/
Автор: Гришанин Б.А.
Теги: физика электродинамика радиофизика квантовая электроника квантовая физика
Год: 1981
Текст
Б. А. Гришанин
КВАНТОВАЯ
ЭЛЕКТРО
ДИНАМИКА
ДЛЯ РАДИО
ФИЗИКОВ
Издательство
Московского университета
1981
УДК 530.1 :621.375.826
V-;»v-'.-^--.-'' «r*s#
*|о^паста1новленяю
-издательского совета
Московского университета
Рецензенты:
проф. В. Б. Брагинский,
проф. /О. Л. Климонтович
Гришанин Б. А.
Квантовая электродинамика для
радиофизиков. — М.: Изд-во Моск. ун-та,
1981. 126 с, 7 ил.
Книга содержит краткое изложение основных
математических методов и некоторых1 задач квантовой
электродинамики, наиболее существенных для
радиофизических приложений. Она предназначена главным
образом, для студентов и аспирантов как учебное
пособие, содержащее упрощенное «зложение квантовой
электродинамики за счет использования предположений,
естественных для радиофизики. Основное ее содержание
составляет материал лекций, читавшихся автором в
течение ряда лет на физическом факультете МГУ.
Особенностью книги является изложение квантовой
теории в форме, максимально сближающей квантовые и
классические методы. Это достигается за счет
использования гейзенберговских уравнений; метода
упорядоченных представлений, в том числе метода Вигнера;
квантового уравнения Фоккера—Планка; уравнения Ланже-
вена и т. д.
Г *™^т_ 123-81 1704020000
077«й)-81
ЙЯ\ Издательство Московского университета, 1981
ПРЕДИСЛОВИЕ
Опыт изложения основ квантовой
электродинамики студентам и аспирантам,
специализирующимся в области квантовой радиофизики,
показывает, что они сталкиваются с повышенными
трудностями в применении существующих
методов к радиофизическим задачам. При этом
главные трудности связаны вовсе не с
математической сложностью проблем: наоборот, в
математическом отношении в радиофизике
используются, как правило, самые простые модели
электродинамических систем, в которых
совершенно несущественны релятивистские методы
описания частиц ненулевой массы и их полевые
свойства, а единственным существенно
релятивистским объектом является электромагнитное
поле. Указанные трудности сопряжены с
появлением массы вопросов логического характера при
попытке применения стандартных схем расчета,
неправильное истолкование которых зачастую
приводит к неадекватности расчетов,
выполненных на основе формальной аналогии. Это связано
со спецификой радиофизических задач, с тем, что
в них чаще всего представляют интерес
характеристики динамических процессов, не сводящиеся
к простой комбинации элементарных процессов,
фигурирующих в стандартной теории
возмущений. Эти процессы обычно сочетают в себе
одновременно и чисто классические, и ярко
выраженные квантовые черты, и потому описание их на
языке теории возмущений, оперирующей с
фотонами или с собственными состояниями
операторов энергии других систем, весьма
затруднительно и по существу -неадекватно.
Для преодоления указанных трудностей, по-
видимому, не требуется каких-либо
принципиально новых методов по сравнению с уже
существующими. Практически все соответствующие
методы в той или иной форме отражены либо в
учебной [1—4], либо в оригинальной литературе.
3
Сюда относится, например, метод
гейзенберговских уравнений, сближающий квантовую теорию
с классической и позволяющий рассматривать
квантовые и классические эффекты более
единообразно; метод упорядоченных представлений, в
частности представления Вигнера, полностью
уподобляющий описание квантовых систем
классическому; метод обобщенного лиувиллиана,
получивший уже достаточно большое
распространение и позволяющий рассматривать
стохастические квантовые подсистемы в терминах
классической теории случайных процессов; метод
уравнения Ланжевена и т. д. Разумеется, изложение
этих методов должно идти параллельно с
изложением стандартных методов теории возмущений,
поскольку последние также во многих случаях
могут быть использованы и в квантовой
радиофизике весьма эффективно. Такое изложение
позволяет более полно отразить внутреннее
содержание и взаимосвязь различных методов
квантовой теории.
Данное учебное пособие написано на основе
спецкурса €Квантовая электродинамика для
радиофизиков», читавшегося автором на
физическом факультете МГУ с 1977 г. Оно может быть
использовано также в качестве дополнительной
литературы к курсам €Квантовая радиофизика»
и €Статистическая оптика».
Автор выражает благодарность профессору
С. А. Ахманову за ряд полезных советов и
стимулирующих обсуждений в процессе работы над
книгой. Автор весьма признателен также
профессорам В. И. Григорьеву, Ю. Л. КлиМонтови-
чу, В. Б. Брагинскому и доценту В. Н. Руденко
за ценные замечания при рецензировании
рукописи.
Б. А. Гришанин
Часть I.
§l.
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
СПЕЦИФИКА РАДИОФИЗИЧЕСКИХ
ПРИЛОЖЕНИЙ КВАНТОВОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1.1. Недостаточность методов теории
возмущений. Богатая событиями история квантовой
электродинамики насчитывает три «четверти «века, если начать отсчет
с квантовой теории равновесного теплового излучения,
созданной Планком в 1900 г. Высшим достижением этой
теории, по-видимому, является блестящее подтверждение
тончайших радиационных поправок к дираковской теории
атомных 'спектров, которые были получены на основе
релятивистски инвариантных -методов теории возмущений,
разработанных Томонагой, Швингером и Фейнманом я удостоенных
Нобелевской премии. Наиболее важными из «их являются
аномальный магнитный момент электрона (отличие на
величину <х/2я+0(а2)+ ... вследствие взаимодействия с
квантованным электромагнитным полем отношения наблюдаемого
магнитного момента электрона к предсказываемому теорией
Дирака значению eh/2mc) и лэмбовский сдвиг энергии
атомных уровней (обязанный той же причине и приводящий к
расщеплению атомных уровней с одинаковым значением
полного момента /, вырожденных в теории Дирака).
Многочисленные и продолжающиеся до настоящего времени
экспериментальные «проверки квантовой электродинамики показали
ее «безусловную справедливость вплоть до масштабов
10~14 «см, т. е. © ее естественной области применимости, когда
можно не учитывать взаимодействия неэлектромагнитной
природы — сильные взаимодействия.
Этот триумф теории, однако, ни в коем случае не должен
истолковываться как симптом окончания ее идейного
«развития, наподобие того как в известном смысле можно считать
завершенным развитие классической механики или
специальной теории относительности. Степень идейной завершенности
теории определяется кругом вопросов, на которые она
должна давать ответ. Эти же вопросы диктуются не только
внутренней логикой развития теории, но и практическими
потребностями. До 50-х годов основным «потребителем» можно
было считать атомную спектрокопию, и для ее задач никаких
новых идей и методов квантовой электродинамики по
существу не требовалось. Однако начало второй половины нашего
столетия ознаменовалось рождением нового раздела физики
5
с более разнообразными интересами — квантовой
радиофизики (квантовой электроники). Для ее целей существенны не
только структуры стационарных состояний и вероятностей
различных электродинамических процессов, но и их полное
динамическое описание. Попытаемся же взглянуть с этих
новых позиций на главные проблемы квантовой теории.
После окончательного подтверждения в 1913 г. в опытах
Резерфорда планетарной модели атома встал вопрос о
причинах его устойчивости по отношению к радиационному
высвечиванию. Именно этот вопрос послужил решающим
толчком для теории Бора и последующего развития современных
принципов и математических методов квантовой теории.
Давайте спросим себя, что можем мы, вооруженные
знаниями, накопленными за 65-летнюю историю этого вопроса,
ответить #на три следующих вопроса, являющихся просто его
расшифровкой:
1) Почему не излучает невозбужденный атом?
2) Какова динамика высвечивания возбужденного атома? •
3) Какова динамика высвечивания коллектива
возбужденных атомов?
На первый вопрос ответ в принципе известен. Однако этот
ответ в наиболее простой форме дается теорией оптической
когерентности Глаубера: она выделяет из бесконечного
множества возможных определений корреляционных функций
квантового электромагнитного поля в качестве физически
наблюдаемых функций, определенные нормально
упорядоченными выражениями; им соответствует нуль излучения
невозбужденного атома. (С этой теорией лучше всего
познакомиться, прочитав лекции Р. Глаубера [5].)
Полный ответ на второй вопрос в той форме, как он
поставлен здесь, содержится в соответствующем разделе книги
(§7).
Что же касается последнего вопроса, то сколько-нибудь
полного ответа на него пока вообще не существует, несмотря
на то что именно он составляет сущность квантовой
электродинамики с точки зрения предмета квантовой радиофизики.
В квантовой теории лазера прямое исследование данной
задачи удалось обойти благодаря возможности ее
радикального упрощения за счет приемлемой аппроксимации
динамически описываемого поля конечным числом (обычно всего
одним) осцилляторов; «роль отбрасываемых осцилляторов
поля при этом удовлетворительно (с практической точки
зрения) описывается в терминах теплового резервуара. Этот
подход позволил создать в 60-х годах вполне
работоспособную теорию лазера, объясняющую все экспериментально
наблюдаемое закономерности. Из ученых, внесших
определяющий вклад в развитие этой теории! можно отметить имена
Лэмба, Скалли, Хакена, Лэкса,
6
Однако история исследования данной проблемы может
служить еще одним «гримером того, что в науке не следует
удовлетворяться только прагматическим подходом к теории.
(По-видимому, врожденная любознательность человека и
стремление к логической завершенности безотносительно к
текущим практическим нуждам есть тоже своеобразная
разновидность прагматического подхода:'отличие лишь в сроках
окупаемости.) В данном случае отсутствие точного
динамического описания взаимодействия атомов со всеми
осцилляторами электромагнитного поля приводит к невозможности
описания высвечивания коллектива возбужденных атомов на
уровне флуктуации. Как «было предсказано Динке [6],
излучение такой системы существенно отличается от некогерент-
яой суммы излучений отдельных атомов. За счет
установления частичной когерентности между состояниями отдельных
атомов благодаря их взаимодействию через поле излучения
этот процесс носит существенно коллективный характер,
являясь в то же время чисто спонтанным (нет внешнего
поля, если только не интересоваться этой усложненной
ситуацией). Динамика высвечивания хорошо может быть
описана на этапе уже развитой корреляции, однако динамика ее
развития до настоящего времени представляет нерешенную
проблему. Конечно, сами точные уравнения для атомов и
поля хорошо известны, но получение на их основе
замкнутого макроскопического описания процесса установления
когерентности до сих пор стоит на повестке дня, несмотря на
существенный прогресс в понимании проблемы.
Рассмотренные примеры убеждают в том, что развитие.
методов квантовой электродинамики в применении к задачам
квантовой радиофизики не только будет продолжаться, но и
является назревшей необходимостью. В данной книге кратко
излагаются уже существующие наиболее перспективные с
точки зрения радиофизических приложений идеи и методы,
причем в связи с этим оказалось целесообразным и
необходимым изложить некоторые традиционные для обычных
курсов квантовой механики и электродинамики 1—3 вопросы в
форме, наиболее естественной для квантовой радиофизики.
1.2. Примеры квантовоэлектродина-
мических задач в квантовой радиофизике. То, что мы сейчас
понимаем под квантовой электродинамикой, существует как
замкнутая динамическая теория с 1927 г. с тех пор как Дирак
проквантовал наряду с излучающим атомом и поле
излучения. Какова же современная роль понятия квантованного
поля в квантовой радиофизике?
Первоначальное понимание этого вопроса сводилось к
следующему утверждению. Квантовое рассмотрение поля
необходимо для описания спонтанных1—шумовых — эффектов, в
7
то время как для анализа индуцированных процессов
достаточно так называемой полуклассической электромагнитной
теории, в которой поле излучения описывается классически,
путем квантовомеханического усреднения по квантовым
состояниям атомов. Причины такого мнения заключались в
самой истории развития квантовой теории: считалось, что для
описания излучения атома необходимо понятие фотона, так
как стандартная техника расчета, основанная на теории
возмущений, была приспособлена к фотонному представлению
электромагнитного поля. Однако впоследствии Джейнсом и
Каммингсом было показано, что при последовательном полу-
клаосическом рассмотрении с учетом реакции излучения, т. е.
радиационного трения, излучение квантового атома
описывается и полуклассической теорией.
Таким ^образом, само по себе спонтанное излучение не
является каким-то специфическим квантовым эффектом;
более того, даже такие, казалось бы, сугубо квантовые
эффекты, как лэмбовокий сдвиг, поляризация вакуума и даже
аномальный магнитный момент, не связаны принципиально
с квантовым характером электромагнитного поля [7]. Это
может показаться удивительным для тех, кто помнит
утверждение, что спонтанное излучение атома есть результант
воздействия на него вакуумного квантового электромагнитного
поля и помнит структуру формулы для вероятности
спонтанного излучения, в которую входит величина /1+1/2.
Половинка здесь соответствует чисто квантовому понятию вакуумной
энергии поля, отличной от нуля даже при числе квантов
» п=0. Тем не менее из § 7 будет ясно, что появление этого
квантового свойства поля «не что иное, как просто
эквивалентный способ представления «реакции излучения, подобно тому
как квантовые уравнения Гейзенберга в квантовой нереляти-
вистокой механике частиц есть просто эквивалентная запись
второго закона Ньютона (при соответствующем понимании
классических величин, см. § 2), возможная только в
квантовом случае благодаря ненулевому коммутатору 1{р—pq*=ih.
Между результатами квантовоэлектродинамического и
полуклассического рассмотрения перечисленных вопросов
имеется только некоторое количественное различие. Таким
образом, квантовая электродинамика необходима не для
объяснения самого факта существования перечисленных
эффектов, а только для их точного количественного расчета.
Например, в теории лазеров оптического диапазона
практически все основные результаты вполне удовлетворительно
описываются в рамках полуклассической теории: это
связано с наличием многих эффектов, маскирующих квантовый
характер излучения, например, различные механизмы ушире-
ния линии типа эффекта Допплера, уширения давлением
и т. д. Тем не менее, вполне возможно, что новые квантово-
8
электродинамические рассмотрения, выходящие за рамки
квантового описания выделенных дискретных мод, способны
привести к определенным уточнениям. По этой причине
квантовая электродинамика в теории лазера имеет не только
методическое значение как наиболее адекватный способ
изложения, «о и как инструмент более точного анализа,
(потребность в котором, возможно, будет возрастать по мере
совершенствования самих лазеров.
Однако судить об истинной роли -квантовой
электродинамики в современной квантовой радиофизике по -положению
дел в теории оптических лазеров, тем 'более ограничиваясь
традиционными типами лазеров «на переходах атомных
электронов, в настоящее время уже совершенно неправомерно.
В стадии интенсивного исследования сейчас находятся
проблемы лазерной генерации с использованием самых
разнообразных электродинамических эффектов и в новых диапазонах,
включая гамма- и рентгеновокий диапазоны. Это лазеры на
свободных электронах, использующие для генерации
эффекты вынужденного тормозного излучения, комптоновского
рассеяния, черепковского излучения и т. д.
Кроме того, «сама сфера интересов квантовой радиофизики
ныне далеко не исчерпывается лазерной тематикой:
достаточно упомянуть проблемы регистрации и преобразования
излучений, а также комплексную проблему лазерной связи.
Применение лазеров для исследования самых разнообразных
физических эффектов вводит в квантовую радиофизику
проблемы, связанные с теоретическим исследованием всех этих
эффектов с учетом специфической особенности лазерного
излучения — пространственно-временной когерентности.
Применение различных методов регистрации излучений приводит к
задачам расчета важных для этих методов характеристик
излучения. Во многих из перечисленных случаев приходится
иметь дело с типичными задачами квантовой
электродинамики. Мы ограничимся двумя примерами, один из которых
относится к новому направлению лазерной тематики, а
второй—к применению квантовых методов регистрации
излучения.
Хорошо известен эффект Черенкова — излучение
источника^ (не обязательно частицы!), движущегося со
сверхсветовой для данной среды скоростью. Этот источник излучает
в направлениях, лежащих на конусе cos 0=civ, если
рассматривать этот эффект в рамках классической
электродинамики. Совершенно очевидно, что этот эффект вполне обратим
в рамках классичеокой теории, т. е. внешнее
электромагнитное иоле, падающее под одним из указанных направлений,
может либо усиливаться, либо поглощаться в зависимости от
фазовых соотношений, т. е. излучение и поглощение • имеют
место под одним и тем же углом. Какие отличия вносит в
9
этот эффект квантовое рассмотрение? Ограничимся пока
формальным кинематическим анализом, основанным на понятии
«фотона в среде» и предложенным В. Л. Гинзбургом [8].
Черенковское излучение или поглощение
интерпретируется при этом как излучение или поглощение движущимся
объектом (его будем считать теперь бесструктурной
движущейся частицей) фотона среды с энергией hco и импульсом
hk=h((on/c)k/ky где п — показатель преломления. Тогда из
закона сохранения энергии и импульса
Е0—Ех= ±Йсо, /о—/i=Ak
и кинематических релятивистских соотношений
Е= V т2сА+р2с2 , f=mv/Vl— v2/c2 ,
получаем
я» 2р \ п* )
Таким образом, при учете «квантового характера поля
излучение и поглощение имеют место в разных направлениях за
счет импульса отдачи поглощаемого или излучаемого фотона.
Рис. /. Взаимодействие электронбв посредством испускаемых
я поглощаемых фотонов в черен ков с ком лазере
Деккером была предложена новая схема лазера с
использованием этого эффекта (рис. 1). Предлагается использовать
поток релятивистских электронов в среде с подходящим
показателем преломления в качестве череиковского излучателя
и резонатор для накопления энергии излучения. Если
обеспечено условие неперекрываемости конусов поглощения и
излучения, то запасенная энергия поглощается не теми же
Ю
электронами, которые ее создали, а другими, отличающимися
значением импульса, которые, поглотив фотон, приобретают
импульс, соответствующий условию излучения в резонатор-
ную \моду. Этот процесс с учетом того, что вероятности
поглощения и излучения пропорциональны энергии резонатор-
ной и^оды, при соответствующем распределении
инжектируемых электронов по импульсам должен привести к режиму
генерации — нарастанию энергии излучения до некоторого
стационарного значения. При токе электронов в I А
предсказывается мощность 10—100 Вт. Таким образом,
существенно квантовоэлектродинамический эффект используется
для разработки квантового радиофизического устройства.
Второй пример — планируемые эксперименты с
разнообразными способами интенсивного воздействия на
ультрарелятивистские электронные пучки современных ускорителей с
целью получения интенсивного излучения в нужных
диапазонах частот, сопоставимого по мощности с лазерным или по
меньшей мере превосходящего -естественное синхронное
излучение в кольцевых ускорителях. Примерами таких систем
являются уже действующие в настоящее время «ондуляторы»,
воздействующие на пучок сильным периодичеоким магнитаым
полем [9]. При разработке таких систем желательно знать
заранее, совместимы ли они с нормальным режимом работы
ускорителя. При исследовании этого вопроса, так же как и
при исследовании устойчивости нормального режима работы
ускорителя, необходимо принимать во внимание квантовые
?луктуационные силы, действующие на излучающий электрон
10]. Этот эффект квантовой «раскачки» колебаний пучка
впервые был установлен методами квантовой
электродинамики в работах А. А. Соколова, И. М. Тернова [11]. В свете
указанных новых применений ускорителей этот
квантовоэлектродинамический эффект приобретает существенное
значение и для квантовой радиофизики.
Таким образом, на нескольких примерах мы
продемонстрировали полезность квантовой электродинамики в задачах
квантовой радиофизики. Однако ее роль, как и всякого знания
вообще, не сводится только к таким прямым применениям.
Эти знания должны, в первую очередь, позволять более
глубоко проникнуть в суть физических явлений. Основная цель
данной книги состоит в упрощении данной задачи для чита-
теля-радиофизика.
>
§ 2. СВЯЗЬ КЛАССИЧЕСКОЙ / \
и квантовой теории '
2.1. Квантовое обобщение
классических случайных величин и событий. Различие между шасси-
ческой и квантовой теориями сводится к разному пониманию
сущности физической величины, т. е. к соответствующему
различию в определениях случайной величины (поясним, что
особо выделять детерминированные величины нет
необходимости, так как они являются частными примерами
случайных). Переход от математического описания классического
случайного события к квантовому по существу своему очень
прост, если мы и для классических случайных величин и
событий воспользуемся соответствующим представлением.
Общее определение системы классических случайных событий
заключается в задании множества элементарных событий X
и распределения вероятностей Р на этом множестве (точнее,
на алгебре его подмножеств). Точки х^Х описывают
элементарные события, а функции f(x) —всевозможные случайные
величины. Если перенумеровать все значения х с помощью
функции k=k(x) со значениями 1, 2... п (считаем
множество X конечным), то случайные величины f(x) можно
представлять функциями от k; эти функции есть не что иное, как
наборы чисел
/ = {/l,...Jn} = {/(^b... >f(*n)}.
При этом функции вида м(х) = 8щх), которым соответствуют
наборы чисел
£, = {0, ...,0,1,0, ...,0},
являются представлением элементарного /-го события х\ xz и
Ei называются индикаторами 1-го события x=xt. Функция
So = {%i, ... , хп]
есть представление самого множества значений х&Х, а
Р = {РМ,.-.>Р(хп)}
представление распределения вероятностей. Индикаторы вида
£а={0, ..., 1, ..., 0, 1, 0,...} и т. п. представляют неэлементар-
п
ные события хе Л, а Ех = {1, 1, • • • , 1, • • • . 1} = JJ Et —
тривиальное (очевидное событие х^Х; вероятность
события А есть
РА = ША(х) = £ (£ %t(x))P(x) = £ Р (х).
12
роли индикаторов элементарных событий состоит в том, что
они Образуют естественный базис в пространстве случайных
функций, т. е. для любой /:
/ = £/(*,)£,. (2.1)
\
Эта) формула есть разложение произвольной функции
через базисные функции Et с коэффициентами, равными
значениям $той функции в точках Хи соответствующих базисной
функции! Ей Таким образом, произвольная случайная
величина представляется в виде линейного разложения по
элементарным событиям. Усреднение случайных величин благодаря
этому сводится к усреднению индикаторов случайных
событий:
Mf^fixdME^^fixiiPixd. (2.2)
Нетрудно видеть, что случайные величины h(x)=f(x)+g(x)
и q(x)=f{x) Xg(x) представляются функциями
h^f + g^Zinxd + gixftEt, (2.3)
<7 = /x# = S[/(*,)£(*,)]£,,
т. е. алгебра случайных величин сводится к алгебре на
«спектре возможных значений этих величин, а статистические
свойства этой алгебры описываются индикаторами Ei. Таким
образом, свобода в выборе математического представления
системы классических случайных величин сводится к выбору
представления индикаторов элементарных событий; в
остальном представление случайных* величин задано формулой
(2.1). Индикаторы элементарных событий, как легко видеть
из определения умножения в (2.3) и представления (2.1),
удовлетворяют соотношениям коммунитативности,
ортогональности, идемпотентности и полноты:
EkxEl=ElxEk = bklEh (2.4)
/=i
Ех9 как легко видеть, играет роль единичного элемента, так
как
EtXEx = Eh
Наиболее привилегированным в смысле экономности
обозначений является представление индикаторов с помощью
13
матриц ортогонального проектирования вида
(О
£,=
! О
О
о У
Тогда заданное вторым соотношением (2.3) произведение
случайных величин fxg сводится к матричному умножению
fg. Введя матрицу
,P(Xl) О
Р
_(P(Xl) ° \
\ 0 'PlxJ
можно правило усреднения представить в виде
ГЛЕ, = Тг'Ё,р = Р(х1).
(2.5)
Функция f(g) случайной величины g представляется в виде
f(£)=/(J> (*/)£/).
так как последнее выражение, действительно, дает
(выражение 2f(g(xi))J}i9 требуемое правилами алгебры (2.3).
Благодаря неизменности следа яри унитарном
преобразовании входящих В'Него матриц (Тг £/££/-1[/р£/-1=Тг1?р)
диагональный вид проекторов £i и матрицы р не обязателен:
важно лишь, чтобы существовало унитарное преобразование,
приводящие одновременно ©се их к диагональному виду; это
необходимо в силу эквивалентного требования
коммутативности (2.4). Итак, классические случайные величины и
элементарные события представляются коммутативным
набором матриц вида
/ = £/(**)£*,
(2.6)
*=1
которые при вещественных f являются самосопряженными,
а при комплекснозначных — нормальными матрицами
(//+—f4"/5^)- Возможные значения случайных величин
совпадают со спектром собственных значений описывающих их
матриц.
В отличие от классического полного набора элементарных
событий квантовый набор описывается совокупностью всех
14
возможных операторов проектирования, а не только
коммутирующих; -соответственно случайные величины описываются
произвольными нормальными матрицами, между которыми
имеет] место некоммутативность, т. е. fg—gf^O в общем
случаа Полнота системы элементарных квантовых событий,
в отлитое от классической, (проявляется © том, что она
описывается совокупностью всех ортопроекторов в л-мерном
пространстве. Среди этой «совокупности имеется континуум
классических полных наборов коммутативных операторов
проектирования; эти последние называются ортогональными раз-
ложениями единицы (так как 2£*=/).
Таким образом* как классические, так и квантовые
случайные величины описываются нормальными .матрицами, их
распределение вероятностей описывается неотрицательной
эрмитовой (самосопряженной) матрицей плотности р; правило
усреднения... задается соотношением (2.5), а алгебраические
операции над случайными величинами описываются
соответствующими операциями матричной алгебры, причем
возможные значения случайных величин есть собственные значения
их матриц. Единственным отличием квантовых «случайных
величин от классических является некоммутативность; она
имеет далеко идущие следствия, рассматриваемые в
дальнейшем.
Очень простое и важное соотношение, выявляющее связь
индетерминизма и (некоммутативности в терминах вторых
моментов случайных величин, дается .матричной формой
неравенства Гейзенберга, обобщающей соотношение
^>Й2/4. (2.7)
Для произвольного набора самосопряженных операторов
Аи ..., Ап введем обозначения:
для так называемой корреляционной матрицы (<•> здесь
и в дальнейшем обозначают квантовое усреднение на основе
(2.5)) и
С = (С</) = ((1Д/-ад»
для среднего коммутатора. Тогда, учитывая, что
К+-^С = ((АЯ,)), а /Г_Л-С = «ЛД»,
а положительная определенность этих несимметризованных
корреляционных матриц очевидна, получаем
15
где (неравенство обозначает неотрицательную определенность
матрицы. Отсюда следует, что при отличном от нуля среднем
коммутаторе корреляционная функция операторов Аи —»An
не может быть нулевой, т. е. неопределенность в такбй
системе случайных величин имеет место при любом
распределении вероятностей, что принципиально отличает ее от
классической, в которой для сингулярных распределений
неопределенность исчезает. /
Из (2.8)'легко вывести соотношение (2.7), если применить
его к набору операторов q, p, описываемых, как известно,
коммутатором qp—pq^ih, т. е.
[—а о У
Согл^оно (2.8) для данного случая имеем (при M<f=Mp=0):
\rapag-itl/2 а2р ) "
где r= <.qp+pq>/2oqOp — нормированный коэффициент
корреляции. Отсюда из условия неотрицательной
определенности детерминанта немедленно следует (2.7).
Аналогичным анализом .можно получить также следствие
<шА*Д>>^Тг|*С| (* = **),
!й которого, в частности, «вытекает, что оператор EUAkghiAi
не «может иметь 'собственное значение, меньшее правой части.
Эта оценка определяет, например, минимальные собственные
значения энергии и «квадрата момента в алгебраической
теории линейного осциллятора и углового момента [12].
2.2. Коммутационные4 соотношения и
эволюция квантовомеханических систем во времени.
Развитие квантовой механики привело к проникновению в физику
представлений абстрактной алгебры, в частности
представлений и методов теории групп. Это, благодаря отвлечению от
физических частностей, позволило глубже представить
истинное содержание самих физических законов. В частности, в
квантовой теории поля фундаментальное значение приобрел
в общем-то известный и в классической механике факт, что
динамика одной свободной частицы или динамика центра
тяжести системы частиц не выражает ничего другого, кроме
представлений о свойствах пространства-времени [13]. Это
неудивительно, поскольку сами представления о
пространстве-времени были выработаны, очевидно, как обобщение дина-
16
мических свойств в случае наиболее распространенной и
наиболее простой для восприятия динамики.
Допустим, что мы исходим из нерелятивистских
представлений] выражаемых преобразованиями временного сдвига,
пространственного сдвига и пространственного вращения,
которые образуют 10-параметрическую группу Галилея:
( Г =t — At, (2.9)
\ г' = г — (Да + А? х г f Av • t).
Здесь Ai, Aa, Д<р, АО — бесконечно малые изменения
групповых параметров; им соответствует бесконечно малое (ин-
финитезимальное) преобразование системы координат.
Необходимость рассмотрения инфинитезимальных
преобразований обусловлена некоммутативностью двух произвольных
конечных преобразований, из-за чего простое аналитическое
выражение (2.9) можно написать лишь для инфинитезималь-
ного произвольного преобразования. Оператор этого
преобразования имеет вид
где
G = Да • Р + А? • j f Av • ft — Дт • #, (2.10)
^ы **ч ^ ^n,
где операторы Р, j, N, //, действующие на пространственно-
временные переменные, описывают (соответствующие
сопряженным «им параметрам инфинитезимальные преобразования,
отнесенных к единичным изменениям параметров, т. е.
«скорости» преобразования при изменении этих параметров;
они называются генераторами соответствующих
преобразований: Р — пространственных сдвигов, f— поворотов, N —
преобразования скорости («бустер»), Н — временного одвига.
Мнимая единица перед G введена . для того, чтобы
генераторы сделать эрмитовыми. Рассматривая последовательности
инфинитезимальных преобразований, мы можем выявить, что
их генераторы связаны определенными коммутационными
соотношениями, а из них уже следуют функциональные
соотношения между ними:
|=RXP, ti = Pt-\iR, #=Р2/2ц, (2.11)
где R — оператор «координаты г, \i — произвольная
постоянная, не равная нулю.
Если мы потребуем, чтобы движение частицы было
инвариантно по отношению к описанной группе преобразований
координат ,и времени, т. е. чтобы применение любого
преобразования приводило к тому же закону движения, но с иными -
начальными условиями, то мы автоматически приходим к за-
17
кону r{t) =r0+Vof, где r0 и Vo должны преобразовываться как
R и Р/ц соответственно. Действительно, тогда применение
временного сдвига //-Дх дает просто сдвиг по координате:
[Ра, R]=2/P, [Р2, Р]=0; -применение «бустера» N-/W при-
водит к изменению начальной окорости и т. д. Все эти
необходимо для такого операторного описания группы Галилея,
поокольку она построена как общее выражение свойств
равномерного движения в декартовых координатах. /
Теперь мы подходим к самому интересному моменту,
касающемуся связи классической и квантовой механики.
Предыдущий анализ с точностью до одной технической
детали (в классике |х=оо) относился к ним обеим. Из
инвариантности по отношению к преобразованиям сдвига,
поворота и временного «сдвига, как легко видеть и как это хорошо
известно, вытекают законы сохранения для величин
р = tnv = mdr/dt — импульс,
М = т [г х v] = [г х р] — угловой момент,
Е = mv2/2 = p2/2m — энергия,
где т — произвольная, не «совпадающая с ц, постоянная,
называемая по. определению массой тела. Эти интегралы
движения соответствуют своим генераторам группы Галилея и
при операторном описании физичеоких величин могут «быть
отождествлены с ними с точностью до общего постоянного
множителя (так как законы их преобразования описываются
коммутационными соотношениями для генераторов, что
определяет их однозначно):
р = ftp, М = ft?, E = ПН. (2.13)
Подставляя эти выражения в (2.12) и сравнивая результат
с соотношениями для генераторов (2.11), получаем \х=т/Н.
При этом все коммутаторы определяются коммутационным
соотношением
Piri — rfPi^ — ml!9 (2.14)
которое вытекает из соотношения PiRj—RjPi=—i8ij дЛя
генераторов Р и операторов координат R=r (последнее
следует из общих свойств сдвиговых операторов).
Таким образом, канонические динамические переменные
должны описываться некоммутирующими операторами с
каноническими коммутационными соотношениями (2.14), в
которых роль коммутатора играет независимая физическая
постоянная. Никаких других приемлемых способов отображения
группы Галилея не существует, т. е. из нее вытекает в общем
случае квантовый характер физических случайных величин.
18
Класкичеокая система является при таком общем подходе
лишь\предельным случаем й=0. Этому случаю соответствует
предельное представление алгебры динамических переменных
в вида системы коммутирующих операторов, связанных тем
не менее с представлением генераторов группы Галилея
соотношением (2.13) благодаря тому, что последние в этом случае
представляются операторами с соотношениями (2.11) с
бесконечной константой \i=m/h.
Поскольку E/h согласно (2.13) есть оператор временного
сдвига, то для любой динамической переменной мы получаем
6А = (Т+ i-j 6t\ A (T+ t-j «Г\
т. е.
^-=±[Ё,А], (2.15)
Си П
где квадратные скобки обозначают коммутатор: [ЕА] =
=ЕА—АЁ. Уравнение (2.15) есть уравнение Гейзенберга,
лежащее в основании квантовой теории. Это уравнение
сохраняет свою силу и при аналогичном анализе
релятивистских систем, связанных с группой преобразований Лоренца
(эта группа, дополненная сдвигами и пространственными
поворотами, обычно называется группой Пуанкаре или
группой эйнштейновской относительности). Действительно,
энергия и в этом случае определяется как инвариант по
отношению к временному сдвигу и потому пропорциональна его
генератору, а отличие ее от нерелятивистского случая
заключается в релятивистском соотношении Е=с(р*+пг2с2)112
между энергией и импульсом свободной частицы.
Уравнение Гейзенберга в соответствии с приведенным
анализом для случая свободной частицы эквивалентно системе
классических уравнений Гамильтона для канонических
координат и импульсов:
dp д&С dq ЪЗС /о i а\
dt ~~ dq ' dt ~~ dp ' K '
где для случая свободной частицы гамильтониан Ш
совпадает с определенным выше оператором Е. Поскольку эта
эквивалентность связана с тем, что в силу трансляционного
смысла оператора импульса как сдвига по координате
коммутатор [р, .]/ih->—d/dqt[q, -]-иЭ/д/?, то эта
эквивалентность сохранится и для произвольных динамических систем
с гамильтонианом вида Ж —T(p) + U(q) [4]. Ограничиваясь
системами такого типа, мы можем резюмировать итоговый
результат: динамика как классических, так и квантовых
систем описывается классическими уравнениями Гамильтона;
отличие их заключается в коммутационных соотношениях
19
(2.14) для канонических импульсов и координат, в которых
Й=0 в классической теории и ее истинному значению в
квантовой. При этом в квантовой теории, благодаря НФО,
уравнение Гамильтона возможно заменить на эквивалентные
уравнения Гейзенберга, в то время как в силу вырожденности
коммутатора в классической теории этого сделать >
невозможно. /
Уравнение Гейзенберга {
^=±г1®Л] (2.17)
at n
допускает явное операторное решение в виде
A(t) = lTl(t)A(0)U(t), (2.18)
где U(t) —оператор временной эволюции:
[/(/)=ехр{--^$/}. (2.19)
Из (2.17) следует, что сохраняющиеся величины обязаны
коммутировать с оператором Гамильтона. В случае
свободной частицы это имеет место для операторов импульса и
углового момента; то же самое можно сказать'об операторах
суммарного импульса и углового момента
взаимодействующих частиц.
Таким образом, в результате проведенного анализа на
основе наиболее общих предположений о 'смысле уравнений
движений физических систем одновременно выявляется факт
совпадения классических и квантовых уравнений движения и
устанавливаются коммутационные соотношения (2.14) для
канонических операторов координат и импульсов. Последние
определяют вид операторов, соответствующих любым
динамическим переменным (для орбитальных степеней свободы),
поскольку эти операторы в силу единого характера
квантовой и классической.теории должны выражаться через
импульсы и координаты по известным классическим формулам,
если только при этом не возникает неоднозначности,
связанной с некоммутативностью. Способ представления операто- '
ров, отвечающий коммутационным соотношениям (2.14),
не единственен. Реально эта неоднозначность сводится к
выбору базиса в гильбертовом пространстве, описывающем
систему, что не влияет на вероятности событий, как это
уже указывалось в п. 2.1.
2.3. Классификация физических
явлений по степени близости к классическим. Полезно разделить
классы физических явлений по количественной роли
ненулевого значения А, т. е. по степени «квантовости».
20
1# Чис(го квантовые эффекты, отсутствующие полностью в
классическом пределе. Это эффекты, являющиеся: а) либо
просто^индикаторами факта ненулевого значения Л, но не
играющие обычно существенной роли, например
одновременная не^ределенность канонических импульсов и .координат
(которая в количественном выражении исчезает при
Й/(УдСТр<й1, где Од, ор — «приборные» ошибки неквантового
характера); существование внутреннего момента частиц
(обращающегося в нуль при Н-+-0); наличие минимальной
(кинетической энергии частицы при ее финитном движении
(следствие соотношения неопределенности Гейзенберга),
дискретность спектров энергии и т. д.; б) либо эффекты,
играющие существенную роль в макроскопическом
поведении вещества: сверхпроводимость, 'сверхтекучесть, магнетизм,
свойства вещества при .низких температурах.
2. Эффекты, имеющие место и ib классической теории, но
описываемые в количественно другом выражении. Это
спонтанное излучение атомов (в частности, его спектральный
состав), движение микрочастиц во внешних полях или без
них, некоторые свойства физического вакуума (некоторые,
например вакуумная энергия поля с нулевой массой,
отсутствуют в классическом пределе), реакция излучения и
связанный с ней импульс отдачи и т. д.
3. Классические эффекты. Это движение макроскопических
тел, излучение частиц в непрерывном спектре состояний при
малых импульсах отдачи, когерентное рассеяние атомов.
Смысл этой классификации в том, чтобы не
рассматривать на квантовом уровне то, что можно рассматривать
классически.
§ 3. КВАНТОВОЕ ОПИСАНИЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СИСТЕМ
3.1. Представление вторичного
квантования. Канонические операторы координат и импульсов
не являются наиболее удобными переменными при
исследовании воздействия на систему квазипериодичеоких
возмущений. Например, при воздействии на атом квазимонохромати-
ческого возмущения наиболее существенные изменения
происходят лишь в матричных элементах этих операторов,
соответствующих их проекциям на подпространство, образованное
собственными функциями энергетических состояний, для
'Переходов между которыми это возмущение является
резонансным. Удобно поэтому в качестве исходных операторов
выбрать операторы проектирования Pkt = ty/$t из одного
энергетического состояния на другое (не путать эти неэрми-
21
товы операторы с эрмитовыми операторами
обычного/проектирования на состояние t|> из Н вида Рф=фф+!). /
Произвольный оператор Л представляется в виде /
A = I$AklPkh J (3.1)
где Aki=tytAtyi —матричные элементы оператора в орто-
нормированном базисе функций ф*. В качестве последних
почти всегда удобно выбирать собственные функции
невозмущенного оператора энергаи; их следует брать в шредингеров-
ском представлении, т. е. эволюционирующими во времени
по закону ехр(—i$///i)\M0), где гамильтониан Ш учиты-
вает все взаимодействия и описывает реальную эволюцию.
В этом случае, как легко видеть, .матричные элементы
гейзенберговского оператора A (t) не будут зависеть от времени,
и в (3.1) гейзенберговская зависимость от времени полностью
переносится на операторы Phi(t), а Ам — стандартный для
каждого оператора на'бюр чисел. Например, для оператора
суммарного дипольного момента электронов атома d=—2eqn
матричные элементы можно рассматривать как некие
константы, содержащиеся в справочной литературе, они могут
быть рассчитаны теоретически; для сложных атомов или
молекул эти величины определяются в основном из
эксперимента.
Из методических соображений часто принято представлять
разложение (3.1) в виде двойного интегрирования по так
называемой «вторично квантованной», т. е. операторной,
волновой функции. Для этого вводится (это не единственный
способ изложения) в дополнение к реально существующим
состояниям системы еще одно состояние -фо, имеющее смысл
отсутствия системы вообще. Вводятся операторы
уничтожения k-го состояния ak = -ф<ф|": они переводят й-тое
состояние в a|)o, а остальные — в ноль-вектор. Соответственно (it =
==*М*>" есть операторы порождения k-того состояния:
Легко видеть, что
Pkl = 'atal (tytflhtf = *tfh-
Операторы dk удовлетворяют условию полноты 2а*"ал = /.
С помощью вторично квантованной волновой функции Ф(г, t) =
= 2 ak (t) г|>л (г, 0) (3.1) приводится к ©иду
Л (t) = 22 Akfitat = jJ V (г, *) A (r, г') $ (г', t) dVdV\ (3.2)
где А (г, f) — шредингеровские матричные элементы
оператора Л. Здесь Ф(г, 0 являются одновременно векторами, на
22
.которое действуют «первичные» операторы Л, и
операторами, «на которые переносится .с помощью (3.2) квантовая
специфика исходных операторов A(t). Имея это в виду, (3.2)
можно (записать сокращенно и безотносительно к способу
предст^вления первичного оператора А и волновой
функции Ф:
А$)=ф-Ц)АФ(1). (3.3)
3.2. Вторичное квантование систем
тождественных частиц. Изложенная схема вторичного
квантования произвольной системы вполне работоспособна и для
такого важного класса систем, как системы тождественных
частиц. Однако в таких системах исследуются реально не
операторы произвольного вида, а операторы, имеющие вид
аддитивной суммы по тождественным частицам:
А=£&»9 (3.4)
где AM —копии одного и того же оператора, относящиеся
к различным частицам. Согласно изложенной схеме можно
разложить оператор (3.4) по некоторому базису в
пространстве состояний рассматриваемой системы частиц и задавать его
набором соответствующих матричных элементов АКь и
операторов перехода а%аь- Если забыть пока о неразличимости
частиц, то в качестве такого базиса можно взять прямое
произведение
базисов, соответствующих каждой ц-й частице. Однако
произвольный перебор элементов этого базиса очень сложен, и
поэтому естественно упростить данную «схему, заранее учтя
«идентичность членов суммы в (3.4). Проще ©сего «сначала
рассматривать каждую ц-ю частицу как «независимую
систему, и уже к ней применить данную схему, представив
AM^AkflP+W, (3.5) -
где Am — матричный элемент перехода между /-м и k-м
состояниями одной любой (в силу тождественности) частицы,
а ajr^ar— оператор соответствующего перехода для одной
М--Й частицы (эти операторы идентичны по структуре, но
относятся к разным частицам, т. е. действуют в различных
копиях одночастичных пространств состояний). Подставляя
(3-5) © (3.4), получаем
я-ЕЛиЕЯГЯ". (з.б)
23
I
Таким образом, произвольный аддитивный оператор для
системы тождественных частиц выражается через 'сумму
произведений операторов уничтожения «каждой частицы в./-м
состоянии на оператор порождения этой же частицы в Лчм
состоянии.
Теперь учтем, что частицы неразличимы и операторы
Pkl == Va^a*/** действуют в пространстве состояний систе-
мы, в «которой перестановка частиц приводит «к физически
тождественному состоянию. В такой системе можно говорить
только об уничтожении или порождении любой, но не
фиксированной [1-й частицы. Операторы Рм и являются
операторами, уничтожающими любую частицу © &-м состоянии и
порождающими любую частицу в k-u состоянии.
Следовательно, они представимы в виде
, ?kl=Ztal9 (3.7)
так же как и рассматривавшиеся ранее операторы «перехода
Рм. Однако теперь этот переход комбинируется из перехода
с уничтожением любой частицы в /-.м состоянии,
описываемым оператором уничтожения частицы в этом состоянии, я
перехода с порождением любой частицы в &-м состоянии,
описываемом соответствующим оператором порождения
частицы at. С учетом (3.7), (3.6) мы видим, что формула
(3.1) сохраняет свой вид и для системы тождественных
частиц, однако теперь она выражается через операторы
(порождения ,и уничтожения не системы, а частиц:
£=£4*^. (3.8)
Аналогичным рассуждением «нетрудно показать, что если
оператор системы частиц описывается суммой двухчастичных
операторов
(такой вид, например, имеет энергия взаимодействующих
частиц), то он выражается через операторы порождения и
уничтожения частиц по формуле
A=YljYAkmln"tSt°lS»- (3'9)
kl mn
С помощью вторично «квантованной волновой функции
>(г,0 = £^(0^(г) (зло)
к
24
для одночастичных операторов (3.4) получаем для (3.8)
запись! аналогичную (3.3):
X(f) = f+(t)%l)V(t)9 (3.11)
где Л(1) — одночастичный «первичный» оператор, действующий
на V(0 как на «первичную» волновую функцию, т. е.
действующий на ее составляющие ^(г) в (3.10). Аналогично для
двухчастичных операторов вида (3.9) имеем
A(t) =±.Vt(t) ft(t)A™ Y,(0%(t). (3.12)
Здесь Фь 4^2 различаются «первичными» составляющими
фО), ^2)^ действующими в двух различных копиях
гильбертова пространства состояний одной частицы; двухчастичный
«первичный» оператор Я*1»2) действует независимо на каждую
из этих двух волновых функций. Аналогичные выражения
можно написать и для /г-частичных операторов.
Эти формулы широко используются в таких важных для
радиофизики частных случаях систем тождественных частиц,
какими являются электроны и электромагнитное поле,
представляемое, как это будет показано, жак система
тождественных частиц нулевой массы покоя — фотонов. В отношении
электронов, однако, следует оговориться, что в реальных в
настоящее время приложениях класс возможных переходов
ограничен переходами с сохранением общего числа
электронов; в этих случаях использование схемы вторичного
квантования для системы тождественных частиц не является
совершенно необходимым, хотя в некоторых подобных случаях,
например, в теории атомных спектров, она используется
благодаря определенным методическим удобствам [14].
Наибольшее же распространение «в методах квантовой
радиофизики имеет схема вторичного квантования произвольной
системы, поскольку наиболее распространенными являются
модели квантовых систем типа атома или молекулы,
описываемые небольшим числом выделенных состояний (два, три
или четыре) этой системы.
3.3. Представление Фока и
представление чисел заполнения. Для описания систем тождественных
частиц полезно введение некоторого явного представления
пространства возможных состояний такой системы. Введенный
в п. 3.2 базис функций фь не отвечает принципу
тождественности, так как этот базис содержит состояния,
отличающиеся перестановкой частиц, как различные. Необходимо в этом
базисе отождествить физические идентичные состояния,
различающиеся лишь перестановкой частиц. Для этого из
аргументов, описывающих состояние частиц, 'следует исключить
25
номера частиц, занимающих данные состояния. В результате
ее аргументами останутся только номера состояний и числа
частиц. При этом возможны два способа описания
'состояний, •носящих соответственно г названия представление
чисел заполнения и представление Фока.
В первом способе для каждого из «возможных состояний
частиц указывается последовательно число частиц,
находящихся в этом состоянии, и «волновая функция имеет «вид
У = у(пг,п%, ...,пЛ, ...), (3.13>
где пь — число заполнения £-го состояний.
Во втором способе в представлении Фока вначале
указывается полное число частиц я, а затем указываются
аргументы состояний для этих п частиц:
7 = ф(/г, fti, ... ,kn), n = 0, 1, 2
При этом для учета принципа физической тождественности W
должна быть симметрична или антисимметрична
относительно перестановок. Как известно из квантовой механики, «в
первом случае в любом состоянии может находиться любое
число частиц (так как при ki=kj волновая функция не
обращается в нуль), и частицы такого типа называются Бозе-час-
тицами (бозонами), а такая статистика частиц—статистикой
Бозе — Эйнштейна. Во втором случае обращения в нуль ф
дри ki=ky в каждом состоянии может находиться не более
одной частицы. Частицы такого типа называются Ферми-
частицами (фермионами), а их статистика—статистикой
Ферми — Дирака. При этом числа заполнения в
представлении чисел заполнения (3.13) равны либо нулю, либо
единице.
В представлении Фока удобно записать волновую
функцию в виде вектора, для которого полное число частиц играет
роль векторного индекса:
Т =
ipn(ki9... ,kn)
(3.14)
Функции фп удовлетворяют в зависимости от типа частиц
требуемому условию симметрии плюс условие нормировки:
ее
п=4 *i *Л
26
Каждое слагаемое в сумме по п в (3.15) есть
соответствующая вероятность нахождения системы в состоянии с полным
числом частиц п. Как нетрудно проследить, представление
фока имеет одно существенное техническое преимущество по
сравнению с представлением чисел заполнения: в (случае,
когда полное число частиц ограничено, хотя бы в
вероятностном смысле, можно ограничиться рассмотрением конечного
числа компонент (3.14), т. е. рассмотрением функций лишь
конечного числа переменных. В представлении же чисел
заполнения бесконечное число аргументов функции (3.13) не
может быть уменьшено, если возможны состояния с
любыми к. Если число состояний бесконечно, то даже для
конечного полного числа частиц аргументов будет бесконечно много.
Нетрудно видеть, что оператор уничтожения любой
частицы в состоянии k имеет в представлении Фока вид [15]:
в* =
о Vis*,*
о
^Ч(А*
о
о
О 0 /3(666)
(3.16)
К : : : : : : i
Множитель V п в ненулевых элементах связан с тем, что
уничтожается любая из имеющихся я_чаетиц, что и приводит
к увеличению волновой функции в Vn раз, а ее квадрата —
в п раз. Индексы, помеченные штрихами, обозначают
сопряженные к соответствующим нештрихованным индексам
индексы матричных элементов матрицы ak: (kX9 ... , kn\ ku • • • »
kn), что аналогично паре (ij) индексов двухиндексной
матрицы Aij. Оператор а£ получается транспонированием
(3.16). Операторы уничтожения и порождения для бозонов
и фермионов получаются проектированием оператора
уничтожения (3.16) и сопряженного оператора на пространство
симметричных и антисимметричных волновых функций
соответственно:
Z* = PsZkPs, atB = PsatPs; (3.17)
ZPk=P*ZkP*, ZtP = P*atP*. (3.18)
С помощью (3.17), (3.18) и (3.16) нетрудно получить
правила коммутации для этих операторов:
[а£, £f] = [ajj\ atB]=Oty (3.19)
[af, atB] = bhl; (3.20)
[al tf]+ = [aV, afFh = 0,
[#, ZtF]=6kl.
(3.21)
(3.22)
27
Здесь [•]+ обозначает антикоммутатор: [Л, В]+=АВ+ВА.
Таким образом, операторы уничтожения частиц для случая
бозонов коммутируют между собой, как и операторы
порождения, а их совместный коммутатор есть единичная матрица.
Для Ферми-частиц единственным изменением в правилах
коммутации является замена, коммутаторов
антикоммутаторами. Соотношения (3.19)—(3.22) называются
каноническими соотношениями коммутации для бозонов и фермионов
соответственно.
Приведенные коммутационные соотношения могут быть
использованы как исходные для определения явных
представлений операторов порождения и уничтожения. Для
операторов Бозе-частиц, учитывая их коммутативность для различных
состояний k, мы получаем, что они должны описываться
операторами, действующими независимо в эквивалентных
гильбертовых пространствах, описывающих числа заполнения
каждого состояния. При этом каждый из операторов
должен в своем пространстве иметь стандартный (вид, известный
из теории гармонического осциллятора:
/о VI о_ о . . . \
- /О О V2 0_ . . . I
loo о 1/з... г
\: : : : : : : /
Операторы atB описываются транспонированными
матрицами.
С операторами Ферми-частиц познакомимся на двух
простых частных случаях, когда система описывается лишь одним
или двумя возможными возбужденными состояниями. В
первом случае базис образуют состояния ty0 = (A), ^ = (i)»
первое из которых есть вакуумное состояние без квантов,.
второе — состояние с одним квантом (частицей). Операторы
уничтожения и /порождения имеют вид
°-(™И+=(?2)' <"*
который, как легко проверить, удовлетворяет правилам
(3.21), (3.22).
Обратим внимание на то, что, хотя частица может иметь
всего лишь одно состояние, возможных состояний здесь два,
поскольку возможно также и отсутствие частицы; таким
образом, возможна нетривиальная эволюция. Совсем другая
ситуация возникает, если мы рассматриваем атом, заведомо
находящийся в одном только состоянии, ©водя операторы
порождения и уничтожения этого состояния. Тогда эти
операторы можно представить также в виде (3.23), но поскольку
28
Ф теперь не имеет омысл физически реализуемого «события,
то единственная наблюдаемая величина d+d, .имеющая вид
/О 0\ ^ Н€ является случайной величиной в физическом
подпространстве -ф1: она равна в нем тождественно единице, что
я требовалось но имеющему место в ^силу определения этих
операторов условию нормировки 2а£ал = ? в фиаичеоком
подпространстве состояний {г|)л, ИФО}.
Для Ферми-операторов в случае двух возможных
состояний -частицы имеем четыре различных состояния:
® I—вакуум, t|>i = I I | — частица в 1-м состоянии,
,0/ \0
Ь =
У» —
— частица во 2-м .., _
состоянии,
Ъ = \
0 1 — по частице в
0 I каждом состоянии.
Операторы порождения и уничтожения имеют вид:
0 10 0\ /00 1 0>
000 0\ - _/ 0001
0 0 0 —1 Г °а ~ I 0 0 0 0
,000 0/ \0000>
Ог =
tt-l
00
1 0
00
.00
00'
00
00
-1 0>
а?
0000>
0000
1 000
О 1 0 0,
При этом операторы числа частиц в каждом состоянии
н оператор суммарного числа частиц даются матрицами
0000-
0 1 00
0000
.000 1
Л1 >*.
aja% =
0000>
0000
00 10
,000 1
Й
= аТаг +а?а2=\
0000>
0 1 00
00 10
,0002,
Нетрудно, применив все эти матрицы к набору возможных
состояний, убедиться, что они обладают свойствами, дейст-
вительно соответствующими их названиям. В процессе
динамической эволюции эти операторы могут изменяться, но
только так, что всегда выбором подходящего базиса их «можно
привести «к описанному виду.
29
Операторы же порождения и уничтожения состояний
двухуровневой системы (в частности, двухуровневого атома)
можно представить матрицами
/О 0 1\ /0 0_0>
i2 = I О О О J, afat = I 0 jO~l
\0 О О/ \0 |0 0)
/О 0 0\ /°'_0_?.
atat = I 010 О I, atat + atch = ( 0 |l О
\0|10/ \0J0 1,
^ ^ч -4- л хч4- Л"
ахаг =а2а\ = 0;
пунктир отделяет подматрицы, соответствующие
подпространству реальных состояний системы. Физический «смысл здесь
имеют лишь билинейные нормально упорядоченные
квадратичные формы, к которым с помощью соотношения
сводятся представления любых операторов. Это соотношение
справедливо по одределению йъ. для произвольного
количества операторов порождения и уничтожения состояний. Для
операторов же Ферми это будет справедливо, лишь если
спроектировать их на подпространстве, образованном
только • одночастичными состояниями и вакуумом; это
соотношение выражает тот факт, что для того, чтобы уничтожить
частицу (или систему) в данном состоянии, необходимо
сначала ее создать.
3.4. Описание процессов релаксации
и квантовые марковские процессы. В реальных физических
условиях почти исключительно мы встречаемся с ситуацией
такого типа: непосредственно интересующая нас система
динамических переменных взаимодействует с системой
значительно более сложного вида, динамика которой интересует
нас лишь в той мере, в которой она влияет на основную
систему. В квантовой радиофизике такой системой является атом
или молекула, в простейшем случае взаимодействующие с
электромагнитным полем, а в более сложном — также и с
другими атомами или молекулами посредством контактного
взаимодействия, имеющего обменную 'природу. В таких
случаях стандартным способом описания временной эволюции
является представление взаимодействия, в котором
выделяется часть эволюции, соответствующая невозмущенному движе-
30
нию. Динамика только выделенных переменных описывается
оператором [2]
V (*„ t) = Ua (/„ t) Техр {- -L J §ti (s) dsj, (3.24)
и
где Ua описывает невозмущенное движение выделенной сиете-
11Ы, ffii—оператор •взаимодействия, Т — символ временного
упорядочения операторов.
Важные упрощения © статистическом описании возникают
в том случае, когда существует момент U (хотя бы
бесконечно удаленный), для которого состояние совокупной системы
описывается матрицей плотности вида ра®р/э т. е.
исследуемая подсистема а и возмущающая jF независимы. В квантовой
теории взаимодействующих полей такое предположение
является традиционным: взаимодействие «включается» при
t0=—оо.
Приняв такое предположение, получаем правило
усреднения Т-упорядоченных функций операторов Ап (tn),..., At (h):
<т/(ля(д,...Дх(Ш =
= TrpSrt(^ 'i. ... ,Ш&* ••• Л). (3.25)
Здесь An,...,At — набор коммутирующих операторов вида
£*('„) ® ?®[... ® А ... , Г® ... ®?® Ах (t0),
получаемых из начального «вида рассматриваемых операторов
путем введения п их представлений в Жп)=#а®...® #а,
скомбинированном из неза1висимых копий исходного
пространства На\ оператор же Sn здесь оператор принципиально
иного типа, чем те, которые рассматриваются в обычной
квантовой теории, описывающей замкнутые системы. Это
оператор л-мерного условного распределения вероятностей
для An(tn), .:,An(tt). Он является оператором не©
пространстве состояний системы Яа, а в пространстве Ln
операторов в #<п); он переводит операторы /eLn в операторы AeLi,
т. е. в обычные операторы рассматриваемой системы
согласно правилу
s^® • • • ® и) = <^ЧЛ) Д, х
X V (*„-i, tn) Вь-t...V (tl912) BXV (t09 tx))f. (3.26)
Символ < >y обозначает усреднение «по возмущающей сис-
^вме, в результате которого получается оператор
рассматриваемой системы.
Это определение распространяется по линейности и на
любые операторы из Ln. Операторы Sn, как и обычные опе-
31
раторы в #(п), могут быть описаны матрицами, но эти
матрицы применяются уже не к набору компонент волновой
функции, а к набору матричных операторов f^Ln\ число
которых равно квадрату числа компонент волновой функции.
Таким образом, S — операторы значительно сложнее
обычных, например, унитарных операторов, описывающих
эволюцию замкнутых систем. Как нетрудно понять на основании
(3.26), в частном случае детерминированного л-мерного
условного распределения вероятностей операторы Sn имеют
вид
где UhiUim=Ukm, а знак О означает, что при применении
этого оператора к базисным операторам вида Вп ®...® В\
из Ln следует вместо каждого О поставить соответствующий
оператор В*. Каждому унитарному оператору U в
классическом случае соответствует детерминированное
преобразование, описываемое <6-функциями.
В результате усреднения О/ по возмущающей системе
описываемая (4.9) эволюция приобретает необратимый
характер: обратимы лишь состояния совокупной системы, а
усреднение О/ приводит к потере .информации о
совокупном состоянии, заменяя ее соответствующей статистической
неопределенностью в рассматриваемой подсистеме. В
типичных случаях это приводит к релаксации системы к
некоторому стационарному состоянию. К сожалению, в случае
произвольного характера возмущения как в (квантовом, так и в
класоическом случае отсутствуют какие-либо регулярные
методы практических расчетов: исключение составляют
случаи гауссовекой или марковской эволюции. В квантовом
варианте система гауссовоких условных распределений,
аналогичных классической системе р(х/+г|*о)> в литературе не
рассматривалась. Однако в этом случае ©се интересующие
величины могут быть получены без использования этих
понятий на основе просто совместной матрицы плотности, т. е.
явное описание S-операторов для данного случая
представляет лишь методический интерес. Самостоятельное значение
имеет практически важный случай .марковокой эволюции.
Определение марковского процесса в квантовом случае,
разумеется, в данном изложении точно такое же, как и в
класоическом. Квантовый случайный процесс, описываемый
семейством условных распределений Sn, называется
марковским, если
Sn(t0; tl9...,tH)=S(t0, tx)*S(tl9t2)* ... •S(4-ii У, (3.27)
где S(1) * ... *S(n) фп<g>...® Ъх) = S(1) (S(2> (... (S(rt)Bn) B^x) ...)-
суперпозиция переходных распределений вероятностей Si<fe) —
32
аналог p(xt\x0)p(x2\Xi) ...p(jcn|*n-i). Операторы (3.26) для
реальных физичеоких систем обладают этим «свойством в
случае, если возмущение 3£/ (0> рассматриваемое «как
«случайный оператор исследуемой подсистемы, для моментов
времени tp t+A, различающихся на времена, значительно меньшие
характерных времен эволюции, описывается независимыми
операторами. В области квантовой радиофизики в анализ
таких систем определяющий вклад был внесен М. Лэксом
[16]. Обзор наиболее общих «математических результатов в
этом направлении содержится в [17].
Поскольку оператор перехода 5 (/о, t) на основе
'соотношения (3.27) может быть представлен «как свертка
операторов S(t0, /—A), S(t^rAy t), то для него нетрудно получить
квантовое.уравнение Фоккера — Планка:
-|-5(/0,/) = S(/0,/)^(0, (3.2Г)
ддс W(t)—инфинитезимальный оператор перехода
(обобщенный лиувиллиан):
W (/) = lim — [S (t — A, /)—/]; (3.28)
д-»о А
/ — -единичный оператор в «пространстве Lu а произведение
© (3.27') есть обычное операторное произведение, но только
операторов, действующих в Lt. Из (3.27') умножением «слева
на начальную матрицу плотности р с учетом pS=p(/)
следует уравнение для матрицы плотности:
-£- = р W. (3.29)
Уравнения (3.27х), (3.29) разрешаются с помощью
стандартной формы марковского оператора перехода
S (A, t2) = Г"1 ехр {jV (s) ds}. (3.30)
Для случая «диффузионного» процесса, для которого в
(3.28) существенны лишь члены до второго порядка в
разложении по А, получаем
W = W0 + T, (3-31)
где
^о = ^ №а + <$/>,) О / - Г© {$ а + <$/>,)] (3.32)
описывает систематический снос (он представляет
обычный коммутатор); Г описывает квантовый диффузионный
2 В. д. Гришании 33
оператор:
/+А t
- j Г (^/^0 Г+ TQWiMi) dsds'\ (3.33)
f s
: Уравнения (3.27), (3.29) с инфинитезимальным
оператором эволюции (иначе — «кинетический» оператор) вида (3.31)
'являются квантовой формой диффузионного уравнения Фок-
кера — Планка. При этом (3.27) или эквивалентная
операторная форма решения (3.30) дают полное описание
эволюции, (поскольку любое «совместное распределение Т-уггорядо-
, ченных выражений от операторов рассматриваемой системы
определяется переходными распределениями S=$\. В случае
•системы с л. возможными состояниями эти распределения,
как^уж-е указывалось, описываются л2Хл2-матрицами. Для
представляющего наибольший (практический «интерес
(вследствие возможности «полного аналитического исследования)
случая двухуровневой системы мы имеем 4Х4-матрицы, что
позволяет обходиться даже без привлечения компьютеров. Мы
выполним на основании развитых методов полный анализ
динамики двухуровневого атома в вакууме, когда рель
возмущающей системы играет электромагнитное поле вакуума; это
исследование дает исчерпывающий ответ на .первые два
вопроса, поставленные в § 1. Изложенный аппарат наиболее
экономным образом «суммирует современную технику анализа
квантовых марковских систем, применяемую в квантовой
радиофизике (см., например, [18]), и дает адекватное
поставленным задачам изложение ряда центральных
результатов квантовой электродинамики.
§ 4. МЕТОД УПОРЯДОЧЕННЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ОПЕРАТОРНЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ И КВАНТОВЫХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
4.1. Основные принципы
упорядочения. Изложенная в п. 3.1 техника вторичного квантования
делает акцент на диокретности состояний произвольной
системы в случае операторов порождения — уничтожения
произвольной системы или частиц в случае операторов
порождения — уничтожения тождественных частиц. В тех «случаях,
когда эта дискретность несущественна и необходимо единым
образом рассматривать как существенно квантованные, так
34
и предельные квазиклассические состояния, наиболее
подходящим является более явное использование операторных
выражений, «представляющих различные динамические
переменные системы. Этр, например, относится к случаю атома в
яерезонансном электромагнитном поле, когда его поведение
существенно определяется состояниями как дискретного, так
и непрерывного спектра энерши; это относится и к случаю
такой основной для квантовой радиофизики системы, как
электромагнитное поле, которое одновременно может
находиться и в существенно квантовых, и в чисто клаосичеоких
состояниях. Наиболее естественным является в таких случаях
представление операторов в виде явных выражений через
некоторые канонические, имеющие классический аналог.
Такими каноническими операторами являются, в частности,
операторы обобщенных импульсов и координат:
[qkt Я =i%bkl. (4Л)
В качестве канонических операторов могут попользоваться
и операторы порождения и уничтожения квантов
осцилляторов, описываемые коммутационными соотношениями Бозе —
Эйнштейна (3.19), (3.20). Как известно из теории
гармонического осциллятора, эти операторы могут быть построены из
cjk, рн как линейные комбинации
£ • Jfc + ipklm со ~+ qk — iPklm® (L 9v
я*— r —> ak . —, г*-*/
/2А/тсо ]/2Л/тсо
где т, со обозна!чают соответственно.массу и частоту данного
осциллятора. Для анализа общих свойств операторных
выражений, определяемых лишь коммутационными свойствами
операторовak, at, значения величин т, со несущественны.
Если мы имеем операторное выражение, содержащее лишь
коммутирующие переменные, то ©таком выражении можно
совершать без его изменения ©се тождественные
преобразования, что и в случае числовых выражений. При наличии же
некоммутативности появляется принципиальное различие:
например, АВ — это совсем не то же, что ВА или (АВ+ВА)/2.
Из-за этого в квантовом случае нет возможности
универсальным образом определить понятие функции от нескольких не-
коммутирующих переменных: кроме задания классического
вВДа функции необходимо задать еще принцип упорядочения,
т- е. расположения операторов в алгебраическом выражении,
уписывающем данную функцию. Если же рассматриваемая
Функция нескольких переменных представляет собой
функцию от одной переменной, являющейся алгебраическим
выражением с несколькими переменными, например ехр (Л+В),
г° такая функция определена однозначно своей записью, ука-
2*
35
зывающей естественный порядок вычислений. Тем не менее
можно «ввести символ нового упорядочения, наличие которого
перед функцией будет указывать необходимость построения
нового, в случае коммутативности эквивалентного,
алгебраического выражения с соответствующим ' данному принципу
порядком действия операторов. Например,
во
Рппехр(ЛВ) = V -1-(ЛавЛ"У.
Этот пример, однако, преднамеренно выбран
искусственным. Реально же используются три описываемых ниже
принципа упорядочения [б].
1. Нормальное упорядочение обозначается символом ЛР
или заключением операторного выражения в двоеточия —
:Ф(ЛЬ ...):. Он заключается в представлении операторов
Ль ..., через операторы порождения и уничтожения и в раз*
ложении Тейлора получившейся функции и перестановке
всех операторов уничтожения правее операторов порождения.
Пример.
Л*ехр(*3+-*'а)= J>li^(|z|^S+«^) =
= exp (za+) ехр (— г*а).
Упражнения. Доказать:
1) Л*ехр(*а+— **a) = exp(J^)exp(za+ — г*a). (4.3)
(Указание: использовать формулу Бейкера — Хаусдорфа
для операторов с числовым коммутатором ехр (А+В) =
=ехр (1/2 [Л, 5}) ехр (Л) -ехр (В).)
2) Л*ехр(— а+а) = Р0, (4.4)
где Ро — проектор на вакуумное состояние тро,
соответствующее отсутствию квантов: <$+<Ji|)o=<ii|)o=0. (Указание:
воспользоваться разложением Тейлора и d+4-базисом.)
2. Антинормальное упорядочение обозначается символом
Л и отличается от JV* обратным порядком операторов.
3. Вигнеровское упорядочение [19]. обозначается (иногда)
символом W и определяется по отношению к функциям,
выраженным через набор операторов с числовыми
коммутаторами, в частности через /канонические операторы и импульсы;
»но заключается в сим1метрично1М по отношению к
перестановкам любой пары операторов в определении их
произведений.
36
Приме р: W q2p= (q2p + qpq+pq2)/3.
Поскольку канонические переменные, соответствующие
различным степеням свободы, коммутируют, то «в определении
принципа упорядочения достаточно задать правило
упорядочения канонических переменных для одной /степени свободы;
упорядочения различных пар канонических неком;мутирующих
переменных выполняются независимо. Поэтому дальнейшее
описание целесообразно производить лишь для одной степени
свободы.
Мы описали три основных принципа упорядочения путем
задания их для одночленов, использовав то обстоятельство,
что любая кусочно-непрерывная функция в конечном счете
может быть сведена «к одночленам, которые образуют базис
алгебры операторов. Интересно и полезно для применений
выяснить, как выглядят описанные принципы для другого,
более удобного для использования, базиса 6-функций б (Л—я,
Ъ—Ь), соответствующих всевозможным а, Ь из (—оо, +оо),
где А и В обозначают нормированные операторы
канонических координаты и импульса: А=(й+й+)/У2, 5=—i(a—
—d+)/K2, так что [Л, B]=L Тогда упорядочение любой
функции выполняется с помощью соотношения
Prin/(£, В) = J j /(а, Ь)Ргт6(А — а, B — b)dadb. (4.5)
Для выяснения правила упорядочения 6-функции ее следует
представить в виде формального разложения через
одночлены по формуле
•foo оо
—оо m=0
получаемой разложением в ряд Тейлора экспоненты в Фуцье-
представлении 6-функции; формальный характер этого ряда
яе является препятствием для установления принципа
упорядочения, поскольку он правильно отображает роль иереста-
■новок операторов, подставляемых ©место дс, t/, в операторной
формуле (4.5). При полностью симметричной расстановке
операторов в одночленах, как легко видеть из этого
разложения, мы не получим ничего нового, а прямо фигурирующие
в этом разложении выражения [Ы\(А—а)-\-Ыъ(В—Ь)]т.
Поэтому, просум!мировав этот ряд в обратном порядке, мы
получаем определение вигнеровского (симметризационного)
Упорядочения в виде
+ 00
W6(A-at 5_6)=_1_||ехр[/х1(Л-а) f
—о*
+ i xa (В — Ь)] d%x dxa. (4.6)
37
Используя Фурье-представление б-функции и
соотношение типа (4.3), нетрудно получить связь нормального ;и виг-
неровского упорядочений в виде (предлагается проделать как
упражнение)
1 / га» а» \
Jlftb(A — a, В — Ь) =е2'^ ^/^б(Л —а, В — Ь).
(4.7)
Одно из употреблений рассмотренных способов
упорядочения состоит в том, чтобы с их помощью вычислить след
операторных выражений. Нетрудно доказать следующие
правила:
ТгЛ®/(а+, a)JLg(af а+) = "^ jj/(«*> «)*(<*> aV2a; (4-8)
W/(£ p)Wg(q, p) = -^Jj/07. Р)ё(Я> P)dqdp. (4.9)
Таким образом, использование упорядоченных выражений
сводит вычисление «следа к классической операции
интегрирования. Вычисление же следа1—необходимая квантовомехани-
ческая операция при расчете наблюдаемых свойств квантовых
систем: вероятностей различных квантовых событий и средних
динамических переменных.
Нормальное упорядочение операторных выражений,
описывающих динамические переменные, наиболее удобно для
состояний, для которых матрица плотности легко
представляется в антинормально упорядоченном виде. Важнейшим
примером таких состояний являются когерентные состояния
[20] —чистые состояния, описываемые волновыми
функциями вида i/(2)\j)0, где г|?о — вакуумное состояние
осциллятора, U(г)—оператор сдвига й-+й+г, добавляющий к
нормированным импульсу и координате классические добавки
1/2 Imz*, V2 Rez* соответственно; этот оператор имеет
вид
U (z) = exp (za+ — г* а) (4.10)
(доказать разложением его в ряд Тейлора). Матрица
плотности когерентного состояния есть проектор 7>o(z) = £/(z)t|x>,
i|>o+£/+ (z) = |z><z|. Вычисляя след
TrJtftf(2+,Z)P0(z) = {z\JPf(a+~a)\z),
получаем просто f(z*, z). Если матрица плотности
представлена в диагональном (глауберовском) представлении, т. е.
в виде
P = $p(z)?0(z)yz, (4.11)
38
то для средних будем иметь
Тг .#• /;(£+-, а) р = j / (2-, z) p (з) Л. (4.12)
Сопоставляя (4.12), (4.11) с правилом усреднения (4.8), мы
приходим к «выводу, что (4.11) есть антинормально
упорядоченное выражение, т. е.
-^-Р0(г)=<Лб{2-У2Кег*, B-V^lmz0). (4.13)
Таким образом, проекторы на когерентные состояния и
образуют базисный набор антинормально упорядоченных б-функ-
ций (при этом следует еще учесть свойство полноты
проекторов Ро, т. е. тождество fPod2z/n =7). Весовая функция р (г)
интерпретируется часто как квантовый аналог совместного
распределения вероятностей для Л и В. Однако она не
обязательно положительна. В действительности же распределением
вероятностей, соответствующим упорядочению Prin, является
распределение
-pPrin(*)=2TrpPrin6(3 — /2"Re*', В — yTSm**),
получаемое усреднением упорядоченного индикатора Prin6(«)
элементарного события
Й/1/Т = Re г\ В/]/2 Sm г\
Поскольку глауберовокому представлению соответствует
Prin=o#, то распределением вероятностей «по Глауберу»
логично считать
А*(2)=2Тгрс/£б(Я — /2"Rez', В — /2~Sm**) =
= Тгр?0(г)/я.
Это распределение обладает всеми обычными .свойствами
ВДаосического распределения вероятностей. Как легко
убедиться подстановкой в р<*(г) представления (4.11), p*(z)
связано с p(z) сглаживанием с весовой функцией
«хр (—\z—z'\2)t что «и обеспечивает компенсацию
неположительных значений. Сама же функция Глаубера р(г)9 как
легко видеть, 'совпадает «с
р^(г) =2ТгрЛ*6(Я-1/2";Л B-j/2V) =
= jTr^6(.)p(i)c^6(.)dI=p(z)
(учтено правило (4.8)). Таким образом, «наилучшим» из
классических распределений вероятностей для иекоммутирую-
*Дих квантовых канонических переменных является p<a{z).
39
Оно положительно и не имеет сингулярностей. «Наихудшим»
является pjr(z)—p(z): оно не положительно' и может иметь
сингулярности. Вигнеровокая плотность занимает
промежуточное положение.
Описанные методы расчета средних с «помощью глауберов-
окого представления и нормального упорядочения являются
теперь традиционными для «квантовой радиофизики благодаря
работам Глаубера, Сударшана, Луиселла. Тем не менее с
равным уопехом можно использовать и вигаеровское
представление матрицы плотности. На основании правила (4.9)
легко показать, что ее можно записать через вигнеровокую
плотность вероятности
РТГ(Ч, P)=Trp<W6(q-q, р-'р) (АЛА)
в виде выражения
p = 2nfi(Wpcfp(q9p). (4.15)
Его удобство в том, что матрица плотности гауссовокого
.распределения «квантового набора Х= (Хи ..., Хп) имеет
«классический» вид многомерного гауссовского распределения:
~ J |det(2*C)|*/2 cjyexv{_^_x)riri {Я-Х)/2}9 (4.16)
[det(2rt/()]l/2 '
где К и С — корреляционная и коммутационная матрицы, и
X—вектор средних значений. Существенно то, что
когерентные состояния также описываются формулой (4.16) в пределе
К—|С|/2->0, описывающем смещенный вакуум (ср. с
неравенством (2.8)).
Упражнения.
1) Вывести распределение числа (квантов.
Р(л) = 4г№ехр(Нг|а) (4Л7)
для когерентного состояния |z>. (Указание: в выражении
P(n) = \<n\z>\2представить |з> в виде £/(г)|0>, где
U(z) —оператор (3.26) в форме, даваемой (3.19); разложить
его в ряд Тейлора, отбросить все операторы уничтожения и
учесть, что (й+)п\0>=(п\)Ч2\п> (свойство операторов
порождения, порождающих один «квант каждый).)
2) Вывести распределение числа квантов для теплового
состояния р=ехр{Г(р)— рйсо (Й+Й+1/2)} (Г —
нормировочная константа), воспользовавшись л-представлеиием (/Г=
=й+й). Вычислить л и выразить Р(п) через Ъ.
3) Рассчитать среднее число квантов, соответствующее
распределению (4.17) и выразить \z\2 через п в (4.17).
Объяснить физический смысл | z |2.
40
4) Доказать, что для гаусоовской матрицы плотности,
представленной ib виде
p = exp(r-XrQ£) (4.18)
(Х=0), корреляционная матрица задается выражением
/С = — CcthQC (4.19)
(С = [X, %т], а нормировочная постоянная имеет вид
Г-— Trln|2sh(QC)|. (4.20)
(Указание. Исходя из выражения^С= (1/2) Тг (Хр+рХ)Хт
поинтересоваться, как связаны Тр м'рХ. Для этого
«рассмотреть выражение рЛр-1, которое сводится к линейной
комбинации X «в силу (квадратичности .показателя .преобразования
(удобно ввести в показатель (параметр и составить для
искомого выражения ^дифференциальное уравнение). Получив «
соотношдаие^ ^p=exp(2CQ)pX, выразить К через С=
=Тт(р)£—Хр)Хт. Для доказательства (4.20) проверить
соотношение К=—dT/dQ (дифференцирование .скаляра по
матрице есть матрица Кц с элементами дГ/dQji).)
5) Доказать
—^-Trexp(txr^=det|2nC|-1/26(x),
(Указание. Добавить в показатель экспоненты
квадратичную форму по X, привести результирующую квадратичную
форму к полному квадрату, воспользоваться результатами
упражнения 4) и перейти к пределу нулевой добавки,
дающему требуемое выражение.)
6) Вычислить характеристическую функцию гауосовского
распределения
в(/х)=Тгехр(/хг^)р = ехр { -хг#х f iктх\.
7) Доказать на основе упражнения 5) соотношение
p = (2n)-*det|2nC|1/2 j0(fx)exp(— 1у?Х)<1к.
8) Исходя из упражнения 7) доказать справедливость виг-
Неровакого представления (4.16). (Указание: учесть, что
е)Ф(*х^=«Гехр(*хтХ), а под знаком упорядочения
интегрирование выполняется по классическим формулам.)
41
9) Доказать вигнеровокое представление
1г>(г|=2^ехр{—[(Я-yTReO1 + (5-/2" 1тг*)2]}.
(4.21)
(Указание. Использовать тот факт, что |0><0| есть
предел гауссовской матрицы плотности р=ехр [Г (р) —рй+й]
при $=h(d/kT-*oo (метод нулевой температуры).)
10) Вывести формулу Вигаера, т. е. вычислить вигнеров-
скую плотность вероятности (4.14) для матрицы плотности
чистого состояния p=*M)+, где t|)=*|)(*) в ^-представлении.
4.2. Квантовая динамика в
представлении Вигнера. Пусть канонические переменные есть
операторы Xi, /=l, 2,..., 2г, где г—число степеней свободы
системы. Полный их набор обозначим вектором Хт= (Xi9..., Х^)
либо транспонированным «вектором-столбцом. Тогда введя на
основе (4.5) на рассматриваемом множестве операторов сис-
t темы базис
И*)>=А6(Х-Х), (4.22)
где о?*1 обозначает некоторый • принцип упорядочения, мы
можем отображать любой оператор соответствующей
неоператорной функцией f*t (X):
*in$=$fa(X)\e(X))dX.- (4.23)
В этой записи подразумевается, что каждый оператор вида
&*i f(X), т. е., грубо говоря, любой оператор, есть некий
«вектор f=|/> линейного пространства, образованного
операторами системы. Следует оговориться, что в общем случае
соответствующая функция f&t(X) может не существовать в
кла'осе кусочно-непрерывных функций, однако, исходя из
накопленного при применении данного метода практического
опыта, можно © физических исследованиях предполагать, что
существует по крайней мере .соответствующая обобщенная
функция.
Введение базиса (4.22) для операторов, описывающих
динамические переменные, не препятствует для описания
возможных состояний системы ввести «свой базис для матриц
плотности:
</(Х)| = Л'^а6(Я-Х), (4.22а)
где А=2яА, a hr ©ведено с целью сделать базис
безразмерным. Благодаря безразмерное™ этого базиса функция
р*л(Х)9 представляющая .матрицу плотности ib «соответствии
с формулой разложения V
p = {p\=fpK(X)(f(X)\dX, (4.24)
будет иметь размерность плотности вероятности.
Соответственно в случае, когда квантовый характер состояния
становится несущественным, р*ш(Х) будет описывать
классическую плотность распределения вероятностей, если только
упорядочения oPi и <SPa согласованы таким образом, чтобы
(f(X)\e(Y))=hr7rF16(Z-Y)F2&(%-X) = 6(X-Y).
(4.25)
Это условие выполняется для &г =^3=^; данное
утверждение является следствием (4.9). Случай $*X = JP, ^^=Ji
отличается константой 2я от (4.25), что вытекает из (4.11),
(4.13), (4,8). Таким образом, в вигаеровском базисе
физические переменные и матрица плотности описываются
соответственно классическими функциями, имеющими с учетом
(4.25) вид
fw(X)=hrTrj6(X-X)f (4.26)
рсщ> (X) = Тг р б (Я — X). (4.27)
При этом
<7> = Tr?p = J /у (X) pw (X) dX. (4.28)
Использование этого базиса либо альтернативного базиса с
<№%А упорядочением [20] позволяет производить анализ
таких систем,, как электромагнитное поле в резонаторе
лазера, в классических терминах. Этим же методом можно
анализировать любые системы, помня только о том, что в
существенно квантовых ситуациях нет оснований ожидать,
что ©игнеровокая ллотность рсу* будет обладать такими
обычными для классической вероятности свойствами, как
положительность.
Квантовый характер системы при оперировании с вигне-
ровски упорядоченными выражениями проявляется в правиле
слияния вигнеровски упорядоченных операторных выражений
(fg)<fP = |>х,а/ах/^ (* + \с^г)] 8^{Х). (4.29)
Здесь (Л) ^обозначает функцию, соответствующую
оператору Л в представлении Вигнера; С — коммутационная
матрица канонических переменных X; *••>-.,: обозначает уиго*
Рядочение, при котором все операторы d/dXi действуют
раньше умножения на Xi. Это выражение показывает, что в
данном методе некоммутативность операторов 7[{ между
собой отображается некоммутативностью классических
фазовых переменных X с соответствующими операторами
дифференцирования д/дХ по фазовым переменным. Эквивалентное
представление (4.29) имеет вид
<?*)*=[«*•*.»/***» (х~тс-я?)] fwW- (4-3°)
Ряд других эквивалентных записей может быть получен с
использованием формул
^x,wf(x ±icJLr) =.#w/ (x*±c-±r) =
=^/(*±тс1зИ- (4,31)
[{х*тс-яг)- {x-ici*r)T}=0> <4-32>
где ^ обозначает вигнеровское упорядочение операторов X,
д/дХ. Все эти формулы довольно легко получаются «с
использованием представления вигнеровского упорядочения в виде
(4.6) и формулы Бейкера — Хаусдорфа, определяющей
правило слияния экспонент (доказательство этих формул
полезно проделать как упражнение, дополняющее
рекомендованные выше).
Теперь нетрудно написать уравнение эволюции, которому
будет подчиняться вигнеровское представление оператора 7
в динамической системе (замкнутой) с гамильтонианом §t.
На основании уравнения Гейзенберга (2.17) и с
использованием правила слияния (4.29) и соотношения (4.30) получаем
-*т(х-.Тс'м»-)]}'1Г<*/>- (4'33)
Таким образом, мы получаем описание эволюции в
фазовом пространстве, как и © классической теории. Отличие
заключается в виде эволюционного оператора в фигурных
скобках, в общем случае зависящего от постоянной Планка. Если
разложить этот оператор по степеням C=ihC0t мы получим
1*. = ±**L с.**.+о (л- -^ЗГ ) fw (4.34)
dt дХ ° дХт V ЭХ* ) 'W' V '
Первый член «в этом выражении, как легко убедиться,
например, <в частном случае системы с одной степенью свободы есть
44
классическая скобка ПуасЬша, поскольку Со есть просто
матрица вида х
(? ~о)\
соответствующая которой квадратична^форма и дает
классическую скобку Пуассона {Stfwfw}- Остаточный член,
приведенный в (4.34) в сокращенном виде, имеет по ft второй
порядок малости, причем соответствующий безразмерный
параметр определяется ангармоничностью системы, т. е.
кубическим членом разложения гамильтониана по
каноническим переменным. Это свойство является привилегией виг-
неровского упорядочения, поскольку в более общем случае
даже для линейной системы уравнение эволюции для
нелинейной функции канонических переменных не обязано иметь
классический вид. Таким образом, в представлении Вигнера
квазигармонические системы на строго квантовом уровне
полностью описываются классическими уравнениями. Вся
квантовая специфика заключена при этом лишь в расчете
вигнеровоких функций /^, представляющих соответствующие
операторы, т. е. отображается соотношением (4.29) при
вычислении ©игнеровской функции, соответствующей
произведению физических величин. Другими словами, квантовый
характер системы влияет лишь на соотношение между
физическими событиями, усложняемое некоммутативностью, но не
влияет на временную динамику физических переменных.
Задание базиса для динамических переменных и
состояний в случае незамкнутых систем задает оператор условного
распределения вероятностей Sn. Действительно, выбирая для
Sn®... ® #i в (3.26) базис в виде
\еп(Хг, ... , XJ) = П^6(Х0,-Х,), (4.35)
где %oi— независимые копии Ху получаем матричные
элементы
Sn(Xly ...,Xn; Y)=hrTrP26(X-Y)x
xSn[U^iHXol-X()]f (4.36)
Что определяет для случая ©игаеровекого упорядочения неко-
т°рое «квазираспределение» условных вероятностей для вели-
Чин Хи ..., Хп при условии их начального значения У. Это рас-
11тРеделение не обязательно вещественно вследствие неэрми-
^вого характера самих операторов, определенных несиммет-
45
ризованными функциями f <в (3.25) / Данное усложнение не
распространяется соответственно на Si=S и может быть
вообще устранено симметризацией. В случае систем с
дискретным спектром состояния более естественным будет базис»
образованный дискретным набором операторов вторичного
квантования. В этом случае Sn будут не распределениями в
фазовом пространстве', а матрицами условных «вазивероят-
ностей.
§ 5. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ
СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ПОЛЯ
5.1. Неприемлемость классической вол*
новой картины. Электромагнитное поле в квантовой
радиофизике является основным электродинамическим
объектом. Методы исследования задач, в которых оно
является составной частью исследуемой сложной физической
системы, существенно основаны на методах, позволяющих
описывать 'более простую систему — свободное
электромагнитное «поле. Свободное электромагнитное поле —
прекрасный пример физической системы с бесконечньш числом
степеней свободы, обладающей наряду с ярко выраженными
'квантовыми свойствами также и чисто классическими. Это
позволяет проиллюстрировать наглядным образом единство
квантового и классического описания, проследив, как
различные физические свойства этой системы определяются
различными безразмерными параметрами, характеризующими
«степень квантовости» этих свойств.
Как известно, явно выраженная неклассичность
термодинамически равновесного распределения энергии
электромагнитного излучения привела к возникновению понятия
кванта. Благодаря зависимости энергии кванта от частоты
согласно формуле Е=На>, известной еще из курса общей
физики, распределение энергии каждого осциллятора поля
описывается (по Больцману) функцией вида w(n) =
=А ехр('—пНсо/кТ), экспоненциально убывающей с частотой
при пфО. Это обстоятельство и приводит к убыванию
равновесной энергии поля на высоких частотах и к ограниченности
полной энергии в противовес «ультрафиолетовой
катастрофе», возникающей при пренебрежении ненулевым значением
постоянной Планка при любых частотах, т. е. при клаосиче-.
ском описании поля.
Как мы видим, при рассмотрении круга вопросов,
связанного с тепловыми флуктуациями поля, роль квантовых
эффектов определяется безразмерным параметром Асо/йГ. Для
46
видимого диапазона при комнатных температурах по порядку
величины
Йсо#Г~1(Г27. 1015/(1Ьч!6- Юа)~10а» 1.
Это означает, что для видимого диапазона роль
-статистической неопределенности, обусловленная наличием тепловых
флуктуации, ничтожна по сравнению \^ обсуждавшейся в
п. 2.2 'квантовой .неопределенностью: свет ес^ть в
термодинамическом отношении, предельно квантовый объект. (Это, как
мы увидим, не препятствует наблюдаемости тепловых
источников благодаря ненаблюдаемости в естественных услрвиях
«вакуумных флуктуации, т. е. ч;исто «квантовой
неопределенности.)
Посмотрим, как обстоит дело с классическим образом
'светового волнового колебания. Для того чтобы можно 'было
говорить о волне, определенной © самом обычном
классическом смысле, т. е. имеющей определенную форму в
масштабах длины волны, необходимо, чтобы в объем такого масштаба
попадало в среднем число квантов поля, превосходящее
единицу:
N = (w/n®) Ь8»1. (5.1)
Только в этом случае дискретность квантов будет
несущественной и любых экспериментах и диапазоне длин -волн А,.
Отсюда для плотности потока энергии получаем
Sw he* хпл вт
= cw > — ~ 103 ■
2лА« см*
Это означает, что для получения «истинно классического»
света необходимо использовать довольно мощные
квантовые источиими— лазеры с мощностью порядка ватт. Если
-бы мы захотели, чтобы световое поле было определено к^к
классическое в еще меньших мастшабах, чем Я, то в (5.1)
вместо Л должен был бы входить этот еще .меньший
масштаб, и для достижения такой определенности потребовалось
бы еще большая интенсивность. Но ни для какой конечной
интенсивности световое поле не определено точно на «сколь
угодно малых расстояниях, т. е. для юветового поля
определены классическим образом лишь сглаженные
характеристики, причем минимальные масштабы такого сглаживания
определяются интенсивностью поля: чем оно интенсивнее,
тем »в более мелких масштабах оно определено. Квантовый
характер ноля -проявляет «себя, таким образом, как некий
*ыум типа белого, накладывающийся на наблюдаемое поле.
Далее мы увидим, действительно, что операторы поля всегда
можно (представить в виде суммы «вакуумного» шума и
аддитивной «составляющей, интерпретируемой как часть поля,
47
возбужденная источниками. Применимость же классической
электромагнитной теории к объяснению большинства
наблюдаемых явлений связана с тем, что для этих явлений
существенны только сглаженные характеристики поля, а
масштаб сглаживания /удовлетворяет условию
классичности (5.1) при Х=1.
T/V/VA
PW*»7
5.2. Операторы поля и их
представления. Наиболее удобным для практических целей является
формулировка квантовой электродинамики, предложенная
Ферми и основанная на кулоновской калибровке поля, т. е.
на выборе в качестве набора независимых обобщенных
координат поперечного векторного потенциала [4]:
divA = 0. (5.2)
Эта калибровка, правда, связана с «выбором определенной
системы пространственнонвременных координат и нарушается
при переходе к другим системам,
но в практических задачах
такая выделенная система
координат всегда имеется — это
лабораторная система отсчета.
Неинвариантность же этой
калибровки ни в коей мере не
связана с нарушением
инвариантности физически
наблюдаемых переменных: она есть
просто частный вид
релятивистски инвариантной калибровки
c^dcp/df+div A=0, необходимой
для физической инвариантности
координат с <р=0. Условие (5.2)
косинус и синус Фурье-компонент
М.
■/*}
У
Рис. 2. Независимые
степени свободы
электромагнитного поля и векторы
поляризации
в выделенной системе
означает, что у полей
Ас,в (k, t) при каждом к имеются лишь две перпендикулярные
к к компоненты, которые «и являются независимыми
координатами в к-представлении: ACfS = t\ (к) А*у, А» = 1,2 (см.
рис. 2). Единичные векторы ех, (к) называются векторами
линейной поляризации.
Таким образам, совокупность независимых степеней
свободы электромагнитного поля представляет собой описанную
совокупность вещественных поперечных векторных полей.
Математически поперечные ноля могут быть выделены «з
произвольных с помощью линейного оператора проектирования P±.
Если иоле задано в к-представлении, то этот оператор,
выраженный также в к-представлении, имеет диагональный вид
Рх(к,к') = (б{/--^)б(к-к'), (5.3)
48
«г. е. он сводится к умножению вектора А (к) на стоящую
перед дельта-функцией матрицу проектирования на плос- *
кость, ортогональную к. Совершив обратное
Фурье-преобразование (3.3), этот оператор можно выразить в
координатном представлении
Р± (г, г') = j (б„ _ J^L) ехр [Л (г - г')] Л/(2я)«. (5.4)
Эта обобщенная функция носит название «апоперечной дельта-
функции». С помощью оператора Р± удобно представлять
динамические переменные электромагнитного поля через
динамические переменные вспомогательного поля, (содержащего
также и продольные «степени свободы: мы этим и
воспользуемся.
Для динамического описания кроме обобщенных
координат необходимо установить физические величины,
«соответствующие обобщенным импульсам (тогда «се физические
переменные будут описаны кале квантовые случайные величины).
В отличие от рассматривавшегося в п. 2.3 примера
динамической системы в виде движущейся частицы, у которой роль
обобщенной координаты играла ее обычная координата,
кинематический смысл обобщенного импульса, соцряженного
обобщенной координате А (г, /)> 'иной: он связан не с
пространственными трансляциями, а с трансляциями самого потенциала
А->-А+6А. Построение этого импульса можно выполнить при
традиционном описании с помощью лагранжиана
*=-^J<E*-H'>'i"=iH[(Tir)'-<rotA>*K
(5.5)
Соответствующий обобщенный импульс есть
*(r,0=6j£/6A(r,0 =-J_-^ = _-!_. (5.6)
4яс* dt An с
(Точнее, его следует называть плотностью обобщенного
импульса, так как он аналогичен вследствие континуальности
поля выражению v с плотностью «массы» 1/4яс2; этой
dV
специфики и связанной с ней необходимостью рассмотрения
обобщенных функций можно избежать, рассматривая поле
в ограниченном объеме пространства, что и является
наиболее распространенной формой изложения.)
С учетом поперечности поля и канонических
коммутационных соотношений (2.14) для сопряженных импульсов я
координат получаем коммутационные соотношения,
определяющие переменные поля как квантовые случайные величины:
[А (г, *), яТ (г\ /)] = * ПР± (г, г'), (5.7)
49
или, заменив -импульс на пропорциональную ему
напряженность Е,
[А(г, 0, Ет(г\ /)] = -М4псР±(г, г'). (5.8)
Проектор P_l возникает в результате проектирования
канонических коммутационных соотношений для
вспомогательного поля с 'продольной составляющей, для которых в правой
части стоит б (г—г'), на поперечное поле [4].'
Изменение операторов поля во времени описывается как
классическими уравнениями Лагранжа или Гамильтона, так
и равноценным .им уравнением Гейзенберга. Уравнение
Лагранжа
-|-(6ji?/6A)-6jS?/6A = 0
дает, «как легко ©вдеть, волновое уравнение
_LJ!A-AA = 0. (5.9)
Это уравнение с учетом соотнбшений Е= — (l/c)d\/dt и
Я = rot А, вытекающих из уравнений Максвелла div E=
= div Н=0, есть еще одно уравнение Максвелла
(l/c)d£/# = rotfi.
Недостающее уравнение Максвелла описывается правым
соотношением в (5.6), в котором следует взять «ротор от
обеих часте'й. С точки зрения гамильтоновокой формулировки
на основе гамильтониана
ffl^Sn^-dV — j£ = -L j [ (4ясл)2 f (rot A)2 ] dV (5.10)
уравнение (5.9) есть уравнение Гамильтона, первое в (2.16);
выражение (5.6) для^ обобщенного импульса дает второе
уравнение. Эквивалентность этих уравнений соответствующим
уравнениям для dA/dt и дл/dt в форме Гейзенберга с
оператором Гамильтона (5.10) с учетом известной из квантовой
механики эквивалентности уравнений Гамильтона и
Гейзенберга (и. 2.3) не требует специальной проверки, хотя и не
-представляет труда.
Уравнение движения (5.9) показывает, что изменение во
времени обобщенных 'координат А (г, t) определяется не
только ими самими, но и «соседними» по г, так как
лапласиан Д не является диагональным оператором в г-представ-
лении. Соответственно в гамильтониане (5.10) член
потенциальной энергии описывается также недиагональной квад-
50
ратичиой формой
j (rot A)2 dV = J J AT (r') rot'r6(r' — r)rotA(r) dV' dV.
— (A A) 6 (г-г')
Поскольку все дифференциальные операторы приводятся к
диагональному ©иду преобразованием Фурье, то ясно, что
для приведения поля к «системе .невзаимодействующих
степеней свободы необходимо использовать привилегированное в
этом отношении k-представление. Для этой цели можно
' пользоваться косинус- и синус-преобразованиями Фурье
операторов А (г, t)'\ это удобно, в задачах, где требуется
рассматривать стоячие волны. В случае же. поля в свободном
пространстве обычно удобнее рассматривать комплексные
Фурье-компоненты.
Однако операторы
А (к, 0 = J А (г, t) exp (— i kr) dV
не очень удобны в качестве исходных переменных, так как
А(к)=А+(—к), т. е. они независимы — это следствие
вещественности поля. То же самое относится и к
Фурье-преобразованию операторов напряженности электрического поля
(обобщенных импульсов). Поэтому вместо них вводят путем
конкретизируемого ниже линейного преобразования
операторы уничтожения и порождения квантов 2*, (k, t), ajt"(k, f)»
которым в r-представлении соответствует неэрмитово поле.
Эти операторы описываются правилами коммутации
tax (k, t), at (к', t)] = 6XV б (к - к'); (5.11>
[вх, а к] = fit, а£] = О (к = 1, 2),
где индекс X описывает возможные при каждом к две
поляризации. Это есть соотношения коммутации Бозе —
Эйнштейна (3.19), (3.20), модифицированные применительно к полю.
Через эти операторы поля А и £ в г-представлении
записываются следующим образом:
а (г, о = f ]/~i£rr2e*<k)fo(k' ')У"+
+ at(k,t)e-^]](Pk,
— at(k, Qe-*]-d»k. (5.12)
51
Эти выражения вытекают лишь из коммутационных
соотношений для операторов поля и не используют уравнения
движения (5.9). Последние дают временную зависимость
операторов порождения и уничтожения в виде
ах (к, 0 = ах (к) Н« а£ (к, /) = at (к) еш, (5.13)
где со=с&. Формулы (3.11) —(3.13) дают полное описание
поля.
5.3. Основные способы представления
полевых операторов. Выше мы полностью описали свободное
электромагнитное поле в чисто алгебраическом отношении:
соотношения между всеми его операторами определены
безотносительно к способу конкретного представления
гильбертова пространства, в котором предполагаются действующими
эти операторы. Хотя некоторые физические расчеты можно
выполнять (и это обычно целесообразнее) без конкретизации
представления, в ряде случаев удобно воспользоваться
подходящим из наиболее употребительных представлений, тем
более, что с их помощью традиционно формулируются многие
важнейшие математические соотношения для поля.
Поскольку для одной «степени свободы -самое естественное
•представление гильбертова пространства есть «Sf2 (—°°> °°)>
т. е. представление комплексозначными функциями yp{x)f
хе(—оо, оо), то в данном континуальном случае с
бесконечным числом «свободы соответствующим представлением будет
представление функционалами (континуальный аналог
функции многих переменных) Y[jcx (k)], где Хк (к)
—вещественные обобщенные координаты, соответствующие, например,
бегущим волнам
**(г* °= тше% (k) [*(к* °cos кг - ^rsln кг ]
(5.14)
(dm/dV =1/4п с2) с волновым вектором к и поляризацией X.
В виде суммы таких волн представляется разложение (5.12),
если положить
?x(k) = l/^[ax(k) + at(k)],
(5.15)
«x(k) = ~* У"-^" ^(к>-«*" «]•
Операторы координат и импульсов в любой момент времени
могут быть представлены стандартным способом
£ (к) = хк (к), я* (к) = - Л б/б хк (к). (5.16)
52
Континуальный характер системы проявляется в размерности
вариационной производной, «имеющей характер плотности о
^пространстве. Обернув соотношения (5.15), получаем
представление оператора уничтожения
aWk)=m^) + Wa/^(k). (5.17)
/в* Л юс*
Если рассматривается поле в ограниченном объеме, например
$ резонаторе, то в этом случае возможно его представление
в виде разложения А (г, t)=2qn(t)An(r) по ортонормирован-
«ому набору собственных функций поля в этом объеме,
описывающих стоячие волны. Тогда формулы (3.15)—(3.17)
должны применяться в дискретном варианте:
б~d, (X, к) ~п, Ая~ех(k)cosкг//(2я)*\
Представление (5.16) не является единственно
возможным. Практическое значение имеют еще даа представления,
являющиеся собственными для оператора энергии поля:
представление чисел заполнения и представление Фока
(фотонные представления). Гамильтониан (5.10) с помощью
разложения (5.12) «и с учетом (5.11) представляется в виде
^= Гйсо J \at(k)Mk)+ -АШ^к. • (5.18)
Введя по аналогии с § 3 (п. 3.1, п. 3.2) вектор вторично
«квантованной функции Ф= {их (Ю}» рассматриваемый здесь для
простоты, в отличие от § 3, а не в г-, а в более удобном
к-представлении и вводя «первичный» оператор энергии
фотона 9t <*> с матричными элементами
&{&>(к,к')=П(*8ш6(к-к'),
представляем гамильтониан (5.18) во вторично
«квантованной форме (3.11). По этой причине процедура введения
операторов порождения и уничтожения в теории свободного
электромагнитного поля, так же как и изложенная в п. 3.2
процедура построения полевого описания системы частиц на
основе известных свойств отдельных частиц, называется
вторичным квантованием. Следует, конечно, обратить внимание
tta принципиальную в гносеологическом плане разницу между
этими двумя случаями: для электромагнитного поля понятие
частицы выводится из известного полевого описания
(уравнения Максвелла), а для, скажем, электронов—наоборот,
понятие поля выводится на основе известных представлений
об индивидуальной частице.
53
Согласно (5.18) энергия представляется в виде суммы
энергии осцилляторов, для каждого из которых энергия
описывается умноженным на Йсо оператором числа квантов
п\ =й£ +й%, (здесь пь —плотность!). Если канонические
операторы, соответствующие /каждому осциллятору, задавать
в базисе этих операторов, а волновые функции как функции
возможных значений чисел /квантов каждого осциллятора, то
мы получим представление чисел заполнения осцилляторов.
Представление же Фока отличается тем, что три задании
состояния сначала указывается, сколько всего имеется
квантов во всех осцилляторах, а затем указывается, в каких
осцилляторах содержатся эти кванты, в то время как в
предыдущем случае сначала по заданному цравилу выбираются
осцилляторы, а затем указываются (соответствующие числа
квантов. В представлении чисел заполнения волновые
функции гильбертова пространства имеют вид Ч^лх (к)], а в
представлении Фока—вид бесконечномерных векторов,
составленных из функций «с числом аргументов, определяемых'
номером компоненты и равных числу квантов состояния,
описываемого каждой проекцией:
¥
■фо
гМЬД) .
qn(K> ki; К К)
При этом все функции i|>n 'симметричны относительно
перестановки аргументов Х\ки 4..; Xnkn. Это обстоятельство
обусловлено тем, что по 'своему определению понятие кванта не
имеет индивидуальности: определено только распределение
суммы этих квантов по осцилляторам. Именно
симметричность, а не антисимметричность, также совместимая с
тождественностью квантов, является следствием
коммутационных соотношений (3.11). Оператор уничтожения кванта в
состоянии Яо, ко имеет в представлении Фока вид
(О 1/Гб(Л;к;-Л0к0) О О
О 0 УГб(Х&—Я0к0) б (Xiki — КЮ О
=Я5|0 0 0 УТввв(-)... |/>Sv
54
где под X'i k'it Kiki подразумеваются аргументы ядер
операторов умножения на Л*, к* соответственно.
Тем самым определен сопряженный оператор й+ и все
остальные операторы поля. Представление же чисел
заполнения попользуется только для дискретного набора
осцилляторов, в отличие от представления Фока, одинаково
приспособленного для любого набора.
5.4. Гауссовские состояния поля. Гаус-
совские состояния для электромагнитного поля являются
наиболее распространенным классом состояний в силу
центральной предельной теоремы, обобщающейся и.на квантовый
случай. Общий ©ид матрицы гауосовских состояний есть
(4.18), .если понимать под набором 1С совокупность
импульсов и координат (и добавить для общности ненулевые
(средние: %-+Х—X). Равноценными способами записи являются
вигнеровское представление (4.16) с /С, определяемым
формулой (4.19), или глауберовское «диагональное»
•представление (4.11), в котором диагональная весовая функция р(г)
будет гауосовокой с параметрами, которые нетрудно
определить с учетом представления (4.21) для |г><г| (если
только выполнено условие К—1/2|С|^0, являющееся
условием представимости гауссовского распределения в глаубе-
ровской форме, которое всегда выполняется для квазистацио-
нарных состояний).
•Простейшим примером гауссовского состояния является
вакуумное, для 'которого каждый осциллятор находится в
состоянии f)0=|0>i<iO|,/С=1/2|С|.. Однако даже в этом
состоянии, когда число квантов для каждого осциллятора
детерминировано и равно нулю:а£ (к) а\ (к) 10) = 010),
энергия поля не равна нулю «вследствие энергии вакуумных
флуктуации, определяемой в (5.18) членом V f (ftc)/2)d3k-6(0)\
Именно эти флуктуации являются причиной того, что понятие
поля в данной точке в данный момент времени в квантовой
электродинамике полностью неопределенно, так как
флуктуации значений Л, £, Я бесконечны.
Рассчитаем матричную корреляционную функцию
К (г, t; г', О = (A(r, t)\T(r\ f))9 (5.19)
Бесконечный сомножитель 6(0) в случае энергии поля в ограниченном
объеме V соответствует V, г. е. энергия пропорциональна объему. При
этом коэффициент пропорциональности все же бесконечен, так как
поле даже в конечном объеме состоит из бесконечного числа
осцилляторов, которым соответствует ненулевая вакуумная энергия ho/2.
55
которая полностью определяет статистические свойства гаус-
.совского состояния /при нулевом «среднем и с учетом того, что
коммутатор [А(г, t)9 Ar(r/, t')] для свободного поля известен
благодаря .соотношениям (5.11)—(5.13). Получаем (ю
точностью до членов с суммарными частотами)
* = ReJI MVW ££e*<k) ex(k')Sxx-(k, k'). (5.20)
А» А»
exp (i kr — i kV — f со * М <оГ) d*k d*k' +
f Г —^— (/ — klW) exp [i k (r — r') — I © (t — t')] d8 k.
J 4n*k
Здесь
Su'(k,k') = (a^(k)av(k/)>-
яормально упорядоч!енна'я корреляционная функция
операторов порождения и уничтожения. Для вакуумного состояния
Ss=0, и в (5.20) остается только один второй член,
описывающий флуктуации вакуума. Он определяет обобщенную
функцию, обращающуюся в бесконечность для
пространственно-временных интервалов Д$2= с2 (t—f)г— (г—г7) а=0,
т. е. для событий, связанных световым конусом, «в частности
при r=r/, t=f.
Таким образам, флуктуации локальных мгновенных
значений поля бесконечны. Конечны лишь флуктуации мгновенных
значений, сглаженных но некоторому конечному объему,
/причем соответственно степень их определенности тем 'больше,
чем больше область сглаживания. Как уже указывалось, <в
условиях реальных физических явлений такое сглаживание
всегда имеет место: электроны атома при переходах между
связанными состояниями реагируют на иоле, сглаженное по
области распределения дипольного момента (т. е. тока)
перехода, причем одновременно происходит и временное
усреднение, поскольку наблюдаемые изменения атома происходят
лишь за время порядка времени жизни состояний. Несмотря
на это наличие бесконечных вакуумных флуктуации в теории
и связанная с ним неопределенность исходного понятия —
поля в точке — может рассматриваться как указание на
необходимость совершенствования теории либо по форме, либо
по существу исходных понятий, таких как поле и
пространство-время.
Отбросив в (5.20) вакуумный член, приходим к
выражению
K(r,t;r'J') = 2ReG«)(rJ;r',t'),
56
где
G<'> (г, t; г', Г) = <А<-> (г, О А<+>Г (г', *')> =
X exp (tkr — ikr' — Ш f kdT) d8kd3k' (5.21)
глауберовская корреляционная функция первого порядка [5];
ДИ, А<+) обозначают «соответственно отрицательно и
положительно частотные части поля А (обычно G определяются
через ё, но разница практически сводится только к
множителю g>2/c ). Именно она определяет наблюдаемые харак*
теристики поля, что является центральным моментом в
теории фотоотсчетав Глаубера [5].
Для когерентного состояния поля Y, описываемого
набором \zx (k)>, с учетом свойства &х (к)Чг=2я (к)¥ (5.21)
дает
где А — классическое положительно-частотное поле
(аналитический сигнал), соответствующее {zx (k)}. Такой вид
функции корреляции называется факторизованным. Он
•соответствует полной когерентности поля (первого порядка), так как
в этом случае видность интерференционной картины в
интерференционных экспериментах равна единице во всем
интерференционном поле (при соблюдении равенства игнтенсивнос-
тей). Комплексная степень взаимной когерентности [20]
ТгО(1>(г,*;г',П
I TrG(1)(r, /;г, 0TrG(1)(r\ /'; г\ /') |1/2
при этом по модулю тождественно равна единице для любых
Двух пространственно-временных точек. Наличие
статистической неопределенности поля zk (k) обязательно приводит к
нарушению когерентности, за исключением только важного
частного -случая такой неопределенности — неопределенности
общей фазы, реально всегда имеющей место и не влияющей
на А*А.
Другой крайний пример гауесовского поля — хаотическое
'Поле с независимыми осцилляторами: <д£ (к)йг (к7) > =
^Пх (к)6и'6(к—к7). Для него корреляционная функция
выражается через средние числа квантов согласно соотношению
GU) ~ S f ~ ^(k) exp (tkp ~ickx) d*k (Р =»г — г', т - * — V).
Частичная когерентность в этом случае имеет место, -если
п*. (к) имеет конечную область ненулевых значений: эта
57
область управляется диафрагмированием и фильтрацией по-
лей хаотических 'источников. Временная когерентность (р=0)
описывается длиной когерентности l=c/Af, где Д[ — ширина
частотного спектра функции п\ (к), а пространственный
радиус когерентности (т=0) есть гК=УД<р, .где Дер —
соответствующая угловая расходимость. Частным случаем
хаотического поля является тепловое, для которого п\ (к)
определяется формулой Планка пк (к) = (е^ь®—I)"1. Такое поле
возникает внутри равномерно нагретой полости.
Распределение энергии осцилляторов £кл=Йсо п\ (к) по состоянию с
определенными числами квантов, для «когерентного и
теплового состояний определяется «в уцражнениях 1, 2. В первом
случае оно задается формулой (4.17), представимой также
в виде
Р(п)=е-»пп/п1,
во втором
ЯМ-^J— (_■_ V.
Л+1 \ /1+1 /
5.5. Разложение поля по векторным
сферическим функциям. Выше мы использовали для
описания поля в свободном пространстве исключительно его
разложение по плоским волнам, которые с помощью
представления Фока .интерпретируются как собственные функции
операторов импульса фотонов p=—ihd/dr. Наблюдаемые
изменения поля по сравнению с вакуумным состоянием
описывались как возбуждения системы осцилляторов,
соответствующих набору плоских волн. Выбор именно их был связан
с тем обстоятельством, что эти волны являются 'собственными
для матрицы потенциальной энергии поля, роль которой
играет оператор — A/8ji=rot rot/8ji (учтена иоперечность).
Однако один этот оператор не образует полного набора,
определяющего базис, так как его любому собственному
значению k2/8n отвечает бесконечно много плоских волн,
соответствующих различным направлениям векторов к.
Из этой 'совокупности можно сформировать базис
сферических волн, наподобие того, как это получается при решении
уравнения Шредингера для частицы в сферически
симметричном поле. В последнем случае, как известно, таким
базисом является базис собственных функций угловой части
оператора Лапласа, который пропорционален квадрату углового
момента частицы. Однако \в данном случае имеется
существенное отличие, связанное с векторным характером плоских
волн: они описываются тремя компонентами ex (k)exp(ikr).
Разумеется, можно и © данном случае построить аналогичную
систему для каждой из компонент этой системы (считая
58
вначале компоненты независимыми степенями свободы и
проектируя векторы из трехкомпонентного базиса на
поперечные поля оператором Pjl), т. е. можно строить искомый
базис на основе произведения базисов оператора квадрата
орбитального углового момента фотонов L2 и базиса в
пространстве трехмерных «векторов. Последнее можно
интерпретировать как «спиновое» пространство фотона, описывающее
его внутренние (не пространственные) степени свободы.
С -практической точки зрения значительно более полезен
другой базис, основанный на операторах полного момента
количества движения фотона 7=£+S, где зга спиновые
операторы S принимаются генераторы вращений в трехмерном
пространстве, описываемые матрицами 3X3. Это базис
собственных функций операторов Л, 7Z. Эти собственные функции
называются векторными сферическими функциями (или
шаровыми векторами) и имеют вид
YjLm = £ (1Z41 (m — (i) I Jm) e^ К^-ц) (п),
м-
где YLV(n) —скалярные сферические функции
направления п; е/, |х=1,0,— 1—набор поляризационных векторов,
ei=—(vMey)/l/2,e0=ez, e_i= (еж—щ)1]/ ^\(h}2tn^m2\im)^
коэффициенты Клебша — Гордона (ККГ), иначе,
коэффициенты векторного сложения двух моментов, служащие для
выражения базиса суммарного углового момента через базисы
парциальных моментов. Индексы /, m описывают полный
момент и его проекцию на ось z\ L — орбитальный момент,
причем L=/, /±1. Из этих трех линейно-независимых
(ортогональных) функций можно построить при каждом /, щ две
ортогональные поперечные волновые функции, которые в
совокупности с радиальными волновыми функциями дают базис
А я (o)/m) (X=M, E) вида
Ад, (со/т) = у -^ fj (kr) \JJm (г/г),
А£ (Ыт) = У 4*Ц(Г+1) {^7fj+l {kr) Ъи+1)т (Г/Г) ~~
- /ЛИГ fj-X (kr) Yjv-iyn (ГIГ)}.
Здесь fj(kr) =iAH{])+\/2(kr)\ \м, АЕ описывают соответственно
расходящиеся сферические волны фотонов магнитного и
электрического тина с частотой со, угловым моментом /,
проекцией момента на ось z, равной tn. Волны магнитного
^ипа излучаются элементарными магнитными мультиполями,
а электрического — электрическими. Операторы электромаг-
59
нитного поля представляются «с помощью этого базиса в виде
оо
А (г, 0 = f 2 [лх {<*Jm) Ах Ыт) ехр (— Ш) f
О Jm%.
+ ajf" ((oJm) Ax (a)/m) exp (ко/)] dco. (5.22)
Данное разложение часто попользуется для исследования
характеристик излучения отдельных атомов, поскольку,
задавая состояние атома в энергетическом базисе, мы получим,
что переход атома между этими состояниями
сопровождается в первом приближении возбуждением только одного или
нескольких из описываемых данным разложением
осцилляторов.
5.6. Поляризационная матрица
плотности. Довольно типичным случаем в квантовой радиофизике
является случай поля, у которого возбуждается совокупность
осцилляторов (пакет), характеризующийся очень малым
разбросом волновых «векторов к по направлениям. В таких
случаях можно ввести для всего пакета общие векторы
поляризации ех (к). Кроме того, типична -ситуация, когда
возможные чистые состояния такого пакета (т. е.
описывающиеся матрицей плотности вида 4^+) характеризуются
поляризацией Я, общей для всех возбужденных осцилляторов, т. е.
для всех фотонов, причем ¥ соответствует независимости
поляризации от остальных аргументов волновой функции —
в представлении Фока это /г, ki,..., kn.
Другими словами, можно сказать, что в чистых состояниях
вое фотоны имеют общую поляризацию, независимую от
импульсов. Матрица плотности, описывающая произвольную
смесь таких состояний, распадается на произведение
матрицы «плотности, описывающей распределение по числам
фотонов и их импульсам, и так' называемую поляризационную
матрицу плотности
- /Рп>12\
Р U, Р*)9
представляющую собой эрмитову положительно определенную
2х2-мат,рицу с единичным следом. С учетом явного вида
операторов dx, ait в представлении Фока и описанной
факторизации совокупной матрицы плотности легко видеть, что
матричные элементы рм/ представимы в виде
pxv = (atciv) I V (a^av) (at^v) ,
т. е. они описывают нормированные комплексные
коэффициенты корреляции операторов уничтожения и порождения.
Отсюда немедленно выводится их выражение как
соответствующих коэффициентов корреляции непосредственно для
операторов, например, электрического поля.
60
Последнее принимается, 'как известно, за определение
тензора поляризации в классической электродинамике [21], т. е.
это понятие тождественно поляризационной матрице
плотности. Разумеется, если квантовое состояние поля не имеет
описанного факторизационного вида, то никакой единой
поляризационной матрицы плотности не «существует, и тензор
поляризации можно истолковывать лишь как некоторую
среднюю поляризационную матрицу. Поляризационная
степень свободы поля является, пожалуй, уникальным примером
того, как структура квантовомеханического усреднения
естественным образом возникает и в классической теории,
когда естественно возникает набор физических величин,
описываемых квадратичными формами от функций индекса
поляризации и поэтому подчиняющихся законам квантовых
случайных величин. Этот факт обязан своим происхождением
специфичности осуществляемой «редукции полною
пространства классических 'событий, которые представляются
векторами поля: она сводит иоле к вероятностной смеси двух
поляризаций, даже если оно ей не является. Это искажение и
компенсируется квантовым характером усреднения.
Для поляризационной матрицы стандартным является
описание с помощью параметров Стокса s=!(si,s2>s3), s2=l.
Пусть ex есть два вещественных вектора, определяющих две
линейные поляризации. Тогда, если в этом базисе представить
поляризационную матрицу в виде [3]
(cr=((Xi, 02, аз) —набор стандартных матриц Паули), то в
этом выражении параметры s будут, но определению,
параметрами Стокса. Параметр s2, обозначаемый также
буквой Л, описывает, как мы видим, антисимметричную часть
матрицы. Он определяет соответственно степень круговой
поляризации, причем при предельных значениях 52=±1, как
лето видеть, состояние 'соответствует полностью право-
(лево-) циркулярно поляризованной волне. Параметр P=Ksa
называется степенью поляризации: при Р=0 мы имеем
полностью деполяризованную волну, при Р=\ она полностью
поляризована. Параметр s3 описывает структуру волн,
состоящих из независимой смеси линейных поляризаций по ei,
*ъ причем при s3=±l имеет место полная поляризация
вдоль одного из этих направлений; параметр Si дает
аналогичное описание для поляризаций, повернутых .на 45°. Вместо
su $2 вводятся иногда степень максимальной линейной
поляризации I = ys\ \-s\ и ее угол
Ф = (l^arctgfo'Sa).
61
Часть II.
§6.
ОСНОВНЫЕ
КВАНТОВОЭЛЕКТРОДИНА МИЧЕСКИЕ
ЭФФЕКТЫ В КВАНТОВОЙ РАДИОФИЗИКЕ
ОДИНОЧНЫЙ АТОМ
В СЛАБОМ ПОЛЕ
6.1. Приближенное описание
электромагнитного взаимодействия. Точное описание
взаимодействия атома с полем излучения, учитывающее релятивистскую
и полевую природу электронов, входящих в атом, для целей
обычных приложений квантовой радиофизики
нецелесообразно, если только не иметь в виду расчет соответствующих
поправок к атомным спектрам, что является самостоятельной
задачей, относящейся к теории атомных спектров. В типичных
для радиофизики задачах спектральная структура может
считаться три расчетах заданной либо параметрами,
полученными в результате соответствующего квантовоэлектродина-
мического расчета, либо их экспериментальными значениями.
Основной же целью исследования обычно является
определение характеристик поля излучения атома — его спектра
флуоресценции, спектра поглощения пробного поля или некоторых
более тонких характеристик. В силу естественных
ограничений точности этих характеристик на данном этапе анализа
достаточно учитывать факт взаимодействия атома с полем в
первом приближении по любым малым параметрам,
поскольку наблюдение отклонений, соответствующих этим малым
параметрам, практически нереально.
По этой причине для установления гамильтониана
взаимодействия атома с электромагнитным полем достаточно
исходить из нерелятивистского описания атома. Как известно
из классической электродинамики [21], гамильтониан
заряженной частицы с зарядом +е, находящейся в
электромагнитном поле, получается из гамильтониана в отсутствие поля
путем замены ее обычного — «кинетического» — импульса
p = mv на обобщенный импульс Р в соответствии с формулой
P = p + eA(q)/c (6.1)
и добавлении eq>(q) при ненулевом скалярном потенциале.
Для поля излучения в соответствии с калибровкой (5.2) этот
член не возникает. В результате получаем гамильтониан
.системы «частица+поле» в виде
&=&<-- [P-fm(<g/c1' f-V(q), (6.2)
«62
где Mi — гамильтониан поля излучения, определяемый
любым из равноценных предста)влений (5.10), (5.18). Полная
система канонических переменных, описывающая систему^
«частица+поле», имеет в данной схеме вид
X = {q,P,A(r),«(r)}, "(6.3>
где я — набор обобщенных импульсов электромагнитного'
поля, введенный формулой (5.6).
Представим формулу (6.2) иначе, выразив A(q) как
линейную комбинацию операторов поля Л (г) по формуле
A(q) = jA(r)6(r-q)dl/.
Введя по аналогии с классическим током симметризованное-
(для вещественности) выражение для квантового тока
частицы вне электромагнитного поля излучения
f(r) =-^[P6(r-q) + 6(r-q)P] (6.4>
и учитывая поперечность векторного потенциала, получаем
M=Wf + ^ + V(q)-^§A(r)J(r)dV +
+ -1^rjA2(r)?(r)dl/. (6.Б>
Здесь
р(г) = ^:(г-4) (6.6>
оператор плотности заряда, создаваемой частицей в точке г
(она не равна нулю лишь в точке нахождения частицы г=
=q, однако эта точка обладает всегда некоторой квантово-
механичеокой неопределенностью в силу существования не-
коммутирующих с q операторов — см. п. 2.3). Три первых
члена в (6.5) описывают не>возмущенные энергии
канонических подсистем {А, л) и {q, P}, собственные эволюции
которых совпадают с эволюцией свободного элёктромагнитнога
поля и свободной частицы соответственно. Последние два
члена описывают электромагнитное взаимодействие.
Для того чтобы выяснить степень существенности
каждого из членов электромагнитного взаимодействия, удобнее
всего рассмотреть систему гейзенберговских уравнений для
системы атомных частиц с зарядами ег*. В этом более общем
случае гамильтониан взаимодействия с полем приобретает
вид (е — абсолютное значение заряда электрона)
*/--^JX(rf0T(r,0^--^JX«(r,0p(rf0^. (6.7>
63»
Здесь
J>. О = т 2 i~ ft.s (r - ч«)1+ (6-8>
оператор невозмущенной плотности атомного тока (когда
поле отсутствует);
2
Р(г,0 = -У —— *(г-£) (6.9)
*** тгц е
i
оператор приведенной плотности атомного заряда,
определяемый главным образом электронами, поскольку тя>т.
С использованием введенных в п. 4.1 операторов
/—^-переходов
Г(г.о=Емг)>«(о. (ело)
р(г,0 = Ер*/(г)£*,(0. (6.П)
kl
где матричные элементы невозмущенной плотности тока
выражаются через плотность дипольного момента
]л/(г) =*К — щ)йы(т)9йм(т) = £^^б(г — я,)ф/.
Уравнения движения для электромагнитного поля и атома
таковы:
где
dp-L
Ы
ПК=Ц-Щ±-, (6.12)
('•<>=т2^[р<-тх<г'<>-8<г-Ч=
= J][j*/(r) +-^-A(r,0pw(r)]pw(0 (6.13)
Л/
вектор тока микроскопической поляризации в присутствии
поля излучения;
dPki
dt
= KAi - -£- Ц J A (r, 0 [],А (г) Рг1 - j/r (г) Pv] dV -
г
^j-JJJX'fr.oiPrtW^-ftrW/^]^. (6.14)
mc2h
г
64
Пе|рвое из этих уравнений, как нетрудно видеть, есть
уравнение Максвелла для «среды», созданной атомом, а
зторое, вообще говоря, представляет расписанное в
терминах переходов уравнение эквивалентное системе уравнений
^ьютона для атомных частиц: последние можно
восстановить, домножая обе части (6.14) на соответствующие
матричные элементы и суммируя по всем переходам с учетом
(6.8), (6.9). Члены, соответствующие слагаемому с А2 в
гамильтониане (6.7), играют существенную роль лишь в
специальных случаях: при рассмотрении некоторых нелинейных
процессов, при анализе устойчивости электронной структуры
системы атомов и т. п. Согласно (6.12) с учетом (6.13) они
определяют также нерезонансный показатель преломления в
случае среды. Для анализа таких вопросов, как релаксация
возбужденного атома или поляризуемость отдельного атома,
применяются упрощенные рассмотрения. В этих случаях
достаточно рассмотрения лишь первого члена в
гамильтониане $?/:
Ui = - -j J j А (г, t) ikt (г) dV Pkl (t). (6.15)
ki
Этому взаимодействию соответствует отсутствие членов с А2
в уравнениях движения атома (5.14) и в выражении (6.13)
для тока поляризации атома, который становится в этом
приближении чисто атомной переменной. При рассмотрении
поляризуемости обычно исходят из поляризуемости
отдельного атома во внешнем поле, «которая описывается (6.14) без
А2, не играющего в нем роли при рассмотрении линейных
эффектов; поляризуемость же системы атомов при большой их
плотности существенно определяется вторым членом в
(6.13), зависящим от электронной плотности.
Неучет этого члена приводит к появлению фиктивной
неустойчивости системы «атомы+поле» [22] с переходом в
так называемое «сверхизлучательное» состояние,
характеризуемое появлением спонтанной когерентности атомных
переходов Р$\ Без учета А2-члена в гамильтониане
взаимодействия системе невозбужденных атомов оказывается
энергетически «выгодным» даже в отсутствие внешнего воздейст-
вия перейти в состояние, когда операторы переходов Я$\
соответствующие различным |х-м атомам, обладают ненуле-
в°й корреляцией: это означает синхронность колебаний
соответствующих этим операторам переходов дипольных
моментов^ атомов. Математическая причина появления такой
^Устойчивости тривиальна: поскольку отбрасывание в
гамильтониане члена с А2 соответствует их отбрасыванию в
иераторах кинетической энергии атомных частиц (Р»—
в- А. Гришанин 65
—е{А/с)2/2т{, то положительно определенная квадратичная
форма оператора энергии теряет это свойство, это и
приводит к появлению неположительных квадратов собственных
частот и к кажущейся возможности спонтанного нарастания
коллективной поляризации за счет неограниченного (при
рассмотрении всех переходов) уменьшения энергии
взаимодействия атомов с полем излучения. Учет же А2 при
достаточно высоких концентрациях атомов снимает этот ложный
эффект.
Здесь мы не будем касаться 'специфических эффектов,
характерных для плотных сред, когда приближение
взаимодействия в виде (6.5) недостаточно. Для большинства
радиофизических приложений, в частности для анализа атомных
систем в резонансных внешних полях, использование
гамильтониана (6.15) вполне адекватно. Необходимо отметить, что
гамильтониан, так же как и лангранжиан любой
динамической системы, определен не единственным образом, а
допускает преобразования, оставляющие неизменными уравнения
движения. Лагранжиан определен с точностью до полной
производной по времени от некоторой функции координат и
скоростей. Это обстоятельство используется для выбора
представления гамильтониана (6.5). Для дипольного
приближения соответствующее преобразование канонических
переменных к новым переменным
q' = q,P'=p,
A'-frfr-S-f 4fr(r-q)= g+*y-3
приводит [23] к новому гамильтониану
$£ = -(d-E), (6.16)
где
d = EdA (6-17)
kl
оператор суммарного дипольного момента атома, а оператор
поля Е соответствует точке нахождения, атома. Этот
гамильтониан чаще всего используется в радиофизических расчетах.
Однако при этом следует помнить, что при квантовомехани-
•ческом рассмотрении поля обобщенный характер
операторной функции Е(г) приводит к бесконечным флуктуациям
(см. § 5). Поэтому для более корректного выполнения
квантового анализа здесь используется представление
гамильтониана (6.15), учитывающее сглаженный характер
взаимодействия по распределению атомного тока.
66
6.2. Мультипольное излучение и правила
отбора. Хотя выше мы для конкретности рассматривали
частный случай переходов — дипольные переходы, для «которых
интегральный дипольный момент dw=/jw(r)dK//o)W отличен
0т нуля и ролью остальных моментов пренебрегается,
рассмотрение на основе гамильтониана (6.15) справедливо и в
общем случае. В частности, взаимодействие электронного
опина с полем описывается током jw(r) = [rot{/is6(r—q)}]w,
где Я q — операторы спина и координаты соответственно.
Каждый (Л/)-переход реально взаимодействует не со
всеми степенями свободы электромагнитного поля, а лишь с
относительно небольшой их частью, определяемой
свойствами полного гамильтониана системы «атомный переход+по-
ле». В связи с этим удобнее всего использовать разложение
поля по такому базису в пространстве векторных функций
координат, в котором ток jw(r) определяется наименьшим
числом базисных функций. Поскольку этот ток локализован
в малой окрестности, значительно меньшей длины
оптической волны, то нетрудно догадаться, что наилучшим
базисом является базис векторных сферических функций с
источником в точке нахождения атома. В этом базисе оператор
взаимодействия
Шг = (— Uc) J £ hi (г) £ {\Шт (г) аМт ! э. с} dVPkh
благодаря тому что в A\®Jm входят функции Ханкеля
Hj(kr) (§ 5), содержит члены, быстро убывающие с ростом
/ как (ka)J-l/(2J— 1)!! для фотонов электрического типа Л=
=£ и как (ka)J/(2J+l)l\ для фотонов магнитного типа
А=М (см. п. 5,5).
Взаимодействие, описываемое 7-ми членами, означает
возбуждение соответствующих фотонов: электродипольных,
квадрупольных, магнитодипольных и т. д. в порядке
убывания интенсивности за счет приведенного фактора.
Анализируя условия, при которых 7-ые члены взаимодействия
обращаются в нуль, можно непосредственным образом вывести
так называемые правила отбора, указывающие, между
какими состояниями атома возможен переход с излучением
фотонов с моментом / электричеокого или магнитного типа.
При этом одновременно устанавливается тот факт, что
переходу с ненулевым 2/-польным электрическим или
магнитным моментом соответствует ненулевое взаимодействие с
соответствующими фотонами.
Возможен и более общий вывод правил отбора,
оснований на законах сохранения для системы «атом+поле». Из
закона сохранения суммарного момента следует, что при
изучении фотона с моментом / в зависимости от величины т
3*
67
его проекции полный момент атома может быть равен лишь
J0+J, Jo+(J—1), ..., |/о—Л- Кроме того, для
рассмотренного гамильтониана взаимодействия инвариантом является
также оператор четности, меняющий в совокупной волновой
функции для атома и фотонов г на —г. Из него следует, что
четность испускаемого фотона (—l)J при А,=£ и (—1)J-1
при %=М обязана быть равной произ;ведению четностей
исходного и конечного состояния атома.
Например, при испускании электродипольного фотона
переход возможен между состояниями с противоположной
четностью, для магнитодипольного — наоборот. Изменение
же полного момента атома в обоих этих случаях имеет
место на величину ±1,0.
Помимо этих строгих правил отбора существуют и
приближенные. Важнейшее из них — отбор по орбитальному
моменту, справедливей при пренебрежении
спин-орбитальным взаимодействием. Для электродипольного перехода
сферически симметричного атома, для которого гамильтониан
взаимодействия .коммутирует с оператором -спина, имеют
место правила отбора для спина, орбительного момента и
его проекции: AS = 0; Д/=±1; Дт=±1;
для магнитодипольного —-
Д/=0, Дт=±1.
Для квадрупольного перехода
/'=/, |/±2| три /^=0; /'=2 при /=0; Дт=0, ±1, ±2
(четность состояний сохраняется).
Описанные правила отбора являются важным методом
качественного анализа при интерпретации
спектроскопических исследований и при разработке квантовых устройств.
Отметим также, что из всех возможных типов излучения в
оптическом диапазоне для квантовой радиофизики
практически существенно лишь электродипольное, поскольку параметр
&а~10-4 очень мал, однако в рентгеновском диапазоне,
освоение которого стоит на повестке дня, значительная часть
представляющих интерес переходов являются магнитоди-
польными или квадрупольными.
6.3. Важнейшие процессы второго
порядка. Пусть на атом действует монохроматическое внешнее
поле с частотой со. Тогда квантовомеханическое среднее
операторов переходов Phiif) будет отлично от нуля и описание
изменения атомного состояния и соответствующих ему
процессов излучения целесообразно производить на основе
разложения
К (о = (pki (0> + [h, (о - {р« (0>] (6.18)
68
на неслучайное среднее и случайное отклонение от среднего.
Если поле слабое, то оно не приводит к существенному
изменению начальных стационарных населенностей, в
результате чего в лер;вом порядке по полю <.Рм(*)> описывают
просто линейную восприимчивость атома и соответствующее
когерентное рассеяние, тождественное когерентному
рассеянному излучению .классической системы зарядов с тем отличием,
что излучение ^/-переходов характеризуется
пространственным распределением, определяемым только матричным
элементом jw(r)> не зависящим от внешнего поля. От ;внешнего
поля зависит лишь соотношение между амплитудами этих
парциальных /^-компонент рассеянного поля, которые в
соответствии с уравнениями движения * (6.12), (6.14) в первом
порядке определяются парциальными токами,
пропорциональными j&/jftrAfc(r)rfV: когерентное сложение таких
вкладов для случая изотропной системы переходов приводит к
такому же пространственному распределению относительно
падающего поля, что и в классическом изотропном когерентном
рассеянии. В лолуклассичеокой теории лазера компонента
<Phi(t)> автоматически отождествляется с
индуцированным излучением, в то время как флуктуация не возникает
вообще. В случае сильного поля роль случайной части не
сводится только к спонтанному высвечиванию
возбуждаемого атома; имеют место также процессы, индуцированные
спонтанным излучением, описываемые на языке теории
возмущения большИхМ количеством разнообразных
многоквантовых процессов.
Указанная традиционная классификация эффектов на
основе теории возмущений осуществляется в соответствии с ее
схемой расчетов, излагаемой в курсах квантовой механики
[2]. В наиболее экономном изложении, положенном в
основу квантовой электродинамики, она сводится к следующему.
Пусть имеется замкнутая квантовая система, находившаяся
в начальный момент времени в состоянии Ч^о, являющимся
собственным для невозмущенной составляющей Ж о ее
полного гамильтониана^ =5^0+^/. Тогда вероятность
обнаружить ее в некотором собственном состоянии ЧЧ в момент
времени / может быть с использованием представления
взаимодействия (3.24) для оператора временной эволюции
представлена в виде
t
— JL f Mj(s)ds
Л = 1<*«|Те А° |%>|2. (6.19)
та формула, строго говоря, адекватна лишь случаю систем
Дискретным спектром и требует модификации записи для
епрерывного спектра [2]. Здесь, однако, этого не потре-
69
буется. Разлагая, как это делалось в »п. 3.4, экспоненциал
оператора временной эволюции в представлении
взаимодействия, входящий в (6.19), в ряд по степеням
взаимодействия, получаем вклад я-го члена разложения в виде
*Я-1 2
... J «£/&)...#/(У |¥0>|. (6.20)
,0
Анализ, выполненный в п. 3.4, по существу был основан на
этом методе, применяемом только к случаю асимптотически
малых времен *=Д. По идеологии теории возмущений
членам 9ti(U)...$t (tn) дается физическая интерпретация по
виду изменений, которые они вызывают в начальной функции
^о. В случае слабого поля все эти процессы представляют
существенный интерес, но, естественно, значимость их
резко убывает с ростом порядка. Важнейшими поэтому
являются процессы шервого и второго порядка то взаимодействию
атома с (полем. Рассмотрим для случая наличия
классического внешнего поля процессу второго порядка. С учетом
(6.15) они описываются выражением вида
U2(0,t) =T jJ*1*,EE?rr(<i)^(«trJJ(Jikr
• ]k>i>) (А0 + АЛ) (А; + Khy dVdV, (6.21)
где штрихи над A, j относятся к невыписанным
пространственным или временным аргументам. При этом ^ГРМ=
По идеологии метода теории возмущений каждому члену
в разложении mo 5?i ставится в соответствие физический
процесс, определяемый вызываемым этим членом
изменением волновых функций системы — в нашем случае
системы «атом+поле». Поэтому мы получаем, что выписанному
выражению соответствует переход атома из состояния / в
состояние к' через промежуточное состояние 6=/',
сопровождаемый соответствующими изменениями в состоянии поля,
описываемыми сомножителями «под операцией tr. Легко
убедиться, что секулярным (медленно меняющимся) членам с
неоператорными сомножителями с АлАьГ соответствуют лишь
k'=l (поскольку частоты у Ал, Ал' совпадают). В
результате с учетом тождества 2/^=1 мы выясняем, что этому
члену не соответствует никаких наблюдаемых изменений в
системе.
70
Члены АЛАоГ описывают переходы между состояниями
поля, отличающимися на один квант в силу того, что А0,
как мы знаем, имеет вид линейной комбинации операторов
порождения и уничтожения квантов. Смысл соответствующих
процессов в зависимости от значений /, Ы состоит в
переходе атома под действием внешнего поля Ал с /-го уровня
на промежуточный k-й и последующем переходе на Л'-й
уровень с излучением фотона на частоте о/ или обратном по
времени сочетании этих двух стадий.
Таким образом, эти члены описывают рассеяние внешнего
поля АЛ. Рассеяние возбужденного вакуумного поля
описывают члены А0Ао .
Разумеется, можно представлять поле Ал эквивалентным
образом в виде соответственно возбужденного вакуума,
находящегося в состоянии, описываемом соответствующей
смесью когерентных состояний. При этом, для того чтобы
эта эквивалентность не была утрачена в процессе расчетов,
необходимо учитывать фазовые соотношения в фотонных
состояниях, возбуждаемых классическим полем. В то время
как в тепловом состоянии поля между его фотонными
состояниями фазовые соотношения произвольны, в данном случае
фазы фотонов обусловлены внешним полем. Поэтому под
действием Ал будут переходы типов: «когерентный» фотон—и
—^«когерентный» и «когерентный»
фотон—►{«некогерентный». В выражении (6.21) им соответствуют матричные
элементы оператора АЛАоГ, вычисляемые на множестве
фазированных фотонных функций и на множестве нефазиро-
ванных функций соответственно. Неучет такой фазировки
приводит, например, к расхождению между результатами
классических и квантовых расчето» вынужденного излучения
свободных электронов [24], которое является по существу
классическим процессом. Собственно под рассеянием,
очевидно, следует понимать переходы в некогерентные
состояния.' Переходам же с учетом когерентности соответствует
нелинейная поляризация.
Необходимость искусственного разделения состояний на
классы и трудность адекватного представления всего
пространства состояний поля, а также необходимость
когерентного суммирования бесконечного числа переходов
показывают неадекватность глобальной (т. е. основанной на
разложении по константе электромагнитного взаимодействия)
теории возмущений для анализа когерентных процессов. Это
обстоятельство является ключом к пониманию причин
ограниченности применения современной формы квантовой
электродинамики к задачам квантовой радиофизики. В то же вре-
мя для исследования некогерентных процессов суммирование
вклада всех состояний вследствие их хаотичности не иред-
71
ставляет проблемы. Отметим еще, что проблема фазовых
соотношений поля в квантовом его рассмотрении
радикально упрощается, если выделяется конечное число его мод, как
это делается в теории лазера; при этом, конечно, описание
спонтанных процессов становится приблизительным и более
тонкие свойства, связанные с континуальной реальной
структурой каждой дискретной моды, выпадают.
Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь
некогерентного рассеяния. В нем следует выделять два типа рассеяния:
несмещенное, называемое также резонансной
флуоресценцией, и смещенное, называемое комбинационным рассеянием.
Первому из них соответствуют секулярные члены (6.21),
определяемые условием со/«о)л'> а второму — тфим-
Условие се'кулярности (Dft'+cu = cDj+G)' определяет соотношение
частот начального и рассеянного фотонов, откуда следует
совпадение со «о/ для несмещенного и софы' для смещенного
рассеяния (знак « означает «с точностью до ширины
линии»).
Формула рассеяния Крамерса — Гейзенберга. Для
нерелятивистских атомных переходов, существенных при й(о<С
<Стс2, матричные элементы процессов рассеяния
рассчитываются на основе выражения (6.21). Этот вывод не
учитывает естественную ширину линии (которая для процессов
второго порядка, вообще говоря, должна описываться на
основе членов третьего порядка; однако, наподобие
вышеизложенного анализа, может быть описана и в терминах
влияния процессов второго порядка на внешнее поле). Для
амплитуды ,рассеяния [1] Лйч=<конечн.|Техр(—г/5^г^т/й|на-
чальн.> получаем в дипольном случае
& 1 со**' — со Щ1 + со J '
k
где е, е' — соответственно векторы поляризации
поглощенного и излученного фотонов. Сечение рассеяния, т. е.
вероятность рассеяния в расчете на один фотон, имеет вид
где dQ — телесный угол, в который рассеивается фотон со'.
Амплитуда рассеяния Ah*i отлична от нуля для переходов
между состояниями k', I одинаковой четности, так как
одновременно d/ь'И dftfe будут отличны от нуля, лишь если \k>
имеет четность, противоположную им обоим. Это правило
отбора, как легко видеть, противоположно правилу отбора
для излучения уже возбужденного атома, которое
определяется просто матричным элементом dkfi прямого перехода
между этими состояниями. Это соотношение правил отбора
72
называется альтернативным запретом: переходы (k'l),
разрешенные для прямого излучения, запрещены для атома при
рассеянии на нем.
При низких частотах сечение несмещенного рассеяния
имеет порядок со4. Это означает, что связанное с ним
поглощение быстро падает в области низких (радиодиапазон)
частот. При высоких частотах связь электронов в атомах
становится несущественной {(ол<со, сода- <<о) и рассеяние
описывается классической формулой
*-*(-£-) V-r*
которая после интегрирования то углам и деления на Z2
дает формулу Томсона для полного сечения рассеяния
классического электрона:
в= (8я/3) (е2/шс2)\
Нетрудно видеть, что для перехода атома /—+k'=l
формула Крамерса — Гейзенберга совпадает с точностью до
затухания и до множителя с формулой (6.25) для
поляризуемости атома (см. п. 6.5). Физически это связано с
возможностью «представить линейную поляризацию атома —
процесс первого порядка по внешнему полю — как двухфотон-
ный процесс; рассеяние фотона этого поля с излучением
фотона той же энергии, что с учетом их'когерентных
соотношений и приводит к поляризации атома.
6.5. Линейная поляризация атома и его
осцилляторы. Благодаря простоте линейных эффектов для
их анализа можно применять различные схемы расчета, не
обязательно основанные на приведенной в п. 6.4
канонической схеме теории возмущений: определенной наглядностью
и некоторыми преимуществами обладает расчет на основе
Гейзенберговской системы уравнений (6.12), (6.14). Пусть
на атом падает классическое излучение, описываемое
потенциалом внешнего поля A/l(r^,= Re[A/l0exp(—tot)]. Будем
вычислять его средний дипольный момент. Для этого
необходимо в линейном по Ал приближении найти решение
указанных уравнений. Пользуясь линейностью
волнового•уравнения (6.12), представим его решение в виде
А = Ал + А0 + Ау, (6.22)
где До — оператор поля, эволюционирующего от момента
включения внешнего поля до момента t по закону эволюции
свободного поля («вакуумная» составляющая); А,- — поле,
с°здаваемое атомным током в (6.12). Данное разбиение в
квантовом случае не имеет, однако, столь простого смысла»
7а
как в классическом, так как эти поля некоммутативны.
Подставив (6.22) в линейное приближение уравнения движения
атома (6.14), получаем для кФ1\
£*- = 1*ыРы + ^ Фи - hk) [(АЛ/) +
+ ^[(Afikl + Aoikl)dv]. (6.23)
i®ki J.J
Попытка осреднения этого уравнения встречается с
определенными техническими трудностями из-за незнания-
корреляции между операторами инверсных населенностей /Г^=
—Pu—Phk и операторами Aj, Ао. Член с Ао имеет по
.происхождению смысл шума, однако для того, чтобы его можно
было отбросить, необходимо убедиться, что он имеет нулевое
среднее. Тогда член с f (Ayj#)dV должен описывать р>елак-
сационные процессы, так как он обусловлен самодействием
атома через поле излучения. Время корреляции вакуумного
шума f (Я0 (r,v/) ]kl (r)\dV, действующего на атомные
переходы, имеет порядок радиуса атома, поделенного на скорость
света, т. е. ~10-18 с. Поскольку это значительно меньше
ожидаемых времен релаксации, то операторы Рм на
представляющих интерес временах имеют марковский характер,
и для вычисления корреляции можно пользоваться
упрощениями, характерными для марковских стохастических
уравнений, каким является (6.23).
Проделывая соответствующие стандартные процедуры
[25], 'можно показать, что именно при указанном порядке
следования некоммутирующих операторов л^, Ао вакуумный
член равен в среднем нулю. Отбрасывая его и .подставляя
вместо А; аппроксимацию соответствующего ему выражения
в виде запаздывающего потенциала приближенной формулой
получаем для среднего оператора атомного перехода
уравнение
-— Фм> - (йы -■**-) (Ь,) --£■ (n,-nk) J(AAjw)dV. (6.24)
Здесь loki—^ki+^ki — сдвинутые частоты переходов,
отличающиеся от невозмущенных частотой лэмбовского сдвига
Ли, ум — соответствующее затухание (их выражения приво-
74
дятся в п. 7.1, где дается более полное исследование
релаксации методом квантовых уравнений Фоккера — Планка,
изложенным в п. 3.4); пь пь — средние населенности,
предполагаемые изменяющимися лишь за счет спонтанной
релаксации. В дипольном приближении, заменяя
(*/c)/(Afcjft/)dV==(Edw), для поляризуемости а(со)
получаем (E((o)a(cu)=Sdw<Pw>):
«<*>-■=■£ 2 hn:. • <е-25>
т +ш coj—со2 —tYs0
где индекс 5 обозначает (kl) -переходы безотносительно к
их направлению; ns — соответствующая разность наеелен-
ностей; /8 — безразмерные осцилляторные силы i[26, 23]:
'«--*ЗЧ («•■§-) Г- 2'--1- <6-26)
k
Таким образом, реакция атома определяется как
взвешенная сумма с весами f8 откликов заряженных гармонических
осцилляторов с частотами a)s с зарядом электрона е. Эта
классическая картина поляризуемости атомов и молекул
развита Лоренцем.
Комплексность поляризуемости означает линейное
поглощение внешнего поля в среде атомов. Поскольку
восприимчивость при плотности атомов N есть.Мх, то для поглощения
получаем
ц = 2— 1т>/ё^ 4я — lma((u)N.
с с
Обычным в линейной оптике случаем распространения
является нерезонансное прохождение, когда частота волны о
не лежит в спектре частот переходов между связанными
состояниями атома, в области которых имеет место сильное
резонансное поглощение. Это условие определяет область
относительной прозрачности среды. Частоты cos в
окрестности частоты со, вносящие вклад в мнимую часть а(ю),
образует непрерывный спектр с непрерывным распределением
силы осцилляторов, характеризуемой плотностью df/da.
Интегрирование мнимой части (6.25) с учетом малости изменения
df/dto в области ~у8 дает
[X = (2ne2/mc)Ndfld(o= 1,098- 1(Г1в см2-эВ Ndf/dE.
Таким образом, поглощение в расчете на один атом,
называемое сечением поглощения, связано с плотностью осцилля-
торной силы универсальной константой.
75
§ 7. РЕЛАКСАЦИЯ АТОМА
ЗА СЧЕТ РАДИАЦИОННОГО РАСПАДА
7.1. Вероятность радиационного распада.
Исследование механизма излучения возбужденного атома
исторически является важнейшей задачей квантовой
электродинамики. Описанный в п. 6.3 метод теории возмущений
позволяет достаточно просто определить такую
характеристику этого процесса, как скорость распада начального
состояния, т. е. вероятность самопроизвольного перехода в
невозбужденное состояние за счет излучения. Пусть атом
находится в А-м состоянии, и нас интересует вероятность его
-нахождения в /-м состоянии в момент времени t, даваемая
формулой (6.19), причем будем интересоваться только
первым порядком теории возмущений.
Учитывая вид гамильтониана взаимодействия (6.15),
получаем, что в этом приближении процесс характеризуется
как излучение одного фотона атомом и порождение этого
фотона в вакуумном поле (будем предполагать отсутствие
других фотонов в пространстве, т. е. внешнего излучения
нет); соответствующая схема изображена на рис. 3. Под
системой, к которой применяется формула (6.19), записанная
для случая дискретного спектра, будем понимать при
вычислениях только атом сЧго=|Л>, Чгл=|/>, а полевые
переменные в §ti будем понимать как случайные переменные,
по которым необходимо провести дополнительное
усреднение. Тогда получаем
t t
Pi = -^-J J<M*i<#/«M #/»(%)>,. (7.1)
где
#/« = </|##|fc> (7.2)
матричный элемент оператора взаимодействия между
соответствующими 'состояниями атома. На основании (6.15),
(5.12), (5.13) он имеет вид
&и=- f i/^Sc,(k)[u(k)ei-(k)/-^-«'+
+ jw(k)^(k)e-'e>'+iw«']d3k, (7.3)
где
J«(k) = JJw(r)e-*-rrfV (7.4)
матричный элемент плотности атомного тока в
Фурье-представлении. Подставляя (7.3) в (7.1) и учитывая, что для
76
Ъакуума согласно п. 5.4 (a+2)f = (a?)f = (a+a)f = 0 и только
< <Si (к) а^.(к') >, = би- б (к - к') ^ О,
получим, обозначив 2 е* (к) ejj" (к) = Pj. АО»
о о
Учитывая, что ток простирается только на атомные
масштабы, а соответственно при интегрировании по частоте co=ck
Ъа>к
2Ьо>
be**
tea
Рис. 3. Энергетическая схема однофотонного перехода в системе
«атом+поле»: а — атом; f— осциллятор поля (к, А,: (овсо^—©^)
обрезание за счет множителей j^, ]*kl возникает лишь на
частотах со~1(И8 с1, при временах ^10~18 с,
представляющих интерес, при интегрировании ио su $2
подынтегральное выражение в квадратных скобках можно считать
сингулярным (пропорциональным b(s\—S2)). Если еще учесть,что
для дипольных переходов jw(k) =шм4м(к) « шы&м, где dw
обозначает интегральный дипольный момент перехода,
получаем, выполнив элементарное в этом приближении
интегрирование по углам k/ky стандартное выражение
% 3 Ac3 v '
Таким образом, вероятность перехода с излучением одного
фотона пропорциональна времени; коэффициент пропорцио^
нальности в (7.5) носит название скорости радиационного
Распада.
77
7.2. Полное квантовое описание атома в
вакуумном поле. Расчеты, подобные приведенному,
составляют хорошо разработанный аппарат современной квантовой
электродинамики. Наиболее развитым ее разделом
являются диаграммные методы, в частности, метод Фейнмана [1,
27], основанный на релятивистски инвариантном
представлении временной эволюции в (6.19) и ее разложении (в
6.20). Однако набор вероятностей переходов для некоторой
подсистемы, вообще говоря, не определяет ее эволюцию как
заданный случайный процесс, который определяется
полностью заданием всех многовременных распределений
вероятностей.
Например, важной двухвременнои характеристикой в
квантовЪй радиофизике является ширина линии спектра
излучения атома. Поскольку поле излучения определяется ди-
польным моментом атома (операторным в квантовой
теории), спектральная интенсивность, определяемая квадратом
преобразования Фурье от дипольного момента по времени,
будет, действительно, зависеть от двухвременнои корреляционной
функции: дипольного момента, которая равноценна
одновременной лишь для установившегося режима.. Интерес
представляют также и четырехвременные
характеристики,'например, в опытах по измерению статистики фотоотсчетов [20].
Наиболее естественным прямым методом определения
всех этих характеристик является изложенный в п. 3.4 метод
квантовых условных распределений вероятностей, наиболее
эффективный для марковских квантовых процессов. Сначала
мы проиллюстрируем его применение к рассмотренной в
п. 7.1 задаче о релаксации атома в отсутствие внешнего
поля. Разумеется, этот случай, благодаря своей предельной
простоте, доступен и исследованию другими методами.
Действительно, в этом случае вся эволюция в конечном счете
определяется одним параметром — рассчитанной выше
скоростью радиационного распада. Однако в методическом
отношении этот анализ необходим для более полного
качественного представления о характере эволюции, что
достигается компактностью используемого в этом методе матричного
представления оператора перехода.
Прежде чем приступать к анализу, целесообразно перейти
к более удобному в данном случае способу представления
усреднения (3.25). Поскольку в (3.26) оператор эволюции
атома задается согласно (3.24) в виде суперпозиции
операторов невозмущенной эволюции и оператора рассеяния
Т ехр{...}, то можно операторы невозмущенной эволюции
вынести из под знака усреднения в (4.9), применив их к
усредняемым шредингеровским операторам Лп, ..., Ль Такое
представление S-операторов можно назвать представлением
взаимодействия, в отличие от введенного формулами (3.25) У
78
1(3.26) шредингеровского представления. Итак, в
используемом здесь представлении взаимодействия
Sn = < W" ('о, Q © Vi (*rt-i, tn)© ... 0 V, (*0, tx))ft (7.6)
где
v
V,(/,0 = Texp{^ij^/(5)ds}. (7.7)
Соответственно под Лп, ..., A i следует понимать
невозмущенные гейзенберговские олераторы Ak—Ut(*<>» t) Ak(t0)Ua(t0, t).
Гамильтониан взаимодействия (6.15) в 'представлении
взаимодействия имеет с учетом заданного внешнего поля вид
$Ct (/) = £& (t) '-f hkl (0J W (t), (7.8)
kl
где Pki (0 = Рщ (*o) ехР P®*/ (* — 'o)] ~ невозмущенные
гейзенберговские операторы перехода;
L(0=--f JXe(r.0J«(r)^ (7.9)
вакуумные шумы /^/-переходов, определяемые сглаженным
по распределению тока свободным электромагнитным
полем, возникающим из заданного начального в
результате свободного распространения в вакууме; hM(t) =
=—(1/с)/АЛ(г, t)jhl(r)dV — воздействие внешнего поля.
Нетрудно оценить временной интервал корреляции
вакуумного шума: для резонансных переходов, представляющих
интерес в радиофизике, он порядка размера атома,
поделенного на с, т. е. ~ 10"18 с. Соответственно, вплоть до таких
частот переходов применимо их марковское описание,
развитое ранее. Другими словами, марковской является
динамика переходов, излучающих длину волны, значительно
превосходящую размеры атома. Практически марковская теория
применима во всем применяемом в современной квантовой
радиофизике диапазоне волн вплоть до рентгеновского.
В соответствии с предшествующим анализом благодаря
марковости динамики атома ее анализ сводится к
вычислению операторов систематического сноса (3.32) (без §Са>
включенного в 7) и диффузионного оператора (3.37), а
также к последующему вычислению операторов перехода
(3.30), через которые любое совместное распределение
вероятностей *pSn выражается с помощью (3.27). Получаем снос
^ = 7^(Оей^(?«0/1Л/0Рй), (7.10)
79
где Pki = Pkl (0 — шредингеровские операторы переходов.
Вычисление диффузионного оператора несколько более
громоздко из-за необходимости усреднения, в процессе «которого
необходимо воспользоваться не только малостью Л по
сравнению с резонансными частотами, но и его большой
величиной по сравнению с временами корреляции для \м-
Используя, представление £w(0 через операторы порождения и
уничтожения квантов поля по формуле (5.12); приведение
квадратичной формы (3.33) к нормально упорядоченному
виду и правило ее усреднения для вакуума; замену
временных аргументов т, т' в (3.33) на полусумму и полуразность;
интегрирование по (т—т')/2 в пределах (—оо, +оо),
(О, оо), (—с», 0), соответствующих различным членам
(3.33); правило обращения с обобщенными функциями типа
00
6+ (ю) = f exp (t (ox) dx9 получаем в конечном счете
о
- -L (е+вдАг о Т+ в-впкУО P*i) ] -
- \ Аьт- (в+бЛг О Т- в-вг*Г0 /V/))
(в±=0(±(соЛ/-а>^г))). (7.11)
Структура этого выражения такова: слагаемое с
сомножителем в квадратной скобке описывает релаксацию, в то
время как последний член, как легко видеть, соответствует
просто коммутатору, т. е. эквивалентен добавке в
невозмущенный гамильтониан или соответственно в неслучайное
возмущение (7.10). Константы Ушт» hkivv имеют вид
2 (dfc/dju/»»)
Vkik'r = у —j^— <uk№'k* (®ki — <»k'i') (7.12)
(для дипольных переходов);
W = <^J / Ц-^МЛ1ЙГ' <7ЛЗ)
со (со- ]
а Q(x) = ( 1/2) + (1/2)signх — функция «скачка».
В (5.19) имеется большое число слагаемых,
осциллирующих во времени. Их вклад в эволюцию за конечное время
~у~1 определяется величиной Дсо/у, где -у — параметр за-
80
уухания для представляющего интерес процесса, a Ao) = o)w+
\bcofeT — частота осцилляции. Обычно подобными членами
Пренебрегают, хотя они могут представлять интерес при
анализе интерференционных эффектов в излучении атома.
Отбрасывая их и пренебрегая возможностью случайного
удовлетворения условия Дсо=0, упрощаем (5.19) до
Г = 2 {уА/ [в+РА10^—i-(e+?tt0f+ е-Г©Я,)] -
^\ л.лвАоГ-е./оЛ/]) =
-±Akl(PkkQl-TQPkk)Y (7.14)
где yaiHyiwuI, Лм= |Aftiifc|. Отметим, что данный аналиа
атомной динамики является наиболее полным по методу —
он описывает ее полностью, но не является самым общим по
виду взаимодействия; наиболее полным в последнем
отношении является анализ, выполненный Лэксом [16].
Благодаря тому что в (7.14) отсутствует зависимость от
времени, соответствующий оператор эволюции
t
S (/0, 0 = Т-1 ехр (J ГА) = ехр [Г (t - /в)] (7.15)
может быть вычислен без принципиальных затруднений. Это,
однако, совсем не просто при наличии внешнего
возмущения, когда вместо (7.15) мы должны рассматривать общее
выражение (3.30) с учетом вклада эволюции (7.10) за счет
внешнего поля.
Приведем явный вид оператора (7.15) для
двухуровневого атома, представив его обычной 4Х4-матрицей,
действующей на 2Х2-матрицы динамических переменных,
записанные в виде 4-векторов в результате расписывания матриц
по строкам. Последнее соответствует разложению
элементов пространства операторов L по линейному базису матриц
р« - (А 8)
В этом базисе
1 0\ ъ
"и
0 1\ р _ /0 0\ ъ _
-ill)
21
=Р-
S(t0, t) = ехр
-Y 0
q —V+'A
о
о
2
о
о
о
о
Y>
о
-У-'Ар
2
о о
е-д
81
/ exp[—y(t-t0)] О 0 l_e-v(/-/o) v
/ 0 exp[-(Y+'A)(/-/0)/2 О О V
= О О exp[-(y-iA)(t-t0)/2]0 Г
\ О 0 0 1/
(7.16)
Применяя оператор ST к матрице плотности, мы убедимся,
что он описывает релаксацию к нижнему уровню, причем
•скорость релаксации недиагональных элементов равна у/2,
а диагональных — у. Нетрудно также убедиться, что этот
оператор сохраняет положительную определенность и
нормировку, причем положительная определенность связана
именно с различием в два раза скоростей релаксации
диагональных и недиагональных элементов (которые
называются также скоростями поперечной и продольной релаксации).
Эволюция, обязанная- Л=^=0, коммутирует с описанной
релаксацией и может быть включена в невоэмущенное
движение как дополнительное частотное смещение. Это
смещение называется лэмбовским сдвигом, сыгравшим большую
роль в утверждении квантовой электродинамики. Точнее,
рассчитанное здесь Л/2 есть его основная радиационная
составляющая, обусловленная взаимодействием атома с
излучением. Типичное его значение— величина порядка
1010 Гц в оптическом диапазоне. Со времени измерения
Лэмбом этого сдвига методами радиоспектроскопии лишь в
начале 70-х годов в экспериментах Хэнша и соавторов
удалось с сопоставимой точностью измерить его оптическим
методом — методом спектроскопии насыщенного поглощения.
Типичная же величина радиационного затухания у~Ю8 Гц.
Очень важно точно представлять соответствие между
изложенным математическим анализом и основными чертами
описываемой физической картины. Для этого полезно
выписывать соответствующее рассматриваемому гамильтониану
(6.15) неусредненное гейзенберговское уравнение эволюции
атомных переменных. Для двухуровневой системы на
основе (6.14) получаем
^ = *Ч<Л2Ч ^(P22-Pii)§h2(r)A(r,t)dV. (7.17)
Теперь учтем, что поле А на основании (5.8) может быть
лредставлено в виде суммы вакуумного «и возбужденного
источником:
A = A0-f Ау = А0 +
• +^fe(rf-rf0-|r-r4)1^x
с J 1г — г |
xp12(/-i^)-P21(^-I^)]dr. (7.18)
S2
возбужденное поле, действуя на атом, определяет силу
реакции, в то время как вакуумное определяет флуктуации
атома. Эта два члена не независимы: .первый определяет
некоторое затухание, а второй дает такую шумовую добавку,
которая компенсирует это затухание и" сохраняет
постоянным антикоммутатор [Р12, Рп)+ = Рц + ?22 = ^
Диффузионный оператор, рассчитываемый по формуле (4.17), по этой
причине не является характеристикой, независимой от
затухания; он просто описывает именно это затухание, так же
как в случае классических марковских процессов
коэффициент диффузии, нормированный на стационарную
дисперсию, равен затуханию (у = D/a^).
Данное затухание есть результат излучения энергии
атомом. Эту энергию, однако, нельзя отождествлять с полем,
описываемым только возбужденным полем Aj, поскольку
оно не независимо от Ао. Эту энергию учитывает
диффузионный оператор, при расчете которого автоматически
учитываются фазовые соотношения между возмущением атома
вакуумным полем и реакцией излучения на это возмущение,
определяющие потерю энергии атомом. При этом
возмущение атома, находящегося в нижнем состоянии, не может
находиться в фазе с силой реакции из-за отсутствия фотонов,
которые необходимо поглотить (т. е. отсутствия требуемых
изменений в состоянии поля) для обеспечения условия фази-
ровки в среднем по времени, т. е. условия До)=0. Это
условие выполняется лишь для атома в возбужденном состоянии»
который может излучить фотон. Интенсивность излучения
пропорциональна
Поскольку скорость релаксации недиагональных
элементов <Pi2> равна у/2, то скорость релаксации
диагональных элементов, определяемая квадратом дипольного
момента переходов с верхнего уровня на нижний, равна
соответственно у. Отметим, что для соответствующих этим двум
скоростям временам поперечной и продольной релаксации Т2у
Тх имеем в данном случае соотношение Т2=2Т\ (так что
встречающееся в теории релаксации спина соотношение
Т2*^Т\ [23] не универсально: Т<^2Т\).
Полученное соотношение между скоростями релаксации
нарушится при рассмотрении полного гамильтониана (6.7) f
второй член в котором приводит к дополнительному, так
называемому фазовому, шуму, случайно изменяющему
абсолютную фазу дипольного момента, но не влияющему на
фазовое соотношение между дипольньш моментом и силой,
реакции. В результате оказывается 7,2<27Y В случае
полуклассического анализа реакция излучения также имеет место,,
но для этого требуется наличие среднего дипольного
момента. При его отсутствии, несмотря на релаксационный харак-
ва
тер системы, излучение возбужденного атома все-таки
отсутствует из-за отсутствия шумового механизма
возникновения дипольного момента.
Полезно проследить также из энергетических
соображений, почему для атома в вакууме излучение определяется
населенностью верхнего уровня. Энергия поля,
возбужденного атомом, отличается от вакуумной на величину энергии
.возбуждения
Выражая векторный потенциал возбужденного поля в виде
А$х=Ао+А/, где А/ обозначает возбужденное током j поле,
н разлагая Ао по набору операторов ах (к), ах" (к) и Ау =
= ASr> + Ау+) по Л (к), получаем
аех (к) = ах (к) + const J fx (к, т) ехр [— ick (t — т)] dx9
to
где jx (к, т) = ji2x (к) Р12 (т) — положительно-частотная часть
тока в отсутствие возмущения, когда Р12 (/) = Р12 (0). ехр [— {(щ —
— (o2)t]. В результате при малых /—10 получаем
(а+а)ех -* (Т (-> Т <+)> - (РЪ Р1Ш) = «,.
т. е. изменение энергии поля определяется населенностью
верхнего уровня. Это обстоятельство существенно связано с
тем, что осцилляторы вакуумного поля описываются
разложением ах (к) ехр (— Ш) + а£ (к) ехр (Ш)9 в котором
положительно-частотная часть описывается оператором
уничтожения, к которому и прибавляется возбуждение—1(+) — Р12-
В результате порождение кванта поля сопровождается
переходом атома с верхнего уровня на нижний.
Для поля гипотетических ант'ифотонов, описываемых
разложением а+ехр (— Ш) + а ехр (Ш), все будет наоборот:
все атомы будут излучать антифотоны, переходя с нижнего
уровня на верхний, что приводит к изменению энергии поля
.антифотонов на величину —Йсо в каждом акте излучения.
Таким образом, поле антифотонов в случае их реального
существования в обычном вакууме подобно фотонам было бы
неисчерпаемой «кладовой энергии». Это соображение само
ло себе является аргументом против универсального
существования поля антифотонов. Однако оно ни в коей мере не
исключает физическую реальность таких возбуждений
обычного фотонного поля, которые обладают всеми описанными
свойствами поля антифотонов (за исключением, естественно,
леисчерпаемости); такие возбуждения и реализуются при
S4
взаимодействии атомов, часть которых находится в
возбужденном состоянии.
Принципиальное значение в проведенном анализе играет
обстоятельство, значение которого в полной «мере раскрыто
Глаубером [5]: энергия возбуждения определяется
нормально упорядоченными выражениями как через операторы
поля, так и через операторы атома. На основе аналогичных
рассуждений Глаубером было показано, что системы
невозбужденных атомов, используемые для детектирования поля,
реагируют только на корреляционные функции поля,
представленные нормально упорядоченными выражениями. В
свете этой простой и изящной теории ответ на вопрос «почему
не излучает невозбужденный атом?» получает простой по
форме ответ: «потому, что ему соответствует нуль
наблюдаемого излучения». Выше смысл этого ответа был раскрыт
на основании детального описания динамики.
Простейшим применением полученного диффузионного
оператора эволюции многоуровневого атома (7.14) является
сопоставление с его помощью балансных уравнений для на-
селенностей /*л=<Рлл>а. Получаем при отсутствии
внешнего поля
* = "F{s {t°' ° Pkk)*U = {rPkk) =
wm>fi)/
dt
=== 2j ^m/ \ ml kk lm 2* * mm i" l k) =
= J] Ym^-( J ykm)nk. (7.19)
Это известные уравнения Паули. Величина Гк = V укт
<»m«»k
есть полная скорость затухания k-го уровня, а первый член
последнего выражения — полная скорость переходов на
А-й уровень со всех остальных. Для недиагональных
элементов, описывающих среднюю поляризацию, имеем более
простое уравнение:
-£- (hi) = [i (©« -г Лл//2) - Г*,] (Pkl)9 (7.20)
где Гл/= y [ J] Укт + S Y/m 1 0ПРеАеляет ' суммарную ско-
рость переходов с й-го и /-го уровней. Для двухуровневого
атома T2=y> Ti = 0, Ti2=y/2, где Y=Yi2- Разумеется, смысл
использования оператора диффузии и 5-операторов не
сводится к описанному построению балансных уравнений, а
заключается в возможности расчета среднего для произ-
85
вольной м«ноговременной .переменной /, т. е. в том, что они
дают полное статистическое описание. Одна из новых
возможностей, открываемых таким методом, состоит в расчете
влияния на квантовую релаксацию атома, оказываемого
внешним полем; это влияние имеет место вследствие
некоммутативности оператора вынужденной эволюции (5.18) и
оператора диффузии. Использование 5-операторов
представляет регулярный метод исследования таких задач.
7.3. Индуцированное излучение атома.
Теория Эйнштейна. При расчете диффузионного оператора Г
мы предполагали, что независимое от заданного поля
внешнего источника свободное поле Ао находится в вакуумном
состоянии. Представляет интерес обобщить это
рассмотрение на случай свободного поля Ао, предварительно
возбужденного за счет какого-либо источника, но таким образом»
чтобы для него по-прежнему выполнялось условие
марковости атома, т. е. малости времени корреляции для атомного
возмущения %(t). Разумеется, далеко не все возбуждения
поля можно описывать в таких предположениях: в общем
случае эти возбуждения должны описываться как внешнее
поле АЛ в (7.10), выраженное через его источники с учетом
обратного влияния на последний суммарного поля (пример
такого анализа — теория лазера), при таком анализе
получаемые ниже соотношения необязательны.
Изменения, которые необходимо сделать в расчетах
п. 7.2, таковы. При усреднении операторов а£аь и a\at
ранее ненулевое значение 1 давало только последнее
сочетание, которому соответствовали атомные переходы с
уменьшением энергии, что легко обнаруживается по свойствам
оператора диффузии (7.11); это также понятно по смыслу
операторов а£, соответствующих порождению кванта
поля, и среднего (аъ,а£), соответствующего вероятности этого .
процесса. Сочетание ata^ имеет обратный смысл и в
выкладках ему соответствует частота обратного знака, но для
вакуумного поля его среднее равно нулю и не проявляется
в (7.11). Теперь же невакуумность состояния приводит к
тому, что, во-первых (d^t) = п% + 1, а не 1, и, во-вторых,
помимо члена (7.11) в диффузионном операторе Г
появляется аналогичный член, отличающийся противоположными,
знаками индикаторов в± с дополнительным множителем
Л I Л
(яаТяа.) = п\\ он описывает переходы на вышележащие
уровни с поглощением кванта йсо. Ограничимся приведением
вида Г, получаемого указанным обобщением выражения
(5.22) при ограничении секулярными членами. Получаем
Г = Г+ + Г", (7.21Х
86
ТДе Г+, Г~ описывают соответственно излучение и поглощение:
r+=J-^LS["x(k)-t"1] 2 {«(«-«^uw*
• --^-л^(Л)(^*оГ-/'оР^),
(7.22)
Y^(k) = [dA,-ex(k)]2fi)|</Scs,
Л*' W = т%г Йн СО • ех (Ю]2 ю,/ п , •
Коэффициенты
a* = J J [ях (к) + 1] Y*< (к) <*2 (k/ft),
a^=j'E^(k)Y^(k)d2(k/*)
есть соответственно полные вероятности перехода атома в
единицу времени с излучением и поглощением кванта. Для
ллотностеи вероятности излучения в единицу телесного угла
.имеем
dwfo = const • y£, [ях (k) + 1],
йщ = const- Y^(k).
Таким образом, вероятность излучения в (п+1)/п раз
больше за счет вероятности спонтанного излучения. Вероятности
же индуцированных переходов вверх и вниз для
невырожденных уровней одинаковы и пропорциональны
интенсивности поля. Вводя интенсивность, соответствующую ля (к),
представляем эти соотношения в форме Эйнштейна [28]:
о>+ = А + [BJdQ, w~ = yBJdQ (О = к/к).
87
При этом Л=/В/0Л2, где /0 — интенсивность,
соответствующая /и(к) = 1, откуда получаем соотношение
Л = (Йа>3/я2с2)Я.
Для двухуровневой системы на основании формул (7.21),.
(7.22) вычисляем суммарный диффузионный оператор,
имеющий в 4Х4-матричной форме вид
/— w+ О 0 ад- >
О О
гг =
п Ш . . Л
О ___-ft__
2 2
О
0
О
_JL_/JL о
— ад-у
(7.23>
где ад=ад++ад- — сумма скоростей прямого и обратного
переходов, Л=Л++Л~" — сумма аналогично определяемых
парциальных лэмбовских -смещений в возбужденном поле.
Для оператора перехода 5(т)=ехр(Гт) нетрудно получить
явное выражение: для этого нужно учесть, что (5.33)
представляет собой прямую сумму двух матриц 2X2, для
которых искомая функция вычисляется независимым образом,
а для неэрмитовскои матрицы функцию можно вычислить с
помощью биортогональной системы правых и левых
собственных векторов ф*, Хг по формуле / (А) = 2/ (А,,) (х+Ф*)"1 ФйС/+
[29] (в данном случае <р, % вещественны). В итоге получим
/ хат
w
5г(т) =
Ш+
W
о
о
ДО*
ет** О О
£—(ш—/Л)т/2 О
О e-(w+iA)%l2
erwx О
от
W
W
егт
О
О
w
О £-л.«£-е-™
К w
W
W
W
(7,24>
Четыре угловых элемента описывают здесь «забывание»
начальных населенностей и установление стационарных
значений р22=до~/ад, рц = ад+/ад по закону
w
•Ph(*)=Pm(Q)«-"» + -=-(1
W
Ри(т) = Ри(0)е-«« + -^(1
W
е-™).
Два центральных диагональных элемента описывают
релаксационную эволюцию среднего дипольного момента
(недиагональных матричных элементов матрицы плотности) с
половинной частотой затухания. Если возбуждение поля чиста
тепловое с температурой Г, то, учитывая вытекающее с уче-
88
том формулы Планка соотношение w+/w-= (я+О/Яг3
=exp(pftco), получаем для стационарных населенностей
(p22/Pii)st = exp(— рйсо).
Остановимся на принципиальном моменте, связанном с
ограниченностью эйнштейновской теории и (применимостью
развитой методики. При выводе законов Эйнштейна для
спонтанного и индуцированного излучения мы исходили из
марковской теории атомной динамики. Это справедливо для
вакуумного поля, а для применимости такого анализа для
возбужденного поля необходимо потребовать, чтобы
спектральная ширина флуктуации этого поля была значительно
больше спонтанной ширины (естественного затухания). Это
выполняется для теплового поля, в применении к которому
Эйнштейн и развивал свою теорию. В более общих случаях
марковский подход может быть неверен.
В приведенном анализе мы ограничились диффузионным
приближением (3.31) для инфинитезимального оператора
перехода (3.28). Для вакуумного поля, описываемого гаус-
совским шумом, члены более высокого порядка разложения,
содержащие члены вида {0tffl\ --*ЖГ )f, в марковском
приближении дают, как легко обнаружить, ноль в пределе
А—►() из-за расцепления этого среднего на парные
произведения. В случае же, например, лазерного шума с чисто
фазовыми флуктуациями эти недиффузионные
(многофотонные) компоненты отличны от нуля даже в марковском
приближении [30].
§ 8. АТОМ В СИЛЬНОМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
8.1. Физические особенности поведения
атома в сильном резонансном поле. Вопрос о поведении
атома в сильном внешнем поле приобрел актуальность лишь
после появления достаточно мощных лазеров, создающих
напряженности поля, удовлетворяющие соотношению
Edkl^nykl, (8.1)
где k, I — индексы уровней с соответствующей частотой
перехода (Da=сом, близкой к частоте лазерного излучения cdl.
Соотношение (8.1) вытекает из теории возмущений и
выражает условие, что вероятность перехода k—vl под действием
внешнего поля за время атомной релаксации %~\1ум ста*
новится порядка единицы.
Из гейзенберговских уравнений движения для атома при
этом следует, что даже для случая, когда \k> является
основным (или метастабильным) состоянием, населенность
89
I/.>-состояния будет «иметь тот же порядок, что и
населенность | k> -состояния, за счет сильного внешнего поля. При
этом переходы из |&>- в |/>-состояние и обратно носят
на этих временах когерентный характер, поскольку потеря
фазы колебаний происходит лишь на временах,
превосходящих время релаксации. В результате спектр флуоресценции,
в отличие от случая слабого поля в п. б.З, не будет
распадаться просто на сумму когерентного линейного отклика на
частоте внешнего поля и спонтанного излучения на атомной
частоте, имеющего место за счет возбуждения на верхний
уровень как при сильном, так и при слабом поле.
Специфические особенности спектра флуоресценции в сильном поле
были исследованы экспериментально в опытах Эзекиля и
соавторов [31], которые подтвердили теоретические расчеты,
выполненные для двухуровневой системы Моллоу [32] и
другими авторами.
В случае применимости марковского описания динамики
атома во внешнем поле (это заведомо так для чисто
радиационной релаксации, характеризуемой временами
корреляции, шума ~10"~18с) исчерпывающее описание поведения
атома, как мы уже знаем, дается оператором перехода
5 (0, t) = Г"1 ехр {J [Wa + D Ь Q (т)] dx}. (8.2)
Эта формула записана на основе выражений (3.30) —(3.33);
здесь Wa описывает эволюцию невозмущенного атома с
набором частот, включающих содержащиеся в (3.33)
поправки на лэмбовский сдвиг; оператор «чистой» диффузии D
есть оставшаяся за вычетом лэмбовского сдвига часть
диффузионного оператора (3.33);
й(т) = -т2(Е(т)с1л/) CPkiQT-TQPki) (8.3)
«нутационный» оператор, который описывает «силовое»
действие внешнего поля на дипольный атом, приводящее в
отсутствие релаксации к осциллирующему (нутационному)
изменению населенностей с частотой Раби [33] (для
монохроматического поля)
В отличие от случая свободной релаксации атома в
вакууме в (8.2) наличие оператора хронологического
упорядочения Т существенно, так как некоммутативйость Й(т) с
Wa+D приводит к некоммутативности Wa+D + Q(x)9
соответствующих различным моментам времени. В связи с этой
трудностью расчет S(0, t) для случая произвольного внеш-
9<У
него поля невозможен, и необходимо пользоваться
упрощениями, связанными с конкретными свойствами
действующего на атом поля Е(£). Здесь мы рассмотрим лишь
важнейший в теоретическом плане случай монохроматического
поля
Е (t) = E0cos (cdl / + ф), (8.4)
который дает простейшее приближение для поля лазерного
излучения с достаточно малой шириной линии.
Пользуясь тем, что оператор Wa+D-{-£l(%) в (8.2) в этом
случае периодичен по времени с периодом TL=2n/(dLy мы
можем упростить расчет следующим образом. Разобьем
отрезок времени (0, /) на сумму целых периодов колебаний,
обозначаемую здесь [<], и оставшуюся нецелую часть,
обозначаемую {/}. Тогда 5(0, t) распадается на произведение
оператора перехода, соответствующего {/}, на [t]/TL-yio
степень оператора перехода за период внешнего поля.
Одновременно с этим преобразованием удобно также из Wa
выделить оператор эволюции nWL с частотой пыь, кратной
частоте внешнего поля, причем п выбирается таким образом,
чтобы расстройка от частоты некоторого перехода (оа=а)Аь
резонирующего с полем, была минимальной: этим
достигается максимальное упрощение оставшейся части для случая
резонанса, но само преобразование справедливо всегда.
Этот оператор следует рассматривать как оператор
«невозмущенной» эволюции — взамен невозмущенной эволюции
Wa в случае свободного атома, и соответствующий ему
оператор перехода следует вынести из-под экспоненциала, как
это обычно делается для представления взаимодействия,
основанного на формуле
t
Те0 = Техр /Г ев*А(х) e~B*dx\ eBt.
В результате получаем точную формулу:
S (0, 0 = в*м Г"1 ехр [J Wj (т) <*т] enWL'. (8.5)
Здесь
У/(т)=^т[О^Д + 0(т)]Г^т (8.6)
представление «взаимодействия» для инфинитезимального
оператора перехода, где
b = nWL — Wa (8.7)
91
оператор расстройки;
W = -у- In fT"1 exp Г Г Wj(т)dx\ j (8.8)
эффективный средний инфинитезимальный оператор,
удовлетворяющий условию exp(WTL)=SI(0, TL)9 Sx есть
оператор перехода в представлении взаимодействия, описываемый
первыми двумя сомножителями в (8.6).
Таким образом, точный оператор перехода атома в
периодическом внешнем поле представляется с помощью
эффективного среднего оператора (8.8), вычисляемого за один
период поля. Второй сомножитель в (8.6) для случая полей,
удовлетворяющих условию (E-dw)«<ftG)M (т. е. много
меньше внутриатомных, что соответствует интенсивностям
^1013 Вт/см2), можно рассчитывать на основе разложения
в ряд по степеням малого оператора Г Wjdx. При этом для
6
полей (E'dja)^fiyki в этом сомножителе в Wi можно
оставить только член Й/, которому соответствует появление
новых гармоник в спектре «излучения. На основной частоте о)а
этот сомножитель не дает никакого вклада, и его можно
вообще не учитывать. Если же представляет интерес описание
эволюции и на уровне гармоник, то этот член следует
преобразовать по формуле представления взаимодействия:
Г"1 exp {J И7/(т)Л} =
6
(О
= е%{ t) т1 ехр {J ег&* [№7 (т) — W] e&* dx}.
о
Тогда представляем оператор перехода (8.5) в виде
S (0, /) = е™ Т-1 ехр { f [e~™ Wt (т) e&* — W] dт) enWL '. (8.9)
6
Основной вычислительной проблемой является расчет
эффективного инфинитезимального оператора (8.8),
определенного символическим выражением, содержащим символ Т.
Вообще говоря, это выражение после представления
оператора №7 матрицей, описывающей лишь небольшое число
реально существенных уровней, может быть рассчитано
численным образом. Однако для полей, слабых по сравнению с
внутриатомными, показатель экспоненциала является малым
92
и вычисление W может быть выполнено асимптотически па
отношению к малому параметру Я/Дох,. Учитывая также
малость DTL и качественный смысл разложения
экспоненциала в ряд, нетрудно получить практически точное
представление W в виде
W ^Я-Д+ £ЙЛ (8.10>
(Д не обязательно мало!), где эффективный оператор
средней силы йл, соответствующий £-й степени разложения,,
определяется из уравнения
J e~"Qke"dt= f J ... f Q#(<i) ...Й/(^)^1 ...Л»
0 0 0 0
(8.11>
Q7 (0 = exp (B7e 0 Q (/) exp (- WJ). (8.12>
Такое представление определяет Я*<Ссоь. В случае
резонанса, т. е. при Д<Ссоь, это уравнение превращается в явное
определение, поскольку основным приближением является
приближение ехр(Д/) « 1 (t^TL). При Д=0 для я-фотонного-
резонанса, т. е. при псоь, нетрудно убедиться, что старшим
ненулевым оператором Я& будет Яп. Величина этих
операторов имеет порядок (Ql/cdl)*, что показывает убывание
остроты резонанса с ростом л и ее зависимость от л-й
степени поля.
8.2. Спектр флуоресценции
двухуровневого атома. Двухуровневая система представляет большой
методический интерес, поскольку она является простейшей
квантовой системой, и относящиеся к ней результаты очень
наглядны. В случае однофотонного резонанса лазерной
частоты с частотой перехода между какими-либо двумя
невырожденными атомными уровнями, один из которых метастабилен,.
атом вполне адекватно описывается в двухуровневом
приближении (пример такой ситуации дает эксперимент Эзекиля и
соавторов [31]).
Пусть на двухуровневый дипольный атом,
характеризуемый матричным элементом d, падает монохроматическое-
внешнее поле (8.4), см. рис. 4. Как показывается в п. 7.2,
реально наблюдаемая составляющая
положительно-частотного поля излучения атома определяется членом с
сомножителем Р!2, описывающим переходы с верхнего уровня на
нижний. Преобразуя этот член, аналогичный
соответствующим формулам классической электродинамики, получим для*
93.
наблюдаемого поля излучения на расстоянии R в волновой
зоне
Корреляционная функция, через кбторую выражается
наблюдаемая спектральная плотность излучения, имеет вид
/С(/,Г) = (Е(")(0-Е(+)(П> =
Id112 (P2l (t -R/c) P12(f - R/c)), (8.13)
со*
с4/?*
т. е. выражается через нормально упорядоченную
корреляционную функцию операторов переходов
*('. О = <?и(t-R/c) P12(t'- R/c)). (8.14)
Согласно (8.13) все спектральные компоненты
излучения имеют одинаковую направленность в пространстве: это
* ...
А
*Ч
^£u
*К**
Рис. 4. Двухуровневый атом в монохроматическом внешнем
поле: пунктиром изображена диаграмма направленности атомного
излучения
относится как к спонтанной, так и к когерентной
составляющей, которые единым образом описываются корреляционной
функцией (8.14). Различие в пространственном
распределении когерентной и спонтанной составляющих проявляется
лишь лри наличии многих атомов; тогда сложение
когерентных откликов различных атомов с точностью до остаточного
поля когерентного рассеяния дает в случае плоской
падающей волны такую же когерентную волну,
распространяющуюся в направлении падающей. Спонтанные же
составляющие различных атомов складываются только по мощности, и
лотому при хаотическом расположении атомов направлен-
94
ность спонтанного излучения будет определяться лишь
множителями (E.dM) и будет очень слабой. Эта картина
изложена здесь применительно к разложению атомного
излучения по формуле (6.18) на сумму когерентной и спонтанной
компонент: в случае сильного поля флуктуационные
излучения различных атомов независимы, так же как и в случае-
слабого лоля, и корреляция осуществляется лишь через
средние поля. (Это справедливо, если только взаимодействие-
атомов через их поле излучения несущественно и не привог
дит к появлению внутренней когерентности в системе
атомов).
Удобно перейти от рассматривавшегося в п. 7.2 базиса
операторов Рм к разложению атомных переменных по эрми-
товскому базису матриц Паули:
Л = 2Я,5|; 1 = 0, 1,2,3; (8.15>
р = ^ & +s*); * = (<*i> ^2» <*з); (8.1б>
до=Т — единичная матрица. Базисные векторы разложений
(8.15), (8.16) с коэффициентами разложения Л* и (1, s)
(соответственно) различаются коэффициентом 1/2, благодаря
чему для них справедливо соотношение
аналогичное условию (4.25) взаимной ортонормированности
континуальных базисов. В силу этого алгебраические
соотношения для операторов S, W и правила усреднения
непосредственно переносятся на представляющие их матрицы и
векторы, описывающие матрицы плотности и динамические
переменные атома.
Применяя формулы (7.11), (8.3) к двухуровневой
системе ц» дополняя их оператором временной эволюции
невозмущенного двухуровневого атома, получаем исходный инфини-
тезимальный оператор перехода, входящий в экспоненциал:
(8.2), в виде
(0 —у 0 0
0 -у 0 2QL(t)
0 0 -у/2 <ofl
0 -2QL(t) -<ofl -у/2
Здесь Qb(t)=QLCOs((uLt+(p) — «мгновенная» частота
нутаций во внешнем поле E0cos((Di,f+(p), y — вычисленная:
ранее скорость радиационного распада. В практических
приложениях представляет интерес случай, когда помимо
радиационного распада действуют дополнительные механизмы,
(8.18>
95
например столкновения, а также имеется некогерентное
возбуждение на верхний уровень. Эти механизмы воздействия
приводят к тому, что (8.18) приобретает, как можно
показать на основе описанных ранее стандартных методов, более
общий вид
— Y 0 0
w | и _ш о 2QL(t) I (8.i9)
w 'О 0 -Г (ofl ' К '
— 2QL(t) —(да —Г
Постоянная w^y, точнее разность w—y» характеризует
интенсивность некогерентной накачки. Постоянные у=1/Т[ и
Г=1/Г2— скорости продольной и поперечной релаксации;
(да — атомная частота с учетом лэмбовского смещения.
Элементы с Qb(t) описывают «силу», действующую на атом со
•стороны внешнего поля. Входящие в (8.6) матрицы имеют
соответственно вид
D=I" -„ " "I (8-2°)
матрица диффузии;
^* = (° ° ! ° L (8.21)
,0 0
(0 0
А = | 0 0 и и | (8<22)
матрицы частот;
Q(t)=| и и и *MW I (8.23)
«силовая», или «нутационная», матрица. Все приведенные
матрицы вещественны, что связано с необходимостью
сохранения эрмитовости преобразуемых ими операторов, которые
в эрмитовском базисе представляют вещественными
векторами. Наличие нулевого столбца в (8.19) отображает, как
легко убедиться, сохранение единичного оператора
динамике
ческой переменной и инвариантность нормировки Тгр=1
(сохранение множителя 1 перед а0 в разложении (8.16)).
Для двухуровневой системы в представлении (8.10)
оператора W остается лишь член Qi, для которого уравнение
(8.11) имеет очень простой вид, позволяющий сразу
выписать решение. С его использованием получаем окончательно
ffiu-wVi i>2 (824)
(8.25)
где
Ъх ='(- 1)" QL [s (cdl) cos -^- f с (coL) sin -^-],
fl2 = (- 1)»QL [c(coL)cos -^-_s(coL)sln-2Lj,
о /ю\ = fi f s*n [WuaM + Ф1 , ? sin [(JWfl/(o) — Ф] 1
I ©fl + © coa — a> J '
с (со) =6'j cos t^fl/fl)) + Ф] j cos [(ясод/ю) — ф] i
Наличие двух слагаемых в выражениях для функций 5(со),
с (со) отражает учет нерезонансного взаимодействия
внешнего поля с атомом через суммарную частоту соа+со. Максимум
силового вектора (#ь Фг) в (8.24) при приближении со к coa
при однофотонном резонансе, вообще говоря, имеет место
не при б=со—coa=0. Поэтому точная частота резонанса
отлична от атомной: этот эффект носит название эффекта
«Блоха — Сигерта» [33, 34]. Величина его меньше скорости
распада, поэтому его наблюдение или измерение
проблематично.
Если в (8.25) пренебречь нерезонансными
составляющими, то для силового вектора получается простое выражениие
через частоту нутаций
(#ь #2) = ®l (— sin ф, cos ф). (8.26)
В этом приближении он не зависит от расстройки в
окрестности резонанса. Поэтому резонансные свойства отклика
как функции частоты соь проявляются через зависимость
собственных векторов матрицы (8.24) от расстройки б,
фигурирующей в ней. Собственные значения при этом
меняются плавно.
Для расчета спектра флуоресценции, определяемого
корреляционной функцией (8.14), следует эту двухвременную
4 Б. А. Гришаяин
97
функцию представить с помощью правила усреднения (3.25),
которое дает
в С П = <Р IS (Ь, * - R/c) * S (*, V) | Р21 ® Ри>. (8.27)
где <р|, |P2i®^i2> — соответствующие векторные
представления матрицы плотности и прямого произведения
независимых копий шредингеровских операторов Р21, Р\2.
Эта формула особенно удобна для определения
составляющих частотного спектра.
Для расчета основных гармоник с учетом сказанного
ранее пренебрежем экспоненциалом в окончательной формуле
(8.9) для оператора перехода. Тогда получим
S(0, t) = exp(Wt)exp(WLt). • . (8.28)
При подстановке этой формулы в выражение (8.27) ее
правый сомножитель может^быть непосредственно
ассоциирован с операторами Р\2, Ргь приобретающими вид
^12 (0) ё~Шь*, ?2i(0)^WL*t T- е- осциллирующими с частотой
лазерного поля соь. На эту эволюцию накладывается
действие оператора
ew(t-R/o * emt--t) t (8.29)
описывающего совместное условное квантовое
распределение вероятностей для осциллирующих операторов
переходов. Вычисление экспонент производится на основе
канонической формулы матричной алгебры [29]:
/(Л) = 2/(Ч)|*МН
справедливой для так называемых матриц простой
структуры, имеющих число собственных значений А*, равное
размерности Л, и биортогональную систему соответствующих
правых и левых собственных векторов |&>, <k\:<.\k\l> =
= бы. В случае матрицы f(A)=exp(Wx) получаем
з
^=£ех*х|ЖН (8.30)
Из (8.24) нетрудно видеть, что собственные значения
матрицы W являются решениями уравнения четвертой степени
с вещественными коэффициентами, «причем одно
собственное значение Яо=0, так как detl^=0 вследствие наличия
нулевого столбца (неизменность коэффициента 1 перед во в
(8.16)). Остающееся уравнение для Х\ Хг, Яз, являясь
кубичным, определяет одно вещественное собственное значение U
и два комплексно-сопряженных
Чз = Re К ± Am К- (8.31)
98
При этом A,i и Re Яг, как нетрудно показать из общих
соображений или убедиться непосредственной проверкой,
обязательно отрицательны. Они не совпадают в общем случае с
Y и Г, как это имеет место в отсутствие поля.
Учитывая эти результаты, для первого сомножителя,
описывающего состояние <p(t—R/c) | = <р]ехр[W(t—R/c)]
атома в момент времени t—Rjc, получаем при
запаздывающих временах t—R/c, значительно больших времен
релаксации 1ДЬ l/ReX2; стационарное выражение
exp[W(t-R/c)] = \0){0\,
независящее от времени. Ему соответствует
установившееся состояние
<Pstl = <P|0> <0|. (8.32)
Векторы |0>, <0| легко вычисляются прямым решением
уравнения на собственное значение дяя (8.24) и имеют об-^
щий вид |0>=.(1, 0, 0, 0),
(0| = (
• Qar,+ w(6a + ra) ' Qar + o;(6a + r2) '
— уАГ
Qar+w(6a + ra) j# * * '
При этом (р|0) = 1 и
<Pst| = <0|. (8.34)
Оставшийся сомножитель
eSfo-n= 2вЧ<'-п \k){k\ (8.35)
также стационарен по времени. Входящий в него член с
Я0=0 соответствует, как это видно из (8.27),
корреляционной функции монохроматического поля с частотой соь, т. е.
когерентному рассеянию атома. Член с К\<.0 соответствует
несмещенной уширенной линии со временем корреляции ti =
= 1/|A,i|. Члены с А,2,з описывают две смещенные по частоте
на ±ImA,2 линии с одинаковыми ширинами |ReA,2| и
соответствующим временем корреляции T2=l/|Reta|. Их
интенсивности определяются явным видом соответствующих
собственных векторов, которые мы не будем приводить
вследствие их несколько громоздкого вида и невозможности в
общем случае нахождения явного выражения для К\хг
(точнее, громоздкости описывающей их формулы Кардана для
кубического уравнения), через которые |&>, <fe| могут
быть выражены. Типичный вид спектра флуоресценции в
сильном поле изображен на рис. 5. Этот спектр в диапазоне
основной гармоники был проверен в ряде экспериментов,
достаточно точно подтвердивших теоретические расчеты.
4*
99
Из общей формы (8.9) нетрудно получить и ряд более
тонких деталей спектра. В первом приближении по WIt
полагая в экспоненциале ехр(±и7т)»1, получаем
S (О, /) =^ **< {?+ J [Wj (т) - W] dx) enWLt. .
При л= 1 из (8.6), (8.10) получаем
Интегрируя это выражение по т, получаем формулу вида
(8.24), но с нулевыми у=о>=Г=6=0 и <h~—cos(2g)l*+<p),
o>L ± Im X2
Jtt)L±Im^2
Рис. 5. Спектр флуоресценции двухуровневого атома в
сильном резонансном монохроматическом поле
02~sin(2(DL*+<p). Это, как можно показать, приводит к
повторению описанной структуры спектра на частоте Зсоь с
относительной амплитудой Ql/2o)l, что и изображено (без
соблюдения масштаба по интенсивности) на рис. 5.
§ 9. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ ЭЛЕКТРОН
ВО ВНЕШНИХ ПОЛЯХ
9.1. Квазирелятивистское квантовое
приближение для заряженных частиц. Наряду с такими
традиционными для квантовой радиофизики объектами исследования,
как атомы и молекулы, приобретают практическую
актуальность и новые квантовые физические системы, ранее
считавшиеся объектами других разделов физики. Одними из
наиболее важных и многообещающих систем такого рода
являются пучки высокоэнергетических электронов в
ускорителях и накопительных кольцах. Помимо естественного син-
100
хротронного излучения, возникающего в этих системах,
возможно применение специальных схем для получения
интенсивного-излучения в требуемых диапазонах длин волн.
Некоторые из этих схем проведены экспериментально [35].
Ряд предложенных схем, в частности обсуждавшаяся в § 1
схема черепковского лазера, основаны на существенно
квантовых свойствах электронов. Кроме того, как указывалось
ранее, дляр динамики ультрарелятивистских электронов на
уровне флуктуации существенны квантовые свойства их
излучения.
Эти обстоятельства делают необходимым использование
квантового описания электрона и его излучения. Однако
точное квантовое релятивистски инвариантное описание ультра-
релятивистских электронов с учетом их квантовополевого
характера, блина и позитронных состояний [1] в
приложении к'задачам квантовой радиофизики так же
нецелесообразно, как и аналогичное описание атома (§ 6, п. 6.1). В
реально используемых устройствах вероятность рождения
электронов (электронно-позитронных пар) пренебрежима,
поэтому следует исходить из описания с фиксированным
числом частиц. С учетом реальной несущественности принципа
запрета для существующих и практически осуществимых
пучков, в которых число возможных состояний в доступном
фазовом объеме намного превосходит соответствующие
плотности электронов-, полевой характер электронов вообще
несуществен, и квантование отдельных электронов может
осуществляться независимо. При этом позитронные состояния,
отвечающие отрицательной энергии, также несущественны
из-за малых значений матричных элементов реальных
взаимодействий, отвечающих переходам в эти состояния.
Влияние спина на орбитальную динамику и излучение
также пренебрежимо.
В результате, этих упрощений мы приходим к описанию
электрона как бесспиновой частицы, квантовый гамильто-.
ниан которой-В силу описанного в § 1 соответствия между
класси^фк^йи и «квантовыми системами совпадает по виду
с гамильтонианом классической заряженной частицы в
электромагнитном поле [21], отличаясь лишь квантовым
характером обобщенных импульса и координаты:
Ж = KtP [-eA(q)/c]2c* + rrfa •[■ e$ (q). (9.1)
•г
Это'выражение справедливо для любых заряженных частиц
при подстановке вместо т и —е соответствующих массы и
заряда частицы.
Эволюция квантовой системы
«электрон+электромагнитное поле», описываемая гамильтонианом (9.1), дополненным
101
гамильтонианом свободного поля, в силу сделанных
приближений не является в точности релятивистски инвариантной,
однако оно вполне адекватно рассматриваемому
квазирелятивистскому приближению. Квадратный корень в (9.1)
понимается в обычном арифметическом смысле, поскольку
спектр собственных значений стоящего под ним оператора
положителен и, следовательно, он применяется только к
положительным числам. «Извлечение» корня, осуществляемое
в теории электрона Дирака [1], не следует понимать как
какое-либо упрощение задачи, поскольку оно сопряжено с
соответствующем усложнением структуры операторов
электрона, что эквивалентным образом заключает в себе все
исходные технические трудности, подобно тому как
упрощение записи некоторого уравнения путем введения новых
неизвестных величин и соответствующих им дополнительных
уравнений само по себе не способно привести к решению
этого уравнения.
Гамильтониан (9.1) неявно содержит в себе
дополнительные малые параметры, позволяющие произвести
соответствующие дополнительные «истинные» упрощения. Таким
малым параметром является малость квантовой
неопределенности по сравнению с областью неоднородности внешнего
поля, т. е. параметр квазиклассичности электронного
состояния. Другим малым параметром является вклад в (9.1)
взаимодействия с вакуумной частью А/ полного векторного
потенциала А=А/+Аех, распадающегося на сумму
вакуумного поля излучения без учета внешних источников А/ и
потенциала внешнего поля Аех, которому соответствует
также в общем случае ненулевой скалярный потенциал ф. Оба
этих малых параметра целесообразно учитывать лишь в
первом приближении. Согласно п. 4.2 это приближение имеет
наиболее простой вид в представлении операторных
выражений с использованием вигнерозского упорядочения.
Соответствующая вигнеровски упорядоченная функция
SKw(4> P, {А}, {я}), зависящая от полного набора шести
фазовых переменных электрона X=(q, P) и поля 2={А{, {я})
(их бесконечно много), имеет в данном приближении вид,
совпадающий с классическим выражением,
соответствующим (9.1):
Ж*цр = /[Pf*A(q)/c]2c2+m2c* + в Ф (q). (9.2)
Это выражение уже учитывает квантовые эффекты в первом
приближении за счет описанных в п. 4.2 неклассических
правил обращения с вигнеровски упорядоченными
выражениями; отличие же fficjp от классического выражения
(9.2) дает эффекты более высокого порядка по указанным
малым параметрам.
102
9.2. Ланжевеновские уравнения для
ультрарелятивистского электрона и поля излучения. Дополняя
гамильтониан (9.2) гамильтонианом (5.10) свободного
электромагнитного поля, который в силу аддитивности некоммути-
рующих членов имеет одинаковый вид для любых способов
упорядочения, получаем полный вигнеровски упорядоченный
гамильтониан для системы «электрон+электромагнитное
поле». С учетом малости А/ получаем следующее основное
приближение для этого гамильтониана:
#<Г = V [Р + е Аех (q)/с]2 с2 + т*<* + е Фех (q) +
V[P + eAexL(q)/c]a+m^ f'
где 55f/= 55?/ ({A*, itf)}—гамильтониан свободного поля и
учтено, что <р/=0 для вакуумного поля излучения.
Большое количество тонких эффектов, отбрасываемых
, при использовании основного приближения (9.3),
по-видимому, представляет определенный теоретический интерес.
Они, однако, довольно трудны для детального изучения и
мало исследованы; основная же причина, по которой им
уделяется довольно мало внимания, заключается, очевидно, в
проблематичности их наблюдения из-за малости
соответствующих эффектов для практически реальных
экспериментов. По крайней мере для исследования уже существующих
идей по использованию излучения быстрых электронов для
целей квантовой радиофизики данное приближение
является полностью адекватным.
Гамильтониан (9.3) имеет структуру
Ж<И1> = Ж. (q, P) + 9tf ({A;}, {*,» Ь Жи (9.4)
где
de = V[P + eAeK(q)/c]*c*-r m*c* +eq>ex(q) (9.5)
гамильтониан электрона во внешнем (управляющем) поле
без учета его поля излучения;
+ M + .K.W4 ,
VlP + eAeX(q) leV + mV "
= — A. (q) v (q, P) + g*Af ; (9.6)
V (q, P) = clP + еА^Щс] (g ?)
скорость электрона, выраженная через его обобщенную
координату и импульс. Данное разложение полного
гамильтониана позволяет наглядно представить характер динами-
103
ки электрона с учетом действия прля излучения.
«Собственное» движение, определяемое гамильтонианом (9.5), для
ультрарелятивистских электронов в ускорителях является
существенно квазиклассическим. Соответствующий параметр
квазиклассичности, например, для электрона в однородном
внешнем магнитном поле имеет, как легко понять, вид
й(о0/£, где coo — циклическая частота обращения, Е —
энергия электрона (этот параметр есть отношение кванта
энергии вращения к полной энергии). Типичное значение этого
параметра имеет порядок 10~16, что гарантирует
возможность практически точного классического описания.
Взаимодействие (9.6) приводит к появлению в уравнениях
движения для электрона поля излучения А/, действие которого
правильно описывается здесь лишь в первом приближении.
Применяя в первом приближении уравнения п. 4.2 к
полному гамильтониану (9.2), включающему взаимодействие
(9.6), получаем соответствующие классические уравнения
для релятивистского электрона в поле, складывающемся из
управляющего поля и поля излучения. Они имеют
стандартный вид [21]:
——л, тУ =-*Е Цу х Н]. (9.8)
dt Vl—v*/c* с l J v '
Справа стоит классическое выражение для силы Лоренца с
Е = Еех (q) + Ef (q), H = Нех (q) + Н, (q).
Подставляя это разложение в (9.8), получаем разложение
суммарной силы Лоренца в виде
F = FexfFf. (9.9)
Однако, в отличие от классической электродинамики, здесь
мы имеем уравнения для функций, определяющих
соответствующие операторы квантовых величин по формуле (4.23)
п. 4.2, т. е. в рассматриваемом основном приближении
анализ квантовых эффектов может выполняться на основе
классических выражений, как это и было показано в общем
виде в п. 4.2.
Радиационная сила F/ в (9.9) определяется полем
излучения, которое аналогично (9.8) описывается классическим
уравнением для поперечного векторного потенциала
aA,^-^[v8(r-q)]±, (9.10)
' с
где справа стоит поперечная составляющая векторного поля
плотности тока электрона. В квантовом случае она не
является сингулярной, несмотря на наличие б-функции,
поскольку существует квантовая неопределенность для q.
Этот ток в то же время в силу квазиклассичности движения
104
является существенно квазикласоическим, что позволяет
радикально упростить прямое вычисление силы F/ на
основе уравнения (9.10), в отличие от исследовавшегося в § 7
случая двухуровневого атома, в котором ток носит ярко
выраженный квантовый характер. Представим решение (9.10)
в виде суммы
А, = АоЧ-Аг (9.11)
существенно квантового поля невозбужденного вакуума А0,
которое отвечает свободному распространению начальных
операторов невозбужденного поля и поля запаздывающего
потенциала Аг, отвечающего квазиклассическому току в
правой часта (9.10). Расчет силы
Fr=-eEr -[vxHr] (9.12)
с
с Ег и Нг, соответствующими запаздывающему потенциалу
Аг, как мы видим, является полностью классическим. Он
хорошо известен в классической электродинамике [11] и не
требует повторения при ограничении точности расчета Fr
класоическим пределом. Дополнительно (9.12), вообще
говоря, отражает квантовую нелокальность тока электрона в
(9.10), что делает определение (9.12) более корректным по
сравнению с сингулярным классическим случаем. Однако
использование сделанных выше приближений по параметру
квазиклассичности делает выражение (9.12) справедливым
лишь в первом приближении, каким для него является
классический предел. Таким образом, Fr есть релятивистская
сила радиационного трения, определяемая формулой
Дирака [11]; ее значение в ультрарелятивистской асимптотике
Y=il/yi—v2/c2^l имеет простой вид
Fr=Wrv/c\ (9.13)
где Wr — мгновенная мощность радиационных потерь
электрона, связанных с неравномерностью движения во внешнем
поле.
Единственной квантовой составляющей радиационной
силы F/, соответствующая вакуумной составляющей Ао в
(9.11), является вакуумная сила
F. = - еЕ0 (q) e- [v x H0 (q)], (9.14)
с
соответствующая вакуумному полю Ao(r, t) в отсутствие
электрона. Хотя она имеет вполне классический вид, она
является существенной квантовой, поскольку ненулевые
значений Ао, Е0, Но обязаны лишь их квантовой специфике.
С{)ёдйёе значение этой силы равно примерно нулю.
Действительна,- согласно п. 4.2 переменные Е0, Н0 в
представлении Вигнёрй описываются вигнеровской плотностью вероят-
105
ностей, которая согласно упражнению § 5 для вакуумного
состояния поля имеет гауссовский вид с корреляционной
функцией, определяемой разложениями (5.12) через
операторы а*, (к), а>!"(к), и корреляционной функцией этих
операторов
<a^(k)ar(k')>=Sxv6(k-k/)
при нулевом среднем <а> = <а+>=0. Соответственно
<Ео> = <Но>=0. Квантовая неопределенность
координаты q в (9.13) при этом несущественна. Она определяет,
вообще говоря, конечную дисперсию силы F0, в то время как
классическому описанию с б-образным распределением
вероятности соответствовала бы бесконечная дисперсия Ео,
Н0. Однако при движении частицы по траектории
происходит суммирование импульса силы F0 по времени, что
приводит к сглаживанию бесконечных мгновенных флуктуации.
Таким образом, конечность времени корреляции F0(/),
обязанная квантовой делокализации координаты q, при радиусе
квантовой делокализации, значительно меньшем радиуса
кривизны траектории, несущественна, и можно описывать q
в (9.13) классически, a F0(£) соответственно представлять
б-коррелированным шумом. Это вытекает из предположения
о квазиклассичности собственного детерминированного
движения.
Таким образом, движение ультрарелятивистских
электронов во внешних полях описывается квантовым
уравнением Ланжевена, Ихмеющим классический вид:
——,/ mV =Fex + Fr + F0. (9.15)
Наличие вакуумной силы F0(f) делает движение электрона
стохастическим. Наличие этой стохастичности с
неизбежностью вытекает из принципа неопределенности, поскольку
при наличии затухания, связанного с силой радиационного
трения Fr, в отсутствие шумовой силы эта неопределенность
должна была бы неограниченно уменьшаться. В то же
время роль этой флуктуационной силы, как мы увидим, не
сводится только к компенсации этого квантового затухания и
сохранению начальной неопределенности квантового
состояния электрона. В действительности неопределенность
фазовых координат электрона оказывается значительно большей,
чем это связано с чиста квантовой их неопределенностью,
описываемой соотношением Гейзенберга, и состояние
электрона оказывается имеющим классические вероятностные
свойства в силу а9аР> А/2. Это и есть причина квантовой
раскачки колебаний электрона в ускорителях,
установленная впервые в работах А. А. Соколова, И. М. Тернова [11].
106
Описанная здесь форма изложения этих эффектов
представляется для целей квантовой радиофизики наиболее
подходящей и полезной в методическом отношении, поскольку
квантовые и классические особенности движения электрона
излагаются одинаково и в рамках наглядных классических
представлений. Отметим, что концепция уравнения Ланже-
вена и его квазиклассическое представление с помощью
упорядоченных операторных выражений интенсивно
развивались, в частности, М. Лэксом в применении к лазерным
системам [16]. Поэтому обобщение этого традиционно
радиофизического метода на новые радиофизические приложения
представляется логически необходимым.
Подчеркнем специфический характер флуктуационной
силы F0(t)9 действующей на излучающий электрон. По
своим стохастическим свойствам, как было сказано, она
является квазиклассической. Однако ее происхождение является
чисто квантовым, что отражается в ее величине,
пропорциональной, согласно (5.12), ]/ft; это соответствует
спектральной плотности флуктуации, пропорциональной постоянной
Планка. В классическом пределе, следовательно, эффект
флуктуации полностью отсутствует, хотя сами флуктуации в
главном приближении являются классическими по своим
свойствам: после расчета их интенсивности можно забыть об
их квантовой природе.
Качественная картина этих флуктуации в фотонном
представлении дана в [11]. Она сводится к тому, что
излучение представляется как последовательное возбуждение
фотонов в вакуумном поле. При этом излучение фотонов
разных осцилляторов поля происходит статистически
независимым образом, что и приводит к соответствующим флуктуа-
циям силы отдачи, действующей на электрон.
В описанной же картине флуктуации есть результат
неполного сглаживания силы Лоренца, обусловленной
вакуумным электромагнитным полем. Таким образом, флуктуации
вакуумного поля и отображают статистическую природу
отдельных фотонов. Это качественное отношение. полезно для
лучшей ориентировки в различных квантовых эффектах.
Отметим еще, что квантовые флуктуации поля излучения
происходят на фоне его основной классической части,
описываемой запаздывающим потенциалом Аг. Тот факт, что в
реальных полях ускорителей излучение электронов носит
существенно классический характер, хорошо известен [3].
Для сверхсильных полей, возможных по некоторым
астрофизическим теориям в ряде астрономических объектов,
требуется квантовый анализ излучения, с которым можно
познакомиться по монографии [11].
Для понимания структуры флуктуационной силы (9.13)
полезно выделить из флуктуационного вакуумного поля Ео,
107
Но некоторую стохастическую гармоническую составляющую
с векторным потенциалом зида
A(/)=e,AL+)(k)^/<0/+to.
Ей соответствует согласно (9.13) вклад в суммарную силу
где n=k/& — вектор направления распространения
соответствующей волны. Если направление волны совпадает в
точности с направлением скорости, то составляющая в
квадратных скобках, направленная по направлению вектора
поляризации (т. е. электрического поля), будет в
ультрарелятивистском пределе очень мала — порядка y~2- При этом
вторая составляющая, направленная по линии распространения
волны, также обращается в ноль. Однако, для волн,
характеризуемых углом AO=(vn) ~y_1> второй член, имеющий
порядок у~\ превосходит первый в у раз, так как тот в
силу соотношения n«v/t; = cosA'&«l—у2 имеет по-прежнему
порядок y""2.
Таким образом, в ультрарелятивистском случае для
электромагнитных волн, падающих на частицу под углами ДФ~
~Y-1> основная часть силы является продольной по
отношению к направлению распространения волны. Эта сила
обусловлена продольной по п составляющей магнитной силы
Лоренца. Поперечная же составляющая магнитной оилы
Лоренца, входящая в первый член, компенсирует до величины
порядка y~2 электрическую составляющую силы Лоренца
(9.13). В нерелятивистском пределе единственной
существенной составляющей является электрическая сила Лоренца, а
в слаборелятивистском, т. е. при y~*> они равноценны.
Если учесть, что в ультрарелятивистском случае электрон
взаимодействует существенно лишь с вакуумными волнами,
находящимися в угле формирования излучения AO^y-1» то
ясно, что в этом случае основными являются только силы,
направленные вдоль п, т. е. в направлении распространения
излучаемых фотонов. Это приводит к общепринятой картине
действия поля на электрон посредством импульсов отдачи
фотонов. Данный анализ показывает, что в более общем
случае существенны также и поперечные составляющие
силы действия фотона на частицу.
9.3. Радиационная раскачка колебаний
электрона в кольцевом ускорителе. Флуктуационная
составляющая Fo(0 в (9.15) в абсолютном выражении очень
мала, однако результирующие флуктуации электрона
накапливаются за счет стохастического суммирования флуктуации
108
за время затухания, определяемое силой радиационного
трения Fr. Если внешняя сила Fex обусловливает осцилляцион-
стационарныи
2
уровень
ное движение, то результирующий
флуктуации координаты и
импульса будет определяться
равновесным соотношением между Fr я F0.
При этом уровень флуктуации будет
конечным лишь в том случае, когда
сила Fex обусловливает фокусировку
электронов в некоторый конечный
объем в пространстве фазовых ко-
ординат X=(q, P). Например од- л*■ jjtog*»** уэ=он-
НОрОДНОе МаГНИТНОе ПОЛе Не ООЛа- вблизи равновесия орбиты
дает таким фокусирующим
действием, и флуктуации электронов могут
накапливаться неограниченно, уводя его сколь угодно от
начальной орбиты вращения. Во избежание этого в
циклических ускорителях поле имеет некоторую неоднородность,
описываемую в линейном приближении формулой
А
■ (*)=В.(*)(
■/I-
+ ...
)•
где х — радиальное расстояние от равновесной круговой
орбиты (рис. 6), R — радиус этой орбиты, а
R дВг
п =
BZ(R) дх
(0)
так называемый показатель магнитного поля [10], который
для обеспечения фокусирующего действия должен быть
меньше единицы. (Этот принцип фокусировки носит
название «мягкой» фокусировки; возможно также использование
показателей поля .различного знака в разных участках
орбиты, когда это ограничение отпадает; такой принцип
фокусировки носит название «жесткой» фокусировки. Здесь
рассмотрим только случай мягкой фокусировки). Благодаря
такой неоднородности поля электроны, отклонившиеся от
равновесной орбиты, будут испытывать действие силы в
направлении равновесной орбиты, что приводит к так
называемым бетатронным колебаниям в плоскости орбиты.
Неоднородность поля в радиальном направлении приводит
одновременно к тому, что силовые линии магнитного поля не
будут прямыми линиями, перпендикулярными к плоскости
орбиты, а будут иметь «бочкообразную» форму,
изображенную на рис. 7. При /z>0 это приводит к появлению силы,
направляющей электрон в сторону равновесной плоской
орбиты, которая ответственна за вертикальные (есевые) бе-
татронные колебания. Соответствующие частоты колебаний
в плоскости орбиты и в вертикальной плоскости выражают-
109
ся через частоту обращения и показатель поля по формулам
<■>* = ©о (1 — П), 0)| = СОоЛ
и имеют порядок частоты обращения, но несколько
меньше ее.
Наличие флуктуационнои силы F0 приводит к
возбуждению этих колебаний, а конечная их величина обязана
затуханию. Как показали соответствующие расчеты [10, 11] и
вх
г
z=0
Рис. 7. Силовые линии фокусирующего поля и магнитные силы,
действующие на электрон» отклонившийся от плоскости
равновесной орбиты z==0
экспериментальные наблюдения, этот квантовый механизм
раскачки бетатронных колебаний (а также фазовых
колебаний в направлении вращения, называемых синхротронны-
ми) является определяющим в реальных ускорителях.
Именно он определяет условия устойчивой работы ускорителя,
т. е. играет определяющую роль в техническом плане.
В целях иллюстрации сущности механизма квантовой
раскачки мы ограничимся здесь анализом только
вертикальных колебаний, хотя для них он реально не iirpaeT
существенной роли. Этот выбор связан с простотой
движения для этой степени свободы, которая может описываться
совершенно независимо от колебаний в плоскости орбиты,
как бетатронных, так и синхротронных. Общий анализ на
основе уравнения (9.15) содержится в [10]. Единственное
усовершенствование, заключающееся в используемом здесь
методе, по сравнению с квазиклассическим расчетом в [10],
состоит в использовании классического выражения (9.13)
для флуктуационнои силы, которое является в общем случае
более точным, чем выражения, получаемые на основе ее
квантовомеханическои интерпретации как флуктуационнои
*асти импульса отдачи (см. п. 9.2).
по
Для расчета движения электрона на основе уравнения
(9.15) следует учитывать, что собственные бетатронные
колебания происходят без изменения кинетической энергии
электрона, т. е. y=l/yi—v2/c2 для них постоянно. Тогда для
вертикальные колебаний получаем линейное уравнение
ут — = — ут<о1г — утТг f Foz (t); (9.16)
dt2
T = Wr/c2my (9.17)
постоянная радиационного затухания. Здесь учтена
линейность силы (JPex)z = — ymazz, обусловливающей
фокусировку в. вертикальном направлении, выражение (9.13) для"
силы радиационного трения и тривиальные кинематические
соотношения. Благодаря явной разрешимости этого уравнения
для произвольной реализации случайного процесса Foz (О
исследование статистических характеристик процесса z(t)
не представляет трудностей, а с учетом гауссовского
характера флуктуационного процесса все расчеты легко
доводятся до квадратур.
Для установившейся дисперсии, учитывая стационарность
Foz, с использованием преобразования Фурье получаем
az = Щ(2со!т2уТ),
где NZz — спектральная плотность флуктуации Foz(t),
аппроксимируемых белым шумом. Учитывая выражение (9.17)
для затухания и классическую формулу [10]
w = 2_ £с£_
т 3 mR*
для мощности излучения релятивистского электрона на
круговой орбите радиуса /?, получаем
4 me* ncoj
Постоянство NZz{®)=Nzz> необходимое для
справедливости приведенных выражений для а1> обусловлено малостью
времени корреляции Foz(t) по сравнению с периодом
колебаний Tz=2n/(uz, т. е. марковским характером процесса
z(t), проистекающим из соответствующей аппроксимации
F0z(0 белым шумом. Время корреляции, как это видно из
выполняемого ниже расчета спектральной плотности,
определяется углом формирования излучения, который для уль-
трарелятивистоких электронов очень мал — порядка у""1»
что и означает малость соответствующего времени по
сравнению с периодом обращения и тем более с периодом
осевых колебаний. Однако для целей вычисления указанное
ill
условие марковости не является необходимым, и при
желании нетрудно рассчитать все характеристики колебаний и в
более общих случаях, в частности в слаборелятивистском.
Вычислим спектральную плотность N флуктуации
векторной силы F0(0 на нулевой частоте, которая, как в (9.18),
определяет полностью стохастические свойства F0(0 в
марковском случае. Учитывая (9.13), представляя вакуумные
операторы поля через операторы порождения и уничтожения
согласно п. 5.2 и выполняя усреднение на основе
соотношения (9.14), получим после соответствующих преобразований
квадратуры:
+ 00
М = j <F0(t -т/2) FT0 (t + т/2)>dx =
00
+0.
—oo
i((1-^)(|-^)^<k) + T[(1-J^)^(k)'-"T +
+ (l—^JnvJPj^lk)]}). (9.19)
Здесь I(к) обозначает плотность мощности излучения в
пространстве волновых векторов, а соответственно
ш(к)=/(к)/Йсо
есть плотность вероятности излучения фотона (йк, йсо) в
единицу времени;
v±=v(/±x/2),
Ax = q(M т/2)-q(/-т/2).
Первое слагаемое
#Лк,Лк - jj f (Йк) (Йк)Т w (к) d3k, (9.20)
как это видно по его структуре, определяет спектральную
йлотность силы флуктуации импульса отдачи фотонов.
Именно эти флуктуации рассматривались в теории флуктуацион-
ной раскачки бетатронных колебаний. Подставляя
известное из класоической теории распределение /(к), выполняя
интегрирование и подставляя вычисленную таким образом
компоненту NZz в (9.18), получаем [10]:
112
Это выражение не зависит от энергии электрона вследствие
компенсации факторов возрастания радиационного трения
и усиления флуктуации с ростом энергии. Соответствующий
флуктуационный разброс az для энергий порядка 1 ГэВ
имеет порядок нескольких микронов или долей микрона, что
является слишком малой величиной по сравнению с
разбросом, вызываемым техническими причинами.
В (9.19) под интегралом по т первый член в фигурных
скобках есть спектральная плотность силы, поперечной к
импульсу отдачи, обусловленная неполной компенсацией
электрической силы Лоренца и поперечной части магнитной
силы; член в квадратных скобках описывает корреляцию
поперечной и продольной силы. Если оценить порядок этих
составляющих из общих соображений, описанных в конце
п. 9.2, то оказывается, что они должны были бы иметь тот
же порядок по у, что и спектральная плотность импульсов
отдачи. Однако точное вычисление квадратур приводит к
обращению в нуль этих величин в этом порядке, и они
определяют лишь добавку порядка у2 по отношению к
основному члену (9.20). Таким образом, единственным
существенным механизмом флуктуации для ультрарелятивистских
электронов являются флуктуации импульса отдачи фотонов,
излучаемых этим электроном.
9.4. Соотношение между квантовыми
флуктуациями за счет излучения и естественной квантовоме-
ханической неопределенностью электронного состояния. В
изложенной технике анализа флуктуации, основанной на
использовании вигнеровского упорядочения, флуктуационная
сила описывалась классической случайной функцией F0(f)-
Однако это, согласно п. 4.2, не означает пренебрежения
квантовыми свойствами этой силы — не только ее квантовым
происхождением, но и ее квантовыми особенностями
усреднения — поскольку все ее квантовые особенности
учитываются видом вигнеровской, плотности pw и правилами
обращения с вигнеровски упорядоченными выражениями.
Это обстоятельство и позволяет с помощью классического
уравнения (9.15) одновременно учесть и минимальную
чисто квантовую неопределенность фазового состояния
электрона, по существу классическую раскачку внешним полем.
Рассчитаем, какова минимальная неопределенность oz
координаты z электрона в кольцевом ускорителе в
отсутствие полевой раскачки. Поскольку для гармонического
осциллятора o£z = у2/п2<4<г|, а минимум неопределенности
достигается при <Jp2of = Й2/4, «получаем минимальную
квантовую неопределенность
<*z = VWvmaz) , (9.22)
113
что отличается от соответствующего выражения для
нерелятивистского осциллятора множителем у. Отношение полной
неопределенности (9.21) к минимальной для квадратов их
величин имеет вид
<4 131/3" у
■4=— УК' О'**)
Нетрудно догадаться, что это выражение есть 2/1+1, где
п — среднее число квантов осцилляционных колебаний,
возбужденных излучением, поскольку <s°z ~ (1/2) Йсо, а а\ —(п+
+ 1/2)Й(о. Таким образом, для ультрарелятивистского
электрона число квантов очень велико, и его колебания носят
существенно классический характер. Отметим, что эта
формула и является справедливой только в
ультрарелятивистском случае, поскольку при расчете а| отброшен член с
электрической силой Лоренца, определяющий флуктуации в
нерелятивистском пределе, и поперечная составляющая
магнитной силы. Общая структура флуктуационной силы в
любом случае такова, что она дает неопределенность
электрона, несколько превосходящую минимальную. Энергия
соответствующего возбуждения осцилляции получается
электроном от орбитального движения, что должно приводить к
соответствующему уменьшению энергии орбитального
движения, т. е. к соответствующей квантовой поправке к
затуханию. Случай точного равенства стационарной
неопределенности минимальной возможен лишь для низшего
энергетического состояния электрона, однако этот анализ не может
быть выполнен на основе квазиклассического описания
электрона.
Согласно (9.22) минимальный квантовомеханический
«размер» электрона в реальных ускорителях имеет порядок
десятых долей микрона. Хотя эта величина мала в обычном
макроскопическом смысле, она имеет принципиальное
значение для ряда эффектов, определяя масштаб, на котором
распространение электрона описывается волновой
механикой, т. е. электрон обладает способностью к интерференции
сам с собой. Наличие дополнительной большой классической
неопределенности, приводящее к увеличению этой величины
до <т| не препятствует проявлению этих волновых свойств,
поскольку состояние такого сильно возбужденного
электрона есть просто классическая вероятностная смесь состояний
с минимальной неопределенностью с£, называемых
когерентными (см. п. 4.1). В любой из возможных реализаций
в этой классической смеси электрон обладает
соответствующими когерентными свойствами, только эти когерентные
состояния имеют различные средние значения координат и им-
114
пульса: при любой реализации когерентного состояния
когерентные свойства проявляются в полной мере.
Одним из таких когерентных эффектов являются
квантовые особенности излучения электронов в кристаллах (Убе-
ралл, 1956 и др.)- Поскольку размер tfz, определяющий
масштабы когерентности электрона, существенно
превосходит период решетки, то когерентный характер электрона в
Z-направлении существен и должен учитываться при
рассмотрении соответствующих эффектов (это относится в
равной степени и к остальным размерам). Для экспериментов
с пучками частиц в ускорителях, в которых минимальные
характерные масштабы внешних полей существенно
превосходят а% и остальные минимальные размеры, квантовые
свойства электрона вообще несущественны, и его можно
рассматривать как чисто классический объект с учетом действия на
него классической по свойствам и квантовой лишь по
происхождению флуктуационной вакуумной силы ЛЪренца.
§ Ю. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА
ИЗЛУЧЕНИЯ'ЧЕРЕНКОВ А
В случае излучения Черенкова,
рассматривавшегося в § 1, полная динамическая система, в
которой разыгрываются соответствующие процессы, в отличие
от рассматривавшихся ранее «двухзвенных» систем «атом +
+поле» или «электрон+поле», состоит из трех частей:
«частица + среда+поле вакуума». При этом наиболее сложной
составной частью является среда, относительно полное
описание которой известно лишь на -макроскопическом уровне.
В связи с этим детальная квантовая теория черенковского
излучения представляется весьма сложной. Однако, если
вспомнить о необходимости разумного ограничения точности
описания данной системы, мы легко убедимся, что в
действительности соответствующая теория очень проста. Прежде
всего, как будет выяснено в § 11, роль квантового
характера воздействия* электромагнитного поля на заряженную
частицу выражается в первом порядке лишь в появлении
квантовой флуктуационной силы. Наличие среды приводит,
очевидно, лишь к некоторому количественному изменению
характеристик этих флуктуации. В данном же случае нас
интересует только основная часть излучения, связанная с
«детерминированным» движением электрона —
детерминированным с точностью до квантового характера его
динамических переменных; флуктуации за счет излучения
характеризуются независимым малым параметром, в который
входит интенсивность излучения, в то время как степень
квазиклассичности от интенсивности излучения не зависит. В пер-
115
вом приближении интересующее нас излучаемое поле
определяется, как и в § 8, положительно-частотной частью
аддитивного поля излучения тока частицы, накладывающегося
на вакуумное поле системы «среда+вакуумное поле
излучения». Таким образом, в этом приближении квантовый
характер системы «среда + поле» совершенно несуществен,
так как квантовые эффекты основной части излучения
связаны только с квантовыми свойствами частицы.
В соответствии с этими упрощениями, приняв еще
обычное для этих исследований предположение о равномерности
движения частицы, остается подставить выражение для
оператора плотности тока j(r, t)=—e[v, б (г—q)]+/2 в
уравнение Максвелла и проанализировать результирующее поле с
учетом общих законов излучения, изложенных выше.
В представлении Фурье уравнение (у2 ^-д2/д/2)А=
= j для возбужденного поля дает выражение
с
Aj (со, к) = — f(©, k)/(c2fc2—д2©2),
С .
где п — показатель преломления среды, который в случае
обычного эффекта Черенкова в макроскопически однородной
среде является функцией только частоты со, принимающей в
этой формуле и отрицательные значения. При этом
f(o), k)« v6 (со — к • v) e~ik*>t
где qo — значение оператора q при tf=0, а выражение
выписано с упрощением, вытекающим из приближенной
коммутативности v и q в ультрарелятивистском случае (однако эта
нецоммутативность тем не менее, как мы сейчас убедимся
остается достаточно существенной для кинематических
условий излучения).
Для отделения процессов излучения от процессов
поглощения в силу анализа § 7, как мы знаем, необходимо
разделить положительно-частотную и отрицательно-частотную
части поля Aj. Соответствующее разложение имеет вид"
^(«.к)—gg-У 6«о-к.у)^ + е-^6(Ю + к.У) ^01)
песо ck — rm
где (о принимает уже только положительные значения.
Излучение или поглощение связано с переходами между
базисными состояниями частицы с определенной энергией и
импульсом |р>. Интенсивности этих переходов,
определяющие условия излучения или поглощения и его спектр,
зависят от матричных элементов оператора А/ вида
<Ср'|А/|р>. Для излучения, определяемого положительно-
116
частотной частью, с учетом того факта, что exp(/k-q0) =
==ехр(—hk-д/др) есть оператор сдвига на —hk по р,
получаем
<р'|6(со — k.v)^k^|p) = (p'|6((o-k.v)|p — Пк)^
где v, £ — скорость и энергия, соответствующие состоянию
|р>. Для того чтобы излучение было возможным,
необходимо, чтобы аргумент функции б (со—k-v+...) совпадал со
знаменателем в (ЮЛ), что дает условия излучения
ck = ne> = n\k.v+— ^— J,
которые при каждом возможном к определяют направления
волновых векторов k=ti(ok/(ck) излучаемых волн:
-♦ —(-b')-V + v('-7)- <10-2»
Таким образом, некоммутативность координаты и импульса
частоты накладывает свой отпечаток на поле, излучаемое в
эффекте Черенкова: это приводит .к появлению члена с
постоянной Планка в условии излучения. Физическую1 причину
появления этого члена нетрудно увидеть в основании
приведенных выкладок: он появился в результате передачи
частице импульса отдачи фотона —hk. Хотя влияние этого
импульса на траекторию частицы мало вследствие ее большой
энергии, роль этого эффекта в излучении все-таки
принципиальна из-за того, что поглощение, описываемое
отрицательно-частотным членом, характеризуется квантовой
добавкой противоположного по отношению к (10.2) знака.
Это означает, что эффект отдачи приводит к различным
направлениям поглощения и испускания фотонов черенковско-
го излучения с одной и той же частотой.
Этот чисто квантовый эффект, как указывалось во
введении, предполагается использовать для получения
индуцированного излучения свободных электронов, движущихся в
среде со скоростью, необходимой для возбуждения
излучения Черенкова. Для получения существенного усиления
требуется максимально возможное увеличение связи между
процессами поглощения и переизлучения, что в оптическом
диапазоне (до 1000 А) реализуется путем использования
резонаторов. В то же время проблема изыскания новых
принципов генерации излучения наиболее остро стоит в
рентгеновском диапазоне, в котором оптические резонаторы
непригодны. В этом случае увеличение взаимодействия частиц
117
с полем может достигаться путем замены отражения волн
в резонаторе отражением от микроскопических атомных
плоскостей естественной (или искусственной) периодической
структуры среды. Излучение заряженных частиц в такой
неоднородной периодической, среде при их равномерном
движении является разновидностью так называемого
переходного излучения частиц, которое имеет место при наличии
макроскопических неоднородностей среды. Однако его
специфические особенности, связанные с микроскопичностью и
периодичностью неоднородностей (атомарная структура
кристалла), делают необходимым выделение его в качестве
особого типа излучения, называемого квазичеренковским
[35].
Для анализа квазичеренковского излучения следует
учесть периодичность показателя преломления, представив
п2 в виде
^2(г)=в0Ч-Ех(К)ехр(/К.г),
к
где К — векторы обратной решетки, удовлетворяющие
условию К-а=2лл, где а — любой из векторов прямой
решетки, сдвиг на которые оставляет ее неизменной; п — целые
числа. Анализ волнового уравнения с таким показателем
преломления может быть выполнен с помощью метода
последовательных приближений по восприимчивостям х»
который эффективен благодаря их реальной малости в случае
естественной восприимчивости кристаллической решетки в
рентгеновском диапазоне. В этом случае достаточно первого
приближения по %, которое строится путем нахождения поля
Ао тока j в однородной среде и последующим вычислением
наведенного этим полем тока возбужденной среды
jm = (tic2) d*k0/dt2 и нахождении соответствующему этому
полю излучения в однородной среде. В результате таких
вычислений мы получаем, в частности, что условия
излучения — поглощения принимают вид (верхний знак
соответствует излучению)
и Г/1 ^ч Ьс2(к—К)2 _. Лс*((к—К)-р)а 1
qk = /гсо = п (к — К) • v ± — '— =F — .
Анализ этих условий в неквантовом пределе дает
00.Ф--S-fl+J^l.
nv I <*> J
Правая часть может быть меньше единицы, т. е. может быть
выполнено условие излучения, не обязательно в
релятивистском случае, благодаря члену (K-v)/co. При этом условия
излучения и условие брэгговского отражения |к—К|«|к|
одновременно невыполнимы, так как в этом случае
118
л(к— К) '\=rtikv cos^=ck, что невозможно, так как v<c,
а л<1 в рентгеновском диапазоне. В квантовом же случае
появляется возможность одновременного выполнения этих
двух условий, что открывает перспективу разработки схемы
квазичеренковского лазера в рентгеновском диапазоне по
принципу, аналогичному черенковскому лазеру в оптическом
диапазоне с заменой резонатора распределенной обратной
связью волн, реализуемой брэгговским отражением. Таким
образом, квантовые эффекты в излучении свободных частиц
дают направление возможных поисков новых принципов
генерации как в оптическом, так и в рентгеновском
диапазонах.
§ П# ПРОБЛЕМА СОХРАНЕНИЯ ЧЕТНОСТИ
В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
АТОМНЫХ СИСТЕМ
11.1. СРТ-теорема и несохранение
четности. Использовавшийся ранее нерелятивистский гамильтониан
электромагнитного взаимодействия заряженных частиц и
его релятивистское обобщение инвариантны относительно не
только поворотов системы координат и перехода к другой
инерциальной системе отсчета, но также и относительно
входящих в общую группу пространственно-временной
инвариантности преобразований инверсии
пространственно-временных осей. Инверсия пространственных координат,
например, приводит к преобразованию правой системы отсчета в
левую, что не сводится ни к какой совокупности вращений;
из этой инвариантности вытекает, «ак мы знаем, строгое
правило отбора для атомных переходов с излучением (или
рассеянием) фотона в атомах.
Однако ниоткуда не следует, что «состояние нашего мира
должно быть таким, чтобы все возможные взаимодействия
обладали таким свойством (Р-инвариантностью). Помимо
взаимодействия с помощью электромагнитных сил известны
еще три типа взаимодействий: сильные, с помощью
которого нуклоны связываются в ядрах атомов, слабые,
ответственные, в частности, за р-распад, и гравитационное,
обусловливающее ньютоновский закон всемирного тяготения.
Опыт показывает, что сильные взаимодействия обладают
указанными свойствами инвариантности. Что касается
гравитационных сил, то они не играют из-за малости
гравитационной константы сколько-нибудь ощутимой роли в
атомных и субатомных процессах (хотя принципиальная роль в
теории строения частиц не только не исключается, а
является объектом наиболее авангардных исследований в теории
поля); кроме того, их природа такова, что группа Лоренца
в теории гравитационного поля теряет свою универсальность
119
и исходный вопрос о симметрии, относившийся к плоскому
пространству, теряет свой начальный смысл.
Слабые же взаимодействия по современным
представлениям могут описываться в рамках обычных представлений
о пространстве-времени, но тем не менее они обладают
уникальным свойством — асимметрией по отношению к
правому и левому (отсутствие зеркальной 'симметрии) и
асимметрией относительно изменения знака частиц (отсутствие С-
инвариантности). В частности, спины испущенных при р-
распаде электронов ориентируются преимущественно по
направлению движения, а при р-раопаде поляризованных
ядер появляется асимметрия по направлениям испускаемых
электронов. Впервые идея возможного несохранения
пространственной четности и ее проявления в слабых
взаимодействиях была выдвинута Ли и Янгом в 1957 г.
Отсутствие симметрии для какого-то одного процесса,
вообще говоря, не означает отсутствие симметрии этого
типа вообще: может оказаться, что существует сопряженный
по асимметрии процесс, такой, что вместе с первым они
обладают свойством симметрии. В случае р-распада такие
сопряженные пары даются заменой знака заряда участвующих
в них частиц на противоположный, таким образом, имеет
место симметрия относительно так называемой
комбинированной инверсии, т. е. СР-иреобразования (Л. Д. Ландау).
В таком случае асимметричны лишь сами заряженные
частицы, а по отношению к совокупности всех заряженных
частиц пространство в целом симметрично.
Однако опыт показывает, что СР-инвариантность не
является, по-видимому, универсальным законом природы. Она
также не может быть выведена путем логических
рассуждений из известных принципов. Таким образом может быть
выведена лишь инвариантность относительно не только
инверсии и замены частиц античастицами, но и
одновременного изменения направления времени — так называемая СРТ-
теорема [1]. Этот вывод основан на принципе
инвариантности всех взаимодействий относительно инверсии всех
четырех пространственно-временных координат: (г,/)—>(—г,—t).
Эта инвариантность очевидна по тем же соображениям, что
и, например, в случае двумерного эвклидова пространства
при инверсии обеих осей: такое преобразование
эквивалентно повороту на 180°, а такая симметрия взаимодействия
предполагается. В случае четырехмерного
пространства-времени аналогом такого вращения является комбинация
пространственных вращений и преобразований Лоренца. С
учетом некоторых дополнительных соображений принято
считать такую инвариантность аксиомой. Остается только
раскрыть ее смысл, рассмотрев вторично квантованное поле
заряженных частиц вида
120
$ (г, t) ~ f du (p) {a (p) e-w-p-fl/» Ь 6+ (p) e'^-P г>/л},
где a(p), b(p) — операторы уничтожения заряженных
частиц и античастиц (спин равен нулю, поэтому никаких
других индексов нет; Ъфа+, что является выражением
комплексного характера поля г|5 необходимого для описания
заряженных частиц). Рассматривая
$ (_ г> _ t) ~ Г du (p) {a (p) efw-*'*'h + b+ (p) r-w-p-»/*},
мы обнаруживаем соответствие ар ->• bj, Ьр ->• ар . Это
означает, что частицы заменяются античастицами, но
направления времени процессов с ними меняют знак на
противоположный: рождение — на уничтожение и наоборот; при этом
импульс не меняется именно благодаря пространственной
инверсии. Нетрудно проследить, что нарушение СР-инвари-
антности немедленно влечет нарушение Т-инвариантности, а
СР-инвариантность автоматически влечет Т-инвариантность.
11.2. Слабые взаимодействия в атомной
физике [35, 36]. Слабым взаимодействием называют особый
род фундаментального взаимодействия, обусловленный
участием четырех фермионов. Например, рассмотрим обычный
Р-распад нейтрона: п—►p+e-+ve. Этот четырехфермионный
процесс связан с изменением электрического заряда адрона
(так называются частицы, способные к сильному
взаимодействию), в данном случае нейтрона, и его передачей
электрону. Этот процесс связан с существованием
электрического тока, называемого, в отличие от токов частиц без
передачи заряда, заряженным током. В противоположном случае
ток называется нейтральным. Каноническая теория слабого
взаимодействия была развита в 1958 г. в работах Гелл-Ман-
на — Фейнмана и Маршака — Сударшана. В ней слабое
взаимодействие представляется оператором взаимодействия
== "w=" J a J a »
где /а—4-вектор заряженного тока,^ = 10~5т-2 _ ферми-
евокая константа р-распада, mv — масса протона. В этой
теории роль такого взаимодействия в атомах сводится
практически к нулю, вследствие того что для атомных спектров
существенны лишь вклады переходов между состояниями с
фиксированным числом электронов, а для них матричный
элемент такого взаимодействия равен нулю (так как оно
связано с изменением заряда) и остается лишь вклад во
втором порядке теории возмущений, в то время как и вклад
первого порядка был бы предельно мал. Поэтому взаимо-
121
действие с заряженными токами не имеет никакого
значения для электродинамики атома и, следовательно, для
современной квантовой радиофизики.
Однако в начале 70-х годов ситуация в теоретическом
аспекте радикально изменялась благодаря развитию новых
теорий слабого взаимодействия, из которых наиболее
популярна модель Вайнберга — Салама. Эта теория описывает
с единой точки зрения слабое и электромагнитное
взаимодействие, которое гипотетически обусловливается обменом
промежуточным тяжелым 010 ГэВ) HP-бозоном,
аналогично тому как электромагнитное взаимодействие на языке
теории возмущений можно представить как результат
обмена частиц фотонами. В этой теории естественным образом в
гамильтониане взаимодействия возникают не только
заряженные, но и нейтральные токи. Благодаря нейтральности
тока матричный элемент слабого взаимодействия электронов
атома с ядром отличен от нуля для переходов между
обычными энергетическими состояниями атома, и первый
порядок теории возмущений дает ненулевой вклад в вероятности
атомных переходов за счет слабого взаимодействия.
Таким образом, слабое взаимодействие через
нейтральные токи может в первом порядке теории возмущений
приводить к ненулевым эффектам в излучении и поглощении
атома. Этот факт имеет важное значение по двум главным
причинам. Во-первых, эти эффекты уникальны с точки
зрения квантовой радиофизики вследствие несохранения
четности в слабых взаимодействиях и связанной с ней
возможной асимметрии оптических процессов. Во-вторых,
имеющиеся в настоящее время аргументы в пользу существования
взаимодействия через нейтральные токи, полученные в
опытах по рассеянию, было бы желательно дополнить
обнаружением новой разновидности такого взаимодействия —
электрона с протоном и нейтроном; это послужило бы более
весомым аргументом в пользу единой теории слабого и
электромагнитного взаимодействий.
11.3. Трудности обнаружения слабого
взаимодействия в атомной спектроскопии. Учет слабого
взаимодействия через нейтральные токи приводит к тому, «что в
нерелятивистском приближении в дополнение к основному
электромагнитному взаимодействию электронов с ядром
появляется малое возмущение вида
P = -^-^Za~[p6(q) + 8(q)fi, (11.1)
где qtt—0,9 — безразмерный фактор, Z — заряд ядра, а —
матрицы Паули, описывающие спин электрона; р, q —
импульс и координата электрона. Дельта-функция в (11.1)
появляется вследствие того, что взаимодействие носит кон-
122
тактный характер и пропорционально плотности электрона
(его плотности тока) в точке нахождения ядра, которое
считается в этом выражении точечным (его размеры
~10~13 см на пять порядков меньше «размеров» электрона,
которыми определяется размер атома). Этот гамильтониан
Т- (соответственно, РС-) инвариантен, инвариантен
относительно вращения, но не Р-инвариантен из-за изменения
операторов проекций спина при переходе от правой системы
отсчета к левой.
Для оценки порядка эффектов, обязанных возмущению
(11.1), следует оценить по порядку величины его матричный
элемент между стационарными состояниями атома. Полагая
р~тс (в окрестности ядра электрон движется с
околосветовой скоростью), для атома водорода получаем частотный
сдвиг
бсо = VIU ~ Gh2 ty (0) \2/с ъ ^— ~ 10-' МГц.
лса$
Этот сдвиг зависит от полного момента атома и изменяет
величину сверхтонкого расщепления основного состояния на
Ю-4 МГц. Однако, хотя современные спектроскопические
методы позволяют измерять сверхтонкое расщепление в
водороде с точностью до Ю-9 МГц, обнаружить по этому
расщеплению вклад, слабого взаимодействия не представляется
возможным. Дело в том, что интерпретация самого
сверхтонкого расщепления с такой• точностью невозможна:
например, недостаточная точность определения магнитного
момента протона, входящего в величину расщепления, приводит к
неопределенности расщепления до 10~3 МГц. Поэтому
точное измерение величины расщепления ничего не дает для ее
физической интерпретации. Вообще оказывается, что при
анализе чисто количественных проявлений слабого
взаимодействия в атоме вследствие его малости недостаточная
точность самой интерпретации результатов измерения не
позволяет этот эффект обнаружить, даже если точность
спектроскопических измерений достаточна для обнаружения
относительного вклада слабого взаимодействия. Отсюда
следует вывод, что необходимо использовать эффекты, которые
по своему характеру исключают неоднозначность
интерпретации. Такими эффектами являются лишь те, в которых
проявляется основное специфическое свойство слабых
взаимодействий — несохранение четности.
11.4. Основные оптические эффекты
несохранения четности. Вследствие нечетности гамильтониана
(11.1) его появление в полном гамильтониане приводит к
тому, что, например, в атоме водорода к четному состоянию
25i/2 примешиваются нечетные состояния пРи2, с весами,
123
определяемыми соответствующими матричными элементами.
В результате магнитодипольный переход 2Si/2—>lS\/2
интерференционным образом смешивается с электроди-
польным 2Р\/2—*lSi/2. При этом амплитуда электро-
дипольного перехода пропорциональна вектору спина
электрона, который входит в V, причем эта
амплитуда Р-нечетна. Это означает, что вероятность
излучения право- и лево-поляризованных фотонов
неодинаковы за счет перекрестного члена в вероятности суммарного
перехода; этот член линеен по амплитуде примесного
перехода (естественность разложения по циркулярным
поляризациям связана с зависимостью амплитуд от состояния спина).
В результате имеет место правая 'поляризация излучения
порядка 3,8-Ю-4 \q\.
К сожалению, прямое наблюдение этой поляризации не
так просто из-за различных осложняющих эффектов:
двухбайтовый электродипольный переход 2Si/2—*1Si/2, штарк-
эффект в случайных полях, которые уменьшают степень
поляризации; случайные магнитные поля и магнитное поле
Земли, имитирующее несохранение четности. В силу
подобных соображений водород оказывается не самым
оптимальным объектом, и ведутся поиски элементов, для которых
условия наблюдения этого эффекта наиболее благоприятны.
В частности, предложена схема измерения с использованием
дважды запрещенного MI-перехода в цезии 7si/2—>6s\i2-
Вероятность возбуждения этого перехода перестраиваемым
лазером с циркулярно поляризованным излучением должна
зависеть от направления его поляризации.
Несохранение четности приводит к оптической
активности среды из атомов в силу неравноправия поляризаций при
взаимодействии света с атомами. Благодаря зависимости от
V этот эффект наиболее силен в парах тяжелых металлов,
из которых наиболее перспективными считаются таллий,
висмут, свинец. Для них удельный угол вращения
плоскости поляризации составляет величины порядка 10~7 рад/м.
Однако в этих экспериментах очень жесткие ограничения
накладываются на внешнее магнитное поле, приводящее к
тому же эффекту.
Другими проявлениями эффекта несохранения четности
является различие в сечениях поглощения левой и правой
поляризации, а также диэлектрической проницаемости.
Какой эффект окажется наиболее перспективным для
получения окончательного заключения о существовании или
несуществовании слабых взаимодействий через нейтральные
токи — вопрос будущего. С точки зрения квантовой
радиофизики здесь наиболее интересно подтверждение возможностей
ее использования для решения самых тонких вопросов
фундаментальной теории поля.
124
ЛИТЕРАТУРА
ОСНОВНАЯ
1* Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. Краткий курс теоретической
физики. Квантовая механика. М., «Наука», 1974.
2. Давыдов А. С. Квантовая механика. М., «Наука», 1972.
3. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П.
Релятивистская квантовая теория. М., «Наука», 1973.
4. Луиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике. М.,
«Наука», 1972.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
5. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. М., «Мир», 1966.
6. Dicke R. M. Coherence in Spontaneous Radiation Processes.— «Phys.
Rev.», 1954. 93, 99—110.
7. Скалли М. О., Сарджент М. «Что это такое — фотон?».—В кн.:
Физики о физике. М., «Знание», 1974, с. 108—112.
8. Гинзбург В. Л. Теоретическая физика и астрофизика. М.,
«Наука», 1975.
9. Алферов Д. Ф., Башмаков Ю. А., Бессонов Е. Г. Ондуля-
торное излучение.—В кн.: Труды ФИАН, 1975, 80, 100—124.
10. Коломенский А. А., Лебедев А. Н. Теория циклических
ускорителей. М., Физматгиз, 1962.
П.Соколов А. А., Т е р н о в И. М. Релятивистский электрон. М.,
«Наука», 1975.
12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.
Нерелятивистская теория. М„ «Наука», 1974.
13. Швингер Ю. Частицы, источники, поля. Т. I. M., «Мир», 1973.
14. Д ж а д д Б., В а й б о р н Б. Теория сложных атомных систем. М.,
«Мир», 1973.
15. Берез ин Ф. А. Метод вторичного квантования. М., «Наука», 1965.
16. Л экс М. Флуктуации и когерентные явления. М., «Мир», 1972.
17. For Ilya Prigogine. N. Y., 1978.
18. Апанасевич П. А. Основы теории взаимодействия света с
веществом. Минск, «Наука и техника», 1977.
19. W i g n е г Е. P. On the Quantum Correction for Thermodinamic
Equilibrium.—«Phys. Rev.», 1932, 40, p. 749^-759.
20. К л а у д е р Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М.,
«Мир», 1970.
21. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М., «Наука», 1973.
22. Jamanoi M. Influence of Omitting the A2-Term in the Conventional
Photon — Matter Hamiltonian on the Photon—Field Equations.— «Phys.
Lett.», 1976, 58A, p. 437—473.
23. Пантел Р., Путхоф Г. Основы квантовой электроники. М.,
«Мир», 1972.
125
24. Hopf F. A., Meystre P., Scully M. O., Lou is ell W. H. Clas-
'" sical Theory of a Free—Electron Laser.— «Phys. Rev. Lett.», 1976, 37,
p. 1215—1224.
25. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуации в
радиотехнике. М., «Сов. радио», 1961.
26. Ф а н о У., Купер Дж. Спектральные распределения сил
осцилляторов в атомах. М., «Наука», 1972.
27. А х и е з е р А. И., Б е р е с т е ц к и й В. Б. Квантовая
электродинамика. М., «Наука», 1969.
28. Лоудон Р. Квантовая теория света. М., «Мир», 1975.
29. Ланкастер П. Теория матриц. М., «Наука», 1978.
30. A v а п Р., С о h е п - Т а п п о u d j i С. Two-Level Atom Saturated by a
Fluctuating Resonant Laser Beam.—«J. Phys.», 1977, BIO, p. 155—161.
31. Эзекиль III., By Ю. Ф. Измерение спектров излучения и
поглощения двухуровневых атомов в сильном поле.—«Квантовая
электроника», 1978, 5, с. 1721—1726.
32. М о 11 о w В. R. Power Spectrum of Light Scattered by Two-Level
Systems.—«Phys. Rev.», 1969, 188, p. 1969—1975.
33. Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые
атомы. М., «Мир», 1978.
34. Д е л о н е Л. Б., К р а й н о в В. П. Атом в сильном световом поле.
М., Атом из дат, 1978.
35. D е а с о n D. A. G. et al. First Operation of a Free-Electron Laser.—
«Phys. Rev. Lett.», 1977, 38, p. 892—899.
36. A x м а н о в С. А., Гришанин Б. А. Когерентное излучение
характеристических линий при прохождении заряженных частиц через
монокристалл.—«Письма в ЖЭТФ», 1976, 23, с. 562—565.
37. Алексеев В. А., Зельдович Б. Я., Со бе л ьм а и И. И. Об
эффектах несохранения четности в атомах.— УФН, 1978, 118, с. 365—
408.
38. М о с к а л е в А. Н., Р ы н д и н Р. М., X р и п л о в и ч И. Б.
Возможности изучения слабых взаимодействий в атомной физике.—УФН.
1978, 118, с. 409-^451.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть I I 0СН0ВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КВАНТО-
. I В0И ЭЛЕКТР0ДИНАМИКИ
§ 1. Специфика радиофизических
приложений квантовой
электродинамики 5
§ 2. Связь классической и квантовой
теории 12
§ 3. Квантовое описание
взаимодействующих систем 21
§ 4. Метод упорядоченных
представлений операторных выражений и
квантовых распределений
вероятностей 34
§ 5. Квантовые свойства и
математические методы описания
свободного электромагнитного поля . 46
Часть II I основные квантовоэлектродинамические
эффекты в квантовой радиофизике
§ 6. Одиночный атом в слабом поле 62
§ 7. Релаксация атома за счет
радиационного распада .... 76
§ 8. Атом в сильном
электромагнитном поле 89
§ 9. Ультрарелятивистский электрон
во внешних полях . . . . 100
§ 10. Квантовые свойства излучения
Черепкова 115
§ 11. Проблема сохранения четности
в квантовой электродинамике
атомных систем 119
Литература 125
БОРИС АНДРЕЕВИЧ
ГРИШАНИН
КВАНТОВАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ДЛЯ РАДИОФИЗИКОВ
Заведующий редакцией
С. И, Зеленский
Редактор
Г, Е. Горелик
Младший редактор
О. М. Денисова
Художник
И. И. Сенька
Художественный редактор
Л. В. Мухина
Технический редактор
3. С. Кондратов а
Тематический план 1981 № 123.
ИБ № 1009
Сдано в набор 02.10.80.
Подписано к печати 08.01.81.
Л-95804. -Формат 60X90Vie.
Бумага тип. № 1.
Гарнитура Литературная.
Высокая печать
Усл. леч. л. 8,0. Уч.-изд. л. 7,84.
Тираж 3550 экз. Зак. 489.
Цена 45 коп. Изд. № 1075.
Издательство
Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография Изд-ва МГУ.
Москва, Ленинские горы