Гиперзвуковая аэроднимика - Лунев В.В.

Автор: Лунев В.В.

Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника аэродинамика аэромеханика учебное пособие авиационная промышленность авиационная техника

Год: 1975

Похожие

Сверхзвуковые течения вязкого газа

Нестационарная аэродинамика баллистического полета

Гиперзвуковая аэродинамика и теплообмен спускаемых космических аппаратов и планетных зондов

Баллистические установки и их применение в экспериментальных исследованиях

Текст

ВВЛУНЕВ
ГИПЕРЗВУКОВАЯ
АЭРОДИНАМИКА

В. В. ЛУНЕВ
ГИПЕРЗВУКОВАЯ
АЭРОДИНАМИКА
Допущено
Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
авиационных специальностей высших учебных заведений
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1975

Л 84
УДК 629.73.533.6@75.8)
Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М., «Машиностроение», 1975,
с. 328
В учебном пособии описаны течения нешязкого газа с гиперзвуковыми
скоростями с учетом реальных равновесных и неравновесных процессов, со-
сопутствующих движению тел в атмосфере. Приведены уравнения движения не-
несовершенных газов и описана общая теория их сверхзвуковых и гиперзвуко-
гиперзвуковых течений. Рассмотрены задачи обтекадия тел наиболее типичных для ги-
гиперзвуковой аэродинамики форм.
Книга может быть также полезна специалистам авиационной промыш-
промышленности.
Ил. 144, список лит. 53 назв.
Рецензенты: чл.-корр. АН СССР Г. Г. Черный,
д-р техн. наук, дроф. Н. Ф. Краснов,
канд. техн. наук В. Н. Кошевой
Научный редактор канд. физ.-мат. наук Б. А. Землянский
„ 20303-180
Л 180-75
038@1)-75
Издательство «Машиностроение», 1975

ПРЕДИСЛОВИЕ
Интерес к изучению гиперзвуковых течений газа, т. е. тече-
течений со скоростями, много превосходящими скорость звука, обус-
обусловлен прежде всего развитием авиационной, ракетной и косми-
космической техники.
Физико-химические процессы в газе, сопутствующие движе-
движению тел в атмосфере Земли или других планет с гиперзвуковы-
гиперзвуковыми скоростями, осложняют картину течения, и учитывать их в
теоретических исследованиях и при решении практических задач
становится все более необходимым. Поэтому в книге приведен
вывод уравнений, описывающих поведение несовершенных газов
при высоких температурах, ограниченный рамками термодинами-
термодинамики с целью дать общее представление о структуре физических
соотношений, замыкающих основную систему уравнений газовой
динамики.
В книге изложены общие газодинамические вопросы теории
равновесных или неравновесных течений газа. Равновесные фи-
физико-химические процессы обычно не вносят в газодинамические
задачи новых по сравнению с совершенным газом качественных
эффектов физического и математического характера, а неравно-
неравновесные течения (или течения релаксирующего газа) часто обла-
обладают определенной спецификой, описываются более сложной си-
системой уравнений и требуют специальных исследований.
Однако, несмотря на все многообразие реальных эффектов,
невязкие гиперзвуковые течения имеют ряд общих газодинами-
газодинамических свойств, что позволяет использовать при их исследовании
единую методику или упрощенные схемы течения, лежащие в
основе гиперзвуковой теории.
В методическом плане для гиперзвуковой теории характерен
асимптотический анализ, т. е. исследование определенных пре-
предельных режимов течения (предельно большая скорость обтека-
обтекания, предельно тонкие тела, предельно сильные ударные волны
и др.), если они правильно отражают свойства течений в реаль-
реальном диапазоне условий обтекания или форм тел. Проявление
этих асимптотических свойств и определяет, как правило, весьма
условную границу между гиперзвуковой и сверхзвуковой газовой
динамикой.
Кроме общей теории книга содержит ряд конкретных задач,
связанных в основном с хорошо исследованными течениями око-
около плоских и осесимметричных тел. Рассмотрены некоторые про-
2-382 3

странственные течения, которые, хотя и менее изучены, должны
привлечь внимание будущих исследователей.
С развитием вычислительной математики и техники стали
простыми многие ранее неразрешимые задачи газовой динами-
динамики. В связи с этим автор стремился избегать громоздких приб-
приближенных методов, хотя и эффективных в прошлом, ставя
основной задачей на простых допускающих аналитическую обра-
обработку примерах или с помощью законов подобия дать представ-
представление об общей картине и особенностях гиперзвукового (а час-
часто и умеренно сверхзвукового) обтекания основных классов тел
и о влиянии на это обтекание реальных свойств газа. Для ил-
иллюстрации положений гиперзвуковой теории широко использова-
использованы результаты точных численных решений или экспериментов.
При написании книги и подготовке ее к изданию большую
помощь автору оказал научный редактор книги Б. А. Землян-
ский. Полезные замечания и советы были даны рецензентами
книги Г. Г. Черным, Н. Ф. Красновым, В. Н. Кошевым, а также
В. Н. Архиповым, В. Г. Воронкиным, А. А. Гонором, Ю. А. Демь-
Демьяновым, В. В» Знаменским, А. Н. Крайко, В. В. Михайловым,
И. Н. Мурзиновым, В. П. Стуловым, В. В. Сычевым, Г. Н. Сте-
Степановым, прочитавшим в рукописи отдельные разделы. Всем им
автор приносит свою искреннюю благодарность.
Все замечания и пожелания следует направлять по адресу:
Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., д. 3, издательство «Маши-
«Машиностроение».

ЧАСТЬ I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИИ
РЕАЛЬНОГО ГАЗА
Глава 1
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕСОВЕРШЕННЫХ ГАЗОВ.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 1.1. Физические процессы в газе при гиперзвуковых
скоростях полета!
При полетах в атмосфере Земли или других планет с гипер-
гиперзвуковыми скоростями температура газа около тела может быть
очень высокой, в чем легко убедиться из известной формулы
для температуры в точке торможения в совершенном газе
2ср
A.
Для холодного воздуха ср=0,24 кал/г-град^1 Дж/(г-К)~
«1000м2/(с2трад).
Для атмосферы Земли примерное распределение параметров
«о высоте Я показано на рис. 1.1. Температура воздуха и ско-
скорость звука изменяются сравнительно слабо. Давление же и
плотность быстро падают с увеличением высоты. Для покоящей-
покоящейся атмосферы dp = —QgdH, где g&9,8 м/с2. Отсюда для изотер-
изотермической атмосферы (при постоянном отношении /?/р) получим
формулу
Pa Qa \ Р
Для реальной атмосферы Земли эта формула правильно от-
отражает порядок величин при р = 0,142 км™1, как показано на
рис. 1.1.
Холодный воздух является в основном смесью двухатомных
газов кислорода B1% от общего числа молекул) и азота G8%)
с молекулярными весами соответственно [Ю2 =32 и ^n2=28c
незначительной (около 1%) примесью аргона с [хдг = 40.
1 Подробное описание этих процессов дано в книгах [4, 12, 30, 32, 4i]
« др.

При низких температурах Т ^500 К (в аэродинамике умерен-
умеренных сверхзвуковых скоростей) воздух можно считать совершен-
совершенным двухатомным газом, т. е. газом с постоянными молекуляр-
молекулярным весом \itt29, теплоемкостями и показателем адиабаты
Y= 1,405.
20СГ
100
100 Н, аП
Рис. l.l. Распределение параметров в атмосфере
Земли:
р q —наземные давление и плотность; {3=0,142 км
С увеличением температуры в молекулах воздуха возбужда-
возбуждаются колебательные степени свободы, что приводит к увеличе-
увеличению теплоемкостей (рис. 1.2). При 7^2000 К молекулярный кис-
кислород начинает распадаться (диссоциировать) на атомарный, а
при 7^4000 К начинает диссоциировать азот. С дальнейшим
увеличением температуры торможения до 7000—10000 К на-
начинается процесс ионизации с образованием свободных элект-
электронов.
Существенным обстоятельством является большая энергоем-
энергоемкость указанных процессов. На рис. 1.3 показана доля кинети-
кинетической энергии набегающего потока, затраченная на реализацию
физико-химических процессов в точке торможения потока при
обтекании тупого тела. Как видно, энергия колебаний молекул
сравнительно невелика, но диссоциация и ионизация газа погло-
поглощают до 75°/о энергии потока.

Эти эффекты делают неприменимыми многие результаты га-
газовой динамики совершенного газа. Так, при скорости полета
?/oo=10-f-15 км/с температура воздуха в точке торможения мо-
может быть в 5—10 раз меньше температуры, определяемой форму-
формулой A.1.1). В сущности, диапазоном небольших температур (со-
uo
0,5
2000 3000 IK
>
H=80
~~~ Н=80^У
^H=A-0 ^^"
02
6 Moo
Рис. 1.2. Зависимость удель-
удельных теплоемкостей и энталь-
энтальпии (для воздуха) от темпе-
температуры 7' для различных
давлений /?=10п ат A,01 X
X!Qn-i MH/м2). Шкала чи-
чисел Моо связана с Т уело-
виями в точке торможения
при наземном шолете
10
Рис. 1.3. Отношения удельных энергий
колебаний (/), диссоциации (//), иониза
ции (///) и суммы послецщих (IV) к
величине 72^ для вьюот полета 40 ъ
80 км; пунктир — относительная энер-
энергия колебаний при отсутствии диссоциа-
диссоциации
ответствующих наземным полетным числам Моо = ЗЧ-5 (см.
рис. 1.2)) с постоянными теплоемкостями применение модели со-
совершенного газа ограничено. Но этот предел может быть значи-
значительно расширен в зависимости от формы тела (например, для
тел заостренной формы) и желаемой точности основных харак-
характеристик обтекания и может быть установлен лишь путем ана-
анализа конкретных течений. В аэродинамических трубах с невысо-
невысокими температурами торможения модель совершенного газа мо-
может быть пригодна и для достаточно больших чисел Моо.
При заданной скорости полета в зависимости от соотноше-
соотношения скоростей протекания физико-химических и газодинамиче-
газодинамических процессов могут реализоваться различные типы течений.
Если реакции идут значительно быстрей, чем меняется термоди-
термодинамическое состояние частицы, то в каждой точке потока сос-
состав и вообще состояние газа можно считать равновес-
равновесным, соответствующим бесконечно долгому пребыванию при

местных температуре и давлении. Такие течения называют рав-
равновесными. В другом предельном случае физико-химические
процессы не успеют даже начаться, как газовая частица уже по-
покидает данную область течения, так что состав газа в ней оста*
ется неизменным. Такие течения называют «замороженными».
И, наконец, существует обширная промежуточная область нерав-
неравновесных течений.
н9км
10
Рис. 1.4. Примерные границы влияния различных фи-
физических процессов для сферы радиусом 1 м (сплош-
(сплошные линии) при полете в атмосфере Земли; пунктир
относится к боковой поверхности конуса со сфери-
сферическим носком тех же размеров и половиной угла-
при вершине 0s=7°; область применимости результа-
результатов заштрихована
Скорость протекания физико-химических процессов, как пра-
правило, возрастает вместе с плотностью газа. Поэтому равновес-
равновесные режимы течений имеют место при полетах на небольшой
высоте (для тел нормальных размеров при #<30 км), заморо-
замороженные — на очень больших высотах (#>80 км). Примерное
представление об областях влияния различных физических^про-
цессов дает диаграмма рис. 1.4, построенная для лобовой частя
тупого тела размером L=l м. Режим течения зависит от формы
обтекаемого тела, так как она оказывает влияние на поле давле-
давлений, температур и скоростей. Для примера на рис. 1.4 пунктиром
показана примерная граница применения равновесной теории
для тонких притуплённых конусов. Эта линия проходит значи-
значительно ниже, чем для лобовой части сферы.
И, наконец, отметим еще два существенных физических эф-
эффекта, учет которых, однако, выходит за рамки нашей книги.
С увеличением температуры газ начинает излучать значительное
количество энергии. При больших скоростях полета энергия, из-
8

лученная газовой частицей за время прохождения около тела,
может быть сравнима с собственной энергией, и течение газа
становится существенно неадиабатичным.
При полетах на больших высотах существенным может ока-
оказаться также влияние вязкости, которое, как известно, определя-
определяется числом Рейнольдса Re = LU/v, где v — кинематическая
вязкость. При очень больших числах Рейнольдса влияние вязко-
вязкости сосредоточено лишь в узких, толщиной порядка LRe-1/2, при-
пристеночных пограничных слоях (кроме особых случаев возникно-
возникновения зон отрыва). Однако при больших высотах полета влия-
влияние вязкости может быть заметным во всей возмущенной
•области течения, и тогда теория невязкого течения становится
неприменимой. Примерные области влияния излучения и вязко-
вязкости на обтекание тел также показаны на диаграмме рис. 1.4.
§ 1.2. Физическая модель течения неравновесных
смесей газов
Сформулируем основы феноменологической теории невязкого
течения неравновесных смесей газов, последовательно (по мере
необходимости) вводя гипотезы и допущения о физических свой-
свойствах рассматриваемой среды.
Дифференциальные уравнения, описывающие движение газа,
обычно выводят из законов сохранения для малых жидких ча-
частиц и занимаемых ими объемов, масштаб которых много мень-
меньше характерного масштаба течения в целом. При этом жидкая
«ли газовая среда предполагается однофазной сплошной с непре-
непрерывным и достаточно гладким распределением давления /?,
плотности р, скорости U и других макроскопических параметров
течения в окрестности рассматриваемой точки.
Закон-сохранения массы при отсутствии источников приводит
к известному уравнению неразрывности
^ div t7=^- + divq f/=0. A. 2. 1)
Здесь d/dt — полная производная по времени, характеризую-
характеризующая изменение величины в фиксированной движущейся газовой
частице.
Закон сохранения количества движения требует определения
.характера действующих в газе сил. В невязкой жидкости или
тазе на каждую элементарную площадку действует лишь нор-
нормальная сила давления, не зависящая от ориентации площадки.
Поскольку любой газ обладает вязкостью, то такая схема при-
применима лишь для течений с достаточно малыми градиентами ве-
величин, а точнее, при достаточно больших числах Рейнольдса
(вне тонких пограничных слоев на стенках или контактных раз-
разрывах, или вне отрывных зон).
Закон сохранения количества движения для элементарного

жидкого объема невязкой жидкости при отсутствии массовых сил
приводит к уравнению
Q^=-grad/7. A.2.2)
И, наконец, закон сохранения энергии для элементарной жид-
жидкой частицы в связанной с ней системе координат, достаточна
малой для того, чтобы кинетической энергией движения ее час-
тей относительно ее центра масс можно было пренебречь, приво-
приводит к 1-му началу или закону термодинамики. Если dq — внеш-
внешний приток тепла в частицу с единичной массой, a dA— затра-
затраченная ею работа над внешней средой, то этот закон имеет вид
dq=de-{-dA,
где е — удельная (на единицу массы) внутренняя энергия газа.
В невязком газе элементарная работа сил давления dA — pdl[pr
и 1-е начало термодинамики принимает вид (h~e-\~p[Q — удель-
удельная энтальпия газа)
dq=de + pd —=dh -—dp. A. 2. 3)
Q Q
Полагая dq = O, получим дифференциальное уравнение адиаба-
адиабатического процесса (адиабаты)
1± + р A._L_o, d± = ±_dJL. A.2.4)
dt dt Q dt Q dt
Дифференциальные уравнения Эйлера A.2.1) — A.2.2) и
энергии A.2.3) нельзя использовать при внезапном изменении
состояния газа, например, при переходе через скачок уплотнения*
когда необходимо использовать законы сохранения в конечных
приращениях (см. гл. 2).
Все эти уравнения получены лишь в предположении сплош-
сплошности среды и отсутствия внутреннего трения и не зависят от
других свойств газа. Число этих уравнений на единицу меньше
числа неизвестных, поэтому, чтобы замкнуть их, необходимо еще
задать связь между плотностью, давлением и энергией (энталь-
(энтальпией). Эта связь проста лишь для несжимаемой q = const или, в
крайнем случае, баротропной q = q(p) жидкости. В общем же
случае плотность (и другие величины) зависит еще от темпера-
температуры Т и совокупности некоторых других параметров qn (напри-
(например, состава газа), поэтому соответствующие зависимости долж-
должны иметь вид1
Q = Q{p, 7\ <7i, ?2"") = Q(A T, qn\ A.2.5)
e = e{p,T,qn) или h = h{p,T, qn).
1 Одна из букв qn или qm в скобках подобных формул обозначает всю
совокупность параметров qn.
10

Эти соотношения должны быть дополнены уравнениями для
определения параметров qn. Из термодинамики известно, что для
равновесных состояний (т. е. предельных состояний изолирован-
изолированной системы, в которых она может пребывать бесконечно долго)
эти уравнения имеют алгебраическую форму]
f,{p,T,qa) = 0. A.2.6)
Число их равно числу параметров qn, что позволяет выразить
все термодинамические параметры через давление и температу-
температуру (или два других независимых параметра).
Для неравновесных физико-химических процессов уравнения
{1.2.6), или часть их, неприменимы. В этом случае изменение
параметров qn во времени определяется уравнениями химиче-
химической кинетики или релаксации типа (см. § 3.7)
Ц*-=<1п(Р, T,qlt q»..)=Qn{p, T, qn), A.2.7)
которые и замыкают задачу.
Как видно, феноменологическая теория предполагает исполь-
использовать для описания указанных выше физических зависимостей
и процессов давление и температуру в качестве основных харак-
характеристик состояния газа. Эти понятия вводятся в термодинами-
термодинамике строго лишь для равновесных состояний, или равновесных
(точнее, квазиравновесных) процессов, образуемых обратимой
последовательностью бесконечно медленно сменяемых равновес-
равновесных состояний. Следовательно, феноменологическая теория при-
применима лишь для достаточно медленных газодинамических и
физико-химических процессов.
Эти рассуждения дают представление о характере теории, но
нуждаются, конечно, в обоснованных пояснениях для каждого
конкретного случая, что и сделаем ниже, формулируя термоди-
термодинамическую модель газовых смесей для диапазона условий, до-
достаточного для современной аэродинамики.
Эта модель2 является следствием исследований по физике
газов в рамках квантовой механики, статической физики и кине-
кинетической теории газов и основана на следующих фактах.
1. При тех плотностях газа, с которыми приходится иметь
дело в аэродинамике, воздух, углекислый газ и другие газы
можно считать идеальными газами, в которых атомы, молекулы
и другие частицы взаимодействуют лишь в относительно корот-
короткие промежутки времени их непосредственного столкновения.
Известно, что для установления равновесного максвелловского
распределения частиц по скоростям их поступательного движе-
1 Для знакомства с чисто газодинамической стсроиой теории гитгерзвукэ-
вых течений лишь равновесного (или совершенного) газа можно опустить
остальную часть гл. 1, кроме § 1.9.
2 Наиболее четко сформулирована Вудом и Кирквудом [8].
И

ния достаточно всего несколько соударений. Поэтому времяг
установления такого равновесия (время релаксации) обычно-
столь мало, что при обтекании тел нормальных размеров в дос-
достаточно плотном газе гипотеза о равновесии поступательных-
степеней свободы для каждого элементарного газового объема
(малого по сравнению с характерным масштабом течения, но
большего по сравнению с длиной свободного пробега) является
хорошим приближением к действительности.
В этом случае средняя энергия, приходящаяся на любую по-
поступательную степень свободы, одинакова (принцип равномер-
равномерного распределения энергии) и равна kT/2 для частиц любого
вида, где к — постоянная Больцмана, а Г — термодинамическая
температура, т. е. температура термометра, находящегося в теп-
тепловом равновесии с газом. Импульс, переносимый частицами че-
через элементарную площадку, также оказывается независящим*
от ее ориентации. Поэтому единственным внутренним напряже-
напряжением в газе оказывается гидростатическое давление р.
2. Колебательные, электронные уровни атомов, молекул, ио-
ионов образуют группу внутренних степеней свободы. Энергия их
возбуждения и энергия химических реакций и ионизации частиц,
обычно велики, поэтому возбуждаются и реагируют прежде все-
всего «быстрые» молекулы за счет потери части энергии поступа-
поступательных степеней свободы, что, естественно, постоянно наруша-
нарушает максвелловское распределение. Однако время протекания этих
процессов обычно на несколько порядков превосходит время
установления максвелловского распределения, которое таким об-
образом непрерывно восстанавливается (с изменением температу-
температуры Т).
Строго говоря, вращательные степени свободы молекул ведут
себя аналогично внутренним, однако для их возбуждения требу-
требуется немного столкновений и их можно считать полностью воз-
возбужденными и применить к ним принцип равномерного распреде-
распределения энергии. Поэтому в дальнейшем объединим вращательные*
и поступательные степени свободы и назовем их внешними.
Таким образом, физико-химические процессы в газе протека-
протекают как бы на фоне равновесия поступательных степеней свобо-
свободы, что дает возможность ввести обычные, термодинамические
понятия давления и температуры как основные характеристики
состояния газа, которые только и характеризуют в такой поста-
постановке хаотическое поступательное движение частиц и зависящие
от него величины и процессы.
Конечно, принцип равномерного распределения энергии, поз-
позволяющий ввести единую температуру для всех частиц, не уни-
универсален и может нарушаться, например, в очень быстрых газо-
газодинамических процессах, при большом различии молекулярных
весов частиц (смесь ионов и электронов, например) или при до-
достаточно высоких скоростях физико-химических превращений
компонент определенного вида (например, при температурах в
12

несколько десятков тысяч градусов). В этом случае отдельным:
видам частиц следует отнести свою температуру (если это вооб-
вообще окажется возможным), но мы такие ситуации рассматривать
не будем.
Основанная на пп. 1, 2 модель течения имеет и более глубо-
глубокие физические следствия. Для газовой смеси как термодинами-
термодинамической системы перечисленные выше физические процессы экви-
эквивалентны поступлению одних или исчезновению других частиц
(другого вида или с другим возбуждением) с одновременным
подводом или поглощением энергии. Но из-за малой скорости
таких процессов массо- и энергообмена их можно считать обра-
обратимыми, а каждую компоненту смеси (группу частиц одного ви-
вида) или даже каждую внутреннюю степень свободы можно счи-
считать локально-равновесной термодинамической подсистемой, но
уже не замкнутой, а с переменной массой или энергией и нахо-
находящейся в процессе бесконечно медленного обмена энергией с
другими подсистемами 1. С точки зрения термодинамики каждая
внутренняя степень свободы характеризуется лишь энергией,
затраченной на ее возбуждение, или температурой, равной тем-
температуре газа, при которой местное значение энергии данной
внутренней степени свободы будет равновесным.
Часто оказывается, что равновесие устанавливается быстрее
внутри одной родственной группы внутренних степеней свободы
(например, колебательные уровни молекул одного вида). Тогда
эту группу можно считать одной степенью свободы с одной оп-
определяющей энергией или температурой.
Таким образом, неравновесный в целом процесс сводится к бо-
более простой феноменологической схеме, а именно: к совокупно-
совокупности равновесных процессов в отдельных термодинамических под-
подсистемах с привлечением уравнений, регулирующих массообмен
незамкнутых подсистем и приток энергии в каждую из них, т. е.
уравнений релаксации и химической кинетики типа A.2.7) или
других. Отличие от случаев полного термодинамического равно-
равновесия газовой смеси как термодинамической системы заключает-
заключается здесь в том, что состояние газа определяется не только дав-
давлением и температурой, но и совокупностью других парамет-
параметров qn.
Такая постановка позволяет, например, ввести понятие энтро-
энтропии отдельных степеней свободы, или компонент, как термоди-
термодинамических подсистем, и применить 2-й закон термодинамики
для определения условий равновесия (см. § 1.4).
Перейдем к количественному описанию смесей идеальных
газов в рамках принятой выше их физической модели. Здесь
конкретизируем соотношения A.2.5), а в § 1.3 получим кинетиче-
1 Эта ситуация подобна системе тел с разной температурой, теплопере-
теплопередача между которыми столь медленна, что температура внутри каждого тела
остается практически однородной.
13

ские уравнения A.2.7). Для идеального газа парциальные дав-
давления отдельных компонент связаны с температурой уравнением
Клапейрона
= ^ RT (R = kN09 q.=^L)9 A.2.8)
а для смеси в целом справедлив закон Дальтона р = 2/?г, что при-
приводит к следующему уравнению состояния:
A.2.9)
Q " ' ' ' ¦
где п и n-i число всех частиц и частиц 1-го вида в единице объ-
объема; N и Ni — число их молей в единице объема; R — универ-
универсальная газовая постоянная; А/^6»1023 — число частиц в моле,
одинаковое для всех газов (число Авогадро); \i{ — молекуляр-
молекулярный вес; С{ — массовая концентрация; рг — плотность i-ih ком-
компоненты. Введем еще молярные концентрации х\, связанные с
массовыми так:
~ A.2.10)
Величина \i является средним молекулярным весом смеси и
обладает всеми свойствами молекулярного -веса чистого газа.
В частности, jx/W0 есть средний для смеси вес молекулы, р =
= n\i/N^ — средняя плотность, а число частиц в массе смеси,
равной jj, граммов, равно No. Та же связь (что и для парциаль-
парциальных величин) сохраняется между удельными / и молярными F
величинами 1
^ ^l/l = V.f. A.2.11)
Если V = \iilpi — объем моля 1-й компоненты при давлении pi и
температуре Т, то молярный объем смеси V=[x/q, а из уравнений
A.2.8) — A.2.9) следует
p.V. = pV^RT. A.2.12)
Для определения внутренней энергии идеального газа, или
калорического уравнения состояния, используем принцип равно-
1 Молярные величины в этой главе будем обозначать прописными буква-
буквами в отличае от удельных.
14

мерного распределения энергии по внешним степеням свободы.
На каждую такую степень свободы моля газа приходится энер-
энергия 112RT, поэтому вследствие аддитивности внутренняя энергия
и энтальпия моля i-й компоненты равны
A.2. 13)
Первые члены в уравнении A.2.13) представляют собой энер-
энергию и энтальпию внешних степеней свободы, U — их число, а
&$ и C^i — молярные теплоемкости при постоянном объеме и
давлении; атом имеет три степени свободы /* = 3, двухатомная
молекула на две (вращательные) больше, т. е. U = 5 (энергией
вращения вокруг продольной оси молекул пренебрегают). Трех-
Трехатомная молекула ССЬ также имеет /* = 5.
Член?(*^ — есть энергия &-й внутренней степени свободы til
компоненты, а Е\г>) —их сумма. При равновесии они зависят лишь
от температуры Т.
Постоянная Hoi — есть энергия образования одного моля
данной компоненты, включенная в ее внутреннюю энергию. Для
атомов это энергия, потребная для разложения соответствующе-
соответствующего числа молекул, для ионов — энергия ионизации и т. д. Оче-
Очевидно, эту энергию можно отнести к той или иной компоненте.
Для удобства обычно полагают Hoi = 0 для тех компонент, кото-
которые присутствуют в исходном равновесном состоянии смеси при
нормальной температуре (например, для молекул кислорода,
азота, углекислого газа).
Удельные (на единицу массы) энергия ei = Ei/\ii и энтальпия
Ы = Нг/11г в соответствии с уравнением A.2.13) равны
^+ГЧАо/; A.2. 14)
Здесь с$, ср]\ hQi — удельные теплоемкости внешних степеней
свободы и теплота образования.
Суммарная энтальпия равна
/ ^Г"Ч / I P (О)-г1 I (V) |
= C(°)r-(-?(t')-f-//0; A.2.15)
= У х^у и т. д. 1
15

При равновесии вместо A.2.14) часто используют формулы, учи-
учитывающие энергетический вклад внутренних степеней свободы с
помощью переменных теплоемкостей
hi = \cpidT+h^ Cpi=cl$+-±r. A.2. 16)
о
Заметим, что при этом всегда справедливы соотношения
Cpi-C.i = b(cp,-col) = R. A.2. 17)
Величины ^(^определяются в статистической физике. При рав-
равновесии для энергии колебаний двухатомной молекулы, просум-
просуммированной по всем колебательным уровням, обычно использу-
используют формулу
па
E{v)= „** A.2.18)
е v —1
(которая и определяет колебательную температуру Т&\ если из-
известно местное неравновесное значение EW).
Характеристическая температура 9v=2230K — для молеку-
молекулы кислорода и 6 v = 3340 К для азота; следовательно, колебания
в воздухе возбуждены уже при Тж 1000 К. Величина ?<*>—Я) при
Г/Bv —Я), а при больших Г/б v ее значение EW=RT соответствует
сумме кинетической и потенциальной энергии колебаний при
классическом равномерном распределении энергии по степеням
свободы. Однако к началу диссоциации воздуха (около 2000 К)
это предельное значение еще не достигается.
Молекулы углекислого газа имеют четыре типа нормальных
колебаний с характеристическими температурами: 6vi,2 = 960 К,
6v3 = 1920 К, 6 v4 =3380 К. Эти колебания возбуждаются раньше,
чем в воздухе, и при полном возбуждении поглощают относи-
относительно большую (EW=4RT) энергию.
§ 1.3. Скорости релаксации и химических реакций
Передача поступательной энергии к внутренним степеням
свободы с последующей диссоциацией или ионизацией молекул,
или атомов происходит за счет столкновений частиц, поэтому ско-
скорость протекания этих процессов будет, естественно, пропорцио-
пропорциональна вероятности столкновения частиц, т. е. числу частиц в
единице объема tii=pi/kT каждого участвующего в элементар-
элементарном процессе вида, или произведению П/i* числа частиц всех ви-
видов, участвующих в реакции. Если для совершения процесса не-
необходимо участие v* частиц /-го вида, то скорость реакции, сле-
следовательно, будет пропорциональна произведению
16

Символически химические реакции записываются в общем ви-
виде стехиометрическим соотношением:
A.3.1)
Величины Vi являются стехиометрическими коэффициентами.
Это соотношение означает, что для элементарного акта прямого
процесса [слева направо в записи A.3.1I необходимо одновре-
одновременное столкновение vj частиц типа Ah при этом появляется
Avj = vJ—v/ частиц этого вида. Наоборот, для обратного процес-
процесса необходимо одновременное столкновение v] частиц типа Аг\
при этом Avi частиц исчезает (знак Avi, конечно, может быть лю-
любой, а понятие прямой и обратной реакций чисто условно). Тог-
Тогда скорость возрастания числа молей 1-я компоненты (обозначим
ее производной D/Dt в отличие от полной производной d/dt, ис-
используемой в гидродинамике) в единице объема будет равна
~^ = ^r, r = kf\\pj-kr ЦРу. A.3.2)
Коэффициент г является скоростью реакции и измеряется в
моль/с «см3, а коэффициенты kf и kr — константами скоростей
прямой и обратной реакций. Они могут зависеть только от тем-
температуры Г и от степени возбуждения внутренних степеней сво-
свободы, т. е. от их температур TJl\ Если они зависят только от
поступательной температуры Г, или если t\vJ = T, to
Функция К(Т) называется константой равновесия (вид ее полу-
получим в § 1.4). Если 11 Pi Z<C^(^) при местной температуре, то
г>0, и реакция протекает в прямом направлении, и наоборот.
В равновесном состоянии /*=0, и условием равновесия будет так
называемый закон действующих масс
Р^=^ = К(Т). A.3.4)
I 1 . kr
Пусть v — объем, занятый жидкой частицей; тогда qv =
= const — условие сохранения массы в ней, а скорость измене-
изменения массы QiV = dQV i-ft компоненты в ней будет равна
dCi , dov dci
17

Отсюда получим уравнение для скорости изменения массовой
концентрации i-й компоненты
dt
Левая часть уравнения — полная производная по времени, свя-
связанная с фиксированной жидкой частицей. Величина W\ есть
функция химического источника, или порождающая функция.
Заметим, что из условия 2 е/= 1 слеДУет
Если одновременно происходит несколько реакций типа
со скоростями rs, то из уравнения A.3.5) получается скорость
изменения концентрации 1-й компоненты за счет 5-й реакции, а
суммарная скорость
Условием равновесия будет одновременное выполнение ра-
равенств
Y[p^ = ^.=Ks(n s=\,...,S. A.3.7)
Для правильной записи стехиометрических соотношений и
формул для скоростей химических реакций недостаточно знать
конечный результат реакции, необходимо знать и механизм ее
протекания. Поясним это на примере бинарной смеси атомов и
молекул. Чтобы произошла прямая реакция диссоциации, моле*
кула О2 должна столкнуться с частицей А. Процесс же реком-
рекомбинации протекает обычно путем столкновения двух атомов О
и третьей частицы А, которая поглотит освободившуюся энергию.
Таким образом, более точная запись реакции имеет вид
Пусть &r = /era, если третьей частицей является атом, и
kr = krM, если третья частица — молекула. Поскольку в уравнения
A.3.4) константа равновесия этих реакций одна и та же, то ис-
18

пользуя A.3.3), из A.3.6) получим (с — концентрация атомов)
Эта формула имеет тот же вид, что и для одной реакции, но
эффективная константа скорости обратной реакции К здесь мо-
может зависеть не только от температуры, но и от концентрации
компонент, кроме случая kra. = krM.
В приведенном примере обе реакции имеют одинаковые кон-
константы равновесия. Другой пример. В смеси азот — кислород
могут идти реакции
О2 = О+О, N2 = N + N, N + O = NO,
N2 + O2=2NO.
niv.
p и, следовательно, константы
равновесия Ks в условиях равновесия A.3.7) последних трех ре-
реакций выражаются через произведения тех же величин для пре-
предыдущих трех реакций, в которых участвуют все компоненты,
содержащиеся в смеси.
В этом смысле первые три реакции можно назвать независи-
независимыми, а последние три — зависимыми (хотя, легко видеть, в вы-
выделении группы независимых реакций всегда имеется некоторый
произвол). В общем случае, если к~я реакция зависима от реак-
реакций с предыдущими k—1 номерами, то для нее из уравнений
{1.3.7) следуют соотношения:
? a»*v" (att=const). A.3.9)
В этом можно убедиться, прологарифмировав уравнения A.3.7);
тогда зависимые, линейные относительно \прг уравнения будут
линейными комбинациями независимых.
Получим теперь уравнение релаксации для энергии внутрен-
внутренней степени свободы в рамках упрощенной модели, согласно ко-
которой частица имеет лишь два состояния: невозбужденное и воз-
возбужденное. Символически этот процесс можно записать в виде
М1+Ач=^М2 + А, где Mi и М2 — невозбужденная и возбужденная
частицы с объемными концентрациями п^ и п% А — третья час-
частица, участвующая в обмене энергией при столкновении. Строго
говоря, как и выше, результат столкновения должен зависеть от
вида третьих частиц, однако этим обстоятельством для простоты
пренебрежем. При этом объемная концентрация третьих частиц
19

будет равна числу всех частиц п в единице объема (в общем
случае п>П\ + П2).
Тогда формулу A.3.2) с учетом A.3.7) можно представить в
виде
^ = krn (kTf [Кпг -n2]N0, /С = ^ f
n
^ krn (kTf [Кпг 2]0, С
Dt nle
где равновесные концентрации tiie и п^е зависят лишь от местной
температуры Г. Используя очевидное соотношение
\ ПОЛуЧИМ
^^ ^ Mf (я +л^. A. з. Ю)
Dt % ъ п\е
Здесь т — так называемое время релаксации. Так как п~р, то
x=p~lf(T). Умножив это уравнение на энергию возбуждения
частицы и разделив на плотность, получим подобно A.3.5) урав-
уравнение для изменения энергии возбуждения единицы массы рас-
рассматриваемой компоненты
•С-'*' . A.3.11)
dt
Уравнения типа A.3.11) с величиной x=p"lf(T) оказываются
пригодными и в более сложных случаях, в частности, для описа-
описания изменения полной энергии колебаний двухатомных молекул
при равновесном распределении энергии по колебательным уров-
уровням.
Для времени релаксации в этом случае известна формула Ландау — 1ел-
лера
А (Т)
exp (аГ~1/3), A.3.12)
Р
где а=const, a A — «медленная» функция температуры.
Температурная зависимость констант скоростей химических реакций в об-
шем случае очень сложна. Если принять за прямее то направление реакции,
которое идет с поглощением энергии (например, диссоциация молекул и иони-
ионизация молекул и атомов), то константа скорости прямой реакции определится
законом Аррениуса:
kf = B (T) exp (—tJkT), A.3. 13)
где В(Т) уже медленная функция температуры, еа — так называемая энергия
активацииi. Для газов, входящих в состав воздуха, эту величину можно
принять равной энергии D, необходимой для диссоциации или ионизации мо-
молекулы или атсма.
В следующих параграфах будет показано, что /С^ехр(—D/kT), поэтому
функция kr^=kf/K часто не содержит экспоненциальных множителей, т. е_
является медленной функцией температуры. Функцию kr обычно называют»
имея в виду форму записи A.3.5), просто константой скорости реакции. Опре-
Определяется она в основном экспериментально и обычно убывает с увеличением
1 Такой вид kf обусловлен маковелловским распределением числа частиц
м~ехр(—ejkT) по кинетической энергии е их поступательного движения.
20

температуры пс закону kr~7-s, где s=l/2-v-3/2. Множитель В G) может так-
также зависеть от температур внутренних степеней свободы. Это связано с тем,,
что, например, молекула с уже возбужденными колебательными степенями:
свободы может потребовать для своего расщепления при столкновении меньше
энергии, чем невозбужденная.
Отметим также, что уравнение A.3.11) может оказаться неточным в при-
присутствии химических реакций, так как средняя энергия, приходящаяся на дан-
данную внутреннюю степень свободы, например, диссоциирующих и рекомбичи-
рующих молекул, может быть различной, что приведет к появлению в (I.3.M).
дополнительных членов J.
§1.4. Энтропия и условия равновесия
Найти константы равновесия и сформулировать общие тенден-
тенденции направления неравновесных процессов можно с помощью-
2-го начала термодинамики, суть которого сводится к следующе-
следующему (см. книги [4, 15, 20, 51] и др.)-
Существует функция состояния — энтропия s, которая в об-
обратимом процессе изменяется по закону
Tds=*dq = de+pd-±-=dh — — dp. A.4. 1)
Q Q
В адиабатическом изолированном обратимом процессе (dq =
= 0) энтропия остается постоянной, а в адиабатическом необра-
необратимом возрастает до тех пор, пока не наступит равновесие. Сле-
Следовательно, состоянию равновесия изолированной системы соот-
соответствует максимальное значение ее энтропии.
Если в замкнутой системе можно ввести понятия единых тем-
температуры и давления (например, в соответствии с § 1.2, при хи-
химических реакциях в газах), то изменение энтропии в ней под-
подчиняется неравенству
Tdsy>dq = dh — — dp.
Q
В адиабатически изолированной системе всегда ds/dty-O.
Причем знак равенства здесь относится лишь к обратимым про-
процессам.
Приращение энтропии в произвольном необратимом процессе»
переводящем систему из одного равновесного состояния в другое*
можно вычислить с помощью какого-либо обратимого процесса*
связывающего эти состояния.
Энтропия — аддитивная функция. Если отдельные части изо-
изолированной системы (под которыми, в частности, в соответствии-
с § 1.2 будем понимать группы степеней свободы или отдельные.
компоненты смеси) не находились первоначально в равновесии
между собой, и полное равновесие между ними устанавливается
в результате процессов ,их взаимодействия, то 2-й закон термо-
термодинамики утверждает, что сумма энтропии отдельных частей воз-
возрастает.
1 Более подробное изложение этих вопросов, а также сведения о систе-
системе реакций и процессов, происходящих в воздухе и других газах, можно най-
найти в работах [10, 12, 15, 16] и др.
21

Для энтропии совершенного газа s^.0)c постоянными теплоем-
костями (или энтропии внешних степеней свободы) уравнение
A.4.1) имеет вид:
= dh?)-d-^ = c^dT- -L dPl. A. 4. 2)
Qi Qi
Интегрируя и используя уравнение Клапейрона A.2.8), получим
s<tO) = c$ In Г- A in Pi + Soi. A. 4. 3)
не-
непостоянная интегрирования з<ы не может быть определена в
рамках термодинамики, но, как будет показано ниже, не влияет
на структуру основных формул.
При выводе уравнения для энтропии s\v^ внутренних степеней
свободы следует иметь в виду, что вся работа расширения (сжа-
(сжатия) совершается за счет энергии внешних степеней свободы и
уже учтена в уравнении A.4.3). Как уже было указано в § 1.2,
каждой внутренней степени свободы с энергией Е% , как внут-
внутренне равновесной термодинамической подсистеме, может быть
поставлена в соответствие своя температура Т\1\ т. е. такая
температура газа (или вообще окружающей среды), при которой
данное значение Е\%* является равновесным. Это дает возмож-
возможность выписать энтропию внутренней степени свободы следую-
следующим образом:
A.4.4)
Интеграл A.4.4) сходится, так как функции ej|] обычно экс-
экспоненциально убывают с уменьшением температуры [см. напри-
например, формулу A.2.18)], а постоянную интегрирования здесь мож-
можно принять равной нулю, включив энтропию невозбужденных ко-
колебательных степеней свободы в soi.
Из аддитивности энтропии следует, что энтропия i-n компо-
компоненты, имеющей k внутренних степеней свободы, и суммарная
энтропия смеси совершенных газов соответственно равны
}; A.4.5а)
- lnpj + s0; A.4.56)
22

Перейдем в последней формуле к полному давлению смеси
= 2/?г. Тогда
^ , A.4.6)
Здесь so — постоянная, зависящая от вида газов и их концентра-
концентраций. Поскольку молярная концентрация Xf^l, то so>% т. е. энт-
энтропия смеси газов всегда больше суммы энтропии компонентг
находящихся при парциальных давлениях, равных полному.
Представим сосуд, разделенный на отдельные секции так, что в каждой
секции находится однокомпонентный газ с одинаковыми всюду температуре»
и давлением. Если убрать перегородки, то за счет диффузии произойдет сме-
смешение газов без изменения давления и температуры: необратимость этого про-
процесса приведет к увеличению энтропии. Формула A.4.6) приводит к парадоксу
(Гиббса), если рассматривать отдельные порции однокомпонентного газа как
разные компоненты. Это объясняется тем, что (как показывает апыт с сосу-
сосудом) молекулы, находящиеся первоначально в разных секциях, уже отлича-
отличаются друг от друга, и процесс их последующего перемешивания необратим..
Поскольку учитывать такое различие бессмысленно, то формула A.4.6) в этом
случае просто неприменима.
Энтропия смеси изменяется за счет изменения энтропии от-
отдельных компонент и изменения состава
A.4.7)
Пользуясь соотношениями A.2,14), A.4.2), A.4.4), A.4.5) *
получим
или Tdsl =
Умножая это соотношение на с и суммируя и подставляя в-
A.4.7), получим общее соотношение для скорости изменения
энтропии в жидкой частице
Td±_dh _J_dp V *с/ х V V г T~T<t*)de№ И 4 R\
Функция gi носит название удельного, а <^=?г-ц,» молярного
термодинамического потенциала Гиббса
gl = ht-Tsh O^Ht-TS,. A.4.9)
Согласно 2-му закону термодинамики в адиабатически изо-
изолированном процессе (dp = Qdh) энтропия должна возрастать, по-
поэтому из соотношения A.4.8) получим следующее фундаменталь-
фундаментальное условие, определяющее направление процессов в изолиро-
23:

ванной неравновесной газовой смеси, которое преобразуем с по-
помощью A.3.6) и A.3.11) к виду
А>0, A.4.10)
где an=rs и an=e\kl — ei*\ а ^ — соответствующие коэффи-
коэффиan
циенты.
Так как правая часть соотношения A.4.10) есть функция со-
состояния, т. е. переменных {р, Т, qn), то согласно 2-му закону
термодинамики она всегда, в любом процессе, положительна,
кроме точек равновесия, в которых она равна нулю.
Рассмотрим вблизи точки равновесия пространство перемен-
переменных {qn} и выделим в нем множество точек, на котором все ве-
«личины ап = 0, кроме одной ak. Тогда а*А>0 и bk будет иметь
тот же знак, что и а&, а так как ak==0 в точке равновесия и яв-
является знакопеременной функцией своих аргументов по самой
-физической природе скоростей реакций или релаксаций, то в точ-
точке равновесия bk=0. Если же некая k-я реакция зависима
(в смысле, указанном в § 1.3) от предыдущих (k—l) реакций,то
вследствие A.3.9) в точке равновесия будет bk =
в силу условий bi=0 для независимых реакций.
Таким образом, искомые условия равновесия примут вид
0, /=1 Л=1 5=1,... A.4.11)
Рассмотрим еще некоторые математические следствия из условий равно-
равновесия. Переменные [с/, ^/^} в общем случае зависимы (например, согласно
условию 2 С1ая^ и условиям материального баланса из § 1.6). Введем вме-
/
сто них набор независимых переменных {Хп}. Тогда формула A.4.8) примет об-
«щий вид
Tds = dh - — dp + V! Dnd\n = de+pd — -\- V Dndhn, A.4. 12)
о ^J о ^J
Согласно 2-му закону термодинамики сумма ^pndl.n > 0 в любом реаль-
л
*ном адиабатическом процессе, а следовательно, и в любом, так как коэффици-
коэффициенты Dn и производные dXn/dt есть функции состояния, а не процесса.
В точке равновесия Хт—кте энтропия имеет максимум по переменным
кт, поэтому в этсй точке все ?>п=0, а в ее окрестности справедливо разложе-
разложение (индекс «е» относится к равновесным значениям параметров)
24

T (s - se) = 22 fnm^n-Ke) (Xm-Xmc) < 0, A.4.13>
fnm = ' I Жпдкт )еЛ" ' U« T Je,Q - \ dlm 1,л
при X = \е, Dn = 0.
Таким образом, квадратичная форма в правой части A.4.13) отрип.ателыа
при любых значениях аргументов (К—К). Такие формы и матрицы {fnmj и»
коэффициентов называются отрицательно определенными.
Вернемся к условиям A.4.11). Первые из них очевидны в
силу самого определения температур Тп ,но вторые несут новую-
информацию. Используя A.4.3) и A.4.9), нетрудно проследить,
что они содержат связь между температурой и суммой 2Av{Shi/?f,
т. е. согласно A.3.7) логарифмом константы равновесия /Cs. Ис-
Используя полученные выше выражения для Яг-, 5г- и вспомога-
вспомогательное равенство
[V)
•^г A.4.14)
и введя обозначения
получим следующие формулы для констант равновесия:
. A.4.
Очевидно, условий A.4.16) должно быть столько, сколько воз-
возможных реакций в газовой смеси (хотя, как показано в § 1.3у
эти условия не все независимы). Эти условия можно записать
также для массовых или молярных концентраций
П
)=>Kps. A. 4. 17)
Поясним смысл отдельных величин, входящих в эти форму-
формулы. Величина o)s — всегда постоянная, а знак ее зависит от ти-
типа реакции. Множитель Qs(T) выделен отдельно потому, что
роль его обычно менее значительна, чем экспоненты e~Qs-T>- кото-
25

рая и дает доминирующую температурную зависимость KS(T).
Сумма OsR=^i^oi^iS представляет собой общую скрытую теп-
лоту данной реакции, а величину 9S обычно называют характер-
характерной температурой реакции.
Дифференцируя выражения для Kps и Ks и используя A.4.15),
получим важное соотношение
V V,, 'Л-. A. 4. 18)
Как видно, Kps(T) возрастает с увеличением температуры,
«ели суммарное теплосодержание смеси возрастает в результате
протекания физико-химических процессов, и убывает с увеличе-
увеличением давления, если суммарное число частиц увеличивается за
счет реакции (AvSi>0), и наоборот.
Получим еще условия равновесия, связывающие парциаль-
парциальные давления частиц, находящихся на соседних возбужденных
уровнях какой-либо внутренней степени свободы, при условии
дискретного расположения последних. Для этого отнесем эти ча-
частицы к разным видам, как бы отличающимся лишь теплотой
образования на величину энергии NGe, затраченной на возбужде-
возбуждение этого уровня в моле частиц. Реакция возбуждения идет по
схеме Mi+A:«=fcM2+A, где частица М2 получается возбуждением
частицы Mi, a A — третья частица. Для этой реакции условие
<1.4.11) примет вид
51). A.4.19)
Так как #2—#i = A/os, to получим условие
-?l=-2l = e-«/»\ A.4.20)
называемое распределением Больцмана или принципом деталь-
детального равновесия.
§ 1.5. Бинарные реакции и смеси
Многие реакции (диссоциация, ионизация) в газах протека-
протекают путем двойных столкновений, в результате чего происходит
распад одной частицы на две по схеме
AVm==_1) AVa = AVb=i, Avc = 0. A.5.1)
Для краткости такие процессы назовем бинарными, хотя обрат-
обратные реакции здесь идут за счет тройных столкновений. Условие
равновесия A.4.16) примет вид
-!AlB.=A:(r)--=/raiQe-8/r A,5.2)
26

или, переходя к концентрациям cA = \xApA/p\i и т. д.,
cJ&L=**lJLf( (T)=^ e-e/r (Qd= ^L T»-i/Q\ . (L 5. 3)
Если частицы А и В одинаковы, то в A.5.2) и A.5.3) в силу
структуры формул A.4.16) следует формально заменить
= 2Р*> A.5.4)
где ра, са, [Ла — параметры образующейся компоненты.
Если все частицы А и В образованы путем распада частицы
М, то, очевидно, рА=рв, пА=пв, сА1\хА = св1\хв. В этом случае ино-
иногда пользуются степенью диссоциации (ионизации) а — отно-
отношением числа распавшихся частиц М к исходному. Легко полу-
получить, что
где с0 — начальная концентрация частиц М.
Для простейшей смеси, состоящей из частиц только двух ви-
видов (молекул и атомов, например), уравнение A.5.3.) примет
вид
Jh e-e/r5 *Q74i + g) (L 5. 5)
Q Р
1 — С 4>,ip Q
Такая смесь называется бинарной, она обладает всеми принци-
принципиальными особенностями неравновесных смесей и в качестве
модели часто используется в теоретических исследованиях.
Для бинарных реакций формулы A.4.15) имеют вид
Для атомов согласно A.2.13) CJ,0? = 5/?/2, для двухатомных
молекул — С^°м = 7/?/2, так что для реакции распада молекул
на атомы со = 3/2. Молярные теплоемкости иона и нейтральной
частицы одинаковы, а теплоемкость электрона та же, что и у
атома. Поэтому для ионизации со = 5/2. Для вычисления Q(T)
необходимо знать энергии внутренних степеней свободы. Величи-
Величина Дд для бинарной реакции есть энергия разложения одного-
моля исходных частиц, a D = kQ есть энергия диссоциации или
ионизации одной частицы.
Характерная плотность реакции Qr>«150 г/см3 для диссоциа-
диссоциации кислорода и р?>^130 г/см3 для азота с незначительным (до
15%) отклонением в обе стороны в широком диапазоне Г =
= 1000-f-7000 К. Поэтому для качественных исследований можно
27

принять qd постоянной. Такую модель бинарной смеси (предло-
(предложенную Лайтхиллом) называют идеально-диссоциирующим га-
газом. Ей можно придать физически более прозрачный смысл. До-
Доля колебательной энергии молекул невелика ем /^м^ 2/9, поэто-
поэтому, предположив, что колебания возбуждены всегда наполовину,
т. е. ?$=— RT, допустим небольшую ошибку. Тогда Q~T~l/2
ш согласно A.5.3) qd = const. Энтальпия такого газа равна
~T+ch0. A.5.6)
Выпишем общий вид уравнений для скоростей изменения кон-
концентраций в смеси газов, в которой все реакции идут по схеме
A.5.1). К таким смесям относятся воздух и углекислый газ. Ус-
Условия равновесия каждой реакции согласно A.5.2) не зависят
от присутствия других компонент, но скорости их протекания
взаимосвязаны. Для всех реакций^ v'iS== 2, 2Lk Av/$= 1» поэто-
му уравнение A.3.6) с помощью A.3.2) можно привести к виду
или, выделяя коэффициенты, не зависящие от р,
^-РРи (Т, 71J\ c,)-fFu (T, 71?, с,). A. 5. 8)
Первый член справа в уравнении A.5.7) или A.5.8) пропор-
пропорционален скорости прямой реакции (диссоциации и ионизации),
имеет сильную (экспоненциальную) температурную зависимость
вместе с kf/kr и пропорционален давлению. Второй же член про-
пропорционален скорости обратной реакции (рекомбинации или
деионизации) и пропорционален квадрату давления.
Для бинарной смеси с константами скоростей реакций, зави-
зависящими лишь от температуры Т, получим, подставляя в A.5.7)
соотношение A.5.5) для К(Т)
-c)e~vr -f-c^; f=4^kr^T\ A.5.9)
Здесь f(T) — слабая (по сравнению с экспонентой) функция
температуры, часто принимают f = const 7\ где степень q имеет
порядок единицы.
Уравнение A.5.7) можно привести к релаксационному виду
типа A.3.11). Для этого введем понятие локально-равновесных
28

величин cte, [ie, Qe, удовлетворяющих при местных р, Т условиям
равновесия A.5.3), уравнению состояния A.2.2) и другим усло-
условиям, определяющим равновесный состав смеси1 (см. § 1.6). При
этом Qixe=Qeli. Примем в дальнейшем, что kfS/krs = Ks(T). Выра-
Выражая KS(T) из A.5.3) через локально-равновесные величины, по-
получим, что каждая квадратная скобка в A.5.7), относящаяся к
s-и реакции, будет пропорциональна разности
СВ еСМ САСВСМ* == СВеС1А \С Ае ~~ Са) "Г
СА еСВ е
~~ Св) САСв(С!Ле См)~~
(Л
e-cn)f A.5.10)
где величины dns легко вычислить для каждой конкретной реак-
реакции, а суммирование происходит по числу компонент. Тогда
dt
П
.A-6.11)
\s Ms N[es
Введенные таким образом величины хвт можно назвать ха-
характерными временами реакций. Для бинарной смеси
^=^lly QD0-«,) A>бЛ2
dt *D D PQf(Ce+C-Cec) ?
§ 1.6. Равновесный состав
Кроме условий A.4.17) равновесный состав смеси будет оп-
определяться еще своим начальным элементным составом и усло-
условиями его сохранения. Если dj — полная массовая доля /*го хи-
химического элемента с атомарным весом \ij, a dij и п^ — его
массовая доля и число атомов в /-й компоненте, то эти условия
примут вид
r.= yC|-i.(i.6.
1 Это понятие условно. Наряду с введенными здесь можно рассматривать
локально-равновесные величины при местных давлении и энтропии, давлении
и плотности и т. д. Все эти локально-равновесные величины в общем случае
будут одинаковыми лишь при равновесии.
29

Например, в диссоциированном воздухе кислород содержится в
атомарном и молекулярном видах, в окиси азота NO и в их ио-
ионах. Соответствующее уравнение сохранения имеет вид
Здесь со, cj, p0, p-J и т. д. — концентрации и молекулярные ве-
веса атомов и их ионов (поскольку масса электрона чрезвычайна
мала, то |ы/|ы+^1), a do = 0,23 для наземных условий. Числа п^
для ионов и их нейтралов одинаковы.
Число всех компонент, или химических соединений / ;> / =
числа химических элементов, присутствующих в смеси. Посколь-
Поскольку определенность задачи о нахождении равновесного состава
физически очевидна1, то среди 5 уравнений A.4.17) может быть
лишь /—J^S независимых (см. также § 1.3), поэтому для рас-
расчета равновесного состава смеси достаточно ограничиться лишь
теми реакциями, в которых образуются новые компоненты.
Совокупность уравнений A.6.1) и A.4.17) дает возможность
получить зависимости Ci = C{(p, T) равновесного состава смеси
газов от входящих в них параметров — давления и температу-
температуры. Тогда уравнение состояния и формулы для энтальпии и внут-
внутренней энергии из § 1.2 можно привести к виду
•, A.6.2)
A.6.3)
Следовательно, можно исключить Т и представить уравнение
состояния в виде q = q(p> h). Уравнение состояния можно исполь-
использовать и в другой форме. Подставляя в уравнение адиабаты
pdh = dp связь q(p, Л), получим интеграл h = h(p, s), где постоян-
постоянной служит энтропия 5. Плотность и температура определяются
с помощью соотношений A.4.1)
= (dh/ds)p.
Между функциями h(p, T) и \i(p, T) существует связь — со-,
отношение взаимности Гиббса
A. 6.4)
которое можно получить, приравнивая перекрестные производ-
производные по р и Т в соотношении A.4.1), переписанном в виде
т { дт ' ^ т \\др )г е J
1 Стрсгое математическое доказательство теоремы единственности дана
Я. Б. Зельдовичем.—ЖФХ, 1938, т. XI, № 5.
30

и пользуясь дифференциальной формой уравнения состояния
Я Р V V- \дР ?т\ Т\_ р. \ дТ )р\
Для равновесных процессов можно ввести полные теплоемкости,
учитывающие тепло, затраченное на физико-химические превра-
превращения
Ь
С помощью A.6.4) можно получить соотношение
+ JLf!b.\y\ A.6.6)
Эти теплоемкости для воздуха показаны на рис. 1.2. Так как
при нагреве при постоянном давлении тело, расширяясь, совер-
совершает работу, то всегда cp>cv. Легко видеть, что известное со-
соотношение ср—cv=R/]x справедливо лишь для газа с постоян-
постоянным молекулярным весом.
В газодинамических расчетах можно пользоваться дифференциальными
уравнениями, эквивалентными системе условий равновесия, которые, кроме то-
того, дают представление о смещении равновесного состава с изменением усло-
условий. В результате изменения s-й константы Kp,s, например, исходя из соотно-
соотношения A.4.18), произойдет смещение всех 5 реакций, причем изменение кон-
концентраций в каждой из них 5удет подчиняться стехио метрическим соотноше-
соотношениям. Поскольку в единице массы смеси находится Cil\ii молей i-k компо-
компоненты, вариацию состава при смещении равновесия можно представить в виде
1V1 - d.6.7)
Здесь величины хгв и dos характеризуют смещение 5-й реакции за счет ва-
вариации г-н константы и полное. В каждой реакции число атомов исходных
элементов не меняется, т. е. 2 nij^vir = О, поэтому формулы A.6.7) авто-
автоматически удовлетворяют условиям A.6.1).
Системы уравнений для xrs получим, дифференцируя все независимые
условия A.4.17), подставляя в них A.6.7)
1
Матрица агк симметричная, а следовательно, игь=>Слг. Первый член в
akk имеет минимум в точке хх = |Av^|/2 lAv«ft|. Отсюда следует, что
31

Изменение энтальпии смеси равно
dh = ^| с [dhi -j- ^, h[dC[ = c^n * dT -f- ^, ( ^, ///Av/$) ^a^« A.6. 9)
Подставляя сюда A.4.18), A.6.7.), будем иметь
A.6.10)
Для изменения молекулярного веса аналогично получим
Если в смеси идет лишь одна реакция, то Xn=a"j}>0, а остальные агд,
кга отсутствуют. В этом случае коэффициенты Л я С положительны. Змак В
при этом может быть в принципе любой, но если реакция идет с увеличением
частиц и с поглощением тепла, то В>0.
Рассмотрим бинарную смесь, состоящую из атомов и молекул с концент-
концентрациями с&=с и ?до =1—с (см. § 1.5), а именно:
- /гм). A. 6. 12)
В этом случае, пользуясь формулами A.4.18), A.6.9)—A.6.12), легко полу-
получить
' дс \ ^м d^Kps Wu ( dh\ n fi 1Tl
dT D ix . dT pRTZ \ дс jT
Равновесные термодинамические величины для воздуха и уг-
углекислого газа (основная компонента в составе атмосферы Вене-
Венеры и Марса) приведены в таблицах [23, 35, 45]1. Некоторые кон-
концентрации, энтальпия и молекулярный вес для воздуха приведе-
приведены на рис. 1.5—1.6. Энтальпия растет с увеличением температуры
и падает с увеличением давления, а молекулярный вес имеет
обратные зависимости.
1 В вычислительной практике часто пользуются также аналитическими
аппроксимациями.
32

0,75
0,50
0,25
l)
A/
X
0 j\
Л,
я/ г
/0000
20000 T,K
Рис. 1.5. Массовые концентрации молекул
атомов и их ионов в воздухе:
р=10~~3 ат A02 Н/м2)
р = 102 ат A07 Н/м2)
h-10
M2/cz
100
50
hi
vT I/ / v
Д\\ / / /д/
—Л
1 /V
10000
20000 Т,К*
Рис. 1.6. Энтальпия и молекулярный вес
воздуха при различных давлениях /?=
= 10п ат A,01 • 10*-1 МН/м2):
_ зависимость энтальпии от темпера-
температуры для совершенного газа (ср^
=0,24 кал/г • град~1 Дж/(г • К))

Основными по весу компонентами являются атомы и молеку-
молекулы азота и кислорода и в незначительной степени окись азота
NO. Диссоциация кислорода проходит в основном при Г =
= 2000-г5000К, азота при Г = 4000-г-10 000 К (характерные тем-
температуры реакций 0 =59000 К и 0 = 119 000 К соответственно).
При Т^ 10 000ч-12 000 К значительную долю составляют одно-
однократные ионы этих компонент @ =100 000-1-200 000 К).
Условия равновесия этих реакций имеют бинарную форму
A.5.2) — A.5.4), при этом 2Av2-s=l. В температурном диапазо-
диапазоне протекания этих реакций величины 6/7~10 достаточно вели-
велики. Поэтому в соответствии с A.4.18) равновесный состав, а вме-
вместе с ним и молекулярный вес, и энтальпия сильно зависят от
температуры и слабее (логарифмически) от давления.
§1.7. Полная система уравнений движения газа
с физико-химическими превращениями.
Простейшие интегралы. Предельные режимы
Результаты, полученные в § 1.1—1.6, позволяют выписать пол-
полную систему уравнений, описывающую невязкое течение химиче-
химически неравновесного газа с неполным возбуждением внутренних
степеней свободы
^ A.7.1)
+Qdv + dvQ U=0; A-7.2)
dt dt
-?L, i=l,..., I; A.7.3)
74 A-7.6)
i L rs ;
s=l, 2,..., S
dt Xik
34

Напомним смысл входящих в эти уравнения величин. Здесь
р, Q, К М- — давление, плотность, энтальпия, молекулярный вес
смеси, 7\ с@) — температура и теплоемкость внешних (поступа-
(поступательных и вращательных) степеней свободы. Индекс <а» отно-
относится к парциальным значениям тех же величин для i-n компо-
компоненты, ejj> (T\V) и 7i*}— энергия и температура k-й внутрен-
внутренней степени свободы в 1-й компоненте, R — универсальная газо-
газовая постоянная, си k — массовая концентрация и число внеш-
внешних степеней свободы частиц i-й компоненты. Суммирования по
i, s и k идут соответственно по числу компонент смеси I, числу
5 протекающих химических реакций (диссоциация, ионизация и
т. д.) и числу внутренних степеней свободы Ki (колебания мо-
молекул, возбуждение электронных уровней). Величины v^, \s—
= V|5+ AVjs — стехиометрические коэффициенты.
Константы скоростей прямой и обратной реакций kfS и kr8
зависят в общем случае от температур 7\ T\V\ если они зави-
зависят лишь от Т или Т\\: =7\ то их отношение равно константе
равновесия Ks{T) (см. § 1.4). Эти функции, так же как времена
релаксации x%k и равновесные значения энергии внутренних сте-
степеней свободы ej^(cM. § 1.3), определяются в соответствующих
разделах физики и являются исходными данными для газодина-
газодинамиков.
Число уравнений A.7.6) равно числу компонент, но может
быть уменьшено на одно за счет условия 2сг=1 или на число
элементов в смеси с помощью A.6.1).
Для общности в уравнении A.7.5) учтена неадиабатичность
течения (излучение, например) с массовой скоростью притока
тепла q. В дальнейшем, однако, в пределах этого параграфа те-
течение будем считать адиабатическим (д=0).
Уравнения A.7.6) — A.7.7) можно записать в более краткой
форме
, A.7.8)
где через qn обозначены величины Ci или e\l\ a Qn есть правые
части соответствующих уравнений. Величины qno характеризуют
масштаб изменения или измерения величин qn- Условия
ф1^(А T,qv..., д„)=ф2т(р9 T,qi...qN) A.7.9)
представляют собой условия равновесия т-й реакции или про-
процесса, т. е. условия A.4.10) или A.4.16). Функции гпт определим
таким образом, чтобы функции Ф1ш и Ф2т имели порядок не бо-
2*
35

лее единицы. Тогда величины хпт будут иметь смысл локальных
характерных времен реакций.
Рассмотрим теперь некоторые общие свойства выписанных
уравнений. Векторное уравнение A.7.1) в проекции на линию
тока в установившемся течении имеет вид
dU__rr_dU_ J_ _dp_
dt ~~ dl ~ q dl
Комбинируя с уравнением адиабаты A.7.5), заметим, что вдоль
линии тока существует интеграл
A+-l-f/a = ^ = const. A.7.10)
Это и есть обобщение уравнения Бернулли на случай адиаба-
адиабатического установившегося течения газа с произвольными физи-
физико-химическими превращениями или процессами, равновесными
или неравновесными, а Я — энтальпия торможения, постоянная
вдоль линии тока, но на каждой линии тока своя.
В § 1.1 были введены понятия «замороженных» и «равно-
«равновесных» течений. Покажем, что эти течения соответствуют пре-
дельньш формам решения уравнений A.7.1) — A.7.7).
А. Замороженное приближение
Пусть t0 — характерное время изменения газодинамических
параметров или характерное время пребывания газовой частицы
в рассматриваемой области течения. Для установившихся тече-
течений to = L/UQ, где L — характерная длина возмущенной облас-
области, Uo — характерная скорость. Тогда из уравнений A.7.6) —
A.7.7) или A.7.8) следуют оценки
Ьдп^Л»5к., T = fflin(Tnm). A.7.11)
Поэтому, если fo<t, то вдоль траектории частиц будем иметь
qn — const. В действительности эти величины могут быть посто-
постоянными лишь приближенно и на некотором конечном участке
траектории частиц (поэтому говорят о замороженном приближе-
приближении для химически неравновесных течений). Однако при внезап-
внезапном или очень быстром падении давления (например, при раз-
разлете в пустоту) все процессы в газе могут прекратиться еще до
наступления равновесия и происходит его полное заморажива-
замораживание (эффект «закалки»).
В замороженном течении молекулярный вес \х остается пос-
постоянным, а энтальпия есть линейная функция температуры:
f f / 2(}) A.7.12)
/
36

Введем замороженный показатель адиабаты смеси таким об-
образом:
7 13)
Этот показатель зависит лишь от мольных концентраций Xi и
числа внешних степеней свободы Ц компонент. Тогда уравнение
«адиабаты Qdh — dp будет иметь тот же интеграл — адиабату
Пуассона, как и для совершенного газа
f ^'ft f Л С\ / \ ftf Q. О */
A.7.14)
Здесь постоянные -Oi, #2 зависят лишь от энтропии, которая ос-
остается постоянной в замороженной адиабатически изолирован-
изолированной частице, так как согласно A.4.8) возрастание энтропии
Интеграл Бернулли примет для стационарных течений свой
обычный для совершенного газа вид
(j+ Ui HhfcT0.{l.7.5)
Здесь Го — замороженная температура торможения. Как вид-
видно, связанная энергия физико-химических превращений hf в об-
обмене энергией в процессе течения не участвует.
Таким образом, свойства газа в замороженном течении ни-
ничем не отличаются от совершенного, а течение его описывается
теми же уравнениями A.7.1), A.7.2), A.7.12) — A.7.15), но в
общем случае величины у/> А/ — свои для каждой частицы или
в стационарных течениях для каждой линии тока.
Б. Равновесное приближение
Уравнения A.7.1) — A.7.7) описывают неравновесные тече-
течения газа и равновесное состояние должно получаться в виде ре-
решения этих уравнений, например, при неизменном давлении
вдоль траектории частиц при достаточно большом времени их
движения. Однако при очень большой относительной скорости
процессов в газе может существовать предельный режим тече-
течения, в котором параметры в каждой точке потока сколь угодно
¦близки к равновесным. Пусть выполняются условия
А)Л»1, тг = шах(тя|Л). A.7.16)
В этом случае соотношения A.7.11) не пригодны для оценок
изменения &qn> так как, очевидно, Aqn^Qno в силу самого вы-
37

бора последних. Наоборот, следует предположить, что производ-
производные dqn/dt~qn0/t0, т. е. определяются характерным временем
газодинамического процесса. Тогда наиболее естественным след-
следствием уравнений A.7.8) будут условия равновесия1 <Diw»<I>2mr
удовлетворяемые тем точнее, чем меньше x/t0. Отсюда следует
Яп^Япе, т. е. состав и состояние газа будут близкими к равно-
равновесным в каждой точке потока.
Такое приближение называют равновесным, и оно будет тем
точнее, чем лучше выполняются условия A.7.16). Следует под-
подчеркнуть, что в отличие от полного термодинамического равно-
равновесного состояния газа скорости химических процессов в таком
равновесном процессе не будут равными нулю, а остаются ко*
нечными:
Чп dt dt [dp )т Л \ дТ )р dt '
Разлагая в ряды коэффициенты bn в формуле A.4.10) или-
A.4.11), получим
т. е. течение в равновесном приближении является близким к
изэнтропическому. Заметим, что возрастание энтропии в таком,
процессе есть величина 1-го порядка малости по (qne—qn), хо-
хотя разность s(qne)—s{qn) в соответствии с § 1.4 должна иметь
второй порядок малости, как в истинном околоравновесном со-
состоянии.
В равновесном приближении общая задача расчета течения1
распадается на две последовательных, так как скорости, давле-
давление, плотность и энтальпию можно найти из систем A.7.1)>
A.7.2), дополненных одной из двух групп уравнений
dh 1 dp / , \ ds п , . , ч 1 (dh\
dt Q dt dt Q \др )s
A.7.20)
где функции q(p, h) или h(p> s) заданы для каждого газа. Тем-
Температуру, состав и состояние газа можно определить по извест-
известному уже распределению давления и энтальпии.
Рассмотренные случаи не являются единственными, допуска-
допускающими упрощение уравнений. Например, иногда выполняются-
условия, при которых состав газа заморожен (сг- = constL, а внут-
внутренние степени свободы возбуждены равновесно. Тогда система
1 При тД) >0 система A.7.8) будет представлять собой'однородную ал-
алгебраическую систему уравнений относительно величин Ф\т—Фгт, нетривиаль-
нетривиальное решение которой (т. е. Ф^^Фгт) может существовать лишь в исключив
тельных случаях, только в отдельных точках течения.
38

уравнений A.7.1) — A.7.5) будет замкнутой, так как вместо
уравнений A.7.6) и A.7.7) достаточно взять известные сг =
И, наконец, следует отметить еще тривиальный случай дос-
достаточно холодного газа, когда равновесные значения концентра-
дий и энергий внутренних степеней свободы практически не от-
отличаются от некоторых начальных. Тогда, как и в заморожен-
замороженном течении, газ остается всюду совершенным независимо от
отношений x/to.
Заметим, что понятия равновесных и замороженных течений
распространяются и на неадиабатические течения, с тем лишь
различием, что энтропия в таких процессах не будет постоянной,
а будет подчиняться уравнению ds/dt^q/T.
Для околоравновесности течения во всей области условий
A.7.16) в общем случае еще недостаточно. Если в потоке вне-
внезапно нарушается равновесие (в ударной волне или волне раз-
разрежения, см. гл. 2, 3), то за этой точкой или областью будет
переходная существенно неравновесная зона релаксации, размер
которой, однако, вследствие больших скоростей физических про-
процессов dq-n/dt будет малым вместе с x\U.
Эту мысль поясним на модельном примере релаксационного
уравнения
; i?^?^zi, ce=ce(t), T = const. A.7.21)
Это уравнение с условием с = с0 при ?=0 имеет решение
^х г Hi П 7 994!
Jo
Слагаемое сое~'/х описывает здесь структуру зоны влияния
начальных условий или зоны релаксации. При tfx^yc^>\ (а
практически при значении и, равном нескольким единицам) этот
•член пропадет и с = ср. Интегрируя ф по частям, получим
t)\ A.7.23)
Как и предполагалось ранее, с отличается от своего локаль-
локально-равновесного значения всегда на величину xc'e/ce~x/t.
Разложение A.7.23) пригодно и для переменного т, в чем
можно непосредственно убедиться из исходного уравнения
A.7.21), если принять в нем слева с = се. Однако при со=фсе это
можно сделать лишь на расстояниях t~ya от начальной точки
(т. е. за пределами зоны релаксации).
При ?<Ст из уравнения A.7.22) при постоянном се следует
что наглядно иллюстрирует порядок отличия параметров тече-
течения от замороженных.
39

§ 1.8. Скорость звука
Пусть по покоящемуся газу со скоростью D бежит фронт воз-
возмущения. Давление и плотность газа перед фронтом равны pi
и qi, за фронтом — р2, р2- Фронт вызывает движение газа со
скоростью и, поэтому жидкий цилиндр (с осью, ортогональной
фронту) с первоначальным размером Ddt за фронтом имеет дли-
длину (D—u)dt. В этом случае согласно закону сохранения массы
и количества движения
Исключая скорость и, получим
??.=-*/>", AP = p2-pv AQ = Q2-QV A.8. 1)
Формула A.8.1) верна для фронта любой интенсивности (см.
гл. 2); с ее помощью получим скорость а распространения ма-
малых возмущений или скорость звука
а*= Ига ^=^_. A.8.2)
ДД0Др dQ
Эта формула была известна еще Ньютону, но в таком виде
остается неопределенной связь приращений Ар и Др. В част-
частности, Ньютон, предположив изотермичность процесса в звуко-
звуковых волнах, т. е. /? = const p, получил формулу a2— (dp/dp)т =
=P/q.
Но изотермичность при сжатии газа предполагает тепло-
теплообмен частицы с окружающей средой, поэтому в рамках схемьв
невязкого газа более разумно предположить адиабатичность из-
изменения состояния газа в звуковых волнах или изоэнтропич-
ность при квазиравновесном процессе. В этом предположении,,
в частности, для совершенного газа из уравнения изоэнтропы
P = $(s)q* следует известная формула а2= {др/др)8=ур/д, кото-
которая хорошо согласуется с опытом.
Чтобы уяснить ситуацию в общем случае, получим диффе-
дифференциальную связь между плотностью и другими параметрами.
Для этого продифференцируем уравнение состояния
?3-=4L_^:+iL, _^ = _^ Y "i?L. A.8.3)
Дифференцируя далее формулу для энтальпии смеси и комби-
комбинируя с уравнением адиабаты A.7.5), получим
—V
(Г. 8. 4)
40

Тогда, используя формулы A.7.13) для замороженного показа-
показателя адиабаты, из A.8.3) получим
h-dc-A
Эту формулу запишем для краткости в общем виде, обозна-
обозначив как и в § 1.7 через qn величины С{ или ъ№ со сквозной ну-
нумерацией этих неизвестных
v^?|V (L8-5)
7оЬ Р Чп ь п
ср l V-i ср
ПРИ
Как указано выше, процесс распространения возмущений
можно считать адиабатическим, поэтому положим далее q = 0
и рассмотрим различные предельные случаи этой формулы.
Пусть изменение параметров в звуковой волне происходит так
«быстро, что состав газа и внутреннее состояние частиц не успе-
успевают изменяться. Тогда dqn = 0, и из формулы A.8.5) получим,
как и для совершенного газа
f (L8-6>
Здесь a,f — так называемая замороженная скорость звука.
Если заморожен лишь состав газа, а внутренние степени сво-
свободы возбуждены равновесно ejv) = e^> G"), то, используя полные
¦теплоемкости смеси при замороженном составе с^ и с{Р' по-
получим
f U h f q
Так как все de\te/dT>0, то У/У>У/1). Это неравенство со-
сохраняется и в том случае, если равновесно возбуждена лишь
"часть внутренних степеней свободы, а остальные заморожены.
Заметим, что в этих формулах производная (dp/dq) взята при
лостоянной энтропии, которая сохраняется в адиабатическом за-
замороженном процессе (см. § 1.7).
Пусть теперь изменение параметров в звуковой волне проис-
происходит столь медленно, что в каждой ее точке успевает устано-
41

виться полное термодинамическое равновесие. Тогда величины*
Си e\v) являются согласно § 1.6 однозначными функциями давле-
давления и температуры (давления и энтропии) и можно записать
В адиабатическом равновесном процессе ds = Q, поэтому, под-
подставляя A.8.7) в A.8.5), получим
Здесь ае — равновесная скорость звука, а величину уе(р> Т}
назовем равновесным показателем адиабаты. Явное выражение
для уе, найдем, подставляя в A.8.3) \i(p, T), вычисляя произ-
производную (dTfdp)s из уравнения адиабаты и используя связи1
A.6.4) — A.6.6)
J_=?4l+ — ('—)]• A.8. 9>
Уе СрУ {д. \др 1т\
Как видно, при молекулярном весе, зависящем от давления^
показатель Ye не равен (подобно Y/ и У(/}) отношению теплоем^
костей в соответствующем процессе.
В сущности, подобного рода-предельными случаями и огра-
ограничивается возможность представления скорости звука в конеч-
конечном виде. В общем же случае вопрос о реальной скорости и ха-
характере распространения малых возмущений может быть решена
лишь на основе анализа полной системы уравнений, описываю-
описывающих неравновесное течение газа. К этому вопросу мы вернемся
в гл. 3, а пока выясним вопрос об относительной величине рав-
равновесной и замороженной скоростей звука в равновесном состоя-
состоянии газа *, а именно: докажем существование неравенства
т. е. что замороженная скорость звука всегда больше равно-
равновесной.
Для этого выберем в качестве независимых переменных энтропию s,.
удельный объем и—р-1 и введенный в § 1.4 набор независимых параметров*
{%п }, характеризующих состав и состояние газовой смеси. Тогда, приравнивая
в A.4.12) перекрестные производные по Яп и v от энергии е, получим соот-
соотношения
( др \ / дРп \
^ д\п ) \ dv J '
1 Общее исследование этого вопроса проведено в работах Л. Наполи-
тано [53].
42

При равновесии Яп=ЯПеE, v), p(sy vtXm)=pe(s, v), поэтому, используя эти
ее отношения, получим
dv dv
п
A.8.10)
Все входящие в соотношение A.8.10) производные вычисляются в точке рав-
ясвесия, в которой Dn=0. Отсюда следует
A.8.11)
dv
т
Исключая из A.8.10) с помощью A.8.11) производную (dDnI6v), получим
неравенство
которое справедливо в силу неравенства A.4.13), обеспечивающего отрицатель-
отрицательную определенность матрицы { fnm} и соответствующей ей квадратичной
формы.
Таким образом, замероженная скорость звука всегда больше равновесной.
Более того, если часть переменных %т заморожена, а остальные находятся в
равновесии с местными значениями s и v, то в соотношениях A.8.10) —
A.8.12) следует принять д\те1дю=§, что не изменит неравенства A.8.12), так
*как квадратичная форма положительна при любых значениях своих аргумен-
аргументов. Следовательно, замораживание каждой степени свободы приводит к уве-
увеличению скорости звука.
*§ 1.9. Равновесное уравнение состояния
в квазисовершенной форме
Температура газа не войдет в уравнения движения A.21) ч-
'0-24) для равновесного газа (см. также § 1.7), если уравнение
состояния его задать в виде р=р(р, h) или более удобном, близ-
близком к аналогичному уравнению для совершенного газа:
9h = h =v*h = У . z= v* Z= h^ у =—
p h-e RT y-1 Y*-l ' №T* e
A.9.1)
Такую форму уравнения состояния назовем квазисовершенной.
Здесь \~CpO/cvO, jno, сро, cvo — показатель адиабаты, молеку-
молекулярный вес и теплоемкости газа в холодном состоянии (когда
-его можно считать совершенным). Функция Z(p, T) является
как бы мерой несовершенства газа, поскольку при Z=l урав-
уравнение A.9.1) совпадает с уравнением для совершенного газа
независимо от вида h(p, T). Эта функция для воздуха показана
на рис. 1.7 в диапазоне температур до нескольких, сот тысяч
градусов и изменяется в сравнительно небольших пределах
(z = l-~-3,5), что делает такую форму уравнения состояния бо-
-лее предпочтительной.
43

Функция y*(A T) есть некоторый эффективный показатель
адиабаты, введенный пока чисто формально (это название по-
помимо сходства формулы A.9.1) для совершенного и несовер-
несовершенного газа будет оправдано ниже). Кривые у*(р, Т) для воз-
воздуха и углекислого газа СО2 приведены на рис. 1.8. Как видно,,
показатель у* зтих газов для высоких температур близок к еди-
единице и значительно меньше своего значения для холодного сое-
3,0
1,0
У
щ
1,0
2,0
3,0
Рис. 1.7. Функции Z для воздуха при постоян-
постоянных р=Юп ат (UOMO71-1 МН/м2):
данные [351 (Т< 20 000 К); данные [23]
(Г>20 000К); hc — энтальпия при 7=1000 К
тояния. Молекула СО2 является трехатомной, но атомы ее рас-
расположены на одной прямой, так что эта молекула имеет лишь
две вращательные степени свободы, и в холодном состоянии*
Y = 7/5. Однако в углекислом газе, как указано в § 1.2, очень
рано возбуждаются колебательные степени свободы, поэтому
поведение его отклоняется от совершенного газа значительно-
раньше, чем у воздуха.
Показатель -у* совпадает с отношением теплоемкостей Vc =
^Cp/Cv лишь при условии их постоянства, т. е. для совершенно-
совершенного газа. Этот показатель не совпадает и с величиной уе> введен-
введенной в § 1.8. В самом деле, вычисляя производную
\др К а] уер \др Jh q \dh)p
A.9.2)
44

с помощью уравнения A.9.1), получим
Уе Y* L * д\пр
dlnh
A.9.3)
Отсюда следует, что Y*=Ye лишь при постоянной функции Z,
т. е. практически лишь для совершенного газа. Однако в дейст-
действительности все эти показатели незначительно отличаются меж-
между собой (для воздуха, например, видно из рис. 1.9).
Как следует из рис. 1.7—1.8, величины Z или у* являются в
общем слабыми функциями энтальпии (тимпературы) и, особен-
?
ы
1,1
1,0
\
г
/7=-J
/7=-/
/
i
1 1,4
1,3
10000
V
1,0
\
г
п-
п=0
-Z
• ^1
п
-^—I
^=
/
= /
О 2000 4000 6000 8000 10000Т,К
и; * ,- . 6)
Рис. 1.8. Зависимость у* от температуры при /?=10п ат для:
а—воздуха; б—углекислого газа
но, давления (что отмечено в § 1.6). Поэтому в ограниченном
диапазоне изменения р к Т можно приближенно принять у* пос-
постоянным. Тогда интеграл уравнения адиабаты Qdh^dp в этой
области совпадает с изоэнтропой Пуассона A.7.14) для совер-
совершенного газа A = flVT'~1)/T*, Q = ^pVu. Степень (Y*-l)/Y* Для
реальных условий, как следует из рис. 1.8 и 1.10, достаточно
мала, поэтому энтальпия, а следовательно, и степень (y*— 1)y*
сравнительно слабо зависят от давления вдоль изоэнтропы (см.
рис. 1 Ю). Это дает возможность использовать для оценок адиа-
оату Пуассона и для реального газа.
С помощью показателей у*у у€ уравнению Бернулли A.7.10)
можно придать вид, сходный с формулой для совершенного га-
газа,
где M = f//a — местное число Маха. Если воспользоваться при-
45

ближенным уравнением адиабаты Пуассона, то получим фор-
формулы
-^т = (-^- V* = Г1 -4- — Y*~ 1М21"'1Г*/(Т*"). A.9.5)
Ро \ Qo / L Y* 2 J
Здесь р о и Qo давление и плотность в точке торможения. Эти
формулы совпадают с теми же для совершенного газа лишь
при Ye=Y*- Поэтому, даже при
сколь угодно узком диапазоне из-
изменения р и Т с практически по-
постоянной величиной y*> точные
уравнения не будут совпадать
с аналогичными уравнениями для
совершенного газа с показателем
адиабаты, равным местному зна-
значению y*> так как уе'Фу*- Однако
часто уе и y* незначительно от-
аз
0,1
5000
10000
—пщ ¦ шэд
1 -
5
J
L 3
0
Щ
Рис. 1.9. Зависимость различ-
различных показателей ал;иабаты для
воздуха от температуры при
jo=l ат A,01-105 Н/м2):
Р.ИС. 1.10. Зависимость от дав-
давления при постоянной энтро-
щии величин:
G*-1)/7*> Л/Я, Ле
при начальных состояниях:
^ Р v 2—/?о=2«104 Н/м2', 710=6500 К;
j-р^б. 10* Н/м*, 7о=7000К;
^-^^l^-lO5 Н/м2, Го =3200 К;
5-po=107 Н/м2, Г0=6700К
личаются (см. рис. L9), что позволяет в ограниченной области
изменения р и Т моделировать течение реального газа совер-
совершенным с показателем /y=Y#-
Таким образом, влияние реальных свойств воздуха на обте-
обтекание тел будет несущественным (кроме, может быть, распре-
распределения температуры и тонкой структуры состава газа) до тех
пор, пока сохраняются равенства'у^=у€^=у=:715.
46

При у*—*1 формулы A.9.4) — A.9.5) можно записать в
виде
-V12
J_= е—2—^ _Q_=e-(V^)M2/2. A. 9. 6)
р'о Qo
Строго говоря, в A.9.6) следует положить у€, у*=\, однако,
в таком виде эти формулы более точны для реальных значений
Ye, Y*> особенно при М<1.
§ 1.10. Одномерные стационарные течения.
Роль замороженной и равновесной скорости звука
Рассмотрим простейший случай одномерного стационарного
течения в канале переменного сечения F(x). В этом случае из
условия сохранения расхода ри /7 = const и из уравнения движе-
движения вдоль оси канала имеем (и — скорость газа)
_L^+J_^L +J_^L=O, Qa*L=-*?. A.10.1)
q dx и dx F dx dx dx
Чтобы замкнуть задачу, необходимо выразить производную
плотности через производную давления и других величин. Заме-
Заметим, что та же операция потребуется и в более общем случае,
так как производная плотности входит в систему уравнений дви-
движения A.7.1) — A.7.6) через уравнение неразрывности, част-
частным случаем которого и является первое уравнение A.10.1).
С помощью уравнений A.7.8) представим формулу A.8.5) в
виде
Здесь a,f — замороженная скорость звука, в предельном заморо-
замороженном течении Qn = 0.
Это уравнение сохраняет смысл и для околоравновесных
процессов, так как при этом величины Qn имеют, как показано
в § 1.7, конечный предел. При этом можно исключить из рас-
рассмотрения релаксационные уравнения A.7.8), заменив их равно-
равновесными зависимостями параметров qn = cfne(p, T) от давления
и температуры, или gn==Qne(P^ s) от давления и энтропии.
Поэтому для околоравновесных течений приведем уравнение
A.10.2) к более удобному и присущему таким течениям виду.
Для этого положим в этом уравнении Qn^dq-neldt, т. е. вернем-
вернемся к исходному его виду A.8.5) и используем соотношения
A.8.7) и A.8.8), учтя при этом, что в равновесном неадиабати-
неадиабатическом течении T(dsfdt)=q. Тогда уравнение , A.10.2) примет
вид
^Ы? f) ] ¦< ¦• >0.3а>
P р
где ае — уже равновесная скорость звука.
47

Уравнение A.10.3а) можно получить и непосредственно, по-
полагая равновесное уравнение состояния заданным в виде q=
— q(P> s) или е = р(/7, Г). Тогда
dt\dp)s ^\)p
A. 10.36)
В идентичности обоих выражений можно убедиться непос-
непосредственной проверкой.
Отметим, что уравнение A.10.3) в сущности нельзя формаль-
формально получить из уравнения A.10.2) никаким предельным перехо-
переходом, так как при любом процессе, сколь угодно близком к рав-
равновесию, непосредственное вычисление величин Q не позволяет
еще перейти от замороженной скорости звука к равновесной;
для этого нужно формально положить Qn = dqne/dt. Это обстоя-
обстоятельство, как увидим в гл. 3, вносит весьма принципиальное
различие между неравновесным и равновесным течениями.
Для удобства дальнейших рассуждений запишем уравнения
A.10.2) и A.10.3). в общем виде
где_для неравновесных течений ^следует положить a = uf, Q =
= Qt, а для равновесных а=ае, Q = Qe. Отметим, что в предель-
предельных случаях адиабатических замороженных и равновесных те-
течений Q — Q.
Подставляя A.10.4) в систему A.10.1), получим уравнение
Д/\2— I da 1 dF i Q / d d лд и \ /i in r\
' :Г~^Т—b — > (— ==« — > M=— .A.10.5)
# <^дг /* ал: и \ dt dx п ¦
Пусть для начала канал имеет постоянное сечение F=const.
В этом случае в адиабатических равновесных и заморожен-
замороженных течениях (например, совершенного газа) скорость газа бу-
будет постоянной. В общем же случае скорость будет переменной
и знак ее производной будет зависеть от величин М2—1 и Q.
Из сопоставления уравнений A.10.5) и A.10.2) следует, что
неравновесные физико-химические процессы в газе действуют
подобно источникам тепла, поэтому течение такого газа в ка-
канале постоянного сечения аналогично течению в тепловом соп-
сопле1. В частности, при ()>0 газ будет ускоряться при М=М/->=
= ufaf>\ и замедляться при М<1, а при Q<0 — наоборот, как
и для совершенного, например, газа при съеме или подводе
тепла.
1 См., например книгу [7].
48

Рассмотрим теперь течение в сопле Лаваля 1 с критическим
сечением или горлом в точке 0 (рис. 1.11). Будем предполагать,
что перепад давлений между входным и выходным сечениями
A и 2) на рис. 1.11 достаточно велик для того, чтобы газ в соп-
сопле ускорялся всюду, так что dp/dx<0, dufdxX). В адиабатиче-
адиабатических течениях равновесного или замороженного газа {Q = 0) в
горле сопла, при dF/dx=0, имеем М=1, т. е. реализуется клас-
классическая ситуация, когда критическое сечение сопла является
звуковым. Вверх по течению от горла, где dF/dx<0, имеем до-
дозвуковое течение М<1; вниз по тече-
течению, где dF/dx>0 — сверхзвуковое
Но в общем случае неравновес-
неравновесного или неадиабатического тече-
течения звуковое сечение, определяемое
обращением в нуль правой части
A.10.5), будет смещаться вверх или
вниз по течению от горла в зависимо- Рис. 1,11.
сти от знака Q.
Далее рассмотрим лишь адиабатические течения (# = 0).
Перейдем в правой части уравнения A.10.5) к пределу, устре-
устремив все параметры газа к равновесным. При этом величина Q,
как отмечалось выше, будет стремиться к конечному пределу,
поэтому по-прежнему в горле сопла будет Жф\. Но, переходя
к пределу, мы сохранили число М=М/ = а/а/, поэтому получен-
полученный результат лишь означает, что в горле сопла ифа^ т. е.
скорость не равна замороженной скорости звука. Если же вы-
выписать уравнение A.10.5) сразу для равновесных течений, по-
положив в нем (? = 0, а = ае, то, естественно, получим звуковую ско-
скорость и = ае в горле сопла.
Вблизи равновесия по определению из уравнения A.10.2),
например, должно быть
_ 1 dp ру / 1 1 \ dp
~ а\ Tt'Q ~{а2е a*] It'
Так как в сопле dp/dx<0, a ae<^uf, то и (?<0, поэтому зна-
значение скорости u = cif достигается в расширяющейся части сопла
(сечение 2 см. на рис. 1.11).
Этот анализ не дает ответа на весьма интересный вопрос о
характере распространения возмущений в области между сече-
сечениями 0—2, в которой ае<тг<;а/. В самом деле, если вносимые
в поток возмущения распространяются по газу с замороженной
скоростью звука а = а/, то вследствие u<af они должны дости-
достигать горла сопла и влиять на течение в его окрестности. Но, ес-
если скорость распространения возмущений.по газу будет равно-
равновесной, т. е. а = ае, то они будут сноситься потоком, как и пола-
1 Некоторые результаты по этому вопросу приведены в книге [32].
49

гается в сверхзвуковом течении. Некоторые разъяснения этого
эффекта, называемого парадоксом двух скоростей звука, будут
даны в гл. 3.
Обратим внимание на следующее свойство равновесных те-
течений. Дифференцируя равенство и=аМ и используя 1-е урав-
уравнение A.10.1), получим
+ ^), A.10.8)
где производная (да2/дрM взята при постоянной энтропии. Для
совершенного газа р(да2/др)8=у—1, поэтому число Маха в соп-
сопле увеличивается вместе со скоростью газа.
Для известных нам газов в равновесном процессе всегда
(da2/dp)s>0i поэтому при течении в сопле эти газы качествен-
качественно ведут себя как совершенные. Можно сформулировать более
общее требование, выписав следующее равенство:
dp}s 2 { dp*
Если производная справа положительна, то в районе звуко-
звуковой точки dN[/du>0 и наоборот. В дальнейшем (см. гл. 2, 3)
увидим, что выписанная справа в равенстве A.10.9) вторая про-
производная удельного объема р-1 по давлению при постоянной
энтропии, точнее знак ее, является важной характеристикой га-
газов, определяющей некоторые основные свойства его течений.
Глава 2
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ И ЗОНЫ РЕЛАКСАЦИИ
§ 2.1. Ударные волны. Общие соотношения
При сверхзвуковом обтекании тел перед ними или внутри
возмущенной области возникают ударные волны, отошедшие или
присоединенные, типичные формы которых показаны на рис. 2.1.
Математически появление ударных волн обусловлено невозмож-
невозможностью построения в этих случаях непрерывного однозначного
решения уравнений сверхзвукового невязкого течения газа, фи-
физически — тем, что с ростом давления последовательные волны
сжатия догоняют друг друга, усиливая первоначальное возму-
возмущение1 (§3.3).
Внутреннюю структуру ударной волны, по крайней мере, ка-
качественно можно описать уравнениями Навье-Стокса, учитываю-
учитывающими влияние вязкости и теплопроводности. Известно, что тол-
толщина ударной волны имеет порядок нескольких длин свободно-
1 Вопросы возникновения и распространения ударных волн рассмотрены
в книгах [12, 18, 22, 27, 39, 46] и др.
50

то пробега, которые обратно пропорциональны плотности газа.
Поэтому в достаточно плотной атмосфере (например, при поле-
полете в атмосфере Земли на высотах #<60~80 км тел размером
больше 0,1 — 1 м) ударную волну можно считать поверхностью
нулевой толщины.
Обычно размер зоны протекания неравновесных физико-хи-
физико-химических процессов, или зоны релаксации, значительно превы-
превышает толщину ударной волны. Поэтому для невязкого обтека-
обтекания тела физически достоверной оказывается схема предельно
тонких ударных волн с примыкающими к ним невязкими зона-
зонами релаксации. Именно эта
схема и используется всюду
в нашей книге.
Если же толщина зоны
релаксации мала по сравне-
сравнению с размером тела (или
точнее с размером возмущен-
возмущенного слоя), то ее можно
включить в ударную волну,
не интересуясь структурой рИс. 2.1. Формы ударных волн при обтг-
такого обобщенного удар- кании притуплённого тела с изломом об-
НОГО фронта (СМ. § 2.2). разующей:
ПОЛУЧИМ Теперь Общие СО- ///// поверхность тела; скачки
ОТНОШеНИЯ, СВЯЗЫВаЮЩИе СО- уплотнения
стояние потока по обе сто-
стороны ударной волны, а также внутри невязкой зоны релаксации,
примыкающей к ударной волне, если последняя столь тонка но
сравнению с радиусом кривизны ударной волны, что ее можно
считать плоской. Кроме того, течение в этой зоне будем считать
квазистационарным в связанной с ней системе координат
и адиабатическим (без внешнего притока энергии).
Пусть р, р, е, U — местные значения плотности, давления,
внутренней энергии и вектора скорости газа, D — скорость рас-
распространения ударной волны в пространстве вдоль вектора п
нормали к ней, направленного в сторону втекающего газа. Тогда
нормальная скорость газа относительно фронта ударной волны
будет равна
B. 1. la)
Для стационарных течений, т. е. в системе координат, свя-
связанной с фронтом, имеем
?> = 0, vn=-nU. B. 1. 16)
Рассмотрим контрольную поверхность, ограниченную непод-
неподвижными относительно ударного фронта и параллельными ему
плоскостями и поверхностью трубки тока, сечение которой (в
5.1

Рис. 2.2. К выводу соотношений
за ударной волной:
'/ / / } область ударного фронта;
линии тока; контроль-
тока; контрольная поверхность
плоскости, содержащей векторы п, U) показано на рис. 2.2. По-
Поместим одну из таких плоскостей перед ударным фронтом, а
другую — за фронтом произвольно в зоне релаксации таким-
образом, чтобы область влияния вязкости и теплопроводности,
т. е. область самого ударного перехода, была заключена меж-
/ ^ ду этими плоскостями полностью.
/ ^f /^ Поскольку параметры течения
' "* в рассматриваемой области изме-
изменяются лишь по нормали, то раз-
^ меры и форма сечения трубки
f(p>fi,e,/i) тока указанными плоскостями
будут постоянными, а сумма
сил, приложенных к ее боковой
поверхности, и их работа будут
равны нулю. Тогда для квази-
квазистационарного течения в зоне
релаксации законы сохранения
массы (или расхода), импульса
и энергии для выбранной конт-
контрольной поверхности (с единич-
единичной площадью сечения трубки то-
тока) будут иметь вид (индексом «1» помечены величины до удар-
ударного фронта)
B. 1.2)
B.1.3)
B.1.4)
Уравнение B.1.2) этой системы очевидно. Уравнение B.1.3) —
тоже, если учесть, что величина (р—pi)n — единственная внеш-
внешняя сила, действующая на газ и изменяющая его количество
движения внутри контрольной поверхности, так как вязкие на-
напряжения на замыкающих плоскостях по условию их располо-
расположения пренебрежимо малы. Те же замечания относятся и к
-уравнению B.1.4), в котором первый член каждой части пред-
представляет собой перенос энергии, а второй — работу сил дав-
давления.
Пусть х — любой вектор, лежащий в касательной к ударной
волне плоскости, a vx — проекция вектора скорости на него..
Умножая уравнение B.1.3) скалярно на т, в силу B.1.2) полу-
получим -Оч =Oit, т. е. касательная составляющая скорости не из-
изменяется при переходе через ударный фронт. Тогда с учетом
B.1.2) вектор скорости за ударной волной будет равен
52
Qvn\e + — u-\-pnu =

U = Ux-\-n<vln{\ — k), * = -^- . B. 1.5)
Проектируя уравнение B.1.3) на нормаль и переходя в:
B.1.4) к энтальпии /г = е+р/р, получим следующую систему
уравнений, связывающую термодинамические состояния газа до>
и после ударной волны с нормальной скоростью втекания га-
газа vin:
B. 1. 6а)
B.1.66)
Система B.1.6) не замкнута, так как в ней отсутствует связь
t?, Л). Эта связь может быть получена лишь из анализа тер-
термодинамической структуры зоны релаксации с помощью урав-
уравнений химической кинетики и имеет замкнутую форму лишь в>
случаях замороженного и равновесного состояний газа.
Уравнение B.1.4) или B.1.66) для стационарных течений
(или в системе координат, связанной с ударной волной) имеет
важное следствие
Это означает, что энтальпия торможения газа сохраняется
при переходе через ударный фронт, т. е. уравнение Бернулли,
полученное в § 1.7 для стационарных течений, не меняет своей
постоянной при переходе через скачок.
Отметим, что уравнения B.1.2) — B.1.4) инвариантны от-
относительно систем координат. Наиболее простой вид они имеют
в системе координат, связанной с фронтом ударной волны (со-
(соотношения 2.1.16). Термодинамическое же состояние газа за
фронтом ударной волны зависит лишь от относительной скорос-
скорости втекания газа vin, или скорости распространения ударного
фронта по газу. Поэтому в дальнейшем анализе в пределах этой
главы не будем делать различия между стационарными и неста-
нестационарными волнами, кроме случаев (например, § 2.6), связан-
связанных с изучением кинематических свойств течений за ударными
волнами.
§ 2.2. Ударные волны в равновесном газе
Предположим, что уравнение состояния газа по обе сторо-
стороны ударной волны одинаково в том смысле, что существует об-
обратимый процесс, соединяющий оба этих состояния. Это допу-
допущение не исключает, конечно, физико-химических процессов
внутри ударной волны, но требует равновесного состояния газа
по обе ее стороны. Оно распространяется также на любой пол-
полба

ностью замороженный ударный переход, который протекает как
будто в совершенном газе с соответствующим замороженным
показателем адиабаты у/ (см- § 1.7) и не распространяется на
неравновесное состояние газа перед ударной волной или горю-
горючую смесь в метастабильном состоянии, по которой бежит вол-
волна детонации или горения.
При заданном уравнении состояния газа q = q(p, h) система
B.1.6), кроме тривиального решения р = ри Q = Qi и т- Д-» в ко-
котором скачок просто отсутствует, имеет еще два решения, отве-
отвечающих скачкам сжатия
Ш fb/hi . . , (P>Pi) и разрежения
5 Р/Р<
Определенность здесь
вносит 2-й закон термо-
термодинамики. Изменение па-
параметров в ударных вол-
волнах происходит практиче-
практически мгновенно (по край-
крайней мере для условий при-
применимости модели невяз-
невязкого газа) и, следова-
следовательно, с точки зрения
термодинамической клас-
классификации является необ-
необратимым. Согласно 2-му
закону термодинамики
адиабатические необрати-
необратимые процессы сопровож-
сопровождаются ростом энтропии.
На принципе возраста-
возрастания энтропии основана
фундаментальная в тео-
теории ударных волн теоре-
теорема Цемплена, не допускающая скачков разрежения, по крайней
мере, для обычных газов.
Исключая из системы уравнений B.1.6) параметр v\n, полу-
получим так называемую ударную адиабату, или адиабату Гюгонио
B.2.1)
связывающую всевозможные состояния газа за ударным фрон-
фронтом независимо от способа определения q. В сочетании с равно-
равновесным уравнением состояния q = q(p, h) формула B.2.1) в
плоскости {р, h) даст кривую, проходящую через точку / (рис.
2.3), описывающую, кроме того, некоторый эквивалентный удар-
О 500 -WOO P/Pj
Рис. 2.3. Ударные адиабаты:
f—совершенный газ; v=l,4; //—воздух в равно-
равновесном состоянии с наземными условиями перед
скачком; ///—касательная к адиабатам и парабо-
параболам в точке /:
параболы B.4.2); -—.—.— адиабаты Пуассона
)/Т при Т—1*4

ному переходу обратимый процесс, протекающий с изменением
энтропии и, следовательно, с притоком тепла. Эта кривая мо-
может иметь различные ветви, расположенные справа или слева
от точки 1, отвечающие сжатию с одновременным выполнением
неравенств
Р > Р» Q > Qi> A > hl9 e > е19 B. 2. 2а>
и разрежению, когда
Р < Л, Q < Qi, A < Alf e < ev B. 2. 2б>
Ударную адиабату B.2.1) удобно исследовать с помощью па-
параметрического представления к(Ж\п) и р{Щп), которое зада-
задается уравнениями B.1.6), если заменить aib\in = vin, где Mm—
нормальное число Маха, а а4 — скорость звука перед скачком..
Согласно § 1.8 отношение (р—P\)/(q—Qi)—>а\ при р->-ри по-
поэтому точке 1 соответствует значение Мщ= 1.
Применяя соотношение A.4.1) для вычисления изменения-
энтропии вдоль ударной адиабаты с помощью B.1.6) получим*
= dh- l/Qdp=— a\i\- -^-Y dM\n. B. 2. 3>
Как видно, энтропия монотонно возрастает с увеличением^
Min, поэтому s>Si при Мщ>1 и s<Si при Мщ<1. Но так как:
энтропия в ударной волне должна возрастать, то оказываются
допустимыми лишь ударные волны, распространяющиеся по га-
газу со сверхзвуковой скоростью, с Min>l.
Исследуем далее окрестность точки 1. Полагая q = q(p, s) a
имея в виду, что (др/дд)8=а1 =а2, получим разложение
B. 2. 4}
Индекс «s» или «р» у производных указывает на постоянный
параметр при дифференцировании, а индекс «1» на принадлеж-
принадлежность к точке 1. Последний член в B.2.4) имеет в силу B.2.3)
более высокий порядок малости, чем (АрJ, и может быть от-
отброшен. Комбинируя B.2.4) и B.1.6а), получим при М?л— 1 С;1г
B. 2. 5)
Подставляя в B.2.3) qJq из B.2.4), а дифференциал dM*a
из B.2.5) и интегрируя, получим фундаментальное в теории
Ударных волн соотношение

Поскольку s>su то знак разности р—pi для слабых ударных
толп зависит от знака второй производной удельного объема по
.давлению при постоянной энтропии.
Исходя из свойств обычных реальных газов, примем одно
шз основных в дальнейшем допущение:
Л dp \ qW Js Q%4 I ' 2 [ dp
-t)- B27)
Для совершенного газа с постоянным Ye=Y это условие вы-
выполняется автоматически. Для реальных газов (например, воз-
воздух, углекислый газ), как указано в § 1.9, величина уе изме-
изменяется в небольших пределах и производная ее по давлению
обычно весьма мала1 и не нарушает условия B.2.7). Но тогда
из B.2.5) или B.2.6) следует, что среди слабых ударных волн
^возможны лишь скачки уплотнения, удовлетворяющие условиям
B.2.2).
Обобщим этот результат на конечные значения р—pi. Удар-
Ударная адиабата h(p) непрерывна, так как при р>Р\ плотность
Q>Qi>0. Поэтому ударная волна может стать скачком разре-
разрежения лишь в том случае, если ударная адиабата, показанная
.на рис. 2.3, выйдя с ростом Mm из точки 1 вправо, вновь пере-
пересечет линию р = р\. Но так как в силу соотношений B.1.5)
q=qi, h=hi при р = ри то такое пересечение может быть только
в точке U в которой энтропия как функция состояния должна
принять значение s = sh что противоречит условию B.2.3) моно-
монотонного ее возрастания вдоль ударной адиабаты. Следователь-
Следовательно, физически реализуемая ветвь ударной адиабаты для газов,
удовлетворяющих условию B.2.7), целиком лежит правее точки
/ и соответствует ударным волнам сжатия.
Полученный результат, однако, не обеспечивает еще одно-
однозначного решения системы B.1.6). Для этого нужно доказать
еще, что вдоль ударной адиабаты h и р монотонно возрастают
с увеличением Мх2л , или что производная dhfdp>0 и ограничена.
Дифференцируя B.1.6а) и используя вспомогательное соотно-
соотношение
d — = I ——\ dp + —-— ) ds = — — —^— Tds%
Q \ dp Js У{ \ ds )p qW q2 V dh )p
зтолучим с помощью B.2.3) и B.1.6а) формулу (!A\ =
dNi\n l 4 Qi Q/L T 2/7 Q
_____ B. 2. 8)
1 Для обычных газов справедливо более сильное неравенство (da2ldp)s>0.
На это и на важность знака производной (д2р-удр2)а было указано
в § 1.10.

Для совершенного газа последний член квадратной скобка
равен — (у—1)(/?—р\)/2ур, и поэтому эта скобка всегда поло-
положительна. Для обычных реальных газов этот член также неве-
невелик по абсолютной величине, поэтому примем в качестве допол-
дополнительного ограничения на свойства газов, что квадратная
скобка в B.2.8) всегда положительна.
Но производная dp\dlA\n и разность 1—Ж\ согласно B.2.5)-
и B.2.8) положительны вблизи точки 1, следовательно, так как
разность A—М^ ) ограничена, производная с1р/с1М^пФ0 всюду.
Кроме того, эти величины могут поменять знак лишь в точке,,
в которой одновременно 1—М^ =0, dp[dM\n—><х>. Докажем, что
это невозможно. В этой точке согласно B.2.3) должно быть
ds/dp = 0 (касание с изоэнтропой, для которой dh/dp=p~l), по-
поэтому согласно B.2.7)
dp dp
Следовательно, кривая Мп(/?) проходила бы через точку Мп = 1
убывая, что невозможно, так как до нее было Мп<1. Таким
образом доказано, что Мп<1 всюду, т. е. нормальная скорость
вытекания газа из ударной волны всегда дозвуковая. Кроме то-
того, доказано, что функция/? (М^л), а в силу соотношения
dh L|^ > — >° B.2.9)
dp Q dp Q
и функция h(p) или А(М^Я) монотонно возрастают вдоль удар-
ударной адиабаты.
Отсюда следует, что каждому значению М?л при заданных
Qi, pt9 hi соответствует лишь одна пара значений р, h, которой
в силу однозначности уравнения равновесного состояния соот-
соответствует лишь одно значение р, т. е. система B.1.6) соотноше-
соотношений за ударной волной сжатия имеет единственное решение.
Заметим, что монотонность увеличения плотности можно дока-
доказать лишь для совершенного газа (см. § 2.3), а для воздуха, на-
например, плотность иногда убывает с ростом vin (рис. 2.4).
Из соотношения B.2.9) следует, что наклон ударной адиа-
адиабаты всегда больше наклона местной изоэнтропы. Разложим
Уравнение состояния h(p, s) вблизи точки / в ряд
Qi 2§\а\ 6 V дР2 h,i
B. 2. 10)
Для изоэнтропы, проходящей через точку 1, следует поло-
положить s = su а для ударной адиабаты — воспользоваться соотно-
соотношением B.2.6). Но так как согласно B.2.6) рост энтропии в сла-
слабых скачках имеет 3-й порядок малости, то обе эти кривые име-
57

ют касание 2-го порядка в точке /. Взаимное расположение
указанных кривых показано на рис. 2.3.
Таким образом, основные результаты нашего анализа сво-
сводятся к следующему:
— в обычных газах могут существовать лишь ударные волны
сжатия с увеличением давления, плотности, энтальпии и внут-
внутренней энергии;
Я
9
0,15
0,10
С,05\
О , 2000 4-000 8000 8000Uw,m/c
Рис. 2.4. Отношения плотностей (ji/p до
и пссле прямой ударной волны в равновес-
!нам воздухе
— заданному набору параметров перед скачком и нормаль-
нормальной скорости распространения его по газу соответствует лишь
одно состояние газа после скачка;
— газ втекает в ударную волну со сверхзвуковой нормаль-
нормальной к разрыву компонентой скорости, а вытекает с дозвуко-
дозвуковой.
Эти утверждения доказаны при определенных ограничениях
на свойства газа, которые справедливы для обычных газов и
выполняются точно для совершенного газа.
Из единственности решения соотношений на ударной волне
следует важный вывод: равновесное состояние газа в конце
плоской зоны релаксации не зависит от ее структуры и от ха-
характера процессов между сечениями до и после зоны ударного
перехода. Таким образом, если толщина зоны релаксации мала
по сравнению с размером тела (или с размером возмущенного
слоя), то ее можно включить в ударный фронт с равновесным
состоянием за ним, что значительно упрощает общую газодина-
газодинамическую задачу.
58

§ 2.3. Сильные ударные волны
Ударные волны называют сильными, если скорость их рас-
распространения vin значительно превосходит местную скорость-
звука #ь т. е. при числе Маха Min = t;ln/ai^>l (ниже несколько
уточним это условие).
Выпишем соотношения на ударной волне для совершенного-
газа. Подставляя в уравнение состояния р1ф={у—1)/у форму-
формулы B.1.6), получим квадратное уравнение для ?=qi/q, одно ре-
решение которого k= 1, а другое —
Подставляя B.3.1) в B.1.6), получим
B. 3. 2)
1л Y+l hi
При М^в—»оо эти формулы приобретают вид
О Y + l Л Y + l 1л hx Тх (Y + 1J 1л
= -22—klA\n. B.3.3)
Y + l 1л
Как видно, с увеличением Min отношение плотностей имеет
предел, зависящий лишь от у, в то время как отношения давле-
давлений и температур неограниченно возрастают.
Как указано в § 2.1, для общего случая реального газа при-
применима схема замороженного ударного фронта с примыкающей
к нему зоной релаксации. В этом случае формулы B.3.1) —
B.3.3) применимы для расчета ударного перехода, если заме-
заменить у замороженным показателем адиабаты y/> а энтальпик>
h — разностью h—/г/, где hf — связанная энергия физико-хими-
физико-химических превращений (см. § 1.7).
Теперь рассмотрим случай равновесного состояния реально-
реального газа за ударной волной, когда система уравнений B.1.6) но-
носит сложный трансцендентный характер. Будем сначала счи-
считать газ равновесным по обе стороны ударного фронта и пред-
представим (см. § 1.9) его уравнение состояния в квазисовершенной
форме p/qA= (y*—1)/y*> гДе У*(Р» А) = —эффективный показа*
е
тель адиабаты.
Пусть нормальное число Маха Min будет столь большим, что
выполняются условия
Мы=-^. B.3.4)

Именно эти условия и будем считать в дальнейшем признаком
.сильных ударных волн. Тогда уравнения B.1.6) упростятся
/>=Qi4i(l~*), h = ±-v\n{\-k*). B.3.5)
Подставляя B.3.5) в уравнение состояния, получим решение
ft=ss_2L=Jk=L_, У^±=±Ц, B.3.6)
Q Y* -Ы ^ 1 — к
которое формально совпадает с тем же для совершенного газа
при М^л—>оо. Заметим, что ввиду возможной малости разности
^Y*—0> условие h^>hi является более жестким, чем p^>pi.
Поэтому из B.2.1) получим еще более общее соотношение, чем
B.3.6), при одном лишь условии
1 -j- k h H\ /q n <7\
1 —k e -~ ei '
«соторое совпадает с соотношением B.3.6) при h^>hi в силу y*—
= h/e.
Соотношения B.3.5) — B.3.6) показывают, что состояние
газа за сильной ударной волной зависит лишь от нормальной
скорости ее распространения и от плотности газа перед ней, но
не от его температуры или статического давления.
Отношения pl9i°ln и h\v\n в отличие от pjpx и hfh\ остают-
остаются конечными при М1п—мх>, что следует из сопоставления фор-
формул B.3.5) и B.3.3).
Заметим, что если формула B.3.6) справедлива лишь для
равновесного состояния газа за ударной волной, то формулы
B.3.5) и B.3.7) справедливы для любой сильной ударной вол-
волны-, в том числе и для зоны релаксации за ней.
Отметим еще одно важное свойство сильных ударных волн.
Как показано в § 1.9, для воздуха или углекислого газа при
высоких температурах величина у*5*Ы> т. е. весьма близка к
единице. Поэтому величина k оказывается малой. Если для со-
совершенного газа с у=\? минимальное значение &=1/6, то, как
следует из рис. 2.4, в реальном случае &>0,05. В этих же пре-
пределах должно изменяться отношение k и в зоне релаксации за
такой ударной волной.
Следовательно, с точностью до членов порядка k для давле-
давления и к2 для энтальпии вместо B.3.5) можно использовать про-
простейшие формулы
показывающие, что в первом приближении давление и энталь-
энтальпия в отличие от плотности и температуры не зависят (точнее,
зависят очень слабо) от состояния газа за ударной волной.
60

На этом основан простой итерационный процесс определения
равновесных параметров за ударной волной. В самом деле, по-
полагая, например, в уравнении B.1.6) & = 0, уже получим доста-
достаточно точные значения давления и особенно энтальпии, подстав-
подставляя которые в уравнение состояния, получим уже реальное зна-
значение плотности, или k за ударной волной. Повторяя процесс,
довольно быстро приблизимся к точному решению.
Заметим также, что малость величины k и слабое изменение
Y* делают очевидным монотонный характер кривых Р(Щп) и
Л(Щп), доказанный в § 2.2. В самом деле, пренебрегая произ-
производной dk/dN[2ln, из B.3.5) получим
dp 0/1 уч dh 1 о/1 ' *9\ dh 1 ~Ь k чч 1
йЖ\п dN[]n 2 dp 2kQ Q
B.3.9)
Таким образом, наклон ударной адиабаты для сильных
ударных волн намного превосходит наклон адиабаты Пуас-
Пуассона.
Получим еще некоторые простые формулы для изменения
параметров вдоль линии тока за сильной ударной волной в ста-
стационарных равновесных течениях. В § 2.2 было показано, что
энтропия газа в скачке уплотнения монотонно возрастает с уве-
увеличением М.\п. Следовательно, энтропию газа можно считать
однозначной функцией параметров (ah рь vin), а при заданных
условиях обтекания — однозначной функцией vin.
В связи с этим для задач гиперзвукового обтекания тел ока-
оказывается удобным использовать вместо энтропии эквивалентную
ей величину
s= sin2a= v\n/U2v B.3.10)
где Ui — скорость обтекания, а a — местный угол наклона
ударной волны.
Введем безразмерные величины q = q/pi, P = pIqiU2, h = hlUv
Индексом «s» обозначим величины сразу за ударной волной.
Тогда формулы B.3.5) — B.3.6) примут вид
^=A-A)s, A, = -l-(l-**)s, Q, = J^| B.3.11)
В § 1.9 было отмечено, что эффективный показатель адиа-
адиабаты у* практически постоянен вдоль изоэнтропы, что дает воз-
возможность использовать и в этом случае адиабату Пуассона. Но
та же величина у* входит и в формулу B.3.11), поэтому форму-
формулы, приведенные ниже для простоты записи лишь для совершен-
совершенного газа, приближенно сохраняют силу (при замене у на y*) и
Для реального газа.
61

Подставляя B.3.11) в адиабату Пуассона, получим следую-
следующую связь между энтальпией и давлением вдоль линии тока:.
S[s! 2A-А)<Т-1)Л Р 2
Как видно, д~1 с точностью до величины порядка &2 (ре-
(реально ^= l-r-1,05 при y= l-v-5/3), что приведет к простой фор-
формуле
A =-i-?/2sVT (/VQ!^)(T-1)/T. B. 3. 12)
Аналогичную формулу получим и для плотности
п = -в- = v ¦?-» 2v д-1Лл1/т= 1+* g-i/TniA. B.3. 13)
Qi 7 —IS T —1 *
Обратим внимание на слабую зависимость энтальпии от дав-
давления, которая пропадает совсем при у-*\, так как в этом слу-
случае h—>— s.
Отметим некоторые особенности ударных волн, распростра-
распространяющихся по неравновесному газу. В этом случае /г1 = су)) T±-\-hf..
Так как отношение hf/h может и не быть малым, то оценки
B.3.4), определяющие признак сильной ударной волны, примут
теперь вид
Р ^ 1 B. 3. 14)
Здесь число Маха Min определяется по замороженной скорости:
звука. Отношение плотностей до и после ударного фронта мож-
можно получить из формулы B.3.7), положив в ней e^h^hf и за-
задав h/e. в соответствии с состоянием газа за ударной волной.
Пусть это состояние будет равновесным. Тогда при hf/h^O по-
получим формулу B.3.6). В другом предельном случае набегаю-
набегающего потока, замороженного относительно равновесных пара-
параметров за прямой ударной волной (в принципе это возможно в
сопле высокотемпературной аэродинамической установки), сос-
состав и состояние газа не изменятся при переходе через ударную
волну и ? = (у/— 1) / (Y/+1) •
Для воздуха или углекислого газа (как было указано выше)
минимум y*^M; максимум y/ = 5/3,— если газ перед скачком
полностью диссоциирован и находится в атомарном состоянии.
Следовательно, отношение плотностей до и после ударной вол-
62

ны может изменяться в широких пределах k = 0,054-0,25 в за-
зависимости от степени замороженности набегающего потока,т.е.
от отношения h/H
§ 2.4. Зона релаксации за ударным фронтом
Рассмотрим некоторые общие свойства ударных волн в рамках схемы
предельно тонкой ударной волны, включающей в себя полностью область влия-
влияния вязкости и теплопроводности, и примыкающей к ней зоны релаксации, в
которой протекают физике-химические процессы (см. § 2.1).
В такой постановке ударный переход следует считать замороженным и
рассчитывать его по формулам совершенного газа (соотношения B.1.6),
B.3.1)—B.3.2) для плотности, давления и температуры). Замороженный пока-
показатель адиабаты у/ вычисляется по формуле A.7.13) по параметрам перед
ударной волной. В отличие от B.3.2) отношение температур будет равно
где hf — связанная энергия физике-химических превращений, определяется
формулой A.7.12).
В последующей зоне релаксации давление, энтальпия и скорость газа свя-
связаны с плотностью теми же соотношениями B.1.2) — B.1.6), которые спра-
справедливы, как указано в § 2.1, в любой стационарной невязкой волне. Состоя-
Состояние газа в зоне релаксации изменяется непрерывно, поэтому, дифференцируя
формулы B.1.6) при постоянном значении я1п, получим, как и следовало
ожидать, уравнение адиабаты для непрерывного процесса
Qdh = dp = -Q\v\nd — .
B. 4.
В плоскости (р, р-1) «давление — удельный объем» любое состояние га-
газа в зоне релаксации, как следует из B.1.6а), лежит на одной прямой
Р — Р1.
а в плоскости (р, h) — на параболе
А-А, = ^-(-^Г, B.4.2)
которую можно получить, исключив k из соотношений B.1.6) (для краткости
ниже будем называть ее просто параболой).
Хотя эта кривая согласно B.4.1) касается в каждой точке местной адиа-
адиабаты — замороженной изоэнтропы, ей, однако (в отличие от ударной адиа-
адиабаты в постановке § 2.2), не соответствует никакой обратимый процесс, и она
псэтому не является изээнтропой, так как изменение плотности вдоль нее не
отвечает никакому равновесному процессу.
Рассмотрим сначала случай равновесного состояния газа перед ударной
волной. Построим в плоскости {р, К) две ударные адиабаты B.2.1): заморо-
замороженную, вычисленную с помощью замороженного уравнения состояния
A.7.13), и равновесную, соответствующую равновесному уравнению состояния
Р==Р(Р, h) (кривые / и // на рис. 2.3). Эти кривые имеют общую касательную
в точке 1 с наклоном dhjdp—pj'1 и отличаются в ее окрестности лишь вторы-
вторыми членами разложения B.2.10), из которых следует, что равновесная адиаба-
адиабата лежит не выше замороженной, поскольку замороженная скорость звука
e/i не меньше равновесной aei. Но в дальнейшем равновесная адиабата может
63

располагаться ниже или выше заморсженной в зависимости от того, будет ли
плотность в зоне релаксации возрастать или уменьшаться *.
В точке 1 парабола B.4.2) (пунктир на рис. 2.3 и 2.5, а) касается обеих
адиабат / и П. Пулть vin>afi (случай afi>vln>aei рассмотрим позже).
Тогда вблизи точки / параболы будут лежать выше обеих адиабат. Но в трч-
Рис. 2.5. Ударные адиабаты (сплошные) и параболы
(пунктир)
ке р=рн-р1^ 1„ на параболах h=*hi+42Vil* dhJdp^O, а на ударных адиаба-
адиабатах h=hi + y2v\n(\+k). Следовательно, последние проходят выше параболы,
которая пересекает обе адиабаты при любом их -взаимном расположении, при-
причем по одному разу, так как параметр vin ссгласно § 2.2 монотонно возраста-
возрастает вдоль этих адиабат. Поэтому процесс ударная волна — зока релаксации
может быть описан так: вначале газ из состояния / скачком переходит в со-
состояние 2 на замороженной адиабате 1, а затем лв отрезку B—3) параболы
непрерывно переходит в состояние 3 на равновесной адиабате //.
Пусть теперь ударная волна распространяется по газу, пребывающему в
неравновесном состоянии. Такая ситуация возможна при обтекании тел слож-
сложной формы, когда внутри возмущенной области возникают скачки уплотне-
уплотнения, или иг и обтекании тела <в высокстемпературнон установка, в сопле ю-
торой газ может быть заморожен и т. д. При этом газ перед ударной вол-
волной может быть заморожен относительно более горячего или более холодного
состояния, со скрытой теплотой hf соответственна большей или меньшей рав-
равновесной (причем, это расхождение может быть значительным, порядка вели-
величины энтальпии торможения).
Эти случаи в значительной степени аналогичны процессам детонации, го-
горения, конденсации2. В общих чертах и опишем картину подобных течений
1 Плотность за скачком определяется знаком функции Q в формуле
A.10.2), так как течение газа за прямой ударной волной идентично течению
в канале иостояннсго сечения. Эбычно плотность возрастает, если физико-хи-
физико-химические процессы протекают с поглощением тепла, и наоборот.
2 Общая теория этих процессов хорошо разработана в книгах 112, 22,
33, 46].
64

в рамках сформулированной выше схемы ударная волна — невязкая зона
релаксации.
Условное изображение этого процесса дано на рис. 2.5, а. СоответствусС-
ш.ие ударные адиабаты /// и IV описываются теми же формулами B.2.1), но
не должны уже проходить через точку / (и пересекаться с замороженной
адиабатой /), так как для этсго равновесное и неравновесное значения плот-
плотности при одинаковых р и h должны совпасть, чтс маловероятно. При этом
общие соотношения B.2.3) и B.2.3) остаются справедливыми, так как при их
выводе нигде не использовалось условие прохождения ударных адиабат через
точку 1, поэтому вдоль этих адиабат имеем
Ц, B)f
dvln dv\n
B.4.3)
Если процесс в зоне релаксации протекает с увеличением плотности, то
соответствующая адиабата /// будет располагаться правее и ниже кривей /,
а зона релаксации изобразится отрезком параболы 2—4 между адиабатами
/ и ///. Нескольку эти параболы идут тем выше, чем больше vin, то вдоль
адиабаты /// при движении слева направо dvin>0, ds>0, а при обычной ре-
реальной ее форме и dp>0, а следовательно, и МП<1.
Пусть теперь процесс в зоне релаксации идет с уменьшением плотности.
Гогда равновесные ударные адиабаты IV будут лежать выше и левее адиа-
адиабаты /. Парабола, соответствующая достаточно большой скорости у1п, может
пересечь адиабату IV дважды, в этом случае реальному процессу будет со-
соответствовать отрезок 2—5; дальнейшее движение вдоль параболы лише ic
смысла, так как газ, достигнув равновесия в точке 5, не будет в одномерном
течении менять свои параметры. Такого пересечения может не быть совсем,
если скорость v\n невелика. И, наконец, при некоторой величине vin возмож-
возможно касание параболы и адиабаты IV в точке 6. Тогда согласно уравнению
B.4.1) в этой точке вдоль ударной адиабаты ds=0, а в силу B.4.3), dvin*=Q
и Мп = 1 (чтс невозможно, например, для равновесной адиабаты II, рассмот-
рассмотренной в § 2.2).
Такие точки в теории детонации называют точками Жуге. Они делят
адиабату IV на две ветви. Правую ветвь, соответствующую реальному про-
процессу, параболы пересекают слева направо, поэтому наклон ее больше наклона
парабол, следовательно, при удалении по ней вправо от точки касания 6
имеем dVin>0, ds>Ot dp>Q, МП<A, т. е. более скоростные и мощные ударные
волны. (Можно показать, что вдоль левой нереальной ветви справедливы об-
обратные неравенства [39, 46]).
Рассмстрим слабые ударные волны, скорость распространения которых
меньше замороженной скорости звука а/4> vm> aei- Так как 3-й член в раз-
разложении B.2.10) положителен согласно условию F2p-1/cty?2)s>0, то соответ-
соответствующие параболы (см. рис. 2.5, б) идут ниже адиабаты /, но выше //. По-
Поэтому в этом случае ударный процесс невозможен, а соответствующее состоя-
состояние 2 или 3 на равновесных адиабатах //, /// может быть достигнуто лишь
непрерывно вдоль дуги параболы /—2 или /—3.
Аналогичная стациснарная зона релаксации с уменьшением плотности при
равновесном состоянии в точке / невозможна, так как конечная точка соот-
соответствующей параболы должна лежать на продолжении адиабаты // в об-
области /?<pi, что запрещено 2-м законом термодинамики (случай неравновес-
неравновесного начального состояния, относящийся к теории горения, анализировать не
3)
§ 2.5. Решение задачи о структуре зоны релаксации.
Бинарное подобие
Рассмотрим математическую постановку задачи о структуре
зоны релаксации за прямолинейной ударной волной. Для этого
обратимся к полной системе уравнений движения неравновесно-
3 2382 65

го газа § 1.7. Ударную волну будем считать неподвижной, газ
втекает в нее со скоростью1 vln = U>afi. Направим оси х, у
вдоль ударной волны и внутренней нормали к ней. Тогда для
плоской зоны релаксации уравнения неразрывности, движения
и энергии примут вид
ду ду ду ду ду
Эти уравнения имеют интегралы, которые с учетом условий
B.1.6) на ударной волне, при г/=0, представляют собой продол-
продолжение этих условий на область зоны релаксации
QV — QiLf. p-\-ov2= рл-\-оли*2, h-\ v2~hi-\ U2 B.5.2)
11 '2 * ' 2 v
(индекс «1» относится к величинам перед ударной волной).
Кроме того, имеются два конечных соотношения: уравнение
состояния и формула для энтальпии
P = — QT, — =
= AG\ qa) = ^iclhl, hr-^c^T+e\v)-\-hoi. B.5.3)
Здесь сохранены те же обозначения, что и в § 1.7, через qn
обозначены или концентрации с и или е\р — удельная энергия
k-й внутренней степени свободы 1-й компоненты. И, наконец,
уравнения химической кинетики и релаксации запишем в общем
виде A.7.8)
-^-=Qn(^ .... Ям, Р, П л=1, .... N. B.5.4)
Таким образом, задача о,структуре зоны релаксации сводит-
сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений B.5.4)
и пяти конечным соотношениям B.5.2) — B.5.3). Начальные
условия для них на внутренней стороне ударной волны (у = 0)
есть условия замороженного ударного перехода, т. е. сохране-
сохранения состава и состояния внутренних степеней свободы газа
ci = cn> е\У = еШ или 1n = 1nv B-5.5)
1 Условие Vin^>afu где a/i — замороженная скорость звука, принято без
оговорок во всем дальнейшем изложении, так как оно схватывает подавляю-
шее большинство практических ситуаций (например, обычно в невозмущеннОхМ
газе просто aei==cifi).
При a/i>i>in>aei, как показано в § 2.4, 'процесс сжатия газа, эквивалент-
эквивалентный ударному, происходит непрерывно в зоне релаксации (физически это обус-
обусловлено предшествующим влиянием возмущений, распространяющихся со ско-
скоростью fl/i). Пример такой зоны релаксации рассмотрен в книге [15].
66

Возможны упрощенные схемы, например, когда зона колеба-
колебательной релаксации много меньше зоны протекания химической
реакции 1. В этом случае можно предположить, что на внут-
внутренней стороне ударного фронта колебания возбуждены равно-
равновесно, а состав еще заморожен, и вместо B.5.5) использовать
условия e}j) = e^)G1), ct = civ
Решение системы B.5.2) — B.5.5) можно представить в сле-
следующем общем виде:
1п = Яп{^и,§ъ\), Q = Q{t, U, q1s Xz), T = T{t, U, q15 ХД
p = p(t,U,QMh=k(t,U,Q1,'kil h = Dm> Л. К Ti)- I2-5-6)
Связь времени движения частиц с расстоянием ее от удар-
ударной волны задается уравнением
Для сильных ударных волн (hi^U2, Qi<Cp) задачу можно
несколько упростить, положив в зоне релаксации в соответствии
с § 2.3 р и h постоянными. Кроме того, такое решение не будет
зависеть от давления р\ и энтальпии Л4 (температуры 7\) в не-
невозмущенном потоке.
Рассмотрим зону релаксации за ударной волной, бегущей по
холодному невозмущенному газу, в котором при нагреве все ре-
реакции могут протекать лишь бинарным образом. Такая задача
наиболее типична для атмосферы Земли и других планет. Этот
случай описан в § 1.5, там же показано, что уравнения химиче-
химической кинетики при этом имеют вид
^ = ^ = ЛG~> Т%\ Ci)-p>F2i(T, Щ), с,), B.5.8)
где коэффициенты Fu пропорциональны произведениям концент-
концентраций исходных компонент и, кроме того, экспоненциально зави-
зависят от температуры, которая достаточно велика за сильной
ударной волной в совершенном замороженном газе, что следует
из формул B.3.2). Поэтому коэффициенты FH вблизи ударной
волны достаточно велики. В то же время коэффициенты F2i
пропорциональны произведениям образующихся за счет реакций
компонент, которых в случае первоначально холодного газа при
замороженном ударном переходе сразу за ударной волной нет.
Поэтому на начальном участке зоны релаксации, где состояние
газа еще далеко от равновесия, вторым членом справа B.5.8)
можно пренебречь. Времена релаксации, входящие в уравнения
1 Такая схема вполне приемлема для воздуха до скоростей ?/<с5—б км/с
(см. Стулоов В. П. — МЖГ, 1959, № 4, 5).
3* . 67

релаксации внутренних степеней свободы (см. § 1.3), обратно
пропорциональны давлению, поэтому правые части этих уравне-
уравнений тоже пропорциональны р.
Тогда система уравнений, описывающих структуру начально-
начального участка зоны релаксации с учетом равенства q±U=qv, при-
примет вид
±dqJL=J^JgJL = - gn)9p = J-9 q = ±u B.5.9)
<h dt QQl dy F lnK 4nh ^ Qi Qi
Соотношения B.5.2) и B.5.3) при переходе от /?, q к р9 р
почти не изменят вида и главное не будут зависеть от плотно-
плотности перед ударной волной, поскольку pi = pi/Qi = a^/y. Поэтому
решение системы B.5.9), т. е. набор функций Г, р, q, qn и т. д.,
будет зависеть лишь от начального состава и состояния газа, от
скорости ударной волны и от произведения р$ или Qit и не зави-
зависит явно от плотности дх и координат у, L Величины же р и р,
а также число частиц /-й компоненты щ в единице объема будут
пропорциональны pi.
Это есть закон бинарного подобия, который дает простую
зависимость р4б = const для масштаба б основного, начального
участка зоны релаксации от плотности qi перед ударной волной.
Заметим, что этот закон справедлив и в том случае, когда зона
релаксации внутренних степеней свободы включена в ударную
волну, и справедлив для всей зоны релаксации, если в ней идут
лишь процессы возбуждения внутренних степеней свободы.
В подтверждение закона бинарного подобия и для иллюст-
иллюстрации характера структуры зоны релаксации для воздуха на
рис. 2.6 приведены несколько кривых, полученных численным ин-
интегрированием системы B.5.2) — B.5.5) для плотностей qu от-
отличающихся в двести раз. Эти кривые расходятся лишь вблизи
равновесных значений параметров, которые согласно условиям
равновесия A.5.3) существенно зависят от плотности. Эта зави-
зависимость особенно сильна для компонент, равновесные концент-
концентрации которых малы, что следует, например, из условий равно-
равновесия A.5.5). В самом деле, если равновесная концентрация
атомов се близка к единице, то равновесная температура будет
незначительно зависеть от давления, а концентрация молекул
1—ce~Qi. Наоборот, при се<^\ получим се~р~[1г'.
Рассмотрим асимптотический характер решения в околорав-
околоравновесном участке зоны релаксации на простом примере бинар-
бинарной смеси, для чего воспользуемся несколько измененным урав-
уравнением A.5.12)
dc v dc C2e~C2 J
dt dy xl ' %i QD(l — ce)(ce + c)
В рассматриваемой области величины v, ce и ti можно счи-
считать постоянными. Тогда это уравнение будет иметь решение
'68

с e)
A = const
Первый множитель в со зависит в основном от скорости U
и от температуры Т, а от плотности q4 зависит слабо. Поэтому
г*
Рис. 2.6. Зависимость плотности, температуры и
массовой концентрации окиси азота- N0 в зоне ре-
релаксации в воздухе с равновесно-возбужденными
колебаниями молекул за ударной волной от пере-
переменной т] = р1^ г/см2-10—4:
?/ = 7к-м/с; 7\=300К; QslQt = $, 7yri=60,6;
;_д1 = 1,8.10~5г/см3 (Я=30км);
2—q,=4,0-10~6 г/см3 (Я=40 км);
J—qx =9,3*10 ^ г/см3 (Я=70км); пунктир—равновесные
основную зависимость от q4 поставляет второй сомножитель.
Присе<с1 согласно A.1.5) се~д~у* и со —^Pi/2 - Наоборот, при
1—се<с1 имеем co^pi, т. е. околоравновесный участок зоны ре-
релаксации также подчиняется закону бинарного подобия.
Заметим, что B.5.12) есть точное решение задачи о струк-
структуре всей зоны релаксации для случая слабодиссоциированных
69

зон, когда с~се<^\. В этом случае величина со постоянна и ее
можно вычислить по параметрам сразу за ударной волной, а
А=(се—ci)/(ce-\-Ci)9 где с± — концентрация атомов перед скач-
скачком.
Отметим некоторые особенности ударных волн, распростра-
распространяющихся по неравновесному газу. Начальный состав газа (при
с
0 2 4 у 10-*CM
Рис. 2.7. Профили концентраций, температуры и плотно-
плотности в зодое релаксации идеально-диюсоциирующегс газа:
слева ?/ = 7,5 км/с; справу (/=3 км/с; температура;
l — Ci^c^O; 2—<7,=0,5; 3—с, = 1
заданных плотности и скорости газа перед ударной волной) мо-
может сильно влиять на структуру зоны релаксации, что следует
из рис. 2.7, где приведены соответствующие данные для бинар-
бинарной смеси идеально-диссоциирующего газа. В этих случаях
ввиду различных концентраций атомов перед скачком при дос-
достаточно больших теплотах диссоциации Ао существенно различ-
различными оказываются энтальпии торможения газа
при практически одинаковых (см. § 2.3) давлениях p^piU2. По-
Поэтому в таких ударных волнах и конечные равновесные состоя-
70

ния могут заметно отличаться, на что уже обращалось внимание
в § 2.3 и 2.4.
•§ 2.6. Косой скачок уплотнения
Выше основное внимание было уделено термодинамике удар-
ударных волн, зависящей от нормальной скорости vin их распрост-
распространения. Теперь рассмотрим косые скачки уплотнения. Получим
формулы для составляющих и, v, w вектора скорости U в про-
произвольной декартовой системе координат х, у, z. Для этого спро-
спроектируем последовательно на эти оси уравнение B.1.3) или
<2.1.5):
рх), u — u1 = nxvln{\ — k);
=-?lJ B.6. I)
Здесь пх, tiy, nz — направляющие косинусы нормали к удар-
ударной волне, направленной (как и в § 2.1) в сторону втекающего
газа. Пусть форма ударной волны задана в общем виде F(x, у,
z, t) — 0. Тогда
tix=Fxl?\, ny=Fylb, tiz = Fjb, B.6.2)
Скорости движения точек поверхности удовлетворяют усло-
условию
из которого получим формулу для скорости распространения
ударной волны в пространстве вдоль нормали
D=flv*L+n *!L + n,jL=-lL. B.6.3)
х dt ~ У d^ l z dt A l ;
Если эти формулы не удовлетворяют выбранному направлению
яюрмали, то знаки их правых частей следует изменить на об-
обратные.
Рассмотрим далее некоторые свойства стационарных скачков
уплотнения (D = 0, vn =—f),T). Пусть а — местный угол наклона
скачка, т. е. угол между скачком и вектором скорости f/i набе-
набегающего потока в плоскости течения, содержащей векторы Uu
п- Пусть далее б — угол поворота вектора скорости при пере-
переводе через скачок. Тогда
<vin===Ui sin a, vix = vz = U1 cos а, <vn = kvln = kU1 sin а, B.6.4)
71

и из геометрических соображений получим
B.6.5)
или, полагая ?=tg8, r]=tga,
=A~^Н- B.6.6)
1 + Л2
При ?—ИЗ возможны два решения: одно (rj->oo) соответст-
соответствует прямой ударной волне, а другое — скачку исчезающей
интенсивности (или звуковой волне), в котором р—*ри Qy^Pi-
При этом (р—Pi)/(q—Qi)—>d\, где at — скорость звука в'том
процессе, который сопутствует распространению слабого возму-
возмущения. Тогда из B.1.6а) следует
vln = b\ sin а=ах или r) = (Mi—1) ,
где Mi=f/i/ai — полное число Маха. Такая волна называется
волной Маха.
Таким образом, функция т](?) — двухзначная, а функция
?(rj) в некоторой точке ?o=tg6o, i1o = tgao имеет максимум. Сле-
Следовательно, поворот потока в скачке на угол больший, чем 9 о,
невозможен, и если заостренное тело имеет при вершине угол
О>0О, то перед ним возникает не присоединенный скачок, а ото-
отошедшая ударная волна. Ветвь решения т|+>г|о с большим дав-
давлением за скачком называют сильной ветвью скачка, а tj_<;t]o—
слабой. Точка ветвления (?о> rj0) определяется из уравнения
1 = 0, где
•jftK, lk' = l!L,k=-&-\ B.6.7)
Представляет интерес взаимное расположение точек ветвле-
ветвления (?о> Цо) и звуковой (^, т^^,) в которой за скачком М2=1:
B. 6. 8)
М ,
fl2 yek[(\— ft) 1J-)- С A+1J)]
Выясним это для совершенного газа (уе=\)- Согласно B.3.1)
Y +
B. 6. 9)
Исключая из B.6.8) величину c=(k—ko)/(l+ko) и положив
M>~1, получим вспомогательное неравенство
l-koyk(l-~k)ri\ B.6. 10)
72

Наконец, исключив в формуле B.6.7) величину k' с по-
помощью B.6.9) и заменив комплекс k(\—k)r\2 в числителе его
верхним значением 1—й0, получим другое неравенство:
Таким образом, для совершенного газа сверхзвуковой учас-
участок ударной волны соответствует восходящей слабой ветви
кривой ?(л)> а точка ветвления лежит в дозвуковой области.
За сильным скачком течение при этом дозвуковое, а за слабым
сверхзвуковое, кроме некоторой окрестности предельно больших
углов отклонения 0 ^9о-
Величины г)о и т]* удовлетворяют равенствам
1ч*2* Li B.6.11)
u l-k " * \-k
которые преобразуются в биквадратные уравнения, если исклю-
исключить k с помощью B.3.1). При Мщ—>-оо имеем k-+ko, так что
4q—*Tl2—>k~l.Upn Mm—Я, очевидно, к-*Х и ао-^а* —*я/2, такчто
<хо—а^—>-0 в обоих предельных случаях. Вычисления показыва-
показывают1, что эта разность невелика, не превышает при у=Х,4 нес-
нескольких градусов и, как легко убедиться, разлагая в B.6.11) k
в ряд по М~2, и убывает с увеличением числа Маха как Mf2
(рис. 2.8).
Для реального равновесного газа определенных результатов
получить не удается. При гиперзвуковых скоростях, как показа-
показано в § 2.3, &=(y*—1)/(y* +0» r^e Y*— эффективный показа-
показатель адиабаты в уравнении состояния p/q/i= (y*~v1)/y*«
Величины т]^ и т]0 при Мщ-^оо удовлетворяют равенствам
,_.__•. B.6. 12)
Величина k обычно мала и изменяется сравнительно слабо (см.
рис. 1.10 и рис. 2.4). Так какт^о^г)* ^ft-1/2, то углы аои а* близ-
близки к прямому (я/2—а «104-30° в реальном диапазоне y^U^-
/3). Эти углы незначительно различаются, поэтому величину k
в обеих формулах B.6.12) можно считать одинаковой.
Взаимное расположение точки ветвления и звуковой зависит
от величин Ye/Y*> dk/dvin и k. При этом ситуация может быть в
принципе любой, хотя для воздуха, например, т]о?;Г)*, как и для
'Совершенного газа, что следует из рис. 2.8.
Выбор нужной ветви скачка определяется формой обтекае-
обтекаемого тела и является далеко не простым делом. Для заострен-
заостренных тел присоединенный скачок всегда соответствует слабой
ветви, что, по-видимому, объясняется несовместимостью обычно
1 См., например книгу [44].
73

дозвукового течения за сильным скачком с влиянием донного
разрежения за телом конечных размеров. При обтекании тупого
тела передняя часть отошедшей ударной волны соответствует
сильной ветви, а удаленная вниз по потоку — слабой. Поэтому
ex
75 -
-
70-
65-
62 -
iff
3,8
36
34
ш
2JS,
2А
2,2
2,0
|
\
V
1 /\
1
1
J
<
А
/
яв-ггг
7
I
/
У
'А
2
Л
0
^-
м
0 2 4 6 V, км/С
Рис. 2 8. Предельный (а0) и звуковой (а*) углы
а—для равновесно-диссоциирующего воздуха (/—^ = 60 км,
//—Я=30 км), б—пля совершенного газа 7 = 1,4
7]-tga0; % = tga* \/Vk
теоретически легко построить пример течения с сильной ветвью
присоединенного скачка: для этого достаточно заменить какую-
либо линию тока, проходящую через передний участок 'отошед-
'отошедшей ударной волны, жесткой поверхностью. Причем, конец этой
поверхности должен лежать в сверхзвуковой области с тем, что-
74

бы исключить влияние концевых возмущений на предшествую-
предшествующее течение. Этот пример, однако, является несколько экзотиче-
экзотическим, поэтому впредь под присоединенным скачком будем всег-
всегда подразумевать его слабую ветвь.
Глава 3
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ
НЕРАВНОВЕСНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
§ ЗЛ. Структура и некоторые свойства
уравнений течения реального газа
В декартовой системе координат (х, у, г) с составляющими
скоростей и, v, w соответственно система уравнений (см. § 1.7),
описывающая неравновесные течения газа, примет вид1
da
I dp dv I dp dw 1_ dp , о -, -.,
q dx ' dt q dy ' dt Q dz
dt q dx ' dt q dy ' dt Q dz
d d , d , d , д \
dt dt ' дх ' ду Г dz I
dx dy dz
C.1.2)
+g; C.1.3)
dt q dt ' ч v ;
= Qn, Л=1, ..., ;V; C.1.4)
ОГ> h = h(T, qn). C.1.5)
Уравнения химической кинетики C.1.4) записаны в общей фор-
ме> Яп — есть концентрации компонент ?г- или энергии внутрен-
внутренних степеней свободы е^}.
Рассмотрим некоторые свойства выписанных уравнений. Си-
Система C.1.1) — C.1.5) квазилинейна, т. е. линейна относитель-
относительно старших производных (первого порядка в данном случае), но
нелинейна относительно искомых функций. Решение этой систе-
системы определяется заданием начальных и граничных условий, ко-
которые могут быть весьма разнообразны и будут сформулирова-
НЬ1 в соответствующих разделах для рассматриваемых конкрет-
конкретных задач.
1 Здесь сохранены те же обозначения, что и в § 1.7.
75

Уравнение неразрывности единственное из системы содержит
производную плотности. Исключим ее с помощью общей фор-
формулы A.10.4)
+ qq. C.1.6)
dt a? dt ^
В общем _случае неравновесных течений здесь следует поло-
положить a = ctf, Q = Qf, а для предельных равновесных течений а =
= ае, Q = Qe. Здесь aj = \fp/p и а^=уер/д — квадраты заморо-
замороженной и равновесной скорости звука, а функции Qf и Qe опре-
определены соотношениями A.10.2) и A.10.3)_. Для адиабатических
замороженных или равновесных течений Q=0.
Формула C.1.6) указывает на важную роль скорости звука,
которая войдет теперь в коэффициенты уравнения неразрывно-
неразрывности (см. § 1.10). Отметим еще, что в обоих предельных случаях
замороженных и равновесных течений уравнения C.1.4) решать
не нужно. Аналогичная картина может быть и в промежуточ-
промежуточных равновесно-замороженных течениях, когда часть степеней
свободы или концентраций заморожена, а остальные изменяют-
изменяются квазиравновесным образом.
Выпишем уравнение неразрывности для нестационарных
плоских и осесимметричных течений. Если (х, г) декартовы или
цилиндрические координаты (в последнем случае г — расстоя-
расстояние до оси симметрии), а и, v — составляющие скорости по
этим осям, степени v = 0; 1 соответствуют плоскому или осесим-
метричному течениям, то это уравнение можно представить в
виде
dt { дх ~ дг } I dt ^ дх ' dr r \
C. 1.7)
Заметим, что остальные уравнения системы C.1.1) — C.1.4)
почти не изменят вида для рассматриваемых течений, в них сле-
следует лишь заменить у на г и положить w = 0. Для нестационар-
нестационарных одномерных течений в том числе и со сферической симмет-
симметрией в них и в C.1.7) следует положить еще и = 0 и v = 2.
С помощью C.1.6) преобразуем уравнение C.1.7) к виду
J_^+_i^j?.+_^^+—+ —=-Q. C.1.8-
Qcfi dt ea2 дх ga2 дг [ дх dr ^ v
Это уравнение имеет интересную особенность: интенсивность
внешних источников тепла, химические источники и член, обус-
обусловленный цилиндрической или сферической симметрией, входят
одинаково в член Q.
76

Уравнение неразрывности C.1.7) для установившихся дву-
двумерных (dldt—Q) и нестационарных одномерных (д/дх = 0) те-
течений допускает существование функций тока я|э и т соответст-
соответственно (т — чаще называют переменной Лагранжа), опреде-
определяемых уравнениями
dm di> ^ „ д\> ,-, dm ^ „ о 1 пл
^L CQvr\ f CQtir\ CQr\ [3. 1.9)
^ CQvr\ f CQtir\
dt дх дг or
Если произвольную постоянную положить С— Bя)v при v = 0;
1 и С = 4я при v = 2, то легко убедиться, что для установивших-
установившихся течений разность я|)(х2, г2)—i|)(#i, Г\) — есть расход газа че-
через отрезок любой кривой г(х) (или соответствующую поверх-
поверхность вращения при v=l) с крайними точками хи Г\ и х2, r2, a
для нестационарных разность m(t, г2)—m(t, r^) — есть масса
газа, заключенная между плоскостями, окружностями или сфе-
сферами (при v = 2) с /*=/*! и г=г2.
В теории течения жидкостей и газов важно понятие «вихря»,
т. е. вектора Q = rota с компонентами (в декартовых коорди-
координатах)
¦2 =^L dJL q—ЛИ ^L q ^^L-.^L. о i io)
x dy dz ' y dz dx ' z dx dy ' K ' ' J
При Q = 0 уравнения C.1.10) удовлетворяются одной функ-
функцией-потенциалом, производные которой по х, у, z равны соот-
соответственно скоростям и, v, w. Поэтому безвихревые течения на-
называют еще потенциальными. С существованием потенциала
связан довольно мощный аналитический аппарат для исследова-
исследования свойств таких течений. Поэтому для уяснения ситуации в
общем случае реальных газов получим формулу для вихря в
простом случае двумерного установившегося течения, в котором
вихрь направлен по нормали к плоскости течения. Первые два
уравнения C.1.1) для этого случая преобразуем к виду Громе-
ки-Лемба:
VQ t +«a. (з. i. ii)
2 дх q дх 2 дг q дг ;
Умножив уравнения C.1.11) соответственно на v и и и вычи-
вычитая, получим общую формулу
, (uv+u
q дп 2 дп \ дп дх дг
где д/дп — производная по нормали к линии тока гр = const. Для
получения более прозрачных результатов исключим отсюда дав-
давление с помощью общей термодинамической формулы A.4.8):
— dp = dh - Tds + V yndqn.
n
77

Смысл коэффициентов фп ясен из сопоставления с исходной фор-
формулой. Для нас здесь важно лишь то, что сумма 2фпс?<7п = 0 при
п
равновесии системы. Тогда формулу C.1.12) приведем к виду
i '¦13)
Следовательно, равенство Q = 0 возможно (если исключить ка-
какие-либо специальные случаи) лишь при постоянных энтропии
и энтальпии торможения и то лишь в предельных случаях — ли-
либо замороженного течения с постоянным составом, либо равно-
равновесного.
Таким образом, в динамике реальных газов практически не
приходится иметь дело с безвихревыми, или потенциальными те-
течениями, так как даже в изоэнергетическом потоке (#=const),
однородном далеко впереди тела, вихрь будет возникать благо-
благодаря химическим реакциям или при больших числах Маха за
счет неравномерного изменения энтропии в криволинейном скач-
скачке уплотнения, возникающем перед телом (см. гл. 2).
Рассмотрим более простой случай равновесного или заморо-
замороженного течения газа за криволинейной ударной волной, обра-
образуемой при обтекании тела сверхзвуковым однородным потоком.
Тогда
Q ^. C.1.14)
Поскольку энтропия в таких течениях сохраняется вдоль линий
тока, то вдоль них будет сохраняться и комплекс слева в
C.1.14). В изоэнтропических течениях й = 0. Вдоль линий тока
в плоском течении несжимаемой жидкости вихрь постоянен
(Q = const), а в совершенном (или замороженном) газе изме-
изменяется как п~Г р.
§ 3.2. Характеристики уравнений с двумя переменными
В теории течения газов фундаментальную роль играют ха-
характеристические поверхности соответствующих уравнений,
смысл которых заключен в следующем. Поставим, например, в
случае стационарного течения для системы C.1.1) — C.1.5) с
тремя независимыми переменными задачу Коши, или задачу с
начальными данными, т. е. на некоторой начальной поверхности
2 зададим все искомые функции, а следовательно, и их произ-
производные по двум любым касательным к ней направлениям. Та-
Таким образом, из трех производных первого порядка от каждой
искомой функции две на поверхности 2 можно считать извест-
известными, а неизвестные «выводящие» производные по нормали п к
поверхности можно в принципе определить из системы C.1.1) —-
78

C.1.4), которая является замкнутой системой линейных алгеб-
алгебраических уравнений относительно этих производных. Аналогич-
Аналогично, с помощью последовательного дифференцирования уравне-
уравнений и начальных данных, если оно допустимо, можно определить
й старшие нормальные производные и, следовательно, предста-
представить решение в окрестности начальной поверхности в виде ряда
I дп
Но совокупности начальных данных на поверхности 2, не-
несмотря на их полноту, могут и не дать возможности определить
нормальные производные однозначно. Такие поверхности назы-
называются характеристическими. Они обладают рядом важных
свойств, которые опишем несколько позже.
Для уравнений с двумя независимыми переменными роль
характеристических поверхностей играют характеристические
кривые (или просто характеристики). Ниже дадим вывод урав-
уравнений характеристик для двумерных установившихся течений.
Предварительно конкретизируем задачу. Если на некоторой
линии г=г(х) (в цилиндрической системе координат) заданы
искомые функции fi(x), то вдоль этой линии имеем соотно-
соотношения
=—), C-2.1)
dx дх дг , \ dx J
которые вместе с уравнениями C.1.1) — C.1.4) позволяют най-
найти производные dfjdx и dfjdr, а следовательно, и dfjdn на этой
линии. При этом линейная алгебраическая система для искомых
производных распадается на две независимые группы. Первая
группа — это уравнения количества движения C.1.1) и нераз-
неразрывности в форме C.1.8), содержащие производные от компо-
компонент скоростей и давления. Вторая группа — уравнения C.1.3)
и C.1.4), содержащие производные лишь вдоль линий тока от
энтальпии (при известных уже производных от давления) и от
физико-химических параметров qn. Поэтому и характеристики
этих групп уравнений можно (хотя и не обязательно) рассмат-
рассматривать отдельно.
Получим сначала характеристики первой группы уравнений,
предварительно преобразовав ее к более удобному виду, В ка-
качестве неизвестных функций вместо и и v удобно использовать
модуль скорости U и угол 6 наклона ее вектора к оси х, так что
u===freos0, v = U sin 8. Подставляя и и v в первые два уравне-
н C.1.1), получим
f/sinei^=~-L-^-; C.2.2)
dt dt Q дх
i^+f/cose^L=^-i--^-, C.2.3)
dt ' dt q dr
79

Умножая первое уравнение на ?/cos6, второе на f/ sin 0,
складывая и привлекая 1-й закон термодинамики C.1.3), полу-
получим известное уравнение (Я — энтальпия торможения)
1Н_==^ {3.2.4)
di dt
Отсюда для адиабатических течений (д = 0) следует уравне-
уравнение Бернулли, полученное в § 1.7: h-^]/2U2 = H(г|э). Умножив
C.2.2) на sin 0, а C.2.3) на cos 6 и вычитая, получим
- .- -„-. C.2.5)
дг
Преобразуем теперь уравнение неразрывности C.1.8), пере-
переходя к U и 6 и исключив производные от С/ с помощью C.2.4)
М2-1 [ дР , , др \_, ^6 | дЬ =
рС/2 \ дх ' " дг ) ^ дх [ дг U cos 0 \ ^
C.2.6)
Таким образом, исходную систему уравнений газовой дина-
динамики заменили уравнениями C.2.5) — C.2.6), которые явля-
являются следствием уравнений количества движения и неразрывно-
неразрывности, и системой уравнений C.1.3), C.1.4), C.2.4), содержащих
производные лишь вдоль линий тока.
В дальнейшем предположим (и это будет важным), что мас-
массовые источники тепла q зависят лишь от местных координат и
искомых функций и не зависят от их производных.
Пусть теперь в меридиональной плоскости задана кривая
г=г(х) и на ней все неизвестные функции р(х), 8 (х), а следо-
следовательно, и их полные производные C.2.1). Определить произ-
производные по х и г от р и 0 из системы уравнений C.2.1), C.2.5)
и C.2.6) можно лишь в том случае, если отличен от нуля опре-
определитель D, составленный из коэффициентов при этих произ-
производных
?>^A+Сг'J--3*(г'-О2 C2 = М2-1). C.2.7)
Такая возможность отсутствует, при D = 0, т. е. если кривая г(х)
подчиняется дифференциальному уравнению
lL- = r' = -^±± = tg{Q + a#), sin ал =—. C. 2. 8)
dx рТС М V
При М>1, т. е. при сверхзвуковых скоростях, это уравнение
определяет два семейства действительных характеристик (верх-
(верхний знак — 1-е семейство, нижний — 2-е). В этом случае сог-
согласно существующей классификации система C.2.5) — C.2.6)
80

называется гиперболической. При М=1 имеем р = 0, оба семей-
семейства сливаются в одно, и система имеет параболический тип.
И наконец, при дозвуковых скоростях (М<1) система не име-
имеет действительных характеристик указанных семейств и явля-
является эллиптической.
Из формулы C.2.8) следует, что характеристики наклонены
к линии тока под углом Маха а* . Следовательно, проекция ско-
скорости на нормаль к характеристике всегда равна скорости звука.
Из линейной алгебры известно, что при D = 0 система алгеб-
алгебраических уравнений или неразрешима, или же имеет множест-
множество решений, если все определители, полученные заменой в опре-
определителе D любого столбца столбцом свободных членов систе-
системы, равны нулю. Все эти условия приводят в нашем случае к
одним и тем же уравнениям — так называемым условиям сов-
совместности:
С2
C.2.9)
которым должны удовлетворять распределения р и 9 вдоль каж-
каждой характеристики и которые для сверхзвуковых течений эк-
эквивалентны исходной системе уравнений C.2.5) — C.2.6), пере-
переписанной в новых (характеристических) переменных, постоян-
постоянных соответственно на каждой характеристике 1 и 2-го
семейств.
Обратимся теперь к величинам Л, qn, U (или Н). Легко ви-
видеть, что их нормальные производные не могут быть определе-
определены соответственно из уравнений C.1.3), C.1.4), C.2.4), если
начальная кривая совпадает с линией тока
^- = t = JL, C.2.10)
dx и
которая также является характеристикой полной системы урав-
уравнений, но уже при любом местном числе Маха. Соответствую-
Соответствующими условиями совместности служат просто исходные уравне-
уравнения, записанные вдоль линий тока в форме
dh= — dp+dg9 dqn = U^Qndl, — dU*= - — dp. C.2. 11)
Q 2 q
(dl = Udt)
Для нестационарных одномерных течений 2-е уравнение им-
импульсов C.1.1) и неразрывности C.1.10) аналогичны системе
C.2.5) и C.2.6), поэтому соответствующую систему характери-
характеристик и* условий совместности приведем без вывода
^- = r = v ± a, dv= + ^- + aQdt. C. 2. 12)
dt Qa
81

Вместо линий тока другой системой характеристик будут
траектории частиц с теми же условиями совместности
-^- = v, dh = — dp-\-dq, dqn = Qndt. C. 2. 13}
dt q
Как видно, характеристики C.2.12) действительны всегда и по
структуре очень схожи с характеристиками C.2.8) — C.2.9)
при М>1, что позволяет многие свойства таких течений изучать
параллельно. Если в C.2.8) — C.2.9) положить
0_>О, М->со, ?/ = const, v = bU, x = Ut, C.2. 14)
то эти характеристики (как и исходные системы уравнений)
совпадут с характеристиками для одномерных нестационарных
течений (что является частным случаем так называемой неста-
нестационарной аналогии, или закона плоских сечений, см. ч. III
книги).
Геометрический и физический смысл характеристик C.2.8) и
C.2.12) ясен из их уравнений. Это есть траектории возмущений,
или звуковых волн, распространяющихся со звуковой скоростью-
в обе стороны от движущихся частиц, чем и отличаются эти:
«волновые» характеристики от «траекторных» C.2.10), C.2.13),.
которые передают информацию лишь вдоль линий тока или тра-
траекторий частиц.
Отметим одно принципиальное обстоятельство. При выводе
уравнений характеристик мы не конкретизировали входящую в
них скорость звука а. В соответствии с видом уравнения нераз-
неразрывности C.1.8) в общем неравновесном течении под а следует
понимать замороженную df, а в равновесном течении — равно-
равновесную ае скорость звука с соответствующим выбором функ-
функции Q.
Но при стремлении всех параметров течения к равновесным
a,f не стремится к ае. Поэтому равновесные характеристики (т.е.
построенные при а = ае) не получаются из замороженных (при
a = df) никаким предельным переходом. Этот эффект носит наз-
название парадокса двух скоростей звука и будет объяснен в § ЗА.
Изложим вкратце основные свойства характеристик. Все
возмущения, вносимые в точке В, будут локализованы в харак-
характеристическом угле между двумя характеристиками разных се-
семейств ВС и BD, который и будет областью влияния этой точки
(рис. 3.1).
Начальные данные на участке АВ нехарактеристической
кривой будут определять решение в своей области определенно-
определенности — характеристическом треугольнике АСВ, ограниченном ха-
характеристиками АС и ВС разных семейств, и начальной кривой
АВ. В то же время продолжение решения из области, АСВ б
82

АСС'А' определяется еще условиями на АА', которые могут
быть произвольными. Область влияния отрезка АВ будет ле-
лежать между характеристиками BD и АС".
Таким образом, характеристики являются границами облас-
областей определенности, влияния или зависимости решения от на-
начальных или граничных условий, а также линиями возможного
разрыва нормальных производных.
Рис. 3.1.
Области влияния, ограниченные волновыми характеристика-
характеристиками, принципиально отличают свойства уравнений гиперболиче-
гиперболического типа от эллиптических, или сверхзвуковых течений от до-
дозвуковых. Так, для последних область влияния любых граничных
условий распространяется во все стороны до бесконечности.
Например, при дозвуковом обтекании тела вариация формы уча-
участка поверхности ab (рис. 3.2) повлияет в принципе на всю об-
область течения, так как возмущения, распространяясь во все сто-
стороны со звуковой скоростью, не могут быть полностью снесены
потоком. При сверхзвуковом течении эти изменения произойдут
лишь правее характеристики ас и вверх по течению распрост-
распространяться не могут.
Рассмотренные выше уравнения имеют еще одну систему ха-
характеристик C.2.10) или C.2.13), поэтому область ABC будет
областью определенности отрезка АВ лишь в том случае, если
она лежит между линиями тока, проведенными через его концы
(см. рис. 3.1, а — пунктир). Примером противоположной ситуа-
ситуации является случай, когда начальной кривой АВ является ста-
стационарный скачок уплотнения (см. рис. 3.1, б), например, в так
называемой обратной задаче определения формы тела, индуци-
индуцирующего ударную волну заданной формы. Поскольку проекция
вектора скорости U за скачком на нормаль к нему всегда мень-
меньше, а на нормаль к характеристике равна скорости звука, то
•линия тока AD за скачком всегда лежит между ним и характе-
характеристикой 2-го семейства АС. Следовательно, областью опреде-
определенности участка ударной волны АВ с учетом характеристиче-
83

ских свойств линий тока будет криволинейный треугольник
ABD.
Подчеркнем, что характеристические свойства линий тока со-
сохраняются и для дозвуковых течений, так как только вдоль
линий тока определена энтропия, состав газа и т. д.
(е<о)
(е>о)
е)
x,t
Рис 3 2.
Свойства характеристик как границ областей влияния мож-
можно наглядно проследить, если представить себе коэффициенты в
правых частях уравнений C.2.8) — C.2.9) или C.2.12) постоян-
постоянными. Тогда дифференциалы в этих уравнениях можно заменить
конечными разностями и получить конечное выражение для ве-
величин в любой точке области ABC через их значения на отрез-
отрезке АВ. Так можно поступать и в общем случае, если область
ABC настолько мала, что эти коэффициенты можно считать
постоянными. На этом основан один из наиболее простых и эф-
эффективных численных методов — метод характеристик1.
§ 3.3. Простые волны в замороженных
и равновесных течениях
Уравнения совместности C.2.9) и C.2.12) интегрируются в
конечном виде, если коэффициенты при dp зависят лишь от дав-
давления, a Q = 0. Последнее условие в простом толковании соот-
соответствует плоским адиабатическим течениям (v = 0, g = 0), замо-
замороженным при Qn = 0 или равновесным, когда величины Qn не
будут входить в правые части Q, а скорость звука а = ае.
В § 1.6 и § 1.7 указано, что в этих случаях величины A, Qt
а2 можно представить как функции давления и энтропии s, ко-
которая в свою очередь, как и полная энтальпия Н, будет посто-
1 Изложение этого метода можно найти в книгах [18, 3*1, 50], а для че-
равновесных течений — в [14].
84

янной вдоль траектории частицы. Поэтому уравнения совмест-
совместности можно проинтегрировать, если энтропия и энтальпия тор-
можения будут постоянными всюду в данной области течения,
(т. е. в соответствии с § 3.1 для безвихревых или потенциаль-
потенциальных течений). Этот простейший случай, наиболее важный в при-
приложениях и будет рассмотрен ниже.
Проинтегрированные условия совместности C.2.9) или'
C.2.12) вдоль характеристик 1-го (g = const) и 2-го (r] = const),
семейств примут вид
= Q; C.3. la)
0 —Р1(/7) = С_(л), dr) = dr~-ig{b-a*)dx = O; C.3.16)
; C.3.2a)
O\ C.3.26),
м
Постоянные С+ и С_ определяются через значения величин в
какой-либо точке. Если рассматриваемая область граничит с
областью течения с постоянными параметрами, например, с об-
областью /, слева от характеристики ас на рис. 3.2, то постоянная:
С — будет одинаковой для всей области //, заполненной харак-
характеристиками 2-го семейства r\ = const, выходящими из области/..
С областью постоянных параметров может, конечно, граничить и:
характеристика 2-го семейства, тогда оба семейства просто по-
поменяются ролями.
Такие течения называют простыми волнами, а в установив-
установившемся случае еще течениями или волнами Прандтля-Майера
(комбинации v±Pz называют инвариантами Римана).
В простой волне одна из величин С+ или С- постоянна во>
всей области, а другая на характеристиках своего семейства,,
следовательно, величины 0 и /?, или v и р будут постоянными на
этих характеристиках, которые в свою очередь будут прямыми
линиями. Посмотрим, как меняется в простой волне наклон,
этих характеристик, например, 1-го семейства
., , ч dp , , Г 1 i 1 ( да? \Л dp 1 2 о/ д2 1 \ *
d(v4-a) = ——{-da=\ l-\ q -i-. = —Q2a?i dp;:
Qa I 2 \ dp Js] Qa 2 \ dp% q )s
--r dp 1
~2~
1 / d2 I \ \)*wap ГЗ 3 3>
2 \dpi Q Л/М2 —1
В § 2.2 было указано, что для обычных газов вторая произ-
производная справа в C.3.3) всегда положительна. Поэтому угол
8S

наклона прямолинейных в простой волне характеристик 1-го
семейства изменяется в том же направлении, что и давление.
Если прямолинейны характеристики 2-го семейства, то диффе-
дифференциалы d(v—а) или d(b—а,) имеют те же правые части
C.3.3), но с обратным знаком, что, однако, не меняет характера
течения, а связано лишь с его ориентацией.
Отсюда следует, что при обтекании выпуклой стенки @<О
рис. 3.2, а), когда угол наклона и давление падают, линии g =
= const, выходящие из криволинейного участка ab поверхности
стенки (или траектории поршня), образуют расходящийся пучок
прямых. Если правее точки Ъ стенка имеет постоянный наклон,
то параметры течения здесь будут постоянными (область ///),
а характеристики параллельными. Наоборот, при обтекании вог-
вогнутой стенки (В>0 рис. 3.2, б) эти линии 1 = const образуют
сходящийся пучок, а поскольку каждая из них несет свои пос-
постоянные значения величин, то появляется нереальная область
многозначности решения.
При этом точка пересечения хС) гс двух близких характерис-
характеристик g = const при стремлении расстояния между ними к нулю,
отстоит на конечном расстоянии от поверхности. Если лг0, г0
точка пересечения одной характеристики с криволинейной стен-
стенкой, а (хо-\-Ах, Го+Аг) — другой, то проводя геометрические
построения, используя соотношения C.3.1) — C.3.3) и устремляя
jk нулю Ах, Аг, нетрудно получить 1
cos
±) 1-W-l) sin F + а,)
* }s\ МЗ sin а*
dp
sin a*= —
где R — радиус кривизны, а 8 — угол наклона стенки в точке
(*0, Го) .
Для одномерных нестационарных течений, вызываемых дви-
движением поршня по закону r=r(t), точка пересечения предельно
близких характеристик будет иметь координаты
Г I р I dfi
0 '
Q a I —-— 1
V дР2 s d& J
В действительности в таком течении образуется висячий ска-
скачок уплотнения, который зарождается в точке пересечения то-
1 Совокупность таких точек образует огибающую семейства сходящихся
характеристик. Подробное исследование этого вопроса можно найти в кни-
книгах [31, 40].
«86

ловной (выходящей из точки разрыва кривизны поверхности) и
ближайшей к ней характеристике. Как видно из выписанных
формул, скачок образуется тем ближе к стенке, чем больше ее
кривизна R~] или ускорение поршня, г (t).
Особым случаем простых волн являются течение около угло-
угловой точки или за поршнем, внезапно приобретшим постоянную
скорость. Характер течения при этом проще всего представить,
устремив к нулю длину дуги ab на рис. 3.2 и оставляя при этом
постоянными 0 или v, в точках а и Ь. Тогда в пределе получим
или скачок уплотнения, присоединенный к вершине угла, или
центрированную волну разрежения с веером характеристик ? =
=<r/jc = tg (Q-f а*), или ! = г/?= (а+а). Решая эти формулы вме-
вместе € C.3.16) и C.3.26), получим распределение параметров в.
такой волне в виде автомодельного решения р(|), б (|) или v(%}
с разрывными производными по ? на головной и замыкающей
характеристиках.
Для представления интегралов Р4 и ?2 в замкнутом виде по-
положим
а» = хА, а»=«(А-Ад -Ltf.+J^-ltf^. C.3.4)
Здесь для совершенного газа или равновесных течений !/=¦
= ]/2#—максимальная скорость стационарного истечения в пусто-
ту. Для замороженных течений согласно § 1.7 ^таХ = У^ {H — hf)>
где hf — связанная энергия физико-химических процессов. Для
совершенного и замороженного газа x=y—1 и и = У/—1. Для
квазисовершенной формы равновесного уравнения состояния
(см. § 1.9) x = y<?(y*—1)/y** Эта величина вместе с показателями
Y* и уе слабо зависит от давления вдоль изоэнтропы (см. рис..
1.10). Поэтому, чтобы получить конечные формулы, примем их
постоянными. Тогда
' C>3-5)
Здесь а* и а0 — скорость звука в звуковой точке потока и в по-
покоящимся газе соответственно. Переход к давлению может быть
выполнен по адиабате Пуассона а2 = const р(п-1Ьп, где п = у, yf к
Y* для совершенного, замороженного и равновесного газа.
Формулы C.3.16) — C.3.26) удобно представить в (Виде
)=—v = —(aQ—a), C.3.6)
8T

где АО и Аи — приращение угла поворота потока (в радианах)
и скорости газа при расширении от звуковой точки и от состоя-
состояния покоя соответственно. На рис. 3.3 и 3.4 показаны зависимо-
зависимости давления от А6 или Av для воздуха, подсчитанные по точ-
точным значениям Л и Р2 и по C.3.6) (значения уе и у* вычисле-
0,5
О
I
0,2
и 1 2 йв
Рис. 3.3. Зависимость давления от угла поворота потока
АЭрад в волне Прандтля — Майера в воздухе:
точные равновесные кривые; x=const; — х—T*=T^const
— ••—замороженное течение
/__р^58 ат (бМН/м2), Г*=6200К, Тв = 1,23, Т* = 1,22, х=0,22
т =1,45; 7/-р*-0,1 ат A04 Я/м2), у*=6300 К, Т^=1,1б, Т* = 1ДЗ;;
х=0,Ш, 7^ = 1,58
ны в начальной точке перед расширением). Как видно, принятая
аппроксимация вполне удовлетворительна в широком диа-
диапазоне изменения давления. Более того, оказывается возможным
обойтись одним показателем, положив у<?—Y*- Там же показаны
кривые для тех же начальных условий, но для замороженного
процесса, которые сильно отличаются от равновесных.
Таким образом, влияние реальных процессов можно в об-
общем проследить на модельном примере совершенного газа с
разными Y- С увеличением у давление падает, как и при пере-
переходе от равновесного течения к замороженному. Предельный
угол расширения Д0тах== ?*!(#*) и максимальная скорость раз-

лета ДУтах = 2ао/х в пустоту (т. е. при а—И), неограниченно уве-
увеличиваются при к = у—1—Я).
Как видно, в реальном физическом процессе при расширении
газа состояние его будет в значительной степени сказываться на
параметрах течения, так что здесь необходимо учитывать реаль-
реальные скорости физико-химических процессов.
-1
о
Рис. 3.4. Зависимость давления от скорости газа в не-
нестационарной простой волне Римама в воздухе:
точные равновесные кривые; x=const, —х—Т* —Т^
. —замороженные течения;
7-/?о-100 ат (Ю7 Н/м2), 7'о=6700К, Т^ = 1,23, Т* = 1,22, х-0,22,
т =1,45; 77—/7о=0,18 ат A,8-Ю1 Н/м2)', Го=б5С0К, Те = М6,
х=0,131, 7/ = ^5?, Т* = 1,13
В центрированной волне разрежения всегда найдется такая
малая окрестность особой точки, время At пребывания газовых
частиц в которой достаточно мало по сравнению с характерными
временами т физико-химических превращений, т. е. Л^<Ст.
в этой окрестности в соответствии с § 1.7 течение будет замо-
89

роженным и подчиняться соответствующему решению для цент-
центрированной простой волны.
С другой стороны, ширина центрированной волны растет при-
примерно линейно с расстоянием от начальной точки. Поэтому тео-
теоретически всегда будет существовать область, в которой At^>%
и в соответствии с § 1.7 течение будет сколь угодно близко к
равновесному.
Однако предельный переход к равновесному течению обла-
обладает в данном случае рядом принципиальных особенностей, ко-
которые рассмотрим в следующем параграфе.
В силу описанного характера течения при обтекании угловой
точки давление на стенке после разворота не будет в общем
•случае постоянным, а должно изменяться (как правило, возра-
возрастать) между предельными значениями для замороженной и
равновесной волн Прандтля-Майера. Заметим, однако, что край-
крайние режимы замороженного А^<Ст и равновесного At^>x тече-
течений имеют несоизмеримые геометрические масштабы.
§ 3.4. Парадокс двух скоростей звука.
Центрированная волна в неравновесном газе
Полученные в § 3.2 уравнения характеристик справедливы
для любых процессов, в том числе и для сколь угодно близких
к равновесным, которые должны, как предельный случай, следо-
следовать из точной системы уравнений. Таким образом, скорость
распространения возмущений всегда строго
связана с замороженной скоростью звука а/,
как бы ни были близки (параметры течения
к локально-равновесным. Например, в цент-
центрированной волне разрежения на рис. 3.5
головной характеристикой в силу а^ас,
строго говоря, будет всегда замороженная
оа, а равновесная оЬ передним фронтом
быть не может, так как впереди нее всегда
наведено поле возмущений. В то же время
при равновесии в уравнения характеристик
<# Г" входит равновесная скорость звука ае и по-
поэтому естественно ожидать, что пр:и равно-
Рис> ^5- весном течении передний фронт должен
быть близок к оЬ.
Это интересное явление, когда области влияния в неравно-
неравновесном течении не переходят в пределе вместе с решением в
равновесные, известно как парадокс двух скоростей звука. Есте-
Естественное ожидаемое разрешение этого парадокса сводится к сле-
следующему: при стремлении к равновесию интенсивность возму-
возмущения в треугольнике аоЪ между замороженной и равновесной
характеристиками, выходящими из точки о, стремится к нулю,
¦90

а равновесная характеристика оЪ становится реальным практи-
практическим фронтом распространения этих возмущений.
Мы убедимся в этом и одновременно выясним асимптотический (в около-
замороженном и околсравновесном приближении) характер решения на прос-
простейшем примере одномерной нестационарной адиабатической центрированной
волны разрежения в бинарной смеси 1 или в газе с одной внутренней степенью
свободы. В этом случае имеем (см. § 1.3, 1.5):
(C.4.1)
Здесь с — концентрация атомов (или энергия какой-нибудь внутренней сте-
степени свободы); te(p, 7) — ее локально-равновесное значение; т — время ре-
релаксации. В окслоравновесном процессе се~с, но отношение (се—c)/t остается
конечным. Уравнение C.1.6) (при д=0) примет вид
dQ I dp - dc с а— с
= oQ = р5 = р5 , C. 4. 2)
dt ? dt dt ъ
где коэффициент б определяется из сопоставления с исходным уравнением.
Вычисляя производную dcc(p, T)/dt вдоль адиабаты odh(T, c)=dp, пере-
перепишем уравнение C.4.1) в виде
d (се — с) dp dc dp ce — с
—— = а -^~ — р = a -JL- - 8 , C. 4.3>
dt dt dt dt % " '
дер
dce\ rjj=l, l_(_dh_
dT ); ' ^ CW\ dc
( l( (
dp jr ' c@)Q \ dT ); ' ^ CW\ dc )T\ dT
dT !c
Из сопоставления с формулами A.6.13) следует, что |3>1, если под с поли-
полимать концентрацию атомов в бинарной смеси. Если же c~e(v^> — энергия
внутренней степени свободы, то также |3>1, так как в этом случае dh/de^v^=\y
de^JoT>Q из физических соображений. Таким образом, в нашем случае Р>0
Есегда, что будет важно в дальнейшем.
При помощи C.4.2) из C.4.3), получим
dQ I dp Ь d(ce— с) 1 1 a
—— = — — q — , = 4- Qb — . C. 4. 4)
dt b dt p dt b аъ $
Вблизи равновесия се~с, а энтропия s — постоянна, поэтому 6=a^ =
==zFp/dp)s<a?j:, так как согласно § 1.8 равновесная скорость звука всегда
не больше замороженной.
Пусть при /=0 в точке г=0 под действием конечного перепада давлений
возникает центрированная вслна разрежения, распространяющаяся по локся-
Щемуся равновесному газу с параметрами ро, ро и т. д. в сторону г>0. Тече-
Течение газа в такой волне подчиняется уравнениям C.2.12)
Л— -dt, dr ~ (v + af)dt, C.4.5а)
dv — ==аЛ— dt, dr — (v — uf)dt. C.4.56)
Qaf J %
i Более полное исследование проведено С. С. Рыжовым (ПММ 1971,
Л5 6) и А. Н. Крайко, Р. А. Ткалепко (МЖГ, 1968, №6).
91

Как указано в § 3.3, в окрестности особой точки центрированной волны
разрежения, время пребывания частицы в которой А/<Ст, течение всегда за-
заморожено. Рассмотрим теперь передний пучок характеристик 1-го семейства
в произвольной волне расширения столь узкий, что приращение всех функций
в нем мало, и одновременно мало отношение At/x вдоль линий тока или ха-
характеристик 2-го семейства, пересекающих этот пучок. Такой узкий пучок ха-
характеристик называют еще короткой волной. В этой узкой области коэффици-
коэффициенты уравнений C.4.5) можно считать постоянными, теми же, что и в невоз-
невозмущенном потоке. Тогда решение уравнений C.4.3) и C.4.56) будет иметь
-вид
се — с = а (р — р0), v = « (af — af0). C. 4. 6)
Qoafo У/ — l
."Последнее соотношение есть линеаризованный интеграл простой волны Римана.
Исключив се—с и v из уравнения C.4.5а), получим закон изменения возмуще-
возмущений вдоль характеристик 1-го семейства пучка, на которых нельзя считать,
' 1
dAp
Ар
dt
V
(A/>)o
1 n
~ 2 P
(to
Uo
~ 1
C. 4. 7)
Здесь (Ap)o, ^o — величины на характеристике в начальной точке. Следова-
Следовательно, возмущения, вызванные изменением граничных условий, зкшоненциаль-
но затухают с течением времени вдоль замороженных характеристик 1-го се-
семейства, которые при больших f/x становятся параллельными головной (см.
?ис. 3.5), так как их наклон drJdt=v + af~+af0. Таким образом, теоретический
фронт возмущений перестает практически быть таковым.
Рассмотрим теперь область, достаточно удаленную от начальной точки,
где относительное время пребывания частицы в волне разрежения будет уже
большим, а течение, следовательно, стремится к равновесному. При At"^>x
уравнение C.4,3) переходит в следующее:
a dp v d a dp
ce — c = t — — (се — с) ^г — . C. 4. 8)
р dt p dt $ dt
При помощи C.4.4) и C.4.8) преобразуем уравнение неразрывности и выпи-
выпишем еше уравнение количества движения
1 dp v dp dv Ь d I а ср
dv dv I dp
—~ + v —- = — -?- . C. 4. 96)
dt dr q dr
Напомним, что производная в правой части C.4.9а), как и в уравнении
C.4.3), взята вдоль траектории частиц. И, наконец,согласно § 1.7 изменение
энтропии в потоке будет иметь порядок
dc 1Св — С\2 / (X dv \2
s — s() ~ (се — с) — \ ^%\ ?- . C. 4. 10)
dt \ t I \ р dt )
Вид уравнений C.4.8) — C.4.10) и определяет характер стремления ре-
решения к локально-равновесному. Если градиенты давления вдоль траекторий
частиц имеют нормальный порядок, то состав газа будет стремиться к ло-
локально-равновесному с-+-се(р, Т), s -> s0 вместе с %/At -> 0, на что и указано в
§ 1.7.
92

Но в уравнение C.4.9а) входит вторая производная от давления, что
повышает порядок системы, наделяя ее «вязкими чертами с малым коэффи-
коэффициентом вязкости порядка т. Если ноле возмущений гладкое (например, в
волне расширения, вызванной плавным ходом поршня., или стационарным об-
обтеканием гладкой стенки), то роль правой части C.4.9а) будет мала вме-
вместе с т/Л/ (так как r(d2p/dt2) idp/dt^xjkt) и ее можно отбросить. Уравнения
C.4.9) з этом случае допускают решение в виде простой волны v=P, полу-
полученной в § 3.3.
Но если квазиравновесное решение имеет разрыв производных, например,
на границах центрированной волны разрежения, то вторая производная, вы-
вычисленная по этому решению, будет неограничен^ и не может быть отброше-
отброшена. Этот разрыв, как и в вязком газе, будет размазан на некоторую погра-
пограничную область, где сосредоточено влияние производной d2p/dt2. Физически
это обусловлено предшествующим распространением возмущения вдоль замо-
замороженных характеристик.
Рассмотрим течение в такой области около головной равновесной харак-
характеристики (см. оЬ на рис. 3.5). Предположим, что производные в центриро-
центрированной волне имеют нормальный порядок dp/dt^p^/t и т. д. Перейдем к ко-
координатам t, ?=ае0/—/*, где §=0 есть головная равновесная характеристика.
на которой производные по Н, терпят разрыв в предельном равновесном ре-
решении. Тогда в пограничной области
/ д \ ( д \
17 :ае 17 Г
\dt Л V ^ ft
Правая часть уравнения C.4.9) имеет множитель т, поэтому сохраним
в ней лишь главный член, который с, учетом преобразований, типа
dp I dp \ , dp \ (dp
примет вид
d ( a dp
dt \ $ dt
В пограничной области правая часть C.4.9а) должна быть одного по-
порядка с левой, например i(d2p/dl2) t~(cpjdt) ?, для чего ширина этой обла-
области должна иметь порядок Ag^(x/) V2, или e~(-t/t) V2. Но согласно C.4.8) и
C.4.10) приращение се—с~% и As~t имеют более высокий порядок малости,
поэтому в пограничной зоне течение можно считать изоэнтропичным и около-
равновесным, а все термодинамические величины с точностью порядка т~е2
считать функциями лишь давления.
Получим асимптотическое решение для этой пограничной области i. Чтобы
правильно учесть все члены порядка е в уравнениях C.4.9), проще всего пе-
перейти к их сумме и разности. Тогда в переменных (t, ?) получим систему:
— = П ^-~Г , C. 4. 12а)
д(Р — v) д(Р — v) №Р
-^ -;- (ае0 +ае- V) -^ = хх —^ , C. 4. 126)
р
Ро
1 Обш,ее изложение подобных методов дано в книге В аи-Дайка [6].
93

Коэффициенты этих уравнений, кроме малого ае0—ае—v, уже можно счи-
считать постоянными. Поскольку Ag~et то уравнение C.4.126) при е-Я) имеет
интеграл v=P как для простой волны в § 3.3. Полагая далее ае—ср0=
= (дае/дР)Р и исключая Р из C.4.12а), получим нелинейное уравнение 2-го
порядка для скорости в пограничной области
dv
dt
dv
¦ = -7Г TX
\ dp 1 s
C.4. 13)
Коэффициент X содержится в формуле C.3.3), откуда следует, что
Из-за малой толщины пограничной зсны течение в ней будет определяться
лишь внутренними ее свойствами и
у граничными условиями и не будет за-
зависеть от начальных возмущений,
сносимых потоком. Перед погранич-
пограничной зоной течение соответствует рав-
равновесному приближению, поэтому
v = 0 при g/e->—оо.
Решение построим в виде
-1
Рис. 3.6.
C.4.14)
При этом уравнение C.4. 13) све-
сведется к обыкновенному
1
— У" ~Ь (х Л- 2у) у' + у =
2
Умножая последнее уравнение на
лучим
и используя комплекс
по-
1 2 у
г = —т=- е (^ — erf (^))-i, erf (*) = —r=- \
У к у тс «)
C.4.15)
Как видно у е х при х-*—-оо. Так как erf(oo) = l, то значения с>1
и с<1 дают неправдоподобные затухающее при х -* оо или неограниченное
в некоторой точке решения. Физически разумное решение получим лишь при
с=\. Оно (точнее, модуль у) показано (пунктиром) на рис. 3.6 и при х -> ^
переходит (хотя и медленней, чем при х ~> —оо) к решению для равновес-
равновесной центрированной волны (сплошная линия)
1 .
у = —х I 1 — т— -Ь ... 1. \v = i
2x2
г — aeOt
t
В автомодельных переменных C.4.14) у~\, а ширина пограничной зоны
Лл*^—I, поэтому относительная ширина ее в физических переменных убывает
как A?/Y~(т/t) ly/S а скорости в ней затухают (т. е. стремятся к равновес-
равновесным) по тому же закочу.
При анализе уравнения C.4.9) мы отмечали, что в области гладкости пре-
предельно равновесного решения возмущения, порождаемые неравновеенсстью,
имеют порядок ijt. Таким образом, в малой окрестности линий разрыва: пго-
94

изводны.х предельного равновесного решения неравновесное решение стремится
к нему на порядок медленней, чем в области гладкости решения.
§ 3.5. Отражение возмущений от вихревых слоев и скачков
уплотнения. Влияние осевой симметрии
Распространение возмущений в виде простых волн возмож-
возможно лишь в однородном неограниченном плоском потоке. В ре-
реальных же течениях около тел сложной формы эти возмущения
взаимодействуют с неоднородным неизоэнтропическим вихре-
вихревым потоком, образующимся за криволинейным скачком уплот-
уплотнения, и с самими скачками или
искажаются, например, за счет
неплоского характера течения.
Механизмы таких взаимодейст-
взаимодействий рассмотрим на простейших
примерах стационарных и (для
начала) равновесных течений.
1. Взаимодействие с вихревы-
вихревыми слоями в плоском течении.
Рассмотрим для начала взаимо-
действие возмущений с танген- //'
циальным (или контактным) раз-
разрывом, разделяющим области / и
// с разными параметрами в них. Рис- 3-7-
Давление и угол наклона вектора
скорости на разрыве одинаковы. Пусть на отрезок /—3 танген-
тангенциального разрыва ab (рис. 3.7) вдоль узкого пучка, ограничен-
ограниченного характеристиками 1-го семейства Г— 1 и 2'—2, приходит
слабое возмущение (короткая волна), которое зададим разно-
разностью давления р2—/?i = e в точках 2 и /. Нас будут интересовать
параметры в отраженной волне, заключенной между характери-
характеристиками 2-го семейства 1—2" и 3—3", а точнее на начальном ее
участке вдоль отрезка 2—3.
Запишем условия совместности C.2.9) в виде
= O, Л = уМ2— 1 (Y,/?M2r\ ye=a2eQ/p. C. 5. 1)
В рассматриваемой малой окрестности точки 1 коэффициен-
коэффициенты Аг и Ап будем считать постоянными. Тогда применяя урав-
уравнения C.5.1) вдоль отрезков характеристик 1—2, 2—3, Iй—-3 и
полагая давления и углы 6 в точках ) и Iй одинаковыми, полу-
получим равенства
\-К=Ах{Рг-Рх\ б,-ег=-и,(^-А), ea-^=Au(pa-Pl).
C.5.2)
Отсюда найдем
Рз-Р2 = 'м, ез — e2 = ^4iXs, \=Ai~Au , |X|<1. C.5.3)
Ai + Au
95

Как видно, параметры в точках 3 и 2 не совпадают, как это
было бы в простой волне, а отличаются на величину падаю-
падающего возмущения, умноженного на коэффициент отражения X.
При этом Ае естественно называть отраженным возмущением,
которое накладывается на приходящее. Поскольку |Я|<1, то
отраженное возмущение всегда меньше по модулю приходяще-
приходящего, а разность р3—pi = (l-\-X)& всегда, имеет тот же знак, что и
падающее возмущение е. __
При постоянном уе функция А имеет максимум при М = ]/2,
равный (yepi2)~ly это обстоятельство и определяет знак Я.
Пусть теперь возмущение взаимодействует с прямолинейной
твердой поверхностью ab. Тогда 63 = 81 и из двух первых соот-
соотношений C.5.2) получим, что возмущение давления удваи-
удваивается
Тот же результат получим и из C.5.3), предположив
3>ЛП и А,«1, что соответствует отражению возмущения от об-
области газа со значительно большими скоростными напорами.
Очень наглядно аналогичное решение в одномерном неста-
нестационарном случае или в предельном случае гиперзвукового с
обеих сторон потока с одинаковыми Ui=Un (см. § 3.2—3.3).
В этом случае А = (qcl)-1, поэтому
= *$-№ (при у„ = У,„).
Если возмущение выходит из менее плотной среды в более
плотную, то %>0 и наоборот. При Qi^>qh, т. е. при выходе воз-
возмущения в пустоту, Я»—1, рз^р! и возмущение нейтрализует-
нейтрализуется. При qi<Cqii, например, при отражении от твердой стенки,
Я=1, так что возмущение давления после отражения удваива-
удваивается.
Пусть теперь в плоскопараллельном потоке с непрерывным
неоднородным распределением параметров, но с постоянным
давлением /? = /?i и углом наклона 0 = 0° вдоль характеристик
1-го семейства распространяется короткая волна возмущения.
Такая ситуация может возникнуть, например, при обтекании
угловой точки поверхности потоком, прошедшим через криво-
криволинейный скачок уплотнения и поэтому имеющим неоднородное
распределение энтропии по линиям тока.
В этом случае вдоль малых отрезков характеристик 2-го се-
семейства в пределах короткой волны коэффициенты А можно
считать постоянными. Интегрируя вдоль этих характеристик
соотношение C.5.1), получим 8 =А(р—pi). В то же время вдоль
характеристики 1-го семейства, замыкающей волну возмущения,
96

имеем db=—Adp, где коэффициент А уже нельзя считать пос-
постоянным. Исключая отсюда А, после интегрирования получим
e(j7-A)=const или p~Pl = *°-=(Л.I/2. C.5.4)
(P—Pi)o e V Л )
Здесь (р—pi)о или 80 — начальное возмущение в точке, где
л=л0.
При больших числах Маха Л/Л0^М0/М. Если в сверхзвуко-
сверхзвуковом потоке число М>]/2 и по мере удаления от источника воз-
возмущения (искривления стенки, например) увеличивается, то
первоначальное искривление линий тока будет уменьшаться (как
(Мо/МI/а при больших числах Маха), а возмущение давления
увеличиваться, т. е. модель простой волны в таком потоке непри-
непригодна.
2. Отражение возмущения от скачков уплотнения. Пусть те-
теперь аЬ есть скачок уплотнения со сверхзвуковым течением (/)
за ним с углом наклона а к вектору скорости однородного набе-
набегающего потока (область //), на отрезок 1—3 которого прихо-
приходит возмущение (короткая волна). Тогда первые два соотноше-
соотношения C.5.2) должны быть дополнены соотношениями на скачке
уплотнения p=ps(a), 8=fls(ct), которые запишем в виде (штрих
означает дифференцирование по а)
Рв~Pi=P'sК- <*i). б3- в, = в;(а3- а,). C. 5. 5)
Отсюда, комбинируя с C.5.2), получим решение
ЬАР*Г**,- C.5.6)
Л 6
Аналогичный результат можно получить и для нестационар*
ных волн: для этого в формулах C.5.6) следует заменить А на
(да)-1, a 0 — на скорость газа v.
В § 2.6 было показано, что на сверхзвуковом участке удар-
ударной волны 9^>0, а так как p's>0 всюду, то |Х|<1. Коэффици-
Коэффициент отражения X имеет сложный знакопеременный характер.
Используя формулы B.6.5) — B.6.7), для гиперзвукового тече-
течения (при Mi—>-оо в набегающем потоке) при отношении плот-
плотностей до и после скачка k= (у*—1)/(y*+ 1) получим
C.5.7)
Эта формула неверна в окрестности звуковой точки, так как в
ней в силу kvj*-*-l при М—Я (см. § 2.6) получим К=\, вместо
точного значения К=—1 при Л=0 для любого конечного, хотя
4 2382 97

и большого числа Mi. Поэтому вычисление % в этой окрестности
требует особой осторожности.
При k->09 или у*—Я, имеем А,->—1, рз—>Ри т. е. скачок уп-
уплотнения ведет себя как свободная поверхность с постоянным
давлением. Однако, при кФО, но &г]2<С1 коэффициент А,=
¦= —ОД,—0,14 и —0,05 соответственно при y*=UU 1,4 и 5/3. При
Mi sin а—Ч головной скачок вырождается в характеристику, по-
поэтому p's/0's —+dp/dfj—кЛ, Я~>0 (см. § 3.6). Вычисления показы-
показывают, что при 7=1L этот коэффициент невелик (|А,|^0,1) для
сравнительно небольших
углов а ^30° и Mi^ 10, что
х позволяет пренебрегать от-
X \
г /л^з5 раженными от скачка воз-
°,/,//,,*ll' мущениями!. Это обстоя-
а) Т)^7^^^ тельство при сравнительно
' небольших Mi sin а>1, если
р,и;с з? градиенты энтропии за скач-
скачком согласно § 2.2 невелики,
позволяет вести расчеты рас-
распределения давления по оживальным профилям с клиновидным
носком при помощи соотношений простой волны для криволи-
криволинейной стенки с начальными параметрами за головным скачком
уплотнения на клине. Это есть так называемый метод скачков —
волн разрежения.
3. Влияние осевой симметрии. Пусть в однородном осесим-
метричном потоке, параллельном оси симметрии, в точке г=г0
возникает слабая волна разрежения (рис. 3.8). Уравнения
C.2.9) в узком пучке вблизи головной прямолинейной характе-
характеристики примут вид
1 ±Н
C.5.8)
где коэффициент AttA(pi) можно считать постоянным. При
?<С1 вдоль характеристик 2-го семейства, пересекающей голов-
головной пучок, правая часть уравнения C.5.8) имеет 2-й порядок
малости, поэтому вдоль нее справедлив интеграл 6=Л(р—pi).
Тогда вдоль характеристик 1-го семейства получим
dAp 1 dr Ар б ,
_____ ___? ,
Таким образом, начальное возмущение затухает при удале-
удалении от оси симметрии (например, рис. 3.8, а) и, наоборот, возра-
1 Эти коэффициенты с подробными исследованиями этого вопроса приве-
приведены в книге J48].
98

стает (концентрируется) при приближении к ней (рис. 3.8,6).
В последнем случае решение C.5.9) имеет особенность на оси,
обусловленную нарушением принятых упрощений. В самом деле
слабое разрежение распространяется в расходящемся пучке,
так что расстояние между ближайшими характеристиками бу-
будет расти. Поэтому с уменьшением г ширина короткой волны
станет сравнимой с расстоянием до оси. Последним членом в
C.5.8) здесь уже нельзя будет пренебречь и интеграл 8 =
~А(р—р\) не будет верен.
Решение C.5.9) приводит к особенности в точке пересече-
пересечения головной характеристики короткой волны с осью симметрии.
Обозначим угол между головной характеристикой и ближайшей
к ней через Аф. При малых Аф в центрированной (или вообще
в любой) простой волне (ApH=iconstАф, 90=constA(p. Подстав-
Подставляя эти соотношения в C.5.9) и полагая Аф—Я), получим 1
др . [ г0 у/2 дЬ , / Л) у/2
_^ = const(-M , = const [— .
ду \ г ) . д<? \ г )
Эти производные неограничены на оси в точке 1.
Последующие характеристики пучка взаимодействуют уже с
областью A—3—6) на рис. 3.8, на которую распространяется
влияние условия 0=0 на оси симметрии. Взаимодействие воз-
возмущений с осью симметрии носит здесь регулярный характер.
В этой области v~r, поэтому, рассматривая треугольник харак-
характеристик 4—5—6 на рис. 3.8, б и полагая в нем v/r=v2/r2, по-
получим pz—р2=Р2—Ри как и при отражении от твердой стенки
(Х=1 в формуле C.5.3)).
4. Взаимодействие возмущений с тангенциальным разрывом
и скачком уплотнения в осесимметричном или неравновесном
потоке. Выше мы рассмотрели аналогичную задачу для плоских
равновесных течений, когда правые части условий совместности
C.2.9) равны нулю. При этом коэффициенты отражения X по-
получены из анализа условий лишь в ближайшей окрестности
рассматриваемой точки и потому являются чисто локальным
свойством течений. Короткая же волна, используемая нами в
рассуждениях, служила лишь для придания результатам физи-
физической наглядности.
Рассмотрим более общий случай возмущений, распростра-
распространяющихся в осесимметричном неравновесном потоке. Запишем
условия совместности вдоль характеристик в виде
Adp±dQ = Bdl, B = Q sin ajCJ, C. 5. 10)
где / — длина вдоль характеристик.
4* 99

Комбинируя эти соотношения вдоль характеристик 1—2 и 2—3
на рис. 3.7, получим общую формулу
fla-e^^KA-Aj-^e-AM + ^i^-^), C.5.11)
где lik — расстояние между точками / и k.
Пусть отрезок ab будет тангенциальным разрывом. В этом
случае треугольник /—2—3 будет равнобедренным с углами а*
при основании и из геометрических соображений следует Ф=0.
Аналогичный результат справедлив и для области //. Тогда
' " (Pi—Pi)*
+A
C-5Л2)
Полагая здесь, как и раньше, pr =pi (в противном случае
разность ру—pi естественно считать возмущением, приходящим
из области //), придем к той же формуле C.5.3). В частности,
при отражении возмущения от прямолинейной стенки в любом
случае из C.5.12) следует р3—Рг=е или рз—Pi = 28.
Для возмущения угла 6 из C.5.10) и C.5.12) получим дру-
другую формулу
. C.5. 13)
Заметим, что в отличие от плоских равновесных течений
(В = 0) в общем случае из условия р^ =pi еще не следует Gi» =
= 0i, т. е. осесимметричные (кроме случая 6 = 0) или неравно-
неравновесные течения всегда возмущены. В такой ситуации затрудни-
затруднительно отделить отраженное возмущение от «преломленного»,
пришедшего из области //. Если вместо условия р^ =рь принять
другое, например 9i=0i, то получим результат, отличный от
C.5.12) и C.5.13).
Пусть отрезок ab есть скачок уплотнения. Проведем из точ-
точки / на рис. 3.7 линию тока, которая пересечет отрезок 2—3 в
некоторой точке 4 (на рисунке не обозначенной). Опуская из
точки 4 перпендикуляр на скачок /—3, а из точки 2 на линию
тока 1—4, из геометрических соображений получим
34
Комбинируя соотношения C.5.11) и C.5.5), получим фор-
формулу
Ср'
st C.5. 14)
с тем же Я, что и в C.5.6).
100

Проанализируем полученные результаты. В правых частях
формул C.5.13) и C.5.14) первые слагаемые представляют со-
собой решение однородных уравнений C.5.10) при В = 0, пропор-
пропорциональны падающему возмущению 8 и содержат то же Я, что
и в рассмотренном ранее случае плоских равновесных течений.
Это обстоятельство еще раз подчеркивает общность понятия ко-
коэффициентов отражения.
Слагаемые с Bli2l обусловлены взаимодействием с тангенци-
тангенциальным разрывом или скачком тех возмущений, которые порож-
порождаются в каждой точке неоднородностью течения и математиче-
математически обусловлены наличием правых частей в уравнениях C.5.10),
частные решения которых и представляют собой эти слагае-
слагаемые *.
§ 3.6. Характеристики и слабые скачки уплотнения.
Линейная теория
Рассмотрим слабые ударные волны с малым перепадом дав-
давления
ЬР = Р-Р!~ЬР1, в<1, C.6.1)
распространяющиеся в совершенном или равновесном (по обе
стороны фронта) газе. Здесь индекс «1» относится к парамет-
параметрам перед ударной волной.
Представим давление за стационарным скачком с углом на-
наклона а в виде
vln
C.6. 2а)
bppPv , n in* irti,
Q
где, 8 — угол поворота потока в скачке.
Для вывода последней формулы воспользуемся соотноше-
соотношением
tg(a-e)=?tga.
Скорости распространения такой ударной волны по газу пе-
перед и за волной равны соответственно vin u vn.
Аналогично представим перепад давлений в нестационарной
1 Заметим, что ji->oo вместе с С при a* + Q -> а или Misin а -* 1, т. е.
Для скачков очень слабой интенсивности (§ 3.6), в то время X—. Однако
Яфи этом /34^/24 и формула C.5.14) не применима, так как на таком боль-
*1юм отрезке нельзя полагать постоянными коэффициент Лив неоднородном
¦потоке угол а*. Этот случай требует специального анализа.
101

ударной волне, распространяющейся по покоящемуся газу со
скоростью vm
Vln
C.6.26)
где v — скорость газа за ударной волной в неподвижной систе-
системе координат.
При 8->0 скорость распространения ударных волн стремится
к звуковой (vin—Kii), а угол а стремится к углу Маха а*, по-
поэтому для слабых волн соотношения C.6.2) с точностью до ве-
величин порядка г2 можно представить соответственно в виде
, C.6.3а)
УЩРу
C.6.36)
Сравним эти формулы с полученными в § 3.3 соотношениями
в плоской изоэнтропической простой волне C.3.1) — C.3.2) у
распространяющейся вдоль характеристик 2-го (при выбранной
ориентации скачков) семейства. Переходя в последних к преде-
лу при р-+ри б—Ю и т. д., легко проверить, что эти соотноше-
соотношения совпадут с C.6.3).
Совпадут и следующие члены разложения соотношений в
ударных и в изоэнтропических простых волнах, в чем убедим-
убедимся на примере нестационарных волн. Разложим соотношение
C.3.2 б) в ряд по Ар
/?i\ />,)•+.... C.6.4)
. Qii 4
pi
Здесь использовано уже встречавшееся ранее преобразование
(§2.2):
/о { 9. \ дп К 9. \ дг>2 * V ;
dp Is 2 \ dp
Для совершенного газа Ф= (у)
Подставляя в формулу v=(\—k)vin разложение B.2.4), учи-
учитывая, что изменение энтропии в слабом скачке As~(Ap)s и
используя соотношение B.2.5), переписанное в виде
it C6'6)
получим разложение C.6.4), что и требовалось доказать.
Формула C.6.6) дает связь между перепадом давлений в
скачке и отличием скорости его распространения от скорости
102

звука. Для стационарных течений этой формуле, поделив ее на
#1П, можно придать вид
sin а — sin a^i ^ a — a*i ^ 1 ф Ар /о g -,
sin a ~ tga^i ~ 2 ^ '
Полученные результаты имеют важное следствие: в течениях,
•содержащих слабые скачки уплотнения, можно беспрепятствен-
беспрепятственно и сквозным образом применять условия совместности вдоль
характеристик, полученные в § 3.2 для непрерывных течений.
Наличие правых частей в соотношениях C.2.9) и C.2.12) не
является препятствием, так как при переходе через скачок в них
следует положить dx = 0 или dt~0 соответственно.
В первом приближении слабые скачки уплотнения, как и
слабые центрированные волны разрежения согласно C.6.4),
адожно заменить характеристиками, допустив на них разрыв
функций, соответствующий интенсивности этих скачков или волн.
При этом погрешность порядка самих приращений Др~е и т.д.
возникает лишь в области между истинным скачком и заменяю-
заменяющей его характеристикой или в области волны разрежения.
Рассмотрим примеры обтекания тонких заостренных тел рав-
равномерным сверхзвуковым потоком совершенного газа. За малый
параметр г примем относительную толщину или максимальный
угол наклона поверхности тела бо —е. Из формулы C.6.3 а) сле-
следует, что возмущения давлений за скачком (а также углы меж-
между скачком и характеристиками 1-го семейства) будут малы,
если выполняется условие
60<^tga* или ео^мрТ«1. C.6.8)
В этом случае коэффициенты в условиях совместности C.2.9)
можно считать постоянными, вычисленными по параметрам на-
набегающего потока. Тогда эти соотношения станут линейными.
Основанная на этом приближении теория называется линей-
линейной1.
Для плоских тонких профилей (v = 0) условие совместности
Для характеристик 2-го семейства имеет решение C.6.3 а), кото-
которое дает зависимость давления на поверхности тела лишь от
местного угла ее наклона (например, на поверхности клина с
углом наклона 0).
1 Например в работах [19, 26, 36, 44] показано, что в этом случае течение
'Газа описывается одним уравнением для потенциала скоростей. Этой теории
«асатъея не будем, ограничившись лишь теми простейшими задачами, решение
«которых следует непосредственно из условия совместности C.2.9).
103

Получим аналогичное решение для тонкого конуса. Посколь-
Поскольку уравнение образующей г=т]ох, jno=tg9o, то уравнение C.5.8)
вместе с условием на конусе ?=Ло допускает решение, завися-
зависящее лишь от переменной v\ = rlx, в чем можно убедиться, пере-
переходя в правой части этих уравнений к переменной т|:
где б — угол наклона линии тока к оси симметрии х.
Сохраним пока правую часть уравнения C.5.8) в точном ви-
виде, положив лишь p = |3i=const. Складывая уравнения C.5,8),
получим
О + ft) С *) _ -С
dd==
Здесь во втором соотношении опущены члены порядка т]? и р?,>
которые малы (член рг| = Рт)о-г-1 должен быть оставлен). Отсюда
получим решение
На головной характеристике, где Рг] = 1 и ? = 0, согласно
C.6.3) Ар=р—pi = 09 т. е. скачок в этом приближении точно»
совпадает с головной характеристикой.
Вычитая уравнения C.5.8), получим уравнение
Интегрируя его с учетом C.6.9), получим решение
.. C.6. 10)
Полагая г] = г]о и отбрасывая члены порядка p2rjo, получим дав-
давление на конусе
Заметим, что в уравнении C.6.10) сохранен член ? в разно-
разности т)—?, так как оба ее члена вблизи поверхности тела имеют
одинаковый порядок, хотя формально в основной области тече-
104

будет показано
ния E-dT^P- Это дало заметный добавок —1/2 в-скобках
.C.6.11) — в давление1, так как In т]0Р — 1 в реальном диапазоне
1}о> Р- В рамках линейной теории давление на конусе значитель-
значительно меньше, чем на клине (но при MiT]o~l эти давления будут
яметь уже одинаковый по-
порядок, что
в гл. 5).
На рис. 3.9 дано сравнение
точных давлений на клине и
конусе с формулами C.6.3а)
и C.6.11), которое свидетель-
свидетельствует об удовлетворительной
точности последних для малых
значений параметра rjoP.
Линейная теория очень эффек-
эффективна в области своей применимости,
но в основном лишь для однородного
•внешнего потока.
В завихренном же потоке (с пе-
переменным поперек линий тока числом
Mi) задача обтекания тонкого про-
•филя уже не имеет общих простых
решений типа C.6.3). В то же время
влияние завихренности на распреде-
распределение давления должно быть сущест-
существенным (по крайней мере, того же по-
порядка, что и влияние числа Mi в фор-
форC63)
Рис. 3.9. Сравнение линейной и точ-
точной теории при y=1>4 Для конуса
(а) и клина E)
муле C.63а) на приращение давле-
еия kplpi при заданном 9).
Обратим теперь внимание на воз-
возможные случаи качественной непри-
неприменимости линейной теории. Такой пример был рассмотрен в § 3. 4, где для
исследования распространения возмущений в окрестности равновесной харак-
характеристики было использовано нелинейное уравнение C.4.13).
Здесь для слабой центрированной волны разрежения, казалось бы, можно
применить линейную теорию, заменив эту волну разрывом вдоль характери-
характеристики (что сделано в книге [15]).
Однако ширина любой (нестационарной для определенности) центрирован-
центрированной волны разрежения, возрастая пропорционально времени t, станет со вре-
временем больше ширины описанной в § 3.4 пограничной области, которая уве-
увеличивается как t1/2. Поэтому решение этой задачи в линейной постановке дает
качественно неверную асимптотику (при ?->оо) поведения решения.
Другим примером является распространение возмущений вдали от тела.
В рамках линейной теории (например, при обтекании тонкого профиля) оаз-
рыв давления малой, но фиксированной интенсивности на головной характе-
характеристике распространяется до бесконечности. Но в действительности при обте-
обтекании тела конечных размеров вслед за головным скачком возникнут волны
разрежения, которые обязательно догонят скачок и ослабят его в пределе на
Достаточно большом расстоянии от тела до нулевой интенсивности 2.
Закон затухания ударных волн (нестационарных для простоты) пслучим
^следующим образом. Представляя скорость звука за слабым скачком в виде
Обоснование этой поправки дано М. Лайтхиллом (см. книгу [26]).
Этот вопрос впервые исследован Л. Д. Ландау [25].
105

Ар / да?
а = аг + -f— ——
2в! \ dp
и используя формулы C.6.6) и C.6.26), можно получить для нестационар-
нестационарных волн следующую, зависимость:
л + v — 1/1Л = 1/1л — ai, vln = , C. 6. 12)
которая означает, что возмущения, распространяющиеся за скачком, догоняют
его с такой же относительной скоростью, с которой скачок догоняет возмуще-
возмущения, распространяющиеся перед «им в том же «направлении.
Для стационарных течений аналогичная формула имеет вид а—уп—
~vin—а1# Поделив ее на vif можно при малых 8 получить
а*2 — а = а — а*1, C. 6. 13)
где (тэлька в пределах этой формулы) а*\ и а*2 углы наклона характеристик
(линий Маха) 1-го семейства до и после скачка. Как видно, скачок делит
пополам угол между этими характеристиками.
Как уже упоминалось в § З'Д коэффициент отражения возмущений от
скачка уплотнения Я•-> 0 при vin-^ai [числитель формулы C.5.6) для % обра-
обращается в-нуль согласно соотношениям C.6.3)]. Кроме того, переход через сла-
слабые ударные волны осуществляется изоэнтропически и по соотношениям про-
простой волны. Следовательно, волна разрежения, догоняющая ударную волну,
должна иметь вид простой волны (см. § 3.3)
х = {а + v) t + х0, C. 5. 14)
где х0 — постоянная, которую на большом расстоянии от источника возму-
возмущений можно считать одинаковой для всего пучка характеристик в простой
волне.
Исключая отсюда сумму (v+a), сведем формулу C.6.12) к уравнению
для формы ударной волны х( + )
d (х —- х0) 1 х — х0 1
Интегрируя его, получим с помощью C.6.6) соотношения:
х — *0 «= ait + <?! V~U Щп — а>\ = "Y cit~~1/2,
Ар = ctf!2 (ci = const, C2 = const), C. б. 15)
характеризующие асимптотическое поведение слабых ударных волн, ослаб-
ослабляемых волной разрежения.
§ 3.7. Характеристические поверхности уравнений
пространственного движения газа
Опишем свойства характеристических поверхностей систем
дифференциальных уравнений стационарного пространственного
сверхзвукового течения газа, общее определение которых дано
в § 3.2.
Введем в рассматриваемой точке О местную декартову сис-
систему координат х, у, г, в которой ось х касается вектора скоро-
скорости U (рис. 3.10). Тогда в точке О имеем v = w = 0, а в малой
окрестности ее углы скоса потока |3i = ?>/?/ и Р2=ДО/?/ малы.
Уравнения C.1.1) и C.1.2) примут вид:
106

L
Г 7 ^
dx
г г dw
/ / w _
dx
j dU
dx
= —
dx
dfo
dx
1-
Q
dp
dx '
1
Q
1
0
dp
dz
C.7.1)
C. 7. 2)
C. 7. 3)
. = ^_). C.7.4)
Последнее уравнение неразрывности преобразовано при по-
помощи уравнения C.7.1). Как и в § 3.2, под а в общем случае
Рис. ЗЛО.
неравновесных течений будем подразумевать замороженную ско-
скорость звука а/, а для равновесных течений — равновесную ско-
скорость звука ае. Величины Q в обоих случаях имеют тот же
смысл, что и в § J3.2. В замороженных и равновесных адиабати-
адиабатических течениях (?=0.
Уравнение C.7.1), как и уравнения энергии C.1.3) или хи-
химической кинетики C.1.4), имеют систему характеристик — ли-
линий тока, свойства которых ничем не отличаются от рассмотрен-
рассмотренных в § 3.2. Поэтому характеристической поверхностью этих
уравнений будет любая поверхность тока. Остальные уравнения
•симметричны относительно направлений у, г, поэтому огибаю-
огибающей всех характеристических поверхностей, проходящих через
точку О, будет некоторый характеристический конус с осью х,
половину угла при вершине которого определим следующим об-
образом.
Рассмотрим характеристическую поверхность, касательную к
оси z. Всё производные по z будут для нее внутренними и в слу-
случае постановки на ней начальной задачи Коши, известными.
Выводящая из этой поверхности производная от скорости w при
этом также определяется (так как из C.7.3) известна dwfdx),
я для производных по х и у от давления р и скорости v будем
иметь ту же систему уравнений C.7.2), C.7.4) (с другой лишь
правой частью), что и для плоского течения в плоскости {х, у),
я следовательно, и те же характеристики уг — ±(Ж2—1)~1/2. Эти
характеристики будут образующими характеристического ко-
107

нуса, половина угла при вершине которого, или угол между про-
извольной характеристической поверхностью и вектором скорости
-¦•
U равен таким образом углу Маха a* = arcsinM-1, а проекция
скорости на нормаль к характеристической поверхности равна
скорости звука.
Образующие характеристического конуса, или конуса Маха,,
называются бихарактеристиками. В конечной окрестности точки
О бихарактеристики будут, естественно, пространственными кри-
кривыми, составляющими угол а* с местными линиями тока, а ко-
ну с — криволинейным коноидом.
Свойства характеристических поверхностей в общем идентич-
идентичны описанным в § 3.2 для двумерных течений. Коноид с верши-
вершиной в точке О будет областью ее влияния. Область определен-
определенности некоторого куска начальной поверхности 2 ограничена
характеристической поверхностью, огибающей выходящие из
границы 2 коноиды Маха изнутри, а область влияния — внеш-
внешней огибающей поверхностью этих коноидов.
Если рассматривать плоские течения как предельный случай
пространственных, то характеристики первых есть просто линий
пересечения плоскостью течения перпендикулярных к ней ха-
характеристических поверхностей. Характеристики осесимметрич-
ных течений есть линии пересечения меридиональными плоскос-
плоскостями характеристических поверхностей, проходящих через ок-
окружности, проведенные в плоскостях, перпендикулярных осе
симметрии течения с центром на ней.
Для получения условий совместности на характеристических
поверхностях, аналогичных условиям C.2.9), введем еще мест-
местную декартову систему координат I, n, z, где оси /, z лежат в ка-
касательной плоскости к характеристической поверхности, п — на
нормали к ней, а вектор скорости U лежит в плоскости I, п.
Тогда легко убедиться, что используя характеристические соот-
соотношения, из уравнений C.7.2) и C.7.4) можно исключить обе
производные др/дп и dv/dn сразу, в результате чего получим
уравнение1 __
dpi , 1 ар2 , УШ^\ дР= Q C 7 5,
61 * М дг 1
61 * М дг q№ 61
Для плоских течений р2=0, и это уравнение просто перей-
перейдет в одно из соотношений C.2.9).
Как и для двумерных течений, локальные характеристиче-
характеристические свойства и математические формулы для пространствен-
пространственных течений заменой x=Ut и предельным переходом (М2—-
—1)/(/2—и*-2 переносятся на двумерные нестационарные тече-
течения газа.
1 Как и для двумерных течений, соотношения типа C.7.5) могут быть
использованы для построения разностных схем численного решения уравнений
газовой динамики (см. работы П. И. Чушкина, К. М. Магомедова, В. П. Ми-
Мине сцева и других, изложенные в книге [50].
108

§ 3.8. Некоторые свойства течений с большими
местными числами М1
Введем безразмерные переменные
Ро
х 7,—
—, У —
L
Qo
g —-
C. 8. 1)
где индексом «О» помечены величины в точке О, L — продоль-
продольный, a Lei и Lz2 — поперечные масштабы течения, определяю-
определяющие градиенты давления в интересующей нас области, в том
числе и в окрестности точки О, для которой и выписаны урав-
уравнения C.7.1) — C.7.4). Тогда из этих уравнений получим
dU
дх
дх
дР М2 —
дх
l=y-*L; C.8.2)
Q
dp
*А
дх
Qo
dp
C. 8. 3)
При Ж\ ^>1 из C.8.2) следует, что изменение полной скорости
вдоль линий тока мало и она близка к максимальной скорости
(/=f/max истечения газа в пустоту.
Предположим далее, что множители и выбраны таким обра-
образом, что производные в правых частях уравнений C.8.3) имеют
порядок единицы. Тогда порядок левых частей будет зависеть от
параметров Kt = уЩ^. Если течение происходит в узкой облас-
области со столь большими поперечными градиентами величин, что
/С/<1, то уравнения C.8,3) не упрощаются, и этот случай не
обладает какими-либо
специфическими локаль-
локальными свойствами. (По-
(Подобные течения рассмот-
рассмотрены в гл. 8, посвящен-
ной гиперзвуковому обте-
канию тонких заострен-
заостренных тел).
Но при Кг^>1 уравне-
ния C.8.3) принимают
вид
Щ0, C.8.4)
/
дх
откуда следует, что от-
отклонение вектора скоро-
Рис. 3.11.
1 Этот параграф написан по работам М. Д. Ладыженского [24].
109

сти вдоль линии тока пренебрежимо мало, а линии тока — прямо-
прямолинейны. Примером такого течения служит истечение газа из
сопла в пустоту (рис. 3.11), где всегда найдется такая линия
(поверхность) ЛВ, на которой и вниз по течению от нее числа
М>М0>1.
Выделим на поверхности АВ около точки О произвольную
элементарную площадку da0 и проведем через ее границу пря-
прямолинейную трубку тока с телесным углом dQ и переменным се-
сечением da.
Из баланса расхода массы в этой трубке получим
C.8.5)
Это означает, что при К—^оо закон изменения плотности
вдоль прямолинейных линий тока тот же, что и для цилиндри-
цилиндрического (v=l) или сферического (v = 2) источника с полюсом,
лежащем на обратном продолжении вектора скорости в точке О
на расстоянии г0 от нее.
Рассмотрим еще некоторые характеристические свойства те-
течений при Мо>1. Поскольку характеристические поверхности
составляют с линиями тока угол а* << М^ЦсЬ то при угле меж-
между крайними линиями тока б а—бв^Мо, характеристики, вы-
выходящие из крайних точек А и 5, никогда не пересекутся, т. е.
задача Коши на такой поверхности имеет бесконечную область
определенности.
При К—>оо уравнения C.8.2), C.8.4) вместе с уравнением
неразрывности C.7.4) не имеют других характеристик, кроме
линий тока, что свидетельствует о параболическом вырождении
уравнений газовой динамики. Это, конечно, следовало ожидать,
так как обе характеристики C.2.8) (как и характеристический
конус) при М~г—^0 стремятся к линии тока. Но при этом на-
надо быть уверенным в пренебрежимо малом изменении парамет-
параметров поперек каждого характеристического коноида (местный
параметр К^>1), так как иначе волновые свойства уравнений
(например, в волнах Прандтля-Майера) будут проявляться и
при сколь угодно больших числах Мо.
Глава 4
ОБЩИЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ ГИПЕРЗВУКОВОГО
ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ НЕВЯЗКИМ ГАЗОМ
§ 4.1. Замечания к постановке задач сверхзвукового невязкого
обтекания тел несовершенным газом
Стационарное течение невязкого газа около тела опре-
определяется системой дифференциальных уравнений и термоди-
термодинамических соотношений, выписанных в § 1.7, условиями на
по

поверхности тела, конечными соотношениями на возможу
ных поверхностях разрыва, полученными в гл. 2,
и параметрами невозмущенного потока вдали перед
телом. Для нестационарных течений должно быть еще
задано начальное распределение искомых величин в про-
пространстве.
Очевидно, рассматриваемая система должна быть замкнутой
в том смысле, что число неизвестных равно числу уравнений,
а число граничных и на-
начальных условий достаточно
для определения неизвест-
неизвестных поверхностей разрывов
и произвольных функций
в общем решении системы
дифференциальных уравне-
ний.
Предположим, что эта си-
система уравнений всегда име-
имеет решение и притом един-
единственное. Хотя первое утвер-
утверждение в общем случае не
имеет строгого математиче-
математического доказательства, в
справедливости его (кроме,
может быть, исключитель-
исключительных случаев, связанных с
физическими особенностями
задачи) убеждает весь тео-
теоретический и практический
опыт газовой динамики.
Рис. 4Л. К общей картине обтекания те-
тела:
линии тока; ударные волны;
— .-—. — . —характеристики; —•• звуковая
линия
Второе же утверждение
требует некоторых поясне-
пояснений. В § 2.6 было указано на двузначность решения задачи
о присоединенном скачке уплотнения, например, при обтекания
бесконечного клина. Будем предполагать, что при учете всей со*
вокупности граничных условий (а, может быть, и начальных,
если рассматривать стационарное течение как предел некоторого
нестационарного процесса) нужная ветвь скачка уплотнения
может быть отобрана. В частности, обтеканию заостренных тел
с углом при вершине, меньшим предельного, всегда соответст-
соответствует слабая ветвь.
Однако, этим не ограничивается возможность неединствен-
неединственности решения задачи. Например, при обтекании тела со щит-
щитком или иглой (рис. 4.1) можно построить множество решений с
зоной покоя перед щитком. Такие отрывные зоны (в которых
газ вращается с малыми скоростями, а давление почти постоян-
постоянно) действительно образуются из-за влияния пограничного слоя,
пристеночные струйки тока в котором, обладая слишком малы-
111

ми скоростями и давлением торможения, не могут преодолеть
положительного перепада давления в скачке.
Вне этих зон в достаточно плотном газе (т. е. при больших
числах Рейнольдса) течение можно считать невязким, но одно-
однозначно определить контактную разделяющую поверхность в
рамках схемы невязкого газа без дополнительных условий нель-
нельзя (более того, стационарные течения такого рода часто оказы-
оказываются невозможными).
При сверхзвуковом обтекании граничные условия достаточ-
достаточно задать лишь на передней представляющей интерес части те-
тела (например, аа! на рис. 4.1) с тем однако, чтобы область оп-
определенности решения (левее характеристик ас, а'с' или соот-
соответствующей характеристической поверхности в пространствен-
пространственном течении) полностью содержала бы дозвуковую область те-
течения около тупого тела. Кроме того, нужно иметь уверенность,
что хвостовая часть тела не влияет на предшествующее течение,
например, через зоны отрыва (т. е. что точка отрыва d лежит
вниз по течению от точки а).
В однородном и равновесном набегающем потоке его пара-
параметры можно задавать на бесконечном удалении перед
телом.
В неоднородном и неравновесном потоке параметры его до-
достаточно задать лишь в той области, которая влияет на нужный
нам участок тела аа' и на минимальном расстоянии впереди
тела, на котором исключено влияние последнего вверх по тече-
течению.
Однако если периферийная часть потока более высокона-
порна, то вследствие образования скачков уплотнения возмож-
возможно влияние ее на течение левее характеристики 2-го семейства
ас. Более того, давление за скачком cb может быть столь боль-
большим, что низконапорные центральные струйки тока преодолеть
его не смогут, и безотрывное обтекание тела в целом окажется
невозможным К
Приведенные рассуждения, конечно, не исчерпывают всех
возможных ситуаций и лишь показывают, что в общем случае
математическая постановка задачи о сверхзвуковом обтекании
тел требует иногда значительной априорной информации о кар-
картине течения. Дальнейшее содержание книги будет относиться
лишь к безотрывному обтеканию тел относительно простой фор-
формы с присоединенными скачками уплотнения в точках излома
поверхности2.
1 Например, при натекании недорасщиренной струи на плоскую преграду
(МЖ.Г, 1971, №2).
2 По имеющимся данным, безотрывное в целом обтекание щитка с уг-
углом 0 реализуется примерно для Э <?5° при ламинарном пограничном слое и
0 < 10° при турбулентном.
112

§ 4.2. Закон подобия стационарного сверхзвукового
обтекания тел реальным газом
При выводе закона подобия будем исходить из общей поста-
постановки задачи, сформулированной в § 4.1, и систем уравнений
§ 1.7 или§ 3.1.
Пусть заданы форма, характерный размер тела L и парамет-
параметры натекающего на него потока (которым припишем индекс
«оо»)
/{Х, У, 2, Z,) = 0, Z,, /?оо, Qoo, ^оо, А», #лоо, f/oo^Woo, ^оо, ^оо}.
D.2.1)
Введем безразмерные величины
q'=-^, *' =
D.2.2)
D.2.3)
Заметим, что все размерные величины отнесены здесь к ха-
характерным масштабам, связанным лишь с самой газодинамиче-
газодинамической задачей (с условиями обтекания и размером тела).
Параметры qn отнесены здесь к некоторым характерным мас-
масштабам, например, <7по=1 для концентраций d и ?no=^i для
энергий внутренних степеней свободы.
Задача состоит в том, чтобы привести систему определяю-
определяющих уравнений, граничных и начальных условий к безразмер-
безразмерному виду и выявить те безразмерные параметры или функ-
функции, от которых зависит решение (или вообще течение). Очевид-
Очевидно, что если для разных течений эти параметры, или, как их
называют, критерии подобия, будут совпадать, то вследствие
предполагаемой единственности решения будут одинаковыми и
зависимости безразмерных функций D.2.2) от безразмерных пе-
переменных D.2.3). Такие течения называются подобными. В но-
новых переменных уравнения движения, неразрывности и энергии
не изменяют вида (производные в операторах градиента и ди-
дивергенции взяты по безразмерным переменным)
^Ll tf ^i^ D.2.4)
grad//, divQtf O,
dt1 Q dt' q' df
В этом можно убедиться также, переходя к безразмерным пере-
переменным в уравнениях § 3.1 в декартовой системе координат.
На поверхности тела f(x\ y\ 2/)=0 задано условие непро-
непротекания
/2 и т. д.,
D.2.5)
где пх, пу, nz — направляющие косинусы нормали к поверхно-
113

сти. Ударные волны являются искомыми поверхностями типа
F(x\ y\ z') = 0 с условиями ударного перехода на них
K+Y^n-K+'Y^b ^=«1+^^A-*), D.2.6)
v'^V^ + ttyV'^l — k), w'^Wl + rizVl^l — k), k = Q1/Q2.
Здесь величины vn, nx и т. д. вычисляются (с заменой / на F)
так же, как и в D.2.5). Соотношения D.2.6) для внутренних
скачков уплотнения не содержат каких-либо заданных пара-
параметров задачи, но в соотношения на головной ударной волне
войдут безразмерные условия обтекания D.2.1):
р =-??-=_!-, К =-^--= 1 ; Мео^-^ц D.2.7)
где вторые равенства в D.2.7) выписаны для совершенного в
набегающем потоке газа. Кроме того, для подобия течений сог-
согласно D.2.5) — D.2.6) должны быть одинаковыми форма тела
и величины
/(*', У', *') = 0, u'm=ujtj^ v'^v„/[/„, w'^wJU». D.2.8)
Эта группа критериев требует чисто геометрического подобия
течений, выполнение которого впредь будем подразумевать без
оговорок.
В неоднородном или неравновесном набегающем потоке ве-
величины pi, и^ и т. д. должны быть заданы как функции пере-
переменных D.2.3), в однородном и равновесном потоке (которым
для простоты впредь и ограничимся) эти величины постоянны.
Заметим, что закон подобия справедлив и для дозвуковых
течений: в этом случае головной волны нет, но для определен-
определенности задачи нужно задать те же условия обтекания D.2.1), а
следовательно, D.2.7), D.2.8).
Чтобы получить полную систему критериев подобия, нужно
привлечь еще замыкающую систему термодинамических урав-
уравнений, что сделаем ниже, последовательно усложняя задачу.
А. Совершенный газ. Уравнение состояния совершенного га-
газа, замыкающее систему D.2.4), имеет вид
h== l=lh, p>=l^±Q'h'. D.2.
у
Оно не содержит иных параметров, кроме у. Поэтому согласна
D.2.7) — D.2.9) критериями подобия геометрических подобных
течений будут лишь у и Моо. Это классический и наиболее изве-
известный закон подобия обтекания тел невязким газом.
114

Случай течения газа, замороженного относительно состава и
состояния перед телом (см. § 1.7), отличается от течения совер-
совершенного газа лишь связанной теплотой физико-химических прев-
превращений А/. Тогда следует заменить h на А—Л/, и критериями
подобия будут y/ и Моо/=?Лх>/#/оо, где -у/ и а/ — замороженные
показатель адиабаты и скорость звука. При свободном полете в
атмосфере hf = O.
Б. Равновесное приближение. Пусть в каждой точке потока
состав и состояние газа локально-равновесны. Тогда систему
D.2.4) можно замкнуть уравнением состояния в квазисовершен-
ной форме (см. § 1.9)
где y* — эффективный показатель адиабаты. В этом случае те-
течения будут подобными при совпадении параметров р'м, А'^ и
одинаковых функциях у%(р'9 А'). Но последняя в действительно-
действительности зависит от размерных давления или энтальпии, или точнее,
от масштабов /?а и Аа для их измерения, не зависящих от га-
газодинамической задачи. Поэтому функция у* должна иметь вид
Pa К
D.2.10)
Тогда условиями подобия течений будут совпадение функций
V* (р, h) и критериев подобия
Ра па
Эти критерии в принципе позволяют моделировать течение од-
одного газа другим. Однако обычно ра и Аа — просто стандарт-
стандартные масштабы (например, р&=1 Н/м2, 1Аа= Дж/г), а функция
Y* задана в виде таблиц, поэтому для заданного газа условия
подобия D.2.11а) приводят, как правило, к требованию совпаде-
совпадения или тождественности условий обтекания, т. е. к совпадению
размерных величин
?/«>, Qoo, p^ h^ или f/co, Qoo, Moo, Y*oo = Y. D.2. 116)
Вторая группа критериев здесь выписана согласно D.2.7)
для совершенного в невозмущенном состоянии газа. В этом на-
наиболее интересном для практики случае система D.2.11) мо-
может быть упрощена. В самом деле, как указано в § 1.9, функ-
функция у* (р, А) слабо (логарифмически) зависит от давления, так
что в ограниченном диапазоне его изменения этой зависимостью
можно пренебречь.
115

Тогда из критериев D.2.11) выпадает плотность Qoo или вы-
высота полета Н. Влияние же Н через скорость звука аоо = ?/оо/Мо*
мало вследствие сравнительно слабой зависимости а^Н) (см.
рис. 1.1) и слабого влияния Мое при больших его значениях на
r/R0
О 0,2 0,4 0,6 0,8 7,0
-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 7,0
Рис. 4.2. Формы ударных волн (а) и профили плотности в се-
сечении x = R0 (б) для сферы в совершенном газе при 7=1,4 и
в равновесно-диссоциирующем воздухе:
(J-Moo-4, 2-Моо=б; 3-Моо = 10, ^-М00 = оо); E-^=4 км/с, 6-U<„ =
=7,5 км/с при q^s-I^-KT г/см3, #«=30 км 0^=300 м/с; 7—G^=7,5 км/с
Qoo=3,3.10~7 г/смз я=60 км, ^00=320 м/с
решение (что будет показано в п. «Д»). В подтверждение на
рис. 4.2 показаны профили плотности между поверхностью сфе-
сферы и ударной волной и формы последних, которые слабо зави-
зависят от Qoo и значительно сильнее от ?/«,.
В. Общий случай. В общем случае неравновесное течение за-
зависит еще от совокупности параметров qn, характеризующих со-
116

став и состояние газа, которые определяются уравнениями"
(см. §1.7).
^ D.2. 12)
Условия обтекания D.2.1) должны быть дополнены величи-
величинами <7поо, которые сохраняются в ударной волне. Тогда для по-
подобия течений будет необходимо еще совпадение параметров и.
функций
что собственно и замыкает общий закон подобия.
Но функции Qn, К \i зависят от размерных температуры и.
давления и от совокупности большого числа размерных или
безразмерных параметров, характеризующих смесь (см. гл. 1).
При этом в отличие от равновесного случая, функции Qn содер-
содержат в себе размерность времени, что особенно четко видно и»
уравнений в релаксационной форме (см. § 1.5), когда Qn =
= (Япе—<7п)/т, где т — время релаксации.
Поэтому, кроме каких-либо особых случаев, совпадение
функций D.2.13) возможно лишь для одинаковых смесей при
полном совпадении (тождественности) условий обтекания, кото-
которые и будут критериями подобия
L% о- «/«о, \Р„> *ш, Чпоо. D.2.14)
Связанные с этим трудности моделирования усугубляются
сильным влиянием реальных свойств газа на структуру течения»
что иллюстрируют рис. 4.3 и 4.4. Тем не менее иногда удается
уменьшить число критериев подобия и упростить задачу моде-
моделирования.
Такой случай рассмотрим ниже.
Г. Бинарное подобие. В воздухе, углекислом газе основные
реакции протекают путем распада одной частицы на две и об-
обратно. Такие реакции в § 1.5 названы бинарными. Для таких
смесей в § 2.5 получен закон бинарного подобия для переднего
участка зоны релаксации за ударной волной. Обобщим этот за-
закон на течение около тела.
Пусть условия обтекания и размеры тела таковы, что во всей
возмущенной области идут только прямые реакции. При обте-
обтекании тупого тела вблизи поверхности (как будет показано в.
гл. 6) всегда присутствует подслой, в котором существенны и
обратные реакции. В этом случае потребуем, чтобы этот под-
подслой был тонок и не оказывал влияния на течение в целом. Ско-
Скорость протекания прямых реакций (диссоциация, ионизация),.
как и скорость релаксации внутренних степеней свободы, про-
пропорциональна давлению р, а в уравнении A.5.8) второй член,.

Рис. 4.3. Формы ударных волн и про-
профили температуры между поверхно-
поверхностью притуплённого конуса и удар-
ударной волной для различных парамет-
параметров бинарного подобия я= (Яороо)Х
ХЮ6 г/см2 в сечении х=10,8#0:
Я, км | QoOt г/см* |/?0, см I л I /у rw
7—80
2^80
3-60
2,
2,
3,
1
1
3
•10~8
•ю-8
• ю-7
8
94
8
0,
1,
2,
163
98
64
1
1
1
,43
,37
,37
л rs-rw
II '—
*—
———
——— 1 1
,
о
-—-
1
—-—¦ ""
2
5
•
0 0,2 0,1 0,6 0,8 Л
Ю
"Рис. 4.4. Профили плотности между поверхностью сферы (Я=0) и ударной
аэлной (Я==1) вдоль радиусов для различных параметров бинарного подобия
(i?)UN /2
7—i?0 = oo, п =>оо (равновесие); 2—#0=95см, л = 31,4; 3—i?0 = 15cM, л*=4,95; 4—RQ = \ см,
л-0,33; (кривые 7—5—q^^3,3-10—7 г/см8, ?/оо=7,5 км/с (Я=60 км)); J—/?0 = 1 см, л=4,0,
г/см8, 6^^=7,5 км/с (Я=40км); ?—совершенный газ М^^оо, т==1,4; /?0=0
18

пропорциональный р2, как и в § 2.5, можно опустить. Тогда
уравнения химической кинетики можно записать в упрощенной-'
форме:
Отсюда получим следующие критерии подобия:
QooL, ?/», qnoo, />„, h^ D.2. 16)
т. е. в отличие от общего случая неравновесного течения, реше-
решение в безразмерных переменных D.2.2) — D.2.3) зависит лишь
от параметра бинарного подобия р«Х и не зависит от Qoo или L
в отдельности.
На рис. 4.3 показаны профили температуры между поверх-
поверхностью конуса со сферическим носком и ударной волной и фор-
формы последних, а на рис. 4.4 профили плотности для сферы пр»
различных Qoo#o> где /?0 — радиус сферы. Эти профили близки-
для близких значений параметра бинарного подобия, причем
для течений, значительно отличающихся от полностью заморо-
замороженного (qooRq—Ю).
Д. Принцип гиперзвуковой стабилизации1. В главе 2 было
показано, что параметры газа за сильной ударной волной пере-
стают зависеть от числа М«> при очень больших его значениях.
Распространим этот результат на случай обтекания тела.
Пусть а — местный угол атаки ударной волны, так что vin=-
= ?/ooSina, а ao — его минимальное значение в рассматриваемой
области течения. Пусть далее выполняется условие
^-M^siir4»l (y=Y, Y*, Y/). D.2.17)
Тогда условия D.2.6), как и в гл. 2, упростятся
р' = {\ — &)sin2a, h' = — A — ?2)sin2a, ? = -^-, D. 2. 18)
число Моо выпадает из граничных условий и решение будет за-
зависеть лишь от следующих условий обтекания:
qn~, о-, г/о», L. D.2. 19)
Все другие упрощения, рассмотренные выше, учитываются
при этом автоматически. Например, для совершенного (заморо-
(замороженного) газа решение будет зависеть лишь от у.
Этот вывод имеет принципиальное значение для гиперзвуко-
гиперзвуковой аэродинамики и носит название принципа гиперзвуковой
стабилизации или принципа независимости от числа Маха.
1 Этот принцип установлен С. В. Валандером A949 г.) и затем К. Осва-
тичем (ZAMP, № 2. 4. 1951).
па

В пределах его применимости можно просто рассматривать пре-
предельный случай Моо—^сх), что облегчает моделирование течений
и аналитические исследования.
Однако в полете скорость Ц» увеличивается вместе с Моо,
поэтому для реального газа, строго говоря, никакой стабилиза-
стабилизации течения не произойдет (что наглядно следует из сопостав-
сопоставления форм ударных волн на рис. 4.2). Но, например, суммар-
суммарные аэродинамические характеристики простых тел могут слабо
зависеть от скорости газа при больших Моо (например, гл. 5).
Заметим, что из условия @т — минимальный угол наклона
тела)
экак правило, следует условие D.2.17), но обратное неверно, так
как течение будет стабилизироваться независимо от 0W в обла-
области, ограниченной характеристикой ас на рис. 4.1, в точке с пе-
пересечения которой с ударной волной выполняется условие
{4.2.17).
§ 4.3. Вывод закона подобия из теории подобия
и размерностей
При выводе законов подобия весьма полезны соображения
теории подобия и размерностей, процедура применения которой
состоит в записи физических законов в виде функциональных
связей безразмерных величин.
Рассмотрим сначала случай совершенного газа. Искомое ре-
решение задачи о стационарном обтекании заданного тела должно
.иметь, например, для давления следующий общий вид:
Р = Р (*, У, z, Y, ?, Qoo, /Zoo, Доо, f/oo). D.3. 1
Очевидно, что в такой задаче характерными являются не об-
общепринятые стандартные масштабы измерения величин (метр,
грамм, секунда и т. д.), а определяющие параметры задачи.
Причем размерности выбранных масштабных параметров долж-
должны быть независимыми и содержать размерности массы, длины
•и времени (через которые выражаются размерности всех вели-
величин в механике). В газовой динамике в качестве таких масшта-
масштабов удобно выбрать размер тела L, плотность q<x> и скорость ?/«,
или а<х>. Тогда, поделив каждую величину в скобке D.3.1) на со-
соответствующие ее размерности произведения масштабных вели-
величин, убедимся в том, что отношение p/qooU2^, например, будет
зависеть лишь от тех безразмерных параметров, которые мож-
можно образовать из выписанных в скобке D.3.1) величин 1:
= у^==жЛ. D.3.2а)
а I
1 Что является частным случаем общей П-теоремы из теории подобия и
размерности, изложенной в книгах [38, 39].
120

От тех же параметров и переменных будут зависеть функции
Q' = Q/Qсо, А'= */?/?>, u' = ulUoo и т. д. D.3.26)
Формы ударных волн представляют собой зависимости типа
F(x, у, z, Qoo, Ясс, /?оо, ?/«,) = 0, D.3.3).
или
W. #', *', Y, Мсо) = 0.
Соотношения типа D.3.2) — D.3.3) и представляют собой
формальную запись закона подобия.
Для несовершенного газа заданного состава недостаточна
воспользоваться масштабами величин, связанными с конкретной,
задачей. В этом случае свойства газа, как отмечалось в § 4.2,.
зависят от абсолютных значений давления и температуры, или.
энтальпии, для измерения которых нужно ввести какие-либо
стандартные масштабы ра, ^а (например, 1 Н/м2 и 1 К). На не-
неравновесное течение реального газа влияют правые части кине-
тических уравнений Qn> которые по своему характеру и размер-
размерности обратно пропорциональны некоторому характерному вре-
времени та протекания физико-химических процессов (это отчетли-
отчетливо видно на примере уравнений в релаксационной форме из:
§ 1.3 и 1.5). Таких характерных времен хп может быть много,
но это не меняет существа дела, а приведет лишь к появлению
безразмерных определяющих функций или параметров Тп/та.
Но поскольку для измерения искомых величин целесообраз-
целесообразно сохранить те же (связанные с задачей) масштабы, что и для
совершенного газа, так как именно они определяют порядок
искомых величин, то в число определяющих безразмерных пара-
параметров в зависимостях D.3.2) и D.3.3) войдут отношения
Qoof/i/Pa, U^/TzR и XqJJooIL. Так величины ра, Га, та чаще всего
не зависят от газодинамической задачи, то эти безразмерные
критерии подобия для течений реального газа и приводят к за-
зависимости безразмерных параметров решения D.3.2) от размер-
размерных величин Qoo, f/oo, а для неравновесных течений еще и от L.
Именно в этом смысле следует понимать наличие размерных в^
личин в системе критериев подобия § 4.2.
Как видно, вывод закона подобия из теории подобия и раз-
размерности более краток, чем из анализа полной системы урав-
уравнений. Это впечатление, однако, обманчиво, и оба приведенных
вывода практически эквивалентны, так как при подборе систе-
системы определяющих параметров мы неявно исходили из общей
постановки задач, в частности, из вида уравнений и определяю-
определяющих граничных условий. Например, для получения из общей"
теории подобия и размерности принципа гиперзвуковой стабили-
стабилизации нужно знать конкретные соотношения на ударной волне,,
исходя из которых, можно пренебречь давлением роо, энтальпи-
энтальпией Аоо или скоростью звука ато невозмущенного потока; для по-
получения закона бинарного подобия необходимо знать структуру
и особенности уравнений химической кинетики и т. д.
121

В этой связи для более глубокого понимания полученных ре-
результатов целесообразно при выводе законов подобия исполь-
использовать оба подхода.
Для примера применения теории подобия и размерности рас-
рассмотрим обтекание так называемых конических тел, образован-
образованных пучком прямых, исходящих из одной обращенной к потоку
точки — полюса (например, конус и в плоском течении — кл-ин).
При выборе слабой ветви присоединенного скачка донный срез
не окажет влияния на сверхзвуковое течение вверх по потоку,
поэтому длину такого тела можно считать бесконечной. В такой
задаче характерный размер L отсутствует, поэтому возможны
лишь следующие комбинации безразмерных независимых пере-
переменных, от которых будет зависеть решение
^V D.3.4)
Как видно, в предельном случае равновесного или заморо-
замороженного (совершенный газ) течения, если параметра та нет, все
параметры течения должны быть постоянными на лучах, прохо-
проходящих через полюс. Подобными же лучами будет образован и
присоединенный скачок уплотнения. Такие течения называются
коническими, исследование их облегчено из-за меньшего числа
независимых переменных (что было использовано на примере
круглого конуса в § 3.6). В неравновесном же течении харак-
характерным размером задачи будет произведение [УооТа, и коничность
течения нарушается 1.
Сформулируем еще закон подобия для нестационарного обте-
обтекания тела. Пусть теперь в том же потоке тело изменяет свою
форму или положение по закону
t() °о *•
Тогда, очевидно, течения, соответствующие одинаковым соглас-
согласно D.3.5) телам, будут подобными с теми же критериями подо-
подобия, что и в § 4.2.
Однако обычно нестационарное движение имеет свои масш-
масштабы времени Го и размера I, отличные от t0 и L, так что все
движения одного типа, совершаемые геометрически подобными
телами, можно задать единой зависимостью f(t/t0, х', ..., 1/L) = 0.
Тогда в число критериев подобия § 4.2 войдут параметры
«o^to/To^L/U^ l/L • D.3.6)
Здесь coo — число Струхаля, характеризует степень отличия не-
нестационарного течения от квазистационарного, которому отвеча-
отвечает coo—Ю.
1 Решения задач, в которых удается понизить число переменных, 'называ-
1рт автомодельными, т. е. подобными самим себе. Например, в конических те-
течениях во всех сечениях #=const профили «величин между телом и скачком
будут подобными.
122

ЧАСТЬ II
ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С БОЛЬШОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
ЗА УДАРНОЙ ВОЛНОЙ
Глава 5
ОБЩАЯ НЬЮТОНИАНСКАЯ ТЕОРИЯ
§ 5.1. Постановка задачи. Толщина ударного слоя.
Криволинейные координаты
В § 2.3 были отмечены некоторые свойства сильных ударных
волн с гиперзвуковой нормальной составляющей скорости:
^п_= <V-»v<»«={y_ цм^^ (^^tfoosin а). E. 1. 1)
Здесь а — угол наклона ударной волны к направлению набе-
набегающего потока. Индексом «оо» помечены параметры в невоз-
невозмущенном газе, который для простоты будем считать совершен-
совершенным. В этом случае в соотношениях на ударной волне можно
пренебречь давлением и энтальпией в невозмущенном газе (см.
закон гиперзвуковой стабилизации, тл. 4)
В том же § 2.3 для совершенного (или замороженного) и в
случае сильной ударной волны равновесного газа были получе-
получены соответственно формулы
hs),
E.1.3)
где у* — эффективный показатель адиабаты (см. § 1.9).
Для воздуха или углекислого газа у* = 1Д-ь1>4> поэтому при
Мооп^б величина k& 0,05-^0,2 оказывается небольшой. В зоне
релаксации отношение Qoo/ps имеет, как правило, промежуточ-
промежуточную величину между значениями E.1.3). Следовательно, в воз-
123

пущенном слое за сильной ударной волной плотность газа дос-
достаточно велика по сравнению с плотностью в набегающем пото-
потоке (q^Ps^Qoo), если только газ не претерпевает затем чрезмер-
чрезмерного расширения, т. е. если всюду в слое q/qs~ (р/рвУ1^*^'!*
Это обстоятельство побуждает рассмотреть предельные свой-
свойства течений в плотных так называемых ударных слоях при
к—>0, т. е. при Moon-^°°; y*» У—^1- Такой подход широко рас-
распространен и весьма нагляден для выяснения качественных осо-
особенностей и основных свойств гиперзвуковых течений. Исследо-
Рис. 5.1. К постановке задачи о тон-
ком ударнсм слое:
/—область ударного слоя на теле; //—об-
//—область свободного слоя; ///—аэродинами-
///—аэродинамическая тень
Рис. 5.2
ванию этих вопросов (притом лишь для стационарных, кроме
§ 5.8, течений) и посвящена часть II нашей книги (см. также
Наиболее важной особенностью таких течении является ма-
малая относительная толщина б/d ударного слоя. Из баланса рас-
расхода массы через ударный слой следует (рис. 5.1)
2я)* Qcucbd\
E.1.4)
где d — характерный размер тела, Qc^Ps, uc — характерные
плотность и продольная (вдоль поверхности тела) скорость газа
в ударном слое; v = 0; 1 соответствует плоским или осесиммет-
ричным течениям (в общем случае и трехмерным, если все по-
поперечные размеры тела одного порядка). Отношение 6/d~k,
•если только uc~Uoo. Последнее условие весьма существенно.
Например, если скорость ис в контрольном сечении близка к зву-
124

ковой, равной (согласно § 1.9) ис«а*«?1/2?/оо, то б/d^k1^. На
поверхности тупых тел из уравнений Бернулли и адиабаты Пу-
Пуассона (гл. 1) имеем
^]1'2^ при Y-1,
E.1.5)
где р'о и Н — давление и энтальпия в точке торможения. По-
Поэтому порядок средней скорости ис требует внимательной оцен-
оценки и, отложив уточнение этого вопроса, дальнейший анализ про-
проведем при условиях
?0-*0, bfd^O или e = max{?0, 8/d}—0. E.1.6)
Далее будет показано, что б/d-^O всегда при k0—у0> но, воз-
возможно, с другим порядком малости.
Малая толщина ударного слоя делает естественным исполь-
использование системы криволинейных координат, связанных с по-
поверхностью тела, где xiy х2 направлены вдоль, а у по нормали к
поверхности тела (рис. 5.2). Потребуем, чтобы такая система
была триортогональной, т. е. чтобы элемент длины в простран-
пространстве определялся канонической квадратичной формой (Я* — ко-
коэффициенты Ламе)
Из дифференциальной геометрии известно, что направления
*ь Х2 должны совпадать с направлением главных кривизн (с
радиусами Ri и R2), тогда координатные плоскости Xi = const и
#2=const будут пересекаться вдоль нормали к телу. В общем
случае под Xi и х2 будем подразумевать длины соответствую-
соответствующих дуг. Тогда параметры Ламе будут равны
Я1=1 + у//?1, Яа=1+0//?а, Ну=\. E.1.7)
В этом можно убедиться, совместив плоскость рис. 5.2 поочеред-
поочередно с плоскостями, содержащими направления (xiy у) или (х2,у).
Для плоских (v = 0) тел или тел вращения (v=l) Xi=x бу-
будет длиной дуги образующей, отсчитываемой от передней точки
тела, лг2=ф — меридиональным углом. В этих случаях
Hx=l + ylR, H9=r\ Ни = \% E.1.8)
где г — расстояние до оси симметрии.
Для плоских и осесимметричных течений дадим краткий вы-
вод уравнений движения газа в криволинейных координатах.
Если x(t), y(t) — траектория частицы вдоль линии тока, то
полная производная какой-либо величины вдоль нее записыва-
записывается следующим образом:
^^±^ + ±^=-А^и± + ъ±у E.1.9)
dt дх dt ду dt R + У, ч дх ду }
125

что и определяет вид уравнений, записанных вдоль линий тока.
Здесь и, v — составляющие скорости по осям х, у.
На поверхности тела всегда имеем граничное условие
y=0t v = o. E. 1. 10)
Уравнения количества движения получим из векторного
уравнения
dlf R dU . dU 1 , /с 1 их
= и \-v = grad p. E. 1. 11)
dt R + у дх ~ ду Q
Если /и у — единичные векторы вдоль координат х, у, то
U = m + vj, grad p=i—^--^ + У /-•
R+ у дх ди
Тогда, учитывая очевидные равенства (см. рис. 5.2)
J!L o
дх R ' дх R ' ду ду
получим следующие проекции уравнения количества движения
на оси х и у:
^* d^L^; E. I. I2a)
дх
R+ у дх ду R + у R + у Q дх
R dv i dv и1 1 dp /P- 1 ioz-'v,
—— и \-v = — . E. 1. 126)
R + У дх ду R-h у Q ду
Выделим объем, ограниченный близкими координатными ли-
линиями х = const и ?/ = const, и в осесимметричном течении —
близкими меридиональными плоскостями (p=const (ри-с. 5.2).
Через взаимно ортогональные грани этого объема втекает в еди-
единицу времени количество газа
R + и
dQ —Qti(rduy dy, dQy=Qv(rd(pydlx = Qv(rdyy dx.
R
Через противоположные грани вытекает количество газа, опре-
определяемое теми же формулами, только в точке x-\-dx, y-\-dy. Из
условия баланса массы получим уравнение неразрывности
= 0. E. 1. 13)
И, наконец, группу уравнений, определяющих термодинами-
термодинамическое состояние газа, выпишем в обычном виде, полагая тече-
течение адиабатическим
d±=± dJL ; E. 1. 14).
n(P, T, qm), Q = !*j^>,k=h{T,qm). E.1.15).
126

Здесь, как и в § 1.7, qm есть набор параметров, характеризую-
характеризующих состав и состояние газа.
Для равновесного, совершенного или замороженного газа
систему E.1.15) можно заменить одной связью (см. § 1.7, 1.9)
Q = Q{p, h) или -?- = ?2LllJ, Y Y (A Aj# E.1.16)
Qh Y*
Для общего трехмерного течения систему уравнений движе-
движения приведем без вывода (см., например, книги [18, 27, 39]):
da I
дНг ¦ quv 6НХ qw2 дН2 1_ др . ,~ -. ij \
дх ~H~ ~Jy HH дх ~~ Н дх ' [
дх2 Hi Jy HiH2 дхг Нг дхх
dv __ gut дНх Qw? дН2 _^ _ др .
U dt Нг ду Н2 ду ду '
qww dH<i | qwv дН2 qu^ дИ\ Ч др ,~ -.
Я" ^ Я "^ ЯЯ ~d^~~~7f" ~д~1" ^'
dw
/2)=0. E. 1. 18)
Здесь и, v, w — составляющие скорости вдоль направлений xlt
у, х2, а полная производная вдоль линии тока
—=JL. — +— — + -U — . E.1.19)
dt Ы\ дх\ H<i дх2 ду
Для плоских или осесямметричных течений перейдем к пере-
переменным Мизеса (х, г|з), где функция тока \j) удовлетворяет урав-
уравнениям
JL\ ?+-=Bяг)^« E. 1.20)
R i oV
и равна расходу между телом и данной -точкой (цилиндрической
поверхностью г=const при v=i). Тогда получим
д-^= Ц—, dJL = *±k JL; E.1.21)
dty Bnr)Qu дх R и
u*L+v*L = -?»-=—LdJ-; E.1.22)
дх дх дх q дх
=—(zKrjv-J— , (о. 1. 2о)
1ГГ7. ad?=Q»> O=QIA T, qm), h=h{T, qm). E. 1.24)
Здесь координата y(xt -ф) является искомой формой линии тока.
Уравнения E.1.21) получаются обращением уравнений E.1.20).
Уравнения E.1.22) приводят к уравнению Бернулли.
127

§ 5.2. Предельное решение для тонкого ударного слоя.
Формулы Буземана и Ньютона
Малая толщина ударного слоя позволяет получить простые
представления для распределения давления по поверхности те-
тела, которые найдем ниже для плоских и осесимметричных тече-
течений. В самом деле, условие 6/rf<C 1 означает, что линии тока поч-
почти параллельны поверхности тела1 r=rw(x), а ударная волна
r=rs(x) &rw(x) как бы облегает тело, т. е. v<^u. Тогда в урав-
уравнении E.1.23) первый член слева можно отбросить и оно будет
иметь интеграл
1 2*
Л Ф,« *?r\?\JJ«). E. 2. 1)
При г|)=0 это решение дает распределение давления по телу
и в таком виде называется формулой Буземана. Это решение
имеет очень наглядный физический смысл: давление на теле рав-
равно давлению ps за ударной волной за вычетом (при R>0) или с
добавлением (при R<0) центробежных сил, возникающих за
счет искривления траектории движения частиц.
Величина ps определяется из формулы E.1.2), которая при
наших предположениях примет вид:
^=А-^=вА=вЛ sin»6 (tg6=r;). E. 2. 2)
Для плоской поверхности с R = oo (например, клин или ко-
конус) центробежные силы исчезают и давление на теле и в удар-
ударном слое будет определяться формулой E.2.2), которая в этом
случае носит название формулы Ньютона.
Ньютон в теории сопротивления тел предполагал2, что в до-
достаточно разреженном газе частицы доходят до поверхности те-
тела без изменения своего состояния. Взаимодействие же их с по-
поверхностью происходит абсолютно неупруго с полной потерей
нормальной составляющей скорости, но с сохранением касатель-
касательной 2. Масса частиц, падающих в единицу времени на элемен-
элементарную площадку тела da с местным углом атаки Э, равна
Poot/ooSineda. Умножив на нормальную составляющую скорости
vQon = UOoSinQ, получим потерянную газом за единицу времени
нормальную составляющую импульса, которая равна действую*
щей на этот газ со стороны тела избыточной нормальной силе,
откуда и следует формула E.2.2).
При умеренных скоростях полета толщина возмущенного
слоя сравнима с размерами тела, поэтому теория сопротивле*
1 Кроме малой окрестности точки торможения тупого тела с почти посто-
постоянным давлением (см. гл. б).
2 Подробный анализ и описание газодинамических представлений Ньюто-
Ньютона даны в книге [47].
128

ния Ньютона не давала удовлетворительных результатов (и о
ней гидродинамики забыли). Однако, при гиперзвуковых скоро-
скоростях и небольших значениях k толщина ударного слоя мала, так
что ньютонианская схема течения реализуется, хотя бы внешне.
Ньютон не учел лишь того обстоятельства, что набегающий по-
поток при условии достаточной его плотности взаимодействует не
непосредственно с поверхностью тела, а со слоем газа, движу-
движущимся вдоль нее. Однако, для плоской поверхности, когда цент-
центробежными силами этого тонкого, но с конечной массой, слоя
можно пренебречь, схема Ньютона становится справедливой1.
В связи с этим теорию, основанную на предельных при k-+Q со-
соотношениях, в литературе часто называют ньютонианской, хотя
многие свойства таких течений, в частности более точная форму-
формула E.2.1), Ньютону известны не были.
Формулы Буземана и в особенности Ньютона играют важную
познавательную и практическую роль в аэродинамике. Поэтому,
не ограничиваясь интуитивным характером их вывода, придадим
им асимптотический смысл, получив предельное решение при
&->Q, что понадобится нам и в дальнейшем. Для этого опреде-
определим малый параметр как ^о = Poo/Qmin, где дтт — минимальное
значение плотности в рассматриваемой области течения. Тогда
p = polkQ, где ро~роо. Формально у->0 при feo-^О, если сходится
интеграл первого уравнения E.1.21) y(ty). Предполагая это, как
и в § 5.1, систему E.1.21) — E.1.24) приведем при k-+0 к виду
дф дх дх дх У } д<\> R К '
Эта система имеет следующее решение:
* = *о(<10> Р=Ро(х, Ф), E.2.4)
где функция ро(х, я|э) определяется формулой Буземана E.2.1),
которая (а следовательно, и формула Ньютона для плоской по-
поверхности) является точным решением при &->0. Произвольная
функция ра(х) определяется формулой E.2.2), а м<>Сф)> А0(г|)) —
в точке пересечения ударной волны данной линией тока. На
ударной волне
Г Фа 1 + v 7 1+v /г о с\
1 Концепция Ньютона, казалось бы, дсяжна быть приемлемой в оильнс
разреженнС'М газе, когда молекулы доходят до тела практически без взаим-
взаимного соударения. Однако в этом случае существенную роль играют касатель-
касательные напряжения. В частности, если поверхность отражает молекулы газа о
скоростями, много меньшими скорости аппарата, то эти молекулы будут те-
терять при соударении все количестве движения и на каждый элемент поверх-
нссти do будет действовать сила, направленная вдоль вектора скорости набе-
набегающего потока « равная. Q^^ da.
5 2382 129

Отсюда можно получить зависимость 6 = 6 (rw) =Э0(г|)). Тогда
я = я0(Ф) = ^~со8в0(ф)., h = h0^) = hoo + ~U2oosm40{^).
E. 2. 6)
Это решение означает, что конечное изменение давления не
в состоянии повлиять на скорость и энтальпию (и внутреннюю
энергию e = h—p/Q) газа, обладающего бесконечно большой
плотностью.
И, наконец, термодинамическое состояние газа (т. е. функ-
функции Т, р, qn) определяются уравнениями E.1.24):
Oi qm\ E.2.7)
= —Qo(A>, To, qn), h{p0,
k0
Отметим важное свойство ньютонианских течений: распреде-
распределения давления по телу E.2.1) или E.2.2) и скоростей по лини-
линиям тока ио(^) не зависят от физических свойств газа и опреде-
определяются только формой тела. Это утверждение распространяется
и на течение излучающего газа, если только не происходит его
нагрева с заметным уменьшением плотности, так как излучение
влияет лишь на энтальпию ((плотность) через уравнение адиаба-
адиабаты dh = qdt, где q — скорость притока тепла.
Заметим, что непосредственный «корпускулярный» вывод
формулы Ньютона справедлив для любой элементарной пло-
площадки произвольного тела, если в E.2.2) sine заменить на
nx = cos (Uoo, п), где п — вектор нормали к площадке. Тогда
p~Poo=QooUooC0S2{Uoo, n). E.2.8)
Формула же Буземана в пространственном случае должна
содержать центробежные члены, обусловленные обеими главны-
главными кривизнами площадки. В самом деле, при 8—Ч) в уравне-
уравнении E.1.176) слева останутся лишь два последних члена, тог-
тогда, проинтегрировав это уравнение от тела до ударной волны,
получим давление на теле
P=PS—М QU*dy—±- \ Qw*dy, E. 2.9)
О О
где давление на скачке ps определяется формулой E.2.8). Одна-
Однако здесь далеко не тривиальным становится расчет траекторий
линий тока и скоростей на них.
Подчеркнем, что формулы Ньютона и Буземана справедливы
лишь для лобовой, обращенной к потоку поверхности тела, и то,
130

если около нее ударный слой имеет малую толщину (область /
на рис. 5.1). В частности, формула Ньютона для затененной ча-
части тела (область ///) неверна, но давление здесь обычно мало
и в практических расчетах аэродинамических сил им пренебре-
пренебрегают.
§ 5.3. Примеры применения и анализ точности формул
Ньютона и Буземана
Формулы Буземана и, в особенности, Ньютона очень просты,
поэтому представляет интерес проверить их согласованность с
точными результатами. На рис. 5.3 и 5.4 показаны отношения
точного избыточного давления р—роо к ньютонианскому E.2.2)
Рис. 5.3. Отношение избыточного дав-
давления на клине к'ньютониан-скому:
¦ точное; решение § 6. 2
Рис. 5.4. Отношение избыточно го давле
¦ни я на конусе к ньтстоиианскому:
¦точное; решение § 6. 2
для конусов и клиньев с углом наклона 6, которые в общем
близки к единице при больших Моо и средних 6 и, по крайней
мере, почти всегда порядка единицы. Заметим, что точность фор-
формулы Ньютона выше для конуса, толщина ударного слоя б —
==;ctg(a—6) на котором меньше, чем на клине (рис. 5.5). 3&
5* 1ЭД

параметр k0 здесь взято отношение плотностей до и после скач-
скачка с углом наклона а, равным углу 6. Для совершенного газа
Y- 1
_. Y— * |
sin2e
Исключение составляет диапазон небольших М<х> и 0, когда вме-
вместо сильной ударной волны перед телом возникает скачок уплот-
уплотнения малой интенсивности,
в пределе — характеристика,
или линия Маха. Это и есть
область применения линей-
линейной теории (см. § 3.6). Точ-
Точность формулы Ньютона
Р/Ри
0,5
0,5 1f0
П
Рис. 5.6. Отношение
давления — автомо-
автомодельное решение.
Моо=°о — на степен-
степенных телах к ньютони-
анскому рн—
Рис. 5.5. Наклон скачка уплотнения:
с—для клина; б—для конуса; в—параметр k0;
точное, \' = 1,4; — • — . —точное, Y=l»l;
— ¦ метод тонкого ударного слоя (§ 6. 2)
уменьшается также при больших
углах Э, близких к предельному
углу 8о поворота потока в скачке
уплотнения. В этом случае тол-
толщина ударного слоя имеет поря-
порядок tg(<z—6) ~&tg0o~&1/2, а не /г,
как для умеренных 0 (§ 2. 6).
Заметим также, что давление на клине и конусе тем меньше
отличается от своего предельного при М<х>—^°° значения, чем
больше Моо и 6, что является наглядной иллюстрацией закона
гиперзвуковой стабилизации (см. гл. 4).
7—7=1 [формула Бузема-
на E.3.1а)]; 2~т~1,2;
ЗТ14; 4т167
ординат ударной волны и
тела при 7 = 1>4; 00—интег-
00—интегральный метол [см. §10.3
132

л/? гг:
¦¦-.л-
:Рис. 5.7. Распределение давления по телу оживаль-
ноЙ формы (у= 1,4):
точный расчет; формула Ньютона; — • — ме-
метод местных конусов; — формула Буземана
133

Как пример тел с криволинейной образующей, для которых
при k—Я) необходим учет центробежных членов, рассмотрим
очень тонкие тела степенной формы rw = cxn, когда при Моо->-<х>
для совершенного газа существуют автомодельные решения .
Для тонких тел sinG^r;, cos9~l, поэтому u(q>)ttUoo и из
E.2.1) и E.2.2) соответственно получим
- = ^а/+: ~~~ rwrw i ГТ, 'V • •
0,5
bP=Q»Ulj>2 = QOoUlin*c*x2in-1\ (bp = p-Poo). E.3.16)
На рис. 5.6 для v=l дано отношение давления, полученного
из автомодельных решений,,
к ньютонианскому E.3.16).
Как видно, с уменьшением у
давление на таких телах при-
приближается к буземановскому
(точному при у-*1)> хотя это>
различие увеличивается с
уменьшением /г, а при п ^ 0,7
и Y>*>2 нарушается и качест-
качественное согласование кривых,,
что объясняется увеличением
толщины ударного слоя.
Дополнительно на рис. 5.7
и 5.8 показано распределение
давления по телу типа конус--
оживало—цилиндр, обтекаемо-
обтекаемому под небольшим и большим
углами атаки; формула Нью-
Ньютона и здесь дает удовлетвори-
удовлетворительные результаты, кроме
подветренной или затененной
стороны тела.
Заметим, что при у~ 1,4 для
выпуклых тел, как следует из
рис. 5. 6 и 5. 7, формула Ньютона дает в общем лучшие резуль-
результаты чем формула Буземана. Это объясняется тем, что умень-
уменьшение давления за счет центробежных сил часто компенсируется
повышенным по сравнению с ньютонианским давлением за скач-
скачком уплотнения. Последнее утверждение следует из соотноше-
соотношения B.6.2) на скачке уплотнения (9 — угол отклонения потока)
6. E. 3. 2)
V
\
а-.
\
V
гв
к.
0 100 (р°
Ри-с. 5.8. Распределение давления
пс окружности острого кснуса с
0=10° при а=70°, М^^б:
— О —О —эксперимент; форму-
—эксперимент; формула Ньютона
sin a sin о
cos (а — в)
1 Вблизи нсска при п<\ такое тело не будет тонким, а при п>\ удар-
ударная волна вблизи носка не может быть сильной. Но этим обстоятельством
можно пренебречь (эти вопросы будут рассмотрены в гл. 10).
134

Для вогнутых тел центробежные силы увеличивают давление на
теле, и формула Ньютона может давать большие погрешности.
На практике для слабовыпуклых тел и сравнительно неболь-
небольших сверхзвуковых чисел Моо иногда используют метод местных
конусов или клиньев, в котором давление на поверхности тел
берется таким же, как и для клина или конуса с половиной уг-
угла при вершине, равным местному углу атаки поверхности.
Метод этот, однако, не имеет какого-либо обоснования и требу-
требует осторожности в применении, так как на выпуклых телах дав-
давление может оказаться даже ниже ньютонианского, и примене-
применение метода местных клиньев и конусов лишь усугубит
ошибку.
Рассмотрим теперь тупые тела, перед которыми возникает
отошедшая ударная волна. Ограничимся лишь лобовой частью
тела, для которой sin 8 ~1. Формуле Буземана для сферы и ци-
цилиндра можно придать простой вид. Из геометрических сообра-
соображений имеем
\<\>s)
E.3.3)
Подставляя эти формулы в E.2.1), получим
Ро
о
E.3.4)
Для цилиндра |3 = 3/2, а для сферы C = 4/3, по формуле же Нью-
Ньютона для них р = 1:
6=l —cosa6=cosa<o, (<o = jt/2—6). E.3.5)
Ро
Здесь множитель р'о — давление в точке торможения за прямой
ударной волной (введен вместо pooU^ для повышения точности).
В таком виде формулу E.3.5) называют модифицированной
формулой Ньютона. Величину р'о легко получить, интегрируя
уравнение движения E.1.176) вдоль оси симметрии:
ь
E.3.6)
135
2 J qs
о

Если плотность на оси зависит лишь от давления (совершен-
(совершенный или равновесный газ), то под интегралом можно принять
p/ps« 1. Тогда
р'-р =q U2(l- — k). E.3.7)
Эта формула обладает высокой точностью уже при Моо>2 (рис.
5.9, в). При &-Я), Моо—^оо величина1 P^—+PooUI/j обычно
P'JpooUl =0,9-^-0,97 при Моо^5.
На рис. 5.9 для цилиндров с сечением в форме эллипсов и
для эллипсоидов вращения приведены кривые plp^. Как видно,,
точные кривые лежат между приближенными, но формула Нью-
Ньютона, как и для заостренных тел (и по тем же причинам) в це-
целом дает лучшие результаты, чем формула Буземана.
Эти данные подтверждают наиболее существенный момент
ньютонианского закона сопротивления — зависимость давления-
на лобовой части тела в основном от местного угла атаки.
Другим следствием этого закона является слабая зависимость
распределения давления по лобовой части тела плавной формы,
от условий обтекания. Например, для сферы, движущейся в ат-
атмосфере Земли со скоростями f/oo^2000 м/с, кривые р/р'о для
совершенного газа, равновесных или неравновесных процессов,
располагаются в узкой полосе, центральная линия которой ап-
аппроксимируется формулой (рис. 5.10)
f<o=-|---6) . E.3.8)
Это обстоятельство тем более примечательно, что структура
ударного слоя на тупых телах существенно зависит от его физи-
физико-химического состояния (см. рис. 4.3 и 4.4).
На этом основан так называемый метод линий тока, в рам-
рамках которого уравнения энергии и химической кинетики [напри-
[например, EЛЛ4) и E.1.15)] решаются вдоль линий тока по задан-
заданному распределению давления (взятому, например, по формуле-
Ньютона или из расчетов для совершенного газа).
Приведенные примеры показывают, что для заостренных и
тупых выпуклых тел с плавным изменением кривизны поверхно-
поверхности в реальных условиях обтекания формула Ньютона дает точ-
точность, вполне приемлемую для проведения оценок, чем и объ-
объясняется ее широкое применение в гиперзвуковой и даже сверх-
сверхзвуковой аэродинамике.
Конечно, современное развитие вычислительной математики и
техники дает возможность с высокой точностью получить харак-
1 Сравним ее с давлением торможения /?0 = ^00 + V2Qoo^l в несжимаемой
Жидкости (которое легко пслучить из уравнения Qoodp——vdv).
136

20
40
60
80 Ш°
Рис. 5.9. Распределение давления на эллиптических
.цилиндрах (а) и эллипсоидах вращения (б) при
М оо y14:
сплошные линии снизу вверх:
&—д*=а/Ь 2, 3/2, 1 (цилиндр), 1/2; б—6=3/2, 1 (сфера), 1/2;
формула Ньютона; — — формула Бузе-
>1ана для 8 = 1; в—величина р0' в совершенном газе при
l4
137

теристики обтекания широкого класса тел. Тем не менее, ньюто-
нианская теория по-прежнему служит эффективным и чрезвы-
чрезвычайно простым средством для понимания основных закономер-
закономерностей распределения и порядка сил, действующих на тело в
гиперзвуковом потоке. Формула Ньютона (и, реже, Буземана)
часто и успешно используется для составления корреляционных
формул, взаимного пересчета данных для разных тел плавной
формы, решения вариационных задач и т. д.1.
60 10 80 90 со°
ZO JO t+0 50 60 cu°
Рис. 5.10. Распределение давления по сфере при
(Уоо>2 км/с:
аппроксимирующая формула E 3. 8); — • — формула
Ньютона, формула Буземана
Ввиду широкого распространения ньютонианской теории, и
особенно формулы Ньютона, оговорим особо те ситуации, в ко-
которых эта теория непосредственно неприменима. Выше уже
подчеркивалась применимость формул Буземана и Ньютона
лишь к лобовой части тел достаточно плавной формы. Форму-
Формула Буземана приводит к качественным погрешностям в окрест-
окрестности точек разрыва кривизны (например, рис. 5.7 или 5.19),
так как здесь первый член в E.2.1) непрерывен (вместе с фор-
формулой Ньютона), а второй терпит разрыв, в то время как точное
распределение давления при любых уф\ будет непрерывным.
Обе формулы в их непосредственном виде также не приме-
применимы или могут давать большие погрешности перед точкой из-
излома поверхности с дозвуковым течением перед ней (см. § 5.6)
и за угловой точкой (или вообще в области значительного изги-
изгиба поверхности), где поток или быстро расширяется (например,
1 Например, в книге [43]. Применению ньютониажжсй теории в исследо-
исследовании различного рода течений посвящено большое количество работ и эта
тема далеко еще не исчерпана.
138

в волне Прандтля-Майера) или, наоборот, сжимается, с обра-
образованием скачков уплотнения.
Пример такого тела, в целом малоподходящего для приме-
применения формулы Ньютона, показан на рис. 5.11 (примерные фор-
формы ударных волн около этого тела показаны на рис. 2.1).
Как видно из рисунка, давление как на переднем конусе, так
я на заднем (щитке) заметно отличается от постоянного, рас-
Рис. 5.11. К определению давления на телах е из-
изломом образующей:
/—совершенный газ М^-6, у = 1,4; 2—воздух, равновес-
равновесное течение, °Н=60 км, G=6000 м/с;
точные кривые (метод характеристик); <
яетод местных клиньев; — • — . — внешняя формула
2
Ньютона bp^QooUoo sifl2 б
считанного по формуле Ньютона (исследование обтекания та-
таких притуплённых тел проведено в гл. 11).
Остановимся несколько подробнее на телах с положительным
изломом поверхности. Возникающий при этом внутренний ска-
скачок уплотнения определяется углом излома и местными парамет-
параметрами потока перед ним. Поэтому расчет давления за внутрен-
внутренним скачком по формуле Ньютона E.2.2) со скоростным напо-
напором набегающего потока не имеет отношения к делу. В этом
случае характерные величины в ударном слое при й<1 имеют
порядки (индексом «1» помечены параметры перед внутренним
скачком):
139

' — , их ~ Uoo cos 3]
k
Л ~ Qoot/l sin* 9^ М? ~ -^ ~ -4-¦•¦ E. 3. 9)
Здесь принято для простоты, что скорость поперек ударного
слоя имеет одинаковый порядок. Течение в ударном слое будег
гиперзвуковым, т. е. М~»1, если выполняется условие fetg20i<C
<Cl. Тогда для определения сил, действующих на щиток или во-
вообще на некоторое препятствие, погруженное в ударный слой,,
можно использовать местную формулу Ньютона (или Бузе-
мана):
A/7=/72 — /?1 = Q1^sin2A0, E.3. 10)
где ДО — угол между поверхностью щитка (препятствия) и при-
приходящей в эту точку A на рис. 5.11, б) линией тока с парамет-
параметрами qi, pi и их на ней.
Об оправданности такого локального подхода свидетельствует
сравнение на рис. 5.11, а кривых давления на щитке точных ш
определенных по методу местного клина (примененного здесь
вместо формулы E.3.10) из-за сравнительно умеренных чисел
Mi^3 перед щитком в этом примере), согласно которому давле-
давление в каждой точке щитка приравнивается давлению на клине с
углом Л6, обтекаемом потоком с параметрами Qu Щ и т. д.
Рассмотрим еще простой пример двойного клина (см. рис.
5.11, б) с малыми углами 6i и 02>9i, обтекаемого совершенным1
газом при Моо = °°. Тогда давления на щитке, посчитанные па
внешней E.2.2) и местной E.3.10) формулам Ньютона, будут
соответственно равны
—-—-— sin 02~°2>
^?оо оо
E.3.11)
При 02 = 29i, например, последняя, более точная формула,,
дает давление в у12{у—1) раз больше, чем первая.
Оценим еще продольную силу X, действующую в этом при-
примере на щиток единичной ширины с высотой бо, меньшей толщи-
толщины ударного слоя б перед щитком. Согласно оценкам E.1.4) ^
b~krQ (см. рис. 5.11, б), поэтому при малых k и Ог—0i^0l
получим
у__
sin Q2 cos 61 г г2 Ь
о
Sin @2 — "l)
140

Таким образом, на малое препятствие с размером порядка
толщины ударного слоя действует конечная при у-^1 сила, срав-
сравнимая с силой сопротивления ^о~?ооС/1г08^ всего предшествую-
предшествующего участка тела. В пределе же, при k—Ю, 6->0 эта сила будет
сосредоточенной, приложенной к точке излома поверхности.
(Такой схемой часто пользуются в теоретических исследова-
исследованиях).
Этот вывод, очевидно, носит общий и принципиальный харак-
характер, обусловлен лишь большой плотностью газа в ударном слое
и справедлив для выступающих над поверхностью тела элемен-
элементов (например, крыло, стабилизатор, уступ и т. д.) любой фор-
формы. Это обстоятельство позволяет при гиперзвуковых скоростях
обходиться управляющими или несущими органами малых раз-
размеров, при сохранении порядков действующих на них сил 1.
Если щиток выше толщины ударного слоя 6о>6, то дополни-
дополнительную силу, действующую на выступающую над ударным сло-
слоем часть препятствия, можно оценить по обычной формуле
Ньютона E.2.2).
§ 5.4. Аэродинамические характеристики тел.
Коэффициенты сопротивления
Используя закон сопротивления Ньютона, рассмотрим нес-
несколько примеров, раскрывающих характер сил, действующих на
тело при его пространственном обтекании2.
Введем некоторые определения. Пусть (х, у, z) — ортого-
ортогональная система координат с осью х, параллельной вектору ско-
скорости набегающего потока ?/«>, а (т, п, г) — связанная система
координат с осью т, совмещенной с характерной осью тела, на-
например, осью симметрии, с началом в передней точке. Проекции
полной аэродинамической силы на направления этих координат-
координатных осей принято соответственно представлять в виде
T=qCzS0, N=qcnS0, q=±- QoouL E.4. 1)
где So — площадь характерного поперечного сечения (миделя)
тела, а сх, сх и т. д. безразмерные коэффициенты, зависящие от
формы тела и условий обтекания в соответствии с теорией подо-
подобия гл. 4. Если считать плоскостью угла атаки плоскость, содер-
жащую вектор ?/«,, с которой совместим координатные плоско-
1 На этот эффект впервые обратил внимание Г. И. Таганов в 1958 г. За-
Заметим, что реальная картина течения около выступающих элементов может
содержать передние срывные зоны, существенно искажающие описанную вы-
выше картину обтекания.
2 Подробные сведения по этому вопросу приведены в книге [19].
141

сти (х, у) и (т, и), а углом атаки а угол между осями х и т,
(рис. 5.12), то
cy = cncos а+Ст sin а, сх = — сп sin а-f cxcos a. E.4.2)
Пусть пХу tin — направляющие косинусы нормали п к телу
в связанной системе координат. Тогда
\]^ E.4.3)
где 2 — площадь поверхности тела.
сп
sin ос с os ос
2
1 -
e=55Ojr70°
ос = 5°+25°
°
7-7,5scn2a
Рис. 5.12. Корреляция между аэродинамическими
характеристиками для 'различных тел вращения:
значки — расчетные и экспериментальные данные;
сплошная линия — ньютонианская зависимость E. 4. 12)
(для заостренных тел /V=l)
Выпишем еще момент аэродинамических сил относительно
некоторой точки to на оси тела в проекции на ось z
E. 4. 4)
=-~^p[nn{x-x0)- n,n]d^ = M0-x0N;
j j
S
142

Здесь Мо — момент относительно передней точки, L — длина
тела.
Ограничимся обтеканием осесимметричных и плоских тел под
углом атаки а. В этом случае вектор аэродинамической силы
лежит в плоскости угла атаки. Если ср — меридиональный угол,
то
/гт= — sin 6, /гл = cos cpcos 6, E.4.5)
где 0 — угол между осью х и касательной плоскостью к элемен-
элементу поверхности тела. (Для плоских тел cos ср = 4=1 для наветрен-
наветренной и подветренной сторон). Тогда формула Ньютона E.2.2)
примет вид
р—/?TO = Qoo?/Lcos2(#, 6roo) = Qoo ?/«(cosasin 6-{-sin a cos 6 cos срJ,
(?<?*» coscp^=— tgSctga). E.4.6)
При ф^ <p* имеем «аэродинамическую тень», в которой (так
же, как и за донным срезом тела конечной длины) будем пола-
полагать р=роо.
Определим коэффициенты сопротивления некоторых тел,
обтекаемых без угла атаки (а = 0). Тогда сх = ст, пх =—sin0,
So = nVj+v, где 2г0 — поперечный размер миделя тела. Для кли-
клина и конуса с половиной угла при вершине 0 имеем coc = 2sin26.
Для тел с лобовой частью в виде цилиндрического сектора или
сферического сегмента с центральным углом со0 = л:/2—б о фор-
формула Ньютона E.3.5) дает
3
-^-sin2(o0)-^2-, v=l.
Эти формулы имеют удовлетворительную точность (рис. 5.13).
По ньютонианской теории ^ = 1 и максимальный сх = 2 будет
при 0H = 0, т. е. у диска или пластины, перпендикулярных по-
потоку. Очевидно, в этом приближении тот же коэффициент сопро-
сопротивления будет у перпендикулярной к потоку пластины любой
л —
конфигурации. Для цилиндра сх—-—p'Q9 для сферы схжр'о «1,
такой же, как и для клина или конуса с 0О = 45°. Заметим, что
коэффициенты сопротивления тупых тел значительно больше,
чем тонких, у которых величины сх вместе с давлением имеют
порядок sin2O.
143

Для кругового конуса, подставляя E.4.6) в E.4.1) — E.4.4),
получим при а<;0
cT = 2sin26 cos2 а +sin2 а cos2 0,
сп= — cos20 sin 2а, ст = sin 2а.
E. 4. 8)
Аналогичные выражения легко получить и при а>9, когда по-
появляется «аэродинамическая тень», но они более громоздки.
Для одной наветренной стороны клина будем иметь
a), cn= -2ctg6 sin2(e + a),
)/sin2e, E0 = Ltg6, a>0). ¦' j
2,0
1,6
1,1
0,8
0,4
7 2
2 1
20
t+0
60
80
Рис. 5ЛЗ. Коэффициенты сопротивления сфе-
сферических сегментов (v=l):
точные, по формуле Ньютона E.4.7);
/-Моо=6;, 7=1,4; 2-М^^оо, 7=1,4; 5-М^-оо,
Важной характеристикой является коэффициент центра дав-
давления
L
E.4.10)
Здесь точка ха лежит на пересечении равнодействующей аэроди-
аэродинамических сил с осью тела К Для конуса и клина соответст-
венно cd = 2/C cos29) и cd= l/Bcos29).
1 Такюго определения са достаточно вместе с сп и сх для определения
силового воздействия на тело лишь для поля сил, обладающего плоскостью
симметрии. В общем случае необходимо задать линию действия и величину
равнодействующей и момент сил относительно этой линии, который в нашем
случае равен нулю.
144

Формула Ньютона часто позволяет получить полезные зави-
зависимости между аэродинамическими характеристиками. Напри-
Например, для произвольного осесимметричного тела, образующая ко-
которого задается зависимостью п(х), можно найти
о о
E.4.11а)
L
rlcn=-4smacosa\ я"',2 dx, (ro=n(L)). E.4. 116)
О
Первый интеграл в E.4.11а) выражается через второй, по-
поэтому комбинируя формулы E.4.11), получим универсальную, не
зависящую от формы тела формулу 1
Для затупленных тел в соответствии с уточненной формулой
E.3.5) коэффициент при cos^z следует заменить на 2р'о. Данные
рис. 5.12, приведенные для точных значений сп и. сх, подтверж-
подтверждают зависимость E.4.12).
Подставляя в E.4.12) формулы перехода E.4.2), можно по-
получить столь же универсальную зависимость коэффициента соп-
сопротивления тела от его аэродинамического качества К = су/сх:
с* 4 sin a
Ро B - 3 tg2 а) /С+D - tg2 а) Xg a
Рассмотрим еат.е вопрос о сопрсти-влении тел, близких к осесимметричным.
Пусть ферма обтекаемого тела, заданная в цилиндрической системе коор-
координат
г = гв (х, ср) = г0 (х) + ег! (х, ср), е < 1 E. 4. 13)
мало отличается от некоторой осесимметричной г=го(лг).
Для этих тел на-правляющие косинусы .нормали равны соответственно
пх0 = - ^-, До = / Г+Т2. г'о = "^. E.4.146)
Разлагая E.4.14а) в ряд по е, получим
пх = пхй - s ¦— -р- + О (s2). E.4. 15)
Д дх

1 Сообщена автору А. В. Красильниковым. См. также статью А. И. Буни-
мовича (МЖ.Г, 1973, № 4).
145

Предполагая справедливой формулу Ньютона p=pocUмпх, выпишем продоль-
продольное сопротивление исходного тела, которое преобразуем с помощью разложе-
разложений E.4.13) и E.4.15):
L 2те
X
О О
2тс
= \ \ рГ* ТГ d<?dx = ^0 + ^1 + О (?2); E.4. 16)
Выберем теперь тело г=го(х) таким образом, чтобы в произвольном сечении
х=const площади его и исходного тела были одинаковы. Тогда
50=яг§ = S - — \ r\dv = яг§ + е г0 \ ndr+ О (в2). E.4. 17)
о
Из этого равенства следует
1
е, A"i - еХ0. E. 4. 18)
о
Можно потребовать точного равенства нулю интеграла E.4.18). Тогда будет
5—S0~e2S0. В обоих случаях из E.4.16) получим следующий результат:
X-X0~ziX0. E.4.19)
Таким образом, отличие в сопротивлении сопоставляемых тел имеет бо-
более высокий порядок малости, чем отличие их форм, если равны площади их
поперечного сечения.
Этот эффект носит название правила площадей. Примером его применения
служит оеесимметричное тело, обтекаемое под малым углом атаки а, приво-
приводящим к изменению сопротивления тела лишь на величину порядка а2. Это
следует также из формулы E.4.8).
Правило площадей доказано для тел, близких к осесимметричпым \ но об-
область применимости его может быть шире. Для эллиптических конусов, напри-
например, по формуле Ньютона
сх=2 sin '9i sin >62,
где 0i и 02 — половины углов при вершине в двух плоскостях симметрии. Лег-
Легко убедиться, что при малых 9* коэффициенты сопротивления таких конусов
с равными площадями поперечного сечения одинаковы (см. также гл. .12).
Но такое совпадение не является правилом. Например, из формулы
E.4.8) следует, что влияние угла атаки при а,—«9 на сх конуса велико. Другой
пример: коэффициенты сопротивления правильных многогранников с числом
1 В строгой пэстансвке правило площалей обосновано М. Н. Коган ш
(Инж. журнал, 1961, № 3), и А. Н. Крайкз и др. (ПММ, 1974, № 6). Для тон-
тонких тел в рамках линейной теории (см. § 3.6) правило площадей применимо
и для тел не обязательно близкой формы (К. Oswatitsch, Appl. Mech. Rev.,
1957, № 12).
146

граней п и эквивалентного им конуса (схп и сХк соответственно) связаны со-
согласно формуле Ньютона соотношением
схп = BcM[l --J- A -В) cxh]-i,B == — Ctg — .
I п п
При п^>] Вж\, но при /г=3, например, 5=0у5|5.
§ 5.5. Свободные слои. Распределение энтропии за тупом телом
Формула Буземана E.3.4) для сферы и цилиндра имеет ин-
интересную особенность: при sin2 со' = B + v)/C + v) давление на
теле обращается в нуль, а при со>а/ становится отрицательным;
для сферы о/= 60°, для цилиндра со'^55°. В то же время за
ударной волной в этой точке ps = PooU2oo/C-\-v). Это означает, что
возросшая центробежная сила искривленного ударного слоя
уравновешивает в этой области воздействие скоростного напора
и, следовательно, основная масса газа, двигаясь по инерции,
отойдет от поверхности, что приведет к утолщению возмущен-
возмущенного слоя (область // на рис. 5.1) и к нарушению ньютонианской
картины течения.
При y=1 плотность газа на любой линии тока будет беско-
бесконечна и, следовательно, вся масса газа будет двигаться в беско-
бесконечно тонком свободном ударном слое1 (схематично изобра-
изображенном на рис. 5.1), примыкающем к ударной волне и отделив-
отделившемся от поверхности тела. Давление же на теле и в «вакуум-
«вакуумной» зоне между телом и свободным слоем равно нулю. Свобод-
Свободный слой образуется в той точке, где радиус кривизны по-
поверхности R окажется меньшим радиуса R', определяемого фор-
формулой Буземана при я|) = 0 и /? = 0 (например, в точке излома
поверхности, в которой R = 0).
В реальном течении «вакуумная» область будет, конечно, за-
заполнена газом с конечной плотностью и давлением. Однако схе-
схема свободного слоя обладает несомненной качественной досто-
достоверностью. На рис. 5.14 показаны формы ударных волн и дав-
давление на теле сфера — цилиндр и на ударной волне на одной
нормали к телу. При со ^ 60° действительно ударная волна бы-
быстро отходит от тела, а давление на теле существенно меньше,
чем за ударной волной.
В предельном случае у—И форма ударной волны и свобод-
свободного слоя г8(х) описывается интегродифференциальным уравне-
уравнением, в которое превратится формула Буземана E.2.1) при р = 0
на линии тока *ф = 0. Найдем решение этой задачи более простым
путем, позволяющим в то же время связать форму свободного
1 Впервые описанном М. Лайтхиллом (в сборнике «Вопросы ракетясй
техники», 1957, № 5, 6). См. также работу Фримена [13].
147

слоя с интегральными характеристиками лобовой части тела.
Пусть и, v компоненты скорости в цилиндрической системе ко-
координат (х, г). Выпишем уравнения баланса количества движе-
движения в проекции на оси х и г для контрольной поверхности, охва-
охватывающей переднюю часть тела с формой г=гю(х)
Ml
Ь'+2
Ч
Ml
r"dr-
l+v
E.5.1)
60
80 6° 1
x/r0
Рис. 5.14. К картине течения за отделившимся свободным слоем:
л—распределение давления на теле (I) сфера-цилиндр и (II) ударной волне:
Моо = °о> 7 = 1,4; Моо=6, 7 = 1,4; Qoo=3,3-10~7 г/см*
(#=60 км), f/оо=10 км/с-(т*—1,1M б—формы ударных волн для пластины (v=0
1—Моо = оо» 7 = 1,4, 2—Моо^оо, 7 = 1,13; и для цилиндра (м=1); 3—М^^оо,
7=1,4; 4 — 0^=3,3-10~7 г/см3, ^7^=10 км/с, G*-1,1); свобод-
G*-1,1); свободный слой; 5—v=0; 6—v=l
. s
{ Qttvr^dr =
(^ф = Bjt)VvQ#rfr). - E.5. 2}
Здесь QjUlfl^f— количество движения, приобретенное газом
до точки отделения г0 в радиальном направлении (в осесиммет-
ричном случае импульс рассчитан на единицу угла между дву-
148

мя близкими меридиональными плоскостями), сх — коэффици-
коэффициент сопротивления этой части тела. При М<х>^>1 последним чле-
членом справа в E.5.1) можно пренебречь. Так как давление под.,
свободным слоем с толщиной б равно нулю, то второй член
справа в E.5.1) будет мал вместе с б/г0 и его можно также
опустить. Поскольку свободный слой тонкий и суммарный век-
вектор количества движения газа в нем параллелен ударной вол-
волне, то из E.5.1) и E.5.2) получим
j?* 1 Г) г ** 1 / Г* Г" О \
dxx
Хл=-
E. 5. 4)
Интеграл уравнения E.5.3) в этих переменных имеет вид
E. 5. 5)
Постоянная с определяется в точке отделения свободного слоя.
В формулах E.5.4) характерный размер № связан с сопро-
сопротивлением Хо части тела с прилегающим ударным слоем. Так;
как последующая часть тела г:>г0, где р~0, не вносит вклада в
сопротивление тела, то в качестве Го
и сх в соотношении для № можно взять ^
радиус миделя и коэффициент сопро- * '
тивления всей лобовой части тела, что '
и будет подразумеваться в дальней-
дальнейшем.
Кривые E.5.5) для сферы и ци-
цилиндра показаны на рис. 5. 14. Из-за
конечной толщины ударного слоя, они,
конечно, далеки от точных1. Однако,
схема свободного слоя позволяет полу-
получить один интересный результат.
В § 2. 3 было указано, что для задан-
заданных условий обтекания энтропия зави-
зависит от величины s = sin2a в точке пере-
пересечения данной линии тока с ударной
волной. Из E.5.3) следует, что рас-
распределение ?D0 зависит лишь от от-
относительного импульса /о. Оказы-
Рис. 5.15. Примерная зависи-
зависимость импульса /о=2//сх от
центрального угла сегмента:
v==i; v=0; 1—/г=0,05;;
2_/г=0,2
1 Что лишний раз показывает, как легко инсгда, устремляя малый пара-
параметр к нулю, выйти за пределы реальности.
149>

вается, что этот параметр в реальном диапазоне /г>0,05 для
тупых тел (особенно плоских) зависит от формы тела незначи-
незначительно (рис. 5.15). Поэтому кривые 5 Dя) для различных тел
оказываются значительно более близкими, чем в исходных коор-
координатах s(\|/), что показано на р-ис. 5.16. То же справедливо
и для формы ударных волн в переменных E.5.4) на большом
Рис. 5.16. Распределение энтропии по
линиям тока:
-аппроксимаций ,
_ ;
удалении от тела, где константой с в E. 5. 5) можно пренебречь.
Конечно, кривые s(xY) до точки отделения должны зависеть от
формы тела, но это различие оказывается также небольшим, тем
более что в этой области величина s близка к единице.
Отсюда следует, важный, хотя в сущности, эмпирический вы-
вывод: распределение энтропии по линиям тока за отошедшим
скачком около тупого тела зависит в основном лишь от коэф-
коэффициента его сопротивления.
Заметим, что универсальной функции sD?) соответствует
совпадение форм ударных волн #i(*i) в координатах подобия
E.5.4) (если начало координат *i = 0 поместить в переднюю точ-
точку ударной волны).
150

§ 5.6. Общая картина обтекания тупого тела
Найденное выше распределение давления позволяет описать
картину гиперзвукового обтекания (рис. 5.17) тупых тел.
Дозвуковая область в центре (эллиптический тип уравнений,,
гл. 3) ограничена звуковыми линиями (поверхностью в трехмер-
трехмерном течении), местное число Маха на которых М=1. К ним при-
примыкает так называемая трансзвуковая область с небольшими
сверхзвуковыми скоростями (гиперболический тип уравнений), &
О 0,2
а) х/Р0
Рис. 5.17. Формы ударных волн, звуковых линий и
(пунктир) стределыные характеристики при абтекашш:
а— сферы; б—цилиндра; /—Мто-=6, 7 = 1,4; 2—М^^оо, 7=1,4; 3—q^—
-3,3-10~7 г/см* (Я « 60 км), (/оо=7,5 км/с, Т*—1,13, ?=0,06;
4-Моо^оо, 7-1,13
которой возмущения, идущие по характеристикам вниз по пото-
потоку, могут тем не менее достигать звуковой линии и через дозву-
ковую область передаваться вверх по течению.
Эта область справа ограничена предельной характеристикой
(характеристической поверхностью в трехмерном течении), вы-
выходящей из звуковой точки (линии), или близкой к ней, на те-
теле. В зависимости от формы тела и условий обтекания эта ха-
характеристика может принадлежать к первому (тело типа торца)
или второму (сфера) семейству.
Дозвуковая и трансзвуковая области в целом составляют об-
область, минимально необходимую для одновременного анализа,
так как течение здесь зависит от формы всей заключенной в ней
поверхности тела. Форма же тела за пределами этой области,,
омываемая уже сверхзвуковым потоком, не влияет на течение в
нй, за исключением, может быть, отдельных случаев (напри-

мер, излом поверхности, вызывающий отрыв потока вплоть до
дозвуковой области или вообще изменяющий положение голов-
головной ударной волны).
При строгой математической постановке задачи о течении в
трансзвуковой области при сверхзвуковом обтекании тупого
тела помимо полной системы уравнений следует задать лишь
условия обтекания, соотношения на ударной волне и условия
на передней части тела, минимальный размер которой заранее
неизвестен; никаких других условий, например, в районе пре-
предельных характеристик или звуковой линии ставить не тре-
требуется.
Рассмотрим форму дозвуковой и трансзвуковой областей те-
течения при гиперзвуковом обтекании тупых тел, полагая для оце-
оценок показатель адиабаты подходящей постоянной величины. Из
формулы A.9.5) следует, что давление в звуковой точке (М=1),
т_
Е±.=A±1) w~ 0,525-^0,605, E.6. 1)
Ро \ 2 /
Y=l,4-f-lf (llmpjpo=e-lf2)
сравнительно слабо зависит от у (как впрочем и энталь-
энтальпия A# = 2#/(y+1), которая близка к энтальпии торможения Я).
'С другой стороны, вдоль поверхности тел гладкой формы рас-
распределение давления определится формулой Ньютона E.3.5),
так что полагая р*/р'о=cos2' о>#, найдем, что положение звуковых
точек и вообще распределение чисел Маха по поверхности тел
гладкой формы слабо зависят от условий обтекания или от у.
Например, для сферы и цилиндра центральный звуковой угол
so)* =36-^-41° в широком диапазоне условий обтекания при М<х>:>б.
Положение звуковой точки на ударной волне с углом накло-
наклона а определяется условием tga*^&~1/2 (§ 2.6). Полагая форму
ударной волны близкой к форме тела, получим, что при k—>-0
звуковая точка на ударной волне стремится к оси симметрии по
закону со* = я/2—а*^&1/2, что и просматривается на рис. 5.17.
Рассмотрим теперь тела с угловыми точками, например, сег-
сегментальной формы. Если угол раствора сегмента соо больше уг-
угловой координаты coi предельной характеристики, скажем, на
сфере или цилиндре (на сфере при Моо>3, coi = co*), то картина
обтекания лобовой части такого сегмента ничем не отличается
от картины обтекания соответствующей части гладкого тела.
Если же соо<со*, то внезапное падение давления за угловой доч-
дочкой будет распространяться по дозвуковой области вверх по те-
течению, что приведет к ускорению газа и перемещению звуковой
точки на угловую. При этом давление при уф\ перестает под-
подчиняться закономерностям формул Ньютона или Буземана и уже
152

не определяется лишь местным наклоном поверхности (по край-
крайней мере, в окрестности угловой точки).
Такие тела (картина их обтекания и распределения давле-
давления на них показаны на рис. 5Л8—5.20) будем называть сильно-
затупленными в отличие от гладких тел (типа сферы, цилинд-
цилиндра), давление на которых следует ньютонианской теории.
0.2 0,4 0,6, 0,8 г/г0 О
0,2 0,4 0,6 0,8 r/f9
6)
Рис 5.18. Распределение давления по плоскому торцу (а) и пластине (б), фор-
мы ударных волн и звуковых линий (пунктир):
Гладкие и сильнозатупленные тела имеют различную асимп-
асимптотику течения при k—^0. Чтобы уяснить это, оценим снова тол-
толщину ударного слоя б, исходя (подобно § 5*1) из баланса расхо-
расхода через соосный оси симметрии цилиндр малого радиуса г:
E.6.2)
Qc ис — некоторые средние плотность и продольная ско-
скорость в ударном слое. Пусть Rs — радиус кривизны ударной
волны на оси. Тогда us^vx = U00cosa, r=Rscosa, поэтому, пола-
полагая отношение ucfus конечным при k—^0, получим
8 ~ kRs (us/uc) ~ kRs, E. 6. 3)
т. е. радиус Rs как бы является характерным масштабом течения
в окрестности оси. При k—Ц) для гладких тел RS-*R, где
R — радиус кривизны тела на оси. Но для торца R = oo, так что
в формуле E.6.3) обе величины б, Rs остаются неопределенны-
153

Р/Ро
7,0
0,8
as
0,4
0,2
D 70 20 JO
>
\
\
\
4
N
У
/
-
- 7
50 co°
Pnc. 5.19. Распределение давления по сфериче-
сферическим сегментам при 14^=6, y—1'4:
; __ со0 = 20°; 2 — <о0 — 30°: 3 — сфера;
—распределение чисел Маха по сфере
Р/Ро
О 0,2. 0;4 0,6 0,8 г/г0
а)
Рис. 5.20. Распределеше давления
и формы ударных воля для тупо-
тупого конуса со сферическим носком
,цля 14^ = 00:
5 формула Ньютона и зву-
звуковые линии; 6 < формула Бу-
земана
-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 О
154

#ш. Полагая здесь для оценок в угловой точке (при г=г0) ско-
скорость звуковой ис~а* «А'^С/оо, получим
b~k1I2rQ, Rs~k~1/2r0. E.6.4)
В этой связи к сильнозатупленньш естественно отнести такие
тела, форма ударной волны которых в заданном диапазоне к
не соответствует форме тела и для которых даже приблизитель-
приблизительно Ks?=K, где Ks = R~1 и K=R~l — кривизны ударной волны и
тела. При &—Я) к сильно затупленным телам принадлежат лишь
перпендикулярные к потоку диск (торец) или пластина, но в оп-
определенных диапазонах k к ним могут относиться, например,
сферические сегаенты с малой кривизной или показанное на
рис. 5.20 тело, тип которого по качественной картине течения
меняется от сильно затупленного к гладкому при уменьшении/?.
Математически принадлежность к сильно затупленным или
гладким телам определим соответственно условиями
KS-K<^KS, Ks~K<tKs. E.6.5)
Конечно, и для торца при k-+0 будем иметь Ks~k1!*—Я).
Но основанное на этом предельное решение дает постоянное
давление и нулевые скорости, что не позволит исследовать ре-
реальную структуру течения при малой, но конечной и заранее
неизвестной кривизне Ks (см. гл. 6).
§ 5.7. Закон подобия,
использующий эффективный показатель адиабаты
Опираясь на полученные выше результаты, получим закон
подобия равновесного обтекания лобовой части тупых тел, осно-
основанный на использовании эффективного показателя адиабаты
Y* {p, h), введенного в § 1.9.
В гл. 4 для равновесных течений было показано, что для за-
заданного сорта газа условиями подобия таких течений являются
совпадение скорости ?/<*, и (в меньшей степени) плотности р<х>
газа в набегающем потоке. Эти довольно жесткие требования
могут быть для течений в дозвуковой и трансзвуковой областей
существенно ослаблены на основании следующих соображений.
Давление и энтальпия в этой области изменяются от макси-
максимальных значений в точке торможения до минимальных в рай-
районе предельной характеристики, которые, как следует ожидать,,
отличаются от первых не столь значительно, по крайней мере,.
с сохранением порядка величин p~p'Q, h~H. Для сферы, на-
например, в этой области р^ 0,5/?^ h^QJH. Следовательно, транс-
трансзвуковая область есть область больших давлений и высоких тем-
температур.
В § 1.9 было показано, что локальное течение реального га-
газа можно характеризовать местной величиной эффективного по-
155

указателя адиабаты у% и равновесным показателем ye — Qeal/p,
характеризующим скорость звука и зависящим от y* и его про-
производных. Там же показано (см. рис. 1.8 и 1.9), что при изме-
изменении энтальпии и давления в полтора-два раза величины у* и
уе изменяются, как правило, незначительно, так что для рас-
рассматриваемой области течения их вполне можно считать посто-
постоянными и таким образом характеризовать все многообразие
условий равновесного обтекания тел двумя параметрами y* и Уе,
которые и будут в первом приближении основными критериями
подобия.
Более того, для воздуха отличие отношения Ye/Y* 0T единицы
те более 10% вплоть до температуры Т^ 10000 К (см. рис. 1.9)
'или до скоростей полета I/*»^ 10-М 5 км/с. Поскольку величина
Ye входит в уравнения непосредственно, а не через малую раз-
разность, как y* — 1, то в первом приближении в этом диапазоне
можно принять Ye^Y*> особенно для тел гладкой формы, для
которых, как будет показано ниже, чисто волновые эффекты,
связанные со скоростью звука, не играют особо существенной
роли.
Таким образом, течение газа в дозвуковой и трансзвуковой
областях при обтекании тупого тела (или другого тела с малым
изменением y*> например, клин, конус) будет зависеть лишь от
лараметра y* или
t=_Q™=y*~l . E.7.1)
Qs l
В этом ггриближении течение реального газа моделируется тече-
течением совершенного газа с подходящим значением показателя
адиабаты, что часто используется на практике.
В подтверждении этого закона подобия на рис. 5.21 приведе-
приведены отходы ударной волны б, радиусы ее кривизны Rs на оси сим-
симметрии и величины звукового угла на теле со*? для широкого диа-
диапазона условий гиперзвукового обтекания сферы равновесно-дис-
равновесно-диссоциирующим воздухом и совершенным газом (распределение
давления на теле в этой области зависит от k лишь через вели-
величину pQ, что следует из рис. 5.10 и аппроксимирующей форму-
формулы E.3.8)). Эти данные хорошо аппроксимируются корреляци-
корреляционными формулами
8 = 0,78*/?, /?5 = ( 1,05+1,65*)/?, 0J=34+40*. E.7.2)
Аналогичные формулы для цилиндра имеют вид
2 3,5*. E.7.3)
Для перпендикулярных потоку круглого диска (плоский то-
торец) и пластины зависимости толщины ударного слоя от *, по-
156

2,0
10
V=Os
¦0=1
*?
6/MR
0,05 0,70 0,15 0,20 k
2J=0
V
V ^v^
40
J5C—J I L_J о
0,05 0.70 0,15 0,20 К 0,05 0,10 0,15 к
б) д)
Рис. 5.21. Радиусы кривизны ударной волны (а); относительные
толщины ударных слоев (б); угловое положение звуковой точки
(в) при обтекании сферы и цилиндра:
^—совершенный газ; О—равновесно-диссоциирующий воздух; сплошные
линии — аппроксимации § 5. 7; пунктир — F. 4. 23)
Го г 0
0,0
0,5
Рис. 5.22. Зависимость толщины удар-
ударного слоя от k для плоского торца
О—расчет; О—эксперимент; форм^
лы E. 7. 4)
0,2
0,1
\
К
/
У
У.
II.
\
>
0,05 0,1 0,15 И
157

казаны на рис. 5.22. Эти кривые для диска аппроксимируются
формулами
_!^=1 + 0,6?, -^=0,45A + 0,44). E.7.4)
Там же показана величина Ь=(г^/х)[д(р/р^)/дх]9 характеризую-
характеризующая градиент давления на теле на оси симметрии.
§ 5.8. Нестационарное обтекание тел
Формулы Ньютона и Буземана можно с успехом применять
и для нестационарных течений, если относительная толщина
ударного слоя также мала. Рассмотрим простейший пример вне-
внезапного движения поршня плоского, цилиндрического или. сфе-
сферического (v = 0; 1; 2) с гиперзвуковой скоростью ?/>Яоо. Если
r(t) и R(t) законы распространения поршня и ударной волны,
то масса газа в возмущенном слое и толщина его будут равны
1 + V 1 + V 1 + V
[/?@)=г@) = 0] E.8.1)
{ko = Qoo/Qc, ^ = 0 при v = 0, t*== 1 при v=l,2).
Здесь qc — средняя плотность газа за ударной волной. Как вид-
видно, относительная толщина слоя 6/r<Cl при pc>Qoo. Выпишем
интегральное уравнение сохранения импульса. Поскольку в слу-
случае осевой и сферической симметрии суммарный импульс равен
нулю, то при v=l, 2 это уравнение выпишем для объемов, за-
ключенных в малом меридиональном (телесном) угле tfcp, с мас-
массой /nidcp. Ускорение возмущенного тонкого слоя создается пере-
перепадом давлений на поршне, поэтому, полагая скорость газа в
тонком слое Uttf^R, получим
ЬР = Р- P~ = j^ ^ (m1?) = QJ2 +^f, E. 8. 2)
Qoo*1+V • dr
m1= , r= .
1+ v dt
Первый член справа аналогичен формуле Ньютона, второй—
буземановской поправке на действие центробежных сил, а в це-
целом формула совпадает по существу с формулой Буземана (на-4
пример, E.3.1а)) для тонких заостренных тел (см. гл. 8 и 9).
Ускоряющийся поршень (г>0) испытывает большее давление, а.
замедляющийся — меньшее, подобно вогнутым или выпуклым
158

телам при стационарном обтекании тел. Эта же аналогия поз-
позволяет ожидать удовлетворительной точности формулы Ньюто-
Ньютона Д/? = ?)ооГ2, особенно для замедляющихся тел (см. § 5.3).
Учет инерциальных сил довольно сложен в общем случае
пространственного нестационарного обтекания тела, так как при
подсчете массы газа в данном сечении возмущенного слоя и рас-
распределения продольных скоростей в нем необходимо следить за
траекториями частиц, зависящими, по крайней мере, от двух пе-
переменных: координат и времени. Поэтому ограничимся форму-
формулой Ньютона, основанной на тождественном переносе давления
с ударной волны на тело (формы последних совпадают при
ко—ИЗ). Если тело обтекается стационарным потоком со скоро-
скоростью Uoo и изменяет свою форму, то формуле Ньютона следует
придать вид
2 г-ч г т / Т Т \ / Г* О О \
kp = Qoovoon, yoon = D — Uoocosin, Uoo), E.8.3)
где D — скорость перемещения поверхности тела вдоль его
внешней нормали п. Если форма тела f(t, х, у, ?)=0, то из ус-
условия df=O, как и в § 2.6, получим
~ '* dt У dt dt ~ А ' х~~ А ' ' ' ' '
Знаки в производных fu fx и т. д. должны быть выбраны соот-
соответствующими внешней нормали.
Рассмотрим тело вращения г=гад(т), совершающее плоские
колебания (dz/dt=0) по закону a(t) в плоскости ср = О около
точки то на оси тела (рис. 5.12, § 5.4), например, около центра
масс в свободном полете.
Используя формулы преобразования координат
х = (т— r0)cos a — n sin a, y = (t —ro)sin а-\-л cos а
и выражения для направляющих косинусов нормали п
-»• —>¦
^ = cos (/г, ?/оо)= — sin ам= — cos а sin б— sin а cos б coscp,
Пу— — sin asin6 + cosa cos б cos cp (tg б = drjdx\
можно получить
D — а [(г — т0) cos б -\- г sin б] cos ср. E. 8. 5)
Угловую скорость этих колебаний будем считать малой
D La La у, 1 / • da \ гк q а\
^ооп схэ (^ ~^~ ) схэ (^ ~Н «) I dt )
159

где L — длина тела, Т — период колебаний. Тогда разлагая
формулу E.8.3) в ряд по а, получим
-~=Р + ^Р A = sin2a ы = ^
/7Ш = 2 sin ам ("——- cos б -}-— sin б jcoscp. E. 8. 7)
_ Здесь р0 — квазистационарная составляющая давления, а
/?о> — чисто нестационарный добавочный член. Подчеркнем, что
формулу Ньютона можно применять лишь при v^ п>0.
В соответствии с E.8.7) можно представитыи интегральные
величины § 5.4, например, момент М2=М0-{-а)М(йу на вычислении
которых здесь останавливаться не будем. Выпишем лишь коэф-
коэффициент демпфирующего момента для острого конуса
^ ^(lcose + 2cos
Как видно, всегда Afw<0, так что демпфирующий момент
всегда препятствует изменению угла атаки.
Таким образом, давление, а следовательно, и действующие
силы на колеблющемся теле зависят не только от мгновенного
положения тела, как при квазистационарном обтекании, но и от
скорости перемещения его поверхности. Эти добавочные силы
обычно малы, так при L=\ м, ?/оо=1 км/с, Г=1 с имеем со^Ю.
Однако в ряде случаев учет их может быть необходим.
Глава 6
СТРУКТУРА УДАРНОГО СЛОЯ НА ОСТРЫХ И ТУПЫХ ТЕЛАХ
§ 6.1. Метод тонкого ударного слоя 1
В § 5.2 в наиболее простой форме получено предельное реше-
решение при отношении плотностей до и после скачка k—Я), что поз-
позволило исследовать распределение давления по телам различной
формы и общую картину их обтекания. В этой главе исследуем
структуру тонких ударных слоев на заостренных и притуплённых
телах. Для этого уточним решение путем учета следующих чле-
членов ряда в разложениях искомых функций по kQ:
F.1.1)
1 Зтст метод предложен Г. Г. Черным в 1956 г. и назван методом погра-
пограничного слоя. Подробнее изложение дано в книге [48].
160

Здесь х—координата вдоль поверхности тела rw(x); ip—функция
тока; kQ = poolQc — отношение плотностей в какой-либо характер-
характерной точке ударной волны или ударного слоя. Подставляя F.1.1)
в систему уравнений E.1.21) — E.1.24) и приравнивая члены
при одинаковых степенях k0, получим систему:
Ф
1 (• d^J дул ' /a t m
У1 = -^ ^\ ' ^i^o/1* Оч = Уи\ F.1.2)
Bnrwy > qouo дх
О
«.¦^=--^.А1=-«а; F.1.3)
^; а^ ^ & дх rwR '
Аналогично можно выписать и поправочные уравнения к тер-
термодинамической системе E.2.7).
Уравнения F.1.2) — F,1.4) имеют простые решения в квад-
квадратурах. Эти решения содержат две произвольные функции —
Uis(ty) и ри(х), определяемые из граничных условий на удар-
ударной волне следующим образом. Расход через ударную волну
равен
^ = ^vQoo^cc(rL+v+(l + v)r;^cos0) = ^O5+^1,,
(о. 1. 5)
Фо5= ttV^+vQoo^oo, ф15 = A +v) (nrw?yls cos dQooU^ .
Тогда, разлагая в ряд соотношение на скачке, получим
Л) (Ф05+ k($ls) + k0Pl {%s + kO^ls) = Pos (%s) +
l~kQ^)(sin2e + 2Vi sin 6cos6), F.1.6)
\ Qos/
Il^- sln2by'ls
Проектируя нормальную t>n = C/oo&sina и касательную vx =
= ^00 cos а скорости за скачком на касательную и нормаль к те-
ЛУ> будем иметь
FT / Д \ Г 1 I i» 4- X. / л\"| J * ^ ОС I / /^ i ^т \
V Q* /
Ч$ — ?А>о cos a cos (а — 6) [tg (а — 6) — k tg а],
6 2382 161

Применяя ту же процедуру, что и для давления, получим
«is OM = «iOJw)= -^co sin &y'is-uo(%s) ф15. F. 1. 8)
Аналогично можно вычислить и следующие члены ряда
F.1.1), хотя о сходимости его, в общем, нет каких-либо сведе-
сведений. Несмотря на это, метод ввиду его простоты часто исполь-
используют )В той или иной модификации в аналитических исследо-
исследованиях.
Этот метод, однако, применим непосредственно лишь к за-
заостренным телам и неприменим к притуплённым, с отошедшей
головной ударной волной. Дело в том, что на тупом теле сог-
согласно E.2.6) Ui)@)=0, интеграл F.1.2) оказывается несобст-
несобственным, а исходное уравнение E.1.21) — сингулярным. Вычис-
Вычислим этот интеграл в пределах [i|)os, ty] для сферы и цилиндра,
пользуясь распределением скоростей u/us= Сф/грвI /A+v) в нью-
тонианском приближении E.3.3) и полагая плотность постоян-
постоянной:
*-y = koR(l-VWs)> v=l'> Ъ-У=к*ИЩЛ v=0- F.1.9)
Как видно, для сферы интеграл сходится при г|э—>~0 и дает
6=?{>/?, но для цилиндра интеграл расходится, приводя к беско-
бесконечной толщине ударного слоя.
Причина такого абсурдного результата в том, что действи-
действительная скорость на теле конечна. Поэтому при ио(О)=О суще-
существенную роль в решении должно играть следующее приближе-
приближение, которое, однако, нельзя получить с помощью рядов по це-
целым степеням k. В самом деле, из уравнения Бернулли или из
уравнения E.1.22) на теле с помощью формулы Ньютона по-
получим:
и = 1/2(//~ А)« у2[р^- p)/qc^Иоо 1/2*cos6. F. 1. 10)
Следовательно, вблизи тела продольная скорость имеет по-
порядок fe1/2, т. е. она неаналитична по k, поэтому непосредствен-
непосредственное разложение F.1.1) оказывается здесь невозможным. В то
же время уточнение скоростей вблизи тела лишь слабо повли-я-
ет на перепад давлений за счет центробежных сил, т. е. не из-
изменит формул Буземана E.2.1), E.3.4). Корректный асимптоти-
асимптотический анализ этого случая будет дан ниже (см. § 6.3 и 6.4).
§ 6.2. Обтекание клина и конуса
Рассмотрим обтекание клина и конуса, которые принадлежат
к простейшим и наиболее распространенным в технике заост-
заостренным телам. Ограничимся сначала предельными случаями
полностью замороженного или равновесного течения. В этой за-
задаче отсутствует характерный размер, и согласно § 4.3 решение
162

должно быть постоянным на каждом луче, проходящем через
носок тела, а присоединенный скачок уплотнения — прямоли-
прямолинейным. Известны точные1 и многочисленные приближенные ре-
решения этих задач. Здесь применим метод тонкого ударного слоя.
В ньютонианском приближении
QQ = k0Q = Qoo, F.2.1)
^ (^sin 6I+\ r = rw = xsmb,
вследствие чего при R = oo система FЛ.2) — F.1.4) имеет про-
простое решение.
Для клина при сверхзвуковом обтекании параметры газа по-
постоянны, так как такое решение удовлетворяет уравнениям дви-
движения и граничным условиям. Связь углов клина и скачка 0, а
представлена формулой F.1.7) при а = 0, разлагая которую вряд
по ко, получим
ge. F.2,2)
Тогда из F.1.2) — F.1.8) получим следующее решение:
P^Pcc+QccUlil + ^sm2®, a=t/oo[cos6-A0sinetgej. F.2.3)
На конусе трубки тока сужаются из-за осевой симметрии те-
течения, поэтому после прямолинейного скачка уплотнения проис-
происходит некоторое поджатие потока с увеличением давления.
В этом случае, подставляя F.2.1) в F.1.2) — F.1.4), получим
б cosQ)yl— — {2KQ0Ox2' sin 6) vv
Следовательно, отход скачка уплотнения на конусе вдвое мень-
меньше, чем на клине (при равных 0). Из F.1.6) в свою очередь сле-
Дует /?is = 0, после чего уравнение F.1.4) будет иметь решение
2 2
~^Г= ^3~2У1 COS2 6= (a?-e2) cos2 8, (e=ft/x). F.2.5)
Отсюда получим формулу для давления на конусе
P = Pco+Qcof/2oo(l + -^^0jsin28. F.2.6)
Для ии Vi получим
ах= t/ooSin б tgQ, vx= — UooS> cos 6.
1 Например, таблицы обтекания конусов A, 52].
6* 153-

Как следует из рис. 5.3—5.5, полученные поправки к формуле
Ньютона заметно повышают ее точность, конечно, при малых1
k0. Заметим, что поправочный член для конуса в четыре раза
меньше, чем для клина, т. е. для осесимметричных тел точность
ньютонианской теории должна быть выше, чем для плоских.
Рассмотрим теперь картину неравновесного обтекания кли-
клина и колуса (а на их примере вообще заостренных тел). В этом
случае, как указано в § 4.3, в задаче появляется характерный
размер f/oota, где та — какое-либо характерное время релакса-
релаксации, реакции и т. д., и решение перестает быть автомодельным,
В малой окрестности носка ж?Лх>та, в которой толщина воз-
возмущенного слоя много меньше релаксационной зоны за скачком,
течение будет замороженным. Вдали от носка х^>?/ооТа течение
в;основной части возмущенной области будет равновесным, а
зона релаксации относительно узкой и практически плоской. Но
за такой зоной релаксации, как показано в гл. 2, равновесные
параметры течения не зависят от ее структуры, поэтому течение,
угол наклона скачка, не будут отличаться от тех же при пол-
полностью равновесном обтекании. Следовательно, при неравновес-
неравновесном обтекании клина или конуса давление на поверхности тела
и угол скачка будут изменяться (обычно уменьшаясь) между
своими предельными значениями для замороженного и равно-
равновесного обтеканий.
Но поскольку начальный (при хжО) угол скачка соответст-
соответствует замороженному течению за ним, то вблизи поверхности
тела образуется так называемый релаксационный слой газа2, за-
заполненный линиями тока, прошедшими через этот участок скач-
скачка и поэтому имеющими в принципе другие равновесные пара-
параметры. Расход 1|H через него ограничен и, следовательно, он име-
имеет конечную толщину 6~г|)оЛ)оо?Лх> для клина и исчезающую
d~tyolQooUooXsm b для конуса, и на больших удалениях от нос-
носка в целом не будет оказывать влияние на течение.
В, ныртонианском приближении структура неравновесного
ударного слоя описывается уравнениями E.2.7), которые для
клина и конуса имеют решение типа
Яп=Яп{ъп> Q°°> \* t — t0), Q = Q(vn, Qoo, X., t — t0)...,
^^ * = «W/.(*sine)t+', F.2.7)
vn = UooSmQ, \. = {qnoo, рж, h^, T1*,}, to=t(xo).
Здесь Xq — координата входа данной линии тока г|) в ударный
слой, z — расстояние вдоль оси тела.
Это решение отличается от решения B.5.6) для структуры
зоны релаксации за прямой ударной волной, распространяющей-
1 Величина ko здесь вычислена при а=9.
2 Замеченный В. Н. Жигулевым (ДАН СССР, 1962, т. 144, № 6).
164

ся по газу со скоростью vn с временем пребывания частицы в
ней t—tOt лишь постоянством давления и энтальпии, что несу-
несущественно в нашем приближении.
С помощью F.2.7) решение уравнения F.1.2) для клина и
конуса можно представить в следующем общем виде:
Л±.=у1 G? t0, vn, Qoo, XJ, — = &оу1з, F. 2. 8)
тде 6 — толщина ударного слоя.
Решение F.2.1) и F.2.7) отражает следующий закон подо-
подобия: давление и другие термодинамические параметры (кроме
продольной скорости и) в предельном случае &0—^0 зависят
лишь-от нормальной составляющей скорости yn = ?/ooSin6 и пе-
переменной t~x/(f/oocos 8 ), равной времени движения газовых ча-
частиц вдоль поверхности тела, но не зависят по отдельности от
скорости обтекания ?/«, и от угла наклона б клина или конуса.
Этому же закону подобия подчиняются относительная тол-
толщина ударного слоя 6/ггия поправочный член pi.
Очевидно, при k0—Ч) релаксационный слой отсутствует, так
•как наклон скачка уплотнения в этом приближении всюду оди-
одинаков и равен а=6.
Но на члены порядка k0 в решении для скорости, энтальпии
.« параметров qn будет влиять переменность угла наклона удар-
«ной волны через начальные условия на ней, т. е. возможно по-
появление релаксационного слоя.
- Проанализируем еще формулы для толщины ударного слоя
й наклона скачка
\ ^=«ЛЖ1\^ xZdxo>Qo=Qo (x-xj; F. 2. 9)
v J eo^o x" J Q0
sin 6)v
dX ° ^ QO(X) ^ dX X ){ X ) Q0 °{ }
0
F.2.10)
Как видно, угол между ударной волной и телом для клина
обратно пропорционален плотности на стенке (при \|)=0), а для
конуса в меньшей степени зависит от плотности вблизи стенки
и, следовательно, будет всегда ближе к замороженному, чем на
клине, из-за (влияния растекания, приводящего к весовой функ-
функции A—хо/х) под интегралом F.2.9).
§ 6.3. Асимптотическая форма уравнений
тонкого ударного слоя
В § 6.1 показано, чта обычный метод тонкого ударного слоя,
«основанный на разложении решения в ряды по целым степеням
165

kj не пригоден для тупых тел с отошедшей ударной волной. Ни-
Ниже для плоских и осесимметричных течений получена асимпто-
асимптотическая форма уравнений для течения в тонком ударном слое
около лобовой части тупых тел при k—^0 и рассмотрены неко-
некоторые свойства и частные случаи этих уравнений.
Относительная толщина 6/Rs или 6/R убывает с уменьшени-
уменьшением k. Эти толщины вычислим ниже, в § 6.4, пока же для оценки
асимптотической точности результатов введем малый параметр
F. 3. 1)
Будем использовать криволинейную систему координат х, //»
связанную с телом (см. рис. 5.2). Очевидны оценки
JL-a — KsX, -j--b^Kx(Ksx, Kxztl), F.3.2)
где аи 9 — углы наклона ударной волны и поверхности тела к
оси симметрии, Ks^Rj1 и K=R~l их кривизны.
Естественно предположить, исходя из ньютонианскои теории,
что характер распределения давления по телу (до точки отде-
отделения свободного слоя) тот же, что и вдоль ударной волны
P = QooUl{l-k)sm*a~QjJl>[l-(KsxJ]- F-3-3)
Если и, v — составляющие скорости по осям (х, у), то на
ударной волне при e<Cl будем иметь
us=L/oo[cos a cos (a — 0)-f?sin (а —0)sin а] ~
— (До sin (я/2 — a)~(/ooA:5x; F.3.4)
vs=Uoo [cos a sin (a — 0)—&sin a cos (a — 0)]~
Следовательно, на ударной волне вблизи оси всегда сущест-
существует область с размерами
Ksx < Л, ф < %k1+v ^o = Qoo?/ook7^+v), F. 3. 5)
в которой обе составляющие скорости одного порядка или даже
v^>u. При KsX^k имеем v<^u, т, е. линии тока параллельны
скачку согласно ньютонианскои схеме течения.
Перейдем к анализу уравнений, выписанных в § 5.1. Из
F,3.1) видно, что параметр Ламе Hx=\-\-Ky^l, следовательно,
эти уравнения при е—^0 примут теперь вид
дх ^ ду ^ R о дх
a'^4-^'—-—=-——• F-3.7)
дх ду R Q ду^
166

Отношение последнего члена слева в F.3.6) ко второму име-
имеет порядок (u/R)l(duJdy) ~е, поэтому он может быть опущен.
Это уравнение содержит справа еще один член порядка Qoo/q~&
с градиентом давления, которым нельзя пренебречь по следую-
следующим соображениям. На поверхности тела, полагая плотность по-
постоянной и используя F.3.3), F.3.4), будем иметь
дх 2 дх дх
. F. 3. 8)
Таким образом, опуская правую часть уравнения F.3.6), по-
получим нулевые скорости на теле вместо конечных порядка kll2,
что, как показано в § 6.1, может существенно исказить картину
течения в ударном слое.
Это обстоятельство носит принципиальный характер. Ока-
Оказывается, что применение ньютонианской теории, например, для
анализа сложных пространственных течений в области малых
скоростей (см. гл. 7) требует особой осторожности в оценке ро-
роли членов, содержащих градиенты давления, хотя формально
они имеют тот же порядок малости, что и другие отбрасываемые
члены.
Однако вблизи ударной волны роль градиента давления не-
невелика
<bLdjL^ kxK\ « «' — ~ К\х. F. 3.9)
q дх дх
В этой области можно положить dujdt^Q, и течение будет чис-
чисто инерциальным, ньютонианским с постоянной продольной ско-
скоростью аоСф) вдоль линий тока, переносимой со скачка уплот-
уплотнения. Следовательно, влияние градиента давления следует учи-
учитывать лишь в пристеночном подслое на тех линиях тока, где
окажется Uo<Ua. Из этого условия, используя оценки F.3.4) и
F.3.8), получим порядок толщины подслоя Д и расхода через
него:
^ (^s=^x1+\JJO0). F. 3. 10)
Следовательно, относительный расход через подслой всегда мал.
Заменяя в оценках E.6.3) толщины ударного слоя б среднюю
скорость ее верхним значением исжи8, получим A/d~klP для
осесимметричных течений и Д/6^1 для плоских, что уточним
в § 6.4.
Рассмотрим теперь уравнение F.3.7) сохранения импульса по
нормали к телу. Используя F.3.3) — F.3.4) получим, что члены
в левой части этого уравнения имеют соответственно порядок
К] (K-Ks)x\ 8-i [k+(Ks-K)Ksx2]\ K\Kx\ F. 3. 11)
167

»2
Слагаемое — во втором члене конечно при х—*-0, но дает
малый порядка k вклад в перепад давлений вдоль оси (§ 5.3)
и может быть опущен. Оценим поперечный перепад давлений.
Для гладких тел по условию E.6.5) Ks—K<?.KS, и первые два
члена F.3.11) будут малыми по сравнению с последним. Для
сильно затупленных тел, наоборот Ks—K~KS, и последний член
в F.3.11) может быть олного порядка с остальными или малым.
В этом случае перепады давлений поперек ударного слоя и вдоль
него за счет конвективных членов уравнения могут быть одного
порядка
2 2
5л:
О U2 к о (/2 ~AjX.
^оо^ оо Л ^oow оо
При этом для торца, например, согласно E.6.4) имеем
Ksx~KsrQ~kll\ {Lp^ — iLpX — QjUlk^l. F.3.12)
Но именно эти перепады, а не абсолютная величина давления
влияют на структуру течения в ударном слое, в частности, на
распределение скоростей, поэтому в уравнении F.3.7) для силь-
сильно затупленных тел должны быть сохранены все члены в левой
части.
Таким образом, система уравнений, описывающих течение
около лобовой части тупого тела, имеет следующий асимптоти-
асимптотический при k—Я) вид
да , да 1 др .
дх ду q дх
.-/ dv , dv \ а2 1 др ,а о л оч
ш \-v—] =—- — ; F.3.13)
Jl\ дх^ ду ) R q ду ' К }
+0 Или ++Qr;
дх ду ' q#2 dt дх ду
dh I dp dqn ~ [ d д , д \
dt Q dt dt n \dt дх ду J
Здесь / = 0 для гладких тел и /=1 для сильно затупленных.
житель 1=1 в первом уравнении введен формально для того,
чтобы проследить потом, полагая / = 0, свойства ньютонианских
течений. Уравнение неразрывности преобразовано здесь с по-
помощью формулы C.1.8) с теми же значениями функций Q и ско-
скорости звука а.
Для исследования свойств системы F.3.13) получим уравне-
уравнения ее характеристик, следуя общей теории § 3.2. Дополняя си-
систему F.3.13) начальными данными влоль линии у(х), получим
гг+у?
dx дх ду
168

Последние два уравнения системы F.3.13) имеют характе-
характеристики — линии тока uy' = v, как и в § 3.2, характеристики же
первых трех уравнений найдем, приравнивая нулю определитель,
составленный из их коэффициентов [вместе с уравнениями
F.3.14)]:
(a2--jv2)]=0. F.3. 15)
Уравнение F.3.15) всегда имеет корень и=у'и, соответствую-
соответствующий линиям тока. Дальнейшие свойства системы F.3.13) зави-
зависят от типа тел.
Для сильно затупленных тел при /=1 уравнение F.3.15) име-
имеет решение
ш2 — а2
При i=\ это обычные характеристики полной системы уравне-
уравнений газовой динамики, и единственным упрощением является
совпадение их формы в криволинейных и местных декартовых
координатах. При М<1 система F.3.13) имеет комплексные ха-
характеристики и будет, следовательно, эллиптической, а при
М>1 — действительные характеристики и будет гиперболиче-
гиперболической. Поэтому математическая постановка и принципиальные
особенности решения этой задачи не изменяются и не упроща-
упрощаются при k—И). Решения, в том числе форма ударной волны,
как и в точной постановке задачи, будут зависеть не от локаль-
локальной формы тела, а от формы его во всей дозвуковой и трансзву-
трансзвуковой области течения.
В ныотонианском приближении, полагая ?=0, получим из
F.3.16) всегда действительные характеристики uyf = Vzta, соот-
соответствующие гиперболическому или волновому типу уравнений.
Для гладких тел нельзя положить в уравнении F.3.15) / = 0
без риска потерять корень у' = оо. Поэтому будем искать харак-
характеристики сразу в обращенном виде х = х(у). Тогда вместо
F.3.15) при любом i получим уравнение
x'2(u—vx')=0,
из которого следует, что кроме линий тока, характеристиками
являются еще линии х = const, как и для параболических урав-
уравнений.
Таким образом, для гладких тел при к—*0 или для ньюто-
нианских течений около сильно затупленных тел происходит вы-
вырождение, казалось бы, основных свойств уравнений газовой
динамики, так как дозвуковые течения теряют способность пере-
передавать возмущения вверх по потоку.
Но это обстоятельство не дает еще в общем случае возмож-
возможности построить замкнутое решение, например, в окрестности
оси тела, полностью утопленной в дозвуковую область. Дело
169

в том, что краевой характер математической задачи с неизвест-
неизвестной заранее границей — ударной волной, может придать реше-
решению «эллиптические» свойства. Это покажем в § 6.8, где для
окрестности оси круглого диска в простейшем ньютонианском
приближении будет построено решение, содержащее неизвестный
параметр, для определения которого требуется какое-либо усло-
условие вниз по течению от центральной области.
Принципиальное облегчение этой задачи возможно для глад*
ких тел, для которых ударную волну можно считать совпадаю-
щей с формой тела. Глубокий смысл этого условия заключается
в том, что оно задает ударную волну, на которой все искомые
параметры известны, что приводит к задаче Коши с начальны-
начальными данными на нехарактеристической кривой. Ввиду аналитиче-
аналитического характера этой кривой существование и единственность
решения в ее малой окрестности гарантируется известной тео-
теоремой Коши — Ковалевской (изложенной, например, в [34] не-
независимо от типа уравнений Эйлера, что позволяет построить
решение, например, в виде рядов по степеням расстояния от на-
начальной кривой К
Рассмотрим некоторые дополнительные упрощения, которые
допускает система F.3.13). Как уже указано, градиент давления
в первом уравнении влияет на решение лишь во внутреннем
пристеночном слое со следующими параметрами (при оценках
используем уравнение неразрывности):
A~?1+v/2/?5, UL-Unk^Ks, ^~A^~?/00A(8+t>/2. F.3. 17)
Тогда получим, что относительный перепад давлений попе-
поперек подслоя за счет каждого члена левой части второго уравне-
уравнения F.3.13) будет иметь порядок
^V 2 1/2 F. 3.18)
о Ul
^ 00 ОО
что, по крайней мере, на порядок меньше вклада внешней ча-
части ударного слоя. Следовательно, перепадом давлений поперек
внутреннего подслоя из-за малых скоростей в нем можно пре-
пренебречь, а градиент давления в первом уравнении F.3.13) за-
заменить его значением на стенке
F. 3. 19}
дх [дх H dx
1 Применению этого метода обычно препятствует ограниченный радиус
сходимости таких рядов, ввиду чего он часто не приводит к решению по всей:
области между ударной волной и телом. Во многих работах (обзор их дан
в книге [47]) использовался обратный метод численного решения задачи об об-
обтекании тупого тела искомой формы по заданной ударной волне (аналитиче-
(аналитической фермы).
170

Для малой окрестности оси симметрии К]х2<^\ рассмотрим
течение равновесного или замороженного, или просто совершен-
совершенного газа. Тогда согласно § 1.10 или § 3.1 следует положить
Q = 0. Для этого случая сравним относительную ценность чле-
членов в уравнении неразрывности
и др лди
:
QuZ дУ дУ
Отсюда следует, что член dp/dt в уравнении неразрывности
может быть опущен, и это уравнение будет таким же, как и для
несжимаемой жидкости
_^+—=0. F 3.20)
дх ~ ду К }
Кроме того, относительное изменение плотности в этой обла-
области будет иметь также порядок (A"s^J<Cl, поэтому в уравнени-
уравнениях F.3.13) в правых частях можно всюду положить Q = Qoo/k=
== const. Заметим, что в отличие от изоэнтропических течений,
такое упрощение не связано с малыми числами Маха. В самом
деле, положение звуковой точки на ударной волне определяется
условием ctg2a*~ (KsxJ~k, так что значительная часть области,
удовлетворяющая условию (Я»2<^1, может оказаться трансзву-
трансзвуковой или сверхзвуковой.
Заметим также, что для сильно затупленных тел условие
(KsxJ<^\ выполняется в силу оценок F.3.12) при х<гОу т. е-
течение здесь будет почти всюду несжимаемым. Однако в неко-
некоторой окрестности звуковых угловых точек относительные пере-
перепады давлений в обоих направлениях будут велики Ар~р
(в звуковой точке pfp'Q = 0,5^-0,6) и уравнение неразрывности,
как впрочем и остальные, следует использовать в неупрощенном
виде.
§ 6.4. Течение в окрестности критической точки тупого тела
Ниже получим решение задачи о равновесном течении в тон-
тонком ударном слое в малой окрестности оси симметрии тупого
тела, т. е. (в тех же обозначениях, что и в § 6.3) при условиях
В § 6.3 показано, что принципиальная возможность такого ло-
локального решения системы F.3.13) без учета всех краевых ус-
условий в дозвуковой и трансзвуковой областях существует для
гладких тел и отсутствует для сильно затупленных. Там же
показано, что в малой окрестности оси для совершенного газа,
при равновесном или замороженном течении плотность можно
171

считать постоянной, так что система F.3.13) примет «несжи-
«несжимаемый» вид
да . да k dp
п \-v—= — ;
дх ' ду Qoo дх
j(u*L + v*L)-Ka* = -±-??-; F.4.2)
V дх 1 д^ j Qoo ду ' V ;
д(а^) | d{vr*) = ^
дх ду
Разлагая соотношения F.3.3), F.3.4) на ударной волне с
формой ys(x), получим граничные условия F — отход скачка
на оси)
v=-Uoo[k-\-Ks(Ks-K)x*+...], u=UooKsx+...;
F.4.3)
Кроме того, у = 0 при у = 0. Хотя конечной целью нашей бу-
будет получить решение для гладких тел, пока не будем полагать
Ks~K, с одной стороны, для большей общности результатов, а с
другой — с тем, чтобы отметить важную роль этого условия для
получения замкнутого решения.
В соответствии с видом граничных условий F.4.3) будем ис-
ис1
кать решение в виде рядов 1:
F.4.4).
Энтальпию и плотность при необходимости можно легко найти
из уравнений адиабаты и состояния. Функция р0 дает распреде-
распределение давления вдоль оси
P'o=~kfofi po=l-±k--ykfl F.4.5)
Так как /о^1, то 1—Po~k, поэтому с точностью нашей теории
Po^l, но dpo/dy^k/б. Формула F.4.5) идентична соотношению-
E.3.7).
Подставляя разложение F.4.4) в F.4.2) и приравнивая ко-
коэффициенты при одинаковых степенях х, получим
. X(l + v)«1 = /J, \---=Ksb/k; F.4.6)
/o2-(l + v)/0/o=2(l + v№2, [P = /;2@)]; F.4.7)
IKS( 1 + vJp\=~Kf'o2+JXKS {A + vJ(/0/2)'-2A + v) /S/a].
F-4.8)
1 Такой подход в наиболее рациональной ферме впервые реализован Ли
и Гейгером («Механика», ИЛ, 1957, № 5).
172

В уравнении F.4.7) производная др/дх заменена ее значени-
значением на стенке в соответствии с § 6.3, где показано, что градиент
давления следует учитывать лишь в пристеночном подслое. Эта
система содержит функции, зависящие лишь от ?, поэтому гра-
граничные условия для них нужно снести на линию у = 6. Сопостав-
Сопоставляя F.4.3) с разложениями типа
и учитывая, что peQ (I) =—kf'Q A), получим
г л / W1 , v 3 4-v I + v К
fo=h /o = X(l + v), Л = —-— ^
Система F.4.7) — F.4.8) не замкнута: два уравнения ее
содержат три функции /0, р%, /2. Учет следующих членов разло-
разложения F.4.4) не поправит положения, которое отражает прин-
принципиальную невозможность определения лишь локального ре-
решения в общем случае. Но для гладких тел KS = K, поэтому по-
полагая, как и в § 6.3, что порядок функции /2, определяется ее
значением на границе /г~8, ее можно опустить из уравнения
F.4.8) [случай / = 0 в системе F.3.13) или F.4.2)], и система
станет разрешимой. Лишнее граничное условие в F.4.9) в этом
случае позволяет найти неизвестный отход ударной волны б,
в чем еще убедимся ниже.
Перейдем в уравнении F.4.7) к независимой переменной /0
и искомой функции/^
^2 F.4. 10)
Решение этого уравнения дает распределение продольной
скорости по линиям тока
Заметим, что отсюда четко просматривается существование
подслоя с относительным расходом /0~&(lfv)/2, в котором толь-
только градиент давления (член с C) и влияет на профиль скорости.
С учетом F.4.11) уравнение F.4.8) при /==0 или /г = 0 име-
имеет интеграл
F.4. 12)
173

Здесь мы пренебрегли членом 2k$ в F.4.11), так как он вносит
в р2 вклад лишь порядка k, т. е. распределение скоростей в
пристеночном подслое не влияет на поперечный перепад давле-
давлений (что уже отмечалось в § 6.3). Поэтому с учетом условия
/?2A) = 1 при KS = K получим буземановское (как и в § 5.3) зна-
значение p=C+v)/B+v).
Интегрируя повторно F.4.11), можно получить решение fo(y),
что однако проще сделать другим путем. Продифференцируем
уравнение F.4.7)
Дальнейшее решение проведем отдельно для плоского и осесим-
метричного течений. При v = 0 имеем
/о//о=/о//о, /о=аа/о> (<z = const). F.4. 14)
Последнее уравнение имеет решение
^ C F.4. 15)
Подставляя F.4.14) в уравнение F.4.7) на ударной волне и ис-
используя условие F.4.13) для f'Q @), получим
F.4.16)
Тогда из условия /0A) = 1 получим
ar f+I/ + li/—.. F.4.17)
С помощью F.4.17) решение F.4.15) приведем к виду
F.4. 18)
В случае осевой симметрии (v=l) уравнение F.4.13) /0" =0
имеет простое решение
). F.4.Л9)
Из условий F.4.9) получим
!<А 1 F.4.20)
k
В результате решение F.4.19) примет вид
уо \ + vm ^ 1 + /2рл v ;
174

Полученные профили нормальной /0 и касательной /'0A(l+v)
составляющих скорости для плоских и осесимметричных тече-
течений показаны на рис. 6.1. Там же для осесимметричных течений
приведены точные кривые /о, которые близки к приближенным.
При выводе формул для отходов ударных волн и профилей
скорости нигде не использовалось условие KS = K и они, следо-
следовательно, носят общий ха-
характер и применимы к любым
телам. Имея в виду слабую за-
зависимость этих формул от pfe,
можно положить, например,
Р=1. Тогда
Г5 _k_. 2_
при v" ' T
= ?= при v=l. F.4.22)
Эти формулы имеют высокую
точность, а произведение 6KS
действительно слабо зависит от
формы тела, что следует из
рис. 6.2.
Для гладких, и только для
гладких тел в пределе Ks-+K
и формулы F.4.17) и F.4.20)
примут вид
5 k t 4
•— = — In—
R 2 Zk
при
= U, — =
R
при v=l.
F. 4. 23)
Эти кривые показаны на
рис. 5.21. Точность их оказы-
оказывается лучшей для осесиммет-
осесимметричных течений вследствие
меньшей толщины ударного
слоя за счет растекания линий
тока. Для плоских течений при-
приближение RS^R оказывается
слишком грубым для реальных
условий.
Полученные результаты позволяют, наконец, оценить малый
параметр е, введенный выше,
е = тах(А, 8ЛГ„ ЬК)~kink-1 при v = 0, e^k при v=l. F.4.24)
Однако реально — 1пА=1,5-г-3 при & = 0,2~0,05, так что
нельзя придавать серьезного значения различной асимптотике 8
Рис. 6.1. Профили нормальной
(сплошные линии) и касательной
(пунктир) скоростей:
— • — • — точные кривые
175

и k при v = 0. Точно так же относительная толщина подслоя с
существенным влиянием градиента давления на поле скоростей
А/6— (—\nk)~x^\, как и по оценкам § 6.3.
При k—*0 профили скоростей в ударном слое для осесиммет-
ричных и плоских течений имеют соответственно вид
и - - /о ~ fV2~- — -У- ппи
л U
v=l, — =
при v =
F. 4. 25)
.0,2
/
4*
У
0,1
0,75 0,2
Рис. 6.2. Стнсшение отхода ударной волны к ее
радиусу для различных тел:
точные значения: светлые значки — совершенный гач,
темные значки — равновесный воздух; формулы
(§ 6. 4, |3 = 1); Р-2/3 (торец, § 6.8)
При v=l профиль u/us не зависит от градиента давления на
стенке и соответствует чисто ньютонианскому течению. Но для
плоских течений эта зависимость сохраняется всегда. В то же
время в реальном диапазоне ?^0,05-^0,2 профили /о(?) почти
линейны, слабо зависят от k и заметно отличаются от предель-
предельных форм F.4.25).
Касательная составляющая скорости при v = 0 примерно по-
постоянна вблизи тела, а при v=l — всюду линейно зависит от ?.
Это различие является принципиальным и связано с поведением
вихря в окрестности линии (или точки) растекания (§ 3.1)
F. 4/26)
176

Завихренность растет с уменьшением k, но при v = 0 на стенке
й = 0. Тогда согласно C.1.14) на всей поверхности плоского при-
притуплённого тела Q = 0.
§ 6.5. Течения в окрестности критической точки
с переменной плотностью вдоль оси симметрии 1
В неравновесных течениях плотность газа в окрестности оси
в отличие от равновесных, рассмотренных в § 6.4, будет пере-
переменной, так же как в случае потерь тепла за счет излучения.
Типичные профили плотно-
плотности для таких течений пока-
показаны на рис. 6.3. В то же
время, давление вдоль оси
будет почти неизменным и
при увеличении плотности о г
скачка к телу заключено со
гласно E.3.6) в узких пре- о6
делах
1,0
0,8
р <^ ро =
0.4
0,2
О
{k=QjQs), F.5. 1)
где qs — плотность сразу за
скачком уплотнения.
Распределение же давле-
давления по телу в нашем при-
приближении не зависит от тон-
тонкой физической структуры
течения в ударном слое, что
показано в § 5.2.
Рассмотрим некоторые
общие свойства течений с пе-
переменной плотностью вдоль
оси для тел гладкой формы
(/ = 0 в системе F.3.13)). Решение в окрестности оси, как и
в § 6. 4, представим в виде
), u=UooKsxu1(y), h = ±-
Рис. 6.3. Профили плотности и скорос-
скорости вдоль оси сферы для течений:
с химической неравновесностью, ?=0,167:
/—б/Я =0,054; 2—б/Я=0,079: 3—6//?=0,095; с рав-
равновесным излучением &=0,07; 4—6/^=0,05;
5—б/Д'=0,054; пунктир — vo(y/6); заштрихован-
заштрихованный пучок — те же кривые в переменных
fo ("П/Лб)' сплошная линия — решение с посто-
постоянной плотностью при fe=0,l
F. 5. 2)
1 См. работы В. В. Лунева и И. Н. Мурзинова (ПМТФ, 1962, № 2),
В. В. Лунева (МЖГ, 1971, №¦ 6) и В. П. Стулэ-ва (МЖГ, 1969, № 4).
177

Граничные условия останутся теми же, что и в § 6.4, мы лишь
упростим их, полагая KS = K
у = Ъ, ^=1, г>0=1, /7а=1, Оо==1; У = 0, vo = O. F.5.3)
Перейдем к переменным 1
V о о
Тогда из уравнения неразрывности получим
Ks{l-\-v)ul=j-d-^=j-dM. или /i = Mi+v)«r F.5.5)
Остальные уравнения F.3.13) примут вид
2 ^ F.5.6)
F.5.7)
Ао=О, Ао=1, А>=1- F-5.8)
Уравнение F.5.7) можно проинтегрировать с помощью урав-
уравнения F.5.6), если в последнем, как и в § 6.4, пренебречь правой
частью, что внесет ошибку порядка k. Тогда получим ту же фор-
формулу, что и в § 6.4 для течений с постоянной плотностью
/>a@) = P=C+v)/B+v),
что согласуется с общим выводом § 5.2 о независимости распре-
распределения давления в буземановском приближении от уравнения
состояния газа.
Уравнение F.5.6) отличается от рассмотренного в § 6.4 лишь
переменной плотностью qo. Переходя к переменным f'o, /о, полу-
получим аналогично F.4.11) решение (fo=^/^s по-прежнему)
. 9)
-iM -a /5-<8+'>/<l+*> dfQ] . F. 5.
/о J
Интеграл справа несобственный, вследствие чего роль члена
рг/Qo заметна лишь в пристеночном слое А с относительным рас-
расходом /0~&A+v)/2. Пусть в этом подслое плотность изменяется
мало
Qo(O)-Qo(A)«l- F.5.10)
Тогда в уравнении F.5.6) можно положить
*Л/Оо«*оР. *o = */Co(O)=Q»/Q(O), F.5. И.)
1 Это переменные А. А. Дородницина, известные в теории сжимаемого
пограничного слоя.
178

и решение его /0(?) будет тем же, что и в § 6.4, если в последнем
положить ? = т]/г]й и заменить р& на р&0. Из рис. 6.3 видно, как
разные в исходных координатах профили vo(y/6) стягиваются в
узкий пучок в переменных /о(г|/г|§).
Приведенные толщины ударного слоя будут равны
F. 5. 12)
Для условий рис. 6.3 истинные толщины 6jkR = 0,3^0,8.
В то же время им соответствуют почти одинаковые отношения
Ць/kR ж 0,8, как и для случая постоянной плотности.
Пусть теперь условие F.5.10) не выполняется, т. е. плотность
в подслое меняется заметно (например, в сильно замороженном
течении, § 6.6). Тогда уравнение F.5.6) нельзя решать незави-
независимо от уравнений, регулирующих изменение плотности. При
этом основное влияние переменность р0 окажет на решение в
подслое А. Заменяя для оценок под интегралом F.5.9) q0 зна-
значением ее при нижнем пределе, получим для этого подслоя ре-
решение
при /2<C^A+V). F.5. 13)
Последнюю формулу можно получить непосредственно из
F.5.6), опустив там малый член /о/0\ Из F.5.13) следует, что
большие градиенты плотности вблизи стенки влекут за собой
большие градиенты касательной скорости, т. е. подслой А ока-
оказывается сильно завихренным.
Если Qo=l всюду, кроме подслоя А, то это обстоятельство все
равно повлияет на толщину ударного слоя через толщину под-
подслоя (особенно в плоском течении v = 0), равную
F. 5. 14)
Л С di\ Г* dfo f »б v—т/ 1 ауо 0—1/2 п—
J Qo J On fn
о о ^0J °
где qog — среднее значение q0 в подслое. Это влияние пропадет
только в том случае, если плотность переменна лишь в некото-
некоторой пристеночной области А*<;А. Тогда Qoc^l и, следователь-
следовательно, течение в ударном слое при у^Д* и толщина его будут теми
же, что и для постоянной плотности.
179

§ 6.6. Структура неравновесного ударного слоя
Продолжая анализ § 6.5, рассмотрим теперь термодинамиче-
термодинамическую группу уравнений в ударном слое
-^T = Qn(P> 7\ Ям\ P^QJUl = const, F.6.1)
n=\, ...; m = 1, ...
с граничными условиями сохранения состава и состояния газа
при переходе через ударную волну, т. е. qn=^noo при /=0. Здесь
t — время движения частицы вдоль своей траектории.
Вследствие постоянства давления и энтальпии уравнения
F.6.1) имеют то же решение (как и в задаче о клине, конусе,
§ 6.2), что и для структуры прямой ударной волны (§ 2.5)
Яп=Чп(*> Qoo, Uao, X,), *Q = QooOo(^ Qoo, f/oo, X,), F.6.2)
T = T(t, q^, {/«,, X,.), Х/ = {^л00, /?оо, 7"oo}.
Если плотность Qo(O» таким образом, известна, то задача
сводится к решению системы
/o=/o(s). s=x(i-g, с=л/л8, х=
Первое уравнение получено из F.5.6) переходом к перемен-
переменной |. Условия F.4.9) для этой системы
/0=1, /^-A + v) при / = ? = 0 F.6.4)
достаточны для построения интегральной кривой до некоторой
точки g = g0, где /о = 0, т. е. до поверхности тела г/ = ?=0. Отсю-
Отсюда получим Х = ?о, а затем, как и в § 6.5, толщину ударного слоя
б и распределение всех параметров в физических переменных.
Отметим важное обстоятельство. Вблизи стенки имеем
^ 5) In у. (?0 = Х) F.6.5)
СХ)
Таким образом, точке торможения | = |о соответствует беско-
бесконечное время пребывания частицы и, следовательно, равновесное
значение всех параметров, независимо от состояния основной
части ударного слоя.
Решение системы F.6.3) упрощается, если плотность в при-
пристеночном подслое изменяется мало [условие F.5.10)]. В этом
180

случае функция /0(?, k0), где ?> = г\/г\ь, известна заранее (см.
§ 6.5). Поэтому, используя формулы F.4.18) и F.4.21), получим^
, л= , v== 1 (о. о. оа)
Rs 2a
X = ln1/-i-, v=0 F.6.66).
Ранее было приведено достаточно примеров распределения
плотности в неравновесном ударном слое1 (см. рис. 4.5 и 6.3).
Качественные эффекты исследуем на простейшем примере ма-
малой концентрации с^се<^\ атомов бинарной смеси (или малой
энергии e(v><??*><Hвозбуждения внутренней степени свободы),
где се — равновесная концентрация при местной температуре,
которую, как и плотность, и время релаксации т при этих усло-
условиях можно считать постоянными. В набегающем потоке при^
мем с = 0. Тогда, используя решение B.5.12) соответствующей"
задачи о структуре неравновесной зоны релаксации, получим,,
например, для сферы
=
cg + с L 2a + A - а) С J
F.6.7)>
Типичные кривые для различных % показаны на рис. 6.4. Случай^
%—^оо соответствует узкой зоне релаксации за ударной волной,
т. е. почти равновесному ударному слою. Случай х^О, наобо-
наоборот, соответствует сильно замороженному ударному слою с уз-
узкой зоной релаксации вблизи стенки.
Поскольку Я~1, то х есть отношение характерного времени
газодинамического процесса д/U' к времени релаксации. Отме-
Отметим, что характерная скорость здесь U' = kUroo V^K при &—Я>
меньше скорости &?/«> за ударной волной.
§ 6.7. Течение в окрестности критической точки тупого тела
в расходящемся гиперзвуковом потоке
Интересным примером применения изложенной теории явля-
является задача о тупом теле в расходящемся гиперзвуковом потоке-
с переменным углом ф наклона вектора скорости, например, при
обтекании тела сильно недорасширенной гиперзвуковой струей"
1 Сведения об этом можно получить, также в книгах [3, 32] и различных
статьях (например, В. П. Стулов, Г. Ф. Теленин.— «Механика», 1965, М .1).

(рис. 6.5). Рассмотрим лишь равновесное течение с постоянной
плотностью в окрестности оси, которое описывается системой
F.4.2). В расходящемся потоке соотношения на ударной волне,
которая при ?<1 для гладких тел (/ = 0, KS~K) совпадает с
телом, примут вид (а — угол
? наклона скачка к оси сим-
симметрии; Qoo, f/oo — ПЛОТНОСТЬ
и скорость газа в струе на
оси перед телом):
8,6
0,4
0.1
0,1 0,4 0,6 0,8 %
Ри;с. 5.4.
~ I/2 2 / I ) ( -г/9 а) F 7. 1)
Последнее соотношение показывает, что давление по телу па-
падает не только с уменьшением угла наклона тела, но и с уве-
увеличением угла скоса потока ср, что может существенно изменить
картину течения. В частности, звуковые линии (см. рис. 6.5,
пунктир) и предельные характеристики будут ближе к оси, чем
в однородном потоке. Условия F.7.1) в малой окрестности оси,
где ф = тх, примут вид
F. 7. 2)
/
/
/ъо

/
у
\
/
MO
Здесь К* — эффективная кривизна ударной волны:
Решение ищем, как и прежде, в виде рядов
¦i—i
F.7. 3)
F. 7. 4)
182

Для функции /о(?) будем иметь те же уравнения и граничные
условия (только с Л* вместо Л), что и в § 6.4, и, следовательно,
го же решение. В частности,
k 14-
Уравнение для р% примет вид
& и
ПрИ V = l, Л# = 1
-^- при v
F. 7. 5)
F. 7. 6)
к-
S
\
ч
<тщф°—
и-
а)
Ю
V
0,1
0,3 К
о
0,5
7,0 2,0
Рис. б.б. Отход ударных волн при обтекании сферы раз-
различными недорасширенными струями:
а—отношение 6/i??:
-О-о-*—зависимости от k;
-О-Х-0"—• зависимости от mR;
— . — . — сфера в однородном потоке;
б—отношение 6(R*k в зависимости от k\ -формула F.7.8);
?—плоская стенка
Здесь KS~K, как и в § 6.4, но К*ФК при т=?0. Поэтому, ин-
интегрируя это уравнение, получим
ь,+ _!_?. F.7.7)
Поскольку К/К* = 0-И, то величина p = l-r-C+v)/B+v)
ближе к единице, чем для тела в однородном потоке. В этом
диапазоне изменения р отходы б, а следовательно, и профили
скорости изменяются слабо, поэтому для простоты положим
Р=1. Тогда
= при v=l. F.7.8)
v
— при
183

Таким образом, толщина ударного слоя и профили скорости
в нем зависят только от эффективного радиуса кривизны и не
зависят от отношения т/К.
На рис. 6.6 приведены полученные точными численными расчетами отно-
отношения 6/kR для обтекания сферы сильно недорасширенными осесимметричны-
ми струями *. Кривые даны в зависимости от k или ст произведения mR. Эти
кривые не имеют какой-либо видимой закономерности, но обработанные в ви-
виде b/kR* образуют единую зависимость (на которую ложатся и данные для
Р/Ро
1,0
0,8
0.6
V
\
V
\
\
Л
0,1 0$ 0,4 0,5 X/R
0,5 X/R*
Рис 6.7. Распределение давления по сфере ?
поле недорасширенных струй для условий рис
6.6 в зависимости:
а—от x/R; б от x/Rt ;
— • — сфера в однородном потоке;
формула Ньютона р/р0/=cos2 x/R*
-плоской стенки с /?=оо), совпадающую с формулой F.7.8), которая имее-т
здесь лучшую точность, чем для сферы в однородном потоке, видимо, за счет
меньшей толщины ударнсгс слоя d/R.
Хотя величина /?2@) = C зависит от параметра /С/К*/ кривые распределе-
распределения давления по телу, сильно зависящие от условий обтекания в исходных ко-
координатах xJR, в координатах x/R* собираются в узкий пучок (рис. 3.7) во
всей дозвуковой области течения.
Этот пучок лежит несколько ниже ньгстонианской кривой ?•==
=qo//^)cos2(*//??) и аналогичнсй кривой для сферы в однородном потоке,
что объясняется падением скоростных напоров в струях от оси к перифе ии
и нарушением линейной зависимости у—тх. Эти эффекты можно учесть с по-
1 Более подробно см. в статье В. В. Лунева и Н. Е. Храмова.— МЖТ,
1970, № 3
184

мощью местной формулы Ньютона F.7.1), в которой в качестве poo, U<x> еле*
дует взять уже местные значения величин.
§ 6.8. Об обтекании круглого диска
(ньютонианское решение)
В § 6.3 при анализе обших асимптотических свойств уравнений, списываю-
списывающих течение в тонком ударном елее около лобовой части тупого тела, было-
показано, что в ньютон и анском приближении при k-+Q, когда влиянием гради-
градиента давления на поле скоростей формально можно пренебречь, а скорость
газа становится постоянной вдоль линии тска, эти уравнения имеют гипербо-
гиперболический тип. Это обстоятельство, казалось бы, сулит большие возможности
для получения локальных решений, скажем, в окрестности оси симметрии, так
как решение уравнения гиперболического типа не зависит от условий вниз
по течению от рассматриваемой области (см. § 3.2).
Но такое представление оказывается неверным, что проиллюстрируем на
примере одного решения, полученного Хзйзом [47] для круглого диска (тор-
(торца) с радиусом rOj перпендикулярного потоку, которое имеет замкнутую ана-
аналитическую форму для некоторой конечной (в отличие от решения § 6.4) ок-
окрестности оси симметрии.
Будем использовать уравнения § 5.1 в форме Мизеса
—?¦'«¦>•¦?--'¦?¦¦
В § 6.3 показано, что в окрестности оси симметрии, удовлетворяющей ус-
условию /^я2<1, где Ks — кривизна ударной «велны (с формой #=#«(*)). те*
чение в ударном слое можно считать несжимаемым. Но для торца (или пла-
пластины) согласно оценкам E.6.4) К^о^^^2, так что течение будет несжимае-
несжимаемым почти всюду при #</о. Так как \уs\~K8x, то скорости в ударном елее
около этих тел будут малыми, что следует из соотношений на скачке
Малыми, согласно оценкам F.3.12), будут и перепады давлений Ap~kp. Од-
Однако в окрестности г0—х<1 угловых точек течение будет околозвуковым1
с конечным перепадом давлений Ар~р.
Положив в уравнениях F.6.1)
и~а^ U „к1/2, ф ~ ф0 = n\aoUcorl+*. Ар ~ QooUl, -?" —f'
где а — скорость звука, получим следующие оценки (б # — толщина ударного
слоя в углевой точке, рис. 5.22)
/ ~ 5* ~ rQkl/2 v ~ и ~ Ujk112. F. 8. 2>
Таким образом, продольный и поперечный размеры околозвуковой облас-
области возле угловых точек будут о дне го порядка, как и составляющие скорости
в ней. Очевидно, наклон линии тока dyjdx~\ должен сохраниться до самой
Ударной волны, вблизи которой согласно соотношениям на скачке уплотнения
1 Анализ поведения решения около угловой точки проведен Р. Валъо-
Лауриным (JAS, 1962, ЛЬ 2). Им показано, что угловая течка является звуко-
звуковой и особой с неаналитическим поведением решения в ней.
185

будем иметь u~v~Uoo, что, однако, не отразится на оценках F.8.2) ввиду
малости расхода Лф^фо^о через1 эту внешнюю часть ударного слоя.
Отсюда следует, что эвуксвая тачка на ударной волне может быть ближе
к оси, чем угловая, что видно для малых k на рис. 5.17, где приведены фоомь
ударных волн и распределение давления по торцу и пластине.
Искомое решение относится лишь к несжимаемой области течения (с по-
постоянной плотностью f>=Q00/k). Введем в уравнениях F.S.1) (при v=l) без-
безразмерные величины
, * = ^—, t = X Ks . F.8.3)
U2 k k \ dx
На ударной волне имеем
Полагая в первом уравнении F.8.1) г|)—i|)s, y=ys и дифференцируя его по х
дважды, придадим ему вид
Z dt 2ttQoo ^л
В ныю тонна иском течении Qoouux~—kpxtt0, так что u = u(ty). Поэтому по-
последний член в уравнении F.8.4) можно опустить, и оно станет чисто диффе-
дифференциальным со следующим решением:
Z = *(l +2ZK/2. F.8.5)
Кривая t(Z) имеет максимум в особой точке Z=l, ^^/o=O', 192. Физический
смысл имеет лишь ветвь этой кривой на отрезке Z=O-j-1, удовлетворяющая
граничному условию Z—0 на оси симметрии. Вторая же ветвь интегральной
кривой F.8.5) при t—*0 дает бессмысленное значение Z-^oo. Произвольная
постоянная в этом решении выбрана таким образом, чтобы неизвестная вели-
величина Ks действительно была кривизной ударной волны на оси.
Распределение оксростей вдоль линий тока получим, заменив в E.8 5) Z
на z, a t на т. Подставляя это решение в уравнения F.8.1), получим форму
линий тока и ударной волны в неявном параметрическом виде
k - A + 2УK/4 у t' k ~ A+2ZK/4' ^и-и'
Нормальная к телу составляюшдя скорости равна
дх °° ' t
И, наконец, из последнего уравнения E.8.1), используя соотношение на скач-
скачке Р=\—к—kZ, получим давление на теле
Р ^ p/Q U^ = 1 — — k — kZ§ (Z);
2
Разлагая &(Z) в ряд при малых / или х, с помощью F 8 5) получим
Р = 1 - ~ k - р/ф2, р = Ф @) = 2/3.
186

Здесь р<1, т. е. в отличие ст гладких тел (для которых Р = 4/3) давление на
торце вблизи оси всегда несколько больше, чем на ударной волне.
Как уже отмечалось, полученное решение нельзя распространить в об-
область Z>L Но в окрестности этой особой точки формула F.8.5) не является
при строгом асимптотическом анализе приближением к точному решению ин-
тегродифференциального уравнения F.8.4). В самом деле, формулы F.8.5)
и F.5.8) при Z -> \ дают 6ZJ dx-^оо и 6'pjox -> оо. Следовательно, при вычисле-
вычислении в следующем по k приближении поля скоростей получим ди/дх ->°о
и пренебрегать последним членом уравнения F.S.4) при Z -+ 1 нельзя ни при
каком скслъ угодно малом k. Креме того, в этой области возможно уже и
влияние сжимаемости, совсем не учтенное в уравнении F.8.4).
Другим направлением уточнения теории является учет влияния градиента
давления на поле скоростей в пристеночном подслое4 (что мы делали в
§ 6.4—6.7).
Однако это уточнение не исправит принципиальный недостаток получен-
полученного решения: оно не является замкнутым ни в каком предельном случае, так
как содержит неизвестный параметр дв, который может быть определен лишь
из условий сопряжения полученного решения с каким-либо специальным ое-
шением в околозвуковой области. Таким образом, гиперболический тип урав-
уравнений для предельного >ньютонианского течения не дает еще возможности по-
получить замкнутое решение в центральной области течения, так как краевой
характер задачи с неизвестной ударной велной придает ей эллиптические свой-
свойства, требуюш.ие задания условий вниз по течению от рассматриваемой об-
области. Формально это нашло свое выражение в том, что условию Z=0 при
x=0 вследствие особенности в этой течке решение F.8.5) удовлетворяет авто-
автоматически. Физически же этот вопрос совершенно ясен, так как радиус диска
является единственным характерным размером задачи и получить решение
для дозвуковой области течения без учета условий при х—г0, естественно,
нельзя.
Поскольку значение Z=l при малых k в точности соответствует звуково-
звуковому углу на ударной волне, есть соблазн положить Z—1 в угловой точке.
Тогда получим
Ksr0 = 0,44 у% Ь = 2,28r0 /*, §* - 2г0 /*, F. 8. 9)
где б — толщина ударного слоя на оси.
Однако эти формулы завышают в два с лишним раза значения точных
величин (показанных на рис. 5.22). Кроме того, нарушается и качественна
согласование: точное отношение 6*/6 при малых k примерно вдвое меньше
приближенного. Приближенное произведение &=р/С^/*о=О,128&, характеризую-
характеризующее распределение давления [и скорость и(х)] по телу вблизи оси, оказывает-
оказывается в несколько раз меньше точного (см рис 5 22).
Заметим, что формула
получен'ная в § б 4 для произвольных тел, имеет для диска при C=2/3 высо-
высокую точность (см. рис. 6 2).
1 Учет пристеночного подслоя и аналогичное плоское решение даны в ра-
работах [13] и У. Хейза и А. М. Антонова (ПММ, 1966, № 2).
187

Глава 7
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
С ТОНКИМ УДАРНЫМ СЛОЕМ
§ 7.1. Течение в окрестности критической точки
с двумя плоскостями симметрии 1
Пусть форма тела в окрестности передней точки имеет две
плоскости симметрии с главными кривизнами Ki и /С2, Ki/Ki =
— 0-М. Предположим также, что эта передняя точка по класси-
классификации и анализу § 6.3 принадлежит гладкому телу, так что
течение в ее окрестности можно исследовать локально, независи-
независимо от формы последующей части тела. Как и в предыдущих
главах будем проводить анализ при условии
г = тах {8АГ/, hKai, k\ < 1, «'=1,2, k = QjQs, G. 1. 1)
где б — отход ударной волны на оси симметрии; Ksi — главные
кривизны ударной волны.
В § 6.4 было показано, что наиболее медленно, как k In k
убывает толщина ударного слоя на плоском теле, что и будет
верхней оценкой 8. Тогда ударная волна при г—Ю будет обле-
облегать тело, а передняя точка, следовательно, будет точкой тормо-
торможения и течение в ее окрестности будет обладать теми же плос-
плоскостями симметрии, что \и тело2. Замыкающим условием задачи
будет равенство Ksi = Kh хотя как и раньше без особой нужды
не будем отождествлять эти кривизны.
Используем криволинейную систему координат хи х2, у с
центром в передней точке тела, где ось у направлена по норма-
нормали к телу, a xt — вдоль линий главной кривизны (рис. 7.1).
Давление р и проекции скорости ии и2) v на оси хи x2i у на
ударной волне равны
Л=9со?Я0A-Л)A-/С^?-/С^); G.1.2)
u^UooXtKsn v^-L/^k. G.1.3)
В последнем соотношении учтено, что Ki = Ksi для гладких
тел. На поверхности тела, при у = 09 имеем v = 0.
По аналогии с оценками и анализом § 6.3 упростим систему
уравнений E.1.17) — E.1.19) (в которой заменим w на и2),.
отбрасывая несущественные члены порядка 8. В частности, для
равновесного или совершенного газа, которыми и ограничимся,
уравнение неразрывности примет такой же вид, как для несжи-
1 Эта задача решена К. М. Магомедсвым и В. В. Луневым в 1963 г.
2 Такая схема справедлива лишь для тел с двумя плоскостями симмет-
симметрии во всей трансзвуковой области. В противном случае при конечных ф/С
течение около передней точки может «е быть симметричным, а сама точка —
точкой торможения.
188

Маемой жидкости. В результате для гладких тел получим си-
систему
дх,
Q
„2 „2
Рис. 7.1. Система координат и
форма линий тока на поверхности
тупого тела с двумя плоскостями
симметрии
Граничные условия G.1.2) — G.1.3) позволяют искать реше-
решение в виде
ui=-.xiUooKsiali(Q, v=-Uookf0(Q, C = 0/&;
^/721(C)- К^АРпЩ. G. 1. 5)
Функция ро(О определяется из уравнения G.1.46) на оси.
причем, в точке торможения ро=\—k/2, как и в двумерном те-
течении. Очевидно, 1—po(t>) =k/2-r-k.
Подставляя G.1.5) в G.1.4), получим систему уравнений
с граничными условиями:
С = 0,./в = 0; С
1,
G.1.6)
G. 1. 7)
G.1.8)
G.1.9)
Из уравнения G.1.7) следует, что на стенке иц@)
Так как вблизи скачка пц~Л, то член 2|Зг-? влияет лишь в при-
пристеночном слое со скоростями Un~fe1/2, в котором согласно
G.1.8) давление изменяется мало. Поэтому в уравнении G.1.7)
189

мы заменили p2i на р2г@). Но отбросить эти члены совсем нель-
нельзя, что следует из опыта анализа двумерных течений (см.
§ 6.3 и 6.4). Введем переменную t(t) таким образом:
1. G.1.10)
Тогда решение уравнений G.1.7), а затем G.1.6) примет вид
ип=ах Cl + t , u^=afi^±-- G.1.11)
С, =1±^, а/ = «1/@) = 1/Щ, «> = JJl. = -?*L; G. 1. 12)
1 — a/ Xi К si
/ = 1±? С0 = (С1
При /г'/г—*-0 получим чисто ньютонианское решение
u»=^Wi> »»=i-Irr /(>="llWl2- G-1ЛЗ)
Это решение дает «ii@)=0 и, следовательно, не пригодно
(особенно, согласно § 6.4, в плоском случае) в пристеночном
слое, в котором Uu~kxi*. В нашей задаче два подслоя, которые
определяются из условия, что знаменатели в формулах для ui2
и ац имеют порядок единицы. Это вместе с G.1.10) приводит к.
оценкам
—*в-I/*<*1'2; G. 1. 14а)
(^ 1--?1/2 при @ = 0-4-1. G.1.146)
Очевидно, ^2 <St. Широкий диапазон оценки ?i обусловлен
порядком разности С2—tma* при co = 0-f-l в этом подслое.
. Но поскольку пристеночные слои не дают вклада в перепад
давлений, то решение G.1.13) используем (при Ks%==Ki) для оп-
определения коэффициентов рг-. В § 6.4 показано, что такая проце-
процедура при со = 0; 1 вносит ошибку порядка k. Опуская оценки в
общем случае, заметим лишь, что эта ошибка будет мала ввиду
слабого влияния & на решение GЛ.11) — G.1 Л2). Интегрируя
уравнение GЛ.8), получим
27Г3^ГГ^; G.1.15)
q а о) C — о)) о) In о)
Р2~ 2A—(оJ A — (оK '
Эти функции показаны на рис. 7.2. Как видно, рг-=1-гЗ/2,
но в гл. 5 показано, что ;в реальных условиях более приемлема
формула Ньютона с р*=1. Толщина ударного слоя, полученная
190

из уравнения G.1 ЛО) с помощью G.1.12) и G.1.15), показана на
рис. 7.3. При оз = О и со = 1 связь ?(/) имеет явный вид, а реше-
решение переходит в полученное в § 6.4 для плоских и осесимметрич-
ных течений.
Заметим, что полученное решение G.1.10) -4- G.1.12) зависит
явно лишь от кривизны ударной волны, а от кривизны (формы)
тела только через |3;, которые
влияют слабо, так что реше- ^
ние, как и в § 6. 4, можно отне- 2>°
сти и к сильно затупленным те-
телам, хотя при этом форма удар-
ударной волны останется неопреде- 1,5
ленной.
Профили скоростей показа-
показаны на рис. 7.4. Осевая скорость ^
fo практически не зависит от со.
Продольная скорость ии при
<о > 0,25 изменяется слабо К Но ?;5
скорость Uisr-^1 ПРИ °>-*;0 всю- 0
ду, кроме поверхности тела, где
ui2 = i2k. Таким образом, вбли-
вблизи сильно вытянутого тела,
с К\'>К2, образуется завихренный слой в рамках подслоя
G.1.14а), который физически не (Представляет интереса, так
как при этом u2lui ^
1—¦——,
^—-—
_ /01
—1—
0.5
Рис 7.2.
Рассмотрим поведение линий тока:
dt
UKs
2t
G. 1. 16)
С помощью G.1.5) и G.1.11) получим
С2—
G. 1. 17)
где Xis __ координата входа данной линии тока в ударную
волну.
Вблизи стенки, при t-+0, отношение x2[x1^{xjxls)t^-^a^2.
Как следует из рис. 7.2, a2<ai при со<1, поэтому %2/xi—>О. Та-
Таким образом, линии тока вблизи тела разворачиваются в сторо-
сторону плоскости симметрии с большой главной кривизной.
На поверхности тела согласно G.1.16) линии тока имеют
форму х2=constх^1ак При со<1 эти линии образуют узел,
всегда касаясь (кроме линии тока л:2=0) направления меньшей
главной кривизны, как это показано на рис. 7.1.
1 Например, для отношений осей эллипсоида вращения а/Ь<¦©-1/яс=2.
191

2,0
1,5
1,0
0,5
0 OfO5 0,10 0,15 0,20 H
Рис. 7.3.
N
оо = 0
0,25
^JtfO
П
Ш=1;0
*- —
-
-
Рис. 7.4.

§ 7.2. Острый конус под углом атаки
Рассмотрим гиперзвуковое обтекание круглого конуса с по-
половиной угла при вершине 60 под углом атаки а с присоединен-
присоединенной ударной волной при условии 0<сс+8сг<л/2. В сферической
системе координат г, 0, ср, в которой полярный угол 0 отсчиты-
вается от оси конуса, а меридиональный ф от наветренной сторо-
стороны плоскости симметрии, составляющие скорости по этим осям
(и, v, w) и другие величины не зависят в коническом равновес-
равновесном течении от г (см. § 4.3), и система уравнений примет вид1
(s — энтропия):
j JL-(&+&) = (); G.2.1а)
дд sin
dv , w dv , о , Л \ др ,п о -\(z\
v \- ь uv — w1 ctg 0 = —; G. 2. 16)
dQ ' sin 8 ду ' 5 q дЬ V ;
_^__^_ L__^.; G.2.1в)
' sin 6 до ' v ' ; Q sin 6 ду v ;
об ' sin 6 до ' v ' ; Q sin 6
— (q^ sin 0)+ — {QW)Jr2Qu sin 0=-O; G. 2. 2)
0 0 ^ср
^^. G.2.3)
дб sin б д<р
Внешняя нормаль д к ударной волне 0s(cp) имеет направляю-
направляющие косинусы
е/2
1 е / е \
пг = 0, лв = А /*,= -_* д= l + -^_i_ . G.2.4)
A A sin 05 \ sin2 05 /
Скорость набегающего потока ?/*> на ударной волне имеет со-
составляющие:
iioo = Uoo{^osQscos a— sin 0^sin a coscp),
^со = — /7oo(sin 05 cos а-{- cos 05 sin acoscp), G. 2. 5)
^oo = ?/ooSin a sin cp, vnoo = — i^oo—^oo——).
A V sin 05 /
На конусе v = 0, a на ударной волне
Ps = PooJrQooVloQ{\~k), Qsk = Qoo, G.2.6)
Рассмотрим некоторые принципиальные особенности кониче-
конических течений. Можно показать (методом, изложенным в гл. 3),
что система G.2.1) — G.2.3) имеет характеристики
G.2.7a)
sin 6 dy w
1 См. книги [5, 19].
2382 193

1 dft vw ± a
sin 6 dv w<
— = tgF±a*), sin a* = -^.G.2.76)
Эти характеристики те же, что и для плоского течения на
координатной сфере r = const и не зависят от радиальной ско-
скорости и. Для убедительности заметим, что дифференциальная
часть уравнений G.2.16, в) и G.2.2), от которой только и зази-
сит форма характеристик, та же, что и в уравнениях плоского
течения в местной декартовой системе dy = dd, dx = smQ dq>.
Семейство G.2.7а) есть линии пересечения координатной
сферы r=const с изоэнтропическими поверхностями тока.
Характеристические же направления G.2.76) ограничивают
проекцию характеристического конуса с вершиной на данной ко-
координатной сфере на касательную плоскость к ней. Поэтому,
кроме случая и~0, линии возможного пересечения координатной
сферы с конусом Маха с вершиной на ней лежат внутри угла
между линиями G.276).
Если V>a, то характеристики G.2.76) действительные, а
система уравнений G.2.2) — G.2.3) гиперболического типа. На
теле в окрестности плоскости симметрии V<a, поэтому эти ха-
характеристики — комплексные, а система уравнений эллиптиче-
эллиптического типа.
Эта ситуация аналогична нестационарному обтеканию тупого
тела, уравнения здесь всегда гиперболические, но предельный
установившийся режим обтека-
обтекания содержит эллиптические и
гиперболические области тече-
течения. Координата г в этой ана-
аналогии играет роль времени.
Условие V>a достигается
в основном за счет окружной
скорости w, т. е. при достаточ-
достаточно больших углах атаки .или
вообще несимметрии течения.
Возможные формы «звуксГвых
линий» V = a показана, на
рис. 7. 5.
Упростим теперь уравнения
при условиях
-0,25*
Рис. 7.5. Формы ударных воли и
сверхзвуковых областей (заштрихо-
(заштрихованы) для острых конусов на коор-
координатной сфере при Мсс=5, у=-\А
194
G.2.8)

Тогда на ударной волне получим
д=1, vs=kvooArw^brsecб0~ef/oo. G.2.9)
Система G.2.1) — G.2.3) принципиально не изменится, за иск-
исключением уравнения G.2.16), которое примет вид
Q^2ctg60—^-. G.2.10)
d
Характеристиками такой упрощенной системы будут, как и
для тупых тел в § 6.3, поверхности тока Ь'— (v[w)sinQ и мери-
меридиональные плоскости ф = const, т. е. произойдет вырождение си-
системы с потерей волновых ее свойств и способности передавать
возмущения вверх по потоку. Но тогда, несмотря на эллиптич-
эллиптичность исходных уравнений в окрестности плоскости симметрии, в
этой области можно получить локальное замкнутое решение, что
и сделаем ниже.
Для наветренной области при ф<С1 это решение будем ис-
искать в виде1
u^UooUq(С) cos @o-f a), v=— UookvQ(С) sin F0-[- а),
)sma, B = S0, С = (в — во)/до, G.2. 11)
Так как п9~д<^1, то граничные условия упростятся
-<i>), G.2.12)
Для р0 учтены члены порядка k, чтобы определить затем давле-
давление на теле поточнее. Здесь и ниже введены величины
^ 5а-. G. 2. 13)
k tg 8 }
cos 60 sin (б0 + a) tgF0 + a) k tg 80
Уравнения движения' G.2.1в) и неразрывности G.2.2), «не-
«несжимаемое» в нашем приближении (p^Q<x>/&), примут вид
G.2. 14;
G.2.15)
Из G.2.1а) получим duo/ctf; = O, т. е. ио=\. Справа в G.2.14)
оставлен член порядка k, отражающий влияние окружного гра-
градиента давления на поле скоростей, которое сосредоточено лишь
в пристеночном подслое с малыми скоростями и постоянным
лее общее решение в квадратурах получено А. Л. Гонором («Известия
LCCP, мех. и маш.», № 7, 1958) и изложено в книге [5].
7* 195

давлением, поэтому р% заменено на Рг(О). Введем перемен-
переменную *(?):
1. G.2.16)
Тогда, используя условия G.2.12), получим решение
; G.2.17)
> v = 2{1_t0)+ai>0;
оз — 0,2— (о) —
При &1/я->0 это решение упростится:
м^1-»)'1-", ^0^A--^2A"Щ). G.2.18)
Подставляя G.2.18) в G.2.16), будем иметь
1
\ = —^ =f J^L=-iin(l-a))—L, G.2.19)
0
а из уравнений G.2.10) и при ф = 0 G.2.16) получим
dt t J t
о
p=l ~~ " + A—HzL ]n A — cjo); G. 2. 20)
2qJ oK
^ @)=l— — А + ^Ф(ш); G.2.21)
2
= A—со)/ 2X-
Эти функции показаны на рис. 7.6 (сплошными линиями).
Сравнение с точным численным решением задачи о конусе1 по-
показывает (рис. 7.7 и 7.8), что формула G.2.19) при величине k,
вычисленной по углу наклона скачка 0о+а, удовлетворительна
1 Полученными (как и в гл. 8, 9), Ю. М. Липницким, В. И. Лапыпшым,
Н. С. Бачмановой (МЖГ, 1973, № 6). См. также работу А П. Базжина
(МЖГ, 1968, №4).
196

всюду кроме области вблизи 80+а»я/2, что обсудим ниже.
Формула Ньютона, дающая р = 1, оказывается для реальных ус-
условий (как и для двумерных течений) точнее формулы Ьузема-
на G.2.20). Формула G.2.21) согласуется с точным решением
при всех со (см. рис. 7.81
ПрИ (о—^о решение G.2.18) — G.2.21) совпадает с тем же
для конуса без угла атаки (§ 6.2). В частности, при малых с»
имеем
В другом предельном случае со—Я, или 60/а->0, имеем р =
= 3/2, Ро(О) = 1—&/2, как для круглого цилиндра, перпендику-
перпендикулярного потоку, но предельная формула G.2.19) дает % ^оо.
Вычисление же X по решению G.2.17) дает при ©—И конечную
величину, а само решение G.2.17) переходит в решение для ци-
цилиндра, полученное в § 6.4. (Аналогия обтекания тонких тел под
большими углами атаки с ме-
местным плоским течением с об-
общих позиций будет рассмотре-
рассмотрена в § 9. 4).
Это обстоятельство требует
анализа применимости пре-
предельного решения G.2.18).
Выделим два режима течения.
При умеренных относительных
углах атаки имеем
Рис. 7.6. Формулы G.2.19) —
G.2.21) - со>О, со<0
20 40 60 (Xе
Рис. 7.7. Относительный отход
ударной волны на конусе:
. — точный расчет; по
формуле G.2.19); ¦ -круглый ци-
цилиндр; — • — k за скачком уплот-
уплотнения с углом наклона 0о+<х
197

р„(°)
1,1
',0
\\
л
N
\PJ0)
ч
—¦—¦
—»
V
Рис. 7.8. Давление на конусе н
наветренной образующей в плоскс
сти симметрии:
точный расчет; мето
гонкого ударного слоя (формул!
G.2.20), G.2.21))
ZO
Ц-0
60 ОС°
Рис 7 9. Форма ударной волны на различ-
различных конусах
II I
VI
Рис. 7.10. Формы поверхностей
тока вблизи плоскости симмет-
симметрии круглого конуса под уг-
углом атаки.
действительная форма;
предельная форма при k-±Q; Д6—
вихревой слой
198

G.2.23а)
l(), ^, Ц..-1. G.2.236)
10 1 CO 1 10
Но в предельном решении Wi(O)=O, поэтому оно всегда отли-
отличается отG.2.17) в пристеночном подслое со скоростями W\~
~ai/co и, следовательно, толщиной tu ^ai, или ^'—' cxj. Вне под-
подслоя, где /~1, имеем/ «l+'Ctiln^l и решение G.2.17) отли-
отличается от G.2.18) лишь членами порядка k. Сам же подслой
столь мал, что не повлияет на решение в делом.
Иная картина течения будет при больших углах атаки
1 - со < kl'\ w± @) ^ а± — А1/2, а2 — А1/2. G. 2. 24)
Здесь в пристеночном слое, в котором Wi~k1;*9 имеем
^.~1 —^~1, с — r'v—1. G.2.25)
Размер подслоя здесь сравним с размером ударного слоя, и
решение G.2.18) не пригодно для исследования структуры тече-
течения, как и в случае точки торможения тупого тела, рассмотрен-
рассмотренной в § 6.4.
Полученное решение применимо и для подветренной окрест-
окрестности плоскости симметрии, если, конечно, ударную волну там
еще можно считать сильной, а ударный слой тонким, т. е. если
местное &<С1. Для этого достаточно положить а<0. В этом слу-
случае Ы — 0-.—оо при а = 0——0о, а формулы G.2.236) справед-
справедливы при всех со. Поэтому всюду, кроме тонкого подслоя тол-
толщиной A^af, будет достоверным предельное решение G.2.18).
При со—-—со, или а-*—0о, имеем X—Я), но при этом ударная
волна не может быть сильной ни при каких реальных условиях.
и наша теория становится неприменимой.
Сравнение кривых на рис. 7.6 показывает, что ударный слой
тоньше на подветренной стороне, чем на наветренной1. Толщи-
Толщина ударного слоя определяется продольным расходом газа, при
а<0 меньшим, чем при а>0, за счет меньшего наклона поверх-
поверхности тела, и окружным растеканием (при а>0) или стеканием
(при а<0) газа. В рамках нашей схемы первый эффект оказы-
оказывается преобладающим. В реальных же условиях максимум тол-
толщины ударного слоя может быть где угодно (рис. 7.9).
Рассмотрим теперь распределение энтропии в ударном слое.
Подставляя разложение s = sQ—(p2s2 в уравнение G.2.3), получим
So=const, а для S2(t) получим формулы (величины s0 и s2(l)
будут, конечно, различными для наветренной и подветренной
сторон)
|^Т (ЦТ- G.2.26)
а) — а<2 — (со — <
Это обстоятельство замечено А. Л. Гонсром («Известия АН СССР, мех.
и маш.», № 5, 1959).
199

Левая формула соответствует решению G.2.17), а правая —
предельному при k—уО. Последняя на теле дает конечную вели-
величину ^2@) =s2(l) A—соJ, т. е. в этом приближении поверхности
тока, входящие при cp = (ps в ударную волну, заканчиваются на
теле при фО = ф5/A—со) (рис. 7.10).
Левая же формула на наветренной стороне, где а>0 и
cti>0, дает 52@) =0, т. е. тело всегда омывается поверхностью
тока, проходящей через плоскость симметрии. В пристеночном
подслое (в котором только и отличаются формулы G.2.26)) по-
поверхности тока резко изгибаются и идут вдоль поверхности тела.
В случае умеренных углов атаки — условие G.2.23) — подслой
очень тонок, и в нем будут большие градиенты энтропии, поэто-
поэтому этот подслой называют еще вихревым слоем К При условии
же G.2.24) толщина подслоя велика, но в этом случае предель-
предельное решение непригодно.
На подветренной стороне cti<0, поэтому s2—^оо при /->0 и
изоэнтропические поверхности тока сходятся на теле в одну осо-
особую точку ф = 0, которую называют еще точкой Ферри2.
Из уравнения rudh =vdr следует г=г31~A~ш) , т. е. линии тока,
войдя в скачок в точке r=rs, стремятся к поверхности тела при
г—^оо. Стекание линий тока к плоскости симметрии ограничи-
ограничивает область применимости изложенного метода к подветренной
стороне лишь небольшими а/8 о, так как в локальном решении
нельзя учесть правильно влияние поверхностей тока, пришедших
с далекой периферии, а их роль будет, конечно, возрастать с
увеличением углов атаки.
§ 7.3. Скошенный цилиндр в неоднородном
гиперзвуковом потоке3
Эта задача имеет отношение к обтеканию передних кромок
крыла, руля, стабилизатора и т. д. неоднородным потоком за
искривленной ударной волной, индуцированной фюзеляжем ле-
летательного аппарата. Ввиду большого разнообразия таких тече-
течений рассмотрим лишь основные качественные их особенности и
для некоторых частных случаев получим приближенные ре-
решения.
Выберем систему координат х, у, ф, где х—расстояние вдоль
цилиндра, у — по нормали к нему, а ср — меридиональный
угол. Параметры набегающего на кромку потока зададим в ви-
1 Понятие о вихревом слое в пространственном течении введено впервые
А. Ферри (NACA, Rep. 1045, 1951) при анализе разложения решения в ряд
по а для малых углов атаки. В рамках асимптотической теории при &->О
с-тот слой рассмотрен в книге [5].
2 В действительности эта точка сходимости линий тока может распола-
располагаться и внутри течения.
3 Подобная задача впервые рассмотрена Б. А. Землянским (МЖГ, 1966,
№ &), вместе с которым и написан этот параграф.
200

де распределения плотности, давления, энтальпии, скорости, чис-
числа Маха и местного угла атаки по х в плоскости, касательной
к цилиндру на линии ср = О:
Ql(*), Pl(x), M*)> ^iW. MJ4 а (л:). G.3.1)
Этого достаточно, если допустить, что радиус цилиндра г0 много
меньше масштаба неоднородности в направлении, ортогональ-
ортогональном плоскости ф = 0, и что на расстоянии порядка г0 изменение
параметров течения вдоль внешних линий тока несущественно.
Для простоты ограничимся совершенным газом и столь боль-
большими числами Mi, что отношение плотностей в скачке k =
= (у—1)/(y+1)> а величинами Pi и h\ можно пренебречь. Реше-
Решение будет получено в окрестности плоскости симметрии в рам-
рамках схемы сжатого ударного слоя (с толщиной б) и в предпо-
предположении умеренной неоднородности, т. е. при условиях
? = А + 8/го<1, ro^/.o = /,sinao, <р<?1, G.3.2)
где L — характерный масштаб неоднородности внешнего поля,
х
,,,з>
определяемый так х
a Io — собственный масштаб неоднородности внешнего поля по
нормали к его линиям тока (ао — характерный угол а), который
по существу и задан физически. В этом случае толщина ударно-
ударного слоя 6~kr0 определяется поперечным растеканием газа, как
при плоском обтекании цилиндра (при этом строго S~roklnk,
но практически lnfe^l).
В случае, противоположном условию го<Хо, а именно, при
поперечное растекание несущественно и течение в плос-
плоскости симметрии будет, как можно показать, плоским, а толщи-
толщина ударного слоя будет определяться масштабом Lo.
Представим решение в виде
<v=—kvlnvo{x\ у'), w = yvlnw1{xr, у')\ G.3.4)
k,Q=Q1 [xr)QQ{xry у')> h = v^nhQ{xr, у')\
^lfl = i/isina; xr = ^-, У' = Т~^ °о=-^~'
где рп — местное ньютонианское давление.
J Набегавший псток может быть, например, струей конечной ширины
В этом случае последующий анализ будет справедлив, если возможно пре-
пренебречь концевыми эффектами вблизи границ струи, где градиенты величии
бесконечны, а L -> 0.
201

Тогда граничные условия на скачке, облегающем цилиндр
при e<Cl, примут вид
Po=Qo:=2ho = w1=l, у' = Ъ0{х')\
^=1-^; Л=1 + ^ .*?&_, co^-u-ctga. G.3.5)
CLX ^ CIX JL
На теле vo = O при у' = 0.
Продольная скорость и на скачке уплотнения при малых г
равна
us=ujcos a~k sin а^-^А. G.3.6)
В соответствии с этим рассмотрим два режима течения ч спо-
способа представления и, которые, несколько упрощая ситуацию,
определим так: умеренные углы атаки
tga< I, u = vixuo(x\ yr), Vu=LJ1cosa; G.3.7а)
uo=l при у' = Ъ0
и большие, близкие к прямому,
Hga^l, и = Ш1щ{х\ у'); G.3.76)
] rnsin a dbu ~ 1 , «,
и„=— cos a °- —2-< I приг/' = 80.
Подставляя решение в форме G.3.4) и G.3.7) в уравнения
E.1.17) — E.1.19) и опуская в них члены порядка 8,-получим
для ио уравнения, соответственно при условиях G.3.7а) и
G.3.76):
Ло_ду1хир J^=_ кфаЖд±щ; G38
vlx дх[ ду' Qo дх'
r0 r0 cos a ~ ^
Itga
sin a Po (^ In /7НА) ^ 3 86)
иг дх' и ду' L Q0 дх'
sin a "
Остальные уравнения движения и неразрывности примут вид
2k^_. G.3.10)
o,('))_jga Q G.3.11)
202

Параметр coi будет постоянным при постоянном а. В урав-
уравнении G.3.10) сохранен, как обычно, член порядка k, отражаю-
отражающий влияние окружного градиента давления на поле скорости.
Поскольку влияние его важно лишь вблизи поверхности тела,
то, как и прежде, заменим /?2 на р2(х/, 0) =Р(л/). Величина р~ 1
по аналогии с поперечным обтеканием цилиндра. Первое урав-
уравнение G.3.9) имеет решение ро= 1, означающее постоянство дав-
давления поперек ударного слоя в плоскости симметрии.
При сог<^С 1 все содержащие этот параметр члены исчезают из
уравнений G.3.10) — G.3.11), которые совпадают при этом с
уравнениями плоского поперечного обтекания цилиндра с мест-
местными внешними параметрами. Течение же газа в сечении х =
= const, из-за наличия продольной скорости (постоянной щ=1
в случае G.3.7а) и малой u~kUi в случае G.3.76)) будет со-
соответствовать скошенному цилиндру в однородном потоке с ме-
местными внешними параметрами.
В этом случае линии тока с постоянной энтропией на них в
масштабе переменных #', у' (но не х, у) идут по нормали к телу,
что следует из уравнения
-??!=—LJ4L. G.3.12)
dx о)/ и0
Такой характер течения нарушается в тонком пристеночном
подслое, в котором и0<сог- и все члены в левых частях уравне-
уравнений G.3.7) — G.3.11) будут одного порядка, а вблизи поверх-
•ности тела линии тока почти параллельны ей.
Характер течения в этом подслое может быть весьма разно-
разнообразным. В случае G.3.76) порядок скорости здесь определяет-
определяется градиентом давления, причем u~ykUi, как на поверхности
тупых тел, в то время как вне подслоя u~kUi. В зависимости
от характера распределения давления здесь возможны местные
критические точки растекания 1 или стекания и т. д.
В наиболее простом случае ro/L^Cl, т. е. кромки, обтекаемой
слабо неравномерным потоком под большим углом атаки, имеем
<й2,/к<^1, так что первыми членами уравнений G.3.10) и G.3.11)
можно пренебречь всегда. Пристеночный подслой со специфиче-
специфическим распределением энтропии будет иметь весьма малую тол-
толщину (так как в нем vo<krofL).
Мы не будем заниматься анализом всегз многообразия возможных тече-
течений и ограничимся лишь рассмотрением обтекания достаточно скошенной
кром-ки, определяемого условием G.3.7а).
В этом случае наклон линии тока dy/dx~ktga мал, а полная скорость
(и 4-^2I/2^^ Поэтому длина линии тока, вошедшей в скачок в точке х=х8,
1 Например, при перпендикулярном обтекании цилиндра неравномерным
потоком с максимумом скоростного напора в некоторой точке или расходя-
расходящейся струей с осью симметрии, перпендикулярной оси цилиндра. Подход к
таким задачам подобен изложенному в § 6.7 или § 7.1.
203

равна Ых—ха, давление вдоль нее в силу ро=1 заранее известно, так что
можно воспользоваться адиабатой Пуассзна и уравнением Бернулли в форме:
= р*?™ VT д. 13)
cos2 a^Q -j- 2/г0 sin2 a ^= 1.
Переидем к переменным (х\ л:^), где координата х5 — постоянная вдопь
линий тока. Используя формулы перехода
дх ду \ дх /у\ дх3 ]х \ ох / а
приведем уравнения к виду
G.3.14)
I
д^у' Г д W\ I ^'
= ¦— у In (QiQo^o^ix) 4* т~» G. 3.16)
дх'' дх* i дх' оз^о J ^'
Решение уравнения G.3.15) выпишем приближенно, положив (in)/
<Cl. Это условие выполняется, например, при постоянных Vin, k и р, так как
при этом § In ро/дл/~ (y—1)/y<C1
^^, G.3.17)
xdx'
Q0
= const.
Это решение имеет следующие предельные формы:
Wl=z—(l+J-\ \ 2$ « 1; G.3. 18а)
wi = *, 2g>l. G.3.186)
Можно показать, что при у—*1 формула G.3.18а) переходит в решение
уравнения G.3.15) с отброшенной правой частью, т. е. ньютонианское решение.
Формула G.3.186), наоборот, является точным предельным решением в при-
пристеночном подслое.
Интегрируя уравнение G.3.16) по х\ получим
ду' ^ с(ха) Ql(x's) vu(x's) F(x'tx's)
dxs «i(^) ^1^') v(x') Q%
Используя решение G.3.17), получим
р ^ A^^ , ^^ j^*0 . G.3.20)
204

Формула G.3.19) дает изменение расстояния между двумя близкими ли-
линиями тока в зависимости от окружного растекания (функция F) и измене-
изменения внешних параметров. Произвольную функцию c(xs) найдем, полагая, по
определению, вдоль ударней волны dxs]dx—\. Тогда при x=xs получим
д db v
=——-— = k\ga\ G.3.21)
dx и
Интегрируя G.3.19), получим форму линий тока и величину
;>.
Как видно, решение в значительной степени зависит от конкретного рас-
распределения внешних параметров, поэтому ниже мы лишь подчеркнем некото-
некоторые его принципиальные особенности.
Важной характеристикой, очевидно, является размер U предшествующей
области задания начальных данных, влияющих на структуру ударного слоя
в данном сечении х. Оценим его, положив
F ~ е~* ж 0 или g ^ д; G.3. 23)
^ tg a,
где q — число порядка нескольких единиц. Как видно, длина /0 зависит от
радиуса цилиндра, а не от масштаба неоднородности L и тем меньше, чем
больше угол атаки. Так как и-нО при k -> 0, то 10 с уменьшением k растет *.
Согласно G.3.22) линии тока приближаются к стенке по закону y'^F~
~ехр(—?•), который обусловлен поведением поперечной скорости v~—у вбли»
зи стенки, что видно из уравнения G.3.12).
Линии тока, вошедшие в скачок вверх по потоку от рассматриваемого се-
сечения х на расстояниях, больших /о, в этом сечении практически сливаются
с цилиндром, т. е. соответствующие газовые частицы за счет растекания ухо-
уходят из плоскости симметрии. Поэтому некоторую координату a:sO^a:~/o мож-
можно уже считать начальной для данного поперечного сечения.
Заметим, что функция ш4 согласно G.3.17) стремится вдоль линии тока
к своему предельному значению w,± = x как е~2§, и достигает его, следователь-
следовательно, на расстояниях, вдвое меньших U.
При coi-Cl из G.3.23) имеем /0<?, т. е. линии тока достигают стенки
значительно раньше, чем внешние параметры успеют заметно измениться.
В этом случае в каждом сечении течение во всем ударном слое будет тем же,
что и на цилиндре в однородном потоке с местными значениями внешних па-
параметров.
По при coi^— 1 пристеночная область (с размерами порядка толщины удар-
ударного слоя или меньше) будет заполнена линиями тока, пришедшими издалека.
Структура ударного слоя в этом случае будет существенно неоднородной,
а быстрое сужение трубок тока, пропорциональное dy]dxs~F, приведет кболь-
1 Величина K2&^0,3-=-0,7 при &=0,05-т-0,2, и ее, а следовательно и к, при
здравом подходе к делу трудно считать очень малой величиной. Полагая
<7>3, получим, что при tga~l расстояние U все же достаточно велико —-
порядка десятка радиусов цилиндра.
205

шим градиентам энтропии, плотности, скорости в пристеночном подслое, т. е.
сильно завихренному характеру течения в нем.
Отметим еще один возможный эффект принципиального характера. Вдоль
линии тока
1 k
da^/2 = — — dp —dpH G. 3. 24)
Q Qi
и по ныстонианской теории при k<?\ скорость газа дслжна быть постоянной.
Но при coi'—'1 давление вдоль цилиндра может изменяться в несколько раз,
что при малых (но конечных) k может привести к конечному изменению ско-
скорости. В частности, давление в некоторой точке Хо мсжет сравняться с дав-
давлением торможения на некоторой, например, начальной линии тока лг50,
и скорость газа в этсй точке обратится в нуль. Поскольку градиент давле-
давления в этой точке остается величиной конечной (в отличие, скажем, от обыч-.
ной критической точки тупого тела, в которой др/д'х^=0), то из формулы
G.3.13) для окрестности точки (х0, xs0) получим
и~[А (х0 -х) + (xs - xs0)]l/2, Л = const f— -^-) G. 3.25)
V рн ox /Xq.
В формуле G.3.19) при х -> х0 все члены, кроме и0, конечны (в том числе
и F), поэтому из нее следует
у ~ [х0 - х + А-1 (xs - xs0)]V2 - (х0 - хI'2; G. 3. 26)
Как видно, при х&^=х^ наклоны всех линий тока dyjox'-* оо при х-+х0.
Наше решение и сама схема сжатого ударного слоя в этой окрестности
неприменимы, а для анализа картины течения следует использовать полную
систему уравнений *.
1 Этот вопрос пока не исследован и далеко не тривиален. В силу конечч>
сти Wi и неограниченности производных ди/д'х и ov/dy при х -* *о, течение в
окрестности этой точки носит локально плоский характер. Но такое течение,
скажем, при обтекании клина неоднородным потоком, в рамках схемы невяз-
невязкой жидкости просто невозможно. Реально в таких случаях возникает зона
вязкого возвратного течения. На кромке с тонкими пристеночными 'низкона-
порными трубками тока отрыва может и не возниинуть из-за окружного рас-
растекания газа. Тонкий завихренный подслой может быть поглощен вязким
пограничным слоем и т. д.
206

ЧАСТЬ III
ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ
Глава 8
ТОНКИЕ ЗАОСТРЕННЫЕ ТЕЛА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 8.1. Общие соображения.
Нелинейная теория малых возмущений
Эта глава посвящена исследованию гиперзвукового обтекания
тонких заостренных тел с малым местным углом атаки поверх-
поверхности, т. е. при условиях 1:
cos (я, f/oo)~t<l, Moo=f/o6/aOo»'l. (8.1.1)
Здесь п — вектор нормали к телу; Uoo — скорость его обте-
обтекания.
Обычно под т подразумевают относительную толщину d/L,
где d — диаметр, a L — длина тела, но первое условие (8.1.1)
является более жестким, чем d/L<^\. Например, при продоль-
продольном обтекании длинного цилиндра может быть rf/L<cl, но поле
возмущений будет определяться тупым передним концом, на ко-
котором cos (#, Uoo)~\.
Для наглядности рассмотрим сначала плоские и осесиммет-
ричные течения в цилиндрической системе координат х, г с
осью х, параллельной ?/«>. Пусть r=rw(x) форма обтекаемого
тела, а и, v — составляющие скорости по осям х, г (рис. 8.1).
Тогда на поверхности тела
v/tt = tge =r'w(x)~x, v^ux, (8.1.2)
Выпишем общие соотношения на скачке уплотнения (см. гл. 2)
1 Первые основополагающие результаты в этой области, в частности, за-
закон подобия и закон плоских сечений (см. § 8.2 и 8.4) были получены Цянь
Сюзонем (Н. S. Tsien, J. Math, Fhys. 1946, №¦ 3), С. В. Фальковичем (ПММ,
!пм № 4)' У> Хзйзсм (Quar*. Appl, Math, 1, 1947) и А. А. Ильюшиным
(ПММ 19S5, ,№'&). Отметим ъ этом направлении работу Г. М. Бам-Зеликэяи-
^ А. И. Бунимовича, М. П. Михайловой («Теоретическая механика», Ч.,
-лЗоронгиз, 1949, № 4). Подробное изложение истории и существа вопроса
Дано в .книгах [9, 47, 48].
207

(8.1.3)
где и1л — нормальная скорость втекания газа (с параметрами 1)
в скачок уплотнения.
В набегающем потоке для плоского скачка с углом а имеем
vln==voon =
sin а, пх= — sin а, ny=cosa,
Рис. 8.1.
Поскольку угол отклонения потока поверхностью тела явля-
является основным источником возмущения, то он не может иметь
больший порядок, чем на теле, т. е. v^xUoo всюду, в том числе
и на скачке. При обтекании тонких тел всегда реализуется сла-
слабая ветвь скачка (§ 2.6) с cosa~l, поэтому из (8.1.3) следует
г;//700~A —A)sina~ t, u~ U^ (8.1.4)
Если A—k) ~ 1, то а^т, если k^l, то скачок слабый и угол
наклона его близок к углу Маха a*==arcsinM^1 . Следовательно,
в общем случае
^ (8-1.5)
где б — поперечный размер возмущенной области.
Получим еще эту оценку строго для совершенного газа, под-
подставляя в (8.1.4 ) формулу B.3.1),
. — k) sin a = -
\ sin а.
1 )
Л = Моо sin а).
- sin а —
Таким образом, при обтекании тонких тел гиперзвуковым пото-
потоком угол наклона скачка уплотнения оказывается малым.
208

Теперь нетрудно из (8.1.3) получить порядки других величин
за головным скачком
Lp = p- Pob~qJJI?t, ^-G^fM-' + eTj-Oeof/a.e*; (8. 1.6a)
&h = h-hx~и\гт, h~U\s\ (8.1.66)
Ы1 = им — а~иоаът, я = ?/во[1 + 0(ег)]. (8.1.6в)
Здесь использованы известные соотношения
QjJl = yMlpm Ul = (y-\)№JX, (8. 1.7)
точные для совершенного газа в невозмущенном потоке и ха-
характеризующие порядки величин в общем случае.
Чтобы оценить порядок плотности, воспользуемся уравнени-
уравнением состояния в квазисовершенной форме
у— 1 h у — 1
Здесь у — соответствующий процессу, происходящему в газе,
показатель адиабаты (§ 1.7 и 1.9).
Заметим, что здесь разность у—1 уже не считаем малой (как
в ч. II). Поэтому расстояние 6i между телом и ударной волной
(или толщина ударного слоя) будет иметь тот же порядок ма-
малости по 8, что и полная толщина б, введенная в (8.1.5). В этом
можно убедиться из уравнения расхода через слой 6ь полагая
откуда следует х 61^ (Qoo/ps) б ~ б.
Покажем, что полученные выше порядки величин сохраняют-
сохраняются во всей возмущенной области. Из уравнения импульса в по-
поперечном направлении имеем
1 др ди ди ^гт2 ( v i %2
~0~~д7~~~ ~U~dx~ V~d7 ^[Т^ТГ
Отсюда и из уравнения адиабаты вдоль линий тока получим сле-
следующие оценки для перепадов величин в возмущенном слое:
_^^2гТ? i^_ LiiL^JL (8.1.9)
О О V V ?
1 Можно исследовать течение и при одновременных условиях (у—1)<1,
1 (например, в § 5.3 для тонких тел степенной формы). Тогда Q~poo/k,
где k~(y—1)/(y+1), но в качестве поперечного размера для оценки порядка
производных следует взять b^kxL, что не изменит последующие выводы в
главном. Для реальных условий обтекания тонкого тела возрастание плотно-
плотности за скачком вряд ли может быть достаточно большим для успешногС' при-
менения теории тонкого сжатого слоя.
209

И, наконец, из уравнения Бернулли получим
kh, Д#~ f/oots. (8.1.10)
Эти оценки справедливы и для течений с внутренними скач-
скачками уплотнения, углы наклона которых ai также будут малы-
малыми в силу гиперзвукового характера течения за головным скач-
скачком, что следует из оценки
M* = -^-~^k L>1, a.-s^-i-.+ t-e. (8.1.11)
2 2 M
Оценки параметров течения за такими скачками с соотноше-
соотношениями (8.1.3) на них не отличаются от приведенных выше1.
Аналогичный вывод следует и для центрированных волн раз-
разрежения, исходящих из угловых точек поверхности (с малыми
согласно (8.1.1) углами поворота потока), в которых перепад
давлений Ap/pooU^ ~т/М~ет, что следует из соотношений сов-
совместности вдоль характеристик (§ 3.2). Заметим также, что хо-
хотя вблизи угловых точек градиенты всех величин за счет умень-
уменьшения масштаба длины будут велики, относительная роль чле-
членов дифференциальных уравнений не изменится, так как из-за
малого, порядка е, наклона центрированной волны продольные
(по х) производные в ней будут всегда много меньше попереч-
поперечных, как и в основной области течения.
Рассмотрим теперь общий случай пространственного течения.
Пусть форма тела в декартовой системе координат с осью х,
параллельной ?/«>, будет f(x, у, z)=0 с направляющими косину-
косинусами нормали (рис. 8.2)
(, + ЛI/2. (8.1.12)
Одновременно рассмотрим нормаль п* к контуру поперечного
сечения х — const, для которой
n*y=fytr\ п„ = /гьт\ A., = (fl+fzyi\ (8. 1. 13)
Но для тонкого тела имеем
Л~т2(/' + /г)' А~А*' ">»-*>*» ^-^.(8.1.14)
Поэтому условию непротекания на теле можно придать вид
= unxJrv* = 0; (S. 1. 15)
Здесь v% — проекция скорости на нормаль п%. Естественно
1 Число внутренних скачков не должно быть-очень велико, иначе повыше-
повышение энтропии в них, накапливаясь, может стать значительным, что приведет
к заметному падению местных скорости и числа М.
210

предположить, как и выше, что именно эта скорость определяет
порядок поперечных скоростей во всей возмущенной области.
Тогда для местного угла атаки скачка а получим то же условие
(8.1.4), а следовательно, и те же оценки других величин.
Дополнительной оценки требует лишь составляющая попе-
поперечной скорости по касательной к телу, величина которой опре-
определяется не условием непротекания, а окружным градиентом
давления. Обозначив эту скорость vh а соответствующее направ-
Рис. 8.2. Возможные типы псперечных сечений тонки*
тел
ление через / и имея в виду, что (Ap)i~p0oU200T;si l^6~eL, по-
получим из уравнения движения (знак ^ здесь употреблен с тем,
чтобы охватить и случай /^>6, рассмотренный в § 9.1)
1 др г т Vi , j^ Те ~ г j2 T*
dt
' U
дх
/
VtKVt — UnX, (8.1.16)
т. е. порядок окружных скоростей не больше порядка нормаль-
нормальных к телу.
Таким образом, возмущения скоростей при обтекании тонких
тел малы по сравнению со скоростью обтекания, а возмущения
давления и энтальпии малы по сравнению со скоростным напо-
напором poot^i и с энтальпией торможения Я^ ^i/2 . Однако в об-
общем случае малые возмущения скорости не влекут за собой ма-
малых возмущений термодинамических величин по сравнению с их
величинами в набегающем потоке. В самом деле из (8.1.6) и
(8.1.7) получим
AQ
(8. 1. 17)
211

Следовательно, эти возмущения будут малы лишь при условии
Moot<C 1, т. е. при нормальной к телу скорости ?/ооТ<С#оо.
Выпишем теперь одно из уравнений движения и уравнение
неразрывности (для простоты для плоского течения совершенно-
совершенного газа) и оценим порядки входящих в них членов:
да | да 1 Op a dp , v dp , да , dv n
и -\-v = —, — А —-[ = 0,
дх ду q дх ра2 дх qo? ду дх ду
2 Те т г<у т2 т*р . , г. U„ ( Tj \2 U\^X?. U^ ~*
U „ —:—1 U _.
L °° L °° L elf L
Как видно, при т~е или при Moot^l все члены одного порядка,
т. е. уравнения движения остаются нелинейными, несмотря на
малость возмущения скоростей. Поэтому соответствующую тео-
теорию, которой будем заниматься ниже, называют нелинейной
гиперзвуковой теорией малых возмущений.
И лишь при Moot «С 1 в коэффициентах этих уравнений и гра-
граничных условиях можно, как видно из (8.1.17), положить u=Uoo,
р^роо, о = аоо и т. д. и, что важно, опустить нелинейные конвек-
конвективные члены, после чего эта система станет линейной
г г dv 1 dp r r dw 1 dp
°°~d7~'"'QZ~d^' °°~dx~~ "oT~a7'
1 Ч (8А- 18)
L+TL)=0¦
у дг ]
Здесь мы исключили из уравнения неразрывности производ-
производную ди/дх с помощью уравнения импульса вдоль оси х. Пос-
Поскольку при этом скачок близок к характеристике, т. е. а^сс*, то
Voon~a«x>, так что соотношения на скачке выродятся в линейные
соотношения
Y-Ы
.Qooaeotv= — iiyl±p, QooaooW^ — n^p. (8. 1. 19)
Эти соотношения определяют разрыв величин на головной
характеристике или характеристической поверхности, с которы-
которыми в рамках линейной теории и совмещается скачок. На это ука-
указано в § 3.6, откуда и взято приращение а—а* в формуле
(8.1.19), где был применен несколько другой подход к обосно-
обоснованию линейной теории.
Заметим, что линейная теория малых возмущений справед-
справедлива и для умеренных чисел М», но имеет в этом случае по-
погрешность т/е~МооТ/, в отличие от квадратичной погрешности с2
нелинейной гиперзвуковой теории.
Линейная теория неприменима в ее непосредственном виде
и при Моо—И. В самом деле, в этом случае пу, nz—'cosa*^
212

& (M^ — lI'2, так что при заданном порядке возмущения скоро-
скоростей, например, v^xU^, из (8.1.19) получим уже не малые при-
приращения давления Л/? ~/?оот/УМоо—1 (на что было указано
в §3.6).
Линейная теория малых возмущений хорошо разработана1,
однако реальная область ее применимости при гиперзвуковых
скоростях весьма ограничена.
§ 8.2. Закон плоских сечений или нестационарная аналогия
Ранее был получен важный результат, на который теперь
обратим особое внимание: при гиперзвуковом обтекании тон-
тонких тел возмущение (дефект) продольной скорости имеет более
высокий ^порядок малости, чем поперечной, а именно:
Un—u — UnZX&v — UooX. (8.2. 1)
Этот результат является главным образом следствием свойств
скачков уплотнения малого наклона, что видно из соотношений
ku, = Uoo — и = i;tg(x = и tg6tg a, (8. 2. 2)
вытекающих из (8.1.3), где 0 — угол поворота вектора скорости
в скачке.
Отсюда следует, что в первом приближении продольная ско-
скорость газа совпадает со скоростью набегающего потока, а ско-
скоростью перемещения газа Аи из неподвижных в пространстве
тонких слоев, нормально пересекаемых телом (перпендикуляр-
(перпендикулярных вектору t/oo), можно пренебречь; тело при своем движении
как бы раздвигает газ в этих слоях (рис. 8.3), не выводя его из
них. Это есть закон плоских сечений, который играет фундамен-
фундаментальную роль в газовой динамике.
Выпишем теперь уравнения движения в декартовой системе
координат (см. § 1.7 и 3.1):
da 1 dp f d d , d j_ f d
dt ~~ q dx \ dt ~~ dx dy ' dz
dv 1 dp dw 1 dp dh 1 dp # /^ ^ *,
dt Q ty ' dt Q dz ' dt q dt
dQ ! л- Г*г г\(л- Тт du , dv | dw \ /o o r\
—^- + 0 div?/ = O div?/= ; (8. 2. 5)
dt \ dx ' dy ' dz j v ;
dt
= h{T, qm\ Q = Q(p,T,qm), (8.2.6)
...; m= 1....
1 См. перечисленные в библиографии монографии по газовой динамике.
Некоторые результаты приведены в § 3.6.
213

Последняя группа уравнений описывает физико-химические
процессы в потоке и их конкретизировать пока не будем. Упрос-
Упростим теперь эту систему, воспользовавшись условием u=Uoo[\-\-
+О(те)]. Очевидно, что в операторе полной производной dfdt
можно сразу же положить u^Uoo. Так как одна из скоростей v
или w имеет порядок не меньший f/oot, а толщина возмущенного
слоя 6~-eL, то в операторе диверген-
дивергенции имеем:
дх Т~~ ~ду~ ' ~д7 bL '
(8.2.7)
Поэтому с точностью до членов поряд-
порядка 82 ПОЛуЧИМ
d г т д
Рис. 8.3.
dt
дх
ду
dz
=^+^-. (8.2.8)
ду dz
ду
dz
Но тогда уравнения (8.2.4) — (8.2.6) образуют замкнутую
систему, независимую от уравнения (8.2.3). Сделаем далее за-
замену
x=Uj. (8.2.9)
Тогда эта система совпадет с системой уравнений для двумер-
двумерных нестационарных течений в плоскости у, г.
Рассмотрим граничные условия на теле и ударной волне.
Сопоставим их поверхностям нестационарные поверхности в
плоскости у, г:
У, z) =
, z\
/, у, z)=F(Uj, у, z). (8.2.10)
Нормальная скорость распространения поверхности тела, опре-
определяемая из условия df* = O согласно условию непротекания
(8.1.15), совпадет со скоростью газа на поршне
dt
dt
=-и«Л* = *** (8.2.11)
Скорость распространения ударной волны в силу аналогич-
аналогичного соотношения будет равна DF =—U0otix = voon скорости вте-
втекания газа в скачок уплотнения в исходном стационарном тече-
течении. Соотношения же на скачке в виде (8.1.3) в общем случае
одинаковы для стационарных и нестационарных течений.
Эти результаты особенно наглядны для плоских и осесиммет-
ричных течений, для которых на теле rw(x) и ударной волне
R(x) имеем
214

-?±-= ¦??**¦, vln = Ucos\na=-^, (8.2.12)
dx dt dt
Таким образом, стационарному гиперзвуковому обтеканию
тонкого тела можно сопоставить математически и физически
эквивалентное нестационарное течение, вызываемое поршнем,
закон расширения которого следует из формы исходного тела
заменой х на U^t. Все параметры (кроме ?/<»—и) в стационар-
стационарном течении в плоскости х = const и в эквивалентном нестацио-
нестационарном в момент времени t = xfUoo будут одинаковыми.
Это правило эквивалентно закону плоских сечений и носит
название нестационарной аналогии. Хотя нестационарная анало-
аналогия в общем случае и не дает особых преимуществ при точном
численном решении уравнений, так как число независимых пере-
переменных сохраняется, а уменьшение уравнений на одно не столь
принципиально; она играет большую роль в установлении зако-
закономерностей физического характера, а в ряде случаев позволя-
позволяет понизить размерность задачи, т. е. уменьшить число незави-
независимых переменных. Эти случаи будут рассмотрены ниже (см.
гл. 9).
§ 8.3. Уравнения сохранения в интегральной форме
Установим аналогии между интегральными характеристика-
характеристиками в эквивалентных стационарных и нестационарных течениях.
Для стационарного обтекания тела рассмотрим цилиндрическую
контрольную поверхность (см. рис. 8.1), соосную оси х, т. е. век-
вектору скорости [Л», через 1внешний контур поперечного сечения
ударной волны. Пусть 5 площадь сечения, ограниченная этим
контуром, а 50 'площадь поперечного сечения тела. Тогда ба-
баланс расхода массы через такую поверхность примет вид
QooU^S^ J QtidS, QooS= J QdS, (8.3.1)
О Jq О O()
где второе равенство получено из первого при u=Uoo и отража-
отражает закон сохранения массы в возмущенном слое при нестацио
нарном расширении поршня в плоскости ^ = х—?/oo^ = const.
Запишем теперь закон сохранения продольного импульса
(Poo-i-QooUlo)S=X+ f (p+Qti*)dS, (8.3.2)
s-s0
где X — сила сопротивления отсекаемого контрольной плоско-
плоскостью переднего участка тела.
Это уравнение при помощи (8.3.1) преобразуем к виду
X. (8.3.3)
215

Привлекая уравнение Бернулли и соотношение А = е+/?/р, по-
получим
(8. 3. 4)
2 U "w
со
Тогда уравнению (8.3.3) можно придать вид
s-s0
(8.3.5)
В силу оценок (8.1.6) — (8.1.10) с точностью до членов порядка
е2 интеграл Е\ может быть опущен. Тогда получим
(8.3.6)
s-s0
Это уравнение представляет собой уже закон сохранения
энергии при нестационарном течении газа в перпендикулярном
к направлению движения тела плоском слое единичной ширины,
причем работа расширения эквивалентного поршня, т. е. энер-
энергия Е, сообщенная им газу, заключенному в этом слое, равна
работе силы сопротивления X исходного тела на единичном пу-
пути, т. е. численно ? = Х
Соотношение (8.3.5) в дальнейшем будет важным, поэтому
получим его еще другим способом, более наглядно. Пусть Е\ —
энергия в неподвижном в пространстве плоском слое, не учиты-
учитываемая законом плоских сечений. Тогда из баланса энергии в
этом слое получим
d?j _ д г A ,q д_ г (j4 , ^2 _,_ у*
dt dt ; 2 dCJ\222
. ^ Г рц dS (и ==п U L=x U t) (8 3 7)
^ ] 1 ' v 1 °°' оо ;•
" S-SQ
Первый член справа обусловлен кинетической энергией про-
продольного движения газа со скоростью пи второй — переносом
энергии, а третий — работой сил давления. Но для стационар-
стационарных в связанной с телом системе координат течений djdt —
Uood/dx, д/д± = д/дх, поэтому используя, как и выше, уравнение
Бернулли, получим
дЕг $
216
дх дх J I 2
S— So

Это соотношение точное и справедливо для стационарного обте-
обтекания любого тела потоком любой сверхзвуковой скорости. Ин-
Интегрируя его в пределах х0, х, где х0 — произвольная точка впе-
впереди тела, в которой уже &i = 0, например, х0 ——оо, получим
Е[ =ЕЪ что и следовало ожидать.
Рассмотрим, наконец, закон сохранения поперечного импуль-
импульса, например, в направлении оси .у для того же контрольного
объема. Поскольку в набегающем потоке этот импульс равен
нулю, то
QiivdS=V, Г QvdS=Jy=—. (8.3.9)
О Og "J Од
Здесь Y — подъемная сила передней части тела в направлении
оси у. А второе соотношение получается из первого при u=Uoo
и представляет собой закон сохранения импульса для единично-
единичного плоского сдоя при расширении поршня, сообщившего газу
импульс Jy. Следовательно, нестационарная аналогия дает связи
Е = Х, ?/оо/=К. (8.3. 10)
Заметим, что для их выводов пока было достаточным справед-
справедливость закона плоских сечений лишь в концевом сечении конт-
контрольной поверхности. Но если тело всюду тонкое, то эти связи
можно получить непосредственно из действующих на тело сил с
помощью равенств (8.1.14) и (8.2.11) (/ — периметр поперечно-
поперечного сечения тела)
Х=— Г <§pnxdldx=$(fypVbdldt=E; (8.3. 11)
6 i 6 I
X t
Y = \ j)pnydldx=Uoo j4 (j) pn^ydldt=UoJy. (8. 3. 12)
о / 6 i
Здесь интегралы справа — есть работа расширения поршня и
импульс, сообщаемый им газу.
В симметричных течениях векторы У = / = 0, поэтому (как и в
§ 5.5) ограничим контрольную поверхность или поверхностью
тела rw(x) и ударной волной R(x) по одну сторону плоскости
симметрии в плоском течении (v = 0), или еще двумя близкими
меридиональными плоскостями с малым углом Дер между ними
в случае осевой симметрии (v=l). В последнем случае харак-
характерным будет импульс / на единицу меридионального угла.
Закон сохранения импульса для тонкого тела примет вид
я r х / r \
f Q#wvrfr = ?/oo f Qvr"dr= f I r^/?0-f v f pdr — pooRv\dx = UooJ.
rw rw ® \ rw '
(8. 3. 13)
Здесь pQ — давление на теле.
217

§ 8.4. Закон подобия гиперзвукового обтекания
тонких тел совершенным газом
Наиболее важным следствием закона плоских сечений явля-
является закон подобия, который и рассмотрим ниже. В соответст-
соответствии с установленным в § 8.1 порядком возмущений введем без-
безразмерные величины
x'=x/L, y'=y/Lx, z' = z/Lt, q' = — ; (8.4.1)
(8.4.2)
В этих переменных форму тела и искомую поверхность ударной
волны представим в общем виде
/(-*', у', 0 = 0, F{x\ у\ zf)=0. (8.4.3а)
Для плоских или осесимметричных течений в явном виде
rw = — rw{x'), /?' = *if?, a' = — , (8.4.36)
где а — местный угол атаки ударной волны.
Нетрудно убедиться, что уравнения (8.2.4) — (8.2.5) с уче-
учетом упрощений (8.2.8), т. е. при u=Uoo не изменят в новых пе-
переменных вида, и в них не появится каких-либо безразмерных
параметров. Граничное условие (8.1.15) на поверхности тела при
т2<С1 также останется неизменным:
„ * х' пх „ * У' „ „ * z'
fix' Т~ •> Кху':^2 т~ = AZ'*;/, TIh.zi•¦==.——
Д TJ А Д
*
Соотношения на скачках уплотнения (8,1.3) останутся неиз-
неизменными при переходе к новым переменным. Но соотношения
на головном скачке уплотнения содержат условия обтекания в
виде
Р' Й h ^ (845)
Из предполагаемой единственности решения Задач следует,
что решения одинаковых безразмерных уравнений будут совпа-
совпадать при одинаковой безразмерной форме (8.4.3) сопоставляе-
218

мых тел и одинаковых условиях обтекания (8.4.5). Для совер-
совершенного газа
В этвм случае согласно (8.4.5) критериями подобия течений
будут параметры
М^, у. (8.4 7)
Таким образом, при гиперзвуковом обтекании тонких тел
совершенным газом требования к общему закону подобия (см.
гл. 4) — совпадение чисел Моо и формы тела при одинаковом
показателе у — существенно ослаблены, так как оказываются
подобными — при совпадении нормальных к поверхности тела
чисел Мп=МооТ, течения около аффинноподобных тел, т. е.
получающихся одно из другого равномерным растяжением в на-
направлениях, перпендикулярных вектору скорости набегающего
потока (оси х). Например, обтекание тонкого тела при очень
большом числе Mooi (трудно достижимом в эксперименте) мож-
можно моделировать меньшим М<х>2," увеличив относительную толщи-
толщину тела согласно равенству T2=tiMooi/Moo2. В подобных течениях
совпадают распределения безразмерных величин (8.4.2) по без-
безразмерным переменным (8.4.1), т. е., например, давления в сход-
сходственных точках подобных течений изменяются как р~%2 и т. д.
Выше форма тела (8.4.3) была выписана в поточной системе
координат с осью х, параллельной вектору скорости набегаю-
набегающего потока Uoo. Часто форма тела более проста в некоторой
связанной системе координат g, n, z (см. § 5.8), где \~х, п~у.
Суть дела от этого не изменится. Если тело с формой
f (V Yl' zf) = 0 ?' = —- ft' = zr =
J l ' ' Г ' L ' xxL' 1XL
(tx== max sin бх -у^ 0),
где 9i — угол между касательной к образующей тела и осью ?,
обтекается под углом атаки а, то дополнительным критерием
подобия будет отношение аМ. За малый параметр т следует в
этом случае принять t=Ti+a.
Аэродинамические характеристики подобных течений мож-
можно, используя определения § 5.8, представить в виде
1 1
2 i xl „„ _,, , .о 2 с .х: ., J/7 _,X,=X2C^ (8.4.8а)
219
/ о/'
z:

где сх (y, Moot), Су (у, Moot) одинаковы для подобных те
чений.
Полученный закон подобия очень эффективен и имеет хоро
шую точность в широком диапазоне т и Моо, что проиллюстриро
вано на рис. 8.4 и 8.5.
О
90
1J5
Рис. 8.4. Распределение давления и формы
ударных волн на тонких конусах:
Моо = 5; б=20°' а 3 10°'
. М^ = 10, 8 = Ю°, а = 5°; М^ sin Q = 1,7;
а/0 = 0,5
Сравним полученный закон подобия с законом подобия для
тонких тел при умеренных числах Маха Моо, который получает-
получается в рамках линейной теории. Для этого заменим в (8.4.2) вели-
величину р на Ар = р—poo (a h на к—A«>), оставив прежними безраз-
безразмерные скорости и координаты. Тогда, переходя в уравнениях
(8.1.18) к безразмерным величинам, убедимся, что в них появит-
появится параметр tJ/ML— 1.
В этом случае форма головного конуса Маха, а следователь-
следовательно, и порядки величин пу и пг уже не определяются формой те-
тела (для простоты примем, что тело погружено в этот конус
полностью. Случай тел типа крыльев рассмотрен в книге [26]).
220

Поэтому последние соотношения (8.1.19) на головном скачке
следует представить в виде
Пу
№ооПу = ?1у VМ^о— 1 и т. д.
Для плоского профиля %=1, 7г2 = 0. Как видно, в эти соот-
соотношения входит тот же параметр хУ М^— 1-
ОС
(р=0
2 ' в и>°
2 J
;
a)
•- 70°
Л- 15°
к- 20°
а- 25°
¦ - в=30°
/
А
V
ч
/А
2
б)
Рис. 8.5. Давление (а) и толщина ударного слоя (б) на тонких ко-
конусах (N1^=2—20)
Этот критерий подобия переходит в полученный выше пара-
параметр Moot при М^>>1. Таким образом, можно предположить },
что произведение т К Ml—1 является критерием подобия обтека-
обтекания тонких тел во всем сверхзвуковом диапазоне чисел М«>.
Приведенные в § 3.6 иллюстрации подтверждают это предпо-
предположение.
Принцип гиперзвуковой стабилизации, установленный в гл.4,
применительно к тонким телам имеет следующее толкование.
Пусть М^т2^>1. Тогда в соотношениях на скачке уплотнения
можно положить р^ = 0, h'oo=0, и решение (в безразмерном ви-
виде (8.4.1) — (8.4.2), конечно) перестанет зависеть от МооТ. Кри-
Критерием подобия в этом случае будет лишь показатель адиаба-
адиабаты у.
1 Впервые это предположение сделал Ван-Дайк (JAS, 1951, № 7).
221

В гл. 4 приведен вывод общего закона подобия из теории по-
подобия и размерности. Провести аналогичные рассуждения для
нашего случая не представляет труда в рамках нестационарной
аналогии. При расширении поршня (для простоты одномерного)
в совершенном газе течение зависит от параметров
U Л 7\ rf, Qoo, а*,. (8.4.9)
Здесь Т и d характерные время и размер в законе расширения
поршня. Образуя из этих параметров безразмерные комбинации
и имея в виду, что для исходного стационарного обтекания тела
х=и^, L=UooTy d=xL, получим следующую структуру решения,
например, для давления
х г ХЛ \
-р -, Moot, Y),
(8.4.10)
которая и отражает закон подобия.
Несколько труднее получить закон подобия в исходной ста-
стационарной постановке, так как в этом случае все независимые
переменные имеют одинаковую размерность. Для этого нужно
ввести характерную скорость UooX вместо 1Л», как в общем за-
законе подобия гл. 4, и, что главное, два независимых масштаба
L и Lx для измерения длин в продольном и поперечном направ-
направлениях, что и делается автоматически при переходе к эквива-
эквивалентным нестационарным течениям.
§ 8.5. Закон подобия для несовершенного газа 1
На этом вопросе остановимся лишь вкратце, поскольку ход рассужде-
рассуждений здесь не отличается от приведенного в гл. 4.
При полностью замороженном относительно состояния в набегающем по-
потеке течении уравнение состояния имеет вид (§ 1.7)
(8.5.1)
где hf —- связанная энергия физико-химических превращений. Поэтому в за-
законе подобия достаточно заменить у на замороженный показатель адиабаты у/у
a h на h—hf. Температура в подобных течениях T^tfU^lR, так же как и дав-
давление. При свободном пелете в атмосфере &/—0, так что никакого отличия от
совершенного газа не будет.
В другом предельном случае равновесного течения уравнению состояния
согласно § 1.9 можно придать вид (8.4.6), заменив в последнем у на эффек-
эффективный показатель адиабаты
Y* (Р, h) = y* (ej^2p'. U^xih') = yI (P', h'). (8. 5. 2)
1 Некоторые результаты в этом направлении были получены X. Ченгом
для равновесных и Д. Г. Нигером для неравновесных течений (JAS, 1959,
№9 и AIAA, 1963, №• 1).
222

В этом случае течения будут подобными лишь при одинаковых функциях
Y*(//, h'), что для газа заданного сорта с учетом (8.4.5) приводит к следую-
следующим условиям подобия течений:
С», ^оо*. Роо, *«, (8-5.3)
При этом размерные величины в системе условий подобия следует пснимать
в том же смысле, что в гл. 4. Отличие от общего закона подобия § 4.2 лишь
в том, что определяющей является не скорость обтекания [/«,, а ее нормаль-
нормальная к телу составляющая (/«Д, так как именно от нее зависят состав и состоя-
состояние газа в ударном слое около тела. При этом в сходных точках подобных
течений будут одинаковыми давление, температура и другие термодинамиче-
термодинамические величины.
В общем случае неравновесного течения газа уравнение (8.2.6) приве-
приведем к виду
Здесь все величины, кроме t, оставлены размерными, так как приводя их
к безразмерному виду, получим те же условия подобия (8.5.3). Функции Qn
содержат времена протекания физических процессов (это четко следует из
формул § 1.5). Поэтому такие течения будут подобными лишь при одинаковых
временах Ь/О^ движения газа около тела, и, конечно, при заданном одина-
одинаковом начальном составе и состоянии газа, т. е. в целом при совпадении па-
параметров
W», U^x, Qoo, РоВ) h^ qnoa. (8.5.5)
Система критериев подобия, несмотря на сложность, тем не менее проще
аналогичной системы D.2.14), так как накладывает лишь два условия на три
величины L, т, U<x>, чем допускает возможность моделирования течений путем
вариации условий сбтекания и формы тела. Заметим, что из совпадения па-
4 раметров L/Uoo и U <*>% следует совпадение толщин подобных тел d=Lx.
Вели в возмущенной области идут только бинарные реакции и только в
прямом направлении, то естественное упрощение общего закона бинарного по-
подобия гл. 4 приведет к следующим критериям подобия:
Этот случай представляет большой интерес в реальных условиях, посколь-
поскольку сравнительно малые, порядка p~PooV?x2, давления задерживают процессы
рекомбинации на' тонких телах.
При больших числах М^ т2>1 (как в § 8.4) из системы критериев подо-
подобия исчезнут давление р^ и энтальпия /г«, (температура Г со) набегающего пс-
тока, но зависимость течения от скорости UocX останется, как и в общем за-
законе подобия, полученном в гл. 4.
Глава 9
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
ОКОЛО ТОНКИХ ТЕЛ
§ 9.1. Обтекание тонких крыльев. Правило полос
Особым классом тел, допускающим существенное упрощение-
математической задачи их обтекания, являются тонкие крылья с
острыми кромками, с размахом / много большим толщины d,
все точки поверхности которых близки к некоторой плоскости
223

# = 0 (рис. 9.1). Потребуем еще, чтобы этот размах много пре-
превосходил ширину конуса Маха и, кроме того, чтобы нормаль к
телу всюду составляла малый угол с осью у. Таким образом,
/должны выполняться условия
Этим
и не
I
к
У\
условиям удовлетворяет, например, контур «б» на рис. 8.2
удовлетворяют контуры «в», «г», хотя они также сильно
сплюснуты в одном направлении.
—ут^mz Условие г<^\ приводит к закону
/gb\ N. плоских сечений и к закону подобия,
уже рассмотренным в предыдущей
главе. Но условие ei<^Cl дает допол-
дополнительные возможности, которые
и рассмотрим ниже.
В этом случае головная волна
F(x, у, z)=0 присоединена к перед-
передним кромкам и направляющие коси-
косинусы ее нормали будут равны
Рис 9.1. К теории полос.
Особые полосы заштрихо-
заштрихованы
Тогда из соотношений (8.1.3) на
скачке уплотнения получим
w~Uos?1x<^v~U(X>x: (9.1.3)
Тот же порядок окружной скорости на теле будет индуциро-
индуцирован и за счет градиентов давления, в чем легко убедиться, по-
полагая в формулах (8.1.16). Vi = w, /~Le/ei. Но тогда
W ¦
dz
ду
е?,
dw
~d7
dv
(9. 1.4)
в силу чего соответствующие члены в операторах (8.2.8) можно
опустить, внеся погрешность порядка еь а из уравнений движе-
движения можно выделить независимую группу
г г dv , dv I dp r у dQ , dg , dv A /A 1 -N
сУоо Y-V = ?— , Uoo \-V \-Q :==vJ, (У. 1. O)
dx ду q ду дх ду ду
}dh_
др
дх ду q дх q ду дх ду
с граничными условиями на теле и на ударной волне
dx dt ' °° dx dt
(9.1.6)
224

где г(х) и R(x) — формы тела и ударной волны в плоскостях
z = const. Система (9.1.5) описывает плоское нестационарное
течение в этих плоскостях, вызванное перемещением поршня
r = r*(t), если сделать замену x=Ucot.
В каждой плоскости z расчет течения можно проводить не-
независимо, что понижает размерность исходной задачи и являет-
является существенным упрощением. При необходимости остальные
компоненты скорости можно получить затем из уравнений
дх ду q dz дх ду Q дх
и граничных условий на уже известной ударной волне.
Полученный результат носит название правила полос. Физи-
Физический смысл его заключается в том, что газ остается практи-
практически без перемещения не только в плоскостях х = const, но и в
плоскостях z = const.
Остановимся теперь на некоторых ограничениях применимо-
применимости теории полос. Пусть передняя кромка крыла или часть ее
сильно скошена и составляет с осью х малый угол C, порядка
угла Маха до (а^^^М^1) или после (а^=М;г1 ~е) скачка уплот-
уплотнения, такой, что из-за малости нормальных чисел Маха Мп го-
головная волна (перестает быть присоединенной к кромке. Тогда
прилегающие к кромке верхняя и нижняя части крыла буду г
влиять друг на друга, что вызовет изменение всех параметроз
на величину своего порядка. Но область этого влияния будет
иметь поперечный размер порядка Az~.a*sL~eL. А так как
именно это Az должно входить в оценки (9.1.4) для отношений
производных, то эти отношения будут иметь порядок ei, а не ei,
как в основной области.
Аналогичная ситуация будет вблизи любой линии z = const,
которая проходит через точку разрыва или резкого изменения
граничных условий, например, около плоскости симметрии
крыла.
Этот эффект дает в таких особых областях поправку в тео-
теорию полос порядка si, так что решение здесь можно представить
я виде ряда
)(?•••¦ <«¦'•<»
Однако при конечном числе таких областей относительная их
площадь мала, порядка ei = eL//, и ошибка в решении порядка
?i дает ту же квадратичную ошибку порядка ei в интегральных
характеристиках, что и сама теория полос.
Для примера рассмотрим треугольную пластину с углом 2C
при вершине1. Течение около нее коническое и зависит лишь
от отношений yjx, z/x. Параметром т служит малый угол атаки
1 Подробное исследование таких крыльев дано в книге [5].
8 2382 225

а, так что s=^a-f Мто , e1 = s
б § 84
Поэтому критериями подо-
подобия согласно § 8.4 являются параметры
Последний критерий обеспечивает аффинное подобие сопостав-
сопоставляемых крыльев и пропорционален малому параметру еь При
8i<Cl к таким крыльям применима теория полос, которая дает,
постоянное решение Фо, как для клина с углом а. Точное же ре-
Р-Ро
Xtgcc
Рис. 9 2. Распределение давления на наветренной стороне тре-
треугольного крыла в плоскости поперечного сечения у= 1,4:
М^ =10, а = 3°, M^sin а= 0,52, 7—C=44,5», 2 — |р=|30°.
а = 9°, Moo since = 1,56, 3~ E-44,5°, 4 ~ р = 20° (tg P/tg а - 3,64),
а - 15°, Mqq sin а = 2,61, J—р=44,5°, ? — р = 30°,
М^ =6, О—? = 15°, Moo sin « — 1,55, 3=44,5° (tg p/tg а = 3,67);
' ф — клин с.половиной угла при вершине 0 = «¦
шение (вне особой области влияния плоскости симметрии) в нор-
нормальной к кромкам плоскости совпадает на наветренной сторо-
стороне с решением для клина с углом 0О и скоростью набегающего
потока Un, где
л л , • о тт тт -л г л о 2~о it cos a sin р
tg 60~tg а/sin р, ип=иооу 1 — cos2 a cos $=Uoo ~^
cos Bo
Если ао — угол скачка на таком клине, то за косым
вблизи кромки будем иметь
w=Un sin д0 cos р tg (а0 — б0) > О,
что в силу условия симметрии ш = 0 при г — 0 приводит к выте-
вытеканию газа из центральной особой области и понижению дав-
давления там.
226

На подветренной стороне течение совпадает с течением
Прандтля—Майера при развороте на угол 9о- Здесь газ стека-
стекается к плоскости симметрии, что приводит к повышению давле-
давления в центральной области.
На рис. 9.2, а показаны кривые безразмерного давления
(р—/?оо)/роо?Я sin2a на наветренной стороне крыла в плоскости
его поперечного сечения. Вне особой области в соответствии с
теорией полос при одинаковых Af^a эти величины независимо от
размаха крыла (угла р) практически совпадают и близки к дав-
давлению на клине с углом а. В особой области около плоскости
симметрии поправка к теории полос незначительна и убывает вме-
вместе с отношением a/tgp. При одинаковых Mooa и a/tgP в соот-
соответствии с законом подобия распределения давления совпадают
и в ©собой области (рис. 9.2, б). Обработка кривых в силу пред-
представления (кривая 4 и светлые точки на 9.1.8) ,в виде
JSrzJL4L=f(-J—) (9.1.10)
А) — Poo tg a \x tg a )
делает решение в особой области зависимым лишь от парамет-
параметра Mooa.
§ 9.2. Нестационарное обтекание тонкого тела
Пусть тонкое тело, обтекаемое гиперзвуковым стационарным
потоком со скоростью Uoo, изменяет со временем свою форму по
закону f(tj х, у, z)=0 в неподвижной системе координат. Ось х,
как и прежде, параллельна [/«>. Нормальная скорость переме-
перемещения поверхности тела равна
7 * dt ' и dt ' z dt Д dt x A J x ¦ ;
Очевидно, dxidt~tii есть переменная часть продольной скорости
тела, а сумма двух последних членов (9.2.1) — поперечной.
Обычно отношение uJUoo очень мало и учет его не представля-
представляет интереса.
Основным допущением дальнейшей теории будут условия
t = max|/zj« 1, Моо>1, a) = inax|D//f/00|<l. (9.2.2)
Два первых условия совпадают с (8.1.1), последнее — новое,
обусловленное нестационарностью течения. Например, если тело
с собственной относительной толщиной т0 совершает угловые
колебания с периодом Го, амплитудой ат и мгновенной угловой
скоростью порядка ат/Г0, то согласно (9.2.2) должно быть
(9. 2. 3)
Здесь со0 — так называемое число Струхаля.
8* 227

Перейдем к оценкам возмущений. Нормальная составляющая
скорости газа на поверхности тела vn~Df. Отсюда для тонкого
тела согласно соотношениям (8.1.15) имеем
0. (9.2.4)
Это условие, как и в тл. 8, определяет порядок поперечных ско-
скоростей в возмущенном слое. Тогда из соотношений (8.1.3) на
головной ударной волне получим оценку для скорости tw вте-
втекания газа в ударную волну
(=--jFt\. (9.2.5)
Здесь пх и DF — угол наклона и скорость распространения удар-
ударной волны в пространстве, определяемые через ее форму F(t, x,
у, z) = 0 аналогично (9.2.1).
Если 1—k~l, то Voon~Uoo(x-\-(u). Угол а наклона скачка ма-
малой интенсивности близок к углу Маха, поэтому в общем случае
%^l=sin a + ^~s + co« I, /s=t+— «lV (9,2.6)
оо оо \ оо /
Толщина возмущенной области б определяется наклоном удар-
ударной волны и нестационарным ее перемещением
(9.2.7)
что и будет порядком толщины возмущенной области.
Подставляя (9.2.5) — (9.2.6) в соотношения за ударной вол-
волной, получим такие же оценки, как и (8.1.6)
^( ) )? /;~Qoo?/«(s + <«02; (9.2.8а)
Д/г~t/2ooD-w)(t+w), A — f/LCs + a)J; (9.2.86)
Лй=6/00-й~(е + (о)(т + (о)?/00. (9.2.8b)
Наличие особых областей вблизи угловых точек поверхнос-
поверхности не изменит конечных результатов, на что указано в § 8.1.
Таким образом, как и в стационарном течении, продольная ско-
скорость u=Uoo с точностью до (б+соJ. В дальнейшем для опреде-
определенности примем, что число Струхаля 2
^ = L/T0Uoo<\. (9.2.9)
Оценим порядок возмущений внутри области. Полная производ-
производная некоторой величины Ф имеет порядок
аФ дФ , дФ , дФ , дФ АФ^со/ м ,НМ /Q 9 -1ГП
dt dt~ дх~ &у, dz L \ ° ' е + со У
1 Для целей аэродинамики этого вполне достаточно. Более того, обычно
©о<1 (см. § 5.9).
228

Отсюда и из следующих уравнений движения
dv \ dp du \ dp dvi ^ 1 dp
dt q dr ' dt q dx dx Q dl
получим (как и в § 8.1), что Ар, Аи имеют те же порядки
(9.2.8), а окружная скорость vj <v*.
Тем самым показано, что при условиях (9.2.2) закон плос-
плоских сечений справедлив и для нестационарного обтекания тон-
тонких тел. Этот закон, как и в § 8.1, 8.2, распространяется, оче-
очевидно, и на течения с внутренними скачками уплотнения 1 (на-
(например, на теле с изломом образующей или при внезапном из-
изменении скорости Df его поверхности).
Физический смысл этого закона тот же, что и в стационар-
стационарном случае: газ практически не выходит из неподвижных в про-
пространстве плоскостей ?> = х—?/«,? ортогональных вектору скоро-
скорости Uoo.
Чтобы уяснить существо нестационарной аналогии, перей-
перейдем к переменным /, ?. Тогда оператор
+«))(s + (o)]. (9.2.11)
Следовательно, уравнения нестационарного пространственного
течения газа переходят в уравнения нестационарного двумерно-
двумерного течения в плоскости ? = const.
Тогда (как и в гл. 8) легко прийти к выводу, что распреде-
распределение всех параметров исходного течения в любой плоскости
?=const будет гем же, что и при расширении в этой плоскости
эквивалентного поршня по закону
/*(/, :, У, z) = f[t, */«>(*-g, У, z]=0 (9.2.12)
(l= —(JootQ=^const, ty tQ = O-i-T).
Этот поршень начинает расширяться в некоторой точке у, z
в момент времени t = t0, совпадающий с временем пересечения
носком тела плоскости I.
Совпадение граничных условий на теле и на ударной волне
для сопоставляемых течений следует из соотношений типа
(9.2.4). Но согласно нестационарной аналогии гл. 8 тот же за-
закон (9.2.12) расширения поршня в плоскости ? будет порождать
некоторое тело /*(#, ?» у, z)=0, обтекаемое стационарно со ско-
скоростью Uoo, форма которого получается переходом к переменной
х ?=^00^ в законе расширения поршня /#=0, что эквивалентно
При конечном их числе. В связи с этим специального анализа требует
ипучаи о)о» 1. Закон плоских сечений для нестационарных течений установлен
1елениным Г. ф. [42].
229

деформации или искривлению формы исходного тела следую-
следующим образом:
Л*-С г „
/*(х, С, у, z)=f*
, у,
(9.2. 13;
Здесь ? остается параметром, т. е. каждой плоскости ? = const
соответствует свое искривленное тело.
Таким образом, закон плоских сечений для нестационарного
обтекания тел позволяет заменить решение исходной задачи со-
совокупностью решений задач меньшей размерности. Потребное
t>0
Рис. 9.3
число таких задач определяется желаемой подробностью описа-
описания течения, т. е. числом плоскостей ? = 0-:—L.
Рассмотрим еще закон подобия нестационарного гиперзву-
гиперзвукового обтекания тонких тел.
При этом естественно, как и в § 4.3, выделить характерные
нестационарные масштабы времени То и размера / и предста-
представить формы сопоставляемых тел в универсальном виде
1, JL, JL, -?-, ±-) = 0.
То L vL %L %L I
(9.2.14)
В этих же переменных следует представить и решение задачи в
целом:. Тогда дополнительными к стационарным критериям подо-
подобия при совпадении форм тел (9.2.14) будут число Схрухаля
(Oo^L/TqUoo и отношение нестационарного и стационарного попе-
поперечных размеров //tL.
В простейшем примере плоских колебаний около точки х0 на
оси жесткого тела с формой /0( х'9 у\ z') =0 в связанной систе-
системе координат х\ у\ zf (рис. 9.3) и собственной относительной
толщиной to форму (9.2.14) легко получить с помощью преоб-
преобразования
J?l=-JL+*-*".qg-a>or), /^-L = J^L, a' = -5L. (9.2.15)
230

Тогда при одинаковом законе колебаний a' (t/T0) критериями по-
подобия будут параметры ат/т0, xofL, co0.
§ 9.3. Медленные колебания тела
Рассмотрим случай медленных вращений жесткого осесимметрич-ного тела
с формой rlc^=rw{xr) в связанной системе координат х\ у', г'. Пусть это тело
вращается в плоскости угла атаки по закону а@ около центра масс х0 на
оси тела, который движется по криволинейной траектории с углом Э(^) по-
поворота вектора скорости ?/<*> к оси х и с которым свяжем систему
координат (#", у'\ ztf). И, наконец, х, у, z будет инерциальной системой kj-
ординат. Взаимное расположение этих систем в начальный момент времени
tf=0 и в процессе движения тела показано на рис. 9.3.
Будем считать угловые скорости этих -вращений малыми:
0 (t) ~ б'о Т ~ со' < х = т!0 4- а0 С 1, Д а = а — а0 ~ а0 Т ~ со < т,
ао = а(О), io = a(O), б0= 0@), со = -^-, со' = -^—, (9.3.1)
т?0 = max
Тсгда связи между системами координат будут такими
х = х' = х" + ^о» -г = -г' = -г"; (9. 3. 2)
# - у'—(х - х0) (а0 + <х0 t + 0ОО + — ^0^2.
При этом смещение носка Да: относительно плоскости х=0 мало и его можно
яе учитывать. Заметим, что форма введенного в § 9.2 'искривленного тела
получится из формы исходного в инерциальной системе координат
/ (/, х, у, z) = y>2 + z>2-rl(x') = (у - е/оJ 4- *2 - г\ - 0;
Уо - - (х - дго)(а0 + а0^ + в>) + — ^ V2 (9- 3. 3)
искривлением его оси вращения (заменой t^to-hx/Vco) по закону
Уо (х) =; [х0 (<х0 + ао^о + 0Vo) + — ^ooflo^ol ~ ао* ~ ai* ~ «2^2/^. (9. 3.4)
а0 + — 0О) = ^ + — со'.
Постоянный первый член на решение не влияет. Решение задачи об обтекании
искривленного тела можно представить в 'виде ряда 1
Ф = Фо + 'ai<&i 4- а2Ф2, Ф/ == Ф/ (а0, л:', г/', г'), (9.3.5)
1 Подробное изложение метода дано в работах В. В. Лунева (МЖГ,
1968, № 5) и А. В. Антонца, А. В. Красильникова (МЖГ, 1969, № 5). Опреде-
Определять функции Фг- можно путем численного дифференцирования решений, по-
полученных при малых, но конечных значениях ai и ссо. Таким образом, этот
метод позволяет непосредственно использовать обширный арсенал программ
расчета стационарных течений. В общем случае пространственного движения
ось искривленного тела будет также пространственной кривой с малым откло-
отклонением от плоскости угла атаки, а решение будет зависеть еще от двух неза-
независимых функций Ф,
231

где функции Фг уже не зависят от ссо и to. Для исходного тела решение в мо-
момент времени t—T получается из (9.3.5) заменой to=(L—x)/Uoo.
Заметим, что форма искривленного тела, движущегося по криволинейной
траектории с постоянным углом атаки не зависит от параметра t0, который
при ао=О исчезает из а}.
При нестационарном подходе к решению задачи при условиях (9.3.1) ре-
решение представимо в виде: 1
Ф = Фп -4- ДаФ 4- соФ- 4- со'Ф-,
Ри>с. 9.4. Возмущение да^вления
колеблющемся клине (y = 1,4):
светлые значки— метод искривленных тел;
темные значки — точное решение
нарными критериями подобия обтекания
' /L)/
BФ. =Ф- + Х ГХ° %)• (9-3.6)
В отличие от (9.3.5) такой вид
решения имеет общий характер и
не связан с гиперзвуковой теорией.
Легко установить связи
X -у- Хо,
Фа=Фь Ф. =Ф2- ^ фь
Ф ^-фз-З-Ф!. (9.3.7)
о Z L
Как видно, эти решения зависят
лишь от мгновенных угловых ско-
скоростей (Хо и 6о, поэтому, переходя
к координатам подобия
Lxr
a0L
получим, что помимо квазистацио-
квазистационарного критерия сьо/То, нестацио-
аффинноподобных тел вращения с
нарными критер д фф р
формой образующей r'w =rw(x/L)/x0 будут параметры со/то, со'/то, xofL В ре-
результате решения задачи
ния будем иметь
Р
для любого параметра, например, для давле-
давлеРо
Аа
(9.3.
Р- =¦
JJl*o
Pz ="
где р'а, р. , р. —универсальные функции координат подобия х'/L,y '/Lt0,
Для примера рассмотрим медленные колебания клина с мгновенным углом
при вершине а=ао + аоК Граничное условие на его поверхности точное и уп-
1 См., например, работу С. М. Белоцерковского («Известия АН СССР,
ОТН, мех. и маш», 1966, № 7, и книгу [19]).Функции Фа, Ф,; , Фе* определя-
определяются из линеаризированных систем уравнений.
232

рощенное при u—Ux имеет вид
v = и tg а0 + а° Х~Хо) c^U^ao + ао(х- хь). (9.3.10)
COS CXq
Для эквивалентного искривленного тела
v^uj^—, у* (Х) = адх + doto (х - х0) +-^ (х-х0). (9.3.11)
ах и со
Так как основное решение Фо постоянно, то согласно линейности по х
граничного условия решение линеаризированной задачи (9.3.5) или (9.3.6)
имеет вид 1
Ф1 = а1(х — х0) + Ь[у>. (9.3.12)
Очевидно, для клина L=x. Функция /?а* на теле, подсчитанная при хо = О
точно и в гиперзвуков:м приближении в рамках метода искривленных тел,
показана на рис. 9.4. Эти данные дают представление о пределах примени*
мости и точности гиперзвуковой теории. При больших Моо эти данные согла-
согласуются с ньютонианской теорией, которая для тонких тел дает р. =2х.
§ 9.4. Обтекание тонких тел под большими углами атаки
Закон плоских сечений и закон подобия могут быть получе-
получены и для случая обтекания тонкого заостренного тела при боль-
больших углах атаки2. Суть дела поясним на примере совершенного
газа. Направим ось х вдоль оси тела, плоскость г = 0 совместим
с плоскостью угла атаки (рис. 9.5) и потребуем выполнения ус-
условий:
d/L < T = maxcos (пх)<?1, M/z = Moosin a > Мл0> 1. (9.4.1)
Здесь d — максимальный диаметр поперечного сечения, L —
длина тела, an — нормаль к его поверхности.
Будем считать толщину возмущенного слоя малой 6~//г.
Как- правило (по аналогии с плоским течением около тупых
тел), для этого достаточно умеренно сверхзвуковых нор-
нормальных чисел Мпо, что и отражено в условиях (9.4.1). При этом
толщина возмущенной области может и не быть малой в зате-
затененной области течения (см. рис. 9.5), в этом случае наш анализ
будет -справедлив лишь для наветренной области3.
Запишем форму тела и ударной волны в новых переменных
1 О. Ю. Полянский (МЖГ, 1966, № 4). Приводимые ниже вычисления
проведены Г. Н. Степановым.
2 Этот закон подобия получен В. В. Сычевым (ДАН, т. 131, 1960, № 4).
При больших а решающую роль в организации течения в затененной
области будет играть вязкость. Но вклад этой области в интегральные харак-
характеристики обтекания мал, и заниматься ею не будем.
233

(*', у', z') = 0, F (xr, у', z') = 0, x'=4 , y'=-2- ,z' = j-.
(9.4.2)
Тогда косинусы нормали, например, к телу, будут равны
nx = f-f = x^-=xn'x, ny=^=tf = n,y, пг=п„ (9.4.3)
где п%у. и п^г — косинусы нормали к контуру поперечного сече-
сечения тела х = const.
V 5)
Рис. 9.5. Система координат (а) и фермы удар-
ударных волн в плоскости поперечного сечения кону-
конуса (б) при М^б; 6=201°
Введем безразмерные величины
#oo = ?Ax>cosa, ^00 = 6^00 sin a.
Тогда на скачке уплотнения получим соотношения
(9.4.4)
Y+l
V's =V'l -
usctga=u[ctg a— т/г;г»'1л A-
234
(9. 4. 6)

Здесь безразмерные величины в набегающем потоке равны
* 1 -, ^1 = 0. (9.4.7)
Уравнения движения примут вид
(9.4.8)
dv* L ^?l dw> 1 dp' dh'_^ 1 dp' .
(9. 4. 9)
И, наконец, граничное условие на теле будет
/ +v'n*y-\-wrn*g = 0. (9. 4. 10)
Из (9.4.6) следует важный вывод: с точностью порядка т на
скачке, а согласно (9.4.8) вдоль любой линии тока, т. е. всюду
имеем
a'ctga=ctga + O(t). (9.4.11)
Но все производные по хг в уравнениях (9.4.9) умножены на т,
поэтому, положив и'=1, внесем в решение лишь ошибку ~т2.
Тогда получим закон подобия: при гиперзвуковом обтекании аф-
финноподобных тонких тел под конечным углом атаки течения
будут подобными при совпадении критериев
tctga, M/I = Moosina, у. (9.4.12)
Этот закон подобия при малых а непрерывно переходит в ус-
установленный в § 8.4. При этом
х ctg a — t/a, МЛ -> (a/t) M^t. (9.4. 13)
Условие (9.4.11) приводит к закону плоских сечений или не-
нестационарной аналогии. Сделаем замену
x = tUoo cos a = tuO0. (9. 4. 14)
Тогда уравнения (9.4.9) при иг=\ перейдут в уравнения не-
нестационарного движения газа в плоскости поперечного сечения
х=const, что следует из преобразования
— =«00-—\~v-—\-w—=— + v-—Yw—. 9.4. 15
«f дх ду dz dt dy dz
Закон расширения эквивалентного поршня получается из
формы исходного тела заменой (9.4.14). Поршень не только
расширяется, но и движется в плоскости #=const со скоростью
235

t'oo. Условия на теле и ударной волне также автоматически пере-
переходят в нестационарные.
Физический смысл такого закона плоских сечений прежний:
газ как бы остается в неподвижных в пространстве плоскостях,
нормальных оси тела. При ctga^l это происходит за счет пос-
постоянства, а при малых ctg a — за счет малости скорости и.
Р-Ро
1,5:
Ч 9 x
в =5°-f 15°; ос= 20°+75?
о - 2;^
^ - 3,00
о - 4,57
-Моо=5,00
Рис. 9.6. Распределение давлений в поперечных
сечениях тонких конусов при больших углах ата-
;Ки и цилиндров:
1—1 ctg a = 0,24; М^ sin a = 1,7;
2 — х ctg a = 0,122; M^ sin a = 4,15;
3 — t ctg a = 0,0465; M^ sin a = 2,9; 4,83;
4 — цилиндр M^ =--6; 5 — цилиндр М^ = 2
В такой постановке ясен и смысл параметра tctga: это есть
число Струхаля нестационарного расширения поршня с харак-
характерными размером d~xL и временем Т^Ци^ в потоке со ско-
скоростью ^оо= t/oosin a. Роль этой нестационарности, как видно, ма-
мала вместе с tctg a и исчезает совсем при tctga—>-0. В этом слу-
случае течение в каждой плоскости х = const совпадает с течением
около плоского профиля с формой местного поперечного сечения
исходного тела, обтекаемого со скоростью
а точнее, из-за
1 Для частного случая обтекания конуса в рамках гиперзвуковой теории
тонкого ударного слоя аналогичные выводы получены в § 7.2. Введенный па-
параметр 1 — со совпадает с tctg ос при т<ос.
236

постоянной по сечению продольной скорости ифО, с течением
около бесконечного цилиндра с углом скоса а.
О применимости такой предельной модели течения и точно-
точности закона подобия можно судить по данным рис. 9.6 и 9.7, по-
построенных для конуса. Как видно, формы ударных волн и рас-
0 1,0 ¦.
Рис. 9.7. Формы ударных волн в поперечных сечени-
сечениях тонких конусов при больших углах атаки:
т ctga = 0,24; Мывшее = 1,7: / ~ Мод = 5,0, 6 = 5°,
a = 20°; 2 - Moo = 2,9, 6 = 10°, a - 36°; 3 - M^ = 2,34 ,
Q = 15°, a = 47°; т ctg a = 0,0465: 4—Moo = 3,0, о = 10°,
a = 75°, M^ sin a = 2,9; «5— M^ = 5,0; 6=10°, a = 75°,
M^ sin a = 4,ЯЗ; (? — цилиндр М^ = 3,0; 7 — цилиндр
Moo = 5,0
пределение давления следуют закону подобия, причем давление
слабо зависит от нормального числа Mn=MooSina. Невыполне-
Невыполнение условий (9.4.1) приводит к нарушению закона подобия форм
ударных волн при т >0,2 (О>10°), хотя подобие распределения
давления ка теле еще хорошо сохраняется, по-видимому, в силу
его ньютонианского характера. При Tctga<0,05 решение сов-
совпадает с решением для плоского цилиндра/'обтекаемого с чис-
числом Маха, равным Мп.
Некоторые из полученных результатов можно обобщить на
случай обтекания тонких тел неоднородным потоком1. Для это-
этого достаточно, чтобы поперечный di (в плоскости х = const) и
продольный Li (вдоль оси х) масштабы неоднородности удов-
Например, передняя кромка крыла, стабилизатора и т. д., установлен-
установленного на фюзеляже, индуцирующем криволинейную ударную волну. В рам-
рамах схемы тонкого сжатого ударного слоя такая задача рассмотрена в § 7.3.
237

летворяли условиям
d<d1,x= , d «1. (9.4.16)
mm (Lit L)
При d<^di неоднородность внешнего потока можно учиты-
учитывать лишь вдоль оси х\ если при этом и L<c?i, то тело просто
обтекается однородным потоком. При L^>Li (цилиндр в неодно-
неоднородном потоке) характерным масштабом задачи будет Lu и сле-
следует принять x' = x/Lt, y/==yjd и т. д.
Используя те же безразмерные переменные (9.4.4), в кото-
которых под рею, ?Л», а и т. д. следует понимать уже некоторые ха-
характерные величины в набегающем потоке, все параметры по-
последнего можно представить в виде
Qi=eooGi(.*', у\ z'), а1=иоои[ и т. д. (9.4. 17}
Граничные условия на скачке, на теле и уравнения движе-
движения примут прежний вид (9.4.5) — (9.4.10), за исключением ус-
условий (9.4.7), которые должны быть заменены более общими
(9.4.17). Поэтому помимо равенства критериев (9.4.12) для по-
подобия обтекания аффинноподобных тел неоднородным потоком
в нем должны быть одинаковыми распределения параметров
Qi (*',, У', г') и т. д.
Но поскольку в действительности распределения параметров
в набегающем потоке зависят от масштабов неоднородности Lb
du не связанных с характерными размерами обтекаемого тела
L, d, то в общем случае эти условия подобия являются очень
жесткими. Конечно, здесь возможны специальные случаи, допус-
допускающие частные законы подобия, но их рассматривать не бу-
будем.
В общем случае щфconst поле продольных скоростей будет
неоднородным и закон плоских сечений не будет иметь места.
Из уравнения (9.4.8) следует лишь, что изменение скорости ut
вдоль линий тока будет малым вместе с т.
В данной ситуации наибольший практический интерес пред-
представляет случай xctga<Cl, когда все производные по х' исчез-
исчезнут из уравнений (9.4.9) и граничных условий (9.4.5) и (9.4.6)
и поле течения в каждом сечении я = const будет, тем же, что и
при плоском поперечном обтекании тупого тела со скоростями
Vi, W\ за исключением продольной скорости, которая будет ила
постоянной, или пренебрежимо малой. Однако в некотором при-
пристеночном слое такая картина течения может нарушиться в ча-
части распределения энтропии, а следовательно, плотности и ско-
скорости.
Такой пример рассмотрен в § 7.3 (введенный там параметр
coi совпадает с tctga). Хотя исследование там проведено в объ-
объеме схемы тонкого ударного слоя, основные качественные вы-
выводы, в частности о толщине пристеночного подслоя и характе-
ре течения в нем, являются общими.
238

Глава 10
НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
ОДНОМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
§ 10.1. Расширение поршня по степенному закону
Рассмотрим класс автомодельных решений одномерной не-
нестационарной газовой динамики, которые в силу нестационар-
нестационарной аналогии непосредственно приложимы к некоторым стацио-
стационарным гиперзвуковым течениям ]. Пусть в совершенном газе
расширяется поршень плоский, цилиндрический или сферический
(v = 0, 1, 2) по степенному закону
rw = ct". A0.1.1)
Применим теорию подобия и размерности, как это было сдела-
сделано в § 4.3 или § 8.4. Соответствующее решение должно зависеть
от переменных и параметров
*, г, с, Y, л, Coo, a^ypjQoo- (ю- !-2)
В отличие от общего случая § 8.4 здесь характерное время Т и
длина d отдельно не заданы. Размерность [c\~dlTn} поэтому
ударная волна должна иметь вид
R=cQt»Rt{x, Y, я), x = t{aJCt)W-«). A0. 1.3)
Давление же, скорость и плотность представим в виде
/7 = ф2(л-1Hоо/>(Т, A), V = CQtn-lV(*, A),
e=eooQ(t, х), \=r/cotn, c=ioco. (io. 1.4)
Здесь XQ — некоторое число. (Можно построить решение в виде
Р = р<х>п2оо F/ (тД) и т. д., но выбранная форма предпочтительней
при R^aoc, в чем убедимся ниже.) Функции Р, V, q не зависят
от с3 но по-прежнему зависят от двух независимых переменных.
Рассмотрим те частные случаи, в которых решение автомо-
дельно и зависит лишь от одной переменной.
Во-первых, случай постоянной скорости ударной волны п=1,
в котором с и асе имеют одинаковую размерность. Тогда безраз-
безразмерную переменную т образовать нельзя, а решение зависит от
Я и параметра аоо/с— (МооО), где 0 — угол эквивалентного
тонкого клина или конуса, которым и соответствуют такие тече-
течения. При этом удобно положить К=\ на ударной волне, что оп-
определит Яо.
Во-вторых, случай очень сильных ударных волн, при отсутст-
исследование таких течений дано в книгах [38, 40], а также
239

вии противодавления
А>>аоо, Poo« Qook2. A0. 1.5)
Тогда скорость звука Яоо выпадает из соотношений на ударной
волне и, следовательно, из определяющих параметров A0.1.2).
Переменную т в этом случае образовать также нельзя, так что
решение A0.1.4) примет вид
A>0=const, P = PQ(\), V = V0(^ Q=C0(a). A0. 1.6)
Функции POi po, Vo описывают профили величин в возмущенной
области и, в чем нетрудно убедиться подстановкой в уравнения
одномерного нестационарного движения, удовлетворяют системе
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с
начальными данными (задача Коши) на ударной волне
Отношение Kq = c/co определится из условия на поршне
v=^ или Ко(ло) = лло. A0.1.8)
dt
Заметим, что траектории частиц rm(t), характеризуемые мас-
массой газа т внутри поверхности r = rm(t) (полной при v = 2, на
единицу длины при v=l и на единицу площади при v = 0) долж-
должны в силу соображений размерности зависеть от отношения
mlQoo{cQtnI+y1^ следовательно, не будут линиями X = const, кро-
кроме случая т = 0.
Качественное аналитическое исследование 1 поведения реше-
решения A0.1.6) с начальными данными A0.1.7) показывает, что
Ко (хо) = ^хо = О при п = по = 2/C^-\) A0. 1.9)
и при п<щ решения, удовлетворяющего условию A0.1.8) при
Ло<1, не существует. Это имеет следующий физический смысл.
Выпишем суммарную энергию газа в возмущенном слое
q|
2 Y — 1
ЛО
A0. 1.10)
/J —2; 8 = 0, v = 0; 8=1, v=l; 2.
5 I / V- Р \ V 1 OV 5 З+V уСО Г / 0 | Р(\ \ ^V
\¦ q|^ г dr = 2 я ^со t \ \<э0 —~\ ^— X
J \ 2 I 1
1 / v2 \
t \ \<э0 —~\ ^—
J \ 2 у —I 1
Как видно, со>0 при /г>я0, и энергия увеличивается за счет
работы расширяющегося поршня. При со<0, п<п0 энергия бес-
бесконечна в начальный момент и такое течение невозможно.
Особый интерес представляет случай со = 0, п = по с постоян-
1 Проведено Л. Лизом и Т. Куботой (JAS, 1957, № 2) и С. С. Григоря-
нсм (ПММ, 1958, №¦ 2).
240

ной энергией в возмущенном слое, т. е. при отсутствии поршня
(^0 = 0). Этот случай соответствует мгно!венному точечному вы-
выделению энергии Е, или сильному взрыву (см. § 10.2).
В рамках нестационарной аналогии расширению поршня по
степенному закону соответствует обтекание тонких тел степенной
формы 1
rw = ax\R = аохп, a = cU~n\ t=x/U0O. A0.1.11)
При п>\ автомодельное решение дает давление р = 0 при t=0
вместо точного /?«>, поэтому плотность на теле в таком решении
имеет нереальное значение р = оо. Наоборот, при п<\ в неста-
нестационарном течении на теле q = 0 в силу бесконечной скорости
ударной волны и давления за ней при t = 0. Но к эквивалентно-
эквивалентному телу этот результат неприложим, так как в реальном стацио-
стационарном течении ударная волна около притуплённого носка в си-
ЛУ rw—>о° ПРИ х~^® будет отошедшей с конечной интенсивно-
интенсивностью. Кроме того, в окрестности притуплённого носка нестацио-
нестационарная аналогия не применима, что вносит дополнительные воз-
возмущения относительно автомодельного решения. Однако эти эф-
эффекты не очень существенны в области тела, где rw<^,x, о чем
свидетельствует сравнение точных и автомодельных распределе-
распределений давления по телам вращения, а также коэффициентов соп-
сопротивления2, приведенных на рис. 10.1 и 10.2.
Тела степенной формы обладают рядом интересных свойств,
в частности, наличием минимума по п сопротивления тела за-
заданного удлинения. Этот результат может быть получен в рам-
рамках закона сопротивления Ньютона. Подставляя в выражение
для коэффициента сопротивления формулу E,3.16), получим
r-*-)l+\ N= 2+ . A0.1.12)
х) ' C+v)n-2 l ;
Полагая dN/dn = 0 при постоянном удлинении rw/x, получим
я=1 при V —0 и д = 3/4 при v=l, т. е. плоским телом минималь-
минимального сопротивления является клин, а осесимметричным — вы-
выпуклое тело. Расчет по автомодельной теории дает для тел вра-
вращения несколько другое значение n = 0,71, что показано на
рис. 10.2.
Несмотря на то, что оптимальность такого тела в строгой по-
постановке вариационной задачи о стационарном обтекании при-
притуплённого тела не доказана, их сопротивление заметно мень-
Исследованию обтекания степенных тел было посвящено много работ,
особенно в 50-е годы, когда вычислительная математика и техника не были
столь развиты и имеющееся точное автомодельное решение сильно облегча-
Л° и|Удение свойств таких течений около тонких тел.
Автомодельное решение затабулировано Л. Г. Валеско, Л. Г. Гродзов-
ским и Н. Л. Крашенинниковой, а решение полной задачи получено В. В. Ру-
Русановым и Э. И. Нажесткиной.
9 2382 241

ше, чем сопротивление конуса при равном удлинении и, тем бо-
более, при равном объеме. Причем это свойство, как следует из
рис. 10.2, сохраняется и при умеренных числах Моо-
Р/Ро
1,0
0,9
0,8
0,1
0,6
о
II
1
п^Ц65
-71 = 0,55
вяятттш*тт
10
Рис. ХЪА. Отношение точного давления на
теле степенной формы к автомодельному р0
Рис. 10.2. Коэффициенты соп-
сопротивления тел степенной фор-
формы:
точное решение; по
формуле Ньютона; О О О —автомодель-
—автомодельное решение
§ 10.2. Сильный взрыв
Выше было показано, что существует автомодельное решение,
уравнений одномерного нестационарного движения совершенно-
совершенного газа, соответствующее постоянной энергии в возмущенном
слое, т. е. мгновенному точечному выделению энергии или силь-
сильному взрыву. Такая схема применима в том случае, когда раз-
размер и масса заряда или взрывного устройства много меньше
размера образовавшейся взрывной зоны и массы вовлеченного
в нее газа. Ударная волна при взрыве возникает за счет вне-
внезапного нагрева и повышения давления газа. В реальных усло-
условиях сильной взрывной ударной волне сопутствуют различные
физические процессы: излучение, химические реакции и т. д.,
но основные газодинамические закономерности таких течений
можно изучить на примере совершенного газа К
Общий вид решения указан в § 10.1, а коэффициент с0 в за-
законе распространения ударной волны определится из A0.1.10)
1 Задача о сильном -взрыве была сформулирована и решена Л. И. Седо-
Седовым [33] и Дж. Тейлором («Механика», 1952, №' 1). Это решение, его свой-
свойства и многочисленные приложения описаны в широко распространенных мо-
монографиях [17, 38, 40]. Сопутствующие физические процессы разобраны в кни-
книге [12]. Таблицы решения задачи о сильном взрыве с противодавлением есть
в работах [33, 37].
242

при 0 = 0. Но это решение легко получить непосредственно из
анализа размерностей. По
схеме точечного мгновенного
взрыва оно будет зависеть от
параметров
U г, Qoo, Е, поо, у. A0.2. 1)
Размерность [?VQoo] = d3 +*/Т2ч
так как Е — либо полная
энергия в объеме (при v = 2),
либо — энергия, приходящаяся
на единицу длины (взрываю-
(взрывающийся шнур) при v=l или на
единицу площади при v = 0. Это
отношение и будет играть роль
с в анализе § 10.1. Еош проти-
противодавлением пренебречь нельзя
(аоо^О), то решение должно
иметь функциональный вид
A0.1.3) — A0.1.4) с величи-
величинами
1,5
1,1
°t9
0,7
А
/
г
1,0 1,2 ?¦ 1,6
2,0
о= const
J E \i/C + v)
—Гв . «=
0,2
¦0,1
О
с
А *
О
. .**
i
2
_____
2,0
7
' ^-~ R ' 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
A0.2.2)
Рж. 10.3. Функции %v (y) и xv (y):
ЭТО решение При Т-Ю ПереХО- точный расчет; интегральный
ДИТ В аВТОМОДеЛЬНОе A0.1.6) метол (Ю.3.8); ОвА-v = 0; 7; 2-асимпто-
для предельно сильного взрыва
\l/C+v) 2/C + v)
. A0. 2.8)
Е \ 2/C+v)
'X
0/C+v)
A0.2.3)
Зависимости /v, *v =Я<°>@) от у и v показаны на рис. 10.3.
зависимость давления от R имеет вид (М — масса газа но
взрывной зоне);
М
™й°останов™ся еЩе на распределении плотности внутри взрыв-
взрывной зоны. Плотность некоторой частицы, характеризуемой лаг-
243

ранжевой координатой, массой т, будет с учетом A0.2.4) равна
Q(m)
Qs(m
) IPs (m)\
Г P(fn)VH f m \1/T
.Ps(M)\ \M
A0.2.5)
Здесь pSi q$ — давление и плотность сразу за ударной волной
при прохождении ею координаты т. Заменим давление его зна-
значением /?0 вблизи центра, что оправдано, как увидим ниже. Тог-
Тогда, из соотношения dm = 2^nbQry)dr получим формулы
1 ( Po\inV
\ Ps I J
Qs
2.6)
Отсюда следует, что в центре
Рис. 10.4. Распределение параметров
в зоне цилиндрического (v=l) взры-
•;ва:
Т — 1,1; — 7 — 1,4; 7-1,67;
О#Д —асимптотические соотношения
A0.2.7)
Qs 4
плотность q = 0, а при конеч-
конечных К тем меньше, чем мень-
меньше у—1- При этом основная
масса газа с большой плот-
плотностью оказывается сосре-
сосредоточенной вблизи ударной
волны. Малые плотности де-
делают невозможным большие
градиенты давления, кото-
которое оказывается практиче-
практически постоянным в основной
по объему части взрывной
зоны. Профили величин во
взрывной зоне показаны на
рис. 10. 4.
Приведем еще асимпто-
асимптотический при у-^1 ВИД т04'
ного решения для сильного
взрыва !
l + v -
_Р_
Ps
—о
=-L i-J-x"
— =Х;
A0.2.7)
Xv =
(Ю.2.8)
21 + * J C + vJ
Это решение показано также на рис. 10.3, 10.4 и вполне согла-
согласуется-с качественными оценками, приведенными выше. Как
видно, сильное изменение давления и плотности действительно
244
: Его можно получить из общего решения [38].

пооисходит в малой области ЛЯ вблизи X^L Чтобы оценить по-
рядок Ah положим в A0.2.7) Хт~1 = A — Mf~l = q0, где постоян-
постоянная <7о<1- Тогда, устремляя у—*\, получим
т. е.
l+v 14-v
Используя решение A0.2.3) и асимптотическое представление
A0.2.7), A0.2.8), получим, что кинетическая Екш и внутренняя
?(°) энергии при взрыве равны
Ект^(у~1)Е, Е{0) = Е-Екип^B~у)Е. A0.2.9)
Используя A0.2.4) и A0.2.8), можно получить еще следующие
предельные при у—И формулы для скорости ударной волны и
давления
^=/?* = 2fY-l) — * -а=— ^. = (y-1)— , (Ю.2.10)
где М — масса вовлеченного во взрывную зону газа.
Заметим, что с уменьшением у скорость ударной волны и дав-
давление падают, что связано с ростом внутренней энергии р/(у—1)
в единице объема.
§ 10.3. Интегральный метод. Метод эффективной энергии
дыя взрыва в реальном газе
К задачам о сильном взрыве или расширении поршня при-
применим простой метод интегральных соотношений, суть которого
состоит в следующем К Выпишем, как и в § 8.3, для возмущен-
возмущенной области закон сохранения энергии
Е+ 5p+O +
2я о
p,rVrwdL A0.3. 1)
Здесь р0 — давление в центре или на теле;
vs — скорость за ударной волной R(t);
rw(t) —закон расширения поршня;
Е — начальная энергия.
Методы интегральных соотношений давно применяются в аэродинамике,
например, в задачах пограничного слоя. Для расчета невязких течений около
7J™ г%ЛиТ0Т МеТСД» (мет°Д А- А- Дородницына) развит С. М. Белоцерков-
м^л ал .Излагае!5?ыи метод предложен Г. Г. Черным (ЛММ, I960, № 1),
метод эффективной энергии - В. В. Луневым (ПМТФ, 1968, №5).
245

Входящие сюда интегралы U имеют вид
W
A0.3.2)
Рассмотрим для начала предельно сильный взрыв, для кото-
которого
Роо^О, rw = 0, ^=IrJ_, г, =-2.^^ р =_^Qoo/?*. (Ю. 3. 3)
Q Y + 1 Y + 1 7 + 1
В этом случае, как показано в § 10.2, основная масса газа
сосредоточена вблизи ударной волны и имеет, следовательно,
скорость, близкую к vs. Давление же в основной части объема
взрывной зоны вследствие малой плотности постоянно и, кроме
узкой уплотненной зоны вблизи ударной волны, близко к р0.
Эти условия, как показано в § 10.2, выполняются тем лучше, чем
меньше разность (у—1), поэтому в пределе, при y—^1, можно
в уравнении A0.3.1) положить
v = vs, p=p0, //=1. A0.3.4)
Чтобы замкнуть задачу, воспользуемся еще уравнением им-
импульсов в лагранжевых координатах (t, m):
2Vr'-3?-=-^ ^ + *—=0V A0.3.5)
dm dt \ dt ' dr ) J
Придерживаясь асимптотической (при у—И) теории, положим
здесь rv = /?v, v = vs=R. Тогда, интегрируя A0.3.5), получим ли-
линейное распределение давления по массе:
В этих формулах член ps обычно существенно больше второго,
поэтому используем для него точную формулу A0-3.3). Тогда
при R~tn получим
±l Ъ=2(п~1К A0.3.7)
(l+v)n ;
4f К
Ps '4 (l+v)n
Для сильного взрыва n = 2/C+v), po/ps= —^ . Подставляя
это в A0.3.1), получим коэффициенты решения A0.2.3) в явном
виде
ГC + уJA +v) (т — 1)(Т + 1J]У(з+у) _ 2 C - у) 2
(xv-P@)@). A0.3.8)
246

которые близки к точным (рис. 10.3) и при у—И совпадают с
A0.2.8).
Заметим, что формально решение A0.3.8) не точнее пре-
предельного A0.2.8), так как в нем оставлены не все члены поряд-
ка (у—1), например, взята точная формула для pSy но прибли-
приближенная vs=R. Кроме того, вклад первого члена в уравнении
A0.3.1), т. е. доля кинетической энергии газа в общем балансе,
имеет порядок у—1, поэтому учитывать его, полагая одновре-
одновременно /г=1, нелогично. Но мы вполне удовлетворимся высокой
точностью решения A0.3.8), рассматривая его, на худой конец,
как хорошую аппроксимацию истинных коэффициентов xvi **•
Определим форму ударной волны для степенного поршня
rw = ctn. Подставляя A0.3.7) в уравнение A0.3.1) при
? = 0, роо^=0 с теми же условиями A0.3.4), получим решение
[# -- то же, что и в A0.3.7)]
4
которое имеет хорошую точность (см. рис. 5.6), заметно лучшую,
чем предельная формула Буземана. Это объясняется тем, что в
последней принято R = rw (§ 5.3 и 5.9), что не очень хорошо для
выпуклых тел или замедляющихся поршней. В изложенном же
методе для вычисления R используется еще уравнение энергии,
что улучшает результаты.
Используем интегральное уравнение энергии для исследова-
исследования сильного взрыва в реальном равновесном газе с уравнениехМ
состояния (§1.9):
—=^li=3JaL=I> Z = Z(jp, й),А = *+—= Y*e, A0.3.10)
Qh yZ Y* Q
где у* — эффективный показатель адиабаты; у — показатель
адиабаты в невозмущенном газе.
Внутреннюю энергию газа во взрывной зоне представим так
?<°)=2V UrVr=^ MlH /3+2V \
J 1 + v Y— 1 ¦ J Y /
0 о
„ A0.3.11)
Первый член правой части здесь тот же, что и в уравнении
A0.3.1), а второй дает разность объемных внутренних энер-
энергий реального и совершенного газов при одинаковом давлении.
Тогда уравнению энергии A0.3.1) можно придать тот же вид,
что и для совершенного газа, если заменить в нем энергию
взрыва Е некоторой эффективной энергией ?*:
f
. (Ю.3.12)
247

Здесь Yf}— вреднее значение у*- Так как обычно y*<Y> то
Для сильной стадии взрыва, когда отношение плотностей в
ударной волне k=^—= v*~ l мало, интегралы It и /2 в урав-
Qi- Y* + 1
нении A0.3.1) и отношения
0,6
о?г
\
^
Рис 10.5. Коэффициент ослабления пля
ф
и Ps/QooR2 близки к единице
и различия в свойствах газа
мало на них повлияют. По-
Поэтому все влияние реальных
свойств газа будет прояв-
проявляться через Е*. Так как со-
согласно A0.2.9) отношение
Е(°)/Ея*1, то Е* изменяется
за счет y*@)> т. е. сравнитель-
сравнительно медленно, что для возду-
воздуха следует из данных § 1.9.
Забегая вперед, сошлемся
также на рис. 10,5, где ?*
зависит лишь от логарифма
давления. Тогда в первом
приближении можно прене-
пренебречь изменением функции
Е* по сравнению с измене-
изменением давления или формы
ударной волны и, подстав-
подставляя A0.3. 11) —A0.3. 12) в
фф
наземного сферического взрыва:
метод эффективной энергии- интегральное уравнение
данные Броуда (v-2);^- данные Роу- A0 3. 1), СЧИТаТЬ ЭНергИЮ ?*
постоянной. После этого из-
изложенный выше интеграль-
интегральный метод даст то же решение, что и для взрыва в совершен-
совершенном газе с показателем адиабаты уу но с энергией взрыва Е*
вместо Е:
A0.3.
Величина ?*, конечно, остается переменной, равной своему ме-
местному значению, зависящему от р0 и R, но играет роль пара-
параметра.
Подставляя это решение в исходные уравнения A0.3.1) и-
A0.3.6), мы должны, чтобы удовлетворить им, пренебречь ве-
величинами порядка tdEJdt, что и будет строгим условием при-
применимости метода.
248

В стадии взрыва с ослабленной ударной волной, например
при /?< 2000 м/с, воздух будет диссоциирован лишь в централь-
центральной зоне с маломеняющейся массой га0. Тогда величины е, pIq,
а следовательно, и Е* будут изменяться слабо, как /^т*~~1)/т*.
Поэтому можно ожидать, что не только скорость ударной вол-
волны, но и распределение параметров вблизи нее при т > т0 бу-
будут теми же, что и при взрыве в совершенном газе, но с энер-
энергией ?*.
Таким образом, влияние реальных свойств газа на интенсив-
интенсивность ударной волны при сильном взрыве можно приближенно
учесть, заменив в точном решении A0.2.3) и A0.2.4) для со-
совершенного газа энергию взрыва местной эффективной энерги-
энергией ?*.
Необходимый для вычисления Е*/Е профиль энтальпии во
взрывной зоне можно получить, интегрируя уравнение адиаба-
адиабаты y*d\nh — (у*—\)d\np вдоль траектории частиц r=rm(t, m)
с каким-либо приближенным распределением давления1 и на-
начальным профилем энтальпии при малом значении М. Одновре-
Одновременно с помощью соотношений A0.3.13) определяется и закон
движения ударной волны. Пример такого расчета для наземного
сферического взрыва вместе с данными других работ2 приведен
на рис. 10.5. Коэффициент ослабления взрыва Е*[Е имеет ми-
минимум, соответствующий максимуму функции Z на рис. 1.7. При
ps—*роо отношение ?^/Е~0,8, что объясняется сохранением (для
нетеплопроводного и неизлучающего газа) высоких температур
в центре.
Слабая зависимость свойств равновесного воздуха от давле-
давления влечет за собой слабую зависимость отношения Е*/Е ог
плотности Qcc, т. е. от высоты взрыва. Кроме того, при у=1А
имеем /?sAf/poo? = 0,70; 0,67; 0,66 соответственно для v = 0; 1; 2.
Поэтому распределение энтропии по массе, а следовательно, и
отношение E*jE весьма слабо будут зависеть и от размерности
пространства.
Заметим, что введенная энергия Е* не является строго гово-
говоря разностью Е—Ef, где Ef — полная связанная энергия физи-
физико-химических превращений, так как для этого в последнем ин-
интеграле A0.3.11) следовало бы заменить у на замороженный
показатель адиабаты yf (§ 1.7). Но поскольку в воздухе yf =
= 1,67-М,4, то при большой затрате энергии на физико-химиче-
физико-химические превращения, т. е. при <?> ? , разница между
Q (у/— 1)
энергией ?* и E—Ef вряд ли будет большой.
мула рУ^^^^бД'ХГ1'4 ПрИ ps^1'5;?- х°Р°'ШУю аппроксимацию дает фор-
RTOCTaH0BKe R Brode <РЬУ8- Fluids' 1959'
ВзРывающиеся проволочки», М., ИЛ, 1963)
249

ЧАСТЬ IV
ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ
С ПРИТУПЛЁННЫМИ НОСКОМ ИЛИ КРОМКАМИ
Глава 11
ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТОНКИЕ
ПРИТУПЛЁННЫЕ ТЕЛА
§ 11.1. Влияние носка на гиперзвуковое обтекание
тонкого притуплённого тела1
Применение заостренных тел, предназначенных для полета с
гиперзвуковыми скоростями, ограничено чрезмерным нагревом,
разрушением острого носка фюзеляжа или кромки крыла. По-
Поэтому перспективным оказывается класс тел с малым притупле-
притуплением носка или кромки, т. е. с размером (радиусом миделя)
носка ro<^L — длины тела. Обтекание таких тел (рис. 11.1),
пока плоских (v —0) и осесимметричных (v=l) рассмотрим
ниже.
По сравнению с заостренными телами в этом случае возни-
возникают два новых основных эффекта. Первый эффект — распро-
распространение повышенного давления в районе носка вниз по пото-
потоку. Характерный угол наклона поверхности в области носка
б ^я/2, а давление на нем р~р'о ~роо^1, что следует из форму-
формулы Ньютона (см. гл. 5). В то же время на боковой поверхности
тела с малым углом наклона R'(x) — tg 6 ^т<С 1. Поэтому после
прохождения окрестности носка газ претерпевает быстрое рас-
расширение с более (или менее) длительным . переходным про-
процессом.
Проходя через слой газа, тело сообщает ему энергию и им-
импульс, что является причиной изменения состояния газа. По-
Поэтому относительную роль носка в формировании течения около-
околобоковой поверхности можно оценить вкладом его в суммарные
характеристики течения. Пусть сх и схь— коэффициенты сопро-
1 Существенное влияние малого притупления на обтекание тонких тел об-
обнаружено экспериментально А. Хэммитом, С. Богдановым (Jet. Propuls, 1956,
№ 4) и М. Бертрамом (JAS, 1956, № 9), и объяснено в работах С. Лина
(J.¦ Appl. Phys, 1954, № 1), X. Ченга и А. Паллоне (JAS, 1956, № 7) и Чер-
Черного Г. Г. [48], связавших этот эффект с теорией сильного взрыва.
250

тивления носка и боковой поверхности с площадью миделя
58~я'(г1I+\
Для оценки величины схъ примем, что порядок давления на
боковой поверхности определяется формулой Ньютона, т. е.
p^pooU^T2 (это может быть неверно в некоторой прилегающей
к носку окрестности, исключаемой из рассмотрения. В § 11.2
покажем, что полученные <ниже оценки области влияния носка
L не являются заниженными).
Рис. 11.1. Ударные волны, характеристики, высокоэнтрапий-
ный слой и распределение давления при гиперзвуковом об-
обтекании тонкого притуплённого тела
В этом предположении схь~х2 и отношение сил сопротивле-
сопротивления носка Хо и боковой поверхности Хь будет равно
XQ
Хь
1
(ll.l.l)
Полагая /С=1, получим длину и толщину тела с равновели-
равновеликим (по порядку величин) вкладом носка и боковой поверхно-
поверхности в общее сопротивление тела
A1.1.2)
пусть Yo=Qoot/ooro V —поперечная сила, действующая на
газ в окрестности притупления (например, на верхнюю полови-
половину течения при v = 0 и на единицу угла между близкими мери-
251

диональными плоскостями при v=l, см. § 8.3). Тогда отношение
поперечных сил носка и боковой поверхности имеет порядок
= ^) ¦ (И. 1.3)
Полагая далее У0~У8, получим длину соответствующего тела
L'-Lx11*^ _ro/V(i+')T-<2+v)/(i+v)_ AL L4)
Отношение L/r0 при малых т очень велико. Так, при сх=\ (ци-
(цилиндр, сфера) и 6 = 2,5-М 5°, или t = tg 6 =0,044-^0,27, имеем
L/r0^ 60004-30 для клиньев (v = 0) и L/r0~370-M0 для конусов
(v=l). Оценки длины области влияния притуплённого носка
будут подтверждены ниже на многочисленных примерах.
Отношение L'IrQ велико тоже, но при /~1 много меньше
L/rQy т. е. основное влияние носовое притупление оказывает
на сопротивление тела. В этом можно убедиться, полагая в фор-
формуле A1.1.3) /С~1 и/0~1.
Оценим теперь относительную роль носка, сравнив энергию,
сообщаемую им газу в слое единичной ширины, численно рав-
равную Е = Х0 (см. § 8.3) с начальной внутренней энергией ?оо =
= jtv7?1+v Poo (у—I) в возмущенной части этого слоя. Полагая
R~(x-\-M~l)L и Е = Еоо, получим зависимость области Ьж влия-
влияния носка от числа Моо
которая растет с увеличением Моо и сокращается с уменьшени-
уменьшением y-
Второй эффект притупления связан с распределением энт-
энтропии по линиям тока. В § 2.3 получено распределение энталь-
энтальпии и плотности вдоль линий тока после прохождения сильной
ударной волны с углом наклона а
-Р/т Q _Y + 1 /V + I у/т - У
E = sin2a), fll. 1.6)
где под y можно понимать какое-либо эффективное его значе-
значение, соответствующее проходящим в газе процессам. Как пра-
правило, давление между боковой поверхностью и ударной волной
имеет одинаковый порядок /?~Роо?/^ а2, определяемый накло-
наклоном ударной волны a~dRjdx, малым при Моо^>1 и т<С1, поэто-
поэтому распределение энтальпии и плотности будет в основном опре-
определяться изменением энтропии, или параметра s, поперек воз-
возмущенного слоя.
Линии тока вблизи поверхности тела, прошедшие через го-
головную часть отошедшей от притупления ударной волны в ок-
252

оестности носка с 5—1, образуют так называемый высокоэнтро-
высокоэнтропийный слой (показан пунктиром на рис. 11.1), который в не-
невязком газе теоретически существует на любом удалении от
носка. В нем согласно A1.1.6) имеем следующие порядки ве-
величин
A1.1.7)
где Uj v — продольная и поперечная скорости.
р-10
о,ч
0,2
h
О
\
N
0,25 0,50 0,75 1,0
0,3-
0,2
0,1
О
p-W
—
//
--'
//
/
10
8
6
0,25 0,50 0,75 10
а) 6)
Рис. 11.2. Профили энтальпии, дефекта скорости (а) и плотности, давле-
давления и чисел Маха (б) между поверхностью притуплённого пс сфере ко-
конуса -и ударной волной:
И = 30 км, Uж = 7500 м/с; _-._.-jV^ = 23, 7 = 1,4, -Г=7,3го, 6 = Ю°
Наоборот, вблизи ударной волны достаточно далеко от нос-
носка на линиях тока, прошедших через скачок с s~a2<Cl, будем
иметь те же порядки величин, что и при обтекании тонких за-
заостренных тел в § 8.1.
A~f/i-aa, Q~Qoo, «=?/«, [1+0(а2)], М~(у-1
A1.1.8)
Эти линии тока образуют ударный слой, для которого справед-
справедлив закон плоских сечений, или нестационарная аналогия, сфор-
сформулированные в гл. 8.
Таким образом, эйтальпии (температуры) и плотности в
ударном и высокоэнтропийном слоях отличаются в а2-7 раз, т.е.
253

между боковой поверхностью и ударной волной тонкого притуп-
притуплённого тела имеют место большие градиенты энтропии, энталь-
энтальпии и плотности (рис. 11.2).
В высокоэнтропийном слое газ имеет высокую температуру
и низкую плотность по сравнению с теми же величинами на
ударной волне. Поэтому при полетах в атмосфере физико-хими-
физико-химические превращения будут проходить главным образом в обла-
области носка и (Высокоэнтропийном слое (с возможными малыми
эффективными показателями адиабаты у* согласно § 1.9), в то
время как в ударном слое газ может остаться сравнительно хо-
холодным и совершенным.
Полученные оценки свидетельствуют о большом влиянии да-
даже малого притупления на гиперзвуковое обтекание притуплён-
притуплённых тел, чем и объясняется повышенный интерес к таким зада-
задачам. В дальнейшем будем (как правило) полагать носок тупым
телом с cx~lf несмотря на то, что достаточно сх^>х2.
Значительная в сравнении с размером носка протяженность
рассматриваемых при этом областей течения позволяет предпо-
предполагать, что влияние деталей в распределении давления или уг-
углов наклона скорости в переходном начальном сечении между
носком и боковой поверхностью затухнет на некотором удале-
удалении от него и на течение вниз по потоку будут влиять, во-пер-
во-первых, интегральные силовые характеристики носка и, во-вторых,
распределение энтропии по линиям тока (или по массе) в высо-
высокоэнтропийном слое. Такая схематизация течения (положенная
в основу излагаемой гиперзвуковой теории) справедлива лишь
асимптотически, для достаточно удаленной от носка области,
поэтому класс изучаемых ниже тел и течений должен удовлет-
удовлетворять условиям
?»^»г0, т«1, Mw»l. A1.1.9)
В рамках этой схемы силовое воздействие носка можно считать
сосредоточенным, приложенным к одной точке в районе при-
притупления.
Однако приведенные ниже иллюстрации показывают, что
многие результаты такой асимптотической теории часто спра-
справедливы уже на расстоянии нескольких радиусов притупления,
что существенно повышает прикладное значение теории и сви-
свидетельствует о более широкой применимости интегрального ме-
метода учета начальных данных в задачах обтекания притуплён-
притуплённых тел К Поэтому в дальнейшем совместим точку приложения
силового воздействия носка с переходным сечением между нос-
1 Интегральный способ учета начальных данных широко используется в
механике, в частности, в теории пограничного слоя или распространения вяз-
вязких струй. Этот способ не имеет строгого обоснования, но опыт решения и
анализа многочисленных задач убеждает нас в его достоверности, кроме от-
отдельных случаев.
254

ком и боковой поверхностью в начале цилиндрической системы
координат (см. рис. 11.1).
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В сверх-
сверхзвуковом потоке всякое выравнивание начальных возмущений
происходит путем многократного взаимодействия звуковых волн
или характеристик. Но в ударном слое тонкого (как заострен-
заостренного, так и притуплённого) тела местные числа М^а очень
велики (см. § 8.1), поэтому область взаимодействия или отра-
отражения возмущений может быть достаточно протяженной. Кро-
Кроме того, из § 3.5 следует, что возмущения, дойдя до скачка уп-
уплотнения, при этих условиях отражаются от него весьма слабо.
Поэтому основное выравнивание возмущений происходит в
сравнительно разреженном высокоэнтропийном слое благодаря
их отражению от более плотного ударного слоя. В высокоэнтро-
высокоэнтропийном слое числа М~'сГ(т~1)/тсущественно меньше, чем в удар-
ударном, практически течение в нем умеренно сверхзвуковое (см.
рис.^11.2). Все это определяет характер распространения возму-
возмущений, показанный на рис. 11.1.
§ 11.2. Обтекание притуплённых пластины и цилиндра.
Взрывная аналогия
Простейшим примером тонких притуплённых тел являются
притуплённые пластина (v = 0) и цилиндр (v=l), с которых нач-
начнем изучение этого класса тел пока для совершенного газа. Угол
наклона ударной волны в этом случае изменяется от прямого
(a^Ji/2) вблизи носка до угла Маха а~М~* на достаточном
удалении. Поэтому при Moo^l должна существовать протяжен-
протяженная область с малыми углами наклона ударной волны а^
zzR'(х) <^\у для которой применим закон плоских сечений.
Этот закон несправедлив в окрестности носка и, как следствие,
в высокоэнтропийном слое, но пока этим пренебрежем.
В рамках закона плоских сечений радиальное течение в
плоском неподвижном в пространстве слое единичной ширины,
перпендикулярном к направлению движения тела, будет совпа-
совпадать с эквивалентным нестационарным течением, вызванным (в
нашем случае) сосредоточенным силовым воздействием притуп-
притупления. Это воздействие сводится к выделению энергии, равной
работе сопротивления носка, и сообщению газу поперечного им-
импульса
? = Xo = Y^cxrl^QMl, J = V0U-i = rl^QMoo/. A1.2. 1)
Импульс / вычислен для верхней полуплоскости г>0 при
V —и и на единицу угла между близкими меридиональными
плоскостями при v=l (см. § 8.3). Поэтому для вычисления /
необходимо знать распределение давления не только по поверх-
255

кости носка (как для Хо), но и в ударном слое по плоскости
/'=0 при v = 0 и по меридиональной плоскости при v=l.
Боковая же поверхность притуплённых цилиндра или пласти-
пластины не вносит вклада в сопротивление, поэтому суммарная энер-
энергия в таком течении будет постоянной, но количество движения
расходящегося газа будет возрастать за счет действия распре-
распределенных сил давления по плоскости пластины (v = 0) или по
соседним меридиональным плоскостям и 'поверхности цилиндра
(v=l)-
При условиях A1.1.9) выделение энергии и импульса про-
происходит в области с размером го«С/? за время to = U1LU1
много меньших характерных пространственного и временного
масштабов течения.
Таким образом, в рамках схемы нестационарной аналогии
влияние притупления на газ эквивалентно точечному взрыву с
наложенным начальным импульсом.
Но в такой постановке задача о взрыве неразрешима. Что-
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим предельный случай у—>-1,
MoJ?'—^°о, когда (согласно § 10.2 и 10.4) весь газ при взрыве
сосредоточен в узкой, шириной порядка (у—l)R> области вбли-
вблизи ударной волны, а вне этой области давление р0 постоянно.
В этом случае интегральные уравнения энергии и импульсов
(8.3.6) и (8.3.13) с учетом упрощений, принятых в § 10.3, при-
примут вид
A1.2.2)
Эти уравнения с заменой x=Uoot описывают и предельное тече-
течение около притуплённых цилиндра или пластины. Второе урав-
уравнение при t—Я) имеет вид R1+VR =const, что при 7?->0 невоз-
невозможно при конечной кинетической энергии. При сильном же
взрыве (рассмотренном в § 10.2) / = 0, и применение этого ре-
решения к нашему случаю требует оговорок.
Эту трудность обойдем, предположив, что профили величин
между телом и ударной волной те же, что и при взрыве, с.энер-
с.энергией Е=Х0> начало которого, однако, следует отнести к некото-
некоторой точке х = —х0 впереди тела для того, чтобы в плоскости
х = 0 импульс газа, нарастающий как /(^«жз+^был бы равен ве-
величине /. Тем самым удовлетворим двум основным законам со-
сохранения: энергии и импульса (причем первый закон в исход- '
ной стационарной постановке задачи эквивалентен закону сох-
сохранения количества движения в продольном направлении, см.
256

§ 8.3). Тогда искомое решение согласно § 10.1 и 10.2 при Моо =
= оо примет вид
21±2
3+vP0(X);
); (И.2.3)
vUco
-— x-x x - r г (
Переменные Xt и /*i здесь те же, что и в § 5.5, а характерный
размер-И°) связан лишь с сопротивлением носка.
Для конечного противодавления или числа Моо аналогично
получим
A1.2.4)
(v 2 \l/(l + v)
QJ °° j ^±?l M()/(i)
(Коэффициенты %v и Xv приведены в гл. 10 на рис. 10.3, а функ-
функции Р @, т) и Ro (т) — на рис. 11.3).
Сдвиг координат Xo=Uooto определяется из условия
R
j1 Qvrdr=J = QMaOrl0+4I. A1.2.5)
6
Подставляя в левую часть уравнения точное решение для силь-
сильного взрыва, после вычислений и аппроксимаций при у <Г5/3,
получим
7o=V~' «0 = 0,68 [1+1,15(v-l)], ^ = 2,25 [1-0,1 (Y-1)]-
Если /s импульс, сообщаемый боковой поверхностью, то
(l + Jc/-ro) = (l + /e//)C'+v)/A+v)- A1.2.7)
Далеко от носка, при х>х0 начальный импульс перестает
влиять на течение. Тогда в формулах A1.2.3) — A1.2.4) можно
257

Рис. 11.3. Давление и ударные волны для цилинд-
цилиндрического и плоского взрывов:
с противодавлением (см. 11.2.4);
взрыв без учета противодавления
(см. 11. 2.3)
О, взрыв
сильный
258

принять #о = О, и они совпадут с формулами для сильного взрыва
е центром в точке х==0 и будут отражать закон подобия, кото-
который объединяет течения для различных носков и чисел Маха а
'2 Ru2.rJ+v\fiv
Рис. .11.4. Давление и ударные волны на притуплён-
притуплённых цилиндре и пластине, у=1 Д> Моо = оо:
-численный расчет для круглого носка {сх = 1,25 при
v= 0; сх = 0,9, v = 1); сильный взрыв со сдвигом
координат; сильный взрыв при х0 -* 0;
О О О—эллиптический носок:
я/в =0,5, сх = 0,517, v = 1; а/в = 2, с^ = 1,44, * = о
асимптотически точен при х/г0—^оо. В этом и состоит класси-
классический вариант взрывной аналогии \ очень эффективной в об-
* Взрывная аналогия сформулирована в работах С. Лина, X. Ченга,
а. наллоне и Г. Г. Черного, цитированных в § 11.1. Связь сдвига координат
П$?9М ВВ6Дена в работе В' В- лУнева и В. Г. Павлова (МЖГ,
259

ласти своей применимости, так как для ее использования необ-
необходимо знать лишь коэффициент сопротивления носка, для вы-
вычисления которого обычно вполне достаточно формулы Ньютона
(см. гл. 5). Как следует из рис. 11.4 — 11.6, в таком виде взрыв-
взрывная аналогия имеет удовлетворительную точность на достаточ-
Рис. Ы.5. Давление и ударные волны на
притуплённой пластине с круглым носком
Y = l,4; точный расчет:
^о = 2,5 г0; л'о = 0;
— X —X— взрыв с противодавлением; 1 — М^ = 10;
ном удалении от носка (порядка нескольких десятков его ра-
радиусов).
Отметим еще сравнительно быстрое (уже при х>4г0) стрем-
стремление профилей давления и, вблизи ударной волны, плотности
(температуры) к соответствующим профилям при взрыве (рис..
11.7). Плотность (температура) вблизи тела, в высокоэнтро-
высокоэнтропийном слое, имеет качественно другой характер и в соответст-
соответствии с формулами A1.1.6) определяется распределением энтро-
энтропии за отошедшей от носка ударной волной. В частности, на'
поверхности тела энтропия определяется прямой ударной вод-
260

ной 5=1 или параметрами торможения в критической точке ту-
тупого тела. Взрывная же аналогия дает в центре нулевую плот-
плотность и бесконечные энтропию и температуру, что является ее
существенным и принципиальным ограничением.
Параметр /о для достаточно тупых носксв (сх > 1) сравнительно слабо
зависит от их формы (см. рис. 5.14) и поэтому практически не нарушает за-
закона подобия, как показано на рис. 11.4. Сдвиг кзординаты хо для таких нос-
носков при y—lA невелик (порядка их размера). Так, для круглого носка /o=0,8z',
Хю=о,ы1 =3,7, хо = 2Аго при v=:.l; /o=l,O5, xl0 =3,5/q =4,1, лго=2,5го при v=0.
Однако и такой сдвиг делает точность взрывной аналогии удовлетворительной
уже на расстояний порядка размера носка, что следует из рис. 11.4—11.5.
(Для лучшей корреляции результате в на некоторых рисунках на малых рас
стояниях от носка сравниваются, по существу, площади поперечного сечения
возмущенного слоя, а не непосредственно формы ударных волн).
Но если тело не очень тупое, то величина /0 для него может быть замет-
заметной (для острого конуса, например, /о~ B tg0o) —1^> 1 при малых 0о).
Влияние этого параметра становится существенным и при малых у, так
как Хо -> оо при y-HL
Конечно, лишний параметр /0 лишает взрывную аналогию элементарно-
элементарности *, так что учет его ставит целью екзрее уяснение принципиальной стороны
вопроса, чем получение расчетных формул.
Взрывная аналогия может быть использована и для описания течения
в дальнем следе за каким-либо телом 1, так как речь в этом случае идет о рас-
расстояниях порядка десятков и даже сотен калибров тела (на которых влияние
параметра /0 уже мало). Для примера на рис. 11.8 дано распределение дав-
давления за тонким .притуплённым конусом, которое описывается взрывной ана-
аналогией, несмотря на сложную конфигурацию донной части тела и внутренние
скачки уплотнения.
При y~^1 Ha любом конечном расстоянии х<Сл:0 формулы A1.2.3) пере-
перестают зависеть от х, причем ро~(у—IJ убывает, a R^(y—1)~-W+V) нере-
нереально возрастает с уменьшением Y- В действительности же в этой области
боковая поверхность тела в силу /s </ не влияет на движение ударного слоя,
который согласно § 5.5 становится свободным, а решение, основанное на
взрывной аналогии, становится неприменимым. В этом случае при /?'<!
уравнения A1.2.2) имеют простое решение
R2+o = A + v) B + v) Ir1^ x + г20+\ (лУ pQ = Е (у - 1) /TA+v). A1.2.8)
Первая формула является предельной формой решения E.5.5) для свободного
слоя при ?>г0, х>г0. Под /?о здесь следует понимать среднее значение дав-
давления под свободным слоем. Схема свободного слоя применима, пока
где Ps^pooU^R'^ .давление за ударной волной. Поскольку ps~#~
a po~R~(!+v),то с ростом R получим po~psи х~х0. В этой области схема сво-
бодног: слоя не применима и начинает формироваться уже «взрывная» кар-
картина течения 2.
Решение A1.2.8) показано на рис. 11.9—A1.10 и для y=1,05 дает положи-
положительные результаты для большой окрестности носка, но уже при у=1,13 это
согласие нарушается^!аким образом, для реальных (см. § 1.9) значений пока-
показателя адиабаты y > 1,1 схема свободного слоя практически не имеет прило-
приложении (на что указано в § 5.5).
ЩеСТВенное влияние вязкости и теплопроводности на структуру тече-
R™JL Тре Следа ке сказывается на распределение давления вдоль оси. Для
взрыва это показано В. В. Сычевым (ПММ, 1965, № 6).
Н^Ие В пеРехоДной области между свободным слоем и взрыв-
^ет?^й AL2-2) во всем диапазоне ф
261

ч -
а**-",
2 -
л
W м
23
= 10
оо=6
Моо
•Мсхэ= Ю
0,2
*
2,0 f
262

Рис. 11.6. Давление (а, б) и ударные волны (в) на
притуплённом цилиндре со сферическим носком при
l4
X взрыв с противодавлением;
а — лг0 = 0; б и б — *0 = 2,4г0
1,0 -
0,6
Oft
0,2
О
Ps
' 0
-
I— —. —.
1 '¦ ,
2 д
6,05rB
SN vi
12,9г„ у
л
/M
/In
/J/l
/
0,6
0,8
rw
Рис. 11.7. Профили давления и плотности между цилинд-
цилиндром со сферическим носком и ударной волной
М 14
X
rQ
- jr - 12,9г0;
—сильный взрыв

В то же *ремя в следующем параграфе покажем, что при интегральном
учете процессов в высокоэнтропийнсм слое взрывная аналогия дает правиль-
правильные результаты и для малых у—1 уже на небольших расстояниях от носка
(см. рис. 11.9—11.10).
Р/Р
оо
1,0
0,5
-10
о /7
100
200
J00
400
7
500
Рис. П.8. Распределение давления в следе за телом:
7-ro/Z. = 0,48; d/r0 = 1,04; сх = 0,54; /„ = 1,2; х10 = 7,9;
Хо = 4,7г0; 2 — ro/L = 0,35; djro = 0;8; сх = 0;35; /0 = 1,45;
л-,0 -=. 13,2; .г,, = 5,5г0; 3 — ro/L = 0,27; d/r0 = 1,06; ^^ = 0,18;
/о = 1,9; xlo=20,2; ^0 = 6,0 г0
точные кривые; сильный взрыв с противодавлением
без сдвига координат; — • — взрыв со сдвигом;
Вернемся теперь к полученным в § 11.1 оценкам области влияния притуп-
притупления для тел с малым порядка т, но конечным углом наклона боковой #по-
верхности. Очевидно, что на передней части тела х < Lu где R' > т, ферма
ударной волны и давление за ней все еще определяются взрывной аналогией,
а не углом т, как это было принято в § 11.1. Чтобы определить L*, положим
в формулах A1.2.3) R'~t или p^poo^lx2.
Тогда получим, что Li~L, где длина L определена формулой A1.1.2)
Таким образом, более точный учет давления на теле (чем по принятой в
264

§11.1 формуле Ньютона) не изменил полученных
ния притупления.
там оценок области влия-
Рис. 11.9. Давление на притуплённых
пластине и цилиндре при М^^оо и ма-
малых (у—0:
точный расчет; —¦ сильный взрыв,
сильный взрыв со сдвигбм с учетом эф-
эффекта перетекания (Т - 1,13, v = 0, сх « 1,5,
с* « 1,15, л* *» 3); —X—X— свободный
слой A1.2.8)
Рис. 11.10. Ударные вол-
волны для притуплённых
пластины и цилиндра при
Мао — 00 и малых (Y—'О;
точный расчет;
сильный взрыв;
__. сильный взрыв со
сдвигом с учетом эффекта
перетекания; — X—X— сво-
бздный слой (И. 2. 8)
§ 11.3. Влияние высокоэнтропийного слоя
В § 11.2 указано, что взрывная аналогия не описывает те-
течение в пристеночном высокоэнтропийном слое, параметры в ко-
котором (оцененные в § 11.1) определяются изоэнтропическим
расширением газа от состояния за отошедшей от притупления
ударной волны до малого давления p~pooUia? на боковой по-
поверхности тонкого притуплённого тела. (Причем угол наклона
ударной волны а может превышать соответствующий угол е-
=M-i+t на заостренном теле за счет влияния притупления.)
В связи с этим рассмотрим некоторые свойства течения в высо-
высокоэнтропийном слое и его влияние на течение в целом.
Расходы газа через высокоэнтропийный слой и через всю
возмущенную область и их отношение имеют соответственно по-
порядки
10 2382
265

Однако толщина высокоэнтропийного слоя может стать зна-
значительной вследствие малой плотности Qo~p<x>a2/T в нем. Так,
для притуплённых пластины и цилиндра для границы гь {х) вы-
высокоэнтропийного слоя получим оценку
»^. A1. 3. 2)
Согласно взрывной аналогии R~x2/C+v) , поэтому с учетом
attdJR/dx получим
«УФ*~ jc-^+'VO+v), г8//?~д:-2<т-1)/т(з+»). (П. 3.3)
Как видно, относительный расход газа через высокоэнтро-
высокоэнтропийный слой уменьшается с увеличением х значительно быст-
быстрей, чем относительный его размер. Граница же слоя при уф\
всегда отходит от ударной волны. Поэтому нельзя, например,
заменив границу высокоэнтропийного слоя твердой поверхно-
поверхностью, рассчитать давление на ней по формулам Ньютона или
Буземана. В этом случае, полагая, р~ (drzjdxJ и r*+v ~ /?~1/т,
получим
р~х~п, где /i =
что противоречит при уф\ взрывной аналогии.
Выпишем теперь уравнение движения в поперечном направ-
направлении в форме Мизеса
7-=-Bяг)-^. (И.3.4)
Полагая в нем г~п, Дг|)~1|)о и учитывая, что 0~.at/<x>, р~
~Q<x>U2ooa2> получим оценку перепада давлений поперек высоко-
высокоэнтропийного слоя
±'y AL3.5)
Если поверхность тела достаточно гладкая, то
^X — Л, Д/7//7 < Г0//? С 1. (П. 3. 6)
Но поперечный перепад давлений необходимо учитывать, если
поверхность тела имеет участки малой кривизны, где Ах<Го/а
(например, в волне разрежения или сжатия около угловых то-
точек), так как плотность газа в высокоэнтропийном слое мала,
но конечна.
Таким образом, высокоэнтропийный слой представляет со-
собой область с малой плотностью и расходом (массой) и, как
правило, с почти постоянным давлением, что делает его каче-
качественно схожим с центральной частью взрывной зоны. В этом
одна из причин успешного применения взрывной аналогии к об-
обтеканию тонких притуплённых тел.
266

Оценим величину дефекта продольной скорости в высокоэнт-
высокоэнтропийном слое. Используя уравнение Бернулли
^i +—+/г = //^-^- A1.3.7)
2 ' 2 ' 2 ;
и учитывая, что в высокоэнтропийном слое h^>v2, получим для
малых h
A1.3.8)
Из-за малости степени (у—1)/y ^0,1-^-0,3 дефект скорости в вы-
высокоэнтропийном слое оказывается много большим, чем в удар-
ударном (или для тонких заостренных тел), где Au<a2C/oo, a следо-
следовательно, точность закона плоских сечений в этом слое много
хуже.
Для реальных условий обтекания тонких притуплённых тел
воздухом с учетом физико-химических его превращений на по-
поверхности тела обычно Au/Uoo^0,2-1-0,5.
Конечно, Au/Uoo—>0 при а->0, но другой порядок точности
закона плоских сечений требует специальной коррективы, осно-
основанной на нем взрывной аналогии.
Для оценки этого эффекта воспользуемся интегральным
уравнением продольного импульса в форме (8.3.5).
A1.3.9)
Интеграл ?4 представляет собой добавочную по сравнению с ра-
работой поршня Х$ энергию газа в перпендикулярном к направ-
направлению движения плоском неподвижном в пространстве слое
единичной ширины, обусловленную продольным перетеканием
газа, сопровождающимся переносом кинетической и потенциаль-
потенциальной энергии и работой проталкивания. При М<х>>1 вторым сла-
слагаемым в Ei можно пренебречь. Кроме того, для тонких тел
внутри высокоэнтропийного слоя можно заменить и на полную
скорость U. Тогда получим
и
о
10*
11.3. 10)
267

Здесь интегрирование распространено лишь на высокоэнтро-
высокоэнтропийный слой с расходом г|)8, поскольку вне его подынтеграль-
подынтегральная величина мала, порядка а4. Так как U=U(p, г|)), то Ei за-
зависит лишь от давления, постоянного поперек высокоэнтропий-
высокоэнтропийного слоя, и от формы носка. Как видно, добавочная энергия
Ei имеет более высокий порядок малости, чем дефект скорости
Uoo—u.
Уравнение A1.3.10) показывает, что эквивалентное обтека-
обтеканию притуплённого тела нестационарное течение в плоском слое
обладает энергией большей, чем работа силы сопротивления
носка на единичном пути. В частности, для притуплённых ци-
цилиндра или пластины течение соответствует взрыву с энергией
Е*>Е0 — энергии, сообщенной газу носком.
Для оценок величины ?i представим форму ударной волны
около носка в виде параболы 2zR0=r2, радиус кривизны на оси
/?о которой свяжем с сопротивлением носка, аппроксимируя
практически универсальные функции 5(Т) (см. рис. 5.16) зави-
зависимостью
°A1. 3.11)
(q^l/2 при v = 0, <7= 1/4-4-1/8 при v = l и Ф*<;4).
Так как область малых значений s дает малый вклад в интег-
интеграл A1.3.10), то при вычислении условность границы г|)в не
играет особой роли. Результаты таких расчетов («при ?§ «
^0,1) показаны на рис. 11.11. Для малых давлений (точнее для
можно получить разложение
1 (*
8 J
5
^ A1.3.12)
Я *-'
При y=1,4 можно считать Е*жЕ0, что и объясняет хорошую
точность взрывной аналогии на рис. 11.4 — 11.8. С уменьшени-
уменьшением у и ростом р (т. е. с ростом г) роль Ei возрастает. При этом
отношение EJEo при у—И ограничено при v—1, но для плоско-
плоского течения (v = 0) вследствие того, что U—Ю на теле неограни-
неограниченно возрастает1
0
при v = 0. A1.3.13)
1 Чтс, по-видимому, свидетельствует о невозможности установления тако-
такого стационарного течения из( состояния покоя.
268

При Моо=°° и х—>оо очевидно ?4-*0 вместе с р^-1^, и энер-
энергия газа в любом плоском слое стремится к величине EOt т. е.
взрывная аналогия применительно к обтеканию притуплённых
0,3 V
0,2
0,1
6,4
0,2
О 0f25 0,5 0J5 1,0
а)
0,/0
Рис ll.ll. Добавочная энергия за счет перетекания газз
в высокоэнтропийном слое, s6=0,l, р/рэо^оо=0ДО5ч-0.2;
v = 0; v = 1; предельная формула (И. 3. 13)
пластины и цилиндра и с этой точки зрения носит асимптотиче-
асимптотический характер.
Эффект продольного перетекания газа можно просто учесть
с помощью взрывной аналогии и метода эффективной энергии
(сформулированного для взрыва в гл. 10) или применительно к
269

притуплённым телам, метода эффективного коэффициента соп-
сопротивления носка*
*
-^-=1+—. A1.3.14)
Для этого в формулах A1.2.3) — A1.2.4) взрывной аналогии, а
также в формуле A1.2.6) для сдвига координат величину сх
следует заменить на с*. Как следует из рис. 11.9 — 11.10 (на
которых величины с* ввиду малости степени (у—\)/у взяты
просто постоянными), скорректированная таким образом взрыв-
взрывная аналогия имеет удовлетворительную точность в реальном
диапазоне у> 1,1 уже на расстояниях нескольких величин радиу-
радиусов носка.
Следует подчеркнуть, что применение взрывной аналогии с
учетом поправок на импульс (см. § 11.2) и на эффективный ко-
коэффициент сопротивления не имеет строго асимптотического ха-
характера (кроме области х—^оо, где влияние этих поправок ис-
исчезает), а основано лишь на методе интегральных соотношений,
т. е. на предположении о совпадении профилей в возмущенном
слое с профилями при взрыве, чего нигде (по крайней мере для
конечных расстояний от носка) доказано не было.
§ 11.4. Об эффекте вытеснения высокоэнтропийного слоя
Рассмотрим теперь обратную задачу отыскания форм тела rw(x), индуци-
индуцирующего при Моо = сю, начиная с некоторого расстояния х>ха, «взрывную фор-
форму» ударной волны 2
где сх и г0 — коэффициент сопротивления и радиус эквивалентных притуп-
притуплённых цилиндра или пластины, вызывающих при х-^оо ту же ударную вол чу.
Форма же начального участка ударной волны i?2(#) при х<ха может быть
пока -произвольной (рис. 11.12).
Такая постановка задачи закономерна, так как ударная волна является
нехарактеристической кривой (см. § 3.2) и задание любсго ее участка аЪ
в сверхзвуковой области полностью определяет течение в треугольнике ъЬсу
ограниченном характеристикой cb и линией тока ас.
Из уравнения расхода следует очевидное равенство-
в! О». Ф) W ^ J Q2<P,
A1 4
1 Интегральный учет процессов в высокоэнтропийном слое и понятие эф-
эффективного коэффициента сопротивления для взрыва эффективной энергии
(см. § 10.3) введено В. В. Луневым («Известия АН СССР, мех. и маш»,
1959, № 4; ПМТФ, 1968, № 5).
2 Первые результаты в этом направлении получены В. В. Сычевым (ПММ,
195Э, № 3). Обзор последующих работ дан в статье О. С. Рыжова и Е. Д *Те-
рентьева («Журнал вычислительной математики и математической физики»,
197,1, №¦ 2).
270

где Qif/7. Ф)—распределение плотности по массе W/Uoo при взрыве, а
¦ф) ?Др', i|)) — распределение плотности и скорости в реальном стационар-
стационарном течении с ударной волной Rz(x). Рассмотрим сечение хс^>ха столь уда-
удаленное, что рс<.ра- Тогда ниже точки с плотность р < ра(р/раIп будет столь
мала, что давление будет постоянным (таким же, как и при взрыве,
ч/° ' '), и из A1.4.1) с учетом A1.1.6) получим
Л + v
V W 1,5 у
Рис. 11.12
Рис. 11.13
Здесь Si(xF) и s2('vF) — распределения энтропии по функциям тока в сравни-
сравниваемых течениях. Пусть теперь ударная волна всюду совпадает со взрывной.
В этом случае
Полагая в A1.4.2) U=^U^
чине y/(y—-I)<7v)i получим
2 \i/i+v
1_
= ТТ?Д ' -V-д 2
и "Ф*а—'оо (интеграл при этом будет равен вели-
rw
—V — = /7 x2^TC+v) r<w = ь
.0x1 r0 " ' ' R
n \X V / 2
a = —
= тг- ОЬ4.4)
- Y + l1 . . ,
функции q^,a^,bv показаны на рис. 11.13. Форма тела rw(x) изменяется п>
тому же закону, что и толш;ина высоко энтропийного слоя, а при у -*¦ 1 име-
имеем &v-> 1 и rw-±R, как и для траектории частиц при сильном взрыве.
Нссовая часть искомого тела остается при этом неизвестной (для ее оп-
определения нужно решать более сложную задачу Коши, в частности, в дозву-
дозвуковой ооласти за отошедшей ударной волной), но некоторые представления
ня п?и^°Жл° ПОлУчить просто. Радиус кривизны «взрывной» ударной волны
на оси /<о—О при v=0, и j г *- j r
*2
~5~« 0,2-5-0,5 при v= I, y== 1,1 -т- 1,67, сх =
271

причем Ro—"О при у-*\. В осесимметричном случае радиус сферического нос-
носка п< Ro, псэтому сопротивление его (пропорциональное г1) в несколько раз-
меньше, чем у сопоставляемого цилиндра радиусом г0, т. е. значительная
часть сопротивления искомого тела поставляется боковой поверхностью. Это
-2G-1) A + v)
сопротивление Х-+Хо при х—уоо, но разность Xo—X^Xoxl T C+v> убы-
C+v> убывает медленно.
При х -> с» относительная толщина тела rwJR-+O, и онс становится похо-
похожим на притуплённые цилиндр или пластину. Взрывная аналогия при этом
точно описывает течение около них (кроме распределения энтропии в высоко-
энтропийном слое), в чем и -состоит ее асимптотический смысл применительно
к обратной задаче. Асимптотика эта, однако, достигается медленно. Так, от-
отношению rwjR<0,\ соответствуют огромные расстояния l Xi>10n, где п = 7~-20
для v = l и л=15к-1Б для v = 0 при Y^M-blJ. Из приведенных на рис.
11.4—11.10 данных следует, что «взрывная» асимптотика применительно к пря-
прямой задаче обтекания притуплённых пластины и цилиндра устанавливается
значительно быстрей.
Таким образом, рассмотренная сбратная задача имеет в сущности лишь
косвенное отношение к прямой задаче обтекания притуплённых пластины или
цилиндра, а полученное при этом тело мало на них похоже.
В прямой задаче 'описанный вытесняющий эффект высокоэнтропийного
слоя должен иметь тот же порядок rw,IR~pD—i)/T(i+v), причем больший, чем
эффект перетекания Е^рШ—D/T, и казалось бы на величину такого порядка
должна быть подправлена взрывная ударная волна в прямой задаче (напои-
мер, rwjR ж 0,7-Я),4 при х^ 10-М 00 даже при у =1,4). Однако в действитель- ,
ности этого не происходит. Мы видели выше, что взрывная аналогия (со сдви-
сдвигом координат и с учетом эффекта перетекания) описывает течение около при-
притуплённых тел и без учета эффекта вытеснения. Этот эффект мал в основном
потому, что форма ударной волны в окрестности тупого носка (как и форма
носков) значительно отличается от соответствующей взрывной.
В принципе возможна такая форма передней части ударной волны Rz{x),
при которой формула A1.4.2) дает /•«,={), а взрывная аналогия для цилиндра
или пластины с таким специальным носком дает близкую к точным ударнус
волну и давление, что, видимо, и имеет место в действительности.
Причина такого удачного стечения обстоятельств заключается в следую-
следующем. Объем V совершенного газа определяется лишь его давлением р (пусть
постоянным) и потенциальной энергией ?Х°)=/?1//(т—1) и совсем не зависит от
распределения энтропии (плотности). Следовательно, в силу специфики тече-
течения при взрыве или около притуплённых пластины и цилиндра (почти посто-
постоянное давление между телом и ударной волной и близость энергии Я@) к пол-
полной Ь, § 10.2 и 10.3) уравнение энергии уже задает вполне достоверную связь
между давлением и объемом jtv (/?1+v—^o1+v) возмущенной области, включая
и высоко энтропийный слой (другую связь дает уравнение импульсов). В этом
мы уже убедились, с успехом применив простейший интегральный метод к ре-
решению задачи о взрыве в § 10.3.
Поэтому в рамках взрывной аналогии нет особой необходимости в спе-
специальном учете эффекта вытеснения ¦высокоэнтропийного слоя и при построе-
построении дальнейшей теории обтекания тонких притуплённых тел для получения
простых и эффективных результатов будем исходить по-прежнему из инте-
интегральных представлений о влиянии носка, сформулированных в § 11.1.
1 Например, длина такого тела с го=\0 см сравнима с толщиной зем*
ней атмосферы и даже с расстоянием до Луны.
272

& 11.5. Закон подобия обтекания тонких притуплённых тел
с геометрически подобной боковой поверхностью х
В § П.2 на основе взрывной аналогии установлен закон по-
подобия гиперз!вуко.вого обтекания притуплённых пластины и ци-
цилиндра. Ниже обобщим его на притуплённые тела с геометриче-
геометрически подобными кусочно-гладкими боковыми поверхностями
r' = r/xL) (И.5. 1
и сделаем попытку применить его ко всем течениям в целом, в
том числе и на высокоэнтропийный слой.
Одинаковый для всех тел параметр т включен в A1.5.1) для
указания порядков величин и чтобы подчеркнуть те трудности,
которые препятствуют получению закона подобия для аффинно-
подобных тел. Будем полагать
так как лишь при этих условиях область влияния притупления
достаточно велика.
Методически будем следовать тем же путем, что и при выво-
выводе общего закона подобия (см. § 4.2) или закона подобия обте-
обтекания тонких заостренных тел (см. гл. 8), поэтому подробно
остановимся лишь на новых элементах, связанных с учетом
.влияния притупления.
Перейдем к тем же безразмерным переменным, что и в гл. 8
A1.5.2)
При этом в уравнениях движения как в ударном, так и в
высокоэнтропийном слоях не появятся безразмерные опреде-
определяющие параметры, кроме уравнения продольного количества
движения, или уравнения Бернулли:
а' = 1 —1/1 — 2 (А' — h'J t2 — vf2x2. A1.5.3a)
В ударном слое, где справедлив закон плоских сечений, как и
для заостренных тел, следует положить и'ж\. В высокоэнтро-
лийном слое это уравнение запишем в виде (см. § 11.3):
A1.5.36)
Г Г ц1ерВЫе р/,ео31УЛЬ1аты по теоРии подобия обтекания таких тел получены
—-—-Гйното слоя и ЧеНГ0М (JAUS' 1959' № 9Ь асУчетом влияния высоко-
) uj iViyjyP^ 1966, JVs 4)
273

Соотношения на внутренних скачках уплотнения rs(x), как и на
поверхности тела (v = utgb), при переходе к переменным
A1.5.2) не изменяют вида.
Соотношения же на головном скачке уплотнения около боко-
боковой поверхности тела вследствие условия u'zzl в ударном слое
приведут (для совершенного газа в набегающем потоке) к па-
параметрам у и Moot, как и для заостренных тел.
Сформулируем теперь граничные условия в начальном пере-
переходном сечении х' = 0 между тупым носком и боковой поверх-
поверхностью. Точный учет этих условий приведет, по существу, к
общему закону ладо бия (см. гл. 4). Поэтому для ослабления
требований в соответствии с общей постановкой задачи § 11.1
удовлетворим при х' = 0 лишь интегральным уравнениям коли-
количества движения в проекции на оси х\ /, которые в перемен-
переменных A1,5.2) примут вид
х>->о И т2 Q'
im \ Q'a'v'r'*dr' = lx-B^)(lo_y+v=/o/(t; A1.5.4)
Физический смысл параметров К> I пояснен в § 11.1.
Но эти условия не обеспечивают еще подобия течений.в вы-
высокоэнтропийном слое или хотя бы подобия его границы г' (х').
Дело в том, что все уравнения, определяющие распределение
термодинамических параметров газа, записаны вдоль линий то-
тока, и начальные условия для них заданы на ударной волне в
окрестности притупления, форма которой (в отличие от скачка
уплотнения около боковой поверхности) должна быть в нашей
постановке известна заранее.
Соотношения на этой ударной волне при Moo^l имеют вид
(см. § 2.3)
A1.5.5)
где а — угол наклона ударной волны в точке пересечения ее
линией тока яр = const.
Пусть газ в высокоэнтропийном слое будет или совершен-
совершенным или равновесным с постоянным вдоль линии тока (для
274

качественных лишь оценок) эффективным показателем адиаба-
адиабаты Y*E) (§ 1'9У ТогЛа ^^(Y*— 0/(y*+1) и согласно формуле
/11.1.6) для изоэнтропических вдоль линий тока течений будем
иметь соотношения (которые при наличии внутренних скачков
будут определять 'параметры перед ними):
-'— Q — (V* + *) / ? ^"/T*c-i/T»r-'2(T*-i)/T*n/i/T*:
A1.5.6)
h' = А « — sVT^T»-!)/^ n'(T*-D/T*
О гг2 9
^ оо ^
Чтобы получить условие подобия распределения параметров
в высокоэнтропийном слое, выпишем уравнение для линий тока
w
_*5L, qr=jtl. A1.5.7)
о °
При Чг=ЧГз имеем г' = г'ь. Здесь в форме тела A1.5.1) пренеб-
пренебрегли величиной ro/Z/t, что можно сделать, если размер возму-
возмущенной области r~R^>r0 (как обусловлено в § 11.1).
Если р'~ 1, то q'~t2/t» <Cl при s~l в высокоэнтропийном
слое. В ударном слое имеем
Поэтому погрешность в определении границы ^?ь порядка
^4^5 слабо повлияет на форму границы высокоэнтропийного
слоя Го (х'). Более того, при т->0 можно полагать 4^*6—^оо (как
это было сделано в § 11.3).
Из полученных соотношений следует, что обязательным ус-
условием подобия течений в высокоэнтропийном слое должно
быть совпадение функций sDя), которые зависят от формы нос-
носка. Но эта зависимость (как показано в § 5.5) не столь велика
по сравнению с качественным многообразием этих форм, поэто-
поэтому будем предполагать в дальнейшем функцию 5 Dя) универ-
универсальной, не зависящей от формы носка (на форму границы
Г5 (*') это Допущение отразится меньше, так как функция sDr)
входит в A1.5.7) под интегралом).
Начальный импульс /0 асимптотически при т->0 исчезает из
ура;внен.ия A1.5.4) в области /(~1. Для тел фиксированной
длины L влияние /0 согласно A1.1.3) тем меньше, чем больше т.
¦Учитывая еще сравнительно слабую зависимость /0 от формы
носка (см. § 5.5), впредь также не будем этот параметр при-
принимать во внимание.
Тогда получим следующий закон подобия. При гиперзвуко-
гиперзвуковом обтекании -совершенным газом (случай реального газа
275

рассмотрим позже) тел с одинаковой формой образующей
г'ш{х') и при одинаковых критериях подобия
Y, Moot, ЛГ, т A1.5.8)
зависимости безразмерных величин A1.5.2) от безразмерных пе-
переменных х'у г' будут одинаковыми. Этот закон подобия по срав-
сравнению с общим, полученным в гл. 4, позволяет варьировать фор-
форму носка притуплённого тела в пределах условия
-^- = const, r<°> = ro(-^y+\ A1.5.9)
Легко проследить, что появление х в системе критериев по-
подобия связано с высокоэнтропийным слоем. При /(—^0 толщина
этого слоя согласно A1.5.7) будет пренебрежимо мала. Тогда
оба параметра т и К станут несущественными, и критериями
подобия останутся лишь у и М^т, как и для тонких заострен-
заостренных тел аффинноподобной формы (см. гл. 8).
Параметр Moot введен в систему критериев вместо Моо, что-
чтобы подчеркнуть связь его с ударным слоем. Распределение же
энтропии в высокоэнтропийном слое для совершенного газа не
будет зависеть от числа Моо в силу закона гиперзвуковой ста-
стабилизации, справедливого при Моо^>1 для окрестности носка в
области s~ 1.
Соотношения A1.5.6) ¦— A1.5.7) подсказывают возможность
подобия течений и для тел с различной относительной толщи-
толщиной. Для этого в высокоэнтропийном слое вместо р' и h! в си-
системе безразмерных величин A1.5.2) следует ввести q'o и Aq. Тог-
Тогда согласно A1.5.6) и A1.5.7) получим, что дополнительным
условием подобия, сохраняющим относительную толщину вы-
высокоэнтропийного слоя, будет T2n*-i)/7*= const, что возможна
лишь при y*—*1 или в фиксированном диапазоне изменения т.
Подобия профилей плотности во всей возмущенной области при
этом получить не удается. Кроме того, этот закон подобия не
приемлем для тел с изломом образующей. В самом деле, при
повороте стенки на малый угол А0 по линейной теории получим
Др/р'^МоДО у где число Маха на стенке Мо~^'т~(т*~1)/Т*. На за-
заостренном теле или в ударном слое М^т и прирост
давления Др//?~Д0/т подчиняется закону подобия.
Как и взрывная аналогия, полученный закон подобия име-
имеет точный, асимптотический характер при Ь/г0—Я), т-Я). В этом
случае согласно A1.5.7) в области, где К~1 и R~rw~%L, от-
относительная толщина высокоэнтропийного слоя убывает как
t2(T*-i)/T* ? и решающим фактором его влияния будет лишь энер-
энергия (продольное количество движения), переданная им ударно-
ударному слою в начальной области течения. Но это убывание из-за
малости y*—1 происходит слишком медленно (для сравнения
276

Го/ С — 1), чтобы можно было рассчитывать на бы-
быстрое проявление асимптотических свойств. Можно было бы
причислить к критериям подобия еще функции 5D^) и парамет-
параметры /от, однако распоряжаться этими критериями практически
нет возможности. Поэтому мы пренебрегли ими, включив их
действительное, незначительное (как показано выше) влияние в
погрешность закона подобия, предпочитая сохранить прибли-
О
Рис. 11.14. Распределение давления и ударные волны на
конусах с ломаной образуюшей и с притуплениями в ви-
виде сферических сегментов (М=оо, у=1,4):
7—со = 80о, сх = 0,9, ro/L = 0,26, 0! = 10°, е2 = 83 = 20°;
2 -(о =50°, сх = 1,23, Го/А-0,22, [0х = 10°, 82 = 63 = 20°;
3 — ш = 80°, 9i = 10°, Оа = 20°, 83 = 0°; XXX— <о = 50°,
= 10°,
= 20°, 0Э
= 0,065,
0°; 4- со =85°
1 -5°, е2-бз = 1
= 0,8
женный характер теории, но с более широкой областью приме-
применимости.
В подтверждение закона подобия на рис. 11.14 приведены
кривые распределения давления и формы ударных волн для
притуплённых конусов с коническими щитками. Эти кривые
близки между собой для тел с одинаковыми т, а для тел с раз-
разными т величины давления заметно отличаются.
Обобщим теперь закон подобия для реального газа. Из ана-
анализа течения в ударном слое получим, что для подобия течений
должны совпадать те же параметры, что и для заостренных тел
(см. § Ь.Ь) с добавлением параметра К:
» ^ооТ, /Zoo, Qoo, <7„оо, К. ( 11.5. Ю)
277

Здесь набор параметров qn характеризует состояние и состав
газа.
В окрестности носка на ударной волне значения величин qs,
qns, как и функция sD0, зависят от тех же критериев подобия,
что и течение около тупого тела, т. е. от Qoo, ?/«>, Qnoo,
hoo, г0, а течение в высокоэнтропийном слое зависит еще от па-
параметра т, который добавится к системе условий A1.5.10).
При этом для неравновесных течений нужно еще дополни-
дополнительно предположить, что изменение г0 с условием г<°) = const
не отразится на распределении параметров в переходном сече-
сечении х' = 0.
Равновесные течения не зависят от размеров L или г0.
В принципе здесь возможно моделирование течений одного га-
газа другим, если в сравниваемых течениях эффективный показа-
показатель адиабаты в уравнении состоянии p/qA=(y*—1)/y* будет
одинаково зависеть от p/poof^i, hjU2^. Однако для заданного га-
газа это практически возможно (как и в гл. 4 и 8) лишь при оди-
одинаковых Qoo и ?/«>.
Закон бинарного подобия для тонких притуплённых тел тре-
требует некоторых пояснений. Трудность заключается в существо-
существовании околоравновесной зоны в окрестности критической точки
тупого тела (см. § 6.6). В этой зоне, как и на проходящих через
нее линиях тока, бинарное подобие не имеет места. Однако если
эта зона мала, то влияние ее будет локализовано лишь в узком
пристеночном слое и не отразится на течении в целом. Посколь-
Поскольку основные физико-химические процессы происходят в окрест-
окрестности носка, то именно его размер и следует ввести в параметр
бинарного подобия, а таким размером может быть величина г<°>
(с учетом сделанных выше замечаний). Тогда для заданного
газа в системе A1.5.10) вместо двух параметров q<x> и L полу-
получим ОДИН Qoc/@).
Иллюстрации закона бинарного подобия для притуплённого
конуса приведены на рис. 4.3.
§ 11.6. Интегральный учет влияния реальных свойств газа
в высокоэнтропийном слое
Слишком жесткие условия подобия течений реального газа
(полученные в § 11.5) можно ослабить путем интегрального уче-
учета влияния реальных процессов в высокоэнтропийном слое на
течение в целом1 (как это делалось в § 11.2 и 11.3 и в гл. 10
для сильного «взрыва), что позволит применить закон подобия
к телам с аффинноподобной формой боковой поверхности, но
1 А. А. Никольский (ИЖ* 1961, №¦ 3) использовал такой подход для уче-
учета влияния излучения газа в окрестности носка на обтекание тонкого притуп-
притуплённого тела; в этом случае из эффективней энергии Е% [справа в A1.6.1)]
следует вычесть энергию, излученную в окрестности носка.
278

лишь небольшой кривизны. Поскольку реальные свойства прояв-
проявляются прежде всего в высокоэнтропийном слое, а в ударном
слое при умеренно гиперзвукавых скоростях полета в атмосфере
(например, при нормальной к скачку скорости [/ооТ<2000 м/с)
газ почти совершенный, рассмотрим именно этот случай.
Представим уравнение состояния в квазисовершенной фор-
форме plQh=(y—l)/(yZ), где у — показатель адиабаты в набегаю-
набегающем потоке (см. 1.9). Для газа в равновесном состоянии функ-
функция Z=Z{p, h). В неравновесном течении функция Z будет за-
зависеть еще и от других параметров, характеризующих состав и
состояние смеси. Используя те же преобразования, что и в
§ 10.3, в уравнении энергии A1.3.9) заменим е на /?/q(y—1), а
эффективную энергию (эффективный коэффициент сопротивле-
сопротивления) на
A1.6.1)
Слагаемое Ei учитывает влияние перетекания A1.3.10), а Е2—
влияние реальных свойств газа в высокоэнтропийном слое. Ин-
Интегрирование выполнено лишь по высокоэнтропийному слою, так
как вне его Z= 1.
Эти величины вместе с функцией s(W) слабо зависят от фор-
формы носка. Для равновесного течения в высокоэнтропийном слое
функции ?*1~/?2(т*~~1)/т*и E2~pd*~l)i* слабо зависят от давления.
В неравновесном течении газ в высокоэнтропийном слое путем
быстрого расширения и охлаждения, как правило, «заморажи-
«замораживается» относительно состава и состояния в окрестности носка
на большие (в десятки и сотни радиусов носка) расстояния.
При этом Ei и Е2 также зависят лишь от давления. Поэтому
величина с^/сх будет практически постоянной для тел со срав-
сравнительно небольшим изменением давления (притуплённые клин
и конус), что подтверждается рис. 11.15 и 11.16, где для осе-
симметричных равновесных и неравновесных течений воздуха
показано отношение с*/сх. В области действия закона бинарно-
бинарного «подобия для сферических затуплений справедлива аппоокси-
мация1
*
-f?-= l — 0,09@,16^/2 — \)nllQ
сх >
A1.6.2)
[^оо]=КМ/С, [Qoo] = r/CM3, [ГО]=СМ.
Г- В°Р°нкиным (МЖГ, 1970, №• 1). Эффект заморажива-
полетя Т^4ПР.пГ0 сл™ в/ВОЗДухе имеет м^то при /fel м для высот
прТк?™^ Приго^ОЛ м и Н ^30 км течение около тонких притуп-
притуплённых тел можно считать равновесным.
279

Рис. 11.15. Зависимость эффективного ко-
коэффициента сопротивления для осесиммет-
ричных течений в равновесном воздухе:
Л-Моо =°°» Т = 1.4; 2-Я-ЗО км (р^ =
= 4 км/с; 5-Я-30км,
- 1,8-10~3 г/см»),
f/oe = 5 км/с; 4 — #=60 км (Ооо = 3,4-10~5 'г/см3),
f/oo = 5 км/с; 5—Я = 30 км, f/^ = 7,5 км/с;
б,в — Я =60 км, G^ = 7,5 км/с; 7 — Я=60 км;
^оо = ^ км/с; (/ — 7 — сферический носок;
5 — сегмент о> = 45°)
?1
с*
Юг
Рис. 11.16. Зависимость эффективного
коэффициента сопротивления от па-
параметра бинарного подобия. Сфера*
чесшй нос<ж:
ппроксимация (П. 6. 2); X — Я=8
км; • — Я=60 км; о — Я=40 км;
/— U^ = 5 км/с. 2— U^ = 6,3 км/с,
3 — U^ =7,4 км/с; q^ г0 = л-10~4 г/см*
С ,5
п
280

В отличие от соотношений § 11.5 запишем (исходя из § 8.3)
законы сохранения импульса в виде закона сохранения энергии
и поперечного импульса для неподвижного в пространстве плос-
плоского слоя при пересечении его телом. В переменных A1.5.2)
будем иметь (р0 — давление на теле)
о
х'
?W, A1.6.36)
i / v \2 m i p ,r —rw , к
1 J \vs) ms ] p0 /?1+v-r^ J
GO 0
— \ —"
vs ms
0
Здесь параметр К* равен
кл=— с* f-Co.V+Vc3+^=-^-/c: (и.6.4)
2 х\ L J сх
Отметим одно важное свойство интегральных уравнений
A1.6.3), на которое уже обращалось внимание в § 10.3, при ре-
решении задачи о взрыве. Интегралы /к близки к единице, пос-
поскольку основная масса газа сосредоточена в ударном слое, а
давление в высокоэнтропийном слое для гладких тел постоян-
постоянно (§ 11.3). Поэтому уравнения A1.6.3) можно в грубом при-
приближении считать замкнутыми для определения величин R и р0,
так что эти уравнения уже сами по себе позволяют делать до-
достаточно общие и физически достоверные выводы.
В подтверждение этому на рис. 11.17 приведены решения
этих уравнений для конуса, полученные при различных допол-
дополнительных (не очень существенных) упрощениях1. Как видно,
эти решения согласуются качественно и количественно с точ-
ным.
1 С помощью уравнений A1.6.3) Г. Г. Черный [48] в 1956 г. впервые по-
лучйл распределение давления по конусам и клиньям (кривая /). Эти урав-
уравнения использовались затем рядом исследователей и сыграли известную рель
на раннем этапе развития гиперзвуковой теории обтекания тонких притуплея-
л,Ы^ ТДЛ*л?Р?:??ое 2j S П0ЛУчены в- В. Луневым («Швестия АН СССР», 1953,
№ 4; ПММ, 1962, № 2).
281

Используем эти соображения для получения приближенного
закона подобия. Как уже отмечалось в § 11.5, уравнения движе-
движения и граничные условия на скачке уплотнения в ударном слое
приводят при переходе к безразмерным переменным A1.5.1) —
A1.5.2) лишь к критериям подобия у и Moot. Эти уравнения
имеют однозначное решение при заданной форме ударной вол-
Рис. 11.17. Распределение давления по конусу со сф ери чески1»*
носком Моо = оо, y=1,4, 0 = 10°:
метод интегральных соотношений; точная кривая
ны R'(х') (задача Коши для гиперболических уравнений на не-
нехарактеристической кривой, см. § 3.2 и § 11.4). Для определения
ударной волны в качестве замыкающего условия используем
интегральное уравнение энергии (т. е. продольного импульса)
A1.6.3а), которое учитывает не только влияние начальных при
л: = 0 условий, но и граничное условие на теле через работу рас-
расширения поршня (сопротивление тела). Это уравнение содер-
содержит лишь параметры /С*, у и Moot, так как интегралы /к оди-
одинаковы для подобных в ударном слое течений. Что касается
уравнения A1.6.36), то, если пренебречь в нем величиной /0 (па
причинам, изложенным в § 11.5), оно будет следствием урав-
уравнений движения в ударном слое, так как высокоэнтропийный
слой почти не дает вклада в поперечный импульс газа вследст-
вследствие малой плотности в нем.
Тогда в этом приближении критериями подобия обтекания
тонких притуплённых тел с совершенным газом в ударном слое
будут параметры
Y, Moot, К*. A1.6.5)
282

При совпадении их в сопоставляемых течениях будут совпадать
в переменных A1.5.1) — A1.5.2) формы ударных волн, распре-
распределение давления во всей возмущенной области и других пара-
параметров вне высокоэнтропийного слоя, независимо от процессов
в нем, от формы носка и относительной толщины тела.
В высокоэнтропийном же слое подобия течений не будет.
Поэтому закон подобия справедлив лишь для тел с боковой п>
верхностью, достаточно плавной, в смысле оценок A1.3.6) фор-
формы, для которых давление поперек высокоэнтропийного слоя
можно считать постоянным. В противном случае, например, з
окрестности угловых точек, давление будет зависеть от чисто
местных условий. Таким образом, обтекание тела реальным га-
газом как бы эквивалентно (кроме течения в высокоэнтропийном
слое) обтеканию совершенным газом того же тела, но с другим
носком, имеющим коэффициент сопротивления, равный с*.
Если газ совершенный всюду, то для него Е2~0, а величи-
величина Ei согласно рис. 11.15 при у^ 1,4 пренебрежимо мала. В этом
случае можно считать с* ~^?х, К~К*> т. е. высокоэнтропийный
слой как бы не оказывает влияния на течение в целом.
Сформулированный закон подобия (как и полученный в
§ 11.5) асимптотически точен при т—ИЗ ив области /(~1, когда
относительная толщина высокоэнтропийного слоя, убывая как
Т2(т*—1>/т* становится малой. Но при этом с такой же скоростью
убывает и разность сх—с?/^т2(т*~1)/т*,так что в этом асимптоти-
асимптотическом пределе реальные процессы в высокоэнтропиином слое
просто перестают влиять на течение.
Вводя критерий подобия /С*, мы предполагаем величину с*
постоянной, что можно допустить, если давление сохраняет по-
порядок по длине тела. Но для притуплённых, например, пластины
или цилиндра, где давление при Моо = оо убывает как р~
—'X-2A+v)/C+v)^ можно1 использовать местное значение с*х,как и в
методе эффективной энергии для сильного взрыва (см. § 10.3).
Координаты подобия xt и rt (введенные в § 11.2) следует при
этом заменить на
Л* = Х1 I \ \ Г-= ==Г-1 I 1 ^ , A1.0.0)
1 @) 1 I * I ' 1 /г\\ 11 * I ' v J
В подтверждение полученного закона подобия на рис. 11.18
приведены кривые распределения давления по притуплённому
цилиндру для различных условий обтекания, которые в коорди-
координатах подобия A1.6.6) (со сдвигом координат, как в § 11.2 и
11.3) совпадают с решением для сильного взрыва.
283

Заметим, что в предельном равновесно-замороженном течении, когда газ
в окрестности носка находится в равновесии, а затем замсраживается, доля
связанной энергии физико-химических превращений (а следовательно, и влия-
влияние их) оказывается наибольшей (см. рис. 11.18).
Таким образом, «неравновесное» распределение давления по притуплён-
притуплённым телам не обязательно должно лежать между кривыми для совершенного
и равно-весного газов, и их взаимное расположение может быть любым.
Но поскольку для реальных условий величина Ei невелика, тс при за-
заметном влиянии физико-химических- процессов всегда ?*<?*, т. е. эти про-
процессы уменьшают область влияния притупления.
X оз>
<% —2,3
20
40
60
Рис. .11.18. Давление на цилиндре со сферические
носком при различных режимах обтекания #=60 км,
1/^ = 7 км/с:
а—исходные координаты; б—координаты подобия со сдвигом:
I—равновесно-диссоциирующий воздух (сх*=0,64); 2—равно-
2—равновесно-замороженное течение (сх*=0,34); 3—совершенный газ
(М^ =23, Y=l,4); 4— сильный взрыв с противодавлением
Применим полученный закон подобия к течениям с физико-химическим я
превращениями в ударном слое. Представим внутреннюю энергию газа в виде
r^dr = ,
Pot
-BлУ
e —
C(Y-l)
\r"dr.
A1.6.7)
Тогда в уравнении энергии A1.6.3а) получим тот же параметр К±, что и
раньше. Но последний член в A1.6.7) зависит от структуры ударного слоя так
же, как и для заостренных тел. Поэтому в итоге получим те же критерия
подобия A1.5.10), не с величиной К* вместе К.
§ 11.7. Притуплённые конусы и клинья.
Сравнение гиперзвуковой теории с точными результатами
Проанализируем точность гиперзвуковой теории подобия
(изложенной в § 11.5 и 11.6) и рассмотрим некоторые дополни-,
тельные особенности обтекания тонких притуплённых тел на
284

'^¦"
^' РаспРеДеление давления по притуплённым конусам
в исходных координатах (а) и координатах подобия (б):
^оо^7^ км/с; Q^^l^-lO г/см3, (#=30 км), О—U^=1 ,Ь км/с,
<?оо=3>3'10~ г/см3 (//=60 км); 2,^—^^00 = 00, Т-1,4
285

примере обтекания притуплённых конусов (с половиной угла О
при вершине) путем сравнения с результатами точных числен-
численных расчетов1.
Для конусов и клиньев отсутствует характерный размер L
и за него примем длину тела,
боковая поверхность кото-
которого имеет сопротивление
того же порядка, что и но-
носок, приняв, например, К*= 1
или К=1. Тогда все пара-
параметры течения будут зави-
зависеть от переменных
/'О \ Сх
2 wv tl+v^
Г2 =
A1.7.1)
Рис. 11.2,0. Распределение давления по
притуплённым конусам при различны*
числах Мех, и углах 0:
острый конус; • • р* =
-К.)-1
Для тел с одинаковой от-
относительной толщиной т ис-
используем введенные ранее
переменные A1.6.6), Х\*9
П*, Х\ ИЛИ Х\, Г\.
На рис. 11.19 показаны
типичные распределения
давления и формы ударных
волн для конусов с различными носками, но с одинаковыми
T = tg0. Как видно, закон подобия правильно учитывает влия-
влияние формы носка и значительно сближает исходные кривые.
Число Моо, а точнее параметр Moot, существенно влияет на
величину давления (рис. 11.20). Как нетрудно убедиться, обра-
обработка приведенных кривых давления в виде (р—Poo)lQooU2^, сде-
сделает их соизмеримыми.
На рис. 11.21, 11.22 и 11.23 показаны давления и ударные
волны для конусов и клиньев с различной относительной тол-
толщиной т. Соответствующие кривые в координатах подобия
A1.7.1) образуют узкие пучки, в то время как в исходных ко-
координатах они часто просто несоизмеримы.
1 Большая часть их получена В. Г. Павловым и взята из книги [28]. Ре-
Результаты систематических расчетов обтекания притуплённых тел приведены
в работах [3, 11, 49].
286

На рис. 11.24 — 11.26 показаны профили величин между те-
телом и ударной волной в подобных сечениях для различных ко-
конусов, обтекаемых при различных условиях.
Как видно, профили безразмерных величин A1.5.2) — дав-
Рис. 11.21. Давление и ударные волны для конусов со сферическим
носком Моо = оо, y=1>4:
а—в исходных координатах, t=tg 9; б—в координатах подобия (рк—дав-
(рк—давление на остром конусе)
ление р' и углы наклона линий тока t>' = v[utgQ — близки меж-
между собой всюду, в то время как энтальпии А'—только в удар-
ударном -слое.
Для конусов с одинаковым х (см. рис. 11.24) различие эн-
энтальпий в высокоэнтропийном слое в соответствии с законом
подобия § 11.5 примерно соответствует различию функций s(W)
и не является слишком большим. Для различных т кривые^ hlhw
близки между собой, но лишь ;в небольшой пристеночной об-
области, а в промежуточной области подобия профилей получить
не удается.
При обтекании тел с очень тупым носком может возникнуть
висячий скачок уплотнения, который имеет слабую интенсив-
интенсивность (практически совпадает с линией Маха) и, как следует
из рис. 11.27, не нарушает существенно подобия в распределе-
распределении давления, формах ударных волн и полей течения.
Посмотрим, как влияют реальные свойства газа на обтека-
287

Рис. ilI.22. Давление и ударные волны для
конусов со сферическим носком в координатах
подобия с учетом эффективного коэффициента
сопротивления при одинаковом Mootg9^2,8
(t9)
км/с, 9 = 10°, <?* = 0,82; 2—U0
<?*=0,58
х
км/с,
0,2
\
**—
**—.
в=20°
^
в=15°
Р/Рк """ г0 С)
W
а)
20 0
0,1
0,2
б)
0J
Рис. 11.23. Давление (а я б) и ударные волны (в) для клиньев
с круглым носком цри .№^ = 00, y=1,18:
а—в исходных координатах ( острый клин); б и в—в координатах
подобия (рк—давление на остром клине; %—tgQ )
288

ние тонких притуплённых тел. Из рис. 11.22, 11.26, 11.28 следу-
следует, что эффективный коэффициент сопротивления с* в согласии
с законом подобия § 11.6 правильно учитывает влияние реаль-
реальных процессов газа в высокоэнтропийном слое на распределе-
Рис. 11.24. Профили энтальпии в подобных се-
сечениях для притуплённых конусов с 0—13*° ь
с носками сегментальной формы:
сплошные линии —М.^ —с»
1,4;/—*i =5,47; //—Jd=20; 1—со=80°, ^
0,94;' 2— со
=50°, сх «* 1,23; пунктир — равновесно-диссоциирующий
г/см8, Я=60 км;
сг^0,94; 4—to =45°,
воздух; ^7^ = 7500 м/с; д^^З-Ю
///—jCt —4,7; /V—jk-j —1в,8; 3—а>=
ние давления, формы ударных волн и профили плотности в
ударном слое.
Эффективный показатель адиабаты у*> от которого согласно
§ 11.5 зависит подобие равновесных течений, является слабой
функцией от давления. Отсюда следует, что плотность §<*> срав-
сравнительно слабо влияет на безразмерные параметры обтекания
тел, в чем можно убедиться сравнением соответствующих дан-
данных на рис. 11.19.
В целом физико-химические превращения газа заметно вли-
289

1,0
0,8
0,6
ом
0,2
О
Члд'
\
\ ъ
\
h'=-
0,1 ОМ 0,6 0,8
1,01
1,6 0,8
пб
0,8 ОМ
0,2
О
1
п
и
,_ р
9ооиооЧ2в
ОЛ ОМ 0?6 0,8
А=-
А = ^
rw
Рис. 11.25. Профили величин в подобных сечениях при обтекании ко-
конусов со сферическим носком (Моо=о°, у=\А)'-
j_^2==0,27. 9-10°, Дг/Го-5,6; 2-дг2=0,27, 8=5°, jr/ro=24,2;
5—jr2=-0,86, 6 = 15°, дг/Го-8,2; 4-x2~0,S6, 0=5°, jr/ro=75,4
Рис. 11.26. Профили энтальпии и
плотности в сечениях дг2~О,23 для
условий рис. 11.22
290

0,1 0,2 0,J ОМ 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
л_ r-rw
Рис. 11.27. Обтекание конусов и цшшндрсв с сегментальными
носками при Моо = 6, Yt=l»4:
со=80°, 90°, е^=0,9, о)=30°,
с^=1,5; а—распределение давления; б—
головные ( —) и висячие ( ) скачки
уплотнения: #—о>—90°, 6=0°, О—со =80°,
G = 10°; в—профили давления и энтропийной
функции
= Q (Q°°U<1°
Qoo \ p
нии jf1=9
291

Рис. 11.28. Давление и ударные волны на притуплён-
притуплённом по сфере .конусе с 8=101° в исходных координа-
координатах (а) и координатах подобия (б) с учетом эффек-
эффективного коэффициента сопротивления !7оо=7,5 км/с;
Яф0 t6
равновесное течение <?*~0,61; * •• неравновесное
Го-0,155 м,
«0,52;
. . совершенный газ 7
> 0,9

яют на давление и ударные волны, но гораздо существенней —
на структуру течения, особенно в высокоэнтропийном слое (рис.
11.29, 11.30). Сравнительно консервативный характер распреде-
распределения давления делает возможным применение простого метода
по
ч г
5-WJ
\
\
- \
\
\
/
\
\
ч
0,3
0,2
0,1
1
\ 2
1 У\
¦\\ vT
- v СУ\
\\ \
0,5
0,5
rw
Ряс. 11.29. Профили температуры и концентраций
кислорода со и азота Cn в воздухе на притуплён-
притуплённом конусе 8=10°, ?/оо=7,5 км/с, х/го=2О:
совершенный газ; — —равновесное тече-
течение #=60 км; неравновесное течение го=15 см;
;_я=40 км; 2—#=60 км- 3—Я=80 км
линий тока (см. § 5.3) для расчета физико-химической структу-
структуры высокоэнтропийного слоях.
Приведенные данные показывают, что для притуплённых тел
с одинаковой относительной толщиной х закон подобия (полу-
(полученный в § 11.5) имеет удовлетворительную точность практиче-
практически уже на расстояниях L^r0, хотя здесь совсем не выполняется
условие R^>r0. Это обстоятельство существенно расширяет об-
область применимости закона подобия.
4 *?од?аб'Н0(СТИ метода изложены в работе В. Г. Воронкша (МЖГ,
293

Несколько хуже в этом отношении обстоит дело с законом
подобия для тел аффинноподобной формы, с различной относи-
относительной толщиной. Рассмотрим притуплённые конусы конечной
длины с малыми и различными углами 0. Из рис. 11.31 следует,
что в диапазоне 9^=2,54-20° закон подобия начинает действо-
действовать лишь при х2> 0,2 (этот предел тем меньше, чем меньше
диапазон изменения (в). Обратная зависимость * =
=%гот-2 (cJ2I/з показывает,
что если при 6^ 10-М 5° по-
подобие нарушается лишь в
относительно небольшой
окрестности носка, то при
8 ^5° эта окрестность вели-
велика и составляет уже более
10 го. Это объясняется тем,
Р
\ 1 Мос^ОО
\\ /=
\\ /д=
\\//о=
\Х//о=
2,5°
5°
10°
15°
20°
Рис. 11.30. Распределение темпера-
температуры вдель поверхности конуса
9=7°, Го=О,8 м; ?/оо=7,5 км/с:
1—Я=60 км; 2—Н=40 КМ; 3—Н=30 км;
равновесное течение; — не-
— неравновесное течение
0,08 0,12 0,16 0,2
Рис. 11.3,1. Давление на тонких кону-
конусах вблизи носка в координатах по-
подобия (T=tg9«6)
что на начальном участке боковой поверхности разность rw—
—го</?—г0 и влияние формы тела приводят лишь к малой до-
добавке к давлению на цилиндре или пластине. Как следует из
рис. 11.20, на конусах с 6 < 5° зависимость давления от 0 долго
близка к линейной, выходя на квадратичную лишь на больших
расстояниях от носка. Ударная же волна будет такой же, как и
для цилиндра, на расстояниях в десятки и даже сотни радиу-
радиусов носка.
Рассмотрим другой пример тел, допускающих уменьшение числа крите-
критериев подобия, а именно притупление тела степенной формы rw = r0+c^n. Здесь
L~x, r^cnL71—1 и поэтому можно положить
294

1/@
= cL
/z-1
A1.7.2)
@ = лC + v) — 2.
Пси этом должно быть со>О, так как в противном случае при х -»¦ оо течение
будет следовать той же асимптотике, что и для притуплённых цилиндра
или пластины, что видно из сопоставления с результатами гл. 10.
Остановимся еще на телах вращения с протоком с притуплённой перед-
ней кромкой1 (рис. 11.32). За определяющую примем'ту часть энергии, по-
порожденную притуплённой кромкой, которая попадает во внешнюю область те-
течения
Р __ *¦ р rj2 р /1 i r \2 /j2 Л1 у о\
2 °°
В принципе Eh зависит от про-
пропускной способности канала, что
можно учесть коэффициентом сх.
Переходя в форме тела гю--=
=h 4- г0 4- L%r'w(x') к переменным
A1.5.1), получим дополнительный
х кон
Рис. tt 132
Рис. 11.33. Отношение коэффициенточ
сопротивления конусов со сфериче-
сферическим носком (Сх«0,9) и острых
2e) М \4
вклад носка сх(го/гт)й'>
—• сумма сопротивлений притупле-
усечённого острого конуса, равная
z(rolrw/ ~t~Cjc кон I1~(ro/''<a>) J
по сравнению с предыдущим критерий подобия h/Lx, а комбинируя его с ла-
/ -2 \V2
раметром К* , критерий N = Дтз (" » р ) , который при Л/ = 0-ьоо характе-
ризует^ всю совокупность течений между осесимметричным и плоским телами.
Обратим внимание «а различие характера кривых распределения давле-
ния на притуплённых конусах и клиньях (рис 11.21—11.23): первые имеют за-
Обтекание тел с протоком с острой кромкой в гиперзвуковом прибли-
приближении рассмотрел Г. Г. Черный [48]. Влияние притупления кромки рассмот-
рассмотрено ь. а. <3емляжжим, который, помимо этого указал на аналогию обтека-
обтекания таких тел с пространственным обтеканием наветренной образующей ту-
тупого конуса с плоским передним срезом (МЖГ, 1969 № 5 и 1970 № 3)
295

метный минимум и вообще волнообразный характер, а вторые при 0<15°
практически плавно снижаются до значений для острого клина. Толщина удар-
ударного слоя на клине больше, чем на конусе, высокоэнтропийный слой на клине
в пределе при xjro *oo имеет постоянную толщину, тогда как «а конусе
вследствие растекания эта толщина убывает как ro/rw.
Остановимся на коэффициентах сопротивления тонких при-
притуплённых тел. Следуя общему закону подобия, коэффициент
сопротивления притуплённого тела можно представить в виде
Р *> dx>
О
г' с /Т2 с U7 ~~ Роо> -i-rfr' (ХГ\ И1 7 4Л
ср — Lpl1 > ср— гг2 » rw — го \J>J^rw\л )• ^ii./.t;
^оо оо
Первый член дает вклад носка, второй — боковой поверхности,
первый зависит от К, второй от /(*, поэтому при ro/tL<Cl отно-
отношение cxjx2 для тел заданной формы гг/(х') зависит лишь от
критериев подобия
Y, Мтет, К „К. A1.7.5)
Однако с практической точки зрения отбрасывание члена
rofxL в формуле A1.7.4) для сопротивления вносит заметные
ошибки вплоть до больших расстояний носка (рис. 11.33), по-
поэтому непосредственное использование зависимостей типа
A1.7.4) нежелательно (более точный способ корреляции пред-
предложен1 в § 12.2).
Из рис. 11.33 следует, что сопротивление притуплённого ко-
конуса заметно меньше, чем сумма сопротивлений притупления и
усеченного острого конуса, но всегда больше последнего.
Глава 12
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО ПРИТУПЛЁННЫХ ТЕЛ
§ 12.1. Особенности пространственного обтекания
тонких притуплённых тел
Рассмотрим некоторые особенности гиперзвукового обтека-
обтекания затупленных тонких тел с одинаковым поперечным разме-
размером во всех направлениях, например, тел вращения с малой от-
относительной толщиной т<С1, обтекаемых под небольшим углом
атаки a<Cl. Используем цилиндрическую систему координат
х, г, ф с осью х, связанной с телом (ось симметрии, например),
наклоненной под углом а к вектору [/оо, с составляющими ско-
скорости Woo, t^oo, Woo соответственно (рис. 12.1, а).
Новым, по сравнению с двумерными течениями, рассмотрен-
рассмотренными в гл. 11, является здесь вопрос об окружном распределе-
распределении давления. Наиболее просто обтекание таких тел схематизи-
схематизируется в рамках нестационарной аналогии как сильный взрыв
296

(с энергией, равной работе притупления) с последующим рас-
расширением поршня по закону r^(t, cp) и смещением его со ско-
скоростью f/oosin а.
Поскольку при сильном взрыве ударная волна R~V *, то
при малых t=x/Uoo тело rw~t занимает лишь малую централь-
центральную область с почти нулевой плотностью и очень большой ско-
скоростью распространения возмущений \ откуда и следует, что
окружной перепад давлений Ар/ржО.
х=0\
а
Рис. 12.1. Сравнительная тслщина тела, ударного
(заштрихован) и высокоэнтропийного слоев. Харак-
Характер распространения возмущений в высокоэнтропий-
высокоэнтропийном слсе для притуплённого конуса @=10р, Моо =
Y=I,4, a0)
Но в высокоэнтропийном слое плотность газа и скорость зву-
звука конечны и имеют вместе с числом Маха Мо порядки
a0
A2.1.1)
Обычно на поверхности тела qo> p<x>/4 при р> OfilQooU^ и
a0<0,35f/oo, Мо:Г2,5 при р <*0,lQoof/i. Поэтому нет препятствий
для конечного окружного перепада давлений, который опреде-
определяется взаимодействием высокоэнтропийного и ударного слоев
1 Такую модель течения наиболее последовательно использовал М. Д. Ла-
Ладыженский [24]. В частности, на основе этой модели он сформулировал пра-
правило площадей, описанное в § 12 2.
Приведенная схема дана в статье В. В. Лунева, Б. А. Землянсксго и
К. М. Магомедова (МЖГ, I960, № 3).
11
2382
297

и не может быть оценен только из уравнения количества дви-
движения
!^ = и <^__lv j^Lл JL ^L\J^L= L. J??. fi2 1 2)
dt dx dr r df r Qr d<p
так как порядок окружной скорости w в высокоэнтропийном
слое (равной нулю на плоскости симметрии) заранее неизвестен,
а определяется через др[ду и ограничен сверху, по уравнению
Бернулли, лишь максимальной скоростью ]/2Н«{/«,. Но пос-
поскольку скорость звука в высокоэнтропийном слое конечна, но
все же много больше, чем в ударном (aQ^Uoox1{'i~'l)n'>as^Uoot1,)
следует проанализировать условия распространения возмуще-
возмущений в окружном направлении, что сделаем для круглого конуса
при а^О. Из рис. 12.1 следует, что уже в начальном сечении
х=0 толщина возмущенного слоя между телом и ударной вол-
волной, в отличие от схемы «взрыв — поршень», почти вдвое мень-
меньше размера тела, а тем более, его периметра1 (обычно
(R—/о)/Г()~0,2-г-0,6 при у< 1,4). Пометим некоторые средние
значения параметров течениям высокоэнтропийном слое с толщи-
толщиной б индексом «О». Тогда из условия сохранения расхода че-
через него, полагая r^rw, a p^Qoot/ie2, получим @ — полуугол
при вершине конуса)
(коэффициент ij/^l для ^простоты примем г|/ = у^°°/^о).
Распространение возмущений в окружном направлении опре-
определяется (при г^ = 0) уравнением
4L=M°r*' = M°(r° + e-*)- A2. 1.4)
Интегрируя его в пределах ф = 0ч-2я, найдем длину I, на кото-
которой это возмущение вернется <в исходную меридиональную плос-
плоскость, отразившись от противоположной:
). A2. 1.5)
Это возмущение дважды пересечет высокоэнтропийный слой на
расстоянии Дя«2Моб, поэтому с помощью A2.1.3) и A2.1.4),
предполагая, что число п таких пересечений на расстоянии /
велико, получим
f ^L^-L М06 "wl ~ Г° ^-^М06ехр DяМ06- 1).
1 Это согласуется качественно со схемой свободного слоя на тупом теле
(см. § 5.5 и § 11.2).
298

Рис. 12.2
«_?
\ /х'-О
0,2
0,1 -
ч ^00 л/ п ^\\JS
JV/2
7t if
Рис. 12.3. Окружное распределение дав-
давления по тонким притуплённым кону-
конусам при малых углах атаки:
6=0°; 8=2,5°; • • 8=5°-
11*
299

Величины п и с/г0 показаны на рис. 12.2. Как видно, уже при
6 > 4° многократное отражение возмущений, а следовательно, и
выравнивание давления, происходит значительно быстрей в ра-
радиальном направлении, чем в окружном. Более того, учет ок-
окружной скорости в уравнении A2.1.4) лишь увеличит длину /
и даже при наличии местных зон с w>a может сделать невоз-
невозможным возврат отраженных возмущений. Поэтому окружной
Рис. 12.4. Распределение давления на наветренной
образующей (ф=0) притуплённых конусов и ци-
дандра:
9 = 0°, а=5°; 8=2,5°, а=2,5°; X X Х-9 = 5°,
а=0°; • 6=0°, а=0
перепад давлений может существовать и существует даже для
очень тонких тел (рис. 12.3 и 12.4). Как видно, окружное рас-
распространение давления существенно зависит от местного угла
наклона поверхности.
В то же время для следа за тупым телом, когда ничто не
препятствует свободному распространению возмущений, давле-
давление в высокоэнтропийном слое выравнивается быстрее, а удар-
ударная волна за несимметричным телом становится осесимметрич-
ной (рис. 12.5).
Основная схема течения около тонкого притуплённого тела с
относительно малым размером носка (го<^Ь), приведенная в
§ 11.1, сводится к замене влияния притупления его силовым
воздействием с учетом начального распределения энтропии по
линиям тока. Из изложенного выше следует, что рациональная
схема пространственных течений около тонких притуплённых
тел должна учитывать меридиональное распределение силово-
силового воздействия притупления, определенного законами сохране-
300

ставим в виде
ft;
im 2
A2. 1. 6)
llmf—
12.5. Форма ударной .волны за пряиоу^^й
.,—а с тонкой державкой в двух пьрпендяку
лярных плоскостях
Величины Х?> Y9, W4 учитывают не только влияние
теле но и окружной перенос импульса и массы в р
носка за счет скорости w. Полная сила сопротивления носка с
учетом баланса расхода равна
О г0
где сх — коэффициент сопротивления, a So
носка.
площадь миделя
301

В сущности, следует задать еще распределение расхода
R
A $>v{y\ A2. 1.8)
s
2,0
но в связи с тем, что необходимо задать и распределение энт-
энтропии, используем другой подход. Рассмотрим изоэнтропические
поверхности г=г^(х, ф, я|з), проходящие через линии равного на-
наклона ударной волны (или
равной величины -s (гр) =
= sin2a) к набегающему по-
потоку и характеризуемые
расходом я|з. По аналогии
с осесимметричными тече-
течениями запишем расход че-
через элементарную площадку
между близкими изоэнтро-
пическими г = Гф(ф) и мери-
меридиональными ф== const по-
поверхностями в виде
A2.1.9)
Ю
j Qd* = i
90
180 (р°
по-
поРис. 12 6. Форма изоэнтропических
верхностей г^ (ф), ударной волны
для конуса со сферическим шоком при
Мос^00, Y~M> 0=10°, a=5° в сечении
Функция Q(x, ф, г|)) харак-
характеризует окружное распре-
распределение расхода (для осе-
симметрчичных течений Q =
= 1). Для этой функции из
баланса расхода через объ-
объем dxdyrt? dr^ получим урав-
уравнение
дх
Интегрируя A2.1.9) по г|), получим формулу
. l.ii)
которая является аналогом формулы A1.5.7). (Для примера на
рис. 12.6 показаны формы таких поверхностей для конуса). Оче-
Очевидно, на большом удалении от носка начальная (при х = 0}
форма поверхности Гф(ср) не играет роли, а «важно лишь мери-
меридиональное распределение массы и энтропии по ней. Поэтому
следует задать две функции s(ty) и Q0(tp, ^)=Q@, <p, ф).
Эти условия отражают общую и наиболее сложную ситуа-
ситуацию. В § 12.2 покажем, что для носка в виде тела вращения
302

под углом атаки задание окружного распределения начальных
данных не требуется. Для следа за телом с двумя плоскостями
симметрии (как на рис. 12.5) достаточно задать лишь сопротив-
сопротивление тела X. В общем же случае требуется задавать и попе-
поперечную силу1 У.
§ 12.2. Закон подобия для тонких притуплённых тел
<• осесимметричным носком. Правило
местных притуплённых конусов
Получим закон подобия для геометрически подобных тел
(см. § 11.5)
rw = r0+xLr'w(x',<t), xf=xlL A2.2. 1)
(с одинаковой относительной толщиной т), отличающихся лишь
формой симметричного относительно оси х носка с радиусом
миделя г0. Пусть носок обтекается под небольшим углом атаки
а. Поскольку угол наклона поверх-
поверхности носка 6~1, а а<С1, то можно •
воспользоваться разложениями //
A2.2.2)
Но влияние угла атаки на тече-
ние около боковой поверхности мо- Рис ^ ф й волны
жет быть значительным. Например, при обтекании плоского диска
для тел вращения /7^F+ при М«>«6:
+ CZCOS q)JQ<x>Uсо, ПОЭТОМУ ЭТО ВЛИЯ- а—в системе координат, связанной
ние имеет порядок а/т значительно
больший, чем порядок а добавок
в распределениях A2.2.2). Следо-
Следовательно, этими добавками можно пренебречь и характеризовать
силовое воздействие носка на течение сопротивлением Хо и ра-
радиальным импульсом Уо (на единицу меридионального угла)
при а = 0.
При малых а на ударной волне вблизи носка функция 5 (яр)
с точностью до величины порядка а совпадает с s(t|>) для осе-
симметричных течений2. Практически же три малых углах ата-
1 Для плоского профиля такая задача решена О. С. Рыжовым и
В. Д. Терентьевым (ПЛМ, № 1, 1974).
2 При пространственном обтекании тупых тел энтропия на теле может и
не быть максимальной, соответствующей прямому скачку, а производная ее
o's/cty -+ оо, на что указано Э. Г. Шифриным (ПММ, 1967, № 4) и М. Д. Ла-
Ладыженским [24]. Однако следует ожидать, что этот эффект будет локальным
и не отразится на течении в целом.
Qo=
с телом; б—в поточной системе ко-
координат;
10°
303

ки (а< 10°) ударная волна вблизи носка в поточной системеко-
ординат остается, по существу, осесимметричной (для сферы
это точно, для круглого диска показано на рис. 12.7).
Окружная составляющая количества движения, вошедшая в
ударный слой в меридиональном угле Дер, равна
W'(?ky=—Q00UoowcoR2k<?, (^oo^at/oosin cp).
Поскольку в окрестности носка R~ro, то W^W? ~ (R/r0J, так
что вдали от носка, где R/rQ^>\, влиянием начального импульса
W<p будем пренебрегать.
Более того, предполагая течение в поточной системе коорди-
координат осесимметричным вместе с ударной волной, в связанной си-
системе координат будем иметь до «сш sin ср. Подставляя эту фор-
формулу в A2.1.6) и учитывая, что Ф? —чх, получим приближенную
зависимость
\Y/ (Л \ R
—~^\ Qti{(Joo-ti)rdr= Х° + Х , \ХМ = 2я[ prdr. A2.2.3)
asin<p J 2л J
Поскольку qu(Uoo—u)~Qhttypl(y—1), то интеграл ХA) состав-
составляет лишь небольшую долю от Xq, и с некоторым приближением
его опустим, выразив тем самым импульс W9 лишь через соп-
сопротивление Xq.
Как и в § 11.5, пренебрежем зависимостью параметра Д> =
= УоДо ,и функции s(W) от формы носка, после чего единствен-
единственной характеристикой последнего в нашей постановке останется
лишь его сопротивление Х$ при а = 0. Тогда, дополнив набор
безразмерных 'переменных A1.5.2) величиной w/=w/xUoo, при>
дем к следующим критериям подобия обтекания геометрически
подобных тел, 'которые выпишем для совершенного газа:
К = -^- -^-т2, M^t, a/t, y, t. A2.2.4)
2 I
В частности, для притуплённых конусов получим те же пе-
переменные подобия Xi= (x/ro)^2/cx и Г1='(г/го)У2/сх.
Реальные свойства газа также не добавляют новых крите-
критериев подобия по сравнению с полученными в § 11.5.
Об удовлетворительной точности полученного закона подобия
в том числе и для параметров течения в высокоэнтропийном
слое свидетельствуют данные рис. 12.8, 12.9 и 12.10.
Закон подобия асимптотически точен при условиях
К = const, T-—0, a-*0, a/t=const. A2.2.5)
Так как в этом случае относительная толщина высокоэнтропий-
высокоэнтропийного слоя будет убывать вместе с (t+«J(T*"~1)/T*> T0 вместе с ней
304

исчезнет из системы критериев подобия A2.2.4) и параметр т,
т. е. закон подобия в асимптотическом пределе A2.2.5) будет
справедлив и для тел различной относительной толщины (но
достаточно гладких, как /и в § 11.5).
R-ГрлГК
0,02
Рис. 12.8. Давление на теле и ударные волны при об-
обтекании притуплённого конуса с комическим щитком,
5° МЮ y14
;; сферический носок сх «=0,9;
эллипсоид с =1,26
/—<р=0; 2—ср=тс/2; 3—<р=
* * *
Заксн подобия требует геометрического подобия боковых поверхностей
тел r'w (x\ ф). В ряде случаев это требование можно ослабить, прибегнув
к правилу площадей, которое следует из схемы «взрыв — поршень» (см.
§ 12.1). В самом деле, при осесимметричной (при а=0, например) ударной
волне и постоянном давлении р поперек ©ысокоэнтропийного слоя, котором
глубоко (далеко от границы гь(х)) погружено тело с площадью поперечного
сечения S(x), внутренняя энергия газа и работа расширения поршня равны
2Л
s
pQdS.
A2.2.6)
305

Следовательно, в уравнение энергии, которое заменяло нам в § 11.6 и на-
начальное (при х=0), и граничное на теле условия, форма тела войдет лишь
через S(x). Прибегая к закону подобия обтекания тел вращения, получим: все
тела с одинаковым законом изменения безразмерной площади <Si(#i) =
=2Sjncxr\ будут индуцировать одинаковые давления po(*i) и ударные вол-
волны Ri{Xi).
Рис. 12.9. Профили давления, энтальпии и окружной
скорости для условий рис. 12.8 при #1 = 5,75
В § 12.1 было показано, что величина скорости звука в высокоэнтропий-
высокоэнтропийном слое хотя и велика, но все же недостаточна для выравнивания давления
по периметру тела. Тем не менее правило площадей может давать приемлемые
результаты для некоторых классов тел.
Для примера на рис. 12.11 приведены коэффициенты сопротивления Сх
для притуплённых конуса и эквивалентных ему трех- и четырехгранников, ко-
которые в координатах подобия образуют единую кривую 1 (вплоть до длин
примерно равного сопротивления носка и боковой поверхности).
По-видимому, неравномерность в распределении давления мало влияет на
сопротивление тела в соответствии с правилом площадей, доказанным в § 5.4
для тел, близких к осесимметричным. На рис. 12.12 для ряда острых кониче-
1 Эти экспериментальные данные получены В. М. Красовским (Инж. жур-
журнал, 19-55, № ?).
306

ских тел с одинаковой площадью поперечного сечения приведено распределе-
распределение давления *, далекое от постоянного, но тем не менее коэффициент сопро-
сопротивления этих тел различается не более 4%.
Приведем теперь некоторые результаты, имеющие отношение
к обтеканию тел с аффшнолодобной формой образующей. Как
J К КОН
n,wr~
0,08
€,06 $ f
Dfll
/
f-
k
V
\
V
80 120 Hi О (Л°
О
J Xo
Рис. 1.2.10. Окружная скорость
яа поверхности тела для усло-
условий рис. 12.8 и 12.9:
О—сферический носок; X—эллипти-
X—эллиптический носок
Рис. 12.11. Сопротивление различных
притуплённых тел с той же площадью
поперечного сечения, что и у конуса
с 9-5°:
гелий Т«=5/3, Моо = 18, т - tg 5°, ЛГ2~
1 / 2те
«= у -—?- хх*; сх кон— коэффициент сопро-
сопротивления острого конуса с8=50;50, сх~площадь
плоского носка и его коэффициент сопротив-
сопротивления
уже отмечалось, анализ пространственного обтекания притуп-
притуплённых тел сильно усложнен окружным перетеканием газа, ко-
которое перераспределяет массу, энергию, импульс в возмущен-
возмущенной области. Поэтому не будем пытаться строить общую теорию
подобия таких течений (типа разработанной в § 11.6), а огра-
ограничимся лишь некоторыми сведениями полуэмпирического ха-
характера для наиболее простых тел — притуплённых конусов
под углом атаки.
Для заостренных конусов распределение давления носит
ньютонианский характер и определяется в основном местными
углами атаки поверхности. Для притуплённых конусов ньюто-
нианская теория, вообще творя, не применима, но тем не ме-
менее для небольших углов атаки а < Э можно применить правило
местных притуплённых конусов1, согласно которому давление,
ударная волна и поле течения в меридиональной плоскости
1 См. работу А. Н. Крайко и др., цитированную в § 5.4.
307

(кроме окружной скорости w) совпадают с теми же величина-
величинами для 'обтекаемого без угла атаки при тех же условиях и с
тем же носком конуса с половиной угла при вершине, равным
местному углу атаки рассматриваемой образующей 8М = 6 +
+ a cos ср. Некоторые данные, подтверждающие это правило для
ТС/8
7Г/4
JST/8
Рис. 12.12. Распределение давления и формы ударных волн
для заостренных тел с одинаковой площадью поперечного
сечения (Мто=5, у«1,4):
1— конус 8=20°; ^=0,260; сх2=0,256; cx3-0,254; сх4=0,250
конусов со сферическим носком, приведены на рис. 12.4 и, бо-
более подробно, на рис. 12.12—12.15.
Правило местных притуплённых конусов, кроме его непос-
непосредственного применения в вычислительных целях, позволяет
также использовать законы подобия предыдущей главы. При
этом каждая образующая конуса будет иметь свой параметр
T = tg9M и свой эффективный коэффициент сопротивления с*х>
который вследствие слабой зависимости от давления можно
брать одинаковым для всего тела (соответствующим, напри-
1 Правило местных притуплённых конусов сформулировано в работе
В. В. Лунева, И. Н. Мурзинова и О. Н. Остаповича («Известия АН СССР,
мех. и маш.», 1960, № 3). Систематические исследования обтекания притуп-
притуплённых конусов под углами атаки проводили Ю. Н. Дьяконов [11], К. М. Ма-
Магомедов [28], которому принадлежат приведенные ниже корреляционные зави-
зависимости, и для неравновесных течений — А. В. Антонец (МЖГ, № 2, 1970;
1974, №2).
308

мер, наветренной образующей тела, которая дает основной'
вклад в действующие на тело силы).
Приведенные соображения могут быть плодотворно исполь-
использованы для построения различных корреляционных зависимос-
зависимостей, что покажем на примере аэродинамических характеристик
притуплённых конусов. В § 11.7 отмечалось, что непосредствен-
непосредственное применение закона подобия в форме A1.7.5) для коэффи-
коэффициента сопротивления приводит к заметным погрешностям, ес-
если только длина тела не очень велика; в то же время распреде-
распределение давления по образующим притуплённых конусов подчи-
подчиняется закону подобия уже на небольших расстояниях от нос-
носка. Поэтому целесообразно при построении корреляций выде-
выделить силы, действующие на боковую поверхность тела (вклад
носка может быть всегда учтен отдельно с помощью, например,
данных гл. 5). Соответствующие коэффициенты осевой и нор-
нормальной силы и момента относительно точки х = 0 определяют-
определяются интегралами
rwdr \ cpd<f, ст=—- \ rwdx\
A2.2.7)
cmb=^\rw(x+rw^L\dx \ cpcos<fd9, ср = 2-^-^-.
jtxri. •) \ ах I J о U*
2 г / . dr
о V 7 о
Для острых конусов ньютонианская зависимость дает пример-
примерно постоянное отношение cpf62u я^с^/62~2, где с^0)— коэффи-
коэффициент давления при а = 0. В этом случае
1С %
JL \ cerfcp = <?<°>(l+—V — [ cocoscprfcp = —С(О) A2.2.8)
я ) р Y р \ ~262/' л ) р ч т е р \ >
о о
и для усеченного конуса получим соотношения
962 /г2 __ г2) 1
^^-, 6*2 = 92 + — а2, A2.2.9)
2
хЬ 2 2
к;
где с^у— коэффициент сопротивления боковой поверхности те-
тела при а = 0. Опираясь на эти зависимости, можно построить
комбинации
л fff
Ст5 п9 О 1 П\
-^- (U2'10>
309

Очевидно, все ft = 1-при ньютонианском распределении давле-
давления. Удобным обобщением переменной подобия х% является ве-
величина
Данные, приведенные на рис. 12.16 — 12.17, свидетельствуют
о достаточной универсальности функций A2.2.10) в широком
диапазоне 9=5-М5°, а^5ч-10°.
Заметим, что fiv<l при g ^ 1,2, т. е. подъемная сила боковой
поверхности притуплённого конуса заметно меньше, чем остро-
острого, что объясняется пониженным уровнем давления на притуп-
притуплённом конусе.
onf -
Рис. 12.13. Давление на конусе (а) и про-
профили величин в сечении а:= 1 О^о (б)
6 = 9,5°, а=5°, Моо=6, y=1,4:
точный расчет; местный притуплён-
притуплённый конус, 0 =0+acos<p [Х=
310

Ofi8
\
0,5 7,0 Л
311

о
Рис. 12.14. Давление и отход ударной вол-
волны на конусе F = 10° а = 5°, Uoo—5 км/с
Я = 30 км):
точный расчет;
равновесное течение
местный притуплённый конусы 8M=9+acos(p

ТУК'
бОООг
4000
2000-
7,0 Л
Рис. 12.15. Профили температуры Mexw
телом и ударной волной @=*1Ор, а=10°,
#=60 км, i/oo =7,5 км/с, го= 16,Eам), нерав-
неравновесное течение:
точный расчет; — — местный притуп-
притуплённый конус
1,5г
Of,
4-
Ъ
о-
п ¦
|- 20'
— 5*
<- 201
1,0
3,0
Рис. 12.16. Корреляция коэффициента сопротивления боко-
боковой поверхности притуплённых конусов при а=0

1,1
1,0
0,8
Л
A+Q +
^ ^;^ 0,8 1,2 1,6
Рис. L2.17. Корреляция коэффициентов
осевой (а), нормальной (б) силы и мо-
момента (в) баковой поверхности при-
притуплённых кснусов:
М^^оо, 4=1,4, Л—8 = 15°, V—8 = 10°, а*5°;
#=30 км; ?/^=5 км/с, 0-0-15*, 0—0-10°;
а=5°; 5 = 10°, а=10°, 8«5°, а=-10°;
Я«=30 км, G^=7,5 км/с, Ч—8 = 15°, X—9-5°,
314

§ 12.3. Треугольная пластина с притуплёнными кромками
На примере обтекания совершенным газом при М<х> = сю тре-
треугольной пластины конечной, но малой толщины с постоянной
формой поперечного сечения рассмотрим особенности гиперзву-
гиперзвукового обтекания тонких крыльев с притуплёнными кромками1
Носок пластины будем
считать острым, так что
на некотором удалении от
него обтекание кромки и
прилегающей к ней обла-
области А (рис. 12. 18) будет
тождественно обтеканию
бесконечной пластины,
скошенной под углом 8
к набегающему потоку,
с постоянной составляю-
составляющей скорости газа вдоль
КрОМКИ i/ooCOS9. В ПЛОС-
ПЛОСКОСТИ, перпендикулярной
кромке, в этой области те-
течение будет тем же, что
и для притуплённой пла-
пластины, обтекаемой без
угла скоса со скоростью
[/n=?/ooSine.
ЯМ
wC)ac
В рамках взрывной
аналогии давление на
стенке и форма ударной
волны в области А имеют
вид (§ 10.2, 10.3, §11.2)
Рис. 12.18. Схема обтекания треугольной
пластины с притуплёнными кромками:
1, 2, 3—предельные характеристики по уравнениям
A2. 3. И), A2. 3. 12): A2. 3. 13) соответственно
Ра-
^-Г; A2.3.1)
ovl, l = x sin б- \z\ cos 8;
где Cx __ коэффициент сопротивления, a 2r0 — толщина тупой
кромки.
i Некоторые качественные особенности обтекания таких тел были описаны
М Д. Ладыженским [24]. В нашей работе (см. «Механика», \^;^;т^и'^0
приближенное решение задачи о треугольной пластине ^снритупле^ньшикрам
ками, обтекаемой без угла атаки совершенным газом при М^оо. Упрощен
ный вариант этого решения приведен ниже.
315

В высокоэнтропийном слое, образованном поверхностями то-
тока, прошедшими через ударную волну вблизи кромок, плотность
и энтальпия выражаются через энтропию и постоянное поперек
слоя давление р<°) = pooW 2про'
, fl»=(Y-l)A0; A2.3.2)
Vt ш _ у ж 2. „G-D/t
P° ' Л° y-1 Qo 2 ^° '
где p — угол между плоскостью пластины и касательной плос-
плоскостью к ударной волне при пересечении ее данной поверхно-
поверхностью тока.
Проекции скорости на оси х и z (см. рис. 12.18) в области Л
равны
йД = ^/ооA —t;sinae), wA = <vnvzo$>$. A2.3.3)
Здесь v — дефект скорости газа в направлении, перпендику-
перпендикулярном кромке, равной
J A=hA). A2.3.4)
Последнее разложение справедливо на большом удалении or
кромки, где выполняются условия
г0 « Ra « Л Ра « Qootft h\ « 1, A2. 3. 5)
которых и будем придерживаться в дальнейшем.
Такой характер течения нарушается в примыкающей к плос-
плоскости симметрии области В, где влияет условие
oj = 0, z = 0. A2.3.6)
Области А и В разделены проходящей через окрестность носка
предельной характеристической поверхностью. Поскольку wA>
>0, то газ вытекает из области В, что должно привести к паде-
падению давления и другим изменениям картины течения (в отличие
от эффекта перетекания газа в высокоэнтропийном слое на
плоских притуплённых телах (см. § 11.3), который сравнитель-
сравнительно невелик за счет непрерывного перетекания газа через любой
неподвижный в пространстве слой, в результате чего втекаю-
щие и вытекающие масса и энергия газа в значительной степе-
степени компенсируют друг друга).
Из A2.3.1) — A2.3.4) следует, что возмущения, вызванные
условием A2.3.6), возникают и располагаются по оси z в основ-
основном в пристеночном высокоэнтропийном слое, где s~l, и все
316

величины имеют тот же 'порядок, что и на стенке: а~
w ~ ш<°) и т. д.
В низкотемпературной области, или ударном слое, где
эти возмущения малы, локализованы вблизи zzzO и их учиты-
учитывать не будем. Здесь, как и для заостренных крыльев, рассмот-
рассмотренных в § 9.1, справедлив закон плоских сечений и, согласно
усло!вию A2.3.5) i?<C/, правило полос. Поэтому возмущения,
пришедшие из высокоэнтропийного слоя, будут распространять-
распространяться лишь вдоль плоскостей z=const.
Для оценки указанного эффекта растекания примем упрошенную модель
течения, отражающую лишь основные качественные особенности его. Будем
считать течение в высокоэнтропийном слое одномерным с осредненными па-
параметрами (помечены индексом «с»), и ограничим условно этот слой поверх-
поверхностью тока 8(х, z), характеризуемой начальным (в области Л) расходом
фф' в направлении, перпендикулярном кромке,
A2.3.7)
Тогда уравнения движения в высокс энтропийном слое примут вид
- dwc dwc I dp uc t л rt ftv
"l + ^-r^ -— я «с = тг; A2.3.8)
qc dz ^oo
dQcbwc _x_
Скорость uc определяется уравнением Бернулли. Воспользуемся далее п.:о-
стейпшм методом интегральных соотношений из § 10.3
fr ^—fR = lE0 = E0-E1, A2.3.9а)
-^Ш), A2.3.96)
Здесь член Ел учитывает, как и в § 11.3', энергию, обусловленную скоростями
газа ис—Uoo ишсв высокоэнтропийном слое относительно неподвижной в про-
пространстве системы координат ^=х—U aot1 z. Из баланса энергии для паралле-
параллелепипеда с основанием Л?Д2 получим
дЕх д
д д
• — bAup+ — bwep,Au = u-Uoo.
Так как для стационарных течений d/dt=Uoodldx, то используя A2 3.8), урав-
уравнения Бернулли и адиабаты pcdhc=dpJ получим
дх ° дх ~~ с дх "
В области А, где решение зависить лишь от е, мы должны получить ту же
формулу для Ей что в § 11.3; в нашем приближении Е1А=—ll2pc&vcvn.
Положим далее Mc=const, тогда уравнения A2.3 8) лишь множителем ис>
близким к единице, будут отличаться от уравнений одномерного нестационар-
нестационарного течения газа в канале переменного сечения 6(/, г).
317

Полученная система уравнений A2.3.8) — A2.3.10i) имеет систему харак-
характеристик
uc~^wc±c, c = ac(b/RI/2, a\ *={y - l)hz. A2.3.11)
Величина c>ac в принятой схеме является скоростью распространения воз-
возмущений в высокоэнтропийном слое с учетом взаимодействия его с низкоэит-
ропийной областью. Такой несколько неожиданный результат объясняется ос-
осреднением давления поперек всего возмущенного слоя в уравнении A2.3J).
В ударном слое вместо A2.3.9) можно использовать уравнения одномерного
нестационарного движения газа в плоскости z=const, как и полагается в рам-
рамках теории полос. Тогда, рассматривая эти уравнения вместе с A2.3.8) (при
постоянном «с)> получим обычную систему волновых характеристик
ucz' = wc±ac. A2.3.12)
Точные бихарактеристики на поверхности пластины, ограничивающие область
влияния плоскости симметрии, имеют вид
a<°V=w<°>±a<°>. A2.3.13)
Характеристика z* (х) 1-го семейства A2.3.11), проходящая через носок,
будет в приближенной постановке разделять области А и В. Поскольку ш^>
>шс, а^^>су то эта линия будет ближе к центру, чем характеристики
A2.3.12) или A2.3.13).
Используя A2.3.3), A2.3.4) и A2.3.7), получим
ucz[ « ю„ A + С^) « W* A 4- Со), A2.3.14)
W* — ViV^ COS 8 , V* = Vc (X , Z* (X)).
Здесь и ниже используются одновременно следующие упрощения:
^ ^f^«(v-l). A2-3.15)
h дх Sy Eo qh
дх Sy Eo
Тогда при z< z^ можно положить /s«(^sin9)s и из A2.3.14) получим
^ W w ^2" ^7^*A + Q*sin8, A2.3.16)
Кроме того, интегрируя A2.3.10) и полагая Eia&O, получим простую
формулу *
^«/^(/и^-т), т* = тА[х, z*(x)]. A2.3.17)
Пренебрежем в уравнении A2.3.9а) первым членом ¦— кинетической энер-
энергией газа, доля которой при взрыве невелика. Растекание газа из области А
должно прежде всегэ изменить давление, и, в меньшей степени, за счет инер-
инерции тяжелого ударного слоя форму ударной волны, поэтому полежим пока
R = Ra всюду. Тогда в области В давление с учетом A2.3.15) будет равно
—. A2.3,18)
1 Если величина EiA не очень мала, например при малых у—1, то сог-
согласно § 11.3 энергию ?о следует заменить эффективной энергией Е%, что че
изменит последующих рассуждений.
318

Очевидно со<1 и ю-*-О при 1/г0-+-оо. ,,
Представим далее решение
в области В в виде ''О
У1 = г/г*(х), A2.3.19)
Подставляя в A2.3.8) и опуская
члены порядка е, получим систему
уравнений и граничных условий 0,д
A2.3.20)
Ks=(ji=1, т| = 1; V = 0, т] = 0.
Здесь ^
A2.3.21)
В первом уравнении A2.3.20)
оставлен член С2\ь! — е, отражаю-
отражающий влияние градиента давления
на поле скоростей; опустив его, мы
получили бы лишь тривиальное ре-
решение V=jx=l. Из последующего
же будет ясно, что этот член дает
в решение вклад порядка1 г •
¦Система (A2.3.20) имеет не-
нетривиальное решение лишь прч
равенстве нулю определителя, со-
составленного из коэффициентов при
производных, что вместе с усло-
условиями при т] = 1 дает в итоге два
конечных соотношения
it
0,5
0,5
О,5\ Л?
-о
у
0,5
Рис. 12.19
1,0 Ц
N .
\ -^rdVp A2.3.22)
/IT
Это решение не удовлетворяет условию V=0 при т]=0, поэтому в централь-
центральной области решение уравнений A2.3.21) должно быть постоянным:
- A2.3.23)
1 В главах 6—7 мы неоднократно убеждались в важной рели членов,
содержащих градиенты давления, несмотря на формальную их малость.
319

Полученное решение имеет вид центрированной простой волны, личи-и
г] = const при ri>r]o являются характеристиками 1-го семейства, а второе со-
соотношение A12.3.22) аналогично инварианту Римана в нестационарной одно-
одномерной волне разрежения. При значениях C0-<Cq=[27V(g), О)]-1 равенство
[г = 0 в решении A2.3.22) наступает при больших значениях цу чем V = 0, и
5)
хьдв
а)
хьдв
Рис. 12.20. Относительное распределение давления в
центральной зоне крыла в различных сечениях т=
=х sin dl(cxr0):
• формула A2.3.18); формула A2.3.27)
продолжение этого решения в область меньших rj лишено физического смысла.
В этом случае газ в вьюакоэнтропийном слое полностью вытекает из области
В и вместо A2.3.23) должно быть
0), fx0 =
A2.3.24
Для численных сценок нужно задаться расходом газа в высокоэнтроиийном
слое. Чтобы учесть, хотя бы качественно зависимость его от у, положим
tyo'/cx=:3y2, чтс примерно соответствует граничному значению 56=0,Зч-0,4
на рис. 5.16.
Примем еще 5^г«0,8 и, для простоты, cos 0=1. Кривые V(r\) и }i(r}) по-
показаны на рис. 12.19. Они слабо зависят от со, что подтверждает автомодель-
автомодельный характер решения A2.3.19). Показатель у сильно влияет на решение,
особенно на м- —г массу газа 'В высокоэнтропийном слое, но |Ло>О при Y^M-
Полученное распределение давления по размаху крыла в разных сечениях
320

показано на рис. 12.20. Эффект растекания существенно уменьшает давление
в центральной части крыла, особенно при y=U—1»2. Поэтому в реальных ус-
условиях гиперзвукового обтекания крыльев с учетом влияния физико-химиче-
физико-химических превращений эффект растекания должен быть особенно заметен. Пос-
Поскольку параметр со убывает с удалением от носка медленно, как / , то эф-
эффект понижения давления заметен на очень больших удалениях от носка.
хЬдв
Рис. 12.21. Относительное распределение д™*~
ния по размаху треугольной притуплённой пла-
пластины:
///—эксперимент М^-Н,б, Т = М, 0=45°; /~х/го=65, II—
х/г0=92; теория — 1— Моо=7; 2— Моо=10; 3— М^^оо,
7=1,4
Размер области 5 соизмерим с размахом крыла, причем показатель у вли-
влияет на него меньше, чем на давление. Границы этой области, определенные
уравнениями A.2.3.11) — A2.3.13), незначительно отличаются между собоч
(см. рис. 12.18).
Оценим еще изменение формы ударной волны. Интегрируя уравнение
A2.3.96) с учетом A2.3.18), получим для каждой плоскости z=const:
X X
Р л03
/1 ..\ л*. л +~ /~ ~ /v w /|2 3.25}
х0 х0
Интеграл здесь оценим, положив
(О A — jx) & со (х) A — №) , Х0/Х « -
Кроме того, вынесем со A—fx0) из-под знака интеграла, тогда с учетом A0.3.8)
получим простую формулу
321

Возвращаясь к первому уравнению A2.3.9а), определим давление так:
— ~ [1 - *> A ~ V)] [1 ~ »/ A - ЫГУ2 • A2.3.27)
Соответствующие кривые показаны (пунктиром) на рис. 12.20. Как видно,
учет уменьшения отхода ударной волны в области В приводит к некоторому
подрастанию давления, особенно при г]«0.
Полученное решение в целсм носит сугубо оценочный характер вследст-
вследствие множества допущений, произвольного выбора величин г|/, sc и др. Но
приведенные на рис. 12.21 экспериментальные данные подтверждают наличие
эффекта растекания не только качественно, но и количественно, причем в
эксперименте этот эффект оказывается более значительным i.
Заметим, что эффект растекания должен сильно зависеть от числа Мп.
В самом деле, основными параметрами, определяющими этот эффект, явля-
являются скорость wA в высокоэнтропийном слое и отношение 6aIRa. При ко-
конечном числе Мп эта скорость
=м~sin e A2-з-28)
уменьшается с уменьшением Мп, ка,к и отношение 6aJRa, за счет увеличения
Ра и Ra. Поэтому эффект понижения давления сильно уменьшается с умень-
уменьшением Мп, что следует из сравнения кривых на рис. 12.21, полученных при-
примерно в том же приближении, что и описанное выше.
1 Эти эксперименты выполнены А. В. Красильниковым и В. В. Ивановым
(МЖГ, 1972, Nb 2). Меньшее падение давления в расчетах можно объяснить
размазыванием возмущений давления за счет осреднения его в уравнении
A2.3.9) на весь возмущенный слой. Теоретические кривые на рис. 12.21 полу-
получены А. В. Красильниковым (МЖГ, 1967, № 1; 1968, № 5).
322

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бабенко К. И., Воскресенский Г. П., Любимов А. Н., Русанов В. В.
Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. М., «Наука»,
1964, с. 505.
2. Бай Фи-И. Динамика излучающего газа. М., «Мир», 1968, с. 324.
3. Белоцерковский О. М. и др. Обтекание затупленных тел сверхзвуко-
сверхзвуковым потоком газа. М., Изд. АН СССР, 1966, с. 400.
4. Бонд Дж., Уотсон К., Уэлч Дж. Физическая теория газовой динамики,
М., «Мир», 1968, с. 556.
5. Булах Б. М. Нелинейные конические течения газа. М. «Наука», 1970,
с. 343.
6. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М., «Мир»,
1967, с. 310.
7: Вулис Л. А. Термодинамика газовых потоков. М, Госэнергоиздат,
1950, с. 304.
8. Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. [Сбор-
[Сборник статей]. Под ред. В. П. Мотулевича и В. П. Ионова. М., ИЛ, 1962,
с. 552.
9. Гиро Ж. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений. М., «Мир»,
1965, с. 300.
10. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов
и жидкостей. М, ИЛ, 1961, с. 929.
П. Дьяконов Ю. Н., Пчелкина А. В., Сандомирская И. Д. Сверхзвуковое
обтекание затупленных тел. Под ред. Рослякова Г. С. М., изд. МГУ, 197К
12. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпе-
высокотемпературных гидродинамических явлений. М., «Наука», 1966, с. 686.
13. Исследование гиперзвуковых течений. Под ред. Ф. Ридделла, М.,
«Мир», 1964, с. 544.
14. Кацкова О. Н., Крайко А. Н. Расчет плоских и осесимметричных
сверхзвуковых течений при наличии необратимых процессов. ВЦ АН СССР.
М, 1964, с. 44.
15. Кларк Дж., Макчесни М. Динамика реальных газов. М., «Мир», 1967,
с. 566.
16 Кондратьев В. Н. Кинетика химических газовых реакций. М, Изд-во
АН СССР, 1958, с 688.
17. Коробейников В. П., Мельников Н. С, Рязанов Е. В. Теория точеч-
точечного взрыва. М., Физматгиз, 1961, с. 332.
18. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.
Под ред. И. А. Кибеля. М., Гостехиздат, 1955, с. 560.
19. Краснов Н. Ф., Кошевой В. Н., Данилов А. Н., Захарченко В. Ф.
Аэродинамика ракет., М., «Высшая школа», 1968, с. 772.
20. Кубо Р. Термодинамика М., «Мир», 1970, с. 304.
21. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.-Л, Гос-
техтеоретиздат, 1951, с. 476.
22. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковые течения и ударные волны. М.,
ИЛ, 1950, с. 427.
23. Кузнецов Н. М. Термодинамические функции и ударные адиабаты
воздуха при высоких температурах М., «Машиностроение», 1965, с. 463.
24. Ладыженский М. Д. Пространственные гиперзвуковые течения газа.
М., «Машиностроение», 1968, с. 120.
323

25. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М, Гостех-
издат, 1954, с. 796.
26. Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики. М., ИЛ, 1960,
с. 518.
27. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1970,
с. 904.
28. Лунев В. В., Магомедов К. М., Павлов В. Г. Гиперзвуковое обтека-
обтекание притуплённых конусов с учетом равновесных физико-химических превра-
превращений. М., Изд. ВЦ АН СССР, 1968, с. 203.
29. Любимов А. Н., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел. М.,
«Наука», 1970, с. 287.
30., Мартин Дж. Вход в атмосферу. М., «Мир», 1969, с. 320.
31. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М..,
ИЛ, 1961, с. 588.
32. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. Под ред.
Г. И. Майкапара. М., «Машиностроение», 1972, с. 344.
33. Охоцимский Д. Е., Кондрашева И. Л., Власова 3. П., Казакова Р. Н.
Расчет точечного взрыва с учетом противодавления.— «Труды математиче-
математического института АН СССР им. В. А. Стеклова», ,1957, т. 50, с. 65.
34. Петровский Г. И. Лекции об уравнениях с частными производными.
М., Физматгиз, 1961, с. 400.
35. Предводителев А. С, Ступоченко Е. В., Плешанов А. С, Самуи-
Самуилов Е. В., Рождественский И. Б. Таблицы термодинамических функций воз-
воздуха (для температур от 12С00 до 20000° К и давлений от 0,001 до 1000 атм.).
М., Изд-во АН СССР, 1959, с. 230.
36. Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я., Бунимович А. И., Зверев И. Н.
Газовая динамика. М., «Высшая школа», 1965, с. 724.
37. Росляков Г. С, Костенбойм X. С. Численное решение одномерных за-
задач о взрыве. М., изд. МГУ, 1971, с. 190.
38. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М, «Наука»,
1972, с. 440.
39. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М., «Наука», 1973,
с. 536.
40. Станюкович К. П. Неустановившееся движение сплошной среды. М.,
«Наука», 1971, с. 854.
41. Ступоченко Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И. Релаксационные процес-
процессы в ударных волнах. М., «Наука», 1965, с. 484
42. Теленин Г. Ф. Законы подобия при больших сверхзвуковых скорос-
скоростях. М., Оборонгиз, 1956, с. 150.
43. Теория оптимальных аэродинамических форм. Под ред. Миелле. М.,
«Мир», 1969, с. 507.
44. Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М., Гостехтеоретиз-
дат, 1953, с. 463.
45. Физическая газодинамика. [Сборник статей]. Под ред. А. С. Предво-
дителева. М., Изд-во АН СССР, 1959, с. 168.
46. Хейз У. Д. Основы теории газодинамических разрывов.— В кн.: Осно-
Основы газовой динамики. Под ред. Г. Эммонса. М., ИЛ, 1963, с. 702,
47 Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., ИЛ,
1962, с. 607.
48. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.,
Физматгиз, 1959, с. 220.
49. Чушкин П. И., Шулишнина Н. П. Таблицы сверхзвукового течения
около затупленных конусов. М., Изд-во АН СССР, 1961, с, 92.
50. Чушкин П. И. Метод характеристик для пространственных сверхзву-
сверхзвуковых течений. М., Изд-во АН СССР, 1968, с. 122.
51. Эпштейн П. Курс термодинамики. М.—Л., Гостехиздат, 1948, с. 419.
52. Z. Kopal. Tables of supersonic. Flow Around cones. Report N 1 M U.
1947.
53. Napolitano L. Journal deMechanique.Vol. II. N 2 Juin 1963. Archiwum
Mechaniki, stosowanej 2. 1964.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Часть I. Основы теории гиперзвуковых течений реального газа . 5
Глава 1. Физические свойства несовершенных газов. Уравнения дви-
движения , 5
§1.1. Физические процессы в газе при гиперзвуковых скоростях по-
полета . . . 5
j, 12. Физическая модель течения неравновесных смесей газов . . 9
§ 1.3. Скорости релаксации и химических реакций 16
§ 1.4. Энтропия и условия равновесия 21
§ 1.5. Бинарные реакции и смеси 26
§ 1 6 Равновесный состав 29
§ 1.7. Полная система уравнений движения газа с физико-химичес-
физико-химическими превращениями. Простейшие интегралы. Предельные ре-
режимы 34
§ 1.8. Скорость звука 40
§ 1.9. Равновесное уравнение состояния в квазисовершенной форме 43
§ 1.10. Одномерные стационарные течения. Роль замороженной и рав-
равновесной скорости звука 47
а 2. Ударные водны и зоны релаксации 50
§2.1. Ударные волны. Общие соотношения . 50
§ 2.2. Ударные волны в равновесном газе . ...... 53
§2.3. Сильные ударные волны 59
§2.4. Зона релаксации за ударным фронтом 63
§ 2.5. Решение задачи о структуре зоны релаксации. Бинарное подобие 65
§ 2.6. Косэй скачок уплотнения 71
Глава 3. Характеристические свойства уравнений неравновесного те-
течения газа 75
§3.1. Структура и некоторые свойства уравнений течения реального
газа 75
§ 3.2. Характеристики уравнений с двумя переменными .... 78
§ 3.3. Простые волны в замороженных и равновесных течениях . . 84
§3.4. Парадокс двух скоростей звука. Центрированная волна в не-
неравновесном газе . . . 90
§ 3.5. Отражение возмущений от вихревых слоев и скачков уплот-
уплотнения. Влияние осевой симметрии 95
§3.6. Характеристики и слабые скачки уплотнения. Линейная теория 101
§ 3.7. Характеристические поверхности уравнений пространственного
движения газа . . . 106
§3.8. Некоторые свойства течений с большими местными числами М 109
Глава 4. Общий закон подобия гиперзвуков о го обтекания тел невязким
газом 110
§4.1. Замечания к постановке задач сверхзвукового невязкого обте-
обтекания тел несовершенным газом ПО
325

Стр.
§ 4.2. Закон подобия стационарного сверхзвукового обтекания тел
реальным газом 113
§ 4.3. Вывод закона подобия из теории подобия и размерностей . 120
Часть II. Течение газа с большой плотностью за ударной волной , 123
Глава 5. Общая ньютонианская теория 123
§5.1. Постановка задачи. Толщина ударного слоя. Криволинейные
координаты 123
§ 5.2. Предельное решение для тонкого ударного слоя. Формулы Бу-
земана и Ньютона 128
§5.3. Примеры применения и анализ точности формул Ньютона и
Буземана 131
§ 5.4. Аэродинамические характеристики тел. Коэффициенты сопро-
сопротивления 141
§ 5,5. Свободные слои. Распределение энтропии за тупым телом . 147
§5.6. Общая картина обтекания тупого тела . ..... 151
§ 5.7. Закон подобия, использующий эффективный показатель адиа-
адиабаты 155
§ 5.8. Нестационарное обтекание тел . 158
Глава 6. Структура ударного слоя на острых и тупых телах . . . 160
§6.1. Метод тонкого ударного слоя , 160
§ 6.2. Обтекание клина и конуса 162
§ 6.3. Асимптотическая ферма уравнений тонкого ударного слоя . 165
§¦6.4. Течение в окрестности критической точки тупого тела . . . 171
§6.5. Течения в окрестности критической точки с переменной плот-
плотностью вдоль оси симметрии 177
§ 6.6. Структура неравновесного ударного слоя 180
§ 6.7. Течение в скрести ости критической точки тупого тела в рас-
расходящемся гиперзвуковом потоке 181
§ 6.8. Об обтекании круглого диска (ньютснианское решение) . . 185
Глава 7. Некоторые пространственные течения с тонким ударным слоем 188
§ 7.1. Течение в окрестности критической точки с двумя плоскостями
симметрии . . . . 188
§ 7.2. Острый конус под углом атаки 193
§ 7.3. Скошенный цилиндр в неоднородном гиперзвуковом потоке . 200
Часть III. Гиперзвуковое обтекание тонких тел . .... 207
Глава 8. Гонкие заостренные тела. Общая теория 207
§8.1. Общие соображения. Нелинейная теория малых возмущений 207
§8.2. Закон плоских сечений или нестационарная аналогия . . . 213
§8.3. Уравнения сохранения в интегральной форме . . . . . 215
§ 8.4. Закон подобия гиперзвукового обтекания тонких тел совер-
совершенным газом . . . 218
§ 8.5. Закон подобия для несовершенного газа . 222
Глава 9. Некоторые пространственные течения около тонких тел . . 223
§9.1. Обтекание тонких крыльев. Правило полос . . . . . 223
§ 9.2. Нестационарное обтекание тонкого тела 227
§ 9.3. Медленные колебания тела . 231
§ 9.4. Обтекание тонких тел под большими углами атаки . . 233
Глава 10. Некоторые автомодельные решения одномерной нестационар-
нестационарной газовой динамики 239
§ 10.1. Расширение порщня по степенному закону 239
§ 10.2. Сильный взрыв 242
§ 10.3. Интегральный метод. Метод эффективной энергии для взрыва
в реальном газе 245
326

Стр.
Часть IV. Обтекание тонких тел с притуплёнными носком или кромками 250
Глава 11. Плоские и ссесимметр<ичные тонкие притуплённые тела . . 250
§11.1. Влияние носка на гиперзвуковсе обтекание тонкого притуп-
притуплённого тела . . . 250
§ 11 2. Обтекание притуплённых пластины и цилиндра. Взрывная
аналогия 255
§11.3. Влияние выеокоэнтропийногс слоя 265
§ 11.4. Об эффекте вытеснения высокоэнтропийного слоя . . . 270
§ 1L5. Закон подобия обтекания тонких притуплённых тел с гео-
геометрически подобной боковой поверхностью 273
§ 11.6. Интегральный учет влияния реальных свойств газа в высокс-
энтропийном слое 278
§11.7. Притуплённые конуса и клинья. Сравнение гиперзвуковой
теории с точными результатами , 284
Глава 12. Пространственные течения около притуплённых тел . . . 296
§ 12.1. Особенности пространственного обтекания тонких притуплён-
притуплённых тел 296
§ 12 2. Закон подобия для тонких притуплённых тел с осесимметрич-
ным носком. Правило местных притуплённых конусов . . 303
§12 3. Треугольная пластина с притуплёнными кромками . . . 315
Список литературы ..,.,, .323

Замеченные опечатки
Страница
97
98
99
100
202
204
267
286
318
318
Строка
Формула
C.5.6)
8 сверху
Формула
C.5.10)
7 сверху
Формула
G.3.86)
Формула
G.3.13)
Формула
(J 1.3.8)
13 сверху
4 сверху
23 сверху
Напечатано
, APs-K
p'slb's^dpld%-+A
Adp ±dd = Bdl
ct) •¦ ¦ 0*^
ff)
O>2 i^=: Ц <\ 1
sin a
Да = Uoo ят — Uoo—...
с > ac
w% = v\v% cos 8
Следует читать
i
Л^р ± <i6 = — Bdl
l\2 = ^23
Ь Г° -" 1
a>2 -— к ч^ I
L sin a
1
" *u' Po
/ cx \ VI+ v
te/jj. = ^л^ cos 0
Заказ 2382/3787
Владимир Васильевич ЛУНЕВ
ГИПЕРЗВУКСВАЯ АЭРОДИНАМИКА
Редактор издательства Я. Л. Педченец
Художник JB. В. Бекетов
Техн. редактор Я. А. Юдина
Корректор А. И. Кйрамышкина
Сдано в набор 25/ХП—1975 г. Подписано к печати 10/IV—1975 г. Т-07402
Формат 60X907ie Бумага № 2
Печ. л. 20,5 Уч.-изд. л. 20,10
Тираж 4000 экз. Изд. заказ 3787 Цена 94 коп.
Издательство «Машиностроение», 107885 Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
пс делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
Хохловский пер., 7. Тип. зак. 2382