УДК ooo.b	tt	Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.253.3	ь* <++> и Российского фонда фундаментальных
Л41	~~ ** ~~ исследований по проекту 02-01-14.022
Нестационарная аэродинамика баллистического полета /
Ю. М. Липницкий, А. В. Красильников, А. Н. Покровский, В. Н. Шманенков;
Отв. ред. д.т.н. проф. Липницкий Ю.М. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. —
176 с. - ISBN 5-9221-0345-8.
В книге изложен современный подход к решению проблемы полета гипер-
гиперзвуковых летательных аппаратов, основанный на совместном рассмотрении
задач динамики, аэромеханики и теплообмена. Основное внимание уделено
изучению нестационарных аэродинамических характеристик летательных
аппаратов осесимметричной формы. Изложены методы определения демп-
демпфирующих характеристик, базирующиеся как на приближенных подходах
(ньютонианская теория, метод искривленных тел), так и на строгой линейной
теории тел конечной толщины.
Показана существенная роль вязких эффектов (пограничного слоя, вду-
ва, перехода из ламинарного режима течения в турбулентный) при опреде-
определении нестационарных аэродинамических характеристик тонких притуплён-
притуплённых тел при гиперзвуковых скоростях движения.
Книга адресована научным работникам и инженерам, специализирую-
специализирующимся в области нестационарной аэродинамики, теории пограничного слоя
и динамики полета изделий ракетно-космической техники. Она может также
служить учебным пособием для студентов и аспирантов университетов и
втузов.
ISBN 5-9221-0345-8	© физматлит, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ........................
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
§1.1. Системы координат ............................	7
§ 1.2. Аэродинамические коэффициенты ...................	9
§1.3. Аэродинамические характеристики при неустановившемся движении	10
§ 1.4. Статическая и динамическая устойчивость ...............	12
Литература ...................................	17
ГЛАВА 2
ДИНАМИКА БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПОЛЕТА
§ 2.1. Атмосфера земли .............................	17
§ 2.2. Уравнения движения ...........................	17
§ 2.3. Зависимость скоростного напора от высоты ..............	18
§ 2.4. Влияние скоростного напора на демпфирование колебаний . .....	19
§ 2.5. Определение амплитуды колебаний угла атаки . ............	20
Литература ...................................	22
ГЛАВА 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ И МОМЕНТОВ В РАМКАХ
ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОСТИ
§ 3.1. Ньютонианская теория ..........................	23
§ 3.2. Универсальные свойства аэродинамических характеристик симмет-
симметричных тел ................................	24
§ 3.3. Примеры расчета демпфирующих характеристик ...........	30
§ 3.4. Определение максимального аэродинамического качества ......	38
Литература ...................................	45
ГЛАВА 4
МЕТОД ИСКРИВЛЕННЫХ ТЕЛ
§ 4.1. Постановка задачи ............................	46
§4.2. Тонкие заостренные тела под малыми углами атаки ..........	50
§ 4.3. О колебаниях тонких тел под большими углами атаки . ........	55
§ 4.4. Нестационарные аэродинамические характеристики тонких притуп-
притуплённых конусов ..............................	58
§ 4.5. Определение нестационарных характеристик конусов с произволь-
произвольной формой носка ............................	65
Литература ...................................	67
ГЛАВА 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
§ 5.1. Постановка задачи в рамках линейной теории тел конечной толщины	69
§ 5.2. Результаты исследований ........................	75
§5.3. Определение энтропии и полной энергии на поверхности колеблю-
колеблющегося в сверхзвуковом потоке тела ..................	83

Оглавление
§ 5.4. Вращательные производные суммарных аэродинамических характе-
характеристик затупленных тел различной формы, совершающих плоские
угловые колебания в сверхзвуковом потоке газа ............ 88
§ 5.5. Нестационарные аэродинамические характеристики конических тел 93
§ 5.6. Определение нестационарных аэродинамических характеристик ко-
колеблющихся тел на основе нелинейной системы уравнений газовой
динамики ................................. 98
Литература ................................... 102
ГЛАВА 6
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ
СТАЦИОНАРНОМ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ
§ 6.1. Постановка задачи ............................	105
§ 6.2. Выбор начальных и краевых условий ..................	112
§ 6.3. Метод решения ..............................	115
§ 6.4. Реализация метода ............................	120
§ 6.5. Апробация метода ............................	121
§ 6.6. Влияние шероховатости поверхности ..................	125
§ 6.7. Влияние перехода пограничного слоя и вдува с поверхности на коэф-
коэффициент сопротивления летательного аппарата ............	127
§ 6.8. Влияние завихренности потока на характеристики пограничного слоя
на затупленных телах ..........................	132
§ 6.9. Влияние вязких эффектов на сопротивление летательных аппаратов .	136
Литература ...................................	140
ГЛАВА 7
РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА КОНУСЕ,
СОВЕРШАЮЩЕМ ПЛОСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В СВЕРХЗВУКОВОМ
ПОТОКЕ
§ 7.1. Постановка задачи. Вывод уравнений нестационарного пограничного
слоя на колеблющемся затупленном конусе ..............	144
§ 7.2. Метод решения ..............................	150
§ 7.3. Реализация метода ............................	154
§7.4. Влияние вязких эффектов на нестационарные аэродинамические ха-
характеристики затупленных конусов. Режимы антидемпфирования . .	159
Литература ...................................	166
ГЛАВА 8
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
УСТОЙЧИВОСТИ
§ 8.1. Метод свободной балансировки для определения коэффициента цен-
центра давления ............................... 168
§ 8.2. Метод свободных колебаний и примеры экспериментальных иссле-
исследований .................................. 169
Литература ................................... 174

Введение
При полете в плотных слоях атмосферы летательных аппаратов (ЛА),
имеющих форму тонких притуплённых тел, под воздействием возмущаю-
возмущающих факторов формируется колебательная форма движения объекта от™
носительно центра масс. Характер изменения амплитуды колебаний ЛА
определяется его динамической устойчивостью, которая является одной из
основных характеристик, влияющих на параметры траектории.
При определении демпфирующих характеристик ЛА считается, что ско-
скорость линейных перемещений точек поверхности аппарата за счет колеба-
колебаний значительно меньше скорости полета. Время протекания нестационар™
ных процессов значительно больше времени распространения возмущений
в ударном слое, и для определения характера изменения суммарных харак-
характеристик во времени необходимы большие вычислительные ресурсы.
В связи с этим, при решении задач определения нестационарных аэро-
аэродинамических характеристик ЛА, обусловленных возмущенным движени-
движением, чаще всего использовался метод малого параметра, в рамках которого
нестационарные возмущения представлялись в виде разложения по кине-
кинетическим параметрам движения. В силу малости параметров возмущения
СМ. Белоцерковским A959 г.) была введена гипотеза гармоничности, в
соответствии с которой нестационарное движение тела полностью опреде-
определяется значениями кинематических параметров в рассматриваемый момент
времени и не зависит от предыстории движения.
Первоначально развитие методов расчета нестационарных характери-
характеристик тонких тел, колеблющихся в сверхзвуковом потоке, основывалось
на линейной теории, использующей предположение о малости возмуще-
возмущений, вызываемых телом в потоке газа. Скачки уплотнения вырождаются в
характеристические поверхности, а система уравнений газовой динамики
сводится к уравнениям второго порядка в частных производных для потен-
потенциала возмущенной скорости. Результаты, полученные при таком подходе,
изложен в книгах Е.А. Красильщиковой A952 г.) и ДЖ.В. Майлса A963 г.)
В работе Г.Ф. Теленина A959 г.) применительно к задаче сверхзвуково-
сверхзвукового обтекания колеблющегося конуса был сформулирован метод линейной
теории тел конечной толщины для определения нестационарных аэроди-
аэродинамических характеристик ЛА. В рамках этой теории решение нестацио-
нестационарной задачи сводится к системе нелинейных уравнений для параметров
стационарного обтекания и системы линейных уравнений по каждому из
кинематических параметров. Этим методом Ю.М. Липницким A967, 1968
г.г.) была решена задача об обтекании различных типов ЛА: тонких при-
притуплённых конусов, сегментально-конических тел и тел с положительными
и отрицательными изломами образующей. При этом внутренние разрывы
на изломах выделялись в явном виде. В работах Г.Г. Скибы A980 г.) в та-
такой же постановке была рассмотрена задача расчета характеристик тонкого
притуплённого конуса, колеблющегося вокруг некоторого балансировоч-
балансировочного угла атаки, и получены аэродинамические характеристики в широком
диапазоне чисел Маха набегающего потока и углов атаки. Исследования

Введение
В.Н. Сиренко A983 г.) были проведены для определения стационарных и
нестационарных аэродинамических характеристик осесимметричных тел
с подвижными (за счет толщины пограничного слоя) поверхностями и на-
наконечниками метеорной формы. Были получены решения для конических
тел, колеблющихся в сверхзвуковом потоке при больших углах атаки вплоть
до разрушения стационарного конического течения. Необходимо также от-
отметить предложенный В.В. Луневым A968 г.) метод искривленных тел,
позволяющий в рамках метода плоских сечений свести задачу о нестацио-
нестационарном обтекании колеблющихся тел к серии стационарных задач.
Экспериментальные данные о нестационарных аэродинамических ха-
характеристиках тонких затупленных конусов указывают на сильное влия-
влияние при гиперзвуковых скоростях обтекания вязких эффектов, связанных
с наличием на поверхности тел пограничного слоя, тепломассообмена и
перехода ламинарного режима обтекания в турбулентный. В ходе натурных
испытаний были зарегистрированы режимы динамической неустойчивости
ЛА, что могло быть проявлением дестабилизирующих факторов, связанных
с нестационарным пограничным слоем или переходом ламинарного режима
обтекания в турбулентный. На это было обращено внимание и построена
приближенная модель течения Ю.И. Файковым A982 г.). Поскольку пе-
перечисленные факторы плохо воспроизводятся при испытаниях моделей в
аэродинамических трубах, важную роль приобретают расчетные методы.
В первых теоретических работах по влиянию ламинарного погранич-
пограничного слоя на коэффициенты демпфирования колебаний было рассмотрено
плоское нестационарное течение около колеблющегося клина. В дальней-
дальнейшем эта задача была обобщена на случай обтекания затупленного конуса
и были определены вязкие поправки к аэродинамическим коэффициентам.
Модернизированный вариант этого метода изложен в настоящей книге в
более полной и строгой постановке.
Задача о сверхзвуковом обтекании затупленного конуса рассматривает-
ся на основе линейной теории тел конечной толщины с учетом обратного
влияния пограничного слоя на внешнее течение в рамках модели слабо™
го вязкого взаимодействия. С этой целью численно решаются трехмерные
нестационарные уравнения пограничного слоя и оценивается роль перенос-
переносного ускорения и кориолисовых сил в формировании течения в нестацио-
нестационарном пограничном слое. Высокая точность определения характеристик,
найденных по данной методике, подтверждается экспериментальными дан-
данными, полученными путем проведения динамических испытаний крупно-
крупномасштабной модели [L rsj \ мм) в аэродинамической трубе при М^ = 4
и 6. Расчетные исследования подтверждают наличие режимов антидемп-
антидемпфирования колебаний затупленных конусов при гиперзвуковых скоростях
полета, которые могут как усиливаться, так и ослабляться при наличии
вдува в пограничный слой с поверхности ЛА.
Авторы выражают благодарность Фролову Л.Г. за помощь в составле-
составлении комплекса программ и проведении расчетов. Подготовка рукописи к
печати была осуществлена Пищенковой Н.А., Калякиной Е.Д. и Зуевой
Л.В. Авторы приносят им свою искреннюю благодарность.

ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
При полете летательного аппарата в газовой среде с ее стороны возни-
возникает силовое воздействие, которое может быть, в соответствии с общими
законами механики, сведено к действию главного вектора аэродинамиче-
ских сил и главного вектора момента этих сил относительно некоторого
центра, обычно центра масс.
Воздействие газовой среды на летательный аппарат определяется рядом
сложных физических процессов. Газовая среда является совокупностью
большого числа молекул, совершающих непрерывное тепловое движение.
Летательный аппарат, взаимодействуя с молекулами, вызывает некоторое
упорядоченное их движения. Характер взаимодействия молекул с телом
зависит от длины свободного пробега А. Отношение этой длины к харак-
характерному размеру тела I называется числом Кнудсена Кп = А/1.
Если длина свободного пробега значительно превосходит размеры тела
(Кп >> 1), то такой режим обтекания называется свободномолекулярным.
В этом случае молекулы практически не взаимодействуют между собой, а
для расчета взаимодействия молекул с телом используются статистические
методы.
При Кп <С 1 газовую среду считают непрерывной, т. е. принимается
гипотеза сплошности или континуума. В этой области вблизи поверхности
тела проявляется вязкость газовой
среды, а на самой поверхности тела
частицы газа прилипают к нему.
Между этими областями суще-
существует промежуточная область, в ко-
которой частицы газа на поверхности
тела не остаются неподвижными, как
в сплошной среде, а проскальзывают.
Поэтому такое течение называется те-
течением со скольжением.
Исходя из первоочередной практи-	Рис. 1.1
ческой потребности, будем рассматривать задачи нестационарной аэроди-
аэродинамики только для сплошной среды.
§ 1.1. Системы координат
В аэродинамике широко используются связанная и скоростная системы
координат. Начало координат связанной системы обычно совпадает с цен-
центром масс тела О, ось Ох направлена по продольной оси от центра масс к
вершине; ось О у перпендикулярна оси Ох и лежит, как правило, в плос-
плоскости симметрии тела; ось Oz образует с осями Ох и О у правую систему
координат (см. рис. 1.1).

Основные понятия и определения
Гл. 1
Начало скоростной системы координат помещается также в центре масс.
Ось Оха направлена по вектору скорости центра масс V; ось Оуа лежит в
плоскости симметрии и перпендикулярна оси Оха, а ось Oza дополняет
оси Оха и Оуа до правой системы координат.
На рис. 1.1 плоскость симметрии тела заштрихована. Она совпадает с
координатной плоскостью хОу. Плоскость zOA, проходящая через оси Oz
и Оха, называется плоскостью скольжения. Она перпендикулярна плоско™
сти хОу, а линия пересечения О А этих двух плоскостей является проекцией
вектора скорости центра масс на плоскость симметрии тела. В плоскости
скольжения лежит и ось Oza скоростной системы координат.
Взаимную ориентацию осей связанной и скоростной систем координат
определяют два угла: а—угол атаки и C—угол скольжения. Эти углы, кро-
ме того, однозначно определяют положение вектора скорости центра масс
по отношению к осям связанной системы координат. Угол а расположен
в плоскости симметрии и образован продольной осью тела и проекцией
вектора скорости на эту плоскость. Угол /3 является углом между вектором
скорости и плоскостью симметрии и лежит в плоскости скольжения. Фак-
Фактически, эти углы показывают отклонение в своих плоскостях продольной
оси тела от направления движения центра масс. Угол а считается положи-
положительным, если вектор скорости V находится в области у < 0, а /3 > 0, если
вектор скорости расположен в
области z < 0.
Аэродинамические силы обыч-
обычно задают в скоростной си-
системе координат при опреде-
определении траектории движения
тел. Связанную систему коор-
координат используют при прове-
проведении аэродинамических рас-
расчетов. В ней удобно также ис-
исследовать вращательное дви-
движение, рассматривать вопросы
устойчивости и управляемо-
управляемости. Как правило, в этом слу-
случае движение обращают, т.е.
считают центр масс неподвиж-
неподвижным, а на тело из бесконечно-
бесконечности набегает газовый поток со скоростью Foo, равной модулю скорости
центра масс. При этом тело может совершать колебательные движения во-
вокруг центра масс. Ось Ох в этом случае обычно направляют по продольной
оси от вершины.
При исследовании траектории полета используют земную систему ко-
координат, относительно которой определяется положение тела. Начало ко-
координат такой системы неподвижно связано с Землей. Ось Оуз проходит
через центр Земли и направлена вверх по местной вертикали, а оси Ожз,
Oz% находятся в плоскости горизонта, образуя правую систему координат.
Рис. 1.2

§1.2.	Аэродинамические коэффициенты	9
Совмещением начала земной системы координат с центром масс тела
образуется местная географическая система координат, которую называют
нормальной системой. Ось Ох% ориентируют по касательной к меридиану
в северном направлении, а ось Oz% — параллельно плоскости экватора.
Положение летательного аппарата относительно нормальной системы
координат определяют тремя углами: рыскания ф, тангажа v и крена 7-
Угол ф (см. рис. 1.2) образуется проекцией связанной оси Ох на горизон-
горизонтальную плоскость x%0z% (ОА) и осью Ох%; угол v является углом между
осью Ох и горизонтальной плоскостью x%Oz$; угол 7 образован углом меж-
между осью Оу и ее проекцией на вертикальную плоскость АО В при повороте
тела вокруг продольной оси Ох.
Угол в между вектором скорости V и горизонтальной плоскостью ха-
характеризует наклон траектории полета в рассматриваемый момент времени,
а угол а между проекцией вектора скорости на горизонтальную плоскость
и осью Ох% называется углом поворота траектории. Эти углы характери-
зуют расположение скоростной системы координат относительно местной
географической.
Переход от одной системы координат к другой легко осуществить, зная
синусы и косинусы углов между соответствующими осями.
§ 1.2. Аэродинамические коэффициенты
Проекции главного вектора аэродинамических сил на оси связанной
системы координат х, у, z, соответственно, называют продольной (или осе™
вой) Х9 нормальной Y и поперечной Z силами, а проекции этого же вектора
на оси скоростной системы координат жа, ya, za называют лобовым сопро-
сопротивлением Ха, подъемной силой Ya и боковой силой Za.
Проекции главного вектора момента аэродинамических сил на оси свя-
связанной и скоростной систем координат имеют одинаковое название: отно-
относительно осей х и ха — моменты крена Мх и Мжа, осей у и уа — моменты
рыскания Му и Муа и осей zwza — моменты тангажа Mz и Mza. Положи-
Положительным считается момент, стремящийся повернуть летательный аппарат
против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора момента.
В аэродинамике имеют дело с безразмерными параметрами, характери-
характеризующими силы и моменты, которые называют аэродинамическими коэф-
коэффициентами:
сх = X/qS, су = Y/qS, cz = Z/qS,
сха = Xa/qS, cya = Ya/qS, cza = Za/qS,
mx = Mx/qSl, my = My/qSl, mz = Mz/qSl,
mxa = Mxa/qSl, mya = Mya/qSl, mza = Mza/qSl.
Здесь q = PooV^/2 — скоростной напор (poo hFqo —плотность и скорость
набегающего потока), S и1 — характерная площадь и характерный размер.
Коэффициенты сХ9су, cz называются коэффициентами продольной, нор-
нормальной и поперечной силы, а сжа, суа, cza — коэффициентами сил лобо-

10	Основные понятия и определения	Гл.1
вого сопротивления, подъемной и боковой сил. Коэффициенты моментов
в связанной и скоростной системах координат называются одинаково: тХ9
тха — аэродинамические коэффициенты момента крена, ту9 туа — коэф-
коэффициенты момента рыскания, mZ9 mza — коэффициенты момента тангажа.
Задачей аэродинамики является изучение аэродинамических сил и мо-
моментов при заданном движении летательного аппарата в атмосфере. Ве-
Величина скоростного напора считается известной. Поэтому после выбора
характерной площади и длины задача аэродинамики сводится к задаче изу-
изучения соответствующих аэродинамических коэффициентов.
Аэродинамические коэффициенты не зависят от размеров тела и для
геометрически подобных тел при одинаковых условиях обтекания одно-
одноименные коэффициенты равны. Это позволяет находить аэродинамические
коэффициенты в результате модельных экспериментов.
Диапазон изменения аэродинамических коэффициентов при изменении
их аргументов невелик, так как главная часть изменения аэродинамических
сил и моментов определяется величинами qS и qSl в выражениях A.1). Это
делает изучение аэродинамических коэффициентов более простым.
Аэродинамические силы и моменты, действующие на летательный ап~
парат, зависят в общем случае от времени t9 скорости V^, высоты Н9 угло™
вой ориентации (углы а и /3), угловых скоростей ПХ9 пу, Qz и их производ-
производных по времени V^, а, /3, ClX9 Qy, tlz. Аэродинамические коэффициенты
сил и моментов зависят от безразмерных параметров, образованных из раз-
размерных величин.
Для заданных скорости Foo и высоты Н в качестве таких параметров
рассматривают числа Маха Moo = Voo/a^ и Рейнольдса Re = V^lp^/'/Xqo
(здесь «оо, poo, /ioo — соответственно, скорость звука, плотность и дина-
динамическая вязкость на высоте Ж, I — характерный линейный размер тела).
Числа Маха и Рейнольдса характеризуют влияние сжимаемости и вязкости
газа на аэродинамические коэффициенты.
Из кинематических параметров обычно образуют следующие безраз-
безразмерные величины:
§ 1.3. Аэродинамические характеристики
при неустановившемся движении
Нахождение аэродинамических коэффициентов при неустановившемся
движении летательного аппарата представляет собой очень сложную зада-
задачу. На практике обычно используют упрощенные методы.
Для многих летательных аппаратов изменение кинематических пара™

§ 1.3. Аэродинамические характеристики при неустановившемся движении 11
метров происходит достаточно медленно. В этом случае аэродинамические
характеристики определяют исходя из следующих предположений: коэф-
коэффициенты С{, rrii не зависят явно от времени и от предыстории, а определя-
определяются кинематическими параметрами движения в рассматриваемый момент
времени, т. е. являются функциями следующих безразмерных параметров:
Моо, Двоо, а, /3, а, /3, V,
Безразмерные величины A.2) при таких предположениях малы. По™
этому, разлагая аэродинамические коэффициенты в ряд Тейлора по этим
параметрам и ограничиваясь первыми членами, можно получить
^ОО	^ОО	^ОО
) • — TY1 4- • -\— ТП • Г? ————	-+- ТТ) 1} ————	-+- ТТ) • I/	———— -\—
h — !Ibsti п- АААг о	~h //«-^ р у	~Г //«-г к	2 -|-
» оо » оо	' по
В общем случае все аэродинамические коэффициенты в A.4) зависят
от чисел Маха, Рейнольдса, углов атаки и скольжения. Коэффициенты с3ц
и msti называются стационарными (статическими) членами, так как они
определяются в результате решения стационарных газодинамических урав-
уравнений. Для симметричных тел при малых углах атаки и скольжения их
представляют в виде линейных разложений по а и /3
csti = cfa + cf/3 + ..., rrtsti = mfa + raf/3 + ...,	A.5)
i = x,y,z.
Остальные коэффициенты cj и raj в A-4) могут быть определены
только путем интегрирования нестационарных уравнений газовой динами™
ки. Поэтому их называют нестационарными аэродинамическими коэффи-
коэффициентами. Коэффициенты при компонентах угловых скоростей и ускорений
иногда называют вращательными производными, так как их обычно вводят
при рассмотрении вращения летательных аппаратов вокруг центра масс.
Вращательные производные, оказывающие сильное влияние на такое
движение называются коэффициентами продольного демпфирующего мо-
момента (га", т^\ демпфирования рыскания (га^5 тпуу) и демпфирования
крена т^х.

Основные понятия и определения
Гл. 1
При рассмотрении баллистического полета летательных аппаратов в
уравнения движения вводят только коэффициенты демпфирующих момен-
моментов, как наиболее важные. Остальные нестационарные аэродинамические
коэффициенты влияют на динамику движения незначительно и ими прене-
пренебрегают.
Такой подход неприменим при быстропеременных процессах, напри-
например, порывах ветра, соударениях летательных аппаратов с другими телами,
ударными волнами и т. п. Вместе с тем, он может быть использован и при
таких сложных явлениях, как статический гистерезис, когда структура обте™
кания и, как следствие, аэродинамические коэффициенты тела отличаются
при одном и том же угле атаки в зависимости от предыстории движения —
уменьшался или увеличивался угол атаки или скольжения до этого момента.
В этом случае выбор ветви зависимости статического аэродинамического
момента от угла атаки или скольжения осуществляют по знаку угловой
скорости.
§ 1.4. Статическая и динамическая устойчивость
При статическом равновесии летательного аппарата аэродинамический
момент относительно центра масс в случае отсутствия вращения и измене-
изменения углов атаки и скольжения равен нулю. Это соответствует установивше-
установившемуся прямолинейному движению аппарата, когда параметры движения не
зависят от времени.
Для о се симметричных конфигураций равновесие (т. е. балансировка ап-
аппарата) чаще всего достигается при нулевых углах атаки и скольжения. При
массовой асимметрии или отклоненных рулях балансировка может осуще-
осуществляться при углах атаки и скольжения, отличных от нуля.
Равновесие аппарата при закрепленных рулях может быть устойчивым
и неустойчивым. При устойчивом равновесии малое его отклонение под
воздействием случайного кратко-
кратковременного возмущения не приво-
приводит к нарушению характера рав-
равновесия, которое восстанавлива-
восстанавливается после прекращения возму™
щения. При неустойчивом равно-
равновесии возмущения вызывают еще
большие отклонения от исходного
положения.
Для пояснения сущности ста-
Рис. 1.3	тической устойчивости на рис. 1.3
представлены зависимости мо-
момента относительно центра масс для осесимметричной (кривые I и 2) и
несимметричной (кривая 3) конфигураций.
Для осесимметричных аппаратов балансировочный угол атаки равен
нулю, а для несимметричных аппаратов возможно несколько балансиро-
балансировочных УГЛОВ («1, «2? «з)«

§1.4.	Статическая и динамическая устойчивость	13
Рассмотрим зависимости момента от угла атаки вблизи а = 0 для сим-
симметричных аппаратов. Если отклоненный на угол Аа (—Да) летательный
аппарат предоставить самому себе, то для аппарата с моментной характе-
характеристикой 1 возникший отрицательный (положительный) момент вызовет
уменьшение (увеличение) этого угла до прежней (нулевой) величины, т. е.
такая моментная характеристика является стабилизирующей, а летатель-
летательный аппарат в точке а = 0 статически устойчив.
Для аппарата с моментной характеристикой 2 случайное возмущение
угла атаки приводит к возникновению дестабилизирующих моментов, т. е.
моментов, способствующих увеличению угловых возмущений. Летатель-
Летательный аппарат с моментной характеристикой 2 является статически неустой-
неустойчивым. Аналогично рассуждая, можно показать, что несимметричный
аппарат при балансировочных углах атаки а\, и «з — статически устойчив,
а при балансировочном угле атаки «2 — статически неустойчив.
Статическую устойчивость подразделяют на продольную и боковую.
При рассмотрении продольной устойчивости полагают, что все возмущаю-
возмущающие силы действуют в плоскости связанных осей хОу и вызывают моменты
относительно оси Z, т. е. рассматривается движения аппарата в плоскости
симметрии. При анализе боковой устойчивости рассматривают возмущен™
ные движения летательного аппарата, связанные с изменением углов крена
и скольжения при постоянном угле атаки. Такие движения всегда взаимо-
взаимосвязаны. Поэтому исследование боковой устойчивости связано с анализом
моментов крена и моментов рыскания.
При продольной статической устойчивости изменение коэффициента
момента mz противоположно изменению угла атаки (см. рис. 1.4.1). Поэто-
Поэтому условие продольной статической устойчивости можно выразить нера-
неравенством
га" = —-— < 0, при mz = 0.
В случае продольной статической неустойчивости возникает дестабили-
дестабилизирующий момент, который увеличивает угол атаки по сравнению с балан-
балансировочным значением. Условием продольной статической неустойчивости
является неравенство га" > 0.
Величина производной га" определяет степень продольной статической
устойчивости.
Для характеристики статической устойчивости часто вводят понятие
центра давления. Под центром давления понимают некоторую точку на
выбранной оси, через которую проходит равнодействующая аэродинами-
аэродинамических сил.
Для о се симметричных тел в качестве выбранной оси обычно принима-
принимают ось симметрии. В этом случае в качестве критерия статической устой-
устойчивости принимается разность расстояний от носка тела до центра масс
и центра давления А = хТ — xd или в безразмерном виде А = А/? =
= хт — Cd, %т = хт/?9 Cd = Xd/L Если центр х^ > хт, т.е. центр
давления расположен за центром масс, то такой летательный аппарат бу-
будет статически устойчивым, а при переднем расположении центра давле-

14	Основные понятия и определения	Гл. 1
ния (ха < хТ) — статически неустойчивым. Величину А называют запасом
статической устойчивости.
Запас статической устойчивости может быть положительным (статиче-
(статическая неустойчивость), отрицательным (статическая устойчивость) и нуле-
нулевым (нейтральный летательный аппарат).
Для малых углов атаки коэффициенты момента тангажа и нормальной
силы можно представить в виде
mz = га" • а, су = с% • а.	A.6)
В этом случае
А = 5^=^	A.7)
дсу с"	l ;
Отсюда следует, что величина dmz/dcy определяет характеристику
продольной устойчивости.
Для несимметричных летательных аппаратов величина коэффициента
центра давления может изменяться в широких пределах (от минус беско-
бесконечности до бесконечности), что неудобно для практики.
В этом случае используется понятие фокуса, безразмерная координата
которого определяется по формуле
xF = -mczy.	A.8)
Момент тангажа тогда можно представить в виде
mz = mzo - су (xF - хт) •	A.9)
Отсюда находим
^=-(xF-xT).	A.10)
Таким образом, продольная устойчивость несимметричного летатель-
ного аппарата определяется взаимным расположением фокуса и центра
масс.
Для оценки летных качеств летательного аппарата недостаточно анализа
статической устойчивости, так как такой анализ не дает ответа о характере
движения тела после прекращения действия возмущений и о величинах
параметров, определяющих это движение. На эти вопросы отвечает теория
динамической устойчивости, которая исследует колебания летательных ап-
аппаратов и устойчивость его движения на траектории.
Эта теория использует результаты аэродинамических исследований на
режимах неустановившегося обтекания, когда на тело действуют нагрузки,
зависящие от времени.
Для введения понятия динамической устойчивости рассматривают
невозмущенное и возмущенное движение летательного аппарата.
Невозмущенным называют движение на определенной траектории со
скоростью, изменяющейся в соответствии с заданным законом, при стан-
стандартных значениях параметров атмосферы и известных начальных пара-

§1.4.	Статическая и динамическая устойчивость	15
метрах такого движения. Такую траекторию также называют невозмущен-
невозмущенной траекторией.
В результате воздействия случайных факторов (отклонений от стан-
стандартных значений атмосферы, порывов ветра, отличий параметров системы
управления от номинальных и др.) невозмущенное движение может нару-
нарушаться. После прекращения действия случайных факторов тело в течение
некоторого времени будет двигаться по закону, отличному от первоначаль-
первоначального. Такое движение называется возмущенным.
Если под действием сил и моментов, возникающих при отклонении от
невозмущенного движения, летательный аппарат возвращается на перво-
первоначальную траекторию, то такое движение будет устойчивым. Аппарат в
этом случае является динамически устойчивым, а в противном случае —
динамически неустойчивым.
Например, если при отклонении от балансировочного угла атаки ампли-
амплитуда колебаний угла атаки увеличивается, то летательный аппарат в этом
случае динамически неустойчив.
В общем случае движение летательного аппарата по траектории опре-
определяется следующими кинематическими параметрами: скоростью, углами
атаки и скольжения, углами тангажа, рысканья и крена, углом наклона тра-
траектории к горизонту и углом поворота траектории, составляющими угловой
скорости.
Поэтому для изучения динамической устойчивости аппарата необхо-
необходимо проводить анализ отклонений всех этих параметров на возмущенное
движение.
Если воздействие случайных факторов невелико, то возмущенная и
невозмущенная траектории незначительно отличаются друг от друга. Это
позволяет использовать метод малых возмущений для проведения анализа
динамической устойчивости. Для проведения такого анализа необходимо
знание величин нестационарных аэродинамических характеристик.
Литература
1.	Белоцерковский С М. Гипотеза гармоничности. ТР. ВВИА им. Н.Е. Жуковского,
1959 г.
2.	Белоцерковский С. М. О коэффициентах вращательных производных. Тр. ЦАГИ,
№725. 1958 г.
3.	Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К, Табачников В. Г. Крыло в нестационарном
потоке газа. — М.: Наука, 1971 г.
4.	Краснов Н. Ф. Аэродинамика тел вращения. - М.: Машиностроение, 1964 г.
5.	Краснов Н. Ф. и др. Аэродинамика ракет. - М.: Высшая школа, 1968 г.
6.	Краснов Н. Ф. Аэродинамика. - М.: Высшая школа, 1976 г.
7.	Краснов Н. Ф., Кошевой В. Н. Управление и стабилизация в аэродинамике. - М.:
Высшая школа, 1978 г.
8.	Лайтхилл М. Колебание профилей при больших числах Маха. Сб. переводов.
Механика. № 5. 1964 г.

16	Основные понятия и определения	Гл.1
9.	Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. - М.: Машиностроение, 1975 г.
10.	Майлс Д. У. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений. -
М.: Физматгиз, 1963 г.
11.	Полянский О. Ю. Нестационарное движение конуса в сверхзвуковом потоке. Тр.
ЦАГИ, 1955 г.
12.	Теленин Г. Ф. Исследование обтекания колеблющегося конуса сверхзвуковым
потоком. Оборонгиз, 1959 г.
13.	Carrier G. К The oscillating wedge in a supersonic stream. YAS. V. 16. № 3. 1949.
14.	Van Dyke M. D. On supersonic flow past an oscillating wedge. Quart apple. Math.
V. 11. №3. 1953.

ГЛАВА 2
ДИНАМИКА БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПОЛЕТА
§ 2.1. Атмосфера земли
Аэродинамические силы, действующие на летательный аппарат при
баллистическом полете, оказывают заметное влияние на его движение на
атмосферном участке, граница которого зависит от массовых и геометри™
ческих параметров тела, скорости и угла входа в плотные слои атмосферы.
Так, например, для головных частей баллистических ракет при стрельбе на
расстояние ~ 10000 км условная граница атмосферного участка начинается
с высот ~ 80 км.
Для изучения движения летательного аппарата в атмосфере используют
таблицы стандартной атмосферы СД-64 (ГОСТ 4401-64), которые опреде-
определяют средние значения температуры Т, давления р , плотности р9 скорости
звука а, динамической /л и кинематической v вязкости, длины свободного
пробега А и ускорения свободного падения g в зависимости от высоты над
уровнем моря Н.
На характеристики атмосферы оказывают влияние географическое по™
ложение, климатические условия, сезонные и суточные их изменения, сол-
солнечная активность и др. Все эти параметры атмосферы учитываются при
точных численных расчетах траектории полета летательных аппаратов.
Вместе с этим при проектировании и качественном анализе характери-
характеристик движения тела используют простейшие модели атмосферы. Одной из
таких моделей является изотермическая атмосфера, для которой плотность
и давление являются экспоненциальными функциями высоты:
p(?	B.1)
где нулевые индексы обозначают параметры на уровне моря, а Н* « 7,11 км
в диапазоне высот Н = 0^80 км.
Если величину Н* принимать различной в зависимости от диапазона
высот, то такую модель называют квазиизотермической. Обе эти модели
неплохо согласуются с параметрами стандартной атмосферы.
§ 2.2. Уравнения движении
Для качественного анализа основных характеристик баллистического
полета достаточно иногда рассмотреть продольное движение тела в плос-
плоскости стрельбы, которое определяется следующей нелинейной системой
уравнений:
dV	cxqS	.	d0 cyqS (д	V
=	— 0 sin 0, — = -^— — — cos в — —
y ' dt mV \V	r
=	0 sin 0,	=	cos в
dt	m y ' dt mV \V	r

18	Динамика баллистического полета	Гл.2
dH	dL RV
F0	cos0,
Fsm0,
Jz\ol - m(a)—г^г-а - mzi(a)qSl = 0,	B.2)
Здесь r — расстояние от тела до центра Земли, R — радиус Земли, L —
дальность полета, Jz\ — момент инерции относительно оси Oz\ связанной
системы координат.
При выводе уравнений B.2) предполагалось, что угол атаки изменяется
во много раз быстрее, чем параметры движения центра масс, а коэффици-
коэффициент подъемной силы су может быть представлен как линейная функция угла
атаки, что справедливо для а ^ 60°. Обратим также внимание, что коэф-
коэффициент демпфирующего момента т^г (а) в общем случае состоит из двух
составляющих: т^{г (а) — коэффициент демпфирующего момента, возни-
возникающий при колебаниях тела вокруг центра масс и —с^ —^- — коэффициент
момента демпфирования в результате учета искривления траектории.
§ 2.3, Зависимость скоростного напора от высоты
Величина скоростного напора является важнейшей характеристикой,
определяющей движение летательного аппарата при баллистическом входе
в атмосферу. Поэтому весьма важно знать ее зависимость от высоты полета.
Для нахождения такой зависимости рассмотрим движение летательного
аппарата по прямолинейной траектории и при постоянном угле атаки. В
этом случае из уравнения B.2), пренебрегая гравитационными силами, и
уравнения B.1) имеем
dV _ pV2	_ m
dt	2a '	сж5"
— = Fsm<9,
Из этой системы уравнений нетрудно получить
dlnV	ро	/ Н
dH	2a sin 0 *\ H^
Решением этого уравнения является следующая функция:
B-4)
где Ve и ре соответственно скорость и плотность при входе в атмосферу.

§2.4.
Влияние скоростного напора на демпфирование колебаний
19
Используя B.5) и пренебрегая ре по сравнению с р, для скоростного
напора находим
/il/2	f ЛЦ 1
B.6)
Дифференцируя это выражение по if и приравнивая эту производную
нулю, находим сначала величину плотности, при которой достигается мак™
симальный скоростной напор, а затем и само значение максимального ско-
скоростного напора
_ а sin(-fl)	_ V;2<rsin(-fl)
Ртах —	тт	? Gтах —	2еН	'	\г"')
Используя B.6) и B.7), нетрудно получить легко запоминающееся вы-
выражение для зависимости скоростного напора от высоты:
р
= ере
Р =
<rsin(—0)
B.8)
Как видно из B.7), величина максимального скоростного напора за-
висит от баллистического коэф™
фициента а, скорости и угла ¦
входа. Универсальная зависи-
зависимость g от р (т. е. независящая
от параметров входа) представ™
лена на рис. 2.1. Так как ~р(Н) —
монотонно убывающая функция
высоты, из рисунка следует, что
при баллистическом входе тела
О	1	2	3 9
Рис. 2.1
в атмосферу величина скоростного напора, действующая на летательный
аппарат, сначала увеличивается до максимального значения с уменьшением
высоты, а затем монотонно уменьшается.
§ 2.4. Влияние скоростного напора
на демпфирование колебаний
Рассмотрим уравнение, описывающее колебание угла атаки летатель-
летательного аппарата при баллистическом входе в атмосферу
Jz\'ct - m^a)——^ - mzi(a)qSl = 0.
V
B.9)
Введем новую независимую переменную т =
Тогда для преобразования производных в B.9) имеем
¦J
d
dt
IqSl d
Jzi dr
qSl d2
IqSl 1 dq d
Jzi q dt dr
B.10)

20	Динамика баллистического полета	Гл. 2
Подставляя B.10) в B.9), получим уравнение колебания угла атаки в
следующем виде:
/ 1 . / 1 Ап /m". лС72\ Агл,
¦mzl(a) = 0.	B.11)
Из теории дифференциальных уравнений известно, что коэффициент
при —— определяет зависимость амплитуды колебаний от времени. При
положительном значении этого коэффициента амплитуда уменьшается, а
отрицательном — увеличивается. Так как скоростной напор для баллисти-
баллистического входа летательного аппарата в атмосферу сначала увеличивается
— > 0 ], а затем уменьшается — < 0 ], то из выражения B.11) следует,
at J'	у at J
что изменение скоростного напора на первом участке полета способствует
демпфированию колебаний, а на втором — антидемпфированию.
§ 2.5. Определение амплитуды колебаний угла атаки
При баллистическом полете в атмосфере статически устойчивый лета™
тельный аппарат совершает колебательные движения вокруг центра масс,
близкие к гармоническим. Частота колебаний может достигать 10 Гц. На
амплитуду колебаний угла атаки оказывает влияние и характер изменения
скоростного напора (как было показано в предыдущем разделе) и, конечно,
свойства самого аппарата, определяемые стационарными и нестационар-
нестационарными аэродинамическим коэффициентами.
За время одного полного колебания скоростной напор и скорость ле-
летательного аппарата изменяется незначительно, т. е. эти параметры можно
рассматривать как медленно меняющиеся функции времени по сравнению
с изменениями угла атаки, зависимость которого от времени можно пред-
представить в виде
a = A(t)sin[u(t)i\,	B.12)
где A(i) и u(i) амплитуда и частота колебаний, также являющиеся медлен-
медленно меняющимися функциями времени. Это позволяет получать приближен-
приближенные аналитические решения для амплитуды колебаний угла атаки с учетом
нелинейной зависимости аэродинамических характеристик от угла атаки.
Для этого можно воспользоваться методом усреднения, являющимся эф-
эффективным методом расчета квазилинейных неавтономных колебательных
систем (Андронов, Витт).
Рассмотрим уравнение B.9), в котором представим аэродинамические
коэффициенты mzi(a) и т(^1(а) соответственно, как нечетную и четную
функции угла атаки при его малых значениях в следующем виде:
mzl(a) = m«1a + 7<1V + ..., m^zl(a) = mjx +m*1aV + ... . B.13)
Уравнение B.9) можно рассматривать как уравнение колебаний маятни-
маятника с переменной упругостью. Полную энергию такого маятника, зависящую

§ 2.5.	Определение амплитуды колебаний угла атаки	21
от времени, можно представить в виде суммы кинетической и потенциаль-
потенциальной энергий
E(t) = ^Jzia2 - qSl [mzl{a)da.
B.14)
о
Продифференцируем это выражение по времени:
а
— = Jzlaa - -Isi mzl(a)da - qSlmzl(a)a.	B.15)
о
Подставляя в это уравнение Jz\ol из B.9) и mzi(a)9 т(^1(а) из B.13),
получим
dE qSl2
F
B.16)
Используя B.12), B.16) и считая ш, q, V и — постоянными за время
at
периода колебаний, для среднего значения производной полной энергии за
время Т можно найти
т
Е , qSl2 л2 2 / - 1 da2 Л dqSIA2
О
B.17)
С другой стороны, так как полную энергию можно выразить через ампли™
туду колебаний
то производную ее по времени можно представить в виде
dE _ dq	a A2 m?! A Q
Приравнивая B.17) и B.18) и полагая ш2 =	——, получим диффе-
Jzl
ренциальное уравнение для нахождения амплитуды колебаний угла атаки:
ding
=O. B.20)
Если зависимость коэффициента статического момента от угла атаки
линейная, а коэффициент момента демпфирования не зависит от угла атаки

22	Динамика баллистического полета	Гл. 2
(т. е. m^i = m^i = 0), это уравнение можно проинтегрировать и получить
хорошо известное выражение
ГЦfe) B21)
Индексом ноль здесь обозначены начальные значения амплитуды коле-
колебаний угла атаки и скоростного напора.
Анализируя B.21), важно отметить, что коэффициент демпфирования
входит в показатель экспоненты. Поэтому даже при малых значениях вли-
влияние его на амплитуду колебаний угла атаки может быть существенным.
Уравнение B.20) может быть проинтегрировано также при ra"i ф 0,
m"f ф 0, m^i = m"i = 0 и представлено в виде
Обратим внимание, что в этом случае степень при скоростном напоре
меньше, чем в линейном случае. Поэтому при одном и том же изменении
величины скоростного напора амплитуда колебаний угла атаки в нелиней-
нелинейном случае зависимости коэффициента статического момента от угла атаки
изменяется меньше.
Литература
1.	Абгарян К.А., Рапопорт П.М. Динамика ракет. — М.: Машиностроение, 1969 г.
2.	Андреевский В.В. Динамика спуска космических аппаратов на землю. - М.: Ма-
Машиностроение, 1970 г.
3.	Аппазов Р. Ф., Лавров С. С, Мишин В.П. Баллистика управляемых ракет дальнего
действия. Наука, 1966 г.
4.	Атмосфера стандартная. Параметры. ГОСТ 4401-81. - М.: Изд-во стандартов,
1981 г.
5.	Бабаков КМ. Теория колебаний. - М.: Наука, 1968 г.
6.	Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нели-
нелинейных колебаний. Гостехиздат, 1958 г.
7.	Гантмахер Ф.Р., Левин Л.М. Теория полета неуправляемых ракет. ГИФМЛ. — М.:
1959 г.
8.	Красилъников А.В. Определение огибающей амплитуды колебаний углов атаки
летательных аппаратов с нелинейными аэродинамическими характеристиками
при входе их в плотные слои атмосферы с гиперзвуковыми скоростями. Тр.
ЦНИИМАШ, 1971 г.
9.	Лебедев А.А., Герасюта Н. Ф. Баллистика ракет. - М.: Машиностроение, 1970 г.
10.	Дмитриевский А.А. Внешняя баллистика. — М.: Машиностроение, 1972 г.
11.	Остославский Н. В., Стражева И. В. Динамика полета. Траектории летательных
аппаратов. - М.: Машиностроение, 1969 г.

ГЛАВА 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
И МОМЕНТОВ В РАМКАХ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОСТИ
§ 3.1. Ныотонианская теории
Для гиперзвуковых скоростей полета летательных аппаратов широкое
распространение получила ньютонианская теория определения аэродина-
аэродинамических характеристик.
Эта теория базируется на формуле избыточного давления, предложен-
предложенной Ньютоном, и дает возможность сравнительно просто находить прибли-
приближенные значения аэродинамических коэффициентов в тех случаях, когда
применение более точных методов связано со значительными математиче-
математическими трудностями. К таким случаям относятся, например, обтекание тел
под большими углами атаки и колеблющихся тел.
Ньютон исходил из следующей гипотетической модели. Покоящаяся
среда состоит из одинаковых частей, не взаимодействующих между собой
и остающихся неподвижными до момента встречи с телом. При соударении
каждая частица теряет нормальную составляющую относительной скоро-
скорости и сохраняет касательную составляющую.
Если исходить из этой модели, можно посчитать дополнительное давле-
давление, возникающее на поверхности тела в результате соударения с частицами
среды. Обращая задачу в соответствии с моделью Ньютона, будем иметь
неподвижное тело, на которое набе-
набегает поток одинаковых и не взаимо-
взаимодействующих частиц. Скорость Foo,
плотность роо и давление Роо этого
потока остаются неизменными до со-
соударения с поверхностью тела. Необ-
Необходимо отметить, что в этом случае
вся поверхность тела делится на две
части: затененную и незатененную,
т. е. испытывающую и не испыты-
испытывающую соударения с частицами сре-
среды.
Чтобы определить коэффициент
избыточного давления в точках неза-
тененной поверхности тела, выделим элемент AS и рассмотрим объем газа,
состоящий из тех частиц, которые за время At сталкиваются с этим элементом.
На рис. 3.1 показано плоское изображение ABCD рассматриваемого
объема в начальный момент времени t.
Масса выделенного объема равна
Рис-
т =
cos a • AS At.
C.1)

24	Определение аэродинамических сил и моментов	Гл. 3
Для изменения нормальной составляющей количества движения имеем
т (Vn\t+At - Vn\t) = PooVl cos2 a-AS- At.	C.2)
На поверхность выделенного объема действуют силы давления со сто-
стороны соседних масс газа и со стороны тела. Проектируя равнодействующую
этих сил на направление нормали будем иметь (р ~~ роо)А5'. Приравнивая
импульс этой силы изменению нормальной составляющей количества дви-
движения, получим:
(р - Роо) • AS ¦ At = PooVl • cos2 a-AS- At,	C3)
где а — угол между направлением скорости и нормалью к поверхности
тела.
Сокращая и деля обе части равенства C.3) на скоростной напор, получим
формулу Ньютона
ср = 2 cos2 a	C.4)
На затененной части поверхности, где нет соударения с частицами
встречного потока, ср = 0.
Таким образом, согласно ньютонианской теории, коэффициент избы™
точного давления для любого элемента незатененной области определяется
только ориентацией рассматриваемого элемента относительно вектора на-
набегающего потока и не зависит от формы остальной поверхности тела.
Вследствие своей простоты теория Ньютона нашла широкое примене-
применение при расчетах аэродинамических характеристик различных тел, когда
требования к точности их определения не очень высокие.
Кроме того, эта теория позволяет находить универсальные (не завися-
зависящие от формы тела), полезные для практики соотношения между силами,
моментами и их производными.
§ 3.2. Универсальные свойства аэродинамических
жарактеристик симметричныж тел
В рамках теории Ньютона коэффициент давления ср на поверхности
произвольного тела определяется по формуле
Р ~ Рею	. ( Vn\	(~ -Л
Здесь: к — постоянный множитель, равный двум в классической тео-
теории Ньютона и значению коэффициента давления в точке торможения за
прямой ударной волной в модифицированной теории Лиза-Ньютона, Vn —
проекция вектора скорости набегающего потока Voo на нормаль к элементу
поверхности. В аэродинамической тени значение ср принимают равным ну™
лю. Универсальность (т. е. независимость от формы тела) ньютонианского
представления для коэффициента давления позволяет получить полезные

§3.2.	Универсальные свойства аэродинамических характеристик	25
для практики и универсальные соотношения для аэродинамических харак-
характеристик.
Покажем это для случая произвольной пространственной ориентации
тела.
Пусть положение тела относительно вектора скорости характеризуется
углом атаки а и углом скольжения C. Тогда проекция вектора скорости на-
набегающего потока на нормаль к поверхности тела определяется по формуле
Vn = Fqo (nx cos a cos C + пу sin a cos E — nz sin C);
ndF	ndF	ndF
дх	у	ду	dz	C.6)
где nx,ny,nz — проекции единичной нормали на оси связанной декартовой
системы координат; F(x, |/, z) — функция, описывающая форму тела.
Подставляя C.6) в C.5) получим
ср = сро cos2 a cos2 /3 + Ср sin a cos a cos2 /3 + с^ sin2 a cos2 /3 +
+ cf sin2 C + с^ cos a sin /3 cos /3 + c^ sin a sin f3 cos /3;
cpo = kn2x; Cp=2knxny; cp =kn2y;	C.7)
cf = fen2; c? = ^2^тгжп,; cf = ~2knynz.
Из этой формулы видно, что для определения ср в рамках теории Ньюто™
на в общем случае необходимо шесть коэффициентов, зависящих от формы
тела.
Для определения коэффициентов аэродинамических сил и моментов от™
носительно начала координат воспользуемся следующими интегральными
представлениями:
С*=5
lUcnds- с -Щ
ь>	D I I
Iff
= 5?
s*	s*	s*
I
s*	s*
_ 1
mz^ ITi
s*
где: ? ш S — характерная длина и площадь, S* — поверхность тела, нахо-
находящаяся вне аэродинамической тени.

26	Определение аэродинамических сил и моментов	Гл. 3
Подставляя C.7) в C.8), получим для аэродинамических коэффициентов
сил и моментов формулы, аналогичные C.7), где вместо cpi будут следую™
щие выражения:
k Г Г Я ,	a	2k f f 2	I	a2	k
схо — о п as1 с — с nxnyas, с —
О J J	О J J	О
s*	s*
9 h Г Г	9i« Г Г
CP _ _ \ I ji n US' С =	71
^ J J	^ J J
s*	s*	s*
a/3 _ _
i cx —
s*	s*	s*
C.9)
У0 ~ Q \ \ rlXrlyahl	Cy — Q	flx'lyahl	Cy —
D J J	DJJ
s*	s*	s*
_ , , ,.vnzds; c: = —-pr nxnynzds; c?f = —— nlsnzds;
oil	y	^ I I	*^
s*	s*	s*
C.10)
k f f 2 i	« 2fc f f	i	«2	k Г f 2 i
^o = — nxnzds; cz = ™^r nxnynzds; cz = -^ nynzds;
s*	s*
s*	s*	s*
C.11)
s*
J J
s*
^ —	N7? 1
s*
S*
S*
— n^nzx) ds;
s*
я2 к / о
Ij^P = 	 G1 1
j j
s*
a/9 2fc Г Г,
s*
у = Ш{п1пуУ
s*
s'
у 7i^ г/ — n^nzz)ds;
C.12)
— nxnynzz^ ds;

§3.2.	Универсальные свойства аэродинамических характеристик	27
Oh Г Г	Oh Г Г
у — —-^7 \nxnzz — nxiizx)as, my — — — \nxnynzz — nynzx)as,
s*	s*	C.13)
m -^\\(n*nx-n\)ds- m«-^{Unn4-n*nv)ds-
iilzq — Сй	\ILxliydj 1ЬхУ) Ltd' llbz — c^	yi>xiiyj, 1ЬхпуУ) ай5
DlJ j	DlJ J
s*	s*
2	k f (	2	k [ [
Si]] у	y ' z 5IJJ
s*	s*
2fc f Г	2Jfc f f
m^ = ^^ \{nxnynzx-nxnzy)d8\ m"/3 = -— \(n*nzx - nxnynzy)ds.
DZ I I	oZ I I
s*	s*	C.14)
Сопоставляя выражения C.9), C.10), C.11) и учитывая, что п2, + п2 +
+ тг^ = 1, можно найти следующие универсальные (т. е. справедливые для
произвольных тел) соотношения между коэффициентами аэродинамиче™
ских сил:
сж0 — ^ о Сж	Сж 5 *^ж — nx^S4
b	J J
s*
2	1	2	1
Ж	i/O '	X	c\ у 1	X	су Z l	X	^0
Су = k-щ- — сУо — Су1 , 5^ =
s*
2	1
2 ж! г	2 * '
s*
4 = -2cf, cf = -2cf.	C.17)
Заметим, что 5Ж — проекция наветренной поверхности тела на плос™
кость, перпендикулярную оси х9а,Буи Sz — равны нулю для тел, симмет-
симметричных, соответственно, относительно плоскостей у = 0 и z = 0.
Соотношения C.15)^C.17) указывают на возможность выражения ко™
эффициентов аэродинамических сил через меньшее число уравнений. В
общем случае таких коэффициентов может быть десять. Например, нетруд-

28	Определение аэродинамических сил и моментов	Гл. 3
но проверить, что вся оставшаяся совокупность коэффициентов может быть
выражена через величины сХо , сУо, Су 9с% 9Су , е^3, cZo, Sx/S9 Sy/S9 Sz/S.
Для тел с осевой симметрией
г _ р _ га2 _ а/3 _^_о_С_П	И 1 8^
62/о "~ с^о "~ су — су — су — Dy — Dz — и-	p.loj
И, кроме того, в этом случае
С учетом C.19) из C.15) следует
Су ~~ к a Cxq-	VJ.ZUJ
Таким образом для осесимметричных тел зависимость аэродинамиче™
ских коэффициентов от формы представляется в виде функции двух вели™
S	S
чин ™исЖо,ав случае -?¦ = const (т. е. когда все элементы поверхности
обращены к набегающему потоку) одного параметра сХо:
Сх = Qc0 I cos2 a cos2 13 — - sin2 a cos2 /3 — - sin2 /
V	2	2
Sx
" sin a cos a cos"
Из первой формулы C.21), если приравнять нулю выражение в первых
2 1
скобках, следует, что при sin2 а =	tg2 /3 значения сх не зависят от
о о
,	k Sx
формы тела и равны ——, т. е. определяются величиной площади проек-
о о
ции омываемой поверхности на плоскость, перпендикулярную продольной
оси х.
Полагая в C.21) /3 = 0, что означает что в каждый момент времени а
рассматривается как «пространственный» угол атаки, получим
сх = сХо ( cos2 ol- - sin2 a ) + - ^sin2 a;	C.22)
V	z	jib
cy = I к—— cXo I sin a • cos a.
\ b	J
Используя известные соотношения между аэродинамическими коэффи™
циентами в скоростной и связанной системах координат
сха = у	х
суа = су cosa — сх sina, к = сУа/сХа,	C.23)

§3.2.	Универсальные свойства аэродинамических характеристик	29
для коэффициентов лобового сопротивления сЖа, подъемной силы сУа и
аэродинамического качества К можно найти
3	\	3k S
s2 а - sin2 a ) cos а • сХо + — -?¦ sin2
2	/	2 Ь
3	\	3k S
сХа = I cos2 а — - sin2 a ) cos а • сХо + — -?¦ sin2 a cos a,
V	2	/	2 Ь
= - -^- B — 3 sin2 a) sin a — -^ sin a D cos2 a — sin2 a),
kSx/S B - 3sln2 a) - cXQ D cos2 a - sin2 a)
3kSx/S sin2 a + сЖо B cos2 a — 3 sin2 a)
24)
Исключая сЖа из всех возможных пар формул C.22; 3.24), можно полу™
чить соотношения, позволяющие определить аэродинамические коэффи-
коэффициенты сх, Су, сХа, сУа9 К при заданном угле атаки через любой известный
из них. В качестве примера приведем некоторые из этих соотношений:
4 cos2 а — sin2 a 2k (Sx/S) sin a cos2 a
2 cos2 a — 3 sin2 а сХа B cos2 а — 3 sin2 а) '
sin 2а (& (Sx/S) cos2 а — сх)
у	2 cos2 a — sin2 а
2fc (Sx/S) sin а cos2 a	4 cos2 а — sin2 а
2 cos2 ск — 3 sin a	a 2 cos2 a — 3 sin a
Приравнивая нулю скобки в членах, содержащих сХо в выражениях
для сХа и сУа C.24), получим, что при а = arctg B/3) ' и arctg2 значе-
ния сХа и сУа не зависят от формы тела и, соответственно, равны @,6) ' к -?¦
5Т
Сопоставляя выражения C.12)-=-C.14) можно найти следующие универ™
сальные соотношения для коэффициентов аэродинамических моментов:
+my ^
mzo+mf +mf ^^-?Syz,	C.26)
гах = mf - 2ш« ,
f 2mf,
-Л
s*

30	Определение аэродинамических сил и моментов	Гл. 3
ЯГ Г
(nxz - nzx) ds, Syx=\\ (nyx - nxy) ds.
s*	s*
На рис. 3.2^3.6 представлены зависимости сХ9 су, cxaj cya, К от угла
Sx
атаки при значениях еж о = 0,05-^-1,8; — = 1; к = 2 для осесимметричного
случая, рассчитанные по формулам C.22)^C.24). Там же приведены дан-
данные точных численных расчетов и экспериментов для различных тел при
числах Маха М^ = 7-f-15 и углах атаки а = 0^25°.
Штрих-пунктиром показана граница области, когда вся поверхность
тела является наветренной.
Из рисунков видно, что точные теоретические и экспериментальные
данные достаточно хорошо согласуются с найденными универсальными
зависимостями.
§ 3.3. Примеры расчета демпфирующих характеристик
При колебаниях осесимметричных тел с угловой скоростью а вокруг
поперечной оси с координатой хт в гиперзвуковом потоке составляющую
вектора скорости, нормальную к элементу поверхности, можно записать в
следующем виде:
Vn = (Fqq cos a — ar cos (p) sin 9 + [F^ sin a — (x — хт) «] cos 9 cos (p,
r' = tg0.	C.27)
Здесь (ж, г, (р) — координаты цилиндрической, связанной системы ко-
координат с центром в носке и осью х вдоль оси симметрии тела. Подставляя
C.27) в формулу C.5), для составляющей коэффициента давления ср, нахо-
находящейся в фазе с угловой скоростью, можно найти
~=~	дс
Ас =	р = —2к (sin 9 cos 9 + cos 9 sin a cos ф) х
d(a
V	X — Хт
х ( — sin в Л	— cos в ) cos (p. C.28)
Коэффициент демпфирующего момента m%D относительно центра вра-
вращения хт на оси определяется интегрированием значений Ас^ по поверх-
поверхности тела по формуле
8 Г
Г
г (х - хт + г tg в) dx\ Де^ cos ipdip.	C.29)
mD = __
j
о	о
Здесь и в C.28) за характерный размер и площадь приняты диаметр и
площадь миделевого сечения, I — длина тела. Для конкретных тел, контур
которых задан аналитически, значения m^D нетрудно найти в замкнутой

§3.3.
Примеры расчета демпфирующих характеристик
31
СП
6

Определение аэродинамических сил и моментов
Гл. 3
о

§3.3.
Примеры расчета демпфирующих характеристик
33
6

34
Определение аэродинамических сил и моментов
Гл. 3

§3.3.
Примеры расчета демпфирующих характеристик
35
СП
6

36	Определение аэродинамических сил и моментов	Гл. 3
форме. В качестве примера приведем выражение для коэффициентов демп-
демпфирующего момента затупленных по сфере конусов с углами полураство-
полураствора 6> и отношением радиуса сферы к радиусу миделя равным г:
2т% 2 4 _ / г хЛ 1 - F4 cos4 в 4 cos в (l - f3 cos3 в)
¦ = г2 cos4 0 1-- —)+ ———	^—_	L х
k cos а	\ 2 D )	4 sin2 0	3	sin 0
>	2sin6> J '
C.30)
Для пересчета на другой характерный размер следует воспользоваться
формулой
mzl — mzD m — fUzD г Л -/^	• mi2 •	WJ1i
Для острых конусов формула для коэффициентов демпфирующего мо-
момента имеет более простой вид:
cos a 4 sin
1 fi	т	/ \ ^
1	sin 9 cos ^^ + 8 sin2 0 cos2 6>
о	U
. C.32)
Полагая г = l/cos0 (длина конической части равна нулю), из C.30)
можно получить формулу для коэффициентов демпфирующего момента
сегментов с углами наклона 0 к оси симметрии в миделевом сечении:
C.33)
к cos а 4 V	D
\
Однако использование на практике демпфирующих характеристик, оп-
определенных по ньютоновской теории, требует некоторой осторожности.
В теории Ньютона не учитываются центробежные силы, обусловленные
криволинейностыо траектории частиц. Известны примеры, когда неучет их
существенно искажает демпфирующие свойства тел.
Добавочное давление Ар за счет центробежных сил при плоских коле-
колебаниях о се симметричных тел при а ~ 0 можно определить приближенно
по формуле
ДР=^,	C.34)
где р — плотность, VT = |Vr| = Fqo cos/3 — абсолютное значение каса-
касательной составляющей скорости частиц газа к элементу поверхности тела
с углом наклона J3 к направлению скорости набегающего потока, 8 — тол-
толщина ударного слоя, R — радиус кривизны траектории частиц.
Пусть п = — sin /3 • I — cos (p cos E • j + sin <p cos /3 • k — нормаль к по-
поверхности тела, (i, j, k) — единичные орты декартовой системы координат,
(р — меридиональный угол цилиндрической системы координат.

§ 3.3.	Примеры расчета демпфирующих характеристик	37
Касательная составляющая вектора скорости частиц, нормальная к п,
представляет собой двумерный вектор на поверхности
VT = n (Voon) = Voo cos2 /3 • i - Voo sin/3 cos /3 cos (f • j +
+ Fqo sin/3 cos/3 sin 99 • k. C.35)
При плоских медленных колебаниях тела с угловой скоростью а угол /3
изменяется по закону
/3 = /30 + d cos <р t + ...,	C.36)
где /3q — значение /3 в момент t = 0.
Используя C.35), C.36), можно найти
2	/ т9 \ 2 / 79 \ 2
rv r*ns in
C.37)
R \l\ds2j \ds2j \ds2
ds
Здесь S — длина дуги траектории, — = V^ cos /3;
Из уравнения расхода имеем
тгрооУооГ2 = 2тгрУТг5;	C.38)
Тогда из C.34), C.37), C.38) следует
- _
13
Интегрируя Ср + Acp по поверхности тела можно найти выражения
коэффициентов демпфирующего момента с учетом центробежных сил.
Для острых конусов и сегментов эти выражения при к = 2 и а = 0
имеют, соответственно, вид
Аналогично могут быть получены формулы с учетом центробежных
сил для коэффициентов демпфирующего момента произвольных осесим-
метричных тел.

38	Определение аэродинамических сил и моментов	Гл. 3
С целью проверки точности определения характеристик динамической
устойчивости различными приближенными методами при гиперзвуковых
скоростях были проведены экспериментальные исследования в гиперзвуко-
гиперзвуковых трубах методом свободных колебаний при числах Маха Моо = 6,10,15
и соответствующих им числам Рейнольдса, вычисленным по размеру диа-
диаметра моделей
ReD = 0,36 • 106, 0,2^0,4 • 106, 0,08^0,2 - 1Q6.
Исследовались характеристики устойчивости двух серий моделей:
-	моделей острых конусов с одинаковым размером диаметра миделя
D = 60 мм и различными углами полураствора 9 = 40,45, 50, 55, 60,
65, 70°;
-	моделей сегментов с различными радиусами кривизны R = D/2 cos в
(9 = 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60°) и одинаковым диаметром миделя!) =
= 60 мм.
Все модели были спроектированы таким образом, чтобы ось вращения
подвижного поршня донной державки пересекала ось симметрии моделей
в плоскости донного среза. Такой выбор, в частности, обеспечивал их ста-
статическую устойчивость.
Перед экспериментом модели устанавливались на начальный угол атаки
при помощи специального устройства. После выхода установки на режим
модели освобождались путем подачи напряжения на электромагнит устрой-
устройства срыва.
В процессе экспериментов непрерывно записывались показания датчи-
датчиков углов атаки, давления в форкамере, давления за прямым скачком.
При нахождении коэффициентов демпфирующего момента учитыва-
учитывались сухое трение в подшипниках державки свободных колебаний, нели-
нелинейность аэродинамических зависимостей от угла атаки, переменность ско-
скоростного напора при М^ = 10, 15.
На рис. 3.7 и 3.8 дано сравнение экспериментальных значений коэф-
коэффициентов момента демпфирования конусов и сегментов с расчетами по
теории Ньютона и с учетом центробежных сил.
Из рисунков видно, что экспериментальные данные лучше согласуются
с расчетами с учетом центробежных сил.
При увеличении угла атаки 9 демпфирующие свойства конусов и сег-
сегментов улучшаются.
Значения коэффициентов момента демпфирования, рассчитанные по те-
теории Ньютона, занижают демпфирующие свойства рассматриваемых тел
примерно в 2 раза.
§ 3.4. Определение максимального аэродинамического
качества
Аэродинамическое совершенство летательных аппаратов может харак™
теризоваться значением максимального аэродинамического качества iiTMaKC.
Поэтому для практики весьма важным является умение находить или вы-
выбирать формы тел, обладающих высоким значением Жмакс.

§3.4.	Определение максимального аэродинамического качества	39
0,4
00
\
д
\\
V

\
\
ч
\
жг= 1
- теория Ньютона
- с учетом центробежных сил
V
а
о
" а
р
1—
Ф
о
—--
i
^^
1
I
1 #*•
^^
D
D
I
г
I
*******
р
—-*
Эксперимент:
п — Моо = 6
А - М^ = 10
о - Моо = 15
20
40	60
Рис. 3.7
80 ^ град.
0,6
0,4
0,2
0,0.
- - -
Q
к »-
—	—¦
If = 1
теория Ньютона
с учетом центробежных сил
—	—*
¦—-
—	—
«—-
г
и—-
11
D
*—-
HIM»*
i
——
1
г '
е- ¦
¦—-
«и—
Экспери»/
А-М»
i
Г ""
«—•¦
юн
D
. •*
*—-¦
т:
L0
L5
» —
10
20
30	40
Рис. 3.8
50
0, град.

40	Определение аэродинамических сил и моментов	Гл. 3
Аэродинамическое качество определяется по следующим формулам:
тг _ суа _ су cos a — cx sin a
сХа су sin a + cx cos a
Для нахождения Кмажс продифференцируем выражение по а и прирав-
приравняем его нулю. В результате получим
da \ сх
C.42)
Следует отметить, что это выражение универсальное, т. е. оно справед-
справедливо для произвольных тел и режимов полета. Используем его при выводе
формул для расчета iiTMaKc B различных случаях.
При исследовании симметричных тел малого сопротивления при не-
небольших углах атаки справедливы следующие представления:
су = Су а, сж<1, sina^a, cosa^l.	C.43)
Зависимость сх(а) с достаточной для практики точностью может быть
аппроксимирована универсальным выражением
+ ^2	C44)
которое строго следует из теории Ньютона и подтверждается результатами
точных численных расчетов и экспериментальными данными, полученны-
полученными при сверхзвуковых скоростях.
Подставляя C.43) и C.44) в формулу C.42) и пренебрегая членами вто-
второго порядка малости, можно получить выражение для вычисления угла
атаки, при котором аэродинамическое качество имеет максимальное значе-
значение
<Wc = 4 ^-	C.45)
Подставляя C.45) в C.41) с учетом C.43) окончательно выведем фор-
формулу
Кшакс = —?— = Jp-.	C.46)
Так как для заданного класса тел с^ является характеристикой консер-
консервативной (т.е. слабо меняющейся), то из выражения C.46) следует, что в
этом случае величина 1^Макс однозначно определяется значением cxq . При
этом телам с меньшим лобовым сопротивлением соответствуют большие
значения iiTMaKC и наоборот.

§3.4.	Определение максимального аэродинамического качества	41
Условия C.43) и C.44) позволяют представлять зависимость К (а) в
простой и удобной форме:
Нетрудно проверить, что величины аМакс и !^Макс? определяемые из
этого выражения, соответствуют значениям из соотношений C.45) и C.46).
При исследовании несимметричных тел малого сопротивления при ма-
малых углах атаки, выражения для определения сх и су могут быть представ-
представлены также базируясь на теории Ньютона следующим образом:
1 2
сх = сж0 + 2суОа + -Суа ,	C.48)
су = су0 + Cyd = Су (а2 - а0) ,
Су
Подставляя C.48) в C.41) и пренебрегая величинами второго порядка
малости можно получить зависимость К (а) в виде
т.	ol— «о	/о ,^х
Схо/Су* -
Отсюда
*макс = «0 + 4/-^^ «о	C'5°)
у 6 су
1	1
О («макс — «О)
Проведем сравнение расчетов по этим формулам с экспериментальными
данными.
На рис. 3.9 представлены результаты расчетов аэродинамического ка-
качества по формуле C.47) при -^- = 0,004^-0,05. Там же указаны области
СУ
разбросов экспериментальных данных, полученных при исследовании по-
полуконуса с углом полураствора 9 = 10°, с крыльями различной стрело-
стреловидности х = 60° и 72° в условиях полета, когда М^ = 4, Rcoo\im =
= 0,34-=-1,355-107.
Сравнение теоретических и экспериментальных результатов указывает
на хорошее качественное и количественное их согласование.
^	СхО
С уменьшением отношения — величина максимального аэродинами-
СУ
ческого качества увеличивается, а значение угла атаки, при котором до™
стигается !^Макс? уменьшается. При этом наблюдается ярко выраженный
экстремум зависимости аэродинамического качества от угла атаки.

Определение аэродинамических сил и моментов
Гл. 3
о
К
Он

§3.4.
Определение максимального аэродинамического качества
43

44
Определение аэродинамических сил и моментов
Гл. 3
я
Он

§ 3.4.	Определение максимального аэродинамического качества	45
На рис. 3.10, 3.11 представлены, рассчитанные при числах Маха М^ =
= 2 и 4, зависимости аэродинамического качества от угла атаки К (а) по
формуле C.49) и экспериментальные данные для несимметричных тел, по-
полученные в сверхзвуковой аэродинамической трубе при весовых испыта™
ниях.
На рис. 3.10 проводится сравнение для треугольного крыла с тре-
треугольным поперечным сечением и углом стреловидности х = 86°, а на
рис. 3.11 — полуконуса с углом полураствора в = 10° с крыльями различ™
ной стреловидности (% = 60° и 72°).
На обоих рисунках заштрихована область разброса экспериментальных
данных.
Анализ рисунков показывает хорошее согласование теории и экспери-
эксперимента.
Полученные результаты позволяют выработать рекомендации для поис-
поиска формы тела с максимальным аэродинамическим качеством. Такие тела
должны обладать при нулевом угле атаки минимальным лобовым сопро-
сопротивлением и максимальным значением производной поперечной силы с^.
^	СхО
С уменьшением отношения — уменьшается и угол атаки, при котором
СУ
достигается максимальное аэродинамическое качество.
Литература
1.	Бабенко К.И., Воскресенский ГЛ., Любимов А.К, Русанов В.В. Пространствен-
Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. — М.: Наука, 1964.
2.	Бунимович А.Н. Соотношения между силами, действующими на тела, движущи-
движущиеся в разреженном газе, в потоке света и гиперзвуковом ньютоновском потоке.
Изв. АН СССР. МЖГ. № 4. 1975.
3.	Гиро Ж. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений. — М.: Мир, 1965 г.
4.	Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. - М.: Машиностроение, 1975 г.
5.	Полянский О.Ю. Нестационарное движение конуса в сверхзвуковом потоке. Тру-
Труды ЦАГИ, 1955.
6.	Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. ИЛ.М., 1962 г.
7.	Черный ЕЕ Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Физматгиз,
1959.
8.	Chapman G.T. A simple relationship between the drag near zero lift and initial normal -
force-aerve slope, obtained newtonian theory, AIAA Journal. № 6. V. 3. 1965.
9.	Jaslow H. Aerodynamic relationships inherent in newtonian impact theory, AIAA
Journal. № 4. V. 6. 1968.
10.	Walker D., Weaver R. Static Aerodynamic Characteristics of Blunted Cones in the
Mach-Number Range from 2,2 to 9,5 Jet Propulsion Jab.Calif. Just of Technology,
Pasadena, TR-32-1213, 1967. Техн. перевод № 11701, БНТИ-ЦАГИ, 1970.

ГЛАВА 4
МЕТОД ИСКРИВЛЕННЫХ ТЕЛ
При гиперзвуковом обтекании тонких тел скачки уплотнения и волны
разряжения образуют малые углы с направлением набегающего потока, вви-
ввиду чего наблюдается резкое изменение параметров течения в поперечном к
потоку направлении. Кроме того, поперечные составляющие возмущения
скорости при переходе через ударные волны намного превосходят возму-
щение скорости в осевом направлении.
Это позволяет в рамках приближенных теорий (закон плоских сечений
или нестационарной аналогии) сводить задачу трехмерного (в общем слу-
случае) стационарного обтекания тонкого тела к двумерной нестационарной.
Эти идеи были положены в основу создания метода искривленных тел в
задачах о нестационарном обтекании тонких тел гиперзвуковом потоком.
Метод искривленных тел заключается в замене нестационарного обтека-
обтекания какого-либо тела стационарным обтеканием другого тела, полученного
из первоначального соответствующим искривлением его формы. Впервые
этот метод предложен профессором В. П. Ветчинкиным и использован в
работе Г. А. Гуржиенко. В дальнейшем этот метод распространен на случай
обтекания тонких тел под большими углами атаки, предложен метод рас-
расчета нестационарных аэродинамических характеристик с учетом реальных
свойств воздуха и произвольных форм носка.
§ 4.1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу обтекания тонкого тела, совершающего угловые ко-
колебания относительно некоторого центра вращения с малой угловой ско-
скоростью и ускорением, гиперзвуковым потоком газа. Для этого введем де-
картову связанную систему координат (x,y,z) и инерциальную систему
(#i, г/1, zi), оси которой совпадают в момент времени t = 0 с одноименны-
одноименными осями (ж, у, z) (см. рис. 4.1). Тело считаем тонким, так что относитель-
относительный максимальный поперечный размер т = d/l <C I (d — максимальный
поперечный размер, I — длина тела).
Положение тела относительно набегающего потока в момент t = О
будем характеризовать малыми углами атаки а и скольжения /3 (sin a « а,
sin C «/?). Тело вращается относительно точки хо, находящейся на оси тела,
с угловой скоростью О, проекции которой на оси x,y,z соответственно
Равны	Voo	Voo .	Voo
7 = ^х —, р = Шу — , a = Dz —,	D.1)
где Voo — скорость набегающего потока, шХ1 uyj uz — безразмерные угло-
угловые скорости.
Через некоторое время t (рассматриваем времена, имеющие порядок
характерного времени обтекания То = Z/V^) положение тела относи-
относительно инерциальной системы координат будет характеризоваться угла-
углами Да, Д/3, Д7.

§4.1.
Постановка задачи
47
Рис. 4.1
Наше основное предположение заключается в том, что
Аа<1, Д/3<1, А7<1.	D.2)
Выразим значения угловых скоростей и ускорений в момент t = О
at2
Аа = at + —,
или в безразмерном виде
¦а2
—7
—,
D.3)
V2
В случае равенства нулю угловых скоростей неравенства D.2) равно-
равносильны предположению Т 3> То, где Т — характерное время нестационар-
нестационарного процесса (например, период колебания)
111
d' /3' 7
Связь между координатами (ж,г/, z) и (#i,i/i
осуществляется по формулам:
Ж1 = х + уДа - zAj5 + О (е2
2/1 = — (ж — хо) Аа + 2/ + zA7 + (
zi = (ж — жо) А/3 — |/Д7 + ^ + О
= тах{(ДаJ,(А/3J,(Д7J,
D.4)
в момент времени t
D.5)
? =

48
Метод искривленных тел
Гл. 4
X U Z
В дальнейшем будем использовать безразмерные координаты —, —, —.
Тогда выражения D.5) с точностью до О (тАа, тА/3, rAj, e) запишутся в
виде
Х\ ~ X
туг ж ту - (х- хо)Аа
tzx « rz + (х - х0) АД.	D.6)
Задача нестационарного обтекания тела сводится, как известно, к реше™
нию квазилинейной системы газодинамических уравнений с граничными
условиями на теле и ударной волне.
ди
ot
ди
ди
at
ди
1др
pox
dv dv dv dv I dp
— + u— + v— + w— + -— = 0;
at ox at oz pay
dw
dt
dw
dx
dw
dt
dw
dz
I dp
pdz
др_ дри dpv^ dpw _
dt dx dy dz
d
Ш
d
d
d
Предполагаем безотрывность обтекания тела при нестационарном его
движении. Тогда граничным условием на теле является условие непротека™
ния
df ^ df df df
at ox dy oz
D.8)
f(t,x,y,z) = fi{ti,xi,yi,zi) = 0 — форма тела (тело предполагается
жестким). Граничные условия на ударной волне имеют вид
Poo(Voon-D)=pc(Vnc-D),
TOn - Df +Poo = Pc(Vnc - DJ
cn - Df
7 P°
(Vnc-Df
Pc
7
D.9)
2	7 ~~ 1 Poo
V — V • n
v ООП	v ")
V-t1=Vc.t1,
7 Pc
1
7 - 1
Vnc = Vc ¦ n,
, i dR
1+ -s-
= G— G =
Здесь R — отход; D — скорость распространения ударной волны; Ti,
Т2 — некоторые ортогональные, касательные к ударной волне единичные
вектора.

§4.1.
Постановка задачи
49
Например
f
О —— 1
dz
G\ dx dx dz
2°
G2 = Gi • G,
D.10)
dR 1 dR t
— , 1,	> — единичный вектор нормали к ударной волне.
Проекции вектора скорости на оси x,y,z, связаны с проекциями на
нормаль и касательные вектора к ударной волне через матрицу А:
А =
и
V
w
_G0R
dx
G
GdR
Яг
= А
Vn
vT1
0
dR
Gi —
0 z
G,
5
G2
GI
dR
-G2-—
ox
dR dR
Игр ply
D.11)
Обратный переход осуществляется с помощью обратной матрицы А г:
Vn
Vr2
_G0R
dx
0
Gi
Gi
= A~
и
V
w
G
dR
dR
-G2 —
dx
•)
_G8R
dz
Gi
„ dR dR
G2
dx dz
D Л 2)
Без ограничения общности можно считать, что вектор скорости набе-
набегающего потока лежит в плоскости z = const:
V = Fqo {cos a — sin а, 0} .	D.13)
Тогда, используя D.10), D.13), граничные условия на ударной волне можно
представить в виде
ж"
I I I ft ОТ Р
Рс
Uг. = ~^оо COS OiG { —гт ^ — t
'f dx
dx dt
pc

50
Метод искривленных тел
Гл. 4
Vc =
2 I
> sin olG \ ctg i
dR G\
wc = T^oo sin a
Рос
Pc
7+1 7+1
-sin2aG2
(dR
ан
^2(dR\
? ад
dRdR
ox о z
(dR\ (dR
dRdR
kf^ sin2 a 11 + ctg a
1 + ctg a
V cos a
1 ад dR
cos a at dx
7-1
§ 4.2. Тонкие заостренные тела под малыми углами атаки
При обтекании тонких тел гиперзвуковым потоком газа под малыми
углами атаки (sin a ^ а) возмущенное поле течения располагается в тонком
ударном слое (R ~ т?) вблизи поверхности тела.
Для определения порядка величин параметров течения в этом слое име-
имеем известные оценки
P-PooV^t2, (MOO>1, Моот>1).
С учетом D.15) ведем следующие безразмерные величины:
D.15)
tVo
X у
? ? т? т?
р	R
p^ т?
Система уравнений газодинамики для безразмерных величин D.16) имеет
вид
du du
dt
ox
dv
—+ w—
at ox
dw dw
du
oy
dv dv
oy
dw
oy
du	т2 dp
dz	p ox
dv	1 dp
oz	p oy
dw	1 dp
dz	p dz
dp dpu dpv dpw

§4.2.
Тонкие заостренные тела под малыми углами атаки
51
д ( р
p-r
д ( р
= 0.
D.17)
Как видно из D.17), отличие от первоначального написания системы в
размерном виде D.7) заключено только в 1-м уравнении. Граничное условие
на теле для безразмерных величин сохраняет прежнее написание, а гранич-
граничное условие на ударной волне с точностью до членов О(т2, ат) можно
найти из D.14), D.16) в следующем виде:
ис =
l\ (dR dR\ a
рс) I dt dx) т
l\ (dR dR
~ Ус) \dt~*~ ~dx
1
Рс
dR
dR
D Л 8)
1
Рс
Рс =
7-1
7+1
[%+*+;] <*
7 + :
dR dR ci
В соответствии с проведенной постановкой задачи все безразмерные
независимые переменные, искомые функции и их производные можно, оче™
видно, считать величинами порядка 0A). Рассматривая первое уравнение
D.17) и граничные условия на ударной волне для и, можно сделать вывод,
что в ударном слое всюду
и =
D.19)
Тогда, отбрасывая члены второго порядка малости в системе D.17),
можно записать ее приближенно относительно искомых функций г;, w,p, p
в следующем виде:
dv
Ж
dw
~dt'
dv
dw
1
i
dv
dw
+ ^y
dp
dx
Ж"
с
1 Ф
pdy
1 ф
D.20)
dt \p^J dx \p-rj dy \p^J dz\p-y
Граничные условия на теле с учетом D.21) выглядят следующим обра-
зом:
dt dx
dy
D.21)

Метод искривленных тел
Гл. 4
Сделаем замену переменных:
t, х, у, z -> ? = х - t, х, у, z.
Тогда для преобразования производных имеем
д_
т
дх дх
д^ д^ д^_ д^
д^' dt дх дх
D22)
D.23)
В новых переменных уравнения газодинамики D.20), граничные усло-
условия на теле D.21) и условия на ударной волне D.18) имеют вид:
dv dv
ox oy
dw dw
7Г + ^7Г
ox oy
dv	1 dp
oz	p oy
dw	1 dp
oz	p oz
д^ др^
дх ду dz
дх \р-У
+4fe|=0;
df df
дх
D.24)
D.25)
we = -G\
Pc =
1 7-1
7 + 1
D.26)
Таким образом, задача интегрирования системы D.18; 4.20; 4.21) све-
свелась к интегрированию системы D.24)^D.26), имеющей на единицу мень-
меньший порядок (осталось только три независимые переменных), но с пара-
параметрической зависимостью от ?.
Параметр ? войдет лишь в граничное условие на теле, когда мы ис-
исключим время в выражении /(?, ж, г/, z) = 0 — форме тела, записанной в
инерциальной системе координат (ж, г/, z).
С другой стороны известно, что к интегрированию системы D.24)+
+D.26) сводится задача стационарного обтекания тонких тел в рамках га™
перзвуковой теории малых возмущений.

§ 4.2.	Тонкие заостренные тела под малыми углами атаки	53
Таким образом, нестационарная задача обтекания тела свелась к реше-
решению ряда стационарных задач обтекания некоторых других тел, которые
называем искривленными. Форма искривленных тел зависит от выбора па-
параметра ?.
Решение стационарных задач обтекания достаточно гладких тел в на-
настоящее время не представляет особых затруднений.
Предположим, получено решение стационарной задачи для искривлен-
искривленных тел с явной зависимостью от ?, например для давления р = р* (ж, г/, z,
х — i) = р (t, ж, г/, z). Из D.6) следует, что форма поперечного сечения
искривленного тела с точностью до О(е2) сохраняет форму поперечного
сечения исходного тела, т. е. форма искривленного тела получается путем
искривления оси исходного тела х\ = у\ = 0 по закону, вытекающему
из D.3; 4.6; 4.22):
Ут = ао
zm = bo + /Згх + f32x2
+
/з2 = -^ + ^^, А = 4т-	{427)
Величины ао, 6о в D.27) можно опустить, так как они не оказыва-
оказывают влияния на решение. Они необходимы только для пространственно™
временного соответствия задачи нестационарного движения тела и задачи
стационарного обтекания искривленных тел. Для нестационарного обтека-
обтекания осесимметричного тела г\ = г\ (х\) формула искривленного тела имеет
вид
(У - УтJ + (z - zmf = г2г(х).	D.28)
Заметим, что в случае очень малых угловых скоростей вращения и уг-
угловых скоростей, когда нестационарные возмущения значительно меньше
возмущений, создаваемых телом при стационарном его обтекании, т. е. ко-
wz ujy ez €y
гда —; —; —; — <С 1, задача стационарного обтекания искривленного
Т	Т	Т Т
тела допускает линеаризацию по малым параметрам оц и /%.
Решение стационарного обтекания искривленного тела в этом случае
можно представить в виде
Ра3 «3 + Р/33/^3 + ••• D.29)

54	Метод искривленных тел	Гл. 4
Здесь ро = Po(xj I/? z) — решение стационарной задачи при заданном
угле атаки а в момент t = 0.
Существенным обстоятельством является то, что коэффициенты ра.9
Pfc являются функциями только (ж, г/, z) и могут быть определены из реше-
решения стационарных задач обтекания искривленных тел
Pai* Р/Зг в D.30) являются, соответственно, решением задач стационарного
обтекания тел с искривленными осями по законам
ym = aiX\; zm = Hix\ (г = 1,2,3).	D.31)
Аналогично можно выписать решение и для любого другого параметра
течения.
Так как зависимости щ и ft от ^ известны D.27), то в случае очень
„ ujz Шу ez еу
малых угловых скоростей вращения, ускорении —; —; —; — <С 1 пред-
представляется возможность в явном виде выписать решение нестационарной
задачи с коэффициентамиpai, pp., определяемыми из решения стационар-
стационарных задач D.31).
Рассматривая выражения D.24)^D.27), можно сделать вывод, что опре-
определяющими параметрами для безразмерных функций D.16), описывающих
течение газа возле тонкого тела, совершающего колебания с малыми уг-
угловой скоростью и ускорением при гиперзвуковых скоростях полета, яв-
ляются
л #	а	ujz Шу ez еу
7? Moor, -, х0, —; —; —; —.	D.32)
т	т т т т
Первые три параметра здесь представляют собой известные критерии
подобия при стационарном обтекании тонких тел гиперзвуковым пото-
потоком под малыми углами атаки. Последние параметры определяют подобие
нестационарного движения тонкого тела с малыми скоростями и впервые
получены в работе Г. Ф. Те Ленина.
В нестационарной аэродинамике принято представлять решение в виде
р = ро + раАа + р13 А/3 + рашх + р^Шу + раех + р^еу + ..., D.33)
Из D.2; 4.22; 4.27^4.30) имеем
тра = ра1, трй = ^ (хо + х) ра1 + р«2,
= (х0 + Х) ррг - рр2 ,
1	D 34)
тРа = ^ [Раз - Р«2 (х0 + 2х) + Раг х Bж0 + х)] ,
TP'f3 = ^^ \РРз ~ РC2 (х0 + 2х)

§4.3.	О колебаниях тонких тел под большими углами атаки	55
Выражения D.33; 4.34) позволяют определять любые необходимые не-
нестационарные интегральные характеристики обтекания тела.
Отметим также, что метод искривленных тел может быть использован и
для определения нестационарных характеристик деформируемых тел. Для
этого достаточно считать / в D.8) функцией времени.
§ 4.3. О колебаниях тонкиж тел
под большими углами атаки
Рассмотрим колебания тонкого тела с малой угловой скоростью и уско-
ускорением под большими углами атаки в гиперзвуковом потоке газа.
При больших углах атаки (а ^> г) возмущения на подветренной сто-
стороне простираются уже на значительное расстояние от поверхности тела.
Однако давление в этой области мало. Влияние его на наветренную сторону
отсутствует в силу гиперзвукового характера обтекания (М^ sin а ^> 1).
Поэтому будем рассматривать только наветренную сторону. Ударный
слой в этой области тонкий и имеет порядок R ~ -^i tg a.
Рс
Введем следующие безразмерные величины:
D.35)
Система уравнений газодинамики D.7) для безразмерных величин
D.35), граничные условия на теле D.8) и ударной волны D.14) имеют вид:
„	~~	„	„ т dp
f dv dv\ dv dv 1 dp
rctga -^7 +w— + t;—+ го—+ - — = 0;
у ot oxj oy dz p oy
f dw dw\ dw dw 1 dp
T Ctg CX I —— "Г U	I "t" U	"Г Hi-77— t~ "" 7T~ — U 5
I o>t ^ж I dy	dz p dz
t
Г'
X
?
Poo
1
У
1
sin a2
z
tV
К
a?
, cos2 a '
и
Foo cos a ' F
oo cos a
Ey
» ^2/
F2 cos2
00 sin a '
Foo cos a'
a
P
Pa
(dp dpu\ dpv dpw
rctga -?+-?-+-?-+-?_ = 0;
\dt dx J dy dz
[dp	d p\ dp	dp	, A ~^
rctga — JL + u JL \+vJL + wJL = o;	D.36)
\dt рч дх рт J дур1 dz рт

56
Метод искривленных тел
Гл. 4
uc =
1
Gf
dR
1
tga 1	1 + rctga
dt	I pc \	dx
OR
2dRdR( _ J_
G2
.	l\	(dR dR\ 1 G\
-II	T Ctg C* I — + — I H	^
1 pc/	V at dx pc G2
+ T Gl l Ж) f a^
7+1 7+1
ал с
7-1
7 G + 1) Ml sin2 a '
2-.-1/2
П-1/2
D.38)
В соответствии с проведенной постановкой задачи здесь также все без-
безразмерные независимые переменные, искомые функции и их производные
можно, очевидно, считать величинами порядка 0A). С другой стороны,
рассматривая первое условие D.38) и первое уравнение D.36), можно за™
ключить, что во всем ударном слое (на наветренной стороне)
D.39)
Подставляя D.39) в D.36)+D.38) с точностью до 0(т2) имеем
(dv dv\ dv dv 1 dp
rctga —+— +v— ^w— +^^ = 0;
\dt дх) ду dz p dy
(dw dw\ dw dw 1 dp
rctga —+— +v—+ w—+^ = 0;
у at ox J ay	dz p dz
dpv dpw
^+i0
dtp~<
ду
dz
D.40)

§4.3.	О колебаниях тонких тел под большими углами атаки	57
l\ (dR dR\ 1 (dR\
1 pcj \ dt dx) pc \dzj
l\ Г	(dR dR\ dR
— I H-rctgCKl-^-+-^-J-
Pc I \	\ dt dx I i
7+1 7 +
Сделаем замену переменных
t, ж, |/, я -> С = (х - t), ж, 2/, z.	D.43)
Это позволяет заменить дифференциальный оператор ——\- — в
D.40)^D.42) оператором —
(аналогично § 4.2). Полученная система в
новых переменных при постоянном ? (? играет роль параметра) описы-
описывает в приближенной постановке (с точностью до О(т2)) стационарное
обтекание некоторого тела. Форма этого тела получается из первоначаль-
первоначальной / (?, ж, у, z) = 0 исключением t с помощью D.43).
Таким образом и в случае колебания тонкого тела с малой угловой ско-
скоростью и ускорением при обтекании его гиперзвуковым потоком газа под
большими углами атаки можно использовать метод искривленных тел. При-
Причем формы искривленных тел определяются из выражений D.27). В случае
~ (uz шу ez еу \
очень малых угловых скоростей и ускорении I — ; —; —; — <С 1 I ре-
решение нестационарной задачи, так же как и в § 4.2, можно представить в
виде D.29) с коэффициентамира.9 ppi9 определяемыми из решения стаци-
стационарных задач D.31).
Параметрами подобия рассматриваемой нестационарной задачи явля-
являются (следует из 4.40^4.42; 4.27)
., ,	UJZ UJV Ez Еу	, Л . JX
7, rctga, Moo sin a, x0, —; —; —; —.	D.44)
Первые три величины являются известными параметрами подобия при
обтекании тонких тел гиперзвуковым потоком газа под большими углами
атаки, полученными В. В. Сычевым. Последние определяют подобие неста-
нестационарного движения тела.

58	Метод искривленных тел	Гл. 4
§ 4.4. Нестационарные аэродинамические
характеристики тонких притуплённых конусов
Численные расчеты нестационарного пространственного обтекания
притуплённых тел чрезвычайно трудоемки и в настоящее время их прове-
проведение вызывает все еще значительные трудности даже при использовании
ЭВМ большой мощности. Однако для ряда важных случаев (например, ко-
колебания тела с малой угловой скоростью вокруг центра масс, движущегося
по слабоискривленной траектории е гиперзвуковой скоростью) можно су-
существенно упростить задачу, сведя ее к ряду известных. Эффективным в
этом отношении для определения нестационарных аэродинамических ха-
характеристик является метод искривленных тел.
Метод искривленных тел заключается в замене нестационарного обте-
обтекания какого-либо тела стационарным обтеканием других тел, полученных
из первоначального соответствующим искривлением его оси. Этот метод
имеет строгое обоснование для гиперзвукового произвольного нестацио-
нестационарного обтекания тонких заостренных тел в рамках закона плоских сече-
сечений, а с использованием гиперзвуковых приближений он распространяется
и на тонкие притуплённые тела.
Согласно методу искривленных тел, давление на боковой поверхности
о се симметричного тела, совершающего колебания с малой угловой скоро-
скоростью вокруг центра масс, движущегося по слабоискривленной траектории
гиперзвуковой скоростью, в момент времени t может быть представлено в
виде функций мгновенных кинематических параметров (I — длина конуса,
ж о — координата центра вращения).
p(t,x,r,<p) =po(x,r,(p) + aipai(x,r, if)
(%j Г, if) + /32P/32(X Г, if),
Pai = 	, PCi = 	Ъ	' (г = !' 2)	С4'45)
(%i	Pi
«i (t, x) = -a0 (t)	a0 (t),
Здесь и ниже «о и /Зо — угол атаки и угол скольжения; «о и $о — Уг™
ловые скорости вращения соответственно в плоскостях угла атаки а и угла
скольжения C; а'о и /3'0 — угловые скорости в тех же плоскостях, связанные
с движением тела по криволинейной траектории относительно некоторой

§4.4.	Нестационарные аэродинамические характеристики	59
инерциальной системы отсчета при t = 0; ро(ж,г, ф) — давление на те-
теле при стационарном обтекании,pai(%j г, (р), ры(х^ г, ф) — соответственно
давления на телах, полученных из исходных путем искривления его оси.
Для осесимметричного исходного тела формы искривленных тел имеют
вид
(у* - аох* - агх*J + (z* - /Зоя*J = г^х*),
(У* - аох* - ^х*2J + (z* - C0х*J = Т2т{х%
D 46)
(у* - а0х*J + (z* - Дох* - (Згх*J = г2т{х*),
(у* - aQx*J + (** - /Зох* - ^х*2J = г2т(х*),
где ж*, у*, z* — инерциальная прямоугольная система координат, направ™
ление осей которой в момент t = 0 совпадает с направлением одноименных
осей скоростной системы координат с началом в центре вращения. Начало
координат х*, у*, z* совпадает в момент t = 0 с проекцией передней точки
тела на ось ж*.
Таким образом для определения нестационарного давления (также и
других параметров течения) необходимо, в общем случае, провести расчет
стационарного обтекания пяти тел. Зная распределение pai, p@i по телу,
можно легко вывести формулы для нестационарных коэффициентов аэро-
аэродинамических сил.
Выражения для коэффициентов поперечных сил и моментов относи™
тельно точки xq на оси симметрии тела в интегральной форме можно запи™
сать в следующем виде:
х 2тг
г2
ipdx + cl-l,
' т
х 2тг
Iff	rO
cz = —r \rm \ cP simp dip dx + c°z — ,	D.47)
0 0
271
If,
m7 =
0
27Г
1
X
fr
J
0
2тг
r
0
X	ATX
2~i \гш(х - x0) cp cos <p dip dx + m°z -?¦ у,
i i . 0 rO 'o
cp sin ip dp dx + wiy — у.
о	о
В формулах для моментов опущены члены, определяющие вклад осевых
сил, которые несущественны при расчетах нестационарных характеристик
тонких притуплённых тел в случае малых углов атаки.

60	Метод искривленных тел	Гл. 4
Последние члены в D.47) определяют вклад носка. С другой стороны,
соотношения D.47) можно представить в виде рядов:
су = суо (а, /3) + с^ (а, Р)ша + cf (а, Р)шр + cd' (а, /3)ша? + с% (а,
cz = cz0 (а, р) + 4 К РРа + <J(	f	f
^« = 7^5 ^/5 = 7^, а;а/ = —, ш^ = —.	D.48)
^ОО	^ОО	У(Х)	^СХЭ
Здесь первые члены, представляющие стационарную часть, и коэффи™
циенты при безразмерных кинематических параметрах (нестационарные
характеристики) являются функциями мгновенных значений a(t) и Pit).
Подставляя D.45) в D.47), приравнивая коэффициенты при ша, ^и
т.д. в получаемых соотношениях и в D.48), имеем выражения для нестаци-
нестационарных характеристик в следующем виде:
су — 1\ X0Jal XJa
al
ra' — -( — тп T° 4- - т T° \ 4- r*d' — —	(A A^\
Cz — Л xOJal ' cyXJa2) + Cz0 r2 J '	i^.^^j
W^ - ifr2 J° - TnT J° - T2 Г2 4-T2J1U^~-
lib— 	 TO I ^ П ^ rV 1	t*y(Jb*yt^rv9	"^ " fV 1	1 »*-' " ryO / I '"'-гП О in 1
Л	7J \ U Lt-L	w	CKZi	til	IX A J	/C\J „J IJ '
r^-^fr2/0 --тпт/° ^т2/2 +iT2/M+w^7^^
fc	^	z	Гу^ t
•	/2 tO	tO	2 t2	2 т1 \	f> ^"o ^0
		2	-^	^	2 |2
/	Z	Z	Fm /
I = I0 + Ж,
ж 2тг
0 0

§4.4.	Нестационарные аэродинамические характеристики	61
х 2тг
^v dx,	D.50)
Выражения для коэффициентов с^ и raf и т. д. получаются заменой в
соответствующих формулах D.49), D.50) индексов с^ на fa и щ на Ь{.
Таким образом расчет нестационарных характеристик сводится к вы-
вычислению интегралов J3ail I3ai, J^, 1^. Необходимые для этой цели рас-
расчеты стационарного обтекания соответствующих тел с искривленной осью
D.46) могут быть проведены на ЭВМ с помощью стандартных программ
для пространственных стационарных обтеканий. Значения параметров щ
и Pi в D.49)^D.50) необходимо выбирать достаточно малыми, чтобы J3ai,
I3ai и т.д. практически не зависели от значений щ и /%.
В приведенных ниже расчетах принималось а\ = 0,175, «2 = 10™4,
/30 = 0, что соответствует плоским угловым движениям конуса. Очевидно,
в принятой постановке учет влияния реальных свойств воздуха на неста-
нестационарные аэродинамические характеристики притуплённых тел не пред-
представляет трудностей.
Последние члены в D.49) определяют вклад носка. При расчетах неста-
нестационарных характеристик тонких притуплённых тел обтекание носка мож-
можно считать приближенно квазистационарным (для сферы это является стро-
строгим результатом). Тогда для определения нестационарных характеристик
тупых носков в форме сферических сегментов с центральным полууглом
90° — 0 можно воспользоваться следующими формулами:
2/о 2/о
Уо
a
-sin6»J
4
4
(a)
°2/о	^	' "" Ul-> ~ !П~
На рис. 4.2^4.7 представлены для различных условий обтекания зави-
зависимости J3ai от длины конуса для конусов со сферическим притуплением
и различными углами полураствора. Для совершенного газа с 7 = 1?4
(рис. 4.2, 4.7) приведены следующие варианты:
Моо = 20; 1) (9 = 5°; а = 0;
2) 0 = 11°; а = 0; 5°; 10°; 15°;
3H = 15°; а = 0.
С учетом равновесных физико-химических превращений
V = 6000м/с, Н = 30км, 0 = 11°; а = 0; 5°; 10° рис. 4.4, 4.5;
F = 3000м/с, Я = 10км, 0 = 11°; а = 0; 5°; 10° рис. 4.6, 4.7.
Как видно из рисунков зависимости J3ai от 9 ш а носят сложный характер.

Метод искривленных тел
Гл. 4
jp о <р jp cd ^
о 1о ^ "ел Ъо о
О О О	I—1	Ь—3- Ьй
"о ^ Ъо 1о Ъ* 'о
>
\
1
\
\
\
V
N
\
Р
||
°о
О
Р
II
О
Ч
«зь
Ь-1
СЛ
о
I
I
I
I!
Ь—1
1—1
с
!!
СЛ
о
л
I
V \
\\
NN
\
Р
II
\
0 \
II
\\
\
Л»

§4.4.
Нестационарные аэродинамические характеристики
63
Рч
к
Рн
О О О О С^	ОООО
Ъ Ъо Ъ м
о о о о
Ъ Ъ- Ъ Ъо
\
\
р
II
р
\ II
\-
\
J
X
N
V
\
\
\
\
\
р
II
р
II
р
II
>
\\
\
\
д
р
II
р
II
X
)

64
Метод искривленных тел
Гл. 4
О О О О
"ю ^ "bi Ъо
О О ь-1
^ Ъо То
\
\\
\
V
\
V
\ I"
;
V
\
ч. >
\
\
\
\
л
II
\
N
\ "
\s
4—
\
1
\
л
\0^
\
\
р
\"

§4.5.
Определение нестационарных характеристик конусов
65
§ 4.5. Определение нестационарных характеристик
конусов с произвольной формой носка
Для определения нестационарных аэродинамических характеристик ко™
ну сов произвольной формы носка, характеризуемой величиной лобового
сопротивления схо, при «о ~ 0 в различных условиях обтекания можно
использовать тот факт, что комбинации J3ai -^ ^^ являются довольно уни™
нереальными функциями переменной подобия.
• -в
А-в
х — в
о-в
= П°, Ма
= 11°,Я =
= 15°,Я =
= 10 км, V
= 30 км, F
7° -
/
эо = 3 КМ/
эо = 5 КМ/
rf tg6>
г02 СЧ —
А '
А. А i
сек
сек
•
•
о
) А
К
о
•
•
•
•
0,25	0,50	0,75	1,00
Рис. 4.8
На рис. 4.8, 4.9 эти зависимости приведены при в = 5°, 11°, 15° для
различных условий в набегающем потоке. Как следует из рисунков, ре-
результаты расчетов J3ai в принятых координатах хорошо согласуются между
собой.
Эти корреляционные зависимости можно также использовать для ин-
интерполяции на другие углы в.
Для выяснения точности определения нестационарных характеристик
таким способом проводилось сравнение зависимостей коэффициентов мо-
момента демпфирования т^ от положения центра вращения хт затупленных
по сфере конусов с ^к = 5° и x/R = 17,5; 9Ж = 10° и x/R = 12,5;
0ж = 15° и x/R = 7,5, рассчитанных с помощью корреляционных за-
зависимостей и прямых расчетов для М^ = 20 и j = 1,4 (рис. 4.10).

66
Метод искривленных тел
Гл. 4
4 —
• -0--
А-в
А ^в
х -0
= п°, мто
= 11°, # =
= 11°, # =
= 5°, Mqo =
= 20,7 =
10 км, V^
30 км, F«
j
1,4
э = 3 км/с<
э = 6 КМ/СС
ro fr tg^
^А,
^ А
ж
ж
А
Am
щ
А
•
• v
1 г
т
А
А
т
т
±
т
У сТ
о °
•
•
•
о -•.
0,25
0,50
0,75
1,00
Рис. 4.9
— корреляционные зависимости
	— линейная теория
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 %т
Рис. 4.10

§ 4.5.	Определение нестационарных характеристик конусов	67
Результаты сравнений показывают, что при хт = 0,5 отличие значений
коэффициентов момента демпфирования, полученных по различным мето-
методикам, по абсолютной величине не превосходит 0,05.
Литература
1.	Антонец A3., Красильников A3. Расчет нестационарных характеристик тонких
притуплённых тел при пространственном их обтекании гиперзвуковым потоком
газа. МЖГ.№5. 1969 г.
2.	Антонец A3. Гиперзвуковое обтекание затупленных тел неравновесным пото-
потоком воздуха. Изв. АН СССР. МЖГ. № 2. 1974 г.
3.	Белоцерковскый СМ. Гипотеза гармоничности. Труды ВВИА им. Н.Е.Жуковско-
Н.Е.Жуковского. 1959 г.
4.	Белоцерковский СМ. О коэффициентах вращательных производных. Труды
ЦАГИ.№725. 1958 г.
5.	Гиро Ж. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений. - М.: Мир, 1965 г.
6.	Гуржиенко Г.А. Метод искривленных моделей и применение его к изучению
криволинейного полета воздушных кораблей. Тр. ЦАГИ. В. 182. 1934 г.
7.	Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых
скоростей. ПММ. 20. В. 6. 1956 г.
8.	Красилъников A3. О колебаниях тонких тел под большими углами атаки в ги-
гиперзвуковом потоке, Изв. АН СССР. МЖГ. № 6. 1969 г.
9.	Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. - М.: Машиностроение, 1975 г.
10.	Лунев В.В. Метод искривленных тел в задачах нестационарного гиперзвукового
обтекания тонких тел. МЖГ. № 5. 1963 г.
11.	Сычев В.В. Гиперзвуковые течения около тонких тел. ПММ. Т. 24. № 2. 1960 г.
12.	Теленин Г.Ф. Исследование обтекания колеблющегося конуса сверхзвуковым
потоком. - М.: Оборонгиз. 1959 г.
13.	Теленин Г.Ф. Законы подобия при больших сверхзвуковых скоростях. - М.:
Оборонгиз, 1956 г.
14.	ЧерныйГГ. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. - М.: Физматгиз,
1959 г.
15.	Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. ИЛ. — М.: 1962 г.

ГЛАВА 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
Наиболее полно разработаны методы расчета, основанные на линейной
теории сверхзвукового обтекания тонких тел. В основу этой теории поло™
жены предположения о том, что форма тела и характер его движения в
сверхзвуковом потоке обеспечивают малость возмущений, т. е. малое от-
отличие всех газодинамических параметров в возмущенной области течения
от значений этих параметров в набегающем равномерном потоке. Из всех
работ, посвященных линейной теории нестационарного сверхзвукового об™
текания тел, следует упомянуть две монографии [1,2]. Первая книга сод ер™
жит ряд фундаментальных результатов, позволяющих разработать методы
расчета нестационарного сверхзвукового обтекания тонкого крыла произ-
вольной формы. Во второй книге дано систематическое изложение теории
нестационарного сверхзвукового обтекания тонких тел различной формы.
Следует также отметить большую и очень полезную работу, выполненную
под руководством СМ. Белоцерковского, при создании атласа стационар-
стационарных и нестационарных аэродинамических характеристик крыльев различ-
различной формы в плане [3].
Следующим шагом в развитии теоретического исследования нестаци-
нестационарного обтекания тел различной формы является линейная теория тел
конечной толщины.
В ее основе лежат предположения о малости изменений угла атаки и
скорости перемещения точек поверхности тела по сравнению со скоро-
скоростью набегающего потока. Это позволяет задачу о распространении неста-
нестационарных возмущений решать с помощью линеаризации по амплитуде
колебаний. При этом основное поле, соответствующее стационарному об-
обтеканию тела под некоторым средним углом атаки, определяется решением
нелинейной системы дифференциальных уравнений газовой динамики.
Таким образом линейная теория нестационарного сверхзвукового об-
обтекания тел конечной толщины учитывает конечность возмущений, вы-
вызываемых телом в потоке, взаимодействие нестационарных возмущений с
основным полем, завихренность основного поля и возмущений, отражение
возмущений от скачка уплотнения. Учет всех этих факторов делает данную
теорию применимой вплоть до чисел М -^ оо.
Применению линейной теории обтекания тел конечной толщины к ис-
исследованию течений около колеблющихся тел посвящено сравнительно
небольшое число работ.
В работе [4] рассмотрена задача о сверхзвуковом обтекании клина с ко-
конечным углом раствора, совершающего гармонические угловые колебания
малой амплитуды вокруг носка. В этом случае основное поле однородно
и представляет собой равномерный поток за косым скачком уплотнения,
возникающим при стационарном обтекании клина. Влияние конечной тол™

§ 5.1. Постановка задачи в рамках линейной теории тел конечной толщины 69
щины тела проявляется здесь в изменении параметров основного поля, а
также во взаимодействии возмущений со скачком уплотнения. Решение по-
получено в рядах без ограничения по безразмерной частоте колебаний. На
основе этих результатов в работе [5] для случая медленных колебаний кли-
на получено решение в конечном виде, учитывающее лишь члены первого
порядка относительно безразмерной частоты.
В работе [6] в рамках линейной теории обтекания тел конечной толщи-
ны рассмотрена задача о сверхзвуковом обтекании конуса, совершающего
медленные колебания малой амплитуды вокруг центра, расположенного
на оси симметрии. Из перечисленных выше факторов, связанных с конеч-
конечностью толщины тела, в данном решении учитывается распространение
нестационарных потенциальных возмущений в неоднородном поле и их
взаимодействие со скачком уплотнения.
Наибольший интерес представляет работа [7], в которой также рас-
рассматривается нестационарное обтекание конуса, однако завихренностью
возмущений в данном случае не пренебрегается.
Развитие численных методов и совершенствование вычислительной
техники позволили в приемлемые сроки получить решение не только ли-
линейных, но и нелинейных нестационарных задач для тел, совершающих
произвольное угловое движение.
§ 5.1. Постановка задачи в рамках линейной теории тел
конечной толщины
Представляется удобным записать уравнения и граничные условия в
системе координат, жестко связанной с колеблющимся телом.
Дифференциальные уравнения газовой динамики, описывающие абсо-
абсолютное движение газа в указанной подвижной системе координат, в век-
векторной форме имеют следующий вид:
уравнение движения
- (V -Ve) x votV = -igradP; E.1)
уравнение неразрывности
^ - Ve grad p + div (pV) = 0;	E.2)
уравнение адиабатичности
(FF)(?H.	E.3)
Здесь штрих у производных по времени означает, что дифференцирова-
дифференцирование производится в подвижной системе координат; Vе — вектор перенос-
переносной скорости.

70 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
Для определения решения имеем следующие дополнительные условия.
Граничное условие, выражающее отсутствие протекания газа через по-
поверхность твердого тела:
(F-Fe)gradrA) =0.	E.4)
Здесь г = г^ ((9, ф) — уравнение поверхности в подвижной системе
координат.
Условие перехода через подвижный скачок уплотнения:
Vooh = Vtu	E.5)
Voo*2 = V%,	E.6)
Poo [Voon ^N^Ven)=p(Vn^N^ Ven),	E.7)
Poo (V^ ~N^ Venf + Poo=p(Vn~N^ Venf + P, E.8)
on ~N~ Venf 7 Poo _ (Vn - N - Venf 7 P
где в двух первых равенствах ?i и 1^ — два взаимно перпендикулярных
вектора, лежащих в плоскости, касательной к поверхности скачка уплот-
уплотнения в данной точке, а N — относительная скорость перемещения точки
поверхности скачка в направлении нормали.
Таким образом, задача сводится к определению пяти неизвестных функ-
функций, удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений в частных
производных E.1-=-5.3)? граничному условию E.4) и соотношениям на скач™
ке уплотнения E.5-^5.9).
Рассмотрим случай гармонического колебания затупленного тела, имею-
имеющего плоскость симметрии и совершающего в этой плоскости угловые ко™
лебания по закону
а = а0 cos a; t	E.10)
относительно среднего угла атаки /Зо, так что суммарный угол атаки
/3 = Дз + acoswt	E.11)
Предполагается, что центр колебания расположен в плоскости симмет-
симметрии произвольно. В качестве неподвижной (абсолютной) системы коор-
координат выберем прямоугольную систему координат Х;, Y\ Zf9 в которой
набегающий сверхзвуковой поток движется со скоростью Foo вдоль оси X'.
Следует отметить, что результаты расчета, полученные при гармониче-
гармоническом законе движения, могут быть применены и в случае произвольного
закона движения (гипотеза гармоничности [8]).
В задачах аэродинамики обычно с высокой точностью выполняются
условия:
/' шЬ\
а0 -<х 1, а0 [—) -<х 1,	E.12)

§ 5.1. Постановка задачи в рамках линейной теории тел конечной толщины 71
обеспечивающие малое изменение угла атаки и малость скоростей пере-
перемещения точек поверхности тела в направлении нормали по сравнению
со скоростью набегающего потока F^. Если центр колебаний находится
внутри тела, то за L принимается характерный размер тела. В случае, ко™
гда центр колебаний вынесен далеко за пределы тела, то L — характерное
расстояние от центра до тела. Условия E.12) необходимы для того, чтобы
нестационарные возмущения, вызываемые колебанием тела, были малы.
Ограничиваясь линейным приближением по амплитуде колебаний, пред™
ставим параметры газа — вектор абсолютной скорости V, давление Р и
плотность р — в следующем виде:
V = Vo + aVa + aVa; Р = Fo + аРа + dP«
р = ро + «Ра + «Ра
Параметры с индексом «О» описывают основное поле, возникающее при
стационарном обтекании тела под углом атаки /3®; параметры с индексами
аша описывают поля нестационарных возмущений, находящихся в фазе с
углом атаки и угловой скоростью соответственно.
При рассмотрении постановки задачи о нестационарном обтекании за™
тупленных тел в рамках метода малых возмущений возникают два основ™
ных вопроса. Во-первых, являются ли условия E.12) достаточными для
малости нестационарных возмущений. Во-вторых, имеет ли распростране-
распространение малых, но конечных возмущений линейный характер, т. е. описывается
ли оно линейными уравнениями, получающимися линеаризацией полной
нелинейной системы уравнений газовой динамики (уравнениями в вариациях).
Кроме дифференциальных уравнений, величину и характер распростра-
нения нестационарных возмущений определяют изменения в граничных
условиях на теле и на ударной волне. Поскольку система линейных урав-
уравнений для нестационарных и стационарных возмущений отличаются толь-
только правыми частями, то поставленные два вопроса можно рассмотреть,
используя сравнение результатов расчета стационарного обтекания затуп-
затупленного тела в линейной и нелинейной постановках. С этой целью были
рассмотрены результаты расчетов стационарного обтекания затупленных
тел в широком диапазоне углов атаки при М = 1,3-^оо.
Проведенный анализ показывает, что в исследованном диапазоне пара-
параметров малые изменения формы тела, угла атаки и скорости набегающего
потока вызывают малые возмущения полей газодинамических величин и
их производных. Линейность возмущений нарушается при обтекании тел с
изломом образующей, а также при гиперзвуковом обтекании затупленных
тел достаточно большого удлинения.
Следует отметить, что при наличии тонких вихревых слоев линейная те™
ория дает достаточно правильное описание полей газодинамических пара-
параметров. Это объясняется плавным изменением нормальной составляющей
скорости и давления поперек ударного слоя. Тем самым нелинейный ха™
рактер изменения отдельных газодинамических функций в вихревом слое
не влияет на линейность распределенных и суммарных аэродинамических
характеристик.

72 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
Таким образом для определения коэффициентов аэродинамических сил
и моментов параметры потока можно представлять в виде разложений E.13),
и метод малых возмущений должен давать хорошие результаты.
Подставляя разложения E.13) в систему уравнений газовой динами-
динамики E.1^-5.3), записанную для абсолютного движения в подвижной, жест-
жестко связанной с телом системе координат для определения параметров с
индексами 0, а и а, получим следующие системы уравнений в частных
производных:
для стационарного обтекания тела
V2 —	—	1
grad-^- Fo x rotFo =	gradPo,	E.14)
*	po
dlv(poFo) =0,	E.15)
Fograd^ = O,	E.16)
Po
для возмущений в фазе с углом атаки а
- uo2Va + grad (Vо Va) - Fo x rot Va -Vax rot Fo =
^	E.17)
Po
^ш2ра + dlv (PoVa + PaV0) = 0	E.18)
E.19)
для возмущений в фазе с угловой скоростью а:
Va + grad [Fo (Va - Vea)] - Fo x rot Va - [(F« - Vea)] x rot Fo =
°a E.20)
Po
pa + dlv (paV0 + poVa) - Fed grad po = 0,	E.21)
 I -W ~ 7— I + ^o grad \-^ I -?¦ ~~ 7 —
Po \ Po po J	[ ^o \ ^o po
+ (Va - Vea) grad (^) = 0. E.22)
\Po/
В качестве подвижной системы координат будем рассматривать жестко
связанные с телом прямоугольную систему координат X, У, Z (с ортами г,
j, fc) и сферическую систему координат г, в, ф (с ортами ег, е$, е^), полюс
которой располагается исходя из удобства интегрирования.

§ 5.1. Постановка задачи в рамках линейной теории тел конечной толщины 73
Системы дифференциальных уравнений E.14-i-5.16), E.17-^5.19),
E.20 -^ 5.22) и граничные условия E.4) и E.5^-5.9) записаны в безразмер-
ном виде, причем масштаб времени — L/Wm (Wm — скорость истечения
газа в вакуум), масштаб длины — L, масштаб скорости — Wm, масштабы
давления — PooW^ и плотности — р^.
Запишем уравнение скачка уплотнения в подвижной системе координат
г = fB) (t, 0, ф) в виде
Ф (*, г,в,ф) = г- г™ [в, ф) - во @, Ф) - аеа {в, ф) ~~ aed (в, ф) = 0,
е (t, 0, ф) = s0 @, ф) + аеа (в, ф) + аеа @, ф).
E23)
Здесь e(t,O,ilf) — отход скачка уплотнения от тела. Тогда выраже-
выражение для относительной скорости перемещения точки поверхности скач™
ка в направлении нормали 7V, входящей в граничные условия на ударной
волне E.7^-5.9), примет вид
дФ
-1/2
E.24)
Единичный вектор нормали к поверхности ударной волны может быть
представлен в форме
п =
дФе0дФ[еф дФ
или
п =
пг =
Линеаризируя E.25), получим
E.26)
В качестве Ii можно взять вектор 1\ = поёг + (—nr)eg, так как этот век-
вектор направлен по касательной к линии сечения поверхности скачка уплот™
нения меридиональной плоскостью, проходящей через данную точку этой
поверхности. Вектор ?2 можно представить в виде
12 = [J1 х п].
Если использовать разложения для п, ?i, ?2 и соотношение
dfo
(ае

74 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
где / —любой газодинамический параметр и произвести линеаризацию си™
стемы E.5)—E.9), то получим соотношения для параметров с индексами О,
а, а, которые должны удовлетворяться на поверхности невозмущенного
скачка уплотнения.
Таким образом решение общей нестационарной задачи сводится к ин-
интегрированию нелинейной системы дифференциальных уравнений стаци-
стационарного обтекания тела и связанных между собой двух линейных систем
дифференциальных уравнений в частных производных с переменными
коэффициентами для возмущений, находящихся в фазе сама, при со™
ответствующих граничных условиях на теле и соотношениях на скачке
уплотнения. В общем случае все три системы уравнений трехмерные.
Если рассматривать медленные колебания [ujL/V^ « 1), когда вели-
величинами порядка (ujL/Vco) можно пренебречь по сравнению с единицей,
то системы уравнений E.17)^E.19) и E.20)^E.22) для возмущений разде-
ляются.
Следует заметить, что для сферы, совершающей медленные колебания
(ujL/Voo ¦<¦< 1) относительно смещенного центра, решение систем диффе-
дифференциальных уравнений для возмущений в фазе с углом атаки а и угловой
скоростью а можно выразить через газодинамические функции стацио-
стационарного обтекания и их производные [9]. Для параметров с индексом а
решение в этом случае можно представить в следующем виде:
для скалярных величин fa получим (f=P,p)
/a=Fe"grad/0,	E.27)
а для вектора скорости Vа
(I*V) V0-[Kx Vo]	E.28)
ИЛИ
Va = grad (V**V0) - (уЦ x rotFo) ,
k — единичный вектор, направленный вдоль оси прямоугольной системы
координат; Fed = Vе /а; Vе — переносная скорость вращательного
движения относительно центра сферы.
Вращательное движение сферы вокруг ее центра в потоке идеального
газа возмущений не вызывает. Поэтому возмущения с индексом а опреде-
определяются поступательным движением сферы с переносной скоростью:
V"е = -axoj,
где j — единичный вектор, направленный вдоль оси прямоугольной си™
стемы координат, а х® — расстояние между центром сферы и центром
колебаний. В линейном приближении по частоте поступательное движение
тела со скоростью Vе в полусвязанной системе координат (совершающей

§5.2.	Результаты исследований	75
поступательное движение с переносной скоростью Vе ) эквивалентно ста-
стационарному обтеканию под фиктивным углом атаки:
Учитывая это, для любого скалярного параметра получим
f. — ^^L f	E 29)
Jot, — -г/ «/CM	Vy.Z^y
* ОО
а для вектора F«
V * — V • :=	V или V" — V ' :=:	V — V •
Ve = V*e+V*e*.	E.30)
Легко показать, что полученные решения удовлетворяют системе урав-
уравнений и граничных условий. Для определения решения а и а — задач около
затуплений более сложной формы и в сверхзвуковой области можно вос-
воспользоваться любым из существующих численных методов решения задач
о сверхзвуковом стационарном обтекании тел. Первоначально для расчета
течения в до™ и сверхзвуковой областях использовался численный метод
[10] и обобщенный [11] на случай нестационарного обтекания. Для расче-
расчета сверхзвуковой области течения применялся метод, изложенный в [12].
Позднее решение систем с индексами 0, а, а проводилось модифицирован-
модифицированным методом Мак-Кормака [25] для уравнений, записанных в дивергентной
форме.
§ 5.2. Результаты исследований
Расчеты проводились для тел различной формы: сферы, эллипсоидов
вращения, сегментальных тел с аналитическим скруглением, эллиптиче-
эллиптических профилей и составных цилиндро-конических тел большого удлинения.
Для выяснения точности определения параметров а и а задач были прове-
проведены специальные расчеты нестационарного обтекания сферы. Результаты
проверки выполнения равенств E.27)^E.30) для варианта М^ = 3, /?о =
= 0, х® = ™0,2 приведены на рис. 5.1. Кружками обозначены значения
искомых функций, полученные дифференцированием газодинамических
параметров стационарного обтекания. Анализ расчетов при /?о = 0 и М^ =
= 2,5^-20 показал, что ошибка в определении величин fa не превышает 1 %,
a/d—2%.
Если контур тела имеет в сверхзвуковой области точки разрыва кривиз-
кривизны или точки излома, то в потоке появляется ряд характерных зон, наличие
которых необходимо так или иначе учитывать при разработке методов рас-
расчета. Рассмотрим характерные зоны, возникающие при обтекании сложного
тела, изображенного на рис. 5.2. Границами зон являются разрывные харак-
характеристики АЕ, BF, BG и присоединенная ударная волна СК. Разрывная

76 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
характеристика АЕ выходит из точки сопряжения сферы с конусом и от™
деляет область течения около сферы (слева от характеристики) от области
влияния первого конического участка контура (справа от АЕ). Справа от
разрывной характеристики BF вплоть до разрывной характеристики BG
на основное поле течения накладывается разрежения, источником которо-
0 5
Pa
TJ
a
w
a
Pa
с
4"
J
V
\
*
V»
»#*
N3
,/*
**
ч;
p • p-
- - - Pai Pa
Pol
r
\
\
«k.
\
\
/
\
f
a
К
V
1
0,5	1,0	1,5 в
0,5 1,0	1,5 в
Рис. 5.1
FV
о /В В2
Рис. 5.2
го является отрицательный излом образующей в точке В. В окрестности
этой точки BF соответствует начальной, a BG — конечной характеристики
течения типа Прандтля-Майера. Справа от BG находится область влияния
второго прямолинейного участка контура. Из точки С выходит присоеди-
присоединенная ударная волна GK, а область справа от нее можно назвать областью
влияния третьего прямолинейного участка контура — конического стаби-
стабилизатора С Д. Следует отметить, что для типа тел сфера-конус (кривизна
поверхности в точке сопряжения конуса со сферой претерпевает разрыв)
вдоль разрывной характеристики АЕ претерпевают разрыв первые про-
производные газодинамических параметров стационарного течения, а также
сами функции fa и fa [9]. Решение, вообще говоря, надо строить отдельно
для областей, расположенных слева и справа от этой характеристики. Од™
нако, как показали расчеты, хороших результатов можно добиться, проводя
аналитическое сглаживание контура. Для этого образующая конуса заменя-

§5.2.	Результаты исследований	11
ется гиперболой, имеющей асимптотой прямую с углом наклона, равным
углу полураствора конуса. Точка сопряжения сферы и гиперболы в конкрет-
конкретных расчетах выбирались таким образом, чтобы максимальное отличие в
контурах тел сфера-конус и сфера-гипербола не превышало 0,5 %.
При расчете окрестности точки В излом заменялся скруглением ма-
лого радиуса (радиус скругления изменялся в пределах 0,01-=-0,1 радиуса
затупления) (рис. 5.2). Из точки В\ выстраивалась разрывная характеристик
ка B\F\, а в точке Вч окружность радиуса гс сопрягалась с гиперболой,
имеющей асимптотой прямую с углом наклона, равным углу наклона эле-
элемента ВС. При расчете обтекания тел с положительным изломом образую-
образующей (ОД) выстраивался присоединенный скачок уплотнения.
Таким образом при получении параметров с индексами 0, а и а про-
проводилось аналитическое сглаживание контура тела и явное выделение осо-
особенностей. По программе расчета обтекания гладких тел в цилиндрической
системе координат определялось поле течения вплоть до точки В\. Далее,
продолжая расчет того же самого гладкого тела за точку В-\_9 выстраивалась
характеристика BiFi и определялись на ней газодинамические функции /о,
fa и fa- Область между разрывной характеристикой B±Fi и телом рассчи-
рассчитывалась фактически по той же программе с использованием данных на
характеристике B\F\. Поскольку разрыв производных газодинамических
функций на характеристике B\F\ уменьшается с удалением от точки В\, то
при некотором х* расчет по областям прекращался и вплоть до следующего
излома расчет течения между телом и головной ударной волной проводился
сквозным образом.
Аналогично определялись параметры в области справа от точки С. Пер-
Первая «внешняя» программа позволяла определить газодинамические функ™
ции между поверхностью гладкого контура, продолженного вправо за точ-
точку G, и поверхностью головной ударной волны. Одновременно с этим по
«внутренней» программе проводился расчет параметров течения в области
между коническим стабилизатором и присоединенным скачком уплотне-
уплотнения СК. Параметры набегающего потока перед присоединенной ударной
волной определяются квадратичной интерполяцией по результатам расче-
расчетов по «внешней» программе. Вопросы, связанные со взаимодействием
головной и внутренней ударных волн и расчетом течения за поверхностью
их пересечения, не рассматриваются.
Остановимся более подробно на способах расчета разрывной харак-
характеристики и присоединенного скачка уплотнения. Уравнение разрывной
характеристики можно записать в виде
г = Гдар(х) + ajjba(x) cost/; + ajjba(x) сонф.	E.31)
Форма характеристической поверхности определяется условием:
N - п(у - Ve) = «,	E.32)
dF/dt _	gradF
где TV =		:, п =	=, п — единичный вектор нор-
2	2

78 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
мали, N — относительная скорость перемещения точки поверхности в
направлении нормали, F(x,r,ip,t) = 0 — уравнение характеристической
поверхности; а — местная скорость звука.
Записывая условие непрерывности параметров на истинной возмущен-
возмущенной характеристике, получим, что при г = г^ар{х) в плоскости ф = О
должны удовлетворяться следующие соотношения:
[/о] = О,
dfo
E.33)
dfo
дг
[fa] = -»a
[fa] = -Vcl
в плоскости ф = тг/2
[ша] = [ша] = 0.	E34)
Определим значения функций r^ap', /ia, /Iq,. Затем с помощью E.31)—
E.34) найдем значения газодинамических функций стационарного обтека-
обтекания и возмущений в фазе с углом атаки а и угловой скоростью а непо-
непосредственно за разрывной характеристикой. После этого рассчитывалось
течение в области между телом и разрывной характеристикой. Граничные
условия на внутреннем скачке уплотнения отличаются от граничных уело™
вий на отошедшей ударной волне: во-первых, ни один из параметров перед
скачком fij (j = а, а) не равен нулю и во-вторых, при записи граничных
условий на внутреннем скачке уплотнения необходимо сносить на его ста-
стационарное положение не только параметры за скачком, но и параметры на
внешней границе скачка.
При проведении расчетов по разработанным методам основное внима-
внимание было уделено исследованию затупленных по сфере тел с изломами
образующей, совершающие плоские угловые колебания. Для определенно-
определенности центр колебаний располагался в носике тела, что однако не накладывает
ограничений на результаты, поскольку они легко пересчитываются на центр
колебаний, расположенный в любой точке симметрии тела.
Общий характер распределения стационарного давления и возмущений
давления в фазе с углом атаки а и угловой скоростью а вдоль оси тела
для конуса с углом полураствора 0s = 7° 3(У при Моо = 4 приведен на
рис. 53. Поскольку характер изменения кривых Ро> Ра и Ра вдоль поверх-
поверхности сферы от числа М^ практически не зависит, то при исследовании
влияния числа М^ на распределенные аэродинамические характеристи-
характеристики затупленного по сфере конуса основное внимание будем обращать на
распределение Pq? Pa и Р^ вдоль конической поверхности.
Для исследования влияния числа М^ на распределение Ра и Р& прово-
проводились расчеты затупленных конусов при Mqo = 2^20. В качестве примера
на рис. 5.4-5.6 для конуса с 9S = 15° приведены зависимости Pq> Pa и Р«
от xi = xi/R в плоскости ф = 0 (xq = — 1) при различных числах М^
(х\ отсчитывается от точки сопряжения сферы с конусом). Известно, что

§5.2.
Результаты исследований
79
2,0
1,0
0,0
А
|\*
к
{=4
,0s
=7°,
Ра
Ро
Ра
0	2	4
Рис. 5.3
10 х
Ра
1,0
0,5
п п
/
/
/
/
/
/
«—¦—
л
\
\
\
V
- %
»*-*
- М= 2,5
15° ¦
М = 21)
М=4,0
5	10	15	20
Рис. 5.5

Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
^ М^ - 20^
в 1^°
Us
/
/
/
У
1
1
1
1
1
/
у
-м =
9 ^
л и
4,0 ^
у
при больших числах М^ наличие затупления приводит к резкому падению
давления при стационарном обтекании (появляется «ложка» давления), что
объясняется отражением возмущений от головной волны и от границы вы-
высокоэнтропийного слоя.
Коэффициент отражения от ударной
волны при числах Моо ^ 6 и углах по-
поворота вектора скорости до 40° — отрица™
151- % = 15° | |/| | | | | | тел ен и имеет величину порядка 0,05 -0,15
[13]. Для возмущений наличие затупле™
ния приводит к немонотонному измене-
изменению величин Ра и dPa/dxi вдоль поверх-
101 | | | | | | /| | I I I I I I | ности конуса в области за точкой сопряже™
ния, причем минимумы и максимумы рас-
рассматриваемых функций резко выражены.
Первый минимум кривой Ра расположен в
области пониженного стационарного дав-
давления, но значительно раньше, чем мини-
минимум Pq . Отклонения величины Ра от зна~
чения, соответствующего острому конусу,
в области первого минимума и первого
максимума могут превышать 50 %. Возму-
Возмущение давления в фазе с угловой скоро-
скоростью возрастает даже в области падения стационарного давления, по сколь™
ку увеличивается расстояние от центра колебаний, расположенного в но-
носике сферы, до текущего сечения. Однако производная dP^/dxi в области
«ложки» стационарного давления принимает наименьшие значения. Влия-
Влияние затупления на распределение функций Pq, Pa и Р& вдоль конической
поверхности возрастает с увеличением числа Ш^ постепенно. Так при
сравнении распределений Pq, Pa и Р^ по х\ для конусов с 0S = 15° при
Mqo = 2,5; 4; 20 видно, что величины Pq, Pa и Р« при Моо = 4 занимают
промежуточное положение: отчетливо проявляется «ложка» Pq, зависимо™
сти Ра (х\) и dPa/dxi носят немонотонный характер, однако минимумы и
максимумы при этом числе Моо выражены не резко.
Обработка распределения стационарного давления и его возмущений в
фазе с а и а в параметрах гиперзвукового подобия позволяет, в принципе,
расширить диапазон применения полученных данных на более широкий
класс затуплений и для тел с различной относительной толщиной. Одна-
Однако, как показано в [14], для конусов с углами полураствора 9S = 2,5°-
20° закон подобия для стационарных параметров начинает действовать
о
10	20
Рис. 5.6
_	i
при хэф = — -
го
: > ОД 5 (этот предел тем меньше, чем меньше диапазон
изменения 6S). Там же указано, что для конусов с 0S = 10°^15° подобие
по Pq/pqoV^t2 нарушается лишь в относительно небольшой окрестности
носка, то при в8 ^ 5° эта окрестность составляет уже более Юго. Аналогич™
но ведут себя зависимости Ра/@ и P^jLBP^jLB с той только разницей, что

§5.2.
Результаты исследований
81
выполнение корреляций, вытекающих из закона подобия, для этих функций
наступает при значительно больших хэф (рис. 5.7). Для возмущений давле-
давления в фазе с а закон подобия, видимо, применим при хэф ^ 0,8-f-l, для Р&
при хэф ^ 0,4. Выполнение корреляций для нестационарных возмущений
при меньших жэф связано с осреднением возмущений Р& по длине конуса
при делении на Р^ на L.
2,6
2,4
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
0,0
м
1
у/
es--
г
оо -™'
/
/
/
20, -у
= 1,
4
r\9s= 15°
\
9S =
V
10°
0,2 0,4 0,6 0,8 хэф
0,2 0,4 0,6 0,8 жэф = ^-=
Рис. 5.7
При умеренных сверхзвуковых числах Моо (МОО = 2^-3) энтропия по-
поперек ударного слоя меняется слабо, и отражением возмущений от ударной
волны можно пренебречь, поскольку при этих числах М^ величина коэф-
коэффициента отражения /Л/ мала и лишь в узком диапазоне углов поворота
достигает значений 0,15. Интенсивное отражение возмущений от ударной
волны при числах М^ = 2^3 происходит на незначительном участке голов™
ной ударной волны, в то время как при М^ = оо величина коэффициента
Л = 0,1-^0,14 в широком диапазоне углов поворота потока @^35°) [13].
В соответствии с этим при умеренных сверхзвуковых числах М^ «ложка»
стационарного давления практически отсутствует, отклонение Ра от сред-
среднего значения не превышает 10—15 %, а зависимость Р« от ~х\ при х\ ^ 2 —
линейная (как для острого конуса).
Рисунок 5.8 иллюстрирует изменение отхода ударной волны sq и коэф-
коэффициентов разложения еа и е^ вдоль продольной оси х\ для затупленного
по сфере конуса с углом полураствора 9S = 15° при числах М^ = 2,5; 4.
Значительный интерес представляют расчеты затупленного по сфере
цилиндра и обратных конусов. Дело в том, что широко применяемые при™
ближенные методы расчета («местных конусов» и «ньютонианская тео™
рия») не позволяют при колебаниях указанных тел относительно нулевого
угла атаки определить вклад боковой поверхности в демпфирующие ха-

Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
20
10
рактеристики, которые, как показывают настоящие исследования, может
для достаточно длинных тел превосходить вклад сферического затупления.
Значения величин Pq, Ра и Р« для затуп-
затупленных по сфере цилиндров приведены
нарис. 5.9 при числах М^ = 3,20. Харак-
Характер изменения зависимостей Ра (xi) при
умеренных сверхзвуковых числах М^
(Моо = 3 и Моо = 20) существенно раз-
различаются. В первом случае кривые два-
дважды меняют знак, оставаясь близкими к
нулю, а при больших числах М^ абсо-
абсолютная величина Ра монотонно убывает
с ростом xi. Зависимости Pa(afi) имеют
максимум, положение и величина которо-
которого определяются числом М^.
На рис. 5.10 приводятся зависимо-
зависимости Ро, Ра и Ра от xi для сопряжен-
сопряженных со сферой обратных конусов @s =
= - 5°, -10°) при Моо = 20. Приведен-
Приведенные кривые свидетельствуют о монотон-
монотонном уменьшении величин Ро, Ра и Р^ с
увеличением угла наклона обратного ко-
конуса. Возрастание Р« вдоль образующей
обратного конуса приводит к необходимости учитывать вклад конической
поверхности в суммарные демпфирующие характеристики, поскольку при
~х~\ > 1 он может превосходить вклад сферического затупления.
/
i
i
1
_____

15°
Mr^ = 4
I
4
f
/
/
A
w
w
lv\
/I
/
/t
к
К,
V
у
-—
f
V
«¦»•»
/
/
у
4
/
t
/
у
/
\
/
/
\
J
/
/
\
/
I
r
I
¦к»
I
7
¦и»
о —
о
2,5
5,0 7,5 хг
Рис. 5.8
\
\
\
\
\
\
\
—
у •
\
X
\
X
\
Ра
\
\
У
V
аи»
--
—
\
—
>
_-
—
- - -
—
--
\
1
1
\
4<
\
(^
\
= 20
- 3
10	15
Рис. 5.9
20
Как уже отмечалось, разработанная методика позволяет проводить рас-
расчеты колеблющихся тел с положительными и отрицательными изломами
контура. Пример такого расчета при М^ = 3 для тела сложной формы,

§5.3.
Определение энтропии и полной энергии
83
0,5
1,0	1,5
Рис. 5.10
2,0
ОД; 0,3; 0,5
0,05; 0,2; 2,5
M
oo ""
Рп
Pa
¦——.
p&
= 3
15
h
0 _
**—-
г
/
Pa
= 0
1
>
а У
———
pc
—-—
= 15°
0; 0,1; 0
0 1 2 3 4 5 6 1 \
Рис. 5.11
состоящего из сопряженного со сферой конуса с Qs\ = 15°, цилиндра и
конического стабилизатора с 9S$ = 15° приведен на рис. 5.11, где представ-
представлены зависимости Д, (^i), Ра (%i), Pa {xi) •
§ 53. Определение энтропии и полной энергии
на поверхности колеблющегося
в сверхзвуковом потоке тела
Рассмотрим уравнения для возмущений энтропийной функции S в фазе
с а и угловой скоростью а (уравнения E.19) и E.22)). Поскольку на по-
поверхности тела нормаль п\\ grad(Po/Po)» то в СИЛУ условия непротекания
(V®Ti = Vafl = (Va ~~ Vea)n = 0) ПОЛуЧИМ
Va grad50 = (Va - Ve&)
o = 0.

84 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
Отсюда следует
т. е. вдоль поверхности тела
Sa = d.	E35)
Для тел, обладающих симметрией, при Д) = 0 (а для тел со сфери-
сферическим затуплением в широком диапазоне углов /3q) константа С\ равна
нулю.
Повторяя аналогичные рассуждения для уравнения E.22), получим еле™
дующее выражение для возмущений энтропийной функции в фазе с а на
поверхности тела:
VogmdSa = -C1	E36)
Для симметричных тел, совершающих плоские угловые колебания от™
носительно некоторого центра, расположенного на оси симметрии, при
/Зо = 0 справедливо соотношение
& _ Ра
Ро ~ 7 ро *
В таблице 5.1 для варианта /Зо = 0; Моо = 8; 5 = 2 (центр колебаний
располагался в центре пересечения осей эллипсоида) приводятся результа-
результаты проверки решения по выполнению равенств E.35), E36). В этом случае
константа С\ = 0 из условий симметрии.
Таблица 5.1
1
0
0
в
,288
,841
,447
Ро
0,437
0,761
0,839
ро
3,68
5,52
5,91
0
0
0
~Ра
,746
,515
,252
4
2
1
-Ра
,53
,67
,28
~Ра
1,29
1,426
0,764
-Pot
7,72
7,37
3,84
Ра
Ро
1,710
0,675
0,320
\Ро/
1,720
0,677
0,320
Ра
Ро
2,96
1,88
0,91
\Ро/
2,94
1,87
0,91
Для тел со сферическим затуплением при /3q ф 0 или в случае сме~
щения центра колебания с оси тела при /3q = 0 возмущение 5« вдоль
поверхности тела постоянно, но не равно нулю (S& = Сг). В общем случае
для затупленных тел величина S^ на поверхности тела изменяется вдоль
линий тока
E37)

§5.3.	Определение энтропии и полной энергии	85
где С2 — возмущение энтропийной функции в фазе с ав критической
точке.
Для получения аналогов существующего в стационарном случае инте-
интеграла Бернулли рассмотрим уравнение движения газа в подвижной системе
координат, умножив его скалярно на (V ~~ V е):
-(У ~pVe) gradp. E.38)
Кроме того, для адиабатического процесса имеет место равенство
dh I dp	dh — —	ldp (V-Ve) A ,. im
— = - — или — + (V - Ve) grad h = - — + ^	L gradp. E.39)
dt p dt	at	p at	p
Подставив E.13) и E.39) в E.38) и собрав члены при функциях с индек-
индексами 0, а и а, получим:
для стационарного решения
	2
Vo grad(ft0 + ^) = 0, h0 = -^— —,	E.40)
для возмущений в фазе с а
Vo grad (ha + Vo vA + Va grad (h0 + ^ = 0,
E.41)
для возмущений в фазе с а
ro Va + ha ~~ — + Vo grad | ha
/	7™ 1 Po \^o Poy
E.42)
Из соотношения E.41) следует, что для однородного набегающего по™
—2
тока (/iq + Fq/2 = const) вариация интеграла Бернулли по углу а во всем
поле равна нулю:
ha±V0Va=0.	E.43)
Для нестационарных возмущений по а в этом случае вдоль линий тока
основного потока имеет место следующее соотношение:
L
К + ^о {Va - Vea) = \ ^^ dl + С3.	E.44)
J Po \Vo\

Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
Точность выполнения соотношений E.45) и E.44) на поверхности эл-
эллипсоида при /?о = 0, оо = 8, 5 = 2 (центр колебаний — в точке пересе-
пересечения осей) представлена в табл. 5.2.
Таблица 5.2
0
1,288
0,841
0,447
0,232
0,098
0,026
vo
0,357
0,153
0,077
0,265
0,280
0,183
va
0,406
0,439
0,509
-ua
0,736
0,796
0,483
va
0,674
0,630
0,343
uea
0
0
0
vea
1,801
1,309
1,078
0
1,288
0,841
0,447
ha + V0Va
0,005
0,0025
0,005
-0,955
-0,522
-0,258
L
!
0
p
po \Vo
-0,962
-0,530
-0,253
Рассмотрим применение полученных результатов для острого кругового
конуса, у которого при Д) ф 0 точка растекания лежит в наветренной плос-
плоскости, что упрощает дальнейшее изложение. На поверхности тела между
точками растекания и стекания (точка Ферри [15]) линий тока энтропийная
функция основного потока Sq = — постоянна и определяется по парамет-
Ро
рам газа за ударной волной в наветренной плоскости симметрии (ф = 0).
Аналогично обстоит дело с возмущениями энтропийной функции в фазе
с а, причем С\ Ф 0, так как при ф = 0 на ударной волне происходит
конечное изменение энтропии при изменении угла атаки. Здесь уместно
подчеркнуть отличие в поведении функции Sa при линеаризации относи-
относительно нулевого угла атаки (решение Стоуна [16]) и относительно /Зо ф 0.
В первом случае Sa на поверхности тела изменяется по косинусу мериди-
меридионального угла ф, а во втором — постоянна вплоть до точки стекания.
Нестационарные возмущения газодинамических функций в фазе с а
при колебаниях относительно носка тела линейно зависят от радиуса сфе-
сферической системы координат с полюсом в носке:
fa(r,e,ti>) = г^\е,ф),	E.45)
а зависимость S^ (ф) на поверхности тела
ренциальным уравнением
— 9S) определяется диффе-
диффеwo dS{}]
sin 0 s дф
= 0,
E.46)

§ 5.3.	Определение энтропии и полной энергии	87
При в = 9SJ Ф = 0 величину S^ можно найти из решения третьего
уравнения системы E.10) в плоскости Ф = 0:
ооA)
?)+vo-^- = 0.	E.47)
Уравнение E.47) на теле при в = 0S имеет особенность, поскольку
vq(9s) = 0 в силу условия непротекания. Однако эта особенность устрани-
устранима. В окрестности 0 = 0S выражение для 5^ в плоскости Ф = 0 имеет
вид
S?1}(M = 0) =	-^ + const@ - 0ау»1\
где а = ^^ при ^ = 0, 9 = 9S; а > 0.
Ои
В точке Ф = 0, 0 = 0S
#>	Ci	E.49)
а зависимость 5^ от Ф определяется уравнением E.46), имеющего осо-
особенность при Ф = 0 (ги(Ф = 0) = 0). Эта особенность является также
ой
членов Ф2 имеет вид
устранимой. В окрестности Ф = 0 выражение для S^ с точностью до
5<.i) = _С1+^С1	sings	2
a	ui ui 2wi + ui sin 0s
где Mi, г*2, w\—коэффициенты разложения функций но(Ф) и г<;о(Ф) в
ряд по Ф:
2
Проводя аналогичные рассмотрения для уравнения E.42), получим зна-
значения На = ha + У о (У ^ — У еа ) на поверхности тела при Ф = 0 и
зависимость Н^ от Ф при 0 = 0S.
При этом для вычисления На '@ = 0s, Ф) достаточно повторить вы-
выкладки E.46)^E.50) с заменой С\ на — и S- на М- . Окончательно
Ро
получим
гтA)//1 	 л „/. 	 г\\ 	 Ра
Таким образом на поверхности конуса возмущения энтропийной функ-
функции S^ и полной энергии Н^ не являются постоянными и определяются
непосредственно через функции с индексами 0 и а вне зависимости от их
значений на ударной волне.

88 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
§ 5.4. Вращательные производные суммарных
аэродинамических характеристик затупленных тел
различной формы, совершающих плоские угловые
колебании в сверхзвуковом потоке газа
При проведении исследований по нестационарной аэродинамике целе-
целесообразно силы и моменты выражать через коэффициенты вращательных
производных. В работе [17] в качестве кинематических параметров, опреде-
определяющих неустановившееся движение тела, принимаются следующие шесть
функций времени:
\Lx-Lj	\ly±j	& ? % J-j
"x = —, "y = —, "* = —,
где ?7 — средняя не зависящая от времени скорость поступательного дви-
движения, а — угол атаки, C — угол скольжения, AU — отклонение посту™
нательной скорости от среднего значения.
Общая нестационарная задача для недеформированного тела сводится
к определению вращательных производных от аэродинамических сил и
моментов по 12 следующим безразмерным параметрам:
Qi :
^2 =
?3 =
(|4 =
= и, с
= щ q
'- «, q\
'¦ ol, q^
75 — Pi
6 = 0,
^ = Cjx
qio = ujy,
Qn = ^z
G12 = ^z
Для осесимметричного тела, движущегося с постоянной поступатель-
поступательной скоростью и совершающего колебания относительно нулевого угла
атаки, таких параметров остается четыре:
q1=a, q2 = d, дз = ^, ^4 = ^z-
Поскольку при поперечных колебаниях тела происходит одновремен-
одновременное изменение четырех указанных параметров, то при сведении задачи к
определению возмущений в фазе с углом атаки и угловой скоростью мы
получаем линейные комбинации вращательных производных.
Действительно, если q\ = «о cos cut, то в нашем случае
q2 = -aQuj sinujt; q3 = q2;
и fa = fqi-u>2fq*; /d
Рассмотрение коэффициентов вращательных производных начнем со
сферы. Угловые колебания сферы вокруг точки О с точки зрения возму-
возмущений, вызываемых в потоке, эквивалентны поступательным движениям с
абсолютной скоростью центра сферы О±. В случае медленных колебаний

§5.4.
Вращательные производные затупленных тел
поступательное движение тела вызывает те же возмущения в потоке газа,
что и фиктивное изменение угла атаки и скорости набегающего потока:
АаФ =
cos/3o .
a,
Vг
E.52)
отрезок ОО\ равен ж0.
Момент относительно точки О, действующий на сферу при стационар™
ном обтекании под углом атаки /Зо, определяется следующим соотношени-
соотношением:
Mz = Txq sin/?o, где Т — осевая сила	E.53)
Изменение момента за счет фиктивного угла атаки и скорости потока
будет равно:
AMZ =
E.54)
Переходя к безразмерным коэффициента и выбрав в качестве размера
длины радиус сферы R, можно записать:
^=(^) \CT + sin2
E.55)
Таким образом, для определения коэффициента демпфирующего мо-
момента сферы mz^ достаточно знать зависимость коэффициента сопротив-
сопротивления Ст от числа Мое.
<
2,0
1,5
1,0
П *
/
///
/у
М=1,4
/А
*—	—>
—¦*.
<*	—	—.
\
Л
хМ=2
о
40
80
120
160
Рис. 5.12
На рис. 5.12 приведена зависимость коэффициента демпфирующего мо™
мента сферы mz-^ от числа М^ = 1,4ч-3 для углов атаки от 0 до 180°
при центре колебаний, расположенном в носике сферы (xq = — 1). Для
определения демпфирующего момента относительно любой другой точки
достаточно воспользоваться выражением E.55).
Изменение коэффициента тп^ в диапазоне чисел Моо = 1,4-=-6 про-
происходит незначительное, так как коэффициент сопротивления Ст меняется

90 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
слабо @,9 4-1,0), а абсолютная величина производной \dCrfdMoo | не пре-
восходит 0,1. При числах М^ = 3 величина СТ практически постоянна и
равна 0,9.
При числах Mqo, близких к единице, возмущения носят нелинейный
характер. Это подтверждается резким возрастанием коэффициента сопро-
сопротивления Ст и \dGrfdMvol при приближении числа М^ к единице. Од™
нако для оценочных расчетов можно формально продифференцировать Ст
и при числах Mqo, близких к единице. Соответствующие зависимости ко-
коэффициента mz-^ от угла атаки /3q при числах Моо = 0,4-=-1,2 приведены
на рис. 5.13.
40
80	120
Рис. 5.13
160
200 Д,
2,0
1,0
0,0
щ
(=3,
_-—•—
= 15°
^——"
—	 —
—¦ —
„.	-—
cs
	1
с,
———-
———	¦
^т	*	-
а
г
——	-
—
———	—
—	—*
_,	—
Г
.111 ' —
nz
ст
——-	'	-
12
Рис. 5.14
16
20
24
Все систематические результаты получены при малых частотах колеба-
колебания (ujL/Vqo ~<~< 1), центр колебания располагался в носке сферы.
Исследование влияния чисел Маха на коэффициенты вращательных
производных было проведено на конусе с углом полураствора 0S = 15°. На
рис. 5.14, 5.15 приводятся для сравнения результаты расчетов при Моо = 3
и 20. При числе Моо = 20 затупление приводит к существенной зависи-

§5.4.
Вращательные производные затупленных тел
91
мости коэффициентов вращательных производных от длины тела, а при
числе Mqo = 3 те же зависимости значительно быстрее приближаются
к значениям, соответствующим острому конусу. Сравнение рассчитанных
значений коэффициента продольного момента демпфирования с результа-
тами ныотонианской теории показывает, что в диапазоне практически важ-
важных центровок (х = 0,5^0,7) метод Ньютона дает удовлетворительные
результаты при умеренных сверхзвуковых числах Моо и может завышать
величину mz-& в несколько раз при больших сверхзвуковых числах М^
(рис. 5.16). Это обстоятельство существенным образом повышает роль раз-
разработанных методов при определении нестационарных аэродинамических
характеристик затупленных тел.
0,0
12	16
Рис. 5.15
-ш"
0,50
0,25
0,00
I
1
s
1
11
11
\
ч
¦—-*"
—•-
—
i i
<9s = 15°;xT=0,5
^ Ньютонианская теория
-М
У
= 20
5	10
Рис. 5.16
15

Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
Исследования пространственных стационарных течений (например,
[18]) показали, что изменение Сп и mz для достаточно длинных затуп-
затупленных тел по углу атаки (при а = 0^10°) носит нелинейный характер,
поскольку при ненулевом угле атаки ударный слой трансформируется: ста-
становится шире на подветренной стороне и уже на наветренной. В результате
отражение возмущений происходит таким образом, что «ложка» давления
на наветренной стороне смещается к затуплению, а на подветренной сто™
роне — к донному срезу; распределение параметров и, v9 р, p по меридио-
меридиональному углу Ф перестает соответствовать закону косинуса (w — закону
синуса); линейность в изменении газодинамических функций по углу ата-
атаки нарушается. Причем отклонение от линейного закона увеличивается по
мере возрастания угла атаки (в нашем случае, параметра линеаризации). На
рис. 5.17 приведено сравнение для затупленного по сфере конуса с углом
полураствора 0g = 10° при М^ = 20 величин спа и mza9 полученных
решением нелинейной стационарной задачи и по методу малых возмуще™
ний. Приведенный пример подтверждает положение о том, что при гипер-
гиперзвуковых числах Моо линейное представление аэродинамических сил и
моментов справедливо лишь при малых значениях параметра линеариза-
ции. Величины спа и тш, определенные по методу малых возмущений,
практически совпадают с результатами решения нелинейной задачи при
f3Q = 2,5° (крестики на рис. 5.17) , в то время как с результатами нели-
нелинейной задачи при До = 5° расхождение может достигать 30 % (точки на
рис. 5.17). Для затупленного по сфере цилиндра вклад боковой поверх-
поверхности в сп^ и mz-^ при передних центровках значительно превосходят
вклад затупления. Что касается статических характеристик спа и mza,
то они приблизительно в равной мере определяются затуплением и бош>
вой поверхностью. При увеличении Хт вклад затупления в коэффициен-
коэффициенты сп^ и mz^ возрастает, однако и при Хт = 0,5, как показано на
рис. 5.18, коэффициент продольного момента демпфирования, особенно
при числах Mqo = 2^3, определяется в основном цилиндрической по-
поверхностью. С увеличением числа М^ значение mz^ приближается к
результатам ньютонианской теории, но даже при М^ = 20 расхождение

§ 5.5. Нестационарные аэродинамические характеристики конических тел 93
составляет 50 %. Все сказанное о цилиндре относится и к обратным кону-
конусам с малыми отрицательными углами 9g. На рис. 5.19 для конуса с углом
полураствора 0s = 15° при Моо = 2,5 приведена зависимость mz-^ от
положения центра колебания для различных затуплений г = гзат/гмид.
1,0
0,5
п п
ч
^х
\
\ч
\
Y
\
г
\
\
/
V
\
X
\
и
г =
/
X
\
\
= 0,25
Т
X
3,3-
г =
\
/
\
,г =
= 0,5
0,25
0,5
Рис. 5.19
0,75
хт
Там же пунктиром нанесены соответствующие значения демпфирующего
момента для острого конуса, полученные по результатам работы [19]. По™
скольку влияние затупления при числе Моо = 2,5 невелико, то в диапазоне
центровок Хт = 0,55^0,7 значения коэффициента mz-& для конусов
с различными затуплениями близки между собой и к результатам, полу-
полученным для острого конуса. Различие проявляется существенно лишь при
передних центровках.
§ 5.5. Нестационарные аэродинамические
характеристики конических тел
В работах [20,21] предложен подход к изучению конических течений во
всем диапазоне их существования и проведено систематическое исследова-
исследование. На основе этого подхода проводится изучение обтекания колеблющих™
ся конических тел. Эти результаты находят применение при исследовании
динамической устойчивости аппаратов с повышенным аэродинамическим
качеством, имеющих форму конических тел с произвольным поперечным
сечением, которое может быть, в частности, эллиптическим.
Рассматривается пространственное сверхзвуковое обтекание потоком
идеального газа конических тел. Предполагается, что тела совершают в
плоскости угла атаки медленные гармонические колебания вокруг своей
вершины относительного некоторого угла атаки /3q по гармоническому

94 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
закону так, что суммарный угол атаки равен
OL = До + «О COSCjt.
Решение ищется в сферической системе координат г, в, ф (рис. 5.20).
Представление газодинамических функций в виде разложения по кинема-
кинематическим параметрам в данном случае имеет вид
х t
Течение в ударном слое, ограниченном головной ударной волной и по-
поверхностью конуса, может иметь различные свойства в зависимости от
значений таких определяющих па-
параметров, как число Маха набе-
набегающего потока, угол атаки и угол
полураствора конуса.
Так, если для малых углов ата-
атаки и небольших углов полураство-
полураствора конуса поток в возмущенной
области везде сверхзвуковой, то
при увеличении /Зо на наветрен-
наветренной стороне скорость потока ста-
стаРис. 5.20
новится меньше скорости звука и
при определенных значениях До в
рамках модели конических течений возможен переход к обратному кониче-
коническому течению. Для построения единообразного алгоритма, позволяющего
рассчитывать обтекание конусов как при дозвуковых, так и при сверхзву-
сверхзвуковых скоростях возмущенного потока, используется метод установления
по фиктивной временной переменной г [22]. Введение оператора д/дт
приводит систему уравнений к r-гиперболическому типу:
да
дф
г = 0, а, а).
Решение ищется в области, ограниченной поверхностью тела и голов-
головной ударной волной. На поверхности головного скачка уплотнения
Рь(т,г,0,ф,а,а) = в^ вЬо(т,ф) - авЬа{т,ф) - агвЬ6((т,ф) = 0
имеют место соотношения Рэнкина-Тюгонио. На конусе
выполняется условие непротекания.
Обтекание конусов с произвольным поперечным сечением характери-
характеризуется наличием в ударном слое зон повышенных градиентов газодина-
газодинамических функций, сосредоточенных в областях с большими значения-
значениями кривизны поверхности тел. На эллиптическом конусе, к примеру, они

§ 5.5. Нестационарные аэродинамические характеристики конических тел 95
находятся вблизи большой оси симметрии эллипса. Несмотря на то, что
протяженность этих зон небольшая, доля их вклада в значения суммар-
суммарных характеристик значительна, так как давление достигает там обычно
своих наибольших значений. В этом плане имеет смысл повысить точность
определения аэродинамических характеристик за счет повышения точности
расчета в областях с большими градиентами газодинамических функций и
с большими их значениями. Наиболее простой путь повышения точности
состоит в уменьшении шага конечно-разностной сетки. Из соображения
экономичности, а также с учетом того, что различные области возмущен-
возмущенного течения вносят различный вклад в значения суммарных характеристик
представляет интерес использование сетки с переменным шагом по направ-
направлению наибольших неравномерностей, в данном случае по координате ф.
Преобразование
tj = aтctg(Kcigф)
нормирует расчетную область по координате 0 и позволяет сгущать рас-
расчетные точки вблизи сечений ф = 0 или ф = тг/2. Значению параметра
Кс < 1 соответствует сгущение в плоскости ф = 0, при Кс > 1 —
плоскости ф = тг/2.
Интегрирование системы уравнений ведется с помощью конечно-раз-
конечно-разностной схемы Мак-Кормака [25] с введением односторонних разностей
второго порядка точности по координате ? на теле и на волне.
Расчеты обтекания колеблющихся вокруг своей вершины конусов с раз-
различными формами поперечных сечений проводились в широком диапазоне
углов атаки и чисел Маха набегающего потока. Целью проведенных ис-
исследований было апробирование разработанной методики и исследование
имеющихся закономерностей, в частности, проверка выполнения законов
подобия сверхзвукового обтекания тонких тел.
О
тг/4
Зтг/4
тг/2
Рис. 5.21
Сравнение результатов расчета обтекания стационарным потоком ко-
конических тел, имеющих произвольное поперечное сечение, с известными
численными решениями показало их удовлетворительное совпадение. На
рис. 5.21 сплошной линией показано распределение Pq по поверхности

96 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
эллиптического конуса с коэффициентом эллиптичности К = 2 (К =
= b/а, см. рис. 5.20) с углом полураствора в плоскости, проходящей через
большую полуось конуса в к = 26°, для числа Маха набегающего потока
Mqo = 5 и угла атаки /3q = 5°. Коэффициент сгущения Кс полагался
равным коэффициенту эллиптичности.
1,0
0,5
-0,5
/% = о°
Ро = 40°
ч /% = Ю°
Л
/?0 = 60°Ж
2,0
1,0
50 ф, град. 100
Рис. 5.22
-1,0
А) = ю°
/?0 = 40°
^-/% = 60°
"Л
4
50 ф, град. 100
Рис. 5.23
На рис. 5.22, 5.23 сплошными линиями показано распределение воз-
возмущений давления Ра и Р& по поверхности эллиптического конуса с
отношением осей К = 2 с углом полураствора в плоскости малой по™
луоси, совпадающей с плоскостью угла атаки, в к = 10° для различных
значений угла атаки /Зо при числе Маха набегающего потока Моо = 6.
Расчеты проводились на конечно-разностной сетке с числом узловых точек
по координате ф — Lk = 73 и по координате ? — М^ = 21.
Предложенный алгоритм позволяет рассчитывать обтекание колеблю-
колеблющихся вокруг своей вершины конусов. Для пересчета колебаний на другую
точку вращения, лежащую на оси конуса, справедливо соотношение
В это выражение входит величина М^ дРо/дШ^, зависимость которой
от числа Маха набегающего потока, найденная в результате численного
дифференцирования давления на конусе 9к = 10 при До = 0, видна из
таблицы 5.3
С ростом числа Маха М^ дРо/дМ^ становится пренебрежимо мало по
сравнению с Дь и при достаточно больших значениях М^ этим слагаемым
можно, очевидно, пренебречь. Однако на большой части рассмотренного
диапазона изменений чисел Маха эти величины соизмеримы, что делает

§ 5.5. Нестационарные аэродинамические характеристики конических тел 97
невозможным получение простых соотношений для пересчета нестацио-
нестационарных аэродинамических характеристик для произвольных углов атаки.
Таблица 5.3
2
3
4
6
10
15
20
МоодРо/дМоо
-0,384
-0,175
-0,101
-0,047
-0,018
-0,008
-0,005
Ро
0,231
0,120
0,084
0,054
0,041
0,036
0,034
Результаты расчетов нестационарного обтекания круговых конусов об™
работаны в критериях подобия, которые в соответствии с гиперзвуковой
теорией тонких тел для малых углов атаки при одинаковых значениях по™
казателя адиабаты 7 имеют вид
K1=Moosin0kj K2 = ^.
Для больших углов атаки
Кг = sin вk ctg
К2 =
sin р0.
Точность выполнения корреляций, вытекающих из закона подобия, ил-
иллюстрируют рисунки 5.24-5.27. Результаты расчетов обтекания конусов при
малых углах атаки До для случая К\ = 1, К2 = 1 приведены на рис. 5.24,
5.25. На рис. 5.26, 5.27 показаны результаты расчетов при больших углах
атаки для случая К\ = 0,064, К2 = 5,64.
1,0
Ра
0,5
-0,5
К Ki=
\
Мжашвк
Ро/вк = 1
Кг
Ад
0	ж/2 ф тг
Рис. 5.24
-1,0
0	7Г/2 ф ж
Рис. 5.25

Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
Для возмущений, находящихся в фазе с а, во всех случаях имеет место
выполнение законов подобия с большой точностью.
Кг =
= 0,064
ctg/% = 0,064
К2 = Mqq sin /3q = 5,64
1,0,
Pa
cn-nO^/-? JL /) ^
ЫИ Zi I Uf\ ~f~ "hi
0,5
0
X°x
о
X
о
"""""""N. x
Лу о
\
Л^х
0	тг/2
Рис. 5.26
7г/2 ф 7Г
Рис. 5.27
Для возмущений, находящихся в фазе с а, на углах атаки, близких тг/2,
наблюдается нарушение подобия, которое может, очевидно, принимать, как
это отмечалось раньше, качественный характер в области перехода к обрат-
обратным коническим течениям. Это подтверждается результатами расчета для
случая Mqo = 6, 9к = 10°, /3q = 70°. В остальном диапазоне углов атаки
законы подобия выполняются с высокой точностью.
§ 5.6. Определение нестационарных аэродинамических
характеристик колеблющихся тел на основе
нелинейной системы уравнений газовой динамики
В соответствии с работой [26] решение задачи определяется в абсо-
абсолютной системе координат X, Y, Z, так что ось X направлена вдоль
продольной оси тела, ось Y лежит в вертикальной плоскости, а ось Z
дополняет систему координат до правой. Тело начинает колебательное дви-
движение относительно этой системы координат. Центр колебаний расположен
в точке Хс.
Угол S между продольной осью обтекателя и осью X в рассматривав™
мом случае изменялся по гармоническому закону
S(t) = ^Ц sin out.
В соответствии с этим законом колебаний координаты точек поверхно-
поверхности тела изменяются во времени в неподвижной системе координат сле-
следующим образом:
xt = (хо - Хс) cos 5
Ut = ^(^o - Xc) sin5
(уо- Yc) sin 5
(y0 - Yc)
XC

§ 5.6.	Определение нестационарных аэродинамических характеристик 99
Здесь xq, i/o, Z® — координаты точек на поверхности тела на момент
времени t = О, xt,yty zt — координаты тех же точек на момент времени t9
XC,YC — декартовы координаты центра вращения.
Приведенные формулы справедливы для общего случая, когда Yc ф О,
но в проведенных расчетах Yc полагался равным нулю. Предварительно
методом установления рассчитывается течение около тела, обтекаемого под
углом атаки а.
Аналогичным образом решается задача о поперечных колебаниях тела.
Параллельный сдвиг его вдоль оси Y также происходит по гармоническому
закону
Sy(i) = Ay sin out.
В соответствии с этим законом колебаний, координаты точек поверхно™
сти обтекателя изменяются во времени в неподвижной системе координат
следующим образом:
zt = хо, yt = l/o + Sy(i), zt = z0.
Обозначения те же, что и в предыдущем случае.
Основные аэродинамические характеристики определяются в связан™
ной с движущимся телом декартовой системе координат.
Прогресс в развитии вычислительной техники и создание многопро-
многопроцессорных вычислительных систем позволяют в приемлемые сроки полу™
чить решение рассмотренных задач с помощью алгоритмов интегрирования
уравнений Эйлера модифицированным методом С. К. Годунова на подвиж-
подвижных сетках. Координаты узлов вычислительной сетки на нижней границе
(поверхности обтекаемого тела) изменяются в соответствии с законом его
движения, а положение верхней границы в абсолютной системе координат
определяется размером возмущенной области. Вследствие подвижности
расчетной области вычислительная сетка перестраивается на каждом шаге
интегрирования системы уравнений движения газа.
Вычислительная сетка внутри расчетной области строится с помощью
простого алгебраического генератора, при этом индекс г соответствует
направлению вдоль образующей тела, j — поперек ударного слоя (от по™
верхности тела к внешней границе расчетной области), к — окружному
направлению. В районе носового затупления тела и оживальных участков
линии сетки, идущие поперек ударного слоя (к = const, г = const) пер™
пендикулярны к поверхности тела, а далее трехмерная сетка реализуется
набором плоских двумерных сеток в сечениях расчетной области, перпен-
перпендикулярных его продольной оси.
Разбиение расчетной области по <р — равномерное от ip = О (Y < О,
Z = 0) до <р = ж (Y > 0, Z = 0).
При необходимости, например, в ходе расчета течений с малым числом
Mqo и, как следствие, большим отходом головной ударной волны, узлы
сетки могут сгущаться к поверхности тела вдоль j-той координаты с коэф-
коэффициентом сгущения, индивидуальным для каждого луча.
Граничные условия задаются следующим образом.

100 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
1.	На поверхности те л a (j = 1) задаются условие непротекания. На этой
границе при решении задачи о распаде разрыва рассматривается частный
случай, когда есть поток только с одной стороны от разрыва и при этом
учитывается движение поверхности тела.
2.	На внешней поверхности (j = JMaKc) решается задача Римана, в
которой с одной стороны от разрыва задается постоянный набегающий поток.
3.	На границах расчетной области в плоскости симметрии задачи к = 1
(<?? = 0), к = Кшакс ((р = тг) задаются условия непротекания.
4.	Граница г = 1 вырождается в отрезок. Поэтому потоки каждого из
параметров через эту границу равны нулю.
5.	На границе, соответствующей г = /макс? задаются условия свобод-
свободного вытекания. Это возможно, поскольку для всех приведенных далее
примеров течение через эту границу является сверхзвуковым.
Метод интегрирования нестационарных уравнений газовой динамики
на подвижных сетках (в том числе и при движущихся границах расчетной
области), имеющий первый порядок аппроксимации, изложен в работе [27],
а его модификации, имеющие второй порядок аппроксимации, даны в ра-
работах [28, 29]. На основе последних и разработана программа определения
нестационарных аэродинамических характеристик подвижного тела.
Нестационарное обтекание колеблющегося головного обтекателя раке™
ты рассчитывалось при Моо = 1,2. Частота колебаний v = 2 Гц, их ам-
амплитуда колебаний As = 1°. Обтекатель длиной 20 метров представляет
из себя цилиндро-коническую конфигурацию. Носовая часть выполнена в
виде затупленного по сфере (rs = 0,3 м) биконуса с углами полураствора
01 = 45° и 02 = 20°, а корпус имеет вид цилиндра диаметром 3,5 метра.
Во всех расчетах принималось, что Yc = 0. Рассматриваются результа™
ты расчетов, проведенных при угле атаки при a = 5° и значениях коорди-
координаты Хс равных 0, 5, 10 и 20 метров.
mZJ 6, рад.
0,06
0,04
0,02
0,00
-0,02 (
-0,04
\
/
N.
[\J
\
\
V
/
/
/
/
/
\
\
\
\
/
/
1
\
\
г\
(
ч.
0,4	0,8
Рис. 5.28
1,2
t,c

§5.6.
Определение нестационарных аэродинамических характеристик 101
При расчете течения около обтекателя, совершающего поперечные коле-
колебания, величина амплитуды смещения его продольной оси Ау выбиралась
равной 10 • sinl° [м].
0,466
-1,2 -0,8-0,4 0 0,4 0,8 6, град.
Рис. 5.29 а
0 0,4 0,8 6, град.
Рис. 5.29 б
0,1
0,0
-од
-0,2
-1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 6, град.
Рис. 5.29 в
Общим для всех вариантов яв~
ляется то, что в начале колебатель™
ного движения обтекателя наблюда-
наблюдается процесс перестройки течения,
а затем зависимости Cx(t), Cy(t),
mz(t) приобретают периодический
характер. При этом их период ра™
вен периоду колебаний головного
обтекателя, а наблюдаемые фазовые
сдвиги кривых относительно графи™
ка S(i) позволяет судить о наличии
демпфирования.
На рис. 5.28 для демонстрации
этого факта наряду с зависимостями
mz(i) при а = 5° и Хс = 5; 10 м приведен график изменения во времени
угла 5(t).
Вид представленных на рис. 5.29 фазовых кривых СхE) — (а),
Су (S) — (б), mz (8) — (в) позволяет сделать вывод о наличии гистерезиса
основных аэродинамических характеристик головного обтекателя.
Максимальная ширина петли гистерезиса у Су может достигать от
5-10 % до примерно 30 % от стационарного значения определяемой вели™
чины, а у коэффициента Сх — около 1 % и менее.
Абсолютная величина ширины гистерезисной петли коэффициента mz
при передних центровках колеблющегося тела сопоставима с шириной ги™
стерезисной петли коэффициента Су. Это объясняется тем, что демпфи-
демпфирующий момент зависит от центровки по параболическому закону, а демп-
демпфирующая поперечная сила — по линейному.
Пример таких зависимостей, полученных в результате систематических

102 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
N
\
\
л
\
\
\
о
0525 0,5
Рис. 5.30
0,75
расчетов вышеупомянутых вариантов
при а = 5°, приведен на рис. 5.30.
Формула пересчета демпфирующих
характеристик головного обтекателя с
одной центровки на другую может быть
получена исходя из условия динамиче-
динамической эквивалентности его колебательных
движений относительно различных цен-
центров с учетом соответствующих попереч-
поперечных колебаний головного обтекателя со
скоростью vy:
vy = -Aid,
где Ах — расстояние между центрами колебаний.
Этим объясняется необходимость расчетов обтекания тела, совершаю-
совершающего поперечные колебания. Результаты вычислений в виде фазовых кри-
кривых Су E), mz(S) при а = 5° и Хс = 10 м представлены на рис. 5.31 (в
качестве 5 используется отношение 5 = 5У/АУ).
mz
0,11
0,10
0,09
0,08
\
0,22
0,20
-1,2-0,8-0,4 0 0,4 0,8 1,2 6 -1,2-0,8-0,4 0 0,4 0,8 1,2 6
Рис. 5.31
Разработанная методика позволяет решать задачу определения нестаци-
нестационарных аэродинамических характеристик произвольно движущихся тел в
нелинейной постановке.
Литература
1.	Красилъщыкова Е. А. Крыло конечного размаха в сжимаемом потоке. М., Гос.изд.
технико-теоретической литературы, 1952.
2.	Майлс Дж. Потенциальная теория неустановившихся сверхзвуковых течений.
М., Физматгиз, 1963.

§ 5.6.	Определение нестационарных аэродинамических характеристик 103
3.	Кудрявцева Н.А., Табачников В. Г., Фурсов М.К., под общей редакцией Бело-
церковского СМ. Атлас стационарных и нестационарных аэродинамических
характеристик крыльев различной формы в плане со сверхзвуковыми кромками.
Труды ЦАГИ, 941, 1965.
4.	Carrier G. E The Oscillating Wedge In a Supersonic Stream. JAS, V. 16. № 3. 1949.
5.	Van Dyke M. D. On Supersonic Flow Past on Oscillating Wedge. Quart. Appl. Math.,
V. 11. №3. 1953.
6.	Полянский О. Ю. Нестационарное движение конуса в сверхзвуковом потоке. Тру-
Труды ЦАГИ, 1955.
7.	Теленин Г. Ф. Исследование обтекания колеблющегося конуса сверхзвуковым
потоком. Оборонгиз, 1959.
8.	Белоцерковский СМ. Гипотеза гармоничности. Труды ВВИА им. Н.Е. Жуков-
Жуковского, 1959.
9.	Теленин Г. Ф., Тиняков Г. П. Нестационарное сверхзвуковое обтекание конуса с
округленной вершиной, Изв. АНСССР, Механика и машиностроение, № 2. 1961.
10.	Гилинский С М., Теленин Г. Ф., Тиняков Г. П. Метод расчета сверхзукового об-
обтекания тел с отошедшей ударной волной, Изв. АНСССР, МЖГ № 4. 1964.
11.	Теленин Г. Ф., Липницкий Ю. М, Нестационарное сверхзвуковое обтекание за-
затупленных тел с отошедшей ударной волной, Изв. АНСССР, МЖГ № 4. 1966.
12.	Бабенко К. И., Воскресенский Г. П., Любимов А.Н., Русанов В. В. Простран-
Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом, Издательство «Наука» М.,
1964.
13.	Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью, ГИФМЛ, 1959.
14.	Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика, М., Машиностроение, 1975.
15.	Ферри А., Несс Н., Каплита Т. Сверхзвуковое обтекание конических тел, не
обладающих осевой симметрией, «Механика», И.Л., 1954.
16.	Стоун А. О движении конуса со сверхзвуковой скоростью под малым углом
атаки, Сб. «Газовая динамика», И.Л., 1950.
17.	Белоцерковский СМ. О коэффициентах вращательных производных, Труды
ЦАГИ, №725, 1958.
18.	Дьяконов Ю. К, Пчелкина Л.В., Сандомирская И. Д. Сверхзвуковое обтекание
затупленных тел, изд. МГУ, 1971.
19.	Теленин Г. Ф. Исследование обтекания колеблющегося конуса сверхзвуковым
потоком, М., Оборонгиз, 1959.
20.	БачмановаН. С, Лапыгин В. И., ЛипницкийЮ. М. Исследование сверхзвукового
обтекания круговых конусов на больших углах атаки. Изв. АНСССР, МЖГ, № 6,
1973.
21.	Бачманова Н. С, Липницкий Ю.М. О законе подобия для острых круговых
конусов при больших углах атаки в сверхзвуковом потоке. Изв. АНСССР, МЖГ,
№3, 1976.
22.	ЛипницкийЮ. М., РезниченкоЮ. Т., СиренкоВ. Н. Исследование сверхзвукового
нестационарного обтекания конических тел. Изв. АНСССР, МЖГ № 2, 1983.

104 Определение нестационарных характеристик колеблющегося тела Гл. 5
23.	Липницкий Ю.М., Мацюра Е.В., Покровский А. П. Сверхзвуковое обтекание
острого конуса, колеблющегося около нулевого угла атаки. Известия РАН, МЖГ,
1998, №6. С. 124-136.
24.	Липницкий Ю. М., Покровский А. Н., Фролов Л. Г. Исследование влияния кон-
конструктивных параметров летательных аппаратов на нестационарные аэродина-
аэродинамические их характеристики. Космонавтика и ракетостроение, 1999, № 17. С. 86-
89.
25.	McCormack R. Ж, The effect of viscosity in hypervelosity impact cratering. AIAA
paper 69-354, Cincinatti, Ohio, 1969.
26.	Липницкий Ю. М., Михалин В. А., Родионов А. В. Определение нестационарных
аэродинамических характеристик колеблющихся обтекателей ракет-носителей.
Космонавтика и ракетостроение, 2002, №. 2, С. 16-23.
27.	Годунов С. К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. -
М.: Наука, 1976.
28.	Родионов А. В. Повышение порядка аппроксимации схемы С. К. Годунова. ЖВМ
иМФ, 1987. Т. 27. №4. С. 1853-1860.
29.	Родионов А. В. Численный метод решения уравнений Эйлера с сохранением
аппроксимации на деформируемой сетке. ЖВМ и МФ, 1996. Т. 36. № 3. С. 117-
129.

ГЛАВА 6
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ
ОБТЕКАНИИ ТЕЛ
Известно, что течение газа около острого или затупленного тела при
числах Рейнольдса Кеь ^> 1 можно разделить на невязкое в ударном слое
и вязкое вблизи тела, где существенное влияние оказывают диссипативные
силы. В этой области течение газа описывается уравнениями пограничного
слоя, выведенными Л. Прандтлем в 1904 г. (см. подробнее [1, 2, 3]).
§ 6.1. Постановка задачи
Выберем ортогональную систему координат (s, n) так, чтобы ось s9
отсчитываемая от передней критической точки тела, была направлена вдоль
образующей тела, ось п — по нормали к ней (см. рис. 6.1). Тогда уравнения
двумерного стационарного пограничного слоя имеют вид:
уравнение неразрывности
Я'""'"П = 0;	F.1)
US	U'lb
уравнение сохранения количества движения
ди
ди
5^ +
ди
дп
1
Р
др
ds
1
Р
д
дп
уравнение сохранения энергии
dJ dJ д [ ( \i	pe\ dJ\
us	дп on IV Рг	Рг^ / on
Здесь щ v — компоненты вектора скорости вдоль осей (s, n); p9 P, /i,
J, г, е — соответственно плотность, давление, коэффициент динамической
вязкости, полная энтальпия, радиус поперечного сечения тела, коэффици-
коэффициент турбулентной вязкости. Все линейные параметры s, n, r отнесены к
длине тела L, компоненты скорости щ v отнесены к скорости набегающе-
набегающего потока Fqo, а газодинамические параметры р, р, J, /i, e — отнесены
соответственно к р^, p^V^, V^9 fiooi Pr и Prt—молекулярное и турбу-
турбулентное числа Прандтля, предполагаемые постоянными величинами; jt —
коэффициент перехода от ламинарного G* = 0) течения к турбулентному

106
Методы расчета характеристик пограничного слоя
Гл. 6
[p(t = 1). Индекс «j» соответствует плое-
кому (j = 0) или осесимметричному (j =
= 1) течениям.
Основные предположения, которые ис-
используются при выводе уравнений погра-
пограничного слоя:
-	число Рейнольдса Re^> 1;
-	толщина пограничного слоя S/L ~
-	толщина слоя мала по сравнению с
радиусами продольной и поперечной кри-
кривизны поверхности тела.
Для замыкания системы уравнений
необходимо добавить законы изменения
плотности и вязкости в зависимости от
давления и энтальпии газа. Как показано
в работе [4], произведение плотности на вязкость можно представить в
виде
Рис. 6.1. Схема течения около за-
затупленного конуса. 1 — твердое
тело, 2 — пограничный слой, 3 —
ударный слой, 4 — головной ска-
скачек уплотнения
p '-J
CpdT, n = 0,315,
где 7 — показатель адиабаты, г — энтальпия газа. Отметим, что при выводе
этой формулы использовалась степенная зависимость ц ~ СТп, которой
удобно пользоваться как для совершенного газа, так и для равновесно-
диссоциированного воздуха. В некоторых случаях можно применять фор-
формулу Сатерленда [1]
1,5
где для воздуха Ts = 375 К; значения /xq, To соответствуют начальному
состоянию газа (например, То = 273 К, /xq = 1,754 • 10™5 кг/(с-м)).
Уравнение состояния используется в двух формах:
-	для совершенного газа
р = pRT, R = 287 Дж/(кг • К) (воздух)
-	для равновесно™диссоциированного воздуха [5, 6]
Здесь z(p,i) — функция, характеризующая степень несовершенства
газа, задание функции z(p, г) полностью замыкает задачу. Удобно исполь-
использовать следующие аппроксимационные зависимости [6], справедливые с
высокой точностью для воздуха при температуре до 20000 К и давлении
от 10~5 до 102 атм:
= zo(q)
Ра
Ра/
= m	In —;

§6.1.
Постановка задачи
107
In ^ = 3,415 + 0,02571п^- 0,54 • 1(Г3 (in—) -
1а	Ра	\ Ра/
-0,814-10"
In*-
Ра
га = 3,017- 105ш7с2; ра = 1,033 кГ/см2.
з
Функции Zi аппроксимируются полиномами zi = J2 ain4nl i = 0, 1, 2.
n=0
Коэффициенты о^п для различных диапазонов изменения
соответственно в первой, второй и третьей строках таблицы 6.
q приведены
г = 0, 1, 2
Таблица 6.1
N
Диапазон 1
q = -4-=--1,3
Диапазон 2
д = -1,3-=—0,2
Диапазон 3
д = -153^-0,2
Диапазон 4
д = 0,2-1,4
Диапазон 5
q= 1,4-=-1,55
Диапазон 6
д = 1,55-М,62
Дипазон 7
д = 1,62-=-1,76
Диапазон 8
9 = 1,76-=-2,32
Диапазон 9
q > 2,32
0
1,487
-0,457-10
0,240-10
1,748
-0,434-Ю
0,391-10
1,679
-0,318-Ю
0,172-Ю
1,663
-0,235-Ю
-0,374-10
-7,956
-10,556
-0,262-Ю
11,334
^0,927
-0,898
11,176
-3,009
0,455
9,587
-0,439
0,186
7,397
1,775
0,377-Ю
1
0,352
-0,138-Ю
0
0,370
-0,217-Ю
0,297-10
-0,341-10
0,540-Ю
-0,375-10
0,786-Ю
-0,226-Ю
-0,159-Ю
16,181
22,2688
0,618
-7,277
0,614
0,742
-10,574
4,420
-0,526
-10,757
0,576
-0,272
-7,811
-2,076
-0,269-Ю
2
0,791-Ю
-0,715-10
0
-0,374
-0,473-Ю
0,533-10
0,54
-0,410-Ю
-0,970-Ю
0,996
-0,401-Ю
-0,154-Ю
-7,207
-15,784
-0,486
-0,816
0,124
0,140
0,403
-2,167
0,156
5,170
-0,284
0,132
3,831
0,777
0,326-10
3
0,525-Ю
-0,103-Ю
0
-0,234
0,277-Ю
0,250-10
3,728
-0,889
0,690-Ю
-0,442
0,134-Ю
0,132-Ю
0,705
3,725
0,128
1,165
-0,111
-0,158
-0,146
0,343
-0,267-Ю
-0,799
0,423-Ю
-0,214-Ю
-0,594
-0,997-Ю
0,610-Ю

108
Методы расчета характеристик пограничного слоя
Гл. 6
Коэффициент перехода от ламинарного течения к турбулентному
определяется в соответствии с формулой из работы [7]:
s
= 1 - ехр
2 о 0,66 s-st [ ds
4	J ^<5
st .
F.4)
Здесь st и Ret — координата точки и число Рейнольдса начала перехо-
перехода. Индекс «S» соответствует условиям на внешней границе пограничного
слоя. Заметим, что предложенная формула требует знания только координа-
координаты точки начала перехода, координата завершения перехода определяется
автоматически. Соотношение F.4) учитывает влияние числа Маха на раз-
размеры переходной области — с ростом числа М^ зона перехода увеличива-
увеличивается. При умеренных числах Маха зона перехода занимает приблизительно
такую же часть, что и ламинарная область. Влияние градиента давления
осуществляется через интеграл, стоящий в формуле F.4) и учитывающий
изменение скорости на внешней границе пограничного слоя us(s).
Для описания закономерности развития турбулентной вязкости е в дан-
данном случае применяется двухслойная модель Себеси-Смита [8], состоящая
из внутренней и внешней областей, в которых используются различные
законы изменения турбулентной вязкости.
Для внутренней области используется модель турбулентной вязкости е^
/ \
основанная на теории пути смешения Прандтля
= I2 ( —
с демпфи-
рующим коэффициентом Ван-Дрийста, а также с учетом вдува и шерохова-
шероховатости поверхности [8, 9, 10]:
ди
дп
¦В+кЛ^г
ди
h = 0,4;
F.5)
В случае потока без массообмена с поверхности тела принимается
2 Л V2
I	' fls \ри
при наличии массообмена
Ж* =
V ( Ps \ Р+
/i5 \ Р^

§6.1.	Постановка задачи	109
~d 1 + 0,5G-
Здесь (pw vw) — распределенный массовый вдув газа того же состава,
что и в основном потоке. Если массообмен обусловлен разрушением тепло™
защитного покрытия (ТЗП), то необходимо произвести пересчет параметра
вдува (pw vw) в зависимости от отношения молекулярных весов вдувае-
вдуваемого газа и газа основного течения. Это можно сделать в соответствии с
работой [11].
Высота эквивалентной песочной шероховатости hm, которая в данном
методе рассматривается как генератор завихренности в пограничном слое
[8, 9, 10], не оказывает влияния на изменение геометрических размеров
поверхности. Поэтому она должна быть достаточно мала, обычно hm ^
^J 5**, где S** — толщина потери импульса пограничного слоя. Перевод
реальной шероховатости в песочную можно осуществить в соответствии с
работами [12, 13]. Ниже этот вопрос будет рассмотрен подробно.
Внешняя часть пограничного слоя рассматривается как слой смешения
при взаимодействии двух потоков, при этом турбулентная кинематическая
вязкость е® рассчитывается по модели Клаузера-Клебанова [8,14]. Соглас-
Согласно этой модели кинематическая вязкость принимается постоянной, пропор™
циональной характерному размеру пограничного слоя, т. е. толщине вытес-
схэ
г / \
нения S* и среднему значению дефекта скорости Si = | 1	J dn.
о
Для учета процессов перемежаемости вблизи внешней границы слоя сме-
смешения вводят определенный Клебановым эмпирический коэффициент пе~
(?( \\
ремежаемости 7*=(l + 5,5|-rJ I . Следовательно кинематический
коэффициент турбулентной вязкости во внешней части слоя имеет вид
е0 = 0,0168^17*.	F.6)
Условием перехода от одного значения турбулентной вязкости к другому
служит равенство S{ = ?q. Таким образом полностью сформулирована
задача для определения параметров течения в турбулентном пограничном
слое.
Заметим однако, что интегрирование уравнений пограничного слоя, за™
писанных в форме F.1)^F.3), неудобно при практической реализации, по™
скольку при увеличении координаты s толщина слоя, а следовательно и
верхняя граница области все время будет возрастать, причем по различному

110	Методы расчета характеристик пограничного слоя	Гл.6
закону для ламинарного и турбулентного слоев. Целесообразно ввести та™
кие переменные, чтобы верхняя граница оставалась бы неизменной во всей
области течения (это условие выполняется для большинства рассматрива-
рассматриваемых случаев). Такие переменные предложены в работах [11, 15] и имеют
вид
F-7)
n
rJpsus J ppj1 dn	p^	r
_ Лес
t~,— = —77
1^	1/7	Ps
J ppj	p^1/^ r
о _ Лес	P j
tj = 	t~,— = —77	 —an;
Г s	i1^1	1/71f P
Ъ ^ о
Здесь г — радиус поперечного сечения осесимметричного тела; пара-
параметр 7i = 2 (ламинарный слой), 71 = 1525 (турбулентный слой). В этих
переменных толщина слоя не превышает 7,0 для ламинарного течения и
0,7 — для турбулентного. Поэтому при решении задачи в качестве конечной
координаты принимались именно эти значения.
Система уравнений F.1)ч-F.3) в новых переменных
где ф — функция тока, a g— отношение полных энтальпий в пограничном
слое и внешнем потоке, принимает вид
№П' + ff" + ъ^ (f - Г2) - ъ? (/'/' - /"/)
F.8)
?
F.9)
ф = [niReif-2hl ; N = -?^ + ltl^ = NL+ltNT;
Pfi P^
Рг
ps
g-*2sf'2
Коэффициенты турбулентной вязкости преобразуются к следующему
виду:

§6.1.
Постановка задачи
111
во внутренней области
Р5 j .
х ^ 1-ехр( --] +ехр( —-
ди
drj
п
А
26
в случае потока без массообмена
iV* = < 1 - 11,^
Poo/io
p \pwj V Vw \дг]
ds
с массообменом
N* = ¦
-1
Poo/ioo V pSUS
р5_ ( pSfJ'S \ <ty ( PoqUq
wj as \ pwv
1/2
A -
exp(zi)
Rehs
1/2
3/2
PwVu
ди\ Г ps
дг]1 I \дц) \ У*
'// \ '/1/1 J r
В* = 13,6 + 12,4ехр ( -10,75G1 Яе^B^\/^- ( ^

PS / pwVu
X —
psus

112	Методы расчета характеристик пограничного слоя	Гл.6
во внешней области
Приведенные выше соотношения замыкают постановку задачи о тече-
течении и теплообмене в ламинарном и турбулентном пограничном слое.
§ 6.2. Выбор начальных и краевых условий
Уравнения пограничного слоя являются уравнениями параболического
типа, поэтому необходимо поставить для них начальные и краевые усло-
условия. В общем виде начальные и краевые условия для системы F.1)^F.3)
уравнений имеют вид
при s = so, и = щ (п), J = Jo (п),
n = 0, v = vw(s), ф) = 0, J = Jw(s);	F.10)
п -» оо, u = us(s), J = Js(s).
Здесь индексы «О», «S» и «го» соответствуют начальным значениям на
внешней границе пограничного слоя и на поверхности тела. В начальной
точке s = sq необходимо задать профили скорости и полной энтальпии.
На поверхности тела (п = 0) и на внешней границе слоя (п —>• оо) можно
задавать кусочно-непрерывные распределения вдува vw(s) и температуры
поверхности Tw(s) и внешних условий us(s) и Js(s). Переходя к новым
переменным F.7) s, rj, /, g, получим условия F.10) в следующем виде:
при s = s0, / = /о (г/), g = g0 (rj),
V = 0, f = fw(s), f = 0, g = gw(s);
Рассмотрим вопрос о задании начального распределения функций fo(rj)9
g0 (rj). Если осесимметричное тело затупленное, то в качестве начального
профиля функции тока /о и энтальпии g0 можно использовать локально-
автомодельное решение ламинарного пограничного слоя вблизи критиче-
критической точки

§6.2.	Выбор начальных и краевых условий	113
Распределение давления на внешней границе пограничного слоя около
сферического наконечника можно определить с относительной погрешно-
погрешностью менее 2,5% по соотношениям [16]:
ft = _1Д9 + 0,7A -a^I'6, /32 = -0,17(а^ - 0Д667J'4 при M^^l;
Pi = ™7,о75 о^ + Z5,o а^ — ol,oo «оо, Р2 = U при Mqq < 1.
Здесь Pq — полное давление в критической точке, в — центральный
угол сферического притупления, аж — число Крокко набегающего потока.
В том случае, когда наконечник представляет собой произвольное затуп-
затупление, также можно воспользоваться этой зависимостью, полагая, что 0
является углом между внешней нормалью к поверхности наконечника и
обратным направлением к вектору набегающего потока. Если необходимо
определить начальные условия на остром конусе, то решаются обобщенные
уравнения Блазиуса [1,2]
[Nf"]f + ff" = 0,
[Pg'}' + Ы + [Qf'f'1 = о
с граничными условиями
^^oo, f^l, g^l.
В случае оживального наконечника небольшую окрестность носка тела
можно рассматривать как острый конус и по нему найти начальные условия.
Рассмотрим расчет начальных профилей на примере решения уравне-
уравнения Блазиуса, полагая для простоты число Прандтля Рг = 1 и /i « СТ,
следовательно N = 1, Р = 1, Q = 0:
//// + //// = 0, g// + /g/ = O.	F.13)
Применяя метод квазилинеаризации [17] к системе F.13), получим
(k+l) Hff _ (к)fin + (к)*
1 - (fe)a/; + (fe) f f(fc+1)a/ _ (k) A + (kJf ((к) f _ (к) Л = п
с?1	V	^	I	& \ J	j
Здесь ^f, ^g — предыдущие приближения, a ^+1V? ^+1^g — ис™
комые приближения. Предполагая, что ^ /, ^g удовлетворяют системе
F.13) и краевым условиям F.12), найдем:
(k + l)ffff _|_ (k)f (k + l)fff + (k)fff (k + l)f _ (k)f (k)fff _ Q^
(k)f (fe+l)g/ + (k)gf (k)f _ (k)gf (k)f = q_	К • )

114
Методы расчета характеристик пограничного слоя
Гл. 6
Краевая задача F.12), F.14) решается методом скалярной прогонки [18].
Найденные профили безразмерной функции тока /, скорости /; и полной
энтальпии g заносятся в предыдущие два сечения по s и затем находят-
находятся решения при новом значении s. Необходимо отметить, что небольшие
погрешности в начальных профилях не влияют заметно на решение задачи
после прохождения 5^10 шагов по координате s. Этот факт продемонстри-
продемонстрирован на примере течения около пластины при числе Маха набегающего
потока Моо = 3, Кеьсю = Ю5 и 7 • 108 при различных начальных про-
профилях для ламинарного и турбулентного режима течения в слое (рис. 6.2
и 6.3). Видно, что течение в пограничном слое быстро восстанавливается
при увеличении координаты s. Поведение параметра g аналогично пове-
поведению функции тока /.
Igf
	,^as=
s =
0,1
^^
— ¦—
о
0,0	0,4	0,8 и/щ
V
1 2
/ /
^=
S =
=====
0,918
—	т^.
0
0,00	0,04	0,08 V
0
0,0
Г]
S =
0,5
0,4
0,8 и/щ
V
1 2
S =
—¦	—
1,22
—	—
>¦	—
о
S =
1
2J
0,0	0,4	0,8 и/щ
Рис. 6.2. Распределение скорости
поперек ламинарного пограничного
слоя в различных точках образующе-
образующего тела для приближенного задания
начального профиля A) и точного B)
0,00	0,04	0,08 V
Рис. 6.3. Влияние начального профиля на
параметр //;, пропорциональный местно-
местному коэффициенту трения при различных
значениях х для приближенного B) и точ-
точного A) значения начального параметра
Для нахождения теплового потока в передней критической точке необ-
необходимо провести расчет около сферы при малом шаге As (например,
при As/R = 0,001) и по производной g^w в третьей точке по s опре-
определить величину теплового потока.
При турбулентном течении в пограничном слое в качестве начального
профиля также можно использовать локально-автомодельное решение в
начальной точке.

§ 6.3.	Метод решения	115
§ 6.3. Метод решении
Краевая задача для нелинейных дифференциальных уравнений F.8,6.9)
решается с помощью метода квазилинеаризации [17]. Сущность этого ме™
тода состоит в том, что уравнения линеаризируются относительно извест-
известного приближенного решения и полученные линейные уравнения решают-
ся так, чтобы решение удовлетворяло бы всем граничным условиям. При
проведении последовательных приближений полученные решения можно
максимально приблизить к точным. Поясним применение этого метода на
примере.
Пусть имеется уравнение L{y"', yf, у) = 0, тогда использование метода
квазилинеаризации дает
(V) -
,у ,у) = 0.
Здесь Lfy = — ^y — предыдущее приближение функции у.
Если Wy = (fe+1)i/, то квазилинеаризированное уравнение обращается
в точное. Однако этот метод не позволяет построить нулевое приближе-
приближение. Применение метода квазилинеаризации дает возможность получать
квадратичную сходимость последовательных приближений и монотонное
стремление их к точному решению.
Входящие в систему функции N, Р, Q зависят, вообще говоря, от
многих переменных, например
g, /', /", A "-dri
Р5 ) Р
0
поэтому формальное использование метода квазилинеаризации привело бы
к весьма громоздким выражениям. Удобнее предположить, что N, Р и Q
определяются по параметрам g, / и т. д., найденным из предыдущего при™
ближения. Тогда применение метода квазилинеаризации к системе уравне-
уравнений F.8, 6.9) приводит их к виду
Ф
ds J	/1S ds p
ps ^^ ((k)fi(k)ji _ (k)j(k)fi>\ .

116	Методы расчета характеристик пограничного слоя	Гл.6
[ф (k)Q (k)f,n _ 7i€ (^j f
ф
ф (fc)g I(fe)y2" + (fe)yr/ (fe)y;«/l _ 7^ Uk)jt (fe)^
F.15)
Граничные и начальные условия F.11) при этом полностью сохранят™
ся. Условия при 7] —>> оо можно перенести на конечное значение щ = 7
для ламинарного слоя и на щ = 0,7 для турбуленного слоя при простых
условиях на стенке. В случае расходимости итераций решения эти значе-
значения можно увеличить. Процесс решения состоял в следующем: сначала
определялись на новом s внешние параметры и условия на стенке, затем
находилось новое значение ? и решалась система F.15) методом после-
последовательных приближений. Каждый раз при новом значении s за нулевое
приближение функций ^°\f, ^/;? ^f", ^g, ^°V использовались эти же
функции, полученные на предыдущем шаге по s. Многочисленные расчеты
показали, что в большинстве случаев требовалось 2-3 последовательных
приближения, а при положительном градиенте давления — 3-4 приближе-
приближения. Производные /, ?, g заменяются интерполяционными полиномами
Лагранжа по трем слоям s со вторым порядком точности, например,
; Of	2Si — Si-i — Si~2 p / \	Si — Si~2	P ,	ч
/ = 7Г = 7	w	\f (si) - 7	w	\f(si-i) +
dS	(Si - Si-i) (Si - Si^2)	(Si-1 - Si^2) (Si - Si-г)
Si — Si^i	,	,
()
+
7w
(Si - Si^2) [Si-! - Si^2
Заметим, что профили скорости и энтальпии наиболее сильно изменяются
вблизи стенки и незначительно в районе внешней границы пограничного
слоя. Поэтому шаг по г] в поперечном направлении необходимо сделать
переменным: малым вблизи стенки, поскольку в турбулентном слое коэф-
коэффициент трения должен определяться в ламинарном подслое, составляю™
щем ^ 0,0005^0,001 от толщины слоя, и большим вблизи щ.
Поэтому шаги в поперечном направлении изменялись по геометриче-
геометрической прогрессии hn = hok71^1; k = 1,120125, причем для ламинарного
слоя ho = 10~5, а для турбулентного ho = 10~6. Число шагов по коорди-
координате rj обычно составляло 100.
В этом случае выражения для третьей, второй и первой производных по
координате rj имеют соответственно вид
1	?lH	L-- 3 Г	?	i
l- Jn = hn+l F3(n+2)/n+2 +
+ 1 — ifc2)
(k + lJ(k2 + l)(k2 + k + 1)'

§ 6.3.	Метод решения	111
6(k3 + k2 ^2k^ 1)
«()
- 6к (к7 + Зк6 + 2к5 + 2к4 - 2к3 - 2к2 - Зк - 1)
fc3 (Jfc5 + 2ifc4 + k2 - к - 1)
2 (к4 + 2к3 + А;(А; + IJ - 1)
_ 2ifc3 (jfe + 2)
Подставляя конечно-разностные выражения производных в систему
F.15), придем к следующему выражению:
Ai/n+2 + A2fn+i + A3/n + Ai/n-i + ^s/n^2 = A6;
где
Ai = Ф (fe)iVa3(n+2) +b2/in+ia2(n+2);
= Ф {k
= Ф (fe)iVa3n + L2hn+1a2n + bi/i2+iain +
3	"-n+1

118	Методы расчета характеристик пограничного слоя	Гл.6
А4 = QW7Va3(n_i) + L2hn+1a2(n-i)
= Ф (*
ds
8s = Si - S(j_i).
Далее определяются выражения для прогоночных коэффициентов
At = —
Л5Б(П_2)'
A3-
Aa-
Граничные условия на стенке F.11) служат для определения первых
прогоночных коэффициентов А\ = 0, Вх = О, С\ = fw,
А - г ¦ Я -О- Г -k(k + 2h
По этим коэффициентам легко определяются и остальные вплоть до
точки (п — 2). На внешней границе пограничного слоя выполняется условие
/; = 1; rj = щ. Однако для определения функции тока /дг и /jv-i в
точках Tjfc и щ — Hn одного этого условия недостаточно. Необходимо
добавить равенство fff{f]k) = 0> которое вытекает из асимптотического
характера поведения функции /; на границе пограничного слоя: /; —>• 1
при j\ -)> щ.

§ 6.3.	Метод решения	119
Используя конечно-разностные представления для уравнений ff(t]k) =
= 1; f"[щ) = 0 и дополняя их прогоночными соотношениями в точках
N — 2 и N — 3, получим систему уравнений
Bfc + l)?v - (к + lJ/iv-i + ^2/ж~2 = (fc + 1) hN;
к [(к2 + fc + IJ - Ic4 - 2fc3] /лг - Bfc3 + 2k2 + lc)(fc2 + fc + 1)/лг-1 +
+ к2Bк2 + к + l)(fe2 + fe + 1)/jv_2 - ^5Bfc + l)fN-3 = 0;
/лг-з = ^-лг-з/лг-2 + Вм^з/n-i + Cjv-з;
относительно неизвестных fN, /iv^i» /лг^2» /лг^з- Определяя fNnfN^i
из данной системы, находим с помощью обратного хода значения функции
тока fi во всех остальных точках.
Уравнение энергии F.15) также решается методом прогонки. Используя
конечно-разностное представление производных функции g, запишем его
в виде
хЩп+2) + X2q(n+i) + х^Чп +
где
Xl = «2(n+2)^25 X2 = «2(n+l)
Хз = «2пМ2 + к{п+1)Мга1п
Х4 = «2(n^i)^2 + ft(n+i)Mi«i(n-i); X5 = M4h2(n+1) - М1х;
= Ф
Параметр gn можно представить в виде
&п = Dng(n+1) + Eng{n+2) + Nni
X5
_ X2+X4^(n^l). „	Xl	дг* _
X + X^	X + X^)
X3 + X4^(n^l)	X3 + X4^)(n-1)	X3
Из начального условия при rj = 0 находятся первые прогоночные ко-
коэффициенты
Вг=0; Ег=0; N* = gw,
по которым определяются остальные вплоть до точки N — 2. Используя
условия g{j]h) = 1 и ё!{щ) = 0, а также прогоночное соотношение в точ-
точке N — 2, получим систему уравнений для определения функции gjy-i-
После нахождения gN_1 с помощью обратного хода определяются функ-
функции gi во всех остальных точках.

120	Методы расчета характеристик пограничного слоя	Гл.6
Решение считается найденным, если
Если эти условия не выполняются, то итерационный процесс повторяет-
повторяется. Обычно ef = 10^4, eg = 5 • 10~4. Несколько увеличенное значение её
связано с наличием диссипативного члена [Ф<5/;/;/] , расчет которого осу-
осуществляется с большой погрешностью.
После нахождения профилей / и g с заданной точностью находятся
параметры в новом сечении по s.
§ 6.4. Реализация метода
Данный метод был реализован в виде двух программ «TRENIE» и
«LAYER-2» [19, 20], написанных на алгоритмическом языке ФОРТРАН,
для определения параметров ламинарного, переходного и турбулентного
пограничных слоев на плоских и осесимметричных телах. Отличие между
двумя программами состоит в том, что для первой необходимо ввести в
исходные данные параметры внешнего потока, а для второй — параметры
невязкого течения рассчитываются методом Годунова-Колгана по отдель-
отдельной программе, составленной Н. С. Бачмановой, Н. В. Голубиным, В. В. Ере-
Ереминым и Ю. М. Липницким и являющейся частью программы <<LAYER-2>>.
По первой программе можно находить параметры пограничного слоя в до™
звуковом, трансзвуковом и сверхзвуковом потоках, причем для простых тел
типа: пластина, острый конус [21], цилиндр, расположенный перпендику-
лярно набегающему потоку [16], и сферический наконечник [16] — необхо-
необходимые внешние условия определяются в самой программе без проведения
расчетов внешних параметров.
Для определения параметров ламинарного пограничного слоя требо-
требовалось на каждом шаге по s 2-3 последовательных приближения, а для
турбулентного — 3-4. Данный метод позволяет находить характеристики
пограничного слоя при кусочно-непрерывном задании граничных условий
(например дискретный вдув или отсос газа, распределенная шероховатость
поверхности).
После получения профилей функции тока, скорости и полной энталь-
энтальпии поперек пограничного слоя определяются местные коэффициенты тре-
трения Cfoo и теплообмена St^:
Cfoo =
a, _	gto	_ pw^w p5 Щ ,	x
Pr(l -

§6.5.	Апробация метода	121
а также числа Рейнольдса, определенные по местным параметрам течения
и интегральным толщинам пограничного слоя 8, 5* и 5**
"Пк	Vk
п е / r> \1/-Yi Г Р5 ?	г> г* /г) UAyi Г /^5 м\ ,
iceo = (jKet) ' п —ош: Кед = \jKet) ' п 	dm
} Р	~ "•¦
P us
f
ДесГ* = GДееI/71 [ J ( ! ~ ^) *7-
о
В том случае, когда необходимо учесть взаимодействие пограничного
слоя с внешним невязким потоком, предусмотрен двойной расчет внешних
невязких газодинамических параметров около тела — сначала исходной
конфигурации, а затем с углом наклона, увеличенным на А0. Это позволяет
найти производную dp/dO в произвольной точке на поверхности тела, а
затем определить давление с учетом вязкого взаимодействия р = Ро +
dp d6*
§ 6.5. Апробация метода
Изложенный выше метод был апробирован путем сравнения расчетных
данных с экспериментальными различных авторов. В случае ламинарно-
ламинарного пограничного слоя результаты многочисленных расчетов показали, что
относительная ошибка в определении местных коэффициентов трения и
теплообмена не превышает 5 %.
В случае турбулентного пограничного слоя сравнение удобно прово™
дить по местному коэффициенту трения. В таблице 6.2 приведено такое
сопоставление, причем экспериментальные данные заимствованы из работ
[23-26], которые Стэнфордской конференцией 1969 г. признаны кондици-
кондиционными. Из таблицы видно, что при числах Маха Ms < 5, температуре
поверхности, близкой к равновесной, и числах Рейнольдеа Rex < 108 отно-
относительная ошибка определения Cf не превышает 5 %. При тех же условиях,
но при Rex > 108 относительная погрешность возрастает до 13 %. Увели-
Увеличение числа Маха Ms и уменьшение температуры поверхности приводят
к возрастанию погрешности Cf до 22%. В общем случае, при больших
числах Маха и Рейнольдса (Ms > 5, Rex > 108) и при одновременном
воздействии на пограничный слой низкого температурного фактора, шеро-
шероховатости поверхности и вдува, относительная ошибка в определении Cf
может увеличиться до 40 %.
Сравнение по профилям безразмерной скорости и/us, числам Маха
М/Ms в турбулентном пограничном слое на пластине при М^ = 4,2;
Rex = 6,2-106 и 355-107и^<ш = 1,0 с экспериментальными данными
работы [23], показало удовлетворительное согласование данных (рис. 6.4).
Проведено сравнение расчетных профилей скорости и/us, плотности
p/ps и чисел Маха M/Ms в различных сечениях на поверхности осе-

122
Методы расчета характеристик пограничного слоя
Гл. 6
симметричного тела с экспериментальными данными [22], полученными
при обтекании цилиндра сверхзвуковым потоком с числом Маха М = 7,2
(рис. 6.5). Здесь также следует отметить удовлетворительное согласование
расчетных и экспериментальных данных.
Таблица 6.2
Me
2
2,568
3,701
4,545
2,8
2,8
2,8
о я
О Я
О Я.
2,8
2,8
2,8
2,95
2,95
4,2
4,2
5,2
5,21
5,11
3,0
3,0
3,0
5,94
6,27
6,01
7,43
Rex • 106
3
4,84
3,54
6,87
318,0
376,0
512,0
611,0
827,0
873,0
1120,0
1180,0
1410,0
9,0
31,0
6,2
35,0
3,81
2,72
3,27
2,3
2,55
2,8
2,75
6,9
15,07
16,01
а
CPW
4
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,75
0,801
0,565
0,54
0,54
0,54
0,32
0,31
0,48
0,48
Cf • 106
эксперимент
8
1,81
1,62
1,31
1,02
0,987
0,945
0,953
0,9
0,874
0,849
0,891
0,862
1,54
1,29
1,27
0,952
1,248
1,465
1,236
2,33
2,27
2,24
1,3
1,42
1,14
0,89
Cf • 106
Расчет
9
1,851
1,613
1,195
0,891
0,878
0,849
0,826
0,794
0,792
0,771
0,783
0,763
1,52
1,241
1,296
0,952
1,232
1,338
1,387
2,285
2,207
2,145
1,399
1,072
0,902
0,7
Относительная
ошибка С/ в %
10
-27,1
-29,4
-1,55
-4,5
-4,5
-4,4
-4,9
-4,6
-4,4
-4,4
-4,3
-5,3
2,2
9,3
-23,25
-8,4
-14,36
-16,94
-7,8
-44,17
-42,1
-37,64
78,16
27,67
8,95
-0,26

§ 6-5.
Апробация метода
123
Характерные профили скорости/; = и/щ9 полной энтальпии g= J/J5
в турбулентном слое на затупленном конусе приведены на рис. 6.6 (М =
= 5, Иеь = 1,2 • 107). Видно, что наиболее сильное изменение параметров
происходит около стенки, свидетельствующее о согласовании с физической
картиной течения. Распределение плотности ps/p и турбулентной вязкости
р2е/psfis поперек пограничного слоя изображено на рис. 6.7.
Таким образом, предложенный метод позволяет находить с необходимой
точностью как местные, так и интегральные характеристики ламинарного,
переходного и турбулентного пограничных слоев при достаточно произ-
произвольных условиях на стенке и на внешней границе пограничного слоя, что
свидетельствует о правильности выбранной модели турбулентной вязкости
и метода решения уравнений пограничного слоя, включая зону перехода.
и/и
М/Ме
1,0
и/ие М/Ме
• о эксперимент
	 расчет
15	20	25 у/6*
0,0
= 3,5-107
10
20
30 у/6*
Рис. 6.4. Сравнение расчетного и экспериментального [23] распределения скорости
и чисел Маха для теплоизолированной пластины

124
Методы расчета характеристик пограничного слоя
Гл. 6
1)
у, мм
40
20
0 •
0,0
2/, мм
40
2) 20
0,0
• — х = 115 мм
о -х= 237 мм
0,4
0,8
и/ие
У/
)
>
0,0
у, мм
40
20
0
0,
4
0,
8
/
U
м/ме
0,4
0,8
Р/Ре
Рис. 6.5. Сравнение расчетных и экспериментальных [22] профилей скорости,
плотности и чисел Маха в различных точках на поверхности цилиндра при числе
Маха набегающего потока М = 7,2; • х = 115 мм; о х = 237 мм; — расчет

§6.6.
Влияние шероховатости поверхности
125
I/, мм
0,4
0,8 и/ие
у, мм
0,4
0,2
0,0
»——-
00»—"*
*—¦—
У
/
/
000--*
/
/
У
g
у, мм
1,0
а
0,5
0,0
у, мм
\
у
о
20
40
1,0
0,5
00
У
— ¦—
.т	 —
/
00-S
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 6.6. Профили скорости (а) и пол-
полной энтальпии (б) поперек погранич-
пограничного слоя на затупленном конусе с по-
полууглом в к = Ю° при числе Маха
набегающего потока М = 5; Кеь =
= 1,2 • 107; gw = 0,6; г0 = 0,01м.
— ламинарный пограничный слой, х =
= 258го; - - - турбулентный погранич-
пограничный слой, х = 7,2го
0,0
0,4
0,8
Рис. 6.7. Профили турбулентной вязко-
вязкости (а) и плотности (б) поперек погра-
пограничного слоя на затупленном конусе с
полууглом в к = Ю° при числе Маха
набегающего потока М = 5; Кеь =
= 1,2 • 107; gw = 0,6; г0 = 0,01м.
— ламинарный пограничный слой, х =
= 2,8го; - - - турбулентный погранич-
пограничный слой, х = 7,2го
§ 6.6. Влияние шероховатости поверхности
В современной аэродинамике при больших сверхзвуковых скоростях
полета важную роль играют физические процессы, связанные с взаимо™
действием высокоэнтальпийного потока с разрушающейся поверхностью
теплозащитного покрытия (ТЗП). Основным фактором в данном случае,
который влияет заметным образом на характеристики пограничного слоя и
коэффициенты трения, является шероховатость поверхности.
Существует несколько подходов к математическому описанию воздей-
воздействия равномерно распределенной шероховатости на параметры турбулент-
турбулентного слоя, при этом шероховатость рассматривается как песочная, т. с. со™
стоящая из твердых шаров (песчинок) одинакового диаметра, плотно при-
прилегающих друг к другу. Впервые это понятие ввел в теорию пограничного
слоя Никурадзе [35]. Предполагается, что в ламинарном пограничном слое
влияние шероховатости поверхности на параметры слоя ничтожно мало.
В данной работе использован метод Ван-Дрийста [36], в которой песочная
шероховатость поверхности h рассматривается как генератор завихрение-

126	Методы расчета характеристик пограничного слоя	Гл.6
сти в пограничном слое. Однако результаты, полученные Ван-Дрийстом,
справедливы лишь для несжимаемой жидкости. Сжимаемость газа можно
учесть, если параметр Аг в формуле F.5) использовать в виде
Аг = 260 ехр (-2,5а*) .	F.16)
Перевод реальной шероховатости поверхности в песочную представля-
представляет в настоящее время достаточно сложную задачу, поскольку необходимо
учитывать как линейные размеры каждого элемента шероховатости, так и
углы наклона ее граней. В работе [12] дан приближенный метод перевода
реальной шероховатости в песочную. В последнее время появилась работа
[13], в которой предложен усовершенствованный метод перевода реальной
шероховатости в песочную. С этой целью вводится новый параметр Л:
Sf [Aw
где S — площадь поверхности, принимаемая за контрольную; 5/ — сум™
марная площадь миделевых сечений всех элементов шероховатости со сто-
стороны набегающего потока, расположенных на контрольной площади S;
Af — площадь миделевого сечения одного элемента шероховатости по на-
направлению набегающего потока; Aw — площадь наветренной смачиваемой
поверхности элемента шероховатости.
Высота эквивалентной песочной шероховатости определяется по соот-
соотношениям
0,003 . А4'9, при 1,4 <С А ^ 4,89;
8, при 4,89 ^ А ^ 13,25;
151,7-А'14, при 13,25 ^А^ 100,
где h — высота реальной шероховатости.
Коэффициент усиления напряжения трения выражается формулой
{1 при 0 ^ Rehs ^ 1?0;
ехр@,21(lg Rehsf - 0,026 (lg ДеЛвK) при 1,0 ^ Reha ^ 36
1 + 0,9 (lg Reh8 - 1) при 36 ^ Reh8 ^ 700.
F.17)
п	п	hsus Cf8 „	%tws ,
Здесь Rehs = 	\ 	? Ws = 	^> hs — высота эквивалентной
Vw V 2	PwU2wi
песочной шероховатости; tws — касательное напряжение трения; us —
продольная компонента скорости.
На рис. 6.8 показано сравнение экспериментальных данных [37] с ре-
результатами расчетов по предложенной методике коэффициентов трения на
шероховатой поверхности острого конуса. Несмотря на разбросанность
экспериментальных точек, согласование данных можно признать удовле-
удовлетворительным. Видно, что уже незначительная шероховатость (hs/L ~
^ 10~4) может увеличить Cfs приблизительно в 1,5 раза. Дальнейшее уве™

§6.7.
Влияние перехода пограничного слоя и вдува с поверхности
127
личение Rehs не приводит к измене-
изменению коэффициентов трения и теплооб-
теплообмена, наступает режим «насыщения».
Это можно объяснить несовершенством
используемой математической модели
шероховатости при Rehs > 2-Ю4.
Большую шероховатость нельзя рас™
сматривать только как механизм, гене™
рирующий завихренность в погранич-
пограничном слое. Необходимо учесть и то ди-
динамическое воздействие, которое ока-
оказывает течение в слое на каждый эле-
элемент шероховатости. К сожалению, ко™
личество экспериментальных данных
Cf/CfQ
о
— расчет по формуле
4 экспериментальные данные
О
1
Рис. 6.8. Зависимость коэффициента
трения на шероховатой поверхности
от числа Рейнольдса
по влиянию различного вида шероховатости на параметры слоя при сверх-
сверхзвуковых скоростях недостаточно, и это обстоятельство не позволяет в на™
стоящее время создать единую теорию о влиянии элементов шероховатости
на характеристики слоя, в том числе и ламинарного.
§ 6.7. Влияние пережода пограничного слоя и вдува
с поверхности на коэффициент сопротивления
летательного аппарата
При движении летательного аппарата в плотных слоях атмосферы на
его поверхности может осуществиться переход ламинарного погранично-
пограничного слоя в турбулентный, что приводит к сильному изменению коэффи-
коэффициентов трения и теплообмена. Основными параметрами, влияющими на
процесс ламинарно-турбулентного перехода, являются числа Рейнольдса,
Маха, температурный фактор, форма носового притупления и состояние
поверхности (шероховатость, вдув). Начало перехода зависит от величи-
величины критического числа Рейнольдса, определение которого является важной
научно-технической задачей.
На основании имеющихся многочисленных экспериментальных данных
можно установить, что наиболее универсальной формой критерия перехода
служит зависимость типа
, G, h, iw);
где Res**}t — критическое число Рейнольдса, рассчитанное по парамет-
параметрам течения на границе пограничного слоя и толщине потери импульса 5**
и характеризующее начало перехода; Ms — число Маха на границе по-
пограничного слоя; G — безразмерный параметр вдува, G = 	^тт™-—\
psusStw о
гт — энтальпииныи фактор; h = j^ — отношение высоты шероховато-

Методы расчета характеристик пограничного слоя
Гл. 6
сти поверхности к толщине потери импульса пограничного слоя; StWjo =
=	-г-^	г — коэффициент теплообмена на непроницаемой поверх™
рбЩ (Joo - iw)
но сти (т. е. при отсутствии вдува).
Конец области перехода определяется на основании формулы F.4), учи-
учитывающей влияние местных чисел Маха и Рейнольд с а, а также продоль-
ного градиента скорости [7]. В соответствии с этой формулой в несжима™
емой жидкости область перехода имеет приблизительно такую же протя-
протяженность, как и область ламинарного течения, однако при сверхзвуковых
скоростях область перехода превышает область ламинарного течения, при-
причем тем больше, чем больше число Маха.
Существенное влияние на переход пограничного слоя оказывает затуп-
затупление носка тела, от которого зависит соотношение между толщинами эн-
энтропийного и пограничного слоев. Наиболее полные данные о влиянии
энтропийного слоя на переход представлены в работах [47, 49].
Несмотря на проведение в последние годы большого числа исследо-
исследований по переходу пограничного слоя, до сих пор не существует единой
универсальной методики определения координат точки перехода. В связи с
этим при выводе критерия перехода в настоящем методе были использова-
использованы опытные данные из работ [42, 43, 46, 49], где содержатся рекомендации
по выбору зависимости критического числа Рейнольдса Re 5^* от шеро-
шероховатости и энтальпийного фактора. Эти данные показывают, в частности,
что охлаждение обтекаемой поверхности смещает точку начала перехода
вниз по потоку, что особенно заметно при низких температурных факторах
(iw < 0,4) [42, 43].
С целью распространения этих рекомендаций на случай перехода по-
пограничного слоя, осуществляемого на боковой поверхности затупленного
конуса, были проведены испытания моделей с различными затуплениями
и видами шероховатости при различных энтальпийных факторах. Условия
проведения испытаний приведены ниже в табл. 6.3.
Таблица 6.3
Moo
4
6
7,7
Re
2,8-
1,64-
1,08-
L
107
107
107
iw
0,9
0,64
0,52
L,m
0,45
0,45
0,45
Uoob
6,0-
3,6-
2,5-
107
107
107
Были испытаны как гладкие, так и шероховатые модели, причем шеро-
шероховатость в данном случае образовывалась в процессе уноса композици-
композиционного теплозащитного покрытия под воздействием высокоэнтальпийного
газового потока на специальном тепловом стенде. Максимальная высота
шероховатости достигала уровня 0,35^0,4 мм., что соответствовало значе™
нию параметра h = h/ё** = B-=-4).
При экспериментальном определении границ переходной области бы-
была использована термовизионная техника, работающая в ИК-диапазоне и

§6.7.
Влияние перехода пограничного слоя и вдува с поверхности
129
регистрирующая температуру поверхности тела в процессе ее нагрева под
воздействием аэродинамического теплового потока. На рис. 6.9, 6.10 по-
показаны термограмма поверхности модели, полученная в ходе испытаний
при М = 6, и результаты измерения температуры поверхности. Минимум
и максимум температуры соответствуют началу и концу переходной обла™
сти, т.е. характеризуют критические числа Рейнольдса, реализующиеся на
боковой поверхности затупленного конуса.
i,u(J
140
100
fin
г
/
/
/
100
300 X, мм
200
а	б
Рис. 6.9. Термограмма (а) и распределение температуры поверхности (б) модели
при М = 6
Результаты проведенных экспериментальных исследований представ-
представлены на рис. 6.11 в виде зависимости Re 5^* = f(M$)9 которая указывает
на наличие минимума критического числа Re5^* на боковой поверхности
затупленного конуса при Ms ~ 3,3. Заметим, что аналогичное поведение
зависимости критического числа Рейнольдса от местного числа Маха на-
наблюдалось ранее на пластинах [50] и острых конусах (кривая 1, [45]).
На основании обработки экспериментальных данных была предложена
следующая формула для определения критического числа Рейнольдса на
боковой поверхности тонкого затупленного конуса:
hs
-0,65
F.18)
где hs — высота шероховатости, iw — энтальпийный фактор, индекс «<5»
относится к параметрам на внешней границе пограничного слоя, «ги» — к
параметрам на стенке. Вдув в пограничный слой газа (например, за счет
уноса сублимирующего материала) в данном случае учитывается через
толщину S**, определяемую в ходе численного интегрирования уравне-
уравнений пограничного слоя при задании граничного условия на стенке в виде
PwVw/(psU$) = GStW}0, где G — безразмерный параметр вдува, завися™
щий от типа теплозащитного материала.
Константа А\ является эмпирическим коэффициентом, который подби-
подбирается из условий наилучшего согласования опытных и расчетных данных.
Она учитывает различие в условиях обтекания модели в аэродинамиче™
ской трубе, где степень турбулентности потока может достигать больших
величин @,1-^0,5%), и в свободном полете. На основании полученных

130
Методы расчета характеристик пограничного слоя
Гл. 6
опытных данных было обнаружено, что для условий испытаний моделей
в трубах величина А\ может быть аппроксимирована следующей прибли-
приближенной формулой: А\ = 1400/M^f. Согласование экспериментальных и
расчетных границ переходной области показано на рис. 6.10.
100St,P	Тт°С	*^М=4
0,06
0,04
0,02
0,00
300
200
Tw, эжсперимент
М = 6 ЮО
ReL= 1,6 -Ю7
о
10
20
30
х/г
600
400
200
— ЛИ, затуп. конус [44, 51]_
2
 2 3 4 5
Рис. 6.10. Положение переходной об- Рис. 6.11. Зависимость критического
ласти на затупленном конусе (расчет и числа Рейнольдса от местного числа
эксперимент)	Маха (затупленный конус)
Из рассмотрения рис. 6.11 следует, что диапазон изменения величины
критического числа Рейнольдса на поверхности затупленного конуса при
сверхзвуковых скоростях обтекания моделей в аэродинамических трубах
составляет
Re8*t* = 400^500.
Особую ценность имеют результаты летных испытаний, отражающие
совокупное влияние различных факторов (уноса, шероховатости поверхно-
поверхности и т. д.) на переход пограничного слоя и не подверженные воздействию
негативных факторов, присущих аэродинамическим трубам. Обработка
летных данных [44, 51] по формуле F.18) показала, что для определения
начала перехода в данном случае также может быть использована эта зави-
зависимость, однако величина А\ должна быть увеличена: А\ = 1600/М^8.
Диапазоны изменения основных параметров, входящих в формулу F.18),
имеют следующие ограничения: М^ = 4^20; М^ = 2^4; iw = 0,15-^-0,9;
h ^ 4,0.
В соответствии с данным критерием, при движении затупленного кону-
конуса с характерным размером L ^ 1,5 м по траектории спуска при М = 20
переход пограничного слоя начинается на высотах Н ~ 26^29 км.
О влиянии перехода пограничного слоя на суммарный коэффициент со™
противления затупленного конуса Сжх можно судить по графикам, пред-
представленным на рис. 6.12, где дано сравнение расчетных и летных данных
для варианта: М = 20; 9к = 7°, Н = 0^65 км. При определении расчет™
ного суммарного коэффициента Оже учитывалось влияние шероховатости
поверхности и вдува в пограничный слой.

§6.7.
Влияние перехода пограничного слоя и вдува с поверхности
131
Влияние вдува в пограничный
слой газообразных продуктов раз-
разрушения теплозащитного покры-
покрытия на коэффициенты трения опре-
определяется на основе численного
расчета уравнений пограничного
слоя при задании начальных и гра-
граничных условий F.11), учитываю-
учитывающих вдув газа в пограничный слой
с поверхности тела.
В связи с тем что теплофи-
зические свойства газообразных
продуктов разрушения теплоза-
теплозащитного покрытия отличаются от
0,10
_• G^ — расчет
О Сх\ — расчет
a {Cxf + Cxm) -расчет
" — летные- данные
0,00
Рис. 6.12. Изменение коэффициента Сх
затупленного конуса при движении по
траектории спуска
свойств воздуха, к уравнениям пограничного слоя следует добавить урав-
уравнения диффузии с несколькими или с одним эффективным коэффициентом
диффузии (модель бинарной смеси [11]). В инженерной практике при про-
проведении аэродинамических расчетов часто используется упрощенный вари-
ант решения задачи, в котором предполагается равенство всех коэффициен-
коэффициентов диффузии и расчет по определению коэффициентов трения проводится
путем решения задачи о вдуве в пограничный слой воздуха с некоторым
эффективным безразмерным параметром вдува
ps us StW}o
Параметр Оэф подбирается из таких условий, чтобы коэффициенты
трения на поверхности тела при вдуве воздуха и при уносе реального
теплозащитного покрытия были одинаковыми. Для этой цели используют-
используются аппроксимационные зависимости, полученные при решении уравнений
пограничного слоя в многокомпонентных средах или в ходе эксперимен-
экспериментальных исследований [11, 48]. В случае ламинарного пограничного слоя
указанные зависимости имеют вид
/ \0,25
J^L=1_O,85(—) G,
Tw,0	\TnwJ
где rW)o — касательное напряжение трения без учета вдува, mi — молеку-
молекулярная масса газа во внешнем потоке, mw — молекулярная масса вдувае-
вдуваемого газа, G — величина коэффициента вдува при реальном уносе.
Из условия равенства коэффициентов трения следует
0,25
= 1—1 G.
mi
т.
В том случае, если на поверхности тела происходит унос сублимирую-
сублимирующего материала, характеризуемого эффективной удельной энтальпией Нэф

132	Методы расчета характеристик пограничного слоя	Гл.6
и температурой разрушения TW9 имеем
Jo — ч
где а — постоянная Стефана-Больцмана (а = 5,67 • 10~8 Вт-/(м2-К4)).
При турбулентном течении в пограничном слое величина эффективного
коэффициента вдува определяется по формуле
\
где а = 0,35 при 0,2 < m\/mw < 1, а = 0,7 при 1 < m\/mw < 8, а = 1
при mi/mw > 8.
Безразмерные параметры вдува G не должны превышать следующих
критических значений, при достижении которых происходит «оттеснение»
пограничного слоя от стенки: в ламинарном слое G ^ 0,8-^1, в турбулент™
том^С ^ 2,5^3.
Таким образом задача о влиянии вдува в пограничный слой на сум-
суммарный коэффициент трения летательного аппарата решается на основе
интегрирования системы уравнений пограничного слоя F.1)^F.3) с зада-
заданием на стенке граничного условия pwvw = G3$psusStWio. Для определе™
ния коэффициента теплообмена StW}o предварительно система уравнений
F.1)ч-F.3) решается при граничном условии fw = Сэф = 0.
§ 6.8. Влияние завихренности потока на характеристики
пограничного слоя на затупленных телах
При полете затупленных тел с гиперзвуковой скоростью поток в ударном
слое становится неоднородным в поперечном к поверхности тела направ-
направлении, что оказывает влияние на формирование вязкого пограничного слоя
на стенке. Этому вопросу посвящено достаточно много работ [38—41], где
предложены различные способы учета влияния завихренности потока на
параметры пограничного слоя, основанные как на точных решениях, так и
приближенных подходах.
В настоящей главе для решения данной задачи используются идеи, за™
ложенные в работе [38], где на основе решения так называемой обратной
задачи в теории пограничного слоя подробно рассмотрен случай линейно™
го изменения скорости внешнего потока по поперечной координате Us =
= а(х) + Ь{х)у. Задача о несжимаемом ламинарном пограничном слое в
этом случае может быть сведена к следующей краевой задаче:
дф д2ф дф д2ф dP x д3ф
ду дхду дх ду2	dx ду
,з

§6.8.	Влияние завихренности потока	133
при граничных условиях:
ф ф	0
у -» оо. F.20)
Здесь ж, у — прямоугольная система координат с началом в точке об-
образования пограничного слоя, ось х направлена вдоль линии Ф^ = О,
Ф(ж, у) — функция тока, yw(x) — уравнение стенки, определяемое в ходе
решения задачи. Условие на бесконечности означает, что при достаточно
большом удалении от стенки функция тока и все ее производные отлича-
отличаются от соответствующих величин во внешнем течении на малую, экспо™
ненциально убывающую величину
Данная постановка задачи для случая Us = а(х) + Ь(х)у эквивалентна
двум приближениям по методу сращиваемых асимптотических разложений
Ван™Дайка [40]. Она является весьма плодотворной при решении задач
теории пограничного слоя с резким изменением граничных условий, когда
приходится рассматривать «новый» пограничный слой, формирующийся в
«старом» [39].
Следуя [38], будем искать подобные решения представленной выше
системы в виде
ф(х, у) = 6(х) f(rj), f] = фз(х, у)/6(х).
Здесь 8(х) — произвольная функция х9 обращающаяся в нуль при х =
= 0. Предложенная форма координаты подобия rj охватывает не только все
известные случаи существования подобных решений уравнений погранич-
пограничного слоя в равномерном потоке, но и позволяет найти дополнительный
класс подобных решений в неравномерном внешнем потоке.
Рассмотрим более подробно решения уравнений пограничного слоя,
когда функция тока внешнего течения задана полиномом второй степени
Вид функций Fi(x) и F2(x) не может быть произвольным и определя-
определяется условиями существования подобных решений, а именно
F2 =
4A +кJ '
Таким образом, решение исходной системы уравнений F.19), F.20) за-
зависит от трех констант к, с\ и с2, которые характеризуют степень зави-
завихренности внешнего потока, продольный градиент давления и закон изме-
изменения толщины пограничного слоя продольной координатой х.
Здесь возможны следующие варианты.
1.	с2 = 0, скорость внешнего потока не зависит от у и является сте-
степенной функцией х. Это классический случай точного решения уравнений
Прандтля (уравнения Фолкнера-Скэн).
2.	с2 ф 0, скорость внешнего потока линейно меняется по у.

134	Методы расчета характеристик пограничного слоя	Гл.6
ч1/2 -2/3 ж( ч ? -1/3
Замена переменных
приводит исходное уравнение и граничные условия к виду
Фш + 2ФФ/; + 2Ф12{к - 1) ~~ Ая2{2к - 1) + 47* = О
В отличие от уравнения Фолкнера^Скэн, в которое входит лишь один
параметр /3 (/3 = 1 — к) уравнение F.21) содержит два параметра: к
и 7* = с\с^ .Последний характеризует степень завихренности внешнего
(	)
потока (через сг). Результаты численного расчета уравнения F.21) при
7* =0; 2,5; 5; 10 и 15 и различных значениях параметра вдува и отсоса
на стенке представлены в работе [38].
Из анализа полученных автомодельных решений следует, что в сильно
завихренных потоках сращивание параметров в пограничном слое и во
внешнем течении следует производить не на одинаковых расстояниях от
стенки, а при одинаковых значениях расходных функций:
u(x,y)^Us(x,y-5*), i(x,y) ^is(x,y-6*) при
где Ф(ж, у) — функция тока в пограничном слое, Ф^ж, у) — во внешнем
завихренном потоке, 5*(х, у) — толщина вытеснения пограничного слоя.
Идея такого подхода была реализована применительно к обтеканию
сверхзвуковым потоком затупленного конуса.
Чтобы выполнить эти условия при численном интегрировании уравне-
уравнений пограничного слоя на поверхности затупленного конуса, необходимо в
памяти ЭВМ хранить газодинамические параметры в ударном слое по нор™
мали к стенке. Опыт проведения расчетов показывает, что число расчетных
точек поперек ударного слоя должно быть не менее 50 (в пограничном
слое — не менее 100).
В качестве примера на рис. 6.13 представлены результаты расчетов ха~
рактеристик ламинарного пограничного слоя на затупленном конусе с уг-
углом полураствора 9к = 10° при V = 7,5 км/с, Н = 60 км, Дег?оо = 104,
iw =0,1 с учетом и без учета завихренности потока в ударном слое. Из
рассмотрения графика следует, что в данном случае завихренность потока
увеличивает коэффициент трения почти на 80 % (рис. 6.13 а), коэффициент
теплообмена — примерно на 20 % (рис. 6.13 б).
О характере сращивания параметров в пограничном слое и в вихре-
вихревом ударном слое можно судить по графикам, представленным на рис. 6.14
для рассматриваемого случая обтекания затупленного конуса (х/го = 30).
Здесь светлыми значками представлены параметры скорости и плотности
газа в ударном слое, темными — в пограничном слое. Эти данные свиде-
свидетельствуют об эффективности предложенного приближенного метода учета
завихренности потока в ударном слое на тонких притуплённых телах.

§ 6-8.
Влияние завихренности потока
135
0,08
0,04
0,00
	с завихренностью
	без завихренности
(
0,08
0,04
0,00
)
\
N
20
40
х/г
о
20
40	х/г
Рис. 6.13. Влияние завихренности в ударном слое затупленного конуса на коэффи-
коэффициенты трения и теплообмена (в к = 10°; V = 7,5 км/с; Н = 60 км; Re = 104)
0	2	4
Рис. 6.14. Профили скорости и плотности в пограничном слое на затупленном
конусе при V = 7,5 км/с; Н = 60 км с учетом завихренности потока между телом
и ударной волной (ж/го = 30)

136	Методы расчета характеристик пограничного слоя	Гл.6
§ 6.9. Влияние вязких эффектов на сопротивление
летательных аппаратов
Рассмотрим вопрос об определении суммарного коэффициента сопро-
сопротивления СжЕ летательного аппарата осесимметричной формы, движуще™
гося под нулевым углом атаки со сверхзвуковой скоростью. Коэффициент
сопротивления Сжх с учетом вязких эффектов может быть представлен в
виде
^х J2 = ^хв + Схтр + Схее + Схд,	F.22)
где Охв — коэффициент волнового сопротивления
п Т/2 Е>2
^k
f
(Pe ^Poo)sln^fcrcls;	F.23)
J
0
?xmp — компонент сопротивления за счет силы поверхностного трения
Lk
Г
peueCfe cos 0krds;	F.24)
J
Схтр =
Poo Voo-^rn
0
CXee — компонент волнового сопротивления за счет взаимодействия погра™
ничного слоя с внешним сверхзвуковым потоком
F.25)
о
- коэффициент донного сопротивления
4	Г
Схд = „ 1Г9, о, (Poo -pd)rdr.	F.26)
Коэффициент волнового сопротивления Схе определяется на основе ме-
метода Годунова или Годунова-Колгана [29]. Параметры Схтр и Схвв нахо-
находятся по результатам расчета пограничного слоя на заданном теле, причем
коэффициент Схвв определяется на основании двух расчетов параметров
обтекания тела: сначала исходной формы, а затем — увеличенной на тол-
толщину вытеснения 5*. Коэффициент донного давления СХд рассчитывается
в соответствии с работой [32]. Многочисленные испытания затупленных
конусов позволили предложить единую универсальную кривую для расче-
расчета турбулентного донного давления, которая аппроксимируется следующей
зависимостью:
п _ А(М)ехр(-0,14.Моо)
А(МОО) = 0,42 + 0,00114 • (Моо - 12J, М^ < 10

§ 6.9. Влияние вязких эффектов на сопротивление летательных аппаратов 137
А{МОО) = 0,429 + 0,0064 • (M^ - 10), M^ > 10.	F.27)
Для тонких затупленных конусов E° < в к < 15°) большого удлинения
@ ^ ro/Rm ^ 0,6, го — радиус притупления носка тела, Rm — радиус-
Миделя) при турбулентном режиме течения в пограничном слое можно
применять метод Старра [31].
Другой метод определения донного давления представлен в работе [32].
По этому методу можно изучить влияние на донное давление параметров
пограничного слоя на боковой поверхности тела непосредственно перед
кормой. В отличие от других работ в ней под числом Маха Ме подразу-
подразумевалось не его значение на поверхности тела, полученное из уравнений
идеального газа, а значение на внешней границе пограничного слоя, кото-
которое может значительно отличаться от его значения на стенке (особенно это
заметно при малых затуплениях тела ro/Rm < 0,3).
В данном методе принято под значением числа Маха Ме подразумевать
его значение в ударном слое, взятое на расстоянии толщины пограничного
слоя. Это позволяет учесть влияние на параметры донного течения таких
характеристик, как шероховатость боковой поверхности тела, ее темпера™
туры, вдув газа с поверхности аппарата.
Для ламинарного течения в донной области функциональная зависи-
зависимость донного давления от чисел Маха, Крокко и Рейнольдса имеет вид
1 0,7	/ \ 3
Сравнение результатов расчетов по этой формуле с экспериментальны-
экспериментальными данными различных авторов [30] B5 результатов) при различных углах
конуса, отношениях радиуса притупления к радиусу миделя, числах Рей-
Рейнольдса и Маха показали удовлетворительное согласование расчетных и
экспериментальных данных. В табл. 6.4 представлены отдельные резуль-
результаты. В большинстве этих работ донное давление определено в натурном
эксперименте, а не в аэродинамических трубах, где существенное влияние
на донное давление оказывают неравномерность потока, наличие державки
и другие факторы, искажающие измеряемые параметры.
Таблица 6.4
град.
9
9
8
8
10
15
15
18
18
20
20
14
14
14
Го/Rm
0
0
0
0
0,3
0
0,4
ДеьооХ
хЮ^5
55
80
10
20
2,54
2,24
1,55
Pd/Poo
эксперимент
0,266
0,27
0,58
0,41
0,728
0,849
1,117
Расчет
0,295
0,259
0,62
0,485
0,882
0,647
1,042
Отно сите л ьная
ошибка, %
-10,9
4Д
-6,9
-18,3
-21,1
23,8
6,7

138
Методы расчета характеристик пограничного слоя
Гл. 6
Относительная ошибка по результатам 25 экспериментов не превосхо™
дит 16 %. Для турбулентного течения в результате анализа эксперименталь-
экспериментальных данных работ различных исследователей получена следующая формула:
Рэ
= — , g=2 l-{ —
F2 = @,025 + 0,906 exp (-2,7а*)I/К ,
К = ОД + 2ехр (-0,1366>fe - 0,00256>|) ,
^з = ехр (-0,16 (lg Rees - lgitefcpJ) .
Здесь ре — давление на поверхности тела у кормового среза; Ме, ае —
числа Маха и Крокко, определяемые, как и для ламинарного течения, на
границе пограничного слоя, угол полураствора конуса 0& измеряется в
радианах, Rekp — число Рейнольдса начала перехода в слое смещения.
Сравнение значений донного давления, полученных в 45 эксперимен-
экспериментах работ различных авторов [30], с результатами расчетов по этой формуле
проведено в широком диапазоне изменения чисел Маха, Рейнольдса и углов
полураствора острого и затупленного конусов. Часть результатов представ-
представлена в табл. 6.5.
Таблица 6.5
10
10
9
9
9
9
9
9
9
12,5
3,4
18
19
4,5
5
4
5
4
4
2
1,5
6,8
Го/Rm
0
0
0
0
0
0
0,3
0,3
0,3
0
0
ReLex
xlO^7
46,7
55,8
0,6
0,6
3,3
4,3
0,6
0,8
0,09
0,51
0,61
Рд/Роо
эксперимент
0,25
0,3
0,135
0,143
0,23
0,18
0,165
0,158
0,515
0,5
0,445
расчет
0,284
0,343
0,156
0,148
0,19
0,165
0,15
0,14
0,48
0,506
0,357
Относительная
ошибка %
-13,6
-14,3
-15,6
^3,5
17,4
8,3
9,1
11,4
6,8
-1,0
19,8
Наблюдаемая в отдельных случаях большая относительная ошибка сви-
свидетельствует о значительном разбросе экспериментальных данных, часть
из которых была получена не на оси симметрии аппарата, а на периферии
донного среза. Средняя относительная ошибка по результатам 45 экспе-
экспериментов не превосходит 18 %. В целом можно говорить об удовлетвори-
удовлетворительном согласовании экспериментальных и расчетных данных. Заметим,
что параметры пограничного слоя рассчитывались по методу этого раздела,

§ 6.9. Влияние вязких эффектов на сопротивление летательных аппаратов 139
причем за верхнюю границу пограничного слоя принималось то значение
ординаты, в которой скорость и/ие = 0,99.
При вращении осесимметричного тела вокруг продольной оси Ох с
постоянной угловой скоростью шх возникает демпфирующий момент МХ9
обусловленный силами поверхностного трения:
sk
г	/я
Мх = 2тг т^г2 ds,	тф = fjiw ( —-
J	^ \ду
о
где w(s, |/, (р) — окружная составляющая скорости в пограничном слое. Ко-
Коэффициент момента крена за счет сил поверхностного трения определяется
по формуле
2МХ	2 Г _ 2	2т>
?oorzds, С^ = т^9 .	F.28)
B?mL J
о
В работе [42] показано, что в случае ламинарного пограничного слоя
между коэффициентами трения в меридиональном направлении С^ ив
продольном направлении С/ существует простая зависимость
— kCfoo,	F.29)
ие
причем к = 1,48. Для турбулентного слоя эта зависимость имеет вид
fc = ^^>2r^/^_ c f е = ^.	(бзо)
1 + 0,4^2/С/е - 0,69	Ре и!
Таким образом коэффициент демпфирующего момента конуса
т^ = Л^^ Шх = !f^k	F.31)
однозначно связан с суммарным коэффициентом трения Схтр.
L2
На рис. 6.15 приведено сравнение параметра С\р = т^х	с экспе-
экспериментальными данными работы [34]. Наблюдается удовлетворительное
согласование расчетных и экспериментальных данных при наличии лами™
парного пограничного слоя на поверхности модели. Как показали много-
многочисленные расчеты, для тонких притуплённых конусов E° < 9k < 15°)
большого удлинения @ ^J rn/Rm ^ 0,6) при ламинарном и турбулентном
режимах течения в пограничном слое справедлива формула:
т%* = В - Схтр, В = 0,015+0,02.	F.32)
На рис. 6.16 показано изменение компонент Схв9 Cxmpj Схвв и СХд пол-
полного сопротивления Сх затупленного конуса с полууглом 9к = 10° и

140
Методы расчета характеристик пограничного слоя
Гл. 6
удлинением L/rn = 30 в зависимости от числа Маха М^ для одной из
траекторий полета. Видно, что компонента сопротивления за счет силы по-
поверхностного трения Схтр составляет ~ 10% от коэффициента волнового
сопротивления Схв при сверхзвуковых числах Маха и ~ 5 % — при гипер-
гиперзвуковых числах М (турбулентный пограничный слой); при ламинарном
пограничном слое этот коэффициент на больших высотах может значи-
значительно возрасти. Увеличение коэффициента трения в данном случае будет
связано не только с уменьшением чисел Re, но и с влиянием на погранич-
пограничный слой неоднородного вихревого слоя, образующегося на затупленном
теле при гиперзвуковых скоростях полета (см. п. 6.8).
о эксперимент [34]
расчет
0,008
0,006
0,1 0,2 0,3 ro/Rmid
сх
0,1
0,0
n
yxv
\
N
" 1
1
^fe = 10°
^	Г-Г
с
cx<
>xsf\
Рис. 6.15. Сравнение параметра, пропорци- Рис. 6.16. Изменение полного коэф-
онального коэффициенту демпфирующего фициента сопротивления Сх и его со»
момента, с экспериментальными данными	ставляющих по траектории
Вклад вязкого взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким
потоком не превышает 5 % от суммарного коэффициента Схв во всем диа™
пазоне изменения числа Маха. Коэффициент донного сопротивления кону™
са СХ() может достигать ^ 40 % от Сх^ при трансзвуковых числах Маха
и становится меньше 1 % при гиперзвуковых числах Маха.
Литература
1.	Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., «Физматлит», 1962.
2.	Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., «Наука», 1974.
3.	Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.,
«Наука», 1970.
4.	Мурзинов И. Н. Ламинарный пограничный слой на затупленных телах с учетом
завихренности внешнего потока. Изв. АН СССР, МЖГ, № 6, 1966.
5.	Лунев В. В. Метод среднемассовых величин для пограничного слоя во внешнем
потоке с поперечной неоднородностью. Изв. АН СССР, МЖГ, № 1, 1967.
6.	Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М., Машиностроение, 1975.
7.	Michel Roger. Prevision de Г apparition et du developpement de la transition de la
couche limite. «Notes techniques O.N.E.R.A» , № 6, 1977г.
8.	Cebeci Т., Smith A.M.O. Analysis of turbulent boundary layers. New York, Akad.
Press, 1974.

Литература	141
9.	Долгов В. К, Шулемович В. М. Турбулентная вязкость для несжимаемых гра-
градиентных течений в пред отрывных областях и на шероховатой поверхности.
«Журнал прикладной механики и технической физики», ПМТФ, № 3, 1977.
10.	Cebeci Т., Bradshaw P. Momentum Transfer in Boundary Layers, Hemisphere, Wash-
Washington, DC, 1977.
11.	Авдуевский В. С, Галицейскый Б.М.и др. Основы теплопередачи в авиационной
и ракетно-космической технике. М., Машиностроение, 1975.
12.	Dirling Jr.В.В. A method for computing rough wall heat transfer rates on reentry
nosetlps. AJAA Paper, № 73-763, 1973.
13.	Sigal A., DanbergJ. E. New correlation of roughness densitg effect on the turbulent
boundary layer. AIAA Journal, № 3. V. 28. 1990. P. 554^556
14.	Романенко П. Н. Гидродинамика и тепломассообмен в пограничном слое (спра-
(справочник), М., Энергия, 1974.
15.	Гарбузов В. М. Программы, составленные на алгоритмическом языке ФОРТРАН
для численного интегрирования уравнений двумерного пограничного слоя. Тру-
Труды ЦАГИ, вып. 1482, 1973.
16.	Покровский А.Н., Фролов Л. Г. Приближенные зависимости для определения
давления на поверхности сферы или цилиндра при произвольном числе Маха
набегающего потока. Известия АН СССР, МЖГ, № 2. 1985. С. 185-188.
17.	Беллман Р. и Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.,
Мир, 1968.
18.	Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977.
19.	Покровский А. П., Шманенков В.Н., Фролов Л. Г. Программа расчета пара-
параметров двумерного пограничного слоя при заданном распределении давления
с учетом вдува, шероховатости поверхности и завихренности внешнего по-
потока, «TRENIE». ОФАП, ЦНИИМАШ, № 0699П (per. № 1239), Справочно»
информационный бюллетень (СИБ), №. 23. 1983.
20.	Покровский А. Н., Шманенков В. Н., Фролов Л. Г. Программа расчета парамет-
параметров двумерного пограничного слоя с учетом вдува, шероховатости поверхности,
равновесной диссоциации газа и завихренности внешнего потока, «LAYER -
2». ОФАП, ЦНИИМАШ, № 0973П (per. № 1832), Справочно-информационный
бюллетень, № 29. 1985.
21.	Simon W.E., Walter L. A. Approximations for supersonic flow over cones. AIAA J.
V. 1G). 1963. P. 1696-1698.
22.	Хорстмен, Оуен. Характеристики турбулентного сжимаемого пограничного
слоя. Ракетная техника и космонавтика, № 11. Т. 10. 1972.
23.	Coles D. Measurements of turbulent friction on a smooth flat plate in supersonic flow.
JAS,21,№7, 1954г.
24.	Moor D.R., Harkness J. Experimental investigations of the compressible turbulent
boundary layer of very high Reynolds numbers. AJAA Journal, № 4. V. 3. 1965.
25.	Matting F. W., Chapman D. R., Nyholm J. R., Thomas A. G. Turbulent skin-friction at
high Mach numbers and Reynolds numbers in air and helium. NASA TR, № 82. 1961.

142	Методы расчета характеристик пограничного слоя	Гл.6
26.	Winkler E. M. Investigation of flat plate hypersonic turbulent boundary layers with
heat transfer. ARC, Paper № 856-859. 1959.
27.	Лейдерман А. Дою. Влияние температуры стенки на сверхзвуковой турбулент-
турбулентный пограничный слой. Ракетная техника и космонавтика, № 7. Т. 16. 1978.
28.	Гопкинс, Кинер, Полек, Двайер. Трение на поверхности и профили скорости в
гиперзвуковом турбулентном пограничном слое на нетеплоизолированных плос-
плоских пластинах. Ракетная техника и космонавтика, № 1. Т. 10. 1972.
29.	БачмановаН. С, Голубин Н. В., Горохов С. А., Ереми В. В., ЛипницкийЮ. М., По-
Поляков А. М. Расчет сверхзвукового обтекания тел равновесным воздухом. ОФАП
САПР,СИБ№31. 1985.
30.	Lamb J.P., Oberkampf W. L. Review and Development of Base Pressure and Base
Heating Correlation in Supersonic Flow. J. Spacecraft and Rockets, № 1. V. 32. 1995.
P. 8-23.
31.	Старр. Донное давление на заостренных и затупленных телах конической фор-
формы при сверхзвуковых скоростях. Ракетная техника и космонавтика, № 5. Т. 15.
1977.
32.	Покровский А. П., Фролов Л. Г. Определение давления и энтальпии газа в донной
области за осесимметричными телами в сверх- и гиперзвуковых потоках газа.
Известия ВУЗов. Авиационная техника, № 1. 2002. С. 1-5.
33.	Illingworth С. R. The laminar boundary layer of a rotating body of revolation. Philo-
Philosophical Magazin, V. 44. № 7. P. 389. 1953.
34.	Куин В. Производная момента демпфирования по крену загашенного конуса.
Ракетная техника и космонавтика, № 1. Т. 7. 1969.
35.	Nikuradse /., Stromungsgesetze in rauhen Rohren, Forschg-Arb. Ing.-Wes., № 361.
1933.
36.	Van Driest E. R. On turbulent flow near a wall. Journal of Aerospace Sciences, №11.
V. 23. 1956.
37.	Berg D. E. Surface roughness effects on a Mach 6 turbulent boundary layer. AIAA
Journal, № 9. V. 17. 1979.
38.	Демьянов Ю. А., Покровский А. Н., ШманенковВ. Н. О подобных решениях урав-
уравнений пограничного слоя в неравномерном внешнем потоке. Известия АН СССР.
МЖГ.№2. 1971.
39.	Шманенков В. Н. К исследованию ламинарного пограничного слоя за точкой
скачкообразного изменения граничных условий. Изв. АН СССР. МЖГ. № 3.
1966.
40.	Ван-Даш М. Методы возмущений в механике жидкости. М., «Мир», 1967.
41.	Демьянов Ю. А. Об одном способе построения решения уравнений типа Пранд-
тля в окрестности точек нарушения аналитичности граничных условий. Ж. выч.
мат. и мат. физ., Т. 7. № 4. 1969.
42.	Arnal D. Boundary Layer Transition: Prediction, Application to Drag Reduction.
Special Course on Skin Friction Drag Reduction, AGARD R-786. March 1992. P. 5.1-
5.59.

Литература	143
43.	Алексеев М.А., Кузьминский В. А., Рагулын Н. Ф., Швалев Ю.Г. Охлаждение
поверхности и переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный при
сверхзвуковых скоростях потока. Аэромеханика, Сборник статей, посвященный
60-летию акад. В. В. Струминского, Наука. Москва. 1976. С. 164-170.
44.	Райт, Зоби. Определение перехода пограничного слоя на тонком конусе в лет-
летных испытаниях. «Астронавтика и ракетодинамика», № 1. 1978.
45.	Нагаматцу, Шиир, Грейбер. Переход гиперзвукового ламинарного погранич-
пограничного слоя в турбулентный на конусе длиной 8 фт. с углом полураствора 10° при
числах М от 9,1 до 16. Обзоры. Переводы. Рефераты. № 234. ЦАГИ. 1968.
46.	Андерсен А. Д. Переход пограничного слоя на наконечниках с гладкой поверх-
поверхностью. Аэрокосмическая техника, Т. 1. № 10. 1983.
47.	Ericsson L. E. Effect of Nost Bluntness and Cone Angle on Slender Vehicle Transition.
AIAA, 87-1415.
48.	Анфимов К А., Альтов В. В. Теплообмен, трение, масссобмен в ламинарном
многокомпонентном пограничном слое при вдуве инородных газов. Теплофизи-
Теплофизика высоких температур, Т. 3. № 3. 1965. С. 409-421.
49.	Muramoto К. К. Algebraic Correlations for High-Speed Transition Prediction jn
Sharp and Blunt Cones. AIAA 99-0405, 37th AIAA, Aerospace Sciences Meeting
and Exhibit, January 11-14. 1999/Reno, NV.
50.	Приданое В. Г., Харитонов А. М., Черных В. В. Совместное влияние чисел Маха
и Рейнольдса на переход в пограничном слое. Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 1.
51.	Кирилловых В. А., Николаев В. М. Режим гиперзвукового обтекания тела и оп-
оптическое свечение при полете в атмосфере. Изв. РАН. МЖГ. 1993. № 5.

ГЛАВА 7
РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО
СЛОЯ НА КОНУСЕ, СОВЕРШАЮЩЕМ ПЛОСКИЕ
КОЛЕБАНИЯ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Летательные аппараты, движущиеся в атмосфере Земли, обычно совер™
шают колебания с небольшой амплитудой около нулевого угла атаки. Воз™
никающие при этом аэродинамические силы и моменты, обусловленные
нестационарными газодинамическими параметрами, могут существенно
повлиять на траекторию движения изделия. В главе 5 описан метод расчета
нестационарных параметров невязкого течения. В данной главе приведен
метод расчета параметров нестационарного пограничного слоя на затуп-
затупленном конусе, совершающем малые колебания в сверхзвуковом потоке.
Изучению характеристик нестационарного пограничного слоя аналити-
аналитическими методами посвящено много работ, см., например, [1, 2, 7]. Однако
проблемы, поставленные практикой, не могли быть решены этими мето-
методами в полном объеме. Появившиеся в начале 60™х годов у нас [4, 5, 8] и
за рубежом [6, 7] численные методы решения уравнений нестационарного
пограничного слоя существенно продвинули вперед решение данной про-
проблемы, однако требовали большого количества машинного времени и не
позволяли детально изучить эффекты, связанные с влиянием погранично-
пограничного слоя на колеблющемся теле на общую картину обтекания. Значительные
успехи в исследовании параметров нестационарного слоя были достигнуты
в последнее время с применением линейной теории тел конечной толщины.
На ее основе были определены не только локальные параметры нестаци-
нестационарного пограничного слоя на осесимметричном колеблющемся теле, но
и получены новые данные о влиянии сил вязкости на аэродинамические
характеристики гиперзвуковых летательных аппаратов.
§ 7.1. Постановка задачи. Вывод уравнений
нестационарного пограничного слоя
на колеблющемся затупленном конусе
Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком затупленного осесим-
метричного тела, которое совершает медленные гармонические колебания
(вращения около центра масс) относительно нулевого угла атаки по закону
а = ао smut.	G.1)
Предполагается, что обеспечивается малое изменение угла атаки и не-
небольшие скорости перемещения точек поверхности тела в направлении
нормали по сравнению со скоростью набегающего потока V^:
ujL
с*о<1, ао^-«1-	G.2)

§7.1.	Постановка задачи	145
Эти условия необходимы для того, чтобы нестационарные возмущения
потока, вызываемые колебаниями тела, были малы.
Вводится относительная система координат (s,n,(p), жестко связан-
связанная с поверхностью летательного аппарата, причем ось Os направлена
от критической точки тела вдоль об-
образующей конической поверхности, а
ось On — по нормали к ней (рис. 7.1).
Пусть г — радиус поперечного сече-
ния тела, (р — меридиональный угол —2-
в поперечном сечении тела, отсчиты-
отсчитываемый от наветренной образующей Рис> 7Л< Схематическая картина те-
ур = 0) к подветреннеи {(р = 180 ), чения около колеблющегося тела в
ось Ох направлена от но ска те л а вдоль сверхзвуковом потоке. 1 — ударная
его оси симметрии.	волна, 2 — колеблющееся тело, 3 —
Разложим возмущения решения в пограничный слой, 4 — область пере™
ряд Фурье по меридианальному уг-	хода пограничного слоя
лу (р, углу атаки а и угловой скорости /3. Такой подход позволяет понизить
размерность нестационарной задачи и разделить трехмерную нестационар™
ную задачу на ряд двумерных. Основными независимыми переменными
являются: время t, координаты s, n и (р.
Представим газодинамические функции в виде
f(t,s,n,<p) = fo(s,n) + fa(s,n)a(t)cos(p + fp(s,n)l3(t)cos(p,
—-	G'3)
Foo dt '
где в качестве / могут использоваться функции и, v, P, p9 J — компо-
компоненты скорости вдоль осей s и п, а также давление, плотность и полная
энтальпия. Для проекции скорости W на направление г dtp имеет место
следующее представление:
w(t, s, n, (р) = wa(s, n)a(t) simp + wp(s,n)/3(t) simp.	G.4)
Параметры с индексом «0» описывают основное стационарное течение
при угле атаки а = 0, параметры с индексами «а» и «/3» описывают
поля квазистационарных и нестационарных возмущений (т. е. находящихся
в фазе с углом атаки а и угловой скоростью E соответственно).
Для вывода уравнений пограничного слоя на поверхности колеблюще-
колеблющегося конуса в подвижной (неинерциальной) системе координат (?, ж, у, z)
воспользуемся классическими законами механики относительного движе™
ния [24]. При переходе от «абсолютной» неподвижной системы координат
к подвижной, связанной с телом, в уравнениях динамики движения жид™
кой частицы появляются дополнительные силы инерции — переносные и
кориолисовые, зависящие от выбора подвижной системы координат. По-
скольку эти силы никак не связаны с вязкостью воздушной среды, обте™
кающей тело, то в уравнениях Навье-Стокса и пограничного слоя появля™
ются дополнительные члены, которые не стремятся к нулю при Кеь ~^ оо,

146	Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе	Гл. 7
S/L —)> 0. Поэтому важно провести оценку этих членов и сравнить их с
инерционными (даламберовами) и вязкими силами.
Запишем в векторной форме уравнение движения вязкого газа в связан-
связанной с телом декартовой системе координат:
dV	(\du>
-р[2шхУГ\ + Ф(ъх,у^). G.5)
Здесь V — вектор относительной скорости, ш = /3 — вектор абсо-
абсолютной угловой скорости вращения тела, направленный в нашем случае
вдоль оси z: ш = {0, 0, /?}, Ф(/х, ж, у, z) — тензор вязких напряжений.
Второй член в правой части уравнения G.5) (в больших круглых скобках)
является переносным ускорением, которым, с учетом принятых допущений
о малости величины ш и dw/dt, можно пренебречь.
Третий член в уравнении G.5) является кориолисовой силой, проекции
которой на оси подвижной системы координат есть
p{-20v, 2Cu, 0}.	G.6)
В стационарном пограничном слое поперечный компонент скорости v
имеет порядок ?®Re^°i5, т. е. в уравнении импульсов для возмущений, на™
ходящихся в фазе с угловой скоростью /?, спроектированном на продоль-
продольную ось х, этим дополнительным членом можно пренебречь. Продольный
компонент и ^ Vq, поэтому проекция на ось у уравнения импульсов G.5)
приводит к следующим равенствам:
„	6	дР0 дРа	дРр
при ReL^oo, т^0 _-=__ = 0, ^г=^
ду ду ' ду	L
т. е. градиент давления в поперечном к поверхности тела направлении вну-
внутри нестационарного пограничного слоя уравновешивается кориолисовой
силой. Величина перепада давления ДР/з в пограничном слое имеет поря™
док ^ S/L ~ Де™0'5, т. е. в первом приближении ею можно пренебречь.
Учитывая вышеизложенное, запишем исходные уравнения погранич-
пограничного слоя в связанной с телом естественной системе координат (s, n, ф) в
виде:
уравнение неразрывности
г 1 друг 1 дрг^
du
dt
dw
Ж
dp i
dt '
уравнения движения
du
uds
dw
du
dw
dn
wdu
rd(p
uw dr
r ds
1 dpur
r ds
w2 dr
r ds
w dw
r dcp
1 dpvr
r an
1 dpw
r dip
1 dP
p ds
1 dP
pr dip
n
1
P
1
P
d
dn
d
dn
I du
\_dn
\dw

§7.1.	Постановка задачи	147
ip, uj(f=/3cos(p1	G.8)
dJ
^+ _
Pr Prt J on
UJS =
уравнение
dJ dJ
энергии
dJ
dn
wdJ
г дш
1 dP
) CO
1
P
SV)
д
дп
Все параметры, входящие в эти уравнения, безразмерные: линейные
параметры s, n, r отнесены к длине тела L, компоненты скорости и, v, w
отнесены к скорости набегающего потока Foo, а газодинамические пара-
параметры р9 р, J, fi9 е — отнесены соответственно к роо, Роо^Д, V^, //с»; Рг
и Prt — молекулярное и турбулентное числа Прандтля, предполагаемые
постоянными величинами; jt — коэффициент перехода от ламинарного
G* = 0) течения к турбулентному G* = 1), wS9 wn, ш^ — компоненты
угловой скорости /3 в подвижной системе координат.
К данной системе уравнений, как ив § 6.1, необходимо добавить урав™
нение состояния совершенного газа и закон изменения вязкости от темпе-
температуры и давления.
Рассмотрим выражение для турбулентной вязкости е. В данном ме-
методе принята двухслойная модель турбулентной вязкости е [6], т. е. весь
слой условно делится на внутреннюю и внешнюю области. Во внутрен-
внутренней области используется модель турбулентной вязкости в{, основанная
на теории «пути смешения» Прандтля с демпфирующей поправкой Ван-
Дрийста и с учетом вдува и шероховатости поверхности. Отличие от мо-
модели F.5)^F.6), представленной в § 6.1, состоит в учете нестационарного
градиента давления т. е. вместо градиента давления Р+ используется сум-
сумма F++F+
В случае потока без массообмена
Г	/ \2	1
N* = il- 11,8^(^) (Р++Р+)\ ,	G.10)
[	V06\PwJ У	' J
с массообменом
+ exp ( ll,8^f i
где
ри% ds ' г и305 dt '

148	Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе	Гл. 7
Условием перехода от одного значения вязкости к другому служит ра~
Подставляя разложения G.3, 7.4) в уравнения G.7)-=-G.9), получим си-
систему уравнений для основного течения с индексом «О» и течения в фазе с
углом атаки а и угловой скоростью /3.
Для основного течения уравнения неразрывности и движения имеют
вид
я • я =0	GЛ1)
ros	on
duo	duo	1 дРо 1 д f ,Tduo
и® — + vq --------- ==-----—- --------- + —— ——- I iV ---------
ds	dn	po ds po dn у dn
dJo , dJo 1 d f^dJ0\ 1 d („ duo
ds	dn po dn у dn J po dn у	dn
а для возмущений параметров течения в фазе с углом атаки а
1 дрогиа 1 драги0	дроуа драу0 powa _
г ds r ds	дп дп г
диа дио диа дио	1 дРа 1 ра dPo
us us on on	po os ро ро as
po on \ ou J po po on \ on J po
dwa	dwa uowa dr 1 dPa 1 д f 1%Tdwa
us	on	r ds por dip po on у on
dJa ( dJ0 , dJa	dJ0 Id f^dJA 1 д ( dJ0
ds	dn	dn ро dn у dn J po dn у dn
1 pa d f	dJo\ 1 d (^ __ duc
po po dn у	dn J po d1
1 Pa d (	duo\ 1 d (	duo\ 1 d (	du0
po podn^1^ дп) ' родп^^дп
для возмущений в фазе с угловой скоростью C
К»	дрри/зг др(зиог дррУ/з др^щ роЩз _
L	rc/s	ros	on	on	г
du0	1 cLP/з , 1 Р/з d
OTi	po OS	PO PO
f 7v 1 — ^ — (n—^) + — — (n
po дп у Р дп J po po dny dn J p0 dn у dn

§7.1.	Постановка задачи	149
Voo , dw/з , dwp	uowp dr
L	ds	дп	r ds
1 дРв 1 д fATdwA	,
rp0 d(p po an \ an J
T 14o , dJp	dJ0 , dJp	dJ0 VooPa 1 д ( dJ0
L	c^s pc^s	c^n Fc?n L po родп
1 д ( dJA 1 pp д ( дJo\ ,ldf	duo
po poan \ an J podn
on) poon\	on ) po po an \	on)
где	,
+ ъ^оРо); Д = I р- +
G.13)
Таким образом, сложная нелинейная система трехмерных не стационар™
ных уравнений пограничного слоя распалась на три системы G.11), G.12),
G.13), причем первая нелинейная система с индексом «О» решается незави™
симо от остальных уравнений. Следующая линейная система относительно
возмущений параметров с индексом «а» G.12) решается после нахождения
решения системы G.11). Система G.13) использует решения систем G.11)
и G.12).
Рассмотрим вопрос о выборе начальных и краевых условий для постав-
поставленной задачи. Исходя из полученных решений системы уравнений для
невязкого потока (гл. 5), можно получить начальные и граничные условия
для систем G.11)-=-G.13), которые примут вид
s = s0, мо = ^0,0(^M Jo = Jo,o(n)
Ua = UOa(n), Ja = Joa(rc), Wa = WOa(n),	G.14)
= wOp(n).
П = 0, ^0=0, ^Q=^Q,W(s), JO = Jo,wE),
Ua = 0, Va=Vaw(s), Ja = Jaw(s)j Wa = 0, G.15)
UC=0, Vp=Vpw(s), Jp = Jpw(s), 117/3=0.
n —)> oo, щ ^ uqs(s), Jo -^ Jq,s{s),
Ua -> Uas(s), J« ^ 0, Wa -> WaS (s),	G.16)
up^upS(s), Jp -+ Jps(s), wp^wpsis).
Начальные и граничные условия позволяют полностью замкнуть крае-
краевую задачу для систем уравнений нестационарного пограничного слоя.

150	Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе	Гл.7
§ 7.2, Метод решении
Введение новых переменных [5] позволяет привести полученные сис-
системы G.11)-=-G.13) к виду, удобному для численного интегрирования:
J г71 роз и05 /4]1 ~Х) ds
S = S	^ =	R4
п
¦(-<
J P0<5
!)П) = еп-^- "-- GЛ7)
_
Jos
В новых координатах толщина как ламинарного, так и турбулентного
пограничного слоя остается примерно постоянной: для ламинарного слоя
7i = 2, щ = 7, для турбулентного — 71 = 1,25; щ = 0,7.
Система уравнений G.11)-=-G.13) в новых переменных принимает вид
для стационарного пограничного слоя:
> + ff" + l
G.18)
для возмущений в фазе с углом а:
dva _ f дра _ _ _ ,Ра dlnpo
дп ро drj a ро дп
1 <9ра с>/ Ша гго ^ра pa df dlnpo	pa dlnpo wa\
ро drj ds ds ро ds ро ds drj	po ds	r J
G.19)
Gi
Iй'11 \
duo ^_ dlnuo
d ( duo\\ ~ duo
— — I /V 	 1 -4- ii 	-4-
dn\ dn J \	dn
i, - ?

§7.2.
Метод решения
151
+ / + 7i?"
ds I dr\
-u0
1-2/71
d?nr _ d?nuos\
p
C7?7 у C777
= G1 ^ee)
—2/71
po
dg\ u20S Г 9
drj I
df]
a
po or] \	or] I or]
для возмущений в фазе с угловой скоростью /3:
1 др/з f а А _
п —^1 +
^a гл 1 7l^ ск о j
ш)	as
_ ^ ainpo a/
7 p a?? as
afnpo a/\
Po
ф-ъ^ — -ъ^; G.20)
as	po 1А0<5	Г
1-2/71
du0
^2г10
a [„д~по\ a /__ atio
= G.W-" ?!: «= -^ "»=
Г 1 pooVg,
7l^ [V2
_
-
/j PooVJ, dP0
P PosVo26 ds
dw/з
uos
5
P/3
2
рогровщ8

152	Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе	Гл.7
df\ dgf3	dgf3
dsj drj	ds
pp д ( дио\ д ( дио\ д (	_ дио\\\
ро дг]\ drj) дг\\ н дг] J дг\ \	дц) \ \
Г ag Woo	ul6 Uoo PooV^ Pa
o	_ ua _ uq df _ up
Здесь ua = —; щ = — = —; up = —;
Uqs	Uqs	ОТ)	И	Uqs
1™1/71 p0
po	t w/3 ^ ~ voGi^e€I1/lri po
— + 7i С — 7Г' v° =	t	~
P05	Uos OS	Jl^Uos	pQS
a	JC	„
; g Де
Начальные и граничные условия для данной системы уравнений при™
нимают вид
Ua = Ща(у), ga = eoaiv)^ Wa = WOa(f]),	G.21)
Щ = и0[з (v), gp = Яо/з (у) > п>Р = ^о/з (v) •
/ = /w, f = 0,	g = gw,
Ua =0, Ua = tJ«w, ga = gaw, wa = 0,	G.22)
5, g« "^ 0, Wa -)> гУа<5,	G.23)

§7.2.
Метод решения
153
Поскольку внешняя идеальная задача решается в другой системе ко-
координат, то для получения данных на верхней границе пограничного слоя
производится пересчет
Uq = ЩаЪ",	UQOt = ^0 C0S @k + *
v0 = 1
на конусе
UaQt = u'a COS 0k
U =
иеC = -r/L
vel3 = x/L
weC = -x/L
= up cos 9k +:
wp =:
на сфере
G24)
= —1/L
t - s/R)
Ve/3 = 0
= wp.
sin вк;
Начальное распределение функций выбирается из локально-автомо-
локально-автомодельного решения в точке sq = 2А, где А — начальный шаг по s.
Хотя уравнения в фазах с а и /3 имеют линейный характер, но по сколь™
ку входящие в них функции ра, ga, ua заранее неизвестны, то приходит-
приходится применять итерационный процесс. Вначале определяются возмущения
плотности ра и рр из выражений
Po
SO - «05 ^0
G.25)
о 	о
После этого из первых уравнений G.19), G.20) определяются скоро-
сти va и vp. Затем решаются уравнения для возмущений компонентов
скоростей па9 wa, пр9 nip и полной энтальпии ga и g^.
Для решения системы уравнений G.18)^G.20) применяются методы
квазилинеаризации и скалярной прогонки. Неравномерный шаг по коорди-
координате г] определяется так же, как это сделано в § 6.3.
Решение считается найденным, если
Щ
щ
Ba bo.
sp
-gai
G26)
Таким образом находятся все профили газодинамических параметров
в нестационарном пограничном слое. Отметим, что предложенный метод
обладает квадратичной сходимостью и может быть рекомендован для ре-
решения подобных газодинамических задач.

154
Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе
Гл. 7
§ 73. Реализация метода
Маршевый метод позволяет на каждом шаге по s определить профили
функции тока, скорости, плотности и энтальпии в пограничном слое как
для нулевой задачи, так и для возмущений в фазах с а и C. На основании
этих данных определяются локальные и интегральные характеристики на
поверхности тела.
V
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
А
J
/
/
о
-1
2
V
\ \
——^^
>
-1 -0,5 0 0,5
иа,
0
1
2 0о> 9т 9C
Г]
0,2
0,1
0,0
2
\
3
1
J
Рис. 7.2. Распределение скорости и пол-
полной энтальпии. Ламинарный погранич-
пограничный слой. 1 — основное течение, 2 —
течение в фазе с а, 3 — течение в
фазе с Р
0 0,2 0,4 0,6 ^0) 9а> 9C
Рис. 7.3. Профили скорости и пол-
полной энтальпии. Турбулентный погра-
пограничный слой. 1 — основное течение,
2 — течение в фазе с а, 3 — течение
в фазе с /3
На рис. 7.2^7.3 приведены профили скорости и полной энтальпии для
нулевого решения и в фазах с а и E для ламинарного и турбулентно-
турбулентного пограничных слоев при обтекании колеблющегося затупленного конуса
@к = 10°; L = 20г0; хк = 10г0; М^ = 6; ReL1 = 7,5 • 105, ReL2 =
= 7,5 • 107). Видно, что в профиле скорости иа вблизи стенки наблюдается
локальный максимум, что свидетельствует о том, что наибольшие возмуще™
ния происходят в тонком дозвуковом подслое, а наименьшие — в верхней
части слоя. Это связано с наличием при а ф 0 поперечного растекания газа
на наветренной образующей тела и с подпиткой пристеночных линий тока
из внешней части слоя. Что касается профиля скорости ир9 то наибольшее
изменение происходит во внутренней части, причем приращения скорости
становятся отрицательными (поток газа тормозится), что отражает «запаз-
«запаздывание» перестройки течения вблизи стенки при колебаниях тела.
Возмущения местных коэффициентов трения и теплообмена, а также
чисел Рейнольдса, рассчитанных по местным параметрам течения и тол™

§7.3.	Реализация метода	155
щинам 8а9 8^9 8^*, 8^*, можно найти по соотношениям
Cf = CfQ + aCfa cos (p + PCf^ cos y?,
где
2	/	\
^-y	^POwf^Ow POS «05 / T~> \—1/71 I Pawpaw Рц , _/ \
/O = ~^7	^^7ljR^)	(~	—fw+Uocwh
POO Uqq
2
Poo u^	q/	\ drj
St = 5^o + Staa cos (p + 5t^/3 cos ip,
где
(^9T/d)	1	4-1/71
POS Uqs , „ v
На рис. 7.4 и 7.5 приведено распределение местных коэффициентов
трения С/о, Сfa и С//з и теплообмена Sto, Sta, Stp по поверхности
тела при условиях, указанных выше. Характерные толщины пограничного
слоя Sq, 5a9 5^ определяются путем интегрирования уравнения неразрыв™
ности по п и приравнивания расхода в слое расходу внешнего течения
через толщину E — S*)9 а толщины Sq*, 5**, 8^ — из приравнивания
импульсов в слое и во внешнем потоке через толщину (8 — S**).
Окончательные формулы имеют вид
ЦК	5
Г	^ - I j , ^еЬоо Poo/ioo POS f
—-uo)dri-\
Ро	J	r POS^OS Poo
0
1/71 Г I ^ - I j , ^еЬоо Poo/ioo POS f pOwVQw _
[—-uo)dri-\	rds.
Р	J	r POS^OS P J pU
rds- (ua$ + pa5) r
J PootA
[Po waSj
0

156	Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе
Гл. 7
1/7:
ReL
ReL
ЦК
Ч
х< г-
J
о
1/
ReL
— A - ^
о
ReLoo Re
Loo	-tt-6j^oo
as -
_ \ I _ fun) «-'игу 7 _
+ Pes) r	ds -
J pooUoo
0	0
rds
1/71
?7K
J \Po ^/35.
— ^ z±- )drj -
ReL
ds } ;
c/o
c/«
0,00
0,01
0,02
0,03
St0
sta
0,02
0,01
0,00,
г
2
a
——	—
0
'0
12 16
=====
12 16 ж/г0
c/0
CfC
0,002
0,000
-0,002
-0,004
2
1
3
a
———-
0
8 12 16 x/r0
ft
L
r
2
3
1
в
Рис. 7.4. Распределение коэффициен-
коэффициентов трения и теплообмена на поверх-
поверхности конуса. Ламинарный погранич-
пограничный слой. 1 — основное течение, 2 —
течение в фазе с а, 3 — течение в
фазе с /3
St0
Sty
0,002
0,000
-0,002
0 4 8 12 16 x/rQ
Рис. 7.5. Распределение коэффициен-
коэффициентов трения и теплообмена на поверх-
поверхности конуса. Турбулентный погранич-
пограничный слой. 1 — основное течение, 2 —
течение в фазе с а, 3 — течение
в фазе с /3

§7.3.	Реализация метода	157
г г
FO
.2[^p.-uams) 1 \dV.
На поверхности сферы выполняются соотношения:
a ~ 89 ' a ~ вв ' p ~ DL' a "
го^ = 0; Pp = 0; Ja = 0; J^ = 0.
Таким образом, на основании данного метода определяются локальные
и интегральные характеристики нестационарного пограничного слоя на
колеблющемся затупленном осесимметричном теле.
Нестационарные аэродинамические характеристики осесимметричных
тел можно представить в виде суммы составляющих, полученных из урав-
уравнений идеального газа и пограничного слоя, например
r~ia 	 /-fa _|_ /-fa ¦ /ia
У	2/j*	2/j/	y,vvi
где представлены Cxi, Су, С^—коэффициенты волнового сопротивления
и подъемной силы аппарата, полученные из решения уравнений идеального
газа; Сж/, С^, С^ — компоненты волнового сопротивления и подъем-
ной силы аппарата за счет сил трения; Cxvv, CyVV, C@vv — компоненты
волнового сопротивления и подъемной силы аппарата за счет взаимодей-
взаимодействия внешнего невязкого течения с пограничным слоем через толщину
вытеснения.
Компоненты аэродинамических характеристик в фазах с «а» и «/3» пред-
представляются в таком виде:
5
2
о
5
If
/о cos OKrds, Cyf = ^ r (Cfa sin 0K ~~ C^) ds,
\ {fp K rf) ds ;
о
~s
a	2M°
mzf =	—
PooUq
1 Г
= ^27 Kx - xk) iCfa sin0K ^ C^a) - rCfa cosOK]rds5
r -^ J

158
Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе
Гл. 7
, 1 f
/ = =^V KX ~ Xk) (C//3 Sillfe — C(pp) — Г Cfp
cos 0K] rd s ,
где Xk — координата центра колебаний.
В качестве примера в табл. 7.1 приведены компоненты аэродинамиче-
аэродинамических характеристик летательного аппарата, движущегося на одной высоте
при числах Маха М^ = 4; 6; 20, полученные из решения уравнений иде™
ального газа и пограничного слоя. Видно, что в некоторых случаях компо™
ненты аэродинамических характеристик за счет сил вязкости вносят замет™
ный вклад в суммарные характеристики аппарата. Ниже будет показано,
что эти эффекты значительно усиливаются при вдуве газа в пограничный
слой при гиперзвуковых скоростях полета.
Таблица 7.1
м
ReL
4
1,11 • 107
6
1,66 • 107
20
5,53 • 107
Идеальное течение
by
Uy
mPz
-1,7170
-0,1740
^0,3813
-0,1930
-1,6050
-0,2019
-0,1363
-0,1248
-1,1130
-0,1657
0,1180
-0,02773
Поверхностное трение
°yf
</
Cyf
-0,01544
-0,004011
0,004154
0,000902
-0,01319
-0,003997
0,004544
0,001089
-0,00506
-0,001785
0,001707
0,001048
Взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком
fia
X-Jyvv
^yvv
lihzvv
0,06032
0,01122
-0,005892
-0,002835
0,06304
0,01469
-0,0009574
-0,002661
0,03901
0,01015
-0,004858
-0,0008074
Суммарные характеристики
Uy
maz
cs
ml
-1,6720
-0,1668
-0,3830
-0,1949
-1,5550
-0,1912
-0,1327
-0,1264
-1,079
-0,1573
0,1148
-0,02749

§7.4.
Влияние вязких эффектов
159
§ 7.4. Влияние вязких эффектов на нестационарные
аэродинамические характеристики затупленных
конусов. Режимы антидемпфирования
Влияние вязких эффектов на нестационарные аэродинамические харак-
теристики затупленных тел проявляется через коэффициенты поверхности
ного трения и вязкого гиперзвукового взаимодействия, связанные с тол-
толщиной вытеснения пограничного слоя 5*. При колебательном характере
обтекания тела эти функции могут быть представлены в виде:
Cf = G/о + aCfa cos (f + pCfp cos <??, S* = Sq + aS^ cos tp + /35p cos if.
На рис. 7.6в качестве примера показано распределение коэффициентов
трения Cfj(j = 0, а,/3) на поверхности конуса при Моо = 6, 0; Кеь =
= 1,6 • 107; Tw = 0,6. Кривая 1 соответствует стационарному течению, 2 —
квазистационарному, 3 — нестационарно™
му. Начало переходной области на боко-
вой поверхности тела находилось в точке
x/tq = 8,5; конец — x/tq = 18,0. Обра™
щает на себя внимание тот факт, что ве-
величины с индексами а и /3 имеют раз™
ные знаки. Это говорит о фазе «запаздыва™
ния» трения по отношению к изменяюще-
изменяющемуся по гармоническому закону углу ата-
атаки a(t).
Важную роль в определении нестацио™
нарных аэродинамических характеристик
Cf
0,000
-0,005
J
4—
————"
—r
1
о
10
20 х/г0
играют величины <5q,
и ^, от кото-
Рис. 7.6. Компоненты коэффици-
коэффициентов трения на конусе при
М = 6, ReL = 1,6-107
рых зависят компоненты давления, обра™
зующиеся при взаимодействии гиперзвукового потока с вязким погранич-
пограничным слоем (APVV ^j d5* /dx).
Для определения величины ё* записываются интегральные уравнения
сохранения массы в нестационарном пограничном слое и во внешнем по-
потоке с учетом трехмерности течения при а ф 0. Функции 5$, 5^ и 5^
имеют вид
¦JO-
Po^o
P50 C/«c
+
P$o
P8O Us0
Lo
rt I/
I	FCXD ^OO I j-,	,
rP5oUSo
powa
WSa
° at	ru c* I i	°« C*
psousods

160
Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе
Гл. 7
WSC	POW/З \ ,	W5f3
где i?o, ^a, -B^ — компоненты безразмерного параметра вдува, который в
данном случае представляется в виде
в =
¦ = Во + (аВа + /ЗВр) cos (p.
G.27)
Величины Bq, Ва, В/з зависят от теплофизических свойств ТЗП, уело™
вий обтекания тела и характеризуют интенсивность вдува в пограничный
слой при нулевом угле атаки, а
также малые добавки в фазе с
углом атаки a(t) и с угловой
скоростью /3(t).
На рис. 7.7 показано распре-
распределение компонентов толщины
вытеснения S*/r0 (j = 0, а,/])
по поверхности затупленного
конуса для тех же условий, что
-1,6
О	10	20	х/щ
Рис. 7.7. Компоненты толщины вытеснения
на конусе при М = 6, Кеь = 1,6-10
нительного давления APVV
ных конусов» в виде [51
и на рис. 7.6 (Во = Ва = В/з =
Для учета влияния на неста-
нестационарные аэродинамические
характеристики конуса допол-
был использован «локальный метод затуплен™
=
дР0
двк ds двк [ds
Второе слагаемое в квадратных скобках, характеризующее скорость пе-
перемещения границы пограничного слоя по нормали к стенке, зависит лишь
от квазистационарных параметров. Расчеты показывают, что при обтекании
затупленных тел сверхзвуковым потоком роль этого члена существенно ни-
ниже, чем производной d5^/ds.
Производные
дР0 дРа дРо
двк ' д6к ' д0к 5

§7.4.
Влияние вязких эффектов
161
являющиеся функциями продольной координаты s9 определялись на осно-
основании предварительного расчета параметров нестационарного обтекания
контура, увеличенного на угол Ав^ = 1°.
е
\
X
Пг—
х-
\
О т
5 L
\
ч
-	г
^--^
}——¦
= 40г0, Хк =
х—¦
—D—
-----
—¦ " ' —
0,5,

X
?
о
0,15
^ z,vv
М= 5
М= 10
М=20
0,08
0,04
0,00
-0,04
4,5	5,0	5,5	6,0	6,5
Рис. 7.8. Зависимости коэффициентов демпфирования затупленного конуса за счет
сил трения и вязкого взаимодействия от числа Рейнольдса
Коэффициент демпфирования конуса raf вычислялся путем интегри™
рования по поверхности тела моментов, создаваемых нестационарными
силами трения и давления (Р^ + АР/з) относительно центра колебания.
Отметим основные этапы процедуры расчета. На первом этапе рассчи™
тываются параметры внешнего нестационарного течения около колеблю-
колеблющегося конуса в рамках модели идеального газа и определяется газоди-
газодинамический коэффициент момента демпфирования mz i. На втором эта™
пе производится расчет параметров нестационарного пограничного слоя
и определяются коэффициенты моментов демпфирования ш f (за счет
трения), m^vv (за счет вязкого взаимодействия) и суммарный коэффицент
демпфирования тела
mz = mz,i + Wf,/ + mivv>
Компоненты коэффициента демпфирования затупленного конуса за счет
вязкого взаимодействия и сил поверхностного трения показаны на рис. 7.8
@к = 8°, L = 4Ого, Xk = 0,5L, iw = 0,15) в диапазонах изменения
чисел Mqo = 5 -^ 20 и чисел Рейнольдса Re^ = 4 • A04 -^ 106). Режим
течения в пограничном слое в данном случае был ламинарным. Из этого гра-
графика видно, что на рассмотренных режимах обтекания конуса силы трения
способствуют уменьшению суммарного коэффициента демпфирования, а
силы вязкого взаимодействия — незначительному увеличению при Моо ^
^ 10. При дальнейшем увеличении числа М наблюдается существенное
снижение коэффициента демпфирования, вплоть до наступления режима

162	Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе	Гл.7
антидемпфирования. Ниже будет показано, что на этот процесс оказывают
сильное влияние вдув газа в пограничный слой и переход пограничного
слоя из ламинарного в турбулентный [16, 22].
Положение границ переходной области в случае нестационарного об™
текания колеблющегося тела может быть определено лишь весьма прибли-
приближенно, так как удовлетворительной расчетной методики в настоящее время
не существует, а опытные данные ограничены. В связи с этим в настоящем
методе координата начала перехода xt = xt/ro в стационарном и квази-
квазистационарном случаях определялась на основании эмпирической форму-
формулы F.18), удовлетворительно описывающей функциональную зависимость
критического числа Рейнольдса на затупленном конусе от местных газо-
газодинамических параметров при небольших углах атаки. Это обстоятельство
позволяет для определения положения линии перехода при отклонении те™
ла на угол атаки а использовать разложение зависимости F.18) по малому
параметру а:
U5,а	р5,а ^
г Н	1
Щ,0 р8,0 /
Для определения смещения («запаздывания») линии перехода при коле-
колебаниях тела можно было бы использовать аналогичную формулу, заменив
в ней индекс а на /3, однако в данном методе вводилось понятие фазового
сдвига перехода
А(рп = arctg —	 , Sh = шЬ Voo,
I Mes**,a J
который при проведении расчетов задавался либо в виде свободного пара-
параметра, либо подбирался на основании экспериментальных данных.
Известно, что вдув газа в пограничный слой на тонком затупленном теле
оказывает сильное влияние на коэффициент демпфирования поперечных
колебаний mPz [17, 18, 20, 22]. При полете тел с гиперзвуковой скоростью
в условиях интенсивного уноса с боковой поверхности могут возникнуть
режимы динамической неустойчивости.
Ниже представлены результаты расчета характеристик нестационарно-
нестационарного обтекания затупленного конуса при наличии вдува в пограничный слой,
которые указывают на сильную зависимость коэффициента демпфирования
конуса как от абсолютной величины вдува, так и от его фазы. На основе
этих данных рассматриваются различные способы повышения коэффици-
коэффициента динамической устойчивости тел в гиперзвуковых потоках.
Задача о влиянии вдува на коэффициент демпфирования конусов ре™
шалась в рамках настоящего метода, при этом граничные условия на по-
поверхности тела задавались, как и в стационарном течении, в универсальной
форме, учитывающей зависимость вдува от величины аэродинамического

§7.4.
Влияние вязких эффектов
163
теплового потока:
Bd(t,s) =
¦ = Bd0 + (aBda +
cos y,
Stw0(t,s) =
QwO
¦ = Stw0 + (aSta + fiStp) cos <p, A J =
peUeAJ
G.28)
где *Stwo, Sta, Stp — коэффициенты теплообмена на поверхности колеб-
колеблющегося тела при отсутствии вдува.
Пример расчета коэффициента демпфирования конуса при наличии вду-
вдува на боковой поверхности показан на рис. 7.9, где кривая 1 соответствует
обтеканию тела идеальным газом, а кривая 2 — вязким, при наличии вду-
вдува газа в пограничный слой с поверхности. Условия обтекания тела были
следующими: М = 20; ReL = 1,6 • 105 -=- 1,6 • 107; 9к = 8°; L = 30г0;
Xk = 0,56; iw = 0,2 (пограничный слой предполагался ламинарным). Без-
Безразмерные коэффициенты вдува были: Bd® = 0,5; Bda = 0; Bdp = 20,
что при числе Струхаля Sh = 0,01 соответствовало фазовому сдвигу вду-
вдува А(р ^ 25° (режим «опережения»), который определяется по формуле
идеальный газ
М= 20
вдув на кормовой с
асти
А(рт = arctg
где Ва, Вр—коэффициенты вдува, приведенные в формуле G.27). Из рас-
рассмотрения графика следует, что при «опережении» вдувом изменения угла
атаки коэффициент демпфирования тела увеличивается. Величина А(рт,
как было показано в работе [16], р
является важным параметром, Ша
от которого зависит демпфиро-
демпфирование или антидемпфирование
колебаний конуса в гиперзвуко-
гиперзвуковом потоке.	—0,1
Следует заметить, что до-
допустимые пределы изменения
коэффициентов В do, Bda (см.
формулу G.28)) хорошо извест-
известны. Сведения о коэффициен- ~^,2
те Bdp в литературе весьма	'	'	'
ограничены, поэтому в настоя- Рис. 7.9. Зависимость mf = f{ReL) при
щем методе он считался свобод- наличии вдува на кормовой части конуса
ным параметром и варьировался	(^Фт > 0)
в диапазонах, охватывающих как режимы «запаздывания» (А(рт < 0), так
и «опережения» (А(рт > 0).
Кроме варианта распределенного вдува по телу были рассмотрены слу-
случаи так называемого «дискретного» вдува, задаваемого лишь на части боко-
боковой поверхности тела. Интерес к таким задачам обусловлен тем, что в ряде
случаев это способствовало повышению динамической устойчивости тел в
полете. Полноценной математической модели для описания этого явления

164
Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе
Гл. 7
до настоящего времени не существовало.
В связи с этим в рамках описанной методики были рассмотрены различные
варианты «дискретного» вдува в пограничный слой при гиперзвуковых ско-
скоростях полета. На рис. 7.9 представлен вариант вдува на кормовой части ко-
конуса (за центром колебаний Xk = 0,56, кривая 3). В этом случае наблюдает-
наблюдается значительный эффект по демпфированию колебаний тела: коэффициент
демпфирования увеличивается примерно в 3 раза по сравнению с обтекани-
обтеканием идеальным газом. Этот результат качественно согласуется с данными лет-
летного эксперимента. Основной вклад в увеличение демпфирования, как пока-
показывает анализ расчетных данных, вносит коэффициент mPzvv, обусловленный
силами вязкого взаимодействия гиперзвукового потока с пограничным слоем.
О влиянии на коэффициент mPz конуса фазового сдвига «дискретно-
«дискретного» вдува можно судить также по графикам на рис. 7.10, где представлены
случаи как «опережения», так и «запаздывания» вдува, происходящего на
кормовой части конуса (за центром колебаний). При этом были рассмотре-
рассмотрены различные режимы течения в пограничном слое: ламинарный (Re^ =
= 1,5 • 106) и полностью турбулентный (Re^ = 2,0 • 108). Зависимости
mPz = f (Асрт) носят практически линейный характер. При Atp = ^24°
(ламинарный пограничный слой) и при А(р = ^65° (турбулентный) про-
происходила смена знака коэффициента mPz. Из графика следует, что как при
ламинарном, так и при турбулентном режимах течения в пограничном слое
«запаздывание» вдува приводит к антидемпфированию малых колебаний
затупленного конуса, «опережение» — к демпфированию. Смена режима
колебаний зависит от характера течения в пограничном слое и фазового
сдвига вдува, который является функцией параметров теплообмена и теп-
лофизических свойств вдуваемого газа.
0,2
о — ламинарный слой, Re^ = 1,5 • 106
х — турбулентный слой, Re^ == 2,0 • 108
0,0
-0,2
-120 -80 -40	0	40 Д<^т,град.
Рис. 7.10. Влияние фазового сдвига вдува на кормовой части на коэффициент
демпфирования затупленного конуса
При полете конусов с коническими стабилизаторами (юбками) на боко-
боковой поверхности возникают отрывные зоны, которые в ряде случаев также
приводили к потере динамической устойчивости летательных аппаратов.
Экспериментальные исследования, проведенные в аэродинамической тру™

§7.4.
Влияние вязких эффектов
165
бе на моделях с коническими стабилизаторами при М = 6и8, Sh =
= ujD/Voo = A -т- 4I(Г3, ReD = 3,5 - 106, вс = 50°, подтвердили эти
результаты [25].
Анализ осциллограмм и кинопленки с теневыми кадрами картины об-
обтекания моделей сверхзвуковым потоком показал, что характер колебаний
(частота и амплитуда) существенно зависят от числа Рейнольдса набегаю-
набегающего потока, т. е. от режима течения в пограничном слое и в зоне отрыва.
В связи с этим представляют интерес данные о длинах отрывных зон
!(/?, а) на колеблющейся модели. На рис. 7.11 пунктирными линиями при-
приведены зависимости 1 = 1/D от угла атаки на подветренной стороне ко-
колеблющейся модели. Темные значки относятся к случаю движения модели
в сторону увеличения угла атаки, светлые — в сторону уменьшения. Для
сравнения сплошными линиями представлены длины зон при стационар-
стационарном обтекании неподвижной модели.
1/D
1,2
0,8
0,4
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 а, рад.
Рис. 7.11. Гистерезис отрывной зоны на колеблющейся модели с юбкой
Из рассмотрения графиков следует, что кривая I = 1(а) носит гастере™
зисный характер (так называемый динамический гистерезис), отражающий
инерционность отрывной зоны, которая запаздывала по фазе по отношению
к изменению угла атаки.
В целях потверждения этих выводов в рамках описанного выше мето-
метода был проведен численный эксперимент по определению коэффициента
демпфирования vnPz конуса с коническим стабилизатором [26]. Условия в
набегающем потоке соответствовали условиям проведения эксперимента в
аэродинамической трубе.
Границы отрывной зоны заменялись прямолинейными линиями тока,
исходящими из точки отрыва, координата которой изменялась по закону:
xs = xso + (xsi^ + xS2aL/VOQ)cos(p. Точка присоединения потока прихо-
приходилась на верхнюю кромку щитка.
Величины xsi варьировались в широких пределах, отражая различные
ситуации в поведении отрывных зон.
Расчетные данные представлены ниже в таблице в виде вращательных
производных коэффициентов аэродинамических сил и моментов для трех
м =
1.---
= 6,1
о ,
= 3,8
5-10
- /
= 50с
,Sh
>
= 4-
- ?	"
10^3

166
Расчет нестационарного пограничного слоя на конусе
Гл. 7
наиболее характерных вариантов задания границы отрывной зоны, пред™
ставленных на эскизе:
Варианты
1
2
3
СУ
-2,075
-1,859
-2,075
-1
-1
-1
<
,822
,576
,826
й
0
0
0
f
СУ
,171
,017
,087
0,073
-0,078
-0,021
Анализ расчетных значений вращательных производных показывает,
что в вариантах 2 и 3, когда инерционность отрывной зоны не моделирова™
лась (вариант 2 — точка отрыва зафиксирована в нулевом положении, 3 —
координата точки отрыва меняется в квазистационарном режиме), имеет
место демпфирование колебаний. Вариант 1 наиболее полно отвечал усло-
условиям проведения эксперимента в аэродинамической трубе (режим «запаз-
«запаздывания» отрывной зоны) и именно здесь, согласно расчетным данным,
имело место антидемпфирование {mPz > 0).
Таким образом получено теоретическое подтверждение того факта, что
основной причиной потери динамической устойчивости конусов с кони-
коническими стабилизаторами в сверхзвуковом потоке является инерционность
отрывной зоны, т. е. динамический гистерезис ее геометрических и газоди-
газодинамических параметров.
Литература
1.	Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., «Наука», 1974.
2.	Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., «Физматлит», 1962.
3.	ЛипницкийЮ. М. Теоретическое исследование сверхзвукового нестационарного
обтекания затупленных тел. Доклады АН СССР, 1968. Т. 178. № 1. С. 59-62.
4.	Полянский О. Ю. О некоторых особенностях нестационарного обтекания тел
сверхзвуковым потоком газа. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966. № 4. С. 30-36.
5.	Липницкий Ю. М., Платонов В. А., Покровский А. К, Сиренко В. П., Шманенков
В. Н. О влиянии пограничного слоя на нестационарные аэродинамические ха-
характеристики затупленных конусов в сверхзвуковом потоке. Известия АН СССР,
МЖГ, 1983. №3. С. 53-58.
6.	Cebeci T. Unsteady boundary layers with an intelligent numerical scheme. Journal of
Fluid Mechanics 1986, V. 163. P. 129-140.
7.	Schetz J. A. Boundary layer analyses. New York, 1993. P. 586.
8.	Степанов Г.Н. Ламинарный пограничный слой на колеблющемся клине. Изв.
АН СССР, МЖГ, 1980. № 4. С. 146-151.

§7.4.	Влияние вязких эффектов	167
9.	Беллман Р. и Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.,
Мир, 1968.
10.	МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977.
11.	Теленин Г. Ф. Исследование обтекания колеблющегося конуса сверхзвуковым
потоком. Оборонгиз, 1959.
12.	Теленин Г. Ф., Липнщкий Ю. М. Нестационарное сверхзвуковое обтекание за-
затупленных тел с отошедшей ударной волной. Изв. АН СССР, МЖГ. 1966. № 4.
13.	Липнщкий Ю. М. Теоретическое исследование сверхзвукового нестационарно-
нестационарного обтекания затупленных тел. Доклады АН СССР, 1968. Т. 178. № 1.
14.	Полянский О. Ю. Нестационарное движение конуса в сверхзвуковом потоке.
Труды ЦАГИ, 1955.
15.	Белоцерковский С. М. Гипотеза гармоничности. Труды ВВИА им. Н. Е. Жуков-
Жуковского, 1959.
16.	Красилъников А. В., Шманенков В. Н. К исследованию режимов динамической
устойчивости осесимметричных притуплённых тел в сверхзвуковом потоке. Из-
Известия РАН, МЖГ, 2000. № 5.
17.	Покровский А. Н., Фролов Л. Г., Шманенков В. П. Исследование режимов дина-
динамической неустойчивости осесимметричных притуплённых тел в сверхзвуковом
потоке. Космонавтика и ракетостроение, 1995, № 3.
18.	Корниенко Е. С, Шманенков В. К О влиянии вдува в пограничный слой на
обтекание колеблющегося конуса сверхзвуковым потоком. Известия АН СССР,
МЖГ, 1983. №4.
19.	Ericsson L.E. Universal Scaling Laws for Nose Bluntness Effects on Hypersonic
Unsteady Aerodynamics. AIAA Journal. 1969. V. 7. № 12. C. 2222-2227.
20.	Корниенко Е. С, Шманенков В. Н. О влиянии вдува на характеристики неста-
нестационарного пограничного слоя на колеблющемся клине в сверхзвуковом потоке.
Изв. АН СССР, МЖГ, 1981. № 1.
21.	Красилъников А. В., Шманенков В. Н. Экспериментальное исследование неста-
нестационарных аэродинамических характеристик притуплённых конусов при гипер-
гиперзвуковых скоростях. Космонавтика и ракетостроение, 2001, № 2B7) С. 31-38.
22.	Липнщкий Ю. М., Покровский А. К, Фролов Л. Г., Шманенков В. Н. Расчет ко-
коэффициента демпфирования конуса mj при дискретном вдуве газа на боковой
поверхности. Космонавтика и ракетостроение, 2002, № 3B8) С. 26-31.
23.	Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. К определению коэффици-
коэффициентов вращательных производных в аэродинамических трубах. Изв. АН СССР,
Механика и машиностроение, 1964. № 3.
24.	Ишлинский А. Ю. Механика относительного движения и силы инерции. Москва,
«Наука», 1981. С. 191.
25.	Лагутин В. И., ЛевчукД. Г., Шманенков В. Н. Экспериментальное исследование
обтекания гиперзвуковым потоком колеблющегося тела с юбкой. Изв. Ан СССР.
МЖГ, 1970. № 5. С. 189-191.
26.	Платонов В. А., Шманенков В. Н. К исследованию влияния отрывной зоны на
колебания конуса. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1987. № 1.

ГЛАВА 8
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ХАРАКТЕРИСТИК УСТОЙЧИВОСТИ
§ 8.1. Метод свободной балансировки для определения
коэффициента центра давления
Положение центра давления Cd (точки пересечения полной аэродина™
мической силы с выбранной продольной осью) является важнейшей аэро-
аэродинамической характеристикой летательного аппарата, определяющей его
статическую устойчивость. Экспериментально обычно его находят путем
измерения аэродинамических моментов относительно некоторой точки и
поперечной силы, отношение которых используется для нахождения с^.
Такой косвенный метод в лучшем случае позволяет находить Cd с погреш-
погрешностью « 1 -=- 2%.
На практике же часто возникает необходимость нахождения этой аэро-
аэродинамической характеристики с большей точностью.
Метод свободной балансировки является прямым способом нахожде-
нахождения коэффициента центра давления. Сущность метода заключается в том,
что модель, подвешенная на шарнире донной державки, имеет возможность
в одной плоскости под действием аэродинамического момента устанавли-
устанавливаться на балансировочном угле атаки.
При зависимости Cd{pt) с положительной производной по углу атаки
(типичной для многих тел при гиперзвуковых скоростях) и при установке
оси вращения модели позади центра давления, соответствующего а —>> О
(т.е. при создании «запаса статической неустойчивости» вблизи а = 0),
модель может иметь балансировоч-
балансировочный угол атаки «ь отличный от нуля
(см. рис. 8.1). При этом, очевидно, зна-
значение Cd для малого балансировочно-
балансировочного угла атаки совпадает со значением
хт — расстоянием оси вращения от
носка модели, отнесенной к ее длине.
Изменяя хт, можно получить за-
зависимость Cd{pt) в пределах измене-
изменения а, допускаемого конструкцией
зона статической
неустойчивости
Рис. 8.1
державки и модели.
Погрешность определения этим методом связана с точностью установки
оси вращения, величиной момента трения в подшипниках опоры и погреш-
погрешностью измерения величины угла атаки.
Точность задания хт модели весьма высока (с использованием микро-
микрометра погрешность ^ 0,02 мм). Величина момента трения тщательно по-
подобранных и хорошо обкатанных шарикоподшипников составляет ^0,1%

Метод свободных колебаний
169
а, град.
аэродинамического момента, а угол ата-	° Мж = 6, эксперимент
ки с использованием оптики определя-	• Мж = 15, эксперимент
ется с погрешностью ~ 10'.	С л — теоРия Ньютона
Таким образом точность метода сво-
свободной балансировки весьма высока.
Погрешность нахождения коэффициен-
коэффициента центра давления может быть снижена
до - 0,1%.
На рис. 8.2 приводится сравнение за-
зависимостей с^(а), полученных на осно-
основе численных расчетов трехмерного об-
обтекания совершенным газом с показате-
показателем адиабаты j = 1,4 затупленного по
сфере конуса с углом полураствора 0 = 11° и относительной длиной I/R =
= 5, с экспериментальными данными. Пунктиром нанесены результаты по
формуле Ньютона. Из рисунка видно, что соответствующие эксперимен-
экспериментальные и численные значения q хорошо согласуются между собой. Зна-
Значения Crf, рассчитанные по формуле Ньютона, существенно отличаются от
экспериментальных в рассматриваемом диапазоне углов атаки.
§ 8.2. Метод свободных колебаний
и примеры экспериментальных исследований
Определение коэффициентов статического и демпфирующего момен-
моментов может осуществляться методом свободных колебаний. В этом случае
модель устанавливается на специальной державке с вращающимся порш-
поршнем и может совершать свободные угловые движения под воздействием
аэродинамических сил.
Анализ полученной в эксперименте зависимости угла атаки модели от
времени позволяет определить коэффициент продольного статического мо-
мента т" и демпфирующего момента га
(в дальнейшем использу-
используется обозначение mPz) при различных условиях в набегающем потоке.
Методика обработки экспериментальных данных основана на нахожде-
нахождении приближенного или точного решения уравнения движения модели,
расположенной на шарнире в потоке газа.
Jza^-
^
+
^a + qScxKT sgn (a) = 0
(8.1)
qSL2 ¦*
Здесь JZ9 Md = ——mPz6i, Mz =
MT = qScx(a)KT coot-
ветственно момент инерции модели с поршнем, момент демпфирования ко-
колебаний конуса относительно заданного центра вращения хт, продольный
статический аэродинамический момент и момент сил трения, q и Foo —
скоростной напор и скорость набегающего потока, S — площадь миделя
модели, сх — коэффициент лобового сопротивления, Кт — коэффициент

170 Экспериментальное определение характеристик устойчивости
Гл.
трения шарнира. Точками обозначены соответствующие производные угла
атаки по времени.
Положительные значения коэффициентов —т^ и —vnPz соответствуют
статической и динамической устойчивости модели.
Лабораторные исследования показали, что трение в используемых под-
подшипниках зависит от величины нагрузки и знака угловой скорости. Такое
трение получило название «сухое трение». Амплитуда колебаний физиче-
физического маятника с таким трением в шарнире линейно зависит от времени.
Пример такого колебания представлен на рис. 8.3.
Энергетическим методом несложно получить приближенное дифферен-
дифференциальное уравнение для амплитуды колебаний модели, расположенной на
шарнире в потоке газа.
Продифференцируем по времени выражение для полной энергии коле-
колебания модели в потоке при постоянном скоростном напоре
Е= ijzd
dE
dt
(8.2)
= Jzda + qSLm^ad.
Заменив Jzd, исходя из уравнения (8.1), получим
dE _ qSL2 j . 2
/f-f	ТУ"
(8.3)
Полагая а = A(t) cos uot, среднее значение производной от полной
энергии за период колебаний можно найти

Метод свободных колебаний	171
i.	(8.4)
J z
С другой стороны, так как
E=-qSLm%A2, ^ = qSLm^ - А^,	(8.5)
j гр
приравнивая — в (8.4) и (8.5), получим дифференциальное уравнение для
амплитуды колебаний
dA	2схКтш , SL2 q -*	/о _ч
^=-(с+ЬА)' с = ^^^' ь=2л^:т- (8*6)
Решение этого уравнения можно представить в виде
A(t) = Аое^ы - ™ A - е~ы) ,	(8.7)
где Ао — начальная амплитуда колебаний.
Экспериментальная зависимость угла атаки от времени a(t) сопостав-
сопоставлялась с полученным теоретическим решением а = A(t) • cos out.
Методом наименьших квадратов определялись неизвестные величи-
величины Ь, с и ш в результате минимизации функционала
где apik ш а^ — теоретические и экспериментальные значения углов атаки,
тг — число экспериментальных точек. Значения b ш ш затем использова-
использовались для нахождения т^ и т".
Величины моментов инерции модели определялись методом физическо-
физического маятника. Для этого на державке с подвижным поршнем модель стави-
ставилась вертикально, и определялись периоды колебаний такого физического
маятника при двух положениях центра вращения.
Моменты инерции для этих положений центров вращения определялись
по формулам:
_ GTJd gTJ - A7r2d
zl^^^d + g{T^TlY
_ GTJd gTl - 4w2d
z2^ 4тг2 8ir4 + g(T*-T2)'
где Ti — периоды колебаний, G — вес модели с подвижным поршнем,
d — расстояние между центрами вращения. Параметры потока q9 Fqo,
Mqo, R^oo определялись по измеренным в экспериментах величинам ста-
статического давления, давления в форкамере и в точке торможения за прямым
скачком уплотнения.

172 Экспериментальное определение характеристик устойчивости
Гл.
В качестве примера в таблицах 8.1 и 8.2 приведены экспериментальные
значения величин mPz и т", полученных методом свободных колебаний
при Моо =6 и 7,7 для притуплённых конусов.
Таблица 8.1
Моо = 6, iteooi* = 3,6 • 1Q7
L/r
xT/L
-™?
^maz
L/r
xT/L
-mf
-m?
38,4
0,584
0,188
0,122
38,4
0,584
0,063
0,124
46,8
0,596
0,214
0,108
M
46,8
0,596
0,072
0,108
58,2
0,610
0,256
0,256
oo = 7,7
58,2
0,610
0,123
0,090
74,6
0,620
0,274
0,071
74,6
0,620
0,149
0,078
102
0,630
0,286
0,057
157,6
0,639
0,154
0,038
= 2,5 • 107
102
0,630
0,073
0,062
157,6
0,639
0,149
0,044
322
0,648
0,171
0,031
oo
0,643
0,080
0,045
Таблица 8.2
322
0,648
0,154
0,034
oo
0,643
0,307
0,037
Экспериментальные исследования нестационарных аэродинамических
характеристик проводились на моделях затупленных конусов с радиусом
миделевого сечения R = 35,5 мм и углом полураствора в = 6,7° при раз™
личных радиусах сферических притуплений: г = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,1мм,
в гиперзвуковой аэродинамической трубе с диаметром выходного сечения
сопла 350 мм при числах Маха М^ = 6 и 7,7 и, соответственно, числах
Рейнольдса, рассчитанных на один метр, 3,6 • 107 и 2,5 • 107. Для устране-
устранения конденсации воздух подогревался с помощью омических подогревате-
подогревателей до температуры торможения То = 500 К при М^ = 6 и То = 620 К
при Моо = 7,7. Скорости потока на выходе из сопла были в этом случае
соответственно равны Fqo = 932 м/с и 1074 м/с.
На рисунках 8.4, 8.5 проводится сравнение экспериментальных данных
с расчетными, полученными на основании метода, изложенного в гл. 7.
Пунктирной линией (при L/r = 150) приведено значение коэффициент
та демпфирования для острого конуса. Сравнение результатов показывает,
что коэффициенты продольного статического момента —т^ удовлетвори-
удовлетворительно согласуются между собой во всем диапазоне изменения определяю-
определяющих параметров, однако наблюдается заметное расхождение по величинам
коэффициента демпфирования при М^ = 6 (например, при L/r = 100
расчетные значения составляют ~ 60 % от опытных данных). Возможной
причиной расхождения данных может служить зона перехода пограничного
слоя на боковой поверхности тела, поведение которой в нестационарном
течении описывается с определенной погрешностью.

Метод свободных колебаний
173
При Mqo = 7,7 расчетные и экспериментальные данные по коэффици-
ентам демпфирования при L/r ^ 150 хорошо согласуются между собой
(рис. 8.5).
о та" (эксперимент) д mf (эксперимент) _ о то" (эксперимент) а т%_ (эксперимент)
0,2
ОД
0,0
• т" (расчет)
k mz (расчет)
7
40
80
Рис. 8.4
120
L/r
40
80	120
Рис. 8.5
Опыт проведения динамических испытаний в юродинамических трубах
с небольшими размерами моделей (L = 100^ 150 мм) показывает, что вели-
величина момента демпфирования близка к величине момента сил трения в шар-
шарнире. Этот факт вызывает определенные трудности при учете последних и
существенно снижает точность экспериментального определения коэффи-
коэффициента момента демпфирования. Переход к крупномасштабным моделям
устраняет указанный недостаток. Это объясняется тем, что с увеличением
линейного размера L величина демпфирующего момента растет быстрее
по сравнению с моментом трения. Оценки показывают, что при проведе-
проведении динамических испытаний на крупномасштабных моделях (L « 1м)
силами трения в шарнире можно пренебречь.
В этом случае, при постоянных параметрах набегающего потока, коэф-
коэффициент момента демпфирования может быть определен по формуле
mj = 2IzFoo d_ Д Ао
z qooSL2 dt\ A
С целью определения коэффициента демпфирования конусов с высо-
высокой точностью в гиперзвуковой аэродинамической трубе были проведены
динамические испытания крупномасштабной модели затупленного конуса
[0к = 8°, L = 995 мм, диаметр миделя D = 345 мм) при Моо = 4 и 6,
ReL = 5,75 - 107 и 2 • 107.
Результаты динамических испытаний модели представлены в табли-
таблице 8.3, где одновременно для сравнения приводятся данные теоретических
расчетов, полученных в рамках линейной теории тел конечной толщины
(гл. 7).

174 Экспериментальное определение характеристик устойчивости
Гл.
Таблица 8.3
Moo
ReL
—mf, экспер.
—rriz, расчет
4
5,75 • 107
-0,18 ±0,01
-0,196
6
2-Ю7
-0,1 ±0,01
-0,128
Удовлетворительное согласование расчетных и экспериментальных
данных подтверждает возможность изучения влияния вязких эффектов на
коэффициенты демпфирования конусов с помощью линейной теории тел
конечной толщины.
Литература
1.	Антонец А. В., Красилъников А. В., Лагутин В. И. Экспериментальное определе-
определение положения центра давления при обтекании затупленных конусов под углами
атаки гиперзвуковым потоком газа. Изв. АН СССР, МЖГ № 2, 1971 г.
2.	Аэродинамика неустановившихся движений. Тр. ЦАГИ, Оборонгиз, 1958—
1964г.г.
3.	Аэродинамика неустановившихся движений. Тр. ВВИА им. Н. Е. Жуковского,
1959-1970 г.г.
4.	Боголюбов Н. Н., Митропольский А. А. Асимптотические методы в теории нели-
нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1958 г.
5.	Красилъников А. В., Шманенков В. Н. К исследованию режимов динамической
устойчивости осесимметричных притуплённых тел в сверхзвуковом потоке. Изв.
РАН, МЖГ № 5, 2000 г.
6.	Краснов Н. Ф. и др. Прикладная аэродинамика. Высшая школа, М., 1974 г.
7.	Мартынов А. К. Прикладная аэродинамика. Машиностроение, М., 1972 г.
8.	Петров К. П. Аэродинамика ракет. Машиностроение, М., 1977 г.
9.	Голубин Н. В., Кислых В. В., Лагутин В. И., Михайлов В. М. Методы и средства
исследования характеристик динамической устойчивости гиперзвуковых лета-
летательных аппаратов. «ICMAR», Новосибирск, 1994 г.

Научное издание
ЛИПНИЦКИЙ Юрий Михайлович
КРАСИЛЬНИКОВ Артур Владимирович
ПОКРОВСКИЙ Андрей Николаевич
ШМАНЕНКОВ Валерий Николаевич
НЕСТАЦИОНАРНАЯ АЭРОДИНАМИКА
БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПОЛЕТА
Редактор Е.С. Артоболевская
Оригинал-макет: Е.В. Третъяков
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 21.01.03. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 11. Уч.-изд. л. 12,1.
Тираж 300 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука».
121099 Москва, Шубинский пер., 6
3BBN 5-9221-0345-8
9 785922 10345