оболочки. Поэтому для оценки величину U можно принять
равной кулоновскому потенциалу при г = гт. Получим, таким об-
образом, второе условие применимости классического описания столк-
столкновений, ограничивающее скорость частиц сверху:
v « eVh, К « \ie4h2. B.34)
Подстановка численных значений приводит для электрон-атомных
столкновений к
« 10 эв\
для ион-атомных столкновений к
104 тг/тн эв.
Сопоставление неравенств B.33) и B.34) показывает, что описание
электрон-атомных столкновений при всех энергиях требует исполь-
использования аппарата квантовой механики. Для упругих ион-атомных
столкновений и столкновений атомов друг с другом имеется широкий
интервал энергий, внутри которого возможно классическое описа-
описание. Заметим, что он охватывает энергии тяжелых частиц плазмы
почти во всех практически интересных случаях.
Аналогично тому, как это было сделано выше, определим те-
теперь критерии применимости классического описания для столкно-
столкновений заряженных частиц, взаимодействие которых обусловлено
кулоновским потенциалом U = еУг. Радиус сильного взаимодейст-
взаимодействия, характеризующего отклонение частиц на большие углы, соот-
соответствует потенциальной энергии взаимодействия порядка кинети-
кинетической: \iv2/2 « e2/rs, rs ~ e2l]xv2. Поэтому критерий определенности
траектории принимает вид hl\xv << e2/\xv2 или
v « e2/h. B.35)
Второе условие применимости классической механики — усло-
условие определенности изменения импульса — такое же, как и при
столкновении заряженных частиц с нейтральными. Оно совпадает
с B.35). Таким образом, оба условия применимости классической
механики для' столкновений заряженных частиц ограничивают энер-
энергию только сверху: для электрон-электронных и электрон-ионных
столкновений находим /Се<< 10 эв\ для ион-ионных столкновений
Кг « 104/П;//ПН 9в.
Обсудим теперь квантовомеханический подход к описанию стол-
столкновений частиц. В квантовой механике траектория взаимодей-
взаимодействующих частиц не определена и для каждого столкновения мо-
2 Зак. 1227 33


гут быть установлены только вероятностные характеристики. Для
их определения необходимо найти волновые функции взаимодейст-
взаимодействующих частиц. Как и при классическом рассмотрении, решение
задачи проще всего получить в системе центра инерции, в которой
она эквивалентна задаче о рассеянии на силовом центре. Для упру-
упругих столкновений задача сводится к нахождению стационарного ре-
решения уравнения Шредингера с заданным потенциалом взаимодей-
взаимодействия. Его можно записать в виде
А? + k2y? = B ф2) UV. C.36)
При отсутствии взаимодействия решение уравнения представляет
собой плоскую волну 40 = exp (ikr), где к = р/А — волновой век-
вектор; р = fxv — импульс частицы в эквивалентной задаче.
Рассматривая правую часть уравнения B.34) как неоднород-
неоднородность, можно формально записать его решение в интегральном виде:
? (г) = [exp (ikr) - -^- J exp ^~*'D U (г') ? (г') & r' ]. B.37)
Интегрирование проводится по всему объему области взаимодейст-
взаимодействия. Результат столкновения определяется, очевидно, асимптоти-
асимптотическим поведением волновой функции на больших расстояниях от
силового центра (при г-*- оо ). Чтобы определить его, надо поло-
положить в подынтегральном выражении в B.37) г >> г'. Тогда
Ir—r'| = y (r—r'J«r(l — rr'/r2)=r—i
и интеграл преобразуется следующим образом:
Гexp(-ifer1 r')U(r'L(rf)d*r'9
где гх — единичный вектор в направлении г. В оставшееся под ин-
интегралом выражение уже не входит г; интеграл зависит только от
направления вектора г, т. е. от угла Ф между г и волновым вектором
к, определяющим направление движения частиц до столкновения
(это единственное выделенное направление). Подставляя интеграл
в B.37), получаем общее выражение для асимптотического представ-
представления волновой функции
? = exp (ikr) + (f (#)/r) exp (iftr), B.38)
где
Первый член B.38) описывает поток частиц, пдцающих на силовой
центр, второй член—поток рассеянных частиц. Величину f (Ф) назы-
называют амплитудой рассеяния! Нетрудно видеть, что она и определяет
поперечное сечение. Действительно, в соответствии с B.31) попереч-
34


нее сечение определяем отношением tmcjia частиц, рассеянный
в элемент телесного угла dN' = n'v'r2dQ> к потоку частиц, падающих
на силовой центр nv:
a = -L ^=^Л B.39)
по dQ nv
где п' — плотность рассеянных частиц, v' — их скорость.
Плотности частиц в падающем и рассеянном потоках опреде-
определяются квадратом модулей соответствующих членов асимптоти-
асимптотического выражения B.38):
Поскольку йри упругом столкновений v' = vy получаем
а = | / (О) |2. B.40)
При анализе неупругого рассеяния в асимптотическом представ-
представлении волновой функции должна учитываться возможность измене-
изменения внутреннего состояния атома. Для волновой функции системы
электрон — атом оно может быть записано в виде
?(г,р) = ехр (ikr)Фо(р) + 2f0)(ft)Ф,(р) ехр<lfe/ T) , B.41)
гдер—совокупность внутренних координат атома;/—номер состоя-
состояния атома; индексом «0» обозначено'начальное состояние Фо,
Ф^ — волновые функции начального и конечного состояний. Вели-
Величина fOj (d) является амплитудой рассеяния, сопровождающегося
переходом атома из состояния 0 в состояние /. Она определяет сече-
сечение рассеяния. В соответствии с B.39)
ooj <Ф) = (xflv) | foj (*) |2. B.42)
Таким образом, квантовомеханическая задача о рассеянии сво-
сводится к нахождению с помощью уравнения Шредингера асимптоти-
асимптотического представления волновой функций B.41) и входящих в него
амплитуд рассеяния fOj(*)- При вычислении волновой функции ее
обычно представляют в виде разложения по собственным функ-
функциям сохраняющихся величин. В задаче о движении частицы в поле
силового центра такой величиной является момент количества дви-
движения М = |li [r X v]z = \i%u, определяющийся начальным значе-
значением скорости и прицельным расстоянием. При классическом рас-
рассмотрении оба эти параметра фиксируются. В квантовой механике
одновременное задание скорости и прицельного параметра невоз-
невозможно в связи с соотношением неопределенностей. Поэтому, решая
задачу при фиксированной начальной скорости, приходится допу-
допускать возможность широкого спектра значений прицельного пара-
параметра и момента количества движения. Возможные значения мо-
момента определяются орбитальным квантовым числом М = lht а соот-
соответствующие этим значениям собственные функции пролорциональ-
2* 35


Hki полиномам Лежандра Рг (cos ft). Поэтому волновую функцию
представляют в виде разложения по полиномам Лежандра. Ее
асимптотический вид при таком разложении соответствует сумме
сходящихся и расходящихся сферических волн:
При отсутствии рассеяния коэффициенты ah Ь\ выбираются такими,
чтобы их суперпозиция давала плоскую волну exp (ikz). Учет
рассеяния приводит к изменению коэффициентов ah они могут быть
найдены в результате подстановки разложения в уравнение Шре-
дингера. При упругом рассеянии возникает дополнительный сдвиг
фаз в каждом коэффициенте, при неупругом рассеянии изменяются
также и их амплитуды.
Изменение коэффициентов определяет амплитуду рассеяния
/ (®) = Hfipi (cosft) и, в соответствии с B.42), дифференциальное
сечение.
Описанный общий подход дает возможность в принципе решить
задачу о столкновениях частиц. Однако решение получается в ви-
виде бесконечных рядов. При больших энергиях сталкивающихся
частиц во многих случаях можно считать, что взаимодействие при-
приводит к слабому изменению первоначального состояния. Это позво-
позволяет решать задачу о столкновении методом возмущений. Такое рас-
рассмотрение называют приближением Борна. Оно может быть примене-
применено при условиях, когда изменение импульса в процессе столкнове-
столкновения много меньше квантовомеханической неопределенности им-
импульса в невозмущенном состоянии Ар << бр. Если неравенство вы-
выполняется, то можно в нулевом приближении не учитывать взаимо-
взаимодействие частиц и рассматривать его как возмущение.
Видно, что этот критерий противоположен одному из условий
применимости классического рассмотрения и может быть представ-
представлен в виде неравенства, противоположного B.34):
v » eU (rm) rjh & еЧН. B.43)
Для столкновений электронов с атомами неравенство B.43) приводит
к условию Ке >> trielh2« 10 эв. При выполнении этого условия при-
применение теории возмущений позволяет получить сравнительно про-
простые интегральные выражения для амплитуды рассеяния электронов
атомами. Для упругих столкновений, например, их можно найти
с помощью B.38). Подставляя в подынтегральное выражение форму-
формулы B.38) невозмущенную волновую функцию ?0=exp(ikr), полу-
получаем
f (О) = ~1§Г JexP (-iAkr) U (r) d3 r, B.44)
где вектор Ак = к' — к есть изменение волнового вектора при стол-
столкновении; при k! = k Ak = 2 k sin (d/2) = 2 (mv/h) sin (Ш).
36


Аналогично определяется в приближении Ворна амплитуда не-
неупругого рассеяния электронов атомом:
foj=—^Jexp(-iAkr)t/(r, p)Oj(p)O0(p)d*rd*pf B.45)
где по-прежнему Ak = k' — k = mev4h—mev/h; U (r, p) — потен-
потенциал взаимодействия свободного электрона с электронами атома и
ядром; Фо и Q)j — волновые функции начального и конечного со-
состояний атома; интегрирование проводится по всем координатам d3r
свободного электрона и координатам d3sp электронов атома. При
подстановке выражений для амплитуд рассеяния в B.40), B.42)
определяют поперечные сечения упругого и неупругого рассеяния
в приближении Борна.
§ 2.3. Интегральные характеристики столкновений
В § 2.2 было введено дифференциальное сечение столкновений,
характеризующее рассеяние в эквивалентной задаче о движении час-
частиц в поле неподвижного силового центра. С помощью о можно
определить характеристики реальных столкновений.
Прежде всего напишем выражение для числа столкновений час-
частиц аир, происходящих в единицу времени в единице объема. Для
этого воспользуемся определением поперечного сечения B.31).
Входящую в эту формулу плотность частиц, падающих на эквива-
эквивалентный силовой центр, следует, очевидно, заменить числом пар
сталкивающихся частиц в единице объема. Число таких пар с отно-
относительной скоростью в пределах от v до v + do можно записать в ви-
виде nan$fa$dvy где fap (v) do — доля пар, обладающих значением от-
относительной скорости в выбранных пределах от v до v + do. Таким
образом, число столкновений в единицу времени в единице объема,
сопровождающихся рассеянием в телесный угол dQ, определяется
соотношением
(v) dvdQ. B.46)
При изучении влияния столкновений на поведение плазмы обыч-
обычно нет необходимости рассматривать раздельно столкновения, при-
приводящие к рассеянию на различные углы. Это влияние определяется
интегральными характеристиками столкновений, просуммирован-
просуммированными по углам рассеяния. Можно вычислить, например, полное чис-
число столкновений частиц данной скорости. Для этого проинтегриру-
проинтегрируем B.46) по телесному углу. Тогда число столкновений в единице
объема в единицу времени будет равно:
dQafi = Па Щ VSa$ /сф (v) dv\ B.47)
величину
я
s«p = [ Cap (Ф) du = 2я С aaP (О) sin МЪ B.48)
называют полным сечением рассеяния.
37


При классическом подходе полное сечекие определяет площадь
поверхности (перпендикулярной к относительной скорости), попав
в которую частицы испытывают столкновение, сопровождающееся
рассеянием на произвольный угол*. Кроме полного сечения вводят
и другие связанные с ним величины. Входящую в B.47) величину
v) B-49)
называют частотой столкновений частиц сорта а с частицами сорта
Р (или числом столкновений в единицу времени). В соответствии
с классическим представлением сечения она определяет число по-
попаданий частицы сорта а в мишени, образованные частицами сорта
р. Действительно, число таких попаданий в единицу времени равно
произведению скорости на площадь сечения столкновений и на плот-
плотность мишеней. Величина обратная v дает среднее время между
столкновениями
taP (v) = 1/vep (v). B.50)
С его помощью можно определить и длину свободного пробега —
среднее расстояние между столкновениями:
tap (V) = ХПа$ = 1/ftpSap (v). B.51)
Полное сечение и связанные с ним характеристики часто исполь-
использовались и используются для описания столкновений. Следует, од-
однако, иметь в виду, что они применимы далеко не всегда. Для упру-
упругих столкновений полное сечение во многих случаях вообще не имеет
физического смысла. Это связано с тем, что в интеграл B.48), опре-
определяющий полное сечение, с одинаковым весом входят «близкие»
столкновения, сильно изменяющие траекторию сталкивающихся
частиц, и «дальние» столкновения, почти не изменяющие ее. Клас-
Классическое полное сечение может быть вычислено лишь для столкнове-
столкновений с резко ограниченным радиусом взаимодействия, например для
столкновений нейтральных частиц. При столкновениях электронов
и ионов с атомами или друг с другом радиус взаимодействия не огра-
ограничен — взаимодействие (пусть очень малое) имеет место на любых
расстояниях. Поэтому интеграл B.48), определяющий полное се-
сечение, расходится. При квантовомеханическом подходе полное се-
сечение конечно лишь для быстро убывающего потенциала (U < А /г3).
Однако и в тех случаях, когда полное сечение упругих столкновений
существует, оно не может непосредственно использоваться при рас-
рассмотрении кинетики движения частиц плазмы, так как в нем не учи-
учитывается различие влияния близких и далеких столкновений.
Для характеристики влияния упругих столкновений на движение
частиц вводят обычно интегральное сечение, характеризующее
изменение импульса и энергии при столкновениях. В соответствии
с B.16), B.19) зависимость этих изменений от угла рассеяния опреде-
* Заметим, что термин «поперечное сечение» в наибольшей степени харак-
характеризует именно столкновения твердых шаров, рассматривавшиеся раньше
как модель атомных столкновений.
38


ляется множителем A — cos ft). Поэтому следует ввести в интег-
интегральное сечение упругих столкновений, характеризующее измене-
изменение импульса и кинетической энергии, такой весовой множитель.
Тогда выражение для сечения примет вид
B.52)
Весовой множитель A — cos ft) близок к нулю яля далеких со-
соударений (при ft->0), и поэтому интеграл сходится для всех видов
электрон-атомных и ион-атомных взаимодействий. Лишь для ку-
лоновского закона, характеризующего взаимодействие заряженных
частиц друг с другом, интеграл B.52) логарифмически расходится.
В этом случае его удается определить при учете экранирующего
действия плазмы (см. §2.4). Интегральное сечение s*, определяющее
изменение энергии и импульса при упругих столкновениях, назы-
называют тормозным сечением, сечением передачи импульса или транс-
транспортным сечением. Последнее название связано с тем, что это сече-
сечение входит в основные уравнения кинетики плазмы, описывающие
процессы переноса частиц и энергии (см. гл. 5, 6). Наряду с транс-
транспортным сечением можно ввести и другие связанные с ним интеграль-
интегральные характеристики столкновений аналогично тому, как это было
сделано выше при определении полного сечения [см. B.49) —
B.51)]. Это — эффективная частота столкновений, время между
столкновениями, длина свободного пробега:
B.53)
Все введенные интегральные характеристики, вообще говоря,
зависят от относительной скорости частиц. При их использовании
для расчетов и оценок приходится проводить усреднение по скоро-
скоростям сталкивающихся частиц, способ усреднения зависит от конкрет-
конкретной задачи.
Определим, например, с помощью транспортного сечения B.52)
изменение энергии при упругих столкновениях. Изменение кинети-
кинетической энергии частицы а при ее столкновении с частицей |3 опреде-
определяется соотношением B.19). Умножая его на число столкновений
в единицу времени в единице объема [см. B.46)], получаем измене-
изменение энергии частиц сорта а, в единице объема в результате таких
столкновений
d {Па Код = — И(*Э Па Щ VGa$ (I —COS ft) (Ко, — К$) /сф (v) dvdQ.
39


Проинтегрировав по телесному углу и по скоростям, найдем измене-
изменение средней энергии частиц а в единицу времени:
(V)
do. B.54)
(V)
Аналогичным образом получается выражение для изменения им-
импульса. С помощью B.16) найдем изменение среднего импульса
частиц а в результате их упругих столкновений с частицами 0:
а* (V) (Уа — Ч) /ар (v) dv. B.55)
Остановимся теперь на определении интегральных сечений для
неупругих столкновений. Для неупругих процессов полное сечение
столкновений, определяемое формулой типа B.48)
s% = ^Jagfe sin <>d<>, B.56)
о
имеет ясный физический смысл — оно дает число неупругих актов
данного типа (/). Скажем, для процессов возбуждения заданного
уровня это сечение определяет полное число актов возбуждения,
для процессов ионизации — полное число актов ионизации и т. д.
Естественно, что интеграл, входящий в выражение для сечения, во
всех случаях сходится. Так же как и для упругих, для неупругих
столкновений могут быть введены частоты неупругих столкновений,
приводящих к тому или иному процессу v{dl = n$vsal> и соответст-
соответствующие длины свободного пробега.
В отличие от упругих столкновений изменение энергии электро-
электронов при их неупругих столкновениях с атомами определяется пол-
полным сечением B.56) и соответствующей частотой столкновений. Дей-
Действительно, при каждом таком столкновении изменение энергии
электронов практически равно изменению внутренней энергии атома
АКе = — *oif так как в соответствии с законами сохранения изме-
изменение кинетической энергии атома имеет порядок малого отношения
масс те1та. Умножая АКе на число неупругих столкновений в еди-
единице объема в единицу времени и усредняя по скоростям, получаем
изменение средней энергии электронов, связанное со столкновения-
столкновениями данного типа:
(dReldWa = -%ojlnaVS{»fe(v) dv= -УРаЯо;, B.57)
где sla — полное сечение вида B.56); частота столкновений via
усреднена по скоростям электронов (относительная скорость при
40


столкновениях электронов с атомами практически равна скорости
электронов). Полные потери энергии электронов при неупругих
столкновениях получаются суммированием выражений B.57) по всем
возможным процессам возбуждения и ионизации атомов:
(**,/*)?« «-232*^ B.58)
Для условий, когда средняя энергия электронов много меньше
энергии возбуждения низшего уровня атома #01, неупругие процес-
процессы вызываются электронами из «хвоста» функции распределения,
число которых быстро уменьшается с ростом энергии. При этом
возбуждение каждого уровня осуществляется электронами с энер-
энергией, близкой энергии возбуждения, и можно приближенно считать,
что неупругие столкновения приводят к полной потере энергии
электроном. Тогда выражение для суммарных потерь энергии элект-
электронов принимает вид
1* -S^*- = ~<аКе> B'59)
где Vga * njjua = n^p^Jia — суммарная частота неупругих столк*
новений. '
§ 2.4. Упругие столкновений между заряженными частицами
Перейдем к обзору имеющихся данных о столкновениях заряжен-
заряженных частиц. Обзор будет кратким и далеко не полным*. Его цель —
дать только общее представление о характеристиках столкновений,
существенно влияющих на свойства плазмы. В этом параграфе бу-
будут рассмотрены упругие столкновения заряженных частиц друг
с другом.
Главными силами, определяющими взаимодействие заряженных
частиц друг с другом, являются дальнодействующие кулоновские
силы. Внутренняя структура частиц обычно не существенна. Она
сказывается лишь в близких соударениях ионов, которые вносят
обычно малый вклад в интегральные характеристики столкновений.
Решение задачи о рассеянии в кулоновском поле с потенциалом
U = eVr B.60)
хорошо известно. При классическом подходе его можно получить
по схеме, описанной в § 2.2. Подстановка кулоновского потенциала
* Систематизированное изложение физики столкновений заряженных
частиц содержится в монографиях, список которых приведен в конце книги.
41


Ё B.29) позволяет определить связь угла рассеяния с прйцельнык
расстоянием. Интегрирование приводит к следующему соотношению:
g = (eViiv*) ctg @/2) = rs ctg (#/2). B.61)
Здесь введен параметр rs — ?2/fxy2, называемый]'радиусом сильного
взаимодействия. Он равен расстоянию, при котором потенциаль-
потенциальная энергия взаимодействия U (rs) в два раза больше кинетической
энергии. Угол рассеяния, соответствующий ? = г89 равен я/2.
Подставляя B.61) в выражение для сечения B.32), получаем форму-
формулу Резерфорда:
а = (eV2 |io»)*/sin4 (Ф/2). B.62)
Она определяет быстрый рост сечения при уменьшении угла рас-
рассеяния (т. е. при увеличении прицельного расстояния), который свя-
связан с относительно медленным спадом поля на больших расстояниях
(U ~ 1/г). Медленный спад поля приводит также к сильной зави-
зависимости от энергии радиуса эффективного взаимодействия (rs ~
~ 1//С) и сечения рассеяния (а ~ 1//С2).
Квантовомеханическое решение задачи о рассеянии в кулонов-
ском поле частиц различного типа также приводит к формуле Резер-
Резерфорда. Некоторое отличие получается для столкновений одинаковых
частиц. В этом случае квантовомеханический подход требует учета
обменного взаимодействия, связанного с неразличимостью сталки-
сталкивающихся частиц. Суперпозиция их волновых функций приводит
к появлению в сечении столкновения интерференционного члена.
При его учете дифференциальное поперечное сечение столкновений
электронов друг с другом приобретает вид
—— )*\ - -+
mev* I [ sin* (ft/2) . cos4 (<8-/2)
cos Г— In tg2 (#/2) 11 B.63)
[ hv JJ V
(формула записана для суммы сечений при углах Ф и п—О, посколь-
поскольку замена д на л;—& эквивалентна перестановке электронов и пото-
потому неразличима). Эта формула иллюстрируется рис. 2.5, на котором
различные кривые соответствуют следующим значениям параметра:
1 —eVhv = 1, 2 — eVhv = 10, 3 — eVfrv = 100; в интервале от
зх/4 до Зя/4 масштаб о увеличен в 100 раз. При малых скоростях
v « e2/h интерференционный член в B.63) быстро осциллирует при
изменении Ф. Он обращается в нуль при усреднении даже по неболь-
небольшому диапазону углов, поэтому его можно не учитывать (см. пунк-
пунктирную кривую). В противном случае этот член оказывает заметное
влияние на рассеяние при значительных углах. При малых углах
рассеяния Ф << 1 сечение во всех случаях практически не отли-
отличается от резерфордовского.
42


Перейдем теперь к нахождению транспортного сечения B.52).
Используя B.62), запишем интеграл, входящий в сечение, следую-
следующим образом:
аA — cos ft) sin M& =
2 [ |хо« J J
A — cos ft) sin ft
sin4
"мин
\2
In-
1
sin (#мин/2)
B.64)
Учитывая связь угла рассеяния с прицельным параметром,
определяемую с помощью B.61), т. е. считая, что sin @/2) =
= 1/Vl + (?/^J, формулу B.64) при gMaKG >> rs можно записать
в виде
|„ 5макс
При интегрировании в пределах от #мин = 0 до Омакс = я/2 или,
соответственно, от |макс = оо до ?мин = 0 интеграл в B.64) лога-
логарифмически расходится. Эта расходимость связана с большим вкла-
43


дом далеких столкновений, приводящих к рассеянию на малые
углы (расходимость появляется при Омин -> 0, g -> оо ). Для устра-
устранения расходимости следует ограничить радиус кулоновского взаи-
взаимодействия. В плазме такое ограничение связано с экранированием
поля каждой из взаимодействующих частиц другими заряженными
частицами. Размер области экранирования, как было показано
в § 1.2, определяется дебаевским радиусом. Мы можем поэтому при-
принять gMaKC = го = G74 ппе2I!2, причем для столкновений, в ко-
которых участвуют электроны, обычно можно считать Т = Теу по-
поскольку в экранировании за время столкновения ионы не успевают
принять участие; для ион-ионных столкновений надо учитывать
экранирование, связанное с ионами, и подставлять в г в меньшую
из величин ТеяТг [см A.17)]. Подстановка gMaKC позволяет пред-
представить логарифмический множитель, входящий в B.64) (так назы-
называемый кулоновский логарифм), в виде
* In [-^-1 . B.65)
где относительная скорость заменена среднеквадратической скоро-
скоростью движения частиц в плазме v = V3T/\i. Если средняя энергия
электронов и ионов различна, в кулоновский логарифм, определяю-
определяющий сечения электрон-электронных и электрон-ионных столкнове-
столкновений, входит, очевидно, электронная температура Те (она определяет
радиус экранирования и относительную скорость при столкнове-
столкновениях). Кулоновский логарифм, входящий в сечение ионных столк-
столкновений, при Те>Тг определяется ионной температурой; при
Tt > Т е—электронной температурой. При квантовомеханическом
подходе минимальный угол рассеяния на сфере с радиусом, равным
дебаевскому, ограничен из-за дифракции: fl^ « %/rD = h/\ivro*
Если эта величина больше угла #мин=г8/?макс===гв/г?>» то именно
она определяет, в соответствии с B.64), кулоновский логарифм.
При X > rs
Lttln 2rD/% « A/2) In [\iT2le2h2n]. B.66)
Отметим, что неточности в определении максимального и минималь-
минимального прицельного расстояния (приближенный учет условий экрани-
экранирования и грубая оценка квантовомеханического ограничения)
слабо влияют на кулоновский логарифм, поскольку при типич-
типичных параметрах плазмы он достаточно велик. Полученная фор-
формула становится несправедливой при очень больших магнитных
полях, когда ларморовский радиус электронов меньше дебаевского.
Такие поля существенно изменяют траектории движения сталки-
сталкивающихся электронов при больших прицельных параметрах. Учет
этого эффекта приводит к изменению выражения для кулоновского
логарифма.
44


Таким образом, транспортное сечение рассеяния B.64) имеет
вид
s* = 4я(eV\iv2J L = \nr\L. B.67)
Заметим, что эту формулу можно применять и для описания элект-
электрон-электронных столкновений при условиях, когда существенно
влияние обменного взаимодействия. Как отмечалось выше, это влия-
влияние приводит к изменению дифференциального сечения при не очень
малых углах рассеяния [см. B.64)]; такое изменение, однако, слабо
влияет на транспортное сечение.
В соответствии с B.67) транспортное сечение кулоновского рас-
рассеяния в 4L раз превышает величину яг|, определяющую сечение
рассеяния на большие углы (как отмечалось, в классической модели
прчи \ < rs, Ф > я/2). Поскольку величина L обычно много больше
единицы, это свидетельствует о преобладающей роли далеких взаи-
взаимодействий, для которых Ф << я/2. При далеких взаимодействиях
прицельный параметр соизмерим с дебаёвским радиусом, который
много больше среднего расстояния между частицами плазмы (см.
§1.2). В этих условиях каждая частица взаимодействует одновремен-
одновременно со многими электронами и ионами. При таком взаимодействии
направление движения частицы изменяется непрерывно и ее траекто-
траекторию нельзя разбивать на чередующиеся участки свободного движе-
движения и взаимодействия с другими частицами (см. рис. 1.2). Строго го-
говоря, лишь при таком разбиении имеет определенный физический
смысл понятие парного столкновения. В случае кулоновского взаимо-
взаимодействия последовательный анализ рассеяния требует рассмотрения
задачи об одновременном взаимодействии многих тел. Воздействие
каждого электрона или иона на пробную частицу в принципе изме-
изменяет ее траекторию и, следовательно, влияет на ее взаимодействие
с другими частицами. Этот факт не был учтен при вычислении кул о-
новских сечений рассеяния в плазме. Поэтому непосредственное
использование полученных выражений для st при вычислениях свя-
связанных с ней кинетических величин в плазме требует обоснования.
Количественное обоснование допустимости описания взаимодей-
взаимодействия заряженных частиц плазмы друг с другом, как совокупности
парных столкновений, может быть получено путем сопоставления
результатов такого описания со строгим решением задачи. Для ряда
случаев, для которых удалось получить строгое решение*, такое
сопоставление приводит к очень хорошему соответствию. Качествен-
Качественно причины этого соответствия можно объяснить следующим образом.
Взаимодействия заряженных частиц можно разбить на близкие
столкновения, происходящие на расстояниях порядка rs и далекие —•
на расстояниях существенно больших rs (но меньших /?>). Близкие
взаимодействия можно считать парными столкновениями без вся-
* Решение самосогласованной задачи о взаимодействии большого кол-
коллектива заряженных частиц удалось получить для некоторых простых слу-
случаев в результате применения методов современной теории поля (так назы-
называемой графической техники вычислений).
45


ких оговорок, поскольку в реальных условиях rs много меньше рас-
расстояния между частицами (rs<<n/3). Рассматривая отдельные
далекие взаимодействия, следует учитывать, что они характеризуют-
характеризуются малым углом рассеяния. Поэтому воздействие каждой отдель-
отдельной частицы плазмы приводит к незначительному изменению траек-
траекторий пробной частицы. При анализе рассеяния в поле остальных
электронов и ионов, воздействующих на пробную частицу, в первом
приближении этим изменением вследствие его малости можно пре-
пренебречь. Тогда полный результат рассеяния на всех электронах и
ионах, взаимодействующих с рассматриваемой частицей, можно
представить в виде суммы отклонений, возникающих при взаи-
взаимодействии с каждой из них. Отсюда следует, что далекие взаимо-
взаимодействия заряженных частиц также можно без большой ошибки
свести к последовательности парных столкновений. Таким образом,
оказывается возможным, несмотря на коллективный характер взаи-
взаимодействия заряженных частиц друг с другом, использовать для
описания их поведения в плазме понятие парных столкновений.
Этот подход намного упрощает рассмотрение плазменных задач.
В соответствии со сказанным будем пользоваться для описания
столкновений заряженных частиц транспортными сечениями, оп-
определяемыми формулой B.67). Для различных видов столкновений
(электронов друг с другом, электронов с ионами, ионов одного сорта
друг с другом) эти сечения определяются следующим образом:
i = 4я (е2/\1ее v2J Le = 16я (е2/те v2J Le\
s = 4я {e2l\Kei v2J Le = 4я (е2/те v2J Le\
*7/ - 4я (е21\1ц v2J L* = 16n {e2lmt v2J Lt.
B.68)
Кулоновский логарифм, входящий в формулы B.68), можно опреде-
определить с помощью B.66). Приближенно выражение B.66) можно на-
написать в виде:
а) для электрон-электронных и электрон-ионных столкновений
при Т<тее2/3 П2 « 10 эв
Ье& 23 + C/2) In Te — A/2) In л;
при Те > пгее2/3 h2 & 10 эв
Lett24 + \nTe — A/2) In n\
б) для ион-ионных столкновений
при Tt < тге2/3 П2 »* 104 тг/тм эв
Li ж 23 + C/2) In Tie — A/2) In я,
где п выражается в см~~3, Т — в эв; Tie — меньшая из температур
ТгялиТв, Как видно, зависимость Le'«'Li от параметров плазмы
обычно является слабой. Поэтому при изменении концентрации и
температур в небольших пределах можно считать L = const. При
46


сечения определяются только энергией относительного дви-
движения при столкновениях. Полагая L « 10, получаем оценку
сечений: s' ж 10~12//С2, где sf измеряется в см2] К = (ы^2/2 —
в эв.
Сечения столкновений B.68) позволяют определить также дру-
другие интегральные характеристики — частоту столкновений, время
между столкновениями, длину свободного пробега. Запишем здесь
лишь используемые далее формулы для частот столкновений:
16Я?4 П
п
т
m? ^з
B.69)
При одинаковых энергиях относительного движения отношение этих
частот равно
\ Vti/Vei
§ 2.5. Упругие столкновения электронов с атомами
Рассмотрим упругие столкновения электронов с нейтральными
атомами, определяющие обычно кинетику движения электронов
в слабоионизованной плазме. Как отмечалось в § 2.2, упругие столк-
столкновения электронов с атомами должны описываться квантовомеха-
нически. Полное решение квантовомеханической задачи удается
получить лишь для простейших атомов (для водорода, гелия, водо-
родоподобных атомов и т. д.). При этом учитывают три вида взаимо-
взаимодействия электрона с атомом: с невозмущенным полем атома, поля-
поляризационное и обменное.
На расстояниях масштаба радиуса атома и меньших основную
роль играет взаимодействие первого вида. Оно описывается потен-
потенциалом кулоновского поля ядра атома, экранированным электрон-
электронными оболочками. Для водородоподобных атомов в основном со-
состоянии закон изменения потенциальной энергии дается соотно-
соотношением (см. рис. 2.6, кривая 1)
«fi = Ux = е2 A/г + \1га) ехр ( - 2 г/га), B.70)
где га = Н2/шее2 — боровский радиус атома. Решение задачи о рас-
рассеянии электрона в таком поле дает дифференциальное сечение,
монотонно убывающее с углом рассеяния (рис. 2.7, кривая /). Резкое
уменьшение потенциала взаимодействия при г> га приводит к то-
тому, что в области малых углов рассеяния, соответствующих далеким
столкновениям, сечение остается постоянным.
47


Поляризационное взаимодействие связайо с появлением у ато-
атома электрического дипольного момента под влиянием кулоновского
поля пролетающего электрона (электрон притягивает ядро и оттал-
отталкивает электронные оболочки атома). Величина дипольного момента
d пропорциональна электрическому полю, создаваемому электроном
вблизи атома d = ade/r2. Коэффициент пропорциональности ad =
= yrl представляет так называемую поляризуемость атома, % —
численный коэффициент (для атома водороду при малых скоростях
электрона % « 4,5). Соответственно потенциальная энергия взаимо-
0-j град
Рис. 2.6
Рис. 2.7
действия индуцированного дипольного момента с электроном при
r> fa равна
еф2 = и2 = 2 adeVr* = 2 %r3aeVr\ B.71)
Этот потенциал на больших расстояниях убывает существенно мед-
медленнее потенциала невозмущенного атома B.70). Поэтому далекие
столкновения, соответствующие рассеянию на малые углы, опреде-
определяются поляризационным взаимодействием. Оно приводит к рез-
резкому возрастанию сечения при малых углах.
При малых скоростях рассеиваемого электрона, когда время
его пребывания вблизи атома велико по сравнению с периодом об-
обращения атомного электрона, оказывается существенным эффект
обменного взаинодействия между электронами. Оно связано с воз-
возможностью обмена свободного и атомного электронов или, точнее,
с суперпозицией их волновых функций. Поскольку вероятность вы-
вылета атомного электрона слабо зависит от направления, учет обмен-
обменного взаимодействия приводит к возрастанию сечения при боль-
больших углах рассеяния.
Учет названных факторов привел к хорошему соответствию тео-
теории упругого рассеяния электронов на атомах водорода и гелия
с экспериментом. Это иллюстрируется рис. 2.7 для гелия. На нем
кривая 1 соответствует рассеянию в поле экранированного ядра,
кривая 2, учитывает также и обменное взаимодействие, кри-
кривая 3—обменное и поляризационное взаимодействия. Для более
48


тяжелых атомов детальный теоретический анализ связан с боль*
шими трудностями, однако общий ход кривых сечения объясняется
теорией. При малых энергиях электронов, при которых деброй-
левская длина волны сравнима с размерами атома, угловая -за-
-зависимость сечения немонотонна, причем число максимумов и
минимумов на кривой растет с увеличением атомного номера
(рис. 2.8). Этот дифракционный эффект связан с выполнением
условий близких к условию резонанса для одной из гармоник
волновой функции, пропорциональных полиномам Лежандра (см.
с. 36). Условия резонанса со-
соответствуют определенному
соотношению между размера-
размерами потенциальной ямы и эф-
эффективной длиной волны элек-
электрона в области взаимодейст-
взаимодействия, при котором резко воз-
возрастает парциальная ампли-
амплитуда рассеяния. При увели-
увеличении скорости электрона
растет диапазон значений мо-
момента количества движения,
в пределах которого сущест-
существенно рассеяние @ < М <
<mevra)- Соответственно рас-
растет и число гармоник, внося-
вносящих значительный вклад в
сечение (/макс ^ MuaKG/h).
Поэтому с увеличением ско-
скорости немонотонность угло-
угловой зависимости сечения сглаживается и сечение становится моно-
монотонно спадающей функцией угла рассеяния.
При больших скоростях электронов сечение рассеяния может
быть вычислено с помощью приближения Борна. Оно справедливо
при и ^>e2/h [см. B.43)] и используется обычно, начиная с энергий
электронов 50—100 эв. Подстановка в B.44) потенциала взаимодей-
взаимодействия рассеиваемого электрона с атомом приводит к следующему
общему выражению для амплитуды упругого рассеяния:
30
90 ПО 150 Цград
Рис. 2.8
/(*) =
2те v* sin2 (д/2)
B.72)
где первое слагаемое определяется взаимодействием электрона с яд-
^ли пгглплА р ятплушыми члртггппнями* F (п\ — тяте ияяьтаемьтй
ром, второе — с атомными электронами;
атомный форм-фактор
F(q)=*$g(r) exp (iqr)
F (q) — так называемый
sin
где g (r) = | г|) (r) |2 — распределение концентрации электронов
в атоме. Сечение рассеяния определяется | / (Ф) |2 [см. B.40)]. Его
49


зависимость от угла рассеяния иллюстрирует рис. 2.9. В области ма*
лых углов при
gra = {tnevrjh) sin (#/2) << 1, $ <С h/mevra
амплитуда рассеяния B.72) и сечение не зависят от угла рассеяния
и скорости электронов:
Видно, что а определяется средним квадратом расстояния атомных
электронов от ядра г2 = A/Z) J gr*d?r. В противном случае, при
9га = (mjorjh) sin @/2) > 1, О > А7ш,
F (q) << Z и в амплитуде рассеяния существен только первый член,
определяющий кулоновское рассеяние электрона в поле ядра Zelr.
Слабое влияние экранировки
поля атомными электронами
связано здесь с глубоким про-
проникновением рассеиваемого
электрона внутрь атома. Сече-
Сечение рассеяния для этого случая
в соответствии с B.72) опреде-
определяется соотношением B.62); его
можно записать в виде
Рис. 2.9
Y
) si
,B.74)
т. е. оно является быстро убывающей функцией угла рассеяния.
По дифференциальному сечению а (О) можно вычислить интег-
интегральные характеристики, в частности транспортное сечение sf
B.52), определяющее потери импульса и энергии электронов при
столкновениях. При больших скоростях электронов, когда примени-
применимо приближение Борна {Ке>50-г-ЮО эв), с помощью B.72) — B.74)
можно получить общее выражение для транспортного сечения. Не-
Нетрудно убедиться, что основной вклад в него вносит область зна-
значений О > e2/hv, в которой рассеяние определяется кулоновским
полем ядра. Учитывая это, аналогично B.64) получаем
sf==2n ^ gA— cos О) sin М* =
¦Vln-
/ " с i
1
sin(#0/2)'
и, далее, поскольку $0 ж e2/hv,
B.75)
50


где у — коэффициент порядка единицы (его точное определение тре-
требует учета малых углов Ь ^ #0 и не может быть выполнено в общем
виде). Однако величина sf слабо зависит от у. В соответствии
с B.75) транспортное сечение при больших энергиях электронов
уменьшается обратно пропорционально квадрату энергии.
В области малых и средних энергий (при Ке< 50—100 эв) на-
надежные теоретические данные о сечениях, как уже отмечалось, име-
имеются только для простейших атомов — водорода и гелия. Для более
сложных атомов обычно используются экспериментальные данные.
Они получены в двух группах экспериментов. Наибольшее коли-
5
to
5
4
3
2
1
-
-
V
\Hg \^
Рис. 2.11
чество сведений получено в опытах с монокинетическими электрон-
электронными пучками. В этих опытах измерялось, однако, не транспортное
сечение, а полное сечение, ограниченное со стороны малых углов:
л»
причем значение минимального угла #Мин нельзя было определить
точно. Сечение st отличается от транспортного; судя по данным об
угловом распределении, отличие может достигать 30—50%.
Другая группа экспериментов по определению сечений основана
на измерениях коэффициентов, определяющих процессы переноса
в плазме (коэффициентов подвижности, диффузии, проводимости
плазмы). Эти коэффициенты непосредственно связаны с транспорт-
транспортным сечением. Однако точность их определения и в этом случае неве-
невелика, так как данные измерений в плазме усреднены по широкому
распределению скоростей электронов. Поэтому имеющиеся экспери-
экспериментальные данные нельзя считать точными; они правильно передают
зависимость сечений от скорости, но абсолютные значения опреде-
определены лишь с точностью до коэффициента порядка единицы: Экспе-
Экспериментальные данные о сечениях столкновений электронов с'атома-
с'атомами некоторых газов приведены на рис. .2.10—2.12. Максимальные
5Л


значения сечений для разных газов лежат в пределах 104 —
10~~16 см2. Особенно они велики для атомов щелочных металлов.
Общей особенностью кривых зависимости s (v) для всех газов при
не очень малых энергиях является уменьшение сечения с ростом ско-
скорости электронов. Оно связано с уменьшением времени взаимодей-
взаимодействия частиц А^ ~ rjv.
Обращает на себя внимание резкое уменьшение сечения рассея-
рассеяния при малых энергиях электронов (Ке<. 1 эв) для ряда тяжелых
атомов, в том числе для атомов тяжелых инертных газов. Это явле-
явление называется эффектом Рамза-
уэра. Так же как и немонотонный
характер зависимости сг от угла г"),
он связан с дифракцией электро-
электронов на атомах. При малых скоро-
скоростях, когда наблюдается этот эф-
эффект, в разложении волновой
функции по полиномам Лежандра
обычно существен только первый
член с / = 0, определяющий изо-
изотропное рассеяние. Поэтому умень-
уменьшение сечения связывают с усло-
условиями, при которых сдвиг фазы ну-
нулевой гармоники в области взаимо-
взаимодействия отличается на я от сдвига
фазы при отсутствии взаимодейст-
взаимодействия. При этом волновая функция
вдали от атома такая же, как и при
отсутствии взаимодействия, и, сле-
следовательно, амплитуда рассеяния
/о, соответствующая нулевой гар-
гармонике, обращается в нуль. Гар-
Гармоники с / > 0 дают малый вклад
в сечение рассеяния. Это приводит к глубокому минимуму сече-
сечения. Аналогичный эффект в принципе должен наблюдаться и при
больших скоростях, при которых сдвиг фаз в области взаимодей-
взаимодействия равен целому числу я. Однако соответствующие минимумы
сглаживаются, поскольку с увеличением скорости возрастает вли-
влияние гармоник с / > 0.
Для кинетического описания движения электронов в плазме
удобно аппроксимировать зависимость сечений от скорости элект-
электронов простыми соотношениями. Как видно из рис. 2.10—2.12, для
разных атомов и молекул и для разных областей энергий электронов
аппроксимации могут быть весьма различными. В области малых
энергий (/Се< 1-т-З эв) сечения для многих атомов можно прибли-
приближенно считать постоянными (кЦпример, для водорода, гелия, азота).
При больших энергиях сечение для некоторых из них оказывается
убывающей функцией энергии. Например, у водорода и гелия в об-
области энергий Зэв<. Ке< 50 эв оно убывает приблизительно как
Рис. 2.12
52


\lv\ в этом случае частота столкновений vea = naseav не зависит от
скорости (для водорода vea/na & 1,6 • 10~7 см3 • сект1, у гелия
veJna « 7 • 10~8 см? • сект1). Для некоторых других атомов
(например, для азота и неона) сечения в этой области энергий можно
считать постоянными. У тяжелых атомов при существенном влиянии
эффекта Рамзауэра характер зависимости sea (v) изменяется с энер-
энергией — она имеет минимум при малых энергиях (Ке < 1 эв)9 растет
при 1 эв<. Ке<. 5-f-15 эв и падает при больших энергиях.
Соответственно для таких атомов использование простых аппрокси-
аппроксимаций сечения возможно лишь в небольшом диапазоне энергий.
§ 2.6. Упругие столкновения ионов с атомами
Рассмотрим теперь упругие столкновения ионов с атомами, оп-
определяющие обычно кинетику их движения в плазме. Силы взаимо-
взаимодействия иона и атома можно разбить на два вида. При малых при-
прицельных расстояниях происходит «перекрытие» электронных оболо-
оболочек, приводящее к сильному взаимодействию и рассеянию на боль-
большие углы. Силы, связанные с эффектом перекрытия, убывают
практически до нуля на расстояниях, сравнимых с размерами атома.
Поэтому сечение рассеяния, связанное с таким взаимодействием,
должно быть порядка nrl. На расстояниях, превышающих радиус
атома, взаимодействие обусловлено поляризацией, оно определяет
рассеяние на малые углы.
Механизм поляризации атома ионом в принципе не отличается от
механизма поляризации при электрон-атомных столкновениях. Про-
Пролетающий ион индуцирует дипольный момент d = ad(e/r2). Потенциал
его взаимодействия с ионом равен [/=2 о^/r4 [см. B.71)], Анализ
рассеяния ионов под действием этого потенциала легко провести
в рамках классической модели (как было показано в § 2.2, для опи-
описания упругого рассеяния ионов в широком диапазоне энергий при-
применима классическая механика). Подставляя потенциал поляриза-
поляризационного взаимодействия в B.29), можно получить выражение для
дифференциального сечения рассеяния. При малых углах рассеяния
(# <С 1) оно принимает вид
B.76)
По зависимости а (д) можно определить транспортное сечение:
s< « 10 (ade2/iiinv2y$2. B.77)
Оно обратно пропорционально корню квадратному из кинетической
энергии относительного движения и при фиксированной энергии
зависит только от поляризуемости атома ad—Wa. По порядку ве-
величины поляризационное транспортное сечение равно
53


где $а = meeVh2 ж 10 эв. Поскольку значения % лежат в пределах
от 1 до 300, то при /С<С $а вклад поляризационного взаимодействия
в транспортное сечение намного превышает влияние взаимодейст-
взаимодействия, связанного с перекрытием электронных оболочек иона и атома
Этот вывод подтверждается тем, что для разных ионов сечения столк-
столкновений с одними и теми же атомами приблизительно одинаковы.
На рис. 2.13 область, в которой лежат экспериментальные значения
сечений разных ионов, заштрихована, и видно, что они различаются
не более чем в два раза. Эти данные получены в экспериментах
с монокинетическими ионными пучками. Здесь, как и в опытах
по рассеянию электронного
пучка, определялась величи-
я
на s& = 2я fa sin Ф dft.
рис 2 13
Исследование рассеяния
ионов в собственном газе при-
привело к существенно иным ре-
результатам (см. рис. 2.13). Се-
Сечения такого рассеяния ока-
оказались гораздо больше, чем
сечения рассеяния других
ионов в этом же газе. Такое
различие связано с эффектом
перезарядки,- состоящим в об-
обмене электронов между ионом
и атомом At + А2 ->¦ Аг +
+ А$.
Перезарядка ионов в собственном газе может происходить,
очевидно, без изменения суммы внутренних энергий взаимодействую-
взаимодействующих частиц — электрон при этом переходит с основного уровня од-
одного атома на основной уровень другого такого же атома. Такой
процесс с нулевым «дефектом энергии» называют резонансной пере-
перезарядкой. Его можно отнести к упругим процессам, так как сумма
кинетических энергий не изменяется после такого столкновения.
Механизм резонансной перезарядки можно качественно объяснить
следующим образом. При сближении атома и иона высота и ширина
потенциального барьера между ними для электрона постепенно
уменьшается. На рис. 2.14 схематически изображены радиальные за-
зависимости потенциальной энергии кулоновского поля атомных ос-
остатков частиц, находящихся на расстоянии г друг от друга (штрих-
пунктирные линии — для каждой частицы, сплошная линия — сум-
суммарная зависимость), и положение энергетического уровня $0 ос-
основного состояния валентного электрона. Как видно из рис. 2,14,
потенциальный барьер достигает максимальной высоты на расстоят
нии г 12 от каждого атомного.остатка. Поэтому максимальное значе-
значение потенциала равно 4 е/r. При уменьшении г, из-за уменьшения
ширины и высоты потенциального барьера» резко возрастает вероят-
54


йбсть туннельного перехода электрона От атома к иону. В стацио-
стационарном состоянии вероятность нахождения электрона в любом из
атомных остатков равна V2. Время установления стационарного
состояния быстро падает с уменьшением высоты барьера (#0 — 4 е2/г).
При г -> г0 — 4 е2/%0 высота барьера стремится к нулю, а время
«о
«
г
1 )
1
Рис. 2.14
установления стационарного состояния оказывается порядка вре-
времени обращения атомных электронов, т. е. много меньше времени
взаимодействия между ионом и атомом при малых энергиях {К <
< 1 кэв). Если пренебречь сме-
смещением энергетических уровней
в атомных остатках вследствие
их взаимодействия, то энергию
#0 можно приравнять энергии
ионизации #j. Это дает грубую
оценку для сечения перезарядки
S* « A/2) пгЬ = 8 ш>4/^. B.78)
Учет туннельного перехода «
при расстояниях больших г0
приводит к некоторому увеличе-
увеличению сечения резонансной пере-
перезарядки, однако оценка B.78)
правильно отражает порядок
сечения. При не слишком ма-
малых энергиях G0 0,1 эв) оно рис. 2.15
значительно превышает поля-
поляризационное сечение B.77). При больших энергиях (К > 1 кэв)
сечение перезарядки падает вследствие уменьшения времени взаи-
взаимодействия частиц. Некоторые данные о сечениях рассеяния ионов
атомами в собственном газе, определяемых резонансной перезаряд-
перезарядкой, представлены на рис. 2.15. Здесь точки 1 получены из теоре-
теоретических расчетов при К = 0,1 эв\ точки 2, 3 найдены эксперимен-
55


Сально При скорости v = 105 и 106 см/сек соответственно; пунктир-
пунктирная кривая рассчитана по приближенной формуле B.78).
Эффект перезарядки сильно влияет на характер движения поло-
положительных ионов в плазме. При отсутствии перезарядки столкнове-
столкновения быстрых ионов с медленными атомами в основном приводят
к малому рассеянию, при котором скорость и направление движе-
движения ионов изменяются незначительно. При перезарядке быстрая
частица (ион) также в основном рассеивается на малые углы. Однако
в результате перезарядки эта частица превращается в атом, а мед-
медленная частица становится ионом. Поэтому перезарядка оказывает-
оказывается эффективным механизмом обмена энергией между ионами и ато-
атомами плазмы. Она приводит к «эстафетному» механизму передачи
положительного заряда от частицы к частице в процессе направлен-
направленного движения ионов под действием электрического поля. Образую-
Образующийся при перезарядке медленный ион ускоряется электрическим
полем до следующего столкновения. После столкновения типа пе-
перезарядки он превращается в атом, а образующийся медленный
ион снова ускоряется полем. Таким образом, перенос заряда в каж-
каждый период между такими столкновениями, соответствующий этапу
«эстафеты», осуществляется новыми частицами.
§ 2.7. Неупругие столкновения электронов с атомами
Рассмотрим неупругие столкновения электронов с атомами,
приводящие к их возбуждению. Во многих случаях такое взаимодей-
взаимодействие является основным каналом потерь энергии электронов в плаз-
плазме. Возбуждение атомов или атомарных ионов связано с перестрой-
перестройкой их электронных оболочек. Минимальная энергия, необходи-
необходимая для возбуждения электронных уровней, имеет порядок 10 эв
(табл. 2.1). Квантовомеханическое вычисление сечений возбуждения
электронных состояний наиболее трудно провести в области энергий
сталкивающихся электронов, соизмеримых с энергией возбужде-
возбуждения. В этой области энергий надежные вычисления проведены лишь
для простых случаев, в частности для атомов водорода, гелия, ще-
Таблица 2.1
Энергия возбуждения и ионизации некоторых атомов
Энергия
н
10,
13,
2
6
н2
И,
15,
2
4
Не
21
19
24
,2
,8
,5
Ne
16,
16,
21,
7
5
6
Аг
11,6
11,5
15,8
Кг
ю,
9,
14,
0
9
0
Хе
8,
8,
12,
5
3
1
Cs
1,5
3,9
Hg
4,9
4,6
10,4
Примечание.
^",—энергия возбуждения низшего уровня, переход на который из основного состояния
разрешен (для Н2 —низшего электронного уровня); ^1М—энергия возбуждения низшего
метастабильного уровня; <$: энергия ионизации из основного состояния.
56


лочных металлов. Для многих атомов имеются, однако, эксперимен-
экспериментальные данные о полных сечениях возбуждения. Зависимость се-
сечения возбуждения уровня 3 s 3 рвР в гелии от кинетической энергии
электронов приведена на рис. 2.16 (s°>). Сечение резко нарастает
от порога, равного энергии возбуждения $0,-. Для оптически раз-
разрешенных переходов (когда отличен от нуля соответствующий мат-
матричный элемент дипольного момента атома) максимум сечения до-
достигается обычно при энергиях К= A,5—3) »oi, причем значения
максимальных сечений обычно порядка Ю9 — 10~17 см2. Умень-
Уменьшение сечения при больших
энергиях обусловлено, так же
как и при упругих столкнове-
столкновениях, сокращением времени
взаимодействия электрона с ато-
атомом. При столкновениях элек-
электрона с атомом возможно так-
- же возбуждение метастабиль-
ных уровней, переходы на ко-
которые из основного состояния
при оптическом возбуждении
запрещены. Оно связано с об-
обменным взаимодействием стал-
сталкивающегося электрона с атом-
атомным. Поэтому сечение такого
перехода имеет заметное значе-
значение только вблизи порога воз-
возбуждения, когда время пребы-
пребывания электрона около атома относительно велико, и быстро
уменьшается с ростом скорости электрона. Типичная кривая воз-
возбуждения метастабильного уровня гелия представлена на
рис. 2.17 A — кривая для разрешенного уровня 1 s 4 s1 So, 2 —
для метастабильного уровня 1 s 2 s2 5Х).
Кривые возбуждения показывают, что максимум сечения воз-
возбуждения лежит близко к его порогу. Учитывая это при приближен-
приближенных расчетах и оценках, часто полагают, что неупругие столкнове-
столкновения приводят к полным потерям энергии электронов. В таких рас-
расчетах, как уже отмечалось в § 2.3, эффективность потерь опреде-
определяется суммарным сечением неупругих процессов sn = 2s(/)« Для
некоторых газов такие сечения определялись экспериментально
(рис. 2.18), по потерям энергии электронов. С погрешностью, не
превышающей 10—20%, зависимость sn от энергии электронов вбли-
вблизи порога можно аппроксимировать следующим образом:
Рис. 2.16
При энергиях электронов, много больших энергии возбуждения,
для определения сечения можно использовать приближение Борна,
57


которое дает следующее выражение для сечения возбуждения
уровня:
si1 = 8я {fltivf | doj |2 In (yjvh/e2), B.79)
где doj — матричный элемент дипольцого момента перехода; Yj —
коэффициент порядка единицы. Просуммировав сечения по всем
возможным переходам, т. е. по всем состояниям /, и по столкнове-
столкновениям, приводящим к ионизации, получим выражение для суммарно-
суммарного сечения неупругих процессов
snea = 8 я (eVhvJ d2 In (yvhle2),
B.80)
где d2 — среднее значение квад-
квадрата дипольного момента в ос-
основном состоянии (d2 = 2 I doj |2).
Из B.79), B.80) видно, что се-
сечение неупругих столкновений
to
0,8
0,6
0,2
JAr
; 1
У ^
не
/
/xZ
/
Не
Аг
10
10
Рис. 2.17
Рис. 2.18
в области применимости приближения Борна обратно пропорцио-
пропорционально энергии (с точностью до медленно изменяющегося логариф-
логарифмического множителя), т. е._убывает с ростом энергии медленнее,
чем транспортное сечение упругих столкновений B.75). Нетрудно
убедиться, что по порядку отношение этих сечений равно
Sea/Sea = (Й2 V2\e*) d*/Z2 в2 г\.
Таким образом, при v ^>e2lh оно много больше единицы, т. е. роль
упругих столкновений электронов с атомами пренебрежимо мала.
При столкновениях электронов в молекулярных газах наряду
с процессами возбуждения электронных уровней неупругие столкно-
столкновения могут приводить к возбуждению колебательных и враща-
вращательных уровней молекул. Энергетический зазор между колебатель-
колебательными уровнями составляет 10~2 — 1 эв, между вращательными —
10~3 — 10 эв. Для медленных электронов потери энергии, свя-
связанные с возбуждением этих уровней, могут превосходить потери
энергии при упругих столкновениях А/С = 2 (те1та) К. Поэтому
такие неупругие столкновения играют существенную роль в балансе
энергий медленных электронов в плазме.
58


Оценить энергию, передаваемую электроном молекуле при воз-
возбуждении вращательных степеней свободы, можно с помощью за-
законов сохранения энергии, импульса и момента количества движе-
движения. Из их совместного рассмотрения следует, что максимальная
передача энергии при R < g < R]/malme имеет порядок
Д/С//С» (те/та) 14R2
{та—масса молекулы; R — ее эффективный размер; g— прицель-
прицельный параметр). Из этой оценки видно, что возбуждение вращатель-
вращательных уровней при малых энергиях электронов связано с далекими
столкновениями g > R, при которых достаточно велик начальный
момент количества движения электрона М ~ mev\. Однако вероят-
вероятность возбуждения при таких столкновениях мала, поэтому интег-
интегральное сечение возбуждения вращательных уровней существенно
меньше сечения упругого рассеяния (обычно на один-полтора по-
порядка).
С энергий электронов 0,5—1 эв заметную роль начинают играть
столкновения, связанные с возбуждением колебательных степеней
свободы молекул. Максимальные значения интегральных сечений
(и сечений упругих столкновений) достигаются при энергии 1—3 эв.
Их большая эффективность связана с тем, что при взаимодействии
электрона с молекулой могут образовываться промежуточные не-
нестабильные связанные состояния (их называют автоионизацион-
автоионизационными).
Для характеристики влияния процессов возбуждения низколе-
жащих уровней молекул на баланс энергии электронов часто вводят
эффективный коэффициент передачи энергии электронов при столк-
столкновении т4а, определяя его по аналогии с B.54) с помощью
равенства
{dKldt)ea~-KSeaVlaK, B.81)
где via — суммарная частота столкновений, зависящая от суммы
транспортного сечения упругих столкновений и суммарного сече-
сечения неупругих столкновений электронов. Измерения скорости ре-
релаксации энергии медленных электронов в молекулярных газах
позволяют получить экспериментальные данные о величине xsea>
усредненной по распределению скоростей электронов. Такие дан*
ные для водорода A) и азота B) представлены на рис. 2.19 (пунк-
(пунктир — х«? для Н2). Видно, что с ростом средней энергии электронов
величина х|а увеличивается по сравнению с упругим коэффициен-
коэффициентом передачи х*а = 2 те1та. Это увеличение при температурах
10~2 — Ю эв обусловлено возбуждением вращательных уров-
уровней, при 10"х — 1 эв — возбуждением колебательных уровней мо-
молекул.
Рассматривавшиеся выше неупругие столкновения электронов
приводят к появлению в плазме возбужденных атомов. Концентра-
59


10 -
ЯГ*
10и Ке,3&
ция атомов в каждом возбужденйом состоянии определяется qacfu
той столкновений, приводящих к возникновению состояния v°/
с временем жизни т/. Из условия равенства скорости образования
и разрушения возбужденного состояния нетрудно найти соотношение
между концентрациями атомов в нормальном и возбужденном со-
состояниях п0 и rij\
v°/n0 = njlxh nj/no = v°'t,. B.82)
Времй жизни возбужденного состояния относительно излучения
обычно имеет порядок 10"8 сек. Однако оно может быть на 5—8
порядков больше для первого возбужденного уровня, когда его пе-
переход в основное состояние оп-
оптически запрещен. Поэтому кон-
концентрация атомов в таком мета-
стабильном состоянии много
больше их концентрации в дру-
других возбужденных состояниях.
При большой плотности ней-
нейтрального газа увеличение кон-
концентрации атомов в низшем воз-
возбужденном состоянии может
быть связано также с эффек-
эффектом, называемым диффузией ре-
резонансного излучения. Он вызы-
вызывается излучением, сопровож-
сопровождающим переход атома из воз-
возбужденного состояния в основное. Поскольку энергия излучаемо-
излучаемого кванта равна энергии возбуждения, его может поглотить атом
в основном состоянии, что вызовет переход атома в возбужденное
состояние: сечение такого процесса фотовозбуждения составляет
обычно Ю8 — 10~1в см2. Поэтому при размерах системы много
больших длины свободного пробега излучения (L ;>> l/nosv) воз-
возбужденное состояние будет многократно восстанавливаться в ре-
результате поглощения излученного кванта.
При значительных концентрациях возбужденных атомов наряду
с неупругими столкновениями, приводящими к возбуждению ато-
атомов, определенную роль играют неупругие столкновения второго
рода, вызывающие переход атомов из возбужденного состояния в ос-
основное и соответственно увеличение энергии электронов. Соотноше-
Соотношение между сечением таких столкновений и сечением процессов воз-
возбуждения можно найти с помощью принципа детального равновесия.
В квантовой механике принцип детального равновесия вытекает
из симметрии процессов рассеяния по отношению к обращению
времени (так называемая теорема взаимности). Эта симметрия при-
приводит к равенству модуля амплитуды рассеяния прямых и обратных
переходов между двумя состояниями системы сталкивающихся
частиц. Для неупругого столкновения электрона с заданной энер-
энергией /С и атома, приводящего к возбуждению определенного со-
60
яг2 ю-1
Рис. 2.19


стойния атома е + Л@) lit А& + е, обратным является, очевйдйо,
процесс девозбуждения при столкновении этого атома с электроном,
имеющим соответственно меньшую энергию (/(' = К — $Oj- Равен-
Равенство амплитуд рассеяния для таких столкновений приводит к сле-
следующему соотношению между сечениями прямого и обратного
процессов:
go vlo s0' (ve0) = gj v$j s/o (VeJ)9 B.83)
где sOj — сечение возбуждения уровня /; s/0 — сечение девозбуж-
девозбуждения при столкновении; g0 и gj — статистические веса уровней,
определяющие число вырожденных состояний в каждом из состоя-
состояний; скорости ve0 и vej связаны друг с другом законом сохранения
энергии: i>|/ + v*o = 2^0j/me. Выражение B.83) и представляет
собой запись принципа детального равновесия для рассматривае-
рассматриваемых прямого и обратного процессов*.
Принцип детального равновесия позволяет найти сечения не-
неупругих столкновений второго рода, сопровождающихся снятием
возбуждения, если известны сечения процессов возбуждения. Из
него следует, что при Ке ЗИг ^oj сечения обоих процессов имеют оди-
одинаковый порядок, поэтому'столкновения второго рода могут играть
заметную роль, лишь если плотность возбужденных атомов близ-
близка к плотности атомов в основном состоянии. Сечение столкно-
столкновений второго рода, сопровождающихся девозбуждением, макси-
максимально при энергиях, меньших энергии возбуждения (см. рис. 2.16,
кривая s'°). В этой области энергий невозможны столкновения, со-
сопровождающиеся возбуждением и столкновения второго рода могут
играть определенную роль даже при относительно малых плотно-
плотностях возбужденных атомов.
§ 2.8. Ионизация при столкновениях электронов с атомами
Ионизация атомов при их столкновениях с электронами —
обычно основной источник возникновения заряженных частиц
в плазме. Процесс ионизации можно записать с помощью равенства
е + А -> А+ + е + е'. Для ионизации энергия электрона должна
превышать энергию связи одного из внешних (валентных) электро-
электронов в атоме — энергию ионизации. Значения энергии ионизации
%i для некоторых атомов см. в табл. 2.1. Скорость образования заря-
заряженных частиц в результате процесса ионизации в плазме опреде-
определяется полным сечением процесса sl (v) или частотой ионизации
vl (v). В соответствии с B.47) для (dnldt)i имеем
Ш^КаПеПа^^еа)Пе, B.84)
* Иногда под принципом детального равновесия понимают соотношения
типа B.83), усредненные по максвелловскому распределению скоростей ча-
частиц. Такие соотношения можно получить из рассмотрения прямых и обрат-
обратных переходов в условиях термодинамического равновесия.
61


где введена так называемая константа процесса kl = (vsl (v)y,
усреднение проводится по скоростям электронов, энергия которых
достаточна для ионизации (то212 > cit).
Квантовомеханическое решение задачи об ионизации при стол-
столкновении электрона с атомом позволяет в принципе определить
сечение ионизации, найти распределение электронов, образующихся
в процессе ионизации, по скоростям и углам рассеяния. Как и для
других типов столкновений, полное решение удалось получить лишь
для простейших атомов. Простая оценка сечения ионизации может
быть получена из классической теории Томсона. Она основана на
модели, в которой при рассмотрении обмена энергией между иони-
ионизующим и атомным электроном последний предполагается свобод-
свободным. Это предположение позволяет использовать формулу Резер-
форда B.62) для дифференциального сечения рассеяния сг('б'). Связь
передаваемой энергии с углом рассеяния, учитывая B.19), можно
записать в виде
А/С = A/2) A — cosfl) К = К sin2 @/2).
Полагая, что ионизация атома, сопровождающаяся вырыванием
электрона с внешней оболочки, происходит при передаче ему энер-
энергии, превышающей энергию ионизации, т. е. при Д/С><?*,
sin2 (ft/2) > »|//С, получаем с помощью формулы B.62) сечение иони-
ионизации в модели Томсона: ^
я
о sin Ы® =
sin ЫЪ
sin4 (ф/2)
и после интегрирования
s> - Zw (jieV/Q (V%t - UK) B.85)
и при K> %i sl & Zwm4%\ (K — »f), T&eZw — число электронов во
внешней оболочке. Эта формула дает правильный порядок сечения
ионизации.
Экспериментальные данные о сечении ионизации получены для
многих газов. Типичные экспериментальные зависимости sl (К)
представлены на рис. 2.20. Вблизи порога зависимость sf (К) обыч-
обычно может считаться линейной:
s' = MK-*i) = fc-fr-(K-*,). B.86)
Максимального значения sl* достигает при К = C-г-5;»«; оно имеет
следующий порядок: (s*)MaKG « р^яе4/»/ = 107 -г- 5 • 10в см2.
В довольно широкой области энергий сечение ионизации, при-
приводящее к освобождению электрона с внешней оболочки атома, мож-
62


но аппроксимировать формулой
B.87)
Погрешность такой аппроксимации для атомов и ионов, у которых
все электроны находятся в одинаковом состоянии, в области энер-
энергий меньших 1 кэв не выше 20%.
При больших энергиях K^>^t для определения сечения иониза-
ионизации можно использовать приближение Борна. В этом приближении
получаем следующее выражение для сечения ионизации:
-т-^^'-жг- B-88)
Рис. 2.20
?ь Уг — численные множители
(для водорода, например, t,t =
= 0,28, Yi = 0,2). Отличие этого
выражения от формулы Томсона
B.85) при больших энергиях оп-
определяется логарифмическим мно-
множителем, несколько изменяющим
зависимость st от /(. Нетрудно
убедиться, что в области приме-
применимости приближения Борна выра-
выражения для сечения ионизации
B.88) и для полного сечения не-
неупругих столкновений B.80) имеют
практически одинаковую зависи-
зависимость от энергии и одинаковый по-
порядок величины. Их отношение, определяющее долю процессов
ионизации среди неупругих столкновений, равно обычно 0,2—0,5
(для водорода, например, s4sn = 0,31).
Отметим, что при столкновении электронов со сложными ато-
атомами, кроме ионизации, сопровождающейся отрывом одного электро-
электрона, возможна так называемая многократная ионизация, приводя-
приводящая к одновременному отрыву двух или нескольких электронов и
к образованию многозарядного иона. При энергиях электрона,
много больших энергии ионизации, вероятность такого процесса
можно оценить в предположении независимого взаимодействия иони*
зующего электрона с атомными; при K><St она сопоставима с ве-
вероятностью однократной ионизации.
Наряду с прямой ионизацией атомов при столкновении их с элект-
электронами может быть существенной ступенчатая ионизация, происхо-
происходящая в два этапа: первый — возбуждение атома, второй — иони-
ионизация атома, находящегося в возбужденном состоянии. Запишем
схему этого процесса: е + А-> А* + е\ е + Л* -> А+ + е + е'
(здесь Л* обозначает возбужденный атом). Эффективность ступенча-
^гбйионизации определяется сечениями обеих реакций и временем
жизни возбужденных атомов. Скорость образования заряженных
аз


частиц в результате ионизации атома, находившегося в возбужден-
возбужденном состоянии /, равна
(dn/dt)i и = nenW <vs?W (i>)>, B.89)
где п\р — концентрация возбужденных атомов в состоянии /;
si(j) — сечение ионизации из этого состояния; величина <де*М>
усреднена по скоростям электронов, энергия которых достаточна
для ионизации. Концентрация возбужденных атомов, образующихся
при столкновениях электронов с атомами в нормальном состоянии,
удовлетворяет в стационарном случае соотношению B.82). Под-
Подставляя его в B,89) и суммируя по состояниям /, получаем выра-
выражение для скорости ступенчатой ионизации
- h^ пи2 (9. Q0\
Величину kisy определяющую эту скорость, называют констан-
константой ступенчатой ионизации.
Для условий, когда время жизни возбужденных состояний не
зависит от пе и яах(когда оно определяется излучением), константа
kis зависит только от электронной температуры. Она, очевидно,
сильно возрастает при наличии метастабильных состояний с большим
временем жизни, или состояний, поддерживающихся в результате
диффузии резонансного излучения (см. § 2.7). Соотношение между
скоростью ступенчатой ионизации и скоростью прямой ионизации
B.84) определяется концентрацией и температурой электронов;
дп\ \( дп \ _ kis
При низких электронных температурах (Те<^^г) число электронов,
имеющих достаточную энергию для прямой ионизации, гораздо
меньше числа электронов, энергия которых достаточна для иониза-
ионизации из возбужденного состояния; при максвелловском распределе-
распределении их отношение порядка ехр [ — ($г — %\!)IТ е]. Соответствен-
Соответственно отношение kislkl быстро увеличивается с уменьшением электрон-
электронной температуры (при Ге<С$0> и при достаточно малых Те и боль-
больших пе эффективность ступенчатой ионизации становится больше
эффективности прямой ионизации.
§ 2.9. Неупругие столкновения ионов с атомами
При столкновениях ионов с атомами могут происходить различ-
различные неупругие процессы, связанные с изменением внутреннего сос-
состояния сталкивающихся частиц и с их ионизацией. Как следует из
законов сохранения (см. §2.1), изменение внутренней энергии ком-
компенсируется при таких столкновениях изменением кинетической
энергии относительного движения. В частности, процессы возбуж-
возбуждения некоторого состояния возможны, если энергия относительного
64


движения превосходит энергию возбуждения. При одинаковой мас-
массе иона и атома это условие приводит к неравенству \y>inv2l2 =
= т{021А > gOj, или при vt <^vn Kt> 2%0}.
Однако вблизи порога сечение возбуждения атома очень мало.
Оно сравнимо с сечением возбуждения электронами лишь при энер-
энергиях на три-четыре порядка больших пороговой. Причина низкой
эффективности неупругих столкновений ионов при малых энергиях
связана с тем, что их скорость много меньше скорости электронов
атома (вблизи порога vtlvae ж Л/mJrrii). При таких энергиях влия-
влияние электрического поля иона на атом почти квазистационарно.
Медленное сближение частиц приводит к адиабатическому смещению
и расщеплению энергетических уровней электронов в атоме под дей-
действием поля иона, как это происходит при эффекте Штарка. По мере
удаления иона уровни вновь возвращаются в невозмущенное сос-
состояние. Вероятность изменения внутреннего состояния атома, свя-
связанная с нарушением адиабатичности, при таком медленном движе-
движении иона мала. Разумеется, при анализе столкновений сложных
ионов с атомами необходимо учитывать не только влияние поля
иона, но и взаимодействие, связанное с перекрытием электронных
оболочек. Однако и его вляние на неупругие процессы уменьшается
при малых скоростях.
Количественную оценку условий, при которых возбуждение эф:
фективно, можно получить из следующих соображений. Переход
атома из состояния с энергией g0 в состояние с энергией %} можно
рассматривать как возбуждение некоторого осциллятора с частотой
^oi = (§7—%o)/h = %Qj!h- Потенциал взаимодействия частиц, дви-
движущихся с относительной скоростью v, можно представить в виде
интеграла Фурье
2я
Г g (©)exp(i
J
Вероятность возбуждения осциллятора пропорциональна спект-
спектральной плотности вблизи со = coOJ-. Величина g (со07-) близка к макси-
максимуму, если время взаимодействия т ~ rjv порядка 1/со0</, поэтому
сечение максимально при скоростях
п B.91)
или при энергиях /Со « iivq/2 « \ir% %oj/2h2 (так называемый
критерий Месси). Заметим, что эта оценка соответствует соотноше-
соотношению неопределенностей для энергии. Вероятность перехода из со*
стояния 0 в / велика, если вследствие конечного времени взаимодей-
взаимодействия т неопределенность энергетического состояния взаимодейст-
взаимодействующих частиц б§ « ttlx порядка g0J-.
Равенство B.91) определяет таким образом область скоростей,
в которой сечение неупругого возбуждения атома максимально. Для
радиуса взаимодействия порядка атомных размеров га ж Н2/тее2
она соответствует скоростям порядка скорости атомных электронов
3 Зак. 1227 05


vea & e2/h & Ю8 см/сек. Поэтому при столкновениях электронов
с атомами критерий эффективного возбуждения выполняется уже
вблизи порога (при К е ~ 10 эв.) При столкновениях ионов с атомами
тем же скоростям соответствуют значительно большие энергии
Ki « (nii/me) e4h2. Даже для самых легких ионов водорода
(протонов) они имеют порядок 10 кэв.
Аналогично оценивается оптимальная энергия для других типов
неупругих столкновений ионов с атомами, а также других атомных
частиц (ионов с ионами, атомов с
атомами). В частности, это отно-
относится к процессам ионизации и]"не-
резонансной^перезарядки при стол-
столкновениях ионов с атомами. Опти-
Оптимальные энергии дчя этих процес-
г-ю8 4 б 8 10* цш/сек
Рис. 2.21
100 К[}кэ6
Рис. 2.22
сов можно определить с помощью критерия Месси, подставляя
в B.91) соответственно энергию ионизации %г и дефект энергий при
перезарядке Ag. Экспериментальные зависимости сечений иониза-
ионизации атомов водорода и гелия от скорости представлены на рис. 2.21.
По оси абсцисс наряду со скоростью отложены кинетические энер-
энергии электронов и ионов. Из кривых видно, что максимумы сечений
ионизации ионами находятся в области скоростей C^-4) 108 см1сек,
близких к скоростям атомных электронов. При больших скоростях
значения сечений ионизации при столкновениях электронов и ионов
практически совпадают. Различие кривых резонансной и нерезонан-
нерезонансной перезарядки в водороде иллюстрируется рис. 2.22. Видно, что
сечение резонансной перезарядки монотонно убывает с ростом энер-
энергии электронов, в то время как сечение нерезонансной перезарядки
имеет максимум при Ki « 10 кэв.
Отметим, что при столкновениях сложных ионов большой энер
гии с атомами могут происходить и более сложные неупругие про-
66


цессы. Это процессы многократной иойизаций
L + Л[+ ->- !<*+> + М+ + ke,
процессы дальнейшей ионизации ионов (так называемой обдирки)
L + M+->L + ЛГ<п+> + (п — 1) е
и комбинированные процессы ионизации атомов и ионов
L + Л1+ -* ?<*+> + Л1<«+> + (я + k — 1) в.
При энергиях ионов порядка 10—100 кэв и больше сечения этих про-
процессов сопоставимы с сечением однократной ионизации*
Таким образом, основные неупругие процессы при столкновениях
атомных частиц (ионов и атомов) существенны лишь при энергиях
порядка 1 кэв и больше. Эти энергии характерны для высокотемпера-
высокотемпературной термоядерной плазмы. В газоразрядной плазме средние
энергии ионов и атомов обычно не превышают 10 эв. При данных
энергиях неупругие столкновения рассматривавшегося типа не могут
играть сколько-нибудь заметной роли. Существенными в такой плаз*
ме могут быть только упругие столкновения ионов и атомов и не-
неупругие столкновения с очень малым дефектом энергии (Ag<
< 1 эв). Такие резонансные (или, точнее, почти резонансные) про-
процессы возможны обычно в смесях газов. В качестве примера укажем
на эффект Пеннинга, обнаруженный в смеси аргона и неона. Метаста-
бильный уровень возбуждения неона имеет потенциал возбуждения
Шм = 16,5 эв, близкий к потенциалу ионизации аргона в основном
состоянии (%t = 15,8 эв). Поэтому при столкновении атома неона
в метастабильном состоянии с атомом аргона возможен почти резо-
резонансный процесс ионизации аргона Ar + Ne* ->• Ne + Ar+ + е.
Дефект энергии такого процесса всего 0,7 эв, и его сечение даже при
малых энергиях атомов порядка атомного. В связи с этим даже малая
добавка аргона к неону приводит к резкому увеличению эффективно-
эффективности ионизации неона и облегчает возникновение разряда. Аналогич-
Аналогичный эффект может наблюдаться и в других смесях.
§ 2.10. Рекомбинация при столкновениях электронов
с ионами
При столкновениях электронов с ионами может происходить
их рекомбинация — образование нейтрального атома в результате
захвата электрона ионом. Эффективность процессов, приводящих
к рекомбинации, значительна при малых энергиях электронов, при
которых достаточно велико время взаимодействия электрона с ио-
йом. Соответственно при малых электронных температурах (много
меньших энергии ионизации) эти процессы сильно влияют на балайс
заряженных частиц плазмы. Скорость устранения заряженных час-
частиц, связанного с рекомбинацией в объеме, может быть определена
с помощью полного сечения рекомбинации srei. В соответствии с об*
3* 67


щим определением сечения tcM. B.47)] запишем
(dn/dt)r = —nent (sei (v) v) = — n2 (vsr (i>)>, B.92)
где положили пе = nt = n\ относительную скорость v при столкно-
столкновениях электронов с ионами обычно можно считать равной скорости
электронов; величина (vsr (v)> усреднена по скоростям. Как пра-
правило, для характеристики процесса рекомбинации в плазме вводят
коэффициент рекомбинации а, полагая
(dn/dt)r = — an2, a = <t;sr(tr)>. B.93)
Он определяется сечением рекомбинации и зависит от распределе-
распределения электронов по скоростям, а при заданном распределении —
от электронной температуры.
Процесс рекомбинации можно записать в виде реакции е +
+ L+ -+> L. Нетрудно убедиться, что при отсутствии третьих
тел он не происходит. Действительно, в реакциях с образованием
одной частицы не могут быть одновременно удовлетворены законы
сохранения энергии и импульса. Эти законы представляют собой
четыре уравнения (три проекции закона сохранения импульса и за-
закон сохранения энергии), тогда как образующаяся частица имеет три
компоненты скорости. Поэтому, чтобы отобрать «лишний» импульс
или «лишнюю» энергию, в процессах рекомбинации должно участ-
участвовать третье тело. Таким третьим телом могут быть электроны,
ионы, нейтральные частицы, образующиеся в результате рекомби-
рекомбинации фотоны. Соответственно могут происходить следующие про-
процессы рекомбинации электронов и ионов:
1) e + L+ +e-+L + e,
2) e + L+ + M+->L + M+,
3) e + L+ + M -+ L + M,
4) e + L+ -> L + hv.
При оценке вероятности этих процессов необходимо учитывать,
что каждая реакция рекомбинации является обратной по отношению
к соответствующему процессу ионизации. Поэтому можно использо-
использовать принцип детального равновесия, по которому вероятность пря-
прямого процесса пропорциональна вероятности обратного (см. § 2.7).
В соответствии с этим можно сравнить первые три процесса. В § 2.9
было показано, что для энергий ионов и атомов, обычно встречающих-
встречающихся в плазме (Kt, Ка С Ю кэв)у вероятность ионизации под действием
тяжелых частиц много меньше, чем под действием электронов. По-
Поэтому вероятность процесса рекомбинации B) с ионом в качестве
третьего тела всегда пренебрежимо мала по сравнению с двухэлект-
ронным процессом рекомбинации A). Рекомбинация же с нейтраль-
нейтральным третьим телом C) существенна лишь при очень низких степенях
ионизации плазмы.
68


Рекомбинация, в которой участвуют два электрона и ион (ее
иногда называют ударной) играет определяющую роль при высоких
концентрациях заряженных частиц. Такая рекомбинация эффек-
эффективна для медленных электронов, длительное время находящихся
в поле иона. Процесс рекомбинации при этом состоит из двух эта-
этапов. Первым является захват электрона на далекую орбиту в поле
иона. Такой захват связан с обменом энергией между электронами,
в результате которого траектория одного из них из гиперболической
превращается в эллиптическую (рис. 2.23). Захват происходит на
орбиту, вблизи которой потенциаль-
потенциальная энергия взаимодействия элект-
электрона с ионом порядка энергии,
передаваемой при взаимодействии
электронов, т. е. порядка их сред-
средней энергии e2/rs ж Т е, rs ж е2/Т е
(соответствующее расстояние rs
?сть средний радиус сильного взаи-
модейстЁия [см. B.61)]. При Те { %г
эта орбита соответствует высоко-
высоковозбужденному состоянию атома.
Вторым этапом рекомбинации яв-
является переход электрона из вы-
высоковозбужденного состояния на
более низколежащие уровни в ре-
результате столкновений или излу-
излучения. Оценку коэффициента ре-
рекомбинации при столкновении двух
электронов и иона можно сделать по сечению, определяющему ве-
вероятность такого столкновения в области с размерами порядка rs.
Оно равно, очевидно, сечению столкновения двух частиц (порядка
пг*)9 умноженному на вероятность нахождения в этой области
третьей частицы (порядка nrzs n):
sr « n2nr* = n2nel0/Tl
Порядок значения коэффициента рекомбинации определяется произ-
произведением этого сечения на среднюю скорость электронов vt &
&Уте/пге. Соответственно выражение для коэффициента реком-
рекомбинации можно записать в виде
.. . ею п
Рис. 2.23
Vme T\>*
10
1-26
B.94)
где а—коэффициент порядка единицы. При численной оценке а дан
в см3 • сек-1, Те — вэв, п — в см3. Коэффициент а учитывает,
в частности, эффективность второго этапа рекомбинации, опреде-
определяющуюся соотношением между вероятностью перехода атома после
•захвата электрона из сильновозбужденного состояния в основное
состояние и вероятностью его ионизации.
69


С уменьшение^ концентраций элект^ойов и ростом электронной
температуры коэффициент ударной рекомбинации с участием двух
электронов падает. При этом все большую роль играет радиацион-
радиационная рекомбинация. Для оценки ее эффективности можно восполь-
воспользоваться результатами квантовомеханического рассмотрения про-
процесса фотоионизации, обратного по отношению к радиационной ре-
рекомбинации. В соответствии с этим рассмотрением сечение фотоио-
фотоионизации резко нарастает вблизи порога (при hv > gj) до величины
Svn ~ (еУНс) г2, отличающейся от атомного сечения коэффициентом
порядка постоянной тонкой
структуры (а % = e2/hc =
= 1/137). При дальнейшем
увеличении энергии фотона
сечение фотоионизации па-
падает. Связь между сечениями
радиационной рекомбинации
и фотоионизации находим с
помощью принципа деталь-
детального равновесия из соотно-
соотношения, аналогичного B.83):
Pv*J
4
да
где pv = iv/c — импульс фо-
фотона. Эта связь при энергиях
Рис 2.24 электрона, много меньших
потенциала ионизации, ког-
приводит к следующей оценке среднего сечения:
sr
ml v2
he
rl-
Отсюда находим порядок коэффициента рекомбинации
rl
УтеТе
B.95)
(а дан в смв-сек~г, Те—в эв). При Те > %г уменьшение коэффициента
рекомбинации с ростом температуры электронов более сильное.
Ударную рекомбинацию с участием двух электронов и радиаци-
радиационную рекомбинацию можно рассматривать как крайние случаи об-
общего процесса, называемого иногда ударно-радиационной рекомбина-
рекомбинацией. При детальном рассмотрении его должны учитываться как воз-
возможность участия одного или нескольких дополнительных электро-
электронов, так и возможность излучения при захвате электрона ионом и
переходе образующегося при захвате возбужденного атома в основ-
основное состояние. Результаты такого рассмотрения даны на рис. 2.24,
где представлена зависимость коэффициента ударно-радиационной
70


рекомбинации в водороде от концентрации и температуры элект-
электронов.
При наличии в плазме молекулярных ионов может оказаться наи-
наиболее эффективной рекомбинация, сопровождаемая диссоциацией
иона е + (ML)+ ->- М + L; ее называют диссоциативной. Этот
механизм не требует тройного столкновения, третье тело образуется
в процессе рекомбинации. Поэтому вероятность такой рекомбина-
рекомбинации значительно больше вероятности рекомбинации при тройных
столкновениях. При энергии электрона порядка энергии диссоциа-
диссоциации сечение диссоциативной рекомбинации имеет порядок эффек-
эффективного сечения молекулярного иона. С уменьшением энергии сече-
сечение растет. Типичные значения коэффициента диссоциативной реком-
рекомбинации при Те<С 1 эв лежат в диапазоне а« A0~8 -f- 10*~10)/Т|/2
(а дан в смв • сек, Те в эв).
При оценке эффективности диссоциативной рекомбинации не-
необходимо учитывать, что молекулярные ионы образуются не только
в молекулярных газах. При не очень малых давлениях они форми-
формируются и в атомарных газах (даже в инертных газах) в результате
столкновений атомарных ионов с атомами нейтрального газа L+ +
+ 2L ~> LJ + L. Поскольку сам процесс диссоциативной ре-
рекомбинации в атомарных газах обычно более эффективен, чем про-
процесс образования молекулярных ионов, скорость рекомбинации
определяется эффективностью последнего процесса.
В так называемых электроотрицательных газах, атомы которых
могут образовывать устойчивые отрицательные ионы, помимо рас-
рассмотренных процессов возможна двухступенчатая рекомбинация.
На первой стадии происходит захват электрона нейтральным ато-
атомом или молекулой с образованием отрицательного иона. Вторая
стадия состоит в рекомбинации положительного и отрицательного
ионов. Значительной эффективностью захвата электрона характе-
характеризуется большинство химически активных молекул (например,
О2, С12, Н2О), многие органические соединения. Процесс захвата
электрона может идти несколькими путями, в частности: с излуче-
излучением
в + М -> М~ + hv9
при тройном столкновении
е + М + L-> М- + L+,
в результате диссоциации молекулы
е + ML-+M- + L*.
Наиболее эффективна последняя реакция, не требующая участия
третьей частицы.
Процесс рекомбинации положительных и отрицательных ионов
L+ + М~ ->¦ L + М также не требует присутствия третьей части-
частицы. Вследствие больших размеров отрицательных ионов и малых
71


скоростей их относительного движения сечения рекомбинации по-
положительных и отрицательных ионов могут на один-два порядка пре-
превышать атомное сечение. Эффективность процесса ион-ионной реком-
рекомбинации существенно возрастает с повышением давления нейтраль-
нейтрального газа. При этом в результате столкновения ионов с нейтральным
атомом один из ионов может быть захвачен на орбиту в поле другого.
В такой квазимолекуле появляется большая вероятность туннель-
туннельного перехода электрона от отрицательного иона к положитель-
положительному, завершающего процесс рекомбинации. Обычно поперечное се-
сечение ион-ионной рекомбинации значительно превышает сечение
захвата электронов нейтральными атомами. Поэтому эффективность
двухступенчатой рекомбинации определяется более медленным про-
процессом захвата электронов.
§ 2.11. Взаимодействие заряженных частиц
с поверхностью твердых тел
В реальных условиях плазма обычно соприкасается с различны-
различными твердыми телами: она окружена стенками баллона, в^нее поме-
помещены электроды и т. д. Поэтому важен вопрос о том, что происхо-
происходит с заряженными частицами, когда они попадают на поверхности
этих тел (для краткости будем называть их стенками). Процессы
взаимодействия частиц с поверхностью твердых тел весьма много-
многообразны. Ниже будут упомянуты только те из них, которые могут
существенно влиять на состояние плазмы.
Прежде всего стенка играет значительную роль в балансе час-
частиц плазмы. Твердые поверхности могут служить источником заря-
заряженных частиц {термоэлектронная, вторичная, авто- и фотоэмис-
фотоэмиссия), но на стенке велика эффективность рекомбинации электронов
и ионов, попадающих на нее из объема плазмы. Это обусловлено тем,
что стенка является идеальным третьим телом, так как обладает
практически бесконечной массой и непрерывным спектром измене-
изменения внутренней энергии (температуры). Кроме того, нейтрализа-
нейтрализация ионов и поглощение электронов могут быть в ней разделены во
времени и в случае металлической стенки — в пространстве.
Бомбардировка стенок частицами приводит также к изменению
состава плазмы за счет выбивания частиц материала стенки в виде
атомов и ионов (так называемое катодное распыление). Кроме того,
внедрение ионов в стенку ведет к «жестчению» газа в процессе раз-
разряда (уменьшению общего давления тяжелых частиц). Наконец,
для баланса энергии плазмы важно, насколько изменяется энергия
частиц при их отражении от стенок, а также с какой энергией по-
поступают в плазму частицы, эмиттируемые стенкой.
f? fe Рассмотрим процессы, сопровождающие падение электронов на
стенку. При малых энергиях основными являются упругое отраже-
отражение'и ^поглощение.? В области больших энергий преобладающим
процессом становится так называемая вторичная электронная эмис-
эмиссия — «выбивание» электронов из стенки падающими электронами.
72


Эти вторичные электроны обладают энергией порядка единиц
электронвольт. Кроме того, наблюдается также неупругое отра-
отражение первичных электронов. г
Эффективность отражения зависит от материала стенки, состоя-
состояния (чистоты) поверхности и энергии падающих электронов На-
Наибольшего значения @,1—0,4 для металлов и 0,5—0,8 для диэлек-
диэлектриков) коэффициент упругого отражения (отношение числа от-
отраженных частиц к числу падающих) достигает при энергиях 3—
20 эб. С увеличением энергии его значение падает. Коэффициент
неупругого отражения для любых материалов не превышает 0 5
он существен при .энергиях по- ' '
рядка сотен электронвольт.
Потери энергии электронов
при отражении можно связать
с междузонными переходами
электронов вещества и возбуж-
возбуждением собственных коллектив-
коллективных колебаний электронного га-
газа как целого — все это дает
дискретные, или так называемые
характеристические, потери \
Кроме того, происходит посте-
постепенное торможение первичного р
электрона при взаимодействии °*
с электронами проводимости (ку-
лоновское расстояние). Если импульс такого электрона меняет
ся на обратный, то он может снова вернуться в плазму, потеряв часть
своей энергии.
Коэффициент вторичной электронной эмиссии а имеет немоно-
немонотонную зависимость от энергии (рис. 2.25). Практически для всех
веществ (исключения составляют некоторые металлы, например
Те, Al, Be) имеется интервал энергий электронов Ке — Ке где
а > 1. Для металлов Ке < 100—200 эв, Ке » 1 кэв. Для диэлект-
диэлектриков Ке ^ 10—30 эв, Ке « 2—10 кэв. Для металлов амакс не пре-
превосходит двух, в то время как для диэлектриков <тмакс может до-
достигать десятков. Еще одним механизмом, приводящим к выбива-
выбиванию электронов из стенок, является фотоэффект, вызываемый из-
излучением плазмы.
Рассмотренные процессы могут сильно влиять на состояние плаз-
плазмы в отсутствие магнитного поля или если возможен обмен электро-
электронами между стенкой и плазмой вдоль силовых линий поля. Закру-
Закручивая траектории заряженных частиц, магнитное поле препятствует
уходу вторичных и отраженных электронов в объем плазмы воз-
возвращая их на стенку.
Падение ионов на твердую поверхность, так же как и падение
электронов, может сопровождаться упругим и неупругим отраже-
отражением, поглощением (или, иначе, внедрением), ион-электронной эмис-
эмиссией. Кроме того, обычно эффективной оказываются нейтрализа-
73


Ций — отражение частицы с приобретением недостающего эле^ро-
на. Важную роль может играть также катодное распыление. По-
Поскольку распыление происходит в виде атомов и ионов, то по
аналогии с электронными процессами это явление можно было бы
назвать ион-атомной и ион-ионной эмиссией.
Эмиссия электронов из вещества при бомбардировке ионами
может происходить по двум причинам. Если энергия ионизации на-
налетающего иона больше, чем удвоенная работа выхода электрона
из мишени, то возможно так называемое потенциальное вырыва-
вырывание. Механизм этого явления состоит в следующем. Состояние
системы ион у поверхности — твердое тело можно рассматривать
как возбужденное. Переход в основное состояние происходит в
результате захвата ионом одного из электронов твердого тела.
Избыточная энергия, выделяющаяся при нейтрализации, может
быть передана другому электрону (оже-процесс), который, полу-
получив энергию большую, чем работа выхода, может выйти наружу.
Вероятность потенциального вырывания электронов однозарядны-
однозарядными ионами почти всегда много меньше единицы. Лишь при бом-
бомбардировке ионами гелия коэффициент такой вторичной ион-элек-
ион-электронной эмиссии ог достигает 0,3 — 0,5. В случае многозарядных
ионов эффективность потенциального вырывания увеличивается
и ог может стать больше единицы. В области больших энергий
(больше нескольких сот электронвольт) преобладает кинетичес-
кинетическая ион-электронная эмиссия. Ее механизм, грубо говоря, анало-
аналогичен ударной ионизации атомов ионами (см. § 2.9). Кинетическая
ион-электронная эмиссия также не эффективна при малых энер-
энергиях, когда возмущение состояний электронов в кристалле можно
считать адиабатически медленным. Имеется обычно порог, начи-
начиная с которого кинетическая эмиссия сравнима с потенциальной.
Пороговая скорость для разных ионов приблизительно одного
порядка @,5 -г- 1) Ю7 см/сек. Кинетическая ион-электронная эмис-
эмиссия достигает максимума при энергиях порядка десятков кило-
килоэлектронвольт для легких ионов и сотен килоэлектронвольт для
тяжелых. Максимальное значение коэффициента вторичной эмис-
эмиссии для металлов может составить несколько единиц, а для ди-
диэлектриков — более десяти.
Рассмотрим поведение атомарных частиц при бомбардировке
ионами поверхности твердого тела. Здесь прежде всего следует об-
обратить внимание на сравнительно небольшие значения коэффициен-
коэффициента отражения падающих на поверхность первичных частиц. В случае
легких ионов (Н+, Не+, Li+) он для большинства мишеней не пре-
превосходит 20%. С ростом массы налетающего иона коэффициент отра-
отражения увеличивается и достигает 40—60%. Однако если масса иона
больше массы атомов мишени, то он резко падает и для тяжелых
ионов составляет лишь несколько процентов. В интервале от не-
нескольких сот до десятков килоэлектронвольт коэффициент отраже-
отражения, как правило, не зависит от энергии ионов. При больших энер-
энергиях эффективность отражения монотонно уменьшается. В области
74


малых энергий (меньше 100 эв) наблюдается некоторый рост коэф-
коэффициента отражения. При энергиях кеньше десятка электронвольт
экспериментальные данные практически отсутствуют. Если энергия
налетающих ионов много больше энергии связи атомов в мишени,
то в первом приближении взаимодействие иона с атомами можно
рассматривать как последовательность независимых соударений.
При этом потери энергии, так же как и для парных соударений в га-
газе, определяются коэффициентом передачи (соотношением масс
атома и иона) и возможностью ионизации. Отражение, как правило,
происходит уже в результате первого соударения. Это обусловли-
обусловливает энергетический спектр отраженных частиц.
Эффективность нейтрализации ионов в большинстве случаев
очень велика. Для ионов инертных газов коэффициент отражения
от металлов без нейтрализации составляет 10 — 10~2%, а от
диэлектриков — менее 1%. Для протонов он не превосходит не-
нескольких процентов. Механизм нейтрализации ионов при их отра-
отражении связан с возможностью перехода одного из электронов твер-
твердого тела на свободный уровень иона. Если такой переход из за-
заполненных состояний кристалла энергетически выгоден, то эффек-
эффективность нейтрализации оказывается высокой. Если ионы имеют
не слишком большую энергию, систему ион—кристаллическая
решетка для электронов можно считать квазистатической (адиаба-
(адиабатически изменяющейся). В этих условиях вероятность нейтрали-
нейтрализации можно оценить в первом приближении по вероятности за-
заполнения соответствующих состояний иона и решетки. Поэтому
степень нейтрализации велика, если энергия электрона в атоме у по-
поверхности меньше энергии Ферми. Обратная ситуация имеет место
лишь для атомов щелочных металлов, попадающих на поверхность
металлов с большой работой выхода. Это приводит к поверхност-
поверхностной ионизации атомов. При отражении электрон покидает атом,
переходя в твердую стенку. Для стационарного потока процесс
поверхностной ионизации эффективен лишь при высокой темпе-
температуре металлической поверхности (больше 2000° С). Повышенная
температура необходима для эффективного испарения атомов ще-
щелочного металла, проникающего в результате бомбардировки в по-
поверхностные слои. В противном случае работа выхода мишени умень-
уменьшается и поверхностная ионизация практически прекращается.
Из сказанного ясно, что горячая стенка, материал которой имеет
большую работу выхода (например, вольфрам), в присутствии паров
щелочноземельных металлов может служить источником плазмы.
При этом ионы возникают в результате поверхностной ионизации,
а электроны—за счет термоэлектронной эмиссии. При достаточной
плотности электронного и ионного потоков объемный заряд вбли-
вблизи стенки автоматически создает перепад потенциала, регулирую-
регулирующий потоки так, чтобы в плазме обеспечивалась квазинейтраль-
квазинейтральность.
Катодное распыление частиц твердого тела начинается с неко-
некоторых пороговых значений энергии ионов. Эта пороговая энергия
75


равна отношению энергии возгонки (сублимации) атомов данного
твердого тела к коэффициенту передачи энергии от иона к атому
в твердом теле. Порядок последнего близок к коэффициенту передачи
энергии х при атомных столкновениях. Энергия сублимации лежит
в интервале 1,5 — 9 эв. Поэтому пороговая энергия в большинстве
случаев составляет 3 — 20 эв. С ростом энергии первичного пучка
коэффициент распыления г) (отношение числа распыленных частиц
к числу падающих) увеличи-
увеличивается (рис. 2.26). При энер-
энергиях приблизительно равных
1000 эв он становится сравни-
сравнимым с единицей. В целом за-
зависимость т] от к i представляет
собой плавную кривую с мак-
максимумом. Для легких ионов этот
максимум довольно резкий. Он
наблюдается при энергиях по-
порядка 10/сзв. Для тяжелых ионов
(Аг+, Кг+) наблюдается широкий
максимум в области энергий
30 — 100 кэв. Так же как и при
отражении, в процессе катод-
катодного распыления образуются в основном нейтральные частицы
(атомы, а иногда и целые комплексы). Их средняя энергия растет
с ростом атомного номера распыляющихся ионов, но не превос-
превосходит 10 эв. Количество атомов, эмиттированных на один ион,
зависит от атомного номера и структуры электронных оболочек
иона и атомов мишени. Значение т| увеличивается с ростом массы
и по мере заполнения электронами внешних оболочек. Наимень-
Наименьшей эффективностью распыления обладают атомы водорода и ге-
гелия. Наиболее устойчивыми к распылению под действием этих ато-
атомов оказываются тяжелые вещества, например Та и W. Для них
коэффициент распыления в максимуме меньше 10~2.
?
о,з
0,1
0,1
о
Рис. 2.26


ГЛАВА 3
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
§ 3.1. Функция распределения
Как уже отмечалось, плазма представляет собой ансамбль боль-
большого числа движущихся и взаимодействующих друг с другом ча-
частиц. Точное описание поведения ансамбля, основанное на анализе
траекторий всех составляющих его частиц, практически невоз-
невозможно*. Поэтому для решения плазменных задач пользуются
статистическими методами физической кинетики. Основной стати-
статистической характеристикой ансамбля является функция распре-
распределения. Для ее определения следует разбить все конфигурацион-
конфигурационное пространство и весь диапазон скоростей частиц на малые ин-
интервалы, такие, чтобы изменением плотности частиц в пределах
каждого интервала можно было пренебречь. Если число частиц,
приходящихся на каждый интервал, достаточно велико, то флюк-
флюктуации, связанные с хаотическим движением частиц, будут малыми.
При этом для описания поведения ансамбля правомерно исполь-
использовать статистически усредненные значения числа частиц в каждом
интервале. Средние значения отношения числа частиц в каждом ин-
интервале к самому интервалу и называются функцией распределения.
Выразим количественно функцию распределения. Для этого
введем обозначения интервалов в конфигурационном пространстве
и в пространстве скоростей. Обозначим элемент объема в конфи-
конфигурационном пространстве rdr. Его положение, определяется
вектором г с координатами х, у, z, его линейные размеры—прира-
размеры—приращениями координат dx, dy> dz. Объем будем обозначать dzr (dzr =
= dxdydz). Интервал скоростей, характеризующийся изменением
величин проекции в пределах от vx до vx + dvx, от vy до vy +
+ dvy и от vz до vz + dvz> будем обозначать vdv. Этот интервал
по аналогии с пространственным можно рассматривать как элемент
объема в пространстве скоростей, положение которого определяется
вектором v, а размеры—приращениями dvx, dvy, dvz\ соответственно
объем равен dBv = dvx dvydvz. Поскольку для полного определения
интервала параметров, необходимо одновременно задать интервалы
* Заметим, что такой подход в настоящее время реализуется в так
называемых машинных экспериментах. В них с помощью ЭВМ вычисляются
траектории некоторого ансамбля частиц при заданных начальных условиях.
Однако современные ЭВМ дают возможность моделировать таким образом
лишь простейшие задачи для сравнительно малого числа частиц в ансамбле.
77


координат и интервалы компонент скорости, часто пользуются по-
понятием шестимерного фазового пространства, три координатных
оси которого соответствуют осям конфигурационного пространства,
а другие три—осям пространства скоростей. Радиус-вектор в шести-
шестимерном пространстве R имеет при этом проекции х, у, г, vx, vyy vz\
элемент объема, соответствующий выбранным интервалам:
d6R = cPrcPv = dxdydzdvxdvydvz.
Полагая, что выбранные интервалы координат и скоростей удов-
удовлетворяют сформулированным выше условиям, можно написать
выражение для среднего числа частиц dNrv в шестимерном интер-
интервале:
dNTV = F (v, r, t) d*R = F (v, г, /) (PrcPv. C.1)
Здесь F (v, r, t) и есть функция распределения, определяющая
число частиц в данном интервале координат и компонент скорости
в данный момент времени. Она, очевидно, имеет смысл концентра-
концентрации (плотности) частиц в шестимерном пространстве. Функции
распределения могут быть введены для частиц каждого сорта
(в плазме — для электронов, ионов и атомов). При наличии частиц
в различных внутренних состояниях (например, атомов в различных
возбужденных состояниях) можно ввести функции распределения,
характеризующие распределение частиц не только по пространст-
пространственным координатам и скоростям, но и по различным внутренним
состояниям.
Проинтегрируем равенство C.1) по скоростям. Очевидно, та-
такое интегрирование дает полное число частиц в элементе объема
конфигурационного пространства:
(v)
Это число пропорционально элементу объема, причем коэффициент
пропорциональности равен, по определению, обычной концентра-
концентрации (плотности) частиц в конфигурационном пространстве
д(г,/)= J F(y,r,t)d*v. C.2)
(v)
Функцию распределения F (v, r, t) можно представить в виде про^
изведения
F (v, r, t) = п (г, 0 / (v, г, t)y C.3)
где функция / (v, r, t) называется функцией распределения частиц
по скоростям. Условие ее нормировки можно получить, интегри^
руя по скоростям выражение C.3). Учитывая C.2), находим
J f(v,r,0^ = l, C.4)
(V)
78


Функция распределения по скоростям / (v, г, /) определяем
относительное число частиц, обладающих скоростями, лежащими
в интервале vdv (в точке г в момент времени f). По отношению к од-
одной частице она определяет вероятность того, что в заданных ус-
условиях частица будет обладать скоростью, лежащей в интервале
vdv. Условие C.4) соответствует естественному требованию, чтобы
вероятность обнаружения у частицы скорости, лежащей в интер-
интервале, охватывающем все пространство скоростей, была равна еди-
единице.
Кроме / (v, r, f) часто пользуются некоторыми «производными»
функциями распределения. Для ряда задач полезна одномерная
функция распределения у дающая распределение частиц по одной
из составляющих скорости. Одномерйая функция распределения
может быть получена из / (v, r, t) интегрированием по остальным
составляющим скорости. Так, функция
f(v,r,f)dvydvt C.5)
определяет относительное число частиц с ^-компонентой скорости
в пределах от vx до vx + dvx. Естественно, что условие нормировки
для }х имеет вид аналогичный C.4):
Полезно также ввести функцию распределения по абсолют-
абсолютному значению скорости (функцию распределения по полным ско-
скоростям). Она получается из / (v, r, /), если перейти к сферической
системе координат в пространстве скоростей и выполнить инте-
интегрирование по всем угловым координатам. Элемент объема в сфе-
сферической системе равен dPv = v2 sin ШШ ydv, a fv(vy r, t), соответ-
соответственно
I C.6)
(#) (Ф)
Для случая, когда / (v, г, t) изотропна, т. е. зависит только от
значения скорости, но не от углов Ф, ф, соотношение C.6) принимает
вид А, (у, г, t) = 4nv2f (vy r, t).
Функция распределения по кинетическим энергиям может быть
получена из C.6) заменой интервала скоростей dv соответствующим
интервалом энергий, т. е. fvdv = /к(/С, г, t) dK, или, поскольку
dK = d
C.7)
Знание концентраций и функций распределения по скоростям
частиц плазмы дает возможность получить полную информацию
о макроскопических величинах, характеризующих свойства плаз-
79


мы. Функция распределения позволяет, в частности, провести усред-
усреднение любой интересующей величины по скоростям частиц. В соот-
соответствии с определением усреднение сводится к интегрированию
по формуле
<g (V«, Г, 0> = $ g (Va, Г, t) fa К, Г, t) д? Va, C.8)
(va)
где g — величина, зависящая от скорости частиц а; /а — функ-
функция распределения скоростей этих частиц (учтено, что функция /а
нормирована на единицу). С помощью C.8) можно найти среднюю
скорость частиц каждого сорта, среднюю энергию, средние потоки
импульса и энергии и другие связанные с ними величины
(см. §6.1).
Функции распределения определяют иА скорость процессов,
связанных со столкновениями частиц, — процессов обмена импуль-
импульсом, энергией, процессов возбуждения, ионизации и рекомбинации
(см. § 3.3). Так, число парных столкновений частиц сорта а со
скоростями в интервале vadva с частицами сорта р со скоростями
vp dv$ в единице объема в единицу времени в соответствии с
B.47) можно записать в виде
(V«. УЭ, Ф) = (nafa dS Va) (/1Э tf d* ifc) V# O^ dQ, C.9)
где первые два сомножителя определяют плотность частиц аир
в выделенных интервалах скоростей; vap = va — vp — отно-
относительная скорость; a<g} — дифференциальное сечение столкно-
столкновений данного типа (р). Полное число таких столкновений в единице
объема в единицу времени получается в результате интегрирования
по углам и по скоростям частиц аир:
(ЗЛО)
Его можно выразить также через частоты столкновений [см.B.49)]:
C.11)
где v^Jp =n^apSap (t;ap). Аналогичные выражения можно получить
для передачи энергии и импульса при столкновениях (см. § 3.3).
§ 3.2. Кинетическое уравнение
Получим теперь уравнение для функции распределения заря-
заряженных частиц плазмы F = /г/. Функция распределения, пред-
представляющая концентрацию частиц в шестимерном пространстве,
дает число частиц в каждом его элементе. Поэтому для определения
изменений функции распределения, связанных с различными при-
80


/
Vxdt
T
I /
dy
dz
1
dx
X
чинами, надо рассмотреть их влияние на число частиц в элементе
шестимерного объема. Изменение числа частиц каждого сорта в эле-
элементе rdr, vdv может быть вызвано, во-первых, возникновением
новых и исчезновением существующих частиц (применительно
к заряженным частицам, например, в результате ионизации и ре-
рекомбинации) и, во-вторых, тем, что потоки, «втекающие» в рассмат-
рассматриваемый элемент шестимерного объема и «вытекающие» из него,
могут не компенсировать друг друга*. Эти потоки связаны с пере-
перемещением частиц и с измене-
изменением их скорости под дейст-
действием различных сил.
Определим сначала измене-
изменение числа частиц в элементе
rdr, vdv, связанное с их пере-
перемещением. Рассмотрим, напри-
например, «втекание» частиц в этот
элемент в направлении оси х
через площадку dydz (рис. 3.1).
За время dt через площадку
пройдут все частицы, которые
находятся от нее на расстоянии Рис. 3.1
меньшем vxdt. Число частиц
равно произведению плотности частиц, относящихся к рассмат-
рассматриваемому интервалу скоростей nfd*v, и объема, ограниченного
площадью dydz и высотой vxdt, т. е. (nfvx)xdtd3vdydz, причем ве-
величины п, /, vx должны быть определены в точке х. Число выте-
вытекающих из объема через площадку dydz частиц получается таким
же образом, но оно должно быть определено в точке х + dx, т. е.
(nfvx)x+dx dtdsvdydz. Разность этих потоков дает изменение числа
частиц в объеме, связанное с движением вдоль оси х:
[d(nf)/dt]xdtd*rdsv = l(nfvx)x — (nfvx)x+dx]dtd*vdydz -
= — ld(nfvx)/dx]dtdsrdB v,
где разность значений nfvx в двух близких точках определена через
частную производную по х, которая берется при фиксированных
значениях остальных шести переменных (t, у, z, vx, vy, vz). Сокра-
Сокращая полученное соотношение на dt и на элементы объема сРг и
d?v, находим скорость изменения функции распределения, свя-
связанную с движением частиц вдоль оси х:
ld(nf)/dt]x = — д (nfvx)/dx - — vx д (п f)ldx.
Аналогичные выражения получаются для компонент (dnfldt)y и
(dnfldf)z. Их сумма определяет полное изменение функции распре-
* Заметим, что изменение функции распределения под действием потока
частиц в шестимерном пространстве аналогично изменению обычной трех-
трехмерной плотности, входящему в дивергенцию потока.
81


Делейия, обусловленное движением частиц!
[d{nf)ldt]T = — vxd{nf)ldx — vyd(nf)/dy — vzd(nf)/dz=
= —v grad (nf).
C.12)
Найдем теперь изменение числа частиц в элементе rdr, vdv, вы-
вызванное изменением их скорости. Рассмотрим поток частиц в эле-
элемент объема пространства скоростей через «площадку» dvydvz
(рис. 3.2). Он связан с х-компонентой ускорения йх. За время dt
через границу в объем попадут частицы, ^-компонента скорости
которых находилась в пределах от vx до vx — axdt. Полное число
частиц в элементе объема d3r
равно nd3r. Доля частиц, у ко-
которых х-компоненТа скорости
находится в пределах Avx =
-- axdt, а компоненты vy и vz ле-
лежат в пределах dvyy dvzi со-
составляет faxdtdvydvz. Поэтому
число частиц, входящих в эле-
элемент объема через площадку
dvy,dvz, равно (nfax)Vxdtd3rdvydvz,
причем величины п, /, ах дол-
должны быть определены, при
х-компоненте скорости vx. Чис-
Число частиц, выходящих из рас-
рассматриваемого элемента из-за изменения их скорости, полу-
получается таким же образом, но при скорости vx + dvx, т. е.
(nfax)vx+dvx dtd3rdvydvz. Разность этих потокочв дает изменение числа
частиц в результате их ускорения в направлении оси х:
[д (nf)/dt]vx dtd3 rd3v=— [д (nfax)/dvx] dt d3 rd3 v,
где частная производная d/dvx берется при фиксированных значе-
значениях всех остальных переменных (t, х, у, z, vy, vz). Аналогичные
соотношения получаются для изменения числа частиц под дейст-
действием ускорения в направлениях у яг. Их сумма определяет полное
изменение функции распределения в результате изменения ско-
скорости частиц:
Пег—..— Л t»
г~ t-
1
ж5\
V
/
Рис. 3.2
[д {nf)ldt]v =
dvx
(nfax) —
dvv
dv*
(nfaz). C.13)
Входящее в C.13) ускорение частиц определяется действующей
на них силой: а = F/m. На заряженные частицы плазмы действуют
силы электрического и магнитного полей*. Ускорение, вызванное
этими силами, имеет вид
C.14)
* Мы пренебрегаем здесь действием гравитационных сил, существенных
для плазмы некоторых космических объектов.
82


где Е и Н — соответственно напряженности электрического и маг-
магнитного полей; Ze — заряд частиц. При подстановке C.14) в C.13),
следует учитывать, что каждая из компонент ускорения не зависит
от параллельной компоненты скорости. Сила ZeE вообще не зависит
от v, лоренцева сила (Ze/c) [v X Н] зависит только от компоненты
скорости, перпендикулярной ей. Поэтому в C.13) компоненты уско-
ускорения можно вынести за операторы производных. Тогда получим
Id (nf)/dt]v =
= — ахд (nf)/dvx — ауд {nf)ldvy — azd (nf)/dvz =* — a grady(n/),
где grady — оператор градиента в пространстве скоростей с ком-
компонентами d/dvx, d/dvy, d/dvz. Учитывая C.14), находим изменение
функции распределения, связанное с ускорением в электрическом
и магнитном полях:
ld(nf)/dt]E.H=-—\E + -^^Igrad, (nf). C.15)
ml с \
Электрическое и магнитное поля, действующие на каждую ча-
частицу, складываются из внешних по отношению к плазме полей
и полей, создаваемых всеми остальными частицами. Эти послед-
последние, в сущности, представляют силы взаимодействия частиц.
Обычно силы взаимодействия удается разбить на два класса. Пер-
Первый связан с коллективными движениями сравнительно больших
объемов частиц. Здесь причинами возникновения этих сил могут
быть разделение зарядов и протекание токов, приводящие к появ-
появлению макроскопических электрических и магнитных полей. Про-
Пространственные масштабы изменения этих полей много больше сред-
средних расстояний между частицами. Поэтому по отношению к группам
частиц, входящих в каждый из элементов rdr, vdv, поля, связанные
с коллективными движениями, можно считать внешними. Их можно
обычно определять цо усредненным значениям пространственного
заряда и тока, не учитывая флуктуации, связанных с хаотическим
движением частиц.
Второй вид взаимодействия — «близкое» взаимодействие частиц—
можно свести к столкновениям. Как отмечалось в гл. 2, упругие
и неупругие столкновения заряженных частиц с нейтральными
могут рассматриваться в кинетике плазмы как точечные. Это озна-
означает, что влияние их на траекторию заряженной частицы может
быть^ сведено к мгновенному изменению вектора скорости частицы,
Хотя кулоновское взаимодействие заряженных частиц весьма про-
протяженно, его, как указывалось в § 2.4, также можно представить
в виде последовательности точечных столкновений. Каждое точеч-
точечное столкновение, очевидно, эквивалентно двуединому акту: ис-
исчезновению заряженной частицы со скоростью, которая была до
столкновения, и появлению в том же месте частицы с новой ско-
скоростью. Поэтому все упругие и неупругие столкновения заряжен-
заряженных частиц можно рассматривать вместе с процессами ионизации
83


и рекомбинации как процессы, приводящие к изменению числа
частиц внутри элемента объема шестимерного пространства. Изме-
Изменение числа частиц в элементе rdr, vdv, связанное со столкнове-
столкновениями, запишем в виде [б (nf)/8t] cPrcPv. При этом, поскольку
различные столкновения происходят независимо друг от друга,
скорость изменения функции распределения, связанного со столк-
столкновениями различного типа, можно просуммировать. Проделаем
это, например, для частиц сорта а:
/а). C.16)
Здесь суммирование распространено на все сорта частиц р и
все виды столкновений р. Явный вид слагаемых S% для неко-
некоторых типов столкновений будет дан в § 3.3.
Складывая полученные выражения для изменения функции
распределения, связанного с перемещением частиц [д {nf)ldt]T C.12),-
с изменением скорости в электрическом и магнитном полях
[д {nf)ldt\EtH (ЗЛ2) и со столкновениями б (nf)/8t> находим уравне-
уравнение для функции распределения:
д (nf)/dt = — vgrad (nf)— (Ze/m) {e + -1 [v x H]}gradD (nf) +
+ 8(nf)/8t,
или, перенеся второй и третий члены в левую часть,
д (nf)/dt+ vgrad (nf) + (Ze/m) |e + -i- [v x H]Jgrad, (nf) =
= 6 (»/)/«*. C.17)
Это уравнение называется кинетическим, или уравнением Больц-
мана. Его можно записать для частиц каждого сорта (электронов,
ионов, нейтральных частиц). Для установления конкретного вида
уравнения надо определить в нем поля Е, Н и столкновительные
члены б (nf)/8t. Как указывалось выше, поля Е и Н могут быть свя-
связаны не только с внешними источниками, но и с пространственными
зарядами и токами, создаваемыми заряженными частицами плазмы.
Их самосогласованное определение требует в общем случае исполь-
использования уравнений поля, в которых в число источников включены
плотности заряда и тока заряженных частиц, определяемые с по-
помощью их функций распределения. При этом нужно совместно рас-
рассматривать кинетические уравнения и уравнения поля.
§ 3.3. Столкновительный член кинетического уравнения
Как было отмечено, столкновения различного типа аддитивно
входят в столкновительный член кинетического уравнения C.16).
Поэтому их влияние на функцию распределения можно рассматри-
рассматривать независимо. Определим сначала изменение функции распре-
распределения, связанное с упругими столкновениями, например изме-
84


нение функции распределения частиц сорта а в результате их уп-
упругих столкновений с частицами сорта р. Для этого найдем изме-
изменение в результате столкновений числа частиц а, находящихся
в элементе объема rdr и в интервале скоростей vadva. Это число
определяется функцией распределения:
Рассматривая столкновения как точечные, будем считать, что они
приводят к резкому изменению скоростей сталкивающихся частиц
и не влияют непосредственно на их положение в конфигурационном
пространстве. В частности, каждое упругое столкновение в выде-
выделенном интервале скоростей
приводит к изменению скорости
частицы а и к выходу ее из это-
этого интервала. Определим число
столкновений рассматриваемых
частиц а с частицами C со ско-
скоростями в интервале vpdvp [их
плотность равна dn$ = яр(г)/р(г,
vp) d3ap]. Как было показано в
§2.1,2.2, при упругом столк-
столкновении законы сохранения од-
однозначно определяют связь меж-
между начальными скоростями va,
vp и конечными скоростями ча-
частиц v^, Vp, если заданы углы
рассеяния Ф, я|). Поэтому столк- Рис. 3.3
новение частиц из интервалов
vadva и vpdvp, сопровождающееся рассеянием в телесный угол
dQy приводит к их переходу во вполне определенные интервалы
пространства скоростей \'advi и vpdvp (рис. 3.3). Число таких столк-
столкновений в единицу времени определяется дифференциальным по-
поперечным сечением [см. B.46)]
dQ(Va,Vp|vi,v?)=?Wa
= па Яр /a (Vo) /p (Vp) flap ва
,ft)dQd3vad*v$d3r9 C.18)
где vap = va — vp — относительная скорость. Полный уход
частиц а из рассматриваемого элемента объема в результате их
упругих столкновений с частицами |3 получим, суммируя C.18)
по углам рассеяния и по скоростям частиц f}:
/а Ы /р (Vp) Уар 0ар (t;ap, ф) dQdB V* d3 Op.
(ЗЛ9)
Столкновения могут также приводить к попаданию частиц a
в рассматриваемый элемент vadva из других элементов. В частно-
частности, к этому приводят столкновения, обратные по отношению к
85


рассмотренным выше (см. рис. 3.3),—столкновения частиц из эле-
элементов VadVa и vpdvp, определяющиеся углами поворота вектора
относительной скорости О' = — О ия|/ =*= —-ф. Число таких столк-
столкновений в единицу времени можно записать аналогично C.18):
va, vp) = na щ fa (v«) /p (vp) uap aap, (uap, 0) d^d3 Va d3 up.
C.20)
Здесь учтено, что относительная скорость не изменяется при упру-
упругом столкновении (t>ap = ^ар). Полный прирост частиц а в элементе
vadva можно получить, проинтегрировав C.20) по всем комбинациям
углов Q и скоростей \а и Vp, которые приводят к заданному значе-
значению скорости va:
\ \ fa (va) /р (Vp) t^ap 0ap (%p, -ft)
C.21)
Проще всего учесть условие va = const, перейдя от интегрирования
по переменным v«, vp (скоростям после столкновения) к интегри-
интегрированию по переменным va, vp (скоростям до столкновения). Как
уже отмечалось, связь между этими скоростями при заданных уг-
углах рассеяния однозначна. Нетрудно убедиться, что якобиан та-
такого перехода равен единице, т. е. в подынтегральном выражении
можно положить* dzv'a d3fp = d3vad3v$. Поэтому интегрирование
по скоростям v^, Vp при va = const в C.21) после перехода к va,
vp можно заменить интегрированием по vp. Тогда получим
fa (va) /р (vp) Va& о (Va&, О) dud* v$ d* va, C.22)
где скорости v« и vp должны быть выражены через va и vp с по
мощью законов сохранения.
Соотношения C.19) и C.22) позволяют определить изменение
числа частиц а в элементе rdr, vadva вследствие упругих столкно-
столкновений с частицами |3:
*= па Щ Г J v (fa fр — /a fр) ^ap aap dQd3 t^p 1 d3 va d3 r,
L(^)(Q) J
где для краткости введены обозначения /a (а<?) = /a, /p(vp) = /p.
Окончательно для скорости изменения функции распределения,
* В этом можно убедиться, перейдя от интегрирования по va и v» к ин-
интегрированию по v0 (скорость центра инерции) и vag (относительная скорость)
с помощью формул §2.1. Поскольку упругие столкновения вообще не изменяют
скорость v0, а изменения скорости vap сводятся к ее повороту, в этой системе,
очевидно, dsvfQd3v^
86


связанной с упругими столкновениями, получаем
C.23)
(Q)
Аналогично можно найти изменение функции распределения,
обусловленное неупругими столкновениями. Определим его для
неупругих столкновений, связанных с изменением внутреннего
состояния участвующих в столкновении частиц (ионов или ато-
атомов). При рассмотрении таких столкновений надо использовать
функцию распределения, задающую распределение частиц не толь*
ко' по пространственным координатам и скоростям, но также и по
их внутренним состояниям. Соответственно будем считать функцию
распределения зависящей от совокупности квантовых чисел, ха-
характеризующих внутреннее состояние; обозначим эту совокупность
индексом /, нумерующим все дискретные состояния (в том числе
и различные вырожденные состояния, характеризующиеся одина-
одинаковой внутренней энергией). Определим, как и раньше, изменение
числа частиц а, находящихся в элементе объема rdr и в интерва-
интервале скоростей vdv в результате их столкновений с частицами |3,
сопровождающихся заданным изменением внутреннего состояния
частиц. Столкновения выделенной группы частиц а по-прежнему
приводят к уходу частиц из рассматриваемого элемента. Числр
столкновений такого типа, просуммированное по всем углам рас-
рассеяния и по всем скоростям частиц р, определяется формулой,
аналогичной C.19):
dQ" (/a h
Па Щ
fа (va, ja) X
X
« [J (
C.24)
в которой a\alfi—дифференциальное сечение рассматриваемого
процесса.
Так же как и раньше, определим и число обратных неупругих
процессов, приводящих к появлению частиц а в интервале ско-
скоростей vadva:
C.25)
2' d* ^ |Va=const.
Поскольку интегрирование должно проводиться при условии va =
= const, удобно и здесь перейти от неременных v?, vp к переменным
va, vp. Для такой замены можно воспользоваться принципом де-
детального равновесия, в соответствии с которым вероятности пря-
прямых и обратных переходов между различными состояниями долж-
87


йы быть равны. Для рассматриваемых переходов имеем
!?!? («ie, *) d* vi ds v't
a p
Учитывая это равенство, получаем с помощью C.24) и C.25) из-
изменение числа частиц а и связанное с ним изменение функции рас-
распределения:
1
(vp) <
/а (ve, /а) /р (vp, /р)] о«э а '« f (у«р, d) dQd» о,. C.26)
Просуммировав выражение C.26) по всем начальным состоя-
состояниям частиц р (по /р) и по всем возможным переходам (по всем воз-
возможным значениям j'a и /р), получим полное изменение функции
распределения частиц а в результате их столкновений с части-
частицами р:
S ^^^. C.27)
Выражение C.27) учитывает все виды парных столкновений частиц
аир. Столкновительный член кинетического уравнения для функ-
ции распределения частиц а C.16) можно получить суммированием
выражений C.27) по всем «сортам» частиц р. В сумму входит также
интеграл, учитывающий столкновения частиц а между собой (слу-
(случай при р = а), он должен быть включен с весом 1/2, так как
при р=а каждое столкновение в интеграле учитывается дважды.
В случае необходимости в столкновительный член могут быть
включены также столкновения с участием трех частиц (например,
процессы ионизации и рекомбинации при столкновениях).
Таким образом, столкновительный член кинетического уравне-
уравнения представляет собой сложное интегральное выражение. Его
называют поэтому интегралом столкновений. При учете столкно-
вительного члена кинетическое уравнение C.17) оказывается ин-
тегро-дифференциальным, включающим частные производные по
семи независимым переменным и интегральные операторы. Кроме
того, из C.27) видно, что в общем случае кинетические уравнения
для различных компонент плазмы не являются независимыми.
Связь между ними обусловлена тем, что в подынтегральное выра-
выражение столкновительных членов для парных взаимодействий вхо-
входят функции расцределения двух сортов частиц. Такая связь есте-
естественна, так как при столкновениях частицы обмениваются энергией
и импульсом, что приводит к взаимному влиянию их распределений
по скоростям. Решение системы «зацепляющихся» интегро-диффе-
ренциальных уравнений в общем случае—чрезвычайно сложная
задача. Однако во многих конкретных ситуациях удается найти
возможности для ее упрощения.
88


Одна из таких возможностей относится к решению кинетическо-
кинетического уравнения для электронов. Она основана на том, что из-за ма-
малой массы электронов их скорость практически всегда много больше
скорости тяжелых частиц. Во многих случаях можно считать так-
также, что и средняя кинетическая энергия электронов много больше
средней энергии тяжелых частиц. При этом интеграл столкновений
электронов с тяжелыми частицами практически не зависит от их
функций распределения. Соответствующее выражение для него
может быть получено из общих формул. Проще, однако, получить
его непосредственно, полагая атомы неподвижными. Для того
ч?обы сделать это, определим изменение плотности электронов,
скорость которых находится в интервале ve dve. Эта плотность
равна nefed?ve. Скорость ухода электронов (находящихся в единице
объема) из рассматриваемого элемента пространства скоростей
в результате столкновений с атомами равна
dQ- = nane\veo (ve, Ф) dufe (ve) d3 ve. C.28)
Появление электронов в рассматриваемом элементе связано с об-
обратными столкновениями. Скорость появления электронов имеет
вид
\'e (v'e,G)dQfe(vl)d?v'e, C.29)
где при заданных углах рассеяния (при фиксированном dQ) ско-
скорость электронов после столкновения v'e однозначно связана с их
скоростью до столкновения. Разность dQ+ и dQ~ дает изменение
функции распределения электронов
х
C-30)
Отношение элементарных объемов пространства скоростей для
упругих столкновений определяется изменением значения скорости
Учитывая это, получаем интеграл столкновений электронов с тя-
тяжелыми частицами в виде
Seea=zna^ Г [v'e*Oea(v^$)fe(v'e)-V*eea(Ve,<(>)fe(Ve))dQ.] C.31)
Ve i)
Выражение C.31) справедливо как для упругих, так и для неуп-
неупругих столкновений электронов при условиях, когда их энергия
много больше энергии атомов. Поскольку оно не зависит от функ-
функции распределения атомов, кинетическое уравнение для функции
89


распределения электронов не связано с кинетическими уравнения-
уравнениями тяжелых частиц.
Другая возможность упрощения столкновительного интеграла
относится к упругим столкновениям заряженных частиц друг с дру-
другом. Как было показано в § 2.4, при таких столкновениях опре-
определяющую роль играют далекие взаимодействия, приводящие
к малому изменению скорости. Легко показать, что интеграл столк-
столкновений в этом случае может быть представлен как дивергенция
плотности потока в пространстве скоростей:
S(nf) = - div. Г, = - (dTvx/dvx + dTJdvy + dTJdvz), C.32)
где компоненты вектора плотности потока равны
Tvk = nf <Aflfe>-4- У -Г" [nf <AVl AVk)l1 C*33)
а величины <At;fe>! и (ЬюхЬя)ъ>х просуммированы по столкнове-
столкновениям, испытываемым частицей в единицу времени.
Вычисление <At;ft>] и (AviAv^ для столкновений с малым
изменением скорости приводит к следующему выражению для
компонент плотности потока частиц а, связанного с их столкнове-
столкновениями с частицами р:
*1ПЧЪ J V
()
C-34)
Это выражение 0ыло получено Ландау при исследовании влияния
кулоновских столкновений на функцию распределения и часто
используется для рассмотрения процессов в сильноионизованной
плазме. Столкновительный член, получающийся при подстановке
C.34) в C.32), называют интегралом столкновений Ландау.
Соотношения C.33), C.34) можно записать в виде векторного
равенства
nf). C.35)
Первое слагаемое определяет направленное изменение скорости
частиц данного сорта в результате их столкновений с другими ча-
частицами, которое можно назвать эффектом трения; соответственно
вектор g называют коэффициентом динамического трения. Второе
слагаемое описывает поток, связанный с производными функции
распределения по компонентам скорости. Он направлен в сторону
уменьшения функции распределения, т. е. стремится выровнять
ее. По аналогии с диффузионным потоком в конфигурационном
пространстве (пропорциональным градиенту концентрации) этот
поток называют диффузией в пространстве скоростей, а тензор
Dv — коэффициентом диффузии,
90


Подставляя столкновительный член C.32) в (ЗЛ7), приведем
кинетическое уравнение к виду
d{nf)ldt + div (vnj) + divJ(F/m) nf + Fv] = 0. C.36)
Второй член в уравнении определяет дивергенцию потока в коор-
координатном пространстве, связанного с движением частиц, третий
член — дивергенцию потока в пространстве скоростей* связанного
с внешней силой F и со столкновениями. Сумма этих членов опреде-
определяет дивергенцию в шестимерном пространстве. Поэтому кинети^
ческое уравнение в форме C.36) представляет собой уравнение
непрерывности для функции распределения в шестимерном про^
странстве. Его называют уравнением Фоккера — Планка. Исполь-
Использование этого уравнения в ряде случаев существенно облегчает
решение кинетических задач.


ГЛАВА 4
РАВНОВЕСНАЯ ПЛАЗМА
§ 4.1. Функция распределения в равновесной плазме
В этой главе рассмотрим характеристики плазмы, находящей-
находящейся в состоянии статистического или термодинамического равновесия.
Прежде всего определим функции распределения частиц в равно-
равновесной плазме. В замкнутой системе при отсутствии внешних сил
равновесное состояние является пространственно-однородным. Ки-
Кинетическое уравнение C.17) для частиц однородной плазмы при от-
отсутствии внешних сил имеет вид
d(nafa)/dt = 8(nJa)/8t D Л)
Для стационарного состояния уравнение сводится к условию обра-
обращения в нуль столкновительного члена. В случае, когда сущест-
существенны только упругие столкновения, его можно записать следующим
образом:
S I ^ = Q: D.2)
Уравнение D.2), очевидно, удовлетворяется, если для функций
распределения выполняется соотношение
/a(vi)/pW)=/a(Va)/PN D.3)
для любых пар частиц.
Как будет показано в § 4.2, при произвольных начальных "ус-
"условиях функции распределения со временем стремятся к стацио-
стационарному состоянию, определяемому соотношением D.3). Пролога-
Прологарифмировав это соотношение, получим
In /a К) + In /э (v?) = In fa (va) + In /p (v3). D.4)
Это равенство означает, что сумма логарифмов функции распреде-
распределения не изменяется при столкновениях. Как было установлено,
имеется четыре независимые комбинации скоростей частиц, сумма
которых не изменяется прд упругих столкновениях,—три компо-
компоненты импульса pk = тхк и кинетическая энергия К = mv2/2
(см. § 2.1). Очевидно, ln/(v) должен быть их линейной комбинацией:
In /a = a + bx ma vax + by тъУау + К та vaz—ста v^/2 =
= а'-с (ma/2) [(vax-bjc)* + (vay-by/cJ + (vaz -bjc)% D.5)
92


Нетрудно убедиться, что при этом сумма In / для любых пар частиц
сохраняется, если постоянные коэффициенты a, bk> с одинаковы
для всех частиц.
Обозначая bjc = ux, bylc = uyy bjc = uz, с = 1/71, находим
U = А ехр { - (mJ2T) \{vax — ихJ +
+ (v*y - uyf + (vaz - uzf\) = A exp l(-mJ2T) (v - uJ]. D.6)
Константу А можно найти из условия нормировки C.4):
A j
(v)
J j
()(
j ехр [ ^ (У — uJ] ds v =
()
exp [™-^(v-uJ]^dt;,dt;z=l. D.7)
Тройной интеграл здесь является произведением трех однотипных
интегралов, каждый из которых равен
оо
J
Подставляя этот результат в D.7), получаем А = (mJ2nTK/21
Таким образом, функция распределения принимает вид
/«W = (та/2лТK/2 ехр [ — (mJ2T) (va — uJ]. D.8)
Описываемое ею распределение скоростей называется, как извест-
известно, распределением Максвелла.
Функция распределения D.8) может быть представлена как про-
произведение одномерных функций fa (va) = fx (vax) fy (vay) ft Кг), где
D.9)
Каждая из них, как следует из C.5), дает распределение по одной
из компонент скорости.
Входящие в функцию распределения D.8) параметры и и Т
определяют среднюю скорость и среднюю энергию частиц. Покажем
это. Среднее значение любой из компонент скорости можно найти
93


? пбМощЬю одномерных функций распределения D.9):
оо
D.10)
Среднюю скорость и называют еще направленной скоростью. По-
Поскольку вектор и одинаков для частиц всех сортов, он определяет
движение всей плазмы в целом. Поэтому при рассмотрении физи-
физических характеристик удобно перейти в систему отсчета, в которой
направленная скорость равна нулю. Найдем среднюю кинетическую
энергию частиц в этой системе — среднюю энергию хаотического
движения. Составляющие средней энергии, связанные с каждой
из компонент скорости, равны
/ ma \з/2 ? т (vh-uh)» Г ота
-(¦sr) J -^-2 ехР[
ш
Их сумма дает среднюю энергию:
Формула D.11) показывает, что параметр 7, определяющий
среднюю энергию хаотического движения, представляет собой тем-
температуру системы. Таким образом, упругие столкновения приводят
к максвелловскому распределению скоростей частиц всех сортов
[см. D.8)] с одинаковой средней энергией и одинаковой направленной
скоростью.
Определим теперь влияние неупругих столкновений на функцию
распределения частиц равновесной плазмы. Для этого восполь-
воспользуемся формулой C.27) для столкновительного члена, учитываю-
учитывающей неупругие столкновения. В ее подынтегральные выражения,
как и в D.2), входит разность произведений функций распределения
до и после столкновения (/«/?—/a/э)- Поэтому условие обращения
94


в нуль столкновительного члена и для неупругих столкновений
можно записать в форме D.3) или D.4). Однако для неупругих
столкновений надо учитывать возможность изменения внутреннего
состояния частиц; при этом в закон сохранения энергии входят не
кинетические, а полные энергии частиц Еа}- = та vSJ2 + <?а/ (*а/—
внутренняя энергия в состоянии /). Соответственно In / для частиц
каждого сорта должен быть линейной комбинацией компонент им-
импульса и полной энергии [ср. D.5)]:
In fa (V«, /a) = Я + Ьша Va — cEaj = п + Ъта Va—Cma vl/2 — C^aj.
D.12)
* С помощью D.12) получим так же, как и раньше, функцию рас-
распределения
fa (va, /a) = А ехр [ — та (va—uJ/2T] exp (—««//Г); D.13)
она дает распределение как по скоростям, так и по внутренним
состояниям. Нормировочная постоянная Л определяется в резуль-
результате интегрирования D.13) по скоростям и суммирования по всем
состояниям дискретного спектра:
Л2ехр(—
/ (V)
Отметим, что при суммировании по / в 2 учитываются все состояния
независимо от вырождения; в 2* вырожденные состояния учиты-
учитываются одним слагаемым, включающим статистический вес gt.
Подставляя А в D.13), находим нормированную функцию рас-
распределения. Ее можно представить в виде
/ (v«, Л =/v(va)/,(/), DЛ4)
где первый сомножитель представляет собой максвелловское рас-
распределение по скоростям D.8), а второй определяет распределение
по внутренним состояниям
f exp(-%j/T) _
2(
которое называют распределением Больцмана. Таким образом, и при
неупругих столкновениях равновесное распределение частиц по
скоростям остается максвелловским. В то же время неупругие столк-
столкновения приводят к равновесному распределению между различ-
95


ными внутренними состояниями атомов и ионов, определяемому
их энергией.
Равновесное состояние с максвелловской функцией распреде-
распределения по скоростям может быть и при наличии внешних постоянных
потенциальных полей, если направленная скорость равна нулю
(и = 0). Разумеется, в этом случае плазму нельзя уже считать
однородной. Кинетическое уравнение C.17) для стационарной функ-
функции распределения [при d{nf)ldt = 0] принимает вид
v grad (л/) + (F/m) grado(n/)'= 6 (nf)/8t D.16)
(для частиц любого сорта).
Предположим, что распределение скоростей определяется фор-
формулой D.8) при и = 0:
/ (у) = (т/2л7K/2 exp (—mvV2T). D.17)
Подставим его в D.16). Учитывая, что для этого распределения
столкновительный член б (я, f)/8t обращается в нуль, получаем
/v grad n — / (л/71) v F = 0. Далее, используя выражение силы
через потенциал [F = —grad1 (/(r)], приведем это уравнение
к виду A/л) grad л + A/Г) grad U = 0.
Интегрируя, получим зависимость концентрации от координат:
D.18)
где п0 — концентрация в точке U = 0. Эта формула называется
формулой Больцмана, а распределение пД определяемое D.17)
и D.18), — распределением Максвелла — Больцмана.
§ 4.2. Установление равновесной функции распределения
В предыдущем параграфе были определены функции распре-
распределения, удовлетворяющие стационарному кинетическому урав-
уравнению для равновесных условий. Покажем теперь, что любое одно-
однородное в пространстве распределение при отсутствии внешних полей
со временем стремится к равновесному. Введем функцию
#(*)=-2$ nafa\n(nafa)d*va. D.19)
а (М
В соответствии с термодинамическим определением она равна энтро-
энтропии единицы объема. Найдем характер изменения функции Н
во времени. Для этого вычислим ее производную
-?-=-2 С
1п("«/«и d{nZL) dS
*
В рассматриваемых условиях изменение функции распределения
-со временем определяется столкновительным членом [см. D.1)L


Полагая, что существенны только упругие столкновения, подста-
подставим в D.20) столкновительныи член в форме D.2). Тогда
dH
dt
JJJ f 1 + 1П (Па /а)] [fa h~
-fa /р] tfcp СГар dQrf8 % d3 ОЭ> D.21)
где суммирование нужно распространить на столкновения всех
возможных сортов частиц аи р.
Рассмотрим один из членов этой двойной суммы:
/ар = Па ftp \ffo [ 1 + In (Па fa)] [fa /p —/а /р] ^>ар <Уар ^Ш8 Уа d3 l/'p.
D.22)
Переобозначим формально скорости под интегралом va и vp (без
штриха) на va и vp (со штрихом) и наоборот. Поскольку столкно-
столкновения обратимы (каждому столкновению с изменением скоростей
va>Vp->va, vp соответствует обратное), это приведет лишь к изме-
изменению порядка суммирования столкновений, но не изменит самого
интеграла. После переобозначений он примет вид
/ар = Па ftp ^ [ 1 + In Па /a] [fa/р — /а /р] 0ар асф <^Ш3 Ua d3 Up.
D.23)
При упругих столкновениях относительная скорость уар и
сечение crap (yap) остаются без изменений. Кроме того, выполняется
равенство d3vad3v$ = d3vad3v$, так как якобиан перехода от пере-
переменных va, vp к va, vp равен единице (см. с. 86). Учитывая это
и складывая D,22) и D.23), получаем
/ар = ПаЩ \\\ (in——\{faf$—fa}
2 JJJ \ fa )
D.24)
Аналогичное выражение можно получить для /pa (из D.24) оно
получается в результате обмена индексов а и р). Сумма их равна
= -^-Яа"р fff(/a/p — fah)hn-rr) X
2 JJJ V /rv/ft /
X аар аар dQd3 t;a d3 v$.
Подставляя ее в D.21), находим
X
X t;ap aap dQd3 va d3 v$. D.25)
Аналогичное выражение для dtildt легко найти и при учете не-
неупругих столкновений. Для этого надо подставить в D.20) интеграл
4 Зак. 1227 97


столкновений в форме C.27) и при преобразованиях использовать
принцип детального равновесия B.83). В результате получим
уравнение, отличающееся от D.25) лишь тем, что правая часть
суммируется по всем состояниям частиц а и Р до и после столкно-
столкновения.
В подынтегральное выражение каждого слагаемого D.25) вхо-
входит фуНКЦИЯ (/<i/? — /а/р) 1П (/а/р//а/р). ЕСЛИ Щ > /а/р, ТО
оба сомножителя в ней положительны; если /«/р < /а/р, оба со-
сомножителя отрицательны. Поэтому независимо от значения ско-
скоростей функция не может быть отрицательной. Поскольку этот
вывод справедлив для любого из слагаемых, входящих в D.25)
(и в аналогичное выражение, учитывающее неупругие столкнове-
столкновения), можно заключить, что
dHldt > 0, D.26)
т. е. функция Н может только увеличиваться со временем (этот ре-
результат называют Н-теоремой Больцмана). В то же время функция Н
не может стать бесконечно большой. Действительно, в определяющих
ее интегралах D.19) при конечных скоростях подынтегральные
выражения конечны, а при v -> оо функции распределения /(v) ->-
-> 0 и входящие в интегралы произведения nf In (nf) также стре-
стремятся к нулю. Таким образом, при любых начальных распределе-
распределениях скоростей частиц через достаточно большое время должно
установиться стационарное распределение, при котором dH/dt = 0.
Поскольку все входящие в D.25) слагаемые неотрицательны, обра-
обращение в нуль суммы возможно, только если для любых столкнове-
столкновений удовлетворяются равенства D.4) или
). D.27)
Как было установлено в предыдущем параграфе, эти равенства вы-
выполняются для всех столкновений при равновесных (максвеллов-
ских) функциях распределения по скоростям и при равновесных
распределениях по внутренним состояниям.
Таким образом, столкнозения между частицами приводят в одно-
однородной плазме к установлению равновесного распределения ча-
частиц; столкновения между частицами каждого сорта приводят
к «максвеллизации» распределения скоростей; столкновения частиц
разных сортов ведут к выравниванию средних скоростей и тем-
температур; неупругие столкновения способствуют установлению рав-
равновесного распределения по внутренним состояниям частиц.
§ 4.3. Ионизационное равновесие
Как было установлено, в равновесной плазме распределение
частиц по скоростям является максвелловским, причем определя-
определяющие его температура и направленная скорость одинаковы для всех
компонент. Поскольку направленная скорость характеризует дви-
движение плазмы в целом, она не может влиять на процессы, проис-


ходящие в плазме. Поэтому характеристики равновесной плазмы
однозначно определяются ее температурой и концентрацией ее
компонент. Знание функции распределения позволяет выяснить,
как происходят в плазме любые процессы, поперечное сечение ко-
которых известно. С ее помощью, в частности, определяется эффек-
эффективность ионизации и рекомбинации и из условия баланса этих
процессов (ионизационного равновесия) — соотношение между
концентрациями нейтральных и заряженных частиц. Однако это
соотношение в замкнутой равновесной плазме можно найти и без
анализа кинетики процессов ионизации и рекомбинации, основан-
основанного на использовании поперечных сечений. Для его определения
можно воспользоваться общими термодинамическими соотноше-
соотношениями.
Рассмотрим более подробно условия ионизационного равновесия
в замкнутой плазме. Как указывалось в § 2.8 и 2.10, в плазме воз-
возможны различные процессы ионизации и рекомбинации, причем
каждому процессу ионизации соответствует обратный процесс ре-
рекомбинации. Анализ каждого из них позволяет установить соотно-
соотношение между концентрациями нейтральных и заряженных частиц.
Рассмотрим для примера два процесса: 1) ударную ионизацию
L-\-e^LL+Jr2e (обратный процесс — тройная рекомбинация);
2) фотоионизацию L + hv t^ L+ + е (обратный процесс — реком-
рекомбинация с излучением).
Для первого процесса скорость протекания прямой реакции
(ударной ионизации) пропорциональна концентрациям нейтральных
атомов и электронов Qtl = kixnane. Соответственно скорость об-
обратной реакции пропорциональна квадрату концентрации электро-
электронов и концентрации ионов Qrl = ктлп\пг. В замкнутой равновесной
системе скорости прямого и обратного процессов должны быть рав-
равны. Приравнивая Qt к Qry получаем соотношение между концентра-
концентрациями частиц в виде
пещ1па = kixlkrl = Жг. D.28)
Для второго процесса (фотоионизации) скорости прямой и об-
обратной реакций определяются формулами Qi2 = ki2lna, Qr2 =
= ктгпепи где / — интенсивность равновесного излучения. При-
Приравнивая их, получаем
пещ1па = Iki2lkr2 = Ж%. D.29)
Величины Жх и Ж2 являются константами равновесия рассматри-
рассматриваемых процессов. Так как оба процесса идут одновременно в одной
и той же системе, то из D.28), D.29) следует, что Жг = Ж2 = J?. Это
означает, что в термодинамически равновесной плазме соотношение
между нейтральными и заряженными частицами не определяется
конкретным видом реакций ионизации и рекомбинации. Констан-
Константа равновесия Ж зависит только от температуры и внутренней
структуры частиц.
4* 99


Для определения этой константы воспользуемся термодйнамй*
ческими соотношениями для обратимых реакций. В общем виде
обратимую реакцию можно записать следующим образам:
аА + ЬВ + ... U тМ + IL + ... + А»,
где Л, В... — исходные компоненты, a M, L, ... — продукты реак-
реакции; малыми буквами обозначены стехиометрические коэффициен-
коэффициенты, определяющие соотношение между числом частиц различного
сорта, участвующих в реакции; Д$ — энергетический выход реак-
реакции, равный разности сумм внутренних энергий исходных компо-
компонент и продуктов реакции.
В состоянии равновесия полная энтропия системы должна быть
максимальна. Это означает, что частные производные от энтропии
по числу частиц любого сорта должны быть равны нулю. Посколь-
Поскольку общая энтропия аддитивно складывается из энтропии отдельных
частей всей системы
5 = SA + SB + ... + SL + SM + ...,
то условие максимума энтропии имеет вид
dN dN - dN dN dN dN •" '
+
dNA dNA dNB dNA - dNL dNA dNM dNA
где, очевидно, дЫв/дЫл = Ь/а, ...;
= — т/а, ... . Для каждой компоненты величина dSk/dNk равна
отношению химического потенциала (\ik) к температуре. Поэтому
условие равновесия реакции можно записать следующим образом:
ар а + Ьръ + ... = 1\1Ь + трт + ... • D.30)
Условие D.30) определяет так называемый закон действующих
масс.
Рассмотрим обратимую реакцию ионизации. В общем виде ее
можно записать с помощью равенства q + А ±? е + Л+ + qy где
q — частица, вызывающая ионизацию (это может быть электрон,
фотон, ион или нейтральный атом). Для такой реакции условие
равновесия D.30) принимает вид
Va = V>e+V>i D.31)
(ixq входят справа и слева и могут быть сокращены). Химический
потенциал компонент плазмы определим по формуле для идеаль-
идеального газа
lia = — Т In BJNa), D.32)
где Afa = naV — число частиц данного сорта в объеме плазмы;
2а — так называемая статистическая сумма
D.33)
100


В ней суммирование распространено на все состояния частиц а;
множитель ехр (—Eaj/T) определяет относительную вероятность
состояния с энергией Eaj (Eaj отсчитаны от общего уровня группы
частиц, участвующих в реакции); gaj — статистический вес. Под-
Подставляя D.32) в D.31), получаем условие равновесия в виде
Т In BJNa) = T In Be/AQ + Tin Bt/Ni)
или
ад/^а=2е2,/2а. D.34)
Уточним выражение для статистической суммы 2 [см. D.33)]
(для простоты индекс а будем опускать). Входящая в нее полная
энергия частиц складывается из энергии, связанной с внутренни-
внутренними степенями свободы <^-, и энергии поступательного движения К*
Соответственно величину 2 можно записать следующим образом:
2 = S gj gv exp [ - (Wj + К)IT] = 2 gj exp (— fy/T) X
1 1
D.35)
V
где 2 означает суммирование по внутренним состояниям, а 2 —
/ v
по скоростям. Первую сумму удобно представить в виде
i
D.36)
где выделена энергия основного (наинизшего) состояния частицы
<?0 и введена «внутренняя» статистическая сумма G. Энергию 9 0,
как указывалось, надо отсчитывать от общего уровня системы.
При этом, очевидно, разность энергии системы электрон — ион
до и после ионизации равна энергии ионизации
$0а—%oi — ^ое= —#*• [D.37)
Именно этот дефект энергий реакции ионизации входит в выражение
для соотношения статистических сумм D.34).
Внутренние статистические суммы атомов и ионов можно найти
по формуле
G = SB/+l)Bs+l)exp(-Ag/T), D.38)
где квантовые числа / и s определяют орбитальный момент коли-
количества движения и спин. При Т < А^г члены суммы D.38) быстро
падают. Обычно при расчетах для атомов в этой сумме можно ог-
ограничиться двумя членами, для ионов — одним. У электронов нет
внутренней структуры, и их внутренний статистический вес равен
G = 2, он соответствует двум направлениям спина.
Определим теперь статистическую сумму, связанную с поступа-
поступательными степенями свободы* Найдем число возможных состояний,
101


исходя из представлений квазиклассического приближения кван-
квантовой механики. Соотношение неопределенностей связывает интер-
интервалы координат и импульсов каждой частицы, которые нельзя раз-
различить: 8х8рх « 8у8ру ^ 8z8pz ж h. Относя их к одному состоя-
состоянию, определим объем соответствующей ячейки шестимерного про-
пространства: 6F> R = 8x8y8z8vx8vy8vz ж hs/ms.
Число состояний, приходящихся на интервал скоростей АC) v
во всем объеме плазмы V, равно
ЗР тзу
Подставляя его в статистическую сумму, получаем
SD = > gv exp = V > exp Л<3) v.
v jLi*v ^\ 2T ) № v ^ 2T *
Заменяя суммирование по скоростям интегрированием, находим
2,—J-V J exp (~^)dVv - ^-BятГK/2 D.39)
(V)
(см. вычисление этого интеграла на с. 93), С помощью D.35), D.36),
D.39) получим полную статистическую сумму
D.40)
Используя D.40) для частиц всех сортов и учитывая соотно-
соотношение D.37), приведем формулу D.34) к виду
Па
Эта формула, определяющая константу ионизационного равнове-
равновесия, называется формулой Саха. Она позволяет вычислить соотно-
соотношение между концентрациями заряженных и нейтральных частиц.
Учтя, что в квазинейтральной плазме пе = пг = пу получим из
D.41)
Подставляя в D.42) численные значения констант и полагая
Gt ж Ga, можно приближенно записать D.42) в виде
Здесь Т выражено в эв, п — в см~3. Степень ионизации газа опре-
определяется обычно как отношение числа ионов (щ) к полному числу
тяжелых частиц — атомов и ионов (п0 — nt + na). В соответст-
соответствии с D.42) она равна т) = пг/п0 = р/A + р).
102


На рис. 4.1 представлены зависимости степени ионизации от
температуры для водорода, гелия и цезия, вычисленные с помощью
D.42). Видно, что при достаточно больших температурах степень
ионизации резко увеличивается, достигая при Т ж 0,05 -f- 0,2 %г
значений, близких к единице. Кривые рис. 4.1 характеризуют пе-
переход от слабоионизованного состояния газа к состоянию ионизо-
ионизованной плазмы.
При выводе формулы Саха принималась во внимание лишь одно-
однократная ионизация. Для достаточно высоких температур следует
учитывать также и процессы многократной ионизации атомов
с Z > 1. Запишем соответствующую им реакцию ионизации
г
V
/
i
i
1
I
li
I
и
*з,мо
\
Г\/Г
I П
\\
hi
1
J
W
13cn'3
//(
/fr
/Л,1
I/
у |
4
A
ftp*
,—¦
4
/
л*
=?,7
zzTSfeZ
¦W19CM'3
Рис. 4.1
где Ak+ — ион с зарядовым числом k. Это равенство аналогично
равенству для однократной ионизации (отличие состоит в замене
атома А на ион Л*+). Поэтому оно приводит к формуле Саха, ана-
аналогичной D.41):
ехр ( _
\
D 43)
ni(k+\) m Gw \ т /
В ней индекс i (k) относится к иону Л*+, индекс i (k + 1) — к иону
4(*+1>+; %i(k) представляет собой энергию «отрыва» (k + 1)-го
электрона. Формулы D.43) для разных k позволяют определить
равновесные концентрации ионов с любым зарядом.
§ 4.4. Частичное равновесие в плазме
Плазма, создаваемая в лабораторных условиях, как правило,
далека от состояния термодинамического равновесия, поскольку
ее даже приближенно нельзя считать замкнутой системой. Нахо-
Находясь в контакте с окружающей средой, плазма непрерывно теряет
103


запасенную в ней энергию по различным каналам, главными из
которых чаще всего оказываются электромагнитное излучение и пе-
перенос энергии заряженными и нейтральными частицами на стенки
ограничивающего плазму баллона. Для поддержания плазменного
состояния необходима компенсация энергетических потерь за счет
внешних источников. В тех случаях, когда полные потоки посту-
поступающей и уходящей энергии одинаковые, достигается стационарное
состояние плазмы, которое, однако, термодинамически не равно-
равновесно, поскольку поступление и уход энергии из плазмы осуществ-
осуществляются обычно по разным каналам. В отсутствие термодинамиче-
термодинамического равновесия средние энергии электронов, ионов и атомов мо-
могут быть различными, а функция распределения частиц по скоро-
скоростям может отличаться от максвелловской.
В некоторых случаях может иметь место так называемое частич-
частичное равновесие по отношению к отдельным процессам. Как будет
показано ниже, в плазме при не слишком больших плотностях ча-
частиц существует состояние с почти максвелловским распределением
электронов и ионов по скоростям, для которого Тг ж Та, но
ТефТг> Такую плазму принято называть неизотермической.
Распределение для частиц данного сорта практически максвеллов-
ское, если для них скорость обмена энергией с частицами других
сортов и с внешней средой мала по сравнению со скоростью обмена
энергией между ними. Из-за большого различия масс обмен энер-
энергией между электронами и тяжелыми частицами происходит мед-
медленно. Поэтому можно говорить отдельно о частичном равновесии
электронной компоненты и тяжелых частиц. Все процессы, в ко-
которых участвует только одна компонента, в этих условиях должны
протекать так же, как и в термодинамически равновесной плазме.
В процессах ионизации и рекомбинации участвуют, вообще говоря,
все три компоненты плазмы. В связи с этим вопрос о применимо-
применимости термодинамических соотношений к расчету баланса числа за-
заряженных частиц в плазме должен решаться с учетом конкретных
условий.
Как правило, лишь одна из возможных реакций ионизации и од-
одна из реакций рекомбинации являются определяющими. Если они
идут по одному и тому же пути, то процесс взаимно обратим и для
вычисления константы ионизационного равновесия можно поль-
пользоваться соотношениями, полученными из термодинамических сооб-
соображений. Действительно, вероятности актов ионизации и реком-
рекомбинации зависят от относительной скорости взаимодействующих
частиц. Если массы частиц сильно различаются, то приближенно
можно считать, что относительная скорость равна скорости легкой
частицы. Поэтому условия применимости формулы Саха сводятся
к требованиям, чтобы прямая и обратная реакции, обеспечивающие
баланс заряженных частиц, шли по одному пути и чтобы понятие
частичного равновесия было применимо к легким компонентам
плазмы. В частности, если ионизации и рекомбинация происходят
вследствие неупругих соударений тяжелых частиц с электронами,
104


то в состоянии частичного равновесия должен находиться электрон-
электронный газ. Если же определяющими процессами являются фотоиони-
фотоионизация и излучательная рекомбинации, то в равновесии с электрон-
электронным газом должно, кроме того, находиться излучение.
Для оценок условий равновесия с излучением пользуются по-
понятием оптической толщины. Известно, что интенсивность направ-
направленного потока излучения при прохождении через однородную плаз-
плазму (так же как и через любую среду) ослабляется по экспоненциаль-
экспоненциальному закону / = /0 ехр (—ух)у причем коэффициент ослабления у
характеризует как поглощение, так и рассеяние излучения. Если
произведение у на характерный размер плазмы L (называемое оп-
оптической толщиной) мало, то по отношению к излучению плазма
является открытой системой. Соответственно вероятность взаимо-
взаимодействия как внешнего, так и возникшего внутри плазмы излучения
с частицами оказывается пренебрежимо малой. В противоположном
случае (оптически плотной плазмы) выход излучения в окружаю-
окружающее пространство возможен лишь в результате многократного «пе-
«переизлучения» и рассеяния. Излучение оказывается «запертым»
в объеме плазмы. При этом число квантов электромагнитного поля,
излучаемых с поверхности плазмы в единицу времени, много мень-
меньше числа квантов, поглощаемых и излучаемых частицами в объеме,
и можно говорить, что в объеме существует равновесная плотность
излучения.
В реальных условиях нередки случаи, когда плазма по отно-
отношению к излучению не является замкнутой системой, При этом
возникающее в результате рекомбинации излучение свободно вы-
выходит из плазмы. В таких условиях при не слишком высокой кон-
концентрации заряженных частиц ионизация и рекомбинация идут
разными путями. Ионизация осуществляется электронным ударом,
а устранение заряженных частиц в объеме—путем рекомбинации
с излучением. Если эффективность этого механизма устранения
значительно превосходит эффективность других механизмов (в ча-
частности, связанных с уходом частиц из объема), то стационарное
состояние достигается при равенстве скоростей названных процес-
процессов Qt = kixnane, Qr = kr%riine, которое приводит к соотношению
Ъ/Па = ktllkr^ D.44)
Это соотношение (называемое формулой Эльверта) показывает, что
в рассмотренных условиях степень ионизации определяется только
температурой и не зависит от концентрации частиц. Очевидно, что
в зависимости от конкретных механизмов ионизации и устранения
заряженных частиц возможны также иные соотношения, описыва-
описывающие ионизационное равновесие в плазме.
Вопрос о применимости тех или иных соотношений в реальных
системах сводится к анализу конкретного состояния плазмы. Этот
анализ требует установления вида функции распределения частиц
разных сортов и выяснения характера взаимодействия между ча-
частицами и излучением.
105


ГЛАВА 5
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
§ 5.1. О влиянии электрического поля
на распределение заряженных частиц по скоростям
Под воздействием внешних сил происходит отклонение функций
распределения частиц от равновесных. При этом могут измениться
не только средняя энергия и направленная скорость частиц, но
и вид функции распределения—ее зависимость от компонент ско-
скорости. Влияние сил на функцию распределения частиц различных
сортов различно. В электрическом поле заряженные частицы уско-
ускоряются, изменяя свою энергию. Магнитное поле изменяет траек-
траекторию движения. На нейтральные частицы эти силы вообще не
действуют. В большинстве случаев нейтральные частицы плазмы
имеют хороший контакт с окружающей средой (например, стенками
баллонов, содержащих плазму). Поэтому средняя энергия нейтраль-
нейтральных частиц ниже, чем энергия других компонент, а их распределение
по скоростям ближе к равновесному.
Оценим, при каких условиях электрическое поле существенно
влияет на распределение по скоростям заряженных частиц слабо-
ионизованной плазмы. Ускоряясь в электрическом поле, заряженные
частицы за время т между столкновениями приобретают дополни-
дополнительную скорость
AvE ж (еЕ/т) т « eE/tnv. E.1)
Соответствующее приращение энергии равно
АКЕ = т (v + Av?J/2 — mv2/2 = т\А\Е + т (Av*J/2,
или после усреднения (при <v> = 0)
< АКе > = < т (Av?J/2 > = < е2Е2/2 mv2 > E.2)
В то же время потери энергии заряженных частиц при столкнове-
столкновениях с нейтральными пропорциональны разности их энергий
(см. §2.1):
Atfv - к (К-Ка)< E.3)
В слабоионизованной плазме эти потери обычно преобладают. По-
Поэтому в стационарном состоянии средняя энергия, приобретаемая
в поле, должна равняться энергии, теряемой при столкновениях
106


= < Д/Cv). Баланс энергий определяет разницу средних
энергий заряженных и нейтральных частиц:
< К — Ка > « e2E2/mnv\ E.4)
где v и х — усредненные значения частоты столкновений и коэф-
коэффициента передачи энергии.
С помощью E.4) получим условие малого влияния электриче-
электрического поля на среднюю энергию (К — Ка ) {( К У ж Т или
Е « ?р- (vie) V%mT-УхТ/еХу E.5)
где X « vT/v « A/v) (Ут/m) — усредненная длина свободного про-
пробега. Если это условие не выполняется, т. е. Е ^ Ер, то сред-
средняя энергия заряженных частиц в соответствии с E.4) значительно
превышает среднюю энергию нейтральных частиц. При Е <(Ер
средняя хаотическая скорость определяется соотношением
vT = Y2~(Kyim « (l/Vn)eE/mv, E.6)
Средняя направленная скорость иЕ приблизительно равна усред-
усредненному приращению скорости за время между столкновениями
E.1), так как столкновения приводят к существенному изменению
направления скорости. Отсюда находим
иЕ — <At>?> ^ eE/mv = Vt ]^х. E.7)
Для ионов коэффициент передачи энергии при упругих столк-
столкновениях близок к единице (х « тг/та ж \). При этом усло-
условие E.5) принимает вид Е { Epi « Tt/eXia, или в численном виде
Е (в/см) { 102 Tt (эв) р (мм pm. cm.) (здесь использовано среднее
значение Xia « 10^2 /р, значения Xia в разных газах отличаются
от него не очень сильно). Если условие не выполнено, то средняя
энергия и функция распределения значительно отличаются от рав-
равновесных. При этом для ионов в соответствии с E.7) пе ~ Vt,
т. е. функция распределения существенно анизотропна.
Для электронов коэффициент передачи энергии обычно много
меньше единицы, при упругих столкновениях х ^ 2те/та. По-
Поэтому критерий слабого влияния электрического поля на функцию
распределения E.5) гораздо более жесткий, чем для ионов
Е { Ере=У%еаТе/еХеа. Для электронов в водороде, например,
при К < 2 эв Ер ж Т ер9 при /С > 2 эв Ер « 1,5Т|/2р, в неоне
Ер « 5 • 10~2 Т ер (здесь Ер дано в в/см, Те—вэв,р — в мм pm. cm.).
Отсюда видно, что уже в сравнительно слабых электрических полях
средняя энергия электронов определяется полем. При этом, однако,
независимо от значения поля направленная скорость E.7) много
меньше хаотической ue/vt ~~ Vx, т. е. анизотропия функции рас-
распределения мала. Относительно малое значение направленной ско-
скорости связано, как уже отмечалось, с тем, что при каждом столкно-
столкновении электрон сильно изменяет направление движения, в то время
107


как значения скорости и энергии изменяются очень мало (А/С ^
« х/С), т. е. электрон «накапливает» свою энергию на протяжении
многих-периодов между столкновениями. Другими словами, время
релаксации импульса определяется временем между столкновения-
столкновениями (тр ж 1/v), а время релаксации энергии много больше этого
времени (т^ « 1/w}tp).
В сильноионизованной плазме при рассмотрении баланса энер-
энергии электронов надо учитывать их столкновения не только с ней-
нейтральными частицами, но и с ионами. При этом условие малого
влияния электрического поля на среднюю энергию электронов мож-
можно по-прежнему представить в виде неравенства E.5), используя
суммарную частоту столкновений электронов с атомами и ионами
ve = vea + vei. Заметим, что при приближении напряженности
электрического поля к критической E.5) нагрев электронов при-
приводит к уменьшению частоты их столкновений с ионами (vei ~
~ 1/TJP). Уменьшение v вызывает в свою очередь увеличение
энергии, получаемой электронами от поля E.2), и уменьшение по-
потерь энергии E.3), т. е. приводит к дальнейшему росту электронной
температуры. Этот процесс ограничивается либо столкновениями
электронов с нейтральными частицами, либо другими видами по-
потерь (связанными, например, с излучением или теплопроводностью).
В первом случае остается справедливым вывод о слабой анизотро-
анизотропии функции распределения.
§ 5.2. Метод решения кинетического уравнения
В условиях, когда отклонение функции распределения от рав-
равновесной мало, решение кинетического уравнения может* быть
найдено методом последовательных приближений. При использо-
использовании этого метода функцию распределения представляют в виде
ряда по степеням параметров, определяющих ее отклонение от рав-
равновесия (сил, действующих на частицы, градиентов концентрации
и температуры):
Первый член ряда /«» есть равновесное (максвелловское) распре-
распределение, во второй член /A) входит линейная комбинация парамет-
параметров, в третий /B) — квадратичная комбинация и т. д» Подстановка
ряда в кинетическое уравнение позволяет получить последователь-
последовательность уравнений различного порядка малости. В уравнение первого
приближения входят функции /@) и /A), в уравнение второго при-
приближения функции /@), /d) и /B), и т. д. Последовательно
решая их, можно найти поправки различных порядков к функции
распределения. Совокупность этих поправок описывает как отступ-
отступление сферически-симметричной части функции распределения от
максвелловской, так и анизотропию функции распределения, воз-
возникающую при отклонениях от равновесия. Определение анизо-
анизотропной составляющей особенно важно в рассматриваемом случае
108


малых отклонений от равновесного распределения, поскольку
она дает возможность вычислить такие важные макроскопические
характеристики, как направленную скорость, поток энергии, поток
импульса и т. п. Не будем останавливаться здесь на этих вычисле-
вычислениях. Позже, в гл. 6, будет описан более общий способ определения
анизотропных характеристик, основанный на уравнениях моментов.
При условиях, когда отклонение функции распределения от
равновесной велико, метод решения кинетического уравнения,
использующий разложение по степеням возмущения, неприменим.
Однако для электронов в электрическом поле можно использовать
другой способ разложения, основанный на малой анизотропии функ-
функции распределения. Как было показано в § 5.1, из-за малых потерь
энергии электрона при столкновениях с тяжелыми частицами на-
направленная скорость обычно много меньше хаотической. Поэтому
даже в сильном электрическом поле при больших отклонениях от
равновесия анизотропия распределения электронов по скоростям
остается малой. Это позволяет использовать при решении кинети-
кинетического уравнения разложение функции распределения по пара-
параметрам, характеризующим ее анизотропию. Быстрая сходимость
ряда дает возможность ограничиться малым числом членов и срав-
сравнительно просто определить как анизотропию, так и симметричную
часть функции распределения.
Рассмотрим более подробно случай, когда источником неравно-
неравновесности является однородное электрическое поле Е.-Здесь поле
определяет единственное выделенное направление (будем считать,
что ось Oz параллельна ему). Соответственно функция распределения
электронов по скоростям может зависеть только от скорости v и от
угла в между направлениями скорости v и поля Е. Зависимость
от угла в, связанная с анизотропией функции распределения, долж-
должна быть малой. Поэтому естественно представить эту зависимость
в виде разложения по ортогональным полиномам Лежандра
Рп (cos в):
/(v)= S fn (о) Я» (cos в), E.9)
где функции fn зависят только от скорости. Подставив разложение
E.9) в кинетическое уравнение, нетрудно получить систему зацеп-
зацепляющихся уравнений для функций fn (v). Каждое из них получается
умножением кинетического уравнения на один из полиномов
Рх (cos в) и интегрированием по всем значениям cos G. В первые два
члена суммы E.9) входят полиномы Ро == 1 и Рг = cos в. При малой
анизотропии для многих задач можно ограничиться этими членами.
Тогда получим
/ (v) = /о (v) + cose/! (v) = /0 (v) + (vjv)fi (»)¦ E.Ю)
Нетрудно убедиться, что функция /0 (v) определяет среднюю энер-
энергию электронов и среднее значение любой другой величины, за-
109


висящей от энергий. Действительно, усредняя g (v) с помощью C.8),
получаем
(v)
оо
+ h (v) cos в] v2 sin edvdSd(f = 4я С g (у) /0 (о) и2 do, E.11)
о
(здесь мы перешли под интегралом к сферическим координатам
v9 е, Ф).
Из E.11) видна связь /0 с функциями распределения по пол-
полным скоростям fv C.6) и по энергиям fK C.7):
m3/2 ?\ У т
Эта связь определяет и условие нормировки
. E.12)
Таким же образом можно убедиться, что средняя скорость элек-
электронов определяется функцией fx (v). Для компоненты скорости,
параллельной электрическому полю, получим
иЕ = {v cos6> = \\ С v cos в [/0 (у) + Д (у) cos 0] х
оо
х v2 sin edvd®dq> = — f ti8 /x (у) Л. E.13)
о
Соответственно функцию /0 (с) называют изотропной составляющей,
а функцию /х (v) — направленной составляющей функции рас-
распределения.
Чтобы получить уравнения для /0 (v) и Д (v)9 следует подставить
сумму E.10) в кинетическое уравнение» Для однородной плазмы
в однородном электрическом поле кинетическое уравнение C.17)
можно записать в виде
fiML. E.14)
ot
ot
Подставляя в него E.10), преобразуем входящую во второй член
уравнения производную dfldvz следующим образом:
v dv \ v )
\ ) dv v
110


Тогда
enE \fi
d{nfo) i cosed('z/l) enE \fi \ сосв д^° i
dt dt me \_ v dv
Отсюда нетрудно получить уравнения для функций /0 и fv Первое
уравнение найдем, умножая E.15) на d (cos в) и почленно интег-
интегрируя по всем значениям cos в от —1 до 1. В результате интегри-
интегрирования члены, пропорциональные cos в, в E.15) обратятся в нуль
и уравнение примет вид
дЩ епЕ г h 1 а
V + T^ir
или
>¦ ' и/ ______ 17)° г I —¦ л /^~\ 1 г\\
dt Swig v* dv
где введено обозначение
S0 = y J ^d(cos0). E.17)
Второе уравнение получим, умножая E.15) на cos0d(cos 0)
и также интегрируя по всем значениям cos 0. В этом случае обра-
обратятся в нуль слагаемые, не зависящие от 0 и пропорциональные
cos2 0. Тогда
d (nfi) епЕ а/о с /с 1О\
 — «bit (O.lo)
где
+
Г
). E.19)
Совместное решение EЛ6) и E.18) позволяет определить обе со-
составляющие функции распределения /0 (v) и /х (v).
Подобный способ разложения функции распределения элект-
электронов можно применить и для более общего случая, когда кроме
электрического присутствует магнитное поле и плазму нельзя счи-
считать однородной. Тогда функция распределения может зависеть
от всех компонент скорости. При слабой анизотропии ее можно
аналогично E.10) искать в виде суммы изотропной составляющей
/0 (v) и трех направленных составляющих flh (v), определяющих
компоненты средней скорости электронов:
111


где введена векторная функция f± (v) с компонентами flx, flyy flz.
Легко убедиться, что эти функции определяют компоненты направ-
направленной скорости. Используя представление E.20), получим
V J
где под интегралом перешли к сферическим координатам (dco =
= sin @d@dq>). После интегрирования по углам в сумме останется
только член, пропорциональный (vl/vjf^, а остальные обратятся
в нуль. В результате имеем
E.21)
Подставляя представление E.20) в кинетическое уравнение
C.17), можно, как и раньше, найти связанные уравнения для функ-
функций /0, /loc, fly, /12. Первое из них получается усреднением кинети-
кинетического уравнения по всем направлениям скорости (интегриро-
(интегрированием по телесному углу), остальные три—усреднением после ум-
умножения на направляющие косинусы углов между вектором ско-
скорости и осями координат. Не останавливаясь на выкладках, приве-
приведем получающиеся уравнения:
еп
dt
dv
en
те dv me с
E.22)
Последнее уравнение есть векторная запись трех уравнений для
компонент 1г (/1Х, /12/, /12).
Столкновительные члены 50, Sx в уравнениях E.22) определяют-
определяются равенствами
-dco;
(@)
1-
4зх J б/
(со)
ы
cos @k do,
E.23)
где ®h — угол между осью k и вектором скорости, а интегрирование
проводится по телесным углам, охватывающим все направления
скорости.
112


§ 5.3. Интегралы столкновений для электронов
Определим входящие в уравнения E.16), E.18) столкновительные
члены So, Si. Каждый из них может быть представлен в виде суммы
интегральных выражений, связанных с различными типами столк-
столкновений электронов:
E.24)
где суммирование проводится в общем случае по всем сортам частиц
Р и охватывает упругие (е) и неупругие (п е) столкновения с возбуж-
возбуждением различных уровней /.
Рассмотрим сначала слагаемые, определяемые упругими столк-
столкновениями электронов с тяжелыми частицами (атомами или ионами).
Для плазмы, стационарное состояние которой поддерживается
электрическим полем, средняя энергия электронов обычно много
больше средней энергии тяжелых частиц. Учитывая эти условия,
можно использовать столкновительный интеграл для упругих столк-
столкновений в форме C.31)
E.25)
(Q)
Напомним, что здесь v' — скорость электрона до столкновения,
приводящего к его попаданию в рассматриваемый интервал скоро-
скоростей vdv. Подставляя E.25) в E.17), E.19) и используя представ-
представление / (v) в виде суммы E.10), получаем выражения для SQa
и Sla:
f d(cos0) {dQ[v'*of (/6 + /icos6' —
-1 (Q)
Sla = — ^z- f cos©d(cosв) fdQ[t»'4a'(/6
1 (Q)
jb которых штрихованные величины a', /6, /i, в' определяются ско-
скоростью электронов v'. Связь между углами в' (между векторами
v' и Е) и в (между v и Е) можно определить с помощью сферического
треугольника, образованного векторами v, v', E (рис. 5.1).
По известной формуле сферической тригонометрии находим
cos в' = cos в cos # — sin в sin ft cos -ф, где ft и if — углы, опреде-
113


Ляющие телесный угол рассеяния. Подставляя это соотношение
в E.26) и интегрируя по в, получаем
E.27)
J
(Q)
где учли, что при интегрировании по dQ = sin ftdftdsty члены, про-
пропорциональные cosi|), обращаются в нуль.
При упругих столкновениях с тяжелыми частицами изменение
скорости электрона очень мало (порядка отношения масс). Пренебре-
Пренебрегая им, т. е. полагая v' = v и
о' = а, /6 = /о, /i = Д, полу-
получаем следующее выражение
для Sla:
—cos«)dQ=— n
где частота столкновений v\a в
соответствии с B.52) опреде-
определяется транспортным попереч-
поперечным сечением s* = /a (I —
— cos О) dQ. Интеграл Soa в
этом приближении обращается
в нуль. Выражение E.28) дает
изменение направленной состав-
составляющей функции распределения
Д в результате столкновений.
Ее смысл легко понять, если
учесть, что /х характеризует
долю электронов, движущихся
в выделенном направлении (в направлении Ог). Поскольку столкно-
столкновения приводят к существенному изменению направления движения
электронов, характерное время изменения функции fx должно быть
порядка времени между столкновениями т « 1/v, а скорость ее
изменения бД/б/ должна определяться произведением Д на частоту
столкновений v. Этот вывод согласуется с E.28).
Для вычисления интеграла So, определяющего изменение изо-
изотропной составляющей функции распределения, необходимо учесть
изменение значения скорости электронов при столкновениях. Это
изменение дается соотношениями, полученными в гл. 2. При упру-
упругих столкновениях электрона с атомом, кинетическая энергия ко-
114
Рис 5.1


торого много меньше энергии электрона (Ка С Ке)у оно равно
v — v' = (—те/та) v(i— cos ft) E.29)
[в отличие от B.16) здесь v' — скорость электрона до столкновения,
аи —после него]. Поскольку^—v'\ <{u, можно представить подын-
подынтегральное выражение E.27) в виде
оч а'/6 - о* а/0 « (о' - о) 4" (^4 а/о) =
= -^-A — cos#)?/— (ti4a/o). E.30)
Подставляя E.30) в E.27), получаем
с пе па те d
= -T-— T-^vJa/a). E.31)
Это выражение определяет изменение изотропной составляющей
функции распределения, связанное с уменьшением скорости (с по-
потерями энергии) при упругих столкновениях.
Для условий, когда средняя энергия электронов сравнима с
энергией тяжелых частиц, использование приближенного интеграла
столкновений E.25) неправомерно, и для определения So следует
подставить в E.17) общее выражение для интеграла столкновений
C.23). Получающуюся интегральную формулу можно упростить,
воспользовавшись тем, что скорость электронов много больше ско-
скорости тяжелых частиц, а изменение значения скорости электронов
при столкновениях мало. Вычисления дают следующее выражение
для So:
J [J* vL * / + ^ Vl V* -^-] , ¦ E.32)
dv J
SQ J [ vL * /0 +
Ф dv I ma ma
где Ta = 2/3 (КаУ — температура атомов, определяющая их
среднюю энергию. Когда она много меньше энергии электронов
Та { mev2/2t второй член также много меньше первого и E.32)
переходит в E.31).
Выражение E.32) может быть представлено как дивергенция
сферически-симметричного потока в пространстве скоростей.
В соответствии с известной формулой для дивергенции в сферических
координатах запишем
So= -div0 Tv= L-^_ (уаГв), E.33)
v2 dv
где плотность потока в направлении увеличения скорости Г^ равна
rv=-gv(nfo)~Dv^, E.34)
115


gv = (frte/fria) via, Dv = {Та1та)у1еа. Здесь первый член опи-
описывает уменьшение скорости («трение»), а второй—диффузию в про-
пространстве скоростей. Подстановка E.33), E.34) в уравнение для
изотропной составляющей функции распределения превращает
его в уравнение Фоккера—Планка (см. § 3.3).
Чтобы установить физический смысл выражения E.34), оце-
оценим поток частиц через элемент сферической поверхности прост-
пространства скоростей dG, связанный со столкновениями (рис. 5.2, а).
Рис. 5.2
Число частиц в единице объема конфигурационного пространства,
проходящих через этот элемент при заданном приращении ско-
скорости Avy определяется равенством
dQ = nfo(v—- Av) AvdG ж nf0 (v) AvdG —
где использовано среднее значение /0 в пределах объема высотой
Av и учтено, что приращение скорости при упругих столкновениях
мало. Относя это число к среднему времени между столкновениями
т = 1/v и усредняя по столкновениям, получаем приближенное вы-
вы*
ражение для плотности потока
"lr- E-35)
* Для более строгого определения Tv следовало бы учесть при усреднении
зависимость v и s от v.
116


В соответствии с ним коэффициент трения пропорционален среднему
уменьшению скорости
gv = -v (Av\ E.36)
а коэффициент диффузии—среднему квадрату приращения
Dv - A/2) v <(ДуJ >. E.37)
Если изменение скорости является хаотическим, то < Av > = О
и в E.35) остается только второе слагаемое, определяющее диффу-
диффузионный поток. Он направлен в сторону уменьшения/0(у), так как
при одинаковой вероятности положительных и отрицательных из-
изменений скорости поток из той области скоростей, в которой частиц
больше, сильнее (см. рис. 5.2, б). Поэтому диффузия стремится «вы-
«выровнять» функцию распределения /0. Вся эта картина вполне ана-
аналогична картине диффузии в обычном конфигурационном прост-
пространстве, получающейся в результате усреднения хаотического
движения частиц (см. § 7.3).
Оценим коэффициенты gv и Dv для упругих столкновений элек-
электронов с атомами. Изменение скорости электрона при таких столк-
столкновениях можно определить с помощью общей формулы B.18).
Учитывая, что те <( та и ve } vay получаем из нее
—2v0ve=—2-^t?
та
откуда
Ave « - -^- ve + va cos ф, E.38)
где ф — угол между ve и va. Первый член в E.38) определяется по-
потерями энергии, не зависящими от движения атома. Уменьшение
скорости, связанное с этими потерями (Avt = — (me/ma)ve)y
как видно из E.36), приводит к формуле E.34) для коэффициента
трения. Второе слагаемое в E.38) определяется обменом энергией
между электроном и атомом, связанным с движением атома. Изме-
Изменение скорости при таком обмене Av2 = va cos ф. При изотропном
распределении атомов по скоростям средняя величина этого изме-
изменения Av2 = 0. Поэтому соответствующий поток E.35) связан со
средним квадратом смещения и представляет собой диффузию
в пространстве скоростей. Подставляя в E.37) Av2 = va cos ф и ус-
усредняя по ф и vaj получаем выражение для коэффициента диффу-
диффузии
D & (l/2)vvl cos^ = A/2) vTJma>
которая отличается от E.34) лишь коэффициентом 1/2 (правиль-
(правильный численный коэффициент получается при более аккуратном
усреднении по столкновениям).
Рассмотрим теперь столкновительные члены So, Sl9 обуслов-
обусловленные неупругими столкновениями* На функцию распределения
электронов могут влиять различные неупругие столкновения —
117!


процессы возбуждения различных уровней, ионизации, рекомби-
рекомбинации. Здесь будут определены столкновительные члены для про-
процессов возбуждения в двух крайних случаях: когда энергия элект-
электронов много больше энергии возбуждения и когда эти энергии близ-
близки друг к другу. Эти случаи соответствуют условиям, часто встре-
встречающимся в плазме стационарных газовых разрядов, когда средняя
энергия электронов много больше энергии возбуждения колеба-
колебательных и вращательных уровней молекулы и значительно меньше
энергии возбуждения электронных (атомных) уровней.
Потери энергии электронов при неупругих столкновениях,
сопровождающихся возбуждением, с точностью до малого отно-
отношения масс те1та равны энергии возбуждения (см. § 2.1)
mv2/2 — nw'42 = *,. E.39)
Поэтому в первом случае при энергии возбуждения, много меньшей
энергии электронов, изменение скорости мало:
, E.40)
и столкновительные члены можно определять таким же образом,
как и для упругих столкновений. При этом следует использовать
выражение для интеграла столкновений в форме C.30) и учесть
в нем соотношение между объемами пространства скоростей до
и после столкновений, следующее из E.39) v'dv'==vdv. Тогда с
помощью формул E.17) и E.19) получим
E.41)
где v'e'P — транспортная частота столкновений, сопровождаю-
сопровождающихся возбуждением уровня / и
E.42)
где х' = 2%j/mev2 — коэффициент передачи энергии* определяю-
определяющий долю энергии, теряемой электроном при неупругом столкно-
столкновении.
Сумму столкновительных членов Sod и S$, обусловленных
неупругими столкновениями с малой потерей энергии, можно за-
записать в виде, аналогичном E.41), E.42):
О 1 а = — Щ
E.43)
Здесь via — суммарная частота неупругих столкновений с малой
потерей энергии; х1еа — усредненный коэффициент передачи энер-
энергии:
2v<<». E.44)
118


Обычно суммарная частота столкновений v{a много меньше частоты
упругих столкновений vllay но коэффициент передачи энергии к1еа
в молекулярных газах может быть значительно больше х1еа =
= те/та<
Во втором случае, когда энергия электрона лишь немного пре-
превосходит энергию возбуждения, можно считать, что неупругое столк-
столкновение приводит к полной потере энергии электрона. При таком
предположении в столкновительном интеграле остается только
слагаемое, определяющее уход частиц из заданного интервала ско-
скоростей. Он принимает при этом вид
S<?) = _ J ne na fvo® d?l=—ne /v<'*>, E.45)
(О)
где v(') = nav J crWdQ — частота неупругих столкновений данного
типа. Приход частиц в область малых энергий можно учесть добав-
добавлением члена
S(/>= S{v) Q</> E.46)
4яу2
где
= - J (
(v) ^
J j
(v) ^ * ' ~ (v)
есть полное число неупругих столкновений данного типа; б (v) —
дельта-функция, отличная от нуля только при v ~ 0. Интеграл
по объему пространства скоростей от E.46) равен
J d3 v = 4я J
(v) 0
Подставляя столкновительный член E.45) в E.17), E.19), находим
Stf> = — n/ov</>; Sy= —/i/iVW. E.47)
Аналогичные формулы получаются, очевидно, и для столкно-
вительных членов, описывающих процесс ионизации при энергии
электрона, близкой к энергии ионизации. При этом увеличение
числа электронов можно учесть удвоением члена E.46), определя-
определяющего появление частиц в области малых скоростей. Суммирование
E.47) по всем неупругим столкновениям с большой потерей энер-
энергии приводит к замене частоты vW на суммарную частоту неупру-
неупругих столкновений:
Soa = ~ nvhea /0; Shla = -nvhea /0, E.48)
где vhea = 2v?a. Во многих случаях vi? < У1еа и вклад неупругих
столкновений в столкновительный член 51а несуществен (|Sief <^
<^ |Sie|). В то же время они могут практически полностью опреде-
119


лять изотропный столкновительный член SOa, так как в соответ-
соответствии с E.31) SeOa « (те/та) X v\a { vfea.
Полученные выражения обусловлены столкновительными чле-
членами, связанными со столкновениями электронов с атомами. Та-
Такой же вид имеют столкновительные члены, определяемые электрон-
ионными столкновениями Soi, Slt. Выражения для столкновительных
членов, обусловленных электрон-электронными столкновениями,
можно представить только в интегральной форме. Не будем при-
приводить здесь эти выражения. Отметим лишь, что формула для SOe
получается из общего интеграла упругих столкновений C.23)
путем замены в нем полной функции распределения / (v) на изо-
изотропную составляющую/0 (v).
§ 5.4. Функция распределения электронов в электрическом поле
при определяющем влиянии упругих столкновений
электронов с атомами
Уравнения для составляющих функций распределения в постоян-
постоянном электрическом поле E.16), E.18) при стационарных условиях
(когда функция распределения не зависит от времени) принимают
вид
E.49)
3me v2 do
еЕп df0
тР dv
Столкновительные члены S E.24) представляют собой сумму сла-
слагаемых, определяемых столкновениями электронов с атомами, ио-
ионами и друг с другом Sn = Sna + Sni + Sne.
Для оценки компонент Sop и Sip можно использовать поряд-
порядковые равенства
Sip^v^tt/i, SO0«K,,pvrfn/o. E.50)
Они следуют из определения величины St = 8nfx/8t, So — bnfjbt.
Первая из них Sx характеризует изменение направления скорости
электрона при столкновении и определяется поэтому частотой столк-
столкновений v, вторая характеризует изменение скорости и определяется
произведением частоты столкновений на коэффициент передачи энер-
энергии xv. Для столкновений электронов с тяжелыми частицами соот-
соотношения E.50) получаются непосредственно из формул § 5.3. С их
помощью можно оценить относительную роль различных типов
столкновений.
Рассмотрим решение уравнений E.49) для плазмы с низкой сте-
степенью ионизации, когда существенны только столкновения элект-
электронов с атомами. Условия, при которых можно пренебречь влия-
120


нием электрон-электронных и электрон-ионных столкновений на
функцию распределения, определяются с помощью E.50):
Vee « Vei ( Veay Vee ( УСеаУеа^ E.51)
(Здесь учли, что nei ж хеа, так как mt = ma, и иве Я5? 1). Второе,
из неравенств более жесткое, чем первое. Для упругих столкнове-
столкновений оно принимает вид vee { (me/ma)vea, или
Ц = nelna { (me/ma) sealsee. E.52)
Как видно, только при очень малых значениях ц (г\ ~ те/та)
можно пренебрегать влиянием электрон-электронных столкновений
на функцию распределения.
Найдем сначала решение уравнений E.49) для случая, когда
существенны только упругие столкновения электронов с атомами.
Подставив выражения E.28), E.32) для So и Sx в уравнения E.49),
получим
(еЕп/те) dfjdv = nvft; E.53)
еЕп d
= KVf v2 vL H—-—'— . E.54)
2 v* dv I \ /0 me dv )\ У '
Уравнение E.53) описывает стационарный баланс между приобре-
приобретением направленной скорости в электрическом поле й потерями
ее при столкновениях. Оно позволяет найти связь между функциями
к и /о-
/х = (eE/mev*) dfjdv. E.55)
Используя E.55), получаем с помощью E.13) общее выражение для
направленной скорости электронов:
оо
—
о
еЕ
—
E>56)
(последнее равенство получено в результате интегрирования по
частям). В случае, если частота столкновений не зависит от ско-
скорости, т. е. v = const, выражение E.56) приводит к формуле, не
зависящей от вида /0 (и):
оо
и= — 4л; Г f0 (v) v2dv= — . E.57)
me v* J me vf
121


Уравнение для изотропной составляющей функции распреде-
распределения найдем, подставив E.55) в E.54):
df0
dv \ 3m%vt dv
E.58)
me dv )\
Левая часть уравнения, определяющая увеличение скорости элек-
электронов под действием электрического поля, так же как и правая
«столкновительная» часть, может быть представлена в виде дивер-
дивергенции сферически-симметричного потока. Поток
TvE n-^ = -DBn^L E.59)
v 3m*vt dv dv K J
пропорционален производной dfjdvy и, поскольку/0 (v) — падающая
функция, поток направлен в сторону больших скоростей. Выра-
Выражение E.59) описывает диффузию в пространстве скоростей. Диффу-
Диффузионный характер набора энергии электронами в электрическом
поле связан с тем, что этот набор осуществляется в течение многих
периодов между столкновениями. В результате ускорение за каж-
каждый период складывается векторно с произвольно направленной
хаотической скоростью, и, следовательно, изменение величины ско-
скорости случайно. Нетрудно непосредственно оценить коэффициент
диффузии, характеризующий этот процесс. Изменение вектора ско-
скорости электрона за время между столкновениями т определяется его
ускорением в электрическом поле: (
= v* — v = — (еЕ/те) х = — eE/mev.
Соответствующее изменение скорости Av дается соотношениями
#, Av = v* — v ж
учитывающими, что Ave { v. Поскольку скорость v может быть
направлена произвольно, среднее значение Av обращается в нуль.
Среднее значение (АиJ равно
<(АуJ> - — (AvEJ = A/3) е2 E2/mev2.
з
Отсюда находим коэффициент диффузии [см. E.37)]
согласующийся с точностью до численного коэффициента с выра-
выражением E.59).
Таким образом, из уравнения E.58) следует обращение в нуль
дивергенции плотности суммарного потока в пространстве скоро-
122


стей — потока, определяющего приобретение энергии в поле Т„е
E.59), и потока, определяющего потери энергий при столкновениях
Гоу E.34), т. е.
4-Т-[^(Г,л + Г^)] = 0. E.61)
t>2 dv
При интегрировании уравнения получим постоянство суммарного
потока через сферическую поверхность пространства скоростей
4ш;2 (Г,в -f Tov) = С.
Поскольку величины Г# и Fv конечны при v -> О, постоянная
интегрирования С равна нулю. Это означает, что суммарный поток
равен нулю. Используя выражения для его компонент Гя E.59)
и Tv E.34), получаем уравнение для /0, следующее из E.58):
Ж
3 т\{у*еа)* dv
Решение уравнения E.62) имеет вид
.^ о. E.б2)
v )
<5-бз>
где постоянная А определяется из условия нормировки E.12)
4jc J f0v2dv=l.
о
Формула E.63) позволяет установить характер отклонений функ-
функции распределения электронов по скоростям от равновесной. Из
нее видно, что эти отклонения определяются отношением напря-
женности поля Е к критической напряженности E.5) Ер =
= v есУ%еатеТа1е. При Е { Ер второй член в знаменателе подын-
подынтегрального выражения E.63) мал, и распределение по скоростям
становится максвелловским с температурой Та. В сильных полях
при Е У Ер первым членом в знаменателе можно пренебречь.
При этом формула E.63) приобретает вид
/0(v) = Аехр Г-А ^- jv(vlaLv\ . E.64)
Выражения E.63), E.64) показывают, что вид функции распре-
распределения по скоростям определяется зависимостью транспортной
частоты столкновений электронов от скорости via fa). При постоян-
постоянной частоте столкновений v* — const функция распределения ока-
123


зывается максвелловской независимо от напряженности поля. Из
E.63) находим
(^)(ГE) E-65)
где
Видно, что электронная температура, определяющая среднюю энер-
энергию электронов, превышает температуру атомов, и при Е } Ер
она пропорциональна квадрату поля.
Если vea — функция скорости, то функция распределения мо-
может существенно отличаться от максвелловской. Так, для постоян-
постоянного сечения столкновений,
КОГДа via = ПсР&а = v/Xfea ПрО-
порциональна скорости, функ-
функция распределения в сильном
поле E.64) имеет вид
= A exp
Ът\
]
J
Рис. 5.3
E.67)
где из условия нормировки
' л 0,37
еХеаЕ
С помощью формулы E.11) найдем среднюю энергию электронов
при этом распределении:
</Се> = 0,57 eEKia/У^а = 094Ута1тееЕ>&а- E.68)
Направленную скорость можно найти, подставляя E.67) в E.56).
В результате интегрирования получим
иЕ = 0,69 кЦ4 (еЕМеа/теI*2. E.69)
Распределение, описываемое формулой E.67), называют рас-
распределением Дрювестейна. Его характеризует значительно более
сильная зависимость от скорости по сравнению с максвелловским
распределением (рис. 5.3: / — распределение Максвелла, 2 — рас-
распределение Дрювестейна). Это нетрудно объяснить. Рост частоты
столкновений при больших скоростях приводит к возрастанию по-
потока Fv в сторону уменьшения скорости. Для его компенсации гра-
градиент функции распределения, определяющий обратный поток,
должен возрасти по сравнению с максвелловским. В результате
функция распределения оказывается «прижатой» к началу коор-
координат.
124


§ 5.5. Влияние неупругих столкновений на функцию
распределения электронов
Как уже упоминалось, в газоразрядной плазме, стационарно
поддерживаемой электрическим полем, средняя энергия электронов
обычно много меньше энергии возбуждения низшего электронного
уровня. При этом в атомарных газах основная часть функции рас-
распределения определяется упругими столкновениями. В молекуляр-
молекулярных газах, однако, могут играть существенную роль процессы
возбуждения вращательных и колебательных уровней молекул,
энергия которых много меньше средней энергии электронов.
J
/
/
1
L
f 1
1
V 4
\ \
\
\
"*ч
0
V
\
^^
Рис. 5.4
В § 3.3 было показано, что учет таких столкновений в столкнови-
тельных членах So и Sx сводится к изменению частоты столкновений
и коэффициента передачи энергии, входящих в эти члены, на суммар-
суммарные величины, определяемые соотношениями E.44). Если зависи-
зависимость этих величин от скорости известна, то функция распределе-
распределения, учитывающая влияние неупругих процессов с малыми
потерями энергии, может быть вычислена с помощью E.63) и E.55).
Остановимся более подробно на влиянии неупругих столкнове-
столкновений с большими потерями энергии. В газоразрядной плазме к ним
относятся процессы возбуждения электронных уровней и иониза-
ионизации. Изменения функции распределения, к которым приводят не-
неупругие столкновения, поясняются рис. 5.4, на котором представ-
представлено распределение по энергии, определяющееся функцией fv =
= 4яу2/о E.12). Функцию распределения без учета неупругих столк-
столкновений обозначим /00. Для простоты предположим, что существен
только один неупругий процесс с порогом »х. В результате неупру-
неупругих столкновений электроны теряют энергию, приблизительно рав-
равную Щъ и переходят из области энергий больших пороговой в об-
область малых энергий. На рис. 5.4 приведены кривая, характери-
характеризующая скорость уменьшения функции распределения в результате
125


этого процесса б/~~ = — v№fo8t в области больших энергий, и об-
обратная кривая б/+ = — б/", определяющая приход электронов
в область малых скоростей. Ширина этих кривых зависит от ско-
скорости спада /0 в неупругой области (при Ке > *х). При энергии
возбуждения, много большей средней энергии электронов, /0
спадает очень быстро и кривая 6/~ получается узкой, «прижатой»
к порогу возбуждения; соответственно кривая 8/+ «прижата» к на-
началу координат.
Чтобы найти изменение функции /0, связанное с неупругими
столкновениями, надо учитывать не только переходы б/+ и б/"*,
но также и диффузию в пространстве скоростей, связанную с упру-
упругими столкновениями. Диффузия сглаживает кривую /0 (v). Она,
в частности, приводит к увеличению градиента / в области v ^ v±
и частично восстанавливает убыль электронов из области больших
скоростей (см. рис. 5.4). В реальных условиях обычно существенны
несколько неупругих процессов с различными энергиями возбуж-
возбуждения. При этом кривые б/, связанные с такими процессами, скла-
складываются, и спад функции в области неупругих столкновений еще
более ускоряется.
Рассмотрим количественно влияние неупругих столкновений
с большой потерей энергии на функцию распределения для случая,
когда порог этих столкновений много больше средней энергии элек-
электронов:
8Х > Те « e2E4meKeav?a. E.70)
В этом случае функция распределения в области неупругих столк-
столкновений очень мала, соответственно мало и число таких столкнове-
столкновений. Поэтому в первом приближении функцию распределения при
скоростях меньших пороговой v<C.vx = Be1/meI/2 можно опре-
определять без учета неупругих столкновений с помощью E.64), E.55).
Их учет необходим для определения функции распределения в об-
области, в которой они приводят к большим потерям энергии (при
v > vi)- Найдем для этой области решение уравнений E.49):
-(eEn/3mev*)(d/dv)(v*f1) = So] -(eEn/me) (dfo/dv) = Sv E.71)
Как отмечалось, при быстром спаде функции распределения
неупругие столкновения каждого типа осуществляются в основном
электронами, энергия которых близка к энергии возбуждения соот-
соответствующих уровней. Поэтому можно пользоваться выражениями
E.47) для неупругих столкновительных членов, полученными при
предположении о полной потере энергии электронами. Суммарная
формула для So и S± приобретает тогда вид
doV"*™ V/o' E.72)
Si — K + vJJn/i, )
где vea — суммарна-я частота столкновений неупругих процессов
с большой потерей энергии.
126


Обычно в большой части области неупругих столкновений сум-
суммарная частота лежит в пределах (см. гл. 2)
e'e<v*e<vief E.73)
причем из-за малости те1та неравенство E.73) выполняется на-
начиная со скоростей близких к порогу неупругих процессов. Учи-
Учитывая это, упростим формулы E.72). В формуле для So пренебре-
пренебрежем слагаемым, определяемым упругим рассеянием (оно имеет
порядок v* (me/ma)nf0), а в формуле для S± — слагаемым, опреде-
определяемым неупругими столкновениями. Тогда
So=-v*en/o; Sx =-<,/*/!. E.74)
Подстановка Sx в уравнение для Д приводит к прежнему соотно-
соотношению E.55) между /х и /0. Используя его, получаем из E.71) урав-
уравнение для /0 в области неупругих столкновений
y>fo=so E.75)
Его можно записать иначе:
да у v v*a do J dv
где
Воспользовавшись формулами E.5), E.6) или выражением E.66)
для средней энергии электронов, получим следующую оценку:
Из нее видно, что при выполнении условия E.73) q2^> 1. Это не-
неравенство позволяет использовать при решении уравнения E.76)
приближение, основанное на том, что /0 — быстро падающая функ-
функция v. В связи с этим в уравнении E.76) можно пренебречь вторым
слагаемым по сравнению с первым \(\lv)dfjdv\<^d2fjdv2 и счи-
считать q медленно изменяющейся функцией скорости \(\lq)dqldv\<^
<^ | (l/fo)dfo/dv\. В этом случае получим приближенное решение
уравнения, обращающееся в нуль при v ->¦ оо , в виде*
С ехр — Г -2- dv I = С ехр — -^-^ Г Vv' vh dv . E.77)
* Это приближение называют иногда квазиклассическим по аналогии
с квазиклассическим приближением в квантовой механике.
127


Это решение справедливо в области скоростей, ограничиваемой
неравенством vh^>> теч1\та, когда потери энергии электронов
обусловлены неупругими столкновениями.
При выполнении обратного неравенства можно использовать
функцию/0, полученную без учета неупругих столкновений E.64).
Коэффициент С приближенно определяется сшиванием E.77) и
E.64) на границе области при vh = mevVma. Обычно эта граница
очень близка к порогу неупругих процессов и сшивание можно
производить при пороговой скорости v = vv В результате получим
—-—- Г x(vO2 vdv , E.78)
2 е*Е*} v ' у v '
[2 °*
—-—- Г x(v
2 е*Е*} v
где А — нормировочный коэффициент [см. E.64)].
Конкретный вид /0 E.77) определяется зависимостью частот
столкновений vf и vh от скорости. Для случая v* = const коэффи-
коэффициент С принимает вид
Т _ 2
где ie™
Зависимость vh (v) вблизи порога неупругих процессов может
быть аппроксимирована формулой
vh (у) = HaS^ « V^((vlv1 — 1).
Используя эту аппроксимацию, можно вычислить показатель эк-
экспоненты в E.77):
V1
E.80)
где   ^

у'у» _ 4 ! / 1 vj
90"уз
Подставляя E.79) и E.80) в E.77), получаем выражение для /0
при v > vx:
/о = (me/2nTe) exp (—9JTe) ехр [—^(^Ч — 1K/2]. E.81)
Эта функция /0 для типичных значений q0 представлена на рис. 5.5
(масштаб по оси ординат при К> *х увеличен в 10 раз).
С помощью E.81) можно найти эффективность процессов, оп-
определяющихся электронами, энергия которых больше порога не-
неупругих столкновений. Вычислим, например, среднюю частоту
ионизации, характеризующую скорость появления новых элект-
128


ронов в плазме. Воспользуемся для этого аппроксимацией частоты
столкновений, приводящих к ионизации [см. B.86)]:
v' = /ias'0« vj (v*-v})/v!, E.82)
где Vi = Be&i/meI/2 — пороговая скорость для процесса иони-
ионизации. Средняя частота ионизации получается в результате усред-
усреднения E.82) с помощью функции/0 E.81). Используя формулу E.11),
получаем
vi
<5-8з)
Рис. 5.5
При вычислении интеграла, входящего в E.83), учтем, что
fo(v) быстро падает, и подынтегральная функция vlf0 «прижата»
к порогу ионизации. Поэтому можно считать, что под интегралом
v — vt = w <^vt и тогда входящая в него экспонента имеет вид
«Р [-%(-?¦-
где ? = C/2)(?o/0i) (vilvi— 1I/2. Полагая под интегралом так-
также vVvi — 1 « 2 wlvt ио2 « vf, получаем
Г ехр [ — qQ {vl vx — IK/2] (v*lv\ — 1) v* dv » 2vt exp \ — q0U±-
vi
5 Зак. 1227
129


Подставляя это выражение в E.83), находцм
х
E.84)
Произведение экспонент, входящее в E.84), определяет зна-
значение /0 вблизи порога ионизации (при v>vt). Обе экспоненты
очень малы, поскольку ^t ^> Те и q0 ^> 1. Первая из них дает спад
/о в области v < ulf в которой потери энергии определяются упру-
упругими столкновениями, вторая—спад, связанный с неупругими
столкновениями при v > vx. Предэкспоненциальный множитель
зависит от ширины области ионизации; она также мала из-за быстро-
быстрого уменьшения /0 при v>vt. Поэтому эффективность ионизации
мала vl <g: vj.
Мы рассмотрели случай, когда средняя энергия электронов
мала по сравнению с порогом неупругих процессов E.70). При боль-
больших напряженностях поля ?, когда это условие не выполняется,
необходимо учитывать влияние неупругих столкновений на функ-
функцию распределения во всей области скоростей. Если ограничить
напряженность поля неравенством
Е^т^У^, E.85)
то параметр q0 в уравнении E.76) останется большим и приближен-
приближенное решение уравнения для области неупругих столкновений
(v > vj E.77) будет также справедливым. Поскольку оно быстро
спадает, можно и в этом случае считать, что неупругие столкновения
приводят к полной потере энергии.
Для определения функции /0 при v <C vx воспользуемся урав-
уравнением E.58), добавив в него столкновительный член E.46), опи-
описывающий приход электронов в результате неупругих столкновений.
Полагая, что средняя энергия электронов много больше темпера-
температуры атомов, запишем уравнение в виде
d ( е*Е* . dfo\_ I
dv \ ml J dv / 2d2 dv
<•>• E'86)
где Qn = 4я | vhf0(v)v2dv — полное число неупругих столкновений
в единицу времени. Умножая E.86) на 4nv2dv и интегрируя его от
нуля до v, получаем
Левая часть уравнения представляет собой поток в пространстве
скоростей через сферическую поверхность 4гдо2; первый член обус-
130


ловлен получением электронами энергии в электрическом поле,
второй—потерями энергии при упругих столкновениях [см. E.34),
E.59)]. Сумма этих потоков определяется скоростью появления
медленных электронов в результате неупругих столкновений.
Уравнение E.87) представляет собой линейное неоднородное
уравнение первого порядка относительно /0, Его решение легко
найти методом интегрирующего множителя. При v' = const оно
имеет вид
где То = B/3)е2Е2/пгек (v'J — температура, определяющая сред-
среднюю энергию электронов в поле Е при отсутствии неупругих столк-
столкновений; А = 3Q#z?vV4ft?2?2. Это решение справедливо при
v < vv При v = с*! его следует сшить с функцией E.77), полагая
— -— \_j.
do
Так как при этом (l/i^) |/0//6| = 1/# <С 1, и можно для функции
E.88) принять приближенное граничное условие /0 (t^) = 0, то по-
получим 5 = 0. Коэффициент С найдем, приравнивая производные от
/0 в областях v < vx [см. B.77)] и v > vx [см. B.88I:
<5'89)
Из E.89) следует, что при v -> 0 /0 стремится к бесконечности
как 1/и. Этот вывод связан, очевидно, с предположением о полной
потере энергии электронами при неупругих столкновениях, в ре-
результате которого был введен при v = 0 бесконечный по амплитуде
источник электронов Qn8(v). Отметим, что хотя/0 имеет особенность
при v -> 0, функция распределения по полным скоростям fv =
= 4nv2f0 при v ->¦ 0 остается малой, так как fv ~ v2 f0 ~ v,
поэтому никаких трудностей при усреднении данная особенность не
вызывает.
Равенство E.89) описывает изменение функции распределения
при v < vlf связанное с неупругими столкновениями. Легко убе-
убедиться, что при mev2l2 <^ То это изменение мало повсюду, кроме
области очень малых скоростей: v <f vx (*i/r0) exp (—^г/Т0), и об-
области скоростей близких к порогу: (vx — v) < TqvJ^. Вне данных
областей входящий в E.89) интеграл практически не зависит от
нижнего предела и функция /0 совпадает с определенной без учета
неупругих столкновений функцией E.64). С ростом Е влияние не-
неупругих столкновений все более значительно,
5* 131


Рассмотрим случай*
E.90)
когда второе слагаемое в E.87), описывающее потери энергии при
упругих столкновениях, пренебрежимо мало по сравнению с пер-
первым. Механизм формирования распределения по энергиям при
этом заключается в том, что при v <Cv± электроны набирают энер-
энергию в результате диффузии по скоростям в электрическом поле
(см. с. 122), а при v *> vx теряют ее в результате неупругих столкно-
столкновений. Для %г <^ То можно в формуле E.89) считать экспоненты
равными единице. Функция /0 приобретает тогда простой вид
/0 = A A/v - 1/vJ. E.91)
Коэффициент А находим из приближенного условия нормировки
1 = 4я \ /0 v2 dv = B/3) тсАо\, А = 3/2яу|.
о
Используя его, получаем окончательно выражение для /0 при
v<.vx:
f0 = C/2nt>!) A/v — 1/%). E.92)
Средняя энергия электронов при распределении E.92) равна
Для определения средней частоты ионизации v' воспользуемся
распределением при v>vlf даваемым формулой E.77). Норми-
Нормировочный коэффициент в ней найдем, приравнивая производные от
/0 при v=vtB E.77) и E.92). Тогда
-—— С = —^—. E.93)
dv
Вычисления v' с помощью распределения E.77) были выполнены
ранее. Их можно использовать, заменив в формуле для /0 лишь вы-
выражение для нормировочного коэффициента С. Подставляя вели-
величину С, определяемую формулой E.93), вместо E.78), получаем
где % = B/УЪ ) {m
* Заметим, что для электронов в газе, состоящем из тяжелых атомов,
это условие может быт? согласовано с E.85), поскольку коэффициент к =
= 2 melma очень мал.
132


Мы рассмотрели влияние на функцию распределения неупругих
столкновений, связанных с возбуждением различных уровней и
приводящих к потерям энергии электронов. В принципе возможны
также обратные процессы—столкновения электронов с возбужден-
возбужденными атомами, приводящие к увеличению энергии электронов (со-
(соударения второго рода). Во многих случаях можно считать, что они
несущественны, так как возбужденные атомы теряют свою энергию
в основном в результате процессов излучения, столкновений с ней-
нейтральными частицами и стенками. Однако иногда (например, при
больших давлениях нейтрального газа, когда плазма не полностью
прозрачна для излучения) приходится учитывать соударения второго
рода. Они приводят к некоторой компенсации потерь энергии, выз-
вызванных процессами возбуждения. В предельном случае, при пере-
переходе к замкнутой системе, прямые и обратные неупругие столкно-
столкновения обеспечивают такой обмен энергией между электронами и ато-
атомами, который ведет к установлению равновесного максвелловского
распределения (см, §4.1).
§ 5.6. Влияние электрон-электронных столкновений
на функцию распределения электронов
До сих пор мы пренебрегали влиянием электрон-электронных
столкновений на функцию распределения. Как было показано в
§ 5.4, условия, при которых такое пренебрежение [см. E.52)] до-
допустимо, выполняются лишь для очень малых степеней ионизации.
Рассмотрим теперь противоположный случай, когда обмен элект-
электронов энергией в результате электрон-электронных столкновений
значительно эффективнее потерь энергии при столкновениях элект-
электронов с атомами. Этот случай реализуется при условии
КеаУеа^Чее. E.95)
Если потери энергии электронов связаны с упругими столкновения-
столкновениями и кеа = 2те1та, условие E.95) принимает вид, противополож-
противоположный E.52):
г) > {melma)sjseei E.96)
Видно, что это неравенство выполняется уже при сравнительно
низких степенях ионизации, тем меньших, чем меньше энергия элек-
электронов.
Учитывая условие E.95), обсудим решение уравнения для изо-
изотропной составляющей функции распределения, В соответствии с
E.49) это уравнение имеет вид
В уравнении стационарный баланс средних энергий электронов опре-
определяется первыми тремя членами—приобретение электронами энер-
энергии от электрического поля (описываемое первым членом) компен-
133


сируется потерями энергии электронов при столкновениях с ато-
атомами и ионами (описываемыми вторым и третьим членами). Соответ-
Соответственно первый член должен иметь тот же порядок величины, что
и сумма Soa + Soi. Столкновительный член SOe, обусловленный
электрон-электронными столкновениями, не может, очевидно, вли-
влиять на изменения средней энергии электронов, он приводит лишь
к перераспределению энергии между ними. В рассматриваемом
случае член Soe имеет порядок veenf0, он значительно больше вто-
второго E0о « х>еаУеаП?о) и третьего (Soi ж и^е^/о)- Поэтому в пер-
первом приближении вид функций распределения определяется урав-
уравнением
V E.98)
(*>i) (Й)
[как отмечалось в § 3.3, SQe можно записать в виде столкновитель-
ного интеграла C.23) с заменой f(v) на fo(v)]. В §4.2 было показано,
что это уравнение приводит к максвелловскому распределению ско-
скоростей
/0 = (те/2лТеУ* exp (—mev2/2Te). E.99)
Однако электронную температуру Те нельзя найти из уравнения
E.98). Поскольку это уравнение включает только межэлектронные
столкновения, оно удовлетворяется при распределении E.99)
с любым значением Те.
Для определения Те можно использовать уравнение баланса
энергий, которое получается из исходного уравнения E.97) для /0.
Чтобы получить его,-умножим E.97) почленно на mev2/2 и на ве-
весовой множитель 4nv2dv и проинтегрируем по скоростям от нуля
до бесконечности. Интеграл от первого слагаемого вычислим инте-
интегрированием по частям:
— \v3f1dv = neuE E.100)
о
[здесь была использована общая формула E.21) для v]. Столкно-
вительный член, определяемый упругими столкновениями электро-
электронов с атомами E.32) при максвелловском распределении скоростей
электронов E.99), равен
tne dvQ
E.101)
& и- uu l \ l e I \
134


Интеграл, в который он входит, вычисляется аналогично E.100):
^ — nwlaP.-TJ, ° E.102)
где введено обозначение
оо / оо
V<?a = \ V*Veafodv \V*fodv (O.lOo)
0 / 0
и учтено, что
4я рЬ* «*/.*,= .! г..
о
Интеграл, в котором содержится столкновительный член, опре-
определяемый неупругими столкновениями с малыми потерями энергии,
вычисляется таким же образом. Используя E.43), находим
оо
I
SU —^- 4w4v = - 4 mia via Tey E.104)
z z
где черта по-прежнему обозначает усреднение по у с весом Л Ин-
Интеграл, определяемый неупругими столкновениями с большой по-
потерей энергии, найдем с помощью E.48):
J Sl *р 4я,2 dv - -Ann J ^ vL /0
о о
4Je. E.105)
Наконец, нетрудно показать, что интеграл, в который входит
SOe, характеризует суммарное изменение энергии электронов в ре-
результате электрон-электронных столкновений (см. с. 157). Он
обращается поэтому в нуль независимо от вида функции распределе-
распределения. Суммируя выражения E.102) — E.105), связанные со столк-
столкновениями электронов с атомами, находим
f ^
J 2
ПКеУеа(ТеТа)^
—f »v?e Te= -±nxseavsea (Te-Ta), E.106)
z z
где введено обозначение:
^ " """ ~" Ta+^a E.107)
135


и учтено, что неупругие столкновения существенны обычно лишь
При Те > Та.
Таким же получается выражение для интеграла, в который
входит столкновительный член Soi:
7 Soi
J
-±ПК5е1^е;(Те-Тд. EЛ08)
2
О
Уравнение баланса энергии получим, приравнивая E.100) сум-
сумме E Л 06) и EЛ08):
—пеиЕ = C/2) nyia vsea (Тв-Та) + C/2) m\i v!/ (Te-Tt). E Л09)
Оно представляет собой равенство энергии, вводимой в единицу
объема электронного газа, и энергии, теряемой электронами в еди-
единице объема. Вводимая энергия в электрическом поле определяется
обычной формулой, следующей из закона Джоуля — Ленца Ре =
= ]Е, где / — плотность тока электронов, равная / = — пей.
Потери энергии в EЛ09) связаны с ее передачей при столкновениях
от электронов к атомам и ионам.
Чтобы уравнение баланса E.109) было полным, надо получить
выражение для направленной скорости и. Связь направленной
составляющей функции распределения fx с /0 определяется вторым
уравнением E.49). Для условий vee « vei <^ vea могут быть ис-
использованы прежнее выражение для столкновительного члена 5
E.28) и соответственно прежняя формула E.55) для Д. При этом
направленная скорость дается формулой E.56), которая для макс-
велловского распределения E.99) принимает вид
= -т ^dv =
3 me J %a dv
2nTe
dv. E.110)
При v^a = const интегрирование приводит к и = — еЕ/пгеу1а
[см. E.57)].
В общем случае направленная скорость может быть выражена
^ерез усредненную частоту столкновений E.103) аналогичным об-
образом:
evL E.111)
где у — численный коэффициент порядка единицы. В частности, для
случая, когда частота столкновений пропорциональна скорости
vea = flAee, c помощью формул E.103) и E.110) найдем
vea= (8/3) V2ln(\lKa)VTe[tnet 7= 32/9я. E.112)
136


Подставляя формулу E.111) в уравнение баланса E.109), преоб-
преобразуем его для условий, когда vee « vef<^vea и слагаемым Soi
можно пренебречь, к виду
Те- Та = Bv/3) e* E*[me к}а (vseaJ. E.113)
При vs ж vf — const и xs = %e = const правая часть равенства
не зависит от электронной температуры и его можно непосред-
непосредственно использовать для определения Те (в этом случае у = 1).
В общем случае, когда v и х зависят от скорости электронов и, со-
соответственно, усредненные величины vs и Xs E.107) — от электрон-
электронной температуры, равенство E.113) представляет собой уравнение
относительно Те. Например, для Vs = а А, К = const и xs =
= хе = const найдем, используя E.113) и E.112):
и при Те > Та
Т,*(ЦУЩеЕКа1УЪа- E.114)
При условиях, когда неравенство v ea ^> veei vei не выпол-
выполняется, следует учитывать влияние столкновений электронов с элек-
электронами и ионами на функцию /1# Учет электрон-электронных
столкновений довольно сложен, поскольку столкновительный
член Sx для них нельзя представить в виде дифференциального опе-
оператора и уравнение для Д получается интегро-дифференциальным.
Чтобы решить его, функцию /х разлагают по полиномам Лагерра.
Результат расчетов может быть представлен в виде, аналогичном
F.111):
и = — yeE/me (vea + vel), E.115)
где коэффициент у определяется видом зависимости vea (v) и со-
соотношением между vea и vei, Для сильноионизованной плазмы,
в которой vei ^> vea,
a tt~yeE/mevei,
где у == 1,96; vei можно найти, из E.103), используя B,69):
L E 116)
v.=U^ -
з m1/2r3/2
Подставляя E.115) в уравнение баланса E.109), получаем уравнение
для электронной температуры. Это уравнение проанализировано
в § 7Л0. Для полностью ионизованной плазмы область применения
получаемых результатов вообще весьма ограничена. Во-первых,
начиная уже со сравнительно небольших напряженностей электри-
электрического поля энергия, передаваемая электронам от поля, не успе-
успевает передаваться ионам и стационарное состояние баланса, опи-
описываемое уравнением EЛ09), не может быть реализовано» Кроме
того, быстрые электроны переходят в режим непрерывного уско-
137


рения, в результате которого функция распределения оказывается
сильно анизотропной (см. § 7.11).
Мы показали, что распределение по скоростям электронов при
преобладающем влиянии электрон-электронных столкновений яв-
является максвелловским, В случае достаточно высокой степени ио-
ионизации, при которой частота электрон-электронных столкновений
превосходит частоту неупругих столкновений (vee ^> v*a), мож-
можно использовать это распределение для определения эффективности
неупругих процессов, в частности процесса ионизации. Используя
аппроксимационную формулу B.86) для сечения ионизации, полу-
получаем
v' = j паs< v D - 1) 4яо2/оdv =
где v* — 2%i/me. При %t ^> Те находим
V EЛ18)
§ 5.7. Влияние магнитного поля на функцию
распределения электронов
В присутствии постоянных электрического и магнитного полей
функцию распределения электронов следует искать в виде
EЛ19)
V
Предполагая по-прежнему, что функция распределения не
зависит от времени и координат, можно записать уравнения E.22)
для функций /0, flx, fly, flz следующим образом:
-o-^r4-(^Efi) + So; E.120)
J-—Sx. E.121)
+ IHf1]S1.
те do mec
Второе уравнение является векторной записью трех уравнений,
определяющих связь между направленными составляющими функ-
функции распределения flX9 fly> flz и изотропной составляющей /0.
Столкновительный член Si имеет компоненты
t J^Arfco, (Б.122)
138


где Эь — угол между вектором скорости и осью k, а интегриро-
интегрирование приводится по телесным углам, охватывающим все направ-
направления вектора скорости. Подставляя в E.122) интеграл упругих
столкновений электронов с атомами E.25) и полагая величины ско-
скорости электронов до и после столкновения одинаковыми, полу-
получаем
Slk = — nna f cos @k da f fj (v' —v) vadQ. E.123)
Изменение вектора скорости при упругих столкновениях связано
с углом рассеяния формулой B.16). Подставляя ее во второй ин-
интеграл E.123), находим
К I h (v) (V — v) vodU = — na v (fx v) J A — cos *) odQ =
(Q) (Q)
— —na vst (fx v) = —v* fx v
и, далее,
cos6fed0= nvty ft, I t;7cos6
' (©)
Очевидно, что интеграл по направлениям скорости отличен от
нуля только при / = k:
\ v, cos @k da> = 8lk v \ cos2 efe dco = —5^- 8lk.
Подставляя его, имеем: Slk =^ — nv'fl/lft, или в векторной форме
S^-nvlJv E.124)
Аналогичные выражения получаются для столкновительного члена,
связанного с неупругими столкновениями электронов с атомами
(см. § 5.3). Складывая их с E.124), находим для случая vea >>
^>veet veb т, е. когда электрон-электронные и электрон-ионные
столкновения несущественны:
Si = -n (v?e. +Уеп + v»ea) fx = -nv;e fv E.125)
Подставляя E.125) в E.121), находим
Hxf1]-v|af1 = 0. E.126)
Направим ось Oz параллельно Н, а ось ох так, чтобы вектор Е
лежал в плоскости xz. Тогда проекции E.126) на оси координат
139


примут вид"
Решая эти
еЕх df0
те dv
еН -
тес у
п. ^
уравнения относительно
JLv df0 e f
dv
/lx>
'Ие(
Gft + V
z, получаем
2) dv '
mev dv
E.127)
где введены обозначения; jBjj =? — компонента Е, параллельная
магнитному полю; Е± = Ех — компонента, перпендикулярная маг-
магнитному полю; соя = еН1тес — циклотронная частота (как изве-
известно, она определяет угловую скорость вращения электронов в маг-
магнитном поле (см, § 8.1),
С помощью выражений E.127) можно, как и раньше, получить
общие формулы для направленной скорости электронов. Под-
Подставляя E.127) в E.21), находим:
4я еЕ
JL
те
ф V
dv
•dy;
me
4n
¦do.
E.128)
Для случая v =* const интегралы можно взять по частям. То-
Тогда выражения EЛ28) не будут зависеть от вида /0:
еЕ,
еЕх
me
и1у— —
те
«1»=—"
<Е\\
mev
E.129)
Как видно, магнитное поле не влияет на компоненту скорости
игу параллельную ему. Это естественно, так как лоренцева сила
пропорциональна векторному произведению поля на скорость и не
имеет составляющей, параллельной Н. Влияние магнитного поля
* Здесь и далее в случаях, когда смысл величины v не вызывает сомнений,
будем опускать индексы при v.
140


на перпендикулярные компоненты скорости существенно при
(Он > v. При этом уменьшается скорость в направлении компо-
компоненты Е, перпендикулярной Н (их), и появляется компонента ско-
скорости, перпендикулярная Е и Н. Такое влияние связано с враще-
вращением электронов в плоскости, перпендикулярной Н. При соя <^ v
вращение не успевает проявиться — за время между столкновения-
столкновениями электроны двигаются практически по прямой. При со# ^> v
электроны между столкновениями совершают много оборотов.
В результате периоды ускорения электронов под действием Е^
(в течение которых vEj_ < 0) сменяются периодами замедления
(когда vE± > 0) и суммарная эффективность ускорения электронов
в направлении Е± падает. Подробный анализ влияния магнитного
поля на направленное движение электронов будет дан в гл. 9.
Используя полученные выражения для компонент /ь рассмотрим
влияние магнитного поля на /0. В уравнении для /0 E.120) магнит-
магнитное поле влияет на первый член, определяющий приобретение энер-
энергии электронами под действием электрического поля. Этот член,
как уже отмечалось в § 5.4, является дивергенцией сферически-
симметричного потока в пространстве скоростей
^^ E.130)
где
Подставляя в E.130) выражения E.127), получаем
-^-. E.131)
dv
Поскольку плотность потока пропорциональна производной
dfo/dv, то поток имеет диффузионный характер и является следст-
следствием случайных «блужданий» электронов по шкале скоростей.
Коэффициент диффузии, как было показано в § 5.4, определяется
средним квадратом изменения скорости электрона за время между
столкновениями "E.60):
Dv = A/2) < (Av)* > т-1 = A/6) {AveY v-1.
В отсутствие магнитного поля изменение скорости связано толь-
только с ускорением в электрическом поле (Ave = eElmev), поэтому
величина потока имеет вид E.59). Таким же оказывается Ave при
Е||Н, практически таким же AvE остается и при EJ_H в случае
(Он < v. Однако при со# > v вращение электронов приводит, как
отмечалось, к поочередной смене периодов ускорения и замедления
электронов. Время каждого периода ускорения Аге равно, оче-
очевидно, времени полуоборота электрона Аге = я/соя« Соответст-
Соответственно максимальное изменение скорости за время между столкно-
141


вениями составляет AvE ж (еЕ±/те) AtE & пеЕх/теын- Это из-
изменение и определяет с точностью до множителя порядка единицы
коэффициент диффузии при соя > v:
те
Полученная формула соответствует второму слагаемому в
E.131). Выражение E.131) для ГЕ можно записать в форме E.59),
если ввести эффективное электрическое поле:
^^?fj + ?j_v2/(<»>H + v2). E.132)
При этом уравнение E.120) для /0 будет формально таким же, как
и в отсутствие магнитного поля, зависимость /0 от Н входит в него
только через Еэф. Поэтому для определения влиянця магнитного
поля на /0 можно воспользоваться общими результатами § 5.4 —
5.6, заменив в них Е на Е^ф. Однако при установлении конкретного
вида /0 надо учитывать, что Еэф E.132) в общем случае зависит от v.
Для случая v = const такая зависимость отсутствует и можно
непосредственно использовать формулы § 5.4 — 5.6. Так, при ус-
условиях, когда существенны только упругие столкновения, распре-
распределение /0 оказывается максвелловским. Электронная температура
при этом определяется формулой E.66), в которой надо заменить Е
на Еэф E.132): ,
E.133)
Интересно отметить, что в электрическом поле, перпендикуляр-
перпендикулярном магнитному, при ©я ^> v функция /0 вообще не зависит от v.
Действительно, в соответствии с E.131) скорость набора энергии
электронами, определяющаяся Г0?, пропорциональна v так же,
как и столкновительный член, обусловленный упругими столкно-
столкновениями. Поэтому в уравнении E.120) частота столкновений сокра-
сокращается, и оно принимает вид
_L ^lJk=±Kvfo + J^. J*!l. E.134)
3 mjeoj, dv 2 /0 ma dv v '
Решением этого уравнения при %еа = const является максвеллов-
ское распределение с температурой
Те = Та + C/2)е2Е2±/тек(й%. E.135)
Как было показано в § 5.6, при преобладающем влияний элект-
электрон-электронных столкновений на функцию /0 (т. е. при ivee>>
^КеаУеа) она близка к максвелловской. При этом электронная
температура определяется уравнением баланса энергий E.109).
Магнитное поле влияет на левую часть уравнения баланса. В нее
входит направленная скорость электронов, компоненты которой
142


при vei<^vea могут быть найдены с помощью E.128). Тогда ураб*
нение баланса можно привести к форме, аналогичной E.113):
E.136)
где; ?|ф = Е\ + I -гц-2 ?1- Здесь v и % — суммарные усред-
усредненные величины, определяемые E.107) и зависящие в общем случае
от 7Y, у и \ — численные коэффициенты порядка единицы, которые
определяются зависимостью vea и %еа от v, а ? — еще и соотноше-
соотношением (o#/v. Равенство E.136) также представляет собой уравнение
для Те. При vea = const, xea = const правая часть E.136) не за-
зависит от Те, коэффициенты у и g равны единице и равенство E.136)
переходит в E.133).
Для сильноионизованной плазмы при ^>Гувв результаты
численных расчетов направленной скорости также можно пред-
представить в виде аналогичном E.129) с коэффициентами порядка еди-
единицы. Соответственно и уравнение баланса при Тг = Та может быть
записано в форме E.136), если использовать в нем суммарную ча-
частоту столкновений vea + vei и усредненный по всем этим столк-
столкновениям коэффициент передачи энергии. Разумеется, значения
коэффициентов у и ? в этом случае отличаются от предыдущего.
§ 5.8. Функция распределения электронов
в переменном электрическом поле
Рассмотрим распределение электронов по скоростям в перемен-
переменном электрическом поле, полагая его однородным в пространстве.
Используем для определения функций /0, fx уравнения E.16),
E.18):
E.137)
dt 3me v* dv
 neE df0
dt me dv
в которых столкновительные члены So, Sx определяются форму-
формулами § 5.3. Для условий, когда главную роль играют упругие столк-
столкновения электронов с атомами, они имеют порядок
Уравнения E.137) отличаются от рассмотренных в § 5.4 — 5.6
«инерционными» членами d(nfo)/dt и д (nf^/dt. Роль этих членов
можно оценить, сравнивая период изменения поля с временем ре-
релаксации (установления) функций /0 и /lt Поскольку релаксация
143


функции распределения электронов обусловлена столкновениями
времена релаксации имеют следующий порядок:
для функции /0 1/т0 « |S0|/n/0 = kv, т0 = 1/xv;
для функции fx \1хг = ISJ/n/i « v, тх « 1/v.
Большое различие времен релаксации изотропной и направленной
составляющих функции распределения (т0 ^> ti) связано, оче-
очевидно, с различием влияния столкновений на величину и направ-
направление скорости электронов.
Сопоставляя период изменения поля Т с временами релаксации
т0 и ть можно выделить низкочастотный случай, для которого Т
много больше т0 и тем более %ъ т. е. удовлетворяются неравенства
Г> 1/xv; co<w, E.138)
где со = 2п/Т — угловая частота изменения поля. При этом инер-
инерционные члены в обоих уравнениях E.137) малы по сравнению со
столкновительными и их можно не учитывать, а значит, функции
/0 и /х такие же, как в постоянном электрическом поле, и в каждый
момент времени определяются мгновенным значением поля.
В случае высоких частот, когда выполняются неравенства, об-
обратные E.138):
Г< 1/xv; co>w, E.139)
т. е. период изменения поля много меньше времени релаксации функ-
функции /0, эта функция не успевает следовать за изменением поля.
В этом случае функция /0 почти постоянная во времени и лишь слег-
слегка промодулирована колебаниями с частотой равной удвоенной
частоте поля. Нетрудно убедиться с помощью уравнений E.137),
что глубина этой модуляции порядка xv/co. Рассматривая случай
высоких частот E.139), будем пренебрегать такой модуляцией
и считать /0 не зависящей от времени, что весьма упрощает решение
системы уравнений E.137).
Рассмотрим сначала уравнение для fv Будем считать, что элек-
электрическое поле изменяется по гармоническому закону
Е = Ео cos со/. EЛ40)
Столкновительный член 5Х представим в виде E.28): Sx =
= —v8eanfi, полагая, что vea>> vee, vei. Тогда
dfjdt + v/i = {eEJme) (dfjdo) cos со/. F.141)
Стационарное решение уравнения E.141) можно искать в виде
fi(v, t) = /и (i;)cos©/ + /12(ф1псо/, V F.142)
где /u и /12 не зависят от времени. Подставляя E.142) в E.141),
получаем
(ю/12 + v/n) cosco/ — (co/u — v/12) sinco/ —
— (eE0/me) (dfo/dv) cosco/ = 0.
144


Отдельно приравнивая нулю коэффициенты при cosco^ и при
sinco/, находим выражения для функций /п и /12:
eEov df^ еЕоа _ff^
11 m(w2+v2) dv /12 mg(co2+v2) dv V
Эти выражения определяют направленную скорость электронов
в высокочастотном электрическом поле. Подставляя E.142) и E.143)
в E.13), получаем
и = и1 cos Ш + и2 sin Ы\
оо
3 те J OJ+V2 dv
E.144)
4д еи0 г ода аг0 у
о
о
При v = const входящие в E.144) интегралы после интегрирования
по частям превращаются в нормировочные и
•• - еЕ° - v ы2= —!?о._^ E.145)
те (oJ4-v2) mg @J+)
Написанные формулы дают две компоненты направленной ско-
скорости. Первая из них их характеризует движение электронов в фазе
с полем (изменяется со временем так же, как и поле), вторая и2 —
движение, сдвинутое по фазе на я/2 (зависимость от времени опре-
определяется sinco/ вместо cosco/). При co<^v формулы E.144), E.145)
для компоненты их переходят в полученные ранее выражения для
направленной скорости в постоянном поле E.56), E.57), а компо-
компонента и2 оказывается много меньше uv Условие со <^ v соответст-
соответствует большому числу столкновений электронов за период поля,
т. е. малому изменению поля за время между столкновениями.
Естественно, что при этом связь между направленной скоростью
и полем такая же, как в постоянном поле. При со ^> v компонента
направленной скорости иъ находящаяся в фазе с полем, резко
уменьшается, в то же время компонента и2, сдвинутая по фазе на
я/2, становится значительно больше, чем %, Это происходит, оче-
очевидно, потому, что за время между столкновениями проходит много
периодов поля, в течение которых электрон попеременно ускоряется
и замедляется. Такой «реактивный» обмен энергией как раз соот-
соответствует сдвигу фаз между скоростью и полем, близкому к я/2.
Заметим, что выражения EЛ44), E.145) для их и и2 совпадают
с формулами для компонент скорости их и иу в постоянном элект-
электрическом поле (E||0*)f перпендикулярном магнитному, если заме-
заменить со на соя [см. E.128), E.129) при ?ц = 0]. Это совпадение от-
отражает одинаковый, периодический характер воздействия элект-
электрического поля на электроны (в присутствии постоянного магнит-
145


ного поля он связан с вращением электронов, в переменном элект-
электрическом поле — с колебаниями самого поля)*
Перейдем теперь к определению /0. Для этого подставим выра-
выражение для Д, определяемое формулами E.142), E.143), в уравнение
для /0 E.137). Тогда оно примет вид
б т\&
dt б т\& V dv { co2+v2 dv
sin Bfirf)^- ( -**-Щ) = So. E.146)
V ' dv { OJ+V2 dV Л V '
Как уже отмечалось для случая со ^> xv, функция /0 слабо] мо-
модулирована и в первом приближении ее можно считать постоянной.
Уравнение в этом приближении получим, усредняя E.146) по пе-
периоду колебаний:
nlEJr^dhls 5
б m|u2 dv L g>2+v2 dv
В следующем приближении с помощью E.146) можно найти пере-
переменную добавку к /0; как видно, эта добавка изменяется с частотой
2со. Однако* не будем останавливаться на этом.
Левая часть уравнения E.147) определяет энергию, приобре-
приобретаемую электронами за счет их движения в электрическом поле.
Как и раньше, она представляет собой дивергенцию сферически-
симметричного потока
df0
б m|(co2+v2) dv
который можно описать как результат диффузии, и в пространстве
скоростей
При со <^ v, когда поле мало изменяется за время между столкно-
столкновениями, характер ускорения электронов такой же, как в постоян-
постоянном поле. Поэтому и формула для коэффициента диффузии DE при
(о <^ v такая же [см. E.59)]; ?ри этом входящая в нее величина Е2
усреднена по периоду поля (Е2 = Eq/2). При co^>v из-за много-
многократного изменения направления поля за время между столкнове-
столкновениями периоды ускорения и замедления электронов чередуются.
Максимальное приращение скорости в поле частоты со равно
(Ау?)макс « еЕ0/те<о. При этом коэффициент диффузии в про-
пространстве скоростей [см. E.60)]
DE « (l/6)< (AvEJ >v a? A/6)
соответствует формуле E.149),
146


Соотношение E.149) для плотности потока Fve может быть пред-
представлено в виде аналогичном E.59), если ввести эффективное поле
?|ф = A/2) El v/ (v2 + со2). E.150)
Поэтому результаты определения /0 в постоянном электрическом
поле можно обобщить на случай высокочастотного поля. Ситуация
здесь точно такая же, как и для одновременно присутствующих
постоянных электрического и магнитного полей (см. § 5.7). Более
того, из-за одинакового характера ускорения сами формулы для /0
аналогичны в обоих случаях [ср. E.150) и E.132) при ?ц = 0L
Поэтому не будем снова обсуждать применение формулы E.150)
в различных условиях.
Приведем лишь выражения для /0 в случае, когда существенны
только упругие столкновения электронов с атомами. В соответ-
соответствии со сказанным можно использовать выражение E.63), заменив
в нем Е2 на ?|ф. Тогда получим
Если пренебрчь Та (случай сильного поля), то E.151) приобре-
приобретает вид
/0 = А ехр ^- (со2 v2 + 2 Г то2 Л ] . E.152)
При v = const формула E.151) приводит к максвелловскому рас-
распределению скоростей с температурой
Те = Те + е2Е\1Ъте х(со2 + v2). E.153)
При достаточно высоких частотах (co^>v) распределение будет
максвелловским при любой зависимости v(v)* При этом электрон-
электронная температура вообще не зависит от у:
Те = Тп + е2Е%1Ъ пгекеа(о2. E.154)
§ 5.9. О функции распределения ионов
в электрическом поле
Как было показано в § 5.1, функция распределения ионов в сла-
боионизованной плазме при электрических полях много меньших
критического E.5) Е <^ Epi = Tlekin близка к равновесной (мак-
свелловской). При этом отклонения распределения от равновес-
равновесного можно найти методом последовательных приближений,
который позволяет определить направленную скорость, потоки им-
импульса и энергии, поправку к средней энергии и другие харак-
характеристики, связанные с электрическим полем (см. гл. 6.7). С прибли-
приближением электрического поля критическому функция распределения
ионов все более отклоняется от равновесной. Характер этого откло-
147


нения зависит от столкновений ионов с атомами. Поскольку их мас-
массы близки и передача энергии при столкновениях, как и передача
импульсов, может быть значительной, направленная скорость ионов
в сильном электрическом поле сравнима с хаотической или больше
нее, т. - е. функция распределения сильно анизотропна. Поэтому
для ионов неприменим описанный в предыдущих параграфах метод
решения кинетического уравнения, основанный на разложении ее
по степеням анизотропии. Соответственно задача об определении
функции распределения ионов в электрическом поле значительно
сложнее, чем для электронов, и решения ее удается получить лишь
в некоторых случаях, допускающих упрощение.
Функцию распределения можно, в частности, найти для «эста-
«эстафетной» модели, приближенно описывающей движение ионов в сла-
боионизованной плазме, содержащей атомы и ионы одного сорта при
электрических полях, много больших критического. В этом случае
основную роль играют столкновения ионов с атомами типа резо-
резонансной перезарядки, сопровождающиеся малой передачей энергии.
Каждое такое столкновение приводит к исчезновению иона, уско-
ускоренного электрическим полем в период между столкновениями (он
превращается в нейтральный атом), и к появлению медленного иона
с энергией практически равной энергии нейтрального атома, из
которого он получился. Принимая во внимание только такие столк-
столкновения, можно использовать для приближенного рассмотрения
модель, в которой каждое столкновение приводит к уменьшению
энергии иона до нуля. В рамках этой модели скорость ионов опре-
определяется лишь их ускорением электрическим полем в период между
двумя столкновениями. Соответственно направление движения сов-
совпадает с направлением электрического поля, а распределение по
скоростям определяется распределением времен между столкно-
столкновениями.
Чтобы найти функцию распределения, можно воспользоваться
кинетическим уравнением, которое для рассматриваемой модели
приобретает вид
(eE/mt) dftldv = 6ft/8t9 E.155)
где ft зависит только от одной компоненты скорости, параллельной
электрическому полю. В соответствии с используемой моделью стол-
кновительный член должен включать только перезарядочные столк-
столкновения, приводящие к выходу ионов из заданного интервала ско-
скоростей. Поэтому его можно записать в следующем виде:
-f- = -vn0, sia (v) U (v) = ._v<n (v) fh (v), E.156)
где sia — полное сечение перезарядки; vie = nasiav — частота
перезарядочных столкновений; полагаем, что относительная ско-
скорость при столкновении практически равна скорости ионов (т. е.
что скорость нейтральных атомов много меньше скорости ионов).
Подставляя EЛ56) в уравнение E.155), получаем (е,Е/тг) dft/dv =
И8


= — Via (v) ft- Интегрирование этого уравнения дает функцию рас-
распределения по скоростям ионов вдоль поля
E.157)
где А — нормировочный множитель, определяемый из условия
Jft(t>)A>=l.
о
E.158)
Отметим, что в рамках обсуждаемой модели все ионы двигаются
в направлении поля, т. е. ft = О при vt < 0.
Поперечное сечение резонансной перезарядки при не очень боль-
больших энергиях ионов слабо зависит от скорости ( см. § 2.6). Прене-
Пренебрегая этой зависимостью, т. е. полагая sia = const, via =
^ tiasiav ~ v9 получаем из E.157) распределение, по форме совпа-
совпадающее при v > 0 с максвелловским. Его можно записать в виде
<5Л59)
где 77 — эффективная температура:
ПаНа
E.160)
нормировочный множитель выбран с помощью условия E.158) (он
в два раза больше нормировочного множителя для полного максвел-
ловского распределения, так как ft = 0 при v < 0). Нетрудно оп-
определить с помощью E.159) среднюю скорость ионов в направлении
поля и их среднюю энергию:
иБ =
oo
¦f
Рассмотрим теперь сильноионизованную плазму, в
v« > vie, г] > SiJsu*
E.161)
которой
E.162)
Роль различных столкновений можно оценить с помощью кинетиче-
кинетического уравнения так же, как это было сделано в § 5.6 для электро-
электронов. Для ионов в однородной плазме оно имеет вид
(neE/mt) gradj* = Sia + Sie + SH. E.163)
Баланс среднего импульса и средней энергии определяется первыми
тремя членами уравнения: первый член характеризует ускорение
ионов в электрическом поле, второй и третий—обмен импульсом
149


и энергией с электронами и нейтральными атомами. Поэтому член,
пропорциональный полю, имеет тот же порядок, что и сумма первых
двух столкновительных слагаемых. Ион-ионные столкновения,
очевидно, не влияют на изменения среднего импульса или средней
энергии ионов, они приводят лишь к перераспределению импульса
и энергии между ионами. В то же время в рассматриваемом случае
ион—ионный столкновительный член Бц много больше других
слагаемых в уравнении E.163). Из-за малого обмена энергией и им-
импульсом при столкновениях ионов с электронами он обычно много
больше ион-электронного столкновительного члена:
SH/Sie « (mt/me) vM/vle « Ущ1Щ (Te/Tt)*/* > 1.
При выполнении неравенства E.162) он также много больше ион-
атомного столкновительного члена Sn/Sia « vH/via ^> 1. Поэтому
форма функции распределения в первом приближении определяется
условием обращения в нуль ион-ионного столкновительного члена.
Как было показано в §4.2, это условие приводит к максвелловскому
распределению:
Направленную скорость vt и ионную температуру Tt можно опреде-
определить с помощью уравнений баланса среднего импульса и средней
энергии. Они получаются умножением кинетического уравнения
E.163) соответственно на импульс тм или на энергию т#?12 и поч-
почленным интегрированием по всему пространству скоростей. Та-
Такая процедура для более общего случая проделана в § 6.3, 6.4.
Приведем здесь соответствующие равенства лишь для условий,
когда столкновения ионов с электронами играют малую роль по
сравнению с их столкновениями с нейтральными атомами, т. е. при
S€i/Sia^(me/nii) vei/via<^l. При таких условиях баланс импульсов
сводится к равенству электрической силы и среднего импульса, пе-
передаваемого при столкновениях ионов с атомами: еЕ = \iia via и*.
Это равенство дает направленную скорость ионов
щ = eE/iita via - 2eE/niiVia E.165)
при (mt = mj. Уравнение" баланса энергии ионов сводится к ра-
равенству средней энергии, приобретаемой ионами в электрическом
поле, и средней энергии, теряемой ими при столкновениях с ней-
нейтральными атомами; еЕщ = C/2)ща via (Tt — Га), где ща =
= 2тгта/(т1 + таJ = 1/2 (при тг == та). Оно приводит к следу-
следующему соотношению для ионной температуры:
Тг-Та = (8/зуЕУт^га. E.166)
При более высоких степенях ионизации, когда существенно влия-
влияние электрон-ионных столкновений, необходимо учитывать в ба-
балансе энергий ионов не только их обмен энергией с нейтральными
атомами, но и обмен энергией между электронами и ионами.
150


ГЛАВА б
УРАВНЕНИЯ МОМЕНТОВ ФУНКЦИИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 6.1. Моменты функции распределения
При заданных внешних условиях кинетические уравнения поз-
позволяют в принципе найти функции распределения частиц и с их
помощью определить макроскопические характеристики плазмы.
Ввиду сложности кинетических уравнений получить их полное ре-
решение удается далеко не всегда. Однако многие задачи решаются
с помощью приближенных уравнений для моментов функции рас-
распределения, которые можно получить из кинетических уравнений.
Моменты функции распределения представляют собой комбинации
компонент скорости частицы, усредненные по распределению,—
линейные (моменты первого порядка), квадратичные (моменты вто-
второго порядка) и пр. Установим физические величины, определяе-
определяемые этими моментами.
Три момента первого порядка представляют собой средние зна-
значения компонент скорости*
ld*v, F.1)
(v)
где uky vk — проекции векторов u, v на одну из осей координат.
Равенства F.1) можно записать и в векторной форме
u= ^ vf(v)d?v.
(v)
Полная скорость каждой частицы может быть представлена в виде
суммы
v = u + w. F.2)
Очевидно, что усреднение второго слагаемого по скоростям дает
нуль:
<w>= J w/(v)d3t> = 0. F.3)
(v) '
Поэтому вектор w называют хаотической скоростью, среднюю ско-
скорость и — направленной скоростью.
* Здесь и далее в формулах, которые могут быть применены к частицам
различных сортов, мы опускаем для сокращения индекс а, обозначающий
сорт частиц.
151


Моменты второго порядка могут быть составлены из средних
значений произведений компонент скорости < vkVi >. Поскольку
перестановка индексов не изменяет произведения, имеется шесть
независимых моментов такого типа. В качестве одного из них выби-
выбирают обычно среднюю энергию частиц:
F.4)
(v)
Представляя v в виде суммы F.2) и учитывая F.3), получаем
у = и2
у + < W2 у = U2
Соответственно средняя энергия
равна сумме составляющих,
связанных с направленным и
хаотическим движением:
F.5)
Температура Т здесь введена
как мера средней энергии хао-
хаотического движения в соответст-
соответствии с обычно принятым опре-
определением.
Рис. 6.1 Моменты (vkvty при произ-
произвольных k и I можно связать с
потоком импульса. Подсчитаем, например, плотность потока k-u
компоненты импульса, переносимого через единичную площадку
F в /-направлении (рис. 6.1). Число частиц, обладающих скоростью
в интервале v d v, которые пересекают площадку F в единицу вре-
времени, равно nfvtdBv. Так как k-я компонента импульса, перено-
переносимая каждой частицей, есть mvh, то переносимый всеми
выделенными частицами поток импульса есть mvknfvid3v, а искомый
средний поток равен
ь
ч
с*
п' к
Phi =
vhvf(Fv = nm{ vkvt
F.6)
Совокупность величин Pki представляет собой тензор плотности
потока импульса Р. В системе отсчета, в которой средняя скорость
частиц и=0, он называется тензором давления р. Обычно под давле-
давлением понимают силу, действующую на элемент некоторой поверх*
ности, отнесенную к его площади. Поскольку изменение импульса
в единицу времени определяет приложенную силу, оба определе-
определения эквивалентны, Нетрудно установить связь между Pki и pki,
152


Представляя полную скорость частиц в F.6) как сумму направ-
направленной и хаотической скоростей [см. F.2)], получаем
Pki = пт{ (wk + uk) (wi + wi)} = nmukul + nm < wkwx > +
+ nmuh (Wi) + nm < uk> U\.
Последние два члена в силу равенства F.3) равны нулю. По-
Поэтому
Pkl = nmukul + pkh F.7)
где
Pki = nm< wkwi >. F.8)
Диагональные члены тензора р описывают силы давления, ко-
которые действуют нормально к площадкам, перпендикулярным
осям координат (например, рхх—нормальное давление на элемент
плоскости yz и т. д.) Недиагональные компоненты описывают силы,
касательные к этим площадкам. Как видно из F.8), ркг определя-
определяются видом функции распределения частиц по скоростям. Если
функция распределения по хаотическим скоростям изотропна и вы-
выполняются соотношения
<а>!> - <w*> - <a;J> =
<wx wy> = <wx wz) = (wy wzy = 0,
то тензор давления превращается в скаляр pki = pbhh причем ска-
скалярное давление определяется средней энергией хаотического дви-
движения или температурой [см. F.5)]:
р = A/3)л/и < w2 > = пТ* F.9)
В общем случае тензор давления обычно разбивают на два сла-
слагаемых: нормальное скалярное давление (р), определяемое равен-
равенством F.9), и так называемый тензор вязких напряжений п:
Phi = Phi + nhh F.10)
где
nkl -= nm < wkwt — (V3)w28kl > F.11)
является той частью тензора р, которая обусловлена отклонения-
отклонениями распределения от сферической симметрии. Диагональные эле-
элементы тензора я, как видно из F.11), связаны соотношением
S nkk = 0, т. е. тензор имеет пять независимых компонент.
Моменты третьего порядка составляются из средних значений
произведений трех компонент скорости < vkvivm > . Всего имеет-
имеется десять независимых моментов этого типа. Наиболее важными
из них являются моменты, связанные с потоком энергии. Опреде-
Определим эту величину. Плотность потока энергии, переносимой в k-м
направлении частицами со скоростью в интервале vdv, равна
153


(mv2l2)vknfdzv\ поток, переносимый всеми частицами, получается
при интегрировании этого выражения:
Qk = п Г i- mv2 vk fd*v=± nm <vki>2>, F.12)
(v)"
или в векторной форме Q = A/2) nm < \v2 > *
Представляя скорости в виде суммы хаотической и направлен-
направленной составляющих F.2) и учитывая, что < w > = 0 F.3), нахо-
находим для ^-компоненты
Qk = (пт/2) фк + wh) (u + wJ> - (пт/2) (uk и2 + uk
i
Используя соотношения F.5) и F.8), это равенство можно перепи-
переписать в следующем виде:
или в векторной форме
Q^q + nKun + nKwu + pu. F.13)
Первое слагаемое
q = (пт/2) < w w2 > F.14)
характеризует перенос энергии в системе, в которой направленная
скорость равна нулю, т. е. перенос энергии, связанной только
с хаотическим движением частиц. Поэтому вектор q называют плот-
плотностью потока тепла. Остальные три слагаемых в F.13) описыва-
описывают поток, связанный с направленным движением, — перенос энер-
энергии самого направленного движения (n/CJ, тепловой энергии (nKw)
и энергии, определяемой работой сил давления.
Ниже будут получены приближенные уравнения для моментов
функции распределения заряженных частиц. Применение таких
уравнений для описания поведения электронной и ионной компо-
компонент плазмы в известном смысле аналогично подходу, используе-
используемому в гидродинамике. Поэтому эти уравнения иногда называют
уравнениями двухжидкостной гидродинамики плазмы.
§ 6.2. Получение уравнений моментов
Уравнения моментов функции распределения можно получить
из кинетического уравнения. Для этого надо умножить кинетиче-
кинетическое уравнение на комбинацию проекций скорости, соответствую-
соответствующую определенному моменту, и проинтегрировать его почленно по
всему пространству скоростей. Умножая его на проекции скорос-
скорости vh, получаем уравнение первого момента, умножая на произве-
154


дения vkVi — уравнение второго момента, умножая на vkViVm —
уравнение третьего момента и т. д. Уравнением нулевого момента
называют уравнение для концентрации, получающееся просто
почленным интегрированием кинетического уравненря.
Определим общий вид уравнений моментов, Для этого исполь-
используем кинетическое уравнение в форме C.17)
F.15)
Обозначим g некоторую комбинацию проекций скорости. Момент
функции распределения, соответствующий этой комбинации, есть
< g ) = J Sf (v)^3 v- Уравнение для < g > получим, умножая
F,15) на g и интегрируя по скоростям. Первое слагаемое преобра-
преобразуем к виду
I^L±(^\± FЛ6)
(V) V (V) /
Здесь мы изменили порядок дифференцирования и интегрирова-
интегрирования, воспользовавшись тем, что время t и компоненты vk являются
в кинетическом уравнении независимыми переменными. Поскольку
координаты в конфигурационном пространстве хк и компоненты
4 скорости vk также независимы, можно аналогичным образом преоб-
преобразовать второй член:
(v) • * (v)
F.17)
Слагаемое, пропорциональное электрическому полю, в резуль-
результате интегрирования по частям преобразуется к виду
(V) (V)
k
F.18)
J
(v)
При интегрировании учли, что функция распределения должна
обращаться в нуль при vk-> oo.
155


Аналогичным способом, интегрируя по частям, преобразуем
слагаемое, пропорциональное магнитному полю:
—
тс
тс
J
(v)
J
(v)
J
(v)
Второе слагаемое под интегралом равно нулю, так как [v X Н]А
зависит только от компонент скорости, перпендикулярных vk. По-
Поэтому находим
¦? |{IvxH,g r.d.W»«d-,-
(V) -
Щ,
me
F.19)
Уравнение для < g > с учетом F.16) — FЛ 9) можно записать
в виде
div
- ^L E<gradpg> -
F-20)
Правая часть уравнения получена в результате интегрирования
столкновительного члена
Fв21)
(v)
В общем случае его можно представить в виде суммы
д (*«<*«» =у д (*«<*«» ' F22)
б* л-J б/
Р./ аР
распространяемой на столкновения частиц рассматриваемого сор-
сорта с частицами всех других сортов и на все типы столкновений.
Для упругих столкновений, используя столкновительный
член в форме C.23), получаем
x
Ц
X [/а К) /э (
где по-прежнему
156
J Г g(v«)
a)(vP)(«)
Va d* Op, F.23)
= | va — v$ \ .


Первый из интегралов можно преобразовать, воспользовавшись
тем, что в силу обратимости столкновений компоненты скоростей
vi, vp под интегралом можно заменить на va, vp и наоборот. Тогда
получим, учитывая, что при упругих столкновениях величина от-
относительной скорости не изменяется Vap=vap и d3vad3v$=ddVad3v$
(см. с. 86):
) f Ы h (
Подставляя это равенство в F.23), находим
la —go) fah V<*P <**p d3 Va d3 V$ dQ,
F.24)
где введены обозначения ga = g (va), ga = g (v^.
Полученное выражение определяет изменение момента в резуль-
результате столкновений, просуммированное по столкновениям, проис-
происходящим в единицу времени, и усредненное по скоростям сталки-
сталкивающихся частиц.
Интеграл F.24) для столкновений одинаковых частиц обраща-
обращается в нуль в случае, когда сумма величин g (v) для сталкивающих-
сталкивающихся частиц сохраняется, т. е. когда она является интегралом движе-
движения (константа, компоненты импульса, энергия частиц). Дейст-
Действительно, при этом уменьшение g (v) у одной из сталкивающихся
частиц компенсируется таким же увеличением g(v) у другой части-
частицы и среднее по частицам рассматриваемого сорта изменение отсут-
отсутствует. В этом можно и непосредственно убедиться с помощью про-
простого преобразования интеграла F.24) для столкновений одинако-
одинаковых частиц, когда функции fa и /р одинаковы. Основываясь на
том, что под интегралом можно менять местами компоненты ско-
скоростей vx и v2 (так как по ним проводится интегрирование), получа-
получаем
SJS18 (vi)-8 (vi)!/ (vj / (v2) vodQd* vx d* v2 =
- JJ5 [g (V2) -g (v2)]/ (vx) / (v2) vodQd* vx d* v, =
= -y JJJ lg(vi)+g (vi) - g (vj - g (v,)] / (vx) / (v2) vadQd3 vx d* vj
где для сокращения опущен индекс а. Поскольку сумма g (\г) +
+ ё (Уг) сохраняется при столкновениях, выражение в скобках,
а значит, и интеграл F.24) обращаются в нуль.
Подставляя в общее уравнение F.20) различные комбинации
компонент скорости g = l,vk, vkvh vkvtvm и т. д., получаем систе-
систему уравнений для различных моментов. Каждое из этих уравне-
157


ний связано с другими. Так, например, если g — комбинация ско-
скоростей степени п, т. е. < g > есть момент порядка я, то во второе
слагаемое F.20) войдут величины < g vk >, представляющие собой
моменты порядка (п + 1), а в третье слагаемое — величины < g/vk > ,
представляющие собой моменты порядка (п — 1). Выражения для
столкновительных членов б (п < g* »/б/ получаются относитель-
относительно простыми, когда эффективная частота столкновений не зависит
от скорости. В этом случае б (п < g > IЫ связаны только с момен-
моментом < g > (см. § 6.3, 6.4). При произвольной зависимости v(v)
для строгого определения столкновительных членов необходимы
некоторые предположения о виде функции распределения.
Регулярный метод получения уравнений моментов при произ-
произвольной зависимости частот столкновений от скорости можно сфор-
сформулировать для условий, когда анизотропия функции распре-
распределения мала (см. также § 5.2). Если функцию распределения по
скоростям в отсутствие анизотропии /0 (v) считать заданной, то по-
поправки к ней можно представить в виде разложения по компонен-
компонентам скорости
F.25)
Нетрудно видеть, что коэффициенты разложения связаны с момен-
моментами различных порядков (ak — с моментами первого порядка,
aki — с моментами второго порядка и т. д.). Используя представ-
представление F.25) при вычислении столкновительных членов, можно по-
получить их связь с различными моментами. В общем случае в каж-
каждый столкновительный член могут входить все моменты функции
распределения частиц рассматриваемого сорта; а также моменты
функций распределения других частиц. Таким образом, получа-
получается бесконечная система связанных друг с другом уравнений мо-
моментов. Она полностью эквивалентна кинетическим уравнениям для
всех компонент плазмы, и решение ее представляет собой не менее
сложную задачу, чем решение кинетических уравнений. Однако
при малой анизотропии цепочку уравнений можно оборвать, огра-
ограничившись не очень большим числом моментов. При этом решение
системы уравнений существенно упрощается.
Описанный метод получения моментов был детально развит для
случая, когда функции распределения частиц по скоростям мож-
можно считать мало отличающимися от максвелловских (метод Греда).
В этом случае естественно выбрать в качестве исходной функции
локальное максвелловское распределение
/0 = (т/2лТ)*/2 ехр [—m (v — uJ/271, F.26)
в котором температура Т и направленная скорость и являются
функциями координат; они могут быть различными для частиц
разных сортов. Поправки к /0, связанные с к анизотропией, удоб-
удобно искать в виде разложения по 3-мерным полиномам Эрми-
158


та — Чебышева, составленным из компонент безразмерной хаоти-
хаотической скорости:
. F.27)
Эти полиномы определяются соотношением
Щг..,п ©=(-О"ехр[A/2) Р] dl4dZ..dlkn «*Р[(-1/2) t%
F.28)
где kx, k2, ..., kn могут принимать значения 1, 2, 3, соответствую-
соответствующие трем осям координат, в частности:
Полиномы удовлетворяют условиям ортогональности вида
-Кр»ы;Х- F-29)
где 8Пр — символ Кронекера; символ fi?^"#/J отличен от нуля и
равен единице только в случае, если верхнюю последовательность
можно получить из нижней простой перестановкой.
Используя полиномы F.28), представим функцию распределе-
распределения в виде
Я= 0
Здесь в сумму по индексам kl9 k2, .., kn комбинации, отличающиеся
перестановкой индексов, включаются только один раз. Условие
нормировки при учете F.29) приводит к равенству
5 1. F.31)
(V)
Условие < w > == 0, следующее из определения направленной
скорости F.3), приводит к обращению в нуль компонент CW:
<a;fc> = Vr77mCi1) = 0. F.32)
Остальные коэффициенты С<л> связаны с моментами порядка п. Эту
связь нетрудно установить с помощью соотношений F.29). Исполь-
Используя определения тензора вязких напряжений F,11) и плотности
159


потока тепла №.14), получаем в частности:
тст
F.33)
= nm(wk wt —l- w2 бы> =
О
j w*> = nT Ут/m 2 СЩ] A + 26W).
Возможность решения системы уравнений моментов основана,
как отмечалось, на ограничении их числа и соответственно числа
слагаемых в разложении функции распределения. Ограничивая
разложение первым членом, т. е. принимая изотропное распреде-
распределение F.26) по хаотическим скоростям, получаем простейшее при-
приближение. В этом приближении функция распределения определя-
определяется пятью моментами, в их число входят концентрация п (нуле-
(нулевой момент); три компоненты направленной скорости uk (момен-
(моменты первого порядка) и температура Т (момент второго порядка).
Учитывая также члены разложения, определяющие тензор вязких
напряжений я и вектор теплового потока q, можно получить при-
приближение тринадцати моментов. К пяти названным моментам при
этом добавляются пять независимых крмпонент тензора я и три
компоненты вектора q. В этом приближении при / = m следует
считать отличными от нуля в F.30) коэффициенты С<°> = 1, Cffi и
Cifm. Будем считать, кроме того, что коэффициенты Cj?J/ не зависят
от /. Разложение F.30) при учете соотношенний F.33) примет вид
-(¦
k,l
KbJ
X
nT
F.34)
В дальнейшем эффектами, связанными с вязкостью, будем пренеб-
пренебрегать (качественно они обсуждаются в гл. 7). Тогда вместо F.34)
можно использовать сокращенное разложение
f^l F.35)
f%Xpf^i2%fl
\ 2пТ ) *Л 2Г / [ Т пТ% \ ът
§ 6.3. Уравнения движения и баланса частиц
компонент плазмы
Получим уравнения нулевого и первых моментов. Чтобы найти
уравнение нулевого момента, следует положить в F.20) g = 1.
Средние значения величин, входящих в F.20), при этом равны
(v)
160


Подставляя их, получаем уравнение нулевого момента
dn/dt =* —div (ли) + 8n/8t, F.36)
определяющее изменение во времени концентрации частиц данного
сорта. Первое слагаемое в правой части определяет изменение
концентрации, связанное с движением частиц, второе — изменение
концентрации в результате столкновений, приводящих к возникно-
возникновению или исчезновению частиц данного сорта в объеме плазмы.
Возникновение заряженных частиц обусловлено обычно иониза-
ионизацией при столкновениях электронов с атомами, их исчезновение —
рекомбинацией. Эффективность этих процессов можно характери-
характеризовать частотами
vi = Haps1 (v), V = ntsr (v)v, F.37)
которые зависят от относительной скорости сталкивающихся час-
частиц, практически равной скорости электронов. Соответственно
столкновительный член в F.36) можно представить в виде
Ъп1Ы = ( < v' > — < V > )п, F.38)
где величины < V > и ( vr > усреднены по скоростям электро-
электронов. При максвелловском распределении по скоростям они за-
зависят, разумеется, от электронной температуры.
Перейдем теперь к уравнениям первого момента. Чтобы опре-
определить одно из них, положим в F.20) g = vk. Соответствующий
момент равен, очевидно, k-и компоненте, направленной скоро-
скорости < g > = < vk > = uh. Величина < gv > , входящая во вто-
второе слагаемое уравнения F.20), может быть выражена через ком-
компоненты тензора потока импульса F.7) или через давление и
тензор вязких напряжений F.11):
пт пт пт
Используя это соотношение, представим второе слагаемое F.20)
в виде
д /
div (n <
, 1 др
При g = vk входящий в третье и четвертое слагаемые grad^g равен
единичному орту в направлении оси k. Поэтому данные слагаемые
принимают вид
Zen г, , 1 х Zett r,
E<gradpg> = Ek;
тс
6 Зак. 1227
т т
rXH]gradyg> =


Собирая все слагаемые вместе, получаем
-!- [ах НЬ} = -^- F.39)
с ) ot
Подставляя в первый член F.39) величину dnldt из (&36)
— п dUn J // дп — п dUh и V д (n"fe)
приведем уравнение.к виду
[uxH] + mn-^, F.40)
где пЬик1Ы = б (nuk)/6t — uk8n/8t. Такие же уравнения получа-
получаются для двух других компонент вектора и. Все они вместе обра-
образуют векторное уравнение для направленной скорости
тп Г—+ (ugrad) u] = ZenE+ — [u x H] —
L ^ J с
би
—grad /7~~grad n + nm -— , F.41)
ot
представляющее собой уравнение движения единицы объема газа
частиц данного сорта. Величина тп есть плотность газа. Выраже-
Выражение в скобках слева определяет «гидродинамическое ускорение».
Оно равно полной производной направленной скорости по времени
dnldt = дп/dt + (u grad)\x, которая складывается из изменения
средней скорости в фиксированной точке (dnldt) и ее изменения
в результате перемещения газа
ди dxi
xi dt i
Правая часть уравнения F.41) равна сумме сил, действующих
на частицы данного сорта, находящиеся в единице объема:
электрической силе (ZenE), лоренцевой силе f— u XH L силам,
возникающим из-за градиента давления газа (—grad p) и под
действием вязких напряжений (—grad зх), и силе трения, связанной
со столкновениями частиц (n8u/6t). Силы, связанные с grad p и
grad jx, являются чисто кинетическими и обусловлены переносом
импульса при тепловом^ движении частиц.
162


Рассмотрим теперь столкноБительный член уравнения
ния. Для упругих столкновений, подставляя в F.24) ga =s
получаем
F.42)
Здесь учли, что число частиц не изменяется при упругих столкнове-
столкновениях (8nJ8t = 0). В соответствии с B.16) изменение компонент
скорости при столкновениях, просуммированное по углам рассея*
ния, равно
f (via—Vka) aa|56Q ^— vk f ааЭ A -cos Ф) rfQ -
4 m«+mP J
где vk = yAa — vk$ есть ^-компонента относительной скорости. Под-
Подставляя это соотношение в F.42), находим
ар "
ttlo
J
()
F.43)
где частота столкновений v^p = /ip^ (у) зависит от относитель-
относительной скорости v = \va — 0р|; усреднение проводится по скоростям
обеих сталкивающихся частиц.
Выражение F.43) дает изменение направленной скорости в ре-
результате упругих столкновений. Для электронов определенное
значение имеют также и неупругие столкновения. Для процессов,
в которых кинетическая энергия относительного движения стал-
сталкивающихся частиц много больше неупругих потерь энергии, этими
потерями можно пренебречь, и выражение для столкновительного
члена 8uk/8t оказывается таким же, как и для упругих столкнове-
столкновений. В противоположном случае, когда неупругие потери близки
к энергии относительного движения, изменение скорости в каждом
столкновении определяется полной потерей относительной скоро-
скорости. В результате [см. B.10)]
flta ttlo
A Jvh,
flta ttlo
At»ok = г— Ayfe « -J
+
ma+mfi
6* 163


й столкновительныи член сохраняет форму F.43), с той лишь раз-
разницей, что частота v' заменяется на полную частоту неупругих
столкновений vh = n$v J ahdSi. Таким образом, учет неупругих
столкновений приводит к замене транспортной частоты упругих
столкновений в F.43) суммарной частотой столкновений:
vs (V) = vt (V) + vi (v) + vh (v)9 F.44)
где vl — суммарная транспортная частота неупругих столкновений
с малой потерей энергии; vh — суммарная полная частота неупру-
неупругих столкновений с большой потерей энергии. При энергии Ке ^
с^ %a&i поправки, связанные с неупругими столкновениями, малы,
так как vz, vh < v'. Тем более малы поправки, связанные с иони-
ионизацией и рекомбинацией, определяющие изменение п при столкно-
столкновениях. Можно не учитывать их вклад в столкновительныи член
уравнения движения. Подставляя F.44) в F.43), получаем
lH^L^L5j <) F-45)
Выражения F.43), F.45) особенно просты, когда частота столк-
столкновений vap не зависит от скорости. Тогда ее можно вынести за знак
усреднения и формула F.45) приобретает вид
(vak
т
Ы a+6 a+6
F.46)
В общем случае столкновительныи член F.45) определяется зави-
зависимостью vap от v и видом функций распределения. Представим
в нем относительную скорость в виде суммы направленной и хаоти-
хаотической составляющих:
v = u + w; u = ua — Up; w = wa — wp. F.47)
Полагая, что u « w, и ограничиваясь линейными по и членами раз-
разложения, получаем
Ы
F.48)
Если функцию распределения по хаотическим скоростям мож-
можно считать изотропной, то первое слагаемое, а также члены суммы,
входящей во второе слагаемое, обращаются в нуль при кф L В этом
случае
8uak Щ
F.49)
164


Формула F.49) отличается от F.46) лишь тем, что в йее BJcoAftf не-
некая усредненная частота столкновений. Закон усреднения опреде-
определяется соотношением
Выведем этот закон для максвелловского распределения частиц
аи Р по хаотическим скоростям. В этом случае
Чтобы выделить распределение по относительным скоростям, надо
перейти в F.50) и F.51) от скоростей частиц wa и wp к относи-
относительной скорости w и скорости ws:
w=wa_wp; w,=
Скорости wa и wp связаны с w и ws соотношениями
F.52)
Коэффициенты в формуле для we выбраны таким образом, чтобы
произведение /а/р превращалось в произведение распределений
по относительным скоростям и по скоростям ws. Действительно,
подставляя F.53) в F.51), получаем
/a (Wa
= fr (W) /, (Ws);
F.54)
где [д,ар = тат$/(та + 1
приведенная масса; ms = tna + /ир> а
«, Г.^^. F.55)
При рассмотрении столкновений электронов с тяжелыми части-
частицами обычно maTe > /пеГа и Та$ « Te, Ts « Га; для столкнове-
столкновений частиц близкой массы можно считать Та « Гр, Tap ^ Ts ^
« Га; первая из этих величин характеризует распределение по
относительным скоростям, вторая — по скоростям ws. Подставляя
F.54) в F.50), учтем, что якобиан перехода от скоростей wa, wp
к w, ws равен единице, т. е.
165


='dswtfiws. Тогда, интегрируя по ws, получаем
J J
(w) (ws)
j
(w)
Интеграл по компоненте относительной скорости wk удобно взять
по частям. В результате найдем, что
fa
f ^ W_^W F.56)
или vap = < vapt^2 >/< w2 >, где усреднение проводится с помощью
распределения по относительным скоростям F.54).
Полученный результат, основанный на предположении об изо-
изотропии распределения по хаотическим скоростям, соответствует
приближению пяти моментов. Если в функциях распределения
учитывать поправки, связанные с моментами более высокого по-
порядка, то в выражении для столкновительного члена F.48) при-
придется учитывать и другие слагаемые. Так, считая, что функция
распределения включает моменты пропорциональные компонен-
компонентам теплового потока, т. е. описывается формулой F.35), необхо-
необходимо учитывать первое слагаемое в F.48). Например, для условий,
когда wl ^> до$, подставляя F.35) в это слагаемое, получаем
х
F-57)
Здесь усреднение проводится по максвелловскому распределению
частиц а. Компоненты вектора qak теплового потока имеют сла-
слагаемые пропорциональные разности скоростей (uak — Щи), & так-
также слагаемое пропорциональное dTJdxk% Поэтому подстановка
выражений типа F.57) в слагаемые суммарного столкновительного
члена buakl^t = 2 (8uak/§f)ak приводит к двояким изменениям.
Во-первых, появляются добавочные члены, имеющие ту же струк-
структуру, что и F.49); они пропорциональны разности направленных
166


скоростей (uak — u$k) и некоторой усредненной частоте столкно-
столкновений. Учет этих слагаемых можно свести к переопределению час-
частоты столкновений — эффективная частота столкновений получа-
получается отличной от F.56). Во-вторых, появляются слагаемые пропор-
пропорциональные градиентам температуры. В результате суммарный
столкновительный член, входящий в уравнение F.41), может быть
записан в виде
т« па bualbt = па 2 (Rap + Rip), F.58)
P
где
Rap = № vaP (ua—иэ); R^ ~ grad 7\ F.59)
Вектор Rap, пропорциональный разности направленных ско-
ростей иа — щ и эффективной частоте столкновений vap, оп-
определяет силу трения. Выражение для силы трения легко полу-
получить и из качественных соображений, рассматривая изменение
импульса при столкновениях. Максимальное изменение скорости
сталкивающихся частиц происходит при лобовом ударе. В этом
случае вектор относительной скорости изменяется на противопо-
противоположный и AvMaKC = v' — v = —2v. Приближенно можно считать,
что среднее по столкновениям изменение относительной скорости
равно (l/2)AvMaKC. Соответственно среднее по столкновениям изме-
изменение импульса одной из сталкивающихся частиц равно
Д (та va) = — Цсф v = —[xaP (va—vp).
Умножая эту величину на частоту столкновений vap и усредняя
по скоростям, получаем среднее изменение импульса частиц а в ре-
результате их столкновений с частицами C в единицу времени. Это
изменение и определяет силу трения Rap = — н^ар (ua — Up).
В случае, если частота столкновений зависит от скорости и име-
имеется градиент температуры, в выражении для столкновительного
члена появляется дополнительное слагаемое R7, определяемое
градиентами температуры. Его называют термосилой. Наличие
этого слагаемого связано по существу с градиентом частоты стол-
столкновений. В отсутствие магнитного поля оно приводит к тому, что
число столкновений частиц, движущихся вдоль градиента (из об-
области с меньшей частотой столкновений), меньше числа столкнове-
столкновений частиц, движущихся в противоположном направлении. В ре-
результате появляется среднее изменение импульса, направленное
вдоль градиента. Оценим это изменение. Различные числа столк-
столкновений частиц, движущихся вдоль и против градиента, прибли-
приближенно определяются изменением частоты столкновений на длине
свободного пробега 6v « X grad v & (v/v) grad v (предполагается, что
каждое столкновение приводит к хаотизации направления скорос-
скорости частиц). Соответственно усредненное по столкновениям измене-
изменение импульса в единицу времени можно оценить как произведение
167


изменения импульса в одном столкновении A (mava) « fxa^v на 8v.
Усредняя это произведение по скоростям, получаем термосилу
ap » ^L _^L grad T^
F.60)
при (T/v) dv/dT « 1 Rr ~[gradr [здесь Гар — температура,
характеризующая распределение по относительным скоростям
F.55)]. В сильном магнитном поле при условиях, когда градиент
температуры перпендикулярен полю, термосила существенно
меньше, поскольку поперечное смещение заряженных частиц меж-
между столкновениями много меньше длины свободного пробега. Оцен-
Оценка термосилы в этом случае будет дана в гл. 9*
Подставляя выражение для столкновительного члена F.58)
в F.41), получаем усредненное уравнение движения для частиц a
в виде
= Zae?+-2-|uBxH]-
J °
gradjta
(На- Up) + J R^. F.61)
В дальнейшем будем пренебрегать эффектами, связанными с вяз-
вязкостью*. В большинстве случаев можно не учитывать также вто-
второе (квадратичное относительно и) слагаемое в левой части уравне-
уравнения. Действительно, оно имеет порядок
I ma (ua grad) иа | « maullL
и при малой анизотропии распределения по скоростям значитель-
значительно меньше слагаемого пропорционального градиенту давления:
grad pjn « pJnaL ж TJL
(L — характерная длина, на которой существенно изменяются па-
параметры плазмы). При этом уравнение движения F.61) принимает
вид
"| [XaP Vap (lie-Up) + SR^p- F.62)
Отметим, что оно линейно по и.
* Критерий пренебрежения вязкостью по сравнению с другими слагае-
слагаемыми в уравнениях переноса при отсутствии магнитного поля будет дан
в § 7.3.


§ 6.4. Уравнения баланса энергий и теплового потоки
Получим теперь одно из уравнений моментов второго р
ка — уравнение баланса энергий. Для этого положим в уравнении
F.20) g = mn2/2. Средние значения величин, входящих в урав-
уравнение, равны
< g > = < mvV2 > = <#>; < gv > = < vmv2/2 > -
= Q/n;
< grad^g > = < mv > = mu; < ([v X Hlgrad^g) > =
= < (tv X Hlmv) > = 0,
где Q — вектор потока энергии F.12). Подставляя их в F,20), по-
получаем
д (п < К > )/dt = —divQ + ZenuE + 8 (п < /С > )/6*. F.63)
Уравнение F.63) показывает, что изменение кинетической энергии
частиц каждого сорта происходит по трем причинам. Первая при-
причина — перенос энергии при движении частиц. Он описывается
дивергенцией потока (divQ). Вторая причина — нагрев частиц,
связанный с током в плазме. Удельная мощность этого нагрева есть
произведение плотности тока (j = Zenn) на напряженность поля
(Е). Третья причина связана с изменением энергии при столкнове-
столкновениях б (п < К> IЫ.
Преобразуем уравнение баланса энергий, представляя кинети-
кинетическую энергию в виде суммы энергий хаотического и направлен-
направленного движения F.5): К = тиУ2 + C/2O\ Используя также вы-
выражение F.13) для плотности потока энергии, находим
+ div (яи) + div (nuJ^Lj+ZenuE = 6(^K>) . F.64)
С помощью выражений для dnldt и du/dt из уравнений F.36), F.41)
это уравнение преобразуется к виду
дТ 2 2 2 v
п1 div q + пиgrad74—пТdiv u -\ ngradu =*
3 3 3
1div q + пиgrad74пТdiv u \
dt 3 3 3
где пЬТ1Ы = B/3N (n < /C> )/6* — Tbnlbt—mn (8u/&) ¦ u.
Определим столкновительный член для упругих соударений.
Подставляя в соотношение F.24) ga = пцр%,12, находим
(М
X Vafi Odtofa h d* v* & vf F -66)
169


Ё соответствии с B.19) изменение кинетической энергий при столк-
столкновениях, просуммированное по углам рассеяния, определяется
соотношением
ma+mp
X [ma oj—mp 1$ + (щ—ma) va vp].
ПодстаЁляя эту формулу в F.56), получаем
2т„т(К
, F.67)
где усреднение проводится по скоростям частиц аир. Для случая,
когда частота столкновений vap не зависит от скорости, ее можно
вынести за знак усреднения.
Представляя далее скорость каждой из частиц в виде суммы ха-
хаотической и направленной составляющих, находим
Г Щ?1 _ у
где ввели коэффициент передачи энергии >cap = p p
Первое слагаемое в F.68) определяет обмен энергией хаотическо-
хаотического движения при столкновениях, второе—изменение направленной
энергии. Легко видеть, что оно обращается в нуль при ua = Up, т. е.
когда обе компоненты плазмы в среднем покоятся друг относительно
друга и отсутствует трение. Чтобы найти столкновительный член,
входящий в правую часть F.56), нужно добавить к F.68) слагае-
слагаемое — mua6 (tta Ua)/dt. Используя формулу F.46) для случая
= const, находим
V 6t fa» ma+mp
и
3 6(»aTa) _ 6(na<Ka» 6(naua) 3
2 8t ~ Ы **¦ a Ы ~ 2
X Xap navU (Та-П) + (fflJ^J «a vi» (Ua-UpJ. F.69)
170


В случае, когда частота столкновений зависит от скорости, ус-
усреднение по формуле F.67) будет более сложным. Проведем его
для максвелловского распределения частиц по скоростям. Как и
раньше, представим в F.67) скорости частиц в виде суммы направ-
направленной и хаотической составляющих. Тогда
<v0 vv (t;)> = S <vok vk v (v)> « S <(»ok + u>ok)> X
X \wk v (w)
L /
a F.70)
k
Здесь u0 и w0 — составляющие скорости центра инерции:
В F.70) распределение по хаотическим скоростям считается изот-
изотропным. Чтобы определить средние значения величин, входящих
в F.70), следует умножить их на функции распределения частиц
а и Р и проинтегрировать по скоростям. Как было показано в § 6.3
[см# F.54)], произведение .максвелловских функций распределения
частиц а и Р /а (wa)/3 (wp) можно преобразовать к произведе-
произведению максвелловских функций распределения по относительным ско-
скоростям w и по скоростям ws, определяемым равенством F.52). По-
Поэтому при усреднении F.70) следует перейти от w0 к ws. Связь
между ними находится с помощью соотношений F.53):
где Гар = (таТ°. + m$Ta)/(ma + m$) — температура, характери-
характеризующая распределение по относительным скоростям. Используя
эту формулу и учитывая независимость распределений по w и ws,
находим
<<%i wk v (w)> := <^sfe> (Wk v (ш)> + —j~\ —^—-<jv\ v (w)) •¦=
• (w2v (w)}.
Подставляя этот результат в F.70) и воспользовавшись определе-
определением усредненной частоты столкновений, даваемым формулами
F.50) и F.56), получаем
Р ^к *«L5LJVap. F.71)
171


Формула F.71) определяет величину б (п < К > IЫ [см. F.67)]*
Учитывая также F.49), находим выражение для столкновительного
члена уравнения F.65) в виде
mr
-UpJ VaP. F.72)
Это выражение отличается от F.69) лишь заменой частоты столк-
столкновений на усредненную величину, определяемую равенством
F.56). Отметим, что при учете анизотропии функции распределе-
распределения по хаотическим скоростям [см. F.35)] в столкновительном члене
появятся слагаемые, пропорциональные компонентам теплового
потока [ср. F.57)].
Для электронов в уравнении баланса энергий необходимо учи-
учитывать неупругие столкновения. Как и раньше, их можно разбить
на две группы. Столкновения с малыми потерями энергии можно
рассматривать с помощью выражения F.66) аналогично упругим
столкновениям. Изменение кинетической энергии в этом случае
практически равно энергии возбуждения mev'%l2 — mev2/2 =
= —i/. Подставляя это изменение в F.66) и суммируя по всем про-
процессам с малой потерей энергии, находим
J
()
Л l ^a^ F.73)
(va)
где введены, так же как и в § 5.3, суммарная частота неупругих
столкновений с малой потерей энергии vlea и средний коэффициент
передачи энергии %1еа. Полагая, что кинетическая энергия электро-
электронов много больше энергии атомов, можно пренебречь зависи-
зависимостью ulvl от скорости атомов и провести в F.73) интегрирова-
интегрирование по va. Тогда столкновительный член примет вид
(ve)
= -«. «а <а *е> « —J Ка<а ». Т.. F.74)
(в последнем равенстве, считая пгеи2/2 < Те, опустили слагаемое,
связанное с направленным движением).)
172


Учет столкновений с большими потерями энергии будет простым,
если считать энергию электронов после таких столкновений близ-
близкой к нулю. При этом можно использовать интеграл столкновений
в форме E,45) и тогда столкновительный член примет вид
= —П <VJ Ke> « — Уеа ПеТе. F.75)
Здесь введена суммарная частота неупругих столкновений с боль-
большой потерей энергии vhea — Sv^.
Равенства F.74) и F.75) показывают, что учет неупругих
столкновений приводит к замене величины xvap в выражении для
столкновительного члена F.72) на суммарную величину, учиты-
учитывающую потери энергии как при упругих, так и при неупругих
столкновениях:
xs vs  х v 4- %l vl + v^ f6 76)
Поправка во втором слагаемом F.72), связанная с неупругими
столкновениями, сводится, как нетрудно видеть, к замене частоты
столкновений vea на суммарную частоту vsea F.44). Эта поправка
невелика, когда средняя частота неупругих столкновений значи-
значительно меньше частоты упругих столкновений (см. § 2.5, 2.7).
Уравнение баланса энергий F.65) после подстановки выраже-
выражения F.72) для столкновительного члена принимает вид
. аг* . 2
dt ' 3
+ ^ «-S <vap> ^| (ua- и#. F.77)
Будем пренебрегать в дальнейшем эффектами, связанными с вяз-
вязкостью, опуская соответствующий член уравнения. Для тяжелых
частиц (ионов и атомов) во многих случаях можно опустить
также слагаемые столкновительного члена, связанные с направ-
направленным движением — при малой анизотропии (при пгиУ2 <^ Т) они
значительно меньше слагаемых, связанных с хаотическим движе-
движением. Тогда уравнение баланса энергии для тяжелых частиц приоб'
ретает вид
173


дТа 2 2
-gp + -g-div qa + na ua grad Га + -у- na Ta div ua =
8-7э), F-78)
где хар = 2тат$/(та + щJ- Уравнение баланса энергии для
электронов можно записать следующим образом:
О* е i ^ j*_. — i ^ — — j т^ i " л* п
 П-л i
3
«е-изJ, F.79)
где в соответствии с F.76) произведение xv заменено на суммар-
суммарную величину, учитывающую неупругие столкновения.
В уравнения F.77) — F.78) входят моменты третьего порядка—
компоненты вектора теплового потока q. Уравнения для них мож-
можно получить аналогично уравнениям для более низких моментов.
При условиях, когда функции распределения по хаотическим ско-
скоростям близки к максвелловским и могут быть представлены в фор-
форме F.35), а энергия направленного движения много меньше хао-
хаотической (ши2/2 < Г), уравнения для вектора теплового потока
принимают вид
^ + A^gradT__?L[qxH] = ^L. F.80)
dt 2 m me ot
Столкновительные члены этих уравнений в общем случае доволь-
довольно сложны. Выражения для столкновительных членов, связанных
с электрон-атомными и ион-атомными упругими столкновения-
столкновениями, при не зависящей от скорости частоте столкновений могут
быть представлены как
F.81)
где первое слагаемое обусловлено «рассеянием» теплового потока
заряженных частиц при столкновениях, второе описывает «пере-
«передачу» теплового потока от атомов к заряженным частицам, третье
связано с обменом энергией и направленным движением при стол-
столкновениях. Для электрон-атомных столкновений выражение F.81)
упрощается, поскольку кеа = 2те1та << 1, Пренебрегая величи-
величинами пропорциональными х, находим
(Sqe/8t)ea = -veaqe. F.82)
Если частоты vea и via зависят от скорости, выражения, опреде-
определяющие 6q/6/, отличаются от приведенных коэффициентами поряд-
порядка единицы, а также дополнительными слагаемыми, пропорцио-
пропорциональными направленной скорости. Для электрон-ионных столкно-
174


венйй, частота которых обратно пропорциональна кубу скорости,
вычисления приводят к следующей формуле:
=™*в|Ч,+-1Пв7>в,(ив-и,), F.83)
ei 10 3
где ~vei — усредненная частота столкновений, даваемая равенст-
равенством E.116). Столкновительный член уравнения F.80), в отличие
от ранее рассматривавшихся, должен учитывать и столкновения
одинаковых частиц* поскольку тепловой поток не является величи-
величиной, сохраняющейся при столкновениях. Для случая^ когда часто-
частота столкновений vaa не зависит от скорости, вычисления приво-
приводят к равенству
(Sqa/«)aa = (l/2)vaaqa. F.84)
Учет зависимости vaa от скорости дает изменение численного
множителя в формуле. В частности, столкновительный член, опре-
определяемый электрон-электронными и ион-ионными столкновениями,
равен
(eeL5)aaqa, F.85)
где
есть частота кулоновских столкновений частиц а, усредненная по
максвелловскому распределению в соответствии с формулой F.57).
Приведенные выражения позволяют получить общий вид столк-
новительных членов уравнений F.80) в различных случаях.
В уравнении для теплового потока электронов трехкомпонентной
плазмы, состоящей из электронов, однозарядных ионов и атомов,
столкновительный член с 'помощью формул F.82) — F.84) можно
записать в виде
— = - (Vea +1 >87 vei) q, + —ne Tevei (пе— щ) F.86)
ОГ JL
(здесь учтено, что vee = -|/2 vei). В уравнении для теплового по-
потока ионов, полагая тг —та, член Sq^/б^ найдем с помощью F.81),
F.85):
i I Hi 5
Xvia(Tt-Ta) (щ-иа). F.87)
Здесь не учтен вклад ион-электронных столкновений IFqil8t)ie ~
~ (me/mi)veiqi], так как он во всех случаях много меньше вклада
ион-ионных столкновений. Аналогичный вид имеет столкновитель-
столкновительный член, определяющий тепловой поток атомов. С помощью
F,81) и F.84) получим


ГЛАВА 7
ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
ПРИ ОТСУТСТВИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 7.1. Направленное движение и перенос энергии
заряженных частиц в слабоионизованной плазме
В этой главе рассматриваются процессы, определяющие баланс
заряженных частиц и их энергий в плазме без магнитного поля.
Главные из этих процессов — направленное движение заряженных
частиц (перенос частиц), направленный перенос их энергии, обмен
энергией между частицами при столкновениях. Для рассмотрения
процессов переноса будут использоваться уравнения моментов,
полученные и проанализированные в предыдущей главе. В боль-
большинстве случаев будем считать условия стационарными и пренеб-
пренебрегать в уравнениях моментов слагаемыми пропорциональными
производным по времени. Как и раньше, рассмотрение будем про-
проводить для трехкомпонентной плазмы, состоящей из электронов,
однозарядных положительных ионов и нейтральных атомов. Про-
Процессы переноса в такой плазме зависят от степени ионизации. Мож-
Можно выделить поэтому два предельных случая — случай слабоиони-
зованной плазмы, в которой частота столкновений электронов и
ионов с атомами много больше частоты их столкновений друг
с другом:
и случай сильноионизованной плазмы, определяемый противопо-
противоположными неравенствами. Степень ионизации, характеризующую
переход от одного случая к другому, для водородной плазмы ил-
иллюстрирует рис. 7.1.
Рассмотрим сначала процессы переноса в слабоионизованной
плазме. Направленное движение заряженных частиц определяется
уравнениями первого момента. Для условий, когда эффекты, свя-
связанные с вязкостью, несущественны (см. § 7.2), эти уравнения сво-
сводятся к векторному равенству F.62). В отсутствие магнитного поля
оно имеет вид
тадиаШ = ZaeE — (l/n)grad (nTa) + ma8ua/St, G.2)
где для электронов а = е, Ze — —1; для ионов а = i, Zt = 1,
пе = nt = п. Столкновительный член уравнения в слабоионизо-
слабоионизованной плазме [при выполнении G.1)] включает только слагаемые,
обусловленные столкновениями заряженных частиц с нейтральны-
нейтральными. Для случая, когда частота столкновений не зависит от скорос-
176


ти, столкновительный член равен силе трения, удовлетворяющей
F.59):
88 R aa (qa — Ua). G.3)
где vaa = Vaa—транспортная частота столкновений; fxaa = ma X
X та (та + ma) — приведенная масса, для электронов \iea = те,
для ионов при т% = та \iia = (l/2)m*. Обычно в слабоионизован-
ной плазме направленная скорость
нейтральных атомов много меньше
направленной скорости заряжен-
заряженных частиц. При этом сила трения
G.3) равна*
G.4)
пе/па
10'
10L
10'
,-2
Далее будем пренебрегать слага-
слагаемыми уравнений моментов, про-
пропорциональными производным по
времени. Условие такого пренеб-
пренебрежения в уравнении G.2) нетруд-
нетрудно получить, сравнивая первый
член с силой трения G.4). Это ус- жч
ловие имеет вид
! maduakldt | ^ maUak/t С I Rk I ^
Сильноионизобаиная
плаз па
№
' Сла&оионизобанная
плазма
.10''
10 и
Рис. 7.1
или
VaaT» 1. G.5)
Оно означает, что использование
стационарного решения уравне-
уравнения G.2) правомерно, когда ха-
характерное время изменения пара-
параметров плазмы т много больше времени между столкновениями 1/v.
Опуская в G.2) первый член и подставляя формулу G.4) для
столкновительного члена, получаем:
I
ZeE grad (nTa) — ааа vaa ua = 0. G 6)
п \ • /
Полученное равенство позволяет найти направленную скорость
 ^^р Т« ^lf ^— grad TV G.7)
G.8)
Она представляет собой сумму трех слагаемых
* Отметим, что в случаях, когда нельзя пренебрегать направленной
скоростью атомов, формула G.4) определяет силу трения в движущейся си-
системе отсчета, в которой эта скорость равна нулю.
177


Первое из них i% определяет направленную скорость, связанную
с ускорением заряженных частиц в электрическом поле. Коэффи-
Коэффициент пропорциональности Ьа между скоростью и полем называет-
называется подвижностью
UaE = ZabaE9 ba = e/iiaavaa. G.9)
Второе слагаемое описывает диффузию, вызванную неоднород-
неоднородностью концентрации заряженных частиц. Диффузионная направ-
направленная скорость пропорциональна относительному градиенту кон-
концентрации
иап = —Da grad n/n, Da = 7V|iaavaa. G.10)
Коэффициент пропорциональности Da называют коэффициентом
диффузии.
Последнее слагаемое в G.8) определяет диффузию, вызванную
градиентом температуры, — термодиффузию. Направленную ско*
рость термодиффузии иат можно представить в виде аналогич-
аналогичном G.10):
=-Dl grad TJTa, DZ^Ta/\iaavaa, G.11)
где Da—коэффициент термодиффузии.
Между коэффициентами b, Z), Z)J, определяющими направлен-
направленное движение, существует связь. В частности, пользуясь G.9) и
G.10), получаем соотношение между коэффициентами диффузии и
подвижности
DJba = TJe. G.12)
Его называют соотношением Эйнштейна. При распределениях
скоростей частиц, близких к равновесному, оно справедливо для
любой зависимости частоты их столкновений от скорости.
Суммарная направленная скорость заряженных частиц может
быть выражена через введенные выше коэффициенты переноса.
Подставляя G.9) — G.11) в G.8), находим для электронов
ие = — ЬеЕ — De grad n/n — Dj grad Te/Tet G.13)
где be = e/mevea> De = TJmevea, а для ионов
u* = btE — Dt grad n/n — Dj grad Tt/Tu G.14)
где bt = 2e/miVia, D^«= 2Тг/т^ы. С помощью этих формул можно
найти и плотность тока в плазме, которая является суммой элект-
электронной и ионной компонент:
j = пе щ — пе ие = en (be +bt) E +
+е (De—Dt) grad n + en {DTe grad Te/Te-Dj grad Tt/Tt). G.15)
Обычно ионными слагаемыми в этой сумме можно пренебречь, так
как входящие в нее коэффициенты переноса обратно пропорциональ-
178


ны массам. Первый член в G.15) определяет проводимость плазмы а
в постоянном электрическом поле:
}е = стЕ, Gttenbe = ne2/mevea. G.16)
Она, как видно, пропорциональна концентрации электронов.
Мы получили выражения, описывающие направленную ско-
скорость заряженных частиц для случая, когда частота их столкнове-
столкновений с нейтральными не зависит от скорости. В общем случае, при
произвольной зависимости частоты столкновений от скорости, вы-
выражения для компонент направленной скорости, определяющих-
определяющихся электрическим полем, градиентами концентрации и температу-
температуры, аналогичны формулам G.9) — G.11). В коэффициенты перено-
переноса входят при этом некоторые усредненные по распределениям
скоростей частоты столкновений, отличающиеся в различных ко-
коэффициентах численным множителем порядка единицы.
При распределении скоростей заряженных частиц, близком
максвелловскому, направленную скорость можно определить,
подставив в уравнение первого момента выражение для столкно-
вительного члена, полученного в § 6.3. Это выражение состоит из
двух слагаемых — силы трения и термосилы [см. F.58)]:
me-J- = Ra«-RL. G.17)
Сила трения по-прежнему может быть представлена в виде
G.4), если использовать в ней усредненное значение частоты столк-
столкновений. В первом приближении закон усреднения дается равенст-
равенством (см. F.56)]:
где температура Таа = (пгаТа + maTa)/(ma + /Па) соответствует
распределению по относительным скоростям. В частности, для
случая, когда частота столкновений пропорциональна скорости
v%a ~ W, усредненная величина G.20) равна
а для случая, когда частота столкновений обратно пропорциональ-
пропорциональна скорости, равна
179


Термосила возникает при наличии градиента температуры и в от-
отсутствие магнитного поля равна
Lgregradrae, G.19)
где коэффициент gra определяется зависимостью vaa от скоро-
скорости. Величина gTa с точностью до численного множителя порядка
единицы совпадает с F.60):
gTa « (Taa/Vaa) (dvaa/dTaa).
Для более точного вычисления эффективной частоты столкновений,
определяющей силу трения, и для нахождения численного значе-
значения коэффициента ga, определяющего термосилу, необходимо сов-
совместное решение уравнений движения и теплового потока (см. §6.3).
Подстановка столкновительного члена G.17) в уравнение G.2)
приводит к прежним формулам для компонент скорости G.9) —
G.11). При этом коэффициенты подвижности Ь и диффузии D так-
также удовлетворяют прежним формулам G.9), G.10) с заменой в них
частоты столкновений ее усредненным значением. Соответственно
соотношение между коэффициентами D и Ь по-прежнему дается фор-
формулой G.12). При определении коэффициента термодиффузии при-
приходится учитывать влияние термосилы G.18). Добавляя ее к силе,
связанной с градиентом давления, получаем
?>2= (TJliaa Vaa) (I—gra). G.20)
Эта формула показывает, что коэффициент термодиффузии может
быть как больше коэффициента диффузии (при g ~ dv/dT < 0), так
и меньше него (при g ~ dv/dT > 0).
Остановимся на определении тепловых потоков, характеризую-
характеризующих перенос энергии заряженных частиц. Уравнения для вектора
теплового потока q (уравнения третьего момента) были приведены
в § 6.4. Для рассматриваемого стационарного случая при отсутст-
отсутствии магнитного поля они имеют вид [см. F.80)]
A^gradre=^. G.21)
2 т ot
В слабоионизованной плазме существенны лишь столкновения за-
заряженных частиц с нейтральными. Для электронов соответствую-
соответствующий столкновительный член при частоте столкновений, не завися-
зависящей от скорости, определяется равенством F.82) 8qe/8t = —veaqe.
Подставляя его в G.21), получаем выражение для теплового пото-
потока электронов
Коэффициент пропорциональности между тепловым потоком и гра-
градиентом температуры называют коэффициентом теплопроводности,
& его отношение к концентрации-— коэффициентом температуропро-
180


водности. Для рассматриваемого случая эти коэффициенты соответ-
соответственно равны
Хе = {Ы2)пТе1теуеаУ %е = Же1п = {bl2)TJmevea = E/2)De. G.23)
Отметим, что коэффициент температуропроводности отличается
от коэффициента диффузии электронов G.13) лишь численным мно-
множителем порядка единицы. Для случая, когда частота столкновений
электронов зависит от скорости, выражение, определяющее тепло-
тепловой поток, усложняется. Кроме слагаемого аналогичного G.22)
в него входит еще слагаемое пропорциональное направленной ско-
скорости электронов. В результате qe приобретает вид
qe= — gae —^— grad Te + gTe nTe ue. G.24)
2 me vea
Численные значения коэффициентов gq и gT определяются зависи-
зависимостью vea от v.
Тепловой поток ионов во многих случаях связан с тепловым по-
потоком нейтральных атомов, так как между ними существует эффек-
эффективный обмен энергией при столкновениях. В связи с этим уравне-
уравнения теплового потока ионов и атомов приходится часто рассматри-
рассматривать совместно. Подставляя в уравнения G.21) для ионов и нейт-
нейтральных атомов столкновительные члены F.87) и F.88) (справед-
(справедливые при не зависящих от скорости частотах столкновений via,
vaa и пренебрегая ион-ионными столкновениями, а также учиты-
учитывая, что vai == (fii/na)via и mt — ma, получаем
Решая эти уравнения относительно q$ и qa и учитывая, что для сла-
боионизованной плазмы щ < паУ находим
Tt + \-nt (Tt-Та)(щ-иа)-
b
grad Tt + \
tut Via b
G.25)
В формуле для теплового потока нейтральных атомов ионными
слагаемыми можно пренебречь в случае п{Г\ < паТ1. При этом
поток определяется. лишь столкновениями атомов друг с другом.
В выражении для теплового потока ионов при Та <С Т% последним
181


слагаемым также можно пренебречь. Тогда оно приобретает вид,
аналогичный G.24):
q|= 1± _*L?t_ grad Tt + -|U| Tt щ. G.26)
о mi Via о
Структура выражения сохранится и при частоте столкновений,
зависящей от скорости. Однако численные коэффициенты, разу-
разумеется, изменятся.
§ 7.2. Коэффициенты подвижности, диффузии
и теплопроводности электронов
Коэффициенты подвижности, диффузии и теплопроводности
электронов в слабоионизованной плазме могут быть определены
с помощью метода, использующего разложение функции распре-
распределения по параметрам, характеризующим ее анизотропию. Такой
метод был описан в гл. 5. Как было показано в § 5.1, 5.2, это разло-
разложение оказывается быстро сходящимся. Ограничиваясь первыми
двумя слагаемыми, можно представить функцию распределения
в виде E.20)
/ (v) = /о (v) + (v/iOfi (v). G.27)
Первое слагаемое в сумме является изотропной составляющей
функции распределения — оно зависит только от v. Входящая во
второе слагаемое направленная составляющая определяет направ-
направленную скорость электронов. В соответствии с E.13) находим
оо
u= J v/(v)d v= — ^a1(v)d*v=—^ v4±(v)dv. G.28)
(v) (V) 0
Подставляя сумму G.27) в кинетическое уравнение и учитывая ма-
малость второго члена, нетрудно получить уравнения для обеих сос-
составляющих /0 и fx (см. § 5.2). Уравнение, определяющее fx
[см. E.22)], для стационарного случая (д (nf-J(dt = 0) при отсут-
отсутствии магнитного поля имеет вид
_~ -^ + v grad (n/0) = Sx. G.29)
tne dv
Столкновительный член Sj. определен в § 5.3. При учете упругих и
неупругих столкновений он может быть записан в форме
Si = —ГЙУеа (V), G.30)
где vsea = v* + у1 + vh — суммарная частота столкновений элект-
электронов с атомами. Уравнение G.29) при учете G.30) позволяет най-
найти функцию fx:
f _ еЕ df0 v grad (я/о)
182


Подставляя G.31) в G.28), получаем направленную скорость
электронов
4я еЕ С уз df0 < Ы А 1 7 у4 , , \ (П ооч
и = '~dv grad In  Ldv G.32)
3 me J vs dv 3n & 1 J vs /0 I v
(здесь оператор grad вынесен за знак интеграла). В соответствии
с определением, данным в § 7.1 [см. G.8) — G.11)], она может быть
выражена через коэффициенты подвижности и диффузии:
и = —Ъе Е grad (Den) = ~~be E —
п
G33)
где
i!L^f jLit^ G.34)
G.35)
3 tne J vs dv
о efl
d; =тв-^-. G.36)
Формулы G.34), G.35) для коэффициентов Ье и D е могут быть
записаны в виде, аналогичном формулам G.9), G.10):
Ье = e/mevbea, De = Te/mev?ay G.37)
если соответствующим образом определить эффективные частоты
столкновений vba и vfa> В общем случае (при произвольной функ-
функции распределения /0) эти частоты различны. Сопоставляя G.34)
и G.35) с G.37), находим для частоты столкновений, определяю-
определяющей подвижность:
Ь Г 4зх С v* dfQ j I __. Г 4л С d ( уз \ ? , | .„ Ооч
Vea = —dv — — I   \fodv G.38)
3 J vs dv 3 J dv [ vs l0 v ;
L о ea J L b \yea ' J
и для частоты столкновений, входящей в коэффициент диффузии:
Нетрудно^убедиться, что когда vea не зависит от v, обе эти вели-
величины равны vea. При максвелловском распределении электронов
по скоростям
/ \з/2
)
183


частоты столкновений vben и vea, Входящие в коэффициенты подвиж-
подвижности и диффузии, также равны. Этот результат приводит к соот-
соотношению G.12) между Ье и De. Выражение для эффективной часто-
частоты столкновений, получающееся в результате подстановки максвел-
ловского распределения в G.38) или G.39), имеет вид
т/?
 ——— ax
2Te
-l
G.40)
Например, для случая, когда частота столкновений пропорцио-
пропорциональна скорости v^a ~ v, эффективная частота равна
2l для случая, когда частота столкновений обратно пропорцио-
пропорциональна СКОрОСТИ (vSe /
vSea
где Vt = y^STe/me. Заметим, что отличие эффективной частоты
столкновений G.40) от приведенного в § 7.1 приближенного выра-
выражения G.18) при слабой зависимости v (v) невелико. Для случаев
v^t/HV/vl/t; это отличие составляет около 13%.
Связь между коэффициентами термодиффузии и диффузии да-
дается равенством G.36). В соответствии с ним, используя определе-
определение De через эффективную частоту столкновений v^ G.37), полу-
получим '
где gTe = (Te/v?a)dv?a/dTe. Эта формула соответствует приведен-
приведенной в § 7.1 формуле G.20). Она позволяет найти соотношение меж-
между коэффициентами De и DJ. При частоте столкновений, не завися-
зависящей от скорости, как уже отмечалось, De = DTe [см. G.11)]. При
частоте столкновений, пропорциональной скорости v\a ~ v, форму-
формула G.41) приводит к соотношению DT = A/2)D, при vsea~ l/v —
^соотношению DT = C/2)D.
"* Определим теперь тепловой поток электронов. Найдем сначала
с помощью разложения G.27) поток их энергии Q =* (l/2)nme X
184


X (vv2} F.12). Нетрудно видеть, что он определяется направлен-
направленной составляющей функции распределения
= — nme Г vs f ± (v) dz v =*
6 t)
()
2 *J 6 t)
(v) (v)
= — nme[v41(v)dv. G.42)
Тепловой поток при малых направленных скоростях связан с пото-
потоком энергии соотношением
q,='Y nme <(v-u) (v-uJ>
Q,-4-n7>,. G.43)
Подставляя в G.43) формулы G.42) для Q и G.32) для и, получаем
оо
q = J!L пт Г U_5 Л vA fх dt;. G.44)
3 J \ m I
С помощью G.31) найдем
db 6 ^
X grad
Это выражение можно представить в виде
2
+ gu2grad j—'—у G.45)
где vfa — частота столкновений, определяющая коэффициент диф-
диффузии G.38):
оо
^- dv. G.46)
6 \ Те J J V т„
о
185


При максвелловской функции распределения /0 находим
Сравнивая эту формулу с G.40), нетрудно убедиться, что -^- =
= -ТеЦ^ и, значит,
Su = (Tehea)dvJdTe. G.47)
Учитывая, что при максвелловском распределении gul = gu% =
= gui преобразуем выражение G.45) к виду
q- -(~gu)J^-&adTe-gunTeu. G.48)
Первое слагаемое в G.48) определяет коэффициент теплопроводно-
теплопроводности электронов при произвольной зависимости vsea (v), который pa*
вен
Же = E/2 - gu)nTe/mevea. G.49)
Второе слагаемое описывает перенос тепла, связанный с направ-
направленным движением. Отметим, что коэффициент gUi определяющий
такой перенос G.47), равен коэффициенту gy, входящему в вы-
выражение для термодиффузионного потока [(см. G.33), G.41)]. Мож-
Можно показать, что равенство этих коэффициентов при распределении
скоростей, близком к максвелловскому, является следствием из-
известного в термодинамике принципа симметрии кинетических ко-
коэффициентов (принципа Онзагера).
§ 7.3, Механизм процессов переноса
Рассмотрим теперь физическую картину процессов переноса
заряженных частиц и их энергии под действием электрического по-
поля, градиентов концентрации, температуры.
Движение заряженных частиц в электрическом поле представ-
представляет собой наложение хаотического, броуновского перемещения
и направленного движения, вызванного ускорением под действием
поля. В условиях, когда направленная скорость в среднем много
меньше хаотической [как было показано в § 5.1, такие условия вы-
выполняются для ионов в слабом поле E.5), а для электронов в любом
поле], картина движения мало отличается от броуновской. Пол-
Полная скорость каждой частицы складывается из скорости хаотиче*
186


скбго (теплового) движения (w) и скорости, приобретаемой под
воздействием электрического поля (v?):
v = w + yE. G.50)
Для простоты предположим, что столкновения заряженных час-
частиц с атомами приводят к полной изотропии скоростей и непосред-
непосредственно после столкновений их средняя скорость равна нулю. Тог-
Тогда для каждой частицы, испытавшей столкновение в момент вре-
времени t0> можно считать vE (t0) = 0, v (t0) = w. В промежутке меж-
между столкновениями заряженная частица в электрическом поле испы-
испытывает ускорение. Ее скорость в момент времени t равна v = w +
+ (ZeE/m)(t — t0) (в предположении, что напряженность поля Е
мало меняется за время между столкновениями). Усредняя ско-
скорость по коллективу частиц и учитывая, что средняя хаотическая
скорость равна нулю, а среднее время от момента последнего стол-
столкновения порядка обратной частоты столкновений, получаем
формулу для направленной скорости
и? = < v? > tt ZeE/mv, G.51)
которая соответствует G.7). Здесь v — усредненная по столкнове-
столкновениям и скоростям частота столкновений (разумеется, закон усред-
усреднения при качественном рассмотрении остается неопределенным).
Как видно, получающаяся зависимость направленной скорости от
частоты столкновений (пЕ ~ 1/v) обусловлена тем, что столкнове-
столкновения ограничивают время ускорения в электрическом поле.
Рассмотрим теперь механизм диффузии. Диффузия является
следствием хаотического движения частиц. В однородной плазме
при отсутствии электрического поля тепловой поток частиц через
любую площадку скомпенсирован обратным потоком. Если же име-
имеется градиент концентрации, то в направлении обратном градиен-
градиенту, возникает некомпенсированный поток частиц, обусловленный
различной концентрацией частиц по обе стороны площадки, пер-
перпендикулярной градиенту. Предполагая, что градиент концентра-
концентрации направлен вдоль оси х, вычислим поток частиц через площад-
площадку, расположенную перпендикулярно этой оси. Будем по-преж-
по-прежнему считать, что столкновения приводят к полной хаотизации ско-
скоростей. После столкновения скорость частицы в направлении вы-
выделенной площадки равна wx = w cos в, где w — хаотическая
скорость; в— угол между вектором скорости и осью х. Плотность
потока через площадку частиц с заданным значением и направле-
направлением скорости равна
dTx = nw cos6 f (w)d3w, G.52)
где п — концентрация частиц в области, где они испытали послед-
последнее столкновение; f (w)d3w — доля частиц с заданным значением
и направлением скорости. Поток dYx определяется столкновениями
в точке с координатой х' = х — / cos©, где / — длина «пробега»
187


5т Точки столкновения до площадки. Полагая, что концентраций
частиц мало изменяется на длине /, находим
dTx = п (х — /cos ®)w cos G/ (w)cPw « [nw cos G —
— (dn/dx)wl cos3 в]/ (w)d3w.
Усредняя полученное выражение по направлениям, суммируя
по величинам хаотической скорости и учитывая, что <cos Q> =
= 0, < cos26 > = 1/3, получаем
Г^ = пип = —A/3) < ml > дп/дх. G.53)
Формула G.53) позволяет найти коэффициент диффузии. Прини-
Принимая, что средняя длина до последнего столкновения определяется
частотой столкновений (/)«Я« w/v, имеем
D = — (wiy ж — w2/v « T/mv,
3 3
что согласуется с G.10). Зависимость диффузионного потока от тем-
температуры и частоты столкновений обусловлена характером диф-
диффузионного переноса, вызванного тепловым движением частиц, —
он пропорционален тепловой скорости и разности концентраций
на длине свободного пробега.
Аналогичным образом можно рассмотреть диффузию, вызван-
вызванную градиентом температуры заряженных частиц. В этом случае
различие потока вдоль и против градиента обусловлено различием
средних величин хаотической скорости частиц и средних длин сво-
свободного пробега по разные стороны от выделенной площадки, пер-
перпендикулярной градиенту температуры. Воспользовавшись фор-
формулой G.52) для плотности потока частиц с заданными величиной
и направлением хаотической скорости и полагая, что распределе-
распределение частиц по хаотическим скоростям определяется местом послед-
последнего столкновения, получаем
dYx-= nw cos 6/(w, x—/ cos 6) d3w =
= (nwf cos G — nw—t- I cos2 G ] d3 w.
\ dx )
Усредняя эту формулу по углам G и суммируя по хаотическим ско-
скоростям, находим плотность потока, связанного с градиентом темпе-
температуры:
3 J дх
(W)
[wlfdw*=—n — (—(wiy\% G.54)
дх J ' дх \ 3 х ) * v '
()
188


и далее, полагая / = wh, получаем
L*L\*«1. G.55)
dx\mv) mv\ v dT j T
Эта формула для направленной скорости аналогична формулам
G.11) (для случая v = const) и G.20) (для общего случая). Как вид-
видно из G.54), при постоянной (не зависящей от скорости) длине про-
пробега между столкновениями термодиффузионный ноток определя-
определяется разницей тепловых скоростей на этой длине, приводящей к де-
декомпенсации потоков частиц вдоль и против градиента температуры.
Дополнительный эффект связан с изменением вдоль градиента са-
самой длины свободного пробега.
Перенос энергии под действием градиента температуры также
определяется тепловым движением частиц. Он существует и в усло-
условиях, когда поток частиц отсутствует (например, в системе отсчета,
в которой направленная скорость равна нулю). Действительно, из
области с более высокой температурой в область с меньшей темпе-
температурой должны приходить частицы с большей средней энергией,
чем в обратном направлении. Поэтому даже при равенстве прямого
и обратного потоков частиц должен существовать нескомпенси-
рованный поток их энергии. Определим этот поток. Будем по-
прежнему считать, что градиент температуры направлен вдоль оси
х. Плотность потока энергии, переносимого частицами с заданной
скоростью, получим, умножая плотность потока частиц G.52) на их
энергию:
dQx = (mwV2)nw cos©/ (w)dBw*
Полагая, как и раньше, что распределение скоростей частиц
определяется местом их последнего столкновения и что оно мало
изменяется на длине между столкновениями, находим
dQx = -^^~ cos ©/ (w, x—I cos ©) dB w =
= cos в г — / cos fc) —— ad w,
2 V dx ) '
где /» a;/v. Усредняя поток по углам © и суммируя по скоростям
получаем
G.56)
189
v
(w)


Ё частности, при максвелловском распределении скоростей для
случая, когда частота столкновений не зависит от скорости:
6 v дх I \ 2пТ
оо
С л I mw* \ j г- пТ дТ
X \ w* ехр law = — 5 .
J \ 2Т j mv дх
о
Это выражение для Q аналогично полученной в §7.2 формуле G.43).
Чтобы найти плотность теплового потока qx, надо вычесть из
Qx поток энергии, связанный с направленным движением:
qx = у лт < (vx-ux) (v -uJ> = Qx- ^nux Т.
Используя G.54), находим-для случая v = const
<7х=—— — — . G.57)
^х 2 mv дх ч
Выражение G.57) дает коэффициент теплопроводности, величина
которого совпадает с точностью до численного множителя с произ-
произведением коэффициента диффузии на среднюю энергию частиц. Это
отражает аналогию в механизмах диффузионного переноса час-
частиц и переноса энергии, связанных с хаотическим движением час-
частиц.
Отметим, что электрическое поле и градиент концентрации мо-
могут привести к дополнительному переносу энергии. Выражения
для соответствующих потоков, аналогичные G.24) и G.45), нетруд-
нетрудно получить из рассмотрения разности потоков энергии вдоль и про-
против градиентов. Различие таких потоков в системе отсчета, в кото-
которой направленная скорость равна нулю, связано с зависимостью
частоты столкновений от энергии частиц. Эта зависимость приво-
приводит к тому, что для частиц различных энергий время ускорения
в электрическом поле и перепад концентраций на длине свободного
пробега различны. В результате в системе отсчета, в которой пото-
потоки частиц вдоль и против градиентов скомпенсированы, потоки
энергий также различны.
В заключение оценим компоненты тензора вязких напряжений,
определяющего анизотропную часть потока импульса (см. § 6.1).
Оценим, например, перенос (/-компоненты импульса вдоль оси х,
связанный с градиентом направленной скорости диу1дх и описыва-
описываемый компонентой пух тензора вязкости. Поток импульса возника-
возникает вследствие того, что в присутствии градиента направленной ско-
скорости duy/dx импуЛьсы тиуу переносимые в результате теплового
движения вдоль оси х в обоих направлениях, нескомпенсирова-
ны. Поток импульса определяется произведением среднего импуль-
190


са в месте последнего столкновения на поток частиц. Для группы
частиц с заданной тепловой скоростью найдем
y^
Суммируя по скоростям, находим
dnyx = тиу (x—l cos в) dTx&nm (uy ^-l cos в] w cos @/ (w) dd w.
\ ox ]
G.58)
Аналогичные соотношения получаются для других компонент тен-
тензора. В общем случае можно показать, что тензор определяется со-
соотношением
где коэффициент r\ « nTIv называется коэффициентом вязкости.
Чтобы определить условия пренебрежения эффектами, связан-
связанными с вязкостью в уравнениях переноса, сравним компоненты тен-
тензора вязкости, характеризующего анизотропную часть полного дав-
давления, со скалярным давлением. Тогда соответствующий критерий
принимает вид | яаР [ = (nTIv) ulL «р = пТ, или и < vL =
= < w > UXf где L— характерный масштаб изменения, направ-
направленной скорости. Поскольку условия X < L, и < (w) являются
необходимыми для всего проводимого рассмотрения, это неравен-
неравенство заведомо выполняется и влияние вязкости на процессы пе-
переноса должно быть малым.
§ 7.4. Амбиполярная диффузия
В предыдущих параграфах были получены выражения, опре-
определяющие направленную скорость заряженных частиц" под дей-
действием электрического поля, градиентов концентрации и темпера-
температуры. Входящие в эти выражения коэффициенты подвижности и
диффузии обратно пропорциональны массе; для электронов они
много больше, чем для ионов. Однако в силу условия квазиней-
квазинейтральности независимое движение электронов и ионов в плазме не-
невозможно. Быстрый уход электронов из некоторого элемента объе-
объема плазмы неизбежно приведет к возникновению электрического
поля, которое будет препятствовать их дальнейшему уходу из рас-
рассматриваемого объема и способствовать более быстрому уходу ио-
ионов.
Рассмотрим, например, как происходит диффузия заряженных
частиц в длинной цилиндрической трубке, полагая, что основным
механизмом их устранения является рекомбинация на стенках
трубки. Типичное радиальное распределение концентрации заря-
заряженных частиц в объеме приведено на рис. 7.2. Диффузия при та-
таком распределении происходит от оси к стенкам (против градиен-
градиента концентрации). Пусть в некоторый начальный момент условие
1W


квазинейтральности точно выполняется во всем объеме. Тогда
в последующий период диффузионный поток электронов много
больше ионного (так как DeS^i)- B результате стенки будут заря-
заряжаться отрицательно, а в объеме будет нарастать избыточный поло-
положительный заряд. Разделение зарядов приведет к образованию ра-
радиального электрического поля, которое будет увеличивать ско-
скорость движения ионов к стенкам и тормозить электроны. Поле
должно расти до тех пор, пока не станут одинаковыми потоки элек-
электронов и ионов. Пространственный заряд далее изменяться не бу-
будет, т. е. установится квазиста-
квазистационарное состояние. Этот режим
диффузии называется амбиполяр-
ным. Для обеспечения амбиполяр-
ного движения отрицательный по-
потенциал границ плазмы (стенок)
должен стать настолько большим,
чтобы существенно уменьшить по-
поток электронов. Соответствующая
потенциальная энергия должна,
очевидно, превышать среднюю теп-
тепловую энергию электронов, т. е.
с (ф^ — ф0) > Те. Пространствен-
Пространственный заряд, создающий такую раз-
разность потенциалов, обеспечивается
стационарной разностью плотно-
плотностей электронов и ионов (Дд =
= nt — пе). В плазме величина
An должна быть достаточно малой
(Ал < п) во всем объеме, за исклю-
исключением пристеночных слоев. Разумеется, наличие стенок отнюдь не
обязательно для формирования амбиполярной диффузии. Разде-
Разделение зарядов, необходимое для амбиполярного режима, возни-
возникает при неоднородности плазмы, вызванной любыми причинами.
Опишем теперь количественно амбиполярную диффузию
в плазме, содержащей электроны и однозарядные ионы. Условие
квазинейтральности для такой плазмы сводится к равенству кон-
концентраций электронов и ионов во всем объеме, кроме пристеночных
слоев размером порядка дебаевского радиуса,
у
0
у
/
у
у
у
у
/
/
г
Рис. 7.2
Пе— Пъ I << пе> П
Пг
П.
G.60)
Для сохранения квазинейтральности необходимо, чтобы измене-
изменение концентрации электронов и ионов в каждом элементе объема
было одинаковым, т. е. dnjdt = dn%\dt или в соответствии с уравне-
уравнениями баланса частиц F.36)
—div (пе ие) + Ьпе1Ы = —div (пг щ) + Ьпь1Ы.
Объемные процессы возникновения и устранения частиц (иони-
(ионизация и рекомбинация) в трехкомпонентной плазме не могут при-
192


водить к нарушению квазинейтральности — в каждом из них од-
одновременно образуются или исчезают электрон и ион. Соответст-
Соответственно 8nJ6t = ntl&t9 и условие поддерживания квазинейтральности
сводится к равенству дивергенций потоков
div(neue) = divfaiU,). G.61)
Это уравнение эквивалентно равенству пщ = пив + Г/, где
div Tj = О, т. е. поток Г/ не приводит к изменению концентрации.
Он определяет, очевидно, ток в плазме j = пе (щ — ие) = eTj.
Можно полагать, что этот ток связан с электрическим полем, соз-
создаваемым внешними источниками. В одномерном случае (когда по-
поток пи зависит от одной координаты) это очевидно, так как ток
может замыкаться только через внешние электроды. Таким обра-
образом, в отсутствие внешнего поля, когда ток в плазме также отсут-
отсутствует и Г7 = 0, условие G.61) приводит к равенству направлен-
направленных скоростей электронов и ионов
ие = щ. G.62)
Направленное движение, определяемое равенством G.62), и есть
амбиполярная диффузия.
При наличии внешнего поля направленная скорость электро-
электронов и ионов может быть представлена в виде суммы амбиполярной
скорости и токовой скорости, связанной с полем внешних источни-
источников Ео через коэффициенты подвижности
Щ = иА— ЬеЕ0, Щ - иА + btE0. G.63)
При этом условие G.61) приводит к равенству
divln(be + bi)Eo] -О,
которое дает распределение поля Ео в плазме.
Определим характеристики амбиполярного движения. Восполь-
Воспользуемся для этого формулами G.13), G.14) для направленной ско-
скорости. Для случая, когда | gradT/T \ < | gradn/n | и термодиф-
термодиффузия несущественна, направленная скорость электронов и ионов
равна
Ui=—
Приравнивая эти скорости в соответствии с G.62), нетрудно найти
амбиполярное электрическое поле, автоматически образующееся
в плазме для выравнивания потоков разноименно заряженных час-
частиц:
ЕЛ= Di-D* gradw , G.65)
be+bi n
7 Зак. 1227 193


Учитывая,[что De^> Dt и be^> Ьгуя используя соотношение меж-
между D е и bl G.12), находим приближенное выражение для Ел*
Р De grad n ___ Те grad n (П а^
Ъе п е п
Электрическое поле направлено в сторону, противоположную
направлению градиента концентрации. Поэтому, как и следовало
ожидать, оно препятствует диффузионному движению электронов
и увеличивает поток ионов. Поскольку Е = —grad <p, из G.66) по-
получим распределение потенциала в виде
Ф—Фо = (TJe)ln(n/n0). G.67)
Эта формула определяет, в частности, разность потенциалов меж*
ду центральной областью плазмы и ее границами. Как видно, при
малой концентрации на границе ng <^ п0 эта разность значительно
больше Те1е. Полученное распределение п = поехр[е((р—<роIТе]
соответствует формуле Больцмана D.18). Равновесное больцма-
новское распределение концентрации в амбиполярном электри-
электрическом поле связано с тем, что амбиполярное поле приводит
к почти полному отражению потока электронов от стенок (как
было показано в §4.1, отсутствие направленного движения яв-
является условием существования равновесного распределения).
Зная напряженность электрического поля, можно определить
направленную скорость частиц. Подставляя G.65) в G.64), нахо-
находим скорость совместного (амбиполярного) направленного движе-
движения заряженных частиц под действием градиента концентрации:
ие = щ = —DA grad nfn, G.68)
DA=(Debt +Dibe)/(be + bi). G.69)
Формально выражение G.68) совпадает с выражением для ско-
скорости диффузионного потока. Коэффициент Da называют коэффи-
коэффициентом амбиполярной диффузии. Поскольку Dе > Dif 6е > Ьи
из G.69) получаем DA^Dt + b%D Jbe и, далее, с помощью G.10)
и G.12)
DA &Dt(l+ TjTt) = (Те + Ti)lviavia. G.70)
Отсюда следует, что коэффициент амбиполярной диффузии много
меньше коэффициента свободной (униполярной) диффузии электро-
электронов и больше коэффициента диффузии ионов Di<C.Da С D е- Та^
ким образом, амбиполярное электрическое поле сильно уменьшает
направленную скорость электронов.
При выводе формул амбиполярной направленной скорости по
лагали, что градиенты температуры отсутствуют. Нетрудно таким
же способом, как это было сделано выше, учесть термодиффузию.
Приравнивая полные выражения для потоков электронов и ионов,
т. е. G.13) и G.14), можно найти амбиполярный поток при учете
194


градиентов температуры. Напряженность электрического йолй при
этом равна
Ре—Pi grad/г ие grad Te
be ~\~ bi n be -f~ bt Te
DJ gradT^ f (у 71)
be +bt Tt '
или, поскольку bt С be, Dt <^De:
P Pe grad/г Dl grad Te Te Г gradrt
*A
Ь +
Te Г grad
e I n
где использованы соотношения G.9), G.10), G.20) для be, De, Dj-
Выражение для амбиполярной направленной скорости приоб*
ретает вид
где амбиполярные коэффициенты диффузии и термодиффузий рав-
равны
G.73)
Здесь в соответствии с G.11), G.20) Dt = Ttl\Licpia\ gra ~
« {Tjvaa)dvJdTaa.
Для условий, когда частоты столкновений не зависят от скорое*
™> gYe = gTt = 0- В этом случае выражения для амбиполярной
скорости и амбиполярной напряженности поля могут быть пред-
представлены в виде
grad (PA п) grad [n (Te+ Tt)] grad (nTe)
и; Ь =
G.74)
§ 7.5. Уравнения баланса заряженных частиц
и энергий в слабоионизованной плазме
Полученные выражения для направленной скорости й тейлово-
го потока заряженных частиц позволяют конкретизировать урав*
нения баланса частиц и энергий, рассматривавшиеся в гл. 6. При
этом использование стационарных значений коэффициентов пере*
1* 195


носа допустимо, если характерные времена изменения р
ции и температуры заряженных частиц много больше частот столк-
столкновений G.5). Начнем с уравнения баланса частиц (см. гл. 6)
dnldt + div (пи) = 8пШ.
G.75)
Как было показано в предыдущем параграфе, изменение концент-
концентрации определяется амбиполярной компонентой направленной ско-
скорости. В общем случае она дается равенством G.72). Для условий,
когда частоты столкновений электронов и ионов с атомами не зави-
зависят от скорости, подставляя
G.74) в G.75), получаем
дп/dt—A (DAn)=8n№y G.76)
где DA = (Те + :
В это уравнение входят в ка-
качестве неизвестных концен-
концентрация и температура. По-
Поэтому решать его надо сов-
совместно с уравнениями балан-
баланса энергии. Обычно, однако,
относительные градиенты тем-
температуры много меньше от-
относительных градиентов кон-
Рис. 7.3 центрации заряженных ча-
частиц. В этом случае направ-
направленная скорость определяется равенством G.68) и уравнение
баланса заряженных частиц G.75) приобретает вид
dnldt — DAAn = 8пШ.
G.77)
Оно является уравнением в частных производных для концентра-
концентрации и может решаться независимо от уравнений баланса энергий.
Для решения уравнения G.77) необходимо знать начальное распре-
распределение концентраций и граничные условия.
Остановимся на граничных условиях. Чаще всего они опреде-
определяются уходом заряженных частиц на диэлектрические или метал-
металлические стенки, ограничивающие плазму. В прилегающих к стен-
стенкам областях можно выделить слои, в которых не выполняются ус-
условия квазинейтральности (рис. 7.3). Их толщина (Аг) порядка де-
баевского радиуса, обычно она много меньше длины свободного про-
пробега частиц. Поскольку при амбиполярном уходе стенки заряжа-
заряжаются отрицательно, электрическое поле в слое направлено к стен-
стенке. Поток заряженных частиц на стенку определяется, очевидно,
их концентрацией вблизи границы слоя ng> средней скоростью
в направлении слоя vag и коэффициентом отражения частиц от слоя
= A — r\a)ngVae.
G-78)
196


Средний скорбеть дйижейия ионов к стенке при Те> tt
превосходить их хаотическую скорость из-за их ускорения в амби-
полярном электрическом поле G.66). На расстояниях нескольких
длин свободного пробега от стенки это поле создает разность потен-
потенциалов порядка Те/е; соответственно вблизи границы слоя ионы
ускоряются до энергии порядка Те и их скорость vig ~ Л/Те1тг.
В электрическом поле слоя ионы двигаются к стенке ускоренно,
и, поскольку столкновения в слое несущественны, практически все
они достигают стенки. Кроме того, большинство ионов, отразив-
отразившихся от стенки, возвращаются обратно полем слоя. Поэтому ко-
коэффициент отражения ионов от слоя мал г]г < 1. Учитывая это,
находим оценку для потока ионов на стенку при Те>Тг:
Yig ^A-ru) ngVig&ngVTJmi. G.79)
При оценке потока электронов на стенку следует иметь в виду,
что для них средняя хаотическая скорость всегда много больше на-
направленной. Соответственно их средняя скорость в направлении
стенки определяется хаотическим движением veg ж A/4) (we) ^
^ УТе/те и поток электронов к стенке равен Teg & A —
—f\e) ng "VTJme. При отсутствии тока на стенку поток электро-
нов должен равняться потоку ионов. Это равенство возможно
лишь при коэффициенте отражения электронов т) еу близком к еди-
единице 1 — х\е ^ Л/mJtrii. Нетрудно определить падение потен-
потенциала в слое Афь обеспечивающее необходимый коэффициент от-
отражения. Через слой на стенку могут пройти, очевидно, лишь элек-
электроны, энергия движения которых в направлении стенки превы-
превышает Мер*. Поток таких электронов на границу слоя равен
оо
wxfex(wx)dwx>
где ось х направлена вдоль нормали к слою. При максвелловском
распределении fex = (те/2пТеK/2 ехр (—mewl/2Te) получаем
Приравнивая этот поток потоку ионов G.79), определяем па-
падение потенциала, обеспечивающее амбиполярный уход частиц из
плазмы:
A<Pi« (Тв1е) inVmJm,« D 4-7) TJe. G.81)
Для оценки концентрации заряженных частиц на границе
плазмы и слоя (в области квазинейтральности) следует приравнять
поток заряженных частиц на границе слоя диффузионному по-
потоку частиц из плазмы. Поток из плазмы можно определить с по-
помощью соотношений для скорости амбиполярной диффузии G.68)
197


tag = DA I grad n j & (Те/тгуга) по/Ь, где rt0 — концентраций за-
заряженных частиц в центральной области плазмы; L — характер-
характерный размер плазмы. Приравнивая этот поток потоку ионов в слой
G.79), получаем соотношение между концентрациями заряженных
частиц на границе плазмы и в центре
-5S-«-i_l/ is-Kbu-lflsL. G.82)
п0 Lvta V mi L V Tt V '
В области условий, для которой применимы уравнения пере-
переноса, изменение параметров плазмы на длине свободного пробега
должно быть малым. Поэтому можно в большинстве случаев счи-
считать Xia < Ь, ng < п0 и приближенно полагать граничную концен-
концентрацию равной нулю ng = 0. Нулевые граничные условия исполь-
используются обычно при решении диффузионных задач.
Перейдем к уравнениям баланса энергий заряженных частиц,
полученным в § 6.4 из уравнений второго момента. Для слабоио-
низованной плазмы, в которой существенны только столкновения
заряженных частиц с нейтральными, уравнения баланса энергий
электронов и ионов F.77) могут быть записаны в виде
дТ 2 2
-gf- + u«grad Ta + -д- Та div u« +-д- div qa =
9 Ш Ttl
aa (Ta-Ta) + 4 Vaa / " \. u\. G.83)
3 (ma+maJ ^
В эти уравнения следует подставить полученные выше выражения
для направленной скорости и и теплового потока q. В результате
получим нелинейные дифференциальные уравнения в частных про-
производных. Совместное решение уравнений баланса энергий для
электронов и ионов и уравнения баланса частиц позволяет в прин-
принципе определить распределение концентрации, электронной и ион-
ионной температуры в объеме плазмы. Разумеется, в общем случае эта
задача очень сложна.
Рассмотрим уравнение баланса энергии электронов, полагая,
что частоты столкновений электронов и ионов с атомами не за-
зависят от скорости. Как было показано в § 6.4, направленную ско-
скорость электронов можно представить в виде суммы амбиполярной
скорости G.74) и токовой скорости, обусловленной внешним полем
G.63):
Щ = — — grad (DA n) — be Eo,
п
где DA = (Те + Ti)/\iiavia9 be = e/meveaJ распределение поля
Ео должно удовлетворять условию div (пиЕ) = Ъе div (пЕ0) = 0*
Поток тепла электронов определяется равенством G.22)
q* = —Хе grad Те = - %еп grad Тв9
198


где %е ==• E/2) Te/mevea = E/2) De. Подставляя эти выражения
в уравнение G.83), учтем, что D^<De и амбиполярный член
в выражении для иа обычно много меньше токовой скорости
Da/L < ЬеЕ0. Пренебрегая соответствующими малыми слагаемы-
слагаемыми, получаем
д^_ A div {De ngrad Тв)_A. Da div
dt Згг ° ° "' 3
— eDeE
e
e ° T
e
e2 E2"
^ G.84)
Здесь средний коэффициент передачи энергии при столкновениях
кеа и частота столкновений vea удовлетворяют равенствам F.44),
F.76), т. е. включают как упругие, так и неупругие столкновения
электронов с атомами. Нелинейное уравнение G.84) достаточно
сложно. Во многих случаях, однако, некоторые из слагаемых в ле-
левой части оказываются малыми. Так, в газоразрядной плазме
в длинных цилиндрических трубках внешнее поле направлено по
оси, а градиенты— по радиусу, поэтому Ео J- grad n, grad Те = О,
и два последних члена в левой части G.84) обращаются в нуль. В
случае, если gradT/T и grad п/п сравнимы, можно пренебречь третьим
слагаемым по сравнению со вторым, так как Da С А?- Наконец, при
достаточно больших отношениях характерных размеров к длинам
свободного пробега можно пренебречь всеми слагаемыми в левой
части, определяющими перенос энергии. Сопоставляя их с первым
слагаемым в правой части, описывающим передачу энергии элект-
электронов при столкновениях, получаем условия такого пренебреже-
пренебрежения
/. г Т ^^ еа , Г25^ / те Т е \ ' f^eaMa /7 ос\
Lt, LtLv^>~-—, Ln^> , (/.ooj
где Lt = (grad Te/Te)~\ Ln = (grad n/n)-1 — характерные масшта-
масштабы изменения концентрации и температуры. При выполнении этих
условий уравнение G.84) приобретает наиболее простой вид:
dTJdt = -neavea (Te - Та) + e*El/mevea. G.86)
Оно дает локальную связь электронной температуры с напряжен-
напряженностью поля, создаваемого внешними источниками.
Для решения уравнения баланса энергий электронов при учете
переноса энергии необходимо наряду с граничными условиями для
концентрации определить граничные условия для электронной
температуры. Для этого надо оценить энергию, переносимую элек-
электронами, уходящими из плазмы. Как было показано выше
(см. рис. 7.3), в пристеночном слое существует потенциальный
барьер для электронов еДср^ G.81), значительно уменьшающий их
поток нэ стенку и тем самым обеспечивающий амбиполяркость
199


ухода. Электроны, энергия которых меньше eAq>h отражаются от
слоя и возвращаются в плазму без изменения энергии. Электроны
с энергией большей eAtpi проходят через слой и уходят на стенки.
Часть их энергии (остающуюся после замедления в слое) они уно-
уносят на стенки. Оставшаяся часть энергии затрачивается на поддер-
поддержание падения потенциала в слое, она уносится на стенки ионами,
ускоряющимися в слое. Таким образом, поток энергии электронов
на границу слоя переносится быстрыми частицами с энергией боль-
большей еЛфг. Определим его для максвелловского распределения элек-
электронов по скоростям.
Полагая, что ось х параллельна нормали к слою, находим
— ОО —Ор
где величины ng9 Teg, qeg определены вблизи границы слоя; интегри-
интегрирование проводится по скоростям wx, при которых возможно пре-
преодоление барьера (тетУ2> еДф*)> и по всем скоростям wy, wz.
После интегрирования получаем
1 eg J
Отношение потока тепла к потоку частиц на границе слоя G.80)
равно средней энергии, уносимой из плазмы одним электроном:
8о == Qegl^eg ~ ^ eg \2 + еА(рг/Т egB-\-lu ]/ Ш^Ш^. G.88)
Чтобы определить граничные условия, следует приравнять поток
тепла на границу слоя потоку тепла из плазмы. Учитывая соотно-
соотношения G.22), G.68), получаем
A Hg De | grad t e\ = Teg{2 + In |/^-
« Teg B + In |/-^-) DAI grad n |.
Из этого равенства найдем отношение градиентов температуры ц
концентрации на границе
gradn
me ~
G.89)
\ f me ) miViq \ n /g
200


Видно, что вблизи границы (grad TJTe) < (grad nln), и йриближей-
но можно задавать граничные условия для Те, полагая (grad Te)g =
= 0. Это условие является следствием существенной разницы меж-
между коэффициентами амбиполярной диффузии Da и температуро-
температуропроводности %е = E/2)De. Поскольку Da С %е, перенос тепловой
энергии электронов из центральной части к периферии плазмы
происходит значительно быстрее амбиполярного переноса самих
электронов. В то же время перенос энергии на стенки связан с ухо-
уходом на стенки электронов, поэтому он осуществляется со скоростью,
лишь ненамного превышающей скорость амбиполярного переноса
частиц. Более быстрый обмен энергией электронов внутри объе-
объема плазмы и приводит к выравниванию электронной температуры
в объеме.
Уравнение баланса энергии ионов можно получить, подставляя
в G.83) выражения G.63), G.74) для направленной скорости и выра-
выражения G.25) для теплового потока. В результате получается еще
более сложное уравнение, чем для электронов, так как тепловой
поток ионов, вообще говоря, связан с тепловым потоком атомов.
Не будем здесь рассматривать это уравнение. Отметим лишь усло-
условия, при которых перенос тепла не существен. Они получаются
в результате сравнения слагаемых уравнения, пропорциональных
градиентам концентрации и температуры, со слагаемым, определя-
определяющим передачу энергии ионов нейтральным атомам при столкно-
столкновениях. Легко убедиться, что эти условия (при E0-Lgradft, gradT)
сводятся к неравенству
Ь<<Ут1Тг%гп. G.90)
При его выполнении уравнение баланса энергий ионов принимает
вид
dTJdt = -(l/2)v,a (Tt - TQ) + A/6)угатги!9 G.91)
где в соответствий с G.63)
„, = 6, Е„_ iifli^I = _X_ [eEo--L grad , (Г. + Г,)]
(здесь учли, что Mi = mtt, \Kia = A/2) тг).
§ 7.6. Баланс заряженных частиц и энергий
в плазме стационарного газового разряда
В качестве примера применения полученных уравнений рассмот-
рассмотрим баланс заряженных частиц и энергий в плазме стационарного
газового разряда, поддерживаемого в длинном цилиндрическом
баллоне продольным электрическим полем. При длине баллона,
много большей его диаметра, можно считать, что параметры плаз-
плазмы не зависят от продольной координаты, т. е. градиенты перпен-
перпендикулярны оси. Внешнее электрическое поле в такой плазме долж-
201


feo быть практически однородным. Ё соответствии с анализом, про-
проведенным в § 7.5, амбиполярный режим ухода заряженных частиц
на стенки приводит к тому, что вблизи стенок относительный гра-
градиент электронной температуры много меньше относительного
градиента концентрации. Поэтому в условиях, когда нагрев элек-
электронов одинаков по сечению, электронную температуру в первом
приближении также можно считать постоянной. Ионная темпера-
температура из-за сильного обмена энергией между ионами и атомами обыч-
обычно много меньше электронной и также мало изменяется по сечению.
Распределение концентраций заряженных частиц при таких усло-
условиях с достаточной точностью описывается уравнением G.77). Для
стационарного случая, полагая dnldt = 0, получаем
DAAn + bnlbt = 0. G.92)
Примем во внимание, что в цилиндрически-симметричной плазме
концентрация зависит только от радиуса. Тогда
Da r)+ 0.
г dr{ dr ) Ы
Столкновительный член уравнения bnlbt определяет эффектив-
эффективность процессов ионизации и рекомбинации в объеме. В общем слу-
случае он может включать прямую ионизацию при столкновениях
электронов с атомами, ступенчатую ионизацию, электрон-ионную
рекомбинацию, захват электронов с последующей ион-ионной ре-
рекомбинацией. Рассмотрим сначала наиболее простой случай, ког-
когда единственным объемным процессом, существенно влияющим на
баланс частиц, является прямая ионизация. В этом случае 8n/8t =
= vln и уравнение принимает вид
D*-Ljr
г dr
где v* = (nJeaV > —средняя частота ионизации, определяющаяся
функцией распределения электронов по энергиям. Для условий,
при которых функция распределения электронов не зависит от их
концентрации, уравнение G.93) оказывается линейным. Его част-
частным решением, конечным при г = 0, является, как известно, функ-
функция Бесселя нулевого порядка. Оно может быть записано следу-
следующим образом:
п = по/о(г/Л); Л = 1/Д^?. G.94)
Для того, чтобы концентрация обращалась в нуль на границе
(при г = а), аргумент бесселевой функции в этой точке должен быть
ее корнем. Число корней бесселевой функции бесконечно, однако
физический смысл имеет только решение, соответствующее перво-
первому корню (? = 2,405), так как только оно положительно во всей
области г < а. Учитывая это, находим
Л = а/2,405. G.95)
202


Соотношение G.95) определяет величину Л и тем самым распреде-
распределение концентраций G.94). Это распределение, называемое диффу-
диффузионным, изображено на рис. 7.4 (кривая У). Характерную длину
Л называют диффузионной длиной. Она определяет соотношение
между величинами v* и Ад-
В соответствии с G.94), G.95) находим
= Da/А2 = 598DJa*.
G.96)
Это соотношение есть условие стационарности концентрации —
равенства скоростей возникновения заряженных частиц и их диф-
диффузионного устранения из объема плазмы. Правую часть G.96) на-
называют иногда диффузионной
частотой устранения vD, обрат-
обратную ей величину — временем лп
диффузии %D: n°
то = 1/vd = AVDA. G.97)
При решении уравнения ба-
баланса заряженных частиц G.93)
мы полагали, что частота иони-
ионизации vl не зависит от концен-
концентрации. Во многих случаях, од-
однако, это несправедливо. При
не очень большие концентра-
концентрациях зависимость vl от п может
быть обусловлена влиянием
электрон-электронных столкно-
столкновений. Как уже было показа-
показано в § 5.6, эти столкновения
стремятся «максвеллизировать»
распределение, приводя к увеличению числа быстрых электро-
электронов, т. е. к росту частоты ионизации. При больших концентра-
концентрациях начинае'1 играть существенную роль также ступенчатая
ионизация, эффективность которой квадратично зависит от концен-
концентрации. При учете зависимости vl от п уравнение баланса G.93)
становится нелинейным. Определяемое этим уравнением распреде-
распределение концентраций обусловлено видом зависимости vl от п. На
рис, 7.4 (кривая 2) представлено для примера распределение п (г)
в случае v' ~ п. Получаемое при решении уравнения условие
баланса частиц может быть записано в виде, аналогичном G.96):
v' (л0) == Da/A2, где vl (п0) — частота ионизации при максимальной
концентрации электронов. Разумеется, соотношение между диф-
диффузионной длиной Л и радиусом плазмы отличается от G.85). При
v* ~ п, например, Л = а/3,5.
Равенство G.96) позволяет определить электронную темпера-
температуру. Ее можно найти, если известна зависимость v' от Т е. Для
максвелловского распределения эта зависимость дается формулой
Рис. 7.4
203


E.117). Подставляя ее в G.96), получаем трансцендентное уравне-
уравнение для Те. При Тв С %i оно имеет вид
W^G.98)
m,vleA«
где s> определено в соответствии с B.86). Его приближенное реше-
решение дает
те =\\п( Л2
(здесь Vo = l//iosj).
Решение уравнения баланса частиц G.93) позволило найти ра-
радиальное распределение концентраций, но не дало ее абсолютной
величины, т. е. я0. В рассматриваемом случае концентрация за-
зависит от продольного тока разряда. Плотность тока связана с внеш-
внешним полем через подвижность электронов [см. G.16)] j = enbeE0.
Соответственно полный ток можно вычислить интегрированием по
а
сечению плазмы I = J j dS = 2nebeE0 J n (r)rdr. Подставляя сюда
о
распределение G.94), находим
2,3/
па?еЬе
До сих пор мы пренебрегали влиянием объемной рекомбинации.
Для случая, когда необходимо учитывать квадратичную рекомби-
рекомбинацию, уравнение баланса частиц G.92) приобретает вид
DA— — (г— Wv'/t—an2-0, * G.100)
г dr \ dr )
где a = < srv > — коэффициент рекомбинации. При преобладаю-
преобладающем влиянии рекомбинации, когда а п0 ^> v& == D^/A2, можно
пренебрегать в центральной области плазмы влиянием диффузион-
диффузионного члена уравнения. Получающееся тогда условие баланса час-
частиц будет следующим:
v' = сш0. G.101)
Оно означает, что скорость возникновения заряженных частиц
в результате ионизации равна скорости их рекомбинационного уст-
устранения. Правую часть G.101) можно назвать рекомбинационной
частотой устранения, обратную ей величину — временем рекомби-
рекомбинации
Тг = i/Vr = 1/<ш0. G.102)
Поскольку vl и а зависят от Те, равенство G.101) определяет
электронную температуру в зависимости от концентрации в центре.
Оно нарушается лишь вблизи границ плазмы, где существенно
204


диффузионное устранение частиц. Нетрудно оценить ширину об-
области (&), в которой существенна диффузия, сопоставляя первый
и последний члены уравнения G.100). Полагая в этой области
дп/дг ~ nib, получаем
DA/b2« ап0, Ь « VDAlan0 << Л.
В этом случае радиальное распределение концентраций является
плоским в центральной области и имеет резкие градиенты вблизи
границ (см. рис. 7.4, кривые: 3 — ап0 = 2Ол/Л2, 4 — ап0 =
= 3DА!'Л2). По мере роста отношения коэффициента диффузии
к коэффициенту рекомбинации и соответственно v/)/vr, гра-
градиенты концентрации на границах плазмы делаются более пологи-
пологими и при V?> > vr распределение концентраций приближается
к диффузионному распределению G.94). Количественно этот пере-
переход можно проследить с помощью уравнения G.100).
Перейдем теперь к балансу энергий электронов. Уравнение ба-
баланса G.84) в рассматриваемом случае (Е JL grad n\ grad Т =
= 0, df/dt = 0) приобретает вид
—div (pce grad Те) — DAnTe div (grad nln) =
- -C/2)nyceavea (Te - Ta) + ne*E20/mevea. G.103)
Это уравнение при заданном распределении концентрации пред-
представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение для элек-
электронной температуры. Как отмечалось выше, относительный гра-
градиент электронной температуры обычно можно считать много мень-
меньшим относительного градиента концентрации. Считая также, что
условия G.85) выполняются, пренебрежем в первом приближении
слагаемыми в левой части. Уравнение баланса энергий сводится
тогда к равенству средней энергии, приобретаемой электронами
в продольном электрическом поле и энергии, теряемой ими при
упругих и неупругих столкновениях (ср. § 5.4, 5.6):
ne2El/mevea = C/2)пхеа vea(Te — Та).
Отсюда найдем связь между напряженностью внешнего электричес-
электрического поля и электронной температурой
Е° = Т "?-х- v<« (Те~Та)- G.104)
Заметим, что эта связь определяется не только множителем (Те—Та);
средний коэффициент передачи энергии к еа и средняя частота стол-
столкновений vea также могут зависеть от электронной температуры.
Более точное условие баланса средних энергий может быть по-
получено из уравнения G.103). Чтобы получить его, надо проинтег-
проинтегрировать уравнение по поперечному сечению плазмы. При этом во
всех слагаемых, кроме первого, можно по-прежнему считать элект-
электронную температуру не зависящей от радиуса. Выполним интег-
интегрирование, полагая радиальное распределение концентраций диф-
205


фузионным G.94). Интеграл от первого слагаемого найдем с по-
помощью граничного условия G.88)
J± = Г di v qe dS = 2naqeg = 2naTe U + In 1/ — ) Г,
и, далее, поскольку поток частиц на границе Г^ определяется их
диффузией 2naTg = (DA/A2) J ndS, получим
(л ^dS — средняя по сечению концентрация).
Интеграл от второго слагаемого преобразуется к виду
Л2 J n \ dr
о
При вычислении интеграла, входящего во второй член, учтем, что
он логарифмически возрастает при г-*а, когда п—>0. Поэтому
приближенно можно записать
2я \ — | — ] rdr ж 2па ( | In —^- = — In —— .
А2 Па
С 1 / dn \* - о / dn \ , л0
I —  rdr^ 2яа  In —2- =
J n \ dr I \dr )r=a ng
Более аккуратное вычисление, при котором используется распре-
распределение G.94), приводит к результату
J2 - ~{DAIA?) < п > па2Те (s + In (no/ng)).
В интегралы от третьего и четвертого слагаемых войдет величина
\ndF = ла?(п>.
Собирая все четыре слагаемых, получим условие баланса сред-
средних энергий в виде
(Т Т)+Т[3+1\/ + 1
m л? еаеа(е а)+в[+\ +
mevea Л2 \ У ше п8
G.105)
Это равенство отличается от G.104) вторым слагаемым, учитываю-
учитывающим потери энергии, связанные с уходом частиц на стенки. По-
Поскольку множитель /)л/Л2 = v^ определяет обратное время
диффузии, средние потери энергии, приходящиеся на один поки-
покидающий плазму электрон, равны
8 G.106)
206


Эта сумма включает, во-первых, энергию, непосредственно унбей-
мую электронами на стенки; как было показано в § 7.5, средняя
величина этой энергии при максвелловском распределении состав-
составляет 27V Во-вторых, она включает энергию, затрачиваемую на под-
поддержание амбиполярного поля в плазме. Эта энергия приближенно
равна e(q>g — ф0) = Те In (no/ng), где ср^ — ср0 — амбиполярная
разность потенциалов G.67); она уходит на ускорение ионов при
их движении к границам. Наконец, в сумму G.106) входит энергия,
затрачиваемая на поддержание пристеночной разности потенциа-
потенциалов А(ре^-=(Те/е) 1п Л/m-Jme G.81). Как отмечалось выше (см. с. 200) >
эта энергия уходит на ускорение ионов и уносится ими на стенку.
Определим теперь ионную температуру, полагая, что удовлет-
удовлетворяется условие G.90) и перенос энергии ионами не существен. Ис*
пользуя уравнение баланса энергий G.91) для стационарной плаз^
мы, получаем
и при не зависящей от скорости частоте столкновений йоной
4 ё*Е1 4 Т\ ! 1 dn
1 i —1 а— л о \ с
3 mi vfa 3 n%i v*a \ n dr
G.107)
где Ел = {TJen)dn!dr — амбиполярное поле G,66).
Ионная температура определяется балансом между энергией,
получаемой ионами в электрическом поле, и энергией, передавае-
передаваемой ими нейтральным атомам при упругих столкновениях. Выра*
жение G.107) показывает, что нагрев ионов осуществляется как
внешним полем Ео, так и амбиполярным полем Ел- Нетрудно с по-
помощью равенства G.104) оценить соотношение между этими полями
еЕ0
1 dn
п dr
y;
1 dn
п dr
«0
n
Оценка показывает, что при не очень малой величине Xia амбиполяр-
амбиполярное поле может быть сравнимо с продольным. В этом случае ионная
температура должна нарастать от центральной области к границам
плазмы, так как амбиполярное поле Еа ~ \1п нарастает к грани-
границам.
Нетрудно убедиться, что нагрев ионов, определяемый формулой
G.107), значительно меньше нагрева электронов. Сравнивая G.107)
и G.104), получаем
Ца
207


Различие в нагреве обусловлено, в первую очередь, разницей в пе-
передаче энергии при столкновениях — доля энергии, передаваемая
электронами (пеа < 1), всегда много меньше потерь энергии иона-
ионами (Kiatt 1/2).
Таким образом, уравнения баланса частиц и энергий позволяют
установить основные характеристики газоразрядной плазмы* Для
случая, когда основным процессом ионизации является прямая
ионизация атомов электронами, основной процесс устранения
заряженных частиц — амбиполярная диффузия, и процессы пере-
переноса слабо влияют на баланс энергий частиц, мы получили выра-
выражения, определяющие эти характеристики: распределение концен-
концентрации п (г) G.94) найдено в результате решения уравнения балан-
баланса частиц, величина концентрации п0 определяется током разряда
G.99), электронная температура Те — условием баланса частиц
G.96), напряженность поля в разряде Ео получается из баланса
энергий электронов G.104), ионная температура Tt —из баланса
энергий ионов G.107)»
§ 7.7. Ионизационная неустойчивость
Рассмотренный в § 7.6 баланс заряженных частиц плазмы ста-
стационарного газового разряда может оказаться неустойчивым. Не-
Неустойчивость ионизационного баланса вызывается зависимостью час-
частоты ионизации от концентрации электронов. Как отмечалось, такая
зависимость может быть связана с влиянием электрон-электронных
столкновений на функцию распределения и со ступенчатой иони-
ионизацией. При существенном влиянии этих процессов случайное уве-
увеличение концентрации электронов на некотором участке плазмен-
плазменного столба может привести к локальному росту частоты иониза-
ионизации и к дальнейшему росту концентрации. В результате оно будет
экспоненциально нарастать со временем. Такое нарастание малогр
возмущения свидетельствует о неустойчивости ионизационного
равновесия по отношению к возмущению.
Рассмотрим условия возникновения ионизационной неустойчи-
неустойчивости. Для этого воспользуемся уравнением баланса частиц
[(см. 7.77)]
^—DA An = vln. G.108)
Предположим, что в плазме возникает малое возмущение концен-
концентрации, гармонически зависящее от продольной координаты. При
наличии такого возмущения распределение концентраций может
быть представлено в виде
п (г, г, t) = п<°> (г) + *а> (г, z, t) = п0 (г) +
+ Re [пГ (г, f) exp (-/ кг)], G.109)
где /г<°> (г) — невозмущенная концентрация; Re [nkn exp (—ikz)\ —
— возмущение концентрации, записанное для упрощения анализа
208


в комплексной форме; величина k определяет продольйый масштаб
или длину волны возмущения %к = 2nlk. Возмущение концентра-
концентрации приводит к изменению распределения напряженности элект-
электрического поля и к неоднородности нагрева электронов. Соответ-
Соответственно появляется и возмущение электронной температуры. По-
Поскольку, однако, электронная теплопроводность плазмы велика,
это возмущение в определенной области условий мало. Пока не бу-
будем его учитывать.
Подставляя концентрацию G.109) в уравнение баланса G.108)
и полагая радиальные распределения стационарной концентрации
и возмущения одинаковыми, получаем следующее уравнение для
возмущения концентрации:
vi-vO, G.110)
dt
где v{ — средняя частота ионизации при наличии возмущения,
vl — в его отсутствие. Полагая возмущение малым и ограничива-
ограничиваясь первым членом разложения v{, по его степеням, получаем
дп
Уравнение для возмущения принимает тогда вид
dnn)ldt = (ndv4dn — k2DA)nW. G.111)
Его решение при положительном коэффициенте в правой части дает
экспоненциальное нарастание возмущения
on
G.112)
Величину у называют инкрементом неустойчивости. Таким обра-
образом, критерий существования неустойчивости в рассматриваемой
модели сводится к неравенству
ndvl/dn > k2DA. G.113)
При обратном неравенстве показатель экспоненты оказывается от-
отрицательным. Это означает, что случайно возникающее возмуще-
возмущение убывает со временем, т. е. плазма устойчива по отношению к
возмущению.
Нетрудно понять физический смысл неравенства G.113). Его ле-
левая часть описывает увеличение частоты ионизации, нарушающее
ионизационное равновесие при наличии возмущения, правая часть
определяет скорость диффузионного расплывания возмущения
D~-^~ Д4#ч. Поэтому неравенство G.113) означает, что ско-
скорость ионизационного нарастания возмущения превышает скорость
его диффузионного расплывания. Критерий G.113) ограничивает
масштаб возмущения снизу. Учитывая стационарную связь меж-
209


ду коэффициентом амбиполярной диффузии и частотой ионизации
G.96), приведем этот критерий к виду
?2Л2 < (п№)д*Чдп. G.114)
Поскольку правая часть выражения G.114) имеет порядок едини-
единицы, оно показывает, что неустойчивость может возникать лишь при
длинах волн возмущения (%z = 2n/k), больших радиуса плазмен-
плазменного столба (а = Л/2,4).
Рассмотрим теперь влияние возмущения электронной темпера-
температуры на условия развития неустойчивости. Это'влияние может быть
значительным даже при относительно малых величинах возмуще-
возмущения (при Т^/Т < пР)/п), поскольку зависимость частоты ионизации
от электронной температуры обычно много сильнее, чем ее зависи-
зависимость от концентрации. Возмущение электронной температуры свя-
связано с продольным электрическим полем, определяющим нагрев
электронов. Продольное поле в соответствии с G.63), складывает-
складывается из двух компонент: токовой Ej и амбиполярной Еа- Токовое
поле дается условием постоянства продольного тока по длине
jz = enbJEj. G.115)
Полагая для простоты частоту столкновений электронов и соответ-
соответственно их подвижность b e — elmev ea не зависящими от темпера-
температуры, получаем
= (п<°> + я*1)) (Ео + Е\»),
где поле Ej представлено в виде суммы иевозмущенной составля-
составляющей Ео и возмущения ?;С1\ Считая возмущения малыми n<v> < п@),
Е]г) < Ео, находим связь возмущений поля Ej и концентрации п±:
Е'р = — (пA>/п«»)?0, G.116)
характеризующую распределение Е)Х) по длине.
Как видно, возмущение поля Е]г) находится в противофазе с воз-
возмущением концентрации — увеличение концентрации приводит
к уменьшению поля (рис. 7.5). Амбиполярная компонента про-
продольного электрического поля дается формулой G.66); Еа = —
= —(Те/еп)дп/дг. Подставляя в нее G.109), получаем
G.117)
Продольное распределение Е^ (z) оказывается сдвинутым по фазе
относительно распределения концентрации п^ (г) на четверть дли-
длины волны — поле максимально в области, в которой максимален
градиент концентрации (см. рис. 7.5). Полученные соотношения оп-
определяют мощность нагрева электронного газа при учете возму-
возмущений поля. В соответствии с ним мощность, выделяющаяся в еди-
единице объема
Ре = jzEz« enbJEo (Eo + ?}1} + Е$}) - -епЬеЕ\ -
- епа)ЬеЕ20 + ikbeTcEonn\ G.118)
210


где учтено постоянство продольного тока G.115). Первое слагаемое
этой формулы описывает продольно-однородный нагрев при отсут-
отсутствии возмущений, второе и третье — изменение нагрева, связан-
связанное с возмущением концентрации. Возникающие при этом возму-
возмущения электронной температуры можно найти с помощью уравне-
уравнения баланса энергии G.84), которое приближенно запишем в виде
3 дТо
2 dt
vea = const Жв =
где при ea
= E/2)(Ten/tnevea). В отсутст-
отсутствие возмущений левая часть
уравнения обращается в нуль
и условие баланса энергий сво-
сводится к равенству
Оно дает связь напряженности
продольного поля с температу-
температурой G.104)
= 1/тт&-' GЛ20)
где %т^~ {ТеЫеатеуУ
& X JV^ea — Длина тепловой
релаксации, т. е. длина, на ко-
которой происходит обмен энер-
энергией между электронами и ато-
атомами.
Возмущение температуры
следует искать в виде, анало-
аналогичном G.109):
(z, t) -
- Re [7V} (t) exp (—ife)].
G.119)
Рис. 7.5
Подставив его в уравнение
G.119), учтем, что в связи с боль-
большой теплопроводностью электронного газа первый член, описываю-
описывающий изменение возмущения ТA) со временем, обычно много меньше
ЯТЧ1)
второго п
Же№ | 7A) | и относительное возмущение темпе


ратуры много меньше относительного возмущения концентрации
ТA) пA)
*. Пренебрегая соответствующими малыми слагае-
п
мыми, получаем
2
Используя соотношение G.118) для Ре и учитывая GЛ20), нахо-
находим связь возмущений температуры и концентрации
4
—i
G.122)
Тео 5 ^Г? ^Ге У Л
[5 (#а
(&Ц) 5 kl
где учтено, что при vea = const WJbe = E/2)(пТе/ё).
Возмущение электронной температуры, как и возмущение кон-
концентрации приводит к изменению частоты ионизации. Учитывая оба
возмущения, получаем
f-?-7V\
T
где Т|1} удовлетворяет равенству G.122). Подставляя эту разность
в уравнение баланса частиц G.110), приводим его к виду
б ге av1'
5 -, « ,- G-123)
Решение уравнения дает зависимость п^ от времени
41} = nj1} exp (icoO exp (yt), G.124)
где
,A 1/6 Ге dvi .
f дп Ь Ще дТе
Соответственно получаем
п{1) = Re [я^1}ехр (—\kz)\ == n10 exp (yt) cos (со/ — kz). G.125)
Из этой формулы видно, что возмущение концентрации (как и
связанные с ним возмущения температуры поля) представляет со-
* Как следует из G.122), условия малости | Т{1)/Т\ сводятся к неравен-
неравенству k » eEolTe = \/ЬТв.
212


бой волну частоты со, распространяющуюся в направлении оси г.
Нетрудно понять механизм ее распространения. Как отмечалось,
амбиполярное электрическое поле, пропорциональное gradn, сдви-
сдвинуто по фазе относительно возмущения концентрации на четверть
длины волны (см. рис. 7.5). Нагрев электронов и частота иониза-
ионизации растут с увеличением электрической силы еЕ. Соответственно
концентрация нарастает в области, где еЕ > еЕ0 и частота иониза-
ионизации больше частоты диффузии v* >> v?>, и убывает в области, в ко-
которой еЕ<.еЕ0 и v' < vD. Поскольку области максимального и
минимального поля в каждый данный момент смещены относитель-
относительно максимумов и минимумов концентрации, изменение концентра-
концентрации в них приводит к перемещению максимумов и минимумов, т. е.
к распределению волны ионизации (см. рис. 7.5).
Формула для инкремента нарастания неустойчивости 7 G.124)
при учете возмущения температуры отличается от G.112) наличи-
наличием дополнительного слагаемого, уменьшающего инкремент. Оно
связано с возмущением токового электрического поля Ej G.116).
Поскольку это возмущение находится в противофазе с возмущением
концентрации, оно приводит к уменьшению температуры элек-
электронов и частоты ионизации в области максимумов концентра-
концентрации и к увеличению их в области минимумов концентрации. Такие
изменения приводят к уменьшению исходного возмущения. Эффект
этот тем больше, чем больше длина волны возмущения, так как
с уменьшением длины волны электронная теплопроводность умень-
уменьшает возмущение температуры [как видно из G.124), последний
член пропорционален Ilk2].
Анализ выражения для у позволяет определить условия раскач-
раскачки ионизационной неустойчивости. Так как диффузионное слага-
слагаемое в 7 пропорционально k2, а температурное слагаемое обратно
пропорционально k2y максимум 7 получается при таком k, при ко-
котором эти слагаемые равны:
6 T* dvi \l/2 1 / 6 т* dvt У/2 G 126)
\
дТе) Л^Д * v;
Величина 7 при этом положительна, если ndvl/dn >
= 2v'A8*H, или
дп )\Ь vl дТе
G.127)
Неравенство G.127) показывает, что раскачка неустойчивости
возможна лишь при достаточно малом радиусе плазмы
В случае, когда неравенство G.127) выполняется с большим запа-
запасом, имеется широкая область значений k, в пределах которой воз-
возможна раскачка ионизационной неустойчивости. Со стороны боль-
больших k эта область ограничена неравенством G.114), учитывающим
213


влияние диффузионного расплывания возмущения. Со стороны
малых k она ограничена влиянием температурного возмущения.
В соответствии с G.124)
*LJ?^L G.128)
дп №Це дТе
или
ду1 \ I n ду1 \-1
/ дТе J\vl дп j
Максимальное значение инкремента определяется при этом первым
слагаемым в выражении для у [см. G.124)]:
«макс ^^ flOv /ОН, \l .*.?<))
Проведенный анализ позволяет определить условия устойчи-
устойчивости ионизационного баланса газоразрядной плазмы по отноше-
отношению к малым возмущениям. Он тснован на линеаризации уравне-
уравнений баланса, справедливой, пока возмущения параметров плазмы
много меньше их стационарных значений. В области парамет-
параметров, в которой ионизационное равновесие неустойчиво, нарастание
возмущений может привести к новому стационарному состоянию,
характеризующемуся значительным изменением параметров плаз-
плазмы. При рассмотрении таких изменений упрощения, связанные
с линеаризацией уравнений недопустимы и необходим значительно
более сложный нелинейный анализ. Не останавливаясь на нем,
отметим лишь, что развитие ионизационной неустойчивости может
привести к сильной продольной модуляции основных параметров
газоразрядной плазмы. В результате в плазменном столбе образу
ются стоячие или бегущие нелинейные волны, которые называют
стратами.
§ 7.8. Распад плазмы
Рассмотрим теперь с помощью уравнений баланса процесс рас-
распада (деионизации) плазмы, созданной в длинном цилиндрическом
баллоне под действием внешнего электрического поля или каких-
либо других источников ионизации. После их отключения темпе-
температура заряженных частиц уменьшается, так как потери энергии
не компенсируются внешними источниками. С уменьшением тем-
температуры резко падает эффективность ионизации, и в результате
процессов диффузии и рекомбинации начинает уменьшаться кон-
концентрация заряженных частиц (рис. 7.6). Плазму на атой стадии на-
называют распадающейся.
Для определения характеристик распада воспользуемся урав-
уравнениями баланса частиц и энергий. Как и в предыдущем парагра-
параграфе, будем считать, что основным механизмом устранения заряжен-
заряженных частиц является амбиполярная диффузия, а процессы перено-
переноса энергии электронами и ионами несущественны (т. е. справедли-
214


вы неравенства G.85), G.90). Уравнения баланса G.77), (f.86),
G.91) примут тогда вид
дп/di—D
dTe,dt=-%e
\ \*е ¦* а)»
G.130)
Ё первом из них опустили член v'n, полагая, что v* <^ Д4/Л2,
т. е; что при распаде ионизация практически не оказывает влияния
на баланс частиц. При не зависящих от скорости частотах столк-
столкновений vea, via и коэффициенте кеа решения уравнений баланса
энергий можно записать следующим образом:
( ^еа vea Ч \
G.131)
где Те0, Ti0 — температуры
электронов и ионов при t = 0.
Из формул G.131) видно, что
температуры электронов и ионов
после отключения внешних ис-
источников энергии изменяются
экспоненциально. В результате
столкновений с нейтральными
атомами их температуры в про-
процессе распада приближаются
(релаксируют) к температуре
нейтрального газа. Постоянные
времени спада температуры рав-
равны
п'
Тг =
xT.=2/via.
/
t
V
Рис. 7.6
G.132)
Время релаксации электронной температуры много, больше време-
времени релаксации температуры ионов (%те > т^). Это различие свя-
связано с малой эффективностью передачи энергии электронов при
столкновениях с атомами (кеа < 1, в то время как nia = 1/2).
В случае, когда величины vea, via, %ea зависят от температур,
закон релаксации, разумеется, отличается от экспоненциального.
Для электронов, например, при ие
баланса энергий принимает вид
Tse и
Та уравнение
dTe/dt=-~(xeaveaH(Te/Te0YTe.
Его решение приводит к следующей зависимости Te(t):
где (neavea)o — значение хеауеа при t « 0.
GЛЗЗ)
215


Перейдем теперь к решению уравнения баланса частиц. Для
цилиндрически-симметричной плазмы оно может быть записано
в виде
dn(r,t) 1 д \ dn(r,t)
где коэффициент диффузии Da = 2 (Те + Тг)/тгугау вообще гово-
говоря, является функцией времени.
Это линейное дифференциальное уравнение в частных произ-
производных называют иногда уравнением диффузии. Его решение хо-
хорошо известно. Частное решение уравнения имеет вид
Это решение удовлетворяет граничным условиям, т. е. обращается
в нуль при г = а, если ? является корнем бесселевой функции
/0(?) = 0. Поскольку число таких корней бесконечно, получает-
получается бесконечное число независимых решений. Общее решение мож-
можно представить в виде их линейной комбинации
y G.135)
Постоянные коэффициенты Ck определяются начальным распреде-
распределением концентраций
а
J I a)
В частности, если начальное распределение является диффузион-
диффузионным [см. G.94)] п = nojo (г/А) (где К = аЦх> Ъг = 2,405 — пер-
первый корень функции Бесселя), то в сумме G.135) остается только
один член.
Таким образом, диффузионное распределение, устанавливаю-
устанавливающееся в стационарном разряде, не изменяется в процессе распада
плазмы. Произвольное начальное распределение деформируется
в процессе распада. Действительно, показатели экспонент в сумме
G.135) зависят от номера k, поскольку Z>k растет сростом k. По-
Поэтому через достаточно большое время t> xD = A2/Da первый
член с наименьшим показателем окажется много больше осталь-
остальных и решение преобразуется следующим образом:
216


Эта формула отличается от G.135) только постоянным коэффици-
коэффициентом. Она показывает, что независимо от начального распределе-
распределения концентраций через время порядка %d установится диффузи-
диффузионное распределение концентраций, описываемое бесселевой функ-
функцией нулевого порядка.
В соответствии с полученными формулами уменьшение концен-
концентрации заряженных частиц в процессе распада плазмы определя-
определяется коэффициентом амбиполярной диффузии Da = 2 (Те +
+ Ti)/niiVia. Его зависимость от времени связана с временным
изменением электронной и ионной температур. Например, для слу-
случая, когда vea, via, кеа не зависят от скорости, можно использовать
для определения зависимости Da (/) формулы G.131). Обычно вре-
время диффузии заряженных частиц %& много больше времени релак-
релаксации электронной температуры %тв-
Время %те, в свою очередь, больше времени релаксации ионной
температуры G.132). Поэтому на первой стадии распада происхо-
происходит уменьшение температур электронов и ионов, а концентрация
остается практически неизменной. На следующей стадии (при
t ^> %те) температура заряженных частиц практически равна тем-
температуре нейтрального газа и происходит относительно медленное
уменьшение концентрации. На этой стадии коэффициент амбипо-
амбиполярной диффузии практически постоянен Da « iTa/mtvia. Подстав-
Подставляя его в G.135), G.136), получаем закон изменения концентрации.
На достаточно поздней стадии распада / > тя, когда устанавли-
устанавливается диффузионное распределение концентраций, этот закон ста-
становится экспоненциальным. С помощью G,136) получаем
л0 @ - п0 @) ехр (—D^/A2). G.137)
Постоянная времени распада плазмы на этой стадии равна времени
диффузии G.97)
хп = DAIA? = B3,2/а2)Га/т^а. G.138)
При условиях, когда наряду с диффузией существенно влияет
на распад плазмы квадратичная рекомбинация, уравнение баланса
частиц принимает вид
-$--DA±± (r-fLU-an-, G.139)
причем на поздней стадии распада можно считать коэффициенты
диффузии Da и рекомбинации а постоянными, соответствующими
ГГ* _ ГТ* __ /7
1 е 1 i — 1 а-
Можно показать, что уравнение G.139) при постоянных коэф-
коэффициентах Da и а имеет частное решение, при котором радиаль-
радиальное распределение концентрации в каждый данный момент близко
217


к радиальному распределению в стационарной плазме, определяе-
определяемому решением G.100). Это распределение зависит от отношения
диффузионной и рекомбинационной частот устранения v& =
= Da/А2 G.97) и vr = ап0 G.102) и в процессе распада переходит
от диффузионного распределения при V?>2^>vr к «уплощенному» при
vr > vd (см. рис. 7.4). Соответствующее такому решению изме-
изменение во времени максимальной концентрации п0 приближенно
описывается уравнением
дп0   Da 2
dt Л2 ° а
где коэффициенты р# и ра масштаба единицы зависят от отноше-
отношения V?>/vr. Решение этого уравнения имеет вид
DA Г / DA
+ апо (°)[! — ехР ^~Pd —?%
G.140)
При DJA2 > ап0 решение G.140) переходит в экспоненциальную
зависимость, характерную для диффузионного распада. При
сш0 ^> ?*л/Л2 уравнение баланса частиц можно записать следую-
следующим образом: dn/dt = —а/г2. Оно дает изменение концентрации
при рекомбинационном распаде плазмы
n(t) = п @)/A + а/г @)/), G.141)
или 1//г (/) = 1//г @) + а/.
Таким образом, изменение концентрации заряженных частиц
на поздней стадии распада плазмы характеризуется коэффициен-
коэффициентами амбиполярной диффузии и рекомбинации при температуре
заряженных частиц, близкой к температуре нейтрального газа. По-
Поэтому распад плазмы часто используют для измерения этих коэф-
коэффициентов.
§ 7.9. Направленное движение в сильноионизованной плазме
В сильноионизованной плазме необходимо учитывать не толь-
только столкновения заряженных частиц с нейтральными, но и их столк-
столкновения друг с другом. При этом квазистационарные уравнения
движения электронов и ионов можно записать в виде [см. F.62)]:
G.142)
Они справедливы для условий G.5), когда можно пренебречь изме-
изменением направленных скоростей за время между столкновениями.
В уравнениях G.142) Rap — сила трения, действующая на ча-
218


стицы а ё результате их столкновений с частицами $; в системе
отсчета, в которой направленная скорость нейтральных атомов
равна нулю,
13   IJ   4ЛЛ А) /1|  11 I I
«Vgj— *ме— —''*е ei \ е— i)* )
Величины Rap ~ gap grad Тар, где gl$ ж (Ta$/va$) dva$!dTa$,
представляют компоненты термосилы, действующей на частицы а
в результате их столкновений с частицами E, при этом в силу закона
сохранения импульса при столкновениях R^ = —RL
Определим численные значения эффективных частот столкно-
столкновений и коэффициентов gT, определяющих термосилу для случая,
когда частоты столкновений электронов и ионов с нейтральными
атомами не зависят от скорости и эти столкновения не дают вклада
в термосилу (vea = const; via = const; gjn = gjn = 0). Частоту
электрон-ионных столкновений [см. B,69)]
можно считать обратно пропорциональной кубу скорости электро-
электронов, пренебрегая вкладом ионов в относительную скорость и сла-
слабой зависимостью от скорости кулоновского логарифма. Для этого
случая столкновительный член, определяющий влияние электрон-
ионных столкновений на направленную скорость электронов при их
распределении, близком к максвелловскому, может быть найден
с помощью формул F.49), F.56), F.57) (в приближении восьми
моментов):
/ бие \ ___jne_< 2WU_U\,
\ Or J ei 61 e
W G.144)
1 qe
3 nTe
Те
ът\
где знак < > означает усреднение по максвелловскому распреде-
распределению электронов. Проводя это усреднение, получаем [см. E.116)]
ft%Q
us.
1
X \ vexp —
Те
ne*
X
\ 2Te j
¦Le\
ЬТ\
I/ ~V\1r
v 3X \ 1 e
5/2
X
9 -
G.145)
219


В G.144) входит тепловой поток электронов. ПодстаБЛйя его
значение, определяемое выражением G.160), учитывающим влия-
влияние электрон-ионных, электрон-электронных и электрон-атомных
столкновений, получаем
2 (vee+l,87vei)
Первое слагаемое этой формулы дает силу трения
Kieei(eiyi ei ei y
vea+l,87vei
второе слагаемое — термосилу
G.146)
* = -gT grad Te; gT = 4r ^~г— . G.147)
2 +l87
Как видно, эффективная частота электрон-ионных столкнове-
столкновений, определяющая силу трения, и коэффициент gT, определяю-
определяющий термосилу, завися! не только от vei, но и от v еа. В частности,
если vea > vei, то vei = veii gT = C/2) veihea << 1; при veL»
> vea и для полностью ионизованной плазмы v ei ж 0,52 v ei\
gr ^ 0,80. Более точные вычисления (соответствующие учету более
высоких моментов функции распределения) приводят к некоторо-
некоторому изменению численных коэффициентов. Для случая v ei > vea
они дают
Vat -0,51vlr, gT = 0,71. G.148)
Следует отметить, что в приведенных значениях vei и gT учи-
учитывается влияние электрон-электронных и электрон-ионных столк-
столкновений. Нетрудно понять механизм этого влияния. Сильная зави-
зависимость частоты электрон-ионных столкновений от скорости при-
приводит к тому, что основной вклад в направленную скорость вносят
быстрые электроны, частоты столкновений которых существенно
меньше, чем медленных. Поэтому эффективная частота столкнове-
столкновений значительно меньше средней (при учете одних электрон-ион-
электрон-ионных столкновений она равна 0,3ve*)- Электрон-электронные столк-
столкновения приводят к обмену энергией между быстрыми и медленны-
медленными частицами и поаому уменьшают этот эффект; уменьшение срав-
сравнимо с эффектом, так как vee = У2 vei. Дополнительное его умень-
уменьшение при vea $Г v ei связано с электрон-атомными столкновения-
столкновениями, которые при vea = const выравнивают вклад в направленную
скорость быстрых и медленных частиц. Термосила, как показано
в § 6.3, обусловлена зависимостью частоты столкновений от скоро-
скорости, т. е. тем, что электроны, движущиеся из области с более низ-
220


кой температурой, сталкиваются с ионами чаще, чем часФицы, дви-
движущиеся в обратном направлении. При наличии одних электрон-
ионных столкновений этот эффект приводит к коэффициенту
\gr\ ж | (T/v)dv/dT\ = 3/2 [см. G.41)]. Электрон-электронные и
электрон-атомные столкновения уменьшают эффект, так как из-за
связанного с ними изменения направления скорости происходит пе-
перемешивание частиц, движущихся вдоль и против градиента.
Таким образом, при независящих от скорости частотах столкно-
столкновений электронов и ионов с атомами уравнения движения G.142)
принимают вид
—еЕ -&ad(nTe)—gTgradTe—meveaue—
п
 - grad (nTt) + gT grad Te—\xia via u, —
tl
где частота столкновений vei и коэффициент gr определяются фор-
формулами G.146)—G.148). Здесь учтено, что столкновительные
члены, обусловленные электрон-ионными столкновениями, в элек-
электронном и ионном уравнениях равны по величине и противополож-
противоположны по знаку. Уравнения G.149) позволяют найти направленную
скорость заряженных частиц. Как и в случае слабоионизованной
плазмы, ее можно обычно представить как сумму амбиполярной
скорости и скорости, определяемой внешним электрическим полем.
Определим сначала направленную скорость, обусловленную полем.
Для этого положим в уравнениях grad n = gradTe = grad 7^ = 0.
Тогда, сложив их, получим соотношение между иеЕ и niE\
Ще •*= — (*nevJtiiayia) \хеЕ, G.150)
из которого следует, что И/# <^ иеЕ. Учтя это, найдем направлен-
направленную скорость электронов
иеЕ = —еЕ/тв (vea + vei). G.151)
С помощью G.151) запишем плотность тока и проводимость плаз-
плазмы
"* • G.152)
Выражение G.152) аналогично G.16) для проводимости слабо-
слабоионизованной плазмы. Различие состоит лишь в том, что в него вхо-
входит суммарная частота столкновений vea + vei. Для сильноиони-
зованной плазрды, в которой vei > vea, получим, учтя G.145) и
G.148):
a « 2пе2/теvei = C/2/2я) Т*/2/е2mj/2 Ьв. G.153)
221


Проводимость такой плазмы практически не зависит от концентра-
концентрации заряженных частиц. Нетрудно понять причину этой особеннос-
особенности. С одной стороны, проводимость пропорциональна числу носи-
носителей тока, т. е. концентрации электронов. С другой стороны, она
обратно пропорциональна концентраций ионов, столкновения
с которыми препятствуют ускорению электронов. Поскольку кон-
концентрации электронов и ионов равны, эти зависимости компенси-
компенсируют друг друга. То обстоятельство, что проводимость сильно-
ионизованной плазмы зависит только от электронной температуры,
позволяет использовать измерения проводимости для определения
температуры.
Найдем теперь амбиполярную составляющую направленной
скорости, полагая в уравнениях G.142) G.143) ие = щ = и^.
При этом сила трения, обусловленная столкновениями электронов
с ионами, обращается в нуль и уравнения принимают вид, ана-
аналогичный уравнениям движения в слабоионизованной плазме
[см. G.6)]. Складывая уравнения движения электронов и ионов,
получаем выражение для амбиполярной скорости, аналогичное
G.74):
ёШ[(Т+Т)] l GЛ54)
(Здесь учтено, что mevea < \iiavia.) Величину амбиполярного элек-
электрического поля найдем, составляя разность уравнений движения
G.142):
en
Поскольку формулы G.151), G.154), определяющие направленную
скорость заряженных частиц в сильиоионизованной плазме, анало-
аналогичны соответствующим формулам для слабоионизованной плаз-
плазмы, уравнения баланса частиц также аналогичны, и мы не будем
их здесь рассматривать.
Полученные выражения для направленной скорости перестают
быть справедливыми, когда длины свободного пробега заряженных
частиц относительно их столкновений с нейтральными атомами
сравнимы с характерными размерами плазмы или больше них*
В таких условиях движение заряженных частиц под действием
градиентов концентрации и температуры уже не носит диффузион-
диффузионного характера, их направленная скорость при наличии градиен-
градиентов может быть сравнима с тепловой. Переходя в уравнениях дви-
движения G.142) и G.143) к пределам v;a->0, vea->0 и складывая
их, находим, что градиент полного давления при этом должен быть
равен нулю:
grad [п (Те + Tt)] - 0; р - п (Те + Tt) = const.
222


Постоянство полного давления плазмы является условием при-
применимости уравнений G.142) для описания направленного движе-
движения в полностью ионизованной плазме. При отсутствии градиентов
ионного и электронного давления (grad (пТе) = grad (nTt) = 0)
еЕ + 0,71 gradTe = 0,51 mevei (ne — u*), G.156)
в котором мы использовали соотношения G.148) для v ei и gr.
Как видно, G.156) определяет лишь относительную скорость элек-
электронов и ионов. Для амбиполярного режима (ue= щ) равенство
G.156) дает напряженное!ь электрического поля, обеспечивающего
амби пол яр ность:
ЕА = — grad7\,= —gradTV G.157)
е е
Представляя в общем случае поле в виде суммы амбиполярного
поля и поля, создающего ток Еу, находим с помощью G.156) про-
проводимость полностью ионизованной плазмы в поле Е7-:
j = —пе Ые—щ) « 2——— Е,<;
mevei J G.158)
а « 2ne2lmevei.
Формула для проводимости совпадает с G.153).
§ 7.10. Перенос энергии в сильноионизованной плазме
Найдем теперь выражения для теплового потока электронов
в сильноионизованной плазме. Стационарное уравнение теплового
потока для случая, когда частота электрон-атомных столкновений
не зависит от скорости, можно получить, подставляя столкнови-
тельный член F.86) в F.80). Оно имеет вид
где первое слагаемое правой части учитывает электрон-атомные,
электрон-ионные и электрон-электронные столкновения. Уравне-
Уравнение G.159) определяет тепловой поток электронов
<\е = —Же grad7\ + gTnTe (ue — u,), G.160)
где
[в силу соотношений симметрии кинетических коэффициентов ко-
коэффициент gx совпадает с коэффициентом, входящим в выражение
термосилы G.147)]. Полученное выражение отличается от соответ-
соответствующей формулы для слабоионизованной плазмы [см. G.24)] за-


меной частоты столкновений v ea на суммарную частоту v еа +
4- l,87vej в коэффициенте теплопроводности и появлением слага-
слагаемого пропорционального направленной скорости (оно связано
с зависимостью частоты столкновений vjz- от скорости). При дос-
достаточно высокой степени ионизации, когда vei > vea, коэффициент
теплопроводности приобретает вид
5 пТе 15 SqTe
* 8 (
где gq = 0,54. Коэффициент теплопроводности при этом сильно за.
висит от электронной температуры (~7^/2) и практически не зависит
от концентрации [как и в формуле G.153) для проводимости отсут-
отсутствие такой зависимости связано с тем, что частота электрон-ион-
электрон-ионных столкновений vei пропорциональна концентрации].
Более точное вычисление, соответствующее учету высших мо-
менюв функции распределения, приводит к значительному изме-
изменению численных коэффициентов, входящих в G.160) и G.161). Для
полностью ионизованной плазмы оно дает коэффициент gq — 1,22.
Отметим, что это значение получается при учете как электрон-ион-
электрон-ионных, так и электрон-электронных столкновений. При учете одних
электрон-ионных столкновений коэффициент gq много больше
(gq = 5). Большое значение электронной теплопроводности при
этом связано с тем, что быстрые электроны, сталкиваясь с ионами
реже медленных, осуществляют основной перенос энергии. Элек-
Электрон-электронные столкновения существенно уменьшают различие
между вкладом быстрых и медленных электронов в перенос, так
как приводят к эффективному обмену энергией между ними.
Тепловой поток ионов и атомов определяется уравнениями
F.80) со столкновительными членами F.87), F.88). Приведем здесь
выражение для теплового потока ионов в плазме с высокой степенью
ионизации, в которой частота ион-ионных столкновений много
больше частоты столкновений ионов с атомами vit > via. При
этом столкновительный член уравнения теплового потока ионов оп-
определяется практически одними ион-ионными столкновениями
(взаимодействие ионов с электронами играет гораздо меньшую роль
из-за малой массы электронов), соответственно тепловой поток ра-
равен
;= - Хг grad Т„ ЯГ, = ± gt
2 q
8
G-162)
Использование столкновительного члена F.85) в уравнении тепло-
теплового потока F.80) приводит к gqi = 1,25. Более точное вычисление
дает gQi = 1,56. Заметим, что коэффициент ионной теплопровод-
224


ности G.162) при близких температурах Те и Тг много меньше
электронного G.161):
Ж%1Х% « (Тг1Т^ъ12 (mjnii)*!*. G.163)
Полученные выражения для тепловых потоков позволяют кон-
конкретизировать уравнения баланса средних энергий заряженных
частиц в сильноионизованной плазме. При достаточно высокой сте-
степени ионизации, когда vei > vea и v^ > via, эти уравнения по-
получаются в результате подстановки G.161), G.162) в F.79). В отсут-
отсутствие внешнего электрического поля (при ие = ii; = 0) они при-
приобретают вид
п —-=
dt 3 \mevei
dt
G.164)
где учтено, что коэффициент передачи энергии при столкновениях
ионов и атомов кеа = 1/2, поскольку т% = та\ коэффициент пере-
передачи энергии при упругих столкновениях электронов с ионами
%ei = 2mjmt\ в принципе коэффициент %ei может учитывать так-
также и влияние неупругих потерь энергии электронов. Первое слага-
слагаемое в правой части уравнений описывает теплоперенос. Второе
слагаемое определяет обмен энергией между электронами и иона-
ионами. Третье слагаемое в правой части ионного уравнения определя-
определяет потери энергии при столкновениях ионов с нейтральными части-
частицами, они могут быть существенными даже в сильноионизованной
плазме, поскольку ща = 1/2, в то время как %ia = 2те1тг < 1.
Для оценки относительной роли различных слагаемых-можно
ввести характерные времена, определяющие эффективность соот-
соответствующих процессов %щ = Та (dTJdfjq1: времена теплопере-
носа электронов и ионов
/8. пЦ mtva г 2
iq !нГ ~тГ
здесь Ьт ж [у- grad Т) J и времена обмена энергией
тТ- /^/ 1 Ы . лГ • rT ~ 9/л? G \f\(K\
Для полностью ионизованной плазмы, складывая уравнения
G.164), можно определить суммарное уравнение теплопереноса.
Пренебрегая в нем ионной теплопроводностью, поскольку Жг <^
< Л'в G.163), и полагая, что неупругие потери энергии элект-
8 Зак. 1227 225


ронов несущественны, т. е. что ке1 = кге = 2mjmiy получаем
n "V'T'v JLg Hiv -^-gradTe =0. G.167)
dt 3
Соотношение между электронлой и ионной температурой зависит
при этом от эффективности обмена энергией между электронами и
ионами. При относительно высокой эффективности, когда %и <
< %eqy можно считать, что Те == 7V В противоположном слу-
случае соотношение зависит от начальных и граничных условий и мо-
может быть определено с помощью электронного уравнения балан-
баланса энергии.
§ 7.11. Эффект «убегания» электронов
В сильноионизованной плазме, в которой частота столкновений
электронов с ионами много больше частоты их столкновений с ней-
нейтральными атомами (vei ^> veo), длина свободного пробега элект-
электронов быстро растет при увеличении энергии. При этом в достаточ-
достаточно сильном электрическом поле, в котором электроны между стол-
столкновениями набирают энергию сравнимую с хаотической, они мо-
могут перейти в режим непрерывного ускорения. Такой переход на*
зывают эффектом «убегания», или «просвиста», электронов (они
как бы убегают от столкновений).
Оценку условий перехода электронов в режим убегания мож-
можно сделать с помощью усредненного уравнения движения электро-
электронов в электрическом поле. В соответствии с ним стационарную ве-
величину направленной скорости можно найти, приравнивая элек-
электрическую силу и силу трения, обусловленную электрон-ионными
столкновениями:
еЕ = Rei = —me<vei (o)v > , G.168)
где
^-If^P-5- <7Л69)
(здесь v — относительная скорость, практически равная скорос-
скорости электронов; знак < > означает усреднение по скоростям). Для
слабого электрического поля, в котором направленная скорость
электронов много меньше хаотической (u<^w), усреднение приво-
приводит к формуле, соответствующей G.146):
^K/2ue; G.170)
при этом сила трения Rei линейно растет с увеличением пе.
Для сильного поля, в котором энергия, набираемая электрона-
электронами между столкновениями, значительно больше тепловой (ие ^>
^>w), vtttie и частота столкновений практически не зависит
22G


от велйчййы хаотической скорости. Ё этом случае сила трений
Rei = —mevievei (ue) ^ — $тепи/и3 G.171)
обратно пропорциональна квадрату направленной скорости. Та-
Таким образом, зависимость 7? ег- от и е представляет кривую с мак-
максимумом при и ж w. Для ее приближенных оценок можно пользо-
пользоваться форхмулой, справедливой с точностью до численного множи-
множителя порядка единицы
v} = 3TJme. G.172)
Более точное вычисление Rei- при u ^w может быть проведено
усреднением G.168) по функции распределения. Результат усредне-
усреднения, проведенного в предположении, что распределение по хаотичес-
хаотическим скоростям — максвелловс-
кое, представлен на рис. 7.7. Из
соотношения G.172) видно, что
максимальное значение силы
трения при u
равно
4 u/w
0J5ml/2Tl/2vei. G.173)
Рис. 7.7
При | еЕ | > Ямакс сила трения не может уравновесить электри-
электрическую силу ни при каком значении направленной скорости. При
этом под действием электрического поля электроны перейдут в ре-
режим непрерывного ускорения. Критическая напряженность поля,
определяющая границу такого перехода, равна*
?c*0,2^L,*0,2-^-. G.174)
Нетрудно убедиться, что средняя энергия, набираемая электрона-
электронами в таком поле на длине свободного пробега порядка тепловой"
энергии
Wx = eEc%ei « (eE/vei) У*Те/те « Те.
Хотя критическое поле G.174) при типичных параметрах плаз-
плазмы невелико, такое поле обычно трудно создать в полностью иони-
ионизованной плазме, обладающей высокой проводимостью. Однако и
при меньших напряженностях поля возможно «частичное убегание»
электронов, т. е. переход в режим ускорения быстрых электронов,
для которых частота столкновений, определяющая трение, меньше,
чем для основной массы.
* Условие G.174) называют иногда критерием Дрейсера.
8*
?27


Рассмотрим, например, группу электронов, движущихся ёдоль
направления внешней электрической силы с близкими скоростями,
существенно превышающими тепловые (vp ^> vt6)- Сила трения,
действующая на эти электроны, обусловлена их столкновениями
с ионами и с основной массой электронов. Ее нетрудно оценить,
полагая, что относительная скорость при столкновениях равна
скорости частиц выделенной группы:
R Ы - Rei Ы + Ree Ы « Ы ^ Ы Vp + Ji« V*M (Vp) Vp. G.175}
В такой оценке не учитываются столкновения с электронами,
имеющими скорость, большую, чем vpy однако число таких элек-
электронов при vp ^> vre невелико. Электроны выделенной группы пе-
перейдут в режим ускорения, если действующая на них электричес-
электрическая сила больше силы трения. Используя выражения B.69) для
частот столкновений электронов, запишем это условие в виде
eE>mevp [Ч* (i;p)+-L Vft? (up)J « ^f2 Len9
где учтено, что \iei ж те\ \лее = те/2. При заданном электри-
электрическом поле оно определяет скорость, начиная с которой электро-
электроны, движущиеся в направлении поля, переходят в режим ускоре-
ускорения
> \2nnezLJETe « \bEJE G.176)
(здесь Ес — критическая напряженность [см. G.174)]. Таким об-
образом, при Е < Ес основная масса электронов в электрическом по-
поле движется с квазистационарной направленной скоростью, а в ре-
режим убегания попадают электроны из «хвоста» функции распреде-
распределения. В этой области пространства скоростей функция распреде-
распределения уже не является равновесной. Со временем электроны при-
приобретают все большую энергию и функция распределения «вытяги-
«вытягивается» вдоль оси в направлении действия электрической силы. Та-
Такой процесс приводит к уменьшению функции распределения по
сравнению с равновесной вблизи границы убегания. В результате
возникает избыточный диффузионный поток электронов к границе
убегания, вызванный в основном электрон-электронными соударе-
соударениями, из области малых (тепловых) скоростей. Если бы не было
препятствий неограниченному ускорению, то постепенно в режим
убегания попали бы все электроны плазмы. Однако в реальных ус-
условиях существует ряд ограничений, препятствующих ускорению.
Прежде Есего время ускорения ограничено из-за ухода быстрых'
электронов из объема плазмы. Далее, в неполностью ионизованной
плазме ускорение ограничивается столкновениями электронов
с нейтральными частицами. При наличии сложных ионов возника-
возникает ограничение, связанное с тем, что потенциал иона на малом рас-
расстоянии существенно отличается от кулоновского и частота столк-
столкновений при больших скоростях перестает уменьшаться. Еще од-
228


ной причиной, препятствующей ускорению, может быть излучение
электронов при движении в плазме («радиационное трение»). На-
Наконец, следует упомянуть о возможной раскачке кинетических не-
устойчивостей при прохождении быстрых электронов через плаз-
плазму.
Рис. 7.8
Обсудим лишь ограничение ускорения, связанное со столкно-
столкновениями электронов с нейтральными частицами. При их учете сила
трения, действующая на электронный газ в целом, равна
где приняли, что ven не зависит от скорости. Для группы быстрых
электронов, движущихся в направлении Е с выделенной скоростью
уру получим силу трения, добавляя Rea к G.175):
R (vp) = Rei + Ree + Rea = \2nne^LJmevl + mevenvp. G.178)
Зависимость величий R от и и vp иллюстрируется рис. 7.8. Как
видно, кривые R (и) при u>vt и R (vp) имеют минимум. Мини-
229


мум % (vp) соответствует vea =¦¦ 2 (vei + vee) и равен
При электрических полях, при которых ускоряющая электро-
электроны сила меньше минимальной силы трения еЕ < #Мин fap)> убега-
убегание электронов, очевидно, невозможно. Величину порогового по-
поля, характеризующего границу убегания при vea<^vei, можно
найти из соотношения
ВД> = #мин Ы/#макс « 4 (veafVeiJ/\ G.179)
При полях меньших Et стационарное распределение электронов
по скоростям может быть близким к максвелловскому. При боль-
больших полях Et<? Е <С Ес имеется область скоростей, в пределах
которой электроны должны увлекаться в режим ускорения (см.
рис. 7.8). Эта область, однако, ограничена со стороны больших ско-
скоростей условием равенства электрической силы силе трения о ней-
тр альные частицы
Вблизи границы области ускорения, при v ^ и, должно происходить
накопление электронов, при этом должен образовываться макси-
максимум функции распределения, ширина которого зависит от соотно-
соотношения между ускорением электронов в электрическом поле и диф-
диффузией в пространстве скоростей, обусловленной электрон-элект-
электрон-электронными столкновениями. При Е > Ес, когда основная масса
электронов переходит в режим ускорения, все распределение долж-
должно сместиться в область скоростей, в которой электрическая сила
уравновешивается трением электронов о нейтральный газ.
Остановимся еще на одной особенности поведения сильноиони-
зованной плазмы в электрическом поле, называемой иногда «убега-
нием энергии» электронов. Оно может происходить в условиях, ког-
когда основным механизмом потерь энергии электронов является их
охлаждение при столкновениях с ионами. Стационарное уравнение
баланса энергии электронов F.79) в этом случае сводится к равенству
энергии, приобретаемой электронами в электрическом поле Ре,
и энергии, теряемой ими при столкновениях с ионами Pei:
tlVeiiTe-Ti). G.180)
^У Pei^KeitlVeiiTeTi)
те vei 2
Учитывая, что vei (Te) ~ 773/2, приведем уравнение баланса энер-
энергии к виду
±<2(%)-{%-1). «7.18.»
Нетрудно убедиться, что зависимость правой части равенства от Те
при nei = const имеет максимум при Те = 1,57V Очевидно, ста-
230


ционарное электрическое поле в рассматриваемом случае не может
превосходить величину, соответствующую этому максимуму
Е = 0,4
0,53
Ec (Г,),
где Ес (Тг) —критическое поле при Те = 77 (см. G.154)). Зависи-
Зависимость Те (?), определяемую равенством G.181), иллюстрирует
рис. 7.9. Как видно, постепенное увеличение напряженности поля Е
от нуля до Ес приводит к увеличению стационарной электронной
температуры от 77 до 1,5 77. При
дальнейшем увеличении поля ста-
стационарное решение уравнения ба-
баланса энергий отсутствует. Это
означает, что энергия, набираемая
электронами в электрическом поле,
превышает потери энергии при
столкновениях и электронная тем-
температура нарастает со временем.
Рост температуры приводит к даль-
дальнейшему падению частоты столк-
столкновений Те и нарастанию «разба-
«разбаланса». Таким образом поле Е
дает границу перехода в режим
нарастающего нагрева (убегания
энергии).
В реальных условиях эффект
убегания энергии ограничен дру-
другими механизмами потерь. В не
полностью ионизованной плазме
могут быть существенными поте-
потери, связанные со столкновениями
электронов с нейтральными частицами. Их учет сводится к добав-
добавлению в правой части уравнения баланса G.180) величины Реа =
= C/2) хеа nvea(Te — Ta). При xeeveaG7X*elveiG7) эти потери
относительно невелики в области температур Te~Tt. Однако
с возрастанием температуры при Те^> 77 они становятся преоб-
преобладающими, так как vei ~ 1/Ге3/2, в то время как vea~ const.
Соответственно на кривой Е (Те) после максимума появляется расту-
растущая ветвь, определяемая электрон-атомными столкновениями
(см. рис. 7.9). Ее положение можно найти из условия баланса
Рис. 7.9
>еа> Tt
G.183)
В этом случае, как видно из рис. 7.9, увеличение электрического
поля от нуля до Ek, приводящее к переходу в режим нестационар-
нестационарного нагрева, оканчивается «перескоком» в область Те^> 77. За-
Заметим, что обратный «перескок» при уменьшении поля происхо-
происходит при меньшем значении поля, чем прямой, т. е. имеет место свое-
своеобразный гистерезис нагрева*
231


Другое существенное ограничение эффекта убегания энергии
может быть связано с теплопроводностью плазмы, так как коэф-
коэффициент теплопроводности быстро растет при увеличении электрон-
электронной температуры Cf? e ~ Тъе12. Количественное рассмотрение этого
ограничения требует решения нелинейного уравнения баланса, и
мы ограничимся здесь лишь грубой оценкой. Ее можно получить,
приравнивая величину энергии, набираемой электронами в поле
Ре GЛ80), средним потерям энергии, связанным с теплопровод-
теплопроводностью:
pq = div {Жт grad Te) * XBTJL\ « пТУтр М%
где LT = l(VTe) grad TJ. В результате оценки находим темпе-
температуру в электрическом поле при условиях, когда теплопровод-
теплопроводность является основным источником потерь:
G.184)


ГЛАВА 8
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ПЛАЗМЫ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 8.1. Некоторые сведения о статических магнитных полях
Влияние магнитного поля на движение заряженных частиц
зависит от его пространственного распределения. Поэтому прежде
всего рассмотрим некоторые величины, характеризующие простран-
пространственные свойства магнитного поля.
Как известно, распределение напряженности статического
магнитного поля Н (г) описывается уравнениями
rotH=— j, (8.1)
с
div Н = 0. (8.2)
При заданном распределении тока и граничных условиях эти урав-
уравнения однозначно определяют поле Н (г). Изменение поля в про-
пространстве можно характеризовать векторной производной Н, кото-
которая* представляет собой тензор. В декартовой системе координат
он имеет вид
dHJdx, dHjdy, dHJdz
дВу/дху дНу/ду, дНу/дг
dHJdx, dHJdy, dHJdz
(8.3)
Компоненты тензора связаны между собой уравнениями (8.1), (8.2).
В частности, сумма диагональных членов, равная div H, очевидно,
равна нулю. В областях свободных от токов rot H = 0 и
dHyldx = dHJdy; dHJdz = dHJdx; dHJdy = dHJdz.
Для описания пространственного поведения Н часто пользуют-
пользуются понятием силовой линии. Магнитной силовой линией называется
некоторая воображаемая пространственная кривая, в каждой точке
которой направление касательной совпадает с направлением Н.
Уравнение силовой линии может быть записано, исходя из того,
что каждый элемент линии d I параллелен полю Н:
dlJHx - dlJHy = dljHz. (8.4)
Число силовых линий, пересекающих единичную площадку, нор-
нормальную к вектору Н, выбирается пропорциональным величине
233


Напряженности. Поскольку ё соответствии с определением сиЛоЁыё
линии могут быть проведены через любую точку пространства, то
их «густота» является понятием условным.
Из уравнения (8.2) следует, что поток вектора Н
Ф= lHndS (8.5)
через любую замкнутую поверхность равен нулю. Действительно,
используя теорему Гаусса, найдем
J divHdV = J HndS = 0. (8.6)
(V) (S)
Условие (8.6) также означает, что в пространстве отсутствуют точ-
точки, в которых начинаются или оканчиваются силовые линии, т. е.
количество входящих в любой объем и выходящих из него линий
одинаково. Таким образом, силовая линия или замкнута, или
имеет бесконечную протяженность. При анализе конфигураций маг-
магнитного поля в конечном объеме можно представить себе два типа
силовых линий. Во-первых, линии, пересекающие поверхность рас-
рассматриваемого объема. Конфигурации, образованные такими ли-
линиями, часто называют открытыми. Длина линии в объеме может
быть различной (в частности, она может стремиться к бесконечно-
бесконечности), Во-вторых, силовые линии, не выходящие из объема. Так же
как и в первом случае, их длина может быть значительно больше
характерных размеров объема (и в пределе стремиться к бесконеч-
бесконечности). Иными словами, силовая линия может представлять собой
сложную, но не пересекающую саму себя замкнутую пространст-
пространственную кривую. Если Силовые линии, находящиеся внутри объема
не пересекают его поверхность, то говорят о замкнутых магнитных
конфигурациях.
Рассмотрим небольшую площадку, которую пересекает набор
силовых линий. Будем перемещать ее вдоль силовых линий, дефор-
деформируя ее таким образом, чтобы внутри контура, ограничивающего
эту площадку, все время оставались одни и те же силовые линии.
В результате такого перемещения получим пространственную фигу-
фигуру, которую называют магнитной силовой трубкой. Очевидно, по-
поверхность трубки образуется совокупностью граничных силовых
линий, а полный поток внутри трубки сохраняется 6Ф = Г HndS =
<6S)
= const. Так же как и силовые линии, магнитные трубки могут
быть замкнутыми и незамкнутыми. Из приведенных определений
следует, что силовая линия является по существу пределом, к кото-
которому стремится силовая трубка при уменьшении площади ее попе-
поперечного сечения до нуля. Важная характеристика при анализе
устойчивости плазмы в магнитном поле — удельный объем маг-
магнитной силовой трубки (Уф), под которым понимается отношение
геометрического объема трубки 8V к магнитному потоку 6Ф. Величи-
234


на 8V определяется криволинейным интегралом 8V = 18S dl, взя-
взятым вдоль оси трубки. Так как
6Ф = H8S = const, то 8V = \{HbSIH)dl = 6Ф (dllH)
(О
(8.7)
Если силовые линии замкнуты, то интеграл берется вдоль всей дли-
длины трубки. В противоположном случае пределы интегрирования
выбираются из конкретных условий задачи.
Если силовая линия не уходит в бесконечность и не замыкается
сама на себя, то в некоторых условиях в пространстве могут иметь
место участки поверхности, все
множество точек которых обра-
образовано из элементов рассматри-
рассматриваемой] силовой линии. Иными
словами, в пределах этих участ-
участков любые две точки лежат на
одной и той же силовой линии.
Участки могут замыкаться меж-
между собой, и тогда силовая линия
непрерывным образом заполняет
поверхность некоторого замкну-
замкнутого объема. В таких случаях
говорят о магнитных поверх-
поверхностях.
Проследим образование маг-
магнитных поверхностей на примере
полей тороидальной геометрии. Пусть магнитное поле в каждой
точке имеет две составляющие: Не и Нф (рис. 8.1). Поле Не может
быть создано или с помощью тороидальной катушки, или линей-
линейным током Iz. Компоненту #ф легко создать, пропуская ток /в по
круговому контуру. Силовая линия поля Н = Н0 + Нф представ-
представляет собой винтовую линию, навивающуюся на тороидальную по-
поверхность. Для описания таких силовых линий вводят понятие угла
вращательного преобразования а|), равного dyldl®. Если d<p/dl& не
зависит от в, то эта величина по существу определяет шаг, с кото-
которым винтовая линия накручивается на тороидальную поверхность.
Из уравнения силовой линии следует, что dlQ/He = ^/Ф/Яф =
й/Я Поэтому
Рис. 8.1
=5 d(p/dle =
(8.8)
Прд полном обходе по в след силовой линии сместится по сече-
сечению тора на некоторый угол бф (рис. 8.2). Очевидно, что если бф/2я—
иррациональное число, то силовая линия за любое конечное число
оборотов не вернется в исходную точку и при бесконечном числе
обходов заполнит всю поверхность тора. Каждая силовая линия
235


образует свою магнитную поверхность. Полная магнитная конфигу-
конфигурация в рассмотренном примере представляет систему магнитных
поверхностей в виде вложенных друг в друга торов (рис. 8.3). В
том случае, когда бф/2я равно рациональному числу т/п, то через
п обходов силовая линия замкнется и магнитная поверхность не
образуется.
Отметим, что такие характеристики магнитного поля, как сило-
силовая линия, силовая трубка, магнитная поверхность, в отличие от
напряженности поля Н, не являются локальными. Их характер
Рис. 8.2
может существенно меняться даже при малых возмущениях магнит-
магнитного поля. В поле тороидальной геометрии, например, при Яф = О
силовые линии представляют собой замкнутые концентрические
окружности. Возникновение даже очень маленького поля Яф при-
приводит к тому, что силовая линия становится винтовой и ее длина
может вырасти до бесконечности (образуется магнитная поверх-
поверхность). Очевидно, магнитные поверхности являются еще менее
устойчивыми по отношению к возмущениям.
Рассмотрим взаимосвязь между поведением силовых линий в
окрестностях некоторой точки и компонентами тензора производ-
производной поля (8.3). Выберем систему координат таким образом, чтобы
в рассматриваемой точке поле было направлено по оси z (Н = #z0).
Пусть в тензоре (8.3) не равны нулк? только производные дНг/дх,
dHJdy. Из (8.1) следует, что это возможно лишь при наличии токов
в объеме. Тогда силовые линии будут параллельными друг другу
прямыми, плотность которых изменяется в направлениях ху у
(рис. 8.4). Компонента тензора dHJdz может быть отлична от нуля
лишь одновременно с другими диагональными членами [см. (8.2)].
При этом силовые линии вблизи рассматриваемой точки не парал-
параллельны другу друг, так как по крайней мере одна из производных
дНх/дх, дНу/ду не должна быть равна нулю. На рис. 8.5 изображены
силовые линии при dHJdz < 0 и dHJdx > 0* Если дНу1ду = 0 и
236


dHJdx = —dHJdz, то конфигурация магнитного поля не зависит
от у (плоский случай). В случае цилиндрической симметрии,
рис. 8.5 следует рассматривать как сечение пространственной кон-
конфигурации, симметричной отно-
относительно оси z (расходящийся
пучок силовых линий).
При dHJdz = 0и дНу/ду =
= —dHJdx Ф 0 силовые линии
вблизи рассматриваемой точки
не только не параллельны, но
h
 э*~
Рис. 8,3
Рис. 8.4
и лежат в различных плоскостях. Сечения силовой трубки при
разных значениях г и проекция силовых линий на плоскость ху для
этого случая изображены на рис. 8.6.
Рис. 8.5
Слагаемые dHJdz, dHJdz описывают искривление силовых ли-
линий. Чтобы убедиться в этом, напомним прежде всего известные
понятия, характеризующие пространственную конфигурацию кри-
кривой. Направление пространственной кривой в данной точке задает-
задается единичным вектором касательной. Для силовых линий магнит-
магнитного поля он, очевидно, равен 1Л/Н = h. Соответственно изменение
направления кривой в пространстве при переходе вдоль кривой от
237


точки / к точке 2 определится величиной Ah (рис. 8.7). Вектор Ah
можно записать в виде Ah = A/ (dhldl). Отсюда следует, что ис-
искривление линии задается величиной dh/dl, которая называется кри-
кривизной и является производной вектора h по направлению. Эту
Рис. 8.6
производную можно записать в форме dhldt = (h grad) h, так как
оператор (h grad) определяет приращения вдоль касательной к
кривой (/).
Для характеристики искривления пространственной кривой
вводят также понятие радиуса кривизны R. Направление вектора R
совпадает с направлением главной нор-
нормали, которая, в свою очередь, опреде-
определяется направлением dh. Его длина за-
задается точкой пересечения (центром кри-
кривизны) двух главных нормалей, прове-
проведенных в точках /, 2 при стремлении
А/12 к нулю. Геометрический смысл ра-
радиуса кривизны в том, что в пределе
А/ -> 0 отрезок любой кривой можно за-
заменить отрезком окружности с ради-
радиусом равным R с центром, лежащим в
центре кривизны. Из рис. 8.7 нетрудно
установить связь между кривизной и
радиусом кривизны
Рис-8'7
Разделив обе части равенства на А/, получим
lim-
д/->о
[ARI
А/
dh
dl
или в векторной форме
R / Н Л П
- — (-grad)-.
(8.9)
238


Используя (?.9), вернемся к анализу характера силовых линий
в локальной системе координат, где Н = #z0. В этой системе
JR
/г*
дг \Н
х
дНх
дг
1 дП
Н дг
дНу
дг
#2
(8.10)
Таким образом, действительно, производные dHJdz и dHyldz одно-
однозначно определяют радиус кривизны линий в рассматриваемой
точке.
Часто встречается случай,
когда данная силовая линия
есть плоская кривая, а токи в
рассматриваемой точке отсутст-
отсутствуют. Тогда радиус кривизны
обратно пропорционален произ-
производной от напряженности маг-
магнитного поля вдоль направле-
направления радиуса кривизны. Действи-
Действительно, выберем систему коор-
координат так, чтобы ось х была на-
направлена вдоль R. Тогда
(8.9) приобретает вид 1/R =
= {\IH)dHJdz. Из условия
rot Н=0 имеем dHJdx -dHx/dz=
= 0 и, следовательно,
VR = {\1Н)дНг1дх. (8.11)
У1
/
/
/
'3, /
» /
/
/ ,
/ г-
Рис. 8.8
В заключение рассмотрим
особенности магнитных конфи-
конфигураций, связанные с компонен-
компонентами dHJdy, dHyldz. Предполо-
Предположим, что отлична от нуля, на-
например, производная dHJdy.
Тогда в каждой плоскости у = const силовые линии являются
прямыми, причем их направление различно зависит от координа-
координаты у (рис. 8.8). Такая перекрещенность, скрученность силовых
линий относительно близлежащих поверхностей называется ти-
тиром. Количественной характеристикой шира в рассмотренном при-
примере может быть величина, определяющая скорости изменения на-
направления поля Н вдоль оси у
da/dy = {\IHz)dHJdy.
Понятие «шир» особенно часто употребляется для тороидальных
магнитных конфигураций, в которых направление силовых ли-
линий характеризуется углом вращательного преобразования г|)
239


(см. рис.8.2).Наличие шира означает, что этот угол и соответственно
шаг силовых линий неодинаков для разных г (различных магнит-
магнитных поверхностей). Поэтому шир здесь задают величиной
dr dr
§ 8.2. Движение заряженных частиц
z в однородном магнитном пале
Прежде чем описывать поведение плазмы в магнитном поле,
рассмотрим движение отдельных заряженных частиц в поле задан-
заданных сил. Начнем с простейшего случая движения частиц в однород-
однородном постоянном магнитном поле. В этом случае на частицы дейст-
действует только сила Лоренца
р. —. Ze rv v HI (R \*\\
I L — ? V /\ 1IJ 1ОЛ01
С
(зарядовое число Z будем, как и ранее, полагать равным +1 для
ионов и —1 для электронов). Уравнение движения частицы под дей-
действием силы Лоренца имеет вид*
mil = iL[vxH]. (8.14)
dt с
Оно определяет два независимых интеграла движения. Первый по-
получается в результате проектирования уравнения на магнитном
поле. Поскольку проекция Fl на Н равна нулю, компонента ско-
скорости, параллельная магнитному полю (v\\), остается постоянной
dv\\/dt = 0; V|| = const. (8.15)
Далее, поскольку лоренцева сила перпендикулярна скорости
(FlJ_v), она не приводит к изменению энергии частицы. Умно-
Умножая (8.14) скалярно на v, получаем
d ( то2 \ л Гг mv% , /о т\
-п[—) = °; ^^-y-^const. (8.16)
Таким образом, в процессе движения остаются постоянными полная
скорость частицы v, ее проекция на направление магнитного поля vj|
и ее проекция на плоскость перпендикулярную полю vx =
Определяемая уравнением (8.14) траектория движения частицы
в плоскости перпендикулярной полю есть, очевидно, окружность.
Ее радиус р# можно найти, приравнивая лоренцеву и центробеж-
центробежную силы:
(e/c)v±H = mv2±/pH.
* Мы не рассматриваем здесь релятивистские эффекты, полагая, что
скорость частицы много меньше скорости света (v С с).
240


Отсюда
Ря = vJg>h\
со я = еН/тс.
(8.17)
(8.18)
Величина соя является, очевидно, угловой скоростью вращения
частицы по окружности. Направление вращения определяется ус-
условием, чтобы лоренцева сила была центростремительной. Оно
зависит от знака заряда частицы: при положительном заряде части-
частица вращается по часовой стрелке, при отрицательном — против
(если смотреть в направлении поля). Окружность, представляющую
Рис. 8.9
собой проекцию траектории на плоскость перпендикулярную полю
называют ларморовской, ее радиус ря — ларморовским радиусом,
угловую скорость (Он — циклотронной, или ларморовской, частотой.
Приведем здесь численные выражения величин соя и рн для элек-
электронов
4,7-10'Я, ря*~3,51/Х:/#;
для ионов водорода (протонов)
где'Ъ — в сек, ря — в см, Н — в э, К± = т±/2 — в вв.
При анализе взаимодействия заряженных частиц с магнитным
полем удобно рассматривать ларморовскую окружность, как виток
с током (рис. 8.9). При этом предполагается усреднение за времена
много большие периода обращения частицы (Тн = 2я/о>я). Величи-
Величина среднего тока по ларморовской окружности равна, очевидно,
заряду, переносимому в единицу времени через площадку Q, пер-
перпендикулярную траектории, т. е. отношению заряда частицы к пе-
периоду обращения:
(8.19)
241


Ёиток с током можно Характеризовать магнитным моментом. Как
известно, магнитный момент тока равен
(здесь S = яр?, — площадь ларморовского кружка). Подставляя
сюда выражения для ря и соя [см. (8.17), (8.18)], получаем
[х = nw2j2H = KJH, (8.20)
или в векторной форме jx = —{Кн1Н)Ъу так как для частицы любого
знака направление магнитного момента противоположно направ-
направлению внешнего магнитного поля. Таким образом, внутри лармо-
ларморовского кружка магнитное поле тока вычитается из внешнего по-
поля #0, вне кружка — склады-
складывается. Это означает, что лармо-
ровский виток обладает диамаг-
диамагнитными свойствами.
Итак, траектория движения
заряженной частицы в однород-
однородном постоянном магнитном поле
представляет собой винтовую
линию, складывающуюся из рав-
равномерного движения частицы
вдоль поля и равномерного вра-
вращения по ларморовской окруж-
окружности в плоскости перпендику-
перпендикулярной полю (рис. 8.10). Ра-
Радиус этой винтовой линии есть,
очевидно, ларморовский радиус
(8.17), шаг винтовой линии оп-
определяется продольной скоро-
скоростью частицы и равен
Рис. 8.10
1н = 0
(8.21)
В более сложных условиях, когда магнитное поле неоднородно в
пространстве и непостоянно во времени, когда присутствует элект-
электрическое поле или имеются другие силы, точное интегрирование
уравнения движения возможно лишь в некоторых специальных слу-
случаях. Однако существует простой приближенный метод решения
задачи для условий, когда ларморовский радиус и шаг винтовой
траектории много меньше характерных масштабов неоднородно-
неоднородности
Ря << L, Ън<^ Ly (8.22)
а период обращения заряженных частиц по ларморовской окруж-
окружности много меньше характерного времени изменения полей
Тн :> т, соят << 1. (8.23)
242


В таких условиях траекторию движения частицы в плоскости пер-
перпендикулярной полю можно представить в виде суперпозиции лар-
ларморовского вращения и дрейфа центра ларморовской окружности
(его называют ведущим, или ларморовским, центром). При этом
удается получить сравнительно простые приближенные выражения
для обеих компонент скорости — скорости дрейфа и скорости лар-
ларморовского вращения. Такое приближение называют дрейфовым.
Оно широко используется для описания поведения плазмы в силь-
сильном магнитном поле.
§ 8.3. Дрейф заряженных частиц
в однородном магнитном поле
Рассмотрим сначала движение заряженных частиц при наличии
помимо магнитного поля постоянной и однородной в пространстве
силы F. При этом уравнение движения приобретает вид
т— = F+— [vxH]. (8.24)
dt с
Движение частицы вдоль магнитного поля описывается проек-
проекцией уравнения (8.24) на Н
md\\\ldt = F||.
Поскольку лоренцева сила не имеет продольной составляющей,
магнитное поле не влияет на продольное движение и оно оказы-
оказывается равноускоренным. Движение в плоскости, перпендикулярной
полю, может быть представлено в виде суперпозиции ларморовского
вращения и дрейфа с постоянной скоростью. Действительно, пред-
представим поперечную скорость в виде суммы
Vl = vto + v,, (8.25)
полагая, что v© есть скорость ларморовского вращения [т. е. опи-
описывается уравнением (8.14)], a \d — постоянная скорость дрейфа.
Подставляя сумму (8.25) в уравнение (8.24), получаем векторное
уравнение для vd
Fj_+-^[vdxH] = 0.
Умножая его векторно на Н и учитывая известную формулу для
двойного векторного произведения [[v X Н] X Н] = — #2v, на-
находим
vd = -Z— [F X Н] = -?- [F X h], (8.26)
Ze№ ZeH v '
где h = Н/Я — единичный вектор в направлении магнитного поля.
Таким образом, траектория движения в плоскости, перпенди-
перпендикулярной магнитному полю, образуется наложением вращения по
ларморовской окружности и движения (дрейфа) центра этой окруж-
243


ности со скоростью (8.26) в направлении, перпендикулярном дей-
действующей силе.
Происхождение дрейфа легко понять, рассмотрев качественно
движение заряженной частицы в плоскости перпендикулярной
магнитному полю. В отсутствие силы F частица движется по окруж-
окружности с радиусом рн (рис. 8.11, а). Сила F_l ускоряет частицу на
участке траектории abc и тормозит на участке cda. Скорость мак-
максимальна в точке с. Поэтому участок bed частица проходит со сред-
средней скоростью, большей, чем в отсутствие силы. Соответственно
большим оказывается и средний радиус кривизны траектории (рн ~
Рис. 8.11
~ Vj). На нижнем участке (dab) картина противоположна. В ито-
итоге траектория приобретает вид, показанный на рис. 8.11, б. Эта кри-
кривая называется трахоидой.
Для случая, когда сила, действующая на частицу, обусловлена
электрическим полем, направление и величина скорости дрейфа не
зависят от заряда и^вообще от свойств частицы. Действительно, под-
подставляя в (8.26) F = ZeEy получаем формулу для скорости электри-
электрического дрейфа в виде*
VdE = — [Exh]. (8.27)
Независимость скорости дрейфа от заряда частицы связана, оче-
очевидно, с тем, что обе силы (электрическая и лоренцева), баланс ко-
которых определяет дрейф, пропорциональны заряду.
То, что скорости дрейфа одинаковы для частиц различной приро-
природы, можно объяснить также, основываясь на преобразованиях Ло-
Лоренца для электрического поля. При v<^c они дают связь между
полями в движущейся (Е') и неподвижной (Е) системах отсчета:
Е' = Е — [v X т/с.
Видно, что в системе отсчета, движущейся со скоростью vd9 Е' = 0.
Поэтому в ней заряженные частицы не испытывают дрейфа. Отсюда
* Следует помнить, что соотношения (8.26) и (8.27) получены в нереля-
нерелятивистском приближении. Они справедливы поэтому лишь при va < с,
т. е. при Е С #•
244


следует, что в лабораторной системе отсчета скорость дрейфа заря-
заряженных частиц любого сорта одинакова.
Рассмотрим теперь движение заряженных частиц в поле медлен-
медленно меняющихся сил, полагая, что выполняются неравенства (8.22),
(8.23), т. е. что характерное время изменения силы много больше
ларморовского периода, а характерный масштаб много больше
ларморовского радиуса. В этом случае можно найти решение урав-
уравнения движения (8.24) для компоненты скорости, перпендикуляр-
перпендикулярной магнитному полю
т _^_ = Fx (г, /) + — [vx X Н] (8.28)
at с
методом последовательных приближений, пренебрегая в нулевом
приближении изменениями силы.
В соответствии с таким подходом представим скорость частицы
Vj_ в виде суммы
у± =vco + v^o) + v^X) + v?2) + ..., (8.29)
где у© — по-прежнему скорость ларморовского вращения описывае-
описываемая уравнением (8.14); v^0)—скорость дрейфа в нулевом прибли-
приближении, определяемая равенством (8.26); \{/\ v^2)—поправки к ско-
скорости дрейфа, соответствующие первому, второму приближению
и т. д. Подставляя (8.29) в (8.28), получаем в первом приближении
где справа и слева оставлены только первые неисчезающие члены,
поскольку v^0) 2> у{/} ^> \{d\ Умножая это уравнение векторно
на Н, находим соотношение между v^x) и y(d0)
i= тс Г
ZeH [ dt
i]. (8.30)
Аналогичным образом можно найти и поправки более высокого
порядка. Естественно, что отношение v^X) к v^0) (как и отношение по-
поправок более высокого порядка к у{/}) в рассматриваемом случае
мало. По порядку оно равно v^/v^ ж \I^h^f <С *> гДе xf—харак-
xf—характерное время изменения скорости v?0) или силы F вдоль траектории.
Следует, однако иметь в виду, что направление v^x), как видно из
(8.30), отличается от v^0). Поэтому во многих случаях поправку v^x)
необходимо учитывать. В то же время поправки более высоких
приближений менее существенны, так как они лишь слегка изме-
изменяют компоненты скорости.
Подставляя в (8.30) выражение (8.26), получаем формулу для
v?x):
dt т^п dt " (8-31)
245


Входящая в (8.31) производная dF±/dt дает изменение силы Fx вдоль
траектории, соответствующей нулевому приближению. Она может
быть представлена в виде
+ (v&0) grad) F±.
(8.32)
Здесь опущено быстро осциллирующее слагаемое (v© grad)F±. Соот-
Соответствующая ему осцилляция силы может повлиять лишь на ско-
скорость ларморовского вращения. Ее отношение к лоренцевой силе
имеет порядок
и обычно ее можно не учитывать.
Формула (8.31) показывает, что скорость v^1} пропорциональна
полной производной от силы F_l по времени, определяющей измене-
изменение силы вдоль траектории частицы. При неизменном направлении
Fx скорость у^1} параллельна силе, в отличие от скорости основного
дрейфа v^0), которая перпендикулярна силе Fj_. В соответствии
с (8.30) компоненту движения, определяемую скоростью v^1}, мож-
можно рассматривать как дрейф под действием силы инерции mdvtfVdt
[ср. (8.26) и (8.30)]. Поэтому эта компонента получила название
инерциального дрейфа.
Для случая, когда на заряженную частицу действует электри-
электрическая сила Fj_ == ZeEj_, формула (8.31) приобретает вид
¦ <8-33>
Она описывает инерциальный дрейф электронов и ионов в медленно
изменяющемся электрическом поле. Существенно отметить, что в от-
отличие от основной компоненты скорости электрического дрейфа
v(d°E скорости инерциального дрейфа ионов и электронов имеют раз-
различный знак и намного различаются по величине; скорость инер-
инерциального дрейфа электронов пренебрежимо мала по сравнению
с ионной (так как vtf& ~ т).
Нетрудно установить физическую картину инерциального дрей-
дрейфа. Изменение силы F_l приводит к искажению траектории движе-
движения. Пусть, например, сила увеличивается либо со временем, либо
в пространстве в направлении дрейфа у^0) (рис. 8.12)'. Тогда частица,
набравшая энергию в области /, потеряет ее в области // на меньшем
участке траектории, так как F[ < Fa. Точка поворота 3 окажется
смещенной в направлении силы относительно точки L Точка 4
смещена относительно точки 2 в том же направлении, так как Рщ >
>> Fa. Поскольку Fiv > i7/// и т. д., процесс повторяется, и траек-
траектория оказывается наклонной по отношению к эквипотенциали.
Легко сообразить, что с увеличением массы и соответственно перио-
246


да обращения частицы по ларморовскому кружку наклон траекто*
рии увеличивается.
Таким образом, в процессе дрейфа происходит постепенное сме-
смещение ведущего центра в сторону возрастающей силы. Частица
постепенно увеличивает свою поперечную энергию, так как при
смещении вдоль силы совершается работа. Особенностью этого про-
процесса является то, что при постоянном grad F или постоянной dFldt
О , J
Рис. 8.12
энергия дрейфового движения частицы изменяется со временем ли-
линейно. Приращение энергии за время 8U определяется смещением
вдоль силы 6i>. Оно равно
"±>
где 6Fj_ — полное изменение силы Fj_ при смещении ведущего цент-
центра по траектории за время 8t. Соответственно
'(8.34)
Заметим, что кинетическая энергия, связанная с вращательным дви-
движением, в рассмотренном приближении зависит только от началь-
начальных условий и поэтому в поле меняющихся сил остается неизмен-
неизменной. Соответственно неизменным остается магнитный момент \х ==
§ 8.4. Движение заряженных частиц
в медленно изменяющемся магнитном поле
Рассмотрим движение заряженных частиц в медленно изменяю-
изменяющемся магнитном поле, предполагая, что характерное время его
изменения много больше периода обращения по ларморовской ор-
орбите, а характерный масштаб много больше ларморовского радиу-
радиуса (8.22), (8.23). Прежде всего определим, как изменяется при таком
247


движении скорость вращения частицы по ларморовской окруж-
окружности. Предположим сначала, что магнитное поле однородно в про-
пространстве, но изменяется со временем. Изменение магнитного поля
приводит, как известно, к появлению вихревого электрического
поля, определяемого одним из уравнений Максвелла
rot Е = —(Vc)dH/dt
Под действием этого поля частица изменяет свою поперечную энер-
энергию. Изменение энергии за один оборот по ларморовской окруж-
окружности равно, очевидно,
= — Zef (h.rotE)dS-— ?—dS,
(/) (S) E)
(8.35)
где криволинейный интеграл ф берется по ларморовской окруж-
окружности, Ei — компонента электрического поля, параллельная вра-
вращательной скорости (здесь использована формула Стокса для пе-
перехода к интегралу по площади и учтено, что направление нормали
противоположно направлению магнитного поля). Так как зависи-
зависимость напряженности магнитного поля от времени является слабой,
то на интервале, равном одному периоду обращения частицы по
ларморовской окружности, ее можно аппроксимировать линейной
функцией, т. е. считать дН/dt = const. Полагая также, что за пе-
период р# меняется незначительно, находим
2J^±M-. (8.36)
dt v '
t с dt v ©я Н dt
Изменение кинетической энергии в единицу времени получаем,
умножая б/CjL на число оборотов в единицу времени соя/2я. Тогда
dKJdt = (KJH)dH/dt. (8.37)
Уравнение (8.37) показывает, что энергия вращения частицы К± =
— то\]2 изменяется пропорционально магнитному полю. Посколь-
Поскольку в соответствии с определением магнитного момента [д, (8.20)
К± = [хЯ, уравнение (8.37) свидетельствует о постоянстве магнит-
магнитного момента в процессе движения:
d\i/dt = 0, [I = const. (8.38)
Полученный результат распространяется и на случай, когда маг-
магнитное поле неоднородно в пространстве. Действительно в системе
координат, движущейся вместе с ведущим центром, неоднород-
неоднородность магнитного поля в пространстве переходит в зависимость Н
от времени. Следовательно, в слабонеоднородных полях магнитный
момент частицы также есть инвариант движения. Его называют
248


адиабатическим инвариантом. Разумеется вывод о постоянстве маг-
магнитного момента \i является приближенным. Однако точность со-
сохранения fx при выполнении условий (8.22), (8.23) весьма велика.
Как показывает более детальный анализ, его изменение оказывается
экспоненциально малой функцией 1/со#т или p#/L.
Постоянство магнитного момента позволяет определить измене-
изменение поперечной энергии при движении заряженной частицы в мед-
медленно изменяющемся магнитном поле К± = |ы#. Как уже отмеча-
отмечалось, при изменении Н во времени соответствующее изменение
/C_l обусловлено получением энергии от внешнего электрического
поля. В случае, когда магнитное поле постоянно во времени, но
неоднородно в пространстве, полная энергия частицы в лаборатор-
лабораторной системе координат остается неизменной, так как вихревое
электрическое поле отсутствует, а единственная действующая на
частицу сила (сила Лоренца) направлена перпендикулярно ско-
скорости. Изменение поперечной энергии происходит за счет измене-
изменения продольной при условии К = К± + К\\ = const.
В магнитном поле частица всегда движется так, что плоскость
ларморовской окружности нормальна к силовой линии, проходя-
проходящей через центр этой окружности. Если имеется продольная неод-
неоднородность магнитного поля (см., например, рис. 8.5), то силовые
линии на ларморовской окружности конечного радиуса не перпен-
перпендикулярны к рассматриваемой плоскости. Соответственно сила Ло-
Лоренца кроме радиальной составляющей имеет компоненту, парал-
параллельную оси z (рис. 8.13):
Эта сила направлена в сторону более слабого магнитного поля. Она
приводит к изменению продольной компоненты скорости vz за счет
поворота полной скорости v. Если частица движется в сторону на-
нарастающего поля, то продольная компонента скорости уменьшает-
уменьшается и в некоторой точке vz становится равной нулю. Так как при этом
Flz не обращается в нуль, частица начинает двигаться в противо-
противоположном направлении (имеет место отражение частицы от нарас-
нарастающего магнитного поля). В связи с этим такую конфигурацию на-
называют магнитным зеркалом или пробкой. Если есть только попе-
поперечный градиент магнитного поля (см. рис. 8.4), то компонента
скорости vz в отсутствие внешних сил остается неизменной. Так как
К — const, то должна быть постоянна и поперечная энергия частицы.
Тогда из условия | (х | = const следует, что траектория ведущего
центра должна лежать на поверхности Н = const. Он может дви-
двигаться только нормально к градиенту напряженности магнитного
поля.
Рассмотрим дрейф заряженных частиц в медленно изменяющем-
изменяющемся магнитном поле. Для случая, когда однородное магнитное поле
меняется со временем, дрейф обусловлен возникающим при таком
изменении вихревым электрическим полем. Так, в цилиндрически-
симметричной области, в которой силовые линии вихревого поля
249


являются окружностями, дрейф направлен по радиусу (рис. 8.14).
Напряженность электрического поля при этом определяется зако-
законом индукции
dt
dt
(г — расстояние от оси симметрии; Ф = пг2Н — магнитный поток).
Отсюда
Рис. 8.13 Рис. 8.14
Это поле определяет скорости дрейфа [см. (8.27)]
Уравнение для дрейфовой траектории приобретает вид
dr ^ г dH
dt ~ 2Н dt
Интегрирование уравнения приводит к соотношениям
«• / ГГ \ 1 /О
г2Н = const, JL^lJhY12
и я
(8.40)
(8.41)
Они показывают, что при увеличении магнитного поля заряженная
частица дрейфует по радиусу к оси симметрии, при уменьшении по-
поля — в противоположном направлении. В обоих случаях дрейф
происходит так, что магнитный поток Ф = пг*Н остается постоян-
постоянным.
250


Обсудим теперь дрейф для йеоднородйого, но постоянного во
времени поля. Этот дрейф может рассматриваться, как результат
воздействия двух средних сил, действующих на частицу, вращаю-
вращающуюся по ларморовскбй окружности. Одна из них связана с по-
поперечной, другая с продольной компонентами скорости. Силу,
связанную с поперечными компонентами, можно определить с по-
помощью магнитного момента. Она
эквивалентна силе, действующей
на магнитный диполь, которая
равна
F^ - grad (цН).
Учитывая, что \i антипарал-
лельно Н, получаем
Рис. 8.15
F» - —grad
= — [i grad Я, (8.42)
поскольку [I = const. Поперечная компонента этой силы приводит
к дрейфу, скорость которого найдем с помощью (8.26):
h X grad Я]
ZeH
ZeH
Используя соотношение (8.20) для fx, получаем
сКу
[hxgradtf].
Значение скорости i# равно
cnw\ grad , Н
05=
[_LJ
H
2eH
H
H
(8.43)
(8.44)
Как видно, при выполнении неравенства (8,22) скорость дрейфа
гораздо меньше скорости ларморовского вращения v^/v± & Ph/L<^
<^Г 1. Заметим, что дрейф, связанный с ларморовским вращением
в неоднородном магнитном поле, можно рассматривать и без вве-
введения диамагнитной силы; он определяется непрерывным медлен-
медленным изменением радиуса кривизны траектории в плоскости перпен-
перпендикулярной полю. Поскольку с ростом магнитного поля радиус
кривизны рн ~ Vj_/g)h уменьшается, в процессе ларморовского вра-
вращения частицы попеременно проходят участки с большим и меньшим
радиусами (рис. 8.15). Такое изменение приводит к дрейфу в на-
направлении перпендикулярном градиенту поля, аналогично тому, как
это происходит при наличии силы (см. рис. 8.11).
Дрейф, связанный с движением вдоль магнитного поля, возни-
возникает, когда силовые линии криволинейны. При этом на частицу,
движущуюся вдоль силовой линии, действует центробежная сила
251


pR = nw\WR2t под действием которой возникает дрейф со скоро-
скоростью
iWxHl (8.45)
Радиус кривизны связан с градиентом магнитного поля соотноше-
соотношением (8.9). Отсюда \Rld можно записать в форме
(8.46)
v = ^fHxfgrad)
d ZeH* [ \Н S ) U
Значение этой компоненты скорости дрейфа равно
vRd = стоЦеНЦ\« (v$lvx) рн/Ц,
где Ц\ = | (h grad||)h | ~х. Как и в предыдущем случае, при выпол-
выполнении неравенства (8*22) скорость v% значительно меньше скорости
ларморовского вращения.
Если силовые линии представляют собой плоские кривые, и токи
в объеме отсутствуют, то (8.46) можно упростить, используя (8.11):
(8'47)
При такой конфигурации магнитного поля полная дрейфовая ско-
скорость частицы, связанная с градиентом магнитного поля, опреде-
определяется суммой (8.43) и (8.47)
(*± + 2/Сц) [h XgracL HI (8.48)
§ 8.5. Удержание заряженных частиц
некоторыми магнитными конфигурациями
При анализе возможности использования тех или иных конфи-
конфигураций магнитного поля в качестве магнитных ловушек для удер-
удержания плазмы первой задачей является изучение движения отдель-
отдельных заряженных частиц. Траектории заряженных частиц в маг-
магнитном поле зависят, очевидно, не только от локальных, но и от
инаегральных характеристик поля: структуры силовых линий, их
замкнутости или незамкнутости, наличия магнитных поверхностей
и т. п. Здесь будуг кратко рассмотрены условия удержания заря-
заряженных частиц для двух конфигураций, используемых в качестве
магнитных ловушек (открытых и замкнутых).
Простейшая открытая магнитная ловушка имеет аксиально-
симметричную конфигурацию с продольным полем, усиливающимся
к обоим концам. Такая конфигурация может быть создана с помо-
помощью двух витков или двух соленоидов. Распределение силовых ли-
линий иллюстрирует рис. 8.16. Области магнитного поля вблизи соле-
соленоидов представляют собой магнитные пробки. Траектория движе-
движения заряженной частицы в открытой магнитной ловушке является
252


суперпозицией движения вдоль силовой линии, ларморовского вра-
вращения и дрейфа ларморовского центра. Поскольку дрейф перпенди-
перпендикулярен Н и grad Ну он направлен по азимуту. При движении час-
частиц из центральной области в сторону нарастающего магнитного
поля продольная компонента лоренцевой силы приводит к умень-
уменьшению продольной компоненты скорости и соответственно к увели-
увеличению ее поперечной компоненты. В результате частицы с достаточ-
достаточно большой поперечной скоростью не могут дойти до плоскости
максимального магнитного поля и отражаются от магнитных про-
пробок. В то же время частицы с малым отношением v±/v\\ проходят
Рис. 8.16
через магнитные пробки и уходят из ловушки. Типичные траектории
движения ларморовских центров запертой (сплошная линия) и
пролетной (пунктир) частиц представлены на рис. 8.16.
Количественные характеристики условий отражения заряжен-
заряженной частицы от магнитной пробки можно получить, исходя из за-
закона сохранения полной кинетической энергии и из сохранения
магнитного момента при движении частицы в магнитном поле:
К = К± + К\\ = const; \i = KJH = const.
Пусть в центре системы, где напряженность магнитного поля мини-
минимальна (#о), частица имеет компоненты полной скорости оц0
v±o, т. е. вектор скорости v образует с направлением силовой линии
некоторый угол #0 (sin2ft0 = v]_o/vs = К±о/К)- ПРИ движении части-
частицы в сторону пробки в силу условия | [л | = Ki_IH = const величи-
величина К± растет, так как постепенно меняется угол между v и силовой
линией. В точке поворота вся кинетическая энергия частицы пере-
переходит в энергию поперечного движения и угол О оказывается рав-
равным л/2. Напряженность поля в точке поворота определяется ра-
равенством
Н = Нп-^-=—^-. (8.49)
К
±0
sin2 do
Рассматриваемая частица не выйдет за пределы пробок, если напря-
напряженность поля в каждой из пробок Н1 больше, чем HJs\n2i&Q.
253


Таким образом, при заданном значении HJHX запертыми будут
только те частицы, для которых угол %0 удовлетворяет неравенству
sin2 #0 > Но/Нг. (8.50)
Величина HJHX называется «пробочным» отношением.
Из (8.49), (8.50) видно, что условие удержания частицы не зави-
зависит от абсолютной величины скорости, а определяется только соот-
соотношением между v\\ и v± в центральном сечении ловушки. Все час-
частицы, цля которых не удовлетворяе!ся соотношение (8.50), свобод-
свободно пролетают через пробки системы. Иными словами, финитное дви-
Рис. 8.17
жение в ловушке совершают только те частицы, векторы скорости
которых лежат в интервале углов Фо от #Om до я — Фот, где Фот рав-
но Фот == arcsin Уно/Нл. Конус в пространстве скоростей, соот-
соответствующий углам #07П, называется конусом потерь.
Обсудим теперь движение заряженных частиц в замкнутой маг-
магнитной ловушке. Наиболее простая замкнутая конфигурация обра-
образуется концентрическими круговыми силовыми линиями в отсут-
отсутствие объемных токов. Такая конфигурация может быть получена,
например, с помощью соленоида, ось которого свернута в кольцо
(тороидальный соленоид, рис. 8.17). Эта кольцевая ось обычно на-
называется малой осью тора (ось ©), в отличие от большой оси Z, кото-
которая представляет собой ось симметрии всей системы. Обозначенные
на рис. 8.17 величины Ro и г0 называются соответственно большим
и малым радиусами тороидальной поверхности. Легко сообразить,
что такая конфигурация магнитного поля не является ловушкой.
Действительно, как кривизна силовых линий, так и связанная с ней
неоднородность магнитного поля [см. (8.11)] приводят к дрейфу
перпендикулярно плоскости, в которой лежит силовая линия. Этот
дрейф ничем не ограничен.
Ситуация существенно меняется, если в системе имеется враща-
вращательное преобразование (см. §8.1). Рассмотрим, например, движе-
254


ние частиц в некоторой тороидальной системе, магнитное поле в ко-
которой имеет конфигурацию, изображенную на рис. 8.2*. Это поле
образуется благодаря суперпозиции двух компонент Не, Яф. Как
следует из (8.11), компонента поля Н& уменьшается с увеличением
R. Компонента #ф, вообще говоря, тоже непостоянна в пространст-
пространстве. Однако пренебрежем зависимостью Яф от координат, полагая
угол вращательного преобразования малым, т. е. будем считать, что
Яф <С Hq. Соответственно основной вклад в дрейф частиц будет
вносить неоднородность Яв. Очевидно, что винтовые силовые ли-
линии, характеризующие рассматриваемую конфигурацию, сгущают-
сгущаются на внутренних участках тороидальной поверхности (рис. 8.18,
Рис. 8.18
точки /, 2). Поэтому характер движения частиц вдоль силовых линий
аналогичен движению в ловушках с магнитными пробками. При дви-
движении частиц от внешней поверхности тора к внутренней (т. е. в
область большого поля) их продольная скорость уменьшается, час-
частицы с достаточно большим отношением v±q/v\\0 испытывают отра-
отражение, т. е. оказываются запертыми на малом участке силовой ли-
линии, например между точками аи b (см. рис. 8.18). Поэтому в зави-
зависимости от отношения vj_o/v\\0 частицы можно разбить на две груп-
группы. Одни могут совершать неограниченное число оборотов внутри
тора вокруг оси Z (так называемые пролетные частицы). Ко второй
группе относятся запертые частицы.
Рассмотрим траекторию пролетной частицы. Поскольку торо-
тороидальная конфигурация симметрична относительно большой оси
тора, то любые движения вдоль малой оси не влияют на удержание
частиц в замкнутом объеме. Поэтому будем интересоваться «проек-
«проекцией» траектории частиц на плоскость перпендикулярную малой
оси тора, т. е. рассмотрим изменение координат г и ср ведущего
центра** (рис. 8.19). Проекции винтовых силовых линий на эту пло-
* Такая конфигурация магнитного поля характерна, в частности, для
магнитных ловушек типа «Токамак» широко используемых в исследованиях
по управляемому термоядерному синтезу.
Ьг** Будем условно называть проекцией кривую, образованную коорди-
координатами г и ф независимо от тороидальной координаты 8.
255


скость определяются величиной и направлением компоненты Яф
поля и при сделанных предположениях о независимости Яф от
координат представляют собой концентрические окружности, изо-
изображенные на рис. 8.19 пунктирными линиями. Если бы дрейф,
связанный с grad H, отсутствовал, то и проекции траекторий совпа-
совпадали бы с проекциями силовых линий. Для пояснения влияния дрей-
дрейфа выберем знак заряда частицы и направление магнитного поля
такими, чтобы скорость v^ была направлена кверху (см. рис. 8.19).
Предположим также, что частица начинает движение из точки 1
и направление v\\ обусловливает перемещение ведущего центра в
Рис. 8.19
рассматриваемой проекции против часовой стрелки. Дрейф приво-
приводит к непрерывному перемещению траектории вверх. На участке
траектории 7, 2, 3, как видно из рисунка, смещение вверх означает
переход на внешние по отношению к исходной силовые линии. В
нижней половине (участок траектории 3, 4, 5) частица продолжает
дрейфовать вверх. Но теперь это соответствует возвращению на
внутренние силовые линии. Из условия симметрии относительно
плоскости, в которой лежит малая ось тора, следует, что дрейфовые
смещения в верхней и нижней части взаимно компенсируются, т. е.
проекция траектории должна представлять собой замкнутую кри-
кривую.
Найдем уравнение проекции траектории. Для этого введем
локальную прямоугольную систему координат (см. рис. 8.19).
Движение ведущего центра частицы складывается из перемещения
вдоль силовой линии со скоростью v\\ и дрейфа вдоль оси у. Проек-
Проекция первой составляющей скорости на рассматриваемую плоскость
равна vwHylH = иф. Она направлена по касательной к проекции
силовой линии. Соответственно скорости ведущего центра вдоль
256


осей х и у определяются выражениями
у
(8.51)
г
Здесь г = Ул;2+#2.
Исключая время из (8.51), получаем
xdx + ydy =jd(r2)= -J^
и далее
dr/d* = -iftHIHyVi. (8.52)
Для условий, когда Я, Яф и иц относительно мало изменяются в об-
области движения, правую часть уравнения можно приближенно
считать постоянной. При этом решение уравнения приобретает вид
г = — ах + г0, где a = (H/H^Vd/v^ = const. Нетрудно убедить-
убедиться, что при a < 1 проекция траектории, определяемая этим равен-
равенством, представляет собой замкнутую кривую. Ее легко найти$
в частности, при а <^ 1. В этом случае из соотношения г2 = х2 +
+ y2t пренебрегая величинами пропорциональными а2, получаем
(х + ar0J + у% = т\. (8.53)
Это уравнение окружности, смещенное относительно центра на
расстояние х0 = ar0. Поскольку х0 много меньше г0, можно гово-
говорить о малом искажении траектории тороидальным дрейфом.
Перейдем к анализу траекторий запертых частиц. Так же как
и для пролетных частиц, будем рассматривать проекцию траекто*
рии на плоскость ху (рис. 8.20). Пусть частица движеася из точки /,
как это показано на рисунке. Предположим, что соотношение про-
продольных и поперечных скоростей таково, что при отсутствии дрей-
дрейфа частица испытывала бы отражение в точках а и Ь. Наличие дрей-
дрейфа так же, как и для пролетной частицы, приводит к тому, что од-
одновременно с продольным перемещением частица непрерывно дрей-
дрейфует вверх относительно исходной силовой линии. Так как дрейф
не изменяет отношения v\\ и v±> то частица теперь отражается в точ-
точке а', в которой напряженность поля равна напряженности в точке
а. После поворота направление продольной скорости оказывается
противоположным, а направление дрейфа не изменяется. Поэтому,
возвращаясь в исходную плоскость ху, частица продолжает сме-
смещаться в сторону внешних силовых линий. На нижнем участке
траектории дрейф «прижимает» частицу к оси ху т. е. приводит к ее
смещению в сторону внутренних силовых линий. В результате об-
образуется замкнутая кривая, получившая название «банановой»
траектории.
9 Зак. 1227 257


Найти ширину «банана» Аг (лг) можно, используя уравнение (8.52),
в котором следует учесть изменение v\\ вдоль траектории. Пусть
в точке отражения напряженность поля равна Яа. Тогда из условия
jx = const имеем
Зависимость магнитного поля от координат определяется при Яф <^
<^ Не компонентой Яе. В поле, создаваемом внешним тороидаль-
тороидальным соленоидом:
Ro+x
¦M'-t)
Рис. 8.20
при x<^R0. Используя эту зависимость, получаем
X—Ха
1>ц « ± V
±v
где ха — координата точки поворота а. Так как v\\<^v± для за-
запертых частиц, то v± ~ v и v% можно считать постоянной. Под-
Подставляя 1>ц в (8.52) и интегрируя, находим
VRo{x-Xa).
(8.54)
Полная ширина «банана» равна 2Аг. Обозначая радиус проекции
силовой линии, на которой лежат точки поворота а' и b'y rv можно
координаты х и ха выразить через полярный угол <р, полагая д; =
258


r± cos ф. Тогда в наиболее широкой части величина 2Агт =¦
кхт будет удовлетворять соотношению
Р гх tfo(l-cos Фа). (8.55)
Сравним Дл:т и х0 — смещение центра траектории пролетных
частиц. При одинаковых кинетических энергиях, считая, что для
пролетной частицы v\\ ~ v, получаем
Ахт/х0« 4 VR0/rlf
т. е. ширина банана заметно больше смещения траектории пролет-
пролетной частицы х0.
Для того чтобы траектория заряженной частицы не пересекала
поверхности радиуса rOf т. е. чтобы частица удерживалась ло-
ловушкой, должно выполняться условие
(8.56)
§ 8.6. Диамагнитный эффект в плазме
На основании данных о движении отдельных заряженных час-
частиц в магнитном поле можно получить информацию о поведении
плазмы в целом. Такое обобщение является наиболее простым в так
называемом бесстолкновительном режиме, т. е. когда можно пре-
пренебречь влиянием столкновений заряженных частиц на их движение.
В таких условиях для анализа поведения плазмы необходимо про-
провести усреднение движения отдельных частиц. Мы рассмотрим ре-
результаты такого усреднения по отношению к движению заряжен-
заряженных частиц в плоскости перпендикулярной магнитному полю для
случая, когда силовые линии параллельны друг другу, т. е.
grad H J-H. При наличии постоянных во времени магнитных и элект-
электрических полей движение заряженных частиц в плоскости перпен-
перпендикулярной Н сводится, как было показано, к суперпозиции лар-
моровского вращения и дрейфа ларморовского центра. Скорость
дрейфа, связанного с электрическим полем, определяется равенст-
равенством (8.27).Она одинакова для всех частиц и не приводит к возникно-
возникновению электрического тока. Скорость дрейфа, связанного с неодно-
неоднородностью магнитного поля, дается равенством (8.48). Ее усреднение
по скоростям для частиц а (электронов или ионов) приводит к соот-
соотношению
= **№ [hxgrad Я], (8.57)
где принято <Кх> = 2 </Сц> == Та, т, е. распределение скоростей
полагается изотропным.
9* 259


Несколько более сложно усреднение ларморовского вращения
частиц. Как отмечалось, каждый ларморовский кружок эквивален-
эквивалентен току, создающему диамагнитный момент. Очевидно, что внутри
однородной плазмы диамагнитные токи отдельных частиц компен-
компенсируются. На рис. 8.21 условно изображено ларморовское враще-
вращение частиц одного знака. Видно, что в каждой точке внутри плазмы
Рис. 8.22
Рис. 8.23
в среднем число движущихся в разные стороны частиц одинаково.
На границе такой компенсации нет. По поверхности плазмы все
частицы движутся в одну сторону. Это приводит к появлению диа-
диамагнитного тока 1а, текущего по поверхности (легко видеть, что
диамагнитные токи электронов и ионов складываются). Заметим, что
в случае, когда плазма касается стенок и имеется отражение частиц,
на поверхности также возникает ток /р, направленный противопо-
противоположно диамагнитному (его называют парамагнитным). Происхож-
Происхождение этого тока легко понять из рис. 8.22. Видно, что при последо-
последовательных отражениях от стенки ларморовский центр перемещается
в сторону, противоположную направлению вращения частиц. Если
упругое отражение испытывают все заряженные частицы, то в одно-
260


родной плазме диамагнитный и парамагнитный токи полностью ком-
компенсируются.
В неоднородной плазме диамагнитные токи существуют и в объе-
объеме плазмы. Рассмотрим, например, формирование диамагнитного по-
потока при наличии градиента концентрации. Оно иллюстрируется
рис. 8.23. Для определения плотности потока необходимо рассмот-
рассмотреть движение частиц по обе стороны плоскости, перпендикулярной
градиенту концентрации (плоскость / на рис. 8.23). Поток возникает
из-за того, что число частиц справа и слева от этой плоскости не оди-
одинаково. Очевидно, что вклад в поток вносят только частицы, лармо-
ровские центры которых отстоят от плоскости 1 меньше, чем на
ларморовский радиус. Плотность потока частиц с заданным лар-
моровским радиусом и заданным расстоянием от ларморовского
центра до плоскости / в направлении перпендикулярном градиенту
концентрации определяется равенством
F = v sin ф п(х — р# sin ср) ж по sin ф — пирн sin2 ф dnldx,
где ф — угол между вектором скорости в момент прохождения
частицей плоскости 1 и градиентом концентрации (см. рис. 8.23);
v sin ф — проекция скорости на направление перпендикулярное
градиенту концентрации; ря sin ф — расстояние от плоскости 1
до ларморовского центра; концентрация определяется в точке х —
— ря sin ф. Усредняя этот поток по углам ф и по скоростям у, полу-
получаем
- 1 дп 1 / сто\ ч дп сТ дп
<>/t\(8.58)
2 Х ±W дх 2 \ еН / дх еН дх
Поскольку поток перпендикулярен Н и grad я, то в векторной фор-
форме для частиц а имеем
Га = яиа = ° а [h х grad n]. (8.59)
ZaeH
Аналогично можно получить выражение для потоков, связанных
с градиентами температуры и магнитного поля.
Проще, однако, найти общее выражение для средней скорости
заряженных частиц, используя усредненные уравнения движения,
приведенные в § 6.3. Для условий, когда столкновениями можно
пренебречь, они могут быть записаны в виде
ma— =ZaeE + -^-[ua X Н] grad/?a. (8.60)
dt с п
При постоянных электрическом и магнитном полях левая часть
уравнения обращается в нуль, и оно представляет собой уравнение
равновесия усредненных сил
51. [ua X Н] grad/?a = O. (8.61)
с п
261


Умножая (8.61) векторно на h = Н/Я, аналогично тому, как дела-
делалось в § 8.3, получаем следующее выражение для направленной
скорости:
еНп
(8.62)
Первое слагаемое обусловлено дрейфом заряженных частиц в
электрическом поле. Второе слагаемое можно формально рассмат-
рассматривать как скорость дрейфа в поле силы равной — (grad pa)/n.
Эта скорость дает усредненный поток, связанный с ларморовским
вращением частиц, а также с их дрейфом в неоднородном магнит-
магнитном поле (как будет видно из дальнейшего, grad Я однозначно свя-
связан с grad р). В частности, если единственным источником потока
является градиент концентрации, направленная скорость, опреде-
определяемая (8.62), соответствует формуле (8.59).
Нетрудно с помощью (8.62) определить плотность диамагнитно-
диамагнитного тока в плазме, состоящей из электронов и однозарядных ионов:
j = пе (щ—пе) = 4- № X grad р], (8.63)
л
где р = ре + pi — суммарное давление заряженных частиц. Как
видно, этот ток направлен перпендикулярно градиенту давления.
Для цилиндрически-симметричной плазмы в продольном магнит-
магнитном поле, например, он направлен по азимуту. Направление тока
таково, что создаваемое им магнитное поле противоположно внеш-
внешнему полю. Величина диамагнитного эффекта, обусловленного током
(8.63), может быть определена с помощью уравнения магнитоста-
магнитостатики rot Н = Drc/c)j. Подставляя в него (8.63) и умножая вектор-
векторно на Н, получаем
grad р = — [Н х rot H]. (8.64)
Стоящее в правой части векторное произведение преобразуется к ви-
ДУ
[Н х rot Н] = — grad Я2—(Н grad) H.
Поскольку в рассматриваемом случае Н J_ grad Я, соотношение,
определяющее grad p, можно записать следующим образом:
grad p = —grad Я2/8я. (8.65)
Отсюда найдем связь между давлением и магнитным полем в плаз-
плазме
р + Я2/8я = const. (8.66)
262


Величину #2/8я называют магнитным
давлением. Равенство (8.66) показывает,
что по мере увеличения давления заря-
заряженных частиц от периферии к цент-
центральным областям плазмы магнитное
давление и соответственно магнитное
поле уменьшаются (рис. 8.24). Макси-
Максимальное уменьшение поля зависит от
максимальной величины давления. Это
уменьшение обычно характеризуют ко-
коэффициентом р, равным отношению ки-
кинетического давления к магнитному:
= 8пр/Н\
(8.67)
Рис. 8.24
Напомним еще раз, что приведенные в этом параграфе резуль-
результаты получены для случая, когда силовые линии магнитного поля
параллельны другу другу и grad Я -L Н. При криволинейных
силовых линиях соотношение (8.66) перестает быть справедливым
и распределение магнитного поля в плазме определяется не только
градиентом давления.
§ 8.7. Поляризация плазмы в электрическом поле,
перпендикулярном магнитному
Как было показано, при наличии постоянного электрического
поля заряженные частицы дрейфуют в направлении перпендику-
перпендикулярном электрическому и магнитному полям со скоростью vd =
- с [Е х h]/tf.
Этот дрейф не приводит к возникновению тока. Таким образом,
в отсутствие столкновений в однородной плазме постоянное элект-
электрическое поле це вызывает тока, т. е. плазма ведет себя, как ди-
диэлектрик. В случае, если электрическое поле не постоянно, допол-
дополнительно возникает инерциальный дрейф, скорость которого опре-
определяется формулой (8.33), справедливой для условий, когда харак-
характерное время изменения поля много больше ларморовского периода.
Направление этого дрейфа для ионов и электронов противоположно,
а величина его скорости для ионов много больше, чем для электро-
электронов. Поэтому в плазме он приводит к появлению тока, практически
равного ионному:
1 "--#¦• (8-68)
Этот ток, очевидно, добавляется к вакуумному току смещения
}v = (U4n)dE/dt. Их сумма дает полный ток в плазме под действием
переменного электрического поля
тс*п \ дЕ
dt '
(8.69)
263


Его можно, очевидно, характеризовать эффективной электрической
проницаемостью плазмы
8=1+ 4nnmtcVH2. (8.70)
Таким образом, плазма реагирует на медленно изменяющееся
электрическое поле, перпендикулярное магнитному, как диэлектрик
с диэлектрической постоянной (8.70). В частности, «включение»
электрического поля приводит к поляризации плазменного слоя
(рис. 8.25, а).
Рис. 8.25
Пусть, например, в некотором объеме, внутри которого имеется
плазменный слой, внешнее электрическое поле постепенно увели-
увеличивается от нуля до ?0. Используя формулу (8.33) для скорости
дрейфа, находим величину смещения ионов и электронов при на-
нарастании поля
1 ' Ъ%еН* Ы
(8.71)
Так как электроны и ионы дрейфуют в противоположных направ-
направлениях (см. рис. 8.25, а), их смещение друг относительно друга
равно Ал: = Axt + Ал:е « Axi (Axi^> Ахе9 так как m*^>me).
В однородном плазменном слое смещение приводит к выделению
заряда на его границах. Поверхностная плотность выделяющегося
заряда равна
БР, (8-72)
где Ер — напряженность электрического поля в плазме. Создавае-
Создаваемое этим зарядом поле противоположно внешнему и, очевидно, рав-
равно 8Е = —4яР.
Прибавляя это поле к внешнему, получаем
Ер = Ео — 4яР - Ео — DпптгсУН2)Ер. (8.73)
264


Таким образом, связь поля в плазме с внешним полем определяется
соотношением
= А., (8.74)
где 8 — электрическая проницаемость, даваемая равенством (8.70).
Полученное соотношение (8.74) оказывается таким же, как для
диэлектрического слоя, помещенного в однородное электрическое
поле.
Заметим, что использованное при выводе (8.71) предположение
о медленном нарастании поля является вовсе не обязательным. Если
электрическое поле включается, например, мгновенно, то первона-
первоначально покоившиеся частицы начинают двигаться по циклоидам
(рис. 8.25, б). Это приводит к смещению ларморовских центров на
величину ларморовского радиуса при скорости v± = vd = cEJH,
т. е. на величину Ах = c2mE0/ZeH2. Таким образом, смещение час-
частиц не зависит от характера нарастания поля до конечного значе-
значения.
§ 8.8. Движение плазмы поперек магнитного поля
При наличии внешней неэлектрической силы, перпендикуляр-
перпендикулярной магнитному полю, электроны и ионы дрейфуют в противополож*
ных направлениях. Такой дрейф приводит к поляризации плазмы
и появлению электрического поля. Как нетрудно показать, в этом
электрическом поле дрейф частиц обоих знаков происходит в сто-
сторону внешней силы. Поскольку дрейфы неограничены, поляриза-
поляризация и соответственно электрическое поле нарастают со временем.
В результате плазма, как целое, двигается в направлении силы
с ускорением.
Рассмотрим поляризацию плазмы и ее движение, когда на за-
заряженные частицы действуют постоянные силы: на ионы сила Ft,
на электроны — F е. Анализ наиболее прост для однородного огра-
ограниченного плазменного слоя. Пусть магнитное поле параллельно
оси 0z, а направление сил совпадает с осью Ох. Эти силы вызывают
дрейф электронов и ионов в направлении Or/. Компоненты скорости
их дрейфа в соответствии с (8.26) равны
udi = cFi/eH, ude = cFJeH.
Дрейф приводит к появлению на поверхностях плазмы, перпенди-
перпендикулярных 0г/, зарядов, поверхностная плотность которых линейно
нарастает со временем по закону dPIdt = en (ude + udj).
Электрическое поле в плазме, возникающее под действием по-
поверхностных зарядов, удовлетворяет известной формуле электро-
электростатики Е=4лР/г. Используя ее и учитывая (8.70) для е, получаем
265


Под действием поля поляризации электроны и ионы плазмы дрей-
дрейфуют в направлении действия силы со скоростью и = сЕ/Н. Ра-
Равенство (8.75) позволит найти закон изменения этой скорости
 в (8 76)
Отсюда следует, что движение заряженных частиц плазмы в направ-
направлении действующей силы оказывается равноускоренным. В доста-
достаточно плотной плазме, в которой 8 ^ %пптгс*/Н2 ^> 1, можно пре-
пренебречь вторым слагаемым в знаменателе (8.76). При этом ускорение
заряженных частиц получается таким, как при отсутствии магнит-
магнитного поля, оно равно отношению суммы действующих сил к массе
g = (Fe + FtVmt = n(Fe+ F%)lp (8.77)
(p = ntrii — массовая плотность плазмы). В частности, для случая,
когда рассматривается движение плазмы под действием гравита-
гравитационной силы, ускорение равно гравитационному.
Полученный результат остается в силе и для случая плазмы с
неоднородной концентрацией. Пусть, например, в рассматривае-
рассматриваемой задаче концентрация заряженных частиц зависит от координа-
координаты у. При этом дрейф электронов и ионов приводит к изменению их
плотности по сравнению с квазинейтральной (п0) по закону
dnjdt = —div (noude)9 dn%ldt = —div (nondi).
Соответственно, изменение плотности пространственного заряда
равно
dpjdt = —е div [n0 (udl — u^)]. (8.78)
Нетрудно убедиться, что пространственный заряд, определяемый
этим уравнением, приводит к появлению электрического поля (8.75).
Действительно, распределение поля для среды с электрической про-
проницаемостью 8 описывается уравнением div еЕ = —4яре. Диффе-
Дифференцируя его по времени и подставляя выражения (8.78) для dpjdt r
получаем формулу (8.75). Поэтому выражение для скорости нара-
нарастания поля, а значит, и для ускорения дрейфа в электрическом
поле (8.76) остается справедливым и в неоднородной плазме.
Движение плазмы в магнитном поле может быть вызвано не
только внешними неэлектрическими силами, но и силами, обуслов-
обусловленными неоднородностью магнитного поля. Это — центробежная
сила, связанная с движением частиц вдоль силовых линий, и диа-
диамагнитная сила, связанная с ларморовским вращением частиц. Сум-
Сумма этих сил для случая, когда магнитные силовые линии плоские,
равна [см. (8.48)]
(i)J5^L (8.79)
Усредняя ее по скоростям заряженных частиц каждого сорта, полу-
получаем для изотропного распределения
<FH«) = Ta | gradj. Я \/H = TjR. (8.80)
266


Под действием этой силы заряженные частицы плазмы должны дви-
двигаться в направлении уменьшения магнитного поля. Их ускорение
при s ^> 1 в соответствии с (8.77) равно
= (Т. + Tt)lmtR. (8.81)
В частности, в тороидальном магнитном поле дрейф заряженных
частиц в направлении перпендикулярном grad H приводит к поля-
поляризации плазмы (рис. 8.26). Под действием электрического поля
поляризации заряженные частицы ускоряются в направлении на-
наружной стороны тора. Время
смещения плазмы в этом на-
направлении на величину радиуса
а равно
(8.82)
= V2aRmi/(Te
А /
/
<
\ 1
w
Формула (8.81) позволяет обсу-
обсудить движение плазменных сгу-
сгустков поперек магнитного поля.
Из формулы прежде всего сле-
следует, что в однородном магнит-
магнитном поле gH = 0 и сгусток
плазмы, имеющий первоначаль-
первоначально направленную скорость по- Рис. 8.26
перек силовых линий поля, бес-
беспрепятственно движется в заданном направлении. Причина со-
сохранения направления движения заключается в том, что разде-
разделение зарядов и связанное с ним электрическое поле, возникшее в
процессе ускорения сгустка, остаются постоянными, т. к. отсут-
отсутствуют источники энергии, способные изменить поляризацию плаз-
плазмы. Разумеется, это справедливо в отсутствие столкновений, кото*
рые приводят к диссипации энергии. Таким образом, после ускоре-
ускорения каждая частица плазмы совершает дрейфовое движение в элект-
электрическом поле, которое сгусток плазмы «переносит» вместе с собой.
. Сгусток, «влетающий» в магнитную конфигурацию поперек си-
силовых линий поля, тормозится в области нарастающего поля. В за-
зависимости от соотношения между начальной поперечной скоростью
и максимальным магнитным полем возможно либо прохождение
сгустка через область магнитного поля, либо его отражение. Это
происходит в любом случае, даже если конфигурация магнитного
поля в принципе способна удерживать плазму. Для «захвата» сгуст-
сгустка необходим дополнительный механизм диссипации энергии на-
направленного движения внутри конфигурации. Он возникает, на-
например, если «выстреливаются» два сгустка навстречу друг другу.
Так как направления их поляризаций противоположны, то при
взаимном проникновении сгустков поляризация плазмы исчезает
и сгустки останавливаются.
267


ГЛАВА 9
ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
§ 9.1. Направленная скорость и тепловой поток
заряженных частиц слабоионизованной плазмы
в магнитном поле
В предыдущей главе было рассмотрено движение заряженных
частиц плазмы поперек магнитного поля для условий, когда столк-
столкновения несущественны. В большинстве случаев, однако, необхо-
необходимо, учитывать влияние столкновений на процессы переноса в
плазме. Как будет видно из дальнейшего, это влияние значительно
даже при частотах столкновений, много меньших циклотронных
частот. Начнем рассмотрение процессов переноса со случая слабо-
слабоионизованной плазмы, в которой частота столкновений заряженных
частиц с нейтральными много больше частоты их столкновений друг
с другом [см. неравенство G.1) и рис. 7.1].
Направленное движение заряженных частиц описывается урав-
уравнением первого момента F.62). Для стационарных или квазистацио-
квазистационарных условий оно представляет собой уравнение равновесия сил
и может быть записано в виде
где предполагается, что плазма состоит из электронов, однозаряд-
однозарядных ионов и нейтральных атомов (для электронов а = е, Za = —1;
для ионов а = i, Zt = 1, пе = щ = я). Первый член этого урав-
уравнения представляет собой электрическую силу; второй — лоренце-
ву силу, третий — градиент давления, рассчитанный на одну час-
частицу; четвертый — силу, обусловленную столкновениями. Как
было показано в гл. 7, уравнение (9.1) справедливо при условии,
когда характерное время изменения параметров плазмы много
больше времени между столкновениями. Столкновительный член
уравнения (9Л) в слабоионизованной плазме определяется соуда-
соударениями заряженных частиц с нейтральными. Для случая, когда
частота столкновений не зависит от скорости, он определяется силой
трения [см. F.59)]
где vaa — транспортная частота столкновений частиц а с aiомами;
\iaa — приведенная масса; предполагается, что направленная ско-
скорость заряженных частиц иа много больше направленной скорости
268


нейтральных частиц. Подстановка столкновительного члена приво-
приводит уравнение (9.1) к виду
ZeE + — [u xH]- gTad(nT) -}xvu=:0, ' (9.2)
с п
где для сокращения записи опущены индексы, обозначающие сорт
частиц. Выражение (9.2) есть векторное алгебраическое уравнение
для скорости и. Проекция этого уравнения на направление магнит-
магнитного поля приводит к равенству
—grady (nT)/n—fxvujj = 0. (9.3)
В данной проекции отсутствует лоренцева сила. Поэтому реше-
решение уравнения для продольной компоненты скорости оказывается
таким же, как и в отсутствие магнитного поля:
u = ZeE\\ &*А\\(*Т) ^ Ze e T i grad,,* grad,; Т ч
11 JiV ny,V [AV " |AV 1 ft T )
[ср. с G.7)]. Исходя из этого, введем коэффициенты подвижности
и диффузии, характеризующие движение в направлении поля:
fr|l = e/liv, D,| = Df=77|w. (9.5)
Выражения для них, естественно, совпадают с аналогичными выра-
выражениями G.9), G.10).
Проекция уравнения (9.2) на плоскость перпендикулярную полю
определяет проекцию вектора скорости и± на эту плоскость. Полу-
Получающееся уравнение можно записать в виде
grad-L(n7>) (96)
X h] = ZeE±
где h = H/# — единичный вектор в направлении поля; о>я =
= еН/пгс — циклотронная частота. Чтобы найти решение уравне-
уравнения (9.8) относительно и±, умножим его вектор но на h. В результа-
результате получим
-Zmcotf ux + \iv[u± xh] = Ze [E± X b] + [hXgra^d(ffr)] . (9.7)
Исключая из (9.6) и (9.7) векторное произведение [и± х h], находим
поперечную компоненту направленной скорости
u _ е [Е X h] [hXgrad(nT)}
-1- тсо A + ^ v2/m2 cdJ) ^
тсоя A + ^ v2/m2 cdJ,)
irfitofa +^2V2 ' /7*20^ + p2v2 '
269


Выражение (9.8) является суммой четырех членов:
"dp + и/в + ЩР> (9.9)
Первые два слагаемых этой суммы представляют собой скорость
дрейфа в направлении перпендикулярном электрическому полю
и градиенту давления. Их можно записать следующим образом:
c[EXh]
ЫЕХЦ
; t*i X grad (nT)] Г gradpl
\ til" H j
p i
При частоте столкновений, много меньшей циклотронной
(v ^соя), формулы (9.10) переходят в соотношения (8.27), (8.62)
для скорости дрейфа в бесстолкновительном режиме. Видно, что
столкновения уменьшают скорость дрейфа, связанную с электри-
электрическим полем и градиентом давления, и при vj^>co# этот дрейф
становится несущественным. Последние два слагаемых (9.8) могут
быть записаны в виде аналогичном G.9), G.10), если ввести попе-
поперечные коэффициенты подвижности и диффузии:
utE = Zb±Ex; u*p=— D±gvadn/n—DT±gvadT/T, (9.11)
где
b± = e\ivl(m2 ©я + Ц2 v2), D± = DT± = \\xT[(m2 (o% + [x2 v2). (9.12)
Соотношения между коэффициентами диффузии и подвижности ока-
оказываются такими же, как и без магнитного поля
b±/D± = e/T9 D± = D±. (9.13)
Как видно из (9.5), (9.12), коэффициенты подвижности диффу-
диффузии b±, D± отличаются от соответствующих коэффициентов в от-
отсутствие магнитного поля и от продольных коэффициентов b\\, D\i
множителем A +mao)|r/|iava), В слабых магнитных полях (или
при больших частотах столкновений), когда gWv<C 1, коэффициен-
коэффициенты переноса практически такие же, как и без магнитного поля. Эта
естественно, так как неравенство v^><o# означает, что за время
между столкновениями частица успевает совершить лишь малую
долю оборота по ларморовской окружности, т. е. траектория час-
частиц близка к прямой линии. Иными словами, влияние магнитного
поля на характер движения частиц мало. Напротив, при g>#^>v
частица между столкновениями успевает совершить много оборотов.
Поэтому природа проводимости и диффузии резко меняется. Меха-
Механизм явлений переноса поперек сильного магнитного поля будет
270


рассмотрен в § 9.2. При соя
вид:
b
v коэффициенты b±, D± принимают
2<x>h = c2iiv/eH2\ (9.14)
(o2H = c2iiTv/e2H2; (9.15)
ah = c2iiTv/e2H2. (9.16)
Отношение этих величин к соответствующим продольным коэффи-
коэффициентам равно
if = ^2 v2/m2 ©&. (9.17)
При больших магнитных полях оно может быть много меньше еди-
единицы. Величину (соя/vJ, определяющую уменьшение коэффициентов
поперечного переноса, называют иногда замагниченностью заря-
заряженных частиц. Как видно, в сильном магнитном поле коэффициен-
коэффициенты переноса пропорциональны массе частиц и частоте соударений.
Это означает, в частности, что для тяжелых ионов они значительно
больше, чем для легких электронов. Напомним, что в отсутствие
магнитного поля ситуация обратная — коэффициенты переноса
имеют для электронов значительно большие величины, чем для ио-
ионов, и с уменьшением частоты столкновений растут.
Полученные формулы (9.4), (9.10), (9.11) полностью определяют
величину направленной скорости. С учетом выражений для b и D
ее можно представить в виде
гп ч,ь1 п. graV
-?>,
gradx р
[hxgradp]
(9.18)
Эту сумму часто записывают более коротко, используя тензорное
представление для подвижности и коэффициенты диффузии:
и =ЬЕ—Dgradp/p.
(9.19)
В системе отсчета, в которой Н || 0z, введенные тензоры имеют
вид:
&х bd 0
-ъл ь± о
0 0 Ь||
(9.20)
271


Di Dd 0
-Dd D± 0
О О JD||
т?.в>% + yfi v2
 cT
~ZeH
Zetf (l+p
0
0
0
0
7>v
. (9.21)
Полученные выражения для направленной скорости позволяют оп-
определить плотность электрического тока в плазме. В общей форме
для плазмы, состоящей из электронов и однозарядных ионов, с по-
помощью (9.19) найдем
begradpe/p6).
(9.22)
Первое слагаемое определяет движение под действием электрическо-
электрического поля. Его можно выразить через тензор проводимости
0=ne(be+bt). (9.23)
ДЛЯ СИЛЬНЫХ МаГНИТНЫХ ПОЛеЙ, В КОТОРЫХ (»Не ^> Vea, СОЯ/ ^»
^> vla, поперечную компоненту проводимости найдем с помощью
(9.14):
ne2 (\iia Vi
vea/ml
ne2 via
\2m%
(9.24)
(при trti = ma \iia = m^/2). Заметим, что ток в направлении перпен-
перпендикулярном Е и Н при этом отсутствует, так как скорости дрейфа
электронов и ионов равны.
Приведенные выражения для направленной скорости получены
для случая, когда частота столкновений заряженных частиц с ней-
нейтральными не зависит от скорости. Общие выражения могут быть
записаны в форме, аналогичной (9.10) — (9.12). В них войдут неко-
некоторые усредненные частоты столкновений и численные множители
порядка единицы. При распределениях скоростей, близких к мак-
свелловскому, направленные скорости можно определить, подстав-
подставляя в уравнение (9.1) выражения F.58) для столкновительного
члена, включающего как силу трения, так и термосилу:
В силу трения
Коса
(9.25)
(9.26V
272


входит усредненная частота столкновений [см. G.18)]
*' <9-27>
где Таа = (таТа + maTa)/(ma + ma). Закон усреднения G.18)
является приближенным (см. § 6.2). Однако, как можно показать,
точность его возрастает с ростом соя/v. Применимость его при ю# ^>
^> v для электронов продемонстрирована в § 9.2. Выражение для
термосилы при co#^>v имеет вид
ЯТ = gT (v/cotf)[ h X grad 7], (9.28)
где gr « (T/v)(dv/dT) [формула (9.28) будет качественно получена
в §9.3].
Подставив столкновительный член (9.25) с силой трения (9.26)
и термосилой (9.28) в уравнение движения (9.1), получим прежнюю
формулу для составляющих направленной скорости, связанных
с электрическим полем и градиентом концентрации. В частности,
поперечная подвижность Ь±, коэффициент диффузии D± по-преж-
по-прежнему определяются формулами (9.12) с частотой столкновений (9.27).
Термосила приводит к некоторому изменению направленной ско-
скорости, связанной с градиентом температуры. Скорость дрейфа,
вызываемого термосилой при соя ^$> v, равна
Добавляя ее к компоненте скорости utp [см. (9.11)], пропорциональ-
пропорциональной grad T:
получаем скорость термодиффузии в виде
ux = — Dx——, (9.30)
Чтобы найти тепловой поток заряженных частиц, воспользуем-
воспользуемся уравнением F.68). В стационарном случае оно имеет вид
-f^gradr-^[qxH] = $. (9.31)
2 tn me ot
273


Для электронов при частоте столкновений, не зависящей от ско-
скорости, подставляя в (9.30) столкновительный член F.82), получаем
M
Это векторное уравнение относительно q аналогично по форме век-
векторному уравнению (9.2). Решая его так же, как это было сделано
на с. 269, находим:
2
5 nTeVea A _ \ (9.32)
e
5 nTe [h X grad Te]
q , =
2 eH(l
Первое слагаемое есть продольный поток тепла. Он такой же, как
в отсутствие магнитного поля. Компонента qed представляет собой
тепловой поток, связанный с диамагнитным потоком, направлен-
направленным перпендикулярно grad Т. При cotf^v он не зависит от столк-
столкновений. Наконец, компонента qet определяет поток тепла в на-
направлении поперечной составляющей градиента температуры. При
<o#]^>v он пропорционален частоте столкновений
q^-JL»!^ grader.. (9.33)
2 пге(он
Выражения (9.32) и (9.33) позволяют, как и ранее, ввести коэф-
коэффициенты тепло- и температуропроводности. Продольная теплопро-
теплопроводность оказывается такой же, как и в отсутствие магнитного поля:
^11 - яхи = E/2) nTjme vea. (9.34)
Поперечные коэффициенты тепло- и температуропроводности, как
видно из (9.33), можно записать следующим образом:
&х ^ п%± = E/2) пТе vjme (ufa + vje); (9.35)
При (х>н > V
ж± = п%± = E/2) пТе veafme cob. (9.36)
Они связаны с соответствующими компонентами тензора диффузии
соотношениями, аналогичными G.23):
Х± = ЯГх/л = E/2)Ох. (9.37)
Выражение для теплового потока ионов в слабоионизованной плаз-
плазме получается более сложным, так как он обычно связан с тепловым
потоком нейтральных частиц. Мы не будем его здесь рассматривать.
274


§ 9.2. Поперечные коэффициенты подвижности,
диффузии и теплопроводности электронов
Как было показано в § 7.2, для определения коэффициентов пе-
переноса электронов при произвольной зависимости частоты их столк-
столкновений от скорости можно использовать разложение функции рас-
распределения по степеням анизотропии. Поскольку для электронов
в слабоионизованной плазме направленная составляющая скорости
много меньше хаотической, в таком разложении можно ограничить-
ограничиться двумя слагаемыми [см. E.20)]:
(/0 — изотропная, a fx — направленная составляющая функции
распределения). При этом направленная скорость оказывается свя-
связанной с векторной функцией fx соотношением [см. E.21)]
оо
и = J vf(v)d3v = — J v4xdv. (9.38)
о
В магнитном поле уравнение, определяющее связь направленной
составляющей функции распределения с изотропной, можно запи-
записать в виде [см. E.22), E.47)]:
tJfJ—I.VJI.), (9.39)
me с
где v ea (v) — суммарная частота столкновений электронов с ато-
атомами. Продольная компонента fx получается из проекции уравне-
уравнения на направление магнитного поля
(9.40)
Vea П
Как и следовало ожидать, это выражение совпадает с формулой
G.31) для направленной компоненты функции распределения в от-
отсутствие магнитного поля. Соответственно совпадают и выражения
для направленной скорости коэффициентов переноса. Проекцию
уравнения (9.39) на плоскость перпендикулярную магнитному полю
можно записать в виде
?1 dE± df0 grad±(fl/0)
fJ= — v ±  (9.41)
me ov n
Решение этого уравнения относительно f u_ аналогично получен-
полученному в § 9.1 решению уравнения (9.2). Чтобы найти его, можно ис-
использовать наряду с (9.41) уравнение, получающееся из него век-
векторным умножением на h. В результате будут найдены две попереч-
поперечные компоненты вектора fij_ — параллельная вектору, стоящему
275


в правой части уравнения (flt), и перпендикулярная этому векто-
РУ (U
f „ еЕ± v™ д?о vvea grad± (nfp) a
me uhe + via dv ®He + Vea П
* =__  ne /ц fh у El 4-   "ь*~ \ /u^j /g ^q\
Составляющая /ld определяет, как легко видеть, компоненту на-
направленной скорости udi описывающую дрейф электронов, перпен-
перпендикулярный электрическому полю, градиентам концентрации и
температуры. При co#;^>v равенство (9.43) перестает зависеть от
частоты столкновений и выражение (9.38) приводит к формуле (8.62)
для направленной скорости дрейфа. При v^xotf выражение (9.43)
позволяет определить уменьшение скорости дрейфа, обусловленное
столкновениями.
Движение в направлении поперечной компоненты электрического
поля и поперечных компонент градиентов концентрации и темпера-
температуры описывается выражением (9.42). Подставляя его в (9.38), по-
получаем для соответствующей компоненты направленной скорости
дне + Vea dv
—— gradlfl Г /\ fodvl (9.44)
Ъп L J «Яе + Vea J
Выразим uet через коэффициенты подвижности и диффузии:
nei = —be± E± gradx (De± п) =
-, (9.45)
п i е
где
(9.46)
(9.47)
D^^^^^.. (9.48)
В случае, когда частота столкновений не зависит от скорости, фор-
формулы (9.46) — (9.48) переходят в (9.12). При произвольной зависи-
зависимости vea (v) и произЁольной функции распределения /0 (v) они отли-
отличаются от (9.12) численными коэффициентами.
Конкретизируем (9.46)—(9.48) для условий, когда распределе-
распределение электронов по скоростям максвелловское:
(ЗгГНёг) (9-49)
276


и циклотронная частота много больше частоты столкновений. В этом
случае формулы для коэффициентов подвижности и диффузии могут
быть представлены в виде
^ (9.50)
(9.51)
если ввести усредненную частоту столкновений vea (Te) [см. (9.27)].
При этом коэффициент термодиффузии равен
пт = Т — (¦ Те^еа
ОТо
где вГв=^^1ср.(
уеа дТе
Тепловой поток электронов в магнитном поле можно определить
с помощью направленной составляющей функции распределения
аналогично тому, как это было сделано в § 7.2. Общее выражение
для теплового потока имеет вид
q = i«. nm e[ (v* — ^ vA f± dv. (9.53)
6 J \ me J
Подставляя в это выражение fly нетрудно найти компоненты век-
вектора q. Подстановка ^ц [см. (9.40)] приводит к выражению для
продольного теплового потока q\\, совпадающему с выражением
G.45), полученным для случая отсутствия магнитного поля. Ком-
Компонента fld определяет составляющую вектора теплового потока,
связанную с диамагнитным движением qed. Для сильного магнит-
магнитного поля соя^г она не зависит от частоты столкновений. Состав-
Составляющая теплового потока, параллельная поперечной компоненте
действующих сил qeh может быть найдена подстановкой компонен-
компоненты flt в (9.53):
6 J V me
о
Г
_____ tYI ("УТ*Т1 I VI
 ~ те ЬГаа п
Vea dfo
nffrtT^-^jfi-rhdv (9.54)
Преобразуем это выражение для случая, когда со#е ^> vea и
распределение скоростей электронов максвелловское. В этом слу-
277


чае интегралы, входящие в первые два слагаемых, оказываются
эквивалентными:
3 Те J V me J ea do 6 \ Те
о
X ехр(——\dx. (9.55)
Интегрируя по частям и учитывая формулу (9.27) для средней час-
частоты столкновений, преобразуем (9.55) к виду
= T.$*. (9.56)
e дТе У '
Подставляя (9.56) в (9.54), получаем при а»яе S> v
eo
fgradre, (9.57)
или с учетом (9.45), (9.50)—(9.52)
^ vea grad± Ге, (9.58)
где gTe = (Te/veaHvea/dT€) — коэффициент, определяющий тер-
термодиффузию. Первое слагаемое в (9.58) дает перенос тепла, связан-
связанный с направленным движением, второе позволяет найти коэффи-
коэффициент поперечной теплопроводности. Для произвольной зависи-
зависимости vea от v он равен
ff ^^v... (9.59)
При vea = const формула (9.59) переходит в (9.36).
§ 9.3. Механизм переноса заряженных частиц
и их энергии поперек сильного магнитного поля
Рассмотрим механизм поперечного переноса в сильном магнитном
поле, в котором циклотронная частота заряженных частиц много
больше частоты их столкновений соя^> v. Как было показано в гл.8,
в отсутствие столкновений траектория движения заряженных час-
частиц в плоскости перпендикулярной магнитному полю представляет
собой суперпозицию вращения по ларморовской окружности и
278


дрейфа в направлении перпендикулярном электрическому полю
я градиенту магнитного поля. Смещение ларморовских центров
в направлении сил, действующих в плоскости перпендикулярной
магнитному полю и хаотическое их перемещение происходят лишь
в результате столкновений, которые приводят к резкому изменению
скоростей заряженных частиц и соответственно к скачкообразному
перемещению ларморовских центров. Поэтому обсуждая механизм
процессов переноса, следует прежде всего определить изменение
положения ларморовского центра в результате столкновения.
Чтобы установить связь
между изменением скорости ча-
частицы при столкновении и сме-
смещением ларморовского центра,
введем вектор ря, направлен-
направленный из центра ларморовской ок-
окружности, к точке в которой
находится частица. Очевидно,
он связан с мгновенной скоро-
скоростью вращения частицы v век-
векторным соотношением
ря = [h X v]/Zco#
(9.60)
(направление вектора ря пер-
перпендикулярно v, а его длина
равна ларморовскому радиусу). рис. дд
Будем полагать, что столкнове-
столкновение происходит в фиксированной точке пространства; это справед-
справедливо при радиусе взаимодействия частиц, много меньшем лармо-
ларморовского радиуса. Тогда смещение ларморовского центра Аг0 при
столкновении будет равно изменению вектора ря (рис. 9.1):
Дг0 = —Аря = —№ X Av]/Z(dH.
(9.61)
Видно, что вектор смещения перпендикулярен изменению скорости
частицы в результате столкновения и Аг0 в каждом конкретном
столкновении зависит от изменения v и угла рассеяния. Нетрудно
убедиться с помощью (9.61), что независимо от знака заряда части-
частицы смещение происходит преимущественно в ту сторону, в которой
произошло столкновение: например, если стокновение произошло
справа от ларморовского центра, то он смещается вправо (рис. 9.2),
если слева — то влево. Максимальная величина смещения соот-
соответствует лобовому столкновению. При лобовом столкновении, на-
например, электрона с атомом | Av | = 2v и А/*о = 2v/coh = 2р#.
Переходя к рассмотрению процессов переноса, начнем с движе-
движения под действием поперечного электрического поля. В промежутке
между столкновениями траектория движения частиц в скрещенных
электрическом и магнитном полях представляет собой трохоиду-
суперпозицию ларморовского вращения и электрического дрейфа
279


(рис. 9.3). В результате такого наложения радиус кривизны не ос-
остается постоянным — он максимален в точках, соответствующих
максимальной энергии частицы (точки / на рис. 9.3), и минимален
в точках, соответствующих минимальной энергии (точки 2). Смеще-
Смещение ларморовского центра в результате столкновений в точках с
Рис. 9.2
большим радиусом кривизны, как легко видеть, больше, чем при
столкновениях в точках с меньшим радиусом кривизны. Поэтому,
несмотря на одинаковую вероятность столкновения в различных точ-
точках, возникает среднее смещение в сторону действия силы.
Оценим такое смещение, рас-
рассматривая лобовые столкнове-
столкновения электронов с атомами.
Пусть электрическое поле на-
направлено вдоль оси Ох (рис. 9.3).
При этом в точке 1 у — ком-
компоненту скорости электрона
можно представить как сумму
скоростей вращения и дрейфа в
электрическом поле, а в точке
2 — как разность этих скоростей:
Рис. 9.3 Яде=—(&©-
Лобовое столкновение приводит к замене этих скоростей на про-
противоположные. Поэтому получаем
Поскольку скорость дрейфа в электрическом поле и после столк-
столкновения остается прежней, то все изменения скорости оказываются
связанными с вращательной компонентой. Следовательно оценка
среднего изменения скорости вращения при лобовом ударе имеет
вид
=* —2vt
ЧЕ*
280


Лобовой удар соответствует максимальному изменению скорости.
Считая, что среднее изменение равно половине максимального,
находим оценку среднего смещения электрона в направлении силы
при столкновении
. (9.62)
<*Не еН* V '
Суммируя по столкновениям, происходящим в единицу времени,
получаем оценку средней скорости электронов в направлении элект-
электрического поля
ЩВ = < Д*> vea = -2*^*- Е, (9.63)
которая соответствует формуле (9.14). Для более точного определе-
определения направленной скорости следует провести аккуратное усредне-
усреднение смещений ларморовских центров при столкновениях. Полагая
по-прежнему, что электрическое поле направлено вдоль оси Ох,
находим с помощью (9.61) формулу для средней скорости перемеще-
перемещения частиц в этом направлении
Ше = <Д*>/Д* = <Д*>1 = <До„Уюл. (9.64)
Знаком < \ обозначены здесь усредненные по столкновениям
изменения соответствующих величин в единицу времени. Усреднен-
Усредненное по упругим столкновениям изменение скорости было определено
в гл. 2. В соответствии с B.16) и B.55) имеем
<Д0уа>1=- —Vaai;,. (9.65)
При усреднении по скоростям будем иметь в виду, что средняя
скорость частиц в направлении Оу равна скорости дрейфа (vy}UdE =
= сЕ/Н. Поэтому в случае не зависящей от скорости частоты
столкновений выполняется равенство
<Д^>! - —VaatiaE\iaafma. (9.66)
При частоте столкновений, зависящей от скорости, оно сохраняется,
однако, как было показано в § 6.2, в этом случае следует исполь-
использовать формулу для средней частоты столкновений F.56). Подстав-
Подставляя (9.66) в (9.64), получаем выражение для средней скорости дви-
движения в направлении электрического поля, совпадающего с (9.50):
UatE = (\faalma) V«a UdEI®На = [*>aa Za eEvaa lma @%a. (9.67)
Рассмотрим теперь механизм диффузии заряженных частиц по-
поперек магнитного поля. Диффузия возникает в результате хаоти-
хаотических скачков ларморовских центров под действием столкновений.
При таких скачках в отсутствие электрического поля среднее сме-
смещение равно нулю. Однако градиент концентрации приводит к тому,
281


что поток частиц из области большей концентрации оказывается
большим, чем противоположный. Такое различие потоков является,
как всегда, причиной диффузии. Другой причиной различия потоков
может служить градиент температуры, приводящий, с одной сторо-
стороны, к асимметрии амплитуд смещений при столкновениях (связан-
(связанной с зависимостью ларморовского радиуса от температуры), а с
другой — к различию значений частоты столкновений в случае,
когда она зависит от скорости. Суммарный поток заряженных час-
частиц, связанный с этими причинами, есть, очевидно, термодиффузия.
Нетрудно показать, что диффузионное движение заряженных
частиц слабоионизованной плазмы определяется средним квадратом
смещения ларморовских центров. Пусть, например, градиент кон-
концентрации и температуры заряженных частиц направлен вдоль оси
О*. Найдем поток через плоскость с координатой х0. Смещения час-
частиц при столкновениях зависят от их скорости и типа соударения.
Обозначим g (x, ?) d\ (здесь х — начальная координата частицы)
долю частиц, смещение которых вдоль 0* в единицу времени имеет
величину, лежащую в пределах от ? до ? + d?. Тогда плотность по-
потока, обусловленного этой группой частиц, равна
dTx(t) = dt *(n(x)g(x,l)dx. (9.68)
Интеграл берется в пределах отх0 — ? до х0, поскольку все частицы,
координаты которых лежат в этом интервале, пройдут в единицу вре-
времени через площадку х0. Разложим подынтегральную функцию в ряд
Тейлора и ограничимся первыми двумя членами разложения:
Ф) 8 (*» I) = п (*о)?(*о. 6) + (* — *о)д (ng)/dx.
Проинтегрировав это выражение, найдем
dVx (I) = п (х0) lg (*0,g) <%-± V ^dt (9.69)
Суммируя теперь поток по всем возможным смещениям | и учитывая,
что
I lg (xo, l)dl \
получаем
L^lrx]. (9.70)
В отсутствие электрического поля первое слагаемое обращается
в нуль, так как смещения заряженных частиц при столкновениях
носят хаотический характер, и поток определяется вторым слагае-
слагаемым, которое можно записать в виде
(Dxn), (9.71)
282


где коэффициент
D± = A/2) <(Ах)*>х (9.72)
в соответствии с определением является поперечным коэффициентом
диффузии. Основываясь на связи коэффициента диффузии со сред-
средним квадратом смещения, нетрудно оценить его. Порядок смеще-
смещения заряженных частиц при столкновениях с нейтральными, как
отмечено выше, равен их ларморовскому радиусу. Поэтому коэффи-
коэффициент диффузии, определяемый средним квадратом смещения в еди-
единицу времени, имеет порядок
Dx « 9н v » (tfi/©&) v « Tv/mah. (9.73)
Более точно определить коэффициент поперечной диффузии можно,
проводя аккуратное усреднение в формуле (9.72). Учитывая (9.61)
(связь смещения ларморовских центров с изменением скорости при
столкновениях) f получаем
^^^. (9.74)
Изменение скорости Av за одно столкновение дается формулой
B.15). Находя с ее помощью величину (AvyJ9 суммируя ее по
столкновениям, происходящим в единицу времени, и усредняя по
скоростям, получаем
где v = | v« — vj — относительная скорость при столкновениях,
величину vh2 следует усреднять по относительным скоростям. Для
случая, когда v = const и распределение скоростей частиц максвел-
ловское, усреднение приводит к соотношению
<(AiWJ>i = 2^r*eera, (9-75)
та
поскольку "b2=3raa/|iaa « 3Ta/fxaa, где Т(Х>а=(таТа + таТа)/(та+
+ та) — эффективная температура, определяющая распределение
по относительным скоростям. При зависящей от скорости частоте
столкновений в соотношение (9.75) войдет, очевидно, величина v',
усредненная по распределению скоростей с весом v2, определяемая
формулой (9.27). Учитывая это и подставляя (9.75) в (9.74), нахо-
находим выражение для коэффициента поперечной диффузии
(9<76)
аналогичное (9.16). Полученный коэффициент определяет диффузию,
связанную с градиентом концентрации.
283


Термодиффузия обусловлена изменением в пространстве средне-
среднего квадрата смещения <(Дл:J> ~ p2v из-за его зависимости от тем-
температуры: plyaa ~ ТоУаа (Та)-
Термодиффузионный поток можно найти из равенства (9.70)
при п — const
„ дТа ^ дРа± дТа
та дх дта дх
Отсюда получим соотношение для коэффициента термодиффузии,,
совпадающее с (9.51):
Аналогично можно найти тепловой поток поперек магнитного
поля. В соответствии с определением (см. § 6.1) он является потоком
энергии в системе отсчета, в которой направленная скорость равна
нулю. В этой системе перенос энергии обусловлен тем, что частицы,
перемещающиеся из области с более высокой температурой в более
холодную область, переносят большую энергию, чем частицы, пере-
перемещающиеся в противоположном направлении. Нетрудно оценить
результирующий поток энергии. Будем по-прежнему считать, что
градиент температуры направлен параллельно оси Ох. Выбор систе-
системы отсчета, в которой направленная скорость равна нулю, означает»
что через любую площадку, в том числе и перпендикулярную гра-
градиенту температуры, встречные потоки частиц взаимно компенси-
компенсируются. Плотность каждого из этих потоков определяется числом
частиц, ларморовские центры которых в результате столкновений
пересекают единичную площадку в одном из направлений в единицу
времени. По порядку
Гл+ = Гя_ « nv | Ах | « nvpH. (9.79)
В то же время энергия, переносимая каждой частицей в направ-
направлении противоположном градиенту температуры, больше, чем энер-
энергия, переносимая частицей в противоположном направлении, на
величину порядка (дТ/дх)\Ах\ ж рндТ/дх. В результате образует-
образуется некомпенсированный поток энергии
qx « —nvp%dT/dx. (9.80)
Из (9.80) следует оценка для коэффициента поперечной теплопровод-
теплопроводности:
СН;± « nvpA « nTv/mah, (9.81)
которая соответствует (9.36).
Нетрудно понять и происхождение других компонент теплового
потока. Поток qd, пропорциональный (h X grad Tе] [см. (9.32)],
как уже отмечалось, связан с диамагнитным потоком электронов, он
возникает в результате суммирования ларморовских траекторий в
неоднородной плазме. В движущейся системе отсчета, в которой
284


определяется тепловой поток, направленные скорости должны быть
равны нулю, т. е. диамагнитный поток скомпенсирован. Однако при
наличии градиента температуры возникает некомпенсированный
поток тепла, поскольку энергия частиц, движущихся в различных
направлениях, различна (см. компоненты vy на рис. 9.4). Он на-
направлен перпендикулярно градиенту температуры и имеет порядок
дТ n<v*> дТ пТ дТ
дх
со
}и
дх
дх
(9.83)
что соответствует полученному выше результату [см. (9.32)].
При частотах столкновений, зависящих от скорости, возможна
еще одна компонента теплового потока (qu), зависящая от направ-
направленного движения заряженных
частиц и пропорциональная
[h X uj [см. (9.58)]. Эта состав-
составляющая возникает только в при-
присутствии внешних сил, приво-
приводящих к появлению направлен-
направленной скорости. Чтобы понять ее
происхождение, учтем, что в си-
системе, в которой поперечная
направленная скорость элект-
электронов равна нулю, лоренцева
сила также обращается в нуль.
Внешние поперечные силы, дей-
действующие на заряженные части-
частицы, компенсируются их силой
трения о нейтральный газ, кото-
который в рассматриваемой системе
координат имеет скорость — и±а.
Однако при зависящей от скоро-
скорости частоте столкновений такая
компенсация имеет место только
в среднем — она не означает
компенсацию сил для групп частиц, обладающих различной теп-
тепловой скоростью. Поэтому можно сказать, что эффективная сила,
действующая на быстрые («горячие») частицы, отличается от эф-
фективной силы, действующей на медленные («холодные») части-
частицы. При сильной зависимости частоты столкновений от скорости,
когда AF = (dR/dv) Av & R, это отличие имеет порядок AF «
ж R ж mv (иа — иа).
Соответственно различаются и скорости ud = (c/eH)[F X h].
Различие скоростей дрейфа быстрых и медленных частиц приводит
к переносу энергии в системе координат, в которой перенос электро-
Рис. 9.4
285


нов отсутствует. Оценка плотности теплового потока дает
q. = n7',Au,*> m^V°« Ihx(Ua_Uo)]. (9.83)
Ограничимся здесь порядковыми оценками теплового потока заря-
заряженных частиц. Его строгое определение нетрудно провести на
основании рассмотрения смещения заряженных частиц при столк-
столкновениях подобно тому, как это было сделано в § 7.3.
Из приведенного рассмотрения следует, что механизмы перено-
переноса заряженных частиц и энергии поперек сильного магнитного поля
существенно отличаются от механизмов продольного переноса или
переноса в отсутствие магнитного поля. Действительно, продоль-
продольный перенос, как и перенос в отсутствие магнитного поля, обуслов-
обусловлен свободным движением заряженных частиц в промежутках
между столкновениями, поэтому коэффициенты переноса умень-
уменьшаются с ростом массы частиц (уменьшаются скорость частиц в пе-
периоды между столкновениями, их ускорение в электрическом поле)
и с ростом частоты столкновений (уменьшается длина свободного
пробега). Напротив, перенос поперек магнитного поля определяется
не перемещением частиц в период между столкновениями, а скач-
скачками ларморовских центров в моменты столкновений. Соответст-
Соответственно, коэффициенты поперечного переноса пропорциональны ча-
частоте столкновений. Они также пропорциональны массе и обратно
пропорциональны квадрату напряженности магнитного поля, по-
поскольку скачки имеют порядок ларморовского радиуса, который
растет с массой и уменьшается с увеличением магнитного поля.
Найдем теперь термосилу, вызываемую поперечным градиентом
температуры. Как и в отсутствие магнитного поля, термосила воз-
возникает из-за того, что при частоте столкновений, зависящей от ско-
скорости, встречные потоки частиц испытывают различное трение о
нейтральный газ. Чтобы оценить это различие, выделим плоскость
перпендикулярную градиенту температуры и сравним импульсы, пе-
переносимые заряженными частицами в эту плоскость из областей
с разной температурой. Каждая частица в процессе ларморовского
вращения дважды пересекает рассматриваемую плоскость
(см. рис. 9.4). Проекции скорости вращения на направление grad T
при этих двух пересечениях противоположны. Поскольку столкно-
столкновения в обеих фазах равновероятны, среднее значение проекции пе-
передаваемого импульса, параллельной градиенту температуры, оче-
очевидно, равно нулю. Соответственно равна нулю и проекция термо-
термосилы на это направление. Проекцию термосилы на направление пер-
перпендикулярное магнитному полю и градиенту температуры можно
оценить, суммируя результаты столкновений частиц, ларморовские
центры которых находятся справа и слева от выделенной плоскости.
Скорость первой группы направлена параллельно [h X grad T]9
скорость второй — в противоположную сторону. В системе коор-
координат, движущейся так, чтобы суммарный импульс был равен
нулю, суммарный импульс, передаваемый при столкновениях, от-
286


личен от нуля из-за неравенства частот столкновений для этих двух
групп частиц. Поскольку расстояние между их ларморовскими
центрами порядка ларморовского радиуса, различие частот столкно-
столкновений оценивается формулой Sv « pndv/dx. Это различие опреде-
определяет средний передаваемый в единицу времени импульс, т. е. тер-
термосилу
Д'~|юЯ«,1*я.?. «-^-f- *f "Г- 0-84)
дх ®н дх ®н дх
Учитывая направление передаваемого при столкновениях импульса,
можно записать (9.84) в векторной форме:
^^ ==-=--|j;. (9.85)
Проведенная оценка дает выражение для термосилы с точностью
до численного коэффициента порядка единицы. Более точное усред-
усреднение по столкновениям и по скоростям также приводит к (9.85),
причем входящая в нее усредненная частота столкновений опреде-
определяется формулой (9.27).
§ 9.4. Амбиполярная диффузия и баланс
заряженных частиц слабоионизованной плазмы
в магнитном поле
В магнитном поле, как и в его отсутствие, раздельная диффузия
электронов и ионов в плазме невозможна в силу условия квазиней-
квазинейтральности. Возникающее в результате относительно небольшого
разделения зарядов электрическое поле приводит к выравниванию
потоков заряженных частиц. В трехкомпонентной плазме, состоящей
из электронов, ионов и нейтральных частиц, уравнения баланса
электронной и ионной компонент
dn/dt + div (ли,) = bnlbt, |
могут одновременно удовлетворяться лишь при равенстве дивер-
дивергенций направленных потоков
div (пщ) = div (nue). (9.87)
Решение системы (9.86) в магнитном поле в общем случае го-
гораздо сложнее, чем в его отсутствие, из-за анизотропии коэффициен-
коэффициентов подвижности и диффузии. Эти решения совпадают лишь для
одномерной задачи, когда параметры плазмы зависят от одной коор-
координаты. Например, когда однородное магнитное поле направлено
вдоль оси системы, а параметры плазмы зависят только от радиуса,
условие (9.87) принимает вид
^ j. (9.88)
287


Поскольку величины п и и конечны при г-^ 0, из (9.88) следует
равенство радиальных компонент направленных скоростей
иег = uir. (9.89)
Это равенство определяет амбиполярную диффузию;- Подставляя в
него общую формулу для поперечной направленной скорости, по-
получаем так же, как и в отсутствие магнитного поля, выражения для
напряженности электрического поля, обеспечивающего амбиполяр-
ность, и для амбиполярной направленной скорости. Если градиент
температуры отсутствует, то они имеют вид, аналогичный G.65),
G.69):
Dl±-De
А±
Dl±-De±
А± ~"
bl±+be±
grad±n De±bl± + Di±be±
UAt=—Ua±  > Va± = г ;—Г - (У.У1)
n b + b
bt± + be±
Используя формулы (9.12) и пренебрегая величиной mev eJmivi
сравнению с единицей и с TJT в, получаем
vtev«,_ -~j.- . (992)
 . (9.93)
Эти соотношения позволяют проследить переход от слабых маг-
магнитных полей к сильным. В слабых магнитных полях, в которых
<йне®т <С v еаУг а> формулы для Елх и Da± оказываются такими же,
как и в отсутствие магнитного поля [ср. G.66), G.70]. Благодаря
более быстрому уходу электронов плазма при этом заряжается поло-
положительно, а стенки отрицательно и амбиполярное электрическое
поле имеет порядок Е± ж TeteL±. С ростом магнитного поля коэф-
коэффициенты диффузии и подвижности электронов уменьшаются зна-
значительно быстрее, чем ионные. В магнитном поле, имеющем напря-
напряженность, ПрИ КОТОрОЙ ®He®Hl/Veavta = (Т elTi)\kiJtnU КОЭффИ-
циенты диффузии электронов и ионов равны. При этом условие ам-
биполярности движения выполняется в отсутствие электрического
поля. Дальнейший рост магнитного поля приводит к изменению
соотношения между коэффициентами диффузии электронов и ионов—
ионы начинают двигаться поперек поля быстрее электронов. В ре-
результате заряд плазмы становится отрицательным. В сильном маг-
•288


нитном поле, в котором (йне®н1 ^> УеаУга* формулы (9.92), (9.93)
принимают вид
E^JL^JL, (9.94)
Dajl = G% + Tt)vejme^he. (9.95)
Условие сояе со#/ ^> veayia называют иногда условием замагничен-
носгпа плазмы. При его выполнении коэффициент диффузии про-
пропорционален частоте столкновений электронов и обратно пропор-
пропорционален квадрату напряженности магнитного поля. Он отличает-
отличается от электронного лишь множителем A + Тг/Те). Влияние гра-
градиента температуры на амбиполярную диффузию может быть учтено
так же, как и при отсутствии магнитного поля. В частности, для
случая, когда частота столкновений не зависит от скорости, его
учет приводит к выражению для направленной скорости, аналогич-
аналогичному G.74):
= - (lfo)grad (DA±n), (9.96)
где Д4.1 определяется формулами (9.93), (9.95).
Подстановка формул для амбиполярной направленной скорости
в уравнения баланса заряженных частиц дает уравнение диффузии,
аналогичное G.77), При Тв, Т% = const, подставляя (9.96) в (9.86),
получаем
dnldt + DA±.kn = 8/i/6*. (9.97)
Решение уравнения диффузии требует определения граничных
условий для концентрации. Как было показано в §7.5, в отсутствие^
магнитного поля отношение граничной концентрации к концентра-*
ции в центральной части объема имеет порядок
Тг. (9.98)
Поскольку обычно Хг<^Ь, граничная концентрация оказывается
много меньше, чем концентрация в центре, и с достаточной точ-
точностью могут быть использованы нулевые граничные условия. Этот
вывод сохраняет свою силу и для поперечной диффузии заряженных
частиц в магнитном поле. В слабом магнитном поле, при (Он^не <^
•^УеаУга, по-прежнему справедливо рассмотрение, проведенное в
§ 7.5, так как магнитное поле практически не влияет на движение
ионов (соя/ <С via), а знак заряда стенок отрицателен, как и в от-
отсутствие магнитного поля (см. (9.92)].
Нетрудно оценить граничную концентрацию и в случае силь-
сильного магнитного поля, когда со#zcoне ^> УгаУеа- В таком поле, как
было показано, коэффициент поперечной диффузии для ионов боль-
больше, чем для электронов, и стенки баллона с плазмой, параллельные
магнитному полю, заряжаются положительно. Поэтому электроны,
попадающие на границу пристеночного слоя, должны притягивать-
притягиваться к стенке в электрическом поле слоя. Величину поля в слое можно
найти аналогично тому, как это было сделано в § 7.5. Нетрудно
,10 Зак. 1227 289


оценить поток электронов, полагая, что размеры пристеночного слоя
больше ларморовского радиуса. Перемещение электронов поперек
магнитного поля на границе слоя обусловлено столкновениями.
Поскольку в каждом столкновении их среднее перемещение имеет
порядок ларморовского радиуса, плотность потока из плазмы на
стенку приблизительно равна
Гед « nqpHeVea. (9.99)
В то же время амбиполярный поток электронов из плазмы имеет
порядок
{Т+Д*^ (9.100)
где Lj_ — характерный поперечный размер плазмы. Приравнивая
этот поток потоку электронов в слое, находим соотношение концент-
концентраций заряженных частиц на границе плазмы и в центре:
В сильном магнитном поле обычно рНе <^ L±, соответственно ng <C
<^ п0 и приближенно можно положить граничную концентрацию
равной нулю.
Таким образом, уравнение диффузии (9.97) и граничные условия
для концентрации при рассмотрении одномерной диффузии поперек
магнитного поля такие же, как и в отсутствие магнитного поля. От-
Отличны лишь коэффициенты диффузии. Соответственно совпадают
и решения этих уравнений. В частности, решения уравнений для
стационарного газового разряда в длинном цилиндрическом бал-
баллоне приводят к диффузионному распределению, описываемому
бесселевой функцией нулевого порядка G.94). При этом соотноше-
соотношение между средней частотой ионизации v' и коэффициентом диффу-
диффузии определяется условием равенства скоростей ионизации и устра-
устранения G.96):
(9.102)
Различие состоит лишь в том, что в сильном магнитном поле коэф-
коэффициент диффузии и соответственно vl много меньше/чем в отсутст-
отсутствие поля, причем с ростом поля коэффициент диффузии быстро
уменьшается (Da±~ l/#2).
Для описания распада плазмы в магнитном поле, обусловленного
поперечной диффузией (когда длина баллона много больше радиуса),
также остаются справедливыми выводы, полученные в § 7.8. В
частности, на поздней стадии распада, когда установилось диффу-
диффузионное распределение, закон изменения концентрации со временем
оказывается экспоненциальным G.136). Постоянная*'времени рас-
распада на этой стадии при соя*соя/ >> ^еаУга удовлетворяет равенству
тл = °А± - 11>6 TaVea (9.103)
290


Здесь использовано соотношение (9.95) и учтено, что на поздних
стадиях распада Те= Тг = Та-
Мы рассмотрели амбиполярную диффузию и баланс заряженных
частиц в плазме, параметры которой зависят от одной координаты.
Как уже отмечалось, в неодномерном случае решение задачи услож-
усложняется. Рассмотрим, например, распад плазмы в цилиндрическом
баллоне, ось которого совпадает с направлением магнитного поля,
полагая, что концентрация заряженных частиц зависит как от про-
продольной координаты г, так и от радиуса г. В этом случае уравнение
баланса электронов и ионов (9.86) принимает вид
J?L + JL (/Ш(й) + _L i_ (rnular) = О, (9Л 04)
ot oz т от
где осевая и радиальная составляющие направленной скорости оп-
определяются соотношениями
Uza=Za Ь\\а Е\\ — Dp, —- ;
П OZ
Щи = Za Ь±ос Er — D_La Г •
n от
(9.105)
Концентрации электронов и ионов приняты одинаковыми в силу
условия квазинейтральности.
Решение этих уравнений не обязательно должно соответствовать
режиму амбиполярной диффузии. Такой режим может, однако,
быть реализован при распаде плазмы в баллоне с диэлектрическими
стенками. При этом амбиполярный уход соответствует равенству
электронных и ионных скоростей как вдоль, так и поперек магнит-
магнитного поля: uze = uzU ure = uri. Из них вытекают в соответствии
с результатами § 7.4 и настоящего параграфа выражения для про-
продольной и поперечной компонент электрического поля
(9.106)
? =__
Как видно, это поле может быть потенциальным (т. е. rot E = 0)
лишь при условии
д2(\пп)/дгдг = 0, (9.108)
т. е. когда
п (г, r)=--nz(z)nr(r). (9.109)
Из (9.106), (9.107) следует, что в сильном магнитном поле знаки
заряда боковых и торцовых стенок баллона противоположны
10* 291
^Az
e
i mi Ti
Via Te
Via
n
Vea Via
юЯе ®Hl
Via Vea
gradr n
n


(рис. 9.5, а). Торцовые стенки заряжаются отрицательно, так как
электроны диффундируют вдоль магнитного поля много быстрее
ионов. Напротив, боковые стенки заряжаются положительно, по-
поскольку коэффициент диффузии ионов больше коэффициента диффу-
диффузии электронов. Подстановка полей (9.106), (9.107) в уравнение
распада (9.104) приводит его к виду
Рис. 9.5
где коэффициенты ?>л и и Dax определяются соотношениями G.73),
(9.93). Частное решение уравнения, удовлетворяющее граничным
условиям, имеет вид
п = я0 exp (—t/x)J0 (г/Лх) cos г/Лц, (9.111)
где длины А± = а/2,405 и Лц = din выбраны так, чтобы на грани-
границах при г ~ аяг r= ±dl2 (d — длина баллона) концентрация обра-
обращалась в нуль. Постоянная времени распада в (9.111) определяется
соотношением
т = (Дч/AJ + DA±/Al)-\ (9.112)
в соответствии с которым эффективная скорость диффузионного
устранения, характеризуемая величиной 1/т, равна сумме величин
1/тц и 1/tj_, соответствующих продольному и поперечному амбипо-
лярному переносу частиц. Можно показать, что общее решение
уравнения диффузии при нулевых граничных условиях (9.98),
(9.101) на поздних стадиях распада стремится к полученному
частному решению.
292


Следует, однако, отметить, что в магнитном поле часто реали-
реализуется неамбиполярный режим диффузии, характеризующийся
протеканием по плазме диффузионных токов. Так, например, при
распаде плазмы в баллоне с проводящими стенками распределение
зарядов, изображенное на рис. 9.5, а, не может быть получено.
Токи по стенкам приводят к выравниванию потенциала и к измене-
изменению распределения электрического поля в плазме. Соответственно
появляются и токи в плазме. В частности,- можно представить себе
ситуацию, когда электроны диффундируют в основном вдоль маг-
магнитного поля (у них время диффузии поперек поля много больше
времени продольной диффузии De\\IL\ <C De±/Lx)y а ионы — попе-
поперек поля (у них, напротив, велико время продольной диффузии
Di\\IL\ <C Di±/L±). При этом в плазме возникает ток, замыкающий-
замыкающийся по стенкам (рис. 9.5, б). Постоянная времени распада плазмы
определяется при этом временем ухода более медленной компоненты,
т. е. тец или T/j_:
твц « Dell/L$; т/± ttDeJLl. (9.113)
Оно может быть много меньше времени амбиполярной диффузии
(9.112). Ускорение диффузии, обусловленное неамбиполярным пере-
переносом электронов и ионов на проводящие стенки, называют обычно
эффектом короткого замыкания.
Аналогичный эффект можно наблюдать при размещении цилин-
цилиндрического баллона с плазмой под углом к магнитному полю, при
диффузии в баллоне сложной формы, при помещении внутрь плаз-
плазмы металлических тел и т. д. Таким образом анализ диффузии за-
заряженных частиц в магнитном поле требует детального разбора
условий формирования поля пространственного заряда и распреде-
распределения токов в плазме.
Баланс энергий электронов и ионов в сильном магнитном поле
рассматривается аналогично тому, как это делалось в отсутствие
магнитного поля (см. § 7.5, 7.6). Отличия связаны с уменьшением
поперечных коэффициентов переноса и е изменением граничных
условий. Не останавливаясь на детальном анализе этих отличий,
отметим лишь, что резкое ослабление поперечной теплопроводности
электронной компоненты в сильном магнитном поле приводит к то-
тому, что роль потерь энергии, связанных с теплопроводностью, пре-
пренебрежимо мала. Поэтому уравнение баланса энергии электронов
оказывается локальным, т. е. определяется соотношением эффектив-
эффективного джоулева нагрева и эффективных потерь энергии в результате
упругих и неупругих столкновений электронов.
§ 9.5. Направленное движение заряженных частиц
сильноионизованной плазмы поперек магнитного поля
Рассмотрим направленное движение в плазме, в которой частота
столкновений заряженных частиц друг с другом и частота их столкно-
столкновений с нейтральными частицами сравнимы. Направленное движе-
движение вдоль магнитного поля будет таким же, как и в отсутствие по-
293


ля. Соответственно для продольной компоненты направленной
скорости можно использовать выражения, полученные в § 7.9.
Определим здесь ее поперечную составляющую.
Начнем со случая полностью ионизованной плазмы. Усреднен-
Усредненные поперечные уравнения движения электронов и ионов полностью
ионизованной плазмы в магнитном поле для стационарных условий
можно записать в виде
i^^- = 0, (9.114)
где ma8uj8t — столкновительный член, обусловленный электрон-
ионными столкновениями. При этом, поскольку импульс при таких
столкновениях сохраняется, можно записать
т еби е1Ы = —тьЬщ1Ы. (9.115)
Выражение для столкновительного члена было определено в § 7.9.
В соответствии с G.144) и G.145)
'.,D.-11,) + -!-^*, (9Л16)
5 пТ
et
где v'ei = D V2n/3)(ne*/ml/2Tl/2)L e — частота электрон-ионных
столкновений, усредненная по максвелловскому распределению;
qe — вектор теплового потока электронов. Поперечные компоненты
вектора теплового потока определяются равенством (9.32). Для
достаточно больших полей, в которых сояе ^> у eh vea> наибольшей
является дрейфовая компонента
Подставляя ее в (9.116) и опуская остальные компоненты (величи-
(величины которых меньше ^ в vei/coHe и (vei/o>HeJ раз), получаем
e]. (9.117)
Первое из слагаемых определяет силу трения при электрон-
ионных столкновениях
Re.= _R.e== -mevei (q,-u,), (9.118)
второе слагаемое — термосилу
К = - К = —I" — Ih x gradrj. (9.119)
Легко убедиться, что формула (9.119) совпадает с (9.28;, так как
для электрон-ионных столкновений vei ~ 1/Те/2 и gJi =
= (Te/vei)dvei/dTe = -3/2.
294


Подставляя столкновительный член (9.117) в (9.114) и учитывая
(9.115), получаем поперечные уравнения движения электронов
и ионов в виде
— mevei(uex—ui±) = 0; _ (9.120)
eEJ.-i-gradL(n7J)+ — [ut± x H] +4 ^- X
ft С Z He
X [h x grad Te] + mevei (ue±-ui±) = 0. (9.121)
Рассмотрим сначала движение заряженных частиц в полностью
ионизованной однородной плазме под действием электрического
поля. Полагая в этом случае grad п = 0 и grad Те = 0, получаем
—еЕ± - [ие± X Н]—me vei (ue±—ua) = 0;
с
— [u/jl X H] + mevei (ue±—u/JL) = 0.
(9.122)
Складывая уравнения, легко убедиться, что они приводят к равен-
равенству скоростей электронов и ионов. При этом сила трения обра-
обращается в нуль и решение дает скорость электрического дрейфа
(8.27) в условиях, когда столкновения отсутствуют:
ие± = щ± = [Е X Н]/Я2. (9.123)
Полученный результат означает, что в однородной полностью иони-
ионизованной плазме постоянное поперечное электрическое поле не вы-
вызывает тока, т. е. поперечная проводимость такой плазмы равна
нулю. Этот результат понять нетрудно. В отсутствие столкновений
электроны и ионы под действием постоянного электрического поля
дрейфуют с одинаковой скоростью, равной (9.123). Естественно
поэтому, что столкновения между ними не приводят к трению. Рас-
Рассуждая по-другому, можно перейти к системе отсчета, движущейся
со скоростью дрейфа. В ней направленные скорости электронов и
ионов равны нулю, а электрическое поле отсутствует. Очевидно,
что в таких условиях столкновения не могут привести к возникно-
возникновению направленного движения.
Следует, однако, еще раз подчеркнуть, что вывод об отсутствии
тока справедлив для однородной плазмы. В неоднородной плазме
столкновения могут привести к возникновению тока. Представим
себе, например, что в направлении, перпендикулярном электрическо-
электрическому и магнитному полям, существует препятствие движению заряжен-
заряженных частиц и их направленная скорость равна нулю. Как следует
из общего уравнения (9.114), это возможно, если в направлении
электрического дрейфа [Е X Н] есть градиент давления. Тогда
проекция лоренцевой силы на направление электрического поля
295


обратится в нуль и уравнение движения в направлении электри-
электрической силы (9.122) будет таким же, как в отсутствие магнитного
поля. Пусть, например, электрическое поле направлено вдоль оси
Ох, а движение в направлении Оу ограничено так, что иу = 0. Тог-
Тогда проекция уравнения (9.122) на ось Ох приведет к равенству
еЕ = —mevei(uix — иех),
откуда для силы тока найдем выражение
^t, (9.124)
аналогичное формуле G.152), полученной в отсутствие магнит-
магнитного поля. Этот эффект называют иногда эффектом восстановления
поперечной проводимости плазмы при подавлении электрического^
дрейфа.
Найдем теперь решение уравнений (9.120), (9.121) в общем слу-
случае, когда наряду с электрическим полем имеются градиенты тем-
температуры и концентрации. Складывая эти уравнения, получаем
X Н] = —gradj. n (Т. + Tt).
п
Это равенство дает разность поперечных скоростей электронов
и ионов
(9.125)
Подставив ее в (9.120), получим векторное уравнение
еЕ±-±
Умножая его векторно на h, определим направленную скорость
электронов:
= f [Е X h]-^.[hx gradWl -^Щ^- X
<9Л26)
и с помощью (9.121) — направленную скорость ионов:
296


Первые два слагаемых этих выражений дают скорость дрейфа
электронов и ионов — дрейф под действием электрического поля
и диамагнитный дрейф, связанный с градиентом давления. Эти ком-
компоненты рассматривались ранее для бесстолкновительной плазмы
(см. § 8.6). Поэтому отметим лишь, что столкновения заряженных
частиц друг с другом на них не влияют. Остальные слагаемые для
электронов и ионов одинаковы:
(9.128)
Они определяют диффузию заряженных частиц поперек магнитного
поля: первый — диффузию, вызванную градиентом концентрации,
второй — термодиффузию. Коэффициент поперечной диффузии в
магнитном поле равен множителю при первом слагаемом:
De± = Di± = vei(Te+ Tt)Im «©A.. (9.129)
Из полученных формул видно, что диффузия в полностью ионизо-
ионизованной плазме является амбиполярной (т. е. коэффициенты диффузии
электронов и ионов равны) независимо от напряженности электри-
электрического поля.
' Поперечные диффузионные потоки заряженных частиц в сильных
магнитных полях, в которых циклотронная частота много больше
частоты столкновений, могут быть определены и другим способом,
основанным на суммировании смещений ларморовских центров за-
заряженных частиц при столкновениях. Такой способ позволяет наи-
наиболее просто/ проанализировать диффузию в плазме произвольного»
состава. При этом, поскольку столкновения различных типов неза-
независимы, диффузионный поток частиц данного сорта получается в
результате суммирования потоков, связанных со всеми типами
столкновений:
(9.130)
Каждый из этих парциальных потоков может быть, в свою очередь,
найден с помощью формулы (9.70), дающей связь плотности потока
со смещением частиц:
где <Ал:аб>1 — среднее смещение, a <(AxapJ>i — средний квад-
квадрат смещения частиц а в направлении градиента концентрации,
обусловленный их столкновениями с частицами р в единицу време-
времени. Для простоты будем полагать, что градиенты температуры от-
отсутствуют. Смещение ларморовского центра при одном столкновении
297


связано с изменением скорости соотношением (9.61)*:
ста
Диффузионный поток, обусловленный хаотическими смещения-
смещениями при cтoлкнoвeнияxf как и в случае слабо ионизованной плаз-
плазмы, может быть найден с помощью формулы (9.75) для среднего
квадрата смещения.
cot
¦V<xp =
,pvap, (9.132)
Рис. 9.6
где
р
В диффузионном потоке, связанном со столкновениями заря-
заряженных частиц, следует учитывать также эффект несимметрии
смещения, обусловленный градиентом концентрации частиц, столк-
столкновения с которыми вызывают диффузию. Эта составляющая пото-
потока связана со средним смещением. Суммирование смещений по
столкновениям и усреднение по скоростям сталкивающихся частиц
в соответствии с (9.65) дают
(9.133)
где правая часть усреднена по скоростям частиц а и р. При усред-
усреднении следует иметь в виду, что ларморовский центр частиц р при
столкновении не совпадает с ларморовским центром частицы а.
Расстояние между ними определяется векторами ра, рр, проведен-
проведенными из центров к точке столкновения (рис. 9.6):
rJ_0|3 —
Ра — Pj3 = h X (Va/сОяа —
(9.134)
Соответственно концентрация заряженных частиц р, входящая в
частоту столкновений vap, должна браться в точке хор, которая от-
отстоит от хоа на расстоянии, зависящем от скорости частиц. Полагая
* Мы полагаем далее в этом параграфе ®На = Za eH/cma, чтобы учесть
случай | Za | > 1.
298


изменение концентрации на длине хо$ — хОа малым, можно исполь-
использовать следующее разложение для щ\
Щ = Щ (Хоа)
+ (VVy/<dH$ — Vay/®Ha) дп$/дх. (9.135)
Подставляя его в (9.133) и учитывая, что vap ~ щу находим
К {Va
(9.136)
где v«p определяется в точке
П
p р
При усреднении по скоростям будем считать распределение ско-
скоростей частиц обоих сортов изотропным. Тогда первое слагаемое об-
обращается в нуль и формула принимает вид
Г —
Z
Za I пл дх
дх
(9.137)
где va^ — частота столкновений, усредненная с весом и2. Подстав-
Подставляя полученные соотношения для (kxa$\ (9.137) и <(Длга|зJ>1
(9Л32) в (9.131), получаем общее выражение для плотности диффу-
диффузионного потока частиц а, обусловленного их столкновениями с час-
частицами р под действием градиентов концентрации сталкивающихся
частиц. В векторной форме это выражение можно записать следую-
следующим образом:
(9.138)
Для случая диффузии электронов, вызванной их столкновениями
с однозарядными ионами, подставив в (9.138)
Za=—1; Zp=l; na = n$ = n\ |iap = we;
Та§ =¦ Та = Те\ Т$ = Тг; va$ = vei,
получим
(9.139)
299


Эта формула, как и следовало ожидать, совпадает с (9.128) при
grad Te = grad Tt = 0.
Обсудим более детально механизм диффузии электронов, вы-
вызванной их столкновениями с ионами, под действием градиента кон-
концентрации. Как уже неоднократно отмечалось, диффузия в сильном
магнитном поле вызывается смещением ларморовских центров при
столкновениях. Для электронов эти смещения сравнимы с ларморов-
ским радиусом. Обычный диффузионный поток, обусловленный хао-
хаотическим перемещением ларморовских центров при столкновениях,
определяется средним квадратом смещения электронов:
J>1« Vet Рне « 2vei Tjmecob. (9.140)
Плотность этого потока в соответствии с (9.31) равна
Т'   1 _d_ /„ у/а \2\ \^у Vet Те ( дпе , Пе
Lei Г" ^ vVvV^^e/ /1/~ « IT Г1
с/а: me(ujje \ дх yei дх
^eiTe ( дпе , п, dm \ (9И1)
ал; л« dx
Дополнительный поток возникает при учете асимметрии пере-
перемещения ларморовских центров, связанной с градиентом концент-
концентрации ионов. Действительно, направление смещения зависит от то-
того, на каком участке траектории произошло столкновение. Это
иллюстрирует рис. 9.2 на примере лобового столкновения. Столкно-
Столкновения справа от ларморовского центра приводят к смещению на-
направо, слева — к смещению налево. Поэтому, если частота столкно-
столкновений с одной стороны больше, чем с другой (из-за большей концент-
концентрации ионов), возникает поток электронов в сторону большей час-
частоты столкновений. Различие значений частоты столкновений на
противоположных сторонах ларморовской окружности имеет по-
порядок
(9.142)
дх tit dx
Поскольку среднее смещение при столкновениях порядка лармо-
ларморовского радиуса, поток, возникающий из-за этого различия, равен
п% дх
(9.143)
me (ofje щ дх
Еще одна причина появления добавочного потока — различие
импульсов, передаваемых электрону при столкновениях с ионами,
движущимися в разные стороны (рис. 9.7). Легко видеть, что при
лобовом столкновении добавочное изменение скорости электрона,
связанное с движением иона, имеет величину bve « 2vt. Это изме-
изменение приводит и к соответствующему изменению смещения лармо-
300


ровского центра электрона на Axi « 8ve/(dHe « щ1^нш- Как видно
из сравнения столкновений с различной ориентацией ие и t^ (слу-
(случаи а, б, в, г на рис. 9.7), добавочное смещение Ах'е направлено в
сторону, противоположную ларморовскому центру иона. Различие
частот столкновений с ионами, пришедшими с разных сторон,
имеет порядок ^
dvei
9т ~ 9т vei
6v,
ei
дх
дх
(9.144)
Рис. 9.7
Возникающий из-за этого различия поток равен
Пе
те (ofae
^~. (9.145)
дх
Суммирование всех трех компонент потока приводит к (9.139),
т. е. дает правильную оценку полного потока электронов.
С помощью общей формулы (9.138) можно определить диффу-
диффузионный поток ионов, обусловленный их столкновениями с электро-
электронами. Для однозарядных ионов при Те = Tt плотность потока
равна*:
щ + Те -^- gradj, n€
(9.146)
* Можно показать, что при ТеФТ% формула (9.138) неприменима для
описания диффузии ионов. При этом необходимо учитывать дополнительный
поток ионов, обусловленный пространственной неоднородпостью передачи энер-
энергии при столкновениях.
301


При концентрации ионов, совпадающей с электронной, этот поток
равен электронному (9.139) Tie = Tei. Нетрудно понять этот ре-
результат. Смещение ларморовских центров сталкивающихся частиц
в соответствии с (9.61) определяется изменением их импульса
ZaeH
A(mava).
(9.147)
Поэтому закон сохранения импульса при столкновении электронов
с ионами A(meve) = —А (гщ\г) приводит к равенству величины и
направления смещений их лар-
ларморовских центров при столк-
столкновении Агое = Дг0*.
Из одинаковости смещения
при каждом столкновении не-
непосредственно вытекает равен-
равенство диффузионных потоков
электронов и ионов. Картину
смещений при i столкновении
электрона и иона иллюстрирует
рис. 9.8 (на примере лобового
столкновения). После такого
столкновения электрон изме-
изменяет направление движения на
противоположное и его лармо-
ровский центр смещается на
расстояние Арне « 2рне- У иона
уменьшается абсолютная вели-
величина скорости и соответствен-
соответственно ларморовский радиус изме-
изменяется на величину 2рне, что
приводит к смещению ларморовского центра на то же рассто-
расстояние и в ту же сторону, что и у электрона.
Рассмотрим теперь влияние столкновений одинаковых заря-
заряженных частиц на поперечную диффузию. Общая формула (9.138)
свидетельствует об отсутствии потоков, связанных со столкновения-
столкновениями одинаковых частиц; подстановка в нее Za = Zp, Ta = Тр, па II
= щ приводит к Гоа = 0. Это означает, что диффузионный поток,
обусловленный средним квадратом смещения <(AxaaJ>> точно ком-
компенсируется потоком, определяющим среднее смещение <Дхаа>
и связанным с асимметрией столкновений при наличии градиента
концентрации. Объяснение этого результата можно получить, рас-
рассматривая смещения при столкновениях одинаковых частиц. При
лобовом столкновении частицы просто меняются местами (рис. 9.9, а).
При произвольном столкновении в силу закона сохранения импуль-
импульса смещения ларморовских центров сталкивающихся частиц равны
по величине и противоположны по направлению Аг01 = —Аг02
(рис. 9.9, б). Очевидно, при усреднении оба потока взаимно компен-
Рис. 9.8
302


сируются, если градиент концентрации в точках г01 и г02 сохраняет
свое значение.
Более точное вычисление, учитывающее изменение градиента
концентрации на длине порядка ларморовского радиуса, приводит
к выводу о том, что в результате неполной компенсации появляется
поток, пропорциональный высшим производным концентрации.
При ларморовском радиусе заряженных частиц, много меньшем
характерных поперечных длин изменения концентрации, этот поток
имеет порядок р#а/?1 и им обыч-
обычно можно пренебречь. В таких
условиях в полностью ионизо-
ионизованной плазме, состоящей из
электронов и ионов одного сор-
сорта, поперечная диффузия элек-
электронов полностью обусловлена
их столкновениями с ионами, а
диффузия ионов — их столкно-
столкновениями с электронами, причем
диффузионные потоки электро-
электронов и ионов одинаковы, т. е.
диффузия амбиполярна незави-
независимо от электрического поля в
плазме.
Если в плазме, состоящей в
основном из электронов и од-
однозарядных ионов, имеются и
примесные ионы, заряд которых
больше единицы, то возникает
диффузионный поток, обуслов-
обусловленный ионными столкновени-
столкновениями. При таких столкновениях
смещение ларморовского цент-
центра ионов порядка ионного ларморовского радиуса, т. е. значи-
значительна больше, чем при ион-электронных столкновениях. Поэтому
диффузия ионов основной плазмы, обусловленная ион-ионными
столкновениями, может быть существенной даже при малой
концентрации примесных ионов. Соответствующий диффузионный
поток может быть найден с помощью формулы (9.138). Полагая
в ней Та = Т$ = Tap и Za = 1, получаем
Рис. 9.9
тг grad± щ ~
grad± П
'148)
где индекс р применен для обозначения характеристик примесных
ионов. При одинаковых относительных градиентах концентрации
отношение этого потока к потоку ионов, обусловленному ион-
303


электронными столкновениями, равно
_. (Zp~ 1) Щ%_ Vjp
Tie ZP me vfc ne(Te+Ti) 9 K
а при Те ^ Tt
^7 (9Л50)
Плотность потока примесных ионов в соответствии с (9.138) равна
(9.151)
Этот поток, как легко убедиться, много больше потока примес-
примесных ионов, обусловленного ион-электронными столкновениями. При
одинаковых относительных градиентах из сравнения (9.148) и (9.151)
получаем
Tpi = -(l/Zp)Tip. (9.152)
Существенно, что поток примесных ионов в этом случае направлен
не против градиента концентрации, как обычный диффузионный
поток, а в сторону увеличения концентрации. Противоположное
направление потока основных и примесных ионов связано с соот-
соотношением смещения их ларморовских центров при столкновении —
в силу закона сохранения импульса смещения ларморовских цент-
центров сталкивающихся ионов направлены противоположно друг дру-
другу. В стационарном состоянии при условиях, когда ионы образуют-
образуются в центральной части объема плазмы и их концентрация умень-
уменьшается к периферии, диффузия ионов обоих типов также должна
быть направлена к периферии. Поэтому стационарное распределе-
распределение концентрации не может характеризоваться одинаковыми отно-
относительными градиентами концентрации ионов обоих типов. Ионы
с большим зарядом должны концентрироваться в центральной час-
части объема сильнее, чем ионы с меньшим зарядом. Как видно из
формулы (9.151), для того чтобы поток ионов примеси был направлен
в сторону уменьшения концентрации, должно удовлетворяться не-
неравенство
grad (In np) > Zp grad (In nt). (9.153)
Условие (9Л53) определяет существенно более быстрый спад кон-
концентрации примесей к периферии по сравнению со спадом концент-
концентрации основной компоненты плазмы (быстрее, чем nZp).
Мы рассмотрели поперечную диффузию заряженных частиц пол-
полностью ионизованной плазмы, обусловленную столкновениями за-
заряженных частиц друг с другом. В случае, когда плазма частично
ионизована, на поперечное направленное движение могут оказы-
оказывать влияние как столкновения между заряженными частицами,
так и их столкновения с нейтральными частицами. В сильном маг-
магнитном поле, в котором циклотронные частоты заряженных час-
304


тиц много больше частоты их столкновений, влияние соударений
различных типов на поперечное движение является аддитивным.
В соответствии с (9.130) полный поперечный поток заряженных
частиц каждого сорта в направлении градиента концентрации
и электрического поля можно получить в результате суммирования
потоков, обусловленных столкновениями этих частиц со всеми за-
заряженными и нейтральными частицами, входящими в состав плаз-
плазмы. Для трехкомпонентной плазмы, содержащей электроны, одно-
зарядные ионы и нейтральные частицы, поперечные потоки электро-
электронов и ионов могут быть получены суммированием (9.8) и (9.139):
t) d
где учтено, что при mt = ma \iin = т*/2. В режиме амбиполярной
диффузии, рассмотренной в § 9.4, потоки электронов и ионов рав-
равны. Приравняв их, найдем амбиполярную напряженность электри-
электрического поля, которая совпадает с (9.94). В таком поле амбиполяр-
ный поперечный поток представляет собой сумму амбиполярного
потока (9.96), обусловленного столкновениями заряженных час-
частиц с нейтральными, и потока (9.139), обусловленного электрон-
ионными столкновениями:
д пиА± = (^+^} (Ге+Ti) gradj. д. (9.156)
ты*
В этом выражении коэффициент перед grad±n является коэффициен-
коэффициентом амбиполярной диффузии частично ионизованной плазмы
те + Тг). (9.157)
Из рассмотрения усредненных уравнений движения следует, что
эта формула справедлива при условии
;> (vea + vei) v
ia.
В заключение этого параграфа отметим, что проведенное рас-
рассмотрение справедливо до тех пор, пока магнитное поле не влияет
на сам процесс столкновений заряженных частиц» В очень больших
магнитных полях, в которых ларморовский радиус электронов
305


меньше дебаевского рне < Гя и тем более при р#/ < /*#, необхо-
необходимо учитывать влияние магнитного поля на столкновения элект-
электронов с ионами. В этом случае смещение ларморовского центра
электронов в процессе столкновения определяется его дрейфом
в электрическом поле иона. Как показывает анализ, выражения для
диффузионных потоков, возникающих в результате такого дрейфа,
отличаются от выражений, полученных выше, лишь численным мно-
множителем порядка единицы. Получающееся изменение в выражении
для потоков формально сводится при этом к переопределению куло-
новского логарифма в формуле для эффективной частоты столкно-
столкновений.
§ 9.6. Поперечный перенос энергии
в сильноионизованной плазме
Переходя к рассмотрению переноса энергии в сильноионизо-
сильноионизованной; плазме, начнем с определения теплового потока электро-
электронов для условий, когда частота электрон-ионных столкновений
много больше частоты столкновений электронов с нейтральными ато-
атомами. Уравнения, дающие тепловой поток электронов в таких ус-
условиях, можно получить, подставляя в уравнения третьего момен-
момента F.80) столкновительные члены, учитывающие столкновения
электронов с ионами F.83) и друг с другом F.85). Тогда в стаци-
стационарном случае получим
2 те тес
^Vinn^ + l
-0, (9.158)
где vei — усредненная частота электрон-ионных столкновений;
коэффициент 1,87 получен в результате суммирования частот элект-
электрон-ионных и электрон-электронных столкновений [ср. с F.86)].
Проекция этого уравнения на направление магнитного поля при-
приводит к выражению для продольного теплового потока qeu, сов-
совпадающему с выражением G.160), полученным в отсутствие маг-
магнитного поля. Проекция уравнения на плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную магнитному полю, представляет собой векторное уравнение от-
относительно qe±, аналогичное рассмотренному ранее в §9.1. Его
решение имеет вид
+ ^ f h X \± Ш gradx Te-
"L + (lAJl L2 m°
-у«7>ег("м.-«/х)]}- (9-159)
306


Это выражение упрощается в случае больших магнитных полей,
т. е. при (x>Hel$>Vei- Пренебрегая членами, пропорциональными
Veh и подставляя (иех — Щх) из (9.125), получаем:
<le± = Vet + 4ed + Чеи'> (9 Л 60)
^^ grad 7е; (9Л61)
№ X gradrj; (9.162)
i?- grad [л (Ге + Г,)], (9.163)
2 m <a?
где составляющая qet — тепловой поток в направлении градиента
температуры; qed — тепловой поток, связанный с диамагнитным
потоком; составляющая qeu определяется направленным движе-
движением, она возникает, как и в слабоионизованной плазме, из-за за*
висимости частоты столкновений от .скорости. Коэффициент про-
пропорциональности между тепловым потоком qet и grad Te представ-
представляет собой электронную теплопроводность
Жех = пхех = 4,66vei nTJme ю^. (9.164)
Численный коэффициент в (9.164) соответствует точному рас-
расчету при (дне ^>veJ-. Происхождение поперечного теплопереноса,
обусловленного теплопроводностью, такое же, как и для слабоио-
слабоионизованной плазмы. Столкновения электронов с ионами приводят
к смещению электрона на расстояние порядка ларморовского ра-
радиуса электрона, причем происходит обмен местами между элект-
электронами с большей и меньшей температурой. Поэтому в системе от-
отсчета, в которой направленная скорость равна нулю, поток энер-
энергии, связанный с электрон-ионными столкновениями, отличен от
нуля. Кроме того, электрон-электронные столкновения также при-
приводят к обмену местами между электронами с различными темпе-
температурами на расстояниях порядка их ларморовских радиусов.
Естественно, что тепловой поток, переносимый электронами в на-
направлении градиента температуры, описывается выражением, ана-
аналогичным (9.33), полученным для слабоионизованной плазмы, в ко-
которой поток обусловлен электрон-атомными столкновениями. От-
Отличие состоит в замене частоты электрон-атомных столкновений
vea на частоту кулоновских столкновений vei и в появлении чис-
численного коэффициента. Природа других компонент теплового пото-
потока (компоненты, связанной с диамагнитным потоком qed, и компо-
компоненты, обусловленной направленным движением qeu) также обсуж-
307


далась при рассмотрении переноса тепла в слабоионизованной
плазме, поэтому не будем на них снова останавливаться.
Определим теперь поперечный тепловой поток ионов для плаз-
плазмы с высокой степенью ионизации, в которой частота ион-ионных
столкновений много больше частоты столкновений с атомами. При
этом столкновительный член уравнения теплового потока ионов оп-
определяется ион-ионными столкновениями (ион-электронные столк-
столкновения играют пренебрежимо малую роль из-за их малого воздей-
воздействия на движение ионов и на передаваемую энергию). Подставляя
ион-ионный столкновительный член F.85) в уравнение третьего
момента F.80), получаем для стационарных условий
± J?L grad T — [q, X H] = -0,8v« qf, (9.165)
m с
grad Tt
2 rtii mi с
где усредненная частота ион-ионных столкновений равна
— 8 "|/гГ е^щЦ
""-Тщ-фГ-- <9-166>
Уравнение (9.165) является векторным уравнением относитель-
относительно теплового потока ионов. Определяемая им продольная компо-
компонента потока q^| такая же, как и в отсутствие магнитного поля
G.162). Поперечная компонента qi± получается после проектиро-
проектирования уравнения на плоскость перпендикулярную магнитному
полю. При произвольном соотношении vit и (oHi она имеет вид
5 nTi 0,8уи gradjL Ti—®m № X
2
2 щ co
В сильных магнитных полях, в которых co#j:^>v^, выполняется
соотношение
h X ё™* Тй]. (9.168)
Коэффициент в первом слагаемом, определяющим поток тепла
в направлении поперечного градиента температуры, представляет
собой коэффициент поперечной теплопроводности ионов:
(9.169)
При температуре ионов, сравнимой с температурой электронов,
он значительно больше коэффициента теплопроводности электро-
электронов:
^7- (9Л7°)
Этот результат связан с тем, что поперечная теплопроводность
ионов обусловлена ион-ионными столкновениями, при которых
308


смещение ларморовских центров ионов имеет порядок ионного лар-
моровского радиуса, т. е. гораздо больше, чем смещение ларморов-
ларморовских центров электронов при столкновениях.
Как отмечалось в § 9.5, столкновение одинаковых частиц в сред-
среднем не приводит к их перемещению. Однако оно сопровождается
обменом местами ионов с различной температурой. Поэтому возмо-
возможен поперечный тепловой поток, имеющий порядок
Ян. ~ Pmvu nTt dTJdx. (9.171)
Эта оценка аналогична оценке теплового потока электронов в § 9.3.
Полученные выражения для направленных скоростей и тепло-
тепловых потоков заряженных частиц позволяют определить уравнения
баланса их энергий. Для этого необходимо подставить найденные
соотношения в уравнения второго момента F.77), F.78), рассмот-
рассмотренные в § 6.3. Не будем приводить здесь получающиеся в общем
случае довольно громоздкие уравнения. Рассмотрим лишь суммар-
суммарное уравнение баланса энергии полностью ионизованной плазмы,
которое получается в результате сложения уравнений баланса энер-
энергий электронов и ионов [уравнения F.77) и F.78)]. Для условий,
когда потери энергии связаны с поперечной теплопроводностью,
а нагрев плазмы определяется продольным электрическим полем,
это уравнение имеет вид
— п л*-г"> + div (Ori± grad Тг) = а„ ?,2,, (9.172)
где 9Cilm — поперечная теплопроводность ионов, определяемая
равенством (9.169); ац — продольная проводимость, определяемая
формулой G.153). Здесь мы учли, что в соответствии с (9.170) qt±^>
^> qe±, и пренебрегли потоком тепла, связанным с электронной
теплопроводностью, а также опустили слагаемые, пропорциональ-
пропорциональные направленной скорости (можно показать, что они имеют тот же
порядок, что и div qej_).
Для оценки эффективности процессов, описываемых уравнением
баланса энергий, можно так же, как это было сделано в § 7.10, ввес-
ввести характерные времена. Найдем их для случая Те = Тг с помощью
соотношения тр = Т (dT/dfyp1, где индекс р обозначает рассматри-
рассматриваемый процесс. В соответствии с этим, используя формулы (9.169),
G.153) для CfCi:L и ац, получаем характерные времена теплопереноса
и нагрева плазмы электрическим полем
L1; (9.173)
т = ^пТе — 3 meVejTe C9 174)
где Lx = [(IIT)grad^T]-1 — характерный поперечный размер, на
котором изменяется температура.
309


Уравнение (9.172) дает изменение суммарной энергии электро-
электронов и ионов. Соотношение их температур можно найти с помощью
уравнения баланса энергии электронов. При пренебрежении поте-
потерями тепла, связанными с поперечной электронной теплопровод-
теплопроводностью, оно имеет вид
dTjdt = (Гц Е* - >Xe7vei{Te ~ Tt)t (9.175)
где первое слагаемое правой части определяет нагрев электронов,
второе — передачу энергии электронов ионам при столкновениях»
Уравнение баланса энергии электронов рассмотрено в §7.11. Это
рассмотрение показывает, что стационарное решение уравнения
существует лишь при не очень больших электрических полях, при
которых Те—Тг < 0,57V При больших полях происходит «убе-
«убегание энергии» электронов и должны вступить в силу другие меха-
механизмы потерь, в частности потери, связанные с возбуждением ато-
атомов (если таковые имеются), — потери на излучение. Заметим, что
и при наличии таких механизмов стационарный баланс энергии
электронов в продольном электрическом поле может оказаться
неустойчивым по отношению к перегреву электронов (так называе-
называемая перегревная неустойчивость). Случайное увеличение темпера-
температуры в некоторой силовой трубке приводит к росту проводимости
0ц ~ l/vei ~ TZJ2. При этом увеличивается ток и растет энергия
нагрева о\\Е2, что влечет за собой дальнейший рост проводимости.
Если полный ток ограничен, то увеличение тока в рассматриваемой
силовой трубке происходит за счет уменьшения тока в другом эле-
элементе поперечного сечения, приводящего к уменьшению электрон-
электронной температуры и проводимости. В результате нарастание возму-
возмущения ведет к концентрации тока в одном или нескольких шнурах.
Развитие перегревной неустойчивости ограничивается поперечной
электронной теплопроводностью «размазывающей» область повы-
повышенной температуры. Другим ограничивающим фактором может
оказаться рост потерь на излучение при увеличении электронной
температуры.
§ 9.7. О процессах переноса в тороидальных магнитных
конфигурациях
Описание процессов переноса в неоднородном магнитном поле
существенно более сложно, чем'в однородном. Усложнение обус-
обусловлено в первую очередь дрейфом заряженных частиц, вызванным
неоднородностью и приводящим к разделению зарядов в плазме.
Возникающее в результате электрическое поле может изменить
эффективность переноса заряженных частиц и их энергии поперек
магнитного поля, причем характер этих изменений зависит от кон-
конкретного вида магнитной конфигурации. Рассмотрим некоторые
особенности процессов переноса в тороидальных магнитных конфи-
конфигурациях. Основной причиной этих особенностей является торои-
тороидальный дрейф заряженных частиц,
310


Обсудим сначала перенос заряженных частиц слабоионизован-
слабоионизованной плазмы в тороидальном магнитном поле. Будем считать, что маг-
магнитное поле направлено вдоль азимута и убывает обратно пропор-
пропорционально радиусу Н = Но Ro/R. Полагая, что малый радиус тора
много меньше большого r<^R, можем считать градиент магнитного
поля | grad H\/H= l/R0 постоянным в области, в которой находится
плазма. Тороидальная неоднородность приводит к дрейфу электро-
электронов и ионов в направлении, перпендикулярном магнитному полю
и неоднородности, т. е. в направлении оси тора. Введя локальную
прямоугольную систему координат в сечении тора, направим ось
Ох в направлении большого радиуса; при этом дрейф ионов будет
направлен вдоль Оу, дрейф электронов — в противоположном на-
направлении (см. рис. 8.26). Компоненты усредненной скорости дрей-
дрейфа, вызванного градиентом магнитного поля, при co#e:^>vett, соя/ ^>
^>via равны
uZ = 2cTt/eHR, u% = —2cTeleHR. (9.176)
Скорость разделения зарядов, обусловленная дрейфом, опреде-
определяется разностью скоростей ионов и электронов
и* = и?у—и?у = 2е {Ti + T^leHR. (9.177)
Возникающее в результате разделения зарядов электрическое поле
приводит к обратному движению. Скорости ионов и электронов
в направлении электрического поля в слабоионизованной плазме
определяются их подвижностью. С помощью (9.11), (9.12) получим
где учтено, что |ыг-а = /п$/2 при mi = та. В стационарном состоянии
скорости ин и иЕ должны компенсировать друг друга. Приравни-
Приравнивая их, находим напряженность электрического поля
В этом поле электроны и ионы испытывают дрейф в направлении
внешней поверхности тора со скоростью
udx = сЕу1Н = ЦТе + Tii/niiViaR = 2DAi/R, (9.179)
где Dai = 2(Т\ + Тг)/пггуга — продольный коэффициент амби-
полярной диффузииЧсм. G.70)]. Одновременно электроны и ионы
дрейфуют в направлении оси Оу со скоростью, близкой к и? (9.176);
однако, поскольку wf <^ ud (9.179), эта компонента дрейфа может
не учитываться.
Таким образом, тороидальная неоднородность магнитного поля
в слабоионизованной плазме приводит к стационарному движению
заряженных частиц в направлении большого радиуса тора со
скоростью (9.179). В плазме, находящейся в тороидальной камере,
311


параллельной магнитному полю, такое движение накладывается
на амбиполярную поперечную диффузию. Суммируя направленные
скорости, обусловленные диффузией (9.96) и дрейфом (9.179),
получаем
?^JL ^Ш (9.180)
где хг — единичный вектор в направлении большого радиуса. Не-
Нетрудно определить с помощью этой формулы баланс заряженных
частиц в стационарном тороидальном разряде. Стационарное урав-
уравнение баланса для случая, когда возникновение заряженных час-
частиц обусловлено ионизацией при электрон-атомных столкновениях,
а их потери — поперечным переносом, имеет вид
div(nuj = vto. (9.181)
Подставляя в него направленную скорость (9,180), получаем
при Те = const, Ti = const:
О^Д^л—-^dL —+ v'n = 0. (9.182)
R дх
Решение этого уравнения должно удовлетворять нулевым гранич-
граничным условиям вблизи стенок баллона. При малой кривизне тора
(при R ^> а) можно пренебрегать влиянием тороидальности на
А±п> В этом случае неотрицательное решение уравнения имеет вид
<9Л83>
где Л = а/2,4» Это распределение отличается от диффузионного
распределения G.94) экспоненциальным множителем, определяю-
определяющим смещение максимума в сторону тороидального дрейфа. Под-
Подстановка (9.183) в уравнение (9.182) приводит к условию баланса
частиц в стационарном разряде
v' = DAJA*+ {\IRYDh\IDAx. (9.184)
Правая часть равенства характеризует эффективность устранения
заряженных частиц, учитывающую как обычное диффузионное
устранение (первое слагаемое), так и ускорение переноса, связан-
связанное с дрейфом (второе слагаемое). Интересно отметить, что с ростом
магнитного поля, т. й. с уменьшением DA±, эффективность устране-
устранения заряженных частиц изменяется немонотонно. Она проходит
через минимум при DA± = Dai A/R.
Рассмотрим теперь перенос заряженных частиц полностью иони-
ионизованной плазмы в тороидальной конфигурации. Отметим, что ста-
стационарный дрейф полностью ионизованной плазмы в простом то-
тороидальном магнитном поле невозможен, так как поперечное элек-
электрическое поле не приводит в ней к появлению тока и не может по-
поэтому скомпенсировать разделение зарядов, связанное с торой-
312


дальным дрейфом. Здесь будет кратко рассмотрено поведение пол-
полностью ионизованной плазмы в азимутально-симметричной торои-
тороидальной магнитной ловушке, описанной в § 8.5. Напомним, что
магнитная конфигурация, используемая в такой ловушке, образует-
образуется тороидальным полем Н$ и полоидальным полем Яф (см. рис. 8.1),
причем обычно Яф <^ (rAR)#e. При рассмотрении будем считать, что
г <^ R и Яф <^г #0 . Полоидальное поле, как отмечалось в §8.1,
создает вращательное преобразование, в результате которого обра-
образуется система вложенных друг в друга тороидальных магнитных
Рис. 9.10
поверхностей^ Эти поверхности в отсутствие столкновений должны
приводить к устранению последствий тороидального дрейфа:
электрическое поле, возникающее при дрейфе, «закорачивается»
в результате движения электронов вдоль силовых линий магнит-
магнитного поля. Однако при наличии столкновений продольная проводи-
проводимость плазмы конечна и закорачивание будет неполным. Остаточное
электрическое поле приводит к дрейфу заряженных частиц плазмы
в сторону большого радиуса тора; дрейф увеличивает скорость их
переноса, связанного с градиентами концентрации и температуры.
Чтобы оценить влияние тороидального дрейфа, рассмотрим ба-
баланс заряда на некоторой тороидальной поверхности плазмы ра-
радиуса г (рис. 9.10). Скорость разделения заряда, обусловленная то-
тороидальным дрейфом, по-прежнему определяется формулой (9.177).
Подставляя ее в уравнение непрерывности, получаем изменение
плотности заряда, связанное с дрейфом:
JL) =-divHu"H-^-H<H 2ciTi+Te) ~,
dt )d V ; ду к у ' HR dy '
(9.185)
313


где используется такая же локальная система координат, как
и в предыдущей задаче, и по-прежнему величины Ти Те> R считают-
считаются постоянными в объеме плазмы.
Возникающее в результате разделения зарядов электрическое
поле приводит к компенсации дрейфа. Однако в отличие от слабо-
ионизованной плазмы в полностью ионизованной плазме поле не
вызывает поперечного тока. В магнитной ловушке оно вызывает
ток вдоль винтовых силовых линий (например, вдоль линии /—2 на
рис. 9.10). Величина этого тока определяется продольной проводи-
проводимостью плазмы G.153)
??', (9.186)
где Е' — проекция поля на направление силовой линии
Е' = 2?<р sin a = E sin ср sin a; (9.187)
?ф — проекция на направление ср; sin а = //Ф/Я (см. рис. 9.10).
Изменение плотности объемного заряда, связанное с продольным
током, определяется дивергенцией тока. Полагая, что параметры
плазмы постоянны на магнитной поверхности (из-за продольного
перемешивания), получаем
_-р-Л = div j = — -ilSL = JLJ_ (/sina) (9.188)
и, далее, подставляя (9.186) и (9.187):
dt jj meveir \ H
В стационарном состоянии увеличение объемного заряда,
обусловленное дрейфом, должно компенсироваться его уменьше-
уменьшением, вызванным током (dp/df)d = —(dpldf)j. Отсюда получаем
напряженность поля
Е= cme{Te+Ti)vei J^(JL\ i-.gjl (9 190)
е2 Н R [Ну ) п дг к '
[здесь учтено, что A/cos ф) дп/ду = дп/дг]. Это поле направлено
вдоль оси Оу и вызывает дрейф в направлении Ох (в направлении
большого радиуса). При этом на одной половине рассматриваемой
поверхности (на внешней стороне тора) дрейф происходит в сторону
увеличения г, на другой — в сторону уменьшения г. В магнитной
ловушке тороидальный дрейф не вызывает, однако, существенной
асимметрии в распределении концентраций, поскольку продольное
движение заряженных частиц приводит к их перемешиванию в пре-
пределах магнитной поверхности. Поэтому необходимо усреднить ра-
радиальные дрейфовые потоки по всей поверхности. Компенсация
дрейфов, происходящих в разных половинах поверхности, будет
неполной, так как величина внешней поверхности больше. Суммар-
314


ный радиальный поток через рассматриваемую поверхность равен,
очевидно,
2я
П- {nurdS= Г ^"Ф 2n(R+rsin<p)rdtp, (9.191)
(S) О
где dS = 2n(R + r sin (p)rd<p — элемент поверхности тора. Ин-
Интегрирование приводит к следующей формуле для средней плот-
плотности радиального потока:
Г 5±п^
r 2nR.2nr 2 Н R
Подставляя в нее (9.190), получаем
(9 192)
(Те+Тг)уе1 2Ьг_
где q — (rlR)HIHq. Этот поток направлен в сторону уменьше-
уменьшения концентрации и имеет ту же зависимость от параметров плаз-
плазмы, что и обычный диффузионный поток с коэффициентом диффузии
(9.129), он отличается лишь множителем q2. Суммарный поток мож-
можно характеризовать эффективным коэффициентом диффузии
*. (9.194)
Поскольку обычно #^>1 (см. § 10.6)» этот коэффициент намного
превышает коэффициент поперечной диффузии поперек однородно-
однородного магнитного поля.
Аналогично можно определить и другие поперечные коэффи-
коэффициенты переноса при учете тороидального дрейфа. Коэффициент
термодиффузии при этом равен коэффициенту диффузии. Эффек-
Эффективный коэффициент ионной теплопроводности, характеризующий
поперечный перенос тепла, равен
Как видно, «тороидальное» слагаемое, определяющее влияние дрей-
дрейфа, больше коэффициента теплопроводности в однородном поле
в 1,6 q2 раз.
При малой частоте электронных и ионных столкновений по-
появляется еще один эффект, приводящий к ускорению процессов пе-
переноса. Он связан с особенностями траектории дрейфа ларморов-
ских центров частиц в тороидальной магнитной ловушке. Как бы-
* Коэффициент q называют иногда запасом устойчивости, так как он
определяет устойчивость плазмы по отношению к возмущениям конфигу-
конфигурации (см. § 10.6).
** Выражение (9.194) иногда называют формулой Пфирша — Шлюпгера.
315


ло показано в § 8.5, форма этих траекторий зависит от соотношения
между продольной и поперечной компонентами скорости. Части-
Частицы, у которых это соотношение не слишком мало, оказываются
пролетными, и проекции их траекторий в тороидальном сечении
близки к окружностям. Запертые частицы, у которых это отноше-
отношение мало, имеют траектории «бананового» типа. Изменения таких
траекторий при столкновениях могут привести к поперечным сме-
смещениям заряженных частиц, значительно превышающим их смеще-
смещение в однородном магнитном поле, и соответственно к увеличению
коэффициентов переноса.
Особенно велико влияние на перенос столкновений запертых
частиц. Оценим, например, их влияние на диффузию электронов.
Ускорение диффузии, вызванное столкновениями запертых элект-
электронов, можно оценить с помощью рис. 8.20. Пусть электрон в точке
1 испытал такое столкновение, что попал в число запертых час-
частиц. Двигаясь по банановой траектории, он может испытать сле-
следующее столкновение в точке 2. Как правило, это столкновение
приводит к тому, что частица снова становится пролетной, так как
вероятность сохранения малого значения продольной составляю-
составляющей скорости при соударении невелика. Таким образом, за время
между двумя столкновениями частица может сместиться вдоль ра-
радиуса на ширину банановой траектории. В соответствии с оценкой
§ 8.5 эта ширина по порядку равна
Яф еН
T. (9Л96)
Эффективный коэффициент диффузии определяется средним квад-
квадратом смещения и для рассматриваемого механизма может быть
оценен следующим образом:
?j (?)\ (9.197)
)> ч?
где г]—доля запертых частиц, vbe—частота столкновений запер-
запертых частиц, переводящих их в пролетные.
Доля запертых частиц определяется «пробочным» отношением
при движении вдоль винтовой силовой линии Ямин/Ямакс = 1 —
— 2r/R< Это отношение дает предельный угол, соответствующий пе-
переходу из запертых частиц в пролетные:
= I — 2r/R; | *
jx/2—#0 = V2/-/i? = 6O. J
Для изотропного распределения по скоростям долю запертых час-
частиц можно выразить через этот угол
ц&8®& У7Щ. (9Л99)
316


При определении vbe надо иметь в виду, что для перехода частиц из
запертых в пролетные достаточно изменить направление их ско-
скорости на малый угол бф « Vr/R. Время поворота скорости на этот
угол в результате кулоновских столкновений, приводящих в ос-
основном к малым отклонениям, значительно меньше среднего време-
времени между столкновениями электронов с ионами и друг с другом
хе = 1Цуев + уед% которое определяется как время существенно-
существенного изменения скорости. Учитывая, что воздействие кулоновских
столкновений эквивалентно диффузии в пространстве скоростей
(см § 3.3), можно получить
i~^7-- (9-200>
Подставляя значения т], vbe в (9.197), получаем следующую оцен-
оценку коэффициента диффузии:
Более точное вычисление приводит к формуле, которая отличается
от этой лишь множителем 1,07. Как видно из сопоставления (9.201)
с (9.194) и (9,129), наличие запертых частиц приводит к значитель-
значительному росту коэффициента диффузии. Он превосходит коэффициент
диффузии в однородном поле в q2 (RlrK^ раз. Увеличение такого
же порядка происходит и для других коэффициентов переноса.
Коэффициент диффузии ионов, полученный при учете ион-ионных
столкновений, может несколько отличаться от электронного. Од-
Однако в амбиполярном режиме коэффициент диффузии практически
совпадает с (9.201). Эффективный коэффициент поперечной ионной
теплопроводности при учете запертых частиц равен*
r
= 0,80 J^UlL q2 ( ±Y'* (9.202)
и отличается от коэффициента поперечной теплопроводности в од-
однородном поле (9.169) множителем 0,4 q2 (R/rK/2.
Формулы (9.196) — (9.202) получены в предположении, что
частоты столкновений заряженных частиц достаточно малы. Для
их применения необходимо, чтобы время существования частиц
в группе запертых было больше времени обхода ею банановой тра-
траектории. Длина этой траектории порядка Ьъ ж гН/Ну, поэтому
критерий сводится к неравенству vb < v\\/Lb, или, поскольку для
запертых частиц v\\ ^ vyr/R, vb ж vRlr, находим
\*l\ (9.203)
J
* Коэффициенты переноса, обусловленные запертыми частицами, иног-
иногда называют коэффициентами Галеева — Сагдеева.
317


где %а — длина свободного пробега электронов или ионов (Ке =
= vjveu ^i = щ/vn). С ростом частоты столкновений, когда усло-
условие (9.203) нарушается, частицы за время их существования в ка-
качестве запертых проходят лишь часть банановой траектории. Со-
Соответственно их смещение при столкновениях уменьшается. Это
приводит к тому, что, несмотря на увеличение частоты столкновений
в некотором интервале, коэффициенты диффузии и теплопроводно-
теплопроводности остаются приблизительно постоянными. Этот интервал опреде-
определяется условием
(9.204)
При больших частотах столкновений, при которых длина свобод-
свободного пробега выходит за пределы области (9.204), столкновения при-
приводят к такому уменьшению
длины пробега, при котором
максимальное смещение траек-
траектории при столкновении стано-
становится порядка ларморовского
радиуса. В такой области эф-
эффективные коэффициенты пере-
переноса определяются столкнове-
столкновениями и тороидальным дрейфом
в соответствии с (9.194), (9.195).
Описанную зависимость ко-
коэффициента диффузии в торо-
тороидальной магнитной ловушке от
частоты столкновений иллюстри-
Рис. 9.11
р
рует рис. 9.11. Здесь также показана зависимость коэффициента
диффузии D±o от v в однородном поле. На рисунке частота vx оп-
определяется временем обхода частицей банановой траектории, часто-
частота v2 = (R/rK/2 vv Как отмечалось выше, при v < vx основной вклад
в перенос вносят смещения, связанные со столкновениями запер-
запертых частиц, эту область называют банановой, В области v > v2
основное влияние на перенос оказывает тороидальный дрейф. Ее
иногда называют гидродинамической, поскольку диффузия в этой
области может быть описана с помощью усредненных уравнений
движения гидродинамического типа. Промежуточную область
ух < v < v2, в которой коэффициент диффузии изменяется мало,
называют областью плато.
§ 9.8. Дрейфовые неустойчивости и аномальная диффузия
заряженных частиц плазмы в магнитном поле
Во многих случаях плазма, находящаяся в магнитном поле,
неустойчива по отношению к возбуждению колебаний различного
типа. При достаточно больших амплитудах колебания могут су-
существенно изменить свойства плазмы. Они приводят, в частности,
318


к увеличению эффективности процессов переноса заряженных час*
тиц и их энергии поперек магнитного поля. Детальное обсуждение
неустоичивостеи плазмы и их влияния на процессы переноса выхо-
выходит за рамки этой книги. В качестве примера рассмотрим здесь
лишь возбуждение дрейфовых волн, источником которых является
градиент давления в направлении, перпендикулярном магнитному
полю. Такие волны распространяются обычно перпендикулярно
градиенту и почти перпендикулярно полю; фазовая скорость их
близка к скорости диамагнитного дрейфа (это и определило их на-
Рис. 9.12
звание). Особое место дрейфовых колебаний среди других обуслов-
обусловлено тем, что они могут возбуждаться в условиях, когда единствен-
единственной причиной неравновесности плазмы является ее неоднород-
неоднородность. Поэтому дрейфовую неустойчивость иногда называют уни-
универсальной.
Обсудим сначала качественно картину развития дрейфовых ко-
колебаний под действием градиента концентрации, перпендикуляр-
перпендикулярного магнитному полю (рис. 9.12). Направим ось z вдоль магнит-
магнитного поля, ось х — вдоль градиента невозмущенной концентрации.
Периодическое возмущение концентрации, приводящее к дрейфо-
дрейфовой волне, зависит от продольной и поперечной координат, перпен-
перпендикулярных градиенту концентрации. Представим его в виде*
п<М = пх cos (kyy + kzz) = Re [% exp \{kyy + kzz)\ (9.205)
и будем считать амплитуду возмущения малой п^ <^ п.
* Как и ранее, будем использовать комплексную запись гармонически
изменяющихся величин, имея в виду их действительную часть.
319


При таком возмущении более подвижные электроны уходят
вдоль магнитного поля из области повышенной концентрации быст-
быстрее ионов. В результате в сгущениях остаются избыточные ионы,
а в разрежениях собираются избыточные электроны, что приводит
к возникновению периодического потенциального поля. При не
слишком большой продольной длине волны связь возмущений кон-
концентрации с потенциалом дается формулой Больцмана
= exp (*pfl>/7e) — 1 « &№1Тв (9.206)
{считаем, что возмущение мало и ефA> <^ Те). Этот потенциал
дает напряженность электрического поля, направленного вдоль
оси у:
/7С1>_ дфA) __ iky Те п<» (Q9(Y7\
ду en У '
Электрическое поле вызывает дрейф в направлении оси х со
скоростью
иТ = сЕA)/Н = \ckvTJeH(n^ln). (9.208)
Скорость дрейфа и{/} сдвинута по фазе на я/2 относительно возму-
возмущений концентрации (см. рис. 9.12). Поэтому в одну половину сгу-
сгущения вследствие дрейфа поступают заряженные частицы из области
с более высокой концентрацией, в другую половину — из области
•с меньшей концентрацией. В результате формируется волна, бегу-
бегущая вдоль направления, перпендикулярного и^1},т. е. вдоль оси у.
Связанная с дрейфом скорость изменения концентрации в каж-
каждой точке пропорциональна невозмущенному градиенту и и^1}:
(od^>. (9.209)
dt d dx eH n dx d
Из (9.209) следует, что возмущение пП) и соответственно другие,
связанные с ним величины колеблются во времени с частотой
— ; (9.210)
она называется дрейфовой частотой. Фазовая скорость распростра-
распространения возмущения в направлении оси у
ру ky neH dx
равна диамагнитной скорости электронов, связанной с градиентом
концентрации.
Обратим теперь внимание на то, что в дрейфовой волне частицы
не движутся вместе с возмущением. Скорость их дрейфа и^1} пер-
перпендикулярна фазовой скорости ир. Поэтому для всех частиц поле
бегущей волны оказывается переменным во времени. Переменное
поле вызывает инерциальный дрейф, скорость которого пропор-
пропорциональна производной поля dEA)/dt и массе частиц. Этот дрейф
320


и является при определенных условиях причиной неустойчивости.
Инерциальный дрейф ионов при учете градиента концентрации
приводит к дополнительному изменению потенциала фB), кото-
которое сдвинуто по фазе относительно фA) на я/2 (см. рис. 9.12). Оп-
Определяемое им поле ЕB) вызывает дополнительный дрейф заряжен-
заряженных частиц в направлении х, скорость которого u{d2\ изменяется в
фазе с возмущением концентрации. В сгущениях дрейф происходит
против градиента концентрации, в разрежениях — по градиенту.
В результате концентрация заряженных частиц в сгущениях уве-
увеличивается, а в разрежениях уменьшается. Если диссипативные
процессы не компенсируют это изменение, то амплитуда дрейфово-
вой волны нарастает со временем, т. е. плазма оказывается неустой-
неустойчивой относительно возбуждения волны.
В рассмотренном случае причиной неустойчивости является инер-
инерционный дрейф ионов. В других условиях могут быть существен-
существенными и иные факторы, в частности неоднородность электронной
температуры, нарушение квазинейтральности, продольный элект-
электрический ток и т. п.
Проведем количественный анализ дрейфовой неустойчивости
для случая, когда продольное движение заряженных частиц огра-
ограничено столкновениями с нейтральными частицами,, т. е. когда их
длина свободного пробега меньше продольной длины волны коле-
колебаний (неустойчивость в этом случае иногда называют дрейфово-
диссипативной). Рассмотрение при таких условиях может быть
основано на усредненных уравнениях переноса. Будем считать,
как и ранее, что источником неустойчивости является градиент
концентрации заряженных частиц. Температуру электронов будем
полагать постоянной (Те = const), температуру ионов много мень-
меньшей температуры электронов G^<^гГе), при этом амбиполярное
электрическое поле Ел ~ TJL можно не учитывать. Концентрацию
и направленную скорость заряженных частиц при анализе устой-
устойчивости представим в виде суммы равновесных величин и малых
возмущений:
ne = nt = ni0)+n{1) (/, г); ua = u&0) +u&1} (/, г). (9.212)
Равновесную концентрацию п@), как и раньше, будем полагать
зависящей от координаты х, перпендикулярной магнитному полю
(оно предполагается направленным вдоль г):
(9.213)
Возмущенные величины будем искать в виде волн, распростра-
распространяющихся в направлении, перпендикулярном градиенту невоз-
невозмущенной концентрации:
m exp[i(kyy + kzz—©f)]}
(9.214)
11 Зак. 1227 321


и т. д., где к — волновой вектор, имеющий компоненту, параллель-
параллельную магнитному полю kz и перпендикулярную полю и градиенту
ky. Различие направленных скоростей электронов и ионов приво-
приводит к разделению зарядов и появлению электрического поля. По-
Поскольку дрейфовые колебания являются низкочастотными, сопро-
сопровождающее их электрическое поле можно считать потенциальным.
Поэтому, считая, что потенциал ф<Х) изменяется в пространстве
так же, как возмущения /г<х> и аA\ находим
Ed) = —gradcp*1); Ер =—ikv<pW\ ??1} = —iA^1*. (9.215)
Используя выражения, полученные в предыдущих парагра-
параграфах, можно найти скорость заряженных частиц. Для электронов
продольная компонента направленной скорости равна
Те 1 дп е Ег. (9.216)
me vea n dz me vea
Отсюда получаем
(9.217)
Полагая, что со#е ^> vea, будем учитывать в выражении для попе-
поперечной компоненты направленной скорости (9.8) только дрейф
электронов, связанный с градиентом концентрации и электрическим
полем. Тогда
*= — |~hx(gradcp ^gradttYl . (9.218)
Используя зависимость от координат п^°> (9.213) и nA) (r, t) (9.214),
получаем
A) . , с A) .
иех - 1 ку— ф —
с A) . < сТе пп)
ф Ш
dx cu (9.219)
у Я Y v еЯ ft<0)
Эти соотношения позволяют найти изменение возмущения кон-
концентрации электронов, связанное с их направленным движением:
= —div (nil) п(е0)) — div (ni0) u(e1}), (9.220)
dt
где мы пренебрегли квадратичными слагаемыми div (nWt№)t по-
полагая возмущения п^1) и и^1) малыми. Подставляя в последнее урав-
уравнение формулы для Ue?, u(eV и учитывая (9.214), получаем после
простых преобразований
„@) Г1 , „A) РфA) \ С
n ** Гil\ + ib —п{0'фш. (9.221)
+ i х
mevea U<0) те У v н
322


Для ионов продольной составляющей скорости из-за их большой
массы можно пренебречь. Поперечную составляющую направлен-
направленной скорости ионов найдем, полагая со#, 1$> vt и Tt = 0. В этом
случае дрейф ионов определяется электрическим полем. Однако
кроме основного дрейфа в соответствии со сказанным выше необ-
необходимо учитывать инерциальный дрейф ионов. При его учете в
соответствии с (8.27), (8.33) получаем
с mi с2 дЕ - с
= — [Ei Xh]-I — = — [h X gradj_(jp] +
(9.222)
Используя (9.215), находим компоненты направленной скорости
ионов:
4i.)==0; wji} = ifey — фA); uW = ky— — фш. (9.223)
С их помощью можно определить изменение возмущения кон-
концентрации ионов
dnll)/dt=— div(n@)ui1})=— u№nni0}—ikynmul}\ (9.224)
[Здесь, как и ранее, пренебрегается квадратичными членами
div (яA)иA)).] Используя (9.223) для и%\ uty и учитывая зависи-
зависимость возмущений от времени и координат, получаем
1<олA)-Ч? х —я@> шA) i k* ° ° п{0) соA) С9 225^
Н ®Hi Н
Уравнения для изменения концентрации электронов (9.221) и ио-
ионов (9.225) можно переписать в виде
k t
±  =
^ , (9.226)
со
где cod = ky%cT JeH — дрейфовая частота (9.210). Таким образом,
получим систему линейных уравнений для определения пп) и фA).
Ненулевое решение системы возможно при обращении в нуль де-
детерминанта. Это условие дает так называемое дисперсионное урав-
уравнение:
-,,. (9227)
В сильном магнитном поле, в котором
klTJm&H* соя/ = klTJniiibh < 1, (9.228)
11* 323


Вторым членом в скобках можно пренебречь. При этом дисперси-
дисперсионное уравнение приобретает простой вид:
со2 + icocos — icodos = 0, (9.229)
где co.s = (kl/ky)<DHe®m/v ea- Решения уравнения в предельных
случаях даются равенствами:
при cos ^> o)d: сох = cod + ico§/0s; co2 = —icos; (9.230)
при (os<0d:co12=±(l + i)Vcoscod/2. (9.231)
Они определяют комплексную частоту о> = Q + iy.
Нетрудно убедиться, что из двух решений неустойчивым яв-
является то, у которого мнимая часть положительна (v > 0). Для
него изменение возмущения со временем характеризуется множи-
множителем ехр (—ico/) = exp (yt)exp (—\Qt), т. е. имеет место экспонен-
экспоненциальное нарастание возмущения. При этом у = Im (со) представ-
представляет собой инкремент, определяющий скорость нарастания возму-
возмущения. Для неустойчивых колебаний в соответствии с (9.230),
(9.231)
^1 при cos>>cod,
, = 1 /~ <о8 оса при cos<:cv (9.232)
Как видно, при изменении cos = (kl/ky) сояесоя;Л>еа инкремент
проходит через максимум. Этот максимум достигается при cos «
« C0d И ПО ПОрЯДКу 7макс ^ ©d-
Следует отметить, что мы не учитывали стабилизирующего
влияния столкновений ионов. Можно показать, что стабилизация,
связанная с ион-атомными столкновениями, происходит, когда дли-
длина свободного пробега ионов порядка или меньше характерных по-
поперечных размеров плазмы. Для сильноионизованной плазмы не-
необходимо учитывать также стабилизацию, обусловленную ион-
ионными столкновениями. В неоднородном магнитном поле сущест-
существенны и другие механизмы стабилизации колебаний, в частности
колебания с малым kz стабилизируются «широм».
Проведенное рассмотрение является линейным анализом не-
неустойчивости, при котором возмущения начального равновесного
состояния предполагаются малыми. Такой анализ позволяет опре-
определить условия возникновения неустойчивости, найти частоту и
конфигурацию нарастающих колебаний в зависимости от парамет-
параметров плазмы и от характера возмущения. Чтобы выяснить, к чему
приводит развитие неустойчивости, надо, очевидно, построить не-
нелинейную теорию, учитывающую возможные механизмы ее ограни-
ограничения. В настоящее время разработан целый ряд подходов к такой
нелинейной теории, однако ее разработка еще далека от заверше-
завершения. Изложение современных представлений о нелинейной стадии
развития неустойчивости выходит за рамки настоящей книги. От-
324


лишь, 4fo ё зависимости от типа нелинейной диссипаций
характер развития неустойчивости может быть различным. В одном
из предельных случаев при развитии неустойчивости сохраняется
преобладание одной из мод колебаний, соответствующей оптималь-
оптимальным значениям компонент волнового вектора, при этом формирует-
формируется почти периодическая нелинейная волна. В другом предельном
случае развитие неустойчивости приводит к возбуждению широко-
широкого спектра взаимодействующих между собой колебаний, характе-
характеризующегося большим диапазоном значений компонент волново-
волнового вектора. Плазму в таких условиях принято называть турбулент-
турбулентной, так как взаимодействие волновых пакетов в ней в известном
смысле аналогично взаимодействию вихрей в турбулентной жид-
жидкости. И в том и в другом случае колебания приводят к возникно-
возникновению потоков частиц и энергии поперек магнитного поля, не свя-
связанных со столкновениями. Эти потоки называют соответственно
аномальной (или турбулентной) диффузией и теплопроводностью.
Приведем грубую оценку коэффициента аномальной диффузии
заряженных частиц при развитии дрейфовой неустойчивости, опи-
описанной выше. Поскольку градиент концентрации является причи-
причиной дрейфовой неустойчивости, естественно, что она приводит к по-
потокам, стремящимся сгладить распределение концентрации, т. е.
к потокам, направленным против градиента. Плотность потока час-
частиц, параллельного градиенту концентрации, равна усредненному
по колебаниям произведению концентрации на направленную ско-
скорость частиц, которая для дрейфовых колебаний практически равна
скорости их дрейфа в электрическом поле.
Представим, как и раньше, концентрацию и скорость в виде
суммы невозмущенной и возмущенной величин: п = пш + п^>и
и = ц<2> -f. цОО. Имея в виду, что </г^>> = 0 и <иA)> = 0, по-
получаем
Г<г) = <л"> и«>> =¦? <дA) Е^\ (9.233)
где по-прежнему считаем, что градиент невозмущенной концентра-
концентрации направлен вдоль оси х. В гармонически изменяющемся поле
стационарной дрейфовой волны поле Еуи сдвинуто по фазе относи-
относительно возмущенной концентрации пA) на 90°. Соответственно ус-
усредненный поток равен нулю. Нетрудно понять причину этого.
Дрейф в потенциальном электрическом поле приводит к «несжимае-
«несжимаемому» движению, при котором div u = div -g- [h X grad cp] = 0.
Перенос заряженных частиц при таком движении носит характер
конвекции, он связан со смещением частиц в направлении градиен-
градиента концентрации. При периодически изменяющемся поле скорость
дрейфа периодически изменяет знак и, естественно, усредненный
поток отсутствует. Однако уже при учете нарастания во времени
амплитуды волны каждый последующий период приводит к больше-
большему смещению заряженных частиц, чем предыдущий, и появляется
325


усредненный поток. Нетрудно оценить этот эффект. Изменение
концентрации частиц в результате их несжимаемого перемещения
равно
n(i) = —%xdnWldx = — g**M<°>, (9.234)
где ?х = tix1** Учитывая это, получаем
(9.235)
где у — инкремент неустойчивости; <?*>— средний квадрат
смещения частиц. Заметим, что в нарастающей дрейфовой волне
отличие сдвига фазы между /гA) и ихи ~ ЕуХ) от 90° связано с разде-
разделением зарядов, обусловленным инерциальным дрейфом ионов (имен-
(именно это разделение, как отмечено выше, приводит к нарастанию ко-
колебаний). Формула (9.235) позволяет ввести коэффициент диффу-
диффузии, описывающий поток против градиента невозмущенной кон-
концентрации:
^(^)> (9.236)
Видно, что он пропорционален усредненному квадрату относитель-
относительного возмущения концентрации. Обычно полагают, что получен-
полученная оценка справедлива и при больших амплитудах колебаний,
и даже в турбулентном состоянии. В последнем случае имеет место
динамический баланс энергий, которыми обмениваются различные
моды колебаний. При этом входящая в (9.236) величина у((пп)J}
должна быть просуммирована по модам, соответствующим различ-
различным значениям компонент волнового вектора.
При развитой турбулентности амплитуда колебаний каждой
моды может возрасти настолько, что возмущение градиента кон-
концентрации станет порядка начального градиента. Для колебаний
с заданным значением ky это дает kyn ~ >ш@). Соответствующий
таким колебаниям коэффициент поперечной диффузии равен
- (9-237)
Среди колебаний с различным значением kz наибольший вклад
в эту сумму дают такие, при которых достигаются максимальные
значения инкремента yk ~ cod ~ kyncTe/eH. Наименьшее возмож-
возможное значение ky должно быть порядка обратного характерного
размера, т. е. порядка х. Учитывая это, получаем оценку коэффи-
коэффициента диффузии при максимальной амплитуде колебаний
Атаке =gcTJeH, (9.238)
где g — множитель порядка единицы. Коэффициент с численным
множителем g = 1/16 называется коэффициентом диффузии Бома
(по имени физика, впервые предложившего его из интуитивных
соображений). Формулу (9.238) часто используют для оценки по-
326


рядка коэффициента аномальной диффузии и температуропровод-
температуропроводности.
Определим отношение бомовского коэффициента аномальной
диффузии DB, вызванной колебаниями, к коэффициенту попереч-
поперечной диффузии Dv, обусловленной столкновениями (в отличие от
аномальной ее часто не очень удачно называют классической).*
Используя формулу (9.95) или (9.157) для коэффициента амбипо-
лярной столкновительной диффузии, получаем
9 (9.239)
где v еа —частота столкновений электронов с тяжелыми частицами.
Отметим, что в сильно турбулентной плазме дрейфовое движение
заряженных частиц приобретает случайный характер. Заряженные
частицы, дрейфуя в хаотически изменяющихся переменных полях,
испытывают смещения, величина и направление которых хаоти-
хаотически изменяются в пространстве и во времени. Поэтому их траекто-
траектории становятся вполне аналогичными траекториям частиц, смеще-
смещения которых вызываются столкновениями. Имея в виду эту анало-
аналогию, иногда вводят эффективные частоты столкновений, характе-
характеризующие аномальную поперечную диффузию или теплопровод-
теплопроводность. Чтобы их определить, используют формулы для коэффи-
коэффициентов переноса, обусловленных столкновениями, и приравни-
приравнивают их аномальным коэффициентам. Для коэффициента диффузии
Бома, например, получаем
Tevefflme<*he = gcTJeH (9.240)
и veff = gWHe- При (дне^Уеа эффективная частота столкновений,
определяющая аномальную диффузию, много больше реальной
частоты столкновений электронов с тяжелыми частицами. Это озна-
означает, что коэффициент аномальной диффузии много больше коэф-
коэффициента поперечной диффузии, обусловленного столкновениями.
* Диффузию в тороидальном магнитном поле, обусловленную столкно-
столкновениями запертых частиц, иногда называют неоклассической.


ГЛАВА .10
УДЕРЖАНИЕ ПЛАЗМЫ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
§10.1. Уравнения магнитной гидродинамики
Как было показано в гл. 9, сильное магнитное поле приводит
к резкому уменьшению поперечных коэффициентов переноса заря-
заряженных частиц. Поэтому полностью ионизованная плазма, в которой
имеются только заряженные частицы, может длительно удержи-
удерживаться магнитным полем вдали от материальных стенок. Такое
удержание используется для осуществления термоизоляции и на-
нагрева плазмы в исследованиях по проблеме управляемого термо-
термоядерного синтеза.
Анализ удержания плазмы магнитным полем должен, очевидно,
основываться на совместном (самосогласованном) решении уравне-
уравнений, описывающих поведение плазмы в магнитном поле, и уравне-
уравнений, определяющих магнитное поле в плазме. Система этих уравне-
уравнений в общем случае достаточно сложна, и для ее решения исполь-
используют различные упрощения. Во многих случаях удобно описывать
плазму как единую, нейтральную, но проводящую жидкость, на
которую может воздействовать магнитное поле. Такое описание
называется магнитогидродинамическим. При его использовании не
рассматриваются процессы, характеризующиеся быстрыми време-
временами и малыми масштабами и приводящие к нарушению квази-
квазинейтральности. Характерные времена описываемых процессов
должны быть, очевидно, много больше микроскопических времен —
обратной плазменной частоты 1/сор, периодов вращения частиц
в магнитном поле 1/со#е, 1/соя/. Пространственные масштабы соот-
соответственно должны быть много больше дебаевскогсги ларморовских
радиусов частиц.
Получим уравнения магнитной гидродинамики для двухком-
понентной полностью ионизованной плазмы. Введем в рассмотре-
рассмотрение массовую плотность плазмы
р = ШгЩ + тепе = (ttii + те)п « ttiin (ЮЛ)
и скорость центра масс (гидродинамическую скорость)
и = — (тг щ + те ие) « и, + -^ ие. A0.2)
р mi
Поскольку для дрейфовых движений в достаточно сильном магнит-
магнитном поле иеж щ, а в продольном электрическом поле ае1щ ж
« y^mi/nte, то приближенно можно считать и л? и*.
328


Умножая уравнения нулевого момента для электронов и ионов
соответственно на те и тг и складывая их, получаем уравнение
сохранения массы плазмы, определяющее изменение плотности:
ар/5/ + div pu = 0. A0.3)
Гидродинамическое уравнение движения плазмы в целом можно
найти из уравнений движения для компонент, которые в соответ-
соответствии с F.61) имеют вид
пте [dxxjdt + (ue grad) ие] = —епЕ — (еп/с) [ив хН]- '
— grad pe + tlKei + /*Г/5
nmt [dujdt + (u, grad) щ] = епЕ + (еп/с) [щ х Н]—
Складывая эти уравнения и учитывая, что Kei = —Rf6, R^ =
= —RL получаем уравнение для средней скорости и в виде
р (du/dt) - A/с)Ц X Н] — grad p, A0.5)
где р = pt + ре — суммарное давление; / = еп {щ — ие) — плот-
плотность тока; полная производная dn/dt = дп/dt + (u grad)u пред-
представляет собой так называемое гидродинамическое ускорение.
Полученное гидродинамическое уравнение движения имеет яс-
ясный физический смысл. Оно описывает ускорение единицы объема
плазмы, вызываемое суммой действующих на единицу объема сил:
электродинамической силы, связанной с взаимодействием тока
с магнитным полем, и градиента суммарного давления. Поскольку
плазма в целом нейтральна, электрическое поле на нее не дейст-
действует и оно не входит в правую часть A0.5). Для медленных процес-
процессов, когда изменение направленной скорости, определяемое левой
частью уравнения движения A0.5), мало, уравнение сводится к ус-
условию равновесия сил, действующих на плазму, и принимает вид
— [jxH] = gradp. A0.6)
с
Уравнение для тока в плазме также можно получить из уравне-
уравнений движения электронной и ионной компонент A0.4). Умножая
эти уравнения на elm и вычитая одно из другого, получаем
д\ I дп
dt n dt \ me trti ) с l\ mi me
grad Pi grad pe
r-ne(Rei + Rlt)(— + ^-
те I \ me mi
где опущены малые квадратичные слагаемые (u e grad)u e и (u^grad)uf.
Пренебрегая слагаемыми порядка те1ть и учитывая, что j =
329


~ tie (uf — ue) « ne (u — ue), преобразуем A0.7) к виду
+ E+[uxH]ЦхН] +
dt n dt me mec mec
+ — grad />e-— (Re, + R5). A0.8)
m€ me
Входящие в это уравнение трение и термосила в сильном магнит-
магнитном поле могут быть найдены с помощью формул G.146) —G.148),
(9.118) и (9.119). В соответствии с ними
- — 0,51me ve* (uel,—u,,,)— me vei (ue±—ui±) =
jii; A0.9)
en
? - 0,71 gradn re + |-^-[hx grad
±
где ve^ —усредненная частота электрон-ионных столкновений
G.145). Уравнение A0.8) существенно упрощается для медленных
процессов, при которых можно пренебречь его левой частью и ис-
использовать равенство A0.6), дающее условие равновесия плазмы.
Подставляя в уравнение A0.8) соотношение для Re^ и используя
A0.6) для нахождения [j X Н], приведем это уравнение к виду
A_ + -i±- = E + -L[uxH] Lgradp.__LR (ШЛО)
0ц ot с en e
где о\\ « 2ne*lmev ей Щ = ne2/mevei> (<тц — продольная проводи-
проводимость плазмы G.153); сг^ называют иногда поперечной проводи-
проводимостью). Величины о\\ и ot различаются только коэффициентом
2. Это различие часто не учитывают и записывают A0.10) в виде
-L[iixH] l-gvadpi LrJ), (ЮЛ1)
с en e )
en
Формулы A0.10) или A0.11), дающие связь между током и на-
напряженностью электрического поля в плазме, называют обобщен-
обобщенным законом Ома. Заметим, что в него входят не только электри-
электрическое и магнитное поля, но и параметры компонент плазмы —
градиенты ионного давления и электронной температуры. Формулу
обобщенного закона Ома A0.10) можно упростить для часто встре-
встречающегося случая, когда градиенты концентрации и температу-
температуры электронов и ионов имеют одинаковое направление; при этом,
поскольку градиент суммарного давления в соответствии с A0.6)
перпендикулярен магнитному полю, все парциальные градиенты
также перпендикулярны полю. В этих условиях удобно записать
отдельно «продольный» и «поперечный» законы Ома. Проектируя
векторную формулу A0.10) на направление магнитного поля и
330


учитывая, что grad р, grad ТеЛЛ, находим обычную формулу зако-
закона Ома для продольной составляющей тока:
]п = О|,Ец. A0.12)
Проектируя A0.10) на направление, перпендикулярное магнитному
полю, получаем
±+— [uxH]- -f [hxgradr,] -grad/гД A0.13)
(с 2 ne )
[здесь было использовано соотношение A0.9)]. Представляя элект-
электрическое поле в системе отсчета, движущейся вместе с плазмой
(Ej[ = Е± + A/с)[и X Н]), в виде суммы компонент, параллель-
параллельной и перпендикулярной току Ej_/ и Ej_g, и учитывая, что в соот-
соответствии с A0.6) j-Lgradp, разобьем это уравнение на два — пер-
первое можно назвать поперечным законом Ома
J± = °,{Ei,-i-[h XgradTj), A0.14)
второе определяет перпендикулярную току компоненту поля (так
называемое холловское поле)
Е±* = (line) #ad pt. A0.15)
Это поле необходимо для поддержания квазинейтральности плаз-
плазмы. Сила взаимодействия тока с полем A/с)Ц X Н] действует на
электронную компоненту и создает градиент давления электрон-
электронного газа. В квазинейтральной плазме он приводит к появлению
градиента ионного давления, который и уравновешивается элект-
электрическим полем A0.15). Как видно из формул A0.12), A0.14), в рас-
рассматриваемом случае в отсутствие градиента температуры закон
Ома принимает форму, близкую к обычной. При этом в поперечный
закон Ома входит поле в системе координат, движущейся вместе
с плазмой, и поперечная проводимость несколько отличается от
продольной.
Получим теперь уравнения для напряженности магнитного по-
поля. Для этого воспользуемся уравнениями Максвелла:
A0.16)
dt' *
Полагая процессы в плазме достаточно медленными, пренебрежем
током смещения A/4я)дЕ/д^, считая его малым по сравнению с то-
током проводимости. Как легко убедиться, такое пренебрежение до-
допустимо, когда характерные времена изменершя параметров плазмы
много больше времени между столкновениями (t^I/v^)- Урав-
Уравнение для магнитного поля примет тогда вид
rot Н - Dл/с) j. A0.17)
331


Преобразуем его, применив к правой и левой частям операцию
rot и учтя, что rot (rot H) = grad (div H) — АН =* —АН, посколь-
поскольку div H = 0. Получим в результате
АН + Dn/c)rot j - 0. A0.18)
В это уравнение следует подставить выражение, определяющее
плотность тока A0.10). В общем случае уравнение весьма громозд-
громоздко. Оно существенно упрощается, если использовать приближенную
форму закона Ома A0.11) для случая, когда градиент температуры
пренебрежимо мал. В этом случае можно не учитывать термосилу
и полагать проводимость плазмы о ж ne2/mevei ~ T3J2 постоянной.
В результате уравнение A0.18) преобразуется к виду
ДН = -—arot(E + — [ихНЙ. A0.19)
с \ с J
Подставляя в него rot E из второго уравнения Максвелла, полу-
получаем упрощенное уравнение для напряженности магнитного поля
— = — AH + rot[uxH]. A0.20)
Заметим, что из него удалось исключить напряженность электри-
электрического поля и ток.
В уравнения A0.5), A0.6) входит давление плазмы р = п (Те +
+ Тг). Чтобы найти его, используем уравнения баланса энергии.
Для электронной и ионной компонент полностью ионизованной
плазмы эти уравнения имеют вид [см. F.78), F.79I
—  Hiv п  р . J- p «
A0.21)
где слагаемое Р ei = —Pie описывает обмен энергией между элект-
электронами и ионами в результате упругих столкновений, величины
Р е, Рг представляют собой энергию, приобретаемую и теряемую
электронами и ионами в результате неупругих столкновений и при
взаимодействии с внешними источниками энергии. Складывая оба
уравнения, получаем
— —Р ) + divf — pu —div — j ] + pdivu—
dt \ 2 и J \2 и ) { 2 en J/ H
— pediv — = _divq + P. A0.22)
en
332


Здесь Р = Ре + Ри q = qe + qt. Так как в соответствии с A0Л7)
j = c/4n rot H и div j = 0, то уравнение принимает вид
= 4r — ?radTe—j—gradn—divq + P. A0.23)
2 e en
Видно, что в общем случае в уравнение баланса энергии плазмы
входят не только суммарные характеристики, но и параметры элект-
электронной компоненты. Эти параметры и ток выпадают из уравнения
только в некоторых частных случаях, например, если плазма одно-
однородна, или ток перпендикулярен grad7e, gradn, или Р уравнове-
уравновешивает остальные слагаемые в правой части A0.23). В последнем
случае все источники выделения и потерь тепла скомпенсированы.
Используя уравнение непрерывности, в соответствии с которым
р div u = —dp/dt — u grad p = —dpldt, получаем
dt \2 ' j 2 p dt
ИЛИ
•?(¦?)-0, P~Pv, A0.24)
где 7 = 5/3 — показатель адиабаты для одноатомного газа. Как
и следовало ожидать, при отсутствии обмена с внешней средой
плазму можно рассматривать как идеальный газ. Уравнение A0.24)
в этом частном случае дает недостающую связь между величинами
р и р. Температуру при этом остается произвольной. Она опреде-
определяется начальными условиями, т. е. полной энергией, запасенной
в плазме. Рассмотрение остается справедливым также для доста-
достаточно быстрых процессов, за время протекания которых обмен
энергией с внешней средой не успевает произойти.
Уравнения для плотности плазмы A0.3), для средней скорости
A0.5), для напряженности магнитного поля и тока A0.20), A0.17)
и для давления A0.24) образуют полную систему уравнений маг-
магнитной гидродинамики. Приведем их вместе:
dt 4зт
лн 2 л w A0.25)
dH с2 л u , , r w u, dp P do v '
 = ДН + rot [U X n]; —S— = у — ^ .
^ 4яа d^ p dt
При выводе системы A0.25) давление заряженных частиц каж-
каждого сорта предполагалось изотропным. Для плазмы с малой час-
частотой столкновений в сложных магнитных конфигурациях это
предположение может не выполняться. Для таких условий вводят
диагональный тензор давления, в котором продольные и попереч-
поперечные компоненты различны, Магнитогидродинамическое описание
333


плазмы возможно и в этом случае. Изменения в уравнениях сво-
сводятся к различию продольных и поперечных компонент градиента
давления в уравнении движения и к изменению уравнения для дав-
давления. Метод описания, учитывающий анизотропию давления,
называют анизотропной магнитной гидродинамикой*.
§ 10.2. О равновесии плазмы в магнитном поле
Первая задача, возникающая при рассмотрении удержания
плазмы в магнитном поле, заключается в определении условий, при
которых достигается равновесие, т. е. электродинамические силы,
действующие на каждый элемент объема плазмы, уравновешивают
градиент давления.
Выражение для электродинамической силы G#, возникающей
при взаимодействии тока, текущего по плазме, с магнитным полем,
можно получить с помощью уравнений A0.6), A0.17):
G/7 = -L [j х Н] = L [Н х rot Н] -
с 4л
= grad (Я2) + — (Н grad) H A0.26)
(здесь было использовано известное - векторное равенство для
[Н х rot H]). Видно, что эту силу можно представить в виде гра-
градиента максвелловского тензора напряжений
^ (Ю.27)
где рмы = (Я2/8я) 8М - Hh Htl4л.
В системе координат с осью г, направленной вдоль магнитного поля,
этот тензор диагоналей
/Я2/8я 0 0 \
рм^\ 0 Я2/8я 0 . (Ю.28)
\ 0 0 — Я2/8я/
Другую форму выражения для Gh можно получить, если ввести
радиус кривизны силовых линий R (см. §8.1). Учитывая (8.9),
преобразуем второе слагаемое A0.26):
= --^-R+ygrad,|#2, A0.29)
* Иногда его называют гидродинамикой Чу — Гольдбергера — Лоу.
334


где, как и ранее, h = Н/Я; grady = (h grad) — проекция градиен-
градиента на направление магнитного поля. Подставляя A0.29) в A0.26),
получаем
G = —grad± (Я2/8я) — (H2/4nR2)R. A0.30)
Первое слагаемое в A0*30) представляет собой поперечный гра-
градиент введенного в § 8.6 магнитного давления рн = Я2/8я. Оно
соответствует поперечным диагональным элементам тензора на-
напряжений A0.28) и определяет электродинамическую силу, дейст-
действующую на проводящую среду, в случае, когда силовые линии
прямые (R -> оо, Н _L gfrad Я). Действие этой силы можно описать
как взаимное «расталкивание» силовых линий в поперечном на-
направлении. Второе слагаемое определяет силу, направленную
к центру кривизны силовых линий, и называется натяжением маг-
нитноео поля. Оно формально получается, если приписать сило-
силовым линиям свойства растянутой струны. Величина эквивалентной
силы натяжения, действующей на силовые линии, проходящие че-
через единицу площади, равна, как видно из A0.30), Я2/8я. Под-
Подставив силу A0.30) в уравнение равновесия A0.6), приведем его
к виду
gradp + grad± (Я2/8я) + (Я2/4я?2) R = 0. A0.31)
Для случая, когда силовые линии прямые (R-+ оо), уравнение
сводится к постоянству суммы кинетического и магнитного давле-
давлений в плоскости, перпендикулярной магнитному полю:
р + Я2/8я = const. A0.32)
Поскольку равенство A0.32) должно выполняться во всем объеме
плазмы, оно описывает уменьшение магнитного поля от границы
плазмы к области максимального кинетического давления. В част-
частности, соотношение между магнитным полем вне плазмы (Яе) и
магнитным полем в области наибольшего давления (Яо) приобре-
приобретает вид
Ро + Я*/8я = Я|/8я. A0.33)
Это соотношение верно, очевидно, и для плазмы с резкой границей.
В этом случае оно описывает равновесие границы при любой
конфигурации магнитного поля, так как при конечном R послед-
последним слагаемым в A0.31) по сравнению с первым можно>пренебречь.
Равенство A0.33) показывает, что максимальное давление плаз-
плазмы, которое можно удерживать магнитным полем, равно магнит-
магнитному давлению вне плазмы /?Макс = Я|/8я. При описании магнит-
магнитного удержания часто вводят коэффициент |3, представляющий собой
отношение давления удерживаемой плазмы к максимально возмож-
возможному
Р / 8/Я| A0.34)
Этот коэффициент определяет эффективность использования маг-
магнитного поля для удержания плазмы.
335


При удержании оторванной от стенок плазменной конфигура-
конфигурации резкая граница плазмы, на которой имеется перепад магнит-
магнитного поля, не может существовать сколь угодно долго. Она долж-
должна «размываться» в результате диффузионного процесса, обусловлен-
обусловленного столкновениями. В рамках магнитогидродинамического описа-
описания взаимное «перемешивание» магнитного поля и плазмы должно
проявляться в изменении напряженности магнитного поля. Оно
описывается уравнением A0.20). Для неподвижной проводящей
среды уравнение принимает вид
dH/dt = (сЩпо) АН. A0.35)
Это уравнение для каждой компоненты поля представляет собой
неоднократно обсуждавшееся диффузионное с коэффициентом диф-
диффузии
DH « сЩпо. A0.36)
Отсюда следует, что размывание резкого скачка можно описать,
как диффузию магнитного поля, стремящуюся выровнять поле по
обе стороны границы. Такое выравнивание поля обусловлено за-
затуханием индукционных токов за счет конечной проводимости.
Уравнение A0.35) позволяет оценить характерное время, за ко-
которое магнитное поле проникает на глубину L (время диффузии
поля):
Ми « LVDH = 4noL2/c2. A0.37)
Соответственно глубина проникновения поля в среду за время т
равна
AsH « VDH t = Vc2 Т/4Ш7. A0.38)
Величину Atn называют скин-временем, а величину Ash — толщи-
толщиной скин-слоя. Из приведенных соотношений видно, что диффузией
магнитного поля в плазму можно пренебречь, если рассматривае-
рассматриваемый процесс протекает настолько быстро, что глубина проникно-
проникновения поля Ash за характерное время т много меньше характер-
характерных размеров плазмы L, т. е. когда выполняется неравенство
т < inoL2/c2 = Dnne2/mec2vei)L2. A0.39)
При описании изменения магнитного поля в плазме
нельзя обычно рассматривать ее как неподвижную проводящую
среду. Поэтому в уравнении A0.20) наряду с диффузионным сла-
слагаемым следует учитывать слагаемое, определяющее изменение
магнитного поля, связанное с направленным движением. В стацио-
стационарном состоянии (при dH/dt = 0) эти слагаемые должны компен-
компенсировать друг друга:
+ rot[uxH] = rotf—rotH — [uxH]) = 0. A0.40)
( 4яа J
336


Отсюда нетрудно найти поперечную скорость мх, соответствующую
стационарному состоянию:
В этом выражении опущено слагаемое, описывающее движение
в направлении, перпендикулярном градиенту концентрации и
магнитного поля. Подставляя сюда выражение для GH A0.30) и
учитывая уравнение равновесия A0.31), найдем
от от v ;
Используя формулу (9.124) для а, получим окончательно
Эта формула совпадает с выражением (9.128), определяющим ско-
скорость диффузии полностью ионизованной плазмы. Таким образом,
стационарное магнитное поле в плазме с конечной частотой столк-
столкновений может поддерживаться лишь при наличии стационарного
диффузионного потока поперек поля.
Как отмечалось, при достаточно малых временах изменения па-
параметров плазмы, при которых выполняется неравенство A0.39),
диффузией магнитного поля можно пренебречь. При этом уравне-
уравнение для магнитного поля A0.20) приобретает вид
дН/dt = rot [uxH]. A0.44)
Переход от A0.20) к A0.44) соответствует пределу сг->- оо или
vei-*0. Иногда в магнитной гидродинамике его называют преде-
пределом идеальной проводимости. Рассмотрим характер движения плаз-
плазмы, описываемый уравнением A0.44). Для этого преобразуем A0.44)
с помощью соотношения
rot [и X Н] = (Н grad) u — (u grad) H — Hdiv и + и div H. A0.45)
Подставляя A0.45) в A0.44) и учитывая, что div H = 0, получаем
dtt/dt = (Н grad) u — Н div и, A0.46)
где введена полная производная dldt = dldt + (ugrad). Сравним
описываемое этим уравнением изменение напряженности поля с из-
изменением плотности плазмы, следующим из уравнения непрерыв-
непрерывности:
dpldt = др/dt + (u grad) p = — p div u. A0.47)
Исключая из уравнений A0.46) и A0.47) div u, получаем
dHldt — (H/p) dp/#=(H grad)u или — (~) - (— grad) u. A0.48)
dt \ p I \ p /
Отсюда следует, что если направленная скорость постоянна вдоль
Н, т. е. изменяется только при переходе с одной силовой линии на
337


Другую, то при движении плазмы отношение напряженности маг-
магнитного поля к плотности вещества с течением времени сохраняется:
d (Н/р)/Л = 0. A0.49)
Поскольку плотность силовых линий пропорциональна напря-
напряженности магнитного поля, это равенство интерпретируют как
«вмороженность» силовых линий в плазму. Смысл вмороженности
состоит в том, что при любых поперечных перемещениях и деформа-
деформациях произвольного замкнутого контура, связанного с плазмой,
магнитный поток, пронизывающий ограниченную этим контуром
поверхность, остается неизменным. Плазма ведет себя при этом,
как сверхпроводник. Разумеется, термин «вмороженность» не сле-
следует понимать буквально, Условие #/р = const не запрещает взаим-
взаимных поперечных движений вещества и магнитного поля, например
дрейфа плазмы в направлении, перпендикулярном градиенту плот-
плотности.
Эффект вмороженности магнитного поля существенно влияет на
условия равновесия плазмы при быстром изменении внешних усло-
условий. Так, например, быстрое изменение внешнего магнитного поля
приводит к нарушению равновесия, так как это поле не проникает
в плазму. В результате границы плазмы начинают изменять свое
положение — плазменный объем под действием избыточного маг-
магнитного давления сжимается при увеличении магнитного поля или
расширяется под действием кинетического давления при уменьше-
уменьшении внешнего поля. В ходе этих процессов изменяются плотность
плазмы и соответственно магнитное поле в плазме. В результате ус-
устанавливается новое равновесное состояние, при котором кинети-
кинетическое давление равно перепаду магнитного давления. Параметры
этого нового состояния зависят от конкретных условий процесса,
§ 10.3. Об устойчивости удержания плазмы магнитным полем
В § 10.2 были рассмотрены условия равновесия плазмы, удер-
удерживаемой магнитным полем. Однако равновесное состояние мо-
может оказаться неустойчивым по отношению к каким-либо малым
возмущениям конфигурации плазмы, если равнодействующая
сил, возникающая при нарушении равновесия, способствует рос-
росту возмущения. В этом случае длительное удержание плазмы
в равновесии невозможно, так как случайно возникающие малые
флюктуации должны нарастать со временем. Задача обеспечения
устойчивости является обычно наиболее сложной при реализа-
реализации того или иного способа удержания плазмы.
Анализ устойчивости плазмы по отношению к малым возмуще-
возмущениям может быть основан на решении системы уравнений, описы-
описывающих поведение плазмы. Обычно для описания конфигурацион-
конфигурационных неустойчивостей используются уравнения магнитной гидроди-
гидродинамики (поэтому эти неустойчивости называют еще магнитогид-
родинамическими). Форму возмущения конфигурации при таком
338


описании задают путем определения смещения элемента объема
плазмы | (г). Полагая это смещение малым по сравнению с харак-
характерными размерами, на которых изменяются параметры плазмы,
и пренебрегая членами, квадратичными по |, можно получить ли-
линейное дифференциальное уравнение
pd*l/dfi = f(l)=Kl, A0.50)
где К — дифференциальный оператор, включающий производные
по координатам. Это уравнение аналогично уравнению малых коле-
колебаний. Величину f (|) можно интерпретировать как квазиупругую
силу, оператор К играет роль коэффициента упругости. Решение
уравнения A0.50) при заданных граничных и начальных условиях
находится методом разделения переменных. Зависимость каждого
из частных решений от времени можно записать в комплексном
виде
(Ш), A0.51)
где, как и раньше, реальные смещения определяются действитель-
действительной частью комплексного выражения. Зависимость частных реше-
решений от координат описывается уравнениями, которые получаются
при подстановке A0.51) в A0.50):
К6 = ©2р|. A0.52)
Это уравнение при заданных граничных условиях имеет, как из-
известно, спектр собственных функций 1п (г) и спектр собственных
значений Кп = соД р. Если величина соп, определяемая собствен-
собственным значением ifn, имеет отрицательную мнимую часть, то
смещение %п экспоненциально нарастает во времени [?n ~
~ ехр (—Im (<on)t)]. Это означает, что возмущение, описываемое
функцией %п (г), приводит к раскачке неустойчивости. Инкремент
нарастания этой неустойчивости равен уп = —Im (con).
Определим линеаризованное уравнение смещения для условий,
когда неустойчивость плазмы может быть описана уравнениями
идеальной магнитной гидродинамики (т. е. когда в уравне-
уравнении A0.20) можно полагать проводимость плазмы бесконечной).
Это обычно допустимо при рассмотрении наиболее опасных, быстро
развивающихся неустойчивостей, поскольку характерные времена
их роста много меньше скин-времени [см. A0.39)]. При таких усло-
условиях уравнения магнитной гидродинамики A0.25) принимают вид:
др/dt^— div(pu); pdu/#=—gradp —^-[HxrotHJ; I /1ЛСОЧ
4я J- A0.53)
дН/dt = rot [u X H]; dpjdt = 7 (p/p) dp/dt, J
где dldt = dldt + (u grad); 7 = 5/3 — показатель адиабаты. В не-
невозмущенном состоянии должно выполняться условие равновесия,
т. е. сумма сил, действующих на плазму, равна нулю. Соответст-
Соответственно должна быть постоянной направленная скорость. Без ограни-
339


чения общности ее можно полагать равной нулю (это означает лишь
выбор определенной системы отсчета).
Чтобы получить уравнения, описывающие возмущение, предста-
представим величины плотности, давления и магнитного поля в виде суммы
равновесных значений и малых возмущений:
р = р(о) + рA); р = р@) + рA). н = Н(о) + H(i)e A0<54)
Подставляя эти суммы в уравнения A0.53) и пренебрегая членами,
квадратичными относительно возмущений (т. е. членами, в кото-
которые входят квадраты или произведения малых величин), получаем
систему уравнений для возмущенных величин:
div (р(°> и) = 0; р@> du/dt= — grad
— A/4jc) [HW X rot HW]_(l/4n) [H<°> X rot
A0.55)
dpw/dt = — (u grad) p<°> + ypM div u,
где учтено, что направленная скорость и является возмущением,
поскольку и(°> = 0. Вместо скорости и введем теперь смещение, по-
полагая u = dydt. Тогда уравнения для возмущений р, Н
и р могут быть проинтегрированы по времени:
p(i) = _div (р(°> 1); pW = _| grad р<°> + YP@) div ?;
HW = rot Ц X H(°>]. A0.56)
Подставляя эти выражения в уравнения для и, получаем
pd%/dt2 = grad [(Igrad) p — yp div |] +
+ (l/4n)rot[rot H X rot [% X Н]] +
+ (l/4n)[rot (rot Ц X Н]) X Н], A0.57)
где для сокращения записи опущены индексы @) у величин, харак-
характеризующих равновесное состояние. Дифференциальное уравнение
второго порядка A0.57) и есть уравнение смещения, которое было
символически записано в виде A0.50). Правая часть уравнения
представляет собой квазиупругую силу f (|), возникающую при
малых смещениях; она определяет оператор К. Уравнение для сме-
смещения A0.57) должно быть дополнено граничными условиями. Одно
из них получается из требования постоянства суммы кинетическо-
кинетического и магнитного давлений р + Я2/8я на границе плазма — вакуум.
Другое находится из условий непрерывности нормальной состав-
составляющей магнитного поля на границе— она должна обращаться
в нуль, поскольку в плазме с бесконечной проводимостью магнит-
магнитное поле должно быть параллельно границе.
Как видно, уравнение для смещения в общем случае достаточно
сложное, и его решение удается найти лишь для простых конфигу-
конфигураций плазмы. Однако можно исследовать вопрос об устойчивости
удерживаемой плазмы и не находя решений уравнения. Для такого
340


анализа обычно используется вариационный принцип, называемый
энергетическим. Этот принцип аналогичен условию минимума по-
потенциальной энергии для устойчивых механических систем. В рас-
рассматриваемом случае также можно ввести эффективную потен-
потенциальную энергию. Поскольку в уравнение для смещения A0.50)
входит сила, линейно зависящая от смещения <F(S)= —KS» измене-
изменение потенциальной энергии каждого элемента при смещении опре-
определяется, очевидно, интегралом произведения этой силы на смещение
f d% = (U2)%f. Суммирование этой величины по всему объёму
дает
№ = ± Г If (I) dV = -L Г IKSrfV. A0.58)
Если 8W> 0, т. е. смещение | (г) приводит к увеличению по-
потенциальной энергии, система устойчива, в противном случае она
неустойчива по отношению к рассматриваемому возмущению. Под-
Подставляя в интеграл A0.58) силу f из уравнения A0.57) и учитывая
граничные условия, можно после некоторых преобразований при-
привести его к следующему общему виду:
1
4я
— \ НЫУ-
|?В| A0.59)
где первый интеграл берется по объему плазмы, второй—по внеш-
внешнему (вакуумному) объему, третий — по поверхности, ограничи-
ограничивающей плазму; производные д!дг\ в последнем интеграле взяты по
нормали к поверхности; ^ — проекция смещения | на нормаль.
Именно это выражение для потенциальной энергии используется
обычно при анализе устойчивости с помощью энергетического прин-
принципа. Уравнение A0.52) К1 =<о2р| в силу самосопряженности опе-
оператора К может быть получено из вариационного принципа
б (со2) = 0, о2 = J IKldV I J p?2 dV = 2W / j p?2 dV. A0.60)
Этот принцип позволяет находить частоты собственных колеба-
колебаний или инкременты неустойчивостей без решения уравнений. Из
написанного выражения следует также, что в рассматриваемом слу-
случае величина со2 всегда действительна. При S W > 0 частота со дейст-
действительна и колебания смещения не возрастают (при учете диссипа-
диссипации они затухают). При 8W<. 0 величина со2 отрицательна; в этом
341


случае имеется решение, соответствующее экспоненциальному на-
нарастанию возмущения с инкрементом 7 = | со |.
Линеаризованное уравнение смещений A0.57) и следующий
из него энергетический принцип описывают линейную стадию не-
неустойчивости, при которой смещения много, меньше характерных
размеров. Чтобы определить, к чему приводит развитие магнито-
гидродинамической неустойчивости, необходимо решить нелиней-
нелинейную задачу. Решение удается найти только для некоторых простых
случаев. Иногда оказывается полезным феноменологический под-
подход, основанный на аналогии с обычной гидродинамикой. Не имея
возможности останавливаться на этом, укажем лишь, что обычно
быстро развивающиеся неустойчивости приводят к резкому ухуд-
ухудшению удержания плазмы: скорость ухода плазмы поперек поля
может достигать значений порядка тепловой скорости ионов.
С помощью уравнений для смещения и энергетического прин-
принципа к настоящему времени удалось проанализировать условия
возникновения основных магнитогидродинамических неустойчи-
востей, ограничивающих удержание плазмы в магнитных ловушках.
Этому анализу посвящены многие монографии и обзоры (см. разд. 4
списка литературы). Систематическое изложение вопросов, связан-
связанных с устойчивостью плазмы, выходит за рамки настоящей книги.
Ниже будут рассмотрены только некоторые характерные неустой-
неустойчивости, причем основное внимание будет уделено качественному
обсуждению процессов, приводящих к росту возмущений.
§ 10.4. Устойчивость границы плазмы в магнитном поле
Рассмотрим количественно сравнительно простую задачу об
устойчивости плоской границы плазмы в поле постоянной силы (та-
(такой силой может быть, в частности, сила тяжести). Пусть плазма
«IIP
шШШш
• \ Az
ш
p
KM
ШИШ
He *"
i
Щ
z
Рис. 10.1
с постоянной плотностью заполняет полупространство х > 0
(рис. 10.1), причем на единицу объема плазмы действует сила G,
направленная к границе. Магнитные поля внутри плазмы Н* и вне
плазмы Не будем полагать направленными параллельно границе
и однородными (Иг = const и Не = const). Эти поля не равны и
не обязательно параллельны друг другу. Условия равновесия в объе-
342


ме плазмы сводятся при зтом к равенству внешней силы и градиента
давления
G = —grad p, G = dpldx. A0.61)
Давление на границе плазмы должно уравновешиваться перепадом
магнитного давления:
pg = ну 8л— Ну 8л.
A0.62)
Исследуем устойчивость равновесия по отношению к малым
возмущениям. Поскольку система однородна по координатам у и
X
m
щ
rJm,
Рис. 10.2
г, будем искать все возмущения (смещения, возмущения поля и
давления) в виде периодических функций этих координат:
1 (*, у, г, 0 = Re [| (*) exp [\{kyy
Н (х, у, zy t) = Re [H (x)exp [i (^yy
+ kzz— <ot)]]\
+ kzz— со/)]]
A0.63)
и т. д. Входящий в них волновой вектор k (ky, kz) определяет ориен-
ориентацию и размеры возмущений; длина волны Л = 2n/k характери-
характеризует их ширину, величины Ау = 2n/ky и Az = 2n/^z — размеры
в направлении у я z (рис. 10.1 и рис. 10.2, изображающий участок
возмущенной поверхности).
Воспользуемся уравнениями для возмущений A0.56) и A0.57).
Для простоты рассмотрим такие возмущения, при которых плот-
плотность плазмы не изменяется, т. е. используем приближение несжи-
несжимаемой жидкости. Можно показать, что оно позволяет правильно
определить границы устойчивости и характеристики возмущений
вблизи границы. Поэтому будем считать
p(i) = div (р(°) 1) = 0
или, поскольку р<°> = const,
div 1=0.
A0.64)
A0.65)
343


Уравнение A0.56) для возмущенного магнитного поля в плазме
при учете постоянства невозмущенного поля принимает вид
Hj1* - rot [| X Н}°>] = Hj°> div I + (Hj°>grad)g =
= (Hj°>gradN-
Учитывая зависимость смещения от координат A0.63), получаем
Н^ = i(k; HiO))l. A0.66)
Уравнение для смещения A0.57) можно записать в виде
pd%/dt* = —grad $>W + A/4я)(Н|°> grad) Н\г\ A0.67)
где введено суммарное давление
З5 = р + #2/8я, A0.68)
причем SW представляет собой его возмущение. Учитывая зависи-
зависимость возмущения от координат и времени A0.63) и подставляя
в A0.67) уравнение поля A0.66), находим
. A0.69)
рСй2_
4зт
Подставляя это смещение в A0.65), получаем уравнение Лапласа
для ^<x>
= 0. A0.70)
Его решение вида A0.63), обращающееся в нуль при х-+ оо, есть
= Сф exp {—kx) exp [i (kr — ©01, A0.71)
где k = Yky + k\\ Ct — постоянная. Подстановка этого решения
в A0.69) дает смещение, а подстановка в A0.66) — возмущение маг-
магнитного поля во внутренней области (при х> 0).
Найдем теперь возмущение поля во внешней области при х < 0.
Поскольку в этой вакуумной области токи отсутствуют, т. е. rot He=
= 0, введем скалярный магнитный потенциал, определяющий воз-
возмущение магнитного поля:
Шх> = grad?. A0.72)
Он должен удовлетворять уравнению Лапласа
div Hi1} = AT = 0. A0.73)
Решение уравнения типа A0.63), обращающееся в нуль при х-> — оо,
имеет вид [ср. A0.71)]
? = Се exp (kx) exp [i (kr — ©*)]. A0.74)
Равенства A0.72), A0.74) дают, таким образом, возмущение поля
во внешней области.
344


Полученные решения для внешней и внутренней областей сле-
следует-теперь «сшить» на границе плазмы при х = 0. Граничное ус-
условие для магнитного поля сводится к обращению в нуль нормаль-
нормальной компоненты поля на возмущенной границе. Учитывая малость
возмущения, можно представить его следующим образом:
(т|Нв) =
= 0,
A0.75)
где т| = т|<°> + т)*1) — единичный вектор нормали к поверхности.
Поправку г\М можно связать со смещением 1Х. С помощью
рис. 10.3 находим г\{гг) = 2 sin (a/2) « tg а « д%х1дг9 или в век-
векторной форме
ла> = —grad, gx, A0.76)
где grad, — проекция градиен-
градиента на невозмущенную границу.
Учитывая последнее соотноше-
соотношение, преобразуем граничное ус-
условие A0.75)
= (Hje)gradN*. (Ю.77)
Рис. 10.3
Подставляя Яй} = dW/dx [см.
A0.72), A0.74)] и Ея [см. A0.69),
A0.71)] в A0.77), получаем со-
соотношение между Се и Сг:
С - j <kH*> С
в 0J—(кНгJ/4яр *"
A0.78)
Второе граничное условие определяется непрерывностью сум-
суммарного давления 3* при переходе через границу. Давление на
смещенной границе можно найти с помощью соотношения
Pg + Ъ g^ad 9>g = 3b(i) + &$> +1 grad 3^°\
где величины &g9 gPjf\ Sa^1) определены на невозмущенной границе
и опущено малое квадратичное слагаемое |grad^gX). Это соотно-
соотношение позволяет записать условие непрерывности суммарного дав-
давления в виде
grad
или
p(l)
ge
A0.79)
где мы учли условия равновесия A0.61), A0.62). Величины $>$ и 1Х
на границе (при х = 0) удовлетворяют соответственно A0.71) и
A0.69). Величина ЗР$} связана с внешним полем следующим
образом:
A0.80)
345


Учитывая A0.80) и A0.74), находим с помощью A0.79) второе соот-
соотношение для коэффициентов Сг и С е:
4я V е) е роз2—(кН02/4я
G. A0.81)
Исключая из A0.78) и A0.81) постоянные Ct и Се, получаем дис-
дисперсионное соотношение для со:
р@2 = _kG + (кНеJ/4я + (кН02/4я. A0.82)
Формула A0.82) позволяет найти условия устойчивости грани-
границы плазмы, частоту колебаний возмущения и инкремент нарастания
неустойчивостей. Область устойчивости, как отмечалось, соответ-
соответствует действительным значениям со, т. е. положительной правой
части A0.82). Поэтому абсолютная устойчивость границы плазмы
возможна, только если внешняя сила отсутствует или направлена
от границы внутрь плазмы. При силе, направленной наружу, воз-
возможность возникновения неустойчивостей с различными к зависит
от соотношения между отрицательным слагаемым равенства A0.82)
и положительными слагаемыми, определяющими стабилизирующий
фактор. Для случая, когда магнитные поля снаружи и внутри па-
параллельны (Не || Н;), положительные слагаемые обращаются
в нуль при k _L H. Поэтому граница плазмы неустойчива по отно-
отношению к возмущениям, вытянутым вдоль магнитного поля. Такая
неустойчивость называется желобковой. В соответствии с A0.82)
инкремент ее нарастания равен
y = i® = YkG/p. A0.83)
Он увеличивается с ростом k, т. е. с уменьшением размеров желоб-
желобков* (Л = 2n/k). В случае, когда внешнее магнитное поле не па-
параллельно внутреннему, стабилизирующие члены A0.82) отличны
от нуля. Отсюда следует, что «перекрещенность» магнитных полей
(шир) является стабилизирующим фактором. Однако и при нали-
наличии перекрещенности дисперсионное соотношение A0.82) свиде-
свидетельствует о существовании неустойчивостей с достаточно малыми
ky поскольку величина стабилизирующего слагаемого пропорцио-
пропорциональна k2. Величина k в системе, имеющей конечные размеры, не
может быть как угодно малой. Обычно максимальная длина волны
возмущения равна удвоенной длине системы, т. е.
?мин = nil. A0.84)
Это условие соответствует «закрепленным концам», например об-
обращению в нуль смещения на границе плазмы. Полагая k > А
* Заметим, что при очень малых размерах, т. е.-при больших k, начинают
действовать неучитывавшиеся стабилизирующие факторы, связанные с ко-
нечной частотой столкновений, в частности поперечная диффузия,
346


получаем из A0.82) условие устойчивости границы для случая, Ког-
КогН JL Н
да
Не
Я?/4я > (G/k)uaxQ = GLln.
A0.85)
Обсудим теперь физический механизм неустойчивости границы
плазмы в поле внешней силы для предельных случаев большого и
малого давления плазмы. При большом давлении, когда |3 =
= 8лр/Не = 1, магнитное поле внутри плазмы равно нулю. Образо-
Образование желобков, вытянутых вдоль магнитного поля, в этом случае со-
сопровождается перетеканием плазмы в направлениях, обозначенных
на рис. 10.4 стрелками. Наличие силы G приводит к тому, что дав-
давление плазмы на выступающие участки поверхности будет больше,
Рис. 10.4
чем удерживающее магнитное давление, а на вогнутые—меньше.
В результате возмущение нарастает. Неустойчивость аналогична
неустойчивости Рэлея — Тейлора, возникающей при помещении
тяжелой жидкости над легкой, причем роль тяжелой жидкости
играет плазма, роль легкой — магнитное поле. Нетрудно, исходя из
качественной картины, оценить инкремент нарастания желобковой
неустойчивости. Увеличение давления плазмы в области желобка
определяется, очевидно, работой силы G. Приближенно можно за-
записать Ар « IG. Это дополнительное давление действует на едини-
единицу площади поверхности плазмы, вызывая ее ускоренное движение.
Смещение элемента поверхности при выполнении условия несжи-
несжимаемости вещества должно сопровождаться противоположным сме-
смещением другого элемента. При этом, как легко убедиться, глубина,
на которую распространяется возмущение, имеет масштаб Л ~ Ilk
(см. рис. 10.4). Поэтому уравнение движения единицы поверхности
желобка можно приближенно записать в виде
(plk)d2t/dt2 = ^p = IG.
A0.86)
Уравнение дает экспоненциальное нарастание возмущения с инкре-
инкрементом A0.83). Уменьшение инкремента с ростом длины волны
в рассматриваемом случае связано с увеличением размеров области
возмущения, приводящим к росту массы вещества, участвующего
в движении.
347


Приведенная оценка дает инкремент нарастания йселобка, ёы-
тянутого вдоль магнитного поля. При другой ориентации рост воз-
возмущения затруднен из-за искажения магнитного поля. Поскольку
поле не может проникать в плазму с бесконечной проводимостью,
появление возмущений, ориентированных под углом к полю, при-
приводит к изгибу силовых линий магнитного поля (рис. 10.5). Изгиб
вызывает появление силы натяжения
Н2
4я
dz*
A0.87)
препятствующей развитию возмущения (здесь ось z направлена
вдоль невозмущенного магнитного поля). При достаточно больших
kz сила натяжения настолько велика, что неустойчивость вообще
не может развиться.
Рис. 10.5
Рассмотрим теперь микроскопическую картину желобковой
неустойчивости при малых давлениях плазмы ф = 8пр/Н2 << 1),
при которых магнитное поле внутри плазмы практически совпа-
совпадает с внешним. Под действием силы G заряженные частицы плаз-
плазмы дрейфуют в направлении, перпендикулярном магнитному полю
в силе. В отсутствие возмущений такой дрейф параллелен границе
плазмы и не приводит к изменению концентрации. При наличии
желобковых возмущений дрейф вызывает накопление ионов на од-
одном склоне желобка и электронов— на другом (рис. 10.6). Элект-
Электрическое поле поляризации вызывает дрейф плазмы в целом в на-
направлении возрастания возмущения. Этот дрейф и определяет ско-
скорость нарастания неустойчивости. Нетрудно оценить эту скорость,
рассматривая движение отдельных заряженных частиц в области
возмущения. Скорость дрейфа электронов и ионов зависит от дей-
действующих на них сил. В соответствии с (8.26)
cFjeH, ude = cFjeH,
A0.88)
причем udi направлена в сторону [F X h], т. е. в сторону оси у;
ude— в противоположную сторону. Движение электронов и ионов
348


к накоплению зарядоЁ на склонах желобков. Скорость
накопления зарядов на единице поверхности приближенно равна
дР/dt ъ еп\ (udi + ude)/A « cklG/H, A0.89)
где Л ж Ilk характеризует ширину возмущения в направлении у\
G = п (Fе + Ft). Поверхностная плотность заряда Р на границах
желобков создает в плазме электрическое поле, имеющее порядок
F ~ 4тгР/р ПО Qfh
У ' ^ '
где 8=1+ 4прс2/Н2 « 4прс2/Н2 — эффективная электрическая
проницаемость плазмы [см. (8.70)]. Электрическое поле вызывает
Рис. 10.6
совместный дрейф электронов и ионов, параллельный действующей
силе, со скоростью
их - dlldt = сЕу1Н - ЫсР1гН » ЯР/ф. A0.91)
Дифференцируя это равенство по времени и учитывая A0.89),
получаем уравнение для смещения
« (H/cp)dP/dt « (*G/p)g. A0.92)
Из него следует экспоненциальное нарастание смещения с инкре-
инкрементом A0.83). Отметим, что следующее из A0.92) уменьшение
инкремента с увеличением длины волны Л ~ l/k обусловлено
уменьшением скорости накопления заряда на поверхности желобка
при больших его размерах [см. A0.89)].
Мы рассмотрели развитие желобковой неустойчивости границы
плазмы под действием постоянной силы. В плазме космических
объектов такой силой может быть сила тяжести (неустойчивость
в этом случае называют гравитационной). В лабораторной плазме
сила тяжести не играет большой роли, однако могут существовать
другие источники желобковой неустойчивости. Среди них наиболее
распространенным является неоднородность магнитного поля.
В неоднородном поле на плазму действует сила, направленная про-
против градиента поля. Эта сила, обусловленная диамагнитными свой-
349


ствами плазмы, приводит к развитию неустойчивости, выталки-
выталкивающей плазму в область слабого поля.
В 'случае большого давления плазмы, соответствующего Рмакс—
= 8пр/Не = 1 (магнитное поле внутри плазмы отсутствует), не-
неоднородность внешнего поля создает на границе эффективную силу,
равную градиенту магнитного давления:
G = —grad (#2/8я). A0.93)
Если эта сила направлена по нормали к поверхности плазмы, т. е.
магнитное поле убывает а направлении нормали, может-возникнуть
неустойчивость. Условие нарастания возмущения получим, подстав-
подставляя A0.93) в A0.82). Его можно представить в виде неравенства
— (—)>— ^—, A0.94)
дц \ 8я / 4л к
означающего, что градиент магнитного давления в направлении
нормали (т]) превышает стабилизирующую силу натяжения силовых
линий магнитного поля. Неравенство A0.94) показывает, что не-
неустойчивы не только желобковые возмущения с kz = 0, но и воз-
возмущения с конечными kz. Из A0.94) получаем следующие ограни-
ограничения:
kz<Yk/L, Az >/2jtLA, A0.95)
где L = \1A/Н)дН/дг\]~1\ — характерная длина, на которой спа-
спадает магнитное поле; Л = 2л/k; Az = 2n/kz. Неустойчивые возму-
возмущения при Л <^ L представляют собой «языки», вытянутые вдоль
магнитного поля. Однако длина их в направлении поля (Az) может
быть много меньше характерных размеров плазмы (имеющих поря-
порядок L). Поэтому неустойчивость границы плазмы носит локальный
характер и определяется локальным направлением градиента маг-
магнитного поля. Она может развиваться на участках границы, на
которых магнитное поле убывает в направлении нормали. Из сказан-
сказанного следует, что для обеспечения устойчивости границы плазмы при
Р = 1 необходимо, чтобы магнитное поле нарастало от границы
плазмы во всех точках поверхности, т. е. чтобы плазма была помеще-
помещена в область минимума магнитного поля.
При малых давлениях плазмы, при которых р = 8яр/#2<^1,
энергия, запасенная в плазме, много меньше энергии магнитного
поля. Поэтому неустойчивости, вызванные неоднородностью, не
могут приводить к существенному возмущению равновесного поля
(затраты энергии на такие возмущения нельзя скомпенсировать пе-
перераспределением плазмы в пространстве). Соответственно неустой-
неустойчивыми могут быть лишь желобковые возмущения, вытянутые вдоль
магнитного поля. Эффективная сила, вызывающая неустойчиво-
неустойчивости в неоднородном поле, является суммой сил, действующих на
отдельные заряженные частицы (см. § 8.4): центробежной силы
FR = mv\\/R и диамагнитной силы F^ = mv\/2H \ gradj_# | = mv]_/2R
350


(для случая, когда силовые линии— плоские кривые). Суммируя
эти силы для электронов и ионов, находящихся в единице объема,
и усредняя по скоростям, получаем
G = n((Fe> + <F|» « 2/i (Te + ТО//? - 2р//?, A0.96
где мы положили т<г$ц> = m(Va±)I2 = Ta. Направление силы
G, как и направление F# и F^, совпадает с направлением кривизны
силовых линий. В случае, когда сила повсюду направлена от гра-
границы внутрь, плазма устойчива. Если сила направлена наружу, то
она способствует развитию неустойчивости. Отметим, что в отли-
отличие от предела |3 = 1 критерий желобковой неустойчивости при
Р <С 1 не является локальным. Развитие неустойчивости опреде-
определяется величиной и направлением эффективной силы, усредненной по
длине силовой линии.
Развитие желобковой неустойчивости в плазме с р < 1 можно
представить себе, как результат перестановки силовых трубок
магнитного поля, заполненных плазмой. При этом напряженность
магнитного поля и форма^силовых линий остаются прежними, а
объем и давление плазмы в трубках изменяются. Соответственно
изменяется и энергия, запасенная в системе плазма — магнитное
поле. Анализируя изменение энергии, можно найти условия, при
которых возникают неустойчивости, связанные с перестановкой
силовых трубок для различных конфигураций магнитного поля
(эту неустойчивость часто называют перестановочной).
Объем силовой трубки магнитного поля равен [см, (8.7)]
V = $Sd/ = Ф \dllH, A0.97)
(/) (/)
где Ф = HS — магнитный поток, пронизывающий сечение трубки;
[ dllH—так называемый удельный объем; интеграл берется по всей
длине силовой трубки*. Энергия плазмы, запасенная в этом объеме,
определяется произведением объема на давление плазмы W = pV.
Силовая трубка с плазмой стремится переместиться так, чтобы
расшириться. Если она окружена «пустыми» трубками, то при пе-
перестановке, сопровождающейся увеличением объема трубки с плаз-
плазмой, происходит уменьшение внутренней энергии. В случае, ког-
когда соседние силовые трубки заполнены плазмой, но давление
в них меньше, чем в выделенной, перестановка с увеличением
объема этой трубки также энергетически выгодна. Наоборот, си-
силовая трубка, окруженная плазмой большего давления, имеет тен-
тенденцию сместиться туда, где ее объем меньше, так как при этом
энергия, запасенная во всей системе, уменьшается: увеличение
* Интеграл строго определен лишь для конфигураций с замкнутыми
силовыми линиями. Для открытых конфигураций приближенно можно счи-
считать, что пределы интегрирования ограничивают область, в которой находит-
находится плазма,
351


энергии б (Vpi), связанное со сжатием выделенной трубки, не мо-
может скомпенсировать уменьшение энергии б (Vp2) соседней трубки,
занявшей ее место. Перемещение силовой трубки с плазмой можно
уподобить движению капли жидкости с плотностью, пропорциональ-
пропорциональной рь взвешенной в другой жидкости с плотностью, пропорциональ-
пропорциональной р2 и находящейся в эффективном гравитационном поле, потен-
потенциал которого растет с уменьшением объема трубки: U = — J dllH.
Капля окажется «тонущей» или «всплывающей» в зависимости от
соотношения р± и р2. Эта аналогия показывает, что перестановка си-
силовых трубок с плазмой в неоднородном магнитном поле подобна
конвекции неоднородной жидкости в поле силы тяжести. Поэтому
перестановочную неустойчивость называют также конвективной.
Сформулируем критерий перестановочной неустойчивости при
Р<^1. В состоянии равновесия на поверхности постоянного дав-
давления (р = const) энергия также должна быть постоянна: pV =
= рФ| dllH = const. Поэтому равновесное давление р можно
рассматривать как функцию U = —J dllH. Анализируя устойчи-
устойчивость такого равновесия, предположим, что некоторая силовая
трубка с плазмой смещается на малое расстояние, раздвигая ос-
остальные трубки. Если за время смещения обмен энергией с ос-
остальной плазмой не успевает произойти, т. е. давление в трубке
изменяется адиабатически (р ~ У—?), то изменение давления мож-
можно связать с изменением величины эффективного потенциала U:
8Р = —ypbVlV = —ypW/U A0.98)
(у—показатель адиабаты). В то же время давление в трубках,
окружающих смещенную трубку, равно
p{U + W)=p + ^-8U; Ар = -%-bU. A0.99)
аи аи
Сопоставляя давление в смещенной трубке и окружающее дав-
давление, можно определить, будет ли смещение нарастать. Для того
чтобы оно нарастало при б?/<0 (т. е. при расширении плазмы),
давление окружающей плазмы должно быть меньше давления
в трубке (Ар < 6р); при б?/>0 должно выполняться обратное
соотношение (Лр>бр). Таким образом, условие устойчивости
можно записать в виде
dU \U\ J H v
{критерий Кадомцева)*. Этот критерий может быть уточнен, если
известна конфигурация магнитного поля. Например, в случае,
* Строго говоря, этот критерий применим для конфигураций с замкну-
замкнутыми силовыми линиями, для которых однозначно определен интеграл,
входящий в U; для открытых магнитных ловушек необходимо учитывать вли-
влияние анизотропии давления.
352


когда поле создается линейным током (Я ~ Mr и \U\ =
= { rdcp/Я ~ г2), критерий устойчивости сводится к условию
о
\dp/dr\<2yp/r, A0.101)
дающему максимальный градиент давления в случае, когда давле-
давление увеличивается с ростом U. Плазма с резкой границей устойчива
лишь тогда, когда давление уменьшается с ростом U = — J dllH,
т. е. если плазма помещена в область минимума U. В магнитных
конфигурациях, в которых длины силовых линий приблизительно
одинаковы, минимум U соответствует минимуму магнитного поля.
В более сложных конфигурациях, в частности в конфигурациях
с замкнутыми силовыми линиями, минимум f/= — § dllH может со-
соответствовать минимуму усредненной по силовой линии напряжен-
напряженности магнитного поля (так называемый средний минимум поля).
Необходимость обеспечивать устойчивость плазмы по отноше-
отношению к желобковым возмущениям требует, таким образом, помеще-
помещения плазмы в область минимума или по крайней мере среднего ми-
минимума магнитного поля. Это существенно ограничивает конфи-
конфигурацию поля магнитных ловушек, пригодных для удержания
плазмы. Как было показано в § 8.1, магнитное поле в пространстве,
свободном от токов, уменьшается в направлении радиуса кривиз-
кривизны силовых линий. Поэтому магнитные ловушки с выпуклыми си-
силовыми линиями (т. е. с силовыми линиями, изогнутыми наружу)
не могут обеспечить устойчивое удержание плазмы, так как в них
поле падает от центра к периферии. Это относится, в частности,
к простейшим магнитным ловушкам с пробками (см. § 8.5, рис. 8.16).
Для обеспечения устойчивости лучше всего использовать конфи-
конфигурацию, в которой поле нарастает от центра к периферии, т. е.
силовые линии вогнутые. В случае, если силовые линии имеют как
вогнутые, так и выпуклые участки, устойчивость определяется
изменением V = —J dllH при переходе от центра к периферии
плазмы.
§ 10.5. Равновесие и устойчивость плазменного шнура с током
Плазма может удерживаться не только внешним магнитным по-
полем, но и полем, создаваемым токами, текущими по плазме. Простей-
Простейшая система, в которой можно реализовать такое удержание, пред-
представляет собой линейный электрический разряд. При большом
токе разряда создаваемое им магнитное поле достаточно для обес-
обеспечения равновесия плазмы, не имеющей контакта со стенками.
Этот способ удержания широко исследовался в первых эксперимен-
экспериментах по проблеме управляемого термоядерного синтеза. Он получил
название пинч-эффекта\ линейный разряд, удерживаемый полем
тока, называют линейным или z-пинчем.
12 Зак. 1227 353


Рассмотрим прежде всего условия равновесия цилиндрически-
симметричного плазменного шнура, вдоль которого течет ток
(рис. 10.7). Будем считать, что плотность тока и параметры плазмы
зависят только от радиуса: / = jz (г), р = р (г). При этом, очевид-
очевидно, магнитное поле имеет только азимутальную составляющую:
Я = Яф (г). Связь плотности тока и поля дается уравнениями
= _?-rotH, /=_?- ~
4я J ыг dr
A0.102)
Полный ток можно получить,
интегрируя A0.102) по сечению
плазменного столба:
Рис. 10.7
где а — радиус столба. Это ра-
равенство определяет магнитное
поле на границе плазмы
Н(а) = 21/са. A0.103)
За пределами плазменного
шнура с током магнитное поле
уменьшается обратно пропор-
пропорционально радиусу (это следует
из уравнения A0.102) при /=0).
Учитывая это, получаем хорошо
известное соотношение для маг-
магнитного поля линейного тока
Не (г) = 2//<т. A0.104)
Уравнение равновесия плазмы в магнитном поле тока A0.6)
grad р = A/с) [j X Н] может быть записано в виде
_dp_
dr
Н
dr
(Hr).
A0.105)
Правая часть уравнения определяет силу взаимодействия тока с
полем. Она может быть представлена в виде, аналогичном A0.30):
Я d
Anr dr
(
dr \ Ы
A0.Ю6)
Первое слагаемое дает при этом градиент магнитного давления,
второе — силу, связанную с натяжением силовых линий. Инте-
Интегральное условие равновесия найдем, умножая уравнение A0.105)
354


на г2 и интегрируя по радиусу от 0 до а. Тогда получим:
а
i
г^г аЯ(а) A0.107)
Взяв по частям интеграл в левой части, найдем
а2 A0.108)
а а
где <р> = Jp (r)rdrl\rdr —среднее по сечению плазмы давление.
о о
Подставляя его в A0.107), получаем условие равновесия в виде
±. A0.109)
Правую часть равенства можно выразить через полный ток A0.103).
Оно даст тогда связь между током и давлением плазмы
Р = 2яа*с\р). A0.110)
Для случая, когда температура заряженных частиц постоянна по
сечению, давление пропорционально концентрации р = п(Те + Тг)
и равенство A0.110) можно представить в другой форме:
P = 2c2(Te + Tt)N, A0.111)
где N == па\п} — линейная плотность плазмы (число заряжен-
заряженных частиц на единицу длины столба).
Соотношения A0.109) — (ЮЛИ) являются интегральными ус-
условиями равновесия плазменного шнура с током. Они не зависят
от радиального распределения тока. В реальных условиях распре-
распределение тока определяется способом формирования плазмы и ее
проводимостью. В импульсных разрядах при большой проводи-
проводимости, когда длительность импульса много меньше скин-времени
A0.39), ток течет по поверхности плазмы (так называемый скини-
рованный пинч). При этом давление плазмы внутри шнура должно
быть постоянным, так как / = Н = 0, а условие равновесия A0.109)
сводится к равенству давления плазмы магнитному давлению на гра-
границе р = Я2 (а)/8п. В противоположном случае, когда плотность
тока постоянна по сечению плазмы, уравнение A0.102) определяет
линейное увеличение магнитного поля внутри плазмы с радиусом
Нг (г) = Bnf/c)r. A0.112)
При этом в соответствии с A0.105) распределение давления оказы-
оказывается параболическим
р - Ро A - rVa2), A0.113)
где
ро = *и?/Ч(* = РЫагс2. A0.114)
12* 355


Условия равновесия плазменного шнура с током нетрудно обоб-
обобщить на случай, когда в объеме плазмы и вне ее имеется продоль-
продольное магнитное поле Нх (г). В этом случае уравнение равновесия при-
принимает вид
dH
z
*L^-±. [Н х rot Н]г= --^- А (ЯФг)-JL Н .
dr с Ыг dr K ф ' 4я z dr
A0.115)
Его можно записать в форме
± (р + II] = ^L ± (Яфг). A0.116)
dr у 8п } 4лг dr к ф ' v ;
Умножая A0.116) на г2 и интегрируя от 0 до а, получаем вместо
A0.109)
2—((Щд—Н2ге)/8лу A0.117)
где величина <Я1/>, как и <рХ усреднена по сечению плазмы.
Здесь учтено, что на границе плазменного шнура (при г = a)Hzi =
= Hze-
Полученные соотношения определяют условия равновесия плаз-
плазменного шнура с током. Следует, однако, учитывать, что протека-
протекание тока через плазму сопровождается выделением джоулева теп-
тепла. До тех пор пока такое выделение не скомпенсировано потерями
(на излучение, на теплопроводность и т. п.), должно происходить
увеличение температуры и соответственно давления плазмы, и по-
поэтому равновесный ток A0.111) также должен нарастать со вре-
временем.
Рассмотрим теперь устойчивость равновесия плазменного шну-
шнура с током для случая, когда ток скинирован, т. е. течет по поверх-
поверхности шнура. В этом случае магнитное поле внутри плазмы отсут-
отсутствует (р = 1) и в соответствии с анализом предыдущего параграфа
устойчивость границы плазма — вакуум определяется направле-
направлением изменения напряженности внешнего магнитного поля. В соот-
соответствии с A0.104) магнитное поле уменьшается с радиусом Я ~ 1/г,
поэтому дН/дц = дН/дг<0 и граница плазмы должна быть не-
неустойчивой относительно возмущений различного типа, в первую
очередь относительно возмущений, вытянутых вдоль поля.
Обсудим сначала качественно развитие некоторых типичных
неустойчивостей плазменного шнура с током. Поскольку магнит-
магнитное поле тока направлено по азимуту (см. рис. 10.7), возмущение
желобкового типа, вытянутое вдоль поля, должно быть азимуталь-
но-симметричным. Оно может представлять собой локальное по
длине сужение шнура (перетяжку), локальное расширение или
периодическую модуляцию толщины шнура. Нетрудно понять при-
причину развития неустойчивости. Локальное изменение радиуса шну-
шнура приводит, очевидно, к изменению напряженности магнитного
356


поля на границе (рис. i0.8, a), a именно к возрастанию его в об-
области сужения и ослаблению в области расширения (при сохране-
сохранении тока поле обратно пропорционально радиусу). Соответственно
меняется и магнитное давление, в то время как газокинетическое
давление плазмы остается прежним. Поэтому возникают силы,
приводящие к росту возмущения. Развитие этой неустойчивости
может повлечь за собой полный обрыв тока в месте перетяжки.
Другой тип неустойчивости связан с изгибом плазменного шнура
(рис. 10.9, а). Изгиб приводит к уменьшению магнитного поля стой
стороны, где образующая по-
поверхности шнура выпукла, и к
увеличению поля с другой сто-
стороны. Поэтому возникает раз-
Рис. 10.8
Рис. 10.9
ность магнитных давлений, стремящаяся увеличить возмущение.
Неустойчивыми оказываются, очевидно, и более сложные винто-
винтовые возмущения.
Стабилизация некоторых из неустойчивостей возможна при до-
добавлении продольного однородного магнитного поля внутрь плаз-
плазмы. При этом условие равновесия границы сводится к равенству
суммы кинетического давления и давления внутреннего магнитного
поля давлению внешнего поля
р + Hlil&n = //фе/8я. A0.118)
Легко видеть, что продольное поле, вмороженное в плазму,
может приводить к стабилизации возмущений типа перетяжек. Дей-
Действительно, перетяжки вызывают искривление формы границы, при-
приводящее к соответственному искривлению силовых линий продоль-
продольного поля и изменению его напряженности в объеме (рис. 10.8, б).
Возникающее в результате искривления натяжение силовых линий
в первую очередь препятствует развитию коротких перетяжек, дли-
длина которых меньше или сравнима с радиусом. При большой длине
357


эффект натяжения относительно Мал и основную роль в стабилиза-
стабилизации играет изменение внутреннего магнитного давления. Магнит-
Магнитный поток, вмороженный в плазменный шнур, постоянен na?Hz —
= const и Hz ~ Ш2. Внешнее поле определяется током и
Яф ~ 1/а. Для подавления неустойчивости необходимо, чтобы внут-
внутреннее магнитное давление изменялось быстрее внешнего
|д (Нг/8п)/да\>\д (Нр/8п)/да |. Поэтому условие устойчивости сво-
сводится к неравенству HI > A/2)Яф, которое дает минимальную ве-
величину продольного поля, необходимого для стабилизации. Про-
Продольное поле приводит из-за сил натяжения также к подавлению
возмущений типа изгиба, характерная длина которых сравнима
с радиусом шнура или меньшего. Однако изгибы большой длины
продольное поле не стабилизирует. Для их стабилизации применяют
толстостенный металлический кожух, окружающий плазму с током
(рис. 10.9, б). Поскольку время развития возмущений много меньше
времени проникновения поля в металл, можно считать, что поток
Яф, охватывающий шнур и заключенный между плазмой и стенкой
кожуха, не меняется. Это приводит к увеличению магнитного дав-
давления на внешней стороне изгиба (там, где зазор меньше) и способ-
способствует подавлению неустойчивости.
Количественный анализ неустойчивости скинированного плаз-
плазменного шнура с током можно провести так же, как это делалось
в § 10.4 для плоской границы. При постановке общей задачи о ски-
нировании в цилиндрически-симметричном шнуре следует считать,
что как внутри (при г < а), так и вне плазмы (при г > а) в равнове-
равновесии имеются азимутальное поле Яф (г) и постоянное продольное
поле Hz. Вне плазмы область магнитного поля ограничена кожухом
(г = Ь). Основное отличие от задачи, рассмотренной в § 10.4, со-
состоит в замене плоской геометрии на цилиндрическую. В связи
с этим задачу нужно решать в цилиндрической системе координат.
Поскольку равновесные условия не зависят от азимутальной и про-
продольной координат фиг, зависимость возмущений от этих коорди-
координат можно полагать экспоненциальной. В частности, для смещения
границы имеем
Ъг (г, Ф, z, t) = Re Ц (г) exp [i (kzz + k^ap — ©ОН- (ЮЛ 19)
Поскольку полный обход по азимуту приводит в ту же точку, за-
зависимость %г от ф должна иметь период, кратный 2я : ?г (ф) =
= ?г (ф + 2я), т. е. kyd = т, где т — целое число, называемое
модой колебаний. Возмущение с т = 0, не зависящее от азимута,
есть периодическая последовательность сужений (перетяжек) и
расширений шнура g ~ cos kz z. Возмущение cm~l ? ~ cos (kz z +
+ ф) в каждом сечении представляет собой смещение шнура в
направлении ф •-= —kzz. В^целом такие смещения образуют винто-
винтовое возмущение. Возмущения с большими т имеют структуру мно-
гозаходного винта. Вид возмущенного шнура при разных значениях
т иллюстрируется рис. 10.10.
358


Решение линеаризованных уравнений магнитной гидродинамики
с граничными условиями для возмущения вида A0.119) приводит
к дисперсионному уравнению, аналогичному уравнению A0.82),
полученному в § 10.4 для плоской границы. Оно может быть запи-
записано в виде
рсо2 - -o&G + (kHig)*/4n + а2(кНу2/4я, A0.120)
где G =\ (Шг)(Щ/8п) | = Н$> (а)/4па — эффективная сила, дей-
действующая на границу плазмы и равная градиенту магнитного дав-
Рис. 10.10
ления; предполагается, что вектор к имеет продольную проекцию
kz и азимутальную ?ф. Коэффициенты ах, а2, которые отличают
A0.120) от A0,82), равны
Km (M) l'm {kz Ь)~К'т (kz b) Im (kz a)
kz b) I'm (kz a) -K'm (kz a) I'm(kz b)
K'm
где /ш, Km — модифицированные функции Бесселя порядка т\
I'm, Km — их производные. Эти коэффициенты учитывают цилинд-
ричность геометрии и влияние кожуха. Для коротких волн, когда
kbkl, граница практически не отличается от плоской и
359


влияние кожуха мало; при этом ах ж а2 & 1. В отсутствие продоль-
продольного магнитного поля (Ht = 0, Heg = Яф (а), (кНе) = ^ФЯФ =
= (т/а)Н(р) уравнение A0.120) принимает вид
+ a2m2/a2), A0.121)
где введено обозначение Яф (а) = Яфа. Из него следует, что при
малых длинах волн неустойчивы возмущения с m< ]/~kz а. Инкре-
Инкремент нарастания возмущений имеет порядок
у « (Н$акг!4праI*2 « Bpkz/paI/2. A0.122)
[Здесь учтены условия равновесия A0.118)]. Видно, что при (kza) «
« 1 время развития неустойчивости т « 1/у я^ A/а)]/р/р «
« A/а)Ут/тг имеет порядок времени перемещения ионов на дли-
длину а.
Уравнение A0.120) позволяет количественно проанализировать
условия стабилизации неустойчивостей различного типа продоль-
продольным магнитным полем и кожухом. Для случая, когда стабилизация
обеспечивается внутренним продольным полем, т. е. Ht — Hzi Ф 0,
Hze = 0, дисперсионное уравнение принимает вид
e (Ю.123)
4яр \ kza k\a% Я 2
Как видно, в уравнении появляется дополнительный стабили-
стабилизирующий член, пропорциональный Hit- Отметим, что его величи-
величина ограничена, так как в соответствии с условием равновесия
Hzi < Яфа. Условие стабилизации возмущений cm = 0 (перетяжек)
определяется соотношением первого и третьего слагаемых в A0.123).
Это условно сводится к неравенству
HlilHla > (ах/^макс = U'o (kza)/h (kza) kza]MSLliC = 1/2.
Стабилизация возмущений с т ф 0 определяется вторым и третьим
слагаемыми A0.123). Можно показать, что она требует примене-
применения кожуха с радиусом Ъ < 5а.
Теперь рассмотрим случай, когда сильное продольное поле есть
как внутри, так и снаружи плазменного шнура (Hzt = Я2е^>Яф).
В этом случае возмущения с длиной волны порядка радиуса или
меньшей не могут нарастать, так как их развитие должно приводить
к большим изменениям энергии, связанным с искривлением сило-
силовых линий продольного поля Hzi. Наиболее опасны винтовые воз-
возмущения с продольной длиной волны, близкой к шагу силовой ли-
линии на границе плазмы Az» (HJHm) 2na. Такое возмущение,
параллельное магнитному полю, минимально искажает форму сило-
силовых линий. Существенное влияние на развитие винтового возмуще-
возмущения оказывает перекрещенность силовых линий (шир). Перекрещен-
360


йость возникает из-за того, что азимутальное Поле спадает с радиу-
радиусом, в то время как продольное поле постоянно. В результате угол
наклона силовых линий по отношению к оси шнура уменьшается
с радиусом (рис. 10.11). Если на границе шнура угол наклона воз-
возмущения по отношению к оси меньше угла наклона силовой линии,
то по мере роста возмущения угол между возмущением и силовой
линией уменьшается. При этом развитие возмущения облегчено.
Если же возмущение имеет вид винта с шагом меньшим, чем силовая
линия на границе, угол между магнитным полем и возмущением
по мере роста г увеличивается, поэтому его развитие затруднено.
Из сказанного ясно, что неус-
неустойчивыми могут быть возму-
возмущения, для которых
Л,>2яаЯ2/Яф. A0.124)
Количественное рассмотре-
рассмотрение устойчивости границы плаз-
плазменного цилиндра в сильном
продольном магнитном поле
можно провести с помощью
уравнения A0.120). Полагая в
нем Hzi = Hze, получаем
рсо2 = —a^zH
A0.125)
Поскольку Hz ^> Яфа, не-
неустойчивыми могут быть, оче-
очевидно, только длинноволновые Рис 10П
возмущения с kz a <§: 1 (в про-
противном случае второе и третье
слагаемые в правой части превосходят первое). При этом асимпто-
асимптотическое представление бесселевых функций приводит ка^ mlkzay
а2»1 и дисперсионное уравнение приобретает вид
рсо* = —тЯ|а/4яа2 + klHI/in + (kzHz + (т/а)ЯфаJ/4я. A0.126)
Нетрудно убедиться, что правая часть уравнения не может стать
отрицательной при т ^ 2. Поэтому неустойчивыми могут быть
лишь возмущения с т = 1. Для них при kz< 0 получаем
со2-
A0.127)
Видно, что граница плазмы неустойчива относительно винтового
возмущения с т = 1 при условии
A0.128)
361


Максимальная величина инкремента нарастания вийтовой неустой-
неустойчивости оказывается равной
(Ю.129)
Условие раскачки винтовой неустойчивости соответствует полу-
полученному выше из качественных соображений неравенству A0.124).
Оно определяет минимальную длину волны возмущения. С другой
стороны, длина волны обычно ограничена длиной плазменного
столба /. Ограничение связано с условиями на торцах (чаще всего
с условием вмороженности силовых линий магнитного поля в ме-
металлические электроды). Поэтому в плазменном шнуре конечной
длины при достаточно большом продольном поле развитие винтовой
неустойчивости оказывается не-
невозможным. В соответствии с
A0.124) критерий устойчивости
может быть записан в виде
#2>#ф//2яа. A0.130)
Его называют критерием Шаф-
ранова—Крускала.
Мы рассмотрели линейную
стадию винтовой неустойчиво-
неустойчивости. Ее развитие должно при-
привести к сворачиванию плазмен-
плазменного шнура с током в винтовую
спираль. При этом винтовые си-
силовые линии магнитного поля
вне шнура сокращаются и пре-
превращаются в прямые (рис.
ЮЛ2, а, б). Дальнейшее разви-
развитие связано с притяжением то-
токов в соседних витках, которые
должны превратить винтовой
шнур в полый цилиндр, В этом
состоянии энергия магнитного
поля минимальна. Таким обра-
образом, источником винтовой неустойчивости являются силы натя-
натяжения, стремящиеся выпрямить и укоротить силовые линии маг-
магнитного поля,
Проведенное в этом параграфе обсуждение устойчивости плаз-
плазменного шнура основывалось на модели скинированного тока. Ана-
Анализ устойчивости для плазменного цилиндра с распределенным то-
током значительно сложнее, поэтому не будем на нем останавливать-
останавливаться. Критерий устойчивости в этом случае представляет собой обоб-
обобщение критерия устойчивости относительно конвективных возму-
возмущений A0.100) на более широкий класс возмущений. Они в большой
степени определяются широм в объеме плазмы. Так, например, для
возмущений с большим т (которые можно считать локальными) до-
362
Рис. 10.12


статочный критерий устойчивости (критерий Сайдема) можно пред-
представить в виде
dr
dr
A0.131)
где величина \|э = H^lrHz дает шаг силовой линии s = 2яЛ|), а про-
производная d^ldr характеризует шир [см. также (8.12)].
§ 10.6. Равновесие и устойчивость тороидального
плазменного шнура
В гл. 8 была рассмотрена структура, магнитного поля торои-
тороидальных магнитных ловушек, образованных в результате суперпо-
суперпозиции тороидального (Не) и полоидального (Яф) магнитных полей.
Наиболее простой способ соз-
создания таких ловушек исполь-
используется в установках типа То-
камак, получивших широкое
распространение в исследова-
исследованиях по проблеме управляемого
термоядерного синтеза. В них
тороидальное поле создается
внешним соленоидом, а поло-
идальное — током в плазме, при-
причем Не 5> Яф. В настоящем
параграфе будут кратко рас-
рассмотрены равновесие и магни-
тогидродинамическая устойчи-
устойчивость тороидального плазмен-
плазменного шнура при таких усло-
условиях.
Рассмотрим сначала интег-
интегральные условия равновесия то-
тороидального плазменного витка с током / в тороидальном поле
(рис. 10.13), полагая, что выполнено условие Ну<к:Не и что малый
радиус тора много меньше большого (a<^:R). При этом уравнение
равновесия A0.6) можно разложить в ряд по малому отношению
alR. В нулевом приближении (при alR ~ 0) тороидальный плазмен-
плазменный шнур превращается в цилиндрический и условие равновесия
плазмы приобретает вид [см. A0.177)]
[
Z
0
RYf.
ч
Рис. 10.13
= Щ (а)/8п + (Н%е — <Я|/»/8я = Р/2па2с2+ (Я|е — <#
A0.132)
Это равенство называют условием равновесия «по малому радиусу
тора». В следующем приближении надо учесть силы, пропорцио-
пропорциональные alR и возникающие из-за тороидальности плазменного
шнура. Существует несколько источников сил, действующих в сто-
363


рону увеличения большого радиуса тора и соответственно объема
плазменного шнура. Это газокинетическое давление, стремящееся
расширить объем плазмы, электродинамическое взаимодействие
элементов витка с током и давление тороидального магнитного по-
поля. Им противостоит натяжение силовых линий тороидального
поля. Чтобы найти суммарный эффект, удобно ввести обобщенную
(просуммированную по объему плазмы) силу в направлении боль-
большого радиуса тора, определив ее через энергию системы плазма-
магнитное поле:
fR ^dWIdR. A0.133)
Энергию W (R) можно представить как сумму составляющих, свя-
связанных с плазмой, магнитным полем тока и продольным (торои-
(тороидальным) магнитным полем. Энергия, запасенная в плазме, опреде-
определяется средним по объему газокинетическим давлением
Wp = I pdV = 2я2а2Я<р>. A0.134)
Энергию, запасенную в витке с током, можно выразить через
индуктивность витка
Wi = (l/2c2)L/2. A0.135)
Используем для индуктивности известную формулу
L - 4я#Aп (SR/a) — 2 + /,/2), A0.136)
где lt = <#ф/>/#ф/ (а) — внутренняя индуктивность распреде-
распределенного тока, отнесенная к единице длины шнура. Энергию, запа-
запасенную в продольном магнитном поле, найдем, интегрируя плот-
плотность энергии по объему плазмы (Vt) и по всему остальному про-
пространству (Ve):
A0.137)
Суммируя A0.134), A0.135), A0.137) и подставляя сумму в A0.137),
получаем растягивающую центробежную силу
ig—JL + JL+ 2™**<P> \ (Ю.138)
a 2 2 /2 /' V ;
где использовано условие равновесия по малому радиусу A0.132).
Компенсация этой силы возможна лишь при наличии дополни-
дополнительного магнитного поля, направленного вдоль оси тора Hz
364


(см. рис. 10.13). Взаимодействие такого поля с током при подходя-
подходящем направлении поля и тока создает центростремительную силу.
При однородном поле Hz сила, просуммированная по объему тора,
равна
\ ^ A0.139)
Приравнивая силы fR и fRf получаем величину поля HZi необхо-
необходимую для равновесия:
Это равенство называется, условием равновесия «по большому
радиусу тора». ^
Поддержание равновесия при изменении параметров плазмы
(тока, давления, их распределения по объему) требует изменения
поля Hz довольно сложным образом в соответствии с A0.140). Су-
Существует, однако, способ автоматического поддержания равновес-
равновесной величины поля, основанный на помещении плазменного шнура
в тороидальный металлический кожух. При достаточно большой
проводимости и толщине кожуха, при которой время проникновения
поля через кожух больше времени поддержания равновесия, он
ведет себя, как сверхпроводник. При этом внешнее по отношению
к плазме магнитное поле, в частности поле тока, сосредоточено
в пространстве между плазменным цилиндром и кожухом. В то же
время в кожухе индуцируются токи Фуко, направленные противо-
противоположно току в плазме, которые и препятствуют проникновению
поля в кожух. В случае, когда плазменный шнур равноотстоит от
стенок камеры, поверхностная плотность токов Фуко одинакова по
всей поверхности камеры и силы отталкивания между этими токами
и плазменным током компенсируют друг друга. При смещении плаз-
плазменного шнура к внешней стенке кожуха плотность тока на этой
стенке оказывается больше, чем на противоположной. В этом случае
внутри камеры возникает поле Hz, создающее силу, направленную
внутрь, т. е. кожух «отталкивает» плазменный шнур. Таким обра-
образом, внутри металлического кожуха тороидальный плазменный
шнур с током может находиться в равновесии, если он смещен
к внешней стенке кожуха. Необходимое смещение автоматически
достигается под действием растягивающих сил.
Нетрудно получить выражения для равновесного смещения
в случае, когда тороидальность мала, т. е. радиус плазмы а и радиус
кожуха Ь много меньше большого радиуса тора R. Пусть ось шнура
с током смещена относительно оси камеры на расстояние А
(рис, 10.14). Тогда влияние кожуха при Ь^>а эквивалентно появ-
появлению тока «изображения» на расстоянии d = б2/А от оси (формула
строго справедлива для линейного тока в цилиндре). Создаваемое
током изображения поле в области шнура равно
A0.141)
365


Оно может считаться однородным, поскольку d^>a. Это поле
должно обеспечить равновесие по большому радиусу. При опреде-
определении условий равновесия следует также учесть, что индуктив-
индуктивность витка с током в кожухе отличается от A0.136). Она равна
\п—+ — /,). A0.142)
?
0
--Яш
\
Рис. 10.14
Рис. 10.15
Подставляя в условие равновесия A0.140) поле A0.141) и учитывая
A0.142), получаем выражение для равновесного смещения, справед-
справедливое при Ь^>а:
2R
.
/а
A0.143)
Более точный расчет, свободный от предположения о малости alb,
приводит к равенству
д e
2/? [ « V Ь2 Л
,
, A0.144)
справедливому при A J
Полученные формулы являются интегральными условиями рав-
равновесия. Чтобы связать распределение магнитного поля и давления,
следует учесть тороидальную структуру магнитного поля. Как
было показано в §8.1, эта структура определяется совокупностью
вложенных друг в друга тороидальных магнитных поверхностей
(см. рис. 8.3). Меридиональные сечения поверхностей при малоц
тороидальности близки к окружностям, центры которых сдвинуты
друг относительно друга. По мере уменьшения радиуса окруж-
окружностей они смещаются в сторону большого радиуса тора. Причина
такого смещения — рост растягивающих сил, связанных с давле-
давлением плазмы, при переходе от периферической магнитной поверх-
поверхности к центральной (к магнитной оси). Обычно для оцисация маг*
306


нитной структуры тороидального плазменного шйура вводят to*
роидальные координаты — радиус магнитной поверхности г', ази-
азимутальный угол в меридиональном сечении тора q/ и экваториаль-
экваториальный угол ©(рис. 10.15). При «спрямлении» тора эти координаты
переходят, очевидно, в цилиндрические (г' ->- г, <р' -> ср, R@-*z).
Для случая малой тороидальности (a<^R, r'<^R) нетрудно
определить распределение магнитных полей. Тороидальное (про-
(продольное) магйитное поле в первом приближении по alR равно
Не = (Ho/R)Ro = #oU — (r'/R0) cos ф'], A0.145)
где Ro — радиус магнитной оси. Второе слагаемое характеризует
тороидальную неоднородность поля.
Неоднородность магнитного поля тока (полоидального поля)
приводит к сгущению магнитных поверхностей в направлении боль-
большого радиуса. В первом приближении по alR это поле можно
представить в виде
Яф - Яф0 (г)[1 + (г7#0) С (г') cos cp'], A0.146)
параметр ? (г') однозначно связан со смещением центра магнитных
поверхностей б (г') относительно магнитной оси
г'
^=ll(t+l); б (г') =JJL(C+l)*f A0.147)
где принято 8 @) = 0.
Подставляя поля A0.145) и A0.146) в общее уравнение равнове-
равновесия A0.6), записанное в форме
gradp = A/4я)[Нх rot H],
можно найти связь равновесных распределений магнитного поля
и давления. При малой тороидальности решение уравнения находит-
находится методом последовательных приближений по параметру alR. He
останавливаясь на вычислениях, приведем здесь их результаты.
В нулевом приближении (при alR ->¦ 0) уравнение равновесия
сводится к равенству A0.115) и соответствует спрямлению тора
в цилиндр. В следующем приближении (в котором сохраняются
члены, пропорциональные г /R, alR) уравнение равновесия позво-
позволяет найти параметр ? (г'), входящий в A0.147). Он равен
I (О = 8я[<р (г')> - р (г')]/Щ (г') + Цг')/2 - 1, A0.148)
где <р (г')> обозначает давление, усредненное по области сечения,
ограниченной магнитной поверхностью радиуса г; Яф (г') — поле
тока на поверхности /*'; Цг') = (Щ (г')>/Яф(г'); величины р{гг)
и Яф (г') берутся в нулевом приближении (без учета тороидальных
поправок). Э^о равенство дает распределение полоидального поля
A0.146) и относительное смещение магнитных поверхностей A0.147).
367


В частности, р,ля параболического распределения давления и по-
постоянной по сечению плотности тока [(р (/-') = р0 (I—г'*/а*)\
/ = /0] получаем
I (г') = 8п(р (a»/#J (а) - 3/4
и в соответствии с A0.147)
J^\ % +J- A0.149)
Видно, что сдвиг между магнитной осью (г' = 0) и центрами маг-
магнитных поверхностей увеличивается с ростом давления плазмы.
Максимальный сдвиг, характеризующий положение границы маг-
магнитной поверхности с г' = а, определяется отношением среднего
давления к магнитному давлению полоидального поля Р/ =
= 8я<р>/#ф (а). В соответствии с A0.149) он равен
б (а) = (а2/2Я2)(р7 + 1/4). A0.150)
Для оценки предельного давления, которое может удерживаться
в тороидальном поле, можно считать, что предельный сдвиг должен
быть меньше радиуса. Получим тогда
13/ = 8jt</?>/#! (a)<2R/a. A0.151)
Более точные расчеты, проведенные с учетом более высоких степе-
степеней alR, показывают, что при приближении 3/ к пределу A0.151)
происходит деформация магнитных поверхностей — их сечения
теряют круговую форму и оказываются прижатыми к кожуху. При
этом должен резко возрастать градиент давления плазмы на ее
внешней поверхности.
Обсудим теперь кратко вопрос об устойчивости тороидального
плазменного шнура по отношению к малым возмущениям его кон-
конфигурации. Для режимов, в которых ток скинирован, т. е. течет по
поверхности шнура, условия устойчивости при малой тороидальнос-
ти соответствуют условиям устойчивости прямого плазменного шну-
шнура с током, рассмотренным в § 10.5. В случае, когда тороидальнре
(продольное) поле много больше полоидального (поля тока), опас-
опасной оказывается винтовая неустойчивость с т = 1. Условие ее ста-
стабилизации вторе может быть получено из неравенства A0.130) при
учете того, что максимальная продольная длина волны возмуще-
возмущения в торе равна его периметру /Макс ^ 2я/?. Подставляя эту
длину в A0.130), получаем критерий Шафранова—Крускала для
тороидального плазменного шнура
Не > (Я/а)//ф (а) - 2R 1/са\ A0.152)
определяющий область устойчивости относительно винтового воз-
возмущения. Отношение магнитного поля к предельному полю A0.152) .
называется запасом устойчивости
q(a)*=aHe/RHv(a). A0.153
368


Анализ условий развития винтовой неустойчивости при токе,
распределенном по сечению, значительно сложнее. Оказывается,
что в этом случае при q (а) > 1 возможна раскачка возмущений ти-
типа многозаходного винта с т > 1. Их стабилизация может осу-
осуществляться за счет шира, связанного с изменением направления
поля Яф, при изменении радиуса. Для плавного распределения тока
/ (г) стабилизация достигается при увеличении запаса устойчивости
q (а). Приближенно условие устойчивости можно записать в виде
неравенства
)r>)\ A0.154)
которое должно выполняться при всех г\ Здесь / (г') — плотность
тока на магнитной поверхности радиуса г'; </ (г')> — плотность
тока, усредненная по площади, ограниченной сечением этой маг-
магнитной поверхности. В частности, должно удовлетворяться условие
9@)= СН& >!• A0.155)
ЧК ' 2яД/@)
Обычно оно является достаточным условием устойчивости.
В плазменном шнуре с распределенным током может возникнуть
также конвективная (перестановочная) неустойчивость,|рассматри-
вавшаяся в § 10.4. Она может стабилизироваться при помещении
плазмы в область среднего минимума поля, точнее, в область мини-
минимума эффективного потенциала U = — J (dllH) A0.100). Для торо-
тороидальной плазмы с незамкнутыми силовыми линиями пределы ин-
интегрирования в формуле для U не определены. Поэтому удобно вер-
вернуться к выражению для удельного объема силовой трубки (8.7),
в соответствии с которым
U = — J (dl/H) - — 8W6O, A0.156)
где б V — объем трубки, содержащей магнитный поток 6Ф. Учиты-
Учитывая тороидальную структуру поля, в качестве 8V удобно принять
объем, ограниченный соседними магнитными поверхностями. Вели-
Величина 6Ф при этом есть поток продольного магнитного поля Н&
через сечение этого объема. Основываясь на таком представлении,
нетрудно найти эффективный потенциал [/, воспользовавшись фор-
формулами A0.145) и A0.150), дающими распределение продольного
поля и положение магнитных поверхностей. Вычисление приводит
к выражению
U= ip-H—ULt^+iyl. A0.157)
Из него следует, что U растет с ростом г', т. е. область г' ж 0, при-
прилегающая к магнитной оси, является областью минимума U (об-
(областью среднего минимума поля). Нетрудно понять этот результат.
На периферийных магнитных поверхностях силовые линии пооче-
поочередно проходят как области, в которых поле меньше, чем на магнит-
369


йой оси (Й, > #о), так и области, в которых поле больше (Я < ?0)
Однако смещение центров поверхностей внутрь с ростом г'
(см. рис. 10.15) приводит к тому, что длина внешних участков
(R > Ro) меньше, чем длина внутренних, поэтому среднее магнит-
магнитное поле растет при переходе от магнитной оси к периферии.
Существование среднего минимума продольного поля способ-
способствует стабилизации конвективной неустойчивости. Само по себе
существование среднего минимума поля, однако, недостаточно дли
обеспечения устойчивости. При более строгом рассмотрении долж-
должно учитываться влияние устойчивости распределения не только
продольного, но и полоидаЛьного поля.
Рассмотрение показывает, что конвективные возмущения не
развиваются, если выполняется неравенство A0.155). Таким обра-
образом, неравенство A0.155) можно считать достаточным условием маг-
нитогидродинамической устойчивости тороидального плазменного
шнура с током в сильном магнитном поле.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Общие руководства
Альвен Г, Фельтхаммар К. Г. Космическая электродинамика. Пер. с англ.
М., «Мир», 1967.
Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. Пер. с англ. М., «Мир»,
1975.
Лонгмайр К. Физика плазмы. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1966.
Синельников К-. Д., Руткевич Б. Н. Лекции по физике плазмы. Харьков,
Изд-во Харьковского ун-та, 1964.
Смирнов Б. М. Физика слабоионизованного газа. М., «Наука»,
1972.
Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1965.
Трубников Б. А. Введение в теорию плазмы (лекционный курс). Ч. 1,2. М.,
Изд-во МИФИ, 1969.
Франк-Каменецкий Д. А. Лекции по физике плазмы. М., Атомиздат, 1964.
2. Столкновения в плазме
Браун С. Элементарные процессы в плазме газового разряда. Пер. с англ.
М., Госатомиздат, 1961.
Грановский В. Л. Электрический ток в газе. Т. 1, М. — Л., Гостехиздат,
1952.
Мак-Даниель И. Процессы столкновений в ионизованных газах. Пер.
с англ. М., «Мир», 1967.
Месси Г., Бархоп Е. Электронные и ионные столкновения. Пер. с англ.
М., Изд-во иностр. лит., 1958.
Мотт Н., Месси Г. Теория атомных столкновений. Пер. с англ. М., «Мир»,
1969.
Сивухин Д. В. Кулоновские столкновения в полностью ионизованной
плазме. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 4. М., Атомиздат, 1964.
Смирнов Б. М. Атомные столкновения и элементарные процессы в плаз-
плазме. М., Атомиздат, 1968.
Смирнов Б. М. Физика слабоионизованного газа. М., «Наука», 1972.
Смирнов Б. М. Ионы и возбужденные атомы в плазме. М., Атомиздат,
1974.
Трубников Б. А. Столкновения частиц в полностью ионизованной плаз-
плазме.— В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 1. М., Госатомиздат, 1963.
Хастед Дж. Физика атомных столкновений. М., «Мир», 1965.
3. Кинетическая теория и процессы переноса в плазме
Брагинский С. И. Явления переноса в плазме. —В кн.: Вопросы теории
плазмы. Вып. 1. М., Госатомиздат, 1963
Балеску Р. Статистическая механика заряженные ластиц. Пер. с англ.
Мм «Мир», 1967.
371


Басе Ф. Г., Гуревич Ю. Г, Горячие электроны и сильные электромагнит-
электромагнитные волны в плазме полупроводников и газового разряда. М., «Наука»,
1975.
Веденов А. А. Термодинамика плазмы. — В кн.: Вопросы теории плазмы.
Вып. 1. М, Госатомиздат, 1963.
Грановский В. Л. Электрический ток в газе. Т. I. М.—Л., Гостехиздат,
1952.
Грановский В. Л. Электрический ток в газе. Установившийся ток. М.,
«Наука», 1974.
Гуревич А. В., Шварцбург А. Б. Нелинейная теория распространения ра-
радиоволн в ионосфере. М., «Наука», 1973.
Елецкий А. В., Палкина Л. А., Смирнов Б. М. Явления переноса в сла-
боионизованной плазме. М., Атомиздат, 1975.
Климонтович Ю. Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной
плазмы. М., «Наука», 1975.
Климонтович Ю. Л. Статистическая теория неравновесных процессов
в плазме. М., Изд-во МГУ, 1964.
Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. Пер. с англ. М., «Мир»,
1975.
Кудрин Л. П. Статистическая физика плазмы. М., Атомиздат, 1974.
Лонгмайр К. Физика плазмы. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1966.
Мак-Даниель И., Мэзон Э. Подвижность и диффузия ионов в газах. Пер.
с англ. М., «Мир», 1976.
Мак-Дональд А. Сверхвысокочастотный пробой в газах. Пер. с англ. М.,
«Мир», 1969.
Райзер Ю. П. Лазерная искра и распространение разрядов. М., «Нау-
«Наука», 1974.
Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов. М., «Наука»,
1971.
Смирнов Б. М. Физика слабоионизованного газа. М., «Наука», 1972.
Чепмен С, Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. Пер.
с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1960.
Шкаровский И., Джонстон Т., Бачинский М. Кинетика частиц плазмы.
Пер. с англ., М., Атомиздат, 1969.
Эккер Г. Теория полностью ионизованной плазмы. Пер. с англ. М., «Мир».
1974.
4. Плазма в магнитном поле
Альвен Г., Фельтхаммар К. Г. Космическая электродинамика. Пер. с англ.
М., «Мир», 1967.
Арцимович Л. А. Управляемые термоядерные реакции. М., Физматгиз, 1963.
Арцимович Л. А. Замкнутые плазменные конфигурации. М., «Наука», 1969.
Брагинский С. И. Явления переноса в плазме. — В кн.: Вопросы теории
плазмы. Вып. 1. М., Госатомиздат, 1963.
Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. Неоклассическая теория диффузии.— В кн.:
Вопросы теории плазмы. Вып. 7. М., Атомиздат, 1973.
Гертман Б. Н. Динамика ионосферной плазмы. М., «Наука», 1974.
Кадомцев Б. Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы. — В кн.: Вопросы
теории плазмы. Вып. 2. М., Госатомиздат, 1963.
Кадомцев Б. Б., Погуце О. П, Турбулентные процессы в тороидальных си-
системах.— В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 5. М., Атомиздат, 1967.
Колесников П. М. Электродинамическое ускорение плазмы. М., Атомиз-
Атомиздат, 1971.
Лонгмайр К. Физика плазмы. Пер. с англ. М., Атомцздат, 1966.
Лукьянов С. Ю. Горячая плазма и управляемый ядерный синтез. М., «Нау-
«Наука», 1975.
Морозов А. И., Соловьев Л. С. Геометрия магнитного поля, — В кн.: Во-
Вопросы теории плазмы. Вып. 2. М., Госатомиздат, 1963,
372


Морозов А. И., Соловьев Л. С. Движение заряженных частиц в электро-
электромагнитных полях.— В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 2. М., Госатомиз-
дат, 1963.
Морозов А. И., Соловьев Л. С. Стационарные течения плазмы в магнит-
магнитном поле.— В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 8. М., Атомиздат, 1974.
Пикельнер С. Б. Основы космической электродинамики. М., Физматгиз,
1УО1.
Роуз Д., Кларк М. Физика плазмы и управляемые термоядерные реакции.
М., Госатомиздат, 1963.
Сивухин Д. В. Дрейфовая теория движения заряженной частицы в элек-
электромагнитных полях.— В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 1 М. Госатом-
Госатомиздат, 1963.
Синельников К. Д., Руткевич Б. М. Лекции по физике плазмы. Харьков,
Изд-во Харьковского ун-та, 1964.
Соловьев Л. С. Гидромагнитная устойчивость замкнутых плазменных кон-
конфигураций. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 6. М., Атомиздат, 1972.
Соловьев Л. С, Шафранов В. Д. Замкнутые магнитные конфигурации для
удержания плазмы. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 5. М., Атомиз-
Атомиздат, 1967.
Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. Пер. с англ. М., «Мир»,
1965.
Трубников Б. А. Введение в теорию плазмы (лекционный курс). Ч. 1, 2.
М., Изд-во МИФИ, 1969.
Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле. — В кн.: Вопросы
теории плазмы. Вып. 2. М., Госатомиздат, 1963.
5. Колебания и волны в плазме
Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме. Пер. с англ. М., «Мир»,
1971.
Веденов А. А. Теория турбулентной плазмы. М., Изд-во ВИНИТИ, 1965.
Веденов А. А. Введение в теорию слаботурбулентной плазмы. — В кн.: Во-
Вопросы теории плазмы. Вып. 3. М., Госатомиздат, 1963.
Веденов А. А., Рютов Д. Д. Квазилинейные эффекты в потоковых неус-
тойчивостях. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 6. М., Атомиздат, 1972.
Галеев А. А., Сагдеев Р. 3. Нелинейная теория плазмы. — В кн.: Вопросы
теории плазмы. Вып. 7. М., Атомиздат, 1973.
Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.,
«Наука», 1967.
Гинзбург В. Л., Рухадзе А. А. Волны в магнитоактивной плазме. М., «Нау-
«Наука», 1975.
Голант В. Е. Сверхвысокочастотные методы исследования плазмы. М.,
«Наука», 1968.
Гуревич А. В., Шварцбург А. Б. Нелинейная теория распространения ра-
радиоволн в ионосфере. М., «Наука», 1973.
Ерохин Н. С, Моисеев С. С. Волновые процессы в неоднородной плазме. —
В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 7. М., Атомиздат, 1973.
Иванов А. А. Взаимодействие высокочастотных полей с плазмой. — В кн.:
Вопросы теории плазмы. Вып. 6. М., Атомиздат, 1972.
Ишимару С. Основные принципы физики плазмы. Пер. с англ. М., Атом-
Атомиздат, 1975.
Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. М., «Наука», 1976.
Кадомцев Б. Б. Турбулентность плазмы. — В кн.: Вопросы теории плазмы.
Вып. 4. М., Атомиздат, 1964.
Кадомцев Б. Б., Погуце О. П. Турбулентные процессы в тороидальных
системах. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 5. М., Атомиздат, 1967.
Коллективные колебания в плазме. М., Атомиздат, 1964. Авт.: Ахие-
зср А. И., Ахиезер И. А., Половин Р. В., Ситенко А. Г., Степанов К. Н.
Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. Пер. с англ. М., «Мир»,
1975.
373


Ломинадзе Д. Г. Циклотронные волны в плазме. Тбилиси, Изд-во Мец-
ниереба, 1975.
Лонгмайр К. Физика плазмы. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1966.
Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчив остей. Т. 1, 2. М., Атом-
Атомиздат, 1970.
Михайловский А. Б. Электромагнитные неустойчивости немаксвелловской
плазмы. — В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 6. М., Атомиздат, 1972.
Силин В. П. Параметрическое воздействие излучения большой мощности
на плазму. М., «Наука», 1973.
Силин В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмо-
подобных сред. М., Госатомиздат, 1961.
Ситенко А. Г. Электромагнитные флуктуации в плазме. Харьков, Изд-во
Харьковского ун-та, 1965.
Стикс Т. Теория плазменных волн. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1965.
Франк-Каменецкий Д. А. Лекции по физике плазмы. Изд. 2-е. М., Атом-
Атомиздат, 1968.
Хилд М., Уортон С. Микроволновая диагностика плазмы. Пер. с англ. М.,
Атомиздат, 1968.
Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме. М., «Наука», 1967.
Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. М., Атомиздат, 1971.
Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме. — В кн.: Вопросы
теории плазмы. Вып. 3. М., Госатомиздат, 1963.
Электродинамика плазмы. М., «Наука», 1974. Авт.: Ахиезер А. И., Ахие-
зер И. А., Половин Р. В., Ситенко А. П, Степанов К. Н.
Эллис В., Буксбаум С, Берс А. Волны в анизотропной плазме. Пер.
с англ. М., Атомиздат, 1966.


ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автоэлектронная эмиссия 72
Адиабатический инвариант [i 249
Амбиполярная диффузия 191
в магнитном поле 287
условие 193
Ам биполярное электрическое поле
193
в присутствии магнитного
поля 288
Амбиполярный коэффициент
диффузии 194
в магнитном поле 288
Амплитуда рассеяния 34
Анизотропия функции распределения
в электрическом поле 109
Анизотропная составляющая
функции распределения в магнитном
поле 271
Аномальная диффузия 325
Атомный форм-фактор 49
Б
Баланс энергии 165
в сильноионизованной плазме
в магнитном поле 310
в слабоионизованной плазме
195
ионов 181
в ллазме стационарного
разряда 207
в распадающейся плазме
215
электронов 172
в плазме стационарного
разряда 205
в распадающейся плазме
215 , 217
— заряженных частиц в
слабоионизованной плазме 195
„ в плазме стационарного
разряда 201
в распадающейся плазме 215
в стационарном
тороидальном разряде 312
«Банановая» диффузия 317
— траектория 257
Близкие столкновения 38
Больцмана Я-теорема 98
— распределение по внутренним
состояниям 95
— уравнение 84
— формула 96
Бома коэффициент диффузии 326
Борна приближение для неупругих
столкновений электронов с
атомами 57 , 58
для столкновений , приводящих
к ионизации 58 , 63
для упругих столкновений
электронов с атомами 49
для суммарного сечения
неупругих столкновений 58
В
Взаимодействие частиц с поверхно*
стью твердого тела 72
Винтовая неустойчивость 359 , 368
инкремент 360
«Вмороженность» силовых линий ё
плазму 338
Возбуждение вращательных и
колебательных уровней молекул 59 , 60
Возбуждения энергия 56
Восстановление поперечной
проводимости плазмы 296
Вращательное преобразование в
тороидальной магнитной ловушке
235 , 255
Время диффузии 203
— жизни состояния 60
— между столкновениями среднее 38
— обмена энергией 225
— релаксации ионной температуры в
распадающейся плазме 216
376


*—— электронной температуры в
распадающейся плазме 215
— теплопереноса 225
Вторичная электронная эмиссия 72
Вязких напряжений тензор 153
Вязкости коэффициент 191
Г
Газовые разряды — типичные
параметры плазмы 24
Галеева — Сагдеева формула 315
Гаусса-теорема 234
Гидродинамическое ускорение 162 ,
329
Гравитационная неустойчивость 349
Граничная концентрация 196
Граничные условия для
концентрации 196 , 198
в магнитном поле 290
• для электронной температуры
200
Греда метод 158
Д
Давление газокинетическое 151
Давление тензор 152
Дальние столкновения 38
Движение заряженных частиц в
магнитном поле 233
Движение ограниченной плазмы
поперек магнитного поля 265
Двужидкостная гидродинамика 151
Дебаевский радиус экранирования
11 , 13
Детального равновесия принцип 61
Диамагнетизм плазмы 259
Дифференциальное поперечное
сечение 31 , 35
ион-атом столкновений 53
классическая трактовка 31
квантово-механическая
трактовка 32 , 33 , 55
кулоновских столкновений
42
электрон-атомных
столкновений 50
Дифракционные эффекты 49
Диффузии коэффициент 178
в магнитном поле 270 , 297 , 305
для электронов в отсутствие
магнитного поля 183
эффективный в тороидальных
ловушках 315
Диффузии механизм в отсутствие
магнитного поля 187
в присутствии магнитного поля
282
в сильноионизован-
ной плазме 302
— тензор 272
Диффузионная * направленная
скорость 178
Диффузионная частота устранения
202
Диффузионное распределение
заряженных частиц 203
в магнитном поле 292 ,
312
Диффузия в пространстве скоростей
117
, обусловленная
электрическим полем 1 , 22 , 141 , 146
— магнитного поля 336
— примеси 304
— резонансного излучения 60
Длина свободного пробега 38
Дрейф в однородном магнитном поле
244
— в медленно меняющемся
магнитном поле 247
— в неоднородном магнитном поле
250 — 252
— градиентный 261
— инерциальный 245
— электрический 245
Дрейфовая неустойчивость 318
— скорость 243
— частота 320
Дрейфово-диссипативная
неустойчивость 320 , 324
Дрейфовое приближение 243
Дрейфовые волны 319
Дрювестейна распределение 124
Ж
Желобковая неустойчивость 346
инкремент 346
Жестчение газа 72
3
Законы сохранения при неупругих
столкновениях частиц 27
упругих столкновениях
частиц 22
Замагниченности плазмы условие
289
Замкнутые магнитные конфигурации
234
ловушки 255
Запас устойчивости 315 , 368
Запертое излучение 105
Запертые частицы в тороидальных
магнитных ловушках 255
Захват сгустков плазмы магнитным
полем 267
— электрона 71
376


и
Идеального газа модель 16
Идеальной проводимости предел 337
Изгиб шнура с током 357
Изотропная составляющая функции
распределения 1 , 10
Интеграл столкновений 84 , 88
Интегральные характеристики
столкновений 37
Ионизации сечение 62
— частота в электрическом поле 132
— энергия 28
Ионизационная неустойчивость 313
инкремент 320
условие раскачки 321
Ионизационное равновесие 98
Ионизация многократная атомов
электронами 67
ионами 67
— при столкновениях электронов с
атомами 61
— ступенчатая 63
Ионная теплопроводность поперек
магнитного поля 315 , 317
Ион-электронная эмиссия 74
К
Кадомцева критерий 352
Катодное распыление 75
Квазинейтральность 10
Квантовая плазма 16
Классического газа модель 16
Кинетическое вырывание 74
— уравнение 80
метод последовательных
приближений 108
столкновительный член 84
Константа ионизационного
равновесия 99
Конус потерь 253
Короткого замыкания эффект 293
Космические объекты — типичные
параметры плазмы 23
Коэффициент передачи энергии при
упругих столкновениях 26
электронов 27
эффективный 59 , 85
Кривизна силовых линий магнитного
поля 238
Критерий влияния электрического
поля на функцию распределения
107 , 108
— применимости классического
описания электрон-атомных
столкновений 32 , 33
ион-атомных
столкновений 33 , 33
кулоновских столкновений
33
Критическая напряженность поля
для «убегания» электронов 224
_ дЛя «убегания» энергии 231
Кулоновских логарифмов 44 , 45
Л
Ларморовская орбита 241
— (циклотронная) частота 241
Ларморовский радиус 241
— (ведущий) центр 243
Ленгмюровская (плазменная)
частота 12
Ленгмюровские (плазменные)
колебания 12
Лоренца сила 240
М
Магнитная ось тора 366
— пробка 249
— поверхность 235
тороидальная 235
Магнитное давление 262
— зеркало 249
Магнитный момент ларморовской
орбиты 242
Магнитогидродинамическое описание
плазмы 328
условия применимости 328
Максвелла — Больцмана
распределение 96
Максвелла уравнения 331
Максвелловский тензор напряжений
335
Максвелловское распределение в
равновесной плазме 93
электронов в электрическом
поле 124 , 134
Месси критерий 65
Методы описания столкновений 28
Моменты функции распределения
151
Н
Направленная скорость 151
амбиполярная 194
в магнитном поле 289
в сильиоионизованной
плазме 222
заряженных частиц в
электрическом поле 107
ионов в электрическом поле
150
слабоионизованной плазмы
в магнитном поле 268
сильиоионизованной плазмы
22}
377


сильноионйзованной плазмы
в магнитном поле 294 , 296
суммарная в слабоионизован-
ной плазме 177 , 269
электронов в переменном
электрическом поле 145
в присутствии
электрического и магнитного поля 140
— составляющая функции
распределения 110
натяжение силовых линий
магнитного поля 335
неизотермическая плазма 10
нейтрализация атомов 70
неоклассическая диффузия 324
неравновесная плазма 10
О
Обдирка 67
Обменное взаимодействие при куло-
новских столкновениях 42
при электрон-атомных
столкновениях 48
Оже-процесс 74
Ома закон обобщенный 330
Онзагера принцип 186
Оптическая толщина плазмы 105
Открытые магнитные конфигурации
234
ловушки 252
П
Парамагнитные токи в ограниченной
плазме 260
Пеннинга эффект 67
Перегревная неустойчивость 310
Передача импульса при упругих
столкновениях 25
— кинетической энергии при упругих
столкновениях 26
Перезарядка 54
Переноса процессы в отсутствие
магнитного поля 176
в магнитном поле 268
в тороидальных магнитных
конфигурациях 310
Перенос энергии в отсутствие
магнитного поля — механизм 189
Перенос энергии в
сильноионйзованной плазме 223
поперечный в
магнитном поле 306
Перестановочная неустойчивость 351
Перетяжечная неустойчивость шнура
с током 357
Пинч-эффект линейный 353
Плазменная частота 10
Плазменные колебания 10
Плотность тока 178 , 221 , 223
Подвижности тензор 271 , 297
Подвижность 178
— поперечная электронов в
магнитном поле 270
— электронов в отсутствие
магнитного поля 183
Полоидальное магнитное поле 367
Поляризационное взаимодействие
при ион-атомных столкновениях
53
при электрон-атомных
столкновениях 48
Поляризация плазмы в скрещенных
полях 263
потенциальное вырывание 74
Поток импульса — тензор плотности
152
— магнитного поля 234
— тепла 154 , 185 , 223 , 272 , 277
— энергии 154 , 185
Потоки в пространстве скоростей ,
связанные со столкновениями 115 ,
151
Приведенная масса 24
Прицельное расстояние 29
Пробочное отношение 254
Проводимость сильноионйзованной
плазмы 221
Проводимость слабоионизованной
плазмы 179
Пролетные частицы в тороидальных
магнитных ловушках 255
Простая плазма 11
Пфирша — Шлютера формула 315
Пяти моментов приближение 160
Р
Равновесие плазмы в магнитном
поле 334 , 335
— тороидального плазменного
шнура 363
— частичное 104
Равновесная плазма 9 , 92
Разделение зарядов — временной
масштаб 12
пространственный масштаб 10
Рамзауэта эффект 52
Распада постоянная времени 217 , 292
Распад плазмы 214
Расстояние максимального
сближения при столкновениях 30
Резерфорда формула 42
Рекомбинации коэффициент 68
— сечение 67
Рекомбинация 67
— диссоциативная 71
— радиационная 70
378


— ударная 69
— ударно-радиационная 70
Рэлея — Тейлора неустойчивость 347
С
Сайдема критерий 363
Саха формула 102
Сечение ионизации , аппроксимация
63
— кулоновских столкновений ,
транспортное 43
— неупругих столкновений ,
аппроксимация 57
полное 40
электронов с атомами 56
— передачи импульса 39
— рассеяния полное 37
— тормозное 39
— упругих столкновений ,
аппроксимация 52 , 53
ионов с атомами 78
электронов с атомами 73
Силовая линия магнитного поля 233
— трубка 234
Силовой центр 29
Сильного взаимодействия радиус 42
Сильноионизованная плазма
(критерий) 176
Система уравнений магнитной
гидродинамики 333
Скачок потенциала в пристеночном
слое 197
Скин-время 336
Скин-слой 336
Скорость относительная 24
— центра инерции 23
Слабоионизованиая плазма
(критерий) 176
Слой пристеночный 196
Средний минимум поля 353
Средняя энергия заряженных частиц
в электрическом поле 107
Стабилизация неустойчивостей
проводящим кожухом 358
продольным полем 357 , 358
широм 360
Стационарности решений уравнения
движения критерий 177
Статистическая сумма 101
внутренняя 101
связанная с поступательными
степенями свободы 101
Степень ионизации 10
в равновесной плазме 102
Столкновения , методы описания 28
— , интегральные характеристики 37
— неупругие 23
второго рода 23
ионов с атомами 64
первого рода 23
электронов с атомами 56 , 58
— упругие 23
заряженных частиц 41
ионов с атомами 53
—-— электронов с атомами 47
, взаимодействие с
экранированным полем ядра 47
Столкновительный интеграл в
уравнениях для изотропной и
направленной составляющих функции
распределения электронов 112
в форме Ландау 90
— член кинетического уравнения для
электронов 89
, неупругие столкновения 87
, упругие столкновения 84
Т
Температура 10
— ионов в электрическом поле 150
— электронов в электрическом поле
124 , 134 , 137 , 206
в переменном электрическом
поле 147
в присутствии магнитного поля
142
Температуропроводности
коэффициент 180 , 275 , 307 , 308
Тензор векторной производной
магнитного поля 233
Тепловой поток ионный в сильно-
ионизованной плазме 224 , 225
в слабоионизованной
плазме 181 , 182
, переносимый нейтральными
атомами 181
электронный в сильноионизо-
ванной плазме 224 , 306
в слабоионизованной плазме
180 , 181
Теплоперенос в сильноионизованной
плазме 225
Теплоперенос поперек магнитного
поля (механизм) 285
Теплопроводности коэффициент 180
-- коэффициенты в магнитном поле
275
— ионной коэффициенты в
сильноионизованной плазме в магнитном
поле 308
в тороидальных ловушках
эффективный коэффициент 315
— электронной коэффициенты в
сильноионизованной плазме 224
в магнитном
поле 307
Термодиффузии в магнитном поле
коэффициент 270
379


; — в сйльноионйзованной
плазме коэффициент 297
— в отсутствие магнитного поля
коэффициент 178
— в отсутствие магнитного поля
механизм 188
— в сйльноионйзованной плазме
механизм 302
— поперек магнитного поля
механизм 284
— электронной коэффициент 183
Термосила 167 , 180
— в магнитном поле 273 , 330
в сйльноионйзованной
плазме 294
механизм возникновения
286
Термоэлектронная эмиссия 72
Термоядерный эксперимент ,
типичные параметры плазмы 21
Токамак 225
Томсона модель 62
Тороидальное магнитное поле 367
Транспортная длина свободного
пробега 39
Транспортная частота столкновений
39
Транспортное сечение упругих
столкновений 39
Трение в пространстве скоростей 117
Трения сила 167
Тринадцати моментов приближение
160
Турбулентная диффузия 325
— плазма 325
— теплопрвводность 325
У
Убегание электронов эффект 226
— энергии электронов 230 , 310
Убегания электронов ограничения
228
— энергии ограничения 231 , 232
Углы рассеяния 25
Угол вращательного преобразования
235
Удельный объем силовой трубки 235
Уравнение второго момента 165
— для теплового потока 174
— непрерывности 160
— нулевого момента 160
Уравнения движения компонент
плазмы 160 , 162
— моментов функции распределения
151
— первого момента 160
Усредненная частота упругих
столкновений 163 , 273
— — электрон-йонных столкновений
221
Устойчивость границы плазмы в
магнитном поле 342
— плазменного шнура с током 353
— удержания плазмь} магнитным
полем 338
Ф
Фоккера — Планка уравнение 91
Фотоионизация 99
Фотоэффект 73
Функция распределения 77
анизотропия в электрическом
поле 109
в равновесной плазме 93
установление 96
заряженных частиц в
электрическом поле 106
ионов в электрическом поле
147
одномерная 79
по полным скоростям 79
по скоростям 78
по энергиям 79
разложение по полиномам
Лежа ндра 109
разложение по трехмерным
полиномам Эрмита—Чебышева 159
электронов , влияние
магнитного поля 138
неупругих столкновений
125
электрон-электронных
столкновений 133
¦ в переменном электрическом
поле 143
в постоянном электрическом
поле 120
в электрическом и
магнитных полях , разложение в ряд 111
шестимерная 78
X
Хаотическая скорость 151
Характерное время нагрева
сйльноионйзованной плазмы 309
теплопередачи поперек
магнитного поля 309
Холловское поле 331
Ц
Центр инерции сталкивающихся
частиц 23
Ч
Частота кулоновских столкновений
47
380


— неупругих столкновений 40
— столкновений 38
— электрон-атомных столкновений ,
определяющих подвижность
электронов 183
— электрон-атомных столкновений ,
определяющих диффузию
электронов 183
Чу — Гольдбергера — Лоу (ЧГЛ)
магнитная гидродинамика 334
Ш
Шафранова — Крускала критерий
362
Шир 233
Э
Эйнштейна соотношение 178 , 270
Электрическая проницаемость
плазмы 264
Электроотрицательные газы 71
Электропроводности механизм 187
— поперек магнитного поля
механизм 281
Эльверта формула 105
Энергетический принцип анализа
магнитогидродинамических не-
устойчивостей 341
Энергия относительного движения 24
— центра инерции 24
Энтропия 96
Эстафетный механизм движения
ионов в электрическом поле 148


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Основные обозначения 5
Глава 1. Введение 9
§ 1.1. Ионизованные газы и плазма 9
§ 1.2. Квазинейтральность плазмы 10
§ 1.3. Особенности движения заряженных частиц в плазме . . 14
§ 1.4. Параметры плазмы 17
Глава 2. Столкновения в плазме 22
§ 2.1. Применение законов сохранения к столкновениям частиц . . 22
§ 2.2. Методы описания столкновений 28
§ 2.3. Интегральные характеристики столкновений 37
§ 2.4. Упругие столкновения между заряженными частицами . . 41
§ 2.5. Упругие столкновения электронов с атомами 47
§ 2.6. Упругие столкновения ионов с атомами 53
§ 2.7. Неупругие столкновения электронов с атомами .... 56
§ 2.8. Ионизация при столкновениях электронов с атомами ... 61
§ 2.9. Неупругие столкновения ионов с атомами 64
§ 2.10. Рекомбинация при столкновениях электронов с ионами . . 67
§ 2.11. Взаимодействие заряженных частиц с поверхностью
твердых тел 72
Глава 3. Кинетическое уравнение для заряженных частиц .... 77
§ 3.1. Функция распределения 77
§ 3.2. Кинетическое уравнение 80
§ 3.3. Столкновительный член кинетического уравнения ... 84
Глава 4. Равновесная плазма 92
§ 4.1. Функция распределения в равновесной плазме .... 92
§ 4.2. Установление равновесной функции распределения ... 96
§ 4.3. Ионизационное равновесие 98
§ 4.4. Частичное равновесие в плазме 103
Глава 5. Функция распределения заряженных частиц в электрическом
поле . 106
§ 5.1. О влиянии электрического поля на распределение
заряженных частиц по скоростям 106
§ 5.2. Метод решения кинетического уравнения 108
§ 5.3. Интегралы столкновений для электронов 113
§ 5.4. Функция распределения электронов в электрическом поле
при определяющем влиянии упругих столкновений
электронов с атомами . . 120
382


§ 5.5. Влияние неупругих столкновений на функцию распределения
электронов 125
§ 5.6 Влияние электрон-электронных столкновений на функцию
распределения электронов 133
§ 5.7. Влияние магнитного поля на функцию распределения
электронов 138
§ 5.8. Функция распределения электронов в переменном
электрическом поле 143
§ 5.9. О функции распределения ионов в электрическом поле . . 147
Глава 6. Уравнения моментов функции распределения 151
§ 6.1. Моменты функции распределения 151
§ 6.2. Получение уравнений моментов 154
§ 6.3. Уравнения движения и баланса частиц компонент плазмы 160
§ 6.4. Уравнения баланса энергий и теплового потока . . . .169
Глава 7. Процессы переноса в плазме при отсутствии магнитного поля 176
§ 7.1. Направленное движение и перенос энергии заряженных
частиц в слабоионизованной плазме 176
§ 7.2. Коэффициенты подвижности , диффузии и теплопроводности
электронов 182
§ 7.3. Механизм процессов переноса 186
§ 7.4. Амбиполярная диффузия 191
§ 7.5. Уравнения баланса заряженных частиц и энергий в
слабоионизованной плазме 195
§ 7.6. Баланс заряженных частиц и энергий в плазме
стационарного газового разряда 201
§ 7.7. Ионизационная неустойчивость 208
§ 7.8. Распад плазмы 214
§ 7.9. Направленное движение в сильноионйзованной плазме . . 218
§ 7.10. Перенос энергии в сильноионйзованной плазме .... 223
§ 7.11. Эффект «убегания» электронов 226
Глава 8. Движение заряженных частиц плазмы в магнитном поле 233
§ 8.1. Некоторые сведения о статических магнитных полях . . . 233
§ 8.2. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле 240
§' 8.3. Дрейф заряженных частиц в однородном магнитном поле 243
§ 8.4. Движение заряженных частиц в медленно изменяющемся
магнитном поле 247
§ 8.5. Удержание заряженных частиц некоторыми магнитными
конфигурациями . 252
§ 8.6. Диамагнитный эффект в плазме 259
§ 8.7. Поляризация плазмы в электрическом поле ,
перпендикулярном магнитному 263
§ 8.8. Движение плазмы поперек магнитного поля 265
Глава 9. Процессы переноса в магнитном поле 268
§ 9.1. Направленная скорость и тепловой поток заряженных частиц
слабоионизованной плазмы в магнитном поле 268
§ 9.2. Поперечные коэффициенты подвижности , диффузии и
теплопроводности электронов 275
§ 9.3. Механизм переноса заряженных частиц и их энергии
поперек сильного магнитного поля 278
§ 9.4. Амбиполярная диффузия и баланс заряженных частиц
слабоионизованной плазмы в магнитном поле 287
§ 9.5. Направленное движение заряженных частиц
сильноионйзованной цлазмы поперек магнитного поля 293


§ 9.6. Поперечный перенос энергии в сильноионизованной плазме 306
§ 9.7. О процессах переноса в тороидальных магнитных
конфигурациях 310
§ 9.8. Дрейфовые неустойчивости и аномальная диффузия
заряженных частиц плазмы в магнитном поле 318
Глава 10. Удержание плазмы магнитным полем . 4 328
§ 10.1. Уравнения магнитной гидродинамики ...... 328
§ 10 2. О равновесии плазмы в магнитном поле 334
§ 10.3. Об устойчивости удержания плазмы магнитным полем . . 338
§ 10.4. Устойчивость границы плазмы в магнитном поле , . , 342
§ 10.5. Равновесие и устойчивость плазменного шнура с током 353
§ 10.6. Равновесие и устойчивость тороидального плазменного
шнура . 363
Список литературы , 371
Предметный указатель 375
ИБ № 449
Виктор Евгеньевич Голант
Алексей Петрович Жилинский
Игорь Евгеньевич Сахаров
ОСНОВЫ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ
Редактор Н. Е. Никитина
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Переплет художника А. И. Шаварда
Технический редактор И. Н. Подшебякин
Корректор Н. И. Курьянова
Сдано в набор 13/Х 1976 г Подписано к печати 24/П 1977 г.
Т-01668. Формат 60X90Vi6 Бумага типографская № 2.
Уел печ. л. 24 , 0 Уч -изд. л. 24 , 56 Тираж: 6200 экз.
Цена 2 р. 72 к. Зак. изд. 74048. Зак. тип. 1227.
Атомиздат ,
103031 , Москва , К-31 , ул. Жданова , 5.
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств , полиграфии и книжной торговли.
Москва , И-41 , Б. Переяславская ул , дом 46.