Шумы в электронных приборах и системах - Букингем М.

Автор: Букингем М.

Теги: электротехника электроника радиотехника шум шумоподавление

Год: 1986

Похожие

Фотоприемные устройства волоконно-оптических систем передачи

Радиотехнические цепи и сигналы

Полупроводниковые диоды. Параметры, методы измерений

Радиотехнические цепи и сигналы

Текст

Noise in electronic devices
and systems
M. J. Buckingham, в. Sc, Ph. D.
Senior Principal Scientific Officer, Ministry of Defence
Royal Aircraft Establishment
Farnborough, Hampshire
ELLIS HORWOOD LIMITED
Publishers • Chichester
Halsted Press: a division of
JOHN WILEY & SONS
New York• Brisbane• Chichester • Ontario
1983

М. БУКИНГЕМ
ШУМЫ
В ЭЛЕКТРОННЫХ
ПРИБОРАХ
И СИСТЕМАХ
Перевод с английского
канд. техн. наук А. Б. Мещерякова,
канд. физ.-мат. наук В. П. Митрофанова,
канд. физ.-мат. наук Г. А. Сидоровой
под редакцией
д-ра физ.-мат. наук В. Н. Губанкова
Москва «Мир» 1986

ББК 32.85
Б90
УДК 621.38+621.37
Букингем М.
Б90 Шумы в электронных приборах и системах: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1986. —399 с, ил.
В книге английского ученого всесторонне и с единых позиций рассмотрены
механизмы генерирования шумов и шумовые характеристики электронных уст-
устройств, начиная с биполярных и полевых транзисторов, диодов, резисторов,
СВЧ-приборов и кончая такими современными приборами и уникальными уста-
установками, как квантовые усилители и генераторы, приборы с переходами Джозеф-
сона и детекторы гравитационных волн. Книга отличается ясностью и полнотой
изложения материала.
Для специалистов в области электроники, измерительной, радиолокационной,
лазерной и радиотехники.
Б 041@1)-86 160"86' ч' ! ББК 32'85
Редакция литературы по информатике и электронике
1983 М. J. Buckingham/Ellis Horwood Ltd.
перевод на русский язык, «Мир», 1986

Предисловие редактора перевода
Предлагаемая читателю книга посвящена шумовым явлени-
явлениям в электронных приборах и системах. В настоящее время
электронные твердотельные устройства активно исследуются и
широко используются в различных областях электроники: для
создания быстродействующих интегральных схем обработки и
запоминания информации, для регистрации, преобразования и
генерирования СВЧ-сигналов, для измерения сверхслабых по-
постоянных магнитных и электрических полей, в фундаменталь-
фундаментальных физических экспериментах и т. д. Исследования в этих на-
направлениях проводят ведущие научно-исследовательские центры
и промышленные фирмы ряда капиталистических стран (глав-
(главным образом США, Англии, Японии, ФРГ). Аналогичные ра-
работы проводятся и в нашей стране.
Автор рассматривает проблемы, связанные с существовани-
существованием в твердотельных электронных приборах флуктуации различ-
различных параметров. Интерес к этим проблемам связан с тем, что
несмотря на огромное число работ в этой области (как теоре-
теоретических, так и экспериментальных) до сих пор неясны механиз-
механизмы возникновения некоторых типов шумов, и поэтому в науч-
научной литературе наблюдается различие в толковании этих меха-
механизмов. Подобная ситуация сложилась, например, с так назы-
называемым 1//-шумом. Кроме того, проблема изучения шумовых
свойств электронных приборов имеет важное практическое зна-
значение.
Несомненное достоинство книги заключается в том, что в ней
шумовые свойства конкретных твердотельных приборов рас-
рассматриваются на основе общей теории флуктуации и случайных
сигналов; наряду с анализом различных видов шумов в каждом
типе устройства имеются главы, посвященные определенному
виду шумов A//-шуму, взрывному шуму и т. д.). Такое сочета-
сочетание позволяет, используя современное математическое описа-
описание, более детально проследить специфику, условия и причины
появления шумов различных видов в том или ином случае.
Данная монография адресована ученым и специалистам в об-
области твердотельной электроники, которые интересуются, с од-
одной стороны, физическими явлениями, составляющими основу

Предисловие редактора перевода
работы электронных приборов, с другой — их применениями,
причем не только в системах различного назначения, но и в
проведении уникальных экспериментов, например при измере-
измерении сверхмалых магнитных полей с помощью сквидов, при об-
обнаружении гравитационных волн.
В заключение следует отметить, что в книге недостаточно
отражены результаты исследований шумовых явлений в элект-
электронных приборах и системах, выполненных советскими учены-
учеными. Это касается и конкретных вопросов, связанных с анализом
шумовых свойств приборов того или иного типа, и более общих
проблем, затронутых автором. Например, при обсуждении
принципов работы параметрического усилителя (гл. 9) автор не
дает ссылки на хорошо известные работы советских физиков
Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси и их сотрудников, внес-
внесших большой вклад в развитие науки о параметрических коле-
колебаниях.
Перевод выполнен Г. А. Сидоровой (предисловие, гл. 1—3,
8—10, приложения 1—3, 5, 6), А. Б. Мещеряковым (гл. 4 — 7,
приложение 4), В. П. Митрофановым (гл. 11 —13, приложе-
приложение 7).
В. Н. Рубанков

Предисловие
Твердотельная технология начала развиваться невероятно
быстрыми темпами со времени появления германиевого тран-
транзистора. В наши дни приборы на твердом теле используются в
самых различных областях. Спектр этих приборов чрезвычайно
широк. К ним относятся известный кремниевый биполярный
транзистор и различные типы полевых транзисторов; устройст-
устройства СВЧ, например лавинно-пролетный диод, инжекционно-про-
летный диод и диод Ганна; устройства на туннельном эффекте,
например диод Исаки, контакт Джозефсона и сверхпроводящий
квантовый интерферометр (сквид); электронно-оптические при-
приборы. Во всех этих устройствах в той или иной форме присут-
присутствуют шумы, которые при использовании слабых сигналов ча-
часто являются фактором, накладывающим ограничения на их
характеристики.
Основная цель этой книги заключается в рассмотрении фи-
физических характеристик шумов в ряде устройств на твердом
теле. Обсуждаются также шумы в некоторых нелинейных си-
системах, например в параметрическом усилителе и генераторе
ван-дер-Поля; исследуется выделение сигнала из шума в связи
с вопросами обнаружения гравитационного излучения.
Изложение опирается на математическое исследование в
общем виде, в котором устанавливаются свойства последова-
последовательностей случайных сигналов и импульсных процессов. В кни-
книге главным образом рассматриваются тепловой и дробовой шу-
шумы, а также генерационно-рекомбинационный (г-р) шум, повсе-
повсеместно распространенный 1//-шум, взрывной шум, неравновес-
неравновесный джонсоновский шум, связанный с разогревом электронов,
и лавинный шум, обусловленный ударной ионизацией. Каждая
глава сопровождается обширной библиографией, позволяющей
заинтересованному читателю глубже изучить обсуждаемую тему.

8 Предисловие
В заключение мне хотелось бы выразить признательность
ряду издательств за разрешение воспроизвести рисунки из опуб-
опубликованных ими статей (это специально оговаривается в текс-
тексте). В течение всего времени работы над книгой меня постоянно
поддерживал и вдохновлял г-н Майкл Хорвуд, за что я ему
благодарен. И наконец, я хотел бы поблагодарить свою жену за
ее терпение и жизнерадостность, которые в большой степени
способствовали успешному завершению работы над этой кни-
книгой.
М. Дж. Букингем
Вашингтон, округ
Колумбия
декабрь 1982 г.

1
Введение
На клеммах электронных устройств и систем наблюдаются
случайные флуктуации напряжения (или тока), и эти флуктуа-
флуктуации обычно называют шумом. Этот шум не обусловлен, напри-
например, дефектом контактов или каким-либо другим устранимым
паразитным эффектом, а присущ самой системе. Он зарожда-
зарождается в результате случайного (на микроскопическом уровне)
поведения носителей заряда внутри электронных составляющих
систем. Именно такой тип шума будет в основном рассматри-
рассматриваться в этой книге.
Шумящий электронный прибор с парой входных и парой вы-
выходных клемм (т. е. четырехполюсник) представлен на
рис. 1.1, а. Шум может обусловливаться наличием внутри систе-
системы одного или более источников. Удобный способ представле-
представления системы с шумом иллюстрируется на рис. 1.1,6, на котором
изображен свободный от шума многополюсник, а шум пред-
представлен шумовыми генераторами тока in\(t) на входе и iiait)
на выходе. Эти два генератора тока могут обладать некоторой
степенью корреляции, так как механизмы, приводящие к появ-
появлению шума на обоих концах, могут иметь некую общую при-
природу. Альтернативное представление системы с шумом показа-
показано на рис. 1.1, в, на котором сама схема также свободна от шу-
шума, но в данном случае шум представлен шумовыми генерато-
генераторами напряжения vn\(t) на входе и ип2@ на выходе (которые
могут коррелировать между собой).
Чтобы конкретизировать шумовые генераторы на входе и вы-
выходе, необходимо знать подробности схемы и характеристики
внутренних источников шума. Здесь внутренние источники свя-
связаны с электронными устройствами внутри системы и, вообще
говоря, сильно зависят от прибора, несмотря на то что физиче-
физические механизмы, ответственные за этот шум, могут быть общи-
общими для целого круга устройств. Много места в книге уделяется
механизмам возникновения шума и связанным с ними шумовым
генераторам в конкретных устройствах. Основной акцент дела-
делается на твердое тело, так как шумы в вакуумных трубках под-
подробно рассмотрены в других работах (например [1]).

10
Глава 1
•л
в
БесщумоВая
са?ема
(а, б, д)
Рис. 1.1. Четырехполюсник с шумом (а) и две эквивалентные схемы, в кото-
которых шум представлен генераторами тока на входе и выходе (б) и генера-
генераторами напряжения на входе и выходе (в).
Шумы в электронных схемах обычно рассматриваются как
вредный фактор, и, действительно, они часто накладывают огра-
ограничения на работу устройств. Это справедливо, например, в слу-
случае малошумящего усилителя звуковой частоты, в котором ми-
минимальная обнаруживаемая мощность входного сигнала зави-
зависит главным образом от уровня шумов входного каскада. Одна-
Однако шум не всегда нежелателен. Известны ситуации, когда при-
присущий системе шум можно использовать как средство для иссле-
исследования электрических характеристик самой системы. Это мо-
может быть в случае, когда, например, требуется измерить прово-
проводимость ионного раствора. Обычно такое измерение необходи-
необходимо проводить, помещая кювету с раствором в электрическое
поле. Трудность заключается в том, что при некоторых услови-
условиях под действием поля может возникнуть диссоциация молекул,
которая в свою очередь влияет на проводимость. Другой способ
заключается в измерении шума на клеммах кюветы с образцом
в состоянии равновесия (т. е. в отсутствие электрического поля),
по величине которого можно судить о проводимости.
Возможно, что двумя наиболее часто встречающимися раз-
разновидностями шумов являются тепловой и дробовой. Тепловой
шум возникает вследствие случайных флуктуации скорости но-
носителей заряда [электронов и (или) дырок] в резистивном ма-

Введение 11
териале. Этот механизм иногда относят к броуновскому движе-
движению носителей заряда, обусловленному тепловой энергией в ма-
материале. Тепловой шум присутствует в системе, когда резистив-
ный элемент находится в тепловом равновесии с окружающей
средой, и часто при первом рассмотрении его отождествляют с
шумом Джонсона1) [3]. Флуктуации теплового характера можно
рассматривать как механизм, с помощью которого сохраняется
тепловое равновесие: за случайным (микроскопическим) откло-
отклонением от этого состояния следует, в среднем, возвращение к
нему, и очень большое число таких микроскопических «событий»
ведет к резкому изменению тока или флуктуациям напряжения
на клеммах. Согласно этой точке зрения, форма сигнала тока
или напряжения теплового шума должна состоять из очень
большого числа отдельных импульсов, связанных с дискретны-
дискретными «событиями», происходящими в резистиёном материале.
Дробовой шум связан с прохождением тока через барьер, и
в этом смысле он является неравновесной разновидностью шума.
Впервые он был рассмотрен Шотки [7], который использовал
аналогию мелкой дроби, сыплющейся в контейнер. Дробовой
шум или по крайней мере шум, похожий на дробовой, часто
встречается в твердотельных устройствах каждый раз, когда
ток проходит через потенциальный барьер (например, в обед-
обедненном слое р—л-контакта). Детали физического механизма,
лежащего в основе дробового шума, будут рассмотрены ниже.
Природу дробового шума, возможно, легче понять, если иссле-
исследовать термоэлектронный диод, в котором электроны эмитиру-
эмитируют из катода случайным образом и затем перемещаются к ано-
аноду под действием электрического поля. Ток, создаваемый этим
потоком электронов, флуктуирует случайно около среднего
уровня, причем эти флуктуации (т. е. дробовой шум) возникают
благодаря случайной дискретной природе эмиссии.
Очевидно, что физическая природа теплового и дробового
шума различна, но структура шумовых сигналов обоих типов
похожа: оба сигнала можно представить как последователь-
последовательность случайных импульсов, похожих по форме и случайно рас-
распределенных во времени. Пример такой последовательности им-
импульсов, спадающих по экспоненте, представлен на рис. 1.2.
В контексте данной книги термин «случайные» означает, что
дискретные события, создающие импульсы, независимы и ста-
статистический закон, описывающий распределение этих событий
во времени, — это функция плотности вероятности Пуассона.
!> Неравновесная разновидность теплового шума, связанная с популя-
популяциями горячих электронов, наблюдается в некоторых высокочастотных уст-
устройствах, которые будут рассмотрены позже. Пока не будет специально ого*
ворено,. термины «тепловой шум» и «джонсоновский шум» будут употреб-
употребляться здесь в связи с равновесным состоянием.

12
Глава 1
Форма
импульса
Рис. 1.2. Схематическая иллюстрация случайной последовательности импуль-
импульсов (а) и часть сигнала, сильно увеличенная, чтобы показать эффект нало-
наложения отдельных импульсов (б).
Распределение Пуассона и условия, при которых оно имеет
место, обсуждаются в приложении 1.
Если форма шумового сигнала описывается функцией x(t),
а форма отдельного импульса — функцией f(t) [f(t)=O для
/<0 в предположении, что событие, вызывающее появление им-
импульса, происходит при t=0 и система причинна], то случайная
последовательность импульсов есть линейная суперпозиция
j(t-th), (l.i)
где uk — амплитуда k-то импульса в этой последовательности,
a tk — момент времени, в который происходит k-e событие. Рас-
Распределение tk подчиняется закону Пуассона. Форма шумового
сигнала, описываемая выражением A.1), обладает некоторыми
интересными свойствами, подробно рассматриваемыми в гл. 2.
В частности, спектральную плотность можно представить
в виде
f. A.2)
Это утверждение известно как теорема Карсона [5]. В выраже-
выражении A.2) 'со — угловая частота, F(/co)—преобразование Фурье
функции f(t) формы отдельного импульса, v — средняя часто-

Введение ?Т
та событий, а2 — значение среднего квадрата амплитуд им-
импульса, а черта над левой частью выражения означает усредне-
усреднение для большого числа испытаний (т. е. среднее по множе-
множеству) .
В особом случае, когда составляющие последовательности
импульсов чрезвычайно малы, функция формы отдельного вы-
выброса представляется импульсом бесконечно малой ширины.
Последовательность случайных импульсов в этом случае счита-
считается импульсным процессом [2]. Поскольку фурье-преобразо-
вание одного импульса равно единице, из уравнения A.2) име-
имеем спектральную плотность импульсного процесса:
SJtij = 2vJ\ A.3)
Это важный результат, показывающий, что спектр импульсного
процесса постоянен для всех частот вплоть до неограниченно
высоких. Такой спектр иногда называют «белым».
Импульсы, возникающие в результате дискретных событий,
вызывающих тепловой и дробовой шум, имеют постоянные (рав-
(равномерные) спектральные плотности до очень высоких частот
(«очень высокие» означают величины, сравнимые с величинами,
обратными фактической ширине импульса). Уровень спектраль-
спектральной плотности в обоих случаях, т. е. значение правой части
уравнения A.3), определяется из рассмотрения физики меха-
механизмов шума.
В случае теплового шума вывод основывается на положени-
положениях статистической механики и закона равномерного распреде-
распределения энергии, согласно которому любая система при абсолют-
абсолютной температуре 0, находящаяся в тепловом равновесии с окру-
окружающей средой, обладает тепловой энергией в среднем до kQ
на каждую степень свободы, где k — постоянная Больцмана.
В результате спектральная плотность шумового напряжения на
концах сопротивления в разомкнутом контуре имеет вид
A.4а)
Таким образом, активное сопротивление может быть представ-
представлено так, как показано на рис. 1.3, а, где последовательный шу-
шумовой генератор напряжения имеет спектральную плотность,
описываемую выражением A.4а). После простого преобразова-
преобразования контура шумовое сопротивление можно представить в ви-
виде, изображенном на рис. 1.3,6, где параллельный шумовой ге-
генератор тока имеет спектральную плотность
St (co) = 4&0G. A.46)
В этом! выражении проводимость G=l/R.

14 Глава 1
4,0)
h,<*)\
Рис. 1.3. Тепловой шум в резисторе R, представленный последовательным
шумовым генератором напряжения (а) и параллельным шумовым генерато-
генератором тока (б).
Выражения A.4) были впервые выведены Найквистом [4]
из соображений термодинамики и обмена энергией между ак-
активными элементами в равновесии. Макроскопический подход
Найквиста к проблеме теплового шума, который существенно
отличается от исследования на микроскопическом уровне, про-
проведенного выше, описан в приложении 2.
В теореме Найквиста, выраженной соотношениями A.4а) и
A.46), содержится сопротивление R. Однако максимально воз-
возможная мощность на сопротивлении в интервале частот df не
зависит от R. Это можно видеть из рис. 1.4, который показыва-
показывает, что к сопротивлению R, параллельному шумовому генерато-
генератору тока, подключена бесшумовая согласованная нагрузка. Про-
Простой анализ контура показывает, что рассеянная в нагрузке
мощность в диапазоне частот df имеет вид
dp= *t{")K df=mdf, (i.4b)
где вместо Si (со) подставили выражение из правой части фор-
формулы A.46). Значение постоянной Больцмана &=1,38Х
ХЮ~23 Дж/К, которая при умножении на величину 8 = 293 К,
соответствующую комнатной температуре, в интервале частот
шириной 1 Гц дает максимально возможную мощность шума,
равную 4-Ю1 Вт.
Спектральная плотность дробового шума при среднем то-
токе / составляет
A.5)
где q — абсолютное значение заряда электрона. Этот результат
почти непосредственно следует из выражения A.3), если пред-
предположить, что среднее число импульсов в единицу времени
равно I/q> а все амплитуды импульсов равны q, что дает a? = qK

Введение
15
_J
Рис. 1.4. Шумовое сопротивле-
сопротивление R, соединенное с бесшумо-
бесшумовой согласованной нагруз-
нагрузкой Ri.
э
|/
Э
Изучение теплового и дробового
шума на микроскопическом уровне,
основанное на концепции последо-
последовательности случайных импульсов,
в дальнейшем несколько подробнее
обсуждается в гл. 2.
Один вид шума, который встре-
встречается в самых разнообразных си-
системах (электронных, биологиче-
биологических, музыкальных и т. д.), и осо-
особенно в устройствах на твердом те-
теле, приобрел широкую известность.
Это является следствием его повсе-
повсеместного распространения и одно-
одновременно сложности для теоретиче-
теоретического изучения. Мы имеем в виду l/f-шум, или, как его иногда
называют (исторически), токовый шум, фликкер-шум, шум
контактов или избыточный шум.
Название 1// связано с тем, что спектральная плотность
энергии этого шума изменяется в зависимости от частоты как
7|~а, где значение а обычно колеблется в пределах 0,8—1,2.
ту зависимость наблюдают при понижении частоты до значе-
значений порядка Ю-6 Гц. Верхний ее предел установить трудно,
так как он, как правило, маскируется тепловым или каким-либо
другим шумом. Существуют различные теоретические трудно-
трудности при исследовании 1//-шума, главным образом касающиеся
сходимости интегралов. В настоящее время не существует ни
одного вполне удовлетворительного объяснения этого явления,
хотя в некоторых случаях (например, при захвате электронов
оксидным слоем на полупроводнике, как это происходит в
МОП-полевых транзисторах) модели были получены. Похоже,
однако, что такие модели имеют лишь ограниченное примене-
применение и не объясняют адекватно многие формы сигналов
1//-шума.
Интересно отметить, что 1//-шум можно представить как по-
последовательность случайных импульсов, или, более точно, пос-
последовательность случайных импульсов с определенным видом
функции формы импульса, для которой спектральная плотность
изменяется как I/I в широком частотном диапазоне. Чтобы
это выполнялось, форма импульса должна иметь вид
f lt\ — t'll2u (f\ (\ fV>
как было предложено Шенфельдом [6] и рассматривалось срав-
сравнительно недавно ван-дер-Зилом [8]. В выражении A.6)
u(t)—единичная ступенчатая функция, равная единице для
/>0 и нулю, когда t<0. Преобразование Фурье для f(t) су-

16 Глава 1
ществует и имеет вид
F (/«>) *= i^- exp (=f /я/4), A.7)
где минус соответствует частотам со>0, а плюс — частотам
со<0. Подставляя эту формулу в выражение для теоремы Кар-
сона A.2), можно найти спектральную плотность данного шу-
шумового сигнала
Sx(g))oc1/|g)|, A.8)
что и требовалось получить. Здесь имеется некоторое затрудне-
затруднение,- так как /(/) не является абсолютно интегрируемой, но оно
преодолимо, если ввести небольшие изменения в /(/), незначи-
незначительно влияющие на конечный результат.
Из этого рассмотрения могло показаться, что теоретическая
модель 1//-шума, основанная на последовательности случайных
импульсов, выглядит обнадеживающе. Трудность на этом пу-
пути в том, чтобы найти физический механизм, который порожда-
порождает импульсы, имеющие форму, задаваемую выражением A.6).
В настоящее время такой механизм неизвестен. Свойства, про-
проблемы и существующие теоретические модели для 1//-шума де-
детально обсуждаются в гл. 6.
В дополнение к тепловому, дробовому и l/f-шуму, введен-
введенным выше, в следующих главах встретимся с различными дру-
другими типами шумов, включая генерационно-рекомбинационный
(г-р) шум, возникающий в результате случайного захвата но-
носителей в полупроводниковых материалах, взрывной шум, ла-
лавинный шум вследствие ударной ионизации и неравновесный
джонсоновский шум горячих электронов в сильных электриче-
электрических полях. Некоторые из перечисленных явлений относятся к
шумовым процессам, о которых мы уже говорили, например
лавинный шум можно рассматривать как усиленную разновид-
разновидность дробового шума, а джонсоновский шум горячих электро-
электронов, очевидно, является вариантом теплового шума, производи-
производимого равновесным ансамблем электронов. Прежде чем рассмат-
рассматривать новые типы шумов и устройств, с которыми они связа-
связаны, продолжим подготовку математического фундамента, необ-
необходимого для удовлетворительного теоретического обоснования
свойств шумов и стохастических процессов.
ЛИТЕРАТУРА
1. D. A. Bell A960), Electrical Noise, Van Nostrand.
2. F. J. Beutler, O. A. Z. Leneman A968), The spectral analysis of impulse
processes, information and Control 12, 236—258.

Введение 17
3. J. В. Johnson A927a), Thermal agitation of electricity in conductors, Nature,,
119, 50—51; A927b), Thermal agitation of electricity in conductors, Phys.
Rev., 29, 367—368; A928), Thermal agitation of electricity in conductors,
Phys. Rev., 32, 97—109.
4. H. Nyquist A927), Thermal agitation in conductors, Phys. Rev., 29, 614;
A928), Thermal agitation of electric charge in conductors, Phys. Rev., 32,.
110—113.
5. S. 0. Rice A944), Mathematical analysis of random noise, Bell Syst. Tech.
J., 23, 282—332; A945), 24, 46—156.
6. H. Schonfeld A955), Beitrag zum 1/f-Gesetz beim Rauschen von Halbleitern,
Z. Naturforsch., A 10, 291—300.
7. W. Schottky A918), Uber spontane stromschwankungen in verschiedenen,
elektrizitatsleitern, Ann. d. Phys. (Leipzig), 57, 541—567.
8. A. van der Ziel A979), Flicker noise in electronic devices, Advances in Elec-
Electronics and Electron Physics, 49, 225—297.

2
Математические методы
2.1. Введение
Шумы в электронных устройствах обычно наблюдаются в
,виде случайно изменяющейся функции времени. Такая функция
известна под названием стохастического процесса, и, так как
мгновенные значения этой функции непредсказуемы, ее описы-
описывают с точки зрения средних или статистических свойств, кото-
которые могут проявиться лишь при очень большом числе наблю-
наблюдений.
Обычно шумы наблюдают в виде случайных флуктуации
либо напряжения на клеммах прибора, либо проходящего через
прибор тока. Как правило, шумы можно объяснить поведением
ла микроскопическом уровне носителей заряда внутри прибора,
я это означает, что наблюдаемые флуктуации будут очень малы
ло отношению, скажем, к уровню обычного сигнала генератора
импульсов. Таким образом, шумы в активном устройстве обыч-
обычно создают лишь чрезвычайно малые отклонения от рабочей
точки, и в этом случае к шумовым флуктуациям можно приме-
применить теорию малых сигналов. Поэтому в большом числе случаев
шумы усилителя можно исследовать, используя хорошо извест-
известные методы теории линейных систем (исключение составляют
шумы в параметрических усилителях).
Большинство рассматриваемых здесь стохастических процес-
процессов статистически стационарны, т. е. их статистические свойст-
свойства не зависят от интервала времени, на котором они изменяют-
изменяются. Существуют две степени статистической стационарности:
в узком смысле и широком смысле, различие между которыми
проявляется, лишь начиная с вероятностных характеристик
третьего порядка. Процесс, стационарный в узком смысле, ста-
стационарен также и в широком смысле, в то время как обратное
утверждение не всегда истинно. Примером, когда оно истинно,
служат процессы, функция амплитудной вероятности которых
является нормальным, или гауссовским, распределением: веро-
вероятностные характеристики высокого порядка для этих процес-
процессов полностью определяются характеристиками первого и второ-
второго порядков. Гауссовские процессы чрезвычайно важны в связи
с шумами в электронных устройствах, где они часто встречают-
встречаются. В качестве примеров можно назвать тепловой шум и дробо-
дробовой шум; начиная с исследований Белла [1], получено большое

Математические методы
число убедительных данных, что 1//-шум также имеет нормаль-
нормальное распределение.
Математический анализ стохастических процессов имеет дела
с вероятностными характеристиками во временном и частотном
интервалах. (Спектральный состав шумов в электронных ком-
компонентах важен для конструктора, так как часто цель его —
минимизировать шумы в интересующей его конкретной обла-
области.) Помимо среднего значения (первый порядок), основными*
статистическими характеристиками, используемыми для описа-
описания шумового процесса, служат спектральная плотность, даю-
дающая среднюю спектральную составляющую флуктуирующего
сигнала, и автокорреляционная функция, которая дает возмож-
возможность определить меру времени корреляции, или «память» про-
процесса. Обе эти характеристики — второго порядка и в случае
статистически стационарного1) процесса однозначно связаны
через теорему Винера — Хинчина. Для нестационарных процес-
процессов можно получить обобщенный вид этой теоремы, а расши-
расширенный вариант теоремы Винера — Хинчина выражает одно-
однозначное соотношение, связывающее взаимную корреляционную
функцию и взаимную спектральную плотность двух статистиче-
статистически стационарных процессов.
Развитие этих теорем опирается на испытанный фундамент
аналитического метода Фурье. В обосновании наиболее важных
приемов анализа Фурье важную роль играет дельта-функция
Дирака, принадлежащая классу обобщенных функций. Она так-
также весьма полезна для математического описания некоторых:
шумовых сигналов. В качестве вступления к рассмотрению ме-
метода Фурье и его применения к шумовым процессам установим
некоторые свойства дельта-функции.
2.2. Сингулярные функции
Дельта-функция Дирака, обозначаемая символом 6@, оп-
определяется соотношением
где x(t)—обычная функция времени, непрерывная при t =
!> Так как в данной книге имеем дело со статистиками второго порядка,
нет необходимости различать стационарность в широком и узком смысле. Эта
также относится ко многим случаям, рассматриваемым ниже.
2) Здесь за переменную выбрано время. Конечно, свойства дельта-функ-
дельта-функции не зависят от переменной: дельта-функции от частоты, пространственной
переменной и т. д. ведут себя так же, как и эта, с соответствующей перемен-
переменной, подставленной вместо t.

:20 Глава 2
Согласно этому определению, 8(t)—функционал, имеющий
свойство присваивать значение #@) функции x(t). В противном
случае, если бы б(^) была обычной функцией, интеграл в вы-
выражении B.1) не имел бы смысла. С дельта-функцией, хотя она
и является функционалом, можно обращаться так же, как с
«обычной математической функцией, при условии, что производи-
производимые действия не противоречат данному выше определению.
При подстановке x(t) = \ для всех t из выражения B.1) сле-
«дует, что
оо
Г б (t)dt=\. B.2)
.Этот результат в сочетании с определяющим соотношением по-
показывает, что дельта-функцию можно представить как импульс
*(*)
0 t-^
Рис. 2.1. Схематическое изображение дельта-функции Дирака.
единичной площади с центром в точке ?=0, имеющий бесконеч-
бесконечно большую высоту и бесконечно малую ширину. Это схематиче-
схематически иллюстрируется на рис. 2.1. Такое представление, конечно,
является математической абстракцией. Оно также служит ос-
основным элементом импульсного процесса, состоящего из слу-
случайной последовательности дельта-функций, а такой сигнал —
чрезвычайно близкое приближение для многих реальных шумо-
шумовых процессов.
Из выражения B.2) непосредственно выводится полезное со-
соотношение:
B.3)
тде а — константа. Из соотношения B.3) следует
б(О = б(-О. B.4)
Следующую формулу получают из выражения B.1) для случая,
когда дельта-функцию перемещают из нуля в момент t—t0.

Математические методы
21
Тогда имеем
б (t-t0) ж (О Л = j 6 @
B-5)
что является основным свойством дельта-функции.
Дельта-функцию можно представить как предельный вид
обычной четной функции времени с выбросом при ? = 0, кото-
Рис. 2.2. Функция
sin (Nt)
рый становится выше и тоньше при уменьшении некоторого па-
параметра, скажем N, но площадь выброса при этом остается по-
постоянной и равной единице. Наконец, в пределе при больших N
эта функция при / = 0 становится бесконечной, а для всех
принимает нулевое значение. Если gN(t) —такая функция и
lim \gN(t)x(t)dt =
B.6)
где x(t) непрерывна при t=0, то, сравнивая это выражение с
выражением B.1), имеем
0. B.7)
N-¦00
Это следует понимать в том смысле, что число х@), присвоен-
присвоенное функции x(t) дельта-функцией, равно пределу интеграла в
формуле B.6).

22 Глава 2
Примером функции, удовлетворяющей условию B.6) ¦, явля-
является функция
^L - B,8)
Отсюда, согласно формуле B.7), имеем
B.9)
На рис. 2.2 показано приближение функции B.8) к предельно-
предельному виду при увеличении N. Выражение B.9) является важным
результатом для установления соотношения между прямым и
обратным преобразованиями Фурье.
Приведенное выше рассмотрение в общих чертах намечает
некоторые свойства дельта-функции Дирака. Подробное описа-
описание сингулярных функций дал в своей монографии об обобщен-
обобщенных функциях Лайтхилл [13].
2.3. Преобразование Фурье
Преобразование Фурье (двустороннее) функции x(t) имеет
вид
оо
X (/со) = j х (t) exp (-/erf) dt, B.10)
—oo
где x(t) может быть либо действительным, либо комплексным.
Необходимое и достаточное условие существования X(ja>) со-
состоит в том, что x(t) должна быть абсолютно интегрируема;
таким образом,
оо
j|*(Q|#<oo, B.11)
—оо
что эквивалентно требованию ограниченности полной энергии
в x(\t).
Это условие не удовлетворяется, когда x(t)—стационарный
стохастический процесс, так как такой процесс не затухает да
нуля при ?->±оо. Может показаться, что это служит серьезным
препятствием для анализа шума методом Фурье и, следователь-
следовательно, создает концептуальную трудность в определении спектраль-
спектральной плотности случайного процесса. Действительно, вопрос о
том, можно ли анализировать шум, применяя метод Фурье, од-
однажды остро дебатировался в литературе. Эта трудность была
в конечном итоге преодолена с помощью следующего доказа-
доказательства.

Математические методы
Полная энергия в стационарном процессе бесконечна потому,
что сигнал действует бесконечно долго. Но мощность (т. е.
энергия в единицу времени) в этом процессе ограниченна, и,
конечно, на практике время наблюдения также всегда ограни-
ограниченно. Если время наблюдения равно Г, то наблюдаемая флук-
флуктуация, скажем xT(t)y равна x(t) в пределах интервала наблю-
наблюдения и равна нулю вне этих пределов. Следовательно, ступен-
ступенчатая функция Xr(t) абсолютно интегрируема, и ее фурье-пре-
юбразование Хг(/со), действительно, существует. Спектральная
плотность для xT(t), полученная из XT(ja>)f в большинстве прак-
практически важных случаев в пределе при Г->оо стремится к един-
единственно возможной предельной форме. Эта предельная функция
интерпретируется как спектральная плотность исходного ста-
стационарного процесса x(t). Подробности перехода к пределу опи-
описаны в разд. 2.5, а сейчас достаточно заметить, что анализ
Фурье применим к стохастическим процессам и нет веской при-
причины, запрещающей определение спектральной плотности та-
такого процесса.
Обращение интегрального преобразования B.10) дает выра-
выражение
х W =
= -W j"X W exP № *»' B-12)
—oo
которое справедливо для всех t9 при условии, что x(t) непре-
непрерывна. Если x(t) имеет разрыв при t={to, то в этой точке инте-
интеграл обращения равен среднему арифметическому от x(to+) и
x(t<r). В общем случае, следовательно, выражение B.12) спра-
справедливо для всех t, если положить, что
x(t) = [x(t+)-\-x(t-)]/2. B.13)
Формулу обращения получают, взяв интеграл в выражении
B.12) в пределах ±N, подставив величину X(ja>) из формулы
B.10) и изменив порядок интегрирования:
N оо
X (/со) exp (j(ot) dco = 2[x (Г) .sitW'--0I dr# B.14)
I i — t
—7/ —оо
В пределе при N-^oo это выражение принимает вид
оо оо
Г X (/со) exp (/©f) dco = 2 lim f х (Г) .sin[^(^ —01 dt> =
J JV-oo J * — l
—oo —oo
oo
9тг I y (tf\ Л //' A ///' 9ttv (i\ (O 1 K\
— ZJl 1 Л \l J U ^i 1) til — ZiJlX \lj) \Zi.YOf

24 Глава 2
где подставлена дельта-функция из формулы B.9) и использо-
использовано ее основное свойство B.5). Равенство B.15) представляет
собой искомое выражение для интеграла обращения.
Ядром интеграла обращения служит функция exp(/a>tf)i ис~
пользуемая для представления гармонических колебаний. Таким-
образом, естественно интерпретировать функцию Х(/со) как
амплитудный спектр для x(t)9 дающий меру вклада в x(t) гар-
гармоник с угловыми частотами между со и co + dco. Вообще говоря^
Х(/со)—комплексное число, и отношение между его действи-
действительной и мнимой частями характеризует фазу гармонической
составляющей на угловой частоте оз.
Если х (t)—действительная функция, что всегда выполня-
выполняется в случае реально наблюдаемого процесса (сигнала), пре-
преобразование Фурье для этой функции имеет сопряженную сим-
симметрию:
Х(/со) = Х*(-/со), B.16>
где звездочка означает комплексное сопряжение. Тогда отсюда
следует, что |Х(/со)|2 и действительная часть Х(/со)—четные
функции от со и что мнимая часть X(ja>)—нечетная функция
от со. Если x(t) является четной функцией от t[x(t)=x(—%)]г
выражение B.10) принимает вид
X (/со) = 2 J х (t) cos (Ы) dty B.17а>
о
а если x(t)—нечетная функция от t[x(t)=—х(—1)]9 преобра-
преобразование можно представить в виде
оо
X (/ю) = —2/ Г х (t) sin (a>t) dt. B.176)
«V
о
Интегралы в выражениях B.17а) и B.176) —это косинус- и си-
синус-преобразования Фурье соответственно.
Функции х(t) и Х(/со) —партнеры в анализе Фурье и вместе
образуют пару Фурье-преобразований. Их взаимосвязь удобно
обозначить символом x(t)++X(j(u)y который служит кратким
способом записи интегральных преобразований B.10) и B.12).
Очевидно, что в этой записи с учетом основного свойства дель-
дельта-функции получаем
6@ <-+ 1 B.18а)
или в более общем виде
6 (г—Г) «-> ехр(—/W), B.186)
где V — фиксированный момент времени, в который наблюда-

Математические методы 25
«ется импульс. Результат, аналогичный выражению B.186), по-
получают из интеграла обращения, положив X(ja>) = 2яб(©—со7),
где ©'— фиксированная угловая частота. Для этого случая на-
наводим
ехр (/со7) ¦<-> 2яб (со — со') B.19а)
Из этого выражения, считая сначала ©' положительной вели-
величиной, а затем отрицательной, легко получить, что
cos ©7 ¦<-> я [б (© — ©')+ 6 (©+©')], B.196)
!И
sin ©7 <-+- — /я [б (©—©') — б (©+©')]. B.19в)
Таким образом, каждое из преобразований косинусоидальных и
синусоидальных функций состоит из двух дельта-функций, сим-
симметрично расположенных относительно точки отсчета на часто-
частотах, численное значение которых равно частоте самих гармони-
гармонических функций.
Часто требуется найти преобразование производной
dx(t)/dt. Его находят, интегрируя по частям определяющий инт
теграл B.10). Полагая x(t)->0 при f-*±oo, приходим к выра-
выражению
-^1 —/©Х(/©), B.20а)
которое после применения аналогичных операций можно обоб-
обобщить на случай /г-й производной. Получаем результат
TT-^-Wm B-206)
который имеет смысл при условии, что все интегрируемые вы-
выражения исчезают при t-*±oo.
Свойства интеграла Фурье подробно рассмотрел Титчмарш
в монографии .[21], а Популис [17] показал возможности мето-
метода преобразования Фурье для широкого круга физических
задач.
2.4. Стохастические процессы
Статистические свойства стохастического процесса — это те
регулярные особенности, которые проявляются (могут проявить-
проявиться) в результате большого числа испытаний или наблюдений.
Это наводит на мысль, что такой процесс можно исследовать
математически на основе воображаемого ансамбля статистиче-
статистически похожих процессов, наблюдаемых одновременно за один и

26 Глава 2
тот же промежуток времени. Составляющие функции ансамбля
*W@, *<2)@>---> dN){t), соответствующие этим процессам, свя-
связывают с ними различные вероятностные характеристики, по ко-
которым можно предсказывать статистические свойства единич-
единичного процесса в ансамбле. Такие предсказания позволяют про-
проводить сравнения с наблюдаемыми количественными соотноше-
соотношениями в реальном мире. Таким образом, можно оценить ка-
качество предсказаний и отсюда пригодность теоретических моде-
моделей, к ним приводящих, что позволяет лучше понять физические
явления, лежащие в основе наблюдаемых флуктуации.
Вероятностные характеристики, о которых говорилось выше,
представляют собой иерархию функций плотности вероятности,
связанных с составляющими функциями процессов в ансамбле.
Вообще говоря, эти характеристики зависят от моментов вре-
времени, для которых их вычисляют. Однако есть исключение из
общего правила — стационарные процессы. Стационарность в
узком смысле означает, что все функции плотности вероятности,
связанные с процессом, инвариантны при временном сдвиге
точки отсчета. Похожее определение применимо к стационар-
стационарности в широком смысле, но здесь оно относится только к функ-
функциям плотности вероятности первого и второго порядков.
Важно заметить в связи с реальными шумовыми флуктуация-
ми, что в случае статистически стационарных процессов (в ши-
широком или узком смысле) вероятностные характеристики второ-
второго порядка зависят только от разности между моментами на-
наблюдения, тогда как характеристики первого порядка совер-
совершенно не зависят от времени. Примером такой характеристики
первого порядка является нормальная, или гауссовская, функ-
функция
A/1/2ЯО5) ехр [ — (х—хJ12о%
где л: —среднее значение, a o2=x2(t)— х2— дисперсия процесса
x(t). Все статистические характеристики гауссовского процес-
процесса определяются функциями вероятности первого и второго по-
порядков, так что знаний среднего значения и функции ковариа-
ции достаточно для того, чтобы полностью установить все ста-
статистические свойства процесса.
Существуют два различных способа усреднения, которые
могут быть применены к составляющим функциям ансамбля:
первый — усреднение по времени, имеющий дело с отдельно
взятой функцией ансамбля, и второй — усреднение по ансамб-
ансамблю, где средними являются математические ожидания, вычис-
вычисляемые в фиксированные моменты времени в интервале наблю-
наблюдения по вероятностным характеристикам, рассмотренным
выше.

Математические методы 27
Средние по времени первого и второго порядка 1-го члена
ансамбля — это среднее значение
Т/2
(хи) (*)> = lim 4- f *(/) @ dt, B.21)
-Т/2
и автокорреляционная функция
Т/2
фя(/) (т) = <jc(/) @ x{i) (t4-T)) = lim-^- f x{i) (t) хи) (*+т) Л, B.22)
Г-^оо ' J
-Г/2
причем последняя содержит меру «памяти» процесса. Символ
<...> в этих выражениях означает среднее по времени, а Т —
продолжительность интервала наблюдения. Заметим, что авто-
автокорреляционная функция — четная функция временной задерж-
задержки х и что ее значение при т = 0 есть значение среднего квадра-
квадрата процесса.
Средние по ансамблю, соответствующие средним по времени
в выражениях B.21) и B.22), — это среднее значение, взятое
в момент времени t=t\:
N
N
^0 = Е [*«> &)] = Нш -jr У x(i) (k) = f XiPi fa, ti) dxlt B.23)
l — 1 —oo
и смешанный момент второго порядка (или ковариация), взя-
взятый в моменты времени t=t\ и t = t2?=t\'
x(tx)x{t2) = Е [*«> (у *» (t2)] = lim ±
B-24)
= )
L V [*(<>(^)]* Гд^^^)^. B.25)
Значение среднего квадрата при t = t\ равно
Верхняя черта в этих выражениях показывает усреднение по
ансамблю; символ Е{П} означает математическое ожидание;
N — число функций в ансамбле; Х\ и Х2 — сокращенные обозна-
обозначения для x(t\) и xffo); p\(xu t{) —функция плотности совмест-
совместной вероятности первого порядка и Рг(^ь t\\ X2, B)—функция
плотности совместной вероятности второго порядка для процес-

28 Глава 2 _____
са, показывающая вероятность того, что некоторый член ан-
ансамбля в момент времени t\ имеет значение, заключенное меж-
между Х\ и Xi+dxu и вместе с тем в момент времени t2 имеет зна-
значение, заключенное между х2 и x2+dx2.
Для стационарных процессов средние по ансамблю B.23) if
B.25) не зависят от момента времени, для которого их вычис-
вычисляют, а среднее B.24) зависит, но не от абсолютных значений
t{ и #2» а только от разности I/1]—^|. В противоположность это-
этому средние по ансамблю для нестационарных процессов зави-
зависят от абсолютного времени, и это подтверждает, что, вообще
говоря, понятие усреднения по времени является некорректным
в применении к нестационарным процессам.
Ввиду того что наблюдение реального случайного процес-
процесса ведется по единственной функции времени, может показать-
показаться, что усреднение по времени ближе к физической реальности,,
чем усреднение по ансамблю. С другой стороны, усреднение по<
ансамблю — удобное теоретическое понятие, так как оно непо-
непосредственно связано с функциями плотности вероятности, кото-
которые сами часто можно определить теоретически. Для того что-
чтобы иметь возможность сравнить теоретические результаты, ос-
основанные на средних по ансамблю, с экспериментальными из-
измерениями средних по времени, необходимо знать, при каких
условиях средние по времени и ансамблю эквивалентны. Обыч-
Обычно предполагают, что наблюдаемый процесс является членом
эргодического ансамбля и что, следовательно, применима эрго-
дическая теорема. Это допущение справедливо для большинст-
большинства стохастических процессов, связанных с электронными уст-
устройствами, стационарных по крайней мере в широком смысле,
и означает, что соответствующие средние по времени и ансамб-
ансамблю можно рассматривать как эквивалентные. Значительно бо-
более строгое изложение эргодической теоремы и библиографию
важных работ по этому вопросу можно найти у Миддлтона
[15]. Кроме того, Борн [3] представил интересное рассмотре-
рассмотрение эргодичности.
2.5. Энергетические теоремы
Мощность шумового процесса является статистической ха-
характеристикой процесса второго порядка. Ее удобно рассматри-
рассматривать на основе теоремы Парсеваля, которая устанавливает, что
если X\(t) и лгг(/)—две функции времени с соответствующими
фурье-преобразованиями Xi (/со) и Х2(/со), то
оо оо
@ х2* @ dt = -_L- j Хг (/to) X2* (/(о) dw, B.26)

Математические методы
причем предполагается, что фурье-преобразования существуют.
Звездочка означает комплексное сопряжение. Теорему доказы-
доказывают, подставляя вместо x2{t) в подынтегральном выражении:
слева формулу обращения B.12), изменяя порядок интегриро-
интегрирования и заменяя получившийся интеграл по времени на X\(j®);.
после этого получают выражение в правой части равенства
B.26). Заметим, что теорема Парсеваля — достаточно общая,,
не накладывающая ограничений на функции времени x{(t) w
x2(t), кроме того, что они должны быть абсолютно интегрируе-
интегрируемыми.
Предположим теперь, что шумовой процесс наблюдается в-
интервале [—Г/2, Т/2], так что вне этого временного «окна»
значения его ординаты можно считать равными нулю. Обозна-
Обозначим этот ступенчатый процесс xT{t)l\ и пусть
*i @ = *т ('+*), х2 (t)=xT (/), B.27)
где т — задержка во времени. Так как функция xT{t) равна:
нулю при f->±oo, существует ее фурье-преобразование XT(jco)
и, следовательно, из равенства B.26) имеем
оо оо
j хт (t+x) хт (t) dt = -^- j" | Хт (jw) |2 exp (/(от) <fo, B.28>-
— oo —oo
где звездочка при функции времени опущена, так как Xr{t) —
действительный процесс. Когда т = 0, выражение B.28) перехо-
переходит в равенство
оо оо
J [хт (t)]4t = -±. j | Хт (/©) |2 da>, B.29).
—оо
которое представляет собой запись .теоремы Парсеваля, или,,
как ее иногда называют, энергетической теоремы.
Каждая часть выражения B.29) равна полной энергии в
xT(t). Это наводит на мысль, что |^г(/со)|2 можно интерпрети-
интерпретировать как плотность энергии процесса (в единицах энергии на
герц), которая конечна при условии, что Г<оо. Средняя мощ-
мощность в ступенчатом шумовом процессе есть полная энергия, де-
деленная на Г, которая при 7Woo становится равной
lim ±- Г[*
Г->оо ' J
!> Хотя этот процесс следует рассматривать как функцию, входящую в-
ансамбль, верхний индекс, обозначающий функцию ансамбля, здесь опущен.

.30 Глава 2
причем постулируется, что пределы существуют. Односторонняя
форма интеграла справа возможна здесь потому, что, так как
.xT(i) действительна, подынтегральная функция — четная функ-
функция частоты. Знак lim и интеграл в правой части равенства
Г-»оо
B.30) можно поменять местами, если предположить, что сна-
сначала производится усреднение по ансамблю [15]. Спектральная
плотность (односторонняя) стационарного процесса' xT(t) опре-
определяется как среднее по ансамблю:
B.31)
которое стремится к точному значению. Таким образом, спект-
спектральная плотность стационарного процесса определяется как
свойство ансамбля в целом, а не как свойство индивидуальной
составляющей функции ансамбля.
Важное свойство функции, определяемой формулой B.31),—
то, что она является четной функцией частоты. Таким образом,
спектральная плотность любого (реального) процесса незави-
независимо от его физической природы является четной функцией.
Вид функционала в выражении B.31) часто представляют как
одностороннюю спектральную плотность Xr(t) в отличие от
двусторонней формы, в которой отсутствует множитель 2 с
правой стороны. В последнем случае в качестве компенсации
нижний нулевой предел в интегралах по частоте, как, напри-
например, в равенстве B.30), следует заменить на —оо. Добавим,
что включение отрицательной области частот в данном кон-
контексте не должно приводить к концептуальным затруднениям в
отношении смысла отрицательной частоты: так как Sx(a>) —
четная функция частоты, то на частотах меньше нуля не вно-
вносится никакой новой информации; это лишь средство убедиться,
что корректирующий масштабный множитель стоит там, где
нужно.
Спектральная плотность стационарного процесса однознач-
однозначно связана с автокорреляционной функцией этого процесса. Вид
соотношения находят из равенства B.28), деля обе части на Г,
усредняя по ансамблю и записывая в пределе при Г~мх>
lim
±- \xT(t+4)xT(f)dt = lim -±- Г2|*^/а)) ^coscorrfo), B.32)
где для интеграла в правой части возможна запись в односто-
односторонней форме, потому что |Хг(/со)|2 — четная функция частоты.
-.Левая часть этого выражения — автокорреляционная функция

Математические методы 31
<P*(t) процесса1). Меняя местами в правой части предел и ин-
интегрирование и учитывая определение B.31), получаем
оо
о
B.33a>
Это формула преобразования Фурье, обратное соотношение для5
которого можно получить непосредственно по аналогии с ин-
интегралом обращения B.10)
B.33б>
Выражения B.33) составляют теорему Винера — Хинчина, на-
названную так в честь работ Винера [23] и Хинчина [10].
Теорема Винера — Хинчина — важный аналитический инст-
инструмент. В качестве примера ее применения рассмотрим релак-
релаксационный процесс. Такие процессы часто встречаются в уст-
устройствах на твердом теле; они описываются экспоненциально
убывающей автокорреляционной функцией
-|т|/т1), B.34>
где ср*(О) —дисперсия процесса, а х\ — константа распада. Фор-
Формула обратного преобразования B.336) тотчас дает спектраль-
спектральную плотность процесса в виде
|. B.35>
Таким образом, спектр релаксационного процесса равномерен,,
когда co<Cl/ti, убывает как 1/со2, когда о)>1/ть и при co=l/ti
имеет половинную интенсивность.
Конечно, не все шумовые процессы относятся к релаксаци-
релаксационному типу. Из процессов нерелаксационного типа примеча-
примечателен 1//-шум, который имеет место в большинстве электронных
приборов и в ряде других систем. Его спектральная плотность-
изменяется как|/|-а, где а обычно находится между 0,8 и 1,2.
Эту зависимость наблюдали в широком диапазоне частот, огра-
ограниченном сверху джонсоновским шумом, а снизу — временем
наблюдения, принятым в эксперименте. Несмотря на повсемест-
повсеместность распространения этого шума и большой интерес к нему в<
течение последних приблизительно пятидесяти лет после того,
!) Усредненная по ансамблю автокорреляционная функция стационарно-
стационарного процесса равна автокорреляционной функции любой из составляющих,
функции ансамбля.

2 ^ Глава 2 m
как стало известным это явление, вполне удовлетворительной
теории 1//-шума до сих пор не появилось.
Может быть, стоит добавить, что форму спектра 1//-шума
часто приближенно описывают выражением /-06, где а~1. Поч-
Почти всегда это (строго говоря, неточное) представление пони-
понимают как зависимость |/|~а, которая, конечно, является четной
функцией частоты независимо от значения а, как и любая
спектральная плотность. Зависимость же f~a при а=1—нечет-
а=1—нечетная функция частоты, а при дробном а это вообще не действи-
действительная функция, а бесконечное множество комплексных функ-
функций. Очевидно, такая функция не может быть спектральной
плотностью. Чтобы избежать возможных недоразумений, по-
повторим, что спектральная плотность 1//-шума в наблюдаемом
„диапазоне частот имеет вид зависимости |/|~а, которая являет-
является четной функцией частоты и как таковая соответствует опре-
определению функции спектральной плотности B.31).
2.6. Последовательности случайных
импульсов
Случайный шум часто происходит от большого числа неза-
независимых дискретных «событий». Каждое событие производит
импульс данной формы, и случайная суперпозиция всех таких
импульсов составляет форму шумового сигнала. Такой сигнал
называют последовательностью случайных импульсов. Как по-
последовательности случайных импульсов можно рассматривать
дробовой шум и тепловой шум, а также много других процес-
процессов в электронных и других устройствах. Подобным образом,
например, можно представить генерационно-рекомбинационный
шум, выпадение осадков и вызванный ветром акустический
гшум в океане.
Если f(t) —функция, описывающая форму импульса, тофор-
.ма шумового сигнала является суперпозицией1*:
к
kf(t-h), B.36)
где ak — амплитуда k-то импульса; 'tk — момент времени, в ко-
который происходит k-e событие; К — число импульсов в последо-
последовательности протяженностью Г и по условию причинности
J(t)=O для /<0. Статистические характеристики процесса
B.36) получают при условии, что ряд сходится и что функция
]) Здесь для краткости можно опустить обозначение шумовых процессов
к нижним индексом 7, показывающим, что время наблюдения конечно.

Математические методы 33
формы определена для времени, много меньшего времени наб-
наблюдения Т.
Так как события независимы, величины tk распределены по
закону Пуассона с функцией плотности вероятности, равной 1/7\
(Распределение Пуассона обсуждается в приложении 1.) Та-
Таким образом, математическое ожидание процесса есть функция
, B.37)
где v= lim (k/T) —среднее число событий в секунду и а — сред-
Г->оо
нее значение амплитуды akl\ Выражение B.37) иногда назы-
называют теоремой Кемпбелла о среднем. Из этой теоремы ясно,
что если амплитуды симметрично распределены относительно
нуля, то среднее значение процесса равно нулю.
Фурье-преобразование для x(t) имеет вид
Теперь, согласно определению B.31), спектральная плотность
x(t) является функцией
у afeamexp[-/co(^-U], B.39)
Т—*оо -^™
k,m=\
где номинальный индекс суммирования m позволяет включить
в двойную сумму смешанные члены. Сумму в выражении
B.39) можно представить в виде суммы членов с k = m плюс
двойная сумма членов с k-фт, что дает возможность записать
спектральную плотность в виде
f |(/)
+ 2' «^expl-yo)^-^)]). B.40)
где штрих означает суммирование при кфт. Так как аи и ат
независимы для всех кфт (т. е. попарно независимы), а пи не
зависит от tki то произведение а^ат можно вынести за сумму
со штрихом и положить равным а2. Таким образом, для симмет-
1) Предполагаем, что функция плотности вероятности, соответствующая
распределению ak в ансамбле, не зависит от к.

34 Глава 2
ричного распределения пъ, относительно нуля слагаемое со
штрихом равно нулю и спектральная плотность имеет вид
SJu) = 2va21 F (/со) |2, B.41)
где а2 — значение среднего квадрата для ak. Выражение B.41)
представляет собой запись теоремы Карсона [18].
Для более общего случая несимметричного распределения
ak относительно нуля в выражении для спектральной плотности
появляется добавочный член, соответствующий уровню посто-
постоянного тока. Этот дополнительный член выводится из отмечен-
отмеченной штрихом суммы в выражении B.40). В итоге имеем резуль-
результат в общем виде:
Sx (со) = 2w21F (/со) |2+4ялг (tf 8 (ш). B.42)
Член, содержащий дельта-функцию, получают, вычисляя
ехр(—jtoth) с использованием при этом функции плотности ве-
вероятности Пуассона 1/71, затем устанавливая тождественность
между ^@) и J f(t)dt и, наконец, заменяя Hm2sin2(©r/2)/©2r
—оо Т-*оо
на яб(соI).
Теперь можно применить теорему Винера — Хинчина к
5^(©) в выражении B.42), чтобы получить автокорреляцион-
автокорреляционную функцию последовательности случайных импульсов. При-
Применяя интеграл обращения в выражении B.336), имеем
оо оо
фл (т) = l?- f | F (/со) |2 cos cordco+2л^J Г б (©) cos cord© =
l?- f | F (/со) |2 cos cordco+2л^J Г
оо
= IF f I
B-43)
По теореме Парсеваля [соотношение B.26)] интегралы в этом
выражении можно заменить на интегралы по времени, что
приводит к альтернативному представлению
(Jf. B.44)
Когда т = 0, автокорреляционная функция равна значению
среднего квадрата и, следовательно, из выражения в общем
!> Функция sin2 (Nt)/nNt2 служит еще одним примером функции gN(t)y
которая удовлетворяет условию B.7), т. е. обладает свойствами дельта*
функции в приближении больших N.

Математические методы
35
виде B.44) получаем
B.45)
что является записью теоремы Кемпбелла о среднем квадрате.
Теоремы, названные его именем, подробно рассматривались в
литературе в работах самого Кемпбелла [5], а также некото-
некоторых других авторов, в том числе Роланда [19] и Кемпбелла и
X2va2
со
а
О
5
Рис. 2.3. Односторонняя спектральная плотность мощности (а) и автокорре-
автокорреляционная функция импульсного процесса (б).
•Фрэнсиса [6]. Райе [18] обобщил теорему о среднем квадрате,
включив средние п-то порядка.
Когда функция формы является дельта-функцией, преобра-
преобразование F(jd)) равно единице и последовательность случайных
импульсов называют импульсным процессом. Из формулы
B.42) получаем спектральную плотность такого процесса
5 (со), B.46)
и выражение B.43) дает автокорреляционную функцию в виде
оо
. Г* г
—оо
где интеграл заменили дельта-функцией согласно соотношению
Фурье B.18а). Выражения B.46) и B.47) иллюстрируются на
рис. 2.3. Заметим появление дельта-функции в источнике в обо-
обоих случаях: спектральной плотности и автокорреляционной
функции. В последнем случае имеется некоторое осложнение,
& именно значение среднего квадрата импульсного процесса

36 Глава 2
не определено1) в соответствии с равномерным распределением
спектральной плотности по бесконечно широкому частотному
диапазону. Конечно, функции формы сигналов, встречающихся
в физической реальности, никогда не бывают чисто импульсны-
импульсными. Какими бы узкими они ни были, они всегда имеют конеч-
конечную ширину. Вследствие этого спектральная плотность после-
последовательности импульсов резко уменьшается на частотах выше
частоты, обратной ширине импульса, и дельта-функция в источ-
источнике в автокорреляционной функции исчезает; таким образом»
значение среднего квадрата становится конечным, и противо-
противоречие устраняется.
2.7. Простой дробовой шум
Случайная эмиссия электронов из катода термоэлектронного
диода приводит к возникновению тока во внешнем контуре, ко-
который можно представить как последовательность случайных
импульсов. Во время пролета к аноду электрона, эмитирован-
эмитированного катодом, появляется импульс тока смещения и сумма
всех таких импульсов дает полный ток. По аналогии с шумом
мелкой дроби, сыплющейся в контейнер, флуктуации тока диода
называют «дробовым шумом» [20]. Простой дробовой шум —
это флуктуации тока, вызываемые электронами, которые эмити-
эмитируются случайно и независимо друг от друга, не взаимодейст-
взаимодействуя между собой во время пролета к аноду.
Если предположить, что время пролета бесконечно мало, та
каждый элементарный импульс можно представить как им-
импульс, площадь которого равна электронному заряду. Тогда ток
в схеме в любой момент времени является импульсным про-
процессом
'(') = -? 2 8 ('-'*)> B.48)
/2=1
где q — величина электронного заряда; tk — момент времени,
когда k-ih электрон эмитируется катодом, а К — полное число
импульсов в импульсной последовательности с длительностью Т.
Линейная суперпозиция в выражении B.48) является частным
случаем выражения B.36) для последовательности случайных
импульсов, если функция формы есть дельта-функция.
!) Отсюда следует, что теорема Кемпбелла о среднем квадрате для
импульсного процесса неверна.

Математические методы 37
Согласно теореме Кемпбелла о среднем, получаем уровень
постоянного тока дробового шума
—1 = Щ=-Чу, B.49)
где v — средняя скорость эмиссии из катода. Знаки здесь по-
поставлены так, чтобы величина /, соответствующая величине
среднего тока, была положительна. Так как i(t)—импульсный
процесс, нельзя применить теорему Кемпбелла о среднем квад-
квадрате; однако можно найти автокорреляционную функцию из вы-
выражения B.47)
B.50)
и спектральную плотность из выражения B.46)
. B.51)
Появляющееся здесь выражение 2ql, описывающее спектраль-
спектральную плотность дробового шума на положительных частотах,
служит характеристикой простых дробовых шумовых процессов
вообще и встретится еще раз в связи с флуктуациями тока в
приборах на р—я-переходе.
В любом физическом приборе с дробовым шумом наблюда-
наблюдается определенная степень расширения импульса. Например,
время пролета в термоэлектронном диоде мало, но тем не менее
не нулевое, что приводит к импульсам конечной ширины. Тог-
Тогда, как было показано в разд. 2.6, ни спектральная плотность
больше не является равномерной при бесконечно высоких
частотах, ни автокорреляционная функция не имеет в нуле
дельта-функции, а вместо нее имеется конечцое значение сред-
среднего квадрата.
Если в последовательности импульсов имеется некоторая
степень корреляции между импульсами тока, наблюдается от-
отклонение от простого дробового шума. Это может происходить,
например, в вакуумном диоде в результате взаимодействия
между электронами во время пролета. Это вызывает сглажи-
сглаживание пространственного заряда и уменьшение шума.
2.8. Тепловой шум
У резистора, который находится в тепловом равновесии со
своим окружением, на концах появляются флуктуации либо
напряжения (при разомкнутом контуре), либо тока (при корот-
козамкнутом контуре). Этот шум впервые наблюдал Джонсон
[9] и поэтому его обычно называют шумом Джонсона или теп-
тепловым шумом. Это явление аналогично броуновскому движе-

38 Глава 2
нию, статистические свойства которого были описаны Эйнштей-
Эйнштейном [8] за двадцать лет до исследований Джонсона. Анализ
Эйнштейна основан на модели случайного блуждания и пока-
показывает, что средний квадрат перемещения броуновской частицы
пропорционален времени наблюдения1).
Электроны в резисторе обладают тепловой энергией и пере-
передвигаются в материале случайным образом, испытывая в про-
процессе движения соударения с атомами кристалла. Случайные
движения вызывают тепловой шум. Флуктуации можно истол-
истолковать как результат очень большого числа независимых слу-
случайных «событий». Каждое событие состоит из начальной ста-
стадии, когда происходит отклонение от состояния равновесия, и
из релаксации к этому состоянию. Начальная стадия — это про-
пробег электрона между столкновениями, который порождает не-
неравновесное распределение заряда в резистивном материале,
а релаксация — это последующее изменение заряда, восстанав-
восстанавливающее состояние равновесия. Явления, происходящие в со-
событии, приводят к возникновению импульса тока или напря-
напряжения на клеммах, и суперпозиция всех таких импульсов есть
флуктуация теплового шума. В соответствии с этой моделью
тепловой шум является еще одним примером последовательно-
последовательности случайных импульсов.
Описание отдельного электронного события, данное выше,
неточно отражает микроскопическое поведение электрона в ре-
резистивном материале, но при усреднении по большому числу
таких событий получают точные статистические характеристи-
характеристики шумовых процессов на выходе. Более того, идея начальной
стадии, сменяющейся релаксацией, помогает в понимании роли
тепловых флуктуации в диссипативной системе: они поддержи-
поддерживают тепловое равновесие системы, гарантируя в среднем воз-
возвращение к этому состоянию при любом отклонении от него.
Статистические характеристики шума Джонсона можно по-
получить из одномерной модели резистора площадью попереч-
поперечного сечения А и длиной L. Прежде всего для этого нужно
знать форму импульса (или ее фурье-преобразование) на клем-
клеммах в результате единичного события, состоящего из пробега
электрона между столкновениями длины If и последующей ре-
релаксации заряда. Теперь начальную стадию можно наглядно
представить как мгновенное появление двух заряженных плос-
плоскостей с плотностью заряда ±q/A на расстоянии If. Если пред-
предположить, что концы резистора разомкнуты, получим, что за-
1) Таким образом, перемещение броуновской частицы, аналогичноефлук-
туациям заряда в резисторе, — нестационарный процесс (см. разд. 2.10).
Флуктуации скорости, аналогичной току в резисторе, статистически стацио-
стационарны.

Математические методы
39
ряд тогда должен спадать вследствие обратного потока между
заряженными пластинами. Эквивалентная схема для модели
события показана на рис. 2.4, где Rf и Cf — соответственно со-
сопротивление и емкость области между заряженными пластина-
пластинами; R=RfL/lf — объемное сопротивление прибора, а генератор
тока q8(t) представляет начальную стадию.
R
=t=C
Рис. 2.4. Эквивалентная схема единичного «события» в резисторе с клемма-
клеммами А—А.
В терминах импульса напряжения vn{t) на клеммах в ре-
результате единичного события уравнение движения по рис. 2.4
имеет вид [4]1)
Е), B.52)
~ dt ~ R
где C=Cflf/L. Применяя преобразование Фурье к обеим частям
уравнения B.52), находим, что преобразование импульса на-
напряжения описывается выражением
qlf(R/L)
1 + /COTj
B.53)
где T\ = RC = pe— время диэлектрической релаксации; р —
удельное сопротивление и е — относительная проницаемость ма-
материала. В электронике, как правило, xi чрезвычайно мало по-
порядка пикосекунд.
Выражение B.53)—это фурье-преобразование импульса
напряжения на клеммах, возникающего в результате единично-
]) Это уравнение аналогично уравнению Ланжевена [12] для движения
броуновской частицы, которое учитывает как инерциальную, так и диссипа-
тивную (вязкую) силы, действующие на частицы. Нововведением Ланжевена
было предположение о том, что внешнее воздействие можно разделить на
среднюю силу вязкости и очень резко изменяющуюся силу, связанную с ча-
частыми молекулярными соударениями, испытываемыми частицей. Глубокое
причинное обоснование доказательства Ланжевена дано Чандрасекаром
[7]. Уленбек и Орнштейн [22] показывают из решения уравнения Ланжевена,
что и скорость, и перемещение броуновской частицы имеют гауссовские
функции распределения.

40 Глава 2
го события в резисторе. Его обратное преобразование, функция
формы импульса, представляет собой спадающую экспоненту с
постоянной времени, равной т^ Так как вероятности обнару-
обнаружить положительные и отрицательные значения If равны, сред-
среднее значение флуктуации на клеммах равно нулю. Если в выра-
выражении B.41) для теоремы Карсона величину jF(/©) приравнять
величине q(RIL)l(\+j®%\) из формулы B.53), то получим
спектральную плотность флуктуации напряжения на клеммах
где v — среднее число событий в секунду внутри объема рези-
резистора. Теперь, если п — плотность электронов в материале и
Xf — среднее время свободного пробега между соударениями, то
v = nAL/rf. B.55)
Этот результат вытекает из дополнительной теоремы для рас-
распределения Пуассона (приложение 3). Мы также имеем, что
R = L/(nqliA), B.56)
где ji — подвижность. Подробное рассмотрение на основе пред-
представлений статистической механики, приведенное в приложе-
приложении 3, показывает, что подвижность можно выразить как
V. = qT?/B4fkQ), B.57)
где k — константа Больцмана, а 0 — абсолютная температура.
Объединяя выражения B.54) — B.57), получают спектральную
плотность флуктуации напряжения разомкнутого контура
а из простого преобразования схемы следует, что спектральная
плотность флуктуации тока в короткозамкнутом контуре равна
<2-59)
Для всех частот, представляющих практический интерес,
член co2ti2 пренебрежимо мал. Два выражения B.58) и B.59)
в таком случае переходят в 4*6/? и 4*0//? соответственно, т. е.
имеем классические формулы, полученные впервые Найквистом
[16] на основе второго закона термодинамики и предпосылки о
равномерном распределении энергии между резистивными эле-
элементами в равновесии. Эти две формулы, известные под назва-
названием теоремы Найквиста, рассматриваются в дальнейшем в
приложении 2.

Математические методы 41
Автокорреляционные функции флуктуации напряжения и
тока теплового шума следуют непосредственно из формул
B.58) и B.59), если применить теорему Винера — Хинчина. На-
Например, автокорреляционная функция флуктуации напряжения
описывается формулой
exp (-1T '
Экспоненциальный вид этого выражения характерен для про-
процесса релаксации. Значение среднего квадрата, получаемое из
выражения B.60), есть величина kQR/xu которая становится
бесконечно большой, если время релаксации становится беско-
бесконечно малым. В этом приближении тепловой шум является им-
импульсным процессом.
Говорят, что диссипативные системы необратимы1), по край-
крайней мере для времен, больших времен релаксации. Эйнштейн
установил, что при сохранении состояния равновесия такие сич
стемы обычно становятся источниками случайных флуктуации
в некотором присущем им параметре. Таким образом, тепловой
шум — это внутренне присущее и неустранимое свойство рези-
стивных материалов и часто принципиально является тем пре-
пределом, ниже которого нельзя ослабить шумы в электронном
приборе.
2.9. Нестационарные процессы
Как мы видели в разд. 2.5, автокорреляционная функция и
спектральная плотность мощности стационарного стохастиче-
стохастического процесса определены в терминах средних по ансамблю,
взятых в пределе, когда время наблюдения Т стремится к бес-
бесконечности. При стационарном процессе эти пределы сходятся
к определенным конечным значениям.
Однако, если процесс нестационарный, понятие средней
мощности, взятой в пределе при Г->оо, теряет смысл, потому
что, вообще говоря, этот предел не существует. Это не означа-
]) Система, например ансамбль электронов в резисторе, может быть опи-
описана в обозначениях координат момента и положения в фазовом простран-
пространстве. Каждой точке соответствует момент и положение всех частиц в ансамб-
ансамбле. Если при внесении энергии извне система выводится из положения рав-
равновесия, то она переходит в новую область в фазовом пространстве, но за-
затем возвращается, т. е. релаксирует к состоянию равновесия, в область, ко-
которую она первоначально занимала. Вероятность, что она затем спонтанно
вернется к своим предыдущим неравновесным координатам, пренебрежимо
мала. Именно это имеют в виду, когда говорят, что система необратима.

42 Глава 2
ет, что нестационарный процесс нельзя описать в терминах ав-
автокорреляционной функции и спектральной плотности мощно-
мощности; это лишь означает, что данные величины должны опреде-
определяться надлежащим образом.
Фактически необходимый в нестационарном случае матема-
математический подход совпадает с тем, который применяется для
стационарных процессов, за исключением того, что время на-
наблюдения в нестационарном случае остается конечным, а не
стремится к бесконечности. Ординаты процесса вне интервала
наблюдения считают равными нулю. Понятие усреднения по
ансамблю используется, как и раньше, в предположении, что
все составляющие функции ансамбля имеют одинаковые веро-
вероятностные характеристики. Теорема Винера — Хинчина, пред-
представленная формулами B.33), также применима, но теперь
пределы интегрирования по т конечны и обе функции, ф*(т) и
Sjc(g)), зависят от времени наблюдения Т [11].
Одно свойство нестационарных процессов особенно интерес-
интересно. Оно связано с автокорреляционной функцией, усредненной
по ансамблю, которая определяется по аналогии со стационар-
стационарным случаем как
г-| % i
4 j
= 4" j x(t+i)x(t)dt. B.61)
Конечные пределы интегрирования появились вследствие пред-
предположения, что x(t) равно нулю вне интервала наблюдения
[О, Г]. Подынтегральное выражение в формуле B.61) есть
функция ковариации процесса x(t). Если бы процесс x(t) был
стационарным, функция ковариации не зависела бы от t и, сле-
следовательно, в пределе при Т-+оо была бы равна автокорреля-
автокорреляционной функции. Но при нестационарном x(t) функция кова-
ковариации не является независимой от t и не равна_ Автокорреля-
Автокорреляционной функции. Это наглядное подтверждение неприменимо-
неприменимости эргодической теоремы в случае нестационарных процессов.
2.10. Процесс Винера — Леви
Известен частный вид нестационарного процесса под на-
названием процесса Винера — Леви. Это предельный вид случай-
случайного блуждания в приближении, когда время между последо-
последовательными шагами стремится к нулю. Примером такого про-
процесса служит перемещение частицы, участвующей в броунов-
броуновском движении. Эту задачу рассматривал Эйнштейн методами
классического анализа и получил средний квадрат перемеще-

Математические методы 43
ния частицы. Затем он пошел дальше и показал, что диффузия
и броуновское движение — по существу одно и то же явле-
явление, поскольку они возникают вследствие быстрого молекуляр-
молекулярного движения.
Процессом, аналогичным перемещению броуновской части-
частицы, можно считать флуктуации заряда из-за тепловой энергии
электронов, переносимой по внешнему контуру резистора. Флук-
Флуктуации заряда q(t) можно выразить в виде интеграла по (конеч-
(конечному) интервалу [0, t] тока тепловых шумов
t
B.62)
Эта формула дает альтернативное определение процесса Вине-
Винера— Лёви: это интеграл стационарного процесса, имеющего
равномерную, или «белую», спектральную плотность. Хотя ин-
интегралы стационарных процессов нестационарны, они тем не ме-
менее являются небольшим классом процессов и не представляют
нестационарные процессы в целом.
Значение среднего квадрата флуктуации заряда получают
на основе простой операции. Снова рассмотрим одномерную мо-
модель резистора, описанную в разд. 2.8. Начальная стадия, со-
состоящая из перемещения электрона по пути свободного проле-
пролета If между столкновениями,/вызывает во внешнем контуре пе«
ренос заряда, равного q(lf/L). Если в момент времени t имеет-
имеется m независимых событий, то значение среднего квадрата
флуктуации заряда имеет вид
^-@ = mq4f/L2 = vq4ft/L\ B.63)
где v — средняя скорость событий и считается, что m=vt. Из
формул B.55) — B.57) следует, что
B.64)
Появление времени t в этом выражении подтверждает, что
флуктуации заряда действительно нестационарны. Выражение
B.64) было впервые выведено Эйнштейном.
Сейчас нас интересуют ковариация, автокорреляционная
функция и спектральная плотность флуктуации заряда q{t).
Сначала вычисляют ковариацию, затем используют выражение
B.61) для определения автокорреляционной функции, а из нее
получают спектральную плотность, используя теорему Винера —
Хинчина. Эта процедура, в которой различие между функцией
ковариации и автокорреляционной функцией не только подчер-
подчеркивается, но и используется в вычислении спектральной плот-
плотности, применима к нестационарным процессам вообще.

44
Глава 2
Так как q(t)—кумулятивный процесс, можно написать
№), B.65)
где z(t, т)—вклад в флуктуации заряда за время между t и
(t+т). Так как время корреляции добавочных флуктуации в
процессе Винера — Лёви нулевое, два процесса справа в равен-
равенстве B.65) некоррелированы. Отсюда следует, что функция ко-
ковариации имеет вид
B.66)
Согласно этому, функция ковариации процесса Винера — Лёви
не зависит от времени задержки т и равна значению среднего
10'
ю"
О 1?0
г/г —*¦
а
70"
10
ojT
10
Рис. 2.5. Нормированная автокорреляционная функция (а) и нормированная
(односторонняя) спектральная плотность флуктуации заряда в резисторе (б).
квадрата. Таким образом, функция ковариации флуктуации за-
заряда имеет вид
q(t-\-T)q(t) = 2Ш/Я. B.67)
Теперь можно получить автокорреляционную функцию для
q(t) из выражения B.61)
1т|- 1 ¦ .. ^ ^6g)
где Т — время наблюдения процесса q(t). Когда здесь не вы-
выполняется неравенство, автокорреляционная функция равна
нулю. На рис. 2.5, а показана ф^(т, Г), нормированная на
@, Г), в зависимости от т/Г.
Выражения B.67) и B.68) позволяют провести интересное
сравнение: в то время как ковариация не зависит от задержки,

Математические методы 45
автокорреляция явно зависит от т, причем таким образом, что
«время корреляции» процесса пропорционально времени на-
наблюдения Т. На первый взгляд, этот результат кажется стран-
странным, но его можно понять, если учесть кумулятивный характер
процесса; ибо при фиксированном т соответствующая общность
между q(t+%) и q(t) в среднем по интервалу [О, Т] возрастает
при увеличении времени наблюдения.
Теперь из выражения B.68) по теореме Винера — Хинчина
можно найти спектральную плотность для q(t). Соответствую-
Соответствующий интеграл обращения по формуле B.336) имеет вид
B69)
что совхместно с выражением B.68) дает
sin соГ
Эта функция, нормированная к своему значению на нулевой
частоте, изображена на рис. 2.5,6 в зависимости от соГ.
Когда соГ>1, второй член в квадратных скобках в выраже-
выражении B.70) пренебрежимо мал и спектральная плотность изме-
изменяется как со~2 в соответствии со спектром процесса случайного
блуждания, полученного Беллом [2] с использованием метода
квадратных разностей. Когда соГ<с1, вырезающее влияние ин-
интервала наблюдения изменяет форму спектра, которая в этой
области более или менее плоская. Таким образом, оставляя ко-
конечным время наблюдения, избегаем тем самым концептуально-
концептуального противоречия с бесконечной энергией на нулевой частоте
(«инфракрасная» катастрофа), с которой мы встретились бы,
если в выражении B.70) взяли Т бесконечно большим. Так как
измерения всегда проводятся в течение конечного времени, это
исследование процесса Винера — Лёви должно казаться более
реалистичным, чем любой хитроумный способ, в котором допус-
допускается, что время наблюдения (в явном или неявном виде)
стремится к бесконечности.
2.11. Функция Макдональда
Ковариация нестационарного кумулятивного процесса q(t),
определенного в выражении B.62), может быть выражена в
терминах спектральной плотности стационарного процесса i(t).
Это верно, даже если q(i) не является процессом Винера — Лё-

46 Глава 2
ви. Имеется соотношение
[I +cos©x-cosW-
— cosu)(/ + |T|)]d©, B.71)
где Si-(со) —спектральная плотность i(t). Выражение B.71)
получается, если записать ковариацию в виде
i{t')i(t")dfdt" =
о 6
= f f 4>i(t'-t")dfdt"y B.72)
о о
где ф/(^—t")—автокорреляционная функция флуктуации тока.
Применяя теорему Винера — Хинчина, ф,(/'—t") записывают в
обозначениях интеграла обращения по частоте, содержащего
5/(со) в подынтегральном выражении. Изменяя порядок инте-
интегрирования и интегрируя по f и t", получают выражение B.71).
Когда т=0, формула B.71) переходит в выражение
Ф @ = 4" J-^-(l-cos<oOdfi), B.73)
о
которое впервые было получено Макдональдом [14]. В случае
процесса Винера — Леви S/(co) не зависит от частоты и может
быть вынесена за знак интеграла в выражениях B.71) и
B.73). Производя интегрирование1), получаем подтверждение
равенства B.66). В результате имеем
B.74)
где вместо Si (со) подставили выражение Найквиста. Это резуль-
результат Эйнштейна, записанный также в выражениях B.64) и
B.67), хотя и получен другим путем.
!) Эти интегралы можно вычислить, подставляя вместо со2 в знаменателе
подынтегрального выражения (со2+а2) и затем используя тождество
оо
/ coso//@2+a2)dco=(jt/2|a|)exp(— \at\), чтобы получить выражение для
о
каждого слагаемого. Значение всего интеграла затем вычисляют как предел
при 0

Математические методы 47
Выражение B.71) дает регулярный способ вычисления ко-
вариации процесса случайного блуждания, независимо от фор-
формы спектра стационарного процесса, для которого ее выводили.
Тогда можно, как показано выше для частного случая процесса
Винера — Лёви, получить автокорреляционную функцию и
спектральную плотность нестационарных флуктуации. Иным
образом, Sq(со, Т) можно выразить как интеграл, включающий
S;((o) в основную формулу, сходную с выражением B.71) для
ковариации. Однако этот способ содержит громоздкие алгеб-
алгебраические преобразования и поэтому не очень эффективен.
2.12. Взаимная корреляция,
взаимные спектры и когерентность
Статистические характеристики второго порядка двух ста-
стационарных процессов, x(t) и y(t), описываются в терминах
функции взаимной корреляции и взаимной спектральной плот-
плотности, определенных по аналогии с автокорреляционной функ-
функцией и спектральной плотностью единичного стационарного
процесса. Таким образом, функция взаимной корреляции име-
имеет вид
Т/2
<рху (т) = lim -f I * (t+т) у (t) dt, B.75)
-Г/2
а взаимная спектральная плотность — вид
Sxy (со) = lim [2X (/со) Г* (/со)/Г], B.76)
т—>«>
где Х(/со) и Y(j<o)—фурье-преобразования x(t) и y(t) соответ-
соответственно. Из выражения B.75) следует, что
*)> B-77)
а из выражения B.76) —
Sxy И = S*xu (-со) = Sgx (-со) = S%x (со). B.78)
В этих равенствах подразумевается, что x(t) и y(t) описывают
реальные процессы. Заметим, что взаимная спектральная плот-
плотность— величина комплексная, с действительной и мнимой час-
частями, которые могут принимать отрицательные значения и
вследствие симметричности соотношений B.78), очевидно, яв-
являются четной и нечетной функциями со соответственно.
Функция взаимной корреляции и взаимная спектральная
плотность являются партнерами по преобразованию Фурье и

48 Глава 2
связаны через пару интегралов обращения, подобных интегра-
интегралам в теореме Винера — Хинчина. Исходя из записи теоремы
Парсеваля и проводя преобразования, аналогичные тем, кото-
которые приводят к интегралам Винера — Хинчина, находим выра-
выражения
B.79)
Sxy И = 2 j Фжг/ (т) ехр (-/сот) dx, B.80)
—оо
которые иногда считают обобщенной теоремой Винера — Хин-
Хинчина. Двусторонняя форма записи интегралов используется
здесь для краткости. Такая форма не содержит концептуальной
трудности (или практической, связанной с измерением) в отно-
отношении отрицательных частот, так как симметричность взаим-
взаимной спектральной плотности, описываемой равенствами B.78),
позволяет правую часть выражения B.79) записать в виде си-
синус- и косинус-преобразований Фурье, где интегралы берутся
только по положительным частотам.
Нормированная взаимная спектральная плотность определя-
определяется как
Г„ И = Sxy (co)/[S^ (со) SlJy (io)]V2, B.81)
где Sxx((u) и 5^(co)—спектральные плотности x(t) и y(t) со-
соответственно. Величина 1\г/(со) выражает взаимную когерент-
когерентность между двумя сигналами, и поэтому ее часто называют
функцией когерентности. Из неравенства Коши — Шварца сле-
следует, что \Тху\ спадает на интервале [0, 1] и что действитель-
действительная и мнимая части спадают на интервале [—1, 1]. Функция
когерентности подчиняется тем же соотношениям симметрии,
что и Sxy (со) [выражения B.78)], но следует отметить, что это
эрмитиан, удовлетворяющий условию Г^(со) = Т*ух{(д).
2.13. Линейные системы
Два стационарных процесса x(t) и y(t) часто можно рас-
рассматривать как вход и выход линейной системы. Система может
быть, например, измерительным прибором, используемым для
наблюдения шумового процесса. Такая система, в которой вы-

Математические методы 491
полняется принцип суперпозиции, характеризуется функцией
импульсного отклика h(t), которая из соображений причинно-
причинности должна быть равна нулю для ^<0, или системной функ-
функцией
оо
Ж/со) = f ft (*) ехр (—/со/) dt, B.82>
—с»
которая является фурье-преобразованием для h(t).
Процесс на выходе системы y(t) есть свертка входного про-
процесса x(t) с функцией импульсного отклика
оо
y{f) = x (t) ® ft (*) = f * (*—a) ft (а) da, B.83)
—оо
который после применения преобразования Фурье имеет вид
B.84)'
Теперь можно вывести некоторые соотношения между статисти-
статистическими величинами, характеризующими входной и выходной
шумовые процессы.
Математическое ожидание на выходе описывается формулой
. B.85)
Таким образом, постоянный ток на выходе — это просто посто-
постоянный ток на входе, умноженный на коэффициент усиления си-
системы на нулевой частоте.
Математическое ожидание произведения x(t+j)y(t) есть,
среднее
—a)h(a)da =
(a) da. B.86)
Второй интеграл здесь можно рассматривать как свертку авто-
автокорреляционной функции входа цХх(%) с функцией импульсного
отклика Л(—т); так как правая часть выражения B.86) не за-
зависит^ от t, левая часть равна функции взаимной корреляции.
УхУ(т). Отсюда следует, что
B.87>

50 Глава 2 __—
Аналогичное рассуждение показывает, что автокорреляционная
функция процесса на выходе равна
Это можно увидеть из того, что если на входе линейной систе-
системы имеется стационарный процесс, то и на выходе он тоже ста-
стационарный.
Взаимную спектральную плотность между входом и выходом
получают преобразованием Фурье обеих частей уравнения
B.87). Учитывая интегралы обращения Винера — Хинчина,
имеем
B.89)
и аналогично спектральная плотность процесса на выходе, по-
полученная преобразованием выражения B.88), имеет вид
Sw (©) = S«(©)| Я (/©)|». B.90)
Из определения функции когерентности по формуле B.81) сле-
следует, что для входного и выходного процессов x(t) и y(t)
Г^(со) = Я*(/со)/|Я(/со)|. B.91)
Модуль этого выражения равен единице, что согласуется с фак-
фактом существования полной причинной связи между входом и
выходом. Если бы система сама производила шум, так что на
выходе содержалась бы случайная компонента, флуктуирующая
независимо от входа, то модуль функции когерентности был бы
меньше единицы.
При наблюдении шумового сигнала измерительный прибор
(детектор) всегда имеет ненулевое время отклика, или, что эк-
эквивалентно, конечную ширину полосы пропускания. Так как
определенные частоты флуктуации на входе в основном нахо-
находятся вне полосы пропускания прибора, шумовой сигнал на
выходе не будет простым повторением сигнала на входе. Таким
образом, измерительный прибор сам влияет на то, что наблю-
наблюдается на выходе, действуя как фильтр.
Чтобы показать это влияние на конкретном примере, пред-
предположим, что системная функция (линейного) измерительного
прибора имеет вид
Я(/со) = 1/A+/сотт), B.92)
где хт — время отклика, и что входные флуктуации представля-
представляют собой релаксационный процесс с временем релаксации т*,
где T*<CTm. Таким образом, ширина полосы входного сигнала
много больше, чем детектора. Спектральную плотность x(t)

Математические методы 51
можно записать как
ЧД B.93)
где So не зависит от частоты, и, следовательно, из уравнения
B.90) получим спектральную плотность сигнала на выходе в
виде
S^H-So/(l+co4m2), B.94)
где член A + со2т2а:) аппроксимирован единицей. Теорема Вине-
Винера— Хинчина дает автокорреляционные функции, соответствую-
соответствующие этим спектральным плотностям, в виде
^|т|/тж) B.95)
= тг ехР (-
Из этих выражений видно, что, отфильтровывая высокочастот-
высокочастотную энергию входного сигнала, детектор увеличивает время
корреляции в ХтНх раз и уменьшает значение среднего квадрата
в обратное число хх/хт раз.
2.14. Пары последовательностей импульсов
Теоремы для автокорреляционной функции и спектральной
плотности последовательности случайных импульсов, рассмот-
рассмотренные в разд. 2.6, можно расширить, чтобы получить функцию
взаимной корреляции и взаимную спектральную плотность
между двумя такими последовательностями при условии, что
между импульсами в каждой последовательности существует
однозначное соответствие. Предположим, например, что две ли-
линейные системы имеют общий вход, состоящий из случайной
последовательности импульсов, как показано на рис. 2.6. Если
функции импульсного отклика систем /i(/) и /г(О» то выходные
последовательности импульсов должны описываться выраже-
выражениями
kfi(t-th), B.97>
'ЛД (<~Л>. B*98>

Глава 2
Не считая индексов 1 и 2, в остальном эта запись повторяет
форму, приведенную в разд. 2.6. Наличие однозначного соот-
соответствия между импульсами в X\(t) и #2 @ очевидно из вида
выражений в формулах B.97) и B.98).
1 Из доказательства, аналогичного тому, которое приводит к
теореме Карсона, следует, что взаимная спектральная плот-
плотность между x\(t) и X2{t) имеет вид
S12 (со) = 2va2^ (/со) F2* (/со), B.99)
тде v — средняя скорость импульсов; F\(j&) и /^(/со)—фурье-
Выооод
Вход
ш
А А
Рис. 2.6. Две линейные системы с функциями импульсного отклика /i(/) и
МО» с °бщей последовательностью случайных импульсов на входе и после-
последовательностью когерентных импульсов на выходах.
преобразования функций f\(t) и /г@- Из интеграла обращения
в выражении B.80) следует, что функция взаимной корреляции
описывается формулой
W ехр (/сот) dco =
-i)h(t)dt. B.100)
Если средние значения обоих процессов ненулевые, то в эти вы-
выражения должны быть включены дополнительные члены, ана-
аналогичные членам в уравнениях B.42) и B.44).
Согласно определению B.81), функция когерентности меж-
между двумя флуктуациями имеет вид
Г ((»\ —
х 12 V»)—
12
(M I I ^2 (/«) I
B.101)
Модуль этого выражения равен единице, что можно было ожи-
ожидать, так как два процесса получены от общего источника и по-
поэтому демонстрируют полную причинную зависимость.

Математические методы 53
ЛИТЕРАТУРА
1. D. A. Bell A955), Distribution function of semiconductor noise, Proc. Phys.
Soc B, 68, 690—691.
2. D. A. Bell A960), Electrical Noise, Van Nostrand.
3. M. Born A949), Natural Philosophy of Cause and Chance, O. U. P.
4. M. J. Buckingham, E. A. Faulkner A974), The theory of inherent noise in
p-n junction diodes and bipolar transistors, The Radio and Elect. Eng., 44,
125—140.
5. N. R. Campbell A909), The study of discontinuous phenomena, Proc. Camb.
Phil. Soc, 15, 117—136; A910a), Discontinuities in light emission, pt 1,
Proc. Camb. Phil Soc., 15, 310—328; A910b), Discontinuities in light emis-
emission, pt 2, Proc. Camb. Phil. Soc, 15, 513—525; A939), the fluctuation
theorem. (Shot effect), Proc. Camb. Phil. Soc, 35, 127—129.
*6. N. R. Campbell, V. J. Francis A946), A theory of valve and circuit noise,
/. last. Elect. Eng., 93, pt III, 45—52.
7. S. Chandrasekhar A943), Stochastic problems in physics and astronomy,
Rev. Mod. Phys., 15, 1—89.
8. A. Einstein A906a), Eine neue bestimmung molekiildimensionen (A new
determination of molecular dimensions), Ann. d. Phys., 19, 289—305; A906b),
Zur theories der Brownschen bewegung (Theory of Brownian motion), Ann.
d. Phys., 19, 371—379.
9. J. B. Johnson A927a), Thermal agitation of electricity in conductors, Nature,
119, 50—51; A927b), Thermal agitation of electricity in conductors, Phys.
Rev., 29, 367—368; A928), Thermal agitation of electricity in conductors,
Phys. Rev., 32, 97—109.
10. A. Khintchine A934), Korrelationstheorie der stationaren stochastichen pro-
zesses, Math. Annalen, 109, 604—615.
dl. D. G. Lampard A954), Generalization of the Wiener—Khintchine theorem to
non-stationary processes, /. Appl. Phys., 25, 802—803.
12. M. P. Langevin A908), Sur la theorie du mouvement brownien, Comptes
Rend. Acad. Sci. Paris, 146, 530—533.
13. M. J. Lighthill A958), An Introduction to Fourier Analysis and Generalized
Functions, Cambridge University Press.
14. D. К. С MacDonald A949), Transit-time deterioration of space-charge reduc-
reduction of shot effect, Phil. Mag., 40, 561—568.
15. D. Middleton A960), Introduction to Statistical Communication Theory,
McGraw-Hill.
16. H. Nyquist A927), Thermal agitation in conductors, Phys. Rev., 29, 614;
A928), Thermal agitation of electric charge in conductors, Phus. Rev., 32,
110—113.
17. A. Papoulis A965), Probability, Random Variables and Stochastic Processes,
McGraw-Hill; A968), Systems and Transforms with Applications in Optics,
McGraw-Hill.
18. S. O. Rice A944), Mathematical analysis of random noise, Bell Syst. Tech.
J., 23, 282—332; A945), 24, 46—156.
19. E. N. Rowland A936), The theory of the mean square variation of a function
formed by adding known functions with random phase, and applications to
the theories of the shot effect and of light, Proc. Camb. Phil. Soc, 32, 580—
5У7.
20. W. Schottky A918), Ober spontane stromschwankungen in verschiedenen
elektrizitatsleitern, Ann. d. Phys. (Leipzig), 57, 541—567.
21. E. С Titchmarsh A937), Introduction to the Theory of Fourier Integrals,
22. G. E. Uhlenbeck, L. S. Ornstein A930), On the theory of the Brownian
motion, Phys. Rev., 36, 823—841.
23. N. Wiener A930), Generalized harmonic analysis, Ada Math, 55 117—
258.

Шумы в линейных схемах
3.1. Введение
Электронная схема с собственным шумом (активная или;
пассивная) может быть представлена как бесшумовая схема с
внешними генераторами шума. Эти генераторы шума, в свою
очередь, могут быть представлены в виде эквивалентных гене-
генераторов теплового шума, и тогда можно говорить об эквива-
эквивалентном шумовом сопротивлении, или эквивалентной шумовой-
проводимости, или об эквивалентной шумовой температуре.
Шумы от устройства с четырьмя клеммами, или четырехпо-
четырехполюсника, можно представить в виде двух внешних генераторов,
которые, вообще говоря, частично коррелированы. Коэффици-
Коэффициент шума (или шум-фактор) —это показатель качества для та-
такой схемы, в котором отражены внутренние шумовые свойства
схемы с учетом усиления системы и условий согласования им-
импеданса на входе.
3.2. Двухполюсники
Шумящий двухполюсник с импедансом Z(co) =7?(со)+Д(со)
изображен на рис. 3.1, а, где величина v(t) (флуктуации напря-
напряжения разомкнутой цепи между клеммами А—В) образуется от
одного или более внутренних источников шума1). На рис. 3.1,6
изображена эквивалентная схема для этого шумящего устрой-
устройства, полученная по теореме Тевенина [13] и состоящая из бес-
бесшумовой схемы с импедансом Z(co), соединенной последователь-
0 Трудно разделить функции частоты (импедансы) и функции времени
(генераторы) на эквивалентных схемах шумящих устройств. Импедансы
можно было бы заменить соответствующими импульсными функциями от-
отклика, но такое представление мало распространено и неудобно, потому что
запись во временной области подразумевает применение интегралов свертки;
генераторы шума можно было бы представить их спектральными плотностя-
плотностями, но это приводит к громоздкой записи, мало подходящей для анализа
схемы (особенно когда в схеме два или больше частично связанных гене-
генераторов). Таким образом, в эквивалентных схемах этой и последующих глав
используются смешанные величины, зависящие от времени и частоты, как
показано на рис. 3.1.

Шумы в линейных схемах
55
\v(t)
v(t)
Z(<o)
Y(GJ)
-•В
! I
T
t—A
Рис. З.1. Двухполюсник с шумом (с), его эквивалентная схема по Тевенину
(б) и другая разновидность этой схемы (в).
но с генератором напряжения v (t). Спектральную плотность
v (t) можно представить в виде
C.1)
где 0 — абсолютная температура, a Rn— эквивалентное (тепло-
(тепловое) шумовое сопротивление схемы. Если схема линейная и
пассивная и содержит только источники теплового шума при
температуре 0, то Rn = R((u), но в нелинейных цепях или цепях,
содержащих источники шума, отличные от источников теплово-
теплового шума, это равенство может не выполняться.
На рис. 3.1, в показан другой вариант схемы по Тевенину,
изображенной на рис. 3.1,6. В этом эквивалентном представле-
представлении шумящая схема показана в виде бесшумовой схемы с пол-
полной проводимостью У(<о) = 1/Z(cd) = G(co) +/fi(co), соединенной
параллельно с генератором тока i(t). Спектральную плотность
i(t) можно представить в виде
C.2)
где Gn — эквивалентная (тепловая) шумовая активная проводи-
проводимость шумящей схемы. Если схема линейная и пассивная и со-
содержит только источники теплового шума при температуре 6,
то Gn=G((u) =R/(R2 + X2); но в нелинейных цепях или цепях,
содержащих источники шума, отличные от источников теплово-
теплового шума, это равенство может не выполняться.
В некоторых задачах, например при исследовании шумов в
приборах на горячих электронах, где эквивалентная температу-
температура носителей отличается от температуры окружающей среды,
может оказаться удобным записывать выражения C.1) и C.2)

56
Глава 3
в иной форме
C.3)
iWfi n C.4)
где Qn — эквивалентная шумовая температура. Выбор представ-
представления в большой степени зависит от физической природы и ха-
характеристик шума.
В цепях, содержащих источники дробового шума в качестве
основных источников шумов, часто бывает удобно выражать
Ш)
\* ^-
О—
Рис. 3.2. Схема параллельного соединения #С-контура с токовыми генерато-
генераторами теплового шума (а) и эквивалентная ей схема по Тевенину (б).
спектральную плотность флуктуации тока на клеммах схемы
в виде
S.((o) = 2qll, C.5)
где / — ток на клеммах и ? — коэффициент подавления. Очевид-
Очевидно, что коэффициент подавления полного дробового шума ра-
равен единице, но при значительных сглаживающих эффектах,
например вследствие пространственного заряда или явления за-
захвата, I становится меньше единицы.
Примером простого устройства с двумя клеммами может
служить параллельный RC-контур, показанный на рис. 3.2, а.
Тепловой шум сопротивления, представленный параллельным
генератором тока i(t), преобразуется в эквивалентном контуре
Тевенина в последовательный генератор напряжения, как пока-
показано на рис. 3.2,6. Спектральная плотность генератора напря-
напряжения имеет вид
2С2#2), C.6)
= 54 И
где Si((u)=4kQ/R — спектральная плотность генератора тепло-
теплового шума i(t). Заметим, что, хотя контур содержит только один
источник теплового шума, флуктуации напряжения на клеммах

Шумы в линейных схемах 57^
имеют спектральную плотность, зависящую от частоты. Этот
эффект связан с импедансом конденсатора. Вообще зависимость
от частоты спектральной плотности шумов на клеммах устрой-
устройства связана с импедансами схемы.
Применяя теорему Винера — Хинчина, получаем значение
среднего квадрата напряжения генератора на рис. 3.2,6:
оо оо
„ ... 1 С о / ч . 4kQR С da kQ /o ,,,
ZiJ[> J ^JL 1 1 ~j"^ Ш t\ v~i О
Примечательно, что сопротивление R не влияет на величину
v2(t), которая зависит только от емкости С и температуры 0,
но R существенно при определении величины и ширины полосы
спектральной плотности, описываемой формулой C.6).
3.3. Линейные четырехполюсники
Схему с двумя парами клемм, соответствующими входу и
выходу, называют по-разному: четырехполюсником, схемой с
четырьмя концами или двухпортовой схемой1). Линейный четы-
четырехполюсник— это тот, в котором выполняется принцип супер-
суперпозиции. Для небольших по интенсивности сигналов и шумов
можно классифицировать как линейные четырехполюсники ряд
важных электронных устройств, в том числе биполярный тран-
транзистор, полевой транзистор с р—/г-переходом, МОП-транзистор,
вакуумный триод и вакуумный пентод; в эту категорию попа-
попадают также многокаскадные усилители.
На начальном этапе применения транзисторов было мало
известно о механизмах, ответственных за появление шума на
клеммах прибора. Например, нельзя было теоретически пред-
предсказать характеристики шума, и вместо теоретического рас-
рассмотрения линейного четырехполюсника в качестве основного
использовали эмпирический подход. Райдер и Киршер [12] и
Монтгомери [7] представляли шумящий транзистор как бес-
бесшумовую схему с импедансными характеристиками реального
транзистора и с двумя внешними шумовыми генераторами, из
которых один подключен последовательно к входу, а другой —
к выходу. Этот метод в основном повторял прием, который ра-
ранее применил Петерсон [8, 9], исследуя шум тетрода на модели
параллельных шумовых генераторов тока на входе и выходе
бесшумовой схемы.
]) Здесь и далее отдаем предпочтение термину «четырехполюсник», как
наиболее распространенному в отечественной литературе. — Прим. перев.

58
Глава 3
Давно известно, что четырехполюсник с шумом можно пред-
представить множеством эквивалентных схем, различающихся лишь
расположением шумовых генераторов на входе и выходе бесшу-
бесшумовой схемы. На рис. 2 в работе Монтгомери [7] показаны, на-
например, три различных варианта включения генераторов шума
на входе и выходе.
С точки зрения вычисления коэффициента шума схемы осо-
особенно интересен эквивалентный контур, в котором оба генера-
генератора относятся к входу. Бекинг и др. [1] установили эквива-
п
Рис. 3.3. Схематическое изображение бесшумового четырехполюсника с обо-
обозначением токов и напряжений на входе и выходе.
лентность такой конфигурации тем вариантам, в которых шумо-
шумовые генераторы находятся и на входе, и на выходе; эти авторы
показали также, что для полного описания свойств шума четы-
четырехполюсника на фиксированной частоте достаточно четырех
величин, а именно: спектральных плотностей двух генераторов
шума, действительных и мнимых частей взаимной спектральной
плотности. Эти четыре величины можно определить по измере-
измерениям на клеммах схемы, и таким образом можно получить пол-
полное описание характеристик шума четырехполюсника, ничего не
зная о структуре схемы или о скрытых физических механизмах,
ответственных за возникновение шума. При разработке схемы
этого достаточно, но если нужно исследовать связь между
структурой устройства и шумом на клеммах, необходимо ис-
использовать другой подход.
Токи и напряжения на клеммах четырехполюсника связаны
между собой парой линейных уравнений. Для бесшумового че-
четырехполюсника1), т. е. не содержащего внутренних источников
шума, эти уравнения можно записать через матрицу импедан-
*) Такая схема нереальна, так как в ' действительности все схемы произ-
производят некоторый шум. Однако, когда уровень сигнала достаточно высок,
влияние шума пренебрежимо мало и уравнения C.8) справедливы.

Шумы в линейных схемах
59
A-
*
v7(t)\
i
B*-
if(t) 7
(t)
z
vz(t)
D
if(t)
A •—*- T
4 ftI ^/^Q
? • *
Y
i2(t)
Рис. З.4. Линейный четырехполюсник с внутренними генераторами шума (а)
и его эквивалентная схема по Тевенину с внешними последовательными шу-
шумовыми генераторами напряжения (б). Другая разновидность эквивалентной
схемы (б) — с внешними параллельными шумовыми генераторами тока (в).
сов схемы
образом:
Z или через матрицу проводимостей Y следующим
C.8а)
Заглавные буквы / и V в этих уравнениях означают фурье-пре-
образования или фурье-амплитуды в зависимости от того, пе-
периодические или апериодические сигналы имеются на клеммах.
Индексы 1 и 2 относятся к входным и выходным величинам со-
соответственно, а правило знаков, использованное при составле-

60 Глава 3
нии уравнений, таково, что токи, входящие в систему, положи-
положительны, как иллюстрируется на рис. 3.3. Следует заметить, что,
вообще говоря, все величины в уравнениях C.8) зависят от
частоты.
Если четырехполюсник не является бесшумовым, а содержит
внутренние шумовые генераторы, иными словами, если уровень
шума на клеммах сравним с уровнем сигнала, уравнения C.8)
должны быть перестроены с учетом случайных флуктуации на
клеммах. При этом используется известный ныне метод пред-
представления четырехполюсника с шумом (рис. 3.4, а) в виде бес-
бесшумовой схемы с вынесенными наружу шумовыми генератора-
генераторами. Применяя теорему Тевенина, можно получить эквивалент-
эквивалентную схему, изображенную на рис. ЗА, б, в которой на входе и
выходе появляются последовательные генераторы напряжения.
Вообще говоря, между этими генераторами возможна некоторая
степень корреляции, так как шумовые флуктуации на входе и
выходе могут иметь в своей основе, по крайней мере частично,
один и тот же физический механизм. Разновидностью схемы на
рис. 3.4,6 служит эквивалентная схема, показанная на
на рис. 3.4, в, в которой внутренний шум представлен генерато-
генераторами тока, включенными параллельно входу и выходу. Эти два
генератора также могут, вообще говоря, обнаруживать некото-
некоторую степень корреляции.
При учете вклада от включения последовательных шумовых
генераторов напряжения, показанных на рис. 3.4,6, вместо урав-
уравнений C.8а) имеем соотношения между током и напряжением
в виде
v1=zui1-\-zlira-val, ^ад+ЗД-^2, (з.9э>
и аналогично, когда учитывается вклад от включения парал-
параллельных генераторов тока, показанных на рис. 3.4, в, уравнения
C.86) переходят в
Ii^YuVi + Y^-U It-YuVi+YnVi-U. C.96)
Члены, описывающие шум в уравнениях C.9), представля-
представляют собой фурье-преобразования случайных временных последо-
последовательностей, из которых состоят шумовые флуктуации тока
или напряжения на входе и выходе. Вопрос о существовании
таких преобразований обсуждался в предыдущей главе
(разд. 2.3 и 2.5). Там пришли к заключению, что хотя инте-
интегральные преобразования в неограниченном интервале не схо-
сходятся, в конечном интервале все же допустимо строить собст-
собственные спектры и взаимные спектры стационарных временных
последовательностей величин при условии, что процедуры ус-
усреднения по ансамблю и по времени выполняются в надлежа-
надлежащем порядке. Поскольку конечная цель составления уравнений

Шумы в линейных схемах
61
C.9)—получить выражения для собственных и взаимных
спектров шумовых генераторов, связанных с четырехполюсни-
четырехполюсником, в этом контексте можем просто сослаться на «фурье-пре-
образование» стационарных случайных временных последова-
последовательностей, помня, что с преобразованием надо обращаться так,
как сказано выше. Тогда не надо будет беспокоиться о том, что*
стационарные шумовые сигналы не являются абсолютно ин-
интегрируемыми.
Вместо размещения шумовых генераторов на входе и выхо-
выходе часто более удобно отнести оба генератора к входу. При вы-
•С
v?(t)
Рис. 3.5. Представление шумящего четырехполюсника, в котором оба внеш*-
ние шумовые генераторы отнесены к входу.
боре конфигурации, показанной на рис. 3.5, где четырехполюс-
четырехполюсник характеризуется матрицей проводимости Y, а шум пред-
представлен на входе последовательным генератором напряжения и
параллельным генератором тока, соотношения между током и
напряжением для этой схемы имеют вид
C.10)
Аналогичные выражения, конечно, можно записать для другой
разновидности эквивалентной схемы на рис. 3.5, но в этом слу-
случае схему следует описывать матрицей импедансов Z.
Если сравнить выражения C.10) и C.96), становится ясно,
что фурье-преобразование vna(t) для генератора напряжения
имеет вид
V^-IJYn, C.11а>
а фурье-преобразование ina(t) для генератора тока — вид
Таким образом, через уравнения C.11) можно связать преобра-
преобразования для шумовых генераторов тока на входе и выходе схе-

•62 Глава 3
мы рис. 3.5 и преобразования для шумовых генераторов тока на
входе и выходе схемы рис. 3.4, в. Следует заметить, однако, что
эквивалентная схема на рис. 3.5 пригодна только для вычисле-
вычисления шума в выходном контуре. Она не дает точного описания
шумовых флуктуации на входе, что можно видеть из того, что
ina(t) отличается от истинного генератора тока in\(t). Располо-
Расположение шумовых генераторов на рис. 3.5 особенно удобно для
вычисления коэффициента шума схемы.
Бекинг и др. [1] подчеркивают, что уравнения C.11) имеют
смысл, только если Y2i не равно нулю, или, другими словами,
только если вход связан с выходом. Это всегда имеет место в
любом реальном электронном устройстве или усилителе.
3.4. Коэффициент шума линейного
четырехполюсника
Понятие коэффициента шума применяли в связи с помеха-
помехами в радиоприемниках еще до появления транзистора [3].Этот
коэффициент, однако, широко не использовали при исследова-
исследовании шумов электронных ламп, главным образом потому, что для
описания шумов в электронных лампах достаточно было един-
единственного шумового генератора. Как уже упоминалось, иная си-
ситуация складывается как в случае транзисторов, поведение шу-
шумов которых характеризуется четырьмя параметрами, так и в
случае высокочастотных электронных ламп. Вскоре после появ-
появления этих устройств стало ясно, что их шумовые характерис-
характеристики невозможно адекватно представить с помощью одного ге-
генератора, и в результате появилось несколько исследований1),
в которых коэффициент шума вводили как коэффициент качест-
качества, оценивая характеристики четырехполюсников.
Коэффициент шума четырехполюсников определяют для ука-
указанной частоты как отношение
Полная мощность шума на выходе на единицу ширины полосы
Мощность шума на выходе на единицу ширины полосы от входного
контура
при стандартной температуре 0О. Определенный таким образом
коэффициент шума F зависит от входного контура, вернее ска-
сказать, от проводимости источника Ys (рис. 3.6), а не от выходно-
выходного контура четырехполюсника. Коэффициент F зависит также
от частоты, и обе величины (частота и Ys) должны быть ука-
указаны, когда говорится о коэффициенте шума системы.
J> См., например, работы таких авторов, как Петерсон [9]; Райдер и
Киршер [12]; Монтгомери [7]; Бекинг и др. [1]; Роте и Далк [11].

Шумы в линейных схемах
Обычно коэффициент шума выражают в децибелах, так что
значение 0 дБ соответствует бесшумовой системе. В действи-
действительности все электронные цепи и устройства производят неко-
некоторый шум и практически всегда коэффициенты шума выше
О дБ. Естественно, если устройство имеет определенное назначе-
назначение, например включается во входную ступень низкочастотного
усилителя, желательно, чтобы его коэффициент шума был как
можно ближе к 0 дБ. На звуковых частотах не так уж трудно
найти кремниевые биполярные транзисторы с минимальными
коэффициентами'шума 0,5 дБ и меньше [2], а полевые транзи-
транзисторы с р—я-переходами могут быть еще лучше: с минималь-
Рис. 3.6. Источник сигнала is(t) с шумящей полной проводимостью Ys, при»
соединенной к входу шумящего четырехполюсника.
ными коэффициентами порядка 0,02 дБ [10]. Эти значения су-
существенно лучше шумовых характеристик первых транзисто-
транзисторов. Райдер и Киршер [12], например, приводят типичное зна-
значение коэффициента шума 60 дБ на 1 кГц для германиевого
транзистора типа А «кошачий ус»1). Для сравнения они указа-
указали, что при той же частоте хорошая электронная лампа может
иметь коэффициент шума, близкий к 0 дБ. При таких коэффи-
коэффициентах неудивительно, что в период становления транзистор
имел репутацию «шумного» прибора!
Коэффициент шума линейного четырехполюсника при дан-
данной частоте можно выразить через полную проводимость источ-
источника Ys=Gs + jBs следующим образом [5]:
= F0+\Ys-Ys0\4GsGnvi
C.12)
где Fq — минимальный коэффициент шума, который можно полу-
получить при указанной частоте настройкой величины YSi a Ys0 =
= Gso+/?so — значение Ys, при котором F минимально. Осталь-
*> Это был прибор с точечным контактом, в котором две маленькие нити
из фосфористой бронзы осуществляли контакт с германиевой подложкой.

;64 Глава 3
ные два параметра в выражении C.12) представляют собой ак-
активную проводимость источника Gs и эквивалентную шумовую
проводимость Gnv При чисто резистивном источнике легко ви-
видеть, что^кривая зависимости (F—Fo) от (Gs—Gs0) является
параболой, как схематически изображено на рис. 3.7, и наклон
кривой зависит от Gnv Очевидно, условие минимума коэффици-
коэффициента шума в этом случае определяется просто Gs = Gso.
Vnc. 3.7. Схематическое изображение параболической зависимости (F—Fo)
от (Gs—Gso).
Вообще говоря, величина Ys является комплексной, и актив-
активную проводимость источника Gs, а также реактивную проводи-
проводимость источника Bs можно регулировать независимо друг от
друга. Из уравнения C.12) можно видеть, что (F—Fo) в этом
случае изменяется как (Gs—Gs0J или как (Bs—jBs0J. Для по-
получения минимального коэффициента шума должны быть удов-
удовлетворены два условия согласования, а именно: Gs = Gso и
Bs = Bs0. Эквивалентная шумовая проводимость Gnv играет роль
масштабного коэффициента в наклонах кривых зависимостей
(F—Fo) от (Gs—Gso) и (Bs—fis0).
Выражение для коэффициента шума C.12) получено для
эквивалентной схемы, показанной на рис. 3.8. В этой схеме оба
шумовых генератора, связанные с четырехполюсником, подклю-
подключены на входе, так же как на рис. 3.5. Так как шумовые флук-
флуктуации на проводимости источника в четырехполюснике неза-

Шумы в линейных схемах
65
висимы, коэффициент шума можно записать непосредственно
в виде
C.13)
где 5/a, Sva и Sis — спектральные плотности генераторов ina(t),
Vna(t) и ins(t) соответственно, a Г,-*— нормированная взаимная
спектральная плотность между ina(t) и vna(t). Член YsVna в
Рис. 3.8. Схема для вычисления коэффициента шума усилителя с матрицей
полной проводимости Y.
Генератор тока in8(t) представляет шум в проводимости источника Y8.
первом из выражений C.13) появляется в результате преобра-
преобразования последовательного генератора напряжения vna(t) на
рис. 3.8 в эквивалентный параллельный генератор тока в соот-
соответствии с теоремой Нортона.
Спектральные плотности в формуле C.13) можно выразить
через эквивалентные тепловые проводимости следующим об-
образом:
S~ = 4kQGni, S;a = 4kQ/Gnv, S7 = 4kQGs. C.14)
Здесь Gnt и Gnv — не обязательно истинные проводимости, т. е.
не обязательно являются элементами контура, а просто служат
величинами, представляющими присоединенные шумовые гене-
генераторы. Напротив, проводимость Gs, определяющая шум источ-
источника,— истинная проводимость источника [ср. с выражением
C.2)]. Часто Gni и (или) Gnv могут зависеть от уровней посто-
постоянного смещения в контуре, в этом случае коэффициент шума
может быть функцией рабочей точки схемы.
При исследовании нормированной взаимной спектральной
плотности в формуле C.13) удобно разделить генератор тока
ina{t) на две части: одна независимая от vna{t), в то время как

66 Глава 3
другая часть полностью связана с vna{t). Тогда имеем
где Ус — комплексная величина, имеющая размерность прово-
проводимости, которую Роте и Далк [11] назвали корреляционной
проводимостью генераторов ina(t) и vna{t). Так как по опреде-
определению величина InbV*na равна нулю, нормированная взаимная
спектральная плотность между ina(t) и vna(t) имеет вид
1паУп
Г. = 1паУпа* __ у гГу Гг/ |~Т 1211/2 __ у j(fi п \1/2 /о 1 а\
lV ТП Г2 Си Г2Т1/2 ~~* cl\vna\ * I'nal 1 — х d\uniunv) • [O.1Q)
LI * na I I ' 7га I J
Коэффициент шума в формуле C.13) теперь можно представить
в виде
1
где Gc и Вс — действительная и мнимая части корреляционной
проводимости; другими словами, Gc и Вс — корреляционная ак-
активная проводимость и корреляционная реактивная проводи-
проводимость соответственно.
Оптимальная проводимость источника, равная Yso=Gso+
+ jBso9 — это проводимость, при которой коэффициент F мини-
минимален, а минимальное значение F находят, дважды дифферен-
дифференцируя выражение C.17), сначала по Bs, а затем по Gs. Это дает
оптимальную реактивную проводимость источника
Bso = —Bc C.18а)
и оптимальную активную проводимость источника
Gso = (GnvGni-Bcyt\ C.186)
Эти условия вслед за Роте и Далком назовем шумовой регули-
регулировкой и шумовым согласованием соответственно. Если оба ус-
условия удовлетворяются одновременно, минимальный коэффици-
коэффициент шума получают в виде
^о=1 + ^7 (Gs0 + G,), C.19)
что в сочетании с выражением для коэффициента шума C Ш
дает v ' '
F—
C.20)
Этот результат точно соответствует выражению для коэффици-
коэффициента шума C.12). ^

Шумы в линейных схемах 67
Из выражений, приведенных выше, ясно, что, когда величи-
величина Tiv действительна, корреляционная реактивная проводимость
равна нулю и, следовательно, минимальный коэффициент шума
можно получить при чисто резистивном источнике. Очевидно,
что это не выполняется, когда TiV комплексна, т. е. когда корре-
корреляционная реактивная проводимость не равна нулю. Тогда шу-
шумовая регулировка, которую можно осуществлять при фиксиро-
фиксированной частоте шунтирующей индуктивностью L=l/coSc,
включенной параллельно резистивному источнику, может при-
привести к значительному ослаблению коэффициента шума четы-
четырехполюсника.
Четыре параметра FOi GsOi Ss0 и Gnv в выражении C.20)
полностью характеризуют шумовые флуктуации на клеммах че-
четырехполюсника. Однажды найденные, они могут быть исполь-
использованы для определения Gnu Gc и Вс из выражений C.18) и
C.19), а затем уже просто определить спектральные плотности
генераторов vna(t) и ina(t) из соотношений C.14) и нормирован-
нормированную взаимную спектральную плотность из выражения C.16).
Процедуру измерения четырех характеристических параметров
описали Гауе и др. i[6]. Этот метод заключается в том, что ак-
активную и реактивную проводимости источника настраивают до
тех пор, пока не будет достигнут минимум коэффициента шума,
при котором точки FOi Gso и Bso легко считываются, и тогда Gnv
определяют, проводя измерение коэффициента шума для неко-
некоторой неоптимальной проводимости источника и используя это
измерение в сочетании с выражением C.20).
3.5. Коэффициент шума каскадных усилителей
Когда несколько усилителей объединены в каскад, как ил-
иллюстрируется на рис. 3.9, полный коэффициент шума такой си-
системы зависит от коэффициентов шума и достижимых коэффи-
коэффициентов усиления по мощности отдельных усилителей в кас-
каскаде.
Достижимый коэффициент усиления усилителя по мощности
определяют через достижимую мощность источника сигнала,
г достижимую мощность источника определяют как мощность,
которую можно получить от источника, когда к нему подклю-
подключают согласованную нагрузку. Для источника, состоящего из
э.д. с. vSi последовательно включенной с внутренним (положи-
(положительным) сопротивлением RSi достижимая мощность описыва-
описывается формулой
Rs>0. C.21)

68
Глава 3
Достижимый коэффициент усиления по мощности можно теперь
определить в виде
Ч = Р«Л C.22)
где Pout — выходная мощность, питающая согласованную на-
нагрузку, a Ps — достижимая мощность источника.
Логично предположить, что каждый усилитель в каскаде
подключен к согласованной нагрузке, или, другими словами,
выходная и входная проводимости смежных усилителей равны.
Представляя шум /-го усилителя эквивалентными шумовыми
Рис. З.9. Линейные четырехполюсники с шумом, объединенные в каскад.
генераторами inai(t) и vnai(it) на его входе, как было показано
на рис. 3.5, можно записать коэффициент шума всей системы
I/,
| Ina2 +
|
I / IV 1/ У 2
| 1 паз i х 2 v паз I
C.23)
где Yt и r|f — входная проводимость и достижимый коэффици-
коэффициент усиления по мощности 1-го усилителя. Из выражения
C.23) непосредственно следует, что если Fi — коэффициент
шума гто усилителя, то полный коэффициент шума имеет вид
C.24)
Выражение C.24) известно под названием формулы Фри-
исса. Поверхностный анализ этого выражения показывает, что
коэффициент шума системы в основном определяется коэффи-
коэффициентом шума первой ступени при условии, что достижимый
коэффициент усиления по мощности первой ступени достаточ-
достаточно высок. Таким образом, если необходим удовлетворительный
режим работы, то при конструировании низкочастотных усили-
усилителей важно обеспечить коэффициент шума входной ступени,

Шумы в линейных схемах 69
близкий к единице @ дБ), и коэффициент усиления по мощно-
мощности, много больший единицы.
Если у какой-нибудь усилительной ступени в каскаде име-
имеется отрицательная выходная проводимость, при выведении об-
общего коэффициента шума по формуле C.24) встретятся неко-
некоторые трудности. Гауе и Адлер [4] показали, что это выражение
становится неопределенным по той причине, что достижимая
мощность источника с отрицательным внутренним сопротивле-
сопротивлением бесконечна. В этом легко убедиться, рассматривая источ-
источник с отрицательным внутренним сопротивлением —Rs, питаю-
питающий «согласованную» нагрузку Rs. В этом случае бесконечно
большое значение, полученное для достижимой мощности, не
соответствует точке поворота: это ни экстремальное, ни стацио-
стационарное значение выходной мощности, как функция тока на
клеммах. Гауе и Адлер преодолели затруднение с коэффициен-
коэффициентом шума, возникшее в связи с определением достижимой мощ-
мощности: они ввели понятие обратимой мощности, определяемой
как стационарное значение, или экстремум, выходной мощности
источника, получаемое в результате произвольного изменения
тока или напряжения на клеммах. Это определение точно соот-
соответствует определению достижимой мощности, когда внутрен-
внутреннее сопротивление положительно; когда же внутреннее сопро-
сопротивление отрицательно, обратимая мощность (которая являет-
является точкой поворота) остается конечной, но принимает отрица-
отрицательное значение. Это отрицательное значение показывает, что,
когда внутреннее сопротивление отрицательно, обратимая мощ-
мощность есть максимальная мощность, которая может быть до-
добавлена к «источнику» присоединением к клеммам активного
импеданса.
Гауе и Адлер показали, что формула Фриисса выполняется
в большинстве случаев, даже когда некоторые ступени усилите-
усилителя в каскаде имеют отрицательные выходные проводимости,
при условии, что коэффициенты усиления по мощности r\t трак-
трактуются как коэффициенты усиления по обратимой мощности и
коэффициенты шума скорее определены на основе обратимой
мощности, чем достижимой. Если в каскаде имеются отрица-
отрицательные выходные проводимости, возможно, что некоторые r\t
будут отрицательны, и это могло бы существенно повлиять на
численное значение полного коэффициента шума системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. A. G. Th. Becking, H. Groendijk, К. S. Knol A955), The noise factor of four-
terminal networks, Philips Res. Rep., 10, 349—357.
2. E. A. Faulkner, D. W. Harding A968), Some measurements on low-noise
transistors for audio-frequency applications, The Radio and Elect. Eng., 36,
31—33.

70 Глава 3
3. Н. Т. Friiss A944), Noise figure of radio receivers, Proc. IRE, 32, 419—
423.
4. H. A. Haus, R. B. Adler A957), An extension of the noise figure definition,
Proc. IRE, 45, 690—691.
5. H. A. Haus, et al. A960a), Representation of noise in linear twoports, Proc.
IRE, 48, 69—74.
6. H. A. Haus, et al. A960b), IRE standards on methods of measuring noise
in linear twoports, 1959, Proc. IRE, 48, 60—68.
7. H. C. Montgomery A952), Transistor noise in circuit applications, Proc.
IRE, 40, 1461—1471.
8. L. C. Peterson A947), Space-charge and transit-time effects on signal and
noise in microwave tetrodes, Proc. IRE, 35, 1264—1272.
9. L. C. Peterson A948), Equivalent circuit analysis of active four terminal
networks, Bell Syst. Tech. I., 27, 593—622.
10. F. N. H. Robinson A969), Noise in common source amplifiers at moderately
high frequencies, Elect. Eng., 41, 77—79.
11. H. Rothe, W. Dalke A956), Theory of noisy fourpoles, Proc. IRE, 44, 811—
818.
12. R. M. Ryder, R. J. Kircher A949), Some circuit aspects of the transistor,
Bell Syst Tech. J., 28, 367—400.
13. L. Thevenin A883), Sur un nouveau theoreme d'electricite dynamique,
Comptes Rend. Acad. Set., Paris, 97, 159—161.

Собственный шум
в диодах на р — п -переходах
и биполярных транзисторах
4.1. Введение
Опубликование работы Шокли [20] возвестило о новой эре
в истории физики приборов. Транзистор появился на свет, и как
его достоинства, так и связанные с ним проблемы быстро ста-
стали явью.
Одна из неприятных черт первых транзисторов заключалась
в высоком уровне шума. Этот факт впервые отметили Райдер и
Кирхер [15] в заметке, которая была помещена в том же са-
самом выпуске Bell System Technical Journal, что и основопола-
основополагающая работа Шокли. Они провели измерения шумовых пара-
параметров точечно-контактного транзистора типа А!) в диапазоне
0,02 — 20 кГц. Были приведены кривые, показывающие, что за-
зависимость спектральной плотности шума от частоты имеет вид
l/fa, где а= 1,1. Впоследствии подобную зависимость от часто-
частоты наблюдали Уоллес и Пиетонпол [30] и Монтгомери [11] на
некоторой выборке 1752 германиевых п—р—я-транзисторов:
Монтгомери нашел, что в диапазоне частот 0,02—50 кГц спек-
спектральная плотность шумов на эмиттерном или коллекторном вы-
выводе при разных значениях напряжения смещения подчиняется
закону l/fa, где a — параметр немного больше единицы, обычно
он составляет 1,2. Кроме того, он показал, что уровень шума в
п—р—/г-транзисторах был существенно ниже, чем у точечно-
контактного транзистора, с которым работали Райдер и Кир-
Кирхер, и привел данные для коэффициентов шума на частоте
1 кГц, составляющих 18—25 дБ, в зависимости от смещения по
сравнению с 50—70 дБ для точечно-контактных транзисторов.
Энергетические шумовые спектры, которые имеют частот-
частотную зависимость типа l/fa с коэффициентом а, близким к еди^
нице, являются характерными для так называемого l/f-шума.
Когда шумы такого вида были впервые обнаружены у транзи-
транзисторов, физический механизм, приводящий к подобным флук-
туациям, не был понятен [12], и даже теперь, когда известно,
что шум 1//, наблюдается у большого числа приборов и систем,
все еще нет удовлетворительного объяснения этому явлению
(см. гл. 6).
!> См. сноску на с. 63, гл. 3.

72 Глава 4
По мере совершенствования технологии производства тран-
транзисторов l/f-компонента шума была снижена до такой степени,
что незадолго до первых измерений собственных шумов в тран-
транзисторе отмечалось следующее: Монтгомери и Кларк [13] на-
нашли, что для частот выше 1 кГц в зависимости от смещения
шумовая компонента 1/f для я—я—р-сплавных транзисторов яв-
является несущественной и что измеренный коэффициент шума
для таких приборов находится в согласии с вычисленным зна-
значением на основе теплового шума в объеме прибора и дробо-
дробового шума в переходах. Эти основополагающие физические ме-
механизмы давали возможность получить фундаментальный пре-
предел шумовым характеристикам, которые можно было ожидать
для транзисторов любого типа. В приборе, исследованном Монт-
Монтгомери и Кларком, этот предел соответствовал коэффициенту
шума примерно 3 дБ на частотах 1 кГц и выше.
Первое теоретическое рассмотрение дробового шума в дио-
диодах и транзисторах с р—я-переходами было предложено ван-
дер-Зилом [22, 23] на основе аналогии с передающей RC-лини-
ей с распределенными параметрами. Он рассмотрел «идеаль-
«идеальный» диод, т. е. такой, у которого эффект генерации — рекомби-
рекомбинации носителей в обедненном слое и поверхностный эффект
незначительны, и показал, что шум можно представить экви-
эквивалентным генератором тока, включенным параллельно пере-
переходу, у которого спектральная плотность шума зависит от вы-
выходного тока и проводимости перехода. Для больших прямых
или обратных значений напряжения смещения и для низких
частот выражение, полученное ван-дер-Зилом для спектральной
плотности такого подключенного параллельно шумового гене-
генератора тока, сводится к обычному виду для дробового шума
2qlo, где Id — установившийся постоянный ток через диод,
a q — заряд электрона; в случае нулевого смещения (/d = 0)
оно переходит в формулу Найквиста для теплового шума в
пассивном элементе с проводимостью, равной проводимости
р—я-перехода.
Сразу вслед за работами ван-дер-Зила был выполнен ряд
теоретических и экспериментальных исследований шумов в
диодах и транзисторах с р—я-переходом: ван-дер-Зил и Бекинг
[27] предложили теорию, основанную на так называемом «кор-
«корпускулярном подходе»; результаты измерений дробового шума
в транзисторах, которые показывали хорошее согласие с теори-
теорией ван-дер-Зила, были опубликованы Хансоном и ван-дер-Зи-
ван-дер-Зилом [9]; Гуггенбухл и Стратт [7] представили теоретические и
экспериментальные результаты исследований дробовых шумов
в полупроводниковых диодах и транзисторах с р—я-перехода-
ми; наконец Шнайдер и Стратт [18] показали, что в кремние-
кремниевых диодах и транзисторах присутствует шумовая компонента,

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 73
обусловленная генерацией и рекомбинацией носителей заряда
в обедненном слое. Прошло почти десятилетие после этих пос-
последних измерений до появления удовлетворительного объясне-
объяснения присутствия рекомбинационно-генерационной компоненты
шума. 'Лауритцен [10] предложил теорию, основанную на мо-
модели Холла —Шокли —Рида [8, 21] рекомбинации и генерации
носителей через центры с одиночным энергетическим уровнем в
запрещенной зоне полупроводника. Спектральный состав гене-
рационно-рекомбинационного шума, как правило, близок к
спектральному составу дробового шума, и Лауритцен подчерк-
подчеркнул тот факт, что выводы, полученные для шума в германие-
германиевых транзисторах, могут быть приложены и к кремниевым
транзисторам, если ввести небольшие поправки, учитывающие
изменение усиления при изменении тока смещения.
Ко времени опубликования работы Лауритцена технология
получения кремния была разработана достаточно хорошо и
кремниевые планарные транзисторы стали общедоступными.
Фолкнер и Хардинг [6] исследовали шумовые характеристики
случайных выборок таких транзисторов; они нашли, что мини-
минимальный коэффициент шума в диапазоне звуковых частот зна-
значительно лучше, чем 0,5 дБ. Битва за получение малошумящих
транзисторов, судя по всему, была выиграна.
Однако еще оставался актуальным для исследований во-
вопрос об избыточных шумах на низких и средних частотах. Этот
избыточный шум наблюдается в диодах с р—я-переходом, би-
биполярных транзисторах и интегральных схемах и состоит из
двух составляющих (помимо генерационно-рекомбинационного
шума), а именно l/f-шума и взрывного шума. 1//-шум обсужда-
обсуждается в гл. 6, а взрывной — в гл. 7, тогда как в этой главе основ-
основное внимание уделяется собственным шумам (включая генера-
ционно-рекомбинационный шум) в диодах и транзисторах с
р—/г-переходами.
Теория шумов в р—n-переходах была предложена Букинге-
мом и Фолкнером [1]; они сделали попытку согласовать шумо-
шумовые свойства приборов на р—n-переходах с известными физи-
физическими принципами функционирования этих приборов. В осно-
основе этой теории лежит механизм диффузии носителей электриче-
электрического заряда, возникающей за счет локальных флуктуации в
популяции носителей. В некотором отношении диффузионная
теория шума отличается от теории ван-дер-Зила [22, 23], в част-
частности в нее не включается аналогия с передающей линией,
хотя обе теории приводят в конце концов к одним и тем же
результатам. С другой стороны, так называемая «корпуску-
«корпускулярная теория» ван-дер-Зила и Бекинга [27], по-видимому, ис-
использует неправильное толкование шума, обусловленного про-
прохождением носителей заряда через обедненный слой, что про-

74 Глава 4
тиворечит диффузионной теории шума. В ответ на такое воз-
возражение ван-дер-Зил [25] заявил, что она «и должна быть ос-
основана на неправильном понимании», а затем в обзорной
статье ван-дер-Зил и Ченнет [28] привели формулировку «кор-
«корпускулярной теории» в основном так же, как,и в первых ра-
работах.
Ниже приводится изложение диффузионной теории. По мере
изложения обсуждаются принципиальные различия между диф-
диффузионной теорией и предыдущими теориями, причем упор
сделан на связь шумовых явлений с физикой р—я-переходов.
В этой связи отметим, что Робинсон [14] дал описание диффу-
диффузионной теории шума, в котором подчеркнул физическую значи-
значимость потоков носителей через переход.
4.2. Диффузионная теория шума
в р — ^-переходах
«Идеальным» диодом с р—я-переходом считают такой диод,
у которого генерационно-рекомбинационными эффектами в
обедненном слое и поверхностными эффектами можно прене-
пренебречь, а его вольт-амперная характеристика точно описывается
выражением Шокли [20]
[^) ] D.1)
где Id — выходной ток; Is — обратный ток насыщения; q — за-
заряд электрона, а V — приложенное напряжение. Шум в таком
диоде можно представить эквивалентным генератором тока,
включенным параллельно переходу, со спектральной плотностью
St И = 2? (/D+2/s) + 4fe0 (Gj-G0), D.2)
где Gj — проводимость перехода, а
D.3)
есть низкочастотное значение G/.
Формула D.2), которая соответствует выражению, полу-
полученному ван-дер-Зилом [22, 23] для шума в идеальном р—п-
переходе, обладает важными качествами: для низких частот при
больших прямых и обратных смещениях она сводится к выра-
выражениям для дробовых шумов 2qID и 2qls соответственно, а при
нулевом значении смещения (Id = 0)—к 4&G/, т. е. к выраже-
выражению Найквиста для спектральной плотности тепловых шумов,
справедливому для любого пассивного элемента с проводи-
проводимостью G/, находящегося в тепловом равновесии с окружающей
средой.

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах
75
Простым, но ошибочным объяснением выражения D.2) яв-
является следующее. Исходя из уравнения D.1), можно считать,
что имеются два тока, (Id + Is) и /s, текущие в противополож-
противоположных направлениях через переход и обусловленные генерацион-
но-рекомбинационными процессами неосновных носителей в
объемных областях. Если эти токи имеют независимые флук-
флуктуации, обусловленны дробовым шумом, то суммарный шум
будет равен 2q(lDJrIs)Jr2qIs^2q(ID + 2Is), который представля-
представляет собой низкочастотный член в правой части выражения D.2),
/-Ро
1
X
W
Обедненный
слой
х-
о
Рис. 4.1. Токи h и 1r для р+—я-перехода.
Следует подчеркнуть, что такой довод является некорректным;
он не вскрывает механизма, который действительно обусловли-
обусловливает генерирование шума, и, как отмечено ван-дер-Зилом [22],
этот факт приводит к правильным результатам чисто случайно.
[На самом деле результат является правильным лишь частично,
так как не включает в себя высокочастотный член, который
присутствует в выражении D.2).]
Согласно теории р—/г-перехода, разработанной Шокли [20],
токи, которые текут через переход (они обозначены буквами
If и Ir на рис. 4.1), значительно больше, чем выходной ток, и
превышают его на множитель, примерно равный отношению
длины диффузии к средней длине свободного пробега. Выход-
Выходной ток ID есть разность между h и IRi и ее величина относи-
относительно IF и Ir столь мала, что при расчетах распределений но-
носителей через переход ее, как правило, полагают равной нулю.
При прямом смещении это соответствует предположению, что
квазиуровни Ферми остаются постоянными в области обеднен-
обедненного слоя и разделяются при приложении напряжения.
Роль этих больших потоков носителей электрического за-
заряда через переход состоит в ^поддержании .равновесия между

76 Глава 4 _
популяциями основных носителей по одну сторону от области
перехода и неосновных носителей по другую сторону. Поток
основных носителей состоит из тех носителей, которые попада-
попадают в переход за счет их случайного движения в объеме мате-
материала и обладают достаточной энергией, чтобы пересечь его;
тогда как поток неосновных носителей в противоположном на-
направлении состоит из всех неосновных носителей, которые по-
попадают на переход за счет их случайного движения в объеме
материала. Для определения If и Ir можно использовать аргу-
аргументацию аналогичную той, которая используется в кинетиче-
кинетической теории газов для вычисления давления идеального газа.
Для одномерного р+—я-перехода, в котором потоком электро-
электронов можно пренебречь, имеем
(qpnDA/lf)exP(qV/kQ)) D 4)
DAl Г
где А — площадь перехода; V — напряжение смещения; D —
коэффициент диффузии дырок; рп — равновесная концентрация
дырок в я-области перехода, a If — средняя длина свободного
пробега. Концентрация дырок р0 соответствует плотности дырок
в плоскости #=0 (рис. 4.1), представляющей границу обеднен-
обедненного слоя со стороны я-области р—я-перехода. В теории
р—я-перехода обычно считают, что ро связано с напряжением
смещения V следующим точным соотношением:
Ро = Р*ехр(#//Ю). D.5)
Уравнение D.5) является выражением равновесия, которое
имеет место между концентрациями дырок по любую сторону
переходной области. Однако из уравнений D.4) и D.5) легко
видеть, что если в цепи течет ток Id — If—Ir, to выражение
D.5) не является абсолютно точным и V следует заменить на
V"—ДУ, где &V<^kQ/q. Разлагая Ir в ряд и ограничиваясь пер-
первым порядком по ДУ, из уравнения D.4) находим
AV/ID = kQ/qIF. D.6)
Отношение в выражении D.6) можно интерпретировать как
последовательное сопротивление, подключенное к переходу,
значение которого, а именно kQ/q!Fi намного меньше, чем низко-
низкочастотное дифференциальное сопротивление перехода, которое
равно kQ/q(ID+Is). Это эффективное последовательное сопро-
сопротивление описывает тот релаксационный механизм, за счет ко-
которого сохраняется статистическое равновесие при переходе но-
носителей через обедненный слой. Оно мало настолько, что при
расчете полного сопротивления им обычно пренебрегают.

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 77
Недавно было показано [1], что'шум, обусловленный носи-
носителями, пересекающими обедненный слой, точно равен тепло*
вому шуму в этом эффективном последовательном сопротивле-
сопротивлении. Будучи достаточно малым, данное сопротивление вносит и
пропорционально малый вклад в тепловой шум, который в свою
очередь является незначительным по сравнению с полным соб-
собственным шумом прибора. Отсюда ясно, что дробовой шум,
связанный с потоками носителей, проходящих через переход, не
является механизмом, определяющим шум диодов с р—я-пере-
ходами. Такое заключение можно сделать, если рассмотреть
приведенный в приложении 4 анализ шума, связанного с носи-
носителями, проходящими через обедненный слой, и в который для
сравнения включена и интерпретация корпускулярной теории
ван-дер-Зила и Бекинга [27].
Два механизма обусловливают шум, описываемый выраже-
выражением D.2), а именно тепловые флуктуации в потоке неосновных
носителей и рекомбинация неосновных носителей, и имеют ме-
место в объемных областях, граничащих с обедненным слоем. На
первый взгляд может показаться странным, что флуктуации
выходного тока составляющими которого являются диффузион-
диффузионные токи неосновных носителей в двух плоскостях, ограничи-
ограничивающих обедненный слой, могут проявляться в областях при-
прибора вне перехода. Объяснение этой кажущейся аномалии свя-
связано с механизмом релаксации неосновных носителей, за счет
которого после возмущения в распределении неосновных носи-
носителей восстанавливается статистическое равновесное состояние.
В областях, далеких от перехода, за счет релаксации неоснов-
неосновных носителей потока во внешней цепи не создается, так как
он полностью скомпенсирован потоком основных носителей.
(Рассмотрение процесса релаксации основных носителей, про-
проведенное в разд. 2.8, показывает, что он вносит вклад в тепло-
тепловой шум объемного сопротивления прибора, которым мы пре-
пренебрегаем по сравнению с дифференциальным сопротивлением
перехода.) Но вблизи перехода возмущение в распределении
неосновных носителей приводит к изменению градиента распре-
распределения на границе обедненного слоя; это означает, что в дан-
данном случае релаксация неосновных носителей также вызывает
поток через переход, приводя к подъему сопутствующего пото-
потока заряда в цепи. Вклады в этот внешний поток от всех возму-
возмущений в концентрации неосновных носителей в объеме мате-
материала проявляют себя как наблюдаемый шум выходного тока.
При следующем рассмотрении мы проведем более деталь-
детальный анализ этих двух компонент шума перехода. Так как от-
отдельное рассмотрение поведения дырок в я-области и электро-
электронов в р-области приводит к излишнему дублированию в рас-
рассуждениях, то мы рассмотрим р+—/г-переход, в котором ток оп-

78
Глава 4
ределяется только дырочной компонентой. Обобщение изложен-
изложенного на общий случай в большей или в меньшей степени сим-
симметричных переходов очевидно, и в обоих случаях результаты
имеют абсолютно одинаковую форму. Рассмотрение будем про-
проводить для одномерной модели перехода, представленной на
рис. 4.2; кроме того, пренебрегаем падением потенциала в
объемных областях. Генератор напряжения, показанный на
этом рисунке, обеспечивает напряжение V на контактах прибо-
p*
»_ /7
Id
Обедненный
слой
О
Рис. 4.2. Одномерная модель р+—/z-перехода (масштаб не выдержан).
Рассматриваемое событие имеет место в плоскости, перпендикулярной оси х и проходя-
проходящей через х=х'.
ра, которое приводит к увеличению определяемой выражением
D.5) концентрации дырок в плоскости #=0. На другой границе
я-области при x=W концентрация дырок поддерживается рав-
равной pw либо с помощью контакта с металлом, либо еще одним
переходом. Важно отметить, что величины р0 и pw поддержива-
поддерживаются постоянными и что флуктуации неосновных носителей
имеют место только внутри я-области и не имеют места на гра-
границах при #=0 и х= W.
4.2.1. Тепловые флуктуации потока
неосновных носителей
Тепловое движение неосновных носителей в n-области яв-
является причиной отклонения от равновесного распределения ды-
дырок. Это приводит к появлению релаксационных дырочных то-
токов через переход и внутри объема материала, вследствие чего
имеется тенденция возвращения распределения дырок к невоз-
невозмущенной форме. Эти релаксационные токи мы сейчас и рас-
рассмотрим. Метод, который нами будет использован, аналогичен
анализу Ланжевена для теплового тока, основанному на дово-

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах
79
Расстояние
-разделения -I.
дах, включающих релаксацию основных носителей: в нашем
случае импульс выходного тока одного неосновного носителя
вычисляется в предположении, что суммарный шум можно пред-
представить как случайную суперпозицию таких импульсов.
Рассмотрим единичное «начальное» действие, заключаю-
заключающееся в перемещении неосновного носителя на длину свободно-
свободного пробега If в точку х = х'.
Это перемещение вызывает
возмущение в распределе- Р*
нии неосновных носителей,
как показано на рис. 4.3, а,
где // характеризует откло-
отклонение от равновесного состо-
состояния концентрации дырок.
Так как условия на грани-
границах не меняются, то значе-
значение рг на любом конце п-
области есть нуль, хотя во
всех других местах р' рас-
распределено таким образом,
что соответствует избыточ-
избыточной концентрации р\ при
х=х' и р2 при x=x'-\-lf.
Это начальное действие
эквивалентно току q6(t), те- О
кущему справа налево (рис.
4.3, а) на расстоянии дли-
длиной If. Релаксация неоснов-
l/
1
1 /
c 2
I/
V
w
a — отклонение от равновесного распределения
концентрации носителей за счет единичного
действия неосновного носителя при его пере-
перемещении на расстояние, равное длине свобод-
свободного пробега lf, в точку #=*'; б — соответст-
соответствующие релаксационные токи.
Рис. 4.З.
ных носителей, которая сле-
следует за этим начальным дей-
действием, осуществляется глав-
главным образом за счет взаим-
взаимно противоположных токов
Vт>\ и VD2 и, кроме того, за счет токов i\ и i2', направленнх к
х = 0 и x=W, соответственно (рис. 4.3,6). Эти токи и токи на
границах находятся из решения зависящего от времени уравне-
уравнения диффузии [20] для р' для трех областей, показанных на
рис. 4.3, б и подстановки этих решений в уравнение
i = —qDAdpldxy D.7)
которое затем вычисляется при соответствующем значении х.
Зависящее от времени уравнение диффузии имеет вид
дР (Р — Рп) | д2р
dt тт? "*"" дх2
D.8а)
где тд — время жизни дырок в я-области. После выполнения

80 Глава 4
преобразования Фурье и исключения неизменяющейся компо-
компоненты р получаем
*?LM P'W во, D.86)
где
L = [DxRl(\ +/сот^)]^2 = Lo A +/сот^)-1/2, D.9)
и Lo = yDT# — низкочастотная диффузионная длина. Для удоб-
удобства далее запишем зависящий от частоты член этого выраже-
выражения в виде
A+/сот^2 = (а+/Ь), D.10а)
где
D.106)
На языке преобразования Фурье обратные токи irв\ и 1'въ
получаемые из уравнений D.7) и D.8), имеют вид
- D.П6)
Принимая во внимание, что для интересующего нас спектра
частот |/f/L|<Cl, легко показать, что
^i (M—P2 (Ml D.12)
Потоки i\ и if2, исходящие из области, в которой произошло
рассматриваемое нами событие, подобным же образом можно
получить из уравнений D.7) и D.8), а именно
V (/©) = -АК (/со) р/ (/со), D.1 За)
и
D.13)
где
D.14а)
D.146)

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 8t
Так как не может происходить накапливания заряда в лю-
любой точке я-области, то должна иметь место токовая непрерыв-
непрерывность в точках х=х' и x=x' + lf. В терминологии преобразова-
преобразования это можно выразить следующими условиями:
W (/©) +i'd (/«>)-?= *Y (И + i'd (/(о)-<7 = 0, D.15)
и, если использовать эти выражения в сочетании с уравнения-
уравнениями D.12) и D.13) и вспомнить, что \ki\ и \k2\ значительна
меньше, чем qD/lf, можно получить
Далее нас в первую очередь интересуют токи /0 и iw через
границы я-области. Их можно определить из решения завися-
зависящего от времени уравнения диффузии совместно с уравнения-
уравнениями D.13) и D.16):
4 Ъ"' DЛ7а>
где
W = -Akw (/со) Ря' (/со) = +-i -jbtZL- D.176)
k0 = gD/L cosech (x?/L), D.18а>
kw = 9i5/L cosech [(U7—х')Щ. D.186)
Уравнения D.17) являются преобразованиями Фурье токового
импульса, возникающего на границах за счет единственного
события с неосновным носителем в я-области. (Следует отме-
отметить, что знаки таковы, что токи в я-области являются положи-
положительными.) Спектральные распределения флуктуации на грани-
границах, обусловленные случайной последовательностью событий
на элементе длины Ах' в я-области, согласно теореме Карсона,
имеют вид [см. разд. 2,6, уравнение B.41I
АрА
k0k2
D.19а)
Ax', D.196)
где неявно подразумевается, что все рассматриваемые события

Глава 4
являются независимыми. При получении уравнений D.19) мы
использовали среднее число случаев в секунду как pAAx'/xf,
а из уравнения B.57)—условие D = \xkQ/q = lf2/2xf. Интегрируя
эти уравнения, получим выражения
w
12 dx D.20а)
k0k2
4Л
w
dx
D.206)
для спектра флуктуации тока на границе, обусловленных всеми
^событиями в я-области.
Сейчас мы не будем давать оценки интегралам в уравнени-
уравнениях D.20), но через некоторое время мы возвратимся к ним при
рассмотрении полных шумов в идеальном диоде. Однако важ-
важность этих двух выражений следует иметь в виду.
Из уравнения D.16) легко видеть, что скорее тепловое дви-
движение, а не флуктуации в концентрации носителей вызывает
ток через материал. Наряду с этим, очевидно, можно сказать,
что имеют место флуктуации и разности Ap(t) концентраций но-
носителей в плоскостях х=х' и х = х' + &х'9 для которых из выра-
выражений D.13) и D.16) имеем
D.21)
при Ах', стремящемся к нулю.
Похожая, но не идентичная уравнению D.21) формула была
выведена ван-дер-Зилом [22] из рассмотрения, основанного на
использовании аналогии с передающей линией. В его рассмот-
рассмотрении в левой части соответствующего уравнения находилось
значение среднего квадрата (которое было выражено через
преобразование) самой концентрации носителей в плоскости
х=х'. Согласовать формулировки ван-дер-Зила и анализ, осно-
основанный на рассмотрении процессов диффузии, трудно, так как
яз последнего следует, что среднеквадратичные флуктуации в
концентрации неосновных носителей в любой точке /г-области
можно получить, только проводя интегрирование по всей этой
области и учитывая граничные условия при # = 0 и x=W. Ре-
Результатом же такого интегрирования является функция от W и
концентраций на границах р0 и pw, которые не входят в правую
часть уравнения D.21).

Собственный шум в диодах на р— п-переходах и транзисторах
83-
4.2.2. Генерационно-рекомбинационный шум
в объемной области
При акте рекомбинации или генерации не возникает измене-
изменения в общем распределении заряда и, следовательно, отсутству-
отсутствует релаксационный процесс основных носителей. Однако имеет
место возмущение в распределении неосновных носителей, ко-
которое рассасывается потоками
неосновных носителей, направ-
направленных от места возмущения. Р'
Возмущение, или начальное
действие, — это мгновенное по-
появление (или исчезновение) не-
неосновного носителя, которое
эквивалентно потоку qd(t) «ни-
«ниоткуда» в плоскости хт. Это
вызывает отклонение от невоз-
невозмущенного распределения ды-
дырок, как это показано на рис.
4.4, а для случая генерации
дырки. На рис. 4.4,6 представ-
представлены токи неосновных носите-
носителей ix" и г2", которые как ре-
результат начального действия
текут к границам # = 0 и x=W
соответственно. Эти токи име-
имеют вид
ix" (/со) = -Ak± (/со) р" (/со) D.22а)
и
Рис. 4.4.
12 \№) = -™2 (/W) Р и^7> D.ZZO) а —отклонение от равновесной концентра-
концентрации неосновных носителей, обусловленное
ГДе Г)" — ИЗбЫТОЧНаЯ КОНЦеН- актом рекомбинации в плоскости х—х'\ б —
г . соответствующие релаксационные токи.
трация дырок в точке х = х.
Как и уравнения D.13), эти
выражения получаются из зависимого от времени уравнения
диффузии. Поскольку накапливание заряда в материале невоз-
невозможно, то должно выполняться условие непрерывности тока в
точке х = х', которое требует, чтобы
к" (/<°) — h" (/«>) + 9-0. D.23)
Найденная из приведенных выше трех уравнений избыточная
концентрация дырок при х=х' описывается формулой
р" (/со) = q/A {kx -j- k2), D.24)
и применяя метод, аналогичный использованному при получе-
получении уравнения D.17), имеем для потока неосновных носителей

Глава 4
через границы
и
лк •
Р" W = -
D.25а)
D.256)
Как и в уравнениях D.17), знаки в уравнениях D.25) выбира-
выбираются, исходя из условия, что токи, текущие в я-области, явля-
являются положительными.
Если xr — время жизни неосновных носителей в я-области, то
число случаев рекомбинации за секунду в элементе объема
ААх' составляет pAAx'/xr, а число случаев генерации за то же
время — РпААх''/xr, которое конечно равно скорости рекомби-
рекомбинации, когда р принимает равновесное значение рп. Когда эти
скорости рекомбинации и генерации и уравнения D.25) под-
подставляются в уравнение Карсона, можно получить спектраль-
спектральные плотности шумовых токов на границах элемента длиной Ах'
AS"iW (со) =
j-т __ 2 (p + pn
Ах\
Ax'.
D.26a)
D.266)
Полную величину рекомбинационно-генерационного шума полу-
получают интегрированием этих выражений по всей области
w
2дЧ
f
w
dx',
dx'.
D.27a)
D.276)
4.2.3. Полный шум перехода
Спектральные плотности полного шума на границах идеаль-
идеального диода представляют собой суммы выражений D.20) и
<4.27)
D.28а)
D.286)
Непосредственное суммирование спектральных плотностей в
этом случае возможно, так как тепловые токи и токи, обуслов-

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах
85
ленные генерационно-рекомбинационными актами, являются не-
независимыми.
Шумовой ток во внешней цепи идеального диода эквива-
эквивалентен шумовому току неосновных носителей в плоскости х=0,
т. е. его спектральная плотность определяется уравнением
D.28а). Шум при x=W, задаваемый выражением D.286), в об-
общем не тот же самый; различие связано с потоком основных
носителей через контакт.
Вообще говоря, подынтегральные выражения в уравнениях
D.28) включают в себя комбинации гиперболических функций,
что делает интегрирование трудоемким и не очень благодарным
занятием. Поэтому мы вместо расчета этих спектральных плот-
плотностей шума в общем случае рассмотрим два частных случая,
имеющих важное прикладное значение, а именно случаи длин-
длинного (W^L0) и короткого (№<CL0) диодов.
4.2.4. Длинный диод
Найденный из уравнений D.20а), D.27а) и D.28а) полный
шум в таком диоде описывается формулой
оо
J (P + Pn)
ki + Ъ
dx\ D.29)
где верхний предел интегрирования — бесконечность отвечает
условию №>L0. Распределение дырок в широкой /г-области,
получаемое из решения уравнения диффузии, имеет вид экспо-
экспоненциального затухания
(Р—Рп) = (А>—рп) ехР (—*7L0), D.30а)
и, кроме того, в соответствии с определением ^-функций остав*
шиеся и зависящие от координаты члены в подынтегральных
выражениях уравнения D.29) можно также выразить как зату-
затухающие экспоненты
D.306)
=exp(-A;7L).
fo + y D.30b)
После подстановки этих трех выражений в уравнение D.29) и

86^ Глава 4
интегрирования можно получить спектральную плотность шума
в виде
, 2q*AD I (ро — Рп) , _Рп_ ]
"Г Lo [ Ba+1) "Г а ]•
где а и b — зависящие от частоты члены, определяемые уравне-
уравнениями D.10).
Далее, постоянный ток во внешней цепи длинного диода,
получаемый из уравнения диффузии, описывается выражением
а обратный ток насыщения — выражением
h-^-Pn- D.326)
Низкочастотная проводимость перехода, выраженная через Id
и Is, имеет вид
C0 = ^-(/d+/s), D.33а)
а определенная из зависящего от времени уравнения диффузии
проводимость перехода — вид
Gj = aG0. D.336)
Комбинируя уравнения D.32) и D.33) с D.31) после выпол-
выполнения нескольких простых алгебраических преобразований и
имея в виду, что Ь2 = а2—1, получим
Si0 (со) = 2? (ID+2Q + 4kQ (Gj-G0). D.34)
Это — выражение ван-дер-Зила для полных шумов идеального
диода. Здесь мы его получили для частного случая длинного
диода, однако можно показать [1],, что такой же результат
имеет место и в общем случае, т. е. когда отношение W/Lo ко-
конечно. При этом вычисление является весьма утонченным, хотя
интегралы берутся сравнительно легко, но приводят к длинным
алгебраическим выражениям, которые в весьма малой степени
способствуют пониманию задачи и которые в конце концов сво-
сводятся к тому же выражению D.34).

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 87
4.2.5. Короткий диод
Шум в коротком диоде сам по себе не имеет какого-то осо-
особого практического значения. Тем не менее вопрос представля-
представляется важным, так как в биполярных транзисторах область базы
является очень узкой по сравнению с длиной диффузии неос-
неосновных носителей. Конечно, имеется разница между тем, что
происходит в триоде и диоде. В диоде металлический контакт
обеспечивает граничное условие p = Pw при x=W и, кроме то-
того, является источником основных носителей для нейтрализации
потенциалов в я-области. Эти две функции в транзисторе раз-
разделены между коллекторным переходом, который обеспечива-
обеспечивает необходимые условия на границе, и контактом с базой, че-
через который инжектируются основные носители. Но механизмы
возникновения шума в этих двух случаях идентичны, и поэтому
если рассмотреть такой процесс в коротком диоде, то можно
сделать определенные выводы и о шумовых свойствах транзи-
транзисторов.
Сначала рассмотрим генерационно-рекомбинационный шум
в таком диоде. При низких частотах, когда эффекты, связанные
с накоплением заряда, незначительны и условие Т^<С|^| вы-
выполняется, легко показать, что
-ж (I—x'/W) D.35а)
4гГГ~*'ЛР D.356)
откуда следует, что выходящий поток неосновных носителей,
обусловленный единичным актом рекомбинации или генерации,
который описывается уравнением D.25), имеет вид
/0" (/а>) ^ -q A —x'/W) D.36a)
и
i"w(j(d)~—qx'/W. D.366)
Эти уравнения показывают, что полный поток, связанный с од-
одним актом, эквивалентен одному заряду носителя, как обычно и
считают. Этот выходящий поток вызывает отклонение от равно-
равновесия, которое восстанавливается потоком q основных носите-
носителей, протекающим через металлический контакт в случае дио-
диода или через базовый контакт в случае триода. Отсюда сразу
же следует, что, если сот/?<С1, составляющая тока базы, возни-
возникающая за счет генерационно-рекомбинационных процессов,
вызывает дробовой шум.

88 Глава 4
Для современных транзисторов с большими коэффициента-
коэффициентами усиления влиянием рекомбинации в объемной области на
эмитерно-коллекторныи токовый шум можно обычно пренебречь.
И шум в этом случае целиком обусловлен тепловыми флуктуа-
циями в потоке неосновных носителей (мы предполагаем, что
имеем дело с идеальным прибором, у которого рекомбинация в
обедненном слое несущественна). Для этого случая мы можем
еще раз использовать низкочастотное условие W<C|L|, чтобы
получить выражение
из которого следует, что
W
D.38)
Очевидно, в этом случае спектральная плотность флуктуации
тока при #=0 и x=iW одинакова, что (как мы уже отмечали)
справедливо не всегда; различие объясняется потоком основ-
основных носителей при x=W.
Интегрирование выражения для распределения концентра-
концентрации дырок в уравнении D.38) в этом случае не представляет
трудности, так как величина р линейно зависит от координаты:
когда W<^Lq, to из уравнения диффузии имеем
P = Po-(Po-Pw)(x'/W). D.39>
Интеграл от этого выражения, взятый по /г-области, равен
{po+Pw)/2, и из уравнения D.38) следует
SiQ (со) - SiW (со) - ^- (po+pw), D.40a>
или, записывая по-другому через диффузионный ток Id,
D.406)
С целью проверки выражения D.40а) легко показать, что при
pw=pn его правая часть равна независимому от частоты члену
в выражении D.34), как и следовало ожидать.
В биполярных транзисторах с обратно смещенным коллек-
коллекторным переходом концентрация pw неосновных носителей в
точке x=W равна нулю. Легко видеть из уравнения D.406)>
что в этом случае шум при x=W является просто дробовым
шумом, .-обусловленным током коллектора. Этот вывод, очевид-
очевидно, имеет ясный физический смысл, так как он следует из факта

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 89
допущения независимости движения носителей через коллек-
коллекторный переход. Другой интересный аспект выражения D.406)
состоит в том, что оно правильно описывает высокий уровень
шума транзистора в режиме насыщения, когда pw~po.
4.2.6. Итоговые комментарии
Физическими механизмами, обусловливающими шумовые
свойства идеальных р—я-переходов, являются тепловые флук-
флуктуации потока неосновных носителей и акты рекомбинации и
генерации носителей в объемной области. Оба этих процесса
вызывают возмущения в распределении неосновных носителей,
а они приводят к появлению диффузионных токов через объем
материала, которые приводят к установлению равновесного рас-
распределения, существовавшего до этих возмущений. Полная
флуктуация диффузионного тока неосновных носителей на гра-
границе обедненной области, обусловленная всеми этими единич-
единичными событиями по всей объемной области, определяет шум
тока Id в цепи.
Такое описание шума р—/г-перехода отличается от общепри-
общепринятой точки зрения, когда полагают, что имеются два независи-
независимых между собой тока Id + Is и /<?, текущих в противоположных
направлениях через обедненный слой, каждый из которых дает
свой вклад в полный дробовой шум. На самом деле токи, теку-
текущие через переход, не Id + Is и /<?, a h и IR, каждый из которых
существенно больше, чем Id или /<?; a Id равен только сравни-
сравнительно небольшой разнице между If и Ir. В отсутствие напря-
напряжения смещения эти большие токи определяются только кон-
концентрацией носителей на каждой стороне обедненного слоя.
В противоположность этому значения ID и Is, являющиеся
функциями геометрии области базы и времени жизни носите-
носителей т/?, определяются скоростью, с которой носители диффун-
диффундируют через объем материала. Так что именно диффузия и
есть тот механизм, который определяет ID, а согласно данной
теории шума, она также и является механизмом, определяю-
определяющим флуктуации у Id. Как отмечено Робинсоном [14], дробо-
дробовой шум у IF и Ir незначителен, что связано с интенсивным про-
процессом выравнивания, при котором накопление заряда на каж-
каждой стороне перехода меняет электрическое поле вдоль обед-
обедненного слоя, которое в свою очередь сводит к нулю флуктуа-
флуктуации во внешней цепи (см. приложение 4).
Диффузионная теория шума р—я-переходов приводит к точ-
точно такому же выражению для спектральной плотности флуктуа-
флуктуации тока, как и теория ван-дер-Зила, основанная на аналогии
с передающей линией. Согласие экспериментальных данных с
результатами теории ван-дер-Зила является веским доводом,

90 Глава 4
а именно это и составляет необходимую предпосылку для лю-
любой удовлетворительной теории шума. Достоинство диффузион-
диффузионной теории состоит в том, что она дает возможность описать
флуктуации в соответствии с общепринятой физической карти-
картиной функционирования р—/г-переходов, а не при произвольных
допущениях, так как это сделано в теории ван-дер-Зила и Бе-
кинга [27] относительно природы токов, текущих через обед-
обедненный слой.
4.3. Шум, обусловленный рекомбинацией
носителей в обедненном слое
Вольт-амперные характеристики большинства германиевых
диодов на р—/г-переходах показывают хорошее согласие с фор-
формулой Шокли для идеального диода [уравнение D.1)]. Ноэто
не всегда так для случая кремниевых диодов при комнатной
температуре, отступление от характеристик «идеального» диода
связано с наличием генерации и рекомбинации носителей в
обедненном слое. Статистика генерационно-рекомбинационных
процессов через центры с одиночным энергетическим уровнем в
запрещенной энергетической зоне для полупроводниковых ма-
материалов была развита Холлом [8], Шокли и Ридом [21] и в
настоящее время подобные центры общепринято называть как
ХШР-центры. Этот статистический подход был использован Са-
хом, Нойсом и Шокли [17] в качестве основы для получения
отношения ток — напряжение для кремниевых р—/г-переходов.
Эта теория показала, что в таких приборах в достаточно широ-
широком диапазоне напряжений смещения и температуры состав-
составляющая постоянного тока во внешней цепи, обусловленная ак-
актами рекомбинации и генерации носителей в обедненном слое,
доминирует над диффузионной составляющей.
По всей вероятности, флуктуации рекомбинационного тока
нельзя объяснить в терминах диффузионной теории, которая
была рассмотрена в разд. 4.2. На раннем этапе развития техно-
технологии кремния было выполнено несколько экспериментальных
и теоретических исследований, посвященных рекомбинацион-
ным шумам, которые обусловлены обедненной областью [2, 3,
18, 24], однако сколько-нибудь удовлетворительной теории этого
явления в то время не было предложено, да и эксперименталь-
экспериментальные данные не давали однозначных результатов. Ситуация в
значительной мере прояснилась после того, как Скотт и Стратт
[19] опубликовали результаты своих измерений генерационного
шума в обедненном слое обратно смещенного кремниевого дио-
диода с большой площадью поверхности, предназначенного для де-
детектирования ядерных излучений. Они нашли, что этот шум со-

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 91
ставляет две трети от полного дробового шума для частот в
диапазоне 28—91,2 кГц. Вскоре после этой работы Лауритцен
[10] опубликовал работу по общей теории, основанной на ста-
статистике ХШР-центров, для оценки флуктуации тока, связанных
с генерационно-рекомбинационными центрами с одиночным
энергетическим уровнем, при прямом и обратном смещениях
р—я-перехода. Для переходов, смещенных в обратном направ-
направлении, он получил для случая высоких частот значение две
трети дробового шума, что согласовывалось с измерениями
Скотта и Стратта, а для низких частот и при существенном раз-
различии коэффициентов эмиссии дырок и электронов (случай, ко-
который, очевидно, часто реализуется на практике) он предсказал
полный дробовой шум. При прямом смещении переходов Лау-
Лауритцен показал, что уровень этого шума на низких частотах
всегда находится между тремя четвертями и полным значением
дробового шума. Естественный вывод из этих результатов со-
состоял в следующем: рекомбинационно-генерационный шум
обедненного слоя не является сильно зависящим от напряже-
напряжения смещения или частоты; его величина всегда лежит между
половиной и полным значением дробового шума диода.
4.3.1. Механизм шума
При диффундировании носителей из той или другой объем-
объемной области в обедненную область имеет место один из трех
процессов. Носитель может пересечь обедненный слой и выйти
из этого объема с другой стороны, в таком случае этот носитель
является одним из тех, которые образуют поток пересекающих
обедненный слой носителей; этот случай рассмотрен в разд. 4.2
и приложении 4; или он может войти в обедненный слой, не
имея достаточной энергии для того, чтобы его пересечь, т. е.
просто возвратиться туда, откуда он пришел, давая суммарный
ток во внешней цепи, равный нулю за масштаб времени, харак-
характерный для полупроводниковых приборов. Наконец, носитель
может попасть на ХШР-центр внутри обедненного слоя, где он
будет оставаться то время, которое определяется динамически-
динамическими свойствами этого центра. В последнем случае это приведет
к импульсу тока во внешней цепи, а сумма таких импульсов от
всех центров, находящихся в обедненном слое, образует реком-
бинационный ток в этой цепи. Этот ток состоит из стационарной
составляющей, на которую накладываются распределенные по
случайному закону рекомбинационные флуктуации. Таким же
образом, когда имеет место акт генерации на таком центре, ге-
генерированный носитель проходит через обедненную область под
действием электрического поля в объемную область, где он уже
выступает в качестве основного носителя. Токовый импульс

92
Глава 4
(противоположный по знаку тому, который возникает при ак-
актах рекомбинации) генерируется во внешней цепи и сумма та-
таких импульсов представляет собой генерационный ток цепи.
Этот ток также состоит из стационарной составляющей и на-
наложенных на нее распределенных по случайному закону гене-
генерационных флуктуации [29].
Прохождение дырки между р-областью и ХШР-центром, ло-
локализованным в точке х (рис. 4.5), приводит к переносу заряда
i Область ,
П перехода п
о-область
- Потенциал
п-область
W
-Место-
-Местонахождение
Рис. 4.5. Эскиз одиночного ХШР-центра рекомбинации П, который находит-
находится в плоскости, соответствующей координате х, для случая одномерной об-
области перехода.
во внешней цепи, эквивалентному qn(x)\ в свою очередь про-
прохождение электрона между /г-областью и тем же самым цент-
центром приводит к переносу заряда по внешней цепи, эквивалент-
эквивалентному qn(x). Поэтому можно записать
Ч == Чп (.х)~\~q (х). D.41)
Легко показать, что
D.42а)
w
D.426)
где W к Vw — ширина и падение потенциала области перехода

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 9$
соответственно: Е(х) —напряженность электрического поля
внутри этой же области, a Vx — потенциал в точке х. Если счи-
считать, что время прохождения носителей бесконечно мало, то*
токи во внешней цепи, связанные с qp и qn, можно записать в*
виде
1р (х, t) = qp8(t-tp) = q-fa 6 (t-tp) D.43a>
(t-tn), D.436>
где tp и tn — времена прохождения электронов и дырок.
Единичные ХШР-центры, через которые идут процессы ре-
рекомбинации и генерации, могут существовать в двух зарядовых
состояниях. Средние значения времени нахождения центра в;
каждом из таких состояний не равновероятны, состояние с боль-
большим значением заряда будет менее вероятным из-за кулонов-
ских взаимодействий с зарядами противоположного знака
(предполагается достаточно большое количество носителей обо-
обоих знаков). Следовательно, при подаче прямого напряжения:
смещения центр, который может существовать в нейтральном
или отрицательно заряженном состоянии, будет находиться ос-
основное время в нейтральном состоянии, потому что вслед за:
захватом электрона, который должен перевести центр в отри-
отрицательно заряженное состояние, почти мгновенно будет следо-
вать захват дырки, которая возвращает центр в нейтральное
состояние; в нем, вероятно, центр будет находиться сравни-
сравнительно длительное время до тех пор, пока не произойдет сле-
следующий захват электрона. Подобная асимметрия в сечении за-
захвата центра означает, что на низких (по сравнению с обрат-
обратным значением времени нахождения в менее вероятном состоя-
состоянии) частотах прохождения дырок и электронов, приводящих,
к токам, описываемым уравнениями D.43), могут рассматри-
рассматриваться как одновременные события и вместо пары независимых
токовых импульсов для каждого полного цикла рекомбинации,,
имеется только один, который определяется как
i (х, f) = ip (x, t) + in (x, t) = 78 @, D.44>
где мы полагаем tp=in=0. Подобные доводы справедливы и
для процесса генерации носителей, так как было бы странно,,
если бы коэффициенты эмиссии дырок и электронов центра бы-
были бы одинаковыми или очень похожими.
Допустим теперь, что скорости рекомбинации и генерации
на единицу объема в точке х в обедненном слое соответствуют
R(x) и G(x). Тогда токи, обусловленные рекомбинацией и гене-

*94 Глава 4
рацией на ХШР-центрах, находящихся в переходной области,
описываются уравнениями
w
D.45а)
D.456)
где А — площадь перехода. Из уравнения D.44) в сочетании с
теоремой Карсона спектральные плотности рекомбинационного
и генерационного шума имеют вид
w
о
W
= 2q2A Г R (x) dx D.46а)
w
SR (со) = 2q2A Г G (x) dx, D.466)
о
где интегрирование по х дает вклад в шум от всех областей
обедненного слоя. В уравнениях D.46) неявно предполагается,
что ХШР-центры действуют независимо друг от друга, что,
очевидно, справедливо в том случае, когда их концентрация не
¦ очень велика [16]. Из уравнений D.45) и D.46) легко видеть,
что
D.47а)
D.476)
Следовательно, на низких частотах, таких, что выполняется
уравнение D.44), рекомбинационный ток при прямом смеще-
смещении и генерационный ток при обратном смещении показывают
полный дробовой шум.
При нулевом смещении и, кроме того, для низких частот,
>когда можно использовать уравнение D.44), спектральная
плотность этого шума описывается выражением
W
S0(co) = 2q2A Г [Ro (x) + G0 (x)] dx, D.48)
о
!где Ro(x) и G0(x) — равновесные скорости рекомбинации и ге-

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 95
нерации, которые конечно одинаковы. Теперь для проводимо-
проводимости перехода имеем
д1
v=o
ov
V=0
dx, D.49>
где, согласно теории Холла — Шокли — Рида, суммарная ско-
скорость процесса имеет вид
В этом выражении р\, п\, хр и тп—обычные обозначения, оп-
определенные Шокли и Ридом. Дифференцируя выражение D.50)
по напряжению (имея в виду, что pn = n2iexp(qV/kQ) в преде-
пределах обедненного слоя) и устремляя V—ИЗ, из уравнения D.49),
находим
w
Из уравнения D.48) следует, что
Sju) = mGRG, D.52)-
именно такое значение и ожидалось для спектральной плотно-
плотности равновесные шумов, так как правая часть уравнения D.52)
есть точное выражение Найквиста для теплового шума при про-
проводимости GRG-
На частотах, более высоких, чем обратная величина сред-
среднего времени жизни менее вероятного состояния центра, им-
импульсы тока в уравнении D.43) можно рассматривать как не-
независимые, случайные события. В этом случае уравнением
D.44) воспользоваться нельзя и вместо уравнения D.46) имеем
w
SJ&) = 2A jR (х) (?„•+V)dx D.53а>
о
W
57Й = 2А jG (х) (<7„2Н-<7Р2)dx. D.536).
о
В случае больших значений обратного напряжения смеще-
смещения носители «высасываются» из переходной области, так что
ржпжО для всех х и скорость генерации, согласно уравнению^

•96 Глава 4
D.50), принимает вид
D.54)
т. е. не зависит от х. Поэтому спектральная плотность шума,
определенная из уравнений D.43) и D.536), описывается вы-
выражением
J[(^)( ?)] dx. D.55)
о
Если считать, что распределение потенциала по переходу ли-
линейно и имеет вид Vx=Vw(x/W), то имеем
w
± qIG, D.56)
где последнее выражение получено с помощью уравнения
D.45а). Отсюда видно, что для высоких частот и обратного
напряжения смещения генерационный шум равен двум третям
полного дробового шума. Этот результат был теоретически по-
получен Лауритценом [10] и находится в хорошем согласии с
экспериментальными результатами, полученными Скоттом и
-Страттом [19].
Ван-дер-Зил [25, 26] вычислил интеграл в уравнении D.45),
используя линейную зависимость профиля электрического поля
(в отличие от постоянной), и нашел, что коэффициент подав-
.ления шума равен 11/15 для сильно асимметричных переходов
и 23/30 для симметричных. Эти значения так близки к коэф-
коэффициенту 2/3, вычисленному Лауритценом, что вызывает сом-
сомнение, будут ли полученные в дальнейшем экспериментальные
данные настолько точными, чтобы можно было отметить раз-
.личие между ними.
При средних значениях напряжения смещения скорость ре-
рекомбинации в уравнении D.50)
™= D5?)
имеет резкий максимум в плоскости, где рхп=п%р. Пусть х =
= Хт — положение этого максимума, тогда из уравнений D.45а)
и D.53а) имеем для высокочастотной составляющей спектра
рекомбинационного шума
!(*т)] =
D.58)

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 97
где интегралы брались пропорционально (с одинаковыми ко-
коэффициентами пропорциональности) своим подынтегральным
выражениям, вычисленным при х=хт. У симметричных перехо-
переходов плоскость максимальной рекомбинации находится в центре
обедненной области, следовательно, VXm/Vw=l/2 и
S^p) = qIR, D.59а)
что соответствует коэффициенту подавления, равному 1/2.
С другой стороны, в том случае, когда переход является сильно
асимметричным, плоскость х=хт находится ближе к границе
переходной области у низколегированной стороны р—я-перехо-
да, отношение Vxm/Vw близко к нулю или единице и в любом
случае
D.596)
Таким образом, и в этом случае коэффициент подавления бли-
близок к единице, но меньше ее.
Величины коэффициентов подавления, характеризующие ре-
комбинационно-генерационные шумовые токи для разных усло-
условий, которые были рассмотрены выше, приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1. Величины коэффициентов подавления
рекомбинационно-генерационного шума, возникающего в обедненном слое
Снмметрич- Асимметрич-
Асимметричный переход ный переход
Низкие частоты 1 1
Прямое смещение ^ Л _
Высокие частоты 0,5 ~\
Низкие частоты 1
Обратное смещение „ Л _
Высокие частоты ~2/3
Следует иметь в виду, что данные, приведенные в этой таблице,
вычислены в предположениях, что акты рекомбинации — генера-
генерации, обусловливающие шум, имеют место либо парами, приводя
к одному импульсу тока q8(t) во внешней цепи (низкие часто-
частоты), либо абсолютно независимы (высокие частоты). Такие
упрощающие предположения не существенны для теории, как
это подтвердило исследование данного вопроса, выполненное
Лауритценом, которое включало статистический анализ формы
колебаний рекомбинационно-генерационного тока, связанного с
особенностями ХШР-центров. Однако, как мы и предполагали,
количественные результаты этого анализа существенно не от-

98 Глава 4
личались от рассмотренных выше, что связано с тем, что данный
рекомбинационно-генерационный шум не зависит существенно
от условий, при которых находится переход. Так как подход
Лауритцена достаточно сложен, его рассмотрение здесь не про-
проводится.
4.4. Биполярный транзистор
Как уже упоминалось в разд. 4.2.5 при рассмотрении корот-
короткого диода, шум в биполярном транзисторе можно проанали-
проанализировать, во многом используя те же подходы, что и .при рас-
рассмотрении шума в диоде с р—/г-переходом. Естественно, при
рассмотрении шумов в транзисторах следует иметь в виду роль
контакта базы, в частности тот факт, что весь ток, обусловлен-
обусловленный рекомбинацией в обедненном слое перехода эмиттер —
база, течет через базовый контакт коллектора. Составляющая
базового тока, обусловленная рекомбинацией в обедненном
слое, равна полному дробовому шуму, т. е. соответствующий
коэффициент подавления шума равен единице (табл. 4.1 для
случая смещенного в прямом направлении асимметричного пе-
перехода).
При отсутствии рекомбинации в обедненном слое перехода
эмиттер — база транзистор можно считать «идеальным» в том
смысле, что его зависимость ток — напряжение подчиняется
диффузионной теории Шокли р—/г-перехода. Воздействие ре-
рекомбинации в обедненном слое перехода эмиттер — база на шум
на контактах прибора проявляется как добавление независи-
независимой составляющей к «идеальным» шумовым токам эмиттера и
базы.
В дальнейшем рассмотрении мы будем использовать тер-
термин «идеальный» в сочетании с определенными параметрами
транзистора. Например, YE — «идеальная» полная проводимость
перехода эмиттер — база, т. е. проводимость, которая будет на-
наблюдаться в отсутствие рекомбинации в обедненном слое. Тео-
Теория Шокли дает выражение для YE в терминах геометрии и ба-
базы, времени рекомбинации неосновных носителей в базе и т. д.
Спектральные плотности флуктуации в эмиттерном и кол-
коллекторном токах можно записать непосредственно из уравнений
D.20) и 4.27)
4 ^ D.60)
где IBr — компонента базового (и эмиттерного) тока, обуслов-

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 99
ленная рекомбинацией носителей в обедненном слое. Интег-
Интегралы по области базы в уравнениях D.60) и D.61) приобре-
приобретают такую же форму, что и интегралы по /г-области в уравне-
уравнениях D.20) и D.27)
w
о
w
h=
о
w
/3=
k0k2
dx',
dx',
dx',
D.62a)
D.626)
D.62b)
dx\
D.62r)
где W—ширина области базы, a k — параметры, точно опреде-
определенные ранее. По аналогии с уравнениями D.20) и D.27) вид-
видно, что интегралы в уравнениях D.62) связаны с тепловыми
флуктуациями (Л и /3), а также рекомбинацией — генерацией
A2 и /4) в области базы.
Если провести вычисление интегралов в уравнениях D.62),
то можно показать, что уравнения D.60 и D.61) сводятся к
виду [1]
D.63)
D.64)
где GE — «идеальная» проводимость перехода эмиттер — база;
Ge0 — значение GE для низких частот; 1Е и 1с — токи эмиттера
и коллектора, a Ies = Ie—Ibr— «идеальная» или диффузная со-
составляющая постоянного тока эмиттера. Вид спектральной за-
зависимости, задаваемой выражением D.63), показывает, что
флуктуации тока эмиттера включают в себя составляющую
дробового шума из-за рекомбинационных процессов в обеднен-
обедненном слое и, кроме этого, составляющую, связанную с тепловы-
тепловыми флуктуациями и процессами рекомбинации — генерации в
области базы. На низких частотах, когда GE^GEo> последняя

100 Глава 4
составляющая сводится к обычному дробовому шуму в IEs, от-
куда следует, что на этих частотах весь шум тока эмиттера оп-
определяется полным дробовым шумом. Уравнение D.64) пока-
показывает, что для всех частот ток коллектора имеет шумовую
ставляющую, равную полному дробовому шуму, этот факт на:
ходится в согласии с версией о потоке независимых между со-
собой носителей электричества, проходящих через коллекторный
переход.
Помимо спектральных плотностей флуктуации токов в
транзисторе, нас также интересует вопрос о связях этих спект-
спектральных плотностей на разных контактах прибора. Так как при-
причиной этих флуктуации являются схожие физические процес-
процессы, то, очевидно, до некоторой степени следует ожидать корре-
корреляцию между этими флуктуационными процессами.
Спектральная плотность шумовых токов эмиттера и коллек-
коллектора с учетом взаимной корреляции может быть получена как
следствие из теоремы Карсона в разд. 2.14, уравнение B.99).
Если принять во внимание, что вклады от тепловых флуктуа-
флуктуации, процессов рекомбинация — генерация в объемной области
и процессов рекомбинация — генерация в обедненном слое не
зависят друг от друга, то из уравнений D.17) и D.25) после
интегрирования по области базы имеем
где /б и /6 — следующие интегралы:
И = - ~ /5+-^- /6, D-65)
w
6
Первый из этих интегралов /5 связан с тепловыми флуктуация-
ми в области базы, а второй h — с процессами генерации — ре-
рекомбинации в этой же области. Следует отметить, что реком-
рекомбинация в обедненном слое не учитывается выражением D.65),
так как флуктуации тока коллектора определяются независи-
независимыми событиями от актов рекомбинации в переходе эмиттер —
база.
Уравнение D.65) выведено с учетом доводов, аналогичных
тем, которые привели к формулам спектральных плотностей
D.20) и D.27), за исключением кросс-произведений импульсов
шума коллектора и эмиттера, используемых для получения

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах НИ
кросс-спектральной плотности (или функции спектральной плот-
плотности с учетом корреляции), а не квадратов импульсов, исполь-
используемых ранее для получения спектральной плотности.
Вычисляя интеграл в уравнении D.66) и сравнивая резуль-
результаты с выражениями для параметров транзистора, легко пока-
показать, что
D-67)
где YE—полная проводимость «идеального» перехода эмит-
эмиттер— база; as — отношение переменного тока коллектора к
«идеальному» переменному току эмиттера, а aOs — низкочастот-
низкочастотное значение as. Для низких частот, когда ias^aos и YEc^.GEOf
кросс-спектральная плотность, задаваемая уравнением D.67),
сводится к выражению, которое не зависит от частоты
S^H ~ -2qlc. D.68)
Нормализованная кросс-спектральная плотность или коге-
когерентная функция флуктуации токов коллектора и эмиттера оп-
определяется следующим образом [разд. 2.14, уравнение B.81)]:
as Уе
9/7/
р Sce (ю) с QCqs GEo .* -q.
СЕ 1?Й5^I1/2 1Шп)Шд}1/2~' к ' }
Для низких частот, когда YE — GE — G#o и ,as = aos, из уравне-
уравнения D.63) имеем SiE((u)cz.2qIE = 2qaoIc, где 1Е — полный ста-
стационарный ток эмиттера, а следовательно,
ТСЕ~-а**. D.70)
Так как для большинства современных транзисторов величина
а0 близка к единице, то для диапазона частот, в котором вы-
выполняется выражение D.70), флуктуации коллекторного и эмит-
терного токов сильно коррелированы. Знак минус в уравнении
D.70) следует из принятого нами условия, что токи, протекаю-
протекающие в базе, являются положительными; это приводит к отрица-
отрицательной корреляции между низкочастотными флуктуациями вхо-
входящего тока эмиттера и выходящего из базы тока коллектора.
Спектральная плотность флуктуации тока базы определяется
следующим соотношением:
((D). D.71)
Это выражение получено подстановкой iB(t)= — [iE(t) +ic(t)],
выполнением фурье-преобразования iB(ja>), возведением в квад-
квадрат модуля и последующим усреднением. После подстановок
выражений из уравнений D.67) —D.69) и нескольких алгебраи-

102 Глава 4
ческих преобразований получаем, что
где ро=^сДв — отношение установившихся токов коллектора и
базы (включая рекомбинационную составляющую). Как и сле-
следовало ожидать, в случае низких частот спектр, задаваемый
уравнением D.72), сводится к 2qIB, т. е. ток базы имеет полный
дробовой шум.
Используя по существу те же доводы, что и для получения
выражения D.71) для кросс-спектральной плотности токовых
флуктуации коллектора и базы, получаем следующую формулу:
ScbW = -5^Й-5^Й D.73)
и, следовательно, из формул D.64) и D.67) — формулу
D.74)
Если asYE разложить в ряд Тейлора, то для первого порядка
по частоте получаем выражение
(), D.75)
где Xj = W2l2D, з. D — коэффициент диффузии неосновных но-
носителей в области базы. Коэффициент диффузии для дырок в
кремнии равен примерно 12 см2/с, что для базы шириной 2мкм
дает величину т/ = 1,7 не. Из уравнения D.75) следует, что,
ограничиваясь членом, содержащим первый порядок по частоте,
скоррелированная функция спектральной плотности в уравне-
уравнении D.74) принимает форму
SCB (со) ~ -2qlc (/сот7./3), D.76)
которая является чисто мнимой. Нормализованная функция
спектральной плотности с учетом корреляции между токовыми
флуктуациями на контактах коллектора и базы описывается
формулой
св~ 13ы5)етгл** D-77)
которая в случае низких частот сводится к виду
Гсб^-Ро1/20^-/3). D.78)
И наконец, нас интересует функция спектральной плотности
с учетом корреляции между флуктуациями тока на контактах

Собственный шум
в диодах
Таблица 4.2. Сводка функций
спектральной плотности с учетом
в биполярных транзисторах
Спектральная плотность
SiB{(o) ~ 2ql
в
на р
— п-переходах и транзисторах 103
спектральной плотности и функций
корреляций для токовых флуктуации
Функция спектральной плотности
с учетом корреляции
эмиттера и базы
Для низких частот это выражение сводится к выражению
D.80)
а соответствующая нормализованная функция спектральной
плотности с учетом корреляции принимает вид
Г SEB (<*) ъ, _ (j4_ \ (Л СП
Сводка полученных выше в низкочастотном пределе выра-
выражений для разных спектральных плотностей и функций спект-
спектральных плотностей с учетом корреляций токовых флуктуации
на контактах транзистора приводится в табл. 4.2.
4.5. Коэффициент шума, обусловленный
собственным шумом транзистора
Как видно из предыдущей главы, удобно выражать шумовые
свойства линейных двухполюсников в виде коэффициента шу-
шума. Эта величина является параметром, который можно опре-
определить непосредственно путем выполнения измерений на клем-
клеммах двухполюсника; очевидно, она определяется типом цепи,
в которую включены элементы. Поэтому, чтобы определить ко-
коэффициент шума биполярного транзистора, прежде всего необ-
необходимо рассмотреть соответствующую эквивалентную схему
для этого элемента.

104
Глава 4
Для случая слабого сигнала транзистор является линейным
элементом и сейчас его обычно представляют так называемой
«я гибридной» цепью, которая представлена на рис. 4.6 и со-
содержит только резисторы, конденсаторы и один генератор то-
тока, управляемый напряжением между клеммой эмиттера и
фиктивной «внутренней клемой базы В'». В такой цепи сопро-
сопротивление базы ть рассматривается как внешняя составляющая,
подключенная последовательно с внешним импедансом между
контактами эмиттер — база. «Внутренний» транзистор с кон-
контактами В', Е, С, очевидно, полностью соответствует модели,
Рис. 4.6. «я гибридная» эквивалентная схема транзистора.
которая была рассмотрена для расчета шумовых характеристик
в разд. 4.4, так как там неявно подразумевалось, что сопротив-
сопротивление базы равно нулю. Коль скоро влияние сопротивления ба-
базы в такой эквивалентной схеме исключается, то здесь мы его
рассматривать не будем, а сконцентрируем свое внимание на
этом «внутреннем» транзисторе В', Е, С.
Матрица полного сопротивления такого транзистора имеет
вид
D.82)
где gm — взаимная проводимость транзистора. Для многих це-
целей эту матрицу можно упростить следующим образом:
0
D.83)
где hfeo — низкочастотный коэффициент усиления по току,
a x, = W2/2D, как определено ранее.

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах
105
Источники шумов в транзисторе теперь можно представить
в виде внешних генераторов шума, подсоединенных к выводам
«бесшумной» эквивалентной схемы. Это иллюстрируется рис,
4.7, на котором представлены генераторы тока 1вв@ и iGc(t),
er-
-•с
i«c(«
iec(t)
Рис. 4.7. Внешние эквивалентные генераторы шума, подсоединенные к выхо-
выходам эмиттер — база и эмиттер — коллектор транзистора.
подсоединенные к выходам эмиттер — база и эмиттер — коллек-
коллектор, соответственно. Спектральные плотности этих генераторов
и кросс-спектральные плотности с учетом корреляций между
ними задаются выражениями D.64), D.72) и D.74).
Схема, представленная на рис. 4.7 в таком виде, не явля-
является удобной для расчета коэффициента шума транзистора, так
как генераторы шума не подсоединены ко входу транзистора.
При переносе шумовых генераторов с выхода на вход, прихо-
приходим к двум другим генераторам ina(t) и vna(t) на входе тран-
Рис. 4.8. Эквивалент схемы на рис. 4.7, когда оба генератора отнесены к
входу.
зистора, как это показано на рис. 4.8. Такую эквивалентную
схему можно использовать для вычисления шумовых токов и
напряжений на входе транзистора (см. с. 61, гл. 3). Используя
преобразование Фурье, имеем для генераторов, представленных
на рис. 4.8, следующие выражения:
Vna=-Iac/Y* D.84а)
и
= Igb— PV^i)
D.846)

106
Глава 4
где У—параметры, соответствующие элементам матрицы про-
проводимости в уравнении D.83). Из уравнений D.64), D.72) и
D.74) следует, что спектральные плотности этих двух генера-
генераторов имеют вид
D.85а)
D.856)
а кросс-спектральная плотность с учетом корреляции между
ними описывается выражением
D.85в)
где GEo — низкочастотное значение проводимости эмиттер — ба-
база. При выводе уравнений D.85) использовались следующие
соотношения:
(XOs — 1 , П fe0 2> р0 у>/ А » ш xj <$ч А • yt.OKJ)
После этого коэффициент шума собственно транзистора
можно определить, используя эквивалентную схему, изображен-
•Е
Рис. 4.9. Эквивалентная схема для расчета коэффициента шума транзистора.
ную на рис. 4.9. В ней is(t)—сигнальный генератор тока; Ys =
= Gs + jBs — полный адмиттанс источника сигнала; ins(t) — ге-
генератор шумового тока, спектральная плотность которого рав-
равна 4kQGs, a inb(t) — генератор тока, эквивалентный генератору
Vna(t), представленному на рис. 4.8. Согласно теореме Нортро-
на, для этого генератора в терминологии преобразования имеем
1пЬ = УУпа- D-87)
Из эквивалентной схемы рис. 4.9 и уравнений D.85) следует,

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 107
что коэффициент шума описывается формулой
которую при дополнении до полного квадрата можно предста-
представить в виде
D88б>
Штрихи в этих уравнениях указывают, что они относятся к
транзистору, включенному в эквивалентную схему.
Оптимальные шумовые условия достигаются тогда, когда
реактивная проводимость источника принимает значение
бют D.89a)
которое соответствует индуктивности источника 3/BG^oco2T/).
Если подставить В$о вместо Bs в уравнение D.886), то условие
согласования шумов определяется минимизацией коэффициен-
коэффициента шума по проводимости источника. Эта процедура приводит к
оптимальной проводимости источника, описываемой формулой
откуда следует, что наименьшее значение коэффициента шума
имеет вид
где членом, содержащим 1/й/ео, пренебрегли и использовали со-
соотношение Geo ??qlclk§. Следует отметить, что, как и в экс-
эксперименте, согласно уравнению D.90), минимальное значение
коэффициента шума возрастает с увеличением частоты.
Уравнение D.90) дает представление о предельных значе-
значениях шумовых характеристик транзисторов. На низких часто-
частотах, когда зависящий от частоты член пренебрежимо мал, Fo'
сводится к 1 + 1/УРо, что при Ро=Ю0 соответствует 0,4 дБ. Та-
Такая величина находится в хорошем соответствии с измерения-
измерениями Фолкнера и Хардинга [6], свидетельствующими о том, что
шумовые параметры современных кремниевых планарных
транзисторов почти достигли своего оптимума и что эффекты,

108 Глава 4
обусловленные ненулевым сопротивлением базы и избыточны-
избыточными шумами, т. е. те факторы, которые не рассматривались в
проведенном выше анализе, могут быть сведены к пренебрежи-
пренебрежимо малым значениям.
Когда же по каким-либо причинам адмиттанс источника
должен учитываться, то условия оптимального согласования
являются невыполненными, т. е. не имеется возможности нейт-
нейтрализовать индуктивную часть зависящей от частоты состав-
составляющей в выражении для коэффициента шума. В этом случае
считают Вs = 0 и минимизируют выражение для F' в выраже-
выражении D.886) относительно Gs, причем минимальная величина
коэффициента шума при таких условиях описывается формулой
Очевидно, что это выражение отличается от выражения D.90)
только на высоких частотах, т. е. в тех случаях, когда член,
зависящий от частоты, является существенным. Как и в случае
уравнения D.90), данное уравнение представляет собой некий
предел для шумовых параметров транзистора, реально не до-
достижимый на практике, так как при выводе его не учитывались
эффекты, связанные с конечным сопротивлением базы и избы-
избыточные шумы транзистора.
4.6. Низкочастотная эквивалентная схема
с учетом сопротивления базы
Эквивалентная схема, представленная на рис. 4.8, точно
описывает шумовые свойства собственно транзисторов в доста-
достаточно широком диапазоне частот, однако во многих практиче-
практических случаях она является достаточно _сложной. Для частот,
значительно меньших величины 1/(т/УРо), эту схему можно
упростить, если считать, что генераторы тока и напряжения на
рис. 4.8 являются «белыми» и некоррелированными, т. е. [срав-
[сравни с уравнениями D.85а) и D.856)]
S^JUj - 2qIclG\, ~ 2kQ/GEOi D.92a)
S^JU) ~ 2qIB с- 2kQ/$QGE0, D.926)
и
Tvi ~ 0, D.92b)
где Vvi — нормализованная кросс-спектральная плотность меж-
между данными генераторами.
Здесь как раз удобное место для введения в рассмотрение
сопротивления базы транзистора; оно включается в эквивалент-

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах
109
ную схему, представленную на рис. 4.10, где введен генератор
напряжения теплового шума Vb(t), обусловленного наличием
гь. Низкочастотный коэффициент шума транзистора в этом при-
приближении можно получить непосредственно из расчета этой
схемы в сочетании с уравнениями D.92). Считая действитель-
Рис. 4.10. Эквивалентная схема транзистора с учетом сопротивления базы.
ным полный адмиттанс источника, имеем
/V. _1_ г /О\ (Q
F
-]¦
где re=l/GEo- Если удовлетворить условиям
то выражение для коэффициента шума сводится к виду
Теперь запишем его следующим образом:
Rm *
D.93)
D.94)
D.95)
D.96)
D.97а)
Яш-ЗгД. D.976)
Из этих выражений легко видеть, что Rnv и Rnt можно интер-
интерпретировать как шумовые сопротивления некоррелированных
последовательно соединенных генераторов напряжений и па-
параллельно соединенных генераторов тока на выводах эмиттер —
база. Следует отметить, что влияние сопротивления базы на
коэффициент шума учитывается просто добавлением сопротив-
сопротивления гъ последовательно к шумовому сопротивлению транзис-
транзистора.
где
и

110 Глава 4
Условия согласования шума реализуются в том случае, ког-
когда сопротивление источника имеет оптимальную величину, опи-
описываемую выражением
= Mo (rb+re/2)V>\ D.98)
что соответствует минимальному коэффициенту шума
\ D.99)
Ясно, что когда ге^>гь, т. е. влияние сопротивления базы прене-
пренебрежимо мало, то выражение для минимального коэффициента
шума сводится к выражению
F0~l + l/Vh, D.100)
что, вообще говоря, и следовало ожидать на основе уравнений
D.90) и D.91).
Рабочий диапазон, при котором второе из неравенств D.94)
имеет место, нагляднее всего можно проиллюстрировать на
примере, рассмотренном Фолкнером [5]. Напомним, что ге —
= kQlqIc, и, следовательно, когда /с=1 мА, ге — 2Ъ Ом при ком-
комнатной температуре. Для малошумящего планарного кремние-
кремниевого транзистора, который используется для звуковых частот,
величина гь = 200 Ом. В этом случае ге^>гь для величин тока
вплоть до 1с = 125 мкА. При таком рабочем токе параллель-
параллельное и последовательное шумовые сопротивления в выражениях
D.97) #„„ = 300 Ом (при ро= 100), #m=40 кОм, что приводит
на основе уравнения D.98) к оптимальному сопротивлению ис-
источника i?so = 3,5 кОм [уравнение D.98)]. Соответствующее
минимальное значение коэффициента шума на основе уравне-
уравнения D.99) составляет Fo~0,68 дБ.
Улучшения величины Fo можно достичь, если уменьшить 1С
на порядок и более, в этом случае тъ в уравнении D.99) ста-
становится значительно меньше члена ге/2 и минимальное значение
коэффициента шума рассчитывается по формуле D.100). Счи-
Считая опять ро= 100, получим, что в этом случае ?—0,43 дБ.
Интересная особенность проведенного выше анализа шумо-
шумовых свойств в области низких частот была отмечена Фолкне-
Фолкнером [5]. Он обратил внимание на то, что входное сопротивле-
сопротивление на низких частотах в схеме с общим эмиттером (rb + hfeore)
примерно такое же, что и подключенное параллельно шумовое
сопротивление Rni, так как Л/е0 обычно находится в интервале
Ро—2р0. Это означает, что биполярный транзистор в схеме с
общим эмиттером не обладает хорошим коэффициентом шу-
шума, если схему не использовать как усилитель напряжения, т. е.
пока его входное сопротивление не будет существенно боль-

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах 111
шим, чем сопротивление источника. Это противоречит сложив-
сложившемуся мнению, неоднократно высказывавшемуся и в литера-
литературе о том, что биполярный транзистор является главным об-
образом усилителем тока, и которое, как отмечает Фолкнер, ведет
к большому непониманию.
4.7. Вклад 1//-шума в коэффициент шума
Рассмотрение, проведенное выше, абсолютно не затрагивало
вопроса о влиянии шума 1// на коэффициент шума биполярных
транзисторов. Фолкнер [5] показал, что этот фактор можно
учесть просто, если во все уравнения разд. 4.6 вместо |3о под-
подставить эффективный коэффициент усиления по току р'о, кото-
который определяют следующим соотношением:
где cof — характерная угловая частота шума 1//. Для достаточ-
достаточно хорошего малошумящего кремниевого планарного транзис-
транзистора значение о^/2я менее примерно 1 кГц [6]. Для гораздо
больших частот р/о = Ро, так что можно использовать все выра-
выражения, которые проводились выше для расчета коэффициента
шума. Когда cd<cdf, шум 1// представляет собой существенный
вклад в общий шум транзисторов, тогда величина р'о—^1 и в
этом случае подобный элемент уже нельзя считать малошумя-
щим. Проведенный выше анализ, очевидно, неприменим в этом
диапазоне частот.
4.8. Вопросы, связанные
с малым сопротивлением источника
В соответствии с уравнениями D.94) и D.98) оптимальным
сопротивлением источника можно считать такое, которое име-
имеет минимальное значение для определенных значений р0 и г&,
когда ге = гь. Таким образом, минимальным значением сопро-
сопротивления оптимального источника является величина г&узр0,
которая при Ро = 100 и гь = 200 Ом составляет 3,5 кОм; так как
обычно величина тъ крайне редко бывает во много раз меньше
100 Ом, следует ожидать, что оптимальное сопротивление ис-
источника будет всегда больше примерно 2 кОм.
В источниках, сопротивление которых менее 2 кОм, возни-
возникают проблемы: в этих случаях отсутствует возможность не-
непосредственно удовлетворить условиям для получения мини-
минимального коэффициента шума. Одно из решений проблемы в

112
Глава 4
подобных случаях состоит в использовании трансформатора
для согласования источника с малым значением импеданса и
транзистора. Однако использование входного трансформатора в
малошумящем усилителе звуковой частоты, как правило, край-
крайне нежелательно, а в ряде случаев просто невозможно.
Другое решение предложил Фолкнер [4], когда несколько
транзисторов соединяют параллельно, как это показано на рис.
4.11. Главная особенность этого метода заключается в том, что,
Вь/zjod
Рис. 4.11. Параллельное соединение транзисторов.
Все элементы, за исключением самих транзисторов, на схеме не указаны.
когда соединяют параллельно п идентичных усилителей, после-
последовательное и параллельное шумовые сопротивления такой
схемы уменьшаются в п раз по сравнению со схемой с одним
таким усилителем. Таким образом, оптимальное сопротивление
внешнего источника также уменьшается в п раз по сравнению
с тем, что требуется для согласования с одним усилителем. На-
Например, при /i = 4 и сопротивлении базы транзистора, равном
100 Ом, оптимальное сопротивление источника оказывается рав-
равным 500 Ом, по сравнению с 2 кОм для случая одного транзис-
транзистора, о котором говорилось выше.
Даже в том случае, когда условия согласования для опти-
оптимизации шумовых свойств схемы не выполняются, метод па-
параллельного соединения транзисторов все же значительно улуч-
улучшает шумовые параметры. Например, при сопротивлении ис-
источника, равном 30 Ом, Ге = гь= 100 Ом и ро=1ОО, коэффициент
шума, рассчитанный из выражения D.95) для одного транзис-
транзистора, составляет 7,8 дБ. При использовании же четырех парал-
параллельно соединенных транзисторов коэффициент шума уменьша-
уменьшается до 3,5 дБ, что приводит к резкому улучшению качества ра-
работы устройства.

Собственный шум в диодах на р — п-переходах и транзисторах П&
ЛИТЕРАТУРА
1. М. J. Buckingham, E. A. Faulkner A974), The theory of inherent noise in
p—n junction diodes and bipolar transistors, The Radio and Elect. Eng., 44,.
125—140.
2. E. R. Chenette A960), Frequency dependence of the noise and the current
amplification factor of silicon transistors, Proc. IRE (correspondence), 48^
111—112.
3. E. R. Chenette, A. van der Ziel A962), Accurate noise measurements on
transistors, IRE Trans, on Elect. Dev., ED—9, 123—128.
4. E. A. Faulkner A966), Optimum design of low-noise amplifiers, Elect. Lett.*
2, 426—427.
5. E. A. Faulkner A968), The design of low-noise audio frequency amplifiers^
The Radio and Elect. Eng., 36, 17—30.
6. E. A. Faulkner, D. W. Harding A968), Some measurements on low-noise
transistors for audio frequency applications, The Radio and Elect. Eng., 36,.
31—33.
7. W. Guggenbuehl, M. J. 0. Strutt A957), Theory and experiments on shot
noise in semiconductor junction diodes and transistors, Proc. IRE, 45, 839—
854.
8. R. N. Hall A952), Electron-hole recombination in germanium, Phys. Rev.*
87, 387.
9. G. H. Hanson, A. van der Ziel A957), Shot noise in transistors, Proc. IRE,
45, 1538—1542.
10. P. O. Lauritzen A968), Noise due to generation and recombination of carriers-
in p—n junction transition regions, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—15, 770—
776.
11. H. C. Montgomery A952a), Transistor noise in circuit applications, Proc.
IRE, 40, 1461—1471.
12. H. C. Montgomery A952b), Electrical noise in semiconductors, Bell SysL
Tech. /.,31, 950—975.
13. H. C. Montgomery, M. A. Clark A953), Shot noise in junction transistors^.
/. Appl. Phys., 24, 1337—1338.
14. F.N. H. Robinson A974), Noise and Fluctuations in Electronic Devices and
Circuits, Clarendon Press, Oxford, pp. 99 and 237—239.
15. R. M. Ryder, R. J. Kircher A949), Some circuit aspects of the transistor,
Bell Syst. Tech. J., 28, 367—400.
16. С. Т. Sah A967), The equivalent circuit model in solidstate electronics^
part 1: The single energy level defect centres, Proc. IEEE, 55, 654—671.
17. С. Т. Sah, R. N. Noyce, W. Shockley A957), Carrier generation and recom-
recombination in p—n junctions and p—n junction characteristics, Proc. IRE, 45,
1228—1243.
18. B. Schneider, M. J. Strutt A959), Theory and experiments on shot noise in
silicon p—n junction diodes and transistors, Proc. IRE, 47, 546—554.
19. L. Scott, M. J. O. Strutt A966), Spontaneous fluctuations in the leakage cur-
current due to charge generation and recombination in semiconductor diodes,
Solid State Elect., 9, 1067—1073.
20. W. Shockley A949), The theory of p—n junctions in semiconductors and
p—n junction transistors, Bell. Syst. Tech. L, 28, 435—489.
21. W. Shockley, W. T. Read Jr. A952), Statistics of recombination of holes and
electrons, Phys. Rev., 87, 835—842.
22. A. van der Ziel A955), Theory of shot noise in junction diodes and junction
transistors, Proc. IRE, 43, 1639—1646.
23. A. van der Ziel A957), Theory of shot noise in junction diodes and junction
transistors, Proc. IRE, 45, 1011.
24. A. van der Ziel (I960), Shot noise in transistors, Proc. IRE (correspondence);
48, 114-115.

114 Глава 4
25. A. van der Ziel A975a), The state of solid state device noise research, Invi-
Invited paper at the Fourth Conference on Physical Aspects of Noise in Solid
State Devices, Noordwijkerhout, The Netherlands, September 9—11.
26. A. van der Ziel A975b), Shot noise in back biased p—n silicon diodes,
Solid State Elect., 18, 969—970.
27. A. van der Ziel, A. G. Th. Becking A958), Theory of junction diode and
junction transistor noise, Proc. IRE, 46, 589—594.
28. A. van der Ziel, E. R. Chenette A978), Noise in solid state devices, Advan-
Advances in Electronics and Electron Physics, 46, 313—383.
29. К. М. Van Vliet A970), Noise sources in transport equations associated
with ambipolar diffusion and Shockley — Read recombination, Solid State
Elect., 13, 649—657.
30. R. L. Wallace, W. J. Pietenpol A951), Some circuit properties and appli-
applications of n—p—n transistors, Bell Systm. Tech. J., 30, 530—563.

Шум полевых транзисторов
с р—^-переходом и полевых
транзисторов с МОП-структурой
5.1. Введение
Источники шума в полевых транзисторах с р—я-переходом
и полевых транзисторах с МОП-структурой весьма схожи, за
исключением 1//-шума, который почти полностью отсутствует
в первых, но доминирует на низких частотах во вторых. Подоб-
Подобное поведение приводит к обоснованному мнению, что 1//-шум
в данном случае связан с поверхностными эффектами.
Важнейшим механизмом возникновения шума в полевых
транзисторах (ПТ) являются тепловые флуктуации, которые
имеют место в популяции носителей в канале транзистора. По-
Подобные флуктуации проводимости приводят к возникновению
теплового шума токов стока и затвора. Другим существенным
источником шума является генерация носителей в обедненной
области канал — затвор; в ПТ с р—я-переходом механизм по-
подобного же типа приводит к появлению дробового шума в токе
утечки через затвор. Другие источники шума в ПТ, включая
флуктуации в концентрации носителей в канале, связанные с
рекомбинационно-генерационными процессами через ХШР-цент-
ры, локализованные в канале, или за счет частично ионизован-
ионизованных доноров (канала я-типа), или акцепторов (канала /?-типа)„
как правило, несущественны.
5.2. Рабочие характеристики полевых
транзисторов с р — п-переходом
За исключением случая противоположной полярности, р- и
д-канальные ПТ с р—д-переходом действуют почти одинако-
одинаковым образом. Чтобы избежать излишнего дублирования, в даль-
дальнейшем мы рассмотрим работу транзисторов только первого
типа.
Поперечное сечение ^-канального ПТ представлено на рис.
5.1. Выводы на каждом из концов ^-области являются исто-
истоком и стоком; они обычно присоединены к областям сильноле-
сильнолегированного полупроводникового материала р-типа. Ток ID че~

116
Глава 5
рез ПТ протекает через эти два вывода, как показано на рис.
5.1, а третий вывод (затвор) присоединен к слоям я+-типа, об-
образующим двойной слой в материале р-типа.
ПТ с р—/г-переходом работает при обратном смещении на
р—/г-переходах. Так как /г-области гораздо сильнее легированы
по сравнению с р-областями, пространственный заряд областей
переходов почти полностью находится внутри р-области, как это
показано штриховкой на рисунке. При подаче на сток и исток
разности потенциалов обратное поле смещения в пределах
4)—я-переходов меняется вдоль координаты х, соответствующей
Рис. 5.1. Поперечное сечение р-канального полевого транзистора с р—п-пе-
реходом (области объемного заряда заштрихованы).
основному направлению в приборе, и, следовательно, толщина
областей пространственного заряда также зависит от х. Так как
концентрация носителей в области пространственного заряда
мала, ток Id течет по каналу, т. е. в материале р-типа, причем
границы этого канала формируются границами областей прост-
пространственного заряда. Следует отметить, что ток, протекающий
в приборе, состоит почти исключительно из основных носителей
(дырок в случае ПТ с р-каналом), факт, который дал возмож-
возможность Шокли назвать такой прибор униполярным в отличие от
точечных транзисторов и транзисторов с р—я-переходом, кото-
которые в этом смысле являются биполярными [52].
Шокли первоначально дал расчет характеристик ПТ с
р—д-переходом для случая малых сигналов, анализируя гео-
геометрию проводящего канала. Гров [12] обобщил анализ Шок-
Шокли, и его работа дала возможность получить рабочие характе-
характеристики таких ПТ. Ниже мы кратко обсудим некоторые из ас-
аспектов функционирования таких ПТ, но с точки зрения их влия-
влияния на шумовые свойства этих приборов.
Допустим, что потенциал в точке х в канале описывается
функцией ф(Х), тогда падение потенциала на переходах в этой

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 117
точке описывается функцией1)
V{x) = VB+V0-<p{x), E.1)
где Vb (которое приблизительно равняется 1 В для кремния) —
напряжение, обусловленное наличием перехода, a Vq^O — об-
обратное напряжение на клемме затвора. Решая уравнение Пуас-
Пуассона для резко асимметричного перехода, можно получить за-
зависимость потенциала V(x) от ширины областей пространствен-
пространственного заряда
i^ E-2)
где q — заряд электрона; Л/л ¦—плотность акцепторов в канале
р-типа; 8Г — диэлектрическая постоянная и е0 — проницаемость
свободного пространства. Если в любой точке х ширина кана-
канала равняется нулю, т. е. 6 = 0, говорят, что канал «смыкается».
Этот процесс является- нормальным при работе ПТ с р—п-ие-
реходом. Если считать, что Ь(х)=0 в уравнении E.2), можно
определить соответствующее напряжение смыкания
и, следовательно, ширину канала, которая используется в урав-
уравнении E.2), можно выразить в виде
E.4)
где V(x)^VP.
Потенциал V(x) растет от истока к стоку, область же смы-
смыкания канала, если таковая существует, как правило, нахо-
находится ближе к стоку с протяженностью небольшой, но в то же
время и не столь незначительной по сравнению с полной дли-
длиной канала. Основная часть падения напряжения в таком слу-
случае происходит в области смыкания, и тогда ток через прибор
почти не зависит от напряжения стока. В тех случаях, когда
подобные условия выполняются, говорят, что ПТ действует в
области насыщения.
Ток, текущий по каналу, не зависит от х, и его можно опре-
определить следующим соотношением:
^L E.5)
где g — проводимость канала, a w — ширина ПТ, т. е. размер,
перпендикулярный плоскости рис. 5.1. Если провести интегри-
1) В уравнении E.1) косвенно предполагается, что ф(л;) измеряется от-
относительно того же уровня, что и потенциалы на выводах триода.

118 Глава 5
рование левой части уравнения E.5) по х в пределах от х\ до?
х2, а правой части — по потенциалу в пределах от V\ до Уг, то-
можно получить следующее выражение для тока:
Предполагая, что канал не сомкнут, считаем для Х\ = 0 и X2 = L
справедливыми соотношения V\= (Vb+Vg—Vs) и V2=(VB+
+ VG—Vd), где Vs и Vd — напряжения истока и стока соот-
соответственно. Тогда
Id--go [VD+B/3) V1/2 l(VB+VG-VD)W-(VB+VGn E.7>
(здесь полагаем Vs = 0)y a
E.8).
— проводимость однородного канала шириной 2а в отсутствие
объемного заряда. Отметим, что для обеспечения обратного
смещения перехода по всей длине канала необходимо, чтобы
VO
Уравнение E.7) является фундаментальным в теории поле-
полевых транзисторов с р—я-переходами. Оно применимо при ус-
условии, что (Vb+Vq—Vd)<Vp. Если это неравенство не выпол-
выполняется, то это соответствует случаю смыкания канала и рабо-
работе прибора в области насыщения. Начало этого режима работы
имеет место, когда
Уо = Уы=-(Ур-Ув-Уе), E.9)
что соответствует току насыщения, описываемому выражением
Id = ^Dsat = —V^- И—3—^у—— -f-2 (—^—-] I- E.10)
I P V P 1 I
До начала режима насыщения, когда величина Vd сравнитель-
сравнительно невелика и состояние канала далеко от смыкания, т. е. его
ширина слабо зависит от координаты х} ПТ ведет себя как ре-
резистор. Такой режим называют обычно работой в линейной об-
области. Омическую связь между ID и VD в этой линейной обла-
области можно оценить из уравнения E.7), если провести разложе-
разложение его правой части в ряд Тейлора, ограничиться членом пер-
первого порядка по Vd и считать, что \Vd\^(Vb+Vg)- В итоге
имеем
1"~ * Т Т Т Т \ Ч f ?\ -¦
о- E.11)
Следует отметить, что сопротивление канала, которое является
обратной величиной множителя при Vd в правой части этого

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 119
выражения, увеличивается с возрастанием Vg* Это сопротивле-
сопротивление становится очень большим, когда Vg достигает величины
(УР—VB)> которую называют напряжением выключения. Выклю-
Выключение имеет место в том случае, когда обратное смещение на
затворе такое, что канал представляет собой полностью обед-
обедненную носителями область по всей своей длине.
Проводимость канала определяется производной
dvD
VG
E.12)
Следовательно, сразу же из уравнения E.11) имеем
g* = g*0Г 1—( 3„ G ) I (линейная область). E.13)
L \ vp I J
Крутизна ПТ определяется производной
dlD E.14)
VD
6m~ dVG
и снова из уравнения E.11) имеем
?m = —go d — (линейная область). E.15а)
При работе в области насыщения из уравнения E.10) следует,
что эта крутизна описывается выражением
= go \ 1 — ( Ув^рУ° J 'I (область насыщения). E.156)
Если сравнить уравнения E.13) и E.15) между собой, то вид-
видно, что проводимость канала при работе в линейной области
равна крутизне при работе в области насыщения.
Наконец, перед тем как перейти к рассмотрению шумовых
свойств ПТ с р—я-переходом, вычислим значение входной емко-
емкости С прибора. Вывод основан на рассмотрении изменения про-
пространственного заряда в областях переходов и влияния на это
изменение величины Vg-
Пространственный заряд в обедненных слоях между коор-
координатами х и x-\-dx описывается выражением
dQ = —2qNA [а—Ь (х)\ wdx, E.16)
и, следовательно, формула для полного заряда по всей длине
ПТ, если предположить, что канал не сомкнут, принимает вид
= —2qNAwUa—b(x)]dx=—2qNAw \aL— f b(x)dx\. E.17)

120 Глава 5
Так как заряд, наведенный на затворе, равен —Q, входная ем-
емкость описывается формулой
= 2^^[J6(*)<4 F.18).
Интеграл, входящий в выражения для Q и для С, можно вы-
вычислить, используя выражения E.4) и E.5) и имея в виду,
что Id не зависит от х:
Г
J
Ъ (х) dx = ( 2woa* )[(ZD~~ Zs) ~~D/3) B°3/2~~
[{го - г8) - B/3) (z^/a - z^«)]
E.19)
где используем подстановку
= (VB+VG-VD)/VP. E.20)
В выражении E.19) в неявной форме подразумевается работа
ПТ в области до насыщения. Если выполнить дифференциро-
дифференцирование уравнения E.19) по Vg и подставить результат в выра-
выражение E.18), можно найти входную емкость ПТ при его рабо-
работе в области до насыщения
) + A/2) (zD + zs) (zp^-
У
E.21)
В тех случаях, когда канал начинает смыкаться, выражение
E.17) для полного заряда по длине ПТ сохраняет смысл, если
только верхний предел в интеграле заменить на координату
х0, соответствующую положению границы области смыкания со
стороны истока. Однако Робинсон [48] показал, что поскольку
основное падение напряжения происходит в области смыкания
канала, то и в этом случае в качестве верхнего предела интег-
интеграла можно использовать не хо, a L. Поэтому для области на-
насыщения, когда смыкание канала имеет место, из уравнения
E.19) при zD=l имеем
woa* (l-
8o

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 121
•что приводит к соответствующему выражению для входной емкости
WawoL Jl+f^L|(область насЬ1Щения): E.23)
5.3. Источники шума в ПТ
с р — ^-переходом
Один из основных физических механизмов шума в таких
ПТ с р—я-переходом и первый, который был изучен теорети-
теоретически ван-дер-Зилом [60], заключается в тепловых флуктуаци-
ях носителей тока в канале ПТ. Такие флуктуации обусловли-
обусловливают тепловой шум тока стока и, кроме того, из-за емкости
связи между затвором и каналом тепловой шум тока затвора.
Существует частичная корреляция между токами теплового шу-
шума стока и затвора, но она не столь ярко выражена, чтобы
оказывать существенное влияние на оптимальные величины
коэффициента шума.
Второй важный источник шума в ПТ заключается в гене-
генерации носителей через центры, локализованные в области про-
пространственного заряда переходов канал — затвор. Обычно при
работе ПТ в нормальных условиях эти переходы находятся при
обратном смещении, и ХШР-центр в обедненной области гене-
генерирует поочередно дырку и электрон, которые сразу же уда-
удаляются из этой области сильным электрическим полем. В крем-
кремниевых ПТ при комнатной температуре эти генерируемые но-
носители составляют основную часть тока утечки затвора. Поэто-
Поэтому в токе затвора имеется составляющая дробового шума, ко-
которая на низких частотах доминирует по сравнению с тепловой
составляющей шума.
Кроме того, генерация носителей в обедненной области при-
приводит к появлению шума в выходном, т. е. стоковом токе. Это
имеет место в связи с тем, что такие центры все время меняют
свое зарядовое состояние, тем самым вызывая локальную ва-
вариацию ширины обедненного слоя и, следовательно, и ширины
канала ПТ, которая в свою очередь обусловливает шумовой
ток во внешней цепи.
Еще одним источником шумов в ПТ являются флуктуации
концентрации носителей в канале транзистора [62]. При ком-
комнатной температуре такие флуктуации могут иметь место как
результат рекомбинационно-генерационных процессов через
ХШР-центры, локализованные в канале ПТ; при низких же
температурах подобный процесс, но с включением и частично
ионизованных доноров (канал /г-типа) или акцепторов (канал
р-типа) может также привести к возникновению шума. Но в

122 Глава 5
любом случае соответствующие флуктуации во внешней цепи,
как правило, пренебрежимо малы по сравнению с генерацион-
генерационным шумом, обусловленным ХШР-центрами в областях про-
пространственного заряда.
5.4. Тепловой шум в ПТ
с р — п-переходом
5.4.1. Тепловой шум выходного тока
С целью вычисления теплового шума в выходном токе ПТ
будем рассматривать канал ПТ как резистор с дифференциаль-
дифференциальным сопротивлением между точками х и x+dx, которое явля-
является функцией координаты х. В таком случае тепловые флук-
флуктуации в канале ПТ можно проанализировать на основе той
же модели, которая была использована для определения теп-
теплового шума резистора (гл. 2, разд. 2.8), за исключением того
фактора, что в ПТ среднее число v элементарных актов в се-
секунду не однородно __по длине, а зависит от х по закону
[2NAwb(x)/xF]dx, где %F — среднее время жизни носителей.
По аналогии с анализом, проведенным при рассмотрении
теплового шума в сопротивлении (разд. 2.8), спектр шумового
тока между х и x+dx описывается формулой
dx. E.24)
где l2f — значение среднего квадрата, принятое для длины сво-
свободного пробега, которое можно выразить через подвижность
носителей следующим образом (приложение 3).:
^ E25)
Далее имеем
d~Si = 8 NawHx) gixkMx. E26)
интегрируя по длине канала и предполагая, что случайные «ак-
«акты» в каждом бесконечно малом элементе dx независимы друг
от друга, получаем выражение
^^ E.27)

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 123
^которое и описывает энергетический спектр теплового шумового
тока в канале ПТ.
Интеграл, входящий в это выражение, берется в уравнении
'E.19) для случая, когда нет смыкания канала. После выполне-
выполнения этой подстановки и учета того, что o = NAq\if находим
S. = 4kQgo «*- *>" W ^3/2 - *»"> + № <** " z^l E 28а)
*° №«)B/3)(zd»/»z»/»)] ' V '
Данное выражение было впервые получено ван-дер-Зилом [60],
;а затем обсуждалось Хаслеттом и Трофименковым [19] в свя-
связи с моделью, основанной на анализе эквивалентной схемы ПТ.
В пределе при za—*zs, что соответствует нулевому напряже-
напряжению стока, уравнение E.28а) сводится к виду
5^ ж №g, E.286)
тде g — проводимость канала ПТ, которая определяется выра-
выражением E.13). Таким образом, при термическом равновесии
тепловой шум канала ПТ подчиняется закону Найквиста, что,
впрочем, и следовало ожидать.
При работе ПТ в области насыщения интеграл в уравнении
E.27) можно почти точно аппроксимировать выражением, ко-
которое приведено в уравнении E.22). Для этого случая получа-
получаем выражение для спектральной плотности шумового тока в
канале
Как показал Робинсон [48], при обычно используемых значе-
значениях напряжений смещения для ПТ величина zs=(Vb+Vg)/Vp
находится в пределах 0,1 — 1, что соответствует изменению чле-
члена, который находится в квадратных скобках, в пределах 0,6—
0,67. Поэтому достаточно хорошим приближением служит фор-
формула
^~4&6B?mSat/3), E.296)
т. е. в области насыщения тепловой шумовой ток канала при-
примерно равен джонсоновскому шуму при проводимости, состав-
составляющей 2/3 крутизны характеристики транзистора.
5.4.2. Тепловой шум затвора
Тепловое движение носителей в канале ПТ вызывает случай-
случайные изменения потенциала по длине канала, которые в свою
очередь вызывают флуктуации в ширине канала, или, что рав-
равнозначно, в ширине обедненных слоев, ограничивающих канал.

124 Глава 5
Следовательно, полный заряд обедненных областей также ис-
испытывает случайные флуктуации, и, поскольку существует
емкостная связь между затвором и каналом на клемме затво-
затвора, имеется_шумовой ток ig(t).
Пусть qT — полная фиксированная величина заряда в обед-
обедненных областях между каналом и затвором, тогда
L
д*т = —2qNAw Г [а— Ь (х)\ dx, E.30)
о
где Ь (х) — здесь (случайная) функция времени, а также коор-
координаты. Ток затвора описывается выражением
. т dqT(t) ,соП
lg(t)= jg—. (b.di)
или, используя преобразования Фурье,
E.32)
где Ig(jto) и Qt(J<o) — преобразование Фурье ig(t) и qr(t) со-
соответственно.
Спектральную плотность ig(t) можно определить, используя
подход, аналогичный тому, который применяют для анализа
шума в резисторе: предполагается, что шум обусловлен слу-
случайной последовательностью независимых, микроскопических
актов, каждый из которых представляет собой движение носи-
носителей между соударениями, которые происходят при релакса-
релаксации системы к равновесному состоянию. Каждый из таких ак-
актов приводит к флуктуации потенциала вдоль длины канала
ПТ, вызывая тем самым импульс тока на затворе, который оп-
определяется уравнением E.31). Как только форма каждого им-
импульса тока определена по флуктуации ширины обедненного
слоя, спектральную плотность ig можно получить, используя
теорему Карсона с последующим интегрированием по длине
канала ПТ. Однако следует иметь в виду, что (как и в преды-
предыдущем рассмотрении теплового шума в канале ПТ) среднее
значение «актов» за секунду является функцией местоположе-
местоположения в канале, что в свою очередь есть следствие зависимости
ширины канала от координаты х.
Из уравнения E.32) сразу же можно видеть (без необхо-
необходимости проведения вычислений), что из-за емкостной связи
между затвором и каналом спектральная плотность ig зависит
от частоты по закону со2. Следовательно, на низких частотах
(менее 100 кГц) тепловой шум в затворе обычно мал по срав-
сравнению с дробовым шумом тока утечки через обратно смещен-
смещенные переходы; однако на больших частотах следует ожидать,

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 125
что составляющая теплового шума может оказаться доминиру-
доминирующей.
Спектральная плотность тока затвора была рассчитана ван-
дер-Зилом [61] для случая работы ПТ ниже области насы-
насыщения. Такое рассмотрение было продолжено Робинсоном
[48], причем он включил в него и режим работы в области на-
насыщения. Математические процедуры для получения результа-
результатов сравнительно длинны и включают в себя вычисление интег-
интегралов вида
L
Г Ъп (х) dx,
где /z=l, 2 и 3. Вместо проведения подобных вычислений мы
просто приведем конечный результат, полученный Робинсоном.
Он нашел, что спектральная плотность теплового шума в за-
затворе имеет вид
S-Щ = J**L 4*0 Г Р+7**); 1, E.33а>
'« V ' ?msat [ 10A +2г8Щ J
где g*msat — крутизна транзистора в области насыщения, кото-
которая определяется уравнением E.156), а С — входная емкость,,
значение которой определяется уравнением E.23).
Нормированный потенциал zs, определяемый в уравнении
E.20) в виде (Vb-\-Vg)/Vp, при обычных величинах смещения
принимает значения 0,1 — 1. В таком интервале выражение в
квадратных скобках уравнения E.33а) меняется незначитель-
незначительно (в пределах 0,2—0,27). Таким образом, хорошим приближе-
приближением выражения E.33а) является выражение
о—7-т ~ со2С2
Исходя из того что тепловые шумовые токи затвора и ка-
канала обусловлены одинаковыми физическими процессами, сле-
следовало бы ожидать некоторой степени корреляции между эти-
этими токовыми флуктуациями. Робинсоном было показано, что
кросс-спектральная плотность с учетом корреляции между шу-
шумовыми токами канала и затвора имеет вид
3*5
При 0,Kzs<l член в квадратных скобках — по существу кон-
константа величиной, заключенной в пределах 0,15—0,17, и следо-
следовательно,
Sigi (©) ~ —0,16/в>С4*е. E.346).

126 Глава 5
Определенная из уравнений E.296), E.336) и E.346) норма-
нормализованная кросс-спектральная плотность с учетом корреляции
имеет вид
Tigi --0,16|/6/, E.35)
т. е. Tigi — чисто мнимая величина, причем |Г/^;|2^ 0,16. Со-
Согласно работе [55], эта достаточно небольшая величина умень-
уменьшается еще больше, если принять в расчет зависимость подвиж-
подвижности носителей от величины напряженности электрического
поля. Для практических целей с очень высокой точностью мож-
можно считать, что 1\у = 0, а это эквивалентно рассмотрению шу-
шумовых токов в затворе и канале в качестве независимых флук-
флуктуации.
5.4.3. Последовательное сопротивление в канале
Величина контактов затвор — канал, как правило, меньше,
чем длина канала. Это приводит к появлению немодулируемых
неактивных областей на концах канала как со стороны стока,
так и со стороны истока, действующих как последовательно
подключенные к выводам стока и истока сопротивления rs и
Гп. Эти сопротивления приводят к изменению крутизны gm и
проводимости канала g [60], которые становятся соответствен-
соответственно gmf и g', где
8т = ётН\ +^g*msat i'^g), E.36a)
g'=g/V+rsgmsai+rDg). E.366)
В области насыщения g'=g=0 и
E.37)
Отметим, что данное выражение не содержит г и и что величина
gr (для линейной области) теперь уже не равна g'msat. Ван-дер-
Зил [60] высказал предложение о том, что такое отсутствие
равенства могло бы быть использовано для определения вкла-
вклада этих последовательных сопротивлений в шум.
Из уравнения E.37) легко видеть, что если сделать произ-
произведение rsg*msat малым по сравнению с единицей (что обычно и
имеет место),,то влияние этих сопротивлений на полный шум
не существенно. Поэтому на практике ими вполне можно пре-
пренебречь.
Бранк [3] выполнил измерения шумов полевых транзисто-
транзисторов, в которых было продемонстрировано влияние rs и rD на
полный шум. Результаты его измерений приводятся на рис. 5.2,
где Ieq — эквивалентный диодный ток насыщения для шума.

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 127
12
I ю
S 8
0,1 3 13 10
Рис. 5.2. Зависимость Ieq от VD при 25 кГц (из работы [3], с любезного раз-
разрешения, © 1963 ШЕЕ).
теоретические кривые для Ieq без учета последовательного сопротивления (Л)
и с учетом последовательного сопротивления (Б); ООО экспериментальные точки.
Кривая Б на рис. 5.2 рассчитана с использованием следующих
значений параметров: rs = 960 Ом, Гя = 2440 Ом и g*msat =
= 330 мкСм.
о
>
А
гОО-
5.4.4. Высокочастотные эффекты
На высоких частотах тепловой шум в ПТ, как правило, яв-
является доминирующим над другими видами шумов. Ван-дер-Зил
и Эро [67] разработали теорию работы ПТ в случае малых
сигналов для высоких частот, в которой канал транзистора рас-
рассматривался в качестве активной неоднородной передающей
линии. Они осуществили решение волнового уравнения для та-
такой линии и в некотором приближении определили матрицу
адмиттанса ПТ на высоких частотах. Кроме того, Хаузер [21]
рассмотрел вопрос об волновом уравнении, которое описывало
бы соответствующую передающую линию для ПТ с р—п-ие-
реходами.
Ван-дер-Зил и Эро получили выражение для предельного
значения частоты «среза» для ПТ с р—я-переходами. В част-
частном случае при нулевом напряжении на затворе, подставив
физически обоснованные числовые значения параметров для
подвижности носителей, напряжения смыкания канала и его
длины, они получили, что предельная частота «среза» состав-
составляет 40 МГц. При напряжениях на затворе, которые обычно
используются при работе ПТ, предельное значение частоты
«среза» было меньше и соответствовало значению в пределах
около 10 МГц.
Приближение, использованное ван-дер-Зилом и Эро, пред-
представляло собой разложение в ряд крутизны, которое ограничи-

128 Глава 5
валось членом первой степени по частоте. Это и определяло
верхний предел диапазона частот, для которого можно было
применить данную теорию. Более полный анализ выполнил Ге-
урст [13], результаты которого можно использовать для очень
больших значений частот. Он показал, что элементы матрицы
адмиттанса ПТ можно представить с использованием специ-
специальных математических функций, а именно параболических ци-
цилиндрических функций Вебера Dn{x).
Несколько измененное дифференциальное уравнение Геур-
ста, в которое был включен источник теплового шумового тока,
было использовано Клаассеном [29] в связи с анализом высо-
высокочастотного шума в ПТ с р—/г-переходом. Результаты Клаас-
сена показали, что на низких частотах спектральная плотность
шумового тока канала не зависит от частоты и намного больше
аналогичной величины для шумового тока затвора (что согла-
согласуется с выводами ван-дер-Зила [60]), но на высоких часто-
частотах шумовые спектры токов затвора и стока в обоих случаях
зависят от частоты по закону со2 и сходны по величине. Более
того, Клаассен показал, что для высоких частот связь между
затвором и каналом приводит к небольшому, но тем не менее
не нулевому значению (составляющему примерно 0,13coC/g*m,
где С — значение входной емкости ПТ) для действительной ча-
части нормализованной кросс-спектральной плотности с учетом
корреляции между шумовыми токами затвора и канала.
Экспериментальные исследования поведения шумовых ха-
характеристик ПТ с р—я-переходами на высоких частотах были
выполнены Бранком и ван-дер-Зилом [4]. Они представили
спектральные плотности шумовых токов стока и затвора в виде
эквивалентных токов насыщения диодов 1па и Ing, т. е. они ус-
установили, что
E.38)
E.39)
На рис. 5.3 представлены графики зависимости 1па и Ing от час-
частоты для работы ПТ в области насыщения [4]. Точки на рисун-
рисунке соответствуют результатам измерений, а сплошные линии —
теоретическому расчету кривых вида
Ind = Indo+№/q)\g12\, E.40)
Ing=BkQ/q)gll, E.41)
где gn и g\2 — элементы матрицы проводимости ПТ, пропорцио-
пропорциональные О52; /ndo — низкочастотное значение Ind. Согласие меж-
между теоретическими и экспериментальными результатами очень
хорошее, и ясно прослеживается зависимость 1п& от со на высо-

Шум полевых транзисторов с р— п-переходом и МОП-структурой 129
3
10*
1
10
"—о—<
(
/
10
3 10
f, МГц
а.
1
тт
7
i з ю з
* МГц
7 6
Рис. 5.3. Эквивалентные диодные токи насыщения для теплового шума в
канале ПТ (а) и в затворе ПТ (б) (согласно работе [4], с любезного разре-
разрешения, © 1966 IEEE).
ких частотах. Однако так как эта зависимость проявляется на
частотах, больших ~10 МГц (которая близка к предельной
частоте для ПТ), то из практических соображений ее можно не
учитывать, т. е. величину Ind можно аппроксимировать вели-
величиной /ndo. Этот факт существенно упрощает расчет коэффици-
коэффициента шума.
Недавно было отмечено [66], что использование более со-
совершенных полупроводниковых материалов наряду с дальней-
дальнейшей разработкой технологии ПТ приводит к возможности полу-
получать ПТ на основе GaAs с прекрасными высокочастотными и
шумовыми характеристиками. В качестве примера авторы [66]
привели данные о коэффициентах шума, которые менялись в
пределах 1,2—4 дБ в диапазоне частот 4—18 ГГц. Кроме того,
эти же авторы высказали предположение о том, что дальнейше-
дальнейшего улучшения можно достичь при использовании для изготов-
изготовления ПТ трехкомпонентных соединений типа InGaAs.

130
Глава 5
ПТс р-п-переходом
В
5.5. Генерационно-рекомбинационный шум
5.5.1. Генерационный шум обедненного слоя
Существенная часть низкочастотного шума кремниевых ПТ
обусловлена флуктуациями зарядовых состояний ХШР-цент-
ров, расположенных в обедненных слоях переходов канал — за-
затвор. Кроме того, наличие таких центров определяет основную
часть тока утечки этих переходов.
Первыми, кто обратился к вопросу о генерационном шуме в
обедненных слоях переходов ПТ, были Лауритцен и Сах [37],
они же подробно рассмотрели этот
вопрос в работах, написанных раз-
раздельно [36, 50]. Их модель была
подтверждена экспериментальными
измерениями шума, выполненными
на обычных и легированных золо^
том кремниевых ПТ при изменении
в широком интервале напряжений
смещения. Поведение легированных
золотом кремниевых ПТ рассматри-
рассматривалось также Фу и Сахом [10] в
связи с анализом с помощью экви-
эквивалентной цепи с сосредоточенными
параметрами генерационно-рекомби-
национного шума, обусловленного
флуктуациями заряда на примесных
центрах в обедненных слоях пере-
переходов канал — затвор.
Генерационный шум в обеднен-
обедненном слое возникает за счет того, что
каждый из ХШР-центров испускает попеременно то дырку, то
электрон, которые удаляются из перехода под действием силь-
сильного электрического поля. Такая флуктуация в зарядовом со-
состоянии подобного центра приводит к локальной модуляции ши-
ширины обедненного слоя и, следовательно, ширины канала, что в
свою очередь приводит к флуктуациям тока, текущего во внеш-
внешней цепи.
Этот шум можно представить генератором напряжения на
.входе ПТ, как это показано на рис. 5.4. Эквивалентное шу-
шумовое сопротивление такого генератора можно представить в
виде
Рис. 5.4. Эквивалентная схема
генератора шумового напря-
напряжения в цепи затвора ПТ, ха-
характеризующего шум за счет
генерации носителей в обед-
обедненном слое.
*n A+cdV) '
где F(VG, Vd) — функция, зависящая от значений напряжения

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 131
смещения Rn на затворе и стоке, а
^^(Vi+Vi)'1 E.43)
— постоянная времени ХШР-центров. Приближение, которое
используется в данном случае, соответствует обратно смещен-
смещенному р—я-переходу. В уравнении E.43) ср и сп — вероятности
захвата дырок и электронов, а р\ и rti определяются через
уровни ловушки Ет собственно уровня Ферми Et следующим
образом [53]:
pi = nt exp [(?,—ET)/kB]f E.44a)
= n. e
— Et)/kQ],
E.44б)
где щ — концентрация собственных носителей.
Величина Rn сильно зависит от температуры через пара-
параметр xt в числителе дроби в уравнении E.42). Это проще всего
показать в случае, когда энергетический уровень ловушки со-
совпадает с собственным уровнем Ферми. В таком случае темпе-
температурная зависимость xt полностью определяется выражением
xt ~ nf1 — б/2 exp (EG0/2kQ),
где Ego—величина запрещенной зоны полупроводника при
6=0 К. Множитель 6"~з/2 в этом выражении оказывает значи-
значительно меньшее влияние по сравнению с экспонентой, которая и
10
-8
10 ~" 1,0 10"
Частота} Гц
10ь
10'
Рис. 5.5. Зависимость Rn от температуры, согласно уравнению E.42) для
кремниевых ПТ.

132 Глава 5 ^
определяет температурную зависимость xt. По мере увеличения
температуры величина xt уменьшается и, следовательно, Rn
также уменьшается. Такое изменение xt влияет еще и на уве-
увеличение частотной полосы Rn при увеличении температуры.
Рис. 5.5 иллюстрирует температурную зависимость Rn для слу-
случая кремниевого ПТ. Кривые, представленные на этом рисун-
рисунке, были рассчитаны для значения EG0=l,2 эВ, и значения
т* = 5 мс при комнатной температуре.
Плотность центров генерации носителей входит в Rn только
через масштабный множитель функции F(Vg, Vd). Таким об-
образом, величина шума зависит от концентрации ловушек, на
частотная зависимость отсутствует.
Функция F(Vq, Vd) в уравнении E.42) расходится лога-
логарифмически при переходе ПТ в область насыщения. Эта труд-
трудность была отмечена Лауритценом [36], который избежал ее
в своей двухмерной модели тем, что считал ширину канала у
стока конечной и при смыкании. Эта проблема была также
рассмотрена Хаслеттом и Трофименковым [20] при анализе,,
основанном на модели функционирования транзистора в ре-
режиме смыкания, предложенной Трофименковым и Нордквистом
[59].
5.5.2. Шум канала ПТ
Шум, обусловленный флуктуациями плотности носителей в
канале ПТ, был рассчитан ван-дер-Зилом [62], а позднее Влие-
том и Хиаттом [69]. Такие флуктуации возможны в тех случа-
случаях, когда ХШР- и рекомбинационно-генерационные центры при-
присутствуют в области канала или при низких температурах, если
только часть доноров или акцепторов, находящихся в области
канала, ионизована.
Спектр такого шума можно выразить через эквивалентное
шумовое сопротивление Rn, которое по форме сходно с выраже-
выражением в уравнении E.42)
*«~ir+W- E-45>
где х — постоянная времени флуктуации. Такая форма спектра
экспериментально наблюдалась Хэллдеем и Бранком [14] на
кремниевых и германиевых ПТ. Однако трудно определить, был
ли шум, который они измеряли, обусловлен флуктуациями
плотности носителей в канале или генерационными процессами
в обедненной области. В соответствии с работой Саха [50] пер-
первая шумовая компонента должна быть незначительной при ком-
комнатной температуре.

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 133
Однако при понижении температуры флуктуации плотности
носителей в канале могут вносить существенный вклад в шум
ПТ. Черчилль и Лауритцен [6] выполнили измерения шумов в
кремниевых ПТ для температур ниже 125 К. Они обнаружили
уровни шумов примерно на 23 дБ выше, чем можно было ожи-
ожидать, имея в виду только тепловой шум канала. Их эксперимен-
экспериментальные результаты находятся в хорошем соответствии с гипо-
гипотезой о флуктуации плотности носителей, если в соответствую-
соответствующих выражениях учитывать зависимость подвижности носите-
носителей от величины электрического напряжения.
Вообще говоря, низкотемпературный шум ПТ нельзя объяс-
объяснить, исходя из представлений только об одном механизме-воз-
механизме-возникновения шума. Хиатт с сотр. [22] выполнили измерения
спектров шума при низких температурах в интервале 80—200 К
на нескольких приборах и показали, что имеют место несколь-
несколько типов генерационно-рекомбинационных процессов, два из
которых они связали с присутствием ловушек в канале ПТ.
Энергии активации, найденные для этих процессов, составляли
0,17—0,19 и 0,34—0,36 эВ. Менее глубокому уровню могут со-
соответствовать ловушки захвата с энергией 0,16 эВ, которые ча-
часто присутствуют в кремнии, и, как правило, их связывают с
присутствием кислорода [7, 35]; более глубокий уровень мо-
может быть связан с никелем, который имеет акцепторный уро-
уровень в кремнии на 0,35 эВ ниже дна зоны проводимости.
5.5.3. Шум тока утечки
Помимо теплового шума на выходе затвора имеется и шумг
связанный с током утечки Ig переходов затвор — канал. Спект-
Спектральная плотность этого последнего шума описывается выра-
выражением
E.46)
т. е. он проявляет себя как дробовой шум. Так как 5/ (со) не
зависит от частоты, а тепловой шум зависит от частоты по за-
закону >со2, то, очевидно, существует некоторая частота, ниже ко-
которой шум тока утечки будет превалировать. Эта частота мо-
может быть определена из сопоставления уравнений E.336) и
E.46)
где fT = gm/2nC — предельная частота «среза» ПТ. При fT =
= 10 МГц; /я=10-9 А и gmSat=10-3 мСм из уравнений E.47)
можно получить /с =100 кГц.

134 Глава 5
Кроме того, имеется составляющая шума в стоке, связанная
с утечкой переходов в ПТ, которая сильно скоррелирована с
шумом тока утечки затвора. Однако при комнатных темпера-
температурах в современных приборах эта первая составляющая шума
является незначительной, в то время как при высоких темпе-
температурах она становится весьма существенной и может опреде-
определить верхний предел температур, при котором ПТ ведет себя
как малошумящий прибор. Этот эффект был рассмотрен ван-
дер-Зилом [63]. Он включил в свое рассмотрение и МОП ПТ,
хотя данное явление для таких приборов выражено намного
менее ярко, чем для ПТ с р—д-переходом.
5.6. Экспериментальное измерение
генерационно-рекомбинационных шумов
Эквивалентное шумовое сопротивление флуктуации напря-
напряжения, связанное с генерационными процессами через ХШР-
центры в обедненных слоях переходов затвор — канал, имеет
вид [уравнение E.42)]
V)> E.48)
где xt — постоянная времени центров [уравнение E.43)], а кон-
константа пропорциональности является функцией напряжений на
затворе и стоке. При фиксированных напряжениях смещения и
для данной частоты coi величина Rn достигает максимума при
т^ = 1/coi. Так как величина п сильно зависит от температуры,
а константа пропорциональности имеет слабую температурную
зависимость (по крайней мере в тех случаях, когда уровни ло-
ловушек захвата попадают на собственный уровень Ферми), то
из этого следует, что при изменении температуры величина Rn
должна иметь один или несколько максимумов в зависимости
от числа различных центров захвата носителей (ловушек), при-
присутствующих в образце.
Подобное поведение на самом деле наблюдалось Хаслет-
том и Кенделлом [18]. Они провели измерения шумов на боль-
большом количестве я-канальных ПТ различных фирм-изготовите-
фирм-изготовителей и обнаружили удивительное согласие результатов, получен-
полученных на различных образцах. В качестве примера на рис. 5.6
приводятся результаты их измерений зависимости эквивалент-
эквивалентного шумового напряжения от температуры. Транзистор, на ко-
котором проводились измерения, был отобран как имеющий ма-
малые шумы при комнатной температуре. Подобные же кривые
были получены в большинстве случаев для большого количе-
количества ПТ одного и того же типа, единственным различием была
небольшая разница в величине пиков и температурах, при ко-

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 135
50
10 Гц
ю"
торых они имеют место. Даже транзисторы разных фирм-
изготовителей давали сходные результаты; во всех случаях
наблюдались ярко выраженные пики, как на рис. 5.6. Было
найдено, что температура, при которой определенный пик име-
имеет место, уменьшается по мере уменьшения частоты, на кото-
которой проводились измерения.
Такое поведение соответст-
вует уравнению E.48).
Так как золото стали ис-
использовать в коммерческих
ПТ, то очевидно присутствие
некоторого количества золо-
золота в кристаллической решет-
решетке кремния у таких прибо-
ров. Теперь уже золото в
кремнии является хорошо
изученным амфотерным
центром с акцепторным
уровнем, очень близким к
собственному уровню Фер-
Ферми в середине запрещенной
зоны кремния, и донорным
уровнем около 0,4 эВ над
границей валентной зоны.
Хаслетт и Кенделл предпо-
предположили, что этот акцептор-
акцепторный уровень золота обуслов-
обусловливает пик шума при тем-
температуре около 300 К
(рис. 5.6). Этот пик ярко
выражен и наиболее поня-
понятен из наблюдаемых. Существование же пика между 100 и
200 К объяснить труднее, но с уверенностью можно считать, что
этот пик не связан с донорным уровнем золота, так как он на-
находится значительно ниже середины запрещенной зоны крем-
кремния, чтобы давать шумовой вклад, сравнимый по величине с
вкладом, обусловленным акцепторным уровнем золота. Кроме
того, маловероятно, чтобы этот пик был обусловлен кислоро-
кислородом, как это предположили Клаассен и Робинсон [35], так как
в этом случае значение сечений захвата должно быть неразум-
неразумно большим. Хаслетт и Кенделл [18] предположили, что меха-
механизмом, обусловливающим появление данного пика, может быть
межзарядный обмен носителей между дислокациями (которые
действуют в качестве ловушек с энергией и сечениями захвата,
близкими к тем, что у акцепторного уровня золота) и уровнем
золота, расщепленным за счет напряжений в кристаллической
о
100
zoo
30Q
Т, И
Рис. 5.6. Зависимость эквивалентно-
эквивалентного шумового напряжения от темпе-
температуры при постоянном значении
частоты (согласно работе [18], с лю-
любезного разрешения, ©1872 IEEE).
V0S = 5 В; /о=1 мА.

136 Глава 5
решетке. Третий пик, который на частоте 10 Гц всегда наблю-
наблюдается вблизи 80 К, самый острый, а в ряде случаев и самый
большой среди всех наблюдаемых. Причина появления этого
пика также пока не ясна, но, согласно Хаслетту и Кенделлу, он
может определяться некоторой странной связью между уровня-
уровнями ловушек, которые меняют компоненту шума, связанную с
краями области перехода.
Интересное исследование низкочастотного избыточного шу-
шума было проведено недавно Кандиахом и Вайтингом [26]. Их
конечная цель заключалась в улучшении характеристик ПТ с
р—/г-переходами в усилителях, которые использовались в спект-
спектрометрии с детекторами ядерных излучений. В данном приме-
применении требования к шумовым характеристикам приборов очень
жестки. Они провели измерения на /г-канальном ПТ с четырь-
четырьмя выводами, один лишний вывод присоединялся к ^-подст-
^-подструктуре и функционировал как второй затвор. Этот вывод вто-
второго затвора использовали только для определения условий
смещения, в то время как верхний затвор использовался в ка-
качестве сигнального. Шумы измерялись в функции напряжения
смещения на втором затворе; при этом температура и ток сто-
стока служили переменными параметрами. Как и в работе Хас-
летта и Кенделла, и в этих исследованиях при изменении тем-
температуры пики появлялись и исчезали.
Однако самым замечательным в методе, использованном
Кандиахом и Вайтингом, было то, что он позволял наблюдать
за флуктуациями единичных зарядов на индивидуальных
ХШР-центрах. Это достигалось очисткой канала за счет изме-
изменения смещения на втором затворе. В частности, центр, нахо-
находящийся перед началом этой процедуры в обедненном слое над
каналом, по мере увеличения напряжения смещения на втором
затворе до среднего уровня переходил в канал, а затем по мере
того, как напряжение смещения на втором затворе достигало
максимального значения, и в обедненный слой, который нахо-
находился под каналом ПТ. Если флуктуации зарядовых состояний
ХШР-центра зависят от его местоположения, приводя, скажем,
к существенному различию уровня флуктуации при расположе-
расположении центра в нейтральной или обедненной области р—/г-пеое-
хода, то и шум должен зависеть от напряжения смещения на
втором затворе и кривую этой зависимости можно использовать
для изучения источников избыточного шума в таких ПТ.
Кандиах и Вайтинг нашли, что большая часть избыточного
шума появляется за счет ХШР-центров, локализованных в уз-
узкой переходной области1) шириной около 1000 А между кана-
1} Следует отметить, что термин «переходная область» в данном случае
отличается от общепринятого термина в смысле синонима для обедненной
области р—л-перехода.

Шцм полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 137
лом и полностью обедненной областью перехода затвор — ка-
канал. На рис. 5.7 приводится пример их наблюдений, указываю-
указывающий на присутствие двух центров, которые обозначены буква-
буквами А и Б. Эти центры вносят сравнительно большой вклад в
шум в тех случаях, когда они расположены либо непосредст-
непосредственно под каналом, либо непосредственно над ним. Большие
I
480
400
320
240
Де ерем ты рас- Дефекты
положены выше расположены
канала ниже канала
| 160
80
5
Рис. 5.7. Избыточный шум ПТ с р—/г-переходом в зависимости от напря-
напряжения смещения на втором затворе Vss для двух значений тока стока (со-
(согласно работе [26], с любезного разрешения «Пергамон Пресс»).
••• /0=2 мА; 70=4 мА.
различия в Vss между пиками А—А и В—В при большем то-
токе стока являются мерой увеличения ширины канала в этом
случае. Вообще говоря, чем больше число активных центров в
данном объеме «высасывается» каналом, тем большее количе-
количество пиков будет наблюдаться на кривых шумов, подобных
тем, которые представлены на рис. 5.7; как отметили Кандиах
и Вайтинг, было бы ошибкой считать, что во всех случаях си-
ситуация так же проста, как показанная здесь.
Кандиах и Вайтинг связывают пики шума с ХШР-центра-
ми с мелкими энергетическими уровнями в запрещенной зоне
полупроводника. О наблюдениях значительного шума от таких
центров при низких температурах сообщали Хаслетт и Кендалл
[18] и Ванг с сотр. [70]. Если бы эмиссия заряда была толь-
только единственным механизмом действия такого мелкого центра,
то время нахождения центра в одном зарядовом состоянии бы-

138 Глава 5
ло бы намного больше, чем время нахождения в другом, за
счет асимметрии уровня энергии центра в запрещенной зоне.
Шум от такого центра в этом случае был бы незначительным.
Однако если некоторое количество свободных зарядов нахо-
находится вблизи данного центра, то время флуктуации значитель-
значительно уменьшилось бы в результате процессов захвата зарядов,
и шум такого центра был бы заметен. Такой механизм был
предложен Кандиахом и Вайтингом для объяснения избыточ-
избыточного шума, наблюдаемого в случае очень узкой переходной
области (см. сноску на с. 136) между каналом и полностью
обедненной областью перехода. По-видимому, попеременная
эмиссия электронов и дырок с центров, имеющих уровни в се-
середине запрещенной зоны и находящихся на всем протяжении
обедненного слоя (механизм, рассмотренный Сахом [50]), вно-
вносит незначительный вклад в низкочастотный шум при темпе-
температурах ниже 200 К.
Согласно работе Кандиаха и Вайтинга, число активных
ХШР-центров с мелкими энергетическими уровнями в переход-
переходной области (см. сноску на с. 136) качественного ПТ с шири-
шириной канала около 1000 мкм и длиной канала около 2 мкм на-
находится в интервале 3—10. А так как именно эти изолирован-
изолированные центры главным образом и определяют уровень шума,
имеется возможность по крайней мере для ПТ с четырьмя вы-
выводами подобрать условия работы (температуру, ток стока и
напряжение смещения), которые минимизируют шум в нужном
частотном диапазоне. Этот метод неоднократно приводил к вы-
выгодам при использовании таких ПТ в спектрометрии рентгенов-
рентгеновского излучения.
5.7. Поведение в сильном электрическом
поле
У ПТ с р—я-переходами и МОП ПТ с очень короткими ка-
каналами напряженность электрического поля в канале может
быть очень большой. При напряженностях поля выше порого-
порогового значения Ео подвижность носителей заметно уменьшается
с увеличением напряженности Е по закону, который прибли-
приближенно можно представить в виде [58]
И^М1+ВД-1/2, E-49)
где \хо — подвижность носителей в слабом поле, а ?0^5000 В/см
для электронов в кремнии. В литературе можно встретить урав-
уравнения, являющиеся альтернативами E.49); наиболее часто упо-
употребляемым из них является уравнение, полученное Даси и

Шум полевых транзисторов с р— п-переходом и МОП-структурой 139
Россом [8] и использованное Хэллдеем и ван-дер-Зилом [15],
в котором \х изменяется по закону ?~1/2.
Кроме изменения подвижности носителей, сильные электри-
электрические поля вызывают и другой эффект, состоящий в увеличе-
увеличении температуры свободных носителей по сравнению с темпера-
температурой кристаллической решетки, т. е. создают популяцию го-
горячих носителей. Эффективная температура таких носителей Qe
приблизительно определяется выражением1*
е,^ео[1+р(вд)], E.50)
где параметр р зависит от температуры кристаллической ре-
решетки 0О. В германии р~1 при 90=300 К и 10<р<15 при
6о = 77 К. Клаассен [30], признавая, что нет пригодных экспе-
экспериментальных данных для оценки величины р в кремнии, по-
полагал, что р в кремнии имеет почти такие же величины, что
и в германии, и поэтому использовал значения, приведенные
выше.
Обе эти зависимости [уравнения E.49) и E.50)], сказы-
сказывающиеся в сильных полях, обусловливают увеличение тепло-
теплового шума в канале ПТ. Если для эквивалентного сопротивле-
сопротивления теплового шума в области насыщения использовать выра-
выражение
E.51)
то в отсутствие эффектов сильного поля tx~2/3 [уравнение
E.296)]. Клаассен [31] показал, что зависимость подвижности
носителей от напряженности электрического поля и разогрев
носителей может привести к величинам а, превышающим еди-
единицу, вплоть до а~5 в зависимости от напряжения смещения,
геометрии прибора и особенно от температуры. При комнат-
комнатной температуре а^1, но при температуре жидкого азота вели-
величина а может быть значительно больше единицы. Это связано
главным образом с разогревом носителей, обычно только одно-
одного этого процесса достаточно для значительного увеличения
тепловых шумов при 77 К по сравнению с комнатной темпе-
температурой [35, 46]. Для получения оптимального режима малых
шумов рабочая температура высокочастотных ПТ с р—п-пе-
реходом, как правило, несколько выше, чем 77 К.
*> Первые известные из литературы измерения величины 9в [9] были про-
проведены на одном кристалле германия я-типа; результаты измерений показа-
показали, что разность 6е—0О в слабых полях имеет квадратичную зависимость
от Е, а в сильных (более 900 В/см) — почти линейную зависимость от Е
[как в уравнении E.50)]. Полагают, что зависимости @е—90)~?2 экспери-
экспериментально продемонстрировали Такаги с сотр. [55] для кремниевого эпитак-
сиального слоя. Линейная зависимость E.50) нами используется потому, что,
на наш взгляд, является достаточно обоснованной экспериментальными изме-
измерениями величины бе и ее можно считать общепринятой в литературе.

*40 Глава 5 a
При работе в области полей, значительно выше начала
смыкания канала, процесс умножения заряда (образование
лавин носителей), связанный с крайне высокими значениями
напряженности электрического поля вблизи стока, может вно-
вносить существенный вклад в выходной шум ПТ, особенно при
низких температурах.
В том случае, когда имеет место образование лавины, па-
пары электрон — дырка образуются за счет ударной ионизации и
неосновные носители сразу же попадают на затвор, тем самым
приводя к увеличению тока затвора, тогда как основные носи-
носители перемещаются к стоку. Увеличение тока затвора наблю-
наблюдал Риан [49]; об аналогичном явлении в /г-канальных МОП-
транзисторах сообщили Накахара с сотр. [42]. Увеличение шу-
шумов, обусловленных этим механизмом, наблюдали в германие-
германиевых ПТ с р—/г-переходом Радека [45], а в кремниевых — На-
Накахара с Кабаяси [43] и Клаассен с Робинсоном [35]. Краткое
теоретическое рассмотрение данного явления проведено ван-
дер-Зилом и Чанеттом [66].
5.8. Шум типа 1//
в ПТ с р — п-переходом
При комнатных температурах избыточный 1//-шум в хоро-
хороших малошумящих кремниевых ПТ с р—/г-переходом обычно
незначителен. Отсутствие 1//-шума в подобных ПТ отличает их
от почти всех других твердотельных приборов. Этот факт, кро-
кроме того, естественно приводит к заключению, что 1//-шум свя-
связан не с объемными эффектами, а с процессами, имеющими
место на поверхности раздела полупроводник — окисел, возмож-
возможно, из-за флуктуации в заселенности поверхностных состояний;
подобные поверхностные эффекты отсутствуют в ПТ с р—п-ие-
реходом, так как канал таких ПТ отделен обедненным слоем,
локализованным в объеме данного транзистора,
Удивительно, что ПТ на основе GaAs обладают значитель-
значительной величиной 1//-шума [57]. Это явление было объяснено ван-
дер-Зилом [64], который отметил, что у таких транзисторов
ширина затвора много меньше длины технологического канала.
Поэтому имеется большая площадь поверхности раздела по-
полупроводник— окисел между истоком и затвором и между за-
затвором и стоком, и в этих областях создается значительная
величина избыточного 1//-шума.
При низких температурах (ниже 200 К) спектры шумов
кремниевых ПТ с р—^-переходом указывают на наличие не-
нескольких типов генерационно-рекомбинационных процессов, од-
однако компонента 1//-шума отсутствует [22]. Этот факт нахо-

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 141
дится в согласии с более ранними результатами наблюдений
Клаассена и Робинсона [35], однако при температурах выше
200 К, согласно работе [35], имеется компонента, связанная с
избыточным l/f-шумом, которая уменьшается с увеличением
температуры. Простого объяснения этой температурной зави-
зависимости нет.
5.9. Эквивалентные схемы для ПТ
с р — п-переходом
К счастью, не все составляющие шума в ПТ с р—я-перехо-
дом присутствуют одновременно. При комнатных температурах
и при нормальных рабочих условиях, как правило, тепловой
шум канала и дробовой шум, связанный с током утечки на за-
затворе, наиболее важны. Их можно представить двумя эквива-
Рис. 5.8.
•а — шумовые генераторы тока на входе и выходе ПТ с р—п-переходом; б — эквивалент-
эквивалентная цепь, в которой выходной генератор тока трансформируется во входную цепь в ка-
качестве последовательно соединенного генератора напряжения.
лентными генераторами тока i\(t) и h(t), подключенными меж-
между истоком и стоком, а также затвором и истоком соответствен-
соответственно, как это показано на рис. 5.8, а. Простой трансформацией
выходной генератор можно переместить на вход в качестве по-
последовательно соединенного генератора напряжения vn(t), как
показано на рис. 5.8, б.
Спектральные плотности входных шумовых генераторов то-
тока и напряжения можно получить непосредственно из уравне-

142 Глава 5
ний E.296), E.336) и E.46)
E.52)
E.53)
а нормализованную кросс-спектральную плотность с учетом
корреляции между тепловым шумом затвора и стока — из урав-
уравнения E.35)
~ -0,4/. E.54)
Соответствующее значение шума тока утечки затвора и тепло-
теплового тока канала равняется нулю.
Когда источник сигнала обладает только активным сопро-
сопротивлением, коэффициент шума ПТ вообще не включает в себя
тепловой шум Г^, так как последний является чисто мнимой
величиной. Считая, что сопротивление источника Rs, имеем для
коэффициента шума выражение
Z71 I SinRs I Svn /cm
Его минимум достигается при следующем значении Rs:
D 1/ /С /О \ /С СС\
и описывается выражением
Для высоких частот, когда доминирует первый член в правой
части уравнения E.52), минимальное значение коэффициента
шума, определяемое из уравнения E.57), принимает вид
E.58)
Для частоты, равной gmsat/2jtC (произведение коэффициента
усиления на ширину полосы), минимальное значение коэффи-
коэффициента шума, согласно этому выражению, составляет 1,82 или
2,6 дБ.
Предельного улучшения можно достичь шумовой настройкой
при использовании источника только с реактивным сопротивле-

Шум полевых транзисторов с р — п-переходом и МОП-структурой 143
яием. В этом случае минимальное значение коэффициента шу-
шума описывается формулой
= 1 4—^- B/ЗУ'2 A —0,16)»/*. E.59)
?msat
Если (oC/gmSat=l, это выражение дает значение /г0=1,75 или
2,4 дБ.
5.10. Шум в МОП ПТ
Механизмы возникновения шумов в МОП ПТ по существу те
же, что и в ПТ с р—/г-переходом, главным отличием является
1//-шум, который на низких частотах является доминирующим
в МОП ПТ [25, 72]. Тот факт, что 1//-шум наблюдается в МОП
ПТ и почти отсутствует у качественных ПТ с р—/г-переходом,
является весьма серьезным подтверждением того, что этот шум
связан скорее с поверхностными, чем с объемными эффектами.
Но что бы ни являлось источником 1//-шума, именно этот шум
«е позволяет отнести МОП-транзисторы к классу малошумя-
щих приборов.
Избыточные 1//-шумы в МОП-транзисторах исследовались
многими авторами [1, 2, 5, 11, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 44]; статьи
ло этому вопросу были, кроме того, опубликованы Левенталем
[41] и Леенбергом '[38]. В большинстве теоретических моделей
1 //-флуктуации в МОП-транзисторах данный вид шума рас-
рассматривается как поверхностный эффект, хотя детали его пове-
поведения все еще остаются непонятными. В одной из последний по-
подобных моделей [65], которая включает в себя ряд особенно-
особенностей предыдущих теорий, рассматривается взаимодействие но-
носителей в канале с поверхностными состояниями на границе
раздела полупроводник—окисел. При этом постулируется, что
имеет место дополнительное взаимодействие посредством тун-
«елирования между носителями на этих поверхностных состоя-
состояниях и ловушками в слое окисла. Этот механизм приводит к
модуляции числа свободных носителей в канале и, кроме того,
<к модуляции поверхностного потенциала, тем самым приводя
к флуктуации подвижности в области поверхности. На этих
двух эффектах (флуктуации числа носителей и флуктуации их
подвижности) и основано рассмотрение ван-дер-Зила. В другой
модели, предложенной недавно Вандаммом [68], 1//-шум трак-
трактуется как действительная флуктуация подвижности носителей
© канале транзистора. Иными словами, это — обычный эффект,

144 Глава 5
следовательно, 1//-шум должен присутствовать и в ПТ с р—п~
переходом. Но так как в ПТ с р—/г-переходом 1//-шум отсут-
отсутствует, то, по-видимому, такая «объемная» модель не подходит
к этим транзисторам; а если она не подходит к ПТ с р—/г-пе-
р—/г-переходом, то она, по всей вероятности, не является достаточно
обоснованной и для описания избыточного 1//-шума в других
кремниевых транзисторах.
Помимо l/f-шума, главными источниками шума в МОП ПТ
являются тепловой шум канала [32] и генерационно-рекомби-
национный шум в областях пространственного заряда [71, 73].
Оба этих шума можно анализировать, во многом используя те
же методы, что и в случае ПТ с р—/г-переходом. Одно время
ван-дер-Зил и его сотр. полагали [16, 17, 56], что, помимо теп-
теплового шума канала в МОП ПТ, имеет место составляющая
избыточного «белого» шума. Несостоятельность данного пред-
предположения вскоре показали Яу и Сах [72]; они утверждали,
что эта наблюдаемая избыточная составляющая шума на са-
самом деле является составляющей l/f-шума и что неправильное
толкование ряда предыдущих исследователей связано с изме-
измерениями шума на недостаточно высоких частотах при исполь-
использовании приборов, которые имеют очень большие 1//-шумы.
Высокочастотные шумы в МОП ПТ изучались Шоджи [54],
Клаассеном и Принсом [33, 34], а также Люппом и Страттом
139,401.
Простую теорию тепловых флуктуации в канале ПТ следует
модифицировать, если принимать во внимание объемный заряд,
связанный с ионизированными примесями в подложке. Сах с
сотр. [51] исследовали влияние этого объемного заряда на шу-
шумовой ток стока и нашли, что он может приводить к увеличе-
увеличению уровня теплового шума в 4 раза по сравнению с уровнем,
который предсказывает теория без учета этого факта. На шу-
шумовой ток затвора объемный заряд существенного влияния не
оказывает [47].
ЛИТЕРАТУРА
1. G. Abowitz, E. Arnold, E. A. Leventhal A967), Surface states and 1/f noise
in MOS transistors, IEEE Trans. Elect. Deu., ED—14, 775—777.
2. F. Berz A970), Theory of low frequency noise in Si MOSTs, Solid State
Elect., 13, 631—647.
3. W. С Brunke A963), Noise measurements in field effect transistors, Proc
IEEE (Correspondence), 51, 378—379.
4. W. C. Brunke, A. van der Ziel A966), Thermal noise in junction-gate field-
effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 323—329.
5. S. Christenson, I. Lundstrom, C. Svensson A968), Low frequency noise in
MOS transistors. I: theory, Solid State Elect., 11, 797—812; II: experiment
Solid State Elect., 11, 812—820.
6. M. J. Churchill, P. O. Lauritzen A971), Carrier density fluctuation noise in

Шум полевых транзисторов с р— п-переходом и МОП-структурой 145
silicon junction field effect transistors at low temperatures, Solid State
Elect., 14, 985—993.
7. J. C. Courvoisier, W. Haidinger, P. J. W. Jochems, L. J. Tummers A963),.
Evaporation — condensation method for making germanium layers for tran-
transistor purposes, Solid State Elect., 6, 265—270.
8. G. C. Dacey, I. M. Ross A953), Unipolar 'field effect' transistor, Proc.
IRE, 41, 970—979.
9. E. Erlbach, J. B. Gunn A962), Noise temperature of hot electrons in germa-
germanium, Phys. Rev. Lett., 8, 280—282.
10. H. S. Fu, С. Т. Sah A969), Lumped model analysis of the low frequency
generation noise in gold-doped silicon junction-gate field-effect transistors,
Solid State Elect., 12, 605—618.
11. H. S. Fu, C. T. Sah A972), Theory and experiments on surface 1/f noise,,
IEEE Trans. Elect. Dev., ED—19, 273—285.
12. A. S. Grove A967), Physics and Technology of Semiconductor Devices,..
John Wiley, Chapter 8.
13. J. A. Geurst A965), Calculation of the high-frequency characteristics of field-
effect transistors, Solid State Elect., 8, 563—566.
14. H. E. Halladay, W. С Brunke A963), Excess noise in field-effect transistors,.
Proc. IEEE, 51, 1671.
15. H. E. Halladay, A. van der Ziel A968a), Field-dependent mobility effects irt
the excess noise of junction-gate field-effect transistors, IEEE Trans. Elect.
Dev. (Correspondence), ED—14, 110—111.
16. H. E. Halladay, A. van der Ziel A968b), Test of the thermal noise hypothesis
in MOSFETs, Elect. Lett., 4, 366—367.
17. H. E. Halladay, A. van der Ziel A969), On the high frequency excess noise
and equivalent circuit representation of the MOS—FET with n-type channel,
Solid State Elect., 12, 161—176.
18. J. W. Haslett, J. M. Kendall A972), Temperature dependence of low-frequency
excess noise in junction-gate FETs, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—19,
943-950.
19. J. W. Haslett, F. N. Trofimenkoff A969a), Thermal noise in field-effect devi-
devices, Proc. IEE, 116, 1863—1868.
20. J. W. Haslett, F. N. Trofimenkoff A969b), Generation noise resistance in
junction field effect transistors at pinch-off, Solid State Elect., 12, 747—
750.
21. J. R. Hauser A965), Small signal properties of field effect devices, IEEE
Trans. Elect. Dev., ED—22, 614—616.
22. C. F. Hiatt, A. van der Ziel, К. М. van Vliet A975), Generation—recombina-
Generation—recombination noise produced in the channel of JFETs, IEEE Trans. Elect. Dev.,
ED-22, 614—616.
23. S. T. Hsu A970), Surface state related 1/f noise in MOS transistors, Solid'
State Elect., 13, 1451—1459.
24. S. T. Hsu, D. J. Fitzgerald, A. S. Grove A968), Surface-related 1/f noise irr
p—n junctions and MOS transistors, Appl. Phys. Lett., 12, 287—289.
25. A. G. Jordan, N. A. Jordan A965), Theory of noise in metal oxide semicon-
semiconductor devices, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—12, 148—156.
26. K. Kandiah, F. B. Whiting A978), Low frequency noise in junction field4
effect transistors, Solid State Elect., 21, 1079—1088.
27. H. Katto, M. Aoki, E. Yamada A977), Proc. Symposium on 1/f functions,,
Tokyo, July 11—13; A977) Conf. Rep., 148—153.
28. H. Katto, Y. Kamigaki, Y. Itoh A974), Proc. 6th Conf. on Solid State Devices,
Tokyo; A975), Supplement to the J. of Japan Soc. of Applied Physics, 44,
243—248.
29. F. M. Klaassen A967), High-frequency noise of the junction field effect!
transistor, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—14, 368—373;

146 Глава 5 ^
30. F. M. Klaassen A970), On the geometrical dependence of 1/f noise in MOS
transistors, Philips Research Reports, 25, 171—174.
31. F. M. Klaassen A970), On the influence of hot carrier effects on the therma»
noise of field-effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—17, 858—
862.
32. F. M. Klaassen, J. Prins A967), Thermal noise of MOS transistors, Philips
Research Reports, 22, 505—514.
33. F. M. Klaassen, J. Prins A968), Noise in VHF and UHF MOS tetrodes,
Philips Research Reports, 23, 478—484.
34. F. M. Klaassen, J. Prins A969), Noise of field-effect transistors at very high
frequencies, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—16, 952—957.
35. F. M. Klaassen, J. R. Robinson A970), Anomalous noise behaviour of the
junction gate field effect transistor at low temperatures, IEEE Trans. Elect.
Dev., ED—17, 852—857.
36. P. O. Lauritzen A965), Low-frequency generation noise in junction field
effect transistors, Solid State Elect., 8, 41—58.
37. P. O. Lauritzen, С. Т. Sah A963), Low frequency recombination—generation
noise in silicon FETs, presented at 1963 IEEE Solid State Device Research
Conference, Lansing, Mich.; abstract, IEEE Trans. Elect. Dev.t ED—10,
334—335.
38. F. Leuenberger A968), 1/f noise in gate-controlled planar silicon diodes,
Elect. Lett., 4, 280.
.39. A. Leupp, M. J. O. Strutt A968), Noise behaviour of the MOSFET at VHF
and UHF, Elect. Lett., 4, 313—314.
40. A. Leupp, M. J. O. Strutt A969), High-frequency FET noise parameters and
approximation of the optimum source admittance, IEEE Trans. Elect Dev.,
ED—16, 428—431.
41. E. A. Leventhal A968), Derivation of 1/f noise in silicon inversion layers
from carrier motion in a surface band, Solid State Elect., 11, 621—627.
-42. M. Nakahara, H. Iwasawa, K. Yasutake A968), Anomalous enhancement of
substrate terminal current beyond pinch-off in silicon n-channel MOS tran-
transistors and its related phenomena, Proc. IEEE (letters), 56, 2088—2090.
-43. M. Nakahara, I. Kobayashi A970), On the gate current and noise behaviour
in pinched-off silicon junction field-effect transistors, Proc. IEEE (letters),
58, 1158—1159.
-44. E. M. Nicollian, H. Melchior A967), A quantitative theory of 1/f type noise
due to interface states in thermally oxidized silicon, Bell Syst. Tech. J., 46,
2019—2033.
-45. V. Radeka A967), Field effect transistor noise as a function of temperature
and frequency, Conference on Semiconductor Radiation Detectors and Cir-
Circuits, Gatlinburg, Tenn. May 1967.
46. V. Radeka A969), FET noise as a function of temperature and frequency, in
Semiconductor Nuclear Particle Detectors, Washington, DC, National Aca-
Academy of Sciences, publ. 1593.
-47. P. S. Rao A969), The effect of the substrate upon the gate and grain noise
of MOSFETs, Solid State Elect, 12, 549—555.
-48. F. N. H. Robinson A969), Noise in field-effect transistors at moderately
high frequencies, Elect. Eng., 41, 353—355.
• 49. R. D. Ryan A969), The gate currents of junction field-effect transistors at
low temperatures, Proc. IEEE (letters), 57, 1225—1226.
50. С. Т. Sah A964), Theory of low-frequency generation noise in junction-gate
field-effect transistors, Proc. IEEE, 52, 795—814.
.51. С. Т. Sah, S. Y. Wu, F. H. Hielscher A966), The effects of fixed bulk charge
on the thermal noise in metal-oxide semiconductor transistors, IEEE Trans.
Elect. Dev., ED—12, 148—156.
;52. W. Shockley A952), A unipolar 'field-effect' transistor, Proc. IRE, 40,
1365—1376.

Шум полевых транзисторов с р—п-переходом и МОП-структурой 14Т
53. W. Shockley, W. Т. Read Jr. A952), Statistics of recombination of holes and
electrons, Phys. Rev., 87, 835—842.
54. M. Shoji A966), Analysis of high-frequency thermal noise of enhancement
mode MOS field-effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 520—
524.
55. K. Takagi, Y. Sumino, K. Tabata A976), Correlation coefficient of gate and:
drain noise at high electric field, Solid State Elect, 19, 1043—1045.
56. K. Takagi, A. van der Ziel A969), Non-thermal noise in MOS FETs and:
MOS tetrodes, Solid State Elect., 12, 907—913.
57. K. Takagi, A. van der Ziel A979), High frequency excess noise and flicker-
noise in GaAs FETs, Solid State Elect., 22, 285—287.
58. F. N. Trofimenkoff A965), Field-dependent mobility analysis of the field-
effect transistor, Proc. IEEE (Correspondence), 53, 1765—1766.
59. F. N. Trofimenkoff, A. Nordquist A968), FET operation in the pinch-off;
mode, Proc. IEE, 115, 496—502.
60. A. van der Ziel A962), Thermal noise in field-effect transistors, Proc. IREy,
50, 1808—1812.
61. A. van der Ziel A963a), Gate noise in field-effect transistors at moderately
high frequencies, Proc. IEEE, 51, 461—467.
62. A. van der Ziel A963b), Carrier density fluctuation noise in field effect
transistors, Proc. IEEE (Correspondence), 51, 1670—1671.
63. A. van der Ziel A969), Noise in junction and MOS—FETs at high tempe-
temperatures, Solid State Elect., 12, 861—866.
64. A. van der Ziel A979), Flicker noise in electronic devices, Advances iw
Electronics and Electron Physics, 49, 225—297.
65. A. van Ziel A980), The oxide trap model of 1/f noise in MOSFETs, Proc.
Symp. on 1/f fluctuations, Orlando, Florida.
66. A. van der Ziel, E. R. Chenette A978), Noise in solid state devices, Advan-
Advances in Electronics and Electron Physics, 46, 313—383.
67. A. van der Ziel, J. W. Его A964), Small signal, high frequency theory of
field-effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—11, 128—135.
63. L. K. J. Vandamme A980), Model for 1/f noise in MOS transistors biased iiv-
the linear region, Solid State Elect., 23, 317—323; 1/f noise model for
MOSTs biased in nonohmic region, Solid State Elect., 23, 325—329.
69. K. M. van Vliet, С F. Hiatt A975), Theory of generation—recombination
noise in the channel of junction field effect transistors, IEEE Trans. Elect.
Dev., ED-22, 616—617.
70. K. K. Wang, A. van der Ziel, E. R. Chenette A975), Neutron-induced noise
in junction field effect transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—22, 591—
593.
71. L. D. Yau, С. Т. Sah A969a), Geometrical dependences of the low-frequency
generation—recombination noise in MOS transistors, Solid State Elect., 12,
903—905.
72. L. D. Yau, С. Т. Sah A969b), On the 'excess white noise' in MOS transistors,
Solid State Elect., 12, 927—936.
73. L. D. Yau, С. Т. Sah A969c), Theory and experiment of low-frequency gene-
generation—recombination noise in MOS transistors, IEEE Trans. Elect Dev
ED—16, 170—177.

-шум
«6.1. Введение
Если на резистор подать постоянное напряжение, то помимо
составляющей флуктуации тока, связанной с тепловым шумом,
наблюдается еще одна составляющая. Аналогично, когда посто-
постоянный ток протекает по резистору, имеет место дополнитель-
дополнительная случайная флуктуация в напряжении. Такая добавочная
составляющая шума наблюдается у большинства резисторов
при протекании постоянного тока или при подаче постоянного
напряжения и характеризуется спектральной плотностью, кото-
которая зависит от частоты по закону |/|~а, где а — более или ме-
менее постоянная величина, принимающая, как правило, значе-
значения 0,8—1,4. Спектральная зависимость такого вида наблюда-
наблюдается у некоторых микроволновых приборов в очень широком
.диапазоне, перекрывающем двенадцать порядков частоты
A0~6—106 Гц) и более. На самом деле, как теперь ясно, шум,
подчиняющийся закону (спектральная плотность обратно про-
пропорциональна частоте), проявляется практически у всех мате-
материалов и элементов, используемых в электронике: у собствен-
собственных полупроводников, приборов на р—я-переходах, у металли-
металлических пленок и «вискеров», у жидких металлов и растворов
электролитов, ламп с термокатодами, у сверхпроводников и
переходов Джозефсона; и обычно, где бы это явление ни на-
^блюдалось, оно имеет общее название: 1//-шум.
Ранее для l/f-шума употребляли различные названия: то-
токовый шум, избыточный шум, фликер-шум (при этом обычно
имели в виду флуктуации электронной эмиссии термокатода),
полупроводниковый шум (до того, как выяснилось, что им об-
обладают и металлы, и жидкие электролиты) и контактный шум
(хотя, хорошо известно, что l/f-шум в общем не является эф-
эффектом, связанным с контактами). Для предостережения отме-
отметим (очевидно, это стоит сделать), что хотя термин l/f-шум яв-
является общим для любого из этих явлений, из этого вовсе не
следует, что существует один общий для всех этих случаев
физический механизм возникновения шума такого типа. На
самом деле имеющиеся данные дают возможность полагать,
что причина возникновения l/f-шума в различных случаях со-
совершенно разная.

i/f-шум 149
Первые наблюдения 1//-шума выполнены более пятидесяти
лет тому назад [38], и с тех пор этот вопрос интенсивно раз-
разрабатывался. Большая часть этой первоначальной работы по
исследованию описана Беллом [5], он, кроме того, опублико-
опубликовал обзор по данному вопросу, в котором включены и резуль-
результаты более поздних исследований [6]. Ряд интересных и но-
новых ранее не существовавших аспектов 1//-шума рассмотрел
ван-дер-Зил [64], а Вайссман [69] выполнил теоретический
обзор по 1//-шуму, включающий самые последние теории. Не-
Некоторые теоретические и эмпирические модели, предложенные
для l/f-шума, рассмотрены Хугом [31]. Во всех этих обзор-
обзорных работах имеется большое количество ссылок на соответст-
соответствующие работы по данному вопросу.
1//-шум является универсальным типом флуктуации, он
проявляется не только при измерениях в электронике, но и во
всерасширяющемся ряде наблюдений в самых различных сфе-
сферах. Это отмечено, например, для таких явлений природы, как
землетрясения и грозы [46] и изменения уровня течения реки
Нил [22], хотя, конечно, спектры, которые выявляются в та-
таких случаях, нельзя считать спектрами мощности в обычном
смысле этого слова. Кроме того, некоторые биологические сис-
системы также обладают l/f-шумом: нормальный период сердце-
сердцебиения человека имеет флуктуации, спектральная плотность
которых изменяется приблизительно по закону 1/|/| для частот
ниже 0,3 Гц, подобную же форму имеет спектр флуктуации
волн мозга, в частности так называемых а-волн на электроэн-
электроэнцефалограммах (ЭЭГ). Оба этих факта отметил Муша [52].
Хорошо известно, что нейромембраны обладают флуктуация-
ми l/f, ряд ссылок на работы по исследованию такого шума в
данной области привел Хуг [31]. Другой областью, где име-
имеется 1//-шум, является музыка. Восс и Кларк [68] обнаружи-
обнаружили, что соотношение между интенсивностью и высотой звука в
классической музыке (Моцарт, Бах, Бетховен, Дебюсси) в за-
ладной, джазовой музыке, в музыке ансамбля «Битлз», а также
в музыке различных эпох соответствует зависимости l/f. Воз-
Возможно, еще более удивительным является то, что индивидуаль-
индивидуальное восприятие музыки существенно определяется видом ее
спектра: так, три музыкальных отрывка, «скомпонованные» на
основе случайных чисел и имевшие зависимости спектраль-
спектральных плотностей от частоты в виде l/|f|2, 1/|/| и l/|f|° (белый
шум), характеризовались слушателями как скучный A|/|2),
раздражающий (белый шум) и доставляющий удовольствие
A/|/|). Выходит, что «хорошая» музыка имеет спектр 1/|/|,
вероятно, из-за того, что ее время корреляции не настолько ма-
мало, чтобы сделать ее выводящей из равновесия своей беспоря-

150 Глава 6
дочностью, но и не столь велико, чтобы сделать ее предсказуе-
предсказуемой.
Можно привести немало и других примеров неэлектронных:
систем, когда выполняется закон 1/|/|, но мы не будем здесь
этого делать. Остальная часть данной главы будет посвящена
рассмотрению l/f-шума в электронных приборах и проводниках.
За последние два десятилетия накоплено очень большое ко-
количество данных по 1//-шуму для различных электронных при-
приборов. Эти экспериментальные данные часто ставят больше
вопросов, чем дают ответов, а иногда они даже противоречат
друг другу. Не понятна сама физическая причина возникнове-
возникновения l/f-шума, за исключением, может быть, нескольких част-
частных случаев; до сих пор нельзя со всей определенностью ска-
сказать, обусловлен ли l/f-шум явлениями, происходящими в объ-
объеме или на поверхности образца. Большая часть эксперимен-
экспериментальных данных позволяет предполагать, что у некоторых типов^
приборов это поверхностный эффект, как в случае МОП ПТ>
где важную роль в возникновении шума играет поверхность
раздела полупроводник — окисел; а у других приборов, таких,
как однородные резисторы, это объемный эффект, связанный со
случайной модуляцией сопротивления, обусловленной флуктуа-
флуктуацией числа или подвижности носителей заряда. В некоторой
степени озадачивает то, что имеются экспериментальные дан-
данные в пользу обеих этих гипотез: флуктуации и числа и подвиж-
подвижности носителей.
В противоположность основной массе экспериментальных
данных, данные о спектральной плотности 1//-шума в однород-
однородных материалах более или менее упорядочены. Хуг [30] сфор-
сформулировал эмпирический закон, из которого следует, что спект-
спектральная плотность такого шума обратно пропорциональна об-
общему числу носителей заряда в образце, и, несмотря на отсут-
отсутствие полной обоснованности, этот закон, по-видимому, отра-
отражает характерную особенность многих явлений, при которых
наблюдаются спектры l/f-шума. Но закон Хуга не связывается
с каким-то физическим механизмом возникновения 1//-шума и
считается, что до объяснения этого явления все еще далеко.
Предложено несколько теорий, из которых наиболее широко
обсуждались в литературе ловушки на поверхности и обмен
энергией с окружающей средой при тепловом равновесии. Хотя
эти теории, каждая сама по себе, дают возможность объяснить
ряд характерных черт данного явления, однако общей теории
возникновения l/f-шума в настоящее время не существует.
Именно факт отсутствия общей теории привел к появлению в
литературе другого подхода, основанного на дробном интегри-
интегрировании спектра белого шума. Такая процедура приводит к ма-
математическим выражениям, которым соответствует спектр нуж-

l/f-шум 151
ного вида, но она проливает мало света на физические меха-
механизмы возникновения такого шума.
Прежде чем обсуждать некоторые недавно полученные экс-
экспериментальные данные по l/f-шуму и наиболее разумные тео-
теории этого явления, мы рассмотрим некоторые свойства спект-
спектральной плотности, изменяющейся по закону 1/|/|а.
6.2. Масштабная инвариантность
Форма сигнала x(t) «истинного» 1//-шума характеризуется
функцией спектральной плотности, у которой а=1
SI \ I I ,^ I /П 1 \
где с не зависит от частоты. Эта спектральная форма оживлен-
оживленно обсуждается в литературе главным образом в связи с обос-
обоснованием общих предположений о гипотетическом низкочастот-
низкочастотном пределе, ниже которого эта функция уже неприменима для
описания шумового процесса. Предпринимались большие уси-
усилия для нахождения этого предела, но он так и не был обна-
обнаружен. Монсуар с сотр. [49] провели измерения 1//-шума у
МОП ПТ вплоть до частоты 5-10~5 Гц, а Калоянидис [15] вы-
выполнил аналогичные измерения на полупроводниковых мате-
материалах вплоть до частоты 5-10~7 Гц, однако серьезного откло-
отклонения от закона 1/|/| во всех случаях обнаружено не было.
Существование данного предела со стороны низких частот
следует из того, что при его отсутствии интегральная интенсив-
интенсивность спектра, имеющего вид, определяемый уравнением F.1),
будет бесконечно большой. В самом деле, обе (высокочастот-
(высокочастотная и низкочастотная) предельные области спектров такого ви-
вида приводят к неопределенности, но в первом случае такая
трудность легко разрешима, если считать, что существует высо-
высокочастотный предел, определяемый собственными временными
характеристиками любого механизма, обусловливающего дан-
данный шум, или системы, в которой он возникает, выше которого
закон, описываемый уравнением F.1), не выполняется; вместо
этого спектральная кривая будет спадать, по крайней мере по
закону I//2. В противоположность этому неопределенность, свя-
связанную с низкочастотной областью, нельзя ликвидировать, при-
привлекая какие-либо обоснованные физические аргументы, по
крайней мере те, которые известны в настоящее время. Важно,
однако, и не переоценивать значение этой неопределенности,
являющейся по характеру логарифмической; как отмечено ни-
ниже, нельзя ожидать, что она явится реальным препятствием,
поскольку нет никакой причины полагать, что низкочастотный

152 Глава 6
предел применимости закона 1/|/| может быть достигнут в до>-
ступном для измерений диапазоне частот.
До того, как продолжить рассмотрение вопроса о том, как
ведет себя 1//-шум на низких частотах, имеет смысл обсудить
интегральную мощность в интервале (положительных) угло-
угловых частот (Oi—со2:
0J
Рх К, u2) = -as- JSJH Ло = (с/2п) In K/co^. F.2)
Полученный простой результат показывает, что для определен-
определенного значения отношения частот 02/0I интегральная мощность
является постоянной. Следовательно, полная мощность шума,
например, в диапазоне 0,1 — 1 Гц равна мощности шума в диа-
диапазоне 1 —10 Гц или 10—100 Гц, т. е. между любыми частотами,
отличающимися на порядок. Подобное свойство 1//-шума носит
название масштабной инвариантности.
Если в уравнении F.2) устремить частоту сог к бесконечно-
бесконечности и при этом оставить частоту oi постоянной и конечной ве-
величиной, то легко видеть, что выражение для полной мощно-
мощности спектра имеет логарифмическую расходимость. По причи-
причине, которая была указана выше, в этом случае нет существен-
существенных затруднений, потому что распространение закона l/|f| на
бесконечно большие частоты не имеет физического смысла. Ес-
Если же в уравнении F.2) частоту oi устремить к нулю и при
этом оставить частоту сог постоянной и конечной величиной, та
выражение для полной мощности спектра стремится к беско-
бесконечности логарифмически, но в этом случае физически обосно-
обоснованной причины для ограничения мощности установить столь
же легко нельзя.
Рассмотрим следующий вопрос: препятствует ли расхожде-
расхождение полной мощности спектра в низкочастотном пределе спра-
справедливости закона 1/|/| вплоть до нулевой частоты? Можно
показать, что не препятствует, так как любое измерение шума
производится за время, которое, как бы велико оно ни было,
всегда будет конечным по своей продолжительности. Это озна-
означает, что самая меньшая измеренная частота, насколько мала
бы она ни была, будет всегда ограниченной. И неизбежное
следствие этого состоит в том, что нет в принципе причины,
почему частотная зависимость \/f для данного шума должна
была бы переходить в более слабую ниже некоторой предель-
предельной частоты; бесконечность, которая может проявляться толь-
только при наблюдениях за бесконечно большой отрезок времени,,
не сможет служить причиной для волнений.
Несколько отличный взгляд на вопрос о пределах справедли-
справедливости закона 1/|/| был изложен в работе Флина [21]; в ней ав-

l/f-шум 153
тор сделал попытку дать количественную оценку по порядку
•величины частотного интервала, в котором спектральная зави-
зависимость 1/|/| может иметь место. Он определил верхний пре-
предел на уровне 1023 Гц, исходя при этом из времени прохожде-
прохождения светом расстояния, равного классическому радиусу элект-
электрона, а нижний частотный предел — на уровне 10~17 Гц, что
связано с оценочным возрастом вселенной. Весь интервал пе-
перекрывает 40 декад, он громаден и, конечно, выходит за воз-
возможности экспериментальных исследований. Но полное средне-
среднеквадратичное значение 1/f-флуктуации равно только D0I/2~
~ 6 раз, т. е. меньше одного порядка. Флин воспользовался
экспериментальными данными Брофи [12] и получил цифру
3,5-10~7 Вт для полной мощности шума, соответствующей
всему частотному интервалу, т. е. 40 декадам, что на 6 по-
порядков меньше, чем входная мощность постоянного тока
@,39 Вт), которая использовалась в эксперименте Брофи.
Видно, что даже при подобной экстремальной оценке полная
мощность такого шума является незначительной по сравнению,
например, со значением подводимой мощности постоянного то-
тока, которая использовалась в этом эксперименте. И по-види-
по-видимому, не остается практических оснований ожидать, что за-
зависимость 1/|/| окажется непригодной ниже какого-то опреде-
определенного значения частоты, находящегося в доступном для экс-
эксперимента диапазоне.
63. Стационарность
Дискуссия о том, является ли 1//-шум статистически ста-
стационарным процессом, продолжается в литературе уже несколь-
несколько лет. Утверждения о том, что l/f-шум представляет собой
«стационарную» флуктуацию, столь же распространены как
утверждения о том, что он обладает некоторой степенью «не-
«нестационарности». При этом, как правило, точное определение
этих терминов остается не установленным, что приводит к то-
тому, что весь вопрос отчасти запутан. Данная проблема возни-
возникает, конечно, в связи с расходимостью спектра в нижнечас-
нижнечастотном пределе.
Для того чтобы внести ясность в данную ситуацию, ниже
будет проведено рассмотрение двух частных случаев шумового
спектра, а именно l/f-шум в ограниченной полосе частот (т. е.
такой, у которого отсутствует низкочастотная составляющая)
и l/f-шум без низкочастотной фильтрации (т. е. такой, у кото-
которого имеются все низкочастотные составляющие). Первый слу-
случай, т. е. шум в ограниченной полосе частот, соответствует тем
видам спектральной функции, которые исследуются при экспе-

154 Глава 6
риментальных измерениях (так как 1//-шум, реально наблюдае-
наблюдаемый при измерениях, всегда является ограниченным по полосе
частот, либо непосредственно за счет фильтрации, обусловлен-
обусловленной конечной полосой пропускания аппаратуры, либо косвенно
за счет ограниченного времени измерения), и такой шум яв-
является статистически стационарным процессом. Напротив,
l/f-шум без низкочастотной фильтрации является теоретиче-
теоретической абстракцией и он нестационарен.
6.3.1. 1//шум в ограниченной полосе частот
Рассмотрим l/f-шумовой процесс x(t) с такой полосовой
фильтрацией, что для него спектральная плотность мощности
имеет вид
с/1 со | для сох < со < (о2,
5*И= F.3)
О в остальных случаях,
где 0J и oi — соответственно верхняя и нижняя угловые часто-
частоты этой полосы. Используя теорему Винера — Хинчина и имея
в виду уравнение F.3), получаем, что автокорреляционная
функция x(t) описывается формулой
0J
^Lco, F.4)
0I
которую после замены переменной и преобразования пределов
интегрирования можно записать в виде
Ъ^>= ^г[^Кт)-аКт)], F.5)
где :
Z
^^ULdy F.6)
— интегральный косинус. Разложение интегрального косинуса
в ряд (см., например, [44]) дает
a(*)=T+in(z)+2ig??.. F.7)
k+i
где y = 0>5772... — постоянная Эйлера; таким образом, при
а—К), функция Ci(г) ведет себя как In (г). Следовательно>
средний квадрат x(t), который можно получить из уравнения

^ l/f-шум 155
F.5) в пределе х—И), описывается выражением
ц)х @) =z~- In ((Оо/а)^, F.8)
в согласии с уравнением F.2).
Из уравнений F.5) и F.8) видно, что для определенной
полосы частот с coi>0 автокорреляционная функция и значе-
значение среднего квадрата процесса, спектральная плотность
которого задается уравнением F.3), сходятся в пределе
к выражениям одного вида. Это означает, что статистические
меры (т. е. плотности вероятности), составляющие основу этих
•величин второго порядка, зависят только от времени запазды-
запаздывания т, но не от абсолютных отрезков времени, по которым
происходит усреднение ансамблей, что является условием ста-
стационарности в широком смысле. Таким образом, 1//-шум в
ограниченной полосе частот является по крайней мере стацио-
стационарным процессом в широком смысле.
Вопрос о стационарности 1//-шума впервые был поднят
Ърофи [12, 13], который выполнил измерения «дисперсии дис-
дисперсии», как это после него начали называть. Он брал выбор-
выборки 1//-шума за большое число отрезков времени и вычислял
дисперсию для каждой такой выборки. Однако эти дисперсии
•сами флуктуировали, потому что каждая была измерена в ин-
интервале времени конечной длительности. Степень этой флуктуа-
флуктуации и определялась как дисперсия дисперсии. Брофи нашел,
'что дисперсия дисперсии была больше для 1//-шума в ограни-
ограниченной полосе частот, чем для стационарного белого теплового
шума, что объясняет его ссылку на 1//-шум как на «шумный
шум»; он пришел к выводу, что 1//-шум «обладает некоторой
(формой условной стационарности».
По крайней мере качественно результаты Брофи согласуют-
согласуются с полученными выше выводами о том, что 1//-шум в ограни-
ограниченной полосе частот стационарен в широком смысле. Более
того, поскольку время корреляции 1//-шума намного больше,
чем у белого шума, то относительно большое значение диспер-
дисперсии дисперсии, обнаруженное у 1//-шума, не должно было быть
^неожиданным, и этот факт не следовало бы истолковывать как
доказательство того, что 1//-шум в ограниченной полосе час-
частот является нестационарным.
Дальнейшие эксперименты по изучению вопроса о стацио-
стационарности 1//-шума в ограниченной полосе частот были выпол-
выполнены Стойсеком и Вольфом [58]; они проводили измерения
флуктуации дисперсии шума от физических источников двух
типов (угольных резисторов и биполярных транзисторов) и
сравнивали результаты с «искусственным» 1 //-шумом, который
создавался формированием стационарного гауссова шума с

156 Глава 6
1/|/|-спектром. Они пришли к заключению, что нет оснований
для сомнений в том, что 1//-шум в ограниченной полосе частот
является статистически стационарным. Страсилла и Страсс
[59] пришли к подобному же заключению.
6.3.2. 1//-шум без низкочастотной фильтрации
В том случае, когда нижняя граница полосы частот coi рав-
равна нулю, спектр, задаваемый уравнением F.3), расходится,
следуя закону 1/|/|, вплоть до нулевой частоты. Несмотря на
то что подобный случай нельзя реализовать на практике, пред-
представляет интерес провести теоретическое исследование на ста-
стационарность сигнала x(t) l/f-шума. Последующее рассмотре-
рассмотрение основано на условии, которое должно быть удовлетворена
для любого стационарного процесса.
В том случае, когда случайная флуктуация x(t) является
статистически стационарной, применима теорема Винера — Хин-
чина, которая позволяет выразить спектральную плотность в
виде
Sx (со) = 4 C^rcoscoTdT, F.9)
где фл;(т)—автокорреляционная функция сигнала x(t). Диффе-
Дифференцируя это выражение по со, получим
= —41im Г тфх (т) sin cordr = 0. F.10)
со->0 J
0
Следовательно, наклон кривой спектральной плотности стацио-
стационарного процесса при частоте, равной нулю, есть нуль, или,
другими словами, спектральная кривая в низкочастотном пре-
пределе становится горизонтальной.
Подобное условие, очевидно, не может быть выполнено для
спектральной функции, которая продолжает возрастать по ме-
мере приближения к пределу нулевой частоты, т. е. в отсутствие
низкочастотной фильтрации 1//-шум является статистически не-
нестационарным процессом. На первый взгляд может показаться,
что из этого вытекают серьезные трудности, связанные с трудо-
трудоемкой математикой (расходящиеся интегралы) в построении,

l/f-шум 15Г
теории 1//-шума, но на практике дело обстоит иначе или по
крайней мере должно быть иначе. Эти вопросы обсуждаются1
ниже.
6.3.3. Стационарность и теоретическое моделирование
Как уже упоминалось, доступная для экспериментальных
исследований часть спектра со стороны низких частот огра-
ограничивается временем Т, за которое проводится измерение. Так:
как Т всегда конечно, в любом случае имеется часть спектраль-
спектральной области, недоступной для экспериментального исследова-
исследования. Легко видеть, что, если бы спектр выпрямлялся ниже не-
некоторой частоты, значительно меньшей, чем нижняя граница-
доступного для экспериментального наблюдения участка спект-
спектра, этот процесс был бы неотличим от того, который описыва-
описывается поднимающейся спектральной кривой; более того, он под-
подчинялся бы условию, вытекающему из уравнения F.10) и в-
соответствии с этим именовался бы стационарным. Следова-
Следовательно, при изменении спектра в крайне малой степени, причем
таким образом, что это нельзя экспериментально обнаружить,
характер процесса изменяется от нестационарного к стационар-
стационарному. Такое рассуждение показывает, что вопрос о стационар-
стационарности 1//-шума носит скорее семантический характер и почтш
не имеет значения с точки зрения физики явления. Дело в том,,
что математика позволяет получить выражения для статисти-
статистически стационарного случайного сигнала такого вида, свойст-
свойства которого в диапазоне наблюдений, доступном на практике,,
были бы неотличимы от измеряемых при исследовании 1//-шу-
1//-шумовых процессов. Реальная трудность связана не с математи-
математическим описанием явления, а с определением физических ме-
механизмов, которые обусловливают генерацию 1//-шума.
Из приведенных выше доводов видно, что предположение о
стационарности в широком смысле не противоречит экспери-
экспериментальным данным по исследованию 1//-шума. Достоинство
данного допущения состоит в том, что при построении матема-
математических моделей можно в качестве основы использовать уже
знакомую нам теорему Винера — Хинчина и другие родствен-
родственные ей теоремы, которые справедливы для стационарных про-
процессов. Но предположение о стационарности, по сути дела, от-
отвергает всякую возможность признания того, что 1//-шум по
своей природе — нестационарный сигнал. Оказывается, однако,,
что это не столь большая потеря, так как теоретические по-
построения для представления нестационарного процесса, как
правило, содержат физически не реализуемые признаки. Это
можно проиллюстрировать на примере работы Тэндона и Бил-
гера [60], в которой предлагается функция математического^

158 Глава 6
•ожидания E[y(t)y(t-\-r)] [их уравнение C)] нестационарного
.процесса y(t). Исследование предлагаемой ими функции по-
показывает, что она не достаточно обоснованна с точки зрения
причинности: она зависит от Го, т. е. интервала времени, за ко-
который происходит усреднение ансамбля, а это подразумевает
«предсказание» будущего. Не существует реальной системы, ко-
которая может вести себя таким образом.
По всей вероятности, нет таких причин, которые вынуждали
рассматривать l/f-шум в качестве нестационарного процесса, и,
в самом деле, такой подход безусловно невыгоден. С другой
стороны, если встать на прагматическую точку зрения и счи-
считать, что этот шум стационарен в широком смысле, то вносит-
вносится некоторая ясность во всю проблему. Это становится очевид-
очевидным из того факта, что стационарность требует отсечки со сто-
стороны низких частот, которая обеспечивает сходимость интегра-
интегралов, а это в свою очередь упрощает построение теоретических
моделей шума. Правда, при любом экспериментальном измере-
измерении спектра автокорреляционная функция или среднеквадра-
среднеквадратичное значение 1//-шума будут зависеть от времени измерения
Ту но это легко объяснить тем, что Т не является достаточно
большим для того, чтобы эти величины сходились к однознач-
однозначным конечным видам. Такая сходимость имела бы место толь-
только в тех случаях, когда Т превышало бы величину, обратную
принятой частоте отсечки.
Влияние конечности времени измерения на наблюдаемый
«спектр шума можно выразить с помощью эмпирической фор-
формулы
с/1 со | для 2п/Т < со < (о2,
О в остальных случаях,
которая формально схожа с уравнением F.3), за исключением
того, что вместо частоты coi, соответствующей нижней гранич-
граничной частоте полосы фильтрации, используется 2я/7\ Отметим,
что функциональная зависимость от Т включается в явном виде
в левую часть уравнения F.11). По аналогии с уравнениями
F.5) и F.8) автокорреляционная функция и средний квадрат
«случайного процесса со спектральной плотностью Sobs можно
записать соответственно в виде
F.12)
) = -?.1п(/1,Т), F.13)
:где /2 = со2/2л, a Ci( )—интегральный косинус, определенный

l/f-шум 151*
в уравнениях F.6) и F.7). Логарифмическая зависимость,
от Т среднего квадрата в уравнении F.13) была эксперимен-
экспериментально подтверждена Брофи [13].
6.3.4. Сравнение со случайным блужданием
Спектры l/f-шума и процесса Винера — Лёви (см. раздг.
2.10), который является одним из видов случайного блуждания,
сходны в том, что в обоих случаях имеет место закон обратной^
пропорциональности от частоты, в первом логарифмический*
наклон, примерно —1, а во втором —2. Но с точки зрения ста-
стационарности их поведение различно. Процесс Винера — Лёви —
кумулятивный и у него как у такового форма сигнала отчетли-
отчетливо выражена. В низкочастотном пределе у такого процесса га-
гарантируется изменение спектральной плотности с частотой по
закону 1/со2 и, следовательно, данный процесс является, безу-
безусловно, нестационарным. В таком случае не возникает вопроса,
связанного с граничной частотой спектра, так как это проти-
противоречит самой природе данного процесса (отсечка, представ-
представленная на рис. 2.5, б, не является особенностью самого спектра'
Винера — Леви, это — артефакт, связанный с конечной величи-
величиной селекции). Однако в случае же l/f-шума физические меха-
механизмы, обусловливающие форму сигнала, не являются отчет-
отчетливо выраженными и низкочастотная отсечка может существо»
вать, а может и не существовать; вопрос о стационарности та-
кого шума остается до сих пор все еще открытым, это уже об-
обсуждалось выше.
6.4. Форма сигнала с 1//-спектром
Уже было отмечено, что в общем случае физические причи-
причины возникновения l/f-шума все еще не ясны. Ключ к понима-
пониманию физического механизма, обусловливающего данное явле-
явление, может содержаться в характерных особенностях формы
данного сигнала, т. е. предполагается, что анализ математиче-
математического описания процесса, обладающего характеристиками
l/f-шума, может пролить свет на понимание физики, лежащей
в основе этого вида флуктуации.
Ниже обсуждаются два процесса, имеющие форму спектра
1/f. Первый процесс — это случайный цуг импульсов, модели
которого уделено удивительно мало внимания в литературе.
Шёнфельд [57] высказал мысль о том, что 1//-шум можно^
представить как случайную последовательность импульсов, ко-
которые имеют примерно одинаковую форму, а ван-дер-Зил [64]
дополнил эту модель, исходя из простейшей из возможных:

160 Глава б
форм таких импульсов. Но в общем очевидно, что к этому про-
процессу проявлен слабый интерес, исключение составляет работа
Белла [9], который рассмотрел модель подобного типа.
Другое математическое представление сигнала 1/f, рассмат-
рассматриваемое ниже, основано на суперпозиции большого числа ре-
релаксационных процессов с широкой вариацией характерных
постоянных времени [50, 61]. Эта модель получила широкое
признание, что, по всей вероятности, связано с ее непосредст-
непосредственным отношением к поверхностному механизму 1//-шума в
МОП ПТ, согласно которому носители туннелируют между по-
полупроводником и ловушками, локализованными в слое окисла.
Обобщение модели суперпозиции описано в работе [24].
<6.4.1. Модель 1//-шума, основанная на процессе
случайного цуга импульсов
Используя теорему Карсона (разд. 2.6), можно получить
выражение для спектральной плотности случайного цуга им-
импульсов x(t) при форме единичного импульса, заданного функ-
функцией f(t):
F.14)
тде F(j(u) —преобразование Фурье функции /(/); а2 — средний
квадрат высоты импульса, a v — средняя частота сле-
следования импульсов. Анализ уравнения F.14) показывает, что
частотная зависимость Sx полностью определяется формой от-
отдельного импульса f(t). Следовательно, вопрос состоит в выбо-
выборе такой формы отдельного импульса в цуге, которая приведет
к нужной спектральной функции, а именно 1/|/|а. (Подобный
вопрос уже встречался при рассмотрении теплового и дробово-
дробового шума, где в тех же случаях для формы импульса использо-
использовали дельта-функцию, ее преобразование равно единице и
спектры не зависят от частоты.)
Будем считать, что форма отдельного импульса в цуге опи-
описывается функцией
f(t)=u (t) tr- о-»/2* exp — (oj, F.15)
где а и сох — оба положительны и не зависят от времени; a —
приближенно, но не точно равно единице, а u(t)—единичная
ступенчатая функция. Фурье-преобразование функции f(t) опи-
описывается формулой

l/f-шум
161
где Г( )—гамма-функция. Интеграл в выражении F.16)
имеет стандартную форму и его значение можно найти в лю-
любой таблице, например в работе [23]. Если результат, получен-
полученный из уравнения F.16), подставить в выражение теоремы
Карсона, то найдем, что спектральная плотность процесса, мо-
моделируемого случайным цугом импульсов с формой отдельного
импульса, заданного выражением F.15), имеет вид
2va2r2 (a/2)
F.17)
Кривая, характеризующая зависимость F.17) представлена на
рис. 6.1, а. Из этого рисунка видно, что имеется граничная ча-
Рис. 6.1.
a — спектральная плотность Sx(a>), рассчитанная из уравнения F.17) и нормализованная
к нулевому значению частоты при а=1; б — соответствующая автокорреляционная функ-
функция, рассчитанная из уравнения F.19) при с-2я.
стота @=0)*, ниже которой кривая по существу параллельна
оси абсцисс, а в диапазоне, где со^хо^, можно провести аппрок-
аппроксимацию S*(со) следующим образом:
а=1,
F.18)
где c = 2va2r2(a/2). Такая спектральная зависимость соответст-
соответствует реально наблюдаемым спектрам l/f-шума даже вплоть до
возможности некоторого изменения логарифмического наклона
за счет показателя >а. Более того, закон обратной степенной за-
зависимости можно использовать в любом сколь угодно широком
диапазоне частот, так как величину граничной (угловой) час-
частоты «а*, входящей в выражение F.17), можно выбрать сколь
угодно малой. К тому же ясно, что сколь бы малым ни было

162 Глава 6
значение со* (при условии, однако, что оно не обращается в
нуль), функция Sx((u) в уравнении F.17) удовлетворяет усло-
условию стационарности (в широком смысле), неявно содержащему-
содержащемуся в уравнении F.10).
Если считать, что со* находится значительно ниже наблю-
наблюдаемого диапазона частот, то автокорреляционная функция и
значение среднего квадрата x(t) будут зависеть от времени
измерения 7\ как это обсуждалось в разд. 6.3.3.. С теорети-
теоретической точки зрения представляет интерес проанализировать
изменение этих статистических характеристик в пределе при
Т—>-оо. В этом случае для получения автокорреляционной
функции в интеграл Винера — Хинчина целесообразно подста-
подставить спектральную плотность в виде, описываемом уравнением
F.17), а не уравнением F.18):
= -±- \
cos cotdco = JL- Ko Кт), F.19)
где с целью упрощения используется коэффициент а, равный
единице, а Ко (co*t) — модифицированная функция Бесселя вто-
второго рода нулевого порядка. График зависимости функции
Ф*(т) от (йхХ приводится на рис. 6.1,6. Возможно смысл авто-
автокорреляционной функции легче понять, если аппроксимировать
данную функцию Бесселя суммой первых трех членов ее раз-
разложения в ряд
.., F.20)
где y = 0>5772... — постоянная Эйлера. Для случая малых ф*т,
которые нас и интересуют, очевидно, функция cp*(t) изменяет-
изменяется как 1п(со*т), причем для фл^О она конечна во всех точках
по т, за исключением начала координат, где она имеет лога-
логарифмическую неопределенность, связанную с высокочастотной
границей спектра l/f-шума. Но это не большая помеха, чем
дельта-функция, входящая в автокорреляционную функцию
для белого шума, спектр которого распространен равномерно
до бесконечности: в обоих случаях бесконечность среднего
квадрата есть не что иное, как математическая абстракция,
так как в реальной ситуации ограничения полосы пропускания
приводят к конечным значениям этих величин. В случае же
когда сох = 0, легко видеть из уравнений F.19) и F.20), что
автокорреляционная функция является неопределенной при лю-
любом значении т. Несомненно, что такое странное с теоретиче-
теоретической точки зрения свойство связано с применимостью формулы
1/|/| вплоть до крайне малых значений частоты; и хотя для
1//-шума следует ожидать крайне больших значений времени

l/f-шум 163
корреляции, это свойство означает лишь экстремальное (по
нижней частоте) условие, которое по причинам, подробно рас*
смотренным выше, никогда нельзя наблюдать на опыте.
Ясно, что процесс, описываемый случайным цугом импуль-
импульсов в том случае, когда индивидуальный импульс примерно
описывается формулой /~1/2, приводит к тем же статистичес-
статистическим параметрам второго порядка, которые получают при экс-
экспериментальных измерениях l/f-шума. Конечно, физические ме-
механизмы, обусловливающие импульсы именно такой формы в
электронной аппаратуре или во многих неэлектронных систе-
системах, с первого взгляда не очевидны. В качестве механизма,
приводящего к модуляции электрического сопротивления об-
образца, которая в свою очередь приводит к возникновению
l/f-шума в определенном диапазоне частот, была предложена
термодиффузия; такой механизм можно интерпретировать как
процесс случайного цуга импульсов, рассмотренный выше. Хотя
термофлуктуации больше не считают единственным механиз-
механизмом, обусловливающим весь наблюдаемый l/f-шум (по крайней
мере в большинстве случаев), эта модель казалась многообе-
многообещающей в середине 1970-х гг. при ее возникновении. Одна при-
привлекательная особенность этого подхода состоит в том, что
равновесный обмен тепловой энергией между телом и его окру-
окружением есть явление универсальное и в этом смысле очень схо-
схожее с самим l/f-шумом. Однако другие факторы противоречи-
противоречили гипотезе о температурных флуктуациях, а эксперименталь-
экспериментальные данные, полученные к настоящему времени, таковы, что
данная модель, если не целиком отвергается, то и не оправ-
оправдывает связанных с ней надежд. Ввиду того внимания, которое
привлек к себе этот механизм, когда он был предложен, и воз-
возможности его повторного рассмотрения в будущем в модифи-
модифицированном виде, мы опишем его преимущества и недостатки
ниже в разд. 6.7.3.
6Л.2. Суперпозиция релаксационных процессов
Зависимость спектральной плотности релаксационного про-
процесса z(t) от времени релаксации х2 записывается в общем
виде
g(tz) —функциональная зависимость числителя от тг. Вид
функции g{%z) определяется физическим механизмом, обуслов-
обусловливающим шум; в некоторых случаях, например в случае теп-
теплового шума, функция g{tz) вообще не зависит от тг. Для на-
наших целей здесь нет необходимости конкретизировать вид

164 Глава 6
функции g(xz), однако впоследствии в связи с рассмотрением
модели 1//-шума в МОП ПТ, предложенной Мак-Уортером
(разд. 6.7.2), будет проанализирован случай, когда g(Tz)~Tz-
Допустим, что составлена линейная суперпозиция x(t) ре-
релаксационных процессов с постоянными времени, распределен-
распределенными между верхним и нижним предельными значениями т2 и
Ti с плотностью вероятности р(тг). Суммарная спектральная
плотность в этом случае имеет вид
ЗДP(т2)dxz = J ff^g dx*-
Для случая, когда произведение двух функций, стоящих в
числителе подынтегрального выражения, не зависит от хг и
равно, например, Р, этот интеграл записывается в виде
Sx (со) = Р farctg (сот2)—arctg (ют^/со. F.23)
Отметим, что это — четная функция частоты и в диапазоне
частот, когда o)t2^>l и O^orri^l, тригонометрические функции
в числителе можно считать приближенно равными я/2 и 0, что»
приводит к следующей приближенной зависимости от частоты:
F24>
Следовательно, суперпозиция релаксационных процессов
приводит к спектральной функции с обратно пропорциональной
зависимостью от частоты. Кроме того, в более общем виде мож-
можно прийти к зависимости |(о|~а, где а^1, если считать, что
числитель подынтегрального выражения в уравнении F.22)
пропорционален т**"**.
Основная трудность данной модели состоит в том, что для
получения нужного спектрального закона I/|f| в широкой об-
области частот требуется очень большой разброс постоянных вре-
времени. При t2/ti=106 выражение F.24) справедливо только в
диапазоне, перекрывающем четыре порядка по частоте, и, для
того чтобы получить диапазон, перекрывающий десять поряд-
порядков, следует увеличить это отношение тгМ до 1012. В некото-
некоторых случаях, как, например, у МОП ПТ, имеется возможность
указать такой физический механизм, который мог бы объяс-
объяснить существование постоянных времени, распределенных, ска-
скажем, в диапазоне 10~5—108 с, но в общем случае дело обстоит
не так, и представляется невероятным, чтобы суперпозиция
релаксационных процессов составляла основу большинства на-
наблюдаемых 1//-шумовых спектров.

l/f-шум 165
6.5. Интегралы дробного порядка
После того как стало ясно, что 1//-шум нельзя быстро укро-
укротить с помощью теоретического анализа и что объяснение фи-
физики процесса для большинства его проявлений не ожидается,
вышло в свет несколько работ, в которых данная проблема бы-
была рассмотрена, так сказать, с другой стороны. Эти работы ба-
базировались на идее, что спектральную функцию 1//-шума мож-
можно получить интегрированием половинного порядка белого шу-
шума [1, 47, 48]. Более формальная версия этой же идеи содер-
содержится в недавней работе [45].
По существу довод такой: если какой-то процесс x(t) име-
имеет равномерно распределенную спектральную плотность
S*((d)=So, to тогда спектральная плотность процесса, получен-
полученного интегрированием x(t) m раз, принимает вид
Sj^W)^-^-. F.25а)
Если считать, что 2т =1, то
5^2)И = 1|Г, F.256)
что и является требуемым спектром с обратной зависимостью
от частоты. Условие т=1/2 соответствует интегралу половин-
половинного порядка от x(t).
Хотя, используя интегралы дробного порядка, можно прий-
прийти к формуле 1/|/|, это настолько непонятная концепция, что
можно только удивляться, каким образом она может помочь в
построении физической модели l/f-шума. Несколько продвинул
вперед решение этой проблемы Радека [54], заключив, что
если белый шум пропустить через фильтр с передаточной функ-
функцией #(jco) = (/co)/2, то флуктуации на выходе фильтра бу-
будут иметь 1/|/|-спектр. В таком случае этот гипотетический
фильтр выполняет роль интегратора дробного порядка. Любо-
Любопытно, что поскольку белый шум можно представить как слу-
случайную последовательность импульсов, то сигнал на выходе
фильтра Радеки по своему характеру представляет случайный
цуг импульсов, причем в качестве формы индивидуального им-
импульса здесь выступает просто импульсная характеристика
h (t) фильтра. Заметим далее, что h(t)—это обратное фурье-
преобразование Н(/со), которое есть нуль при /<0 и имеет вид
h(t)~t~1/2 при /^0. Но это точно такая функция, которая
рассматривалась Шёнфельдом при анализе возможности моде-
моделирования 1//-шумового сигнала случайным цугом импульсов,
т. е. подход Радеки дает некий свежий взгляд на структуру

166 Глава 6
функции, описывающей такой шум, а мысль о подобном фильт-
фильтре, возможно, плодотворна в поисках физических механизмов
его возникновения.
6.6. Экспериментальные данные
Очевидно, наиболее впечатляющая черта 1//-шума — его
вездесущность: его наблюдали у всех видов угольных резисто-
резисторов, у полупроводниковых кристаллов, включая кремний и гер-
германий, у кристаллов группы III—V, у приборов на основе
р—я-переходов, у МОП-структур, у сплошных и несплошных
металлических пленок, металлических вискеров и водных элект-
электролитов. Кроме этого, он присутствует и у сверхпроводниковых
материалов. С другой стороны, заслуживает внимание тот
факт, что у хороших кремниевых полевых транзисторов с р—л-
переходами 1//-шум по существу отсутствует [29]; причем край-
крайне удивительно то, что ПТ из GaAs обладают значительным
l/f-шумом. Ван-дер-Зил отметил [63], что у этих двух типов
транзисторов различные структуры: канал в ПТ с р—я-перехо-
дами ограничивается обедненным слоем, тогда как у канала в
транзисторах из GaAs из-за малой площади затвора границей
является сравнительно большая область поверхности раздела
полупроводник — окисел. Отсутствие l/f-шума у кремниевых
ПТ можно объяснить, приписав его возникновение поверхност-
поверхностному механизму, связанному с центрами захвата носителей в
слое окисла [идея, о которой мы уже упоминали в связи с
рассмотрением МОП ПТ и которую мы еще обсудим позднее
'(разд. 6.7.2)].
Сходство формы наблюдаемых спектров у приборов различ-
различных типов приводит к искушению полагать, что в большинстве,
если не во всех своих проявлениях, 1//-шум обусловлен одним
и тем же физическим механизмом. Есть некоторое число экспе-
экспериментальных сведений в поддержку такого хода мыслей и это
нашло свое воплощение в эмпирической формуле, предложен-
предложенной Хугом [30] (разд. 6.6.4). Но каким бы привлекательным ни
было такое универсальное объяснение, взятые вместе экспери-
экспериментальные данные свидетельствуют о том, что существуют по
крайней мере два, а может быть и более механизмов: по-види-
по-видимому, 1//-шум может быть обусловлен как поверхностными,
так и объемными эффектами, причем физические причины воз-
возникновения шума в этих двух случаях различны.
Мы не ставим себе целью дать здесь исчерпывающий обзор
очень большого числа экспериментов по 1//-шуму, проведен-
проведенных за последние пятьдесят или более лет. Большая часть этих

l/f-шум 167
работ уже разбиралась в обзорных статьях Белла и ван-дер-
Зила, которые цитировались нами в разд. 6.1. Вместо этого мы
рассмотрим лишь несколько фактов и заключений (часть из
них совсем новые), которые позволяют выделить наиболее су-
существенные особенности l/f-шума. Результаты экспериментов
по исследованию низкочастотной границы применимости фор-
формулы 1// здесь не включены, так как они уже достаточно об-
обстоятельно разобраны в разд. 6.2 при рассмотрении инвариант-
инвариантности.
6.6.1. Контактный шум
Объяснение l/f-шума, которое, очевидно, раньше всего при-
приходит в голову, заключается в следующем: может быть, это
просто паразитный эффект, связанный с дефектами контактов
или их неплотным присоединением. Вообще говоря, можно со
всей определенностью сказать, что дело не в этом: современные
эксперименты выполняются с большой осторожностью, как
правило, методом четырехзондовых измерений, когда два вы-
вывода, на которых сохраняется неизменным уровень постоянно-
постоянного тока, являются независимыми от пары выводов, чувстви-
чувствительной к флуктуациям. Таким путем контакты как возможный
источник шума исключаются. Несмотря на это, в качестве до-
дополнительной меры обычно проводятся опыты с контрольным
образцом, например с проволочным резистором, у которого,
как известно, l/f-шум отсутствует, с целью получения гарантий
того, что экспериментальная установка сама не является гене-
генератором 1/f -флуктуации.
6.6.2. Амплитудное распределение l/f-шума
Распределение амплитуды l/f-шума относится к гауссовско-
му типу. Для полосы частот 0,04—6 кГц этот факт обнаружил
Белл [3], а позже для полосы частот 0,1 —100 кГц в более со-
совершенных экспериментах — Хуг и Хоппенбрауэрс [34]. На
небольшое отклонение от распределения Гаусса обратили вни-
внимание Белл и Диссанайке [8] при измерениях в диапазоне 1—
10 кГц отношения четвертого момента ко второму моменту не-
неравновесного шума в различных образцах; оказалось [6], что
возможной причиной этого отклонения может быть взрывной
шум. Даже если это на самом деле эффект, связанный с l/f-шу-
мом, он приводит лишь к весьма слабому расхождению в хво-
хвостах распределения, которыми во всех практических случаях
можно пренебречь.

168 Глава 6
6.6.3. Флуктуации сопротивления
l/f-флуктуации напряжения, наблюдаемые в однородных
резисторах различных типов, включая полупроводниковые, тон-
тонкопленочные металлические и металлические волосковые (вис-
керные), имеют спектральную функцию, квадратично завися-
зависящую от величины постоянного тока, протекающего через об-
образец.
Если считать, что источник постоянного тока позволяет со-
сохранить величину тока неизменной, то флуктуация напряжения
v(t) может возникнуть только за счет флуктуации r(t) сопро-
сопротивления образца. Поскольку v(t)=Ir(t), где / — величина
постоянного тока, спектральная плотность флуктуации напря-
напряжения описывается формулой
SJU)==PS^a), F.26)
где 5г((о)—спектральная плотность флуктуации сопротивле-
сопротивления. Следовательно, такой простой довод объясняет квадратич-
квадратичную зависимость от величины постоянного тока. Конечно, это
не объясняет физической причины возникновения 1//-шума, а
просто позволяет перенести внимание на сопротивление как ис-
источник такой флуктуации. Поскольку сопротивление определя-
определяется плотностью и подвижностью носителей электричества, оче-
очевидный вывод состоит в том, что l/f-шум возникает либо за
счет флуктуации числа носителей, либо за счет флуктуации
величины их подвижности.
Закон квадратичной зависимости от величины постоянного
тока не всегда выполняется точно {7]. Небольшое отклонение
от него может, например, иметь место из-за джрулева разогре-
разогрева образца, который может привести к изменению его сопро-
сопротивления при увеличении тока.
В тех случаях, когда через сопротивление, которое облада-
обладает l/f-шумом при протекании через него постоянного тока, те-
течет переменный ток, то в двух боковых частотных полосах по
обе стороны от частоты переменного тока /о возникает шум, на-
напоминающий l/f-шум. Его называют 1/А/-шумом, так как спект-
спектральное распределение плотности в этих боковых полосах из-
изменяется как 1/|/о—/|. Масштаб 1/Д/-шума пропорционален
значению среднего квадрата переменного тока, что также
можно интерпретировать как следствие флуктуации сопротив-
сопротивления.
Появление l/Af-шума можно понять, если выразить флук-
флуктуацию сопротивления r(t) с помощью интеграла Фурье
оо
r W = -щ- jR№ехр 1&ш' F27)

l/f-шум 169
где Я (/со)—фурье-преобразование функции r(t). Если вели-
величина переменного тока определяется как /ocos(cooO> T0 флуктуа-
флуктуацию напряжения можно выразить формулой
сю
v@ = -?¦ J {R [/ (со-шо)] exp jwt ±R [/ (o)+©0)] exp/erf} dco, F.28)
—oo
которая описывает две шумовые частотные полосы, причем в
каждой из них спектральное распределение плотности флуктуа-
флуктуации определяется как l/|f0—Л-
Если флуктуации сопротивления на самом деле обусловли-
обусловливают избыточный неравновесный шум в резисторах, то у об-
образца, по которому одновременно протекают постоянный и пе-
переменный ток с частотой /о, должна иметься 1/f-составляющая
на частоте, допустим, f\ и соответствующие составляющие 1/Af-
шума на частотах fozhfi, и эти составляющие должны быть силь-
сильно коррелированными. Джон и Фрэнсис [40] провели экспе-
эксперименты с целью подтверждения существования этой ожидае-
ожидаемой корреляции и нашли, что коэффициенты корреляции на-
находятся в пределах 5% от единицы. Этот факт убедительно
свидетельствует о том, что l/f-шум у резисторов связан с флук-
флуктуацией сопротивления образцов.
Другой вид эксперимента, который привел к такому же вы-
выводу, был поставлен Хокинсом и Блудвортом [28]. Они прове-
провели измерение флуктуации напряжения у толстопленочных ре-
резисторов, используя четырехзондовый метод, и обнаружили
1//-флуктуации напряжения, когда пара чувствительных к
флуктуациям зондов помещалась перпендикулярно направле-
направлению тока на противоположных сторонах пленки. Этот попе-
поперечный шум (как они его называют) имел уровень, близкий к
тому, что и l/f-шум, измеренный в том случае, когда зонды
располагались параллельно направлению тока и на одной и
той же стороне пленки. Такое поведение можно объяснить мо-
модуляцией проводимости.
Имеется еще и другая очень важная часть эксперименталь-
экспериментальных данных, которая снимает почти любое сомнение относи-
относительно того, что l/f-шум в однородных образцах обусловлива-
обусловливается флуктуациями сопротивления. Здесь неявно подразумева-
подразумевается, что если такие флуктуации существуют, то они будут при-
присутствовать как в тех случаях, когда образец находится в тер-
термическом равновесии с окружающей средой, так и в тех слу-
случаях, когда через него течет ток. Следовательно, флуктуации
сопротивления можно обнаружить и при равновесии так же,
как модуляцию теплового шума. Первыми, кто сообщил о на-
наблюдениях l/f-подобного спектра, связанного с квадратом на-
напряжения термического шума, были Восс и Кларк [67], похо-

170 Глава 6
жие результаты получили Бек и Спруит [2]. Неизбежный вы-
вывод заключается в том, что 1//-флуктуации тока и напряжения
действительно обусловлены флуктуациями сопротивления об-
образца. Интересно, что в соответствии с этой точкой зрения по-
постоянный ток, протекающий по образцу, не генерирует 1//-шум,
он просто делает очевидными эти 1/f-флуктуации, уже сущест-
существующие в сопротивлении, находящемся в равновесном состоя-
состоянии.
6.6.4. Гипотеза Хуга
Многие годы вообще считали, что 1//-шум есть у однород-
однородных полупроводников, но его нет у однородных металлических
пленок. (Было хорошо известно, что у негомогенных металли-
металлических слоев, состоящих из островков или областей с неболь-
небольшими контактами между ними, имелся l/f-шум.) Затем в кон-
конце 1960-х гг. Хуг и Хоппенбрауэрс [35] сообщили о наблюде-
наблюдениях 1//-шума в сплошных тонких пленках из золота, а также
Хуг [30] высказал предположение, что 1//-флуктуации во всех
однородных материалах можно представить эмпирической фор-
формулой
где Ntot — суммарное число носителей заряда з образце; Ro —¦
средняя величина электрического сопротивления образца;
Sr(o)) —спектральное распределение плотности флуктуации со-
сопротивления и ан—2-10~3 — «универсальная» постоянная, об-
обладающая слабой зависимостью от температуры.
Закон Хуга был первым указанием на то, что 1//-шум в од-
однородных материалах ведет себя (статистически) систематиче-
систематическим образом: у многих однородных резисторов при комнатной
температуре наблюдался l/f-шум, который удовлетворительно
описывался уравнением F.29). Первоначальное утверждение о
том, что закон применим ко всем однородным материалам, за-
затем было модифицировано таким образом, что включало толь-
только те случаи, когда рассеяние носителей на кристаллической
решетке материала, из которого был сделан образец, домини-
доминировало над рассеянием на примесях, а рассеяние на границах
было незначительным [36]. Согласно Хугу и Вандамме [37] в
тех случаях, когда рассеяние на примесях существенно, посто-
постоянную ан^2-10~3 в уравнении F.29) следует уменьшить в
M-lat

t l/f-шум 171
раз, где [limp и уьш — подвижности носителей, связанные с рас-
рассеянием на примесях и решетке, соответственно.
Несмотря на значительный успех применимости закона Ху-
га, накапливались экспериментальные данные о том, что вели-
величина ан даже в модифицированной форме не является универ-
универсальной характеристикой уровня l/f-шума в однородных рези-
резисторах. Например, Датта с сотр. [18] провели измерения 1//-
шума в медных вискерах и нашли, что величина ая имеет раз-
разброс около одного порядка при измерениях на образцах с оди-
одинаковым объемом и была равна значению, которое в 2* 103 ра-
раза больше, чем постоянная Хуга ан в уравнении F.29). Более
того, Эберхард и Хорн [20] измерили 1//-шум в пленках из се-
серебра и меди и нашли, что уровень шума резко увеличивается
с увеличением температуры образцов, что равноценно увеличе-
увеличению ая с повышением температуры. Удовлетворительного объ-
объяснения экспериментально наблюдаемым непостоянству, тем-
температурной зависимости и высокому значению ан дано не бы-
было, хотя все эти три эффекта аномальны в том смысле, что они
не согласуются с гипотезой Хуга.
Еще один пример несостоятельности уравнения F.29) свя-
связан с l/f-шумом у ионных растворов: в этом случае величина
ая не является постоянной, а увеличивается пропорционально
концентрации ионов [32]. Однако, если иметь в виду механизм
рассеяния носителей на кристаллической решетке, использован-
использованный Хугом с сотр., который относится к твердым телам, мо-
может быть не справедливо критиковать закон Хуга за неудов-
неудовлетворительное описание l/f-шума в жидкостях.
6.6.5. Флуктуации числа носителей электричества
1//-флуктуации сопротивления, наблюдаемые в однородных
материалах, могут быть связаны либо с флуктуациями числа
носителей электричества, либо с флуктуациями их подвижно-
подвижности. Обратная зависимость от полного числа носителей в фор-
формуле Хуга, очевидно, позволяет сделать предположение о том,
что флуктуация числа носителей является физическим механиз-
механизмом, обусловливающим 1//-спектр. Это предположение анали-
анализируется ниже.
Число подвижных носителей в образце может испытывать
флуктуации за счет обмена либо с внешним источником, либо
при конечном числе внутренних энергетических состояний за
счет обмена, связанного с захватом носителей ловушками win
центрами рекомбинации — генерации. В случае металлов и
примесных полупроводников обмен носителей, связанный с
внешним источником, исключается, так как должно выполнять-
выполняться условие нейтральности, и, следовательно, в этих материалах

]72 Глава 6
в качестве физического механизма образования флуктуации
необходимо привлечь захват носителей электричества ловуш-
ловушками, если имеют место флуктуации числа носителей.
Значение среднего квадрата флуктуации сопротивления,
получаемое интегрированием выражения Хуга по частотному
интервалу, перекрывающему десять порядков, составляет
[69]
F.30)
Столь высокий уровень шума может иметь место только в
тех случаях, когда количество ловушек сравнимо с количеством
самих свободных носителей в образце. Для металлов, где чис-
число свободных носителей сравнимо с числом атомов, такого ко-
количества центров захвата найти нельзя. Следовательно, исполь-
использование в качестве потенциального физического механизма
флуктуации числа носителей для объяснения наблюдаемых
l/f-спектров у металлических пленок и вискеров не представля-
представляется возможным.
Другая ситуация возникает в случае примесных невырож-
невырожденных полупроводников, когда количество основных носите-
носителей по величине на порядки меньше, чем количество атомов, и
может быть сравнимо с количеством ловушек. Мелколежащие
донорные и акцепторные уровни едва ли вносят существенный
вклад в шум, так как они расположены столь близко у краев
запрещенной зоны, что их заселенность почти не испытывает
флуктуации вообще. Но уровни ловушек, находящиеся около
центра запрещенной зоны полупроводника, могут обладать та-
таким распределением, которое соответствует интервалу времени
жизни носителей, с помощью которого можно объяснить экс-
экспериментально наблюдаемые 1/f-флуктуации. Трудность этой
идеи в том, что флуктуации посредством таких расположенных
в середине запрещенной зоны центров, по всей вероятности,
должны быть крайне чувствительны к изменению температуры
образцов, а подобный эффект экспериментально наблюдается
не во всех случаях.
Имеется определенное количество экспериментальных дан-
данных, которые подтверждают ту точку зрения, что 1/f-флуктуа-
1/f-флуктуации сопротивления не связаны с флуктуациями числа носите-
носителей. Величина термо-э. д. с. в разомкнутой цепи, состоящей из
двух образцов, изготовленных из одинакового материала и на-
находящихся при разных температурах, зависит от концентрации
носителей и, следовательно, должна реагировать на любую
флуктуацию числа носителей, если она имеет место. Однако
Хуг и Гаал {33] не обнаружили l/f-шум у термоэлементов в

l/f-шум 173
режиме разомкнутой цепи, а Клейнпеннинг [41] не нашел экс-
экспериментального подтверждения гипотезы о флуктуации числа
носителей при измерениях термо-э. д. с, проведенных на образ-
образцах германия с почти собственной проводимостью. Казалось
бы, это должно ясно указывать на то, что не флуктуации числа
носителей электричества обусловливают 1//-флуктуации сопро-
сопротивления.
Несмотря на это, гипотеза о флуктуации числа носителей
не может вообще не приниматься во внимание: совсем недав-
недавно некоторые экспериментальные результаты по измерению
1//-шума у различных типов кремниевых резисторов интерпре-
интерпретировались, исходя из флуктуации числа носителей [39]; изме-
измерения по эффекту Холла, проведенные Брофи и Ростокером
[14], и также Клейнпеннингом {42], свидетельствуют в пользу
этой гипотезы.
6.6.6. Флуктуации подвижности носителей
электричества
Альтернативой флуктуации числа носителей является мо-
модель флуктуации подвижности носителей. Используя идею о
флуктуациях подвижности, можно объяснить наблюдаемые
l/f-флуктуации постоянной Холла, а также получить соответст-
соответствие с законом Хуга, согласно которому интенсивность шума об-
обратно пропорциональна полному числу свободных носителей
при условии, что носители испытывают независимые флуктуа-
флуктуации подвижности. Эта идея была предложена Клейнпеннингом
и Беллом [43].
Тем не менее, по-видимому, независимые флуктуации по-
подвижности, связанные с индивидуальными носителями, пред-
представляют физический механизм сомнительной обоснованности.
Чтобы объяснить экспериментально наблюдаемые 1//-спектры,
флуктуации подвижности должны иметь очень большие вели-
величины характеристического времени (скажем, более 1 с), но та-
таких временных величин нет: среднее время свободного пробе-
пробега носителей по порядку величины составляет несколько пико-
секунд, и даже пролетные времена, как правило, меньше 1 мс.
Более того, как отметил Вайсман [69], форма l/f-шумового
спектра более или менее не зависит от пролетного времени.
Эти простые доводы физического характера, казалось, исклю-
исключают флуктуации подвижности носителей из ряда потенциаль-
потенциальных источников 1//-шума, если не рассматривать случай тем-
температурных флуктуации, воздействующих на подвижность.
Флуктуационно-температурная модель описана ниже в разд.
67.3.

174 Глава 6
6.6.7. 1//-шум — это поверхностный
или объемный эффект?
Статья [30], в которой Хуг предложил свой гипотетический
закон, называлась «1//-шум — не поверхностный эффект».
Вскоре после этого появились противоположные заявления,
например, в статье Мирсо с сотр. [51], названной «1/f — все
еще поверхностный эффект»; дискуссия продолжается до сих
пор, окончательного решения все еще нет.
Если бы, как первоначально указывалось Хугом, «универ-
«универсальная» постоянная ая, входящая в уравнение F.29), на са-
самом деле не зависела от материала образца, то этот факт мог
бы служить веским доказательством того, что l/f-шум возника-
возникает в объеме образца. Но, как известно, величина ая изменяется
от образца к образцу, в некоторых случаях на порядки вели-
величины, что существенно ослабляет довод об объемном «проис-
«происхождении» l/f-шума. Более того, у полупроводниковых мате-
материалов состояние поверхности оказывает сильное влияние на
l/f-шум, давая повод к предположению, что в этих материалах
именно поверхность является источником этого шума (точка
зрения, которая подкрепляется фактом отсутствия l/f-шума у
ПТ с р—я-переходом, где поверхностные эффекты минималь-
минимальны). Для металлов экспериментальные данные как в пользу
поверхностного, так и объемного происхождения шума не столь
многочисленны, хотя определенно установлено, что l/f-шум у
пленок из металла во многих случаях следует примерно зако-
закону Хуга, что позволяет предположить функционирование объ-
объемного механизма. С другой стороны, величина l/f-шума, на-
наблюдавшаяся Даттом с сотр. [18] у медных вискеров, пример-
примерно на три порядка больше предсказываемой уравнением F.29),
что можно считать указанием на то, что в этом случае домини-
доминирует поверхностный механизм.
Положение дел не прояснилось и после исследования 1/f-
шума у электролитов [32]. Вероятно, этот шум не является
поверхностным эффектом, так как трудно представить, каким
образом поверхностные энергетические состояния могут быть
реализованы в растворах электролитов, хотя в этом случае
l/f-шум не подчиняется закону Хуга, а его уровень зависит от
ионной концентрации. Может быть, этот факт указывает толь-
только на то, что l/f-шум у водных электролитов является объем-
объемным эффектом, а гипотеза Хуга может описывать l/f-флуктуа-
ции объемного происхождения в твердых телах, но не в жидко-
жидкостях.

l/f-шум
175
6.6.8. Температурная зависимость спектров
Первые систематические измерения зависимости l/f-шума
от температуры в металлах были выполнены Эберхардом и
Хорном '[20]. Они провели исследования шума в тонких плен-
пленках из серебра и меди толщиной 100—1600 А, которые были
получены с помощью теплового испарения на подложке из сап-
сапфира. Типичные размеры пленок составляли 500ХЮ мкм2.
Для гарантии того, что 1//-шум доминирует над тепловым шу-
шумом в изучаемом диапазоне ча-
частот 0,2—200 Гц, использова-
использовались токи с большой плотно-
плотностью порядка 2« 10б А/см2 и бо-
более. Это вызывало существен-
существенный нагрев образцов за счет
выделения джоулева тепла;
трудность, которую авторы
преодолели тем, что использо-
использовали сам образец для измере-
измерения его же собственной темпе-
температуры: зависимость сопротив-
сопротивления от температуры образца
измерялась при небольших °,3 1,0 3,0 10 30 100
Частота, Гц
Рис. 6.2. Спектральная плотность шу-
шума для Ag при 390 К (из работы
[20], с любезного согласия Американ-
Американского физического общества).
значениях плотности тока, а
l/f-шум, связанный с больши-
большими значениями плотности то-
тока, измерялся в функции со-
сопротивления; после этого с по-
помощью калибровочной кривой
переходили к зависимости от температуры. Попутно, Эберхард
и Хорн сообщили, что окружающая образец газовая среда не
оказывает влияния на 1//-шум: измерения, проведенные в воз-
воздухе, в гелии и в вакууме, дали идентичные результаты.
Пример одного из спектров, полученных Эберхардом и Хор-
Хорном для Ag при 390 К, приводится на рис. 6.2. Спектр следует
зависимости 1/|/| в интервале трех декад частот, где пока-
показатель а равен 1,03+0,06. Наблюдался небольшой рост величи-
величины а (около 20%) при уменьшении температуры до 150 К. Та-
Такой 20%-ный рост а наблюдался у пленок Ag и Си, и, по-види-
по-видимому, он не зависит от толщины образца.
На рис. 6.3 представлена температурная зависимость для
двух 1//-спектров, полученных Эберхардом и Хорном для пле-
пленок из Ag и Си толщиной 800 А. (Заштрихованная область со-
соответствует данным, полученным Боссом и Кларком [67] для
пленок из Ag при комнатной температуре.) На этом рисунке
приведена величина шума на частоте 20 Гц, однако ввиду

176
Глава 6
I
I
200 300 400 SOO
Т. К
100 200 300 400 500 600
1
Рис. 6.3. Температурная зависимость 1//-шума на частоте 20 Гц для пленки
толщиной 800 А из Ag (а) и из Си (б).
Из работы [20], с любезного согласия Американского физического общества. Штриховые
линии получены в соответствии с теорией температурных флуктуации Босса и Кларка.
очень слабой зависимости величины а от температуры, такие
кривые должны быть в большей или меньшей степени не зави-
зависящими от частоты. Отметим относительно быстрое падение
уровня шума при уменьшении температуры ниже комнатной и
пики, которые проявляются примерно при 410 и 490 К для Ag
и Си соответственно. Подобные спектры наблюдались и у об-
образцов различной толщины. Во всех случаях, исследованных
Эберхардом и Хорном, электрическое сопротивление образцов
определялось объемом металлических образцов и имело, как и

l/f-шум 177
ожидалось, линейную зависимость от температуры во всем ин-
интервале исследованных температур.
Влияние подложки на температурную зависимость 1//-шума
у тонких пленок металлов изучали Датта с сотр. [19]. Они ис-
использовали экспериментальное оборудование, в основном по-
подобное оборудованию Эберхарда и Хорна [20], за исключени-
исключением использования подложек как из сапфира, так и из плавле-
плавленого кварца (теплопроводность кварца почти не зависит от
температуры и значительно ниже, чем у сапфира, у которого
она быстро возрастает с уменьшением температуры). Были
обнаружены две интересные особенности: а) выше комнатной
температуры подложка оказывает малое воздействие на ///-шу-
///-шумовые спектры пленок из Ag и Си и б) для температуры ниже
комнатной шум в Ag также не зависит от подложки, а в слу-
случае Си использование кварцевой подложки приводит к значи-
значительному отличию от поведения, представленного на рис. 6.3,.
которое заключается в том, что кривая спектра шума становит-
становится почти параллельной оси абсцисс при температурах ниже
300 К вместо быстрого спада при уменьшении температуры.
Датта и его коллеги интерпретировали это как наличие 1//-шу-
ма двух типов в металле, один из которых (шум типа А) слабо
зависит от температуры, а другой (шум типа В) сильно зави-
зависит от температуры. В Ag уровень шума типа В настолько ве-
велик, что этот шум доминирует при всех исследованных темпе-
температурах, тогда как в случае Си на кварцевой подложке уро-
уровень шума типа А относительно выше и имеет место случай пе-
перехода от шума типа А к шуму типа В, вызывающий падение-
уровня шума в пределах температурной области наблюдений.
Никаких объяснений происхождения этих двух типов шума по-
пока не известно.
6.6.9. l/f-шум у аморфных и поликристаллических
веществ
Часть самых первых измерений l/f-шума была проведена на
поликристаллических материалах [10], и с тех пор выполнено
значительное число исследований этого явления в различных
аморфных и поликристаллических веществах. Одна из самых
последних работ на данную тему посвящена рассмотрению-
l/f-шума в металлокерамических материалах для толстопленоч-
толстопленочных разисторов, которые находят применение в микроэлектрон-
микроэлектронных схемах [53]. Механизмы электрической проводимости в та-
таких материалах включают прыжковую проводимость носителей
между проводящими зернами и локальными состояниями в
структуре стекла и туннелирование электронов между близле-
близлежащими соседними зернами. По всей вероятности, глубокие

178 Глава 6
энергетические уровни играют важную роль в процессе прово-
проводимости.
Во всех случаях исследованные 1//-спектры шума у аморф-
аморфных и поликристаллических материалов точно пропорциональ-
пропорциональны квадрату величины постоянного тока и имеют зависимость
от частоты, близкую к \f\~~1. У некоторых типов стекол уровень
l/f-шума не зависит от температуры. Это обнаружили Сойер и
Прасад [55] для ванадиево-фосфатного стекла в интервале
температур 77—300 К. Кроме того, они нашли, что в данном
температурном диапазоне величина проводимости увеличивает-
увеличивается на 6 порядков, тогда как число носителей, определенное из
измерений электронного спинового резонанса, остается постоян-
постоянным. Скрытый смысл состоит в том, что такое изменение про-
проводимости обусловлено изменением подвижности, и поскольку
оно не сопровождается изменением шума, то, по-видимому, это
является дополнительным доводом против гипотезы о том, что
l/f-шум обусловлен флуктуациями подвижности носителей, ко-
которые, по всей вероятности, должны расти с увеличением по-
подвижности.
6.7. Физические механизмы
возникновения 1//-шума
и его теоретические модели
Выше мы рассмотрели свойства l/f-шума как статистическо-
статистического процесса, характер некоторых форм сигналов, приводящих
к 1//-спектрам, и некоторые экспериментальные данные по ис-
исследованию 1//-флуктуаций. На этом фоне теперь уместно про-
проанализировать некоторые из предложенных теоретических мо-
моделей этого явления. Легко видеть, что расхождения, а в не-
некоторых случаях очевидное несоответствие результатов экспе-
экспериментальных исследований очень сильно затрудняют построе-
построение удовлетворительной теоретической модели. И в самом деле,
такой модели сейчас не существует. Моделям, которые имеют-
имеются, в значительной мере недостает универсальности описания.
Мы начнем с рассмотрения очень частного и скорее необычного
случая l/f-шума.
6.7.1. l/f-шум в конденсаторе с потерями
Эквивалентную схему конденсатора с потерями можно пред-
представить емкостью С, включенной параллельно резистору R>
который характеризует эти диэлектрические потери (рис. 6.4).
Резистор обладает тепловым шумом, в этой схеме представлен-

l/f-шум
179
ным подключенным параллельно токовым генератором шума
in(t), который обусловливает флуктуации напряжения vn(t) на
выходных клеммах в случае разомкнутой цепи. Ван-дер-Зил
[62] отмечал, что в том случае, когда тангенс угла потерь не
зависит от частоты, шум выходного напряжения имеет спектр
1//. Это аргументируется следующим образом.
Если комплексная диэлектрическая постоянная диэлектри-
диэлектрического материала с потерями, находящегося в конденсаторе,
Рис. 6.4. Эквивалентная схема конденсатора с диэлектрическими поте-
рями.
составляет е = е/—/е", то тангенс угла диэлектрических потерь
определяется выражением
tg6 = e"/e', F.31)
а полная проводимость параллельной ^С-цепочки — выраже-
выражением
К = /ю(е'—/E")eOi4/d, F.32)
где And — площадь поперечного сечения и толщина диэлект-
диэлектрического слоя соответственно. Из сравнения уравнения F.32)
с выражением для полной проводимости эквивалентной цепи,
изображенной на рис. 6.4, можно получить следующие выра-
выражения для величин емкости и сопротивления:
= г'г0А/й,
F.33)
а если использовать уравнение F.31), то
Далее, спектральная плотность токового генератора теплового
шума описывается уравнением
F.35)
F.36)
а флуктуации напряжения — уравнением

180 Глава 6
Комбинируя эти три последних уравнения, получаем
466
S» И = 1 \п sin 6cos s> F-37)
I со I с
т. е. когда угол потерь б не зависит от частоты, имеет место
закон 1/1/1.
Это условие не выполняется на низких частотах, когда со-
сопротивление потерь просто определяется проводимостью а ди-
диэлектрика
R = d/eA. F.38)
Так как данное выражение не зависит от частоты, тангенс уг-
угла потерь в выражении F.34) обратно пропорционален часто-
частоте и, следовательно, функция Sv(&) в выражении F.37) имеет
зависимость от со в виде A+оJУ?2С2)-1. Поэтому шум конден-
конденсатора, обладающего диэлектрическими потерями, на очень
низких частотах не описывается 1/|/|-спектром.
Однако, согласно наблюдениям, на высоких частотах, когда
потери определяются эффектами диэлектрической релаксации,
tg б по существу не зависит от частоты. Этот факт трудно объ-
объяснить, используя единичное время релаксации; он может быть
обусловлен некоторым распределением времен релаксации. Од-
Одна из возможных функций распределения, которая приводит
к отсутствию зависимости от частоты угла потерь в ограничен-
ограниченном диапазоне частот, была рассмотрена ван-дер-Зилом [64].
Таким образом, можно сказать, что в ограниченном диапазоне
частот уравнение F.37) описывает зависимость 1/|/|. Здесь
мы не повторяем доводы ван-дер-Зила, поскольку они в основ-
основном такие же, за исключением мелких деталей, приводимых ни-
ниже в связи с рассмотрением 1//-шума в полупроводниках с не-
некоторым распределением времен жизни носителей на ловуш-
ловушках.
6.7.2. Захват носителей поверхностными ловушками
в полупроводниках
Очевидно, самой распространенной моделью 1//-шума сле-
следует считать модель, основанную на захвате носителей ловуш-
ловушками с широким интервалом времен жизни носителей. Идея,
которая применима для случая полупроводниковых материалов,
следующая. Когда свободный носитель теряет свою свободу,
попадая на центр рекомбинации или в ловушку, то он в тече-
течение некоторого времени не принимает участия в проводимости
и это приводит к соответствующей модуляции сопротивления
образца. Если считать, что процесс подобного захвата подчиня-

l/f-шум Ш
егся статистике Пуассона, то модуляция, обусловленная таким
единичным актом захвата, принимает форму случайного теле-
телеграфного сигнала, который обладает спектром релаксационного
типа. Если имеется популяция ловушек с некоторым распреде-
распределением времен захвата, общий спектр равен сумме релаксаци-
релаксационных спектров от ловушек каждого вида, и эта сумма может
сводиться к 1//-зависимости в ограниченном диапазоне частот,
который определяется интервалом времен жизни носителей.
С аргументацией такого типа в общем виде мы встречались в
разд. 6.4.2, ниже она конкретизируется.
Спектральное распределение плотности случайного теле-
телеграфного сигнала вычисляется в разд. 7.5. В соответствии с
полученным в этом разделе результатом спектральная плот-
плотность числа флуктуации, обусловленных ловушками определен-
определенного вида, имеет вид
A+со2т22) •
где %z — постоянная времени захвата ловушкой. Для правиль-
правильного представления интервала времен захвата вводится функ-
функция распределения p(t2), которая удовлетворяет условию нор-
нормировки
p(Tz)dx2=l. F.39)
Тогда спектральная плотность полного числа флуктуации п(t)
описывается выражением
где фл(О) —значение среднего квадрата n(t).
Чтобы определить p{xz) Мак-Уортер [50] предположил, что
распределение времен захвата определяется процессом тунне-
лирования носителей заряда от поверхности полупроводника к
ловушкам, локализованным в слое окисла. Для ловушек, рас-
расположенных на глубине w от поверхности, постоянная времени
имеет вид
где то и у — постоянные величины и, согласно Мак-Уортеру,
^у~108 см-1. Для равномерного распределения ловушек в ин-

182 Глава 6 ^
тервале глубин w\ — w2i соответствующих постоянным времени
Ti и Т2, из уравнения F.41) следует, что
ДЛЯ
О в остальных случаях. F.42)
Если выражение F.42) подставить в уравнение F.40), то
можно получить спектральное распределение плотности числа
флуктуации
Т2
V 2/ 1/ J \ 2 )
= 4ф^ (О) (arctgcDTg — arctgcoTj
In (Tg/Ti) CO
F.43)
которое, как обсуждалось в разд. 6.4.2, хорошо аппроксимиру-
аппроксимируется законом 1/|/| в диапазоне частот, когда шт2^>1 и
0l
Так как модель Мак-Уортера основана на поверхностном
механизме возникновения шума, можно ожидать, что пблный
спектр будет по характеру отличаться от гипотетического зако-
закона Хуга [уравнение F.29)], который основан на представлени-
представлениях о флуктуациях объемного происхождения. Однако, как от-
отметил ван-дер-Зил [64], дело может обстоять и другим обра-
образом. Если считать фл@) равной fiNtot, где р — постоянная, а
Ntot — полное число носителей в полупроводнике, то относи-
относительное число флуктуации в диапазоне 1/|/| описывается фор-
формулой
N*M " Яо2 NM\f\ ' {V^V
что идентично формуле Хуга, если положить ан равным
P/ln(T2/Ti).
Поверхностный захват, обусловленный туннелированием но-
носителей в состояния в слое окисла, представляет собой физиче-
физический механизм генерации 1//-шума в полупроводниках, который
привлекает своей простотой. По-видимому, он подтверждается
тем фактом, что у ПТ с р—я-переходами, где поверхностные
эффекты минимальны, l/f-шум по существу отсутствует, тогда
как у МОП ПТ со сравнительно большой поверхностью разде-
раздела полупроводник — окисел составляющая, обусловленная
1/|/|-шумом, является характерной особенностью шумового
спектра. Однако, хотя эту модель постоянно совершенствовали
(см., например, [63]), она также не без изъяна. Эксперимент
показывает, что уровень шума крайне чувствителен к условиям

l/f-шум 18)
на поверхности, тогда как сама форма спектральной зависимо-
зависимости, как правило, остается той же, соответствующей закону
1/|/| независимо от состояния поверхности. А это предполага-
предполагает, что каждый последующий слой окисла ведет к появлению
своего собственного l/|f|-спектра, вместо того чтобы вызывать
сдвиг высокочастотной границы уже существующего спектра в
сторону еще более низких частот за счет больших постоянных
времени у соответственно более глубоких ловушек.
О другом факте, противоречащем модели поверхностного
захвата, сообщил Восс [66]; он выполнил низкотемпературные
D,2 К) измерения 1//-шума в инверсном слое специально изго-
изготовленных МОП ПТ. Окисел был легирован ионами натрия
(Na+), которые при комнатной температуре были подвижными
и могли дрейфовать либо по направлению к поверхности раз-
раздела Si—SiO2, либо от нее при подаче на затвор положитель-
положительного либо отрицательного смещения. При температуре ниже
примерно 200 К эти Ыа+-ионы оказывались «вмороженными» в
определенном месте. При достаточно высоких концентрациях
ионов Na+ (около 1012 см~2) на кривой зависимости проводимо-
проводимости от напряжения на затворе появляется широкая структурная
область, связанная с плотностью состояний в примесной зоне
Na+. Измерения шумов были проведены в области около пика
проводимости, связанного с примесной зоной, где крутизна Gm
была равна нулю. Восс полагал, что теории, основанные на за-
захвате носителей ловушками поверхности, предсказывают, что
интенсивность 1//-шума пропорциональна Gm2. На самом деле
он экспериментально обнаружил, что шум имеет максимум в
том месте, где крутизна Gm равна нулю, и что огибающая кри-
кривой зависимости мощности шума от напряжения на затворе
ведет себя так же, как и проводимость. Это привело его к вы-
выводу о том, что l/f-шум есть «собственное свойство переноса
электрического заряда при прыжковой проводимости, и он не
обусловлен захватом носителей ловушками».
Конечно, следует иметь в виду, что опыт Воссе был по-
поставлен на элементе с весьма специфичной структурой, функ-
функционировавшей при температуре жидкого гелия. Тем не менее
этот опыт, несомненно, ослабляет позиции поверхностного за-
захвата носителей как общего механизма, обусловливающего
1//-шум в полупроводниках.
6.7.3. Температурные флуктуации
в металлических пленках
В том случае, когда резистор находится в тепловом равно-
равновесии с окружающей средой при средней температуре 8о, он ис-
испытывает температурные флуктуации, обусловленные обменом

184 Глава 6
тепла со средой. Эти флуктуации температуры в свою очередь
приводят к флуктуации сопротивления r(t) около среднего зна-
значения Ro. Если [0(/)— 6о]=Д6(/) —среднее значение темпера-
температурной флуктуации по объему образца, то флуктуация сопро-
сопротивления описывается формулой
r(/) = p/?oAe(/), F.45)
где р= (l/Ro) (dr/dQ)—температурный коэффициент сопротив-
сопротивления. Из уравнения F.26) следует, что при прохождении по-
постоянного тока / через резистор спектральная плотность флук-
флуктуации напряжения в резисторе, возникающих из-за флуктуа-
флуктуации температуры, имеет вид
F.46)
где 5де(со) —спектральная плотность флуктуации температу-
температуры AQ(t).
Из уравнения F.46) можно видеть, что при прохождении
постоянного тока через резистор температурные флуктуации
приводят к флуктуациям напряжения на клеммах резистора.
В ряде работ исследовалась возможность того, что подобный
механизм обусловливает 1//-шум в однородных резисторах, в
частности в работах Кларка и Восса [17], а также Босса и
Кларка [67] в случае тонких сплошных пленок металлов.
(Уровень 1//-шума у полупроводников и несплошных пленок,
вообще говоря, слишком велик, чтобы его объяснить на основе
гипотезы о температурных флуктуациях.) Теоретическая мо-
модель Восса и Кларка была основана на решении уравнения
диффузии для неограниченного пространства и последующем
усреднении по конечному объему резистора для получения
среднего значения температурной флуктуации А9(/). В резуль-
результате они получили спектральную функцию 5Л0(со) степенного
вида, которая уменьшается при возрастании частоты, но не со-
содержит зависимости 1/|/| для области частот в несколько де-
декад. Восс и Кларк полагают, что металлические пленки на
подложках из стекла плохо аппроксимируются неограниченным
пространством, имея в виду, что присутствие границ может
изменить спектр таким образом, чтобы получить обширную
1/|/|-область. В соответствии с этим они в явной форме ввели
эмпирическую 1/|/|-область в свой спектр между низкочастот-
низкочастотной и высокочастотной границами, определяемыми длиной t
и шириной w пленки. Используя условие нормализации
F.47)

l/f-шум 185
они получили
Исходя из условий термодинамики, средний квадрат темпера-
температурных флуктуации составляет
W=k%4Cv, F.49)
где k — постоянная Больцмана; Cv — теплоемкость образца.
Для металла при комнатной температуре Cv~3Nk, где N —
полное число атомов образца, и отсюда спектральную плот-
плотность флуктуации напряжения в уравнении F.48) можно запи-
записать в виде
+ 2ln(l/w)]\f\' (b'bU>
Тепловой диффузионный спектр в уравнении F.50) отлича-
отличается от гипотетической формулы Хуга [уравнение F.29)] тем,
что в числителе он содержит температурный коэффициент со-
сопротивления, а в знаменателе — член, зависящий от геометрии
образца. Последний член, правда, вряд ли составляет сущест-
существенное расхождение с функцией Хуга, так как размеры образ-
образца находятся в нем под знаком логарифма, а это слабо изменя-
изменяющаяся функция. В противоположность этому наличие коэффи-
коэффициента р в уравнении F.50) весьма существенно, и эксперимен-
экспериментальные доказательства в пользу теории, основанной на теп-
тепловой диффузии (а не формулы Хуга), были получены Боссом
я Кларком: они обнаружили не замеченный ранее l/f-шум у
манганина, который имеет температурный коэффициент сопро-
сопротивления, очень близкий к нулю, в соответствии с теоретичес-
теоретическим предсказанием, следующим из уравнения F.50). О другом
экспериментальном подтверждении полуэмпирической формулы
Восса и Кларка сообщили Кларк и Шнанг [16], которые про-
провели измерение низкочастотного шума в пленках из олова в ус-
условиях сверхпроводящего перехода, когда значение р~155 К"
крайне велико по сравнению со значением р при комнатной
температуре, приблизительно равным 5-10~~3 К. В области
частот ниже 100 Гц Кларк и Шианг получили хорошее согла-
согласие между результатами их измерений шумового спектра в
лленках из олова на подложках из стекла и теоретическими
предсказаниями, следующими из уравнения F.50).
Согласно теории тепловой диффузии, температурные флук-
флуктуации в металлических пленках должны обладать некоторой
степенью пространственной когерентности, которая характери-
характеризуется зависящей от частоты длиной корреляции X(f)~(D/f)l/27

186 Глава 6
где D — коэффициент тепловой диффузии пленки. Измерения
такой корреляции на пленках из висмута при комнатной тем-
температуре, проведенные Боссом и Кларком, и на пленках из оло-
олова при температуре перехода в сверхпроводящее состояние,
проведенные Кларком и Шиангом, находятся в хорошем согла-
согласии с предсказанием теории, что является еще одним экспери-
экспериментальным подтверждением теории температурных флуктуа-
флуктуации.
Может казаться, что в определенных случаях l/f-шум в ме-
металлических пленках следует приписать равновесным темпера-
температурным флуктуациям, но, несмотря на начальный успех этой
модели, последующие исследования привели к выводу о том, что
в общем случае тепловая диффузия не ответственна за наблю-
наблюдаемые в эксперименте спектральные зависимости. Более того,
отсутствие l/f-шума у манганина (факт, который воспринимал-
ся как существенная экспериментальная поддержка теории тем-
температурных флуктуации) было подвергнуто сомнению Хугом
[31], который отметил, что Вандамм измерил контактный шум
твердых слитков манганина и не обнаружил ничего необычно-
необычного в наблюдаемом спектре. Хуг пришел к заключению, что «нет
ничего специфического в характере l/f-шума манганина с его
малым значением температурного коэффициента сопротивле-
сопротивления». Помимо неопределенности в поведении манганина, мо-
модель тепловой диффузии l/f-шума имеет и другие серьезные
изъяны: из нее не следует наличия широко простирающейся
области с ясно выраженной l/|f(-зависимостью спектра от ча-
частоты, она предсказывает отсечку на низких частотах и из нее
следует сравнительно слабая монотонная зависимость от тем-
температуры. По всем этим пунктам получены противоречащие
данной теории экспериментальные результаты. Однако, по всей
вероятности, наиболее убедительное доказательство того, что
l/f-шум у металлических пленок на подложках не обуслойлива-
ется механизмом температурных флуктуации, предложенным
Боссом и Кларком, получено из недавно проведенных измере-
измерений пространственной корреляции, выполненных Шофельдом с
сотр. [56].
Они взяли две пленки из золота, которые были разделены
слоем электрического изолятора, настолько тонким, что тепло-
тепловые флуктуации у одной пленки сильно коррелировали с тепло-
тепловыми флуктуациями у другой. Следовательно, если l/f-шум
связан с тепловой диффузией, шум в этих пленках должен быть
сильно коррелирован. Эксперимент же показал, что по сущест-
существу нет причинной связи между l/f-шумом в этих двух пленках;
измеренный коэффициент корреляции составлял менее чем
1/100 того значения, которое предсказывала теория тепловой
диффузии. Неизбежный вывод из этого эксперимента заключа-

l/f-шум 187
ется в том, что, вообще говоря, l/f-шум у тонких пленок метал-
металлов не обусловлен равновесными флуктуациями энергии, моду-
модулирующими электрическое сопротивление образцов. К подобно-
подобному же выводу пришел Блэк с сотр. [И], исходя из результа-
результатов экспериментов по исследованию корреляции на пленках
из хрома.
6.7.4. Модель 1//-шума, основанная на теории
случайного обслуживания очередей
Белл [4] предложил модель возникновения l/f-шума в по-
полупроводниках за счет флуктуации числа носителей заряда, ос-
основанную на концепциях теории массового обслуживания. Со-
Согласно этой теории, носители заряда в зоне проводимости пред-
представляют собой как бы элементы очереди, которая «обслужи-
«обслуживается» центрами захвата или рекомбинации. Носители либо
приходят в такую очередь, либо покидают ее на случайные от-
отрезки времени, будучи освобожденными либо захваченными ло-
ловушками. Белл считает, что время ожидания данным носите-
носителем в зоне проводимости, перед тем как он будет захвачен по-
подобными центрами, может лежать в пределах очень широкого
диапазона величин, и предположил, что подобное столь же ши-
широкое распределение этих отрезков времени могло бы приво-
приводить к 1//-шуму, экспериментально наблюдаемому в полупро-
полупроводниках.
Есть ряд трудностей физического характера применимости
подобной теории очередей, одна из них, очевидно, состоит в
том, что сопротивление образца определяется числом свобод-
свободных носителей в кристалле в данный момент времени и, следо-
следовательно, в моделях флуктуации сопротивления и 1//-шума
длительность отрезка времени, проводимого каким-то одним но-
носителем в зоне проводимости, не имеет значения. Важным фак-
фактором является распределение времени заселенности ловушек,
как это рассмотрено в разд. 6.7.2. Как мы видели, центры за-
захвата одного типа обусловливают спектр шума релаксационно-
релаксационного вида, а не 1//-шума, хотя ряд ловушек разного типа может
привести к шуму, описываемому законом l/|f|. Более сущест-
существенное возражение относительно применимости теории очередей
состоит в том, что анализ Белла не приводит к закону l/|f|,
как он и указал в своей статье. Из-за недостатков гипотезу об
очередях Белла больше не рассматривают как один из возмож-
возможных механизмов, ответственных за 1//-шум в полупроводниках.
?.7.5. Квантовая теория l/f-шума
Вездесущность 1//-шума приводит к предположению о том,
что это явление является фундаментальной и неизбежной чер-
чертой переноса заряда. Эта мысль была математически сформу-

188 Глава 6
лирована Хенделем [27], разработавшим квантовую теорию
l/f-шума, в которой носители электричества взаимодействуют
с квантованным электромагнитным полем. При прохождении
через элемент цепи носители испытывают рассеяние на некото-
некоторых условных потенциальных барьерах и в результате этого
могут испускать низкочастотные фотоны. Хотя энергия фотон-
фотонной эмиссии крайне мала, она, согласно Хенделю, достаточна
для модуляции тока, текущего через элемент, таким образом,
чтобы привести к 1//- и l/Af-шуму. Эта теория представляет со-
собой квантовую версию его более ранней теории [25, 26], осно-
основанной на возникновении турбулентности носителей тока в ме-
металлах и полупроводниках.
Теория Хенделя сложна для восприятия, и Трембли в
1978 г. не смог подтвердить ее детальные расчеты. Очевидно,
в результате попытки разрешить противоречия между двумя
авторами должна появиться их совместная публикация. По-
Поэтому эту теорию нельзя считать обоснованной. Однако если
она все же справедлива, то данный механизм позволяет уста-
установить нижний предел уровня 1//-шума в электронных прибо-
приборах, однако, если имеются другие источники 1//-шума, этот
нижний предел может быть значительно превышен.
6.8. Заключительные замечания
1//-шум — явление загадочное. Он неизбежно присутствует
почти во всех электронных приборах, как это уже известно
многие годы, и тем не менее физические причины его возникно-
возникновения до сих пор все еще остаются неясными. Многочисленные
экспериментальные и теоретические исследования 1//-шума вы-
выявили лишь его многогранный и неподатливый характер; после
всех затраченных усилий относительно этого шума нельзя сде-
сделать почти никаких определенных выводов. Имеющиеся экспе-
экспериментальные данные часто находятся в противоречии друг с
другом или же остаются открытыми для интерпретации. Этим
можно объяснить факт существования научной школы, сторон-
сторонники которой твердо полагают, что 1//-шум — явление объем-
объемное, мысль, которая встречает отпор тех, кто полагает, что этот
шум создается на поверхности. Подобно этому, и модели флук-
флуктуации числа, и подвижности носителей заряда — каждая име-
имеет своих защитников, хотя бесспорные экспериментальные до-
доказательства, которые лишали бы одну из них права на даль-
дальнейшее существование в качестве рабочей гипотезы, отсутству-
отсутствуют. ^Возможно, единственное указание на систематичность по-
поведения 1//-шума — это эмпирический закон Хуга, который гла-
гласит, что уровень шума обратно пропорционален суммарному

l/f-шум 189
числу носителей в образце. Однако и закон Хуга не является
общим, и даже в случае металлических пленок, для которых:
он и был первоначально сформулирован, он не всегда справед-
справедлив.
С теоретической точки зрения ситуацию также нельзя при-
признать удовлетворительной. Предлагается много теорий, но по-
подавляющее большинство из них не выдерживает проверки. Не-
Некоторые просто не физичны, тогда как другие не обеспечивают
выполнения главного условия — не приводят к закону 1/|/|.
Получившей наиболее широкое признание в настоящее время
является предложенная Мак-Уортером теоретическая модель,
основанная на захвате носителей поверхностными ловушками,
которая описывает очень частный механизм шума в полупро-
полупроводниках. Проявление l/f-шума в металлах и других материа-
материалах остается, по сути дела, полностью необъясненным; равна
трудно понять сильную температурную зависимость 1//-шума у
пленок металлов, которая была недавно экспериментально об-
обнаружена. Возможно, квантовая теория l/f-шума Хендела даст
ответы на часть или на все вопросы, поставленные эксперимен-
экспериментом, но она хорошо выглядит как перспектива в будущем. По-
Пока же испытываешь подозрение, что, может быть, ни одна из
других теорий шума, имеющихся в настоящее время, не в со-
состоянии выдержать испытание временем.
ЛИТЕРАТУРА
1. J. A. Barnes, D. W. Allan A966), A statistical model, of flicker noise, Proc.
IEEE, 54, 176—178.
2. H. G. E. Beck, W. P. Spruit A978), 1/f noise in the variance of Johnson
noise, /. Appl. Phys., 49, 3384—3385.
3. D. A. Bell A955), Distribution function of semiconductor noise, Proc. Phys.
Soc, B68, 690—691.
4. D. A. Bell A958), Semiconductor noise as a queueing problem, Proc. Phys.
Soc, 72, 27—32.
5. D. A. Bell A960), Electrical Noise, Van Nostrand, London, Chapter 10.
6. D. A. Bell A980), A survey of 1/f noise in electrical conductors, /. Phys. C:
Solid State Phys., 13, 4425—4437.
7. D. A. Bell, K. Y. Chong A954), Current noise in composition resistors,.
Wireless Engr., 31, 142—144.
8. D. A. Bell, S. P. B. Dissanayake A975), Variance fluctuations of 1/f noise,
Elect. Lett., 11, 274.
9. Т. Н. Bell, Jr. A974), Representation of random noise by random pulses,
/. Appl. Phys., 45, 1902—1904.
10. J. Bernamont A937), Fluctuations de potentiel aux bornes d'un conducteur
metallique de faible volume parcouru par un courant, A. de Phys., 7, 71 —
140.
11. R. D. Black, M. B. Weissman, E. M. Fliegle A981), Lack of spatial cross-
correlation in 1/f noise in chrome films, Proc. 6th International Conf. orr
Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gai-
therburg, MD, USA, April 6—10, 1981, p. 152.
12. J. J. Brophy A968), Statistics of 1/f noise, Phys. Rev., 166, 827—831-

190 Глава 6
13 J J Brophy A970), Low-frequency variance noise, /. Appl. Phys., 41,
1697—1701.
14. J. J. Brophy, N. Rostoker A955), Hall effect noise, Phys. Rev., 100, 754—
756.
15. M. A. Caloyanides A974), Microcycle spectral estimates of 1/f noise in semi-
semiconductors, /. Appl. Phys., 45, 307—316.
16. J. Clarke, T. Y. Hsiang A975), Low-frequency noise in tin films at the
superconducting transition, Phys. Rev. Lett., 34, 1217—1220.
17. J. Clarke, R. F. Voss A974), 1/f noise from thermal fluctuations in metal
films, Phys. Rev. Lett., 33, 24—27.
18. P. Dutta, J. W. Eberhard, P. M. Horn A977), 1/f noise in copper whiskers,
Solid State Communications, 21, 679—681.
19. P. Dutta, J. W. Eberhard, P. M. Horn A978), 1/f noise in metal films: the
role of the substrate, Solid State Communications, 27, 1389—1391.
20. J. W. Eberhard, P. M. Horn A977), Temperature dependence of 1/f noise in
silver and copper, Phys. Rev. Lett., 39, 643—646.
21. I. Flinn A968), Extent of the 1/f noise spectrum, Nature, 219, 1356—
1357.
22. M. Gardner A978), White and brown music, fractal curves and one-over-f
fluctuations, Scientific American, 238, D), 16—32 (April 1978).
23. I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik A965), Tables of Integrals, Series and Pro-
Products, 4th edn, p. 317, Academic Press, N. Y.
24. D. Halford A968), A general mechanical model for |f|a spectral density
random noise with special reference to flicker noise l/|f|, Proc. IEEE, 56,
251—258.
25. P. H. Handel A968), Instabilities and turbulence in semiconductors, Phys.
Stat. Sol., 29, 299—306.
26. P. H. Handel A971), Turbulence theory for the current carriers in solids
and a theory of 1/f noise, Phys. Rev. A, 3, 2066—2073.
27. P. H. Handel A975), 1/f noise — an 'infrared' phenomenon, Phys. Rev. Lett.,
34, 1492—1495; Nature of 1/f phase noise, Phys. Rev. Lett., 34, 1495—1498;
Quantum theory of 1/f noise, Phys. Lett. 53A, 438—440.
28. R. J. Hawkins, G. G. Bloodworth A971), Measurements of low-frequency
noise in thick film resistors, Thin Solid Films, 8, 193—197.
29. C. F. Hiatt, A. van der Ziel, К. М. van Vliet A975), Generation—recombina-
Generation—recombination noise produced in the channel of JFETs, IEEE Trans. Elect. Dev.,
ED—22, 614—616.
30. F. N. Hooge A969), 1/f noise is no surface effect, Phys. Lett. A, 29, 139—
140.
31. F. N. Hooge A976), 1/f noise, Physica 83B, 14—23.
32. F. N. Hooge, J. L. M. Gaal A971a), Fluctuations with a 1/f spectrum in
the conductance of ionic solutions and in the voltage of concentration cells,
Phillips Res. Rep., 26, 77—90.
33. F. N. Hooge, J. L. M. Gaal A971b), Experimental study of 1/f noise in
thermo E. M. F., Phillips Res. Rep., 26, 345—358.
34. F. N. Hooge, A. M. H. Hoppenbrouwers A969a), Amplitude distribution of
1/f noise, Physica, 42, 331—339.
35. F. N. Hooge, A. M. H. Hoppenbrouwers A969b), 1/f noise in continuous thin
gold films, Physica, 45, 386—392.
36. F. N. Hooge, J. Kedzia, L. K. J. Vandamme A979), Boundary scattering and
1/f noise, /. Appl. Phys., 50, 8087—8089.
37. F. N. Hooge, L. K. J. Vandamme A978), Lattice scattering causes 1/f noise,
Phys. Lett., 66A, 315—316.
38. J. B. Johnson A925), The Schottky effect in low frequency circuits, Phys.
Rev., 26, 71—85.
39. В. К. Jones A981), Excess conductance noise in silicon resistors, Proc. 6th

l/f-шум 19*
Int. Conf. on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of
Standards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 206—209.
40. B. K. Jones, J. D. Francis A975), Direct correlation between 1/f and other
noise sources, /. Phys. D., 8, 1172—1176.
41. T. G. M. Kleinpenning A974), 1/f noise in the thermo e. m. f. of intrinsic and
extrinsic semiconductors, Physica, 77, 78—98.
42. T. G. M. Kleinpenning A980), 1/f noise in Hall effect: fluctuations in mobi-
mobility, /. Appl. Phys., 51, 3438.
43. T. G. M. Kleinpenning, D. A. Bell A976), Hall effect noise: fluctuations in
number or mobility?, Physica, 8IB, 301—304.
44. N. N. Lebedev A965), Special Functions and their Applications (translated
from the Russian by Richard A. Silverman), Prentice-Hall, p. 36.
45. С Maccone A981), 1/f* noises and Riemann—Liouville fractional integ-
integral/derivative of the Brownian motion, Proc. 6th Int. Conf. on Noise in
Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg^
MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 192—195.
46. S. Machlup A981), Earthquakes, thunderstorms and other 1/f noises, Proc.
6th Int. Conf. on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of
Standards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 157—160.
47. B. Mandelbrot A967), Some noises with 1/f spectrum, a bridge between direct
current and white noise, IEEE Trans. Inf. Theory, IT—13, 289—298.
48. B. Mandelbrot, J. W. Ness A968), Fractional Brownian motions, fractional
noises and applications, SI AM Rev., 10, 422—437.
49. I. R. M. Mansour, R. J., Hawkins, G. G. Bloodworth A968), Measurement
of current noise in M. O. S. transistors from 5xlO,~5 to 1 Hz, Radio and'
Elect. Eng., 35, 212—216.
50. A. L. McWhorter A956), Semiconductor Surface Physics (Ed. R. H. King-
Kingston), University of Pennsylvania Press, Philadelphia.
51. A. Mirceau, A. Roussel, A. Mitonneau A972), 1/f noise: still a surface effect,
Phys. Lett, 41 A, 345—346.
52. T. Musha A981), 1/f fluctuations in biological systems, Proc. 6th Int. Conf.
on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards,
Gaitherburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 143—146.
53. M. Prudenziati, B. Morton, A. Masoero A981), Temperature dependence of
1/f noise in thick film resistors, Proc. 6th Int. Conf. on Noise in Physical
Systems held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA»
April 6—10, 1981, pp. 202—205.
54. V. Radeka A969), l/|f| noise in physical measurements, IEEE Trans. Nucl.
Set., NS—16, 17—35.
55. M. Sayer, B. Prasad A979), Electrical noise in semiconducting oxide glas-
glasses, /. Non. Cryst. Solids, 33, 345—349.
56. J. H. Schofield, D. H. Darling, W. W. Webb A981), 1/f noise in continuous
metal films is not due to temperature fluctuations, Proc. 6th Int. Conf. on
Noise in Physical Systems held at the National Bureau of Standards, Gai-
Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 147—150.
57. H. Schonfeld A955), Beitrag zum 1/f-Gesetz beirn Rauschen von Halbleitern,
Z. Naturforsch, Teil, A10, 291—300.
58. M. Stoisiek, D. Wolf A976), Recent investigations on the stationarity of 1/f
noise, /. Appl. Phys., 47, 362—364.
59. U. J. Strasilla, M. J. O. Strutt A974), Narrow band variance noise, /. Appl.
Phys., 45, 1423—1428.
60. J. L. Tandon, H. R. Bilger A976), 1/f noise as a non-stationary process:
experimental evidence and some analytical conditions, /. Appl. Phus.. 47.
1697-1701.
61. A. van der Ziel A950), On the noise spectra of semi-conductor noise and of
flicker effect, Physica, 16, 359—372.

192 Глава 6
62. A. van der Ziel A975), Limiting flicker noise in MOSFETs, Solid State
Elect., 18, 1031.
•63. A. van der Ziel A978), Flicker noise in semi-conductors: not a true bulk
effect, Appl. Phys. Lett., 33, 883—884.
>64. A. van der Ziel A979), Flicker noise in electronic devices, Advances in Elect.
and Phys., 49, 225—297.
5. R. F. Voss A977), Proc. 1st Symposium on 1/f fluctuation held at Saskawa
Hall, Tokyo, Japan, 11—13 July 1977, p. 199.
*66. R. F. Voss A978), 1/f noise and percolation in impurity bands in inversion
layers, /. Phys. C, 11, L923—L926.
67. R. F. Voss, J. Clarke A976), Flicker A/f) noise: equilibrium temperature
and resistance fluctuations, Phys. Rev. B, 13, 556—573.
68. R. F. Voss, J. Clarke A978), '1/f noise' in music: music from 1/f noise,
/. Acoust. Soc. Am., 63, 258—263.
43-9. M. B. Weissman A981), Survey of recent 1/f noise theories, Proc. 6th Int.
Conf. on Noise in Physical Systems, held at the National Bureau of Stan-
.dards, Gaithersbtirg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 133—142.

7
Взрывной шум
7.1. Введение
У различных типов твердотельных приборов, таких, как дио-
диоды и транзисторы на р—я-переходах, туннельные диоды и
композиционные резисторы, иногда имеет место электрический
по характеру шум, проявляющийся в виде случайных «всплес-
«всплесков». По-видимому, подобный шум не является универсальным,
однако его, как правило, обнаруживают у сравнительно не-
небольшой части приборов определенного типа.
В своем простейшем виде данное явление проявляет себя
как бистабильный сигнал ступенчатой формы, однородный по
амплитуде, со случайно распределенными интервалами времени
между ступенями, очень напоминающий случайный телеграф-
телеграфный сигнал. Но изредка встречаются более сложные ступен-
ступенчатые сигналы с тремя и более уровнями ступеней. Говорят,
что сигналы бистабильной формы симметричны, если среднее
время длительности каждого из двух уровней одинаково. Это
условие, вообще говоря, для взрывного шума не выполняется,
для него во многих случаях наблюдается сильная асимметрия.
Предполагается, что механизм, обусловливающий взрывной
шум у р—/г-переходов с обратным смещением, заключается в
нерегулярном включении — выключении поверхностного кана-
канала. Причиной взрывного шума у р—/г-переходов с прямым сме-
смещением в настоящее время принято считать дефекты кристал-
кристалла в области перехода. Природа таких дефектов точно не уста-
установлена, но последние экспериментальные данные указывают
на то, что это — линии скольжения и дислокации в кристалли-
кристаллической структуре, а не металлические примеси.
7.2. Взрывной шум в обратно смещенных
р — /г-переходах
Одно из самых первых упоминаний о взрывном шуме было
сделано в работе Монтгомери [29] при рассмотрении им шума
у п—р—я-транзисторов из германия. Это явление присутство-
присутствовало у очень небольшой части транзисторов, демонстрировав-
демонстрировавших «всплески шума очень нерегулярного характера». Монт-

194 Глава 7
гомери обнаружил, что транзисторы, поврежденные за счет по-
подачи излиш-не большого напряжения обратного смещения, име-
имеют тенденцию проявлять такой шум.
Типичный вид бистабильного взрывного шумового сигнала
приведен на рис. 7.1, а. Он состоит из случайных ступенчатых
импульсов, на которые наложен белый шум. Если «обрезать»
этот шумовой сигнал таким образом, чтобы исключить состав-
составляющую белого шума, то он становится весьма похожим на
Ток
Время
г
Ю'8А
JМО
Рис. 7.1. Типичный вид токового взрывного шума с наложенным на него бе-
белым шумом (а) и после удаления белого шума (б).
случайный телеграфный сигнал, как показано на рис. 7.1,6, Го-
Говорят, что такой сигнал симметричен, если среднее время дли-
длительности каждого из двух уровней ступени одинаково, и асим-
асимметричен, если имеет место значительное отклонение от такого
условия. Взрывной шум представлен на рис. 7.1 в масштабе,
соответствующем обычно наблюдаемому в эксперименте.
Первые количественные данные о взрывном шуме для при-
приборов с р—я-переходами были приведены Пеем [31] на основе
его измерений на обратносмещенном точечно-контактном гер-
германиевом диоде. Интересная особенность результатов Пея, по
которой их можно отличить от результатов последующих ис-
исследователей, заключается в сильной зависимости симметрич-
симметричности формы шумового сигнала от величины обратного тока,
протекающего через переход; имеется существенная асиммет-
асимметрия при 700 мкА, но она становится гораздо менее выражен-
выраженной по мере увеличения тока, до тех пор пока при 1000 мкА
взрывной шум приобретает более или менее симметричный вид.
Среднее значение частоты повторения, измеренное Пеем, также
зависело от величины обратного тока, но значительно слабее.
О взрывном шуме в обратносмещенных кремниевых и гер-
германиевых р—я-переходах, возникающем в интервале обратных
смещений от 0,7 В до напряжения пробоя, позднее сообщала

Взрывной шум
195
Кард и Чаудхари [6]. Они выделили взрывной шум, чтобы ис-
исследовать его, так сказать, в чистом виде, подобно тому как
это показано на рис. 7.1,6, и измерили функции плотности ве-
вероятности для длительностей верхнего и нижнего уровней слу-
случайных сигналов прямоугольной формы. Они нашли, что эти
функции вероятности есть экспоненты Пуассона (разд. 7.5).
Рис. 7.2. Форма взрывного шума в обратно смещенном G,5 В) германиевом
р—я-переходе.
Горизонтальная шкала соответствует 20 мс/дел., вертикальная 20 нА/дел. (Согласно
[41], с любезного разрешения Американского физического института.)
Высота ступенек тока по их наблюдениям составляла примерно
10~8 А, а средняя продолжительность всплеска тока, как пра-
правило, имела порядок 1 мс.
Кроме того, Кард и Чаудхари сообщили о наличии взрывно-
взрывного шума у туннельных диодов из GaAs при работе в области
инжекции при смещениях 0,2 В. Они также попутно сообщили
о наблюдениях этого шума у пленок из окиси олова и углеро-
углерода и у угольных композиционных резисторов, однако в этих
случаях это явление быстро исчезает и редко его продолжи-
продолжительность достаточна для проведения статистически надежных
измерений.
Статистические свойства бистабильного взрывного шума у
обратносмещенных германиевых р—я-переходов тщательно ис-
исследовались Вольфом и Холлером [41]. Они провели измере-
измерения на обратносмещенных переходах эмиттер — база диффузи-

1S6
Глава 7
онных р—п—р-транзисторов из германия при напряжениях зна-
значительно ниже напряжения пробоя. Коллектор был плавающе-
плавающего типа. Из 20 исследованных образцов только у 4 был обнару-
обнаружен в^ывной шум. Они проводили исследования в диапазоне
температур от —10 до +20°С; верхний температурный предел
определялся тепловым шумом (при этом случайные прямо-
т °с
ю
20
10
Z
1
к
-
I I I I I I
1
10
I I
\
\
I I I
0
I
\
I I
-1L
I
\
\
О
3fi 3,5 3,6 3,7
Г/Гх10~3, И'1
38
Рис. 7.3. Обратная ветвь вольт-ам-
вольт-амперной характеристики германиевого
р—я-перехода с отрезком горизон-
горизонтальной прямой, указывающим диа-
диапазон смещений, при которых на-
наблюдается взрывной шум.
(Согласно [41], с любезного разрешения
Американского физического института.)
Рис. 7.4. Зависимость среднего числа
всплесков за секунду z от обратной
температуры для напряжения смеще-
смещения 7,5 В.
Кружки — данные экспериментальных из-
измерений. (Согласно [41], с любезного со-
согласия Американского физического инсти-
института.)
угольные импульсы размывались настолько, что их нельзя бы-
было уже надежно выделять), нижний температурный предел оп-
определялся скоростью повторения этих импульсов, которая ста-
становилась слишком малой, чтобы можно было проводить изме-
измерения. Типичные примеры токовых импульсов взрывного шума
при обратном смещении приведены на рис. 7.2.
Все результаты, о которых сообщили Вольф и Холлер, от-
относятся к одному выбранному типу транзистора. Диапазон об-
обратных смещений, в котором они надежно наблюдали взрывной
шум, указывается на рис. 7.3 горизонтальной чертой, на нем
проводится обратная ветвь вольт-амперной характеристики пе-
перехода при фиксированной температуре. Как можно видеть из

Взрывной шум
этого рисунка, «мягкий» пробой в переходе возникает при об-
обратном смещении 51 В.
Из результатов Вольфа и Холлера следует несколько инте-
интересных выводов. Они нашли, что при постоянном обратном сме-
смещении среднее число токовых импульсов за секунду z изменя-
изменяется по экспоненте с показателем, обратно пропорциональным!
абсолютной температуре, как показано на рис. 7.4. Сплошная
линия на этом рисунке соответствует выражению
z = const х exp (—qq/kQ), G.1)
где k — постоянная Больцмана, а 0 — абсолютная температура.
Согласно Вольфу и Холлеру, возможно, что qy — это энергия
активации, значение которой, найденное по наклону этой ли-
линии, составляет qcp = 0,79±0,04 эВ. Это больше, чем величина
запрещенной зоны в германии. Было обнаружено, что величи-
величина z не зависит от обратного смещения в диапазоне напряже-
напряжений 5—30 В, что не соответствует результатам измерений, про-
проведенных Пеем для точечно-контактных диодов.
Распределение плотности вероятности положительных и от-
отрицательных импульсов тока измерялось при температурах 0,
10 и 19,5°С. Было найдено, что во всех случаях эти распределе-
распределения имеют вид
G.2)
где t± — длительность положительного или отрицательного им-
импульса, а т± — среднее значение длительности /+ или ?_. Экс-
Экспериментальные результаты приведены на рис. 7.5, где ясно
видна экспоненциальная зависимость. Сравнивая ординаты в
том случае, когда /+=/-=0, из этих графиков можно найти,
что отношение т+/т- изменяется при изменении температуры;
оно имеет значение 40 при 0°С, 35 при 10 °С и 32 при 19 °С,
что указывает на то, что по мере увеличения температуры шу-
шумовой сигнал становится менее асимметричным.
Было найдено, что плотности вероятности не зависят от об-
обратного смещения, тогда как высота импульса А/ увеличивает-
увеличивается с возрастанием температуры, в конце концов достигая пре-
предельной величины, как показано на рис. 7.6.
Наконец, Вольф и Холлер провели измерение спектрально-
спектрального распределения интенсивности шума и нашли, что для час-
частот, больших 150 Гц, оно изменяется по закону f~2 (рис. 7.7).
Причина возникновения импульсной помехи у обратносме-
щенных р—я-переходов все еще не полностью ясна. Предлага-
Предлагалось несколько физических механизмов, один из первых среди
них относится к случайным температурным флуктуациям, вы-
вызывающим включение — выключение траектории поверхностной
проводимости образца. Этот механизм был предложен Кардом

198
Глава 7
1 -(
0,1
ч
-B0000)
1 |
\
(S0000)
а
I
0,5
О 10 20 30 40 SO
Рис. 7.5. Распределение плотностей положительных (а) и отрицательных (б)
токовых импульсов при'температурах 0, 10 и 19,5 °С.
Экспериментальные точки обозначены кружками, а числа в круглых скобках указывают
количество проанализированных случаев. (Согласно [41], с любезного разрешения Аме-
Американского физического института.)
dU
20
10
17° С
^° ° '
/
у—О О-О
/°С
1
10
U, В
20
Рис. 7.6. Зависимость величины импульса А/ от обратного смещения U.
Экспериментальные точки соответствуют незалитым A7 °С) и залитым A °С) кружкам.
(Согласно [41], с любезного разрешения Американского физического института.)
и Чаудхари и впоследствии получил поддержку у Вольфа и
Холлера. Все эти авторы отвергли идею о том, что данное яв-
явление связано с пробоем внутри перехода на том основании,
что оно имеет место при обратных смещениях, значительно
меньших напряжения пробоя.
С точки зрения такого вывода может показаться удиви-
удивительным, что второй механизм возникновения взрывного шума,
который активно обсуждался в литературе, связан с микро-
микроплазмой. Как известно, микроплазменные эффекты ассоцииру-
ассоциируются с пробоем в р—я-переходах; это обстоятельство обсужда-

Взрывной шум
0,001
10
лось Шокли [40] и' эксперимен-
экспериментально исследовалось Мак-Кеем
и Мак-Афи [28], Мак-Кеем [27]
и Чиноветом и Мак-Кеем A0, И].
Шум микроплазмы (в отличие
от взрывного шума) наблюдает-
наблюдается в виде ступенчатого сигнала с
амплитудой, приблизительно рав-
равной 10~5А [8]. Сама микроплаз-
микроплазма локализуется внутри перехо-
перехода в областях сильного электри-
электрического поля с характерными раз-
размерами порядка нескольких со-
сотен ангстрем, в которых трещи-
трещины и другие дефекты кристалли-
кристаллической решетки содержат ловуш-
ловушки, что приводит к большой плот-
плотности заряда в таких местах.
Этот связанный заряд способст-
способствует лавинному пробою, когда
тот возникает. Образование и по-
последующее разрушение микро-
микроплазмы — процесс случайный и
он приводит к экспериментально
наблюдаемым ступенчатым изме-
изменениям тока перехода. Роуз [36]
предложил модель для объясне-
объяснения микроплазменных эффектов,
основанную на аналогиях с яв-
явлением газового разряда, и,
кроме этого, Хайтц [16] рассмот-
рассмотрел модель электрического поведения микроплазмы.
Ступенчатая форма сигнала, которая характеризует микро-
микроплазменный шум, указывает на очевидную схожесть с формой
взрывного шума, но между ними имеется и существенное раз-
различие. В частности, амплитуда взрывного шума на три порядка
меньше, чем амплитуда шума, обусловленного микроплазмой,
и скорость включения взрывного шума по существу не зави-
зависит от напряжения, тогда как длительность цикла микроплаз-
микроплазменного шума меняется в зависимости от величины приложен-
приложенного напряжения.
Шенк [,37, 38], который рассматривал связь взрывного шу-
шума со старением и отказами приборов, отметил трудности в
интерпретации взрывного шума как явления микроплазменного
происхождения. В то же время он высказал допущение о том*,
что эти трудности не непреодолимы и что они не устраняют
Рис. 7.7. Спектральная плотность
взрывного шума.
Экспериментальные точки обозначены
незалитыми кружками, прямая часть
сплошной линии соответствует зависи-
зависимости f-2. (Согласно [41], с любезного
разрешения Американского физическо
го института.)

200 Глава 7
полностью возможность того, что взрывной шум обусловлен
процессами образования и разрушения микроплазмы. Он пола-
полагал, например, что только из того, что взрывной шум наблюда-
наблюдается при напряжениях, значительно меньших напряжений про-
пробоя в объеме перехода, не обязательно должно следовать, что
это явление не есть эффект пробоя, оно может быть связано с
поверхностным пробоем, который, как известно, имеет место
при напряжениях, меньших напряжения пробоя в объеме [13].
Шенк предложил количественную модель для взрывного
шума, основанную на допущении, что внутреннее последова-
последовательное сопротивление траектории в области сильного поля в
переходе составляет 108—1011 Ом. Как он отметил, это гораздо
больше, чем величина 103—105 Ом, которую связывают обычно
с микроплазмой. Он постулировал следующую последователь-
последовательность процессов, происходящих в месте возникновения микро-
микроплазмы, где имеется напряжение, большее, чем напряжение
пробоя.
Носитель заряда, либо генерированный внутри области
^сильного электрического поля, либо диффундировавший в эту
область, приводит к образованию лавины. По мере роста тока
падение напряжения на большом внутреннем последователь-
последовательном сопротивлении увеличивается до тех пор, пока падение на-
напряжения в области сильного поля станет ниже пороговой ве-
величины, при которой разряд прекращается. Часть носителей,
освобожденных разрядом, будет, вероятно, захвачена в непо-
непосредственной близости от области микроплазмы. Из тех носи-
носителей, которые повторно освобождаются из ловушек после
окончания разряда, некоторые опять запустят в действие этот
же механизм. Таким образом, возникает ряд коротких всплес-
всплесков лавинного тока, и процесс окончится только тогда, когда
случайно не окажется повторно освобождаемых носителей для
запуска следующего разряда. Такая ситуация будет оставаться
без изменений до тех пор, пока весь этот процесс не будет
инициирован снова с помощью свободного носителя, диффун-
диффундирующего в область сильного электрического поля или гене-
генерированного внутри этой области.
Шенк предположил, что каждый из экспериментально на-
наблюдаемых импульсов взрывного шума, имеющий амплитуду
приблизительно равную 10~9 А и длительность порядка мил-
миллисекунды, является на самом деле «усреднением» одной се-
серии коротких импульсов разряда. Главная трудность данной
модели заключается в том, что она не объясняет высокое зна-
значение внутреннего последовательного сопротивления траектории
тока до области сильного электрического поля — условие, на
которое она столь существенно опирается. Если постулировать
наличие такого сопротивления, то нужная величина амплитуды

Взрывной шум 201
токовых импульсов следует из этого почти автоматически; но
не трудно видеть, что в этом-то вопрос и состоит. Обычно для
возникновения микроплазменных эффектов не требуется столь
высокого значения сопротивления току в близлежащих к пере-
переходу областях, т. е. импульсы, обусловленные микроплазмой,
имеют амплитуды, на несколько порядков большие, чем ампли-
амплитуды импульсов взрывного шума. Поэтому явно недостаточно
просто считать иначе, и затем на основе такого допущения
прийти к заключению, что импульсная помеха — это эффект,
связанный с микроплазмой. У Шенка имеется намек на то, что
в кремниевых приборах такое высокое внутреннее сопротивле-
сопротивление может быть связано с поверхностью раздела кремний —
окись кремния, но он не привел никаких количественных дово-
доводов для подтверждения такой точки зрения.
Явление взрывного шума и его происхождение было рас-
рассмотрено в работе Леонарда и Яскольски [22] в связи с функ-
функционированием широкополосных интегральных усилителей. Из
проведенного исследования они сделали вывод о том, что «шум
лопающихся зерен кукурузы»^ (взрывной шум) имеет место
тогда, когда у обратной ветви вольт-амперной характеристики
перехода коллектор — база имеются области отрицательного
сопротивления, находящиеся около «колена» ветви, соответст-
соответствующего началу пробоя. Леонард и Яскольски сообщили, что
в том случае, когда напряжение обратного смещения было та-
таким, что рабочая точка совпадала с областью подобного отри-
отрицательного сопротивления, они наблюдали локальное излуче-
излучение света. Известно, что микроплазма излучает свет [10], и
это привело Леонарда и Яскольски к выводу о том, что взрыв-
взрывной и микроплазменный шумы эквивалентны. Однако они не
предпринимали попытки примирить отмеченные выше несораз-
несоразмерности между микроплазменным и взрывным шумами.
Подобная трактовка Леонарда и Яскольски была поставле-
поставлена под сомнение Кноттом [21], который провел измерения
взрывного шума в дискретных кремниевых планарных транзи-
транзисторах. Его результаты не подтвердили гипотезы о том, что
взрывной шум обусловлен микроплазменными явлениями в об-
ратносмещенном переходе база — коллектор; вместо этого он
показал, что в данном случае взрывной шум возникает в об-
области на поверхности или рядом с поверхностью положительно
смещенного перехода эмиттер — база. Подобное противоречие
между результатами, полученными Леонардом и Яскольски, а
также Кноттом, могло означать, что существуют по крайней
мере два вида взрывного шума. В самом деле, Орен [30]
*> Его так называют по аналогии со звуками варящихся в котелке зерен
кукурузы.

202 Глава 7
утверждал, что взрывной шум — явление сложное, которое
никает из-за нескольких причин, в ряде случаев конкурирую-;
щих между собой. С его точки зрения, нет причин полагать,
что все виды взрывного шума, которые экспериментально на-,
блюдаются, обусловлены единственным физическим механиз-
механизмом. И это действительно верно, поскольку в определенном
смысле взрывной шум в р—n-переходах с прямым смещением
имеет существенно иные характеристики по сравнению со
взрывным шумом в обратносмещенных р—я-переходах, что да-
дает возможность предполагать, что в этих двух случаях дейст-
действуют разные физические механизмы генерации шума. Характе-
Характеристики взрывного шума в р—я-переходах с прямым смещени-
смещением рассматриваются ниже.
7.3. Взрывной шум в р — ^-переходах
с прямым смещением
О взрывном шуме в кремниевых планарных транзисторах
(п—р—п и р—п—р) сообщали Гиралт с сотр. [14, 15]. Харак-
Характер шума напоминал взрывной шум у р—^-переходов при об-
обратном смещении в том, что он также имел ступенчатую фор-
форму иногда с двумя уровнями, а в некоторых случаях с более
чем двумя уровнями. Величина ступеней оставалась постоян-
постоянной во времени, но имела зависимость от температуры и уров-
уровня смещения транзистора. Длительность импульсов менялась
случайно с распределением вероятности, описываемым стати-
статистикой Пуассона.
Эти результаты были подтверждены позднее Мартином с
сотр. [26], которые сообщили о наблюдениях токовых импуль-
импульсов длительностью от 10 мкс до нескольких минут со статисти-
статистическим распределением в соответствии с законом Пуассона.
Кроме того, они обнаружили, что характер взрывного шума
можно существенно изменить до такой степени, что он может
появляться либо исчезать при хранении (без смещения) тран-
транзистора при температуре 200 °С в течение нескольких часов.
Подобное изменение, как правило, сопровождается дрейфом ко-
коэффициента усиления hfe транзистора.
Мартин с сотр. провели исследования взрывного шума тока
базы у транзисторов различных типов BN 2484, 2N 3707,
2N 2222, ВС 183) и нашли, что величина импульсов шума А/в
изменяется в зависимости от температуры и напряжения эмит-
эмиттер — база Уев, согласно соотношению
Мв = Мтех? [-(%/&)] exv(qVEB/nkQ)y G.3)
где А/во, Во, п — параметры, величины которых зависят ат

Взрывной шум 203
свойств конкретного испытуемого образца. Два последних па-
параметра заключены в пределах 3500 /С^80^7000 К, 1,7^п^
^2,6 и обычно составляют 8о^7ООО К и п~2. Эти величины
не согласуются с интерпретацией, предложенной Мартином с
сотр., согласно которой импульсы взрывного шума обусловле-
Рис. 7.8. Типичный вид взрывного шума тока диода с р—л-пёреходом с пря-
прямым смещением.
(Согласно [17], с любезного разрешения «Пергамон Пресс».)
ны неустойчивостью тока поверхностной рекомбинации, свя-
связанной со скачкообразными изменениями поверхностного по^г
тенциала в зоне с высокой степенью рекомбинации. Флукту&-<
ции потенциала внутри этой зоны могут стать причиной слу-
случайных изменений заселенности ловушек. Таким образом, мож-1
но объяснить экспериментально наблюдаемый взрывной шум*1
Те же авторы признали, что подобный механизм предполагает
сложное распределение ловушек в запрещенной зоне полупро-
полупроводника и в качестве альтернативного объяснения предложили1
случайное «включение — выключение» инверсного канала вбли-
вблизи пбв'ерхности. ;
Вопрос о тОм, является ли взрывной шум у р—я-переходов-
с прямым смещением поверхностным или объемным эффектом,

204
Глава 7
был исследован Хсу и Виттиером [17], проводившими измере-
измерения на транзисторах с управляемым затвором. Электроды за-
затвора размещались над р—я-переходами диодов и транзисто-
транзисторов и позволяли контролировать поверхностные условия. Было
-обнаружено существование взрывного шума двух типов, один
лз которых зависел, а другой не зависел от напряжения на за-
i 1 1 1
0,30
1
0,40
IX
j P+J
I
1
Ю~
го-'-
10~3 -
'20 -10
10 20 30 40 50
Рис. 7.9. Зависимость прямого тока от напряжения затвора при различных
значениях прямого смещения.
(Согласно [17], с любезного разрешения «Пергамон Пресс».)
творе. В первом случае оказалось возможным исключить пол-
полностью и вновь инициировать этот шум, изменяя напряжение
затвора, а это создавало определенные преимущества, так как
один и тот же элемент можно было исследовать в присутствии
или отсутствие взрывного шума. По этой причине Хсу и Вит-
таер сконцентрировали внимание на зависимости взрывного
шума от напряжения затвора и исключили из рассмотрения те
приборы, у которых шум не зависел от напряжения затвора.
На рис. 7.8 показан типичный вид импульса взрывного шу-
шума тока прямосмещенного диода с р—я-переходом по наблюде-
наблюдению Хсу и Виттиера. Величина амплитуды наблюдаемых ими
импульсов была всегда меньше нескольких десятых долей мик-
микроампера, а ширина импульсов менялась от нескольких микро-
микросекунд и выше (верхний предел они не установили).
Рис. 7.9 также взят из работы Хсу и Виттиера, на нем по-.

Взрывной шум 205
казано влияние напряжения затвора на прямую ветвь вольт-ам-
вольт-амперной характеристики р—я-перехода. Структура элемента, на
котором проводили эти измерения, показана на этом рисунке
отдельно. Сплошные кривые — это характеристики одного из
исследованных р—я-переходов. Пики на этих характеристиках
приходятся на напряжения затвора, примерно равные —10 и
+ 10 В, что соответствует обеднению носителями поверхности
я-области (подложка) и поверхности р+-области, соответствен-
соответственно. У некоторых переходов обнаружено отклонение в поведе-
поведении от зависимостей, указанных сплошной линией; при напря-
напряжении на затворе, большем +10 В, наблюдался дополнитель-
дополнительный ток, показанный штриховой линией на рисунке. Этот до-
дополнительный ток мог быть обусловлен либо локальными кон-
концентрациями дефектов в инверсном слое, либо туннельными
механизмами [33]. Согласно Хсу и Виттиеру, взрывной шум,
который зависит от напряжения затвора, связан исключитель-
исключительно с этим дополнительным током: в тех переходах, у которых
не было дополнительного тока, не наблюдался взрывной шум;
в то же время взрывной шум наблюдался в тех элементах, ко-
которые имели дополнительный ток, но только в тех случаях,
когда напряжение затвора приводило к поверхностной инвер-
инверсии, позволяющей протекать этому дополнительному току. Бо-
Более того, было найдено, что пороговое значение напряжения
затвора для возникновения взрывного шума, такое же, как и
для этого дополнительного тока на прямой ветви характери-
характеристики ток — напряжение затвора. Подобная картина наблюда-
наблюдалась и в транзисторах с р—n-переходами, исследованных Хсу
и Виттиером.
Вслед за этими первыми наблюдениями был выполнен ряд
исследований взрывного шума в биполярных транзисторах:
Ягер и Бредерсон [19] предложили феноменологическую мо-
модель, которую используют для расчета шума в области низких
частот; Люк с сотр. {23] нашли, что амплитуды импульсов
взрывного шума зависят от прямого напряжения эмиттер —
база, но не зависят от обратного смещения коллектор — база;
анализ спектра и экспериментальное изучение статистики
взрывного шума провели Мартин и Бласкес [24]; отказы в ра-
работе интегральных схем, связанные с взрывным шумом, изуча-
изучались Конти и Корда [12]. Основные выводы, которые следу-
следуют из всех этих исследований, таковы: 1) амплитуды импульсов
взрывного шума тока базы подчиняются соотношению G.3);
2) параметр п в этом выражении приблизительно равен 2, но
он больше, чем т в выражении
B G.4)
для тока базы; 3) частота повторения шумовых всплесков ли-

206 Глава 7
нейно зависит от тока эмиттера /я, но не зависит от напряже-
напряжения Vcb\ 4) длительность наименее вероятного состояния
уменьшается с увеличением 1е\ 5) механическое напряжение,
вызываемое нажатием на кристалл транзистора стальным ост-
острием, приводит практически во всех случаях к изменению сред-
средней частоты повторения шумовых всплесков; 6) взрывной шум
возникает в п—р—я-транзисторах гораздо чаще, чем в р—п—р-
транзисторах; 7) спектр шума имеет вид [1 + (///оJ]~!, где fo
зависит от смещения.
Вопрос об источниках возникновения взрывного шума в
р—я-переходах с прямым смещением рассматривался рядом
авторов, во всех случаях для его объяснения в качестве осново-
основополагающей причины использовались различные виды дефектов
кристаллической структуры материала, из которого изготов-
изготовлялся элемент. Люк с сотр. предложили механизм возникнове-
возникновения этого шума за счет появления и исчезновения крупномас-
крупномасштабных рекомбинационных центров. Они предположили, что
таковыми могли бы являться 60°-ные краевые дисклокации, так
как известно, что такие дефекты — эффективные центры реком-
рекомбинации, что связано с ненасыщенными связями, которыми они
обладают [32, 39]. Эти дефекты действуют как глубокие ак-
акцепторные уровни. Такая дислокация в полупроводниках
я-типа вызывает изгиб энергетических зон и около линии дис-
дислокации образуется обедненная носителями цилиндрическая зо-
зона. В материале р-типа уровень Ферми опускается ниже уровня
центра зоны и обедненной области не существует. Люк с сотр.
полагают, что механические напряжения могут приводить к об-
образованию области с очень большой концентрацией дислокаций,
которая располагается непосредственно под контактом эмитте-
эмиттера, а передача импульса от электронов тока эмиттера приводит
к миграции этих дислокаций по транзистору, и разные рекомби-
национные тока, связанные с такими центрами в различных об-
областях п—р—я-прибора, ответственны за наблюдаемые им-
импульсы взрывного шума. Весь подобный процесс может про-
продолжаться непрерывно и приводить к статистически стационар-
стационарному шумовому сигналу, так как механические напряжения,
возникающие в области эмиттерного контакта за счет относи-
относительного смещения его составных частей, приводят к образова-
образованию все новых дислокаций, которые затем проходят через тран-
транзистор.
Для объяснения некоторых особенностей характеристик
взрывного шума, по всей вероятности, подходит модель, рас-
рассматривающая поверхностные дефекты. Такая точка зрения на-
находит поддержку в работе Мартина с сотр. [25], в которой по-
показано, что на одной полупроводниковой пластине процент
транзисторов, у которых наблюдается взрывной шум, пропори

Взрывной,шум
ццонален. плотности поверхностных ^дисловдций на этой пла-
пластине. Кроме того, .другие авторы, например Бласкее [3],, а
также; Конти, и Корда [12], смогли идентифицировать сдязь,.
между кристаллографической плотностью дефектов и соответ-
соответствующей частью транзисторов со взрывным шумом. С другой
стороны, Бродерсон с ротр. [5] высказали предположение о,
том, что в качестве причины,- приводящей к взрывному шуму,
могут выступать осадки -, _ Дефент '. ¦ •<
металла, а Хсу с сотр.
[18] предложили модель,
основанную на дефектах
такого типа.
Хсу с сотр. рассужда-
рассуждали следующим образом:
число носителей заряда в
типичном импульсе взрыв-
взрывного шума, имеющего ам- г-р- центр
плитуду 10~8А и длитель-
длительность 1 мс, составляет по
порядку величины 108. Ес
Крайне мало вероятно,
чтобы при механизме,
обусловливающем этот ?
токовый импульс, все эти
носители возбуждались
независимо. Гораздо ве-
вероятнее такой процесс,
при котором единичное
событие приводило как
бы к запуску потока всех носителей в таком импульсе. Такой
процесс мог бы иметь место в том случае, когда только один
генерационно-рекомбинационный центр был бы расположен в
области дефекта с высокой скоростью рекомбинации. В качест-
качестве такого дефекта мог бы быть дефект типа металлического
осаждения.
Предложенная модель основана на положении, согласно ко-
которому ток через область такого металлического осаждения
модулируется изменением заселенности соседнего рекомбина-
ционно-генерационного центра. Представим себе дефект, нахо-
находящийся в металлургическом р—я-переходе, на поверхности
или в объеме полупроводника, как это показано на рис. 7,10, а.
Этот дефект находится в переходе, соединяющем я- и р-обла-
сти. Далее Хсу с сотр. считали, что между осадком металла и
гс-областью полупроводника существует большой потенциаль-
потенциальный барьер, который действует как выпрямляющий контакт,
а потенциальный, барьер между; металлом и р-областью полу-
Дедзеит
5
Рис. 7.10. Модель взрывного шума.
а — дефект, расположенный в метал-
металлургическом переходе; б — диаграмма
энергетических зон около этого де-
дефекта.)

208
Глава 7
проводника относительно низок, что соответствует омическому
контакту (рис. 7.10,6). Запускающий (инициирующий) реком-
бинационно-генерационный центр расположен в области объ-
объемного заряда выпрямляющего барьера на я-стороне перехода.
В том случае, когда на переход подается прямое смещение,
большая часть падения потенциала приходится на область вы-
выпрямляющего контакта металл — полупроводник, что приво-
приводит к уменьшению высоты барьера (рис. 7.11, а) и через пере-
Пустой г-р-центр
Занятый е-р- центр
Рис. 7.11. Влияние изменения заселенности р—г-центра на выпрямляющий
барьер.
а — центр пуст, барьер низкий, ток большой; б — центр занят электроном, барьер стал
выше, ток уменьшился.
ход течет ток. Далее, если заселенность рекомбинационно-гене-
рационного центра (р-г-центра) изменяется, скажем, путем за-
захвата электрона, то высота барьера увеличивается, а ток через
переход уменьшается (рис. 7.11,6). Следовательно, по этой
модели единственный акт захвата или освобождения носителя
заряда приводит к модулированию потока большого числа но-
носителей таким способом, который приводит к количественному
соответствию с наблюдаемой на практике величиной взрывного
шума. В частности, величина амплитуды импульсов такого шу-
шума, согласно этой модели, имеет экспоненциальную зависимость
от напряжения смещения в виде, определяемом уравнением
G.3).
В описанных выше моделях Люк с сотр. и Хсу с сотр. свя-
связывают происхождение взрывного шума с двумя существенно
различными типами дефектов в кристаллах образцов: в первом
случае шумовые импульсы связываются с движением дислока-

Взрывной шум
209
ций в кристаллической структуре, а во втором шум обусловлен
наличием металлических осаждений в кристалле. Рёдель и
Висванатан [35] предприняли попытку определить истинную
среди этих альтернатив, для чего вводили определенные изме-
изменения в технологию изготовления линейных операционных ин-
интегральных усилителей. Сначала они приняли меры по предот-
предотвращению осаждения атомов металлов в область перехода
эмиттер — база, но не изменили при этом плотность дефектов
дислокационного типа, использовав метод HCl-отжига. Такая
обработка привела к заметному, но не впечатляющему увели-
увеличению количества транзисторов с меньшей величиной взрывно-
взрывного шума или вообще без него. Гораздо более существенные по-
положительные результаты достигались в тех случаях, когда ми-
минимизировался температурный удар, что достигалось снижени-
снижением скорости при выращивании кристаллов эмиттеров методом
вытягивания из печи при температуре 1000 °С со скоростью
20—2 см/мин. При большей скорости вытягивания фактически
все транзисторы имели дефекты дислокационного типа в об-
области перехода эмиттер — база, тогда как при меньшей 80%
транзисторов были абсолютно свободны от таких дефектов, что,
вероятно, было связано с самозалечиванием пластин за счет
большего времени их пребывания в горячей зоне печи. Полу-
Полученные результаты суммированы в табл. 7.1. Из них следует,
что именно дефекты дислокационного типа обусловливают
взрывной шум у р—я-переходов с прямым смещением.
Такой вывод получил серьезную поддержку в работе Блас-
кеса [4], касающейся исследований планарных эпитаксиальных
п—р—я-транзисторов. Он провел статистические эксперименты
Таблица 7.1. Воздействие дефектов типа металлических осаждений
и дефектов типа дислокаций на взрывной шум. Данные результаты получены
Рёделем и Висванатаном [35] согласно измерениям, выполненным
на линейных операционных интегральных усилителях
(с любезного разрешения, © 1975 IEEE)
Обработка
Количество
образцов
Процент образцов
с высоким
уровнем
взрывного
шума>400 пА
со средним
уровнем
взрывного
шума
с низким
уровнем
взрывного
шума<100 пА
Обычная
Удалены дефекты типа
металлических осажде-
осаждений
Удалены дефекты типа
дислокаций
233
20
61
70
4
2
24
44
16
6
16
82

210 Глава 7
на нескольких десятках пластин с целью определения, типа
кристаллических дефектов, главным образом обусловливающих
взрывной шум у переходов с прямым смещением. Им изучалось
воздействие дефектов, возникающих за счет термического уда-
удара (линии сдвига), индуцированных диффузией дислокаций
внутри и вне области эмиттера сильно легированных транзисто-
транзисторов и металлических осаждений (золота и меди). Результаты
исследования показали, что металлические примеси и осажде-
осаждения не являются источниками взрывного шума, тогда как ли-
линии сдвига в результате термического удара и индуцированные
диффузией дислокации при высоком уровне легирования эмит-
эмиттера в обоих случаях приводят к взрывному шуму.
Это доказательство совместно с более ранней работой Рё-
деля и Висманатана, очевидно, неоспоримо: основной источник
взрывного шума в р—я-переходах с прямым смещением — дис-
дислокации кристаллической структуры, а не осаждения металлов.
7.4. Взрывной шум у резисторов
О взрывном шуме, обнаруженном у резисторов разных ти-
типов, сообщали Пей [31], Белл [1], а также Кард и Моретик
[7]. Согласно Беллу, это явление имеет вид нерегулярно рас-
распределенных импульсов, наложенных на статистически регу-
регулярный шум тока. Оно значительно отличается по своему ха-
характеру от шумовых импульсов ступенчатого вида, обнаружен-
обнаруженных в приборах с р—я-переходами и описанных в предыдущих
разделах.
Пей обнаружил, что частота, на которой имеют место вспле-
всплески углеродистых композиционных и углеродистых тонкопле-
тонкопленочных резисторов, проявляет тенденцию к увеличению с уве-
увеличением тока, но слабо уменьшается в том случае, когда уме-
умеренный и не изменяющийся по величине ток течет через рези-
резистор продолжительное время. Такое поведение обусловливается,
по всей вероятности, каким-то тепловым механизмом, по-
поскольку обнаруживается тенденция возврата к исходной часто-
частоте всплесков после того, как на некоторое время снималась на-
нагрузка. Кроме того, Чонг [9], а также Белл и Чонг [2] обна-
обнаружили, что взрывной шум в углеродистых композиционных
резисторах может существенно модифицироваться в том слу-
случае, когда резистор находится под нагрузкой в течение дли-
длительного времени, либо когда по нему за короткое время про-
проходит очень большой ток. В последнем случае возникают не-
необратимые изменения в форме шумового сигнала, которые Белл
связал с выгоранием дефектных контактов.

Взрывной шум
211
7.5. Статистика бистабильного взрывного
шума
Мы уже упоминали о том, что бистабильный взрывной шум
можно представить в виде случайного телеграфного сигнала.
Статистические свойства сигналов такого вида в предположе-
предположении, что вероятность перехода от одного уровня к другому за-
задается законом Пуассона, были рассмотрены Райсом [34].
Исследования самого Раиса основывались на еще более раннем
анализе, проведенном Кенриком [20], который представляет
также исторический интерес, поскольку является, по-видимому,
одним из первых приложений метода корреляционной функции
к вопросу определения спектрального распределения мощности
случайного сигнала. Вывод, приведенный ниже, в основном сле-
следует анализу Раиса.
—-
•- а
- а
Рис. 7.12. Вид случайного телеграфного сигнала.
Функция x(t)> соответствующая бистабильному сигналу ви-
вида, показанного на рис. 7.12, может принимать только два зна-
значения, которые обозначим через +а и —а. Если считать, что
вероятность перехода с одного уровня на другой за отрезок
времени (t, t+dt) составляет vdt и что эта вероятность не за-
зависит от переходов вне этого отрезка времени, то вероятность
т переходов за отрезок времени (О, Т) дается распределением
Пуассона (см. приложение 1)
р(пгуТ)= ^Т^Ш e-vT. G.5)
Можно легко показать, если вычислить первый момент этого
распределения, что v — среднее число таких переходов за се:
кунду.
Если т+ и т- — средние времена нахождения на верхнем
и нижнем уровнях соответственно, то плотность вероятности
времен /+ и *- нахождения на этих двух уровнях описывается
формулой
Такой результат следует сразу из распределения Пуассона, как

212 Глава 7
произведение вероятности того, что нет перехода за интервал
t± и вероятности существования одного перехода за интервал
t± и t±+dt±. Уравнение G.6) означает, что времена нахождения
в этих двух уровнях распределены по экспоненте в соответст-
соответствии со статистическими измерениями взрывного шума, выпол-
выполненными Вольфом и Холлером [41] (рис. 7.5).
Для вычисления спектральной плотности взрывного шума
находим произведение x(t)x(t+x) и затем усредняем его для
получения автокорреляционной функции, по которой в свою
очередь из теоремы Винера — Хинчина находим искомое спект-
спектральное распределение шума. Произведение x(t)x(t+x) равно
+а2, если число переходов в интервале времени (/, t-\-x) — чет-
четное, и —а2, если число переходов за такой же интервал време-
времени — нечетное. Следовательно, среднее значение произведения
x(t)x(t-\-%) составляет
jc(t)x(t-\-x) = a2 х Вероятность четного числа переходов в интерва-
интервале (tft-\-T) либо
— а2 х Вероятность нечетного числа переходов в интер-
интервале (/,/+т)
G.7)
Две вероятности в этом выражении зависят только от длитель-
длительности интервала |т| и не зависят от того, когда интервал на-
начинается. Следовательно, подставляя Г=|т| в уравнение G.5),
из уравнения G.7) имеем
Но среднее в левой части этого выражения равно автокорреля-
автокорреляционной функции <р*(т) сигнала, т. е.
I, G.9)
и соответствующее спектральное распределение мощности шу-
шумового сигнала описывается выражением
оо
?х(со) = 4 ( фх(т) cosotdx =
о
оо
= 4а2 Г ехр — Bvt) cos (сот) &х = fl {^ . G.10)
I (I -j- со /4v ) v

Взрывной шум 213
Спектральная плотность взрывного шума в выражении
G.10) имеет такой же вид, что и у релаксационного процесса;
она по существу параллельна оси абсцисс на низких частотах
ниже частоты /o=v/jt, соответствующей половине мощности, и
убывает по закону со~2 в области высоких частот. Спектральное
распределение такого вида экспериментально наблюдалось у
приборов различного типа рядом ученых, например Вольфом и
Холлером, Хсу и Виттиером, а также Мартином и Бласкесом.
Интересно, что, за исключением масштабного множителя,
в спектральную плотность взрывного шума входит только один
параметр — это средняя скорость перехода с одного уровня на
другой. Ягер и Бродерсон провели измерение средней скорости
перехода (которая равняется удвоенной скорости всплесков)
v = 738 с, соответствующей частоте половинной мощности
v/jx=235 Гц. Измеренный ими спектр имел вид, задаваемый
уравнением G.10) с частотой, соответствующей половине мощ-
мощности, равной 255 Гц. Это значение находится в согласии с
указанным выше значением в пределах точности эксперимен-
эксперимента. Кроме этого, целый ряд других авторов проводили измере-
измерения спектральной плотности взрывного шума, и во всех случа-
случаях их результаты соответствовали спектру, задаваемому урав-
уравнением G.10).
Однако Хсу и Виттиер, исходя из модели, в которой биста-
бильный взрывной шум рассматривался как случайная линей-
линейная суперпозиция прямоугольных импульсов с длительностью
каждого, равной ха, получили выражение, отличное от выраже-
выражения G.10). Используя теорему Карсона, они получили спектр,
который имеет зависимость от частоты в виде
sin2 (coy 2)
из которого они получили суммарный спектр интенсивности
взрывного шума, полагая, что ширина импульса задается функ-
функцией распределения, которую они не определяли. У такого под-
подхода имеются две трудности. Во-первых, указанный выше ре-
результат приводит к нулям и явно выраженным пикам макси-
максимумов, что не находит экспериментального подтверждения в ра-
работах самих Хсу и Виттиера и других, хотя можно полагать,
что упомянутая выше не конкретизированная функция распре-
распределения будет, возможно, в какой-то мере выравнивать спектр.
И, во-вторых, что более существенно, данная модель сама, по-
видимому, не является полностью обоснованной, так как биста-
бильный взрывной шум не сводится к случайной суперпозиции
прямоугольных импульсов, и теорема Карсона не справедлива,
как метод для статистической обработки такого шумового сиг-
сигнала. Это можно видеть из того факта, что при представлении

214 Глава 7
процесса в виде случайной суперпозиции, импульсы могут пе-
перекрываться, приводя к сигналу, имеющему более двух уров-
уровней. Трудно представить, как такой сигнал, который может
иметь несколько уровней, можно приравнять к бистабильному
ступенчатому сигналу; столь же трудно отождествить спект-
спектральное распределение с резкими пиками со спектром биста-
Сильного взрывного шума. Мы приходим к выводу, что наи-
наиболее подходящая модель взрывного шума та, которая приво-
приводит к спектральному распределению, описываемому уравнени-
уравнением G.10).
ЛИТЕРАТУРА
1. Bell D. А. A960), Electrical Noise, Van Nostrand, London, p. 262.
2. Bell D. A., Chong K. Y. A954), Current noise in composition resistors,
Wireless Eng., 31, 142—144.
3. Blasquez G. A973), Ph. D. Thesis, University of Toulouse.
4. Blasquez G. A978), Excess noise sources due to defects in forward biased
junctions, Solid State Elect, 21, 1425—1430.
5. Broderson A. J., Cook К. В., Chenette E. R. A971), Conference sur le bruit
de fond des composants actifs semi-conducteurs, Colloque С N. R. S. No. 204t
С N. R. S., Paris.
6. Card W. H., Chaudhari P. K. A965), Characteristics of burst noise, Proc.
IEEE (letters), 53, 652—653.
7. Card W. H., Mauretic A. A963), Burst noise in semiconductor devices,
Second symposium on the Physics of Failure, Chicago, pp. 268—283.
8. Champlin K. S. A959), Microplasma fluctuations in silicon, /. Appl. Phys.,
30, 1039—1050.
9. Chong K. Y. A953), M. Sc. Thesis, University of Birmingham.
10. Chynoweth A. G., McKay K. G. A956), Photom emission from avalanche
breakdown in silicon, Phys. Rev., 102, 369—376.
11. Chynoweth A. G., McKay K. G. A959), Light emission and noise studies of
individual microplasms in silicon p—n junctions, /. Appl. Phys., 30, 1811—
1813.
12. Conti M., Corda G. A974), Noise sources identification in integrated cir-
circuits through correlation analysis, IEEE J. Solid State Circuits, SC—9,
124—133.
13. Garrett С G. В., Brattain W. H. A956), Some experiments on, and a theory
of, surface breakdown, J.Appl. Phys., 27, 299—306. ,
14. Giralt G., Martin J. C, Mateu-Perez F. X. A96*5), Sur un phenoraene de
bruit dans les transistors, caracterise par des creneaus de courant d'amplitude
constante, CR Acad. Sci.t 261, 5350—5353. ]
15. Giralt, G., Martin J. C, Mateu-Perez F. X. A966), Burst noise df -silicon
planar transistors, Elect. Lett., 2, 228—229 (in French). .. .,
16. Haitz R. H. A964), Model for the electrical behaviour of a microplasma,
/. Appl. Phys., 35, 1370—1376.
17. Hsu S. Т., Whittier R. J. A969), Characterization of burst noise in Silicon
devices, Solid State Elect., 12, 867—878. . ' <
18. Hsu S. Т., Whittier R. J., Mead С. А. A970), Physical model for bufst:noise
in semiconductor devices, Solid State Elect., 13, 1055—1071.
19. Jaeger R. C, Broderson A. J. A970), Low frequency noise sources in Jjipolar
junction transistors, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—17, 128—134.
20. Kenrick G. W. A929), The analysis of irregular motions with applications

Взрывной шум 215
to the energy frequency spectrum of static and of telegraph signals, Phil.
Mag., Ser. 7, 7, 176—196.
21. Knott K. F. A970), Burst noise and ^сг)эр1а>та^ hoisej in silicon planar;
transistors, Proc. IEEE (letters), 58, 1368—1369.
22. Leonard P. L., Jaskolski S. V. A969), An investigation into the origin and
nature of 'popcorn noise', Proc. IEEE (letters), 57, 1786—1788.
23. Luque A., Mulet J., Rodriguez Т., Segovia R. A970), Proposed dislocation
theory of burst noise in planar transistors, Elect. Lett., 6, 176—178.
24. Martin J. C, Blasquez G., A971), Sur le spectre de bruit en creneaux, Solid
State Elect, 14, 89—93.
25. Martin J. C., Blasquez G., de Cacqueray A., de Brebisson M., Schiller, G:
A972), L'effet des dislocations cristallines sur le bruit en creneaux des
transistors bipolaires au silicium, Solid State Elect., 15, 739—744.
26. Martin J. C., Esteve D., Blasquez G. A968), Burst noise in silicon planar
» transistors, Conference on Physical Aspects of Noise in Electronic Devices,
University of Nottingham, UK.
27. McKay K. G. A954), Avalanche breakdown in silicon, Phys. Rev., 94, 877—
884.
28. McKay K. G., McAfee К. В. A953), Electron multiplication in silicon and
germanium, Phys. Rev., 91, 1079—1084.
29. Montgomery H. C. A952), Transistor noise in circuit applications, Proc.
IRE, 40, 1461—1471.
30. Oren R. A971). Discussion of various views on popcorn noise, IEEE Trans.
Elect. Dev., ED—18, 1194—1195.
31. Pay R. G. A956), M. Sc. Thesis, University of Birmingham.
32. Read W. T. Jr A954), Theory of dislocations in germanium, Phil. Mag., 45,
775—796.
33. Reddi V. G. K. A967), Influence of surface conditions on silicon planar
transistor current gain, Solid State Elect., 10, 305—334.
34. Rice S. O. A944; 1945), Mathematical analysis of random noise, Bell. Syst.
Tech. J., 23, 282—332; 24, 46—156.
35. Roedel R., Viswanathan С R. A975), Reduction of popcorn noise in integra-
integrated circuits, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—10, 962—964.
36. Rose D. J. A957), Microplasmas in silicon, Phys. Rev., 105, 413—418.
37. Schenck J. F. A967), Progressive failure mechanisms of a commercial sili-
silicon diode, in Physics of Failure in Electronics, vol. 5, pp. 18—35 (edited by
T. S. Shilliday and J. Vacarro, RADC).
38. Schenck J. F. A968), Burst noise and walkout in degraded silicon devices,
Proc. of the 1967 IEEE Sixth Ann. Reliability Physics Symp., Los Angeles,
California, pp. 31—39.
39. Shockley W. A953), Dislocation and edge states in the diamond crystal
structure, Phys. Rev., 91, 228.
40. Shockley W. A961), Problems related to p—n junctions in silicon, Solid
State Elect., 2, 35—67.
41. Wolf D., Holler E. A967), Bistable current fluctuations in reverse-biased
p—n junctions of germanium, /. Appl. Phys., 38, 189—192.

8
Шумы в генераторах
8.1. Введение
Твердотельные устройства, такие, как туннельные диоды,
лавинно-пролетные диоды и диоды Ганна, в наши дни широко
используются в качестве генераторов СВЧ. Эти устройства об-
обладают собственными шумами, что в одних случаях практиче-
практического применения не имеет большого значения, а в других за-
заслуживает серьезного рассмотрения. Примером последнего мо-
может служить приемник СВЧ, в котором смеситель с внешним
гетеродином помещается перед усилительным каскадом. Есте-
Естественно, физические механизмы, ответственные за шум, зависят
от внутренней структуры генератора. В этой главе мы не уг-
углубляемся в детали этих порождающих шум механизмов, а по-
полагаем только, что генератор колебаний содержит внутренний
генератор белого шума, который служит причиной появления
на выходе случайно флуктуирующего сигнала. Спектральные
характеристики выходного шума в твердотельных генераторах
уже обсуждались в литературе [1, 2, 6, 15].
Важными составными частями генератора стабильных коле-
колебаний являются частотно-избирательный контур, устройство с
отрицательной дифференциальной проводимостью (или конту-
контуром обратной связи с усилением по мощности) и устройство с
нелинейной характеристикой, которое действует как ограничи-
ограничитель амплитуды колебаний. Как правило, отрицательная про-
проводимость и нелинейная характеристика совмещаются в одном
и том же элементе.
Нелинейные элементы можно разделить на «быстрые» и
«медленные» в зависимости от того, насколько быстро они от-
откликаются на входной сигнал. Время отклика медленного нели-
нелинейного элемента составляет несколько периодов, тогда как
быстрое устройство реагирует практически мгновенно. Только
в последнем случае шум довольно значителен, поэтому основ-
основное внимание будем уделять быстрым нелинейным генераторам
с отрицательной проводимостью.
Этот тип генератора был впервые проанализирован ван-дер-
Полем [16], который исследовал собственные и вынужденные
колебания системы. Этот генератор можно просто представить
в виде параллельного LRC-контура, шунтированного отрица-

Шумы в генераторах
217
тельной нелинейной проводимостью (или последовательным
LRC-контуром с последовательно присоединенной отрицатель-
отрицательной проводимостью). При соответствующих условиях такая
схема неустойчива и будет переводиться в колебательный ре-
режим собственным шумом системы. Амплитуда этих собственных
колебаний устанавливается на уровне, который зависит от сте-
степени нелинейности элемента с отрицательной проводимостью.
Как и в большинстве задач с нелинейными эффектами, общий
анализ схем генераторов колебаний проводить трудно, хотя оп-
определенные типы нелинейных характеристик удается исследо-
исследовать, используя в каждом отдельном случае индивидуальный
подход.
Конкретный вид нелинейной проводимости, рассмотренный
ван-дер-Полем, — это плавно изменяющаяся функция, которую
можно аппроксимировать быстро сходящимися степенными ря-
рядами по выходному напряжению. Генераторы, основанные на
нелинейном элементе этого вида, известны под названием ге-
генераторов колебаний ван-дер-Поля. Большинство твердотель-
твердотельных устройств, обычно используемых в качестве нелинейных
элементов в генераторах с отрицательной проводимостью, име-
имеет нелинейные характеристики, которые приближаются к виду,
рассмотренному ван-дер-Полем. Поэтому сосредоточим наше
внимание на этом типе нелинейности и, прежде чем перехо-
переходить к обсуждению шумов генератора, сначала обсудим наи-
наиболее важные рабочие характеристики генератора колебаний
ван-дер-Поля.
8,2. Собственные колебания
в генераторе ван-дер-Поля
На рис. 8.1 показана эквивалентная схема генератора с от-
отрицательной проводимостью, состоящая из параллельного
LC-контура с проводимостью потерь GL, шунтированного нели-
нелинейной отрицательной проводимостью —G (G— положитель-
положительно). Когда G>GL, схема неустойчива и внутренний шум сис-
v(t)
•1
L
1
] GL\\ zL
с
Рис. 8.1. Эквивалентная схема генератора с отрицательной проводимостью.

21g Глава 8
темУ запускает собственные колебания. Тогда на выходе появ-
появляется колебательное напряжение v(t).
Конкретный вид нелинейности определяет характеристики
генератора колебаний. В предположении, что G может мгно-
мгновенно реагировать на быстрые изменения v(t), нелинейную про-
проводимость можно представить в виде разложения по степеням
v(t) следующим образом:
G = G0[l+ai;@+Pi;2@+...J, (8.1)
где а, р, ... — константы, a Go — значение (положительное) ве-
величины G при v(t)=0. Когда ряд в формуле (8.1) сходится
так быстро, что члены выше квадратичного пренебрежимо ма-
малы, имеем выражение
t)l (8.2)
которое описывает тип нелинейности, исследованной ван-дер-
Полем [16]. Как он показал, наиболее важные свойства гене-
генератора определяются не линейным, а квадратичным членом в
выражении (8.2). Другой тип нелинейности, послуживший ос-
основой для генератора Робинсона [11], имеет резкий изгиб в
характеристике при определенном значении |и@|, после кото-
которого происходит насыщение. Несмотря на то что характеристи-
характеристики нелинейностей Робинсона и ван-дер-Поля весьма различны,
характеристики соответствующих генераторов похожи, хотя ге-
генератор ван-дер-Поля имеет тенденцию создавать больше шу-
шума, потому что 1//-шум в нелинейной проводимости существен-
существенно модулирует Go, что в свою очередь вызывает амплитудные и
фазовые флуктуации на выходе. Фолкнер и Мид [4] получили
подтверждение этому, изучая генератор на эффекте Ганна (ко-
(который хорошо аппроксимирует генератор ван-дер-Поля), обна-
обнаружив корреляцию между 1//-шумом сигнала смещения и ЧМ-
шумом выходного сигнала.
Выходное напряжение схемы рис. 8.1 описывается диффе-
дифференциальным уравнением
± ^(t)dt = O, (8.3)
которое после подстановки выражения (8.2) и дифференцирова-
дифференцирования по времени принимает вид
Это — нелинейное, однородное (т. е. без члена с источником в
правой части) дифференциальное уравнение и его решение опи-
описывает собственные колебания на выходе. Ван-дер-Поль [16,
17] показал теоретически, что частота этих колебаний есть ре-

Шумы в генераторах 219
зонансная частота LC-контура и что амплитуда на выходе
быстро достигает предельного значения, определяемого коэф-
коэффициентом квадратичного члена в выражении (8.2). Это огра-
ограничение роста амплитуды можно понять из следующего физи-
физического рассмотрения.
Когда v(t) мало, нелинейная проводимость близка к линей-
линейной отрицательной проводимости —Go и при Gq>Gl суммар-
суммарная проводимость схемы отрицательна. Схема в этом случае
неустойчива, в ней возникают свободные колебания и ампли-
амплитуда этих колебаний растет во времени экспоненциально (вме-
(вместо того чтобы убывать экспоненциально, как было бы в слу-
случае схемы с положительной проводимостью). Когда амплитуда
v(t) становится достаточно большой для того, чтобы член
$v2(t) в выражении (8.2) стал сравнимым с —1 (считаем р
отрицательным), происходит смена знака величины G, и нели-
нелинейный элемент начинает работать как положительная прово-
проводимость. В этой точке амплитуда колебаний перестает нарас-
нарастать, и устанавливается стационарный устойчивый режим амп-
амплитуды.
Нет необходимости решать уравнение (8.4), чтобы опреде-
определить стационарную амплитуду колебаний и оценить важную
роль квадратичного члена в выражении (8.2). Вместо этого
воспользуемся условием, согласно которому в устойчивом со-
состоянии энергия, поглощаемая проводимостью потерь Gl, рав-
равна энергии, выделяемой отрицательным сопротивлением —G
[12, 13]; в результате получаем соотношение
г0 Го
^^v2{t)dtf (8.5)
где Го — период колебаний. Полагая
X) (t) = Vo COS (Oyty (8.6)
где (Оо=2я/Го — угловая частота, из выражений (8.2) и (8.5)
имеем
¦ Тг
- (cos2co0/+ay0cos3(o0/+pt;02cos4(o00^. (87)
о
Функция coswo^ в нечетной степени при интегрировании за пе-
период дает нуль, так что в уравнении (8.7) остаются только ин-
интегралы вида
Го
о

220 Глава 8
Поэтому получаем уравнение
(8.9)
которое имеет решение
4 Gq-
3 PG0
(8.10)
Поскольку G0>GL, получаем, что правая часть этого уравне-
уравнения положительна, когда C<0, что согласуется с качественным
доказательством, приведенным выше.
Рис. 8.2. Эквивалентная схема генератора колебаний, на который действует
внешний источник тока.
Заметим, что коэффициент а линейного члена в выражении
(8.2) отсутствует в выражении для амплитуды стационарных
колебаний: их уровень определяется величиной коэффициента р
квадратичного члена. При уменьшении квадратичной нелиней-
нелинейности в характеристике проводимости амплитуда свободных ко-
колебаний генератора возрастает в соответствии с обратной за-
зависимостью в формуле (8.10).
Угловая частота собственных колебаний соо равна угловой
резонансной частоте колебательного контура генератора на
рис. 8.1, т. е. о)о=1/У^С. Этот результат вытекает из решения
уравнения (8.4), проведенного ван-дер-Полем.
8.3. Вынужденные колебания
На рис. 8.2 показана эквивалентная схема генератора ко-
колебаний, на который действует внешний генератор тока. Внеш-
Внешний источник может оказывать сильное влияние на выходной
сигнал генератора. Дифференциальное уравнение для выходно-
выходного напряжения в данном случае является неоднородным вари-

Шумы в генераторах 221
антом уравнения (8.4), правая часть которого содержит член
с источником:
(8.11)
Как и прежде, именно от квадратичного члена в нелинейной
проводимости (т. е. кубического члена по току) зависят осо-
особенности поведения генератора колебаний.
Решение уравнения (8.11) подробно проведено ван-дер-По-
лем [17] для случая воздействия на генератор гармонического
сигнала. Как и следовало ожидать, этот анализ трудоемкий,
но здесь мы только кратко подытожим наиболее важные выво-
выводы. Существуют два фактора, значительно влияющие на вид
выходного напряжения: амплитуда внешнего воздействия и ча-
частота внешнего воздействия, отнесенная к резонансной частоте
контура.
Когда частота внешнего источника близка к частоте сво-
свободных колебаний, выходной сигнал генератора синхронизован
по фазе и частоте с источником и собственные колебания пол-
полностью подавлены при условии, что амплитуда источника до-
достаточно высока. Вне полосы частот, в пределах которой на-
наблюдается частотная синхронизация, внешний источник слабо
влияет на выходной сигнал, который в этом случае почти це-
целиком состоит из собственных колебаний.
Следует подчеркнуть, что спектральная ширина области
частотной синхронизации зависит от уровня амплитуды внеш-
внешнего генератора. Если бы вместо гармонического сигнала име-
имелось шумовое воздействие, явления синхронизации частоты не
было бы, так как в любой реальной схеме энергия источника
шума за время когерентности флуктуации по величине на
много порядков меньше, чем энергия свободных колебаний. Та-
Таким образом, при наличии шумового генератора свободные ко-
колебания сохраняются, но их амплитуда и фаза подвержены
случайным флуктуациям. Эти флуктуации — предмет дальней-
дальнейшего обсуждения в данной главе.
8.4. Выходной шум
Как было сказано выше, источник собственного шума гене-
генератора ван-дер-Поля обычно можно представить единственным
генератором шума, как показано на рис. 8.3. Это не самое об-
общее представление, но оно подходит для большинства твердо-
твердотельных генераторов с отрицательной проводимостью. В устрой-
устройстве на эффекте Ганна, например, шумовой генератор in(t) на
рис. 8.3 обычно представляет неравновесный шум Джонсона

222
Глава 8
популяции горячих электронов вне движущегося домена (см.
гл. 10).
Некоторые авторы исследовали влияние шума на выходной
сигнал генератора, причем большинство из них предполагали,
что in{t) —источник белого шума [3, 5, 7—9]. Анализ, прове-
проведенный в работах [7, 8], был расширен в работе [10], чтобы
включить в рассмотрение 1//-шум. Рассмотрим кратко этапы
анализа, вновь предполагая, что in(t) имеет равномерный
спектр мощности, так как это допущение несколько упрощает
v(t)
Рис. 8.3. Эквивалентная схема генератора колебаний, собственный шум кото-
которого представлен параллельным шумовым генератором тока.
выкладки. Кроме того, это действительно имеет место в ряде
реальных твердотельных генераторов.
Выходное напряжение генератора шума, изображенного на
рис. 8.3, является решением неоднородного уравнения
in(t), (8.12)
где правая часть описывает источник белого шума, a G — нели-
нелинейная проводимость, определяемая выражением (8.2). Из-за
наличия нелинейных членов решение этого уравнения в общем
виде получить трудно. Как и во многих нелинейных задачах,
обычный путь — найти приближенное решение, применяя ме-
метод линеаризации, но даже в этом случае анализ достаточно
сложен.
Шум двояко влияет на собственные колебания на выходе:
он модулирует амплитуду и вносит случайно флуктуирующий
фазовый сдвиг. Таким образом, выходное напряжение можно
представить в виде
(8.13)
где член a(t) описывает модуляцию амплитуды, ty(t)—моду-
ty(t)—модуляцию фазы, a v0 — амплитуда собственных колебаний в отсут-
отсутствие шума, значение которой задается уравнением (8.10).
Функции, a(t) и я|)(/) соответствуют стационарным стохастиче-
стохастическим процессам, а так как генератор имеет чрезвычайно узкую

Шумы в генераторах 223
полосу, они изменяются во времени очень медленно, или, дру-
другими словами, их спектральные составляющие находятся в об-
области частот много ниже частоты собственных колебаний. За-
Задача теперь состоит в том, чтобы найти решение уравнения
. (8.12) с общим видом (8.13).
Так как функции a(t) и ^(t) представляют стохастические
процессы, они могут быть точно определены только на языке
своих статистических свойств. В частности, нам придется иметь
дело с их спектральными плотностями и взаимной спектральной
плотностью. Эти характеристики получают из решения уравне-
уравнения (8.12) аналитическим методом, который наглядно демонст-
демонстрирует влияние квадратичной нелинейности на характер спект-
спектра выходного шума. Прежде чем обсуждать подробности это-
этого решения, поучительно рассмотреть общий вид спектра вы-
выходной функции, определяемой формулой (8.13).
8.5. Выходной спектр
Возможно, кратчайший способ вывести выражение для
спектральной плотности Sv((o) выходного напряжения (8.13) —
это сначала построить автокорреляционную функцию фо(т), ко-
которую затем можно использовать вместе с теоремой Винера —
Хинчина для получения Sv(co).
По определению автокорреляционная функция v(t) описы-
описывается выражением
Т/2
Фо (т) = lim -j- f v (t) v (*+т) dt, (8.14)
-7/2
где Т — время наблюдения, т — задержка, а черта означает ус-
усреднение по ансамблю. Подынтегральная функция имеет вид
v (t) v (*+т) = R(t)R (t+%) cos [оу—гр (*)] x
X cos[cd0(*+t)—H>(H-T)]f (8.15)
где v(t) заменяем выражением (8.13) и для краткости полага-
полагаем R(t) =Vd[\-\-a(t)]. Далее, произведение тригонометрических
членов в выражении (8.15) можно записать в виде
cos (©</—%) cos [coo (*+т) _г|J] =
= -^- [cosо)отcos (ф2—ipi) + sin со0т sin (гр2—^)]-f
+ Y {cos 2(d0t cos [co0t— (ipx +^2)] —
— sin 2<o0t sin [со0т- (%+%)]}, (8.16)

224Глава 8
где ^i=i|;(/) и я|J=*ИН-т). После подстановки этого выраже-
выражения в выражение (8.15) и интегрирования в соответствии с вы-
выражением (8.14) второй член в квадратных скобках даст нуле-
нулевой результат. Это происходит из-за присутствия в этих скоб-
скобках детерминированных членов, содержащих cos2ooo/ и sin2coo?,
которые зависят от времени после усреднения по ансамблю, а
процессы a(t) и ty(t) —стационарны. Остальную часть подын-
подынтегрального выражения, не зависящую от t после усреднения
по ансамблю, можно вынести за знак интеграла, что дает
i = -J- R (t) R (t+i) {cos co0T cos |
-fsina>0TsinM>(*+T) —яр (*)]}. (8.17)
В выражении (8.17) можно провести упрощение, считая, что
разность фаз |i|)(H-t)—^@1 много меньше единицы. Тогда,
разлагая в ряд до второго порядка тригонометрические члены,
содержащие разность фаз, находим, что
= (vo2/2) {[1 —щ @) + щ (т) + Фа (т)] cos со0т +
}, (8.18)
где фа(т) и фар (т) —автокорреляционные функции флуктуации
амплитуды и фазы соответственно, а
Т/2
Ф^ГФ = Ф«*(-*) = lim 4- f Ч»('+т)а(<)Л (8.19)
—Г/2
определяет взаимную корреляцию между a(t) и я|)@- Заметим,
что это приближение получено в предположении, что средние
значения амплитудной флуктуации a(t) и разности фаз
(Н)—Ф@] равны нулю.
Теперь можно получить спектральную плотность v(t) из вы-
выражения (8.18) с помощью интеграла обратного преобразова-
преобразования Винера — Хинчина
/<»T)dT, (8.20)
где пределы интегрирования (—оо, оо) выбраны для удобства

Шумы в генераторах 225
«обращения с взаимно корреляционными функциями ффа(т) и
хра * (т). Производя подстановку для фи(т), находим спектраль-
спектральную плотность
И = (V/4) {4я [1 -^Г(б)] [«(^-«o)+S(о>+со0
co+co0)
(8.21)
Новые функции в этом выражении определяются следующим
образом: Sa(co) и S^(co)—спектральные плотности мощности
a(t) и 1|э(*) соответственно, С^ a(co) =2ImS^a(co), где
(
) |() ^ () ^() ^()
взаимная спектральная плотность между a(t) и t|)(?), а Im оз-
означает мнимую часть. Структура правой части выражения
(8.21) такова, что достаточно рассматривать только положи-
положительные значения со, но в этом случае следует ввести множи-
множитель 2, чтобы учесть отрицательную область частот. Бели за-
затем положить со>0 и принять во внимание, что a(t) и а^(^) —
низкочастотные функции, спектральные плотности которых су-
существенны лишь при со<Ссоо, станет очевидно, что члены
5a(co+coo), S^(cd+g>o) и С^а(й)+йH) в формуле (8.21) прене-
пренебрежимо малы при частотах, близких к со0 (т. е. в интересую-
интересующей нас области). Отсюда следует, что спектральную плот-
аость выходного напряжения генератора можно представить
выражением
* (со—a>0) + C*e (со—ю0)} (8.22)
для частот вблизи частоты собственных колебаний.
Член, содержащий дельта-функцию в выражении (8.22),
описывает влияние шума на собственные колебания: ослабле-
ослабление влияния дельта-функции происходит из-за флуктуации фа-
,зы. Из остальных членов, представляющих шумовые бокрвые
полосы по обе стороны от : несущей частоты, первый член —
АМ-шум, второй — ЧМ-шум, а третий описывает AM—ЧМ-ко-
герентность на боковых полосах/
В отсутствие какой-либо когерентности шум симметричен
относительно частоты собственных колебаний, так как
с5д (со—сэо) и 5ф(оэ—юр) •— четные функции (ю—^о). С другой
стороны, C^a(co—оэо)—нечетная функция (со—.©о), и, еледоза-

226 Глава 8
тельно, если флуктуации амплитуды и фазы не независимы,
шумовые боковые полосы имеют некоторую асимметричность.
Как показано в приложении 5, когда in{t)—генератор бело-
белого шума, флуктуации амплитуды и фазы независимы [т. е.
Сфа(со—соо)=0] и шумовые боковые полосы симметричны от-
относительно 0H-
8.6 Метод линеаризации
Выражение (8.22) дает возможность понять общие черты
выходного спектра шумового генератора. Для дальнейшего
рассмотрения следует конкретизировать различные члены, по-
появляющиеся в общем выражении, и решать нелинейное неодно-
неоднородное уравнение (8.12). Решение находится методом линеа-
линеаризации, в результате которой остаются только члены с ком-
комбинационными частотами, обусловленными взаимодействием
шума с собственными колебаниями; сдвиг частоты, появляю-
появляющийся из-за взаимодействия шума с самим собой очень мал,
и им пренебрегают.
Начнем рассмотрение, записывая выходной сигнал v(t) ге-
генератора в виде суммы собственных колебаний Vf(t)=v0cos<OQt
и члена vn{t), описывающего влияние шума
v(t) = vf(t)+vn(t). (8.23)
Из сравнения этого выражения с (8.13) видно, что «шумовой»
член имеет вид
<>п @ = f 1 @ cos ay+t;2 @ sin ay, (8.24)
где v\(t) и v2(t)—медленно меняющиеся функции, описывае-
описываемые выражениями
v1(t) = v0{[l+a(t)]cosq(t)-l}9 (8.25а)
и
Ч (t) = vQ sin яр(О. (8.256)
Если выражения (8.25) разложить в ряд до первого порядка
переменных a(t) и г|)@» обнаружим, что Vi(t)~voa(t) и иг(О —
~0оф(О» и» таким образом, в этом приближении выходной шум
в выражении (8.24) принимает вид
vn (t) - vQ [a (t) cos ay4-^ (t) sin ay]. (8.26)
Здесь, конечно, подразумевается, что и |a(f)|» и |^(^)| много
меньше единицы.

Шумы в генераторах 227
Вернемся к уравнению (8.12) и, подставив в него v{t) из
выражения (8.23), получим
vnvf+o] = L @, (8.27)
где опущена функциональная зависимость Vf и vn от /, и для
удобства коэффициент а в разложении нелинейной проводимо-
проводимости [выражение (8.2)] считается равным нулю. (При этом общ-
общность не утрачивается, так как а не оказывает существенного
влияния на выходное напряжение генератора.) Далее, первый
член в фигурных скобках в уравнении (8.27) тождественно ра-
равен нулю [ср. с уравнением (8.3) для собственных колебаний],
и, следовательно, уравнение для выходного шума, которое мы
должны решить, приобретает вид
о^+О = in (t). (8.28)
Заметим, что в этом уравнении благодаря нелинейному члену
появляются слагаемые из сомножителей с взаимной модуляци-
модуляцией, связанных с взаимодействием шума с самим собой и с соб-
собственными колебаниями. Мы еще коснемся этого вопроса.
В отсутствие нелинейности (т. е. если бы р было равно ну-
нулю) спектральная плотность шумового напряжения, полученная
из уравнения (8.28), имела бы вид
(8-29)
где Si — спектральная плотность генератора белого шума in(t)\
<Do=l/VLC и Qo=cdoC/|Gl— Go| —внешняя добротность генера-
генератора. Очевидно, для данной грубой аппроксимации шум просто
изменяет форму в результате узкополосной фильтрации конту-
контуром генератора. Этот вывод, однако, очень упрощен и должен
видоизмениться, если учесть влияние нелинейного члена в урав-
уравнении (8.28).
Уравнение (8.28) становится понятнее, если линеаризовать
нелинейный член. Все три члена, заключенные в круглые скоб-

228 Глава 8
ки, вносят вклад в нелинейность, но - два из них (второй и
третий), содержащие шумовые флуктуации vn(t), пренебрежи-
пренебрежимо малы по сравнению с первым, который описывает собствен-
собственные колебания. Следовательно, нужно рассматривать только тот
нелинейный член, который содержит произведение Vf2vn> а это
эквивалентно тому, что остаются для рассмотрения взаимодей-
взаимодействия между собственными колебаниями и шумом, тогда как
все взаимодействия типа шум — шум не принимаются во вни-
внимание.
Используя выражение (8.26) и представление собственных
колебаний в виде Vf (t) =t;0cosco0/, а также записывая все три-
тригонометрические функции в экспоненциальной форме, получаем
следующую формулу для этого произведения
^4 = -1Г К2/+/*) е*Р (М0-Н2/* +/) exp (-
+/ ехр C/оу)+/* ехр (-3/оу)], (8.30)
где
(8.31)
— медленно меняющаяся комплексная функция времени. Да-
Далее, если принять во внимание то, что нас интересуют только
частоты, близкие к частоте собственных колебаний (так как
контур генератора обладает высокой частотной избиратель-
избирательностью), становится очевидным, что три гармонических члена
в выражении (8.30) дают незначительный вклад в выходной
шум и, следовательно, ими можно пренебречь. Это позволяет
записать выражение
f § +/) ехр (-></)] =
= ^?[2М0+М01> (8.32)
где
vg @ = »о [а @ cos оу—if @ sin ay]. (8.33)
После подстановки выражения (8.32) в уравнение (8.28)
получаем
^ 4j4<« = U0. (8-34)
где вместо v02 подставлено выражение (8.10). Уравнение (8.34)
— линейное дифференциальное уравнение для флуктуирующих
процессов vn(t) и vq(t); таким образом, сделан первый шаг в
решении нелинейного дифференциального уравнения (8.28).

Шумы в генераторах 229
При анализе этих двух уравнений становится ясно, что нели-
нелинейный член в уравнении (8.28) эквивалентен вкладу в (ли-
(линейный) резистивный член в уравнении (8.34). Это происходит
из-за биений, возникающих между собственными колебаниями
и шумом и описываемых формулой (8.32). Интересно заметить,
что частотный сдвиг спектральных составляющих шума — яв-
явление исключительно нелинейное по своей сути: в линейных си-
системах подобный эффект никогда не появляется.
Несмотря на линеаризацию дифференциального уравнения,
описывающего выходной шум, еще остаются определенные
трудности. Это понятно уже из вида уравнения (8.34), которое
содержит два флуктуирующих процесса vn(t) и vq(t) и пол-
полностью определяет существующие между ними амплитудные и
фазовые флуктуации. Формальный подход к задаче заключает-
заключается в построении двух совместных линейных дифференциальных
уравнений из уравнения (8.34) с использованием ортогональ-
ортогональности функций sin (dot и cos <dot за один период. Эта достаточно
долгая процедура в конечном итоге приводит к искомым реше-
решениям для AM- и ЧМ-спектров шума, а также для AM- и ЧМ-
когерентности, что подробно изложено в приложении 5. Имеется
другой, более короткий, но математически не строгий путь ре-
решения. Однако он приводит к верным формам спектра и хоро-
хорошо иллюстрирует важные физические свойства спектров AM- и
ЧМ-шума. Этот способ основан на предположении, что уравне-
уравнение (8.34) можно решить относительно a(t)y полагая я|э(/) рав-
равным нулю, и наоборот. Против этого способа, очевидно, можно
выдвинуть возражение, а именно: получается, что вся энергия
в in(t) идет, скажем, на амплитудные флуктуации, когда Op(t)
приравнивают нулю. Чтобы разрешить это противоречие, пред-
предположим, что средняя энергия в in(t) равномерно распределе-
распределена между a(t) и \|)(?) [ситуация, соответствующая введению
множителя 1/У2 в член источника, когда уравнение (8.34) раз-
разделяют на AM- и ЧМ-компоненты]. Упрощенный анализ при-
приводит затем к верным спектральным плотностям для AM- и
ЧМ-шума, что можно подтвердить сравнением с полученными
более строгим путем результатами в приложении 5.
8.7. Спектр амплитудно-модуляционного
шума
Для исследования АМ-шума пренебрегаем теперь влиянием
флуктуации фазы в уравнении (8.34), полагая i|)(f)=0. Тогда
из выражений (8.26) и (8.33) имеем vn(t)=Vq(t)=va(t)f где
va(t) ==voa(t)coscoo^, и, таким образом, уравнение (8.34) пере-

230 Глава 8
ходит в уравнение
где коэффициент 1/У2 в правой части представляет долю пол-
полной энергии шума, которая «возбуждает» a(t). Уравнение
(8.35) —линейное дифференциальное уравнение относительно
переменной va(t), из которого можно найти спектральную плот-
плотность шума, используя известный метод преобразования Фурье.
Применяя преобразование к обеим частям, находим почти сра-
сразу спектральную плотность va{t)
(836)
где St- — снова спектральная плотность in(t), a Qq — по-преж-
по-прежнему добротность генератора при р = 0.
Сравнение выражения (8.36) с выражением (8.29), полу-
полученным в пренебрежении влиянием нелинейного члена в прово-
проводимости, показывает, что нелинейность двояко влияет на спектр
АМ-шума: она в 8 раз уменьшает высоту пика и в 2 раза рас-
расширяет частотную полосу шума. Последнее можно было уви-
увидеть из анализа уравнения (8.35), так как резистивный член в
нем содержит коэффициент 2, которого не было бы, если бы
пренебрегли нелинейностью.
Уровень спектра шума по отношению к амплитуде свобод-
свободных колебаний можно определить, полагая со = о)о в уравнении
(8.36), и в этом случае находим
=
К) = 8(GL~G0)* =
Из выражения (8.37) следует, что АМ-шум ослабляется, когда
генератор возбужден сильнее [эффект, который действительно
наблюдается на практике], Это, однако, не относится к неогра-
неограниченно большим Vq, потому что в этом случае становятся су-
существенными члены выше второго порядка в разложении нели-
нелинейной проводимости.
Выражение (8.36) — спектральная плотность напряжения
АМ-шума va(t)=a (t) t;0cos со0/. Если Sa (со) — спектральная
плотность a(t), то легко показать, что
-^-5а(со~со0), (8.38)
где аппроксимация остается прежней, потому что Sa(co) —низ-
—низкочастотная функция, и нас интересуют только частоты, близ-
близкие к несущей частоте. После подстановки этого результата в

Шумы в генераторах 231
выражение (8.36) получаем
(8.39)
где использовано приближение высокой добротности, а именно
(со2—coo2) 2/соо2<со2~4 (со—сооJ/со02. Выражение (8.39) определяет
спектральную плотность АМ-шума, присутствующую в общем
выражении (8.22) для спектра выходного сигнала.
8.8. Спектр фазово-модуляционного шума
Теперь выведем формулу для спектра ФМ-шума из уравне-
уравнения (8.34), считая амплитудные флуктуации нулевыми. Это оз-
означает, что Vn(t)=—vg(t)=v$(t), где Оф (t)=^(t)vosma)ot.
Таким образом, в этом случае резистивный член в уравнении
(8.34) совсем исчезает, и уравнение принимает вид
Коэффициент 1/У2 в данном случае представляет часть энергии
шума in(t), которая «запускает» ^(t). Тот же метод, который
был описан выше, приводит к следующему выражению для
спектральной плотности v$(t):
Таким образом, ФМ-шум имеет очень узкополосный спектр с
центром, соответствующим частоте собственных колебаний, и,
как и в случае АМ-спектра, его интенсивность ослабляется,
когда генератор возбужден сильнее.
Так как v^> (t)=^(t)vQsm(Ootf спектральная плотность ty(t)
связана с Sv^ (со) [выражение (8.41)] следующей формулой:
Гф (со) = -^ St (со—соо) и отсюда (8.42)
о"о"
(8.43)
Выражение (8.43) описывает спектральную плотность ФМ-шу-
ФМ-шума, присутствующую в выражении (8.22). Заметим, что в непо-
непосредственной близости от *о0 интенсивность спектра ФМ-шума
много выше, чем АМ-шума, но уровень крыльев обоих спектров
одинаков. Эти свойства иллюстрируются на рис. 8.4.

232
Глава 8
8.9. Заключительные замечаний
Шум в генераторах с отрицательной проводимостью — слож-
сложное явление. При полном аналитическом решении задачи сле-
следует учитывать взаимодействие между различными шумовыми
частотами и между шумом и несущей частотой, а также следу-
следует включать в рассмотрение все гармоники, возникающие в
результате этих нелинейных взаимодействий. Получить такое
J
1
1
1
1 f
1 /
\
1
1
1
1
1
1
\ \
Частота ^
Рис. 8.4. Схематическое изображение формы спектральных плотностей
АМ-шума (сплошная линия) и ЧМ-шума (штриховая линия), описываемых
выражениями (8.39) и (8.43) соответственно.
Кривые симметричны относительно частоты собственных колебаний.
решение невозможно, но даже если бы оно и было получено,
это принесло бы, наверное, мало пользы. Если бы его когда-
нибудь получили, оно, наверное, было бы длинным и сложным,
но отличалось бы от рассмотренного решения лишь незначи-
незначительными подробностями.
Исследование, описанное выше и в приложении 5, позво-
позволяет проникнуть в суть наиболее существенных сторон влия-
влияния нелинейности на шум. В этом контексте важно явление
взаимодействия шума с собственными колебаниями, которое
сдвигает некоторые шумовые компоненты в интересующую нас
частотную полосу. Эти вновь появившиеся компоненты удваи-
удваивают величину проводимости схемы (т. е. уменьшают вдвое
добротность) в случае АМ-шума и целиком исключают прово-
проводимость схемы в случае ФМ-шума. Таким образом, спектр
АМ-шума расширяется из-за нелинейности, в то время как
ФМ-спектр занимает очень узкую полосу. Крылья этих спект-
спектров одинаковы по уровню, так как на частотах вне окрестности
несущей частоты оба спектра определяются реактивными ком-
компонентами схемы, которые не зависят от нелинейности ван-дер-
Поля.

Шумы в генераторах 233
Теория шума генератора, рассмотренная выше, — сравни-
сравнительно упрощенная, она предполагает наличие LRC-контура с
единственным резонансом и нелинейной проводимостью. В дей-
действительности схемы генератора колебаний могут быть более
сложными, чем эта, и содержать, например, реактивность или
несколько нелинейных элементов. Такие схемы находятся вне
сферы нашего рассмотрения, цель которого — выявить основ-
основные особенности шума генератора. Более того, усложненные
схемы обычно не поддаются аналитическому рассмотрению и
должны исследоваться с использованием метода компьютерно-
компьютерного моделирования. Пример такого исследования содержится в
работе [14].
ЛИТЕРАТУРА
1. J. R, Ashley, F. M. Palka A970), Noise properties and stabilization of Gunn
and avalanche oscillators and amplifiers, G—MTT Int. Microwave Symp.
Dig., pp. 161—164.
2. J, R. Ashley, С. В. Searles, F. M. Palka A968), The measurement of oscilla-
oscillator noise at microwave frequencies, IEEE Trans. Microwave Theory Tech.
(special issue on noise), MTT—16, 753—760.
3. W. A. Edson A960), Noise in oscillators, Proc. IRE, 48, 1454—1466.
4. E. A. Faulkner, M. L. Meade A968), Flicker noise in Gunn diodes, Elect.
Lett, 4, 226—227.
5. M. Garstens A957), Noise in non-linear oscillators, /. Appl. Phys., 28,
352—356.
6. J. Josenhans A966), Noise spectra of Read diode and Gunn oscillators,
Proc. IEEE (Lett:), 54, 1478—1479.
7. K. Kurokawa A966), Noise in synchronized oscillators, IEEE Trans. Micro-
Microwave Theory Tech., MTT—16, 234—240..
8. K. Kurokawa A969), Some basic characteristics of broadband negative resis-
resistance oscillator circuits, Bell Syst. Tech. J., 48, 1937—1956.
9. J. A. Mullen A960), Background noise in non-linear oscillators, Proc. IRE,
48, 1467—1473.
10. M. Ohtomo A972), Experimental evaluation of noise parameters in Gunn and
avalanche oscillators, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., MTT—20, 425—
437.
11. F. N. H. Robinson A959), Nuclear resonance absorption circuit, /. Set.
Instrum., 36, 481—487.
12. F. N. H. Robinson A962), Noise in Electrical Circuits, Oxford University
Press, Chapter 8.
13. F. N. H. Robinson A974), Noise and Fluctuations in Electronic Devices and
Circuits, Oxford University Press, Chapter 18.
14. J. F. Sautereau, J. Graffeuil, J. C. Martin A981), Time domain large signal
noise modelling in microwave oscillators, Proc. Sixth International Confe-
Conference on Noise in Physical Systems, National Bureau of Standards, Gaithers-
burg, Maryland, USA, April 6—10, 1981, pp. 47—50.
15. E. F. Scherer A968), Investigation of the noise spectra of avalanche oscil-
oscillators, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., MTT—16, 781—785.
16. B. van der Pol A927), Forced oscillations in a circuit with a non-linear
resistance, Phil. Mag. Series 7, 3, 65—80.
17. B. van der Pol A934), the non-linear theory of electric oscillators, Proc
IRE, 22, 1051—1086. •

Туннельные диоды
и параметрические усилители
9.1. Введение
Туннельный диод — это р — n-переход, в котором объемные
области вырождены вследствие очень высоких концентраций
примесей. Две составляющие туннельного тока протекают че-
через переход в противоположных направлениях, и в обеих состав-
составляющих присутствует целиком дробовой шум. У вольт-ампер-
вольт-амперной характеристики туннельного диода имеется область отрица-
отрицательного сопротивления при малых прямых смещениях. Это
можно использовать для получения усиления. Коэффициент
шума такого усилителя зависит от последовательного сопротив-
сопротивления объемных областей диода, величины отрицательного со-
сопротивления и эквивалентной проводимости теплового шума,
соответствующей величине дробового шума в туннельном токе.
Отрицательное сопротивление служит также основой пара-
параметрического (с изменяющимся параметром) усиления. В этом
случае отрицательное сопротивление появляется в результате
нелинейного взаимодействия между сигналом и накачкой высо-
высокой частоты. Смесительным элементом, как правило, служит
нелинейная проводимость р— я-перехода с обратным смеще-
смещением. Параметрические усилители являются узкополосными вы-
высокочастотными усилителями, обычно работающими в диапазо-
диапазоне СВЧ. Вообще говоря, они обладают большим шумом, но
значительно дешевле, чем мазеры, и обладают меньшим шу-
шумом, чем усилители бегущей волны, хотя у последних шире
полоса и больше усиление. Важный вклад в шумы параметри-
параметрического усилителя вносит тепловой шум в холостом контуре на
разностной частоте между частотами накачки и сигнала: это
эквивалентно появлению в контуре сигнала шумового генерато-
генератора тока с частотой сигнала, мощность которого пропорциональ-
пропорциональна величине отрицательной проводимости.
9.2. Туннельный диод
Туннельный диод содержит р — га-переход, в котором обе
объемные области так сильно легированы примесями, что стано-
становятся вырожденными. На рис. 9.1 показана структура энергети-

Туннельные диоды и параметрические усилители
235
ческой зоны такого перехода при тепловом равновесии: уровень
Ферми лежит выше дна зоны проводимости в я-области и ниже
верха валентной зоны в р-области. Плотности основных носите-
носителей в приборе с зонной структурой, показанной на этом рисун-
рисунке, составляют порядка 1019 см~3.
Из-за высокой степени легирования примесями ширина пере-
перехода в туннельном диоде чрезвычайно узка, порядка 10~6 см
n-mun
400 A
p-mun
Рис. 9.1. Равновесные энергетические уровни в диоде Исаки.
EF — уровень Ферми; Ес и Еу — зона проводимости и валентная зона, a Ei — собствен-
собственный уровень Ферми.
(I00A). Это сравнимо со средним расстоянием между прцмес-
ными атомами в кристаллической решетке. Квантовомеханичес-
кое исследование показывает, что при этих условиях электроны
могут туннелировать через переход из д-области в р-область,
а также в обратном направлении, из /^-области в п-область.
Другими словами, волновые функции электронов могут пере-
перекрывать область перехода, обусловливая конечную вероятность
перехода с одной стороны на другую.
При тепловом равновесии не может быть преимущественно-
преимущественного потока носителей заряда через переход и, следовательно, по-
потоки носителей в обоих направлениях должны быть равны. Ес-
Если к переходу приложено обратное смещение, т.е. такое, кото-
которое увеличивает высоту потенциального барьера, ток резко воз-
возрастает вследствие усиления потока электронов, проходящих

236
Глава 9
-WO
через переход из валентной зоны /^-области в зону проводимости
n-области; то есть, при обратном смещении у туннельного дио-
диода имеется нулевое напряжение прибоя Зинера. При прямом
смещении, когда высота потенциального барьера становится
ниже равновесной, ток сначала монотонно растет с ростом при-
приложенного напряжения. Это происходит вследствие туннелиро-
вания электронов с занятых
уровней в зоне проводимо-
проводимости /г-области на вакантные
уровни в валентной зоне р-
области. При дальнейшем
возрастании приложенного
напряжения ток проходит
через максимум, после ко-
которого резко спадает; т. е.
вольт-амперная характери-
характеристика имеет участок с отри-
отрицательным сопротивлением.
Это происходит потому, что
вероятность туннелирова-
ния электронов через пере-
переход велика только между
уровнями одинаковой энер-
энергии (т. е. энергия не меня-
меняется). Когда под действием
прямого смещения валент-
валентная зона р-области смеща-
смещается ниже зоны проводимо-
проводимости ^-области, вероятность
туннельного перехода быст-
быстро падает и туннельный ток также резко уменьшается. При
дальнейшем увеличении напряжения смещения ток проходит
через минимум и затем начинает снова расти вследствие тех же
механизмов инжекции неосновных носителей и рекомбинации в
области обедненного слоя, которые присутствовали в невырож-
невырожденных р—/г-переходах. Схематическое изображение вольт-ам-
вольт-амперной характеристики туннельного диода представлено на
рте. 9.2.
Максимальный и минимальный токи прямой ветви вольт-ам-
вольт-амперной характеристики известны как токи пика и провала со-
соответственно. Типичное отношение между ними 10: 1. Минимум
наблюдается при значениях приложенного напряжения смеще-
смещения в диапазоне ШО^ЗОО мВ в зависимости от материала'пере-
материала'перехода, уровня легирования и температуры. В идеальном перехо-
переходе ток в области минимума должен быть нулевым, в соответст-
соответствий тс нулевой вероятностью туннелиръвания но в действитель-
Рис. 9.2. Типичная вольт-амперная
характеристика туннельного диода.

Туннельные диоды и параметрические усилители 237
«ости наблюдается некоторый избыточный ток. Иошима и 34са-
ки [33] считали, что этот ток обусловлен прямыми и непрямы-
непрямыми туннельными переходами электронов, энергия которых соот-
соответствует запрещенной зоне и существование которых связано
с примесями и вакансиями в структуре решетки, Избыточный
ток изучали Мейерхофер и др. [19] в вырожденных германие-
германиевых переходах, Чиновет и др. /[7]— в кремниевых туннельных
диодах; Кейн [16] рассмотрел теорию избыточного тока в тун-
туннельных переходах.
Особенно интересен характер вольт-амперной характеристи-
характеристики туннельного диода в области отрицательного сопротивления
между токами пика и провала. Наклон этой части характери-
характеристики может быть очень.крутым, соответствующим малому со-
лротивлению, например 1 Ом или меньше. Исаки [8], чье имя
сейчас связывают с туннельным диодом, был перзым, кто на-
наблюдал «аномальное» поведение вольт-амперной характеристи-
характеристики в опытах по изучению внутренней автоэлектронной эмиссии
в очень узких терманиевых р — га-переходах. Некоторое время
спустя после его первой статьи было ^сообщено "о наблюдении
вольт-амперной характеристики того же типа (т.е. имеющей
область отрицательного сопротивления при прямых смещениях)
в вырожденных кремниевых переходах [9]..
По сравнению с инжекциеи неосновных носителей туннелиро-
вание электронов происходит чрезвычайно быстро, с постоян-
постоянной времени около 10~12с. Это означает, что диод Исаки можно
использовать в быстродействующих переключатедях или для
высокочастотного (микроволнового) усиления. Фактор/ограничи-
Фактор/ограничивающий быстродействие прибора, —не постоянная времени тун-
туннельного перехода, а большая емкость диода, которая оказы-
оказывается весьма высокой на единицу площади ввиду малой шири-
ширины перехода (~1 мкФ/см2). Для достижения быстрого времени
переключения (~10~^с) площадь перехода должна быть как
можно меньше. К счастью, можно изготавливать достаточно
малые переходы, в которых рабочий ток не ослабляется до не-
неприемлемо низкого уровня, потому что плотность туннельного
тока очень высока.
Кроме кремния и германия, для изготовления туннельных
диодов применяется несколько полупроводниковых соединений
типа AinBv. Сюда относятся арсенид гадлця i[14], антимонид
индия [2,15] и арсенид индия {17]. Эти Материалы привлекли
внимание при попытках повысить быстродействие, улучшить
шумовые характеристики и уменьшить последовательное сопро-
сопротивление объемных областей. Например, в InSb переход необ-
необходимо охлаждать Др температур.ыжидкоГр-a3j)Ta для того, что-
чтобы ослабить "ток йнжекцйй носителей до Пренебрежимо малого
уровня; малая величина запрещенной зоны в этом материале

238 Глава 9
@,18 эВ при 300 К) обусловливает относительно низкий потен-
потенциальный барьер, который легко преодолевается термически
возбужденными носителями при комнатной температуре.
9.3. Шумы в туннельных диодах
9.3.1. Дробовой шум в туннельных диодах
Спектральную плотность шума в токе, связанном с туннели-
рованием электронов сквозь потенциальный барьер, можно вы-
выразить через эквивалентный ток насыщения диода 1ед следую-
следующим образом:
Считая, что электроны проходят через барьер независимо друг
от друга, получим, что шум складывается из чисто дробового
шума каждой составляющей туннельного тока, и, таким обра-
образом, 1ед является суммой противоположно направленных тун-
туннельных токов:
/„-WK™ (9.2)
где Ic->v и Iv-ю — соответственно токи, связанные с туннельным
переходом электронов из зоны проводимости /г-области в ва-
валентную зону р-области и из валентной зоны р-области в зону
проводимости я-области.
Если полагать, что другие механизмы переноса заряда, от-
отличные от туннелирования электронов, вносят пренебрежимо»
малый вклад, ток диода во внешнем контуре имеет вид
т. е. является разностью между двумя туннельными токами,
преодолевающими потенциальный барьер. Эквивалентный ток
насыщения диода в формулах (9.1) и (9.2) можно выразить че-
через ток диода / согласно следующему рассмотрению |[24].
Каждый из двух туннельных токов можно представить в ви-
виде интеграла по электронным энергетическим состояниям, раз-
разрешенным для туннельного перехода. Эти интегралы, впервые
полученные Исаки |[8], имеют вид
Ev
(9.4a)
(9.46)

Туннельные диоды и параметрические усилители 239
где Е — энергия; V—приложенное напряжение; А — коэффи-
коэффициент, зависящий от материала полупроводника, и
f(E) = { I + exp [(E-EF)/kQ]}-\ (9.5)
— функция распределения Ферми — Дирака, в которой EF —
уровень Ферми. Функция Z (Е, V) в формулах (9.4) служит ме-
мерой вероятности туннелирования электрона через барьер с уче-
учетом плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне.
Непосредственными алгебраическими преобразованиями
можно показать, что подынтегральные выражения в форму-
формулах (9.4) связаны между собой следующим образом:
f (E+qV) [I -/ (E)\ = f (E) [1 -f(E+qV)] exp (-qV/kQ). (9.6)
Поэтому туннельные токи в формулах (9.4) также связаны про-
простым соотношением:
(9.7)
и, следовательно, из формул (9.2) и (9.3) можно найти, что
Ieq = I cth(qV/2kQ). (9.8)
Бейтс |[3] представил другой способ получения этого соотноше-
соотношения, где Ieq выражается через интеграл перекрытия.
Выражение (9.8) позволяет записать спектральную плот-
плотность шума туннельного тока в формуле (9.1) через ток дио-
диода /
8^Щ = 2ql cth (qV/2kQ). (9.9)
Для малого смещения, когда V<^kQ/qf эквивалентный ток насы-
насыщения диода в выражении (9.8) можно записать приблизитель-
приблизительно в следующем виде:
leo^^f-ё, (9Л0)
где g=L/V— дифференциальная проводимость диода. Следова-
Следовательно, в предельном случае нулевого смещения выражение
(9.9) для спектральной плотности переходит в формулу, совпа-
совпадающую с выражением для теплового шума в проводимости g
в условиях равновесия:
(9.11)
Формула (9.9), в которой спектральная плотность шума
туннельного тока выражена через ток диода и приложенное на-
напряжение, имеет одно преимущество: ее можно использовать
для проверки предположения о том; что электроны туннелиру-
ют сквозь потенциальный барьер независимо друг от друга.

240 Глава 9
Агорайдис и ван-Влайет '[1] сообщили об измерениях Ieq в тун-
туннельном диоде ZJ56A со смещением в более низкую область
положительного наклона прямой части вольт-амперной харак-
характеристики. Они обнаружили равномерный шумовой спектр в
диапазоне 100 (кГц — 30 МГц при хорошем совпадении между,
измеренным значением Ieq и вычисленным по формуле (9.8).
Они пришли к заключению, что в туннельных токах присутству-
присутствует чисто дробовой шум, а это означает, что туннелирование ин-
индивидуальных носителей происходит действительно независи-
независимым образом.
9.3.2. Шум избыточного тока
Область избыточного тока вольт-амперной характеристики
туннельного диода находится около напряжения провала. Этой
области характеристики соответствует «избыточная» компонен-
компонента шума, имеющая 1//-спектральнуьа плотность и преобладаю-
преобладающая над шумом, связанным с туннельными токами и токами,
обусловленными инжекцией неосновных носителей.
Об избыточном шуме сообщили сначала Дошима и Иса-
Исаки f[33], а затем Монтгомери [20]. Последний автор провел из-
измерения избыточного шума в туннельном переходе на германии
и арсениде галлия и обнаружил, что. 1//-спектральное поведение
простирается от частот значительно выше 1 кГц до самой низ-
низкой частоты 30 Гц, на которой он проводил измерение. Воз-'
мщкное объяснение этого состоит в том, что плотность заселен-
заселенных энергетических уровней в запрещенной зсше имеет зависи-
зависимость от времени, соразмерную с формой спектра 1//. Так как
туннелирование с этих уровней и на них как раз и~ вызывает
избыточный ток, такая временная зависимость должна объяс-
объяснять наблюдаемый 1//-спектр избыточного шума.
В германиевых туннельных диодах спектральная плотность
избыточного шума пропорциональна некоторой степени избыточ-
избыточного тока. Показатель этой степени близок к 2. Монтгомери
[20], например, провел измерения на трех германиевых образ-
образцах и получил показатели степеней 2,15; 1,95 и 1,7 при частоте
измерений 1 кГц. Об этой близкой к квадратичному закону за-
зависимости спектральной плотности избыточного шума от избы-
избыточного тока первыми сообщили Иошима и Исаки [33]. В тун-
туннельных диодах на GaAs Монтгомери не смог получить сходное
степенное соотношение, потому что в образцах, которые он ис-
исследовал, в области избыточного тока около напряжения прова-
провала был значителен ток инжекций неосновных носителей. Это
затруднило определение соотношения между избыточным шу-
шумом Я избыточным током. :

Туннельные диоды и параметрические усилители 24 ?
9.3.3. Шум тока инжекции
Когда туннельный диод смещен в верхнюю область положи-
положительной проводимости своей вольт-амперной характеристики,.
в нем на частотах несколько выше частоты 10 МГц имеется чи-
чисто дробовой шум, а на более низких частотах общий уровень
шума превышает уровень дробового шума. Агорайдис и ван~
Влайет [1] отнесли шум на низкой частоте к комбинации дро-
дробового шума в токе инжекции неосновных носителей и избыточ-
избыточного шума, связанного с избыточным током. Дробовой шум, на-
наблюдаемый на более высоких частотах, — это шум обычного
р — /г-перехода, связанный с инжекцией неосновных носителей.
9.4. Усилители на туннельных диодах
Тот факт, что у вольт-амперной характеристики туннельного
диода имеется область отрицательного сопротивления, означает,
что этот прибор можно использовать для усиления. Усилителям;
на туннельных диодах уделялось очень большое внимание в ли-
литературе в конце 1950-х и в начале 1960-х гг. в связи с их воз-
возможностями на высоких частотах и низким уровнем шумов. Бы-
Было также обнаружено, что они имеют определенные преимуще-
преимущества перед усилителями с нелинейной реактивной проводи-
проводимостью; например, в последнем случае отрицательная проводи^
мость возникает при нелинейном взаимодействии с учетом сиг-
сигнала накачки, в то время как в усилителе на туннельном диоде
нет необходимости в накачке, так как отрицательная проводи-
проводимость— свойство, присущее вольт-ампер ной характеристике
диода.
Соммерс [25] усовершенствовал туннельный диод, кото-
который использовал Чанг([4] в качестве активного элемента в уси-
усилителе с отрицательной проводимостью. В дальнейшем Чанг [5}
исследовал оптимальную шумовую характеристику усилителей,
на туннельном диоде. За этим последовало появление в лите-
литературе ряда родственных работ таких авторов, как ван-дер-Зил
и Тамия i[32], Хайнс и Андерсон [13], Пенфилд [22], Тиманн
:[27], Нельсон [21] и снова ван-дер-Зил [30, 31]. Рассмотрение
туннельного диода как элемента схемы в общем виде провел^
Пусел {23], большая часть работы которого посвящена шумо-
шумовым характеристикам усилителей на туннельном диоде.
9.4.1. Эквивалентная схема
Эквивалентная схема туннельного диода, смещенного в об-
область характеристики с отрицательным сопротивлением, пока-
показана на рис. 9.3. Емкость С — емкость перехода; —R=—1/G<—:

.242 Глава 9 т
отрицательное сопротивление перехода в рабочей точке (т.е.
R положительно) и Rb — последовательное сопротивление объ-
объемной области диода. Индуктивность проводов и других пара-
паразитных параметров в данной эквивалентной схеме не учиты-
учитывается.
Хотя Rb мало из-за высоких концентраций примесей в объ-
объемных областях, оно тем не менее не равно нулю. Это означает,
что выше частоты отсечки fc у диода отсутствует отрицательное
сопротивление и что он тогда не усиливает. Частоту отсечки
«ь
Рис. 9.3. Эквивалентная схема туннельного диода, смещенного в область ха-
характеристики с отрицательным сопротивлением.
легко вычислить, приравнивая нулю действительную часть им-
импеданса эквивалентной схемы. Это дает
71 1 /912)
f (
><- 2nRC {Rb
где приближенное соотношение справедливо, потому что в хо-
хорошем диоде R"^>Rb- Из формулы (9.12) должно следовать, что
частоту отсечки нельзя увеличить, уменьшая площадь перехо-
перехода, так как произведение C^RRb не зависит от площади. Одна-
Однако Пусел [23] доказывает, что это не так и что fc в действи-
действительности можно увеличить, уменьшая площадь перехода. Он
выдвигает предположение о том, что в результате флуктуации
концентрации примесей по сечению перехода имеются флук-
флуктуации толщины барьера и что туннельные токи протекают
именно в тех точках, где барьер самый тонкий. Таким обра-
образом, R и Rb не связаны обратно пропорциональной зависимостью
с площадью перехода, тогда как емкость С не подвержена су-
существенно влиянию флуктуации концентрации примесей и уве-
увеличивается с увеличением площади. Согласно этому объясне-
объяснению, уменьшение площади перехода приводит к уменьшению С
и соответствующему увеличению fc.

7уннельные диоды и параметрические усилители
24$
9.4.2. Коэффициент усиления усилителя
на туннельном диоде
Эквивалентная схема усилителя на туннельном диоде пока-
показана на рис. 9.4. На этом рисунке is(t)—токовый генератор»
(синусоидального) сигнала с проводимостью Gs; GL— проводи-
проводимость нагрузки и L — перестраиваемая индуктивность.
Коэффициент усиления усилителя можно выразить в терми-
терминах коэфициента усиления преобразователя ri [11], определяв-
iioro как отношение фактической мощности, выделяемой в на-
с
Рис. 9.4. Эквивалентная схема усилителя на туннельном диоде.
груэке, к достижимой мощности источника. Анализируя рис. 9.4,,
видим, что
где iL — так, протекающий через проводимость нагрузки. Далее,,
если <оо = 1/У?С—резонансная угловая частота параллельного
L—С-соединения на рис. 9.4, непосредственный анализ схемы
показывает, что
и отсюда
CD
(i
(9.15)
При резонансе, когда со=,соо, это выражение переходит в выра-
выражение
Здесь подразумевается, что Gl+Gs^G, в противном случае
rio—^оо и усилитель становится неустойчивым.

r2A4 Глава 9 ^
Ширину полосы усилителя на уровне половинной мощности
находят из выражения (9.15). Если угловые частоты на верх-
верхнем и нижнем уровнях половинной мощности равны <02 и coi со-
соответственно, то
(9Л7)
C = C/(GL+GS-G). (9,18)
Таким образам, ширина полосы
В = (ю2—@1)/2я=1/2яС/ = @?+С8—G)/2nC, (9.19)
ж произведение .корня квадратного из коэффициента усиления
на ширину полосы имеет вид
В Y% = VGfi^lnC. (9.20)
Произведение коэффициента усиления на ширину полосы
в выражении (9.20) является полезной величиной, характери-
характеризующей усилитель. Она подтверждает наше прежнее заявление
о том, что емкость С должна быть как можно меньше. Очевид-
Очевидно, чем больше значения, принимаемые Gs и GL, тем бЬлыие
лроизведение коэффициента усиления на ширину полосы. Это
•означает, что усилитель должен иметь высокий коэффициент
усиления и что (GS+GL) должно быть приблизительно (но не
точна) равно G. Из этого условия находим, что максимальное
«произведение коэффициента усиления на ширину полосы равно
(BV%)maX^G/2nCt (9.21)
-что имеет место, когда Gs=GL = G/2. Эта симметрия между
ироводимостями источника и нагрузки, необходимая для дости-
достижения оптимального условия (9.21), несовместима, однако,
с другими аспектами поведения туннельного диода. В частно-
частности, она не соответствует условию достижения минимального
коэффициента шума, как мы покажем ниже.
9.4.3. Коэффициент шума усилителя
на туннельном диоде
Когда вычисляется коэффициент шума туннельного диода,
необходимо рассматривать два шумовых генератора: генератор
напряжения vn{t), представляющий тепловой шум, обусловлен-
обусловленный сопротивлением объемных областей, и генератор тока in{t)t
•представляющий дробовой шум в туннельных токах. Эти гене-
генераторы показаны на эквивалентной схеме усилителя на тун-

Туннельные диоды и параметрические усилители
245
нельном диоде на рис. 9.5,а. Генератор тока ins{t) представ-
представляет шум, связанный с источником.
Для вычисления коэффициента шума удобно преобразовать
яо Нортону эквивалентную схему туннельного диода, как пока-
показано на рис. 9.5,6. Здесь последовательный генератор напряже-
напряжения vn(t) и параллельный генератор тока in(t) преобразованы
Рис. 9.5. Эквивалентная схема усилителя на туннельном диоде с генератора-
генераторами шума (а) и эквивалентная схема Нортона (б).
в параллельный генератор тока i\(t), а полная проводимость
—У имеет вид
Г"» \11 /О
(9.22)
где id)c/2n = fc — частота отсечки туннельного диода, задаваемая
формулой (9.12).
Спектральные плотности шумовых генераторов тока in(t)
и напряжения vn{t) описываются формулами
(9.23а)
(9.236)
где шум, связанный только с туннельным током, приближённо
принят за чисто дробовой шум. Для рабочей точки в области
отрицательного сопротивления вольт-амперной характеристики

246 Глава 9
это оправдано, так как приложенное напряжение несколько
больше, чем 2kQ/q, и функция котангенса в выражениях (9.8)
и (9.9) очень близка к единице. Проводимость Ge в формуле
(9.23а) представляет собой проводимость теплового шума, эк*
вивалентную дробовому шуму в туннельном токе. Из формул
(9.23) и рис. 9.5 следует, что когда vn{t) и in(t) некоррелиро-
некоррелированны, спектральная плотность генератора тока i\(t) на
рис. 9.5,6 определяется формулой
Считая, что этот генератор находится при той же темпера-
температуре, что и туннельный диод, получаем спектральную плотность
генератора шумового тока
Sf (<o) = 4&8Gs. (9.25V
Теперь из рис. 9.5,6 можно просто записать коэффициент шума
усилителя в виде
Р- 1 ; s'w 1 | -!¦¦"»-¦ "-;»" ' - (9.26а)
Для низких частот (ниже частоты отсечки) это выражение пе-
переходит в выражение
^%&' *<*- (9-26б>
Из выражения (9.266) очевидно, что, для того чтобы коэф-
коэффициент шума был минимальным, проводимость источника
должна быть как можно больше. Мы видели, что в усилителе
на туннельном диоде с высоким коэффициентом усиления
~G, (9.27)
хотя равенство в этом выражении исключается, если усилитель
должен оставаться устойчивым. Согласно соотношению (9.27),
максимальное значение
G, (9.28)
что приводит выражение для низкочастотного коэффициента
шума к виду

Туннельные диоды и параметрические усилители 247
Здесь мы использовали тот факт, что в хорошем туннельном
диоде /?>/?*. При Ge = qI/2kQ=0,l Ом, G = l Ом и (Rb/R) =
= 0,1 коэффициент шума, вычисленный согласно (9.29), ра-
равен 1,2 или 0,8 дБ. Это несколько лучше, чем коэффициенты
шума, полученные Пуселом в работе ([23], самый низкий из ко-
которых составлял 7 дБ. Однако в приборе, на котором проводи-
проводились измерения в этой работе, область отрицательного сопро-
сопротивления была не очень крутой, соответствуя проводимости
<2~0,02 Ом. Если это значение подставить в выражение
(9.29), а другие значения параметров оставить прежними, то
полученный коэффициент шума будет соответствовать измерен-
измеренному.
Условие (9.28), дающее минимальный коэффициент шума
в выражении (9.29), предполагает асимметрию между прово-
димостями источника и нагрузки. Как мы видели, это несовме-
несовместимо с условием максимального усиления, которое требует
симметричной нагрузки. Если источник и нагрузка симметрич-
симметричны, то
Gs~G/2 (9.30)
и коэффициент шума
§?4 (9-31)
Мы видим, что в этом случае коэффициент избыточного шума,
определяемый как (F—1), равен удвоенному минимальному ко-
коэффициенту избыточного шума. Пусел [23] обнаружил, что ко-
коэффициент шума действительно уменьшался по мере того, как
проводимости источника и нагрузки постепенно становились все
более асимметричными в соответствии с теорией, описанной
выше.
9.5. Параметрический усилитель
Как мы видели на примере туннельного диода, приборы с от-
отрицательным сопротивлением можно использовать для получе-
получения усиления. Можно также вводить отрицательное сопротив-
сопротивление в сигнальный контур и, следовательно, получать усиление
с использованием нелинейных реактивностей. Метод, известный
под названием параметрического (или изменяющегося парамет-
параметра) усиления, находит применение в диапазоне СВЧ.
Хотя параметрические явления в механических системах бы-
были известны еще лорду Рэлею, их возможности для получения
усиления не были известны до сравнительно недавнего време-
времени, пока ван-дер-Зил [28] не рассмотрел явление преобразова-

248 Глава 9
ния частоты в системе с нелинейным конденсатором. В даль-
дальнейшем Сул ][26] исследовал параметрические взаимодействия^,
связанные с явлением ферромагнитного резонанса. Некоторые
нелинейные диэлектрики, например титанат бария, также при-
привлекли внимание в связи с параметрическим усилением, хотя
в настоящее время в качестве параметрического элемента чаще
всего применяют р—я-переход с обратным смещением, обла-
обладающий нелинейной вольт-кулоновокой характеристикой.
Вслед за анализом параметрического усиления ван-дер-Зи-
ла |[28] появилась классическая работа Мэнли и Роу [18], ко-
которые вывели соотношения между средней мощностью на раз-
различных частотах в нелинейных емкостях и индуктивностях*
Эти соотношения достаточно общие и, в частности, не зависят
от формы нелинейной характеристики с единственным усло-
условием, что последняя должна быть однозначной. (Расширение-
метода на характеристики с петлей гистерезиса, которые явля-
являются не более чем двузначными, также содержится в ориги-
оригинальном исследовании Мэнли и Роу.) Ранее Хартли [10] полу-
получил похожие результаты при условиях с существенно меньшей
общностью для частного вида емкостного модулятора.
9.5.1. Принцип действия
Параметрическое усиление основывается на том факте, что»
когда высокочастотный источник (накачка) и низкочастотный
источник (сигнал) подключены к нелинейной реактивности, по-
поток мощности на разностной частоте вносит отрицательную
проводимость в контур сигнала. Величина отрицательной про-
проводимости возрастает с ростом уровне высокочастотного сигна-
сигнала накачки, а также с уменьшением ширины полосы усилите-
усилителя. Узкая ширина полосы имеет дополнительное преимущество
ослабления мощности, рассеиваемой в боковых полосах, отлич-
отличных от той, которая нас интересует.
Эквивалентная схема параметрического усилителя показа-
показана на рис. 9.6. Она состоит из параллельных LCR-контуров,
связанных между собой нелинейной емкостью (параметрическо-
(параметрического диода). Резонансные (угловые) частоты трех контуров-—
это coi (сигнального контура), со3 (контура накачки) и о>2 =
==^3—ф! (холостого контура). Говорят, что усилитель вырож-
вырожденный, если icoi = co2, и невырожденный, если <oi и ©2 далеко
разнесены. В невырожденном случае в напряжении на нелиней-
нелинейной емкости появляются три частотные компоненты, а именно
o)i, <02 и юз, в то время как при coi=ico2 присутствуют только две
частотные компоненты. Как было показано Чангом [6], эти слу-
случаи требуют раздельного анализа.

Туннельные диоды и параметрические усилители
249
Большинство реальных параметрических усилителей — невы-
невырожденные. По этой причине опускаем здесь вырожден-
вырожденный случай. В невырожденном усилителе, рассматрива-
рассматриваемом ниже, нелинейным элементом служит параметрический
диод, заряд которого изменяется квадратично с изменением на-
напряжения на клеммах диода. Квадратичный закон важен для
практики, потому что он в отличие от более высоких степеней
приводит к усилению без искажений.
Сигнальный
контур
Нелинейная Нонтур
емкость накачки
Холостой
/юнтур
Рис. 9.6. Эквивалентная схема параметрического усилителя.
Рассматривая ток и напряжение, связанные с параметриче-
параметрическим диодом на трех частотах icoi, <02 и соз, можно вывести соот-
соотношения между током и напряжением для трех контуров
рис. 9.6. Из этих соотношений находят проводимость сигнально-
сигнального контура (см. приложение 6) в виде
(9.32)
где В\ и В2 — реактивности сигнального и холостого контуров,
исключая нелинейную (Компоненту параметрического диода, и
= G1-fGs-f-GL.
(9.33)
Отрицательная проводимость — G в уравнении (9.32) (G поло-
положительна) для сигнальной частоты со (которая необязательно
равна <»1) задается выражением
(9.34а)

250 Глава 9
где
(!Шб>
2 =
0 а22со3 (со3 — со)
В этих выражениях а2 — коэффициент нелинейности, опреде-
определяемый в приложении 6, и \1РР\ — амплитуда накачки. В выра-
выражениях (9.34) подразумевается, что полосы пропускания трех
резонансных контуров на рис. 9.6 не перекрываются, так что
для всех частот внутри полосы пропускания любого из этих
контуров остальные два имеют бесконечные проводимости.
9.5.2. Коэффициент усиления по мощности
Коэффициент усиления по мощности г] параметрического
усилителя определяется здесь как отношение фактической мощ-
мощности, выделяемой в нагрузке, к достижимой мощности источ-
источника. Таким образом,
^ У.|-а. (9.35)
где Vi и |/5|—амплитуды напряжения и тока сигнального
контура. При подстановке Ys из формулы (9.32) коэффициент
усиления по мощности становится равным
(
При резонансе, когда co=coi, реактивности Вх и В2 равны нулю
и (коэффициент усиления становится максимальным
_ 4GSGL/GT*
^о— A —pj« •
где Pi=vp(coi).
Когда Pi = 0, отрицательная проводимость в сигнальном кон-
контуре равна нулю и усилитель не усиливает. Когда 01 = 1, коэф-
коэффициент усиления стремится к бесконечности и система стано-
становится неустойчивой, или, другими словами, усилитель становит-
становится генератором. Между этими двумя крайними режимами мож-
можно обеспечить режим линейного усиления, если сигнал достаточ-
достаточно мал.

Туннельные диоды и параметрические усилители 251
Ширина полосы усилителя определяется из выражения
(9.36). Если не учитывать зависимость G от частоты, которая
пренебрежимо мала по всей полосе, то видно, что уровни по-
половинной мощности понижаются на частотах, удовлетворяющих
условию
(Вг— GB2lG2f = Gr2 (I -PxJ. (9.38)
Далее, реактивности в этом выражении следующие:
20Л^.. (9.39а)
со3 — со
~ 2G2Q2 J±=^Lt (9.396)
где Qi и С?2 — добротности ненагруженных сигнального и холо-
холостого контуров и аппроксимация выполнена для интересующей
нас полосы, потому что в этой частотной области со^юоь Под-
Подставляя приближенные выражения из формул (9.39) обратно
в равенство (9.38) и находя корни зависимости, квадратичной
относительно ю, получают, что верхний и нижний уровни поло-
половинной мощности соответствуют частотам
(940)
из чего можно видеть, что с точностью до аппроксимации, при-
принятой здесь, полоса пропускания симметрична относительно
центральной частоты соь
По формуле (9.40) ширина полосы усилителя, нормирован-
нормированная к центральной частоте, имеет вид
(9.41)
Принимая во внимание выражение для коэффициента усиле-
усиления (9.37), получаем произведение коэффициента усиления на
ширину полосы
2со2
Когда усилитель обладает высоким коэффициентом усиления,
имеет место условие G~GT, и отсюда следует, что максималь-
максимальное произведение коэффициента усиления на ширину полосы
наблюдается при
G5 = Gl = (G-Gi)/2. (9.43)

252
Глава 9
Таким образом,
(9.44a)
(9.446)
где предположили, что второй член в знаменателе выражения
(9.44а) много больше первого члена из-за влияния нагрузки
в сигнальном контуре, а также, что G^$>GL. Очевидно, большое
значение произведения коэффициента усиления на ширину по-
полосы можно получить увеличением отношения сог/соь Из выра-
выражения (9.446) следует, что относительная ширина полосы, ког-
когда коэффициент усиления по мощности равен 100, <O2/coi = 10
и Q2 = 1000, составляет 0,1%, что свидетельствует об узкополос-
ности параметрического усилителя.
9.5.3. Коэффициент шума
Источниками шума в параметрическом усилителе служат
проводимости Gs, G\ и G2. Шум от Gs, проводимости контура
накачки, пренебрежимо мал, потому что его забивает ток на-
is(t)
Рис. 9.7. Эквивалентная схема параметрического усилителя с изображением
генераторов теплового шума, связанных с проводимостями схемы.
качки. При вычислении коэффициента шума шумом от про-
проводимости нагрузки можно также пренебречь, поскольку его
обычно учитывают на следующей ступени усилителя.
Остальные шумовые генераторы в параметрическом усили-
усилителе показаны в эквивалентной схеме на рис. 9.7. Все эти ге-
генераторы, кроме одного, находятся в сигнальном контуре; ис-
исключение составляет генератор тока in2{t), представляющий

Туннельные диоды и параметрические усилители 25$
тепловой шум в холостом контуре. Чтобы вычислить коэффи-
коэффициент шума усилителя, необходимо установить, какой вклад:
вносит in2{t) в шум сигнального контура.
При анализе первого из соотношений между током и на-
напряжением в формулах (П6.12) приложения 6 становится оче-
очевидным, что напряжение между клеммами холостого контура на-
частоте оJ вызывает ток в сигнальном контуре на частоте <оь
Теперь запишем выражение для спектральной плотности шумо-
шумового генератора напряжения vn2(t) на частоте «2, представляю-
представляющего флуктуации напряжения на клеммах G2:
SVn2 (co2) = 4?9/G2, (9.45),
и, следовательно, спектральная плотность на частоте им экви-
эквивалентного шумового генератора тока в сигнальном контуре
имеет вид
ST^K) = SVn2 (со2) о)!21С |2 = -^- ©!а | С |2. (9.46)<
В этом выражении С определяется из формул (П6.12) в виде
= <h\IPP\IG» (9.47).
где \1рР\—амплитуда накачки генератора тока. Влиянием чле-
члена, ответственного за нелинейное искажение в третьем выра-
выражении (П6.12), здесь пренебрегли.
Спектральные плотности генераторов тока, представляющих,
тепловой шум в проводимостях Gs и Gi, описываются формула-
формулами
(9.48)i
(9.49),
Так как корреляция между любыми источниками шума в кон-
контуре отсутствует, коэффициент шума усилителя может быть те-
теперь записан в виде
, .
Далее, через выражение (П6.15) в приложении 6 и выражение
(9.47) можно связать С с отрицательной проводимостью G
IC'I^GsG/g^gv (9.51).

254 _^ Глава 9 ___^_
Из этого следует, что коэффициент шума можно представить
в виде
Этот результат впервые получили Хеффнер и Вейд [12], а в
дальнейшем его исследовал ван-дер-Зил ;[29]. Он был обоб-
обобщен для случая входной частоты со, которая может отличаться
от соь но еще находится в полосе пропускания сигнального кон-
контура. Заменяя coi на со и со2 на (коз—со), получаем
(9.63)
Из выражений (9.52) и (9.53) видно, что вклад в коэффи-
коэффициент шума от теплового шума в холостом контуре зависит от
•отрицательной проводимости G. Для фиксированного значе-
значения G коэффициент шума можно уменьшить, увеличивая отно-
отношение сог/соь Как мы видели, для фиксированного значения Q2
добротности холостого контура это также увеличивает произве-
произведение коэффициента усиления на ширину полосы усилителя.
Для уменьшения коэффициента шума можно также использо-
использовать охлаждение: если усилитель охлаждают до температу-
температуры во, а источник сигнала находится при комнатной темпера-
температуре 6, то член в квадратных скобках в выражении (9.53)
уменьшается на величину 0о/0.
9.5.4. Заключительные замечания
Параметрический усилитель, описанный выше, — лишь один
из нескольких возможных вариантов. К ним относятся пара-
параметрические преобразователи частоты вниз, в которых выход-
выходной ток имеет частоту холостого контура вместо сигнального,
.параметрические преобразователи частоты вверх и параметри-
параметрические усилители с частотами накачки ниже сигнальной ча-
частоты. Сравнительный обзор этих и других аспектов параметри-
параметрического усиления приводится в книге по параметрическим и
туннельным диодам [6].
ЛИТЕРАТУРА
1. D. С. Agouridis, К. М. van Vliet A962), Noise measurements on tunnel
diodes, Proc. IRE (Correspondence), 50, 2121.
2. R. L. Batdorf, G. С Dacey, R. L. Wallace, D. J. Walsh A960), Esaki diode
in InSb, /. Appl. Phys., 31, 613—614.
3. С W. Bates A961), Tunnelling currents in Esaki diodes, Phys. Rev., 121,
1070—1071.
4. К. К. N. Chang A959), Low-noise tunnel diode amplifier, Proc. IRE (Cor-
(Correspondence), 47, 1268—1269.
5. К. К. N. Chang A960), The optimum noise performance of tunnel diode
amplifier, Proc. IRE (Correspondence), 48, 107—108.

Туннельные диоды и параметрические усилители
6. К. К. N. Chang A964), Parametric and Tunnel Diodes, (Ed. W. L. Everitt),.
Prentice-Hall, Chapter 6.
7. A. G. Chynoweth, W. L. Feldmann, R. A. Logan! A961), Excess tunnel cur-
currents in silicon Esaki junctions, Phys. Rev., 121, 684—694.
8. L. Esaki A958), New phenomenon in narrow germanium p—n junctions,
Phys. Rev., 109, 603—604.
9. L. Esaki, Y. Miyahara A960), New device using the tunnelling process in-
narrow p—n junctions, Solid State Elect., 1, 13—21.
10. R. V. L. Hartley A936), Oscillations in systems with non-linear reactance,
Bell Syst. Tech. J., 15, 424—440.
11. H. A. Haus, R. B. Adler A957), An extension of the noise figure definition,.
Proc. IRE (Correspondence), 45, 690—691.
12. H. Heffner, G. Wade A958), Gain, bandwidth and noise characteristics of
the variable parameter amplifier, /. AppL Phys., 29, 1321—1331.
13. M. E. Hines, W. W. Anderson A960), Noise performance theory of Esaki
(tunnel) diode amplifiers, Proc. IRE (Correspondence), 48, 789.
14. N. Holonyak Jr., I. A. Lesk A960), Gallium arsenide tunnel diodes, Proc.
IRE, 48, 1405—1409.
15. K. F. Hulme A961), Indium antimonide tunnel diodes, Brit. J. AppL Phys.,
12, 651—653.
16. E. O. Kane A961), Theory of tunnelling, /. AppL Phys., 32, 83—91.
17. H. P. Kleinknecht A961), Indium arsenide tunnel diodes, Solid State Elect.,
2, 133—142.
18. J. M. Manley, H. E. Rowe A956), Some general properties of non-linear-
elements — Part I. General energy relations, Proc. IRE, 44, 904—913.
19. D. Meyerhofer, G. A. Brown, H. S. Sommers Jr. A962), Degenerate germa-
germanium I. Tunnel, excess and thermal current in tunnel diodes, Phys. Rev.,
126, 1329—1341.
20. M. D. Montgomery A961), Excess noise in germanium and gallium arsenide-
Esaki diodes in the negative resistance region, /. AppL Phys., 32, 2408—
2411.
21. E. G. Nielson A960), Noise performance of tunnel diodes, Proc. IRE (Cor-
(Correspondence), 48, 1903—1904.
22. P. Penfield Jr. A960), Noise performance of tunnel-diode amplifiers, Proc.
IRE (Correspondence), 48, 1478—1479.
23. R. A. Pucel A960), Physical principles of the Esaki diode and some of its
properties as a circuit element, Solid State Elect., 1, 22—33.
24. R. A. Pucel A961), The equivalent noise current of Esaki diodes, Proc. IRE
(Correspondence), 49, 1080—1081.
25. H. S. Sommers A959), Tunnel diodes as high frequency devices, Proc. IRE,
47, 1201—1206.
26. H. Suhl A957), Proposal for a ferromagnetic amplifier in the microwave
range, Phys. Rev., 106, 384—385.
27. J. J. Tiemann A960), Shot noise in tunnel diode amplifiers, Proc. IRE, 48,
1418—1423.
28. A. van der Ziel A948), On the mixing properties of non-linear condensers,
/. AppL Phys., 19, 999—1006.
29. A. van der Ziel A959), Noise figure of reactance converters and parametric
amplifiers, /. AppL Phys. (letters), 30, 1449.
30. A. van der Ziel A961a), Noise measure of lossy tunnel-diode amplifier stages,
Proc. IRE (Correspondence), 49, 1211 — 1212.
31. A. van der Ziel A961b), Noise measure of distributed negative-conductance-
amplifiers, Proc. IRE (Correspondence), 49, 1212—1213.
32. A. van der Ziel, J. Tamiya A960), Note on the noise figure of negative-
conductance amplifiers, Proc. IRE (Correspondence), 48, 796.
33. T. Yajima, L. Esaki A958), Excess noise in narrow germanium p—n junc-
junctions, /. Phys. Soc. Japan, 13, 1281—1287.

10
Устройства на горячих электронах
10.1. Введение
Физические принципы, лежащие в основе работы приборов
на горячих электронах, сильно отличаются от тех, которые уп-
управляют поведением приборов с р—n-переходами, например
биполярного транзистора. В большой степени это различие ска-
сказывается на природе шума приборов сантиметрового и милли-
миллиметрового диапазонов волн. Основной механизм шума, напри-
например, в ЛПД — это лавинный процесс, свойство, присущее само-
самому прибору и связанное с очень высоким электрическим полем.
Важный и, возможно, более известный вид шума обнаружен
в диоде Ганна, а именно шум Джонсона; но даже он отличает-
отличается от нашего обычного представления о тепловом шуме, так
-как относится к тепловым флуктуациям скорости популяции го-
горячих электронов, которая не находится в тепловом равнове-
равновесии с окружающей средой.
Рассматриваемые в этой главе приборы — это ЛПД
(IMPATT), плазменные ЛПД (TRAPATT) и инжекционно-про-
.летные диоды (BARITT), которые являются приборами пролет-
пролетного типа, а также диод Ганна — прибор на основе эффекта пе-
переноса электронов. ЛПД и плазменные ЛПД — лавинные при-
приборы и, следовательно, имеют собственные значительные шумы,
тогда жак современные инжекционно-пролетный диод и диод
Ганна благодаря непрерывному усовершенствованию производ-
производственной технологии имеют относительно малый уровень шума.
Приборы на горячих электронах, их принципы действия и
характеристики — это в какой-то степени неясные вопросы.
'Прежде чем рассматривать шумовые характеристики таких при-
приборов, расскажем о физических процессах, лежащих в основе их
работы. Начнем, однако, с основных физических свойств самих
горячих электронов.
10.2. Горячие электроны
Когда электрическое поле прикладывается к полупроводни-
полупроводнику или проводнику, носители заряда получают кинетическую
энергию и появляется электрический ток. Кинетическая энергия

Устройства на горячих электронах
257
зарядов случайным образом распределяется в популяции носи-
носителей заряда через их столкновения с кристаллической решет-
решеткой— процесс, который также увеличивает колебательную
энергию самой решетки. Таким образом, популяция носителей
и атомы решетки приобретают более высокую среднюю тепло-
тепловую энергию, чем в состоянии равновесия, или, другими слова-
словами, они становятся горячее.
В твердом теле существуют два механизма, ответственные
за теплопроводность: один представляет собой перенос тепло-
±
JL
0 12
Электрическое поле9х106 В/м
Рис. 10.1. Схематическое изображение зависимости скорости электронов от
поля в кремнии.
вой колебательной энергии волнами решетки, или фононами,
а другой — перенос тепловой кинетической энергии подвижны-
подвижными носителями. В металле обычно преобладает второй меха-
механизм вследствие высокой плотности электронов и, как результат,
тепловая проводимость К растет (при фиксированной темпера-
температуре) с ростом электрической проводимости а. Соотношение
между К и а известно под названием закона Видемана —
Франца [31]. В металле температуры решетки и популяции
электронов (иногда называемой электронным газом) по суще-
существу совпадают.
Иная ситуация в полупроводнике, где плотность носителей
заряда может быть значительно меньше, чем в металле. В этом
случае теплопроводность осуществляется преимущественно че-
через фононы. Из этого следует, что, если кристалл располагает-
располагается на подложке, обеспечивающей эффективный отвод тепла, ре-
решетка может оставаться относительно холодной, несмотря на то
что носители заряда могут получать значительную кинетиче-
кинетическую энергию от электрического поля. Если поле меньше вели-
величины приблизительно 105 В/м, средняя кинетическая энергия
носителей заряда незначительно отличается от равновесного
значения, но при более высоких полях энергия носителей суще-

258 Глава 10
ственно увеличивается. Когда это условие преобладает, носите-
носители заряда с достаточным основанием называют «горячими».
Свойства горячих носителей отличаются от свойств популя-
популяций носителей, находящихся в тепловом равновесии с решет-
решеткой. В частности, зависимость окорости дрейфа носителей от
поля отклоняется от линейного закона, который выполнялся при
более низких полях. Это иллюстрируется рис. 10.1, где скорость
схематически изображена в виде функции приложенного поля
для электронов в кремнии. Дырки в кремнии и оба типа носите-
носителей в германии имеют подобный тип зависимости. Из рисунка
можно видеть, что по мере увеличения поля скорость дрейфа
постепенно замедляет рост, пака наконец не достигнет насыще-
насыщения. Насыщение происходит из-за электрон-фононных столкно-
столкновений, которые, как можно показать, исходя из условий энерге-
энергетического баланса, позволяют достигать скорости дрейфа, уже
не зависящей от приложенного поля. Предельная скорость
дрейфа в кремнии составляет приблизительно 105 м/с.
Горячие электроны — это энергетические носители заряда,
которые могут, сталкиваясь с валентными электронами атомов
в кристаллической решетке, выбивать эти электроны из валент-
валентной зоны с последующим их переходом в зону проводимости.
Эти только что освобожденные электроны становятся при этом
сами способными выбивать больше валентных электронов, ко-
которые в свою очередь освобождают еще больше валентных
электронов, и т.д. Этот процесс является механизмом, ответст-
ответственным за лавинный пробой. Лавинный пробой наблюдается
в некоторых р — я-перехадах с обратным смещением, у которых
обратный ток резко возрастает, на несколько порядков по ве-
величине при очень малом изменении напряжения, когда достига-
достигается напряжение пробоя. Диоды с этим типом обратной харак-
характеристики используют в качестве стабилизаторов напряжения,
и нередко их относят % диодам Зинера.
Обратносмещенные р — я-переходы, работающие в области
лавинного пробоя, могут генерировать колебания на очень вы-
высоких частотах порядка 1 ГГц и выше. Это означает, что явле-
явление лавинного пробоя можно использовать для генерации сигна-
сигналов в сантиметровом диапазоне волн. Действительно, это так,
и существуют полупроводниковые генераторы этого типа, изве-
известные как лавинные генераторы. Имеются два типа лавинных
генераторов, называемых диодами IMPATT (IMPact Avalanche
and Transit Time) и TRAPATT (TRApped Plasma Avalanche
and Triggered Transit). Эти диоды схожи по структуре, но ра-
работают в различных режимах колебаний. Генерируемая диодом
IMPATT мощность, составляющая, как правило, несколько со-
сотен милливатт, соответствует частотному диапазону 3—50 ГГц,
тогда как TRAPATT позволяет получать пиковую выходную

Устройства на горячих электронах
259
мощность порядка нескольких сотен ватт в диапазоне 0,5—
5 ГГц. Третий тип генератора СВЧ, в отличие от первых двух,
не являющийся лавинным диодом, — BARITT (BARrier Injection
Transit TimeI}. Физика этих приборов рассматривается в сле-
следующем разделе.
Вид зависимости скорости дрейфа от поля, имеющийся у но-
носителей заряда в кремнии и германии, не обязателен для всех
полупроводников. Некоторые полупроводники типа АшВу, осо-
особенно GaAs, имеют максимум скорости при увеличении поля,
как показано на рис. 10.2 [17]. Этот максимум отражает про-
процесс переноса электронов из зоны с высокой подвижностью
2,0
Поле?хЮ6В/м
Рис. 10.2. Схематическое изображение зависимости скорости электронов от
величины поля в GaAs.
в зону с низкой подвижностью при увеличении поля. В резуль-
результате переноса в зависимости скорости от поля появляется об-
область отрицательной дифференциальной подвижности. При до-
достаточно высоких полях по существу все электроны находятся
в зоне с низкой подвижностью и скорость насыщается точно та-
таким же образом, .как в кремнии или германии.
Полупроводниковые материалы с областью отрицательной
дифференциальной подвижности в зависимости скорости дрейфа
от поля позволяют получать очень высокую (СВЧ) частоту ко-
колебаний тока при достаточно высоких полях смещения. Это яв-
явление было обнаружено Дж. Б. Ганном в 1963 г. [20], хотя и
было предсказано в более ранней теоретической работе. В сво-
своих экспериментах Ганн наблюдал колебания тока на частоте
*> В дальнейшем для диодов IMPATT, TRAPATT и BARITT будем ис-
использовать более распространенные в отечественной литературе наименова-
наименования: ЛПД, плазменный ЛПД (ПЛПД) и инжекционно-пролетный диод
(ИПД). — Прим. перев.

260 Глава 10
около 1 ГГц в образцах GaAs я-типа с омическими контакта-
контактами. Явление, ответственное за колебания, появляющиеся, когда
приложенное напряжение превышает критическое значение,—
это перенос электронов из зоны с высокой подвижностью в зо-
зону с низкой подвижностью, о чем упоминалось выше. Диод Ган-
на является основой генератора на переносе электронов, кото-
который рассматривается в разд. 10.6.
10.3. Физика лавинно-пролетных диодов
(ЛПД)
Лавинные и инжекционные барьерные приборы представля-
представляют собой двухполюсники, изготовляемые из Ge, GaAs и, воз-
возможно, наиболее часто из Si. Впервые р+—п—/—п+ (или
п+—р—i—р+)-структуру ЛПД предложил Рид [45]. Лишь че-
через несколько лет идеи Рида подтвердились, когда Джонсон
с сотр. [28] смогли продемонстрировать работающий прибор.
Более современные ЛПД отличаются от предложенного Ридом
прибора тем, что они имеют структуру р+—п—п+ (или р+—р—
^+), хотя принципы действия в основном те же самые, какие
излагал Рид. Плазменные ЛПД имеют схожую с ЛПД структу-
структуру, но работают в другом режиме колебаний. Первыми этот
режим продемонстрировали Прейджер с сотр. [44], но теорети-
теоретическое объяснение полученных ими результатов было опублико-
опубликовано лишь .примерно через два года [3, 9]. Третий тип прибора,
рассматриваемый ниже, — инжекционно-пролетный диод (ИПД),
основным механизмом которого является скорее пробой посред-
посредством инжекции носителей, чем лавинный пробой. По сравне-
сравнению с ЛПД инжекционно-пролетный диод — малошумящий при-
прибор. Это связано с тем, что лавинный процесс в ЛПД приводит
к появлению дробового шума, усиливающегося с коэффициен-
коэффициентом усиления устройства, тогда как дробовой шум ИПД имеет
тенденцию к определенному ослаблению из-за сглаживающего
действия пространственного заряда. С другой стороны, ИПД
сам по себе менее эффективен, чем ЛПД.
10.3.1. Лавинно-пролетный диод (ЛПД)
На рис. 10.3, а показана структура /?+—п—Я+-ЛПД с прило-
приложенным обратным смещением. Будем считать, что в отсутствие
лавины обратное смещение достаточно высоко для полного обед-
обеднения носителями я-слоя, или, другими словами, считаем, что
диод работает в режиме пробоя. Таким образом, плотность заря-
заряда в я-слое равномерна и равна концентрации доноров ND, и,
следовательно, электрическое поле Е по всему слою линейно

Устройства на горячих электронах
261
зависит от расстояния с тангенсом угла наклона
A0.1)
Профиль поля схематически изображен на рис. 10.3,6. Да-
Далее, процесс лавинного усиления сильно зависит от напряжен-
напряженности поля. Эту зависимость можно оценить, рассматривая ко-
коэффициент ионизации а, который зависит от поля следующим
образом:
асхехр[-(Е0/ЕП A0.2)
где Ео — постоянная, а показатель т лежит в пределах 1—2.
Вследствие сильной зависимости окорости ионизации от поля
лавинное умножение в ЛПД происходит в локализованной зоне
вблизи максимального значения поля. Типичная толщина этой
зоны составляет 1 мкм [18]. В остальной части п-слоя, обозна-
обозначенной как область дрейфа,
поле слишком мало для ио-
ионизации, хотя еще достаточ-
достаточно велико, чтобы носители
в этой области двигались
с предельной скоростью
дрейфа.
Подробные теории пове-
поведения зависимости тока от
напряжения в ЛПД сложны
и выходят за рамки данного
изложения. Однако следую-
следующее качественное описание
дает приемлемое объяснение
физических процессов в при-
приборе. Оно также раскрыва-
раскрывает в общих чертах меха-
механизм генерации мощности,
р+
п
о
Рис. 10.3. Структура р+—п—Я+-ЛПД
(а) и профиль электрического поля
в я-области (б).
а это — основа применимо-
применимости ЛПД в качестве источ-
источника СВЧ в таких приложениях, как накачка в параметричес-
параметрическом усилителе и гетеродин в радиолокаторе.
Для упрощения полагаем, что предельные скорости дрейфа
дырок и электронов одинаковы и равны vs, что полями прост-
пространственного заряда, обусловленного свободными носителями,
можно пренебречь и что ионизация дырок и электронов происхо-
происходит с одинаковой скоростью. Больше того, считаем, что ширина
лавинной зоны La не зависит от напряжения, приложенного
к диоду. Тогда время пролета носителя через лавинную зону

262
Глава 10
В устойчивом состоянии
пробой происходит в лавинной
зоне, протекает постоянный ток
и падение напряжения в ла-
лавинной зоне равно Ve. Теперь
предположим, что напряжение
диода меняется со временем,
так что падение напряжения
Va в лавинной зоне колеблется
около Ve, как показано на
рис. 10.4, а. При Va>Ve лавин-
лавинный ток растет, а при Va<Ve
ток уменьшается, как показано
на рис. 10.4,6. Острые пики ла-
лавинного тока являются след-
следствием выраженной нелинейной
природы механизма токообра-
зования. Заметим, что пики ла-
лавинного тока наблюдаются в
таких точках, где характери-
характеристика напряжения сигнала пе-
пересекает штриховую прямую,
соответствующую Ve, сверху
вниз. Таким образом, пики ла-
лавинного тока сдвинуты относи-
относительно пиков напряжения так,
как это характерно для индук-
индуктивного элемента. Лавинный
ток часто называют индуктив-
индуктивным, хотя эквивалентная ин-
индуктивность сильно нелинейна.
Полный ток ЛПД в значи-
значительной степени отличается от
лавинного тока. Он состоит из
двух составляющих, наведенно-
наведенного тока и емкостного тока,
причем последний является
средним током смещения через
обедненный м-слой. Далее, ем-
емкостной ток чисто реактивный
(т. е. связан интегральной за-
зависимостью с напряжением) и,
следовательно, не вносит вклада в поток мощности из прибора.
По-другому обстоит дело с наведенным током, который дает ос-
основную Фурье-компоненту в противофазе с напряжением, как
показано на рис. 10.4, в. Таким образом, на частотах около ла-
Время
10.4.
Рис.
а — колебания падения напряжения в ла-
лавинной зоне Va относительно напряжения
пробоя Vb\ б — лавинный ток; в — наведен-
наведенный ток приблизительно прямоугольной
формы с подъемами, ширина которых рав-
равна времени пролета хг

Устройства на горячих электронах 263
винной частоты диод ведет себя как отрицательное сопротивле-
сопротивление и, вместо того чтобы поглощать мощность, подобно положи-
положительному сопротивлению, генерирует ее. Если прибор включен в
соответствующий резонансный контур, спонтанные флуктуации
напряжения и тока, инициированные тепловой энергией в диоде,
нарастают. Когда это происходит, мощность постоянного тока
преобразуется в мощность СВЧ и ЛПД работает как высокочас-
высокочастотный генератор. Этот процесс не очень эффективен, однако ти-
типичная эффективность достигает 10%, причем генерация сопро-
сопровождается выделением большого количества тепла, которое
нужно отводить от прибора с помощью теплопоглощающей под-
подложки.
Принципиально важный фактбр в процессе генерации мощ-
мощности— это наведенный ток. Важные свойства, характеризую-
характеризующие форму сигнала этой составляющей тока, можно понять из
следующего рассуждения.
Сигнал лавинного тока на рис. 10.4,6 состоит из последова-
последовательностей импульсов, настолько узких, что их форма не имеет
значения. Тжим образом, каждый импульс можно просто ап-
аппроксимировать дельта-функцией, и в этом случае лавинный ток
имеет вид
t-kT,\ A0.3)
где Q — заряд, соответствующий одному импульсу тока. Если
будем рассматривать только один из этих импульсов, Q6@>
то увидим, что он связан с импульсом заряда дырок Q, уходя-
уходящим из лавинной зоны через контакт в крайней левой области
я-слоя, и импульсом заряда электронов — Q, уходящим из ла-
лавинной зоны направо. Импульс заряда дырок немедленно про-
проходит через /?+-контакт, после чего происходит рекомбинация,
вызывающая появление очень малого наведенного тока; им-
импульс заряда электронов не столь быстро достигает ^-контак-
^-контакта, так как ему приходится перемещаться через обедненный
слой, или зону дрейфа (рис. 10.3,6). В этом случае наведенный
ток течет во внешнем контуре в течение времени tr, за которое
электроны пересекают зону дрейфа. Величину %г обычно назы-
называют временем пролета. Можно показать, что если электроны
дрейфуют с предельной скоростью и рекомбинация в /г-слое не-
незначительна, величина наведенного тока равна Qvs/L. Таким
образом, форма наведенного тока более или менее прямоуголь-
прямоугольная, как показано на рис. 10.4, в, с подъемами и впадинами, на-
находящимися в противофазе с подъемами и впадинами напряже-
напряжения. Именно это явление мы имели в виду, когда говорили, что
ЛПД ведет себя, как отрицательное сопротивление.

264
Глава 10
ЛПД уделяется большое внимание в литературе. В середине
60-х гг. с этим прибором был проделан большой объем рабо-
работы, и специальный выпуск журнала IEEE Trans. Elect. Dev.,
ED—13, № 1 A966) был целиком посвящен приборам с объем-
объемными эффектами и пролетным приборам. Из более поздних
сообщений о физике ЛПД читателю можно рекомендовать ра-
работы Мисавы [41] и Кэрролла [7].
р*
п
/7 +
о
ТО.3.2. Плазменный ЛПД (ПЛПД)
Генератор на ПЛПД обычно имеет р+—п—п+ (или р+—р—
п+) -структуру, аналогичную структуре ЛПД, со смещением
в область обратного пробоя. Условие пробоя выполняется, так
что в отсутствие лавинного тока /г-слой обеднен носителями.
ПЛПД отличается от обычного ЛПД тем, что это прибор боль-
г шого сигнала, он работает в
другом режиме колебаний, бо-
более эффективен (как правило,
имеет эффективность около
50%) и генерирует мощность
на более низких частотах.
Обычно ПЛПД используют в
импульсном режиме, тогда как
обычные ЛПД — в непрерыв-
непрерывном.
При рассмотрении ЛПД
считалось, что поля простран-
пространственного заряда, связанные с
зарядами в лавинной области,
пренебрежимо малы. Эти поля
в работе ПЛПД играют важ-
важную роль. Они определяют ре-
режим колебаний ПЛПД, при
котором он чрезвычайно резко
переключается (обычно за
10~10 с) из состояния с высоким импедансом и высоким напряже-
напряжением в состояние с низким импедансом и низким напряжением.
Роль полей пространственного заряда можно понять из сле-
следующего рассмотрения. Предположим, что в момент времени
/ = 0 на р+—п—/г+-ПЛПД, структура которого показана на
рис. 10.5, а, подано обратное поле смещения, близкое к электри-
электрическому полю пробоя, но в то же время максимальное иоле
в n-слое несколько ниже поля Еа, необходимого для лавинной
ионизации. При этих условиях /г-слой обеднен подвижными но-
носителями заряда, и уравнение Пуассона дает тангенс угла на-
Рис. 10.5.
а — структура р+ — п — /Н--ПЛПД; б —
электрическое поле в /г-области при f=0,
когда максимальное поле ниже критиче-
критического поля Еа, при котором происходит
лавина.

Устройства на горячих электронах 265
клона поля в виде
A0.4)
где ND — плотность доноров в /г-слое. Интегрируя уравнение
A0.4) и полагая, что на границе x = L поле равно нулю, имеем
Далее полагаем, что в момент времени / = 0 к ПЛПД подклю-
подключают источник постоянного тока /о. При условии что поле ниже
величины Еа, /г-слой остается обедненным носителями, и един-
единственный ток, который может протекать через слой, — это ток
смещения
/о = -еоегА^, A0.6)
где А — площадь поперечного сечения диода. Интегрируя выра-
выражение A0.6) по / и учитывая начальное условие в уравнении
A0.5) для определения константы интегрирования, получаем,
что поле линейно растет со временем
x-L)—JiL-. A0.7)
во8Л
Выражение A0.7) позволяет выяснить, каким образом про-
профиль поля движется по /г-слою. Так как, если приравняем Е(х,
t) постоянной величине Ег и затем продифференцируем по вре-
времени выражение A0.7), получим, что точка постоянного поля
движется в диоде со скоростью
Таким образом, профиль поля также движется в /г-слое со ско-
скоростью v\ определяемой из уравнения A0.8). Увеличивая /о
и уменьшая ND, можно сделать эту скорость больше предельной
скорости дрейфа горячих носителей.
Теперь рассмотрим, каким образом движущийся профиль
поля может привести к колебаниям в диоде. Как мы уже ви-
видели, пока поле меньше пороговой величины, необходимой для
образования лавины, чоофиль поля линейно зависит от временц
и координаты. Но как только электрическое поле превышает Еа,
плотность носителей резко возрастает в результате лавинного
умножения и поле больше не зависит линейно от времени.
Рис. 10.6, показывающий профиль поля в последовательные мо-

266
Глава 10
менты времени, иллюстрирует, что происходит, когда превыша-
превышается -критическое поле, при условии, что скорость v' больше пре-
предельной скорости носителей.
Как только поле достигает критического значения, начина-
начинается лавинный процесс. При этом значительно увеличивается
число носителей, но, поскольку v'>vs, поле продолжает возра-
возрастать, т. е. распределение носителей не может изменяться на-
настолько быстро, чтобы тотчас же изменилось поле. Следователь-
Следовательно, поле быстро достигает уровня, значительно превышающего
Рис. 10.6. Профили электрического поля в л-области в последовательные мо-
моменты времени ti<tz<ts<t4.
критическую величину, и в то же время благодаря образованию
лавины создает чрезвычайно большую популяцию носителей.
Эти носители затем ослабляют поле позади области лавинного
пробоя (следует помнить, что профиль поля чрезвычайно быст-
быстро проходит через я-слой) до малого уровня, так что носители
больше не горячие, но имеют линейную зависимость скорости
от поля. В этой о'бласти практически выполняется условие
электрической нейтральности, так как носители самоупорядочи-
самоупорядочиваются в соответствии с обычным условием диэлектрической ре-
релаксации. Дырки и электроны, возникающие в результате ла-
лавинного процесса, образуют плазму, которая «улавливается»
в области низкого поля позади развивающейся лавины. Область
лавинного пробоя распространяется в типичном ПЛПД за
100 пс; Бартелинк и Шарфеттер [3] назвали ее лавинным удар-
ударным фронтом.
Падение напряжения в ПЛПД — это площадь под профилем
напряженности электрического поля. Из рис. 10.6 ясно, что эта
площадь очень резко изменяется (за время порядка 100 пс): от

Устройства на горячих электронах
267
Образованае
плазмы
высокого значения, когда прибор находится в состоянии пробоя,
до низкого значения после того, как лавинный ударный фронт
прошел через /г-слой. Как только напряжение падает, ток уве-
увеличивается, в то время как удерживаемая плазма выносится из
прибора. На рис. 10.7 изображена типичная форма напряжения
и тока, которая имеет место, когда прибор соединяют с соот-
соответствующей схемой для по-
получения колебаний [14].
Форма сигналов показывает,
что при характеристической
частоте ПЛПД работает как
отрицательное сопротивле-
сопротивление: основные Фурье-компо-
Фурье-компоненты напряжения и тока
находятся, в противофазе.
Клорфайн с сотр. [9] пока-
показали, что величина отрица-
отрицательного сопротивления со-
составляет
R ~ -0,4Vb/I0,
A0.9
Время *>
Рис. 10.7. Сигналы напряжения (а)
и тока (б) на клеммах ПЛПД (на-
(напряжение пробоя Vb^lQQ В).
где Vb — напряжение про-
пробоя и /0 — средний ток, про-
протекающий через прибор.
Именно благодаря этому от-
отрицательному сопротивле-
сопротивлению ПЛПД способен гене-
генерировать мощность СВЧ.
ПЛПД — прибор, рабо-
работающий в режиме большого
сигнала, который нужен для
того, чтобы раскачать коле-
колебания плазменной моды, по-
потому что нет гарантии, что
флуктуации теплового шума смогут возбудить колебания. По-
Поэтому плазменный ЛПД обычно запускается генератором на
ЛПД.
Заметим, что ПЛПД по своей сути медленнее обычного
ЛПД, потому что процесс перемещения относительно медлен-
медленных носителей в удерживаемой плазме дольше, чем носителей,
движущихся с предельной скоростью дрейфа.
10.3.3. Инжекционно-пролетный диод (ИПД)
ИПД отличается от ЛПД и ПЛПД тем, что он имеет два пе-
перехода, причем к одному из них приложено прямое смещение.
На рис. 10.8, а показана структура и профиль смещения

268
Глава 10
р*
п
р*
О х
Потенциал
Электричес-
Электрическое поле
Рис. 10.8.
а — структура р+ — п — р+-ИПД; б — три профиля потенциала на диоде; в — соответст-
соответствующие профили электрического поля.
р+—п—р+-ИПД; /2-слой очень тонок обычно порядка 10 мкм.
Колеман и Цзе [11] первыми экспериментально показали, что
такой прибор имеет отрицательное сопротивление в диапазоне
СВЧ, что дает возможность поддерживать колебания и получать
сигнал в области высоких частот. Вместо полупроводниковых
переходов их прибор содержал два барьера (Шоттки) металл —

Устройства на горячих электронах
269
полупроводник, но принципы действия в этих двух случаях су-
существенно не отличаются.
Профили потенциала и электрического поля в ИПД при
различных вариантах смещения схематически показаны на
рис. 10.8,6 и в. В равновесии на обоих переходах смещение ну-
нулевое и так в приборе отсутствует. При увеличении приложен-
приложенного напряжения левый переход оказывается смещенным в об-
обратном направлении, а правый слабо смещается в прямом на-
направлении, и постоянный ток прибора равен обратному току
Ход/
V —*~
Рис. 10.9. Схематическое изображение вольт-амперной характеристики ИПД.
утечки левого перехода (считается, что /г-область на этом этапе
является достаточно широкой для того, чтобы неосновные носи-
носители, инжектируемые через переход с прямым смещением, до-
достигали перехода с обратным смещением). При дальнейшем
увеличении приложенного напряжения обедненная область пе-
перехода с обратным смещением расширяется дальше в /г-область,
пака в конце концов не происходит пробой.
На рис. 10.9 изображена типичная вольт-амперная характе-
характеристика ИПД. Ток в области А—Б представляет собой обрат-
обратный ток утечки. Область между Б и В соответствует пробою,
и ток резко возрастает при увеличении напряжения, потому что
неосновные носители, инжектированные через переход с прямым
смещением, проходят через /г-область под действием сильного
электрического поля. В конечном итоге ток ограничивается про-
пространственным зарядом и растет не так резко при увеличении
напряжения (область В—Г). Четвертая область наблюдается

270
Глава 10
Напряже
ние
после В—Г, где ток снова резко возрастает в результате лавин-
лавинного пробоя вблизи от металлического перехода слева, где элек-
электрическое поле очень велико. Подробное обсуждение механизма
тока в приборах с барьерной инжекцией дано в работе [53].
Смещение в генераторе на ИПД таково, что пробой, соответ-
соответствующий области Б—В на рис. 10.9, имеет место, но необра-
необратимые эффекты отсутствуют. Если
считать, что инжектированные но-
носители перемещаются с предель-
предельной скоростью дрейфа vs, время
пролета через га-область xt=L/vs.
Теперь предположим, что диод
возбуждается малым сигналом от
источника напряжения с угловой
частотой о>о=2я/71о, где период
To = 4xt/3. Изменение этого сигна-
сигнала напряжения за один период
показано на рис. 10.10,а. Когда
напряжение превышает среднее
значение, «импульс» ааряда ин-
инжектируется в га-область через
переход с прямым смещением.
Этот импульс заряда можно ап-
аппроксимировать всплеском или
дельта-функцией, которая появ-
появляется в га-области в то время,
когда напряжение достигает пи-
пикового значения. Импульс заряда
затем перемещается через га-об-
ласть за время хи и ток увеличи-
увеличивается до постоянного уровня
Тон | L
Время
Рис. 10.10. Схематическое изо-
изображение сигналов напряжения
(а) и тока (б) генератора
ИПД.
на
выше начального значения. После «пролета» заряда ток спада-
спадает до исходного уровня. Форма сигнала тока показана на
рис. 10.10,6.
Из рис. 10.10 очевидно, что на частотах порядка соо/2я =
= 3/4(vs/L) (которая составляет 7,5 ГГц в диоде с L=10 мкм
и vs=l05 м/с) у ИПД имеется отрицательное сопротивление.
Колеман [10] вывел выражение для импеданса диода. Выход-
Выходная мощность от ИПД составляет 10 мВт, а добротность — от-
относительно высока (около 40). При благоприятных условиях
генератор самовозбуждается за счет флуктуации теплового
шума.

Устройства на горячих электронах 271
10.4. Лавинный шум
Как мы видели, лавинное умножение имеет место в областях
сильного электрического поля, где кинетическая энергия сво-
свободных носителей заряда достаточна для ионизации атомов кри-
кристаллической решетки. Коэффициент ионизации для электро-
электронов а определяют как среднее число ионизирующих столкнове-
столкновений на единичном расстоянии дрейфа электрона. Коэффициент
ионизации дырок определяется аналогично. Вообще говоря, а
и р имеют различные численные значения, но оба коэффициента
сильно зависят от электрического поля.
Ионизирующее соударение высвобождает дырку и электрон,
которые начинают перемещаться по полупроводнику в противо-
противоположных направлениях под влиянием электрического поля, вы-
высвобождая во время дрейфа следующие пары дырка — электрон.
Лавинный ток складывается из первичного тока, а также вто-
вторичного, третичного и т.д. таков, обусловленных ударной иони-
ионизацией.
В общем случае различных коэффициентов ионизации дырок
и электронов алгебраическое исследование процесса умножения
весьма громоздко. Однако специальный случай а = р значитель-
значительно проще, и именно на примере этого случая рассмотрим осно-
основы умножения тока и лавинного шума.
Так как электрическое поле и, следовательно, коэффициент
ионизации а могут изменяться в области пространственного за-
заряда, удобно ввести среднее значение а по лавинной зоне дли-
длины La
a = (\/La)[a(x)dx. A0.10)
Каждый подвижный носитель (дырка или электрон), пересе-
пересекающий лавинную зону, высвобождает в среднем aLa пар ды-
дырок и электронов. Полное расстояние, преодолеваемое состав-
составляющими такой пары, равно La, поскольку они дрейфуют в про-
противоположных направлениях, и таким образом каждая пара
образует в среднем aLa следующих пар. Следовательно, если
/о — первичный ток, то ток после умножения имеет вид
3+...] = /0M, A0.11)
где
M=l + aLa+(aLaJ + (aLaK+... = l/(l-aLa) A0.12)
— коэффициент умножения. Когда aLa равно единице, М стре-

272 Глава 10
мится к бесконечности и происходит лавинный пробой. TaiK
как а очень резко изменяется в зависимости от электрического
поля, достаточно совсем небольшого изменения приложенного
напряжения, чтобы вызвать лавину в диоде, что объясняет
очень резкий характер изменения пробоя.
Ионизирующие процессы, лежащие в основе процесса умно-
умножения, происходят случайно, создавая таким образом шум
в токе лавинной ионизации. При низких частотах, значительно
ниже частоты лавины, шум имеет «белый» спектр, который из-
изменяется как коэффициент умножения в третьей степени. Ключ
для понимания низкочастотных шумовых флуктуации лавинного
тока заключается в том, что любая пара дырка — электрон,
появившаяся в лавинной зоне, приводит к образованию в сред-
среднем М подобных пар. Спектральную плотность лавинного шума
определяют, рассматривая изменение электронного (или дыроч-
дырочного) тока на отрезке расстояния dx вследствие образования
пары дырка — электрон под действием ударной ионизации. Из-
Изменение дырочного тока описывается формулой
d!p = a(x)IMdx, A0.13)
где 1м — полный ток, протекающий в лавинной области [опре-
[определяется выражением A0.11)]. Ток 1м одинаков в любом месте
прибора. Приращение тока в формуле A0.13) определяется чис-
чисто дробовым шумом и, следовательно, имеет спектральную плот-
плотность 2qa(x)lMdx (исключая постоянную компоненту тока). Так
как ток, протекающий через диод благодаря рождению пары
дырка — электрон на отрезке dx, равен MdIPt спектральная
плотность связанного с ним лавинного шума имеет вид
dSaD (со, х) = 2qa (x) M4Mdx. A0.14)
Полагая, что процессы рождения пары по всему диоду незави-
независимы, спектральную плотность шума полного лавинного тока
можно получить, интегрируя выражение A0.14) и суммируя его
с вкладом от дробового шума, связанного с первичным то-
током /о:
A0.15)
где использованы формулы A0.11) и A0.12).
Выражение A0.15) для спектральной плотности лавинного
шума в случае равных коэффициентов ионизации для дырок
и электронов вывел Тейджер ([54]. В дальнейшем MaiK-Интайр

Устройства на горячих электронах 273'
[37] обобщил это выражение на случай, когда коэффициенты
ионизации для дыроок и электронов, хотя и не равны, но изме-
изменяются с изменением электрического поля таким образом, чта
|3 = &а, где k — постоянный коэффициент пропорциональности.
MaiK-Интайр обнаружил, что если первичный ток целиком со-
состоит из дырок, то спектральная плотность шума имеет вид
J){WJ] A016а>
а если из электронов, то —
A0.166)
Аппроксимации в этих выражениях справедливы при М^>\. За-
Заметим, что выражения A0.16) симметричны в том отношении,,
что одно из них преобразуется в другое заменой k на \\k.
Если принять за норму спектральный уровень, определяемый
формулой A0.15), из выражений A0.16) становится очевидно,
что шум уменьшается, когда первичный ток состоит из дырок
и коэффициент ионизации для дырок больше, чем для электро-
электронов (т. е. k>\), а также когда первичный ток состоит из элек-
электронов и коэффициент ионизации для электронов больше, чем
для дырок (т. е. &<1). Экспериментальное подтверждение по-
поведения, предсказанного выражениями A0.16), было получено
несколькими исследователями, в том числе Мельхиором и Ан-
Андерсеном |[39~|. Мельхиором и Линчем [40], Бертчем [1,2J
и Конради [12].
При выводе выражений A0.15) и A0.16) неявно подразуме-
подразумевается, что число ионизирующих столкновений при пролете но-
носителя через лавинную область очень велико. Это позволяет
рюследовать лавинное умножение как непрерывный по простран-
пространству процесс. Ван-Влайет и Ракер [57, 58] ослабили условие
непрерывности и исследовали процесс умножения как дискрет-
дискретное явление. Детали этой теории находятся вне сферы данного
рассмотрения, но интересно отметить, что в современных ла-
лавинных диодах число ионизирующих столкновений за пролет
носителя часто мало (порядка 2 или 3) i[34]. В таких случаях
может быть применима теория ван-Влайета и Ракера, а в пре-
предельном случае большого числа ионизирующих столкновений
их данные согласуются с результатами Мак-Интайра.

274
Глава 10
10.5. Шум в пролетных усилителях
10.5.1. Усилители на ЛПД
Усиление в диапазоне СВЧ можно получить, используя ЛПД,
в,клю(ченный| в резонансную структуру, жоторая связана с по-
помощью передающей линии и цирисулятора с входным и выход-
выходным передающими трактами. На резонансной частоте диод
имеет отрицательное сопротивление и, следовательно, коэффи-
коэффициент отражения от резонатора больше единицы. Таким обра-
образом, волна, отраженная от резонатора, имеет большую ампли-
Мабинная зона
\ l-r
\r
V/Z/A
\
Зона дрейфа ]
1 1
Рис. 10.11. Схема для анализа шума лавинного тока во внешнем контуре
отражательного усилителя на ЛПД.
туду, чем подводимая к нему; поэтому прибор работает как
усилитель.
Источниками шума в такой схеме являются тепловой шум во
входной цепи, тепловой шум в объемном сопротивлении диода
и шум умножения в лавинном токе. Среди этих трех источников
шума преобладает последний. Теория малого сигнала для шу-
шума лавинного тока, в усилителях на ЛПД, предложенная Хайн-
сом [26], применима на высоких и низких частотах. В этой тео-
теории коэффициенты ионизации дырок и электронов предполага-
предполагаются одинаковыми. Это жесткое ограничение ослабили Гуммель
и Блу /[19], которые исследовали ту же проблему, что и Хайнс,
но применили более общий подход. Как они подчеркивают, та-
такой подход необходим при исследовании материалов, напри-
например кремния, в которых коэффициенты ионизации дырок и
электронов отличаются на порядок. Теоретические выводы
Хайнса подтвердили Хейтц и Вольтмер [22], измерив харак-
характеристики шума в кольцевых ЛПД с перемещающейся микро-
микроплазменной областью.

Устройства на горячих электронах
275
Хайнс исследовал поведение лавинного шума усилителя на
ЛПД с помощью эквивалентной схемы, показанной на рис. 10.11.
В контуре, внешнем по отношению к диоду, LL — настроечная
катушка и RL — сопротивление нагрузки. Шумовой ток М0>
протекающий во внешнем контуре, является суммой, трех
составляющих. Одна из
них — ток проводимости но-
носителей ino(t), который явля-
является фиктивным шумовым
током в том смысле, что он
протекал бы, если можно
было поддерживать электри-
электрическое поле в лавинной об-
области на критическом уров-
уровне, необходимом для полу-
получения устойчивой лавины.
В действительности носите-1
ли заряда в лавине с высо-
высокой плотностью тока будут
наводить поле переменного
тока в лавинной зоне. Этим
полем обусловлена состав-
составляющая шумового тока
ine{t), коррелированная с
ino(t). По принципу линей-
линейной суперпозиции, полный
шумовой ток лавинной про-
проводимости равен ino(t) +
-\-ine(t). Таким образом,
ine(t) — вторая из трех со-
составляющих, вносящих
109
Частота, Гц
Рис. 10.12. Вычисленная спектраль-
спектральная плотность шумового тока во
внешнем контуре отражательного
усилителя на ЛПД, нормированная
к спектральной плотности дробово-
дробового шума 2qIM ([19]; © 1967 IEEE).
вклад в шумовой ток во
внешнем контуре. Третья
составляющая — ток смеще-
смещения в лавинной зоне.
Выражение, выведенное
Хайнсом для спектральной
плотности тока in(t), явля-
является сложным и содержит несколько параметров, в том числе
лавинную угловую частоту соа, лавинный ток 1М, полный импе-
импеданс схемы, показанной на рис. 10.11, и производную коэффици-
коэффициента ионизации по величине поля. На частотах ниже лавинной
частоты шум имеет «белый» спектр, интенсивность которого об-
обратно пропорциональна постоянной составляющей тока лавины
1м. С физической точки зрения эту обратную зависимость можно
интерпретировать как результат уменьшения импеданса лавины

276 Глава 10
при увеличении тока. На частотах выше лавинной частоты спект-
спектральная плотность шума резко понижается с уменьшением час-
частоты, изменяясь приблизительно как со. На частотной зависи-
зависимости спектральной плотности в этой области имеется характер-
характерная структура, определяемая шириной области дрейфа; спект-
спектральная плотность шума пропорциональна 1м. На лавинной час-
частоте, изменяющейся как корень квадратный из /м, спектральная
плотность шумового тока при достаточно большом 1м может
иметь пик. Типичные кривые спектральной плотности in{t), как
функции от частоты, иллюстрирующие особенности, описанные
выше, показаны на рис. 10.12.
Хайнс показал, что коэффициент шума ЛПД определяется
выражением
, Sin(G>)-RL
F==1 -i—ш—' A0Л7)
где Sin(a))—спектральная плотность шумового тока in(t)\ G —
коэффициент усиления усилителя и 6 — абсолютная температу-
температура. При значениях параметров, соответствующих частоте
10 ГГц,коэффициент шума, вычисленный по выражению A0.17),
равен 40,5 дБ. Кавас {33] измерил коэффициент шума ЛПД, из-
изготовленных из кремния, германия и GaAs, на частоте 6 ГГц. Он
получил, что коэффициент шума в кремнии составляет 34 дБ
(что несколько ниже теоретического значения), а в диодах на
Ge и GaAs коэффициенты шума составляли 29 и 26 дБ соответ-
соответственно. Результат для Ge в пределах ошибки эксперимента
совпадает с полученным в работе ,[48] для диода на Ge для
сантиметровых волн (8—10 ГГц). На миллиметровых волнах
B5—40 ГГц) коэффициент шума 26 дБ был получен на GaAs-
диоде, используемом в качестве активного элемента с отрица-
отрицательным сопротивлением в усилителе отражательного типа [60].
На частотах около 50 ГГц были достигнуты минимальные ко-
коэффициенты шума 27,5 и 38 дБ соответственно для ЛПД на
GaAs и Si [42]. Вообще говоря, приборы на основе GaAs име-
имеют лучшие шумовые характеристики и возможность достижения
более высокой мощности, чем на основе Ge или Si.
10.5.2. Усилители на ПЛПД
Как следует из работы [21], до 1970 г. 'было мало известно
о преобразовании шума лавинных диодов, работающих в ре-
режиме колебаний ПЛПД. Предварительные результаты, полу-
полученные в то время, свидетельствовали о том, что усилитель на
ПЛПД обладает большим шумом.
Кажется, с тех пор работы по (количественному определению
шума усилителей на ПЛПД мало продвинулись вперед, возмож-
возможно, потому, что эти приборы предназначены для больших сиг-

_ Устройства на горячих электронах 277
налов, где шум не столь важен. Кроме того, очень сложное под-
подробное исследование физики работы ПЛПД требует компьютер-
компьютерного моделирования {15, 36] для анализа большого разнообра-
разнообразия формы сигналов диода и режимов, соответствующих вклю-
включению диода в различные схемы. Пока физические механизмы
в плазменном диоде неясны, создается впечатление, что под-
подробную теорию шумовых характеристик усилителей на этих
диодах получить невозможно.
10.5.3. Усилители на ИПД
Отсутствие лавинного пробоя в области пространственного
заряда ИПД означает, что этот диод обладает меньшим шумом,
чем ЛПД или ПЛПД. Колеман и Цзе [11] сообщали о дости-
достижении коэффициента шума 15±1 дБ для ИПД металл — полу-
полупроводник— металл, а Бьёркманн и Снэп i[5] при измерениях
достигли значений коэффициента шума 10 и 11 дБ для
р+—п—р+- и р+—п—v—р+- структур соответственно.
В ИПД имеются два источника шума. Один источник — это
шум, связанный с носителями, инжектированными через пере-
переход в область пространственного заряда; это — дробовой шум,
сглаженный пространственным зарядом. Другой источник шу-
шума, известный как диффузионный шум, обусловлен случайными
флуктуациями скорости носителей, проходящих обедненный
слой. Диффузионный шум преобладает над дробовым шумом
при высоких плотностях тока, когда дробовой шум существен-
существенно ослаблен за счет явления сглаживания пространственным
зарядом.
Анализ дробового шума в ИПД продолжили и развили Гауе
с сотр. [24]. Они вывели выражение для спектральной плотно-
плотности флуктуации напряжения для случая холостого хода, пола-
полагая, что полный дробовой шум инжектируется через один из пе-
переходов в область пространственного заряда. Инжектирован-
Инжектированный дробовой шум сглаживается, так как носители заряда со-
создают коррелированные флуктуации электрического поля, ко-
которые модулируют ток смещения на границе. Когда этот моду-
модулированный шумовой ток добавляется к инжектированному
шумовому току, в результате уменьшается спектральная плот-
плотность шума внешнего контура. Это явное уменьшение шума воз-
возникает из-за явления сглаживания пространственным зарядом.
Коэффициент шума F усилителя с большим усилением удоб-
удобно выразить через избыточный фактор шума М следующим об-
образом:
F=\-\-M. A0.18)
Гауе с сотр. получили выражение для избыточного фактора шу-

278
Глава 10
ма М в случае дробового шума, сглаженного пространственным
зарядом, при условии, что пролетный угол <oL/vs соответствует
максимальному отрицательному сопротивлению
где /о — плотность тока в диоде; vs — предельная скорость дрей-
фа; е — относительная диэлектрическая проницаемость материа-
материала и а — параметр барьерной модуляции, который является от-
отношением плотности тока к электрическому полю на границе-
инжектирования (а зависит от уровня примесей). Избыточный
фактор шума, вычисленный
по формуле A0.19), может
быть существенно меньше
единицы в зависимости от
значений параметров этого
выражения. Действительно,
Гауе с сотр. считали, что
возможны избыточные фак-
факторы шума порядка 10~2 и<
ниже. К сожалению, при
анализе с учетом диффузи-
диффузионного шума таких замеча-
замечательно малых значений для
избыточного фактора шума
не получается.
Диффузионный шум —
это по существу тепловой
шум горячих носителей. Он
появляется потому, что хотя;
считается, что носители
дрейфуют с предельной ско-
скоростью, на самом деле име-
имеется распределение скоро-
скоростей, среднее значение кото-
которых равно предельной ско-
скорости. Распределение скоро-
скоростей, подобно распределению
Максвелла, и соответствует
температуре горячих носите-
носителей. Общий аналитический метод исследования джонсоновского
шума описан в разд. 10.7 в связи с шумом в диодах Ганна.
Штатц с сотр. )[52] обнаружили, что избыточный фактор
шума ИПД при анализе дробового шума, сглаженного прост-
пространственным зарядом, и с учетом диффузионного шума может
быть больше, чем в отсутствие диффузионного шума. Это иллю-
Рис. 10.13. Вычисленный избыточный
фактор шума М в функции плотно-
плотности тока /о ([52]; © 1972 ШЕЕ).
дробовой шум; совмест-
совместное действие дробового и диффузионного
шумов.

Устройства на горячих электронах 279
стрируется на рис. 10.13, который показывает вычисленный из-
избыточный фактор шума как функцию плотности тока при час-
частоте 10 ГГц для случая пролетного угла, соответствующего
максимальному отрицательному сопротивлению. Две кривые на
рисунке показывают избыточный фактор шума при наличии од-
одного лишь дробового шума (штриховая линия) и, когда при вы-
вычислении учитываются оба шума, — дробовой и диффузионный
(сплошная линия). Влияние сглаживания пространственным
зарядом на дробовой шум проявляется, например, наличием
провала на штриховой кривой при более высоких плотностях
тока; но это не имеет большого значения при рассмотрении пол-
полного шума, который благодаря диффузионной составляющей
может быть на несколько порядков выше.
Несмотря на относительно большой вклад от диффузионного
шума при высоких плотностях тока, ИПД — все же малошумя-
щий прибор СВЧ. В соответствующих схемах можно достичь
избыточного фактора шума около 10 дБ на частотах до 20 ГГц.
Было построено несколько численных моделей шума в ИПД
[8, 51], причем результаты расчетов хорошо согласуются с экс-
экспериментом. Благодаря таким моделям пришли к заключению,
что ИПД с переходами металл — полупроводник имеют боль-
щие избыточные факторы шума, чем с р—/г-переходами. Разни-
Разница зависит от плотности тока и частоты, но обычно она состав-
составляет 3 дБ или меньше.
10.6. Физика генератора
на эффекте переноса электронов
У некоторых полупроводниковых материалов, например
у GaAs и InP, имеется область отрицательной дифференциаль-
дифференциальной подвижности в зависимости скорости носителей от поля
(рис. 10.2). Образец такого полупроводника в виде короткого
бруска с омическими контактами генерирует колебания тока,
когда приложенное напряжение превышает некоторый критиче-
критический уровень [20]. Это явление объясняется переносом электро-
электронов из состояния с высокой подвижностью в состояние с малой
подвижностью.
Процесс переноса электронов можно понять из диаграммы
энергия — импульс для полупроводника. Материалы, способные
генерировать колебания Ганна, обладают центральным прова-
провалом («долиной») зоны проводимости (минимум которой соответ-
соответствует краю зоны проводимости, определяющему верхнюю гра-
границу запрещенной зоны). Центральный провал окружен сим-
симметрично расположенными боковыми провалами, энергетический
минимум которых находится выше минимума центрального про-

280 Глава 10
вала. Эта структура энергетической зоны иллюстрируется на*
рис. 10.14, где как раз показан один из боковых провалов.
Колебания тока возникают вследствие того, что подвижность
электронов в боковых провалах намного меньше, чем в цент-
центральном провале. Таким образом, при низких значениях элек-
электрического поля, когда практически все электроны проводимо-
проводимости находятся в центральном провале, они дрейфуют со ско-
скоростью, пропорциональной величине поля, и имеют высокую*
подвижность. Когда величина поля растет, электронам сообщаг
Боковой
провал
Центральный.
провал
зоны в
Энергия
1апрещенная
зона
Импульс
Рис. 10.14. Схематическое изображение энергетической зонной структуры по-
полупроводника с отрицательной дифференциальной подвижностью.
ется большая кинетическая энергия, пока при некотором поро-
пороговом поле по отношению к разности энергии между миниму-
минимумами в боковых провалах и в центральном провале не появит-
появится большая вероятность обнаружения значительной части элек-
электронов в боковых провалах. Эти электроны тогда находятся
в состоянии с низкой подвижностью. При дальнейшем увеличе-
увеличении поля большее число электронов перенрсится из состояния
с высокой подвижностью в состояние с низкой подвижностью,
а это означает, что при увеличении поля средняя скорость дрей-
дрейфа популяции электронов падает. Это объясняет наличие об-
области отрицательной дифференциальной подвижности на
рис. 10.2. Когда поле достаточно высоко, для того чтобы практи-
практически все электроны оказались в боковых провалах, скорость
насыщается до предельной скорости дрейфа.
В этом описании процесса переноса электронов подразуме-
подразумевается, что электрическое поле постоянно по всему полупровод-
полупроводнику. На самом деле колебания Ганна связаны с сильно неодно-
неоднородным полем. Причину неоднородности распределения поля
следует искать в процессе накопления заряда при отрицательной

^ Устройства на горячих электронах 281.
дифференциальной подвижности: если при положительной по-
подвижности имеет место диэлектрическая релаксация и накоп-
накопленный заряд рассеивается, то в случае отрицательной подвиж-
подвижности заряд резко возрастает. Это означает, что при отрица-
отрицательной дифференциальной подвижности однородное распреде-
распределение заряда очень неустойчиво. Именно эта неустойчивость
лежит в основе работы диода Ганна.
Рассмотрим однородно легированный образец полупровод-
полупроводника, например GaAs, который имеет отрицательную дифферен-
дифференциальную подвижность, когда напряженность поля превышает
критическое значение Ес. Пока приложенное напряжение мало,
так что поле внутри материала однородно и ниже Ес, образец
ведет себя как обычное сопротивление с омической зависи-
зависимостью между током и напряжением. Когда напряжение увели-
увеличивается до уровня Ес, ток принимает максимальное значе-
значение 1с. В то же время дифференциальная подвижность соответ-
соответствует точке изменения знака — от положительного значения
к отрицательному. Если это происходит, то обычно в локальной
области вблизи отрицательного контакта. В этой локальной
области электроны дрейфуют намного медленнее, чем впереди
или позади. Это вызывает накопление заряда позади и обедне-
обеднение перед локальной областью, а так как действие отрицатель-
отрицательной дифференциальной подвижности аналогично положитель-
положительной обратной связи, эти концентрации противоположных заря-
зарядов очень быстро растут, образуя дипольный слой. Поле в цент-
центре этого слоя, или домена, очень высокое, выше Ес, что компен-
компенсируется ослаблением поля до значений ниже Ес вне слоя. Да-
Далее, домен дрейфует по полупроводнику с предельной скоростью,
-а это означает, что домен сохранит свою форму в том случае,
если электроны вне домена будут дрейфовать с такой же ско-
скоростью. Это приводит iK тому, что поле вне домена имеет зна-
значение, соответствующее этой скорости, причем следует помнить,
что электроны в области вне домена имеют положительную
дифференциальную подвижность. Так Id во время движения
домена равен максимальному току /с, умноженному на отно-
отношение предельной скорости к пиковой скорости дрейфа. Когда
домен достигает анода, он коллапсирует, а в области катода об-
образуется новый домен. Затем цикл повторяется. Таким обра-
образом, ток изменяется между двумя уровнями, Id и /с, с частотой
повторения, приблизительно равной обратному времени дрейфа
домена через прибор.
Образование домена с высокой напряженностью поля и по-
последующее перемещение от катода к аноду — это сущность яв-
.лений в генераторе Ганна, который на высоких частотах обла-
обладает отрицательным сопротивлением. Возможен также другой
режим колебаний, при котором образования области с сильным

282 Глава 10
полем не происходит из-за тщательно контролируемого вы-
высокочастотного напряжения, быстро разрушающего поле в обла-
области отрицательной дифференциальной подвижности. Это пред-
предотвращает накопление заряда и сохраняет более или менее од-
однородное поле по всему прибору. Таким образом, зависимость
така от напряжения для этого режима, известного под назва-
названием режима с ограниченным накоплением объемного заряда,
определяется зависимостью скорости от величины поля, так как
ток равен qnv(E)Ay где п — плотность электронов; А — площадь
прибора и v(E) —зависящая от поля скорость дрейфа. Из это-
этого следует, что при отрицательной дифференциальной подвиж-
подвижности у диода появляется отрицательное дифференциальное со-
сопротивление и, следовательно, его можно использовать для уси-
усиления. Режим ограниченного накопления объемного заряда име-
ет то преимущество, что он потенциально пригоден для получе-
получения большой выходной мощности на СВЧ. Более того, ожидает-
ожидается, что ганновские диоды с однородным распределением поля
из-за более высокой подвижности должны иметь меньшие шумы,,
чем диоды с неоднородными полями.
10.7. Шум в генераторах Ганна
Из двух главных составляющих шума в генераторах Ганна
основная представляет собой неравновесную разновидность шу-
шума Джонсона в СВЧ-диапазоне, в то время как другая связана
с 1//-шумом в напряжении (или токе) смещения.
Коэффициенты шума первых приборов на GaAs, для кото-
которых произведение концентрации примесей на длину образца
было меньше, чем ~1012 см~2 (докритическое легирование),,
имели высокие значения (порядка 30 дБ [56]). Коэффициенты
шума в пределах 10—15 дБ были получены для надкритическ»
легированных диодов на GaAs [35, 43]. Дальнейшее снижение
коэффициентов шума до значений, меньших 8 дБ, было достиг-
достигнуто применением InP [4]. С помощью компьютерного модели-
моделирования были предсказаны еще более низкие значения коэффи-
коэффициента шума: примерно 3 дБ для GaAs и InP [29, 30], 7 дБ
для GaAs и 4 дБ для InP [50]. В этих расчетах были предус-
предусмотрены некоторые ограничения, накладываемые на инжекцик>
заряда из катода.
10.7.1. Шум Джонсона
По мере перемещения домена от катода к аноду впередв
и позади узкого обедненного слоя, составляющего домен, обра-
образуются по существу омические области. Так как ширина доме-

Устройства на горячих электронах 283
на мала, полная длина омических областей очень близка к по-
постоянной по всему пути перемещения домена и равна длине по-
полупроводника. Горячие носители в необедненных областях вне
домена служат источником шума Джонсона.
Имеются два механизма, приводящие к появлению шума:
один — случайные внутризонные флуктуации носителей вследст-
вследствие их повышенной температуры и другой — флуктуации, вы-
вызванные межзонными переходами, т. е. носителями, случайным
образом совершающими переходы между энергетическими под-
подзонами, соответствующими состояниям с высокой и низкой по-
движностями. Шум, обусловленный этими механизмами, перво-
первоначально исследовал Шокли с сотр. [49], вводя для вычислений
кшетод импеданса поля». Так как этот метод вообще важен для
.понимания неравновесного джонсоновского шума, мы сейчас
^сделаем краткое отступление для того, чтобы ознакомиться
•с ним несколько подробнее, прежде чем продолжать рассмотре-
рассмотрение джонсоновского шума в диоде Ганна.
Сравнительно простой пример применения метода импедан-
импеданса поля был приведен раньше при анализе теплового шума в ре-
резисторе в случае теплового равновесия с окружающей средой
(разд. 2.8). Исследование можно обобщить на неравновесные
ситуации согласно следующему рассуждению. Для простоты
предполагаем одномерную геометрию; к трехмерному случаю
можно перейти очень просто.
Рассмотрим одномерный резистор длины L с площадью по-
поперечного сечения А и предположим, что скорость отдельного
электрона после столкновения равна u(t). Уравнение движения
¦частицы [см. приложение 3, уравнение (П3.7)] имеет вид
(Ю.20)
где m—масса электрона; \х — подвижность, отличная от значе-
значения подвижности в слабом поле, если носители горячие, и pi,
Р2 — соответственно значения импульса непосредственно до и
после столкновения. Таким образом, (р2—pi)—импульс, полу-
полученный электроном при столкновении. Применяя преобразова-
преобразование Фурье к обеим частям уравнения A0.20), получаем преоб-
преобразование для u(t):
где Xf = \im/q — среднее время пролета между столкновениями,
которое можно идентифицировать со временем диэлектрической
релаксации ti (разд. 2.8).
Если электрон находится на элементарном участке между х
31 x + dx, то импульс напряжения (или его преобразование

284 Глава 10
Фурье), появляющийся на клеммах резистора из-за процессов
столкновения и измеренный в режиме холостого хода, можно
выразить через 1/(/сэ) следующим образом:
V (/со, х) = qU (/со) Я (/со, х), A0.22)
где Я(/со, х)—функция линейной системы, связывающая мик-
микроскопический ток в точке х с напряжением холостого хода на
клеммах. Естественно, Я (/со, jc) зависит от исследуемого прибо-
прибора и условий, в которых он работает. Размерность величины
H(jcdfx) совпадает с размерностью напряженности электриче-
электрического поля, деленной на ток. Для трехмерного случая Шокли
с сотр. ввели величину, соответствующую Я(/со, х), которая по-
получила название «вектора импеданса поля» и обозначается че-
через Z.
Для случая холостого хода спектральную плотность шумово-
шумового напряжения, обусловленного флуктуациями скорости на уча-
участке между х и x + dx, находят по теореме Карсона [см. разд.
2.6, уравнение B.41)]. Учитывая формулы для преобразования
Фурье функции формы импульса A0.21) и A0.22), имеем
dSv (со, х) = 2 | Я (/со, х) I2 **' fo ~ДJ . ^й- dxy A0.23)
где среднюю скорость столкновений положим равной
v = ^-dx. A0.24)
т/
Заметим, что в общем случае электрическое поле и, следова-
следовательно, подвижность и величина Xf являются функциями коор-
координаты. Далее, р\ и р2 — величины независимые, и, так как
среднее значение каждого импульса равно нулю, (р2—р\J =
=p22 + Pi2- Поэтому, полагая p2=pi2=P22, уравнение A0.23)
можно записать в виде
dSj^T) = 4 | Я (/со, х) |2 цЧА Г ^ 1 dx. A0.25>
Сравнивая выражение в квадратных скобках с формулой
(П3.11) приложения 3, видим, что оно равно одной четверти
спектральной плотности флуктуации скорости для единичной
частицы. Но это же выражение определяет диффузию величи-
величины и при угловой частоте со (см. приложение 3):
?> (со) = _ р2^2 _2 . A0.26)
иУ ' ^A+аЛ,2) V '
Таким образом, спектральная плотность флуктуации напряже-

Устройства на горячих электронах 285
ния холостого хода, обусловленных флуктуациями скорости п©*
всей длине прибора, получается интегрированием выраже-
выражения A0.25):
L
Я (/со, х) |2 4q*nADu (со) dx. A0.27)
Выражение A0.27)—одномерный вариант формулы для
спектральной плотности шума, впервые полученной Шокли
с сотр. методом импеданса поля. Важно отметить, что его вы-
выводили, не используя условий равновесия. Таким образом, фор-
формула верна независимо оттого, находится или нет ансамбль элек-
электронов в тепловом равновесии с окружающей средой, если по-
понимать Du((u) в общем смысле, как это предполагается в при-
приложении 3. Легко проверить, что формула дает правильный ре-
результат для случая равновесия, так как тогда Н(/со, х) равно
сопротивлению на единицу длины и для частот ниже частоты,
равной обратному среднему времени свободного пролета, Dw(co)
в выражении A0.26) можно отождествить с константой диффу-
диффузии D = \xkQ/q (см. приложение 3), из чего следует
S, (<*>) = 4fe8#, A0.28)
что и требовалось доказать.
Теперь вернемся к рассмотрению джонсоновского шума в
диоде Ганна. Если импеданс необедненных областей вне доме-
домена Z=R + jX, то вектор импеданса поля есть просто #(/©, х) =
= Z/L, где L — полная длина образца. По формуле A0.27) нахо-
находим спектральную плотность напряжения теплового шума на
частотах ниже частоты столкновений
A0.29)'
где D — константа диффузии горячих носителей вне домена. Ес-
Если пренебрежем реактивной частью импеданса, формулу A0.29)
можно будет записать через сопротивление R = L/(nq\ii\A), где
\х — подвижность горячих носителей:
?. (Ю.30>
где
k) A0.31).
— эффективная шумовая температура. Важно отметить, что
Qeff не более чем удобная характеристика шума; она не соответ-
соответствует температуре популяции горячих электронов.

286 Глава 10
Далее, избыточный фактор шума генератора определяют по
формуле
M = Qeff/%, A0.32)
где стандартная температура 9о обычно считается равной 290 К.
Таким образом, согласно выражению A0.30), избыточный фак-
фактор теплового шума в генераторе Ганна имеет вид
M = qD/\\i\k%. A0.33)
Задавая для примера значения Z)=400 см2/с и | р,| =3000 см2/В-
•с, по формуле A0.33) получаем значение избыточного фактора
шума М = 5,33~7 дБ.
Простая формула A0.33) была впервые выведена Тимом
?55]. Она определяет минимальный фактор шума генератора
и позволяет объяснить, почему генератор в режиме с ограничен-
ограниченным накоплением объемного заряда потенциально меньше шу-
шумит, чем ганновский генератор с движущимися доменами: мо-
модуль подвижности по всей длине образца с однородным полем
значительно выше, чем подвижность в необедненных областях
по краям домена в ганновском диоде.
В приведенном выше упрощенном анализе шума горячих
электронов не учитывается ряд факторов, в том числе шум, свя-
связанный с образованием и ростом доменов. Робсон [47] прово-
проводит более исчерпывающее исследование шума горячих элект-
электронов в своей работе, которую он считает большим обзором
учебного характера. В частности, он рассматривает диффузию
заряда в домене и показывает, что избыточный фактор шума
зависит от угла пролета Эг, проходя через минимум, когда
6г~2я. Он также показывает, что избыточный фактор шума
быстро изменяется с изменением произведения nL. Кривая за-
зависимости шума снова проходит через минимум при определен-
определенной величине nL, которая увеличивается с увеличением уровня
смещения. (Например, при напряженности поля смещения
10 кВ/см значение nL, соответствующее минимуму М, прибли-
приблизительно равно 1011 см~2.) Вследствие диффузии минимумы М
на несколько децибел выше соответствующих минимальных
значений, вычисленных по формуле A0.33). Спустя некоторое
ьвремя после Робсона теоретические методы исследования шума
в приборах конечной длины на эффекте переноса электронов
рассматривали Констант [13] и Рис [46].
Кроме АМ-шума, тепловые флуктуации скорости горячих
носителей приводят к возникновению ЧМ-шума. Гауе с сотр.
[25] вычислили величину эффекта и нашли, что среднеквадра-
среднеквадратичное отклонение частоты составляет 1—2 Гц. Гобсон [27]
также рассматривал механизм теплового шума, влияющего на
.зарождение доменов, что обусловливает появление ЧМ-шума.

Устройства на горячих электронах 287
Полагают, что механизм, предложенный Гобсоном, является
фундаментальным ограничением на стабильность частоты ге-
генератора Ганна.
10.7.2. 1//-шум
Шум типа 1// в ганновских приборах возникает из-за наличия
ловушек на поверхности, в объеме материала образца и на
границах контактов [23]. Вполне резонно предположить, что,
усовершенствуя технологию, можно уменьшить плотность ло-
ловушек и вместе с ней 1//-шум. Котани [32] обнаружил, что ис-
использование при изготовлении диодов методов термокомпрессии
приводит к высокому уровню 1//-шума. Такая технология связа-
связана с высокими температурами и напряжениями, в результате
чего появляются дефекты решетки, которые действуют как цент-
центры захвата и, следовательно, увеличивают 1//-шум. Согласно'
Котани, ЧМ-шум значительно увеличивается из-за наличия этих
дефектов, влияющих на образование домена и скорость его пе-
переноса.
Постоянный ток (или напряжение) в ганновском генераторе
имеет 1//-шумовые флуктуации. Фолкнер и Мид [16] показали,,
что 1//-флуктуации в уровне смещения коррелированы с ЧМ-шу-
мом, причем типичная величина коэффициента корреляции со-
составляет 0,6—0,8. Мид [38] предложил теорию для объяснения,
наблюдаемого соотношения между ЧМ-шумом и 1//-шумом по-
постоянного тока. Его теория основывается на модели треугольно-
треугольного домена Бутчера, Фасета и Хилсума [6]. Подробности этой,
теории выходят за пределы данного изложения.
ЛИТЕРАТУРА
1. R. D. Baertsch A966), Noise and ionization rate measurements in silicon:
photodiodes, IEEE Trans. Elect. Dev. (Corresp.), ED—13, 987.
2. R. D. Baertsch A967), Noise and multiplication measurements in InSb ava-
avalanche photodiodes, /. Appl. Phys., 38, 4267—4274.
3. D. J. Bartelink, D. L. Scharfetter A969), Avalanche shock fronts in p—n
junctions, Appl Phys. Lett., 14, 320—323.
4. S. Baskaran, P. N. Robson A972), Noise performance of InP reflection
amplifiers in Q band, Elect. Lett., 8, 137—138.
5. G. Bjorkmann, C. P. Snapp A972), Small-signal noise behaviour of compa-
companion p+—n—p+ and p+—n—v—p+ punchthrough microwave diodes, Elect
Lett., 8, 501—503.
6. P. N. Butcher, W. Fawcett, С Hilsum A966), A simple analysis of stable
domain propagation in the Gunn effect, Brit. J. Appl. Phys., 17, 841—
850.
7. J. E. Carroll A974). Physical Models for Semiconductor Devices, Edward
Arnold, Chapter 8.
8. J. Christie, J. A. C. Stewart A975), Small-signal Baritt noise measures,,
IEEE Trans. Elect. Dev., ED—22, 836—841.

288 Глава 10 ,
9. A. S. Clorfeine, R. Ikola, L. S. Napoli A969), A theory for the high-efficiency
mode of oscillation in avalanche diodes, RCA Review, 30, 397—421.
10. D. J. Colemann, Jr. A972), Transit-time oscillations in Baritt diodes, /.
Appl. Phys., 43, 1812—1818.
11. D. Coleman, S. Sze A971), A low noise metal—semiconductor—metal (MSM)
microwave oscillator, Bell Syst. Tech. J., 50, 1695—1699.
12. J. Conradi A972), The distribution of gains in uniformly multiplying ava-
avalanche photodiodes: experimental, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—19, 713—
718.
.13. E. Constant A976), Noise in microwave, injection, transit-time and transfer-
transferred-electron devices, Physica, 83B, 24—40.
.14. W. J. Evans A969), Circuits for high-efficiency avalanche diode oscillators,
IEEE Trans. Microwave Theory and Tech., MTT—17, 1060—1067.
15. W. J. Evans A970), Computer experiments on Trapatt diodes, IEEE Trans.
Microwave Theory and Tech., MTT—18, 862—871.
16. E. A. Faulkner, M. L. Meade A968), Flicker noise in Gunn diodes, Elect.
Lett., 4, 226—227.
17. W. Fawcett, A. D. Boardman, S. Swain A970), Monte Carlo determination
of electron transport properties in gallium arsenide, /. Phys. Chem. Solids,
31, 1963—1990.
18. M. Gilden, H. E. Hines A966), Electronic tuning effects in the Read micro-
microwave avalanche diode, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 169—175.
19. H. K. Gummel, J. L. Blue A967), A small-signal theory of avalanche noise
in Impatt diodes, IEEE Trans. Elect Dev., ED—14, 569—580.
'20. J. B. Gunn A964), Microwave oscillations of current in III—V semiconduc-
semiconductors, IBM J. Res. Development, 8, 141 — 159.
'21. G. I. Haddad, P. T. Greiling, W. F. Schroeder A970), Basic principles and
properties of avalanche transit-time devices, IEEE Trans. Microwave Theory
and Tech., MTT—18, 752—772.
22. R. H. Haitz, F. W. Voltmer A966), Noise studies in uniform avalanche dio-
diodes, Appl. Phys. Lett., 9, 381—383.
23. S. Hashiguchi, T. Ohkoshi A971), Determination of equivalent circuit para-
parameters describing noise from a Gunn oscillator, IEEE Trans. Microwave
Theory and Tech., MTT—19, 686—691.
24. H. A. Haus, H. Statz, R. A. Pucel A971), Noise measure of metal—semicon-
metal—semiconductor—metal Schottky-barrier microwave diodes, Elect. Lett., 7, 667—668.
25. H. A. Haus, H. Statz, R. A. Pucel A973), Noise in Gunn oscillators, IEEE
Trans. Elect. Dev., ED—20, 368—370.
26. M. E. Hines A966), Noise theory for the Read type avalanche diode, IEEE
Trans. Elect. Dev., ED—13, 158—163.
27. G. S. Hobson A967), Source of F. M. noise in cavity controlled Gunn-effect
oscillators, Elect. Lett., 3, 63—64.
28. R. L. Johnson, В. С De Loach, B. G. Cohen A965), A silicon microwave
diode oscillator, Bell Syst Tech. J., 44, 369—372.
29. B. Kallback A972), Noise properties of the injection limited Gunn diode,
Elect. Lett, 8, 476—477.
30. B. Kallback A973), Noise performance of GaAs and InP injection limited
diodes, Elect. Lett., 9, 11—12.
31. C. Kittel A970), Introduction to Solid State Physics, 4th edition, Wiley.
32. M. Kotani A976), Design fabrication of low noise Gunn diodes with consi-
consideration of a thermocompression bonding effect, IEEE Trans. Elect Dev
ED—23, 567—572.
33. R. L. Kuvas A972), Noise in Impatt diodes: intrinsic properties, IEEE Trans
Elect. Dev., ED—19, 220—233.
34. W. A. Lukaszek, A. van der Ziel, E. R. Chenette A976), Investigation of the
transition from tunnelling to impact ionization multiplication in silicon p—n
junctions, Solid State Elect., 19, 57—71.

Устройства на горячих электронах 289
35. J. Magarshack, A. Rabier, R. Spitalnik A974), Optimum design of Т. Е.
amplifier devices in GaAs, IEEE Trans. Elect. Dev.t ED—21, 652—654.
36. R. K. Mains, N. A. Masuari, G. I. Haddad A980), Theoretical investigations
of Trapatt amplifier operation, IEEE Trans. Microwave Theory and Tech.,
MTT—28, 1070—1076.
37. R. J- Mclntyre A966), Multiplication noise in uniform avalanche diodes,
IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 164—168.
38. M. L. Meade A971), Relationship between F. M. noise and current noise in
a cavity-controlled Gunn effect oscillator, The Radio and Elect. Eng.t 41,
126—132.
39. H. Melchior, L. K. Anderson A965), Noise in high speed avalanche photo-
diodes, presented at the 1965 Int. Electron. Devices Meeting, Washington,
D. С
40. H. Melchior, W. T. Lynch A966), Signal and noise response of high speed
germanium avalanche photodiodes, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 829—
838.
41. T. Misawa A971), Semiconductors and semimetals, Vol. 7 (ed. R. K. Wil-
lardson and A. C. Beer), Academic Press, Chapter 7.
42. H. Okamoto A975), Noise characteristics of GaAs and Si Impatt diodes for
50-GHz range operation, IEEE Trans. Elec. Dev., ED—22, 558—565.
43. B. S. Perlmann, C. L. Upadhyayula, R. Marx A970), Wide band reflection
type transferred electron amplifiers, IEEE Trans. Microwave Theory and
Tech., MTT—18, 911—922.
44. H. J. Prager, K. K. N. Chang, S. Weisbrod A967), High power, high
efficiency silicon avalanche diodes at ultra high frequencies, Proc. IEEE,
55, 586—587.
45. W. T. Read A958), A proposed high frequency negative resistance diode,
Bell Syst. Tech. J., 37, 401—446.
46. H. D. Rees A977), Intrinsic noise of transferred-electron amplifiers, Solid
State and Elect. Dev., 1, 165—179.
47. P. N. Robson A974), Low-noise microwave amplification using transferred-
electron and baritt devices, The Radio and Elect. Eng., 44, 553—567.
48. R. L. Rulison, G. Gibbons, J. G. Josenhans A967), Improved performance of
Impatt diodes fabricated from Ge, Proc. IEEE (letters), 55, 223—224.
49. W. Shockley, J. A. Copeland, R. P. James A966), The impedance field method
of noise calculation in active semiconductor devices, in Quantum Theory of
Atoms, Molecules, and the Solid State, Academic Press, New York, pp. 537—
563.
50. J. E. Sitch, P. N. Robson A976), Noise measure of GaAs and InP transfer-
transferred electron amplifiers, IEEE Trans. Elect. Dev.t ED—23, 1086—1094.
51. A. Sjolund A972), Small-signal noise analysis of p+—n—p+ Baritt diodes,
Elect. Lett. 9 2 4
52. H. Statz, "r.'a. Pucel, H. A. Haus A972), Velocity fluctuation noise in
metal—semiconductor—metal diodes, Proc. IEEE (letters), 60, 644—645.
53. S. M. Sze, D. J. Coleman Jr., A. Large A971), Current transport in metal—
semiconductor—metal (MSM) structures, Solid State Elect., 14, 1209—
1218.
54. A. S. Tager A964), Current fluctuations in a semiconductor under the con-
conditions of impact ionization and avalanche breakdown, Fiz. Tver. Tela., 6,
2418—2427; translation in Sov. Phys. —Solid State, 6, 1919—1925 A965).
55. H. W. Thim A971), Noise reduction in bulk negative resistance amplifiers,
Elect. Lett., 7, 106—108.
56. H. Thim, M. Barber A966), Microwave amplification in a GaAs bulk semi-
semiconductor, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—13, 110—114.
57. K. M. van Vliet, L. M. Rucker A978), Theory of avalanche noise, in Noise
in Physical Systems, Proc. of the 5th International Conference on Noise,

290 Глава 10
Bad Nauheim, Fed. Rep. of Germany, March 13—16, 1978 (ed. D. Wolf),
pp. 333—336.
58. K. M. van Vliet, L. M. Rucker A979), Theory of carrier multiplication and
noise in avalanche diodes — part 1: one carrier processes, IEEE Trans. Elect.
Dev., ED—26, 746—751.
59. K. P. Weller A973), A study of millimetre-wave GaAs Impatt oscillator and
amplifier noise, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—20, 517—521.
60. K. P. Weller, A. B. Dreeben, H. L. Davis, W. M. Anderson A974), Fabrica-
Fabrication and performance of GaAs p+—n junction and Schottky-barrier millimetre
Impatt's, IEEE Trans. Elect. Dev., ED—21, 25—31.

II
Квантовая механика и шумы
11.1. Введение
Рабочие частоты многих электронных устройств заключены
в СВЧ-диапазоне или ниже, а рабочие температуры 8 находят-
находятся гораздо выше криогенных температур. В этих условиях квант
энергии hf (где h — постоянная Планка; / — частота) много
меньше тепловой энергии kQ и квантовые эффекты оказывают
незначительное влияние на шумы в системе. Тогда спектраль-
спектральная плотность «низкочастотного высокотемпературного» флук-
туационного напряжения тепловых шумов на сопротивлении R
дается классической формулой Найквиста
SJtij = mRy A1.1)
которая не зависит от постоянной Планка.
При высоких частотах и(или) низких температурах кванто-
квантовыми эффектами пренебрегать уже нельзя. В этой ситуации мо-
может выполняться условие hf^kQ и необходимо обратиться
к квантовой статистике, чтобы описать шумы. В результате
спектральная плотность флуктуации напряжения на сопро-
сопротивлении описывается выражением, являющимся обобщенным
вариантом выражения A1.1). Это выражение содержит посто-
постоянную Планка и переходит в приведенную выше формулу при
выполнении условия /if<С^Э. Квантовомеханическая форма вы-
выражения A1.1) пригодна для анализа тепловых шумов в мазе-
мазерах и лазерах, как это описано в разд. 11.6. (Она также важна
при рассмотрении шумов в приборах на основе джозефсонов-
ских контактов. Ввиду уникальности физических характеристик
джозефсоновские устройства не включены в настоящую главу
и рассматриваются отдельно в гл. 12.)
Аргументы квантовой механики приводят не только к моди-
модификации «классической» теоремы Найквиста, но и к глубокому
выводу о том, что все линейные усилители должны обладать
некоторым шумом. Существование квантового предела для шу-
шумов усилителя можно понять, используя понятие нулевой энер-
энергии гармонического осциллятора, поскольку оно является осно-
основой для получения квантового варианта уравнения A1.1). Од-
Однако понятие нулевой энергии является частным следствием
принципа неопределенности, представляющего собой общий

292 Глава 11
квантовомеханический принцип без ограничений на модели или
системы, к которым он применяется. Поэтому можно использо-
использовать принцип неопределенности, чтобы доказать с наиболее об-
общей точки зрения, что существует фундаментальный, квантово-
квантовомеханический нижний предел для шумов, которыми может об-
обладать линейный усилитель. Так оно и есть на самом деле. Ар-
Аргументы в пользу этого положения представлены в разд. 11.3
сразу после предварительного обсуждения самого принципа не-
неопределенности, приведенного ниже.
11.2. Принцип неопределенности
Движение частицы можно описать на классическом языке,
используя ее координаты и импульс. Можно предсказать буду-
будущее состояние частицы, основываясь на детерминистских зако-
законах динамики. В квантовой механике ситуация иная. Здесь не-
невозможно определить одновременно две наблюдаемые величи-
величины, такие, как момент р и координату х частицы с точностью,
лучшей, чем следует из принципа неопределенности Гейзенбер-
га. Согласно этому принципу, если Др и Ах— неопределенности
в измерениях величин р и ху то
ApAx^h/4n. A1.2)
Неопределенность в переменной г, изображаемая символом Дг,
может быть представлена как среднеквадратичное отклонение
от среднего значения переменной, найденное из серии измере-
измерений, т.е. Az — сокращенное обозначение среднего у 6г2, где
bz — отклонение от среднего в единичном измерении. Пары ве-
величин, которые подчиняются принципу неопределенности, изве-
известны как сопряженные переменные. Примером другой сопря-
сопряженной пары могут служить энергия системы Е и время t, в те-
течение которого она обладает этой энергией. Неопределенность
для этих величин выражается неравенством
AEAt^h/4n. A1.3)
Хотя принцип неопределенности описывает квантовомехани-
ческое явление, он имеет классический аналог [4], который мо-
может дать интуитивное представление о написанных выше нера-
неравенствах. Рассмотрим гармонический сигнал с угловой часто-
частотой соо, который ограничен интервалом (—Г/2, Т/2) так, чтобы
получился импульс x(t), изображенный на рис. 11.1, а. Предпо-
Предположим, что этот импульс был получен в результате измере-
измерения и что мы хотим определить время прибытия и частоту гар-
гармонического сигнала.

Квантовая механика и шумы
293
а
Рис. 11.1.
а — гармонический сигнал, ограниченный интервалом (—Г/2, Т/2); 6 — преобразование
Фурье.
Если
при
772,
A1.4)
О в остальных случаях,
то фурье-преобразованием x(t) является функция
Т/2
sin [(со + соо) Г/2]
(со + соо)
(И.5)
Х(/о))= \ cosoyexp—j(utdt =
—Г/2
= sin [(со — соо)Г/2]
(со — соо)
Для круговых частот вблизи значения соо второй член в правой
части выражения A1.5) пренебрежимо мал и функция X (/со)
хорошо аппроксимируется выражением
Х(ко) = 5И(со-соо)Г/2] A j 6)
(со — соо) '
график которого представлен на рис. 11.1,6 как функция от ар-
аргумента (со—©о). Кривая обладает главным максимумом при
о)=соо, показывая, что основные спектральные компоненты сиг-
сигнала группируются вокруг частоты гармонической волны. Одна-
Однако пик имеет конечную ширину, делающую невозможным точ-

294 Глава И
ное определение частоты гармонического сигнала. Иными сло-
словами, ширина пика создает неопределенность в измерении ча-
частоты.
Мерой неопределенности является полуширина пика До) меж-
между первыми двумя нулями по обе стороны от значения соо
A1.7)
Поскольку величина А© обратно пропорциональна длительно-
длительности импульса Г, то «размывание» по частоте уменьшается при
увеличении времени наблюдения. Однако длительность импуль-
импульса устанавливает меру неопределенности во времени его прибы-
прибытия, которое можно уменьшить, если пожертвовать информа-
информацией о частоте. Очевидно, что уравнение A1.7) является формой
соотношения неопределенности, которое имеет место незави-
независимо от каких-либо квантовомеханических представлений. Од-
Однако его можно выразить в тех же самых переменных, что и
уравнение A1.3), если ввести постоянную Планка и сформули-
сформулировать неопределенности в виде
t = Ty A1.8)
где АЕ и At— неопределенности энергии и времени прибытия.
В результате комбинации этих условий с уравнением A1.7) по-
получаем соотношение
AEAt = h, A1.9)
которое, очевидно, согласуется с неравенством в принципе неоп-
неопределенности Гейзенберга.
11.3. Квантовый предел для шума
усилителя
Электромагнитное излучение проявляет дуализм в своем по-
поведении, оказываясь по характеру то корпускулярным (как
в фотоэлектрическом эффекте), то волноподобным (как в явле-
явлениях интерференции). Смысловой аспект этого «раздвоения»,
наблюдаемого на практике, целиком зависит от проводимого
эксперимента. Вообще говоря, было бы значительно проще
описывать все эксперименты, связанные с электромагнитным
излучением исключительно либо с корпускулярной, либо с вол-
волновой точки зрения, однако это невозможно. Необходимость
использования дуального представления является общепризнан-
общепризнанной.
Корпускулярное описание поля было предложено Эйнштей-
Эйнштейном [2], который ввел кванты энергии (или фотоны) электро-
электромагнитного поля. Согласно Эйнштейну, общая энергия Е поля

Квантовая механика и шумы 295
излучения на частоте / определяется выражением
E = nhf, A1.10)
где п — полное число фотонов в поле, каждый из которых обла-
обладает энергией hf. Принимая во внимание уравнение A1.10)
и корпускулярное описание, предположим теперь, что поле рас-
рассматривается как волна, для которой можно ввести фазу
A1.11)
Таким образом, мы имеем два уравнения, каждое из кото-
которых отражает различные аспекты характера поля. Одно из этих
уравнений содержит энергию Е, другое — время t. Как мы уже
видели, эти две величины являются сопряженной парой, удов-
удовлетворяющей принципу неопределенности, выраженному урав-
уравнением A1.3). Записывая выражения
A1.12)
Дф = 2nfAt,
получаем
ДлДф>1/2. A1.13)
Этот результат отражает дуальный характер поля излучения,
показывая, что измерения, основанные на корпускулярном и
волновом представлениях поля, не являются независимыми:
информация об одном из них получается за счет информации
о другом.
Принцип неопределенности в виде выражения A1.13) мож-
можно использовать для установления квантового предела шумов
линейного усилителя [7]. Удобно провести доказательство при-
применительно к мазеру, название которого рассматривается здесь
как обобщенный термин, употребляемый для обозначения уст-
устройств, усиливающих излучение при прохождении его через воз-
возбужденную молекулярную среду за счет индуцированного из-
излучения, в том числе лазеров, иразеров и т. д. Для настоящего
рассмотрения достаточно оставить пока в стороне микроскопи-
микроскопическую картину работы мазера, речь о которой пойдет в сле-
следующей главе, и сконцентрировать внимание на простой моде-
модели, изображенной на рис. 11.2. Падающее излучение, имеющее
спектральную плотность Si, проходит через поглощающий ма-
материал толщиной L (изображающий мазер) и выходит со
спектральной плотностью
S2 = Sxexp(—oL), A1.14)
Где а — коэффициент поглощения на частоте излучения. Если
мазер функционирует как усилитель, величина а будет

296
Глава 11
отрицательной и интенсивность на выходе превосходит интен-
интенсивность на входе, т. е. система обеспечивает усиление. Тогда
количества фотонов П\ и Яг, появляющихся соответственно на
входе и выходе системы в течение данного времени, связаны
соотношением
n2 = Gnlf A1.15)
где G>1 — коэффициент усиления по мощности. Поскольку уси-
усиление является когерентным процессом, фазы на входе и выхо-
Рис. 11.2. Прохождение электромаг-
электромагнитного излучения через поглощаю-
поглощающую среду толщиной L.
Рис. 11.3. Усилитель с коэффициент
том усиления G и «идеальный» де-
детектор.
де ф1 и <р2 равны или отличаются на постоянный фазовый
сдвиг ф0:
Ф2 = ф1 + Фо- A1.16)
Предположим теперь, что после усилителя включен детектор
(рис. 11.3), который является «идеальным» в том смысле, что
он наилучший из возможных в пределах ограничений, налагае-
налагаемых принципом неопределенности. Таким образом, детектор
обеспечивает измерение числа фотонов /Хг и фазы ф2 поля излу-
излучения на выходе усилителя с ошибкой, определяемой соотноше-
соотношением неопределенности
Дп2Аф2=1/2. A1.17)
Следовательно, если бы усилитель не имел собственных шумов,
ошибки измерения числа фотонов и фазы на входе удовлетворя-
удовлетворяли бы условию
Лп1Дф1=A/С)ДАг2Аф2 = A/2)С A1.18)
Это невозможно, поскольку противоречит принципу неопре-
неопределенности, а следовательно, гипотеза о том, что усилитель не
имеет собственных шумов, несправедлива. Усилитель должен

^ Квантовая механика и шумы 297
вводить некоторую неопределенность в измерение, или, други-
другими словами, он всегда будет иметь шумы.
Хотя такое рассуждение устанавливает существование ми-
минимального уровня шума в усилителе, оно не позволяет оценить
этот уровень. Однако такую оценку можно получить, используя
дополнительное условие согласования усилителя с детектором.
Тогда уровень квантовых флуктуации поля излучения [5] по-
получается как условие минимального шума. Из расчетов, приве-
приведенных в приложении 7, следует, что минимальная мощность
шума на выходе усилителя, определенная в полосе частот df
около сигнальной частоты /0, описывается формулой
bPu*H = (G-l)hW. A1.19)
Относя ее iko входу, т. е. разделив на коэффициент усиления G,
получаем, что в пределе большого G минимальная обнаружи-
обнаруживаемая мощность сигнала составляет hfodf.
Этот вывод представляет интерес в связи с тем, что мощ-
мощность шума, генерируемая сопротивлением (как показано в сле-
следующем разделе), в пределе низких температур равна
(l/2)hfdf, так как она связана с энергией нулевых колебаний.
Энергия нулевых колебаний не наблюдается, поскольку она
в 2 раза ниже минимально регистрируемого уровня. Напротив,
в «классическом» пределе мощность генерируемых шумов на-
наблюдается всегда, по крайней мере в принципе. Тем не менее,
когда существенны квантовые эффекты, усилитель сам являет-
является объектом квантовомеханического рассмотрения и устанавли-
устанавливает нижний предел регистрируемой мощности на входе.
Рассуждение, приведенное выше, является довольно общим
в том смысле, что оно применимо к любому линейному усили-
усилителю, который описывается уравнениями A1.15) и A1.16). При-
Примером такого «совершенного» устройства является мазер; теоре-
теоретически минимальная обнаруживаемая мощность на входе ма-
мазера точно описывается выражением 11.19, которое, как мы
видим, дает наилучший достижимый результат. Принцип дейст-
действия мазера и механизмы шумов, возникающих в нем, будут об-
обсуждаться в разд. 11.5 и 11.6.
11.4. Теорема Найквиста и квантовая
механика
В своем рассмотрении теплового шума Найквист [9] вос-
воспользовался приемом, заключающимся в анализе обмена энер-
энергией между двумя электрическими проводниками, соединенными
идеальной передающей линией без потерь и находящимися в со-
состоянии равновесия при температуре 6. Используя теорему О)

298 Глава 11
равнораспределении, согласно которой на каждую степень сво-
свободы приходится энергия &8, мы приходим к выражению A1.1)
для флуктуации напряжения на сопротивлении R (см. приложе-
приложение 2). Если квантовыми эффектами можно пренебречь, т.е. ча-
частота и температура таковы, что квант энергии hf много меньше
тепловой энергии kQ, то справедлива теорема Найквиста. Напро-
Напротив, если hf^kQ, необходимо воспользоваться обобщенной фор-
формой теоремы.
Найквист сам указал на это обстоятельство и предположил,
что вместо энергии kQ, используемой в теореме о равнорас-
равнораспределении, в общем виде средняя энергия, приходящаяся на
степень свободы, должна описываться выражением
hf
-которое переходит в ?6, если Я/<С?Э. Это — средняя энергия гар-
гармонического осциллятора без учета члена, связанного с энер-
энергией нулевых колебаний A/2) hf. При его учете спектральная
плотность флуктуации напряжения выражается в обобщенной
форме
ш=4* {4- ь/+[ехр(/Д-ц} -2Rhf ch mkQ)' A1 -20)
которая сводится к известной формуле Найквиста A1.1), когда
можно пренебречь квантовыми эффектами. Из уравнения
A1.20), как легко показать, следует, что номинальная мощ-
мощность шума, приходящаяся на интервал частот df, описывается
•формулой
Некоторые сомнения о включении члена с нулевой энергией
в уравнения A1.20) и A1.21) высказывались Мак-Дональдом
[8], который указал, что его присутствие предполагает в прин-
принципе возможность извлечения энергии из флуктуации в преде-
пределе абсолютного нуля, что является неприемлемым.
Казалось бы, довод Мак-Дональда представляет серьезное
препятствие для включения члена с нулевой энергией в выра-
выражение для теплового шума. Но он основывается на понятии
мощности, выделяемой в согласованной нагрузке, которая ин-
интерпретируется в «классическом» смысле, т. е. предполагается,
что флуктуации подаются в нешумящую нагрузку. Однако в
случае, когда важна конечная величина Л, нагрузка (как и ис-
источник) является объектом квантовой природы и обязательно ге-

Квантовая механика и шумы 299
нерирует шум. Существование нижнего квантового предела для
шума в системе рассматривалось для случая линейного усилите-
усилителя в разд. 11.3. В низкотемпературном пределе это обусловли-
обусловливает компенсацию потока мощности шума от сопротивления
источника в нагрузку равным, но противоположным потоком от
нагрузки к источнику. Таким образом, энергия нулевых флук-
флуктуации сопротивления источника ненаблюдаема, не существует
никакой возможности выделить чистый поток шумовой мощно-
мощности от прибора, который мог бы использоваться, например, для
приведения в движение другой системы. Этот аргумент подчер-
подчеркивает важный фундаментальный принцип квантовой механики:
поведение физической величины может быть определено, если
только принят во внимание способ, посредством которого она
наблюдается.
Очевидно, что включение члена с нулевой энергией в вы-
выражение, подобное уравнению A1.20), описывающее спонтан-
спонтанные флуктуации, не подразумевает физически несостоятельное
поведение в низкотемпературном пределе. Следует заметить, что
это заключение не умаляет значения проблемы, поднятой Мак-
Дональдом в начале 1960-х гг., и что в его статье поставлено
много интересных вопросов, касающихся применения квантовой
механики к проблемам, включающим тепловой шум, броунов-
броуновское движение и необратимость,
Из обсуждения пока что следует, что член с нулевой энер-
энергией включается в выражение для шума, что называется «с по-
потолка». Тот факт, что это не приводит к нежелательным по-
последствиям при нулевой температуре, не доказывает необходи-
необходимость его введения. Общее доказательство справедливости
уравнения A1.20) было дано Калленом и Вельтоном [1] на
основе расчета испускания и поглощения квантов энергии элек-
электронами в сопротивлении. Это доказательство интересно тем,
что оно не опирается на произвольное введение члена с нуле-
нулевой энергией, и не делается никаких ссылок на понятие нуле-
нулевой энергии, хотя в окончательном результате появляется член
< 1/2)/if.
В большинстве практических задач влияние нулевой энер-
энергии на шум не проявляется. Однако при расчете теплового шу-
шума в мазере важно учитывать член с нулевой энергией, по
крайней мере при теоретическом анализе, так как в этом случае
результат допускает простую физическую интерпретацию
(разд. 11.6) Что касается измерений спектральной плотности
теплового шума в области, где необходимо применять кванто-
квантовые модификации теоремы Найквиста, то они в настоящее вре-
время автору не известны. Ситуация может измениться благодаря
проводимым в Университете шт. Флориды i[13] экспериментам
с радиочастотным контуром типа Ханбури—Брауна — Твисса,

300 Глава 11
работающим на частоте 100 кГц. Их целью является измерение
теплового шума при условии hf^kQ и обеспечение, таким обра-
образом, экспериментального исследования формы его спектральной
плотности в случае, когда нельзя пренебречь квантовыми эф-
эффектами.
11.5. Поглощение и испускание излучения
веществом
Работа мазера основана на взаимодействии электромагнит-
электромагнитного излучения со средой, при котором происходит заполнение
атомами или молекулами по крайней мере двух энергетичес-
энергетических уровней. Чтобы исключить двусмысленность, предположим,
что активная среда состоит только из молекул. В мазере вы-
вынужденное излучение возникает при переходе молекулы с верх-
верхнего энергетического уровня на нижний под воздействием пер-
первичного излучения. Этот (механизм ответствен за процесс уси-
усиления. Он является существенно квантовым по своей природе,
не допускающим прямой классической интерпретации. С этой
точки зрения действие мазера довольно необычно в том смыс-
смысле, что является макроскопическим проявлением квантовых яв-
явлений.
Между энергетическими уровнями системы существуют три
типа радиационных переходов: уже упомянутое вынужденное
излучение, спонтанное излучение и поглощение. (Возможны
также безызлучательные переходы, при которых возбуждаютсй
колебания решетки или фононы, но они не имеют отношения
к настоящему рассмотрению.) Два последних процесса дают
вклад в шум мазера, так как представляют собой случайные,
независимые переходы между уровнями. Они ответственны за
внутренние тепловые шумы в системе. Как будет показано
в разд. 11.6.1, выражение для спектральной плотности теплово-
теплового шума содержит два члена, один из которых можно связать
со спонтанным излучением, другой — с поглощением. Прежде
чем детально исследовать шум, полезно кратко рассмотреть фи-
физические принципы работы мазера на основе понятий, введен-
введенных Эйнштейном.
11.5.1. Обмен энергией в двухуровневой системе
Для простоты предположим, что отдельная молекула харак-
характеризуется двумя энергетическими состояниями с энергиями Ех
и Е2. На рис. 11.4 представлена двухуровневая система с Е2>
>Е\. Переход на нижний уровень сопровождается излучением

Квантовая механика и шумы 301
на определенной частоте /i2, удовлетворяющей условию
?2-?1 = /г/12, A1.22)
где h — постоянная Планка. Теперь рассмотрим большое чис-
число N таких молекул, содержащихся в заданном объеме, часть
их находится в нижнем энергетическом состоянии, остальные —
е верхнем. Если N\ и N2 — число молекул, находящихся соот-
соответственно в нижнем и верхнем состояниях, то
N = N±+N2 = constant, A1.23)
и чтобы заселенность уровней соответствовала тепловому рав-
равновесию с окружающей средой при абсолютной температуре 0,
Рис. 11.4. Уровни энергии двухуровневой системы.
относительное число молекул в двух состояниях должно описы-
описываться следующим выражением:
N2/Nx = ехр - {(Е2-Ег)/Щ. A1.24)
{Этот результат для классических систем был получен Больц-
маном. Он вполне подходит для нашей цели, хотя в других об-
обстоятельствах может возникнуть необходимость его замены
статистикой либо Бозе — Эйнштейна, либо Ферми — Дирака.)
Условие теплового равновесия поддерживается благодаря
непрерывному обмену энергией с окружающей средой. Если
предположить, что эта энергия существует в форме излучения
и ансамбль молекул помещен в поле излучения, то обмен мо-
может происходить только на частоте /12, соответствующей разно-
разности энергий Е2—Е\. Следовательно, уравнение A1.24) можно
переписать в измененной форме
NJNX = ехр — (hfJkS). A1.25)
При тепловом равновесии число молекул, находящихся
S каждом из двух энергетических состояний, остается статисти-
статистически постоянным: в среднем не может быть накопления или
истощения их на любом из уровней. Это означает, что, за ис-
исключением статистических флуктуации, суммарное число пе-
переходов между двумя уровнями равно нулю, т. е. среднее число
переходов вверх за единицу времени точно компенсируется

302 Глава Л
средним числом переходов вниз. Такое поведение иллюстрирует
общие условия, известные как принцип детального равнове-
равновесия '[10], требующий, чтобы суммарное число переходов между
любой парой энергетических уровней в системе тождественно
равнялось нулю. (Заметим, что в системе с тремя и более уров-
уровнями это условие сильнее любого другого, налагаемого термо-
термодинамикой.)
Обозначим через С\ вероятность за единицу времени перехо-
перехода данной молекулы из нижнего энергетического состояния
в верхнее, а через С\—аналогичную вероятность для перехода
из верхнего состояния в нижнее. Чтобы удовлетворить принци-
принципу детального равновесия, должно выполняться условие
которое свидетельствует о равенстве числа переходов вниз и
вверх. Отметим, что из уравнения A1.25) следует N2<iNu по-
поэтому должно выполняться условие С) <С^. Следуя Эйнштей-
НУ [3], его можно записать в более удобной форме
С^ =Р12 = B12SR(co12) d/, A1.27a>
Ci = P2i+Aji = B2iSR Кг) df-\-A21, A1.27б>
где А и В — коэффициенты Эйнштейна; они могут зависеть or
частоты. Их величина также определяется типом молекулы и
выбранной парой уровней, между которыми осуществляется пе-
переход. А2\ — коэффициент спонтанного излучения; В\2 и В2Х —
соответственно коэффициенты вынужденного излучения и по-
поглощения. Заметим, что соответствующие вероятности Р\*
и Р21 пропорциональны мощности излучения SR((O\2)df в частот-
частотном интервале df около частоты fi2 = ODi2l2n. Эйнштейн указал
на важное обстоятельство: так как система находится в тепло-
тепловом равновесии, поле излучения подобно излучению черного
тела с плотностью энергии, определяемой законом Планка
где % = h/2n; pm — объемная плотность мод излучения в преде-
пределах единичного частотного интервала
A1.286)
В этом выражении с — скорость света.
Интересно остановиться на постулированных Эйнштейном
свойствах вероятностей переходов, введенных в уравнениях
A1.27). Член Pi2, описывающий поглощение, пропорционален

Квантовая механика и шумы 30&
плотности энергии излучения или (что эквивалентно) числу фо~
нонов в поле с частотой fi2. Интуитивно, это кажется разумным,,
так как чем больше присутствует фотонов, тем больше воз-
возможностей для их перехода на верхний уровень в течение дан-
данного промежутка времени. Но, если принять этот довод, тогда
процесс испускания фотонов также должен зависеть от интен-
интенсивности излучения, иначе было бы невозможно поддержи-
поддерживать тепловое равновесие. Этим объясняется наличие члена,,
описывающего вынужденное излучение. Как показано ниже,,
член, отвечающий за спонтанное излучение, необходим для
удовлетворения неравенства между С \ и С|.
Из уравнений A1.26) и A1.27) получаем
= [B21SR (co12) df+А21] N2. A1.29)
В пределе высоких температур Sr—>оо и N2/N1—*1, из чего>
следует, что
В12 = В21У A1.30а>
т.е. вероятности поглощения и вынужденного испускания оди-
одинаковы. Так как С|>С|,Л21>0. Из написанных выше двух
уравнений получаем для А2\ следующее выражение:
-30б>
Из уравнения A1.306) следует, что коэффициенты Л и В не
являются независимыми, их отношение изменяется по закону
куба частоты.
Уравнения A1.30) позволяют вычислить не только относи-
относительные, но и абсолютные значения коэффициентов А и В^
а следовательно, вероятности переходов вверх и вниз остают-
остаются неопределенными. Ситуацию можно прояснить, если экспе-
экспериментально измерить либо коэффициент А, либо В. Прямое
измерение коэффициента спонтанного излучения можно, напри-
например, осуществить, измеряя скорость перехода молекул из верх-
верхнего состояния, после того как система была возбуждена внеш-
внешним источником монохроматического излучения на частоте /12.
Наблюдаемое при этом послесвечение носит экспоненциальна
затухающий характер с постоянной времени, равной А2Г1, как
это легко установить, составляя уравнения для скоростей,
с которыми изменяется число молекул, находящихся на обоих
уровнях. Обычно постоянная времени имеет порядок 10 не. При
использовании обычной электронной аппаратуры измерение та-
такой величины представляет некоторые трудности.
Описанная выше двухуровневая система является простей-
простейшей из возможных многоуровневых систем. На практике в ма«-

•304 Глава 11
зере обычно используются три и более уровней, так проще и
удобнее осуществить инверсную заселенность, хотя и имеется
возможность достигнуть необходимых условий только с двумя
уровнями, как это было продемонстрировано в первом аммиач-
аммиачном мазере, описанным Гордоном с сотр. [6] и Шимодой
с сотр. [11].
Сложность, с которой иногда встречаются на практике, за-
заключается в том, что одинаковую энергию имеют два или бо-
более квантовых состояний. Такие системы называются вырож-
вырожденными. При анализе системы в соответствующем месте дол-
должен быть введен фактор вырождения. Это приводит к количе-
количественным изменениям, но физическая сущность явлений,
описанных выше, остается прежней.
11.5.2. Принцип действия мазера
Уравнение A1.24) показывает, что в состоянии равновесия
нижний уровень всегда более заселен, чем верхний. Из этого
с очевидностью следует, что член, описывающий поглощение
в левой части уравнения A1.29), больше члена, описывающего
вынужденное излучение в правой. Действительно, для уровней,
разделенных по энергии, составляющей несколько kQ или бо-
более, равновесное вынужденное излучение незначительно по
сравнению с двумя другими процессами перехода. Ситуация
может быть изменена на противоположную с сильным эффек-
эффектом посредством процесса, называемого накачкой. Существует
много способов практического осуществления накачки, но мы
не будем вдаваться в детали. Важно, что можно достигнуть ра-
радикального изменения заселенности уровней, так что при оп-
определенных обстоятельствах будет удовлетворяться условие
N2>N\, представляющее собой условие инверсной населенности.
Хотя теперь система больше не является равновесной, заселен-
заселенность уровней может быть описана аналогично уравнению
A1.24) введением температуры — Эт
Конечно, Qm является не реальной температурой системы,
а только параметром, характеризующим заселенность ее уров-
уровней. Заметим, что если величина Qm—бесконечна, то система
находится в пороговом состоянии инверсной населенности с рав-
равным числом молекул на обоих уровнях, а если 8т = 0, то все мо-
молекулы находятся в верхнем состоянии, а нижнее остается пу-
пустым.
Когда достигается инверсная населенность, энергия, испус-
испускаемая в виде вынужденного излучения, превышает энергию,

Квантовая механика и шумы 305
поглощаемую в системе. Из этого вытекает предельно простое,
но чрезвычайно важное следствие. Если слабый гармонический
сигнал в виде поля излучения с частотой fi2 вводится в систе-
систему, то он вызовет большое число переходов, каждый из которых
«вложит» в поле фотон с частотой fi2. Таким образом, система
действует как усилитель. Более того, так как каждый переход
вниз добавляет фиксированное количество энергии в существу-
существующее поле излучения, фаза испускаемого излучения должна
совпадать с фазой входного сигнала. (Это можно легко пояс-
пояснить, если рассмотреть сложение двух синусоидальных волн
с одинаковыми частотами, но различными фазами. Результирую-
Результирующая интенсивность является функцией разности фаз, как из-
известно из опытов по интерференции. Поэтому в мазере все ком-
компоненты поля излучения должны иметь одну и ту же фазу, если
каждая вносит в поле одинаковую энергию.) Важность фазовой
когерентности выходного сигнала нельзя переоценивать. С по-
появлением мазера впервые стали доступны источники когерент-
когерентного излучения с высокой интенсивностью. Вслед за этим
нашли широкое применение оптические мазеры (или лазеры).
Примером такого применения является голография, для кото-
которой фазовая когерентность является существенным требова-
требованием. Прогресс, который достигнут в этой области к настояще-
настоящему времени, при отсутствии лазеров был бы невозможен.
11.6. Шумы мазера
Основными шумами в мазере являются тепловой и дробовой
шумы. Первый возникает благодаря случайным флуктуациям,
связанным со спонтанным излучением и поглощением, и суще-
существен, когда мазер работает в режиме, близком к порогу инверс-
инверсной населенности. Если населенность значительно превышает
пороговую, испускаемое излучение обладает пуассоновской ста-
статистикой, и преобладающим является дробовой шум выходяще-
выходящего потока фотонов.
11.6.1. Тепловой шум
Находясь в состоянии ниже порога инверсной населенности,
активная среда мазера, внесенная в поле излучения с частотой
f 12, поглощает энергию поля. Так как диссипация энергии ха-
характеризуется активным сопротивлением материала, мазеру
можно сопоставить эквивалентный элемент электрической це-
цепи— проводимость Gmas или в другом представлении сопротив-
сопротивление Gmas. Но любое сопротивление, находящееся в тепловом
равновесии с термостатом при абсолютной температуре 8, яв-
является источником теплового шума, спектральная плотность
которого в общем случае описывается квантовой обобщенной

306
Глава 11
теоремой Найквиста. Таким образом, выражение для спектраль-
спектральной плотности теплового шума в мазере имеет вид
K2) = 4Gmas
A1.32)
где cdi2==2:jt/i2 — угловая частота, соответствующая разности
энергий между двумя активными уровнями в системе. Для
дальнейших вычислений необходимо выразить Gmas через пара-
параметры мазера.
А
is(t)
п
Рис. 11.5. Эквивалентная схема мазера.
Источник сигнала представлен в виде генератора тока is(t) с внутренней проводимостью
Gs; А, А' — вход передающей линии, связывающей источник сигнала с активной средой.
Предположим, что активная среда мазера, состоящая из
молекул с двумя энергетическими состояниями, связана с ис-
источником сигнала, обладающим внутренней проводимостью Gs.
Связь осуществляется через согласованную с источником пере-
передающую линию, не имеющую потерь. На рис. 11.5 представле-
представлена эквивалентная схема полной системы. (В действительности
могут понадобиться и другие элементы, например циркулятор,
но они не существенны для данного рассмотрения.) Точками А
и Л' на рисунке изображен вход передающей линии, входная
проводимость которой является действительной величиной, рав-
равной внутренней проводимости источника Gs. Простой анализ
цепи показывает, что энергия, поглощенная в мазере, т. е.
в проводимости Gmas, описывается формулой
* яЬч === J
(П. 33а)
где Pav — номинальная мощность, выделяемая источником
в согласованную нагрузку. Но, согласно уравнению A1.27),
мощность, поглощенная мазером при наличии входящего поля
излучения с мощностью Pav, имеет вид
P*bs=PAPmh<»12 (Л^-лд, A1 .ззб)
где подразумевается, что вклад вынужденного излучения и по-
поглощения преобладает, и поэтому отсутствует член, описываю-
описывающий спонтанное излучение. Это оправдано, так как мощность

Квантовая механика и шумы 307
падающего излучения значительно превышает мощность излу-
излучения черного тела, которая одна присутствовала бы в состоя-
состоянии равновесия. Сравнивая между собой уравнения A1.33),
вычисляем проводимость мазера в виде
Gmas = S12pmuco12 {N1 -Лд G8. A1.34)
В отсутствие накачки N\ и N2 принимают свои равновесные
значения, а величина Gmas положительна. Однако, когда с по-
помощью сигнала накачки достигается состояние с инверсной на-
населенностью, проводимость мазера, как показывает уравнение
A1.34), становится отрицательной. Это означает, что активная
среда излучает большую мощность, чем поглощает.
Для определения теплового шума мазера достаточно рас-
рассмотреть только равновесный случай, когда отсутствует сигнал
накачки. Из уравнений A1.32) и A1.34) следует выражение
для спектральной плотности теплового шума
I
[-(¦»-]
. A1.35)
Относительная заполненность уровней в равновесном состоянии
задается законом Больцмана
NJNX = ехр (-Ь/л»1Щ. A1.36)
После подстановки выражения A1.36) в уравнение A1.35), по-
получаем
ОКгJ iNi—N^) +
A1.37а)
Следует отметить, что первый член в правой части этого выра-
выражения возникает из-за наличия нулевой энергии. Он бы отсут-
отсутствовал и здесь, если был опущен в квантовом варианте теоре-
теоремы Найквиста. С учетом этого члена формулу для спектраль-
спектральной плотности можно упростить следующим образом:
, A1.376)
где N — общее число активных молекул в системе.
Поскольку величина N остается постоянной, независимо от
того, находится ли система в состоянии равновесия или нет,
уравнение A1.376) должно быть справедливо, даже когда при-
присутствует сигнал накачки. Более того, как было показано ван-
дер-Зилом [13], члены, содержащие N\ и N2 в окончательном
выражении для шума на выходе мазера, могут быть идентифи-
идентифицированы соответственно с действительным шумом поглощения

308 Глава 11
и действительным шумом спонтанного излучения. Такая физи-
физически оправданная интерпретация не была бы возможна, если
опустить член с нулевой энергией в уравнении A1.32). Это под-
подтверждает правильность его введения.
11.6.2. Коэффициент шума
Когда мазер действует как усилитель, он уже не находится
в состоянии термодинамического равновесия, хотя, как мы ви-
видели, можно пользоваться уравнениями A1.37) для описания
теплового шума на выходе системы. Если этот генератор шума
отнести ко входу, разделив на коэффициент усиления по мощ-
мощности G усилителя, коэффициент шума можно выразить следую-
следующим образом:
где
— спектральная плотность шума источника, находящегося при
температуре 0. В уравнении A1.38) подразумевается, что на
выходе мазера присутствует только тепловой шум. Мы не рас-
рассматриваем здесь другие виды шумов, например дробовой, так
как тепловой шум определяет принципиальный предел чувст-
чувствительности и ему уделяется основное внимание. Далее, для вы-
вычисления коэффициента шума необходимо определить коэффи-
коэффициент усиления усилителя.
Когда накачка мазера превышает пороговый уровень и до-
достигается инверсная населенность, относительная занятость
двух активных уровней может быть выражена в терминах от-
отрицательной температуры —9т, как определено в уравнении
A1.31). При этих условиях мощность выходного сигнала мазе-
мазера описывается выражением
(^l-^l);Pav, A1 40)
F-
S.(»u) 4GS
_ i | Smas (ш12
GSS (ш12)
[exp(-
•
ftoI2
¦H
A1.38)
A1.39)
где Pav — номинальная мощность источника. Разделив обе
части уравнения на Pav, находим коэффициент усиления
A1.41)

Квантовая механика и шумы 309
Уравнение A1.41) можно записать в другом виде
Г
_ ( } 1 \ Lexp
1Ч {
{ ]
который удобен для вычисления коэффициента шума, так как
его левая часть входит в качестве сомножителя во второй член
правой части уравнения A1.38).
С помощью уравнений A1.376), A1.39) и A1.42) коэффи-
коэффициент шума можно выразить в общем виде
Для низких частот, т.е. если /koi2<^&0 и Acoi2<C&6m, он сводит-
сводится к следующему выражению:
A1.44)
из выражения для коэффициента шума получаем шумовую тем-
температуру в виде
9П = A —1/С)9т. A1.45)
Ясно, что коэффициент шума в общем случае зависит от степе-
степени инверсной населенности. В низкочастотной области эта за-
зависимость выглядит довольно просто. Как видно из уравнения
A1.44), величина F уменьшается с увеличением степени инвер-
тируемости уровней.
Уравнение A1.44) дает вполне удовлетворительное прибли-
приближение для коэффициента шума мазера, работающего вблизи
порогового значения инверсной населенности, так как в этой
области обычно преобладает тепловой шум. При более высо-
высоких уровнях инверсии могут доминировать другие источники
шумов, например дробового шума. В этом случае можно ожи-
ожидать, что вышеупомянутое выражение для коэффициента шума
будет несправедливо. Тем не менее, поскольку тепловой шум
устанавливает нижний предел уровня шумов мазера, интересно
исследовать предельные случаи общего выражения, описывае-
описываемого формулой A1.43).
Мы можем с полным основанием предположить, что коэффи-
коэффициент усиления системы значительно больше единицы (в про-
противном случае понадобилось бы дальнейшее усиление, которое
внесло бы существенный дополнительный шум). Тогда общее

310 Глава 11
выражение сводится к следующему:
•*(¦>¦)+•} Mnfe-H'
П146)
AМ6)
Эта функция имеет минимум, когда выполняется условие
Эт—0, соответствующее полной инверсии населенности уровней.
Таким образом, получаем формулу для минимального коэффи-
коэффициента шума
в которой приближение соответствует случаю низкочастотного
предела йсо12<С&0. Другой интересный случай возникает, если
6 = Эт = 0. Он описывает условия, при которых уровни полностью
инвертированы, а источник находится при нулевой температуре.
Очевидно, что экспоненциальные функции в уравнении A1.46)
становятся теперь много больше единицы, и коэффициент шу-
шума F = 2. На первый взгляд этот результат кажется странным,
но не стоит придавать ему большое значение; на самом деле он
отражает простой факт, что мощность шума, отнесенная ко вхо-
входу мазера, состоит из двух равных вкладов, вызванных нулевы-
нулевыми флуктуациями: один от источника, а другой от самого мазе-
мазера. Поскольку нулевая энергия не наблюдается, (мы уже виде-
видели, что минимальная энергия, доступная измерениям, составля-
составляет й©12, а не йоI2/2), нет особого смысла определять коэффици-
коэффициент шума в этом случае.
11.6.3. Дробовой шум
Ван-дер-Зил ,[12] предположил, что мазер с большим ко-
коэффициентом усиления должен на выходе обладать дробовым
шумом в дополнение к рассмотренному выше тепловому шуму.
Это вызвано тем, что сигнал накачки, необходимый для дости-
достижения инверсной населенности, представляет собой последова-
последовательность независимых случайных событий, и, следовательно,
сам дает дробовой шум. Поскольку количество испускаемых фо-
фотонов равно количеству накачиваемых фотонов, выходной поток
фотонов также обладает дробовым шумом. Очевидно, что для
увеличения выходной мощности мазера необходимо повышать
степень инверсной населенности; это можно сделать, только уве-
увеличивая интенсивность накачки. Из этого следует, что компо-

Квантовая механика и шумы ЗИ
нента дробового шума в выходном сигнале возрастает, когда
энергетические состояния становятся более инвертированными;
таким образом объясняется то, что дробовой шум может стать
основным источником шума, когда мазер работает при значи-
значительном превышении порога инверсной населенности.
11.7. Заключительные замечания
Мазер является одним из самых низкошумящих усилителей,
его предел чувствительности определяется тепловым шумом,
присущим активной части прибора. На практике избыточный
уровень шума усилителя может значительно превышать пре-
предельно достижимый из-за шумов во внешних устройствах, на-
например в циркуляторе и других элементах электрической цепи.
Для реализации потенциальных возможностей мазера как низ-
кошумящего устройства важно максимально снизить шумы этих
внешних источников.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н. В. Callen, Т. A. Welton A951), Irreversibility and generalized noise, Phys.
Rev., 83, 34—40.
2. A. Einstein A905), Ober einen die Erzeugung iind Verwandlung des Lichtes
betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Heuristic viewpoint concerning the
generation and transformation of light), Ann. d. Phys., 17, 132—148.
3. A. Einstein A917), On the quantum theory of radiation, Phys. Z., 18, 121 —
128.
4. D. Gabor A946), Theory of communication, /. of the IEE, 93, 429—457.
5. D. Gabor A950), Communication theory and physics, Phil. Mag., 41, 1161 —
1187.
6. J. P. Gordon, H. J. Zeiger and С. Н. Townes A954), Molecular microwave
, oscillator and new hyperfine structure in the microwave spectrum of NH3,
Phys. Rev., 95, 282—284; A955), The maser —new type of microwave ampli-
amplifier frequency standard and spectrometer, Phys. Rev., 99, 1264—1274.
7. H. Heffner A962), The fundamental noise limit of linear amplifiers, Proc.
IRE, 50, 1604—1608.
8. D. К. С MacDonald A962), On Brownian movement and irreversibility,
Physica, 28, 409—416.
9. H. Nyquist A928), Thermal agitation of electric charge in conductors, Phys.
Rev., 32, 110—113.
10. L. Onsager A931), Reciprocal relations in irreversible processes, Phys. Rev.,
37, 405—425; ibid., 38, 2265—2279.
11. K. Shimoda, Т. С Wang, С. Н. Townes A956), Further aspects of the theory
of the maser, Phys. Rev., 102, 1308—1321.
12. A. van der Ziel A970), Noise in solid-state devices and lasers, Proc. IEEE,
58, 1178—1206.
13. A. van der Ziel A981), Quantum noise effects at high frequencies and low
temperatures, Proc. 6th International Conference on Noise in Physical Sys-
Systems held at the National Bureau of Standards, MD, USA, 6—10 April
1981.

12
Приборы с джозефсоновскими
контактами
12.1. Введение
Хорошо известно, что у ряда металлов и металлических спла-
сплавов наблюдается явление сверхпроводимости: ниже температу-
температуры перехода 0С, которая различна у различных сверхпроводни-
сверхпроводников, но всегда находится в области гелиевых температур, их
электрическое сопротивление полностью исчезает. Этот эффект
был открыт в 1911 г. Камерлинг-Оннесом, который обнаружил,
что сопротивление ртути обращается в нуль при температурах
ниже 4,2 К. Отсутствие сопротивления означает, что в сверхпро-
сверхпроводящем кольце, находящемся ниже температуры перехода,
можно возбудить «сверхток», и такой ток, как можно ожидать,
будет бесконечно долгое время циркулировать, не изменяясь.
Действительно, наблюдались сверхтоки, в пределах точности
измерений сохранявшие свою величину в течение очень долгого
времени (нескольких лет).
Сверхтоки представляют собой существенно квантовое явле-
явление, заключающееся в образовании слабо связанных пар элект-
электронов, которые двигаются через вещество без столкновений с
кристаллической решеткой. Механизм «спаривания» впервые
был предложен Купером [6]; его теория позже была усовершен-
усовершенствована Бардиным, Купером и Шриффером [3] и называется
БКШ-теорией. Они приняли во внимание многочастичные взаи-
взаимодействия всех электронов. Главный вывод из БКШ-теории со-
состоит в том, что существенным является только взаимодействие
куперовских пар, влияние остальных взаимодействий сводится
просто к ограничению числа состояний, в которые могут рассеи-
рассеиваться куперовские пары.
Силы, связывающие два электрона в куперовскую пару,
чрезвычайно слабы, поэтому сверхпроводимость наблюдается
только при низких температурах, когда тепловая энергия элект-
электронов меньше ширины энергетической щели (т. е. энергии, не-
необходимой, чтобы разделить пару). Связь также можно разор-
разорвать, приложив достаточно сильное магнитное поле или пропус-
пропустив сильный ток. В любом случае сверхпроводимость разруша-
разрушается и материал ведет себя как обычный проводник, в котором
носителями тока являются обычные электроны.

Приборы с джозефсоновсшми контактами 3^3
Между двумя электрическими проводниками, находящимися
в нормальном состоянии и разделенными тонким слоем изолято-
изолятора, может протекать ток благодаря процессу туннелирования.
Согласно классической физике, это невозможно, но из квантовой
механики следует, что, даже если энергия электрона недоста-
недостаточна для прямого преодоления барьера, он может с отличной
от нуля вероятностью пройти сквозь барьер и появиться на
другой стороне. Аналогично нормальный туннельный ток неспа-
ренных электронов может протекать через контакт, образован-
образованный двумя сверхпроводниками, разделенными изолятором. Но
возможно также туннелирование куперовских пар через барьер.
Это означает, что изолирующий материал между двумя сверх-
сверхпроводниками ведет себя как сверхпроводник. Такое замеча-
замечательное поведение наряду с несколькими другими важными эф-
эффектами было теоретически предсказано Джозефсоном [11]. Он
рассматривал контакт как «слабый» сверхпроводник, так как
при наличии изолирующего слоя между сверхпроводниками
сверхток легче, чем в сплошном сверхпроводнике, разрушается
внешним воздействием, в частности магнитным полем.
Воздействие магнитного поля на сверхток, протекающий че-
через джозефсоновский контакт (в предположении, что напряжен-
напряженность поля не превосходит уровня, при котором сверхток разру-
разрушается), приводит к пространственным изменениям величины и
направления тока. Это в свою очередь означает, что результи-
результирующий ток через контакт зависит от приложенного магнитно-
магнитного поля, причем уравнения, описывающие эту зависимость, сов-
совпадают с теми, которые описывают картину дифракции Фраун-
гофера, когда свет проходит через одиночную щель. Аналогич-
Аналогично в случае двух джозефсоновских контактов, включенных
параллельно в сверхпроводящее кольцо, математическое описание
зависимости тока от магнитного потока, пронизывающего коль-
кольцо, такое же, как для интерференционной картины, получаемой
в случае дифракции на двух щелях. Действительно, механиз-
механизмом, лежащим в основе изменений тока в многоконтактных при-
приборах, является квантовая интерференция, и такие приборы из-
известны как джозефсоновские интерферометры или сверхпрово-
сверхпроводящие интерферометрические приборы (сквиды).
Сквид чрезвычайно чувствителен к слабым изменениям на-
напряженности магнитного поля, и поэтому его можно использо-
использовать как магнитометр с высокой разрешающей способностью.
Он впервые был предложен в середине 1960-х гг. Джаклевичем
с сотр. [10]. Предельное разрешение сквида определяется теп-
тепловым шумом, присущим джозефсоновским контактам. Создан-
Созданные впоследствии многоконтактные приборы по чувствительно-
чувствительности приближаются к этому пределу. Шум сквидов настолько
низок, что они используются в качестве чувствительных элемен-

314 Глава 12
тов в детекторах гравитационного излучения (гл. 13). Именно
в этих устройствах чрезвычайно важную роль играет совершен-
совершенство системы регистрации сигнала, требующей тщательнейшего
исполнения, чтобы достичь уникальной чувствительности. При-
Применение здесь сквидов естественно и оправданно.
В последней части этой главы рассматриваются механизмы
шумов, возникающих в сверхпроводниках, джозефсоновских
контактах и сквидах. Однако предварительно полезно ознако-
ознакомиться с физикой работы приборов, использующих джозефсо-
новские контакты, а затем перейти к обсуждению шумов и флук-
флуктуации в контактах.
12.2. Сверхпроводимость
Как известно, ряд металлов, включая ниобий, свинец, олово,
являются сверхпроводниками, и все они имеют температуру пе-
перехода ниже 10 К. Некоторые металлические соединения также
обладают свойствами сверхпроводимости, в частности NbsSn,
температура перехода которого относительно высока (около
18 К). Сверхпроводниками является некоторые сплавы, напри-
например Pb—Bi, который интересен тем, что составляющий его эле-
элемент висмут сам сверхпроводимостью не обладает. Среди одно-
одновалентных металлов, ферро- и антиферромагнетиков сверхпро-
сверхпроводники пока не обнаружены.
Важным характерным свойством сверхпроводника является
полное отсутствие сопротивления при температурах ниже темпе-
температуры перехода 8С. Это наводит на мысль, что сверхпроводник
ничем не отличается от «идеального» проводника, т. е. гипоте-
гипотетического металла с нулевым сопротивлением. Действительно,
так и считалось в течение довольно долгого периода времени
после открытия сверхпроводимости. Но сверхпроводник при
температурах ниже 8С — это не просто идеальный проводник: он
также идеальный диамагнетик, или, другими словами, даже в
присутствии внешнего магнитного поля внутри его плотность
магнитного потока всегда равна нулю. Это свойство известно
как эффект Майснера после экспериментов Майснера и Охзен-
фельда [21]. Оно означает, что при охлаждении сверхпроводни-
сверхпроводника, помещенного в магнитное поле, силовые линии индукции
выталкиваются из материала, как только пройдена температу-
температура сверхпроводящего перехода.
Эффект Майснера не является следствием нулевого сопро-
сопротивления сверхпроводника, а представляет собой совершенно
независимое явление, характерное для сверхпроводимости. Его
можно понять, если рассмотреть уравнение Максвелла, связы-

Приборы с джозефсоновскими контактами 315
вающее магнитную индукцию В и поле Е:
= —rotE = 0, A2.1)
нуль в правой части которого возникает из-за отсутствия сопро-
сопротивления, что означает равенство нулю электрического поля.
Согласно уравнению A2.1), скорость изменения В внутри иде-
идеального проводника равна нулю. Применяя это условие к сверх-
сверхпроводнику, мы получили бы, что любой магнитный поток, нахо-
находящийся внутри материала, просто остался там при охлажде-
охлаждении ниже температуры перехода 8С. Как уже упоминалось выше,
на практике наблюдается иное поведение. Это заставляет прий-
прийти к заключению, что нулевое сопротивление и идеальный диа-
диамагнетизм— два независимых свойства сверхпроводящего со-
состояния. Короче говоря, линии магнитной индукции могут как
проникать, так и не проникать в идеальный проводник, тогда
как сверхпроводник никогда не содержит внутри себя магнитный
поток.
Интересным следствием этого является вывод о том, что лю-
любой ток, текущий вдоль сверхпроводника, не может проникать
внутрь образца, а должен течь по его поверхности. Чтобы по-
понять, почему это так, рассмотрим уравнение Максвелла, связы-
связывающее плотность магнитного потока В и плотность тока J:
rotB = fx0J> A2.2)
где [io — магнитная проницаемость свободного пространства
(предполагается, что относительная проницаемость сверхпровод-
сверхпроводника равна единице). Теперь, поскольку сверхпроводник облада-
обладает совершенным диамагнетизмом, плотность магнитного потока
внутри его равна нулю, следовательно, rot В = 0, а значит, соглас-
согласно уравнению Максвелла, внутри материала ток не течет. Таким
образом, любой ток в сверхпроводнике должен течь по его по-
поверхности, это справедливо, пока не должна быть равна нулю
плотность магнитного потока вне образца.
В действительности область протекания стока не может быть
строго ограничена слоем нулевой толщины на поверхности
сверхпроводника, так как приводит к бесконечной величине
плотности тока, что физически не реально. Фактически сущест-
существует конечная глубина проникновения тока, которая зависит от
типа сверхпроводника, но обычно составляет 500 А. Это как раз
та глубина, на которую проникают в материал силовые линии
вектора плотности магнитного потока. Таким образом, хотя
сверхпроводник называют «идеальным» диамагнетиком, имеет
место неглубокое проникновение в него магнитной индукции.
Здесь есть аналогия между глубиной проникновения и толщиной
скин-слоя обычного проводника.

316 Глава 12
Любая состоятельная теория сверхпроводимости, очевидно,
должна идти дальше простейших заключений, берущих начало
от уравнения A2.2), если речь идет об объяснении таких харак-
характеристик, как глубина проникновения. Теория Лондонов, как
ее называют, развитая Ф. Лондоном и X. Лондоном [20], отно-
относится к электродинамике сверхпроводимости и дает элегантное
математическое описание сверхпроводящего состояния. Основ-
Основные выводы теории заключены в двух уравнениях, известных как
уравнения Лондонов, которые прекрасно описывают наблюдае-
наблюдаемые электромагнитные свойства сверхпроводников.
Теория Лондонов не является микроскопической теорией
сверхпроводящего состояния, она не касается фундаментального
механизма, вызывающего протекание сверхтока. Иначе говоря,
в ней используются известные уравнения электромагнитной тео-
теории и в них вводится связь, приводящая к описанию физическо-
физического явления, которое оказывается очень близким к тому, что на-
наблюдается в сверхпроводниках. Прошло много лет, прежде чем
был предложен транспортный механизм сверхпроводимости.
Скачок в понимании сверхпроводимости был сделан Барди-
Бардиным, Купером и Шриффером [3]. Их теория базируется на ранее
появившихся идеях Л. Н. Купера [6]. БКШ-теория включает в
себя механизм протекания сверхтока, который совершенно отли-
отличается от механизма протекания обычного тока в нормальном
металле и даже в гипотетическом совершенном проводнике с ну-
нулевым сопротивлением. Если процесс нормальной проводимости
осуществляется одиночными электронами и их непрерывно пов-
повторяющиеся столкновения с решеткой ответственны за элект-
электрическое сопротивление металла, то носителями сверхтока явля-
являются пары слабо связанных электронов, которые не сталкива-
сталкиваются с атомами решетки. Отсутствие столкновений между ку-
перовскими парами и кристаллической решеткой объясняет ну-
нулевое сопротивление сверхпроводника.
БКШ-теория включает детальный квантовомеханический
анализ, описание которого выходит за рамки настоящей книги.
Однако можно относительно легко объяснить качественные харак-
характеристики проводимости посредством пар.
Силы, связывающие электроны в куперовские пары, своим
происхождением обязаны взаимодействию электронов с атомной
решеткой. Отрицательный заряд каждого из электронов притя-
притягивает локальные положительно заряженные металлические ио-
ионы и решетка слегка искривляется, создавая, таким образом,
область повышенной плотности положительного заряда. Она ока-
оказывает притягивающее действие на другие электроны (правда,
очень слабое); энергия связи или ширина энергетической щели
составляет приблизительно 4&0С. Эта энергия настолько мала,
что тепловое флуктуационное движение электронов легко разры-

Приборы с джозефсоновскими контактами 317
вает связи, вот почему сверхпроводимость наблюдается только
при гелиевых температурах. По той же самой причине она раз-
разрушается сильным магнитным полем или слишком большим то-
током.
Согласно БКШ-теории, куперовскую пару можно рассматри-
рассматривать, как если бы это была единственная частица, локализован-
локализованная в центре масс двух составляющих ее электронов. В отсутст-
отсутствие тока результирующий импульс каждой пары равен нулю,
но, когда протекает ток, все пары имеют точно одинаковый им-
импульс в направлении тока. Между движением пар существует
высокая степень когерентности. Это является причиной отсутст-
отсутствия соударений с решеткой и, следовательно, объясняет нулевое
сопротивление сверхпроводника.
Таким образом, БКШ-теория описывает механизм, который
объясняет важный аспект сверхпроводимости, а именно отсутст-
отсутствие сопротивления. Более детальный анализ теории обнаружил
бы, что она объясняет эффект Майснера. Ввиду успешного объ-
объяснения сверхпроводимости механизмом, связанным с движе-
движением пар, исчезают последние сомнения в том, что нормальная
проводимость даже в совершенном проводнике и сверхпроводи-
сверхпроводимость физически различны как в плане фундаментального отли-
отличия в процессах движения носителей, так и в различии их элек-
электродинамического поведения.
12.3. Джозефсоновский контакт
Туннелирование электрона через изолирующий барьер меж-
между двумя нормальными проводниками представляет собой хоро-
хорошо известное квантовомеханическое явление. Даже если энергия
электрона недостаточна для преодоления барьера, для него су-
существует конечная вероятность оказаться по другую сторону ба-
барьера. В сущности волновая функция электрона проникает че-
через барьер, уменьшаясь в определенной степени, причем это
уменьшение зависит от высоты и ширины потенциального барь-
барьера, разделяющего два проводника. Значительный ток возникает
тогда, когда барьер становится очень узким, типичная толщина
•его составляет обычно несколько десятков ангстрем.
Существование туннельного тока возможно также в случае,
если два сверхпроводника разделены тонким изолирующим
слоем. Этот ток состоит из обычного тока отдельных электронов
и при соответствующих благоприятных условиях из потока ку-
перовских пар. Туннельный сверхток спаренных электронов был
предсказан Джозефсоном [11], исходя из квантовомеханическо-
го анализа процесса. Его теоретические предсказания вскоре по-
получили экспериментальное подтверждение, и джозефсоновские

318 Глава 12
контакты стали использоваться в качестве основных элементов
в ряде практических электронных устройств. Прекрасным приме-
примером такого устройства является сквид, который будет рассмот-
рассмотрен ниже.
При протекании тока через контакт возникает два принципи-
принципиально различных типа его поведения, известные как стационар-
стационарный и нестационарный эффекты Джозефсона. В стационарном
эффекте Джозефсона постоянный сверхток может достигать оп-
определенного критического уровня /0, и при этом не возникает
напряжения на контакте. Таким образом, изолятор, разделяю-
разделяющий два сверхпроводника, может вести себя как сверхпровод-
сверхпроводник. Однако величина критического тока /о для контакта гораз-
гораздо меньше максимального тока, который мог бы течь через
сверхпроводник при отсутствии изолирующего слоя. Сверхток
контакта разрушается более слабым магнитным полем по срав-
сравнению с полем, которое необходимо для перехода в нормальное
состояние однородного сверхпроводника. На этом основании
контакт был назван джозефсоновским «слабым» сверхпроводни-
сверхпроводником.
Нестационарный эффект Джозефсона наблюдается, когда
постоянное напряжение смещения приложено к контакту: в этом
случае сверхток куперовских пар осциллирует с частотой
fo = 2qVQ/hy A2.3)
где q — заряд электрона; h — постоянная Планка, /о называют
джозефсоновской частотой или иногда джозефсоновской плаз-
плазменной частотой. Из уравнения A2.3) следует, что джозефсонов-
ский контакт можно использовать как генератор гармонического
сигнала, или, наоборот, как очень точный стандарт напряжения.
Заметим, что даже для весьма малого приложенного напряже-
напряжения (например, 10 мкВ) частота генерации очень высока и со-
составляет приблизительно 5 ГГц.
Уравнение A2.3) следует непосредственно из уравнений
Джозефсона для тока через контакт. Если Ф — изменение фазы
волновой функции при прохождении через изолирующий слой,
тогда уравнения записывают в следующем виде:
/ = /0sinO, A2.4а)
dO/dt = 2qV0/h, A2.46)
где / — ток через контакт; й = Л/2я. Интегрируя по времени вто-
второе из этих уравнений, получим выражение для разности фаз
ф = {2qV0/h) /+const, A2.5)
из которого, подставляя его в уравнение A2.4а), получаем, что
частота определяется уравнением A2.3).

Приборы с джозефсоновскими контактами
319
Джозефсоновский контакт можно изготовить различными
способами. Структура, использованная для первых наблюдений
джозефсоновского туннелирования [2], состояла из напыленной
на подложку полоски сверхпроводника со слоем окисной плен-
пленки толщиной около 10 А, который отделял ее от такой же по-
полоски, напыленной перпендикулярно первой. Позднее были раз-
разработаны другие типы туннельных переходов, включая мостики
и точечные контакты. Некоторые из этих приборов и их относи-
относительные достоинства рассмотрены Кларком [4].
<vo>-
Рис. 12.1.
а — резистивно-зашунтированный контакт; б — вольт-амперная характеристика (сплошная
линия), которая при больших токах асимптотически приближается к прямой RI (штри-
(штриховая линия).
В общем случае туннельный элемент в реальном джозефсо-
новском контакте зашунтирован емкостью, которая приводит к
гистерезису вольт-амперной характеристики. Это весьма неже-
нежелательное явление в таких устройствах, как сквид, и от него
обычно избавляются путем шунтирования контакта подходящим
сопротивлением R. Тогда контакт можно представить эквива-
эквивалентной цепью, изображенной на рис. 12.1, а. Вольт-амперная
характеристика резистивно-зашунтированного контакта (RSJ)
широко используется в различных расчетах. По этой причине мы
остановимся на ней подробнее.
С помощью уравнения A2.4) изменяющееся во времени на-
напряжение Vo на RSJ может быть выражено следующим образом.
^ ^(//зтФ) A2.6)
где />/о — общий (не зависящий от времени) ток в цепи. Эта

320 Глава 12
уравнение можно решить относительно Ф непосредственным ин-
интегрированием
A2.7)
где U — постоянная интегрирования, а а=///0. Интеграл в левой
части этого выражения вычисляется хорошо известным методом
подстановки u = ig (Ф/2). После нескольких прямых алгебраи-
алгебраических преобразований получаем следующий результат:
O = 2tg-Ma-1[(a2-lI/2tg[(a2-l)V2Ti(^+/0)] + l]}, A2.8)
где r\ = qRIoJfi>. Анализируя это выражение, можно видеть, что,
хотя внутренний тангенс стремится к бесконечности, когда его
аргумент равен 2пп/2, производная dO/dt (которой мы собствен-
собственно и интересуемся, так как она дает Vo) непрерывна во времени.
Фактически производная dO/dt— периодическая функция с пе-
периодом
7 = - A2.9)
r|(a2— 1I/я ^ '
Однако осцилляции Vo на этом интервале не являются сим-
симметричными, и средняя величина напряжения, определенная за
период
п h
не равна нулю. Определяя границы периода, как два последо-
последовательных момента времени, для которых внутренняя функция
тангенса в уравнении A2.8) стремится к бесконечности, полу-
получаем [Ф(Т)—Ф@)]=2я и, следовательно,
<У0> = J^L (a2- 1)V2 = R (/2_/02)l/2e A2.1 1)
Это уравнение описывает вольт-амперную характеристику
RSJ. Отметим, что для токов, протекающих через RSJ, больших
по сравнению с критическим током контакта, среднее напряже-
напряжение асимптотически стремится к величине RI.
Вольт-амперная характеристика, описываемая уравнением
A2.11), представлена на рис. 12.1,6. Из ее вида можно заклю-
заключить, что переменная составляющая сверхтока вносит заметный
вклад в усредненный по времени ток через RSJ, даже когда на-
напряжение, меняющееся во времени, достигает такой величины,
что ток в несколько раз превосходит критический. Из этого сле-
следует, что изменения критического тока могут оказывать влияние

Приборы с джозефсоновскими контактами
321
на наклон характеристики в значительной ее части. Измерения
вольт-амперных характеристик резистивно зашунтированных
контактов показали хорошее согласие с уравнением A2.11) [7].
12.4. Интерферометры Джозефсона
Когда по сверхпроводящему кольцу протекает ток, возникает
квантовомеханическое явление, известное под названием кванто-
квантование потока: магнитный поток в кольце принимает только дис-
Рис. 12.2.
а — сквид постоянного тока, содержащий два джозефсоновских контакта в сверхпрово-
сверхпроводящем кольце; б — радиочастотный сквид с одним джозефсоновским контактом в сверх-
сверхпроводящем кольце, слабо связанным с резонансным колебательным контуром.
кретные значения, кратные по величине кванту потока
(Do = h/2q~2- 1CH5 Вб. Это позволяет достичь очень хорошего
разрешения в двух типах датчиков магнитного поля, оба явля-
являются квантовыми интерферометрическими устройствами (скви-
дами). Первым был разработан сквид постоянного тока, состоя-
состоящий из сверхпроводящего кольца, содержащего два джозефсо-
джозефсоновских контакта (рис. 12.2,а), позднее был создан радиочастот-
радиочастотный сквид, в котором один контакт включался в сверхпроводя-
сверхпроводящее кольцо, индуктивно связанное с внешним колебательным
контуром (рис. 12.2,6).
Поведение обоих типов сквидов можно исследовать на осно-
основе простейших теоретических моделей, базирующихся на пред-
предположении, что в сверхпроводящем кольце, содержащем один
или более джозефсоновских контактов, все равно существует
квантование потока. Это предположение неявно подразумевает
малость индуктивности контакта или контактов по сравненик>

322
Глава 12
<: геометрической индуктивностью кольца. В противном случае
проблема оказывается более сложной, как отмечается в работах
[22, 28].
12.4.1. Сквид постоянного тока
Зависимость тока, протекающего через одиночный джозеф-
соновский контакт, от магнитного потока представляет собой
осциллирующую функцию [23]. Это иллюстрирует рис. 12.3 для
S00
S 10
Поле, Гс
15 20
Рис. 12.3. Экспериментальная зависимость тока джозефсоновского контакта
от величины магнитного поля ([23], с любезного разрешения Американского
физического общества.)
случая Pb-I-Pb-контакта. Минимумы при 6,5; 13,5; 19,5 Гс совер-
совершенно отчетливо разделены довольно точно определенными мак-
максимумами. Кривая на данном рисунке отображает функциональ-
функциональную зависимость sinx/*, где величина х пропорциональна вели-
величине магнитного потока Фо. По форме это аналогично дифрак-
дифракционной картине Фраунгофера, получаемой для света, проходя-
проходящего через одиночную щель.
Если в сверхпроводящее кольцо включены два джозефсонов-
ских контакта, как показано на рис. 12.2, а, то ток как функция
^магнитного потока, направленного перпендикулярно плоскости

Приборы с джозефсоновскими контактами
32$
h
кольца, также проявляет осциллирующий характер. В этом слу-
случае можно провести аналогию с интерференционной картиной,,
получаемой, когда свет проходит через двойную щель. Теперь
наблюдаются две периодичности в зависимости тока от магнит-
магнитного потока. Одна связана с потоком в единичном контакте,
другая возникает от потока в области между контактами. Та-
Такое поведение можно описать,
пользуясь понятием критиче-
ского тока /о' для двойного
контакта. Для него также ха-
характерна периодическая зави-
зависимость от пронизывающего^ * /^
магнитного потока с периодом, °
равным Фо [10]. Теория скви-
да была разработана Кларком
[4]; ниже приводятся ее основ-
основные положения.
В обычных условиях рабо-
работы через сквид пропускается
постоянный ток /, превосходя-
превосходящий более чем в два раза кри-
критический ток контактов /о
(здесь предполагается, что оба
контакта имеют одинаковый
критический ток, хотя это не
существенно для данного рас-
рассмотрения). Тогда на кольце,
имеющем по предположению
индуктивность L, возникает
напряжение V>0. Если вклю-
включается внешний магнитный по-
поток Фе<Фо/2, то должен воз-
возНапряжение
5
Рис. 12.4.
никнуть
а — зависимость экранирующего тока от
величины Фе/Фо; б — вольт-амперная ха-
характеристика сквида постоянного тока.
экранирующий ток
/5=Фе/?, чтобы поддержать
нулевой поток в материале
кольца. Когда Фе возрастает до фе=Ф0/2, экранирующий ток
увеличивается до /5 = Ф0/2?. Если происходит дальнейшее воз-
возрастание внешнего потока, то для магнитного потока в кольце
становится энергетически выгодным осуществить переход между
квантовыми состояниями (имея в виду квантование потока)
таким образом, чтобы экранирующий ток изменил направление.
Если Фе=Фо/2+, то экранирующий ток Is=—Фо/2?, а в области
Фо/2<Фе^ЗФ02 величина Is возрастает до тех пор, пока в ее
верхнем конце Is снова не изменит направление, и весь процесс
повторится сначала. Функциональная зависимость экранирующе-
экранирующего тока от внешнего потока имеет форму зубчатой кривой, изоб-

324 Глава 12
раженной на рис. 12.4, а. Заметим, что скачок возникает, когда
фв=(л+1/2)Ф0> где л=0, 1, 2....
Из рис. 12.2, а, очевидно, следует, что если в кольце циркули-
циркулирует экранирующий ток /s, то суммарные токи, текущие через
контакты, отличаются на 2|/5
контактов протекает ток /0—2
. Поэтому когда через один из
/s|, через другой протекает ток
/0, который является критическим для контакта. Следовательно,
критический ток сквида постоянного тока /0' на 2|/s| меньше,
чем 2/0, т. е.
/o' = 2/o-2j/J. A2.12)
Этот результат показывает, что критический ток для сквида по-
постоянного тока, как установлено выше, осциллирует при изме-
изменении величины приложенного магнитного потока. Максималь-
Максимальное уменьшение величины критического тока, равное Фо/L, про-
происходит, когда Фв=(л+1/2) Фо, тогда как минимальное умень-
уменьшение равно нулю и происходит при Фе = пФо.
Вольт-амперные характеристики сквида постоянного тока в
этих экстремальных точках приведены на рис. 12.4,6. Если ток
смещения / превышает 2/о (как показано на рисунке), то напря-
напряжение на интерферометре периодически изменяется с увеличе-
увеличением внешнего потока Фе, причем сигнал имеет треугольную
форму. Если каждый из контактов имеет сопротивление R, то
глубина модуляции этого напряжения составляет
4 4 <12ЛЗа>
где 2|/5|макс = Фо/? — максимальное уменьшение критического
тока сквида. Для R = 5 Ом, L=10~9 Гн величина V приблизи-
приблизительно равна 5 мкВ.
В случае треугольной формы зависимости изменения напря-
напряжения на сквиде от изменения внешнего магнитного потока вы-
выражение для вариации напряжения, вызванной малым измене-
изменением приложенного потока 6Фе, имеет вид
SV~(R/LNOe. A2.136)
При значениях параметров, приведенных выше, это дает
6К/6Фе~5ХЮ9 В/Вб.
В основном сквид используется как нуль-детектор в цепи
отрицательной обратной связи: малое изменение величины при-
приложенного потока приводит к изменению напряжения, которое
управляет устройством, генерирующим зануляющий ток, пред-
представляющий собой сигнал обратной связи в системе. Для скви-
сквида, имеющего индуктивность^1 = 10~9 Гн, можно достичь разре-
разрешения лучше, чем 1О~4Фо/УГц, соответствующего изменению на-
лряжения на контакте около 1 нВ/уГц.

Приборы с джозефсоновскими контактами 325
12.4.2. Сквид переменного тока
Радиочастотный сквид, изображенный на рис. 12.2,6, состоит
из одного джозефсоновского контакта, включенного в сверхпро-
сверхпроводящее кольцо, индуктивно связанное с колебательным конту-
контуром. Резонансная частота колебательного контура обычно вы-
выбирается около 30 МГц. В контуре возбуждается резонансный
ток такой амплитуды, чтобы пиковое значение тока, индуциро-
индуцированного в кольце сквида, несколько превышало критический ток
контакта. Выходным сигналом является напряжение на колеба-
колебательном контуре, которое представляет собой периодическую
функцию магнитного потока, пронизывающего плоскость сверх-
лроводящего кольца, с периодом, равным Фо.
Детальное рассмотрение радиочастотного сквида дано Клар-
Кларком [4], который включил в свой обзор анализ практических
конструкций сквидов, их параметры, а также библиографию по
сквидам и их применению.
12.5. Шумы в приборах с джозефсоновскими
контактами
Предельная чувствительность приборов с джозефсоновскими
контактами определяется шумами. Для сквидов, например, очень
важно устранить внешние шумы, которые могут генерироваться
электрическими машинами, а также флуктуациями магнитного
поля Земли. Это обычно достигается тщательным экранирова-
экранированием криостата, содержащего сквид, а также возможно более
жестким монтажом самого прибора, так как малейшие движе-
движения даже в слабом магнитном поле могут вызывать относитель-
относительно большие сигналы. Радиопомехи, наводимые на электриче-
электрические вводы в криостат, также могут стать проблемой и должны
быть устранены надлежащей фильтрацией.
Поскольку шумы, генерируемые извне, могут быть устране-
устранены или подавлены, остаются собственные шумы джозефсонов-
джозефсоновского устройства, а также шумы, генерируемые в связанной с
ним электронной схеме.
12.5.1. Дробовой шум в джозефсоновском контакте
Шумы, возникающие в контакте при нестационарном эффек-
эффекте Джозефсона, т. е. когда протекающий через контакт ток пре-
превосходит критический, были исследованы теоретически Скалапи-
но [24] и Стефаном [25]. Стефан использовал ланжевеновский
подход к анализу шумов. Он обнаружил, что система нестабиль-
нестабильна по отношению к фазовым флуктуациям. Эта нестабильность

326 Глава 12
приводит к уширению спектральной линии излучения, генери-
генерируемого контактом, так что вместо одной частоты генерируется
спектр частот, имеющий лоренцевскую форму линии.
Ланжевеновский формализм также позволяет предсказать
возникновение флуктуации тока, протекающего через контакт.
Однако, чтобы получить выражение для спектральной плотности
мощности шума, нет необходимости решать соответствующие
дифференциальные уравнения. Вместо этого можно использовать
простую аналогию с дробовым шумом, которая приводит к пра-
правильному результату [26].
Ток, протекающий через контакт, состоит из тока нормаль-
нормальных электронов, каждый из которых имеет величину заряда q»
и куперовских пар, каждая с зарядом 2q. Обозначая через i
полный ток контакта, получаем
где in=in\—in2 — результирующий ток обычных электронов, а
ip = ip\—ip2 — результирующий ток спаренных электронов через-
контакт. (Подразумевается, что существует ток нормальных и
спаренных электронов через контакт в обоих направлениях.)
Каждый из четырех компонент тока в правой части уравнения
A2.14) дает полный дробовой шум, так как все они независимы»
и, следовательно, спектральные плотности флуктуации токов i*
и ip соответственно описываются формулами
A2.15а)
A2.156)
где прописной буквой / обозначено среднее значение тока i с
соответствующим нижним индексом. Заметим, что в уравнении
A2.156), описывающем флуктуации тока куперовских пар, ко-
коэффициент в два раза больше, чем в предыдущем уравнении,,
описывающем флуктуации тока обычных электронов. Это свя-
связано с тем, что заряд куперовской пары в два раза больше за-
заряда электрона.
Рассматривая вероятности прохождения заряженных носите-
лей через потенциальный барьер в обоих направлениях, можно
получить следующие результаты:
Aii+Лч = A» cth (qV/2kB)t A2.16a)
= /Pcth BqV/2kQ)9 A2.166)
где V — высота барьера, которая в нашем случае равна напря-
напряжению на контакте; 0 — абсолютная температура. Снова отме-
отметим дополнительный коэффициент 2, появляющийся в уравнений
A2.166), связанный с удвоенным зарядом куперовской пары.

Приборы с джозефсоновскими контактами 327
Из уравнений A2.15) и A2.16) следует выражение для спект-
спектральной плотности полного тока, протекающего через контакт
= 2qln cth (qV/2kQ) + 4qIp cth BqV/2kQ). A2.17)
Если \qV\^>kQ> то функция cth в этом выражении стремится к
единице, тогда получаем
^j A2.18)
При данном условии выражение для шума, вызванного током
обычных электронов и куперовских пар, оказывается аналогич-
аналогичным выражению для дробового шума. В противоположном слу-
случае, когда \qV\<^kQ} функция cth аппроксимируется функцией,
'Обратной ее аргументу, что дает
S7(ti) = 4kQI/V, A2.19)
где /=/Л+^Р- Этот результат совпадает с выражением для теп-
тепловых шумов проводимости I/V. Ясно, что как только V прибли-
приближается к нулю, эта проводимость, а следовательно, и шум ста-
ловятся очень большими [12].
12.5.2. Тепловой шум при стационарном
эффекте Джозефсона
Когда температура джозефсоновского контакта близка к тем-
температуре перехода, тепловые флуктуации, которые всегда при-
присутствуют при равновесном обмене энергией с термостатом, воз-
воздействуют на соотношение фаз по обе стороны контакта. Это
приводит к возникновению на контакте флуктуационного напря-
напряжения с отличным от нуля средним значением. Теоретически на
основе кинетической теории это явление было исследовано
Иванченко и Зильберманом [9], а также Амбегаокаром и Галь-
Гальпериным [1], которые решали дифференциальные уравнения для
изменения фаз на контакте. В более поздних исследованиях бы-
было получено уравнение для среднего значения напряжения, ко-
которое в общем случае можно решить численным интегрирова-
интегрированием. Авторы приводят несколько решений в аналитической
форме, которые справедливы в частных случаях при определен-
определенных ограничениях.
12.5.3. Шум в резистивно-зашунтированном контакте
Исследование шума в резистивно-зашунтированном контакте
важно в связи с расчетом чувствительности сквидов и других
приборов с джозефсоновскими контактами. Дробовым шумом

328
Глава 12
Шумовое
округление
тока, протекающего через кон-
контакт, можно пренебречь при
условии, что туннельный ток
мал по сравнению с током, те-
текущим через шунтирующее со-
сопротивление. Тогда единствен-
единственным значительным источником
шума становятся тепловые
флуктуации в шунте. Эти
флуктуации создают шумовое
напряжение на RSJ, если че-
через него протекает постоянный
ток источника.
Спектральная плотность
флуктуации напряжения на
RSJ, через который протекает
постоянный ток смешения, бы-
была рассчитана теоретически
Лихаревым и Семеновым [19],
а также Выставкиным с сотр.
[27] в предположении, что кон-
контакт имеет нулевую емкость и что шунтирующее сопротивление
генерирует тепловой шум в классическом пределе, т. е. джозеф-
соновская частота удовлетворяет условию hfo<^kQ, где 0 — аб-
абсолютная темпертура; h — постоянная Планка; k — постоянная
Больцмана. Это ограничение было снято Кохом с сотр. [14], ко-
которые показали, что предельный уровень шума при приближе-
приближении к нулю абсолютной температуры обусловливается нулевыми
флуктуациями в шунтирующем сопротивлении.
Подход Коха с сотр. позволяет установить неоднородное не-
нелинейное уравнение Лакжевена для фазы, в котором член, опи-
описывающий тепловые флуктуации, входит как часть входного
сигнала. В квантовом пределе (т.е. при 0 = 0) на частоте со/2я,
много меньшей, чем джозефсоновская частота, найденная ими
спектральная плотность напряжения шумов на RSJ описывается
формулой
Рис. 12.5. Вольт-амперная характери-
характеристика RSJ в отсутствие шумов
(сплошная линия) и в их присутст-
присутствии (штриховая линия).
A2.20)
где R — шунтирующее сопротивление; /0 — критический ток кон-
контакта; V — среднее напряжение на контакте. Из этой теории
также можно получить выражение для спектральной плотности
флуктуации напряжения и при некоторых других ограничениях.
Кроме создания шумового напряжения в приборах с джозеф-
соновскими контактами, тепловые флуктуации приводят к дру-
другому эффекту: возникновению явления, известного как «шумо-

Приборы с джозефсоновскими контактами 329
вое скругление» на вольт-амперной характеристике RSJ. В от-
отсутствие шумов характеристика описывается уравнением A2.11).
Вводя нормированное напряжение V=V/IoR и нормированный
ток /=///о, ее можно записать в следующем виде:
7=(У2 + 1I/2. A2.21)
Графическое изображение этой зависимости представлено на
рис. 12.5 (сплошная линия). В присутствии шумов вольт-ампер-
вольт-амперная характеристика изменяется, приобретая другую форму, схе-
схематично ее вид изображен на том же рисунке штриховой ли-
линией. Кох с сотр. провели количественный расчет шумового
скругления вольт-амперной характеристики при различных ус-
условиях, используя численные методы для решения соответствую-
соответствующих нелинейных дифференциальных уравнений. Эксперимен-
Экспериментальное подтверждение их теории, в том числе и явления шумо-
шумового сглаживания, было получено недавно при использовании
контактов Pb-InO^-Pb с шунтирующим сопротивлением из CuAl
величиной около 0,1 Ом [15].
12.5.4. Шум сквидов постоянного тока
Вышеупомянутый теоретический анализ тепловых шумов в
RSJ применим и в случае сквида постоянного тока, который в
сущности состоит из двух RSJ, включенных в сверхпроводящее
кольцо. На основе этой теории Кох с сотр. [16] установили, что
предельная чувствительность определяется энергией нулевых
флуктуации в сопротивлениях, шунтирующих контакты, и что
при оптимальных условиях эти флуктуации приводят к эквива-
эквивалентной энергии шума, равной йсо. В предположении оптималь-
оптимальной связи с входом, это соответствует шумовой температуре уси-
усилителя, приблизительно равной hf/k\n2, где f — частота сигнала.
Поскольку эта шумовая температура равна предельной величи-
величине, устанавливаемой принципом неопределенности, теоретически
чувствительность сквида в пределе низких темпратур равна чув-
чувствительности идеального линейного усилителя.
В последнее время прилагалось немало усилий, чтобы соз-
создать сквид постоянного тока с чувствительностью, приближаю-
приближающейся к теоретическому пределу. Кетчен и Восс [13] создали
прибор, работающий при 4,2 К, с энергетической чувствитель-
чувствительностью на единицу частоты, составляющей 5 h. Это более чем
на порядок лучше того, что было достигнуто в более ранних
приборах [5, 8].

330 Глава 12
12.5.5. Шум радиочастотных сквидов
Абсолютный предел чувствительности сквида постоянного-
тока при нулевой температуре устанавливается принципом не-
неопределенности. Абсолютный предел шумового тока, так же
как и другие факторы, ограничивающие чувствительность реаль-
реальных устройств на джозефсоновских контактах, обсуждались
Куркиярве [17] и Леггеттом [18]. Они же приводят обширную*
библиографию последних работ, относящихся к данной про-
проблеме.
ЛИТЕРАТУРА
1. V. Ambegaokar, В. I. Halperin A969), Voltage due to thermal noise in the-
d. с Josephson effect, Phys. Rev. Lett., 22, 1364—1366.
2. P. W. Anderson, J. M. Rowell A963), Probable observation of the Josephsoir
superconducting tunnelling effect, Phys. Rev. Lett., 10, 230—232.
3. J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer A957), Theory of superconductivity,
Phys. Rev., 108, 1175—1204.
4. J. Clarke A973), Low-frequency applications of superconducting quantum
interference devices, Proc. IEEE, 61, 8—19.
5. J. Clarke, W. M. Goubau, M. B. Ketchen A975), Thin film d. с SQUID with
low noise and drift, Appl. Phys. Lett., 27, 155—156.
6. L. N. Cooper A956), Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas, Phys.
Rev., 104, 1189—1190.
7. P. K. Hansma, G. I. Rochlin, J. N. Sweet A971), Externally shunted Joseph-
son junctions: generalized weak links, Phys. Rev., 43, 3003—3014.
8. J. H. Hollenhorst, R. P. Gifford A979), High sensitivity microwave SQUID,.
IEEE Trans. Mag., MAG—15, 474—477.
9. Yu. M. Ivanchenko, L. A. Zil'berman A968), Destruction of Josephson cur-
current by fluctuations, JETP Lett., 8, 113—115. (Originally published iiu
ZhETF Pis. Red., 8, 189—192, 1968.)
10. R. C. Jaklevic, J. Lambe, A. H. Silver, J. E. Mercereau A964), Quantum
interference effects in Josephson tunnelling, Phys. Rev. Lett., 12, 159—
160.
11. B. D. Josephson A962), Possible new effects in superconductive tunnelling,,
Phys. Lett., 7, 251—253.
12. H. Kanter, F. L. Vernon Jr. A970), Current noise in Josephson point contacts,.
Phys. Rev. Lett, 25, 588—590.
13. M. B. Ketchen, R. F. Voss A979), An ultra-low-noise tunnel junction d. с
SQUID, Appl. Phys. Lett, 35, 812—815.
14 R. H. Koch, D. J. Van Harlingen, J. Clarke A980), Quantum-noise theory for
the resistively shunted Josephson junction, Phys. Rev. Lett., 45, 2132—
2135.
15. R. H. Koch, D. J. Van Harlingen, J. Clarke A981a), Quantum noise in Joseph-
son junctions and SQUIDs, Proc. of the Sixth Int. Conf. on Noise in Physi-
Physical Systems, held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD;
USA, April 6—10 1981, pp. 359—363.
16. R. H. Koch, D. J. Van Harlingen, J. Clarke A981b), Quantum noise theory
for the d. с SQUID, Appl. Phys. Lett., 38, 380—382.
17. J. Kurkijarvi A981), Ultimate sensitivity of an a. c. SQUID, Proc. of the
Sixth Int. Conf. on Noise in Physical Systems, held at the National Bureau
of Standards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 373—375.
18. A. J. Leggett A981), Quantum tunnelling and noise in SQUIDs Proc. o?

Приборы с джозефсоновскими контактами 331
the Sixth Int. Conf. on Noise in Physical Systems, held at the National
Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA, April 6—10, 1981, pp. 355—
358.
19. K. K. Likharev, V. K. Semenov A972), Fluctuation spectrum in superconduc-
superconducting point junctions, JETP Lett., 15, 442—445. (Originally published in
ZhETF Pis. Red., 15, 625—629, 1972.)
20. F. London, H. London A935), The electromagnetic equations of the supra-
conductor, Proc. Roy. Soc. Load., A149, 71—88.
21. W. Meissner, R. Ochsenfeld A933), Ein neuer Effekteintritt der Supraleitfa-
higkeit, Naturwiss., 21, 787—788.
22. R. de Bruyn Ouboter, A. Th. A. M. de Waele A970), Superconducting point
contacts weakly connecting two superconductors, in Progress in Low Tem-
Temperature Physics, vol. 6 (editor С J. Gorter), Amsterdam, London, North-
Holland, pp. 243—290.
23. J. M. Rowell A963), Magnetic field dependence of the Josephson tunnel
current, Phys. Rev. Lett., 11, 200—202.
24. D. J. Scalapino A967), Proc. of the Symposium on the Physics of Supercon-
Superconducting Devices, University of Virginia, USA (unpublished).
25. M. J. Stephen A969), Noise in the a. c. Josephson effect, Phys. Rev., 182,
531—538.
26. A. van der Ziel, E. R. Chenette A978), Noise in solid state devices, in
Advances in Electronics and Electron Physics, 46, 313—383.
127. A. N. Vystavkin, V. N. Gubankov, L. S. Kuzmin, K. K. Likharev, V. V. Migu-
lin, V. K. Semenov A974), S-c-S junctions as non-linear elements of micro-
microwave receiving devices, Phys. Rev. Appl., 9, 79; see also A975), 'Non-Joseph-
son* radiation from the cavity containing a superconducting point contact
junction, IEEE Trans. Mag., MAG—11, 834—837.
28. W. W. Webb A972), Superconducting quantum magnetometers, IEEE Trans.
Mag., MAG—8, 51—60.

13
Детекторы гравитационного
излучения
13.1. Введение
Общая теория относительности Эйнштейна [10] предсказыва-
вает, что массы, совершающие ускоренное движение, излучают
гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью све-
света. Согласно теории, гравитационное поле в любой точке описы-
описывается тензором, поэтому потенциал задается десятью числами.
(Существуют теории, альтернативные тензорной, например тео-
теория Бранса — Дике [5], являющаяся модификацией теории Эйн-
Эйнштейна. Она предсказывает существование смешанного скаляр-
но-тензорного излучения. Однако, поскольку в настоящей главе
обсуждаются вопросы детектирования гравитационных волн,,
различие между типами гравитационного излучения является
несущественным.) В отличие от электромагнитных волн, кото-
которые генерируются дипольными источниками, наинизшим массо-
массовым мультиполем, который может генерировать гравитационное
излучение, является квадруполь. Излучение представляет собой
распространяющееся изменение кривизны пространства — време-
времени. Генерируемое высокоэнергетическими космическими источ-
источниками, подобно волнам на поверхности моря, оно движется во
Вселенной. Источниками гравитационного излучения могут яв-
являться коллапсы звезд, рождение сверхновых, пульсары, соуда-
соударения черных дыр и быстро вращающиеся двойные звезды.
Периодические решения уравнений гравитационного поля
были получены Эйнштейном в 1915 г. Они представляют собой
теоретическое доказательство существования гравитационного
излучения. В то время даже не ставился вопрос о том, чтобы по-
попытаться детектировать гравитационное излучение и, таким об-
образом, проверить теорию, потому что не существовало способа
провести чрезвычайно сложный эксперимент и обеспечить чув-
чувствительность, достаточную для регистрации предельно малых
потоков энергии, предсказываемых теорией. Только в 1958 г.
были предприняты первые попытки создать детектор гравита*
ционного излучения. Первооткрывателем в этой области стал
Джозеф Вебер, сконструировавший антенну для регистрации
гравитационных волн, которую сейчас называют «веберовской
болванкой». Вебер приложил много усилий, чтобы изолировать
свои детекторы от воздействия паразитных акустических, элект-

Детекторы гравитационного излучения 333
ромагнитных и сейсмических сигналов, кроме того, он применил
метод регистрации совпадений на двух детекторах, причем один
находился в университете Мэриленда, другой — в Аргоннской на-
национальной лаборатории близ Чикаго, оба были удалены друг
от друга на расстояние 1000 км. Это было сделано для того, что-
чтобы минимизировать влияние локальных шумов на каждый де~
тектор. Через десять лет после начала своих исследований Ве-
бер опубликовал серию статей, в которых он доложил об одно-
одновременном наблюдении импульсных сигналов на обоих детекто-
детекторах [26, 27]. Он приписал их воздействию гравитационного
излучения, генерируемого внеземным источником. Он также об-
обнаружил, что частота появления импульсов изменяется в зависи-
зависимости от времени суток. В течение нескольких месяцев он
регистрировал частоту появления событий в зависимости от
звездного времени (это время измеряется относительно непод-
неподвижных звезд и отличается от солнечного примерно на 4 мин в
день) и обнаружил пики с 12-часовым интервалом. Наличие та-
таких пиков можно объяснить, учитывая направленность отклика
детектора. Он максимален, когда сигнал приходит со стороны
боковой поверхности детектора, и минимален, когда сигнал при-
приходит в аксиальном направлении. Поскольку детекторы (их оси
в экспериментах Вебера были ориентированы в направлении
запад — восток) вращаются вместе с Землей, которая прозрачна
для гравитационного излучения, 12-часовая периодичность в
их откликах могла бы возникнуть, если бы существовало выде-
выделенное направление прихода излучения. Согласно Веберу, он на-
наблюдал сигналы, приходящие из центра Галактики или, воз-
возможно, из противоположного направления, в котором, кстати,,
расположена Крабовидная туманность.
Энергия сигналов, о которых сообщал Вебер, значительно
превышала тот уровень, который можно было ожидать согласно
теоретическим оценкам. Многие физики считали, что он вообще
не должен был ничего наблюдать. Если предположить, что ис-
источники излучения находятся в центре Галактики, то сигналы
его детекторов соответствовали таким потокам энергии, которые
могли бы генерироваться источниками с необычайно высокой
энергией и в которых масса превращается в гравитационное из-
излучение с невероятно большой эффективностью. Как показали
оценки [17], каждый веберовский импульс требовал превраще-
превращения в излучение около тридцати солнечных масс. Это можно
было объяснить столкновением двух черных дыр. Такой меха-
механизм подходит для объяснения одного импульса, однако вели-
величина конверсии массы в излучение, необходимая для объяснения
всей совокупности веберовских всплесков, настолько велика, что
вся масса галактического центра должна была бы излучиться
за время, составляющее 1/1000 возраста Вселенной. Такой вы-

334 Глава 13
вод приводит к очевидным трудностям. Их можно обойти, пред-
предположив, что мы живем в привилегированное время, когда га-
галактический центр необычайно активен в смысле генерации гра-
гравитационного излучения или что Земля находится в привилеги-
привилегированном пространственном расположении близко к локально-
локальному источнику гравитационного излучения. Существует мало
убедительных доказательств в пользу любой из этих гипотез.
Утверждения Вебера вызвали значительный интерес как сре-
среди теоретиков, так и экспериментаторов. Они заставили около
десяти научных групп во всем мире начать поиск гравитацион-
гравитационного излучения с целью подтверждения наблюдений Вебера. Не-
Независимая проверка не подтвердила его результаты, и даже те-
теперь, спустя более чем десятилетие, веберовские сигналы оста-
остается необъясненными. Но какова бы ни была их природа,
общепризнано, что они обусловлены не гравитационным излуче-
излучением. Тем не менее важно подчеркнуть, что основополагающие
работы Вебера открыли новую область исследований в астроно-
астрономии, и, как результат, в настоящее время созданы гораздо более
чувствительные детекторы гравитационных волн, чем первая
веберовская антенна. Чувствительность этих новых детекторов
приближается к той, которая необходима, чтобы обнаружить
сигналы, уровень которых следует из теоретических оценок. Та-
жим образом, вполне возможно, что в недалеком будущем гра-
гравитационное излучение будет зафиксировано вполне однозначно,
подтвердив таким образом предсказание Эйнштейна.
13.2. Детекторы гравитационных волн
Гравитационное и электромагнитное излучения имеют неко-
некоторые общие черты. Однако если электромагнитные волны вза-
взаимодействуют только с электрическими зарядами или токами, то
гравитационные волны взаимодействуют со всеми формами
энергии или материи. Чувствительность детектора гравитацион-
гравитационных волн определяется его массой и размером, причем предпоч-
предпочтительно использовать в качестве антенны наибольшие из дос-
доступных твердых тел. Наиболее массивным объектом, имеющим-
имеющимся в распоряжении человека, является сама Земля, и она серь-
серьезно рассматривалась как возможный детектор гравитационных
волн. Гравитационная волна, проходящая через Землю, возбуж-
возбуждает квадрупольные моды колебаний с собственными частотами,
составляющими примерно несколько колебаний в час. Из анали-
анализа сейсмограмм земной активности Вебер [25] установил верх-
верхний предел потока энергии гравитационного излучения, падаю-
падающего на Землю. Он оказался равным 3-Ю4 Вт-м^-Гц на час-

Детекторы гравитационного излучения 335»
тоте 0,3 мГц. Конечно, как детектор гравитационного излучения
Земля очень шумна. Это связано с довольно интенсивными сей-
сейсмическими и метеорологическими возмущениями. Луна горазда
более спокойна, и на этом основании она может рассматривать-
рассматриваться в качестве альтернативы Земле как очень низкочастотный
резонансный детектор. Определенный интерес вызывает исполь-
использование лазерных дальномеров для точного измерения расстоя-
расстояния, например, между Землей и Луной или искусственными
спутниками. Изменения гравитационного поля приводят к изме-
изменению расстояния между удаленными телами и таким образом
возможно осуществить регистрацию гравитационного излуче-
излучения. Серьезной проблемой в применении этой техники является
ее недостаточная чувствительность.
Теоретический анализ показывает, что гравитационное из~
лучение, возникающее в финальной стадии коллапса звезды ли-
либо при образовании черной дыры, либо при столкновении двух
черных дыр, имеет форму импульса миллисекундной длительно-
длительности. Спектральные компоненты такого импульса в основном со-
сосредоточены в килогерцовой области частот. Чтобы зарегистри-
зарегистрировать такие импульсы, Вебер [23, 24] сконструировал антенну,-
представляющую собой цилиндр из алюминиевого сплава, дли-
длиной приблизительно 1,5 м, диаметром 0,6 м, имеющий массу око-
около 1,5 т и резонансную частоту основной продольной моды
1661 Гц. На образующей цилиндра в его средней части были
приклеены пьезоэлектрические керамические преобразователи,
которые регистрировали продольную моду колебаний. Цилиндр
Вебера, или болванка, как его иногда называют, подвешивался
на одной петле из проволоки, как показано на рис. 13.1, а, и по-
помещался в вакуумную камеру, чтобы устранить влияние акусти-
акустических помех. Все устройство устанавливалось на антисейсмиче-
антисейсмической платформе, состоящей из чередующихся слоев резины ш
стали. Детектор такого типа имеет очень острый резонанс с доб-
добротностью порядка 105 и выше. Массивные резонаторы, создан-
созданные после основной конструкции Вебера и обладающие более-
высокой чувствительностью благодаря охлаждению до темпера-
температуры жидкого гелия, используются и по сей день (см., например,
[16]). Существует также другая конструкция, предложенная
Питером Аплиным из Бристольского университета и проанали-
проанализированная Гиббонсом и Хоукингом [15]. Здесь болванка раз-
разрезана на две идентичные части, и преобразователи установле-
установлены между ними (рис. 13.1,6). Древер [7] был одним из первых,
кто работал с таким детектором. Разрезанная болванка имеет
лучший коэффициент электромеханического преобразования, но-
значительно более низкую добротность Q~1000. Приведенный
ниже анализ можно использовать для сравнения этих двух сис-
систем и прогноза их чувствительности.

336
Глава 13
Поле гравитационной волны, падающей на веберовскую бол-
болванку или разрезную болванку сбоку, возбуждает в ней колеба-
колебания на основной продольной моде при условии, что сигнал имеет
спектральные компоненты на резонансной частоте детектора.
Наиболее просто отклик антенны можно объяснить, если рас-
рассматривать гравитационную волну как флуктуацию постоянной
гп /fa/?
VraMns
НалиброВочный
импульс
Рис. 13.1.
а — веберовская болванка с преобразователями, приклеенными к поверхности цилиндра
¦из алюминиевого сплава; б — разрезная болванка с преобразователями, вставленными
между двумя цилиндрами из алюминиевого сплава. Металлические пластины, помещен-
помещенные параллельно торцевым поверхностям болванки, служат для подачи калибровочного
электрического импульса раскачки системы.
тяготения Ньютона. (Структуры сил в тензорной и скалярной
волнах различны, но это не важно для качественного рассмотре-
рассмотрения вопроса.) Когда волна проходит через болванку, ее центр
масс остается в покое (это эквивалентно утверждению, что бол-
болванка находится в состоянии свободного падения и что гравита-
гравитационное притяжение, направленное к центру Земли, незначи-
незначительно), но в других точках болванки действуют сжимающие
или растягивающие силы, так что она начинает «звенеть». Ожи-

Детекторы гравитационного излучения 337
даемая амплитуда колебаний очень мала. Например, Вебер в
своем эксперименте регистрировал амплитуды смещений торцов
болванки около 10~16 м. Эта величина на порядок меньше, чем
радиус электрона! Столь слабый отклик детектора связан с дву-
двумя обстоятельствами: приходящие сигналы сами по себе очень
малы, например Земля, вращающаяся вокруг Солнца, излучает
около 1 кВт мощности в виде гравитационных волн; взаимодей-
взаимодействие излучения с антенной также чрезвычайно слабо.
При работе с такими малыми сигналами предельная чувст-
чувствительность детектора неизбежно определяется шумами. В ре-
резонансных массивных детекторах, таких, как веберовская бол-
болванка или разрезная болванка, существуют три основных ис-
источника шума, а именно: броуновское движение болванки, теп-
тепловой шум преобразователя и шум первого каскада усилителя.
Как указывалось выше, в современном гравитационном экспе-
эксперименте проявляется тенденция к существенному снижению шу-
шумов и, следовательно, увеличению чувствительности путем ох-
охлаждения системы до гелиевых температур. Не менее важно
разработать оптимальные фильтры для максимизации отноше-
отношения сигнал — шум на выходе системы. Проблема фильтрации,
связанная с восстановлением импульсного сигнала, воздействую-
щего на высокодобротный детектор, обладающий собственными
шумами, составляет основное содержание этой главы. Однако
сначала рассмотрим относительно простой случай нерезонанс-
нерезонансного реактивного преобразователя, чтобы установить минималь-
минимальную порцию энергии, которую можно обнаружить с помощью
такого датчика. Это позволит ввести необходимые понятия и
показать, как ими пользоваться.
13.3. Минимальная обнаруживаемая энергия
Схема нерезонансного реактивного преобразователя пред-
представлена на рис. 13.2,а. Отметим, что она является низкочастот-
низкочастотным электрическим фильтром с постоянной времени Ti=R\Cu
соответствующей частоте отсечки, равной BпТ\)~1. Напряжение,
возникающее на выходе преобразователя, состоит из сигнальной
компоненты vs(t), обусловленной входным импульсом, и компо-
компоненты теплового шума vn{t), связанной с потерями в сопротив-
сопротивлении преобразователя. Предполагается, что в отсутствие вход-
входного сигнала цепь находится в тепловом равновесии с окружаю-
окружающей средой, имеющей температуру 6. Существуют два подхода
к вопросу о минимальной энергии, которая может быть заре-
зарегистрирована в такой цепи. Они приводят к совершенно раз-
различным заключениям. Рассмотрим первый подход.

338
Глава 13
Импульс с
энергией Wc
Рис. 13.2
а — нерезонансный реактивный преобразователь с импульсом на входе; б — эквивалент-
эквивалентная схема с параллельно включенными генераторами тока сигнала и шума.
Отношение сигнал — шум на выходе можно выразить через
энергию, выделенную входным импульсом и запасенную в ем-
емкости. Поскольку энергия поступившего импульса поглощается
в цепи, напряжение на емкости увеличивается и достигает пико-
пикового значения vp. При этом запасенная энергия сигнала имеет
вид
W^C^/2. A3.1)
Запасенная в конденсаторе средняя энергия тепловых шумов,
генерируемых сопротивлением, описывается выражением
Ц7„ = ад/2 = Ае/2, A3.2)
где v2n — значение среднего квадрата напряжения тепловых
шумов. Второе равенство следует из условия равнораспределе-
равнораспределения. Определяя отношение сигнал — шум как v2p/v2n, получаем
Сигнал—шум = -^г- =
2WS
?0
A3.3)
Отсюда следует, что минимальная регистрируемая энергия в им-
импульсе составляет ?0/2.
Данные рассуждения не принимают во внимание спектраль-
спектральные характеристики сигнала и шума, Поэтому кажется весьма
привлекательной идея усилить спектральные компоненты ситна-

Детекторы гравитационного излучения
339
ла и подавить компоненты шума соответствующей фильтрацией
выходного сигнала и таким образом достигнуть улучшения в
смысле регистрации минимальной энергии. Однако, если для
этой цели использовать пассивный фильтр, находящийся при
той же самой температуре, что и преобразователь, никакого
улучшения добиться невозможно, так как фильтр подчиняется
тем же самым законам термодинамики, что и сам преобразова-
преобразователь. Шум, присущий фильтру, приводит к тому, что минималь-
минимальная регистрируемая энергия не может быть меньше ?0/2.
-TJ2 О TJ2 t
а
О sr/rs2*/rs
Рис. 13.3.
а — единичный импульс; б — спектр мощности (масштаб по оси ординат выбран произ-
произвольно).
Но если бы были сняты термодинамические ограничения и
уничтожен или по крайней мере частично уменьшен тепловой
шум на выходе контура, то минимально регистрируемая энергия
могла бы быть сделана меньше ?0/2. Существует несколько пу-
путей достижения таких условий. Это, например, охлаждение вы-
выходной цепи ниже температуры окружающей среды или исполь-
использование линии задержки, как предлагал Медер [18]. Третий
способ, возможно, наиболее подходящий, состоит в использова-
использовании активного фильтра [11], на который не распространяются
ограничения, налагаемые вторым законом термодинамики. Под-
Подход, связанный с применением активного фильтра, привлекает
своей простотой, а также тем, что он позволяет реализовать про-
произвольную рациональную систему функций в качестве переда-
передаточной характеристики, не внося сколько-нибудь значительного
шума.
Если на выходе преобразователя включен соответствующий
активный фильтр, то расчет минимальной обнаруживаемой
энергии отличается от того, что дан выше для равновесного слу-
случая. Теперь необходимо принять во внимание спектры сигнала

340 Глава 13
и шума. Для понимания эффекта важно отметить, что фильтру-
фильтрующее действие преобразователя проявляется для высокочастот-
высокочастотных спектральных компонент импульса.
Эквивалентная схема преобразователя изображена на
рис. 13.2,6. Генераторы тока is(t) и in(t) представляют на ней
импульсный сигнал и шум сопротивления R\ соответственно. На
рис. 13.3,а изображен сигнал, представляющий собой единичный
прямоугольный импульс длительностью TS<^T\ и амплитудой im.
Его энергетический спектр представлен на рис. 13.3,6. Заметим,
что основная часть энергии импульса сосредоточена в области
угловых частот ниже n/Ts. Полная мощность шумов внутри этой
полосы имеет вид
V-&-. A3-4)
Это выражение представляет собой просто формулу Найквиста
для спектральной плотности мощности теплового шума на со-
сопротивлении /?ь умноженной на полосу сигнала BTs)~l. Если
теперь выполняется условие малой длительности импульса
TS<^TU пиковое значение напряжения сигнала на емкости опи-
описывается выражением
A3.5)
Используя уравнение A3.1), получаем выражение для запасен-
запасенной энергии
A3.6)
Таким образом, определяя отношение сигнал — шум как i2mli2n>
запишем его в следующем виде:
Сигнал—шум = -^- = 4^- -Ь-. A3.7)
in2 kQ Ts
Согласно этому результату, минимальная обнаруживаемая
энергия равна {Ts/Ti)kQ. Это в 2TS/Ti раз меньше величины
?9/2, которая получается из уравнения A3.3).
Такое улучшение происходит по следующей причине. Из рас-
рассмотрения эквивалентной схемы, изображенной на рис. 13.2,
видно, что полоса частот сигнала много шире, чем полоса преоб-
преобразователя, который действует как фильтр низкочастотного про-
пропускания. Поэтому высокочастотные компоненты сигнала ослаб-
ослабляются преобразователем, что приводит к уменьшению пиково-
пикового напряжения на конденсаторе. Как следует из уравнения
A3.5), квадрат пикового напряжения на преобразователе умень-
уменьшается как квадрат ширины полосы пропускания. Шум также
уменьшается в результате низкочастотной фильтрации, но мощ-

Детекторы гравитационного излучения
341
ность шума изменяется пропорционально ширине полосы про-
пропускания. В результате происходит уменьшение отношения сиг-
сигнал — шум, когда обрезаются высокочастотные компоненты сиг-
сигнала и шума. Это соответствует случаю, когда мы пользовались
рассмотренным выше первым вариантом рассуждения, приводя-
приводящим к уравнению A3.3). Когда высокочастотные компоненты
сигнала и шума сохраняются, достигается соответствующее уве-
увеличение отношения сигнал — шум. Второй вариант анализа при-
приводит к уравнению A3.7).
Ясно, чтобы достигнуть улучшения отношения сигнал — шум,
согласно уравнению A3.7), необходимо расширить полосу вы-
Ut)
Рис. 13.4. Блок-схема реактивного преобразователя и активного фильтра с
соответствующими передаточными функциями HT{s) и HA(s).
ходного сигнала, не вводя заметных шумов. Предполагая, что
это можно сделать с помощью активного фильтра, как было
предложено выше, схематически изобразим систему, как показа-
показано на рис. 13.4. Функцией системы HT(s), где s — комплексная
угловая частота, является передаточная функция ток — напря-
напряжение для RC-цепи, изображающей преобразователь
"-™ = *1 9 цщ
а На (s) — передаточная функция активного фильтра, включен-
включенного на выходе преобразователя. Сначала мы будем предпола-
предполагать, что активный фильтр не имеет собственных шумов, но поз-
позже при рассмотрении гравитационных антенн, будет учитывать-
учитываться шум выходных электронных устройств. Для HA(s) подходит
следующая функция:
- 1+sTl
A3.9)
где Ti^>T2~Ts. (Строго говоря, такая функция в уравнении
A3.9) не может быть реализована, так как имеет бесконечную
ширину полосы пропускания. Однако эту трудность можно обой-
обойти, несколько изменив приведенную выше форму Ha(s), что
практически не сказывается на настоящем рассмотрении.) Сум-

342 Глава 13 .
марная передаточная функция определяется произведением
уравнений A3.8) и A3.9)
H(s) = HT(s)HA(s)= ^
Таким образом, полная система действует как фильтр низкочас-
низкочастотного пропускания, но с частотой отсечки много большей, чем
частота отсечки самого преобразователя. Это как раз то увели-
увеличение ширины полосы пропускания, которого мы добивались.
Очевидно, что активный фильтр, используемый в сочетании
с нерезонансным преобразователем, может дать существенное
увеличение отношения сигнал — шум. Этот метод применим так-
также для высокодобротных детекторов гравитационных волн.
Здесь может быть достигнуто аналогичное улучшение отношения
сигнал — шум.
13.4 Восстановление сигнала
гравитационной антенны
Как разрезная, так и веберовская болванки являются высо-
высокодобротными механическими системами, связанными с преоб-
преобразователями из пьезоэлектрической керамики. Электрические
характеристики керамики эквивалентны характеристикам па-
параллельного RC-контура. Чтобы определить отклик антенны на
гравитационную волну, необходимо рассмотреть эквивалентную
схему полной электромеханической системы.
13.4.1. Эквивалентная схема резонансной
массивной антенны
Идеализированное изображение веберовской или разрезной
болванки состоит из пары масс, соединенных пружиной, как по-
показано на рис. 13.5. Такая система имеет единственную резонан-
резонансную частоту, которую можно сопоставить продольной моде ко-
колебаний реальной антенны. Эквивалентной схемой идеализиро-
идеализированного детектора, соответствующей настоящему рассмотрению,
является последовательный LCR-контур. Полная эквивалентная
схема антенны гравитационных волн с преобразователем ее ко-
колебаний в электрический сигнал изображена на рис. 13.6. Эта
эквивалентная схема была первоначально предложена Вебером
[26], затем она использовалась в общем расчете детектора гра-
гравитационных волн, выполненного Феллгеттом и Шамой [12]. Де-
Детальный анализ цепи, включая обсуждение вопросов применения
активных фильтров для увеличения отношения сигнал —шум,

Детекторы гравитационного излучения
343
сделан Букингемом и Фолкнером [6]. Их работа лежит в основе
приведенного ниже анализа.
В эквивалентной схеме (рис. 13.6) элементы цепи с индек-
индексом В относятся к болванке, vs(t) представляет собой сигнал,
возникающий в болванке благодаря действию импульса грави-
гравитационного излучения, Ст и Gt — реальные емкость и проводи-
проводимость пьезоэлектрического преобразователя. Электромеханиче-
екая связь между болванкой и преобразователем характеризует-
Падающие грабитационныв
долны
Рис. 13.5. Упрощенная схема резонансного детектора.
ся параметром р, который определяется следующим образом:
Электрическая энергия, запасенная в СТ (разомкнутая цепь)
Р "~ Упругая энергия, запасенная в механической системе
В интересующей нас области частот тангенс угла диэлектриче-
диэлектрических потерь керамики, обычно применяемой в качестве преобра-
преобразователей (цирконат, титанат свинца, титанат бария), очень
мал, и коэффициент связи определяется отношением
= Lift/Li^ <^ 1. ^lo.llj
Фактическая величина р зависит от свойств пьезоэлектрического
преобразователя и степени электромеханической связи между
ним и болванкой. Но даже при оптимальных условиях невоз-
невозможно достигнуть величины р, большей 0,3. В разрезной болван-
болванке электромеханическая связь довольно сильна, и величина р
принимает значение, близкое к теоретическому максимуму около
0,1, но ввеберовской антенне преобразователь гораздо слабее свя-
связан с механической системой, поэтому р оказывается на несколь-
несколько порядков меньше по величине.

344
Глава 13
Эквивалентная схема, изображенная на рис. 13.6, будет пол-
полной, если элементы цепи, представляющие болванку, выразить
через параметры системы болванка — преобразователь, а напря-
напряжение генератора сигнала — через внешнюю силу МО» прило-
приложенную к болванке. Обозначая через <оо угловую собственную
частоту колебаний болванки, через Qb— ее механическую доб-
добротность, определенную при условии, что выходные клеммы пре-
ст
Рис. 13.6. Эквивалентная схема резонансной антенны гравитационных волн,
образователя закорочены, получаем
-1. A3.12)
Остается найти масштабный фактор, связывающий силу МО»
действующую на болванку, и напряжение эквивалентного гене-
генератора vs(t). Это можно сделать, приравняв энергии, сообщае-
сообщаемые соответствующим системам. Взаимодействие импульса силы
р— /fs{t)dt сообщает массам на рис. 13.5 энергию WM=p2/2M9
аналогично импульс потока ф= / vs(t)dt сообщает индуктивно-
индуктивности эквивалентного контура энергию WL=<p2/2LB. Приравнивая
WL и WMi находим масштабный коэффициент между напряже-
напряжением и силой
МО=/.(9
а.
м
A3.13)
Предполагая, что значения р, Qb и юо известны из простых пред-
предварительных измерений, выполненных на болванке, получаем,
что уравнений A3.12) и A3.13) достаточно, чтобы полностью
определить параметры эквивалентной схемы на рис. 13.6, а через

Детекторы гравитационного излучения
345
них установить абсолютный теоретический предел для чувстви-
чувствительности антенны.
13.4.2. Гравитационный импульс
В то время когда Вебер начинал свои исследования, харак-
характеристики гравитационных сигналов были неизвестны, отчасти
такое положение остается и сейчас. До тех пор пока гравита-
гравитационное излучение не будет надежно зарегистрировано, деталь-
детальная структура формы волны останется неясной. Однако на осно-
%(*> \
Рис 13.7.
а — двойной прямоугольный импульс с общей площадью, равной нулю; б — спектр мощ-
мощности (масштаб по оси ординат выбран произвольно).
ве теоретических рассуждений можно предположить, что внезем-
внеземные источники, такие, как звездный коллапс, дают двойные им-
импульсы гравитационного излучения длительностью около 1 мс с
суммарной площадью, равной нулю. Пример такой волны пока-
показан на рис 13.7, а. Здесь за прямоугольным импульсом, подоб-
подобным изображенному на рис. 13.3,а, следует такой же импульс
противоположной полярности. Такая форма импульса позволяет
проанализировать отклик антенны на воздействие гравитацион-
гравитационной волны. Более детальный учет формы импульса не меняет су-
существенно результата.
Энергетический спектр двойного импульса представлен на
рис. 13.7,6. Отметим, что пик спектра смещен относительно нача-
начала координат и спектральная плотность падает до нуля на час-
частоте, равной приблизительно 1/27V Из рассмотрения формы
спектра следует, что расширением полосы выходного контура,
как описано в разд. 13.3, можно достигнуть улучшения отношё-

346
Глава 13
Рис. 13.8.
о — эквивалентная схема антенны с шумовыми генераторами vnB(t) и inT(t), представ-
представляющими броуновское движение болванки и шум преобразователя; 6 — преобразованная
эквивалентная схема с шумовыми генераторами, приведенными ко входу.
рия сигнал — шум даже большего, чем в предыдущем случае
нерезонансного преобразователя и одиночного импульса. Но та-
каяпроцедура не является оптимальной, потому что спектр
двойного импульса имеет максимум на ненулевой частоте. Мож-
Можно, достигнуть даже лучшего отношения сигнал — шум, поставив
на выходе преобразователя активный фильтр с такой передаточ-
передаточной функцией, что отклик полной системы регистрации, вклю-
включая болванку, на внешнее воздействие возникает в некоторой
полосе частот. Ниже приведен соответствующий анализ.

. Детекторы гравитационного излучения 347
13.4.3. Генераторы шумов в эквивалентной схеме
На рис. 13.8,а приведена эквивалентная схема резонансной
антенны, содержащая источник теплового шума, связанный с
броуновским движением в болванке и потерями в преобразова-
преобразователе. Используя теорему Тевенина, генератор шумового тока
inr{t) можно отнести ко входу, как показано на рис. 13.8Д
Спектральные плотности напряжения двух генераторов шума на
входе схемы описываются выражениями
A3.14)
,|2, A3.151
где ZB — импеданс последовательного ЬвСвИв-контура
(co-(o0). A3.16)
Использованное здесь приближение справедливо в окрестности
резонансной частоты.
Необходимость в применении активного фильтра, обеспечи-
обеспечивающего полный отклик в полосе частот, становится понятной,
если приближенное выражение A3.16) подставить в уравнение
A3.15). Это дает
SDnTH = 4kQGT [RB2+4LB* (co-cdoJ]. A3.17)
Если это выражение проинтегрировать по частотам, то член с
индуктивностью дает вклад в шум, пропорциональный кубу по7
лосы частот. Так как пиковое значение квадрата величины сиг-
сигнала изменяется пропорционально квадрату полосы (как в пре-
предыдущем случае одиночного импульса и нерезонансного преоб-
преобразователя), то при увеличении ширины полосы прдиуеканщ*
больше некоторого значения отношение сигнал,— шум 'наадед
падать. Таким образом, существует оптимальная ширина. №>лрь
сы пропускания полной системы, при которой отношение сиг-
сигнал—шум максимально.
13.4.4. Оптимальный фильтр
Входной импеданс фильтра, включенного на выходе преобра-
преобразователя, конечно, можетпрдошмаад лщEое значение, ,полпред*-
почтительно выбрать усилитель заряда с нулевым входным импе*
дансом. Для пьезоэлектрического датчика-это'былогбы естест*
веннр, н любом случае, й.нащем случае дак можно;

348
Глава 13
из рис. 13.8, он закорачивает преобразователь и препятствует
достижению шумом максимального значения на частотах, отлич-
отличных от сигнальной. Шум усилителя может быть представлен
обычным способом, т. е. последовательным включением генера-
генератора шумового напряжения и параллельным включением гене-
генератора шумового тока на входе усилителя. Спектральные плот-
плотности шумов могут быть выражены через эквивалентные шумо-
шумовые проводимости, которые в общем случае зависят от частоты.
Однако на практике для усилителя заряда в рассматриваемой
(t)
vs(t)
HJs)
Рис. 13.9. Блок-схема антенны с тремя шумовыми генераторами, связанными
с болванкой, преобразователем и усилителем; выходные напряжения сигнала
iis(t) и шума un(t).
области частот напряжение последовательно включенного генера-
генератора незначительно, а эквивалентная шумовая проводимость
GnA параллельно включенного генератора шумового тока не за-
зависит от частоты. Чтобы учесть влияние этого генератора шума
на отношение сигнал — шум всей системы, перенесем его, ис-
используя теорему Тевенина, на вход контура в виде последова-
последовательного генератора напряжения vnA(t) со спектральной плот-
плотностью
{\ZB\2. A3.18)
Этот вывод аналогичен тому, который был использован выше
для генератора шумового тока *Лг(/), представляющего шум
преобразователя.
Полная эквивалентная схема антенны, включающая все гене-
генераторы шумов и усилитель заряда, представлена на рис. 13.9.
Полная передаточная функция системы является безразмерным
отношением двух напряжений и выражается произведением
Hk(s)=HB(s)HA(s),
A3.19)
где Нв (s) = l/ZB (s) — передаточная функция «напряжение —
ток» болванки; Ha{s) —передаточная функция «ток — напряже-
напряжение» усилителя. Теперь можно определить полную передаточную
функцию системы H(s),. Как уже отмечалось, в оптимальном

Детекторы гравитационного излучения
349
случае функция H(s) должна ii
быть полосно-пропускающей Д
функцией с достаточно широ- "*.
кой полосой, включающей все §
основные частотные компонен- |.
ты сигнала. Ширина полосы _*
сигнала (короткий импульс) ^
велика по сравнению с шири-
шириной полосы болванки, так что ^
одна из функций активного
фильтра состоит в том, чтобы
расширить ширину полосы про-
пропускания всей системы. Здесь
существует аналогия с нерезо-
нерезонансным преобразователем,
^
о
Рис. 13.10. Частотная зависимость
когда активный фильтр расши- ^Дь «SSESi yp.SSSS
|(/)|, рд ур
A3.21) при Qm=5,5 и Q5=1000 (эти
добротности получены для разрез-
разрезной болванки).
ряет полосу пропускания, что-
чтобы исключить подавление вы-
высокочастотных спектральных
компонент сигнала.
Для H(s) подходит полосно-пропускающая функция четвер-
четвертого порядка
A3.20)
где Л— постоянный коэффициент; Qm<QB — мера полной поло-
полосы пропускания, оптимальную величину которой необходимо оп-
определить. Согласно уравнению A3.9), передаточная функция
Ha{s) активного фильтра, которая дает такой полный отклик,
определяется отношением H(s)fHB(s)^H(s)ZB(s)9 и, следова-
следовательно, из уравнений A3.16) и A3.20) получим
HA(s)-
A3.21)
Возможная схема реализации фильтра с такой передаточной
функцией предложена Букингемом и Фолкнером [6]. Фильтр
имеет глубокий узкий провал на частоте, соответствующей резо-
резонансной частоте болванки, как показано на рис. 13.10. Таким
образом, шум антенны, сконцентрированный в узкой полосе
вблизи частоты ее механического резонанса, сильно подавляется
фильтром, а спектральные компоненты относительно широкопо-

350
Глава 13
лосного сигнала проходят в пределах полосы пропускания филь-
фильтра по обе стороны от провала.
Фильтр предназначен для увеличения отношения сигнал —
шум на выходе. В оптимальном случае это отношение достигает
максимума. Остается определить величину Qm, при которой вы-
выполняются эти условия.
13.4.5. Отношение сигнал — шум
Схему системы, приведенную на рис. 13.9, можно предста-
представить в другой форме, показанной на рис. 13.11, где H(s) —пере-
—передаточная функция, описываемая уравнением A3.20). Значе-
Рис. 13.11. Полная эквивалентная схема детектора.
ние среднего квадрата шума на выходе системы дается инте-
интегралом
оо
[^^. A3-22)
где QT определяется следующим отношением:
где произведена замена s=/co, а спектральные плотности шумов
задаются выражениями A3.14), A3.15) и A3.18). После не-
несложных преобразований получаем
1 3 1 A3.23)
A3.24)
Отметим, что, кроме соо, все величины в этом выражении отно-
относятся исключительно к преобразователю и усилителю, а не к
болванке.
Хотя вывод о том, что функция H{s) должна быть полосно-
пропускающей функцией, основан н^ характере спектра двойно-
двойного импульса, имеющего максимальное значение на частоте, от^

Детекторы гравитационного излучения 3JH
лцчной от нулевой, можно вычислить пиковое значение сигнала
на\ выходе usp для единичной ступенчатой функции на входе,
имеющей величину ступеньки vm. Импульсная функция отклика
системы определяется обратным преобразованием H(s) [урав-
[уравнение A3.20)], и поэтому отклик на ступеньку определяется об-
обратным преобразованием функции A/5) ЯE). Он представляет
собой сигнал, осциллирующий с частотой, равной резонансной
частоте болванки, огибающая которого достигает пикового зна-
значения через время A/=2Qm/coo после момента приложения сту-
ступенчатого сигнала на входе. Величина этого пикового значения
¦определяется отношением
?, A3.25)
а соответствующая пиковая энергия, запасенная в болванке,—
отношением
w s = pLij<Vm /Z. \IO.4O)
Отношение сигнал — шум на выходе равно квадрату пиково-
пикового значения величины сигнала, деленному на среднеквадратич-
среднеквадратичное значение шума. Учитывая уравнения A3.23), A3.25) и
A3.26), оно может быть выражено в виде
A3.27)
где для упрощения расчетов используется условие $
применимое как в случае веберовской, так и разрезной болван-
болванки. Оптимальный фильтр по определению максимизирует значе-
значение этого выражения для величины сигнал — шум по отношению
к Qm. При этом легко находится оптимальное значение Qm:
A3.28а)
откуда следует
(Сигнал—шум)макс = -
Соответственно
Минимальная обнаруживаемая энергия =
Рассматриваемые совместно с выражением для времени разре-
разрешения оптимизированной системы, а именно
Д'ор4 = -^' 03.29)

352
Глава 13
уравнения A3.28) полностью определяют характеристики опти-
оптимизированной антенны, как устройства для регистрации сиг-
сигнала.
13.5. Сравнение веберовской болванки
с разрезной болванкой
Для оценки выражений, входящих в уравнения A3.28), необ-
необходимо определить численное значение величины Qt. В целях
сравнения выберем величину Qr=lО3. Она вполне достижима при
использовании керамических преобразователей и надлежащим
образом разработанного усилителя. Оценочные значения для р
и QB приведены в табл. 13.1, в которую включены также опти-
Таблица 13.1. Сравнительные характеристики оптимизированных
детекторов
Веберовская
болванка
Разрезная
болванка
©о/2я,
Гц
1660
1660
105
103
Р
10-5
ю-1
«г
103
103
QfnOpt
5480
5,48
Мин.
регистр,
энергия
0,269
0,0269
с
1
10
мальное значение Qm, минимальная регистрируемая энергия и
время разрешения веберовской и разрезной болванок при усло-
условии, что обе работают в оптимальных режимах.
Как следует из таблицы, в случае оптимизации параметров
детекторов минимальная энергия, регистрируемая разрезной
болванкой, в 10 раз меньше, чем регистрируемая веберовской
болванкой. Это объясняется тем, что сильная электромеханиче-
электромеханическая связь, достигаемая в разрезной болванке, компенсирует ее
недостаток, связанный с большими потерями в системе. Теорети-
Теоретическая чувствительность разрезной болванки, определяемая
уравнениями A3.28), была подтверждена экспериментально
Древером с сотр. [9].
В табл. 13.1 указана еще одна характеристика, по которой
веберовская и разрезная болванки имеют значительное отличие.
Это временное разрешение двух систем. При оптимальной вели-
величине Qm> указанной в таблице, время воздействия импульса на
веберовскую болванку не может быть определено с точностью,
лучшей, чем 1 с, что, конечно, гораздо хуже по сравнению с ве-
величиной 1 мс для оптимизированной разрезной болванки. В экс-
экспериментах с выделением совпадений на двух детекторах, про-

Детекторы гравитационного излучения 35$
веденных Вебером, крайне желательно иметь временное разре-
разрешение порядка нескольких миллисекунд, потому что именно на
такое время запаздывает импульс, когда гравитационное излуче-
излучение распространяется от одного детектора к другому, разделен-
разделенным расстоянием в 1000 км. Чтобы достигнуть этого на веберов-
ской болванке, величина Qm должна быть уменьшена по сравне-
сравнению с оптимальным значением 5500 в 1000 раз. Однако при та-
таких условиях, далеких от оптимальных, отношение сигнал — шум-
уменьшается в 500 раз. В пересчете на минимальную обнаружи-
мую энергию это означает, что веберовская болванка в 5000 раз*
менее чувствительна, чем разрезная,
13.6. Современное состояние работ
по детектированию гравитационного
излучения
Вскоре после опубликования первых работ Вебера в ряде ла-
лабораторий были созданы свои антенны гравитационных волн.
Некоторые были похожи, но не являлись точной копией веберов-
ской болванки (например, [4, 14, 21], другие представляли со-
собой болванки разрезного типа [1, 2, 9]). В некоторых экспери-
экспериментах была достигнута более высокая чувствительность, чем на
веберовских болванках, некоторые содержали один детектор,
другие — два и более детекторов, работающих по схеме совпаде-
совпадений. (Одного детектора вполне достаточно, чтобы доказать от-
отсутствие гравитационных импульсов с уровнем, превышающим
некоторый определенный порог. Чтобы доказать наличие таких
импульсов, необходимы два детектора и схема совпадений для
исключения ложной тревоги из-за случайных локальных помех.)
Были получены отрицательные результаты, или, в лучшем слу-
случае, ограничения на верхний предел. Обзор этих эксперимен-
экспериментальных исследований был сделан Древером [8].
К 1975 г. интенсивные усилия, предпринятые для обнаруже-
обнаружения гравитационных импульсов с помощью детекторов первого
поколения, т. е. алюминиевых болванок, работающих при ком-
комнатной температуре, были в основном завершены. Стало ясно,
что для обнаружения гравитационного излучения необходимо
создать второе поколение детекторов с более высокой чувстви-
чувствительностью. С точки зрения проведенного выше анализа, пока-
показавшего преимущества разрезной болванки перед веберовской
болванкой, можно заключить, что основой для дальнейшего со-
совершенствования должна быть разрезная болванка. Оказывает-
Оказывается, что это не так. Главная причина состоит в возникновении
почти непреодолимых проблем, связанных с сопряжением преоб-

354 Глава 13
разователей и болванки при их охлаждении до низких темпера*
тур.
Детекторы второго поколения охватывают широкую область
частот. Их удобно разделить на три категории: детекторы пер-
первой категории — это низкотемпературные варианты веберовских
болванок, выполненных из ниобия, монокристаллического сап-
сапфира, а также алюминия, охлаждаемые с помощью жидкого ге-
гелия до температур 1—4 К и предназначенные для работы в диа-
диапазоне частот около 1 кГц и выше; детекторы второй категории
пригодны для низких частот 10~4—10~2 Гц и основаны на допле-
ровской локации межпланетных космических аппаратов; детек-
детекторы третьей категории используются на промежуточных часто-
частотах между миллигерцовым и килогерцовым диапазонами, они
представляют собой лазерные интерферометры, работающие при
комнатной тмпературе. Ниже сообщается о последних достиже-
достижениях в каждом из этих направлений исследования.
13.6.1. Криогенные резонансные массивные
детекторы
Очевидный выигрыш, достигаемый при охлаждении резонанс-
резонансной антенны до низких температур, связан со значительным
уменьшением теплового шума. В такой системе фактором, огра-
ограничивающим предельную чувствительность детектора, может
стать уже шум преобразователя или выходных электронных
устройств. Преобразователи из пьезоэлектрической керамики,
подобные тем, которые использовались в веберовской и разрез-
разрезной болванках, не пригодны для использования в криогенных
системах. В связи с этим были разработаны новые, более совер-
совершенные датчики специально для гравитационных детекторов.
Они не подходят для разрезных антенн, поэтому все существую-
существующие низкотемпературные гравитационные антенны являются в
основном антеннами веберовского типа. Тем не менее в деталях
они имеют существенные различия.
Антенна, смонтированная в Стэнфорде, представляющая со-
собой массивный алюминиевый цилиндр весом 4800 кг, почти всег-
всегда находится в охлажденном состоянии при температуре 4,2 К
[19]. Сигнал антенны формируется индуктивным сверхпроводя-
сверхпроводящим преобразователем, установленным на торце болванки. За-
Затем он усиливается с помощью сквида (сверхпроводящего кван-
квантового интерферометра). Таким образом, в данном случае низ-
низкий уровень механических и электрических потерь в сверхпро-
сверхпроводниках используется для достижения малого шума в датчи-
датчиках. Механическая добротность ненагруженной болванки
фя = 2ХЮ6, и, как сообщают авторы, минимальная энергия, ре-
регистрируемая системой, составляет ЗХЮ~25 Дж. Это приблизи-

Детекторы гравитационного излучения 35S
тельно в 300 раз лучше, чем чувствительность разрезной болван-
болванки, указанная в табл. 13.1. Улучшение в первую очередь обус-
обусловлено уменьшением шума благодаря охлаждению.
Электромеханическая связь с сверхпроводящим преобразова-
преобразователем увеличена незначительно по сравнению с первой веберов^
ской болванкой.
Детекторы, подобные работающему в Стэнфорде, использу-
используются в других экспериментальных группах, в частности в Уни-
Университете шт. Луизиана (США), во Фраскати около Рима. Дат-
Датчик, применяемый луизианской группой, отличается от того, ко*
торый установлен на антенне в Стэнфорде. Движение торцов,
болванки вызывает модуляцию собственной частоты двух СВЧ-
резонаторов, которые входят в состав сверхпроводникового па-
параметрического усилителя.
Группа из Перта (Австралия) создает ниобиевую антенну,,
которая будет подвешена на сверхпроводящем подвесе. Масса
болванки составляет несколько десятков килограмм, механиче-
механическая добротность Q«108 при рабочей температуре около 4 К1}*
Другая оригинальная идея, предложенная В. Б. Брагинским из
Москвы [8], состоит в использовании болванок с относительно
небольшой массой 10—100 кг, изготовленных, например, из мо-
монокристалла сапфира. Определенные монокристаллы обладают
предельно низкими потерями. Механическая добротность сапфи-
сапфировых кристаллов, рассчитанная теоретически, составляет при-
приблизительно 10132). Как было показано в разд. 13.4.5, минималь-
минимальная энергия, регистрируемая резонансной антенной, уменьшает-
уменьшается при увеличении ее механической добротности. Именно по та-
такому пути совершенствования резонансных антенн идет москов-
московская группа. Они уже работают с сапфировыми кристаллами,,
механическая добротность которых превосходит Q = 109. Основ-
Основная трудность, возникающая при использовании столь высоко-
высокодобротных систем, связана с сопряжением антенны и датчика..
Оно должно быть таким, чтобы не вносить значительное допол-
дополнительное затухание в антенну. Московская группа применяет
емкостный СВЧ-датчик для регистрации колебаний антенны.
13.6.2. Слежение за спутниками
Низкочастотное гравитационное излучение в диапазоне
10~4—10~2 Гц можно регистрировать посредством доплеровской
локации положения межпланетных космических аппаратов. Ме-
!> В настоящее время группа из Перта работает с ниобиевой антенной
массой 1„5 т и механической добротностью 2-Ю8 при Т=4ч-6 К (Вейтч и др t
1984).
J) При температуре 0,5 К. * -

.356 Глава 13
тод основан на том, что гравитационная волна создает малые
относительные смещения Земли и удаленного космического ап-
аппарата, которые в свою очередь приводят к флуктуации допле-
ровского сдвига частоты сигналов, посылаемых на спутник и
отраженных от него. Первые серьезные попытки использовать
этот эффект планировалось предпринять в мае 1983 г. в экспери-
экспериментах, проводимых на борту двух спутников, одного американ-
американского, а другого европейского, предназначенных для исследова-
исследования Солнца. Конечно, самой серьезной трудностью при проведе-
проведении такого эксперимента является шум системы доплеровского
слежения. Он обусловлен целым рядом шумовых источников,
включая случайные вариации коэффициента преломления вдоль
пути следования сигнала из-за солнечного ветра и подобные
вариации в тропосфере Земли. Эти эффекты невозможно исклю-
исключить. Но их влияние можно уменьшить, если шумовые источники
сбудут достаточно аккуратно учтены.
13.6.3. Лазерные интерферометры, работающие
при комнатных температурах
В промежуточной области частот наиболее перспективным
является использование лазерных интерферометров. Форвард
J13] в свое время разработал детектор гравитационных волн,
чувствительный в диапазоне частот около 100 Гц. Основным зве-
звеном эксперимента являлся модифицированный интерферометр
Майкельсона, имеющий два плеча, расположенные под прямым
углом друг к другу, и три массы, одна на пересечении плеч и
две других на их концах. Массы находились на расстоянии око-
около 3 м друг от друга. Форвард и его группа могли регистриро-
регистрировать относительные движения масс на уровне приблизительно
10~15 м, что примерно в 10 раз хуже, чем на веберовской бол-
болванке. Но, учитывая относительную простоту прототипа, резуль-
результаты казались обнадеживающими.
Как и в других гравитационных антеннах, шумы в оптиче-
оптической системе являются основным фактором, ограничивающим
чувствительность. В данном случае флуктуации числа фотонов,
излучаемых источником, устанавливают абсолютный предел для
ожидаемого отношения сигнал — шум. Обсуждение этого и дру-
других аспектов лазерных систем было дано Древером [8] и Тор-
Торном [20].
13.7. Заключительные замечания
Детектирование гравитационного излучения внеземного про-
происхождения стало теперь прочно установившимся и быстро раз-
шивающимся .направлением в астрономии. В каком-то смысле

Детекторы гравитационного излучения 357
это может звучать иронически, так как прямая регистрация гра-
гравитационных волн пока не осуществлена. Однако это не препят-
препятствует созданию гравитационных антенн второго поколения, ко-
которые в случае криогенных болванок имеют чувствительность на
два или три порядка выше, чем первая веберовская антенна. Что
касается дальнейших перспектив, то рядом исследователей уже
сформулированы идеи создания детекторов третьего поколения
с чувствительностью, во столько же раз превышающей чувстви-
чувствительность детекторов второго поколения. Одно из предложений
в этом направлении состоит в дальнейшем понижении рабочей
температуры резонансной антенны до 50 мК.
Эта продолжающаяся деятельность позволяет надеяться, что
в недалеком будущем будут сделаны впечатляющие открытия,
которые могут существенно продвинуть нас в изучении Вселен-
Вселенной. Если бы, например,, оптический и гравитационный сигналы
были отождествлены с общим источником, появилась бы возмож-
возможность непосредственного измерения скорости распространения
гравитационного излучения, что в свою очередь обеспечило бы
проверку различных теорий гравитации. Другие проверки также
были бы облегчены, если была определена поляризация грави-
гравитационных волн. Конечно, для достижения такой стадии, на ко-
которой эти возможности станут реализуемы, требуется огромная
изобретательность в технологии. Можно, правда, несколько уме-
умерить чрезвычайный оптимизм, напомнив, что успех в поиске гра-
гравитационных волн отнюдь не гарантирован, несмотря на то что в
случае удачи результат трудно переоценить.
ЛИТЕРАТУРА
1. W. D. Allen, С. Christodoulides A975), Gravitational radiation experiments
at the University of Reading and the Rutherford Laboratory, /. Phys. A., 8,
1726—1733.
2. P. S. Aplin A972), Gravitational radiation experiments, Contemp. Phys.,
13, 283—293.
3. P. Bonifazi, F. Bordoni, G. V. Pallottino, G. Pizzella A981), Measurements
of the Brownian noise of a harmonic oscillator with mass M=389 kg, Proc.
6th Int. Conf. on Noise in Physical Systems held at the National Bureau of
Standards, Gaithersburg, MD, USA, 6—10 April 1981, pp. 298—301.
4. V. B. Braginskii, A. B. Manukin, E. I. Popov, V. N. Rudenko, A. A. Khorev
A972), Search for gravitational radiation of extraterrestrial origin, Sov.
Phys. —JETP Lett, 16, 108—112.
5. C. Brans, R. H. Dicke A961), Mach's principle and a relativistic theory of
gravitation, Phys. Rev., 124, 925—935.
6. M. J. Buckingham, E. A. Faulkner A972), The principles of pulse signal re-
recovery from gravitational antennas, Radio and Elect. Eng., 42, 163—171.
7. R. W. P. Drever A971), Observations on pulse response of a wide-band gra-
gravitational wave detector, presented at the 6th Int. Conf. on Gravitation and
Relativity, Copenhagen, 5—10 July, 1971.
8. R. W. P. Drever A977), Gravitational wave astronomy, Quarterly 7. Roy
Astron. Soc., 18, 9—27.

358 Глава 13
9. R. W. P. Drever, J. Hough, R. Bland, G. W. Lessnoff A973), Search for
short bursts of gravitational radiation, Nature, 246, 340—344.
10. A. Einstein A916), Grundlage der allgemeinen relativitatstheorie (Founda-
(Foundation of the theory of general relativity), Ann. d. Phys., 49, 769—822.
11. E. A. Faulkner, M. J. Buckingham A972), Comment on «Can a pulse exci-
excitation smaller than kT be detected?», Elect. Lett, 8, 152—153.
12. P. B. Fellgett, D. W. Sciama A971), Gravitational wave astronomy: an inte-
interim survey, Radio and Elect. Eng., 42, 391—397.
13. R. L. Forward A978), Wideband laser-interferometer gravitational-radiation
experiment, Phys. Rev., D 17, 379—390.
14. R. L. Garwin, J. L. Levine A973), Absence of gravity-wave signals in a bar
at 1695 Hz, Phys. Rev. Lett, 31, 173—176.
15. G. W. Gibbons, S. W. Hawking A971), Theory of the detection of short
bursts of gravitational radiation, Phys. Rev., 4, 2191—2197.
16. R. P. Gifford, P. F. Michelson, R. С Tabor A981), Noise in resonant gravi-
gravitational wave detectors, Proc. 6th Int. Conf. on Noise in Physical Systems-
held at the National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, USA, 6—10
April 1981, pp. 292—297.
17. S. W. Hawking A972), Gravitational radiation: the theoretical aspect, Con-
temp. Phys., 13, 273—282.
18. D. G. Maeder A971), Can a pulse excitation smaller than kT be detected?,.
Elect. Lett, 7, 767—769.
19. P. F. Michelson, R. С Tabor A981), Sensitivity analysis of a resonant-mass-
gravitational wave antenna with resonant transducer, /. Appi Phys., 52,
4313—4319.
20. K. S. Thorne A980), Gravitational-wave research: current status and future
prospects, Rev. Mod. Phys., 52, 285—297.
21. J. A. Tyson A973), Null search for bursts of gravitational radiation, Phys.
Rev. Lett, 31, 326—329.
22. J. A. Tyson, R. P. Gifford A978), Gravitational wave astronomy, Ann. Rev~
Astron. Astrophys., 16, 521—554.
23. J. Weber A960), Detection and generation of gravitational waves, Phys~
Rev., 117, 306—313.
24. J. Weber A966), Observation of the thermal fluctuations of a gravitational-
wave detector, Phys. Rev. Lett., 17, 1228—1230.
25. J. Weber A967), Gravitational radiation, Phys. Rev. Lett, 18, 498—501.
26. J. Weber A969), Evidence for the discovery of gravitational radiation, Phys.
Rev. Lett., 22, 1320—1324.
27. J. Weber A970), Gravitational radiation experiments, Phys. Rev. Lett, 24„
276—279; Anisotropy and polarization in the gravitational-radiation expe-
experiments, Phys. Rev. Lett., 25, 180—184.

Приложения
Приложение 1. Тепловой шум
и распределение Пуассона
Шумовые процессы, встречающиеся в твердотельных и дру-
других приборах, часто можно представить в виде последовательно-
последовательностей случайных импульсов. Это верно, например, для теплового
и дробового шумов, как было показано в гл. 2. Чтобы исследо-
исследовать статистические свойства таких процессов, возьмем для оп-
определенности модель теплового шума, описанную в разд. 2.8.
Тепловой шум в резистивном материале происходит от выз-
вызванного нагреванием случайного движения электронов внутри
прибора!. Шум на клеммах можно представить как последова-
последовательность случайных импульсов, в которой каждый отдельный
импульс вызван «событием», состоящим из начального этапа,
соответствующего пробегу электрона между последовательными
столкновениями с атомами кристаллической решетки, и после-
последующей релаксации, возвращающей систему в состояние равно-
равновесия. Из этого ясно, что каждый электрон в ансамбле произ-
производит последовательность случайных импульсов на клеммах во
время своего перемещения по материалу и наблюдаемый шумо-
шумовой сигнал складывается из последовательностей импульсов от
всей популяции электронов в приборе.
Представим себе, что можем следовать за отдельным, напри-
например, i-м электроном при его движении по извилистой траектории
через решетку. Каждое столкновение, которое он испытывает,
соответствует началу «события», и столкновения происходят слу-
случайно. В этом контексте «случайно» означает, что вероятность
обнаружения начала события, происходящего между t и t-\-8t,
очень мала и не зависит от t; а «очень мала» означает, что ве-
вероятностью обнаружения двух событий внутри интервала 8t
можно пренебречь. Если вероятность обнаружения начала собы-
события внутри интервала 6^ равна Vi6t, где v» не зависит от t, то не-
необходимые для случайности условия удовлетворяются, если 8t
устремить к нулю. Константу v/ можно затем рассматривать как
функцию плотности вероятности, и, как сейчас будет показано,
она играет заметную роль в распределении Пуассона.
Распределение Пуассона — это статистический закон, описы-
описывающий вероятность pi(m, t) точно m событий (т. е. столкнове-

360 Приложения
ний в случае нашего электрона), происходящих в интервале tt
когда сами события распределены случайно в значении, описан-
описанном выше. Индекс i употреблен здесь как напоминание о том,
что рассматривается единственный носитель. Следующее простое
рассуждение приводит к дифференциальному уравнению, из ко-
которого можно вывести основное выражение для pi(m, t).
Возможны только два способа, которыми могут осуществ-
осуществляться точно т событий на интервале времени /+б/: либо т
событий происходит за время ( и ни одного — за 6^, либо
{т—1) событие происходит за время / и одно — за 8t. Следо-
Следовательно, вероятность т событий за время /+б/ есть сумма
и, конечно, pi{m, t) = 0 для m<0. Теперь, так как переменная t
непрерывна, можно взять производную от pf(m, /) по времени
которая в сочетании с предыдущим выражением приводит к
дифференциальному уравнению
Когда т = 0, оно упрощается до уравнения
решением которого является функция
Константа интегрирования, на которую умножается правая
часть, равна единице, согласно тому, что в нулевой момент вре-
времени вероятность нулевого числа событий равна единице. При
т>0 ищем решения в виде
Pi (m, t) = /, (m, 0 exp (-vtt). (Ш .6)
Подставляя это выражение в уравнение (П1.3), получаем, чта
функция fi(m, t) должна удовлетворять дифференциальному
уравнению
решения которого записываются в виде

Приложения 361
Помня о том, что f,@, ?) = 1, легко показать, что константа ин-
интегрирования должна быть am=Vim/m!, и отсюда следует форму-
формула для распределения Пуассона
Заметим, что при суммировании pi(mtt) по всем т результат не
зависит от vd и равен единице.
Смысл константы v/ проясняется при образовании первого
момента относительно начала Jt. e. среднего значения) распре-
распределения. Обозначая его через т, имеем
00
т = ^ mPi (т> 0 = viL (Ш •1 °)
т=0
Таким образом, v, равно средней скорости появления событий.
Дисперсия распределения — это второй момент относительно
среднего:
После некоторых непосредственных алгебраических преобразо-
преобразований сумму в этой формуле можно выразить через экспонен-
экспоненциальную функцию ехр(—v^)> и дисперсия принимает вид
Отсюда очевидно, что среднеквадратичное отклонение относи-
относительно среднего значения равно корню квадратному из среднего
значения — результат, характеризующий распределение Пуассо-
Пуассона и иногда называемый «законом больших чисел».
Важным параметром, связанным с движением электрона по
резистивному материалу, является среднее время свободного
пробега Tf/. Когда t=Xfi, по определению имеем т=\ и из ра-
равенства (ШЛО) следует
что согласуется с нашей прежней интерпретацией vt как средней
скорости столкновений.
Другой способ получения среднего времени свободного про-
пробега заключается в следующем. Вероятность pi(xfi+8xfi) того,
что данное время свободного пробега находится между хц и
(T/i+бт/;), равна совместной вероятности того, что не происходи-
происходило столкновений за время т//, и того, что происходит одно столк-

Приложения
новение в (малом) интервале 8%fi. Вероятность столкновения в
интервале 8xfi равна Vi6xft9 и, следовательно, совместная веро-
вероятность имеет вид
Pi (гп+8т„) = v.р. (О, xfi) 6rf f, (П1.14)
где pi @, xfi) —вероятность, задаваемая выражением (П1.5), то-
того, что нет событий за время т//. Функция Vipi (О, Xf/) =
s=v,exp(—v/Tf/) справа в формуле (П1.14) —функция плотности
вероятности времен свободного пробега, и, следовательно, сред-
среднее время свободного пробега описывается формулой
х^ = vf J* xf| exp (—vfrf,) dif, = 1 /v,f (П1.15)
0
что согласуется с уравнением (П1.13). Функцию плотности веро-
вероятности времен свободного пробега можно также использовать
для получения среднеквадратичного времени свободного пробега
оо
Wfi = v, j* x*fi exp (-v .xf.) dxfi = 2?ff. (П1.16)
Таким образом, среднеквадратичное время свободного пробега
электрона есть удвоенный квадрат среднего времени свободного
пробега — результат, который был использован при рассмотре-
рассмотрении подвижности в приложении 3. Интегралы в формулах
(П1.15) и (П1.16) вычисляют интегрированием по частям.
Форма сигнала теплового шума, наблюдаемая на клеммах
прибора, не является результатом движения только одного
электрона, а является результатом движений ансамбля электро-
электронов внутри прибора. Выше мы видели, что шумовой сигнал, обу-
обусловленный единственным электроном, представляет собой пос-
последовательность импульсов, подчиняющихся распределению
Пуассона. Шум от всех электронов в популяции — последова-
последовательность импульсов, которая является суперпозицией всех сиг-
сигналов от отдельных электронов. Сейчас мы проанализируем ста-
статистическое распределение импульсов в результирующих шумо-
шумовых флуктуациях на клеммах.
Рассмотрим два электрона в резистивном материале, напри-
например, ?-й и /-й, с вероятностями столкновения в интервале време*
ни 8t: Vi8t и v/6? соответственно. (Дальше будем более реалис-
реалистично, хотя и в ущерб общности, считать, что vt-=v/ для всех * и
у.) Запишем вероятность того, что i-й электрон испытывает s

Приложения 363
столкновений и /-й электрон — (т—5) столкновений за время t
Pi(s,f)pj(m-s9 t)=*?_
Отсюда вероятность точно m столкновений за время t получает-
получается суммированием выражения (П1.17) по всем s от нуля до m
PiJ (m, t) = t- exp [-(v,+v,) t) ^ ;;mVLs), , (П1.18)
s=0
По биномиальной теореме сумма в правой части равна
(vi+Vj)m/m\ и, следовательно,
а это по аналогии с определением (П1.9) —распределение Пу-
Пуассона. Приходим к выводу, что сумма двух пуассоновских про-
процессов сама по сути пуассоновская, со средней скоростью собы-
событий, равной сумме средних скоростей обоих составляющих про-
процессов. Отсюда следует, что, если складываются N пуассонов-
пуассоновских процессов, вероятность того, что точно m событий происхо-
происходят за время t> описывается распределением Пуассона:
p(m,Q-^exp(-vQ, (П1.20)
где
^,. (П1.21)
Формулы (П1.20) и (П1.21) представляют собой дополнитель-
дополнительную теорему для пуассоновских процессов.
Статистически электроны в резисторе ведут себя идентично.
Таким образом, средняя скорость столкновений v/ для отдельно-
отдельного носителя не зависит от того, какой именно носитель находится
под наблюдением. Тогда из формулы (П1.21) (помня, что vf-
равно обратному среднему времени свободного пробега) полу-
получаем простое выражение для средней скорости событий
v = nVfrfi (П1.22)
где п — концентрация носителей; V — объем прибора, a Xf —
среднее время свободного пробега электронов. Результат
(П1.22) используется при рассмотрении в гл. 2, разд. 2.8.

364 Приложения
Приложение 2. Исследование по Найквисту
теплового шума в сопротивлении
Спектральная плотность флуктуации напряжения на сопро-
сопротивлении, находящемся в тепловом равновесии с окружающей
средой, первоначально была получена Найквистом [1] с привле-
привлечением методов термодинамики и статистической механики. Его
исследование проблемы появилось вскоре после работы Джонсо-
Джонсона, наблюдавшего тепловые флуктуации в сопротивлении, и ре-
результат, полученный Джонсоном, часто относят к закону Найк-
виста. Ниже описывается подход Найквиста к проблеме тепло-
теплового шума.
О
*z
Рис. П2.1. Равные сопро- Рис. П2.2. Линия передачи без
тивления, соединенные потерь длины /, на концах замк-
параллельно. нутая равными сопротивлениями
R\ и i?2.
Первоначально он рассмотрел два электрических проводни-
проводника, /?i и R2, с одинаковым сопротивлением R и при одной и той
же температуре 6, равномерной по всему проводнику. Очевидно,
что при параллельном соединении проводников, показанном на
рис. П2.1, электродвижущая сила, появляющаяся в результате
теплового движения носителей заряда в Ru вызывает в контуре
ток, приводя к поглощению мощности проводником /?2. Анало-
Аналогичный поток энергии существует и от /?2 к Ri. Мощность от R\>
поглощаемая R2, равна Vi2/4/?, а в обратном направлении от R2
к Ri — равна V22/4R, где Vi2 и V22 — значения средних квадра-
квадратов электродвижущих сил разомкнутого контура, наведенных на
Ri и R2 соответственно. Так как оба проводника находятся при
одной и той же температуре, потоки мощности в каждом на-
направлении должны быть совершенно одинаковыми, иначе будет
нарушен второй закон термодинамики; следовательно, средние
квадраты напряжений Vi2 и V22 равны. Этот вывод имеет силу
независимо от физической природы проводников; как ука-
указывал Найквист, один проводник может быть из свинца, а дру-
другой— из серебра, или один может быть металлическим, а дру-

Приложения 365»
гой — электролитическим, и результат останется прежним. Бо-
Более того, этот вывод справедлив не только для полной мощно-
сти, которой обмениваются проводники, но и для обменной мощ-
мощности в любой полосе частот. Если бы это было не так, можно*
было между проводниками включить полностью реактивный»
фильтр (т. е. содержащий только конденсаторы и индуктивно-
индуктивности), полоса пропусканий которого охватывает частотный диапа-
диапазон, где существует неравенство между потоками мощности в
двух направлениях. Но, так как R\ и /?2 имеют одну и ту же
температуру, это снова привело бы к нарушению второго закона
термодинамики, и, следовательно, потоки мощности в обоих на-
направлениях в любой полосе частот должны быть одинаковыми.
Другими словами, спектр флуктуации напряжения на сопротив-
сопротивлении — универсальная функция /?, 8 и частоты /.
Чтобы получить эту функцию, Найквист рассмотрел длинную
линию передачи без потерь, замкнутую на концах проводника-
проводниками Ri и /?2 (рис. П2.2). Обозначим характеристический импеданс
линии через /?, ее длину — I и волновую скорость вдоль линии —
с. Когда система находится в тепловом равновесии, существует
поток энергии вдоль линии от Ri к /?2 и другой поток в обратном:
направлении, от /?2 к Ri. Эти потоки появляются благодаря теп-
тепловым флуктуациям носителей заряда в Rx и /?2 соответственно^,
и в обоих случаях принимающий проводник поглощает энергию»
которая на него приходит.
Мощность, отданная в линию одним из проводников в час-
частотном интервале Ло/2я, описывается формулой
&—&$№&- (П2.1>
где Sy(co) —спектральная плотность флуктуации напряжения на
рассматриваемом проводнике. Время переноса вдоль линии оп-
определяется отношением 1/с, и таким образом полная энергия,
отданная в линию обоими проводниками за такой интервал вре-
времени, определяется выражением
1 %?L^. (П2.2>
Далее Найквист продолжил доказательство, считая линиьо
передачи короткозамкнутой с обоих концов, так что энергия в
ней содержится в виде стоячих волн. Частоты этих волн соот-
соответствуют собственным частотам линии. Таким образом, самая*
низкая частота колебаний, соответствующая волне напряжениям
с узлом на каждом конце и пучностью посредине, равна с/21.
Частота следующего режима колебаний, в котором узлы нахо-
находятся на концах и один — в средине линии, равна 2с/2/; вообще
собственные частоты линии равны пс/21, где п — целое число*.

366 Приложения
В частотном интервале ??со/2я количество мод колебаний, сле-
следовательно, равно B//с)я?со/2я (оно очень велико по сравнению
с единицей, если предположить, что / может принимать беско-
бесконечно большие значения). Если считать, что имеем именно этот
случай, и рассматривать каждую моду как степень свободы
системы, можно прибегнуть к закону равномерного распределе-
распределения, чтобы определить полную энергию в линии. При условии,
что квантовомеханические эффекты несущественны, закон равно-
равномерного распределения энергии устанавливает, что в среднем
энергия, связанная с каждой степенью свободы, равна kQ, где
k — константа Больцмана, а 6 — абсолютная температура систе-
системы. Таким образом, энергия в линии для частотного интервала
Ло/2я имеет вид
dE = 2LkQ^-. (П2.3)
Сравнивая это выражение для dE с предыдущим, получаем
спектральную плотность флуктуации напряжения разомкнутой
цепи
5^(ю) = 4Ш?, (П2.4)
что и является результатом Найквиста. Его можно обобщить на
случай комплексного импеданса, если расширить проведенное
шыше доказательство, включив в рассмотрение простой контур.
Тогда для спектральной плотности флуктуации напряжения
получают точно такой же вид, причем R представляет в этом
• случае действительную часть импеданса. Таким образом, когда
импеданс чисто реактивен и не имеет резистивной составляю-
составляющей, шума нет. Этого следовало ожидать, так как в отсутствие
^сопротивления не может быть релаксации от возмущенного со-
состояния назад к состоянию теплового равновесия. Соотношения
между сопротивлением, релаксацией и шумом изучаются в
тл. 2, где рассматривается метод Ланжевена для теплового
.шума.
При частотах и температурах, при которых имеют значение
квантовомеханические эффекты, а именно когда квант энергии
hf не является пренебрежимо малым по сравнению с ?6, закон
равномерного распределения в описанном выше виде больше не
выполняется. Найквист коротко остановился на этой проблеме
в своем оригинальном исследовании теплового шума и предло-
предложил каждой степени свободы вместо Ш приписывать в среднем
¦энергию
hfUpMH*— 1), (П2.5)
которая уменьшается до kQ в «классическом» приближении, ког-
когда hf^kQ. Символами Ли/, появляющимися выше, обозначены

Приложения 367
константа Планка и частота соответственно. Выражение (П2.5)
описывает энергию гармонического осциллятора, если не считать
того, что в него не включен энергетический член в нулевой точ-
точке. В наши дни большинство авторов согласны с тем, что члев
в нулевой точке следует включать в описание шума, что более
полно обсуждается в гл. И.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н. Nyquist A928), Thermal agitation of electric charge in conductors, Phys*
Rev., 32, 110—113.
Приложение З. Подвижность, броуновская
скорость и диффузия
Подвижность электронов (или дырок) описывает макроско-
макроскопический поток носителей в электрическом поле. Ее можно вы-
выразить через некоторые параметры (например, среднее время
пробега между столкновениями с решеткой), характеризующие
микроскопические свойства ансамбля носителей. Доказательства
основано на модели классической частицы (электрона), и для
простоты выбирается одномерная модель резистора.
Предположим, что к резистору приложено электрическое по-
поле напряженностью Е. Пусть поле мало настолько, что оно не
изменяет значительно равновесное распределение электронов,
по скоростям. Популяции электронов этим полем будет сообще-
сообщена средняя скорость дрейфа, равная \iE, где |х— подвижность.
Чтобы связать \х с параметрами микроскопического движе-
движения электронов, рассмотрим столкновения, испытываемые от-
отдельной частицей. Между двумя столкновениями она движется
с ускорением \a\=qE/m в направлении поля, где т — масса*
частицы. Следовательно, если время свободного пробега Tf, сме-
смещение под действием поля равно |a|tf2/2, и отсюда полное пере-
перемещение частицы_под действием поля после К столкновений
равно (qEK/2m)xf2y где Xf2 — средний квадрат времени свобод-
свободного пробега. Средняя скорость дрейфа частицы через К столк-
столкновений равна полному перемещению, деленному на полное
время, т. е.
где xf — среднее время свободного пробега. Так как v = [iE, от-
отсюда следует, что подвижность имеет вид
^ = ^2/Bт7/). (П3.2>

368 Приложения
Далее, времена свободного пробега распределены по Пуассону
и Tf2 = 2tf2, как показано в приложении 1. Таким образом, под-
подвижность описывается формулой
(ПЗ.З)
Если vQ — тепловая скорость частицы между столкновения-
столкновениями, то длина свободного пробега lf = VQ%f. При условии незави-
независимости между тепловой скоростью и временем свободного про-
пробега получаем
/T2=^V> (П3.4)
где If2 — средний квадрат длины свободного пробега, a v2q —
средний квадрат тепловой скорости. Из закона равномерного
распределения энергии для одномерного резистора при тепловом
равновесии с окружающей средой имеем
m^/2 = &6/2, (П3.5)
где k — константа Больцмана и 6 — абсолютная температура.
Рассматривая совместно выражения (П3.2), (П3.4) и (П3.5),
можем выразить подвижность в виде
11 = ^/B*67,). (П3.6)
Эта формула для \л используется при выводе теплового шума в
гл. 2 (разд. 2.8).
Шокли [1] дал расширенное исследование подвижностей,
•средних времен и средних длин свободного пробега, включив
:анализ, основанный на модели частицы, описанной выше.
Флуктуации скорости ансамбля электронов ответственны за
-тепловой шум в резисторе. Хотя тепловые флуктуации тока и
напряжения на клеммах прибора рассматриваются в гл. 2
(разд. 2.8), тем не менее полезно специально проанализировать
сами флуктуации скорости.
Рассмотрим электрон, который подвергается столкновению
с решеткой. Его импульсы до и после события равны р\ и р2 со-
соответственно. Таким образом, столкновение за бесконечно малое
время придает частице импульс (р2—р\). Это соответствует силе
(Р2—Pi)б @- Следовательно, уравнение движения имеет вид
.где u(t)—скорость частицы. Уравнение (П3.7)—по существу
уравнение Ланжевена для скорости броуновской частицы.

Приложения 369
Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения
(П3.7) и переставляя слагаемые, находим преобразование u(t)
(П3.8)
где xf = m\i/q — среднее время свободного пробега, описываемого
выражением (ПЗ.З). Используя теорему Карсона, получаем
спектральную плотность флуктуации скорости в виде
где v=l/Tf — средняя скорость столкновений для единственной
частицы, а
1 + /ют,
(П3.10)
— фурье-преобразование функции формы импульса, вызванного
единичным столкновением. Так как р\ и р2 независимы,» то
где положили p2=Pi2=P22. Для равновесной популяции из зако-
закона равномерного распределения для одномерного случая имеем
^2/2m = fc0/2, (П3.12)
и, следовательно, спектральная плотность тепловых флуктуации
скорости принимает вид
где использовали выражение для подвижности (ПЗ.ЗI). Из тео-
теоремы Винера — Хинчина следует, что соответствующая автокор-
автокорреляционная функция имеет вид
^Jx) =7Pexp(H т 1/т,), (П3.14)
где
ит- Ф~Л0) = №q) W (ПЗ. 15)
— значение среднего квадрата u(t).
J> Флуктуация скорости u(t) производит флуктуацию тока короткого
замыкания i(t) = qu(t)I!L, где L — длина резистора. Отсюда следует, что
спектральная плотность флуктуации тока — это правая часть формулы
{ПЗЛЗ), умноженная на (q/LJ столько раз, сколько составляет полное чис»
ло носителей. Это дает выражение Найквиста 4kQ/R, деленное на знамена*
тель формулы (ПЗЛЗ), что соответствует выводу 5,(со) в разд. 2.8.

370 Приложения
Тепловые флуктуации скорости, описываемые формулам»
(П3.13) и (П3.14), ответственны за диффузию частиц через ре*
зистивный материал. Шокли с сотр. [2] связали диффузию со
скоростью в исследовании, которое одинаково для неравновес-
неравновесного и равновесного ансамблей. Они определили диффузию ве-
величины и при (угловой) частоте со как
00
Du (со) = f фм (т) cos (Dtdr, (ПЗ Л 6>
где фи(т) —автокорреляционная функция флуктуации скорости^
но она больше не соответствует исключительно равновесному
условию в отличие от формулы (П3.14); фм(т) в данном случае
может быть и автокорреляционной функцией неравновесного
ансамбля. При сравнении определения (П3.16) с интегралом об-
ращения Винера — Хинчина по т становится ясно, что Du((o)
эквивалентна спектральной плотности флуктуации скорости, де-
деленной на 4. Следовательно, из формулы (П3.13) для частного
случая теплового равновесия имеем
(П3.17)
что переходит в соотношение Эйнштейна, если Dueq(O) отожде-
отождествить с более привычной константой диффузии D. Из выраже-
выражений _(ПЗ. 15) и (П3.17) следует, что для одномерного движения
f
Общий вид для Du((u) в формуле (П3.16) важен для анализа
шума в приборах на горячих электронах, где носители заряда
не находятся в тепловом равновесии с решеткой.
ЛИТЕРАТУРА
. W. Shockley A963), Electrons and holes in semiconductors, Van Nostrand,
New York, Chapters 8 and 11.
2. W. Shockley, J. A. Copeland, R. P. James A966), The impedance field method
of noise calculation in active semiconductor devices, in Quantum Theory of
Atoms, Molecules and the Solid State (Ed. P. O. Lowdin), Academic Press,
New York, pp. 537—563.
Приложение 4. Шум, обусловленный
прохождением носителей через обедненный
слой р — я-перехода
Носитель заряда, пересекающий обедненный слой р—/г-пере-
хода, смещенного в прямом направлении, вызывает изменение
концентрации неосновных носителей р0 в плоскости *=0 (см.

Приложения 371
рис. 4.1). Такое отклонение от стационарного распределения за-
заселенности приводит к возникновению двух потоков релаксаци-
релаксационного тока, один из которых направлен в обратном направле-
направлении через обедненный слой, вызывая изменение величины //?, а
другой — через область N> приводя к изменению величины Id*
Эти два релаксационных потока и есть то средство, за счет ко-
которого происходит восстановление равновесного состояния кон-
концентрации неосновных носителей.
Исходный акт прохождения носителя через обедненный слой
можно представить как действие генератора тока qb{t), вклю-
Рис. П4.1. Эквивалентная схема по переменному току, характеризующая про*
хождение носителя через обедненный слой р—л-перехода.
¦ченного в эквивалентную схему переменного тока, как показано
на рис. П4.1. Активная проводимость на этом рисунке
{jF^qhlkQ есть величина, обратная сопротивлению, входящему
в уравнение D.6), которое, как мы видели в гл. 4, является ме-
мерой отклонения от условия постоянства квазиуровней Ферми,
разделяемых за счет приложения напряжения V на протяжении
обедненного слоя. Смысл величины GF здесь заключается в том,
что она характеризует механизм релаксации, благодаря которо-
которому происходит восстановление равновесия после пересечения
носителем электричества обедненного слоя р—/г-перехода. У/ на
рис. П4.1—полная проводимость р—/г-перехода.
Ток во внешней цепи, обусловленный исходным актом, вклю-
включает в себя как ток q8{t), так и последующий за ним релакса-
релаксационный ток qg(t). Таким образом, полный ток описывается
формулой
(П4.1а)
или, в терминологии преобразования,
оо
h (/<¦>) = Я f [S (О—S @1 exp —jatdt. (П4.16)
о
Задача теперь заключается в определении величины /я(/со).

372 Приложения
Этого можно достичь, используя переход Тевенина от гене-
генератора тока и параллельной ему проводимости GF (рис. П4.1)
к генератору напряжения q/GF с последовательной проводи-
проводимостью GF. После этого сразу получаем
(П4.2)
и отсюда, согласно теореме Карсона, спектральная плотность
шумового тока во внешней цепи имеет вид
ШМ = ^- | iD (М |« = ™-1 Ут \\ (П4.3)
где среднее число носителей, проходящих через слой за секунду,
выбирается в виде (IF-\-IR)lq~BIFlq), a
. (П4.4)
— общая полная проводимость цепи, изображенной на рис. П4.Ь
Спектральное распределение флуктуации тока за счет прохож-
прохождения носителей через обедненный слой, задаваемое уравнением
(П4.3), имеет простое толкование: оно эквивалентно тепловому
шуму эффективного последовательного сопротивления \IGF. Да-
Далее, в диапазоне частот, представляющем практический интерес,
величина GF настолько велика, что при расчетах переходов ею
обычно пренебрегают, расчет шума не составляет исключения из
этого общего правила: так как Gf^>K/, общая полная проводи-
проводимость YT~Yf и вклад в общий шум шумовой компоненты, обус-
обусловленной прохождением носителей через обедненный слой, как
можно видеть из уравнения (П4.3), пренебрежимо мал.
Подобный вывод находится в противоречии с тем, к чему
приводит корпускулярная теория ван-дер-Зила и Бекинга (гл. 4
[27]). Причину такого расхождения можно понять из следую-
следующего толкования корпускулярной теории.
Если пренебречь постоянной составляющей тока i'd@» to из
уравнения (П4.16) следует, что
g(f)dt=\, (П4.5>
и, следовательно, преобразование iD(t) можно записать в виде
оо
h (/©) = Q f (I — ехР — /ют) g(t) dx. (П4.6)
о
Этот интеграл лежит в основе анализа ван-дер-Зила и Бекинга.

Приложения 373
Они утверждают, что он представляет собой две дельта-функ-
дельта-функции, разделенные временем т, соответствующим прямому и воз-
возвратному прохождению носителя через обедненный слой, и что
функция ё"(т), вид которой они не конкретизируют, может быть
истолкована как функция распределения для интервалов време-
времени т.
Пользуясь таким объяснением g{x), они вывели спектраль-
спектральную плотность iD, определяя спектральную плотность всех этих
актов, состоящих из двух импульсов, разделенных временем т,
и интегрируя ее по всем т с учетом статистической весовой
функции g-(t).
Такая процедура приводит к следующему результату:
сю
= iqIF Г g (т) A —cosсот) dx =
= AqlF Re (-3^57) = 4А8 Re YT, (П4.7)
где для исключения этого интеграла использовались уравнения
(П4.16) и (П4.2), а средняя скорость двойных импульсов при-
принималась равной IF/q. Конечный результат в выражении (П4.7),
такой, какой получили ван-дер-Зил и Бекинг на основе своего
анализа. (Они затем подставили ReYT=Gj—Go, тогда как в на-
нашем случае из определения общей полной проводимости мы име-
имеем ReYi^G/. Разница между этими выражениями не столь важ-
важна, если иметь в виду предыдущую аргументацию.)
Результаты, даваемые уравнениями (П4.3) и (П4.7), сущест-
существенно отличаются друг от друга. С математической точки зре-
зрения причина этой разницы состоит в том, что модель работы пе-
перехода, предложенная ван-дер-Зилом и Бекингом и приводящая
к уравнению (П4.7), включает функцию
в выражении для спектральной плотности. В отличие от этого
выражение в уравнении (П4.3) следует из функции
— \ 8 (т) ехР —/ord
Первая вещь, о которой следует упомянуть, обсуждая конеч-
конечный результат в уравнении (П4.7), — это то, что, согласно на-

374 Приложения
шему определению У г, этот результат описывается таким же вы-
выражением, что и выражение для полного шума, обусловленного
действительной составляющей проводимости перехода, и, как
таковой, он не является пренебрежимо малым. Но является ли
это шумом, обусловленным пересечением носителями обеднен-
обедненного слоя? Рассмотрение выводов корпускулярной модели вы-
вынуждает нас прийти к выводу о том, что это не тот шум.
Для доказательства этого вывода, рассмотрим основную ха-
характерную черту модели, а именно пересечение индивидуальным
носителем обедненного слоя и последующее через время т об-
обратное прохождение через этот слой такого же носителя. Далее,
из сравнения уравнений (П4.1а) и (П4.2) можно видеть, что
фурье-преобразование g(x) функции, которая описывает рас-
распределение временных интервалов т, имеет вид
^ (П4.8)
6
Важная особенность этого уравнения состоит в том, что его
правая часть постоянна и по существу равна единице вплоть
до частот, находящихся далеко за пределами рабочего диапазо-
диапазона р—я-перехода. Это происходит потому, что Gf^> К/. Следова-
Следовательно, g{x)—функция, которая заметно отличается от нуля
только для значений т, которые намного меньше, чем стандарт-
стандартные величины временных констант р—n-переходов, включая
время рекомбинации т/?. Это в свою очередь означает, что вре-
временной интервал т между прямым и обратным прохождением
носителя через обедненный слой намного меньше, чем время
рекомбинации rR. Теперь можно выяснить трудность корпуску-
корпускулярной теории; в соответствии с этой моделью, если носитель,
который только что пересек обедненный слой, рекомбинирует в
объемной области перехода, то рекомбинация должна происхо-
происходить за время меньшее, чем т пересечения, в противном случае
он возвратится в область, из которой он вышел. Но, поскольку
т<Ст*, рекомбинация почти наверняка не будет иметь место, и
поэтому данный носитель, как и все другие, которые пересекли
обедненный слой, возвратится обратно в исходную область. Но
это не согласуется с нашим пониманием токового механизма ра-
работы р—я-переходов. Исходя из этого противоречия, мы прихо-
приходим к выводу, что корпускулярная модель ван-дер-Зила и Бе-
кинга не является физически обоснованной, и, следовательно,
уравнение (П4.7) не характеризует шум, обусловленный про-
прохождением носителей через обедненную область.
Подобная аргументация справедлива и в отношении рассмот-
рассмотрения шума в транзисторах, проведенного ван-дер-Зилом и Бе-
кингом.

Приложения 375
Приложение 5. Решение уравнения,
описывающего выходной шум генератора
Уравнение, которое требуется решить для определения
амплитудных и фазовых флуктуации a(t) и ty(t) на выходе ге-
генератора ван-дер-Поля, — это уравнение (8.34), которое после
дифференцирования по времени переходит к виду
d*v d(v + v) ] vn _ din
где
vn ~ vn (t) = v0 [a (t) cos oy+ip (t) sin oy ], (П5.2)
vq = vq (t) = v0 [a (t) cos (o0t—q> (t) sin coo/], (П5.3)
а остальные параметры определены в гл. 8. Выполняя дифферен-
дифференцирование vn я vg я производя подстановки, уравнение (П5.1)
преобразуем к виду
8l @ sin оу+?2 @ cos оу = -^ , (П5.4)
где g\(t) и й@—очень медленно меняющиеся функции па
сравнению со свободными колебаниями, описываемые выраже-
выражениями
- v, [С (-^—2ю0 -~)+2<о0 (GL-G0) а] (П5.5>
(П5.6>
Теперь задача состоит в решении уравнений (П5.4) — (П5.6) от-
относительно a(t) и гр(О в предположении, что inzz=in(t)—источ-
inzz=in(t)—источник белого шума.
Используемый метод заключается в поочередном умножении
уравнения (П5.4) на sincoo^ и cosoW и последующем интегриро-
интегрировании на одном периоде собственных колебаний. Так как g\ (t)
и ?2@ по существу не изменяются за такой короткий отрезок
времени, их можно принять за константы и вынести за знак ин-
интеграла (этот прием иногда называют методом стационарной
фазы). Ортогональность функций синуса и косинуса на одном
периоде приводит затем к уничтожению того или другого сла-
слагаемого в левой части уравнения (П5.4). Таким образом, полу-
получаются два уравнения, которые можно записать в виде
d2^' ~ da 2со02а щпг (t)
~ Z(* Т" ~S5i~

376 Приложения
4T^~~Q^ IT" nv0C •
где Qo=o)oC/|GL—Go| —внешняя добротность генератора. Функ-
Функции, зависящие от времени в правой части этих выражений,
представляют источник и задаются интегралами
Г (П5.9)
t-To/2
И
t+To/2
n2(t)= f ^-cosco/df, (П5.10)
'-7o/2
где Го = 2я/о)о — период собственных колебаний. Заметим, что
производная источника белого шума, появляющаяся в подынте-
подынтегральных выражениях, здесь уже весьма определенно не явля-
является медленно меняющейся функцией, и ее нельзя выносить за
знак интеграла. Позднее мы вернемся к вычислению ri\(t) и
п2@ (или, по крайней мере, — их спектральных плотностей).
Уравнения (П5.7) и (П5.8)—линейные совместные уравне-
уравнения, решаемые стандартными методами. Дифференцируя уравне-
уравнение (П5.8), умножая уравнение (П5.7) на 2о>о и вычитая одно
из другого, получаем уравнение, не содержащее
Применяя преобразование Фурье к обеим частям этого уравне-
уравнения и решая полученное уравнение относительно преобразова-
преобразования a(t), находим
со0
" ' /Ш А' ""' (П5.12)
—/со3 — ¦
где Ni(jd)) и N2(/со) —преобразования ti\(t) и n2(t) и принята
аппроксимация при оз<соо- Это и есть рассматриваемый случай,
как a(t)—функция очень низкой частоты. Из формулы

Приложения 377
(П5.12) получаем спектральную плотность a(t)
(П5.13)
где 5^@)) —спектральная плотность ti\(t).
Решение для фазовых флуктуации теперь находят из урав-
уравнения (П5.8), применяя преобразование Фурье к обеим частям
и находя преобразование функции ty(t) через А (/со)
^Р- ] /B/Чсо) «
~ —jNt (/<о)/Bж>о(оС), (П5.14)
где принята аппроксимация для интересующей нас области низ-
низких частот, т. е. при ю<Сюо. Таким образом, спектр ty(t) равен
где 8п2*((й) —спектральная плотность
Взаимную спектральную плотность между флуктуациями ам-
амплитуды и фазы можно записать непосредственно по фурье-пре-
образованиям в уравнениях (П5.12) и (П5.14)
@)) (П5.16)
где 5П1Пг(со) — взаимная спектральная плотность между п\ (t) и
@
0
Теперь остается только определить взаимные спектральные
плотности флуктуации источников rii(t) и ri2(t) через спектр шу-
шумового генератора тока in(t). Считаем, что нас интересует ri\(t)%
задаваемая выражением (П5.9); тогда, интегрируя по частям,
можно представить эту величину в виде
Пг (t) = -[in (t+T0/2)-in (t—T0/2)] sincoo^-
i+To/2
— j* in(t')cos<dQt'dt'. (П5.17)
t-To/2

378 Приложения
Таким образом, получаем ковариацию
@ "i (t+т) = [in (t+T0/2)-in (t-T0/2)] x
x [in(t+TJ2+T;)-in (t—TQ/2-\-T)] x
t+To/2+X
[ Hn(t+Tol2)in(t')-
t-T q/2+X
-in (t-T0/2) in (t')] cos со/df
t+To/2
t-To/2
-[in (*-7V2+T) /n @1 cos0/Л' +
t+To/2 t+To/2+X
+coo2 f f in (f) in (t") cos со/ cos (uot"dt'dt". (П5.18)
*Г/2 ^Г/2+
По определению автокорреляционная функция щ (t) имеет вид
Т/2
ц>пх(т) = lim -у \ ti1{t)n^(t-{-x)dt. (П5.19)
Далее, так как in(t) служит источником белого шума, его авто-
автокорреляционная функция является дельта-функцией
фЛ^Г= in(f)in(t+T) = kb (т), (П5.20)
где k — константа. Объединяя выражения (П5.18) и (П5.20), по-
получаем, что всеми членами в правой части выражения (П5.18)
можно пренебречь, за исключением члена, содержащего двойной
интеграл, что дает
— <7V-|tD, |т,<Гв; (П521)
О , |т|>Г0.
По теореме Винера — Хинчина спектральная плотность ti\{t),
следовательно, описывается формулой
5„х (©) = 2Ы02 (Го—т) cos cotdT = 4n*k, (П5.22)
о
где функция косинусов в подынтегральном выражении положе-

Приложения 379
на равной единице, потому что по всему интервалу интегрирова-
интегрирования сот<с1. Далее, спектральная плотность генератора белого
шума, полученная с помощью выражения для автокорреляцион-
автокорреляционной функции (П5.20), равна Si = 2k> и отсюда по формуле
(П5.22) имеем
S^u) = 2n%. (П5.23)
Аналогичный вывод, проведенный для спектральной плотности
n2(t)y дает то же самое выражение, что и для n\(t)
'S^) = 2n%. (П5.24)
Этот вывод показывает также, что взаимная спектральная плот-
плотность между П\(t) и n2(t) равна нулю, из чего следует, что a(t)
и ty(t) —независимые флуктуации.
Если выражения (П5.23) и (П5.24) подставим в формулы
(П5.13) и (П5.15), то найдем спектральные плотности амплитуд:
ных и фазовых флуктуации соответственно
(П5.26)
Эти результаты идентичны полученным в гл. 8 при упрощенном
доказательстве, где или a (t), или ty(t) полагали равными нулю,
в то время как вычисляли другую величину. Таким образом,
подтвердилось основное предположение, использованное в гл. 8,
а именно, что энергия в шумовом генераторе in(t) одинакова
распределяется при возбуждении амплитудных и фазовых
флуктуации.
Приложение 6. Соотношения между токами
и напряжениями в параметрическом
усилителе
Эквивалентная схема параметрического усилителя на
рис. 9.6 состоит из трех резонансных контуров, соединенных че-
через параметрический диод. Устройство с переменной индуктив-
индуктивностью фактически повторяет схему, показанную на рисунке, и,
следовательно, не нуждается в отдельном анализе. В представ-
представленном ниже исследовании предполагается, что усилитель невы-

380 Приложения
рожденный, т. е. что три резонансные частоты хорошо разреши-
разрешимы. Добротности трех резонансных контуров считаются доста-
достаточно высокими, чтобы не было перекрытия между тремя поло-
полосами пропускания. Таким образом, на резонансной частоте лю-
любого из контуров два других контура имеют бесконечную прово-
проводимость.
Заряд qp на параметрическом диоде является функцией на-
напряжения на клеммах vp. Разлагая эту функцию в ряд Тейлора,
можно представить ее в виде
где коэффициенты зависят от конкретных свойств параметриче-
параметрического диода. С точки зрения изучения работы параметрического
усилителя неважно, какой физический механизм приводит к не-
нелинейному поведению, описываемому разложением в ряд
(П6.1); даже если этот механизм квантовомеханический по
своей природе, сам усилитель тем не менее можно исследовать
на языке классической теории.
В случае линейной емкости все коэффициенты, кроме перво-
первого, в выражении (П6.1) равны нулю и а\ — емкость. Если же все
коэффициенты равны нулю, за исключением первого и второго,
то заряд изменяется в зависимости от напряжения по квадратич-
квадратичному закону
®9 (П6.2)
где а\ заменили на линейную емкость Ср параметрического
диода. Этот вид нелинейного поведения особенно интересен, по-
потому что он описывает неискаженное усиление (по крайней ме-
мере, в приближении малых сигналов). Когда в соотношении меж-
между зарядом и напряжением появляются кубические члены или
члены более высокого порядка малости, происходит искажение
из-за смешения гармоник входного сигнала. Для целей нашего
рассмотрения достаточно считать, что заряд изменяется в зави-
зависимости от напряжения по квадратичному закону согласно вы-
выражению (П6.2). Из этого следует, что ток параметрического
диода описывается формулой
| ^^. (П63)
Далее, напряжение на нелинейной емкости можно разложить
на три компоненты
vp(t) = v1(t)+v2(t)-'rVs(t), (П6.4)
где V\(t) соответствует сигналу, Vz(t) —высокочастотной накач-
накачке и v2(t) появляется из-за нелинейной работы параметрическо-
параметрического диода, которая приводит к смешению входного сигнала и на-

Приложения 381
«пряжения накачки. В этом месте целесообразно записать три
напряжения справа в выражении (П6.4) в виде синусоидальных
сигналов с частотами, равными резонансным частотам трех раз-
разветвлений цепи параметрического усилителя. Тогда имеем
vp @ = Vi cos ((о^+ф1)+1/2 cos (ay+ф2)-fJ/3 cos (ay+Фз), (П6.5)
где Vt и ф/ (t = l, 2, 3) —амплитуды и фазы Vi(t). Угловые час-
частоты в формуле (П6.5) связаны выражением
(П6.6)
и каждую частоту можно выразить через обозначения элементов
«схемы на рис. 9.6 следующим образом:
ш. = 1/1/^(Ср+С,), i = 1,2,3. (П6.7)
Объединяя выражения (П6.3) и (П6.5) и пренебрегая всеми
членами с частотами, отличными от соь со2 или со3, находим ток
через нелинейный конденсатор
9. (П6-8а)
где
h (t) = —toiCpVi sin (®1t+<Pi}—G>1a2VtVB sin [<МН-(Фа—4>2>L
Ч @ = — ®?PV* sin К^+Фг) —С02а2^з sin К^+СФз—4>i)]> (П6.86)
h if) =
Таким образом, i/(^) и yf(/) имеют одну и ту же частоту со/
A=1,2,3).
Токи в выражениях (П6.86) можно записать в другом виде
Ч @ = Ср -5Г^+ 2^ 3 [cos (фз—ф2—фх) -^- —
— со^! (О sin (Фз—Ф2—Ф1I>
—ф2—<PiI. (П6.9)
dv3(t) ,
+со3уз @ sin (Фз—Ф2—4
Далее, проводимость каждого из трех резонансных контуров.

382 Приложения
соответствующую нелинейной емкости, можно записать в виде
отношения
*W^)/MM)> (П6.10)
где Ii(j(Oi) и Vi(j(ot) —фурье-преобразования для n{t) и Vi(t) со-
соответственно на частотах со/. Применяя преобразование Фурье к
каждому из токов в выражении (П6.9) и деля их на фурье-пре-
образование соответствующего напряжения, находим
^ ехр[/(ф3-ф2—
ехР [—/ (Фз—Ф2—
Первые члены в правой части выражений (П6.11) —комплекс-
—комплексные проводимости емкости Ср, а вторые члены представляют
вклад от квадратичной составляющей в соотношении между за-
зарядом и напряжением.
Соотношения между током и напряжением для трех резо-
резонансных контуров параметрического усилителя вытекают непо-
непосредственно из выражений (П6.11)
h 04) = {<3Т+М^2 -ирг1- ехр [/ (Фз—Ф2—
0= {G2+/(o2a2 4^- ехр[/(ф3-Ф2-ф1)]} V2 (/аJ), (П6.12)
(Ю = {Оз+уЧ^ -^ ехР [—/ (Фз—Ф2—Фх)]} V3 (/co3),
где /s(/coi) и /рр(/о)з) —фурье-преобразования токов сигнально-
сигнального генератора и генератора накачки соответственно на частотах
€0i и со3> а
Gr = 0^05+0^ (П6.13)
Исключая Угехр/фг и У3ехр/ф3 из выражений (П6.12), полу-
получаем, что комплексная проводимость сигнального контура Ys
содержит отрицательную активную проводимость в соответствии
со свойствами параметрического диода
YS = GT—G, (П6.14)
где

Приложения 383
В этом выражении \1РР\—амплитуда токового генератора на-
накачки. Член в знаменателе, содержащий V\, приводит к увели-
увеличению искажений в параметрическом усилителе, хотя для малых
сигналов, удовлетворяющих условию
со2со3д22 уъ <<: ^ (П6.16)
этот эффект пренебрежимо мал. Это неравенство показывает
также, что для усиления без искажений нелинейность должна
быть малой, а проводимости холостого контура и контура на-
накачки должны быть большими.
Проведенный выше анализ можно распространить на случай,
когда частота сигнала со не обязательно равна резонансной час-
частоте 03i сигнального контура. Тогда соотношения между током
и напряжением в выражениях (П6.12) следует записать в более
общем виде, заменяя coi на со, сог на (со3—®) и включая реактив-
реактивные проводимости резонансных контуров, описываемыми форму-
формулами
(П6.17)
где Q\ и Q2 — добротности сигнального и холостого контуров.
Реактивная проводимость контура накачки равна нулю незави-
независимо от частоты сигнала, так как предполагается, что частота
яакачки зафиксирована на резонансной частоте соз.
Комплексная проводимость сигнального контура описывается
теперь формулой
(??) (П6.18)
где отрицательная проводимость
с со(со3 — со) g22
F7 Т
= . °fa—г- (П6.20)
а^Фа (о)8 ~ ®)

384
Приложения
Приложение 7. Минимальный шум усилителя
Как было показано в разд. 11.3, из анализа, основанного на
принципе неопределенности, следует, что любой линейный уси-
усилитель должен иметь шум. Рассуждения, приведенные ниже и
распространенные на случай больших значений отношения сиг-
сигнал— шум, приводят к выражению для минимальной величины
спектральной плотности мощности шума на выходе усилителя.
Оно вклю'чает в себя коэффициент усиления усилителя и квант
энергии Л/о, где /0 — частота сигнала,
Рис. П7.1. Усилитель с коэффициентом усиления по мощности G и «идеаль-
«идеальный» детектор.
На рис. П7.1 изображена полная усилительная система, со-
состоящая из усилителя с коэффициентом усиления G>1 и детек-
детектора, включенного на его выходе. Последний является «идеаль-
«идеальным» в том смысле, что он вносит неопределенности в измерения
числа фотонов и фазы на предельном уровне, установленном
принципом неопределенности
Для достижения наилучшей чувствительности неопределен-
неопределенности в измерениях числа фотонов и фазы сигнала на входе
усилителя должны удовлетворять соотношению
1/2. (П7.2)
Пусть Ьпа и Дфа обозначают среднеквадратичные значения
флуктуации числа фотонов и фазы на выходе усилителя. Снача-
Сначала определим условие на произведение ДяаДфа, которое согла-
согласует детектор с усилителем.
Так как неопределенности, или шум, производимый усилите-
усилителем и детектором, являются независимыми, неопределенность в
измерении выходного сигнала может быть выражена следующим
образом:
Д/г22 = Д/га2+Дя/ = (РАпу2 (П7.3а>
Дф22 = Дфа2+Дф/ =
(П7.36)

Приложения 385»
Вычисляя произведение этих двух величин, получаем
где
w = bnd/kq>d. (П7.5)»
При вычислениях в уравнении (П7.4) использовалось усло-
условие (П7.1). Заметим, что, хотя произведение Дя<*Д<р<* — фиксиро-
фиксировано, их отношение (П7.5) таким свойством не обладает. Усло-
Условия согласования, упомянутые выше, достигаются тогда, когдаи
w принимает значение, для которого Q — минимально. Из вида
уравнения (П7.4) ясно, что Q как функция w имеет минимум:.
При этом Q, как следует из уравнения (П7.2), принимает значе-
значение 1/4. Дифференцируя уравнение (П7.4) по w и приравнивая
производную к нулю, находим, что минимум наступает при:,
значении
Таким образом, детектор и усилитель оказываются согласо-
согласованными, когда равны относительные неопределенности в этих:.
двух приборах. Подставляя этот результат в уравнение (П7.4)
с Q = l/4, получаем, что
Д/гаДФа=^=1-. (П7.7>
Это и есть искомое оптимальное условие.
Уравнение (П7.7) является основой для определения мини-
минимальной мощности шума на выходе усилителя. Поскольку шум.
имеет тепловую природу, будем предполагать, что он имеет
двухстороннюю спектральную плотность So, которая распрост-
распространяется равномерно на положительные и отрицательные часто-
частоты. Таким образом, полная мощность шума в интервале частот
df представляет собой сумму отрицательных и положительных
частотных компонент, равных 2Sod/. Конечная цель последую-
последующего анализа состоит в определении минимальной величины
мощности шума в предположении, что уровень шума много
меньше уровня гармонического выходного сигнала.
Пусть поле на выходе e(t) состоит из строго гармонической"
компоненты с амплитудой по и угловой частотой со0 и компонент

.386 Приложения
ты теплового шума п (t), обусловленного усилителем, таким об-
образом,
(O. (П7-8)
Как хорошо известно и легко доказывается, выражение,
включающее гармонический член плюс шум, может быть перепи-
переписано в следующем виде:
(П7.9)
где (p(t)—флуктуация фазы, a r(t)—случайно изменяющаяся
огибающая поля. Уравнения (П7.9) следует из записи
п (t) = пс (t) cos cd0*—п8 @ sin (o0t, (П7.1 Оа)
тде две новые шумовые функции в правой части определяются
соотношениями
пс @ = л@ cos <V, (П7.106)
п8 (t) = — п (t) smoHt. (П7.1 Ов)
-Фаза и огибающая e(t) связаны с nc(t) и ns(t) через уравнения
г(/)со8ф@ = ао+лв@- (П7.11а)
г (/) sin ф @ = /i,@. (П7.116)
т которых следует, что
г @ = {[Оо+п, (*)]«+п/ (О}1'2» ao+nc @. (П7.126)
где приближения справедливы, когда велико отношение сиг-
сигнал — шум.
Из уравнения (П7.12а) получаем выражение для спектраль-
спектральной плотности фазовых флуктуации
(П7.13)
¦где 5„$(со) —спектральная плотность случайной величины ns(t).
Теперь непосредственно из уравнения (П7.10в) следует, что
Sns (») = 1/4 [5n(<o-(o0)+Sn(«+©0)] = So/2, (П7.14)
где Sn( ) —спектральная плотность шума усилителя, которая,
как уже было предположено, не зависит от частоты и имеет ве-
величину So. Если сопоставить два результата, указанных выше,

Приложения 38Г
то можно получить значение среднего квадрата фазовых флук-
флуктуации в частотном интервале df. Оно имеет вид
ЛФа2=-|^. (П7.15>
Таким образом, фазовые флуктуации выражены через мощность-
шума. Остается получить аналогичное выражение для флуктуа-
флуктуации числа фотонов Дга2а.
Вычислим флуктуации мощности огибающей r(t) сигнала..
Определим их следующим образом:
т] (t) = [г2 (t) — г*Щ. (П7.16>
Будем интересоваться автокорреляционной функцией
Ф^ = т1(*)т1(*+т). (П7.17>
Ее можно вычислить, используя выражение для r(t) из уравне-
уравнения (П7.126)
., (П7.18>
где члены, обозначенные многоточием, все тождественно равны:
нулю. Поскольку предполагается, что уровень сигнала много
выше уровня шума, первые два члена в правой части уравнениям
(П7.18) незначительны по сравнению с третьим, и, следова-
следовательно,
фп (т) ~ 4а02пс (t) nc (t -j-т) = 4а02срПс (т), (П7.19>г
где флс(т)—автокорреляционная функция процесса nc(t). U&
теореме Винера — Хинчина находим спектральную плотность
л (О
где S,zc(cd) =S0/2 — спектральная плотность nc(t). Таким обра-
образом, получаем
S^) = 2a02S0. (П7.21
Уравнение (П7.21) дает спектральную плотность флуктуации
энергии поля. Энергия шума в поле состоит из двух компонент,
классической части, связанной с взаимодействием между волна-
волнами в поле, и «квантовой», вклад в которую обусловлен корпус-
корпускулярным характером излучения. В пределе низких температур
классический вклад стремится к нулю, а уровень квантового
шума остается конечным. Он определяет минимальный уровень.

388 Приложения
шума на выходе усилителя. На частоте сигнала /0 энергия поля,
содержащего па фотонов, имеет вид
E = njif» (П7.22)
а следовательно, мощность квантового шума (определяемая
среднеквадратичным отклонением энергии от среднего значе-
лшя) в интервале частот df описывается выражением
ДЯ = Дпай/о#. (П7.23)
Так как это выражение дает наименьшее возможное значение
флуктуации энергии поля, ДР2 должно быть положено равным
:3ц ((o)df, чтобы определить минимальный уровень выходного
шума
A^a2/i2/oW2 = 2ao2Sod/. (П7.24)
Используя уравнение (П7.15) и условие, выраженное в уравне-
*нии (П7.7), приходим окончательно к следующему выражению
для минимальной энергии шума на выходе усилителя:
ДРт1п = 2S0df = (G-1) hf4U (П7.25)
и требовалось доказать.

Предметный указатель
Акты рекомбинации и генерации 89
Анализ Ланжевена для теплового
шума 78
Антенна резонансная массивная 342
БКШ-теория 312, 316, 317
Блуждание случайное 38, 42, 159
Болванка веберовская 332, 336, 342,
352 353
— разрезная 336, 342, 352, 353
Вариант квантовый теоремы Найкви-
Найквиста 307
Вещества аморфные 177, 178
— поликристаллические 177, 178
Вид обобщенный 19
Время диэлектрической релаксации
39
Выпадение осадков 32
Выражение Макдональда 46
— Найквиста 74, 95
— Шокли 74
Генератор 216
— ван-дер-Поля 217
< собственных колебаний 217
— в режиме с ограниченным накоп-
накоплением объемного заряда 286
— Ганна 286
— на эффекте Ганна 218, 221
— Робинсона 218
Гипотеза Хуга 170, 171
Движение броуновское 11, 37, 38, 42,
299, 347
Дельта-функция 19—22, 24, 34—37,
160
Детекторы
334—337
гравитационных волн
— криогенные резонансные массив-
массивные 354
Диод Ганна 256, 260, 278, 281
— Зинера 258
— инжекционно-пролетный (ВА-
RITT) 256, 259, 267—270
— туннельный 234
Дисперсия дисперсии 155
Диффузия тепловая 185
Длина диффузионная низкочастотная
80
l/Af-шум 168, 169
l/f-шум 15, 16, 18, 31, 111, 149, 153,
154, 168, 188, 287
— конденсаторе с потерями 178
РТ с р—/г-переходом 140
— модель 160
— температурная зависимость 175
1/f-флуктуации 174
«Закон больших чисел» 361
— Видемана — Франца 257
— Найквиста 123, 364
— Планка 302
— равномерного распределения энер-
энергии 13, 366, 368
— Хуга 150, 188
Заряд пространственный 37
Захват носителей 180
Земля 335
Значение среднее 27
Излучение вынужденное 300
— спонтанное 300
Импеданса поля вектор 284
метод 283
Инвариантность масштабная 151
Интегралы дробного порядка 165
Интенсивность накачки 310

390
Предметный указатель
Интерферометры Джозефсона 321
— лазерные 356
Ионизация ударная 16, 271
Иразеры 295
Испускание 303
Исследование по Найквисту 364
Источники шума в полупроводнико-
полупроводниковых транзисторах с р—/г-перехо-
дом 121
Квазиуровни Ферми 75
Квантование потока 321
Ковариация 27
Колебания вынужденные 220
— Ганна 279
Контакт джозефсоновский 312, 313,
317—319, 325, 327
— резистивно-зашунтированный
(RSJ) 319
Косинус-преобразование Фурье 24, 48
Коэффициент подавления шума 56, 96
— усиления по мощности 250
— — достижимый 67, 68
— шума 103, 107, НО, 111, 252, 309
ЛПД 276
мазера 308
ПТ 142
собственного транзистора 106
усилителя на туннельном дио-
диоде 244
Коэффициенты Эйнштейна 302
Лазеры 295
Локализация доплеровская положе-
положения космического аппарата 355
ЛПД (IMPATT) 256, 258, 260, 261
— плазменный (TRAPATT) 256, 258,
264—267
Луна 335
Мазер 295, 297, 300, 304, 305, 308,
309
Механика квантовая 297
Модель корпускулярная 374
— основанная на захвате носителей
поверхностными ловушками 189
МОП ПТ 150, 160
— шум 143
Мощность достижимая 67, 243, 250
— максимально возможная 14
'— номинальная 306
— обратимая 69
— шума номинальная 298
Музыка и 1//-шум 149
Накачка 304
— мазера 308
Напряжение выключения 119
Населенность инверсная 304, 308—-
311
Неравенство Коши— Шварца 48
Носители горячие 278
Область лавинного пробоя 258
Обращение Винера — Хинчина 50
— интегрального преобразования 23-
Обслуживание очередей случайное
187
Параметр 0 343
Пара фурье-преобразований 24
Партнеры в анализе Фурье 24
— по преобразованию Фурье 47
Пары куперовские 312, 313, 316, 317„
326, 327
Переменные сопряженные 292
Плотность спектральная 19, 30, 35*
37
дробового шума 37
мощности 41, 45, 50, 51, 65*
165, 284, 340
флуктуации 40
— числа флуктуации 181
Поглощение 300, 303
— спонтанное 300
Последовательность (цуг) импульсов
выходных 51
случайных 11—13, 15-, 32, 34*
36, 51, 160, 161, 165
на входе 52
Предел квантовый 291, 294
Преобразование по Нортону 245
— производной 25
— Фурье 22, 23
Прибор на основе эффекта переноса
электронов 256
— пролетного типа 256
Принцип детального равновесия 302
— неопределенности 291, 292, 294,
330, 384
— суперпозиции 49, 57
Пробой лавинный 266, 272

391
Предметный указатель
Проводимость корреляционная 66
активная 66
— эквивалентная тепловая 65
шумовая 54, 55
Процесс Винера —Леей 42—46, 159
— гауссовский 18, 26
— импульсный 13, 20, 35, 37, 41
— лавинного усиления 261
— нестационарный 41, 42
— пуассоновский 363
~- релаксационный 31, 41, 50, 163
— стационарный 26
в широком смысле 28
стохастический 22
— стохастический 18, 25
статически стационарный 18, 19
— шумовой дробовой простой 37
р—n-переходы обратно смещенные
193
Соотношение между током и напря-
напряжением в параметрическом усили-
усилителе 379
— Эйнштейна 370
Сопротивление входное транзистора
ПО
— источника малое 111
— шумовое ПО
эквивалентное 54, 55
Спектр амплитудный 24
— Винера — Леей 159
Среднее по ансамблю 27
Статистика бистабильного взрывного
шума 211
— Холла — Шокли — Рида (ХШР)
90
Стационарность статическая 18
Равновесие 169
Распределение амплитуды l/f-шума
167
— гауссовское 18
— нормальное 18
— Пуассона 12, 33, 40, 211, 359
— спектральное интенсивности 197
Регулировка шумовая 66
Результат Найквиста 366
Решение уравнения, описывающего
выходной шум генератора 375
Свертка автокорреляционной функ-
функции 49
Сверхпроводимость 314
Сверхпроводник «слабый» 313, 318
Свойство основное дельта-функции
21, 24
Связь электромеханическая 343
Сигнал телеграфный случайный 181,
193, 194, 211
Синус-преобразование Фурье 24, 48
Системы необратимые 41
Сквид 313, 323, 354
— постоянного тока 322
Скругление шумовое 328, 329
Слой обедненный 91, 130, 370
«Смыкание» 117
Смысл стационарности узкий 18, 26
широкий 18, 26
Согласование источника с малым им-
импедансом 112
— шумовое 66
Температура отрицательная 308
— шумовая эквивалентная 54, 56
Теорема Винера — Хинчина 19, 31,
34, 41—43, 45, 46, 48, 51, 57, 154,
156, 212, 223, 369, 378, 387
обобщенная 48
— дополнительная 363
для распределения Пуассона АО
— Карсона 12, 16, 34, 40, 52, 81, 84,
94, 100, 124, 160, 161, 213, 284,
396, 372
— Кемпбелла 33
о среднем квадрате 35
среднем 37
— Найквиста 14, 40, 297, 306
— Нортона 65
— о равнораспределении 298
— Парсеваля 28, 29, 34, 48
— Тевенина 54, 60
— энергетическая 29
— эргодическая 28
Теория Бранса — Дике 332
— диффузионная 89
— квантовая l/f-шума 187
— корпускулярная 73, 77, 372, 374
— шума диффузная 74
Ток насыщения 118
Транзистор 71—73, 88
— биполярный 73
— германиевый 71
— кремниевый планарный 73
— полевой 130
с МОП-структурой 115
р—/г-переходом 115, 141
— сплавной 72

Предметный указатель
392
Умножение лавинное 271, 273
Уравнение диффузии, зависящее от
времени 79, 81, 83, 86
— Ланжевена 39, 368
Усиление по мощности 250
Усилители каскадные 67
— на ИПД 277
ЛПД 274, 275
ПЛПД 276
туннельных диодах 241
— параметрические 247
Условие оптимального согласования
шумов 107, 108, ПО
Условия оптимальные шумовые 107
Усреднение по ансамблю 26
времени 26
Характеристика волы-амперная 319^
328, 329
— импульса 165
— процесса статическая 28
— рабочая ПТ с р—«-переходом 115
— шумовая ПЛПД 277
Цепь si гибридная 104
Частота высокая 127
— джозефсоновская 328
— плазменная джозефсоновская 31S
— «среза» ПТ 133
Число флуктуации 182
Фактор шума 277, 279, 286
Физика лавинно-пролетных диодов
(ЛПД) 260
Фликер-шум 15, 148
Флуктуация заряда 38
— подвижности носителей электриче-
электричества 173, 178, 188
— скорости 38, 368—370
— сопротивления 168
— температурные в металлических
пленках 183
— температуры 184—186
— тепловые 89
— числа носителей электричества
171, 173, 187, 188
Форма импульса 38
Формула Найквиста 72, 291
— Фриисса 68
— Хуга 166, 171, 182, 185
Фронт ударный лавинный 266
Функция автокорреляционная 27, 34,
35, 37, 41, 44
— взаимной корреляции 47
— гауссовская 26
— единичная ступенчатая 15, 160
— импульсного отклика 49, 51, 52
— когерентности 48, 50, 52
— Макдональда 45
— нормальная 26
— обобщенная 19, 22
— параболическая цилиндрическая
Веб ера 128
— распределения гауссовская 39
— сингулярная 22
— системная 49, 50
— формы импульса 12, 15, 160, 284
Фурье-преобразование 165
Шум акустический 32
— амплитудно-модуляционный (AM-
шум) 225, 229—231
— в диоде длинном 85
коротком 87
ИПД 279
параметрическом усилителе 252
• резистивно-зашунтированном
контакте 327
транзисторе биполярном 98
— взрывной 16, 167, 201
в р—л-переходах с прямым
смещением 202—210
У резисторов 210
— выходной 221
генератора 375
— генерационно-рекомбинационный
16, 32, 73, 87, 91, 130—134
— Джонсона (джонсоновский) И,
16, 31, 37, 38, 282—287
неравновесный 16, 22
— дробовой 11, 13, 15, 16, 18, 32, Збу
72, 278, 308, 327
в джонсоновском контакте 325
ИПД 277
транзисторах 72
туннельных диодах 238
мазера 310
простой 36
— избыточный 15, 148
— контактный 148
— контактов 15
— лавинный 16, 271, 272, 275
— «лопающихся зерен кукурузы» 201
— микроплазменный 199, 201
— обусловленный прохождением но-
носителей 370
— полупроводниковый 148
— радиочастотных сквидов 330

Предметный указатель
393
— сквидов постоянного тока 329
— .собственный генератор ван-д ер-
Поля 221
— тепловой 11, 13—16, 18, 32, 37, 38,
41, 56, 139, 299, 327, 359
в ПТ с р—л-переходом 122
мазера 305, 308, 311
— тока избыточного 240
инжекции 241
— токовый Т5, 148
<— транзистора в режиме насыщения
W
собственный 103
— усилителя 291, '594
минимальный 384
на ПЛПД 276
— фазово-модуляционный (ФМ-шум)
225, 231
+— частотно-модуляционный (ЧМ-
шум) 225, 229
Электроны горячие 222, 256, 258
Энергия минимальная 337
обнаруживаемая (регистрируе-
(регистрируемая) 337, 339, 340, 361
— нулевая 291, 298, 308, 310
— нулевых колебаний 297
Эффект Джозефсона нестационарный
318
стационарный 318, 327
— квантовомеханический 366
— квантовый 291
— Майснера 314
— объемный 174
— поверхностный 174
я-ная производная 26
Явление объемное 188
— микроплазменное 201

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава 1. Введение 9
Литература 16
Глава 2. Математические методы 18
2.1. Введение 18
2.2. Сингулярные функции 19
2.3. Преобразование Фурье 22
2.4. Стохастические процессы 25
2.5. Энергетические теоремы 28
2.6. Последовательности случайных импульсов 32
2.7. Простой дробовой шум 36
2.8. Тепловой шум 37
2.9. Нестационарные процессы 41
2.10. Процесс Винера — Лёви 42
2.11. Функция Макдональда 45
2.12. Взаимная корреляция, взаимные спектры и когерентность . . 47
2.13. Линейные системы 48
2.14. Пары последовательностей импульсов 51
Литература 53
Глава 3. Шумы в линейных схемах 54
3.1. Введение 54
3.2. Двухполюсники ^ 54
3.3. Линейные четырехполюсники 57
3.4. Коэффициент шума линейного четырехполюсника 62
3.5. Коэффициент шума каскадных усилителей 67
Литература 69
Глава 4. Собственный шум в диодах на р—л-переходах и биполярных
транзисторах 71
4.1. Введение 71
4.2. Диффузионная теория шума в р—п-переходах 74
4.2.1. Тепловые флуктуации потока неосновных носителей ... 78
4.2.2. Генерационно-рекомбинационный шум в объемной области 83
4.2.3. Полный шум перехода 84
4.2.4. Длинный диод 85
4.2.5. Короткий диод 87
4.2.6. Итоговые комментарии 89
4.3. Шум, обусловленный рекомбинацией носителей в обедненном слое 90
4.3.1. Механизм шума 91

Оглавление 395
4.4. Биполярный транзистор 98
4.5. Коэффициент шума, обусловленный собственным шумом транзи-
транзистора 103
4.6. Низкочастотная эквивалентная схема с учетом сопротивления базы 108
4.7. Вклад l/f-шума в коэффициент шума 111
4.8. Вопросы, связанные с малым сопротивлением источника . . . 111
-Литература 113
Глава 5. Шум полевых транзисторов с р—я-переходом и полевых тран-
транзисторов с МОП-структурой 115
5.1. Введение 115
5.2. Рабочие характеристики полевых транзисторов с р—«-переходом 115
5.3. Источники шума в ПТ с р—/г-переходом 121
5.4. Тепловой шум в ПТ с р—/г-переходом 122
5.4.1. Тепловой шум выходного тока 122
5.4.2. Тепловой шум затвора 123
5.4.3. Последовательное сопротивление в канале 126
5.4.4. Высокочастотные эффекты 127
5.5. Генерационно-рекомбинационный шум 130
5.5.1. Генерационный шум обедненного слоя 130
5.5.2. Шум канала ПТ 132
5.5.3. Шум тока утечки 133
5:6. Экспериментальное измерение генерационно-рекомбинационных
шумов 134
5.7. Поведение в сильном электрическом поле 138
5.8. Шум типа 1// в ПТ с р—л-переходом 140
5.9. Эквивалентные схемы для ПТ с р—л-переходом 141
5.10. Шум в МОП ПТ 143
Литература 144
Глава 6. l/f-шум 148
•6.1. Введение 148
•6.2. Масштабная инвариантность 151
6.3. Стационарность 153
6.3.1. l/f-шум в ограниченной полосе частот 154
6.3.2. l/f-шум без низкочастотной фильтрации 156
6.3.3. Стационарность и теоретическое моделирование . . . . 157
6.3.4. Сравнение со случайным блужданием 159
€.4. Форма сигнала с 1/f-спектром 159
6.4.1. Модель l/f-шума, основанная на процессе случайного цуга им-
импульсов 160
6.4.2. Суперпозиция релаксационных процессов 163
€.5. Интегралы дробного порядка 165
«6.6. Экспериментальные данные 166
6.6.1. Контактный шум 167
6.6.2. Амплитудное распределение l/f-шума 167
6.6.3. Флуктуации сопротивления 168
6.6.4. Гипотеза Хуга 170
6.6.5. Флуктуации числа носителей электричества 171
6.6.6. Флуктуации подвижности носителей электричества . . . 173
6.6.7. l/f-шум—это поверхностный или объемный эффект? . . 174
6.6.8. Температурная зависимость спектров l/f-шум а . . . . 175
6.6.9. l/f-шум у аморфных и поликристаллических веществ . . 177
6.7. Физические механизмы возникновения l/f-шума и его теоретические
модели 178

396 Оглавление
6.7.1. \ If-туи в конденсаторе с потерями 178
6.7.2. Захват носителей поверхностными ловушками в полупровод-
полупроводниках 180
6.7.3. Температурные флуктуации в металлических пленках . . 183
6.7.4. Модель 1//-шума, основанная на теории случайного обслужи-
живания очередей 187
6.7.5. Квантовая теория l/f-шума 187
6.8. Заключительные замечания 188
Литература 189
Глава 7. Взрывной шум 193
7.1. Введение 193
7.2. Взрывной шум в обратносмещенных р—/г-переходах .... 193
7.3. Взрывной шум в р—/г-переходах с прямым смещением . . . 202
7.4. Взрывной шум у резисторов 210
7.5. Статистика бистабильного взрывного шума 21 f
Литература 214
Глава 8. Шумы в генераторах 216
8.1. Введение 216
8.2. Собственные колебания в генераторе ван-дер-Поля . . . . 217
8.3. Вынужденные колебания 220
8.4. Выходной шум 221
8.5. Выходной спектр .- 223
8.6. Метод линеаризации 226
8.7. Спектр амплитудно-модуляционного шума 229
8.8. Спектр фазово-модуляционного шума 231
8.9. Заключительные замечания 232
Литература 233
Глава 9. Туннельные диоды и параметрические усилители .... 234
9.1. Введение 234
9.2. Туннельный диод 234
9.3. Шумы в туннельных диодах 238
9.3.1. Дробовой шум в туннельных диодах 238
9.3.2. Шум избыточного тока 240
9.3.3. Шум тока инжекции 241
9.4. Усилители на туннельных диодах 241
9.4.1. Эквивалентная схема 241
9.4.2. Коэффициент усиления усилителя на туннельном диоде . . 243
9.4.3. Коэффициент шума усилителя на туннельном диоде . . . 244
9.5. Параметрический усилитель 247
9.5.1. Принцип действия 248
9.5.2. Коэффициент усиления по мощности 250
9.5.3. Коэффициент шума 252
9.5.4. Заключительные замечания 254
Литература 254
Глава 10. Устройства на горячих электронах 256
10.1. Введение 256
10.2. Горячие электроны 256
10.3. Физика лавинно-пролетных диодов (ЛПД) 260
10.3.1. Лавинно-пролетный диод (ЛПД) 260
10.3.2. Плазменный ЛПД (ПЛПД) 264
10.3.3. Инжекционно-пролетный диод (ИПД) 267

Оглавление 39Т
10.4. Лавинный шум 271
10.5. Шум в пролетных усилителях 274
10.5.1. Усилители на ЛПД 274
10.5.2. Усилители на ПЛПД 276*
10.5.3. Усилители на ИПД 277
10.6. Физика генератора на эффекте переноса электронов .... 279
10.7. Шум в генераторах Ганна 282*
10.7.1. Шум Джонсона 282:
10.7.2. 1//-шум 287
Литература 287"
Глава 11. Квантовая механика и шумы 291
11.1. Введение 291
11.2. Принцип неопределенности 292s
11.3. Квантовый предел для шума усилителя 294
11.4. Теорема Найквиста и квантовая механика 297
11.5. Поглощение и испускание излучения веществом 300
11.5.1. Обмен энергией в двухуровневой системе 300
11.5.2. Принцип действия мазера 304
11.6. Шумы мазера 305
11.6.1. Тепловой шум 305.
11.6.2. Коэффициент шума 308
11.6.3. Дробовой шум 310
11.7. Заключительные замечания 311
Литература 311
Глава 12. Приборы с джозефсоновскими контактами 312
12.1. Введение 312
12.2. Сверхпроводимость 314
12.3. Джозефсоновский контакт 317
12.4. Интерферометры Джозефсона 321
12.4.1. Сквид постоянного тока 322
12.4.2. Сквид переменного тока 32S
12.5. Шумы в приборах с джозефсоновскими контактами .... 325
12.5.1. Дробовой шум в джозефсоновском контакте .... 32S
12.5.2. Тепловой шум при стационарном эффекте Джозефсона 327
12.5.3. Шум в резистивно-зашунтированном контакте .... 327
12.5.4. Шум сквидов постоянного тока 329
12.5.5. Шум радиочастотных сквид ов 330
Литература 330
Глава 13. Детекторы гравитационного излучения 332
13.1. Введение 332
13.2. Детекторы гравитационных волн 334
13.3. Минимальная обнаруживаемая энергия 337
13.4. Восстановление сигнала гравитационной антенны 342
13.4.1. Эквивалентная схема резонансной массивной антенны . . 342
13.4.2. Гравитационный импульс 34о
13.4.3. Генераторы шумов в эквивалентной схеме 347
13.4.4. Оптимальный фильтр 347
13.4.5. Отношение сигнал —шум : ' * ' ос*
13 5 Сравнение веберовской болванки с разрезной болванкой . . . оЪ?
13.6. Современное состояние работ по детектированию гравитационного
излучения ™"
13.6.1. Криогенные резонансные массивные детекторы . . . ооъ

398 Оглавление
13.6.2. Слежение за спутниками 355
13.6.3. Лазерные интерферометры, работающие при комнатных тем-
температурах , 356
13.7. Заключительные замечания 356
-Литература 357
Приложения 359
Приложение 1. Тепловой шум и распределение Пуассона .... 359
Приложение 2. Исследование по Найквисту теплового шума в сопро-
сопротивлении 364
Литература 367
Приложение 3. Подвижность, броуновская скорость и диффузия . . 367
.Литература 370
Приложение 4. Шум, обусловленный прохождением носителей через
обедненный слой р—л-перехода 370
Приложение 5. Решение уравнения, описывающего выходной шум гене-
генератора 375
Приложение 6. Соотношения между токами и напряжениями в пара-
параметрическом усилителе 379
Приложение 7. Минимальный шум усилителя 384
Предметный указатель * 389

Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве, перевода и другие про-
просим присылать по адресу: 129820, Москва,
И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, изд-ва
«Мир».

Майкл Букингем
ШУМЫ В ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРАХ И СИСТЕМАХ
Научный редактор В. С. Соболев
Младший научный редактор Н. И. Сивилева
Художник Н. А. Дронова
Художественный редактор В. Б. Прищепа
Технический редактор Е. С. Потапенкова
Корректор С. А. Денисова
ИБ № 5569
Сдано в набор 23.09.85. Подписано к печати 27.02.86.
Формат 60X90Vie- Бумага типографская № 1.
Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем 12,50 уч. изд. л. Усл. печ. л. 25.
Усл. кр.-отт. 25. Уч.-изд. л. 23,57. Изд. № 6/4335.
Тираж 12 000 экз. Зак. 1360. Цена 2 руб.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № И Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств,
•полиграфии и книжной торговли
{113105, Москва, Нагатинская ул., д. 1