А.М. Мелёшина, И.К. Зотова, М.А.Фосс
ПОСОБИЕ для самостоятельного обучения решению задач по физике о вузе
(®)
ВОРОНЕЖ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ВОРОНЕЖСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1986
УДК 53 (076)
Мелёшина А М, Зотова И. К, Фосс М. А Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике а в>зе. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986 — 440 с.
В книге используется новый метод дачи рекомендаций студентам,, который должен помочь им самостоятельно, без помощи преподавателя, научиться решению несложных задач общего курса физики. Этот метод обеспечивает необходимость размышлений над задачей, индивидуальность помощи (разные рекомендации в зависимости от характера затруднений).
Пособие предназначено для студентов технических вузов, пединститутов, университетов.
Ил. 281. Табл. 8
Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета Воронежского университета
Научный редактор — д-р физ.-мат. наук доц. А Н. Латышев
Рецензенты:
кафедра физики Воронежского сельскохозяйственного института, канд. физ.-мат. наук доц. Ю М. Елькин
1704010000-011
М М174(03)-86 28-86
(g) Издательств»
Воронежского университета, 1986-
ПРЕДИСЛОВИЕ
Ничего не следует предлагать к выполнений кроме того, форма и способ выполнения чего в достаточной мере разъяснены.
Я. А. Каменский
Чтобы научить студента решать задали, нельзя снабжать его готовым решением. Нужно дать ему возможность размышлять самостоятельно, и только по мере необходимости, когда заходит в тупик, помогать делать следующий шаг в рассуждениях. Однако в аудитории, где находится 25 человек, индивидуальная беседа с каждым студентом невозможна. А эффективность советов для всех невысока.
В пособии приводятся рекомендации, какие обычно дает преподаватель студентам, однако благодаря особой структуре книги они индивидуализированы. Основное назначение пособия — оказывать помощь студентам при самостоятельном решении задач во внеаудиторное время. Им можно пользоваться и во время занятий, на которых применяются элементы дидахографии *.
Работая над пособием, мы руководствовались общими дидактическими принципами и личным опытом проведения практических занятий по решению задач. Для того чтобы апробировать специфический метод преподнесения рекомендаций, студентам предлагали для решения традиционные задачи из общего курса физики. При этом в начале раздела механики мы сочли целесообразным несколько отступить от общепринятого порядка изложения материала и начать его с уравнений движения — в соответствии с принципом, о котором говорится в нашей книге **. Дальнейшее совершенствование пособия может идти как по линии подбора задач, так и по линии тщательной обработки рекомендаций- с учетом
* См. в кн: Мел ё шин а А. М, Зотова И. К. О преподавании физики в вузе. Воронеж, 1983, с. 115
** Там же, с. 5.
3
опыта пользования ими. Мы будем благодарны всем, кто пришлет отзывы на книгу и советы по ее усовершенствованию.
Авторы выражают глубокую признательность своим коллегам С. П. Грибкову, Т. Д. Чернышовой, В. В. Чернышеву, советы которых принимались во внимание при работе над пособием, а также В. С. Воищеву за критические' замечания, которые были учтены в окончательной редакции рукописи.
КАК РАБОТАТЬ С ЭТИМ ПОСОБИЕМ
Цель пособия — помочь вам научиться решать задачи по физике. Эта цель может быть достигнута только в том случае, если вы искренне : отите развить у себя способность к решению задач. Заметим, что умение решать задачи поможет вам при изучении не только физики, но и любой другой области знаний, так как вырабатывает логическое мышление, способность анализировать материал и доискиваться до причины того или иного явления.
Задачи расположены в порядке возрастающей трудности, при этом ход решения некоторых из них опирается на результаты или ход решения предыдущих. Поэтому лучше решать все задачи подряд. Некоторые из предлагаемых задач могли встречаться вам еще в средней школе, однако пропускать их не следует, так как метод, которым надо их решать теперь, отличается от школьного, и именно он должен быть усвоен вами на примере решения простых задач. Помните всегда, что ваша цель при решении задач — не знание ответа, а умение самостоятельно найти этот ответ.
Прежде чем приступить к решению задач, нужно изучить теорию по рекомендованным вашим преподавателем и программой курса учебникам или учебным пособиям. Учебную литературу по физике нужно не только читать, но и изучать с карандашом в руке, вникая в смысл сообщаемой информации. Очень полезно при этом вести свой собственный конспект (ССК), содержащий подробное описание физических явлений, экспериментов, особенно доказательств и выводов. Запись в конспекте нужно делать тогда, когда вы поняли материал и можете говорить о нем своими словами. В ССК нужно оставлять место для дальнейших пояснений, добавлений, примеров. Так, после решения задач по данной теме может оказаться, что первоначально вы не совсем верно поняли какой-то вопрос, упустили некоторые детали и т. д. Поэтому потребуется частичная переделка и расширение записи в конспекте. Навык ведения ССК пригодится вам не только в связи с изучением физики.
Каждый раздел книги начинается с изложения основ
5
ных положений теории, на которые следует опираться при решении задач. Кроме того, книга снабжена математическим приложением, в котором даны математические положения, необходимые для того, чтобы иметь возможность решать предлагаемые задачи. Математическое приложение не заменяет курса высшей математики, а лишь помогает лучше ориентироваться в нем. Ссылка на математическое приложение обозначается в тексте буквой М, рядом с которой стоит номер его пункта.
Прежде всего постарайтесь самостоятельно решить задачу и получить требуемые числовые значения. К ответу имеет смысл обращаться только в том случае, если решение вами найдено. Числовое совпадение вашего ответа с указанным в книге почти наверняка означает, что ваши рассуждения были верными. Несовпадение может иметь следующие причины: 1) ошибка в технике вычисления, 2) неправильное применение единиц измерения, 3) неверный вывод общей формулы, 4) использование законов и формул, которые неприменимы при данных условиях задачи.
Если ваш результат не сходится с ответом или вы не можете найти решение, подумайте, что мешает вам решить задачу или приступить к ее решению. После формулировки задачи записаны предположения о возможных ваших затруднениях. Выберите то, которое ближе всего к вашему, и прочитайте рекомендацию, номер которой стоит в скобках.
Все рекомендации нужно выполнять самостоятельно. Например, если вам предлагается сделать чертеж, который можно сравнить с приведенным в другой рекомендации (в тексте она обозначается сокращенно буквой р, после которой стоит ее номер), ни в коем случае не обращайтесь к ней сразу. Там вы действительно найдете правильный чертеж, но в готовом виде он вам принесет немного пользы. Ведь вам важно знать, не каков чертеж, а как его построить. А для того чтобы приобрести навык в любой работе, необходимо эту работу выполнять самостоятельно, в частности, очень важно сознательно проделывать все операции, догадываясь, какими они должны быть
Часть задач снабжена выводами. Их нужно читать после того, как решение задачи доведено до конца. Эти выводы полезно принимать во внимание при решении последующих задач.
Если, решая задачу, вы нашли правильный ответ, не прибегая к рекомендациям, кратко запишите в специальную
6
етрадь то, что вами проделано, и переходите к размышлению над следующей задачей или к решению контрольных задач. Если вам при решении задачи приходилось обращаться к рекомендациям, необходимо записать в специальную тетрадь формулировку задачи и весь ход ее решения так, чтобы никаких неясностей не было. Такая запись будет служить эталоном при решении задач подобного типа и при-годыся при подготовке к зачетам и экзаменам.
Если, несмотря на наши советы, задача не выходит, вспомните приведенные в начале раздела примеры, еще раз перечитайте его теоретическую часть, вспомните решения предыдущих задач, загляните в учебник. Если и это не поможет, отложите на время задачу: часто решение не получается от усталости, так что вернуться к задаче следует после отдыха. Если прерывать работу нежелательно, попробуйте заняться следующей задачей Иногда более сложная задача оказывается легче, чем простая, а поняв ее решение, можно без труда решить и простую задачу. Однако «перескакивание» через задачу должно быть исключением, потому что обычно в какой-то своей части ее решение опирается на решение предыдущей задачи.
В конце большинства разделов даются контрольные задачи. Они чегче приведенных в разделах, и поэтому не имеют отсылок к рекомендациям, для них приводятся лишь ответы. Если вы не можете решить какую-либо из контрольных задач, значит вы недостаточно размышляли над программированными задачами и нужно снова отработать их решение.
Несмоеря на различие в видах задач, их решение можно проводить по следующему общему плану (некоторые пункты плана могут выпадать в конкретном случае, может меняться и порядок выполнения некоторых пунктов).
1)	прочитать внимательно условие задачи,
2)	посмотреть, все ли термины в условии задачи известны и понятны (если что-то неясно, следует обратиться к учебнику, посмотреть решение предыдущих задач, теоретическую часть раздела);
3)	записать в сокращенном виде условие задачи (когда введены стандартные обозначения, легче вспомнить формулы, связывающие соответствующие величины, четче видно, какие харачэристики заданы, все ли они выражены в одной системе единиц и т. д.);
4)	сделан чертеж, если это необходимо (делая чер
7
теж, нужно стараться представить ситуацию в наиболее общем виде, например, если решается задача о колебании маятника, его следует изобразить не в положении равновесия, а отклоненным);
5)	провести анализ задачи, вскрыть ее физический смысл (нужно четко понимать, в чем будет заключаться решение задачи; так, если требуется найти траекторию движения точки, то ответом должна служить запись уравнений кривой, описывающей эту траекторию; на вопрос, будет ли траектория замкнутой, следует ответить «да» или «нет» и объяснить, почему выбран такой ответ, траекторию при этом искать не нужно);
6)	установить, какие физические законы, свойства и формулы могут быть использованы при решении данной задачи;
7)	составить уравнения, связывающие физические величины, которые характеризуют рассматриваемые явления с количественной стороны, и решить их относительно неизвестных величин, получив ответ в общем виде;
8)	перевести количественные характеристики в стандартную систему единиц (СИ), найти числовой результат;
9)	проанализировать полученный ответ, выяснить, как изменяется искомая величина при изменении других величин, функцией которых она является, исследовать предельные случаи.
Если в задаче несколько вопросов, отыскивать ответы на них не обязательно в том порядке, в котором поставлены вопросы.
Для более глубокого усвоения курса физики целесообразно решать задачи из следующих задачников:
Волыкенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. М., 1977.
Новодворская Е. М. Методика проведения упражнений по физике. М., 1970.
Сахаров Д. И. Сборник задач по физике. М., 1967. Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачник по физике. М., 1981.
Сборник задач по общему курсу физики. Раздел оптики/Под ред. Д. В. Сивухина. М., 1977.
Многие задачи, предлагаемые в нашем пособии, взяты из указанных источников.
8
Глава 1
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
1.	УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Прежде чем приступить к решению задач по механике, необходимо изучить кинематическое описание движения точки (координаты, скорость, ускорение), законы Ньютона. Этот материал изложен в любой книге по механике общего курса физики Здесь мы приводим его краткое описание.
Не огорчайтесь, если при первом знакомстве с изложенным в данном разделе материалом вы многого не поймете. Понимание придет тогда, когда вы начнете применять его для решения конкретных задач. Давая рекомендации, мы старались придерживаться такого пути решения, который соответствует общей методологии данного раздела физики Усвоив его, вы овладеете методом решения большого класса задач, что важно с практической точки зрения. Конечно, многие задачи можно решать и более простыми способами, но каждый из них пригоден лишь для данного частного случая Если вы найдете такой способ самостоятельно и получите правильный ответ, можно считать, что задание вами выполнено успешно Однако при решении других задач могут встретиться затруднения из-за незнания общего принципа подхода к задачам данного раздела. Поэтому мы советуем для каждой задачи искать наиболее общий путь решения. Лишь в редких случаях вследствие громоздкости выкладок или сложности математических операций необходимо искать частное решение, о чем делается соответствующее указание.
1.1.	Основная задача механики системы точек — описание различных характеристик ее движения. Главной характеристикой движения является закон движения, т. е. зависимость координат точек от времени. Если между точками есть взаимодействие, например, действуют силы тяготения или кулоновские силы (если точки заряжены) и т. д, движение системы точек оказывается сложным. Поэтому вначале рассмотрим движение одной точки
1.2.	Простой вид движения точки — прямолинейное дви
9
жение, когда точка может двигаться только вдоль некоторой прямой, которую принимают за ось координат, например х. В таком случае положение точки характеризуется одной координатой х, а закон ее движения известен, если известна зависимость этой координаты от времени: x = x(t).
dx
Скорость точки есть — =х и, вообще говоря, также может
зависеть от времени.
Ускорение есть
d2x
dt2
и тоже может
Рис. 1
меняться со временем. Соответствующая математическая информация содержится в М3.
В общем случае положение точки в пространстве может быть описано радиусом-вектором г, имеющим составляющие х, у, z (рис. 1): г—xt+yj+zfe, где i, J, k — единичные векторы (орты); х, у, z —• проекции вектора г на оси координат (см. М2). Если известен закон движения точки вдоль каждой из осей координат, т. е. x(t), у (t), z(t), то известен и радиус-вектор r(t), и наоборот. Если х, у, z из
меняются со временем неодинаково, то точка А перемещается, вообще говоря, по кривой линии. Следовательно, криволинейное движение может быть описано с помощью трех прямолинейных движений (коорди-
натное описание).
1.3.	Закон инерции Ньютона утверждает, что существуют инерциальные системы отсчета (системы координат), в
которых выполняется закон инерции: в отсутствие сил точка движется прямолинейно и равномерно. В дальнейшем будем предполагать, что все описания движения ведутся в инерциальной системе координат, если специально не оговорено обратное. Поэтому если точка движется с ускорением, значит на нее действуют силы.
Сила — это мера механического действия на данное материальное тело других тел как при непосредственном контакте, так и через посредство создаваемых телами полей (поле тяготения, электрическое поле и т. д.). Сила характеризуется численным значением (в дальнейшем будем писать —
10
значение), направлением и точкой приложения, т. е. является вектором.
1.4.	В механике наиболее характерны следующие типы задач:
I — определение силы по характеру вызываемого ею движения,
II — нахождение закона движения по заданным силам.
Согласно второму закону Ньютона, в инерциальной системе координат выполняется равенство F = ma, где F— результирующая всех сил, действующих на точку; m — масса точки, а — ее ускорение. Если положение точки в пространстве характеризовать радиусом-вектором г, т. е. закон дви-_ dr 1 жения — векторной функцией r(t), то скорость v ——=r, do d2r ~	-
ускорение tz = —= -^2 ==r. 1 аким образом, выполняется равенство
d2r =	/т
n,dF	(Н)
Равенство (Н) называется уравнением движения. Задачи обоих типов решаются с использованием уравнения (Н). Рассмотрим их более подробно.
1.5.	Задачи типа I. Известен закон движения, т. е. зависимость координат точки от времени r=f(t) или x=fi(t), y=f2(t), z = f3(t). Найти силу F (или ее составляющие — проекции вектора F на оси координат: Fx, Fy, F2).
При решении задач типа I нужно использовать тот факт, что ускорение а (или его проекции) есть вторая производная от радиуса-вектора (или соответствующих ему координат) по времени:
___d2f / ___ d2x _____d2y ______ d2z\ a~dtr \ax— dP ’ ay~ dF’ az— dt2)'
Пример 1. Найти силу F, под действием которой точка массой m движется по прямой по закону x=at2/2, где а —
заданная постоянная.
Решение. Нужно воспользоваться уравнением (Н), подставив в него закон движения: x=at2/2. Продифференци
dx , d2x
dt-at’dt2 ~а’
ровав х, получим:
следовательно, F=ma —
постоянная величина. Здесь а —величина ускорения.
11
При одномерном движении вас может интересовать только знак силы, который определяется знаком ускорения. В случае пространственного движения может ставиться вопрос
о направлении силы, т. е. о силе как векторе.
Пример 2а. Точка движется вдоль оси х по закону х= a cos cot, где а и со— заданные постоянные. Найти силу как функцию координат.
т, d2x
F=mdF’
Решение. Согласно закону
Ньютона,
dx	d2x
— = —aco sin co t, -7-5- =—aco2 cos co t, t. e. F=—maco2coscot. dt	dt2
Поскольку x=acoscot, получим: F=—mco2x. Таким образом, мы нашли искомую силу. Запишем полученное выражение для F в несколько ином виде, введя новую постоянную k=mco2>0 : F=—kx. В точке х=0 сила F—0. При положительных значениях х она направлена в отрицательную сторону изменения координаты, при отрицательных — в положительную. Чем больше отклоняется точка от начала координат (положение равновесия), тем большая сила стремится вернуть ее в первоначальное положение. Такая сила называется возвращающей (упругой).
Пример 26. (Этот пример при первом знакомстве с общими положениями можно пропустить.) Точка массой m движется в плоскости по закону x=acoscot, у= a sin cot, где а и со — заданные постоянные. Найти силу, действующую
на точку.
с!2х
Решение. Так как Рж = ш--^, найдем вторую произ-
dx	d2x
водную от х: — =—a sin со t; —5- =—aco2 cos со t. Следова-
7	dt	dt2
тельно, Fx=—maco2coscot =—mco2x. Аналогичным образом Fy=—mco2y. Следовательно, числовое значение силы
F=yF2x+F2y=maco2. Определим ее направление. Для этого построим радиус-вектор точки А (рис. 2). Из чертежа видно, что tga=y/x*. Но угол, который составляет вектор _F с осью х, определяется из условия Fv/Fx=y/x=tg<£ (F, х). Таким образом, сила направлена по линии вектора г. Такая сила называется центральной. Знак проекции силы обратен
знаку проекции г, следовательно, сила направлена к началу координат (сила притяжения к силовому центру).
” По поводу тригонометрических функций см Ml.
12
Рис. 2
1.6.	Задачи типа II. Задана сила Р как функция координат и времени F=F(x, у, z, t). Найти закон движения r(t).
При решении задач типа II равенство (Н) нужно рассматривать как дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения r(t):
m^=F.	(Н/)
Обычно уравнение (Н') проектируется на оси коордйнат: m^-=F„ m * = F„ m g- = F,,	(H")
и решается система трех уравнений.
Так как в механике постоянно встречаются производные по времени, для них вводят следующие сокращенные обозначения:
dx . d2x .. d2f dF =x’ dF=x’ lF==r’ -
Таким образом, уравнение (H') можно переписать в виде mr=F, а уравнения (Н"— в виде
mx='Fx; nu/=Fy; шг = Рг.
При решении дифференциального уравнения второго порядка появляются две произвольные постоянные. Их находят из заданных начальных условий (координаты и скорости в начальный момент времени).
Пример За. Йа точку действует постоянная сила F. Найти закон движения.
Примечание Важным примером постоянной силы является сила поля тяжести Вы знаете, что ускорение силы тяжести g приблизительно можно считать постоянным (g~9i8 м/с2). Поэтому сила тяжести постоянна f = mg, где m — масса точки
_Р е ш е н и е. Выберем систему координат так, чтобы сила F была направлена вдоль одной из осей (например, вдоль
13
оси х). Тогда уравнения движения примут следующий вид:
(1)
(2)
d2z
m^=0,	(3)
или в сокращенной записи: mx=Fx, m^=0, mz=0.
Поскольку сила направлена вдоль оси х, модуль ее F—Рж, поэтому в дальнейшем описании решения задачи индекс х
у проекции силы можно опустить.
Из уравнений (2) и (3) следует, что в тех направлениях, i ^2У в которых сила не действует, ускорение равно нулю (—-== = 0), так что точка движется по инерции (в частности, может покоиться). Из уравнения (1) вытекает, что при дей-d2x ствии постоянной силы ускорение постоянно (=F/m=
= const), т. е. движение равноускоренное (или равнозамедленное, если ускорение отрицательно).
Решаем уравнение (1). Поскольку
d2x___ d /dx \
dF ~'m dt”\dt Г
имеем:
d^- = F/mdt.
Проинтегрировав обе части полученного равенства по t, найдем:
=jF/mdt+Ci, или =F/mt+Ci, или x=F/mt+C]. Проинтегрировав последнее равенство еще раз по t, получим проекцию на ось х радиуса-вектора, описывающего искомый закон движения:
x=F/mt2/2+Cit+C2.	(4)
Решим уравнение (2), проинтегрировав два раза по t:
$-=Сз, У = СзН-С4.	(5)
14
Аналогичным образом получим:
z = C5t+C6.	(6)
Совокупность выражений (4), (5), (6) является законом движения точки с координатами х, у, z. Выражение (4) при F=const является примером закона равномерно-переменного движения, записанного в общем виде, так как здесь постоянные Ci, ..., С6 произвольны. Для того чтобы конкретизировать значения постоянных Ci, ..., С6, необходимо задать начальные условия: координаты и скорости в начальный момент времени. Как это делается, видно из следующего примера.
Пример 36. Допустим, что в начальный момент времени выполнялись следующие условия: при силе, направленной вдоль оси х (условие примера За), А) точка находилась на оси у на расстоянии b от начала координат, Б) точка имела значение скорости Vo и направление ее вдоль оси z. Условие А означает, что при t = 0 хо=О, y0 = b, Zo=O. Условие Б означает, что при 4=0 vox=0, Voy=O, Voz=Vo. Подставив данные условия А в закон движения, получим: С2 = 0, С4=Ь, С6 = 0.
Для того чтобы воспользоваться условием Б, нужно с помощью закона движения построить составляющие скорости. Продифференцировав (4) по времени, получим: ^- = vx=’F/mt-j-Ci. Из выражения (5) находим: = vy= = С3. Аналогичным образом vz=C5. Поэтому, согласно условию Б, Ci = 0, Сз = 0, C5=Vo.
Итак, при рассмотренных начальных условиях закон движения таков:
x=F/mt2/2; y=b; z = vot
Заметим, что при определении произвольных постоянных не обязательно пользоваться именно начальными условиями (заданием координат и скоростей в начальный момент времени). Например, вместо начальной скорости могут быть заданы координаты точки в другой (неначальный) момент времени или другие физические характеристики, в которые входят произвольные постоянные, например, энергия точки, если выполняется закон сохранения энергии, и т. п.
Пример Зв. На точку массой ш, движущуюся по прямой, действует постоянная сила F. Найти закон движения, если точка в начальный момент времени выходит из начала координат и приходит в точку Xi в момент ti.
15
Решение. Общая формула закона движения была получена в примере За: x=iF/mt2/2-|-Cit+C2. Нужно найти С! и С2. Для этого запишем значения х(0) и x(ti):
х(0)=0, т. е. С2 = 0, x(ti)=iF/mt12/2+Citi = x1, следовательно, С!=[.Х|—Fti2/(2m) ]/tj.
В этих примерах уравнения движения легко было решить потому, что сила — постоянная. Методом, который применялся в примерах За и 36 (но с более сложным интегрированием), решается система (Н"), если сила зависит от времени. Если же сила является функцией координат, решение соответствующих дифференциальных уравнений представляет существенные трудности. Для одних видов уравнений имеются стандартные методы решения, для других они — математическая проблема, а иногда практически удается находить лишь приближенные решения. Еще более сложно отыскание закона движения системы взаимодействующих точек.
Нахождение закона движения — важнейший тип задач в механике, ибо, зная закон движения, можно легко найти все механические характеристики движения точки (или системы точек).
1.7.	Рассматривая задачи I и II типов, мы предполагали, что никаких препятствий движению точки нет, и оно определяется лишь действующей силой и начальными условиями Однако во многих случаях точка (тело) находится в таких условиях, что в некоторых направлениях движение оказывается невозможным при любых силах. Так, если, например, автомобиль находится на шоссе, то, хотя на него и действует поле силы тяжести, направленное вертикально вниз, оно не может заставить его двигаться, так как этому препятствует поверхность шоссе. Шарик, подвешенный на нити маятника, движется не так, как камень, брошенный под углом к горизонту, хотя оба находятся под действием одной и той же силы тяжести. И шоссе, и нить ограничивают возможности движения данного тела. Их взаимодействие с телом можно описывать как действие некоторой силы, называемой реакцией связи. Так, в примере с подвешенным шариком сила реакции нити f направлена вдоль нити. Силу f часто называют натяжением нити и обозначают буквой Т (рис. 3). Натяжение нити Т не зависит от ее длины. Считая нить идеальной, можно принять, что сила натяжения нити одинакова в любой ее точке. В примере с автомобилем действие шоссе на автомобиль можно заменить силой нор-
16

г
Я
т /
mg
Рис. 3
/7777777777777777>V77777/77777777777
Рис. 4
мального давления N (рис. 4), котрая уравновешивает силу давления автомобиля на шоссе.
Реакции связей вводятся в уравнения движения и складываются с силами, действующими на тело.
Обычно в задачах предполагаются идеальные связи: поверхности, с которыми соприкасается тело, абсолютно твердыми, нити — нерастяжимыми, стержни — несгибаемыми и невесомыми и т. д.
1.8.	При соприкосновении данного тела с другими телами кроме указанного ограничения возможности движения часто оказывается заметным трение, которое тормозит движение. Во многих случаях силу трения о поверхность считают пропорциональной величине силы давления тела на поверхность, но направленной по касательной к ней. Например, на горизонтальную поверхность тело массой m давит с силой mg, так что силу трения можно считать равной kmg, где к—коэффициент трения, зависящий от качества трущихся поверхностей. В некоторых случаях, например при движении тела в среде (в воде и т. д.) сила трения зависит от скорости движения тела. Сила трения вводится в уравнения движения Ньютона.
1.9.	Мы описали два основных типа задач. Разумеется, возможны задачи и смешанного типа. Так, иногда бывают заранее известны некоторые данные о характере действующих сил и движения, хотя ни силы, ни закон движения полностью не заданы. В этом случае важно осмыслить задачу и построить соответствующие математические выражения. Например, если в задаче указано, что одна из составляющих вектора скорости постоянна, можно записать условие равенства нулю соответствующей проекции ускорения; если известно, что сила действует в одном и том же паправлении
2 Заказ 259	17
(например, сила тяжести), то естественно так выбрать оси координат, чтобы по двум из них составляющие силы равнялись нулю. Часто после несложных рассуждений и небольших вычислений задача сводится или к типу I или к типу II.
Обширную информацию о движении можно получить из закона движения. Поэтому во многих задачах ответы на поставленные в них вопросы можно найти после предварительного определения закона движения. Исследованием характеристик закона движения занимается кинематика — специальный раздел механики, с задачами которого вы познакомитесь далее.
1.10.	Во многих задачах механики весьма сложные объекты можно считать точками. Например, движение автомобиля, который может иметь разную форму, качаться на рессорах, быть наполнен грузом, можно описывать моделью движущейся точки. Но если нужно исследовать законы качения колеса, модель точки неприемлема, и следует вводить модель твердого тела. Обычно допустимость точечной модели для движущегося объекта очевидна из условия задачи и специально в ней не оговаривается.
1.11.	Предлагаемые в данном разделе задачи относятся к одному из разобранных типов. Как только вы по условию задачи определите ее тип, можете воспользоваться алгоритмом (рецептом), данным в п. 1.5 или 1.6. Рекомендуем также внимательно еще раз разобрать примеры, относящиеся к тому типу задачи, которую вы будете решать.
Задача 1. Материальная точка (тело) массой m свободно падает (движется в поле силы тяжести). Найти закон движения, если в начальный момент времени точка находилась в начале координат х=0, у = 0, z = 0.
1. Не знаю, с чего начать решение задачи (18).
2. Не понимаю условия задачи (7).
Вывод. При свободном падении точка (тело) движется равноускоренно.
Задача 2. Свободно падающее тело начинает движение из точки с координатами х = 0, у=0, z = z<). Найти закон движения и момент времени, когда тело окажется в начале координат.
Указание. Не спешите заглядывать в ответ: дело не в том, чтобы знать ответ, а в том, чтобы найти его самостоятельно. Если вы разобрали задачу 1, то не должны затрудняться в решении этой задачи.
1. Ход решения неясен (50).
18
Задача 3. Камень брошен вертикально вверх со скоростью Vo. Найти закон движения. Подумайте, какие задачи можно решать с помощью полученного закона движения. Придумайте такие задачи и запишите их. Когда дойдете до задачи 8, сравните ваши вопросы с поставленными в ней.
1. Не знаю, с чего начать решение задачи (74).
2. Выражение для z не получилось (67).
Выводы. 1. Закон движения в поле силы тяжести не содержит массы. Это значит, что в отсутствие сопротивления воздуха при равных начальных условиях все тела падают по одинаковому закону.
2. При одной и той же силе (в задачах 1—3 — в поле оилы тяжести) закон движения зависит от начальных условий, которые, как правило, задают с помощью координат и скоростей в начальный момент времени.
Задача 4. На точку массой m действует постоянная сила F, направленная вдоль оси х (см. примеры За, 36, Зв). Найти закон движения при следующих начальных условиях: при t=0 точка находится в начале координат и имеет скорость Но, направленную в плоскости ху под углом а к оси х.
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (20).
2.	Не могу записать начальные условия (103).
3.	Не знаю, как воспользоваться начальными условиями (27).
Задача 5. Найти закон движения точки, движущейся по прямой под действием силы F=kt, где к — заданная постоянная. В начальный момент времени точка находилась в покое. Опишите характер движения точки, в частности, укажите, будет ли точка изменять направление своего движения.
Указание. Под характером движения подразумеваются его направленность (изменяется или не изменяется направление движения), периодичность, скорость (постоянная или переменная). Иногда подобные характеристики можно описать, не зная точно закона движения, а лишь имея некоторые сведения о силах и начальных условиях.
1.	Не умею составить уравнение (Н) (49).
2.	Не знаю, как решать полученное уравнение (39).
3.	Не могу взять интеграл (96).
4.	Не умею воспользоваться начальными условиями (5).
5.	Не могу ответить на вопрос о характере движения (Н1).
2*
19
Задача 6. Найти закон движения точки, движущейся по прямой под действием силы F—'kt (к — заданная положительная постоянная), если при t=0 она находилась в начале координат и двигалась со скоростью —Vo- Опишите характер этого движения.
1. Не могу воспользоваться начальным условием (69).
2. Не умею описать характер движения (89).
Задача 7. С башни высотой Н горизонтально брошен камень со скоростью vo- Найти закон движения.
1.	Не могу математически записать условия задачи (80).
2.	Не знаю, с чего начать решение задачи (26).
3.	Правильный ответ не получился (75).
Контрольные задачи
К1.1. Точка массой m движется по прямой согласно закону x=at4, где а = const. Найти силу, действующую на точку.
К1-2. Точка массой т=1 кг движется в поле постоянной силы F=2H. В начальный момент времени точка покоилась в начале координат. На каком расстоянии s от начала координат окажется точка в момент времени t=3 с?
2.	КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
2.1.	Закон движения системы точек — зависимость их координат от времени. Если закон движения известен, то с помощью простых математических операций можно найти соответствующие характеристики: скорость как функцию времени; время, за которое точка проходит определенный отрезок пути, и т. д. Отыскание этих характеристик движения может служить целью задачи. Бывают задачи, в ходе решения которых по одним характеристикам определяют другие характеристики движения. Иногда удается найти закон движения, не зная действующей силы. Основной задачей кинематики является исследование характеристик движения системы точек или одной точки без учета природы сил, вызывающих это движение.
Одной из простых, но практически важных задач исследования движения точки является нахождение уравнений, описывающих в пространстве линию движения точки, т. е. ее траекторию. Линия в плоскости определяется одним уравнением. Поэтому траекторию точки получают исключением времени из двух равенств, описывающих закон движения: X=f1(t), y=f2(t).
20
2.2.	Некоторые законы движения вам известны из теории или решения предыдущих задач. Поэтому, приступая к решению задач раздела 2 данной главы, в первую очередь стаоайтесь в условии задачи увидеть те признаки, по которым можно судить о законе движения. Если описываемое в задаче движение сложно и не относится к одному из известных видов, то, вероятно, его можно разложить на более простые движения. Для этого нужно выбрать так координаты, чтобы движение вдоль их осей можно было описать просто. Таким образом, удачный выбор системы координат может существенно помочь решению задачи.
2.3.	Если в задаче имеется векторная величина, не забудьте спроектировать соответствующий вектор на выбранные оси координат.
Когда точка движется по окружности, ее движение удобно описывать углом поворота а вокруг центра окружности.
Вместо линейной скорости	в этом случае вводят уг-
ловую скорость со= Этой характеристикой можно пользоваться и при более сложной траектории движения. Анало-х	dco
гичным образом получают ускорение w= .
2.4.	Движение точки, на которую или не наложены связи (движение в пространстве) или наложены так, что точка движется в плоскости, можно описывать декартовой системой координат.
Задача 8. Камень брошен вертикально вверх от поверхности земли со скоростью vq. 1. Какова максимальная высота zm, достигнутая камнем? 2. Через сколько времени ti камень упадет на землю? 3. С какой скоростью vi камень упадет на землю?
1.	Не ясна постановка задачи (121).
2.	Не могут найти zm (11).
3.	Высота zm найдена верно, а время ti не могу вычислить (88).
4.	Не знаю, как найти Vi (112).
Вывод. Вы получили весьма примечательный результат: время движения камня вверх равно времени его падения на землю, величина скорости начала движения камня вверх равна величине скорости его падения.
21
Задача 9. Автомобиль, едущий со скоростью v0=36 км/ч, резко тормозит и останавливается на расстоянии s=7 м от места начала торможения. Найти ускорение а автомобиля при торможении, считая его постоянным.
1. Ответ получился неверный (191).
2. Не знаю, как приступить к решению задачи (144).
Задача 10. Найти среднюю скорость движения автомобиля в двух случаях 1) первую половину пути автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, вторую половину пути — со скоростью 40 км/ч; 2) первую половину времени автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, вторую половину времени — со скоростью 40 км/ч.
1.	Ответ при расчете средней скорости движения автомобиля в первом случае получился неправильный (48).
2.	Не знаю, как подойти к решению задачи (32).
3	Неясно, как производить расчет для второго случая (87).
Вывод. Средняя скорость движения, вообще говоря, не является средней арифметической от скоростей на разных участках пути.
Задача 11. Моторист направляет движение лодки так, что если бы не было течения реки, лодка двигалась бы перпендикулярно к берегу со скоростью v0=7,2 км/ч. Течение относит лодку на /=150 м вниз по реке. Найти скорость течения реки vp, время tn, затраченное на переезд через реку, скорость движения лодки v4. Ширина реки h = 0,5 км.
1. Не знаю, с чего начать решение задачи (33).
2. Ход решения ясен, а правильный ответ не получается (П8).
Выводы. Сложное движение полезно изображать с помощью чертежа. Закон движения удобно представлять в виде зависимости координат х и у от времени, которые легко определить, если скорости вдоль соответствующих осей постоянны.
Задача 12. Свободно падающее тело в последнюю секунду своего падения прошло половину всего пути. Найти высоту h, с которой падало тело, и продолжительность его падения Ь
•1. Не знаю, с чего начать решение задачи (34).
2.	Сомневаюсь в правильности записи закона движения (83).
3.	Закон движения построен, но как им воспользоваться, не знаю (72).
22
Задача 13. Зависимость пройденного телом пути от времени имеет следующий вид: S = A—Bt+Ct2, где А—6 м; В = 3 м/с; С=2 м/с2. Найти среднюю скорость vcp и среднее ускорение wcp тела в интервале времени от 1 до 4 с.
1. Значение vcp получилось неверное (1-6).
2. Не могу найти wcp (122).
Задача 14. По условиям задачи 13 построить график пути и скорости для 0^t^5 с через 1 с. Какой вывод об ускорении можно сделать из графика скорости? Постройте график ускорения.
1.	Не знаю, как строить графики (35).
2.	Сомневаюсь в правильности построения графика пути (17).
3.	Не умею интерпретировать график скорости (12).
4.	Не знаю, что можно сказать об ускорении (25).
Задача 15. С башни высотой Н=25 м горизонтально брошен камень со скоростью vo='15 м/с. Если пренебречь сопротивлением воздуха, можно считать, что под действием силы тяжести камень будет двигаться по закону x=Vot; z = H—gt2/2 (ось z направлена по вертикали вверх — см. задачу 7). Вычислите следующие характеристики: 1) время ti, которое камень будет в движении; 2) расстояние sx от основания башни, на котором он упадет на землю, 3) скорость падения камня на землю vi и угол а, который составит траектория с горизонтом в точке падения камня на землю, 5) ускорение камня в любой момент времени.
Если задача не кажется элементарной (а в действительности она очень проста!) и вы не можете, почти не раздумывая, записать ее решение, посмотрите р. 22. Если для вас все ясно, но не совпадает с ответом значение ti, посмотрите р. 36, sx— р. 64, Vi — р. 45, а — р. 2, ускорение — р. 101.
Задача 16. С башни высотой Н=25 м бросили камень вверх под углом а=30° со скоростью vo=15 м/с. Найти: 1) время ti, которое камень будет в движении; 2) расстояние s от основания башни, на котором он упадет на землю; 3) скорость v, с которой он упадет на землю; 4) угол <р, который составит траектория камня с горизонтом через 0,5 с после его бросания. Сопротивление воздуха не учитывать.
Советы. Если вы не получили ответа на вопрос 1, прочитайте р. 9, на вопрос 2—р. 84, на вопрос 3 — р. 65, на вопрос 4 — р. 23.
23
Контрольные задачи
К2.1. На точку массой 2 кг действует постоянная сила, равная 4 Н. Через какой промежуток времени точка окажется на расстоянии 5 м от начала координат, где она имела скорость 3 м/с, направленную вдоль действия силы?
К2.2. Девочка подбрасывает вверх мяч массой 300 г, придавая ему скорость 7 м/с. Найти высоту h, которой достигнет мяч, и время ti его движения сверху вниз.
з. кинематика вращательного движения
3.1. Рассмотрим движение точки по окружности. Оно может происходить или под действием специальных сил (см. пример 26 на с. 12), или при наличии связи (см. п. 1.7). Связь, наложенная на точку, такова, что точка может совершать только вращательное движение (например, маятник, точка, находящаяся на вращающемся диске, и т. д.).
Положение точки А на окружности удобно определять углохм ф, который образован радиусом, направленным из центра окружности О в точку А, и некоторым фиксированным радиусом Ох (рис. 5).
Рис. 5
3.2. Угловая скорость
Повернувшись на малый
угол dtp, точка пройдет по малой дуге расстояние ds=rdq>, „ ds dtp и ds
где г — радиус окружности. Поэтому — =r no ^7- =v
есть значение линейной скорости движения точки, направленной по касательной к окружности. Следовательно, v=cor. При равномерном вращении угловая скорость постоянна, т. е. =coo=const; поэтому ф=a>ot-r~<Po- Часто
считают, что точка А при t=0 находится в точке х, т. е. Фо=О. Постоянная угловая скорость од называется угловой (циклической) частотой вращения. Время Т, за которое точ
24
ка совершает полный оборот по окружности, называется периодом вращения: Т=2л/со. Число оборотов в единицу времени v=l/T=coo/2n называется частотой обращения (линейной частотой).
3.3. Даже если точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью, у нее есть ускорение, так как направление скорости v меняется. Это ускорение называется центростремительным и выражается формулой W=—а2г (отрицательный знак соответствует направлению ускорения к центру окружности). Значение ускорения Wu=co2r = v2/r2r= = v2/r.
Если угловая скорость непостоянна, то имеется угловое dco ускорение е= — .
Задача 17. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость Vi первой точки на ободе в 2,5 раза больше линейной скорости второй точки, находящейся на 5 см ближе к оси колеса.
1. Не знаю, как приступить к решению задачи (125).
2. Не могу найти второе уравнение (135).
Выводы. Полезно помнить, что в задачах подобного типа угловая скорость твердого тела (в нашем случае — колеса) во всех его точках одинакова в данный момент времени, а формула v = coR верна для любого момента времени, независимо от того, постоянна или переменна во времени угловая скорость со.
Задача 18. Точка движется по окружности с равнопеременной скоростью co(t). Найти зависимость угла поворота точки от времени <p(t), если ускорение е задано (закон вращательного движения).
1. Не понимаю условия задачи (126).
2. Не могу взять интеграл (146).
Выводы. Если точка участвует лишь во вращательном движении в плоскости (т. е. по окружности), то ее положение в пространстве удобно определять углом ср поворота по отношению к некоторому начальному положению (например, при t=0) (см. п. 3.1). Закон движения известен, если известна зависимость угла ср от времени. В случае равнопеременного вращения cp=cp0-|-coot+et2/2, где <р0— начальный угол; ®о — начальная угловая скорость; е — угловое ускорение, и знак минуса ставится перед ним при замедлении вращения точки.
25
Задача 19. Вал вращается с постоянной скоростью а>о, соответствующей частоте vo—180 об/мин, но с некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением в=3 рад/с2. Найти. 1) через сколько времени ti вал остановится; 2) сколько оборотов сделает вал до остановки.
1. Не могу ответить на вопрос 1 (189).
2. Не знаю, как ответить на вопрос 2 (163).
Задача 20. Колесо радиусом R —0,1 м вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени имеет вид v=At-|-Bt2, где А=0,03 м/с2, 13 = 0,01 м/с3. Найти. 1) значения угла, составляемого вектором полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t: 0 с (фо), 3 с (ф3), 5 с (ф5) после начала движения; 2) значения полного ускорения W в эти моменты времени.
1. Значения угла получились неверные (128).
2. Значение W не совпало с ответом (138)
Вывод. Если точка движется по окружности неравномерно, то нормальное W„ и тангенциальное W? ускорения как функции времени могут быть найдены по известной
зависимости скорости от времени v(t): Wn = v2/R; W?
где R—радиус окружности.
Контрольные задачи
К3.1. Колесо вращается с постоянным ускорением в=5 рад/с2. Найти линейную скорость точки обода колеса в момент времени t=5 с от начала вращения, если радиус колеса R = 2 см.
КЗ.2. Маховое колесо спустя t=l мин после начала вращения приобретает скорость, соответствующую п = = 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса в и число оборотов N за первую минуту вращения. Движение колеса считать равноускоренным.
КЗ.З. Скорость включенного вентилятора 900 об/мин. После выключения его вращение стало равнозамедленным и он сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?
К3.4. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени ф=А~1-В1-|--f-Ct3, где В = 2 рад/с, С=1 рад/с2. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти следующие величины через t=2 с
26
после начала движения: 1) угловую скорость ы; 2) линейную скорость v; 3) угловое ускорение е, 4) тангенциальное ускорение Wt ; 5) нормальное ускорение Wn.
4.	ЗАДАЧИ СМЕШАННОГО ТИПА
Для решения задач смешанного типа использовать непосредственно алгоритмы решения задач типов I и II нельзя. Однако предварительные вычисления иногда помогают свести задачу смешанного типа к задаче I или II типа. Этому способствует составление уравнений движения, из которых становится ясно, какие величины нужно найти для использования известного алгоритма. В поисках недостающих характеристик вам помогут соотношения, приведенные в разделах 2 и 3 данной главы. Поэтому, решая задачи смешанного типа, не забывайте пользоваться материалом не только раздела 1, но и разделов 2 и 3.
Задача 21. Какую силу нужно приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы заставить его двигаться равноускоренно так, чтобы за время t = 30 с он прошел путь s= 11 м? Масса вагона 16 т, сила трения, действующая во все время движения, составляет 0,05 от массы вагона (см. п. 1.8).
1.	Не знаю, к какому типу отнести эту задачу (129).
2.	Не могу записать уравнение движения (139).
3.	Не понимаю, как использовать данные о силе трения (188).
Вывод. В данной задаче указано, что движение равноускоренное, и этого достаточно для того, чтобы записать общий вид закона движения (см. пример За на с. 13). Поэтому при анализе условия задачи целесообразно принимать во внимание не только числовые данные, но и указания на характер движения.
Задача 22. Вагон массой М=20 т движется с постоянным отрицательным ускорением а = 0,3 м/с2. Начальная скорость вагона v0=54 км/ч. 1. Какая сила торможения Fr действует на вагон? 2. Через сколько времени ti вагон остановится? 3. Какое расстояние s вагон пройдет до остановки?
1.	Неясно, как вычислить Fr (130).
2.	Не понимаю, как определить время (150).
3.	Время и расстояние получились иными, чем в ответе (185).
Задача 23. Балласт какой массы m надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы аэростат начал
27
подниматься равномерно? Масса аэростата с балластом М='16ОО кг, подъемная сила аэростата РЛ= 1,2-9,8-103 Н, сила сопротивления воздуха Fc одинакова при подъеме и спуске.
1. Ответ получился неправильный (131).
2. Ход решения неясен (141).
Выводы. В этой задаче часть сил (сила Fr при подъеме аэростата) не была задана. И все же запись уравнений движения оказалась полезной. Рассматривая движение аэростата при спуске и подъеме и учитывая равномерность его движения в обоих случаях, вы узнали, что сумма сил, действующих на аэростат, равна нулю, однако величины и направления сил при этом оказались разные. В таких ситуациях полезно делать чертеж.
Задача 24. Тело массой т = 0,5 кг движется так, что зависимость координаты s от времени движения t задана функцией s = Asincot, где А=5 см, со = л; рад/с. Найти силу F, действующую на тело через t=l,6 с после начала движения.
Примечание Закон движения, выражаемый формулой х= a cosot или x=asinot, называется гармоническим колебанием Здесь а — амплитуда колебания, о— циклическая частота, аргумент у косинуса или синуса (в данном случае это ot) — фаза колебания
1. Численное значение F получилось иное, чем в ответе (132).
2. Не знаю, как приступить к решению задачи (152).
Задача 25. Блок укреплен на конце стола (рис. б). Гири А и В равной массы т=1 кг соединены нитью (неве-
Рис. 6
28
сомой и нерастяжимой), перекинутой через блок. Коэффициент трения гири В о стол к=0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и натяжение нити Т (см. п. 1.7). В начальный момент времени гиря А двигалась вниз. Трением в блоке и его массой пренебречь.
1.	Не знаю, как приступить к решению задачи (133).
2.	Не понимаю, какие силы действуют'на гири (153).
3.	Уравнения движения построены, а искомые величины не могу найти (187).
Выводы. Если на точку действует несколько сил, имеет смысл уравнение движения проектировать на некоторое направление, в результате чего получается скалярное уравнение (в общем случае их может быть три, так как возможны три проекции), решение которого проще, чем решение векторного уравнения.
Задача 26. Блок укреплен на вершине наклонной плоскости (рис. 7), составляющей с горизонтом угол а ==30°. Ги-
ри А и В равной массы т=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Найти ускорение, с которым движутся гири А и В, и натяжение нити. 'Коэффициент трения гири В о наклонную плоскость к=0,1. В начальный момент грузы были в покое. Трением в блоке и его массой пренебречь.
1.	Не знаю, как подойти к решению задачи (194).
2.	Численный ответ не получился (272).
3.	Вижу, что задача похожа на предыдущую, но затрудняюсь сформулировать отличие (214).
Выводы. Если плоскость, служащая опорой, не горизонтальна, т. е. направление силы тяжести не перпендикулярно к ней, то эту силу следует разложить на две составляющие: одну — по нормали к поверхности опоры, другую — параллельно поверхности. Первая компенсируется реакцией опоры, вторая вызывает ускорение.
29
Контрольные задачи
К4.1. Поезд массой М=4,9-105 кг после прекращения тяги тепловоза под действием силы трения FTp=9,8-104 Н останавливается через t=l мин. С какой скоростью Vo шел поезд?
К4.2. Тело массой т = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного телом пути S от времени t выражается уравнением S=A—Bt-j-Ct2—Dt3, где С=5 м/с2, D=1 м/с3. Найти силу F, действующую на тело в конце первой секунды движения
К4.3. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а=45°. Пройдя расстояние S = 36,4 см, тело приобретает скорость v=2 м/с. Найти коэффициент трения к тела о плоскость.
К4.4. Невесомый блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы а=30° и р = 45° (рис. 8). Гири А и В равной массы
Рис. 8
т=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и натяжение нити Т. Нить считать невесомой и нерастяжимой, трением в блоке и трением гирь А и В о наклонные плоскости пренебречь.
5.	ТЕЛО В ДВИЖУЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ
5.1.	Если тело находится в движущейся системе, то оно увлекается этой системой. Внутри системы тело может двигаться (например, пассажир ходит по вагону) или покоиться (сидящий пассажир). В этом разделе рассматривается покоящееся тело в движущейся системе. Согласно закону инерции, тело стремится сохранить состояние покоя или прямолинейного движения Поэтому если система (в нашем примере вагон) движется прямолинейно и равномерно, то на тело действуют те же силы, какие действовали бы и в покоящейся системе, что является следствием принципа Гали
30
лея (например, на пассажира действует сила тяжести, прижимающая его к сидению).
5.2.	Если система движется с ускорением а, то для того, чтобы увлечь за собой тело, она должна подействовать на него с силой F=ma (m — масса тела). Если на тело, кроме увлекающей его системы, действуют внешние силы (например, сила тяжести), то все силы складываются как векторы. По ’закону «действие равно противодействйд» тело действует на систему с силой —F= —та. Так, например, при взлете ракеты космонавт вдавливается в кресло гораздо сильнее, чем в неподвижной ракете на земле.
5.3.	Если система движется по окружности (например, автомобиль объезжает_ площадь), это значит, что она движется с ускорением Wn (см. п. ЕЗ). На тело в такой системе действует сила Ёп = т№п, заставляющая его поворачиваться. Со стороны тела на систему действует противоположно направленная сила. При постоянной угловой скорости системы она действует на тело с силой, соответствующей ускорению v2/R (v — линейная скорость, R— радиус окружности), т. е. с силой mv2/R, направленной по радиусу окружности к центру. Тело действует на систему с такой же силой, как система, но направленной от центра (центробежная сила). Заметим, что при равномерном вращении v = ®R, так что сила равна mw2R.
5.4.	Пример 4. Шарик массой m привязан к веревке длинбй I, другой конец которой укреплен неподвижно. Веревку раскрутили до скорости ®0, затем систему предоставили самой себе. Предполагается, что сила тяжести отсутствует, и можно пренебречь трением. Каков закон движения шарика5
Решение. В этом примере нить является той системой, которая, увлекая шарик, заставляет его двигаться по окружности. Нить удерживает шарик на окружности силой натяжения Т, шарик действует на нить с силой гл®2/. Поэтому на конец веревки действует натяжение веревки Т и шарик с силой ш®2/. Эти силы противоположны по знаку и равны по величине, так что T-Rm®2/—0. Поэтому в направлении натяжения нити (к центру окружности) шарик не смещается (нить продолжает крутиться, а шарик — двигаться по окружности радиусом Г). Других сил, по условию задачи, нет. Поэтому движение нити и шарика происходит все время в одной плоскости и вращение шарика — равномерное, с угловой скоростью ®о Движение шарика можно описать с по-
31
мощью одной координаты <р (угол поворота веревки), кото-dcp	„
рая определяется из условия =w0. Следовательно, закон движения таков: <р = J w0dt+q)o, или <р=ыо1+<Ро- Здесь Фо — произвольная постоянная, которую можно найти из начальных условий (например, считать, что в начальный момент времени t=0, <р = 0, так что <ро=О).
5.5.	Если на тело (скажем, шарик, как в примере 4), кроме натяжения нити Т действуют еще какие-то силы (например, сила тяжести), то движение нити может совершаться не в одной плоскости, а вращение шарика может оказаться неравномерным. Например, в поле силы тяжести нить шарика (из примера 4) может совершать разные движения: равномерно вращаться, описывая в пространстве конус; вращаться в вертикальной плоскости, но уже неравномерно; совершать колебания. Характер движения зависит от соотношения сил, действующих на шарик, и начальных условий (положения и скорости шарика в некоторый момент времени) .
Задача 27. В багажнике автомобиля находится груз массой т=42 кг. Автомобиль, едущий со скоростью v0= = 36 км/ч, резко тормозит и останавливается на расстоянии s = 7 м от места начала торможения. Найти силу F, с которой груз прижимается к передней стенке багажника при торможении.
1.	Не знаю, как приступить к решению задачи (215).
2.	Не понимаю, как воспользоваться данными задачи для определения F (195).
3.	Числовой ответ не получился (235).
Задача 28. К потолку вагона подвешен на нити тяжелый шар. Вагон тормозится, и его скорость равномерно убывает за время At = 3 с от Vi=18 км/ч до V2=6 км/ч. На какой угол а отклонится при этом нить с шаром?
1. Неясно, почему нить отклонилась (236).
2. Не знаю, как подойти к решению задачи (196).
Задача 29. Камень, привязанный к веревке длиной /=50 см, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти, при каком числе оборотов в секунду и веревка разорвется, если известно, что она разрывается при нагрузке, равной десятикратному весу камня.
1	Не знаю, как приступить к решению задачи (197).
2	Не могу вычислить силы, уравновешивающие натяжение нити (257).
32
3	. Неясно, почему спрашивается о числе оборотов (217).
4	. Число оборотов в секунду п получилось иным, чем в ответе (327).
Задача 30. Самолет делает «мертвую петлю» радиусом R = 500 м и движется по ней со скоростью v=360 км/ч. С какой силой тело летчика массой ш=70 кг будет давить на оидение самолета в 1) верхней, 2) нижней и 3) средней точках петли?
1.	Не знаю, как 'подойти к решению задачи (198).
2.	Не могу определить направление сил (218).
3.	Не понимаю задачу (238).
4.	Численные значения получились иные, чем в ответе (315).
Задача 31. Мальчик вращается на «гигантских шагах», делая 16 об/мин. Длина каната 1=5 м. 1. Какой угол а с вертикалью составляет канат «гигантских шагов»? 2. Каково натяжение каната Т, если масса мальчика 45 кг? 3. Какова линейная скорость v вращения мальчика?
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (199).
2.	Не понимаю задачу (219).
3.	Не знаю, как пользоваться сведениями о числе оборотов (303).
Задача 32. Гирька массой т = 0,5 кг, привязанная к резиновому шнуру длиной I, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения гирьки v=2 об/с, угол отклонения шнура от вертикали а=30°. Найти длину /о нерастянутого резинового шнура, если для растяжения шнура на А/—1 см требуется сила F[ = 6 Н.
1.	Не могу уяснить физический смысл задачи (200).
2.	Не знаю, как воспользоваться последним условием задачи (277).
3.	Ход решения неясен (294).
Контрольные задачи
К5.1. Камень, привязанный к веревке длиной /, равномерно вращается в условиях невесомости. Найти угловую скорость вращения камня, при которой веревка разорвется, если известно, что она разрывается при натяжении с силой Fi.
К5.2. Камень массой m висит на неподвижном резиновом шнуре Насколько короче окажется шнур, если отвязать камень, при условии, что для удлинения шнура на величину I требуется сила Fi.
3 Заказ 259
33
Указание. Предполагается, что растяжение шнура при любой длине пропорционально действующей силе.
6.	РАБОТА, ЭНЕРГИЯ
6.1.	Ранее (см. п. 1.9) было установлено, что при известном законе движения легко найти другие характеристики движения. Однако в ряде случаев определить закон движения оказывается труднее, чем иные характеристики, в частности, работу, энергию и т. д. Остановимся на понятии работы.
6.2.	Пусть на точку а, движущуюся по траектории 12 (рис. 9), действует сила F. Бесконечно малый вектор ds, на-
Рис. 9
правление которого совпадает с касательной к траектории, называется перемещением точки. Вообще говоря, сила F и перемещение точки ds составляют некоторый угол а. Работой dA силы F на перемещении ds называется произведение проекции Fs силы F на направление перемещения на модуль перемещения | ds | = ds: _dA=Fsds. Так как Fs= = Fcosa, то dA=Pds cos а= (F, ds)—скалярное произведение F на ds.
Работа силы F на конечном участке траектории 12 2
А12= J (F, ds) представляется криволинейным интегралом 1
вдоль линии траектории.
Если на точку действует несколько сил: F=Fi+F2, то элементарная работа силы (iA.=Fds=Fids-)-F2ds=dAi-)-dA.2-
6.3.	Работу силы на конечном участке пути (см. рис. 9) можно вычислить с помощью следующих преобразований.
Так как 7?=т-^р и v= (т. е. ds=ydt), скалярное произведение (F, ds) = ш	i>dt ) =m(v,di>) (здесь dt сокра
34
тилось) = md(t>2/2). Последнее равенство легко проверить, построив дифференциал.
2
Работа силы на участке пути 12 Ai2= f (F, ds) =
1
2
= J md (y2/2) = mt>22/2—тщ2/2, где t>2 и fi1 — скорости точ-1
ки, соответственно в конце и начале траектории. Величина К=гпй2/2 называется кинетической энергией материальной точки. Таким образом, работа силы при перемещении точки равна приращению кинетической энергии этой точки: А12=Кг—Ki. Единица измерения работы и энергии одна — джоуль (1 Дж=1 Н-М). При бесконечно малом перемещении точки работа dA=d(nw2/2).
6.4.	В механике часто встречаются силы, работа которых не зависит от формы пути. Математически это свойство 2 _ сил описывается как условие независимости интеграла J Fds
1
от пути (например, 132 и 142 на рис. 10). Это значит, что работа при переходе точки из положения 1 в положение 2 зависит только от этих положений. Рассмотрим работу, совершаемую постоянной во времени силой F при переходе материальной точки из начала координат в некоторое положение с координатами х, у, z. Обозначим эту работу через —U(x, у, z). Функция U(x, у, z) называется потенциальной энергией точки и зависит при указанных условиях только от ее положения в пространстве.
Рассмотрим рис. 11. При переходе материальной точки из положения 0 в положение 1 совершается работа AOi = ==—Ui, при переходе из положения 0 в положение 2 — работа А02=—U2. Работа, совершаемая силой при переходе
Рис. 10
3*
.35
материальной точки из положения 1 в положение 2, равна: 2	0	2	1	2
Ai2= J Fds— J Fds+ f Fds= — f Fds+ f	= —Uj+U2=
110	0	0
=-(U,-U2).
На бесконечно малом участке пути работа силы dA=fds = =—dU. Это равенство можно записать в развернутом виде:
Fxdx+Fvdy4-Fzdz = — ^-dx— С—dy—4~dz. dx oy dz
Таким образом, между потенциальной энергией и силой имеется следующее соотношение:
dU dU dU в , „тт FK=:—Fy=~^-, Fz = ——, или F =—grad U=—VU. В этом случае сила называется потенциальной.
6.5.	Сравнивая выражения Ai2=K2—Ki из п. 6.3 и A12=U2—Ui из п. 6.4, получим важное равенство:
U2—Ui = m622/2—mui2/2.
6.6.	В том случае, когда действующая на точку сила зависит от времени, работа этой силы является функцией времени. При этом работа может не зависеть от пути между данными точками, следовательно, сохранится и понятие потенциальной энергии. Только в отличие от случая не зависящей от времени (стационарной) силы, потенциальная энергия будет зависеть от времени: U(x, у, z, t).
Задача 33. Точка массой т=1 кг в момент времени 1=0 начинает двигаться по закону x=5t2-f-2t-(-l. Найти работу, которая совершается силой, действующей на точку за время t= 1 с.
1. Не знаю, как приступить к решению задачи (201).
2. Не могу найти скорости в заданные моменты времени (221).
Вывод. Если известен закон движения, работу и кинетическую энергию можно найти с помощью простых математических действий.
Задача 34. При вертикальном подъеме груза массой т = 2 кг на высоту h=l м с постоянной силой была совершена работа А=80 Дж. С каким ускорением поднимали груз?
1. Ответ получился неправильный (202).
2. Не знаю, как по данным задачи найти ускорение (222).
36
Вывод. Таким образом, вы убедились в том, что, совершая работу над грузом, сила F увеличивает его скорость (ускорение а положительно).
Приведите пример силы, которая уменьшает скорость движения тела (ответ вы найдете в следующей задаче).
Задача 35. Вагон массой т = 2 т, движущийся равнозамедленно под действием силы трения F=6000 Н, через некоторое время останавливается. Начальная скорость вагона v0=54 км/ч. Найти: 1) работу А сил трения, 2) расстояние Si, которое вагон пройдет до остановки.
1. В выражении для работы неизвестен путь, и я не знаю, что делать (203).
2. Ход решения неясен (395).
Вывод. Работа силы трения отрицательна, так как она уменьшает скорость движения.
7.	ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Нахождение закона движения, особенно системы взаимодействующих точек (тел), иногда связано со значительными трудностями. Мы уже говорили в п. 6.1, что существуют механические характеристики, которые можно находить, не зная закона движения. Эти характеристики могут выражаться с помощью координат, скоростей, сил, перемещений и т.п., и поэтому, вообще говоря, меняются со временем. Примером служат работа и кинетическая энергия (если значение скорости точки меняется со временем, то меняется и ее кинетическая энергия). Механическая характеристика, зависящая от переменных величин (координат, скоростей и др.), при определенных условиях может оставаться неизменной во времени (сохраняться). Сформулировать закон сохранения данной физической величины — значит указать те условия, при которых она остается неизменной. Законы сохранения являются следствием основных законов механики (постулатов Ньютона).
С помощью закона сохранения можно характеризовать движение точек в таких задачах, в которых нахождение закона движения затруднительно или даже невозможно. Примером может служить задача о столкновении бильярдных шаров. Во время соударения шаров вследствие их упругости между ними возникают сложные взаимодействия. Однако благодаря тому, что в этом случае выполняются законы сохранения (энергии и импульса) до и после столкновения, можно определить, как будут расходиться шары, не исследуя процесса их столкновения.
37
7.1.	Импульсом точки называется вектор p = mv, где m—масса точки, v — ее скорость. Импульсом системы точек называется сумма импульсов каждой точки независимо от того, есть между точками взаимодействие или нет: Р=2тгйг,
i
где i — номера точек (если число точек N, то i —1, 2, ..., N). г _dr	dp d(mtJ) dv d2r
Гак как v=то для точки=—щ—- =т— =т — , dt	dt dt dt dt2
а последнее выражение, согласно (H) (см. п. 1.4), равно силе F. Таким образом, уравнение Ньютона можно записать
в следующем виде:
Для системы N dPi _ ъ . "ЗГ-f1.
af =r-	(Н"')
точек имеется система уравнений:
• р •	• dAv _р
dt .......... dt	Fn’
где — сила действия на точку i остальных точек и внеш-
них полей. Сложив левые и правые части этих уравнений, dP
получим: — = 2Рг. Импульс сохраняется, если сумма сил,
действующих на все точки системы, равна нулю, так как dP
сохранение импульса означает, что -ц- =0.
Для замкнутой системы, т. е. системы точек, между которыми возможны взаимодействия, но нет сил, действующих извне, импульс Р = 2гщйг=const, так как сумма сил, дей-
1
ствующих между точками, равна нулю.
7.2.	Если в каком-либо направлении внешние силы на систему точек не действуют, проекция импульса на это направление сохраняется.
Равенство (Н//х) можно записать в координатной форме:	= FX; ~ =Fil; = FZ. Если сила сохраняет
dt	dt	dt
свое направление (подобно силе тяжести), то одну из осей координат (например, ось z) можно направить вдоль направления силы, так что Fx=0 и Fv~0. В этом случае
=0,	=0, т. е. рх=const, ру=const,
dt	dt
7.3.	Моментом импульса точки относительно начала координат называется вектор М= [г, шй] = [г, р], где г—ра
38
диус-вектор точки массой т. Моментом импульса системы точек называется сумма моментов импульсов каждой точки: Л1 = 2[Й, рг].
i
Закон сохранения момента импульса можно получить
из условия —— = 6:
= 2 {[цг, тг>г] + [гг, Л]}-i
dt
произведения (см. М2.3), nep-т.	,	dAf
нулю. 1аким образом,—pj-= импульса системы точек
со-
d-M v (Г dr, _ 1	' _
Согласно свойству векторного вый член этой суммы равен —2 [г,, Л]. Поэтому момент i
храняется, если сумма моментов сил, действующих на точки, равна нулю.
7.4.	Мы установили (см. п. 6.3.), что dA=d^y-j, и
эти
на-
шли (см. in. 6.4), что dA=—<dU. Таким образом, если работа не зависит от пути перехода, то d(rrw2/2) =—d(J, или d(mt>2/2+U) — 0. Обозначим полученную сумму буквой Е и назовем энергией (или полной энергией): Е = тй2/2-|-U(x, у, z). Условие dE = 0 означает, что E = const. Таким образом, энергия сохраняется, если работа, совершаемая постоянными во времени силами, не зависит от вида пути. Силы, обеспечивающие выполнение закона сохранения энергии, называются консервативными.
Если действующие на точку силы зависят от времени, но потенциальная энергия может быть введена (см. п. 6.6), то энергия точки E = rrw2/2-|-U (х, у, z, t), однако закон сохранения энергии уже не выполняется.
Не выполняется закон сохранения механической энергии и тогда, когда имеется трение, так как часть ее переходит в тепловую энергию.
Если система состоит из нескольких взаимодействующих точек, ее энергия E = m1vi2/2-j-m2V22/2-i- ... -|-U (гь г2, t). В этом выражении потенциальная энергия складывается из энергии взаимодействия между точками системы и энергии действия внешних полей. Если система замкнута (т. е. внешние поля отсутствуют), то, поскольку силы взаимодействия между точками потенциальны и не зависят от времени (они
39
зависят только от расстояния между точками), закон сохранения энергии выполняется.
7.5.	Законами сохранения часто пользуются при анализе движения системы точек, в частности процесса соударения тел (которые моделируются точками). В процессе соударения различают удары упругие и неупругие. При упругих ударах изменением внутренней энергии тела (в частности, его нагреванием) пренебрегают, так что выполняется закон сохранения механической энергии. При неупругом ударе часть механической энергии переходит в тепловую. В результате упругого удара тела после соударения расходятся, в результате неупругого удара они могут двигаться совместно как единое целое. Законы сохранения импульса и момента импульса при неупругом ударе выполняются.
7.6.	Тела при столкновении могут соприкасаться центральной частью или нет. При некоторых ударах тело может начать вращаться вокруг своей оси, и тогда его движение нельзя описывать моделью точки. Во всех задачах этого раздела (механика точки) будем считать удары центральными, т. е. такими, при которых применима модель точки.
Задача 36. Человек массой mi = 60 кг, бегущий со скоростью Vi —9 км/ч, догоняет тележку массой т2=80 кг, движущуюся со скоростью v2=3,6 км/ч, и вскакивает на нее. 1. С какой скоростью щ станет двигаться после этого тележка? 2. С какой скоростью ц2 будет двигаться тележка с человеком, который бежал ей навстречу?
1.	Не понимаю, какие законы сохранения выполняются в этой задаче (204).
2.	Значение скорости Ui получилось иное, чем в ответе (244).
3.	Формула для скорости и2 не получилась (279).
Задача 37. Граната, летящая со скоростью v=10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок массой mi, составляющей 60% от массы гранаты, продолжал двигаться в том же направлении, но с увеличенной скоростью Vi = = 25 м/с. Найти скорость меньшего осколка v2.
1. Не знаю, какой закон сохранения здесь использовать (205).
2. В задаче не заданы массы, и я не знаю, как их найти (280).
Вывод. В этой задаче, так же как в предыдущих, предполагается, что выполняется закон сохранения массы. А так как импульс пропорционален массе, для отыскания скорости
40
не обязательно знать массу системы. Достаточно указать соотношение масс тел, участвующих в изучаемом процессе.
Задача 38. Тело массой mi = 2 кг движется по горизонтальной плоскости навстречу телу массой гп2=1,5 кг и неупруго сталкивается с ним так, что после столкновения оба тела двигаются вместе. Скорости тел непосредственно перед столкновением равны: Vi = l м/с, V2=2 м/с. Сколько времени t будут двигаться эти тела после столкновения, если коэффициент трения к = 0,05?
l	.He понимаю, как по данным задачи можнонайти) (206).
2	. Не знаю, с чего начать решение задачи (321).
Задача 39. Движущееся тело массой mi ударяется о неподвижное тело массой т2. Считая удар неупругим, а тела двигающимися после удара вместе, найти, какая часть AQ первоначальной кинетической энергии Ki переходит при ударе в тепло. Задачу решить сначала в общем виде, а затем рассмотреть случаи: 1) Ш1 = Ш2; 2) mi = 9m2.
1. Не могу осмыслить задачу (207).
2. Не могу найти значения кинетической энергии (227).
Вывод. Решая эту задачу, вы имели дело со случаем, который нередко встречается в физических задачах: нужно находить не сами величины, а соотношения между ними. В данной задаче вы нашли ответ, не зная значений кинетической энергии, так как требовалось определить лишь их отношения.
Задача 40. Движущееся тело массой Ш] ударяется о неподвижное тело массой шг- Считая удар упругим, найти, какую часть энергии первое тело передает второму при ударе. Задачу решить сначала в общем виде, а затем рассмотреть случаи: 1) mi = m2; 2) mi = 9m2.
1. Не понимаю, что нужно искать (208).
2. В условии задачи нет скоростей, поэтому неясно, как определить значения кинетической энергии (292).
Задача 41. Найти потенциальную энергию точки в поле силы тяжести.
1. Не знаю, из каких соображений находить U (209).
2. Не знаю, как по силе найти потенциальную энергию (249).
Вывод. Так как F=—grad U, т. е. сила вычисляется по потенциалу (функции, выражающей потенциальную энергию) дифференцированием, U и U+const дают одинаковую силу (производная от постоянной величины равна нулю). Следовательно, потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого.
41
Задача 42. Найти силу, если потенциальная энергия материальной точки зависит только от расстояния до некоторой фиксированной точки (центра поля).
1.	Не могу осмыслить задачу (210).
2.	Не знаю, как взять производную от U по координате (230).
3.	Ответ не получается (284).
Вывод. Если потенциал зависит только от расстояния материальной точки до центра поля, то сила всегда направлена по ее радиусу-вектору. Если знак силы положите-
dU dr
лен (
<0)
, то сила направлена от центра,
, dU талкивание; если знак силы отрицателен (
т. е. это от-
>0), то си-
ла направлена к центру, т. е. это притяжение.
Задача 43. Непосредственным построением выражения для энергии показать, что в поле силы тяжести она сохраняется.
Указание. При действии на точку постоянной потенциальной силы (см. п. 6.4) энергия сохраняется, т. е. остается неизменной в процессе перемещения точки и изменения ее скорости (см. п. 7.4). Это значит, что, подставив в выражение для энергии закон движения, мы должны получить величину, не зависящую от времени.
1.	Не понимаю смысла задачи (211).
2.	Не могу найти закон движения (269).
3.	Не знаю, как подставить закон движения в выражение для энергии (310).
Выводы. 1. Если выполняется закон сохранения энергии, то энергия зависит только от начальных условий. В некоторых случаях вместо одного из начальных условий удобно брать значение энергии, если она сохраняется.
2. Закон сохранения энергии не означает, что сохраняются в отдельности кинетическая К и потенциальная U энергии. Сохраняется только их сумма, сами же они изменяются (в нашем примере v и z изменяются со временем).
Задача 44. Шарик массой m подвешен в неподвижной точке на стержне длиной I и может совершать колебания в плоскости (плоский математический маятник). Найти выражение для скорости движения шарика в нижнем положении А, если максимальное отклонение стержня (шарик в точке В) составляет угол а с вертикальным положением.
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (212).
42
2.	Не знаю, вдоль каких осей координат направить скорости, чтобы использовать закон сохранения импульса (296).
3.	Не могу определить скорость в точке В (286).
Вывод. Хотя колебания маятника происходят под действием силы тяжести, масса шарика не влияет на его скорость (ср. с выводом 1 из задачи 3).
Задача 45. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в чем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара 1—1 м. Найти скорость пули v, если известно, что стержень с шаром отклонился вследствие удара пули на угол а=10°.
1.	Не знаю, какие законы следует использовать при решении этой задачи (213).
Контрольные задачи
К7.1. Доказать, что при равномерном движении точки по окружности работа равна нулю.
К7.2. Какую работу надо совершить, чтобы заставить движущееся тело массой т = 2 кг 1) увеличить свою скорость от vi = 2 м/с до V2=’5 м/с; 2) остановиться при начальной скорости Vo=8 м/с?
К7.3. Шофер автомобиля начинает тормозить за 25 м от препятствия. Сила трения в тормозных колодках FTp постоянна и равна 3840 Н. Масса автомобиля М=1000 кг. При какой предельной скорости движения автомобиль успеет остановиться перед препятствием? Силой трения колес о дорогу пренебречь.
К7.4. Камень бросили под углом а=60° к горизонту со скоростью vo=15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергии камня: 1) спустя 1 с после начала движения, 2) в высшей точке траектории. Масса камня т = — 0,2 кг, сопротивлением воздуха пренебречь.
К7.5. Снаряд массой т = 98 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью v = 500 м/с, попадает в платформу с песком массой М=10 000 кг и застревает в ней. Какова будет после этого скорость движения платформы,, если платформа 1) стояла на месте, 2) двигалась со скоростью v=36 км/ч в том же направлении, что и снаряд, 3) двигалась со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду.
К7.6. Конькобежец массой М=70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень мас
43
сой m = 3 кг со скоростью v = 8 м/с. Найти, на какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед к = 0,02.
К7.7. Масса снаряда т = 10 кг, масса ствола орудия М=600 кг. При выстреле снаряд получает кинетическую энергию Wa=1,8-106 Дж. Какую кинетическую энергию получает ствол орудия вследствие отдачи?
8.	КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
8.1.	Пусть точка массой m двигается по прямой так, что положение ее описывается координатой х. На точку действует упругая сила F=—kx, где к—положительная постоянная. В точке х=0 сила F=0. При уходе точки вправо (х>0) сила F==—kx<0, т. е. действует в направлении точки О. При уходе точки влево (х<0) сила положительна, т. е. снова действует в направлении точки О (рис. 12),. Таким об-
1	111 ~	’--------- Рис. 12
О
разом, всякий раз сила стремится вернуть точку в точку О, которая называется положением равновесия. Примером может служить точка массой m на конце пружины. В положении Ai (рис. 13) пружина сжата и стремится расправить-
ся, т. е. действует на точку в направлении к О. В положении Аг пружина растянута и стремится сжаться, действуя на точку с силой —kx, тоже направленной к О. В положении О пружина находится в ненапряженном состоянии и никакого действия на точку А не оказывает.
8.2.	Найдем закон движения точки, движущейся под действием силы F=—kx, где k>0 —заданная постоянная, называемая коэффициентом упругости (жесткостью) пружины. Для этого построим уравнение движения и найдем его решение.
Уравнение (Н") (см. п. 1.6) теперь имеет следующий Н2Х
вид: т—-т =—kx, или т%+кх=0. Это дифференциальное □t
уравнение второго порядка для отыскания x(t). Обычно его записывают в виде х+со2х==0, где w2^k/m>0 — заданная константа. Уравнение это решается с помощью специального приема (см. М9.5). Если этот прием вам не известен, его 44
можно не использовать. Приводим решение уравнения (Н"): x=Ci cos со t+C2 sin со t, где Ci и С2— произвольные постоянные (см. М9.4). Вы сами можете проверить, что его подстановка в уравнение движения действительно обращает последнее в тождество.
Произвольные постоянные С] и С2 легко получить из начальных условий, если заданы в начальный момент 1=0 координата Хо и скорость 4(0) =v0. В самом деле: х(0) = С2 cos 0+С] sin 0=С2, т. е. С2=х0, x=v(t)=—Сцв sin со t+ -|-С2<в cos со t, и при t=0 v(O)=vo=—Скв sin 0-j-C2<B cos О, т. е. C2=v0/<».
Таким образом, x(t) =Vo/w cos <а t-f-x0 sin co t.
8.3.	В теории колебаний часто применяют не только произвольные постоянные С] и С2, но и другие, связанные с Ct и С2 однозначно.
Обозначим C; = acosa, C2=asina, где а и а — новые произвольные постоянные, которые можно выразить через Ci и С2: C2/Ci — —tgа, т. е. a— arctg(—C2/Ct), Ct2-|-C22= а2, т. е. а=]/С12+С22. Поскольку —sin a sin со t-|-cos a cos <в t= = cos(wt+a), для x(t) получим:
x(t) = acos(wt+a).	(*)
Здесь а—амплитуда колебания, cot-|-a — его фаза, где со — частота, а — начальная фаза (при t=0). Так как cos (cot-|-a) есть периодическая функция времени t, формула (*) описывает периодически меняющуюся координату, и движение точки является периодическим — колебательным. Колебания, совершающиеся по закону косинуса (или синуса), т. е. когда закон движения имеет вид (*), называются гармоническими.
Согласно п. 8.2, характеристика co=]/k/m зависит от свойств точки (массы) и действующей силы (коэффициента упругости), а и а зависят от начальных условий. Поскольку cos(ci>t-|-a) изменяется от —1 до 4-1, значение а определяется как координата х при фазе cot-|-cz=0; л; 2л; ..., т. е. как максимальное отклонение х от положения равновесия 0.
Закон движения гармонически колеблющейся точки, представленный в виде х= a cos (cot-j-a), имеет простой физический смысл и часто применяется в приложениях теории колебаний. Однако находить произвольные постоянные при решении уравнений Ньютона иногда удобнее, если закон движения выражен в виде x = Ct cos w t-f-C2 sin co t, а затем, если нужно, с помощью Ct и С2 выражать а и а.
45
8.4.	Мы знаем, что косинус есть периодическая функция своего аргумента (см. Ml.5): cos(<ot+a) = cos(wt+a+2nn), где n—целое число. Поэтому если вместо t взять момент времени t+Т, такой, что аргумент косинуса co(t+T)+a отличается от аргумента cot+a на величину 2л, то х(t-f-T) =х(t), т. е. Т есть период функции x(t). Из условия w(t+T)+a= — (ot+a+2n следует, что соТ = 2л, или Т = 2л/со. Поскольку Т — время (и измеряется, например, в секундах), частота измеряется в обратных секундах: 1/с==с—'.
Иногда вводят линейную частоту т=со/(2л). В отличие от нее со называется циклической частотой. Очевидно, что v=l/T.
Из определения Т следует, что период колебания зависит только от частоты и не зависит от амплитуды.
8.5.	Имея дело с законом движения колеблющейся точки, например, в виде (*), нужно помнить, что значение х при этом откладывают не от произвольно выбранного начала координат, как это могло быть в других задачах, а обязательно от точки равновесия. В связи с этим рассмотрим сле-
дующую частную задачу.
Точка массой m подвешена на вертикальной пружине жесткости к (рис. 14). Найти закон движения.
Решение. На точку действуют две силы: сила упру-
гости пружины Fi — —кх и сила поля тяжести F2=mg (ось х направлена вниз). Тогда уравнение движения (Н") можно записать в следующем виде: тх=—kx-|-mg.
Нетрудно догадаться, что если при горизонтально расположенной пружине положение равно-
весия, от которого велся отсчет координаты, находилось в точке О, то при вертикально подвешенной пружине положение равновесия определяется из условия хо=О, т. е. kx0==mg. Таким образом, положение равновесия теперь находится в точке Хо, отстоящей от точки О на расстоянии xo=mg/k. Возьмем теперь новую координату xi = x—х0 и подставим x=xi+x0 в уравнение движения:
mxi = —kxi—kxo+mg.	(**)
Но —kxo+mg=O, так что для Xi снова получим уравнение движения: mxi =—kxb т. е. уравнение для гармонического колебания, но с положением точки равновесия, сдвинутым вниз на величину mg/k.
46
8.6.	Мы показали, как решается задача Ньютона (задача типа II, см. п. 1.6): по силе и начальным условиям устанавливается закон движения. При решении задачи смешанного типа (или типа I) по виду колебания определяется коэффициент упругости к.
8.7.	Не всегда даже одномерное (описываемое одной координатой) колебание происходит под действием упругой силы. Примером может служить плоский математический маятник, движение которого происходит под действием си-
лы тяжести и реакции связи. Из рис. 15 видно, что х = = Z sin <р. Координата х от угла ф зависит гармонически, а от времени — негармонически. В самом деле, для того чтобы х было представлено в виде x=asincot, необходимо, чтобы угол ф был пропорционален t (линейно зависел от вре-
\ ^Ф	, D
меня), т. е.-^- = const. В действительности этого нет: поло
жение равновесия точка про-
ходит быстро, вблизи наибольшего отклонения движется медленно, останавливается и возвращается (здесь ф изменяет знак).
8.8.	В п. 8.7 мы видели, что колебания маятника не яв-
ляются гармоническими, однако если угол ф мал, то ока-
зывается, что закон движения маятника приблизительно описывается гармонической функцией времени. На рис. 16 представлены силы, действующие
на точку массой ш. При малом угле ф результирующая сила F, направленная по касательной к траектории (окружности), приблизительно совпадает со своей проекцией на ось х: | F| « | Fx |. Поскольку при малом значении ф tgфхф (зптф^ф, созф«1), то Fx=—т§ф, где знак минус указывает на то, что сила F* направлена в сторону, про-
47
тивоположную увеличению значения <р. Положение маятника однозначно определяется координатой х, причем х= ~l sing), и при малых значениях <р x«Zq\ Для определения координаты запишем уравнение (Н") (см. п. 1.6): mx=Fx, т. е. mZq>=—mgcp. Уравнение <p+g/Z<p=O является уравнением движения для гармонического колебания, частота которого co=yg/Z. Следовательно <р=A sin (Yg/Zt-j-a), где амплитуда А и начальная фаза а определяются из начальных условий. Приблизительно х=А Z sin (yz/gt+a).
Период колебания Т=2л/<в, т. е. T=2nyZ/g.
Задача 46. Точка массой т=2,5 кг на конце пружины, жесткость которой к=250 Н/м, может совершать колебания вдоль оси х. Длина пружины в ненапряженном состоянии L=0,20 м. Найти закон движения точки, если в начальный момент времени t=0 длина пружины 1=0,23 м и скорость движения точки vo=O,3 м/с.
1.	Ответ получился неправильный (330).
2.	Не могу найти начальную фазу колебаний (394).
3.	Не знаю, как воспользоваться начальными условиями (410).
Вывод. В задаче о движении точки под действием идеальной пружины ее длина в ненапряженном состоянии (в нашем случае L) не играет роли.
Задача 47. Точка массой т=10 кг может двигаться под действием двух пружин, точка О — положение равновесия пружин (рис. 17). Найти частоту колебания точки, если жесткость пружин равна: Ki = 2000 Н/м, К2 = 250 Н/м.
1.	Ответ получился неправильный (331).
2.	Не могу найти упругую силу, по которой следует строить со (443).
3.	Идея расчета неясна (354).
Задача 48. В п. 8.2 показано, что общий вид закона движения точки, совершающей гармоническое колебание около положения равновесия, можно записать в виде х=С| cos <в Ц-+C2sin(ot. Представив соответствующим образом (Д и С2, этот же закон можно записать в виде х=a cos (cot-Да) (см. п. 8.3). Покажите, что аналогичным преобразованием закон движения можно представить в виде x=ai sin (cot-p-oci), и 48
найдите соотношения между амплитудами а н а;, а также начальными фазами а и ccj.
1. Требуемая формула закона движения не получается (332).
2. Не знаю, как с помощью полученных соотношений между тангенсами получить соотношение между а и оц (483).
Вывод. Гармоническое колебание можно характеризовать с помощью функции a cos (cot-г-а) или a, sinloit-j-ai). Прн этом амплитуда и частота колебаний одни и те же, а начальные фазы отличаются на л/2 (а—а;=л/2). В дальнейшем мы будем пользоваться и косинусами, п синусами при описании гармонического колебания.
Задача 49. Амплитуда гармонического колебания А== =5см, период Т=4 с. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение.
1. Не могу записать закон движения (333).
2. Не знаю, как по формуле гармонического колебания найти скорость точки (384).
Вывод. Для получения некоторых характеристик гармонического колебания не обязательно знать точно закон движения.
Задача 50. Записать закон гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки атах= 49,3-10~2 м/с2, период колебания Т==2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент t=0 хо= 25-Ю-3 м.
I.	Не знаю, как подойти к решению задачи (334).
2.	Не понимаю, на основании каких данных можно найти амплитуду (446).
3.	Сомневаюсь в правильности значения частоты (396).
Задача 51. Точка Mi колеблется вдоль линии АВ около точки 01, точка М2—вдоль линии CD около точки О2 (рис. 18). Закон движения Mi описывается формулой xi =
a cos (оА,закон движения точки М2 — формулой Х2=а sin(®2t-|-+л/2). Найти моменты времени tn, когда точки встреча
4- Заказ 259	49
ются (т. е. имеют одинаковые координаты х). Проанализируйте решение и сделайте вывод.
1.	Не понимаю смысл задачи: ведь движение точек Mi и Мг начинается из одного и того же положения (335).
2.	Физически задача понятна, однако не знаю, как записать условие математически (447).
3.	Ответ получился неправильный (413).
4.	Не знаю, как проанализировать решение (516).
Вывод. Если точки в начальный момент времени имели одинаковые координаты, то даже при одинаковых амплитудах они разойдутся при разной частоте колебания. При этом место совпадения их координат будет изменяться с течением времени.
Задача 52. Материальная точка массой т=10-2 кг колеблется по закону х=5 sin(nt/5+n/4) (см). Найти максимальную силу Fдействующую на точку, и полную энер~ гию Е колеблющейся точки.
1.	Не понимаю, как из условия задачи получить силу (336).
2.	Сомневаюсь, что кинетическая энергия определена верно (468).
3.	Не знаю, как найти потенциальную энергию Wn (414).
4.	Не понимаю, почему полная энергия постоянна, если Wft и W„— переменные (368).
Вы	воды. 1. Потенциальная энергия гармонически колеблющейся точки характеризуется формулой Wn = kx2/2.
2. Полная энергия гармонического колебания постоянна, т. е. не зависит ни от координат, ни от времени. В данном случае закон сохранения энергии должен выполняться, так как сила, действующая на точку F=—kx, явно не зависит от времени (см. п. 7.4).
3. Строго говоря, потенциальная энергия (а вместе с ней и полная энергия) определяется с точностью до произвольного слагаемого. Физический смысл этой константы — уровень энергии, от которого ведется ее отсчет. Часто эту константу считают равной нулю.
Задача 53. К пружине подвешен груз массой т=1 кг. Зная, что пружина под влиянием силы Fo= 10 Н растягивается на Xq=15 см, определить период вертикальных колебаний груза.
1.	Не знаю, как учесть вертикальность колебаний (337).
2.	Формулу для периода колебаний знаю, но определить Т из данных задачи не удается (420).
3.	Величина к оказалась отрицательной (491).
Е0
Задача 54. Найти траекторию плоского движения точки, если закон ее движения описывается функциями: х= = аsin((ot+<pi), y=b sin((ot+<p2)-
1. Не понимаю смысла задачи (338).
2. Не знаю, как можно исключить t из-под знака тригонометрической функции (450).
Выводы. 1. Если составляющие х и у совершают гармонические колебания с одинаковой частотой, то для отыскания траектории точки необходимо найти sin со t и cos cot как функции х и у и использовать условие sin2fflt+cos2o>t= 1.
2. В общем случае траектория оказывается эллипсом; при этом можно показать, что точка двигается все время в одном направлении.
Задача 55. Закон движения точки описывается проекциями на оси координат: х=а cos((ot-J-<pi), y=b sin (cot-j-cp2), где а = 0,1м; b = 0,05 м; (о=10л; <pi = <p2 = 60°. Найти траекторию движения точки и выяснить, нельзя ли ее закон движения записать в более простой форме.
1. Не могу найти траекторию (339).
2. Траектория найдена, а как упростить вид закона движения, не знаю (493).
Вывод. Если точка, движущаяся по прямой, участвует в двух колебаниях одинаковой частоты, ее закон движения может быть записан как одно гармоническое колебание той же частоты.
Примечание. Если частоты двух таких колебаний разные, закон движения не является гармоническим.
Задача 56. Шарик массой т = 2-10~3 кг, подвешенный на нити длиной 1=2 м, отклоняют на угол а—4° и отпускают. Считая угол малым и пренебрегая трением, найти скорость vo шарика и энергию Е маятника при прохождении им положения равновесия.
1.	Скорость получилась иная, чем в ответе (340).
2.	Путь отыскания Vo неясен (388).
3.	Скорость как функция времени найдена, а как найти ее значение в положении равновесия маятника, не знаю (400).
4.	Не могу найти энергию Е (509).
Контрольные задачи
К8.1. Записать закон движения гармонически колеблющейся точки с амплитудой 10 см, периодом 4 с и начальной фазой, равной нулю.
4*	51
К8.2. Закон движения гармонического колебания имеет вид х=А sin (cot-Rq?). Определить скорость колеблющейся точки, ее ускорение. При каком условии скорость и ускорение будут иметь максимальные значения?
К8.3. Записать выражение для закона движения гармонически колеблющейся точки с амплитудой 5 см, если в 1 минуту она совершает 150 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45°.
К8.4. Начертить на одном графике кривые четырех гармонических колебаний точек с одинаковыми амплитудами, одинаковыми периодами, но имеющими разность фаз: 1) л/4, 2) л/2, 3) л, 4) 2л.
К8.5. Начальная фаза гармонического колебания точки равна нулю. Через какую долю периода скорость точки составит половину ее максимальной скорости?
К8.6. Закон движения точки представлен в виде х= = sin(n/6t). Найти моменты времени, в которые точка достигает максимальной скорости (tln) и максимального ускорения (t2n).
К8.7. Найти траекторию плоского движения точки, если ее закон движения имеет вид: х= a cos cot, y==bsincot.
К8.8. Найти закон движения точки, гармонически колеблющейся с частотой (о = 3/2 рад/с, если в начальный момент времени: а) точка находилась в положении х=/= = 2 м и имела скорость vo=O; б) точка находилась в положении х=/=—2 м и имела скорость Vo=+3 м/с.
9.	ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ
9.1.	Создав основы классической механики, Ньютон решил задачу типа I: по закону движения планет (законы Кеплера) нашел гравитационную силу, действующую между Солнцем и Землей (планетой):
F=const m/r2-r/r, где m — масса планеты; г — расстояние ее центра от центра Солнца; г— радиус-вектор планеты (при начале координат в центре Солнца). Оказалось, что этот закон верен для любой пары тел, если рассматриваемые расстояния между телами таковы, что тела можно считать точечными. Поэтому закон назван законом всемирного тяготения и может быть записан в виде зависимости силы от расстояния между телами: F=-ymim2/R2, где у — гравитационная постоянная, у«6,67• 10-11 Н-м2-кг-2; mi, т2—массы взаимодействующих (точечных) тел; R— расстояние между ними.
52
9.2.	Простым расчетом можно показать, что два однородных шара притягиваются друг к другу так, как если бы масса каждого шара была сосредоточена в его центре. В частности, взаимодействие между точечным телом, находящимся на поверхности Земли, и Землей можно описывать как взаимодействие между точкой и центром Земли, если считать, что вся ее масса сосредоточена в центре. Поэтому гравитационная сила, действующая на тело (точку), находящееся на поверхности Земли. Fg = yMm/R2, где М—масса Земли; щ—масса тела; R— радиус Земли (расстояние до центра Земли). Радиус Земли R можно считать приблизительно постоянным. Поэтому yMR2=g=const (ускорение поля тяжести g-=9,81 м/с2). Поскольку сила Fg направлена к центру Земли (а на поверхности Земли это направление соответствует направлению по вертикали), то вектор силы Fg=mg, где g — ускорение, направленное по вертикали вниз. Этим выражением для силы тяжести мы уже пользовались (см., например, задачи 1—4).
Если проводить более точные исследования силы притяжения к Земле, то нужно учитывать то обстоятельство, что значения g неодинаковы в разных точках Земли, поскольку ее форма не шар, а геоид, сплюснутый у полюсов.
9.3.	Есть и другой фактор, влияющий на силу притяжения тела к Земле: вращение земного шара. Если тело находится не на полюсе, то на него действует центробежная сила, возникающая потому, что тело оказывается во вращающейся системе. Центробежная сила f=imco2r (со — угловая скорость точки; г — расстояние ее от оси вращения) и направлена от оси (см. п. 5.3). Если тело находится на широте <р (рис. 19), r=Rcosф, так что f=ma>2R cos ф. Поэтому сила, действующая на точку гл, равна: F=Fg-\-f. Хотя fCFg, силой f не всегда можно пренебрегать.
53
Весом тела Р называется сила, с которой тело действует на опору или подвес. Очевидно, что определять вес следует с помощью пружинных весов, так как рычажные весы позволяют сравнивать лишь массы тел.
9.4.	Можно показать, что внутри Земли на расстоянии r<R от ее центра (рис. 20) g=ymr2, где m—масса веще-
ства Земли, ограниченного сферой радиусом г. Если плотность вещества Земли обозначить через q, то т=4/3лдг; M=4/3hqR3, так что
___( 4/3 nyoR3/r2 при r^sR, £ | 4/Злудг при r^R.
9.5.	При исследовании движения планет вокруг Солнца Солнце можно считать неподвижным. Выбрав начало координат в центре Солнца, видим, что сила, действующая на планету, центральна. Следовательно, момент импульса планеты относительно начала координат сохраняется (см. п. 7.3).
Так как гравитационная сила не зависит от времени, то, если не действуют другие силы, зависящие от времени, или силы трения (см. п. 1.8), выполняется закон сохранения энергии (см. л. 7.4).
Законами сохранения энергии и момента импульса удобно пользоваться при решении некоторых задач о движении точки в центральном поле.
Задача 57. Найти силу центрального поля, соответствующую потенциальной энергии U(r)=A/r, где A—const. Какой знак должна иметь константа А, чтобы сила была притягивающей?
1. Не знаю, как подойти к решению задачи (341)
2. Не могу определить знак А (423)
Вывод. Центральная сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния от центра поля до данной точки, которой описывается гравитационное притяжение (а также кулоновское взаимодействие двух точечных зарядов), имеет потенциал вида U(r)=A/r, где А — константа, или положи-54
тельная (отталкивание), или отрицательная (притяжение).
Задача 58. На какую часть АР уменьшается вес тела Р на экваторе вследствие вращения Земли вокруг оси?
1.	Не понимаю физического смысла задачи (342).
2.	Не знаю, как найти со (453).
3.	Ответ получился неправильный (401).
Задача 59. Какой продолжительности должны быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе не имели веса?
1. Не могу записать условия задачи (343).
2. Не понимаю, как связать условие невесомости с длиной земных суток (454).
Задача 60. С какой линейной скоростью v будет двигаться искусственный спутник Земли по круговой орбите: 1) у поверхности Земли (сопротивлением воздуха пренебречь); 2) на высоте hj = 200 км и 112=7000 км? Найти периоды обращения спутника вокруг Земли при этих условиях.
1.	Не могу построить уравнение движения (344).
2.	Затрудняюсь наметить путь решения (426).
3.	Не могу найти выражение, в которое входит v (437).
4.	Значения Т получились совсем иные, чем в ответе (431).
Задача 61. Как изменится период колебания плоского математического маятника при перенесении его с Земли на Луну?
1.	Не могу составить план решения задачи (427).
2.	Численное значение Т не сходится с ответом (456).
3.	Не знаю, где взять данные о Земле и Луне (373).
Задача 62. Каково соотношение между высотой горы Н и глубиной шахты h, если период колебания маятника на вершине горы и на дне шахты одинаков?
Указание. Высоту Н и глубину h считать малыми по сравнению с радиусом Земли R.
1. Не понимаю смысла задачи (345).
2. Выражение, связывающее Н и h, получилось очень сложным (428).
Контрольные задачи
К9.1. Вычислить ускорение силы тяжести на поверхности Земли. Значения гравитационной постоянной, радиуса Земли и ее массу взять из таблиц в справочниках по физике.
К9.2. Сравнить ускорение силы тяжести на поверхности Луны с ускорением силы тяжести на поверхности Земли.
К9.3. Найти линейную скорость вращения Земли по орбите (орбиту считать круговой).
55
КЭЛ. На каком расстояний h от поверхности Земли ускорение силы тяжести равно 1 м/с2?
К9.5. Найти зависимость ускорения силы тяжести от высоты поднятия тела над поверхностью Земли. На какой высоте ускорение силы тяжести составит 50% от ускорения силы тяжести на поверхности Земли?
К9.6. Найти изменение ускорения силы тяжести при опускании тела в глубину h Земли. На какой глубине h ускорение силы тяжести уменьшится в 2 раза? (плотность Земли считать постоянной).
К9.7. Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите на расстоянии 20 км от ее поверхности. Найти линейную скорость и период обращения спутника вокруг Луны.
10 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Твердым телом (ТТ) называется система точек, жестко связанных между собой. Твердым можно считать любое тело, которое при решении задачи нецелесообразно моделировать точкой (см. п. 1.10)), но форму и объем такого тела можно считать неизменным на протяжении всего времени движе ия.
10.1.	Положение ТТ в пространстве полностью определено, если известны положение какой-либо жестко связанной с ним точки и три угла поворота тела вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Таким образом, положение ТТ определяется шестью независимыми координатами (т. е. имеет 6 степеней свободы).
10.2.	Имеем ТТ массой т. Даже если это тело сплош-
ное, мысленно его можно разделить на отдельные точки аг с массами ш, и положениями, определяемыми радиусами-векторами гг (рис. 21). На каждую точку действуют силы со стороны других точек (обеспечивающие жесткость тела) и внешние (например, сила тяжести). Равнодействующую сил, действующих_ на точку аг, обозначим через Т,- Уравнение Ньютона для точки at имеет вид тггг = Тг. Сложим левые и правые части этих уравнений, отчего равенство не нарушится:
2шггг = 2Л-

56
Для каждой внутренней силы, действующей на точку ТТ, существует противоположно направленная сила, приложенная к другой точке ТТ (третий закон Ньютона). Поэтому при суммировании по всем точкам внутренние_силы будут равны нулю. Таким образом, выражение HFi=Fi представляет со-
1
бой сумму внешних сил.
Введем радиус-вектор 7?=Sm1r1/Sm, — центр масс ТТ.
1 1
Заметим, что центр масс не обязательно совпадает с какой-либо точкой ТТ.
Поскольку 2тг=т, равенство (***) можно переписать так: 1	d2#
= ( )
Равенство (****) служит уравнением для определения F(t). Из него видно, что центр масс ТТ движется как материальная точка с массой, равной массе m ТТ, к которой приложена равнодействующая всех внешних сил.
10.3.	Допустим, что, решив уравнение (****), мы нашли F(t). Однако остается неизвестным, как повернуть ТТ вокруг точки О'. Для характеристики этого поворота введем момент импульса ТТ: L = S [r„ т„ щ]. Согласно п. 7 З* 1, d£ _	1
— 2[гг, Л], т. е. сумме моментов сил, действующих на at I
все точки ТТ. Нетрудно убедиться в том, что сумма моментов внутренних сил ТТ равна нулю, так что остается лишь
сумма моментов внешних сил, действующих на ТТ:	=
_ dt
= S[r„/щ]. Обозначив последнюю сумму через М, полу-1
чим: -^т- = М. dt
10.4.	Пусть ТТ вращается вокруг оси z' (рис. 22) с угловой скоростью <и Это значит, что любая точка аг (кроме точек, лежащих на оси z') имеет скорость с», тогда как линейные скорости точек ТТ, вообще говоря, различны. Заметим, однако, что все они перпендикулярны оси z'.
Проекция момента импульса Lz на ось z', согласно М2.6, равна: Ь2=5г,тгуг sin аг, где а,—угол между радиусом-векто-i
ром г, и осью z'. Введя обозначение ri^nsina,, с учетом Vi=cori, (см. п. 3.2), получим Ег=со2тгг1г. Сумма 2m,r2it =
 1 1
1 В п. 7 3 момент импульса обозначен буквой Я
57
= 1, не зависит от движения ТТ. Iz называется моментом инерции твердого тела относительно оси г' и зависит только от распределения массы в ТТ.
Рис. 22
Таким образом, Lz—colz, где со — угловая скорость вращения ТТ вокруг оси z'.
10.5.	Согласно и.10.3, ~ =М. Поскольку Iz при движе-
нии ТТ не изменяется, а со= (см_ п_ 3.2), в случае вра-
щения тела вокруг неизменной оси (например, оси z) Iz= d2w
= -rrr=M.z, где Mz — проекция на ось z момента внешних dt
сил, действующих на ТТ.
d^/?	_ d2w
10.6.	Уравнения m —^=Fi и 1-пт= М( можно считать dr	dr
уравнениями движения (второе уравнение, как и первое, строго говоря, должно быть представлено в векторной форме, однако при решении наших задач это не обязательно). Первое из них имеет вид уравнения Ньютона для точки. Решение второго уравнения <p(t) совместно с функцией R(t) является законом движения твердого тела.
10.7.	Пусть внешние силы отсутствуют, так что Т)=0 и -	d2R	- dR
М=0. Тогда из п. 10.2 следует, что--,- =0, т. е. '/=’)уЦ=::= = const. Центр масс ТТ движется прямолинейно и равномерно (по инерции). Согласно п. 10.5, —j—- =0, т. е.
^2- = const. Таким образом, в отсутствие внешних сил твердое тело, вообще говоря, вращается, причем скорость его вращения постоянна.
53
10.8.	Твердое тело в большинстве случаев можно рассматривать как вещество, сплошь заполняющее некоторый объем пространства. Тогда выражение для момента инерции относительно некоторой оси удобно строить, разбивая ТТ на маленькие участки объема, которые можно принять за точки, каждая из которых имеет массу gdV, где dV — объем участка; q—плотность (масса единицы объема), которая, вообще говоря, является функцией координат. Теперь момент инерции ТТ относительно некоторой оси можно представить в виде интеграла (как предела суммы) по объему всего тела: 1= J q (х, у, z) ri2dxdydz, где и — расстояние данной точки (х, у, z) от оси, вокруг которой происходит вращение ТТ. Если известны плотность массы тела в каждой точке и его геометрические размеры, интеграл можно взять.
10.9.	Приводим некоторые значения момента инерции ТТ при условии, что плотность его массы постоянна:
1)	I сплошного цилиндра (или диска) относительно его оси: I=l/2mR2, где m—масса тела, R— радиус цилиндра (или диска);
2)	I полою цилиндра (обруча) относительно оси: 1= ^(Ri2+Rz2), где Ri и R2— соответственно внутренний и внешний радиусы (у обруча Ri = R2);
3)	I шара относительно оси, проходящей через его центр: 1 = 2/5 mR2;
4)	I однородного стержня длиной I относительно оси, проходящей перпендикулярно к нему через его середину: 1=1/12 т/2.
Если система состоит из нескольких тел, ее момент инерции равен сумме моментов инерции этих тел.
10.10.	Кинетическая энергия вращения ТТ складывается из суммы кинетических энергий всех его точек: WB0 = = 5тгуг2/2, где v1 = corl; со — угловая скорость; г, — расстояние точки от оси вращения (например, оси z). Поэтому ..2
WBp= Smirl2= Izco2/2.
Задача 63. Однородный диск радиусом R=0,2 м и массой т=5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости от времени задана уравнением co = A-|-Bt, где В = 8 рад/с2. Найти касательную силу, приложенную к ободу диска.
1.	Не понимаю физического смысла задачи (346).
59
2.	Не могу построить момент силы (475). J2
3.	Затрудняюсь найти (404).
4.	Ответ получился неправильный (374).
Задача 64. Маховое колесо, имеющее момент инерции 1 = 245 кг-м2, вращается (по=2О об/с). Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: 1) момент сил треиия Мтр 2) число оборотов N, которое сделало колесо до полной ос
тановки.
1.	Физический смысл задачи неясен (347).
2.	Не понимаю, как момент силы трения можно связать с условием задачи (520).
3.	Число Мтр получилось иное, чем в ответе (459).
4.	Не знаю, как по данным задачи получить N (405).
5.	Понимаю, что для нахождения N нужно знать угол поворота колеса, но не знаю, как его найти (432).
6.	Значение N не сходится с ответом (365).
Задача 65. На барабан радиусом R=20 см, момент инерции которого 1 = 0,1 кг-м2, намотан шнур, к которому привязан груз массой т=0,5 кг (рис. 23). До начала вращения ба-/--------------\	рабана высота груза над полом
\	h=l м. Найти: 1) через какое вре-
( н\	мя ti груз опустится до пола, 2) ки-
у	I нетическую энергию груза Wh в
момент удара о пол, 3) натяжение шнура Т. Трением и растяжением шнура пренебречь.
1. Не знаю, как подойти к ре-I шению задачи (348).
i О	2. Не могу составить уравне-
ния движения (531).
3.	Не понимаю, как можно найти ti, ведь в уравнении движения Рис. 23	груза сила неизвестна (375).
4.	Уравнения движения составлены, но их решения не дают ответа на вопросы задачи (477).
5.	Значение Т получилось иное, чем в ответе (406).
6.	Значение W& не соответствует ответу (379).
60
Задача 66. Блок массой т=1 кг укреплен на конце стола (рис. 24). Гири А и В равной массы mA = rhBsmi = = 1 кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент тре- в ния гири В о стол к = 0,1. Блок	j—->________
считать однородным диском, трени-	х\с
ем в блоке пренебречь. Грузы А и	•
В считать точечными. Найти уско- '	)
рение а, с которым движутся гири	S
А и В, и натяжение участков нити ТА и Тв. Нить по блоку не про-скальзывает.	|	гпА
1.	Не понимаю	условия зада-	;	I—‘
чи (349).	I
2.	В управления движения вошли неизвестные характеристики, „	„.
и неясно, как быть (513).	ис'
3.	Численные значения искомых величин получились иные, чем в ответе (367).
Задача 67. Колесо радиусом R катится по горизонтальной плоскости без скольжения с угловой скоростью <в. Докажите, что скорость его центра v=wR.
1. Разве это не очевидно? (350).
2. Не знаю, как взяться за доказательство (523).
Задача 68. Обруч'и диск имеют одинаковую массу mi = = ш2=ш и катятся без скольжения так, что линейные скорости их центров Vi и v2 одинаковы. Кинетическая энергия обруча Wi = 40 Дж. Найти кинетическую энергию диска W2.
1. Значение W2 получилось иное, чем в ответе (463).
2. Не знаю, как подойти к решению задачи (479).
Задача 69. Шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, высота которой h = 0,5 м, угол наклона а. Найти линейную скорость Vi центра масс шара в конце спуска, если в начале движения его скорость vo=O. Сравнить Vi со скоростью тела v, соскальзывающего с этой же плоскости без трения.
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (351).
2.	Не могу построить векторы сил (524).
3.	Не могу построить уравнение движения для угла поворота (480).
4.	Уравнения движения построены, как их решать не знаю (408).
5.	Не понимаю, как найти v (360).
61
Вывод. Линейная скорость спуска шара при качении по наклонной плоскости без скольжения не зависит от угла наклона, радиуса и массы шара. То же может иметь место и для других тел подобной формы.
Задача 70. Человек массой т=60 кг находится на дискообразной платформе массой М=100 кг. Какое число оборотов п будет делать платформа, если человек двигается по окружности радиусом г=5 м вокруг оси вращения платформы? Скорость движения человека относительно платформы v=4 км/ч, радиус платформы R=10 м. Считать платформу однородным диском, а человека — точечной массой. Трением в механизме платформы пренебречь.
1.	Не понимаю физической картины явления (352).
2.	Не знаю, какими законами следует воспользоваться, ведь силы не заданы (441).
3.	Число п получилось иное, чем в ответе (409).
Контрольные задачи
К10.1. Построить выражение для скорости движения центра масс диска, скатывающегося без скольжения по наклонной плоскости, высота которой h = 0,5 м. Найти скорость движения центра масс диска в конце пути, если в начальный момент времени она равнялась нулю.
КЮ.2. Какова скорость движения обруча у подножия наклонной плоскости, высота которой h = 0,5 м, если обруч катился без скольжения и на вершине имел скорость vo= = 1 м/с.
ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
К1Л. 12тУах.
К1.2. 9 м.
К2.1. 1,2 с.
К2.2. h=2,85 м; Ь = 0,7 с.^
К3.1. 0,5 м/с.
К3.2. е= 1,26 рад/см2; N=360 об.
КЗ.З. 10 с.
К3.4. 1) ш=14 рад/с; 2) v=l,4 м/с; 3) 8=12 рад/см2;
4) W? = l,2 м/с2; 5) Wn='19,6 м/с2.
К4.1. 12 м/с.
К4.2. 2 Н.
К4.3. 0,2.
К4.4. а = 1,02 м/с2; Т=5,9 Н.
К5.1. VFi/(m/).
К5.2. mg//Fi.
К7.2. 1) 21 Дж; 2) 64 Дж.
К7.3. v^50 км/ч.
К7.4. 1) Wfe=6,6 Дж; Wn=15,9 Дж; W=22,5 Дж;
2) Wft==5,7 Дж; Wn=16,8 Дж; W=22,5 Дж.
К7.5. 1) 17,5 км/ч; 2) 53,1 км/ч; 3) —18,2 км/ч.
К7.6. 0,3 м.
К7.7. 3-104 Дж.
К8.1. 0,1 sin(ji/2t).
К8.2. vmax — при t„= (пл—ф)/ю; Wmax — при tn= (пл/2—
—<р)/ш.
К8.3. х—0,05 sin (5nt~bn/4) (м).
К8.4. 4) Кривые совпадают.
К8.5. 1/6 Т.
К8.6. tin = 0; 6; 12, ... с; t2n = 3, 9, 15, ... с.
К8.7. Траектория — эллипс.
К8.8. a) 2cos (3/21); б) 2]/2cos(3/2 t+3n/4).
К9.1. 9,8 м/с2.
К9.2. gJI = 0,165g3.
К9.3. ^3-104 м/с.
КЭЛ. 13,6-106 м.
К9.5. 0,41R.
К9.6. 0,5R.
К9.7. v= 1,7-103 м/с; Т=1 ч 50 мин.
КЮ.1. 2,55 м/с.
КЮ.2. 2,43 м/с.
РЕКОМЕНДАЦИИ К ЗАДАЧАМ гл. 1
РЕКОМЕНДАЦИИ 1—192 К ЗАДАЧАМ 1—25
1.	Скорость Vo нужно спроектировать на ось z и направление, параллельное оси х (рис. 25). С помощью тригонометрических формул получим: Vox=vocosa, Voz — Vo sin а. Поскольку Vo и а заданы, составляющие начальной скорости известны. Напомним, что sin а= 1/2, cos а=уз/2~0,865. Таким образом, Vox= 12,975 м/с; Voz=7,5 м/с. Теперь можно построить закон движения и сравнить его с приведенным в р. 14. Если вы не знаете, как его построить, обратитесь к р. 54.
2.	Искомый угол <р образуется линией горизонта (осью х) и касательной к траектории в точке В. Для того чтобы найти направление касательной к траектории в точке В, вспомните, какой вектор направлен по касательной к траектории в любой ее точке. Составляющие этого вектора вы уже находили, так что вам остается лишь определить их специально для точки В. Если вы нашли составляющие скорости в точке В (сравните их значения с указанными в р. 24), подумайте, как через них выразить <р; при этом удобно сделать чертеж, который вы можете сравнить с чертежом на рис. 31 (р. 59).
3.	Скорость лодки относительно берега (искомая) направлена из точки О в точку В. Скорость Но задана: она на-
64
правлена по ОА и ее численное значение известно. Скорость направлена вдоль оси х (вдоль берега). Дальше легко графически найти v и vP. Если и теперь чертеж не получается. обратитесь к р. 86.
4.	ti = y2mvo/k.
5.	В случае одномерного движения (одно уравнение второго порядка) общее решение содержит две произвольные постоянные. Для их определения нужны два начальных условия. В данной задаче указана только начальная скорость. Начальное значение для координаты вы можете выбрать по своему усмотрению, так как закон движения существенно зависит лишь от начальной скорости. Вы легко в этом убедитесь, решая задачу 6.
Итак, при t—0 положите х0 равным, например, нулю. Тогда в общем решении x=kt3/(6m) -J-Cit-J-C2 постоянная С2=0, постоянную Ci найдите из условия для скорости. Проверьте результат в р. НО
6.	Среди начальных условий заданы составляющие ско-„	dx dy dz
рости vOx, Voy, vOz. К ним и нужно приравнять -jp при t = 0. Теперь получились значения Ci, Сз, С5 из р. 95? Если нет, может быть, вы неверно записали значения составляющих начальной скорости? Проверьте их в р. 103.
7.	Свободное падение означает, что материальная точка (тело) движется под действием силы тяжести F = mg (m — масса точки, g— ускорение поля силы тяжести) без начальной скорости, т. е в момент начала движения она покоилась. Если вы и теперь не можете решить задачу, обратитесь к р. 38
8.	x = CIt-f-C2, y=C3t+C4, z =—gt2/2-[-Cst-|-Cg.
9.	Решая предыдущие задачи, вы убедились в том, что, если известен закон движения, все остальные характеристики движения определить легко. Поэтому естественно стремиться сначала найти закон движения. Попытайтесь сделать это сами, учитывая данные задачи 15. Проверить свои рассуждения вы можете в р. 14; если вы не знаете, как находить закон движения, обратитесь к р. 120
10.	Проинтегрировав один раз	два	первых	уравнения,
dx	„	dy	р ,,	dx
вы получили —- =Ci,	Но — —это скорость, на-
dt	dt	dt
правленная	вдоль	оси	х,	которая	оказалась	постоянной
( = С{), а в начальный момент она равнялась нулю Поэто-
5 Заказ 259
65
му Ci = O. Аналогичным образом С2=0. Тогда х —С3; у=С4. Естественно считать, что в начальный момент времени камень находился в начале координат, так что х=С3=0, у=С4=0. При этом и z(0)=0. Найдите выражение для z, используя методы из примера За. Если решение не получилось, посмотрите р. 67.
11.	Вам известен закон движения z=vot—gt2/2 и нужно найти максимум функции z(t). Как изменилась бы формулировка этого условия, если бы ось z была направлена вертикально вниз? Вспомните, из какого условия находится максимум функции и найдите tm—время, соответствующее zm, а затем и значение zm. Проверить свои рассуждения можно в р. 40.
12.	Значения скоростей в изучаемые моменты времени таковы: Vi=l, V2—5, v3=9, v4= 13, V5=17 м/с. При таких значениях скоростей графическая зависимость v от t имеет вид прямой линии. Это значит, что определенному интервалу времени соответствует одно и то же изменение скорости, независимо от того, между какими моментами времени взят этот интервал. Иными словами, изменение скорости все время одно и то же. Каково же при этом ускорение (см. р. 21)? Как аналитически (не делая чертежа) в этом убедиться (см. р. 25)?
13.
14.	Закон движения' таков: x=vOxt; z=zo+vozt—gf2/2. Вы помните, чему здесь равняется z0? Если вы получили иные выражения, обратитесь к р. 120. Если ваш ответ верен, продумайте дальнейший ход решения: что нужно знать, чтобы вычислить ti? Нашли ti? Если да, то переходите к вопросу 2. Ответ на него легко найти при известном значении ti (см. р. 84).
Если правильный ответ у вас не получается, обратитесь к р. 60.
66
15.	Поскольку надо определить две неизвестные величины — h и К, нужны два уравнения. Одно вы построили. Попробуйте из условия задачи найти связь между искомыми и известными характеристиками. Сделайте чертеж, изображающий положение точки в заданные моменты времени, и сравните его с чертежом в р. 61. Известно время, за которое тело проходило вторую полойину пути. Постройте закон движения, соответствующий этому пути. Теперь запишите уравнения. Если нет ясности, обратитесь к р. 100.
16.	По определению, vc= (S4—Si)/(At), где S4 и Si — пути, пройденные телом соответственно к моментам времени 4 и 1 с; At=4c—1с. Находите S4 и Si и вычисляйте vc. Если значение vc неправильное, обратитесь к р. 52.
17.	Значения пути в выбранные моменты времени следующие: Si = 5, 82=8, 5з=15, S4=26, Ss=41 м (рис. 27). Учтите, что в данной задаче скорость v изменяется со временем. Как это увидеть на графике S(t)? Если не можете ответить на этот вопрос, исследуйте сначала график скорости как функции времени.
18.	Вы внимательно читали раздел I? Какого типа задача поставлена перед вами? Что же нужно сделать, чтобы построить уравнение движения? Если не догадались, обратитесь к р. 28. Может быть, вы не поняли, что здесь задана сила’ В таком случае посмотрите р. 7.
19.	Если ось z направлена вертикально вверх, то (рх d2y d2z
m	m =0> mdf2=—Это частный случай при-
мера За. Попробуйте закончить задачу сами (не забудьте, 5*	67
что в примере За сила была направлена вдоль оси х, а у вас — вдоль оси z). Если ответ вс< же не получается, посмотрите р. 10.
20.	Полезно еще раз повторить ход решения примера За и самостоятельно получить выражения (4), (5), (6). Подумайте, что в этих выражениях неизвестно, что нужно туда ввести, чтобы получить закон движения. Если это неясно, обратитесь к примеру 36. Теперь ясно? Если вы сомневаетесь в правильности своих рассуждений, прочитайте р. 56.
21.	Ускорение постоянно: w = const. График w(t) имеет вид прямой линии, параллельной оси t.
22.	Представьте себе приблизительно, как двигается камень, когда его бросают с башни с начальной скоростью, направленной горизонтально. Очевидно, что он будет падать вниз, но не по вертикали. Зная закон движения падающего камня, можно начертить точную траекторию его падения, однако для ответов на поставленные вопросы достаточно приблизительного чертежа. Сделайте его (см. р. 13) и пользуйтесь им, решая задачу.
23.	В задаче 15 был подобный вопрос, только там требовалось найти угол между направлением скорости и осью х в точке падения, а в данной задаче необходимо определить его в некоторой промежуточной точке траектории. Попробуйте найти указанный угол, вспомнив, как вы делали это, решая задачу 15 (советы см. в р. 59 и 93). Если ответ все же не получается, обратитесь к р. 109.
24.	\г=15; vz=—22,14 м/с. Если значение vz получилось иное, см. р. 30.
25.	По определению, ускорение есть производная ско-- dn тэ
рости по времени, т е. № = -^-. Вычислите эту производную. Ответ вы можете найти в задаче 9: ведь если ускорение w постоянно, то оно равно своей средней величине (независимо от интервала времени).
26.	Раз требуется найти закон движения, в первую очередь нужно посмотреть в условии задачи, не задана ли действующая сила. Нашли эту силу? Если нет, обратитесь к р. 80 Кроме того, необходимо сделать чертеж. Проверить полученные уравнения можно в р. 42.
27.	А вы сумели записать начальные условия? Проверьте их в р. 103.
28.	Выберите систему координат, спроектируйте на оси си
68
лу и запишите уравнения (Н). Проверить уравнения можно в р. 47.
dx
29.	Так как x=Voa.t, то —— =vnx, т. е. в любой Moot
мент времени составляющая скорости вдоль оси х равна Vo», (постоянна). Продифференцировав по времени функцию dz
z = H+v02t—gt2/2, потучим.	— v2 = v02—gt, т. e. v2 меня-
ется co временем. Вычислите v2(ti) и проверьте результат в р. 102.
30.	Нужно в формулу vz=gt подставить время падения камня, т. е. t=ti.
31.	В результате совместного решения уравнений из р. 63 получается квадратное уравнение 2t/~-(ti-j-1)2, которое имеет два решения. Подумайте, имеют ли физический смысл оба решения? Что означает отрицательное время? Рассуждения по этому поводу вы найдете в р. 115. Теперь определяйте искомое время.
32.	Вспомните, что средняя скорость равна всем'' пу1и, деленному на все время движения. Путь в задаче не задан, но вы знаете скорость на обеих его половинах. Через них и надо выражать путь и время. Если после размышлений вам все же неясно, как проводить расчеты, обратитесь к р. 79.
33.	Если по данным задачи удастся построить закон движения лодки (зависимость координат от времени), то все характеристики движения можно легко найти. Движение лодки относительно берега — сложное (движение лодки относительно воды и движение воды относительно берега, сносящее лодку), и поэтому следует сделать чертеж. Если он у вас не получается, обратитесь к р. 62. Когда чертеж будет ютов, проверьте его в р. 57.
34.	Вы вспомнили, по каким законам движется свободно падающее тело? (см. задачу 1). Сколько координат описывает его движение? Если вы записали закон движения, но не знаете, что делать дальше, обратитесь к р. 15, если не можете записать закон движения — к р. 51.
35.	Построить график зависимости пути от времени можно, найдя численные значения S при t=l; 2; 3; 4; 5 с. По оси абсцисс откладывайте значения t, по оси ординат — значения S (см. р. 17). Таким же образом постройте график зависимости v(t) (см. р. 12).
36.	Разумеется, мы должны считать, что место падения камня находится на одной горизонтали с подножием
69
башни. Из чертежа ясно, что соприкосновение с землей происходит тогда, когда z = 0. Теперь ясно, как найти ti? Если вы все же испытываете затруднения, обратитесь к р. 53.
37.	Vz(ti) =—22,05 м/с. Знак минуса означает, что в конце падения камня скорость направлена против положительного направления оси (камень летит вниз).
38.	Если ось z направлена вертикально вверх (рис. 28), то сила тяжести F = mg — по оси z в отрицательном направлении. Теперь запишите уравнения (Н) и решайте их. Проверить уравнения можно в р. 47.
Рис. 28
39.	Дважды проинтегрировав обе части уравнения = =kt/m, вы получите его общее решение. Затем нужно использовать данные о начальных условиях. Если вы не знаете, как это сделать, обратитесь к р. 5, если не сумели найти общее решение, — к р. 90.
dz
40.	Условие максимума z(t) таково:	—0, откуда
tm=v02/g. Теперь вычисляйте ti. Если вам это не удается, обратитесь к р. 88.
41.	—- =0; -и- =—g, т. е. wx=0; v2= —g. Знак ми-dt dt
нуса перед g свидетельствует о том, что ускорение направлено вниз (в отрицател: ную сторону оси z), значение ускорения w=g=9,8 м/с2 (ускорение поля силы тяжести).
42.	Если ось z направлена вертикально вверх, то d2x	d2v	d2z
m z-=0; m-77^-=0; m-T-5-=—mg. Теперь решайте эти dt2	dt2	dt
уравнения. Если ответ снова не получается, посмотрите р. 75.
43.	Ясно, чему равны vox и voz, если задана длина вектора vo (рис. 29)? Можно ли считать их известными и с их (помощью выражать закон движения? Если вам все ясно, но вы не знаете, как получить закон движения, обратитесь к р. 54, если неясно, чему равны vqx и voz, посмотри-те р. 1. 70
Рис. 29
44.	По определению, wc= (v4—Vi)/(At), где v4 и Vi — скорости при t=4 и t=l с соответственно. Если вы найдете скорость в любой момент времени, то, конечно, вычислите v4 и Vi. Если не знаете, как найти v(t), обратитесь к р. 92. Ускорение определяется из выражения для S (см. р. 123).
45.	Так как движение камня описывается двумя координатами — х и у, скорость его составляется из двух скоростей: направленной вдоль оси х vx и вдоль оси z vz, при этом скорость камня v=yvx2+vz2. Решая задачу 8, вы находили скорость по закону движения. Таким же образом следует найти скорости vx и vz. Проверить полученные значения vx и vz можно в р. 85. Если вы все же не знаете, как находить скорости, обратитесь к р. 93.
46.	По определению, v=yvx24~vz2. Следовательно, нужно найти функции vx(t) и vz(t), подставить в них t=t4 и вычислить корень. В задаче 15 вы находили проекции скорости из закона движения. Здесь нужно сделать то же самое. Порядок вычислений можно проверить в р. 29.
47.	Если ось z направлена вертикально вверх, то урав-d2x	d2y
нения (Н) 'имеют следующий вид: m —^ = 0; m-775 = 0; dr	at
d2z
m -^2" =—mg. Если вы получили иные выражения, посмотрите р. 38. Окончательное решение дано в р. 55.
48.	Общая формула должна быть такая: vc=2viV2/(vi+ +v2). Если у вас она иная, значит ваши рассуждения ошибочны. Прочитайте еще раз условие задачи, обратите внимание на разные скорости автомобиля в первой и второй половинах пути (а не времени!) и попробуйте решать самостоятельно. Если вам все же неясно, что делать дальше, обратитесь к р. 32.
71
49.	Если точка движется по прямой, значит движение описывается одной координатой, например х, и нужно составить одно уравнение (Н). Если вы не знаете, как решать полученное уравнение, обратитесь к р. 39.
50.	Нужно найти общий вид закона движения и учесть заданные начальные условия (координаты и скорости). Все остальные величины можно определить с помощью закона движения. Получили ответ? Если нет, посмотрите р. 68.
51.	Точка имеет постоянное ускорение g, т. е. движется равноускоренно по вертикальной прямой. Запишите уравнение движения, считая движение направленным вдоль оси z. Чему равняется координата zo, описывающая положение точки в начальный момент времени? Чему равна скорость тела в начальный момент времени? Если закон движения записан, обратитесь к р. 15, если вы сомневаетесь в своей записи, — к р. 83.
52.	Вы не сумели найти S4 и Si? Из общего выражения S = A—Bt-f-Ct2 в соответствии с условием задачи получается частное выражение: S = 6—3t4~2t2, в которое нужно подставить t = 4 и t=l, так что S4=26 м, Si = 5 м.
53.	Время ti нужно найти из уравнения 0=Н—gti2/2. ti=y2Hg (знак минуса здесь не имеет смысла).
54.	Камень начинает двигаться из положения со следующими координатами: Хо=О, z0=H (при этом ускорение g направлено вдоль оси z вниз, т. е. в отрицательном направлении). Начальной скоростью вдоль оси х является уОх, вдоль оси z — voz. Таким образом, движение вдоль оси х равномерное, вдоль оси z — равнопеременное (см. р. 14).
55.	х=0; у=0; z =—gt2/2. (Какой знак имела бы координата z, если бы ось z была направлена вертикально вниз?) Если вы не получили такой ответ, еще раз просмотрите решение примера 36 и подумайте, как найти произвольные постоянные в этой задаче. Если нужно, посмотрите р. 66.
56.	Нужно найти произвольные постоянные Сь ..., С6, пользуясь начальными условиями. Если вам это не удалось, обратитесь к р. 81.
57.	Ваш чертеж должен быть таким, как на рис. 30. Теперь легко записать закон движения, поскольку составляющие скоростей постоянны: vx=vo и vy=vP. Проверьте полученный вами закон движения в р. 99.
58.	Время движения автомобиля равно: в первой половине пути S/2 ti=(S/2)/vi, во второй половине пути t2= = (S/2)/v2. По определению, vc=S/(tI+t2).
7S
Рис. 30
59.	Составляющие скорости vx и на рис. 31. Теперь ясно, как найти <р? ся известными тригонометрическими ствующие указания вы найдете в р. 93.
vz в точке В показаны Следует воспользовать-формулами. Соответ-
Рис. 31
60.	Поскольку начало движения совпадает с t=0, ti — это время конца движения, т. е. время, когда камень попадает в точку В (см. рис. 29 в р. 43). Чему равны координаты этой точки? Вы должны были получить уравнения, из которых можно найти S и tj. Если такие уравнения не получились, обратитесь к р. 71.
61.
В
т
Bi
Т
Ь/2
Рис 32
О'
73
62.	Пусть лодка начинает движение из точки О, которую можно принять за начало координат. Направьте ось х вдоль движения реки, тогда ось у совпадет с тем направлением, в котором двигалась бы лодка, если бы не было течения, так что она попала бы на противоположный берег в точку А. В действительности лодка попадает в точку В. Обозначьте эту точку. На каком расстоянии от А она находится? Сравните свой чертеж с чертежом на рис. 33 (р. 82).
63.	Для точки В выполняется условие h/2—h—gti2/2, для точки О —условие 0=h—g(ti + l)2/2. Эти уравнения нужно решать совместно. Проверить ход решения вы можете, обратившись к р. 31. Если найти Vi не удалось, посмотрите р. 78.
64.	На чертеже искомая величина S = OB. Каковы координаты точки В? В какой момент времени камень упал в точку В? Теперь все ясно? Если нет, обратитесь к р. 73.
65.	Чтобы определить скорость в любой момент времени, нужно знать ее составляющие vx и vz как функции времени. Решая задачи 13 и 14, вы научились определять скорость, если известен закон движения. Поэтому попробуйте найти Vi (скорость в момент времени ti). Если, вспомнив задачу 15, вы все же не смогли найти vi, проверьте, правильно ли вы получили vx и vz (см. р. 94), а также значение скорости, выраженное через vx и vz (см. р. 46).
66.	Произвольные постоянные определяются из начальных условий, которые в данном случае таковы: xo=yo=zo=O, vox=Voj/=Voz = O (см. р. 7). А общее решение вы нашли? Сравните его с приведенным в р. 8.
d^z
67.	—j =—g. После интегрирования этого выражения dz , . ~ dz
получим: — =—gt-J-Cs, где ——скорость вдоль оси z;
в начальный момент времени (при t=0), по условию задачи, она равнялась Vo, т. е. C5=vo- В результате второго интегрирования с учетом начального условия z(0)=0 вы получите решение.
68.	В закон движения нужно подставить нулевые координаты.
69.	В этой задаче общее решение такое же, как в задаче 5, а значение х=0 при t=0 приводит к С2=0. Постоянную Ci легко найти, если воспользоваться приемом из р. 10. Остается проанализировать характер движения Проверить свои рассуждения вы можете в р. 98.
74
70.	Посмотрите задачу 3. Ведь закон движения вам уже известен. Непременно еще раз разберите решение задачи 3 и дайте математическую формулировку вопроса 1 из данной задачи. Сравните вашу формулировку с приведенной в р. 11.
71.	Координаты точки В следующие: xB=S, zB=0. Поскольку в эту точку камень попадет в момент Е, из закона движения (см. р. 14) получаем: S = voxt, O = H+vozti—gt^/2. Так как все величины, кроме S и ti, здесь известны, то мы имеем два уравнения для нахождения двух неизвестных. Во втором уравнении неизвестно лишь tI( его и нужно находить. Сравните полученное решение с приведенным в р. 77. Скорости определяются элементарно (см. р. 117).
72.	Закон движения, записанный в р. 83, верен для всего пути тела. Соотношение между высотой h и временем падения получим из этого закона, если вместо z подставить координаты отмеченных точек (см. рис. 32 в р. 61), считая, что в точке В тело было при 1=0, в точке Bi — при t==tj и в точке О — при t=tt~|-l. Для проверки полученных уравнений обратитесь к р. 63.
73.	Точка В имеет координаты z = 0 и х, соответствующую времени ti. Вычислите х и полученный результат сравните с ответом. Если ответ не получился, сравните общую формулу с приведенной в р. 76.
74.	Вы поняли, что это задача типа II? Сделайте чертеж и постройте уравнение движения. Проверить их можно в р. 19.
75.	Вы не забыли воспользоваться начальными условиями? В отличие от задачи 3 в этой задаче камень начинает движение не из начала координат и его начальная скорость направлена иначе (ср. с примером 36).
76.	Xi = OB=voti=Voy2H/g.
77.	gt2/2—vozti—Н=0. Это квадратное уравнение отно-сительно ti, его решение имеет вид tj = (voz±yvoz24-2gH)/g. Так как корень больше vOz, решение, соответствующее знаку минуса, следует отбросить (отрицательное время здесь не имеет смысла). Подставьте в решение численные значения и ответьте на вопрос 2.
78.	От точки В до точки В! свободно падающее тело прошло путь h/2. Какую скорость оно при этом приобрело? Вспомните формулу, с помощью которой вычисляется скорость, и подставьте в нее значение пройденного пути. Ответ см. в р. 107.
75
79.	Предположите сначала, что общий путь S вам известен, и выразите через него время ti, за которое точка прошла первую половину пути, и время ts, за которое точка прошла вторую половину пути. ti+t2 — полное время движения. Теперь ответ получился? Если нет, обратитесь к р. 58.
80.	Под действием какой силы летит камень после того, как выпустили его из руки? Теперь вы видите, что у вас задача типа II: задана сила и нужно найти закон движения. Запишите уравнения движения (Н) и сравните с приведенными в р. 42.
81.	Каковы значения координат при t=0? Подставьте эти значения в формулы (4), (5), (6) из примера За, и вы найдете С2, С4 и Cg. Для проверки ответа посмотрите р. 91.
82.	Постарайтесь на чертеже (рис. 33) изобразить все, что известно о скоростях, чтобы в дальнейшем можно было найти закон движения лодки в координатной форме. Если вам ясно, как это сделать, проверьте построение в р. 57, если неясно, обратитесь к р. 3.
Рис. 33
83.	При t=0 тело начало движение, т. е. в точке В оно имело скорость, равную нулю. Следовательно, z = z0—gt2/2, где z0 = h.
84.	Из закона движения (см. р. 14) следует: x = vOxt, значит в точке В S=voxti- Поскольку ti уже известно, S легко вычислить.
85.	vx=Vo, vz=—gt. Что означает знак минуса перед gt? Если такие ответы не получились, обратитесь к р. 119.
86.	Нужно воспользоваться тем, что v0 — проекция v на ось у и по модулю |y0|=vy. Нашли конец вектора 5? А теперь легко найти и vP — как проекцию v на ось х. Чертеж в окончательном виде дан в р. 57.
87.	Чем отличается этот случай от первого? Попробуйте воспользоваться тем же приемом — предположить сначала, 76
что общее время движения t известно. Дальше действуйте сами. Если все же решение неясно, обратитесь к р. 105.
88.	Какова координата z, когда камень упал на землю? Можете теперь найти ti? Проанализируйте ваш ответ. Если все ясно, ищите Vi, если нет — прочитайте р. 97.
89.	Исследуйте, как с течением времени изменяется скорость точки. Есть какое-нибудь отличие в ее (изменении по сравнению с таковым в задаче 5? Подумайте, какую количественную характеристику здесь интересно привести? Ответ проверьте в р. 98.
dx вы получите
90. Проинтегрировав
первый раз,
= J k/mtdt+Сь Возьмите интеграл и проделайте второе интегрирование. Если оно не выходит, посмотрите р. 96.
91. С2 = С4=Cg=0. Теперь ищите остальные постоянные.
Посмотрите пример 36 и примените указанный в нем прием. Проверить свои действия вы можете в р. 95. Если решение не получается, обратитесь к р. 6.
92. По определению, скорость есть производная от
dS dt
по времени, т. е. v
. Вычислите производную. После
пути
под-
становки в полученное выражение t==4 с и t=l с вы должны получить V4=13 м/с, Vi = 1 м/с. Если у вас иной ответ, проверьте выражение для v в р. 146.
93. tg<p = vz/vx; cp = arctg(vz/vx). Значение угла <р найдите в таблицах тригонометрических функций.
94. Нужно воспользоваться определением: vx=4t-; vz= dt
dz	,	...
= тт-, где x и z описывают закон движения (см. р. 14). dt
Возьмите эти производные, ответ посмотрите в р. 29.
95.	Ci = v0cosa; Cs=Vosina; С5=0. Если у вас получились иные выражения, обратитесь к р. 6.
96.	J tdt=t2/2+CI. Теперь находим x=k/m J t2/2dt+ + J Cidt4~C2. Берите интегралы (проверить их вы можете в р. 104) и находите окончательное решение. Если вы не знаете, как воспользоваться начальными условиями, обратитесь к р. 5.
97.	Уравнение vot—gt2/2=0 имеет два решения: ti = =2v0/g, t2=0 (t2 — время начала движения).
dx
98.	Скорость	=kt2/(2m)—Vo при малом значении t
77
отрицательна, затем обращается в нуль и, наконец, становится положительной. Определите момент времени ti, когда происходит изменение направления скорости. Для проверки ответа посмотрите р. 4.
99.	Если^-=ур, =v0, то x=vpt, y=Vot Подумайте, какими данными можно воспользоваться для нахождения скорости реки vp и времени переправы tn? Если не знаете, как найти искомые величины, посмотрите р. 106.
100.	По условию, точка Bi имеет координату z=h/2, а точка В2 — координату z = 0. Если считать, что в точке В[ тело находилось в момент времени ti, а в точке В2 — в момент времени t2 = ti-Hl, то, подставив эти данные в закон движения, вы получите два уравнения, содержащие неизвестные h и ti. Проверьте свой ответ в 'р. 63.
101.	Ускорение w— это изменение скорости в единицу времени, т. е. w = ^- . Найдите это выражение, записанное в составляющих (проекции вектора w на оси х и z). Если ответ у вас не получился, обратитесь к р. 108.
102.	v=yvox24~ (vOz—gt)2. В это выражение нужно подставить Vox, Vflz и tI.
103.	Начальные условия: хо=уо — zo=O; Voz=O; vox= =vocosa; Voy = Vosina. Если вы не знаете, как ими воспользоваться, обратитесь к р. 81.
104.	ft2dt=t3/3; JCidt=C1t.
105.	В данном случае, по определению, vc= (Si+S2)/t, где Si и S2 — пути, пройденные соответственно за первую и вторую половины времени. Их нужно представить через t. Получилось выражение для vc? Если нет, посмотрите р. 113.
106.	В закон движения нужно подставить координаты точки В, в которую лодка попадает при t=tn. Теперь расчет прост, вероятно, дальнейших советов не потребуется. В крайнем случае обратитесь к р. 114.
107.	vi=T/gh.
108.	wx = -^-; wz=^-. Составляющие скорости vx и vz как функции времени вы уже нашли (см. р. 85). Теперь ясно, как определить составляющие w? Проверить ответ вы можете в р. 41.
109.	tg <p=vz(t2)/vx(t2). Здесь в функции vx(t) и vz(t) подставлено значение t=t2—0,5 с. Вычислите vx(t2), vz(t2)
78
и сравните результаты с представленными в р. 1. fl V
ПО. V= ^=kt2/(2m)+Ci. При t=O, vo=Ci = O.
111. Координата x растет с увеличением времени. Ско-dx
рость — =kt2/(2m) всегда положительна, т. е. не изме-
няет своего направления.
dz
112. Скорость v(t)=-pj-=Vo—gt, a vi=v(ti). Что оз-
начает отрицательный знак скорости?
ИЗ. Si=Vi(t/2); S2=v2(t/2).
114. При t=t„ координаты xb = Z= 150 м; yB=h = 500 м. Поэтому из vP/vo=x/y получаем: vp/2= 150/500; tm = yo/vo= = 500/2; VjI =-|/vo2+vJ>2.
115. В принципе отрицательное значение t означает вре-
мя, отсчитываемое «назад», в прошлое от момента времени, принятого за нуль. Для отрицательных значений времени закон движения тот же, если в прошлом действовали те же силы. В нашем случае отрицательному значению ti(~—0,4) соответствовала бы ситуация, при которой тело до того, как попасть в точку А, двигалось бы снизу вверх (как это было в задаче 8) и в момент времени ti проходило точку В.
116. v=—B-f-2Ct. Если вы получили иное выражение, возможно, вы забыли, как дифференцируются степенные функции —Bt и Ct2, где В, С — постоянные.
117. vx не зависит от t и равняется vOx, vz(t2)=Voz—
—gt2 = 2,6 м/с. Какой знак имеет vz в начале движения? Сравните ваш ответ с приведенным в р. 1.
118. А вы не забыли привести все цифровые данные к одним единицам измерения? Например: vo=7,2 км/ч=
— ? м/с.
119. vx=
dx dt
dz
; Vz dt
. Проделайте это дифференцирова-
ние. Значение vz(ti) сравните с приведенным в р. 37.
120. Как и при решении задачи 15, здесь целесообразно сделать чертеж. Вы помните, что скорость — вектор, а в условии задачи указано, что у начальной скорости заданы ее модуль Vo и направление (угол с горизонтом). В задаче 15 начальная скорость была параллельна горизонту (оси х), в данной задаче она составляет с ним угол а, что, конечно, отразится на виде траектории. Теперь сделайте чертеж и сравните его с приведенным на рис. 29 (р. 43).
79
121.	Раз говорится о вертикальном направлении, значит подразумевается, что камень находится в поле силы тяжести. Теперь ясно, о чем идет речь? Можете записать законы движения? Если да, — проверьте его в р. 11, если нет, обратитесь к р. 70.
122.	При заданном выражении для S найти wc просто. Если вы поняли, в чем дело, определите wc, а затем вычислите Wc по общему правилу нахождения среднего (см. р. 44).
123.	В задаче 12 задан закон движения х=А—Bt-f-Ct2 (где x=S). Это равноускоренное движение, общая формула которого x = at2/2-)-vot-)-Xo, так что С==а/2, т. е. ускорение а = 2С.
124.	Ускорение ав направлено вдоль стола, аА— по вертикали (так же направлены Тв и ТА). На эти направления и нужно спроектировать уравнения. Заканчивайте решать задачу. Решение проверьте в р. 182. Если вы сомневаетесь в правильности проекций, обратитесь к р. 127.
125.	Мы рекомендовали вам вспомнить законы движения тела по окружности. Вы это сделали? Тогда попробуйте ими воспользоваться. Если задача все равно не выходит, обратитесь к р. 135.
126.	По определению, угловая скорость ®=—. Если известна функция w(t), из этого равенства легко найти cp(t). Если вы не знаете, как это сделать, подставьте в полученное выражение значение со (t) при равномерном движении. Если вы не можете получить <p(t), обратитесь к р. 136.
127.	При построении проекций нужно учитывать, что сила реакции связи (в данном случае — натяжение нити) направлена в сторону, противоположную действующей силе (трения у тела В и веса у тела А). Заметим, что сила трения не может вызвать движения, она только тормозит его. Ясно, как при этом направлено ускорение тел А и В? Очень жаль, если и теперь вы не можете получить ответ, представленный в р. 182. Значит, вы все же не сумели построить проекции. Но могла ведь быть и случайная ошибка. Поэтому проверьте проекции в р. 190.
128.	Прежде чем браться за решение задачи, нужно четко уяснить, что требуется найти. Вспомните, что такое вектор полного ускорения, из каких векторов его можно построить и как эти векторы выражаются через заданную в задаче линейную скорость. Проверьте свои рассуждения в р. 138.
129.	Попробуйте построить уравнения движения. Если
80
дальше все ясно, найдите F и проверьте ответ в р. 149. Если, записав уравнение, вы не знаете, как им воспользоваться, посмотрите р. 184. Если не можете построить уравнение, обратитесь к р. 139.
130.	Если известны масса и ускорение, силу найти легко. Может быть, вы не перевели тонны в килограммы? Получили FT? Если вас смущает отрицательное ускорение, посмотрите р. 140.
131.	Правильно ли вы учли направление силы сопротивления воздуха? Ведь оно всегда противоположно направлению движения тела. Сравните свой чертеж с приведенным на рис. 35 (р. 151).
132.	Вы ошиблись в дифференцировании синуса? Проверьте его в р. 142. Может быть, вы забыли, что sin(n/6) — = 1/2?
133.	Вы вспомнили общие рекомендации к этому разделу? Учтите, что уравнения движения в данном случае целесообразно составить в векторной форме. Сколько должно быть таких уравнений? (см. р. 143). Если вы сомневаетесь в правильности установления сил, обратитесь к р. 153.
134.	а = —Vo/t, где t — время остановки. Если такое выражение не получилось, проверьте идею рассуждений з р. 144.
135.	Вы, вероятно, записали равенство v = ®R. Но здесь задана лишь линейная скорость, так что одного равенства для определения R недостаточно. Если вы догадались, как получить два равенства, заканчивайте решение задачи, если не можете сделать это самостоятельно, обратитесь к р. 145.
136.	dcp = ®(t)dt. Проинтегрировав обе части этого равенства, получим: cp(t) = J (i)(t) dt+фо, где фо — угол в начальный момент времени (чаще всего его полагают равным нулю, т. е. считают, что ф отсчитывается от точки, в которой тело было в начальный момент времени t=0). В эту формулу нужно подставить w(t) =coo+et Проинтегрировать сумеете? Вспомните формулы для интегралов J dt и J tdt, так как постоянные выносятся за знак интеграла. Окончательный результат проверьте в р. 146.
137.	Возможно, вы забыли, что в начальный момент (к началу торможения) была задана не циклическая, а угловая частота vq. Угловое ускорение е задано в рад/с2, что соответствует циклической частоте. Если ваша ошибка не в этом, обратитесь к р. 147.
138.	Вектор полного ускорения есть Сумма векторов тангенциального а- и нормального wn ускорений: w = wz-Jr
6. Заказ 259
81
-\-wn- Если точка движется по окружности, всегда имеется нормальное ускорение wn> направленное по радиусу к центру окружности. Тангенциальное ускорение w тесть не всегда. Как показать, что в этой задаче wt =#0? Если ответ на этот вопрос вам ясен, сделайте чертеж с указанием искомого угла (сравните свой чертеж с приведенным на рис. 34 (р. 148); если ответ неясен, посмотрите р. 157.
139.	Вагон движется по прямой линии. Все действующие силы направлены вдоль этой прямой (сила трения колес о рельсы хотя и выражается через g, но действует в направлении, противоположном скорости движения вагона). Таким образом, нужно построить одно уравнение движения. Запишите его и подумайте, как использовать для его решения условие равноускоренности. Если дальше все ясно, проверьте общий вид решения (см. р. 149). Если уравнение движения вы не составили, обратитесь к р. 188.
140.	Уравнение движения Ma = Fr, так как, кроме силы трения, на вагон никакие силы не действуют (сила тяжести компенсируется реакцией связи). Отрицательный знак ускорения означает уменьшение скорости, т. е. торможение. То же относится и к знаку силы.
141.	Сориентироваться в подходе к задаче вам, как обычно, может помочь запись уравнения движения. Какие силы действуют на аэростат, как они направлены? Сделайте чертеж (проверить его можно, сравнив с приведенным на рис. 35 (р. 151). Затем постройте уравнения движения и попробуйте закончить задачу (ответ см. в р. 186). Если это вам не удается, обратитесь к р. 160.
,ло d / .	,, d .	, d(o>t)
142.	— (sin co t) = , .-- - sinfflb —ту— =® cos co t;
dt	d(cot)	cit
d2 , .	d / d , \ d ,	9 .	,
-7-7 SIH (1) t) = -г- I -7— Sin (0 t =(0 -7— (COS (0 t) =	81П (1) t.
dt2	dt \dt / dt
143.	Векторных уравнений два: для тела А и тела В. Что можно сказать об их ускорениях? Если вы затрудняетесь ответить на этот вопрос, посмотрите р. 161, если непонятно, как построить силы, — р. 153.
144.	По определению, ускорение a=(v—Vo)/t, где v — конечная скорость, t—время торможения. Чтобы найти а, нужно определить t. Попробуйте дальше действовать самостоятельно. Общую формулу можно проверить в р. 134. Если все же найти t не удается, обратитесь к р. 154.
145.	Сделайте чертеж с указанием точки А на ободе (ее скорость vi) и точки В, имеющей скорость va; учтите, что 52
угловая скорость всех точек колеса одна и та же. Заканчивайте решение задачи. Если ответ не получается, проверьте ход рассуждений в р. 155.
146.	q>(t)=q>o+ J (coo+'st)<31==фо+®о1+е12/2.
147.	Закон равнозамедленного движения описывается зависимостью частоты от времени вида со==соо—st (знак минуса перед et указывает на замедление). Если численный ответ не получился, учтите замечание, содержащееся в р. 137, если вы с ним уже познакомились, обратитесь к р. 156.
148.	Если бы значения ускорений w* и wn были известны, по чертежу (рис. 34) можно было бы найти ф. Запишите формулу, связывающую ф, wt и wn И проверьте полученные вами выражения в р. 164. Теперь нужно найти wn и wt пользуясь известными формулами (см. р. ,171). Проверить общую формулу можно в р. 175.
149.	F=2sM/t2+0,05Mg.
150.	Вы получили выражение для силы и выяснили, что она постоянна. Теперь найдите общее решение уравнения движения (задача типа II) и сравните его с общим решением в примере 1. Затем получите частное решение, отвечающее начальным условиям задачи. После этого легко ответить на вопросы 2 и 3 задачи. Если вы не знаете, как найти частное решение, посмотрите р. 159.
151.	Начертите график сил, действующих на аэростат А при подъеме, аналогичный графику сил, действующих на аэростат при спуске (рис. 35) и сравните его с помещенным
Рис. 35
6*
83
на рис. 37 (р. 167). Постройте уравнения движения. Если вы не знаете, как это сделать, посмотрите р. 160.
152.	Сумели бы вы ответить на вопрос задачи, если бы знали общий вид выражения для силы? Может быть, надо вначале эту задачу решать как решают задачу типа I? Попробуйте самостоятельно закончить задачу. Если все же не понимаете, как поступить, посмотрите, как решается задача типа I (в нашем случае движение одномерно). Проверить полученные выражения можно в р. 178.
153.	На тело А действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Тело В скользит по столу, поверхность которого не дает ему падать под действием силы тяжести, а также тормозит его движение по горизонтали под действием натяжения нити. Вспомните общие положения из п. 1.7: какими силами (реакциями связей) можно описать действие нити (натяжение) и стола (опоры), а также выражение для силы трения (см. п. 1.8). Попробуйте теперь самостоятельно построить силы, действующие па тела А и В. Если вам это не удается, обратитесь к р. 168. Если чертеж сделан, проверьте его в р. 173.
154.	Найти t можно из условия, что автомобиль движется равнозамедленно и длина пути известна. В случае затруднения при решении посмотрите р. 162.
155.	По условию, отношение линейных скоростей в точках А и В (рис. 36) следующее: vi/v2=2,5. Но vi = ®R; v2=(o(R—0,005). В данной задаче и не играет роли.
Рис. 36
156.	В момент остановки О=®о—et, где ®o=2jtvo; v= = 3 об/с.
157.	По условию задачи, точка, лежащая на ободе колеса, движется с ускорением, так как скорость зависит от времени: v=At+Bt2. В этом случае есть тангенциальное ус-
84
dv
dt ’
корение величины w-c =
направленное по касательной к
окружности. Сделайте чертеж и сравните его с помещенным на рис. 34 (р. 148).
158.	Вагон начинает двигаться без начальной скорости равноускоренно, при этом за t=30 с он прошел путь s= 11 м. Можете найти ускорение? Подумайте, вспомните кинематику! Если ускорение так и не можете найти, посмотрите р. 165.
159.	А общее решение вы нашли? Если движение происходит вдоль оси х под действием постоянной силы F, то закон движения имеет вид: x=Ft2/(2m) +СД+С2 (см. пример За на с. 13) или, поскольку F/m =—а (ускорение отрицательно), х =—at2/24-Cit+C2. Если нас интересует путь, который проходит вагон за время ti, естественно считать, что при t = 0 вагон находится в точке хо=О. Значит, С2=0. Теперь найдите Сг, проверить его значение можно в р. 166.
160.	Все ли данные задачи вы использовали? Нет ли в ней указаний на характер движения? Догадались, как записать при таком характере движения уравнения движения? Если нет, посмотрите р. 172.
161.	Поскольку нить, по условию, нерастяжима, ускорения А и В одинаковы.
162.	s = at2/2~Fvot (отсчет времени от начала торможения). Подставьте в это равенство выражение для а, и вы получите уравнение с одним неизвестным t, которое легко решить. Теперь найдите а. Если такое выражение, как в р. 134, не получилось, проверьте значение tsp. 174.
163.	Здесь можно воспользоваться результатом задачи 18. Подумайте, как вычислить число оборотов, если известно, на какой угол повернулся вал к данному моменту времени. Если вы затрудняетесь ответить на этот вопрос, посмотрите р. 170.
164.	tgq>=WT/wn. Чему равно полное ускорение? (см. р. 183). Если вы забыли, как найти Wt и wn, посмотрите р. 171, если выражение для We не получилось, — р. 175.
165.	Путь равноускоренного движения без начальной скорости s = at2/2, так что a=2s/t2. Отсюда сразу получается ответ (см. р. 149).
Н У
I66.	3— =v—at-j-Ci. При t=0, v=v0, т. е. Ci=Vq. Те
перь находите время остановки ti. Если вы сомневаетесь в правильности ответа, посмотрите р. 176.
85
167.	Случай подъема:
Fe
(М -т)д
Рис. 37
168.	Во всех точках идеальной нити (нерастяжимой, невесомой) натяжение одинаково. В частности, на тела А и В действуют одинаковые по величине силы натяжения Та=Тв. Каковы их направления? О реакции опоры и силе трения сказано в р. 179.
169.	В нашем случае v=0, так что а = —v0/t.
170.	Если qp(t)—угол, на который повернулся вал к моменту остановки (он может быть и больше 2л), то число оборотов к этому времени N=<p(t])/(2n). Таким образом, нужно найти qp(ti). Заметим, что, вычисляя ti, вы получали его по формуле ti —®о/е=2л; в данном случае удобно оставить t, выраженным через л. Если нашли qp(ti), определяйте N, если нет, обратитесь к р. 192.
171.	По определению, Wt==”^~ > wn = v2/R. Общий вид формулы wx(t) можно найти в р. 175. Выражение для tg ф в общем виде записывать не следует. Величину wn проще определять через v для каждого заданного в задаче момента времени t. Полученные результаты можно сравнить с приведенными в р. 180.
172.	В задаче сказано, что в обоих случаях аэростат должен двигаться равномерно, т. е. без ускорения. Теперь все ясно? Если нет, обратитесь к р. 177.
173.
86
174.	t=2s/vc. Если вы получили иное равенство, может быть, вы неверно записали выражение из р. 144 для данной задачи? Обратитесь к р. 169.
175.	wt= =A+2Bt.
dt
176.	В момент ti Vi = 0, следовательно, ti—vo/a.
177.	Так как точка (аэростат) должна двигаться без ускорения, сумма сил равняется нулю. Поскольку движение происходит по одной прямой, для каждого случая требуется одно уравнение (проекция сил на вертикаль). Теперь воспользуйтесь своими чертежами и с их помощью запишите
уравнения движения для случаев подъема и спуска аэростата. Из них найдите т. Проделайте вычисления, считая
ё
= 9,8 м/с2. Если ответ не получился, обратитесь к р. 181.
d^s
178. F = m . dt2
Остальные вычисления проделать легко.
В крайнем случае воспользуйтесь указаниями р. 142 и 132.
179.	Так как гиря В не двигается в вертикальном направлении, сила тяжести mg и реакция опоры N уравновешивают друг друга. Сила трения Ттр направлена против движения тела В и равна по модулю kmg. Теперь постройте чертеж (см. р. 173) и уравнения движения с учетом того, что массы и ускорения у тел А и В одинаковы. Если вам это удалось, заканчивайте решение. Формулы для а и Т найдете в р. 182. Если уравнения не получаются, посмотрите р. 187.
180.	При t = 0, скорость v=0, тангенциальное ускорение Wt = 0,03 м/с2. Даже без вычисления tg ср видно, как направлено полное ускорение, если Wt=0. Направление полного ускорения можно получить и из условия tgq>=oo. При t=3 с tg ф=0,09/0,324; при t=5 с tg <р = 0,13/1,6.
181.	Считая, что ось z направлена вертикально вниз, получим сумму проекций сил, действующих на аэростат: Mg— —Fa—Fc. Так как ускорение аэростата равно нулю, уравнение движения в проекции на ось z имеет вид Mg—Fa— —Fc=0. Аналогичным образом получим уравнение для подъема аэростата: (М—m)g—Fa+Fc = 0. Решив эти уравнения совместно, найдем т.
182.	a=g(l—k)/2; T=mg(l+k)/2. Если вы получили иные выражения, возможно, ошиблись в построении уровне-ний движения. Посмотрите р. 187.
183.	Значение полного ускорения (модуль вектора w) определяется по формуле w=ywc24-wn2.
87
d^x
184.	M -^- = F—0,05Mg. Поскольку значение F неизвестно, задача напоминает задачу типа I. Прочитайте материал о законе движения (см. п. 1.5). Может быть, можно найти выражение для закона равноускоренного движения? Постарайтесь самостоятельно закончить решение задачи (ответ содержится в р. 149). Если ответ не получился, обратитесь к р. 158.
185.	А вы не забыли все величины выразить в одних единицах?
186.	m = 2(Mg—FA)/g.
187.	Для В имеемз (mg+A)+Гв-г7'Тр = тав. Для А уравнение такое: mg-\-TA = maA. Для того, чтобы определить величины а и Т, целесообразно спроектировать эти уравнения на некоторые направления (для разных уравнений могут быть разные направления). Если вы не можете догадаться, как это сделать, посмотрите р. 124.
188.	Для того чтобы записать уравнение движения, нужно построить суммарное выражение для силы. В нашем случае кроме искомой силы F на вагон действует сила трения, направленная противоположно F и равная 0,05 Mg. Следовательно, сумма сил равна F—0,05 Mg. Если, построив уравнение, вы не знаете, как им воспользоваться, обратитесь к р. 184.
189.	Вы воспользовались формулой равнопеременного вращательного движения’ В данной задаче целесообразно время отсчитывать от момента начала торможения. Тогда искомый момент времени tj, соответствующий ®i = 0, легко найти, если помнить, что в начальный момент времени угловая скорость ио задана. Продумайте предложенный вам план решения задачи и попробуйте решить ее самостоятельно. Если численный ответ не получился, но ход решения ясен, обратитесь к р. 137, если ход решения неясен, посмотрите р. 147.
190.	mg—T=ma; Т—kmg=ma.
191.	А вы правильно использовали систему единиц? Общую формулу для а можете проверить в р. 134.
192.	ti = 2n;	qp(ti) =©oti—eti2/2=2rt-3-2л—3(2л)2/2=
= 6л2.
РЕКОМЕНДАЦИИ 193— 329 К ЗАДАЧАМ 26—45
193.	Z0 = g/(4n2v2 cos а)—mgA//(Fi cosa).
194.	А вы решили задачу 25? Обратили внимание на вывод из нее? Подумайте, чем задача 26 отличается от предыдущей? Сделайте чертеж, подобный чертежу, приведенному на рис. 38 (р. 173). Если сомневаетесь в ответе, посмотрите р. 214.
195.	Для определения F нужно знать ускорение торможения автомобиля (см. п. 5.2). Теперь ясно, что нужно делать дальше? Если нет, вспомните, как решали задачу 9.
196.	Вспомните задачу 27: автомобиль тормозится, и груз прижимается к стенке багажника. А если стенку удалить? Наверное, груз будет двигаться вперед до тех пор, пока его что-то не задержит. То же самое делается с шаром: пока вагон двигается равномерно, шар висит отвесно (принцип Галилея). Когда вагон тормозится, шар по инерции стремится двигаться вперед (по отношению к вагону), однако нить не пускает его Поэтому шар действует на нить с силой, соответствующей ускорению вагона, но направленной противоположно ему. Не забудьте, что есть еще сила тяжести, действующая на шар, а через него и на нить, вертикально вниз, и натяжение нити, уравновешивающее их. Постройте чертеж и попробуйте решить задачу самостоятельно. Если сомневаетесь в чертеже, обратитесь к р. 289, если не можете записать выражение для сил, — к р. 216.
197.	Под действием веревки камень совершает равномерное вращательное движение и, следовательно, действует на веревку с силой, соответствующей ускорению wn=®2^ (см. п. 5.3 и 3.3). Чем больше угловая скорость и, тем больше сила, действующая на веревку со стороны камня. Теперь можете наметить ход решения? Если нет, посмотрите р. 217.
198.	Попробуйте сделать чертеж. Не кажется ли вам, что, по крайней мере, для верхней и нижней точек траектории ситуация знакома? Затруднение может вызвать лишь случай средней точки петли; разъяснение его содержится в р. 275. Если вы не уверены в правильности чертежа, посмотрите р. 218.
89
199.	Как и при решении предыдущих задач, в данном случае целесообразно начинать с чертежа. Расставьте на схеме «гигантских шагов» (рис. 39) действующие на мальчика и на канат силы и попробуйте выразить их через известные и искомые характеристики. Проверить построение поможет р. 239.
200.	Когда вы подвешиваете тело на резиновом шнуре, он растягивается под действием тяжести тела. Если, кроме того, тело вращается, возникает дополнительная сила, действующая на шнур. Действия этих сил и следует учитывать при решении задачи. Попробуйте найти ответ самостоятельно. Общую формулу можно сравнить с приведенной в р. 193. Если вы не справились с задачей, обратитесь к р. 220.
201.	Если известен закон движения, можно найти силу, действующую на тело, и путь за заданный промежуток времени (см. п. 1.5, 3.1 и др.). Однако более простой способ решения — выразить работу через кинетическую энергию (см. п. 6.3). Попробуйте закончить задачу самостоятельно. Если задача все равно не получается, обратитесь к р. 221.
202.	Вы вычисляли ускорение а по формуле a=F/m, найдя F по совершенной при подъеме работе А? Вы не забыли о силе тяжести? Уравнение движения можно проверить в р. 278.
203.	Если бы был известен путь, работу А можно было бы определить по формуле A=iFsi. Если вы догадались, как найти Si, определите сначала его (общую формулу см. в р. 243), если не догадались, то учтите, что есть и другое выражение для работы (см. п. 6.3). Теперь ясно, как решать задачу? Проверьте выражение для Авр. 223.
204.	Нужно найти конечную скорость. Какой закон со
90
хранения содержит скорости? Постройте чертеж, описывающий ситуацию до того, как человек вскочил на тележку. Проверить свои рассуждения вы можете в р. 224.
205.	Когда нужно найти скорости в замкнутой системе, целесообразно использовать закон сохранения импульса. Вас, вероятно, смущает то, что здесь не заданы массы? Тогда обратитесь к р. 280.
206.	Если задан коэффициент трения к, то сила трения, действующая в горизонтальном направлении против движения тела, равна kmg (см. п. 1.8). Попробуйте установить, что нужно знать, чтобы при заданной силе трения найти время торможения. Если это вам не удалось, посмотрите р. 226.
207.	Если удар неупругий, то закон сохранения энергии не выполняется. До удара тела не взаимодействовали между собой и на них не действовали внешние силы, следовательно, тела обладали лишь кинетической энергией. После удара получившееся единое тело снова движется свободно (без действия внешних сил), и, значит, имеет только кинетическую энергию. Подумайте, на какую величину изменилась энергия тел в результате удара. Попробуйте теперь закончить задачу. Если расчет с помощью кинетической энергии затруднителен, посмотрите р. 227.
208.	Посмотрите вывод из задачи 39. Может быть, и в данном случае не обязательно находить все скорости? Выпишите соотношения, в которые входят скорости, и попробуйте выразить Mi и й2 через гц (61 — скорость до столкновения, й1 и й2— после). Если не знаете, как построить требуемое соотношение, обратитесь к р. 228.
209.	Согласно п. 6 4, между силой и потенциальной энер-dU
гией имеется связь: F = —grad U, т. е. Fx=—т—- и т. д. ох
Вспомните, чему равна аила, действующая на точку в поле силы тяжести (см. пример За на с. 13). Если задача все равно не получается, обратитесь к р. 229.
210.	Если известна потенциальная функция (потенциальная энергия как функция координат), силу можно найти простым дифференцированием (во всяком случае, составляющие силы определяются сразу). Поскольку в данном случае явный вид U не задан, составляющие F нужно записать с помощью производных от U по координатам. Попробуйте самостоятельно записать составляющие силы, если вы поняли, от чего зависит U, если нет, — посмотрите р. 230.
91
211.	Согласно п. 7.4, E = mv2/2-|-U (г), где U — потенциальная энергия точки в поле силы тяжести. В задаче 41 вы нашли эту потенциальную энергию. Построив выражение для Е, вы должны подставить в него закон движения. Значит, нужно его найти. Подобные задачи вы уже решали (задачи 1—3). Здесь имеет смысл взять произвольные начальные условия (см. пример За на с. 13). Выражение для Е можно проверить в р. 231, для закона движения — в р. 251. Если не знаете, как найти закон движения, обратитесь к р. 269.
212.	Начинать нужно с чертежа. Изобразите маятник в крайнем отклоненном положении и сравните свой чертеж с изображенным на рис. 42 (р. 232).
213.	Когда пуля застревает в шаре, часть ее энергии переходит в тепло (удар неупругий), поэтому, анализируя это явление,'мы не можем воспользоваться законом сохранения энергии. С другой стороны, во время полета пули ни на нее, ни на шар в горизонтальном направлении не действуют никакие силы, поэтому проекция импульса на это направление в момент удара должна сохраняться. Будет ли выполняться закон сохранения импульса после удара? Какова картина движения шара (с застрявшей пулей) после удара? Сделайте чертеж и подумайте, какие законы сохранения могут выполняться после удара. За разъяснением можно обратиться к р. 233.
214.	Чтобы установить хотя бы качественно различие в поведении системы, рассматриваемой в данной задаче и описанной в задаче 25, полезно представить себе, что будет происходить, если увеличивать угол наклона а. Какой будет реакция связи N? Если вы догадались, в чем дело, сделайте чертеж и проверьте его, сравнив с изображенным на рис. 48 (р. 301), если нет, посмотрите р. 288. Подумайте, какая сила будет тянуть гирю В вниз по наклонной плоскости? (см. р. 254).
215.	Нужно внимательно прочитать п. 5.1-—5.5, обратив особое внимание на п. 5.2. Если идея решения все же неясна, обратитесь к р. 195.
216.	Шар действует на нить своим весом mg и силой инерции — та (рис. 40). Равнодействующая этих сил R уравновешивается силой натяжения нити Т. Таким образом, нить, отклоняясь, оказывается направленной вдоль силы R. Теперь угол а вы найдете легко. Проверить расчет можно в р. 256.
92
Рис. 40
217.	Число оборотов у—ы/2л. Нужно найти со. Целесообразно сделать чертеж. Если вы не знаете, как действуют силы, обратитесь к р. 237.
218.	Летчик находится в движущемся по окружности са
молете. Вследствие вращения самолета летчик давит на него с силой f (рис. 41), которая при
равномерном вращении одинакова по величине в любой точке траектории. Кроме того, летчик действует на самолет своим весом. Теперь работайте самостоятельно. Если вы не знаете, как построить f, обратитесь к р. 302. Общие формулы можно проверить (после того, как они вами найдены!) в р. 258. Если вы не поняли, как найти давление летчика на сидение в случае 3, обратитесь к р. 275.
219. Вы знаете, что такое «ги-
гантские шаги»? Мальчик прикреп-
лен к столбу длинной веревкой, которая легко вращается вокруг столба. Разбегаясь, мальчик начинает вращаться с постоянной скоростью. Этот момент >и описан в задаче. Траектория движения — окружность в горизонтальной плоскости. Сделайте чертеж и сравните его с изображенным на рис. 39 (р. 199). Дальше действуйте самостоятельно.
220.	Чем условие этой задачи отличается от условия задачи 31? Если нужно найти растяжение шнура, на какой из вопросов, поставленных в задаче 31, здесь нужно ответить? Какая аила заставляет растягиваться шнур? С чего следует начинать решение? Попробуйте действовать самостоятельно. В крайнем случае посмотрите р. 240.
221.	Вы не можете найти скорости в моменты времени t=0 и t=l? Но ведь вы знаете координату как функцию времени. Чему же равны скорости? Проверить решение можно в р. 241.
93
222.	Вы забыли второй закон Ньютона? Его легко вспомнить, вернувшись к п. 1.3. А аилу Fi вы нашли? Если да, но значение а не получается, обратитесь к р. 202, если нет, посмотрите р. 242.
223.	Так как конечная скорость Vi = 0, выражение для работы А=—mv2/2 оказывается отрицательным. Что это значит? (см. вывод из решения задачи). Теперь ищите Si. Ответ можно посмотреть в р. 243.
224.	Движение человека и тележки происходит по одной горизонтальной прямой. В этом направлении никакие внешние силы не действуют, так что импульс системы «человек-тележка» сохраняется. Попробуйте воспользоваться этим фактом для расчета Uj. Проверить формулу можно в р. 244.
225.	mv=m1Vi+m2V2. Теперь нужно представить пт и т2 через т. После этого выражение для U2 найдете элементарно. Проверить его можно в р. 245.
226.	На тела действует сила F=kmg=const. Если известна сила, можно найти общий вид закона движения (см. пример За на с. 13). Что нужно знать, чтобы от общего выражения перейти к нашему случаю? Если это неясно, обратитесь к р. 265, если не можете найти закон движения, — к р. 246.
227.	Кинетическая энергия К—mv2/2. В данном случае известна лишь кинетическая энергия второго тела до удара (она равна нулю). Скорости первого тела щ и тел после удара V неизвестны, однако между ними есть связь. Подумайте, какая? Нельзя ли благодаря этой связи определить отношение (Ki—Кг)/К1, не находя точных выражений для Ki и Кг? Если не можете найти связь между скоростями, обратитесь к р. 247.
228.	Поскольку удар упругий, выполняется закон сохранения энергии. Кроме того, удар центральный, так что все скорости лежат на одной прямой. Может быть, вы попробуете выразить Ui через Vi? Проверить выражение можно в р. 248.
229.	Как всегда, когда имеются векторные характеристики (в данном случае — сила), полезно выбрать оси координат. Если сила постоянна, то вдоль нее и следует направить одну из осей. Принято ось z направлять вертикально вверх. Дальше решайте сами. Если все-таки с задачей не справляетесь, обратитесь к р. 249.
230.	Центр поля следует принять за начало координат, тогда расстоянием, от которого зависит U, будет длина ра-
94
диуса-вектора точки: r= | г| =Ух2+у2+г2. Таким образом, U=U(r), т. е. U зависит от координат через г. Теперь можете взять производные? Если производные взяты, проверьте их в р. 250, если нет, посмотрите р. 268.
231.	E = mv2/2—mgz, если ось z направлена по силе тяжести. В это выражение нужно подставить закон движения. Результат можете проверить в р. 285.
232.	Какова скорость vB маятника в положении В (рис. 42)? Может ли в положении А скорость маятника равняться нулю? Учтите, что закон движения маятника найти трудно из-за сложности соответствующего уравнения движения. Поэтому нужно искать обходные пути решения, в частности, воспользоваться законами сохранения. Подумайте, какой закон сохранения применим в данном случае и как им воспользоваться? Если все равно не можете решить задачу, посмотрите р. 252.
////////
В<-
Рис. 42
233.	После того как пуля застряла в шаре, он получил некоторую скорость и и, отклонившись на угол а |(рис. 43), стал двигаться, удерживаемый стержнем, только под действием силы тяжести. Можете закончить решение задачи? Если нет, вернитесь к задаче 44 и подумайте, в чем сходство с ней этой задачи. Теперь догадались, как найти va? Если нет, обратитесь к р. 253.
////////////////
Рис. 43
234.	Сила mg отчасти уравновешивается реакцией опоры N, отчасти остается нескомпенсированной (составляющая вдоль наклонной плоскости). Найдите нескомпеноированную
силу, используя чертеж (сравните его с изображенным на рис. 48 (р. 301)). Формулу для нескомпенсированной силы можете проверить в р. 322.
235.	Если единицы измерения выбраны верно, возможно, общая формула ошибочна. Ее можно проверить в р. 255.
236.	Нить отклоняется потому, что на нее действует шар, стремящийся двигаться по инерции, т. е. быстрее тормозящегося вагона. Так как шар привязан, он движется вместе с вагоном, т. е. ситуация та же, что и в задаче 27 (см. также п. 5.1, 5.2). Только в задаче 27 указано, что тело давит на систему, а в этой — что оно тянет нить. Действие шара па
нить и заставляет ее отклоняться.
237.	Веревка вращается в вертикальной плоскости. Постройте векторы сил, действующих на камень в верхней и нижней точках траектории. Где натяжение нити больше? Если все ясно, заканчивайте решение. Если не знаете, какие действуют силы, обратитесь к р. 257, если не можете сделать чертеж, — к р. 274.
238.	«Мертвая петля» означает, что самолет летит по траектории, составляющей окружность в вертикальной плоскости, т. е. в верхней точке он располагается вверх колесами. Таким образом, летчик находится во вращающейся системе, в которой удерживает его реакция сидения, подобно тому как камень, привязанный к вращающейся веревке (см. задачу 29), удерживает натяжение веревки. Теперь сделайте чертеж и сравните его с изображенным на рис. 41 (р. 218).
239.	На мальчика действует центростремительная аила F (соответствующая ускорению w2R) и сила тяжести mg;
на конец каната со стороны мальчика
Рис. 44
действует центробежная сила —F и сила тяжести мальчика mg (рис. 44). Эти две силы должны уравновешиваться силой натяжения каната. Какие из предста<в-ленных на чертеже характеристик заданы в задаче или могут быть легко установлены? Поскольку мы предположили равномерное вращение, силы, действующие на конец веревки, должны компенсировать друг друга. Проверить уравнение можно в р. 259. Если вы не можете построить выражение для сил, обрати-
тесь к р. 276, если не знаете, как связать число оборотов с действующими силами, — к р. 303.
96
240.	Шнур растягивается под действием силы натяжения Т (см. п. 1.7), которая зависит от массы гирьки и центробежной силы, выводящей его из вертикального положения. Учтите, что в этой задаче задан угол а шнура с вертикалью. Это позволяет легко определить Т. Как и в задаче 31, начинать нужно с чертежа, который должен помочь вам разобраться в том, какие характеристики известны и что нужно искать. Сравните чертеж с изображенным на рис. 50 (р. 323). Если вы не понимаете, как по данным задачи найти удлинение шнура Дх, посмотрите р. 260, если не можете определить Т, — р. 318.
dx
241.	Скорость v(t) =	= 101-4-2. Остальное очевидно.
242.	Поскольку сила Fi, заставляющая груз подниматься вертикально, постоянна, то совершаемая при подъеме на высоту h работа A=Fih, т. е. Fi = A/h. Теперь постройте выражение для а. Ответ посмотрите в р. 261.
243.	Si = mv02/(2F). Если вы не получили такое выражение, посмотрите р. 262.
244.	Ui= (miVi+m2V2)/(mI+m2). Если у вас получилось иное выражение, обратитесь к р. 263.
245.	v2=(m 10—0,6m-25)/(0,4m).
246.	Движение происходит по прямой, так что закон движения описывается одной координатой х. Уравнение (Н) d2x	dx
имеет вид m —х =—kmg, т. е. — =—kmgt+v0, где vo — dt2	dt
скорость в начальный момент времени (t = 0). Не забудьте, dx
что в момент остановки — =0 Попробуйте дальше дей-dt
ствовать самостоятельно. Если неясно, как поступить, обратитесь к р. 265.
247.	Когда речь идет о скоростях, естественно попытаться использовать закон сохранения импульса. Может быть, дальше справитесь сами? Если нет, посмотрите р. 266.
248.	Величина и2 имеет два значения: u2(1)=0; и2(2) = = 2miVi/(mi+m2). Если вы получили иное, возможно, неверно построили уравнения. Поэтому обратитесь к р. 267.
249.	Если ось z направлена вверх, то Fz=—mg, Fx=0, р a	<?U	dU „ 5U n T,
ky = 0, поэтому — ^-= mg;—— =0; — ^-=0. Из последних двух равенств ясно, что U не зависит от х и у. По-7 Заказ 259	97
<5U этому частная производная является полной произвед-
ши „	dU
Н0И dz" ’ Т°ГДа УРаВНеНИе dz" ==П1^ можно решить простым интегрированием:
dU=mgdz; U= f mgdz=mg { dz=mgz-(-const.
dU	dU г	г-
250.	— = -—--и т. д. Если вы не получили такое вы-
dx	dr	х
ражение, обратитесь к р. 268.
251.	Если ось z направлена вдоль силы тяжести (т. е. вниз), то z=gt2/2+v0zt+z0; x=v0xt+x0; y=vOj,t-(-yo, где Vo?, vox, Voy и Zo, Xo, y0 — соответственно начальные скорости и координаты точки (т. е. их значения при t=0); они считаются заданными (см. пример 36 на с. 15). Полезно получить эти выражения, не обращаясь к примеру За. Указания найдете в р. 269.
252.	Здесь можно использовать закон сохранения энергии. Ведь маятник движется под действием силы тяжести. Теперь ясно, как поступить? Попробуйте закончить задачу и найти ответ. Если он все же не получается, обратитесь к р. 270.
253.	Зная угол а, можно определить потенциальную энергию шара в положении В (см. рис. 43 в р. 233), в котором шар останавливается (vb=0). Таким образом, мы нашли значение энергии Е, с помощью которого можно получить va = u. Попробуйте сделать это самостоятельно. Значение и проверьте в р. 271.
254.	Проекция силы тяжести на направление наклонной плоскости равна mg sin си. В том же направлении действует сила трения. Вы нашли ее значение? Если нет, посмотрите р. 317.
255.	F=mv02/(2s). Если у вас получилось иное выражение, обратитесь к р. 195.
256.	ma/(mg)=tga. Следовательно, нужно найти а — ускорение вагона. Если вы решили задачу 27, сумеете это сделать. Проверить расчет можно в р. 273.
257.	Центробежная сила Fu, действующая на конец веревки вследствие вращения камня, равна тсо2/. Так как камень привязан к концу веревки, на ее конец также действует сила то2!. Кроме того, на камень действует сила тяжести. Сделайте чертеж. Где натяжение нити наибольшее? Если неясно, обратитесь к р. 274.
98
258.	Fi = mv2/R—mg; F2=mv2/R+mg; F3=my(v2/R)2+g2. Если вы не знаете, как получить значения Fi и F2, обратитесь к р. 302, если не смогли найти значение Fg, посмотрите р. 275.
259.	Уравновешивают друг друга силы так, что T-j-mg— —Ё=0. Как найти модуль силы К? Вспомните п. 5.3 (проверить выражение для модуля силы можно в р. 276). Если сила F известна, то из чертежа на рис. 44 в р. 239 легко найти а. Если вы забыли формулы тригонометрии, обратитесь к р. 316.
260.	Если вы нашли натяжение нити Т, то его следует сравнить с силой Fi, которая, по условию задачи, растягивает шнур на А/. Чем больше аила, тем сильнее растяжение, при этом считается, что растяжение всегда пропорционально растягивающей силе, т. е. F=kA/, где к—-постоянный множитель. Если вы не можете определить к, обратитесь к р. 277, если не нашли Т, воспользуйтесь р. 318.
261.	a = A/(mh)—g. Если вы получили иное выражение, обратитесь к р. 202.
262.	Путь si можно найти по формуле A=Fsj, когда определена работа А. Если вы решили сначала искать si, обратитесь к р. 319.
263.	Человек догоняет тележку потому, что его скорость Vi больше скорости тележки v2. Приняв и человека и тележку за материальные точки, мы можем изобразить начало их движения так, как показано на рис. 45. Когда человек вскочил на тележку, получилась единая система, которую тоже можно считать точкой массы mi+m2. Ее скорость щ и нужно найти. Запишите закон сохранения импульса и получите ответ.
mi vi	т- Щ
Рис. 45
264.	Обозначив массы гранаты и осколков соответственно через m, mi, т2, получим закон сохранения импульса: т5=т1У1+т252. По условию, векторы v и направлены вдоль одной и той же прямой. Если принять ее за ось х, то у скоростей v и Vi оказываются не равными нулю лишь составляющие по оси х: vx=v; Vix=vi. Поэтому у скорости у2 тоже не равна нулю лишь составляющая v2x. Таким образом, вместо векторного уравнения получается скалярное (см. р. 225).
у*
99
265.	Начальная скорость при торможении Vo=u — это та скорость, которую получили тела после столкновения. Найдите ее, пользуясь законом сохранения импульса. Проверить ответ можно в р. 281.
266.	Закон сохранения импульса здесь имеет вид: miVi = = (и11+т2)ы. Очевидно, что щ и й направлены по одной прямой (равенство векторов), так что miVi= (иц+шг)и. Тогда Ki и Кг можно выразить через одну из скоростей (например, Vi). Считая, что вся разность кинетических энергий перешла в тепло, получим: AQ=Ki—Кг- Проверить окончательное выражение можно в р. 282.
267.	Закон сохранения энергии имеет вид miVi2/2= = mjUi2/2-|-m2U22/2, закон сохранения импульса — miVi = = miUiH-m2U2, так как все скорости направлены по одной прямой и v2—0. Таким образом, мы получили два уравнения с тремя неизвестными vb щ, u2, с помощью которых можно найти выражения для щ и и2 через vj. Проверить ход решения можно в р. 283.
268.	Так как U зависит только от г, то производная по х вычисляется следующим образом:
dU _ dU dr. _ dU д_ , 2	2	2_ dU ?	, ~2 .
dx ~ dr dx - dr dx Ух +y 'rZ ~ dr 2Х/(2УХ +y +Z b Аналогично вычисляются производные по у и z. Теперь следует получить выражение для вектора силы F, пользуясь понятием градиента. Если ответ не получается, посмотрите р. 284.
269.	Вы должны решить уже известную вам задачу: найти закон движения точки в поле силы тяжести, считая, что в начальный момент времени точка имела скорость с составляющими vOx, vOv, Voz и находилась в точке, описываемой радиусом-вектором с составляющими хо, Уо, Zo- Поскольку сила E=mg, направив ось вдоль направления силы, получим: Fz=mg; Fx=0; F!7 = 0. Теперь продолжайте сами. Решение проверьте в р. 251.
270.	Нужно записать выражения для энергии в точках А и В (см. рис. 42 в р. 232) и приравнять их. Если и теперь вы не можете закончить решение, посмотрите р. 286.
271.	U=y2g/(1—cos а). Теперь найдите скорость V. Общая формула содержится в р. 287. Если вы не знаете, как найти v, обратитесь к р. 312.
272.	Эта задача похожа на задачу 25. А в чем разница, понятно? (см. р. 234). Может быть, вы неверно изобразили
100
силы? Как направлены сила реакции связи N и сила тяжести? Ведь плоскость, на которой находится тело В, теперь не горизонтальна. Проверить свои рассуждения можете в р. 288.
273.	a=Av/(At). Не забудьте выразить все величины в одной системе единиц.
274.	Каково натяжение нити в верхней и нижней точках? Сделайте чертеж (рис. 46) с указанием натяжения нити и составьте уравнение. Полученное уравнение проверьте в р. 300, если не знаете, как его построить, обратитесь к р. 314.
Рис. 46
275.	Сила f всегда направлена по радиусу от центра, сила тяжести mg — вертикально вниз. Давление на сидение в случае 3 равно векторной сумме этих сил.
276.	F=m(o2R, где со определяется из условия задачи (задано число оборотов в минуту). Сумели найти со? Если нет, посмотрите р. 303.
277.	По условию, Fi = kA/, так что k=Fi/AZ известно.
278.	На груз действуют сила Fi, тянущая его вверх, и сила mg, тянущая его вниз. Поэтому суммарная сила F— =F\—mg. Уравнение движения имеет вид: ma=F. Теперь найдите а. Сравните его значение с приведенным в р. 261.
279.	Сделайте чертеж, учитывая отличие этого случая от случая 1. После этого все должно быть ясно. В крайнем случае обратитесь к р. 306.
280.	Предположите, что масса m гранаты вам известна. Теперь найдите mi и та, выраженные через т. Если вы поняли, как направлены импульсы осколков, то v2 найдете элементарно (см. р. 245). Если закон сохранения импульса записать затрудняетесь, обратитесь к р. 264.
101
281.	Скорость тел после столкновения и «0,28 м/с. Если вы получили значение и со знаком минуса, это не ошибка. Что значит и>0 или и<0? Если вы не получили и, посмотрите р. 307.
282.	AQ/Ki = m2/(mi-rm2). Если вы получили иное выражение, обратитесь к р. 324.
283.	miVi2=m1Ui2+m2u22; m1vi = miUi+m2u2. u2 из последнего равенства можно выразить через Vi и и, и подставить в первое равенство. Получится связь между и2 и Vj. Проверьте результат в р. 308.
г? лтт (dU . . <?U _ , <?US\	- - г
284.	/=—grad П=—[— /+^- /+	), где i, ], k-
единичные векторы (орты). С учетом f— xz+y/+zfe, fx2+y2+z2=r, а также результата, приведенного в р. 268, вы легко получите ответ.
285.	E==mvo2/2—mgz02. Это значение Е зависит только от начальных условий (начальной скорости и координат), и одинаково в любой момент времени. Если вы получили иное выражение, посмотрите р. 310.
286.	Ua =—mgzA; Цв=—mgzB; vB=0 (В — точка поворота: в ней маятник останавливается и начинает двигаться в обратном направлении). Из рис. 42 (р. 232) видно, чему равны zA и zn. Если вы не смогли найти va, обратитесь к р. 311.
287.	v=100iy2g/(l—cos а).
288.	Реакция опоры всегда направлена перпендикулярно к опоре, а сила тяжести — по вертикали. Поэтому их направления составляют некоторый угол. Сделайте чертеж и определите этот угол. Сравните построенное вами выражение для сил, действующих на В, с приведенным в р. 301; если вы затрудняетесь его построить, обратитесь к р. 313.
289.	При равномерном движении вагона шар висит на вертикально направленной нити. Натяжение нити уравновешивает силу тяжести (Т—mg=0). В начале торможения вагона шар стремится продолжить движение в горизонтальном направлении, тогда как точка подвеса нити тормозится вместе с вагоном, т. е. движется медленнее, чем шар. Шар оказывается в этом случае впереди точки подвеса нити, причем так как расстояние до точки подвеса нити остается неизменным, он несколько приподнимается (рис. 47). Теперь и нить и шар двигаются вместе с вагоном равнозамедлен-
102
но: вагон увлекает шар, придавая ему отрицательное ускорение а, с силой та, а шар соответственно действует на нить с той же силой в обратном направ-
лении (т. е. вперед по ходу вагона). Относительно вагона система шар — нить находится в равновесии. Попробуйте изобразить графически силы, действующие на нить со стороны шара. Считая, что а можно найти, запишите уравнение, из которого можно получить угол а. Сравните полученное уравнение с приведенным в р. 256. Если построить силы не удается, об-
Рис. 47
ратитесь к р. 216.
290. FTp=kmgcosa. Найдите направление силы трения
(см. р. 293).
291. х=—Ft2/(2m)+v0t (знак минуса указывает на тор
можение).
292. Поскольку удар упругий, выполняется закон сохранения энергии. Так как до удара кинетическая энергия второго тела равнялась нулю, изменение кинетической энергии второго тела AK2 = K2. где Кг — кинетическая энергия второго тела после удара. В задаче требуется найти отношение ДКг/Ki. По определению, Кг—m2u22/2; Ki = miVi2/2. Хотя
значение v; неизвестно, и2 можно выразить через vi, так как V] в искомом отношении сократится, подобно тому, как это было в задаче 39. Если вы все-таки не знаете, как действовать дальше, обратитесь к р. 228.
293.	Сила трения всегда направлена противоположно направлению движения, в данном случае — вниз по наклонной плоскости (см. р. 297).
294.	Сделайте чертеж, и вы увидите, что предлагаемая задача похожа на задачу 31. А теперь внимательно посмотрите, в чем ее отличие от задачи 31, не считая того, что шнур растягивается. Если различие в задачах понятно, подумайте, можно ли найти длину шнура во время вращения и его удлинение. Вам понятно, что тем самым вы ответите на поставленный в задаче вопрос? Если нет, обратитесь к р. 200, если да, попробуйте действовать самостоятельно. Если вас затрудняет отыскание Ах, прочитайте р. 240, если не можете найти I, — р. 304.
295.	Вы можете искать сначала путь торможения, а за
103
тем работу, или наоборот. Если вы выбрали первый путь, проверьте свои рассуждения в р. 305, если второй — в р. 203.
296.	Скорости направлены по касательной к траектории (окружности радиусом /), однако в данном случае это условие не пригодится, потому что закон сохранения импульса не выполняется, так как есть внешняя сила (система незамкнута). Но сила постоянна и нет трения, так что выполняется закон сохранения энергии. Если вы не знаете, как им воспользоваться, обратитесь к р. 270.
297.	Для точки А
mg+TA = maA,	(4)
Для точки В
(mg-J-A) +7в+7тр — тав.	(5)
Поэтому проектировать уравнение (4) следует на вертикаль, уравнение (5) —на направление наклонной плоскости. Запишите полученные уравнения и сравните с приведенными в р. 299.
298.	/=g/(4n2v2 cos v). Теперь найдите 10. Проверить значение /0 можно в р. 193.
299.	mg—T=ma; ma = —mg sin a+T—mgkcosa. Общие формулы можно посмотреть в р. 309.
300.	Наибольшее значение Т — в нижней точке, так как при этом T = Fy-|-mg.
301.	Вы должны были построить чертеж, такой, как на рис. 48. С его помощью ответьте на следующие вопросы.
Какую силу должна уравновесить реакция связи? Чему равна величина N? Если в задаче 25 |Л7) — |т^|, то, согласно условию данной задачи, на опору (наклонную плоскость) со стороны тела В действует сила, меньшая, чем mg и равная проекции mg на направление перпендикуляра к этой плоскости. Таким образом, сила mg уравновешивается ре
104
акцией связи N не полностью. Часть ее тянет тело В вниз по наклонной плоскости. Чему равна эта часть силы? После ответа на этот вопрос подумайте, какова при этом сила трения. Если все ясно, закончить задачу несложно. Уравнения в векторной форме даны в р. 297. Ответ сравните с приведенным в р. 309. Если ответить на первый вопрос вы не можете, обратитесь к р. 313, если не знаете ответ на второй вопрос, посмотрите р. 317.
302.	Вспомните п. 5.3. Чему равняется центробежная сила? Как она направлена при равномерном вращении системы (в данном случае — самолета)?
303.	(о=2лп. С помощью со вычисляется центробежная сила.
304.	В задаче 31 (см. также рис. 49 в р. 318) указано, что значение центробежной силы Ец равно проекции силы —Т на продолжение радиуса траектории точки А. Следовательно ВС = Ец. Согласно рис. 49 в р. 318, AD/AO = BA/BC, т. е. //К = Т/Ец. Дальше все ясно? Значение I можно проверить в р. 298.
305.	Следует воспользоваться законом движения, который легко получить, так как сила F постоянна (см. пример За на с. 13), и в начальный момент времени координату точки вагона можно считать равной нулю. Если вы затрудняетесь получить закон движения, обратитесь к р. 319.
306.	Подумайте, как изменится рис. 45 (р. 263), если человек бежит навстречу тележке. Можете теперь записать закон сохранения импульса5 Сравните полученное вами выражение с приведенным в р. 320.
307.	Закон сохранения импульса имеет следующий вид: гП1й14-т2£’2= (гП1+т2)«.	(И)
Так как тела движутся навстречу друг другу по прямой, в качестве оси нужно выбрать эту прямую и считать ось направленной, например, по скорости v2. Тогда v2 будет положительна (v2 = 2 м/с), Vi — отрицательна (uj =—1 м/с) и m2v2—miVi= (m1+m2)u. В этом случае и>0 (скорость й направлена вдоль и). Если направить ось х вдоль ui, проекция на нее уравнения (И) будет следующей: rnjVi—m2v2= = (т2+т2)и и и окажется отрицательной (скорость й направлена вдоль скорости v2, которая теперь отрицательна).
308.	AK2/Ki = 4mim2/(m1-Fm2)2. Если ваш ответ не такой. обратитесь к р. 325.
309.	а — g(l—sin a—k cos а)/2;	Т = mg(l+sin
+к cos а)/2.
105
310.	E = mv2/2—mgz. Вычислим v2=vx2+vy2+vz2, учи-dz . ,	„
тывая, что vz= jp ==gt+vOz; vx=vOx; vy=vOy. Получим: v2= (gt+voz)2+voz2+voy2. Дальнейшее очевидно, если учесть, что v02=voz2+vox2+voy2 и zo — заданные постоянные. Выражение для Е содержится в р. 285.
311.	Закон сохранения энергии означает, что выполняется равенство mvA2/2+UA = mvB2/2+UB, где UA = mgzA = =—mg/; UB =—mgzB=—mg(/—/cos a); vB=0.
312.	Вспомните p. 213. Из закона сохранения импульса вытекает равенство mv — (m-F1000m)й, где m—масса пули. Следовательно, u=v/1001.
313.	Сила, которую уравновешивает реакция связи, должна быть направлена перпендикулярно к поверхности, а по условию задачи сила тяжести mg направлена к ней под углом, так что ее нужно спроектировать на направление перпендикуляра. Сделайте чертеж (см. рис. 48 в р. 301). Чему равен угол между mg и перпендикуляром? Если у вас ответ готов, сравните его с приведенными в р. 322, если нет, обратитесь к р. 326. А как сила тяжести действует на В? Если это неясно, посмотрите р. 234.
314.	В векторной форме уравнение имеет вид: Т=ЁЦ + -Rmg. В проекции на вертикальную ось в верхней точке Т=Ец—mg, в нижней точке T=Fu+mg.
315.	Если вы правильно использовали систему единиц, значит ошиблись в общих формулах. Прочитайте р. 258.
316.	Из рис. 44 (см. р. 239) видно, что F/(mg)=tga, т. е. tg a = (2%n)2R/g и R — /sin а. Так как tg a=sin a/cos a, to sin a/cos a= (2лп)2//sin a/g, откуда cos a —g/(4n2n2/) и a=arc cos[g/(4n2n2/)]. Теперь остается подставить в выражение для а численные значения и воспользоваться таблицами тригонометрических величин. Зная а, легко найти величины Т и R (для отыскания v). Заканчивайте решение задачи в общем виде. Проверить формулы можно в р. 328.
317.	Сила трения пропорциональна силе, прижимающей тело к поверхности, а ее вы нашли. Можете теперь определить величину Ftp? Если да, вам остается установить ее направление (проверить свои рассуждения можете в р. 293), если нет — обратитесь к р. 290.
318.	Натяжение нити Т проще всего найти с помощью чертежа (рис. 49), если известны сила mg и угол а. В самом деле, сила —Т, с которой гирька действует на шнур, складывается из силы тяжести и центробежной силы Ец. Сле-106
Рис. 49
довательно, проекция силы —Т на вертикальное направление равна Fa. По построению угол ВАС равен углу а. Поэтому величину Т находим из условия mg=Tcosa. По Т легко определить Ах (см. р. 329). Нужно еще найти I. Это легко сделать на основании чертежа. Проверить свои рассуждения можете в р. 304.
319.	Обратите внимание на то, что здесь заданы постоянная сила и начальные условия х(0)==0; v(0)=vo, где v=
dx dt '
Сравните полученный вами закон движения с приве
денным в р. 291.
320.	miVi—m2v2= (m1+rn2)u2. Отсюда находим u2.
321.	Попытайтесь выяснить, какие величины нужно знать для нахождения t. Вспомните, в каких задачах вы встречались с трением. Словом, начните с попытки ответить на вопрос задачи, используя данные о скоростях до столкновения тел. Если ход решения задачи остался неясным, обратитесь к р. 226, если не поняли, как использовать данные о скоростях тел до столкновения, — к р. 265.
322.	Сила, которую уравновешивает реакция связи, равна mg cos а. Вдоль наклонной плоскости действует сила, являющаяся проекцией mg на эту плоскость. Эта проекция равна mg sin а, что следует из ABCD. Если это неясно, обратитесь к р. 326.
323.	В отличие от задачи 31, здесь не задана длина шнура I (AD), зато известен угол а. Подумайте, как при заданных значениях силы mg и угла а найти Т. Если сила натяжения шнура растянула его на величину Ах, то длина шнура /== /о+Ах. Значит, требуется определить и Ах, и I. Если, внимательно рассмотрев чертеж (рис. 50), вы все же не можете найти Ах, обратитесь к р. 260. Если Ах вы нашли, но не знаете, как определить I, посмотрите р. 304.
107
324.	Из закона сохранения импульса следует: ц= = miVi/(пи+шг) - Поэтому К2= (mi+m2)/u2/2=mi2Vi2/ /[2(mi+ni2)]; Ki = miVi2/2. Дальнейшие вычисления просты.
325.	ui = (mivi+m2u2)/mi; miVi2 = nii (mIvI—m2u2)2/mi2+ +m2u22. Отсюда mivi2 = m1vi2 —2m1m2viu2+m22u22+mim2u22. Если считать скорость Vi известной, то последнее уравнение можно решить относительно и2. Уравнение это квадратное, так что получается два корня. Корень и2(1)=0 можно отбросить, так как это выражение указывает на отсутствие столкновения тел. С помощью решения u2(2) =2m1vi/(mi+m2) можно записать выражение для Кг. Теперь найдете АК2/К1? Если не все ясно, посмотрите р. 292.
326.	Искомый угол лежит в вершине прямоугольного треугольника BCD. При этом BC_LML, BDJ_KM. Следовательно, Z_CBD = Z_KML — а. _________
327.	Формула частоты: £o=y9g/Z. Число оборотов, согласно п. 3.2, равно co/(2n)=v. Не забудьте, что значение I дано в сантиметрах.
328.	v = 2nn/sina, T=mg/sina. Численные значения надо находить с помощью тригонометрических таблиц.
329.	Сила натяжения шнура растягивает его на величину Ах, которая пропорциональна этой силе: Ах=Т/к= = mg/(k cos а).
РЕКОМЕНДАЦИИ 330—533 К ЗАДАЧАМ 46—70
330.	Вы воспользовались законом движения из п. 8.2 или 8.3? А вы помните, что означает х? Прочтите внимательно п. 8.1; если не нашли ошибку, обратитесь к р. 380.
331.	Вы решили, что w=yk/m? Но ведь эта формула верна тогда, когда на точку действует одна пружина, здесь же их две. Воспользуйтесь уравнением Ньютона. Если ответ все-таки не получился, посмотрите р. 354.
332.	Вам нужно показать, что с помощью соответствующего подбора постоянных С( и С2 можно построить равенство Ci cos со t-J-C2 sin и t=a sin(cot-j-a). Если вы не сумели подобрать постоянные С; и С2, попробуйте проделать обратное: представить sin(oit+a) так, чтобы получить левую часть приведенного равенства (вспомните тригонометрические соотношения из Ml.6). Если вы испытываете затруднение и в этом случае, обратитесь к р. 355.
333.	Что помешало вам записать закон движения? Если отсутствие в условии задачи частоты и, обратитесь к р. 356, если отсутствие начальной фазы, посмотрите р. 445.
334.	Поскольку вам нужно найти закон движения, выпишите его формулу в общем виде и посмотрите, что в ней нужно определить. При этом не забывайте, что вы можете пользоваться не только информацией из раздела 8 и математического приложения, но и решениями предыдущих задач. Попробуйте дальше действовать самостоятельно. Решение в общем виде содержится в р. 412. Если вы все-таки не можете продвинуться дальше самостоятельно, обратитесь к р. 357.
335.	Вы правы. При t=0 обе точки имеют координату х=а. Но каковы их скорости? Если теперь задача ясна, приступайте к ее решению, если нет, обратитесь к р. 358.
336.	Fmax можно найти из общего выражения для силы, хотя можно обойтись и более простым методом решения. Поскольку по заданному закону движения нужно найти силу, это задача типа I (см. п. 1.5). С общим видом подобных задач вы встречались в примере 2 (п. 1.5). Лучше, если вы, не обращаясь к этому примеру, найдете общее выражение для F. Однако можно поступить иначе, используя тот факт,
104
что гармоническое колебание происходит под действием упругой силы F=—kx, где k=mco2. Затем определите Етах.
Более простой метод нахождения FmOx можно осуществить, используя решение задачи 50. Если вам это не удается, обратитесь к р. 359.
337.	Посмотрите п. 8.5, и вы поймете, что вертикальность пружины в данном случае несущественна, если пружина не должна раскачиваться.
338.	Вы забыли, что такое траектория? Посмотрите л. 2.1. Если не знаете, как исключить из закона движения t, пересмотрите Ml, может быть, вы найдете там подходящие формулы. Если вы все равно не знаете, как справиться с задачей, прочитайте р. 529.
339.	Данная задача аналогична задаче 54, поэтому можно воспользоваться ее решением. Определите траекторию движения точки и обратитесь к р. 421.
340.	Вы не забыли, что угол а нужно выражать не В градусах, а в радианах? (4°=0,07 рад). Если ошибка не а этом, посмотрите р. 422.
341.	Посмотрите задачу 42. Производную надо брать nd формуле из М4.4.
342.	Еще раз внимательно прочитайте п. 9.3 и подумайте^ чему равняется угол (р на экваторе и на полюсе. Для проверки хода рассуждений обратитесь к р. 424.	,
343.	Условие невесомости на экваторе означает, что цен-, тробежная сила уравновешивает гравитационную силу. Ясно, как записать это условие математически? Если нет, посмотрите р. 425. А как связать это условие с длиной суток, понятно? Если нет, прочитайте р. 454.
344.	Если вы построите и решите уравнение движения, все остальные характеристики найдете легко. Однако решить уравнение движения в данном случае непросто. Поэтому попробуйте использовать формулы кинематики и равенства, вытекающие из уравнения Ньютона. Если не можете догадаться, как это сделать, прочитайте р. 426.
345.	Для осмысления задачи нужно вспомнить, от чего зависит период колебания маятника (см. п. 8.8) и чем определяется g (см. п. 9.4). Теперь попробуйте закончить задачу. Если не справляетесь с математическими преобразованиями, посмотрите р. 428, если не сумели записать математические соотношения, обратитесь к р. 457.
346.	В условии задачи сказано, что угловая скорость твердого тела <о=A-j-Bt, т. е. изменяется со временем. С дру-110
гой стороны, ось вращения не изменяется. Что можно сказать при этом о силе? В каком направлении она должна действовать и с помощью каких формул можно ее найти? Если вы затрудняетесь ответить на поставленные вопросы, посмотрите р. 429.
347.	Подумайте, чем эта задача отличается от задачи 63. В условии данной задачи сказано, что на колесо перестал действовать вращающий момент (т. е. сила, момент которой вызывал вращение). Но если после прекращения действия этой силы колесо стало останавливаться (а не вращаться равномерно), значит на него до конца вращения продолжала действовать сила трения. Разумеется, в задаче предполагается, что эта сила не зависит от скорости. Теперь подумайте, как найти Мтр? Если и после размышлений вы все же не знаете, что делать, обратитесь к р. 520.
348.	Приступая к решению задач подобного типа, прежде всего нужно сделать чертеж, на котором обозначить силы, действующие на входящие в систему тела. В нашем случае следует выяснить, какие силы действуют на барабан и груз и что вызывает их движение. Взяв за основу рис. 23, сделайте чертеж и расставьте на нем действующие силы. Для проверки правильности чертежа сравните его с изображенным на рис. 59 ( р. 521). Поскольку груз движется поступательно, легко построить уравнение его движения. Если вы сомневаетесь в правильности полученного вами уравнения, посмотрите р. 531.
349.	Хотя чертеж в задаче 25 был такой же, однако условие иное. Сравните тексты задач и учтите разницу при изображении действующих сил. Далее, как всегда, запишите уравнения движения всех составляющих систему тел, выбрав наиболее удобные для расчета оси координат, например, вдоль линий ВС и СА (см. рис. 24) и проверьте их в р. 522. Не забудьте учесть, что ускорения всех точек нити одинаковы. Полученный чертеж сравните с чертежом на рис. 55 (р. 461).
350.	Конечно, не очевидно! Ведь формула v=®R верна для точки, „вращающейся около определенного центра (через который проходит ось вращения), причем при ®=const зависимость v от расстояния точки до центра в разных точках тела различна. В нашем случае v = <dK есть скорость точки обода колеса, когда начало координат выбрано в его Центре. Заметьте, что при этом направление скорости в разных точках обода колеса различно (по касательной к обо-
ill
ду). Причем же тут скорость центра колеса? Если выбрать начало координат в неподвижной точке, например, в точке О] (рис. 51), то та или иная точка обода колеса будет совершать сложное движение, с переменной по модулю и направлению скоростью. Поэтому утверждение задачи требует доказательства. Совет, как это делать, вы найдете в р. 523.
Рис. 51
351.	В данном случае целесообразно построить и решить уравнения движения. Для этого в первую очередь нужно разобраться в том, какие силы действуют на центр масс (чему поможет чертеж), и затем воспользоваться уравнениями из п. 10.6. Подумайте, почему шар катится, а не скользит вниз без вращения? Только ответив на этот вопрос, вы сможете правильно описать действующие силы. Сравните свои рассуждения с приведенными в р. 524.
352.	Вначале человек и платформа были неподвижны. Если пренебречь трением оси платформы, то человека с платформой можно считать замкнутой системой: сила тяжести компенсируется реакцией платформы и реакцией опоры платформы, а других внешних сил нет. Для замкнутой системы выполняются законы сохранения энергии, импульса и его момента. Этими законами и следует воспользоваться. Вы понимаете, почему и как будет двигаться платформа при движении человека (рис. 52)? Если да, попробуйте записать выполняющееся при этом условие (см. р. 533), если нет, прочитайте р. 526.
112
353.	Ws = mgmhR2/(mR24-I). Если общая формула Wft у вас такая, а правильный ответ не получился, значит вы забыли перевести ответ в единицы СИ.
354.	На точку действуют две силы: Fi =—kix и F2= ==—к2х. Постройте соответствующее уравнение движения. Нельзя ли теперь найти ®? Если снова решение неясно, посмотрите р. 443.
355.	sin(f!-]-a) =cos a cos p+sin a sin £. В нашем случае P=©t, a=as. Теперь ясно? Сравните свой вывод с приведенным в р. 444.
356.	В задаче задан период колебания Т, по которому легко найти частоту (см. п. 8.4).
357.	Закон движения можно представить в виде х= A sin (cot+фо) • Что в этом выражении можно найти без труда: А, ® или сро? Прочитайте еще раз условие задачи. Если вы нашли о и А, но затрудняетесь в определении ф0, посмотрите р. 527, если не можете найти А, — р. 446, если не можете определить и, — р. 396.
358.	xi ——ai<D sin «it; д2 = о)2а cos (<o2t+n/2) = <o2a sin <o2t. Таким образом, даже направления скоростей разные, не говоря уже об их величинах. Следовательно, через некоторое время точки разойдутся. Требуется выяснить, сойдутся ли они снова, и если сойдутся, то когда.
359.	Очевидно, что Fmax=mamax, а максимальное ускорение при колебательном движении вы нашли в задаче 50. Проверить результат промежуточного вычисления можно в р. 528.
360.	Если нет трения, на тело действуют сила тяжести mg и реакция опоры N. Запишите уравнение движения, проинтегрируйте полученное из него выражение для ускорения. В полученное выражение для скорости подставьте время окончания спуска (т. е. время, соответствующее х=/). Вы получите искомую скорость. Проделайте все математические преобразования и результаты свепьте с приведенными в р. 377.
361.	<po = arcsin 0,5=л/6. Если вы не получили такого значения, проверьте общую формулу в р. 434.
362.	Свойства tn: 1) tn+i—tn = 2n/(®i—w2)=const, т. e. tn не зависит от n; 2) при <di = ®2 tn = °o; 3) чем больше Д<й=®1—ю2, тем меньше At = tn + i—tn. Не можете ли вы указать какие-либо особенности положений (значений х), в которых происходит встреча точек?
8. Заказ 259
113
363.	Если —F(x), т0 Wn(x)=—jF(x)dx+const, где const можно опустить (см. вывод из задачи).
364.	Тл/Тз=Уёз/ёл> где ёл=Умл/Кл2- Константы, которые входят в выражение для ускорения g.q, можно найти в справочниках. Если справочника под рукой нет, посмотрите данные в р. 373.
365.	Общая формула имеет вид: N=Aq>/(2n) =n0ti/2. Если у вас она иная, возможно, вы ошиблись при вычислении Дер. Прочитайте р. 432. Общий вид Дер можно проверить в р. 525.
366.	x(t) = (mg—T)t2/(2m)+Cit+C2. Из начальных условий, приведенных в р. 433, следует, что Ci = 0, С2=—h. С учетом значения Т из р. 406 получим:
x(t) =mgR2t2/[2(mR2+I)]—h.
В момент времени ti x(ti) =0.
367.	Из уравнения 1<р= (Тд—TB)R следует: I/2mR2a/R= = (Тд—TB)/R, т. е. а = 2(Тд—Тв)/т. Присоедините к полученному выражению два уравнения: mia = TB—Етр; mja = — mig—Тд и учтите, что iFTp = kmig. Проверьте общие формулы. Они таковы: TA = mi(g—a); TB=mj (a-f-kg); а = = 2mig(l—k)/(4mi+m).
368.	Полная энергия E = Ws-}-Wn. Wa и Wn вы получили (см. р. 386 и 507), так что их сумма Е = т<в2А2/2>< X[cos2(nt/5-|-n/4) 4-sin2(nt/5-)-n/4)]. Чему равна сумма величин в квадратных скобках? (см. MI.2).
369.	T=2nymx02/F0.
370.	E=Wft+Wn, при этом Wh=mv2/2. В точке О Е = = mv2/2.
371.	AP/P='(2n)2R/(T2g).
372.	Тг = 2л(R+h,)/Vl.
373.	Рл = 1,74-106 м, Мл=7,3-1022 кг, R3=6,4-106 м, М3=5,96-1024 кг.
374.	Общая формула такова: F— l/2mRB. Если вы получили иное выражение, посмотрите р. 475.
375.	Вы правы. В уравнении движения груза сила натяжения нити неизвестна. Значит начинать решение задачи нужно с поисков ответа не на первый вопрос. Если вы затрудняетесь в определении Т, обратитесь к р. 391.
376.	W2=3/4Wi.
377.	x=gtsina; h2—2h/(g sin2 a); vi2=2hg.
114
378.	Момент инерции человека относительно точки О 1=шг2. Это следует из определения момента инерции (см. п. 10.4), так как имеется одна точка.
379.	Если вы не ошиблись в единицах измерения, нужно проверить выражение для скорости х, так как Wk= =mv2/2 = mi2/2 (см. р. 514 с учетом р. 406 и 505). Окончательное выражение W& дано в р. 353.
380.	В формулах п. 8.1—8.4 х есть отклонение точки от положения равновесия. В данном случае положение равновесия соответствует x0=L. Поэтому колебание происходит не около нулевой точки, как это было раньше, а около точки L, и для того, чтобы воспользоваться формулами п. 8.2 и 8.3, следует ввести в качестве Ах х—L (что эквивалентно переносу начала координат в точку L). Если дальше все ясно, кончайте задачу, если нет, посмотрите р. 442.
381.	Представим колебание вдоль траектории в виде s(t) =Asin(®t+<p) (рис. 53). Тогда очевидно, что х2+у2=А2, т. е. А=Ух2+у2.
Рис 53
382.	Итак, на шар действуют три силы: mg, Гтр u N — реакция опоры (рис. 54). Запишите уравнение движения для центра масс О и подумайте, как выбрать оси координат, чтобы проекции указанного уравнения были наиболее простыми (см. р. 532).
8*
115
383.	T=2nVR/g, гДе R — радиус Земли, R = 6,4- Ю6 м.
384.	Если вы записали правильно закон движения (см. р. 411), то для нахождения скорости v и ускорения а достаточно провести соответствующее дифференцирование: v = dx d2x
=	a = —2-. Если вы забыли правила дифференцирова-
ния, посмотрите М4.4, если не знаете, как находить максимумы, прочитайте р. 506.
385.	А=атОхТ2/(4л2). Если вы не получили такое выражение, возможно, вы ошиблись в выражении для и. Посмотрите р. 396.
386.	Ws = mw2A2cos2(nt/5-}-n/4)/2. Если вы получили иное выражение, обратитесь к р. 398.
387.	Равенства
x/a = sin и t cos tp^cos со t sin фЬ x/b = sin co t cos <f>2~|-cos co t sin <p2 следует рассматривать как два уравнения с двумя неизвестными: sin со t и coscot. Надо получить эти неизвестные, возвести их в квадрат, сложить и т. д. Заканчивайте задачу. Если вы не поняли, что нужно искать, посмотрите р. 399, если не уверены в решении, сравните результат с приведенным в р. 492.
388.	Для малого колебания х=а sin(|7/g t+фо) (см. п. 8.8). Если закон движения x(t) известен, скорость в любой момент времени v = x(t). Теперь догадались, как найти Vo? а и фо можете определить? (Сравните найденные вами значения vo, а и фо с приведенными в р. 471, 436 и 452 соответственно). Если не можете найти v0, посмотрите р. 400.
389.	Поскольку gH = gh, R3/(R-f-H)2= (R—h). Теперь нужно выразить Н через h или наоборот. Если это не удается, посмотрите р. 403.
390.	Согласно п. 3.2, ш = 2лп, т. е. ~г =тг =2n(n0— dt At
- O)/(At).
391.	Шнур идеальный, поэтому ускорение его движения во всех точках (в частности, в точках А и В) одинаково. Значит, нужно записать выражения для ускорения в точках А и В и считать их равными, в любой момент времени. Сравните общую формулу с приведенной в р. 406. Если вы не поняли, как реализовать намеченный здесь план, посмотрите р. 514.
116
392.	x=5/7 gt sin а. Если вы получили иное выражение, вспомните, чему равняется момент инерции I шара и попробуйте выразить FTp (из уравнения, приведенного в р. 464) через х. Поработайте сами! Если не получится, посмотрите р. 408.
393.	Если вы забыли формулу для Lz, ее легко вывести т d2<p ..	..
из уравнения движения: I —=М. где М — проекция мо
мента сил (индекс z здесь для простоты опущен). Рассматривая закон сохранения момента импульса системы точек, ,д dL т
мы видели, что М= —, где L — проекция момента импульса
точек. Следовательно,	если I = const,	то
at2 dt
l|jy- = L (после интегрирования). Но^-=ш, т. е. I®=L.
Эта формула дана в п. 10.3.
Мы провели это рассуждение для того, чтобы показать, что все формулы знать наизусть не обязательно. Даже лучше, если вы можете их вывести из фундаментальных формул (таких, как уравнения движения, законы движения и т. п.).
394.	Вы искали произвольные постоянные а и а для формулы acos(wt+a). Но посмотрите п. 8.3. Может быть, легче воспользоваться формулой из п. 8.2? Если все же решение не выходит, обратитесь к р. 410.
395.	ai = a, поскольку максимальные значения синуса и косинуса одинаковы (равны 1). Поэтому должно выполняться равенство cos (cot-pa) = sin (wt-(-a), и притом для любых значений t. Каково соотношение а и о^, когда это равенство выполняется? Вспомните, где об этом можно справиться. Если все-таки решение у вас не получается, обратитесь к р. 485.
396.	По определению, Т = 2л/ш, т. е. <о=2л/Т. Зная со, можно найти А (воспользуйтесь для этого решением задачи 49). В крайнем случае обратитесь к р. 446.
397.	Равенство cosa=cos|3 выполняется, если а=р± ±2лп, n = I, 2, ...
398.	Wfe=mv2/2=mx2/2, так что достаточно рассчитать скорость ^=4г-. Если вы находили F, решая уравнение (Н),
117
вы скорость уже определяли, если Fmax искали другим методом, посмотрите р. 435.
399.	Если ввести обозначения sin ®t=zi, cos<j)t=z2, а остальные величины считать известными (в том числе х иу), то zi и z2 можно найти из уравнений x/a = zi cos <pi-J-z2 sin <рь y/b = zj cos tp2+z2 sin q>2. Если вам это не удается, значит, вы не знаете школьной алгебры, и ее нужно повторить. Но, может быть, вы так и не поняли, что здесь не тригонометрические, а алгебраические уравнения (cos q>i, cos q>2, а также x/a, y/b считаются известными числами). Сравните полученное решение с приведенным в р. 508.
400.	Если закон движения имеет вид х=а sin(y//g t) (т. е. <ро=О), точка х=0 соответствует моменту времени t = 0. Для этого момента и нужно находить vo. Общее выражение для х вы можете сравнить с приведенным в р. 415.
401.	Верно вы определили период обращения Земли вокруг своей оси (его нужно выразить в секундах)? Если запутались в рассуждениях, посмотрите р. 416.
402.	В общем случе Wi=v,2/(R+h,); Fi=yMm/(R+h1)2 (на поверхности ho=0). Но yM/R2=g. Поэтому F,=mgR2/ (R+h,)2. Вычислите v, (см. р. 417).
403.	Равенство из р. 389 нужно представить в такой форме, чтобы можно было выделить малые величины h/R и H/R, вторыми степенями которых, по условию задачи, можно пренебречь. В крайнем случае обратитесь к р. 418.
404.	-^-5 = дгГщП — Теперь все ясно? Значение dt2 dt \dt / dt
I2 дано в п. 10.9.
405.	Непосредственно по данным задачи вычислить N невозможно. Но нельзя ли воспользоваться для этого законом движения? Подумайте, как применить значение и каким образом получить эту функцию. Если вы не догадались, как использовать <p(t), обратитесь к р. 500, если не можете ее найти, — к р. 432.
406.	Т—mgI/(mR2+I). Если вы получили такое значение Т, то, подставив его в закон движения x(t), легко найдете ti (см. р. 505). Если вы получили другое значение Т, прочитайте р. 477.
407.	Кинетическая энергия вращения WBp = I©2/2. Моменты инерции и угловые скорости у диска и обруча различны (и неизвестны), однако линейная скорость их центров одинакова (хотя в задаче ее значение тоже не задано). Несмотря на такое обилие неизвестных, WTp в обоих случаях 118
можно выразить через v .Теперь попробуйте дальше действовать самостоятельно. Если вам это никак не удается, обратитесь к р. 515.
408.	В уравнение rnx=mg sin a—FTp нужно подставить FTp из уравнения Itp=RFTp, где 1 = 2/5 mR2, <p=:xR, и проинтегрировать его с учетом значения vo- Должно получиться выражение из р. 392. Теперь найдите время, когда шар достигнет конца спуска. Заканчивайте решение. Если вам это не удается, посмотрите р. 502.
409.	Ответ дан в единицах об/мин. Возможно, у вас он получился в об/с? Если дело не в этом, посмотрите в р. 503, такой ли у вас общий вид выражения для п.
410.	Гармоническое колебание отклонения точки от положения равновесия (см. р. 380) Ах целесообразно представить в виде Дх = С] cos и t+C2 sin «о t и использовать начальные условия (Дх)о=/о—L=Ci cos 0-рС2 sin 0;	(Ax)=vo=
=—Сцв sin О4-С1И cos 0, откуда Ci = Zo—L, C2=vo/(». Из этих постоянных можно получить а и а. Проверить правильность вычислений можно в р. 484, ответ — в р. 482.
411.	Закон движения можно представить, например, в виде х = A sin (®t+«) > где <в=2л/Т.
412.	x=amaxT2/(4n2) sin{2n/T+arc sin[4n2x0/(amaxT2)]}. Выразить закон движения в общем виде через приведенные в условии задачи характеристики, конечно, можно, однако такая запись иногда оказывается громоздкой. Поэтому достаточно записать в общем виде лишь отдельные фрагменты решения. Например, в этой задаче целесообразно построить в общем виде выражения для амплитуды А, частоты ® и угла фо — начальной фазы, затем в каждое из этих выражений подставить численные значения, после чего с помощью полученных численных данных найти закон движения.
413.	Решение получается из условия cos <>>1 t=cos ш21, которое выполняется, если witn = ®2tn+2nn. Отсюда tn= = 2л/(®1—со2), где п — целое число.
414.	Внимательно перечитайте п. 6.4, в котором говорится о потенциальной энергии и ее связи с силой, и учтите, что в данной задаче движение одномерно. Вам понадобятся также сведения из М5.1 и М.5.2. Проверить выражение для потенциальной функции Wn можно в р. 507. Если вы все-таки не поняли, как искать Wn, обратитесь к р. 486.
119
415.	x=Zcxj/g/Z cos (j/g/Z t).
416.	Ha полюсе вес Pn = mg, на экваторе p3 = mg+f-Вы верно определили направление f на экваторе? Если правильный ответ не получился, посмотрите р. 430.
417.	vo=8 км/с (первая космическая скорость); vi = = 7,87 км/с; v2=5,53 км/с.
418.	R2/(R+H)2= (R—h)/R. Поэтому, разделив числитель и знаменатель левой части на R2, правой — на R, получим: 1/(1+2H/R+H2/R) = 1-h/R, т. е. 1/(1+2H/R) = 1-h/R; 1=(1+2H/R) (1—h/R); 1 = 1+2H/R—h/R—2Hh/R2. В последнем выражении членом 2Hh/R2 снова можно пренебречь, в результате чего получим: h = 2H.
419.	Прочитайте внимательно М2.6 и не забудьте, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке •касания. Сравните результат вашего расчета с приведенным в р. 497.
420.	Т=2л/® (см. п. 8.4), т. е. нужно найти ®. Вспомните, каким образом частота ® вошла в уравнение движения и подумайте, что нужно знать, чтобы ее найти. Теперь просто определить Т. Если вам это не удается, обратитесь к р. 449.
421.	А вы нашли решение? Если нет, подумайте как следует, и лишь затем проверяйте результат в р. 451.
422.	Как проще всего найти выражение для скорости, пользуясь данными п. 8.8? Если это ясно, может быть, вы затрудняетесь в отыскании амплитуды (см. р. 436) или начальной фазы (см. р. 452) или даже частоты (см. р. 471)? Если вам неясно, с чего начинать, прочитайте р. 388.
423.	Для того чтобы появлялось притяжение при данном потенциале, нужно, чтобы сила была направлена к центру, т. е. имела знак, противоположный знаку г.
424.	На экваторе <р=0, cos <р= 1; на полюсе <р = л/2, cos ф=0.
425.	Fg=mg, f=mR®2 (см. задачу 58). Как связать полученное равенство с вопросом задачи? Если вам это неясно, посмотрите р. 454.
426.	В условии задачи сказано, что спутник вращается по окружности (с известным радиусом), значит, известен характер ускорения (см. п. 3.3 и 5.3). Вместе с тем можно считать, что спутник находится в центральном поле Земли, т. е. сила Fg, действующая на него, известна (см. п. 9.2). Запишите второй закон Ньютона и посмотрите, какие величины в нем известны. Если записать второй закон Ньютона не можете, обратитесь к р. 437.
120
427.	Речь идет о математическом маятнике, свойства колебания которого рассматривались в п. 8.7 и 8.8. Поэтому отношение Тл/Т3 установить легче, если знать, что такое g (см. п. 9.2). Общую формулу можно проверить в р. 456.
428.	Вы не забыли, что Н и h<g;R?
429.	Если <B=#const, это значит, что 4^- = 4т? =#0- Teat at2
перь можно воспользоваться формулами из и. 10.5. Если вы все же не знаете, как действовать дальше, обратитесь к р. 458.
430.	Сила f направлена от оси вращения, т. е. в данном случае от центра. Поэтому Pz = mg—mw2R. Теперь все ясно? Проверить результат можно в р. 495.
431.	Может быть, вы пытались использовать формулу из задачи 58? Но она здесь неприменима. Может быть, вы неверно определили линейные скорости? Проверьте их в р. 417. Если наши предположения неверны, обратитесь к р. 496.
432.	Разумеется, Аср можно найти, если будет известен закон движения <p(t). Прочитайте внимательно п. 10.6 и попробуйте составить уравнение движения, когда вращающий момент уже не действует. Не забудьте, что момент силы трения отрицателен (торможение!). Решение уравнения движения найти легко, поскольку I и М — постоянные, и уравнение оказалось подобным уравнению из примера За. Если уравнение составили, его решение можно проверить в р. 498, если нет, обратитесь к р. 511.
433.	Согласно условию задачи, движение начинается с высоты груза h, если при t=0 х(0)=0 и x(0)=h, если начало координат выбрано в точке падения груза.
434.	В задаче задана координата х в начальный момент времени: х(0) =Хо, т. е. Хо=А sin <р0, так что <р0=агс sin(x0/A), и если А известна, то <р0 определена. Следовательно, сначала нужно найти А. Если не знаете, как это сделать, обратитесь к р. 466.
г|2у '	dv
435.	F=m	. Поскольку х=А sin(tot-j-a), —	
d2x
= coAcos(ci)t+<%),	=—<в2А sin(cot+a) ——<b2x, t. e. F =
=—m<B2x. Теперь ясно, чему равняется Fmax? Если нет, прочитайте р. 448.
121
436.	Согласно п. 8.8, для малого колебания х=1ср, где ср— переменный угол. Но, по условию, его максимальное значение есть а, значит, амплитуда равна /-а.
437.	Из п. 3.3 следует, что ускорение при круговом движении Wn=v2/r, где г — расстояние до центра окружности. В задаче это расстояние известно. Сила, действующая на спутник, может быть выражена через г (см. п. 9.2). Теперь ясно, как найти v? Если v найдена, определяйте периоды. Если не можете записать уравнения для V, обратитесь к р. 455, если не можете найти Т, — к р. 496.
438.	Вам нужно найти скорость изменения co(t). Значение о в задаче не дано, но приведено число оборотов в секунду По и время, за которое оно стало равно нулю. По числу оборотов можно найти угловую скорость (см. п. 3.2), а следовательно, и ее изменение. Если вы не можете закончить решение задачи, обратитесь к р. 390.
439.	Icp=TR.
440.	Вы построили уравнение mx=mg since—FTp? Еще нужно построить уравнение для вращательного движения (см. п. 10.5). Важно понять, какая сила вызывает вращение. Уравнение можно проверить в р. 464.
441.	Вы правы: в данном случае нельзя записать уравнения движения. Поэтому нужно искать такие свойства системы, которые позволят определить характеристики движения не на основе уравнения движения. Подумайте, какую систему образуют человек и платформа, которая может вра‘. щаться без трения (см. р. 526).
442.	Дх=а cos(cot+<%) =Ci cos со t+C2 sin со t. Теперь воспользуйтесь начальными условиями и запишите решение (см. р. 482). Если вы не знаете, как выбрать начальные условия, посмотрите р. 465.
443.	Уравнение движения mx=Fi+F2, т. е. шх=—(ki-E +k2)x. Поскольку ki и k2 постоянны, их сумма тоже постоянна, следовательно, мы имеем уравнение движения для точки, совершающей гармонические колебания (см. п. 8.2). Из него можно найти выражение для со.	________
444.	Ci = aisinai, C2=aicosa, так что ai=yCi2+C22, tgai = Ci/C2.
445.	В условии задачи нет данных, по которым можно вычислить начальную фазу. Но может быть, ее значение и не нужно? Оставьте начальную фазу в буквенном обозначении, запишите закон движения в общем виде с помощью 122
sin или cos и находите скорость и ускорение. Если вы не получили правильные ответы, обратитесь к р. 384.
446.	В условии задачи дано максимальное ускорение, а в предыдущей задаче вы нашли его связь с амплитудой и частотой (см. р. 466). Поэтому, если частота известна, А найти просто. Проверить полученное выражение можно в р. 385.
447.	Условие очевидно: Х1=Хг, однако его нужно записать в такой форме, чтобы было видно условие для фаз. Подумайте, как это сделать. Обратитесь за помощью к р. 467.
448.	Речь идет о максимальном значении силы. Поскольку |F|=mco2|x|, следует найти максимальное значение |х|. Чему равняется шах|х| (см. п. 8.3)?
449.	В п. 8.2 показано, как вводится частота. Масса задана, значит нужно найти к — коэффициент упругости (жесткости) пружины. Подумайте, как это сделать, исходя из условия задачи. Если вы поняли, чему равняется к, заканчивайте решение (см. р. 369), если нет, посмотрите р. 518.
450.	Целесообразно преобразовать первые части равенств х/а —sin(cot+(pi), y/b —sin(cot+<p2) так, чтобы получить выражения для cos cot и sin cot как функции х, у и заданные в законе движения параметры. Попробуйте самостоятельно закончить задачу. Если преобразования не получаются, обратитесь к р. 469.
451.	Так как <pi = (p2, траектория имеет вид х/а—у/Ь = О. Это уравнение прямой. Что это за прямая? Дайте ее численные характеристики (р. 470).
452.	Если угол ср отсчитывается от вертикали, удобно считать сро = О.
453.	Угловую скорость следует определять через период Т обращения Земли вокруг своей оси. Сравните полученное значение со с приведенным в р. 472.
454.	со — угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси. Как она связана с временем суток Т (периодом суточного вращения Земли)? Общую формулу сравните с приведенной в р. 383.
455.	Сила, действующая на спутник, Fg=yMm/r2, где m — масса спутника; г — расстояние от центра Земли до его орбиты. Второй закон Ньютона: mwn=F (так как wn и F направлены по радиусу). Из этого уравнения следует находить V. Значение v можно проверить в р. 473.
456.	Тл = Т3/Кзум3/Мл-Кл,где Кли R3—радиусы, Мл и W3 — масса Луны и Земли соответственно. Если вы не получили такого выражения, посмотрите р. 364.
457.	По условию задачи, период колебания маятника на высоте Н Тн и период его колебания на глубине h Тд равны: 2n|7/gH=2n]/7/g/l, где gn и gh— ускорение свободного падения соответственно на высоте Н и на глубине h. Воспользуйтесь следствием из закона всемирного тяготения (см. п. 9.4). Проверить полученное выражение можно в р. 474.
458.	Чтобы осмыслить задачу, надо сделать чертеж. Как по условию задачи расположена сила по отношению к оси вращения? Можете вы найти ее момент? Если это неясно, посмотрите р. 475.
459.	Вы не ошиблись в единицах измерения, в частности, минуты не забыли перевести в секунды? Если нет, проверьте общую формулу для МТр (см. р. 476).
460.	На точку А барабана (см. рис. 59 из р. 521) действует сила натяжения нити Т. Радиус барабана известен. Теперь можете составить уравнение движения (см. п. 10.6)?
461.	В отличие от случая, рассмотренного в задаче 25, натяжения нитей Та н Тв (рис. 55) нельзя считать олина-ковыми.
Рис 55
462.	Описанную в р. 523 идею можно реализовать с помощью следующей модельной задачи. Подвешенного на кронштейне в точке О колеса (рис. 56) касается бесконечная
лента, движущаяся с постоянной относительно точки О скоростью —V, вызывая вращение колеса без скольжения. Какова угловая скорость колеса? Решение очевидно: | v| = = gjR. Теперь поместим начало координат в точку Оь связанную с лентой. Относитель-
нее. 56
но нее центр колеса движется со скоростью V, причем ко-
124
лесо вращается со скоростью co=v/R. Таким образом, если центр колеса, катящегося непрямой, движется со скоростью v, то его угловая скорость <o=v/R.
463.	Строя выражение для кинетической энергии диска W2, вы не забыли, что она образуется не только вследствие вращения, но и в результате поступательного движения диска? Если ошибка не в этом, обратитесь к р. 407.
464.	I<p=FTpR. Если вы не понимаете, как получить такое выражение, обратитесь к р. 480, если вы нашли его, попробуйте выразить х как функцию времени (ср. р. 392) и проделайте дальнейшие вычисления самостоятельно.
465.	Отклонение координаты от положения равновесия Ах при t = 0 равно (Дх)о = /о—L и =v0. Поскольку Дх=С1 cos cot-J-Cj sin cot, из этих условий можно получить С] и С2 (см. п. 8.2), а по ним — закон движения (см. п. 8.3), общий вид которого представлен в р. 482.
466.	Если атах=Асо2, то А=атах/со2. Следовательно, для определения А достаточно знать частоту со, которую найдите из условия задачи. Затем вычислите А с помощью данных, приведенных в задаче, и проверьте его численное значение в р. 488.
467.	Условие Х] = х2, или a cos coi t = a sin (<в2+л/2), согласно М1.3, можно переписать так: cos coi t—cos ю21. Дальше продолжайте решать самостоятельно, используя тригонометрические формулы. Если вы не помните их, обратитесь к р. 397.
468.	Вспомните, чему равняется кинетическая энергия (см. п. 6.3). Теперь можете получить W;,? Помните, что, вообще говоря, W/г не является постоянной величиной, поэтому искать ее численное значение не стоит. Проверить формулу Wft можно в р. 386.
469.	sin(cot+<Pi) =sin o>t coscpi+cos cot sin <pt и т. д. Теперь ясно? Если нет, посмотрите р. 387.
470.	Уравнение прямой имеет вид: у=Ьх/а, т. е. прямая проходит через начало координат под углом а к оси х. Знаете, как найти а? (см. М4.1). Проверить значение а можно в р. 519. Теперь ясно, как можно упростить запись закона движения? Если нет, прочитайте р 493.
471.	Частота со—]/g//.
472.	со = 2л/Т. Не ошибитесь в численном значении со (см р 401).
125
473.	Vi=ygR2/(R+ht), где R — радиус Земли; g— ускорение поля силы тяжести. Если это выражение не получилось, посмотрите р. 402.
474.	gH—4/3 лyqR3/Гн2. Чему равняется гн? gZl=4/3 лургй. Чему равняется п,? Постарайтесь сами закончить задачу, учитывая замечание р. 428. Если это не удается, обратитесь к р. 389.
475.	Момент силы A4=[R, F] (рис. 57). Как он направлен? Чему равна его проекция на ось вращения? Если ответите на эти вопросы, вам будет легко построить правую часть уравнения из п. 10.5. Если затрудняетесь построить его левую часть, посмотрите р. 404. Если не можете ответить на поставленные выше вопросы, обратитесь к р. 419.
476.	MTp = 2%noI/(At). Вы не забыли выразить I в единицах СИ?
477.	Вы построили два уравнения движения: mx = mg—Т и I<p=TR. Силы, входящие в них, постоянны, так что решить уравнения можно. Однако неизвестно натяжение нити. Подумайте, из какого условия можно его найти? Если последнее указание р. 521 вам не поможет, обратитесь к р. 391.
478.	Ускорение a = 2mig(l—k)/(4rrii+m).
479.	В условии задачи не говорится о силах, вызывающих качение. Поэтому нужно использовать не уравнения движения, а выражения для кинетической энергии и связь между линейной и угловой скоростями. Запишите общие выражения для Wi и W2 и подумайте, нельзя ли обе эти величины выразить через одну неизвестную величину. Общую формулу можно сравнить с приведенной в р. 376. Если выражения не получаются, прочитайте р. 407.
480.	Вращательный момент относительно точки О создается силой трения Fтр. Эта сила перпендикулярна к радиусу-вектору R, проведенному из точки О в точку касания, в_ко-торой она действует. Поэтому проекция момента Л4 =
126
= [R,fTp] на ось z (ось вращения шара) равна RFTp (см. М2.6). Полученное вами уравнение сравните с приведенным в р. 464.
481.	Момент импульса человека, по определению, равен [г, гпй], где г — радиус-вектор, проведенный из центров диска. Как направлен этот момент (см. рис. 52 из р. 352)? Момент диска направлен так же, поэтому можно сравнивать их значения. Постройте момент импульса диска с учетом того, что момент инерции диска I=l/2mR2. Теперь запишите формулу, выражающую закон сохранения момента импульса (см. р. 533). Если вы забыли, как момент импульса ТТ связан с его моментом инерции, посмотрите р. 393.	___________________
482.	Дх=У (/0"Ь) 2+vo2/co2 cos (cot+a), где a=arc tg{—v0/ [v(Zo—L)J}. Если вы получили иное решение, обратитесь к р. 394.
483.	Для того чтобы найти соотношение ai и а, не обязательно обращаться к формулам, приведенным в р. 444. Сравните законы движения. Ведь предполагается, что acos((ot+a) и aj sin(wt+ai) описывают одно и то же движение. Теперь все ясно? Если нет, прочитайте р. 395.
484.	a=]/Ci2+C22; a==arctg(—Сг/СО.
485.	Нужно воспользоваться условием из М1.3. Если cot+a обозначить через <р, получим равенство coscp=sin(cp— —a+ai), откуда следует ответ.
486.	В одномерном случае связь проекций силы F с потенциальной энергией U выражается одной формулой: F=	- (полная производная, так как F зависит только
dx
от х). Если —F(x), а функция F(x) известна, мож-dx
но определить Wn? Внимательно посмотрите М5.2. Общую формулу найдете в р. 490.
487.	Ускорение a(t) = ~p=—Aco2 sin (cot-j-a). Максимальное значение оно имеет тогда, когда sin(cot-Fa) = 1, т. е. ^тах =Асо2.
488.	А=5-10~2 м. Если у вас значение А иное, проверьте общую формулу в р. 385.
489.	Значения U дискретны, т. е. встреча точек происходит через некоторые промежутки времени, которые...
127
Дальше размышляйте сами. Установите свойства моментов времени tn. Проверить полученные результаты можно в р. 362.
490.	Wn=— f kxdx=—кх2/2. После подстановки в это выражение x(t) получим формулу, приведенную в р. 507. Если для вас неясно, как ее получить, посмотрите р. 363.
491.	Упругая сила действует на точку с силой F=—kx. Для того чтобы растянуть пружину, нужно затратить силу kx. В даном случае |Fo|=k|xo|, т. е. k= |Fo|/|xo|.
492.	Zo = (x/acos<p2—y/b cos <pi)/(sin epi cos ф2—sin cp2 X Xcos cpi); z1 = (x/a sin <p2—y/b sin <pi) / (sin cp2 cos <pi—sin <pt X Xcos(p2)- Так как Zi = sm cot, z2=cos cot, to Zi24-z22=1.
493.	Поскольку движение проходит по прямой, в которую выродился эллипс, это должно быть гармоническое колебание с частотой со. Запишите его формулу в общем виде и попробуйте найти амплитуду и начальную фазу, учитывая, что проекции на оси х и у даны в условии задачи. Если ответ не получился, посмотрите р. 38Е
494.	В поле силы тяжести Wn зависит от высоты точки над некоторым уровнем, условно принятым за нуль. В случае движения маятника (рис. 58) высоту положения точки
Рис. 58
естественно откладывать от положения равновесия О. Тогда в точке О Wn = 0. Теперь можете получить значение Е? Если нет, обратитесь к р. 370.
495.	Вычислите (Рп—Рэ)/Рп- Общую формулу можно проверить в р. 371.
496.	Если известна линейная скорость v, легко определить угловую скорость со (см. п. 3.2), а по ней — Т. Общую формулу можно проверить в р. 372.
497.	MZ=FR. Теперь постройте уравнение из п. 10.5. Если не знаете, как это сделать, обратитесь к р. 404.
128
498.	ф=—MTp/(2I)t24-Cit+C2, где Ci и С2—произвольные постоянные, которые надо определить из начальных условий. Заметим, что время и угол целесообразно отсчитывать от момента прекращения действия вращающего момента. Тогда Дф получится из ф при t=ti = 60 с. Остальные величины вычисляются элементарно.
499.	ti — это время, когда точка окажется в начале координат (см. р. 433). Следовательно, надо найти закон движения, для чего необходимо решить уравнение тх — =mg—Т (см. р. 477). Если забыли, как решать такое уравнение, пересмотрите пример За и попробуйте самостоятельно найти x(t). Проверьте решение в р. 366.
500.	Угол Дф, на который повернется колесо за время At, равен Дф=2л1Ч, где N — число оборотов, сделанное колесом за время ДЕ Как найти Дф? Если ответ не получился, посмотрите р. 432.
501.	Вы построили выражения для кинетической и потенциальной энергии маятника? Помните, чему равняется потенциальная энергия точки в поле силы тяжести? Если забыл.I, посмотрите задачу 41 и учтите вывод из задачи 52. Выражение для потенциальной энергии Wn можно сравнить с приведенным в р. 494.
502.	Спуск шара по наклонной плоскости заканчивается при x=Z, где I — длина наклонной плоскости, которую легко выразить через h и а (см. М1.1). Поэтому достаточно найти x(t) (закон движения) и не забыть, что движение начинается от точки х = 0. Общее выражение для Vi можете сравнить с приведенным в р. 510
503.	n = mrv/[2rr (MR2/2+mr2) ].
504.	Wi = mv2; W2=3/4mv2.
505.	ti2=2h(mR2+I)/(mgR2). Если вы не знаете, как найти ti, обратитесь к р. 499.
506.	Функция v(t) =Аи cos(®i+a) имеет максимум тогда, когда cos(cot-)-a) = 1, следовательно, модуль |утаож| = А2л/Т. Аналогичным образом находим максимум ускорения amax. Проверить формулу для ускорения можно в р. 487.
507.	Wn==m<j)2A sin2(nt/5+n/4)+const. Подумайте, каков физический смысл константы. Если вы не получили такое выражение, обратитесь к р. 486.
508.	x/a = zi cos ф5-|-22 sin фр, y/a=Zi cos ф2+г2 sin ф2. Умножив первое уравнение на созф2, второе — на cos ф| и вычтя из первого второе, вы найдете z2 и т. д. Проверить значения zi и z2 можно в р. 492.
9 Заказ 259
129
509.	Здесь выполняется закон сохранения энергии. Поэтому достаточно найти Е в какой-нибудь точке (или в какой-нибудь момент времени, например, при t=0). Теперь догадались, что делать? Если нет, посмотрите р. 501.
510.	vt2=10/7gh. Если вы получили иное выражение, обратитесь к р. 517.
511.	Согласно п. 10.6, 1=	Мтр, причем Мтр/1 =
= const. Мтр мы нашли (см. р. 476), I задано, и уравнение решается элементарно (см. р. 498).
512.	Момент инерции системы относительно центра диска складывается из суммы моментов инерции относительно этого же центра (см. п. 10.9) платформы и человека; при этом человек, согласно условию задачи, принят за точку. Если требуемое выражение не нашли, посмотрите р. 378.
513.	Вы учли, что I=l/2mR2 и угловое ускорение связано с линейным (искомым) а соотношением a = coR? Если решение не получается, посмотрите р. 367.
514.	Линейное ускорение точки А равно R<p, так как, согласно п. 3.2, v=R(p, а в нашем случае R = const. Ускорение точки В, согласно р. 477, x=(mg—T)/m. Следовательно, (mg—T)/m=TR2/I.
515.	WBpi = Iicoi2/2, где Ii = mR!2 и a>i=v/Ri (см. задачу 67). Аналогичный вид имеет выражение для WBp2, только I2=mR22/2. Выражения для кинетических энергий можно сравнить с приведенными в р. 504.
516.	Когда требуется проанализировать решение, прежде всего нужно выяснить, каков физический смысл полученной формулы. Затем полезно исследовать предельные случаи, например, установить, когда полученная характеристика тривиальна (т. е. имеется всегда), когда невозможна и т. д. В данном случае физический смысл прост: tn — время встречи точек. Какие особенности tn вы можете отметить? Легко установить 3—4 такие особенности. Опишите их, а затем сверьте с приведенными в р. 489.
517.	Из выражения x=5/7gtsin<% следует, что ==-5/7 gt2 sin <%/2+С2, где С2=0 (так как при t —0 х(0)=0). В конце спуска x(tt)=Z, т. е. Z=5/7 gti2 sin <%/2. Следовательно, ti2 = 2Z/(5/7 g sin a). Тогда	vi2 = x2(ti)==
— (5/7 gsin a)22Z/(5/7 sin a). Так как Z=h/sina, получаем выражение, приведенное в р. 510.
518.	В условии задачи сказано, что сила Fo растягивает пружину на величину хо. Как связана сила с растяжением, 130
если в результате действия аилы на точку возникают гармонические колебания? Нашли к? Если нет, посмотрите р. 491.
519.	a=arctg(b/a) =26,6.
520.	В задаче требуется найти не силу_трения, а ее момент Л4тр. Как и в задаче 63, направление тИтр остается неизменным, так что достаточно найти величину Мтр. Посмотрите п. 10.5 и попробуйте самостоятельно найти Мтр. Если это не удается, обратитесь к р. 530.
521.	Очевидно, что барабан укреплен в центре, так что сила его тяжести Mg скомпенсирована реакцией опоры N (рис. 59). Поэтому барабан только вращается. Какая сила
Рис. 59
вызывает его вращение? Если вы составили уравнение движения, проверьте его в р. 439, если нет, посмотрите р. 460. Не забудьте учесть, что шнур нерастяжим и скорость и ускорение его движения во всех точках одинаковы.
522.	Уравнение движения груза A: m1x=m1g—Тд, груза В: miZ/=TB—Тд, блока 1ф=ТдН—TbR. Все силы постоянны, так что уравнения решить легко. Однако посмотрите, все ли коэффициенты в уравнениях известны (это уравнения для нахождения закона движения, т. е. x(t), у (t), <p(t)). Ситуация в данной задаче аналогична ситуации в задаче 64. Если догадались, как действовать дальше и получили результат, посмотрите р. 478, если нет, обратитесь к р. 513.
523.	Рассмотрите сначала случай, когда колесо вращается без поступательного движения, а подставка под ним движется так, что нет скольжения. Опишите формулой связь между линейной скоростью подставки и угловой скоростью 9*	131
колеса, а затем подумайте, какой смысл будет иметь эта формула, если считать, что начало координат находится на двигающейся подставке. Согласно теории относительности Галилея, безразлично, где находится начало координат: в неподвижном центре колеса или в движущейся с постоянной скоростью системе (подставке). Сравните свои рассуждения с приведенными в р. 462.
524.	Шар катится потому, что между ним и плоскостью происходит трение, которое не дает двигаться точке, находящейся в соприкосновении с плоскостью. Поэтому шар, падая под действием силы тяжести, начинает поворачиваться вокруг этой точки. При этом в соприкосновении с плоскостью приходит другая соседняя точка, которая также становится центром вращения. И такой процесс непрерывен. Как должна быть направлена сила трения в точке соприкосновения шара с плоскостью? Чертеж можно сравнить с изображенным на рис. 54 (р. 382).
525.	Д<р=— М/(21)й2+2лпо11 = 2лпо1!—2лп0И12/(tt2I) — = nnoti.
526.	При движении по окружности человек имеет некоторый момент импульса относительно неподвижной системы координат, например относительно Земли. В состоянии покоя момент импульса у него отсутствует. Следовательно, по закону сохранения момента импульса (см. п. 7.3), суммарный момент импульса системы человек—-платформа должен быть равным нулю. Чтобы компенсировался момент импульса человека, у платформы должен быть тоже момент импульса, но обратного направления. Запишите эти моменты. Проверить результат можно в р. 533. Если не знаете, как это сделать, обратитесь к р. 481.
527.	Вы помните, что такое начальная фаза? Если значение А известно и задана координата х при 1 = 0, с помощью какого выражения следует определять ср? Полученное значение для фо проверьте в р. 361. Если вы не смогли определить фо, посмотрите р. 434.
528.	атах=(л/5)25-10-2= 1,94-10-2 (м/с2).
529.	Вы, вероятно, решили, что нужно воспользоваться обратной функцией агсзт((о1-|-ф)? Но ею трудно оперировать при расчете. Поэтому стандартным методом в таком случае является следующий: нужно выделить функции sin и cos от одинакового аргумента, а затем воспользоваться тем, что sin2 p+cos2 р= 1 (см. Ml). Попробуйте произвести необходимые действия. Если это не получится, посмотрите р. 450.
132
530.	Поскольку момент инерции I задан, для нахожде-
момента силы нужно определить угловое ускорение
ния d2cp dF
d(o dt '
Для этого достаточно знать угловую скорость ©
как функцию времени. Найдите Мтр и приступайте к ответу на второй вопрос. Если со определить не можете, посмотрите р. 438.
531.	Считая ось х совпадающей с вертикалью, запишите уравнение движения груза в виде mx=F, где F—сила, действующая на него. Чему равняется F? Проверить уравнение можно в р. 477. А теперь составьте уравнение движения барабана.
532.	Ось х удобно выбрать вдоль плоскости качения, так как при этом проекция N равна нулю. Постройте проекцию и сравните ее с приведенной в р. 440.
533.	(MR2/2+mr2)2nn = mrv. Если вы получили иное
равенство, возможно, вы неверно построили момент инерции системы? Посмотрите р. 512.
ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ гл. 1
1.	х=0, у=0, z ——gt2/2, если ось z направлена вертикально вверх.
2.	х=0; у=0; z=vot—gt2/2-Fz0; t=y2z0/g.
3.	х=0; у—0; z = vot—gt2/2.
4.	x = F/mt2/2+vot cos a; y=votsina; z = 0.
5.	x=kt3/(6m).
6.	x=kt3/(6m)—vot.
7.	x = vot; y=0; z —H—gt2/2.
8.	zm=v02/(2g); ti=2v0/g; Vi=— v0.
9.	—7,1 м/с2.
10.	1) vcp«53,3 км/ч;
2)	vcp«60 км/ч.
11.	vp = 0,6 м/с; tn = 250 с; ул=2,08 м/с.
12.	h«57 м; U=3,4 c.
13.	vcp = 7 м/с; wCp — 4 м/с2.
14.	Cm. p. 17, 12, 21.
15.	1) ti = 2,25	c;	2) й = 33,75	м;	3) v«26,7	м/с;
4) ф~55,9°; 5) 9,8 м/с2.
16.	1) tj = 3,15	с;	2) s« 40,87	м;	3) v,«26,8	м/с;
4) <p=ll,3°.
17.	8,3 см.
18.	(p=wot+®t2/2, где ®o — угловая скорость в начальный момент времени t = 0. Подумайте, какой вид получит Ф(t), если тело вращается равномерно.
19.	1) ti = 6,3 с; 2) N = 3n.
20.	1) фо=9О°; ф3=15,5°; ф5=4,6°; 2) ео=О,ООЗ м/с2; ез=0,336 м/с2; es= 16,05 м/с2.
21.	8231 Н.
22.	FT = 6000 Н; ti = 50 с; s = 375 м.
23.	800 кг.
24.	—0,123 Н.
25.	а —4,41 м/с2; Т=5,39 Н.
26.	а «2,02 м/с; Т«7,77 Н.
27.	3-102 Н.
28.	6°30'.
29.	«2,1 об/с.
134
30.	1) «700 Н; 2) «2100 Н; 3) «1500 Н.
31.	а=45°30'; Т=632 Н; v«6 м/с.
32.	«0,063 м.
33.	70.
34.	«30,2 м/с2.
35.	А=2,25-10~5 Дж; s = 37,5 м.
36.	U]«1,65 м/с, U2~0,5 м/с.
37.	v2=—12,5 м/с.
38.	«0,58 с.
39.	1) AQ/Ki = 0,5; 2) AQ/Ki = 0,l.
40.	1) AK2/Ki—1; 2) AK2/Ki = 0,36.
41.	mgz (если ось z направлена вертикально вверх).
421 ~7ГГ(г’/г)-
43.	Энергия Е зависит только от начальных условий.
44.	У2^Д1 —cos ос).
45.	«546 м/с.
46.	4,23-Ю-2 cos(lOt-j-Jt/4).
47.	15 рад/с.
48.	a=ai, сс-—сс1 = л/2.
49.	|vmax| =0,0785 м/с; |атах\ =0,123 м/с2.
50.	5-IO-2 sin(jit+л/б).
51.	tn = 2nn/(coi—со), где n = 0, 1, 2, ... .
52.	Fmax= 1,97-10-4 Н; Е=4,93-10-6 Дж.
53.	Т=0.77 с.
54.	Движение происходит по эллипсу, описываемому выражением	x2/a24-y2/b2—2xy/(ab)cos(<p2—epi) =sin2(<p2—<pi).
55.	Колебание происходит по прямой согласно закону s=0,l 12 sin (10jtt-)-Ji/3) м.
56.	v0=0,31 м/с; Е=9-10-5 Дж.
57.	А/r2 f/т; А<0.
58.	АР/Р = 0,34 %.
59.	1 ч 24,6 мин.
60.	То= 1,4 ч; Т2= 1,46 ч; Т3=4,23 ч.
61.	Тл = 2,45 Т3.
62.	2 Н.
63.	4 Н.
64.	1) Мтр «513 Нм; 2) N = 600.
65.	1) t] = l,l с; 2) Wft=0,82 Дж; 3) Т=4,1.Н.
66.	а=3,53 м/с2; ТА=6,27 Н; Тв=4,51 Н.
68.	30 Дж.
69.	vi = 2,64 м/с; v = 3,13 м/с.
70.	«0,44 об/мин.
Глава 2
ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
1.	ПАРАМЕТРЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ.
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
1.1.	Системы, изучаемые в термодинамике, например газы, характеризуются термодинамическими параметрами: температурой Т, которая служит показателем различной степени нагретости тел, давлением р, мерой которого является сила, действующая на единицу поверхности, объемом V (или плотностью g). Если тепловые явления связаны с изменением, например, электрического состояния вещества, то соответствующие электромагнитные параметры могут войти в формулы термодинамики. Мы ограничимся изучением чисто тепловых эффектов. Будем считать, что состояние системы задано, если известны ее параметры р, V (или g) и Т. Изучаемая система обычно находится во взаимодействии с другими телами (системами), которые по отношению к изучаемой системе являются внешними. Внешние системы (ВС) характеризуются внешними параметрами (ВП)—pB,VB, Тв.
1.2.	Если параметры изучаемой системы р, V, Т остаются неизменными при неизменных ВП, то система находится в термодинамическом равновесии, при этом между ВП и параметрами системы существует соответствие (например, Р — РцТ=Тн). Если температура ТВ = 273 К, давление рв= = 1,013-105 Па (Н/м2)—760 мм рт. ст. (атмосферное давление), то говорят, что система находится в нормальных условиях.
Когда ВП изменяются настолько медленно, что параметры системы успевают все время приходить в соответствие с ними, идущий при этом процесс называется равновесным.
1.3.	Равновесный процесс обратим. Это значит, что при изменении ВП в обратном направлении параметры системы повторяют свои значения в обратном порядке. Таким образом, при равновесном (т. е. обратимом) процессе между 136
параметрами р, V и Т существует определенная функциональная зависимость:
f(p,V,T)=0,	(1)
которая называется уравнением состояния. Уравнение состояния зависит от вида вещества, составляющего систему, ,и не может быть определено с помощью законов термодинамики. Например, если система — идеальный газ, его состояние характеризуется уравнением Клапейрона—Менделеева, если система не идеальный газ, но достаточно разреженный — уравнением Ван-дер-Ваальса и т. д. Объяснение того или иного вида уравнения состояния системы дает молекулярно-кинетическая теория, опирающаяся на теорию строения вещества.
В зависимости от ВП в системе могут идти разные обратимые процессы. Так, если объем сосуда, в котором находится газ, не изменяется (V= const), идет изохорический процесс, если остается неизменным давление p = const — изобарический, если Т=const — изотермический. ВС, сохраняющая свою температуру неизменной даже при обмене теплом с системой, называется термостатом. Если контакт с ВС таков, что обмена теплом не происходит, говорят, что система находится в адиабатических условиях, а процесс, идущий при этом в системе, называется адиабатическим.
1.4.	Идеальным называется газ, уравнение состояния которого имеет вид pV/T=const. Состояние однородного газа описывается уравнением Клапейрона—Менделеева:
pV=m/M^RT,	(КМ)
где m — масса газа; Мг—молекулярная масса (т. е. т/М,-— число молей газа); R—универсальная газовая постоянная, R=8,31-103 Дж/кмоль-К-
Всякий газ при достаточно малой плотности и высокой температуре (т. е. вдали от условий сжижения) ведет себя как идеальный. Так, если температура высока, то даже при давлении в несколько атмосфер водяной пар можно считать идеальным газом. Вещества, конденсирующиеся при низких температурах (например, кислород, азот и т. п.), ведут себя как идеальные при комнатной и более низких температурах.
1.5.	Закон Дальтона утверждает, что если один из газов (с номером i), заключенный в объеме V при температуре Т, имеет давление р4, то смесь газов, помещенная в тот же объем при той же температуре, имеет давление, рав
137
ное сумме давлений (парциальных давлений) каждого газа: p = Spf. Состояние каждого газа характеризуется уравне-i
нием рг-У=шг-/МггТ, состояние смеси газов — уравнением состояния: (2рг)V— (2гПг/Мн)Т.
i i
Задача 1. Найти формулу, выражающую закон Бойля— Мариотта (изотермический процесс).
1. Не знаю, как подойти к решению задачи (1).
Задача 2. Найти формулу, выражающую закон Гей-Люссака (изобарический процесс).
Задача 3. Найти формулу, выражающую закон Шарля (изохорический процесс).
Задача 4. Плотность q воздуха при ti = O°C и pi = — 760 мм рт. ст. равна 13-10~4 г/см3. Какова масса m2 1 л воздуха при t2=27,3°C и давлении р2=750 мм рт. ст.?
1.	Не могу осмыслить задачу: масса воздуха не зависит от его состояния. Почему же в задаче спрашивается о т2, а не о массе вообще? (2).
2.	План решения задачи неясен (21).
3.	В задаче не задана молекулярная масса воздуха Мг (35).
Вывод. Если состояние газа может быть описано уравнением состояния идеального газа (что проверяется измерением р, V и Т), то молекулярная масса М вычисляется элементарно по измеренным термодинамическим параметрам.
Задача 5. По газопроводной трубе идет углекислый газ СО2 при давлении р = 3,9-105 Н/м2 и температуре t=7°C. Какова скорость движения газа в трубе, если за т= 10 мин протекает т=2 кг газа и площадь сечения канала трубы S = 5 см? Мгсо2—44.
1. Ответ получился неправильный (3).
2. Не знаю, по каким данным можно найти скорость движения газа (36).
Задача 6. В двух сосудах емкостью Vi = 3 л и V2 = 5 л находятся соответственно азот под давлением pi —1 атм и окись углерода под давлением р2=5 атм. Сосуды соединили тонкой трубкой, объемом которой можно пренебречь. Найти установившееся давление смеси, если температура обоих газов равна температуре окружающей с^еды.
1. Давление получилось иное, чем в ответе, хотя в единицах измерения ошибки быть не должно (4).
2. Не знаю, как определить парциальные давления (89).
138
Задача 7. Найти, какое число ходов должен сделать поршень воздушного насоса, чтобы откачать газ из сосуда емкостью V от давления р0 до давления р, если емкость одного хода поршня равна AV. Считается, что откачка газа идет настолько медленно, что все время успевает устанавливаться термодинамическое равновесие, т. е. газ в сосуде и насосе составляет единую равновесную термодинамическую систему.
1.	Выражение для числа ходов п получилось гораздо проще, чем в ответе (5).
2.	Не знаю, как подойти к решению задачи (37). ,
3.	Не понимаю, как перейти к описанию второго хода насоса (50).
Задача 8. Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути. Когда трубка обращена кверху закрытым концом, воздух внутри нее занимает объем, соответствующий длине /i; когда трубка обращена кверху открытым концом, воздух внутри нее занимает объем, соответствующий длине /2<7ь Высота ртутного столбика h (рис. 60). Определить атмосферное давление Н.
Рис. 60
1. Физический смысл задачи неясен (6).
2. Выражение для атмосферного давления получилось иное, чем в ответе (149).
Контрольные задачи
К1.1. В сосуде объемом 20 л находится 4 г водорода при температуре 27°С. Найти давление водорода.
К1.2. Баллон емкостью 12 л наполнен азотом при давлении 8,1-106 Н/м1 2 и температуре 17°С. Какое количество азота находится в баллоне?
К1.3. 12 г газа занимают объем 4-Ю-3 м3 при температуре 7°С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равна 6-10-4 г/см3. До какой температуры нагрели газ?
139
К1.4. В закрытом сосуде находится 10 кг газа при давлении 107 Н/м2. Найти, какое количество газа взяли из сосуда, если окончательное давление стало равным 2,5-106 Н/м2?
К1.5. Найти эффективную молекулярную массу воздуха, рассматривая его как смесь азота (20 частей) и кислорода (80 частей). М^=28, МгО2=32.
2.	ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
2.1.	Когда состояние системы изменяется, возможно перемещение ее частей; например газ в цилиндре под поршнем при нагревании расширяется, поднимая поршень При этом система может совершать работу. Сила, действующая на поршень площадью S, есть pS: если при этом поршень поднялся на высоту dh (рис. 61), работа, совершенная газом (см. гл. 1, п. 6.2),
<?A=pSdh = pdN*.	(2)
I
! I
1р
Рис. 61 77t7777777777777>7,
Поршень над газом совершает работу <?AB = pBdV. При термодинамическом равновесии р = рв, так что дАн ——dV, т. е. (?АВ = —6 А Выражение для элементарной работы <9A = pdV сохраняется для любых систем.
2.2.	В равновесном процессе f(p, V, Т)=0, т. е. р = =<p(V, Т). Работа, совершаемая на конечном участке пути
V2
изменения объема газа А== f pdV. Так как р зависит не V,
только от V, но и от Т, работа зависит от пути, на котором она совершается (т. е. от того, какие состояния проходит
* Символ д здесь и в дальнейшем ставится вместо обычного знака дифференциала d тогда, когда изменение соответствующей величины зависит от пути перехода
140
система между двумя заданными объемами). На рис. 62 представлена диаграмма состояний системы, описываемых значениями параметров р и V. Изображен переход из точки М в точку N по пути 1 и обратный — по пути 2 (при обратном переходе температура системы имеет иные, меньшие значения, чем температура системы на пути 1). Процесс, изображенный на рис. 62, называется циклическим.
Рис. 62
Площадь под кривой M7N равна работе Aj, совершаемой системой при расширении от объема V) до объема V2 (см. М5.3). Площадь под кривой N2M равна работе А2 на обратном пути. А] и А2 не совпадают.
2.3.	Если над системой совершается работа внешних сил Ав и при этом нет теплового контакта (условие адиабатичности), внутренняя энергия системы изменяется. ДЕ = = U2—Ui = Ab12, где Ui и U2 — внутренние энергии системы соответственно в состояниях 1 и 2, Ав12 — работа, производимая над системой внешними силами при переходе ее из состояния 1 в состояние 2 (см. гл. 1, п. 6.3). Изменение внутренней энергии AU зависит только от начального и конечного состояний системы и не зависит от пути перехода между ними.
2.4.	Процесс обмена внутренней энергией системы и ВС, те сопровождающийся производством макроскопической работы, называется теплообменом. Энергия, переданная системе от ВС в результате теплообмена, называется количеством тепла (теплом AQ), полученным системой в таком процессе.
2.5.	Если система получает тепло и над ней совершается работа, то изменение ее внутренней энергии AU = AQ-E -ЬДАВ. Учитывая, что ДАВ=—ДА, можно записать: AQ = = Ди+ДА или dQ=dU+pdV. Эти формулы характеризуют тервое начало термодинамики.
141
2.6.	Теплоемкостью С называется количество тепла, которое нужно сообщить системе, чтобы повысить ее темпера-
г dQ
туру на один градус: С=^~. 1еплоемкость системы, масса которой равна единице, называется удельной, теплоемкость одного моля вещества — молярной.
Теплоемкость, как и количество тепла, зависит от процесса (пути перехода). Например, теплоемкость Ср при изохорическом процессе (V-const) не равняется теплоемкости Ср при изобарическом процессе (р = const).
2.7.	Согласно первому началу термодинамики, теплоемкость С= (dU+pdV)/dT. Так как при V=const dV=0, теп-
. г /dU \
лоемкость при постоянном объеме C„=j^yl„, т. е. равняется изменению внутренней энергии вследствие изменения температуры в изохорическом процессе. Очень часто символом С„ (а также Ср) обозначают молярную теплоемкость.
Напомним математические обозначения: если какая-либо функция зависит от нескольких переменных f (а, Ь, с,...), то (д[ \	.	,
означает изменение i с изменением о, в то время \(5Ь / а,е, ...
как остальные параметры остаются неизменными (говорят: «частная производная от f по Ь»). В нашем случае внутренняя энергия U зависит от двух независимых параметров (третий, согласно уравнению состояния (1), выражается через два независимых). Например, если уравнение состояния записать в виде p=p(V, Т), то энергия U=U(V, Т). Аналогичным образом, считая V—V(p, Т), получим: U=U(p,T), и т. д.
Учитывая эти обозначения, можно построить выражение
п	т-г	о
для Ср следующего вида. По определению, Ср:= р. Выражение <5'Q=dU+pdV можно преобразовать, помня, что dU=(ff)ydT+(fv)rdV: ^Q = C-dT+t(^-)r+p]dV, откуда
Ср — Cp-f-[Р]\дТ/р '	d
2.8.	Для того чтобы пользоваться полученными формулами, нужно знать уравнения состояния равновесного процесса. Наиболее простым и в то же время практически важным разделом теории теплоты является газовая термодина-142
мика, в которой системой является газ. При соответствующих условиях всякий газ можно считать идеальным, т. е. описывать его уравнением (КМ).
Опыты Джоуля—Томсона показали, что чем больше газ по своим свойствам приближается к идеальному, тем точ-
нее выполняется условие: внутренняя энергия зависит только от температуры. Это значит, что для идеального газа ^^т = 0,	]т=0, и поэтому dU=n^vIrCrdT. — Q- C^dT
Для идеального газа формула (3) преобразуется следую-
щим образом. 1ак как Н— т = 0 и для одного моля \oV /
Z^-k = Rp, то Ср—Cr=R (формула Роберта Майера).
2.9.	Адиабатический процесс, по определению, идет при условии AQ = 0, т. е. dU4~pdV=0 или m/MrCrdT4-pdV=0. Учитывая, что для идеального газа имеют место равенства Ср—-Cp=R и T=pVMr/(mR), легко получить уравнение pVT=const, где y=Cp/Cv. Это уравнение называется уравнением Пуассона (для адиабатического процесса в идеальном газе).
Примечание Для того чтобы установить значение С„, необходимо использовать теорию строения вещества (статистическую физику). В рамках термодинамики значение Сс определяется на основании экспериментальных данных В частности, установлено, что у идеального газа, состоящего из молекул с числом степеней свободы 1, теплоемкость C„ = iR/2 Напомним, что число степеней свободы i у одноатомного газа (молекула «формы точки») равно 3, у двухатомного (молекула «формы гантели») — 5 и т д
2.10.	Уравнение состояния f(p,V,Т)=0 равновесного процесса (в частности, уравнение (КМ) можно записать в виде pV—m/MrRT=0) в системе координат р, V, Т является уравнением поверхности, которая для произвольного процесса имеет сложную форму. Обычно делают «срез» этой поверхности, строя плоский график по двумя переменным. Часто этими переменными являются V и р. График процесса называется диаграммой состояний. На рис. 63 представлены диаграммы состояний, характеризующие расширение идеального газа из начального состояния, изображенного точкой А, при разных процессах: 1 — изобарическом (p = const), 2— изохорическом (V=const), 3 — изотермическом (T=const), 4 — адиабатическом (без обмена теплом, AQ=0).
143
Рис. 63
2.11.	В задачах с использованием первого начала термодинамики обычно предполагается, что идет равновесный процесс, т. е. существует уравнение состояний. В частности, мы будем иметь дело с идеальным газом, уравнение состояний которого имеет вид: pV=m/MrRT. Если заданы все три параметра — р, V, Т, предметом поиска может служить количество газа m (хотя чаще приходится выражать один из параметров через два других), изменение количества тепла системы AQ или ее внутренней энергии AU, а также совершаемая системой или над нею работа А. Иногда нужно найти теплоемкость газа, или выяснить, какой процесс идет в системе и т. д. Как правило, во всех таких задачах приходится пользоваться уравнением состояний. При этом, для того чтобы оно приняло конкретный вид, необходимо задать «начальные условия», т. е. значения параметров в одной или нескольких точках диаграммы, или данные, из которых эти условия можно найти.
Задача 9. Вывести уравнение Пуассона.
1. Не знаю, как подойти к решению задачи (7).
2. Не могу проинтегрировать полученное дифференциальное равенство (70).
Задача 10. Построить выражение для работы, совершаемой m кг идеального газа, если он расширяется от состояния, соответствующего параметрам р1; Vj, Т1; до состояния с объемом V2 при следующих процессах: а) изобарическом, б) изохорическом, в) изотермическом, г) адиабатическом.
1. Не знаю, как получить выражение для работы при изотермическом процессе (8).
2. Выражение для работы при адиабатическом процессе получилось иное (80).
Задача 11. Найти выражение для работы идеального газа, если из состояния рь Vi, Ti система переходит адиабати
144
ческим путем в состояние: а) с давлением рг, б) с температурой Т2.
1. Не знаю, как взять интеграл при отыскании ответа на первый вопрос (9).
2. Не понимаю, как найти выражение для работы при ответе на второй вопрос (130).
Задача 12. Построить формулу для количества тепла, сообщаемого идеальному газу при переходе из состояния pi.Vi.Ti в состояние р2, V2, Т2 при процессах: а) изобарическом (QP), б) изохорическом (Qr), в) изотермическом (Qr), если теплоемкость газа известна.
1. При вычислении QP не знаю, как построить выражение для AU (52).
2. Значение Qr не получается (127).
Задача 13. На диаграмме состояний pV (рис. 64) изображены две изотермы. Какая из них соответствует более высокой температуре?
Рис. 64
1.	Не знаю, как ответить на поставленный вопрос (115).
Задача 14. Азот, который можно принять за идеальный газ, занимающий при давлении pi = l атм объем Vi = 10 л, расширяется вдвое. Найти конечное давление р2 и работу А, совершенную газом при следующих процессах, а) изобарическом, б) изотермическом, в) адиабатическом.
1.	Работу при изобарическом процессе не могу определить (10).
2.	Не знаю, как вычислить давление при изотермическом процессе (23).
3.	Не знаю, как определить работу при изотермическом процессе (53).
4.	Не знаю, как найти давление при адиабатическом процессе (63).
5.	Выражение для работы при адиабатическом процессе вычисляется сложно (101).
10 Заказ 259	145
Задача 15. Некоторое количество кислорода занимает объем Vi = 3 л при температуре ti = 27°C и давлении pi = =8,2-105 Н/м2. В изменившемся состоянии кислород имеет параметры: V2=4,5 л, р2 = 6-105 Н/м2. Найти теплоту AQ, полученную газом, если переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется: а) по изобаре—изохоре, б) по изохоре— изобаре.
1.	Не понимаю смысла задания двух разных путей а и б (И).
2.	Не знаю, как найти AU (73).
3.	Не могу определить значение Qa (38).
4.	Значение Q& не получилось (133).
Задача 16. 160 г кислорода нагревают от 50 до 60° двумя путями: а) при постоянном объеме, б) при постоянном давлении. Выполните следующие задания: 1) оцените качественно (не проводя вычислений), при каком процессе поглотится больше тепла; 2) определите изменение внутренней энергии AU; 3) найдите численные значения поглощенного тепла Qu и Qp.
1.	Не могу выполнить задание 1 (12).
2.	Значение Q,, иное, чем в ответе (39).
3.	Значение Qp получилось неправильным (134).
Задача 17. 1 кмоль двухатомного газа находится в нормальных условиях. Затем газ начинает расширяться, причем равновесный процесс расширения может идти двумя путями: а) изобарически, б) изотермически. В конечном состоянии объем газа увеличился в 5 раз. Выполните следующие задания: 1) качественно оцените, при каком из двух процессов работа по расширению газа больше; 2) определите, как изменится внутренняя энергия газа при изобарическом процессе; 3) найдите, какое количество тепла подведено к системе при изобарическом процессе.
1.	Не могу провести без расчета сравнение, требуемое в первом задании (13).
2.	В задаче не заданы параметры. Как ее решать? (65).
3.	Значение AU иное, чем в ответе (31).
4.	Значение Q не получилось (119).
Задача 18. 1 кмоль идеального газа из состояния с параметрами Vi, Ti расширяется по изотерме до объема V2, затем по адиабате до температуры Т2. Потом газ сжимается сначала по изотерме, потом по адиабате до первоначального состояния (точка 1 на рис. 65). Какая работа совершается при окончании цикла?
146
1.	Идея решения неясна (14).
2.	Не могу выбрать формулы для работы (40).
3.	Неясно, как найти Q2 (120).
Задача 19. 1 кмоль газа изобарически нагревается от 17 до 75°С. При этом газ поглощает 1,2 МДж тепла. Найти: а) значение Ср/С„; б) приращение внутренней энергии AU; в) работу газа А.
1.	Не знаю, как искать Ср/Сг, (15).
2.	Не понимаю, как без определить AU (91).
3.	Выражение для А не получается (122).
Контрольные задачи
К2.1. Азот массой т=5 кг, нагретый на АТ=150К, сохранил неизменным объем V. Найти теплоту AQ, сообщенную газу, изменение внутренней энергии AU и совершенную газом работу А.
К2.2. Газ, занимавший объем V=12 л под давлением р=Ю0 кПа, был изобарически нагрет от Т=300 К до Т= = 400 К. Определить работу расширения газа.
К2.3. Сколько теплоты выделится, если азот массой m = 1 г, взятый при температуре Т=280К под давлением pi = 0,l МПа, изотермически сжат до давления рг= 1 МПа?
К2.4. Кислород массой гп = 2 кг занимает объем Vi = = 1 м3 и находится под давлением рг=2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме — до давления р3=0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу.
К2.5. Расширясь, водород совершил работу А = 6 кДж. Сколько теплоты Q было подведено к газу, если газ расширялся: а) изобарически, б) изотермически?
10*
147
К2.6. Воздух, занимавший объем Vi = 10 л при давлении р1 = 100 кПа, был адиабатически сжат до объема V2= = 1 л Под каким давлением р2 находится воздух после сжатия?
К2.7. Молекулярная масса газа Мг=44, отношение Ср/С„=1,33 Вычислить по этим данным удельные теплоемкости Ср и Сс.
3.	ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
3.1.	Если внутренние параметры системы находятся в соответствии с внешними параметрами и изменяются достаточно медленно, так что это соответствие сохраняется во время процесса, процесс равновесен и обратим. Поэтому в зависимости от изменения ВП он идет в том или ином направлении и параметры системы подчиняются уравнению состояния При быстром изменении ВП соответствие между параметрами системы и ВП нарушается и процесс оказывается неравновесным Как будет протекать такой процесс?
Допустим, что мы быстро изменим ВП и затем их зафиксируем. Тогда внутренние параметры (параметры системы) будут продолжать изменяться до тех пор, пока не придут в соответствие с ВП. Стремление системы к состоянию термодинамического равновесия и определяет направление процесса. Например, если температура ВС выше температуры системы, система начинает нагреваться, и ее нагревание происходит до тех пор, пока температуры системы и ВС сравняются. Подобное направление процесса есть проявление так называемого второго начала термодинамики (ВИТ). Типы процессов, в которых проявляется ВНТ, различны, соответственно можно дать и различные формулировки ВИТ. Остановимся на тех формулировках, в которых используются количественные характеристики.
3.2.	В п 2 1 мы видели, что работа, а вместе с ней и количество тепла AQ, переданное системе, зависит от процесса, который совершался, когда система переходила из состояния 1 в состояние 2 Температура Т в процессе изменяется и для разных процессов она различна. Но оказывается, что если система из состояния 1 в состояние 2 переходит обра-
2
тимым путем, то для этого участка интеграл / dQ/T не за-1
висит от пути интегрирования, а зависит только от началь-148
2
ного (/) и конечного (2) состояний. Интеграл f dQ/T обоз-1
2 качается S12 и называется энтропией системы. Si2= / dQ/T.
1
Из определения Si2 следует, что dS = dQ/T (для обратимого процесса).
Примечание Строго говоря, S12 есть разность энтропий конечного и нача 1ьного состояний Выбор начального состояния условен (подобно выбору начального значения энергии), поэтому S определяется с точностью до постоянного слагаемого
Одна из формулировок ВИТ утверждает, что dS^dQ/T, где знак равенства выполняется для обратимого процесса.
Если процесс адиабатический, то dQ=0 и dS^O. Последнее означает, что в адиабатическом неравновесном процессе энтропия возрастает, в равновесном — остается постоянной. Это так называемый принцип возрастания энтропии, который является одной из формулировок ВНТ.
3.3.	Неравенство dS^dQ/T проинтегрируем по замкнутому контуру, соответствующему циклу Энтропия не зависит от пути перехода, поэтому fdS = O. Следовательно, $dQ/T^0. Это соотношение называется неравенством Клаузиуса
3.4.	Для обратимого процесса интеграл по замкнутому 2
контуру <pdQ/T = 0, т. е fdS = O. Значит, / dS = S2—Si не
1
зависит от пути перехода системы из состояния 1 в состояние 2, следовательно, энтропия S есть функция верхнего предела, т. е имеет смысл говорить об энтропии в состоянии, характеризуемом некоторыми параметрами (с точностью до постоянного слагаемого)
3.5.	Пусть система совершила обратный цикл (рис. 66) в направлении, указанном стрелками. На пути 123 газ расширялся, совершая работу Ai23>0; на пути 341 газ сжимался, для чего нужно было совершить над газом работу Аз41<0. Работа, совершаемая газом (заштрихованная площадь под кривой 123), больше той работы, которую совершала ВС над газом (дважды заштрихованная площадь под кривой 341). Таким образом, в результате цикла получился выигрыш в работе (площадь внутри замкнутой кривой 12341) система совершила работу А над внешними телами За счет чего она
149
совершена? Так как система вернулась в прежнее состояние 1, в результате цикла AU=0. Следовательно, AQ=A, т. е. количество тепла AQ перешло в работу.
3.6.	Если цикл направить в противоположную сторону (рис. 67), то работа, совершаемая системой, будет меньше, чем работа, совершаемая над системой. Разность работ перейдет в тепло, которое в результате цикла система отдаст окружающим телам. Работающая таким образом система называется тепловой машиной (ТМ).
Рис. 67
3.7.	Пусть целью действия ТМ является совершение работы (т. е. система является тепловым двигателем и цикл совершается по схеме, приведенной в п. 3.5). Тогда важно, чтобы в результате цикла было совершено как можно больше работы А, т. е. как можно большая часть переданной системе тепла Q] перешла в работу. Поэтому коэффициентом полезного действия (КПД) тепловой машины называется отношение T]=A/Qi.
150
Если на пути 123 (см. рис. 66) система получила от нагревателя количество тепла Qi, а на пути 341 система отдала холодильнику количество тепла Q2, то на работу пошло тепло Qi—Q2 Следовательно, т]= (Qi—Q2)/Qi.
Кроме КПД эффективность действия машины характеризуется мощностью. Мощностью двигателя называется работа, совершаемая им за единицу времени.
3.8.	Циклом Карно называется цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. На рис 68 12 и 34-—изотермы (система в контакте с термостатом температуры Ti — нагреватель, с термостатом температуры Т2 — холодильник), 23 и 41 — адиабаты (система теплоизолирована). Поскольку на адиабатах нет обмена теплом, Qi — это тепло, полученное системой
12,
на
пути
Рис. 68
Q2 — тепло, отданное системой на
система есть идеальный газ. Тогда Qi =
Пусть
= m/M,.RT1 In (V2/V1), а работа, совершенная в результате цикла, A=m/Mr(Ti—T2)ln(V2/Vi). Поэтому КПД цикла Карно с идеальным газом т]= (Ti—Т2)/Т].
3.9.	Предположим, что совершается два цикла Карно: обратимый и необратимый. При этом температуры Ti и Тг и объемы Vi и V2 у них одинаковые. (Заметим, что для необратимого цикла строить график нельзя, так как для необратимого процесса не может быть составлено уравнение состояния) КПД обратимого цикла t]o==(Qi—Q2)/Qi, где индекс «О» означает, что характеристики относятся к обратимому циклу. Для идеального газа, как мы видели, т)0= = (Т>- Т2)/Ть
Сравним теперь т] (КПД необратимого цикла) с т]0-Пусть Qi и Q2 •— количества тепла необратимого цикла. Со
151
гласно неравенству Клаузиуса,')<?Q/TsC0. В нашем случае $dQ/T=Qi/T1—Q2/T2^0 (знак минуса перед Q2/T2 указывает на то, что количество тепла Q2 не сообщается системе, а забирается у нее — изотермическое сжатие). Последнее неравенство можно переписать та-к.
Qi/Ti^Q2/T2—^Т2/Т,—I^Q2/Q1— 1—> (T2-T1)T1^(Q2-Q1)Qi.
Изменив знаки в правой и левой частях неравенства, отчего знак неравенства заменится на противоположный, получим:
(T1-T2)/T!^(Q1-Q2)/Q1, где знак равенства выполняется для обратимого процесса. В последнем неравенстве выражение в левой части — для т]0, в правой — для т] (КПД необратимого цикла).
Итак, при одних и тех же условиях КПД обратимого цикла больше, чем необратимого (теорема Карно). Теорему Карно можно считать еще одной формулировкой ВНТ.
ЗЛО. Если процесс равновесный, изменение энтропии зависит только от начального и конечного состояний и не зависит от пути перехода. Если теплоемкость системы в процессе не изменяется, т. е. dQ — CdT, изменение энтропии описывается формулой
Т2
S2—Sj= J CdT/T = C ln(T2— Ti).
Ti
Задача 20. Температура пара, поступающего из «отла (т. е. получившего тепло от нагревателя) в паровую машину, работающую по циклу Карно, Т = 227°С, температура холодильника t2 = 27°C. Какова максимальная работа А, которую, согласно теоретическому расчету, можно получить при затрате количества тепла Q=1 ккал? Какова максимальная мощность W двигателя, если известно, что цикл осуществляется за 0,5 с?
1.	Непонятен смысл задачи (41).
2.	Ответ на первый вопрос получился неправильный (58).
3	Значение мощности W получилось иное, чем в ответе (121).
Задача 21. Цикл, совершаемый 2 кмолями одноатомного газа, состоит из изотермы, изобары и изохоры. Изотер-
152
мичесюий процесс протекает при максимальной температуре цикла Т=400 К. В пределах цикла объем изменяется в 2 раза, т. е. Vma;t/V„1IZ! = 2. Найти работу газа А за цикл и КПД цикла г].
1.	Выражение для работы не получилось (16).
2.	Не знаю, с чего начать решение задачи (59).
3.	Слишком много неизвестных величин (66).
4.	Значение г] иное, чем в ответе (123).
Задача 22. Цикл, совершаемый ш киломолями одноатомного газа с молекулярной массой Мг, состоит из изотермы, изобары и изохоры (см. задачу 21). Изотермический процесс протекает при максимальной температуре цикла Ть В пределах цикла объем газа изменяется в п раз (Vmax=nVmin). Найти КПД цикла ц. Определить КПД цикла Карно ць, нагревание в котором происходит по изотерме с температурой Ti, а охлаждение — по изотерме с температурой Тз, соответствующей точке 3 на диаграмме (рис. 69).
Рис. 69
1.	Не знаю, как приступить к решению задачи (43).
2.	Выражение для ц не получается (60).
3.	Не могу найти выражение для ць (140).
Вывод. КПД машины с идеальным газом, работающей по циклу Карно, зависит только от отношения п максимального и минимального объемов цикла. Такой же особенностью характеризуется цикл изотерма — изобара — изохора.
Задача 23. Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат. Рабочее вещество — азот, у=1,4. В пределах цикла объем газа изменяется в 10 раз (VOTax/VOTln= 10).
1.	Слишком мало данных для решения задачи (17).
153
2.	Не пойму, через какие параметры следует выражать А (44).
3.	Не могу найти Qi (97).
4.	Выражение для т] не получилось (141).
Вывод. Снова т] зависит от n=Vmax/Vm!n. Кроме того, здесь имеется зависимость КПД от теплоемкостей (в данном случае от у).
Задача 24. Определить КПД цикла, состоящего из двух изобар и двух изохор, и сравнить его с КПД цикла Карно т]й, проведенного между температурами t2 и 1з. Известно, что при изобарном расширении объем увеличивается в п = 2 раза, температура в конце изобарного расширения t2=800°C, в конце изохорного сжатия 1з=700°С. Рабочее тело — воздух (который считается двухатомным идеальным газом).
1.	Не могу догадаться, через какие параметры выразить работу (28).
2.	Не знаю, с чего начать решение задачи (18).
3.	Затрудняюсь правильно расставить знаки у Q (62).
4.	Значение л иное, чем в ответе (87).
5.	Значение т]л неправильное (142).
Задача 25. п молей идеального газа переходит равновесным путем из состояния pi,Vi,Ti, в состояние р, V, Т. Каково изменение энтропии?
1. Не знаю, как подойти к решению задачи (46).
2. Значения AQ разные в различных процессах, а какой процесс имеется в виду в задаче, не указано (98).
Задача 26. 1 моль идеального газа находился в состоянии pi = l Н/м3, Vi = 1 м3. Затем обратимым путем он перешел в состояние р2=0,5 Н/м3, V2 = 2 м3. Мог ли этот путь быть адиабатическим? Почему?
1.	Не могу проверить, ложатся ли точки на адиабату (19).
2.	Не знаю, как подойти к решению задачи (29).
3.	Нет уверенности в правильности значения AS (47).
Задача 27. 1 моль идеального газа находился в равновесном состоянии pi = 0,5 Н/м3, Vi = 2 м3. Затем необратимым путем перешел в состояние р2=1 Н/м3, V2=l м, которое также равновесно. Мог ли этот путь быть адиабатическим? Почему? Как ответить на этот вопрос с учетом условий задачи 26?
1.	Не могу осмыслить задачу (20).
2.	Не знаю, какая характеристика позволяет судить о необратимости процесса (48).
154
Контрольные задачи
К3.1. В результате кругового процесса газ совершил работу А=1 Дж и передал холодильнику теплоту Q=4,2 Дж. Определить КПД цикла.
К3.2. Проводится цикл Карно с идеальным газом. Температура Ti нагревателя в 3 раза выше температуры Т2 холодильника. Нагреватель передал газу теплоту Q( = 42 кДж. Какую работу А совершил газ?
КЗ.З. Идеальным газом проводится цикл Карно. Температура нагревателя Т] = 470 К, температура холодильника Т2=280 К. При изотермическом расширении газ совершает работу А= 100 Дж. Определить КПД цикла ц, а также теплоту Q2, которую газ отдает холодильнику при изотермическом сжатии.
К3.4. Газ совершает цикл Карно. Работа газа при изотермическом расширении Ai=5 Дж. Определить работу А2 при изотермическом сжатии, если КПД цикла р — 0,2.
К3.5. Кислород массой 2 кг увеличил свой объем в 5 раз, один раз изотермически, другой раз адиабатически. Каково изменение энтропии в этих двух случаях?
К3.6. Водород массой т=100 г был изобарически нагрет так, что объем его увеличился в п раз, затем он был изохорически охлажден так, что давление его уменьшилось в п раз. Найти изменение энтропии AS для п = 3.
4.	ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ
4.1.	Все вещества состоят из частиц (молекул, атомов, ионов), которые находятся в непрерывном движении. Количество частиц Na в 1 г/моль вещества составляет 6-1023 (число Авогадро). Ввиду сложности строения частиц (молекула состоит из атомов, атомы — из ядра и электронов и т. д.), их взаимодействие, вообще говоря, не может быть описано достаточно точно. Действие внешних систем на ту или иную систему осуществляется также через взаимодействие частиц. Если бы система состояла из малого количества частиц и была полностью изолирована, то, зная силы, действующие между частицами, можно было бы построить уравнения движения и найти закон движения частиц системы. Но при огромном числе частиц и их взаимодействии с окружающими телами невозможно записать уравнения движения, определить начальные условия. Таким образом, для термодинамической макроскопической системы сама постановка за
155
дачи динамики оказывается бессмысленной Однако тот факт, что частиц, входящих в систему, много, позволяет воспользоваться ее новым свойством — законом больших чисел, для которого применимы методы теории вероятностей Теория теплоты, опирающаяся на молекулярно-кинетические представления и использующая статистические методы теории вероятностей, называется статистической физикой
4.2.	Во многих разделах статистической физики атомы считаются точками, двухатомные молекулы описываются моделью гантели (две точки на неизменном расстоянии) и т д. Как и в классической механике, точка (атом) имеет три степени свободы и характеризуется тремя координатами и тремя составляющими скорости. Однако в отличие от механики в статистической физике точные значения координат и скоростей данной частицы не определяются, а только указы-, вается вероятность того, что частица имеет такие-то коорди-’ наты и составляющие скорости. Так как координаты и ско-! рости характеризуются непрерывным рядом значений, следует говорить о вероятности того, что частица находится в таком-то элементе объема dxdydz около точки х,у,z и имеет скорость в интервале dvxdvydvz около значений vx, vy, vz (см Ml0.3) Вероятность этих значений может быть установлена для разных условий на основе некоторых общих положений, на которых мы не останавливаемся
Когда газ в целом находится в покое (в закрытом сосуде), в результате столкновений его частиц устанавливает-» ся их хаотическое движение, при этом все направления дви-^ жения молекул равновероятны (тепловое равновесие). Если газ содержит N частиц и в среднем dN из них имеют составляющую скорости вдоль оси х, лежащую в пределах между уж и Vx+dvx, то dN/N=f (vx) dvx есть вероятность встретить данную скорость у любой частицы газа. Эта веро* ятность выражается формулой, которая носит название рас» пределения Максвелла по составляющим скорости:
f (vx) dvx=С exp [—mvx2/ (20) ] dvx;
f (vy) dv,,=C exp [—mvy2/ (20) ] dvy;
f (v2) dvz=C exp[—mvz2/ (20) ] dvz
В этих формулах С — постоянный множитель, определяемый из условия нормировки (см М103); mvx2/2— кинетическая энергия движения частицы вдоль оси х; 0 = кТ, где к= =:R/Na= 1,38-10-23 Дж К-1 — постоянная Больцмана; Т —
156
). для этого построим депо осям отложены значения

Рис 70
абсолютная температура термостата, с которым система находится в термодинамическом равновесии
4.3.	Составляющие скоростей независимы, поэтому можно записать
f(vx, vy, vz)dvxdvydvz= f(vx)f(vy)f(\2)dvxdvyd\2 =
= C exp[—m(vx2+vy2+vz2)/(20) jdvxdvydvz	(4)
Очень часто представляет интерес распределение частиц не по составляющим скоростей, а по абсолютным значениям их скоростей, т. е вероятность того, что частица имеет значение скорости в пределах между v и v+dv. Такую вероятность легко получить из формулы ~ картову систему координат, гд Ух, уу, Vz, а затем — сферическую систему координат (см М3.1), в которой роль расстояния от точки до центра играет величина v (рис. 70) Любая точка А на сфере радиусом v характеризует скорость, имеющую значение v Начертим сферу радиусом v+dv Любая точка, лежащая в сферическом слое между сферами радиусов v и v+dv, характеризует скорость, имеющую значение, лежащее между v и v+dv. Поэтому интересующая нас вероятность есть вероятность того, что точка, характеризующая скорость, лежит в шаровом слое между радиусами v и v+dv. Чтобы получить эту вероятность, нужно в выражении (4) заменить декартовы координаты сферическими, а затем проинтегрировать полученное выражение по углам-
f(\x, vy, vz)dvxdvvdvz= С3ехр[—mv2/(20)]v2 sin / d/dcpdv; jt	jt	2v
/ sin xd/=—cos X I = 2, J d(p=2n.
0	0	0
Поэтому
f (v) dv = С3 exp [—mv2/ (20) ] 4jw2dv,
157
или
dN (v) /N = f (v) dv=Ctv2 exp[—mv2/(2kT)]dv, где Ci — коэффициент нормировки, определяемый из усло-
вия ff(v)dv=l: С1 = 4Ул[ш/(2кТ)]3/2.
О
Примечание В экспоненте распределения Максвелла стоит кинетическая энергия, деленная на @=кТ Кинетическая энергия равна mv2/2, когда частица моделируется точкой Если такая модель нецелесообразна (например, когда нужно учесть вращение двухатомной молекулы), кинетическая энергия в степени экспоненты будет иметь более сложный вид
4.4.	Вид функции распределения по координатам зависит от вида потенциальной функции взаимодействия между частицами газа и от характера полей, действующих на систему извне. Если связь между частицами достаточно сильная, то вещество находится в конденсированном состоянии (твердом или жидком), если связь слабая, вещество газообразно. Вообще говоря, в газовой фазе также имеется взаимодействие между частицами, однако часто частицы находятся на таких больших расстояниях, что это взаимодействие очень мало.
Если газ настолько разрежен, что взаимодействием между его частицами можно пренебречь, он называется идеальным. Для идеального газа вероятность распределения частиц по координатам описывается распределением Больцмана: dN(x, у, z) /N — df (х, у, z) = С2 ехр[—U(x, у, z)/(kT)]dxdydz, где С2— коэффициент нормировки; U (х, у, z)—потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Например, если газ находится в поле силы тяжести, U(x, y,z) = mgz, где ось z направлена вертикально вверх.
4.5.	Для идеального газа вероятность того, что его частица имеет координаты, лежащие в пределах х, x-|-dx; у, y-f-dy; z, z-|-dz, и скорости, находящиеся в пределах vx, vx-|-dvx; vy, vy-|-dvy;
vz, vz-|-dvz, есть
dF (x, y, z, уж, Vy, Vz) =
= const exp {— [m/2 (vT2+vy2+vz2) -j-U (x, y, z) ]/ (kT)} X
X dxdydzdvxdvydvz.
Эта вероятность называется функцией распределения Максвелла-Больцмана. Она верна только для равновесного состояния идеального газа.
Примечание Во всех функциях распределения выражение перед дифференциалами аргументов есть плотность вероятности
158
4.6.	Зная функцию распределения, можно построить среднее значение величины, зависящей от координат и скоростей частиц: L(x, у, z, Vx, vy, vz). По определению (Ml0.5), среднее значение
<L>= J L(x, у, z, Vx, vy, vz)dF(x, y, z, vx,vy, vz), где интеграл берется по всем значениям аргументов.
4.7.	Пример. Вычислить среднее значение квадрата скорости молекул газа, имеющих массу ш, если газ находится в термодинамическом равновесии с термостатом температуры Т.
оо
Решение. <v2> = fv24/]/n[m/(2kT)]3/2v2 ехр{—mv2/ 0
(2kT)}dv J (tT)dxdydz. Второй интеграл, в силу условий нормировки, равен единице. Вынеся в первом интеграле
ОО
за его знак постоянные, получим: fv4exp[—a2v2]dv, где
0
a2=m/(2kT). С учетом значения этого интеграла (см. таблицы интегралов, а также М5.6) найдем:
оо
J х2пе-а2ж2бх= 1 • 3-5 ... (2п—1)]/л:/(2n+Ia2n+I).
0
В нашем случае п = 2, т. е.
ОО
J V4e-mt,2 / (2ftT) dv = Зу^/ (23/ [т/ (2кТ)] 5 /2} .
о
Учитывая коэффициент нормировки, имеем: <v2> = 3kT/m.
Примечание Если в формуле <v2> = 3kT/m числитель и знаменатель правой части умножить на число Авргадро Na, то, так как RNa = R и тНд = Мг — масса 1 кмоля газа, получим удобную для расчета формулу <v2> =3RT/Mr, где R = 8,3- 1О3 Дж/кмоль-К; Мг — молекулярная масса газа.
4.8.	В термодинамике уравнение состояния идеального газа выводилось на основании экспериментальных данных. Молекулярно-кинетическая теория позволяет вывести его, исходя из представлений о движении молекул. Идея вывода состоит в следующем. Взаимодействия между молекулами считаются мгновенными и заключающимися в обмене скоростями при столкновении (модель упругих шаров), в результате чего устанавливается термодинамическое равнове
159
сие (см. п. 4.2). При ударе о стенку сосуда молекула сообщает ей импульс. В единицу времени единица площади стенки получает от большого числа ударяющихся в нее частиц импульс, который равен силе (см. гл. 1, п. 7.1), действие которой на единицу поверхности представляет собой давление р (см. п. 1.1). Вычислив число молекул, ударяющихся о стенку сосуда в единицу времени, и импульс, передаваемый ими, получим выражение р==2/Зп<бУ>, где п — число молекул в единице объема; <е>—среднее значение кинетической энергии молекулы. Эта формула называется основным уравнением кинетики газов.
Поскольку <е> = 3/2кТ и n = N/V, где N = rn/MrNA— число молекул газа (т/Мг — число молей в газе, NA — число молекул в одном моле), p = 2/3m/MrNA/V3/2kT, откуда pV=m/MrAkT, или pV=m/MrRT. Легко видеть, что основное уравнение кинетики может быть переписано в виде: p = nkT, где п — плотность (концентрация) молекул газа; k=R/NA = 1,38-10-23 Дж/К.
Обращаем ваше внимание на то, что давление идеального газа зависит только от плотности и температуры и не зависит от свойств молекул, его составляющих.
На основе аналогичных рассуждений получают и закон Дальтона; p=(ni+n2)kT, где пь п2—концентрации двух газов в их смеси.
В задачах, которые приводятся далее, предполагается, что газ идеальный, находится в равновесии с термостатом, имеющем температуру Т, и его частицы можно считать точками с заданной массой т.
Задача 28. Функция распределения по составляющей скорости частицы уж представлена формулой Т(уж)йуж= = Сехр{—шуж2/(2кТ)}буж. Найти коэффициент нормировки С.
1.	Не знаю, как вычислить интеграл (153).
2.	Коэффициент нормировки С получился обратным (228).
3.	Не понимаю, как найти коэффициент С (179).
Задача 29. Найти средние значения скорости уж и квадрата скорости уж2.
1.	Значение <уж7> не получилось (154).
2.	Не знаю, как вычислить <vv> (163).
3.	Если <уж> = 0, почему квадрат скорости не равен нулю? (171).
4.	Результат вычисления не сходится с ответом (207).
160
Выводы. 1. Результат <vx> = 0 означает, что в среднем число частиц, двигающихся в обоих направлениях оси х, одинаково. Разумеется, то же имеет место для vy и vz. Это означает, что движение хаотично (без преимущественного направления).
2.	Из ваших ответов видно, что квадрат среднего значения (в этой задаче (<vx>2=0) не равен среднему от квадрата (в данном случае <vT2> = kT/m).
Задача 30. Найти наиболее вероятное значение составляющей скорости (например, ух). Построить график функции распределения.
1.	Не понимаю смысла задачи (155).
2.	Не могу найти максимум функции (164).
3.	Не знаю, как строить график функции f(vx) (208).
Задача 31. Найти среднее значение кинетической энергии gx частицы, движущейся вдоль оси х.
1.	Не знаю, с чего начинать решение задачи (180).
Выводы. Вы получили важный результат: среднее значение кинетической энергии, соответствующее скорости вдоль одной из осей, т. е. одной степени свободы, равно кТ/2. Оно зависит только от температуры (к—постоянная Больцмана).
Задача 32. Найти наиболее вероятное значение скорости. Построить график функции распределения частиц по значениям скоростей.
1.	Не знаю, как подойти к решению задачи (170).
2.	Ответ не получился (187).
3.	Не могу построить график (209).
Выводы. Обратите внимание на то, что, хотя наиболее вероятные значения составляющих скорости (задача 30) равны нулю (vrm=0,...), наивероятнейшее значение модуля скорости отлично от нуля. Это получается потому, что частица, имея вдоль какой-либо оси скорость, равную нулю, не остается в покое, а движется в плоскости, перпендикулярной к этой оси, т. е. имеет v=#0.
Задача 33. Найти среднее значение скорости частицы, имеющей массу ш, в газе с температурой Т.
1.	Не могу взять интеграл (156)
2.	Ответ получился неправильный (211).
3.	Подынтегральная функция нечетная (v3), и должен получиться ноль (233).
Задача 34. Найти среднее значение кинетической энергии е частицы одноатомного газа, находящегося в равновесном состоянии при температуре Т.
11 Заказ 259
161
1.	Ответ не получился (181).
2.	Не знаю, с чего начать решение задачи (190).
Выводы. 1. Снова вы получили результат, утверждающий, что среднее значение кинетической энергии частицы газа зависит только от температуры.
2.	Можно показать, что средняя кинетическая энергия частиц любого вещества (а не только газа) пропорциональна температуре. Поэтому логично утверждать, что абсолютная температура является мерой кинетической энергии молекул.
3.	Расчет средней энергии многоатомных газов позволяет обобщить полученные вами результаты в следующую теорему:
На каждую степень свободы частицы в среднем приходится кинетической энергии в количестве кТ/2.
Задача 35. Найти внутреннюю энергию U одного моля идеального газа (см. п. 2.3, 2.8). Действиями внешних полей пренебречь.
1. Не понимаю смысла задачи (182).
2. Идею расчета понимаю, но результат не получился (213).
Вывод. Молекулярно-кинетическая теория позволяет объяснить, почему внутренняя энергия идеального газа зависит от его температуры и указать, какова эта зависимость.
Задача 36. Найти среднюю кинетическую энергию молекул гелия (ei) и азота (ег) при температуре t=27°C.
1.	Ответы получились неправильные (192).
2.	Не вижу разницы между азотом и гелием (214).
3.	Не знаю, как подойти к решению задачи (236).
Задача 37. Средние значения кинетической энергии поступательного движения молекул любого газа зависят только от температуры. Значит ли это, что средние значения их скоростей при данной температуре одинаковы? Дав ответ, докажите его.
1. Не понимаю утверждения задачи (193).
2. Не могу обосновать ответ (215).
Вывод. Вы получили важный результат: при одинаковой средней кинетической энергии поступательного движения частиц средние квадраты их скоростей обратно пропорциональны их массам. Это значит, что в смеси газов, частицы которых можно моделировать точками, в среднем более массивные частицы двигаются медленнее.
162
Задача 38. Какая часть молекул водорода при темпе-, ратуре Т обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не более чем на Av=5 м/с? Получите значения скорости молекул водорода при Ti=400K и Т2= = 900 К.
1.	Не понимаю смысла задачи (157).
2.	Не могу математически записать условие задачи (168).
3.	Не могу взять интеграл (177).
Вывод. Полученные результаты позволяют сравнить графики функции распределения для разных температур: из выражений для f(v) следует, что при увеличении температуры максимум кривой смещается вправо (в сторону больших значений v). Вместе с тем число частиц, лежащих в данном интервале скоростей около vm, убывает. Таким образом,, при Tj>T2 графики имеют следующий вид (рис. 71).
//Г
I I	!
।Рис. 71
Ч/n Vam v
39. Назовем относительной скоростью и отношение скорости частицы v к наивероятнейшей скорости vm: u=v/vm. Постройте функцию распределения для величины и.
1. Не знаю, как подойти к решению задачи (199).
2. Ответ получился неправильный (217).
Вывод. Функция распределения частиц по относительным скоростям не зависит ни от температуры, ни от массы частицы.
Задача 40. Найдите концентрацию молекул газа при t = 27°C и давлении р=1 мм рт. ст.
1. Ответ получидбя неправильный (200).
2. Не знаю, как приступить к решению задачи (240).
Задача 41. Смесь азота и гелия при температуре 27°С находится под давлением р= 1,3-10* 1 2Па. Масса азота mi составляет 70% от общей массы смеси т. Найти концентрацию молекул пг каждого газа.
II*	163
1. Не знаю, с чего начать решение задачи (161).
2. Не знаю, как разъединить ni+n2 (173).
Задача 42. На пути молекулярного пучка стоит «зеркальная» стенка. Найти давление, испытываемое этой стенкой, если скорость молекул в пучке V, концентрация п, масса одной молекулы ш0. Стенка расположена перпендикулярно к скорости пучка
Примечание «Зеркальной» стенкой называется такая, соударение с которой происходит по закону абсолютно упругого удара: ско 1рость падения на стенку равна и противоположна по знаку скорости, <: которой происходит отталкивание от стенки
1. Ответ получился неправильный (162).
2. Не знаю, как подойти к решению задачи (174).
Вывод. Полученное выражение можно представить в виде р = 4пе, где е—кинетическая энергия молекулы. Оно отличается от основного уравнения кинетики (см. п. 4.8) потому, что в рассматриваемом случае состояние газового пучка неравновесно.
Контрольные задачи
К4.1. Доказать, что коэффициент нормировки функции распределения по скорости f(v) dv=Civ2 ехр{—mv2/(2kT)}dv равняется 4[m/(2kT) ]3/2]/ji.
K4.2. На рис. 72 изображены два графика функции распределения Максвелла. Какой из них соответствует более высокой температуре^ Почему?
/(V)
Рис 72
К4.3. Используя первое начало термодинамики и молекулярно-кинетическую теорию, показать, что теплоемкость С одноатомного газа равна 3/2 R.
К4.4. Найти внутреннюю энергию двухатомного идеального газа.
164
5.	ЯВЛЕНИЕ ПЕРЕНОСА
5.1.	В дальнем углу комнаты кто-то закурил. Через некоторое время все присутствующие ощутили запах дыма. Частицы дыма, продвигаясь между молекулами воздуха, распространились по всему помещению. Это произошло благодаря диффузии, которая представляет собой один из примеров явления переноса.
Кастрюлю поставили на горячую плиту, и через некоторое время вся вода стала горячей. Причина этого в том, что молекулы нагретой части воды, имеющие более высокие скорости, сталкиваясь с другими молекулами, обмениваются с‘ ними импульсами, сообщая им дополнительную кинетическую энергию, т. е. повышая температуру соседних участков воды. Это свойство теплопроводности также явление пере
носа.
5.2.	Явления переноса обусловлены молекулярно-кинетическими свойствами вещества, но характеризуют макроскопические эффекты. Поэтому, наряду с микроскопическими характеристиками, в теории имеются макрохарактеристики вещества. Наиболее важной микрохарактеристикой является длина свободного пробега X — путь, который совершает молекула от одного столкновения до другого. Очевидно, что эта величина все время изменяется, поэтому под X подразумевается средняя длина свободного пробега молекулы. Используется также среднее значение скорости молекул <у> (черта сверху означает среднее значение), плотность вещест-
ва и другие характеристики.
5.3. Говоря о столкновениях молекул газа, мы считаем их не точечными (хотя, как правило, их вращением можно
пренебречь), а шариками с определенным радиусом. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул (рис. 73) d называется эффективным диаметром молекулы. Площадь большого круга радиусом d, проведенным из центра данной молекулы, определяет эффективное сечение молекулы <т='лй2. Очевидно, что чем больше эффективное сечение молекулы, а также плотность п молекул (число их в едини
165
це объема), тем меньше длина свободного пробега. Можно показать, что Л=1/(У2стп), или Л.= 1/(/2 nd2n).
5.4.	Диффузией называется самостоятельное перемешивание молекул, обусловленное их тепловым движением. Диффузия проявляется в переносе массы вещества из одной его части в другую. Чаще всего диффузия наблюдается в жидких и газообразных веществах. Масса вещества М, перенесенная за время т через площадку S, определяется по закону диффузии М=—DAq/AxSt, где D — коэффициент диффузии; Ар/Ах — изменение плотности вещества на пути Ах (градиент плотности в направлении переноса). Для конденсированных веществ D находят из эксперимента, для газов легко установить его зависимость от микрохарактеристик га§а. D— 1/3 Л.й(м2/с).
5.5.	Рассмотрим два соседних слоя вещества, один из которых движется быстрее. Скорость движения слоя вещества обозначим через и. Благодаря столкновениям молекул соседних слоев и диффузии скорость медленно движущегося слоя будет увеличиваться, скорость быстро движущегося слоя замедляться, т. е. скорости слоев стремятся выравняться. В этом и проявляется внутреннее трение.
Сила внутреннего трения описывается законом F= = —r]Au/AxS, где ц— коэффициент внутреннего трения (коэффициент вязкости), Аи/Ах — градиент скорости соседних слоев в направлении х, перпендикулярном к площадке S. Для газа r] = 1/3<v>Xq(Н-с/м2).
5.6.	Теплопроводность характеризует перенос телом количества тепла за время т через площадку S и выражается законом Фурье: Q = —xAT/AxSt, где х—коэффициент теплопроводности; АТ/Ах — градиент температуры. Для газа и= 1/3<v>XqCi, (Дж/(м-с-Н)).
Теплопроводность называется стационарной, если вызывающая ее разность температур АТ неизменна
5.7.	Газ, вступающий в контакт с твердым телом, имеющим другую, чем газ, температуру, или отдает ему тепло, или получает тепло от него. Такое явление называется теплопередачей.
Количество тепла, переходящее через поверхность соприкосновения твердого тела и газа, Qi = —aATST, где а — коэффициент теплопередачи; АТ —• разность температур поверхности твердого тела и газа; а — выражается в единицах Вт/(м2К).
166
Примечание Во всех формулах, в которые входит не сама температура, а лишь ее разность ДТ, можно не переводить градусы Цельсия в ’кельвины, так как численное значение разности от этого не изменяется
5.8.	Если два газа, имеющие разную температуру, разделены твердым телом (рис. 74), процесс передачи тепла состоит из трех стадий: теплопередача на границе 1 2, теплопроводность по пути 2 и теплопередача на границе 2 3.
5.9.	В стационарном случае значение Q одинаково на всех участках теплообмена.
Задача 43. Покажите, что в пренебрежении зависимостью эффективного диаметра d от температуры длина свободного пробега X прямо пропорциональна температуре и обратно пропорциональна давлению.
1.	Не могу догадаться, как в выражение Л. ввести Т (220)
Задача 44. Определите длину свободного пробега молекул кислорода при 0°С, если коэффициент диффузии D= 1,9-10-5 м2/с.
1. Не понимаю, как определить	(222)
2 Ответ получился неправильный (244).
Задача 45. Сколько столкновений Z испытывает каждая молекула водорода в одну секунду при нормальном давлении, если г] = 9-10“6 Па-с
I	Не понимаю, как вычислить число столкновений (158).
2	По-моему, данных для решения недостаточно: X не определяется (175)
3	Не могу провести вычисления (184).
4	Ответ получился неправильный (245).
Задача 46. Найти коэффициент внутреннего трения газа, имеющего молекулярную массу Мг и эффективный диаметр молекулы d, при температуре Т и давлении р.
1. Ответ получился неправильный (226).
2 Не знаю, как найти q (246).
Вывод. Вы получили интересный результат: коэффициент внутреннего трения не зависит от давления газа.
167
У данного газа (при заданных Мг и d) он пропорционален УТ, т. е. тем больше, чем выше температура. Зависимость от температуры объясняется тем, что при более быстром движении молекул газа активнее переносится импульс и в итоге быстрее выравниваются скорости движения соседних слоев.
Задача 47. Пространство между двумя цилиндрами заполнено водородом при t=17°C. Радиус внешнего цилиндра г2=10,5 см, радиус внутреннего цилиндра Г[= 10 см. Внешний цилиндр приводят во вращение со скоростью v= 15 об/мин. Длина цилиндров Z=30 см. Эффектами у оснований цилиндров можно пренебречь. Эффективный диаметр молекулы водорода d=2,3-10-8 см. Какой момент сил нужно приложить к внутреннему цилиндру, чтобы он остался неподвижным?
1.	Не понимаю физичеокую картину, описанную условием задачи (159).
2.	Не могу найти Ди/Дх (183).
3.	Не могу найти силу F (221).
4.	Ответ получился неправильный (227).
Задача 48. Между двумя металлическими стенками, имеющими температуры t! = 20°C и t2=30°С, зажаты сложенные вплотную деревянная пластинка толщиной Ц = 3 см и стеклянная пластинка толщиной /2=2 см (рис. 75). Пренебрегая скачком температуры в местах соприкосновения разных материалов, определить температуру t0 поверхности соприкосновения стекла и дерева. Коэффициент теплопроводности дерева хд=0,45 Дж/(м-с-К), коэффициент теплопроводности стекла хс=0,72 Дж/(м-с-К). Потерями тепла на боковых стенках можно пренебречь.
Рис. 75
1. Не знаю, как подойти к решению задачи (204).
2. Ответ получился неправильный (224).
168
Задача 49. Медная пластинка толщиной /1 = 6 мм и железная пластинка толщиной /2=4 мм сложены так, как показано на рис. 76. Определите коэффициент теплопроводности однородной пластинки толщиной /=10 мм, проводящей теплоту так же, как две данные xi = xCu = 390 Дж/(м-с-К), x2=xF(;=62 Дж/(м-с-К).
Рис. 76
1.	Не понимаю условие задачи (160).
2.	В задаче не заданы температуры, поэтому неясно, как строить выражения для Q (167).
3.	Не знаю, как построить выражение для теплового потока двух пластин (178).
4.	В равенствах, в которые входит х, много неизвестных, и выражение для х, как указано в (205), не получается (212).
Контрольные задачи
К5.1. Найти среднюю длину свободного пробега атомов гелия при температуре 0°С и давлении 1,01-105 Па, если при этих условиях коэффициент внутреннего трения равен 1,3-10-5 Н-с/м2.
К5.2. Определить число столкновений между молекулами, которые происходят в течение 1 с в 1 см3 азота при нормальных условиях.
К5.3. Найти коэффициент внутреннего трения азота при нормальных условиях, если коэффициент диффузии для него при этих условиях равен 1,42-10—5 м2/с.
К5.4. Стеклянная пластинка толщиной 5 см зажата между двумя металлическими стенками, имеющими температуру: ti = 20°C, t2=50°C. Найти температуру стекла на уровне 1 = 2 см от его верхнего края. хст = 0,7 Дж/(м-с-К).
К5.5. Между двумя пластинами, отстоящими друг от Друга на расстоянии 1 мм, находится воздух (при нормальных условиях). Между пластинами поддерживается разность температур ДТ=1 К. Площадь каждо'й пластины S= 100 см2. Какое количество теплоты передается за счет теплопроводности от одной пластины к другой за 10 мин? Диаметр молекулы воздуха считать равным 3-10~10 м.
169
К5.6. Три пластинки, сложенные вместе, образуют столбик. В середине находится свинцовая пластинка, по краям —-серебряные. Внешняя сторона одной серебряной пластинки поддерживается при температуре t=100°C. Внешняя сторона другой серебряной пластинки имеет температуру t3=0°C. Найти температуры ti и в местах соприкосновения свинцовой пластинки с серебряными. Коэффициенты теплопроводности: хрь=34,5 Дж/(м-с-К), xas=404 Дж/(м-с-К).
ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
К1.1. 2,5-105 Н/м.
К1.2. 1,13 кг. ,
К1.3. 1400 к.
KL4. 2,5 кг.
К1.5. М|Эф = (mjv+m02)/ (mjv/MrJv+mo2/MrO2) =
= 29 кг/моль.
К2.1. Q = 7,75-106 Дж; AU = 7,75-106 Дж; А=0.
К2.2. 400 Дж.
К2.3. 191 Дж.
К2.4. ДО = 3,24-106 Дж; А=0,4-106 Дж; Q = 3,24-106 Дж.
К2.5. Qt=21 -103 Дж; Q2=A=6-103 Дж.
К2.6. 2,52 МПа.
К2.7. Сг=5,67-102 Дж/(кг-К); СР = 7,75-102 Дж/(кг-К).
К3.1. 0,193.
К3.2. 28 кДж.
КЗ.З. п = 0,404; Q = 59,4 Дж.
К3.4. 4 Дж.
К3.5. AS; = 836 Дж/К; <AS2=0.
К3.6. 457 Дж/К.
К4.2. График 2.	ч
К4.4. 5/2RT.
К5.1. 184-Ю-9 м.
К5.2. 7-Ю28 с-1.
К5.3. 17,8-10-6 Па.
К5.4. 32°С.
К5.5. 78 Дж.
К5.6. 12«92,8°С; ti«7°C.
РЕКОМЕНДАЦИИ К ЗАДАЧАМ гл. 2
РЕКОМЕНДАЦИИ 1—152 К ЗАДАЧАМ 1—27
1.	Для равновесного процесса в идеальном газе всегда выполняется уравнение состояний Клапейрона—Менделеева. В частном случае это уравнение может иметь более простой вид, в котором учитывается поставленное в задаче условие. В данном случае условием является Т=const.
2.	Вы, вероятно, не обратили внимание на то, что требуется найти массу не всего газа, а 1 л. А это значение изменяется в зависимости от плотности газа. Плотность газа можно вычислить по параметрам, приведенным в задаче.
3.	Если вы понимаете, как решать задачу, но ответ получился неправильный, видимо, вы ошиблись в единицах измерения. Все цифровые данные, приведенные в условии задачи, нужно перевести в одну систему единиц. Общий вид выражения для скорости найдете в р. 22.
4.	Вы считали, что давление складывается из значений Pi и р2? Но ведь такие значения давления газы имели, пока были разделены. Когда газы расширились изотермически (при неизменной температуре) их давления стали иными. Теперь ясно, что нужно найти новые значения парциальных давлений р/ и р2'? Попробуйте дальше действовать самостоятельно. Общее давление смеси приведено в р. 89. Если вы все же не знаете, как найти р/ и р2', посмотрите р. 147. Перевод в единицы СИ дан в табл. 2 Приложения.
5.	Вы посчитали, что выполняется равенство p0V= = p(nAV)? Вы неправы. После каждого хода насоса газ в сосуде с насосом является другой системой, содержащей иное его количество. Учтя это замечание, продумайте план решения. Если решение <не получается, сравните свои рассуждения с приведенными в р. 37.
6.	Для того чтобы понять физический смысл этой задачи, нужно вспомнить, что такое атмосферное давление и почему оно может измеряться мерой длины (мм рт. ст.). Затем полезно подумать, почему ртуть не выпадает из перевернутой трубки. И, наконец, следует учесть, что давление газа на площадку одинаково, независимо от ее ориентации (в част-
172
пости, ратч одно и то же и сверху и снизу). Если вы все равно не можете справиться с задачей, обратитеть к р. ПО.
7.	Равенство m/MrCt,dT+pdV=O можно проинтегрировать, если вместо трех переменных р, V, Т оставить только две. В данном случае, учитывая конечный результат, целесообразно исключить Т (т. е. заменить dT). Если вам это удалось сделать, но вы не знаете, что предпринимать дальше, посмотрите р. 70, если не сделали замену, прочитайте р. 126.
8.	При изотермическог. процессе Т = const и выносится из-под знака интеграла (интеграл см. в задаче 9). Теперь получили ответ? Если нет, обратитесь к р. 51.
9.	Вы можете воспользоваться решением предыдущей задачи, выразив объемы через давления, и вам не придется брать интеграл. Получили ответ? Если нет, посмотрите р. 114.
10.	Если конечный объем V2—2Vi, то, согласно формуле п. 2.2, A=pI(2V1—Vi) =piVi.
11.	Сделайте чертеж (на осях pV) процесса расширения газа при постоянном давлении. Можно ли при этом получить p2V2? Теперь поняли разницу в заданиях 1) и 2)? Если не поняли, посмотрите р. 24.
12.	Внутренняя энергия не зависит от пути перехода между состояниями. А что можно сказать о работе газа на путях а) и б)?
13.	Начертите график изобарического и изотермического процессов; не забудьте, что начальное состояние у них одинаковое. Теперь ясно? Если нет, посмотрите п. 2.1; если и это не поможет, обратитесь к р. 25.
14.	Посмотрите еще раз п. 2.2. Ясно, что работа газа на пути 123 и на обратном пути 341 разная. Поэтому после завершения цикла сумма работ не будет равна нулю. Если вы не можете вычислить работу, обратитесь к р. 40.
15.	Вспомните одну из формул, в которую входит у. Нет, уравнение Пуассона не подойдет: это не адиабатический процесс. Подумайте еще и обратитесь к р. 57.
16.	Вы пытались вычислить работу газа при изобарическом процессе? В этой задаче известны Сг и Ср, поэтому количество тепла легче определить на изобаре и изохоре. Подумайте, для чего нужно знать количество тепла и попробуйте найти А. К этой задаче полезно сделать график цикла. Сравните его с изображенным на рис. 79 (р. 26). Если вы все-таки не определили работу, обратитесь к р. 42.
173
17.	Посмотрите вывод из задачи 22 и попробуйте сначала получить выражения для А и Qi в общем виде. Возможно, некоторые характеристики в окончательном результате исчезнут. Проверить выражение для А можно в р. 27.
18.	Как всегда, сначала нужно сделать график цикла. Можете сравнить его с приведенным на рис. 80 (р. 28).
19.	Конечно, ваша попытка правильна, и если бы расчеты были просты, вы получили бы ответ на вопрос. Однако в данном случае целесообразнее использовать свойства энтропии. Подумайте, какие? Если план решения неясен, посмотрите р. 29.
20.	В задаче 26 обратный переход по сравнению с переходом в этой задаче не мог быть обратимой адиабатой. Обратный ему переход, т. е. путь, заданный в задаче 27, тоже не может быть адиабатой (AS=H=0). А может ли идеальный газ необратимым адиабатическим путем перейти из состояния 1 в состояние 2"> Подумайте, какая характеристика может помочь ответить на этот вопрос?
21.	В задаче заданы температура t2, давление р2 и объем V2= 1 л=1СН3 м3 газа в состоянии 2. Поэтому ш2/Мг определяется из уравнения (КМ). Однако значение Мг пока неизвестно. Подумайте, с помощью какой формулы можно найти Мг, и проверьте эту формулу в р. 35. Если найти Мг не можете, посмотрите р. 49.
22.	v = mRT/(MrpSr). Если вы получили иное выражение, обратитесь к р. 36.
23.	Вероятно, вы хотели воспользоваться формулой (КМ) из 1.4? Но ведь в уравнении (КМ) при изотермическом про-
цессе не только правая, но и левая часть остается постоянной. Теперь ясно, как найти р2? Сравните полученную формулу с приведенной в р. 30.
24. Когда расширение газа происходит при изобаричес-
Р
Ра
Рис. 77
h
ком процессе, его давление не изменяется и, следовательно, на графике p(V) (рис. 77) невозможен переход в точку с р2<рь Переход из точки 3 в эту точку возможен по изохоре. Теперь ясно, чем отличаются задания а и б? Не сможете ли вы без вычислений, качественно оценить, на каком пути — 132 или 142 — газ по
174
лучит больше тепла? Объясните, почему. А теперь сделайте расчет и найдите числовой ответ. Если вы не знаете, как вычислить Q, обратитесь к р. 38.
25.	Посмотрите п. 2.10. Графически работа изображается площадью под графиком процесса, в данном случае — изотермического и изобарического (рис. 78).
Р
Изобара
< <9
J
IIUKI 5
ЫЯ1Т111 rillirillllXl* LTJlirl±llltl±H

V v2
Puc. 78
Puc 79
27.	Вы обратились за проверкой, уже получив выражение для А? Если да, советуем посмотреть р. 32. Если нет, проделайте сначала вычисления. В крайнем случае прочитайте р. 44.
28.	Вы должны были получить чертеж, как на рис. 80. Введите обозначения для параметров, выясните, какие из них заданы, а какие следует найти для того, чтобы определить А и Qi. Не забудьте, что отношение V2/Vi = n задано и Ср и Сг известны. Рассуждения в этой задаче подобны рассуждениям в задаче 23. Выражение для А можно проверить в р. 33, для Qi — в р. 45.
175
Рис. 80
29.	Следует принять во внимание, что, во-первых, при адиабатическом равновесном процессе AS = 0, во-вторых, энтропия не зависит от пути перехода. Теперь все ясно? Если нет, обратитесь к р. 34.
30.	P2 = P1V1/V2-
31.	Вы правильно определили температуру Т2 в конце изобарического расширения? Она должна быть равной 5ТЬ Если вы не получили такого значения, обратитесь к р. 56.
32.	A = m/MrR/(y—1) (Т2—Tjfl —(V2/V,)'r1]. Если такое выражение не получилось, посмотрите р. 44.
33.	A=m/(Mrn)RT2(n—1) (1—Т3/Т2). Если у вас получилось иное выражение, очевидно, вы не воспользовались равенством отношений температур и объемов или температур и давлений газа на изобарах или на изохорах. Как это сделать, посмотрите в р. 45.
34.	Энтропия не зависит от пути перехода. Поэтому можно выбрать какой-нибудь удобный для расчета путь из состояния 1 в состояние 2 и подсчитать AS. Если это удалось,, проверьте полученное значение в р. 47, если нет, обратитесь к р. 67.
35.	Mr=Q!RTi/pi. Если вы получили другое равенство, посмотрите р. 49. Если все правильно, постройте выражение для ш2, воспользовавшись уравнением (КМ) для состояния 2. Формулу проверьте в р. 68.
36.	Чтобы найти скорость газа, надо определить путь I, пройденный газом за время т. Если вы не знаете, как определить путь /, посмотрите р. 69.
37.	Поскольку весь процесс изотермический, для каждого его этапа можно использовать уравнение Бойля—Мариот
176
та: р]У1 = р2У2. Процесс откачки следует подразделить на три этапа: на первом этапе воздух находится только в сосуде, на втором — заполняет сосуд и насос, на третьем этапе процесса откачки воздух из насоса уходит в атмосферу, а объем пространства насоса сжимается до нулевого. При этом никаких изменений газа, находящегося в сосуде, не происходит, в частности, его давление остается неизменным. Поэтому третий этап нас интересовать не будет. Запишите уравнения термодинамических состояний газа на первом и втором этапах. Если вы не поняли, как получить термодинамические уравнения, обратитесь к р. 100, если вы их получили, посмотреть промежуточную формулу можно в р. 50.
38.	Согласно первому закону термодинамики, Q1=A1-4-4-AUi. Следовательно, нужно определить работу Ai газа и изменение внутренней энергии AUi на пути 132, и то же сделать для пути 142. Если вы нашли значение Ai (см. р. 64), но не можете определить AUi, обратитесь к р. 73. Если вы не нашли Аь посмотрите р. 54.
39.	Вы не забыли, что, по условию задачи, количество газа не 1 моль? Если вы забыли о множителе ш/Мг и не знаете, как его определить, посмотрите р. 55. Если дело не в этом, обратитесь к р. 102.
40.	Поскольку в результате цикла система вернулась в состояние 1, ее внутренняя энергия не изменилась (AU = 0), поэтому достаточно вычислить количество тепла, которым система обменялась с ВС. Если вы не можете рассчитать Qi (количество тепла на пути 12) и Q2 (количество тепла на пути 34), посмотрите р. 90.
41.	Всякий реальный процесс идет сравнительно быстро и равновесным может считаться лишь приближенно. Согласно теореме Карно, КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, всегда больше, чем КПД реальной тепловой машины. Вычислив А по формуле для 13, получим максимальную работу. Теперь определите W самостоятельно.
42.	При завершении цикла внутренняя энергия не изменилась (AU = 0), следовательно, работа цикла А равна сумме значений теплоты, полученной или отданной системе. Вычислите количества теплоты Q12, Q23, Q31 (см. рис. 79 в р. 26). Не забывайте, что во всех случаях выполняется уравнение (КМ).
43.	График цикла построили? Он такой же, как в задаче 21 (см. р. 26). Выпишите заданные параметры и соотношения между параметрами, как это делалось в р. 84. Да
12 Заказ 259
177
лее следует действовать примерно так, как при решении задачи 21.
44.	Когда имеете дело с циклом, обязательно постройте график. Сравните его с изображенным на рис. 81 (р. 61). Выражения для работы при разных процессах вы получили в предыдущих задачах (см. задачи раздела 2 гл. 2).
45.	На пути 12 T2/TI=V2/V1. Поэтому Т! = Т2/п. На пути 23 Тз/Т4=У2/У1 и т. д. Получив А, рассчитайте Q.
2
46.	Изменение энтропии Si2= / dQ/T. Нужно построить 1
выражение для AQ и взять интеграл. Если вы не можете получить выражение для AQ, обратитесь к р. 98, если не можете взять интеграл, — к р. 143.
47.	AS = Rki2. Какой вывод следует из этого выражения? Если вы получили иной результат, может быть, неудачно выбрали путь перехода и ошиблись в расчете. Проверить выбор пути можно в р. 67. Ход расчета сверьте с указанным в р. 88. Если выражение для AS получили верное, но вы не поняли, что из этого следует, обратитесь к р. 144.
48.	Как изменяется в необратимом адиабатическом процессе энтропия? Изменение энтропии между двумя равновесными состояниями можно рассчитывать е помощью произвольного процесса. Теперь ясно, в чем дело? Если нет, посмотрите р. 125.
49.	Для первого состояния mi/Mr тоже неизвестно, но зато задана плотность g=mi/Vi. Можете теперь записать выражение для Мг? Если нет, обратитесь к р. 99, если записали, проверьте его в р. 35.
50.	pft_iV=pfe(V+iAV), где к — номер хода насоса. Если вы получили такое выражение, заканчивайте задачу. Равенство, которым заканчивается постепенный подсчет давлений, найдете в р. 79.
V2
51.	А = f pdV, где p = m/MrRT1/V. Поэтому А= V,
V2
= m/MrRT1 f dV/V.
V,
52.	Если известна теплоемкость С„, значит известна и теплоемкость Ср, так что Qp можно выразить через нее. Теперь ясно решение? Если нет, посмотрите р. 71.
178
53.	Работу нужно рассчитывать с учетом равенства из р. 30, так как RT=const.
54.	На изобаре 13 работа Ai3=pi(V2—Vi), на изохоре AV=0.
55.	Для кислорода Мг=2-16=32, т. е. т/Мг=0,16/32. А АТ вы рассчитали верно? (см. р. 118).
56.	Здесь следует использовать уравнение (КМ), которое выполняется для начального и конечного состояний (и, конечно, для всех промежуточных). Какие параметры соответствуют начальному состоянию? Если это неясно, прочитайте р. 65, если понятно, каково начальное состояние, находите параметры конечного состояния. После этого все вопросы легко разрешаются. Общие формулы для параметров конечного состояния можно сравнить с приведенными в р. 95.
57.	Да, выражение для изменения внутренней энергии годится: AU = m/MrCt,AT, а если известно С„, можно определить у (ведь газ идеальный). Значит, нужно искать AU. Принимайтесь за дело. Если AU определить не можете, посмотрите р. 91.
58.	Вы не забыли, что температура дана в градусах Цельсия? А правильно ли вы перевели килокалории в джоули? Если ошибка не в этом, посмотрите р. 92.
59.	Когда речь идет о цикле, рекомендуем начинать с построения графика. Проверить график можно в р. 26.
60.	Вы считаете, что работу можно выразить через теплоту? Это верно. Выражения для количества тепла такие же, как в р. 75, только соотношения параметров несколько иные. Может быть, вы в этих соотношениях и ошиблись? Проверьте их в р. 85.
61.	Если, проанализировав чертеж (рис. 81), вы все же не можете определить работу и количество полученного тепла, обратитесь к р. 76.
f
44 1	Рис. 81
12*
179
62.	Q12=m/MrCp(T2—T^; согласно р. 45, выражение для Q12 положительно. Аналогичным образом получаем: Q41==m/MrCt,(Ti—Т<) >0, тогда KaK'Q23<0 и Q34<0- Теперь представьте Qi через известные выражения. Проверьте полученное значение в р. 77.
63.	Можно воспользоваться уравнением Пуассона (см. п. 2.9). Не забудьте, что азот — двухатомный газ. Если вы все же не нашли р2, посмотрите р. 72.
64.	А1 = 1,23 кДж. Если вы получили иное значение Аь обратитесь к р. 54.
65.	В задаче указано, что газ идеальный, находится в нормальных условиях, его количество составляет 1 кмоль. Следовательно, все параметры начального состояния газа известны (см. п. 1.2). Выпишите эти параметры и выразите через них параметры конечного состояния газа (лучше это сделать в общем виде). Проверить ответ можно в р. 74.
66.	Чтобы разобраться в задаче, выпишите все папамет-ры и характеристики, а также соотношения между характеристиками. Посмотрите, что в выражениях для количества тепла известно, а что требуется определить. Если все-таки задача не выходит, посмотрите р. 75.
67.	Прежде всего сделайте чертеж (рис. 82) и подумайте, какой формы может быть кривая перехода из состояния 1 в состояние 2, для того чтобы расчет стал наиболее простым. Прежде чем находить выражение для AQ, проверьте свою догадку в р. 78.
Рис. 82
68.	m2=gp2V2Ti/(piT2). Если ваша формула такая, а ответ не получился, внимательно проверьте, все ли величины взяты в одинаковой системе единиц.
69.	За время т сквозь сечение трубы S прошло количество газа ш (рис. 83). Это количество газа при данных температуре и давлении имеет объем V. Найдя его и разделив на S, получим I. Попробуйте провести дальнейший расчет самостоятельно. Сравните полученные вами формулы с приведенными в р. 146.
180
70.	Вы получили равенство CppdV4-'Ct,Vdp = 0? Если нет, обратитесь к р. 126, если да, воспользуйтесь дальше методом разделения переменных. Если вы не знаете метода, посмотрите р. 150.
71.	По определению, Ср = (AQ/AT)р.
72.	Вероятно, вы забыли примечание к п. 2.9, где указывается, как найти у. Проверьте результат в р. 81.
73.	От чего зависит AU идеального газа? Если вы определили эту величину, проверьте ее численное значение В р. 82, если нет, прочитайте р. 94.
74.	Т1 = 300 К, pi— Ю5 Н/м2. Зная значения Е и р| и помня, что ш/Мг=1, легко получить Vi. Если вам не удается найти ответ на второй вопрос, посмотрите р. 83.
75.	Q12=m/MrRT1 In^/Vj); Q23=m/MrCP (Т3-Т2); Q3I= = m/Mr(T!—Т3)СР. Теперь ясно, что нужно найти? Если нет, обратитесь к р. 84.
76.	В процессах 23 и 41 AQ = 0, в процессах 12 и 34 А = 0. Выражение для работы в адиабатическом процессе вы находили в задачах раздела 2 гл. 2. Не забудьте, что на пути 41 работа |А41| = |Ан|- Если это неясно, обратитесь к р. 86. Окончательное выражение для А сравните с приведенным в р. 32.
77.	Q12=m/MrRT2[7/2(n-l)+5/2(l-T3/T2)]. Теперь легко найти т].
78.	Самые простые пути для расчета — изохора и изобара. Их можно выбрать, например, так, как это показано на рис. 84. Теперь рассчитайте AS]2=ASi3+AS23. Результат проверьте в р. 47.
79.	p = pn=p0(l+AV/V)-«.
80.	Выражение для работы при адиабатическом процессе можно представить разными формулами (см. задачу И). Если вы искали А с помощью равенства A=AU, возможно, ваш ответ правилен. Убедиться в этом можно, преобразуя Его к виду, данному в ответе, с помощью уравнения Пуассона. Если ответ не получился, обратитесь к р. Г29.
181
р
12
I I
J-----v	Puc. 84
*2
81.	По формуле Майера, Cp = Cr-|-R, Cr=iR/2 и для азота i —5. Теперь нашли рг? В крайнем случае проверьте общую формулу в р. 93.
82.	AU = 0,6 КДж. Если у вас значение AU иное, проверьте общую формулу в р. 94.
83.	AU=m/Mz-CcAT. Теперь надо найти С„.
84.	Заданы значения Т;; Cc=R/2; CP=3/2R; V2/V3=2. Кроме того, согласно свойству цикла, Ti=T2; р2=р3; V3=V, т. е. V2/Vi=2. Остается найти Т3. Если выражение для А получилось, находите г|, если нет, посмотрите р. 96.
85.	Заданы значения Ti; CB=R/2; CP = 3/2R; V2/V3= =V2/Vi = n; Ti = T2; р2=р3; У3=УЬ Выражение для работы можно проверить в р. Г12.
86.	Вспомните решение задачи 10 для адиабатического процесса (см. р. 151). Вы получили в этой задаче формулу для А, считая, что конечный объем больше начального (расширение). В данном случае на пути 41 происходит сжатие. Однако в силу обратимости процесса работа на обратном пути (14) будет та же, что и на прямом, только с обратным знаком. Отсюда вытекает равенство А4]=—Au. Формула для Ан вам известна.
87.	Вы не забыли выразить температуру в кельвинах? Если дело не в этом, проверьте общую формулу для г) в р. 113.
88.	На пути 13 (изохора) 5Q=CrdT, на пути 32 (изобара) <5Q=CpdT. Будьте внимательны к пределам интегрирования. Проверить их значения можно в р. 109.
89.	Суммарное давление р= (piVi+p2V2)/(V1+V2)• Ес' ли вы получили иную формулу, обратитесь к р. 147.
90.	На адиабатах AQ = 0. Для нахождения значения AQ на изотермах можно воспользоваться формулой из задачи 12. Однако не забудьте, что V3#=V2 и т. д. Точки 3 и 4 на адиа-182
батах не произвольны: точка 3 выбрана так, чтобы температура оказалась равной Т2, точка 4 — так, чтобы адиабата проходила через топку 1. Постарайтесь найти отношение V3/V4. Если вам это не удается, обратитесь к р. 104.
91.	Верно. Выражение из п. 2.8 здесь применить нельзя. Но вы знаете количество поглощенного тепла Q, a AU входит в выражение для Q. Что,теперь нужно делать? Если это ясно, действуйте и сверьте полученные выражения с ответом. Если вам непонятно, что делать, прочитайте р. 105.
92.	n=A/Qi=(T1-T2)/Ti, поэтому А= (Tt—Т2)/T1Q1. Остается только не перепутать единицы измерения.
93.	р2=Р1 (V|/V2)‘ , где у=1,4.
94.	AU—т/МгСсДТ, следовательно, нужно найти ДТ (газ двухатомный и Сг известно). Если Д11 рассчитали, проверьте его значение в р. 82, если нет, обратитесь к р. 117.
95.	T2=piV2/R; V2=5Vf, р2=р. (конечное состояние газа при изобарическом процессе). Если V, вы нашли (проверить полученное выражение можно в р. 106), ответить на вопросы 2 и 3 вы сможете легко.
96.	T3=Ti/2, поэтому Q23<0. Если вы получили иное значение Т3, проверьте правильность своего расчета в р. 107.
97.	Поскольку Q23=Q4i = 0, остается найти Q34 и Qi2. Постройте выражения Q34 и Q!2 и определите, какая теплота получена от нагревателя (т. е. и есть искомая Qi), а какая отдана холодильнику. Теперь можете получить выражение для т]? Если нет, посмотрите р. 108.
98.	Перечитайте внимательно п. 3.4 и подумайте, как проще решить задачу. Если не догадались, посмотрите р. 103.
99.	mi = Q!Vi. Подставив значение Ш] в уравнение (КМ), получим: Mr=pRTi/pi. Если Мг известно, щ2 можно найти из соответствующего уравнения (КМ).
100.	Первоначальному состоянию газа в сосуде соответствует произведение p0V; после первого хода насоса, забравшего часть воздуха из сосуда, объем сосуда и насоса стал равен V+AV, а давление — таким, что выполняется закон Бойля—Мариотта: p0V=pi (V+AV). Когда удалили воздух из насоса, объем системы стал вновь равен V, а давление осталось прежним, рь Дальше действуйте сами. Выражение для давления при k-м ходе насоса проверьте в р. 50. Если расчет второго хода насоса непонятен, обратитесь к р. 148.
101.	Конечно, А можно вычислить по формуле из п. 2.2, однако целесообразнее воспользоваться результатом задачи Н. Попробуйте выразить А через температуру. Полученную формулу проверьте в р. 116.
183
102.	Кислород — двухатомный газ, т. е. i=5 (см. п. 2.9). Если ошибка не в этом, значит вы забыли, что Qt=AU. Рассчитайте эту величину и проверьте полученную формулу в р. 118.
103.	AQ = dU-j-pdV. Для идеального газа dU=m/MrC1,dT. Если не можете закончить решение задачи, обратитесь к р. 143.
104.	Воспользуйтесь уравнением Пуассона для адиабатического процесса в граничных точках и не забудьте, что они лежат и на изотермах. Нашли отношение V3/V4? Если нет, посмотрите р. 120.
105.	Для того чтобы воспользоваться первым началом термбдинамики, нужно знать работу А. Ее легко определить в изобарическом процессе, при этом не понадобится знание V. Если вы не нашли выражение для работы, посмотрите р. 122.
106.	V2=5RTi/p1. Выражение для AU можно проверить в р. 111.
£107. Согласно уравнению (КМ), рзУз=т/МгКТз; p2V2= = m/MrRT2. Если разделить первое уравнение на второе ,и учесть, что T2=Ti, V3/V2=l/2, получим: Т3=Т1/2.
108. Q12 = m/MrC„(T2—П); (Эз4=т/М,Сг(Т4-Тз). Какое из этих выражений отрицательно? Почему? Если не понимаете, обратитесь к р. 128.
109. Пределы интегрирования: Ti = piV]/R; T2=p2V2/R; T3=p2Vj/R.
ПО. Поскольку температура окружающего воздуха считается неизменной, можно воспользоваться уравнением Бойля—Мариотта. Объемы газа в одном и другом состояниях заданы (площадь основания цилиндра — сечение трубки, следовательно, объем пропорционален длине, запятой газом). Теперь, вероятно, вы получили правильный ответ.
111.	AU=5RTj.
112.	A=mRTi/(Mrn) {nTi Inn—(n—1)}. Если вы не получили такое выражение, скорее всего, ошиблись в преобразованиях. Проделайте их аккуратно, ничего не сокращая в уме. Теперь запишите выражение для т]. Если снова оно не получилось, проверьте, правильно ли вы оценили знаки у Qi2 и Q31 (см. р. 124).
113.	Т) = 2(п—1)(1—Т3/Т2)/[7(п—1)4-5(1—Т3/Т2). Если ваше выражение не такое, проверьте выражения для А и Qi в р. 33 и 77.
114.	V,/V2= (pi/p2)T .
184
115.	На изотерме T^const. Какой вид имеет в этом случае уравнение (КМ)? Как выяснить, где Т больше? Если не уверены в своих рассуждениях, посмотрите р. 131.
116.	A=R/(y— 1) (Ti—Т2). Теперь достаточно воспользоваться формулой (КМ). Общую формулу проверьте в р. 132.
117.	Из формулы (КМ) (см. п. 1.4) следует, что АТ = = l/(m/MrR) (p2V2—piVi). Согласно примечанию к п. 2.9, Cr=5/2R (кислород — двухатомный газ). Теперь легко рассчитать AU.
118.	AU = m/MrCrdT, где Т — температура в кельвинах.
119.	Если AU вы нашли, определите работу (проверить численное значение А можно в р. 135). Полезно найти Q иным способом и сравнить полученные значения. Догадались, каким? (см. задачу 12).
120.	На адиабате 23 LVJ-^bVs7-1, на адиабате 41 Т1УА_1 = Т2У1П~1. Сравнив равенства, получим: V2/Vi = =V3/Vi. Дальше все очевидно (не забудьте, что 1п(Уз/У4) = =—ln(V4/V3)). Если вы не поняли, почему уравнения для адиабат имеют такой вид, обратитесь к р. 136.
121.	Внимательно прочитайте определение мощности (см. п. 3.7). Вы получили работу А за один цикл. Сколько циклов совершается за 1 с? Запишите общую формулу мощности, если т — продолжительность одного цикла. Проверьте общую формулу в р. 138.
122.	При изобарическом процессе A=p(V2—VJ. Нельзя ли преобразовать эту формулу, введя в нее величины из условия задачи? Если вам это удалось, заканчивайте решение задачи. Общая формула для А приведена в р. 137.
123.	Вы применяли формулу r]=A/Qi? А каким вы брали Qt? Ведь это тепло, сообщаемое системе не только при изотермическом процессе. Посмотрите выражения для количества тепла Q23 и Q31- Разве одно из них не сообщено системе? Если вы все поняли, находите г|, если нет, обратитесь к р. 139.
124.	В качестве Qi следует взять сумму положительных значений теплоты. Так как п>1, то Q23==m/MrCp(Т3—Т2) = = m/M^Cp(l/n—1 )Ti=—m/(Mrn)RTi(n—1) <0. Поэтому Qi = Qi2+Q3i = m/MrRT1[lnn+l/2(l-l/n)].
125.	Конечно, можно воспользоваться тем же приемом, который применялся при решении задачи 26 (см. р. 34). Например, можно выбрать для расчета равновесный изобарический и изохорический процессы. В задаче 27 они об
185
ратны процессам, приведенным в задаче 26, так что переданное тепло имеет обратный знак. Каково будет AS? Если эти рассуждения вам непонятны, вычислите AS так, как это делали, решая задачу 26. Проверить полученное значение AS можно в р. 145.
126.	dT=Mr/(mR) {pdV+Vdp}. С учетом того, что Cc4»Cp = R, из этого выражения следует равенство, приведенное в р. 70.
127.	Вы забыли, что AU идеального газа зависит только от температуры и в изотермическом процессе не изменяется. Теперь все ясно? Если нет, посмотрите р. 152.
128.	Согласно уравнению (КМ) (формула закона Шарля), при изохорическом процессе температура пропорциональна давлению. Следовательно, Т4<Т3. Теперь найдите ц
V2
129.	А= J pdV, где р следует выразить через V с по-Vt
мощью уравнения Пуассона: pVf=p1ViT. Если у вас снова не получился ответ, посмотрите р. 151.
130.	Если задана температура, то проще всего использовать формулировку первого начала термодинамики (см. п. 2.5) с учетом выражения для AU идеального газа (см. п. 2.8).
131.	При любом значении V (рис. 85) давление pi на изотерме 1 выше, чем давление р2 на изотерме 2. Значит, piV>p2V. И тогда Ti>T2.
Рис. 85
132.	A=i/2(ptVi—p2V2), где i = 5 и у выражено через i.
133.	Не забудьте, что AU не зависит от пути перехода, так что для расчета Q2 достаточно найти значение А2 (оно равно 9 -105 Дж).
186
134.	Поскольку AU вы нашли, можно вычислять А. Однако проще иной путь решения (см. задачу 12). Не забудьте о множителе m/Mr и о значении Ср.
135.	А=90,72-105 Дж.
136.	Из уравнения Пуассона piV/=p2V21f и уравнений (КМ) для тех же состояний: piVi = RTi, p2V2—RT2— получаем требуемое.
137.	A = m/MrRAT, что следует из уравнения (КМ).
138.	W=A/t=t]Qi/t.
139.	Q31>0, следовательно, Qi = Qi2+Qei-
140.	Для определения КПД цикла Карно достаточно знать температуру изотерм, а они в задаче заданы (П и Т3).
141.	Нужно выражение для работы из р. 32 разделить на Qi = Qi2 (см. р. 108) и учесть, что у=Ср/С„; Ср—C„=R.
142.	r]k= (Т2—Тз)/Т2. Не забудьте, что температура должна быть выражена в кельвинах.
143.	Интеграл J (pdV/T) с помощью уравнения (КМ) p = m/MrRT/V преобразуется в интеграл J (m/MrRdV/V). Таким образом, оба интеграла имеют вид J (dx/x). Интеграл такого вида берется по формуле из М5.2.
144.	AS^=0. Может ли это неравенство характеризовать равновесный адиабатический процесс?
145.	AS =—R In 2. Ясно теперь, какой ответ следует дать на вопрос задачи? Если нет, прочитайте внимательно п. 3.2.
146.	v=Z/t; Z=V/S; V=mRT/(Mrp). Отсюда получаем выражение для скорости v (см. р. 22).
147.	Для изотермы можно использовать закон Бойля— Мариотта: первый газ сначала имел объем Vi и давление pi, а после соединения сосудов стал иметь объем Vi+V2 и давление р/, т. е. piV2=p1/(Vi+V2). Аналогичные рассуждения — и для второго газа. Дальнейший расчет элементарен.
148.	После первого хода насоса давление в системе в соответствии с уравнением из р. 100 pi = ро (1 -f-AV/V)~1. При выпуске воздуха из насоса оно не изменилось. Следовательно, ситуация стала той же, что и в начале процесса, только вместо ро давление оказалось равным рь При втором ходе насоса давление в системе изменится до р2: piV=p2(V+AV), т. е. р = р! (l+AV/V)-1==po(l+AV/V)~2 и т. д.
149.	Вы не допустили ошибки в формулах давления в системе (воздух в трубке) в двух разных случаях (рис. 86) ?
187
P 1 атм
77/ZW//7b

mg I
Puc. 86
P
1 атм
При выражении давления в мм ртутного столба следует учесть, что давление ртутного столба (вес на единицу площади) равно его высоте (в нашем случае h). Полагая Ратм— Н (мм рт. ст.), получим: в первом случае давление на газ в трубке pi = H—h, во втором случае p2=H-[-h. Заканчивая решение задачи, учтите, что Vi = /1Si, а сечение трубки всюду одинаково.
150.	Равенство CppdV——CcVdp следует разделить на pV, тогда получим: CpdV/V=—C^dp/p. Теперь каждую часть полученного равенства можно проинтегрировать: Ср J dV/V= =—С,, J dp/p, в результате чего Ср In V-f-Ct, In p = const или Cp/Cv In V+ln p = const (см. M5.2). Потенцируя это выражение, найдем: pV^ const.
V.,	V3
151.	A=piVJ JV-? dV=piViV(l—y)V~?+4	=
V,	V,
= piVJ/(l—y) (V2-I+1—V1-TT+’). Изменив знак у (1—у),получим: А= 1/(у—1) (piV,—piVi W2-T+1) =m/MrRTi/(у—1)Х. Х[1 — (V1/V2)' -1], где учтено уравнение (КМ).
152.	QP = A (см. задачу 10).
РЕКОМЕНДАЦИИ 153—247 К ЗАДАЧАМ 28—49
153.	Скороть vx может иметь любое значение от —оо до +<х>, однако в функцию распределения она входит в квадрате, поэтому ее отрицательные значения будут давать под знаком интеграла то же значение, что и положительные, оо	оо
так что J =2 J. Теперь запишите интеграл и поищите по-— оо	О
добный в М5.6. Если значение С не получается, посмотрите р. 228.
154.	Вы воспользовались формулой (2) из М5.6? Это правильно, но нужно было учесть, что vx изменяется от —оо до -фоо и то, что при нечетной подынтегральной функции (т. е. изменяющей знак при изменении знака аргумен-0	оо	оо
та)	J=—J, т. е. ( =0.
— оо	0	—оо
155.	Наиболее вероятная скорость — это та скорость, плотность вероятности которой (см. М10.3) максимальна. Вам известна функция от vx, описывающая плотность ее вероятности. Найдите, при каком значении vx эта функция имеет максимум (см. М4.2), после чего определите vxm.
156.	Интеграл здесь действительно не табличный. Постройте его. Если ,вам удалось взять интеграл, проверить правильность формулы <v> можно в р. 169. Если не можете взять интеграл, обратитесь к р. 186.
157.	В задаче 32 вы находили наиболее вероятную скорость vm, меньшие и большие скорости будут менее вероятны. Однако из графика функции распределения Максвелла (см. р. 232) видно, что в окрестности максимума vm имеется некоторая область скоростей, которыми обладают многие молекулы. Как вы увидите в ходе решения задачи, их число зависит от температуры. Подумайте, как математически можно записать условие задачи. Сверьте свою запись с приведенной в р. 168.
158.	Предположим, что вам известны средняя скорость <v> и средняя длина свободного пробега %. Можете оп-
189
ределить число столкновений в секунду? Ведь скорость — это путь, пройденный за 1 с. Теперь нужно найти %. Если вам это не удалось, обратитесь к р. 175. Выражение для Z проверьте в р. 165.
159.	Вращаясь, внешний цилиндр тянет за собой водород, который начинает вращаться в ту же сторону. Вращающийся газ заставляет вращаться внутренний цилиндр. Если внутренний цилиндр остановить (какая сила для этого потребуется?), то газ, соприкасающийся с ним, тоже остановится. Как тогда распределятся скорости движения его как целого? В каком направлении нужно брать градиент? Сделайте чертеж, изображающий случай, когда внутренний цилиндр вращается (механическим трением пренебречь) и проверьте его в р. 166. Какова, согласно графику, скорость внутреннего цилиндра Ui?
160.	Когда говорят об одинаковой теплопроводности двух пластин, подразумевается не равенство их коэффициентов теплопроводности, а то, что при одинаковой разности температур за единицу времени пластинами передается одинаковое количество тепла Q. При этом толщина сравниваемых пластин и материалы, из которых они сделаны, могут быть различными. Постарайтесь сами решить задачу.
161.	Можно воспользоваться формулой р= (ni-f-n2)kT, где Hi и П2 — концентрации соответственно азота и гелия. Таким образом, условием задачи задана сумма П1-|-П2= — р/(кТ). Надо знать еще одно соотношение между щ и пг. Может быть, вы догадаетесь, как его получить, если известно, что масса газа азота составляет 70% от массы смеси газов? Если вам это не удается, посмотрите р. 173.
162.	Вы пользовались основным уравнением кинетики? Подумайте, применимо ли здесь оно: ведь, по условию задачи, все молекулы газа двигаются в одном направлении — сначала к стенке, потом от нее. Следовательно, движение не хаотическое, состояние неравновесное, а уравнение кинетики применимо только для равновесного состояния. Поэтому в данном случае нужно рассматривать механику ударов молекул о стенку сосуда. Подумайте, как вычислить давление. Помочь вам могут рассуждения из п. 4.8. Если вы все же не знаете, как подойти к решению, обратитесь к р. 174.
163.	Составляющие скоростей (в частности, vv) подчиняются распределению Максвелла (см. п. 4.2). При построении интеграла не забудьте, что скорость vx может иметь как положительные, так и отрицательные значения. Если вы 190
с интегралом не справились, посмотрите р. 154, если получили ответ, вычисляйте <vx2>.
164.	Посмотрите М4.2. Значение аргумента (в нашем случае \х), при котором функция имеет экстремум, определяется из условия равенства нулю ее первой производной. Найдите эту производную и приравняйте ее к нулю. Теперь все ясно? Если нет, обратитесь юр. 172.
165.	Z=<v>?v, где <v>=y3RT/Mr, а к нужно найти.
166.	Вращение происходило бы вокруг центра и при установившемся движении, когда слои газа двигаются без сдвига относительно друг друга (рис. 87). Как изменится характер движения, если остановить внутренний цилиндр? Поскольку он вращался за счет внутреннего трения, остановить его можно противоположной силой. Какой будет она при остановившемся цилиндре? Сделайте соответствующий чертеж и сравните его с изображенным на рис. 88 (р. 176).
167.	Вы снова столкнулись с тем обстоятельством, что данных в условии задачи параметров кажется недостаточно для определения искомых величин. В частности, ничего не сказано о температурах в разных частях системы, передающей тепло. Значит, следует предположить, что температуры несущественны и для описания происходящих явлений можно взять их произвольно. Если вам все же неясно, как строить выражения для Q, обратитесь к р. 178.
168.	Отношение числа частиц, имеющих скорость в пределах между vm—Av и vm+Av, к полному числу частиц Vm + Av
выражается интегралом: AN/iN— f f(v)dv. Этот интеграл Vm Av
не сводится к табличному, однако, может быть, вы догадаетесь, как вычислить его приближенно? Кроме того, вам нужно найти vm. Если, даже посмотрев раздел М5, вы не знаете, как поступить, обратитесь к р. 177.
191
оо
169.	<v>=4[rn/(2kT)]3/2/fjt f v3 exp[—mv2/(2kT)]dv 0
О том, как брать интеграл, сказано в р. 186.
170.	Вы забыли задачу 30? Это тот же вопрос, только по отношению к другому распределению (см. р. 155).
171.	Вам предлагается вычислить среднее значение квадрата составляющей скорости. Оно не равно квадрату среднего значения vx. Это ясно уже из того, что квадрат скорости Vx2 всегда положителен, а \х принимает ,и отрицательные значения с той же вероятностью. Так что вычисляйте <vx2> независимо от <vx>. Если вас затрудняет работа с интегралом, посмотрите р. 188.
172.	Функция, максимум которой нужно найти, имеет вид f(vx)=Cexp{—mvx2/(2kT)}. Здесь аргументом служит vx, остальные величины — известные постоянные (см. пример а из раздела М4.6). Проверить выражение для производной можно в р. 189.
173.	Число атомов в 1 г/моль любого вещества одинаково (равно числу Авогадро ХА), а молекулярные массы азота и гелия соответственно равны: Мн — 24, Мг2=4. Теперь можете найти связь между массой газа и его концентрацией? Если нет, прочитайте р. 201.
174.	Давление есть сила, действующая на единицу площади. Силу удара молекул о стенку можно вычислить, учитывая скорость их движения (импульс) и число молекул, попадающих на стенку в единицу времени. Получили ответ? Если ваш ответ получился вдвое меньше, значит, вы не учли того, что молекула сообщает стенке импульс не только при ударе, но и при отскакивании от стенки. Если не знаете, как подсчитать импульс, обратитесь к р. 202, если не можете определить число попадающих на стенку молекул, -— к р. 219.
175.	Не спешите находить все параметры в отдельности: иногда часть параметров в ходе решения сокращается, так что в окончательном выражении они отсутствуют, и решение от них не зависит, хотя в промежуточных вычислениях они имеются. Возможно, здесь произойдет то же самое. Воспользуйтесь тем, что значения ц, р и <v> вам известны.
176.	На рис. 88 Ui = 0. Чтобы построить выражение для F, нужно знать Ли/Ar и ц. Попробуйте вычислить их самостоятельно. Если градиент скорости не нашли, посмотрите р. 183, если не можете вычислить ц, — р. 195.
192
177.	В М5.7 дается способ приближенного вычисления интеграла, если Да заметно меньше а. Чтобы воспользоваться формулой из М5.7, нужно найти значение vm и сравнить с ним значение Av. Определили vmi и vm2? Проверьте их значения в р. 185.
178.	Выберите любые значения температур на границах пластин, например, показанные на рис. 89. Очевидно, что ДТ/Дх можно представить как отношение разности температур на границе -каждой пластины к толщине пластины. Заканчивайте задачу. Общую формулу для х сравните с приведенной в р. 205.
Рис. 89
179.	Условие нормировки из М10.3 требует, чтобы / f (vx) dvx= 1. Этого можно добиться соответствующим подбором значения С. Теперь ясно, что нужно вычислять? Если нет, обратитесь к р. 206.
180.	Нужно записать формулу кинетической энергии частицы, имеющей скорость vx, и вычислить ее среднее значение. Если ответ не получается, обратитесь к р. 231.
181.	Вы воспользовались результатом примера 4.7? Ведь кинетическая энергия частицы есть mv2/2.
182.	С точки зрения молекулярно-кинетической теории, внутренняя энергия вещества складывается из кинетической энергии его частиц и потенциальной энергии взаимодействия между частицами и действиями внешнего поля. Напомним, что число частиц в 1 моле газа равно (см. п. 4.1), Na1<=R (см. п. 4.2). Если у вас остается неуверенность в правильности своих рассуждений, посмотрите р. 191.
13. Заказ 259
193
183.	Au/Ar= (u2—Ui)/(r2—г,), при этом Ui = 0. А каково u2? (см. гл. 1, n. 3.1). Если вы не поняли, почему в качестве Ах взято Аг, посмотрите р. 166, если не нашли ц2, обратитесь к р. 203.
184.	Z=3t]/(<v>q) . Значит, нужно искать q. Для этой цели используйте уравнение (КМ) и, не находя входящих в него выражений, подставьте в Z. Расчетную формулу для Z сравните с приведенной в р. 196.
185.	vmi = 1,82• 103 м/с; vm2=2,73-103 м/с, что, конечно, значительно больше Av = 5 м/с. Если вы получили иные значения vmi и Vm2, обратитесь к р. 194. Заметим, что в выражение для интеграла лучше подставлять не числа, а общую формулу.
Итак, теоремой о среднем пользоваться можно и нужно, так что вычисляйте интеграл. Проверить результат вычисления можно в р. 216.
186.	В отличие от предыдущих задач, где соответствующие неопределенные интегралы не брались, здесь неопределенный интеграл сводится к интегралу 7 из М5.2 подстановкой \2 = х. Если вы знакомы с интегральным исчислением, дальнейшее вычисление получится элементарно. Если брать подобные интегралы вам не приходилось, посмотрите р. 197.
187.	Вам следовало взять производную по v от функции f(v) и приравнять ее к нулю. Если вы так и сделали, то, вероятно, запутались при взятии производной. Внимательно проделайте все преобразования еще раз. Если и теперь ответ не получился, посмотрите р. 198.
оо
188.	Следует вычислить интеграл <vx2> = f vx2f(vx)dvx.
—оо
Нельзя ли свести его к интегралу 3 из М5.6? Если вы не можете проделать это преобразование, прочитайте р. 154 и подумайте, чем полученный интеграл отличается от <vx7>. Если картина остается неясной, обратитесь к р. 207.
189.	f' (vx) = -Д{С ехр [—mvx2/ (2kT) ]} = -Cm2vx/ (2кТ) X
Q V\-
Хехр[—mvx2/(2kT)]. Так как экспонента ехр(—tzvx2) обращается в нуль только при vx=±oo (в этом случае f(vx) имеет минимум), условием максимума может служить только vxm=0. Теперь постройте график функции f(vx). Если вы не знаете, как построить график, обратитесь к р. 208.
190.	Нужно взять среднее значение от v2 и умножить на
194

ni/2. Но среднее значение <v2> рассчитано в примере, так что остальные вычисления элементарны.
191.	При расчете состояния идеального газа не учитывается потенциальная энергия взаимодействия частиц, так что вся энергия кинетическая. Термодинамические (макро-) характеристики — это средние характеристики. В частности, термодинамическая характеристика — внутренняя энергия U есть среднее значение энергии газа. Теперь все ясно? Результат задачи фундаментален, поэтому проверьте свои рассуждения в р. 235.
192.	Вы не забыли градусы Цельсия перевести в кельвины? Если дело не в этом, посмотрите р. 214.
193.	Поступательным называется движение тела без поворота, которое можно описать движением одной его точки (например, центра инерции, — см. гл. 1, п. 10.2). У точки три степени свободы, следовательно, средняя кинетическая энергия частицы равна 3/2 кТ и не зависит от ее массы. Теперь готовы к ответу на вопрос задачи? Если доказательство провести затрудняетесь, посмотрите р. 215.
194.	Вы использовали формулу из задачи 32? Может быть, вы подставили в нее неправильные значения кит? Примените лучше формулу, которая получается из равенства vm—/2kT/m, если под корнем числитель и знаменатель умножить на число Авогадро: vm=/2RT/M,, где Мг — молекулярная масса водорода. Не забудьте, что водород — двухатомный газ (Мг=2).
195.	Значение ц можно взять из задачи 46, а еще лучше — вычислить снова, а потом проверить общее выражение.
196.	Z = p/T]. Если вы получили иное выражение, возможно, вы не учли, что плотность Q = m/V, так что Q = pMr/(RT). А значение <v> вы выбрали верно? (см. примечание к п. 4.7). Если выражение для Z не получилось, обратитесь к р. 223.
197.	Возьмем сначала неопределенный интеграл 1 = = Jv3exp[—mv2/(2kT)]dv. Введем новую переменную x=v2, тогда dx—2vdv. Поэтому v3dv=v2vdv= 1/2 xdx и 1=1/2 Jxexp(ax)dx, где а =—m/(2kT). Заканчивая расчет, не забудьте о коэффициенте нормировки.
198.	f(v) =Civ2 ехр[—mv2/(2kT)];-^ = 2ve~a1’2—2av3e-a®2, где a = m/(2kT). Отсюда vm2= 1/а и т. д. Вычислив vm, переходите к построению графика функции f(v).
199.	Распределение по и можно получить, преобразовав 13*	195
соответствующим образом распределение Максвелла. При этом воспользуйтесь выражением для vm из задачи 32.
200.	Вы не ошиблись в выборе системы единиц? Нужцо Значения всех величин перевести в систему СИ. Если и после этого ответ не получился, обратитесь к р. 248.
201.	Если m—масса смеси газа, С] и С2—процентные содержания соответственно азота и гелия, то масса азота mi = Citn, масса гелия гп2=С2т. С другой стороны, =VniMri/NA; m2=Vn2Mr2/NA, где V — объем газа; Мгг — молекулярные массы газов. Теперь легко найти отношение П1/п2 (проверить полученное значение можно в р. 218). Остальные вычисления элементарны.
202.	Импульс, который получает стенка, состоит из двух частей: импульса при ударе молекулы, движущейся в направлении к стенке, и импульса при отскакивании молекулы от стенки, когда, отталкиваясь от стенки, она передает ей импульс, снова направленный к стенке. Таким образом, етенка получает от одной молекулы импульс 2m0v. В единицу времени на стенку попадает много молекул. Сколько? Если вы понимаете, как вычислить их количество, находите силу, если не понимаете, обратитесь к р. 219.
203.	u2=wr2=2nvr2.
204.	Надо применить формулу из п. 5.6, в которую можно ввести искомую температуру. Какие еще формулы можно использовать? Если все же ход решения неясен, см. р. 210.
205.	х=//[/1/х14-/2/5<2]  Если вы получили иное выражение, проверьте, правильно ли вы записали формулы для тепловых потоков через пластины (см. р. 225).
оо
206.	Условие нормировки С J ехр[—mvx2/(20)]dvx=l —оо
будет выполнено, если С—обратная величина к той, которую вы получите при взятии интеграла. Догадались, как преобразовать интеграл, чтобы воспользоваться формулами из М5.6? Если нет, прочитайте р. 153.
207.	Если подынтегральная функция четна (f(vx) чет-ОО оо
на’), то J =2 J. Не забудьте, что функция f(vx) должна —оо 0
быть нормирована (см. задачу 28). Получили ответ? Если нет, обратитесь к р. 229.
208.	Чтобы построить график функции, нужно определить, при каких значениях аргумента она имеет экстремумы, 196
обращается в нуль и в бесконечность. Если этих данных окажется недостаточно, можно задать несколько значений аргумента и вычислить значения функции. В рассматриваемом случае достаточно определить точки экстремума. При этом следует учесть, что функция симметрична относительно точки нуля, так как f(—vx)=f(vx) (функция четна). Попробуйте теперь, пользуясь результатами, помещенными в р. 189, построить график f(vx). Сравните его с изображенным на рис. 91 (р. 230).
209.	С построением графика вы встречались в задаче 30. Посмотрите еще раз р. 208, но учтите, что в данной задаче значение v не может быть отрицательным. Продумайте, каков ход графика в нуле и на бесконечности и попробуйте его начертить, после чего посмотрите рис. 92 (р. 232).
210.	На нижней границе пластины 2 ее температура равна t2, на верхней — t0. Таким образом, в выражение для количества тепла Q2, полученного пластиной 2 от металла, входит t0. Запишите выражение для Q2 и попробуйте дальше рассуждать самостоятельно. Полученное выражение для to можно проверить в р. 224. Если неясно, как следует поступить дальше, обратитесь к р. 234.
211.	Вы брали интеграл, сводя его к интегралу вида 7 из М5.2? Если нет, посмотрите р. 197, если да, то, возможно, вы забыли коэффициент нормировки или неверно подставили пределы. Здесь верхний предел оо дает нуль, а вычитаемое значение нижнего предела (е°=1)—положительное значение <v>.
212.	Введем обозначение A^Qi/(St) =Q2/(St) =Q/(St), t. e. A/i/xi=t2—-ti; A/2/x2=t3—12; A//x=t3—t,. Из первых двух равенств получим выражение t3—ti = AZi/xi-|-A/2/x2 и приравняем его к третьему равенству. После сокращения на А получим искомое равенство.
213.	Средняя энергия одной частицы найдена в задаче 34. Если это указание вам не помогло, обратитесь к р. 191.
214.	8i = 3/2kT, так как гелий имеет 3 степени свободы. Азот — двухатомный газ, и число степеней свободы его молекулы равно 5, следовательно, е2=5/2кТ.
215.	Для сравнения средних значений скоростей воспользуйтесь формулой, выведенной в примере из п. 4.7. Проверить результат можно в р. 237.
Vm+Av	_
216.	J f(v)dv—8Ду/(еУлvm), где е=2,7 — основание Vm—hAv
197
натуральных логарифмов. Если вы получили другое выражение, попробуйте еще раз аккуратно подставить в интеграл f(v) (не забудьте нормировку и значение vm, выраженное через k, Т и ш). Если и теперь ответ не получается, посмотрите р. 238.
217.	Если вы получили выражение, близкое к ответу, но не совпадающее с ним, проверьте, правильно ли вы оценили связь между dv и du. Если ответ не получается, прочитайте р. 239.
218.	n1/n2=CJMr2/(C2Mrl). Вы поняли из условия задачи, чему равны Ci и С2? (см. р. 241).
219.	Число молекул dN, попавших на стенку за время dt, проще всего вычислить, сделав чертеж (рис. 90). Из него видно, что за время dt до площадки S дойдут все молекулы, которые находились в цилиндре с основанием S и высотой vdt; в цилиндре таких частиц nSvdt, т. е. dN = nSvdt. Каждая молекула сообщает стенке импульс 2m0v, следовательно, за время dt стенке сообщен импульс 2movdN. Если вспомнить, как импульс связан с силой, а сила с давлением, то легко получить окончательный ответ. Если все же ответ неясен, посмотрите р. 242.
220.	Если d считать постоянным, то в выражении для Л изменяться может только п. Не помните ли вы формулу, связывающую между собой п и Т? Нашли X? Если нет, прочитайте р. 243.
221.	Вас смущает значение S? Но если градиент скорости был направлен по радиусу цилиндров, то стенка, к которой он перпендикулярен, есть поверхность внутреннего цилиндра, на которую действует сила, т. е. S = 2jtr/.
222.	<v> — среднее значение скорости частицы иде-
198
вль-ного газа, которую вы определяли в задаче 33. Советуем вам в выражение <Cv> вместо к подставить R, так как значение М,. известно. Если <v> не определили, см. р. 244.
223.	o = pM,/(RT); <v> =y3RT/Mr; A=3t]/«v>q), У e. Z = <v>/(3t]) <v>Q=<v>2pMr/(RT3r1) = р/ц. Теперь подставьте в это выражение цифровые данные.
224.	t0==(zct2/Z2+xgti//i)/(zg//i + xc//2). Если вы получили иную формулу, проверьте ход вычисления в р. 234.
225.	Qi = xi(t2—ti)/ZixS; Q2=x2(t3—t2)/Z2xS; Q = x(t3— —ti)/ZrS. Qi = Qz по закону Фурье, и обе эти величины равны Q по условию задачи. Осталось выполнить элементарные алгебраические преобразования, позволяющие выразить х через %i, х2, Zb Z2, I.
226.	Очевидно, вы ошиблись в вычислении. Подставьте в формулу т] = 1/3<v>-2vq выражения для <v> = = V8RT/(nMr),Q и X. Выражение для К возьмите из решения задачи 43. Остается найти q.
227.	Вы не забыли, что требуется найти не силу, а ее Момент М=—Frb где F —сила трения на поверхности цилиндра? Если нет, возможно, ошиблись в подстановках. Общего формулу для F сравните с приведенной в р. 247.
228.	Вы не забыли, что коэффициент С не равен интегралу, что это — обратная ему величина? Если это учтено, посмотрите внимательно формулу (1) из М5.6, где в интеграле стоит а, а нс а2, как в степени вашего подынтегрального выражения.
оо
229.	<v?> = f vx2ym/(2nkT) ехр[—mvx2/(2kT)]dvx = — оо оо
= 2ут/(2кТ) л-1/2 J vx2exp[—a2vx2]dvx, где a2=m/(2kT). Те-
перь интеграл сведен к формуле 3 из М5.6.
199
231.	ex=mvx2/2, и для вычисления <ех> нужно найти <vx2> (см. задачу 29).
232.	Представленная на рис. 92 кривая показывает, что частиц с очень малой скоростью (v->0) и очень большой скоростью (v->-oo) немного. Как будет изменяться кривая с изменением температуры?
Рис. 92
233.	Ваше заключение было бы верно при симметричных пределах (от —оо до оо). В данном случае пределы — от О до оо, так как модуль скорости v может иметь лишь положительные значения. Если вы затрудняетесь взять интеграл, обратитесь к р. 197.
234.	Q2=xc(t2—io)//2ST. Аналогичным образом количество тепла, которое отдаст пластина 1 металлу (на верхней границе), равно Qi=%g(to—tJ/ZiSr. Теперь вспомните п. 5.9 и заканчивайте вычисления.
235.	<8> = 3/2кТ, следовательно, 0 = 3/21\1ЛкТ, но NaAi = R, t. е. U = 3/2R.
236.	Воспользуйтесь выводом 3 из задачи 34. Из него следует, что средняя кинетическая энергия молекулы равна i/2kT, когда i — число ее степеней свободы.
237.	Отношение средних квадратов скоростей <vi2>/ <v22> =т2/т1.
Vm4~Av ____
238.	AN/N= / 4Ул[т/(2кТ)] 3 72 ехр[—mv2/(2kT)]X V т' Av
Xv2dv « 4У4т/(2кТ) ]3 /22кТ/т exp [—т/ (2кТ) 2кТ/т] 2Av.
239.	В выражение f(v) — 4Ул[т/(2кТ)]3/2 ехр[—mv2/ (2kT)]v2dv нужно ввести u = v/vm, где vm=y2kT/rn. Очевидно, это можно сделать, приняв v=vmu. Не забудьте, что значение vm постоянно, так что dv=vmdu.
240.	Известно равенство: р —пкТ, где п — концентрация идеального газа. В нашем случае Т=300 К.
200
241.	Ct = 70; C2=30.
242.	Суммарный импульс dP = 2m0vnSvdt. Сила f есть dP
производная jp-=2m0vnS, давление равно f/S = 2m0v2n.
243.	Это основное уравнение кинетики: p=j=nkT.
244.	<v>=-|/8RT/(jiMr) , где Мг=32.
245.	А вы верно выбрали значение давления? Ведь рн= 1,03-105 Па. Если дело не в этом, посмотрите р. 196.
246.	Q=m/V, его нужно найти из уравнения (КМ).
247.	F=8kvrд2/уЪгМг/ [3d2 (г2—г,) УR].
248.	Постоянная Больцмана k=l,38-10~23 Дж/К, давление р=1 мм рт. ст. = 1,3-102 Н/м2. Не забудьте о температуре: в задаче она дана в градусах Цельсия. Если и теперь ответ не получается, возможно, вы пользуетесь неверной формулой. Обратитесь к р. 240.
ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ гл. 2
1.	pV=const.
2.	V/T=const.
3.	p/T=const.
4.	1,15 г.
5.	0,9 м/с
6.	3,5-105 Н/м2.
7-	lg(po/p)/lg(l+AV/V).
8.	h(/I+/2)/(/1-/2).
9.	pVCy/c®== const
10.	a)P1(V2—Vi); 6) 0; -в) m/MrRTln(V2/Vi); r) m/MrX XRTi/(y—1) [1—(V1/V2)1-1].
11.	a) m/MrRTi/(T-l)[l—(P1/p2)]; 6) m/MrC„(T2-Ti).
12,	a) m/MrCp(T2—Ti); 6) m/^rCv(T2—T{); в) m/M.X XRTln(V2/V,).
13.	Кривая 1.
14.	a) 105 Н/м2;	A=103 Дж; б) p2 = 0,5-105 Н/м2;
A=700 Дж; в) p2=0,38-105; A=600 Дж.
15.	Q1== 1,83 кДж; Q2= 1,5 кДж.
16.	Q„=1040 Дж; Qp=1400 Дж.
17.	1) Работа изобарического процесса больше;
2)	22,68-10 Дж/кмоль; 3) 3,75-10 Дж/кмоль.
18.	R(Tt—T2)ln (V2/V[).
19.	CP/Cc=l,67; AU = 0,72-10e Дж; А=0,48-106 Дж.
20.	А=1,7 Дж; W=3,4 кДж/с.
21.	A=m/M^RTi (2 In 2— 1); т)=13%.
22.	T)=[nlnn—(n—1)]/[n In n+l/2(n—1)];	тц— (n—
-l)/n.
23.	l-(V2/V1)l"1 = 60%
24.	n = 27%;	=45%.
25.	nCJn(T/T1)+nRln(V/V1).
26.	He мог
27.	He мог.
28.	ym/(2nkT).
29.	<vx>=0, <vx2>=kT/m.
30.	0.
31.	RT/2.
202
32.	У2кТ/т. График представлен в р. 232.
33.	у8кТ/(лт).
34.	3/2 кТ.
35.	3/2 RT.
36.	ei = 6,2-10'21 Дж; е2= 10,5-10-21 Дж.
37.	Вообще говоря, неодинаковы.
38.	ANi/N = 0,0046; AN2/N = 0,003.
39.	f (и)ди=4/Ул u2e~“2du.
40.	3-1022 и-3.
41.	m = 0,8-1022 M-3; n2=2,4-1022 m~3.
42.	2mv2n
43.	kT//2nd2p).
44.	3,8-10-7 m.
45.	9-109 c-1
46.	2k/(3nd2)]/TMr/(nR).
47.	5,13-10-6 H-M.
48.	28,2°C.
49.	15 Дж/(м-с-К).
Глава 3
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
1.	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
1.1.	Взаимодействие между зарядами осуществляется посредством электрического поля. Электрическое поле может быть оценено с помощью пробного заряда. В качестве пробного выбирается единичный положительный точечный заряд, т. е. заряд, расположенный на теле, которое можно моделировать точкой.
Сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна числовому значению каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Это утверждение нооит название закона Кулона и выражается следующей формулой: f=kqiq2/r2r/r. Здесь к—коэффициент пропорциональности; qi и q2—значения взаимодействующих зарядов; г — вектор, проведенный от одного заряда к другому.
Выберем начало координат в точке, где находится заряд qi, проведем радиус-вектор г к заряду q2 (рис. 93). Ес-
а)	I
________2_______
Л«с. 93
204
ли заряды qt и q? одноименны, то сила f, действующая со стороны заряда qi на заряд q2, направлена вдоль вектора т (см. рис. 93,а) и заряды отталкиваются. Если заряды разно-именны, то знак силы противоположен знаку г, т. е. сила направлена к заряду qb и заряды притягиваются (см. рис. 93,6).
Значение силы взаимодействия двух точечных зарядов в системе СИ равно. f = qiq2/(4nee0r2). Здесь е — относительная диэлектрическая проницаемость среды; е0 — электрическая постоянная, равная 8,85-10-12 Ф/м; е-—безразмерная величина, зависящая от рода вещества; ее значение для разных веществ можно найти в таблицах физических констант (см. также раздел 3 данной главы). В системе СИ f выражается в ньютонах (Н), q — в кулонах (Кл).
1.2.	Количественная характеристика интенсивности поля представляет собой отношение силы, действующей на пробный заряд, к этому заряду: E=f/q.
Вектор Е называют напряженностью электрического поля в данной точке (т. е. в точке, где расположен пробный заряд). Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на пробный заряд. Единица напряженности — вольт/метр (В/м).
Примечание Напряженность Е, заданная в каждой точке поля, полностью его характеризует Поэтому иногда вместо: «найти напряженность электрического поля» говорят: «найтн поле».
1.3.	Сравнивая формулы из (1.1) и (1.2), видим, что значение напряженности поля, создаваемого точечным зарядом qb можно рассчитать по формуле £=qi/(4jreoer2). Для точечного заряда вектор Е направлен вдоль прямой, проходящей через заряд и точку поля, в которой измеряется напряженность. Если заряд q1 положителен, вектор Е направлен от заряда, если заряд q! отрицателен, — к заряду.
Электрическое поле удобно изображать с помощью линий напряженности (силовых линий). Силовые линии проводят таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е. Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности площадки, перпендикулярной к линиям, было равно численному значению вектора Е. Линии напряженности начинаются и кончаются на зарядах или уходят в бесконечность.
Пример 1. Провести линии напряженности поля, создаваемого положительным точечным зарядом.
205
Решение. Линии напряжен-
Рис. 94
1.4. Напряженность
ности точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда (рис. 94). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. Густота линий, пронизывающих единичную площадку S, проходящую через данную точку касательно к сфере с центром в заряде, выбирается равной числовому значению Е. Очевидно, что если точечный заряд отрицателен, то силовые линии направлены к заряду.
поля, создаваемая системой точеч
ных зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, которые_создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности: £=£i+£2+—=2Ё,. Это утверждение носит назва-
ние принципа суперпозиции электрических полей. Принцип суперпозиции позволяет вычислять напряженность полей любой системы зарядов.
1.5.	Заряд может быть не только точечным, но заполнять некоторую область пространства, т. е. располагаться на теле заметной протяженности. Поэтому вводится понятие плотности заряда.
Линейная плотность заряда (Кл/м) r= lim Aq/A/ = А/->0
, поверхностная плотность заряда (Кл/м2) а=
= lim Aq/AS= объемная плотность заряда (Кл/м3) AS-^0 dS
q= lim Aq/AV=^7, где dq — заряд, находящийся на от-AV->0	dV
резке линии dZ, элементе поверхности dS или внутри объема dV.
Протяженный, поверхностный или объемный заряды можно разбить на бесконечно малые доли dq, считая каждую из них точечным зарядом. Взаимодействие точечных зарядов описывается законом Кулона.
206
Пример 2. Найти направление силовых линий бесконеч
ной однородно заряженной плоскости.
Решение. Определим вектор напряженности в точке А (рис 95). Заряд, находящийся в точке В, создает в точ
ке А напряженность Ёв. Но на бесконечной равномерно заряженной плоскости всегда имеется симметрично расположенная точка В', создающая в точке А напряженность Ёв', такую, что вектор Ё= =Ёв-\-Ёв' направлен перпендикулярно к заряженной плоскости (см. М2 3) Точка А выбрана произвольно, следовательно, в любой точке пространства напряженность бесконечной однородно заряжен-
ной плоскости направлена по
прямой, перпендикулярной к этой плоскости Следовательно, и линии напряженности направлены перпендикулярно к бесконечной однородно заряженной плоскости.
1.6.	В некоторых случаях напряженность поля можно найти более простым способом — с помощью теоремы Остроградского—Гаусса (ТОГ): поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов. ф EndS = 1/(еое)(понятие потока вектора см. в
М7 1).
Подчеркнем, что, согласно ТОГ, заряды, расположенные в пространстве за пределами поверхности, на поток через поверхность не влияют.
Пример 3. Найти поле бесконечной однородной заряженной плоскости.
Решение У положительного равномерно распределенного заряда линии напряженности расположены так, как показано на рис 96 (см. также пример 2). Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями AS, расположенными симметрично относительно плоскости. Поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра отсутствует, так как линии напряженности параллельны образую-
207
щим. Поток через оба основания равен 2EAS. Заряд, за-ключенный внутри цилиндри-_______Г ____________ ческой поверхности, равен oAS. По ТОГ, 2EAS = oAS/e0.
Г---Т'-----Отсюда Е=о/(2е0).
—---Н-----Н----Из полученного результа-
L---.А'----V	та можно сделать следующий
__________________________________ вывод: на любых расстояниях J____________________от плоскости напряженность
Xх	поля одинакова по модулю и
в любых точках по одну сто-Рис- 9s	рону от плоскости одинакова
по направлению. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости однородно.
1.7.	Итак, для расчета электростатических полей надо знать закон Кулона, принцип суперпозиции и теорему Остроградского—Г аусса.
Примечание Производя вычисление напряженности в системе СИ, следует иметь в виду, что к=11/(4ле0) =9-109 м/Ф
1.8.	Напомним общие правила построения графика зависимости функции одной переменной (например, E = f(r)): 1) выбрать начало координат; если г — радиус окружности или сферы, часто бывает удобно точку г=0 взять в качестве начала координат;
2) построить координатную систему: по горизонтальной оси (оси абсцисс) отложить г или хит. д., по вертикальной (оси ординат) — искомую функцию (например, Е);
3) на оси абсцисс отметить особые точки (радиусы заданных сфер, толщину слоев и т. д.); если значения функции (Е) в этих точках удается найти, отложить их на графике; проследить, как ведет себя функция (Е(г) или Е(х)) на бесконечности и в нуле.
Задача 1. Найти силу притяжения между ядром атома водорода и электроном, считая их точками Радиус атома водорода принять равным 5-10—10 м. Заряд ядра численно равен заряду электрона и противоположен ему по знаку (е= 1,6-10~19 Кл).
1. Результат вычисления не совпал с ответом (1).
Задача 2. Определить напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q=10 нКл в точке А на расстоянии 10 см от него. Как направлен вектор напряженности в точке А?
208
1. Ответ получился неправильный (2).
2. Не знаю, как построить вектор напряженности (42).
Задача 3. Два точечных заряда qi =—10-8 Кл и q2= = 4-1,5-10~8 Кл расположены на расстоянии Г12=Ю см друг от друга. Найти силу, которая действует на точечный заряд дз=4-ЗСГСЭд, помещенный на продолжении прямой Г12 на расстоянии г23=2 см от заряда q2 (рис. 97).
ъ_______________ъ_______%
К-----712-----к— 72з	Рис- 97
1. Не понимаю, какие силы действуют на заряд q3 (3).
2. Численный ответ не получился (116).
Задача 4. Поле создано двумя точечными зарядами q 1 = 3• 10~8 Кл и q2= — 1-Ю-8 Кл. Расстояние между ними а = 20 см. Определить значение напряженности поля в точке, отстоящей на расстоянии ri=15 см от первого заряда и на расстоянии г2= 10 см от второго.
1. Не знаю, как получить суммарный вектор напряженности (149).
2. Численный результат не совпал с ответом (4)
Задача 5. В вершинах квадрата находятся одинаковые положительные заряды q. Какой отрицательный заряд Q нужно поместить в центре квадрата, чтобы система была в равновесии? Устойчиво или нет это равновесие?
1.	Не понимаю смысла задачи (5).
2.	Ответ не получился (211).
3.	Не знаю, с чего начать решение задачи (58).
Вывод. Можно показать (теорема Ирншоу), что система точечных зарядов, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, не может быть в устойчивом равновесии. В рассмотренной задаче в силу специально подобранного расположения зарядов они уравновешены. Однако малейшее нарушение симметрии приводит заряды в движение.
Задача 6. Заряд q! равномерно распределен вдоль отрезка I. Определить силу, с которой заряд qj действует на точечный заряд q2, находящийся на той же прямой на расстоянии г>//2 от середины отрезка I. Увеличится или уменьшится взаимодействие зарядов, если заряд qi будет точечным и расположенным в середине отрезка /?
14 Заказ 259	209
1.	Не знаю, как подойти к решению задачи (6).
2.	Не понимаю, как выбрать пределы интегрирования (59).
3.	Ответ не получился (151).
4.	Не могу ответить на последний вопрос (182).
Вывод. Отрезок взаимодействует сильнее, чем точечный заряд той же величины, помещенный в середине отрезка. На электростатическое поле существенно влияет распределение заряда в пространстве.
Задача 7. Тонкий стержень длиной 1= 12 см заряжен с линейной плотностью т=2-10~7 Кл/м. Найти напряженность электрического поля в точке А, расположенной на перпендикуляре, восстановленном из середины стержня, на расстоянии а = 5 см от этой середины.
1.	Не знаю, как приступить к решению задачи (46)
2.	Неясно, как складывать векторы напряженности d£ от разных участков стержня (7).
3.	Численное значение не совпало с ответом (92).
Задача 8. В центре полукольца радиусом R, по которому равномерно распределен заряд Q = 3-10~7 Кл, расположен точечный заряд q=5CEC3q. Найти силу, действующую на точечный заряд со стороны заряда полукольца.
1. Ответ не получился (8).
2. Не знаю, как приступить к решению задачи (184).
Задача 9. По тонкому кольцу радиусом R равномерно распределен заряд q. Вычислить значение напряженности поля Е в точке А, расположенной на расстоянии h по перпендикуляру от центра кольца. Найти зависимость Е от расстояния h, построив соответствующий график.
1.	Не могу получить ответ (9).
2.	Ход решения неясен (94).
3.	Затрудняет анализ зависимости Е от h (77).
4.	Нет уверенности в том, что график правильный (62).
Вывод. Вблизи заряженного кольца зависимость Е от h линейна, на дальнем расстоянии от кольца она такая, как у точечного заряда.
Задача 10. Определить напряженность поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, если по сфере равномерно распределен заряд q. Построить график зависимости Е от расстояния г точки, в которой вычисляется напряженность Ё, до центра сферы.
1.	Не понимаю, с чего начать решение задачи (123).
2.	Не знаю, как применить ТОГ (78).
210
3.	Сомневаюсь в правильности построения графика (186).
Вывод. Применение ТОГ значительно упрощает расчет напряженности поля. Однако эффективно использовать эту теорему можно лишь в том случае, когда заряд распределен симметрично, что позволяет легко вычислить поток сквозь некоторую поверхность. При произвольном распределении заряда в пространстве приходится пользоваться принципом суперпозиции.
Задача 11. Найти напряженность поля, создаваемого диэлектрическим шаром радиусом R, заряженным с объемной плотностью q. Диэлектрическая проницаемость материала шара е. Построить график зависимости E = f(r), где г — расстояние до центра шара.
1.	Не знаю, как приступить к решению задачи (64).
2.	Ответ верный только для области внутри шара (11).
3.	Не знаю, правильно ли построен график (156).
Задача 12. Найти напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью т. Построить график зависимости E=f(г), где г — расстояние до нити.
1.	Не понимаю, как решать задачу, если нить бесконечно длинная (12).
2.	Не знаю, какой формы выбрать поверхность, чтобы применить для решения ТОГ (97).
3.	Сомневаюсь в правильности построения графика (216).
Вывод. В задаче предполагалась бесконечно тонкая нить. Поэтому формально допускалось, что г->0. Но, согласью формуле Е=т/(2леог), при этом Е->-оо. Практически бесконечно тонких нитей не существует' толщина нити всегда конечна. Поэтому на очень ’близком расстоянии от нити следует учитывать ее толщину. Заметим, что то же имеет место и для точечного заряда при г-*-0. Если учесть, что точечный заряд в действительности является маленьким шариком, то ни в одной его точке напряженность не обращается в бесконечность (см. задачу 11).
Задача 13. Плоский слой диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е бесконечной протяженности и толщиной d заряжен электричеством с объемной плотностью q. Какова напряженность поля: а) внутри слоя, б) вне слоя? Построить график зависимости E = f(r), где г — расстояние до точки от середины слоя.
1.	Ход решения неясен (50).
14
211
2.	Не могу догадаться, как выбрать поверхность, чтобы использовать для решения ТОГ внутри слоя (80).
3.	Ответ не получился (126).
4.	Нет уверенности в том, что график построен верно (217).
Контрольные задачи
К1 Л. Два одинаковых заряда, отстоящих друг от друга на расстоянии 10 см, взаимодействуют в воздухе с силой 5-10~4 Н. Определить числовое значение зарядов.
К1.2. Три одинаковых заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд qo надо поместить в центре этого треугольника, чтобы вся система зарядов оказалась в равновесии?
К1.3. Отрезок длиной 20 см заряжен с линейной плотностью т=10_2 мкКл/м—10-8 Кл/м. Определить силу его взаимодействия с зарядом qo=10-9 Кл, находящимся на расстоянии а = 10 см по перпендикуляру от середины этого отрезка.
К1.4. Тонкое кольцо радиусом R = 8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью т Найти т, если напряженность электрического поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г = 10 см, Е=2,71 кВ/м.
К1.5. Сплошной эбонитовый шар радиусом R=5 см несет заряд, равномерно распределенный с плотностью q=10 нКл/м3. Определить напряженность Е в точках: 1) на расстоянии Г1 = 3 см от центра сферы, 2) на расстоянии Г2= 10 см от центра сферы.
К1.6. Вывести формулу напряженности поля, создаваемого двумя бесконечными плоскостями, заряженными с поверхностной плотностью +<т и —ст.
2.	ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
2.1.	Для характеристики точечного заряда используются такие же физические величины, как для характеристики потенциальной энергии и работы (см. раздел 6 гл. 1). Одна_-ко вместо силы F чаще употребляется напряженность Е (сила, действующая на единичный заряд), вместо потенциальной энергии U (гл. 1, п. 6.4)—потенциал электростатического поля <р, связанный с Ё соотношением Ё=—grad(p,
212
где градиент фх означает,
dtp
dz '
чт0 р —___^Ф • р —___^Ф . р —
Л’ у~ ду’ z~~
Единица измерения потенциала — вольт (В).
2.2.	Если положение точки в пространстве определять радиусом-вектором г (см. М.2.1), то формулу из 2.1 можно - dtp dm ,	„	,
записать в виде Е——, где ^7 == grad <р. Тогда d<p= =—£dr. Проинтегрировав обе части последнего равенства, г2 _
получим: <р2—ф1=—J Edr, где фг = ф(г2), ф1 = ф(п)—зна-Г1
чения потенциала в соответствующих точках; г\ и г2 — радиусы-векторы двух точек поля. Учитывая знак справа, раз-2 _
ность потенциалов двух точек перепишем так: ф1—ф2= J Edr.
1
2.3.	Из условия Е=—gradф следует, что dф есть пол-2
ный дифференциал, а интеграл J dф не зависит от пути 1
интегрирования (доказательство см. в курсах математического анализа). Поэтому разность ф]—ф2 определяется только заданием начальной (1) и конечной (2) точек. Очевидно, что интеграл по замкнутому контуру при этом равен нулю, т. е. f Edr=0.
2.4.	Формулами из п. 2.2 определяется разность потенциалов. Если потенциал в точке 2 известен, можно говорить о потенциале в точке 1. Во многих задачах потенциал на
ОО бесконечности считается равным нулю. Тогда ф(г)=/£бг. г
2.5.	Из принципа суперпозиции Е='£Ег (см. п. 1.4) сле-i
п
дует принцип суперпозиции потеициала: ф= 2 фг.
i = l
2.6.	Точечный заряд q в вакууме создает в точке, находящейся на расстоянии г от него, напряженность Е= = q/(4neor2) (см. формулу в п. 1.3). Согласно формуле из
сю
п. 2.4, ф(г)= f Edr, а так как интеграл не зависит от пути г
213
интегрирования, будем считать, что его путь идет из бесконечности до точки г по силовой линии (см. рис. 94), на которой £dr = Edr. Таким образом, нужно взять интеграл
(см. М5.2): J Edr = J q/(4ne0r2)dr = q/(4ne0) / 1/rdr = г	г	г
ОО
=—q/ (4леог) |	= q/ (4ле0г).
г
Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии г от него, <p=q/(4neor). Если заряд находится в среде с постоянной диэлектрической проницаемостью, то очевидно, что <p=q/(4ne0er).
2.7.	Итак, потенциал точечного заряда в любой точке некоторой сферы, центрированной на заряде, один и тот же. Сфера с центром в точке расположения заряда является эквипотенциальной поверхностью. Очевидно, что эквипотенциальной поверхностью будет являться сфера и тогда, когда заряд симметрично распределен в шаре или равномерно — на его поверхности. Если электрическое поле таково, что все точки некоторого тела эквипотенциальны, то можно говорить о потенциале этого тела, имея в виду потенциал любой его точки.
2.8.	Если потенциал является функцией одной переменной (координаты х или расстояния г до центра сферической симметрии и т. д.), то <р можно изобразить графически, откладывая по оси абсцисс аргумент (например, г), по оси ординат — <р. Заметим, что в отличие от функции Е функция <р не имеет разрыва. Так, поскольку Е(г)= — то dqp= = —£dr есть бесконечно малая величина, что и означает непрерывность <р.
2.9.	Работа (см. гл. 1, п. 6.2) на конечном участке 2 _
траектории 12 Aj2= J Fdr. Поскольку в данном случае 1
F==q£, работа, совершаемая электростатическим полем над 2 _
зарядом q на пути 12, Ai2 = q J jE'dr=q(qpi—ф2). Единица из-1
мерения работы — джоуль (Дж).
2.10.	Рассмотрим выражение для работы, которая совершается против сил электрического поля при перенесении 214
заряда q из бесконечности в точку с потенциалом <р. Это выражение получится из формулы в п. 2.9, если изменить знак А12 на обратный и считать, что на бесконечности <pi = 0. Искомая работа dA = qpdq.
2.11.	Сравнивая формулы Е=—gradtp (см. п. 2.1) и F=—grad U (см. п. 6.4 гл. 1) и учитывая, что F=q£, видим, что потенциальная энергия Wn заряда q в поле потенциала <р есть Wn = q<p.
2.12.	В связи с введенными характеристиками электростатического поля встречаются задачи следующих типов: 1) на определение потенциала поля, созданного системой зарядов; при этом используются формулы из п. 2.5 и 2.6;
2) на расчет потенциала по заданной напряженности поля; для решения применяются формулы из п. 2.1 и 2.2;
3) по вычислению работы, совершаемой электростатическим полем над точечным зарядом; используются формулы из п. 2.7.
Задача 14. Точечный заряд q=10 нКл, находясь в некоторой точке поля, обладает потенциальной энергией Wn = = 10 мкДж. Найти потенциал этой точки поля.
1. Ответ не получился (14).
Задача 15. Поле создано точечным зарядом q=l нКл. Определить потенциал поля <р в точке, удаленной от заряда на расстояние г = 20 см.
1. Ответ не получился (15).
Задача 16. Электрическое поле создано тонким стержнем, заряженным по длине равномерно с плотностью т= 10_7 Кл/м. Определить потенциал поля в точке А, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.
1. Ответ получился неправильный (16).
2. Ход решения неясен (218).
Задача 17. Сфера радиусом Ri = 3 см, равномерно заряженная зарядом Qi=7-10—8 Кл, окружена тонкой сферой радиусом Й2=9 см. Какой заряд надо сообщить внешней сфере при условии его равномерного распределения по поверхности, чтобы потенциал внутренней сферы относительно бесконечности обратился в нуль?
1.	Непонятно условие задачи (17).
2.	Не знаю, с чего начать решение задачи (51).
3.	Не знаю, как по известной напряженности на сфере найти потенциал (128).
4.	Ответ получился неправильный (230).
215
Задача 18. Используя условие задачи 17 при зарядах на сферах Qi и Q2 (Q2=—21-10-8 Кл), построить графики Е(г) и <р(г).
1.	Не знаю, как приступить к решению задачи (18).
2.	Не знаю, как строить график Е(г) (82).
3.	Затрудняюсь в построении графика ср (г) (129).
Задача 19. Диэлектрический шар радиусом R=10 см заряжен равномерно с объемной плотностью q=10“6 Кл/м3. Диэлектрическая проницаемость материала шара е=2. Найти потенциал <р0 в центре шара и потенциал <рд на поверхности шара.
1.	Не знаю, как по заряду найти потенциал (19).
2.	Значение <рд получилось иное, чем в ответе (130).
3.	Значение <р0 неправильное (193).
Задача 20. Два шарика с зарядами qi = 6,7-10“9 Кл и q2=13,3-10“9 Кл находятся на расстоянии п = 40 см друг от друга. Какую работу нужно совершить, чтобы сблизить их до расстояния г2 = 25 см?
1.	Не понимаю, с чего начать решение задачи (20).
2.	Ответ получился неправильный (103).
3.	Значение работы получилось отрицательным (163).
Вывод Если точечный заряд q поместить без начальной скорости в электрическое поле напряженностью Ё, он начнет двигаться в определенном направлении в соответствии с направлением действующей на него силы qE (см. гл. 1, п. 1.6). Для того чтобы заряд начал двигаться в противоположном направлении (а также в любом другом, или чтобы находился в покое), к нему нужно приложить другую, внешнюю по отношению к электрическому полю силу. Так, например, два одноименных заряда будут удаляться друг от друга под действием электрического поля, тогда как для их сближения требуется действие внешней силы.
Задача 21. На расстоянии п=4 см от бесконечно длинной заряженной нити находится точечный заряд q=2CFCq. Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние г2=2 см, при этом совершается работа А=50 эрг. Найти линейную плотность заряда т.
1.	Идея решения неясна (21).
2.	Не знаю, как связать сведение о работе с искомым зарядом (53).
3.	Не знаю, как использовать условие движения по силовой линии (68).
4	Ответ получился неправильный (221).
216
Контрольные задачи
К2.1. Электрическое поле создано длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью т=20-10-9 Кл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии Г1=1,5 см и Гг=3 см от нити.
К2.2. По тонкому кольцу радиусом R=10 см равномерно распределен заряд с плотностью т=10 нКл/м. Определить потенциал <р в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии а = 5 см от центра.
К2.3. Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда <т=4 нКл/м2. Определить числовое значение градиента потенциала электрического поля, созданного этой плоскостью.
К2.4. Плоская стеклянная пластинка (е = 7) толщиной d = 2 см заряжена равномерно с объемной плотностью q = = 10 мкКл/м3. Найти разность потенциалов между точкой, лежащей на поверхности пластины, и точкой, находящейся внутри пластины в ее середине. Считать, что размеры пластины велики по сравнению с ее толщиной.
3. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ
3.1.	Проводником называется тело, в котором электрические заряды могут свободно перемещаться по всему объему. Если в двух точках проводника оказываются разные потенциалы ф1 и ф2, то это значит, что §габф=т^0, и, следовательно, на заряд действует электрическая сила, которая приводит его в движение. Если поле статическое (заряды неподвижны), значит в проводнике все точки имеют один и тот же потенциал. Таким образом, проводник является эквипотенциальным телом, так что можно говорить об электрическом потенциале проводника.
3.2.	Электроемкостью С уединенного проводника называется физическая величина, численно равная заряду, который нужно сообщить проводнику, чтобы изменить его потенциал на единицу: С = д/ф.
Единица электроемкости — фарада (Ф). Емкость* зависит от формы и размеров проводника, диэлектрических свойств окружающей среды.
3.3.	Рассмотрим уединенную металлическую сферу радиусом R. Повторив рассуждения, проведенные при решении задачи 17, с учетом диэлектрической проницаемости е простран
* Поскольку мы имеем дело только с электрическими характеристиками, часть слова «электро» в слове «электроемкость» будем опускать.
217
ства найдем, что потенциал на поверхности заряженной сферы (p=q/(4neeoR). Поэтому емкость металлической сферы, окруженной диэлектриком с проницаемостью е, С=4лесоИ-
3.4.	Рассмотрим систему, состоящую из двух проводников (проводящих тел), заряды которых q одинаковы по значению, но противоположны по знаку. Если тела расположены близко друг к другу, потенциал каждого из них образуется не только его зарядом, но и зарядом другого тела. Потенциалы тел разные, так что имеется разность потенциалов.
Взаимной емкостью С двух проводников называется выражение C = q/(<pi—<р2).
3.5.	Конденсатором называется такая система двух не-соприкасающихся проводников, в которой силовые линии, выходящие из одного проводника, заканчиваются на другом. Эти проводники называются обкладками конденсатора. Очевидно, что на обкладках конденсатора должны быть одинаковые по значению и противоположные по знаку заряды. В соответствии с п. 3.4 электроемкость конденсатора С = = Я/(ф1—фг)— q/U, где U = q>i—ф2— напряжение конденсатора.
3.6.	Плоский конденсатор состойт из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d и заряженных зарядами +q и —q. Если расстояние d мало по сравнению с линейными размерами S, при решении задач можно применять формулы, полученные для бесконечно протяженных пластин (см. пример 4), т. е. считать, что разность потенциалов пластин Ф1—ф2 = аб/(еое). В данном случае o=q/S, так что (учитывая п. 3.4) емкость плоского конденсатора C = ee0S/d. Из этой формулы, в частности, видна роль материала, помещенного между пластинами конденсатора
3.7.	В технике часто используют параллельное и последовательное соединение конденсаторов. При параллельном включении (рис. 98) общая емкость C = Ci+C2-|-...+Cn. Раз-

Рис. 98
218
ность потенциалов (напряжение) на всех конденсаторах одна и та же, а заряд равен сумме зарядов каждого конденсатора.
3.8.	При последовательном включении -конденсаторов (рис. 99) справедлива следующая формула: 1/C=l/Ci + + I/C2+... + 1/Сп. На всех конденсаторах — один и тот же заряд, а напряжения обратно пропорциональны значениям емкостей.
Рис. 99
3.9.	Пример 4. Определить общую емкость системы конденсаторов, данную на рис. 100.
Рис. 100
Решение. Найдем емкость участка БВ: Сбв = 2С. Верхняя ветвь участка АГ имеет емкость, определяемую по формуле 1/С'аг = 1/C-J-1/(2С). Отсюда С'аг = 2С2/(ЗС) = 2/3 С. Общая емкость системы Сдг =2/3 С-{-С = 5/3 С.
3.10.	Найдем энергию проводника емкостью С, если на нем находится заряд q.
Энергия заряженного тела равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить это тело. Согласно п. 2.10, работа, совершаемая против сил поля при перенесении заряда dq из бесконечности на проводник, в соответствии с формулой из п. 3.2 dA=<pdq=C(pd<p. Для того чтобы незаряженное тело (ф=0) зарядить до потенциала ср, соответствующего заряду q, нужно совершить работу А=
219
ф
= J C<pdtp=C<p2/2. Таким образом, энергия заряженного про-0
водника W =С<р2/2. Это — энергия электростатического поля, соответствующего потенциалу <р данного проводника.
3.11.	Согласно п. 3.10, энергия плоского конденсатора W=CU2/2. С учетом п. 3.5 это выражение можно записать в иной форме:
W = q2/(2C), или W=qU/2.
3.12.	Формулу для энергии плоского конденсатора можно выразить через напряженность, поскольку поле в конденсаторе однородно (Ё=const). В этом случае из п. 2.9 следует, что A = qEd, где d — расстояние между пластинами конденсатора, т. е. U = Ed. С другой стороны, согласно п. 3.6, C = ee0S/d. Поэтому W=eeoS/d E2d2/2=eeoE2V/2, где V=Sd — объем, занимаемый полем в пространстве между обкладками конденсатора.
3.13.	Полученное в п. 3.12 выражение для энергии поля позволяет ввести плотность энергии поля (энергия в единице объема): w=esoE2/2.
3.14.	Если поле неоднородно (т. е. не такое, как в плоском конденсаторе, а образовано каким-то иным распределением зарядов), то имеет смысл ввести энергию элемента объема поля: dW=eeoE2/2dV. Энергию конечного объема поля можно получить из этого выражения интегрированием его по соответствующему объему.
3.15.	При расчете конденсаторов обычно встречаются задачи следующих типов:
1)	определение емкости сложной системы конденсаторов: при этом используются формулы из п. 3.3, 3.6—3.9;
2)	расчет напряжения и зарядов на обкладках конденсаторов; необходимо знание формул из разделов 3.2, 3.6—3.8;
3)	вычисление энергии в конденсаторе и ее изменения при различных его переключениях; применяются формулы из п. 3.7, 3.8, 3.11, 3.12.
3.16.	При решении задач следует помнить, что в системе СИ емкость измеряется в фарадах (1 Ф = 9-10н см), напряжение — в вольтах (1 В= 1/300 ед. потенц.), заряд — в кулонах (1 Кл = 3-109 ед. заряда).
Задача 22. До какого напряжения надо зарядить конденсатор емкостью С] = 2 мкФ, чтобы на нем находился та
220
кой же заряд, как на конденсаторе емкостью С2=300 см при напряжении U2=300 кВ?
1. Ответ получился неправильный (22).
2. Не знаю, как приступить к решению задачи (105).
Задача 23. Система из двух последовательно соединенных конденсаторов (Ci = 300 см, С2=500 см) заряжена до напряжения U=12 кВ. Определить Ub U2 и заряд q на обкладках конденсатора.
1. Ход решения неясен (23).
2. Ответ получился неправильный (165).
Задача 24. Определить общую емкость системы конденсаторов (рис. 101), если Ci = 2 мкФ, С2=3 мкФ, Сз= 1 мкФ.
1. Ответ не получился (24).
2. Не знаю, правильны ли мои рассуждения (107).
Задача 25. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого 5 см, заряжен до 200 В и отключен от источника напряжения. Каким будет напряжение на конденсаторе, если его пластины раздвинуть до расстояния 10 см?
1. Идея решения неясна (25).
2. Ответ не получился (166).
Задача 26. Конденсатор емкостью Ci = 3-10_3 Ф заряжен до разности потенциалов U = 40 В. После отключения от источника напряжения его соединили параллельно с другим, незаряженным конденсатором емкостью С2=5-10_3 Ф. Какое количество энергии AW первого конденсатора израсходуется на образование искры в момент присоединения к нему второго конденсатора?
221
1.	Условие задачи непонятно (26).
2.	Ответ получился неверный (84).
3.	Сомневаюсь в правильности выражения для энергии при подключении второго конденсатора (137).
Вывод. При изменении числа конденсаторов в, системе не выполняется закон сохранения электрической энергии, так как часть ее превращается в энергию тепловую, световую и др., а также может быть израсходована на совершение работы.
Задача 27. Два конденсатора емкостью Ci = 600 пФ и С—1000 пФ соединены последовательно. Систему заряжают до напряжения U = 20-103 B. Затем конденсаторы, не разряжая, соединяют параллельйо. Определить работу разряда, который происходит при этом соединении.
1. Ход решения неясен (54).
2. Ответ получился неправильный (27).
Задача 28. Плоский конденсатор с расстоянием между пластинами d=l см разряжен до разности потенциалов U=1 кВ. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора. Диэлектрик — стекло (е=7).
1. Ответ не получился (28).
2. Не могу сообразить, как решить задачу (169).
Задача 29. Емкость плоского конденсатора С=100 см. Диэлектрик — фарфор (е=5). Конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 600 В и отключен от источника напряжения. Какую работу нужно совершить, чтобы вынуть пластину из конденсатора? Трением пренебречь.
1. Ответ не получился (28).
2. Не знаю, как вычислить работу (140).
Контрольные задачи
К3.1. Конденсаторы емкостью (Д —0,2 мкФ, С2=0,6 мкФ, С3 = 0,3 мкФ, С4=0,5 мкФ соединены так, как указано на рис. 102. Определить емкость системы конденсаторов.
Рис 102
222
КЗ.2. Разность потенциалов между точками А и В (рис. 103) равна 0,2 СГСЭ. Емкость первого конденсатора 2 мкФ, второго — 4 мкФ. Найти заряд и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора.
А ||||,В
с< С2
Рис. 103
КЗ.З. Пластины плоского конденсатора изолированы друг от друга слоем диэлектрика. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 1 кВ и отключен от источника напряжения. Определить диэлектрическую проницаемость слоя, если при его удалении разность потенциалов между пластинами конденсатора возрастает до 3 кВ.
К3.4. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком и на его пластины подана некоторая разность потенциалов. Его энергия при этом равна 2-10~ 5 Дж. После отключения конденсатора от источника питания из него вынули диэлектрик. Работа против сил поля при этом составила 7-10-5Дж. Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика.
К3.5. Плоский конденсатор с расстоянием между пластинами d=l см заряжен до разности потенциалов U=1 кВ. Определить плотность энергии поля конденсатора. Диэлектрик — стекло (е=7).
4.	ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
4.1.	В металлах носителями зарядов являются электроны, в электролитах и ионизированных газах — положительные и отрицательные ионы. Носители тока, как и незаряженные частицы вещества, совершают хаотическое движение. При некоторых условиях средняя скорость носителей зарядов оказывается не равной нулю, т. е. возникает упорядоченное движение зарядов, которое называется электрическим током.
4.2.	Чтобы ввести количественные характеристики электрического тока, рассмотрим ток, образованный носителями одного знака (например, электронами). Обозначим через й средний вектор скорости, через п — концентрацию носителей тока. Построим бесконечно малую площадку dS перпенди
223
кулярно к вектору скорости й и подсчитаем количество заряда dq, прошедшее через эту площадку за время dt (аналогичный расчет вы проводили в задаче 42 из гл. 2, он разобран в р. 219 указанной главы). Число электронов, прошедших за время dt через площадку dS, составит: dN = = nudtdS. Таким образом, количество заряда dq = enudtdS (е—заряд одного электрона). За единицу времени через единицу площади пройдет заряд j = neu. Вектор ]=пей называется плотностью электрического тока. Все рассуждения остаются верными для зарядов любого знака
4.3.	Одним из главных способов возбуждения электрического поля в телах является создание и поддержание в них электрического поля. Согласно закону Ома, плотность электрического тока / пропорциональна напряженности электрического поля Ё: 7= ХЕ= 1 /qE, где коэффициент Л называется электропроводностью среды, а обратная ему величина q=1/X—удельным сопротивлением среды.
4.4.	Когда ток течет по тонкому проводу, направление
плотности тока совпадает с направлением оси провода, а величина j может считаться одинаковой во всех точках поперечного сечения S.
4.5. Силой тока (током) I называется количество элек-
тричества, протекающее в единицу времени через
сечение проводника:
I — ——iS dt ]
(dq определено
поперечное в п. 4.2).
г>	т
Выражение 1= остается
справедливым и для мгно-
венных значений .изменяющегося тока, если только их изменения происходят не слишком быстро. Если период изменения характеристик тока Т значительно больше времени т, необходимого для передачи электрического возмущения по цепи, такой ток называется квазистационарным. В реальных цепях	10~8 С, поэтому вплоть до Т=10_6 с (часто-
та v~l мГц) ток в таких цепях можно считать квазистационарным Для этого тока выполняются законы Ома, Джоуля— Ленца и правила Кирхгофа.
4.6.	Фундаментальным законом физики является закон сохранения заряда. Если ток постоянен (не меняется с течением времени), значение I одно и то же во всем проводе (хотя его толщина, т. е. поперечное сечение, и плотность тока j в разных местах могут быть разными). При постоянном токе I = q/t, где q — переносимый заряд за конечное время t
224
4.7.	В разделе 1 данной главы указывалось, что в-Электрическом поле на единичный заряд действует сила Е, которая заставляет его перемещаться, т. е. создает электрический ток. Однако в результате такого перемещения заряды или нейтрализуются, или располагаются на эквипотенциальной поверхности, так что напряженность поля становится равной нулю Для того чтобы напряженность Е, а с нею и плотность тока J были неизменными, необходимо присутствие сил неэлектростатического происхождения. Такие силы называются сторонними -— источниками электродвижущей силы. С учетом сторонних сил закон Ома получает вид: 7=%(£-J-£CTop ). В частности, для тонкого провода сила тока 1 = %(Ё+ЕСТ0Р) S.
4.8.	Закон Ома удобно записать и в иной форме. Из п. 4.7 следует, что Еф-ЕСТ0Р = 1/(2Д). Умножим это соотношение на элемент длины провода d/ и проинтегрируем по
2	2
участку провода от точки 1 до точки 2: J Ed/ф-J Естор d/= 1	1
2
= 1 f d//(%S).
1
2
4.9.	Согласно п. 2.2, f Ed/=cpi—<p2=U. Это удельная 1
работа электростатических сил (работа над единицей заряда). Разность потенциалов между двумя произвольными точками проводника с током называется падением напряжения, или просто напряжением.
2
Величина JECT0PdZ^e—называется электродвижущей 1
силой (ЭДС) и также имеет смысл удельной работы сторонних сил.
4.10.	Появление электрического тока в цепи обусловлено возникновением напряжения (разности потенциалов) между полюсами источника (в результате процессов, происходящих в источнике напряжения, природа которых нас здесь не интересует): у отрицательного полюса возникает избыток, у положительного — недостаток электронов. Во внешней цепи электроны перемещаются от отрицательного полюса к положительному. Однако принято считать, что ток во внешней цепи течет от положительного полюса к отрицательному,
15 Заказ 259
225
и на схеме источники обозначаются так, как показано на рис. 104.
Рис. 104
4.11.	Очевидно, что 'внутри источника ток идет в направлении от отрицательного к положительному. Это направление считается положительным.
4.12.	Величина fd//(/.S) = R характеризует физические свойства вещества, по которому течет ток, и называется сопротивлением проводника.
4.13.	Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС (неоднородный участок), получает вид: <pi—<P2-|-s=IR, или U+e=IR.
Рассмотрим два частных случая закона Ома.
4.14.	Однородный участок цепи характеризуется разностью потенциалов (где нет сторонних сил): tpi—ф2=1В. Разность потенциалов дц—ф2=и называется электрическим напряжением, или напряжением на концах провода. Если провод изготовлен из однородного материала (^= l/g = const) и весь одинаковой толщины (S = const), то (R=qZ/S, где I— длина проводника (между точками 1 и 2), р определяется по таблицам удельного сопротивления материалов.
4.15.	Если начальная и конечная точки 1 и 2 совпадают, то ди—ф2=0, и закон Ома для замкнутой цепи имеет вид: s = IRn, где Rn—полное сопротивление всей цепи, Rn = R-|-r (здесь R—сопротивление внешнего участка цепи; г — внутреннее сопротивление источников).
4.16.	Единицей силы тока является ампер (А), т. е. сила такого тока, когда через поперечное сечение провода ежесекундно проходит один кулон электричества. Единицей напряжения служит вольт (В) — разность потенциалов, при прохождении которой над зарядом в один кулон совершается работа в один джоуль. Единица сопротивления — Ом. Это сопротивление такого провода, по которому течет ток в один ампер, если на его концах поддерживать разность потенциалов, равную 1 В. 1 Ом= 1,11-10-12 СГСЭ — единиц сопротивления.
4.17.	Напряжение между двумя точками цепи измеряют вольтметром, который включается параллельно измеряемо-226
му напряжению. Сопротивление вольтметра велико, так что при его включении ток в цепи почти не изменяется. Поэтому при расчетах с использованием закона Ома сопротивление вольтметра обычно не учитывается.
Ток измеряют гальванометром и амперметром, которые включают в цепь последовательно. Сопротивление амперметра очень мало и во многих расчетах с помощью закона Ома не учитывается.
4.18.	Так как конфигурация проводников в задачах данного раздела не имеет значения, за исключением случаев разветвления, то сопротивление на схеме можно обозначать, символом R (рис. 105), а остальные места проводников считать не имеющими сопротивления.
D
Рис. 105
4.19.	Если напряжение, которое желательно измерить, настолько велико, что выходит за пределы шкалы вольтметра, последовательно с вольтметром можно включить в цепь дополнительное (известное) сопротивление, в результате чего напряжение в цепи уменьшится. Измерив новое напряжение, путем вычислений можно найти искомое.
Пример 5. Вольтметр с внутренним сопротивлением R=2500 Ом, включенный в сеть, показал напряжение Ui== = 125 В. Определить дополнительное сопротивление, при подключении которого вольтметр покажет U2=100 В.
Решение. Дополнительное сопротивление R4 включено последовательно с внутренним сопротивлением R вольтметра (рис. 106) . Падение напряжения на дополнительном со
Рис. 106
15*
227
противлении равно Ui—U2, и поэтому дополнительное сопротивление Ra=)(Ui—U2)/I. Ток, проходящий через вольтметр, I = U2/R. С учетом того, что в последовательной цепи ток одинаков, имеем: (LR—U2)/RA = U2/R. Отсюда Кд= (Ui—U2)R/U2= (125-100)2,5-103/100=6,25-102 Ом.
Для разветвленной цепи выполняются следующие правила Кирхгофа, являющиеся следствиями закона Ома.
4.20.	Первое правило Кирхгофа. Будем считать, что токи, идущие к точке разветвления проводов, и исходящие из нее (рис. 107), имеют разные знаки. Тогда в каждой точке разветвления проводов алгебраическая сумма сил токов равна нулю: SIm=0.
4.21.	Второе правило Кирхгофа. В любом замкнутом контуре (рис. 108) сумма ЭДС, действующих в этом кон-
Рис. 108
228
туре, равна сумме произведении силы тока в каждом участке этого контура на его сопротивление: Ssm=SImRm.
*'	mm
Правила Кирхгофа позволяют записать полную систему алгебраических уравнений, из которых могут быть найдены все неизвестные токи при заданных RTO и ет.
4.22.	Для того чтобы не запутаться в системе уравнений, составленных согласно первому и второму правилам Кирхгофа, необходимо придерживаться некоторых общих приемов. Они могут правильно выбрать знаки токов и падений напряжений. Приемы эти следующие:
1)	выбрать произвольно и обозначить на схеме направления токов;
2)	выбрать направление обхода контура;
3)	если выбранное направление тока совпадает с направлением обхода контуров, в уравнении перед соответствующим произведением IR поставить знак плюса, в противном случае — знак минуса,
4)	если направление обхода контура совпадает внутри источника с движением зарядов отрицательного полюса к положительному, то соответствующую ЭД С ввести в уравнение со знаком плюса, в противном случае — со знаком минуса;
5)	в системе уравнений должны содержаться все электродвижущие силы и все сопротивления проводов и источников;
6)	уравнения, входящие в систему, не должны быть зависимыми.
4.23.	Закон Джоуля—Ленца утверждает, что количество тепла, выделяющееся при прохождении постоянного тока I по проводнику с сопротивлением R за время t, Q=I2Rt. В системе СИ количество тепла выражается в джоулях.
Примечание Если Q удобнее выразить не в джоулях, а в калориях, то в формулу закона Джоуля—Ленца необходимо ввести переводной множитель Q=0,24I2Rt
4.24.	В том случае, если по условию задачи известны I и U, то Q = IUt. Эту формулу легко получить из формулы в п. 4 23.
4.25.	Работа, совершаемая постоянным током на участке цепи, A=Q = IUt.
4.26.	Мощность постоянного тока, т. е. работа в единицу времени, P = A/t = IU
4.27.	Если нужно вычислить силу или плотность тока
229
в безграничных проводящих средах (например, в случае заземления), следует применить дифференциальную форму закона Ома (см. формулу из п. 4.3). Интегральную форму закона Ома (см. п. 4.12, 4.14)) применяют при расчетах цепей с токами конечных проводов и сосредоточенных сопротивлений.
4.28. Типов задач по теме «Постоянный ток» много, у них нет четко выраженных алгоритмов, и их трудно классифицировать, хотя законов и правил, которыми можно пользоваться при их решении, немного. Для того чтобы успешно
направления,
решать задачи, приведенные 'в данном разделе, полезно учитывать следующие обстоятельства. Применяя законы Кирхгофа, надо иметь в виду, что исследуемый вами контур может быть частью сложной 'цепи, содержащей источники ЭДС. Так как направление тока в контурах выбирается произвольно, значение-тока в задаче может получиться отрицательным. Это означает, что направление тока на участке контура противоположно выбранному вами.
4.29.	Нередко в качестве источника тока используется аккумулятор. В отличие от гальванических элементов, которые сразу готовы к работе, аккумулятор надо предварительно зарядить. Процесс зарядки заключается в том, что через аккумулятор проводится ток от другого источника такого аккумулятора он шел от + к —. При этом на положительно заряженном электроде (аноде) накапливается положительный заряд, на отрицательно заряженном электроде (катоде) — отрицательный. Затем источник, заряжающий аккумулятор, отключается, и последний готов к работе. Схема зарядки изображена на рис. 109, где V в кружке обозначает вольтметр, подключенный к точкам 1 и 2.
источника потенциал Ui, сопро
внутри
Рис. 109
Пусть у заряжающего
тивление очень мало, так что его можно считать равным нулю, ток зарядки 1Ь Разрядка происходит при замене источника Ui сопротивлением R. Имея некоторые данные о процессе зарядки и разрядки аккумулятора, можно определить его характеристики.
230
Задача 30. По проводнику с площадью сечения 50 мм2 течет ток. Средняя скорость дрейфа свободных электронов 22,82-103 м/с, их концентрация 7,9-1020 м-3. Найти силу тока I и его плотность j.
Указания. Внимательно разберите п. 4.2 и 4.4. Значение заряда электрона е = —1,6-10-19 К- Не забудьте все данные выразить в системе СИ.
Задача 31. Сила тока в проводнике изменяется со временем t по уравнению I = a-j-bt, где а —4 А, Ь = 2 А/с.
Какое количество электричества проходит через поперечное сечение проводника за время от ti = 2 с до t2=6 с? При каком постоянном токе через поперечное сечение проводника за это же время пройдет такое же количество электричества?
1. Ответ получился неправильный (244).
Задача 32. Определить ток, идущий по участку AD (см рис. 105). ЭДС источника е = 20 В, внутреннее сопротивление г= 10 Ом, потенциалы точек А и D соответственно равны: фл = 5 В, (fD= 15 В, сопротивление проводов R = 3 Ом. Указать направление тока.
1. Не знаю, с чего начать решение задачи (30)
2 Ответ не получился (110)
Задача 33. Определить силу и направление тока, идущего по участку AD (см. рис 105). ЭДС источника е= 10 В, внутреннее сопротивление г = 2 Ом. Потенциалы точек: <рл = 5 В, (ро==25 В. Сопротивление проводов R=3 Ом.
1. Не знаю, как определить направление тока (31).
2. Число получилось иное, чем в ответе (224).
Вывод. Если в результате расчета участка цепи ток получается отрицательным, значит он течет от точки, которая в расчете считалась второй, к точке, которая считалась первой.
Задача 34. Цепь сопротивлений и источников составлена так, как показано на рис. НО. Сопротивление внешней
%2,^2
£J;ri
Рис. ПО
231
цепи R=5 Ом, сопротивления источников: п = Г2=Гз=1 Ом, ЭДС ei = 15 В, е2=13 В, е3=18 В. Найти силу тока I.
1.	Не знаю, как применить в данном случае закон Ома (32).
2	Результат вычислений отличается от ответа (143).
3.	Ток получился отрицательным (203).
Вы	воды. 1. В подобных задачах полезно использовать правила: при последовательном соединении сопротивление всей цепи R„ = 2И/1-|-2гг; электродвижущая сила е=2еь где k i	i
е, взяты с учетом знака.
2.	Для установления знака ег необходимо выбрать направление обхода контура; если это направление совпадает с направлением от минуса к плюсу в источнике, то ЭДС источника положительна, в противном случае — отрицательна.
3.	Если в результате вычислений у тока оказался отрицательный знак, значит ток направлен противоположно перво начально выбранному направлению.
Задача 35. На участке цепи АВ параллельно включены два провода с сопротивлениями Ri и R2 (рис. 111). Найти сопротивление R всего участка цепи АВ.
Ri
В
Рис. 111
1.	Не знаю, как приступить к решению задачи (33).
2.	Думаю, что нужно воспользоваться законом Ома, но как это сделать, не знаю (112).
3.	Ответ получился неправильный (204).
Задача 36. На участке цепи АВ параллельно включены два провода с сопротивлениями Rnj и Rn2 и ЭДС ei и е2 соответственно (рис. 112). Найти выражение для ЭДС в всего участка АВ.
1.	Не понимаю смысла задачи (34).
2.	Вероятно, можно рассуждать так же, как при решении задачи 34, однако решение не получается (175).
3.	Ответ оказался неверным (205).
232
Рис. 112
Выводы. 1. При параллельном включении участков цепи полное сопротивление участка связано с сопротивлением ветвей следующим образом: l/R„ = Sl/Rn/1.
к
2. Если на рис. 112 пренебречь сопротивлением проводов, т. е. принять Rni==ri, Rn2—г2, то получим характеристику ЭДС источников. В общем случае ЭДС батареи (параллельно включенных источников) е=г£е/1/гА, где 1/г =
к
= ^1/г&.
к
3. Если все источники одинаковы: g1 = e2= ..., то е—е&, т. е. параллельное включение источников не увеличивает ЭДС батареи.	*
Задача 37. В конце зарядки аккумулятора (см. п. 4.29) током 11 — 3 А присоединенный к нему вольтметр (см. рис. 109) показал напряжение Ui=4,25 В, в то время как в начале разрядки током 12==4 А он показывал напряжение U2=3,9 В. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора.
1.	Не понимаю, как подойти к решению задачи (35).
2.	Не знаю, как использовать для решения условие зарядки (55).
3.	Не знаю, как применить условие разрядки (145).
4.	Числовой ответ не получился (225).
Задача 38. Два элемента, ЭДС которых 1,9 и 1,1 В, внутренние сопротивления 0,8 и 0,1 Ом, замкнуты параллельно на внешнее сопротивление 10 Ом (рис. 113). Определить силу тока I во внешней цепи.
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (36).
2.	Попытка использовать закон Ома не дала результата (56).
233
Рис ИЗ
3.	Были использованы правила Кирхгофа, но ответ не получился (114).
4.	Значение тока получилось иное, чем в ответе (177).
Задача 39. Электрическая цепь изображена на рис. 114. Здесь Ri = 100 Ом, К2 = 50 Ом, R3=20 Ом, ЭДС элемента ei = 2 В. Через гальванометр идет ток 13=50 мА в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС е2. Сопротивлением гальванометра и внутренним сопротивлением элементов пренебречь.
Рис 114
1.	Понимаю, что нужно пользоваться уравнением Кирхгофа, но не знаю, с чего начать решение задачи (37).
2.	Сомневаюсь в правильности выбора направления тока (57).
3.	Не знаю, как выбрать контуры для построения уравнений по второму правилу Кирхгофа (178).
4.	Поскольку в условии задан только ток 13, не знаю, как записать первое правило Кирхгофа (227).
234
Задача 40. При поочередном замыкании аккумулятора на резисторы с сопротивлениями Rj и R2 в них выделились равные количества тепла. Найти внутреннее сопротивление аккумулятора.
1.	Не понимаю, как в выражение для Q ввести сопротивление аккумулятора (231).
2.	В условии задачи мало данных, поэтому план решения неясен (235).
3.	Формула для г получилась иная, чем в ответе (232).
Задача 41. Лампочка и реостат, соединенные последовательно, присоединены к источнику тока. Напряжение на зажимах лампочки 40 В, сопротивление реостата 10 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность 120 Вт. Определить силу тока в цепи.
1.	Непонятно условие задачи (240).
2.	Ответ получился неправильный (241).
3.	Использование формул из п. 4.23, 4.25 и 4,26 не привело к правильному ответу (242).
4.	Не знаю, как найти сопротивление цепи (236).
5.	Получилось два значения силы тока. Почему нельзя выбрать 1 =—6 А? (239).
Контрольные задачи
К.4.1. Определить среднюю скорость электронов в пучке осциллографической трубки, если их концентрация 5-1025 м~3, сила тока 1=16 А. Сечение пучка 2,5-10-3 м.
К4.2. Два источника (гальванических элемента), имеющие ЭДС ei = l,5 В и е2= 1,6 В и внутренние сопротивления Tj = 0,6 Ом и г2=0,4 Ом, соединены разноименными полюсами. Пренебрегая сопротивлением соединительных проводов, определить разность потенциалов между точками а а б (рис. 115).
а
Рис. 115
235
К4.3. На схеме (рис. 116) et = 2,l В, е2=1,9 В, Ri=45 0m, Rz= 10 Ом, Кз= Ю Ом. Найти силу тока во всех участках’ цепи.
Рис. 116
К4.4. Определить оилу тока в отдельных ветвях мостика Уитстона (рис. 117) при условии, что через гальванометр ток не идет. е=2 В, Ri=:30 Ом, Нг=45 Ом, Rs=200 Ом.
Рис. 117
К4.5. Элемент с внутренним сопротивлением 4 Ом и ЭДС 12 В замкнут на сопротивление 8 Ом. Какое количество теплоты выделяется во внешней цепи за одну секунду?
К4.6. На схеме (рис. 118) е= 120 В, R[ = 25 Ом, R2= = R3=100 Ом. Найти мощность, выделяющуюся на сопротивлении Ri Сопротивлением источника пренебречь.
236
Рис. 118
К4.7. Определить заряд, прошедший по проводу с сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от Uo=2 В до U = 4 В в течение 20 с.
К.4.8. Если вольтметр соединить последовательно с сопротивлением R=10 кОм, то при напряжении в цепи U = = 120 В ци покажет напряжение Ui = 50 В Если соединить его последовательно с неизвестным сопротивлением R.x, то при том же напряжении в цепи он покажет напряжение U2= 10 В. Определить Rx.
5.	МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
5.1.	Вокруг проводника с током I всегда существует магнитное поле Обнаружить это поле можно по силе, с которой оно действует на другой проводник с током R. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции В. Его численное значение равно отношению значения максимальной силы dFmaa:, действующей на внесенный в данную точку поля элемент тока IjdZi, к этому элементу: В = dFmax/ (I dZx) (сила, действующая на единичный ток). Единица магнитной индукции — тесла (Тл). Тл = В-с/м2.
5.2.	Элемент тока Id/ в данной точке пространства создает магнитное поле, вектор индукции dB которого определяется законом Био—Савара—Лапласа’ dB = p0I/(4nr3)X X[d/, г], где ро — магнитная постоянная, ро=4л-1О~7 Г/м (Г — генри); dZ— элемент проводника, по которому течет создающий поле ток I (проводник считается бесконечно тонким) ; г — радиус-вектор, проведенный от середины элемента dZ к точке, в которой определяется индукция поля.
237
5.3.	В скалярной форме вектор индукции dB = p,0Isina/ (4лг2)с1/, где а — угол между направлением тока в элементе dZ (это направление совпадает с направлением вектора dZ) и радиусом-вектором г (рис. 119). Вектор dB всегда нормален к плоскости, содержащей dZ и г, и составляет с ними правовинтовую систему (см. М.2.6). Из формул в п. 5.1 и 5.2 очевидно, что вектор В зависит от координат точки поля (х, у, z) и 'не зависит от времени, если токи постоянны.
Рис. 119
5.4.	Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, в любой точке магнитного поля индукция равна векторной сумме магнитных индукций dB, созданных в этой точке всеми элементами dZ проводника с током, т. е. В= J dB.
L
5.5.	Если поле создается несколькими проводниками с током, то индукция в какой-либо точке этого поля равна векторной сумме магнитных индукций В&, созданных в этой
п
точке каждым током в отдельности: В= 2 В&, где п — чис-к=1
ло проводников с током.
5.6.	Магнитное поле графически представляют с помощью линий магнитной индукции. Линией магнитной индукции называется линия, в любой точке которой касательные совпадают с направлением вектора В в данной точке поля. Линии магнитной индукции всегда замкнуты. Их распределение в пространстве определяет характер поля.
5.7.	Для установления направлений линий магнитной индукции используется правило буравчика: если буравчик ввертывается по направлению тока, то направление вращения его головки определяет направление линий магнитной индукции.
5.8.	В том случае, когда плоскость, в которой находятся проводник с током и радиус-вектор, неизменна, все эле-238
ментарные векторы направлены вдоль одной прямой и геометрическое сложение векторов можно заменить алгебраическим. В остальных случаях для вычисления интеграла от dB (см. п. 5.3) поступают так же, как в электростатике для подсчета вектора Ё. Математически задача нахождения вектора индукции сводится к взятию интеграла: В — = J dB. Обычно этот интеграл преобразуют, приводя к скалярной форме (для этого надо взять составляющие вектора dB или спроектировать его на удобно расположенные оси и т. п.). Но прежде всего нужно построить вектор dB, т. е. определить направление векторного произведения [dl, г].
5.9.	Пример 6. Вычислить напряженность поля кругового тока на его оси (рис. 120). Расстояния а и h, а также значение тока I заданы.
Решение. Так как векторное произведение [dZ, г] направлено перпендикулярно к обоим векторам dZ и г, то вектор dB лежит в плоскости ДМОА
и направлен вдоль линии, проходящей через точку А перпендикулярно к радиусу-вектору г. Его направление вдоль этой прямой определяется по правилу правого винта, как показано ja рис. 120.
Разложим dB на два вектора: dBa, направленный параллельно радиусу окружности а, и dBz, направленный вдоль оси z. Если перемещать точку М по окружности (что и делается при интегрировании), вектор dB будет поворачиваться вслед за треугольником МОА. При этом вектор dBz будет все время направлен одинаково, a dBa — по-разному, причем каждому вектору dBa соответствует такой же по значению и противоположный по направлению вектор. Таким образом, при интегрировании выражение для проекций dBa обращается в ноль, и
dBz можно интегриро-
вать как скаляр.
По построению, dBz=dBsina, где к — угол между dB и осью z. Найдем значение dB. Так как векторы dZ и г взаимно перпендикулярны, то | [dZ, f] | =d/r. Следовательно,
239
dBz = jiiol/(4л.г2) dZ sin <z. Теперь легко вычислить интеграл, если учесть, что расстояние г постоянно:
В = В2=>цо1 sin а/ (4лг2) $d/= р01/(4лг2) -2ла sin а= = р01а2/(2г3).
В треугольнике АОМ угол АОМ прямой. Поэтому r2=a2+h2. Таким образом, в окончательном виде В = цо1а2/[2(а2+Ь2)3/2]_
5.10.	В некоторых случаях расчет магнитных полей существенно упрощается благодаря применению теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции.
Рассмотрим в пространстве с токами (1Ь 12, 1з,...) замкнутый контур L (рис. 121). В каждой точке контура токи создают некоторую индукцию магнитного поля, характеризующуюся вектором В. Циркуляцией вектора магнитной индукции называется интеграл по замкнутому контуру ф (В, d/)
L (см. М6.1).
5.11.	Теорема о циркуляции утверждает следующее: циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме токов, пронизывающих контур циркуляции. Множитель пропорциональности зависит от выбора системы единиц. В системе СИ он ро, т. е. ф Bd7=p02Ife.
к
5.12.	Известно (см. М6.1), что знак интеграла зависит от направления пути обхода контура. Ток считается положительным, если его направление находится в правовин-товом соотношении с направлением пути обхода контура.
На рис. 121 контур обходится по часовой стрелке, поэтому ток 12 считается положительным, а ток It — отрица-240
тельным. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он пронизывает поверхность, опирающуюся на контур. Таким образом, в нашем примере $ BdZ=po(2l2—Ii). Ток 13 вне контура на циркуляцию не влияет.
5.13.	Если путь интегрирования не обходит вокруг тока, циркуляция вектора В равна нулю. В тех областях пространства, где не текут электрические токи, циркуляция ф BdZ=O, т. е. в таких областях магнитное поле потенциально (например, поле постоянного магнита). В пространстве с током магнитное поле не потенциально.
5.14.	Для описания магнитных полей используется также вспомогательная величина, называемая напряженностью магнитного поля. Она связана с магнитной индукцией В в вакууме соотношением В = |1оЛ.
5.15.	Теорема о циркуляции для Н записывается так: ф
L к
5.16.	В практике используются системы, представляющие собой совокупность N витков с током, включенных последовательно. Такие устройства называются соленоидами. Соленоид представляет собой катушку плотно прилегающих друг к другу витков; длина I катушки значительно больше ее диаметра d: Z^>d Силовые линии магнитной индукции соленоида изображены на рис. 122. Внутри соленоида поле можно считать однородным, при этом индукция поля максимальна. За пределами соленоида густота линии индукции меняется, и индукция В оказывается пропорциональной третьей степени расстояния от осевой линии соленоида. Для расстояний r^>d магнитное поле соленоида можно считать равным нулю.
Рис 122
Для расчета магнитных полей надо знать: I) закон Био—Савара—Лапласа;
16. Заказ 259
241
2) принцип суперпозиции применительно к магнитным полям;
3) теорему о циркуляции вектора В или Н.
Задача 42. Ток в проводнике 1 = 2 цА течет по часовой стрелке. Проводник находится в горизонтальной плоскости и имеет форму окружности радиусом а = 5 см. Найти значение и направление вектора индукции В в центре этой окружности.
1. Ответ получился неправильный (245).
2. Ход решения неясен (276).
Задача 43. Определить индукцию В магнитного поля, создаваемого отрезком длинного прямого провода, в точке А, находящейся на расстоянии Го от него. По проводу течет ток I. Взаимное расположение отрезка и точки А определяется углами oti и аг (р'ис. 123).
Рис. 123
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (246).
2.	Не пойму, как направить векторы АВ (277).
3.	Не знаю, как преобразовать выражение для dB так, чтобы можно было взять интеграл (268).
Выводы. 1. Вектор индукции, созданный прямолинейным током в некоторой точке, направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через линию тока и эту точку, и так, что направления тока, радиуса-вектора ток — точка А и вектора индукции В составляют правовинтовую систему.
2. Магнитное поле прямолинейного тока обладает симметрией (осью является проводник с током). Поэтому на окружности, проходящей через данную точку и лежащей в плоскости, перпендикулярной к току, индукция В одинакова.
Примечание Направление вектор а от наблюдателя символически обозначается ® («хвост стрелки»), направление к наблюдателю — © («острый кончик стрелки»).
242
Задача 44. Определить значение магнитной индукции, .создаваемой бесконечной длины проводом с током I, в точке А, находящейся на расстоянии Го от него Как направлен вектор В, если ток течет вниз?
1	Не знаю, с чего начать решение задачи (247).
2.	Идея решения ясна, но как ее реализовать, не знаю (329).
3.	Направление В неясно (313).
Выводы. 1 Вектор индукции, созданный бесконечным прямолинейным током в точке А, направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через линию тока и точку А и так, что направление тока, г0 и В составляют правовинтовую систему Направление В легко определяется по правилу «буравчика» (рис 124).
Рис 124
2. В силу симметрии бесконечно длинного прямолинейного провода значение вектора В кроме силы тока I зависит только от расстояния от точки А до провода
Задача 45. По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся на расстоянии 5 см друг от друга, текут токи по 10 А каждый Определить индукцию магнитного поля, создаваемого токами в точке А, лежащей посередине между проводами, для следующих случаев а) провода параллельны, токи текут в одном направлении, б) провода параллельны, токи текут в противоположных направлениях, в) провода перпендикулярны друг к другу
1.	Для случая а ответ не получился (248)
2.	Не знаю, как вычислять В в случае б (289)
3.	Не понимаю, как расположены токи в случае в (274).
4	Не знаю, как вычислить В в случае в (326).
Задача 46. По проводу, согнутому под прямым углом, течет ток I Найти значение магнитной индукции в точке, расположенной на расстоянии а от вершины прямого угла по перпендикуляру к плоскости, в которой лежит провод.
16*
243
1.	Не знаю, как построить вектор В для тока, текущего по согнутому проводу (249).
2.	Думаю, что нужно рассмотреть два прямолинейных тока, но не знаю, как найти вектор индукции В, созданный полубесконечным током (286).
3.	Значение В получилось иное, чем в ответе (269).
Вывод. Если провод с током представляет собой ломаную линию,'то вектор индукции представляет собой векторную сумму индукций от каждого прямолинейного участка.
Задача 47. Два параллельных бесконечно длинных провода, по каждому из которых течет в одинаковом направлении ток 1 = 60 А, расположены >на расстоянии d= 10 см друг от друга. Определить индукцию магнитного поля в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии Г1 = 5 см и от другого на расстоянии г2= 12 см.
1.	Значение индукции, создаваемой каждым током, найдено, но сумма с ответом не сошлась (250).
2.	Не знаю, как приступить к решению задачи (281).
3.	Не могу найти угол между векторами В\ и В2 (287).
4.	Значение В получилось иное, чем в ответе (261).
Задача 48. Применив теорему о циркуляции вектора В, определить магнитную индукцию поля, создаваемого бесконечно длинным проводом с током I в точке, находящейся на расстоянии г от него.
1. Не знаю, как подойти к решению задачи (251).
2 Не могу взять интеграл (291).
Вывод. В том случае, когда поле тока обладает некоторой симметрией, что приводит к простому выражению циркуляции вектора магнитной индукции, для нахождения В можно пользоваться теоремой о циркуляции; это упрощает расчет.
Задача 49. Определить циркуляцию вектора напряженности по контурам а, Ь, с (рис. 125), если перпендикулярно к плоскости контуров текут токи Ii =—12=8 А.
Рис. 125
244
1. Случай а): не понял, почему в ответе знак минуса 252).
2. Случай Ь): токи направлены в разные стороны. Почему же сумма их магнитных полей не равна нулю (292)?
Вывод. Циркуляция вектора магнитной индукции зависит не только от того, какой ток пронизывает натянутую на контур поверхность, но и от того, в каком направлении обходится контур при 'интегрировании.
Задача 50. Определить значение напряженности магнитного поля соленоида, имеющего п витков на единицу длины. По соленоиду течет ток I.
1.	Не понимаю, с чего начать решение задачи (253).
2.	Не знаю, как выбрать контур для расчета циркуляции (283).
3.	Не могу вычислить сумму токов, пронизывающих контур (273).
Контрольные задачи
К5.1. По длинному тонкому прямому проводу течет ток силой 1 = 20 А. Определить магнитную индукцию Б поля, создаваемого проводником в точке, удаленной от него на расстояние г = 4 см.
К5.2. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = = 10 см течет ток силой 1 = 80 А. Найти магнитную индукцию В в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г = 20 см.
К5.3. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной а= 10 см, течет ток силой 1=100 А. Найти магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей квадрата.
К5.4. Бесконечно длинный провод образует круговую петлю, касательную к проводу. По проводу идет ток силой 5 А. Найти радиус петли, если известно, что напряженность магнитного поля в центре петли равна 41 А/м.
К5.5. Вычислить циркуляцию вектора индукции вдоль контура, охватывающего токи силой 1| = 10 А, 12=15 А, текущие в одном направлении, и силой 13 = 20 А, текущий в противоположном направлении.
6.	ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТОКИ И ЗАРЯДЫ
6.1.	На элемент тока Id/ в магнитном поле действует сила d/ = I[d7, В] (закон Ампера).
6.2.	Направление силы df определяется согласно свойству векторного произведения [dZ, В] или с помощью пра
245
вила левой руки: если расположить ладонь левой руки так чтобы линии В входили в ладонь, а четыре сложенных вместе пальца расположить по току, то большой палец укажет направление силы.
6.3.	При отыскании значения силы df пользуются формулой, вытекающей из векторного произведения: df== = IBdZ sin ос, где ос — угол между В и d7.
6.4.	На движущуюся частицу в магнитном поле действует сила Лоренца F=q[v, В], где q — заряд частицы, v — ее скорость, В — индукция магнитного поля.
6.5.	При определении направления силы Г нужно пользоваться свойством векторного произведения, однако при этом следует учитывать знак заряда q. Если заряд положительный, направление силы устанавливается по правилу правого винта (рис. 126,а), если заряд отрицательный, направление F меняется на противоположное (рис. 126,6).
Рис. 126
6.6.	Если известен угол а между v и В, значение силы вычисляется по формуле: F = qvB since.
6.7.	Сила электрического поля, действующая на заряд q, описана в п. 2.2. Для электрического и магнитного полей выполняется принцип суперпозиции. Таким образом, на заряженную частицу, движущуюся в постоянных электрическом Е и магнитном В полях, действует сила F=qE +q[u,B].
6.8.	Носителем заряда является вещество, т. е. заряд имеют тело или частица, которые характеризуются не только электрическими, но и механическими свойствами, в частности, имеют некоторую массу. Для нахождения закона движения заряженного тела (точки) под действием силы F (п. 6.7) следует пользоваться уравнениями движения механики (уравнениями Ньютона), или следствиями из них (например, законами сохранения). Если заряд точечный, т. е. находится
246
на теле, которое можно считать точкой, имеющей массу уравнение Ньютона (в векторной форме) принимает вид: d2r
m dP"	В],
где Ё и В, вообще говоря, являются функциями координат г,
На заряженное тело может действовать не только электромагнитная сила, но и другие силы (например, гравитационная). В таких случаях они прибавляются к 'правой части уравнения Ньютона.
Задача 51. Два длинных прямолинейных параллельных проводника с токами В и 12 находятся на расстоянии г. Определить, какая сила — притяжения или отталкивания — действует между ними, если токи направлены одинаково.
1. Не знаю, с чего начать решение задачи (254).
2. Не понимаю, как судить о том, какова сила — притяжения или отталкивания (295).
Вывод. Вы получили весьма важный для практики результат: два параллельных и одинаково направленных тока притягиваются. Нетрудно догадаться, что противоположно направленные токи отталкиваются.
Задача 52. Два параллельных проводника с одинаковыми по силе токами находятся на расстоянии г = 7,8 см друг от друга и притягиваются с силой F=2,5-10-8 Н. Определить силу тока в проводниках, если длина каждого из них L=320 см, а токи направлены в одну сторону.
Указание. Поскольку расстояние между проводниками значительно меньше их длины, последнюю можно считать бесконечной при оценке индукции В.
1. Не могу выразить силу взаимодействия между двумя проводниками (255).
2. Результат получился иной, чем в ответе (307).
Задача 53. С какой силой действует постоянный электрический ток Ii = 10 А, проходящий по прямолинейному бесконечно длинному проводнику, на контур провода в форме квадрата, если проводник расположен в плоскости контура параллельно двум его сторонам? Длина стороны контура /=40 см, сила тока в нем 12=2,5 А. Расстояние от прямолинейного тока до ближайшей стороны контура а = 2 см.
1.	Не знаю, как направить ток (256).
2.	Сомневаюсь в правильности выбранных мною направлений сил (297).
247
3.	Ответ получился неправильный (308).
Задача 54. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, движется параллельно прямолинейному проводнику на расстоянии 4 мм от него. Какая сила начнет действовать на электрон, если по проводнику пустить ток 1 = 5 А? Опишите качественно траекторию электрона.
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (257).
2.	Не понимаю физическую картину движения, описанного в задаче (327).
3.	Не могу описать траекторию (334).
Задача 55. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U=400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью Н=103 А/м, имея скорость v, направленную перпендикулярно к напряженности Н. Найти траекторию движения электрона.
1.	Не могу определить траекторию, хотя скорость найдена (310).
2.	Не помню, что значит однородное поле (328).
3.	Не знаю, с чего начать решение задачи (258).
4.	Радиус окружности получился не такой, как в ответе (330).
Вывод. Вы получили важный результат: в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной к силовым линиям, заряженная частица движется по окружности с постоянной скоростью. Радиус этой окружности прямо пропорционален скорости и обратно пропорционален напряженности (индукции) поля.
Задача 56. Заряженная частица прошла разность потенциалов U=104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е=10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда частицы е к ее массе гл, если, двигаясь перпендикулярно к обоим полям', частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.
1.	Не знаю, как подойти к решению задачи (311).
2.	Не понимаю, как расположены векторы Е, В и v (314).
3.	Не могу сообразить, как использовать условие прямолинейности траектории (259).
Вывод. Отношение заряда частицы к ее массе е/т— важная характеристика частицы, которой часто пользуются в атомной и ядерной физике. В этой задаче вы познакомились с одной из возможностей экспериментального определения этой характеристики.
£48
Контрольные задачи
К6.1. Прямой провод длиной 1= 10 см, по которому течет ток 1 = 20 А, Находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,11 Тл. Каков угол а между направлением поля и направлением тока, если на провод действует сила F=10 мН?
К6.2. Перпендикулярно к магнитному полю с индукцией В = 0,1 Тл возбуждено электрическое поле напряженностью Е=100 кВ/м. Перпендикулярно к обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории, заряженная частица. Вычислить ее скорость.
К6.3. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U=10 В, влетает в однородное магнитное поле с индукцией В=10~3 Тл перпендикулярно к его силовым линиям. Определить радиус окружности, описываемой электроном в магнитном поле.
К6.4. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью 106 м/с. Индукция магнитного поля 0,3 Тл. Радиус окружности 4 см. Найти заряд частицы, если известно, что ее кинетическая энергия равна 12 кэВ.
7.	ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. САМОИНДУКЦИЯ
7.1.	Если в магнитном поле движется проводник, то на свободные электроны в нем действует сила Лоренца. Эта сила смещает электроны к одной стороне проводника, в результате чего возникает неравномерное распределение зарядов и соответствующая разность потенциалов ф|—<р2. Если такой проводник замкнуть, в нем потечет электрический ток.
7.2.	В формуле силы Лоренца (см. п. 6.4) v — скорость частицы относительно неподвижного магнитного поля (неподвижных силовых линий). Если, наоборот, частица неподвижна, а силовые линии индукции перемещаются, то, согласно принципу относительности, эффект окажется таким же: на заряд будет действовать сила Лоренца. Движение силовых линий фактически означает изменение магнитного поля (вектора индукции В). Поэтому изменение магнитного поля, вообще говоря, приводит к возникновению в проводнике электрического тока, который называется током индукции.
7.3.	Наличие электрического тока означает, что в проводнике имеется электрическое поле, создающее ЭДС. Таким образом, при определенных условиях магнитное поле
249
порождает электрическое. Поскольку и электрическое поле тока порождает магнитное поле, то в общем случае исследование отдельно электрического и магнитного полей невозможно. Строго говоря, необходимо описание единого электромагнитного поля. Такое описание проводится с помощью теории Максвелла. Законы индукции, о которых идет речь в этом разделе (так же как и законы Ома, Ампера и др.), являются следствием уравнений Максвелла, которые связывают между собой характеристики электрических и магнитных полей, электрических зарядов и токов. Теория Максвелла довольно сложна в математическом отношении, поэтому для практических целей часто пользуются законами, не выводя их строго теоретически, а формулируя как экспериментальные факты. Такой подход выбран и в дальнейшем описании явлений индукции.
7.4.	Пусть имеется магнитное поле, характеризующееся вектором В (г). По определению (М7.1), поток магнитной индукции сквозь поверхность S есть Ф = J/B(r)dS. В систе-
ме СИ Ф выражается в веберах (Вб = В-с).
7.5.	Во всяком замкнутом контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток. Сила индукционного тока не зависит от способа, которым вызвано изменение магнитного потока Ф, а определяется лишь скоростью
ПФ
его изменения-г.- . dt
7.6.	Индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей. В замкнутом контуре, находящемся в изменяющемся магнитном поле, поток, пронизывающий контур, является функцией времени, а электродвижущая сила индукции, возникающая в результате
ЙФ изменения Ф, е=-----г— .
dt
7.7.	Так как e=IR, 1 = 4Д, то —^ = R^H._ Поскольку dt dt dt
сопротивление не зависит от времени, это равенство можно переписать так: —dФ = dqR.
Количество электричества Aq, протекающего в контуре при изменении магнитного потока ДФ, выражается формулой Aq=—АФ/R, где R — сопротивление контура.
7.8.	Если в магнитном поле находится контур, состоя
250
щий из N витков, пронизываемых одним и тем же магнитным потоком (соленоид), то вводится величина, называемая потокосцеплением. Потокосцепление Д=ЫФ, где Ф — магнитный поток, проходящий через один виток. ЭДС, индуци-
„	ад
руемая в соленоиде, характеризуется равенством е=-----
7.9.	Рассмотрим частный случай однородного магнитного поля В=const. Пусть проводник длиной I движется со скоростью v в однородном магнитном поле перпендикулярно к силовым линиям (рис. 127). За время dt он сместится на расстояние vdt и при этом покроет площадь Zvdt. Поток век-
аФ
тора индукции сквозь эту площадь d® = B/vdt. Тогда -^- = = B/v. Разность потенциалов на концах проводника —ф2= =—B/v. Если проводник замкнуть, в нем потечет ток, соответствующий ЭДС е=—B/v. Направление тока определяется правилом правой руки: если поле В направлено в ладонь, отставленный большой палец — вдоль скорости v, то направление тока совпадает с направлением вытянутых и сложенных вместе четырех пальцев.
7.10.	В замкнутом контуре при изменении магнитного потока, создаваемого током самого контура, возникает ЭДС, называемая ЭДС самоиндукции.
7.11.	При неизменной конфигурации контура потокосцепление Д пропорционально току в контуре Д=Ь1. Коэффициент L называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура. Величина L измеряется в генри (Гн).
7.12.	Индуктивность соленоида L=pon2V, где п — число витков на единицу длины: V—объем соленоида. Очевидно, что L = p0n2/S, где I — длина соленоида; S — площадь его поперечного сечения.
251
7.13.	Электродвижущая сила самоиндукции е, — пропор-dl т di циональна скорости изменения силы тока : ег=—L ,
7.14.	При решении задач по теме данного раздела следует помнить, что появление ЭДС индукции и индуктивного тока приводит к возникновению дополнительных сил, действующих на проводник. Если из текста задачи следует, что проводник не стал двигаться в соответствии с действием этих сил, например, сказано: «проводник движется равномерно...», или «на неподвижный проводник действует переменное магнитное поле...» и т. п., это значит, что проводник помещен в условия, определяющие его механические свойства независимо от электромагнитных сил (например, проводник жестко закреплен).
Задача 57. Найти изменение магнитного потока в единицу времени в рамке, имеющей 100 витков, если в ней появляется ЭДС индукции е=2,5-10_3 В.
1. Не понимаю, что требуется найти (335).
2. Ответ не получился (367).
Задача 58. В однородном магнитном поле с индукцией 10 Тл в плоскости, перпендикулярной к В, расположена прямоугольная рамка (рис. 128). Сторона ad рамки может перемещаться, ее длина /=0,1 м. За 0,01 с сторона ad передвинулась на 25 см. Определить ЭДС индукции, возникшую в контуре cbad.
Рис 128
1. Не знаю, как подойти к решению задачи (368).
Задача 59. В центре плоской круглой рамки 1, состоящей из Ni = 50 витков радиусом г = 20 см, расположена маленькая рамка 2, состоящая из N2=100 витков площадью S=1 см2 каждый (рис. 129). Рамка 2 вращается вокруг одного из диаметров рамки 1 с постоянной угловой скоростью 252
= 300 с-1. Найти максимальное значение возникающей в ике 2 ЭДС индукции, если в обмотке рамки 1 идет ток =10 А. Вектор магнитной индукции, создаваемой током I, гределах рамки 2 можно считать постоянным.
Рис. 129
1.	Не понимаю физический смысл задачи (336).
2.	Не могу найти поток вектора В сквозь рамку 2 (357).
3.	Ответ не получился (393).
Задача 60. В одной плоскости с бесконечно длинным проходом с током 1 = 20 А на расстоянии х0=1 см от него находятся две шины, параллельные току I. По шинам поступательно движется проводник длиной 7=0,5 м. Скорость его движения v = 3 м/с постоянна и направлена вдоль шины. Найти разность потенциалов, возникающую на концах проводника.
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (377).
2.	Не понимаю, в чем отличие этой задачи от задачи 58 (344).
3.	Ответ не получился (394).
Задача 61. В магнитном поле, индукция которого В = = 0,4 Тл, помещена катушка из N = 300 витков. Сопротивление катушки R=40 Ом, площадь сечения S=16 см2. Катушка помещена так, что ее ось составляет угол а = 60° с направлением магнитного поля. Какое количество электричества протечет по катушке при исчезновении магнитного поля?
1. Не знаю, как вычислить изменение потока (371).
2. Ответ не получился (384).
Задача 62. Если сила тока, проходящего в некотором соленоиде, изменяется на 50 А в течение 1 с, то на концах соленоида возникает ЭДС самоиндукции, равная 0,08 В. Найти индуктивность соленоида.
253
Указание. Посмотрите и. 7.14 и учтите, что знак в формуле из и. 7.14 регулирует соотношение между знаком ЭДС и изменением тока, а коэффициент L всегда считается положительным.
Задача 63. Соленоид содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока 1 = 4 А магнитный поток Ф = 6,0-10~6 Вб. Определить индуктивность соленоида.
1.	Ответ не получился (372).
Задача 64. По данному соленоиду сечением S = 5 см2, содержащему N=1200 витков, течет ток силой 1 = 2 А. Индукция магнитного поля в центре соленоида В=10-10-3Тл. Определить индуктивность соленоида.
1.	Не задана длина соленоида, и я не знаю, как ее найти (338).
2.	Ответ получился неправильный (373).
3.	Не могу определить поток сквозь контур соленоида (400).
Ко нтро льные задачи
К7.1. Магнитный поток ф=80-10-3 Вб пронизывает замкнутый контур. Определить ЭДС индукции, которая возникает в контуре, если магнитный поток изменится до нуля за время At = 0,002 с.
К7.2. В однородном магнитном поле, индукция которого В = 1 Тл, находится проводник длиной /=20 см. Найти разность потенциалов, возникающую на концах проводника, если он движется под углом 30° к линии индукции магнитного поля со скоростью v = 2,5 м/с.
К7.3. Рамка площадью S = 50 см2, содержащая N=100 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле, имеющем индукцию В = 40-10_3 Тл. Определить максимальную ЭДС индукции, если ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна к линиям индукции, а рамка вращается с частотой п = 960 об/мин.
К7.4. Проволочное кольцо радиусом R= 10 см лежит на столе. Какое количество электричества q пройдет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую? Сопротивление кольца R=1 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли В = 50-10—6 Тл.
К7.5. На расстоянии а=1 м от длинного прямого проводника с током 1=103 А расположено кольцо радиусом г= 1 см. Положение кольца таково, что поток, пронизывающий
254
его, максимален. Чему равно количество электричества q, которое протечет по кольцу, если ток в проводнике будет выключен? Сопротивление кольца R=10 Ом. Поле в пределах кольца считать однородным.
К7.6. Индуктивность L соленоида длиной /=1 м, намотанного в один слой на немагнитный каркас, равна 1,6 мГн. Площадь S сечения соленоида равна 20 см2. Определить число п витков на каждом сантиметре длины соленоида.
К7.7. В середине основания тонкого длинного соленоида (1 = 5 А, п = 200 витков/см) помещена маленькая рамка, состоящая из N=100 витков площадью S=1 см2. Какое количество электричества пройдет через рамку, если ее перенести в центр соленоида? Сопротивление рамки R=5 Ом.
Указание. Индукция поля на основаниях соленоида 2 раза меньше индукции поля в середине соленоида.
8.	ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
8.1.	Переменным током называется ток, периодически изменяющий числовое значение и направление. Для мгновенных значений силы тока и напряжения в цепи выполняются законы Ома и Кирхгофа только в том случае, если сила тока мало изменяется за время t, в течение которого электромагнитные возмущения проходят расстояние до наиболее удаленных частей электрической схемы. Токи, удовлетворяющие этому условию, называются квазистационарны-ми. Практически квазистационарным током можно считать ток промышленной частоты (v = 50 Гц) для цепей длиной »100 км. В этом разделе рассматриваются только квази-стационарные токи и, кроме того, ток и напряжение считаются изменяющимися по гармоническому закону.
8.2.	В цепях переменного тока кроме активного сопротивления используются также катушки индуктивности L и емкости С.
Пусть к сопротивлению R приложено напряжение, изменяющееся по закону U = Umcoscot, где Um—амплитудное значение напряжения. По закону Ома, I=U/R= = Um cos со t/R = Im cos co t, t. e. I = Im cos co t. Следовательно, ток изменяется по гармоническому закону и в той же фазе.
8.3.	Пусть в цепи переменного тока с напряжением U = Umcoscot включена только индуктивность L (R=0). Тогда все внешнее напряжение приложено к индуктивнос-
т	и . т dl
ти L, поэтому Umcoscot = L— .
255
8.4.	Из равенства, приведенного в п. 8.3, получаем: I = Um/(coL)sin со t-4-const. Полагая const=0 (нет достоян! ной составляющей тока), находим: I = Um/(coL)sin cot== = Im cos (cot—л/2), где Im = Um/(coL).
8.5.	Сравнивая последнее выражение из п. 8.4 с законом Ома для постоянного тока, делаем заключение, что в данном случае роль сопротивления играет величина coL, которую называют индуктивным сопротивлением.
8.6.	Из равенства, приведенного в п. 8.3, видно, что падение напряжения на индуктивности Ub=L -г-.
dt
8.7.	Подставив в равенство из п. 8.6 выражение для тока, получим: Ub=coLIm cos со t.
8.8.	Сравнивая выражения из п.п. 8.4 и 8.7, видим, что падение напряжения на индуктивности опережает по фазе ток, текущий через индуктивность, на л/2.
8.9.	Аналогичными рассуждениями можно показать, что при наличии в цепи переменного тока емкости С ток будет опережать по фазе на л/2 падение напряжения на емкости.
8.10.	Величина 1/(соС) называется емкостным сопротивлением. При со = 0 (постоянный ток) 1/(соС)=оо, и, следовательно, постоянный ток через конденсатор течь не может.
8.11.	Закон Ома для полной цепи переменного тока, когда последовательно включены R, С и L, имеет следующий вид: Im=Um/]/R2+[mL-l/(G>C)p.________
8.12.	Величина z=]/R2+{coL—1/(<пС)]2 называется полным сопротивлением цепи, величина coL—1/(соС) — реактивным сопротивлением.
8.13.	В цепи, содержащей R, L и С, напряжение изменяется по закону U = Um cos cot, а т<ж — по закону 1= = Im cos (cot—ср).
8.14.	Фазовый сдвиг <р может быть больше и меньше нуля — в зависимости от соотношения coL и 1/(соС), и рассчитывается по формуле tg<p=[coL—l/(coC)]/R.
8.15.	Максимальное значение ток в цепи имеет в том случае, если в формуле из п. 8.14 coL= 1/ (соС). Удовлетворяющая этому условию частота сор=1/УЬС называется резонансной частотой, а само явление — резонансом напряжений. Полное сопротивление цепи в этом случае является чисто активным и фазовый сдвиг ср = О.
8.16.	Средняя мощность в цепи переменного тока Р=
256
— (U?nlm cosjp)/2. Такую же мощность развивает постоянный ток 1 = 1т/У2. Это значение I называется действующим (эффективным) значением силы тока. Соответственно U = Um/y2 называется действующим (эффективным) значением напряжения.
8.17.	Согласно и. 8.16, мощность P=IUcos<p. Следует иметь в виду, что значения I и U (действующие или эффективные) — это те, которые измеряются приборами. Если в условиях задачи нет специальных оговорок, то I и U — действующие значения.
8.18.	Значение cos <р определяется по формуле cos <р= = R/Z = R/yR2+[wL-l/(coC)]2.
8.19.	Для облегчения расчета I, U, <р в цепях переменного тока применяют так называемый метод векторных диаграмм. Прежде чем говорить о применении этого метода в теории электричества, рассмотрим некоторые формальные построения, которыми удобно пользоваться при сложении ко-пебаний.
Пусть гармоническое колебание вдоль оси х описывается законом движения х = a cos(cot-Rcp) (см. гл. 1, п. 8.3). Построим на плоскости ось х и радиус-вектор a(t), проекция которого на эту ось равна a cos(cot4-<p). Так как проекция радиуса-вектора на ось х, согласно М2.1, равна a cos а, где а — длина вектора a, a — угол между направлением вектора и осью х, то в данном случае a=cot+<p (рис. 130). Поскольку при t=0 ct = cp, a(0) дает на ось х проекцию х0 = = а coscp. Так как угол a = cot+cp пропорционален t, с течением времени вектор а совершает равномерное вращение против часовой стрелки с угловой скоростью со. Длина вектора а остается неизменной и совпадает с амплитудой описываемого колебания.
Пусть теперь у нас имеется два колебания с одинаковыми частотами и амплитудами, но разными фазами: Xi = = а cos(cotJ-cpi) и х2=а cos(cot+<p2) • Каждое из них можно представить вектором, так что при t=0 имеем два вектора: fli(0) и a2(0) (рис. 131). Суммарное колебание xi+хг можно описать проекцией на ось х вектора, который является суммой векторов di+a2. Согласно М2.3, сумма векторов a1-f-d2=c может быть графически изображена так, как показано на рис. 132. Суммарное колебание x=xiJ-x2 описывается проекцией вектора с на ось х. Амплитуда колебания равна длине вектора с, начальная фаза <р0— угол, образованный вектором с с осью х.
’7. Заказ 259
257
Рис. 130
Рис. 131
Рис. 132
8.20.	Все сказанное в п. 8.19 справедливо для любых гармонических колебаний, в том числе электрических, где под а подразумевается амплитудное значение 1то или Um. Углы cot и а отсчитывают против часовой стрелки.
Для последовательных соединений за ось диаграммы принимают ось токов (так как ток во всех элементах одинаков), для параллельных соединений — ось напряжений.
Метод векторных диаграмм позволяет представить процессы в цепях переменного тока и значительно упрощает вычисления.
8.21.	Пример 7. Рассмотрим цепь, состоящую из активного сопротивления R и индуктивности L. Найти фазовый сдвиг <р между током и напряжением в цепи и амплитудное значение силы тока в цепи, если Um и со заданы.
Решение. Пусть внешнее напряжение изменяется по закону
U = Umsincot.	(1)
Кроме него в контуре возникает ЭДС самоиндукции
es=-LHF-	(2)
По закону Кирхгофа,
IR=U-t-es-	(3)
Подставив (1) и (2) в (3), получим:
IR+L jp = Um sin со t.	(4)
Частное решение этого уравнения ищем в виде
1 = Im sin (cot—ср),	(5)
258
предполагая, что ток тоже является гармонической функцией. Подставив (5) в (4), найдем:
ImR sin (cot—<р)Ц-Ытсо cos (cot—cp) =11™ sin cot, (6) откуда
RIm(cos cpsin co t—sin cp cos co t) +	, .
+ LIm(cos <p sin co t-f-sin <p cos co t)—Umsincot = 0.	'
Чтобы равенство (7) было справедливо для любого момента времени, необходимо, чтобы обращались в нуль коэффициенты при sin со t и cos со t. С учетом этого условия получим следующие уравнения:
LImco cos ср—RIm sin ср=О,
LImsin <p-RRImcos <p=Um.	(°'
Разделим первое уравнение из системы (8) на RImcoscp. Тогда
Leo—Rtg<p=0.	(9)
Отсюда
tg<p=Lco/R и <p=arctg(Lco/R).	(10)
Возведя оба уравнения (8) в квадрат и сложив, получим: m2(L2co2+R2) =Um2, откуда
Im==Um/]/L2co2+R2.	(11)
Сила тока в цепи изменяется по закону
I = Im sin (cot—<р) =Um/]/L2co2-[-R2 sin [cot—arctg(Lco/R)]. (12)
8.22.	Методом векторных диаграмм эту задачу можно решить значительно проще.
По условию задачи, R и L соединены последовательно. Это значит, что ток, текущий через них, одинаков. Поэтому за ось диаграммы примем ось, вдоль которой направлен вектор амплитуды тока (индекс m для краткости опускаем). Это ось абсцисс на рис. 133. Затем по осям отложим векторы напряжений на R и L, т. е. и UL (индекс ш опущен). Напряжение на сопротивлении находится в фазе с током, и вектор амплитуды напряжения Uh направлен вдоль оси диаграммы (абсцисс). Вектор амплитуды напряжения Щ опережает вектор амплитуды тока I на л/2. Поэтому отложим его на оси ординат. Вектор общего напряжения представляет собой векторную сумму Ul и Ur (рис. 134).
17*
259
Рис. 134
Рис. 133
8.23.	Угол фазового сдвига <р может быть найден из прямоугольного треугольника ОАВ (см. рис. 134): tg Но Uh=IR, a Ul = IcoL. Поэтому tg <р=coL/R.
8.24.	Треугольник напряжений можно заменить треугольником сопротивлений (рис. 135), так как ток I одинаков в обоих элементах. Поэтому общее сопротивление Z=
=y(coL)2+R2.
R
8.25.	Амплитудное значение силы тока в цепи I — =.и/уйЖ.
8.26.	Сравнивая выражения (12), (11) (из п. 8.21) с формулами из п. 8.23 и 8.25, видим, что метод векторных диаграмм дал тот же результат, значительно сократив решение.
8.27.	Если в контуре, содержащем R, L и С, возникают собственные колебания, то их частота и=1/уЬС, период Т=2луьС. При наложении внешнего переменного напряжения частота собственных колебаний совпадает с резонансной частотой контура (см. п. 8.15).
8.28.	Примечание Дросселем называется катушка индуктивности, которая кроме индуктивного сопротивления шЕ имеет омическое (активное) сопротивление R'
Задача 65. В сеть переменного тока с действующим напряжением ПО В включены последовательно конденсатор емкостью 5-Ю-5 Ф, катушка с индуктивностью 200 мГн и активным сопротивлением 4 Ом. Определить амплитуду силы тока в цепи, если частота переменного тока 100 Гц.
260
1.	Ответ не получился (374).
Задача 66. Два конденсатора емкостью Ci=0,4 мкФ и С2=0,2 мкФ включены последовательно в цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц. Найти силу тока в цепи и падение напряжения на каждом конденсаторе.
1.	Не могу найти емкость (339).
2.	Нет уверенности в правильности выражения для силы тока (360).
3.	Не лнаю, как определить падение напряжения на конденсаторе (375).
Задача 67. Рассчитать, какой фазовый сдвиг происходит в цепи переменного тока, состоящей из параллельно включенных сопротивления R=100 Ом и емкости С = = 2-10_6 Ф. Частота в сети 50 Гц. При решении использовать метод векторных диаграмм.
1.	Физическая картина не совсем ясна (340).
2.	Не могу построить диаграмму (351).
3.	Угол фазового сдвига не получается (398).
Задача 68. В цепи находятся последовательно включенные сопротивление R и катушка с L = 0,l Гн. Между напряжением и силой тока наблюдается сдвиг фазы <р = 30°. Чему равно сопротивление R? Какую емкость надо включить, чтобы сдвиг фаз был равен нулю? Частота v = 50 Гц.
1.	Не знаю, как приступить к решению задачи (365).
2.	Не могу найти сопротивление (377).
3.	Не понимаю, каким образом можно получить нулевой сдвиг фазы (399).
Задача 69. Катушка, имеющая индуктивность L=0,3 Гн и сопротивление R= 100 Ом, включена в цепь 50-периодного тока с эффективным (действующим) напряжением U=120 В. Определить амплитуду тока I, сдвиг фазы <р между током и напряжением в цепи, а также выделяемую в цепи мощность Р.
1.	Сила тока получилась иная, чем в ответе (341).
2.	Для определения 1т недостаточно данных (353).
3.	Сдвиг фаз не получается (359).
4.	Значение Р получилось иное, чем в ответе (390).
Задача 70. Дроссель и сопротивление R = 20 Ом, соединенные последовательно, присоединены к сети с напряжением U=120 В (v = 50 Гц). При этом дроссель находится под напряжением U2=91 В, а сопротивление R — под напряжением и=44 В. Какие мощности Р! и Р2 выделяются на сопротивлении R и дросселе? При решении задачи воспользоваться методом векторных диаграмм.
261
1.	Не понимаю, как использовать свойство дросселя (342).
2.	Не знаю, с чего начать решение задачи (345).
3.	Не могу найти Pi (348).
4.	Не знаю, как определить Р2 (352).
5.	Построить векторную диаграмму оказалось сложно (366).
Задача 71. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L = 0,07 Гн и плоского конденсатора с площадью обкладок 0,45 м2, разделенных парафинированной бумагой’толщиной 0,1 мм. Определить период колебаний. Активное сопротивление ничтожно мало. Диэлектрическая постоянная диэлектрика 8=2.
1.	Не понимаю, как использовать данные задачи для нахождения Т (380).
Контрольные задачи
К8.1. В цепи 50-периодного тока имеются сопротивление R= 100 Ом, катушка с индуктивностью L=1 Гн и конденсатор с емкостью С= 1 мкФ. Чему равен сдвиг фазы между током и напряжением на концах всей цепи?
К8.2. В катушке с омическим сопротивлением 10 Ом при частоте 50 Гц сдвиг фаз между напряжением и током равен 60°. Определить индуктивность катушки.
К8.3. По последовательно соединенным дросселю и конденсатору С=10 мкФ идет ток 1 А. Частота переменного тока 50 Гц. Омическое сопротивление дросселя 120 Ом. Общее напряжение 220 В. Определить индуктивность дросселя.
К8.4. Катушка, индуктивность которой 0,1 Гц и омическое сопротивление 20 м, соединена последовательно с конденсатором и присоединена к источнику переменного тока. Какова должна быть емкость конденсатора, чтобы при частоте 50 Гц по катушке шел наиболее сильный ток?
К8.5. Дроссель, имеющий индуктивность L = 0,27 Гн и сопротивление R=100 Ом, выделяет в цепи 50-периодного тока мощность Р= 100 Вт при эффективном значении тока в цепи 1=1 А. Найти эффективное значение напряжения и фазовый сдвиг, вносимый дросселем.
К8.6. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью 10 Гн и конденсатора переменной емкости. При каком значении емкости С в контуре наступит резонанс на частоте v=l МГц?
ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
К1.1. 2,3-10-2 Кл.
К1.2. q0=qf3.
К1.3. 1,27-10-6 Н.
К1.4. 10-8 Кл/м.
К1.5. Е! = 3,78 В/м;
Е2=4,72 В/м.
К1.6. Между пластин
Е = п/(2ео), снаружи Е = 0.
К2.1. 250 В.
К2.2. 505 В.
К2.3. 226 В/м.
К2.4. 8,07 В.
К3.1. 2,35 мФ
К3.2. 8-Ю-6 Кл; U1=4 В;
U2==2 В.
кз.з. 3.
К3.4. 4,5.
К3.5. 0,309 Дж/м3.
К4.1. 8-Ю-4 м/с.
К4.2. 0,36 В.
К4.3. 0,04 А, 0,01 А;
0,03 А.
К4.4. В,2=0,0267 А;
13,4=0,004 А.
К4.5. 8 Дж/с.
К4.6. 16 Вт.
К4.7. 20 Кл.
К4.8. 80 кОм.
К5.1. 10-4 Тл.
К5.2. 62,8 мкТл.
К5.3. 1,13 мТл.
К5.4. 8-Ю-2 м.
К5.5. 6,28 мкТл-м.
К6.1. 106 м/с.
К6.2. 30°.
К6.3. 0,01 м.
К6.4. 3,2-10-19 Кл.
К7.1. 40 В.
К7.2. 0,25 В.
К7.3. 2,01 В.
К7.4. 3,14-10-6 Кл.
К7.5. 62,8-10-6 Кл.
К7.6. 8 витков/см.
К7.7. 1,25-10-4 Кл.
К8.1. 80.
К8.2. 0,055 Гн.
К8.3. 1,013 Гн.
К8.4. 100 мкФ.
К8.5. 100 В; <р=0.
К8.6. 250 пФ.
РЕКОМЕНДАЦИИ К ЗАДАЧАМ гл 3
РЕКОМЕНДАЦИИ 1—244 К ЗАДАЧАМ 1—41
1.	Вы не забыли о множителе 1/(4ль0);’ См примечание к п 1 7
2.	Правильно ли вы воспользовались единицами измерения? Например, если в условии задачи расстояние дано в сантиметрах, то в оистеме СИ оно должно быть выражено в метрах
3.	Сила F3, действующая на заряд q3, складывается из _сил действующих на него полей зарядов qt и q2 F3=
Если неясно, как найти числовое значение Е3, обратитесь к р 148
4.	Проверьте, правильно ли вы учли геометрию задачи — направление векторов напряженностей Ё{ и Ё2 и, в частности, угол между ними Самостоятельно сделайте чертеж Проверить его можно в р 117 Посмотреть общую формулу мож но в р 89
5.	Вы понимаете, что в данном случае означает равновесие систем? Почему заряды q не могут находиться в рав новесии в отсутствие заряда Q? Чем обеспечивается равновесие? Попробуйте дальше рассуждать самостоятельно Еб-ли условие равновесия неясно, обратитесь к р 58
6.	В отличие от предыдущих задач здесь заряд qi не точечный Поэтому для того чтобы воспользоваться законом Кулона, необходимо часть пространства, в котором распределен этот заряд, разбить на такие маленькие участки, чтобы каждый из них можно было считать точечным Вспомните, как в математике делается такое разбиение (М8 1) и попробуйте применить этот прием к отрезку (М6 1) Не забудьте сделать чертеж, проверить который можно в р 74
Если разбиение вам удалось, вычислите силу, действующую на q2 со стороны заряда, расположенного на одном из участков, и просуммируйте ее по всем участкам Если не знаете, как провести суммирование, обратитесь в р 59, если не догадываетесь, как выразить силу, — к р 91 Если не знаете, как проделать разбиение отрезка на участки, посмотрите р 45
264
7.	Вы сделали чертеж? Поскольку направления векторов напряженностей, создаваемых разными участками стержня, оказываются разными, складывать можно не их числовые значения, а только проекции на одно и то же направление. Подумайте, как это сделать. Общую формулу можно проверить в р. 92. Если вы запутались в расчете, обратитесь к р. 75.
8.	Вы обратили внимание на то, что значения зарядов q и Q даны в разных единицах? Вы не ошиблись в чертеже? Проверьте его в р. 47. Правильно ли вы вычислили заряд dQ, расположенный на элементе длины d/ (см. р. 93)? Если все верно, проверьте общие формулы в р. 61.
9.	Если вы правильно вычислили значение заряда на элементе d/ (см. р. 48) и решили задачи 7 и 8, то получить выражение для Е будет легко. Обязательно проведите анализ зависимости Е от h. Если вас это затрудняет, обратитесь к р. 77.
10.	ТОГ связывает между собой поток вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность и заряд, находящийся внутри этой поверхности. Естественно выбрать поверхность таким образом, чтобы можно было выразить поток наиболее просто через напряженность поля. Сделайте чертеж и обратите внимание на разницу в ситуации при r>R и r<R, где г — расстояние от точки до центра сферы. Дальше действуйте самостоятельно Чертеж можно проверить в р. 63. Если вы все же не знаете, как следует рассуж-тать дальше, обратитесь к р. 78.
И. Если для r<R вы нашли правильный ответ, а для r>R — нет, проверьте, верно ли вы рассчитали полный заряд на шаре (см. р. 49). Если да, возможно, вы забыли, что при r>R напряженность определяется в вакууме, где е=1. Запись ТОГ проверьте в р. 124. В случае неверного выражения для Е при r<R проверьте ход ваших рассуждений в р. 64
12.	Вспомните пример из п. 1.3: в нем рассматривается плоскость бесконечной протяженности, а для использования ТОГ достаточно небольшой замкнутой поверхности. Сделайте чертеж нити, линий напряженности и подберите удобную поверхность для применения ТОГ. Если вы сомневаетесь в правильности выбора поверхности, посмотрите р 157
13.	Целесообразно поверхность выбирать так, чтобы векторы напряженности были или параллельны поверхности (тогда поток через эту поверхность равен нулю), или направ-
265
лены по нормали к ней (тогда поток пропорционален произведению численного значения Е на площадь). Если не знаете, как это сделать, посмотрите р. 80.
14.	Обратите внимание на то, в каких единицах даны значения заряда и потенциальной энергии в условии задачи и в ответе. Посмотрите в табл. 3 Приложения, что означают приставки «н», «мк» и «к».
15.	Вы перевели все единицы в систему СИ? Если учли и то, что означает приставка «н» в единице нКл, и то, что значение г дано в сантиметрах, значит, вероятнее всего, вы забыли в выражение для <р поставить в знаменателе 4ле0. Множитель 1/(4ле0) =9-109 м/Ф.
16.	Вы сделали чертеж? Учли условие симметрии, т. е. то, что левая и правая половины стержня создают одинаковый потенциал^ Чертеж дан в р. 99. Возможно, вы неверно построили .интеграл. Проверьте вид интеграла в р. 127.
17.	Чтобы разобраться в смысле задачи, прежде всего сделайте чертеж. Для решения задачи нужно уметь найти потенциал заряженной сферы в какой-либо ее точке и потенциал, создаваемый в точке вне сферы зарядом, распределенным по сфере. Это не должно быть для вас затруднительным, поскольку потенциал выражается через напряженность, а напряженность вы определили, решая задачи раздела 1 данной главы. Не забудьте о высокой степени симметрии расположения зарядов и потенциалов. Если вы все-таки не знаете, как действовать дальше, обратитесь к р. 51.
18.	Внимательно прочитайте п. 1.7, вспомните, как строили графики в задачах 9, 10, 11. Проверить ваши построения (когда они закончены!) можно в р. 52. Если неясно, как делать построения, обратитесь в р. 67.
19.	Согласно формуле из п. 2.4, для нахождения <р нужно знать £(г). В случае шаровой симметрии достаточно определить зависимость напряженности в данной точке от ее расстояния до центра шара. Внимательно прочитайте еще раз задачу и подумайте, как найти Е(г). Если это вам не удалось, посмотрите задачу 11 и решите ее еще раз.
Итак, можно считать, что напряженность поля равномерно заряженного диэлектрического шара (плотность заряда р, диэлектрическая постоянная е) вам известна. Теперь ясно, как искать д0 и д>д? Если ответ не получился, посмотрите р. 102.
20.	Если имеются два заряда, один из них можно считать источником поля (т. е. зарядом, создающим потенциал), 266
другой — тем зарядом, на который это поле действует. При этом заряд, создающий поле, считается неподвижным, а другой заряд переместившимся из точки с одним потенциалом в точку с другим потенциалом. Если вы поняли идею, ищите выражение для работы (проверить его можно в р. 103), если нет, обратитесь к р. 131.
21.	Следует воспользоваться соотношением между линейной плотностью заряда т и работой, производимой полем этого заряда, над точечным зарядом q. Вспомните, как элементарная работа зависит от изменения потенциала dtp, и формулу, связывающую изменение потенциала с напряженностью. Помочь вам может решение задачи 17. Если и оно не помогает, посмотрите р. 53.
22.	Вы обратили внимание на то, в каких единицах даны емкости?
23.	Поскольку требуется найти три характеристики (Uj, U2 и q), нужно построить три независимых уравнения, связывающих эти характеристики с заданными величинами (Ci, С2, U). Конденсаторы соединены последовательно. Вспомните, каковы при этом заряды на конденсаторах, какова емкость батареи. Теперь попробуйте найти решение. В крайнем случае обратитесь к р. 106.
24.	Внимательно перечитайте пример из п. 3.1. Аналогично решается и данная задача. Если все же ход решения неясен, обратитесь к р. 107.
25.	Если после отключения конденсатора от источника напряжения изменить расстояние между пластинами, как изменится заряд на пластинах? Подумайте также, изменятся ли размер пластин конденсатора, значения ео и е? Теперь ясно, какими соотношениями можно воспользоваться при решении? Если все равно неясно, посмотрите р. 136.
26.	В результате зарядки первый конденсатор получил определенную энергию; после присоединения к нему второго конденсатора энергия системы изменилась, так как часть ее ушла на образование искры в результате скачкообразного перераспределения потенциала. Переход заряда сопровождается потерей энергии на световое излучение, звук и тепло.
Если вы поняли, как действовать дальше и можете найти решение в буквенных обозначениях, проверьте его в р. 84, если нет, обратитесь к р. 137.
27.	Все, что нужно знать для решения данной задачи, вам известно, если вы решали предыдущие задачи. Общая формула должна быть следующей: A=U2CiC2(Ci—С2)2/
267
/[2(С1+Сг)3]. Если у вас она иная, нужно проверить промежуточные формулы (см. р. 109, 138). Выражение для заряда qp найдете в р. 199. Если ответ получится неправильный, проверьте единицы измерения (здесь пФ — пикофарады).
28.	Вы не забыли все значения величин выразить в единицах СИ? В задаче они даны в сантиметрах и килоджоулях. А вы подставили ео в выражение для w? Если и теперь ответ не получился, проверьте общую формулу в р. 139.
29.	A = 2CU2. Если вы получили эту формулу, а ответ неправильный, значит напутали с единицами. Обратитесь к п. 3.16. Если формула работы не получилась, посмотрите р. 140.
30.	Если вы не знаете, с чего начать, значит невнимательно прочитали введение к разделу 4. Какой закон позволяет найти ток по заданной ЭДС, разности потенциалов и сопротивлению? Понятно теперь, что делать? Если нет, прочитайте р. 110.
31.	Вы получили значение тока? Оно должно быть равно 2,5 А. Проверьте внимательно вычисление: в формуле из п. 4.13 чему равняются <pi и ф2? Если вы не поняли, о чем идет речь, посмотрите р. 85.
32.	Вероятно, вы не обратили внимания на п. 4.15. Ведь именно в замкнутой цепи ее «начальная» и «конечная» точки совпадают.
33.	Как следует из п. 4.12, сопротивление провода не зависит ни от I, ни от U. В то же время R входит в формулы, содержащие две последние характеристики (например, в закон Ома: см. п. 4.14). Этими формулами и следует пользоваться, беря любые I и U. Учитывая это, попробуйте продвинуться дальше самостоятельно. Если вам это не удается, посмотрите р. 112.
34.	Вы правы в своем сомнении: ЭДС всего участка — это некоторая эффективная электродвижущая сила. Если считать сопротивление Rn (с учетом сопротивления источника) известным и выбрать некоторый ток I и потенциалы на концах участка срд и <рв, то, согласно р. 4.13,1 = (<рА—<рв)/ Rn4-eRn. На эту формулу и следует опираться. Заметим, что, как и сопротивление; ЭДС не должна зависеть ни от I, ни от ф. Дальше можно повторить рассуждения задачи 33.
35.	Вы разобрали п. 4.29? Данные о том, как проходила зарядка аккумулятора вам сообщены. Следует учесть, что в конце зарядки аккумулятор имел ЭДС е—ту, которую
268
вам предстоит искать. Таким образом, вы можете записать закон Ома для начала зарядки. Если вы не поняли, какое уравнение можно записать для случая, когда зарядка окончена, обратитесь к р. 55, если не знаете, как поступить при анализе процесса разрядки, — к р. 145.
36.	Во всех задачах по определению силы тока нужно использовать закон Ома или следствия из него. В частности, можно применить правила Кирхгофа, но можно обойтись и без них, если вспомнить задачи 32 и 34. Если вы выберете правила Кирхгофа, еще раз прочитайте п. 4.21.
37.	Вы правильно решили воспользоваться правилами Кирхгофа. Действуйте согласно приемам, рекомендованным в п. 4.22. Выбрали напряжение тока? Теперь выберите контуры обходов и точки разветвления. Подумайте, сколько нужно тех и других и приступайте к реализации намеченного вами плана. Проверить свои построения можете в р. 57.
38.	При x<^R E = qx/(R2-j-x2)3/2=qx/(R2)372=qx/R3, т. е. Е увеличивается линейно с ростом х, а при х=0 Е=0. Если x^>R, то E~qx/ (x2)3/2=q/x2 и стремится к нулю при х->оо.= q {R2+x2)3 /2—3/2 (R2+x2)1 '22хх}/ (R2+x2) = 0, от-QX
куда (R24~x2)—Зх2=0. Поэтому x=R]/2. Поскольку х—h есть расстояние, знак минуса не имеет смысла.
R2	сю
39.	<р1= f Qi/(4ne0r2)dr+ f (Q1+Q2)/(4ле0г2)dr = —Qi/ Ri	R2
41.	Если вы выбрали контуры ABEFA и ACDFA, то уравнения для них такие: Rг,4-IR = ei, I2R2+ IR=82. Кроме того, согласно первому правилу Кирхгофа, Ij-f-Ib—1 = 0. Совместное решение этих трех уравнений даст выражение, приведенное в р. 177.
269
42.	Разберите еще раз пример 1 из и. 1.3.
43.	Будем считать h переменной величиной, т. е. положим h=x и E = qx/(R2+x2)3'2. В выражении для Е при x<R можно пренебречь в знаменателе х по сравнению с R, а при x^>R — значением R по сравнению с х; значение х, соответствующее максимуму E = f(x), определяется из условия =0. Теперь получили график, изображенный на GX
рис. 141 (р. 62)? Сравните полученные значения Е с тем значением, которое было бы, если бы весь заряд q был сконцентрирован в точке 0. Если сомневаетесь в результате, обратитесь к р. 38.
44.	Учитывая рассуждения из р. 191, интеграл <р1 = сю	сю
— J Edr целесообразно разбить на два интеграла: f Edr =
Ri	Ri
R2	сю
= fEidr-j-J (Ei+Ezjdr. Подынтегральные выражения здесь
Ri	R2
отличаются лишь постоянным множителем, но пределы у них разные. Результат проверьте в р. 230. В р. 39 показано, как брать эти интегралы.
45.	Согласно условию задачи, заряд qj равномерно распределен по отрезку I с плотностью r=qi/. Разбейте I на бесконечное множество элементов dx. Каждый элементарный отрезок dx будет нести элементарный заряд dqi = rdx, который можно считать точечным. Теперь стройте выражение для силы.
46.	Задачи подобного типа удобно начинать с чертежа. Сделайте чертеж и подумайте, чем эта задача отличается от предыдущей. Проверить свои рассуждения вы можете в р. 60.
47.	Чертеж должен быть таким, как на рис. 137. Те-
270
перь вспомните предыдущую задачу и попробуйте дальше действовать самостоятельно. Если вы зашли в тупик, обратитесь к р. 76.
48.	В данной задаче заряд на d/ определяется так же, как и в задаче 8. Он равен: dq = qd//(2nR).
49.	Полный заряд на шаре равен 4/3nR3p.
50.	Очевидно, что напряженность поля может зависеть только от г, так как сдвиг параллельно направлению поверхности слоя в силу его бесконечной протяженности не имеет значения. Силовые линии перпендикулярны к поверхности слоя. Попробуйте теперь воспользоваться ТОГ для случая а. Если вы не знаете, как поступить, обратитесь к р. 65.
51.	Сделайте чертеж. Посмотрите, каков потенциал внутренней сферы в отсутствие внешней сферы, а затем подумайте, как влияет внешняя заряженная сфера на потенциал внутренней сферы. Не забудьте о симметрии. Если снова не знаете, как поступить, посмотрите р. 66.
52.	Графики для Е(г) и <р(г) следующие (рис. 138 и 139 соответственно):
Рис 139
53.	dA—qdqp; dC==—grad ф. Из последней формулы можно найти dtp. Если вам не ясно, как это сделать, обратитесь к р. 68.
54.	Работа разряда А равна разности энергий дю пере-соединения (WJ и после пересоединения (Wp): A=Wj—Wp. Таким образом, нужно найти энергию Wi при последовательном соединении конденсаторов и энергию Wp—при параллельном. Вспомните, как выражается W\, если заданы Сь
271
С2 и U. Проверить полученное выражение можно в р. 69. Затем определяйте Wp. Не забудьте, что нужно найти Up — разность потенциалов при параллельном соединении конденсаторов, а также емкость системы. Проверить ход вычислений можно в р. 168.
55.	Целесообразно построить закон Ома для участка цепи 132, содержащего аккумулятор. По условию задачи, на этом участке при зарядке мы пренебрегаем внешним сопротивлением так, что имеются лишь характеристики 1Ь г, Фь фг и е. Запишите с их помощью закон Ома и проверьте его в р. 70.
56.	Вы воспользовались результатом задачи 34: нашли сопротивление г источников и с его помощью их ЭДС? Проверьте формулу для евр. 71.
57.	Поскольку в задаче направление тока 13 задано, естественно считать его положительным. Тогда можно определить и направления токов в сопротивлениях Ri и R2 (R и 12). Начертите схему и запишите уравнения Кирхгофа. Проверить схему можно в р. 72.
58.	Для того чтобы каждый из зарядов, находящийся на вершине квадрата, был в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая сил, действующих на этот заряд, равнялась нулю. Сделайте чертеж и составьте условие равновесия одного из зарядов. Проверить результат можно в р. 73.
59.	Поскольку отрезок разбит на бесконечно малые части, суммирование всех сил выражается интегрированием по отрезку. Так как задано расстояние г, пределы интегри-  рования удобно брать от г—1/2 до г+//2. Постарайтесь выполнить интегрирование самостоятельно. Если это вам не удается, обратитесь к р. 119.
60.	Поскольку напряженность — это сила, действующая на единицу заряда, данная задача в принципе отличается от предыдущей лишь местоположением точки, в которой нужно определить напряженность по отношению к заряженному стержню. Подумайте теперь, как провести суммирование по всем d£ (рис. 140). Если вам это не удается, обратитесь к р. 75.
61.	Если ось у соединяет концы полуокружности и начало координат находится в ее центре, то Fx=Qq/(2n2eoR2), Fy=0.
62.	Зависимость значения напряженности Е от расстояния h выражается графически так, как показано на рис. 141. Если вы не сумели построить эту кривую, обратитесь к р. 43.
272
Рис. 140
63.	Поле равномерно заряженной сферы симметричнорадиальное (рис. 142).
Рис. 142
64.	Как и в задаче 10, следует сделать чертеж и рассмотреть два случая: 1) r<R (внутри шара) и 2) r>R (вне шара). В силу симметрии распределения заряда значение напряженности Е одинаково на сфере данного радиуса г, центрированной в центре шара (рис. 143). Теперь найдите Е для произвольного r<R. Если нашли, проверьте результат в р. 79, если нет, обратитесь к р. 96.
273
18. Заказ 259
Рис. 143
65.	Вспомните предыдущие задачи на эту тему и подумайте, почему было легко вычислять поток вектора Ё сквозь выбранную поверхность. Тот же прием построения замкнутой поверхности нужно применять и здесь. Если вы все-таки не знаете, как это сделать, обратитесь к р. 13.
66.	Найдите потенциал внутренней сферы, если внешняя сфера не заряжена. Проверить его значение можно в р. 81. А теперь рассчитайте, какой потенциал создает заряд внешней сферы внутри нее, там, где находится сфера меньшего радиуса. Проверить выражение для потенциала можно в р. 100. Если вам неясно, что делать дальше, прочитайте р. 128.
67.	Чтобы построить графики Е(г) и ср (г), нужно учесть, что поведение потенциала и напряженности различны при разных расстояниях — от 0 до R^ от R; до R2 и от R2 до оо. Соответствующие точки нужно отметить на графиках по оси г. Затем надо посмотреть, каковы знаки функций на этих участках, не обращаются ли они в нуль, в бесконечность и т. д. Постройте сначала график Е(г) и проверьте полученный результат в р. 82, затем постройте график ср (г) (см. р. 129).
68.	Вспомните, что означает grad ср, когда заряд перемещается вдоль силовой линии. Не забудьте учесть, что поле создается бесконечной нитью. Если вы все-таки не знаете, как найти dqp, прочитайте р. 83.
69.	Ну?кно воспользоваться общей формулой W=CU2/2, построив С для последовательно соединенных конденсаторов. Запишите выражение для энергии Wi и проверьте в р. 109.
70.	1(1 = 111—е. Если у вас получилось иное выражение, проверьте свои рассуждения в р. 86.
274
71.	е= (е1Г2-Не9Г1)/(г1+г2). Если ваше выражение не •такое, посмотрите р. 87, если оно правильно, продолжайте решение задачи. Общую формулу для тока проверьте в р. 177.
72.	Изогнутыми стрелками на схеме (рис. 144) указаны положительные направления токов, если ток 13 считать положительным. Они соответствуют знакам на электродах источников si и е2. Теперь выбирайте узлы для использования первого правила Кирхгофа. Проверить полученные уравнения можно в р. 88.
Рис. 144
73.	Условие равновесия легко построить с помощью данного чертежа (рис. 145). Проверьте полученное условие в j). 90.
Рис 145
18*
275
74.
-----1—Ш-----1-------1
x-------Ф	*--1/2
I	Puc. 146
-T.----------
75.	Из чертежа, изображенного на рис. 140 (р. 60), видно, что поле, создаваемое заряженным стержнем, симметрично относительно оси у, если начало координат находится в середине стержня, а ось х направлена вдоль него. Если построить вектор напряженности dEb создаваемой элементом, расположенным симметрично dx, то векторы dE и dE] удобно спроектировать на оси х и у и затем сложить их проекции. Попробуйте закончить задачу самостоятельно. Общую формулу найдете в р. 92. Если не поняли, как использовать симметрию, обратитесь к р. 120, если не можете взять интеграл, — к р. 152.
76.	Здесь так же, как и в задаче 7, АР удобно спроектировать на оси координат х и у. Формулы в общем виде можете проверить в р. 61, если они у вас иные, обратитесь к р. 121.
77.	Анализ зависимости Е от ,h можно провести, определив значения Е при h = 0, hcR и h^>R, а также найдя экстремум функции E = f(h). Начертите график E = f(h) и сравните его с изображенным на рис. 141 (р. 62).
78.	Поверхность удобно выбрать в виде сферы с центром в точке 0 Вектор напряженности Е в каждой точке направлен по прямой, составляющей продолжение ^радиуса такой сферы. Как теперь выразить поток вектора Е сквозь поверхность? Примените ТОГ для областей внутри и вне сферы и найденное значение Е сравните с приведенным в ответе. Если неясно, как вычислить поток, обратитесь к р. 95, если неясно, как применить ТОГ, — к р. 155.
79.	Е4лг2—д/(еое)4/3яг3.
80.	Так как силовые линии перпендикулярны к поверхности, естественно выбрать внутри слоя объем в форме прямоугольника или цилиндра с боковыми гранями или поверхностью вдоль силовых линий и с основаниями, параллельными поверхности слоя. Тогда поток сквозь боковые грани будет равен нулю, а сквозь основание — ESo, где So — площадь основания. Теперь постарайтесь выразить Е 276
через г. Если не догадываетесь, ка'к это сделать, обратитесь к р. 98.
81.	Потенциал внутренней сферы cpi=Qi/(4jie0Ri). Если вы не получили такого значения, обратитесь к р. 100. Если все верно, исследуйте, как изменится <pi в присутствии внешней заряженной сферы. Нашли Q2? Если нет, прочитайте р 191.
82.	Из задачи 10 следует, что внутри заряженной сферы Е = 0. Поэтому при r<Ri Е = 0. При r>R2 внешняя сфера не имеет значения. Поэтому напряженность создается только внутренней сферой, т. е. Е=Еь График функции Ei = Qi/(4neor2) вы строили, решая задачу 10. Теперь подумайте, из чего сложится напряженность при r>R2. Каков будет знак Е? Если все ясно, заканчивайте график, если нет, посмотрите р. 101.
83.	В силу симметрии распределения заряда, создаю-
щего поле, потенциал зависит только от расстояния до нити,
т. е. ф=<р(г).
Поэтому | grad <р| = |	1,
т. е. d<p =—Edr.
Воспользуйтесь значением Е из задачи 7 и выразите т через А. Если ответ не получился, прочитайте р. 104.
84.	AW= 1/2 CiC2/(Ci+C2)Ui2. Если ваш ответ не такой, возможно, вы ошиблись в выражении для U2. Проверьте его в р. 108.
85.	Согласно п. 4.24 (перечитайте его еще раз!), выбирать первую и вторую точки можно произвольно. Если вы выберете первой точку А, но ответ не получится, посмотрите р. 111, если первой выберете точку D и снова ответ будет неправильный, прочитайте р. 142.
86.	Согласно п. 4 13, ди—cp2+e=Iir. Но так как, по
условию задачи, сопротивление имеется внутри аккумулятора, а ток в нем, согласно условию зарядки, течет от + к — (ток Г), то перед ЭДС аккумулятора е следует поставить знак минуса. Согласно рис. 109, qpi—cp2=Ui, и тогда Ег = = Ui—е. Таким образом, получили одно уравнение, содержащее неизвестные г и е. Теперь нужно составить уравнение, описывающее разрядку. Оно может быть построено аналогично первому. Если вам удалось это сделать, проверьте результат в р. 113.
87.	На участке цепи с двумя источниками тока вы учитывали только их внутренние сопротивления? Это верно. В результате вы получили г=Г]Г2/(г1+т2). Для нахождения ЭДС нужно воспользоваться выражением из задачи 34:
277
е = г(е1/г1+е2/г2). Проверьте полученную формулу в р. 71.
88.	Если вы обозначили точки на рис. 114 так, как указано в р. 72 (обозначения могут быть и иными, важна суть), то узлами разветвления тока будут точки А и F. Достаточно выбрать одну из них. Вы поняли, почему? Записали уравнение? Проверьте его в р. 115.
89.	Е = 1/ (4ле0)	[2qt q2/ (rtr2) ] [ (а2-Г12-
—г22)/(2г)Г2) ]}‘/2. Если у вас формула иная, обратитесь к р. 149.
90.	f'i2+Fi3n-F'i4+FiQ = 0. Скалярные равенства составьте сами, из них найдите Q. Если не знаете, как составить эти равенства, прочитайте р. 118.
91.	Из чертежа (см. рис. 146 в р. 74) ясно,, что сила может быть выражена в скалярной форме, так как ее направление для всех участков одинаково. Силу взаимодействия зарядов dqi и q2 определите из закона Кулона, который можно записать, например, в системе СГС: dF=q2rdx/x2, где х — расстояние между q2 и dqi.
92.	Значение напряженности Ё равно ее проекции на ось у: Ег/=т//[2леоа(4а2+/2)1/2]. Если вы не получили такое выражение, обратитесь к р. 60.
93.	Длина полуокружности равна jiR, так что на единице длины помещается заряд Q/(nR). Тогда бесконечно малый элемент кольца d/ обладает зарядом dQ = Qd//(n.R). Заметим, что d/=Rda.
94.	Поскольку точка А расположена симметрично относительно заряда, можно, как и в предыдущих задачах, разложить вектор d£ на два составляющих вектора: один, направленный вдоль оси симметрии (оси х), другой — в перпендикулярном к ней направлении. Подумайте, как будет располагаться второй вектор в зависимости от того, на каком участке кольца выбран элемент 61, каково его значение и что полупится, если просуммировать все эти векторы. В случае сомнения в ответе обратитесь к р. 122. Значение dEx следует выразить через 61 и заданное в задаче расстояние h. Проверить полученный результат можно в р. 154.
95.	Так как векторы напряженности нормальны к поверхности сферы ,и одинаковы по значению в любой точке данной сферы, то поток N = ES, где S — площадь сферы (S=4nr2).
96.	Заряд, сосредоточенный внутри сферы радиусом r<R q = gV, где V=4/3nr3. Постройте равенство из п. 1.6 и учтите, что значения Е одинаковы на поверхности сферы.
278
Какова в этом случае нормальная составляющая Ё? Чему равен интеграл $ E„dS?
Проверив выражение в р. 79, переходите к случаю r>R. Если для r>R ответ получился неверный, прочитайте р. 11.
97.	Поле заряженной бесконечной нити радиально (рис. 147). Поэтому замкнутую поверхность удобно выбрать в виде цилиндра с осью, совпадающей с нитью. В любой точке боковой поверхности такого цилиндра значения напряженности Е одинаковы, так что поток напряженности Й сквозь поверхность рассчитать легко. Каков поток сквозь ос-Ь новация цилиндра? Используя ТОГ, найдите Е. Если от-М вет не получился, проверьте, правильно ли вы построили выражение для потока сквозь поверхность цилиндра (см. р. 125).
98.	Следует воспользоваться свойством симметрии, т. е. тем, что по обе стороны от плоскости, проходящей через середину слоя (от которой отсчитывается г), значения напряженности одинаковы. Ясно теперь, как построить поверхность? Сравните свой чертеж с изображенным на рис. 154 (р. 158).
99.	Потенциал dtp, создаваемый зарядам на отрезке dx (рис. 148), удобно выразить через длину отрезка / и текущую координату х. Ось х начинается в точке 0.
100.	Вы воспользовались значением напряженности Е, создаваемой зарядом на сфере, из задачи 10? Может быть, не догадались, как связать потенциал на шаре с его напряженностью? Тогда прочитайте р. 128. Если не можете взять интеграл, обратитесь к р. 160.
279
A
Рис. 148
101.	В области r>R E = Ei+E2=Qi/(4ng0r2) + +Q2/(4ne0r2) — (Qi+Q2)/(4neor2). Но, по условию, Qi = = 7-IO-8 Кл, тогда как Q2=—21-IO-8 Кл, так что Qi + +Q2<0; остальные величины в выражении для Е положительны.
оо
102.	Согласно п 2.4, ф(г) = f Edr. В нашем случае в г
силу шаровой симметрии значения Е, а также ф одинаковы на любой сфере, центрированной в центре шара, т. е. Е и Ф зависят только от г — расстояния от точки до центра шара.
оо
Следовательно, ф(г)=/Е(г)бг Остается взять соответ-г
ствующие интегралы. Если снова ответы не получились, проверьте выражения интегралов в р. 130
103.	Общий вид выражения для работы такой: А= = qiq2(ri—г2)/(4леоГ1Г2). Если вы пользовались такой формулой, но ответ не получился, посмотрите, все ли величины выражены в единицах СИ. Если вы не получили такую формулу, вероятно, вы не поняли идею расчета. Прочитайте еще раз внимательно р 20, если это не поможет, обратитесь к р 131.
104.	Вы записали выражение для dA? Находите А и из выражения для А определите т. Полученное выражение для т сравните с приведенным в р 132
105.	Вы помните, как связаны между собой заряд на конденсаторе, напряжение и емкость? Какое равенство можно записать, если заряды на конденсаторах одинаковы? Если ответ все же не получился, прочитайте р. 133.
280
106.	Заряды на обкладках одинаковы, емкость цепочки С = С1Сг/(С14-С2). Выразите эти условия с помощью соответствующих равенств и найдите q, а затем U] и U2. Если вы затрудняетесь проделать это, прочитайте р. 134.
107.	Перечертите схему, приведенную на рис. 101, и расставьте на вашем чертеже буквы, обозначающие участки, на которых следует определить емкости. Получили ответ? Если нет, познакомьтесь с р. 135.
108.	Из условия постоянства заряда имеем: U2=Q/(Ci-{-+C2)=CiU1/(C,+C2).
109.	Wj = U2CiС2/[2(Ci-|-C2)]. Теперь найдите Wp. Его вид дан в р. 138
ПО. В данном случае нужно воспользоваться формулой из п 4.13 с учетом того, что Rn = R-}-r. Если и теперь ответ не получился, прочитайте р. 141.
111.	ф]=срл==5 В; ср2=сро=25 В; е= 10 В. Чему равна сила тока? Если вы не можете определить направление тока, прочитайте р. 172
112.	Сделайте предположение, что потенциалы в точках А и В известны и известен ток, текущий в неразветвленном участке, и запишите соответствующие формулы закона Ома для участка АВ. Если ответ получился неправильный, обратитесь к р. 144.
113.	12г = е—U2 Если вы не поняли, как получилось такое равенство, посмотрите р. 145.
114.	Чтобы воспользоваться правилами Кирхгофа, нужно вспомнить приемы использования правил Кирхгофа, описанные в п. 4 22. Начертите схему, изображенную на рис. ИЗ, и обозначьте на ней направление токов. Направление токов в источниках целесообразно сделать таким, какое указано в условии из п. 4.11 Проверьте вашу схему в р. 146.
115.	В точке F В—12—13=0 (ток Е «вхрдит» в точку F, а токи.12 и 13 из нее «выходят»), А если выбрать точку А? Теперь запишите уравнения второго правила Кирхгофа. Решение полученной системы можно проверить в р. 147. Если не знаете, как выбрать контуры обхода, посмотрите р. 178.
116.	Вы обратили внимание на то, в каких единицах даны значения зарядов? А знаки сил учли? Если ответ снова не получился, подумайте, правилен ли общий вид решения (см. р. 179).
117.	Направления векторов Е\ и £2 соответствуют знакам зарядов qi и q2. Вы догадались, что cos а можно получить из ААВС (рис. 149), у которого длина каждой из
281
Рис 149
трех сторон задана? Формулы для Е; и Е2 можете записать? Проверьте их в р 228
118.	Сначала нужно сложить векторы сил и получить их составляющую, которая оказывается направленной вдоль силы FIg Учтите, что |Fi2| = |Fi4|, а направлены эти силы под углом 90° Теперь легко получить скалярное равенство Проверить его можно в р 181 Чтобы записать явные вы ражения для значений сил, необходимо ввести выражения для расстояния между зарядами Подумайте, как это сделать наиболее рациональным образом Возможный вариант выбора представлен в р 150
119.
r-L-Z/2	гд //2
F= / q2r/x2dx =—q2r/x{	=ткЫ/(г2—/2/4),	r/=q2
г—1/2	г—1/2
120.	В силу симметрии (рис 150), dEx-|-dEi„ = 0, dEv-)--j~dEUJ=2dEy Остается записать выражение для dEy со
Рис 150
282
гласно закону Кулона, выразить ее через х и провести интегрирование по всей длине стержня. Если построить интеграл вам не удалось, обратитесь к р. 183, если не взяли интеграл, прочитайте р. 152. Проверить общую формулу можно в р. 92.
121.	Элемент dl можно считать точечным, так что значение силы dF=qdQ/(4nEoR2), где dQ — заряд на элементе dl. Постройте выражение для dQ и проверьте его в р. 93. Затем вычислите проекции dFx и dF?/ и определите Fx и Fy. Если выражения, приведенные в р. 61, не получились, обратитесь к р. 153.
122.	Все составляющие, перпендикулярные к d£\, лежат в плоскости, параллельной плоскости кольца, и имеют одинаковое значение. В силу симметрии кольца в сумме эти составляющие дают ноль. Таким образом, следует рассчитывать только d£x.
123.	Вы сделали чертеж? Сравните его с изображенным на рис. 142 (р. 63). Понятно, как вычислять поток? Если нет, прочитайте р. 95, если вы пытались делать совсем иное, обратитесь к р. 10, если не понимаете, как воспользоваться ТОГ, посмотрите р. 155.
124.	Е4лг2 = 4/3 jiR^/eq.
125.	Так как векторы напряженности всегда направлены перпендикулярно к нити, поток сквозь основания цилиндра равен нулю. Если высота цилиндра I, а радиус г, то площадь боковой поверхности равна 2лг/ и поток N = E2nrZ. Заряд внутри цилиндра q=rZ. Теперь получили ответ? Если нет, обратитесь к р. 188.
126.	Возможно, вы забыли, что поток сквозь поверхность в случае а содержит множитель е или что заряд внутри поверхности q = gV, где для V следует записать такое выражение, чтобы в него входила та часть поверхности, поток сквозь которую не равен нулю. Не забудьте, что в случае б заряд распределен не по всему объему, который окружает поверхность (здесь r>d/2). Если и теперь ответ не получился, возможно, вы неверно выбрали поверхность. Обратитесь к р. 13.
1/2 _________
127.	ср=2 f т/|/3/4 Z2+x2 dx. Если ваше выражение для ср б
иное, обратитесь к р. 159, если вы не знаете, как взять интеграл, — к р. 190.
128.	Вы хотели воспользоваться выражением для напря-
283
женности на сфере Qi/(4rtEoRi) из задачи 10? Но это значение вам не поможет, так как формула из п. 2.4 (или п. 2.2) связывает <р с интегралом от Е, а не с ее значением в одной точке. Значит, нужно взять выражение для Ei как функцию радиуса r^Ri и воспользоваться формулой из п. 2.4. Попробуйте проделать это самостоятельно, а затем, если не получили значение для потенциала внутренней сферы, приведенное в р. 81, проверьте ход рассуждений в р. 160.
129.	Чтобы построить график ср (г), нужно знать ср при любом значении г. В задаче 17 вы определили потенциал при r=R. Теперь попробуйте найти ср (г) для следующих интервалов значений г: O^r^Ri; Ri^r^R2; R2scr<oo. Совет, как это сделать, посмотрите в р. 161.
R'	оо
130.	cp(R) = J qR3/(3e0t2)dr = —pR3/(3e0r) | = QR2/(3e0). oo	R
Теперь найдите cp0. Проверить выражения для интегралов можно в р. 162.
131.	Пусть заряд qi (шарик считается точечным зарядом) находится в некоторой точке, которую примем за начало отсчета. На расстоянии и от этой точки находится заряд q2. Заряд qi в точке Г] создает потенциал cpi = qi/ (4леоГ1 ). Переместим теперь заряд q2 в точку, находящуюся от заряда qi на расстоянии г2. Здесь заряд qi создает потенциал срг=Ч1/(4ле0г2) . Таким образом, заряд q2 переместился из точки с потенциалом cpi в точку с потенциалом ср2. Можете теперь определить, какая работа совершалась при этом? Полученное выражение сравните с приведенным в р. 103. Если вы забыли формулу для работы, обратитесь к р. 163.
132.	T=2neoA/[q In(ri/r2)]. Если вы не получили такую формулу, посмотрите р. 164. Если подстановка в формулу числовых значений не дает правильного ответа, прочитайте р. 221.
133.	В условии задачи предполагается, что CiUi — C2U2. Будьте внимательны к единицам измерения (см. п. 3.16).
134.	q = CiUi = C2U2=CU. Обратите внимание на единицы измерения. Если ответ не получился, прочитайте р. 196.
135.	Из чертежа (рис. 151) видно, что вычислять нужно отдельно Сбв и Сжд и затем общую емкость Сдг .
136.	Заряды на пластинах не изменятся, S, ео, с — тоже. Теперь следует воспользоваться формулой для емкости плоского конденсатора (см. п. 3.6). Если путь решения неясен, обратитесь к р. 197.
284
Ci c2
137.	Потеря энергии на искру AW=W\—W2. Здесь Wi — энергия первого конденсатора до подключения второго, W2— энергия, которой обладает система параллельно соединенных конденсаторов. Таким образом, задача сводится к нахождению Wi и W2.
Wi можно найти из данных задачи. Записали формулу? Проверить ее можно в р. 167. W2 определите по формуле такого же вида, в которой, однако, нужно найти емкость и разность потенциалов системы конденсаторов. Вспомните формулу для параллельных конденсаторов. Выражение для W2 дано в р. 198.
138.	Wj5 = 2Ci2C22U2/(Ci~rC2)3. Если не знаете, как по-тучить это выражение, обратитесь к р. 168.
139.	Плотность энергии w = ee0U2/(2d2). Если ваша формула не такая, прочитайте р. 169.
140.	Заряженный конденсатор имеет электростатическую энергию W (см. п. 3.11). Поскольку W зависит не только от заряда, но и от диэлектрической проницаемости е, то изменение последней влечет за собой изменение энергии. Проверить ход рассуждений можно в р. 170.
141.	Вы воспользовались формулой для закона Ом]а из п. 4.12? Это правильно, но как вы выбрали начальную и конечную точки? Какое направление тока считали положительным? Посмотрите п. 4.11. Если ответ получился неправильный, обратитесь к р. 171.
142.	ср| = срГ)=25 В, ср2=фА = б В. Но с следует считать отрицательной, так как положительное направление выбрано от точки D к точке А, т. е. внутри источника от «+»
285
к «—». Теперь все ясно? Если нет, познакомьтесь с р. 202.
543.	Вы учли, как включены в цепь источники тока и в. каких направлениях идет ток в этих источниках? Теперь все ясно? Если нет, обратитесь к р. 173.
144.	Если (рл, фв и I заданы, то выполняются равенства 11= (фА—<Pb)/Ri; Ь= (<рл—Фв)/Рг, где В и 12 — токи в участках разветвления. Кроме того, 1=(фа—<pb)/R, где R — искомое сопротивление участка АВ. Подумайте теперь, как связать эти три равенства и найти выражение, куда входят только сопротивления R, Ri и R2. Получили ответ? Если нет, посмотрите р. 174.
145.	Разрядка происходит на сопротивление R (оно не задано). Схема цепи дана на рис. 152. Для решения задачи
Рис. 152
целесообразно построить закон Ома для всей цепи (вольтметр, согласно п. 4.17, во внимание можно не принимать). Если, построив закон Ома, вы все же не получили уравнения, которое приводится в р. 113, обратитесь к р. 176.
146.	Схема цепи представлена на рис. 153. Значения токов В и 12 неизвестны, но их направления должны быть такими, как показано на рис. 104 (п. 4.10). Во внешней цепи с сопротивлением искомый ток I = Ii+I2. Это следует из
Рис. 153
286
правила в п. 4.20, если точку разветвления взять, например, в точке 1. Теперь нужно использовать второе правило Кирхгофа (см. п. 4.21). Если построили все требуемые уравнения, решив их, найдите общую формулу для I. Проверить ее можно в р. 177. Если система не получается, обратитесь к р. 207.
147.	е2= [eiRi+I3(RiR2+RiR3+R2R3)]/(Ri+R2). Если ваш ответ не такой, проверьте систему уравнений в р. 208.
148.	Значения сил Fi3 и F23 можно найти по закону Кулона: Fi3= |qi | |чз|/(4ле0Г132); F23 = |q211Чз|/(4ле0г232), где r!3==ri2-|-r23. Взяв qi по модулю, получите F3.
149.	Согласно принципу суперпозиции, суммарная напряженность поля, создаваемого двумя зарядами, £—£i-j-£2. Нужно найти модуль вектора Ё, для чего необходимо сделать чертеж. Сравните его с изображенным на рис. 149 (р. 117). Если забыли, 'как находить модуль суммы векторов, обратитесь к р. 180.
150.	Пусть сторона квадрата имеет длину 2а. Тогда расстояние от q до Q равняется ау2, так что в соответствии с законом Кулона |Fi2| =q2/[4ns0(2a)2]; | F}Q | =qQ/ [4ле0Х Х(аУ2)2]; |Fi3| =ч2/[4лЕ0(2аУ2)2]. Теперь остается составить скалярное равенство и определить Q через q.
151.	Проверьте, правильно ли вы выбрали пределы интегрирования. В случае сомнения прочитайте р. 59. Может быть, вы неверно построили выражение для силы? Тогда вам следует обратиться к р. 91.
152.	Проекция dE,,=Tadx/[4nEo(a2-l-x2)3/2], так как г2=а2-)-х2 и cos а= а/Уа2-)-х2.
1/2	_____ 1/2
Е,,=2 / dEj,=2Tax/[4nE0aya24-x2 ] | = 0	0
= (2т1/2) / (4лЕоаУа2+/2/4).
153.	Проекции dFx=dFsina, dFy = dF cos а.
•Ft	JT
Fx=Qq/ (4n2EoR2) f sin a da; Fy = Qq/ (4n2s0R2) f cos a da. 0	0
He забудьте проверить, чтобы значения всех величин выражались в одной и той же системе единиц.
154.	dEx=qhd//[2nR(R2-[-h2)3/2]. Если у вас получилось иное выражение, возможно, вы ошиблись в нахождении за
287
ряда на d/ (формулу для него можете проверить в р. 48) или забыли спроектировать d£ на ось х (см. р. 185). Теперь вычисляйте значение полной напряженности Е. Если ответ получился неправильный, обратитесь к р. 213.
155.	ТОГ в данном случае дает равенство ES=(2qj)/E0.
i
Если поверхность окружает заряженную сферу, то 2q, = q — i
полный заряд на сфере, если поверхность лежит целиком внутри сферы, то, поскольку заряда там нет, Е = 0. Постройте приблизительно график зависимости Е от г (см. п. 1.8).
156.	При r^>R график такой же, как в задаче 10. Значит, нужно посмотреть, каков график f(r) при r<R. А как ведет себя функция f(r) в точке r = R? Проверить график для r<R можно в р. 187.
157.	Здесь в отличие от предыдущих задач симметрия не сферическая, а цилиндрическая, плотность заряда линейная. Это должно повлиять на выбор замкнутой поверхности, с помощью которой формируется ТОГ. В остальном решение аналогично решению предыдущих задач данного раздела. Постарайтесь справиться с ним самостоятельно. В крайнем случае обратитесь к р. 97.
158.	Поверхность удобно выбрать так, как показано на рис. 154. Если г<d/2, то q=2Srq, где S — площадь основания цилиндра (или прямоугольника). Если r>d/2, то q=2Sd/2g. Запишите теперь выражение для потока и найдите Е. Если ответ получился неправильный, обратитесь к р. 189.
288
159.	dcp=dq/r — это потенциал, создаваемый в точке А зарядом dq, расположенном на элементе стержня dx (см. чертеж на рис. 148 (р. 99). Теперь нужно построить dq и г.
160.	<pi= f E(r)dr= f Qi/(4neor2)dr, что дает (см. М5.2) Ri Ri
<pi — Qi/(4jieoRi). Теперь установите, как изменится фЬ если имеется внешняя сфера, равномерно заряженная зарядом Qz- Для этого снова можно воспользоваться результатом задачи 10. Если вам неясно, что делать, обратитесь к р. 191.
161.	Конечно, нужно воспользоваться той же формулой для потенциала из п. 2.4, только нижний предел брать произвольным (г). Если вас это затрудняет, обратитесь к р. 192.
оо
162.	ф0= / Edr. Так как Е(г) ведет себя по-разному в 0
областях значений г от 0 до R и от R до <х>, то ин-
ое	R
теграл следует разбить на два интеграла: f Edr= f Edr+ 0	0
ОО	К
+ f Edr= f Qr/(3eeo)dr+QR2/(3eo) = qR2/(3ee02)+qR2/(3e0) =
R	0
qR2(1/2 e+l)/(3e0).
163.	Прочитайте внимательно п. 2.9 и подумайте над вопросом: если сближаются одноименные заряды, положительное или отрицательное значение должна иметь работа и что это значит? Если вы догадались, в чем дело, проверьте свой вывод в р. 194.
Г2
164.	А=—f цт/(2ле0г) dr = —qT/(2nE0)ln(r2/ri).	Поду-
Г1
майте, что означает знак минуса. Проверить свои рассуждения можете в р. 195.
165.	Если с единицами измерения все в порядке, возможно, вы не учли, что конденсаторы соединены последовательно, а не параллельно. Если соединение последовательное, каким должен быть заряд на обоих конденсаторах? Какова емкость цепи при последовательном включении конденсаторов? Постарайтесь вспомнить соответствующие формулы, в крайнем случае посмотрите п. 3.7. Если и теперь не можете получить ответ, обратитесь к р. 106.
19. Заказ 259
289
166.	U2=Uid2/d[. Если вы получили иную формулу, посмотрите р. 136.
167.	W^CjU^/2.
168.	Емкость батареи при параллельном включении конденсаторов Cp = CL-\-C2. Теперь нужно найти напряжение Up, которое устанавливается при параллельном соединении конденсаторов. Для этого Up выразите через заряд qp, а заряд Чр — через заряд, который был при последовательном соединении конденсаторов. Последний легко представить через характеристики, данные в условии задачи. Затем постройте выражение для Up, последовательно выполняя требуемые операции. В случае затруднения воспользуйтесь <р. 199.
169.	Вам нужно применить формулу из п. 3.11 с учетом понятия плотности (см. п. 3.13).
170.	Учтите, что заряд при удалении диэлектрика не изменяется, так что емкости легко сравнимы, а через них и через заряд вычисляются энергии. Не забудьте емкость выразить в фарадах. Если ваши рассуждения были иными и вы не получили формулу, которая приведена в р. 140, обратитесь к р. 200.
171.	Положительным направлением естественно выбрать направление от А к D так, чтобы ЭДС была положительной. Тогда cpi = cpx, ф2=сро. Если снова ответ не получился, проверьте формулу в р. 201.
172.	(cP1+cP2+e)/(R+r) = (5-25+Ю)/(3+2) =-2 (А). Ток отрицательный, положительным было направление от А к D.
173.	Если считать положительным направление тока по часовой стрелке, то ез= —15 В, так что s = SEfe=16 В.
к
174.	Вы забыли, что, согласно п. 4.6, Ii+l2=I- Этим и - нужно воспользоваться.
175.	Вы записали равенства Е= (срл—<Ps+ei)/Rni, 12= = (фл—фв+е2)/Еп2 и учли, что Ii4-I2 —I? Если неясно, что делать дальше, посмотрите р. 34, если не получается расчет, обратитесь к р. 205.
176.	Ток 12 в цепи с сопротивлением (см. рис. 152 в р. 145) течет от «-{-» к «—», а в аккумуляторе от «—» к «-}-», следовательно, перед е следует поставить знак плюса. Тогда закон Ома получит вид: I2(R+r)=e. Вероятно, вас смутило присутствие в выражении для 12 неизвестной величины? Подумайте, нельзя ли ее найти из условия задачи. Получи
290
ли теперь уравнение, приведенное в р. 113? Если нет, посмотрите ,р. 206.
177.	(е1Г2+б2Г1)/[К(Г1+г2)+Г1Г2]. Если вы получили иное выражение, пользуясь результатами задачи 34, посмотрите р. 226, если запутались в уравнениях Кирхгофа, — р. 207.
178.	От выбора контуров обхода результат зависеть не может. В данном случае получающиеся и при разном выборе уравнения оказываются примерно одинаковыми. Контуры можно выбрать такими: a) HBCDFGH и ABCDA; б) HBCDFGH и HAFGH; в) HAFGH и ABCDA. Пример а можно проверить в р. 208
179.	F3=q3/(4л;ьо) (q2/r232—| Qi |/Г122) - Если у вас получилась формула иного вида, обратитесь к р. 209.
180.	Е== (ЕрЧ~Е224-2Е1Е2 cos а)‘/2, где а — угол между векторами Ei и £2. Нашли cos а? Проверить формулу для cos можно в р. 210.
181.	|Л<г| = |Лз|+У2|Л2|.
182.	Сравните полученное выражение для силы с тем, которое будет, если не только заряд q2, но и заряд qi точечный. Теперь ясен вопрос? А ответ на него? Если вы не уверены в ответе, посмотрите р. 212.
183.	Проекция d£ на ось у dEy—dEcosa. Считая заряд на dx точечным, получим:
dE = dq/ (4леог2) =xdx/ (4леог2);
dEJ/=T cos a dx/ (4ле0г2).
Для взятия интеграла необходимо выразить cos а и г2 через х. Если вам это не удалось сделать, обратитесь к р. 152.
184.	Как и большинство задач такого типа, эту задачу нужно начинать с чертежа. Для удобства сравнения с нашими рекомендациями берите ось у в направлении, соединяющем концы полуокружности, и вычисляйте силу, создаваемую элементов dl, направленную под углом а к оси у. Сделанный вами чертеж сравните с изображенным на рис. 137 в р. 47.
185.	dEx = dE cos a=dE h/r=dE h/]/R2+h2.
186.	Вам нужно построить график функции, которая ведет себя по-разному при r<R и r^R (см. ответ задачи). Вы сомневаетесь в виде графика E = const/r2? Каков ход кривой при г->оо? Построили график? Проверьте его в р. 214.
187.	На графике (рис. 155) показана линия вида Ei = const-г, т. е. прямая. При r>R кривая E2=const/s2.
19*
291
Е
А что имеет место при r=R? Пересекутся ли линии в этом случае? Запишите явные значения функции Е(г) при r=R. Если все ясно, закончите чертеж, начертив кривую при r>R, если нет, посмотрите р. 215.
188.	Из ТОГ следует: Е2лг/=т//е0
189.	Поток сквозь боковую поверхность равен нулю. Потоки сквозь каждое основание, если они расположены симметрично по отношению к центральной плоскости, одинаковы и равны: для случая а — eES, для случая б — ES.
Z/2
190.	ср=2т 1п(х+УЗ/4 Z2+x2) | =2т1пУЗ'.
0
191.	В ответе задачи 10 указано, что при r<R Е2=0, при r^Rs E2=Q2/(4neor2). Значит, между сферами напряженность остается прежней (равной EJ, а за пределами большой сферы значение напряженности Е = Е1+Ег. Теперь ясно, как найти cpi с учетом второй сферы? Проверить формулу для cpi можно в р. 219.
Ri	R2	оо
192.	Для области r<Ri ф1=» f Edr+ f Edr-{- f Edr. По-r	Ri	R2
добные интегралы вы уже брали. Только не забудьте, что, согласно результату, приведенному в р. 230, Q2=—R2Q1/R1, и вы получите ф1 = 0. Аналогично для области Ri^r^R2
R2	00
Ф2= f Edr+ f Edr и т. д. График ф(г) представлен в р. 52. г	R2
193.	Общая формула для потенциала в центре шара имеет вид: <po=c?R2 (1-f-2e) / (6е0е). Если вы получили иную формулу, обратитесь к р. 162.
194.	Для того чтобы сблизить одноименные заряды, нуж
292
но затратить работу При вычислении работы по стандартной формуле из п. 2 9 вы должны получить отрицательное ее значение. Сравните полученный вами результат с приведенным в р. 103. В случае затруднений посмотрите р. 220.
195.	Если знаки удит одинаковы, то при г2>п (заряд удаляется от заряженной нити) работа имеет отрицательное значение. Как вы думаете: эта работа совершается силами поля или внешними силами против сил поля?
196.	q = CiC2/(Ci+C2)U; U1=q/C1;
U2=U—Ub
197.	Так как C = eoeS/d и U=Q/C, то, записав эти выражения для двух расстояний пластин и помня, что Q не изменяется при их раздвижении, a Ui задано, получите формулу, которая приведена в р. 166.
198.	W2=Ci2Ui2[2(Ci-|-C2)]. Чтобы получить это выражение с помощью формулы W=CU2/2, нужно найти емкость параллельно соединенных конденсаторов и выражение для Ub В случае необходимости путь определения U2 найдете в р 222.
199.	При параллельном соединении qp=2qi, где qi—заряд на пластинках батареи при последовательном соединении, q! легко найти из данных задачи Сравните свой расчет с приведенным в р. 223.
200.	В первом случае энергия W=q2/(2C), где q = CU. Во втором случае формула та же, только вместо С стоит С[ = С/е Разность этих энергий и дает работу.
201.	I = (ф1-ф2+е)/(Р+г) = [ (5-15) +20]/(3+1) = = 2,5 (А).
202.	(ф1-cp2+e)/(R+r) = (25—5—10)/(3+2) = 2 (А).
Значение тока положительное.
203.	Вы решили, что ток идет против часовой стрелки3 Вы имели для этого основания, но при этом в формулу для суммарной ЭДС следует подставить ei = 15 В, е2=—13 В, е3=—18 В.
204.	Вы должны были получить цепочку равенств: Ii+l2= (ф+фг) /R1+ (ф1+фг) /Рг=1= (ф1—Фг) /Ri- Выбрав из них второе и четвертое выражения, получите искомое. Если такой цепочки равенств у вас не получилось, посмотрите р. 144.
205.	11 + 12 = (фд—фв)/Рп1 + (фл—фв)/Рп2 + 81/Rnl + +e2/Rn2=I- Выражение для I записано в р. 34. Сравните с ним приведенное выражение и получите ответ.
206.	На участке цепи 1R2 (рис. 152 в р. 145), соглас
293
но п. 4.14, I2R = (pi—ф2, т. е. I2R=U2. Поэтому вместо закона Ома I2(R+r)=e (см. р. 176) получаем: 12г=е—U2.
207.	1==1!-{-12. Теперь нужно построить два уравнения, в которые входили бы неизвестные токи Ii, 12 и I. Согласно п. 4.20, можно выбрать любые замкнутые контуры. На схеме (см. рис. 113) видно, что таких контуров можно выбрать три. Выберите любые два и запишите уравнения .из п. 4.21. В результате совместного решения этих уравнений и уравнения I = Ii+I2 получится формула, приведенная в р. 177. Пример выбора контуров дан в р. 226.
208.	Учитывая п. 4.21 и выбрав контур из р. 178, например, для случая а, получим: I3R3—^2=е2—ei; I1R1+ + I2R2=ei. К этим равенствам следует добавить уравнение из р. 115: Ii—12—1з=0. В этих уравнениях три неизвестных: В, 12, е2, так что их достаточно для нахождения g2. Общая формула дана в р. 147.
209.	Учет знаков зарядов и их расположения показывает, что силы Л13 и Р2з коллинеарны и направлены в разные стороны. Начертите их и попробуйте записать Р3 в скалярной форме. Проверьте результат в р. 179.
210.	cos а= (а2—гi2—-г22) /(2riг2).
211.	Вы сделали чертеж? Определяя условие равновесия заряда 1, не забыли учесть действие на него заряда 3? Если ответ не получился, сравните свой чертеж с изображенным на рис. 145 (р. 73).
212.	При условии, содержащемся в вопросе задачи, сила была бы равна qiq2/r2, а при первоначальном условии она получилась равной qiq2/(r2—/2/4). Что больше? Прочитайте вывод из задачи.
2л R	2nR
213.	Е= f dEx=qh/[2nR(R2+h2)3/2] f d/=qh/(R2+ 0	0
H-h2)3/2. Теперь постройте график E(h) и сравните его с изображенным на рис. 141 (р. 62).
214.	График Е(г) дан на рис. 156. E0=q/(4ne0R2).
294
215.	При r=R Ei —Q/(3ee0)R, E2=Q/(3ee0)R, и в точке r=R E2/Ei = e>0, так как шар диэлектрический. Сравните свой чертеж с изображенным на рис. 136 (р. 40).
216.	График E=const/r — это гипербола, и при г->0 Е->оо Однако следует принять во внимание, что бесконечно тонких нитей не бывает. Поэтому при очень малом г нужно учитывать толщину нити, а это выходит за рамки предложенной задачи. Поэтому график имеет вид, представленный па рис 157, с незавершенной частью вблизи точки г=0.
Рис. 157
217.	Скачок АЕ (рис. 158) в точке d/2 зависит от величины диэлектрической^ проницаемости.
Рис 158
218.	Для решения этой задачи нужно воспользоваться принципом суперпозиции, согласно которому потенциал в некоторой точке, создаваемый зарядом, расположенным на стержне, равен сумме потенциалов, создаваемых частями заряда, расположенными на элементах длины стержня (dx). Целесообразно также учесть симметрию некоторых характеристик, вытекающую из условия задачи. И, конечно, нужно начинать с чертежа. Проверить его можете в р. 99. Если ход решения неясен, обратитесь к р. 229.
219.	Если нашли cpi, проверьте его значение в р. 230, если не знаете, как найти ср,, обратитесь к р. 44.
220.	Ai2 = q2 (ф2—Ф1) = 4241/ (4ne0) (1/п—1/г2) = q2qi (r2—
295
—Г1)/(4л8оГ1Г2). Так как, по условию, r2<ri, работа Ai2 имеет отрицательное значение. Работа, совершаемая внешними силами (против сил поля) А=—Ai2, что и дает искомую формулу (см. р. 103).
221.	Вы обратили внимание на то, в каких единицах измерения дан ответ?
222.	U2 можно выразить через Ub В самом деле, по определению, Ui = Q/C[, где Q — заряд на первом конденсаторе. При подключении второго конденсатора общий заряд системы остался тем же, а емкость стала Ci-|-C2. Следовательно, разность потенциалов U2=Q/(Ci+C2). Подставив в это равенство вместо Q его значение из формулы Ui = Q/Ci, получим: U2=CiUi/(Ci+C2).
223.	qi = C[C2U/(Ci+C2). Теперь вычислите Up и доведите задачу до конца. Если вы не сумели это сделать, придется вернуться к предыдущим задачам. Нужно перерешать их самостоятельно (в крайнем случае, проверить лишь промежуточные выражения), а затем искать решение этой задачи.
224.	Вероятно, вы неправильно выбрали знаки. Обратитесь к р. 85.
225.	Вы решали систему Iir=Ui—е; 12г=е—U2? Тогда ошибка ваша арифметическая. Если второе уравнение у вас другого вида, посмотрите р. 145, если иным получилось первое уравнение, прочитайте р. 86.
226.	Варианты контуров на рис. 159: ABEFA, ACDFA, BCDEB. Выберите любые два и заканчивайте задачу. Пример выбора контуров и записи соответствующих уравнений даны в р. 41.
С	I E1 D
227.	Нужно ввести еще два пока неизвестных вам тока: через сопротивление Ri ток It и через сопротивление R2 ток 12. Вместе с ео это составит три неизвестных значения. Значит, нужно построить три независимых уравнения. Схему цепи посмотрите в р. 72. 296
228.	Числовое значение напряженности, создаваемой зарядом q в точке, расположенной от него на расстоянии г, выражается формулой Е = д/(4лерг2).
229.	dcp=dq/r=Tdx/yx2+(OA)2, (ОА)2=/2— (Z/2)2. Теперь доведите задачу до конца. Если это вам не удалось, обратитесь к р. 127.
230.	cpi = Qi/(4neoRi)-T-Q2/(4neoR2). С учетом того, что, согласно условию задачи, <pi = 0, получите ответ. Если у вас выражение для ф( иное, скорее всего, вы неверно рассуждали с самого начала; обратитесь к р. 17. Возможно, запутались в интегрировании, тогда надо познакомиться с р. 44.
231.	Вы правильно считаете, что следует воспользоваться законом Джоуля—Ленца (см. п. 4.23), однако, по-видимому, упустили из виду, что выражение для силы тока содержит полное сопротивление. Вспомнили формулу из п. 4.15? Проверить формулу для тока можно в р. 233.
232.	Вы получили условие Ri/(Ri+r)2=R2/(R2-|-r)2, из которого легко найти г? Если нет, обратитесь к р. 234.
233.	I = e/(R+r).
234.	Q1 = I12R)ti = e2Riti/(Ri+r)2. Если последнее выражение у вас иное, значит ошибочна запись формулы тока, посмотрите р. 233. Аналогично получите Q2. При этом очевидно, что время, в течение которого наблюдалось выделение тепла, было одинаковым в обоих случаях, иначе сравнение количества выделяемого тепла потеряло бы смысл.
235.	Задачи с малым количеством данных вам встречались и раньше. В таких случаях следует считать все величины, кроме искомых, известными и записать соотношения, в которые входят интересующие вас неизвестные. При этом ненужные величины можно или сократить, или, если это невозможно, определить их, введя дополнительные независимые уравнения. Попробуйте и здесь не обращать внимания на то, что ЭДС е и время t вам неизвестны. Если и после этого указания формула для сопротивления г не получилась, проверьте промежуточные выражения в р. 234.
236.	К характеристикам тока в лампочке можно применить закон Ома. В него войдут две неизвестные величины: I и R, но у вас еще одно уравнение содержит I и Рл, так что получится два уравнения с двумя неизвестными. Решите их совместно. Вы должны получить два значения для I. Если не знаете, какое следует выбрать, обратитесь к р. 239 Систему уравнений можно проверить в р. 237.
237.	122(Вл+Р) =Р; 1 = ил/Рл. Подставив второе урав
297
нение в первое, получим: 12+41—12=0. Вы поняли, почему выбран ток 1=2 А? Прочитайте р. 243.
238.	По лампочке и реостату течет один и тот же ток разность потенциалов ил известна. Теперь ясно, как найти I?* Если нет, обратитесь к р. 236.
239.	При решении уравнений из р. 237 получилось два значения тока: 2 и —6 А. Вообще говоря, отрицательный знак у тока может быть. Однако в данном случае, так как ил положительно, по условию задачи, а сопротивление R не может быть отрицательным, из закона Ома следует, что знак тока положительный.
240.	Посмотрите на рис. 160. Он и дает схематическое-описание условия задачи.
241.	Увидев, что заданы мощность Р, напряжение U и сила тока I, вы, вероятно, использовали формулу из п. 4.26? Но 40 В — это напряжение только на зажимах лампочки, а мощность потребляется во всей внешней цепи (лампочка и реостат), так что формула из п. 4,26 здесь неприемлема. Обратитесь к р. 236.
242.	В формулу из п. 4,23 вы подставили значение сопротивления, равное 10 Ом? Но лампочка тоже имеет сопротивление, которое добавляется к R. Проверьте формулу мощности в р. 243.
243.	Р = 12РЦепи- Здесь сопротивление внешней цепи РЦепи==Кл +R, где Ил — сопротивление лампочки, которое нужно найти. Если вы затрудняетесь записать формулу для Рл, продумайте совет, данный в р. 238.
т dq
(	244. Нужно воспользоваться условием 1 = -ц-, из него
1-2
следует выражение q= f Idt, которое является ответом на ti
вопрос задачи. Интегралы можно взять, пользуясь данными из М5.2.
298
РЕКОМЕНДАЦИИ (245—334 К ЗАДАЧАМ 42—56
245.	Вы правильно использовали систему единиц? Данное в п. 5.1 значение ц0 выражено в единицах системы СИ. Если ошибка не в этом, посмотрите р. 288.
246.	Все задачи подобного типа удобно решать, начиная с чертежа. Перечертите схему с рис. 123 и изобразите на ней_ элемент проводника с током, дающий вектор индукции dB в точке А; подумайте, как направлен этот вектор. Проверьте ход рассуждений в р. 277.
247.	Сделайте чертеж и подумайте, в какой задаче было похожее условие. Если ответ не получился, посмотрите р. 278.
248.	Вы воспользовались принципом суперпозиции и учли, что расположение точки А симметрично относительно проводов? Это верно. Однако нужно еще учесть, как направлены векторы В, и В2, создаваемые токами в разных пооводах (вспомните выводы из задач 43 и 44). Теперь все ясно? Если нет, посмотрите р. 279.
249.	Если провод состоит из нескольких прямолинейных участков, то, по принципу суперпозиции, нужно складывать (векторно) векторы В, создаваемые этими участками. Сделайте чертеж и проверьте его в р. 280.
250.	Вероятно, вы неверно построили векторы Bi и В2. Под каким углом друг к другу они оказались? А может быть вы неправильно определили косинус этого угла? Посмотрите р. 275. Если построить В[ и В2 не удается, обратитесь к р. 281.
251.	Вы помните, что такое циркуляция вектора индукции? Прочитайте п. 5.10 и 5.11. Теперь вам должно быть ясно, что нужно выбрать контур обхода, причем так, чтобы интеграл $ Bdl был как можно проще. Догадались, какой это контур? Посмотрите вывод 2 из задачи 43 и сделайте чертеж; сравните его с изображенным на рис. 169 (п. 282).
252.	Посмотрите п. 5.12. Направления тока и обхода контура соотносятся с помощью правила буравчика.
253.	Здесь нужно воспользоваться теоремой о циркуляции. Сделайте чертеж и постарайтесь построить контур так,
299
чтобы при его обходе можно было учесть данные задачи. Проверьте построение в р. 283.
254.	Поскольку действие равно противодействию, любой из токов можно брать в качестве источника поля, действующего на другой ток. Попробуйте найти направление вектора В и воспользоваться законом Ампера (см. п. 6.1). Если ответ не получился, обратитесь к р. 295.
255.	Эта задача аналогична задаче 42 (см. р. 276). Записали выражение для силы df, действующей на элемент тока Idf? Теперь запишите выражение для силы, действующей на весь ток. Проверить рассуждения можно в р. 284.
256.	Прежде всего, сделайте чертеж. Ток 12 можно направить в разные стороны, при этом между токами будет наблюдаться или притяжение, или отталкивание. Проверить чертеж можно в р. 285.
257.	Прежде всего, сделайте чертеж и подумайте, как должен двигаться электрон, когда включен ток. Учтите, что в задаче задан момент пуска тока (см. р. 327).
258.	Прежде всего, нужно сделать чертеж, чтобы понять, в каком направлении действует сила. Так как перед вами поставлена задача найти траекторию, т. е. задача из раздела механики (гл. 1), удобно ввести оси координат и направить ось z вдоль вектора Н. Проверить чертеж можно в р. 333. Далее можно действовать по-разному. Один путь — решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (здесь получается два уравнения второго порядка для нахождения х и у как функций времени) и найти закон движения. Решение уравнений с постоянными коэффициентами несложно. Другой путь — использовать некоторые элементарные законы механики, в которых учитывается то, что поле однородно и картина движения симметрична. В наших рекомендациях разбирается второй путь, так как математически он проще, хотя догадаться, как им воспользоваться, сложнее, тогда как в первом случае достаточно действовать по стандарту: записать два уравнения движения при заданной силе (взять ее проекции) и решить их.
259.	Сила, действующая на заряд в электрическом поле, известна из раздела 1, действие магнитного поля зависит от скорости. Вникните в условие задачи: можно ли найти скорость? Начните с чертежа: укажите направления Ё, В и и, и тогда станет яснее и сама проблема и путь ее решения. Проверить чертеж можно в р. 314.
260.	В=УВ12+В22=У2(8-10-5)2.
300
261.	Общая формула такая: B = p0I/(2n)X Xyi/ri2+‘l/r22+2cos а/(г1Г2), где cos a=(ri2+r22—a2)/(2rir2). Если у вас формула для В иная, посмотрите р. 271, если не знаете, как получить выражение для cos а, обратитесь к р. 275.
262.	Как и в предыдущих задачах, ускоренный в разности потенциалов U электрон получил скорость v— =y2|e|U/m, значение которой, согласно р. 310, в дальнейшем не изменяется.
263.	Согласно п. 5.2, следует ввести угол а между dZ и г (см. рис. 119). Поэтому нужно сделать чертеж (см. р. 277), на котором отложить угол а. Затем запишите выра-
F
жение для dB и попробуйте взять интеграл / dB. Выражение D
для dB можете проверить в р. 299. Если не знаете, как брать интеграл, посмотрите р. 312.
264.	| [dZ, r]|=d/r и dB = p0Id// (4лт2);	/ dB =
— щД/(4лг2) f dZ, где интеграл берется по окружности и равен 2ла. Сверьте общую формулу с приведенной в решении примера 6 (см. п. 5.9).
265.	Окружность, соответствующая току Е, расположена в плоскости 2, току 12—в плоскости 1 (рис. 161). Вектор В направлен по касательной соответствующей окружности, в сторону, указываемую правилом буравчика. Векторы Bi и В2 взаимно ортогональны. Результирующий вектор определяется по формуле из М2.3. Получили ответ? Если число-
301
вое значение не получается, может быть, вы неверно извлекли корень из 2? Проверьте решение в р. 260.
266.	Согласно задаче 44, Bi = p0I/(2nfi); В2 = р01/(2лг2). Теперь решение сводится к арифметическим действиям. Если ответ не получился, значит, вы ошиблись в вычислении.
267.	r=y2m|e|U/(|e|poH). Если у вас получилось иное выражение, может быть, вы неверно определили скорость? (см:, р. 310).
268.	Для того чтобы преобразовать выражение dB, нужно найти связь между а, г и dZ, что необходимо для дальнейшего интегрирования. Сделать это можно, дополнив чертеж из р. 277 прямой АО (рис. 162), обозначающей расстояние от
точки А до проводника. Тогда из прямоугольного треугольника АОС (на нашем рисунке го=г sim(180°—а),
r0=rsina,	(*)
но sin(180°—a) =sin а (см. Ml)). При сдвиге точки С угол а изменяется. Если С сдвигается на бесконечно малую величину dZ, то угол а изменяется на бесконечно малую величину da и
rdZ=sinada.	(**)
Подставив (*) и (**) в выражение из р. 299, получим: dB = poI/(4nro)sinada, и интеграл легко взять (см. р. 312).
269.	В=УВ!2+В22.
270.	Чтобы определить направление векторов Bi и В2 в точке А, воспользуйтесь правилом буравчика (см. вывод 1 из задачи 44). Для этого нужно через точку А провести
302
окружности, через центры которых проходят токи. Как на чертеже (см. рис. 164 из р. 274) расположена окружность, -соответствующая току К? Теперь все ясно? Если нет, посмотрите р. 265.
271.	Считая угол а между векторами В\ и В2 известным, их сумму можно построить так, как показано на рис. 163. Из AAFE видно, что B2 = Bi2+B22—2BiBz cos(180°—а), т. е. В2=В12+В22+2В1В2 cos а (см. Ml.10). В! и В2 вы определили? Проверить их значения можно в р. 266.
272.	Для одного бесконечного проводника значение магнитной индукции вы уже находили (задача 44), так что затруднений у вас быть не должно. Проверить общую формулу можно в р. 301.
273.	Количество витков, приходящееся на длину I соленоида, равно п/. Сколько же токов пронизывает поверхность, натянутую на контур?
274.	По условию, токи расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, как показано на рис. 164. Вы должны найти вектор В в точке А, воспользовавшись выводами из задачи 44. Если ответ не получился, обратитесь к р. 270.
303
275.	Согласно Ml.10, из ADAC (рис. 176 в р. 303) dI 2= = Г12+г22—2г[Г2 cos а, откуда cos a— (n2+r22—d2)/ (2Г[Г2).
276.	Задачу нужно начинать с чертежа. Если, изобразив проводник с током, вы не знаете, что делать дальше, посмотрите р. 288.
277.	Из выражения, приведенного в п. 5.1, следует, что направление dB определяется направлением вектора [dZ, г]. При интегрировании придется перебрать все точки тока от D до F, а вектор г при этом все время будет лежать в плоскости треугольника FDA (рис. 165). Поэтому dB будет всегда перпендикулярен к этой плоскости. Таким образом, можно использовать модуль вектора dB (см. п. 5.3). Проверить выражение для dB можно в р. 299.
278.	Задача 44 отличается от задачи 43 тем, что участок тока, создающий магнитную индукцию, предполагается неограниченным (рис. 166). Очевидно, здесь можно воспользоваться результатом решения задачи 43. Что изменится в ее математическом оформлении? Нашли решение? Если нет, обратитесь к р. 329.
I
-------А
Рис. 166
I
304
279.	Допустим, что_оба тока направлены от нас. Тогда по значению векторы Bi и В% будут одинаковы, но направлены в противоположные стороны (рис. 167).
Рис. 167
280.	Сначала определите индукцию В в точке А от участка 1 (рис. 168). Вспомните предыдущие задачи: не помогут ли вам их решения? Если сами не догадываетесь, что делать, посмотрите р. 286.
Рис. 168
281.	Прежде всего, нужно сделать чертеж и отметить на нем известные характеристики. Вспомните, как направлен вектор В по отношению к радиусу-вектору, соединяющему ток с точкой А. Проверить чертеж можно на рис. 176> в р. 303.
282.	Вектор В направлен по касательной к окружности в точке d/ в сторону, определенную правилом буравчика (рис. 169). Ясно, чему равняется скалярное произведение векторов В и dz? Что можно сказать об индукции В в точках контура? Ответив на эти вопросы, вы фактически решите задачу. Постарайтесь это сделать сами. В крайнем случае посмотрите р. 291.
20. Заказ 259
305
Рис. 169
283.	Если контур выбран так, как показано на рис. 170, то интегралы берутся просто. Постарайтесь взять их самостоятельно, если не сможете, разберите р. 294.
Рис. 170
284.	df= IdZB, где В = р01/(2лг) —сила, действующая на элемент тока Id/. Полная сила получится в результате суммирования по всем элементам тока. Теперь все ясно? Если нет, посмотрите р. 296.
285.	Как вы думаете, что здесь: притяжение или отталкивание? Почему? Как направлен вектор В, образованный током К? Постройте векторы сил. Проверить чертеж можно в р. 297.
286.	Можете воспользоваться решением задачи 44, считая czi = O, а2—л/2. Не забудьте позаботиться о правильном направлении векторов Bi и В2. Проверьте результаты в р. 302.
287.	Учтите, что Bi-Ln, Вг-Егг (рис. 171). Если В] и В2 построены,_ запишите формулу для определения значения вектора: B=Bi+-B2. Если построить вектор индукции _ не удается, посмотрите р. 303, если не знаете, как найти В, — р. 317.
306
Рис. 171
288.	Нужно вычислить интеграл ф dB, т. е. сначала построить вектор dB, используя рис. 172, а затем постараться выполнить совет из п. 5.8. Проверить выражение для dB можно в р. 293.
Рис. 172
289.	Решение для случая б такое же, как и для случая а, только токи направлены противоположно. Сделайте чертеж, подобный изображенному в р. 279, и вычислите, например, Вь Индукция, создаваемая током, не зависит от присутствия других токов. Теперь все ясно? Если нет, посмотрите р. 272.
290.	Вектор В[ в точке А должен быть ортогонален к направлению тока К, и, следовательно, лежит в плоскости AACD (см. рис. 171 в р. 287). Поэтому чертеж удобно сделать так, чтобы этот треугольник был в плоскости рисунка. Постройте векторы Bt и В2, пользуясь правилом буравчика. Какой вектор будет больше по значению? Проверьте чертеж в р. 303.
291.	Векторы d/ и В_направлены одинаково, поэтому их скалярное произведение Bd/=Bd/. Благодаря симметрии поля, создаваемого током, значение В зависит только от г (и значения I), т. е. одинаково по окружности с центром в токе. Окончательное решение проверьте в р. 304.
292.	Здесь снова дело в направлении обхода контура. Согласно условию задачи (случай б), контуры обходят ток
20*
307
I] по часовой стрелке и поэтому знак тока В положителен,, если он направлен от нас. Ток 1г контуры обходят против часовой стрелки, следовательно, ток направлен на нас. Таким образом, в сумму оба тока входят с положительным знаком.
293.	Согласно п. 5.1, дВ=р01/(4лг3) [dZ, г], где г — расстояние от элемента тока 7dZ до точки наблюдения. В нашем случае |г|— АО (см. рис. 172 в р. 288). При этом очевидно, что dZ_Lr. Попробуйте сами закончить задачу. Если это не удается, обратитесь к р. 331.
2	3	4	1
294.	f (77,	dZ) = f H;dZ+ f H;dZ+	f H;dZ+	f H;dZ.	Onpe-
1234	1	2	3	4
делите значения	этих	интегралов.	Если необходимо,	посмот-
рите р. 305, проверить результат можно в р. 319.
295.	Допустим, что ток I] в какой-либо точке-Проводника с током 12 создает магнитное поле индукции Вектор Bi определим согласно решению задачи 44 (рис. 173). По-закону Ампера, татое поле на элемент тока I2dZ действует с силой df=I2[dZ, Bi]. Дальше все ясно? Если нет, прочитайте р. 306.
Рис. 173
296.	F= f IBdZ.
297.
Рис. 114
308
298.	По правилу правого винта, вектор dB направлен вниз.
299.	dB = p0I sin а/(4лг2) dl. Здесь г, dl и а — переменные, но они связаны между собой. Установив эту связь, вы легко вычислите интеграл. Проверить вид. интеграла можно в р. 312. Если связь между г, dl и а найти не удалось, посмотрите р. 268.
300.	При увеличении в обе стороны длины участка угол ai-Ч), угол az-^-л, так что в пределе В = р01/(4лг0)Х л
X / sin а 4а=ро1/(4лго) [—cos а]оте-
0
301.	B = 2Bi; В1 = р011/(2л:Г1) =8-10-5 Тл (здесь п = =5/2 см=0,025 м).
302.	Из рис. 119 в п. 5.3 и решения задачи 43 следует такой чертеж (рис. 175). Теперь находите В. Ответ получился? Если нет, посмотрите р. 315.
Рис. 175
303.	Ясно, что угол между В] и Вг равен углу DAC, который можно обозначить, например, а (рис. 176). Теперь ясно, как найти величину В? Проверьте общую формулу в р. 317.
Рис. 176
309
304.	§ В<1/=цо1, т. e. 2лпВ = ц01-2лг
305.	На линиях 12 и 34 dl_L-H, на линии 14 НяО, на линии 23 Н=const (см. рис. 170 в р. 283). Получили ответ? A SU вычислили? Если нет, посмотрите р. 273.
к
306.	По правилу векторного произведения, или правилу левой руки, эта сила направлена в сторону тока I]. Следовательно, действует сила притяжения.
307.	Если вы позаботились о том, чтобы все величины были выражены в единицах системы СИ, а ответ не получился, сверьте свою формулу с формулой в р. 320.
308.	Общая формула имеет вид: Е=ц0111212/[2ла(a-f-f)]. Если у вас она иная, проверьте ход рассуждений в р. 322.
309.	F=p0I/(2nr)ey2eU/m. Если вы получили иное выражение, посмотрите р. 316.
310.	Поскольку сила F перпендикулярна к Н, вектор силы при движении точки лежит в одной плоскости, скорость ее — тоже. Поэтому электрон движется в одной плоскости. Так как сила F всегда перпендикулярна к г>, ускорение перпендикулярно к скорости и, следовательно, изменяется только направление скорости, но не ее значение. Вспомните, как движется точка, если значение скорости постоянно, а направление перпендикулярно к ускорению (см. гл. 1). Посмотрите п. 3.3 в гл. 1. Теперь ясно, что электрон движется по окружности? Чтобы ее описать, нужно найти радиус. Подумайте, как использовать приведенную в п. 3.3 гл. 1 формулу второго закона Ньютона. Если сами не можете справиться с задачей, обратитесь к р. 321.
311.	Чтобы осмыслить задачу, лучше всего сделать чертеж и понять, как на электрон действуют силы, если он движется перпендикулярно к направлениям обоих полей. Проверьте чертеж в р. 314.
аг
312.	В= / цо1/(4лго)sin а da, т. е. нужно взять ai
а2
/ sin a da. После подстановки пределов вы получите ответ ai
задачи. Если такое выражение для В вы не получили, обратитесь к р. 268.
313.	Направление В определяется по правилу буравчика.
310
Из рис. 177 видно: чтобы буравчик ввинчивался вниз, нужно поворачивать его головку по часовой стрелке, т. е. в точке А вектор В будет направлен к нам.
Рис. 177
314.	Подумайте, в какую сторону нужно направить напряженность электрического поля £, чтобы оно скомпенсировало действие магнитного поля (рис. 178). Запишите формулу, обеспечивающую это условие. Проверьте ход рассуждений в р. 318.
Рис. 178
315.	Векторы Bi и В2 направлены по-разному. Вы поняли, как? Если да, то для определения В вам остается воспользоваться формулой из М2.3, если нет, посмотрите р. 269.
316.	В формулу силы Лоренца нужно подставить выражение для скорости. Если вы не можете записать формулу силы Лоренца, посмотрите р. 323, если не знаете, как найти v, обратитесь к р. 334.__
317.	В=УВ12+В22+2В1В2 cos а. Если вы получили иное выражение, посмотрите р. 271. Если не знаете, как найти cos а, обратитесь к р. 275.
318.	eE = evB, если вектор Е направлен вверх. Из этого равенства легко найти v. Для ответа на вопрос задачи нужно
311
получить еще одно соотношение, содержащее е/ш. Догадались, какое? Если нет, посмотрите р. 324.
319.	Первый и третий интегралы равны нулю, так как 3
(Н, d7)=0, / H;d/=HZ.
2__________
320.	I=yF2nr/(p0/). Если ваш ответ не такой, посмотрите р. 284.
321.	В и. 3.3 гл. 1 дана формула: wu=v2/r, где w — ускорение; v — скорость; г — радиус окружности, по которой движется точка. Если wu умножить на массу электрона, получится значение силы. Постройте равенство, из которого можно найти радиус окружности. Сравните его с приведенным в р. 325.
322.	Из рис. 174 в р. 297 видно, что Ё2+Ё4=0, а Д и Ез направлены в разные стороны. Их значения можно найти, пользуясь формулами из задачи 52. Какая из сил окажется больше и определит, притяжение здесь или отталкивание.
323.	Вектор В направлен от нас (см. рис. 179_в р. 332), вектор v—параллельно току, следовательно, FJLB. По правилу векторного произведения, значение силы F=evB, где, согласно результату задачи 43, В = ц01/(2лг).
324.	Решая задачи 54 и 55, вы пользовались формулой eU = mv2/r для нахождения скорости электрона (е и ш для него известны). Как можно использовать это соотношение в данном случае?
325.	В данной задаче mwu=|e|vB согласно формуле силы Лоренца, где |е|—значение заряда электрона. Таким образом, |e|vB = mv2/r, и если скорость v известна, г определить просто. А значение скорости нашли? Если нет, обратитесь к р. 262.
326д Вы сделали чертеж? Определите направление векторов В{ и В2, и тогда станет ясно, как воспользоваться принципом суперпозиции. Теперь вычислите значение результирующего вектора. В случае затруднений посмотрите р.274.
327.	Хорошо, что вы задумались над физической картиной. Сделайте чертеж (проверить его можно в р. 332). Вам должно быть ясно, что электрон под действием силы Лоренца будет уходить от проводника. Значит, требуется найти силу в момент включения тока I. Теперь можете решить задачу? Общую формулу для числового значения силы можете проверить в р. 309.
3112
328.	Однородным называется поле, в каждой точке которого и значение, и направление действующей на точку силы одни и те же. Примером служит поле силы тяжести. На небольшом участке пространства магнитное поле тоже может быть однородным.
329.	Посмотрите на чертеж в р. 277 и подумайте, как изменяются углы ои и а2 при увеличении длины участка тока. Какими они будут, когда участок станет бесконечно длинным? Если неясно, как записать интеграл, обратитесь к р. 300.
330.	Вы не забыли, что в задаче задана напряженность, а не индукция? Если дело не в этом, проверьте формулу в р. 267.
331.	Так как векторы гиб/ при любом положении точки А лежат в одной и той же горизонтальной плоскости, вектор [67, г] всегда направлен в одну и ту же сторону. Если не смогли определить его направление, прочитайте р. 298. Поскольку все бВ направлены в одну и ту же сторону, складывать их (интегрировать) можно как скаляры. Учтите также, что r=a = const и заканчивайте решение задачи. В крайнем случае посмотрите р. 264.
332.
24

cb
Рис. 179
333.	Подумайте, как будет изменяться значение и направление силы при движении электрона. Каково взаимное расположение скорости и силы (рис. 180)? Проверьте рассуждения в р. 310.
313
334.	На рис. 179 в р. 332 изображен момент включения тока I, когда начала действовать сила F\, которая направлена перпендикулярно к направлению скорости щ. В следующий момент времени сила сообщит электрону ускорение вдоль оси х (см. рис. 179 в р. 332), появится составляющая скорости vx, и направление траектории изменится: электрон станет уходить от оси у. Направление силы также изменится. Таким образом, электрон поворачивает вокруг направления вектора магнитной индукции. В силу неоднородности поля линейного тока поворот электрона будет происходить по сложной траектории.
РЕКОМЕНДАЦИИ 335—402 К ЗАДАЧАМ 57—71
335.	Изменение потока в единицу времени, по определе-6Ф
нию, есть выражение для^—.
336.	Прежде всего, сделайте чертеж и подумайте, как изменяются характеристики тока и магнитного поля, когда рамка 2 вращается. Как эти изменения влияют на индукцию? Поняли, как возникает ЭДС? Теперь нужно дать количественное описание этого влияния. Если не можете ответить на поставленные вопросы, обратитесь к р. 343. Если неясна физическая картина явления, посмотрите р. 350.
337.	Вы сделали чертеж? Вспомните задачу 43: как направлен вектор В? Проверьте чертеж в р. 344.
338.	Вы хотели воспользоваться формулой из п. 7.12? Такой путь решения возможен, хотя есть и более простой. Если не можете догадаться, каков он, обратитесь к р. 400. Длину соленоида I можно найти, если вспомнить решение задачи 50. Проверьте формулу для I р. 346. Если не знаете, как найти I, посмотрите р. 355.
339.	В задаче сказано, что емкости включены последовательно. Чему при этом равняется общая емкость? Найдите ее выражение в п. 3.8 и постройте выражение для сопротивления. Проверить значение сопротивления можно вр.347.
340.	Если бы в цепь была включена одна емкость С, она сдвинула бы фазу на л/2 (см. п. 8 9). Наличие активного сопротивления изменяет этот фазовый сдвиг. Новое значение ср и нужно найти.
341.	Вы пользовались формулой из п. 8.11, считая С = 0? А какое брали напряжение? Ведь Um=Uy2.
342.	Дроссель — сложная система (см. п 8.28), поэтому для того, чтобы понять, каково его влияние в случае переменного тока, надо начертить схему изучаемого участка цепи. Проверить схему можно в р. 345.
343.	При повороте рамки 2 число силовых линий магнитного поля, пронизывающих ее, изменяется от максимального, когда обе рамки в одной плоскости, до нуля, когда плоскость рамки 2 перпендикулярна к плоскости рамки 1.
315
Построив выражение для потока Ф, можно вычислить ~~ .
Если не знаете, как построить Ф(1), обратитесь к р. 357.
344.	Сравните условие этой задачи с условием задачи 58. На чертеже (рис. 181) вектор Ё направлен от нас, но разве здесь поле однородно? Подумайте, от чего зависит величина В? Как найти разность потенциалов? При необходимости можно обратиться к р. 349.
Рис. 181
345.	На рис. 182 пунктиром очерчен дроссель, R' — его активное сопротивление. Подумайте, какова принципиальная разница между изображенными участками цепи? Как влияет эта разница на выражения для мощности? Если вы поняли, в чем разница участков, рассчитайте ₽! и Р2 (мощность, поглощаемую дросселем). Если не можете найти Pi, посмотрите р. 401, Р2 — р. 352. Если не понимаете, в чем разница между участками, прочитайте р. 348.
Рис. 182
346.	/=p0IN/B. Можно обойтись и без значения I, если воспользоваться не п. 7.13, а п. 7.12.
316
347.	Сопротивление цепи переменному току Rc= = (Ci+C2)/(coCiC2). Теперь найдите I.
348.	Поскольку ток квазистационарный, в тех участках цепи, где нет емкости или индуктивности, он совпадает по фазе с напряженностью. Если в цепь включен дроссель, у которого имеется катушка индуктивности, выполняется условие п. 8.8, т. е. имеется фазовый сдвиг между током и напряжением, что нужно учесть при расчете Р2 (см. п. 8.16). Если не получается выражение для Р2, посмотрите р. 352.
349.	Из задачи 43 следует, что на расстоянии х от тока (см. рис. 181 в р. 344) вектор магнитной индукции В(х) = — цо!/(2лх). Как под действием такого поля будут двигаться электроны в проводнике AD? Где будут скапливаться отрицательный и положительный заряды? Если не можете ответить на этот вопрос, посмотрите р. 354. Для ответа на вопрос задачи посмотрите п. 7.9. Если ответ получился неверный, прочитайте р. 358.
350.	Если в рамке 1 течет ток, например, в направлении, указанном на рис. 183 стрелкой, то как направлен вектор магнитной индукции в плоскости этой рамки? Можете определить значение В в центре окружности? А что нужно найти, чтобы определить ЭДС в рамке 2? Если на эти вопросы вы не ответили, вернитесь к разделу 6, а также к п. 7.6. Если и это не поможет, разберите формулу из р. 361.
351.	Осью диаграммы выберите ось напряжений. Как будут направлены векторы 7Н и 1с, соответствующие токам 1Я и 1с? От чего зависит на диаграмме направление вектора, соответствующего току? Если не можете ответить на эти вопросы, посмотрите р. 363.
352.	Согласно п. 8.16, Р2= IU2 cos ср, где I и U2 — действующие ток и напряжение соответственно; ср —фазовый
317
сдвиг тока по отношению к напряжению. Выражение для тока I найти нетрудно (вспомните, как находили Pi), а для нахождения ср нужно воспользоваться методом векторных-диаграмм (см. р. 356). Общее выражение для Р2 можно проверить в р. 362.
353.	Вы считаете, что нужно знать С? Но если о емкости ничего не говорится, значит она считается равной нулю (никакие приборы, имеющие заметную емкость, в задаче не упоминаются).
354.	На свободные электроны в проводнике действует сила Лоренца в направлении, которое определяется по правилу из п. 6.5 (заряд электрона отрицательный). Какой конец проводника заряжается отрицательно’ Ответ сравните с приведенным в р. 364.
355.	В задаче задано число N. Следовательно, I можно найти из равенства п — N/Z. В выражение для индукции соленоида как раз и входит п. Если вы не поняли, как использовать этот факт, обратитесь к р. 395.
356.	Учтите, что в системе, согласно условию задачи, имеются дроссель (U2=j=9I В) и сопротивление R (Ui = 44 В), присоединенные последовательно к сети с напряжением U = ]20 В (v=50 Гц). Напряжения на сопротивлении и на дросселе различаются по фазе на угол ср, а числовое значение U есть модуль вектора, равного сумме векторов, соответствующих напряжениям Ui и U2. Используя эти данные, найдите cos ср. Принцип построения векторной диаграммы можно проверить в р. 366.
357.	Так как вектор В в пределах рамки 2 можно считать постоянным (площадь рамки 2 значительно меньше площади рамки 1), максимальное значение Ф = В5. Если считать, что рамка 2 находилась в плоскости рамки 1 при t=0 и вспомнить, что рамка 2 вращается со скоростью со, как записать выражение для Ф в произвольный момент времени? Если числовой ответ получился неправильный, посмотрите р. 369; если ход решения неясен, — р. 382.
358.	Нужно использовать результат, полученный в п. 7.9. Однако в силу неоднородности поля следует рассматривать не весь участок AD, а бесконечно малый отрезок dx: разность потенциалов dtp, образованная на участке dx, равна dcp =—Bvdx. Общую формулу разности потенциалов можно проверить в р. 370.
359.	Как следует находить сдвиг фаз? Посмотрите п. 8.18. Если значение cos ср известно, то ср можно найти из таблиц.
318
Если под рукой нет тригонометрических таблиц, сверьте значение косинуса с приведенным в р. 378.
360.	Сила тока в цепи (так как co = 2nv) такова:
I = U/Rc = U(oCiC2/(Ci+C2)=U2nvC1C2/(C1+C2).
361.	Вектор В направлен от нас (см. рис. 183 в р. 350), его значение в центре равно pi0I/(2r)N1.
362.	P2=(U2—1Д2—U22)/(2R). Если вы не получили такого выражения, обратитесь к р. 356.
363.	На векторной диаграмме углы между векторами — это разность фаз между ними. Чему же равна разность фаз между U и 1й? А между U и 1с? Если ответить на эти вопросы не можете, посмотрите р. 376.
364.	Отрицательный заряд скапливается на конце D отрезка I.
365.	Чтобы решить эту задачу, нужно еще раз разобрать решение примера из п. 8.21. Поскольку в этом примере расчет проводится в общем виде, формулы, получаемые в нем, верны для любого случая, предусматривающего выполнение условий п. 8.1. Поэтому можно пользоваться всеми формулами из примера 7 в п. 8.21. Если не можете найти формулу, по которой определяется сопротивление R, обратитесь к р. 377.
366.	Примем за ось диаграммы_ток I. I и Ui не отличаются по фазе, так что вектор Ui направлен по оси I. Предположим, что угол ср известен. Тогда можно построить вектор С/2 (значение его дано) и сумму C7i+t72 = U (числовое значение вектора U тоже дано). По заданным значениям из формул треугольника можно найти cos ср. Проверьте диаграмму в р. 379.
367. Вероятно, вы забыли, что при нескольких витках с!Ф
контура N ЭДС возрастает в N раз: е=—N— , так что в
данном случае — =—e/N. так как в выражении из п. приведенное в п. 7.6, т. е.
В ответе знак минуса опущен, 7.8 он отражает лишь свойство, не имеет принципиального зна
чения.
368.	Перечитайте еще раз п. 7. Каких данных не хватает, чтобы рассчитать ЭДС? Если не поняли условия задачи, посмотрите р. 381.
369.	Вы не забыли, что каждый контур состоит из не-
319
скольких витков? Таким образом, ЭДС определяется по фор. dT
муле е= — —, где Ч^^Ф. Общую формулу можно проверить в р. 393.
370.	ф1—ф2=Ро1у/(2л)1п[(хо+/)/хо]. Если ваш результат не такой, обратитесь к р. 383.
371.	Когда магнитное поле исчезло, поток его стал равен нулю. Значит, изменение потока ДФ равно первоначальному значению потока. Вычислите значение Ф и сверьте с ответом.
372.	Вы пользовались формулой из п. 7.15? Не забудьте, что в данном случае имеется не один виток и нужно учитывать потокосцепление.
373.	Общая формула: L=NBS/I. Если у вас она получилась иной, вероятно, вы выбрали путь решения, о котором говорится в р. 338. Обратитесь к р. 385.
374.	В каких единицах измерения дана индуктивность катушки? Если дело не в этом, проверьте общую формулу в р. 386.
375.	Согласно закону Ома, падение напряжения U на каком-нибудь участке цепи равно произведению силы тока на сопротивление участка. Как определить сопротивление конденсатора Ct? Если неясно, посмотрите р. 387.
376.	Внимательно перечитайте п. 8.2 и 8.8. Теперь понятно, как строить диаграмму? Сравните ее с изображенной на рис. 185 (р. 388).
377.	Вы разобрали решение примера 7 из п. 8.21? И не нашли формулу для R? Посмотрите р. 389.
378.	созф = 0,725.
379.	Для нахождения cos ф следует рассмотреть АОАВ (рис. 184), учесть, что <£АОВ+<);АВО=ф и поэтому <ХОАВ = а= 180°—ф. Тогда cos ф можно определить по формуле из Ml.10. Получили выражение для Рг? Если нет, прочитайте р. 391.
320
380.	Период собственных колебаний определяется по формуле из п. 8.27. Индуктивность L задана. Значит, нужно найти С. Очевидно, придется обратиться к разделу 3. Если ответ получился неправильный, прочитайте р. 392.
381.	Условия задачи почти в точности описывают условия, приведенные в п. 7.9, только здесь не задана скорость движения стороны ad. Но разве ее нельзя найти?
382.	Поток индукции сквозь поверхность, натянутую на контур 2, равен BS cos cot. Тогда-^—=—BSsintp.
383.	Равенство dtp=—Bvdx нужно проинтегрировать по х от А до D, учитывая значение В. Вычислите интеграл,
подставьте в результат числовые значения всех входящих в него характеристик и найдите ответ задачи. Формулу для интеграла можно проверить в р. 394.
384.	ДФ = Ф=ВЫ5 cos а.
385.	Возможно, вы неверно записали выражение для В (из решения задачи 50). Внимательно посмотрите, что определялось в этой задаче. Теперь получили L? Если нет, обратитесь к р. 395.	______________
386.	Согласно п. 8.11, Im=Um/yR2+ [coL—1/(©L)]2. Если, пользуясь этой формулой, вы не получили ответ, возможно, не учли, что Um — это не действующее напряжение, заданное в задаче (см. п. 8.16). Если ответ получился неправильный, посмотрите р. 396.
387.	Поскольку через конденсатор течет ток переменной частоты и, его сопротивление Ri = 1 /(coCi), так что Ui = IRi. Но конденсаторы включены в цепь последовательно, поэтому ток везде одинаковый. Теперь легко определить U2 (см. р. 397).
388.	1Н находится в фазе с U, 1с опережает по фазе U на л/2. Надо найти общий ток, сложив векторы 1С и Ir
21 Заказ 259
321
389.	Из формулы 10, приведенной в п. 8.21, следует: tg<p=Lco/R. Поскольку <р, L и	заданы, R определя-
ется элементарно (tg 30°=0,579).
390.	Вы применяли формулу из п. 8.17? Но в нее входит действительный ток, а вы нашли Im.
391.	Из рис. 184 (р. 379) следует: U2=U!2+U22— —2UiU2cosa. Так как а=180°—<р, cos а=—cos <р. Поэтому UtU2 cos q>= (U2—Ui2—U22)/2.
392.	Прочитайте п. 3.6. Выражение для Т можете проверить в р. 402.
393.	e = |ioI/(2r)SNiN2o). Если эта формула не получилась, обратитесь к р. 357.
х0—• I
394.	(pD——|iolv/(2n) f dx/x. Если вы получили эту
Хо
формулу, а числовой ответ неправильный, возможно, вы забыли, что при интегрировании логарифм натуральный, а не десятичный. Пользуясь таблицами десятичных логарифмов, учтите, что In а=2,31g а. Например, 1g 51 = 1,70757.
395.	Из задачи 50 следует, что Н = 1п. Но B = |i0H. Поэтому B = |i0IN//.
396.	Остается проверить, верно ли вы взяли величину и. В задаче задана линейная частота v, так что (в=2лл>.
397.	Если значение Ui найдено, U2 можно определить из условия, что Ui4-U2=U, поскольку кроме конденсатора и ЭДС в цепи ничего нет.
398.	Угол фазового сдвига <р можно определить из треугольника (см. рис. 185 в р. 388).
399.	Посмотрите п. 8.14 и 8.15, и вам все станет ясно.
400.	Согласно свойству соленоида (см. п. 5.16), магнитное поле внутри него можно считать однородным, а следовательно, поток сквозь контур (виток соленоида) Ф равным BS. Тогда потокосцепление T=NBS. С учетом этих условий по формуле из п. 7.41 получите ответ на вопрос задачи.
401.	Согласно п. 4.26, Pi = IUi, где I = Ui/R.
402.	Т = 2nyLeoeS/d.
ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ гл. 3
1.	9,23-10-8 Н.
2.	9-Ю3 В/м.
3.	3,3-10'4 н.
4.	1,67-104 В/м.
5.	Ч(2У2+1)/4.
6.	F=q1q2/(r2—Z2/4);	взаимодействие зарядов умень-
шится.
7.	55,7-103 В/м.
8.	1,14-10-3 Н.
9.	qh/(R2+h2)3'2.
10.	При r<R Е = 0, при r^R E=q/(4neor2).
11.	При r<R E = Qr/(3eeo), при r^R E = gR3/(3eor2).
12.	т/(2леог).
13.	a) Qr/(ee0); 6) Qd/(2e0).
14.	1 кВ.
15.	45 B.
16.	990 B.
17.	-21-Ю-8 Кл.
18.	Графики см. в р. 52.
19.	ф0=470,9 В; фн= 376,7 В.
20.	1,2 мкДж.
21.	6-Ю-7 Кл/м.
22.	50 В.
23.	Ui = 7,5 кВ; U2=4,5 кВ; q=2,5-10-6 Кл.
24.	6,89 мкФ.
25.	400 В.
26.	1,5-10-3Дж.
27.	4,7 -10-3 Дж.
28.	0,309 Дж/м3.
29.	8-10-5 Дж.
30.	1= 17,8 A; j = 3,65-10~5 А/м2.
31.	q=48 Кл; 1=12 А.
32.	2,5 А.
33.	2 А. Направление — от В к А.
34.	2 А.
35.	l/R^l/R^l/Rs.
21*
323
36.	R (ei/Ri+eg/Rz), где 1/R—1 /Rni~H/Rn2-
37.	r=0,050 м; e=4,l B.
38.	0,118 A.
39.	4 B.
40.	yRiR2 .
41.	2 A.
42.	l,8-10-8 T.
43.	|j,ol/(4nro) (cos ai—cos аг) •
44.	ц01/('2яг0).
45.	a) B==0; 6) 1,6-10~4 T; в) 1,13-IO"4 T.
46.	HoW(4na).
47.	286 mkT.
48.	|д,01/(2лг).
49.	a) —8 A; 6) 16 А; в) 0.
50.	H=nl.
51.	Притяжение.
52.	58 A.
53.	9,52-10-5 H.
54.	4-10-16 H.
55.	5,37 cm.
56.	48-106 Кл/кг.
57.	2,5-10-5 Вб/с.
58.	25 мВ.
59.	4,7-10-3 В.
60.	4,7-10-5 в
61.	2,4-10-з Кл
62.	1,6-10-з Гн
63.	1,8-10-з Гн
64.	3-Ю-3 Гн
65.	1,65 А.
66.	0,009 А; 73,3 В; 146,7 В.
67.	arctg 0,063.
68.	54,4 Ом; 100 мкФ.
69.	1,23 А; 43°30'; 76 Вт.
70.	Р1 = 96,8 Вт; Р2= 105 Вт.
71.	4,7-10-4 С.
Глава 4
ОПТИКА
1.	ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВЕТА
1.1.	Переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное поле, а переменное магнитное поле создает вихревое электрическое поле. Поэтому напряженность Е электрического поля и напряженность Н магнитного, вообще говоря, связаны между собой. Эта связь описывается уравнениями Максвелла.
1.2.	Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле может распространяться в пространстве в виде электромагнитной волны, фазовая скорость котором в пустоте равна скорости света: с=3-108 м/с. В	Е
диэлектрической среде (ц==1)	с
диэлектрической проницаемостью е скорость электромагнитной волны V—с/Уе. Из уравнений Максвелла
также следует, что векторы Ё и Н	К/ ___
электромагнитной волны взаимно jj 7 ортогональны и лежат в плоскости, / перпендикулярной к скорости рас-пространения волны и. Векторы Ё,
Н и v составляют правовинтовую	Рис 186
систему (рис. 186). Электромагнитные волны являются поперечными.
1.3.	Векторы Ё и Н колеблются в одной фазе, т. е. одновременно обращаются в нуль в данной точке и одновременно достигают максимального значения.
1.4.	Рассмотрим монохроматические волны. В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции векторов Ё и Н на оси координат (инерциальной системы координат) совершают гармонические колебания одинаковой частоты v (длины волны X=v/v), т. е. в данной _точке пространства (например, в начале координат) Ё=ЕОу sin(cot4-a), где ® — циклическая частота (®=2jiv), а—начальная фаза.
325
1.5.	Если скорость v во всех точках волнового фронта (см. 2.1) направлена одинаково, волна называется плоской. Выберем ось х вдоль вектора и. Тогда векторы Е и Н будут лежать в плоскости yz. Таким образом, вектор Е, вообще говоря, имеет две составляющие—Ej,hEz: £=Ey/+Ezfe. В любой плоскости, параллельной плоскости yz, в данный момент времени все векторы Е одинаковы, т. е. Е зависит только от х и Е
1.6.	Если векторы Е во всех точках поля колеблются, оставаясь параллельными некоторому направлению (например, оси у), волна называется плоскополяризованной (или линейно-поляризованной). Вектор Е имеет лишь одну составляющую (Еу). Более подробно о поляризации сказано в разделе 5.
1.7.	В данный момент времени в разных точках волны вектор Е имеет разные значения. В_ случае плоской волны «мгновенная фотография» векторов Е имеет следующий вид (рис. 187). Зависимость Е9 от х в заданный момент времени t0 выражается синусоидой: Еу=ЕОу sin (o)to—kx-f-a), где к=2л/Х — волновое число. В какой-то последующий момент времени «мгновенная фотография» вект®ров Е изменяется, давая сдвинутую вправо картину (рис. 188). Этот сдвиг означает распространение волны и происходит со скоростью V.
1.8.	В произвольный момент времени t в любой точке х плоскополяризованная волна характеризуется выражением Еу—ЕОу sin (cot—kx-f-a).
1.9.	В общем случае плоская монохроматическая волна описывается двумя составляющими вектора Е: Е„— =ЕОг/ sin (cot—kx+<x), Ez=Eoz sin (cot—кх+аг).
326
1.10.	Интенсивностью электромагнитной волны называется энергия, которую переносит волна за единицу времени сквозь единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волны. В теории Максвелла показано, что интенсивность линейно-поляризованной плоской монохроматической волны пропорциональна квадрату ее амплитуды.
1.11.	Свет, видимый человеческим глазом, представляет собой электромагнитные колебания с длиной волн от 3,9-10—7 до 8-10_7 м. Электромагнитным колебаниям с большей длиной волн соответствует инфракрасный, с меньшей — ультрафиолетовый свет. Электромагнитные колебания с длиной волн указанного диапазона изучает оптика.
1.12.	В принципе все законы оптики могут быть выведены как следствия из теории электродинамики (электромагнитной теории): законы отражения, преломления, интерференции и т. д. — из уравнений Максвелла, законы фотоэффекта, испускания и поглощения света атомами и т. п. — из теории квантовой электродинамики. Однако строгое применение теории Максвелла, а тем более квантовой электродинамики к проблемам оптики является весьма трудной задачей В то же время многие практически важные оптические явления могут быть описаны сравнительно просто с помощью некоторых эмпирических законов и модельных представлений, которыми разумно пользоваться при определенных условиях. Описание этих явлений облегчается, если использовать правила геометрической оптики.
2.	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Начиная изучение оптических явлений, не будем рассматривать вопрос о природе света. Используем лишь тот факт, что свет — это некоторый волновой процесс, характеризующийся длиной волны, частотой и фазой (см. гл. 1, разд. 8). В пустоте и воздухе свет распространяется со скоростью, приблизительно равной 3-108 м/с. В веществе скорость света у=с/Уе (см. 1.2).
2.1.	В распространяющейся световой волне в данный момент времени всегда можно выделить точки, колеблющиеся в одинаковой фазе и образующие непрерывную поверхность. Такая поверхность называется фронтом волны. У точечного источника света S-фронт волны является сферой радиусом 3?, центр которой лежит в источнике (рис. 189). Фронт вол-
327
ны перемещается в пространстве вдоль направления нормали п к нему В случае сферического фронта волны нормали совпадают с радиусами-векторами, проведенными из точки источника. Вдоль них передается световое возмущение от источника света, образуя лучи света. Если источник удален на большое расстояние, фронт волны будет сферой очень большого радиуса, т. е почти плоскостью. Лучи всегда перпендикулярны к фронту волны и от бесконечно удаленного источника идут параллельно друг другу (рис. 190).
Рис 190
Геометрическая лучевая оптика занимается изучением хода световых лучей в однородных прозрачных средах.
2.2.	Предполагается, что каждая точка источника света представляет собой вершину расходящегося пучка лучей, именуемого гомоцентрическим, т. е. имеющим общий центр. Если после преломления или отражения пучок превращается в сходящийся, он тоже гомоцентрический, и центр его есть изображение светящейся точки.
Установлено четыре основных закона, на которые опирается геометрическая оптика
2.3.	Закон прямолинейного распространения света: в однородной среде свет распространяется по прямым линиям. Соотношение между концом предмета и его тенью при освещении точечным источником света S соответствует геометрической проекции, построенной при помощи прямых линий (рис. 191).
2.4.	Закон независимости световых пучков утверждает, что эффект, производимый каждым из лучей, не зависит от того, действуют другие лучи или нет, т. е при пересечении лучей, идущих от разных точек объекта, они не «возмущают» друг друга, а распространяются независимо.
328
Рис 191
2.5.	Закон отражения света: луч, падающий на зеркальную поверхность, нормаль к которой восстановлена в точке падения, и луч отраженный лежат в одной плоскости, причем угол падения (угол между падающим лучом и нормалью) равен углу отражения (углу между нормалью и отраженным лучом) (рис. 192).
Рис. 192
2.6.	Построение изображения показать с помощью следующего виден в зеркале точечный источник света S (рис. 193). Правило построения (изображения следующее Поскольку от точечного источника, согласно п. 2.2, можно провести разные лучи, выберем два из них — 1 и 2 и найдем точку S', где эти лучи сходятся. Очевидно, что сами отраженные лучи расходятся, сходятся лишь их продолжения (см. пунктир на рис. 193) Изображение, получающееся не
в плоском зеркале можно примера. Посмотрим, как
Рис. 193
329
от самих лучей, а от их продолжения, называется мнимым. Простым геометрическим построением легко показать, что изображение расположено симметрично по отношению к поверхности зеркала.
2.7.	На рис. 194 изображено вогнутое зеркало (сферическое). Прямая, проходящая через центр кривизны О зеркала и его вершину D, называется главной оптической осью зеркала. Лучи, падающие на поверхность вогнутого зеркала параллельно главной оптической оси, после отражения собираются в одной точке F, называемой фокусом.
2.8.	Поскольку радиус сферы направлен по нормали к ее поверхности, то, по закону из п. 2.5, фокусное расстояние DF=f=R/2, где R — радиус сферы (OD).
2.9.	Для построения изображения необходимо выбрать два луча и найти их пересечение. В случае вогнутого зеркала такими лучами могут быть луч, отраженный от точки D (он идет симметрично с падающим относительно оптической оси), и луч, прошедший через фокус и отраженный зеркалом (он идет параллельно оптической оси); другая пара: луч, параллельный главной оптической оси (отражаясь, он пройдет через фокус), и луч, проходящий через оптический центр зеркала (он отразится в обратном направлении).
Пример 1. Построить изображение предмета (стрелки АВ), если он находится от вершины зеркала D на расстоянии, большем радиуса зеркала R.
Решение. Рассмотрим чертеж, сделанный согласно' описанному правилу построения изображения (рис. 195). Луч 1 идет от точки В к точке D и отражается по DE так, что <XADB=<XADE. Луч 2 от той же точки В идет через фокус до зеркала и отражается по линии CB'||DA. Изображение действительное (образованное отраженными лучами,.
330
а не их продолжениями, как в плоском зеркале), перевернутое и уменьшенное.
Другие случаи расположения предмета (AD<R и т. д.) рассмотрите самостоятельно. Эти упражнения предложены вам в задачах 2—4.
2.10.	Из простых геометрических расчетов можно получить соотношение между следующими характеристиками. Если g—расстояние предмета до зеркала, откладываемое по главной оптической оси (на рис. 195 — это AD), b — расстояние от изображения до зеркала (на рис. 195 — это A'D), то g/b = AB/A'B' и 1/f—'l/g-Rl/b (при мнимом изображении b отрицательно, см. п. 2.22).
Величина l/f=D называется оптической силой зеркала и измеряется в диоптриях (дп): 1 дп=1 м~'.
2.11.	Закон преломления света: луч, падающий на гра
ницу раздела двух прозрачных сред, нормаль к границе раз-
дела в точке падения луча и луч преломленный (рис. 196) лежат в одной плоскости. Угол падения <pi связан с углом преломления <р2 соотношением sin <p(/sin <p2~n2/nt, где ni и п2 — постоянные, зависящие от свойств сред 1 и 2. Величины ni и п2 называются абсолютными показателями преломления сред 1 и 2. Физический смысл показателя (коэффициента) преломления таков: он показывает, во сколько раз скорость распространения света в вакууме (с=3-108 м/с) больше скорости распространения света v в данной среде, т. е. n=c/v. Пока
331
затель преломления света в вакууме (и в воздухе) п0==1. Согласно п. 1.2, п=Уе, где е — диэлектрическая проницаемость среды.
2.12.	Рассмотрим ход лучей из среды 1, оптически более плотной, в среду 2, оптически менее плотную: ,п1>Г)2 (рис. 197). Согласно закону преломления, sin <pi/sm <p2=n2/ni, sin <pi<sin ф2, а значит, ф1<7ф2, т. e. после прохождения
во вторую среду луч «отходит» от перпендикуляра (см. луч 1 на рис. 197). Если увеличить угол падения фь соответственно увеличится и угол преломления ф2, и наступит момент (см. луч 2 на рис. 197), когда ф2=л/2, т. е. луч преломленный будет скользить вдоль границы раздела. Угол Фь при котором это произойдет, называется предельным углом ф Пред и определяется условием sin ф Пред =n2/ni. При дальнейшем увеличении
Рис. 197
угла падения, т. е. если ф1>Фпред> преломленного луча во второй среде не будет; луч отразится от поверхности раздела и вернется в первую среду (см. луч 3 на рис. 197). Так возникает явление полного внутреннего отражения.
2.13.	Свойство взаимности или обратимости лучей со-
стоит в том, что, если при преломлении или отражении света изменить их ход на обратный, взаимное расположение лучей не изменится (рис. 198 и 199).
Рис. 199
332
падает
закон вид:
A
П1
Г>г
П!
Рис. 200
2.14. Рассмотрим ход лучей в плоскопараллельной пластинке. Предположим, что в воздухе находится стеклянная пластинка (рис. 200). Пусть луч падает на верхнюю грань этой пластинки; в точке В он преломится и пойдет в стекле по направлению ВС. В точке С луч снова преломится и выйдет из стекла в воздух по направлению CD. Докажем, что луч CD||AB, т. е. что луч из пластинки выходит под тем же углом, под каким на нее.
Для точки В преломления имеет
sin tpi/sin ф2=п2/И1, и так как Hi = 1, то n2—sin <pi/sin <р2. Для точки С закон преломления следующий: sin <p2'/sin <Pi' = =m/n2=l/n2. Сравнивая формулы для п2 и 1/п2 и учитывая, что ф2=<р2', получим: sin ф1=вт ф/, а значит, и ф1 = ф/, что требовалось доказать. Однако луч, вышедший из пластинки, смещен относительно падающего луча на расстояние I, которое зависит от толщины пластинки, показателя преломления и угла падения луча на пластинку.
2.15. Ход лучей в призме представлен Угол р между гранями, на которых зывается преломляющим углом призмы.
Если известны угол р и показатель преломления призмы п, то по заданному углу падения ф] (см. рис. 201) можно найти угол преломления на второй грани ф4. В самом деле, угол ф2 определяется из закона преломления 8Шф|/зтф2=п (призма помещена в воздух). В ABCN стороны
BN и CN образованы прямыми, перпендикулярными к граням призмы, так что угол CNE равен углу р. Поэтому ф2+фз=р, откуда фз=р—Фг становится известным. Угол ф4 определяется законом преломления: sin фз/sin ф4=1/п.
333
на рис. 201. преломляется луч, на-
Рис 201
2.16.	Практически часто бывает нужно решать такую задачу: зная геометрию призмы (угол р) и определяя углы ф! и ф4, найти показатель преломления призмы и. В этом случае удобно ввести угол б (см. рис. 201) — угол отклонения луча, образованный продолжением лучей падающего и выходящего.
Легко видеть, что б=ф1+ф4—р. В самом деле: Z_M.CB = Ф4—фз, АМВС=ф1—ф2, угол б—внешний к ДВМ.С и, следовательно, равен сумме углов М.ВС и М.СВ: б= (ф:—<р2) + + (ф4—Фз) =ф1+ф4—р, где учтено равенство фз+фг=р из п. 2.15.
2.17.	Сравнительно сложными рассуждениями можно показать, что при симметричном ходе луча сквозь призму (луч света в призме параллелен ее основанию) б принимает наименьшее значение.
2.18.	Предположим, что преломляющий угол (тонкая призма) и угол падения луча на призму малы. Запишем законы преломления на гранях призмы: sin ф1/эт ф2=п, sin фз/sin ф4= 1/п. Учитывая, что для малых углов sin ср~ получим: ф1 = Пф2, ф4=пфз. Подставив ф1 и ф3 в формулу для б из п. 2.16, получим:
6=(п—1)р.
Подчеркнем, что эта формула для б верна лишь для тонкой призмы и при очень малых углах падения лучей.
2.19.	Линза — прозрачное тело, ограниченное сферическими поверхностями, радиус по крайнем мере одной из которых не должен быть бесконечным. Ход лучей в линзе зависит от радиуса кривизны линзы. Основными характеристиками линзы являются оптический центр, фокусы, фокальные плоскости.
Пусть линза ограничена двумя сферическими поверхностями (рис. 202), центры кривизны которых Ci и С2, а вершины сферических поверхностей Oi и О2. Считаем, что О,О2«С102 и OiO2«C2O2, т. е. практически точки Ot и О2 слиты в одну точку О, которая называется оптическим центром линзы. Прямая, проходящая через оптический центр линзы, называется оптической осью; оптическая ось, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью (С[С2 на рис. 202). Лучи, идущие через оптический центр, не преломляются (не -изменяют своего направления).
334
На рис. 202 изображена схема двояковыпуклой линзы. 'Такая линза — собирающая (толщина линзы в середине больше, чем у краев). Лучи, параллельные главной оптической оси двояковыпуклой линзы, после прохождения через нее пересекают главную оптическую ось в точке F (рис. 203), которая называется главным фокусом линзы, а расстояние от этой точки до линзы f есть главное фокусное расстояние. В дальнейшем будем рассматривать так называемые тонкие линзы, в которых преломление на обеих границах можно заменить одним преломлением. У такой линзы есть второй главный фокус Fi, расположенный симметрично по отношению к центру.
На рис. 204 изображена схема двояковогнутой рассеивающей линзы (в середине она тоньше, чем у краев), на ,рис. 205 показан ход лучей в такой линзе.
Рис 204
335
2.20.	В геометрической оптике отрезки, отсчитываемые против хода лучей, принято считать отрицательными, а по ходу лучей — положительными. Отрезок OF (см. рис. 203) от линзы к фокусу отсчитывается по ходу луча, следовательно, в собирающей линзе фокус положителен. В рассеивающей линзе (рис. 205) фокусное расстояние OFi откладывается в сторону, противоположную ходу лучей. Следовательно, в рассеивающей линзе фокус отрицателен.
2.21.	Плоскости, проведенные через главные фокусы линзы перпендикулярно к главной оптической оси, называются фокальными. Параллельный пучок лучей, падающий на линзу под некоторым углом к главной оси (т. е. параллельно побочной оси), собирается не в фокусе, а в другой точке, лежащей в фокальной плоскости.
Отметим, что при построении и использовании форму
лы линзы пучки считаются гомоцентрическими, а лучи параксиальными, т. е. идущими на небольших по сравнению с радиусами кривизны расстояниях от главной оптической
оси.
2.22.	Для построения изображения в линзе необходимо использовать не менее двух лучей, ход которых известен.
Рис. 206
Обычно выбирают следующие лучи: луч 1 (рис. 206), идущий через оптический центр (не изменяющий своего направления); луч 2, параллельный главной оптической оси (после преломления в линзе он или его продолжение проходит через главный фокус) ; луч 3, который проходит через фокус (после преломления идет параллельно главной оптичес
кой оси).
2.23. Принцип построения хода лучей в линзе заключается в том, что от точки, изображение которой необходимо
получить, проводят два луча до их пересечения или пересечения их продолжений. Точка пересечения и является изображением точки. Если точка находится на главной оптической оси, ее изображение располагается на той же оси.
336
Приводим примеры построения хода лучей в собирающих линзах, поскольку они чаще встречаются на практике.
2.24.	Предмет (стрелка АВ) расположен на двойном фокусном расстоянии, т. е. OA=2f (рис. 207). Из точки В проведем ломаную BDF, соответствующую лучу 2, и прямую ВО, соответствующую лучу 1 на рис. 206. Эти лучи пересекутся в точке В'. Легко показать, что перпендикуляр, опущенный из точки В' на главную ось, попадает в точку А', которая является изображением точки A: OA' = 2f.
Рис. 207
2.25.	Доказать последнее утверждение можно с помощью рис. 208, где изображено то же, что и на рис. 207, но проведена вспомогательная линия BFi. Оказывается что AOFiiB = AOFBi. В самом деле: OFi — OF по определению, ABFiA=ADFO, OFi — F[A по условию задачи, следовательно, ABAFi —ADOF и углы BFiA и DFO равны. Поэтому равны углы BFiO и OFBZ. Но если равны треугольники OFiB и OFB', то равны и треугольники ОАВ и ОА'В', что и доказывает утверждение из п. 2.24.
Рис. 208
2.26.	Итак, если предмет расположен на двойном фокусном расстоянии, то изображение действительное (пересекаются лучи, а не их продолжения), перевернутое, неизменное по размеру. Находится оно на дв.ойном фокусном расстоянии.
22. Заказ 259
337
2.27.	Теперь легко понять, каким должно быть изображение, если предмет находится ближе или дальше, чем на расстоянии 2f. Обратимся к рис. 209. Ход луча 2 одинаков во всех трех случаях, а луч 1 идет или под большим углом к оси (если расстояние от центра линзы до предмета меньше 2f, но больше f), или под меньшим (если расстояние больше 2f). Эти случаи рассматриваются в п. 2.28 и 2.29.
2.28.	Предмет (стрелка АВ) расположен между фокусом и двойным фокусом (рис. 210). Изображение А'В' действительное, увеличенное и перевернутое.
Рис. 210
2.29.	Предмет расположен от линзы на расстоянии большем, чем двойное фокусное расстояние 2f (рис. 211). Изображение действительное, перевернутое, уменьшенное.
338
2.30.	Предмет (стрелка АВ) расположен между фокусом и линзой (рис. 212). В этом случае лучи BDF и ВО не пересекаются. Поэтому нужно строить пересечение их продолжений (см. пунктир на рис. 212). Изображение AZBZ мнимое (пересекаются не лучи, а их продолжения), увеличен-
ное, прямое.
2.31.	Построение изображения предмета, размеры которого значительно больше размеров линзы, требует введения фокальной плоскости. Дело в том, что от большого предмета нельзя провести луч параллельно главной оси (см. луч 2 на рис. 206) так, чтобы он прошел сквозь линзу. Поэтому приходится проводить луч, параллельный побочной оси. В п. 2.21 говорилось, что пучок лучей, идущий параллельно побочной оси, собирается в некоторой точке фокальной плоскости. Пример пучка лучей, идущих параллельно побочной оси, представлен на рис. 213.
Ход лучей при изображении большого предмета дан на рис. 214. Соединим точку В (верхняя точка предмета) лу
Рис. 214
22*
339
чом с точкой L (верхняя точка линзы). Через оптический центр проведем побочную оптическую ось CD, параллельную-лучу BL. Согласно п. 2.21, после преломления в линзе луч BL пойдет таким образом, что пересечет побочную оптическую ось в фокальной плоскости. Полученный луч LF' будет играть роль луча 2. Достаточно найти его пересечение с продолжением прямой ВО, и мы получим точку В' (изображение точки В).
"2.32. Для линзы выполняется соотношение, аналогичное соотношению из п. 2.10: 1/f = l/g+ 1/b, где f — главное фокусное расстояние; g— расстояние от предмета до линзы; b — расстояние от линзы до изображения. Величинам f и b придается знак в соответствии с указаниями в п. 2.20. Величина T=b/g называется увеличением линзы.
2.33.	Оптической силой линзы D называется величина, обратно пропорциональная фокусному расстоянию f. Если Ri — радиус кривизны более искривленной поверхности, R2— менее искривленной и и—показатель преломления материала линзы, то D определяется по формуле: D=l/f= = (п—1) (1/Ri—l/Rs). При этом f, Ri и R2 могут быть как положительными, так и отрицательными в соответствии с правилами п. 2.20.
2.34.	При решении задач по оптике во многих случаях приходится применять тригонометрические формулы. Поэтому вспомните приложение Ml. Кроме того, обязательно надо иметь таблицы тригонометрических величин.
Очень часто необходимо делать чертежи. Старайтесь выполнять их аккуратно и достаточно крупно. Считайте геометрические объекты (треугольники, отрезки и т. д.) равными только тогда, когда можете это доказать, а не на основании только вида чертежа.
Задача 1. Горизонтальный луч света падает на вертикально расположенное зеркало под углом 0°. Зеркало поворачивается на угол а вокруг вертикальной оси. На какой угол у повернется отраженный луч?
1. Ответ не получился (73).
Задача 2. Построить изображение в сферическом зеркале, если предмет (стрелка) находится на расстоянии R от зеркала (R — радиус зеркала).
1 Сомневаюсь в правильности построения хода лучей (54).
2. Не знаю, как строить изображение (76).
Задача 3. Построить изображение в сферическом зер-
340
жале, если расстояние от предмета до зеркала лежит в пределах между фокусом и центром.
1. Ответ не получился (55).
2 Непонятно, как изобразить стрелку (74).
Задача 4. Построить изображение в сферическом зеркале, если предмет (стрелка) находится на расстоянии, меньшем фокусного.
1.	Не могу построить ход лучей (41).
2.	Ответ не получился (56).
3.	Не могу получить отражение луча, идущего через фокус (95).
Задача 5. Величина действительного изображения предмета в вогнутом зеркале Н вдвое больше, чем величина предмета h. Расстояние между предметом и изображением /=15 см. Определить: 1) фокусное расстояние зеркала, 2) оптическую силу зеркала.
1. Не могу построить чертеж (36).
2. Не знаю, как подойти к решению задачи (42).
Задача 6. Луч света падает под углом i = 30° на плоскопараллельную стеклянную пластинку и выходит из нее параллельно первоначальному лучу. Какова толщина пластинки d, если расстояние между лучами 1= 1,94 см5
1.	Не знаю, как приступить к решению задачи (7).
2.	Не могу вычислить угол преломления (25).
3.	В п. 2.14 нет формулы, содержащей /, и я не знаю, как использовать это значение (43).
4.	Ответ получился неправильный (97).
Вывод. Таким образом, измеряя расстояние между падающим и прошедшим сквозь пластинку лучами, можно измерить ее толщину Этот метод используется на практике для определения толщины прозрачных пластинок.
Задача 7. На дно сосуда, наполненного водой до высоты h= 10 см, помещен точечный источник света. На поверхности воды плавает круглая непрозрачная пластинка таким образом, что ее центр находится над источником света. Какой наименьший радиус R должна иметь эта пластинка, чтобы ни один луч не мог выйти через поверхность воды5
1.	Не понял сути задачи (1).
2	Не понимаю, как может не быть виден свет сверху, если смотреть на него мимо круга (20).
3.	Значение R не получилось (98).
Задача 8. Монохроматический луч падает на боковую поверхность равнобедренной призмы и после преломления идет
341
в призме параллельно основанию. Выйдя из призмы, он оказывается отклоненным на угол 6 от своего первоначального направления. Найти связь между преломляющим углом призмы р, отклонением луча 6 и показателем преломления п.
1. Не знаю, с чего начать решение задачи (27).
2. Формула для п не получилась (60).
Выводы 1 Формула для симметричного хода лучей n = sin[(p+6)/2]/sin(p/2) удобна для определения показателя преломления призмы. Ею часто пользуются практически.
2. Если имеют дело с тонкой призмой (малый угол р) и угол падения луча на симметричную призму мал, так что и угол 6 мал, формула для п может быть упрощена, так как при малом угле a sina^a и, следовательно, n« (p-j-6)/p.
Задача 9. Какова высота предмета (стрелки), стоящего на главной оси линзы на расстоянии g—3/2 f от центра, если его изображение имеет высоту Н = 0,24 см?
1. В формулах теории линзы не могу найти размера предмета и не знаю, как подойти к решению задачи (28).
2. Ход лучей построен, а найти h не могу (61).
Выводы. 1. В ходе решения задачи вы получили полезную формулу, связывающую между собой размеры предмета и изображения и их расстояния до линзы: h/H — g/b.
2. Обратите внимание на то, что вы получили результат, не зависящий от фокусного расстояния линзы.
Задача 10. Плооковыпуклая линза с радиусом кривизны R = 30 см и показателем преломления п=1,5 дает изображение предмета с увеличением Г=2. Найти расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения. Построить чертеж.
1.	Непонятно условие задачи (2).
2.	Не знаю, как приступить к решению задачи (9).
3.	В задаче слишком много неизвестных (29).
4.	Сомневаюсь в правильности построенного чертежа (84).
Задача 11. Между неподвижными предметом и экраном помещена линза с фокусным расстоянием f—16 см, сквозь которую лучи от предмета попадают на экран. Два положения линзы дают резкое изображение на экране предмета. Расстояние между этими двумя положениями 7=60 см. Найти расстояние L от предмета до экрана.
1.	Не могу осмыслить задачу (3).
2.	Не знаю, с чего начать решение задачи (10).
3.	Не могу решить полученные уравнения (39).
342
Контрольные задачи
К2.1. Горизонтальный луч света падает на вертикально расположенное зеркало под углом i. Зеркало поворачивается на угол а около вертикальной оси. На какой угол у повернется отраженный луч?
К2.2. На каком расстоянии от вогнутого зеркала окажется изображение, если предмет (стрелка) находится в фокусе зеркала?
К2.3. Размер мнимого изображения предмета в вогнутом зеркале Н вдвое больше, чем размер предмета h. Расстояние между предметом и изображением 2=15 см. Определить: 1) фокусное расстояние зеркала, 2) оптическую силу зеркала.
К2.4. Предмет (стрелка) находится на расстоянии g=2/3f от центра линзы и имеет высоту h = 0,5 см. Найти высоту изображения.
К2.5. В вогнутом сферическом зеркале, радиус кривизны которого R=40 см, необходимо получить действительное изображение в 0,5 натуральной величины. Где нужно поставить предмет и где получится изображение?
К2.6. Параллельный пучок монохроматического света падает нормально на боковую поверхность призмы, преломляющий угол которой р = 30°. Показатель преломления материала призмы для этого света.п= 1,4. Найти угол 6 отклонения светового пучка.
К2.7. В жидкости с показателем преломления п=1,8 помещен точечный источник света. На каком наибольшем расстоянии h от поверхности можно поместить этот источник, чтобы диск диаметром d = 2 см, плавающий на поверхности, не пропускал лучи из жидкости в воздух?
К2.8. Плосковыпуклая линза с радиусом кривизны R=30 см и показателем преломления п=1,5 дает изображение предмета с увеличением Г=2. Найти расстояние g от предмета до линзы и расстояние b от линзы до изображения. Построить чертеж.
3 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
3.1.	В разделе геометрической оптики мы говорили о независимости действия световых пучков (п. 2.4). Однако в силу волновой природы света этот закон оказывается верен не всегда, что прежде всего обнаруживается в явлении интерференции.
343
3.2.	Плоская монохроматическая волна описывается вектором электрической напряженности, который в данной точке пространства с течением времени изменяется по закону синуса (см. раздел 1). Для простоты изложения будем считать свет плоскополяризованным, так что для его описания достаточно одной составляющей вектора Е.
Пусть в данную точку попадает два монохроматических луча, так что в этой точке происходит сложение двух гармонических колебаний: Ei — ai sin (®t+<pi) и £i = a2 sin(®t+q)2). С помощью формул тригонометрии можно убедиться в том, что в результате получится тоже гармоническое колебание E = Ei4-E2=Asin((ot-j-0), амплитуда А и фаза 0 которого определены следующим образом:
А2= ai2 -f-a22+2aia2 cos (cpi—ф2) ,
tg 0= (ai sin ф1 + а2 sin ф2) / (a; cos ф1+а2 cos ф2).
3.3.	Выражение для А2 показывает, что при наложении двух волн суммарная интенсивность (которая, согласно л. 1.10, пропорциональна А2) не равна сумме интенсивностей волн, а содержит еще член 2а1а2соз(ф1—ф2). Этот член зависит от начальных фаз колебаний <pj и <р2, причем интенсивность принимает значения от A2=(ai—а2)2 при ф1—ф2=(2т-]-1)л (т=0, 1, 2, ...) до А2= (ai-J-a2)2 при ф1—ф2 = 2тл (т= = 0, 1, 2, ...). Сложение колебаний, не являющееся простым суммированием интенсивностей, называется интерференцией
3.4.	Интерференция наблюдается только в том случае, если волны имеют одинаковую частоту, неперпендикулярные векторы Е, постоянную разность фаз (когерентны). В самом деле, если разность фаз ф1—ф2 в формуле для А2 из п. 3.2 изменяется со временем, то в среднем соэ(ф1—ф2) даст нуль и, следовательно, никакой интерференции не будет. Заметим, что для четкой интерференционной картины амплитуды волн должны быть примерно одинаковыми.
Указанные условия обеспечиваются получением двух волн из волны, первоначально испущенной одним источником, путем отражения, преломления или дифракции. Накладываясь, эти волны дают интерференционную картину. Двигаясь разными путями, свет попадает в данную точку, имея, вообще говоря, разные фазы. Так как один луч проходит путь а другой —• /2, разность фаз ф1—ф2=2л/Л(/2—Л).
3.5.	Если лучи проходят через разные среды, существенное значение для разности фаз имеет показатель преломления среды, так как длина волны в среде изменяется.
344
В самом деле, согласно п. 1.4, A=v/v=v/c-c/v=%o/n, где л0— длина волны в пустоте; n = c/v (см. п. 2.11), и тогда Ф1—ф2=2л/Ло(n2Z2—n^i). Оптической длиной пути называется произведение nZ. Оптическая разность хода лучей A=n2Z2—П]/1 и определяет разность фаз: ф1—ф2 = 2л/%оА-
3.6.	Из формул п. 3.3 следует, что минимум интенсивности получается при Д= (2ш-|-1)Л/2, максимум — при А = 2тА,/2, где т=0, 1, 2, ... Таким образом, если постепенно изменять Д, будет соответственно изменяться и интенсивность. Число m называется порядком интерференции.
3.7.	В интерференционной картине обычно наблюдается четкое распределение интенсивности: чередование максимумов и минимумов (полосы интерференции). Интерференционная полоса включает максимум и минимум (или пространство между серединами двух соседних максимумов).
3.8.	Ширина интерференционной полосы может быть определена из опыта Юнга, схема которого приведена на рис 215. Здесь 2/ — расстояние между двумя когерентными источниками Si и S2, D — расстояние от линии, соединяющей источники, до экрана, где наблюдается интерференция. Предполагается, что 2Z<CD и полосы на экране располагаются вблизи центра интерференционной картины, т. е. x<gcD. Разность хода лучей SjM и S2M равна г2—rt (среда — пустота, т. е П1—п2=1). Геометрический расчет показывает, что Д = г2—n~x2Z/D, откуда x = DA/(2Z). Но, по условию максимума интерференционной картины, Д=шХ. Поэтому x=rnA,D/(2Z), где х — положение т=го максимума в интерференционной картине.
Рис. 215
3.9.	Ширина интерференционной полосы, согласно определению, 6x=xm+1—xm=A.D/(2Z), 6x=A,D/(2Z), где % —длина волны света.
345
зло. в задачах на интерференцию требуется строить интерференционную схему и определять ее характеристики.
Общим для всех интерференционных схем является получение двух когерентных источников света из одного посредством различных построений. Добиться когерентности источников можно, например, получая различные действительные или мнимые изображения одного источника. Для этого можно воспользоваться бизеркалами, бипризмами и билинзами.
3.11.	Разберем интерференционную схему, построенную на билинзе Бийе.
Пример 1.
Лучи от источника света (накаленная нить) проходят сквозь разрезанную на две половины собирающую линзу, обе части которой разведены на расстояние С=1 мм. На экране, удаленном от линзы на расстояние L=450 см, видны интерференционные полосы. Определить: 1) ширину 6х интерференционной полосы; 2) число m интерференционных полос на экране; 3) максимальный диаметр нити Ь, при котором еще видна интерференционная картина на экране. Нить находится на расстоянии а = 20 см от линзы, фокусное расстояние линзы f = 10 см, длина волны света Z=500 нм.
Решение.
А.	Прежде чем отвечать на вопросы задачи, нужно построить изображения источника S, а затем определить все элементы интерференционной схемы, о которых будет сказано дальше.
Построение проводим по правилам геометрической оптики. Обе половины билинзы Бийе являются как бы самостоятельными линзами: каждая из них дает свое изображение источника S В результате получается два когерентных источника Si и S2, которые являются действительными изображениями одного и того же источника S (см. п. 3.4). От источников Si и S2 свет распространяется во все стороны, но есть смысл ограничиться некоторыми конусами лучей от Si и S2, лучи которых могут лерекрыться и дать интерференционную картину Заслонка К поставлена для того, чтобы на экран не попадали лучи непосредственно от Источника S. Из чертежа (рис. 216) видно, что конусы лучей раствором большим, чем 2(5, перекрываться не будут ни при каком удалении экрана, так как крайние лучи этих конусов S,B1||S2M., S1N||S2B2.
346
Рис. 216
Б. Область MTN (на чертеже она заштрихована) называется областью интерференции: здесь перекрываются пучки света от Si и S2. Угол SiPS2, под которым сходятся лучи в точке Р на экране, называется углом схождения и обозначается 2W. Реальные лучи SAi и SA2, которые после прохождения линзы сходятся на экране, образуют угол AiSA2= = 2®, называемый апертурой интерференции.
В.	Апертура интерференции и размеры источника влияют на четкость наблюдаемой интерференционной картины. Четкая картина интерференции получается при выполнении условия b^A,/(4 tg2co), где b — ширина источника; 2® — апертура интерференции.
Г. Рассмотрим подробнее построение изображений источника S] и S2 (см. рис. 216).
Для построения изображения источника от верхней половины линзы проводим, как это предполагается в геометрической оптике, два луча- SOi (он проходит без преломления, так как 01 — оптический центр линзы) и SFi (этот луч .после прохождения линзы идет параллельно главной оптической оси SO). Пересечение лучей дает действительное изображение источника S]. Изображение источника S2 получается аналогичным построением в нижней половине линзы. Так как источник S находится на расстоянии a = 2f (в двойном фокусе), то изображения Si и S2 будут находиться на двойном фокусном расстоянии от линзы, т. е. 0R=0S = a = 2f.
Д Запишем формулу для вычисления ширины интерференционной полосы: 6x=%D/(2/).
347
Напомним, что D — расстояние от линии, соединяющей источники (на чертеже линия SiS2) до экрана, т. е. D = RP; 21 — расстояние между источниками, на чертеже 2/=SiS2. Из чертежа найдем RP и S2Si. Запишем еще, согласно условию задачи, следующее: SO = OR = 2f; О1Ог=с. ЛО(5О2~ ~AS(SS2. Тогда SiS2/OiO2=(SO+OR)/SO или, что то же, 2//с= (a-f-2f)/a= (а+а)/а = 2. Расстояние от линии SiS2 до экрана D = RP = L—OR = L—2f—L—a.
Подставив полученные данные в формулу для 6х, найдем: 6x=A,(L—а)/(2с). В результате вычислений получим: 6х=500 • 10-9 (4,5—0,2) / (2 • 10~3) = 1075•10~6(м)~ 1,1 • 10~3(м).
Итак, ширина интерференционной полосы 6х=1,1 мм.
Е. Для определения числа полос интерференции на экране нужно знать область перекрытия лучей. В сечении экраном это MN. Поэтому число полос m=MN/(6x).
фигура SSiTS2 — ромб, образованный взаимно параллельными прямыми: SiT||SS2 и SSil|S2T. Поэтому SR = RT= = 2а, ASiTS2~AM.TN. Следовательно, MN/SiS2 = TP/TR или MN/(2c) = (L—2а)/(2а), т. е. MN = 2c(L—2а)/(2а). Подставив в последнее выражение числовые значения, получим: MN = 2 • 1 (У 3 (4,5—0,4) /0,4—20,5 • 10~3 (м).
Число полос ш —MN/бх; т = 20,5-10-3/(1,1 • 10-3) ~ 18 (полос).
ж. Определим максимальную ширину нити Ь, при которой еще различимы интерференционные полосы. Размеры источника, при которых еще четко видна интерференционная картина, связаны с длиной волны и апертурой интерференции зависимостью bs?O./[4 tg(2co) ]. На чертеже (см. рис. 216) угол AiSA2 и есть апертура интерференции 2® и tgco = = AiO/OS. Из треугольников OAiP и RS(P следует: OA^RS^OP/RP или OAj/RSi=L/(L—a), RSi = S1S2/2 = = 2с/2=с.
Итак,
OA, = Lc/(L—а), или
ОА, = 4,5-10-3/4,3= 1,05-10-3 (м); tg® = 1,05-10~3/0,2 = = 0,00525;
Ь<500• 10-9/(4-0,00525) =2,4-10“5 (м).
3.12.	В примере 1 из п. 3.11 мы видели, что ширина интерференционной полосы связана с расстоянием от линзы до экрана. Однако может быть случай, когда 6х не изменя-
348
-ется при перемещении экрана, т. е. 6x=const. В формуле для 6х из опыта Юнга (см. рис. 215) 2//D~tg(2W) (2W—угол схождения лучей на экране). Углы схождения малы, поэтому tg(2W)«2W, и тогда формула из п. 3.9 может быть переписана так; 6x=A/(2W).
Итак, ширина интерференционной полосы <5х постоянна тогда, когда постоянен угол схождения 2W, что имеет место при перекрывании параллельных пучков лучей.
3.13.	Интерференцию можно наблюдать не только с помощью специальных приспособлений, но и простым глазом (мыльные пузыри, радужная пленка масла на поверхности стекла, воды и т. д.). Пластинки и пленки, на ’ которых можно наблюдать интерференцию, должны быть тонкими.
3.14.	Причина возникновения интерференции в тонких пленках показана на схеме (рис. 217). На пластинку толщиной d падает луч АВ. В точке падения В на пластинку луч
разделяется на два; отраженный BF и преломленный ВС. Часть преломленного луча в точке С отражается от противоположной (поверхности пластинки, попадает в точку D и часть его выходит в воздух по пути DE. Два луча BF и DE когерентны. Если на их пути
1С
поставить собирающее устройство (например, линзу), то	„
они будут интерферировать	ис
Из рис. 217 видно, что оптическая разность хода лучей A = n(BC-f-CD)—GB±A,/2, где п —показатель преломления пленки. Учитывая законы отражения и преломления и простые геометрические соображения, легко показать, что
A=2d]/n2—sin2i±A,/2, где i — угол падения лучей на пленку; X — длина волны падающего света. Относительно члена zEX/2 заметим следующее. При отражении света от оптически более плотной среды возникает дополнительная разность хода, равная Л/2. Подробнее об этом будет сказано в разделе 5.
3.15.	Для получения интерференционной картины (распределения интенсивности) требуется изменение разности хода лучей А. В монохроматическом луче (см. п. 3.14) она зависит от толщины пленки d и угла падения 1. Разли
349
чают два вида интерференции: полосы равного наклона (d = const, i изменяется) и полосы равной толщины (i = const, d изменяется, т. е. пластинка имеет неодинаковую толщину).
3.16.	Примером пластинки неодинаковой толщины является клин (рис. 218). При малом угле а на небольшом участке длины dl клина его можно рассматривать как параллельную пластинку, т. е. для разности хода Д использовать формулу из п. 3.14.
Рис. 218
3.17.	Рассмотрим ход лучей при интерференции на клине. Лучи 1 и 2 от протяженного источника S падают почти нормально на поверхность клина (на рис. 219 угол падения увеличен в десятки раз для наглядности построения). В точке А на поверхности клина разность хода лучей Г и 2' A=2nd cos г±Х/2, где п — показатель преломления материала клина; d — толщина клина в том месте, где наблюдается интерференционная картина; г—угол преломления (угол г мал и cosr=l). Линза L, проектирующая интерференционную картину на экран Э, не изменяет разности хода, и в точке А7 на экране интерференционная картина будет такая же, как в точке А. При визуальном наблюдении таких интерференционных картин роль линзы выполняет хрусталик глаза, роль экрана — сетчатка.
Рис. 219
350
3.18.	Примером интерференционной картины полос равной толщины являются кольца Ньютона. Плосковыпуклая линза с большим радиусом кривизны выпуклой поверхностью обращена к плоскопараллельной стеклянной пластинке и соприкасается с ней в точке В (рис. 220). Параллельный пучок света падает нормально на поверхность KL линзы. Лучи, отражаясь от верхней и нижней граней воздушного промежутка между линзой и пластинкой, интерферируют. Интерференционная картина представляет собой систему чередующихся темных и светлых колец. Вид этих колец, полученных при отражении монохроматического света, показан на рис. 221. В центре находится темное пятно (минимум нулевого порядка). Ширина и интенсивность окружающих его колец постепенно убывают по мере удаления от центрального пятна. В проходящем свете наблюдается картина, называемая дополнительной: центральное пятно светлое, следующее кольцо темное и т. д.
Рис. 220	Рис. 221
Принцип и теория образования колец Ньютона имеют практическое применение, например, для определения толщины тонких пленок. Рассмотрим следующий пример.
3.19.	Пример 2. Установка для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете освещается монохроматическим светом (А,=5-10~7 м), падающим нормально к поверхности пластинки (см. рис. 220). Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено водой. Найти толщину слоя воды между линзой и пластинкой в том месте, где наблюдается третье светлое кольцо.
Решение.
А. Для вывода формулы радиуса светлого кольца сделаем чертеж (рис. 222).
351
Рис 222
Б. Интерферирующие лучи 1 и 2 (см. рис. 220) при условии, что они падают на установку нормально, обладают разностью хода A=2dmn+%/2> где п — показатель преломления (для воды n=l,33); Х/2 — дополнительная разность хода из-за разных условий отражения: луч 1 отражается от менее плотной среды, луч 2— от более плотной (от нижней стеклянной пластинки). Условие максимума светлого кольца A=2mZ/2-
В. Найдем зависимость толщины прослойки dm в месте, где наблюдается светлое кольцо радиусом гт. Для этого обратимся к чертежу (см. рис. 222). Из геометрии известно, что CD2=rm2=AC-CB= (АВ—ВС)ВС. Но так как AB='2R, DE = BC = dm, то rm2=2Rdm—dm2. Здесь R — радиус линзы.
Г. Обычно прослойка между линзой и пластинкой мала, поэтому величиной dm2 по сравнению с dm можно пренебречь. Тогда rm2=2Rdm и dm=rm2/(2R).
Д. Радиус светлого кольца в установке Ньютона характеризуется формулой rm=yRZ(2rn—1)/(^п). Подставив значение гт в выражение для dm, получим: dm=RA,(2m—1)/ (2n2R). В данном случае т=3, следовательно, dm=5Z/(4n). Подставив в эту формулу % и п, найдем: dm=4,7-10-7 м.
Задача 12. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещена тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса сместилась в положение, первоначально занятое пятой, не считая центральной, светлой полосой. Луч падает на пластинку перпендикулярно, показатель преломления пластинки п=1,5, длина волны К=6-10—7 м. Какова толщина пластинки h?
352
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (31).
2.	Неясна физическая картина, описанная в задаче (64).
3.	Не знаю, как воспользоваться данными о смещении светлой полосы (64).
Задача 13. Имеется стеклянная бипризма (две призмы с малым преломляющим углом р, склеенные основаниями). Преломляющий угол бипризмы р = 3'26". Между бипризмой и точечным источником монохроматического света (7,= = 500 нм), который находится на продолжении линии склейки бипризмы, помещена линза таким образом, что на бипризму падает параллельный пучок лучей. 1. Показать, что ширина интерференционной полосы не зависит от расстояния экрана до бипризмы. 2. Определить ширину интерференционной полосы бх. 3. Найти максимальное число полос интерференции N, наблюдаемое при удалении экрана от бипризмы на расстояние L=5 м.
1.	Не знаю, как приступить к решению задачи (4).
2.	Не могу построить интерференционную схему (16).
3.	Не могу найти условие для выполнения бх=const (32).
4.	Значение бх не получилось (40).
5.	Не могу найти место в области интерференции, где значение N максимально (75).
6.	Число N получилось иное, чем в ответе (75).
Задача 14. На толстую плоскопараллельную стеклянную пластинку с п3= 1,5, покрытую очень тонкой пленкой достоянной толщины с п2=1,4, падает нормально пучок параллельных лучей монохроматического света с длиной волны %= = 0,6 мкм. Отраженный свет максимально ослаблен в результате интерференции Определить толщину пленки.
1.	Не понимаю, о каком виде интерференци идет речь: здесь и угол падения задан, и толщина пластинки везде одинакова (5).
2.	Лучи падают нормально, и я не знаю, как изобразить ход лучей в системе (12).
3.	Ответ не получился (24).
4.	Почему в ответе порядок интерференции равен нулю? (105).
Вывод. В этой задаче мы имеем дело с явлением, которое называется просветленной оптикой. На толстое стекло (например, объектив) наносится очень тонкая пленка, показатель преломления которой меньше показателя преломления стекла объектив-а. В результате интерференции в тонкой
23 Заказ 259
353
пленке свет определенной длины волны не отражается и полностью проходит в объектив.
Задача 15. На горизонтальную мыльную пленку (п = = 1,33), находящуюся в воздухе, падает белый свет под углом 45°. При какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи окрасятся в желтый цвет (Z=6-10-5 см)?
1.	Не понимаю описываемое в задаче явление (51).
2.	Сомневаюсь в выражении для разности хода (89).
3.	Ответ не получился (106).
Задача 16. На стеклянный клин нормально к его грани | падает монохроматический свет с длиной волны Z—0,6 мкм. Число интерференционных полос N, ’Приходящееся на Длину 1=1 см, равно 10. Определить угол клина а.
,	1. Не могу понять физическую картину интерференции на
клине (18).
i 2. Не знаю, как записать условия интерференции (52).
3.	Не понимаю, как связать условия интерференции с углом клина а (90).
4.	Значение а не получилось (68).
Задача 17. Установка для наблюдения колец Ньютона в отраженном свете освещается монохроматическим светом, падающим нормально. После того, как пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью, радиус темных колец уменьшился в 1,25 раз. Определить показатель преломления жидкости.
1.	Не знаю, как приступить ж решению задачи (6).
2.	Не знаю формулу радиуса темного кольца (19).
3.	Ответ не получился (108).
4.	Радиусы темных колец найдены, а как сравнить их, не понимаю (69).
Контрольные задачи
К3.1. Во сколько раз увеличится расстояние между соседними светлыми полосами интерференционной картины в опыте Юнга, если зеленый светофильтр (Л.з=5-10~7 м) заменить красным (Zfe = 6,5-10-7) ?
К3.2. На стеклянный клин падает нормально пучок света с длиной волны /.=5,82-1 (К7 м. Угол клина а=20". Какое число темных полос N приходится на длину 1=1 см поверхности клина?
КЗ.З. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом. Наблюдение ведется в отраженном свете. Радиусы двух соседних темных колец равны
354
соответственно 4 и 4,38 мм. Радиус кривизны линзы R=6,4 м. Найти порядковые номера колец и длину волны падающего света.
К3.4. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны А,=0,6мкм, падающим нормально. Найти толщину воздушной прослойки между линзой и стеклянной пластинкой в том месте, где наблюдается четвертое темное кольцо в отраженном свете.
К3.5. Пучок белого света падает нормально на стеклянную пластинку, толщина которой d = 0,4 мкм. Волны какой длины, лежащие в пределах видимого спектра (от 4-10-7 до 7-Ю-7 м), усиливаются в отраженном пучке?
К3.6. Плосковыпуклая стеклянная линза с оптической силой П = 2дп выпуклой стороной лежит на стеклянной пластинке. Радиус четвертого светлого кольца Ньютона в отраженном свете г=0,7 мм. Определить длину световой волны.
4.	Д.ИФРШ1МЯ СВЕТА.
4.1.	Дифракция света наблюдается при распространении света вблизи краев непрозрачных тел, сквозь узкие отверстия и т. д. Дифракционная картина (чередование световых максимумов и минимумов) — результат интерференции световых волн. Различают два вида дифракции — дифракцию Френеля и дифракцию Фраунтгофера.
Рассмотрим дифракцию Френеля, наблюдаемую в сходящихся лучах. В основе ее теории лежит принцип Гюйгенса—Френеля. Пусть из точки S во все стороны распространяется свет. Считая пространство однородным, можно полагать, что на любой сфере с центром S (фронте световой волны) световая картина одинакова. Пусть на некотором расстоянии L от источника света расположена точка наблюдения Р, а где-то между ними — диафрагма с щелью в форме окружности, через середину которой и перпендикулярно плоскости диафрагмы проходит линия, соединяющая точки S и Р. Тогда фронт волны, проходящей через щель диафрагмы, получит форму части сферы фронта волны, ограниченной диафрагмой (рис. 223). Согласно теории Гюйгенса—Френеля, каждая точка фронта волны является источником вторичных волн, дающих интерференционную картину в точке Р. В самом деле, на фронте световой волны фазы колебаний в любой его точке одинаковы. Но так как разные точки фронта
23
355
отстоят от точки Р, вообще говоря, на разное расстояние, то свет от них попадает в точку Р в разное время. Например, если до Р дошел свет от точки О, то в этот же момент до нее дойдет свет не от точки А3, а от точки А3', расположенной на расстоянии PA3Z=PO. Таким образом, в точку Р до. ходят лучи света, имеющие одинаковую частоту, но, вообще говоря, разные фазы (когерентные лучи), что дает интерференцию.
4.2.	Для того чтобы описать картину, получающуюся при условиях, указанных в п. 4.1, удобно разбить волновую поверхность фронта волны «а зоны, построенные таким образом, что разность хода лучей, от симметрично расположенных точек соседних зон, составляет Z/2, т. е. в точку наблюдения волны от этих участков приходят сдвинутыми по фазе на л (в противофазе) На рис. 224 представлена ситуация, когда плоскость диафрагмы перпендикулярна к плос-кости рисунка. На окружности, изображающей фронт волны, возьмем точку Аг, отстоящую от точки А, на таком расстоянии, что путь А2Р оказывается длиннее пути AiP на половину длины волны (А/2). Так как одновременно в точку Р доходит свет от точек А! и A2Z, то находясь в противофазе, колебания гасят друг друга. В силу симметричности картины зоны Френеля ограничены малыми окружностями, имеющими центры на линии SP. Зона 1 ограничена окружностью,
356
Диафрагма
\1х-ФрОНТ волны
^-<72^1 v М~~~ ~
'Ъпна* *Т7	.—'~~~~~~2У^^
Зона 1 у	---— '—•^‘-^
1°	__
'У^вМвГУ--—*—
вГ/Вг	—''''^	Рис. 224
<S/Z^^
проходящей через Аь зона 2 лежит между этой окружностью и окружностью, проходящей через точку Аг и т. д. Нетрудно видеть, что расстояние между точками Ai и А2' меньше, чем между точками О и А/. С удалением от точки О зоны становятся все уже, но вместе с тем окружности, их ограничивающие, увеличиваются. Поэтому площади зон Френеля приблизительно одинаковы. Таким образом, каждой точке зоны 1 соответствует некоторая точка зоны 2, такая, что волны, идущие от этих точек, гасят друг друга. То же будет для зон 3 и 4 и т. д Поэтому если в отверстии диафрагмы укладывается четное число зон Френеля, то в точке наблюдения обнаруживается минимум освещенности. Если число зон Френеля, укладывающееся в отверстии диафрагмы, нечетное, то волна от одной зоны оказывается нескомпенсированной (не погашенной), и в точке наблюдения имеется максимум освещенности.
4.3.	Можно показать, что радиус последней, k-й зоны Френеля, укладывающейся на волновом фронте, описывается выражением rft=ykZab/(а-]-Ь), где к — число зон; a = SO; Ь = ОР (рис. 223).
4.4.	Когда источник света находится далеко от диафрагмы (а^Ь), диафрагмой ограничивается практически плоский фронт волны. Разделив под знаком корня формулы из п. 4.$ числитель и знаменатель на а, получим: гь=УкА,Ь(1+Ь/а). Но, в силу условия Ь<Са, величиной b/а по сравнению с 1 можно пренебречь, и тогда п,=укХЬ.
4.5.	Опыт показывает, что даже при четном числе зон
357
Френеля полное гашение освещенности в точке Р не происходит Это объясняется тем, что амплитуда световой волны зависит не только от расстояния точки наблюдения от источника света, но и от угла между направлением SP и нормалью к поверхности зоны. Поэтому амплитуды волн от зон, расположенных дальше от центра О, несколько уменьшаются, и волна не полностью компенсирует волну ближней зоны.
4.6.	Чтобы разобраться в том, как изменяются амплитуды световой волны в зонах Френеля, удобно воспользоваться графическим методом сложения амплитуд (см. метод векторных диаграмм в гл. 3, п. 8.19).
4.7.	Разобьем зоны Френеля на узкие кольцевые зоны. В первой зоне (центральной) можно выделить, например, шесть подзон (рис. 225). От таких подзон в точку наблюдения Р
Рис 225
будут приходить волны, фаза которых отличается на л/6. Представим колебание, излучаемое каждой подзоной, вектором аг, длина которого равна амплитуде, а угол, который этот вектор составляет с осью Ох, равен начальной фазе колебания (рис. 226). Совокупность векторов аг образует ломаную линию; вектор А, проведенный из начала вектора
358
щ к концу вектора Де, описывает суммарное колебание, получающееся от всех шести подзон. Таким образом, ампли-
туда колебания от зоны 1 Френеля рав-6
на длине вектора А= 2 аг. Если раз-1='1
бить на подзоны зону 2 Френеля, то рис. 226 можно достроить слева и получить диаграмму, показанную на рис. 227. Модуль вектора Ai— амплитуда волны зоны 1, модуль А2—амплитуда волны от зоны 2 Векторы Ад и Д2 направлены прямо противоположно, но вектор А2 несколько меньше вектора Аь так что |А1| — |Д2|=#0. Зоны 1 и 2 не полностью погашают друг друга, поэто
му в точке наблюдения Р остается не- р 22G которая, минимальная освещенность.
Разделив на подзоны остальные зоны Френеля, уклады-
вающиеся в волновом фронте щели, получим новые витки спирали Для бесконечно большого числа зон Френеля (полностью открытый фронт волны) векторная диаграмма представляет собой спираль, витки которой сходятся к центру (рис 228) Здесь ОВ— результирующая амплитуда открытого фронта волны, ОА—амплитуда первой зоны Френеля, OD — амплитуда 1/2 зоны Френеля, ОС—амплитуда 1,5 зоны Френеля. Колебание, приходящее в точку наблюдения от открытого фронта волны ОВ, совпадает по фазе с колеба-
Рги. 227
359
нием от первой зоны Френеля ОА, но имеет амплитуду в 2 раза меньшую (ОВ«1/2ОА). Это подтверждается аналитическими расчетами.
4.8. Дифракция происходит не только в сходящихся, но и в параллельных лучах (дифракция Фраунтгофера). Наблюдение такой дифракции требует применения специальных оптических инструментов.
Положение минимумов освещенности при дифракции от щели, на которую падает нормально пучок параллельных лучей, определяется условием bsinq) = ±mX, m=l, 2, 3, ... , где b — ширина щели; ф— угол, под которым виден тот или иной минимум освещенности (угол дифракции); А— длина волны падающего света; m — порядок спектра.
4.9. Дифракционная решетка — система из большого
числа одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных непрозрачными промежутками, равными по ширине. В дифракционной картине решетки максимумы наблюдаются при выполнении условия dsin<p=±mA,, где d—постоянная дифракционной решетки, равная сумме ширины щели b и ширины непрозрачного промежутка а; ср — угол дифракции. Если число щелей решетки, приходящееся на единицу длины принять равным No, то d— 1/NO.
4.10. Дифракционная решетка, как всякий спектральный прибор, обладает рядом характеристик. Приводим их.
1. Разрешающая способность решетки, которая по-
зволяет различить две длины волны, отличающиеся на ДА в области данных длин волн A: R=A/AA = mN, где m—порядок дифракционного спектра; N — общее число щелей дифракционной решетки.
2. Угловая дисперсия решетки D =
Аф
ДА
Она пока-
зывает, под каким малым углом Дф видны две линии в спектре одного порядка, отличающиеся на ДА. Согласно условию из п. 4.9, ЛА/Дф—Д (d/m sin ф)/Дф. В силу малости ДфХ ХДА/Дф= Таким образом, ДА/Дф— — cos ср, откуда Дф/ДА = т/(й cos ф). Следовательно, В = ш/(бсозф).
3. Линейная дисперсия D* дифракционной решетки — это величина Д//ДА, которая показывает, на каком расстоянии Д/ видны на экране две линии в спектре одного порядка, отличающиеся на ДА. Так как линза ставится вблизи
Э60
решетки, а экран находится в фокальной плоскости (рис. 229), Дф=Д//{, т. е. Д/=1Дср. Учитывая последнее равенство, имеем: D* = A//AZ=A<pf/AZ=Df.
Задача 18. Свет от монохроматического источника (А,=0,6 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием. Диаметр отверстия 6 мм. За диафрагмой на расстоянии 3 м от нее находится экран. Определить: 1) сколько зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы; 2) каким будет центр дифракционной картины на экране.
1.	Не знаю, как найти а (128).
2.	Ответ на вопрос 1 не получился (160).
3.	Не знаю, как ответить на вопрос 2 (172).
Задача 19. Диск из стекла с показателем преломления п=1,5 закрывает от наблюдателя, находящегося в точке Р, полторы зоны Френеля. Длина волны падающего света 7.=0,6 мкм. Определить, при какой минимальной толщине h диска освещенность в точке Р будет максимальной. Фронт волны когерентных лучей плоский.
Указание. Задачи подобного типа аналитически решать довольно трудно. Поэтому для решения следует применить графический метод.
1.	Смысл задачи непонятен (111).
2.	Не ясна схема наблюдения дифракции (126).
3.	Не могу применить графический метод сложения амплитуд (161).
4.	Не понимаю, для чего поставлен стеклянный диск (149).
5.	Значение hmin получилось иное, чем в ответе (198).
Задача 20. На щель шириной Ь = 20 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны Z=5-10~5 см. Вблизи щели находится собирающая
361
линза. Экран, удаленный от щели на расстояние Z=1 м, находится в фокальной плоскости линзы. Найти ширину изображения щели на экране. Шириной изображения считать расстояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными слева и справа от центрального максимума.
Указание. Прежде чем приступить к решению задачи, попытайтесь представить себе, каким будет йзображение щели на экране, четким или нет, и почему. Попытайтесь нарисовать его. Только после этого следует приступать к расчету дифракционной картины.
1.	Не ясна картина на экране (П2).
2.	Не понимаю, как определить ширину дифракционного максимума (150).
3.	Не знаю, как определить угол дифракции (199).
Задача 21. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок монохроматического света (А,—0,5 мкм). Помещенная вблизи решетки линза проектирует дифракционную картину на экран, находящийся в фокальной плоскости линзы и удаленный от нее на расстояние 1=1 м. Расстояние между двумя максимумами первого порядка на экране х=20,2 см. Определить: 1) постоянную решетки d, 2) число штрихов No на 1 мм, 3) общее число максимумов ш, которое дает решетка, 4) угол <р, под которым виден последний максимум.
Указание. Прежде чем начинать решать задачу, вспомните, как работает дифракционная решетка. Что это за прибор? Как он устроен? Какая картина получается на экране, если на решетку падает монохроматический свет? Если вы можете ответить на эти вопросы, приступайте к решению задачи, если нет, обратитесь к п. 4.9 или к соответствующей литературе.
1.	Принцип действия дифракционной решетки знаю, но не могу представить себе дифракционную схему в данном случае (ИЗ).
2.	Знаю условие максимума для дифракционной решетки, но не могу применить его к решению задачи (129).
3.	Не могу определить угол дифракции ф (151).
4.	Не знаю, как определить общее число максимумов дифракционной решетки (213).
Задача 22. Чему равна постоянная дифракционной решетки, если она может разрешить в первом порядке линии спектра калия Zi = 4044-10-10 м Z2=4047-10-10 м? Ширина решетки 1=3 см.
362
Указание. Прежде чем решать задачу, вспомните что такое разрешающая способность спектрального прибора, в том числе дифракционной решетки, от чего она зависит, каким критерием определяется.
1.	Не понимаю определения разрешающей способности решетки (114).
2.	Не могу найти постоянную решетки d (140).
3.	Не могу вычислить число штрихов решетки (165).
Задача 23. Угловая дисперсия дифракционной решетки для л = 6,68-10-7 м в спектре первого порядка равна 2,02-105 рад/м. Найти период дифракционной решетки d и линейную дисперсию D'1' (в мм/м), если фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экран, f=40 см,
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (115).
2.	Формулу угловой дисперсии знаю, но не могу определить из нее d (130).
3.	Не понимаю, как определить угол дифракции (141).
4.	Значение D* получилось неправильное (166).
5.	Не знаю, как использовать значение А, (202).
Задача 24. Какое фокусное расстояение f должна иметь линза, проектирующая на экран спектр, полученный при помощи дифракционной решетки, чтобы расстояние между двумя линиями калия A,i=4040-10~10 м и ^2=4047-10-10 м в спектре первого порядка Д/=0,1 мм? Постоянная решетки равна 2 мкм.
1.	Не могу представить дифракционную картину на экране (116).
2.	Знаю формулу линейной дисперсии, но не понимаю, как ее использовать для нахождения f (142).
3.	Затрудняюсь определить изменение угла дифракции (154).
4.	Числовое значение f получилось иное, чем в ответе (179).
Контрольные задачи
К4.1. Вычислить радиусы первых пяти зон Френеля, если расстояние от источника света до волновой поверхности равно 1 м, расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения также равно 1 м, Л.=5-10~7 м.
К4.2. Вычислить радиусы первых пяти зон Френеля для плоской волны. Расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения равно 1 м, А,=5-10~7 м.
К4.3. На круглое отверстие радиусом 1 мм в непрозрач
363
ном экране падает нормально параллельный пучок света с длиной волны 0,5 мкм. На пути лучей, проходящих через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние от отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.
К4.4. На щель шириной 0,05 мм падает нормально монохроматический свет (Х=0,6 мкм). Определить угол отклонения лучей, соответствующих четвертой темной дифракционной полосе.
К4.5. На щель шириной 0,1(-(м нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника с длиной волны Z= 0,6 мкм. Определить ширину центрального максимума в дифракционной картине, проектируемой линзой, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от линзы на расстоянии L=1 м.
К4.6. Определить длину волны Zi спектральной линии, изображение которой, даваемое дифракционной решеткой в спектре третьего порядка, совпадает с изображением линии /,2=4861  Ю-10 м в спектре четвертого порядка
К4.7. Дифракционная решетка имеет 200 штрихов на 1 мм длины. На решетку падает нормально монохроматический свет (А,=0,6 мкм). Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка?
К4.8. Подсчитать разрешающую способность решетки с периодом 2,5-10~4 ем и шириной 1=3 см в спектрах первого и четвертого порядков
К4.9. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Красная линия М = 6300-10—10 м видна в спектре третьего порядка под углом ср = 60°. 1. Какая спектральная линия видна под этим же углом в спектре четвертого порядка? 2. Какое число штрихов на I мм длины имеет решетка? 3. Чему равна угловая дисперсия решетки для %! = 6300-10-10 м в спектре третьего порядка?
5.	ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
5.1.	До сих пор, рассматривая условия и закономерности распространения электромагнитной волны в различных средах, мы предполагали, что среды эти изотропны, т. е. скорость света в них не зависит от направления распространения волны и от состояния ее поляризации (см. п. 1.6—1.10). При обычных условиях газообразные, жидкие и твердые аморфные диэлектрики оптически изотропны. Этого нельзя сказать о кристаллических диэлектриках.
364
В кристалличесих телах свойства элетромагнитной волны, в частности, ее скорость, зависят от направления распространения, т. е. кристаллические диэлектрики оптически анизотропны.
5.2.	При падении света, даже нормальном, на кристалл исландского шпата узким пучком возникают два луча (двойное лучепреломление) — обыкновенный о н необыкновенный е (рис. 230). У необыкновенного луча показатель преломления пе зависит от направления распространения света в кристалле и от угла падения света на него. Показатель преломления обыкновенного луча по не зависит ни от угла падения луча на кристалл, ни от направления, по которому луч распространяется в кристалле.
5.3.	Если в кристалле пе<л0 (что соответствует ve>v0, согласно п. 2.11), кристалл называется отрицательным, если Пе>по (ve<Vo), — ПОЛОЖИтеЛЬНЫМ.
5.4.	В каждом кристалле существует направление (одно или два), в котором отсутствует двойное лучепреломление, т. е. пй=п„. Это направление называют оптической осью кристалла. В предлагаемых задачах речь будет идти лишь об одноосных кристаллах.
5.5.	Лучи, обыкновенный и необыкновенный, кроме показателей преломления отличаются еще и поляризацией: они поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. рис. 230).
Напомним, что плоскость, параллельно которой колеблется вектор Ё, называется плоскостью колебаний, а плоскость, проходящая через тот же луч перпендикулярно к ней, плоскостью поляризации. Плоскость, проходящая через луч и оптическую ось кристалла, пересекающую луч, называется главным сечением (плоскостью) кристалла.
5.6.	Естественный свет, который излучается атомами с произвольной ориентацией, неполяризован. Для того чтобы свет стал поляризованным, нужно или создать особые ус
365
ловия для его испускания, или изменить свойства естественного света с помощью специальных устройств.
5.7.	На границе раздела двух сред часть световых лучей отражается, остальные лучи преломляются. Отраженный и преломленный лучи частично линейно поляризованы. В отраженном луче колебания происходят преимущественно перпендикулярно к плоскости падения, в преломленном луче — в плоскости падения (рис. 231). Степень поляризации зависит от угла падения.
Рис. 231
5.8.	Если угол падения равен поляризационному углу (углу Брюстера), то отраженный луч полностью поляризован (линейно), а отраженный и преломленный лучи составляют угол 90° (рис. 232). Поскольку sin tpi/sin фг=п и ф1+ф2=90°, так что sin ф2=э1п(90°—ф1)=С05ф1, то выполняются формулы Брюстера: 1§ф1 = п и <р1+ф2—90°.
5.9.	Одним <из приборов, служащих для получения поляризованных лучей (поляроиды), является призма Никбля (николь).
366
Призма Николя — это кристалл исландского шпата, передние грани которого отшлифованы под определенным углом; кристалл распилен и склеен канадским бальзамом (рис. 233). Луч обыкновенный отведен, а необыкновенный — линейно поляризован (вектор Е лежит в плоскости главного сечения поляроида).
Рис. 233
5.10.	Поляроиды служат не только для получения поляризованного света, но и для распознавания степени поляри-зованности света (полностью ли он поляризован, или это смесь света поляризованного и естественного и т. д.). В этом
случае их называют анализаторами.
5.11.	Если на поляроид, например призму Никеля, падает поляризованный свет, то через него проходит только та его часть, которая соответствует проекции вектора Ё на
главное сечение поляроида.
Определим интенсивность выходящего из поляроида све та. Пусть плоскополяризованный свет с интенсивностью I па
дает на поляроид, примем угол между плоскостью колебаний вектора Ё в падающем луче и плоскостью главного сечения поляроида равен ср (рис. 234). На рис. 234 точка О — выход оптической оси кристалла (оптическая ось проходит перпендикулярно к плоскости чертежа), ОВ — след главного сечения поля
роида; плоскость главного сечения также перпендикулярна к плоскости чертежа, ОА—след от плоскости колебаний падающего луча. Поляроид может пропустить только колеба
367
ния, параллельные его главному сечению, т. е. составляющую вектора Е падающего луча, лежащую в плоскости главного сечения. Обозначив эту составляющую Еи, получим: E|| = Ecoscp. Перпендикулярная компонента E_i_ полностью задерживается поляроидом. Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды (см. п. 1.10), 1 = Е2, а интенсивность (после выхода луча из поляроида) Ii = E2ii, то Ii = E2 соэ2ф=1 соэ2ф. Интенсивность I поляризованного света, падающего на поляроид с интенсивностью света, вышедшего из поляроида Ij, связаны формулой Е = = 1соз2ф (закон Малюса).
5.12.	Таким образом, если естественный свет прошел сквозь поляризатор, после чего в нем осталась только компонента с определенным направлением колебания, то в зависимости от ориентации анализатора поляризованная компонента или проходит через него полностью или частично, или при скрещенном положении поляризатора и анализатора (ф=90°) полностью задерживается.
5.13.	Поведение составляющих вектора Е при отражении света от диэлектрика или преломлении в нем описываются формулами Френеля, которые представляют собой зависимость амплитуды отраженной и преломленной волн от амплитуды падающей волны, угла падения ф1 и угла преломления ф2.
Для компоненты ЕГ1
(Е10) п = tg(<pi—<p2)/tg(epiЧ-ф2) (Еоо) и,
(Его) и — 2 sin ф2соз ф1/[зт(ф1+ф2)соз(ф1—ф2)] (Е00) и-
Здесь Ею — амплитуда отраженной волны; Е20—амплитуда преломленной волны; Еоо—амплитуда падающей волны.
Для компоненты E_l.(Eio)_i_=—sin(cpi—ф2)/з1п(ф1-)-ф2)X X(Eoo)_i_, (Е20)_1_==2 sin ф2 cos ф1/з1п(ф1+ф2) (Е0о)-ы.
5.14.	Оценим интенсивности перпендикулярной и параллельной компонент. Согласно п. 1.10, интенсивность 1 = Е2. Если падает естественный свет, то интенсивность падающей волны 1= (Еоо)2= (Eoo)ll2+(Eoo)-L-2. Учитывая, что все направления вектора Е равноправны и (Е0о) 11= (Eoo)_i_, получим: 1 = 2(Еоо) и2—2(Еоо)л_2-
5.15.	Интенсивность отраженной волны с учетом изложенного -в п. 5.14
1ю = I/2[sin2 (cpi—q)2)/sin2 (ф1Д-<р2) Д-'tg2 (ф1—ф2)/(tg2 (<Р1Ч-<Р2Ж где I — интенсивность падающей волны.
368
5.16.	Формулы Френеля позволяют вычислить коэффициент отражения: R = I10/I00= (Е10)2/(Еоо)2, и коэффициент пропускания: T=I2o/Ioo=n2/ni (Его/Еоо)2.
5.17.	Частично поляризованный свет характеризуется степенью поляризации: Д = и)/И) 100%. Здесь 1ц — интенсивность параллельной компоненты, присутствующей в волне; I_j_—интенсивность перпендикулярной компоненты. Поскольку в естественном свете 1ц = 1д_, степень его поляризации Д = 0. В линейно поляризованном свете, где присутствует только одна компонента (параллельная «ли перпендикулярная), Д=100%.
5.18.	Приводим пример использования формул Френеля для описания процесса отражения света от диэлектрика.
Пример 3. Определить коэффициент отражения от стекла (п=1,5) при падении на него луча света под углом полной поляризации, если: а) свет естественный, б) свет поляризован в плоскости падения.
Решение.
Естественный свет можно представить как сумму двух плоских волн, распространяющихся в одном направлении, с одинаковой фазовой скоростью, но поляризованных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Фазы обоих лучей непрерывно и хаотически изменяются (см. п. 5.6). Оба луча не связаны друг с другом (не когерентны) и, следовательно, не интерферируют. Формально же можно считать, что усредненный вектор Ё электромагнитной волны имеет две составляющие: Ен — проекцию вектора Ё на плоскость, совпадающую с плоскостью падения, и Е_ы—проекцию вектора Ё на плоскость, перпендикулярную к плоскости падения. Согласно п. 5.14, I00=2i(E0o) J-2.
Найдем коэффициент отражения Ro для случая а.
По условию задачи, дц —угол полной поляризации, т. е., согласно п. 5.7, tgcpi = n и ф1+фг=л:/2. Из формул Френеля видно, что в отраженной волне отсутствует параллельная компонента (Ею) и. В самом деле, согласно п. 5.13, нужно вычислить отношение tg(<pi—фг)/tg (<pi+<р2) =tg(<pi—<р2)/ tg(n/2). Так как tg(n/2)=oo, то (Ею)ц = 0. Таким образом, в отраженном свете присутствуют колебания, только перпендикулярные к плоскости падения, т. е. 1ю= (Ею)-ь2. Так как loo = 2 (Еоо) _1_2, то Ra= (Ею) —i—2/[2(Еоо) _t_2]  Ra=sin2 (<pi~ср2) X >< (Еоо)-L2/[sin2 (Ф1Ч-Ф2) 2(Еоо)-L-2] = 1/2 sin2(q)i—<р2), так как Ф1+'ф2 = л:/2.
Преобразуем формулу Ra так, чтобы вместо углов ф1 и
24. Заказ 259
369
<рг ввести показатель преломления л. Очевидно, это можно сделать, используя формулу Брюстера. Следовательно, нужно выразить sin2(cpi—<рг) через tgqn, помня, что ф1+ф2=л/2. Воспользуемся следующей цепочкой тригонометрических равенств:	Ra = l/2sin2(cpi—ф2) = 1/2э1п2(ф1—л/2+ф1) =
= 1/2 sin2 (2ф!— л/2) = 1/2 cos2 (2ф1). По формуле из М1.7, cos2a= (1—tg2a)/(l+tg2a), тогда Ro= 1/2[(1— tg^i)/(l + +tg^i)]2. Но tgфl = n, следовательно, в окончательном виде Ra= 1/2[(1—п2)/(1+п2)]2. Подставив в эту формулу значение п=1,5, получим Ra~0,074.
Найдем коэффициент отражения R6 для случая б.
Согласно условию задачи, свет поляризован в плоскости падения, т. е. в падающем свете есть только перпендикулярная компонента (Eoo)-l. и I0o=,(E0o)_i_2. Для отраженного света сохраняются условия, описанные для случая а, т. е. 11о= (Е10)д_2. Следовательно, Re = 1ю/1оо= (Ею)—<-2/ (E00)_i_2. Сравнивая выражения для Ra и Re, замечаем, что они отличаются только множителем 1/2. Поэтому
R6 = sin2^i—ф2) = [(1—п2)/(1+п2)]2 и Re «0,148.
Задача 25. Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, были наиболее полно поляризованы? Показатель преломления воды п=1,33.
1.	Ответ получился неправильный (123).
2.	Не знаю, как приступить к решению задачи (168).
Задача 26. Луч света проходит через жидкость, налитую в сосуд из стекла (nj = l,5) и отражается от его дна. Отраженный свет полностью поляризован при падении его на дно под углом ф1 = 42°37'. Найти: 1) показатель преломления жидкости п2, 2) угол ф2, под которым должен падать на дно сосуда луч света, идущий в этой жидкости, чтобы наступило полное внутреннее отражение.
1.	Значение п2 не совпадает с ответом (169).
2.	Неясно, как искать п2 (132).
3.	Не понимаю, как найти ф2 (143).
Задача 27. Два николя Ni и N2 расположены друг за другом так, что угол между их главными сечениями а=60°. Как изменится интенсивность света после прохождения: 1) через первый николь Ni, 2) через систему двух николей Ni и N2? Потерями на отражение и поглощение пренебречь.
1. Ответ не получился (205).
2. Ход решения неясен (193).
370
Задача 28. Естественный свет проходит через поляризатор (николь Ni) и анализатор (николь N2), поставленные так, что угол между их главными плоскостями равен а. Как поляризатор, так и анализатор поглощают и отражают 8% падающего на них света. Интенсивность света, вышедшего из анализатора, составляет 9% интенсивности света, падающего на поляризатор. Определить угол а.
1. Ответ не получился (133).
2. Ход решения неясен (182}.
Задача 29. Определить коэффициент отражения естественного света, падающего на стекло (п=1,54) под углом полной поляризации. Найти степень поляризации лучей, прошедших в стекло. Поглощением света пренебречь.
1.	Не знаю, с чего начать решение задачи (118).
2.	Значение R получилось иное, чем в ответе (158).
3.	Значение А получилось неправильное (183).
4.	Не знаю, как найти коэффициент отражения (121).
5.	Не могу определить степень поляризации (174).
6.	Величина А получилась отрицательной (210).
Задача 30. Определить: 1) коэффициент отражения и степень поляризации отраженных лучей при падении естественного света на стекло (п= 1,5) под углом 45°; 2) степень поляризации лучей, прошедших в стекло. Поглощением света пренебречь.
1.	Не получился коэффициент отражения (171).
2.	Степень поляризации отраженного света иная, чем в ответе (177).
3.	Не могу найти правильное значение степени поляризации прошедшего света (212).
4.	Не знаю, как приступить к решению задачи (119).
5.	Не понимаю, как вычислить коэффициент отражения
Контрольные задачи
К5.1. Предельный угол полного внутреннего отражения для некоторого вещества равен 45°. Чему равен для этого вещества угол полной поляризации?
К5.2. Чему равен показатель преломления стекла, если при отражении от него света отраженный луч будет полностью поляризован при угле преломления 30°?
К5.3. Главные плоскости двух призм Николя образуют между собой угол 30°. Как изменится интенсивность прошед
24*
371
шего сквозь них света, если главные плоскости поставить под углом 45°?
К5.4. Чему равен угол между главными плоскостями двух поляроидов, если интенсивность естественного света, прошедшего через них, уменьшилась в четыре раза? Поглощением света пренебречь.
К5.5. Во сколько раз уменьшается интенсивность света, проходящего через две призмы Николя, главные плоскости которых составляют угол 30°, если в каждом из николей теряется 10% интенсивности падающего света?
К5.6. 1). Найти угол полной поляризации для света, отраженного от стекла с показателем преломления п=1,5. 2). Найти степень поляризации преломленного света. Падающий свет —- естественный.
К5.7. Естественный свет падает под углом Брюстера из воздуха на поверхность стекла с показателем преломления п=1,5. Найти интенсивность 110 отраженного света, приняв интенсивность падающего света за единицу. Падающий свет — естественный.
ОТВЕТЫ НА. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
К2.1. 2а.
К2.2. оо.
К2.3. f=О,1 м; D= 10 диоптрий.
К2.4. 1,5 см.
К2.5. g=0,6 м; Ъ = 0,3 м.
К2.6. «14°30'.
К2.7. 1,5 см.
К2.8. g=90 см, Ь—180 см.
К3.1. 1,3 раза.
К3.2. 5.
КЗ.З. m = 5, fn+l=6, А.=5-10-7 м.
К3.4. 1,2 мкм.
К3.5. 4,8-10-7 м.
К3.6. 5,6-10-7 м.
K4.L. Г1 = 0,5 мм; г2=0,71 мм; г3=0,86 мм; г4=1 мм Г5= 1,12 мм.
К4.2. п = 0,71 мм; г2—1 мм; гз=1,23 мм; г4= 1,42 мм г5= 1,5*9 мм.
К4.3. 1 м.
К4.4. 2°45'.
К4.5. 1,2 см.
К4.6. 6481-10~10 м.
К4.7. 8.
К4.8. 12 000; 48 000.
К4.9. 7,2 = 4725-10“10 м; N0=460 мм; D = 2,76-104 рад/см
К5.1. 54°44'.
К5.2. 1,73.
К5.3. It/I2=3/2.
К5.4. 45е.
К5.5. В 3,3 раза.
К5.6. ф^ббЛЭ'; Д = —-0,08.
К5.7. 0,074.
РЕКОМЕНДАЦИИ К ЗАДАЧАМ гл. 4
РЕКОМЕНДАЦИИ 1—109 К ЗАДАЧАМ 1—17
1.	Вы забыли о явлении полного внутреннего отражения? Посмотрите п. 2.12. Теперь понятно, почему свет не может пройти сквозь поверхность воды? Если да, подумайте, как это зависит от радиуса пластины, если нет, обратитесь к р. 8.
2.	Плосковыпуклая линза — собирательная, так что к ней применимы все рассуждения п. 2.19—2.33. Согласно п. 2.33, здесь радиус плоской поверхности R2 = oo; Г — увеличение предмета, означает отношение размера изображения к размеру предмета (в предыдущих задачах H/Н). Остальное должно быть понятно из предыдущего. Если вы все же не знаете, с чего начинать решение, обратитесь к р. 9.
3.	Чтобы легче понять, о чем идет речь в задаче, лучше сделать чертеж, Изобразите на нем все, о чем сказано в условии задачи, и сравните с приведенным в р. 10.
4.	Для того чтобы осмыслить задачу, нужно понять, как расположены разные оптические системы и хотя бы примерно представить себе, как может возникнуть интерференционная картина. Затем надо подумать, какие особенности этой картины указаны в задаче. При таком размышлении, кстати, должно выясниться, что требуется вспомнить, какие разделы повторить, решение каких задач пересмотреть и т. д. Вы хорошо помните геометрическую оптику? Если не очень, наметьте пункты, которые необходимо повторить. Когда все, что нужно, припомните, стройте ход лучей в системе. Если осмыслить задачу не удалось, посмотрите р. 11.
5.	Вы правильно поняли условие: в описанной ситуации не наблюдаются полосы интерференции. Однако интерференция есть, и проявляется она в том, что при одной толщине пленки отраженные лучи усиливаются, при другой — ослабляются. Вам нужно найти ту толщину пленки, при которой они ослабляются максимально. Теперь вы поняли, какой вид интерференции здесь имеет место? Если да, то, пользуясь соответствующими формулами, найдите d, если нет, посмот
374
рите р. 17. Формулу для d можно проверить в р. 24, если не знаете, как ее найти, обратитесь к р. 33.
6.	Если вы вспомните пример 2, то догадаетесь, что разность хода между лучами изменится, так как оптическая длина пути зависит от среды, в которой идет луч. Попробуйте дальше действовать самостоятельно, помня, что ваша цель — сравнение радиусов темных колец. Если все же ход решения неясен, посмотрите р. 53.
7.	Вы сделали чертеж? Не забудьте, что углы падения и преломления отсчитываются от вертикали. Если разобраться в задаче трудно, перечитайте еще раз п. 2.14.
8.	Сделайте рисунок сосуда с водой и изобразите ход лучей от источника. Проверьте его в р. 13.
9.	В подобных задачах можно использовать формулу из п. 2 32. Однако все три величины здесь неизвестны. Начните с отыскания фокусного расстояния. Проверить формулу для f можно в р. 14.
10.	Попробуйте найти условия, связывающие между собой изображенные величины (рис. 235). Если вас это затрудняет, посмотрите р. 15.
Рис. 235
11.	Для того чтобы понять, что надо определять в первую очередь, сделайте чертеж, на котором будут различные элементы интерференционной схемы (2W, область интерференции и т. д.). Если вы построили чертеж, проверьте его в р. 16, если нет, прочитайте р. 109.
12.	Вы правы. Начертить ход лучей при нормально падающем свете сложно. Поэтому для прояснения картины нужно сначала посчитать лучи падающими под некоторым углом i, а затем в окончательных формулах положить i = 0. Помните рис. 217? Его полезно иметь перед глазами при рассуждениях.
375
Заметим, что при нормальном падении лучи, отраженные от верхней и нижней поверхностей, идут по одной вертикали, так что устройства для схождения лучей не требуется.
13.	Условие задачи можно представить такой схемой (рис. 236). Теперь вспомните, что лучи от точечного источника исходят радиально во все стороны и попробуйте связать это обстоятельство с явлением полного внутреннего отражения. Дальше рассуждайте самостоятельно. В крайнем случае обратитесь к р. 20.
Рис 236
14.	f=R/(n—1). Если вы получили иное выражение, посмотрите р. 21.
15.	Если бы вы определили gi и bi или g2 и Ь2, то нашли бы и L. Величины g и b входят в формулу для линзы из п. 2.32. Кроме того, следует использовать геометрические соотношения. В результате вы должны получить систему уравнений, которая легко решается. Если вы ее не получили, посмотрите р. 22, если система получена, проверьте ее в р. 30.
16.	Если ваше построение иное, чем на рис. 237, по
лис 237
376
смотрите р. 104, если верно, вспомните, каковы условия независимости ширины интерференционной полосы от положения экрана, и из чертежа найдите угол схождения лучей. Если условие неясно, посмотрите п. 3.12, если не можете найти схождение лучей, обратитесь к р. 23.
17.	По условию, толщина пленки всюду одинакова. Поэтому в данном случае интерференция полос равного наклона. Выполняется условие п. 3.15 при строгом равенстве sini=0. Только не забудьте, что под пленкой находится среда, оптически более плотная, чем пленка. Если неясно, какую роль играет последнее замечание, посмотрите р. 66.
18.	Для того чтобы понять ход лучей в клине, надо сделать чертеж. Как и в задаче 14, нужно сначала предположить, что лучи падают под некоторым углом i, а в окончательной формуле положить i = 0. Сделайте чертеж. Проверить рассуждения можно в р. 34.
19.	В примере 2 выведена формула для радиуса светлого кольца. Вам же нужно исследовать смещение темных колец. Поэтому найдите сначала формулу для радиуса темного кольца. Если нашли, проверьте формулы в р. 91, если нет, обратитесь к р. 35.
20.	Источник света S не будет виден, даже если пластинка его не загораживает, вследствие полного внутреннего отражения. Это произойдет, когда лучи, падающие на края пластинки, будут идти под предельным йли большим углом (см. п. 2.12). Нарисуйте сосуд и проведите луч от S к краю пластинки. Если можно определить, какой угол составляет этот луч с вертикалью, легко будет найти R. Если вы не поняли, как сделать чертеж, посмотрите р. 26, если не знаете, как найти предельный угол, — р. 38.
21.	Фокусное расстояние f легко определить из формулы для оптической силы линзы (см. п. 2.33).
22.	Два уравнения для разных положений линзы можно составить из приведенных в п. 2.32, еще два — с учетом условия постоянства расстояния между предметом и экраном, одно — с учетом заданного расстояния между положениями линзы. Запишите эти уравнения и проверьте их в р. 30.
23.	В каком бы месте области интерференции ВМВ'М' мы ни поместили экран, любые два луча, выходящие нз верхней и нижней половинок бипризмы, сойдутся под углом 2W=26. Теперь ясно, почему Ах не зависит от положения экрана? Если да, отвечайте на второй вопрос, если нет, посмотрите р. 32.
377
24.	d== (2m4-l)h/(4n2). Если вы получили иное выражение, прочитайте р. 66.
25.	Вы использовали равенство sini/sinr=n? В данном случае п—-показатель преломления стекла. Теперь нашли г? Нужно воспользоваться тригонометрическими таблицами. Сравните ваш результат с приведенным в р. 37.
26.	В треугольнике SOA (рис. 238) известны угол <р0 и высота h. Поэтому искомый радиус R = h tg <p0. Остается найти tg фо- Если не ясна идея нахождения <р0, еще раз посмотрите п. 2.12, в крайнем случае обратитесь к р. 38. Если выражение для отыскания фо нашли, а перейти к tg<p0 не можете, прочитайте р. 59.
Рис. 238
27.	В задаче считаются заданными показатель преломления п, преломляющий угол р и угол отклонения луча 6. Кроме того, указано, что в симметричной призме луч шел параллельно ее основанию. Это последнее условие определяет соотношение между углом падения <pi и углом выхода луча из призмы <р4. Сделайте чертеж, и вы поймете, каково это соотношение. Проверить ваше заключение можно в р. 45.
28.	Когда вы начинаете решать задачу, не следует бездумно подбирать формулу, в которую входит искомая величина. Нужно рассуждать логически. В данном случае прежде всего нужно сделать чертеж, отметить на нем известные величины и посмотреть, что мешает сразу определить искомое. Итак, сделайте чертеж, а потом посмотрите, какими соотношениями удобно воспользоваться. Если вы не уверены в правильности чертежа, обратитесь к р. 46.
29.	Вы пробовали применить формулу из п. 2.32? Эю необходимо, особенно в том случае, если вы определили: f (если нет, посмотрите р. 21). Но вам нужно еще одно уравнение, из которого можно >было бы найти связь между b и g. Если не догадываетесь, о чем идет речь, прочитайте р. 47.
378
30.	l/f= 1/gi+l/bi; l/f= l/gs+l/bz’, bi+gi — L; b2+g2= = L; b2—bi — l (или gi—g2=Z) (последнее видно из чертежа). Получилось пять уравнений. Но и неизвестных у нас пять, так как в уравнения входят gb bi, g2, b2 и L (f ,и l заданы). Теперь решайте уравнения. Если решение не получается, посмотрите р. 48.
31.	Вы вспомнили, в чем заключается классический опыт Юнга? Если нет, еще раз прочитайте п. 3.8, а затем приступайте к решению задачи. Продумайте, почему произошло смещение интерференционной картины. Записав формулу для разности хода интерферирующих лучей, найдете h, если известен порядок интерференции (см. и. 3.6). Если ответ не получился, проверьте общую формулу в р. 49.
32.	Условие 6х=const выполняется при X/(2W) = const. Но угол 6 постоянен, следовательно, 2W=const. Если неясна связь между 2W и 6, обратитесь к р. 23.
33.	Толщина пленки связана с оптической разностью хода лучей соотношением из п. 3.14 при условии i = 0. Однако это соотношение получено для тонкой пластинки (пленки), к которой с обеих сторон прилегает воздух (оптически менее плотная среда). В данном случае Пз>п2>П1, где п2 — показатель преломления пленки. Теперь ясно, как ведет себя член Z/2? Если нет, прочитайте р. 66.
34.	Так как угол клина очень мал, на небольшом участке, на котором происходит интерференция данного луча, картину можно считать такой же, как в плоскопараллельной пластинке (с учетом замечания из и. 3.17). Однако даже при одинаковых углах падения лучей в разных участках клина интерференция будет разной, так как толщина клина неодинаковая. Интерференционная картина представляет собой чередующиеся темные и светлые полосы, параллельные ребру клина (полосы равной толщины). Понимаете теперь, что нужно делать дальше? Если необходимо, прочитайте р. 52.
35.	Радиус темного кольца в отраженном свете на установке для получения колец Ньютона r=ymXR/n, где m — номер кольца (темного); R— радиус линзы, применяемой в установке; п — показатель преломления среды, заполняющей пространство между линзой и пластинкой. Если такая формула у вас не получилась, обратитесь к р. 53.
36.	Пересмотрите еще раз ваши решения задач 2—4. В каком случае действительное изображение больше предмета? Теперь ясно, какие соотношения можно использовать?
379
Если нет, прочитайте р. 42. Если не поняли, где располагается предмет, посмотрите р. 57.
37.	г=19°27/. Такой результат получается потому, что arcsin(l/3) —19°27'.
38.	Угол фо определяется с учетом условия для предельного угла: 51пфо=п2/п1. А вы поняли, читая п. 2.12,. где в данном- случае среда 1 и среда 2? Если ответ не получился, посмотрите р. 44.
39.	Прежде всего, проверьте, правильно ли вы составили уравнения (см. р. 30). Если неправильно, обратитесь, к р. 22, если уравнения вами составлены правильно, посмотрите р. 48.
40.	Общая формула: Ax = Z/[2p(n—1)]. Если вы не получили такое выражение, обратитесь к р. 50. Если общая формула у вас верная, но ответ не получился, прочитайте р. 72.
41.	В данном случае отраженные лучи расходятся, так что нужно искать точку пересечения их продолжения.
42.	Здесь естественно воспользоваться формулами из и. 2.10. Посмотрите, какие величины или соотношения между ними известны и попробуйте составить уравнение. Если и теперь решение не получилось, обратитесь к р. 78.
43.	Формулы, в которые может входить расстояние между лучами, надо найти. Для этого, прежде всего, начертите линию, соответствующую этому расстоянию. А ход лучей в пластинке вы изобразили? С этого и нужно начинать. Сравните ваш чертеж с помещенным на рис. 200. Теперь на своем чертеже изобразите I. Если после этого стало ясно, как использовать геометрические (и тригонометрические) формулы для определения d, заканчивайте решать задачу. Если решение осталось неясным, прочитайте р. 58.
44.	Полное внутреннее отражение получается при выходе луча из более плотной среды. В нашем случае вода — более плотная среда, ее показатель преломления п>1. На рис. 197 более плотная среда изображена сверху. В данном случае п2=1 — показатель преломления воздуха, ni = = 1,33—показатель преломления воды.
45.	Благодаря симметричности призмы и такому направлению луча АВ (рис. 239), что сохраняется эта симметричность, ход лучей на входе и выходе обладает той же симметрией, т. е. Ф1 = ф4 и ф2=фз- Вспомните теперь равенства из п. 2.15 и 2.16 и попробуйте закончить задачу. Если решение не получается, посмотрите р. 60.
380
Рис. 239
46.	Так как расстояние до предмета g=3/2f, предмет находится между точками F) и 2Fb т. е. это случай, приведенный в п. 2.28 (рис. 210). Сделайте чертеж и внимательно присмотритесь к его геометрии. Если не догадались, как нужно действовать, обратитесь к р. 61.
47.	Вы не забыли о коэффициенте увеличения Г? Вам он показался лишним, поскольку размеры нас не интересуют? Однако вспомните задачу 9, прочитайте вывод к ней. Теперь ясна связь между g и IP Если нет, прочитайте р. 62.,
48.	Уравнение можно решать разными путями. Например, из последних трех уравнений найти gj, b2 и g2, выраженные через bi и L (и известную величину /), и подставить в первые два уравнения, правые части которых можно приравнять. Вы получите выражение, связывающее между собой неизвестные L и Ьь Проверить это выражение можно в р. 63. Если не поняли, как следует действовать, посмотрите р. 71.
49.	Общая формула для толщины пластинки такая: h = = гпЛ/(п—1), гДе m — порядок интерференции. Если неясно, каким образом она получена, обратитесь к р. 103.
50.	Вы получили выражение Ах —А/(26)? Значит, нужно искать 6. Попробуйте самостоятельно воспользоваться формулами из геометрической оптики, помня, что 6 — угол наименьшего отклонения. Если выражение, приведенное в р. 40, не получилось, прочитайте р 65.
51.	Белый свет немонохроматический, он характеризуется всевозможными частотами видимого диапазона. То, что лучи имеют желтый цвет, означает, что выполняется условие максимума при отражении для света длины волны, соответствующей желтому цвету. В остальном задача похожа на предыдущую. Теперь ясно, что нужно делать? Если нет, прочитайте р. 67.
381
52.	Сделайте чертеж клина. Отметьте произвольную точку, в которой наблюдается, например, максимум m-го порядка (толщина клина, допустим, di), и другую точку (с толщиной клина dj), в которой имеется максимум m-j-N-ro порядка. Очевидно, что разность толщин клина d2—di в этих точках существенна. Теперь попробуйте записать условия максимумов для этих двух точек, откуда определите sin а. Проверить выражение для sin а можно в р. 68. Если условия максимумов вы не смогли записать, посмотрите р. 90.
53.	Разность хода между интерферирующими лучами 2dn-f-A/2= (2т-М)Л/2 — условие минимума интерференции, которое соответствует темному кольцу. Радиус кольца в установке Ньютона связан с толщиной прослойки соотношением d = r2/(2R) (см. пример 2 и. 3.19). Дальше решайте сами. Проверить результат можно в р. 35.
54.	Попробуйте записать условие задачи с помощью формулы из п. 1.10. Ясно теперь, каково расстояние от зеркала до изображения? Где находится изображение? Если ответ у вас получился неправильный, посмотрите р. 70, если вы не поняли нашего объяснения, обратитесь к р. 76.
55.	Вы верно поместили предмет? Проверьте свой чертеж в р. 74.
56.	Вы учли р. 41? Если чертеж не получился, посмотрите р. 77.
57.	Это случай, рассматриваемый в задаче 3, т. е. f<g<R (см. р. 74).
58.	Целесообразно чертеж представить в таком виде, как на рис. 240. Лучи падающий и вышедший параллельны. Расстояние между ними можно найти, опустив из точки Е, где луч выходит из пластинки, перпендикуляр на про-
382
должение падающего луча (ED). Тогда получатся два треугольника: ADE и АВЕ, с помощью которых нужно найти d. Если вы не можете это сделать, обратитесь к р. 79.
59.	В данном случае sin фо= l/ni = 1/1,33. Если синус известен, тангенс можно легко найти, не находя угла фо- Посмотрите в М1.4, как tg связан с sin и cos и как cos выражается через sin. Проделайте аккуратно все математические действия, и вы найдете выражение R через h и щ. Если вы запутались в тригонометрических формулах, обратитесь к р. 80.
60.	В чем ваше затруднение? Вы не знаете, как ввести показатель преломления? Тогда посмотрите п. 2.15 и если все же неясно, что делать, обратитесь к р. 82. Если не умеете применить формулы из п. 2.15 и формулу для 6 из п. 2.16, прочитайте р. 99.
61.	Ваш чертеж такой, как на рис. 241? Здесь известны g и Н. Подумайте, как можно связать между собой h и Н, если известны g и Ь. Проверьте свои рассуждения в р. 83.
62.	Коэффициент увеличения T=H/h. Но, согласно выводу из задачи 9, H/h = b/g. Следовательно, b/g—2. С учетом выражения для f (см. р. 14) по формуле из п. 2.33 получите искомое.
63.	L = 2bi-E/. Если не знаете, что делать дальше, посмотрите р. 85.
64.	Смещение интерференционной картины происходит вследствие того, что при помещении на пути одного из лучей стеклянной пластинки изменяется разность хода между интерферирующими лучами. Дополнительная разность хода получится, если сравнить оптическую разность хода на пути, который луч проходит в среде с показателем преломления п и на пути, который луч прошел бы в пустоте, т. е. при п=1.
383
Теперь все ясно? Получили h? Если нет, обратитесь к р. 86.
65.	Угол наименьшего отклонения 6 связан с преломляющим углом призмы р и показателем преломления п материала призмы соотношеняем 6 = р(п—1).
66.	В выражении для А из п. 3.14 слагаемое Л/2 появилось потому, что луч ABF отразился от оптически более плотной среды (пленки по сравнению с воздухом). В нашем случае луч ABCDE (рис. 217) в точке С тоже отражается от оптически более плотной среды и тоже получает дополнительную разность хода Л/2. Таким образом, оба луча получают одинаковую дополнительную разность хода, которая при вычитании хода одного луча из хода другого луча пропадает. Таким образом, А = 2ЙП2. Теперь остается определить А. Нашли ответ? Если нет, посмотрите р. 88.
67.	Условие максимума: А = шХ. Вопрос в том, с каким знаком записать Л: в формуле из п. 3.14 их два перед Х/2. Продумайте еще раз вывод формулы для А. Поняли, какой выбрать знак? Если не поняли, посмотрите р. 89.
68.	sin tx = NZ/(2n/). Так как угол а мал, можно считать, что sina«a. Если ответ не получился, прочитайте р. 107.
69.	Получили формулу для радиуса темного кольца? Если да, сравнивайте радиусы темных колец (любого порядка ш, но одного и того же) для двух случаев: 1) между линзой и пластинкой — воздух (п=1), 2) между линзой и пластинкой — жидкость (п = ?). Результат проверьте в р. 91.
70.	Нужно сделать такое построение: от верхней точки предмета (стрелки) к точке D и через фокус. Отраженные лучи должны соединиться в точке изображения. Если у вас это не получилось, обратитесь к р. 93.
71.	gi = L—bi, b2=/+bi, g2=L—bi—/. Поэтому l/bi + -}-l/(L—bi) = l/(L—bi—I) -f-1/(/4-bi). Перегруппируем члены: 1/bi—l/(bi-H) = 1/(L—bi—/) —1/(L—bi). Приведя левую и правую части каждую к своему знаменателю, получим в числителях /, так что знаменатели должны быть равны: bi (b)-}-/) = (L—Ь)—/) (L—bi). Отсюда получим выражение, приведенное в р. 63.
72.	Численное значение не получилось, вероятно, потому, что в формуле (см. р. 40) значение р вы не выразили в радианах (1 рад = 206265").
73.	Вы правильно установили, где у вас углы падения и отражения? Сделайте чертеж. Теперь получили у? Если нет, обратитесь к р. 92.
384
74.	Исходный чертеж дан на рис. 242. Теперь постройте изображение точки В по правилу, данному в примере 1 (п. 2.9). Чертеж можете проверить в р. 94.
Рис. 242
75.	Число полос интерференции равно ширине области интерференции на экране, деленной на ширину интерференционной полосы. Поскольку в данном случае Ax=const', число полос N окажется наибольшим там, где ширина области интерференции максимальна. Теперь все ясно? Нашли N? Если нет, посмотрите р. 81.
76.	Согласно п. 1.10, 1/f = l/g+ 1/b, где f=R/2, g=R (предмет — в центре сферы), а b — расстояние до изображения — неизвестно. Чему равно Ь? А теперь сделайте чертеж. Проверить его можно в р. 93.
77.
Рис. 243
25. Заказ 259
385
78.	Из формул в п. 2.10 следует, что H/h=b/g. Используя также условие b—g=l, получите решение. Если и теперь величину f не определили, проверьте систему уравнений в р. 96.
79.	В AADE угол EAD=a=i—г, где i = 30° по условию задачи, г можно найти из закона преломления (показатель преломления п задан) (см. р. 25). Теперь можно определить AE=//sina и затем из ААВЕ — d (см. р. 97),
80.	tg фр = sin фо/cos фо = sin фо/fl — sin2 ф0 — 1 (niX Xfi- (1/n.)2).
81.	Общая формула: N=4Lp2(n— 1)2/Х. Если вы не получили такое выражение, обратитесь к р.‘ 87. Если ваша формула такая, проверьте, какое значение р вы подставляли в нее (см. р. 72).
82.	n=sin ф1/зт ф2. Значит, нужно выразить ф[ и ф2 через р и б. Еще раз прочитайте п. 2.16 и заканчивайте решение задачи. Если у вас ничего не получается, посмотрите р. 99.
83.	Так как прямоугольные треугольники ВАО и В'А'О имеют одинаковые углы (<£ВОА = <£В'ОА'), они подобны, следовательно, h/H — g/b. Это равенство может служить одним из уравнений для определения h. Однако в нем неизвестно расстояние Ь. Догадались, как его найти? Если да, заканчивайте задачу, если нет, посмотрите р. 100.
84.	Вы получили расстояние от предмета до линзы g—0,9 м, и фокусное расстояние f = 0,6 м. Где же находится предмет? К какому случаю построения в линзах относится наш пример? Теперь сделайте чертеж и затем посмотрите р. 101.
85.	l/f= l/b) + l/(L—bi). Подставив в это выражение b<=(L—/)/2, получим квадратное уравнение для нахождения L. Один корень получается отрицательным, его следует отбросить. Общий вид решения можно проверить в р. 102.
86.	Если в пустоте луч света проходит путь h, то в среде с показателем преломления п оптическая разность хода равна nh. Поэтому дополнительная разность хода А= = nh—h=h(n—1). Получили h? Проверьте его значение в р. 49. Если h не получили, обратитесь к р. 103.
87.	N=MM'/Ax (согласно р. 75), где ММ' определяется из рис. 237 в р. 16. Проверить выражение для ММ' можно в р. 104.
88.	Вы не нашли А? Не догадались посмотреть условие минимума интерференции в п. 3.6?
386
89.	В п. 3.14 сказано, что А—[n(BC-yCD)J— [BG-t-X/2}, первое слагаемое разности характеризует оптический путь преломления луча и отражения от границы с менее плотной средой, второе слагаемое BG — путь луча, который отразится от границы с оптически более плотной средой и будет иметь дополнительную разность хода Х/2. Выражение для разности хода, таким образом, A='2dyn2—sin2i—Х/2.
90.	Для точки L (рис. 244) условие максимума интерференции 2diVn2—sin2i—X/2=mX. Поскольку i=0, условие такое: 2din—X/2=mX. Запишите аналогичное условие для точки М и заканчивайте задачу. Если ответ не получается, проверьте уравнения в р. 107.
91.	В первом случае Ti=ymXR, во втором случае Гг— =ymXR/n.
92.	Вертикаль, относительно которой угол отражения стал равен а (рис. 245), проводится к повернутой плоскости, а сравнивать нужно с первоначальным направлением отраженного луча.
25*
Рис. 245
887
93.
94.
95.	В данном случае луч нужно вести по линии, соединяющей фокус с точкой В (верх стрелки) в сторону зеркала, а продолжение отраженного луча вести за зеркало. Он пойдет параллельно главной оптической оси. Теперь чертеж получился? Если нет, посмотрите р. 77.
96.	l/f= 1/g+l/b, b—g=15, b/g=2, и нужно найти три неизвестных — f, g и b, из которых в задаче требуется определить f.	--
97.	d — l cosr/sin(i—г). Если вы получили иное выражение, обратитесь к р. 58.	______
98.	Общая формула для радиуса: R=h/Vni2—1. Если ваша формула не такая, возможно, она имеет вид R = h tg фо? Если да, то найдите tg ф)0, для чего можно воспользоваться р. 59.
99.	Так как ф2=фз, из формул, приведенных в п. 2.15, следует: <р2 = р/2. Поскольку ф] —ф4, из формул в п. 2.16 получаем: ф[= (б+р)/2.
100.	Можно использовать основную формулу линзы, в которой неизвестно только b: 1/f = l/g+ 1/b.
101.	Наш пример относится к случаю из п. 2.28.
102.	L = y4f2+Z2. Если у вас выражение для L иное, может быть, вы избрали другой путь решения? Однако численный результат должен быть тот же. Поэтому проверьте ход решения в р. 22.
2>88
103.	Если дополнительная разность хода, получившаяся от вставленной пластинки Д известна, то, согласно п. 3.6, смещение светлой полосы (максимума) на пять полос означает, что в формуле из п. 3.6 для максимума ш = 5. Таким образом, Д = 2тХ/2 = шХ=5Х. Значит, нужно найти Д. Если, обратившись к п. 3.5, все же не нашли Д, посмотрите р. 86.
104.	ММ' = 2L tg б, где, в силу малости б, tg6«6. Вы не забыли, чему равняется б? Посмотрите р. 65.
105.	При т = 0 пленка имеет минимальную толщину, удовлетворяющую условию задачи. В оптических приборах такую пленку употребляют для того, чтобы как можно больше лучей прошло в среду под ней (см. выводы).
106.	Общая формула для толщины пленки d=(2m-yi)X/ (4уп2—sm2i). Если у вас она получилась иная, обратитесь к р. 67. Если общая формула такая, возможно, вы не учли, что значение К в задаче дано в сантиметрах, или забыли, что sm45°=y2/2, так что sin21=1/2.
107.	2din—X/2=mX	1 ,	,	,
2d2n—Х/2= (m+N)X	} d2—di —Isincx.
108.	п/г2=Уп. Если вы получили иное выражение, посмотрите р. 19.
109.	Луч, параллельный основанию призмы, отклоняется под углом наименьшего отклонения б (см. п. 2.17). Луч, идущий в верхней половине бипризмы близко к линии АВ (см рис. 237 из р. 16), после выхода из призмы идет по направлению ВС под углом б к линии основания призмы (см. п 2.15). Нижняя половина бипризмы отклоняет луч, идущий вблизи АВ, по направлению ВС'. Лучи ВС и ВС' — крайние, от верхней и нижней половин бипризмы. Поток параллельных лучей получим, если проведем лучи DE||BC и D'E'HBC'.
РЕКОМЕНДАЦИИ 110- 213 К ЗАДАЧАМ 18—30
ПО. Если вы знаете, какой формулой нужно пользоваться для отыскания к, возможно, ошиблись в единицах измерения: все они должны быть выражены в единицах СИ: Л=0,6-10-6 м = 6-10-7 м; rZi=d/2=3-10 3 м; Ь = 3 м. Если ошибка не в этом, может быть вы взяли не ту формулу? Посмотрите ее в р. 148.
111.	Задачи подобного типа аналитически решаются трудно, поэтому следует применить графический метод. Прочитайте еще раз п. 4.6 и 4.7. Если физическая картина ясна, но применить графический метод не удается, посмотрите р. 161, если непонятно само явление, — р. 126.
112.	Вы поняли, что имеете дело с дифракцией в параллельных лучах, т. е. дифракцией Фраунтгофера? Дифракционные спектры на экране можно получить только поставив за щелью линзу (см. п. 4.8). Если не представляете себе дифракционную картину, обратитесь к р. 138.
113.	Если на решетку падает нормально монохроматический свет, то в фокальной плоскости линзы интерферируют лучи, идущие от каждой щели параллельно друг другу (рис. 248). На экране при этом наблюдается ряд максимумов освещенности, разделенных минимумами. Самый яркий мак-
Рис. 24»
399
симум — нулевого порядка, в котором интерферируют, лучи, распространяющиеся после решетки перпендикулярно к ней (угол дифракции <р = 0). Теперь вспомнили картину, получаемую с помощью дифракционной решетки? Если да, продолжайте решать задачу, если испытываете затруднения, обратитесь к р. 120.
114.	Разрешающая способность спектрального пр - юр ’ позволяет различить с его помощью два близко расилюжс них предмета. Разрешающая способность дифракционной решетки дает возможность видеть раздельно два максимума, соответствующих двум длинам волн — и Л2, различающихся друг от друга на очень малую величину ДА. Вспомните, как определяется разрешающая способность дифракционной решетки и ог каких характеристик она зависит. Если вспомнили, отвечайте на вопрос задачи, если нет, прочитайте п. 4.10.
115.	Разве трудно определить период решетки, зная ее угловую дисперсию? Попробуйте действовать самостоятельно Если все же затрудняетесь в решении, посмотрите п. 4.10 и р. 130.
116.	Вы знаете, что такое линейная дисперсия? Как зависит дифракционный спектр от этой характеристики? Если да, решайте задачу. Общую формулу можете проверить в р. 142. Если затрудняетесь в рассуждениях, посмотрите п. 4.10 и р. 131.-
117.	Подумайте, чем эта задача отличается от задачи 25, решая которую вы применяли закон Брюстера (см. п. 5.8). Как в данном случае следует представить относительный показатель преломления п? Если сомневаетесь в ответе, обратитесь к р. 180.
118.	Вы разобрали пример из п. 5.18? Если ситуация ясна, решайте задачу самостоятельно. Ответы проверьте в р. 158 и 183. Если не ясно, что делать, обратитесь к р. 121.
119.	Приступая к решению задачи, подумайте, каковы условия отражения и преломления света в данном случае и отличается ли чем-либо эта задача от предыдущих? Чем именно? Ответы проверьте в р. 159 и 208. Если затрудняетесь в осмыслении задачи, обратитесь к п. 5.7 и 5.8 и к р. 122.
120.	На рис. 249 представлена дифракционная картина при ш = ±1, т. е. изображены максимумы первого порядка слева и справа от центрального нулевого максимума; х — расстояние между этими максимумами на экране, удаленном от дифракционной решетки Д на расстояние 1=1 м,
391
Рис. 249
ф — угол, под которым видны максимумы первого порядка. Дальше решайте задачу сами. Ответы на вопросы задачи проверьте в р. 151, 163, 209. Если все-таки не ясно, как решать задачу, обратитесь к р. 124.
121.	Коэффициент отражения R = I1/I, где It — интенсивность отраженного света; I — интенсивность падающего естественного света. Какой будет степень поляризации отраженного света? Если все ясно, проверьте формулу для А в р. 158. Если не знаете, как найти А, обратитесь к р. 125.
122.	Вы догадались, что для вычисления коэффициента отражения и степени поляризации нельзя применять формулы из задачи 29 и примера из п. 5.18? Ведь угол 45° — это не угол полной поляризации для стекла. Поэтому можно использовать только формулы Френеля. Если не поняли, что делать дальше, обратитесь к р. 127.
123.	Вы учли, что в задаче требуется определить не угол падения, а угол, который составляет луч Солнца с горизонтом?
124.	Условие максимума порядка m для дифракционной решетки знаете? Им и надо воспользоваться. Если вы его забыли, посмотрите п. 4.9, в крайнем случае обратитесь к р. 129.
125.	Так как естественный свет падает под углом полной поляризации ф, на стекло, то отраженный свет_ полностью поляризован в плоскости падения, т. е. вектор Ё имеет составляющую Ei, лежащую в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения, R=I5/I. Значит, нужно найти 1Ь Если вам ясен путь нахождения В, решайте задачу и проверьте ответ в р. 158. Если путь решения неясен, обратитесь . к р. 134,
392
126. Здесь мы имеем дело с дифракцией Френеля. Отличие схемы наблюдения дифракции в данном случае от схемы наблюдения ее, например, в предыдущей задаче состоит в том, что лучи, идущие от равных зон Френеля, по-
лучают разность хода, а лучи, идущие через стеклянную пластинку, — дополнительную разность хода A=h(n—1). Если это не понятно, посмотрите п. 3.5, если и это не поможет, смотрите р. 137.
127.	Формулу Френеля берем в <амом общем виде из и. 5.13. Угол падения фЬ согласно условию задачи, равен 45°, угол отражения ф2 нужно найти. Значение угла ф2 можно проверить в р. 147. Если не можете ого определить, посмотрите п. 2.11.
128.	Если у вас в формуле для расчета Гй осталось а, вспомните, в каком случае имеет место плоский фронт вол-ньР Обратитесь к р. 136.
129.	Условие максимума в дифракционной решетке dsinq)=m7,, где d — постоянная решетки; <р — угол дифракции; m — порядок дифракционного спектра; А — длина волны. Теперь из условия максимума попытайтесь определить характеристики дифракционной решетки. Ответ проверьте в р. 135. Если характеристики не получаются, посмотрите р 139.
130.	Угловая дисперсия дифракционной решетки показы
вает, под каким углом Дф видны две линии в спектре одного
порядка, отличающиеся на малую величину ДА. Формула
этой зависимости следующая: D
dtp dl
— т/(бсозф), где т —
порядок дифракционного максимума, для которого определяется угловая дисперсия; <р — угол дифракции. Если и теперь ответы не получаются, обратитесь к р. 141.
131.	Линейная дисперсия показывает, на каком расстоянии dl находятся в спектре одного порядка две линии, отличающиеся друг от друга по длине волны на dA: D* = -j- . Не GA
спешите вычислять дисперсию D*: она не нужна. Однако ее можно использовать для определения f. Проверить общую формулу можно в р. 179. Если определить f не удалось, обратитесь к р 142.
132.	Вы нашли значение пр Ведь фо=агсз1п(п1/п2). У вас такая формула? Если нет, прочитайте р. 192.
133.	Вы воспользовались законом Малюса? Это правильно. Но посмотрите, чем эта задача отличается от предыду
393
щей? Подумайте, как учесть тот факт, что при прохождении света через николь за счет отражения и поглощения теряется 8% его интенсивности? В предыдущей задаче этими потерями пренебрегалось. Если вы учли указанные потери, но верного ответа не получили, возможно, ошиблись при использовании тригонометрических таблиц, в чем можно убедиться, если для а вы получили выражение, представленное в р. 145. Если не знаете, как учесть потери, обратитесь к р. 157.
134.	Интенсивность перпендикулярной компоненты I_l_= = (El0) 2=sin3 (фг—<р2)/sin2 (ф1-Ь-ф2) (Еоо) _i_2. Учитывая, что (Еоо) —ь-2= 1/2 и что cpi — угол полной поляризации, получим:
1/2 sin2(q>1—ср2). Ясно, как получить эту формулу? Если да, находите R. Ответ проверьте в р. 158. Если вам не удалось получить формулу, обратитесь к р. 146.
135.	d = 2/X/x мм; No=l/d мм-1; m=2d/A.-J-l; <pmax = = arcsin(rnmOxA,/d).
Если такие формулы не получились, посмотрите р. 139.
136.	Если источник света удален на очень большое расстояние от точки наблюдения, то фронт волны (геометрическое место светящихся точек, колеблющихся в одной фазе) представляет собой поверхность сферы почти бесконечного радиуса. Ее с достаточным приближением можно считать плоскостью. Теперь получите формулу для расчета гь и сравните с приведенной в р. 148.
137.	На пути, равном толщине диска h, лучи 1 и 2 находятся в разных условиях (рис. 250). Луч 1 проходит расстояние h в воздухе, луч 2 — в стекле. Поэтому возникает оптическая разность хода A = h(n—1). Попробуйте дальше решать задачу самостоятельно. Проверить выражение для h можно в р. 173. Если затрудняетесь в решении, обратитесь к р. 149.
Рис. 250
394
138.	На щель падает параллельный пучок лучей. Каждая точка щели является источником вторичных сферических волн (см. п. 4.1). Линза, поставленная непосредственно за щелью, собирает в фокальной плоскости лучи, идущие параллельно друг другу от разных точек щели (рис. 251). Здесь Л — линза, Э—экран, 1 — первый дифракционный максимум, 0 — максимум нулевого порядка.
Рис 251
139.	Может быть, вы не смогли определить значение угла дифракции <р? Обратитесь к рис. 249 в р. 120. Если все равно неясно, как поступать дальше, посмотрите р. 151.
140.	Порядок спектра задан: т=1, а общее число штрихов N нашли? Если да, окончательную формулу для d проверьте в р. 152.
141.	Для спектра первого порядка угол дифракции мал, поэтому созф=1, и тогда D = m/d. Определите период решетки d.
142. Линейная дисперсия решетки связана с угловой дисперсией через f: D* = Df, где D=^£ — угловая диспер-□А
сия решетки. В данном случае вместо бесконечно малых дифференциалов бф и dX можно взять конечные приращения
Аф и АХ. Поскольку — = f, для f получаем выражение
d/ dф ’
или f—А//Аф. Сумеете найти изменение угла дифрак
ции Аф? Если да, окончательный ответ проверьте в р. 179. Если ответ не получается, обратитесь к р. 154.
395
143.	Вы не поняли, что следует искать, отвечая на вопрос? Что такое предельный угол? Сделайте чертеж и попробуйте довести задачу до конца, используя формулы для закона отражения. Проверьте результат в р. 132. Если забыли, что такое предельный угол, посмотрите р. 192.
144.	Вы учли, что при прохождении николя Nj интенсивность света уменьшается? Насколько и по какой причине? Продумайте как следует ответ и проверьте его в р. 156.
145.	a = arccos(]/0,18/0,92). Если ваше выражение иное, проверьте, верно ли вы нашли It (см. р. 176) и 12 (см. р. 194).
146.	ф! — угол Брюстера, или угол полной поляризации. Для него имеет место соотношение ф14-ф2=л/2. Поэтому 51п(ф1+<р2) = 1 и выражение для Б примет вид, записанный в р. 134.
147.	ф2=28,12°. Теперь ищите R. Проверить выражение для R можно в р. 171. Если не понимаете, как искать R, посмотрите р. 159._________
148.	rfe=ykabX/(a+b). Вы поняли, каким здесь должно быть расстояние а? Теперь все получилось? Если нет, обратитесь к р. 197.
149.	Для того чтобы в точке наблюдения Р имелся максимум интенсивности, необходимо, чтобы все лучи приходили в точку Р в одинаковой фазе, что может быть при разности хода Д = тХ. Теперь понятно, для чего поставлен диск и почему, подбирая его толщину, можно получить условие максимума интенсивности? Если это непонятно, посмотрите р. 137. Постройте график и найдите амплитуду от 1,5 зон Френеля и амплитуду от остального фронта волны. Сравните свой чертеж с изображенным на рис. 253 (р. 161).
150.	Распределение максимумов и минимумов при дифракции от щели изображено на рис. 252. Здесь ф — углы дифракции (см. п. 4.8), х—ширина изображения щели на экране. Проверить формулу для х можете в р. 162.
151.	Из рис. 249 в р. 120 видно, что 1£ф=х/(2/). Но вследствие малости угла ф sin ф = 1£ ф=х/(2/). В результате расчета вы должны получить d = 4,95-10-3 мм. Если вы пользовались формулой из р. 135, но не получили такое число, проверьте, все ли величины выражены в единицах одной системы. Если d найдено, No определить просто (см. р. 135).
396
Линза
/’л
/ I \	Рис. 252
152. d=A/(m/AX). Если ваша формула такая, определяйте d. Если не ясно, как получить выражение для d, посмотрите р. 165.
153. Подставив в формулу степени поляризации выражение для (E20)_l и (Е2о)и из формул Френеля, получаем:
д = 4sin2(P2 cos* 2<pi/sin2 (ф!4-фг) (E2o)_l2—
2	481П2фг СО52ф1/51П2(ф1+ф2) (Его)-1-2+
—4зш2фг соз2ф1 /[sin2(ф1 +ф2) cos2 (ф1—ф2)] (Е20) ц2 _
4- 4зт2ф2 соэ2ф1/[sin2 (ф[-)-ф2) cos2 (фц-ф2) ] (Е20) ц2 —
= [1 — 1/соз2(ф1—<р2) ] / [ 14- 1/cos2 (ф1—фг)] = = [соэ2(ф1—ф2)^1]/[соз2(ф1+ф2) + 1];
Д2= [соэ2(ф1—ф2) — 1 ]/[cos2 (ф14-фг) + 1] • 100%.
154. Дф — это разность значений фу у максимумов, получающихся для разной длины волны (М й А.2). Запишите условия максимума для каждой длины волны и, учитывая малость углов ф1 и ф2, найдите Дф. Проверить полученное выражение можно в р. 190.
155. sin фо/sin 90°=П1/п2.
156. Попадая на николь Ni, естественный свет испытывает двойное лучепреломление. Два луча, обыкновенный и необыкновенный, имеют одинаковую интенсивность, но поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Из Ni выходит только необыкновенный луч, плоскость колебаний которого совпадает с главным сечением николя. Поэтому 11 = 10/2. Теперь найдите интенсивность света 12, выходящего
397
из N2. Если ответ не получился (т. е. если 12¥=1о/8), обратитесь к р. 175.
157.	При прохождении одного николя, согласно условию задачи, интенсивность I уменьшается на величину 0,08 10 и, следовательно, делается равной 10—0,08 1о = 1о(1—0,08). Аналогичные соотношения между интенсивностями имеются и при прохождении света через N2. Теперь решайте задачу (она подобна задаче 27). Не забудьте учесть, что на N] падает естественный свет, а выходит из него поляризованный. После того как вычислите I], можете проверить его выражение в р. 176.
158.	R=l/2[(1—п2)/(1+п2)]2. Получилась у вас эта формула? Если да, находите численное значение R, если нет, обратитесь к р. 170.
159.	Коэффициент отражения R= [ (Iio)-J-+(Ео) »]/1, где (Iio)_l_ — интенсивность перпендикулярной компоненты в отраженной волне; (Ito) И — интенсивность параллельной компоненты в отраженной волне; I — интенсивность падающего света. (Iio)-i- и (1ю)и следует вычислять по формулам Френеля. Проверить результат можно в р. 171.
160.	Полечили числовое значение к? Если нет, обратитесь к р. ПО.
161.	На рис. 253 изображены две амплитуды: АВ—амплитуда от первых 1,5 зон Френеля, ВО—амплитуда от остальных зон Френеля в открытом фронте волны. Если у вас получилась иная картина, прочитайте п. 4.7, внимательно рассмотрите изображение на рис. 228 в п. 4.7 и сравните его с тем, которое должны были сделать.
162.	х = 2/Х/Ь. Если формула у вас получилась иная, обратитесь к р. 186.
163.	ттож=9, т=19. Если ваш ответ иной и вы не можете найти ошибку, посмотрите р. 187. Если непонятно, как найти <ртаж, прочитайте р. 209.
398
164.	cpi = arctg п = 56,3°, ф2=л/2—<pi = 33,7°. Если вы не поняли, как получаются эти формулы, посмотрите п.п. 2.11 и 5.8.
165.	В задаче известна ширина решетки I; общее число штрихов решетки N = //d, где d—-постоянная решетки (ширина щели b плюс ширина непрозрачного промежутка а). Сможете теперь определить id? Если нет, обратитесь к р. 201.
166.	Линейную дисперсию можете определить, зная угловую дисперсию и фокусное расстояние линзы, проектирующей картину на экран. Получили результат? Значение D* сошлось с ответом? Если нет, посмотрите п. 4.10 и р. 189.
167.	Ранее мы говорили, что если угол мал, то sin <р~<р. В первом порядке ш=1 угол <р действительно мал. Поэтому условие максимумов (см. р. 203) можно записать так: d(pi = Xt, dcp2=A,2- Вычтя из второго выражения первое, получим: Аф—ф2—Ф1 = (Л.2—Xi )/d. Теперь найдите выражение для f и сравните его с приведенным в р. 179.
168.	Вспомните условие для получения полностью поляризованного света при отражении. Как определяется угол Брюстера? Если, не вспомнили, посмотрите п. 5.8. Дальше действуйте самостоятельно. Не забудьте сделать чертеж. Проверить его можно в р. 191.
169.	Возможно, вы неверно построили относительный показатель преломления п? В отличие от задачи 25 здесь оба показателя преломления не равны единице. Если ответ снова ошибочен, обратитесь к р. 117.
170.	Учитывая р. 134, получим: R=l/2 зт2(ф1—ф2). Здесь ф| — угол падения лучей на стекло, ф2 — угол преломления. В примере из п. 5.18 мы преобразовывали данную формулу, используя соответствующие формулы тригонометрии. Вспомните эти преобразования и вычислите R.
171.	R=l/2[sin2 (ф1—ф2)/81п2(ф1+ф2)+1§2(ф1—фг)/1?2Х Х(ф1+ф2). Вы получили такую формулу? Если нет, обратитесь к п. 5.15 и 5.16 или к р. 122.
172.	Получив к=5, ответили на вопрос 2 задачи? Если нет, посмотрите р. 184.
173.	h= (2m4-5/4)X/[2(n—1)], где m = 0, 1, 2,..., hmin будет при ш=0, т. е. hm,„ = 5X/[8(n—1)]. Если выражение для h не получилось, обратитесь к р. 185.
174.	Степень поляризуемости преломленной волны (прошедшей в стекло) А= [ (12о)-ы—(12о) ?]/[ (I2o)-l-{-(12о) к] Ю0%, где (I20)—1— — интенсивность перпендикулярной компоненты в стекле; (12о) и — интенсивность параллельной компоненты в
399
стекле. Вспомнили, как найти (I20)—ь- и (I20) II? Если да, определите А и ответ проверьте в р. 183, если нет, обратитесь к р. 178.
175.	Здесь нужно воспользоваться законом Малюса с учетом того, что угол между главными осями Nj и N2 составляет 60°. Если ответ не получился, посмотрите внимательно, правильно ли вы использовали закон Малюса: ведь cos2a=/=cos а. Если ошибка не в этом, прочитайте р. 181.
176.	Ii = 10/2(1—0,08). Теперь выразите 12 через 1о и находите угол а. Лучше вам самий- довести задачу до конца. Если в принципе все ясно, но ответ не сходится, проверьте выражение для а в р. 145. Если не знаете, как найти 12, посмотрите р. 194.
177.	Ai = [cos2(<pi—ф2)—cos2 (ф1-{-(р2)]/[соз2 (<pj— ф2) + -|-cos2((pi-|-<p2)] 100%. Если ваша формула такая, подставьте в нее значения ф1 и ф2, если нет, прочитайте р. 196.
178.	Найти (I20) 11 и (bo)-i- можно, например, из формул Френеля с учетом п. 1.10:
(I2O)_J_= (Е2о)_1_2=48ш2ф2 Со82ф1/з1п2(ф1+ф2) (E0o)_l2;
(I20) II :
= (Е20) н2= 48Ш2ф2со82ф1/[зш2(ф14-ф2)со82(ф1—ф2)] (Е00)112.
Подставьте эти равенства в выражение для Д из р. 174 и постарайтесь упростить полученное выражение. Проверить результат можно в р. 183.
179.	f=AZd/(A,2—М). Если у вас получилось иное выражение, посмотрите р. 142. Если не сходится числовое значение, возможно, вы не выразили все величины в единицах одной системы.
180.	п = П1/п2.
181.	Через N2 проходит плоскополяризованный свет, вышедший из Ni, интенсивность его не Io, а Е. Вычислите I]. В крайнем случае обратитесь к р. 156.
182.	По условию задачи, интенсивность света, выходящего из N2, равна: 12=0,09 1о. .Поскольку интенсивность 12 образуется при прохождении света через два николя, ее выражение зависит от угла а, который можно найти из выражения для 12. Таким образом, задача заключается в том, чтобы найти интенсивность 12, которая, в свою очередь, зависит от В — интенсивности света после прохождения николя Ni. Попробуйте дальше решать задачу самостоятельно, пользуясь опытом решения задачи 27. Если ход решения ясен, но ответ не получается, возможно, вы неверно определили It.
400
Сравните полученное вами выражение с приведенным в р. 157.
183.	A=[cos2(<pi—<р2) — l]/[cos2(<pi—<р2)+ 1] 100%. Если ваша формула такая, но ответ не получился, обратитесь к р. 195. Если формула у вас иная, хотя вы подставляли формулы из р. 178 в выражение для Д из р. 174, посмотрите р. 207.
184.	Число зон Френеля, укладывающихся в заданном отверстии, постоянно только при заданных положениях экрана и источника. Если из точки наблюдения Р (см. рис. 224) видно, что в отверстии укладывается нечетное число зон Френеля, то центр дифракционной картины будет светлым.
185.	Максимум_в точке наблюдения Р будет тогда, когда векторы ВО и АВ окажутся сонаправленными. При этом получится наибольшая суммарная амплитуда, а следовательно, и максимальная интенсивность. Что нужно сделать, чтобы векторы ВО и АВ шли по одному направлению? Вектор АВ можно повернуть на угол 5л/4, и тогда векторы ВО и АВ окажутся сонаправленными (см. рис. 253 в р. 161). Таким образом, лучи, идущие сквозь диск, должны получить такую дополнительную разность хода, при которой фаза колебаний изменится на 5/4 л. Запишите это условие и проверьте ею в р. 198.
186.	Из рис. 252 в р. 150 видно, что х — ширина изображения щели на экране — определяется так: х=2/ tg ф, где ф — угол, под которым видны первые минимумы слева и справа. Каково условие минимума при дифракции от щели? Если не помните, перечитайте п. 4.8. Если это не поможет, посмотрите р. 199.
187.	Угол дифракции ф не должен быть больше л/2. Поэтому последний возможный максимум наблюдается при Ф=л/2. Подставив это значение ф в условие максимума, получим- d=rnmOxX, откуда mm<ix=d/A. Вычислите mmax и проверьте полученное значение в р. 163. Если оно оказалось у вас иным, возможно, вы неоправданно округлили результат. Посмотрите р. 200.
188.	Знак минуса означает, что в прошедшем в стекло свете (а он частично поляризован) преобладает параллельная компонента вектора Е.
189.	Линейная дисперсия D* = Df, где D—угловая дисперсия; [ — фокусное расстояние линзы. Вычислите линейную дисперсию в мм/м.
26 Заказ 259
401
190.	A<p= (2,2—Ai)/d, где d — постоянная решетки. Если такое выражение не получилось, обратитесь к р. 203.
191.	Запишите условие, которому, согласно закону Брюстера, должен удовлетворять угол <pi (рис. 254), и находите ответ. Если ответ оказался неправильным, обратитесь к р. 123.
192.	На чертеже (рис. 255) фо—предельный угол, при котором свет, идущий из среды оптически более плотной (п2=1,62) в среду оптически менее плотную (rii = l,5), не попадает в нее, а скользит по поверхности. При угле падения ф2><ро луч полностью отражается. Таким образом, нужно найти фо. Теперь воспользуйтесь законом преломления для угла падения, равного <р0, и решайте задачу до конца. В крайнем случае обратитесь за разъяснениями к р. 204.
193.	При вычислении интенсивности плоскополяризован-ного света 12, прошедшего через поставленные под некоторым углом николи, используют формулу Малюса: I2=Ii cos2a, где Б — интенсивность света, прошедшего через николь N1J
402
a — угол между главными плоскостями николей. Теперь попробуйте действовать самостоятельно. Если результат не получился, обратитесь к р. 144.
194.	Если бы в N2 не было поглощения света, то 12 равнялась бы Е cos2a (закон Малюса). Вследствие поглощения света 8% этой величины теряется, т. е. I2=licos2a— —0,08 В cos2a= Ii(l—0,08)cos2a. Подставьте в это выражение значение Е и найдите cos2a. Вам ясно, из какого равенства можно получить cos2a? Оно вытекает из условия задачи (см. р. 206).
195.	Может быть, вы неверно определили углы <pi и ф2? Проверьте их значения в р. 164.
196.	Д= [(Eo)-l— (Eo)ii]/[(Eo)-l. + (Ео) п] 100% = = [ (Ею) _ы2- (Ею) и2]/ [ (Ею) -ы2+ (Ею) II2] ЮО %. Подставьте в это равенство значения (EI0)-i- и (Ею) II из формул Френеля (п. 5.13), упростите полученное выражение и сравните с приведенным в р. 177. Если ответ не получился, может быть, вы ошиблись в математических преобразованиях? Обратитесь к р. 208.
197.	Если а = оо, то, разделив числитель и знаменатель выражения для rfe на а, получим: Гй=УкХ/(1/а+1/Ь); поскольку 1/а = 0, Гй=укХЬ.
198.	h(n—1)2л/Х=5/4 л±2тл. Здесь 2л/л— волновое число. Напомним, что разность хода А связана с разностью фаз <р соотношением 2лА/7.=ф. Таким образом, легко найти выражение для Ьт^п. Общую формулу для h сравните с приведенной в р. 173 и найдите ее численное значение. Если непонятно значение члена ±2тл в приведенной формуле, обратитесь к р. 211.
199.	При дифракции от щели на экране наблюдается широкая размытая центральная полоса (максимум), слева и справа от которой располагаются темные и светлые полосы. Условие образования минимумов освещенности: b sin ф=тпХ. В данной задаче т=1. Следовательно, b sin ф=Л. Обычно углы, под которыми видны первые минимумы, малы. Поэтому 1дф«зШф. С учетом этого выражения получается формула ширины полосы х (см. р. 162).
200.	Вычислив штв1С, вы получили ттах=9,9. Не следует округлять этот результат до 10: ведь з1Пф^1, и если подставить в условие максимума штож=10, получим: з!пф>1, что невозможно. С физической точки зрения, это означает, что десятого порядка спектра при таких условиях не будет
26*
403
видно в дифракционной картине. Итак, mmax=9. Угол, под которым виден максимум этого порядка, удовлетворяет условию sin <pmax—mmax^/d. Если и теперь ответ не получился, обратитесь к р. 209.
201.	Перечитайте еще раз п. 4.10. Если в формулу разрешающей способности Z/AX=mN подставить N из р. 165, получим формулу для d. Найдите выражение для d и сравните его с приведенным в р. 152.
202.	Пусть вас не смущает, что мы не использовали в решении значение %, данное в условии. Дело в том, что угловая дисперсия зависит от того, в каком диапазоне длин волн получен дифракционный спектр. В данном случае дисперсия 2.02-105 рад/м соответствует диапазону длин волн вблизи %=6,68-10-7 м.
203.	Условия максимумов: dsintpi —mZi, dsin<p2—mZ2, где q?! — угол дифракции для длины волны М; ф2— то же для %2. Определите изменение угла дифракции Аф и сравните полученный результат с приведенным в р. 190. Если у вас получилось другое выражение, обратитесь к р. 167.
204.	Чему в этом случае равен угол преломления? Если снова формула неясна, посмотрите р. 155.
205.	Вы правильно воспользовались законом Малюса? Если забыли его, перечитайте п. 5.11, а затем посмотрите р. 175
206.	9% от 10 означает, что 12 = 0,09 То, так что имеет место равенство 0,09= (1—0,08)2 cos2a/2. Выражение для а можно проверить в р. 145.
207.	Вы не забыли, что падающий свет — естественный, ввиду чего (Еоо) и2= (Еоо)л-2^
20R А=: sin2(<Pi—<P2)/sin2(<pi+<p2) (Epp) -L2—
sin2 (cpi—<р2)/sin2 (cpi 4-<р2) (Еоо) -J-2+
—tg2(<Pl—ф2)Лё2(ф1+ф2) (Еоо) II2
Ч-tg2(ф1—фг)/tg2(ф1-Ьф2) (Еоо) II2 •
Так как
(Еоо)^2= (Еоо) 112, tg2(ф1—фг)/tg2(ф1-)-ф2) = = sin2 («pi—<p2) cos2 (ф1+ф2)/ [cos2 (ф1—ф2) sin2 (ф1+ф2) ],
то
А1= [1—СО52(ф1+ф2)/СО82(ф1—ф2)]/ [ 1 4-COS2 (ф, +ф2) /cos2 (ф1— ф2) ] =
= [соз2(ф1—ф2)—СО52(ф1 + ф2)]/(сО82(ф1—ф2)+соз2(ф14-ф2)].
404
209.	sin фтах— Ютах?*/4, Sin (f>max— 0,909j фтах— = arcsin 0,909=65,4°.
210.	Вы правы. Из формулы в р. 183 видно, что степень поляризации А и должна быть отрицательной, так как l>cos2. Может быть, вы догадаетесь, каков физический смысл этого минуса? Посмотрите внимательно на общую формулу в р. 174. Проверить свои рассуждения можете в р. 188.
211.	Член 2тл ничего не изменяет в условии одинаковости фазы, так как тригонометрические функции sin и cos, которыми описываются гармонические колебания, имеют период 2тл (см. Ml).
212.	А2= [ (Его)-1-2—(Е2о) u2]/[ (Е2о) jl2+(Е20) II2] ЮО %. Если формула не получилась, обратитесь к р. 153.
213.	Равенство mmax=9 означает, что слева и справа от максимума нулевого порядка располагаются 9 максимумов. Поэтому общее число максимумов m=2mmax+l- Если вы не получили mmox, обратитесь к р. 187.
ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ гл. 4
1.	2а.
2.	Изображение действительное, перевернутое, неизменного размера.
3.	Изображение действительное, перевернутое, увеличенное.
4.	Изображение мнимое, прямое, увеличенное.
5.	f=0,l м; D=10 дп.
6.	0,1 м.
7.	11,4 см.
8-	sin[(p+6)/2]/sin(p/'2).
9.	0,12 м.
10.	g=(),9 м; Ь=1,8 м.
11.	1 м.
12.	6-Ю-6 м.
13.	Дх=5-10-4 м, N=10.
14.	11 мк.
15.	0,13 мк.
16.	41,2".
17.	1,56.
18.	1) 5 зон Френеля; 2) центр дифракционной картины: будет светлым.
19.	0,75-10-6 м.
20.	5 см.
21.	d=4,95 мкм; N»=2O2 мм-1; т=19; <р=65,4°.
22.	22 мкм.
23.	d=4,95 мкм; D* = 8,08-107 мм/м.
24.	0,66 м.
25.	л;36°35'.
26.	П2=1,62; <р2>67°.
27.	После прохождения двух николей интенсивность уменьшится в 8 раз.
28.	62°36'.
29.	R = 0,083; Д=9,1%.
30.	R = 0,0506; Д1==83%; Д2=4,2%.
ПРИЛОЖЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
Ml. Тригонометрия
При решении многих физических задач удобно пользоваться тригонометрическими функциями и соотношениями между ними. Напомним некоторые из них.
М1.1. Когда нужно вспомнить тригонометрические функции, проще всего воспользоваться разделенной на четыре четверти окружностью и соответствующим кругом (рис. Ml).
Пусть точка А лежит в I четверти окружности. Тогда угол АОВ = а (см. рис. Ml) меньше 90° (меньше л/2). Синусом угла а называется отношение длины отрезка АВ (АВ О А) к длине ОА (радиуса окружности): sin а=АВ/ОА.
Косинусом угла а называется отношение ОВ/ОА: cos а = = ОВ/ОА. Если отрезок АВ располагается в I четверти окружности (см. рис. Ml) или во II четверти (рис. М2), то он считается положительным; отрезок ОВ считается положительным, если он расположен в правой части окружности (на радиусе, делящем I—IV четверти), и отрицательным, если расположен в ее левой части. Радиус ОА всегда положителен. Таким образом, если 0<а<90°, то sina>0, cos а>0.
407
Пусть точка А лежит во II четверти окружности (см. рис. М2) так, что 90°<а<180°. Тогда sin а=АВ/ОА>0, cosa = OB/OA<0. Из рис. М3 и М4 следует, что нри 180°<а<;270о sina<0, cosa<0; при 270°<а<360° sin а<0, cos а>0.
Из рис. Ml видно, что sin0°=0, cosO°=l, так как если ОА совпадает с ОС (а = 0°), то АВ = 0, ОВ = ОС = ОА.
Если а=90° (OAJLOC), то АВ —ОА, ОВ = 0, следовательно, sin 90°= 1, cos 90°=0.
Аналогично из рис. М2 получаем: sin 180°=0, cos 180°= =— 1, и т. д. (см. рис. М3 и М4).
Рис. М3
М1.2. Треугольник АВО (рис. Ml) прямоугольный, поэтому, согласно теореме Пифагора, АВ2+ОВ2=ОА2, т. е. sin2a+cos2a= 1.
С помощью указанного в М1.1 метода можно вывести многие соотношения между тригонометрическими функциями. Например, из рис. Ml видно, что при а=45° АВ = ОВ и, следовательно, sin 45°=cos 45°.
МЕЗ. Пусть точка А лежит в I четверти окружности, как на рис. Ml. Проведем из точки О радиус ОАЬ перпендикулярный к радиусу ОА (рис. М5). Точка Aj оказывается во II четверти окружности. Из равенства треугольников АОВ и OAjBi (<£АОВ = а) следует, что AB=OBi и OB = AjBI. Разделив эти равенства на радиус окружности (ОА или ОА;) и учтя знаки, приписанные отрезкам, получим: sin(a+90°) = = cosa, cos(a+90°)=—sin а. Легко видеть, что эти соотношения не зависят от угла а.
В таблицах обычно даются значения тригонометрических функций для угла 0°^а^90°. Поэтому, если вам нужно
408
узнать, чему равен sin 125°, следует найти в таблице cos 35° (так как 125° = 35°+90°) и учесть его знак.
Если точка А находится в III четверти окружности, для перехода к углу в I четверти следует из значения угла СОА вычесть 180°. При этом, как следует из рис. М.6, sin(a+180°) =—sin a, cos(a-j-180°) =—cos а.
Когда точка А располагается в IV четверти окружности, соответствующий угол можно представить как а-|-270° или а—90°. Тогда cos (а+270°) = sina (рис. М.7) или sin (а—л/2) = = —cos а, cos(a—л/2) =sin а. Заметим, что часто углы удобно выражать не в градусах, а в радианах (90°—>л/2, 180°-мт, 270°->-3/2 л, 360°->2л и т. д.).
Ml.4. Тангенсом угла а называется отношение sin a/cos a, т. е. tg a = sin a/cos a. Из рис. M.l—М.4 следует, что tga = = АВ/ОВ может быть положительным (в I, III четвертях) и отрицательным (во II, IV четвертях), а по значению изменяться от 0 (при а=0°, 180°) до ±оо (при а=90°, 270°).
Котангенсом (ctg) угла а называется отношение ctga = = cos a/sin a.
Ml.5. Из определения прямых тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg) следует (см. рис. Ml), что они являются периодическими функциями с периодом 2л, т. е. значения такой функции для угла а и угла a-j-2nn, где п — любое целое число, в точности совпадают.
Ml.6. Графики тригонометрических функций представлены на рис. М 8 и М 9.
409
Ml.7. Между тригонометрическими функциями существуют соотношения, которые используют при вычислениях. Приведем некоторые из наиболее часто встречающихся соотношений:
cos2a+sin2a= 1,
sin (а±0) =sin a cos 0±cos a sin 0,
cos(a±0) =cos a cos 0+sin a sin 0,
sin a-{-sin 0 = 2sin[(a+0)/2]cos [(«-₽) /2], sin а—sin 0=2cos] (a+0)/2]sin[(a—0) /21, cos cc+cos 0 = 2cos[(a-|-0/2]cos[(a—0)/2], cos а—cos 0 = —2sin[ (a+0)/2]sin[ (a—0)/2], cos 2a= (1—tg2a)/[l-f-tg2a] -
M1.8. Функцией, обратной функции x=sina, является угол а, выраженный через х- a=arcsinx. Это угол, синус которого равен х. Аналогично a=arccosx—угол, косинус которого равен х.
Ml.9. Между обратными тригонометрическими функциями существуют определенные соотношения, например: arcsin х = л/2 — arccos х, и т. д.
Для обратных тригонометрических функций имеются таблицы, по которым можно найти значения угла, соответствующего значению тригонометрической функции (синуса, косинуса и т. д.).
Ml.10. Из соотношений между тригонометрическими функциями выводится следующее соотношение для косо-угольного треугольника (рис. М10): с=]/а2+Ь2—2ab cos у.
сх, ° \ / у Р	Рис. М10
410
декартовой системой и направления
двух
Рис. ми
координат поло-в пространстве значениями трех у, z или ради-
векторные характеристики
М2. Векторы
М2.1. В физике часто пользуются координат. Выбор начала координат осей (например, х и у) в этой системе диктуется соображениями удобства для вычислений, третью ось (например, z) обычно ориентируют так, чтобы направления осей х, у, z составляли правовинтовую систему (рис. МП). В декартовой системе жение точки определяется координат х,
усом-вектором г, проекции которого на оси координат (т. е. его составляющие) равны координатам х, у, z. В дальнейшем будем обозначать черточкой над буквой. Буква при этом символизирует длину вектора (модуль вектора).
Для выражения г через его составляющие вводятся орты— единичные векторы (модули которых равны единице), направленные вдоль положительных направлений осей х, у, z и обозначаемые 1, ], k соответственно. Тогда r=xz+y/+z£, где х, у, z — проекции вектора на оси координат. Если радиус-вектор лежит в плоскости (х, у) и угол, образуемый его пересечением с осью х, есть а, то проекции г на оси х, у есть х=г cos а, у—г sin а.
Радиус-вектор всегда направлен из начала координат в ту точку, положение которой он определяет. В физике часто встречаются и другие векторы (например, вектор скорости), начало которых (точка приложения) не совпадает с началом координат (например, вектор силы приложен к той точке, на’которую эта сила действует).
Всякий вектор а определяется его числовым значением (мы будем говорить «значением») |а| и направлением. Вектор —а отличается от вектора а направлением: он направлен
в противоположную сторону.
М2.2. Любой вектор а можно выразить через его проекции на оси (рис. MI2): a=axt-\-ayJ-\-azk, где аж=хв—хА, ау=ув—ул, az=zB—zA; хв, хА, ув, ... — составляющие радиусов-векторов гв и гА соответственно.
411
Рис. М12
М2.3. Сложение и вычитание векторов показано на рис. MI3 и М14. Нетрудно убедиться, что достаточно усвоить сложение векторов (рис. М13), а вычитание (рис. М14) можно произвести с помощью формулы с-г5=а.
Рис М13
Рис М14
М2.4. Вектор а можно умножить на скаляр а (число или функцию, характеризующиеся только значением и знаком) При этом получается вектор аа, значение которого (модуль) равно | а, | | а | (модуль | а | всегда положителен), а направление или совпадает с направлением вектора а (если а>0), или противоположно ему ^если а<0).
М2.5. Скалярное произведение (а, Ь) двух векторов есть скаляр, имеющий значение |d| |5|cos у, где у—угол между направлениями векторов а и Ь. Скалярное произведение часто записывают в виде двух стоящих рядом векторов: (а, b)ssab.
412
Из определения скалярного произведения вытекают следствия:
1)	(а, Ь) = (Б, а);
2)	если векторы взаимно ортогональны (v=90°) то (d,b)=0;
3)	скалярный квадрат вектора а2='(а, а) =а2, так что модуль вектора | d| а=У (а, а);
4)	(а+Б_, с) = (а,_с) + (Б, с);
5)	(аа, Ь) = а (а,Ь), где а — скаляр.
На основании этих следствий для ортов выполняются следующие соотношения: z2 = J2 = fe2=4; (z, J) = (z, fe) = (k, ]) = 0.
Скалярное произведение двух векторов через их составляющие получают с использованием свойств ортов: (а, Б) — ==axbx+ayby+azbz. В частности, а2=аг2-|-ау24-аг2. Поэтому r2=x2-|-y2+z2, т. е. r—l/x2-\-y2-\-z2.
М2.6. Векторным произведением [а, 5] двух векторов а и Б называется вектор с. Длина вектора с равна |а| |Б| | sin а|, где а — угол между направлениями векторов а и Б (рис. М15); направлен он по перпендикуляру к плоскости распо-
Рис. М15
ложения векторов а и b так, что три вектора а, Б, с составляют правовинтовую систему. Очевидно, что [Ь, а] = — — [а, 5] =—с. Если векторы направлены вдоль одной прямой (у=0° или 180°), то siny=0 и [d, 5]=0. Таким образом, [а, а]=0, в частности [z, z]=0. Так как орты составляют правовинтовую систему,	Остальные вектор-
ные произведения получаются из этой формулы круговой перестановкой (т. е. заменой z—>-/—>-&->-/): fe=[z,у], Очевидно, что [/, z] =<—k, и т. д.
Имеют _место формулы: [d±5, с] — [а, с]±[Ь, с]; [аа, 5] =а[а, 5].
Легко получить выражение для векторного произведения через составляющие перемножаемых векторов:
[a, b] = (ayb2 azby) z-|- (azbx axbz) /-f- (axby aybx) Б,
413
Формулу векторного произведения легче запомнить, если записать ее правую часть в виде детерминанта:
[а, й] =
i ] k ах Яу az Ьх by bz
раскрыв который, вы убедитесь в тождественности этого выражения и предыдущего.
Вместо указанного обозначения_ векторного произведения иногда используют следующее: [a,b]^a\b.
М3. Недекартовы системы координат
М3.1. Сферическая система координат.
Для указания положения точки А в пространстве вмес
то трех координат х, у, z можно использовать три другие
координаты г, х, ф (рис. MI6). Строятся они так. Из центра О радиусом ОА проводим сферу, на которой лежит точка А, так, что радиус этой сферы г может служить одной из координат. Если через точку А провести большую окружность (лежащую в плоскости, проходящей через центр сферы), то угол х между радиусом ОА и осью z определит положение точки А на этой окружности и может служить второй ее координатой. Сама окружность получается как сечение сферы плоскостью, проходящей через ось z под углом ф к оси х.
Рис. М16
Угол ф является третьей координатой. Задавая три величины г, х и ф, мы точно фиксируем положение точки А в пространстве. Эти координаты называются сферическими. Пределы значений сферических координат: 0^г<оо, 0^ф^2л, 0^х=Ся-
Из геометрических соображений легко найти связь между координатами х, у, z и г, х> Ф: х=гзтхсоэф, у= = гзшхзшф, z=rcosx, а из тригонометрических соотношений — обратные выражения. Можно показать, что элементу
414
-объема dxdydz в сферических координатах соответствует выражение г2 sin х drd%d<p.
М3.2. Полярная система координат.
Если на движение точки наложены геометрические связи, то для описания ее положения требуется меньше трех координат. Так, если движение происходит в плоскости, для его описания достаточно двух координат. Это могут быть декартовы координаты х и у. Иногда удобнее ввести полярную систему координат, которая получается из сферической, если положить х==90° (рис. М.17). Очевидно, что при этом х= г cos ф, у=г sin ф.
Рис. М17
Пределы значений полярных координат: 0^г<оо, 05Сф<72л.
МЗ.З. Для описания плоского математического маятника (точка, подвешенная на стержне и движущаяся в одной плоскости, рис. М18) достаточно одной координаты, например, ф.
Рис М18
М4. Дифференцирование функций
М4.1. При движении точки в пространстве ее координаты (радиус-вектор) изменяются с течением времени t. Математически это значит, что координаты (радиус-вектор) являются функциями времени: x=x(t), y=y(t), z=z(t) (или r=r(t)). Координату как функцию времени можно изобразить графически, выбрав двумерную систему координат, в которой по оси абсцисс откладывается аргумент t (время), а по оси ординат — функция (координата) (рис. М19).
415
Рис М19
В классической механике координата x(t) (или r(t)) является непрерывной функцией t Скорость изменения координаты есть производная
dx = lim Ax/At = lim [x(t-|-At)—x(t)]/At.
df At^O	At—>-0
_	dx
Геометрически производная — равна тангенсу угла наклона касательной в данной точке к положительной оси Г 4~ = tga На рис М19 в точке А 4г >0, так как угол dt	dt
между касательной и положительным направлением оси t dx
меньше 90°. На рис. М20 в точке В — <0 (соответствую-
dx щий угол больше 90°) Если х=const, то -г- =0. dt
Очевидно, чю, вообще говоря, производная ПРИ разных значениях t различна, т е является функцией вре-dx
мени: -jp =vx(t) Скорость изменения координаты vx(t) также можно дифференцировать по времени, при этом по-dv d2x
лучается ускорение: ах (t) =	= ^7 > которое тоже мо-
416
dx жет зависеть от времени называется производной пер-d2x
вого порядка, = х—второго и т д
'М4.2. Если кривая x(t) изгибается, то на ней возможны точки максимума и минимума (рис. М21, точки А и В) Значения t, соответствующие максимуму (ti) и минимуму (t2) кривой x(t), в которых касательные параллельны оси t, dx „ определяются из условия =0
Рис М21
d х
Условие — =0 обеспечивает экстремум (максимум или минимум) Какой это экстремум, определяют по второй про-d^x	d2x
взводной если >0, то это минимум, если jp- <0 —
максимум.
М4.3. Рассуждения, аналогичные изложенным в М.4 2, Можно провести для координат у и z Зависимость радиуса-вектора r(t) от времени описывается с помощью его составляющих: r(t) ==x(t)z-|-y(t)7+z(t)fe. Скорость изменения г dr dx _ . dy - . есть скорость движения точки: y(t) =	=-ц-z-4--r- 1~г
dt dt dt
+
dt k
xt-\-yj-^-zk Скорость является векторной функцией,
зависящей в общем случае от времени. Если некоторый вектор а изменяется со временем, то, вообще говоря, изменяется не только его значение, но и направление Например, на рис. М22 изображены радиусы-векторы для двух точек А и В траектории, в которые попадает движущаяся точка
27 Заказ 259
417
Рис. М22
М4.4. Приводим примеры производных от функций.
Линейная функция: x(t) = at+b (рис. М.23), где а и
,	dx
b — постоянные: -тг~ = а.
dt
Степенная функция: x=at", где а — постоянная, п — лю-х	dx
бое число: 7—= ant" dt
Тригонометрические функции:
. , dx	, ,	.
x=asint:-^- =acost (а — постоянная);
i dx . , x=acos t: —г~ ——asm t;
dt
x=atgt: ^|- = a/cos2t.
418
Обратные тригонометрические функции:
t=arcsinx (т. е. x=sint): j|- = l/yi—х2;
t = arctgx (т. е. x=tgt):	= 1/(1-|-х2).
М4.5. Экспоненциальная функция: x=aexi(=a exp(at))» где е — основание натуральных логарифмов, а и a — постоянные:	= aae='i( = aaexp(at)).
dx
Логарифмическая функция: x=lnt:^ = l/t.
М4.6. Сложные функции. Если некоторая величина f зависит от переменной величины х, которая, в свою очередь,, зависит от аргумента t, то f является сложной функцией t: t(t)=t[x(t)]. Тогда £ =
Примеры, а). f= ае_аг2(=аехр (—at2)) .Обозначим at2=x, г	df	dx „ .
т. е. 1 = ае-х. 1огда — ——ае-х, — = 2at, следовательно, ax	dt
=—2aate_ai2(=—2aat ехр(—at2)).
6).f=asin(cot-(-a), где а, со, a — постоянные. Обозначим , .	dx	df	df
cot4-a = x, так что -т-~ = со, тогда — =асоэх и -тг — dt	dx	dt
= асо cos (cot-f-a).
M4.7. Производная суммы, произведения, дроби. Пусть u(t) и v(t) — некоторые непрерывные функции t. Если . dx du . dv
X = U+V, TO	.
I?	dx du . dv	i
Если x=u(t)v(t), to — = — v-f-u -rr . '	' dt dt dt	‘	’
с	/4.x / м dx /du dv „ \ , 2
Если x=u(t)/v(t), to — = — v— -гт u /V2. dt \ dt dt /
Пример. Найти скорость vx, если x= at2 sin cot, где а и co — постоянные, dx
Решение: vx;=-pj- = 2at sin (cot) -|-acot2 cos (cot).
27*
419
М4.8. Частные производные. Пусть функция f зависит от нескольких независимых аргументов, например, от трех координат x,y,z: f=f(x, у, z). Тогда частной производной от f по х (обозначается называется функция от х, у, z, которая получается, если функцию f продифференцировать по х по правилу M4.I, считая при этом у и z независимыми 'постоянными.
Пример 1. f (х, у, z) — 2x2y-f-3xyz. Найти	.
г.
Решение:	=4xy-f-3yz.
Пример 2. f—2x2y-|-3xyz. Найти
„	df
Решение:	= 3ху.
М4.9. Полный дифференциал df функции f (х, у, z) есть df= ч- dx-f- v-dy+д—dz.
дх ду dz
М4.10. Векторные операторы. Градиентом скалярной функции f(x,y,z) называется вектор grad f= ^7+ +^.
’' дг
Дивергенцией вектора diva—	•
дх ду дг
Ротором вектора а(х, у, z) называется вектор
называется скаляр
даг	дау\- .	/дах	даг \ ,	дау	дах\ <-
rot a= ч-------ч-2 '+	5------з— /+	S-2	~	5— k-
\ду	dz /	\dz	дх/	\дх	ду /
Это выражение легче запомнить, если записать его правую часть в виде детерминанта:
i s k д_д__д_ дх )у dz
Зх ау 3z
420
М5. Интегрирование
М5.1. Неопределенный интеграл. Если функция F(x) такова, что ее производная равняется f(x), то F(x) называется
dF
первообразной для функции f (х), т. е. — = f(x). Так как
d(F(x).+C)_ = jZ — f(x), то вместе с F(x) первообразной dx	dx
для f(x) будет F(x)4~C, где C = const. Общее выражение для первообразной, содержащее произвольную постоянную, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается J f(x)dx. Итак, J f (х) dx=F(x) -f-C, где F(x) — первообразная от f(x).	'
Таким образом, интегрирование — это действие, обратное дифференцированию.	'
Расчет интеграла называется взятием интеграла. При решении элементарных задач обычно пользуются таблицами' интегралов. Их можно найти в физико-математических и инженерных справочниках и в специальных таблицах. Приводим несколько часто встречающихся неопределенных интегралов.
М5.2. Значения неопределенных интегралов (а=const,, п — целое число):
1.	J x”dx = x"+1/(n4~l) +С;
2.	J yJTdx—1/(2]/х)+С;
3.	Jsin(ax)dx=—eos(ax)/a+C;
4.	J cos(ax)dx=sin(ax)/a-}-C;
5.	J е*хбх=е*7а+'С;
6.	Jdx/x=lnx+C;
7.	J xe»xdx=e=!X(x/a—4/a2)4~C;
8.	J dx/x2= — 1/x+C;	______
9.	J dx/ (x2-}-a2)1 72—In(х-{-Ух2Н-а2) 4~C;
10.	J dx/(x2+a2)3-2=x/(a2yx2+a2)-|-C.
M5.3. Определенный интеграл. Пусть известна скорость изменения координаты х :	=v(t) (индекс х у vx для
простоты опускаем). Поставим задачу: найти x(t), если известна функция v(t). Для решения этой задачи построим график функции v(t) (рис. М24).
421
V
Рис. М24
Промежуток времени от а до b разбиваем на N частей: At1 = ti—ti_b где to=a, ti,t2...tx=b — последовательные
моменты времени. Если все Ati малы, то за время от tf—t до tf можно считать скорость неизменной, например, равной Vi. Тогда за время Ati точка пройдет путь приблизительно равный: Asi=ViAti, а путь, пройденный точкой за промежуток времени между а и Ь, приблизительно равен: SOb» N
~ 2 VjAti. Это приближенное равенство будет тем более i='l
точным, чем меньше все At», и при стремлении всех Ati к нулю, a N — к бесконечности в пределе получим точное равенство:
b
Sab= lim Sv(tf)Ati= / v(t)dt Ati->0 i	a
N->oo
— определенный интеграл от функции v(t) между пределами а и b.
Таким же образом строится определенный интеграл для b
любой функции переменной величины х: Jf(x)dx. а
Если v(t) изобразить графически в виде кривой (см. рис. М24), то построение интеграла означает, что фигуру, -ограниченную отрезком ab оси t, ординатами в точках а и b и графиком функции v(t), мы заменяем совокупностью прямоугольников с основаниями At, и высотой vt. Тогда v,Att есть площадь одного маленького прямоугольника, а SviAti приближенно равна площади фигуры аАВЬ. В преде-i
422
ле получаем точное значение этой площади, так что b
J v(t)dt геометрически означает площадь фигуры аАВЬ. а
Из построения интеграла как предела суммы видно, что b	а
J f(x)dx = — J f(x)dx.
а	b
Можно вывести следующие свойства интегралов: b	b
J af(x)dx=a J f(х)dx; а	а
b	b	b
/ [f(x)±g(x)]dx= J f(x)dx± J g(x)dx. a	a	a
M5.4. Если нужно посчитать путь, пройденный не за промежуток времени от а до Ь, а за промежуток времени от а до т, где т — некоторый момент времени между а и Ь, то
т S (т) = J v(t)dt. а
Ясно, что с изменением т изменяется и S(r).
Можно доказать, что S(t)—непрерывная функция т и dS(-r) , .
•ее производная	=v(x), т. е. производная от опре-
деленного интеграла по верхнему пределу, равна подынтег-т
ральной функции. Следовательно, Jv(t)dt есть первообраз-0
т
ная для подынтегральной функции, и поэтому Jv(t)dt = О
=Е(т)+С (где F(t)—первообразная для v(t), С — константа). Положив в этом равенстве т=а, найдем: С=—F(a), т
т. е. J v(t)dt = F(x)—F(a). Приняв т=Ь, получим формулу О
b '
Jv(t)dt=F(b)—F(a), а
которая является основной формулой для вычисления определенного интеграла.
423
М5.5. Определенный интеграл получают из неопределенного путем подстановки в найденную при взятии его функцию значений верхнего и нижнего пределов и вычислении их разности.
3	3
Пример. J\2dx=x3/3| = 33/3—13/3=26/3.
1	1
М5.6. Значения определенных интегралов (a=const, п — целое число):
1.	f e-a2x2dx= Jexp(—a2x2)dx=fn;/(2a); оо	оо
о	о
оо
2.	Jxexp(—a2x2)dx=l/(2a2); О
ОО
3.	f х2 exp (—а2х2) dx=Vs/ (4а3);
О
оо
4.	f x2n ехр(—a2x2)dx=yn 1-3-5-... • (2п—1)/ О
(2n + 1a2n + 1).
М5.7. На основании данных рис. М24 можно получить следующую формулу (которая может быть выведена строго): a-j-чДа
при |Да|<С |а| f f(x)dx«f(a)2Aa.
а—Да
Мб. Криволинейный интеграл
М6.1. В физике встречаются векторные характеристики, значения которых определены на некоторой линии в простран-
стве. Примером может служить сила, действующая на точку, движущуюся по траектории.
Разобьем траекторию точки О (рис. М.25) на N участков Д/г, настолько малых, что в пределах данного Д/{ траекторию можно считать прямой линией, совпадающей по направлению с касательной к
424
ней, а силу, действующую на точку О, пока она движется по участку А1г, одной и той же F,. Тогда работа ДА,-, совершаемая силой Fi на участке траектории А/,, определяется по формуле AA, = F,tA/, (см. п^ 6.2. гл. 1), где Fit— тангенциальная составляющая силы F, (т. е. ее проекция на касательную в точке i). Полную работу А при перемещении точки из положения а в положение b по траектории приблизительно можно получить суммированием всех ААь т. е.
N
Ал S АА,. Точное значение работы находят в пределе при i=l
N переходе AZ,->0 и N6->oo: А= lim 2 Fi(AZ;= Ali—>0, N—>оо i = 1 b
~ f F,(Z)dZ. Здесь F,(Z) —тангенциальная составляющая си-a
лы в точке i; Z — длина траектории, отмеренная от некоторой начальной точки 0 до точки, в которой берется сила Ff (/); dZ — элемент длины траектории.
Подынтегральное выражение можно представить в следующем виде. Поскольку значение тангенциальной составляющей силы F равно F cos а, где а, — угол между F и касательной, удобно ввести вектор dZ, модуль которого равен dZ, а направление совпадает с условно выбранным направлением касательной, т. е. направление обхода по кривой — движение по траектории в одном выбранном направлении. На рис. М25 это направление указано в точке О. При таком выборе обхода угол а в точке i меньше 90°, и, следовательно, проекция силы Fa положительна. Тогда F,dZ= (F, dz), т. е. подынтегральное выражение есть скалярное произведение векторов F и dZ.
Итак, работа А на участке ab А= J FdZ. Здесь ин-L(ab)
теграл берется по кривой L траектории ab. Для того чтобы взять такой интеграл, необходимо знать уравнение траектории и зависимость F(l). Методы расчета подобных интегралов приводятся в курсе интегрального исчисления.
М6.2. Криволинейный интеграл может быть взят от любой векторной функции F (она должна удовлетворять всем требованиям существования криволинейного интеграла) и по любой кривой L (тоже удовлетворяющей тем же требованиям, но не обязательно выполняющей- роль траектории).
425
М7. Поверхностный интеграл
М7.1. Пусть в каждой точке некоторой поверхности S задан вектор F(r). Выберем на этой поверхности бесконечно малую площадку dS и введем вектор dS, значение которого равно dS, а направление совпадает с направлением нормали к элементу dS (при этом нормали ко всем точкам поверхности расположены по одну ее сторону) (рис. М26).
Рис. М26
Элементарным потоком вектора F через элемент_поверх-ности dS называется скалярная величина d<P=(F, dS). Полный поток через поверхность S Ф= J J F(r)dS, где интеграл
S
берется по всей поверхности S (т. е. радиус-вектор пробегает все точки поверхности, a dS выкладывает всю ее площадь). Хотя поверхность расположена в трехмерном пространстве, координаты точек поверхности не являются независимыми, и одна из них, например z, может быть выражена с помощью уравнения поверхности как функция х и у. Поэтому поверхностный интеграл является двойным интегралом по переменным х и у.
М7.2. Пример. Найти площадь поверхности шара (сферы).
Решение. Введем сферическую систему координат с нач_алом в центре сферы г, %, ф (см. рис. М16). Примем, что F — единичный вектор: Г=г/г. Очевидно, что вектор 426
•dS направлен вдоль F, т. е. 7?dS = FdS. Элементарная площадь поверхности в сферических координатах dS = = R2sinxdxd(p (см. М3.1). Поверхность шара S = = J dx J d<pR2 sin x=R2 j sin х dx j d<p=4nR2, или S = 4nR2.
0	0	0	0
M8. Интеграл по объему
M8.1. Объемный интеграл применяется, например, в случае, когда требуется определить величину электрического заряда в некоторой области пространства (объем V), если в каждой точке задана его плотность q(F). Плотностью заряда называется количество заряда в единице объема. Поэтому в объеме dV находится количество заряда dQ = g(r)dV. Тогда полный заряд в объеме V можно определить с помощью интеграла по объему V: Q= J g(r)dV. Например, в декартовой
V
системе координат Q= J J Jq(x, у, z)dxdydz, где интеграл берется по х, у, z в пределах их значений, ограничивающих объем V.
М8.2. Пример. Найти объем шара радиусом R.
Решение. Положим р==1 и введем сферическую систему координат г, х> ф с началом в центре шара. Элемент •объема dxdydz = r2 sin х drdxdcp. Тогда объем шара
R л 2п	R	**	2л
V = J J J г2 sin х drdxdtp= J r2dr J sin x dx J d<p=4/3nR3.
0 0 0	0	0	0
Объем шара радиусом R равен 4/3 nR3.
M8.3. Интегральные теоремы. В интегральном исчислении доказываются следующие тождества.
1.	J grad <р dV= cpg-dS: интеграл по объему от век-V	S
тора градиента скалярной функции <р равен интегралу по поверхности S, окружающей объем V от функции <р (где dS — вектор, описанный в М7.1);
2.	J divadV=$ adS: интеграл от дивергенции век-V	S
тора по объему равен интегралу от потока этого вектора сквозь поверхность, окружающую объем (теорема Остро-тр адского—Гаусса),
3.	J rotadS= Т adl: поток ротора некоторого векто-S . L
427
pa а сквозь поверхность S равен интегралу от тангенциальной составляющей а по кривой L, на которую опирается эта поверхность (теорема Стокса).
М9. Дифференциальные уравнения
М9.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется равенство, связывающее между собой неизвестную функцию
4	df . d2f
f(t) некоторого аргумента t, ее производные = !,	===-
= f,... и известные функции от t, и обращающееся в тождество, если f(t) найдена правильно. Символически это записывается так: F(t, f, f, f,...) =0.
Рассмотрим следующее простое ДУ:
3F=vx(t),	(*)
где x(t)—искомая функция; vx(t)—известная функция t-Равенство (*) можно переписать так: dx=vx(t)idt Поэтому решение этого ДУ можно получить простым интегрированием'
,	x(t)= Jvx(t)dt+C,
где C = const. Обратите внимание на то, что при интегрировании получилась произвольная постоянная, т. е. в найденном решении имеется некоторый произвол. Такое решение называется общим решением. Для того чтобы получить частное решение, лишенное указанного произвола, необходимо по каким-то данным найти произвольную постоянную. Далее будет показано, как это делается.
ДУ может быть сложным, содержать производные более высокого порядка в разных степенях и даже под знаком сложной функции. Порядком уравнения называется порядок высшей производной от искомой функции.
М9.2. Наиболее простое — линейное ДУ первого порядка вида A(t)x-|-B(t)x+C(t)=O, где А, В, С — известные функции t Уравнение (*) есть частный случай этого уравнения при А=1, В = 0, С =—vx(t). Решение ДУ первого* порядка содержит одну произвольную постоянную, так как для его отыскания необходимо однократное интегрирование.
М9.3. В механике часто встречаются уравнения второго порядка вида F(x, х, х, t) =0. Обычно уравнение второго порядка имеет вид
428
x=f(x, X, t),	(**)
где f — известная функция. Его решение содержит две произвольные постоянные.
Наиболее простой вид уравнение второго порядка имеет в том случае, когда его правая часть не зависит от искомой функции и ее производной, т. е. x=f(t). Тогда его решение находят двумя последовательными интегрированиями. В самом деле, уравнение можно записать так: Д- (4^- ) = dt \dt / = f (t). Отсюда
d x
^=ff(t)dt+C1	(1)
Взяв интеграл J f (t)dt = g(t), получим известную функцию g(t). После этого уравнение превратится в уравнение первого порядка:
^ = g(t)+Cb	(2)
Проинтегрировав его еще раз, получим общее решение (общий вид искомой функции):
x(t)= J g(t)dt+C1t+C2.	(3)
М9.4. Произвольные постоянные Ci и С2 следует находить из так называемых начальных условий. Начальными условиями могут служить заданные значения искомой функции x(t) в разные моменты времени (x(ti) =xi, x(t2)=x2) или значения x(t) и x(t) в начальный момент времени (x(t0)= х0, x(to)=Vo) и некоторые другие условия. Подставив в выражение (3) ti и xi, а также t2 и х2 или в выражение (2) to, vo и в выражение (3) to, Хо, получим два алгебраических уравнения для нахождения двух неизвестных произвольных постоянных Ci и С2.
М9.5. Если правая часть уравнения (**) содержит х (а тем более х), его решение требует знания специальных приемов интегрирования (т. е. решения) ДУ. Их изучают в соответствующих математических курсах.
М9.6. В физике часто встречаются векторные характеристики, для нахождения которых строят векторные ДУ. Примером может служить уравнение Ньютона:
г|
m -ТГ2 =f(r, t),	(4)
429
где m — постоянная величина; F(r, t) — известная функция; r(t)—искомый радиус-вектор; t — переменный аргумент. Функцию f (г, t) можно представить как векторную функцию скалярных аргументов x(t), y(t), z(t) и t, при этом F(x, у, z, t) = Fx(x, у z, t)i+Fj,(x, у, z, t)/+Fz(x, у, z, t)fe. Спроектировав левую и правую части уравнения на оси координат х, у, z (при этом равенства сохраняются), получим три уравнения:
d2x 1 „ ,	d2y 1	,
jT2" — '—	(х’ У’ Z’ t) ’ ТеГ- = -Fj, (х, у, z, t) ,
dt2 m J ' dt2 m J d2z 1
jF = -FI(x.y,z,t).
Полученные три ДУ второго порядка в общем случае не являются независимыми, так как их правые части (Fx, Fy, Fz) зависят от всех трех искомых функций х, у, z. Интегрирование такой системы уравнений нужно проводить совместно; вообще говоря, это сложная математическая задача.
При решении каждого из этих уравнений получаются две произвольные постоянные, которые следует определять из начальных условий, например, из заданий в некоторый начальный момент to координат x(t0) = хо, у (to) = уо, z(to) = = z0 и скоростей x(t0)=v0x, У (to) =Vov, z(t0)=v0z-
В тех случаях, когда F зависит только от времени t или когда составляющие силы зависят только от соответствующих координат (и времени), т. е. Fx = Fx(x,t), Fv= = Fv(y, t), Fz = Fz(z, t), уравнения становятся независимыми, и каждое из них можно решать отдельно. При этом задача существенно упрощается.
М10. Некоторые сведения из теории вероятностей
М10.1. Случайным называется событие, о котором имеет смысл говорить, что оно произойдет или не произойдет. Например, случайным событием является выпадение определенного очка при бросании игральной кости, попадание пули в определенное место мишени и т. д. Разные события могут происходить с разной частотой. Например, хороший стрелок чаще попадает в центр мишени, чем на ее периферию. В некоторых случаях эта частота зависит от условий. Например, плохой стрелок может почти равномерно заполнить площадь мишени.
430
Мерой частости наступления события служит его вероятность. Если произошло п случайных событий, из которых ш обладают интересующим нас свойством, то при большом числе п отношение m/п может стать постоянной величиной, не изменяющейся с ростом п. Тогда говорят, что р = ш/п есть вероятность появления интересующего нас свойства (события).
Если m=n, т. е. интересующее нас событие появляется всегда, говорят, что оно достоверно, если ш = 0 — оно невозможно. Очевидно, что О^р^Е
М10.2. Пусть некоторая случайная величина может иметь несколько числовых значений: Xj, х2,..., хп, которые появляются, вообще говоря, с разными вероятностями. Тогда вероятность р можно считать функцией величины х, т. е. pfe=W(Xfe). Появление величины xfe будем называть событием Afe. Часто бывает так, что появление события Ай исключает появление любого другого события Az. Тогда суммой событий Afe-{-Az называют появление любого из этих двух событий (или Хй, или х/). Вероятность p(Afe-f-Az) = р (Ай) -фр (A/) =sW(xfe) -f-W(xz). Очевидно, что вероятность nori
явления любого из значений хй, т. е. S W(xfe), есть досто-к=1
верное событие и, следовательно, SW(xft) = l. (Если пределы суммы опущены, следовательно, суммирование проводится по всем возможным значениям )
М10.3. Если случайная величина принимает непрерывный ряд значений х в каких-то пределах или от —оо до -|-оо, то говорят о вероятности того, что величина лежит в пределах х, x-|-dx. Вероятность эта dW(x) =w(x) dx, где w(x) — плотность вероятности или функция распределения. Очевидно, что Jw(x)dx=l, если интегрирование ведется по всем значениям х. Это равенство называется условием нормировки функции плотности вероятности w(x).
М10.4. Если две случайные величины А и В независимы, но не исключают друг друга, то произведением двух этих событий АВ называется наступление их совместно. При этом р(АВ) =р(А)р(В). Если А принимает значения Хй, В — значения yz, то
w(xft, У/) =w(xfe)w(xz).
Для непрерывных независимых случайных величин w(x, у) = = w(x) w(y).
431
М10.5. Статистическим средним значением случайной величины (ее математическим ожиданием) называется выражение <x> = SxkW(xk). Для непрерывной величины <х>= J xw(x)dx.
М10.6. Если указано среднее значение <х>, то еще не известно, является ли оно единственным, т. е. достоверной величиной <х>, или возможны отклонения величины х от <х> (разброс значений), может быть даже очень большие. Случаи эти весьма различны по своим свойствам Поэтому кроме средней величины вводят среднее квадратичное уклонение Ах—У<(х—<х>)2>.
МП. Некоторые основные алгебраические формулы и соотношения
1.	(a+b)2=a2+2ab+b2.
2.	(a-j-b)3=а3-{-За2Ь+3ab2-j-b3.
3.	(a-j-b)п = an-J-n/lan~1b-j-n(п—1)/(1•2)а”~2Ь24- ... -}-+ п(п—1) (п—2) ... (п—k+1)/(1  2 ... к) а’|_/!Ь/;+ ... 4- Ьге = = Cn°an+Cn1a"-1b+Cn2an-1b2+ . . -j-Cnftan-febfe+ . . +Cnnb«.
4.	а2—b2= (a-j-b) (a—b).
5.	a3—b3= (a—b) (a2-j-ab-j-b2).
6.	a”—b”= (a—b) (an-I-j-an~2b-|-an_3b2-|-...-j-ab”-2-]-+b"-‘).
В формулах 1—6 числа а и b могут быть любого знака.
7.	Если ах2-|-Ьх-|-с=0, а=#0, то
xi,2= (—Ь±УЬ2—4ас)/(2а).
8.	Если х и у — искомые неизвестные, входящие в уравнения
ацХ-га12У=Ь1, аг1Х-|-а22У=Ь2, где ап, ai2, агь а22, Ьь Ьг —известные величины, то различают два случая.
	О-	ап ai2 | _ И21 Й22	1		ацагг—а^аг!1#^.	
Тогда			'bi ai2 Ьг агг		ап bi a2i Ьг
		< —	ап ai2 аг1 агг	> У	ац аы аг! агг
432
2).
311 Э12	_„
Я21 Я 22
В этом случае второе уравнение является следствием первого, т. е.
(а21Х-|-а22У—Ьг) ='k(anx-|-ai2y—bi)
при некотором значении множителя пропорциональности к.
9,	Если а — корень уравнения
Рп(х) =xn+aixn-1-E ... -|-afexn-fe+ ... -f-aft=O,
то Рп(х) делится на (х—а) без остатка.
10.	Если x=loga, у=1па, то
х=у/1п 10.
М12. Некоторые сведения из геометрии
Объем шара радиусом R
Уд=4/ЗлР3.
Поверхность шара радиусом R
Sb=4jtR2.
Объем прямого кругового цилиндра радиусом R и высотой Н
VB1H=jtR2H.
Боковая поверхность прямого кругового цилиндра радиусом R и высотой Н
5д,н= 2 л RH.
28. Заказ 259
ТАБ Л ИЦЫ
Таблица 1
Некоторые единицы физических величин (СИ)
Величина	Размерность	Единица
Длина	L	м (метр)
Масса	М	кг (килограмм)
Время	Т	с (секунда)
Сила электрического тока	I	А (ампер)
Температура	0	К (кельвин)
Количество вещества	N	МОЛЬ
Сила	LMT-2	1 кг-м/с2—1 Н (ньютон)
Работа, энергия	L2MT-2	1 Н-м=1 Дж (джоуль)
Мощность	L2MT-3	1 Дж/с=1 Вт (ватт)
Давление	L-iMT-2	1 Н/м2=1 Па (паскаль)
Частота	Т-'	1/с=Гц (герц)
Угловая скорость	т—1	рад/с (радиан/с)
Электрический заряд	TI	1 А-с=1 Кл (кулон)
Электрический потенциал	L2MT-3I—1	1 Дж/Кл=1 В (вольт)
Электрическая емкость	L-2M-1T4I2	1 Кл/В=1 Ф (фарад)
Электрическое сопротивление	L2MT-3I—2	1 В/А=1 Ом (ом)
Электрическая проводимость	L-2M-‘T3!2	1 А/В = 1 См (сименс)
Магнитный поток	L2MT-2I-‘	1 В-с=1 Вб (вебер)
Магнитная индукция	MT-2!-1	1 Н/(А-м) = 1 Тл (тесла)
Индуктивность	L2MT-2!-2	1 Вб/А=1 Гн (генри)
Световой поток	J	лм (люмен)
Освещенность	L-2J	лк (люкс)
Поток излучения	L2MT-3	Вт (ватт)
434
Таблица 2
Значения в системе СИ некоторых единиц из других систем и внесистемных единиц
1 дина = 10—5 Н
1 мм рт. ст. = 133 Па; 760 мм рт. ст. = 1,013-10s Па
1 эрг = 10—7Дж
I ккал = 4,19- 10s Дж
1 кВт-ч = 3,6-10s Дж
1 л. с. = 735 Вт
1 л = 10-3 м3
1 атм = 10s Н/м2 = 105 Па
Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц
Таблица 3
Множитель	Приставка	
	обозначение	наименование
1018	Э	экса
1015	П	пета
1012	т	тера
109	г	гига
10s	м	мега
103	к	кило
10—3	м	милли
10—6	мк	микро
ю-9	н	нано
ю-!2	п	ПИКО
lO-is	ф	фелто
Ю-is	а	атто
28*
435
Таблица 4
Фундаментальные физические постоянные
Постоянная	Обозначение	Числовое значение
Гравитационная постоянная	G	6,6720-10-“ Н-м2-кг-2
Скорость света в вакууме	С	2,99792458-108 м-с-1
Магнитная постоянная	Цо	4л-10-7 Ги-м-1
Электрическая постоянная	Го= (ЦоС2)-1	8,85418782-10-12 Ф-м-1
Постоянная Планка	h	6,626176-10—34 Дж-с
	h=h/(2n)	1,0545887-10-34 Дж-с
Масса покоя электрона	me	9,109534-10-31 кг
Энергия покоя электрона	mcc2	0,5110034 МэВ
Масса покоя протона	mP	1,6726485-10-27 кг
Энергия покоя протона	ШрС1	938,2796 МэВ
Масса покоя нейтрона	m„	1,6749543-10-27 кг
Энергия покоя нейтрона	m„c2	939,5731 МэВ
Отношение массы протона к массе электрона		1836,15152
Заряд электрона (абс величина)	e	1,6021892-10-19 Кл
Отношение заряда электрона к его массе	e/me	1,7588047-10“ Кл-кг-1
Магнетон Бора	Р-Б	9,274078-ТО—24 Дж-Тл~»
Ядерный магнетон	p.v	5,050824-10-27 Дж-Тл-1
Атомная единица массы (10~3 кг-моль-1)/Na	a. e. m.	1,6605655(86) -10-27 кг
Масса атомов в а. е. м.: водород	*H	1 007825036
дейтерий	2H	2,014101795
гелий-4	4He	4,002603267
Постояная Авогадро	Na	6,022045-1023 моль-1
Постоянная Фарадея	F = NAe	96484,56 Кл-моль—1
Молярная газовая постоянная	R	8,31441 Дж-моль-’-К-1
Объем моля идеального газа при нормальных условиях (1 атм, То = 273,15 К)	vm	22,41383-10-3 м3-моль-1
Постоянная Больцмана	k=R/NA	1,380662-10-23 Дж-К-1
Постоянная тонкой структуры	a	0,0072973506
	1 /a	137,03604
Постоянная Ридберга	R ao	10973731,77 м-1
Радиус первой воровской орбиты	a0	0,52917706-10-10 м
Энергетические эквиваленты а. е. м.	9,31,5016 МэВ	
1 электронвольт	1,6021892-IO-19 Дж	
436
Таблица 5
Теплопроводность Л, Вт/(м-К)
Хорошие проводники тепла		Плохие проводники тепла	
Серебро	407	Ртуть	8,2
Медь	384	Кварцевое стекло	1,36
Золото	308	Стекло	0,7
Алюминий	209	Вода	0,58
Латунь	111	Т еплоизоляторы	
Платина	70	Асбест	0,4—0,8
Сталь	47	Дерево	0,1—0,2
Свинец	35	Воздух	0,034
		Таб	лица 6
Удельное электрическое сопротивление р (при 20°С), Ом-ммг/м
Алюминий	0,027	Олово	0,12
Алюминий провод	0,0287	Платина	0,107
Вольфрам	0,055	Ртуть	0,96
Графит	8,0	Свинец	0,208
Медь	0,0172	Серебро	0,016
Медь провод	0,0178	Угольные щетки	40
Таблица 7
Диэлектрическая проницаемость е
Вакуум Воздух	1,0 1,000594	Плексиглас Полиэтилен	3,2. 5,0 2,2
Вода дистилли-		Слюда	4 ... 10
рованная	31	Стекло	5... 15
Дерево	3,5... 5,0	Фарфор	4,5... 6,5
Метиловый спирт	33,5	Этиловый спирт	25,1
Парафин	2,2		
Таблица 8
Показатель преломления и
(относительно воздуха при 20°С и 101,3 кПа для Х=589,3 нм)
Алмаз	2,4173	Исландский шпат	
Бензол	1,5014	(обыкновенный луч)	1,65836
Вода	1,33299	Канадский бальзам	1,542
Глицерин	1,4695	Кварцевое стекло	1,4584
Диэтилэфир Исландский шпат	1,3529	Плексиглас Четыреххлористый	1,49!
(необыкновенный луч)	1,48643	углерод	1,4607
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .	....
Как работать с этим пособием .	.	...
Глава 1. Классическая механика
1.	Уравнение движения материальной точки
2.	Кинематика движения точки
3.	Кинематика вращательного движения .
4.	Задачи смешанного типа
5.	Тело в движущейся системе .
6.	Работа, энергия....................
7.	Законы сохранения..................
8.	Колебания точки....................
9.	Закон всемирного тяготения
10.	Движение твердого тела
Ответы на контрольные задачи ....
Рекомендации к задачам гл. 1 .
Рекомендации А—192 к задачам 1—25
Рекомендации 193—329 к задачам 26—45
Рекомендации 330—533 к задачам 46—70
Ответы на задачи гл. 1.....................
Глава 2. Теплота и молекулярная физика
3
5
9
9
20
24
27
30
34
37
44
ез
64
64
89
109
134
136
1.
Параметры, характеризующие термодинамическое состоя-
ние системы. Идеальный газ
2.	Первое начало термодинамики
3.	Второе начало термодинамики
4.	Основы молекулярно-кинетической теории газов
5.	Явление переноса........................
Ответы на контрольные задачи...................
Рекомендации к задачам гл. 2 .	.	. ' .
Рекомендации 1—152 к задачам 1—27
Рекомендации 153—247 к задачам 28—49
Ответы на задачи гл. 2..........................
Глава 3. Электричество и магнетизм
136
140
148
155
165
171
172
172
189
202
204
1.	Взаимодействие электрических зарядов. Расчет электро статических полей ..................................
2.	Потенциал и работа сил электростатического поля
3.	Электроемкость...................................
4.	Постоянный электрический ток.....................
5.	Магнитное поле в вакууме.........................
6.	Действие магнитного поля на токи н заряды
7.	Электромагнитная индукция. Самоиндукция
8.	Переменный ток...................................
Ответы на контрольные задачи.............................
Рекомендации к задачам гл. 3.............................
204
212
217
223
237
245
249
255
263
264
438
Рекомендации 1—244 к задачам 1—41.......................264
Рекомендации	245—334	к	задачам	42—56	....	299
Рекомендации	335—402	к	задачам	57—71	.	.	.	.315
Ответы на задачи гл. 3.......................................323
Глава 4. Оптика..............................................325
1.	Основные характеристики света........................325
2.	Геометрическая оптика................................327
3.	Интерференция света..................................343
4.	Дифракция света......................................355
5.	Поляризация света....................................364
Ответы на контрольные задачи.................................373
Рекомендации к задачам гл. 4.................................374
Рекомендации 1—109 к задачам	1—17......................374
Рекомендации	НО—213	к	задачам	18—30	....	390
Ответы на задачи гл. 4.......................................406
Приложение................................................ .	407
Математическое приложение...............................407
Ml. Тригонометрия...................................407
М|2. Векторы........................................411
М3. Недекартовы системы координат .	.	.	.414
М4. Дифференцирование функций.......................415
М5. Интегрирование..................................421
Мб. Криволинейный интеграл..........................424
М7. Поверхностный интеграл.........................4(26
М8. Интеграл по объему..............................427
М9. Дифференциальные уравнения......................428
М10. Некоторые сведения	из теории вероятностей .	.	430
МН. Некоторые основные алгебраические формулы и соотношения .	.	..............432
Ml2. Некоторые сведения из геометрии ....	433
Таблицы...............................................  434
Таблица 1. Некоторые единицы физических величин (СИ) 434
Таблица 2 Значения в системе СИ некоторых единиц из других систем и внесистемных единиц 435
Таблица 3. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц .	.	435
Таблица 4 Фундаментальные физические постоянные 436
Таблица 5. Теплопроводность X, Вт/(м-К) .	•	•	437
Таблица 6 Удельное электрическое сопротивление р (при 20°С), Ом-мм2/м ...	.	437
Таблица 7. Диэлектрическая проницаемость е .	.	437
Таблица 8. Показатель преломления п	437