данное газом в процессе охлаждения. Давление и объем газа в состоянии 1 равны р и V , давление газа в состоянии 2 равно р2.
7.	Три  одинаковые  заряженные  частицы, каждая массой т=2 г и зарядом q>=10—8 Кл, поместили  в   вершинах   равностороннего  треугольника со стороной а=10 см. Затем частицы одновременно освободили, после чего они стали симметрично разлетаться под действием куло- новских сил отталкивания. Найдите максимальное значение скорости частиц.
8.	Электрон без начальной скорости прошел разность потенциалов Г'     10 кВ и влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U=100 В, по прямой,  параллельной  пластинам. Расстояние между пластинами tf=2 см, длина пластин 1=20 см. Определите расстоя-
' ние на экране, отстоящем от конденсатора на L=0,5 м, на которое сместится электрон.
9.	При изменении тока в катушке индуктивности    на    величину    Л/=1А    за    время At=0,6 с в ней индуцируется ЭДС 8Г=0,2 мВ. Какую длину будет иметь радиоволна, излучаемая генератором, колебательный контур которого состоит из этой катушки и конденсатора емкостью С=14,1 нФ?
10.	На горизонтальном дне водоема глубиной ft=l,2 м лежит плоское зеркало. На каком расстоянии от места вхождения луча в воду этот луч снова выйдет на поверхность воды после отражения   от  зеркала?   Угол   падения   луча а=30°, показатель преломления воды п=1,33.
Публикацию подготовили ДО. Н. Кузьмин. ДО.   Д.  Максимов,  В.   Н.  Романов,  И.  Б.  Русанов
Ленинградский
электротехнический
институт
им. В. И. Ульянова
(Ленина)
Математика Письменный экзамен Вариант  1
1.	Дана функция
f(x) = l — х2 — х\
а)	Решите уравнение /(де)=1.
б)	Найдите наибольшее значение функции /.
в)	Решите неравенство f(x) ^ rtVx)
г)	Сколько решений имеет уравнение f(x)=a в зависимости от значений параметра а?
2.	В треугольнике ABC угол А   равен  а, АВ=АС=1.   Пусть   S  —   площадь  треугольника ABC,
, „     АВ2+ВСг+СА2
g(a)=	s
а)	Докажите, что g(a)=4(2—cos a)/sin a.
б)	Решите уравнение ?(а) = 4Уз.
в)	Найдите наименьшее значение функции g
3.	Обозначим через h(a) наибольшее значе
ние многочлена второй степени х2—2(а2—За+ + 2)х на промежутке [—1, 1].
а)	Докажите, что ft(a)=l+2|a—11 ]а—2|.
б)	Решите уравнение Л(а)=3/2.
в)	Постройте график функции h = h(a).
Варна нт  2
1. Дана система уравнений
а)	Решите систему при а = 2.
б)	При каких значениях а система имеет единственное решение?
в)	При каких значениях а система имеет решение (х, у) такое, что х > у2?
2.	В треугольник ABC вписана окружность радиусом 1. Известно, что угол С равен л/3, угол В равен а. Через S(a) обозначим площадь треугольника,  вершинами  которого являются точки касания вписанной окружности.
а)	Докажите, что
3	л/3	л/3 S(a)= — sin a+ — cos a+ — .
4	4	4
б)	Найдите область  значений  функции   S.
в)	Постройте график функции Я.
3.	Дана функция
2
1 + cos х
а) Найдите точное значение f(x), если известно, что
О
к= —, л<х<2п.
б)   Докажите,   что   /(дс)=2—tg —	tg  —
 на  проме
при
в)	Решите  неравенство жутке [0, 2л[.
г)	При каких а уравнение f(x)=a имеет по крайней  мере  одно  решение   на   промежутке [0, 2л[?
Физика
Задачи письменного экзамена
1.	Мяч массой т= 100 г отпустили на высоте Л=2,0 м над полом. Чему равно количество теплоты, выделившееся при первом ударе мяча о пол, если время между первым и вторым ударами мяча о пол At=l,2 с?  Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным ?=10 м/с2.
2.	Гиря массой т=1 кг подвешена на нити, разрывающейся при силе натяжения F=24,5 H. В натянутом состоянии нить с гирей из вертикального положения переведена в горизонтальное и отпущена. Уцелеет ли нить при прохождении гирей положения равновесия?
3.	В   баллоне   был   некоторый   газ.   При выпускании из баллона части газа температура газа уменьшилась в п раз, а давление уменьшилось в k раз. Какая часть газа выпущена?
4.	Под каким давлением находится в баллоне кислород, если емкость баллона V-—5 л, а средняя кинетическая энергия поступательного  движения  всех  молекул кислорода  Е= =6 кДж?
5.	Определите   работу   расширения   газа, первоначально занимающего объем  V=10 л,
65

при   изобарическом   нагревании   от   ti=17 °C до t2=104 °С. Давление газа р=100 кПа.
в. В плоский конденсатор с размерами пластин axb вдвигают параллельно стороне а с постоянной скоростью v диэлектрик толщиной d, равной расстоянию между пластинами конденсатора. При этом конденсатор подключен к полюсам батареи, ЭДС которой <D- Определите силу тока, возникающего в цепи. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика е.
7.	Два заряженных шарика массой т— 5 г каждый, подвешенные на нерастяжимых нитях длиной 1=1  м в воздухе, отталкиваясь друг от друга, разошлись на d—10 см. Заряды шариков равны. Найдите величину заряда каждого шарика. Размеры шариков малы по сравнению с расстоянием между ними.
8.	К батарее подключается резистор сопротивлением  R, на  котором  рассеивается мощность Р. При подключении параллельно этому резистору такого же резистора мощность, выделяемая в нагрузке, не изменилась. Определите внутреннее сопротивление батареи.
9.	На дифракционную решетку, имеющую период tf=6 мкм, нормально падает монохроматическая волна. Определите длину волны, если угол   между   дифракционными   максимумами второго и третьего порядков равен а=3°. Углы отклонения считать малыми.
10. Найдите скорость фотоэлектронов, вылетевших из цинка при освещении его ультрафиолетовыми лучами длиной волны А=0,3 мкм, если работа выхода электрона из цинка А=4 эВ.
Публикацию подготовили
Ю. В. Богачев, В. А. Егоров,
П. П. Каргаее, Г. Д. Лапин, Б. А. Лифшиц
Московский авиационный институт им.   Серго   Орджоникидзе
Математика
Письменный экзамен
Вариант 1
1.	Решите уравнение
-{х^2 + -*Jx—l =1.
2.	Постройте график функции у= sin (х+ +п)+1.  Напишите  уравнение касательной  к графику в точке с абсциссой л/4.
3.	Второй член убывающей арифметической прогрессии равен 10. Если первый член прогрессии увеличить на  2, второй оставить без изменений, а третий увеличить на 3, то полученные    три    числа    будут    последовательными членами геометрической прогрессии.  Найдите сумму   первых   четырех   членов   арифметической прогрессии.
4.	Решите уравнение
sin 2х= sin х (sin x+ cos x).
5.	В треугольнике ЛВС проведены две высоты ВМ и CN, причем AM: CM=2:Z. Найдите
отношение   площадей   треугольников   BMN  и ABC, если острый угол ВАС равен а. в. Решите неравенство
,        12—4л: logx-i-r<l.
7.	Найдите все такие действительные а, при которых множество значений х, удовлетворяющих неравенству
х\х—\)—а | х | (jc+2)<0, является промежутком числовой оси.
8.	Основанием  пирамиды  служит  прямоугольный треугольник с острым  углом,  равным а. Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы величиной р. Найдите объем пирамиды, если длина  бокового ребра равна Ь.
Вариант  2
1. Решите уравнение
2.
Найдите   ctg —,
cos a=a    и
3.	Решите уравнение
(logs x—3) sin x=-\]l —cos2 x .
4.	Найдите область определения функции
f{x)=logx (7+8x- 12x2).
5.	Решите систему уравнений
/ х+у=1,
в. Длины меньшей диагонали ромба, стороны и большей диагонали являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите величины углов ромба.
7.	Известно, что график функции ^=/(дс)+ -\-2g(x)    представляет    собой    прямую    АВ, проходящую через точки А (—1; 3) и В (1; 2), а   график   функции   y=Zf{x)—g(x)   является прямой, симметричной прямой АВ относительно   оси   ординат.   Найдите   функции   f(x)   и В(х) и постройте их графики.
8.	В   правильной   треугольной   пирамиде SABC, высота которой в два раза больше стороны основания, на боковых ребрах SB и SC взяты точки М и N так, что MN параллельна ВС.  Через   прямую   MN  проходят   плоскости аир.   Плоскость   а   перпендикулярна   плоскости    грани    SBC   и    содержит   точку    А, плоскость   р проходит через середину бокового  ребра   SA.   Найдите  отношение  площадей сечений пирамиды плоскостями аир.
Физика
Письменный экзамен Варна нт  1
1.	Работа перемещения заряда  в электрическом поле.
2.	Тонкий обруч  радиусом  R  раскрутили вокруг его оси до угловой скорости шо и положили  на  горизонтальный  стол.  Через  какое время  обруч  остановится,   если   коэффициент трения   между   столом   и   обручем   равен   ц? Сколько оборотов сделает обруч?
66