/
Автор: Тимошенко В.И.
Теги: механика газов аэродинамика физика плазмы физика инженерия механика монография газовая динамика
Год: 1987
Текст
ЧЕНОД
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
В. И. ТИМОШЕНКО
СВЕРХЗВУКОВЫЕ
ТЕЧЕНИЯ
ВЯЗКОГО ГАЗА
КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1987
УДК 533 6 011
Сверхзвуковые течения вязкого газа / Тимошен-
Тимошенко В. И.— Киев . Наук думка, 1987.— 184 с.
В монографии рассмотрены вопросы сверхзвукового
обтекания тел вязким газом. Описываются характерные
особенности решения соответствующих задач на основе
упрощенных уравнений Навье — Стокса. Сформулирова-
Сформулированы обобщенные условия вязко-невязкого взаимодействия
и указаны пути их использования в различных задачах.
Определенное внимание уделено описанию методов учета
распространения возмущений вверх по потоку в задачах
вязкого взаимодействия и тонкого вязкого ударного слоя
и алгоритмов маршевого решения этих задач.
Рассмотрены методы решения задач о течении в несим-
несимметричных локальных отрывных зонах, в том числе при на-
наличии вдува и горения. Приведены некоторые результаты.
Показано влияние на закономерности рассматриваемых
течений термохимического разрушения обтекаемых поверх-
поверхностей и двухфазности набегающего потока.
Для научных и инженерно-технических работников,
интересующихся как аэрогазодинамикой тел при сверх-
сверхзвуковых скоростях, так и методологией решения соответ-
соответствующих задач, студентов старших курсов и аспирантов
соответствующих специальностей.
Ил. 64. Табл. 4. Библиогр.: с. 177—183 A65 назв.).
Ответственный рел актор Е. Р. Абрамовский
Рецензенты Я. Д. Коваленко, А. М, Антонов
Редакция физико-математической литературы
1703040000-188
М221@4)-87 * ©• Издательство «Наукова думка», 1987
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Основные уравнения динамики вязкого газа . 8
1.1. Уравнения Навье — Стокса в инвариантной форме , 9
1.2. Система координат, связанная с поверхностью тела 12
1.3. Граничные условия 16
1 4. Условия подобия Ш
1.5. Уравнения Эйлера и пограничного слоя. Задачи вязкого взаимодействия 20
1.6. Уравнения вязкого ударного слоя. Параболизованные уравнения .... 25
Глава 2. Обобщенные условия вязко-невязкого взаимодействия 28
2.1. Преобразование уравнения неразрывности 29
2.2. Связь между изменением давления и формы верхней границы области тече-
течения 32
2.3. Преобразование граничных условий для задач внешнего обтекания тел
невязким газом 35
2.4. Алгоритмы численного решения уравнений вязко-невязкого взаимодей-
взаимодействия 37
Глава 3. Задачи взаимодействия невязкого пограничного слоя с внешним сверх-
сверхзвуковым потоком ¦. 40
3.1. Основные уравнения 41
3.2. Влияние энтропийного слоя на обтекание излома поверхности ..... 43
3.3. Течение в пространственном энтропийном слое 46
3.4. О расчете обтекания тел при наличии вдува . 49
Глава 4. Обтекание тел вязким газом с большой плотностью за ударной волной 51
4.1. Оценка параметров возмущенного поля потока . ,51
4.2. Упрощенные уравнения и граничные условия 54
4.3. Уравнения для определения формы ударной волны. Распространение
возмущений вверх по потоку в зонах дозвукового течения - 58
4.4. Примеры расчетов обтекания тел 65
Глава 5. Полный вязкий ударный слой 70
5.1. Упрощенные уравнения Навье — Стокса 71
5.2. Особенности решения упрощенных уравнений. Регуляризация .... 72
5.3. Некоторые результаты расчетов обтекания тел 76
Глава 6. Гиперзвуковое обтекание тонких тел 80
6.1. Особенности обтекания тонких тел невязким газом 80
6.2. Основные характеристики гиперзвукового пограничного слоя на тонких
гелах. Подобие 84
6.3. Автомодельные задачи вязкого взаимодействия 87
3
6.4. Распространение возмущений вверх по потоку. Неединственность решения
задачи вязкого взаимодействия 89
6.5. Анализ различных эффектов вязкого взаимодействия на тонких телах 94
6.6. Особенности пространственного обтекания тонких тел 97
Глава 7. Сверхзвуковое обтекание тел в режиме вязкого взаимодействия ... 100
7.1. Формулировка задачи с использованием условий вязко-невязкого взаимо-
взаимодействия . . 101
7.2. Особенности численного решения задач вязкого взаимодействия .... 103
7.3. Результаты численного анализа эффектов вязкого взаимодействия . . . 105
7.4. Влияние вихревого взаимодействия 108
Глава 8. Расчет параметров в сверхзвуковых локальных отрывных зонах . . . 113
8.1. Вводные замечания 113
8.2. Постановка задачи. Условия вязко-невязкого взаимодействия 115
8.3. Алгоритмы маршевого решения задачи о течении в ближнем следе конечно-
разностными методами 119
8.4. Интегральный метод решения. Симметричный случай 122
8.5. Применение интегральных методов к расчету несимметричной двумерной
отрывной области .... 125
8.6. Интегральный метод решения задачи о течении в трехмерной отрывной зоне 127
8.7. Определение параметров химически реагирующих газов в отрывных зонах 131
Глава 9. Обтекание тел вязким газом в условиях интенсивного тепломассооб-
тепломассообмена на поверхности 136
9.1. Постановка задачи о течении многокомпонентного газа на химически ак-
активной поверхности 138
9.2. Термохимическое разрушение материала поверхности тела 140
9.3. Особенности термохимического разрушения стеклографитовой поверх-
поверхности затупленного конуса в потоке газа 145
9.4. Влияние вдува в пограничный слой на сопротивление осесимметричного
тела в гиперзвуковом потоке вязкого газа 148
9.5. О взаимном влиянии термохимического разрушения поверхности и вязкого
взаимодействия при гиперзвуковом обтекании острого конуса 152
9.6. Изменение формы острого конуса из тефлона и его аэродинамического со-
сопротивления в гиперзвуковом потоке 155
9.7. Термохимические разрушения стеклографитовой поверхности затуплен-
затупленного конуса на линии растекания в трехмерном пограничном слое . . . 158
Глава 10. Обтекание тел двухфазным потоком 163
10.1. Постановка задачи. Основные уравнения и особенности двухфазных те-
течений 163
10.2. Двухфазный пограничный слой 166
10.3. Особенности двухфазного течения за отошедшей ударной волной перед
тупым телом 167
10.4. Температура в критической точке тупого тела в двухфазном потоке . . 173
Список литературы 177
ПРЕДИСЛОВИЕ
При обтекании тел газом с большими сверхзвуковыми скоростями существенным
оказывается влияние вязкости и сопутствующих высокотемпературных физико-
химических процессов как в газе, так и на поверхностях обтекаемых тел. В наиболее
полной ггостанбвке течения вязкого газа описываются уравнениями Навье — Стокса.
Вопросам численного решения этих уравнений и анализу полученных при этом ре-
результатов посвящены вышедшие в настоящее время монографии [51, 541 и многочис-
многочисленные статьи. Решение уравнений Навье — Стокса связано с большими затратами
машинного времени и представляет определенные методические трудности в области
больших чисел Рейнольдса. Определенные успехи в преодолении этих трудностей
достигнуты вследствие применения конечно-разностных методов повышенного по-
порядка аппроксимации, адаптирующихся к структуре течения разностных сеток и
консервативных конечно-разностных схем. Результаты, полученные в этом направле-
направлении, отражены в работах О. М. Белоаерковского, А. И. Толстых, Н. Н. Ковени,
Л. И. Северинова, В. П. Пасконова и др.
Из-за названных проблем данные, полученные в настоящее время при численном
исследовании уравнений Навье — Стокса, характеризуют преимущественно двумер-
двумерные течения. В связи с этим широкое распространение нашли различные упрощенные
модели, в рамках которых получен ряд результатов численного исследования трех-
трехмерного обтекания тел, в том числе и с учетом высокотемпературных физико-хими-
физико-химических процессов [20, 23, 25, 38, 98, 99, 132]. Определенная информация о течениях
вязкого газа получена и в результате исследования течений в приближении вязкого
взаимодействия, в котором используются уравнения динамики невязкого газа и урав-
уравнения пограничного слоя с условиями сопряжения решений этих уравнений. Наибо-
Наиболее завершенный вид имеет теория гиперзвукового обтекания тонких тел, многие ре-
результаты которой в настоящее время стали классическими. Асимптотический анализ,
примененный в этих задачах, позволил выяснить многие интересные и практически
важные особенности гиперзвукового обтекания.
Большой раздел теории вязких течений связан с изучением отрывных течений,
В настоящее время для этих зядач получен с использованием полной системы урав-
уравнений Навье — Стокса ряд результатов для ламинарных и турбулентных режимов
течения. Наряду с этим в связи с проблемами получения численного решения урав-
уравнений Навье — Стокса широкое распространение имеют и приближенные методы,
основанные на некоторой идеализации течения. Большая группа этих методов свя-
связана с описанием вязкого отрывного течения на основе уравнений пограничного СЛО1Я
и сопряжения их решений с решениями уравнений Эйлера, характеризующих течение
во внешней к отрывной области части течения. В конечном счете реализация этих
методов связана с решением задач вязкого взаимодействия.
Принципиальной особенностью задач вязкого взаимодействия является возмож-
возможность распространения возмущений вверх по потоку. Такая возможность реализуется
в задачах гиперзвукового обтекания тонких тел [86, 53], отрывных течений [24] и не-
некоторых других.
Широкий круг вопросов возникает при изучении обтекания тел в условиях тер-
термохимического взаимодействия материала поверхности с высокотемпературным набе-
набегающим потоком. Формулировке этих задач применительно к изучению влияния про»
цзссов на поверхности и в пограничном слое посвящены работы [95, 130, 149, 150
и др.]. Общее состояние вопроса и наиболее характерные теоретические и эксперимен-
экспериментальные результаты изложены в монографиях [32, 92, 95], где исследование термо-
термохимических процессов проводилось с позиций их влияния на тепломассообмен на
поверхности. Вопросы силового воздействия потока с обтекаемым телом в условиях
термохимического взаимодействия в этих работах не рассматривались (за исключе-
исключением [32]),
Таким образом, круг вопросов, связанных с обтеканием тел вязким газом, чрез-
чрезвычайно широк и привлекает внимание многих исследователей. Основное внимание
при написании данной монографии было уделено систематическому изложению раз-
различных подходов к теоретическому изучению сверхзвукового обтекания тел газом
в условиях, когда тем или иным образом вязкость оказывает влияние на закономер-
закономерности обтекания тел в целом. В связи с этим многочисленные вопросы, связанные
с течением в пограничном слое без учета его влияния на внешнее течение, не рассмат-
рассматриваются. Они достаточно подробно изложены например в 165, 38, 146|. В то же
время полная система уравнений Навье — Стокса используется только как основа
для получения различных упрощенных уравнений.
В данной монографии наряду с общей постановкой задач обтекания тел вязким
газом (гл. 1) рассмотрены различные приближенные подходы, основанные на модели
гонкого вязкого ударного слоя (гл. 4), вязкого ударного слоя и параболизовзнных
уравнений Навье — Стокса (гл. 5). вязкого взаимодействия (гл. 6, 7).
Отдельно рассмотрены условия сопряжения решений в различных областях,
течение в которых описывается теми или иными упрощенными уравнениями. Эти
условия, названные обобщенными условиями вязко-невязкого взаимодействия, сфор-
сформулированы в гл. 2. Они позволяют строить алгоритмы, учитывающие распростра-
распространение возмущений вверх по потоку, что встречается во многих задачах, решаемых
в упрощенной постановке. Аналогичные уравнения рассматривались для двумерных
течений типа следа в [163] и для пространственных гиперзвуковых течений в [85].
Эти уравнения получены исходя из уравнения неразрывности и краевого характера
граничных условий для поперечной составляющей вектора скорости, удовлетворяю-
удовлетворяющей в упрощенной постановке дифференциальному уравнению первого порядка.
Они могут быть использованы в различных задачах невязких и вязких течений.
Их применение для невязких течений иллюстрируется в гл. 3. Там же рассмотрен
вопрос определения параметров в энтропийном слое, который имеет важное прило-
приложение в задачах вихревого взаимодействия.
Обобщенные условия вязкого взаимодействия используются для определения
формы отошедшей ударной волны в задачах тонкого вязкого ударного слоя (гл. 4)
и для построения маршевых алгоритмов решения задач вязкого взаимодействия
(гл. 7). Эти условия позволяют с единых методологических позиций изложить прибли-
приближенные методы теории отрывных течений и сформулировать постановку общих задач,
в том числе и связанных с определением параметров в пространственных локальных
отрывных зонах (гл. 8).
Основные аспекты течения вязкого газа в условиях термохимического взаимо-
взаимодействия с поверхностью рассмотрены в гл. 9. При этом основное внимание уделено
решению задач в приближении вязкого взаимодействия и изучению влияния термохи-
термохимического разрушения обтекаемой поверхности на силовое воздействие потока на тела
простой формы. Хотя рассмотренным задачам присуща определенная идеализация,
они отражают основные моменты, обусловленные влиянием термохимического раз-
разрушения тел на закономерности их обтекания. В гл. 10 книги рассмотрены некоторые
вопросы, связанные с силовым и тепловым воздействием сверхзвукового двухфаз-
двухфазного потока на обтекаемые тела.
Настоящая работа не претендует на исчерпывающее изложение всех аспектов,
связанных с изучаемыми течениями. В частности, не рассмотрены ионизация и диссо-
диссоциация газа и их влияние на закономерности вязкого течения и теплообмен. Эти
вопросы представлены в многочисленных публикациях, например [42, 98, 1321, и мо-
могут составить предмет отдельной монографии, что можно сказать и о турбулентных
течениях вязкого газа.
В основу монографии легли как результаты, опубликованные в различных из-
изданиях, так и результаты исследований автора. Часть из них получена совместно
с И. С. Белоцерковцем (параграфы 8.3, 8.7) и А. В. Лиманским (параграфы 4.3,
7.3, 9.5, 9.6).
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ
ВЯЗКОГО ГАЗА
В наиболее общей постановке течения вязкого газа описываются урав-
уравнениями Навье — Стокса. Это система квазилинейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа для стацио-
стационарных течений и параболического — для нестационарных.
Несмотря на то что в численном решении этих уравнений достигнут
определенный успех ([51, 54, 105 и библиография]), все же требования
к мощности ЭВМ, необходимой для реализации численных методов,
накладывают ограничения на широкое использование полной систе-
системы уравнений Навье — Стокса в исследованиях сложных, тем более
пространственных, течений. Сложность ситуации усугубляется при
исследовании турбулентных течений. Это связано, с одной стороны,
необходимостью привлечения эмпирической информации для замыка-
замыкания существующих теорий турбулентности [66], с другой —с дальней-
дальнейшим усложнением системы дифференциальных уравнений,описываю-
уравнений,описывающих осредненные турбулентные течения и их микроструктуру.
Принципиальной особенностью уравнений Навье — Стокса явля-
является наличие в них малого параметра е = . (Re — число Рейнольд-
са) при старших производных, который приводит к крайне неравномер-
неравномерному поведению параметров в поле газодинамического потока и вызы-
вызывает дополнительные трудности при получении численного решения.
Последнее связано с двумя обстоятельствами. Первое — наличие в
ноле течения узких зон с резким изменением параметров, положение
которых в общем случае заранее неизвестно, требует разработки и реа-
реализации специальных приемов подгонки разностной сетки под струк-
структуру течения [50, 54, 134]. Второе — наличие малого параметра вы-
выдвигает повышенные требования к порядку аппроксимации дифферен-
дифференциальных уравнений разностными. Это вызвано необходимостью, чтобы
влияние погрешности аппроксимации не искажало вклад в струк-
структуру течения членов в уравнениях Навье—Стокса, имеющих поря-
порядок е2.
Отмеченные обстоятельства приводят к тому, что для исследова-
исследования газодинамических процессов широко используются различные
предположения, часто основанные на асимптотических оценках, иног-
иногда — на интуитивных соображениях, позволяющих формулировать
упрощенные математические задачи.
8
В настоящей главе эти предположения рассмотрим в общих чертах
и выпишем соответствующие упрощенные уравнения. Подробный ана-
анализ принятых упрощений проведен далее.
Здесь исследуем лишь течения совершенного однородного газа.
Дополнительные соотношения и особенности описания течений много-
многокомпонентного реального газа рассмотрены в гл. 9. Это связано с тем,
что в целях упрощения рассуждений и анализа течений целесообраз-
целесообразно, и во многих случаях является достаточно эффективным, разделить
на чисто газодинамическую задачу и задачу, связанную с определе-
определением состава многокомпонентного газа, его теплофизических харак-
характеристик и коэффициентов переноса. Добавления уравнений, связан-
связанных с неоднородностью газа, не внесет принципиальных изменений в
рассмотренные в настоящей главе вопросы.
1.1. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ — СТОКСА
В ИНВАРИАНТНОЙ ФОРМЕ
Для решения задач о движении газа необходимо записать систему
дифференциальных уравнений, описывающих это движение, в конкрет-
конкретной системе координат q1, q2, q3. Вид уравнений существенным образом
зависит от выбора системы координат, и для получения их необходимо
воспользоваться математической формой записи физических законов,
определяющих движение газа, в инвариантной, не зависящей от систе-
системы координат тензорной форме.
Соотношения, выражающие законы сохранения массы, количества
движения и энергии, можно записать в виде соответствующих уравне-
уравнений [66, 54]:
сохранения массы
сохранения количества движения
р {-$?- + uV/) = gtkVlP + -^-^т", k = 1, 2, 3; A.2*
сохранения энергии
т —Q). A.3)
Здесь приняты следующие обозначения: V • и„ — вектор скорости;
ppMVu, PPm и Hv2M — давление, плотность и полная энтальпия;
tLJvu — время; трм0м — тензор напряжений; ОрмОм — вектор по-
потока тепла, обусловленного теплопроводностью и пульсаиионным
турбулентным движением; vl, т*' — контравариантные компоненты
вектора V и тензора т; gik — контравариантные компоненты метри-
метрического тензора координатной системы; V,- — символ ковариантного
дифференцирования по переменной q'.
В соответствии с принятыми в тензорном анализе правилами по
двум повторяющимся нижнему и верхнему индексам происходит
суммирование, т. е.
1=1
В случаях, когда по повторяющимся индексам суммировать не нужно,
эти индексы будут браться в скобки.
Уравнения A.1) — A.3) записаны в форме, пригодной для описания
как ламинарных, так и турбулентных течений в зависимости от тензо-
тензора т и вектора Q.
Тензор напряжений запишем в виде суммы тензора вязких напря-
напряжений S5 и тензора турбулентных напряжений я. Компоненты тен-
тензора вязких напряжений определяются равенством [109]:
рч = klg</ div V + 2\ielf, A.4)
где ег' — контравариантные компоненты тензора деформаций,'
е"' = 4" (?""у«о/ + 8/тУт«1У, A.5)
2
lj = g y ц; jj|iM — динамический коэффициент вязкости; ?цм —
второй коэффициент вязкости, индекс «м» относится к соответствую-
соответствующим масштабным величинам; ReM = рмим/.н<Ум — число Рейнольдса.
Выражение для тензора турбулентных напряжений я через осреднен-
ные параметры зависит от принимаемой модели турбулентности [66].
Для вектора потока тепла примем
Q = prgradh, A.6)
где Рг = liCp/X, X — коэффициент теплопроводности, ср— удельная
теплоемкость при постоянном давлении; h — Н — V • V/2 — удель-
удельная энтальпия.
Система уравнений A.1) — A.3) с учетом A.4) — A.6) является си-
системой из пяти уравнений относительно шести неизвестных функций
от ql\ p, р, h, vk. Для замыкания этой системы необходимо привлечь
уравнение состояния и определить зависимость коэффициентов вяз-
вязкости ц, Z, и теплопроводности от температуры.
Запишем уравнение состояния в квазисовершенной форме [71]
P=-Z(P!h,ci) P*' A-7)
где Z некоторая функция своих аргументов, с, — концентрация ком-
компонент смеси для многокомпонентного газа. Отметим, что для совер-
совершенного газа Z == yl(f,— 1) = const, где у — отношение теплоем-
костей при постоянных давлении и объеме, примем ? = 0, ц — неко-
некоторая функция температуры Т — hlcp, % = -5— срц, Рг = const.
Широкое распространение для аппроксимации зависимости ji (T)
получили формула Сазерлентда [14] и степенная зависимость.
Далее приведем формулы, позволяющие записать выражение для
ковариантных производных и дивергенции при известной зависимости
контравариантных компонент метрического тензора от ql [109].
JO
Ковариантные производные контравариантных компонеда» вектора
и тензора записываются в виде
дЧ A.8)
-2j?- + PUlTit + pt'TJ!t.
dql
В свою очередь для символов Кристофеля Гд имеем
где gI; — ковариантные коэффициенты фундаментального метриче-
метрического тензора,
gli = *l-9,, A.10)
эг — тройка некомпланарных векторов, определяющих локальную си-
систему координат. В общем случае э^ — функции отд'.
Контравариантные компоненты метрического тензора определя-
определяются следующим образом:
где Gii — алгебраические дополнения элемента gt/ матрицы || gi,- ||;
g — определитель этой матрицы. Дивергенции вектора и тензора
определяются соотношениями
div V = V&1; div $> =
Кроме того, для дивергенции вектора и составляющих дивергенции
тензора можно получить [109]:
divV= ' ^Xl
Vg
И наконец, остановимся на определении физических компонент век-
вектора [109, 51, 147]. Суть дела в том, что кошравариантными компо-
компонентами вектора А в некоторой локальной системе координат, задан-
заданной векторами э4-, являются числа А1, определяющие следующую связь
векторов А и э,-:
А = А1 ¦ 9,.
Таким образом, размерности А1 при заданной размерности вектора
А зависят от размерностей вектора э,-. Последнее выражение можно
записать в виде
А = Л'|э@|.-г^т. A.12)
11
В этом выражении векторы эG | эA) | — единичные и произведения
А1 | э,/ | имеют размерность вектора А. В свою очередь | эг | = Vgn в
соответствии с определением метрического тензора. Произведения
А1 • | Эи, | обозначим через A [i] и будем называть физическими ком-
компонентами вектора, которые по существу являются косопараллельны-
ми проекциями вектора А на направления, определяемые координат-
координатными векторами э(. Тогда контравариантные компоненты вектора А
определяются следующим соотношением:
А1 = АЩ —\=г . A.13)
Легко убедиться [146], что при переходе от одной системы координат
к другой размерность физических компонент вектора сохраняется, а
размерность контравариантных (и ковариантных) компонент вектора
в общем случае изменяется. Это наблюдается на примере перехода
от декартовой системы координат к сферической. Действительно, в
декартовой системе координат векторы Э; единичные, в сферической —
вектор эь направленный по радиусу, единичный, а другие два вектора
имеют переменную длину. Так как вектор А имеет определенную раз-
размерность, не зависящую от системы координат, то в декартовой и сфе-
сферической системах размерности вектора контравариантных координат
будут различными, и разные компоненты, вообще говоря, будут иметь
неодинаковую размерность. Эту особенность следует учитывать при
записи уравнений в безразмерном виде. Выписанных соотношений
достаточно, чтобы представить уравнения Навье — Стокса в любой
системе координат. Для этого необходимо определить функциональную
зависимость ковариантных (и контравариантных) компонент метри-
метрического тензора от выбранных координат q\
1.2. СИСТЕМА КООРДИНАТ, СВЯЗАННАЯ
С ПОВЕРХНОСТЬЮ ТЕЛА
Наиболее естественной для задач обтекания тел вязким газом яв-
является система координат, связанная с поверхностью тела, в которой
одна из координат (пусть qs) изменяется по нормали к обтекаемой по-
поверхности, а координатные линии q1 и q2 лежат на поверхности. Вы-
Выпишем расчетные соотношения, связанные с этой системой координат.
Пусть поверхность тела это геометрическое место точек — концов
векторов
Г (q\ <?2) = X (q\ q*) x° + У fa1, Я2) У° + г (q\ </2) z»,
где х°, у0, z° — орты прямоугольной декартовой системы коорди-
координат; х, у, z — декартовы координаты точек поверхности; q1, g2 —
криволинейные координаты на поверхности. Тогда направления каса-
касательных к линиям qa = const определятся векторами (а = 1,2)
Примем эа — га — базовые векторы системы координат. Здесь и да-
далее индексы 1 или 2, обозначены греческими буквами и связаны с ко-
12
ординатами на поверхности,— 1, 2, 3 — латинскими буквами и отно-
относятся к координатам в пространстве.
Тогда ковариантные компоненты метрического тензора на поверх-
поверхности находятся так:
?аЗ = га-ге. A.14)
Легко видеть, что размерность компонент метрического тензора оп-
определяется следующим соотношением:
длина2 /, . rv
(U5)
Для элементов длины дуги на поверхности ds и угла ср между векторами
гх и г2 имеем
A.16)
«12
COS ф = -=—r=~ .
Пусть положение точек в пространстве определяется заданием трех чи-
чисел: q1, q2 и q3, причем q3 — расстояние по нормали. Чтобы выделить
особое значение q%, в некоторых случаях вместо q3 используют обозна-
обозначение п. Тогда положение точки в пространстве можно определить,
задав радиус-вектор этой точки
R(q1,q\n)^r(q1,q") + n-m, A.17)
где m — единичный вектор нормали к поверхности. Компоненты мет-
метрического тензора для введенной системы координат определяются
из соотношения
gap = Ra • Щ = (Г« + ПП\а) (гР + rtltlp);
Используя определения для коэффициентов первой и второй квадра-
квадратичной форм поверхности, являющихся компонентами метрического
тензора g°a$ и тензора Ьа$, получаем
g*a = gl» - 2nbafi + tfblbxb, A.19)
где &a= Ф^Ъ$х — смешанные компоненты тензора 6аз-
Используя A.11) и A.18) для контравариантных компонент метри-
метрического тензора, находим
^ A.20)
где g° = te? g)
Подставляя приведенные в этом параграфе соотношения в опреде-
определение символов Кристофеля A.9), получаем
й-г»-о. гаР = 1Г^__ + ———j.
13
Легко убедиться, что размерности компонент g"-® и символов Г«р с
учетом A.15) определятся равенствами
длина'
A.22)
dimr?f» =
dim gp • dim^a
В ортогональной системе криволинейных координат ga$ = 0, feag = О,
тогда, учитывая, что ка = ^ кривизна координатных линий,
легко получить
gaa^g4aa){\+*anY\ g«« = _i_ . A.23)
s(aa)
Для символов Кристофеля имеем
В случае когда тело имеет сложную пространственную конфигура-
конфигурацию, не всегда можно использовать систему координат, в которой век-
вектор э3 везде направлен по нормали к поверхности. Ограничения при-
применения этой системы координат связаны с двумя обстоятельствами:
первое — поверхность тела может был, такой, что направления нор-
нормалей, проведенных из различных точек, будут пересекаться в преде-
пределах расчетной области; второе — во многих случаях при решении
задачи на базе упрощенных уравнений маршевыми методами необходи-
необходимо, чтобы продольная составляющая вектора скорости о [1] была боль-
больше местной скорости звука. Последнее в большинстве случаев может
быть достигнуто выбором специально ориентированной координатной
сетки на поверхности тела. Для избежания сложностей, связанных g
первым обстоятельством, и, частично, со вторым, необходимо в каче-
качестве линий изменения д3 рассматривать перпендикулярные к поверх-
поверхности линии, направление которых меняется таким образом, чтобы
избежать их пересечения и чтобы во всем возмущенном поле потока
было v [1] больше скорости звука. Примеры построения такой системы
координат приводятся в [ 140Г. В этой работе система координат зада-
задается уравнением
) n(q\ q\ t)dt\.
о
где n (q\ q\ t) = m {q\ q*) + <p (/) (a (q\ q\ f)-m (q\ <72)), <p (/) функ-
функция при / < <73*, равная нулю, а при t>qz* — единице.
И
Вектор а определяет направление координатных линий q3 в облас-
области, расположенной на расстоянии от поверхности тела, большем q3*.
Это направление выбирается так, чтобы избежать пересечения коорди-
координатных линий <73. Из этого условия выбирается и значение координаты
q3*, которая в общем случае может быть функцией ql и q2. Следует
отметить, что при такой системе координат все коэффициенты метри-
метрического тензора в общем случае являются функциями от q1, q1, q3, т. е.
равенства A.20) не имеют места.
Рассмотрим случаи, когда уравнение поверхности тела задано в
декартовой и цилиндрической системах координат.
Декартовы координаты. Уравнение поверхности тела: г — f (х, г/)_
Введем на поверхности криволинейные координаты ql = х, q2 = у.
Тогда
Ьаа = BaJg; Ьа(, = Ba$/g; A
Цилиндрическая система координат. Уравнение поверхности тела:
г = В (z, ф), тогда
q1 = z; q2 = ф;
ft
1
+
1
S
Bi ;
BB'n;
„0
g^22 =
= B2
+
B2;
g?2 :
,2
g
= BiB2;
-вв22 .
^12 (Вгц,В ВгВф).
Выбор системы координат на поверхности тела определяется удобства-
удобствами описания поверхности, получения и интерпретации результатов
решения задачи обтекания. Выписывание формул для случаев зада-
задания поверхности в декартовой и цилиндрической системах определено
гем, что именно эти координаты наиболее часто используются при ис-
исследовании обтекания тел.
В системе координат, связанной с поверхностью тела, координат-
координатное направление q3 имеет особое значение. С одной стороны, это свя-
связано с тем, что коэффициенты метрического тензора ?;з, gi3 имеют наи-
наиболее простой вид и не зависят от формы поверхности. С другой
стороны, и это главное, именно в этом направлении происходит, как пра-
¦ - - " >1
вило, резкое изменение параметров при малых е = Г— , что служит
У.Re
основой для асимптотических упрощений уравнений. В связи с эти»
выпишем, используя приведенные в предыдущем параграфе формулы,,
уравнения Навье — Стокса, явно выделяя производные по аъ и компо-
компоненту скорости v3. После очевидных преобразований получим
= ' (L27>
15
A.28)
A.29)
— + v'VcH] = д-?- + — — fУЪ X
V-glj%ia _Q«). A.30)
В уравнении A.28) символ Vp обозначает результат ковариантного
дифференцирования без слагаемых, содержащих Г^р. Используя оп-
определение ковариантного дифференцирования, записываем выраже-
выражение для конвективного оператора
vlViVa = vl -^C- + и'у'Т?/. A.31)
Для окончательной записи уравнений необходимое A.27) — A.31)
перейти от контравариантных компонент вектора скорости к физиче-
физическим согласно формуле A.13).
1.3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В силу того что уравнения Навье — Стокса содержат вторые про-
производные по всем координатам ql от составляющих вектора скорости
v' и полной энтальпии Н, для однозначного определения решения этих
уравнений необходимо сформулировать граничные условия для каж-
каждой из этих функций на поверхностях, ограничивающих область те-
течения, в которой ищется решение. Кроме того, на части границ необ-
необходимо сформулировать условия для давления р.
Вид этих условий зависит от решаемой задачи. Для задач внешне-
внешнего обтекания тел вязким газом наиболее характерными являются ус-
условия, формулируемые на обтекаемых поверхностях и в невозмущен-
иом набегающем потоке.
Теоретически возмущения, вызванные помещенным в поток телом,
распространяются на бесконечные расстояния от тела. Практически
на некоторой поверхности Е,», удаленной на определенное расстоя-
расстояние вверх по потоку от тела, возмущения принимают настолько малые
значения, что параметры на этой поверхности можно считать равными
параметрам набегающего потока Vx, /?«,, hx, px. Здесь и далее индекс
оо относится к параметрам в набегающем потоке. Положение поверх-
поверхности Еоо определяется из условия, что решение не изменялось при из-
изменении расстояния этой поверхности от тела [54].
При сверхзвуковых течениях с достаточно большими числами Рей-
нольдса перед обтекаемым телом формируется фронт резкого измене-
изменения параметров газа — ударная волна. Толщина волны в соответст-
16
вии с асимптотическими оценками [133, 76] имеет порядок е2 и, сле-
следовательно, стремится к нулю при Re -> с». При решении многих за-
задач обтекания, особенно с использованием различных упрощений
уравнений Навье — Стокса, целесообразно связать поверхность 2те с
фронтом ударной волны. В предельном случае е = 0 параметры за
ударной волной связаны соотношениями Рэнкина — Гюгонио с па-
параметрами набегающего невозмущенного потока и параметрами, оп-
определяющими форму поверхности 2М. Эти соотношения являются
следствием законов сохранения массы, импульса и энергии при пере-
переходе через ударную волну. При умеренных «103) числах Рейнольдса
в соотношениях, определяющих изменение параметров при переходе
через фронт волны сжатия, которую все еще можно считать поверхнос-
поверхностью нулевой толщины, начинают играть роль члены, учитывающие
влияние вязкости [133, 76, 75]. Для получения этих соотношений мож-
можно воспользоваться общепринятыми подходами, основанными либо на
законах сохранения массы, импульса и энергии, записанных в интег-
интегральной форме [66, 75], либо на результатах асимптотического ана-
анализа при Re ->¦ оо, примененного непосредственно к дифференциаль-
дифференциальным уравнениям Навье — Стокса. Используем последний подход. За-
Заметим, что при переходе через фронт сжатия, толщина которого
порядка е-5 = —5—, относительное изменение газодинамических пара-
параметров будет порядка единицы, т. е. производные от них по направле-
направлению нормали будут порядка -^-. Запишем уравнения Навье — Сток-
Стокса в системе координат, связанной с поверхностью фронта сжатия,
при этом считаем: п — расстояние по нормали к этой поверхности;
q1, q2 изменяются вдоль некоторых линий, лежащих на этой поверх-
поверхности. В соответствии с приведенными выше рассуждениями введем
«растянутую» переменную ц = —г. Переходя в уравнениях Навье —
Стокса, записанных в переменных ц, q1, q2, к пределу при е -> 0, по-
получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, опреде-
определяющих изменение газодинамических параметров при переходе че-
через фронт сжатия, в которые переменные ql, q2 входят в качестве пара-
параметров. Эти уравнения можно записать, учитывая, что в уравнениях
Навье — Стокса останутся лишь члены, содержащие производные пот],
g п ч dva д dva ч dv3 dp .
дг\ г дг\ дг\ ~ дц г дц дц
, д dv3 „ дН д
„
Проинтегрируем выписанные уравнения по т) в пределах от — оо до
+ оо. Причем г] -> —оо соответствует условиям в набегающем потоке,
т| -> +оо — условиям на внутренней поверхности волны ударного сжа-
сжатия. С учетом этого после перехода к переменной п получим
2 6-3097 17
где индекс s обозначает параметры перед (индекс оо) и за ударной вол-
волной в системе координат, связанной с поверхностью ударной волны.
При ReM -> оо из A.27) получаются обычные уравнения Рэнкина —
Гюгонио.
Теперь остановимся на записи граничных условий на обтекаемой
поверхности. К ним относятся: условия, заключающиеся либо в
равенстве нулю нормальной составляющей вектора скорости (усло-
(условие непротекания), либо, при наличии вдува, в задании дополни-
дополнительного соотношения, определяющего этот вдув; условия для ка-
касательных к поверхности составляющих вектора скорости; условия
для температуры или теплового потока либо их некоторой комбина-
комбинации. В простейшем случае эти условия запишем в виде Vs (д1, </2, 0) = 0;
v- (q\ q\ 0) = 0, h (q\ q\ 0) - hw (q\ </2) либо -^ (q\ q\ 0) =
— Q.w (q1, q2)- В более общем случае, при умеренных числах Рейнольд-
са, необходимо учитывать скольжение на поверхности, т. е. исполь-
использовать условия [52]
q)(qq) 1%
Здесь а и b коэффициенты, зависящие от параметров газа на поверх-
поверхности,
v2Ji
У ' Р A.35)
2
b = ^ Bjtft)
Р у + 1 v > р Рг '
где а, р — коэффициенты аккомодации, которые можно принять рав-
равными единице; ах — 0,988, а% = 0,827 [52, 99]. Более общие граничные
условия, учитывающие вдув или сопряженный тепломассообмен на
химически активной поверхности, рассматриваются в девятой главе.
1.4. УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ
Обтекание тел вязким газом описывается уравнениями Навье —-
Стокса, приведенными в параграфах 1.1, 1.2. Решение этих уравнений
для конкретного течения должно удовлетворять условиям в набега-
набегающем невозмущенном потоке, определяемым заданием величин V^,
poo, poo, и условиями на поверхности тела, в которые входит функция
Tw (q1, q2). В свою очередь поверхность тела может быть задана, на-
например, в декартовой системе координат уравнением F (х, у, z, L) =
= 0, где L некоторый характерный линейный размер.
Кроме перечисленных величин течение определяется теплофизи-
18
ческими параметрами газа: газовой постоянной R, удельной теплоем-
теплоемкостью при постоянном давлении ср (или при постоянном объеме —
cv), функциональными зависимостями коэффициентов переноса от тем-
температуры и характерными величинами, входящими в эти зависимости.
Для совершенного газа набор определяющих параметров и функций
исчерпывается перечисленными. Для семейства геометрически подоб-
подобных тел вместо функции F (х, у, г, L), которую можно заменить функ-
функцией / (-^-, -у-, -|-), одной и той же для всего семейства тел, появляют-
появляются, в дополнение к L, два параметра — углы, характеризующие ори-
ориентацию тела относительно вектора скорости набегающего потока;
а — угол атаки и т|) — угол скольжения.
Для тела с постоянной температурой поверхности T°w вместо функ-
функции Tw (q1, q2) появляется определяющий параметр — T°w. И наконец,
при степенной зависимости коэффициента вязкости от температуры,
т. е. если [д, = \iuTw, к определяющим параметрам добавляется пока-
показатель степени со.
Таким образом, при оговоренных условиях, поле возмущенного
потока около геометрически подобных тел зависит от параметров
1 Voo |, poo, Poo, R, ср, Тш, со, L, а, \\>.
Функциями именно этих величин и координат ql будут определяемые
газодинамические параметры v [i\, p, p, H, Для формулировки усло-
условий подобия воспользуемся п-теоремой [1081, в соответствии с которой,
если из N величин К обладают независимыми размерностями, то из
этих величин можно образовать /V — К безразмерных комбинаций.
Если в числе этих N — К величин имеется М безразмерных постоянных
комплексов, то именно эти комплексы и будут являться критериями
подобия: для двух процессов с различными значениями размерных оп-
определяющих параметров, но такими, что введенные безразмерные комп-
комплексы совпадают, безразмерные определяемые параметры также сов-
совпадают.
Газодинамические течения определяются следующими безразмер-
безразмерными комплексами:
число Маха
V V
М — °° __ °° _
|/
где у = —2 отношение удельных теплоемкостеи;
число Рейнольдса
Им
температурный фактор
число Прандтля (для совершенного газа)
2* 19
Здесь принято Го» и Too — температура торможения и статическая
температура, То™ = Too \\ + ^—^—М\Л. В соответствии с изложен-
изложенным выше поля течения около геометрически подобных тел будут
подобными при одинаковых комплексах М«,, Re, у, Pr, Tw/T0ao и пара-
параметрах со, a, i|5. В случае если поверхность теплоизолирована, пара-
параметр Tw/TQoa отсутствует. Для невязкого, нетеплопроводного газа па-
параметры Re, Pr, Гш/Г0«, выпадают из рассмотрения и для подобия те-
течений достаточно совпадения Мтс и у.
Для гиперзвуковых течений невязкого газа при Мх -*¦ оо течение
перестает зависеть и отМо» с погрешностью ~ —*—. Другими словами,
имеет место принцип гиперзвуковой стабилизации [71, 139]. Это свя-
связано с тем, что если в качестве масштабных параметров для скорости,
давления, плотности и энтальпии ввести соответственно Voc, Poo^L,
р.» и Vlo, то число Маха будет присутствовать вместе с выражениями
/>оо = pJpaoVt, = l/iyMoJ и Я0оо = -о- 4 о— только в соот-
1 (V — 1) Л!»
ношениях Рэнкина — Гюгонио и уравнениях состояния, причем при
Мх ->- со имеем рх -*- 0, //Оте -> 0,5.
Для вязкого теплопроводного газа в связи с зависимостью Гооо =
1 + -^-п— ^f~) величиной Ml будет определяться температу-
температура, а следовательно, и динамический коэффициент вязкости. Однако
если в качестве масштабной величины для [i взять \х (То<х>) и, следова-
тельно, в качестве числа Re комплекс Re0 = °°7,°°. , то и для вязких
№(' О)
течений можно сформулировать принцип гиперзвуковой стабилиза-
стабилизации следующим образом: при постоянных значениях Re0 решение
уравнений Навье — Стокса имеет предел при М„ -> °о, т. е. суще-
существуют значения чисел Моо^ 1, при которых газодинамические пара-
параметры становятся обезразмеренными с помощью введенных масштабов
и не зависят от Мое. Таким образом, начиная с некоторого значения
Моо ^> 1 течения при различных значениях М,*, будут подобны при
условии, что р.», К,», L, и изменены так, что Re0 = idem. Это прави-
правило подобия подтверждено многочисленными экспериментальными дан-
данными, приведенными в [21, 34, 35, 41]. Дальнейшее видоизменение
условий подобия имеет место для случаев обтекания тупых тел с боль-
большой плотностью за отошедшей ударной волной и гиперзвукового обте-
обтекания тонких тел.
1.5. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА И ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ.
ЗАДАЧИ ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Для трехмерных течений уравнения Навье — Стокса, особенно
яри использовании неортогональной криволинейной системы коорди-
координат, имеют довольно сложный вид. Их численное решение связано с
20
рядом трудностей, в том числе, что отмечено выше, вызванных нали-
наличием параметра е, который при больших числах Рейнольдса становит-
становится очень малым. В связи с этим интересно рассмотреть возможные уп-
упрощения этих уравнений. При е -> 0 тензор напряжений -к— т'' ->¦ О,
и уравнения Навье — Стокса переходят в уравнения Эйлера, описы-
описывающие течения без учета влияния вязкости. В инвариантной форме
эти уравнения имеют вид
*?-+«*<"=-7 ¦%¦• A-36)
В отличие от полной системы уравнений Навье — Стокса эти уравне-
уравнения не содержат вторых производных, и поэтому часть граничных
условий, сформулированных в параграфе 1.3, не может быть удовлет-
удовлетворена. В частности, из условий, сформулированных на обтекаемой
поверхности, не представляется возможным удовлетворить условиям
для касательных составляющих вектора скорости хР- (или v [а]). Ре-
Решение этих уравнений может удовлетворить лишь условию v3 (q1, q%,
0) = 0. Поэтому для построения равномерно пригодного при е ->- 0
решения уравнений Навье — Стокса необходимо наряду с уравне-
уравнениями Эйлера рассмотреть и уравнения пограничного слоя, позволя-
позволяющие удовлетворить всем условиям на обтекаемых поверхностях.
Традиционно уравнения пограничного слоя выводятся из уравне-
уравнений Навье — Стокса с помощью оценивания порядка отдельных сла-
слагаемых и отбрасывания членов более высокого порядка малости [65,
66]. При этом основной оценкой, из которой вытекают все остальные,
является оценка толщины пограничного слоя, т. е. зоны в окрестности
тела, где проявляется подтормаживающее влияние поверхности и, сле-
следовательно, несправедливы уравнения невязкого течения. При этом
из условия, что в пограничном слое влияния вязких и инерциальных
сил соизмеримы, получаем, толщина пограничного слоя будет поряд-
порядка е. Тогда из уравнения неразрывности следует, что нормальная к
поверхности составляющая вектора скорости также будет иметь по-
порядок е. С помощью этого подхода получаются уравнения погранич-
пограничного слоя в первом приближении. На внешней границе такого слоя
параметры принимаются равными параметрам невязкого потока на
поверхности обтекаемого тела, определенные без учета течения в погра-
пограничном слое. При необходимости учета влияния пограничного слоя на
невязкое течение используется понятие толщины вытеснения, введен-
введенное согласно физическим соображениям; толщина вытеснения — это
расстояние, на которое оттесняются от поверхности тела линии тока
невязкого течения вследствие подтормаживающего влияния вязкости.
Формальным путем уравнения пограничного слоя можно получить
с помощью метода составных разложений [161, рассматривая асимпто-
асимптотическое разложение решений Навье — Стокса в ряд по степеням
параметра е. Причем этот подход позволяет не только найти уравне-
уравнения Эйлера и пограничного слоя в первом приближении как резуль-
21
тат формального предельного перехода при е -> 0, но и записать урав-
уравнения, позволяющие учесть высшие приближения, в том числе и с уче-
учетом взаимодействия внешнего невязкого течения с течением в погра-
пограничном слое.
Систематическое применение такого подхода для получения второ-
второго приближения теории сжимаемого двумерного пограничного слоя
изложено в [15]. Анализ особенностей применения метода составных
разложений на примере двумерного пограничного слоя в несжимае-
несжимаемой жидкости приведен в [143]. Применим подходы, изложенные в
этих работах, к выводу уравнений трехмерного пограничного слоя и
условий сопряжения решений этих уравнений с решением уравнений
Эйлера. При этом будем рассматривать члены порядка единицы и е.
Воспользуемся уравнениями Навье — Стокса, выписанными в пара-
параграфе 1.2 в системе координат, связанной с поверхностью тела. Здесь
и далее будем обозначать q3 через п, vs, v [3] через vn. Так как при
е -> 0 вторая производная по q3 (вместе с тензором напряжений т'О
пропадает и вместе с этим становится невозможным удовлетворить
граничным условиям на поверхности тела, то, в соответствии с методом
составных разложений, введем «внутреннюю» переменную ц = — и
рассмотрим предельную форму уравнений Навье — Стокса, перепи-
переписанных во «внутренних» переменных при е-+0 и конечных ц. Тогда
из уравнения неразрывности следует, что необходимо ввести и новую
зависимую переменную vn — vje, которая также остается конечной
при е -> 0. Используя введенные переменные, запишем уравнения
Навье — Стокса, сохраняя члены, содержащие е, и отбрасывая члены
с е2. При этом уравнение A.27) остается без изменений с учетом заме-
замены у8 и q3 на vn и ц. Учитывая, что при q°a$ ~ 1 ^> г символы Кристо-
феля Гзр и Г„р также будут порядка единицы, уравнения A.28),
A.30) с погрешностью порядка е2 можно записать в виде
dt
+ 2eji-^—Гр3; 4 A.37)
Из уравнения A.29) следует
A.38)
Причем, как это вытекает из A.19), A.21), коэффициенты метрическо-
метрического тензора и символы Кристофеля с погрешностью порядка е2 опреде-
определяются соотношениями
gtt = go
В отличие от [15], где для расчета параметров пограничного слоя
в первом приближении используются обычные уравнения погранич-
22
ного слоя, не содержащие е, а для учета эффектов порядка е во вто-
втором приближении — линейные уравнения, уравнения A.36) — A.38)
содержат как эффекты первого, так и второго порядка. Другими сло-
словами, из решения этих уравнений можно получить два члена в раз-
разложении по степеням в решения полной системы уравнений Навье —
Стокса. Такая формулировка задачи является предпочтительной при
численном решении задачи о течении в пограничном слое с учетом
членов второго порядка, так как не требует разработки отдельных
программ для решения уравнений второго приближения и не приво-
приводит к существенным усложнениям по сравнению с решением уравне-
уравнений пограничного слоя в первом приближении. Для двумерных те-
течений эти уравнения рассматривались в [156].
Уравнения A.37) — A.38) являются системой параболических урав-
уравнений, и для однозначного определения ее решения необходимо за-
задать граничные условия на поверхности тела и на условной границе
пограничного слоя. Условия на поверхности сформулированы в пара-
параграфе 1.3 и остаются такими же как для полной системы уравнений
Навье — Стокса. Отметим, что соотношения A.34) записаны с учетом
членов порядка е. На внешней границе пограничного слоя значения
искомых функций определяются исходя из условий «склейки» решений
пограничного слоя (внутреннего разложения) с решением уравнений
Эйлера (внешнее разложение). Для формулировки этих условий при-
применим широко используемый в методе составных разложений принцип
Лагенстрома [16]: т-й член внутреннего разложения для р-го члена
внешнего разложения равен р-му члену внешнего разложения для
лг-го члена внутреннего разложения.
Применение такого принципа при т = р= 1 дает общепринятые
условия для пограничного слоя в первом приближении:
lim/п {q\ q\ т)) = Fn (q\ q\ 0), A.40)
Г|-юо
где fn, Fn — значения газодинамических функций при е = 0 (кро-
(кроме у3) в пограничном слое и невязком потоке, т. е. это решения уравне-
уравнений пограничного слоя и уравнений Эйлера. Что касается и3 и V3,
то принято V? = 0, а для vn — — при г| -> оо условие не ставится.
Здесь и далее для обозначения решений пограничного слоя исполь-
используются строчные буквы, а для решений уравнений Эйлера — соответ-
соответствующие прописные. Для вторых членов разложения решения урав-
уравнения Навье — Стокса в ряд по степеням е получаются следующие ус-
условия сопряжения:
\\mfi2(q1, q%, т]) = Л '' (ql, q2, 0) + Fi2(q1, q2, 0), A.41)
а для vin имеем
п — Л-^-(<7\ <?2> 0I = Vl(ql, q*, 0). A.42)
Последнее уравнение служит граничным условием для решения урав-
уравнений Эйлера на поверхности тела, а для v2n так же, как и для v\n,
условие при т]-> оо не формулируется. Объединяя A.40) и A.41),
23
получаем уравнения, связывающие решение уравнений пограничного
слоя с решением уравнений Эйлера: при г) -> оо
fa {q1, q2, л) + e.fniq1, q2, л) =
= Fn (q\ q\ 0) + e (л -^- (<?\ q2, 0) + F20 (q\ q\ 0)) . A.43)
С точностью до членов порядка е2 последнее можно переписать в виде
fi{q\q2, г,, z)-+Fi(q\q2,er],E). A.44)
Таким образом, решение уравнений Навье — Стокса с погрешностью
порядка е2 можно свести к решению уравнений пограничного слоя,
содержащих члены порядка е, и к решению уравнений Эйлера. При
этом решение уравнений пограничного слоя удовлетворяет граничным
условиям на поверхности тела, сформулированным для уравнений
Навье — Стокса, и условиям, выражаемым соотношением A.44), на
внешней границе пограничного слоя. В свою очередь решение уравне-
уравнений Эйлера должно удовлетворять условию A.42) на поверхности тела
и условиям Рэнкина — Гюгонио на ударной волне или каким либо
другим условиям на внешней границе расчетной для невязкой части
потока области.
Совместное решение перечисленного набора уравнений составляет
предмет задачи вязкого взаимодействия.
В заключение этого параграфа остановимся на обсуждении условия
A.42) и укажем на его связь с концепцией тела вытеснения, эффектив-
эффективно используемой в теории вязкого взаимодействия. Прежде всего по-
покажем, что предел при "п -*¦ оо выражения, стоящего в левой части
A.42), конечен. Ограничимся для упрощения вывода соотношений слу-
случаем ортогональных координат и перейдем к физическим компонентам
скорости, которые будем отмечать индексом внизу. Кроме того, так
как исчезает различие контра- и ковариантных координат, индексы
при обозначениях координат будем также писать внизу. Умножим обе
части соотношения A.42) на R (qlt q2, 0) Vg и, учитывая, что
Jim p (qlt q2, г]) = R (g,, q2, 0), перепишем его в виде
?2, 0) V23 (ft, q2) V~g = e lim (Vgpvln -Ц~(VWR
Воспользовавшись уравнением неразрывности для определения Vgpvn
_д_
дц
лучим
в пограничном слое и -г— (V3R \^g) |T,==0 в невязкой части потока, по-
R{Qi. </.. 0)^23 (<7i. 92, 0) Vg = е lim -^- I J (RV1-pvl)dr\V^2\ +
\\
, — pv2) d\\V g°22 I = A.45)
= e
24
где б* = П 1—-щ^-Ых) — конечная величина. Соотношение A.45)
можно использовать для уравнений Эйлера в качестве граничного
условия, учитывающего влияние пограничного слоя.
Пусть вследствие подтормаживающего влияния пограничного слоя
невязкий газ оттесняется от поверхности тела по нормали на расстоя-
расстояние еб*, т. е. поверхность вытеснения определяется уравнением п —
= еб* (<71; q2).
В соответствии с концепцией толщины вытеснения учет влияния
пограничного слоя на невязкий внешний поток сводится к тому, что
рассматривается обтекание не фактического тела, а эффективного те-
тела, ограниченного поверхностью вытеснения. На этой поверхности
ставится обычное для невязкого течения условие
(V.ne.) = 0, A.46)
где пе* — вектор, направленный по нормали к поверхности вытесне-
вытеснения,
1 <56* о , 1 <Э6* о\
^ ж^т (М7>
В свою очередь ш, Эь э^ — единичные векторы, ориентированные по
нормали к поверхности и соответствующим координатным направ-
направлениям.
С учетом A.46), A.47) имеем
VIRV3 (ft, ft, Еб*) = Vg RV3 (ft, ft, 0) + e dRV^g 6* =
Определяя производную от RV3Vg по п, как и ранее, из уравнения
неразрывности и используя A.45), после очевидных преобразований
приходим к равенству
-^- (RVt VJ2 (б; - б*)) + JL- {RV2 Vf&iU - б*)) = 0. A.48)
В случае двумерного течения, не зависящего от </2. из A.48) для толщи-
толщины вытеснения б* получаем б* = б*, что совпадает с обычным соот-
соотношением [66].
В случае течения несжимаемой жидкости, описываемого в декар-
декартовой системе координат, формула A.48) переходит в уравнение, по-
полученное согласно физическим соображениям [65]. В случае ортого-
ортогональных криволинейных координат A.48) совпадает с уравнением
для толщины вытеснения, приведенным в [80].
1.6. УРАВНЕНИЯ ВЯЗКОГО УДАРНОГО СЛОЯ.
ПАРАБОЛИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим систему уравнений пограничного слоя с учетом чле-
членов порядка е, дополненную уравнением количества движения в про-
проекции на m из системы уравнений Эйлера. Как следует из предыдуще-
25
го, эта система уравнений аппроксимирует уравнения Навье — Сток-
са с погрешностью порядка е2 и позволяет удовлетворить всем услови-
условиям, формулируемым для решения уравнений Навье — Стокса на об-
обтекаемой поверхности. Эти уравнения принято называть уравнениями
вязкого ударного слоя (ВУС) [20, 38]. Они позволяют получить ре-
решение задачи обтекания тел при малых е с той же точностью, что и
уравнения пограничного слоя и невязкого течения в постановке вяз-
вязкого взаимодействия [156]. Однако при умеренных значениях
Re (Re да 102 -=- 10s) диапазон применимости уравнений ВУС шире.
Также достоинством этих уравнений является то, что исчезает необ-
необходимость сопряжения решений уравнений пограничного слоя и Эйле-
Эйлера, свойственная задачам вязкого взаимодействия. Уравнения ВУС
значительно проще уравнений Навье — Стокса. Принципиальным яв-
является отсутствие вторых производных по переменным q1, q2. Это поз-
позволяет для стационарных сверхзвуковых течений переменную qx (или
</2) рассматривать как переменную временного типа и решать систему
уравнений ВУС маршевыми по этой переменной методами. Однако
в области дозвуковых течений задача с начальными данными (задача
Коши) для уравнений ВУС не корректна: малые различия в началь-
начальных данных приводят к большим различиям в решении. Это связано
с тем, что учитывается в соответствии с уравнением из A.36) при / =
= 3 изменение давления поперек дозвуковой пристеночной области.
Для регуляризации решения применяются различные приемы. Осо-
Особенности применения уравнений ВУС для решения задач обтекания
тел вязким газом и полученные при этом результаты обсуждаются в
гл. 5. Обобщением уравнений ВУС являются параболизованные урав-
уравнения Навье — Стокса. Эти уравнения не выводятся асимптотически
из уравнений Навье — Стокса, а получаются формальным отбрасыва-
отбрасыванием производных по продольной переменной (пусть это будет q1) от
компонент тензора вязких напряжений. Уравнения, полученные та-
таким образом, являются более полными, чем уравнения ВУС, и содер-
содержат ряд членов, вклад в решение которых имеет порядок е2. Отсутствие
вторых производных по переменной q1 позволяет формулировать для
стационарных течений задачу с начальными данными, для которой
разработаны эффективные маршевые методы решения в областях пол-
полностью сверхзвуковых течений. Однако методы пошагового интегри-
интегрирования этих уравнений оказываются некорректными в областях до-
дозвукового течения, имеющих место в пристеночном слое жидкости.
Поэтому, как и для уравнений ВУС, необходима разработка регуля-
ризующих процедур, наиболее простой из которых является допуще-
допущение, что -5-3 = 0 при М <С 1. Различные другие приемы пошагового
интегрирования описаны в многочисленных работах, например [6, 20,
27, 112, 134, 148], и обсуждаются в гл. 5. Наличие в параболизован-
ных уравнениях Навье — Стокса вторых производных по переменной
.ql позволяет расширить ассортимент задач, поддающихся решению
методами пошагового интегрирования. Наиболее интересной являет-
является возможность исследования на базе этих уравнений поперечного от-
отрыва [60, 67, 136].
56
Остановимся еще на упрощениях, которые допускают уравнения
Навье — Стокса в задачах гиперзвукового обтекания тупых тел. Как
известно [71, 139, 137], эти течения характеризуются тем, что плот-
плотность газа за ударной волной намного больше плотности невозмущен-
невозмущенного потока, т. е. величина k = —^-<^ 1 (здесь, как и ранее, р«, и ps —
значения плотности перед и за ударной волной). Поэтому интересно,
наряду с предельным переходом -щ ->¦ 0, рассмотреть и предельные
переходы М«, -*¦ оо, k -*¦ 0. Наиболее характерным следствием этого
предельного перехода является то, что толщина ударного слоя 6 (зоны
между обтекаемым телом и ударной волной) стремится к нулю вместе
с k при у ~у 1. При этом нормальная к поверхности тела составляющая
вектора скорости будет порядка k. Эти особенности позволяют суще-
существенно упростить уравнения и являются методической основой при-
приближенных методов решения задач невязкого обтекания тел [139, 71].
Предельный переход k -у 0 при k Re = 0 A) позволяет существенно
упростить и уравнения обтекания тел вязким газом.
Систематическое применение этого подхода для двумерных тече-
течений рассмотрено в [75] и излагается в гл. 4. Основные особенности его
заключаются в следующем. Как показано в гиперзвуковой теории об-
обтекания тел вязким газом, отход ударной волны от поверхности глад-
гладкого тупого тела будет порядка к. Толщина вязкой зоны при Re ->- оо
в соответствии с оценками теории пограничного слоя имеет порядок
- /—. Следовательно, в масштабах толщины пограничного слоя при
} Ке
к —v 0 (при этом в соответствии со сказанным выше k ~ -=?— I толщина
невязкого потока будет равна нулю, и ударная волна ложится на по-
пограничный слой. В этом случае все течение между ударной волной и
поверхностью тела описывается уравнениями, совпадающими с урав-
уравнениями A.37), A.38). В качестве граничных условий по переменной ц
для этих уравнений следует использовать граничные условия, приме-
применяемые для уравнений Навье — Стокса: условия A.34) на поверхности
тела и A.33) на ударной волне.: Причем при строгом асимптотиче-
асимптотическом переходе при k -> 0 следует, что нормальная к поверхности удар-
ударной волны составляющая вектора скорости набегающего потока совпа-
совпадает с проекцией этого вектора на нормаль к поверхности тела. Это
в свою очередь приводит к дальнейшему упрощению задачи. Однако,
как показывают анализ результатов расчетов, проведенный в гл. 4,
во многих случаях отказ от концентричности ударной волны поверх-
поверхности тела и определение ее формы одновременно с решением диффе-
дифференциальных уравнений движения газа позволяют расширить диапа-
диапазон по у и Re применимости этой модели течения. Описанное прибли-
приближение к решению уравнений Навье — Стокса получило название
приближения тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС).
ГЛАВА 2
ОБОБЩЕННЫЕ УСЛОВИЯ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В результате упрощений уравнений Навье — Стокса получаем урав-
уравнения, которые, за исключением параболизованных уравнений, не
содержат вторых производных по q3 от составляющей вектора скорос-
скорости и3. Другими словами, система уравнений для описания течений вяз-
вязкого газа в упрощенных постановках сводится к системе уравнений
второго порядка относительно va, Н, которые при заданных v3 и р
являются уравнениями параболического типа, и двух уравнений пер-
первого порядка относительно функции v3 и р (уравнение неразрывности
и уравнение сохранения поперечной составляющей импульса). В то
же время граничные условия для Vs имеют краевой характер: задано
условие для v3 при q3 = 0 и q3 = 6 (q1, q2), где функция б определяет
форму второй границы области течения. В задачах обтекания таким
условием являются соотношения на ударной волне, в задачах вязкого
взаимодействия эти условия вытекают из условия сопряжения решений
уравнений Эйлера и пограничного слоя (уравнение A.42)). Во внут-
внутренних течениях v3 при отсутствии вдува должно быть равно нулю на
обеих границах расчетной области. В струйных течениях и течениях
с контактной поверхностью, разделяющей поле течения на две облас-
области, дополнительные условия для v3 появляются на этой поверхности.
Краевой по q3 характер граничных условий для функции и3, опре-
определяемой из дифференциальных уравнений первого порядка, позволя-
позволяет определить форму внешней границы и значения параметров на ней,
которые используются в качестве граничных условий для других функ-
функций va, р, Н.
Дальнейшие упрощения связаны с вырождением уравнения для
поперечной составляющей импульса, в результате которого полу-
получаем соотношение для -~, не содержащее v3 (уравнение A.39)
либо -А = О
Именно в этом приближении решается широкий класс газодинами-
газодинамических задач Типичным примером таких задач являются задачи по-
пограничного слоя. К этому классу относятся также задачи о течениях
газа: в узких каналах [117]; в тонком слое вдуваемого через поверх-
поверхность газа в условиях высокоскоростного, в частности сверхзвукового
обтекания; в энтропийном слое на телах с малым затуплением [71,
28
153]; в ударном слое при гиперзвуковом обтекании тел [75] и др. От-
Отдельные из перечисленных задач рассматриваются в гл. 3, 4, 7, 8. Об-
Общей особенностью, позволяющей объединить разные по физической
природе задачи, является то, что их решение сводится к системе урав-
уравнений параболического типа, в которой продольная координата q1
играет роль времени, независимо от значения продольной составляю-
составляющей вектора скорости v [1] по сравнению со скоростью звука. (При
этом, однако, теряется механизм передачи возмущений вверх по по-
потоку, присущий дозвуковым течениям).
Второй характерной особенностью этих задач является необходи-
необходимость определения функции р (q1, q2) и (или) формы внешней границы
<73 = б (<7Х, q2), из каких-либо дополнительных соотношений. Во мно-
многих случаях эти соотношения вытекают из условий взаимодействия
течения, описываемого в обсуждаемой постановке, с внешним потоком
и позволяют определить неизвестные функции р и б одновременно с ре-
решением дифференциальных уравнений. Необходимость одновремен-
одновременного решения упрощенных уравнений параболического типа и опре-
определения формы внешней границы и (или) распределения давления на
ней во многих случаях возвращает задаче в том или ином виде ее эл-
эллиптический характер. Это проявляется и в неединственности решения
в постановке Коши задачи вязкого взаимодействия, показанной в
{84], и в появлении особой точки в решении соответствующих уравне-
уравнений в интегральных методах теории отрывных течений [24], и в невоз-
невозможности получения замкнутого решения задачи о течении в дозву-
дозвуковой окрестности оси симметрии в ударном слое при гиперзвуковом
обтекании сильно затупленных тел [71].
Все отмеченные особенности решения задач типа пограничного слоя
приводят к необходимости разработки специальных алгоритмов опре-
определения функций р и (или) б и отбора решения, учитывающего эл-
эллиптический характер первоначальной неупрощенной задачи. В ос-
основу этих алгоритмов могут быть положены уравнения, полученные
на единой методологической основе для всего класса перечисленных
задач, которые выражают обобщенные условия вязко-невязкого вза-
взаимодействия [12, 121, 127].
2.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ
Запишем упрощенные уравнения типа пограничного слоя в орто-
ортогональной системе координат
dql dq2 да ' V • /
Р dv* , Р^2 dva , dva P"a»a д VgJ, _
dn VI
29
ReM
У g \ Л„ \ пг * I Ля I '
где va, как и прежде, физические компоненты вектора скорости.
Будем считать, что направление координатной, линии q1 совпадает
с направлением основного течения. Для двумерных плоских и осесим-
метричных течений в соответствии с этим v2 = 0, для сверхзвуковых
течений vl больше скорости звука.
Для получения обобщенных условий вязко-невязкого взаимодей-
взаимодействия целесообразно привести уравнение B.1) к форме, не содержащей
производных от р и их по qx.
Перепишем B.1) в виде
п 1 dvi i dp I 1 dv2 , dvn \
( Ц1к+ ЦК+г,п1ГЦ^0> B.5)
где —г— означает дифференцирование вдоль линии тока
d у, d v2 d ! а
dt у ~ dql |/ giT d?2 ~Г " дл
Из уравнения состояния для совершенного газа имеем
J_ _dp_ __ ! _dp_ 1_ dh
~p~ dt p~ dt h dt '
B.6)
Исключив —r~- с помощью уравнения энергии B.3), придем к уравнению
Ф L ll ' dQn ' /о 7\
rf/ "~ a2 d/ h dn Yg * v '
Далее для Ul из уравнения B.2) получим
1 dvl ] / !j2 аг^, j_ dvn \ i 1 dp
[' gn dn ¦ у g \ 1 dq2
Здесь обозначено
д V g.2g | i иы /о
oul
dn I I n ReM r s r 5n
B.9)
После подстановки B.8) и B.7) в уравнение B.5) получим
I dp
12 ур
30
vv
1 n
В уравнении B.10) содержатся производные по ql только от давления.
Это уравнение является точным следствием уравнений газовой дина-
, dQn i т„
мики (кроме членов с —р- и -т—, которые взяты из упрощенных урав-
уравнений Навье — Стокса) и могут быть использованы вместо уравнения
неразрывности. Несмотря на более громоздкий по сравнению с обычным
вид, при решении многих задач уравнение B.10) представляет опре-
определенные вычислительные преимущества. Это связано с тем, что систе-
система уравнений, состоящая из B.10) и уравнения сохранения попереч-
поперечного импульса, совместно с граничными условиями на поверхности
ударной волны позволяет при известных значениях иа и Н одновремен-
одновременно с определением значений функции vn и р найти геометрические па-
параметры ударной волны и, значит, газодинамические параметры на ней.
Это в свою очередь дает возможность сформулировать эффективные
итерационные методы решения задач обтекания при неизвестном по-
положении внешней границы либо неизвестных на ней граничных зна-
значениях давления.
г, dp A , д.р
В задачах, в которых можно положить, что -~~= 0, лиоо -^-—-
заданная функция va, уравнение B.10) позволяет получить соотноше-
соотношения для определения распределения давления на границе области
течения и форму этой границы.
Некоторые неудобства при использовании уравнения B.10) воз-
возникают в связи с тем, что vn входит в два члена этого уравнения.
В связи с этим уравнение B.10) можно разделить на v\ и после
некоторых преобразований получим
l7^ I dp щ_ _[__ dp
v u yp dq V yp 3<?
.., vn
dn
I ; (V .
+ Ч Ур dn +T^ ph f [Vt dn h dn
При -— — 0, проинтегрировав последнее уравнение по п, оп можно
представить простой квадратурой. В частном случае осесимметричного
течения в цилиндрической системе координат формула B.11) сводит-
сводится к уравнению, полученному в [163]. Уравнение B.11) может исполь-
использоваться для расчета течений, в которых vx не становится равным
нулю. Таким образом, в зависимости от решаемой задачи можно поль-
пользоваться как уравнением B.11), так и уравнением B.10). Для невяз-
невязких течений, струйных течений и течений типа следа удобно исполь-
31
зовать B.11). Для задач обтекания тел вязким газом необходимо ис-
использовать B.10), так как на обтекаемых поверхностях при отсутствии
скольжения v1 = 0.
2.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗМЕНЕНИЕМ ДАВЛЕНИЯ
И ФОРМЫ ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЯ
Полученные выше уравнения могут быть использованы во многих
перечисленных в начале главы задачах внешнего обтекания, в кото-
которых уравнение сохранения импульса вырождается в простую зависи-
зависимость вида A.38). В этих задачах изменение давления по переменной п
можно представить в виде
Р (<7i. Ч*. л) = р& (ft, q2) + рх (qlt Яя, п), B.12)
где
Причем во многих случаях можно положить рг = 0. Подставив B.12)
в B.10) и проинтегрировав по п в пределах от 0 до б, получим
•{p1)dn, B.13)
0 °
где
Эта функция зависит от оа, vn, р и не содержит явно /?в- Пусть п —
= б faifo) — уравнение внешней границы расчетной области. Задачи
рассматриваемого класса можно разбить на группы в зависимости от
того, является ли внешняя граница области течения поверхностью то-
тока или нет. (Отдельный интерес представляет задача о течении вяз-
вязкого газа в канале. В этом случае v1 на границе б равна нулю и урав-
уравнение B.10) служит для определения давления).
К первой группе относятся задачи невязкого обтекания с контакт-
контактной поверхностью, разделяющей область течения, такие, как задачи
32
о течении в энтропийном слое, во вдуваемом через поверхность слоя
невязкого газа и др.
Ко второй группе относятся задачи вязкого взаимодействия и те-
течения в вязком ударном слое. В первом случае при решении задач
необходимо принять во внимание, что на поверхности тока (Vne) = О,
где п6 — вектор нормали к этой поверхности, и поэтому vn, fie и
V2u связаны соотношением
Используя последнее равенство, из B.10) или B.11) получаем уравне-
уравнение, связывающее функции р (qlt q2), б (qlt q2), которое запишем в виде
а"ЩГ+а1*-Щ^ + Ьп-щГ+ Ьы -^ = dx (б, va). B.15)
Выражения для коэффициентов сц,, bij, di следуют из B.13), B.14).
Второе уравнение, связывающее ръ и б, вытекает из условий внеш-
внешнего обтекания. Конкретные формы записи этого уравнения рассмат-
рассматриваются в следующем параграфе для случая, когда внешний поток
является невязким и описывается уравнениями Эйлера, и в гл. 4, где
рассматриваются задачи вязкого ударного слоя, в которых п =
= б (q1, q2) — уравнение отошедшей ударной волны. Характерной
особенностью уравнения вида B.15) является то, что коэффициент ап,
определяемый соотношением
a -
может обращаться в нуль при некотором значении координаты ql =
= q* Ы-
Обращение в нуль коэффициента ап влечет за собой необходимость
выполнения в сечении q{ = q\ следующего уравнения:
«»^+^^+*»-!¦-= 4 F, *...). B.16)
Добиться этого можно подбирая соответствующим образом некоторые
параметры вверху по потоку от линии q1 = q\. К таким параметрам,
например, относится кривизна ударной волны на линии симметрии
в задаче гиперзвукового обтекания тупого тела (см. гл. 4). Уравнения
с особенностью описанного вида появляются при решении многих задач
газовой динамики Причем наличие особенности позволяет найти фи-
физически реализуемое течение. Классическими примерами таких задач
являются задачи обтекания тупых тел с отошедшей ударной волной
как невязким, так и вязким газом, решаемые методом интегральных
соотношений [13, 134, 29]; задачи о течении в локальных отрывных
зонах, решаемые интегральными методами [24], задачи об истечении
вязкого газа через сопло с плавным наклоном стенок [117J. В каждой
из этих задач на некоторой линии начальных данных имеются свобод-
свободные параметры, которые необходимо подобрать гак, чтобы пройти
3 6-3097 33
особую точку уравнений типа B.15). Уравнение B.10) и следующее из
него уравнение вида B.15) отражают общую особенность задач газо-
газовой динамики, в которых осуществляется переход через скорость зву-
звука, и позволяют в дополнение к перечисленным хорошо известным за-
задачам добавить новые, имеющие ту же методологическую особенность.
При этом обращение в нуль а1Х и связанная с ним перемена знака ап
происходят при переходе осредненного течения от дозвукового к сверх-
сверхзвуковому и обратно. Как известно, при дозвуковом течении имеет
место физическое явление передачи возмущений вверх по потоку. Ма-
Математически это проявляется в эллиптическом типе уравнений Эйлера
для дозвуковых течений и в некорректности задачи с начальными дан-
данными при использовании уравнений ВУС в области дозвуковых те-
течений. При упрощении задачи, заключающемся в замене уравнения
сохранения поперечного импульса простым соотношением для -^- в ма-
математическом отношении теряется различие между дозвуковым и сверх-
сверхзвуковым течениями. Однако, как показывает анализ уравнения
B.15), при необходимости определения распределения давления в рас-
расчетной области, т. е. при решении задачи взаимодействия течения,
описываемого упрощенными уравнениями типа пограничного слоя, с
некоторым внешним течением, либо привлечения дополнительных
соотношений для определения внешней границы п = б (qlt q2) эллип-
эллиптический характер задачи о дозвукового течения газа проявляется
в наличии особенности в уравнении взаимодействия B.15). Возмож-
Возможность удовлетворения некоторым дополнительным условиям внизу по
потоку, обеспечиваемая этой особенностью, позволяет и при упро-
упрощенной постановке учесть распространение возмущений вверх по
потоку. Принципиальная возможность передачи возмущений вверх
по потоку в задачах, основанных на параболических уравнениях, по-
показана в [84, 77] на примере задач вязкого взаимодействия на пласти-
пластине в гиперзвуковом потоке и взаимодействия вдуваемого через по-
поверхность пластины невязкого газа с внешним набегающим потоком.
Причем этот вывод сделан на основании неединственности автомодель-
автомодельных решений, имеющихся для рассмотренных задач. Особенность в
уравнении B.15) позволяет осветить вопрос с другой стороны и постро-
построить единый алгоритм решения многих задач, для которых характер-
характерно распространение возмущения вверх по потоку. В частности, урав-
уравнения типа B.15) могут служить основой для построения алгоритмов
учета распространения возмущений вверх по потоку, как в задачах,
решаемых в приближении вязкого взаимодействия, так и вязкого
ударного слоя (гл. 4, 8). Эффективным оказывается использование
уравнения типа B.15) при решении задач о течении в высокоэнтропий-
высокоэнтропийном слое и во вдуваемом через поверхность тела слое газа в условиях
взаимодействия с внешним потоком.
34
2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
ДЛЯ ЗАДАЧ ВНЕШНЕГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ НЕВЯЗКИМ ГАЗОМ
В этом параграфе выпишем уравнения, которые вместе с уравне-
уравнением B.15) могут использоваться для определения функций б (qlt q2),
Рь (<7i> Я 2) и других газодинамических параметров на поверхности п =
= б (qlt q2). Эти уравнения следуют из граничных условий на обтека-
обтекаемой поверхности и уравнений Эйлера. Поскольку выбор системы ко-
координат не вносит принципиального влияния, для ясности изложения
используем цилиндрическую систему координат, так как эта система
наиболее часто используется в задачах невязкого обтекания.
Запишем уравнения сохранения количества движения для невяз-
невязкого газа в нормированных переменных (у, г, <р), где у = (г —
— б B, cp))/(S (z, ф) — б (z, ф)); г = б (г, ф), г = S (г, ф) — уравнения
нижней и верхней поверхностей, ограничивающих расчетную об-
область. В этих переменных уравнения примут вид
ди pvn ди pw ди I dp 6s? dp \ ,<-, ._
дг S — б ду г d(p r S — 6 ду '
dw pvn dm . pw dw pvsv I f dp "s«r dp
6z S — 6 ду f t?cp r f \ d<p S — 6 dy
B.19)
где приняты обозначения и, v, w — проекции вектора скорости в ци-
цилиндрической системе; р, р — плотность и давление; б5ф = бф + y{Sq> —
Ф); 6S? = бг + у (S2 — б2); и„=ц — bS2u ~ bsvw; бф=-^-,...
..., б2 = -^— . Нормированная переменная у изменяется в пределах от
О до 1. В случае если рассматривается безграничная область, т. е.
5 —*¦ оо, удобно воспользоваться переменной у = r/8(z, ф) — 1, изменя-
изменяющейся в пределах 0 — оо. Тогда б,ф = — г/бф, 6S? = — уЬг, vn = v —
— у(б'ги-\—-—). В обоих случаях vn пропорционально нормальной
составляющей к поверхности у— const вектора скорости. Умножим
уравнения B.17) — B.19) на—б5г, + 1, —б5ф/л и сложим. После оче-
очевидных преобразований получим
д . pvn dvn pw dvn pw
— pu[U -^— 6S2 -f tt>-s
^ \ dz dz
dz dz r I S — о \ dy
Если поверхность л = 6 (z, ф) (или любая поверхность г) = const) —
поверхность тока, то на ней должно быть vn = 0, что следует из гра-
35
ничного условия. На этой поверхности (у = 0, б8г = Sz, 65ф
уравнение B.20) можно записать в виде
*• dp J^ J_ др . бб; 2рна> 5бг _
°2 дг + 6 б up ~p" ~li 6~~ дц ~
В свою очередь, при ц — 0 уравнения B.17) и B.19) принимают вид
ди . pw ди / dp °2 dp \ t
Ри~дГ —-dV--{-dT~-s^Tijf)' ^22)
ры - , ,- -. , др \ др •
дг б &р \ дф S — S
Кроме того,
v = ибг ~\- шбф/б. B.23)
При известных функциях б (г, ф) и ~- выписанные уравнения служат
для определения четырех неизвестных функций р, и, w, v, являются
следствием условия (Vn5) = 0 и могут служить в качестве гранич-
граничного условия на обтекаемой поверхности. Уравнения B.21) — B.23)
могут применяться для определения параметров на обтекаемой поверх-
поверхности при решении задач обтекания тел конечно-разностными метода-
методами. При этом необходимо заменить ~- какой-нибудь конечно-разност-
конечно-разностной аппроксимацией по значениям величины р в точках разностной
сетки, прилегающих к поверхности тела, например определить
оу ^&у
где Аг/ — шаг разностной сетки по у, р, рг, р3— значения функции
р (г, у, ф) при у = 0, Ау и 2Лг/ соответственно. Таким образом, если
в результате применения какого-либо конечно-разностного метода оп-
определены значения газодинамических параметров во внутренних точ-
точках разностной сетки, уравнения B.21) — B.23) с учетом B.24) позво-
позволяют определить газодинамические параметры на поверхности тела.
Если уравнение обтекаемой поверхности у = б (г, ф) ищется в
процессе задачи, т. е. если кроме газодинамических параметров неиз-
неизвестным является и б, необходимо воспользоваться дополнительными
соотношениями В задачах вязкого взаимодействия или в задачах,
перечисленных в предыдущем параграфе, таким уравнением является
уравнение типа B.15).
36
При этом для уменьшения численной погрешности системы урав-
уравнений B.15), B.21), B.22) вместо б в качестве неизвестной функции
целесообразно рассматривать бг. Этим достигается и упрощение диф-
дифференциальных операторов в левой части уравнений B.21), B.15) и
понижение порядка этих уравнений. По найденным бг значения 6 на-
находятся численным интегрированием, а бф — численным дифферен-
дифференцированием. При этом с целью подавления некорректности операции
численного дифференцирования таблично заданной функции целесо-
целесообразно воспользоваться некоторой регуляризационной процедурой,
например сглаживанием по методу наименьших квадратов [46]. Для
обсуждаемых в настоящей главе вопросов характерно, что выписан-
выписанные уравнения позволяют разработать алгоритм одновременного чис-
численного определения параметров на обтекаемой поверхности и формы
этой поверхности, который не зависит от методов, применяемых для
решения задач внешнего обтекания, пограничного, энтропийного сло-
слоев, либо течения во вдуваемом через поверхность слое ,газа.
2.4. АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Уравнения вязко-невязкого взаимодействия B.15) и B.21) перепи-
перепишем в векторном виде
А-^- + fi-JL = c, B.25)
где А и В матрицы с коэффициентами ас,, b(l; f — вектор с компонен-
компонентами /, = р и /2 = &г', с — вектор с компонентами с(.
Для численного решения уравнения B.24), применив односторон-
односторонние аппроксимации производных, получим разностное соотношение
А (С+1 - Q + BMn+l -^ = cAqu B.26)
где Л диагональная матрица с элементами Л±, причем A±f,: =
= ± (f<\m±i — h,m)- Знак в Л± необходимо выбирать из условий
устойчивости разностной схемы по начальным данным.
Применим для исследования устойчивости метод Неймана в сочета-
сочетании с методом замороженных коэффициентов [51, 104]. Пусть решение
имеет вид f« = f0X"eim&<>!. Определим к таким образом, чтобы удовлет-
удовлетворить уравнениям B.25). Подставляя f« в эти уравнения, получаем
\А (К — 1) ± Вк (е±!*"г — 1) ю) f0XymAe' = 0.
Поскольку f0 Ф 0, то к необходимо подобрать так, чтобы определитель
этой системы уравнений был равен нулю, т. е.
Det \\А (I — 1) ± Вк (e±i&q* — 1) со || = 0,
где со = -т^- . Из последнего следует два уравнения:
at{ (h — 1) ± buh (e^"' - 1) со = 0,
где /=1,2; ац, Ьц — диагональные элементы матриц А и В.
37
Перепишем эти уравнения в ином виде к([ 1 Т-Ьц/ацв* ± — we
= 1 или к( — р\- = 1. Спектр значений р\ лежит на окружности с центром,
расположенным на расстоянии 1 + Ьц/aaw от начала координат и с
радиусом Ьц/ацг. Таким образом, | kt | ^ 1, если | р\ | ^ 1. В свою оче-
очередь | Ре | ^ 1, если | 1 + bu/ацсо | ;> 1. Отсюда следует, что нужно
брать верхний знак в B.26), т. е. (Л+), если Ьц/ац <0, и нижний (т. е.
Л_), если Ьц/ац > О, i = 1, 2.
Из сказанного можно сформулировать следующее следствие. Для
обеспечения устойчивости конечно-разностной схемы для системы
уравнений B.24) необходимо записать устойчивую схему аппрокси-
аппроксимации производных —, ~- для первого уравнения относительно
функции р и устойчивую схему для второго уравнения как уравнения
относительно б2. При этом способ аппроксимации производных от р
во втором уравнении не оказывает влияния на устойчивость конечно-
разностного решения системы. В связи с этим будем аппроксимировать
производные от р во втором уравнении теми же разностями, что и в
первом.
Отмеченная особенность связана с тем, что уравнение B.15) не со-
содержит производных от 8Z и, следовательно, Ьп = Ь12 = 0.
Выпишем окончательно расчетные формулы для рт, бг„":
с\т
пп+1
а\\т
°\\т
аПт
( — sign
Рт =
,+
'llm
1+-
°l\m
а22т
hn+l
°22m
2m
-sign
гт— sign
Urn
,«+1
lnn+
/a22m
1+-
°22m
„1 + 1
2т
где т — индекс по q2; п—по qv При найденных
8m+1 сводится к численному интегрированию б^+1 — ~т , 0
-т-бг„)Д^1. Что касается уравнений B.22), то каждое из них можно
рассматривать как уравнение в частных производных первого порядка
относительно одной функции.
cw определение
^^ ®т ~г ~7Г~\Угт \
38
Эти уравнения можно записать в общем виде
df , vn df . w I df n , N /ct O7\
—т т =r— = F (p U W ...) B.27)
oz и ay a r дц> \r> > i \ /
и применить для них методы бегущего счета [104]. В B.27) включено,
в дополнение к B.22), слагаемое с -~, которое присутствует в более
общих задачах, связанных с определением параметров невязкого по-
потока в тонком слое газа (см. гл. 3). Наличие такого слагаемого не изме-
изменяет алгоритма решения уравнений B.22). Производные заменяются
односторонними конечно-разностными соотношениями. Для обеспе-
обеспечения устойчивости счета необходимо использовать левые разности
по л, ф в случае, когда vn, w >¦ 0, и правые — в противном случае.
Систему получающихся при этом алгебраических относительно функ-
функций /т"У уравнений можно записать в виде
Аг
m.i — Um.j -Г rm/ az Г
fti+i
!
w
n+l
m,j— sign ——I .
mi
Дф
n+l
B.28)
Эта система уравнений может быть сведена к рекуррентным формулам
в подобластях постоянного знака w и vn.
Однако реализация соответствующего алгоритма расчета по дан-
данным формулам представляет существенные логические трудности. По-
Поэтому целесообразно решать такую систему уравнений итерационным
методом [126], в котором величины, входящие в правую часть уравне-
уравнения B.28), берутся из предыдущей итерации. В качестве начального
приближения можно использовать значения соответствующих функ-
функций на плоскости z ~ zn. Тогда логика вычислительного процесса не
зависит от перемен знака w и vn и одинакова для линейных и нели-
нелинейных относительно искомых функций уравнений B.28).
ГЛАВА 3
ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕВЯЗКОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
С ВНЕШНИМ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
Большой класс задач газовой динамики связан с изучением движения
газа в тонком пристеночном слое около тела, помещенного в сверх-
сверхзвуковой поток. Пусть отношение толщины этого слоя к длине тела
— <^ 1. Используя уравнение неразрывности, легко показать, что
отношение нормальной составляющей к поверхности вектора скорости
к скорости набегающего потока должно быть порядка -у- . Если при
этом принять — ^> ¦ ,— , то из оценок членов уравнений Навье —
Стокса следует, что течение в тонком пристеночном слое описывается
с погрешностью — уравнениями невязкого пограничного слоя, т. е.
уравнениями, отличающимися от уравнений гидродинамического по-
пограничного слоя отсутствием вязких членов. Причем этот слой газа
отделяется от внешнего сверхзвукового потока, описываемого урав-
уравнениями Эйлера, поверхностью тока, которая в общем случае с погреш-
погрешностью порядка — является поверхностью контактного разрыва,
V Re
заменяющей зону смешения пристеночного газа зоной с газом в набе-
набегающем потоке [23].
К этому классу задач относятся задачи о течении в энтропийном
слое, вызванном малым притуплением носка тела, помещенного в ги-
гиперзвуковой поток [71, 153], и задачи обтекания тел, через поверх-
поверхность которого осуществляется вдув со скоростью увд, причем должно
быть -4=- «С Увд/Voo <? 1 [23, 77].
У Re
В случае если отношение толщины пристеночного слоя газа к ха-
характерной толщине тела ЫО будет порядка единицы, то форма кон-
контактной поверхности, разделяющей течение, и распределение давления
на ней и, следовательно, давления в этом слое будут определяться из
условий взаимодействия течения в нем с внешним набегающим по-
потоком.
Это взаимодействие имеет много общего с вязким взаимодействием
и может быть описано аналогичными уравнениями. Поэтому в настоя-
настоящей главе в целях иллюстрации основных особенностей, связанных с
расчетом взаимодействия и его влияния на обтекание тела, рассмотре-
40
ны конкретные задачи из указанного класса. Кроме того, разработка
алгоритма расчета и изучение течения в энтропийном слое имеют осо-
особое значение для задач вязкого взаимодействия на затупленных телах,
так как для этих задач влияние завихренности является принципи-
принципиальным [44\ 82].
3.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Течение в тонком пристеночном слое невязкого газа может быть,
в соответствии со сказанным выше, описано уравнениями невязкого
пограничного слоя. Запишем эти уравнения в цилиндрической системе
координат в нормированных переменных г, х\, ц>:
ди ди pw ди др ,„ ,.
pU^ + po^ + _P^^L + J^ = __L.jL; C.2)
г дг ' г " дц ' г дер г г дц> ' v '
а F — В) риг д(8 — В) pw dpvnr = „
дг дф '" дц ' V ¦ /
где и, v, w — составляющие вектора скорости по координатным на-,
правлениям z, г, ц>\ vn = (и — B(,zu — B(,(pW)/(8 — В); Ваг = Bz + Ц (бг —
— Вг), Вбф = Вф + Л (бф — Вф); Вг = -^- , ..., бф = -^— . Функции
В (г, ф) и б (г, ф) определяют поверхность тела и контактную поверх-
поверхность. Вместо уравнения C.3) можно воспользоваться уравнением
B.10), которое во введенной системе координат можно записать в виде
~ {иг- ((б - В) vn + Вьи)) + JL (F - В) гш) =
= (б _ В) -L !(«2 - а2) ^ + «и, 4^1 +
+ 2Л(F - В) о„ + Вйга)-^- + 2 (S - В) w-^ . C.4)
В общем случае v = 1. Однако для двумерных плоских течений, ког-
когда нет зависимости от ф, a z, r — декартовы координаты, необходимо
положить v = 0. Если рассматриваются течения, в которых составля-
составляющая скорости нигде не обращается в нуль, то уравнение C.4) после
деления на и2 можно переписать в более простом виде:
Это уравнение может быть использовано при расчете течения в энтро-
энтропийном слое на поверхности тела либо в слое вдуваемого газа при на-
наличии тангенциального вдува. Если угол 8Ш между вектором скорости
вдуваемого газа и нормалью к поверхности равен нулю, то необходи-
необходимо использовать уравнение C.4).
41
В уравнениях C.1), C.2), C.4) принято -т-~ 0, что в данном слу-
случае допустимо для тел, поверхность которых наклонена под малым уг-
углом к оси z. В более общем случае эту систему уравнений необходимо
записать в системе координат, связанной с поверхностью тела. Это
не приводит к принципиальным отличиям в обсуждаемых вопросах и
связано лишь с более громоздкой записью всех уравнений.
Выписанную систему уравнений необходимо дополнить уравнени-
уравнением сохранения энтропии Е = —:
Р7
"» + №+ J?^0 C5)
Если в тонком слое газа наблюдается изменение энтропии, вызванное
какими-либо причинами, например химическими реакциями, то вместо
{3.5) необходимо воспользоваться уравнением состояния и, в общем
случае, уравнением сохранения энергии. Система уравнений C.1) —
{3.5) при заданных р и б является замкнутой системой уравнений от-
относительно неизвестных функций и, w, vn и Е (или р).
Пусть Упвд — нормальная к поверхности тела составляющая ско-
скорости вдуваемого газа, тогда на теле vn = и,!Вд. В свою очередь на по-
поверхности г = б (г, ф), которая является поверхностью тока, функция
vn = 0. Это следует из того, что с точностью до множителя она совпа-
совпадает с нормальной составляющей скорости к этим поверхностям при
г] = 0, г) = 1 соответственно. Учитывая, что для vn имеем дифферен-
дифференциальное уравнение первого порядка, оба эти условия могут быть
удовлетворены при специальном подборе зависимости между функция-
функциями б и р и их производных. Соотношение, определяющее эту зависи-
зависимость, легко получить, проинтегрировав C.4') по г\ в пределах 0 — 1.
Выполнив указанные действия, получим уравнение, которое, по сути,
является уравнением B.15), переписанным во введенных в этой главе
переменных:
C.6)
Если Bw = 0, то на поверхности тела и = 0, и для получения анало-
аналогичного уравнения необходимо использовать C.4). При отсутствии
вдува — Qw = л/2, последнее слагаемое исчезает. Второе уравнение,
связывающее функции б и р, вытекает из уравнений и граничных ус-
условий на поверхности г = б (г, ф) для внешнего потока. Это уравне-
уравнение получено в предыдущей главе (уравнение B.21)) и в принятых
42
здесь обозначениях имеет вид
с' др <Лр др
~ г Тг б5"
1 дц
дер
S — 6
рог
S дц>
Ф
е
C.7)
где у = (г — S)/(S — б); г = S (г, ф) — уравнение головной ударной
волны; индекс б относится к параметрам внешнего потока на контакт-
контактной поверхности. Вопросы определения -^-, расчета параметров ме.
Ре, ше во внешнем потоке и решения уравнений C.1) — C.5) обсужда-
обсуждались в параграфе 2.3.
3.2. ВЛИЯНИЕ ЭНТРОПИЙНОГО СЛОЯ
НА ОБТЕКАНИЕ ИЗЛОМА ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим задачу обтекания тела с малым притуплением гипер-
гиперзвуковым потоком газа. На достаточно большом удалении от носка на
поверхности тела образуется слой газа с большими поперечными гра-
градиентами скорости, плотности и энтропии и практически постоянным
давлением.
Будем рассматривать течение в окрестности излома поверхности
(рис. 1). Начало декартовых координат (х, у) поместим в поперечном
сечении тела, проходящем через угловую точку. Пусть р* — угол из-
излома поверхности. Как показано в [88], если Р ~ MZ , где Мх 5> 1 —
число Маха набегающего потока, то относительное изменение давления
М
Рис. 1
43
— ~ 1, вызванное изломом поверхности, будет реализоваться на рас-
расстояниях порядка Мооб!, где бг — толщина невозмущенного энтро-
энтропийного слоя.
В данном случае эти уравнения упрощаются и принимают вид
1
dx v v1-'-1-'/
Под интегралом находится функция, изменяющаяся в пределах энт-
энтропийного слоя. Вместо уравнения C.7), дающего второе соотношение
между р и б, воспользуемся формулой метода «касательного клина»
[137]
dx
C.9)
Разрешая C.9) относительно —г— и подставляя полученное выражение
в C.8), находим
йх _ , _г Л.. -^^-i/-^wi~-^-)^i,
где /з = -2— ; л; = x/Moo6L; б = б/б,; -т— = tg6
Pi l dx ь'
-г— = 0 при х<:0. Индекс 1 относится к параметрам невозмущенной
изломом поверхности потока. Используя уравнение Бернулли и пос-
постоянство энтропии вдоль линии тока, подынтегральную функцию в
C.10) можно представить в виде зависимости от Мг (r\), p (х). Тогда
для интеграла получим:
, ti
X
_^ (ЗЛ1)
х ¦ у dr\lt
1 2 -^
где т], = и/б,; F(Mlt р) = 1 Н 5 г A — Р у )¦ В свою оче-
редь можно проинтегрировать C.8) с учетом C.11). В результате по-
получим выражение, связывающее /гиб,
б = р~1/у [ ' di\. C.12)
44
Соотношения C.10) и C.12) позволя-
позволяют определить изменение толщины
энтропийного слоя и распределе-
распределение давления в нем при заданном
Mi (т|). Уравнения C.10) и C.12) по-
получены несколько другим способом
в [88]. Способ вывода этих уравне-
уравнений, приведенный выше, демонстри-
демонстрирует на простой задаче возможные
пути использования обобщенных ус-
условий вязко-невязкого взаимодей-
взаимодействия.
Типичный характер изменения
давления на поверхности тела при
сверхзвуковом течении в энтропий-
энтропийном слое показан на рис. 2 (Мж =
= 10), заимствованном из [88].
Интересно рассмотреть случай Мх$
р-1~
75-
50-
25 •
У9
г /
II/
*~J3 = 7
6
5
1 2
Рис. 2
1, тогда, как следует из C.9),
<¦? 1, и уравнение C.10) можно упростить:
d(p-l)
dx
йВ
dx
1
C.13)
Далее рассмотрим случаи У,«<0 и Jy>Q. При Jt <: 0 излом поверх-
поверхности вносит возмущения только в часть потока при х > 0. В этой
части —г- =р и, при х = 0, р = 1. С учетом этих условий решение
уравнения C.13) имеет вид
р — 1 =
1 — ехр
--zr №
C.14)
При Jx > 0 возмущения по энтропийному слою передаются вверх по
потоку и течение перестраивается таким образом, что при х = 0 име-
имеем р— 1 = yMcofi. При этом соответствующее решение уравнения
C.13) можно записать в виде
(р— l) =
C.15)
Из C.14) и C.15) следует, что область, в пределах которой происходит
перестройка течения, вызванная наличием излома поверхности, име-
имеет протяженность порядка б^/И,*,, что намного больше б при Мх ^> 1.
Кроме того, из C.14), C.15) следует, что при J > 0 получение чис-
численного решения маршевыми по х методами при х > 0 является проб-
проблематичным в связи с экспоненциальным ростом ошибок, имеющихся
в начальных данных, либо неизбежных ошибок аппроксимации, при-
присутствующих при численном решении.
45
Ясно, что отмеченные особенности имеют место и при решении более
общего уравнения C.10).
Представляет интерес рассмотреть случай, когда /х < 0, но при
х -*¦ оо меняет знак. Для простоты рассуждений будем считать, что
в пристеночном слое М1 = const. Тогда из физических соображений
ясно, что перед угловой точкой в пристеночном слое должна при боль-
больших Р возникать отошедшая ударная волна, за которой течение ста-
станет дозвуковым. Ограниченное решение уравнения C.10) получится,
как и ранее, только в том случае, когда давление в угловой точке при
х = 0 будет определяться формулой C.9) при —г- — р\ Отход удар-
ударной волны можно найти из условия, что р, определенное из ретроспек-
ретроспективного (в сторону х <с 0) решения уравнений C.10), будет совпадать
с давлением, определенным из формул прямого скачка по значениям
Мое = М1 и рх = рх. Другими словами, в этом случае имеет место
обычная ситуация, возникающая в задачах вязкого взаимодействия
при сверхкритическом течении в пограничном слое [62], когда механизм
влияния распространения возмущения в пограничном слое вверх по
потоку задается искусственно — введением ударного перехода по-
пограничного слоя от сверхкритического состояния к докритическому.
Перестройку течения в пристеночном слое сверхзвукового к дозвуко-
дозвуковому можно получить, задав определенным образом распределение
давления в области перестройки. Тогда уравнение C.12) позволяет
найти изменение толщины слоя. При значениях х, для которых J\ ста-
становится отрицательным, решение можно получить численным интегри-
интегрированием уравнения C.10) обычным образом. Положение сечения, на-
начиная с которого искусственно задается изменение давления, опреде-
определяется из требования, что при х = 0 давление равно заданному, т. е.
задача решается итерационным путем. В общем случае для указанного
задания давления в области перестройки течения необходимо исполь-
использовать дополнительную информацию. Этот подход получения реше-
решений для задач вязкого взаимодействия, связанных с передачей возму-
возмущений вверх по потоку при сверхкритическом состоянии невозмущен-
невозмущенного пограничного слоя, предложен в [94]. В любом случае область
перехода от течения с/,>0к течению с Jl <0 характеризуется тем,
что изменение газодинамических параметров происходит на расстоя-
расстояниях Ах ~ 6и т. е. оценки определяющих величин, приведенные во
вводной части этой главы, не состоятельны, и необходимо пользовать-
пользоваться для расчета невязкого течения в этой области полной системой урав-
уравнений Эйлера [86, 144]. Именно с этим связана необходимость введе-
введения искусственных приемов при попытке описать течение упрощен-
упрощенными уравнениями.
3.3. ТЕЧЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕННОМ
ЭНТРОПИЙНОМ СЛОЕ
Высокоэнтропийный пристеночный слой газа, наличие которого
вызвано притуплением носка тела, помещенного в сверхзвуковой по-
поток, приводит к ряду особенностей решения задач гипер- и сверкзву-
46 ¦¦;.' . ¦
ковой газовой динамики. К этим особенностям, в частности, относят-
относятся аномалии в асимптотической гиперзвуковой теории обтекания тел,
необходимость модификации метода взрывной аналогии [71], учета
вытесняющего эффекта энтропийного слоя [153], возможность в опре-
определенных случаях сведения расчета пространственного обтекания
тонкого тела с осесимметричной носовой частью к расчету обтекания
некоторого осесимметричного тела [59] и ряд других особенностей,
описанных в указанных работах.
Прямой расчет параметров в энтропийном слое представляет оп-
определенные трудности. Действительно, толщина энтропийного слоя
стремится к нулю при удалении от носка, и детальный расчет изме-
изменения параметров в нем требует бесконечного дробления разностной
сетки в окрестности тела. Это в свою очередь приводит к тому, что
при применении явных разностных схем, которые, эффективно исполь-
используются для решения задач обтекания, шаг по переменной временного
типа также должен стремиться к нулю из-за ограничений, наклады-
накладываемых условиями Куранта — Фридрихса —• Леви.
Использование схем неявного счета, лишенных ограничений на шаг
по переменной временного типа, требует либо неоправденно больших
затрат машинного времени при равномерной по координате простран-
пространственного типа разностной сетке с шагом, определяющимся деталями
течения в энтропийном слое, либо усложнения алгоритма, реализую-
реализующего расчет на неравномерной сетке со сгущением узлов около по-
поверхности тела.
Особенности определения параметров в энтропийном слое обсужда-
обсуждаются в [121, 126]. Там же предложен алгоритм расчета, который мо-
может быть реализован в отдельной программе, работающей совместно
с произвольной программой, предназначенной для расчета сверхзву-
сверхзвукового обтекания тел. Суть дела заключается в том, что в пристеноч-
пристеночном слое газа градиенты давления невелики и давление с достаточной
точностью определяется в узлах основной разностной сетки, исполь-
используемой для решения задачи обтекания. Для определения параметров
и, w, Е (и vn) в окрестности поверхности тела необходимо ввести ко-
конечно-разностную сетку с мелким шагом по'направлениям tj и ф, со-
соответствующим структуре энтропийного слоя. Эти параметры следует
определять из уравнений C.1) — C.5) при заданном давлении, найден-
найденном путем интерполяции по его значениям в узлах основной разност-
разностной сетки. Расчетную область для энтропийного слоя целесообразно
ограничить поверхностью ц = /гДг| (Аг| — шаг по г\ основной разност-
разностной сетки; k — целое число). Для решения уравнений C.1) — C.5) фор-
формируются начальные условия в плоскости z = г0, лежащей в сверх-
сверхзвуковой части течения, примыкающей к затуплению. В этой плоскости
энтропийный слой, как тонкий слой с резкими изменениями пара-
параметров, еще отсутствует, и функции и (z0, \\, cp), w (z0, f), cp), Е (z0,
¦ц, ф) могут быть определены интерполяцией по их известным значе-
значениям в узлах основной разностной сетки. В качестве граничных усло-
условий на поверхности т] = &Дг) задаются искомые функции, равные зна-
значениям, полученным на основной разностной сетке. Для численного
решения уравнений могут быть использованы неявные схемы «бегу-
47
щего счета» [104]. Их абсолютная устойчивость при соответствующей
организации направления счета позволяет получить решение в плос-
плоскостях z = const, определяемых ограничениями разностной схемы,
применяемой в основной задаче обтекания. Некоторые моменты, свя-
связанные с реализацией вычислений, рассмотрены в параграфе 2.4.
Полученное таким образом решение позволяет с достаточной для
практических целей точностью определить параметры в энтропийном
слое. Однако при расчете обтекания достаточно тонких тел начинает
сказываться взаимодействие течения в энтропийном слое с основным
течением. Это связано с тем, что малая плотность газа в энтропийном
пристеночном слое вызывает сильное поперечное перетекание газа в
направлении убывания давления, вызванного несимметричностью
внешнего течения. Если для тонких пространственных тел с осесим-
метричной носовой частью при нулевом угле атаки поперечное пере-
перетекание приводит к постоянству давления в окружном направлении
[59], то на телах, помещенных в гиперзвуковой поток под конечным
углом атаки, перетекания газа в энтропийном слое не может компен-
компенсировать неосесимметричность, вызванную наличием угла атаки, и
ненулевой градиент в окружном направлении сохраняется, хотя нали-
наличие энтропийного слоя приводит к уменьшению этого градиента. Изме-
Изменение давления в окружном направлении приведет к значительному
различию толщины энтропийного слоя в наветренной и подветренной
частях поверхности тела. Если не учитывать обратное влияние энт-
энтропийного слоя на внешнее течение, то получим, что энтропийный
слой собирается в подветренной части тела в узкой в окружном на-
направлении полоске поля потока (рис. 3). На рис. 3 представлены кри-
кривые постоянной энтропии EilE*, = 38,96 — (i — 1) • 2,513 (t — номер
кривой) в плоскости поперечного сечения, расположенного на рас-
расстоянии 80RCfy от носка тела (/?Сф — радиус затупления). Пристеноч-
Пристеночные кривые /—14 характеризуют растекание газа, прошедшего через
отошедшую от затупления часть ударной волны, кривые 14—18 —
48
немонотонное погиф изменение наклона поверхности ударной волны
при удалении от затупления. Результаты, приведенные на рис. 3, полу-
получены описанным выше методом, не учитывающим влияние течения в
энтропийном слое на распределение давления. Взаимодействие течения
в энтропийном слое с внешней частью возмущенного поля потока мо-
может быть определено с использованием уравнений, приведенных в па-
параграфе 3.1. В случае сверхзвукового течения в энтропийном слое за-
задача может быть решена маршевым по переменной z методом. В ка-
качестве плоскости начальных данных можно выбрать плоскость z= г*,
в которой энтропийный слой попадает в окрестность поверхности тела,
ограниченную поверхностью г\ = /гДт] и в которой с достаточной точ-
точностью выполняется условие-^ = 0. В качестве граничной выбира-
выбирается поверхность тока, натянутая на контур г\ = /гДт], в плоскости
z — z*. Начальные параметры могут быть определены в результате
решения задачи в описанной в начале параграфа постановке, в кото-
которой допускается втекание газа через граничную поверхность (так как
т| = Мт) не является поверхностью тока) и не вносится допущение
dr\
3.4. О РАСЧЕТЕ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ПРИ НАЛИЧИИ ВДУВА
Как отмечено в начале главы, изучение сверхзвукового обтекания
тела, через поверхность которого осуществляется вдув, может быть
при определенных интенсивностях вдува сведено к задачам невязко-
невязкого пограничного слоя, взаимодействующего с внешним сверхзвуковым
потоком. Для решения этих задач могут быть использованы уравне-
уравнения, приведенные выше, в частности уравнения C.6), C.7), и алгорит-
алгоритмы, описанные в гл. 2. В случае вдува по нормали, т. е. когда на по-
поверхности тела и = 0 вместо C.6) необходимо воспользоваться урав-
уравнением, следующим из C.4),
\ {
о о
= -^ ((б - В) J wudi])+ бЯ - 2 J Л {(б - В) vn + В6ги) -gL -
^ о 6
J J
о 6
а>^-Л), ив=ы(г, 1;ф). C-16)
ri
Это уравнение совместно с C.7) служит для определения давления
во вдуваемом газе и формы контактной поверхности. Другими слова-
словами, имеем обычную задачу взаимодействия. Как показано в [77] для
пластины и конуса и в [3] для осесимметричного тела степенной фор-
формы, характерным для этих задач при наличии вдува по нормали явля-
является распространение возмущений вверх по потоку. Этот эффект, как
отмечено в гл. 2, присутствует, несмотря на то, что течение во вдува-
вдуваемом газе и во внешнем сверхзвуковом потоке описывается эволюцион-
эволюционными уравнениями параболического и гиперболического типов и свя-
связан с формулировкой задачи взаимодействия. В названных работах
изучено влияние изменения условий на торце тела, вызванное наличием
4 6-3097 49
волны разрежения, на закономерности обтекания. Эффект распро-
распространения возмущений вверх по потоку может быть учтен благодаря
неединственности автомодельного решения задач, рассмотренных в
[3, 77], и существованию семейства однопараметрических решений.
Свободный параметр выбирается исходя из удовлетворения условию
на торце тела.
Уравнения взаимодействия C.16), C.7) позволяют рассмотреть
вопрос с других позиций. Как отмечалось во второй главе, эффект
распространения возмущений вверх по потоку может быть учтен при
условии, что в некотором сечении J± = \ (и2 — a2) dr\ = 0. Характер-
Характерно
ным для рассматриваемых задач является то, что на поверхности тела
и — 0, в основной части течения Ух <; 0.
Ситуация, когда Jt = 0, возникает при появлении во внешнем по-
потоке волны разрежения, вызывающей ускорение потока как во внеш-
внешней сверхзвуковой части течения, так и во внутренней — дозвуковой.
Образование этой волны разрежения обусловлено стеканием вдувае-
вдуваемого газа с поверхности тела на его торце. Не останавливаясь здесь
на других аспектах, связанных с утоньшением слоя вдуваемого газа
и переходом течения в условия, когда начинают играть роль силы
вязкости [77], заметим, что ограниченное, физически осуществимое
решение задачи может быть получено, только путем соответствующего
задания условий вверх по потоку от торца. Эти условия сводятся к за-
заданию некоторого параметра, обеспечивающего выполнения равен-
равенства C.15) в сечении, где,/! = 0. Такая особенность позволяет сформу-
сформулировать краевую задачу для уравнений Эйлера, описывающих тече-
течение в прилегающей к носку тела области вдуваемого газа [77], и
получить начальные данные для решения задачи Коши для C.15), C.7)
и упрощенных уравнений невязкого пограничного слоя, описываю-
описывающих течение на боковой поверхности тела [3].
Описанный в настоящем параграфе подход может быть использо-
использован при решении довольно произвольных задач, в том числе и прост-
пространственных. Это представляет интерес в связи с тем, что в опубли-
опубликованных работах (например, [3, 61, 77 и др.]) рассмотрены в основ-
основном двумерные задачи. Пространственная задача описана в [4], где
рассматривается обтекание острого конуса под малым углом атаки.
Трехмерные эффекты учтены в линеаризированной постановке.
Вопросы распространения возмущений вверх по потоку для про-
пространственных течений не рассматривались. Из анализа уравнений
C.17) ясно, что в пространственном случае для обеспечения ограни-
ограниченности -?¦ при 7j = 0 необходимо в начальном сечении подобрать
определенным образом не параметр, а функцию р0 (ср) или бо2 (ср). При
численном решении это сводится к определению нескольких парамет-
параметров, являющихся табличными значениями этой функции. Общие ал-
алгоритмы решения такой задачи разработаны в [3] при использовании
метода интегральных соотношений для расчета обтекания тупого тела
с отошедшей ударной волной.
ГЛАВА 4
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВЯЗКИМ ГАЗОМ
С БОЛЬШОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
ЗА УДАРНОЙ ВОЛНОЙ
Гиперзвуковое обтекание тупых тел характеризуется тем, что при
Моо ->¦ с» отношение плотностей k = p<x,/ps перед и за отошедшей удар-
ударной волной стремится к величине (у— l)/(v + 1) [71, 137, 139]. Эти
течения, как правило, сопровождаются диссоциацией и ионизацией
молекул газа в сжатом в отошедшей ударной волне слое газа, что при-
приводит к уменьшению эффективного значения у. В связи с этим наря-
наряду с предельным переходом Мж -*¦ °о рассматривается и переход у ->
-*¦ 1. Именно в результате этого перехода получаются наиболее прос-
простые уравнения, описывающие невязкое обтекание тел, которые во мно-
многих случаях допускают аналитическое решение [71, 137]. При нали-
наличии вязкости указанные предельные переходы также позволяют су-
существенно упростить задачу при условии, что при k -*¦ 0, Re k —
= О A). Упрощаются как уравнения движения вязкого газа, так и
условия на ударной волне. Это позволяет в чистом виде проанализи-
проанализировать некоторые вопросы, связанные с расчетом течений в условиях
распространения возмущений вверх по потоку и выяснить ряд других
особенностей вязкого обтекания.
4Л. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ВОЗМУЩЕННОГО
ПОЛЯ ПОТОКА
Уравнения Навье — Стокса являются однородными уравнениями
относительно искомых функций. Функции, равные либо нулю, либо
константам, являются их решением. Следовательно, порядок величин,
характерный для решения конкретной задачи, определяется гранич-
граничными условиями. При отсутствии вдува через поверхность наиболь-
наибольшая информация о характере изменения газодинамических парамет-
параметров содержится в условиях, формулируемых в набегающем потоке
вообще и на поверхности ударной волны в частности. В свою очередь
порядок геометрических параметров, определяющих форму ударной
волны, а значит, и газодинамических параметров за ней определяется
геометрическими параметрами обтекаемого тела.
Определим поверхность ударной волны в системе координат, свя-
связанной с поверхностью тела уравнением п = S (q1, q2). Тогда в декар-
декартовой системе координат для точек на поверхности ударной волны
4* 51
имеем
Rs fa1, <72) = rw fa1. <?2) + mS (<?\ <?2), D.1)
где Rs, rm — радиусы-векторы точек на поверхностях волны и те-
тела; m — как и ранее, единичный вектор нормали к ударной волне.
Для векторов xas, касательных к поверхности ударной волны, пос-
после простых преобразований с использованием деривационных соот-
соотношений [103] получим
«tf + -ii-m, a*p. D.2)
где эа — векторы, касательные к координатным линиям на поверх-
поверхности тела; 6« — смешанные компоненты тензора второй квадратич-
квадратичной формы поверхности.
Для вектора, направленного по нормали к ударной волне, имеем
ms = [Ri. x R2s] - (A - b\S) A — b\S) - S*b№) VI0
m
D.3)
где эа — векторы контравариантного базиса на поверхности тела.
Пусть б — характерная толщина возмущенного слоя газа перед тупым
телом. Будем считать, что б <^ 1. Тогда, отбрасывая величины по-
порядка б по сравнению с единицей, из D.2), D.3) получаем
t«s = эа> ms = Vg° m. D.4)
Другими словами, с указанной погрешностью касательные направ-
направления и нормали к поверхности ударной волны совпадают с соответ-
соответствующими направлениями на поверхности тела.
Рассматривая погрешности этого заключения при различных слу-
случаях обтекания, для простоты ограничимся ортогональными коорди-
координатами на поверхности тела, т. е. будем считать, что Ь& = 0 при a —
— Р, эа = эа. Тогда для единичных векторов Tsa, rris (касательных
и нормали к ударной волне) имеем
~
о
где эа—единичные координатные векторы на поверхности тела.
Соотношение для кривизны координатных линий на поверхности
ударной волны согласно определению [103] имеет вид
-—Г- ms)/?(aa)s.
52
Проведя очевидные, хотя несколько громоздкие преобразования с ис-
использованием формул дифференциальной геометрии, получим
dqa dqa
О (б2, бх«), D.6)
где So (<7!, <72) = 5 (<7i. <72Уб ~ ^ *a — кривизна координатных ли-
линий на поверхности тела.
Используя приведенные соотношения, получаем для касательных
(tw) и нормальной (ynsoo) к поверхности ударной волны составля-
составляющих вектора скорости набегающего потока следующие выражения:
Uasoo = Voo • las = Vax + —- -§f-Vn°° + 0 (ya~ S- yP°° 6)' D'7)
о б as0 б as0
m у y
где fa.» и Unoo — касательные и нормальная к поверхности тела со-"
ставляющие вектора скорости.
Далее рассмотрим три случая: ха ~ 1, ха ~ б <^ 1 и щ ~ 1, х2 ~ б.
В первом случае (гладкие тупые тела) vax будет порядка 1, и при
б ^ 1 из D.7) следует
iW = tw + О (б), tw = У„м + О (б). D.8)
В свою очередь из D.6) следует
*as = У-а. + О (б),
т. е. кривизна ударной волны совпадает с кривизной поверхности тела.
Другими словами — отход ударной волны не влияет с точностью до
величин порядка б на угол наклона ударной волны, который совпада-
совпадает с наклоном поверхности тела к направлению набегающего потока.
Причем в соответствии с D.4) в этом случае неортогональность систе-
системы координат, введенной на поверхности тела, не влияет на расчетные
соотношения для величины проекций вектора скорости на нормаль
и касательные к ударной волне — они просто совпадают с соответ-
соответствующими проекциями на поверхность тела.
Во втором случае, который относится к сильно затупленным телам
(для торца ха = 0), vax ~ б и, следовательно, для Das°° необходимо
использовать формулу D.7), так как вторые слагаемые имеют в этом
случае тот же порядок, что и первые. В то же время vnsx — vnoo +
+ О (б2). Что касается ударной волны, то, как это следует из D.6), при
иа = б отход ударной волны влияет на значение xas, а значит, на уг-
углы наклона ударной волны к поверхности тела.
И наконец, в третьем случае имеем
WlSco = Uloo + О (б),
53
О (б2),
v2x + -Л=- -^- Un
fnsoo = IW + 0 F).
Для дальнейших оценок необходимо рассмотреть уравнение нераз-
неразрывности
dpViVgn дру,Уд°п dpvnV^ -
dq, + д?2 + дп
Полагая п ~ б, из A.19) получаем, что с погрешностью порядка б
по сравнению с единицейga$ = gap. Из соотношений на ударной волне
A.33) следует
PsVns = Unoo о- 1, Ps — — .
Тогда асимптотические оценки первого, второго и третьего слагаемых
в D.8) дают следующие порядки: -^-O(fi), -?-0(u2); -у. Ясно, что
должны выполняться соотношения -r-Otyj) ~ -т-О(и2) ~ -г-, или
-г- О (уг) ~ -g- , или -г- О (у2) ~ -т- , так как в противном случае урав-
уравнение неразрывности вырождается. В соответствии с ранее полученны-
полученными оценками для гладких тел vx ~ и2 ~ 1, тогда б ~ k. Для сильно
затупленных тел va ~ б, и тогда б ~ &1/г. Если ^ ~ 1, a t>2 ~ б, то
б ~ fe. Тогда отношения первого и третьего слагаемых ко второму —
порядка k.
4.2. УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Полученные оценки параметров позволяют приступить к упроще-
упрощению уравнений Навье — Стокса. Учитывая, что поперек возмущен-
возмущенной области, толщина которой имеет порядок б<^1, составляющие
вектора скорости изменяются от нуля до значений порядка vaoo, в дис-
сипативных членах уравнений Навье — Стокса можно пренебречь
производными по q'1 по сравнению с производными по п. Более того,
первые производные по п будут намного меньше вторых, т. е. имеют
место следующие оценки:
дп
df
дп* ~ S2 " дп ~ 8 '
Кроме того, из соотношений на ударной волне вытекает, что vn ~
~ fefoo <§1 1, р ~ у^> I. На основании этих оценок уравнения со-
сохранения импульса в направлениях, касательных к поверхности тела,
и уравнения энергии упрощаются до уравнений A.37). По крайней
54
мере члены уравнений Навье — Стокса, отброшенные при переходе
к A.37), могут быть отброшены и при полученных в настоящей главе
оценках, независимо от величины числа Рейнольдса. Для более по-
последовательного вывода упрощенных уравнений представим газоди-
газодинамические параметры, с учетом полученных оценок, в виде асимпто-
асимптотических разложений [71, 75]
f = h + bfi+ ••• > vn = kvni + •¦• , р = -Lpe + рг, п = k% D.9)
где f одна из функций va, p, H. Подставляя D.9) в уравнения A.37),
в которых вернемся к переменной п = е^, получаем уравнения для
первых членов разложения
Ж. д рГ«] , ., д у [а] у [а] р [р] г
a _4io
К дц ^ дц |/gte
vm дн дн _ 1 д (дн I 1 .\jh_
Следует учесть, что коэффициенты метрического тензора введенной
системы координат совпадают при 1г-*-0 с коэффициентами метриче-
метрического тензора поверхности тела.
В уравнениях D.10) сохранены члены k^—тг-, так как они
dq
имеют значение в пристеночном слое, где v[a]~k4' [71]. С погреш-
погрешностью порядка k можно положить в уравнениях D.10) —4г (<Д <?2. 1) ~
dqp
= —j (q1, q2, 0). Что касается производной давления поперек возму-
возмущенной зоны, то, подставляя разложение D.9) в уравнения сохране-
сохранения поперечного импульса, получаем
Другими словами, в отличие от течения в пограничном слое производи
ная ~ имеет в ударном слое порядок 0A). Это связано с большой
плотностью газа за ударной волной.
Теперь рассмотрим граничные условия. На поверхности тела гра-
граничные условия остаются такими же, как и для уравнений Навье —•
Стокса. За ударной волной должны выполняться уравнения A.33),
которые для первых членов разложения D.9) примут вид
Vnoo (v [a], — v [a],.) = -?¦ -^ vs [a];
55
В уравнениях D.10) и D.11) через К обозначено произведение k Re;
v [a] — физические компоненты вектора скорости (при суммировании
символ [al играет роль верхнего индекса, т. е. v [рЧ dldq® =
P /
В соответствии с оценками предыдущего параграфа для гладких ту-
тупых тел v [aloos = v [a]*,, vnxs = vnx,, и последние два уравнения
системы D.12) используются в качестве одного из граничных условий
для дифференциальных уравнений второго порядка относительно
v [а] и Н. При этом, поскольку эти уравнения, как легко убедиться,
имеют параболический тип, их решение при известных функциях vni и
р — может быть получено численными методами пошагового интегри-
интегрирования. Первое уравнение из системы D.12) может быть удовлет-
удовлетворено соответствующим подбором толщины вязкого слоя. Однако
при заданных углах наклона ударной волны (или, что то ж"е, v [ccLs и
Vnocs) это не вносит коррективов в возможности пошагового интегри-
интегрирования уравнений D.10).
Теперь рассмотрим случай х,- ~ б ~ kl/'. Тогда, в отличие от
D.9), имеем
v[a] = k1\[a}+ ...; n = k\ + ¦•¦; p = po + kplt D.13)
р0 = const остальные разложения остаются без изменений.
Подставляя D.13), D.9) в уравнения Навье — Стокса, приходим
к уравнениям для v [ос], Н, аналогичным D.10) без множителя k при
др г,
д . Другими словами, в этом случае градиент давления играет
роль во всем сжатом слое. Уравнение сохранения импульса в проек-
проекции на п примет вид
^^ЬШ^(^)- DЛ4)
Ж
Таким образом, течение около сильно затупленных тел описывается
уравнениями полного вязкого ударного слоя.
Для умеренных чисел Re, т. е. когда К, = k Re ~ 1, вязкость
играет существенную роль во всем поле течения вплоть до ударной вол-
волны. Причем учет скольжения на ударной волне принципиален. Для
воздуха и углекислого газа величина k изменяется в пределах 0,05 -j-
-7- 0,2 [71], и, следовательно, этот режим течения имеет место при Re ~
~ 102. Что касается условий на ударной волне, то они сохраняют вид
D.12) и для случаев обтекания сильно затупленных тел, с той лишь
разницей, что К = ^'/г Re. Другими словами, для сильно затуплен-
затупленных тел эффекты скольжения на ударной волне играют меньшую роль.
Однако использование этих соотношений усложняется тем, что в со-
соответствии с D.7) нельзя полагать v [cdoos = v laloo, и, следовательно,
для удовлетворения граничным условиям необходимо определить фор-
форму ударной волны. В случае когда щ ~ 1, х2 ~ б, к асимптотическим
разложениям D.9) следует добавить следующее:
И2] = Н121 + ... • D.15)
56
Подстановка D.9), D.15) в уравнения Навье — Стокса позволяет по-
получить для первых членов разложения р0, р0, Но, v0 [I], vn, двумерные
уравнения вязкого ударного слоя, так как слагаемые с v0 [2] мож-
можно опустить с погрешностью порядка k по сравнению с единицей.
В этом случае выполняется правило полос, сформулированное для
гиперзвукового обтекания тонких тел [71]. Однако следует учиты-
учитывать, что наличие на поверхности тела участков, где х2 ~ 1, т. е. кро-
кромок с малым радиусом скругления, в окрестности которых несправед-
несправедливо разложение D.15), может нарушить справедливость D.15) во
всем поле потока из-за распространения возмущений от кромки. Это
в значительной мере сужает класс течений, для которых можно при-
применить асимптотику третьего случая.
Представляет интерес приближение, которое не следует асимпто-
асимптотически из уравнений Навье — Стокса, а является компиляцией урав-
уравнений, полученных для первого случая, т. е. когда и ~ 1, но с при-
привлечением для определения vn«>s на ударной волне уравнений D.7).
В этом случае используются уравнения движения, записанные без сла-
слагаемых порядка k (за исключением слагаемого с ——А, и условия на
ударной волне, в которых сохранены члены порядка k. Использова-
Использование более точных граничных условий на ударной волне позволяет су-
существенно расширить диапазон по 7 и Re применимости уравнений
D.10) для описания сверхзвукового обтекания тел. Решение задачи
в этом приближении представляет определенные трудности, обуслов-
обусловленные необходимостью построения ударной волны. Это связано с
проявлением эллиптичности, присущей физической задаче, что об-
обсуждалось во второй главе.
В заключение рассмотрим условия подобия для обтекания тупых
тел гиперзвуковым потоком газа при k <^ 1. Как следует из уравне-
уравнений D.10) и граничных условий D.12), вместо числа Re появляется
новый параметр К = k Re. Только наличие слагаемого kqa& —4- вносит
зависимость параметров течения от k. Однако следует ожидать, что
влияние k на распределение давления по поверхности тела и форму
ударной волны будет несуществен о (в строгой асимптотике ударная
волна совпадает с поверхностью тела и, следовательно, не зависит от
k). Кроме того, в области течения, где —^- ^ 1, что имеет место при
dqP
осесимметричном обтекании тел прямолинейной бразующей, а
остальные параметры — трение и тепловые потоки, будут определяться
параметром К и слабо зависеть от k. И вместо условия газодинамиче-
газодинамического подобия Re0 = idem необходимо выполнение условия k Re0 =
= idem. Это подтверждается результатами расчетов, привед иными
в параграфе § 4.4.
37
4.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОРМЫ
УДАРНОЙ ВОЛНЫ.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИИ ВВЕРХ ПО ПОТОКУ
В ЗОНАХ ДОЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ
Как отмечалось в предыдущем параграфе, отход ударной волны
перед гладким тупым телом в гиперзвуковом потоке определяется из
условия
PsVns = Vnoe, D.16)
в котором ьпаа считается равной нормальной составляющей к поверх-
поверхности тела вектора скорости набегающего потока. Причем с погреш-
погрешностью порядка k изменение отхода ударной волны не влияет на ори-
ориентацию нормали к поверхности ударной волны, которая совпадает
с нормалью к поверхности тела.
Уравнение для определения значения отхода ударной волны от по-
поверхности тела (So) можно получить и из интегральных условий сохра-
сохранения массы в ударном слое. Это же уравнение получается и прямо
в результате интегрирования уравнения неразрывности B.1). Пере-
Перепишем это уравнение введя нормированную независимую переменную
D.17)
После очевидных преобразований придем к уравнению
дрУп. VI __ д (Sllpv1 /g72) д (S0pv2 fgu) . ...
—Ту ¦ Wi ~ W* • v-l0>
где vn = va -±^^-v[\]y -L.-giL-opiy. Уравнение D.18)
записано точно без предположения k -*• 0. Значение vn при у = 1 явля-
является нормальной к ударной волне составляющей вектора скорости,
vn — нормальная к поверхности тела составляющая скорости. Про-
Проинтегрировав уравнение D.18) по у в пределах 0-М и по q1 в преде-
пределах Q-7-q* (<7* — текущее значение координаты qx), с учетом D.16)
получим
1
\ (г» + so c°s 9J =
0
"' / i \ «Г
s \p" ^ei i dy dqi ~ $pVn
0 \ 0
6
При записи D.9) принято во внимание, что ) vnx V~gdqi = -=- (rw -f-
6
+ S cos 9J — обезразмеренная масса газа, втекающей через участок
поверхности ударной волны, расположенной вверху по потоку от се-
сечения q1 = q\ и ограниченной двумя поверхностями q2 = const с рас.
стоянием между ними dqi KgW В D.19) принято rw (qlt q2) — расстоя-
68
ние от точек поверхности до некоторой оси, лежащей внутри тела;-
в — угол между вектором эь касательным к координатной линии qlt и
этой осью. Слагаемые в D.19) определяют потоки массы через боковые
поверхности объема, по которому произведено интегрирование. Та-
Таким образом, последний интеграл обозначает массу газа, вдуваемую
через поверхность тела. Уравнение D.19) может быть использовано
для определения величины So. При этом, так как, строго говоря, va
зависит от So, то необходимо использовать итерационный процесс. Для
двумерного течения уравнение, аналогичное D.19), использовалось
в [17, 132].
Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, представляет интерес
проанализировать результаты, полученные при условиях с впадения
faoos. fnoos с vax, vnOc и при определении этих величин из найденной
в процессе решения задачи формы ударной волны. Возможен следую-
следующий итерационный путь решения этой задачи: рассчитывается обте-
обтекание тела при условии vaoc,s = uaoo, vnoos = vnao, в результате которого
с привлечением соотношений типа D.19) определяется отход ударной
волны, т. е. функция S (qlt q2). Затем при Da<x>s и vnocs, найденных по
вычисленным в предыдущей итерации значениям S (qlt q2), опять ре-
решается задача обтекания и определяются новые значения 5 (qlt q2).
В каждой итерации уравнения D.10) решаются маршевыми по перемен-
переменной ql конечно-разностными методами. При этом в условиях на удар-
ударной волне D.12) величины va<x,s, vnoos считаются заданными, что не на-
нарушает корректности пошагового интегрирования дифференциальных
уравнений параболического типа. Задача в целом решается некото-
некоторым методом установления, который назвали методом лобальных
итераций [17], или каскадной схемы [38]. Именно это обстоятельство
позволяет получить решение задачи при той ее эллиптичности, кото-
которая вносится не определенной заранее формой ударной волны. Меха-
Механизм передачи возмущений вверх по потоку при этом реализуется в
процессе численного дифференцирования таблично заданной функции
S (qi, q2)- При этом следует отметить, что в процессе решения задачи
реализуются два итерационных процесса: первый — позволяет опре-
определить исходя из уравнения D.19) отход ударной волны при маршевом
решении уравнений D.10); второй — связан с методом глобальных
итераций определения наклона ударной волны. От второго итерацион-
итерационного процесса можно отказаться, если для удовлетворения уравнению
D.19) определять не S (qu q2), а непосредственно iw — величину,
входящую в граничные условия D.12). Отход ударной волны можно
определить, используя уравнение D.7). При этом реализуется мар-
маршевое решение задачи с одновременным определением формы ударной
волны, без лобальных итераций. Такой подход имеет преимущества
и в том, что позволяет некорректную операцию дифференцирования
таблично заданной функции So (qlt q2), которая необходима для опре-
определения vnoos и uaoos, заменить сглаживающей процедурой численного
интегрирования уравнения D.7) для определения So (qlt ~q2) при
найденных из условия D.19) значениях un(X>s. На рис. 4 приведены
результаты расчета осесимметричного обтекания гиперболоида враще-
вращения с полным внутренним углом 45°, а также первая и вторая произ-
59
годные толщины вязкого слоя
dSn
d2S0
dq\
в q,
и распределение давле-
ния и трения. Здесь результаты, полученные по каскадной и марше-
маршевой схемам, нанесены сплошными и штриховыми кривыми (номера
кривых обозначают номер итерации по каскадной схеме). Отсюда вид-
но, что построенные по маршевой схеме распределения -з— (рис. 4, а),
oq1
давления (рис. 4, б) и коэффициента трения (рис. 4, г) являются пре-
пределами, к которым сходятся приближения каскадной схемы для соот-
соответствующих функций. Из рис. 4 хорошо видно увеличение счетных
dS *г,
осцилляции в значениях -з— с ростом номера приближения. Для зна-
чений второй производной —j- (рис. 4, е) при qx > 2 сходимости не
dql
наблюдается, лишь малость абсолютных значений самой величины не
нарушает устойчивости алгоритма. В то же время описанная марше-
маршевая схема, предложенная в [120], оказалась настолько удачной, что
в поведении.второй производной практически нет осцилляции, хотя
она и определяется конечно-разнсстным дифференцированием вели-
dS o
чины -Q —¦ При этом использовались левосторонние разностные соот-
соотношения. Второе следствие вытекает из сравнительного анализа ре-
результатов, полученных при условии, что yasoo = yaeo, vnsx — vn<x, (кри-
(кривые /) и при решении задачи с одновременным определением га5я>
исходя из уравнений D.19), D.7) (штриховые кривые). Как видно, зна-
60
чения давления и коэффициента трения различаются примерно в 1,5—
2 раза. Заметим, что результаты получены для Мое = 20, у = 1,4,
Re0 = 300. При этом k = 0,167. С уменьшением k различие в результа-
результатах убывает. Далее будут рассмотрены результаты, полученные в раз-
разных приближениях, с привлечением приближения ВУС.
Исследуем методические вопросы определения формы ударной вол-
волны. Использование описанного маршевого метода в дозвуковой окрест-
окрестности критической точки оказывается невозможным из-за расходимости
решения по мере увеличения координаты qx. Результаты, приведен-
приведенные на рис. 4, получены комбинированным путем: в дозвуковой окрест-
окрестности критической точки применялась каскадная схема (при qx < 1),
далее, когда течение в основном становилось сверхзвуковым, применя-
применялась маршевая схема построения ударной волны, то значит «дозвуко-
«дозвуковая» окрестность и в основном «сверхзвуковое течение» станет ясно из
дальнейшего.
Для получения соотношений, которые помогут разобраться в опи-
описанной ситуации, используем уравнение неразрывности, записанное
в форме B.10). Перепишем его, введя в дополнение к введенной ранее
переменной у = -?-, нормированные зависимые переменные иа =
~ vjvas- После очевидных преобразований получим
ди$п_" - So dPs g2 dPs
D.20)
где
д ~ ~К~ 1 ду ~ду ду~ [""Рг "
\\JHL
"- К X ду г\ду х \ Рг '; ду )) Zp '
о УР " л Г
а2 _ _хн_ __ СКОрОСТЬ звука; vn = vn + UjS^i К gu-
В свою очередь Bq\ — у " , a fn определяется равенством D.18).
Проинтегрировав D.20) по у в пределах от 0 до 1, получим
/~ , 1 dSn \ , So dps , с dps , . ., „ I \
s I fts s g^ gq^ j i v^ gq^ 2 0 Qqt 0 3"
61
где
o~{ aovndr); Jx = Г axdi\\ J2 = f -"-i- dri;
о
Исходя из условий на ударной волне A.33) можно получить
В последних уравнениях сохранена величина k/ps0 по причинам, ого-
оговоренным в предыдущем параграфе. Для производных -1- получим
J*Ps о,. /1 * i Vn<x>s i п I ' \ /4 23)
Подставляя D.23) и первое из уравнений D.22) в D.21), получаем урав-
уравнение для Vns<x, — нормальной составляющей скорости набегающего по-
потока к поверхности ударной волны
7 Sp dt)ns«, , dvnsoo , Q _
5
PsO]
lMn D.24)
Умножая D.5) скалярно на вектор скорости набегающего потока, полу-
получаем уравнения
uioo dS y9<x> dS
Уравнения D.24), D.25) следует рассматривать как уравнения относи-
относительно двух неизвестных функций vnSoo и So. Для осесимметричных те-
течений J2 = 0, иг» = 0, и эти уравнения упрощаются.
Рассмотрим отдельно течение на критической линии тока. Если она
является осью симметрии течения, то на ней должно быть vis<x> = О,
"s°° = 0, vnsx = —1. Тогда, раскрыв неопределенность в D.24) и
oq,
продифференцировав D.25) по qlt придем к уравнениям
62
где
В последние два уравнения входят неизвестные величины So,
и ——. В свою очередь в уравнения сохранения импульса по направ-
направив
лению qlt записанное на линии симметрии, войдет вторая производная
от давления по qx. Непосредственно за ударной волной эта величина
связана с
соотношением, вытекающим из D.23):
В ударном слое
щ
д2р
dq\
D-27)
определится из уравнения
следующего из D.11). Остальные газодинамические параметры, а имен-
именно иъ Н и vn, определяются из уравнений D.10), записанных при qt =
= 0 с учетом независимости решения от q2. Эти уравнения можно за-
записать с учетом введенной нормировки зависимых и независимых пе-
переменных в виде
д
ди
дп
ду \ Pr ду
D.29)
В качестве граничных условий на поверхности тела используем условия
прилипания
ы, = 0, У, = 0, // = Яю при у = 0. D.30)
На ударной волне должны выполняться обобщенные условия Рэнки-
на — Гюгонио D.12), которые во введенных переменных примут вид
63
Уравнения D.27) — D.31) позволяют определить все параметры на оси
симметрии при условии, что задано ———. Отход ударной волны So в
критической точке можно определить из условия сохранения массы в
ударном слое, или из условия, что psvns = —1. При заданном —^- ве-
величину So можно определить и из первого уравнения D.26). Ясно,
что все три замыкающих условия равнозначны. Однако в общем
случае ^- не задано и задача определения параметров на линии
дд]
симметрии течения около тупого тела не замкнута, так как два урав-
уравнения D.26) содержат, как уже отмечалось, три неизвестные величины:
—^тг—, —- и So- Другими словами, при незаданной форме ударной
волны эллиптичность задачи о дозвуковом течении в вязком ударном
слое, описываемом параболическими дифференциальными уравнения-
уравнениями, проявится в незамкнутости задачи определения параметров на ли-
линии симметрии. Аналогичная ситуация имеет место и в случае невяз-
невязкого течения, подробный анализ которого приведен в [71].
Для замыкания задачи необходимо рассмотреть всю область тече-
течения около тупого тела, не ограничиваясь линией симметрии. При этом
геометрические параметры ударной волны могут быть определены из
уравнений D.24), D.25), которые необходимо решать совместно с си-
системой дифференциальных уравнений D.10). Характерной особенностью
D.24) является то, что
D.32)
при движении вниз по потоку от критической точки меняет знак и
в некотором сечении qx = q\ обращается в нуль. В области преимуще-
преимущественно дозвуковых течений J1 < 0. Поэтому будем называть окрест-
окрестность линии симметрии, в которой Jt •< 0, дозвуковой окрестностью, и
область течения в которой Jx > 0, областью в основном сверхзвукового
течения. Ясно, что и в дозвуковой окрестности линии симметрии, на-
начиная с некоторого значения qy, в области течения, примыкающей к
ударной волне, имеет место локально сверхзвуковое течение, и при
сверхзвуковом течении частицы газа в пристеночной области имеют
дозвуковые скорости. В сечении, где Jx = 0, очевидно, должен об-
обращаться в нуль числитель правой части уравнения D.24). (Рассматри-
(Рассматривается осесимметричное течение, для которого J2 — 0.) Это условие
служит дополнительным соотношением, позволяющим определить
—^р- в критической точке и таким образом замкнуть задачу. При
произвольном значении я— в окрестности течения, в которой Jt -*¦
dq]
-г 0, величина —-j^— (а значит, в силу D.27), -?*-) стремится к ± оо,
64
в зависимости от знака правой части уравнения D.24). Это является
причиной неустойчивости счета по маршевой схеме, обсуждавшейся вы-
выше. Таким образом, для определения параметров в дозвуковой окрест-
окрестности оси симметрии тупого тела в гиперзвуковом потоке необходимо
организовать итерационный процесс для определения
dq\
Учиты-
Учитывая проблемы, связанные с прохождением особой точки уравнений
D.24), целесообразно организовать итерации по методу глобальных
итераций [17], описанному выше. В области в основном сверхзвукового
течения более эффективным оказывается применение маршевых мето-
методов совместного решения системы уравнений D.10), D.24), D.25) при
условиях D.19).
4.4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ
В настоящем параграфе приведены результаты полученные в при-
приближении тонкого вязкого ударного слоя.
Первая группа результатов относится к течению в окрестности кри-
критической точки на сфере.
На рис. 5 и 6 приведены профили продольной скорости, отнесенной
соответствующей составляющей вектора скорости в набегающем пото-
потоке (на рис. 5 для Мх = 20, <fe = 0,2 и при Reo, равном соответственно
10; 50; 100; 1000; 5000; 10 000; 100 000 для кривых 1—7; на рис. 6
для Мх = 20 и k = 0,05). Отличие v^lvu» от единицы при n/s0 =1 ха-
характеризует влияние скольжения по ударной волне. Видно, что при
о том и том же значении числа Re0 это влияние возрастает при убыва-
убывании k или k Re0. Результаты, приведенные на рис. 5 и 6, получены без
учета изменения —%- поперек вязкого ударного слоя (принято в со-
щ
ответствии с гиперзвуковой асимп-
асимптотикой для невязких течений
-jf- = —2,667 [71 ]). При возраста-
возрастании числа Re0 формируются погра-
пограничный слой и область невязкого те-
течения, в которой скорость изменя-
изменяется линейно. Кружочками нанесе-
нанесены значения, определенные по фор-
формулам для невязкого обтекания,
приведенным в [71].
Влияние скольжения на удар-
ударной волне и на поверхности тела на
величину сил трения представлено
на рис. 7 [38]. Здесь приведены зна-
значения dw = тда в критической ris*°
точке (тда — трение, отнесенное к Рис, 5
5 6-3097 65
0,2 0,4 0,6 С,{ Л.
0,2 0,4 0,6 0,8 II
Рис. 7
Рис. 6
Рис. 8
M e
скоростному напору) в зависимости от 8= 1/KRe (Re = ¦ °c2'?(' ,
r0 — кривизна тела в критической точке), кривые получены при сле-
следующих условиях: / — без скольжения; 2 — скольжение только на
поверхности тела; 3 — скольжение только на ударной волне; 4 —
скольжение на ударной волне и на поверхности тела. Отсюда видно,
что при убывании Re влияние скольжения возрастает, причем преоб-
преобладает на ударной волне. Влияние последовательного уточнения поста-
постановки задачи на точность ее решения иллюстрируется рис. 8 и 9, где
приведены зависимости от числа Re* отхода ударной волны (на рис. 8
при М = 20 для кривых /—3 соответственно k— 0,2; 0,167; 0,05; на
рис. 9 при уИ» = 10; k = 0,167). Здесь результаты, полученные с уче-
66
том реального изменения вели- dvx
¦ П *-\ П Г\ГК Л17 Гк ft 'Щ1 Чг ГЪТ^Г-Ъ 1ГТ1 Г* ¦% Ч[/
чины
поперек вязкого удар-
0,4
ного слоя с использованием не-
неупрощенных формул для опре-
определения коэффициентов метри-
метрического тензора введенной систе-
системы координат и с дополнитель-
дополнительным учетом отличия кривизны
ударной волны от кривизны те-
тела, приведены соответственно
треугольниками, крестиками и
светлыми кружочками. Причем в
последнем случае отношение кри-
кривизны ударной волны к кривизне
тела принималось равным 0,83.
Штрихпунктирные линии соответ-
соответствуют значению отхода ударной
волны, определенному по асимп-
асимптотическим формулам для невяз-
невязкого течения [71]. Отличие этого значения от полученного при реше-
решениях уравнений вязкого ударного слоя при Re0 = 106 связано с тем,
что в расчетах плотность газа за ударной волной вычислялась по
точным соотношениям при Мх — 20.
Очевидно, что уточнение изменения -—- поперек ударного слоя
влияет на отход ударной волны слабо, даже при k = 0,2. Значительное
влияние оказывает уточнение коэффициентов метрического тензора
(рис. 8) и отличие кривизны ударной волны от кривизны тела (рис. 9).
Причем при убывании k влияние первого фактора, как и следует из
асимптотических оценок параграфа 4.1, становится менее существен-
Ч>
Я<
67
rw-io3
4
2
\
\
\
\
\
. \
\
\
\
4
N
100
Рис. 12
500 900
b
ным. Черные кружочки (на рис. 9) соответствуют результатам работы
[29], полученным при решении почти полных уравнений Навье — Сток-
са [134] (см. параграф 5.3). Видно, что уточненнный расчет коэффициен-
коэффициентов метрического тензора введенной системы координат и кривизны
ударной волны позволяет существенно повысить точность модели, ос-
основанной на уравнениях тонкого вязкого ударного слоя.
На рис. 10 приведены зависимости хода интегральных кривых урав-
уравнений D.24), D.25), используемых для определения формы ударной
волны при различных значениях кривизны ударной волны в критиче-
критической точке. Результаты расчетов относятся к обтеканию сферы при
Moo = 20 и k Re0 = 6. Для этих условий значение —^-, обеспечи-
dq,
вающее прохождение особой точки уравнений D.24), D.25), равно
d2
0,719, а
dql
= 0,7199; 0,7187; 0,70; 0,725; 0,7203 соответственно
для кривых 1—5 на рис. 10.
Вторая группа результатов, связанных с обтеканием осесимметрич-
ных тел, получена в условиях, когда угол наклона ударной волны к
поверхности тела определялся в процессе решения задачи.
На рис. 11—13 представлены расчеты обтекания гиперболоида вра-
вращения с асимптотическим углом описанного конуса 0К = 50° при
Мх = 10 и TJTq^ — 1, характеризующие толщину вязкого ударно-
ударного слоя (рис. 11), распределение трения (рис. 12) и давления (рис. 13)
при у — 1,1; 1,2; 1,4 (кривые /—3) и Re,» = 1 4 (сплошные кривые)
и 2000 (штриховые), qt — расстояние на поверхности тела от критиче-
критической точки, отнесенное к г0. Из рис. 11 следует сильная зависимость
толщины слоя от k. Однако при близких значениях k Re*, Ik = ^~ \
отношение -г- слабо зависит от у. Звездочками нанесены значения S
для у = 1,4, полученные посредством данных при у = 1,2 исходя из
условия —г = idem. Влияние 7 на трение и давление слабое, за исклю-
чением области, прилегающей к критической точке. Это согласуется
с замечанием, сделанным в параграфе 4.3 по поводу приближенного по-
подобия течений с большой плотностью за ударной волной при различ-
различных значениях у.
Интересно сравнить данные результаты с полученными по теории
вязкого взаимодействия. Приведем значения коэффициента суммар-
суммарного сопротивления затуплен ого конуса с углом полураствора 10°
и удлинением 1000 (практически острый конус):
Re,
ood
10'
103.5
10*
10»
Тонкий вязкий ударный слой
Вязкое взаимодействие
0,06743
0,07136
0,07328
0,07707
0,08362
0,08671
0,1408
0,1424
Результаты получены при Мж = 20, у = 1,4, Рг = 1. Отметим, что
волновое сопротивление рассматриваемого конуса 0,066. орошее со-
соответствие результатов, полученных в приближении тонкого вязкого
ударного слоя и вязкого взаимодействия, очевидно.
ГЛАВА 5
ПОЛНЫЙ ВЯЗКИЙ УДАРНЫЙ СЛОЙ
Наиболее универсальной из упрощенных моделей обтекания тел вяз-
вязким газом является модель полного ВУС. Основным ее отличием от
рассмотренного в предыдущей главе приближения ТВУС является
включение в систему уравнений более полного дифференциального
уравнения сохранения поперечного импульса. При максимальных уп-
упрощениях это уравнение берется в форме, используемой в системе урав-
уравнений Эйлера. Вследствие этого появляется возможность снять огра-
ограничение а толщину возмущенной области течения и, следовательно,
на плотность за ударной волной. Это позволяет существенно расширить
класс решаемых задач как по диапазону чисел М набегающего потока,
так и по конфигурациям тел и их пространственной ориентации. Од-
Однако реализация решения уравнений ВУС на ЭВМ требует по сравне-
сравнению с ур внениями ТВУС больше ресурсов (как оперативной памяти,
так и времени решения), и это несколько снижает эффективность их
использования, особенно для расчета обтекания тупых тел, при нали-
наличии дозвуковых скоростей за ударной волной. Кроме того, появляются
дополнительные трудности в связи с некорректностью задачи Коши для
уравнений ТВУС в области дозвуковых течений. Для подавления этой
некорректности необходимо использовать дополнительные приемы.
Упрощения уравнений Навье — Стокса, наиболее принципиальным
и обязательным из которых является отбрасывание продольных произ-
производных от вязких напряжений, и использование дополнительных ви-
видоизменений уравнений в области дозвукового течения, позволяют ис-
использовать для численного решения задачи методы пошагового, марше-
маршевого по продольной переменной qx интегрирования. Это существенно
снижает требования к ресурсам ЭВМ по сравнению с решением полной
системы уравнений Навье — Стокса. Для получаемых уравнений раз-
разными исследователями используются различные названия: упрощен-
упрощенные уравнения Навье — Стокса [25, 50, 51], параболизованные урав-
уравнения Навье — Стокса [148], уравнения вязкого ударного слоя [17, 20,
38,51, 112].
В большинстве случаев под уравнениями вязкого ударного слоя
понимают уравнения, полученные компиляцией уравнений Эйлера и
уравнений пограничного слоя. Отнесем более полные системы уравне-
уравнений к параболизованным уравнениям Навье — Стокса. Упрощенные
уравнения Навье — Стокса объединяют и те и другие.
70
5.1. УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ —СТОКСА
Как отмечалось, наиболее принципиальным упрощением уравне-
уравнений Навье — Стокса является отбрасывание производных вязких на-
напряжений по продольной переменной qx и пренебрежение производными
по q1 от газодинамических параметров, входящих в вязкие члены.
В результате этих упрощений получается система уравнений, содержа-
содержащая вторые производные по нормали к поверхности тела и в азимуталь-
азимутальном направлении. Наиболее характерные полученные при этом уравне-
уравнения имеют вид [67]
dpuhr dphvr . dpwh I dp
Эти уравнения записаны в системе координат, связанной с поверхнос-
поверхностью кругового конуса с полууглом при вершине 9S. Координаты х, у
направлены по образующей и по нормали к поверхности конуса, ф —
азимутальная координата, rN— расстояние до оси симметрии конуса,
Фц — диссипативная функция.
Отвлекаясь огт особенностей уравнений, связанных с выбранной
системой координат, которые не принципиальны для обсуждаемых
вопросов, обратим внимание на наличие повторных производных по
окружному, касательному к поверхности тела, направлению и смешан-
смешанных производных в вязких членах уравнений (подчеркнутые члены в
уравнениях).
71
Эти уравнения описывают течение как в областях невязкого, так
и вязкого течения и включают эффекты вязкости, связанные с азиму-
азимутальным перетеканием. Они были использованы для исследования об-
обтекания конусов при больших углах атаки [67]. Типичные результаты,
полученные с использованием этих уравнений, обсуждаются в парагра-
параграфе 5.3.
Для выписанных уравнений характерно наличие членов, вносящих
в решение вклад порядка 1, .._ и -5—. Следующее упрощение свя-
у Re *<e
зано с отбрасыванием в выписанных уравнениях подчеркнутых членов,
в результате чего в уравнениях движения в проекции на касательные
к поверхности тела и в уравнении энергии сохранены члены, вносящие
в решение вклад порядка ¦ ,_ и 1. Эти уравнения рассматривались
в многочисленных работах, в частности в [156, 38, 20, 25]. В [1361
для решения упрощенных уравнений используется метод установле-
установления. Это позволило провести исследование пространственного обте-
обтекания осесимметричного тела с расширяющейся хвостовой частью при
наличии продольного отрыва (рис. 17).
В результате выяснены закономерности течения в несимметричной
локальной отрывной зоне, образованной при натекании газа на расши-
расширяющийся хвостовик. Сравнение полученных результатов с экспери-
экспериментальными данными показало, что упрощенные уравнения, в которых
сохранены только вторые производные по переменной у, позволяют
достаточно точно описать структуру течения. Сравниение с результа-
результатами решения полных уравнений Навье — Стокса показывает рас-
расхождение в результатах до 3 %. Расчеты проводились при Мм = 2,8;
Re» = 0,8 • 106. Упрощенные уравнения, в которых сохранена наря-
наряду с другими членами порядка -к— часть вязких членов, содержащих
первые производные по продольной переменной, решены в [29] для
случая осесимметричного обтекания сферы. Показано, что при доста-
достаточно малых числах Re вклад в решение этих членов может быть заме-
заметен. И наконец, следующее упрощение достигается отбрасыванием в
уравнении сохранения поперечного импульса (уравнение типа E.3))
вязких членов. В этом приближении получаются уравнения, в которых
отброшены слагаемые, подчеркнутые как одной, так и двумя линиями.
Эти уравнения получили наиболее широкое распространение, так как
они, по сути, объединяют уравнения Эйлера и пограничного слоя. Ис-
Использование этих уравнений снимает много вопросов, связанных с
вязким взаимодействием и возникающих при раздельном решении
уравнений Эйлера и пограничного слоя.
5.2. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ УПРОЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ.
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
Как уже отмечалось, принципиальной особенностью упрощенных
уравнений является, с одной стороны, возможность формулировки
для них задачи Коши и решения ее пошаговыми, маршевыми конечно-
72
разностными методами и, с другой стороны, некорректность этой зада-
задачи при расчете дозвуковых течений. Для анализа такой некорректнос-
некорректности и путей ее преодоления воспользуемся упрощенными двумерными
уравнениями, записанными в декартовой системе координат. После
исключения плотности из уравнения неразрывности с помощью уравне-
уравнения состояния и энергии эти уравнения запишем в следующем виде
ди . dp . dv 1 5 du
дх dx ду Re ду ду
dv . dv . dp 1 a dv
дх ду ду Re ду ду
ди , и dp , dv , v dp
" дх а? дх " ду а? ду
Re" \ Л ду Рг ду ' ^ \ ду
dh dp 1_
ду ду Re
E.6)
E.7)
E.8)
dh
или в векторном виде
di
a* ay Re ду г dy
E.10)
где f — вектор с компонентами и, v, р и р; А, В, С — следующие мат-
матрицы:
1 р"
0
хр
0
0
ри
0
0
б
0
и
HF~
— и
0
0
0
01
В =
ри
О
О
о
о
ри
Р
О
О
1
v
а2
— V
О
О
О
ри
1
О
С-
о
1
о
о
о
о
0 0 0 4-
0 0 0
-t
0, 0, -^^- (х г-^—1 , -щ- ц г-д—1 I. В мат-
мата — вектор с компонентами
рице А элементы а13 и a3i имеют множители б и и, которые в уравне-
уравнениях E.6), E.9) равны единице. Эти множители нам понадобятся в
дальнейшем.
Для корректности решения задачи Коши для уравнений E.10) не-
необходимо, чтобы собственные числа матрицы А~ХС были действитель-
действительными и неотрицательными (Л" — матрица обратная к А). В этом лег-
легко убедиться, рассматривая систему уравнений типа E.10) с постоянны-
постоянными коэффициентами и применяя для ее решения метод Фурье [51, 104].
73
Кроме того, необходимо, чтобы при -^ -»¦ °о система уравнений пере-
переходила в гиперболическую систему. Для этого в свою очередь необхо-
необходимо, чтобы собственные числа матрицы А~ХВ были действительными.
Прежде всего заметим, что детерминант матрицы А определяется ра-
равенством
Det (А) = р«2р (-?- — м&\ .
Для собственных чисел матриц А~ХВ и А~1С имеем: для матрицы А~1 В
Л в v .в uv ± а V и* +tfi(t'2 — о2)
Я,2=; А34 = ;
2; 3,4 ц2_хба2; (&¦")
для матрицы Л~'С (при Рг = 1)
Будем рассматривать уравнения E.6) — E.9), т. е. примем х = б = 1.
Из E.10), E.11) видно, что при и2 -f у2 < а2 собственные числа Я|4
будут комплексно-сопряженными, а при ы2 < а2 собственное число
а? < 0. Таким образом, для корректности задачи Коши необходимо,
чтобы было и> а. Дальнейшие изменения уравнений E.6), E.10) на-
направлены на то, чтобы перейти к положительным собственным числам.
Для этого используются следующие приемы. Принимается, что в урав-
уравнении E.6) величина ~ известна. Тогда —- переходит в правую часть
уравнения и становится первой компонентой вектора d в представле-
представлении E.10). В этом случае в матрице А необходимо б положить равным
нулю, и тогда из E.11), E.12) следует, что собственные числа "Към ^
удовлетворяют необходимым требованиям.
В связи с этим -~- в дозвуковом пристеночном слое считается рав-
равным его значению в сверхзвуковой части течения [67]. Контроль по-
др
грешности вносимой осуществляется при анализе значения -~, полу-
получаемого при решении уравнений E.7) — E.10).
В [50, 51] применен другой прием. Принято х = 1, а 5 изменяется в
дозвуковом подслое таким образом, что собственное число kl положи-
положительное, т. е. б выбирается из условия б < —^
Второй подход, приводящий к требуемому эффекту, заключается
в предположении, что в уравнении E.8) задано значение -т-. Величи-
Величина этой производной определяется экстраполяцией по ее значениям
вверху по потоку [20]. В таком случае необходимо принять 6 = 1,
¦% = 0, что, как видно из E.11), E.12), приводит к тому же эффекту,
что и случай б = 0, х = 1. Кроме того, имеются работы, где в дозвуко-
дозвуковой части течения принимается погранслойное приближение-^- = 0 [7].
Все эти способы в той или иной мере связаны с заменой уравнений,
т. е. с введением дополнительных допущений. В этой связи представля-
74
ет интерес каскадная схема решения задачи, предложенная в 138].
Суть такой схемы заключается в организации следующего итерацион-
итерационного процесса: решается маршевым методом система уравнений E.6),
E.8), E.9), в которой считаются известными значения р и компоненты
вектора нормали к ударной волне. Одновременно из условия сохране-
сохранения массы (уравнение типа D.19)) определяется отход ударной волны.
Задача Коши для этих уравнений корректна и в случае и < а. Затем
из E.7) определяется р, а по известному отходу ударной волны — со-
составляющие вектора нормали к ней. Процесс повторяется до сходимос-
сходимости. Для получения решения достаточно 4—5 итераций. Существенным
недостатком такого метода является необходимость запоминания па-
параметров поля потока, что выдвигает определенные требования к па-
памяти ЭВМ. Кроме того, этому процессу присущи отмеченные в преды-
предыдущей главе недостатки, обусловленные осцилляциями в форме удар-
ударной волны, наличие которых вызвано некорректной процедурой чис-
численного дифференцирования таблично заданной функции. Попытка
исправить эту ситуацию предпринята в [112], где форма ударной волны
определяется с помощью своего рода метода установления. Устраняя
отмеченные недостатки, такой подход усложняет задачу.
В связи с этим представляет интерес метод, описанный в [111].
В соответствии с таким подходом уравнения типа E.6) — E.10) разбива-
разбиваются на две группы: уравнения E.6) и E.10) при заданных v и р — это
система параболических уравнений, и уравнения первого порядка от-
относительно v и р — уравнения E.7), E.8). При заданных и и h — это
система уравнений гиперболического типа. Для решения системы E.7),
E.8) можно применить эффективные методы, один из котор >х описан
в [111]. Причем маршевый метод решения этих уравнений может быть
дополнен маршевой процедурой построения ударной волны: гранич-
граничное условие v = 0 на поверхности тела перегоняется в результате
прямой прогонки на ударную волну. Полученное таким образом дополни-
дополнительное соотношение позволяет определить параметры за ударной вол-
волной и составляющие вектора нормали к ударной волне. Общий итера-
итерационный процесс решения уравнений E.6), E.10) при переходе на один
шаг по продольной переменной х заключается в следующем: при зна-
значениях v и р, найденных на поверхности х" = const из решения урав-
уравнений второго порядка, определяется касательная составляющая век-
вектора скорости и энтальпии при х"+] = х(п> + Ах. Затем при найденных
значениях этих параметров решается система уравнений E.7), E.8) и
определяется угол наклона ударной волны, который используется для
экстраполяции на соседний слой xin+2).
И наконец, отметим еще один подход, описанный в [27, 26] и заклю-
заключающийся в том, что на каждом шаге при маршевом продвижении по
продольной координате решаются нестационарные уравнения методом
установления. Тогда согласно тому, что нестационарные уравнения
являются параболическими для вязких течений и гиперболическими
для невязких, не возникает некорректность задачи, связанная с тем,
что и < а, при условии, что (-^ + -^-) > 1 [26], где А* — шаг раз-
разностной сетки по маршевому направлению; Д^ — шаг по времени. Для
75
сходимости| итерационного процесса необходимо, чтобы Ах было боль-
больше некоторого значения (Ax)min. Это ограничение приводит к подавле-
подавлению распространений возмущений вверх по потоку, вследствие чего
становится возможным маршевое решение задачи.
5.3. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ
Для иллюстрации возможностей, которые представляет использо-
использование упрощенных уравнений Навье — Стокса, рассмотрим три кон-
конкретных примера решения задач.
Обтекание сферы при малых числах Рейнольдса. На примере этой
задачи в [25] сравниваются результаты, полученные на основе четырех
типов уравнений: 1 — уравнения Навье — Стокса, 2 — упрощенные
уравнения, не содержащие вторых производных по маршевому направ-
направлению. Эти уравнения предложены в [134] для плоских тел и в [29] для
осесимметричных и содержат вторые производные в поперечном направ-
направлении как от энтальпии и продольной компоненты вектора скорости,
так и от поперечной компоненты. В них имеются как слагаемые поряд-
порядка /, так и порядка ,_ и отдельные слагаемые порядка -^—; 3 —
У Re *<е
уравнения собственно вязкого ударного слоя, которые являются ком-
компиляцией уравнений Эйлера и пограничного слоя. В них содержатся
слагаемые, которые в какой-нибудь области течения (в невязкой части
или в пограничном слое) имеют порядок 1; 4 — уравнения, объединя-
объединяющие уравнения пограничного слоя с учетом членов порядка 1/V^Re,
и уравнения сохранения импульса в поперечном направлении из си-
системы уравнений Эйлера [155]. Таким образом, уравнения III и IV не
имеют вторых производных от поперечной составляющей вектора ско-
скорости.
Результаты расчетов обтекания сферы при Ма = 6, TJTqx =
= 0,35, у = 1.4 приведены на рис. 14, 15. Цифры на кривых соответ-
соответствуют типу уравнений (или номеру приближений, определяемых эти-
этими уравнениями), штриховая линия — результатам, полученным в
приближении пограничного слоя. На рис. 14, а, б показаны зависимос-
зависимости от числа Re.» отношения давления /?&» в критической точке к давле-
давлению рй — при невязком обтекании и теплового потока <70]/Re. Из ана-
Р„/р,*
1,00
Рис. 14
76
0,1 дО
0,135
0,090 ¦
0,045 -
в"
лиза поведения кривых видно, что
значение давления в приближениях
3 я 4 определяется с одинаковой
погрешностью. Приближения 2 поз-
позволят получить результаты, близ-
близкие к результатам, найденным при
решении уравнений Навье Сток-
са. Что касается теплового потока,
то приближения 2 и 4 мало разли-
различаются. Из рис. 1 \ где приведены
значения коэффициента трения на
поверхности сферы в зависимости
от сферической координаты Э. Вид-
Видно, что приближения 2 и 4 позво-
позволяют определить коэффициент тре-
трения с малым отличием от результатов, полученных из уравнений На-
Навье — Стокса. Приближение 3 практически приводит к результатам,
которые получаются при решении уравнений пограничного слоя. На
рис. 15 верхняя, средняя и нижняя группы кривых относятся соответ-
соответственно к Re«, = 100; 355; и 3550. При Re», = 3550 результаты во
всех приближениях совпадают. В этой задаче ударная волна опреде-
определялась совместно с решением задачи, а параметры за ней находились
из соотношений Рэнкина — Гюгонио. Расчеты проводились на сетке
при 11 лучах 0 = const и 26 точках на луче. Узлы разностной сетки
сгущались у поверхности тела.,
Результаты расчета пространственных течений представлены на
рис. 16, 17. На рис. 16 нанесены значения окружной (а) и продольной
(б) составляющих вектора скорости в разных меридиональных плос-
плоскостях ф = const в зависимости от расстояния по нормали к поверх-
поверхности острого конуса, отнесенного к расстоянию от оси симметрии до
конуса, в — иллюстрирует изменение давления в подветренной части
конуса; точки характеризуют экспериментальные данные; стрелки с
цифрами 1 и 2 указывают места возникновения поперечного отрыва,
полученные в расчете и эксперименте. Эти данные относятся к расчету
обтекания острого кругового конуса с полууглом при вершине 5,6°
при углэ атаки а — 8°, М«, = 14 и Re» = 2,72 • 106 (число Re опре-
ъ п
1,00
0,50
0
9
¦
-по'
\
|
л
=—V
160
Rw(x)
1,00
0,50
п
¦
(р-180°
'А
Г160/
"Ж,
—160
—140
—90
-0
-0,1 0
0,1
а
-W. " 0,2 0,6
t
Рис.
п
1,25
0,15
0,25
—- <р
—~
140s
\j6,
90
= 180°
160
\i80
°\
77
1,0
0,4(x-L)/D
делялось при характерной длине один
метр) [67]. Результаты получены на
основе решения уравнений E.1)—•
E.5), найденных из уравнений Навье —
Стокса после отбрасывания вторых
производных по продольной коорди-
координате с сохранением во всех уравнени-
уравнениях вторых производных как по норма-
нормали к поверхности тела, так и по ази-
азимутальному направлению ф. Для реше-
решения этих уравнений был применен мар-
маршевый по переменной х метод, опи-
описанный в работе [67]. Для подавления некорректности маршевого ре-
решения в дозвуковой части течения использовались такие приемы: -~
др
принималось равным нулю; -т— вычислялось в предыдущем сечении
х = const.
Влияние поперечного перетекания на определяемые параметры
иллюстрируют рис. 16, а, б. Откуда видно наличие азимутального ре-
рециркуляционного течения в наветренной части, вызванного повыше-
повышением давления в окрестности плоскости ф = 180 (рис. 16, е), а также
что окружная скорость в пограничном слое, образующемся около по-
поверхности тела, намного больше, чем в части потока, где влияние вяз-
вязкости не существенно. Это связано с относительно малой плотностью
газа в пристеночном слое. Подробно вопрос о плотности газа в ги-
гиперзвуковом пограничном слое обсуждается в следующей главе.
Рис. 16, б характеризует изменение толщины вязкой области в
азимутальном направлении. На рис. 16, г представлены профили эн-
энтальпии, отнесенной к энтальпии набегающего потока, которые, с од-
одной стороны, иллюстрируют уровень энтальпии в вязкой области те-
течения, и с другой — так же, как и профили продольной составляющей
вектора скорости, позволяют сделать заключение о толщине области
вязкой диссипации.
Приведенные результаты получены в [67] на сетке, состоящей из
50 узлов по поперечной координате и из 18 узлов по азимутальной.
У поверхности тела применялось сгущение узлов. На головной ударной
волне, которая определялась вместе с решением задачи, использова-
использовались условия Рэнкина — Гюгонио.
На рис. 17 приведены результаты, полученные в [136] при решении
уравнений, в которых сохранены все вторые производные в поперечном
направлении и отброшены азимутальные и продольные вторые произ-
производные. Для решения упрощенных таким образом уравнений использо-
использовался метод установления. Вследствие этого найдено решение задачи
обтекания вязким газом полого цилиндра с конической расширяющейся
хвостовой частью. Использование полого цилиндра позволяет прене-
пренебречь вопросами определения граничных условий вверху по потоку.
На рис. 17 представлено распределение давления в меридиональных
плоскостях ф = 0; 90; 180° в окрестности линии излома. Условия об-
78
текания следующие: Мж — 28, Re^z, = 0,7 • 106, угол атаки а = 4°,
0 = 15°, D = О, 1016 м, L — 0,2525 м. Здесь же нанесены результаты
расчета невязкого обтекания (кривые Я). В [1361 описано согласие экс-
экспериментальных данных с расчетными значениями. Это интересно в
связи с тем, что иллюстрирует возможность использования уравнений,
не содержащих вторые производные по х и ср, для получения достовер-
достоверных результатов расчета пространственных течений с поперечным и-
продольным отрывом.
Данные иллюстрации в полной мере раскрывают возможности по-
получения результатов обтекания тел вязким газом, включая и отрывные
течения на базе упрощенных уравнений Навье — Стокса, причем при
отсутствии зон с продольными течениями эффективным является при-
применение маршевых методов решения. Использование упрощенных
уравнений, в частности уравнений, являющихся компиляцией уравне-
уравнений пограничного слоя и уравнений Эйлера, позволяет во многих слу-
случаях избежать проблем с сопряжением решения уравнений невязкого
обтекания и пограничного слоя, которые возникают при их раздельном
решении. При этом, как следует из первого примера, оптимальным яв-
является включение в уравнения слагаемых, которые присутствуют в
уравнениях пограничного слоя второго приближения, т. е. слагаемых
порядка "т=-. Это не вносит дополнительных трудностей в вычисли-
вычислительную процедуру получения решения и позволяет значительно рас-
расширить диапазон по числам Рейнольдса применения упрощенных урав-
уравнений.
ГЛАВА 6
ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ
В четвертой главе были рассмотрены задачи обтекания тел вязким га-
газом с большой плотностью за ударной волной. Соответствующие упро-
упрощения в этих задачах достигались на основании асимптотических оце-
оценок параметров при Мх -> оо, у -> 1 и Re ->- ею. Другой класс задач,
в котором многие особенности течений могут быть выяснены на основа-
основании асимптотического анализа, связан с обтеканием тонких тел. В этих
задачах плотность за отошедшей ударной волной имеет порядок плот-
плотности набегающего потока. Но в дополнение к асимптотическим оцен-
оценкам, связанным с Re-> оо, М <*,-*¦ оо, используется условие т^ 1, где
х — относительная толщина тела. Теория гиперзвукового обтекания
тонких тел довольно полно разработана и позволяет практически без
численного решения задач выявить наиболее характерные особенности
обтекания тел в режиме вязкого взаимодействия, включая и возможнос-
возможности передачи возмущений вверх по потоку. Характерным для этих задач
является то, что поле потока около тонких тел можно вполне опреде-
определенным способом разбить на две области: невязкое течение непосред-
непосредственно за ударной волной и пограничный слой с четко выраженной
границей. Многие особенности взаимодействия течений в этих областях
и течение в пограничном слое существенным образом определяются
характером изменения параметров в невязкой части потока. В связи
с этим рассмотрим задачи обтекания тонких тел с точки зрения невяз-
невязкого течения. Причем ограничимся лишь кратким перечнем основных
особенностей, влияющих на течение в пограничном слое. Систематиче-
Систематическое изложение теории невязкого обтекания тонких тел приведено в
171, 139, 137].
Вязкое обтекание описано во многих работах, которые появились
в печати начиная с начала 50-х годов [154, 158, 159, 164, 165, 68, 69,
79, 78]. На основании этих работ в настоящей главе проводится анализ
основных характерных особенностей гиперзвукового обтекания тонких
тел.
6.1. ОСОБЕННОСТИ ОБТЕКАНИЯ ТОНКИХ ТЕЛ
НЕВЯЗКИМ ГАЗОМ
В невязком приближении изменения газодинамических параметров
описываются уравнениями Эйлера. Уровень изменения параметров
в возмущенном поле потока определяется граничными условиями. Для
80
оценки порядков возмущений параметров рассмотрим соотношения на
ударной волне. Перепишем соотношения A.33), полагая в них ReM -»-
-v оо, и введя вместо полной энтальпии, которая в этом случае сохра-
сохраняется при переходе через скачок, удельную энтальпию h. Кроме того,
объединив второе и третье уравнения этой системы, заменив их одним
векторным соотношением [71], получим
р = Рос, + роемое A — k);
* (D.I)
где k = -?*-; ns — единичный вектор нормали к ударной волне.
Далее для простоты рассмотрим двумерный случай. Пусть -^
— а — угол между вектором скорости Voo и нормалью к ударной
волне, причем а <? 1. Тогда с точностью до а2 имеем и„тс = —V«,n, ~
~ Voocz, nsx ~ а, п$и ~ 1, где nsx, пчу — проекции вектора ns на оси
систем координат декартовой — для плоской и цилиндрической —
для осесимметричной задач. Ось Ох направлена по вектору- скорости
Voo. Тогда из F.1) имеем
a U *)). F2)
•a(l—A);
Поскольку поверхность тела является основным источником возмуще-
возмущения, • о поперечная составляющая вектора скорости V должна иметь
порядок VooT. Исходя из этого получаем a A —k) ~ т. В свою очередь
легко убедиться, что
77) Г^ s*
Отсюда а ~ т -f- -п— <^ 1 при М», ^> 1, М«a ~ 1. Тогда из F.2) имеем
-s—{- ест .— роек ooOt ; (Ь.о)
h - Vl/2a2; F.4)
u~V»(l —O(ax)). F.5)
Используя уравнение состояния, для плотности получаем
6 6-3097 81
Легко убедиться, анализируя уравнения движения, что приведенные
оценки сохраняются и во всем возмущенном поле потока. Исключение
составляет прилегающая к телу часть потока за отошедшим скачком
степенной формы [115]. На этом случае остановимся позднее. Посколь-
Поскольку а ~ х, то характерный поперечный раз ер возмущенной области
будет xL.
Полученные оценки позволяют упростить уравнения Эйлера. Вве-
Введем новые переменные: х' = x/L; у' = y/xL; р' = р/р»; «' =—у 2 t
V = -^- ; р' = рт-г ;h' = -4~j- Подставляем их в уравнения
Эйлера и, пренебрегая величинами порядка х2 по сразнению с единицей,
записываем
, dv' . , , dv' dp' #
Р дх' ' " ду' ~ ду' '
~дГ- + ду' = 0; F<7)
„, ди' , „'.,.' ди' _ др' .
o'v
Р дх + f)U ду' ~ дх' '
где v = 0; 1 — для плоского и осесимметричного течений. Пусть по-
поверхности тела и волны заданы уравнениями у == хгш (х) я у = хг& (х),
тогда во введенных переменных имеем у' = rw (x'), у = rs (jc')-
Граничные условия можно с точностью до т записать в таком виде.
Поверхность тела
(V.tO = D'-4^- = 0. F.8)
Поверхность ударной волны
h =
ps 7-1 ks ' P;
Система соотношений F.7), F.8), F.9) определяет постановку задачи
гиперзвукового обтекания тонкого тела невязким газом. Видно, что
во введенных переменных течение полностью определяется заданием
уравнения поверхности тела гщ (х') параметров Мхх и у.
Таким образом, в отличие от общего случая обтекания тел, гипер-
гиперзвуковые течения около тонких тел будут с погрешностью т2 подобны
•при совпадении параметров Мхх и у. Другими словами, введенные па-
параметры будут совпадать при обтекании тел различной относительной
толщины т при условии, что уИооТ = idem, —у совпадают.
82
Рассмотрим случай обтекания тела с отошедшей ударной волной
степенной формы, который имеет важное приложение в задачах обте-
обтекания тел вязким газом.
Пусть скачок задается уравнением
у = сх". F.10)
Угол наклона скачка при х ^> 1, определяемый соотношением tg a =
= -?- = псхп~\ будет мал при п < 1, и следовательно, в соответствии
с оценками, приведенными в начале параграфа, обтекаемое тело име-
имеет относительную толщину т ~ а <^ 1, т. е. течение будет описываться
приведенными выше упрощенными уравнениями. Считая, что Ml^x2 ^
^> 1 и подставляя F.10) в F.9), легко убедиться, что на поверхности7
ударной волны v изменяется как хп~1, р с погрешностью т2 от х не за-
зависит, а остальные параметры изменяются как х2{п~1\ В связи с этим
введем новые переменные с помощью следующих равенств:
v = v0 (л) *»-1; р = Ро (л) я*"-1»; *Ч~" = «1 (л) *2("-!);
' оо
Р = Ро(тО; Лв/,о(т,)*2<»-1>; Т)=-*Г. F-11)
Легко видеть, что в этих переменных поверхность ударной волны зада-
задается уравнением ц = с. Используя упрощенные уравнения F.7), для
вновь введенных переменных получаем систему обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений, которую запишем в виде
v (ft — 1) T)vp0 -f " ' ™ 01 + ftrfp0 = 0; F.12)
2 (/г — 1) Mj -f u01 / = 2 (л — 1) /?0 — nr) f1" .
Используя уравнение состояния и Бернулли, получаем
Ро ~~fr~ > rtO — MJ °0' • (О. lo)
В F.12) принято у01 = v0 — пу]. На поверхности скачка решение урав-
уравнений F.12) должны удовлетворять следующим соотношениям:
vo = {l—k)nc; po=-{l—k)(ncJ; ut = A — k) (ncf. F.14)
Из условия F.8) вытекает, что на поверхности тела
0 dx xn—1
Условие независимости о0 от х выполняется при rw = c^x". Тогда гра-
граничное условие на теле примет вид v0 = ncw при т] = cw. Легко видеть,
что зависимость между cw и с может быть определена при решении крае-
краевой граничной задачи для функции v0 (r\), удовлетворяющей диффе-
дифференциальному уравнению первого порядка.
6* 83
Оценки, позволившие упростить уравнения движения до F.7), на-
нарушаются у поверхности тела, которая омывается частицами, пересек-
пересекшими ударную волну при х ~ 1. Из условия сохранения энтропии
вдоль линии тока можно показать [115], что для этих частиц:
у + 1
Y-l
2
и тогда при р ~ pooVL (спJ д;2'""" имеем р ~ р» -2±L {cn)~ f*-
вместо р ~ Роо во всей остальной части потока. При этом h/Vi, ~ — ~
2(у—1)
~ Y~ ((cn)xfl~l) v . Хотя по-прежнему h/V2M^\ при л;^> 1, эн-
энтальпия в пристеночном слое газа будет намного больше энтальпии в
остальной части потока. Отношение этих энтальпий имеет порядок
Из условия сохранения массы в пристеночном «горячем» слое газа мож-
можно показать, что его относительная толщина определяется соотноше-
соотношением
2
У 7 + !
о
В частности, при п = % показатель степени принимает значение 6
2
при v = 1, 3 при v = 0, т. е. с погрешностью всей теории можно
До Л
считать —— -> и.
6.2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРЗВУКОВОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА ТОНКИХ ТЕЛАХ. ПОДОБИЕ
Рассмотрим обтекание тела относительной толщины т <^ 1 гипер-
гиперзвуковым потоком вязкого газа при Re0 ^> 1. Пусть толщина области,
где влияние вязкости существенно, будет б, длина тела, как и ранее,
L. Тогда и ~ Vx, v ~ V^8/L, г ~ тЬ + б, х ~ L, где и, v — проекции
вектора скорости в связанной с обтекаемым телом системе координат
х, у; г — расстояние до оси симметрии.
Считая, что а — характерное значение угла наклона ударной вол-
волны, для давления имеем: р ~ PooVLa2 = ур^М^а?. Поскольку на по-
поверхности тела скорость течения равна нулю, то удельная энтальпия
в зоне влияния вязкости будет h ~ Н ~ VXI2 ~ h^ -^— М2Х. Эта
оценка сохраняется- в основной части вязкого течения, и охлаждение
поверхности не приводит к ее изменению. Такие предложения вытека-
84
ют из интеграла Крокко для полной энтальпии и соотношения h =
= Н — ы2/2. В данном случае, используя уравнение состояния р/рм =
= plpoohcolh, для плотности в вязкой области получаем
Из этих оценок следует, что основная масса газа протекает в невязкой
части потока. Действительно, пусть % и % — потоки массы через
ударную волну и массы, протекающей в вязкой области. Тогда
Тогда, учитывая изложенное в параграфе 6.1, имеем
1 . б _ 6
Использование найденных оценок для анализа уравнений Навье—
Стокса показывает, что течение в вязкой области может быть описано
уравнениями пограничного слоя с учетом поперечной кривизны [68]
ди . др др . 1 I д v ди
dh dh _ _5w_ 1 ]__д__[^_ Jh_ , l—Y. F 15)
drvpu .
дх ' ду
где г — rw (х) + у; все параметры предполагаются обезразмеренными.
При этом и, v, p, p, h и (х отнесены соответственно к ц„, р», ртеи1,
t'L/2, |л (Го), линейные размеры отнесены к L.
Решение уравнений F.15) должно удовлетворять следующим гра-
граничным условиям: при у = 0, и — 0, v = 0, h = hw или -^ ~т— =
= Qw, при у = уб, и = \, v = V6, h = h6, где индекс б относится к
параметрам в невязком потоке. При этом следует обратить внимание
на то, что из приведенных выше оценок следует вывод, что граница
пограничного слоя у = г/б с погрешностью порядка а2 совпадает с гра-
границей эффективного тела вытеснения.
Действительно, так как «в ~ 1, и ~ 1, рв ~ р<х>, р ~ р«>а2, то
dy к
Таким образом, должно быть ив = dx ¦ Более строго это показано
в параграфе 6.4. Кроме того, отметим еще, что Лв-~ —5—\-а*.
85
Перейдем к формулировке условий подобия обтекания тонкого тела
вязким газом. Рассмотрим часть течения, в которой можно пренебречь
влиянием вязкости. В этой части возмущения газодинамических пара-
параметров определяются условиями обтекания тела с относительной тол-
толщиной —.—Ь т. Как следует из предыдущего параграфа, параметрами
подобия для невязкого течения являются у и Мх [—.—\- т). При этом
в подобных течениях в точках, определяемых координатами у1\-г + т)>
xlL, совпадают следующие величины:
- о -
р=; v =
р=-
h =
2
Из оценок, приведенных выше, вытекает, что в пограничном слое
будут иметь порядок единицы следующие параметры:
б
у = Lylb; p; v = у/б.
Разделив F.15) на (— + х\ и перейдя к переменным с тильдой, пере-
перепишем эти уравнения в виде, содержащем при вязких членах множи-
множитель
Л=
Re0 F/Z.J (ЬЦ +
Исходя из условия Л = 1, которое в свою очередь вытекает из равен-
равенства инерционных и вязких сил в пограничном слое, получаем
2 меем что М
Умножив последнее на М2Х, имеем, что М„ -т— есть функция от М
Ml
и -.. = X, X — с точностью до множителя совпадает с известным пара-
У0
метром вязкого взаимодействия. При Л = 1 единственными парамет-
параметрами, входящими в уравнения пограничного слоя, являются Рг й
о, и эти уравнения при изменении условий в набегающем потоке
остаются инвариантными. В свою очередь, зависимость р от уело-
вий обтекания определяется только параметрами М» [—.—(- т) и у
\ L I
86
или X и МооТ. Это же следует сказать и относительно величины v&,
зная которую можно найти форму внешней границы пограничного
слоя. Таким образом, задача обтекания содержит параметры X, М^и
и у. Исключение составляет граничное условие при у = уь для функ-
функции h, в которое входит —^-. Однако так как в основной части погра-
оо
ничного слоя hl(v2j2) ~ 1, то с погрешностью порядка 1/AlL последнее
условие можно заменить условием /гв = 0. В этом случае 1, Мхх и у
останутся параметрами (наряду с со, Рг и /га), определяющими и вяз-
вязкое обтекание тонкого тела. Причем если Мхх ^> -т—, то этот параметр
выпадает из рассмотрения.
Отметим, что при Мжх <^ -j- из F.16) следует Мто -?- ~ XVl, т. е.
6 1 „ п
—г- ~ —TJ-, давление на поверхности тела р ~ рхХ. В другом случае,
L Re0'4
когда Мот ^> -г-, имеем М» -т- ~ ХШооТ, а давление р /^ р^МсаХ.
В первом случае, основное влияние на обтекание тела оказывает вяз-
вязкое взаимодействие, во втором — толщина тела.
6.3. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Из анализа обтекания пластинки вязким газом [65] следует, что
рост толщины пограничного слоя характеризуется соотношением:
Р^^х ju0 p Re0 x '
где ц, р — характерные значения вязкости и плотности в погранич-
пограничном слое.
Используя результаты предыдущих параграфов, получаем
1 1 L б 1 / х \3/*
Так как для гиперзвукового пограничного слоя на тонком теле толщи-
толщина пограничного слоя совпадает с толщиной вытеснения, то невязкий
поток будет обтекать поверхность, задаваемую уравнением у =
== х (-?-) \ Параметры этого потока в соответствии с изложенным в
параграфе 6.1 могут быть выражены через функции от t) = ylx*'\ оп-
определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
F.12). Легко убедиться, что в этом случае течение в пограничном слое
также можно описать системой обыкновенных дифференциальных
уравнений, и вся задача обтекания пластины вязким газом в режиме
сильного взаимодействия будет автомодельной. Как показано в [162,
69] автомодельность будет иметь место и для осесимметричного тела,
если его образующая задается уравнением г — rw (x) = аха/:
.87
Остановимся на этом вопросе подробнее. Руководствуясь результа-
результатами, приведенными в параграфе 6.1, введем новые переменные р =
= ролГ'\ р = -f- = Ро* о = Рох~У\ h = h0, v = ^лГ7*, и = u0,
р, = ц0, г = rw(х) + у = {а + |) х*'4 = roxu, I = г///Л. Полагаем, что
величины с индексом 0 — функции %. Переходя в уравнениях F.7)
к новым переменным, получаем систему дифференциальных уравне-
уравнений для введенных функций
0, F.18)
"в
f =РЩ f +fe^)
Решение системы F.18) должно удовлетворять следующим граничным
условиям, вытекающим из F.15): при ? = 0, ы0 = 0> уо — 0, Ло = /гда,
при g = |е, «о = 1, й0 = 0.
Для упрощения уравнений F.18) введем новую переменную
F.19)
а
Тогда, принимая | uodx\ = f(i\), эти уравнения перепишем в виде
6
1 + 3v f dun 1
; <6'20)
I + 3v
Здесь ^-
Используя F.19) при v = 1, получаем Y* == 1 + kJ Щ,'
где
Для определения границы пограничного слоя из F.21) имеем
roe = а У l + U(oc). F.22)
88
В плоском случае (при v = 0) roe определяется формулой
В связи с тем что при ту-»- оо h0 -*¦ 0 (причем, как отмечено в [69, 581,
/г0 убывает не медленней, чем ехр (—tn\f), где т — постоянная), то
при ц ->• со интеграл J (г\) сходится достаточно быстро.
Из анализа решения задачи о течении за ударной волной степенной
формы [33] следует, что на поверхности тела вытеснения распределе-
/ d 2
ние давления определяется формулой р = с \—г-\ , где для п = 3/«
с = 0,91. Используя это, имеем р0 = -г^ сгм- Используя F.21) и
F.22), получаем уравнение для определения параметра k
kV \ + /г/(оо) =
о л
зТТ Mia*
Тогда для р0 имеем:
в осесимметричном случае
д
в плоском случае
Ро — ~ У р у"\?Г J У00)- 1,0./о;
Так как р0 = ^ х'/2, то легко убедиться, что р/рх является
Роо^оо
функцией параметра 1, а в осесимметричном случае и Мха. Это вполне
согласуется с законом подобия, сформулированным в предыдущем па-
параграфе.
6.4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ ВВЕРХ ПО ПОТОКУ.
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Как отмечалось в предыдущих главах, для задач сверхзвукового
обтекания тел вязким газом характерно наличие распространения воз-
возмущений вверх по потоку. Это является математическим следствием
эллиптичности уравнений Навье — Стокса, которые описывают вяз-
вязкие течения в точной постановке.
При упрощенном описании течений, основанном на решении пара-
параболических уравнений пограничного слоя, физическая возможность
распространения возмущений вверх по потоку проявляется в некор-
некорректности краевой задачи с не определенной заранее формой одной из
границ расчетной области и параметров на ней. Эта некорректность в
рассмотренных ранее задачах проявляется в наличии особенности типа
«седло» в уравнениях вязко-невязкого взаимодействия, используемых
для определения границы расчетной области. Для обеспечения плавно-
плавного перехода решения через особую точку необходимо соответствующим
образом сформулировать начальные данные. Это позволяет учесть
влияние условий в некоторой части потока на течение вверх по потоку.
89
Для рассмотренных в настоящей главе течений также характерно рас-
распространение возмущений вверх по потоку. Приведенные автомодель-
автомодельные решения описывают лишь течения около полубесконечных тел или
течения, в которых на конце тела условия таковы, что полученное в
результате решения автомодельной задачи давление автоматически
совпадает с заданным. В противном случае в некоторой окрестности
торцевого сечения тела течение должно перестроиться так, чтобы были
удовлетворены заданные условия.
В общем случае для описания этой перестройки необходимо отка-
отказаться от приближения пограничного слоя. В частности, во многих
случаях для выхода из создавшегося положения необходимо учитывать
изменение давления в поперечном направлении, т. е. считать, что
-JL ф 0 [86]. Однако при гиперзвуковом обтекании тел в режиме силь-
сильного вязкого взаимодействия оказывается возможным описать распро-
распространение возмущений вверх по потоку, оставаясь в рамках прибли-
приближения пограничного слоя. Эта возможность реализуется в неединст-
неединственности автомодельного решения задачи вязкого взаимодействия,
показанной в [84]. Отбор конкретного решения из класса решений для
рассматриваемых задач вязкого взаимодействия осуществляется при
удовлетворении дополнительным условиям на торце тела, заключаю-
заключающимся в задании давления.
Доказательство неединственности автомодельного решения и ил-
иллюстрацию вытекающих из этого возможностей будем проводить, сле-
следуя работам [84, 36, 49, 97].
Формулировка задачи вязкого взаимодействия и основные уравне-
уравнения приведены в предыдущем параграфе. Преобразуем уравнения,
введя переменные Дородницына
—J- f
О
f dx; л = тт! f Prvdy. F.24)
О '' i О
В этих переменных, переходя от удельной энтальпии к полной, уравне-
уравнения движения и энергии запишем в виде
дх\ Рг дх\ +' дх\ + дг\ W д\\ S \ д\ Щ, дц
Используя F.24), из уравнения неразрывности имеем
). F-26)
При выводе последнего уравнения использовано определение г\ из
?F.24). Кроме того, можно получить
F.27)
Причем F (h) = -^2~ (# — и2).
В уравнениях F.25) принято:
Из граничных условий следует, что при г\ -*¦ со F {К) -*¦ 0, причем, как
ч
уже отмечалось, f F (h) dr\ сходится довольно быстро. Это позволяет
о
из F.25) получить
1 " " F(h)di\ )+rl4?-, F.28)
где Уб — проекция вектора скорости на г. С другой стороны, из F.27)
имеем
Используя последнее уравнение для исключения интеграла из, F.28),
получаем
Таким образом, учитывая, что и -у 1 при т] -> оо, имеем с принятой
при описании рассматриваемых в последних параграфах задач погреш-
погрешностью, граница пограничного слоя является линией тока и, следова-
следовательно, границей тела вытеснения для невязкого потока.
Воспользуемся для определения давления в пограничном слое со-
соотношением, вытекающим из формулы Ньютона и из формул местных
касательных клиньев и конусов при X -> оо [137]
или p =
Соотношения F.28), F.30), замыкая задачу, позволяют определить р
и являются условиями вязко-невязкого взаимодействия для рассмат-
рассматриваемых задач гиперзвукового обтекания тонких тел. 2 Далее при по-
получении решений, отличных от автомодельных, ограничимся случаем
обтекания пластины. Задача обтекания осесимметричного тела не име-
имеет принципиальных отличий от этого случая в постановочной части,
хотя количественные результаты имеют свои особенности, описан-
описанные в [97].
Заметим, что в плоском случае автомодельное решение для р, и,
Н и у6 имеет вид
5
1 Выполнив в F.28) дифференцирование по | и исключив из полученного соотно-
соотношения производные dhlb\, др1д%, можно получить,уравнение, аналогичное уравнению,
найденному в гл. 2.
91
Будем искать решение сформулированной задачи в следующей
форме:
р = рЛ + Pit; F-31)
V = Voe/Vl + V(,\t+1'\ Ъ~> — 1.
Подставляя F.31) в F.25), F.28), F.29) и приравнивая коэффициенты
при | одинаковых степенях, получаем системы уравнений относительно
неизвестных функций от ц. Для функций с индексом 0 имеем обычную
автомодельную задачу:
d дг du , du0 V— 1 (И 2у
J^- = 0; F.32)
Pr dr) "*" ' ° dn "^ dii Pr
и0 @) = 0; Яо @) = Hw- щ (оо) = 1; Яо (оо) = 1.
Для функций с индексом 1 получим систему линейных уравнений:
/0 -^.+fl ^ . Ро №
\ , dH, .
) "t"'° dt] "*" h
dHa
dr\ \ Pr dT) + Pr dr\ ) "t"'° dt] "*" h йц ^
d 2л?мо duoUl d Nul du\ ( dH
F.33)
A ^/g -J0V2(X+ 1)J-^-;
и1@) = 0, //!@) = 0, И|(оо) = 0, Я1(оо) = 0.
Кроме того,
NvuN,* Я1-2"°2 V ,, /^^//а-г^иОйл. F-34)
"о — ио г о
Для коэффициентов р1 и %i имеем однородную систему уравнений.
Для того чтобы ее решение было нетривиальным, определитель этой
системы должен быть равен нулю. Это служит условием для определе-
определения к. Тогда решение может быть найдено с точностью до произвольно-
произвольного достоянного множителя.
92
Таблица 6.1
V
•'.
'/.
•/,
Pr
0,7
1,0
0,7
1,0
0,7
1,0
1,0
97,460
77,523
57,161
46,015
28,72
23,710
0,9
115,46
91,693
66,002
52,985
32,053
26,372
0,8
141,23
111,94
78,316
62,645
36,515
29,905
0,7
180,33
142,65
96,428
76,767
42,765
34,803
Обратим внимание на то, что неединственность решения, связанная
с выбором этого множителя, порождается условиями взаимодействия.
Характерные значения X для разных величин у, Рг и Hw приведены
в табл. 6.1, заимствованной из [491. Ясно, что величина X характери-
характеризует длину зоны, прилегающей к концу пластинки, в которой сущест-
существенно отличие решения, представленного формулами F.31), от авто-
автомодельного. Видно, что охлаждение поверхности и уменьшение значе-
значений v и Рг приводит к сокращению этой зоны.
Интересной оказывается зависимость параметра X от параметра
взаимодействия % для осесимметричного течения. Как показано в [97],
Я возрастает как при убывании X, так и при возрастании, достигая ми-
минимума при некотором промежуточном значении 1. Причем для осе-
осесимметричного течения X больше, чем для плоского, что свидетельству-
свидетельствует о гораздо меньшей длине зоны распространения возмущений от тор-
торца тела.
Кривые зависимости р (|) для разных значений ри по [84], при-
приведены на рис. 18, где по оси абсцисс отложено Ъ,. Кривая / отвечает
зависимости pjb., что относится к автомодельному решению (рх = 0),
выше (ниже) этой кривой проходят линии, соответствующие /?2 > 0
(/?j < 0). Штриховая кривая 2 ха-
рактеризует положение места отры-
ва -з— = 0, кривая 3 относится к
х = 1, т. е. вдоль нее ставится до-
дополнительное граничное условие,
исходя из которого необходимо вы-
выбирать параметр рх. В [97] отмече-
отмечено, что существует преобразование,
зависящее от одной константы, ко-
которое не приводит к изменению
уравнений и граничных условий.
Это преобразование имеет вид
Рис.
93
= h, v = -^rv, y = b'''y, F.35)
у ь
Из существования такого преобразования следует: неавтомодельное
решение существует только на теле конечной длины. Именно появле-
появление характерного параметра задачи — длины тела — лишает задачу
ее автомодельности; подбором параметров Ъ все кривые, проходящие
над кривой / (под этой кривой), могут быть сведены к универсальной
кривой, соответствующей /?х = 1 {рх = —1). Последнее позволяет,
исключая параметр Ь, строить зависимости, которые носят универ-
универсальный характер. Например, из F.35) следует, ч-pj \р = \р и -р- =»
= -р-, т. е. при любом изменении b сохраняются величины гр и -р-.
Кривые зависимости р (х), построенные по этим величинам, являются
универсальными.
6.5. АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ ЭФФЕКТОВ ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
НА ТОНКИХ ТЕЛАХ
В задачах, рассмотренных в предыдущих параграфах, на внешней
границе пограничного слоя использовалось уел вие равенства нулю
температуры, или удельной энтальпии. Это основано на том, что в не-
невязкой части потока h ~ VJ2a? <^ 1, в то время как в пограничном
слое h ~ Уоо/2. Малые значения температуры, а вместе с ней и коэффи-
коэффициента вязкости обеспечивают существование на границе погра-ничного
слоя узкой зоны, в которой происходит резкая перестройка течения от
dr*
вязкого к невязкому. В пределах этой области и ~ V«, и v ~ VM —7—,
что было использовано при постановке граничных условий. Темпера-
Температура и плотность изменяются на основной порядок. Требуя, чтобы
конвективные и диссипативные члены в уравнении количества движе-
движения имели один и тот же порядок для толщины переходного слоя 6„
получаем
yuLj »
где индекс / относится к характерным значениям безразмерных пара-
параметров в переходной области. В свою очередь
Vt~tit, Р/~-|-. ut~u~l.
Так как в соответствии с изложенным в парагра е 6.2 р ~ р, то лег-
легко получить 6, ~ Л<ш+1)/2б. Тогда поток массы в этом слое г|), ~
~ rlfctPtUt ~ /i/(u~1)/2i|N, т. е. при h( ~ б2 толщина переходного'
слоя исчезающе мала по сравнению с толщиной пограничного слоя,
94
в то время как при со < 1 основная масса газа переносится в этом слое.
Отсюда следует, что граница пограничного слоя совпадает с поверхнос-
поверхностью тела вытеснения с погрешностью порядка /г|и+1>/2. Подробному
изучению течения в переходном слое и анализу решения задачи взаи-
взаимодействия, учитывающего наличие этого слоя, посвящены раЗоты
[153, 157, 141].
Основным следствием, пре ставляющим интерес для рассматрива-
рассматриваемых задач, является то, что этот слой оказывает на описанные резуль-
результаты влияние порядка /i(/°+1)/2.
В задачах, рассмотренных в предыдущих параграфах, исследовано-
взаимодействие через давление. Кроме того, учитывались эффекты
поперечной кривизны, причем, как следует из F.21), F.23), степень
влияния поперечной кривизны для осесимметричного тела определя-
определяется параметром k, который имеет порядок X/(AfLa2) при X ^ 1 и
X I (М2ха*)г/* при % ^> 1. В общем случае эффекты поперечной кривиз-
кривизны имеют порядок 6/rw. Другими эффектами, приведенными в [79] и
неучтенными в предыдущих параграфах, являются эффекты вихревого
взаимодействия, скольжения на поверхности тела и эффекты продоль-
продольной кривизны. Наиболее просто оценить эффект скольжения на поверх-
поверхности тела. Как отмечено в первой главе, этот эффект сводится к видо-
видоизменению граничных условий и имеет порядок l/j^Ree . При этом
принципиально то, что, поскольку эффект скольжения имеет порядок
Я,б/б, где Ла — длина свободного пробега в пограничном слое, то число
Рейнольдса должно быть определено по толщине пограничного слоя
(этим объясняется появление индекса б при Re). Вклад продольной
кривизны определяется относительным перепадом давления, вызван-
вызванным центробежными силами. Считая, что продольная кривизна имеет
порядок т/х, получаем
Ар Т Ptu% .«а-П/2 б
¦ /^/ ' ' ^v /X/ X ¦ ~ ¦
р х р х
Эта оценка проведена по параметрам в переходном слое, так как имен-
именно в нем проносится основная масса газа.
Теперь перейдем к оценке влияния вихревого взаимодействия.
Этот вид взаимодействия связан с наличием в невязком потоке энтро-
энтропийного слоя. Пусть d — характерный размер затупления, т — отно-
относительная толщина тела. Тогда для i|js потока массы газа через энтро-
энтропийный слой имеем г|э8 ~ p,x,lOiv+1. Толщина энтропийного слоя может
быть определена исходя из условия сохранения массы в энтропийном
слое
rw I Ps«s
Индекс s относится к характерным значениям параметров в энтропий-
энтропийном слое: все параметры обезразмерены. Используя интеграл Бернул-
ли, получаем оценку для скорости газа в энтропийном слое us ~ 1 —
— hs и изменения скорости поперек слоя Aus ~ Ahs ~ hs. Тогда,
95
считая, что завихренность определяется величиной Qs = —г—, находим
Я ~ -?- ~ V'V l-^-Yid. В свою очередь, hs~p
(y-l)/y
Для толщины пограничного слоя имеем
Влияние энтропийного слоя на течение в пограничном слое сказывает-
сказывается двумя путями: по мере утолщения пограничного слоя изменяется
скорость втекающего в него газа, и при большой завихренности в энт-
„ du r,
ропиином слое асимптотическое условие -j- = 0, служащее для опре-
определения толщины пограничного.слоя, должно быть заменено на усло-
йи , ,,
вие сопряжения —г- в пограничном и энтропийном слоях (собственно
вихревое взаимодействие). Оба эффекта наблюдаются до тех пор, пока
энтропийный слой не поглотится пограничным, причем второй эффект
начинает играть заметную роль с некоторого расстояния от носика
тела. Область влияния первого эффекта больше, и он может влиять на
достаточно толстые тела. Сравнивая толщины энтропийного и погранич-
пограничного слоев, определяем расстояние xs, до которого существенно влия-
влияние энтропийного слоя
Полагая, что завихренности в энтропийном и пограничном слоях со-
соизмеримы, получаем оценку для расстояния xq, на котором начинает
играть роль собственно вихревое взаимодействие
2
2V+1
Отметим, что влияние энтропийного слоя приводит к изменению усло-
условий на границе пограничного слоя, а точнее, на границе переходного
слоя толщиной 6^. Так как основная масса в пограничном слое пере-
переносится именно через этот слой, то влияние взаимодействия с энтро-
энтропийным слоем на течение в основном пограничном слое будет сущест-
венно ослаблено. Коэффициент «ослабления» имеет порядок h( 2 ..
На рис. 19 [79] приведено изменение коэффициента суммарной тепло-
20
аередачи Сн = )¦= (б) и коэффициента сопротивления Сх =
О у
= 5 (а) (О и X — тепловой поток и сумма волнового сопротив-
ления и трения при Red = 330). Данные относятся к продольному об-
обтеканию затупленного по сфере цилиндра при Мх = 10; у — 1,4; со ==
= 0,67; hJH = 0,05. Кривые /—3 — результаты, полученные без
96
0,35
Рис. 19
учета всех видов взаимодействия, с учетом вихревого взаимодействия,
а также вихревого взаимодействия и поперечной кривизны. Видно,
что учет поперечной кривизны играет по сравнению с вихревым взаимо-
взаимодействием более существенную роль. Для нетонких тел ситуация может
измениться. Это следует из того, что эффект поперечной кривизны име-
8 ... .
ет порядок v— <^ 1 при гш~ \.
6.6. ОСОБЕННОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОБТЕКАНИЯ
ТОНКИХ ТЕЛ
В задачах гиперзвукового пространственного обтекания тонких
тел (с относительной величиной всех поперечных размеров т <^ 1)
сохраняются оценки для внешнего невязкого потока и пограничного
слоя, приведенные в предыдущих параграфах. Пусть по-прежнему
ширина области, в которой существенны диссипативные эффекты, бу-
будет б <^ 1, причем 8>ти Мооб ^> 1. Тогда в невязкой части потока
Р ~ Я^У^б2, h ~ VL/26, р ~ Роо. В пограничном слое h ~ FL/2,
и тогда р ~ р^б2. Как и ранее, б ~ . Пусть х, г, ср — цилиндри-
Re04
ческие координаты. Тогда во всей возмущенной области течения
х ~ 1, ф ~ 1, г ~ б. Учитывая, что продольная составляющая векто-
вектора скорости и ~ Уоо, из уравнения неразрывности получаем v ~ 6У,»,
w ~ б У*,, (ад — окружная составляющая вектора скорости). Тогда
из уравнения сохранения импульса в поперечном и окружном на-
направлениях имеем
dp dv cq I dp dw
—г— <~ Oil —z ~ О , 3 ~ 0U —-%
or ' ох г Сф dx
б3.
Изменение давления между двумя точками в вязком слое имеет вид
следовательно, относительное изменение давления —— ~ б2. Таким
образом, в силу малой плотности газа в пограничном слое в нем не могут
7 6-3097 97
существовать большие окружные градиенты давления и вследствие
этого устанавливается такой режим обтекания, при котором внешний
невязкий поток с погрешностью б2 можно считать осесимметричным.
Данная особенность описана в [58], где впервые рассмотрена задача
обтекания тела, форма которого задается уравнением г = %rw (х, ф).
Далее, согласно этой работе, представим независимые переменные и
искомые функции для области вязкого течения в виде
х = х0; г = бг0; <р = ф0; и = и0 (х0, г0, %);
v = 8vo{xa, г0, %); w = бшо(л;о, г0, %); р - 62jt>o(*o. r0, ф0);
Яо {х0, г0, %); б =
Re'/'
Что касается давления, то с учетом проведенных оценок запишем
р *= Ь2р0 (х0) r0 + 64/?i (-^о. '"oi Фо)- Подставляя эти выражения в уравне-
уравнения Навье — Стокса и отбрасывая величины, отношение которых к
оставшимся имеет порядок б2, получаем для вновь введенных функций
следующие уравнения (индекс опускаем):
9
it, dU Л. г, ди _L Ш ди ) дРо _L l
[u ST + v-dT + — -df) = --дГ + —
Рг
дН , ди*
r
4 б / do \ 2 a / (xy \ , 1 д 1 dv )
дг V1 дх
"Г ~~^~ (^ "^"/ + ~5Г" \У ~д~
, 1 д ( ди \ 2 1 д ( ди
4-
T
JL _*!_) 2 1 д ( dv \
В осесимметричном случае w = О, и тогда первые три уравнения сов-
совпадают с приведенными в параграфе 6.2 и используются для определе-
определения и, v, H. В случае необходимости из четвертого уравнения может
быть найдена функция Рг (г, х). Однако в пространственном случае
всю систему уравнений необходимо решать совместно, так как первые
три уравнения, не содержащие функции ри связаны с четвертым и
пятым через функции w и, следовательно, рг.
Приведенные уравнения представляют интерес в аспекте наиболее
полных упрощенных уравнений, которые получаются из уравнений
Навье — Стокса в результате последовательных асимптотических оце-
оценок. Интересно сопоставить их с параболизованными уравнениями,
выписанными в пятой главе (уравнения E.1) — E.5)). Видно, что по
набору конвективных и диссипативных членов, содержащих вторые про-
производные, эти уравнения совпадают. Отличие заключается в интер-
интерпретации функции р. В параболизованных уравнениях р — это давле-
давление — функция от х, г, ф и подлежит определению в процессе решения
задачи. Хотя следует учитывать, что определение этой функции пред-
предполагает задание в качестве граничного условия некоторой функции
/?б (х, ф). В приведенных уравнениях р (х) — по сути, граничное зна-
значение давления, а рг (х, г, ф) фигурирует в качестве функции, опреде-
определяющей изменение давления в вязкой области течения.
Что касается задачи пространственного обтекания тонких тел,
то с учетом описанных особенностей постановка ее и возможности по-
получения упрощенного решения, включая и течение в невязкой части
потока, совпадают со случаем осесимметричного обтекания. Интересно
отметить, что если rw (x, w) = row (ф) ха/\ то задача обтекания тела
в режиме вязкого взаимодействия также является автомодельной.
ГЛАВА 7
СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ
В РЕЖИМЕ ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В соответствии с изложенным в предыдущей главе задачи оотекания
тонких тел вязким гиперзвуковым потоком могут быть упрощены на
основании асимптотических оценок при Мж <? 1, т <^ 1, Re0 <^ 1.
Наиболее существенным упрощением является возможность с погреш-
погрешностью порядка та>+1 заменить внешнюю границу пограничного слоя
линией тока, определяющей поверхность тела вытеснения. Это приводит
к возможности формулировки закона подобия, получения автомодель-
автомодельных решений и выяснения других особенностей течения. Возможность
совмещения внешней границы пограничного слоя с поверхностью тела
вытеснения упрощает формулировку условий вязкого взаимодействия
и в асимптотическом приближении исключает эффект вихревого взаимо-
взаимодействия. Основными эффектами взаимодействия, которые учитывают-
учитываются гиперзвуковой теорией обтекания тонких тел, являются взаимо-
взаимодействие через давление и влияние поперечной кривизны для осесим-
метричных течений. В общем случае допущения гиперзвуковой теории
не состоятельны. В частности, скорость возмущенного невязкого те-
течения существенно отличается от Vx, плотность и температура в погра-
пограничном слое соизмеримы по порядку с плотностью и температурой в
невязкой части потока и, наконец, толщина пограничного слоя отли-
отличается от толщины вытеснения, которая определяет поверхность эф-
эффективного тела. Газ, втекающий из невязкой части потока в погранич-
пограничный слой, оказывает влияние на течение в его основной части. Особое
значение в этих условиях приобретают эффекты вихревого взаимо-
взаимодействия, которые могут оказывать влияние на пограничный слой
уже в первом приближении. Это связано с тем, что, как отмечено в
предыдущей главе, на расширяющемся теле толщина энтропийного
слоя стремится к нулю по мере увеличения расстояния от затуплен-
затупленного носка тела, в то время как толщина вязкого пограничного слоя
увеличивается. При обтекании относительно тонких тел по-прежнему
имеют значение взаимодействие через давление, эффекты поперечной
кривизны и другие эффекты второго порядка. Кроме того, существен-
существенной особенностью пространственных течений является поперечное
перетекание с наветренной стороны на подветренную нагретого вязкой
диссипацией в пограничном слое газа, плотность которого ниже плот-
плотности газа в невязкой части потока. При обтекании тонких тел это
приводит к тому, что поверхность тела вытеснения близка к осесим-
100
метричной. Однако в общем случае перетекание газа, приводя к умень-
уменьшению азимутальных градиентов давления, не может свести их к
нулю, в результате чего толщина пограничного слоя в наветренной
части течения намного меньше соответствующей величины в подвет-
подветренной (рис. 16 а, б, г). Весь комплекс перечисленных вопросов сти-
стимулирует решение задач вязкого взаимодействия в полной неупрощен-
неупрощенной постановке.
7.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСЛОВИЙ
ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Условия вязко-невязкого взаимодействия, полученные в гл. 2,
определяют связь между распределением давления и формой внешней
границы области пристеночного течения газа. Однако в задачах по-
пограничного слоя распределение давления на поверхности слоя опре-
определяется не его толщиной, а толщиной вытеснения. В связи с этим
уравнение B.13) не может быть прямо использовано в качестве урав-
уравнения вязко-невязкого взаимодействия и должно быть преобразова-
преобразовано [127]. Пусть в этом уравнении б — условная толщина пограничного
слоя, т. е. при п ;> б параметры в пограничном слое совпадают с па-
параметрами невязкого потока. Другими словами, поверхность п =
== б (qlt q2) находится в области перекрытия зон применимости урав-
уравнений пограничного слоя и невязкого обтекания — это область, где
справедливы внешнее и внутреннее разложения в асимптотическом
представлении по степеням е решения уравнений Навье — Стокса.
В связи с этим запишем уравнение B.10) для невязкого течения, от-
отбросив члены с -jjj-j- и -^-, и проинтегрируем его пот) в пределах б* — 6.
Вычтя полученное таким об азом уравнение из B.13), получим
dr\ — \ g22Vn -^- dr\ —
в* /
Пусть n — 6* (q-i, q2) — поверхность тела вытеснения. Рассмотрим
определение Kfe^i^-,. Так как поверхность п = б* (qu q2) является
поверхностью эффективного тела, обтекаемого внешним потоком, то
101
в соответствии с граничным условием непротекания, которое форму-
формулируется для уравнений невязкого течения, на обтекаемой поверх-
поверхности должно быть (Vila*) = 0 при /i = 6* (qu q2). Из этого условия
следует
у _ Vi д&* V, д8*
Vgu ^ К «22 3q* *
Подставляя последнее в G.1), получаем уравнение, связывающее
распределение давления с формой эффективного тела вытеснения.
Это уравнение запишем в виде
аи -~- + а12-~- + Ьц-z—- + ^12-3—=ахF*...). G.2)
К этому же уравнению можно прийти, используя B.10) и условия
A.42), A.45), вытекающие из сращивания решения уравнений погра-
пограничного слоя и невязкого обтекания. Выражения для коэффициентов
сч/, Ь(/, щ легко получить из G.1). Ввиду их громоздкости выпишем
только выражения для
flll = f jLjL Ш. а, _ г 1Ы Y^d G.3)
При заданном распределении давления, что имеет место при решении
задач о течении в пограничном слое в первом приближении, уравнение
G.3) может служить для определения б* (qlt q2) вместо уравнения
A.48). В задачах вязкого взаимодействия Pdiq^qt) должно опреде-
определяться совместно с б* (qlt q2) и, таким образом, уравнение G.3) следует
рассматривать как уравнение в частных производных относительно
Ра и б*.
Второе уравнение, связывающее эти же функции, получим из со-
соотношения B.21), являющегося следствием граничного условия непро-
непротекания для уравнений Эйлера. Для этого вместо уравнения поверх-
поверхности тела, записанного в цилиндрической системе координат в виде
г = В (г, ф), необходимо воспользоваться уравнением поверхности
вытеснения
г = В* (г, Ф) = В {г, Ф) + у= б* (г, ф) пг, G.4)
где пг — проекция единичной нормали к поверхности фактического
тела на радиальное направление. В общем случае для нетонких тел
второе слагаемое в G.3) намного меньше первого и может быть опуще-
опущено. Тогда задача вязкого взаимодействия вырождается в обычную
задачу трехмерного пограничного слоя с заданным распределением дав-
давления.
Интересно рассмотреть тела, для которых на отдельных участках
их поверхности выполняются условия
в;~тк' *>~тк-. G-5)
102
В этом случае производные Вг и Вф имеют порядок - О Fг>ф) и
У Re
функция 6*(z, ф) не выпадает из уравнения B.21). С учетом сделан-
сделанных замечаний уравнение B.21) можно переписать в виде:
дВ'г' 2p6V6W6dB'z'
В В д<р ^°^° дг
— \Гв + 2Квв*} + ~s=s—W G>6)
Для упрощения записи в уравнении G.6) принято, что основное тело
осесимметричное, т. е. Bv = 0, и отброшены слагаемые порядка TTfrf
по сравнению с единицей. Характерно, что в соответствии с G.6) эф-
эффекты взаимодействия чере давление имеют мест и для нетонких
тел, т. е. когда в равенстве G.4) второе слагаемое может быть отбро-
отброшено. При расчете обтекания тонких тел необходимо использовать
вместе с B.21) и соотношение G.4) без упрощений.
Уравнение G.6) совместно с G.4) и G.2) может быть использовано
для определения р& (г, ц>), б* (г, ц>) при известных параметрах в
вязкой области. В свою очередь для нахождения этих параметров
необходимо воспользоваться уравнениями пограничного слоя A.37).
Полагая в них функцию р (г, <р) известной, рассматриваем их как
систему уравнений относительно трех неизвестных функций vlt v2,
vn (г, п, ср), при этом р определяется из уравнения состояния
!, G.7)
р у
где, в свою очередь, h = Н — (i>? + i|)/2. В системе уравнений A.37),
A.27) уравнение неразрывности можно заменить уравнением B.10).
Система уравнений G.2), G.6), A.37), G.7), дополненная уравне-
уравнениями невязкого обтекания A.36), замыкает задачу обтекания тел в
режиме вязкого взаимодействия.
В результате совместного решения этих уравнений можно опреде-
определить параметры как в пограничном слое, так и в невязкой части потока,
удовлетворив одновременно условиям сопряжения этих течений. При
наличии пристеночного высокоэнтропийного слоя параметры невяз-
невязкого течения должны определяться с учетом вихревого взаимодействия.
7.2. ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Для решения задач вязкого взаимодействия обычно используется
метод глобальных итераций [66, 120]. Суть такого метода заключается
в следующем. Из расчета обтекания заданного тела невязким потоком
газа определяется распределение давления на его поверхности. Затем
при заданном давлении производится расчет течения в пограничном
слое, в результате которого определяется распределение толщины
103
вытеснения. Затем производится расчет невязкого обтекания эффек-
эффективного тела и вновь определяется толщина вытеснения. Процесс повто-
повторяется до сходимости. Из оценки погрешности, основанной на асимп-
асимптотических внешних и внутренних разложениях и их сращивания,
следует, что достаточно выполнения двух итераций для получения
решения с погрешностью порядка е2. Однако практические расчеты
и сравнения их с экспериментальными данными показывают, что про-
проведение итераций дополнительно позволяет повысить точность ре-
результата.
Метод глобальных итераций, как следует из сказанного, требует
многократного решения уравнений невязкого обтекания и погранич-
пограничного слоя. Кроме того, численная реализация этого метода затруд-
затрудняется необходимостью выполнения некорректной процедуры числен-
численного дифференцирования таблично заданных функций — распределе-
распределения давления и толщины вытеснения, причем для получения высшей
итерации приходится неявно определять высокие производные от дав-
давления, полученного в первой итерации. Для практического получения
решения в связи с этим необходимо использовать регуляризующие
процедуры. Эффективным оказывается применение сглаживания давле-
давления и толщины вытеснения по методу наименьших квадратов [120,
121]. В связи с этим интересно рассмотреть алгоритм решения задачи
вязкого взаимодействия, использующий приведенные выше уравнения
вязко-невязкого взаимодействия. При отсутствии в поле вязкого те-
течения областей продольного возвратного течения уравнения A.37)
так же, как и уравнения Эйлера в области полностью сверхзвукового
течения, можно решать маршевыми конечно-разностными методами.
Для уравнений вязко-невязкого взаимодействия G.2), G.6) может
быть использован алгоритм, описанный в параграфе 2.4. Таким обра-
образом, задача вязкого взаимодействия может быть решена с помощью
маршевого алгоритма. При этом определяющую роль играют особен-
особенности, отмеченные в параграфе 2, связанные с тем, что решение задачи
вязкого взаимодействия не требует многократного численного диффе-
дифференцирования таблично заданных функций.
Реализация маршевого алгоритма решения задачи вязкого взаимо-
взаимодействия сводится к следующему:
1. При заданных параметрах в невязком потоке в сечении z = zn
определяются по явной конечно-разностной схеме параметры в сече-
сечении z™+1 = zn + Azbo всех точках разностной области, за исключением
точек, лежащих на поверхности тела вытеснения. При этом находятся
и значения давления во внутренних точках, необходимые для опреде-
определения производной -?-, входящей в уравнение G.6) (см. параграф 2.3
B.24)). Дальше осуществляется итерационный процесс.
2. По значениям параметров в пограничном слое, взятых из преды-
предыдущей итерации (в нулевой итерации — из предыдущей плоскости),
вычисляются интегралы, входящие в коэффициенты уравнения G.2).
3. Из совместного решения уравнений G.2), G.6) находятся pl+x,
&6 s'(n+l) л 4-1
-^ И О ^ ' В ПЛОСКОСТИ Z Т .
104
4. Найденные значения рР~\ —|— используются для расчета пара-
параметров пограничного слоя в плоскости zn+l, которьге в свою очередь
служат для вычислений по п. 2.
Характерными для данного процесса являются: первое — уравне-
дрр-1
ния невязкого течения решаются один раз, второе — pi , —т—
о*, а значит, и —¦? определяется одновременно с решением уравне-
уравнений пограничного слоя. Последнее обстоятельство является принци-
принципиальным в задачах, для которых характерно поперечное перетекание.
На примере, рассмотренном в пятой главе (рис. 16, б), видно боль-
большое увеличение толщины пограничного слоя при переходе с наветрен-
наветренной части течения к подветренной. Ясно, что эту особенность имеет
и толщина вытеснения. В связи с этим расчет течения пограничного
слоя при заданном давлении и, в частности, при заданном -?- может
привести к настолько чрезмерному увеличению толщины вытеснения
при переходе от наветренной к подветренной стороне тела, что прове-
проведение итераций по каскадной схеме окажется невозможным. При од-
одновременном определении на каждом шаге по х окружного изменения
давления и толщины вытеснения в рамках описанного маршевого ал-
алгоритма получаются согласованные значения этих величин.
7.3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ЭФФЕКТОВ
ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Степень влияния различных эффектов вязкого взаимодействия на
обтекание тела определяется многими параметрами, включая число
Маха набегающего потока, относительную температуру поверхности
тела Tw = TJTqcc, число Рейнольдса Re«,.
На рис. 20 приведено влияние числа Маха на силовое воздействие
потока газа на десятиградусный затупленный конус с теплоизолирован-
теплоизолированной поверхностью при Re,*, = 2,3 • 10е, 0 = 10° и Qw — 0°. Нанесены
значения распределения коэффициента трения Сх = Ст/Схь (кривые /)
и добавки к волновому сопротивлению 8СХ = ЬСХ1СХЪ, (кривые 2),
обусловленной вытесняющим эффектом пограничного слоя (Схв —
волновое сопротивление тела в невязком потоке). Результаты отно-
относятся к УИоо = 23 (/) и Мж — Ю (//) Видно сильное влияние числа
Маха. На рис. 20 звездочками нанесены результаты, относящиеся к
Мое = 23 и полученные пересчетом результатов при Мое = 10, исходя
из независимости решения от М^ при Мх ^> 1 и числе Рейнольдса,
определенном по температуре торможения. Как видно, это правило
хорошо выполняется при Моо ^ Ю. Влияние температуры поверх-
поверхности на добавочное сопротивление, вызванное вязкостью, представ-
представлено рис. 21. Видно, что охлаждение^ поверхности тела приводит к су-
существенному изменению Ст (/) и ЬСХ (II), причем зависимость 6СЖ
105
от температуры сильнее. Результаты относятся к Мх = 23 и Re» =«
= 3 • 10е.
Зависимость от числа Re,*, коэффициента суммарного сопротивле-
сопротивления (а) и коэффициента сопротивления (б), связанного с трением,
показана на рис. 22. Результаты относятся к обтеканию десятиградус-
десятиградусного острого конуса при Мх = 10, Tw = 0,03. Цифры на кривых по-
показывают номер итерации по вязкому взаимодействию в методе гло-
глобальных итераций. Видно, что в рассмотренных условиях основной
вклад в сопротивление вносят силы трения. Вклад различных эффек-
эффектов взаимодействия при сверхзвуковом обтекании тела вязким газом
иллюстрируется данными, приведенными в таблице [121]. Эти данные
относятся к обтеканию сферически затупленного десятиградусного
конуса с удлинением 20/?Сф при следующих параметрах набегающего
потока: Мх = 6, у = 1,4, Рг = 0,7. Коэффициент вязкости рассчиты-
Учитываемые эффекты
Пограничный слой в первом приближении
Поперечная кривизна (П)
Вытеснение (В) и П
Скольжение, скачок температуры (С) и П
В, С, и П
Вихревое взаимодействие (Э), В и П
Э, В, С и П
Число Рейнольдса
10*
0,11735
0,11786
0,12439
0,11779
0,12429
0,12650
0.12543
10*
0,15054
0 16316
0,17826
0,16170
0,15054
0,14807
10*
0,25435
0,3582
0,3295
0,4935
0.4570
106
1,45-Ш* 1,45-Ш5
а
1,45-10* 1,45-10s
S
Рис. 22
вался по формуле Сатерленда. Температура Гш тела предполагалась
постоянной и равной 0,5. Из приведенных результатов видно, что по-
поперечная кривизна и вытеснение приводят к увеличению суммарного
сопротивления тела, а эффекты скольжения и скачка температуры на
поверхности тела снижают его величину. Кроме того, из таблицы ясно,
что для Re» < 103 пренебрегать ни одним из эффектов второго порядка
нельзя. На рис. 23 [1] приведены значения суммарного сопротивления
107
WO
щего
десятиградусного острого конуса и
сравнение их с экспериментальными
данными из работы [47], точки / — 4
относятся к экспериментальным дан-
данным [47] при числах Маха в набегаю-
набегающем потоке24; 19; 15; 10 соответствен-
соответственно; кривые 5 соответствуют расчету
течения в пограничном слое в первом
приближении (т. е. без учета эффектов
взаимодействия), 6 — в первом при-
приближении с учетом скольжения, 7 —
расчету по теории вязкого взаимодей-
взаимодействия для пяти итераций с учетом всех
эффектов второго порядка малости, Сх
представлена в зависимости от числа
Кнудсена (верхняя шкала) и числа
Re^ (нижняя шкала), соответствую-
= 20. Число Кнудсена связано с числом Re» соотноше-
v 1,225V yM
нием Кп = "
.. Видно, что экспериментальные данные, полу-
ченные для разных AfM, и результаты расчета при Мх — 20 почти
совпадают. Это иллюстрирует действие принципа независимости безраз-
безразмерных параметров течения от числа Маха при М„ -*¦ оо и условии
совпадения Re0 ~ ReJM2?. В расчетах принималось со = 0,5..
7.4. ВЛИЯНИЕ ВИХРЕВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Как уже отмечалось в параграфе 6.5, вихревое взаимодействие имеет
место при обтекании притуплённых тел и связано с существованием
пристеночного высокоэнтропийного слоя, состоящего из частиц газа,
прошедших через искривленную часть отошедшей ударной волны.
Характерной особенностью такого слоя является наличие больших
градиентов скорости поперек этого слоя. Типичные профили скорости
в возмущенном потоке невязкого газа за ударной волной приведены на
рис. 24, характеризующем обтекание двадцатиградусного затупленного
конуса при Меа = 20. номера кривых относятся к соответствующим се-
сечениям на вставке.
В связи с утолщением пограничного слоя по мере удаления от носка
тела и уменьшением толщины энтропийного слоя в пограничный слой
втекают частицы газа, имеющие разную скорость при одном и том же
значении давления. Это связано с тем, что частицы, пересекающие
ударную волну в разных местах, имеют разную энтропию и, следова-
следовательно, при одном и том же давлении разные значения плотности и
энтальпии. Например, для затупленного конуса в непосредственной
близости к носку тела частицы, втекающие в пограничный слой,
имеют энтропию, определенную по параметрам скачка, близкого к пря-
прямому, а достаточно далеко от носка — определенную по условиям за
коническим скачком. Изменение скорости газа, втекающего в погра-
108
ничный слой на двадцатиградусном за-
затупленном конусе при Re*, = 4,5 х
X 106(кривая 2) и 7,1 • 10*(кривая Л
по мере удаления от критической точ-
точки показано на рис. 25, а. Верхняя и
нижняя штриховые кривые относятся
к условиям торможения за коническим
и прямым скачками соответственно.
Видно, что скорость втекания может
измениться на 20—30 %. Учет изме-
изменения скорости, вызванного энтропий-
энтропийным эффектом, оказывает существен-
существенное влияние на температуру и трение.
В таблице, описанной в параграфе 7.3,
показано влияние эффекта энтропий-
энтропийного изменения скорости на силовое
воздействие. На рис. 25, б представле-
представлено влияние скорости на границе по-
пограничного слоя, определенной по эн-
энтропии за прямым и коническими скач-
скачками уплотнения, на тепловой поток
(QnP и QK) на поверхности затуплен-
затупленных конусов с углами при вершине' 6К = 20 и 40°, при ламинарном
(сплошная кривая) и турбулентном (штриховая) режимах течения в
пограничном слое. На рис. 25 показано изменение отношения Qnp/QK в
зависимости от Мх.
Второй эффект вихревого взаимодействия связан градиентом ско-
скорости в энтропийном слое. В классическом пограничном слое прини-
ди I dU ., .
мается — = -^- -^- <<? 1 на внешней границе пограничного слоя
(r\ — nV^Re). Это имеет место при больших числах Re и конечном зна-
значении -?- в невязком потоке. Однако при уменьшении числа Re и од-
одновременном увеличении градиента скорости в энтропийном слое на
поверхности тела на некотором расстоянии от носка может иметь место
условие U
—U Ё1 -0A).
\ Ке да
На рис. 26 показано изменение -р вдоль конической поверхности
в пограничном (сплошные кривые) и энтропийном (штриховые) слоях.
Цифры 1—3 соответствуют соответственно числам Re«, = 7,1 • 104;
8,8 • 103 и 7,8 • 102. Наличие больших производных скорости приво-
приводит к увеличению влияния вязкости на течение в энтропийном слое.
Другими словами, в этом случае, строго говоря, течение в энтропийном
слое нельзя считать невязким, и концепция пограничного слоя нару-
нарушается. Эти течения можно рассчитывать, описывая в рамках теории
пограничный и энтропийный слой. В отдельных случаях учет боль-
больших градиентов скорости и энтальпии в энтропийном слое возможен
при выполнении условия совпадения на границе пограничного слоя
109
4 6
а
ю ?, б
Рис. 25
10 14 Но
5
не только скорости и энтальпии невязкого и вязкого течений, но и их
производных. При асимптотическом разложении решений уравнений
Навье — Стокса в ряд по степеням параметра е = . это необхо-
KRe
димо делать уже для второго члена ряда [15]. При достаточно больших
числах Рейнольдса влиянием вязкости на течение в энтропийном слое
можно пренебречь [70, 82].
В связи со значительным влиянием энтропийного слоя на течение
в пограничном слое его изучение привлекает большое внимание иссле-
исследователей. Изложенное выше основано на материале работы [135].
Первые публикации относятся к началу 50-х годов. В дальнейшем влия-
влияние вихревого взаимодействия рассматривалось в различных аспектах.
В частности, вихревое взаимодействие, связанное с изменением ско-
скорости на внешней границе пограничного слоя, которое является опре-
определяющим при больших числах Рейнольдса, в задачах обтекания рас-
рассматривалось в работах [82, 70, 44, 43].
В работе [82] исследовано вихревое взаимодействие в услови-
условиях обтекания затупленных конусов равновесно-диссоциирующим
воздухом. Показано, что с уменьшением величины у (в частнос-
частности, связанным с диссоциацией) градиент скорости в энтропий-
энтропийном слое возрастает обратно пропорционально (у—1). Это при-
приводит к значительному увеличению трения и теплового потока при
увеличении скорости обтекания (и, следовательно, степени диссо-
диссоциации) при одном и том же числе Re*,. На рис. 27, заимствованном
из [82], показано изменение по
длине затупленного десятигра-
десятиградусного конуса теплового пото-
ка I-тр. сплошные кривые) итре-
Рис. 26
ния —.штриховые , отнесен-
ных к соответствующим величи-
величинам, определенным без учета по-
поглощения энтропийного слоя.
Кривые /—4 относятся соответ-
соответственно к случаям VM = 7500;
5000; 3000 м/с для равновесно-
110
tt*St
диссоциирующего воздуха и Мм = 23 для совершенного газа при
Re»» = Ю4.
Характерной особенностью вихревого взаимодействия является
то, что его влияние в отличие от других видов взаимодействия суще-
существенно и при больших числах Рейнольдса, и в случаях обтекания не-
нетонких тел. Для этого необходимо, чтобы радиус затупления Яс<ь и,
как следствие, радиус кривизны ударной волны на оси течения были
малы по сравнению с радиусом миделя #мид [44].
Характерной особенностью обтекания нетонких тел с малым при-
притуплением является то, что, как следует из асимптотической теории
при Ma, ->- оо, у -*- 1 при обтекании тупых тел, скорость в пристеноч-
пристеночном слое может изменяться в 3,2 — 1,7 раза в зависимости от величины
у ~ A,1 -=- 1,4), в то время как на телах с малым наклоном поверх-
поверхности к вектору скорости набегающего потока скорость в этропийном
слое изменяется в 1,3 — 1,2 раза (см. рис. 26). Скорость убывания тол-
толщины энтропийного слоя зависит от отношения #Сф/7?Мид. В этих усло-
условиях поглощение энтропийного слоя пограничным происходит сравни-
сравнительно недалеко от носика тела в области, в которой затупление влияет
на распределение давления. Это приводит к ряду своеобразных момен-
моментов в зависимости теплового потока на поверхности тела от отношения
радиуса затупления к радиусу миделя. Асимптотические исследования
течения около нетонких тел с малым притуплением проведены в [39J,
где выписаны уравнения для численного решения задачи и приведены
результаты по влиянию поглощения пристеночного слоя невязкого
газа, характерная скорость которого имеет порядок у . t [71],
на величину теплового потока. Во многих случаях поглощение энтро-
энтропийного слоя пограничным достаточно эффективно учитывается в рам-
рамках метода среднемассовых величин, предложенного в [70]. Особенно
это относится к задачам, в которых для определения теплового потока
используются приближенные методы, основанные на гипотезе локаль-
локального подобия и эффективной длины [2]. В соответствии с методом сред-
Ш
немассовых величин, в качестве значений скорости и энтальпии на
внешней границе пограничного слоя используются осредненные вели-
величины, определяемые соотношениями
«(х, 1|0 di>, h0 (х, %) = { h (x,
где ^б — функция тока, соответствующая расходу газа через погра-
пограничный слой. Во многих случаях определение среднемассовых величин
упрощается тем, что изменение энтропии при переходе от одной линии
тока к другой может быть определено на основе универсальных зави-
зависимостей [71].
Первоначально этот метод был предложен для расчета двумерных
течений. В [431 он обобщен на течение в пространственном пограничном
слое. В этом случае открывается возможность учета поглощения эн-
энтропийного слоя пограничным при использовании обобщения метода
эффективной длины. Не вдаваясь в суть метода, изложенного в [43],
отметим, что для его реализации в отличие от двумерной задачи необ-
необходимо численно определять параметры газа в трехмерном энтропий-
энтропийном слое. Для этого должны быть использованы результаты численного
расчета невязкого обтекания тел. Точность определения среднемассо-
среднемассовых величин может быть повышена при использовании для определе-
определения параметров в энтропийном слое метода, описанного в параграфе
3.3. При этом, так как гра зависит от числа Рейнольдса, то для парамет-
параметрических расчетов целесообразно запоминать табличные значения сред-
среднемассовых величин для нескольких значений яре с последующим опре-
определением нужных среднемассовых величин с помощью интерполяции.
Характерные данные, иллюстрирующие влияние поглощения энтро-
энтропийного слоя пограничным, приведены на рис. 28 [43]. Представлено
изменение числа Стантона S, = фщДр,х>1Л» (//<» — h^)) вдоль образую-
образующих (ф = 0; 90; 180°) — кривые /—3 соответственно) затупленного
десятиградусного конуса, помещенного в поток при Мж = 25 под уг-
углом атаки а = 10°, в условиях турбулентного теплообмена при Re<» =
= 8,8 • 106, Tw = 0,1 и с учетом равновесной диссоциации воздуха.
Сплошные и штриховые кривые — результаты, полученные соответ-
соответственно с учетом и без учета поглощения энтропийного слоя. Различия
в тепловых потоках уменьшаются при переходе с наветренной стороны
на подветренную. Это согласуется с соответствующим изменением гра-
градиента энтропии (рис. 4).
ГЛАВА 8
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ В СВЕРХЗВУКОВЫХ
ЛОКАЛЬНЫХ ОТРЫВНЫХ ЗОНАХ
При обтекании тел, поверхность которых имеет изломы, а также при
течении в донной области тела пограничный слой отрывается от по-
поверхности. При отрыве пограничного слоя, связанном либо с изломом
поверхности, либо с положительным градиентом давления, вызванным
падающим скачком уплотнения, вниз по потоку от места отрыва погра-
пограничного слоя, происходит его присоединение к обтекаемой поверх-
поверхности. Отрывная зона в этом случае локализуется между линиями
отрыва и присоединения пограничного слоя, положение которых
заранее не определено. Неизвестным является и значение давления
и других газодинамических параметров в отрывной зоне. При отрыве
потока, возникающем при обтекании торцевой части тела, собственно
отрывная зона локализуется между торцевым сечением тела и местом
слияния оторвавшихся пограничных слоев, расположенным на некото-
некотором расстоянии вниз по потоку от дна тела.
8.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Наиболее полного описания течения в локальных отрывных зонах
можно достичь, используя систему уравнений Навье — Стокса. Не-
Несмотря на сложность получения численного решения этих уравнений,
особенно для турбулентных течений и течений с большими числами
Рейнольдса, в настоящее время имеется достаточно большое количество
решенных задач. Описанию методических особенностей получения этих
решений и анализу полученных результатов посвящены работы [54, 83].
Большинство результатов получено применительно к двумерным от-
отрывным зонам. В отдельных работах приводятся результаты решения
задачи в турбулентной отрывной зоне. Наиболее общий случай воз-
возникновения трехмерной турбулентной отрывной зоны рассмотрен
в [96]. В этой работе приведена задача о вдуве сверхзвуковой струи
по нормали к поверхности, обтекаемой сверхзвуковым потоком. Не
останавливаясь на обсуждении особенностей численного решения на
базе полной системы уравнений Навье — Стокса задач о течениях
в отрывных зонах, описанных в указанных работах, отметим лишь
необходимость больших затрат машинного времени и оперативной
памяти ЭВМ для решения таких задач. Это препятствует широкому
применению методов численного решения уравнений Навье — Стокса
8 6-3097 . 113
для решения практических задач определения параметров обтекания
тел при наличии локальных отрывных зон вообще и задач определения
параметров в зонах отрыва в частности. В связи с этим широко приме-
применяются в практических расчетах приближенные методы определения
параметров в отрывных зонах. Достаточно подробно эти методы опи-
описаны в A42, 24, 145]. Большое количество различных методик можно
разбить на две группы: методы, основанные на концепции, разделяю-
разделяющей линии тока с замыкающим условием Корста [142], и интегральные
методы [57, 62]. Методы первой группы не связаны с формулиров-
формулировкой задач вязкого взаимодействия, и поэтому не будем на них оста-
останавливаться. Достаточно подробно они рассмотрены в [142, 87,
152 и др.].
Методы второй группы основаны на совместном решении уравнений
невязкого течения и уравнений пограничного слоя и приводят к ти-
типичным задачам вязкого взаимодействия.В различных практических
реализациях этих методов широкое использование находят разные
приближенные решения уравнений как невязкого обтекания, так и
пограничного слоя. В частности, широко используется для описания
невязкого течения решение Прандтля — Майера [66] и однопарамет-
рические интегральные методы решения уравнений пограничного слоя.
Систематическому изложению приемов конструирования интегральных
методов решения задач о турбулентном отрыве и получаемых резуль-
результатов посвящена монография [24]. Общим для всех интегральных ме-
методов является то, что решение задачи сводится к системе обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые имеют
особую точку типа «седло». Условия прохождения через нее позволяют
учесть механизм распространения возмущений вверх по потоку и слу-
служат для отбора нужног.0 решения. В результате решения задач ин-
интегральными методами удается определить однопараметрический про-
профиль скорости, распределение давления в зоне присоединения оторвав-
оторвавшихся пограничных слоев и давления в изобарической донной области,
причем это давление является собственным параметром задачи и под-
подбирается из условия прохождения через особую точку. Несмотря на
общую методологическую основу всех реализаций интегральных ме-
методов, получающиеся системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений, имеющих особую точку типа «седло», существенным образом
зависят от способа их получения и от допущений, положенных в их
основу. Кроме того, остается неясным способ учета механизма передачи
возмущений вверх по потоку при решении маршевыми конечно-раз-
конечно-разностными методами уравнений пограничного слоя [93, 119], описываю-
описывающих течение в зоне присоединения. В связи с тем что течению в ближ-
ближнем следе в общем случае свойственно наличие рециркуляционной
зоны, которое препятствует применению хорошо разработанных конечно-
разностных маршевых методов решения параболических уравнений
пограничного слоя, на этом не концентрировалось внимание исследова-
исследователей. Однако полный анализ методологии решения задач о течении
в замкнутых отрывных зонах и в ближнем следе требует рассмотрения
этого вопроса. Кроме того, данный вопрос представляет и практический
интерес при решении задач о течении в ближнем следе при наличии
114
распределенного вдува через торец тела, интенсивность которого доста-
достаточна для того, чтобы полностью отсутствовала зона возвратного тече-
течения [12]. Другим словами, стремление к методической замкнутости
задач о течении в отрывных зонах и необходимость решения некоторых
практических задач побуждают разработать подходы к решению этих
задач, в основе которых лежат не зависящие от методов решения урав-
уравнений пограничного слоя и невязкого обтекания соотношения, позво-
позволяющие учесть распространение возмущений вверх по потоку и по-
построить алгоритм определения собственного параметра задачи, которым
является донное давление, не зависящий от метода решения урав-
уравнений пограничного слоя и невязкого течения. Такими соотношениями
могут служить соотношения вязко-невязкого взаимодействия, получен-
полученные в предыдущих главах и использованные там для решения задач
вязкого взаимодействия при безотрывном обтекании тела. В настоящей
главе конкретизируется вид этих соотношений применительно к реше-
решению различных задач отрывных течений и рассмотрены примеры их
использования для решения конкретных задач, иллюстрирующих ос-
основные аспекты рассматриваемого вопроса.
8.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
УСЛОВИЯ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
При приближенном описании течения в замкнутой отрывной зоне
задача сводится к решению уравнений пограничного слоя в зонах сме-
смешения, присоединения и, в некоторых случаях, в зоне возвратно-ре-
возвратно-рециркуляционного течения. Вне этих зон течение описывается уравне-
уравнениями невязкого течения — уравнениями Эйлера. Принципиальной
особенностью этих задач является необходимость сопряженного реше-
решения названных уравнений, так как вязко-невязкое взаимодействие
играет в них определяющую роль. Поэтому при постановке задачи
наряду с записью дифференциальных уравнений и соответствующих
граничных условий необходимо сформулировать и условия вязко-
невязкого взаимодействия. Для задач безотрывного обтекания тел в
режиме вязкого взаимодействия эти условия сформулированы в пре-
предыдущих главах. Однако ассортимент задач, связанных с отрывными
течениями, выдвигает более общие требования к данным условиям.
В частности, это имеет место при расчете параметров в несимметричной
отрывной зоне, возникающей при срыве с торцевых кромок тела двух
различных сверхзвуковых потоков при несимметричном обтекании
плоских двумерных тел, при течении в кольцевых соплах с централь-
центральным телом, в донной области осесимметричных и плоских тел, обтекае-
обтекаемых сверхзвуковым потоком при наличии сверхзвуковой струи, исте-
истекающей из дна тела, и в ряде других случаев.
В связи с этим остановимся на выводе этих условий для несиммет-
несимметричных отрывных зон. Течение в вязкой зоне смешения и присоединения
будем описывать уравнениями пограничного слоя
А. (г»+ -^ (г» = 0; (8.1)
8* 115
ди , ди dp§ , \ д v /n m
p"^r + pu-d7 = —чг + ^-дГ'-Т' <8-2>
дН , дН I д ,о „.
р"^г + р" —= 7^ ^ rq- (8-3)
где v = 0; 1 соответствуют плоскому и осесимметричному случаям;
«, v — продольная и поперечная составляющие вектора скорости; т,
9 — локальные значения трения и теплового потока. Причем q харак-
характеризует поток энергии, вызванный теплопроводностью, вязкой дис-
диссипацией, в случае течения многокомпонентных газов, диффузией
отдельных компонент; Н — «2/2 + h.
Система уравнений (8.1) —(8.3) замыкается уравнением состояния,
которое запишем в виде
P = F(h)p. (8.4)
В свою очередь, г — расстояние до оси симметрии; х, у — координаты
изменяющиеся вдоль течения и поперек вязкой области. Во многих
случаях гну совпадают. Тогда х — расстояние от торцевого сечения
тела.
Решение системы уравнений (8.1) — (8.4) должно удовлетворять
следующим условиям: и = «вь И — #в* ПРИ У — Ук, & — 1> 2; у =
= уч (*) — условные границы вязкой области снизу (k = 1) и сверху
(k = 2). Для симметричной вязкой области граничное условие на ниж-
ди дН „ „
ней границе записывается в виде v = — = ^- = 0 при у = у1 = 0.
Граничное условие для поперечной составляющей скорости в случае
несимметричной «вязкой» области будет оговорено ниже. Начальные
условия задаются в сечении донного среза х = 0 и определяются исхо-
исходя из решения задачи обтекания передней части тела, т. е. будем счи-
считать
и @, У) = «о U/); Н @, у) = Яо {у), (8.5)
где и0 (у) и #о (у) — заданные функции.
Выражения (8.5) позволяют учесть все многообразие течений:)
начальный пограничный слой, характер распределения параметров
в газе, вдуваемом через дно тела, и др.
Распределение давления /?в (х) определяется из условия сопряже-
сопряжения с внешними невязкими потоками. Для вывода условий сопряже-
сопряжения, которые назовем, как и ранее, условиями вязко-невязкого взаимо-
взаимодействия, исключим, как в гл. 2, из уравнения (8.1) с помощью урав-
уравнений (8.2) — (8.4) — и -тр и приведем это уравнение к виду
Проинтегрировав (8.6) поперек вязкой области, получим
yP6{rV2tgQi-rUgQ1) + B^- + A = 0. (87)
У б
Здесь
-' Г » \и ^х drv
lhu
Для исключения из (8.6) rl tg9A, где tg0ft = -^-, рассмотрим внеш-
внешние невязкие потоки.
Невязкие потоки сверху и снизу вязкой зоны смешения обтекают
некоторые эффективные тела, ограниченные поверхностями вытес-
вытеснения у — ук (х). В тонком слое «невязкого» газа, ограниченном
поверхностями у = ук (х) и у = ук (х), пренебрегаем поперечным гра-
градиентом давления, т. е. будем считать, что течение невязкого газа в
этом слое описывается уравнениями невязкого пограничного слоя
(уравнениями (8.1) — (8.4) при т = q = 0). Тогда можно получить
уравнение, аналогичное (8.6), которое после интегрирования по у
в пределах от yl до ук дает два уравнения типа (8.7)
УРб (rl tg Qk ~ r? tg Ql) + В* —?- = 0, к = 1, 2, (8.8)
где
«к
Считая, что на внешних границах вязкой области параметры «вязкого»
и «невяакого» потоков совпадают, и полагая, что поперек слоя, заклю-
заключенного между ук и yl, величина Мы не изменяется, вычитаем урав-
уравнение (8.8) при k = 1 и k = 2 из (8.7). Проделав очевидные преобразо-
преобразования, получим при г == у
где
4 (• - i
.V)
Уравнение (8.9) связывает распределение давления в вязкой зоне
смешения с функциями, задающими форму нижней и верхней эффек-
эффективных поверхностей вытеснения, обтекаемых невязкими потоками,
т. е. уравнения можно рассматривать как дифференциальное уравне-
уравнение, связывающее dp^ldx, dyljdx и dy\ldx. Недостающие уравнения сле-
следуют из уравнений, описывающих течения в невязких сверхзвуковых
эквивалентных потоках. В общем случае, как уже отмечалось, для
определения параметров на поверхности эффективных тел можно,
117
используя граничные условия для уравнений Эйлера на эффективных
поверхностях вытеснения, получить уравнение типа B.21), которое
перепишем в виде
dy"k dP6 и- dyk ' dp (. ( dyk У\ ,s ,
Производные -г-, входящие в (8.10), определяются численно одновре-
одновременно с решением уравнений Эйлера. Система уравнений (8.10) при
k — 1,2 совместно с (8.9) может рассматриваться как система дифферен-
дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функ-
функций /76 (Х), У* (х), у\ (х).
В случае, когда параметры во внешнем течении предполагаются
постоянными вдоль характеристик второго семейства (это имеет место
для течений Прандтля —Майера), исключив из (8.10) -^-, придем к
следующему соотношению:
/ du, \
dx
dhjl „VmL — I i dp*
dx* -(-l> M6k yp6 dx
Если в зоне вязкого течения имеются возвратные зоны, т. е. имеются
точки, в которых продольная скорость и будет равна нулю, то интегра-
интегралы, входящие в (8.9), становятся несобственными расходящимися ин-
интегралами. Для получения уравнения типа (8.10), лишенного этого
недостатка, необходимо, как. и в гл. 2, умножить уравнение (8.6) на
и. Проделав очевидные преобразования, вместо (8.6) получим
После интегрирования и соответствующих преобразований вместо
уравнения (8.9) запишем следующее:
где
А' - | -^- («2 - «2) yv+tdy - (и2&2 - а262) ylv+l + {u\x - а\{) у
2 |у"и ^dy- 2«б2 ^- (у, - У\) - 2u6l -*L. ^ _ УЪ (8.14)
118
или, проинтегрировав по частям с учетом, что при у — yt, у2, т = q =
= 0, вместо (8.14) получим
Итак, имеем систему дифференциальных уравнений (8.9) или (8.13)
и (8.10) или (8.11) для определения неизвестных функций р& (х), у\ (х).
При этом коэффициенты одного из этих уравнений, а именно уравне-
уравнения (8.9) существенным образом зависят от изменения параметров
в зоне вязкого течения. В свою очередь, эти параметры должны опре-
определяться из системы уравнений пограничного слоя (8.1) —(8.4).
Принципиальным для полученных уравнений, которые следует решать,
как и в задачах, рассмотренных в предыдущих главах, совместно с
уравнениями пограничного слоя и уравнениями Эйлера, является
возможность обращения величины А или А' в нуль при некотором зна-
значении х. Характерным для отрывных течений является то, что эта воз-
возможность реализуется. При этом для ограничения производных dp&ldx
необходимо, чтобы одновременно обращалась в нуль и правая часть
этих уравнений. Данное условие применяется для определения давле-
давления в изобарической донной области, причем сущность этого условия,
которое выполняется и в известных интегральных методах решения за-
задач отрывных течений, не зависит от способа представления решения
уравнений пограничного слоя и уравнений невязкого течения. Это
позволяет отделить вопросы построения алгоритмов и выбора расчет-
расчетных соотношений для прохождения особой точки и выбора донного
давления от вопросов решения уравнений, описывающих течение в
вязкой и невязкой областях.
8.3. АЛГОРИТМЫ МАРШЕВОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ
В БЛИЖНЕМ СЛЕДЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫМИ МЕТОДАМИ
Решение задачи о течении в ближнем сле'де в приближенной поста-
постановке сводится к совместному решению уравнений пограничного слоя
(8.1) — (8.4), уравнений вязко-невязкого взаимодействия (8.9), (8.10)
или (8.13), (8.10) и уравнений Эйлера. При сверхзвуковом течении в
невязкой области уравнения Эйлера имеют гиперболический тип,
причем роль времени играет продольная переменная х. Уравнения
пограничного слоя — параболического типа. Следовательно, для систе-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений вязко-невязкого
взаимодействия может быть сформулирована задача Коши. Однако
корректность этой задачи по начальным данным зависит от структуры
течения в ближнем следе. Для течений с возвратно-циркуляционными
зонами задача-Коши для уравнений пограничного слоя не корректна.
Аналогичная некорректность имеет место в ретроспективных задачах
для общих уравнений параболического типа. Наиболее полно истоки
этой некорректности выяснены для теплопроводности и в [7] для задач
ближнего следа. Эта особенность препятствует решению системы
уравнений, описывающих течение в ближнем следе, маршевыми по
119
р
0,25
0,20
0,15
0,10
0,65859
"OJ50>1
О 1 А 6 8 10 х/А
Рис. 30
3 X Рис. 29
продольной переменной конечно-разностными методами. Однако на-
наличие вдува оказывает существенное влияние на структуру течения
в донной области [142], приводя к уменьшению области с возвратным
циркуляционным течением. При определенной интенсивности вдува
циркуляционная область полностью исчезает, что предоставляет воз-
возможность решения задачи маршевыми методами.
Итак, рассмотрим для определенности двумерное течение, образую-
образующееся при взаимодействии двух сверхзвуковых потоков, обтекающих
донный срез, через торцевую стенку которого осуществляется распре-
распределенный дозвуковой вдув газа конечной интенсивности. Примем, что
рассматриваемое течение описывается уравнениями пограничного слоя
(8.1)—(8.4), уравнениями вязко-невязкого взаимодействия (8.9),
(8.10) и уравнениями Эйлера или соотношением (8.11). Уравнения
пограничного слоя решаются численно с использованием неявных
разностных схем. Для получения результатов, приведенных ниже,
использовалась простейшая четырехточечная схема второго поряд-
порядка точности по поперечной координате и первого—по продольной.
Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений проводилось по схеме Эйлера [46]. Для определения параметров
невязких потоков в узлах разностной сетки, не лежащих на поверх-
поверхностях вытеснения, использовалась явная конечно-разностная схема
Мак-Кормака второго порядка точности. Производная -?-, входящая
в уравнения вязко-невязкого взаимодействия, аппроксимируется со
вторым порядком точности односторонними аппроксимациями с исполь-
использованием значения давления в двух соседних к эффективной поверх-
поверхности точках и в точке, лежащей на этой поверхности. Так как в явной
конечно-разностной схеме значения газодинамических параметров в
точках, не лежащих на границе в сечении х<п+1\ могут быть найдены
по значениям параметров в сечении tfn) независимо от условий на гра-
граничной поверхности, то при переходе от сечения х(щ в сечение х("+1>
параметры во внутренних точках невязкого течения находятся неза-
независимо от условий вязко-невязкого взаимодействия, служащих гра-
120
o,s
Рис. 32
ничными условиями для уравнений невязкого обтекания. Величина
рь в плоскости х<"+1> на поверхности вытеснения определяется в первом
приближении из уравнений . (8.9) при коэффициентах Д и А, найден-
найденных по значениям параметров в вязкой области в плоскости х = х".
dp.
Последующее уточнение рц и -т- при х — х<п+11 происходит в итера-
итерационном процессе, связанном с нелинейностью уравнений погранич-
пограничного слоя. Кроме указанных итераций, необходимо проводить глобаль-
глобальные итерации с целью подбора значения давления на торце тела —
донного давления pd.
Как уже отмечалось выше, донное давление необходимо подобрать
так, чтобы при некотором значении координаты х = х*, при котором
обращается в нуль коэффициент Д в (8.10), стала нулем и правая часть
этого уравнения. Так как характеристики течения в вязкой области
непрерывно зависят от начальных данных, заданием значения рп опре-
определяется выбор той или иной интегральной кривой уравнения для
ре> (х).
Результаты, иллюстрирующие поведение интегральных кривых
уравнения (8.9) и зависимость найденного рл от определяющих пара-
параметров, приводятся на рис. 30—33. Во всех расчетах шаг интегриро-
интегрирования системы уравнений пограничного слоя выбирался 0,025, а коли-
количество узлов в поперечном направлении—51. Типичная картина
поведения интегральных кривых в окрестности особой кривой при сим-
симметричном изоэнергетическом обтекании
пластины изображена на рис. 30. Рд'р*
Значения характерных параметров те-
течения следующие: а = — 1: Ъ = 1; Мх =
„2 .
k
Ят = 0,05; Re = 500 (см. рис 29).
Результаты расчетов влияния интенсив-
интенсивности вдува на донное давление при Re =
= 500; 1000; 5000 (кривые 1—3 соответ-
соответственно), полученные для прежних зна
чений определяющих параметров, отра-
отражены на рис. 31.
0,5
Л2\
На рис. 32 для тех же значений Re представлено влияние неизо-
энергетичности течения, обусловленного вдувом горячего газа, на
донное давление. Течение предполагается симметричным. Из этих ри-
рисунков видно, что увеличение интенсивности вдува и повышение тем-
температуры вдуваемого газа приводит к росту донного давления. Влия-
Влияние интенсивности вдува при несимметричном обтекании пластины
показано на рис. 33, где кривые /—3 соответствуют Re = 500; 1000;
5000. Значения характерных параметров следующие: а = 0,5; b — \;
М1 = 3,0; М2 = 2,0, Нх = Н2 = Явд = 0,5
G -
= —. Возрастание скорости истечения одного из потоков приводит
уМ2
к увеличению массы газа, эжектируемой потоками из струи, что ведет
к понижению донного давления по сравнению со случаем симметрич-
симметричного обтекания. Геометрия эффективного тела вытеснения, соответст-
соответствующая этому примеру при </вд = 0,05 и Re = 103, представлена на
рис. 29.
8.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ.
СИММЕТРИЧНЫЙ СЛУЧАЙ
Применение маршевых конечно-разностных методов к решению
уравнений пограничного слоя в задачах отрывных течений ограничи-
ограничивается требованием отсутствия возвратно-рециркуляционных зон
в вязкой области. Кроме того, в некоторых случаях применение конеч-
конечно-разностных методов оказывается нежелательным и в связи с боль-
большими затратами машинного времени на решение задач. Поэтому воз-
возникает необходимость в применении интегральных методов решения,
использование которых позволило получить решение широкого класса-
задач отрывных течений. Однако в существующих реализациях этих
методов условия вязко-невязкого взаимодействия формируются сов-
совместно с выводом системы обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений для определяющих параметров, и в каждом конкретном случае вы-
выбора базовых соотношений получаются различные системы этих урав-
уравнений. Условия вязко-невязкого взаимодействия (8.9), (8.10) позволяют
построить интегральные методы решения, отличающиеся только спо-
способом определения профиля скорости в вязкой области. Соотношения
для определения рв (х), yl (х) остаются одними и теми же для различ-
различных интегральных методов и такими же, как и в случае применения
конечно-разностных методов. Уравнения (8.9), (8.10) позволяют найти
функции /?а (х), Ук (х) и рАОп — как собственное число задачи. Причем
алгоритм решения уравнений и их вид не зависят от способа оп-
определения скорости, энтальпии и других параметров в вязкой области.
В связи с этим рассмотрим возможность конструирования интег-
интегральных соотношений для определения параметров в вязкой области,
которые вместе с (8.9), (8.10) позволят получить приближенное решение
задачи отрывных течений. В этом параграфе в целях иллюстрации
принципиальных особенностей использования уравнений (8.9), (8.10),
122
либо близких к ним уравнений (8.13) в интегральных методах тео-
теории отрывных течений, рассмотрим симметричные течения.
Запишем уравнения пограничного слоя в дивергентном виде
(8Л5)
Умножим второе уравнение (8.15) на и& (х) и вычтем из первого. После
деления полученного при этом уравнения на peul и некоторых преоб-
преобразований придем к уравнению
fi^fiV = o. (8.16)
Рб"б \ Ч) \ Рб«б )У У '
При выводе этого уравнения использовалось соотношение, справедли-
справедливое во внешнем изэнтропическом потоке,
Рассмотрим случай, когда расчетная область для вязкого течения огра-
ограничивается некоторой поверхностью у = б (х), на которой параметры
этого течения совпадают с параметрами невязкого потока, и поверх-
поверхностью либо линией (для осесимметричного течения) у = у0 (х). На
нижней границе расчетной области возможны следующие условия:
v == 0, Тд, = 0, и Ф 0 (у — у0 — плоскость (ось) симметрии), v — О,
и ,— О, %w Ф О (у — у0 — твердая поверхность).
С учетом высказанных замечаний проинтегрировав (8.16) по у
в пределах от у0 до б (х), получим
dS** I d\np6
где'.б** и б*—толщина потери импульса и толщина вытеснения(
г/о
Пусть в соответствии с известными реализациями интегральных ме-
методов профиль скорости в вязкой области представляется универсаль-
универсальной однопараметрической зависимостью [24]
—
где ц = у ~7 Уа; f (т)) — заданная функция. В частности, для симмет-
симметричной зоны смешения в качестве такой функции может быть принята
123
широко используемая в [24] зависимость
Кроме того, ограничимся в настоящем параграфе случаями изоэнерге-
тического смешения, т. е. примем, что полная энтальпия в вязкой об-
области постоянна:
Н (х, у) = #6 = const,
тогда для определения плотности можно получить зависимость
При этих условиях для толщины потери импульса и толщины вытесне-
вытеснения получим
i 1
«** I f Р« /i И\ V. К* К Г /i Ри \ Vi
6** = 6 \ —-— I \у d-n, о* = 6 \ I —\У dn,
или имеем 6** = 66** (Се, т), 6* = 66* (Се, т), т. е. отношение
6**/6* = Я* — не зависит от 6 (х) и является функцией т (х) и
Се (х). Перепишем (8.18) в форме, содержащей Я*,
= Та)У" J_.(8.21)
Можно рассматривать (8.21) как уравнение относительно Н* (х),
определяя т (х) после решения уравнения Я* (х) = 6** (т {х),
С6 (х))/6* (т (х), Сь (х)). Можно переписать (8.21) в форме, содержа-
содержащей производную от т (х). Проделав необходимые выкладки, по-
получим
, j_nf d\nb*
Система (8.13), (8.10), (8.21) (или (8.13), (8.10), (8.22)) является за-
замкнутой системой уравнений относительно неизвестных функций
Рб (х), 6* (х), т (х) (Се (х) выражается через рь (х) с помощью формул
изэнтропического течения:
В этой системе уравнений особенность содержится только в (8.13),
других особенностей в уравнениях не появится.
Для симметричной зоны вместо (8.22) можно воспользоваться
уравнением, которое следует из уравнения количества движения
124
(8.2), записанного при у = 0 (т. е. при v = 0, -^- — 0),
«¦.¦?—¦?- + -?•¦ <823>
В соответствии с [24] из этого уравнения при / (ч\), задаваемой соотно-
соотношениями, приведенными выше, следует
dm mB — m) I d\np6 ^
(8.24)
Система уравнений (8.24), (8.10), (8.13) является, по-видимому, про-
простейшей системой для решения задачи вязкого взаимодействия в ближ-
ближнем следе. Для решения задач присоединения зоны смешения к твер-
твердой поверхности, возникающих при изучении обтекания ступенек или
изломов поверхности тела, такой простейшей системой являются
уравнения (8.10), (8.22), (8.13).
Для определения единственного решения системы уравнений (8.13),
(8.10), (8.22) (или (8.13), (8.10), (8.24)) необходимо при некотором х= х0
db*
задать начальное значение р6 (х0), т (х0), б** (х0) и -^-. Что касается
Рб (х0), то эта величина должна быть равной рлон и подбираться из усло-
условия прохождения через особую точку уравнения (8.13). Величина
d8* ,
-г- определяется при заданном ряон из решения задачи невязкого об-
обтекания. Остальные величины определяются в зависимости от конкрет-
конкретно решаемой задачи. В частности, если в отрывной области вводится
изобарическая зона и выписанные уравнения используются для опре-
определения параметров только в зоне присоединения, то значения х0 и
т (х0), 5* (х0) определяются из условий непрерывного перехода от
изобарической зоны к зоне присоединения. Подробный анализ этих
условий приводится в [24].
8.5. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
К РАСЧЕТУ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ДВУМЕРНОЙ ОТРЫВНОЙ ОБЛАСТИ
Обтекание донной части плоских тел, помещенных в сверхзвуковой
поток под углом атаки, течения в кольцевых соплах, в донной области
тела со сверхзвуковой центральной струей сопровождается образова-
образованием несимметричной зоны. Задачи расчета таких зон интегральными
методами рассматривались в [24, 11, 10]. Причем, в [11] подход, опи-
описанный в [24], использовался для случая истечения одиночной реак-
реактивной струи из донной области тела с учетом неизоэнергетичности те-
течения. Не рассматривая пока вопросы учета неизоэнергетичности сме-
смешения, выписываем основные уравнения, позволяющие рассчитывать
несимметричные отрывные зоны. Часть этих уравнений — уравне-
уравнения вязко-невязкого взаимодействия, полученные в параграфе 8.2,
и использованы для решения задач при конечно-разностном методе
/25
решения уравнений пограничного слоя. Эти уравнения служат для
определения р& (х), yl (х) при заданных распределениях скорости и
других параметров. В соответствии с подходами, принятыми для ин-
интегральных методов, положим, что профиль скорости в несимметричной
зоне смешения описывается однопараметрическои зависимостью, и по-
получим уравнения для определения функции т (х) и других параметров,
появляющихся при выводе интегральных соотношений.
В основу вывода интегральных соотношений положим -уравнение
(8.16). Введем в вязкой области некоторую линию у„ — у0 (х) и проин-
проинтегрируем это уравнение по у в пределах от у0 (х) до у0 ± S*. После
очевидных преобразований получим два уравнения, аналогичных
(8.18):
, k= 1, 2, (8.25)
где u0, p0, v0, т0 —¦ значения соответствующих параметров на линии
У = Уо (х);
В свою очередь
В два уравнения (8.25) входят четыре неизвестные функции т (х),
vo (х)> то (х) и Уо (х). Придав конкретный смысл линии у = у0 (х), можно
снизить число неизвестных до трех и записать замыкающее систему
(8.25) уравнение. Имеются следующие возможности. Пусть у = у0 (х)
является линией тока, тогда на ней ¦— = —, и уравнения (8.25) по
ах ид
форме совпадают с (8.14). Если принять, что эта линия тока отделяет
газ верхнего потока от газа нижнего потока, то из закона сохранения
массы можно получить замыкающее уравнение. Вторая возможность
представляется, если, следуя [24], положить, что линия у = у0 (х)
является линией минимума скорости, т. е. если на ней т0 (л:) == 0. Тогда
в качестве замыкающего уравнения можно воспользоваться уравнени-
уравнением (8.24), справедливым вдоль этой линии
126
Представляя в соответствии с [24] в верхней и нижней частях вязкой
зоны профиль скорости соотношением
u=uOk(l—mkfk(r])), (8.27)
и учитывая, что исходя из условий сопряжения профилей в нижней
и верхней частях потока т1 = A — A — т2) /а @))//i @). будем
рассматривать уравнения (8.25) и (8.26) как уравнения относительно
трех неизвестных функций тх (х) (или тщ, (х)), уь (х) и v0 (x). При этом
следует учесть, что и0 (х) = u6k (I —mk). Удобно записать (8.25) в
виде, аналогичном (8.21):
dHk I din/
^). (8.28)
В свою очередь, очевидно, что Ь*к = (— l)fc (yl (x) — у0 (х)) и у\ (х)
определяются совместно с -~ из (8.10).
Таким образом, система уравнений (8.25), (8.26), (8.10) позволяет
получить приближенное решение задачи о течении в несимметричной
двумерной зоне. Уравнения, позволяющие определить параметры
в вязкой области, могут быть различными. В частности, в качестве
системы уравнений можно рассмотреть интегральные уравнения выс-
высших моментов, как это сделано в [10, 11]. Важно для рассматриваемых,
что суть особенности дифференциальных уравнений не зависит от их
выбора и полностью определяется уравнениями (8.9), (8.10). Другими
словами, эти уравнения можно считать основными уравнениями в за-
задачах о течении в локальных отрывных зонах, позволяющими учесть
принципиальные особенности данных задач.
Разработка метода решения задачи при этом заключается лишь
в выборе способа решения уравнений пограничного слоя и записи
соответствующих расчетных соотношений, исходя из конечно-разност-
конечно-разностных методов, или параметрических интегральных. Эта особенность
позволяет рассмотреть и течение в локальных трехмерных отрывных
зонах и сравнительно просто учесть неизоэнергетичность смешения
и наличие химических реакций. Переходим к рассмотрению этих задач.
8.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
О ТЕЧЕНИИ В ТРЕХМЕРНОЙ ОТРЫВНОЙ ЗОНЕ
Будем считать, что как и в двумерном случае, вязкое течение в ло-
локальной отрывной зоне может быть описано уравнениями погранич-
пограничного слоя. При формулировке метода решения задачи о течении в трех-
трехмерной отрывной зоне ограничимся для простоты изложения цилинд-
цилиндрической системой координат.
127
Уравнения вязкого течения запишем в виде
%^ + v -^- + — 4L) = --^
дг ' дг ' г дц> ) дг
р(и -%^ + v -^- + — 4L) = --^- + -^2-l (8-29)
г ^ дг ' дг ' г дц> ) дг г дг ' v '
и*Е. д* w_ to\ _р^ = __1_а^ _^ф. (830)
дг ' дг ' r dq> / г г дц> ' дг ' v '
-^ + i^i + _^=0. (8.31)
дг дг ' Зф '
Будем считать, что в этих уравнениях р — функция от г, ф. Другими
словами, поперек отрывной области давление не изменяется. Для от-
отрывных областей, ограниченных по г снизу поверхностью тела г —
= В (г, ф), такое ограничение допускает окружное изменение давле-
давления. Для определенности будем рассматривать течение за осесиммет-
ричным уступом.
Зависимость давления от переменных г, ф должна определяться из
сопряжения решения уравнений (8.29) — (8.31) с решением уравнений
Эйлера, описывающих течение во внешней невязкой части течения.
Если через торцевую стенку уступа осуществляется вдув достаточный,
чтобы исключить продольное возвратно-циркуляционное движение
газа в вязкой области, то для определения параметров в отрывной зоне
может быть применен алгоритм, описанный в параграфе 7.2, с привле-
привлечением конечно-разностного метода численного решения уравнений
(8.29) — (8.31). Одновременно с этими уравнениями должны решаться
уравнения G.2) и G.9) и уравнения Эйлера. Отличительной чертой
этой задачи является то, что коэффициент аи в уравнении G.2) при
некоторых значениях г = z* (ф) будет обращаться в нуль. Другими
словами, имеет место типичная для отрывных течений ситуация, опи-
описанная для двумерных течений в параграфах 8.2, 8.3. Для ограничен-
ограниченности величины -~ при z = z* необходимо соответствующим образом
подобрать значения рА (ср) непосредственно на торце уступа. Алгоритмы
определения неизвестной функции в начальных данных из условия
прохождения особенности в дифференциальных уравнениях, к которым
сводится решение задачи, разработаны для метода интегральных соот-
соотношений решения задачи обтекания тела с отошедшей ударной волной
[13]. Поэтому здесь не будем на них останавливаться. Основные особен-
особенности поведения решения при подборе нужных начальных данных
остаются такими же, как и для двумерных тенений, описанных в пре-
предыдущих параграфах.
Однако учитывая приближенность задачи о течении в трехмерной
отрывной зоне, основанной на уравнениях (8.29) — (8.31), особенно
если тг, хф являются эффективными турбулентными напряжениями,
целесообразно для решения уравнений пограничного слоя применять
интегральные методы. Для этого, использовав уравнения невязкого
течения на «границе» диссипативной области и проделав обычные в
этих случаях преобразования, перепишем уравнения (8.29), (8.30)
в форме, удобной для применения интегральных методов:
128
¦ (pv (и — u6) — тг) ( / pu\ 1 диб ...
1 —Г~ >r «л а? "•"
J^_j_J_j4_ (l
АИ.-V 4е-+ 2-L 4g-l-25-- 0;
I — Olg) — T ) I / p« \ Л uu ,
7 p~TEw—'"II ;r-r—1-r- -яг- +
/ овил, \ i i dw* Wk
4-
l 6 I / i pWV 6 \ . PU /i u" \ _ . .
^ ц л I * — «и... , |т <> 1 i „, |' л
1
P64 & ^ и6 * т ш, Й | x p6sy6 у дав
x(M^-A-^ + 2J-^-l^ = 0, (8.33)
Уд
где Мий = -г—; б — индекс обозначает параметры на границе вязкой
области.
Итак, для определения параметров в вязкой области вместо (8.29) —
(8.31) имеем уравнения (8.32), (8.33) и B.10). Пусть вязкая область
снизу ограничена поверхностью тела г = В (г, <р), на которой для
простоты используем условия прилипания и = v = w = 0, и сверху —
некоторой поверхностью тока г = б (г, ц>).
Проинтегрировав (8.32), (8.33) по г в пределах от В до б, получим
«6
Ц = 0; (8.34)
л
б*
^ Ф* Рв"бшб + " Щ дг +
9 6-3097 129
, Щ <-• 1 1 dw6 1 dp <. . "б 1 *¦• ,
-А От ~~ =;—" Ч О, Ч • Оцн, ~Т~
—+ —
+ (U v ^«а -^- ^ + 2 — —) == 0, (8.35)
где
В свою, очередь,
1
б*^ = (б — В) Вб^0 + (б — ВJ б^,;
бГ« = (б — В) Вб^0 + (б — ВJ Vul,;
§; = (б — В) б^,0; бГш = (б — В) б;Шо;
б, = (б-В)б,0.
о
где г] = (г — В)/(б — В).
Представим профили скоростей в вязкой области однопараметри-
ческими зависимостями
-^- = и(ти(г, ф), г\); ~- = w(mw(z, ф), r\). (8.37)
б б
В свою очередь, из уравнения состояния имеем
(8.38)
Подставляя (8.37), (8.38) в (8.35), с учетом (8.36) получаем, что вели-
величины б; и б)/ являются функциями б (z, ф), ти (г, ф), mw (z, ф) и, сле-
130
довательно, два уравнения (8.34), (8.35) представляют собой уравнения
относительно трех неизвестных функций б (г, ф), ти (г, ф) и mw (z, <p).
Добавим к этим уравнениям уравнение, определяющее поверхность
вытеснения, т. е. уравнение A.48), которое во введенных переменных
примет вид
|-(Рвив(б*-б;)) _-1-^(РЛ(б*-б;)) = о. (8.39)
Дополнив выписанные уравнения уравнениями G.2), G.9), связываю-
связывающими изменение толщины вытеснения с изменением давления, придем
к системе пяти уравнений с пятью неизвестными функциями б, б*,
mU' mw> Рб- Уравнения (8.34), (8.35), (8.39) запишем в форме с явно
выделенными производными от искомых функций. Выполнив дифферен-
дифференцирование в этих уравнениях, получим
где Л, В — матрицы с коэффициентами aih ЬA; f — вектор с компонен-
компонентами ти, тш, б, б*, р6; d — вектор (i = 1 -т- 5; / = 1 -f- 5). Коэффи-
Коэффициенты aij, bij и di имеют довольно громоздкий вид, поэтому чтобы про*
иллюстрировать способ их получения
"** ' *' »
дг дти дг ~*~ дб дг
выпишем лишь некоторые из них
** ** ->е
Ъ -
wu
11 d/nu ' ld do ' 1Х u6 dmu
6'2 =-^--а^Г и т- д-
Таким образом, задача определения параметров в трехмерной отрыв-
отрывной зоне свелась к решению системы трех уравнений (8.40) и двух
уравнений G.2), G.9) относительно пяти неизвестных функций. Кроме
того, для определения ий и w$ необходимо использовать уравнения
B.22).
8.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ХИМИЧЕСКИ
РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВ В ОТРЫВНЫХ ЗОНАХ
Описанные в предыдущих параграфах подходы к расчету течения
в несимметричных отрывных зонах могут быть применены и к те-
течениям химически реагирующих газов. При этом наличие химических
реакций приводит лишь к изменениям уравнения энергии и появлению
дополнительных слагаемых в выражении для q, входящем в (8.3), (8.6)
и другие соотношения, вытекающие из (8.6). В целом задача определе-
определения давления в отрывной области из условия прохождения через осо-
особую точку уравнений вязко-невязкого взаимодействия остается без
изменения.
9* 131
Для q в случае течения химически реагирующих газов имеем (на-
(например, [66, 65])
где С( — массовая концентрация компонентов смеси; /i,- — удельная
энтальпия i-й компоненты; Le = Sm/Pr — число Льюиса — Семено-
Семенова, индекс т относится к параметрам, определяющим турбулентный
перенос.
В свою очередь, для С,- имеем уравнение
r dx ' r dy ; ' ' rv oy \ \ Sm,- ' SmT J dy j ' v '
oy \ \ Sm,- ' SmT J j
где Wi — скорость изменения массы i-й компоненты, вызванного хи-
химическими реакциями, величины \х, Рг являются функциями Ct. Что
касается We, то в общем случае химического взаимодействия эта ве-
величина определяется соотношением химической кинетики [71]
где со, — скорость r-й реакции,
со, = *,, П {pMiI' — kpr П (pi/Mif",
i i
где kfr, kpr — константы скоростей прямой и обратной реакций, функ-
функции температуры; М,- и р( — молекулярный вес и плотность i'-й компо-
компоненты; vir и vir — стехиометрические коэффициенты, определяемые
уравнениями реакций. Для одностадийной реакции взаимодействия
вещества R с веществом А это уравнение можно записать в виде
v^R + v'AA ч* vsS,
где S — продукт реакции.
Выписанные соотношения, дополненные зависимостью Щг и kpr
от температуры, позволяют совместно с уравнениями (8.1) — (8.3)
и условиями вязко-невязкого взаимодействия решить задачу о течении
химически реагирующих газов в донной области тела в постановке
и методом, описанными в параграфах 8.2 и 8.3.
Здесь остановимся на случае, когда характерное время химической
реакции намного меньше характерного времени конвективного и Диф-
Диффузионного переноса. Это допущение позволяет использовать модель
диффузионного горения. Согласно этой модели реакция горения лока-
локализована в бесконечно тонком фронте —уф, на котором диффузионные
потоки компонентов находятся в стехиометрическом соотношении,
а концентрации компонентов, вступающих в реакцию, равны нулю.
Математически такой фронт представляет собой поверхность разрыва
производных концентраций и температуры. Эта поверхность разде-
разделяет область течения на две части, в каждой из которых присутствует
132
лишь одно вещество, вступающее в реакцию, продукт реакции S и
компоненты, не вступающие в реакцию Nk. Концентрации компонентов
в каждой части могут быть определены из решения уравнений (8.41)
при Wj = 0. Таким образом, задача с одной стороны, упрощается,
так как не нужно определять Wh с другой — усложняется, так как в
процессе ее решения нужно найти положение фронта реакций.
В случае несимметричного течения в вязкой области необходимо
вводить два фронта реакций у$к, направленных навстречу друг другу и
исчезающих при столкновении, что является следствием выгорания
горючего газа в струе. Наличие фронтов реакций в донной области
делит ее на три подобласти. В нижней и верхней подобластях, распо-
расположенных между соответствующими фронтами реакций,- отсутствует
компонента А. В центральной подобласти отсутствует компонента R.
Как уже отмечалось, на фронте реакции исчезают вещества, всту-
вступающие в реакцию, и диффузионные потоки этих веществ находятся
в стехиометрическом соотношении. Это позволяет сформулировать
условия, из которых определяется положение фронта реакций
(8.42)
где L = —~— ; D — коэффициент диффузии. На этой же поверхности
терпит разрыв и тепловой поток, что связано с выделением или погло-
поглощением энергии при химической реакции. Следовательно, на фронте
реакций для температуры должны выполняться следующие условия:
дТ, дТ дСп ¦ дСА
или с учетом (8. 42)
^г ж ж {Lh« -hA)- {8АЗ)
где знаки «+», «—» относятся к условиям по разные стороны фронта
реакций.
Остальные газодинамические параметры при переходе через фронт
реакций непрерывны. На нижней и верхней поверхности вязкой об-
области в ближнем следе ставятся обычные граничные условия для газо-
газодинамических параметров и концентраций компонентов.
В аналогичной постановке задача о диффузионном горении в погра-
пограничном слое рассмотрена в [106]. Для симметричных и несимметричных
отрывных зон в донной области тела учет диффузионного горения про-
проведен в [151, 152]. В этих работах задача решена в рамках метода раз-
разделяющей линии тока. Для определения концентраций использовался
интеграл Пробстина [137].
Метод определения параметров во вдуваемом газе, сформулирован-
сформулированный в параграфах 8.2 — 8.4, позволяет решить задачу о течении реаги-
реагирующего газа в более точной постановке. Если интенсивность вдува
достаточна для отсутствия возвратных течений в вязкой области, то
133
0,025
Рис. 34
может быть использован конечно-
разностный метод решения выписан-
выписанных уравнений. В качестве примера,
иллюстрирующего влияние хими-
химического взаимодействия вдуваемого
газа с газом в сверхзвуковом спут-
ном потоке на течение в ближнем сле-
следе, рассмотрим конкретную задачу
определения донного давления за
пластиной конечной ширины, через
торец которой вдувается газ. состоя-
состоящий из водорода, паров воды и азо-
азота. В случае вдува нереагирующих
газов эта задача рассмотрена в па-
параграфе 8.3. При этом газ во внешнем потоке состоит из кислорода и
азота. Пусть внешний поток по обе стороны от пластинки определяется
числами Маха Мк, статическими давлениями pR, температурой тормо-
торможения То/г и эффективными показателями адиабаты у*> зависящими от
концентраций компонентов.
Характеристики такой вдуваемой струи определяются интенсив-
интенсивностью вдува двд, температурой торможения ТОвд и концентрацией
компонентов.
Результаты расчетов донного давления при различных значениях
характерных параметров представлены на рис. 34, 35, [9]. На рис. 34
показана зависимость донного давления от интенсивности вдува при
ТОвд = То1 = Т02, Тх = Тг = 300 К и Re,» = 500. Начальные и гра-
граничные значения концентраций компонентов следующие: во внешнем
потоке СОг = 0,23, CN, = 0,77; во вдуваемой струе См2 = 0,5, Си?р =
= 1 — Сиг — Cn2.
Кривые /—3 соответствуют значениям концентраций водорода
Сн< =0,01; 0,005; 0,1 соответственно. Увеличение донного давления
при увеличении Сн, связано с выделением энергии при горении и,
следовательно, с подогревом газа. Это согласуется с результатами рас-
расчета течения нереагирующих газов при разных температурах вдуваемо-
вдуваемого газа (рис. 32).
Влияние температуры вдуваемого газа на давление в донной области
при наличии химических реакций показано на рис. 35, для чисел
0,75
0,025
Рис. 36
134
Re = 500; 1000; 5000 (кривые 1—3 соответственно) и Сн, = 0,01, а
на рис. 36 приведена зависимость pjp2 от интенсивности вдува в случае
несимметричного течения для Сн2 = 0,01; 0,05; 0,1 (кривые /—3).
При этом были приняты следующие условия: Мг = 2, М2 = 4, Товд =
— ^02 = ^oi. Re = 500. Из анализа рис. 35 и сопоставления их с ре-
результатами, приведенными в параграфе 8.3, следует, что наличие горе-
горения в ближнем следе приводит к общему повышению донного давле-
давления при сохранении зависимости его значения от других определяю-
определяющих параметров.
Г Л А В А 9
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВЯЗКИМ ГАЗОМ
В УСЛОВИЯХ ИНТЕНСИВНОГО
ТЕПЛОМАССООБМЕНА НА ПОВЕРХНОСТИ
При обтекании тел потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью
на их поверхностях вследствие торможения частиц газа в ударной
волне и пограничном слое и превращения их кинетической энергии
в тепловую возникают интенсивные тепловые потоки. С целью умень-
уменьшения тепловых потоков, проникающих внутрь тела, применяются
теплозащитные покрытия (ТЗП). Наиболее эффективными с точки
зрения тепловой изоляции являются покрытия, которые под действием
высокой температуры вступают в эндотермические химические реак-
реакции с набегающим потоком. При этом тепловые потоки, направленные
внутрь тела, уменьшаются как вследствие поглощения тепла в процес-
процессе физико-химического взаимодействия, так и вследствие вдува газо-
газообразных продуктов термохимического разрушения ТЗП в набегающий
поток. Эти процессы с позиций определения тепловых потоков и массы
уносимого ТЗП описаны во многих работах [149, 150, 129, 128, 95, 90,
32].
Вместе с тем термохимическое разрушение ТЗП оказывает влияние.
на общие закономерности обтекания тела и, в конечном итоге, на его
аэродчнамическое сопротивление. Изменение температуры поверх-
поверхности тела вследствие термохимических процессов на ней и вдув про-
продуктов разложения ТЗП в набегающий поток приводят к изменению
силового воздействия набегающего потока на тело. Вдув газа через
поверхность обтекаемого тела приводит к существенной перестройке
всего поля течения, причем, в зависимости от значения числа Re и от-
отношения интенсивности вдува (ру„)вд к характерному потоку массы
PooVoo набегающего потока, на поверхности тела могут осуществляться
различные режимы обтекания [23]. В случае (ри„)вд/(р«.К») ^> —=-
К Re
течение во вдуваемом газе можно рассматривать без учета влияния
вязкости, при этом, если (рУ/ОвдАРмК») <^С 1, то в уравнениях невяз-
невязкого обтекания, описывающих это течение, можно положить др/дп — 0
и отбросить уравнение сохранения поперечного импульса. При этом
i
с погрешностью порядка по сравнению с единицей можно заме-
к Re
нить оттесненный вдуваемым газом пограничный слой, или слой
смешения, контактным разрывом. Именно такое приближение принято
в третьей главе.
236
Если (рип)вд ~ PooVoo, то для описания течения в слое вдуваемого
газа необходимо использовать полную систему Эйлера. И наконец,
при (ру„)Вд/(р«, VJ, ~ ущ <^ ! необходимо рассматривать течение в
пристеночном слое в приближении пограничного слоя с видоизменен-
видоизмененными граничными условиями. Именно этот случай рассматривается
в настоящей главе. Течение газа при наличии термохимического
взаимодействия с обтекаемыми поверхностями характерно тем, что
для их изучения необходимо рассматривать наряду с собственно га-
газодинамическими процессами и другие процесссы, связанные с меха-
механическим, теплофизическим и химическим взаимодействием газа с ма-
материалом поверхности. Кроме того, в общем случае необходимо рас-
рассматривать и процессы, происходящие в материале поверхности [95,.
92]. При решении задач взаимосвязь этих процессов реализуется поста-
постановкой граничных условий на поверхности тела. Сложность и комплекс-
комплексность рассматриваемых задач приводит к тому, что в конкретных ис-
исследованиях основное внимание уделяется изучению какого-либо
одного аспекта проблемы. При этом другие стороны явления рассмат-
рассматриваются схематически и дтя их описания используются самые упро-
упрощенные соотношения.
Имеются работы, в которых довольно подробно изучается течение
в ламинарном пограничном слое на химически активной поверхности.
При этом кинетика разрушения материала ТЗП выбирается в упро-
упрощенном виде: либо испарение, либо эффективная энтальпия (например,
[90]). В других работах большое внимание удаляется механизму уноса
материала ТЗП при довольно упрощенном рассмотрении течения в по-
пограничном слое (например, [30]). Ряд работ посвящен определению
коэффициентов переноса в многокомпонентном пограничном слое (на-
(например, [131, 130]). Несмотря на достигнутую в настоящее время яс-
ясность в этих вопросах, отдельные аспекты все еще требуют изучения.
Одним из таких вопросов является влияние вязкого взаимодействия на
названные процессы и влияние этих процессов на силовое воздействие
потока на обтекание поверхности [122, 118, 63, 64]. В настоящей главе
основное внимание уделяется именно этому вопросу.
В качестве примеров задач, в которых изучается взаимное влияние
различных газодинамических и термохимических процессов, рассмат-
рассматриваются задачи о осесимметричном обтекании затупленного конуса
из стеклографитового материала, о взаимном влиянии вязкого взаимо-
взаимодействия и термохимического разрушения обтекаемой поверхности,
о влиянии указанных процессов на форму тела и аэродинамическое
сопротивление. На примере течений на линии растекания затуплен-
затупленного тела из стеклографитового материала, обтекаемого под углом
атаки, рассмотрены существенно трехмерные эффекты. Хотя в этих зада-
задачах отдельные вопросы исследуются схематично и в упрощенной поста-
постановке, что оговаривается в каждом конкретном случае, они иллюстри-
иллюстрируют основные особенности сверхзвукового обтекания тел с химически
активной поверхностью.
137
9.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ГАЗА
НА ХИМИЧЕСКИ АКТИВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В задачах сверхзвукового обтекания тел, поверхность которых со-
состоит из материала, вступающего в химическое взаимодействие с га-
газом набегающего потока либо претерпевающего фазовые переходы
под действием высокой температуры, граничные условия на поверх-
поверхности тела должны формулироваться с учетом этих особенностей.
Для таких задач является характерным, что неизвестны как температу-
температура поверхности тела Тш, так и тепловой поток Qw, отводимый от газа.
Кроме того, подлежит определению скорость ивд вдува продуктов раз-
разрушения материала поверхности. Эти величины должны определяться
исходя из химического состава газа и кинетики гетерогенных реакций
на поверхности. В свою очередь, для определения состава газа, кото-
который является химически реагирующей смесью газообразных продуктов
разложения материала и газа набегающего потока, необходимо решать
уравнения, описывающие течение многокомпонентного газа. В систему
этих уравнений, кроме уравнения неразрывности, уравнений сохра-
сохранения количества движения и уравнения сохранения энергии, описан-
описанных в первой главе, необходимо добавить уравнение сохранения мас-
массы компонентов (уравнение диффузии). Кроме того, в уравнения энер-
энергии должны добиваться члены, учитывающие перенос энергии вместе
с диффузионными потоками. Тогда уравнение энергии примет вид
°'v*tf = ЖГ div{vx ~ Q) + ~Ri7 div (?{hk -h°k) "ssr grad
где Smk = д и Dk — эффективные числа Шмидта и коэффициент
диффузии; Nk —¦ массовая концентрация, индекс k обозначает номер
компоненты смеси.
В свою очередь Nk определяются из уравнений диффузии компонентов:
pV grad Nk = -± div (-^- grad N^j + щ, (9.2)
где р"р" щ—• скорости прироста массы, вызванного химическими реакциями.
Система уравнений (9.1), (9.2) должна быть дополнена соотноше-
соотношениями, определяющими зависимости ц, SmA или Dk от температуры,
концентраций компонентов и их молекулярных весов. Нахождение
этих зависимостей представляет собой отдельную задачу и требует
привлечения методов кинетической теории газов [52, 131]. Во многих
случаях в оценочных расчетах могут быть использованы приближенные
эмпирические соотношения, которые анализируются в [14, 37]. Так,
для определения динамического коэффициента вязкости смеси можно
применять формулы Уилке
(9.3)
138
где, fiA, М^, nk — коэффициент вязкости, молекулярный вес и моляр-
молярная концентрация /е-го компонента.
При известном динамическом коэффициенте вязкости коэффициент
теплопроводности можно определить по формуле Эйкена [14]:
К = I** -^t Cpk.
Для определения теплопроводности смеси газов можно воспользовать-
воспользоваться формулой Масона и Саксена
= ?х*
где
В многокомпонентной смеси газов коэффициент диффузии компонента
k зависит от диффузионных потоков, от мольных концентраций других
компонентов и бинарных коэффициентов диффузии Dkc- Приближенно
эффективный коэффициент диффузии в смеси из К компонентов можно
определить по формуле Уилке
Dk= \~Пк . (9.5)
i=\
Более точные зависимости приводят к громоздким вычислениям и, в
общем случае, к итерационным процессам. Упрощенные подходы для
определения эффективных коэффициентов диффузии, более точные, чем
(9.5), приводятся в [131].
Решения дифференциальных уравнений (9.2) должны удовлетворять
определенным граничным условиям.
На поверхности тела при qz = 0 это условие задается соотношением
[95]
^-^-^Г-, (9.6)
В набегающем потоке должны быть заданы значения Ntuo. В случае
если возмущенная область течения ограничивается поверхностью
ударной волны, считается, что за ударной волной Nk = Nt,™, т. е.
при переходе через ударную волну, газ не успевает претерпеть изме-
изменения химического состава. Если в течении за ударной волной уста-
устанавливается термодинамическое равновесие и толщиной зоны релак-
релаксации можно пренебречь, то значения Nk за ударной волной опреде-
определяются по элементарному составу из закона действующих масс [71, 95,
37].
Что касается уравнений (9.2), то в зависимости от приближения,
в котором рассматривается газодинамическое течение, они могут быть
соответствующим образом упрощены.
139
В приближениях для вязкого ударного слоя и для пограничного
слоя эти уравнения принимают вид
PV grad Nk = 4- 44 ^ ^
ь R Re
4- 4^4- ^ ^
Re j/g дп Sm,, дп
Теперь перейдем к описанию дополнительных условий, которые долж-
должны формулироваться на химически активной поверхности. Как уже от-
отмечалось, при решении задачи температура тела Tw и скорость вдува
продуктов разрушения ТЗП vw = VmA должны определяться с учетом
кинетики разрушения ТЗП.
Температура поверхности тела определяется из условия баланса
тепла на поверхности:
Qw + GJo — GJqw = Qnoi-л. (9.8)
Здесь Qnor-л — количество тепла, которое может проникнуть внутрь
аппарата. Qw —¦ количество тепла, подводимое к телу-из пограничного
слоя вследствие теплопроводности газа и диффузии,
4 ? (М + 2 (Le - 1) К (Тт) *&-) , (9.9)
4w — Re p,
/o — энтальпия непрогретого материала ТЗП; Iqw — энтальпия про-
продуктов разложения ТЗП при температуре поверхности
/о. = Е Л^МТ,). (9.10)
Эта величина является функцией состава газа (N\), образованного
вследствие разрушения поверхности, и температуры.
Таким образом, Gw (/о— low) определяет тепловой эффект термохи-
термохимического разрушения поверхности, т. е. количество тепла, которое
поглотилось или выделилось при физико-химических превращениях
материала ТЗП. Интенсивность массового уноса вещества с поверх-
поверхности Gw определяется в общем случае температурой поверхности и
составом газа на ней.
9.2. ТЕРМОХИМИЧЕСКОЕ РАЗРУШЕНИЕ МАТЕРИАЛА
ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА
Сравнительно просто Gw определяется для полимерных материалов
[951:
оо
G№ = \РоВехр(—i-jdy, (9.11)
где р0, В, Е, RT — константы, характеризующие материал ТЗП. Ин-
Интегрирование ведется по области внутри ТЗП.
Уравнение (9.11) должно быть дополнено законом распределения
температуры в ТЗП. Конкретный пример разложения тефлона (полимер
C2F4) приведен в [100] и в параграфе 9.5 при решении задачи обтекания
острого конуса.
140
Более сложными являются соотношения, определяющие разложе-
разложение композиционного материала. Наиболее изученным и широко при-
применяемым материалом является стеклотекстолит, представляющий
композицию стекловолокна и формальдегидных смол различного
состава.
При термохимическом разложении стеклотекстолита имеется два
фронта физико-химических превращений: поверхность ТЗП, непосред-
непосредственно омываемая высокотемпературным потоком газа, и фронт пи-
пиролиза (разложения) смолы, расположенный внутри ТЗП, в месте,
имеющем температуру газификации смолы.
Поверхность ТЗП, граничащая с набегающим потоком, является
смесью кремнезема (SiO2) и графита С (стеклографит). Скорость раз-
разрушения поверхности для такого материала определяется процессами
оплавления и испарения стекла [95]. Причем при достаточно высоких
температурах преобладает испарение. В этом случае
где Nsio, — массовая доля кремнезема в составе ТЗП. В свою очередь
GWSiO определяется уравнением Кнудсена — Ленгмюра:
(9.13)
Здесь р* (Т) — парциальное давление насыщенных паров SiO2; b —
коэффициент аккомодации; п — молярная концентрация. Далее ограни-
ограничимся случаем равновесных физико-химических превращений газа
в пограничном слое. Тогда удобнее для определения iVSio, и концент-
концентрации других компонентов на поверхности воспользоваться не урав-
уравнениями (9.2), а уравнениями для массовых концентраций С,- химиче-
химических элементов, входящих в состав газа,
С; = -т^— Yi AijtijlA, = Yi AtjNj, (9.14)
где Мс — молекулярная масса смеси -тг- = 2j -jrr ; At,- — массовая
концентрация г-го элемента в /-м компоненте. В этом случае уравне-
уравнения диффузии, записанные в (9.1), будут иметь вид
(9,5,
Граничные условия на поверхности тела для концентраций элемен-
элементов С легко получить из (9.6):
где С° определяется составом ТЗП. На внешней границе расчетной
области концентрации элементов определяются составом газа в набе-
набегающем потоке Ct = Ctx при
6(\ q*). (9.17)
141
Для замыкания задачи соотношения (9.14) — (9.17) необходимо допол-
дополнить законам действующих масс для набора химических реакций, оп-
определяющих состав смеси. Заметим, что если Sm/ не зависят от /, что
может быть принято для турбулентных течений, то Sm можно вынести
за знаки суммирования, после чего из уравнений (9.15), (9.16) можно
исключить с помощью (9.14) N/, и концентрации элементов С/ в этом
случае определяются независимо от закона действующих масс.
Рассмотрим подробнее кинетику разложения поверхности из стек-
лографитового материала, т. е. материала, который состоит из смеси
кремния (SiO2) и углерода (С) и получается на поверхности тела после
пиролиза связующего, т. е. на этом этапе исключим из рассмотрения
выделение водорода и вернемся к этому в конце параграфа. На по-
поверхности происходят следующие реакции и превращения [95]:
Со + СО2 <± 2СО;
испарение
где а — относится к твердой фазе. В результате этих реакций в по-
пограничный слой будет вдуваться газ, состоящий из смеси паров стек-
стекла SiO2, углекислого газа СО2, SiO и окиси углерода СО. Ограничимся
рассмотрением такого диапазона изменения температур, при котором
в пограничном слое будут происходить только следующие реакции:
СО + -L О2 <> СО2; (9.18)
SiO2 + СО <> SiO + СО2.
В этом случае газ в пограничном слое является смесью шести компо-
компонентов: О2, СО2, SiO2, N2, SiO, CO. (В дальнейшем нумерация компо-
компонентов производится в перечисленном порядке.)
Для определения концентрации компонентов к системе уравнений
(9.16) необходимо добавить уравнения сохранения элементарного
состава и уравнения, выражающие закон действующих масс для
реакции (9.18):
? (At,-дмЛ = 0, i = l,2,3; (9.19)
п, _ '/,*¦ m. nri _ КАТ)
пвп/> пз р/г
Здесь К\ (Т) и Кг (Т) — константы равновесия соответствующих
реакций; М/ — молекулярная масса /-го компонента. Для определения
констант равновесия Ki и К2 удобно воспользоваться аппроксимирую-
142
Таблица 9. 1
СО2?±
SiO2 г±
i.
1
CO-f
2
1
T
l
o2
—0,1624
—0,3851
*—2,i
— 1,746
2,0014
1,4879
— 1,17113
k0,i
—5,3172
3,7633
3,6819
0,2168
co2?
SiO2?
•
1
2
i SiO +
1
~2
1
T
o2
o2
—7,9039
0,2
2,2919
—0,8116
10,3474
2,581
0,1643
—4,5871
7,193
4,091
щей зависимостью, определенной с помощью данных из [116],
К{ (Т) = ki in t +
/
t = Г/104.
(9.20)
Численные, значения /г,- и кц приведены в табл. 9.1.
Выписанные уравнения позволяют определить интенсивность уноса
материала и покомпонентный состав газа на поверхности тела и в по-
пограничном слое. При этом следует учесть, что С/ — концентрация
/-го элемента в продуктах разложения материала стеклографитовой
поверхности — определяется соотношением:
Сз = —гг— A — Nc), Ci = —дт2— A — Л/с), C2=NC
(нумерация элементов следующая О, С, Si, N); Nc — массовая доля
углерода в материале поверхности; Л;- — атомная масса элемента.
Теперь в качестве иллюстрации рассмотрим состав газа в потоке
при обтекании тела из стеклотекстолита смесью кислорода и азота.
В этом случае при разрушении ТЗП в поток попадают пары кремнезе-
кремнезема (внешний фронт), а также газы, образующиеся при пиролизе смо-
смолы на внутреннем фронте разложения и проникающие на поверхность
через пары ТЗП. Таким образом, поток содержит различные химиче-
химические соединения пяти элементов: С, О, Si, N, Н. В широком диапазоне
температур число компонентов в газе может достигать 50 [130]. Как
указано в работе [130], для диапазона температур 2000—4000 К су-
существенными, оказываются 14 компонентов: Оа, SiO2) COa, HaO, SiO,
СО, О, На, С2Н, N2) Si, SiC2, H, SiH.
143
9"
-2
-'
п
N
0
Л-
O,3-IO~S
'
_
0,0011 0,0064
SiH
V V^
i/
x ^^
A—
. 1 1.
0,0272 0,093
/ь.
Sics
SiO
CO
2,5
2,8
3,1
3,7
Рис. 37
В зависимости от количества кислорода в потоке может быть реа-
реализовано два предельных режима [30]. Первый режим осуществляется
при избытке кислорода в набегающем потоке. При этом газ в погра.-
ничном слое будет смесью следующих компонентов: О2> SiO2, CO2, СО,
SiO, Н2О, Н2, О, N2. В этом случае законы действующих масс, соот-
соответствующие реакциям, происходящим между перечисленными компо-
компонентами, выражаются следующими уравнениями:
. = Kl
= Кг (Г)
no2
Второй режим, имеющий место при более высоких температурах,
характеризуется недостатком кислорода в газе на поверхности тела.
Газ в пограничном слое будет смесью следующих компонентов: СО,
Н, SiO, H2, SiC2, Si, N2, SiH. В этом случае законы действующих масс
для соответствующих реакций выражены уравнениями
= /С6 (T)f/r,
(9.22)
= *в(Л/р.
144
В качестве примера, иллюстрирующего состав газа на поверхности,
рассчитано обтекание пластины сверхзвуковым потоком газа при
Мое = 10, /?» = 0,0121 бар и различных температурах поверхности.
Принято, что в ТЗП имеется 70 % Si, 23 % С, 2 % Н, 5 % О. Резуль-
Результаты решения приводятся на рис. 37. Здесь даны значения концентра-
концентраций компонентов смеси в потоке в зависимости от температуры поверх-
поверхности.
9.3. ОСОБЕННОСТИ ТЕРМОХИМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ
СТЕКЛОГРАФИТОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗАТУПЛЕННОГО КОНУСА
В ПОТОКЕ ГАЗА
Постановке задачи о течении в пограничном слое на химически ак-
активной поверхности посвящено большое число работ, например,
[120, 149, 150]. В ряде работ исследовался многокомпонентный погра-
пограничный слой на поверхностях конкретного химического состава: теф-
тефлона [100], углерода [32], конденсированной двуокиси углерода, ма-
материала, близкого по составу к текстолиту [90]. Однако эти исследова-
исследования ограничивались изучением течения непосредственно в критической
точке тела, когда задача становится автомодельной, и на сферическом
затуплении, причем в силу особенностей химического разрушения
рассмотренного материала [90] или из-за принятой модели уноса массы
[95] вопросы взаимного влия-
влияния изменения давления, тем-
температуры и интенсивности уно-
уноса материала поверхности не
рассматривались. В настоящем
параграфе эти вопросы иссле-
исследованы на примере обтекания
гиперзвуковым потоком за-
затупленного конуса, поверх-
поверхность которого состоит из стек-
лографитового материала. Кро-
Кроме того, приведены примеры,
иллюстрирующие влияние вду-
ва в пограничный слой газо-
газообразных продуктов термохи-
термохимического разложения поверх-
поверхности тела на его аэродина-
аэродинамическое сопротивление.
Рассмотрим обтекание за-
затупленного конуса, поверх-
поверхность которого состоит из стек-
лографитового материала,
гиперзвуковым потоком вязко-
вязкого газа, представляющего со-
собой смесь кислорода и азота.
Постановка задачи приведена
в предыдущих параграфах.
Нет
Нет
Заданы
Решение уравнений пограничного слоя
и определение концентраций элементов
на стенке
Определение мольных концентраций
компонентов SiO2,5М,С0г,С0,0г,Нг
Определение Cw и сравнение
с заданным
Определение тепловых потоков, прове-
проверяется условие выхода по температуре
Да
Определение аэродинамических
характеристик
Рис. 38
Ю 6-3097
145
Для решения уравнений
0>4 многокомпонентного погра-
пограничного слоя, записанных
в переменных Дородници-
j на, применяется шеститоче-
шеститочечная конечно-разностная
схема Кранка — Николсона.
0,2 Для решения полученных не-
нелинейных разностных урав-
уравнений используется прос-
простая итерация, на каждом
шаге которой решается система линейных уравнений методом про-
прогонки.
Для определения состава газа, температуры поверхности и скорости
массового уноса вещества применяется итерационный процесс, схема
которого приведена на рис. 38. Определенные в результате применения
этого алгоритма значения толщины вытеснения в точках на поверх-
поверхности тела используются для повторного расчета невязкого обтекания.
Задача решена в приближении слабого вязкого взаимодействия.
По изложенной методике рассчитывалось обтекание гиперзвуко-
гиперзвуковым потоком газа (Моо = 10) десятиградусного кругового конуса со
сферическим затуплением. Предполагалось, что в невозмущенном по-
потоке р — 0,0121 бар и Too = 250 К. Рассматривалось обтекание теп-
теплоизолированного тела (Qw = 0) и тела с заданной температурой по-
поверхности B500; 2600 и 2700 К). На рис. 39 приведено изменение моль-
мольной концентрации, давления р и парциального давления паров SiO2
вдоль образующей тела при Tw — 2500 К. Интересно, что при моно-
монотонном увеличении мольной концентрации паров SiO2 парциальное
давление имеет минимум в окрестности линии сопряжения затупле-
затупления с конической поверхностью. В соответствии с формулой (9.13)
такой характер изменения парциального давления приводит к образо-
образованию максимума в величине массового уноса в сечении сопряжения.
о
Ц6
На рис. 40 приведены кривые, характеризующие изменение вдоль
образующей скорости массового уноса вещества при различных темпе-
температурах поверхности. На некотором расстоянии х = х* вниз по потоку
от затупления (х* = 2,3 при Tw = 2600 °К, х* = 1,4 при Тш = 2700 К)
устанавливается такое соотношение между величинами давления р,
скорости уноса материала Gw и температуры Tw, при котором на по-
поверхности тела полностью исчезают свободный кислород и двуокись
кремния (рис. 41). Вниз по течению от сечения х = х* скорость уноса
массы зависит только от температуры (Gw = 0,782 • 10~3 при Тш =
= 2600 К, Gw == 1,729 • 10 при Tw = 2700 К). Кривые 1—3 (рис. 40,
41) относятся к температуре 2500; 2600; 2700 К соответственно. Здесь
и далее на всех рисунках Gw отнесено к р,р0 где р0 и а0 — плотность
и скорость звука в газе в точке торможения.
Случай обтекания тела с постоянной температурой поверхности
является гипотетической модельной задачей, цель решения которой^—
анализ влияния изменения давления на поверхности тела на интенсив-
интенсивность уноса массы и на состав газа на поверхности.
Кривые изменения температуры теплоизолированной поверх-
поверхности и скорости уноса вещества приведены на рис. 42. Вниз по потоку
от критической точки снижение температуры поверхности приводит к
монотонному уменьшению
скорости уноса массы по-
поверхности. При этом ока-
оказывается, что одновремен-
одновременное уменьшение темпе-
температуры поверхности и ско-
скорости вдува происходит
таким образом, что моль-
мольные концентрации компо-
компонентов в пограничном слое
на поверхности тела изме-
няются несущественно.
-2400
х/Рт
10*
Таблица 9.2
TWK
• 10»
С уносом массы
1,84
1,84
1,84
0,061
2500
2600
Qw = 0
2500
0,529
0,291
0,504
3,06
0,315
0,901
0,313
1,75
1,84
1,84
0,061
2500
2600
2500
Без уноса массы
0,579
0,582
3,24
0,301
0,308
1,171
0,844
1,192
0,815
4,81
0,8
0,889
4,95
Влияние термохимического разрушения поверхности тела на его
аэродинамическое сопротивление показано в табл. 9.2. Здесь приведены
значения добавок к полному сопротивлению затупленного конуса в
результате трения Ас% и влияния вязкого взаимодействия Дсв при раз-
различных условиях обтекания. Для всех приведенных случаев волновое
сопротивление при невязком обтекании равно 0,39.
Из табл. 9.2 видно, что вдув в пограничный слой газообразных
продуктов разложения поверхности может привести как к увеличе-
увеличению суммарного сопротивления, так и к его уменьшению.
Хотя общим вкладом эффектов вязкости в сопротивление тела в
рассмотренных примерах, по-видимому, можно пренебречь (особенно
при Rec = 1,84 • 105), вывод о влиянии вдува продуктов разложения
ТЗП на сопротивление тела в гиперзвуковом потоке является прин-
принципиальным. Из этого следует, что нельзя заранее указать не толькЪ
величину, но и тенденцию изменения под влиянием разрушения ТЗП
полного аэродинамического сопротивления тела. Сложность сформу-
сформулированной задачи не позволила провести детальный анализ этой
особенности, в связи с чем в следующих параграфах рассмотрен ряд
простых задач, анализ решения которых позволяет разобраться в ос-.
новных особенностях режима термохимического разложения поверх-
поверхности тела в условиях вязкого взаимодействия и его влияние на сило-
силовое и тепловое воздействие гиперзвукового потока на осесимметричные
тела.
9.4. ВЛИЯНИЕ ВДУВА В ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
НА СОПРОТИВЛЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА
В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ВЯЗКОГО ГАЗА
Для изучения основных закономерностей влияния вдува газа через
поверхность тела в пограничный слой на сопротивление осесимметрич-
ного тела в гиперзвуковом потоке газа рассмотрим обтекание тела,
образующая которого определяется степенной зависимостью rw (x) =»
= ах'и. Задача вязкого взаимодействия при гиперзвуковом обтекании
148
тела с непроницаемой поверхностью вязким теплопроводным газом
является автомодельной, газодинамические параметры в пограничном
слое зависят от одной переменной ti = ^—=— и определяются
из системы обыкновенных дифференциальных уравнений [69]. Эта
задача обсуждалась в шестой главе.
В случае, когда через поверхность тела происходит вдув газа в
пограничный слой, автомодельность задачи сохраняется, если распре-
распределение интенсивности массового вдува вдоль образующей тела опре-
определяется соотношением:
(pvr)w = a* -pJLj- Vl+ky(oo) M?- a. (9.23)
где а — постоянная, характеризующая интенсивность вдува.
Если происходит вдув в пограничный слой газа, отличного от газа
в набегающем потоке, то кроме (9.23) необходимо положить, что коэф-
коэффициенты вязкости этих газов являются в рассматриваемых условиях
степенной функцией от температуры с одинаковыми показателями
степени. При этих условиях система дифференциальных уравнений,
к которым сводится решение задачи, имеет вид
Sm dr\ I "^ ' d-ц
В случае многокомпонентного пограничного слоя для N^ можно полу-
получить
Z-i м-
, (Т, Ni) i ' /о ок\
т
где М| — молекулярный вес г-го компонента; Nc — массовая концент-
концентрация.
Для определения коэффициентов молекулярного переноса смеси
удобно воспользоваться формулами Уилке и Масона — Саксена [37].
Систему уравнений (9.24) необходимо решать при таких граничных
условиях:
ti->oo, и = 1, Н = 1, N{ = Nib
№i — концентрация /-го компонента во вдуваемой смеси.
149
0,5 *
Для определения силового и теплового воздействий потока на тело
получим следующие соотношения:
рх = а3сп3(\ +kJ{oo))x-'u,
., du _—»/..
Рх + т, =
(оо))
(9.26)
•*Л.
Рг
где рх, хх — проекция на ось симметрии тела сил давления и трения;
Qw — тепловой поток к поверхности тела.
Сформулированная в таком виде задача позволяет провести иссле-
исследование влияния вдува газа в пограничный слой на сопротивление
тонкого осесимметричного тела в гиперзвуковом потоке.
На рис. 43 представлены кривые, иллюстрирующие зависимость
рх, хх и Fx от а для различных значений параметра вязкого взаимодей-
взаимодействия. Видно, что с увеличением вдува трение на поверхности тела убы-
убывает, а волновое сопротивление увеличивается (штриховые линии).
Это увеличение связано с оттесняющим невязкий поток влиянием
вдува и связанным с этим увеличением толщины «эффективного» тела.
Такое поведение сил трения и волнового сопротивления приводит
к немонотонной зависимости от а полного сопротивления тела Fx
(сплошные кривые). С ростом % немонотонность зависимости аэродина- ¦
мического сопротивления от интенсивности вдува а проявляется силь-
сильней, минимум сопротивления сдвигается в область больших значений
а. На рис. 43 представлены результаты для температуры поверхности
тела Tw = 0,25 То. Влияние температуры поверхности на величину
полного сопротивления при % — 1 иллюстрируется рис. 44. С ростом
температуры сопротивление тела увеличивается. И наконец, на рис. 45
150
Рис. 45
представлены кривые, иллюстрирующие зависимость аэродинамиче-
аэродинамического сопротивления тела от а в случае вдува в пограничный слой
различных газов при а = 1, Tw = 0,25. При этом во всех случаях пред-
предполагается, что тело находится в потоке воздуха. Заметим существен-
существенное влияние отношения молекулярных весов вдуваемого газа в набе-
набегающем потоке на полное сопротивление тела.
Приведенные результаты свидетельствуют о существенном влиянии
вдува в пограничный слой на сопротивление тела в гиперзвуковом по-
потоке. В случае если существенным является вязкое взаимодействие,
имеют значение температура поверхности тела, вид вдуваемого газа
и величина параметра вязкого взаимодействия.
151
9.5. О ВЗАИМНОМ ВЛИЯНИИ ТЕРМОХИМИЧЕСКОГО
РАЗРУШЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ПРИ ГИПЕРЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ ОСТРОГО КОНУСА
Рассмотрим обтекание гиперзвуковьш потоком вязкого газа острого
конуса из тефлона. Выбор тефлона определен сравнительно простой
кинетикой его химического разложения в высокоэнтальпиином потоке
газа, что позволяет сосредоточить внимание на основных особенностях
взаимного влияния вязкого взаимодействия и термохимического раз-
разложения обтекаемой поверхности и их совместного влияния на сопро-
сопротивление тела.
Область течения между ударной волной и поверхностью тела раз-
разбивается обычно на невязкую часть и пограничный слой и методом
последовательных приближений решается задача о сильном вязком взаи-
взаимодействии. Параметры в невязком потоке на поверхности эффектив-
эффективного тела определяются по методу местных конусов. Уравнения погра-
пограничного слоя, записанные с учетом поперечной кривизны, решаются
в автомодельном приближении. Как отмечено в [22], присущая подоб-
подобным задачам неавтомодельность не оказывает существенного влияния
на численные результаты. Течение в пограничном слое рассчитывается
с учетом вдува продуктов разрушения поверхности. Предполагается,
что реализуются условия, при которых пиролиз тефлона происходит
с образованием мономера C2F4, который не взаимодействует с газом
в набегающем потоке. Эти допущения справедливы при достаточно
низких давлениях и дефиците кислорода в набегающем потоке [100].
Принятый упрощенный подход, сохраняя основные черты рассчитывае-
рассчитываемого явления, дает возможность решить задачу достаточно просто.
Решение задачи о течении в пограничном слое бинарной смеси газов
при допущениях автомодельного приближения сводится к решению
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приведенных в*
предыдущем параграфе. При этом параметр вдува а определяется соот-
соотношением
Здесь Gw — удельный массовый унос вещества с поверхности тела,
отнесенный к PccV*.. Для определения Gw воспользуемся соотношением1
[100]
Г, = / PiMfl/g Twexp{-E/2WW)
w /
w
где Т_оо — температура внутри тела; рх — плотность; Кх — коэффициент
теплопроводности; Ср\ — удельная теплоемкость тефлона; Д — теп-
теплота пиролиза; 6 и ? — константы реакции пиролиза; R — универ-
универсальная газовая постоянная. Принятые в расчетах численные значе-
значения этих величин заимствованы из работы [100]. Количество тепла,
затраченное на прогрев материала поверхности и пиролиз тефлона,
определено равенством
152
Dp-fP
9
В
7
В
20
1/ /
//'
С7
О 10
30
50
70
а
i i
1 1
1 \
/
/ / /
20 А>С /
20
Рис. , 46
Коэффициент вязкости смеси газов, определяется по формуле Уилке
[37], числа Le и Sm полагаются равными единице."
Систему дифференциальных уравнений необходимо решать при
следующих граничных условиях:
прип = О:« = О) Н = Нш(х), С,-!--^-—-—^----^
при т]->оо: ц->1, H-*-Hoooj C2->0.
Здесь Яд, (л;) — неизвестная функция, которая в процессе решения
задачи подбирается так, чтобы тепловой поток к поверхности тела из
пограничного слоя был равен тепловому потоку Qw, поглощаемому
телом.
Проведено численное исследование взаимного влияния вязкого
взаимодействия и термохимического разрушения поверхности.
153
9 -
7 ¦
-
L-
/
II
/
10
20
[I
1
1
[
У
20.
Рис. 47
10
20 30
Рис. 48
Рассматривалось обтекание острых конусов с углами полураствора
ек = 10-^40° приМ» = 10 и Моо = 20. Параметры в набеган:щем по-
потоке определялись из условий на высотах от 10 до 70 км (эффекты реаль-
реального газа не учитывались). Характер влияния разрушения поверхно-
поверхности тела на его аэродинамическое сопротивление показан на рис. 46—48.
Вдув продуктов разрушения поверхности в пограничный слой при-
приводит к увеличению волнового сопротивления (рис. 46, а) и к уменьше-
уменьшению сопротивления трения (рис. 46, б). При этом для рассмотренных
условий обтекания уменьшение сопротивления трения имеет основное
значение и полное сопротивление тела уменьшается (рис. 47). На
рис 46, 47 штриховой и сплошной линиями представлены результаты.
расчетов соответственно без учета и с учетом разрушения поверхности
850 •
810
154
тела при одинаковых расп- Sw ^г
ределениях температуры по- 5(бок)
верхности. На рис. 46, а
штриховая кривая соответ-
соответствует результатам первой
итерации, т. е. полученным
без учета обратного влия-
влияния невязкого течения на
течение в пограничном слое.
Влияние толщины тела
(угла конусности) на интен-
интенсивность вязкого взаимо-
взаимодействия с учетом (кривая 2)
и без учета (кривая 1) уно-
уноса материалов с поверхнос-
поверхности, представлено на рис. 48.
Для сравнения штриховой
линией показано изменение
волнового сопротивления при
обтекании невязким пото-
потоком. Результаты приведены
для Мао = 20 и h = 60 км
(h — высота).
Учет вязкого взаимодей-
взаимодействия при расчете температу-
температуры поверхности тела и интен-
интенсивности уноса массы при-
приводит к увеличению определяемых значений (рис. 49, 50). Распреде-
Распределение температуры вдоль поверхности десятиградусного конуса при
Мх = 10 с учетом (сплошные кривые) и без учета (штриховые кри-
кривые) вязкого взаимодействия представлено на рис. 49, кривые 1 и 2
построены для условий на высотах соответственно 50 и 60 км. Зави-
Зависимость осредненного по площади боковой поверхности массового
уноса от угла полуконусности тела для условий на высоте 60 км при
УИоо = 20 приведена на рис. 50, кривые 1 и 2 соответствуют расчетам
с учетом и без учета вязкого взаимодействия. Видно, что для тонких
конусов учет влияния вязкого взаимодействия приводит к увеличе-
увеличению интенсивности уноса массы покрытия на 10—15 %.
Зависимость суммарного уноса от условий в набегающем потоке
при числах Мх = 10 (кривая /) и 20 (кривая 2) для десятиградусного
конуса показана на рис. 51. Штриховая кривая соответствует резуль-
результатам расчета без учета вязкого взаимодействия.
9.6. ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ОСТРОГО КОНУСА ИЗ ТЕФЛОНА
И ЕГО АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Исследованию изменения формы аблирующих тел при их движе-
движении в атмосфере с гиперзвуковыми скоростями посвящены работы [55,
56, 811. В этих работах в квазистационарной постановке решены зада-
20 40
Рис. 51
SO h,KM
155
чи об определении формы тела при заданном тепловом потоке к его
поверхности. Кинетика термического разложения поверхности учиты-
учитывалась с помощью введения эффективной энтальпии. Более сложные
случаи рассмотрены в [73, 45, 5]. В частности, в [73] показано, что при
интенсивном изменении формы тела на его поверхности при определен-
определенных зависимостях, связывающих тепловой поток к поверхности тела
с формой этой поверхности, могут появляться линии излома поверх-
поверхности. В [5] проведено исследование изменения формы тела в условиях
лучистого теплообмена и с учетом влияния на траекторию изменения
массы оплавляющегося тела. Во всех этих работах вопросы течения
в пограничном слое на разрушающейся поверхности не рассматрива-
рассматривались.
В настоящем параграфе представлены результаты изучения сов-
совместного влияния вдува продуктов термохимического разрушения по-
поверхности тела и изменения его формы на аэродинамическое сопротив-
сопротивление. Исследование проведено на примере обтекания острых конусов
из тефлона гиперзвуковым потоком газа. Хотя в известной мере рас-
рассмотренная задача является модельной, она в целом отражает суть
явления.
Рассмотрим острый конус из тефлона с углом полураствора в,
который входит в плотные слои атмосферы. Принято, что угол атаки
равен нулю. Обозначим угол входа v, начальную высоту h0. Как пока-
показали проведенные оценочные баллистические расчеты при начальных
Мх = 20, h0 = 60 км и характерных .для задачи значениях коэффи-
коэффициента полного сопротивления Сх, число Л1те вдоль траектории изме-
изменяется незначительно для гиперзвукового приближения (в пределах
двух единиц). Поэтому принято, что спуск происходит при постоянном
М*>. Это допущение оказывается удобным при изучении влияния изме-
изменения формы тела на его аэродинамическое сопротивление, так как
коэффициент волнового сопротивления при невязком обтекании Сн
не зависит от высоты h (от числа Рейнольдса) при заданном зна-
значении Мх>.
Задача об изменении формы тела вследствие уноса ТЗП решается
в квазистационарной постановке. На начальной высоте h при скорости
У«, решается задача об обтекании тела в режиме вязкого взаимодей-
взаимодействия с учетом термохимического разложения поверхности для задан-
заданного острого конуса.
Постановка задачи описана в предыдущем параграфе. В результате
решения задачи определяются коэффициент полного сопротивления
Сх, распределение температуры поверхности Tw и скорости массового
уноса Gw вдоль образующей конуса. Выбирается шаг по высоте Ah
(в расчетах Ah = 1н-5 км). По скорости полета и шагу по высоте оп-
определяется промежуток времени А/. В каждой расчетной точке обра-
образующей вычисляется толщина унесенного покрытия (вдоль нормали
к поверхности) за время А^ при постоянной скорости уноса vnw и строит-
строится тело с новой формой образующей. Для этого тела задача обтекания
в режиме вязкого взаимодействия с учетом термохимического разру-
разрушения поверхности решается для условий, соответствующих высоте
hi = h0 — Ah. Указанный процесс повторяется до h = 0. . .
156
/ 2 S
Описанный алгоритм при-
применяется для определения фор-
формы образующей при х ^ х0
(в расчетах принято х0 = 0.02L,
где L — длина образующей).
При х < х0 форма тела опре-
определяется экстраполяцией по
первым трем расчетным точ-
точкам. В результате тело оста-
остается острым. В реальных ус-
условиях носок тела станет при-
притуплённым, что приведет к ря-
ряду нерассмотренных здесь осо-
особенностей, но не внесет прин-
принципиальных изменений в при-
приведенные в этом параграфе ре-
результаты для тел большого
удлинения.
Коэффициент полного сопротивления Сх рассматривается как сумма
коэффициентов сопротивления трения Сх и волнового сопротивления
Ср «эффективного» тела (т. е. построенного с учетом толщины вытесне-
вытеснения пограничного слоя).
1 По приведенной методике проведены численные расчеты для острых
конусов с 9 = 11 -— 20° при Моо = 20 и угле входа v = 30°, начиная
с h0 = 60 км.
На рис. 52—54 представлены результаты расчетов для одиннадцати-
одиннадцатиградусного конуса. Изменение формы тела из-за уноса материала по-
поверхности показано на рис. 52. Здесь линии /—3 отнесены к формам
образующей соответственно на высотах 30; 15 и 10 км. На рис. 53 и 54
сплошными и штриховыми кривыми нанесены результаты расчетов
с учетом и без учета изменения формы соответственно. Увеличение уг-
углов наклона образующей к оси тела приводит (рис. 53) к увеличению
температуры в передней части тела по сравнению с острым конусом.
crios
CIO1
9
8
1
CpJ
20 40 60
a
Рис. 54
157
&С-10>\
J5
20
в=25
20
Затупление передней части, как это видно из рис. 54, вызывает увели-
увеличение волнового Ср и полного Сх сопротивлений (а). Как показали
расчеты, при изменении формы тела коэффициент сопротивления тре-
трения Сх изменяется незначительно (менее 1 % ). Зависимость Сх от h
приведена на рис. 54, б.
На рис. 55 приведены значения добавки АС (а) к коэффициенту вол-
волнового сопротивления Ср и значения е = -^— • 100 % (б) для тел,
начальной формой которых были конуса с различными углами полу-
полураствора 9. Видно, что для тел с меньшими значениями 0 увеличение Ср,
а следовательно, и Сх более существенно.
9.7. ТЕРМОХИМИЧЕСКИЕ РАЗРУШЕНИЯ
СТЕКЛОГРАФИТОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗАТУПЛЕННОГО КОНУСА
НА ЛИНИИ РАСТЕКАНИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Теоретические результаты, полученные в настоящее время, отно-
относятся, в основном, к случаям плоского и осесимметричного обтекания.
В связи с этим влияние существенно трехмерных эффектов на процессы
термохимического разрушения поверхности ТЗП изучено мало.
В настоящем параграфе представлены результаты численного ис-
исследования влияния растекания газа на наветренной стороне затуп-
затупленного конуса, помещенного в сверхзвуковой поток под ненулевым
углом атаки, на температуру теплоизолированной поверхности тела
и интенсивности уноса материала ТЗП [124].
Предполагается, что газ в набегающем потоке является смесью
азота и кислорода, течение в пограничном слое ламинарное, смесь
газа и продуктов разложения материала ТЗП в пограничном слое на-
находится в химическом равновесии. Поверхность тела состоит из стекло-
графитового материала. Принятые допущения, существенно упрощая
поставленную задачу, позволяют выяснить основные особенности
влияния растекания на определяемые параметры.
J58
Для нахождения течения в пограничном слое на линии растекания
необходимо решить систему дифференциальных уравнений, получен-
полученных из общих уравнений трехмерного пограничного слоя [146]:
Здесь
W л, I Г \
= -т-; У = — I
«в
? ?
fj = а + \ udr\\ f2 = j ьу^т]
индексы S и и; относятся к параметрам на «границе» цограничного слоя
и на поверхности тела; и — продольная составляющая вектора ско-
скорости в пограничном слое; w', и>а — производные по окружной коорди-
координате азимутальной скорости; a — функция от |, характеризующая
степень вдува в пограничный слой, определяемая из соотношения
^ (VI«(?)) 4 ;
Яооо Я — полная энтальпия; и, р, р и ц — отнесены соответственно
к а0, р0) роа1, и (i0; параметрам в критической точке; а0 — скорость
звука; Re0 = " " сф , /?сф — радиус сферического затупления;
g и г) — независимые переменные, связанные с продольной и попе-
поперечной координатами в пограничном слое соотношениями
I = -у J put>rwdx, т] = - J prdn.
О ^ г S о
159
Задача об определении течения в трехмерном пограничном слое на
линии растекания сводится к совместному решению уравнений погра-
пограничного слоя и системы трансцендентных уравнений химического рав-
равновесия.
Для численного решения системы дифференциальных уравнений
> применялась неявная шеститочечная разностная схема Кранка —
Никольсона. Система разностных уравнений решалась методом про-
прогонки.
Кроме распределения давления р и скорости щ на поверхности тела
лри обтекании его невязким потоком, необходимо знать поведение
функции w&. При известном в окрестности линии растекания (плоскости
симметрии течения) давлении функцию шв можно определить из урав-
уравнения движения невязкого газа, записанного в системе координат,
связанной с поверхностью тела, которое дифференцируется по q>, и
после перехода к пределу при ф->0 получаем
dw'6 ш« 1 д*Р
При расчете течения около затупленного конуса при умеренных углах
атаки ос для определения р (ф, х) удобно воспользоваться методом
местных конусов [72]. На сферическом затуплении течение будет сим-
симметричным относительно направления вектора скорости набегающего
потока. Здесь течение будет таким же, как и на осесимметричном теле.
Однако если система координат, в которой записаны уравнения погра-
пограничного слоя, будет связана с осью симметрии тела, то эффекты расте-
растекания будут проявляться в том, что функция до« не будет равна нулю.
В этом случае, воспользовавшись простыми геометрическими построе-
построениями, легко получить
we = «е tg a/(sin х — cos x tg a),
где х — расстояние вдоль образующей от точки пересечения оси сим-
симметрии тела с поверхностью сферы.
Однако определенные в результате решения уравнений силы тре-
трения, тепловой поток, толщина вытеснения на сфере по линии расте-
растекания не должны отличаться от соответствующих значений, получен-
полученных в предположении осесимметричности течения. Величина различия
указанных параметров характеризует погрешность вычислений. Ре-
Результаты численного решения сформулированной задачи при термо-
термохимическом разрушении стеклографитовой поверхности затупленного
конуса в гиперзвуковом потоке газа при осесимметричном обтекании
приведены в параграфе 9.3. В частности, показано существенное уве-
увеличение интенсивности уноса материала вдоль образующей тела при
постоянной температуре поверхности. Это увеличение связано с паде-
падением давления при движении от точки торможения потока вдоль по-
поверхности тела и согласуется с соотношением (9.13), из которого
следует, что уменьшение давления р на поверхности тела может при-
привести к увеличению скорости испарения двуокиси кремния.
Для теплоизолированной поверхности температура поверхности
160
0,15 -
2735
0
уменьшается вдоль образую-
образующей затупленного конуса, и
вследствие этого интенсивность
уноса материала уменьшается.
Однако отмеченное выше да-
дает основание утверждать, что
общий уровень скорости уно-
уноса материала существенным
образом будет зависеть от дав-
давления в точках поверхности
тела. В связи с этим при про-
проведении исследований влия-
влияния растекания газа на ин-
интенсивность уноса материала
интересно рассмотреть случаи
обтекания с постоянным уве-
увеличением пространственных
эффектов при неизменном уров-
уровне давления. В настоящей ра-
работе в качестве таких случаев
рассмотрено обтекание затуп-
затупленных конусов с углами по-
полураствора 8ft == 0; 5; 10; 15°
при различных углах атаки.
Выбраны следующие расчетные
варианты: / - Э* = 15°, а = 0°; 2 — Bk = 10°, а - 5°; 3 — \ = 5°, а =
— ю°; 4 — Qk= 0°, а — 15°. Эти варианты отличительны тем, что харак-
характер изменения угла между вектором скорости в наветренной плоскости и
касательными к образующей тела вращения сохраняется во всех че-
четырех вариантах. При этом в соответствии с правилом местных затуп-
затупленных конусов [72] распределение давления на линии растекания во
всех случаях будет одинаковым и таким же, как на пятнадцатиградус-
пятнадцатиградусном затупленном конусе при симметричном обтекании.
Таким образом, характер течения в пограничном слое на линии рас-
растекания для рассматриваемых четырех случаев определяется увели-
увеличение пространственных эффектов. При этом отличие в распределении
интенсивности уноса материала стеклографитовой поверхности и ее
температуры для этих вариантов определяются лишь эффектами рас-
растекания. Результаты проведенных расчетов для случаев обтекания
потоком газа с числами Мх = 10 и 23 представлены на рис. 56 и 57.
Здесь приведены значения температуры теплоизолированной поверх-
поверхности Тш и скорости массового уноса Gjpoao вдоль образующей {хс —
координата точки сопряжения сферы и конуса), кривые 1—4относятся
к соответствующим перечисленным выше вариантам.
Из приведенных результатов видно, что увеличение интенсивности
растекания, связанное с ростом угла атаки, приводит к незначитель-
незначительным изменениям в распределении температуры поверхности. Разли-
Различие в значениях Tw в соответствующих точках поверхности тела для
случаев а = 0° (кривая /) и а = 15° (кривая 4) достигает 4—5° при
11 6-3097
161
Moo = 10 и 10—30° при М„о = 23 и общем уровне температуры по-
поверхности 2500 -г- 2700 К. Это значение определяется уровнем темпе-
температуры фазового перехода материала поверхности для локальных
условий в окружающей среде. Отличия в температуре поверхности,,
возникающие при увеличении угла атаки для заданного Мх, характе-
характеризуют разную степень отклонения процесса испарения двуокиси
кремния от положения фазового равновесия.
Увеличение растекания газа от плоскости симметрии, вызванное
увеличением угла атаки, приводит к росту конвективного и диффузион-
диффузионного переносов продуктов разложения материала, что в свою очередь.
существенно увеличивает скорость термохимического разложения по-
поверхности. Количественно основные закономерности изменения ско-
скорости уноса материала вдоль поверхности тела для рассмотренных
четырех вариантов иллюстрируются рис. 56, 57. В точке сопряжения,
расположенной для всех случаев на одинаковом расстоянии от точки
торможения потока на сфере, скорость уноса массы изменяется при
изменении угла атаки на 1—2 %. Этот результат характеризует, в
соответствии со сказанным выше при постановке задачи, точность вы-
вычислений. При удалении от точки сопряжения различие в скорости
уноса массы, вызванное увеличением угла атаки, возрастает, достигая
для а = 15 и 0° 200—250 % на расстоянии порядка 3—4 радиуса сфе-
сферы. Увеличение числа Маха набегающего потока от 10 до 23 (рис. 56
и 57 соответственно), сохраняя отмеченные особенности, на порядок
повышает скорость термохимического разрушения материала и на 200—
300 К температуру поверхности.
ГЛАВА 10
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ДВУХФАЗНЫМ ПОТОКОМ
¦Формулировке соотношений, описывающих течение двухфазных сред,
уделяется большое внимание. Общее состояние вопроса, касающегося
постановки и метода решения задач двухфазных течений, освещено
во многих статьях и монографиях, в частности [74, ПО, 113, 114 и др.].
Несмотря на это, в данной области газодинамики есть еще много
нерешенных проблемных вопросов, связанных с течением полидисперс-
полидисперсных двухфазных сред, взаимодействием этих сред с обтекаемыми по-
поверхностями, с учетом столкновений частиц несомой негазовой фазы
и т. д. Однако в настоящее время имеются модели, которые в опреде-
определенной степени позволяют изучить некоторые закономерности течения
двухфазных сред. Наиболее эффективной является модель взаимопро-
текающих континуумов [102]. Именно в ее рамках получено большин-
большинство результатов решения задач двухфазных течений. Такая модель
принята и в настоящей главе.
Течение двухфазных сред характеризуется рядом своеобразных
явлений, связанных с обменом энергией и импульсом между фазами.
Это вносит некоторые особенности при обтекании тел невязким газом,
так и при влиянии вязкости. Наличие второй негазовой фазы вносит
влияние как в общую картину течения, так и в силовое и тепловое
воздействие двухфазного потока на обтекаемые поверхности [123,
125, 18].
10.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ОСОБЕННОСТИ ДВУХФАЗНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Рассмотрим сверхзвуковые двухфазные течения, основываясь на
модели двухскоростной и двухтемпературной сплошной среды [101,
113], т. е. считаем, что облако частиц представляет собой газ, лишенный
собственного давления, и динамика этого газа определяется обычными
уравнениями сплошной среды с распределенными массовыми силами,
отражающими обмен импульсом и энергией между газом и частицами.
Вектор F, определяющий обмен импульсом, количество тепла Q, пе-
переданное газом частицам, и величину Ар, определяющую диссипацию
кинетической энергии частиц при их торможении в газе, для частиц
сферической формы определим соотношениями
^iVs): <1ол>
11* 163
s pd
s* A0.2)
Ap = VSF,
где F, Q отнесены к единице массы частиц; p°s — плотность материала
твердой фазы; dk — диаметр частиц; Cd — коэффициент аэродинами-
аэродинамического сопротивления частиц; Nu — число Нусельта; Г и Г„ V и Vs —
температура и скорость газа и частиц; q — | V — Vs | — модуль отно-
относительной скорости частиц. Кроме перечисленных параметров процесс
обтекания определяется числом Маха (Мое), массовой долей частиц-
Psoo в набегающем потоке (psoo — количество массы твердой фазы в
единице объема смеси отнесенное к плотности газа рх), параметром
Я, отношением ср к cs — удельных теплоемкостей газа (при постоянном
давлении) и материала частиц.
Для определения Cd и Nu используются различные теоретические
и эмпирические соотношения [113, ПО]. При выводе этих соотноше-
соотношений обычно рассматривается обтекание изолированной частицы пото-
потоком газа со скоростью q = V — Vs, и не учитывается неравномерность
нагрева частиц, т. е. считается, что в каждый момент времени все точки
частицы имеют одинаковую температуру. Эти предположения не вно-
вносят большой погрешности в случае, когда частицы имеют достаточно
малый диаметр и их объемная концентрация невелика. Это отнюдь
не означает, что частицы имеют малую массовую концентрацию, так
как обычно р°/р ^> 1. При этих предположениях можно воспользо-
воспользоваться следующими соотношениями:
ЛA +ехр (- 0,427/Л^63))
Ld = —6 . (Ш.с$)
Nu = 2 + 0,6 Рг'/а Res/2, A0.4)
где А = 24; б = 1 при Res <^ 1; А = 24, б = 0,6 при Res = 1—103,
А = 0,44, б = 0 при Res > 103. В свою очередь, Res = ^-, MQ =
= — число Маха относительного движения.
Соотношения A0.1), A0.2) можно переписать в виде
где
6- 3 г pq • В - 6 Nu м • е -сТ
Обратим внимание, что при dk ->¦ 0 Р и р„ стремятся к бесконечности.
С учетом принятых допущений запишем уравнения сохранения коли-
количества движения и энергии для газа и частиц
(^ )-srV^-piP*i A0.6)
164
dt ' / dt ' Re * v S4 '
+ -pp H? rad/ij — p (Q + Ap), A0.7)
p + w^,t»,* = F*. A0.8)
~ + v%e = Q. A0.9)
Уравнения A0.6), A0.7)' отличаются от уравнений Навье—Стокса
лишь наличием членов, учитывающих обмен импульсом и энергией
с частицами. Добавление этих слагаемых не меняет дифференциаль-
дифференциальные свойства уравнений Навье — Стокса, и для однозначного решения
уравнений A0.6), A0.7) необходимо формулировать для параметров
газа те же самые граничные условия, что и для самих уравнений
Навье — Стокса. Эти условия сформулированы в параграфе 1.2. Урав-
Уравнения A0.8), A0.9) — гиперболического типа 1113], и для получения
их решения необходимо формулировать задачу Коши. Начальные
условия для параметров частиц формулируются на некоторой поверх-
поверхности, расположенной вверху по потоку движения частиц. Другими
словами, в задачах обтекания для набегающих частиц формулируются
условия в невозмущенном потоке или на ударной волне, которая воз-
возникает в газе при сверхзвуковом обтекании; для отраженных от поверх-
поверхности частиц необходимо задать значения вектора Vs на поверхности.
Вопрос об определении составляющих этого вектора связан с усло-
условиями отражения частиц и представляет в большинстве случаев отдель-
отдельную задачу. В простейшем случае зеркального отражения этот вектор
определится из условия, что касательные составляющие вектора ско-
скорости падающих частиц сохраняются и для отраженных, а нормальная
составляющая сохраняется по модулю, но изменяет знак. Вторым пре-
предельным случаем взаимодействия является случай полного прилипа-
прилипания падающих частиц к поверхности тела. Тогда отраженные частицы
отсутствуют.
Для газа, в соответствии со сказанным и параграфом 1.2, на удар-
ударной волне формулируются условия Рэнкина — Гюгонио A.33), а на
поверхности тела — условие прилипания или скольжения A.34).
При этом следует отметить, что при р„с/р? <^ 1 уравнения A.33) остают-
остаются без изменения. В ином случае в этих уравнениях появляются допол-
дополнительные слагаемые [110]. Частицы переходят через ударную волну,
не успев изменить скорость и температуру, и параметры частиц непо-
непосредственно за ударной волной являются известными и равными пара-
параметрам в набегающем потоке.
Остановимся еще на одном вопросе, а именно рассмотрим случай
dk <^ 1 и Р, Р, -»¦ оо. При этом для того, чтобы Fk и Q имели конечную
величину, необходимо выполнение условия V — Vs -> 0, т. е. необхо-
необходимо, чтобы частицы и газ двигались с одинаковой скоростью. Это во
многих случаях выполняется с высокой точностью, так как частицы
малого диаметра и, следовательно, обладающие малой массой успе-
165
вают «мгновенно» реагировать на изменение вектора V. ^Мгновенно»
в данном случае означает, что время релаксации, т. е. время приспособ-
приспособления частицы к изменившемуся движению газа, пренебрежимо мало
по сравнению с характерным временем газодинамического процесса.
В этом случае, умножая уравнение A0.8) на ps, a A0.9) на р и склады-
складывая с A0.6) и A0.7) соответственно, приходим к уравнениям, совпадаю-
совпадающими с обычными уравнениями газовой динамики для газа с плот-
плотностью р + ps и полной энергией Я + es. Другими словами, в этом
случае исследование двухфазного течения ничем не отличается от ис-
исследования течения газа с измененными плотностью и полной энергией
[74]. Такие течения называются равновесными. В них линии тока газа
и траектории частиц совпадают.
Что касается траекторий частиц в общем случае, то ясно, что они
не совпадают с линиями тока. В этом легко убедиться, рассматривая
движение в системе координат, связанной с линиями тока [101, 114].
При этом оказывается, что траектории частиц могут совпадать с ли-
линиями тока только в случаях р°V\ = рУ2, или линии тока и траектории
являются прямыми линиями. Несовпадение линий тока и траекторий
частиц представляет интерес в двух аспектах. Первое — на обтекае-
обтекаемых поверхностях, являющихся, в соответствии с граничными усло-
условиями непротекания для газа, линиями тока нормальная составляю-
составляющая к поверхности вектора скорости частиц не равна нулю. И второе —
если обтекаемая поверхность либо граница газодинамического течения
составляют с набегающим потоком угол больше я, то частицы вообще
не попадают на эту поверхность. В этом случае в некоторой окрест-
окрестности обтекаемой поверхности образуется зона, свободная от частиц
[101].
10.2. ДВУХФАЗНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Перейдем теперь к анализу уравнений A0.6) — A0.9) в случае
Re-> оо. При предельном переходе Re ->- оо получаем уравнения не-
невязкого течения, дополненные слагаемыми, учитывающими обмен им-
импульсом и энергией с твердыми частицами. При этом следует принять
во внимание, что в случае dkIL <^ 1 (L — характерный размер тела,
входящий в определение числа Re) число Res может быть порядка еди-
единицы и, значит, р\ $q Ф 0. Как и при течении газа без частиц решение
уравнений невязкого течения не удовлетворяют условиям прилипания
на поверхности тела. Другими словами, и в этом случае имеем задачу
с сингулярными возмущениями, связанными с понижением порядка
уравнения при е ->- 0. Введем растянутую переменную т) = — и нор-
мальную к поверхности составляющую вектора скорости vn
е = !__ | . Записав уравнения A0.6), A0.7) в растянутых пере-
переменных и перейдя к пределу при е -> 0, получим уравнения пограничного
слоя для несущей фазы, котор; отличаются от соответствующих урав--
нений гомогенного газа (уравнения A.37), A.38)) только слагаемыми,
166
учитывающими обмен импульсом и энергией между фазами. Эти сла-
слагаемые содержат средние для элементарного объема параметры, ха-
характеризующие движение частиц. Поэтому необходимо получить урав-
уравнение движения частиц в новых переменных. Здесь возможны различ-
различные случаи.
Случай uf ~ 1, когда частицы падают на поверхность со скоростью,
отличной от нуля. В соответствии со сказанным выше, это наиболее
типичный случай. При этом — -»- оо, когда е-> 0 и из уравнений A0.8),
dvl dv3 д„
A0.9) можно получить ~j— = —^— = —р- = 0, т. е. параметры час-
частиц не меняются в пограничном слое и определяются из решения задачи
с невязкой несущей фазой. Пограничный слой нужно вводить только
для несущей фазы. Причем в уравнениях пограничного слоя параметры
частиц считаются заданными.
Случай v3s ~ е, при котором невозмущенный двухфазный поток
параллелен обтекаемой поверхности, что имеет место при обтекании
пластинки. Тогда в растянутых переменных vns = v3s/s ~ 1 и уравне-
уравнения A0.8), A0.9) не изменяют свой вид. Система уравнений погранич-
пограничного слоя для несущей фазы и уравнения A0.8), A0.9) должны решаться
совместно. При этом и параметры частиц определяются совместно с
параметрами газа в пограничном слое. Возможны некоторые несущест-
несущественные упрощения в формулах для р* и р" . Задача обтекания пластин
двухфазным потоком проанализирована в [91]. Условие v3s ~ s
выполняется и для околоравновесных течений. При этом, как и все
течение, течение в пограничном слое может быть описано как течение
гомогенного газа с эффективными значениями плотности и теплофизи-
ческих характеристик [114]. При обтекании поверхностей, состав-
составляющих угол с набегающим потоком, будет больше величина див
соответствии со сказанным выше, в окрестности обтекаемой поверх-
поверхности имеется зона, лишенная частиц и на ней формируется обычный
пограничный слой. Влияние частиц на течение в этом пограничном слое
сказывается только через их влияние на значения параметров несущей
фазы на границе пограничного слоя.
Последние два случая представляют определенный интерес, так
как позволяют сравнительно просто оценить влияние двухфазности в
некоторых течениях.
10.3. ОСОБЕННОСТИ ДВУХФАЗНОГО ТЕЧЕНИЯ
ЗА ОТОШЕДШЕЙ УДАРНОЙ ВОЛНОЙ ПЕРЕД ТУПЫМ ТЕЛОМ
При обтекании затупленного тела сверхзвуковым потоком запы-
запыленного газа за отошедшей ударной волной происходит торможение
газа и последующее перераспределение энергии и импульса между
частицами и газом. Это приводит к торможению и нагреву частиц
и более интенсивному, по сравнению с чистым газом, повышению дав-
давления. В некоторых случаях изменившиеся за ударной волной условия
локального воздействия газа на частицы приводят к дроблению частиц,
167
вызванному термическими напряжениями и инерционными силами
F01.
Интенсивность обмена энергией и импульсом между газом и части-
частицами существенно зависит от дисперсности твердой фазы: для частиц
мелкой фракции этот обмен осуществляется в узкой зоне, прилегающей
к ударной волне (зона релаксации), и в большей части возмущенного
течения частицы и газ находятся в тепловом и кинематическом равно-
равновесии; частицы крупной фракции попадают на поверхность тела почти
без изменения кинетической энергии, которой они обладают в набе-
набегающем потоке. Ясно, что в обоих предельных случаях анализ обте-
обтекания упрощается: в первом случае — при практически равновесном
течении за ударной волной — достаточно провести расчет обтекания
чистым газом с эффективными, зависящими от массовой доли твердой
фазы параметрами. Во втором возможно отдельное рассмотрение взаи-
взаимодействия с обтекаемым телом газа и частиц. Своеобразным оказы-
оказывается изменение температуры газа за ударной волной, связанное с на-
наличием в набегающем потоке частиц. Значения температуры газа опре-
определяются двумя противоположными механизмами: охлаждением газа
вследствие межфазного теплообмена и его нагревом вследствие дисси-
диссипации кинетической энергии частиц. Это приводит в общем случае к
немотонному изменению температуры газа в ударном слое [18, 28, 125,
107].
Общие закономерности сверхзвукового обтекания тупых тел двух-
двухфазным потоком можно раскрыть на примере обтекания сферы, в усло-
условиях, когда вязкость оказывает влияние только на взаимодействие
газа и частиц.
В основу исследования обтекания двухфазным потоком сферическо-
сферического носка положены результаты решения методом установления неста-
нестационарных дифференциальных уравнений для газа и частиц, записан-
записанных в сферической системе координат (г, 0) в дивергентном виде
¦?¦ + -$- + -?+*, +к,-о. 00.10)
где A/, F/, Gy, Wy — векторы-комплексы, связанные с параметрами
газа (/ = g) и частиц (/' = s) следующими соотношениями:
А/ = {Фу> rpjVej, rp.vri, ФуЯ,.},
г РуУеДу, Ру^е/Я/Ь
ripfy + pj), rp.vrlH,),
W, = {руое/ ctg Э + vrj, ye;.W,y +
ps = 0, так как облако частиц моделируется сплошной средой без
собственного давления; К/ — вектор, определяющий обмен массой,
импульсом и энергией между газом и частицами сферической формы.
В соответствии с A0.1), A0.2) для Ку запишем
Ks = {0, —rp$(veg — Vf>s), —rpsp*(vrg — vrs), — т-рД, Mi — Hs)),
168
Kg== @, rpsp([>eg —wes), Ф8Р(»гй — vrs),
rpsp", (ЯЛ — Hs) + P (yes (&eg — »es) + frS (vrg — Vrs))}.
При условии скоростной и температурной равновесности набегающего
потока процесс обтекания определяется числом Маха Мх, показате-
показателем адиабаты у коэффициентом вязкости газа и массовой долей частиц
Ps«> в набегающем потоке и размерами частиц и тела.
Решение системы уравнений A0.10) ищется в области, ограничен-
ограниченной поверхностями тела, отошедшей ударной волны, конической поверх-
поверхностью 9 = 0fe при общепринятых граничных условиях: условиях
Рэнкина — Гюгонио для газа на ударной волне, симметрии при 9 = 0
и условии, что нормальная составляющая вектора скорости на поверх-
поверхности тела равна нулю. Для параметров частиц на поверхности тела
граничные условия не ставятся, таким образом, не учитывается отра-
отражение частиц от поверхности тела.
Численное решение сформулированной задачи получено с помощью
явной конечно-разностной схемы Мак-Кормака второго порядка точ-
точности. В качестве контрольного примера рассматривалось обтекание
сферы при Мж = 3, у = 1,4, р = р? = 0. В этом случае с погреш-
погрешностью 1—2 % полученные параметры газодинамического поля совпада-
совпадали с приведенными в литературе; параметры частиц различались на
величину порядка 0,1 % от соответствующих параметров в набегаю-
набегающем потоке. Результаты, приведенные в настоящем и следующем па-
параграфах, относятся к обтеканию сферы радиуса ЯСф = 0,27 м газом
с частицами сферической формы, диаметр которых изменяется в пре-
пределах E—1500) мкм. Массовая доля твердой фазы изменяется в преде-
пределах @,2—1,2). Остальные параметры принимают следующие значения
Мм = 3, V = 1.4, Рг = 0,72, pgoo = 0,13 кг/м3, р? = 2 . 103 кг/м3,
На, = 1,6 • 10~4 кг/м • с. Вязкость газа в ударном слое изменяется
пропорционально корню квадратному температуры.
Общие закономерности влияния запыленности газа в набегающем
потоке можно проследить на основании исследования зависимости сум-
суммарного силового воздействия потока на обтекаемое тело от дисперсно-
дисперсности твердой фазы и ее массовой доли в невозмущенном потоке. При
этом интересно оценить погрешности различных приближений, прини-
принимаемых при расчете двухфазных течений. Кроме названных выше при-
приближения равновесного обтекания и приближения, в котором не учи-
учитывается взаимодействие между газом и частицами, интересно рас-
рассмотреть случай торможения частиц в ударном слое без их обратного
влияния на газовую фазу [138]. Результаты, позволяющие сделать
определенные выводы, представлены на рис. 58 и 59. Здесь приведены
значения коэффициентов лобового сопротивления Cxg, Cxs, Cx от воз-
воздействия газа, частиц и от суммарного воздействия запыленного газа
на сферический сегмент с углом 94 = 60°. При расчете Cxs предполага-
предполагалось, что силовое воздействие частиц на элемент поверхности тела,
связано с потерей частицами нормальной к поверхности тела составляю-
составляющей количества движения. Показаны результаты, полученные с учетом
взаимодействия между газом и частицами (сплошные линии на рис. 58
и 59), без учета влияния частиц на газодинамическое поле (штриховые),
12 6-3097 : 169
0,2
0,6
1,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 pSoa
Рис. 58
без учета взаимодействия между газом и частицами (штрихпунктирные
линии), и результаты расчета в равновесном приближении (линии g
кружочками, на рис. 59).
На рис. 58, 59, а линии помечены цифрами, соответствующими диа-
диаметру твердых частиц, измеренному в 10 мкм, цифры, отмечающие ли-
линии на рис. 59, б, определяют массовую долю твердой фазы в набегаю-
набегающем потоке.
Из рис. 58, а следует, что с увеличением диаметра частиц силовое
воздействие газа на тело уменьшается и стремится к воздействию чисто-
чистого газа. В свою очередь, силовое воздействие частиц с ростом их диа-
диаметра возрастает и приближается по величине к воздействию частиц,
определенному без учета их торможения в ударном слое (рис. 58, б).
Различие в силовом воздействии частиц на тело, определенное с учетом
взаимодействия газа и частиц и без учета влияния частиц на газ, убы-
убывает с ростом диаметра частиц, и для частиц диаметра dk = 200 мкм,
Ox
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
(/„-150 //
25^\W
ж/ /
0,6 КО pSoa
170
в рассмотренном примере не превосходит 5 %. В то же время суммарное
воздействие запыленного частицами диаметра 200 мкм газа на сфери-
сферический сегмент определяется без учета влияния частиц на газ с погреш-
погрешностью, превосходящей 25—30 %. С уменьшением размеров частиц
эта ошибка растет.
Уменьшение размеров частиц приводит к увеличению силового
воздействия газа и уменьшению воздействия частиц. Это обусловливает
немонотонную зависимость силового воздействия запыленного газа
от размеров частиц. Наибольшие значения Сх принимает для частиц
мелкой фракции, при установлении равновесного режима в ударном
слое, и для частиц крупного размера — когда взаимодействие между
газом и частицами несущественно. В рассмотренном примере минимум
на кривых, отражающих изменение лобового сопротивления сфери-.
ческого сегмента при dk = 30 мкм, связан с более быстрым уменьше-
уменьшением силового воздействия газа по сравнению с увеличением воздейст-
воздействия частиц, вызванных ростом dk (рис. 58, 59, б).
С увеличением массовой доли твердой фазы psoo силовое воздействие
газа, частиц и суммарное воздействие увеличиваются почти линейно.
Заметное отличие от линейной зависимости наблюдается при обтека-
обтекании тела газом с частицами мелкой фракции для Cxg и Cxs, определен-
определенным с учетом взаимодействия газа и частиц.
Из рис. 59, б следует, что в рассмотренном примере величины мак-
максимума и минимума силового воздействия запыленного газа на сфери-
сферический сегмент различаются менее чем на 10 % при изменении размеров
частиц в большом диапазоне. Отсюда следует, что в оценочных расчетах
вполне допустимо для определения лобового сопротивления тела в за-
запыленном газе использовать результаты, полученные в предположении
полного отсутствия взаимодействия газа и частиц. В этом случае можно
воспользоваться соотношением
где Cxgo — волновое сопротивление тела в чистом газе, Cxso — коэф-
коэффициент волнового сопротивления тела, определенный в приближении
Ньютона. Более точные оценки можно получить из расчетов, основан-
основанных на равновесном приближении.
В целях последующего анализа энергетического воздействия двух-
двухфазного потока на тупое тело интересно рассмотреть изменение темпе-
температуры газа и частиц в ударном слое.
Значения температур газа (сплошные кривые) и частиц (штрихо-
(штриховые), отнесенные к полной температуре газа То в точке торможения на
сфере и вдоль критической линии тока между телом и ударной волной,
приведены на рис. 60, 61 соответственно. На рис. 60 кривые /—3 от-
относятся к pSoo = 0,4; 0,8; 1,2, на рис. 61 кривые /—4 — соответственно
к dk = 10; 20; 50; 200 мкм; -g расстояние от поверхности тела, от-
несенноек толщине ударного слоя. Следует отметить, что при указан-
указанном числе М^с статическая температура газа и температура частиц в
набегающем потоке, отнесенные к То, принимают значение 0,358 (на
рис. 60 отмечено штрихпунктирной линией).
12' 171
/
То
1,2
0,8
0,4
ч
/
То
1,2
0,8
0,4
ч
i
3
ч
\
ч
\
\
\
Чч »
- 4
1,0
Рис. 60
0,4 0,8
Рис. 61
Из рис. 60 следует, что для частиц мелкой фракции (в рассмотрен-
рассмотренном случае при dk = 20 мкм) температуры газа и частиц в точке тормо-
торможения близки и практически не зависят от массовой доли твердой фазы
в набегающем потоке. Характерно наличие минимума температуры га-
газа, что является следствием преобладающего влияния межфазного
теплообмена. В случае dk ^ 5 мкм, газ и частицы находятся в динами-
динамическом и тепловом равновесии, их температуры совпадают и равны,
как и для чистого газа, температуре торможения.
Интенсивность прогрева частиц уменьшается с ростом их размера.
При dk = 50 мкм частицы практически не прогреваются в ударном слое.
Прогрев частиц слабо зависит от их массовой доли.
При обтекании тела газом с частицами крупной фракции (для рас-
рассмотренного случая dk ;> 30 мкм) преобладающим механизмом изме-
изменения температуры газа является диссипация кинетической энергии
твердой фазы. Причем имеются два аспекта: с одной стороны, с ростом
размеров частиц растет их кинетическая энергия, с другой — умень-
уменьшается время пролета частицами расстояния от ударной волны к по-
поверхности тела и, при постоянной массовой доле твердой фракции,
уменьшается количество частиц. Вследствие этого рассеянная кинети-
кинетическая энергия с ростом размеров частиц вначале возрастает, а затем
убывает — на кривых изменения температуры газа имеется максимум
в районе dk = 200 мкм.
Проанализируем изменение температур газа и частиц поперек удар-
ударного слоя на оси симметрии течения. Согласно штриховым кривым на
рис. 61 (здесь приведены результаты для pSOo = 0,4) частицы диаметра
dk = 10 мкм достигают теплового равновесия с газом. Во всех рассмот-
рассмотренных случаях за ударной волной происходит повышение температу-
рИ газа. Для частиц мелкой фракции (в данном примере dk — 20 мкм)
теплообмен между газом и частицами приводит к последующему пони-
понижению температуры газа. Однако с ростом размеров частиц эффектив-
эффективность теплообмена снижается, и во всем ударном слое преобладающим
172
Рис. 62
в
Lg{dk-W1)
является нагрев газа вследствие диссипации кинетической энергии
частиц. Аналогичная особенность в распределении температуры газа
на нулевой линии тока приведена в [18] для Мх — 15. В этой работе,
характер течения запыленного газа на нулевой линии тока рассматри-
рассматривается в гиперзвуковом приближении.
В заключение этого параграфа приведем данные, характеризующие
влияние газовой фазы на торможение и нагрев частиц в ударном слое.
Параметрами, характеризующими это влияние, являются коэффициент
осаждения ms, определяемый отношением потока массы частиц, попа-
попадающих на поверхность тела, к потоку массы частиц в невозмущенном
течении (ms = (psvns)w/(psvns)oo) (рис. 62, а), внутренняя (рис. 62, б)
и кинетическая (рис. 62, в) энергии падающих частиц. Отсюда видно,
что увеличение диаметра частиц существенно влияет на изменение ки-
кинетической и тепловой энергии частиц, попадающих на поверхность
тела. Увеличение массовой концентрации частиц незначительно влияет
на определяемые величины.
10.4. ТЕМПЕРАТУРА В КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКЕ ТУПОГО ТЕЛА
В ДВУХФАЗНОМ ПОТОКЕ
Для определения температуры обтекаемой двухфазным потоком
поверхности необходимо рассмотреть уравнение теплового баланса:
Qk - г ртст (Tw - Т-„) - mfs {Tw - Ts) = - к -^- + QT, A0.11)
где Qj = -у msx?ns — падающий поток кинетической энергии частиц;
второе и третье слагаемые в левой части характеризуют количество
тепла, унесенное вместе с материалом поверхности при эрозии и коли-
173;
чество тепла, идущее на нагрев частиц до температуры тела. В левой
части стоят слагаемые, определяющие теплоотвод, вызванный тепло-
— % -jT—) и нагревом поверхности тела (QT); r —
скорость линейного уноса материала, вызванного эрозией; рт, ст —
плотность и удельная теплоемкость материала поверхности; Г_о<, —
температура непрогретого материала; Тш — температура поверхности
тела.
Результаты, обсуждаемые ниже, получены без учета эрозии поверх-
поверхности (г = 0). Переписав уравнение A0.11) в безразмерном виде,
найдем с учетом сделанных ограничений соотношение, которое необхо-
необходимо использовать в качестве граничного условия на поверхности тела
в задачах вязкого обтекания и которое совместно с решением уравнений
пограничного слоя и уравнений невязкого обтекания позволяет опре-
определить температуру поверхности в сверхзвуковом двухфазном потоке.
Это соотношение для теплоизолированной поверхности имеет вид
1 ~ ~2 , ~ 1 /л~ ,7 > I \ • dh /in in\
mv + m (leHJ^r, A0.12)
причем ms = psvns/pxvx, vn$ = uns/vx, es = eJVx, Hw = HjVl,.
Далее ограничимся рассмотрением течения в окрестности критической
точки сферического сегмента. Полагая в общем случае vns ~ 1, будем
считать согласно параграфу 10.2, что параметры частиц в пограничном
слое известны и такие же, как в невязкой части потока на поверхности
тела. Газодинамические параметры в пограничном слое определяются
из уравнений, которые, используя обычные для критической точки
упрощения [40], можно записать в виде
д ди' ди' ,' , д2р а , ' ,\
рРи ри +РР(««);
Уравнения A0.13) необходимо решать при следующих граничных усло-
условиях: ц = 0, и' — 0, vn = 0 и уравнений теплового баланса A0.12)
в качестве граничного условия для функции h, которая при и = 0
совпадает с Н. При tj ->- оо, и' -> им, h -> hos. В уравнениях A0.13)
/ dt>9 „ v ,
и = -0Q-, т| = —, vn = -?-; и06, Лов, Pos, eOs — значения соответствую-
соответствующих параметров в невязком потоке в критической точке.
Зависимость температуры газ i и частиц на поверхности тела в погра-
пограничном слое от размеров частиц и массовой доли приведена на рис. 63.
{Результаты, показанные на этом и рис. 64, получены при Reo= 1,69 X
X 106, к = 1.) Здесь крестиками отмечены значения, полученные с
использованием всех слагаемых в уравнении теплового баланса A0.12).
Показаны перенесенные с рис. 60 значения температуры газа (сплош-
174
0,5 1,0
Рис. 64
ные линии) и частиц (штрихпунктир) на границе пограничного слоя.
Кривые 1—4 относятся соответственно к р8«, = 0,2; 0,4; 1,2. Следует
отметить, что сплошные линии соответствуют температуре газа на теп-
теплоизолированной поверхности, если не учитывать обмена энергией
между газом и частицами на поверхности тела в пограничном слое.
Данные, приведенные на рис. 63, позволяют сделать следующие выводы.
Теплообмен между газом и частицами на поверхности тела в погранич-
пограничном слое приводит к уменьшению температуры газа (кривые с крести-
крестиками), причем зависимость температуры газа от диаметра частиц яв-
является немонотонной. Немонотонность связана с разным влиянием
в условии теплового баланса A0.12) первого и второго слагаемых в ле-
левой части. На участке уменьшения температуры газа определяющую
роль играет нагрев частиц на поверхности тела. При дальнейшем уве-
увеличении размеров частиц и связанным с этим увеличением кинетиче-
кинетической энергии частиц, показаны на рис. 62, переход кинетической энер-
энергии в тепловую играет преобладающее влияние на температуру газа и
частиц. В связи с этим следует отметить, что в гипотетическом случае,
когда частицы при взаимодействии с поверхностью отдают всю кине-
кинетическую энергию и отражаются, не изменяя своей внутренней энер-
энергии, температура газа может существенно возрасти. На рис. 64 нане-
нанесены значения температуры газа на поверхности, определенные при
условии, что второе слагаемое в левой части уравнения A0.12) отсутст-
отсутствует (кривые /, 2 относятся к psoo = 0,2; 0,4).
Таким образом, наличие твердой фазы в набегающем сверхзвуковом
потоке приводит к существенному изменению температуры на обтекае-
обтекаемой поверхности. При этом значение этой температуры во многом за-
зависит от условий взаимодействия твердых частиц с обтекаемой по-
поверхностью. При полном тепловом равновесии газа и частиц на
поверхности тела температура двухфазной среды может быть ниже
температуры чистого газа. В условиях когда полностью отсутствует
энергетическое взаимодействие газа и частиц на поверхности тела ( т. е.
в уравнении A0.12) Qk = 0, ms-r- (Kes —• Hw) = 0,) температура запы-
175
лешюго газа может быть выше температуры чистого газа (сплошные кри-
кривые на рис. 60). И наконец, если вся кинетическая энергия падающих
частиц при их взаимодействии с поверхностью переходит во внутрен-
внутреннюю энергию газа, то температура газа может возрасти в несколько
раз и даже десятки раз. По-видимому, данные, приведенные на рис. 64,
характеризуют предельные значения температуры газа. Механизм,
преобладающий в условиях теплообмена поверхности, обтекаемой
двухфазным потоком, в значительной мере определяется условиями
взаимодействия частиц с поверхностью, величиной отношения удель-
удельных теплоемкостей частиц и газа при постоянном давлении и многими
другими факторами. В частности, это может быть вызвано как отмечено
в [156, 161], и турбулизацией набегающего потока отраженными части-'
цами и влиянием отраженных частиц на форму отошедшей ударной
волны. При эрозионном разрушении поверхности температура газа
может быть значительно снижена, т. е. с одной стороны, часть кинети-
кинетической энергии частиц уходит на разрушение поверхности, с другой
прогретый слой материала поверхности может сноситься, освобождая
непрогретые слои [19].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрампчская М. Г., Басе В. П., Лиманский А. В., Тимошенко В. И. К расчету
аэродинамических характеристик тел в переходном режиме обтекания. // При-
Прикладная аэродинамика космических аппаратов.— Киев : Наук, думка, 1977.—
С. 69-75.
2. Авдусвский В. С, Данилов Ю. И., Кошкин В. К. и др. Основы теплопередачи
в евняционной и ракетной технике.— М. : Машиностроение, 1975.— 624 с.
3. Антонов А. М., Зайцев А. В. Учет влияния донной области на обтекание осе-
симметричных тел со влувом // Прикл. механика.— 1979.— 15, вып. 6.—
С. 110—115.
4. Антонов А. М., Хорошилов А. В. Расчет параметров газа в области вдува при
обтекании пористого конуса под углом атаки // Докл. АН УССР. Сер. А.—
1973.—}Ч° 1.—С. 52—55.
5. Апштепн Э., Пилюгин Н. Н., Тирский Г. А. Унос массы и изменение формы
трехмерного тела при движении по траектории в атмосфере Земли // Космич.
исслед.— 1979.— 17, вып. 2.— С. 246—255.
6. Афонина И. Е., Громов В. Г. Численное исследование гиперзвукового обтека-
обтекания затупленного конуса углекислым газом // Числен, методы механики сплош.
среды.— 1982.— 13, № 1.—С. 11—15.
7. Баум, Денисон. Расчет взаимодействующего сверхзвукового ламинарного следя
методом конечных разностей // Ракет, техника и космонавтика.— 1966.— 4,
№ 2.—С. 12—20.
8. Белоцерковец И. С. Влияние температуры на распределение давления в дозвуко-
дозвуковой ламинарной струе в спутном сверхзвуковом потоке // Математические методы
механики жидкости и газа.— Днепропетровск : Днепропетр. ун-т, 1984.—
С. 28—34.
9. Белоцерковец И. С. Некоторые результаты расчетов диффузионного горения во-
водорода в донной области тела при сверхзвуковом обтекании // Прикладные вопро-
вопросы аэродинамики летательных аппаратов.— Киев : Наук, думка, 1984.— С. 64—
88.
10. Белоцерковец И. С, Тимошенко В. И. Использование интегральных законов сме-
смешения для расчета донного давления за клином под углом атаки в сверхзвуковом
турбулентном потоке // Космич. исслед. на Украине.— 1981.— № 15.— С. 83—
89.
11. Белоцерковец И. С Тимошенко В. И. Применение интегрального подхода к
расчету сверхзвукового обтекания донного уступа при наличии истекающей
струи// Аэрогазодина.мика и нестационарный теплообмен.— Киев : Наук, думка,
1983.—С. 3—10.
12. Белоцерковец И. С, Тимошенко В. И. К расчету характеристик течения при рав-
равномерном вдуве однородного газа в кормовой области тела // ЖП МТФ.— 1984.—
№ 1.—С. 76—81.
13. Белоцерковский О. М. Расчет обтекания кругового цилиндра с отошедшей удар-
ударной волной // Вычисл. математика.— 1958.—№ 3.—С. 149—185.
14. Бретшнайдер С. Свойства газов и жидкостей.— М. : Химия, 1966.— 535 с.
15. Ван Иайк М. Теория сжимаемого пограничного слоя во втором приближении
с применением к обтеканию затупленных тел гиперзвуковым потоком // Иссле-
Исследования гиперзвуковых течений.— М. : Мир, 1964.— С. 35—58.
177
36. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М. : Мир, 1967.—
310 с.
37. Васильевский С. А., Тирский Г. А. О некоторых способах численного решения
уравнений вязкого ударного слоя // Аэродинамика гиперзвуковых течений. —
М. : Изд-во Моск. ун-та, 1979, с. 87—98.
18. Васильков Ю. П. Окрестность критической точки затупленного тела в гиперзву-
гиперзвуковом потоке // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.— 1975.— № 5.— С. 121—129.
19. Васин А. В., Полежаев 10 В. Унос массы при совместном эрозионном и тепловом
воздействии двухфазного потока // Там же.— 1984.— № 1.— С. 120—126.
20. Воронкин В. Г. Расчет вязкого ударного слоя на притуплённых конусах // Там
же.— 1974.— № 6.— С. 99—105.
21. Галкин В. С, Гусев В. Н., Климова Т. В. Особенности обтекания и аэродинами-
аэродинамические характеристики тел простейшей формы в вязком гиперзвуковом потоке
газа // Инж. журн.— 1965,— 5, № 6.—С. 1010—1020.
22. Галло, Марвин, Глос. Природа неавтомоделыюсти ламинарного пограничного
слоя // Ракет, техника и космонавтика.— 1970.— 8, № 1.— С. 89—96.
23. Гершбейн Э. А. Теория гиперзвукового вязкого ударного слоя при больших
числах Рейнольдса и при сильном вдуве инородных газов // Прикл. математика
и механика.— 1974.—38, № 6.—С. 1015—1024.
24. Гогиш JI. В., Степанов Г. Ю. Турбулентные отрывные течения.— М. : Наука,
1979.— 368 с.
25. Головачев Ю. П., Кузьмин А. М., Попов Ф. Д. О расчете сверхзвукового обтека-
обтекания затупленных тел с использованием полных и упрощенных уравнений Навье —
Стокса // Журн. вычисл. математики и мат. физики.— 1973.— 13, Ке 4.—
С. 1021—1028.
26. Головачев Ю. П. Об устойчивости одного маршевого метода расчета течений вяз-
вязкого газа // Числ. методы механики сплош. среды.— 1984.— 15, № 5.— С. 63—
68.
27. Головачев 10. П., Фурсенко А. А. Численное исследование сверхзвукового обте-
обтекания затупленных тел вязким газом с помощью маршевой схемы. Препринт
№ 731 / АН СССР. Физико-техн. ин-т им. А. Ф. Иоффе.— Л., 1981.— 23.
28. Головачев 10. П., Шмидт А. А. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел запы-
запыленным газом. — Препринт № 690 / АН СССР. Физико-техн. ин-т им.
А. Ф. Иоффе.— Л., 1980.— 30 с.
29. Гориславский В. С, Толстых А. И. Численный расчет течения в области сфери-
сферического затупления при малых числах Рейнольдса // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.—
1967.—№ 5.—С. 93—98.
30. Горский В. В., Полежаев Ю. В. Тепло- и массообмен на поверхности стеклогра-
фитовых материалов в высокотемпературном газовом потоке // Там же.— 1972.—
дъ 6.—С. 71—87.
31. Гранж, Клайнберг, Лиз. Отрыв ламинарного пограничного слоя и ближний след
при обтекании гладкого затупленного тела потоком со сверх- и гиперзвуковыми
скоростями // Ракет, техника и космонавтика.— 1967.— 5, № 6.—С. 135—140.
32. Гришин А. М., Фомин В. М. Сопряженные и нестационарные задачи механики
реагирующих сред.— Новосибирск : Наука, 1984.— 316 с.
33. Гродзовский Г. Л., Крашенников Н. Л. Автомодельные движения газа с ударными
волнами, распространяющимися по степенному закону по покоящемуся газу //
Прикл. математика и механика.— 1959.— 23, вып. 5.— С. 180—185.
34. Гусев В. Н., Ерофеев А. Н., Климова Т. В. и др. Теоретические и эксперименталь-
экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком раз-
разреженного газа // Тр. ЦАГИ.— 1977.— Вып. 1955.— С. 43—50.
35. Гусев В. Н., Коган М. II., Перепухов В. А. О подобии и изменении аэродинами-
аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях по-
потока // Учен. зап. ЦАГИ.— 1970.— 1, № 1.—С 24—32.
36. Денисенко О. В. О распространении возмущений вдоль тонких осесимметричных
тел на режиме сильного вязкого взаимодействия // Там же.— 1977.— 8, № 1.—
С. 32—41.
37. Дорренс У. X. Гиперзвуковые течения вязкого газа. —М. : Мир, 1966.—
433 с.
38. Дэвис Р. Т. Численное решение уравнений гиперзвукового вязкого ударного
слоя // Ракет, техника и космонавтика.— 1970.— № 5.— С. 3—13.
J78
39. Елькин Ю. Г., Ермак Ю. Н., Липатов И. Л., Нейланд В. Я- К теории вихревого
взаимодействия на затупленном конусе // Учен, зап, ЦАГИ.— 1982.— 13, № 3.—
С. 50—60.
40. Жилева И. М... ЗапряновЗ. Д.. Осипцпв А. Н.. С ту лов В. П. Течение дисперсных
смесей и условиях скоростной неравновесности частиц // Успехи механики.—
Варшава 1982.—5, № 1/2.—С. 183—208.
41. Ж,илин 10. Л. Параметры подобия при больших гиперзвуковых скоростях //
Прикл. математика и механика.— 1962.— 26, вып. 2.— С. 26—34.
42. Залогин Г. #., Лунев В. В. О модели вязкого неравновесного ударного слоя стоп-
стопкой ударной волной // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.— 1973,— "№ 5.— С. 175—177.
43. Землянский Б. А., Шманснкоеа Г. А. Метод среднемассовых величин для трех-
трехмерного пограничного слоя в завихренном потоке // Там же.— 1981.— № 1.—
С. 80—87.
44. Землянский Б. А., Лунев В. В., Маринин В. П. Влияние завихренности на теп-
теплообмен при гиперзвуковом обтекании тупых тел // Там же.— 1981.— Ms 2.—
С, 50—57.
45. Знаменский В. В. Численное решение уравнения уноса // Там же.— № 2.—
С. 145—154.
46. Калиткин Н. И. Численные методы.— М. : Наука, 1978.— 512 с.
47. Кассой, Хортсмен. Лобовое сопротивление конуса в гиперзвуковом разрежен-
разреженном потоке // Ракет, техника и космонавтика.— 1970.— 8, № 2.— С. 154—160.
48. Кнотько В. Б. Оценка температуры и концентраций компонент в донной области
за телом с учетом неравновесных физико-химических процессов // Изв. АН СССР.
Сер. МЖГ.— 1979.— Кя 1.— С. 187—191.
49. Коваленко А. А. Исследование отрыва пограничного слоя при сильном взаимо-
взаимодействии с гиперзвуковым потоком газа // Учен. зап. ЦАГИ.— 1974.— 5, № 6.—
С. 39—47.
50. Ковеня В. М.. Черный С. Г. Решение упрощенных уравнений вязкого газа марше-
маршевым методом // Числ. методы механики сплош. среды.— 1979.— 10, Л'» 1.—
С. 71—87.
51. Ковеня В. М., Яненко Н. И. Метод расщепления в задачах газовой динамики.—
Новосибирск : Наука, 1981.— 304 с.
52. Коган М. Н. Динамика разреженного газа.— М. : Наука, 1967.— 440 с.
53. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О влиянии возмущений пограничного слоя на ги-
гиперзвуковые течения с вязким взаимодействием // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.—
1971.-№ 4,—С. 48-53.
54. Кокошинская Н'. С, ПавловБ. М., ПасконовВ. М. Численное исследование сверх-
сверхзвукового обтекания тел вязким газом.— М. : Изд-во Моск. ун-та, 1980.— 248 с.
55. Коняее В. Г. Аналитическое исследование изменения формы аблирующих тел
при их движении в атмосфере со сверхкруговыми скоростями//Учен. зап.
ЦАГИ.— 1974.—5, № 6.—С. 125—128.
56. Коняее В. Г. Простой способ оценки уноса массы теплозащитного покрытия
КА в процессе его абляции в атмосфере // Там же.— 1978.— 9, 15.— С. 133—142.
57. Крокко, Лиз. Теория смешения для определения взаимодействия диссипативного
и почти изчнтропического потоков // Вопр. ракет, техники.— 19оЗ.— № 2.—
С. 3—53.
58. Ладыженский М. Д. Обтекание тонких тел вязким гиперзвуковым потоком //
Прикл. матемятикя и механика.— 1963.— 27, № 5.— С. 815—827.
59. Ладыженский М. Д. Пространственные гиперзвуковые течения газа.— М. : Ма-
Машиностроение, 196s.— 120 с.
60. Левин А. Л., Мурзинов И. //., Татаркин О. В. Температурные напряжения и раз-
разрушение твердых частиц в ударном слое // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.— 1981.—
.V° 1.—С. 56—73.
61. Левин В. А. Сильный вдув на поверхности тела, обтекаемого сверхзвуковым по-
потоком газа // Там же.— 1973.— К» 5.— С. 97—104.
62. Лиз. Ривз Б. Л. Сверхзвуковые отрывные и присоединяющиеся ламинарные те-
течения // Ракет, техника и космонавтика.— 1964.— 2, № 1.— С. 22—39.
63. Лиманский А. В., Тимошенко В. И. О взаимном влиянии термохимического раз-
разрушения поверхности и вязкого взаимодействия при гиперзвуковом обтека-
обтекании острого конуса// Космич. исслед. на Украине.— 1977.— Вып. П.—
С. 54—69.
1Г9
64. Лиманскип А. В., Тимошенко В. И. Изменение формы конуса из тефлонаи его
аэродинамического сопротивления в гиперзвуковом потоке // Там же.— 1979.—
Вып. 13.— С. 23—25.
65. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой.— М. : Физматгиз, 1962.—
479 с.
66. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М. : Наука, 1978.— 736 с.
67. Лубард, Хелливел. Расчет обтекания конуса под большим углом атаки // Ра-
Ракет, техника и космонавтика.— 1974.— 12, № 7.— С. 105—117.
68. Лунев В. В. О подобии при обтекании тонких тел вязким газом при больших сверх-
сверхзвуковых скоростях // Прикл. математика и механика.— 1959.— 23, вып. 1.—
С. 193—197.
69. Лунев В. В. Автомодельный случай гиперзвукового обтекания осесимметрично-
го тела вязким теплопроводным газом // Там же.— 1960.— 24, № 3.— С. 548—*
551.
70. Лунев В. В. Метод среднемассовых величин для пограничного слоя во внешнем
потоке с поперечной неоднородностью // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.— 1967.—
№ 1.—С. 127—133.
71. Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика.— М. : Машиностроение, 1975.—
326 с.
72. Лунев В. В., Магомедов К. М., Павлов В. Г. Гиперзвуковое обтекание притуплён-
притуплённых конусов с учетом равновесных физико-химических превращений.— М. : ВЦ
АН СССР, 1968.— 203 с.
73. Лунев В. В. Некоторые свойства и решение уравнений абляции // Изв. АН СССР.
Сер. МЖГ.- 1977.—№ 8.—С. 95—103.
74. Марбл Ф. Динамика запыленных газов // Сб. пер. и обзоров иностр. период,
лит. Механика.— 1971.—№ 6.—С. 48—89.
75. Магомедов К- М. Гиперзвуковое обтекание тупых тел вязким газом // Изв.
АН СССР. Сер. МЖГ.— 1970.— № 2.— С. 45—56.
76. Марков А. А., Чудов Л. А. Исследование течений вязкого газа при достаточно
больших числах Рейнольдса // Числ. методы механики сплош. среды.— 1971.—
2, № 2.— С. 48—64.
77. Матвеева Н. С, Нейланд В. Я- Сильный вдув на теле конечной длины в сверх-
сверхзвуковом потоке // Учен. зап. ЦАГИ. — 1970.— I, № 5.— С. 13—22.
78. Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на тонких пространственных
телах // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.- 1969.— № 5.— С. 110—115.
79. Михайлов В. В., Провоторов В. П. Об эффектах вязкого взаимодействия при ги-
гиперзвуковом обтекании тонких затупленных тел // Учен. зап. ЦАГИ.— 1973.—
4, № 2.—С. 11—20.
80. Мур Ф. Теория трехмерного пограничного слоя // Проблемы механики.— М. :
Изд-во иностр. лит., 1952.— Вып. 2.— С. 239—296.
81. Мурзинов И. И. О форме тел, разрушающихся под действием интенсивного испа-
испарения при движении в атмосфере // Изв. АН УССР. Сер. Механика.— 1965.—
№ 4.— С. 36—40.
82. Мурзинов И. И. Ламинарный пограничный слой на затупленных телах с учетом
завихренности внешнего потока // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.— 1966.— № 7.—
С. 124—128.
83. Мышенков В. И. Численное исследование отрывного течения перед уступом //
Там же.— 1979.— № 5.— С. 72—79.
84. Нейланд В. Я- Распространение возмущений вверх по течению при взаимодейст-
взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем // Там же.— 1970.— № 4.—
С. 40—49.
85. Нейланд В. Я- К теории взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным
слоем для отрывных двумерных и пространственных течений // Учен. зап.
ЦАГИ.— 1974.— № 2.— С. 70—79.
86. Нейланд В. Я. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений.—
1974.— (Тр. ЦАГИ; — Вып. 1529 - 124 с).
87. Нейланд В. Я-, Соколов Л. А. Донное давление за клином под углом атаки в
сверхзвуковом потоке газа // Инж. журн.— 1964.— 4, № 3.— С. 247—?50.
88. Нейланд В. Я-, Соколов Л. А. Влияние энтропийного слоя на обтекание гипер-
гиперзвуковым потоком аэродинамических органов управления // Учен. зап. ЦАГИ.—>
1975.— 6, № 1.— С. 89—92.
180
89. Нигматуллин Р. И. Основы механики гетерогенных сред.— М. : Наука,
1978.— 336 с.
90. Овсянников В. М. Разрушение осесимметричного тела вращения из материала
сложного химического состава в высокоэнтальпийном потоке воздуха // Изв.
АН СССР. Сер. МЖГ.— 1967.—№ 5. —С. 21—32.
91. Осшщов А. Я. О структуре ламинарного пограничного слоя дисперсной смеси
на плоской пластине // Там же,— 1980.— № 4.— С. 48—54.
92. Панкратов Б. М., Полежаев Ю. В., Рудько А. К. Взаимодействие материалов
с газовыми потоками.— М. : Машиностроение, 1976.— 222 с.
93. Пасконов В. М. Стандартная программа для решения задач пограничного
слоя// Численные методы в газовой динамике.— М. : ВЦ Моск. ун-та, 1963.—
Вып. 2.—С. 110—116.
94. Покровский А. Н., Шманенков В. Я. О применении дополнительных соотноше-
соотношений для решения задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя интеграль-
интегральным методом // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.— 1979.— № 4,—С. 62—69.
95. Полежаев Ю. В., Юревич Ф. Б. Тепловая защита.— М. : Энергия, 1976.— 392 с.
96. Приходькс А. А. Метод факторизации в расчете пространственных течений
сжимаемого газа//Докл. АН СССР.— 1983,— 270, № 8.—С. 1350—1355.
97. Провоторов В. П. Неединственность решения задачи о вязком взаимодействии
на осесимметричном теле//Изв. АН СССР.—Сер. МЖГ.— 1973,—№ 5. —
С. 41—47.
98. Провоторов В. П., Рябов В. В. Исследование гиперзвуковых течений в тонком
вязком ударном слое при наличии неравновесных процессов диссоциации и
ионизации // Учен. зап. ЦАГИ.— 1981.— 12, № 5,—С. 55—64.
99. Провоторов В. П. Численное исследование трехмерного гиперзвукового вязкого
ударного слоя //Тр. ЦАГИ.— 1981.— Вып. 2111.—С. 157—169.
100. Прозорова Э. В., Резников Б. И. Разрушение теплозащитного покрытия из теф-
тефлона при гиперзвуковых скоростях // Журн. прикл. механики и техн. физики.—
1974.— № 4.— С. 96—100.
101. Рахматулин X. А., Мамадалиев Н. А. Двухскоростная теория обтекания тон-
тонкого профиля // Там же.— 1969.— № 4,— С. 32—35.
102. Рахматулин X. А. Основы газодинамики взаимопротекающих движений сжи-
сжимаемых сред // Прикл. математика и механика.— 1956.— 20, № 2.— С. 184—
195.
103. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.— М. : Гостехиздат,
1956.— 419 с.
104. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений.—
М. : Наука, 1968,— 592 с.
105. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.— М. : Мир, 1980.— 616 с.
106. Рускол Б. А. Автомодельное решение уравнений ламинарного пограничного
слоя при наличии фронта пламени//Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.— 1966.— №2.—
С. 10—18.
107. Рынков А. Д., Щербакова И. В. Расчет обтекания затупленных тел сверхзвуко-
сверхзвуковым потоком с отошедшей ударной волной // Аэродинамика.— Томск : Изд-во
Том. ун-та, 1973.—С. 3—7.
108. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике.— М. : Наука, 1977.—
438 с.
109. Седов Л. И. Механика сплошной среды,—М. : Наука, 1983,—Т. 1.
110. Coy С. Л. Гидродинамика многофазных систем.—М. .Мир, 1971.— 480 с.
111. Сриваставе Б. Н., Варле М. Дж., Дэвис Р. Т. Решение уравнений вязкого удар-
ударного слоя для гиперзвукового течения около сферически затупленных кону-
конусов // Ракет, техника и космонавтика.— 1978.— 16, № 2.— С. 55—65.
112. Сриваставе Б. Н., Варле М. Дж., Дэвис Р. Т. Численное решение уравнений
гиперзвукового вязкого ударного слоя // Там же.— 1979.— 17, № 6.— С. 125—
127.
113. СтернинЛ. Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.— М. : Ма-
Машиностроение, 1974.— 212 с.
114. Стулов В. П. Об уравнениях ламинарного пограничного слоя в двухфазной
среде // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ.— 1979.— № 1.— С. 51—60.
115. Сычев В. В. К теории гиперзвуковых течений газа со скачками уплотнения
степенной формы//Прикл. математика и механика.—1960.— 24, № 1.—
С. 518—523.
181
116. Термодинамические свойства индивидуальных веществ: Справочник: В 2 т.
Д. В. Гурвич, Г. А. Хачкурулов, В. Л. Медведев и др.— Л1. : Изд-во АН СССР,
1962.— Т. 1—2.
117. Тимошенко В. И. К расчету истечения вязкого газа через сопло Лаваля // Космич.
исслед. на Украине.— 1976.—Вып. 8.—С. 51—55.
118. Тимошенко В. И. Влияние вдувя в пограничный слой на сопротивление осесим-
метричного гела в гиперзнуковом потоке вязкого газа // Ипж.-физ. журн.—
1982.— 42, Х° 5.— С. 746—750.
119. Тимошенко В. И., Лиманский А. В. Основные концепции разработки и эксплуа-
эксплуатации комплекса программ «Вязкость» // Комплексы программ математической
физики.—Новосибирск, 1982,—С. 207—213.
120. Тимошенко В. И., Л иманский А. В. Внешнее обтекание тел вязким газом //
Численные методы динамики вязкой жидкости / Под ред. Ю. А. Березина. —
Новосибирск: Ип-т теорет. и ирикл. механики СО АН СССР, 1983.—С. 288—
291.
121. Тимошенко В . И., Лиманский А. В. Технология численного решения на ЭВМ
задач газовой динамики.— Киев : Наук, думка, 1985,— 231 с.
122. Тимошенко В. И. Особенности термохимического разрушения стеклографитовой
поверхности затупленного конуса в гиперзвуковом потоке газа // Прикладная
аэродинамика космических аппаратов.— Киев : Наук, думка, 1977.—С. 94—
103.
123. Тимошенко В. И. Силовое воздействие сверхзвукового потока запыленного газа
на тупое тело // Ипж.-фпз. жури.— 1983.— 45, № 2.—С. 226—231.
124. Тимошенко В. И. Термохимическое разрушение стеклографитовой поверхности
затупленного конуса на линии растекания в трехмерном пограничном слое //
Космич. исслед. на Украине.— 1982.— Вып. 16.— С. 45—49.
125. Тимошенко В. И. Нагрев газа и частиц за отошедшей ударной волной перед за-
затупленным телом в сверхзвуковом запыленном потоке газа // Лэрогазодинамика
и нестационарный тепломассообмен.— Киев : Наук, думка, 1983.— С. 62—66.
126. Тимошенко В. И. Численное определение параметров в высокоэнтропийном слое
на телах с малым затуплением в сверхзвуковом потоке II Жури, вычисл. мате-
математики и мат. физики.— 1983.— 23, № 4.— С. 947—953.
127. Тимошенко В. И. Уравнения вязко-непязкого взаимодействия и их использова-
использование в задачах отрывного обтекания тел // Прикладные вопросы аэродинамики
летательных аппаратов.— Киев : Наук, думка, 1984.— С. 110—113.
128. Тирский Г. А. Сублимация тупого тела в окрестности критической точки в плос-
плоском и осесиммегричном потоке смеси газов// Журн. вычисл. математики и мат.
физики.— 1961.— 1, № 5.—С. 884—902.
129. Тирский Г. Л.-Условия на поверхностях сильного разрыва в многокомпонентных
смесях // Прикл. математика и механика.— !961.— 25, № 2.— С. 231—245.
130. Тирский Г. А. Анализ химического состава ламинарного многокомпонентного
пограничного слоя на поверхности горящих стеклопластиков// Космич. исслед.—
1964.—№ 4.—С. 570—594.
131. Тирский Г. А. Вычисление эффективных коэффициентов диффузии в ламинарном
диссоциированном многокомпонентном пограничном слое // Прикл. математика
и механика.— 1969.—33, Л% 1.—С. 180—192.
132. Тирский Г. А. К теории гиперзвукового обтекания плоских и осесимметричаых
затупленных тел вязким химически реагирующим многокомпонентным потоком
газа при наличии вдува // Науч. тр. Ин-та механики Моск. у-та им. М. В. Ло-
Ломоносова,— 1975.— № 39.—С. 3—10.
133. Толстых А. И. О структуре криволинейной ударной волны //Прикл. математика
и механика.— 1964.— 28, № 3.— С. 553—556.
134. Толстых А. И. О численном расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел
потоком вязкого газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики.— 1966.— 6,
№ I.—С. 113—120.
135. Ферри А. Влияние кривизны ударной волны на поведение гиперзвукового по-
пограничного слоя // Сб. пер. и обзоров иностр. лит. Механика.— I960.— № 5.—
С. 47—64.
136. Ханг К. М. Численный расчет сверхзвукового ламинарного обтекания тел вра-
вращения под углом атаки // Ракет, техника и космонавтика.— 1980.— 18. —
С. 74—83.
182
137. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ш. Теория гиперзвуковых течений.— М. : Изя-во>
иностр. лит., 1902.— 607 с.
138. Храмов Н. Е. Окрестность критической точки тупого тела в двухфазной;
струе // Изв. ЛИ СССР. Сер. МЖГ,— 1974.— Л« 4.—С 169—172.
139. Черный Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью.— М. : Физ-
матгиз, 1959.— 220 с.
110. Черный С. Г. О выборе системы координат для численного решения упрощен-
упрощенных уравнений Навье — Стокса маршевым методом // Числ. методы механик»
сплош'. среды.— Н)82.— 13, Ке 1.—С. 132—146.
И1. Чжен X. К- Гиперзвуковая газодинамика тонких тел //Современные проблемы
газовой динамики / Под рея. Лох У. X. Т.—М. : .Мир, 1971.—С. 137—190.
142. Чжен П. Отрывные течения,— М. : Мир, 1973.— Т. 1—3.
143. Чудов Л. А. Высшие приближения в пограничном слое // Некоторые приме-
применения метода сеток в галовои динамике.— М. : Изд-во Моск. ун-та, 1971.—
Вып.'2.—С. 9—27.
144. I Нам рот С. Цж.. Макдональд Г. Новое решение о присоединении турбулент-
турбулентного ближнего следа // Сб. пер. и обзоров иностр. период, лит. Механика.—
1971.— № 1.—С. 39—55.
145. Швец А, И., Швец И. Т. Газодинамика ближнего следа.— Киев : Наук, думка,
1976. - 382 с.
146. Шевелев 10. А. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя.—
М. : Наука, 1977.— 224 с.
147. 1П°н С. Об уравнениях пограничного слоя при очень больших числах // Сб. пер.
и обзоров иностр. период, лит. Механика.— 1953.— № 1.— С. 56—59.
148. Шифф Стегер. Численный расчет стационарных сверхзвуковых вязких тече-
течений II Ракет, техника и космонавтика.— 1980.— 17, № 12.— С. 26—29.
149. Щенников В. В. Расчет ламинарного пограничного слоя у сублимирующей по-
поверхности // Журн. вычисл. математики и мат. физики.— 1961.— 1, № 5.
1.50. Щенников В. В. Расчет ламинарного пограничного слоя вдоль образующей суб-
сублимирующего тела вращения // Там же.— 1965.— 5, № 1.— С. 139—144.
151. Юрченок К- Е. Давление и температура за телом со срезом в сверхзвуковом по-
потоке при подаче инертных и реагирующих газов в донную область // Изв.
АН СССР. Сер. МЖГ.— 1971.— № 2.— С. 48—57.
152. Юрченок К- Е. Донное давление и температура газа за осесимметричными тела-
телами при взаимодействии струи со сверхзвуковым потоком // Там же.— 1974.
153. Якура Цж. Теория энтропийных слоев и затупление носка в гиперзвуковом
потоке // Исследование гиперзвуковых течений.— М. : Мир, 1964.— С. 306.
154. Bush. В. W. Hypersonic strong-interaction similarity solutions for flow past a
flat plat // J. Fluid. Mech.— 1966.— 25, pt 1.— P. 51—64.
155. ColeJ.D.. Aroesty J. The blowhnrd problem inviscid flow with surface inje-
injection // Intern. J. Heat and Mass Trausfer.— 1968.— 11. N 7.— P. 72—80.
156. Davis R. Т., Flugge-lotz J. Second-order boundary layer effects in hypersonic flow
past axisymmeiric blundbody//J. Fluid. Mech.—1964.—20, N 4.—P. 593—623.
157. Dunbar L. E., Courtney J. F., Macmiller L. D. Heating augmentation in erosive
hyperzonic euvironments // А1АЛ Journal.— 1975.— 13, N 7.— P. 908—912.
158. Ferri A., Libby P. Note on an interaction between the boundary layer and Ihe
inviscid flow// J. Aeronaut. Sci.— 1954.— 21, N 2.— P. 130—135.
159. Hayes W. D., Probslein R. F. Viscous hypersonic similitude//J. A. S.— 1959.—
Dec.— P. 815—824.
160. Ruchard S.. Lee. Cheng N. On the outer-edge problem of a hypersonic boundary
layer // J. Fluid. Mech.— 1969.— 38, N 1.—P. 161 — 179.
161. Lile F... Dynbar, Joseph F. Conztney Heating augmentation in pazticle erosion
environments AIAA Paper 1974.— N 74—607.
162. Stewartson K. Viscons Hypersonic flow past a Slender cone)//The physics of
fluids.— 1964.- 7, N 5.— P. 667—675.
163. Weinbaum S., Gurcine R. W. On the two — dimensional viscoes counterpart of
the onedimension;!| sonic thiroat // J. Fluid, Mech.— 1969.— 39, pt 1.— P. 55.
164. Wendell A. Flumr, Richard H. Watson Convective heating in dust— laden
hypersonic flows (A1AA Paper.- 1973,- N 73—761 8p).
165. Yasuhara M. On the hypersonic flow past slender bodies of revolution // J. Phys.
Soc. Japan.— 1956. - 11, N 8.— P. 878—886.
Монография
Валерий Иванович Тимошенко
сверхзвуковыр: течения
вязкого глзл
Утверждено к печати ученым советом
Института технической механики АН УССР
Редактор Л1. К. Лунина
Художественный редактор И. П. Лнтонюк
Технический редактор В. А. Краснова
Корректоры С. А. Евецкая, Д. #. Кашпер,
В. А. Михалец
ИБ .V» 8340
Слано о набор 17.10.86. Подп. а печ. 19.03.S7. БФ 25554. Фор-
Формат 60X90.16. Бум. тип. J4'° 1. Лит. г.чрн. Вис. печ. Усл. печ.
л. 11,5. Усл. кр.-отт. 11.5. Уч.-изд. л. 13.02. Тираж 1000 экз.
Заказ 6—3097. Цена 2 р. 30 к.
Издательство «Наукова думка». 252601 Киев 4, ул. Репина, 3.
Отпечатано с матрид Головного предприятии РПО «Полиграф-
книга». 252057. Киев 57. ул. Довженко. 3 в Киевской книжной
типографии научной книги. 252004 Киев 4, ул. Репина, 4.
Зак. 7-334.