Автор: Славов А.В. Спивак В.С. Цуканов В.В.
Теги: физика задачи по физике
Текст
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ)
А.В.Славов, В.С.Спивак, В.В.Цуканов
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
Учебное пособие для довузовской подготовки
Учебное пособие написано в соответствии с программой по физике для
поступающих в вузы. Весь материал разбит на 16 разделов. Каждый раздел
содержит краткое теоретическое введение, включающее формулировки
физических законов, основные формулы, примеры решения задач.
Предназначено для учащихся и преподавателей колледжей, лицеев, средних
учебных заведений, подготовительных курсов, а также может быть
рекомендовано для самостоятельной подготовки абитуриентов к вступительным
экзаменам в технические вузы.
Предыдущее издание пособия было выпущено Издательством МЭИ в 1998 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Указания к решению задач 4
I. Кинематика 5
1. Векторные величины. Равномерное прямолинейное движение 14
материальной точки. Относительная скорость
2. Равнопеременное прямолинейное движение 70
3. Криволинейное движение материальной точки. Движение твердого тела 25
II. Динамика. Законы Ньютона. Силы в механике 41
4. Сила упругости. Закон всемирного тяготения. Применение законов 39
Ньютона к одному телу, движущемуся прямолинейно и по
окружности
5. Применение законов Ньютона к системе связанных тел 45
6. Разные задачи на законы Ньютона 44
III. Импульс. Импульс силы. Закон сохранения импульса 55
7. Импульс. Изменение импульса. Закон сохранения импульса 59
IV. Энергия. Работа. Общефизический закон сохранения энергии. Закон 65
сохранения механической энергии.
8. Работа. Мощность. КПД 73
9. Кинетическая и потенциальная энергии. Теорема об изменении 76
кинетической энергии. Закон сохранения механической энергии
10. Законы сохранения импульса и механической энергии. Абсолютно 84
упругое и абсолютно неупругое взаимодействия. Общефизический
закон сохранения энергии
V. Статика 90
11. Равновесие материальной точки. Центр тяжести. 94
12. Статика твердого тела 98
VI. Механика жидкостей и газов 102
13. Гидростатическое давление. Сообщающиеся сосуды. Закон Паскаля 108
14. Закон Архимеда. Гидродинамика 112
VII. Тепловые явления. Первый закон термодинамики 117
15. Тепловое расширение. Теплообмен без изменения агрегатного 171
состояния. Сгорание топлива
16. Тепловые явления с изменением агрегатного состояния 174
VIH. Идеальный газ с точки зрения МКТ. Применение первого закона 179
термодинамики к процессам в газах. Тепловые машины. Свойства
жидкостей и паров
17. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Уравнение 140
состояния идеального газа. Газовые законы
18. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам. 148
Адиабатный процесс
19. Тепловые двигатели. Свойства паров. Влажность. Поверхностное 152
натяжение жидкостей
IX. Электростатика 158
20. Закон Кулона. Напряженность электрического поля 169
21. Работа сил электрического поля. Потенциал. Разность потенциалов. 176
Проводники в электрическом поле
22. Электроемкость. Конденсаторы. Соединения конденсаторов. Энергия 188
заряженного конденсатора
X. Постоянный электрический ток. Законы постоянного тока 197
23. Сопротивление проводников. Соединения резисторов. Закон Ома для 209
однородного участка цепи/Измерение токов и напряжений
24. Закон Ома для замкнутой цепи. Закон Ома для неоднородного участка 217
цепи
25. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока 224
26. Электрический ток в различных средах 229
XI. Магнитное поле. Магнитная индукция. Силы Ампера и Лоренца. Закон 234
электромагнитной индукции
27. Магнитная индукция. Сила Ампера, Сила Лоренца 244
28. Закон электромагнитной индукции 248
29. Явление самоиндукции. Индуктивность. Энергия магнитного поля 255
XII. Колебания и волны 259
30. Механические колебания и волны 264
31. Электромагнитные колебания и волны 273
XIII. Переменный электрический ток 275
32. Генератор переменного тока. Резистор, конденсатор и катушка в цепи 281
переменного тока. Трансформаторы
XIV. Геометрическая оптика 285
33. Отражение и преломление света 295
34. Линзы. Оптические системы 298
XV. Световые волны. Элементы теории относительности. Световые кванты 306
35. Интерференция, дифракция и дисперсия света 312
36. Теория относительности. Квантовая теория излучения. Внешний 320
фотоэффект
XVI. Атомная и ядерная физика 325
37. Атомная и ядерная физика 334
Ответы 337
Приложение 390
Литература 398
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник задач по физике представляет собой учебное пособие, со-
ставленное в соответствии с программой по физике для вступительных
экзаменов в высшие учебные заведения. Настоящее пособие предназна-
чено для слушателей и преподавателей системы довузовской подготов-
ки: подготовительных курсов, лицеев, колледжей, физико-математиче-
ских школ и классов, физических кружков, а также для самостоятельной
подготовки абитуриентов к конкурсным экзаменам в вузы.
Сборник задач выдержал три издания и на протяжении ряда лет ис-
пользовался в качестве учебного пособия в системе довузовской подго-
товки в МЭИ. Сборник содержит более 1100 примеров и задач, которые
использовались в качестве экзаменационных на вступительных испыта-
ниях в технических вузах. Ряд включенных задач предлагался при цен-
трализованном тестировании по физике, проведенном в России.
Сборник состоит из отдельных разделов. Каждая глава в разделе
предваряется кратким теоретическим введением, в котором даются оп-
ределения физических величин, формулировки законов, приводятся
основные формулы, разбираются типовые задачи. Разделы делятся на
тематические главы, в которых содержатся задачи разной степени слож-
ности. Нумерация рисунков соответствует номерам задач. Примеры и
рисунки к ним, разобранные в теоретических частях разделов, имеют
сквозную нумерацию. Много полезной информации для решения задач
учащиеся найдут в приложении.
Пособие является исправленным дополненным изданием книги
А. В. Славов, В. С. Спивак, В. В. Цуканов «Сборник задач по физике»
М.: Издательство МЭИ, 1998. Обязанности по написанию отдельных
разделов между авторами распределились следующим образом: разделы
I-VIII и приложение написаны доцентом А. В. Славовым, разделы
IX-X — доцентом В. В. Цукановым, разделы XI-XVI — доцентом
В. С. Спиваком.
Замечания и пожелания направляйте по адресу: 111250, Москва,
Красноказарменная ул., д. 14, МЭИ, кафедра общей физики и ядерного
синтеза.
3
УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Iljfti решении физических задач рекомендуем следующий порядок
действий.
1. Несколько раз прочитайте условие задачи, уясните, что является ее
объектом и какой процесс или явление в ней рассматриваются. Если нет
буквенных обозначений в данной задаче, то введите их и сделайте крат-
кую запись условия.
2. Переведите численные значения величин в СИ (см. приложение) и
укажите единицы измерения.
3. Обязательно сделайте рисунок, поясняющий условие задачи с обо-
значением на нем физических величии. Иногда полезно сделать не-
сколько последовательных рисунков, поясняющих развитие явления,
описанного в задаче.
4. Запишите в алгебраическом виде основной закон (или законы),
описывающий рассматриваемое явление. Если требуется — укажите
условия его справедливости. Затем установите математические связи
между всеми величинами, характеризующими данное явление. В ре-
зультате получите одно или несколько уравнений, включающих в себя
как заданные, так и искомые величины. Часть величин может отсутство-
вать в условии. Это либо табличные величины, либо величины, которые
в процессе решения уравнений сокращаются.
5. Решите полученную систему уравнений в общем виде. В случае
громоздких преобразований задачу целесообразно решать в числах.
6. Получите ответ в общем виде и сделайте проверку размерностей
физических величин.
7. Доведите ответ до числа и проанализируйте реальность получен-
ного результата.
8. Представьте ответ в виде а 10", где а — действительное число от 1
до 10, а и — целое число (положительное или отрицательное). Точность
ответа не должна превышать точность величин, заданных в условии
задачи.
4
I. КИНЕМАТИКА
Кинематика — раздел механики, рассматривающий движение тела
без учета причин, вызывающих это движение.
Положение тела в пространстве или изменение его положения с те-
чением времени может быть определено только по отношению к другим
телам. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат
и часов образует систему отсчета (СО). В кинематике нет принципи-
альной разницы между разными СО. Все они равноправны.
Положение материальной точки в СО
может быть задано двумя способами: век-
торным и координатным. В первом случае
положение точки М задается с помощью
радиус-вектора г , проведенного из нача-
ла координат в точку М (рис. 1). Если
задай радиус-вектор г , то известен его
модуль |Г| и угол а. Во втором случае
положение точки М задается с помощью
координат хм и ум. Как правило, рассматриваются движения, происхо-
дящие в одной плоскости, поэтому ограничимся двумя координатами.
Зная радиус-вектор г , можно найти координаты точки М:
хм =|r|cosa; ум = |r| sin а .
Траектория материальной точки — линия, описываемая в простран-
стве этой точкой при ее движении. В зависимости от вида траектории
различают прямолинейное и криволинейное движения.
Длиной пути S называют сумму длин всех участков траектории,
пройденных точкой за время t. Путь S — величина скалярная, всегда
положительная, причем функция S = f(t) — неубывающая.
Пусть материальная точка за промежу-
ток времени Дг = г2-^ переместилась из
положения 7, определяемого радиусом-век-
тором Ft, в положение 2, определяемого
радиусом-вектором г2 (рис. 2). Перемеще-
ние Лг — вектор, проведенный из началь-
ного положения материальной точки в
конечное. Как видно из рисунка,
5
Дг = r2 -zj. Очевидно, что в общем случае |Дг| Ф S. Однако, если дви-
жение прямолинейное в одном направлении, то путь, пройденный точ-
кой, равен модулю вектора перемещения.
Движение материальной точки характеризуется скоростью, которая
показывает, куда и как быстро в данный момент времени движется ма-
v
териальная точка.
Мгновенная скорость движущейся точки определяется как произ-
водная от радиуса-вектора по времени:
Дг dr
v = lim — = —.
л<->о Д/ dz
Существуют разные способы обозначения производной по времени:
_ д dr
d7
Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траекто-
рии, а модуль мгновенной скорости можно найти как производную от
пути по времени:
|п| = ~~~ (при Д*->0 |dr| = d5).
В ряде практических задач удобно использовать понятие средней
скорости (средней путевой скорости) — скалярной величины, равной
S
Ucp ~ ’
где S — весь путь, пройденный за промежуток времени Дг.
Ускорение — векторная величина, характеризующая скорость изме-
нения вектора скорости:
_ Ди dv
а = шп — = — .
Д/ dt
В случае криволинейной траектории вектор
_ траектд^^ УСК0Рения “ характеризует скорость изменения
вектора v как по модулю, так и по направле-
3*' нию. Обычно вектор а раскладывают на две
''[ д-К' составляющие, одна из которых направлена по
| '' касательной к траектории, другая — по нормали
рис 3 к ней (рис. 3). Первая составляющая обознача-
ется ах и называется тангенциальным или каса-
тельным ускорением. Вторая составляющая обозначается ап и называ-
6
ется нормальным или центростремительным ускорением. Тангенциаль-
ное ускорение характеризует скорость изменения модуля вектора скоро-
d|i>|
сти: а. = —.
Следовательно, если во время движения по криволинейной траекто-
рии ат = 0, то |и| = const, т. е. движение является равномерным и незави-
симо от вида траектории путь рассчитывается по формуле S=vt. Нор-
мальное ускорение характеризует скорость изменения направления век-
тора скорости. На примере равномерного движения по окружности
можно показать, что ап - v2/r , где R — радиус окружности. При произ-
вольной траектории R — радиус кривизны траектории в данной точке.
Если во время движения ал = 0 (а это значит, что R—то движение —
прямолинейное. Полное ускорение а может быть представлено в виде
а = ат + ап, а модуль полного ускорения: |а| = -Ja2 + а2 .
Кинематическое уравнение движения — зависимость радиуса-
вектора материальной точки от времени: г = г(г). Проекции векторного
уравнения на координатные оси дают в общем случае три уравнения
движения:
x=x(z); y=y(r); z=z(0-
т, - _du
Если вектор ускорения а = const, то в выражении а = — заменим
dt
производную отношением конечных приращений скорости и времени:
_ Ди v - vn
а = — =-------, где v — вектор скорости в момент г; vQ — вектор ско-
Д/ Д/
роста при t=0 (вектор начальной скорости); Дг=г-О = г (время отсчиты-
вается от момента начала движения). Откуда получим закон изменения
скорости при а = const:
v = v0 + at.
В этом случае кинематическое уравнение движения имеет вид:
_ - _ at2
r = ro+vot + —,
где г0 — радиус-вектор, определяющий начальное положение точки при
/=0. Последнее выражение кажется не очень сложным, однако решать с
7
его помощью задачи Достаточно громоздко. Чтобы перейти к скалярным
соотношениям рассмотрим два частных случая.
1. Прямолинейное движение. Закон изменения скорости и кинема-
тическое уравнение движения в проекции на ось ОХ, направленную
вдоль траектории, имеют вид
axt2
Vx=V0x+axt, X = X0+V0xt + —^-.
В этом случае угол между векторами а и v0 равен 0 или л. В пер-
вом случае v0x = v0; ах-а (ось ОХ направлена вдоль вектора и0; век-
торы а и v0 сонаправлены) движение равноускоренное. Во втором
случае vOx=vQ_ ах = -а (ось ОХ направлена вдоль вектора и0; векторы
а и vQ противонаправлены) движение равнозамедленное.
Следовательно, vx = v0±af, х = xQ+vQt±at2/2 (см. пример 1). Из
последних двух выражений можно получить +2а(х-x0)=vx -Vg. В
случае равноускоренного движения x-x0 = S, где S — пройденный
путь за время t. В случае равнозамедленного движения эта формула
справедлива, если точка движется только в одном направлении
(вплоть до остановки).
Формулы столь важны для решения задач, что запишем их еще раз,
но с другими индексами, и постараемся запомнить:
v=v„±at; S = vHt±^—; ±2aS = v2 -v2,
К tl ' 2 KH'
где vH и vK — модули начальной и конечной скоростей; а — модуль ус-
корения; S — пройденный путь; знак «+» берется в случае равноуско-
ренного движения, знак «-» берется в случае равнозамедленного дви-
жения. Напомним, что формулы справедливы только для движения в
одном направлении.
2. Движение криволинейно, если угол а между начальной скоро-
стью и0 и ускорением а не равен 0 или л (0<а<л) (см. пример 2). Для
рассмотрения такого движения необходимо ввести две оси координат,
тогда в случае а = const законы изменения скорости по осям ОХ и OY и
кинематические уравнения примут вид:
8
1 : axt2
Vx=vOx+axt> *=*o+w+~;
at2
, vy=vOy+ayt, y = y0+vQyt +—.
В некоторых кинематических задачах необходимо найти скорость
тела в различных СО. Назовем скорость тела относительно неподвиж-
ной СО абсолютной скоростью (йа6с), скорость тела относительно
подвижной СО относительной скоростью (йотн), скорость подвижной
СО относительно неподвижной СО переносной скоростью (бпер).
Классический закон сложения скоростей имеет вид иа6с = иотн + ипер.
Откуда иотн = пабс - ипер. Следовательно, для нахождения относительной
скорости необходимо векторно сложить ба6с и -ипер .
Рассмотрим автомобиль, движущийся со скоростью ц (рис. 4, а).
Свяжем с ним подвижную СО X'O'Y'. С Землей свяжем неподвижную
СО XOY. Пусть тело М имеет абсолютную скорость и2, направленную
вертикально вверх. Как будет выглядеть движение тела М относительно
автомобиля, т. е. относительно подвижной СО ? Воспользуемся соотно-
шением йотн =па6с -упер, или п21 =v2 -и, = v2 + (-ц), аде б21 — ско-
рость тела М относительно автомобиля (рис. 4, б). В системе отсчета
X'O'Y’ автомобиль неподвижен, а наблюдателю, сидящему в автомоби-
ле, будет казаться, что тело М движется вдоль прямой АВ.
Получен важный результат: если скорости двух тел относительно
Земли равны о, и v2, то соотношение v2 1 = v2 - б, позволяет опре-
9
делить скорость движения второго тела относительно первого (см.
пример 3).
Если материальная точка движется по окружности радиусом R с по-
стоянной по модулю скоростью (|у| = const), то движение ие является
равнопеременным, так как а Ф const. Для описания такого движения
удобно ввести Следующие кинематические параметры: угловое переме-
щение <р, угловая скорость со, частота вращения V, период вращения Т.
Справедливы формулы:
и = со = —; co = 2nv; v =—;
t Т
а = — = O32R = 4n2v2R =^-R.
" R T2
Ул
Рис. 5
Пример 1. С крыши дома высотой H= 10 м вертикально вверх бро-
шено тело с начальной скоростью и0=5м/с. Напишите кинематическое
уравнение движения тела. Определите время полета тела и его скорость
при соприкосновении с Землей. Найдите путь, пройденный телом. По-
стройте графики зависимости от времени проекции скорости v (t), про-
екции ускорения av(t), координаты y(t) и пути S(t).
Силой сопротивления воздуха пренебречь.
Дано:
и0 = 5м/с, Н= Юм,
а = g, g = 10 м/с2
т— 2S — ?и3 — ?
Вектор v0 направлен вертикально вверх. Тело
движется с постоянным ускорением g (рис. 5).
Для описания движения введем ось OY, как указа-
но иа рисунке. В этом случае у0 = Н, v0y = v0, ay=-g. Скорость и коорди-
ната тела описываются уравнениями vy = v0-gt, y = H+vot-gt2/2. В
точке 3 при t=x у=0 и, следовательно, 0 = Н + vqt-gr2/2. Из этого
10
v0+Jv* + 2gH „ .
уравнения иаидем время полетах: т =---!-------- (второй корень
g
уравнения ие удовлетворяет физическому смыслу). Подставив числовые
значения, получим т=2с. Найдем v3y — проекцию вектора скорости 53 в
точке 3 на ось OY: ц3у=ц0-#т=-15м/с (знак «-» показывает, что вектор
скорости v3 направлен в сторону, противоположную направлению
оси ОУ). Найдем путь: S=(y2-H)+y2, где у2— координата наивысшей
точки подъема 2. В точке 2 vy=0, поэто-
му, воспользовавшись соотношением
2g(y2-77)=u02, найдем у2-Н= 1,25м,
у2= 11,25 м, 5= 12,5 м.
Графики удобно располагать
один под другим, отмечая харак-
терные моменты времени (рис. 6).
Обратите внимание на различный
вид графиков y(t) и 5(г).
Пример 2. Тело брошено со ско-
ростью v0 под углом а к горизонту.
Найдите: 1) время полета тела т; 2)
дальность полета по горизонтали L;
3) высоту максимального подъема
тела над поверхностью земли Н.
Сопротивлением воздуха пренеб-
речь.
Дано:
и0, a, a = g
T—2L—2H—2
Выбираем систему координат, как
указано на рис. 7, а. Тогда хо = О,
UOr = U0COSa’ ах = 0’ Уо = О> uoy = uos’na>
ay = -g. Уравнения движения в проек-
циях на оси имеют вид:
x = wQcosa-t; vx = o0cosa = const;
gt2
y = oosina-/-y-
vy = o0sina-gz.
В точке В (рис. 1,6} ув=0, xB=L, t=i — время полета. L=u0cosa-T,
от2
O = uosina-x——. Из последнего уравнения время полета
2v„sina „ r u^2sinacosa u„sin2a _
т = —-----. Дальность полета L = —-------= —------. В точке А
g g g
(рис. 1,6) vy = G, t=ty — время подъема тела до максимальной высоты,
2
УА=Н. Таким образом, O^osina-gZj, Н = v0 sina-Zj Оконча-
2 2
Оц sin a
тельно получим Н = -х—--.
Пример 3. Массивная стенка движется со скоростью ц . Навстречу
ей со скоростью v2 летит шарик. Происходит абсолютно упругое столк-
новение, причем скорость стенки не меняется. Найдите скорость и от-
скочившего шарика (замечание: если бы стенка была неподвижна, то
при абсолютно упругом столкновении скорость отскочившего шарика
была бы равна |б2|).
12
Дано: Скорость шарика и стенки заданы относительно Земли,
ц, v2 Свяжем подвижную СО со стенкой (рис. 8, а). Тогда скорость
~ шарика относительно стенки равна и2, = v2 - ц =
= v2 + (-о,) (рис. 8, б). Модуль этой скорости равен
о2| = vi + • В системе отсчета, связанной со стенкой, шарик
отскочит со скоростью йотн , причем |w0TH| = v2= v2+ut (рис. 8, в). Для
нахождения скорости шарика относительно Земли воспользуемся соот-
ношением 5а6с = 50ТН + 5пер, где 5а6с — скорость шарика относительно
Земли, обозначим ее й (эту скорость необходимо найти); бпер — скорость
стенки (в нашем случае бпер = б,); ботн — скорость шарика после отскока
относительно стенки (обозначена йотн на рис. 8, в).
Таким образом, й = б, + w0TH (рис. 8, г), или в скалярном виде
и = у, + v2 + vt = 2vt + v2.
в) г)
Рис. 8
13
1. Векторные величины. Равномерное прямолинейное движение
материальной точки. Относительная скорость
1.1. В прямоугольной системе координат задано положение точки М
(3;-4). Определите модуль радиуса-вектора г точки М, а также угол а
между этим вектором и осью X.
1.2. Положение точки М задается с помощью радиуса-вектора, мо-
дуль которого |г| = 5. Угол между радиусом-вектором и осью ОХ со-
ставляет а = 210°. Определите координаты точки М.
1.3. Как расположить два одинаковых по модулю вектора а, и а2,
где |а,| = |а2| = а , чтобы модуль их суммы был равен: 1)0; 2) 2а; 3) а.
1.4. Угол между двумя векторами а и Ь равен а = л/3. Определите
модуль вектора с = а + Ь и угол Р между а и с , если |а| = 3,0; |б| = 2,0.
1.5. Вектор а, модуль которого равен 4,0, составляет угол а = 240° с
вектором Ь, модуль которого равен 6,0. Определите модуль вектора
с = а - Ь и угол Р между а и с .
Рис. 1.7
1.6. Найдите проекции векторов а, b , с
и * на оси ОХ и OY (рис. 1.6). |а| = 5, |й| = 2,
|с| = 3, |*| = 4, а = 120°, Р = 30°, у = 45°.
1.7. Разложите векторы а, Ь, с на со-
ставляющие по заданным направлениям,
указанным пунктиром (рис. 1.7).
1.8. Вектор а задан координатами х( = 2,
у, = 3, х2 = 4, у2 = 10. Вектор b задан коорди-
натами х3 = 6, у3 = 4, х4 = 2, у4 = 3. Найдите ах,
ау, Ьх, Ьу. Найдите модуль вектора с = а-Ь
и угол а наклона с к оси X.
1.9. В задаче 1.8 найдите модуль вектора
d = a + b и угол а наклона d к оси X.
1.10. Материальная точка переместилась
из точки А (1 см, 10 см) в точку В (5 см, 6 см).
14
Определите модуль ц направление вектора перемещения по отношению
к выбранной системе координат.
1.11. По бикфордову шнуру пламя распространяется равномерно со
скоростью о,=0,5 см/с. Какой длины шнур необходимо взять, чтобы
поджигающий его смог отбежать на безопасное расстояние 5= 120м,
пока пламя по шнуру дойдет до взрывчатого вещества? Скорость бега
о2=4м/с.
1.12. Противотанковое орудие стреляет прямой наводкой по танку.
Разрыв снаряда замечен на батарее через время tt = 0,6 с, а звук от раз-
рыва услышан через время г2 = 2,1 с после выстрела. На каком расстоя-
нии S от батареи находился танк и с какой горизонтальной скоростью у,
летел снаряд? Скорость звука v2 = 340м/с, скорость света с= 3-108м/с.
1.13. Две материальные точки движутся прямолинейно так, что зави-
симость их координат от времени задается графиками, представленны-
ми на рис. 1.13. Углы а и (3 заданы, причем а>р. Постройте качествен-
но графики зависимостей: 1) |б| = /(Г); 2) =/(/); 3) S=f(t). а>0,
Ь>0.
1.14. По заданным на рис. 1.14 графи-
кам vx(t) напишите кинематические урав-
нения движения материальных точек 7 и 2.
Начальные координаты: хО1=0, х02=4м.
Нарисуйте графики зависимостей xt(f), х2(г),
S2(f). Найдите путь, пройденный вто-
рой точкой за 1=5 с и координату второй
точки в этот момент времени.
1.15. Тело движется по оси ОХ.
Рис. 1.14
15
Рис. 1.15
Зависимость x(f) представлена на рис. 1.15. Пай-'
дите модуль скорости и и проекцию вектора
скорости vx на ось ОХ в моменты времени 1 с; 2,5
с; 4 с. Определите путь S, пройденный телом за 2
с, 3 с и 5 с. Напишите уравнение движения теда.
на временных интервалах 0 < г < 2 и 3 <г<5.
Нарисуйте графики vx(f) и s(f).
1.16. Точка движется с постоянной скоростью
v (рис. 1.16). При 1 = 0 точка имела координаты
х0, у0. Напишите кинематические уравнения
движения точки по осям ОХ и OY. Найдите урав-
нение траектории.
1.17. Две материальные точки движутся
вдоль оси абсцисс равномерно со скоростями
8 м/с и 4 м/с. В начальный момент первая точка
находится слева от начала координат на расстоя-
нии 21 м, вторая — справа на расстоянии 7 м.
Напишите уравнение движения для каждой точки. Через какое время
первая точка догонит вторую? Где это произойдет? Нарисуйте графики
vx(t), v(t), x(t) и S(t) для первой и второй точек.
1.18. Расстояние между двумя точками в начальный момент I = 300 м.
Точки движутся навстречу друг другу со скоростями г\=1,5м/с и
v2 = 3,5 м/с. Выбрав рациональную систему отсчета, напишите кинема-
тический закон движения для каждой материальной точки и постройте
графики зависимостей x/f), x2(f). В какой момент произойдет встреча
точек? Найдите пути, пройденные каждой точкой до встречи. Постройте
графики 5,(0, S2(z). В чем отличие графиков x(t) и 5(1)?
1.19. При равномерном движении двух тел навстречу друг другу
расстояние между ними уменьшается на 16 м каждые 10 с. При движе-
нии этих тел с прежними скоростями в одном направлении расстояние
между ними увеличивается на 3 м за каждые 5 с. Какая скорость каж-
дого тела?
1.20. Поезд прошел 300 км. В течение 1 ч он двигался со скоростью
100 км/ч, затем сделал остановку на 30 мин. Оставшуюся часть пути он
проходил со скоростью 40 км/ч. Какая средняя скорость поезда?
1.21. Один автомобиль прошел половину пути со скоростью vt, а
вторую половину пути со скоростью и2; другой автомобиль шел треть
16
времени со скоростью и,, а две трети времени со скоростью v2 Какая
средняя путевая скорость каждого автомобиля?
1.22. Одинаковое расстояние необходимо проехать на лодке туда и
обратно один раз по реке, другой раз по озеру. Одинаковое ли время
понадобится в обоих случаях, если скорость лодки относительно воды в
обоих случаях одинакова?
1.23. Пароход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 суток, а
обратно — 7 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Нижнего
Новгорода до Астрахани?
1.24. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за
г, = 1 мин. Если человек будет идти относительно эскалатора вдвое бы-
стрее, то он спустится за г2 = 45 с. Сколько времени спускается человек,
стоящий на эскалаторе?
1.25. По двум пересекающимся дорогам А и В движутся четыре ав-
томобиля 1, 2, 3, 4, как указано на рис. 1.25. Их скорости равны соответ-
ственно Hj = 10M/c, п2=15м/с, п3 = 20м/с, В
п4=25м/с. Найдите: 1) скорость четвертого ав- 2»
томобиля относительно второго п4 2; 2) скорость v21 j j
третьего автомобиля относительно первого v3l; А « » <—*
3) скорость второго автомобиля относительно 4»
первого v2,; 4) скорость четвертого автомобиля у I
относительно третьего и4 3.
1.26. Колонна войск движется по шоссе со рис 1.25
скоростью = 1 м/с. Командир, находясь в «хво-
сте» колонны, посылает мотоциклиста с донесением головному отряду.
Через fj = 11 мин мотоциклист возвращается. Какова длина колонны
войск, если на передачу донесения было потрачено t2 = 1 мин? Скорость
мотоциклиста в обоих направлениях одинакова и равна v2 = 15 м/с.
1.27. Два поезда идут навстречу друг другу, один со скоростью
Dj = 10M/c, другой со скоростью v2= 20м/с. Пассажир второго поезда
замечает, что первый поезд проходит мимо него в течение г=20с. Длина
поезда, в котором едет пассажир, Z2 = 200m. В течение какого времени
второй поезд обогнал бы первый, если бы они шли в одном направле-
нии? Замечание: обгон начинается в момент, когда «нос» второго поезда
поравнялся с «хвостом» первого и заканчивается, когда «хвост» второго
поезда поравнялся с «носом» первого.
17
Л
c\jlf2
Mt
в
A
Рис. 1.30
1.28. Катер пересекает реку. Скорость течения б, , скорость катера
относительно воды v2 (о2 > t»i). Под каким углом а к берегу должен
идти катер, чтобы пересечь реку: 1)за минимальное время; 2) по
кратчайшему пути? Найдите время движения в каждом случае, если
ширина реки L.
1.29. Рыбак, плывя по течению с постоянной относительно воды ско-
ростью, проезжая под мостом, потерял удочки. Через полчаса он заме-
тил пропажу и повернул обратно. На расстоя-
нии 4 км от моста он встретился с удочками.
Какая скорость течения реки?
1.30. Точка движется из А со скоро-
стью о,. Точка М2 движется из В со скоро-
стью й2 (рис. 1.30). Чему равна скорость
второй точки относительно первой б21 и
первой относительно второй б12? Угол а задан. Как построением
найти минимальное расстояние г, на которое сближаются точки, если
они начали свое движение одновременно? Чему равно это расстоя-
ние, если АВ = L?
1.31. Капли дождя, падающие отвесно, образуют на окне горизон-
тально движущегося троллейбуса полосы под углом а = 30° к вертика-
ли. Какая скорость падения капель, если троллейбус движется прямо-
линейно с постоянной скоростью v2= 5 м/с?
1.32. Тело соскальзывает с наклон-
ной плоскости, образующей угол а с
горизонтом. Наклонная плоскость
скользит по горизонтальному столу
(рис. 1.32). Скорость тела относительно
стола равна v. Графическим построе-
нием найдите скорость й наклонной
плоскости. В предположении, что вектор v образует угол Р с наклон-
ной гранью плоскости, определите ее скорость.
1.33. Человек, стоящий на крутом берегу озера, тянет за веревку
лодку, которая плывет по воде. Скорость, с которой человек выби-
рает веревку, постоянна и равна ot. Какую скорость v2 будет иметь
лодка в момент, когда угол между веревкой и поверхностью воды
равен а?
77777777777777777777
Рис. 1.32
18
1.34. Груз А поднимается прямолинейно
вертикально вверх с помощью двух канатов,
перекинутых через два неподвижных блока
(рис. 1.34). Концы канатов В и С тянут рав-
номерно со скоростью t»!. Найдите скорость
груза V2 в момент, когда угол между каната-
ми равен ct. Будет ли движение груза равно-
мерным?
1.35. По дороге MN движется автобус А
со скоростью vt. Человек находится в точке
В на расстоянии /t от дороги и /г от автобуса
(рис. 1.35). С какой минимальной скоростью
v2 и под каким углом а к нормали должен
идти человек, чтобы встретиться с автобу-
сом? Чему равна скорость человека относи-
тельно автобуса?
1.36. Сверхзвуковой самолет летит го-
ризонтально. Два микрофона, покоящиеся
на расстоянии I = 1000 м друг от друга по
одной вертикали, зафиксировали приход
звука от самолета с интервалом т = 2,5 с.
Скорость звука в воздухе = 330 м/с. С
какой скоростью v2 летел самолет?
1.37. Стержень АВ длиной I опирается
концами о пол и стенку (рис. 1.37). Конец
А движется по полу равномерно со скоро-
стью v . При г=0 конец А находится на
Рис. 1.37
расстоянии d от угла. Будет ли движение конца В равномерным? На-
пишите уравнения движения для концов А кВ. Найдите скорость
конца В.
1.38. Человек идет вниз по эскалатору метрополитена, который тоже
движется вниз. В первый раз человек насчитал 50 ступенек. Во второй
раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью втрое большей относительно
эскалатора, он насчитал 75 ступенек. Сколько ступенек он насчитает
на неподвижном эскалаторе?
19
2. Равнопеременное прямолинейное движение
2.1. Тело движется прямолинейно. Уравнение движения тела имеет
вид x=0,5?-3f+10, величины измерены в единицах СИ. 1) Найдите
начальную координату, модуль и направление вектора начальной скоро-
сти, модуль и направление вектора ускорения. 2) Напишите .уравнение
зависимости vx(f) и постройте ее график. Найдите модуль скорости тела
через 2 с и 4 с после начала движения и проекцию вектора скорости тела
на ось ОХ в эти моменты времени. 3) Постройте график зависимости
х(г). Найдите координату тела через 6 с после начала движения и путь,
пройденный телом за 6 с движения.
Рис. 2.2
А^>м/С
2.2. На рис. 2.2 представлены графики
зависимостей vx=f(t) при прямолинейном
движении тела. Как можно охарактеризо-
вать движение тела на всех участках? По
заданным графикам vx(t) постройте каче-
ственно графики ax(t), x(z), S(t). Значения
х(0) и 5(0) выберите произвольно.
2.3. Тело движется прямолинейно.
График зависимости vx(t) представлен на
рис. 2.3. Постройте в масштабе графики
ax(t), x(f), S(t). Начальные условия:
х(0) = 0, 5(0) = 0. Определите конечную
координату и среднюю скорость тела за
все время движения.
2.4. Даны графики vx(t) для двух тел
(рис. 2.4). Напишите кинематические
уравнения движения этих тел, приняв х(0) = 0. Найдите: 1) ускорения
20
тел; 2) координаты тел при /г=4 с и f2 = 8 с;
зат, =4с и т2 = 10с от начала движения.
2.5. На рис. 2.5 представлен график
зависимости проекции ускорения мате-
риальной точки на ось X от времени ax(f).
Считая и(0) = 0, постройте качественно
графики зависимостей vx(t), x(f), S(t).
Принять х(0) = 0, |а2| >а,.
2.6. Тело движется прямолинейно.
График зависимости ax(t) представлен на
рис. 2.6. Полагая, что начальная скорость
у(0) = 0 и начальная координата х(0) = 0,
постройте в масштабе графики vx(t), х(г) и
5(7). Определите конечную скорость тела
в момент г=5 с. Найдите координату тела
через 5 с после начала движения и путь,
пройденный телом за это время.
2.7. Скорость прямолинейного дви-
жения материальной точки подчиняется
закону v = 2г. Определите время, необхо-
3) пути, пройденные телами
димое для смещения точки на S' = 9 м от места старта.
2.8. Скорость тела за одну секунду увеличилась в два раза. Во сколь-
ко раз увеличится скорость тела за следующую секунду, если ускорение
тела постоянно?
2.9. Тело, двигаясь с постоянным ускорением а, потеряло половину
своей начальной скорости v0. За какое время это произошло и какой
путь прошло тело за это время?
2.10. Тело начинает движение из состояния покоя и в первую секун-
ду проходит путь S. Какой путь пройдет тело за три секунды движения и
за третью секунду движения?
2.11. Тело, имеющее начальную скорость уо = 2Ом/с, движется равно-
замедленно и останавливается через т=10с после начала движения.
Чему равно ускорение тела? Какой путь проходит тело до остановки?
Чему равны средние скорости тела на первой и второй половинах пути?
2.12. Человек стоит на перроне у начала головного вагона поезда.
Поезд трогается с места и движется равноускоренно. Первый вагон про-
ходит мимо человека за г^Юс. Чему равна скорость поезда через
21
f2 = 20 с после начала движения? За какое время мимо человека пройдет
пятый вагон этого поезда? Длина вагона I=20 м.
2.13. При равноускоренном движении тело проходит в первые два
равных последовательных промежутка времени, по т=4с каждый, пути
= 24м и S2=64m. Найдите начальную скорость и0 и ускорение а дви-
жущегося тела.
2.14. Поезд начинает двигаться и в течение г, = 1 мин движется с по-
стоянным ускорением at =0,5 м/с2, затем в течение г2 = 2мин с постоян-
ной скоростью, а затем г3 = ЗОс равнозамедленно до полной остановки.
Найдите среднюю скорость поезда.
2.15. Автомобиль трогается с места с постоянным ускорением а, и,
достигнув скорости v, некоторое время едет равномерно, затем тормозит
с постоянным ускорением а2 до остановки. Определите время движения
автомобиля, если он прошел путь S.
2.16. Тело брошено вертикально вверх со скоростью у, . Найдите
скорость v2, с которой тело вернется в первоначальную точку. Докажи-
те, что время подъема тела до верхней точки равно времени полета об-
ратно. Чему равны скорость и ускорение тела в верхней точке траекто-
рии? Сопротивлением воздуха пренебречь.
2.17. Какая максимальная высота, на которую поднимется камень,
брошенный вертикально вверх, если через т= 1,5 с его скорость умень-
шилась вдвое?
2.18. Определите, на сколько путь, пройденный свободно падающим
телом в и-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую
секунду?
2.19. С некоторой высоты свободно падает тело и последние
5= 196 м пути прошло за т = 4с. Сколько времени падало тело и с какой
высоты?
2.20. 3вук выстрела и пуля одновременно достигли высоты h = 990 м.
Выстрел произведен вертикально вверх. Какая начальная скорость пу-
ли? Скорость звука в воздухе v = 330 м/с. Сопротивлением воздуха пре-
небречь.
2.21. Камень падает в ущелье. Через т = 6с слышен звук удара камня
о дно ущелья. Определите глубину ущелья. Скорость звука v = 330 м/с.
2.22. С крыши падают одна за другой две капли. Через т = 2с после
начала падения второй капли расстояние между каплями стало I = 25 м.
22
На сколько раньше первая капля оторвалась от крыши? Считать
g = 10 м/с2.
: 2.23, Два тела, расположенные на одной высоте, начинают свободно
падать с интервалом т=2с. Как будет меняться расстояние I между те-
лами? Нарисуйте график зависимости расстояния между телами от вре-
мени. Сопротивлением воздуха пренебречь. Время отсчитывать от нача-
ла падения второго тела. Считать g= 10 м/с2.
2.24. Два тела, расположенные на одной вертикали на некотором
расстоянии /0 друг от друга, начинают одновременно свободно падать
вниз. Как будет меняться расстояние между телами? Нарисуйте графики
зависимостей координат тел от времени. Сопротивлением воздуха пре-
небречь.
2.25. Два тела начинают падать одновременно с разных высот ht и h2
(/ц >Л2) и достигают земли в один и тот же момент времени. Какую на-
чальную скорость сообщили первому телу, если нижнее начало падать
без начальной скорости?
2.26. Горение топлива в ракете продолжается т = 2с. При этом ракета
движется вертикально вверх с ускорением, модуль которого a = 2g. На
какую максимальную высоту поднимется ракета, если не учитывать
сопротивление воздуха? Найдите время движения ракеты с момента
прекращения горения топлива до соприкосновения с Землей.
2.27. В задаче 2.26 поместите начало координат на поверхности зем-
ли, а ось OY направьте вертикально вверх. Найдите зависимости vy(t),
ay(t) и y(z). Постройте графики vy(f), ay(f), y(f), S(t). Время отсчитывать от
начала движения ракеты.
2.28. Над колодцем глубиной h= 10 м бросают вертикально вверх ка-
мень с начальной скоростью v0= 14м/с. Через сколько времени и с какой
скоростью камень достигнет дна колодца?
2.29. Два мотоциклиста выезжают одновременно навстречу друг дру-
гу из пунктов А и В, находящихся на склоне горы. Расстояние между
пунктами 10 = 300 м. Первый мотоциклист поднимается в гору равноза-
медленно и имеет начальную скорость ц01 = 20 м/с. Второй мотоциклист
спускается с горы равноускоренно и имеет начальную скорость
у02= 10 м/с. Модули ускорений обоих мотоциклистов одинаковы и рав-
ны а = 2 м/с2. Выбрав начало координат в пункте А, напишите уравнения
23
движения для каждого мотоциклиста. Найдите зависимость проекции
скорости каждого мотоциклиста от времени и1л(г) и v^t). Найдите время
движения до встречи и пути, пройденные каждым до встречи. Как зави-
сит расстояние I между мотоциклистами от времени? Нарисуйте графи-
ки зависимостей х/г), x2(t), vlx(f), v^t), alx(t), a^t), 1(f).
2.30. Аэростат поднимается вверх равноускоренно без начальной
скорости и за время Г, = 4 с достигает высоты h = 40 м. Через г2 = 2 с после
старта из аэростата выпадает камень без начальной скорости относи-
тельно аэростата. Какой максимальной высоты Н достигнет камень? С
какой скоростью v камень упадет на Землю?
2.31. По наклонной плоскости пустили снизу вверх шарик. На рас-
стоянии I = 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через Т] = 1 с и
через т2 — 2 с после начала движения. Определите начальную скорость и
ускорение шарика, считая его постоянным.
2.32. Тело, брошенное вертикально вверх, дважды проходит через
точку на высоте h = 1 м. Промежуток времени между этими событиями
т = 3с. Найдите время от начала движения до возвращения тела в на-
чальное положение.
2.33. Тело начинает двигаться вдоль прямой без начальной скорости
с постоянным ускорением. Через т = 30 мин ускорение меняет направле-
ние на противоположное, оставаясь таким же по модулю. Найдите,
сколько времени тело будет двигаться до возвращения в начальное по-
ложение с момента старта.
2.34. Камень бросают вверх со скоростью о0 = 20м/с. Через т = 1 с с
той же скоростью бросают вверх второй камень. Через какое время от
начала подъема первого камня и на какой высоте камни столкнутся?
2.35. Два камня брошены вертикально вверх с одинаковыми скоро-
стями. Второй камень бросили на т с позже первого. С какой скоростью
движется второй камень относительно первого?
2.36. С высоты Н= 10 м над Землей без начальной скорости начинает
падать камень. С какой начальной скоростью был брошен с Земли вто-
рой камень, если известно, что камни столкнулись на высоте h = 1 м над
Землей, а двигаться начали одновременно?
24
2.37. Частица движется вдоль оси X. Уравнение движения частицы
имеет вид x = at(t0-t), где а и t0 — заданные константы. Найдите
путь, пройденный частицей за время от г, = 0 до t2=t0.
3. Криволинейное движение материальной точки.
Движение твердого тела
3,1. Двигаясь по окружности с постоянной по модулю скоростью
v = 10 м/с, тело переместилось из точки 1 в точку 2 по дуге с углом рас-
твора а=60°. Найдите модуль изменения скорости тела и угловую ско-
рость движения, если указанное перемещение произошло за т=5 с.
3.2. Минутная стрелка часов в три раза длиннее секундной. Каково
соотношение между скоростями концов этих стрелок? Как относятся их
угловые скорости?
3.3. Линейная скорость точек на краю вращающегося диска vt = 3 м/с.
Точки, расположенные на /=10см ближе к оси, имеют линейную ско-
рость п2 = 2 м/с. Какова частота вращения диска?
3.4. Скорость точек рабочей поверхности шлифовального круга не
должна превышать v = 100 м/с. Найдите предельную частоту вращения
для круга диаметром <7= 40 см. Определите нормальное ускорение точек
круга, наиболее удаленных от центра.
3.5. Определите линейные скорости и нормальные ускорения точек,
лежащих: 1) на экваторе; 2) на широте ср = 60°. Считать радиус Земли
равным R = 6400 км.
3.6. Чему равны нормальное и тангенциальное ускорения концов ми-
нутной и часовой стрелок часов, если их длины -
соответственно равны Ц = 2 см, l2 = 1 см. _____ »
3.7. Какую горизонтальную скорость необходи- f
мо сообщить телу, чтобы оно летело параллельно ( О \
поверхности Земли на малой высоте вдоль эквато- I J
ра? Считать, что радиус Земли равен R = 6400 км. А
3.8. Шкив радиусом R = 0,5 м приводится во вра-
вращение с помощью веревки, намотанной на шкив Рис. 3.8
(рис. 3.8). Конец веревки тянут с ускорением
25
а0=0,1 м/с2. Найдите нормальное, тангенциальное и полное ускбрения
нижней точки шкива А спустя т=2 с после начала вращения.
3.9, Поезд выезжает на закругленный участок пути с начальной ско-
ростью Uj = 15м/с и проходит путь 5=600м за время г=30с. Радиус
закругления /?= 1 км. Определите скорость v2 и полное ускорение а по-
езда в конце этого пути.
3.10. На горизонтальном валу, совершающем v = 200o6/c, на рас-
стоянии I = 20 см друг от друга закреплены два тонких диска. Для опре-
деления скорости полета пули произведен выстрел так, что пуля проби-
вает оба диска на одинаковом расстоянии от оси вращения. Определите
среднюю скорость пули при движении ее между дисками, если угловое
смещение пробоин оказалось равным а = 18°.
3.11. Из окна движущегося железнодорожного вагона свободно па-
дает тело. 1) Опишите качественно траектории тела относительно на-
блюдателей: а) находящегося в вагоне; б) стоящего на Земле. 2) Будут
ли равны между собой времена падения тела, вычисленные для случаев:
а) вагон неподвижен; б) вагон движется с постоянной скоростью и;
в) вагон движется с постоянным ускорением а 2
3.12. Тело брошено с высоты Н=25м горизонтально со скоростью
И
ц0 = 25м/с (рис. 3.12). Напишите кинематические
уравнения движения тела вдоль осей X и Y. Най-
дите уравнение траектории тела. Найдите время
полета тела Гп и дальность L. Сопротивлением
Рис. 3.12
3.13. В задаче 3.12 определите скорость тела в
произвольный момент времени t. Под каким
углом к горизонту будет направлен вектор ско-
роста v в момент соприкосновения тела с поверхностью Земли?
3.14. Тело брошено с некоторой высоты горизонтально со скоростью
и0= 10 м/с. Через какой промежуток времени т его скорость будет на-
правлена под углом а = 60° к горизонту? Чему равна скорость тела в
этот момент?
3.15. Самолет летит горизонтально с постоянной скоростью и на
высоте Я. С самолета нужно сбросить груз на корабль, движущийся
встречным курсом со скоростью и. На каком расстоянии L от корабля
летчик должен высвободить груз? Скорость груза относительно са-
26
монета в момент освобождения равна нулю. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
3.16. Тело брошено горизонтально со скоростью г?0=20м/с. Найдите
нормальное и тангенциальное ускорения спустя т = 2с после начала
движения тела.
3.17. Тело брошено с Земли со скоростью г?0 у>
под углом а к горизонту. 1. Выбрав начало ко- $
ординат в месте бросания (рис. 3.17), напишите *
кинематические уравнения движения тела вдоль
осей X и У. 2. Докажите, что тело движется по 0 х
параболической траектории. 3. Найдите время рис j p
полета тела. 4. Найдите (двумя способами) даль-
ность L полета тела. 5. Найдите угол «о, при котором дальность полета
тела будет максимальной при заданной начальной скорости v0.
6. Найдите максимальную высоту Н подъема тела над поверхностью
Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3.18. В задаче 3.17 определите скорость v тела в любой момент вре-
мени г. Постройте графики зависимостей проекций скорости тела на оси
X и У от времени. Найдите нормальное и тангенциальное ускорения тела
в верхней точке траектории. Найдите радиус R кривизны траектории в
точке максимального подъема тела.
3.19. Два тела брошены под углом а к горизонту. Начальные скоро-
сти тел равны соответственно г?0 и 2г?0. Определите отношение дально-
стей полета тел L2/Ll. Сопротивлением воздуха пренебречь.
3.20. Снаряд вылетает из ствола орудия со скоростью г?0 = 600 м/с под
углом а = 30° к горизонту. Через сколько времени и на каком расстоя-
нии, считая по горизонтальному направлению от места выстрела, будет
находиться снаряд на высоте h = 400 м ? Какова скорость снаряда в выс-
шей точке траектории?
3.21. Тело, запущенное под углом 30° к горизонту, дважды побывало
на некоторой высоте h спустя 3 с и 5 с после начала движения. Найдите
начальную скорость тела и высоту h.
3.22. Тело брошено с башни высотой Н со скоростью vQ, направленной
вверх под углом а к горизонту. Поместив начало системы координат у
основания башни, напишите уравнения движения тела вдоль осей X и У.
Получите уравнение траектории тела. Найдите расстояние по горизонтали,
27
которое пролетит тело, и угол |3 с поверхностью Земли, который составляет
вектор скорости тела при соприкосновении с Землей.
3.23. Бомбардировщик пикирует на цель под углом а=60° к гори-
зонту со скоростью v = 540 км/ч и сбрасывает бомбу на высоте h = 600 м.
Какое расстояние в горизонтальном направлении пролетит бомба?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
3.24. Двое играют в мяч, бросая его друг другу. Какой наибольшей
высоты достигает мяч во время игры, если от одного игрока к другому
он летит 2 с?
3.25. Дальность полета тела равна высоте его подъема над поверхно-
стью Земли. Под каким углом к горизонту было брошено тело?
3.26. Тело брошено с поверхности Земли под углом а = 30° к гори-
зонту. Пролетев по горизонтали расстояние lt = 6 м, тело совершает аб-
солютно упругое соударение с вертикальной неподвижной стенкой,
отражается и падает на расстоянии /2=10м от стенки. Определите, с
какой начальной скоростью было брошено тело?
3.27. Из шланга, установленного на Земле, бьет под углом а = 30° к
горизонту струя воды с начальной скоростью г0= 15 м/с. Площадь сече-
ния отверстия шланга 5=1 см2. Определите массу воды в струе, находя-
щейся в воздухе. Плотность воды р = 103 кг/м3.
3.28. С высоты Н= 2 м вниз под углом а = 60° к горизонту брошен
мяч с начальной скоростью г0=8,7м/с. Найдите расстояние S между
двумя последовательными ударами мяча о Землю. Сопротивлением
воздуха пренебречь, удары считать абсолютно упругими.
3.29, Упругий шар свободно падает вертикально на наклонную плос-
кость с высоты й = 2м и упруго отскакивает. На каком расстоянии от
места падения он второй раз ударится о ту же плоскость? Угол наклона
плоскости к горизонту а=30°.
3.30. Из миномета ведут обстрел объекта, расположенного на
склоне горы (рис. 3.30). Угол наклона горы Р, угол стрельбы а по
отношению к горизонту. На каком расстоянии
S = AB будут падать мины, если их начальная
скорость и0 ?
3.31. С башни высотой Н бросают камень со
скоростью vQ. Под каким углом а к горизонту
следует его бросить, чтобы дальность
Рис. 3.30
28
полета камня по горизонтали была максимальной? Чему равна эта
дальность?
332. Испытание осколочной гранаты производится в центре дна ци-
линдрической ямы глубиной Н. Образующиеся при взрыве осколки,
скорость которых не более v0, не должны падать даже на край ямы.
Каким должен быть минимальный диаметр ямы?
333. Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоро-
стью vt. В нее бросил камень неопытный охотник так, что в момент
броска скорость камня была направлена на
утку и составляла угол а с горизонтом. На-
чальная скорость камня v2. На какой высоте
летела утка, если камень все же попал в нее?
3.34. Катушка с намотанной на ней ни-
тью лежит на горизонтальном столе и может
катиться по нему без скольжения (рис. 3.34).
Внутренний радиус катушки г, внешний —
R. С какой скоростью v0 и в каком направле-
нии будет перемещаться ось катушки, если
конец нити тянуть в горизонтальном направ-
лении со скоростью V. Как изменится ответ,
если нить будет сматываться сверху?
335. Велосипедист едет с постоянной
скоростью v по прямолинейному участку
дороги. Найдите мгновенные скорости отно-
сительно Земли точек колеса О, А, В, С, D,
если радиус колеса R (рис. 3.35). Угол а
задан. Точка С лежит на горизонтальном
диаметре.
3.36. Диск радиусом R находится ме-
жду двумя рейками, которые движутся в
противоположные стороны со скоростя-
ми vt и v2>vx (рис. 3.36). Проскальзыва-
ния между рейками и диском нет. Опре-
делите угловую скорость вращения дис-
Рис. 3.35
Рис. 3.36
ка и скорость его центра относительно неподвижной СО.
3.37. Частица движется в плоскости XOY. Уравнения движения час-
тицы имеют вид: x=acosciM; у = а(1 -sinow), где а и со — заданные кон-
29
станты. Найдите уравнение траектории частицы и путь, проходимый
частицей за время т.
3.38. Скорость материальной точки меняется по закону v = 3ti -4j ,
где i и j — единичные векторы, направленные по осям ОХ и OY
соответственно. Найдите нормальное ускорение ап, тангенциаль-
ное ускорение ах и радиус кривизны R траектории в произвольный
момент времени г.
30
II. ДИНАМИКА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА. СИЛЫ В
МЕХАНИКЕ
Динамика — раздел механики, изучающий движение материальных
тел под действием приложенных к ним сил. Динамике будут посвящены
разделы II, III, IV.
В основе динамики лежат три закона Ньютона.
Первый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчета, назы-
ваемые инерциальными, относительно которых твердое тело сохраняет
состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения
(v = const, а = 0), пока на него не подействуют силы.
Смысл первого закона Ньютона состоит в том, что он позволяет ввести
инерциальные системы отсчета и утверждает, что любые тела обладают
свойством инертности. Инерциальными являются с хорошей степенью
точности системы отсчета, жестко связанные с Землей или движущиеся
относительно Земли поступательно прямолинейно и равномерно.
Способность тела сохранять состояние покоя или равномерного пря-
молинейного движения называется инертностью тела.
Масса — количественная мера инертности тела. Зная плотность р
вещества сплошного тела и его объем V, можно рассчитать массу тела:
т - pV.
Сила — мера механического действия на данное материальное тело
других тел. Это действие может иметь место как при непосредственном
контакте, так и посредством полей (поле тяготения, электромагнитное
поле и т. п.).
Сила — векторная физическая величина, в каждый момент времени
характеризуется модулем, направлением в пространстве и точкой при-
ложения.
Второй закон Ньютона устанавливает связь между силой F, дей-
ствующей на материальную точку массой т, и ускорением этой точки
0 : a =F/m или F -та. Как правило, на тело действует несколько сил,
поэтому второй закон Ньютона записывается в виде
та = Fi .
d)
Векторная сумма сил, приложенных к материальной точке, называется
равнодействующей R системы сил {R = )•
(О
31
С помощью второго закона Ньютона устанавливается единица силы.
В СИ единицей силы является ньютон (Н). Сила в 1 Н сообщает телу
массой 1 кг ускорение 1 м/с2.
Если система сил приложена к твердому телу, то уравнение второго
закона Ньютона позволяет найти ускорение центра масс (центра тяже-
сти) тел независимо от точек приложения сил. При определенных усло-
виях твердое тело будет двигаться поступательно (именно такие задачи
рассматриваются в средней школе). В этом случае все точки тела обла-
дают одинаковым ускорением, равным ускорению центра масс.
Вторая формулировка второго закона Ньютона гласит: изменение
импульса материальной точки равно импульсу равнодействующей всех
сил, приложенных к этой точке:
( Л
Др - F • Д г,
U) J
где р = mv , Др = р2 - pj = mv2 - mvr. Эта формулировка является более
общей и при т = const переходит в первую. Вторая формулировка менее
известна школьникам, хотя в ряде случаев полезно использовать именно
ее. Более подробно об этом будет сказано в разделе III. Подчеркнем,
что: 1) направление вектора ускорения а совпадает с направлением
равнодействующей всех сил, приложенных к точке; 2) движение являет-
ся равнопеременным (а = const) только в случае, если V ; = const.
Третий закон Ньютона. Два тела взаимодействуют между собой с
силами, равными по модулю и противоположными по направлению.
Говорить о равнодействующей этих сил нельзя, так как эти силы при-
ложены к разным телам.
Рассмотрим силы, которые наиболее часто встречаются в динамике
твердого тела и материальной точки.
1. Гравитационная сила. В соответствии с законом всемирного тя-
готения эта сила пропорциональна произведению масс материальных
точек тх и т2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния г между
ними, направлена по прямой, соединяющей эти точки:
где <7=6,7-10 11 Н-м2/кг2 — гравитационная постоянная.
32
Если тела не являются материальными точками, то для расчета их
гравитационного взаимодействия необходимо разбить каждое тело на
очень малые части (материальные точки), подсчитать по данной форму-
ле силы притяжения между этими частями, а затем эти сиды векторно
сложить. В основе этих вычислений лежит принцип суперпозиции,
который является обобщением опытных фактов. Для тел произвольной
формы эта задача сложна математически. Можно показать, что в случае
гравитационного взаимодействия двух однородных шаров можно поль-
зоваться вышеприведенной формулой, где г — расстояние между цен-
трами шаров.
Следовательно, любое тело, линейные размеры которого пренебрежи-
мо малы по сравнению с размерами Земли, притягиваются к ней с силой
F = G7^r.
где М3 — масса Земли, R3 — радиус Земли, h — высота тела над по-
верхностью Земли, т — масса тела (см. пример 4).
2. Сила упругости. Эта сила возникает при
упругих деформациях пружин, стержней, ре-
зиновых жгутов и т. п. В случае упругого рас-
тяжения (сжатия) пружины проекция силы
упругости Fynp на ось X: Х=~кх, где к —
коэффициент пропорциональности, называе-
мый жесткостью пружины, х — удлинение
пружины, которое иногда обозначается AZ
(рис. 9, а). График зависимости Х(х) пред-
ставлен на рис. 9, б. Подчеркнем, что сила F,
вызывающая растяжение пружины, приложена
к концу пружины, направлена вправо и по
модулю равна силе упругости:
1^1 = 1#! = ^=^.
В случае упругого растяжения (сжатия) стержня длиной 10 и сечени-
ем S закон Гука имеет вид
A/_J_ Г
/0 ~ е s'
зз
где А/ — абсолютное удлинение стержня,------относительное удли-
ни
нение, Е - модуль Юнга (модуль упругости). Формулу можно предста-
, Д1 , SE
вить в виде F = к -да, где к - —.
1й
F
Величина О = называется механическим напряжением. Пре-
дельное значение напряжения, при котором не возникает остаточной
деформации, называется пределом упругости. Предел прочности
апр— такое напряжение, при котором происходит разрушение конст-
° пр
рукции. Запасом прочности п называется отношение п = —-, где о —
а
реальное напряжение, существующее в конструкции.
3. Сила трения. Эта сила возникает при скольжении одной поверхно-
сти по другой или при попытке вызвать такое скольжение. В первом случае
говорят о силе трения скольжения, которая равна F^=\kN, где ц— коэф-
фициент трения, /V — сила нормальной реакции поверхности. Во втором
случае говорят о силе трения покоя: Р^пакм<\хП. Сила трения скольжения
направлена противоположно относительной скорости перемещения.
4. Реакции связей. Связями называются тела, которые соприкаса-
ются с рассматриваемым телом, связывают это тело с другими тела-
ми, а также направляют и ограничивают его движение. Связи дейст-
вуют на рассматриваемые тела с некоторыми силами. На рис. 10, а
показано движение тела массой т. Связью является наклонная плос-
кость, которая действует на тело с силами N (нормальная реакция) и
F^ (сила трения).
На рис. 10, б гладкий стержень АВ лежит в гладкой полусферической
чаше. Чаша является связью и действует на стержень с силами (нор-
мальная реакция, перпендикулярная касательной, проведенной в точ-
ке А) и N2 (нормальная реакция, перпендикулярная стержню). На
34
рис. 10, в показан конический маятник. Связью является нить, на кото-
рой подвешено тело массой т. Нить действует на рассматриваемое тело
с силой Т (сила натяжения нити, направленная всегда вдоль нити).
Согласно третьему закону Ньютона на связь со стороны рассматри-
ваемого тела действует сила, равная и противоположно направленная
силе, действующей на тело со стороны связи. На рис. 10, г показаны
силы, действующие на наклонную плоскость со стороны тела: Q —
сила нормального давления (Q = -N) и сила F = -F (сравните с си-
лами на рис. 10, а).
Рис. 10
5. Вес тела (Р) — сила, с которой тело, находящееся в поле силы
тяжести, действует на площадку весов или растягивает подвес весов.
Если система тело-весы покоится или движется равномерно и прямоли-
нейно, то вес тела Р численно равен силе тяжести mg. Вес и сила тяже-
сти приложены к разным объектам (вес — к площадке или к подвесу
весов, сила тяжести — к телу). Если система тело-весы движется с ус-
корением, то Р Ф mg.
35
Р
Рис. 11
Пусть тело массой m лежит на чашке весов (рис. И). К телу прило-
жена сила нормальной реакции N, действующая со стороны чашки
весов. К чашке весов приложена сила Р,
действующая со стороны тела. Весы показы-
вают вес тела |р|. Согласно третьему закону
Ньютона, N = -Р, или 12Vj = |р| .
Следует отметить, что единицей измере-
ния веса (как и любой силы) в СИ является
ньютон (Н). Однако в повседневной жизни
широко используется внесистемная единица
силы килограмм-сила (кгс): 1 кгс = 9,8 Н.
Пример 4. Найдите ускорение свободного падения на высоте h от
поверхности Земли. Радиус Земли равен R.
Дано:
R3,g
g'-l
з-
Рассмотрим тело произвольной массы т на высоте h
(рис. 12). На тело действует сила тяжести F, которую можно
, Мт
представить двумя выражениями F-mg и F = G----------—,
(Аз+й)2
где g' — искомое ускорение, М — масса Земли.
Приравнивая правые части, получаем
, М „ М
g =G--------—. При л = 0 имеем g = G—где
(Яз+й)2 R23
g — ускорение свободного падения на поверхно-
сти Земли. Из последних двух выражений найдем
R3+h
g = g
Замечание. Вблизи поверхности Земли сила тяжести, действующая
М 2
на тело, равна mg, где т — масса тела, g = G—- = 9,8 м/с — ускорение
свободного падения вблизи поверхности Земли. Из последнего выраже-
ния можно найти массу Земли, если радиус Земли известен
(/?з = 6400 км): М = = 5,9 • 1024 кг.
36
Пример 5. На наклонной плоскости с углом наклона а находится те-
ло массой т, на которое действует сила F параллельно основанию.
Каков должен быть модуль силы, чтобы тело равномерно поднималось
вверх по плоскости? Коэффициент трения тела о плоскость р.
Дано: Нарисуем силы, действующие на тело (рис. 13).
щ, а, Ц, а = 0 Второй закон Ньютона имеет вид F + N + F^ + mg = 0.
F — ? Проецируя векторное уравнение на оси X и Y, получаем:
(Л"): Fcosa-mgsina-F^ = 0,
(у): -Fsina-mgcosa + N - 0.
Используя соотношение F^ = [W и решив систему уравнений, имеем
„ sina + ucosa
F = mg---------:--.
cosa-psina
Отметим, что во всех задачах, где рас-
сматривается сила трения, необходимо ука-
зать направление скорости (или предпола-
гаемое направление скорости) тела, так как
это определяет направление F^.
Пример 6. Через неподвижный и неве-
сомый блок перекинута нить, к концам ко-
торой привязаны два тела массой /п1 и т2.
Ко второму телу на нити привязано третье
тело массой т3 (рис. 14). Определите натя-
жение нитей и ускорение тел. Считать нити
легкими и нерастяжимыми.
Дано:
/п1, т2, т3
Т1 — ‘>Т2 — '>
а — 1
Предположим, что m2+w3>wi > тогда ус-
корения тел будут направлены так, как ука-
зано на рисунке. Нарисуем силы, дейст-
вующие на каждое тело, и запишем второй
закон Ньютона для каждого тела:
Рис. 14
37
т\ + m\g = mi^i;
fi+m2g + f2 = m2a2;
T2 + mig = m352 •
Оси Xj и X2, на которые будем проецировать векторные уравнения,
выберем направленными по ускорениям. После проецирования получим
систему уравнений:
Ti ~mlg = mlal-,
-T'+T2+m2g = m2a2;
-Т2 + m3g = m3a2.
Учтем, что ci\ = a2 = a (з силу нерастяжимости нити); Т{ =Т( и
Т2 = Т2 (в силу невесомости блока и нити). Решая полученную систему
уравнений, находим:
_2mi{m2+m3) _m3+m2-mx _ 2mtm2
•*i g > а ~ g г *2 g .
т1+т2+ т3 т1+т2+ т3 т1+т2+ т3
Пример 7. Определите натяжение нити и тангенциальное ускорение
математического маятника массой т, когда он проходит положение,
определяемое углом а с вертикалью, если его скорость в этот момент
равна и, длина нити I.
Дано:
т, v, I, а
Т—?ах — ?
На тело маятника действуют две силы: Т —
сила натяжения нити, mg — сила тяжести
(рис. 15). Второй закон Ньютона имеет вид:
Т + mg = ma. Тело маятника движется по ок-
ружности и имеет нормальное и тангенциальное
ускорения, направления которых указаны на
рисунке. По этим направлениям выберем оси X и
Y. Проецируя уравнения второго закона Ньютона на оси, получаем:
(х): T-mgcosa = man;
(у): wgsina = maT.
38
Учтем, что ап=—, где R=l. Получим
v
gcosa+—
Т = т
ат = g sin а .
4. Сила упругости. Закон всемирного тяготения.
Применение законов Ньютона к одному телу, движущемуся
прямолинейно и по окружности
4.1. Латунная проволока диаметром £) = 0,8мм имеет длину / = 3,6м.
Определите абсолютное и относительное удлинение проволоки под
действием силы F=25 Н, если модуль Юнга равен Е=9-1010 Па.
4.2. Плуг сцеплен с трактором стальной тягой. Допустимое напряже-
ние материала тяги ст = 20 ГПа. Какое должно быть сечение тяги, если
сопротивление почвы движению плуга Гс=1,6-105Н? Необходимый
запас прочности п = 1,5.
4.3. С крыши дома свешивается стальная проволока длиной /0 = 40м
и диаметром 0 = 2 мм. Какой наибольший груз можно подвесить на этой
проволоке, чтобы она не оборвалась? На сколько удлинится проволока,
если на ней повиснет человек массой т, = 70кг? Будет ли наблюдаться
остаточная деформация, когда человек отпустит проволоку? Предел
упругости стали ст, = 2,94-108Па, предел прочности ст2 = 7,85-108Па, мо-
дуль Юнга£=21,6-Ю|0Н/м2.
4.4. Определите жесткость системы из двух пружин при последователь-
ном и параллельном их соединении (рис. 4.4).
Жесткость пружин: к{ = 2 кН/м, к^=6 кН/м.
4.5. От резинового жгута жесткостью к от-
резали: 1) половину Ж1уга; 2) 1/3 длины жгута.
Чему равна жесткость оставшейся части жгута?
4.6. Вычислите ускорение свободного паде-
ния на расстоянии от центра Земли, вдвое пре-
вышающем ее радиус. Ускорение свободного
падения на поверхности Земли g = 10 м/с2.
4.7. Ракета, пущенная вертикально вверх,
поднялась на высоту //=3200 км и начала
VF
Рис. 4.4
39
падать. Какой путь h пройдет ракета за первую секунду своего паде-
ния? Радиус Земли принять равным R = 6400 км.
4.8. Радиус малой планеты R=250 км, средняя плотность р =
= З Ю3 кг/м3. Определите ускорение свободного падения на поверхности
планеты. Гравитационная постоянная G = 6,7-10"11 м3/(кг-с2).
4.9. Радиус Луны Rx равен 0,27 радиуса
Земли R2. Средняя плотность Луны р1 рав-
на 0,61 средней плотности Земли р2. Зная
ускорение свободного падения на поверх-
ности Земли, определите ускорение свобод-
ного падения на поверхности Луны.
4.10. Определить силу тяжести F, дейст-
вующую на тело массой т = 1 кг, находя-
щееся на расстоянии r= I04 км от центра
Земли. Радиус Земли Ro = 6400 км.
4.11. Тело движется по криволинейной
траектории (рис. 4.11). Определите направ-
ление вектора скорости, возможного на-
правления вектора полного ускорения и
равнодействующей всех сил, приложенных
к телу, в точках 1, 2 (точка перегиба траек-
тории) и 3. Рассмотрите случаи равномер-
ного, равноускоренного и равнозамедлен-
ного движения тела.
4.12. Тело массой 0,5 кг движется пря-
молинейно вдоль оси X. На тело действует
сила F, причем график зависимости vx(f)
представлен на рис. 4.12. Постройте гра-
фик зависимости Fx(f) на каждом этапе
движения и определите путь, пройденный
телом за 7 с.
4.13. На гладкой горизонтальной по-
верхности лежит тело массой т. Определи-
те его ускорение, если к телу приложена
сила F, направленная: 1) горизонтально;
2) под углом а к горизонту. Определите в
каждом случае силу давления на поверхность.
40
4.14. Тело массой т = 1кг находится на гладкой горизонтальной
плоскости (рис. 4.14, а). К телу прикладывают горизонтальную силу F,
зависимость проекции которой на ось X от времени Fx(t), представлена
на рис. 4.14, б. Нарисуйте графики зависимости проекции скорости vx
тела от времени и координаты х от времени. Найдите координату тела в
момент Г= Юс и среднюю скорость тела за первые 5с движения. На-
чальные условия: х(0) = 0; t\(0) = 0.
4.15. К телу массой т = 2 кг приложена сила F, направленная верти-
кально вверх. Определите ускорение а тела, если: 1) |г| =50Н;
2) |Р| =20Н; 3) |Р| = ЮН. Считать g = 10м/с2.
4.16. Решите задачу 4.15 при условии, что сила F направлена верти-
кально вниз.
4.17. С какой силой давит космонавт массой т = 60 кг на кресло при
вертикальном взлете ракеты с ускорением а = 9g ? Какова сила давления
на кресло в свободном полете при выключенных двигателях ракеты?
4.18. С гладкой наклонной плоскости, образующей угол а с горизон-
том, начинает соскальзывать тело. Найдите его ускорение. Определите
силу давления на наклонную плоскость, если масса тела т.
4.19. Тело толкнули вдоль шероховатой горизонтальной плоскости.
Коэффициент трения между телом и плоскостью равен ц. Найдите уско-
рение тела.
4.20. Тело массой т = 1 кг лежит на горизон- --------1--
тальной шероховатой поверхности. На тело дейст- |
вует горизонтальная сила F. Коэффициент трения fl 11А
ц=0,2. Определите ускорение тела, если величина МНх
Нравна: 1)0,5Н; 2)2Н; 3) 2,5Н. Постройте гра- '
фик зависимости силы трения F^ от силы F. Счи- Рис. 4.21
тать g -10 м/с2.
4.21. В теле массой т сделано отверстие, через р
которое пропущена веревка. Один конец веревки jf'
закреплен (рис. 4.21). Определите ускорение тела и у'
натяжение веревки , если сила трения между верев- __ .
кой и телом равна F. Какая должна быть сила тре-
ния, чтобы, движение тела не могло возникнуть? рис 4 22
4.22. Тело массой т лежит на горизонтальной
41
поверхности. Коэффициент трения между телом и поверхностью равен
ц. К телу приложена сила F, направленная под углом а к горизонту
(рис. 4.22). Найдите ускорение тела. При каком коэффициенте трения и
фиксированной силе движение будет равномерным?
4.23. Тело массой те=1кг взвешивается с помощью динамометра,
прикрепленного к потолку лифта. Определите результат взвешивания в
следующих случаях: 1) лифт неподвижен; 2) лифт движется вверх рав-
номерно со скоростью v = 8 м/с; 3) лифт движется равноускоренно вверх
с ускорением а^Зм/с2; 4) лифт движется равноускоренно вниз с уско-
рением а2 = 3 м/с2; 5) лифт свободно падает.
4.24. Тело массой т = 1 кг взвешивается с помощью динамометра,
прикрепленного к потолку вагона поезда, идущего прямолинейно и
горизонтально. Определите результат взвешивания (Р\), если поезд
движется равноускоренно с ускорением а = 3 м/с2. Как изменится пока-
зание динамометра (Pi), если поезд будет двигаться равнозамедленно с
тем же по величине ускорением.
। 4.25. Груз массой те = 0,1 кг подвешен с помощью
нити на тележке (рис. 4.25). Найдите натяжение нити
ф и угол а, который нить составляет с вертикалью, для
случаев: 1) тележка движется по горизонтальной
। плоскости с постоянной скоростью и = 1 м/с; 2) те-
лежка движется по горизонтальной плоскости равно-
ускоренно с ускорением а = 5м/с2; 3) тележка сво-
бодно скатывается с гладкой наклонной плоскости,
образующей угол Р с горизонтом.
4.26. Тело массой те движется равноускоренно вниз по наклонной
плоскости с углом наклона а. Определите ускорение, с которым движется
тело, и силу давления на наклонную плоскость, если коэффициент трения
равен ц. При какой величине ц тело: а) не будет соскальзывать с наклонной
плоскости; б) будет двигаться равномерно вдоль наклон-
F ной плоскости.
-1*/^ 4.27. Какую скорость должен иметь конькобежец,
— ' чтобы въехать с разгона в гору на высоту h- 1м?
' Подъем горы составляет 0,3 м на 10 м пути, коэффи-
циент трения коньков о лед ц= 0,01.
р . 4.28. Тело массой те = 1 кг движется по вертйкаль-
42
ной стене (рис. 4.28). К телу приложена сила F= 10 Н, направленная под
углом а=30° к вертикали. Коэффициент трения между телом н стеной
ц=0,2. Определите ускорение тела.
4.29. Самолет массой т= 10 т, развивающий силу тяги F = 1,5 • 105 Н
взлетает по прямой, направленной под углом а=30° к горизонту. На-
чальная скорость самолета при взлете ио=30 м/с. На каком расстоянии 5
по горизонтали от места взлета будет находиться самолет через т=2 с
после начала полета? Изменением массы самолета пренебречь. Сопро-
тивление воздуха в течение времени т считать постоянным н равным
Fc = 6000H.
4.30. Тело толкнули вверх по наклонной плоскости. Одинаковое ли
время потребуется телу для движения вверх до остановки и для спуска
вниз в первоначальную точку? Рассмотрите два случая: 1) наклонная
плоскость гладкая; 2) наклонная плоскость шероховатая.
431. По склону горы спускают на канате тележку массой т=500кг. В
некоторый момент времени тележку начинают тормозить с помощью кана-
та до полной остановки тележки. Найдите силу натяжения каната, если
скорость тележки перед торможением у=2 м/с, а время торможения т=5с.
Коэффициент трения р.=0,2, наклон горы к горизонту а=30°.
4.32. Груз находится на наклонной плоскости, образующей угол а с
горизонтом. К грузу приложена сила F, направленная
горизонтально (рис. 4.32). Коэффициент трения груза
о плоскость равен ц. Определите массу груза, если он
перемещается равномерно вниз по плоскости.
4.33. В задаче 4.32 масса груза равна т. Определи-
те величину силы F, при которой груз будет подниматься равномерно
вверх по наклонной плоскости.
4.34. Ленточный подъемник (транспортер) образует угол а с гори-
зонтом. С каким максимальным ускорением можно поднимать ящик на
таком подъемнике, если коэффициент трения между лентой и ящиком
равен ц? Лента подъемника не прогибается.
4.35. Брусок лежит на доске. Если поднять один конец доски, то при
угле наклона а=30° брусок начнет скользить. За какое время он со-
скользнет с доски длиной I = 1 м, если она образует с горизонтом угол
Р=45°.
4.36. Тело находится на плоскости, угол наклона которой может из-
меняться от 0 до 90°. Постройте график зависимости силы трения тела о
43
плоскость от угла наклона плоскости к горизонту. Коэффициент трения
тела о плоскость ц, масса тела т.
1 2 431. Автомобиль массой ш=103кг
движется со скоростью v=20 м/с по вы-
/ /R \ пуклому мосту, представляющему собой
frW v weiS дугу окружности Я=100 м (рис. 4.37). С
„ какой силой давит автомобиль на мост в
Рис. 4.37 , _ „
точках 1 и 2, если угол а=30 ? С какой
скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы не оказывать давления на
мост в точке 21 Как изменится решение задачи, если мост будет вогнутый?
4.38. Определите вес автомобиля, идущего со скоростью v = 72 км/ч,
в верхней точке выпуклого моста. Вблизи этой точки форма моста сов-
падает с окружностью радиусом R = 500 м. Масса автомобиля т = 500 кг.
4.39. Автомобиль движется по горбатому мосту, имеющему форму
дуги окружности радиусом 7? = 40м. Какое максимальное горизонталь-
ное ускорение может развить автомобиль в высшей точке моста, если
скорость его в этой точке v = 14 м/с, а коэффициент трения колес авто-
мобиля о мост (1=0,6?
4.40. Маленькая гирька подвешена к потолку на веревке. Гирьку
толкнули так, что она движется в горизонтальной плоскости по окруж-
ности, отстоящей от потолка на расстоянии h= 1,25 м (конический маят-
ник). Найдите период т обращения гирьки.
4.41. На горизонтальной вращающейся платформе на расстоянии
7? = 0,1м от вертикальной оси вращения лежит груз. Коэффициент тре-
ния между грузом и платформой (1 = 0,05. При какой максимальной час-
тоте вращения V] груз начинает скользить? Найдите силу трения при
vi 1
частоте v2 = , если масса груза т = 1 кг.
4.42. Автомобиль движется по горизонтальной дороге со скоростью
v = 10 м/с. Найдите наименьший радиус дуги, по которой может повер-
нуть автомобиль, если коэффициент трения между колесами автомобиля
и дорожным покрытием (1 = 0,25.
4.43. Определите силу, прижимающую летчика к сиденью самолета в
верхней точке петли Нестерова, если масса летчика тп = 75кг, радиус
петли R = 250 м, скорость самолета постоянна по величине и равна
v = 360 км/ч. Принять g = 10 м/с2.
44
4.44. В вагоне поезда, идущего равномерно со скоростью и=20 м/с
по закруглению радиусом /?=200м, производится взвешивание груза с
помощью динамометра. Масса груза составляет ш = 5кг. Определите
результат взвешивания.
4.45. Пусть Земля начала вращаться настолько быстро, что тела, на-
ходящиеся на экваторе, стали невесомыми. Найдите в этом случае про-
должительность суток. Радиус Земли /? = 6400км.
4.46. Определите радиус круговой орбиты искусственного спутника
Земли, период обращения которого равен одним суткам. Радиус Земли
/?о = 64ООкм.
4.47. Определите период Т обращения искусственного спутника Зем-
ли, вращающегося по круговой орбите радиуса R. Радиус Земли Ro.
4.48. Найдите минимальный период обращения спутника планеты,
имеющей плотность р = 3-103кг/м3. Гравитационная постоянная G =
= 6,7-10’5 * * * * * 11Н-м2/кг2.
4.49. Период обращения спутника Марса Фобоса равен 7 ч 39 мин.
Фобос удален от центра Марса на расстояние 9380 км. Определите по
этим данным массу Марса. Гравитационная постоянная G=
= 6,7-10'" Н-м2/кг2.
5. Применение законов Ньютона к системе связанных тел
5.1. Два бруска с массами тп^ОДкг и
т2 = 0,Зкг связаны легкой нитью и лежат на
гладком столе (рис. 5.1). К бруску массой т2
приложена сила F=1H, направленная парал-
лельно плоскости стола. С каким ускорением
будет двигаться система? Определите натяже-
ние нити. Что изменится в решении задачи, если сила F будет приложена к
бруску т1 и направлена влево?
5.2. Два тела с массами т1 = 50 г и т2 = 100 г связаны нитью и лежат
на гладкой горизонтальной поверхности. С какой горизонтальной силой
можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу на-
тяжения 7’0=5 Н, не оборвалась?
ГП[ т2
Рис. 5.1
45
53. Три тела с массами mt, т2 и т3 лежат на гладком столе (рис. 5.3).
К третьему телу приложена сила F под углом а к горизонту. Определите
натяжение всех нитей, считая их невесомыми.
5.4. Два тела массой mt и т2 связаны легкой нерастяжимой нитью и
лежат на шероховатом столе (рис. 5.4). Коэффициент трения между
столом и телами ц. Ко второму телу приложена сила F под углом а к
горизонту. Определите ускорение тел и натяжение нити.
Рис. 5.3
Рис. 5.4
5.5. Определите ускорения тел и натяжения нитей в системах, изо-
браженных на рис. 5.5, а, б, в, если массы т1 и т2 известны, угол а задан,
трение отсутствует. Массами блоков и нитей пренебречь.
5.6. В задаче 5.5 определите силу давления на оси блоков (рис. 5.5, а, б, в).
5.7. Ось блока системы, изображенной на рис. 5.5,6, прикреплена к ди-
намометру. Массы грузов =т2=т. На один из грузов кладут перегрузок
массой т3. Определите силу давления перегрузка на
-L груз во время движения системы и показание
* J динамометра.
' 5.8. Невесомая и нерастяжимая нить перекинута
Г7- А |~|тп2 через неподвижный невесомый блок. К концам
JL нити подвешены грузы т, = 5кг, т2 = 3кг. При дви-
mi I__I жении нить скользит по препятствию А, со стороны
5 которого испытывает силу сопротивления /= 10 Н
(рис. 5.8). Определите ускорения грузов.
46
5.9. С какой силой F необходимо тянуть конец
нити, чтобы невесомый подвижный блок подни-
мался с ускорением а. Масса груза, подвешенного к
блоку, равнатп (рис. 5.9).
5.10. Какое соотношение должно быть между мас-
сами тг и т2 в системе, изображенной на рис. 5.10,
чтобы грузы находились в покое? Определите ускоре-
ния грузов и натяжения нитей, если т1=0,1 кг,
т2=0,3 кг. Массой нитей и блоков пренебречь.
5.11. Одинаковые грузы, массой тп=100г каж-
дый прикреплены к нити, переброшенной через
блок. На один из грузов действует вертикально
вниз сила F=0,05H. Какой путь пройдет второй
груз за время т=2 с?
5.12. Два груза, связанные между собой нитью и
расположенные вертикально, движутся вниз с ус-
корением, вдвое большим ускорения свободного
падения. Во сколько раз натяжение нити, за кото-
рую тянут нижний груз, больше натяжения нити,
связывающей грузы? Масса нижнего груза в три
раза больше массы верхнего груза.
5.13. В системе, изображенной на рис. 5.13, нить
скользит через отверстие, сделанное в бруске 1,
испытывая силу сопротивления, равную f. Опреде-
лите ускорения брусков, если их массы равны соот-
ветственно т1 и т2. Трение между бруском 1 и
столом отсутствует.
5.14. Через невесомый блок перекинута нить, к
одному концу которой привязан груз , а по друго-
му концу скользит кольцо массой т2 (рис. 5.14). С
каким ускорением а движется кольцо, если груз
неподвижен? Чему равна сила трения кольца о нить?
5.15. Два груза массой тп| = 1кгитп2=2кг подве-
шены на нитях, причем второй груз тянут с силой
F=3H (рис. 5.15). В некоторый момент нить АВ
пережигают. Определите, с каким ускорением
Рис. 5.9
Рис. 5.10
Рис. 5.13
Рис. 5.14
Рис. 5.15
47
будут двигаться грузы и чему будет равна сила
т натяжения нити, связывающей грузы.
aXj—i_______ 5.16. Определите ускорение тел в системе, д
---——GJl показанной на рис. 5.16. Коэффициент трения
между телом и плоскостью ц=0,1. Задано:
□'«2 т, = 1,5 кг; т2 = О,5 кг; F= ЮН; а = 30°.
5.17. Три одинаковых груза, массой т ка-
Рис. 5.16 ждый, соединены друг с другом одинаковыми
невесомыми пружинами (рис. 5.17). К край-
нему грузу приложена горизонтальная сила, под действием которой
система движется с ускорением а. Определите изменение длины каждой
пружины. Коэффициент трения грузов о плоскость равен ц, жесткость
пружин равна к. Найдите силу F.
5.18. Бревно массой т, длиной I и сечением S лежит на гладкой гори-
зонтальной поверхности (рис. 5.18). Бревно толкают, прикладывая силу
F к торцу А, причем сила параллельна поверхности. Найдите напряже-
ние, возникающее в бревне на расстоянии 3/41 от торца А. Постройте
график зависимости усилия, возникающего в сечении бревна, от рас-
стояния до торца А.
Рис. 5.17
Рис. 5.18
Рис. 5.19
5.19. Однородный стержень длиной L лежит на гладком горизон-
тальном столе. На стержень действуют силы Fl и Fi <Fi, приложенные
к его концам и направленные в разные стороны (рис. 5.19). С какой си-
лой F растянут стержень в сечении, находящемся на расстоянии I от
левого конца стержня?
48
5.20. К грузу массой т1 = 1кг подвешен
на канате другой груз массой тп2=5кг. Ка-
кое натяжение будут испытывать верхний
конец и середина каната, если всю систему
поднимать вертикально вверх с силой
F=240H, приложенной к большему грузу?
Масса каната т3=4 кг.
5.21. В системе, изображенной на
рис. 5.21, найдите связь между ускорения-
ми тел, массы которых т1 = 3 кг, т2 = 2 кг,
т3 = 1 кг. Определите натяжения нитей.
Блоки невесомы, нити невесомы и нерас-
Рис. 5.21
тяжимы.
6. Разные задачи на законы Ньютона
6.1. Во всех задачах предыдущей главы мы считали, что массы блоков и
нитей равны нулю и нити нерастяжимы. Что следует из этих условий?
6.2. Тело брошено вертикально вверх. Как будут меняться скорость и
ускорение тела при подъеме и спуске? Чему равны скорость и ускорение
тела в верхней точке траектории? Рассмотрите два случая: а) сопротив-
ление воздуха отсутствует; б) сопротивление воздуха растет с увеличе-
нием скорости.
6.3. Веревка выдерживает груз массой = 110 кг при подъеме его
равноускоренно по вертикали и груз тп2 = 690кг при равноускоренном
опускании его по вертикали с таким же по величине ускорением. Какая
максимальная масса т3 груза, который можно поднять на этой веревке с
постоянной скоростью?
6.4. Тело массой /и=20 кг тянут по горизонтальной поверхности, при-
кладывая силу F= 120 Н. Если эта сила приложена к телу под углом а=60°
к горизонту, то тело движется равномерно. С каким ускорением будет дви-
гаться тело, если ту же силу приложить под углом Р=30° к горизонту?
6.5. Шайба скользит с плоской ледяной горки высотой Н, которая
плавно переходит в горизонтальную ледяную поверхность. Какой путь
49
пройдет шайба до остановки по горизонтальной поверхности, если ко-
эффициент трения шайбы о лед ц, а угол наклона горки к горизонту а?
6.6. а) Как определить угол наклона шоссе к плоскости горизонта,
имея деревянный брусок и динамометр? б) Как определить коэффици-
ент трения дерева по дереву, имея только деревянную доску, деревян-
ный брусок и длинную линейку?
6.7. Тело массой т = 10 кг лежит на шероховатом горизонтальном
столе. Коэффициент трения между телом и столом ц=1,5. На тело начи-
нает действовать сила под углом а=60° к горизонту. Модуль силы ме-
няется по закону F=b-t, где /?=0,5Н/с. Через какой промежуток време-
ни после начала действия силы тело начнет движение?
6.8. Наклонная плоскость с углом наклона а дви-
жется с ускорением а в сторону, указанную на рис. 6.8.
—Т~г~~~ При каком минимальном ускорении тело, лежащее на
р 6 наклонной плоскости, начнет подниматься? Коэффи-
циент трения между телом и плоскостью равен ц.
6.9. По гладкой наклонной плоскости пустили сни-
Рис. 6.11
зу вверх льдинку. На расстоянии I = 0,3 м от начала пути льдинка побы-
вала дважды: через т, = 1 с и через т2=2с после начала движения. Опре-
делите угол наклона плоскости к горизонту.
6.10. Стальной магнит массой т прилип к вертикальной стальной
стене. Для равномерного скольжения магнита вниз прикладывают силу
F[. Какую силу F2 необходимо приложить, чтобы перемещать магнит
равномерно вверх?
6.11. Магнит А массой тп = 5кг движется по вертикаль-
ной стенке, к которой он притягивается с силой F1 = 5 Н. К
магниту приложена сила F2 = 20H, линия действия которой
составляет угол а = 30° со стенкой (рис. 6.11). Определите
ускорение магнита, если коэффициент трения между стен-
кой и магнитом |Л = 0,2.
6.12. В задаче 6.11 определите, при каких значениях ц
магнит не будет двигаться. Сила F2 и угол а не меняются.
6.13. Тело массой т лежит на горизонтальном шероховатом столе.
Коэффициент трения между телом и столом ц. На тело начинает
действовать переменная горизонтальная сила F, модуль которой
50
растет от нуля. Постройте график зависимости модуля силы трения
от модуля силы F.
6.14. Тело массой т лежит на горизонтальном столе. На тело начина-
ет действовать горизонтальная сила F, модуль которой линейно зависит
от времени: F=ct, где с = const. Постройте график зависимости модуля
силы трения от времени, если коэффициент трения равен ц.
6.15. Парашютист массой mt = 80 кг спускается на парашюте с уста-
новившейся скоростью vt - 5 м/с. Какой будет установившаяся скорость,
если на том же парашюте будет спускаться мальчик массой тп2 = 40кг.
Считать, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости.
6.16. Какую массу балласта тх надо сбросить с равномерно опус-
кающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же
скоростью? Масса аэростата с балластом т2 = 1200 кг, подъемная сила
аэростата постоянна и равна Q = 8000 Н.
6.17. С каким ускорением отскочит от поверхности Земли после абсо-
лютно упругого удара теннисный мяч, упавший с очень большой высоты?
6.18. Невесомая и нерастяжимая нить перекинута через шерохова-
тое горизонтальное бревно. К концам нити подвешены грузы mt = 3 кг
и т2 = 5 кг. Нить, скользя по бревну, испытывает постоянную силу
сопротивления /= 5 Н. Определите силу натяжения нити с обеих сто-
рон бревна.
6.19. Ледяная горка составляет с горизонтом угол а=10°. По ней
пускают снизу вверх камень, который, поднявшись на некоторую высо-
ту, соскальзывает по тому же пути вниз. Найти коэффициент трения ц,
если время спуска в два раза больше времени подъема.
6.20. На наклонной плоскости, составляющей угол а с горизон-
том, находится небольшое тело массой т. К телу приложена сила,
направленная под небольшим углом |3 к наклонной плоскости
(рис. 6.20). Коэффициент трения между телом и плоскостью равен ц.
Какой должна быть приложенная сила, чтобы тело _
оставалось в покое?
6.21. Под каким углом к горизонту нужно тянуть за
веревку тяжелый груз массой т, чтобы с наименьшим
усилием передвигать его волоком по горизонтальной <---------7-*-
поверхности, если коэффициент трения между грузом
и поверхностью ц? Чему равна приложенная сила? Рис- 6 20
51
Рис. 6.22
Рис. 6.23
6.22. Пружинные весы D установлены на тележ-
ке, которая может скатываться без трения по на-
клонной плоскости (рис. 6.22). Тело А лежит на
весах. Чему равен угол наклона а плоскости, если
движущиеся весы дают показание = 600 Н, а не-
подвижные Р2=800 Н ?
6.23. На гладком горизонтальном столе лежит дос-
ка массой 7П] = 2кг, на которой находится брусок мас-
сой т2= 1 кг. Оба тела связаны невесомой и
нерастяжимой нитью, перекинутой через
невесомый блок (рис. 6.23). Какую силу F
нужно приложить к доске, чтобы она дви-
галась с ускорением g/2? Коэффициент
трения между доской и бруском ц=0,5.
6.24. Доска, имеющая массу тг может двигаться без трения по на-
клонной плоскости с углом наклона к горизонту а. В каком направлении
и с каким ускорением должна бежать по доске собака массой т2, чтобы
доска не соскальзывала с наклонной плоскости?
6.25. Шарик массой т, прикрепленный к резиновому шнуру, движет-
ся по окружности, скользя по гладкой
горизонтальной плоскости (рис. 6.25).
Период обращения шарика равен Т.
Найдите радиус окружности, по кото-
рой будет двигаться шарик, если жест-
кость шнура равна к, а длина нерастя-
нутого шнура равна 10.
Рис. 6.26
6.26. По вертикально расположенному обручу ра-
диусом R может скользить без трения колечко
(рис. 6.26). Обруч вращается вокруг вертикальной
оси, проходящей через его центр. Колечко находится
в равновесии на высоте h от нижней точки обруча.
Определите угловую скорость вращения обруча.
6.27. Чему равна первая космическая скорость для
52
планеты, масса и радиус которой в три раза больше, чем у Земли? Ради-
ус Земли R=6400 км.
6.28. На какую часть уменьшается вес тела на экваторе по сравнению
с весом тела на полюсе вследствие вращения Земли? Радиус Земли при-
нять равным R = 6400 км.
6.29. В известном аттракционе «мотоциклист на вертикальной стен-
ке» мотоциклист движется по внутренней поверхности вертикального
цилиндра радиусом R по горизонтальному кругу. Какова при этом
должна быть минимальная скорость мотоциклиста, если коэффициент
трения между шинами и поверхностью цилиндра равен ц? Размеры
мотоциклиста много меньше радиуса цилиндра.
6.30. Цилиндрический сосуд с жидкостью вращается с частотой
v = 2o6/c вокруг оси симметрии. Поверхность жидкости имеет вид во-
ронки. Чему равен угол а наклона поверхности жидкости к плоскости
горизонта в точках, лежащих на расстоянии г=5 см от оси?
6.31. Велосипедист движется с постоянной скоростью v =10 м/с по
кругу радиусом 7? = 34м. Под каким углом а к вертикали он должен
наклонить велосипед, чтобы сохранить равновесие?
6.32. Конькобежец движется по окружности радиусом R со скоро-
стью V. Угол его наклона к плоскости катка равен а. При каких значени-
ях коэффициента трения возможно такое движение?
6.33. Маленькое ведро с водой, прикрепленное к тонкой металличе-
ской штанге длиной I, может равномерно вращаться в вертикальной
плоскости. С каким максимальным периодом можно вращать ведро,
чтобы вода из него не выливалась?
6.34. Маленький шар подвешен на нити длиной /. Шар равномерно
вращается по кругу в горизонтальной плоскости. Система находится в
лифте, который поднимается равноускоренно с ускорением а. Опреде-
лите время полного оборота шара, если угол отклонения нити от верти-
кали а. Как изменится решение задачи, если лифт движется вниз равно-
ускоренно с ускорением a<gl Нить невесома и нерастяжима.
6.35. Две звезды, суммарная масса которых равна М, находятся на
расстоянии L. Найдите период обращения этих звезд относительно об-
щего центра вращения. Гравитационная постоянная G.
53
6.36. Определите продолжительность суток на планете, радиус кото-
рой в два раза меньше радиуса Земли, масса равна массе Земли, а пру-
жинные весы на экваторе планеты показывают вес на 1% меньше, чем
на полюсе. Принять радиус Земли R=6400 км.
637. Определите вес тела массой т вблизи поверхности Земли на
широте <р с учетом суточного вращения Земли вокруг собственной оси.
Радиус Земли R.
54
Ш. ИМПУЛЬС. ИМПУЛЬС силы.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Мерой действия постоянной силы F за промежуток времени А/ яв-
ляется векторная величина, называемая импульсом силы, равная F • Д/.
Мерой механического движения материальной точки является век-
торная величина, называемая импульсом р (или количеством движе-
ния) и равная произведению массы точки т на ее скорость v : р - т v .
Под действием сил импульс материальной точки меняется. Как уже
говорилось в главе II, второй закон Ньютона может быть записан в виде
Др = &
I« J
и сформулирован следующим образом: изменение им-
пульса материальной точки равно импульсу равнодействующей всех
сил, к ней приложенных (см. пример 8).
Импульсом системы материальных точек Р называется вектор-
ная сумма импульсов всех ее точек:
= =Е'"Л •
(О (>)
Силы, действующие между материальными точками, входящими в
систему, называются внутренними силами и обозначаются через f.
Остальные силы, действующие на систему, называются внешними си-
лами и обозначаются как F. Импульс системы меняют только внешние
силы. Можно доказать, что = (закон изменения импульса сис-
dt (‘)
темы; см. пример 11).
Совокупность тел, на которые не действуют внешние силы, называ-
ют замкнутой системой. Если система замкнута, то справедлив закон
сохранения импульса. Этот закон можно записать в векторной форме
или в проекциях на выбранные оси:
нх
ну
55
где Ря — начальный импульс системы; Рк — конечный импульс
системы.
Однако в любой реальной задаче найти замкнутую систему макротел
практически невозможно. При решении задач закон сохранения импуль-
са можно применять в следующих трех случаях.
1. Если векторная сумма внешних сил, действующих на систему,
равна нулю, то Ри = Рк.
2. Если сумма проекций внешних сил на некоторое направление рав-
на нулю, то в проекции только на это направление можно записать
НО Рну*Р*у> P»z*P*z'
3. Если длительность процесса взаимодействия мала, а возникающие
при взаимодействии силы велики, как например, при ударе, взрыве и
т. п., то за это малое время импульсом внешних сил можно пренебречь;
импульс каждого тела системы практически меняется только под дейст-
вием внутренних сил и импульс системы тел остается постоянным.
Иногда для обоснования применимости закона сохранения импульса
приходится пользоваться одновременно условиями 2 и 3.
Пример 8. Молот массой т свободно падает с высоты h на нако-
вальню и абсолютно неупруго (без отскока) взаимодействует с ней.
Определите силу удара, если его длительность т.
Дано:
т, h, Т.
Рис. 16
Под силой удара будем понимать силу Q, действующую на нако-
вальню со стороны молота. Согласно третьему закону Ньютона, сила
реакции N, действующая на молот (рис. 16, а), равна силе удара Q, или в
векторном виде N = -Q. Запишем для молота второй закон Ньютона в
56
виде
Др= . Тогда получим рг -pt = (n + mgjr, где
р} = mv — импульс молота непосредственно перед ударом, а р2 = О
(молот не отскакивает, рис. 16, б).
Спроецируем векторное уравнение на ось X, указанную на рисунке,
тогда получим -mv = (mg-N\t, где v— скорость молота перед уда-
ром. Ее можно найти из кинематического соотношения v = Jlgh . Из
последних двух выражений найдем силу удара Q = N = —---+ mg.
т
Пример 9. Пушка, стоящая на гладкой горизонтальной плоскости,
стреляет под углом а к горизонту. Масса снаряда т, его скорость V.
Какую скорость й приобретает пушка при выстреле, если ее масса М?
Дано:
т, v, а, М
и — ?
Рассматриваемая система тел состоит из пушки и снаряда. На
рис. 17, а показано состояние системы до выстрела, а на рис. 17,6 —
после выстрела. Система заведомо не является замкнутой: в процессе
движения снаряда в канале ствола реакция плоскости N будет больше
силы Mg. Однако проекция этих сил на ось X равна нулю, поэтому
РНХ=РКХ, гДе ^нх=0 (система до выстрела покоилась), Ркх=
= -Ми + mv cosa. Из уравнения 0=-Afw + znucosa найдем скорость отката
пушки и = -^-ucosa. Подчеркнем, что Рну*Рку и Рн Рк.
57
Пример 10. Человек массой т переходит с носа лодки на корму. Опреде-
лите, на сколько сместится лодка относительно берега, если масса лодки М, а
ее длина I. Трение между лодкой и водой пренебрежимо мало.
Рис. 18
(рис. 18,6). Из полученной
Дано:
т,М,1
S-?
Рассматриваемая система тел со-
стоит из лодки и человека (рис. 18).
Внешние силы (тяжести и архимедо-
ва) скомпенсированы, поэтому можно
записать РИХ=РКХ. Вначале лодка
покоилась: FHX=0. Когда человек
идет со скоростью v относительно
берега, лодка движется со скоростью
й (рис. 18, а).
Таким образом, Ркх = ти-Ми. За
время t лодка проходит путь S=ut,
человек проходит расстояние l-S=vt
ы уравнении найдем Л =-----1.
т + М
Пример 11. Свернувшаяся в кольцо кобра длиной I лежит на весах.
Кобра начинает равномерно со скоростью v поднимать вертикально
вверх голову. В произвольный момент времени в процессе подъема весы
показывают Q. Найдите массу змеи.
Дано:
у, l,Q
М—1
Кобру можно представить как совокупность
бесконечного множества материальных точек.
Воспользуемся законом изменения импульса,
который запишем в виде
ДР= ^Ft Дг в за'
. (О .
58
. М М _
Azji = —uAZ, М — масса кобры, — — масса единицы длины кобры,
в момент Z+Ar р2 = (т + Атл)у. Тогда
и закон изменения импульса имеет вид
подстановки Azn получим уравнение
„ М
которого в проекции на ось X имеем v—v =
даче закон имеет вид AP = (wg + ^)At, где N — нормальная реакция
со стороны площадки весов. Найдем ХР. Пусть в момент времени t
часть кобры массой т движется вверх со скоростью v (рис. 19). В этот
момент импульс кобры равен р{ =mv . В момент времени z+Az верти-
кально вверх будет подниматься масса кобры, равная т+Ат, где
. М . ..
I
Импульс кобры
Др = р2 - рА = А/пц
Алш = ^Mg + zv)az . После
М _ , _ -
v—v=Mg + N, из
= —Mg + N. Используя третий закон Ньютона Q = N, найдем массу коб-
ры М =----— . .
7. Импульс. Изменение импульса. Закон сохранения импульса
7.1. Два шара массой ги, = 2кг и /и2 = 3кг скользят по гладкой гори-
зонтальной ПЛОСКОСТИ СО скоростями VJ = 6 м/с и v2 = 4 м/с, причем v{lv2.
Найдите вектор импульса Р системы, состоящей из этих шаров, т. е.
модуль |р| и направление результирующего импульса (угол а между Р
И А = ).
7.2. Два одинаковых шарика массой /и = 2 кг движутся в горизон-
тальной плоскости с одинаковыми скоростями v=4 м/с: 1) вдоль одной
прямой навстречу друг другу; 2) вдоль одной прямой один за другим;
3) так, что угол между векторами скоростей шариков равен 120°. Чему
равен импульс системы, состоящей из двух шаров, в каждом случае?
73. В первом случае колесо вращается относительно неподвижной
оси. Во втором случае колесо катится без проскальзывания по горизон-
59
тальной плоскости со скоростью и0. Определите импульс колеса в пер-
вом и втором случаях, если его масса т.
7.4. Тело массой т=1 кг, двигаясь прямолинейно, увеличило свою
скорость от vt = 1 м/с до и2 = 10 м/с. Найдите изменение импульса Др.
7.5. Стальной шарик, имеющий массу т=10г и летящий со скоро-
стью v= 10 м/с, изменяет при столкновении направление своего движе-
ния на угол а=90°. Определите величину изменения импульса шарика
при столкновении, если величина его скорости не изменилась. Чему
равен импульс силы, вызывающий изменение направления движения?
7.6. Материальная точка массой т= 1 кг равномерно движется по ок-
ружности со скоростью v= 10 м/с. Найдите изменение импульса за одну
четверть периода; половину периода; целый период.
7.7. Тело массой т = 5кг брошено под углом а = 30° к горизонту с
начальной скоростью о0 = 20м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха,
найдите изменение импульса тела за время полета. Используя второй
закон Ньютона, сформулированный через импульс, определите время
полета тела.
7.8. Шар массой лг = 0,1 кг свободно падает с высоты h = 1,25 м на го-
ризонтальную плоскость. Найдите изменение импульса при абсолютно
неупругом и абсолютно упругом ударах.
Примечание. При абсолютно неупругом ударе шар прилипает
к плоскости; при абсолютно упругом ударе шар отскакивает без
потери скорости.
7.9. Падающий вертикально шарик массой т = 0,2 кг ударился о пол,
имея скорость v = 5 м/с, и подпрыгнул на высоту h = 0,4 м. Найдите сред-
нюю силу, действующую со стороны пола на шарик, если длительность
ударах = 0,01 с.
7.10. Тело массой лг = 0,1 кг скользит по гладкой горизонтальной
плоскости со скоростью v = 10 м/с и упруго взаимодействует с верти-
кальной стенкой под углом а = 60° к нормали. Трение между стенкой и
телом отсутствует. Найдите среднюю силу, действующую на стенку,
если длительность удара т = 0,01 с. Укажите на рисунке вектор измене-
ния импульса тела Др.
7.11. Струя воды ударяется в стальную, вертикально расположен-
ную, стенку под углом а=30° к нормали и упруго отражается от нее с
60
тем же модулем скорости. Найдите давление струи на стенку, если ско-
рость воды в струе v = 10 м/с. Плотность воды р = 103 кг/м3.
7.12. Решите задачу 7.11 в предположении, что стенка пористая, от-
ражение воды от стенки не происходит. Вода после взаимодействия
стекает вдоль стенки.
7.13. Два тела, летящие навстречу друг другу с одинаковыми скоро-
стями и0 = 5м/с, после абсолютно неупругого взаимодействия стали
двигаться как единое целое со скоростью v = 2,5 м/с. Чему равно отно-
шение масс этих тел?
7.14. На рельсах стоит платформа с песком массой тх = 104кг. Сна-
ряд массой лг2=10кг, летящий со скоростью v = 800 м/с, попадает в
платформу и не взрывается. Снаряд летел вдоль рельсов под углом
а = 30° к горизонту. Найдите скорость платформы и после попадания
снаряда и расстояние S, пройденное платформой до остановки, если
коэффициент трения ц = 0,2.
7.15. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой
7^ = 6 кг под углом а = 60° к горизонту со скоростью ц = 5м/с относи-
тельно Земли. Какую начальную скорость и приобретет конькобежец,
если его масса т2 = 75 кг? Силами сопротивления пренебречь.
7.16. По горизонтальным рельсам со скоростью у = 5 м/с движется по
инерции платформа массой 7^ = 200 кг. На нее вертикально падает камень
массой ттг2 = 50кг и движется вместе с платформой. Какой станет скорость
платформы? Через некоторое время в платформе открывается люк, и
камень проваливается вниз. С какой скоростью и2 движется после этого
платформа? Трение между рельсами и колесами платформы отсутствует.
7.17. Тележка с песком массой 777,= 10 кг катится со скоростью
vt = 1 м/с по горизонтальной поверхности без трения. Навстречу тележке
летит шар массой ттг2 = 3кг со скоростью
»2 = 8м/с, направленной под углом а = 60° к
горизонту. Шар застревает в песке. С какой
скоростью и куда покатится тележка после
встречи с шаром?
7.18. Ядро массой т{ = 10 кг, летящее под
углом а = 30 ° к горизонту со скоростью
Ц1 = 50м/с (рис. 7.18) попадает в движущую-
Рис. 7.18
61
""'1
’ 'v, и т2
-<-----•
Рис. 7.19
ся навстречу горизонтальную платформу и рикошетом отскакивает со
скоростью ^2=30 м/с под углом Р = 15° к горизонту. Определите ско-
рость платформы «2 после взаимодействия, если до взаимодействия она
двигалась навстречу ядру со скоростью ^ = 10 м/с. Масса платформы
т2 = 100 кг.
7.19. Две материальные точки массой и т2 скользят по гладкой
горизонтальной плоскости со скоростями », и соот-
ветственно, причем ц152 (вид сверху показан на
рис. 7.19). В результате взаимодействия точки слипают-
ся и продолжают движение совместно. Найдите ско-
рость совместного движения й.
7.20. От двухступенчатой ракеты общей массой М= 103кг в момент
достижения скорости v0= 170м/с отделилась ее вторая ступень массой
т = 400 кг, скорость которой при этом увеличилась до v = 185 м/с. Най-
дите, с какой скоростью стала двигаться первая ступень ракеты. Скоро-
сти указаны относительно Земли.
7.21. На расстоянии 5= 6 м от края обрыва расположено тело массой
ги,=5кг. В тело попадает пуля массой /п2 = 20г, летевшая с горизон-
тальной скоростью v = 1000 м/с и застревает в теле. Определите, упадет
ли тело вместе с пулей на дно обрыва, если коэффициент трения между
телом и Землей равен ц=0,2.
7.22. Брусок массой = 1,5 кг лежит на горизонтальной поверхности.
В него попадает горизонтально летящая пуля и пробивает его. Масса пули
щ2=9г, скорость ее перед взаимодействием с бруском у, = 800 м/с, а по-
сле — ц2= 150м/с. Какой путь 5 пройдет брусок до остановки, если коэф-
фициент трения между бруском и поверхностью ц=0,2. Считать, что
взаимодействие пули и бруска происходит мгновенно.
7.23. Ракета, имеющая вместе с зарядом массу щ^О^бкг, взлетает
вертикально вверх и достигает высоты h = 150 м. Масса заряда т2=
= 0,05 кг. Найдите скорость и истечения газов из ракеты, считая, что
сгорание газов происходит мгновенно.
.7.24. Из реактивной установки общей массой zn^SOOKr, находящей-
ся первоначально в покое на гладкой горизонтальной плоскости, в гори-
зонтальном направлении выбрасываются последовательно две порции
вещества со скоростью v= 100 м/с относительно установки. Масса каж-
62
дой порции пг2 = 25кг. Какой станет скорость установки после выброса
первой и второй порций? Сравните скорость установки после выброса
второй порции со скоростью установки, которую она бы получила, если
две порции 2т2 были бы выброшены единовременно со скоростью и
относительно установки.
7.25. Человек массой т{ стоит на длинной тележке массой т2. С ка-
кой скоростью и начнет двигаться тележка, если человек побежит по ней
с относительной скоростью у0? Трение между колесами тележки и по-
верхностью, на которой она стоит, отсутствует.
7.26. Человек массой 7^ = 80 кг стоит на конце тележки длиной
/=3м. Человек переходит на другой конец тележки, которая при этом
переместилась на 5= 1м. Определите массу т2 тележки, если трение
между тележкой и горизонтальной плоскостью, по которой она переме-
щается, пренебрежимо мало.
7.27. В результате взрыва граната разорвалась на три осколка. Два
осколка летят под прямым углом друг к другу: осколок массой т1-
= 1 кг— со скоростью у, = 12 м/с, осколок массой тп2 = 2кг — со скоро-
стью у2 = 8м/с. Третий осколок отлетает со скоростью и3 = 40м/с. Най-
дите массу третьего осколка.
7.28. Снаряд, выпущенный вертикально вверх, взорвался в верхней
точке траектории. После взрыва снаряда образовалось три осколка одина-
ковой массы, которые упали на Землю одновременно. Расстояние от места
выстрела до места падения двух из них равны = 3 км и Z2=4km, причем
линии, соединяющие места их падения с местом выстрела, составляют
между собой прямой угол. Какое расстояние 13 от места выстрела до места
падения третьего осколка? Сопротивлением воздуха пренебречь.
7.29. Лягушка массой т1 сидит на конце доски массой т2 и длиной L.
Доска плавает на поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом а к
горизонту вдоль доски. Какой должна быть начальная скорость v0 ля-
гушки, чтобы после прыжка лягушка оказалась на другом конце доски?
Сопротивлением воды пренебречь; считать, что доска не погружается в
воду во время прыжка.
7.30. Граната, летевшая горизонтально со скоростью с = 5 м/с, разо-
рвалась на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет
20% от массы гранаты, продолжает движение в том же направлении со
скоростью = 10 м/с. Найдите модуль и направление вектора скоро-
63
сти второго осколка. Как изменится решение задачи, если скорость
меньшего осколка й, будет направлена под углом а = 30° к вектору
скорости v?
7.31. Гимнаст массой тх, имея при себе камень массой т2, прыгает
под углом а к горизонту со скоростью V. В момент, когда им была дос-
тигнута наибольшая высота, он бросает камень со скоростью со относи-
тельно себя назад. Насколько увеличится дальность прыжка гимнаста
AL вследствие того, что им был брошен камень?
7.32. Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом к гори-
зонту, в верхней точке траектории разрывается на два осколка равной
массы. Один осколок после взрыва возвращается к исходной точке по
прежней траектории. Расстояние по горизонтали от орудия до точки,
над которой произошел взрыв, равно I. Где упадет второй осколок?
7.33. Снаряд, летевший горизонтально, разрывается на две равные
части, одна из которых упала вертикально вниз, вторая на расстоянии S
по горизонтали от места взрыва. Определите скорость снаряда перед
взрывом, если взрыв произошел на высоте Н и упавшая вертикально
вниз половина снаряда падала время т.
7.34. Тело массой тх падает свободно с высоты Н. На высоте 0,5// в
него попадает пуля массой т2, летевшая горизонтально со скоростью
v2, и застревает в теле. Найдите горизонтальное перемещение L тела с
пулей к моменту падения на Землю.
7.35. Два тела массами mt и т2 могут переме-
щаться по гладкой горизонтальной плоскости. Тела
связаны нерастяжимой и невесомой нитью, переки-
нутой через два неподвижных блока А и В и один
подвижный блок С, как показано на рис. 7.35. Блоки
невесомы. К оси блока С прикреплен груз т2, к
которому приложена вертикально направленная
сила F. При каком значении силы груз т2 будет
подниматься с ускорением а? Найдите ускорения тел.
/А
Рис. 7.35
64
IV. ЭНЕРГИЯ. РАБОТА.
ОБЩЕФИЗИЧЕСКИЙ ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Энергия (W, Е) — общая количественная мера движения и взаимо-
действия всех видов материи. В соответствии с различными формами
движения материи рассматривают различные формы (виды) энергии:
механическую, внутреннюю, электромагнитную, химическую, ядерную
и др. Энергия — скалярная величина. Учитывая все формы энергии,
можно сформулировать общефизический закон сохранения энергии:
энергия никогда не создается и не уничтожается, она только перехо-
дит из одной формы в другую (см. пример 15.)
В данном разделе рассматривается механическая энергия, которая являет-
ся мерой механического движения рассматриваемой системы тел и механи-
ческого взаимодействия тел системы друг с другом и с внешними телами.
Работа (А) — количественная мера изменения энергии. В механике рабо-
той постоянной силы F на прямолинейном перемещении Ег называется
произведение модуля силы на модуль перемещения точки приложения силы
и на косинус угла между вектором силы и вектором перемещения:
A(f) = |f| • |Ar| • cos (F, Ar).
л
Произведение |f|cos(F,At) есть проекция вектора F на направление
перемещения (обозначим как ). Таким образом, A(F') - F^. |Ar |.
График зависимости F&r=f(Er) есть прямая линия, параллельная оси Аг
(рис. 20, а), так как F = const и движение прямолинейное. На графике
работа численно равна площади затемненной фигуры. Причем, если
65
_ л _ л
cos(F1,AF)>0, то A(Fj)>0. Если cos(F2,AF)<0, то A(Fj)<0. Если
_л
cos(F, Аг) = 0, то A(F) = 0 (см. пример 13). Пусть модуль силы меняется,
но траектория остается прямой линией. И в этом случае работа пере-
менной силы F также будет численно равна площади затемненной
фигуры (рис. 20,6) (см. пример 12).
Единица работы — джоуль (Дж).
Мощность характеризует скорость совершения работы. Средней мощ-
ностью (N^) называется физическая величина, определяемая отношением
работы силы в течение промежутка времени Дт к этому промежутку:
N = — .
ср At
Единица мощности — ватт (Вт).
Мгновенной мощностью (N) называется физическая величина, рав-
ная пределу, к которому стремится средняя мощность при бесконечном
уменьшении промежутка времени At: N= liin —. Мгновенная мощ-
л
ность рассчитывается по формуле N = Fvcos(F,v).
Коэффициент полезного действия (КПД) — характеристика ма-
шины (устройства), которая преобразует или передает энергию. КПД (л)
определяется отношением полезно используемой энергии (WnM) к сум-
марному количеству энергии (WcyM), полученному машиной:
W
Т] = -^ •
W
сум
КПД — величина безразмерная, всегда меньше единицы, выражается в
виде правильной дроби или в процентах.
Механическая энергия (IVMex) системы равна сумме кинетической
(WJ и потенциальной (1УП) энергий этой системы: И/Мех= И^+ Wn.
Кинетической энергией тела массой т, движущегося поступательно
mv2
со скоростью v, называется величина JrK = .
Под действием сил тело изменяет свою скорость, а, следовательно, и
кинетическую энергию. Теорема об изменении кинетической энергии
66
гласит: изменение кинетической энергии тела равно сумме работ всех
сил, приложенных к этому телу:
Существует особый класс сил, которые называются потенциальными
(или консервативными) силами. Это такие силы, работа которых не зависит
от вида траектории, а однозначно определяется начальной и конечной коор-
динатами точки приложения сил. Работа потенциальной силы вдоль любой
замкнутой траектории (по замкнутому контуру) всегда равна нулю.
Мы встретимся со следующими потенциальными (консервативными) си-
лами: 1) гравитационная сила (в частности, сила тяжести), 2) сила упругости,
3) архимедова сила, 4) электростатическая (кулоновская) сила.
Потенциальная энергия системы тел (И7,,), внутренние силы которой
потенциальны (консервативны), определяется видом этих сил и коорди-
натами тел, входящих в эту систему. Работе потенциальных сил можно
поставить в соответствии убыль потенциальной энергии:
A(Fam)=-^a=Wal-Wa2, или &Wa~-A(Fam).
Последнее выражение часто используется для определения потенци-
альной энергии. Потенциальная энергия — часть механической энер-
гии взаимодействующих тел, зависящая от взаимного расположения
этих тел, причем изменение потенциальной энергии равно работе по-
тенциальных сил, взятой со знаком минус. Например, при подъеме тела
массой т вблизи поверхности Земли на высоту Л«Я3енли &Wa = mgh:
при опускании тела на глубину й AWn = -mgh. При растяжении (сжатии)
кх2
первоначально недеформированной пружины = -у, где х — ве-
личина деформации, к — жесткость пружины.
Итак, потенциальная энергия — это энергия, которой обладает сис-
тема вследствие потенциального взаимодействия ее составных частей.
Подчеркнем, что физический смысл имеет изменение потенциальной
энергии. Однако, если заранее выбран нулевой уровень (ноль отсчета
потенциальной энергии), то можно говорить о потенциальной энергии.
Потенциальная энергия системы взаимодействующих тел в данном ее
положении равна той работе, которую произведут потенциальные
силы при перемещении системы из данного положения в то, где потен-
циальная энергия системы условно принята равной нулю.
67
Пусть тело массой т перемещается вблизи поверхности Земли из
точки 1 в точку 2 (рис. 21). Выберем нулевой уровень на поверхности
Земли (Wn = 0). Тогда потенциальная энергия тела в положениях 7 и 2
2 равна Wnl=mghx, IVn2 = mgh2 соответственно. Изме-
д I нение потенциальной энергии Д1УП =
J=Wa2-Wal = mg(h2-hl)<0.
Л-ЧГ . s-r-.. rr — О
: ‘ ₽ Потенциальная энергия упруго деформирован-
Рис. 21 ной пружины или резинового жгута рассчитывается
по формуле Wn = кх2/2, где к — жесткость, х —
удлинение (сжатие). Отметим, что нулевой уровень выбран в положении
недеформированной пружины.
Механическую энергию системы могут изменять непотенциальные
силы Математическая запись теоремы об изменении механи-
ческой энергии имеет вид ЛИ/мех=А(Гнеп0Т). Подчеркнем, что в этой
теореме учитывается работа как внутренних, так и внешних непотенци-
альных сил. Сформулируем закон сохранения механической энергии:
если работа внутренних и внешних непотенциальных сил равна нулю,
то механическая энергия системы сохраняется.
В этом случае можно записать:
AWме=0, или AW+AW=0, или Wnl + WK, = Wn2 + W2.
При использовании последнего уравнения необходимо указать, где вы-
бирается нулевой уровень (см. пример 16). Если внутри системы дейст-
вуют силы трения, работа которых не равна нулю, то механическая
энергия системы убывает. Заметим, что систему, в которой выполняется
закон сохранения механической энергии, иногда называют консерва-
тивной системой.
В 10 разделе рассматриваются задачи на удар двух и более тел.
Промежуток времени, в течение которого длится удар, обычно очень
мал (~10-3 с), и, развивающиеся на площадях контакта соударяющихся
тел, силы достигают больших значений. Эти силы называются удар-
ными. В школе изучают только абсолютно неупругие и абсолютно
упругие удары.
При абсолютно неупругом ударе тел возникают силы взаимодейст-
вия; пропорциональные скорости деформации этих тел. При выравнива-
нии скоростей тел, т. е. при исчезновении скорости одного тела относи-
тельно другого, скорости деформаций тел становятся равными нулю и
68
тела не отталкиваются друг от друга. Они как бы «слипаются» и дви-
жутся дальше как единое тело (в частности, скорость совместного дви-
жения может быть равна нулю). В результате часть механической энер-
гии переходит в другие формы, поэтому закон сохранения механической
энергии не может быть использован (см. пример 15).
При абсолютно упругом ударе, т. е. при ударе абсолютно упругих
тел, упругие силы, возникающие при деформации, пропорциональны
величине деформации. В этом случае можно рассмотреть две фазы
взаимодействия. В первой фазе соударения кинетическая энергия тел
частично или полностью переходит в энергию упругой деформации и в
конце этой фазы относительная скорость тел становится равной нулю.
Во второй фазе тела восстанавливают свою первоначальную форму и
энергия упругой деформации вновь переходит в кинетическую энергию
тел. В этом случае справедлив закон сохранения механической энергии.
Закон сохранения импульса справедлив как при абсолютно неупругом,
так и при абсолютно упругом ударах.
Удар называется центральным, если тела до взаимодействия двига-
лись вдоль прямой, проходящей через центры масс этих тел.
Пример 12. Найдите работу силы упругости
при растяжении пружины на величину I. Жест-
кость пружины к.
Дано. Начало оси X выберем в положе-
Аг=1,к
нии нерастянутои пружины
А — 1 (рис. 22, а). Модуль вектора пере-
мещения равен I. Проекция силы
упругости Fynp на направление перемещения
определяется законом Гука: Fynpx = -fcc, где х —
величина удлинения. График зависимости
^ynPx=/W представлен на рис. 22, б'. Работа
силы упругости численно равна площади затемненного треугольника,
взятой со знаком минус: A(Fynp) = -0,5W2.
Пример 13. Тело массой т соскальзывает с наклонной плоскости
длиной I, образующей угол а с горизонтом. Коэффициент трения между
телом и наклонной плоскостью равен ц. Определите работу всех сил,
приложенных к телу на перемещении I.
69
Рис. 23
Дано:
т, I, а, ц
А(Л7) — ?
А(^)-?
A(mg) — ?
На рис. 23 указаны три постоянные силы, действующие на те-
ло. |Дг|=/. Модуль силы трения равен FTp = nN=^mgcosa. Найдем ра-
боты сил: A(FTp) = FTplcosTt = -nmglcosa; A(7V) = Mcos90° = 0; A(mg) =
= mgl cos0 = mgl sina.
Пример 14. Тело массой m брошено горизонтально с высоты h со
скоростью о,. При соприкосновении тела с Землей его скорость оказа-
лась равной v2 Найдите работу силы сопротивления.
Дано:
h,vx,v2,m
A(FC) —?
На рис. 24 указаны начальное / и ко-
нечное 2 положения тела. Воспользуемся
теоремой об изменении кинетической
энергии: WK2-WKl=A(Fc)+A(mg).
Сила mg является потенциальной,
поэтому ее работа вдоль траектории 1-2
равна работе этой силы вдоль траектории 1-В-2:
A(mg) = A(mg) + A(mg) = A(mg) + 0 = mgh .
I-B-2 1-B B-2 1-B
Следовательно,
Ж) = ^K2-WKl-A(mg) = ^--^-mgh.
Подчеркнем, что A(FC) < 0.
Пример 15. Шар массой тг, движущийся по гладкой горизонталь-
ной плоскости со скоростью v, сталкивается с неподвижным шаром
70
массой»^. Происходит абсолютно неупругое взаимодействие, после
чего шары «слипаются» и движутся как единое целое. Определите долю
механической энергии, перешедшей в немеханический вид, и скорость
совместного движения шаров.
Дано:
W'
и-?----1
На рис. 25, а показано положение сис-
темы до взаимодействия, а на рис. 25, б —
после взаимодействия. Так как сумма про-
екций внешних сил (сил тяжести и нор-
Рис. 25
мальных реакций) на ось X равна нулю в момент взаимодействия, то
можно применить закон сохранения импульса для определения скорости
й «слипшихся» шаров после их взаимодействия:
р«х=Ркх => w1y1+0 = (/n1+/n2)u => и =--.
т1 +т2
Механическая энергия при абсолютно неупругом взаимодействии не
сохраняется, часть ее переходит в немеханическую форму. Воспользу-
емся общефизическим законом сохранения энергии:
_(/П1+/п2)и2 ! ил,
2 2
где W' — энергия, перешедшая при ударе в немеханическую форму
(внутреннюю энергию).
Определим долю этой энергии по отношению к первоначальной ме-
ханической энергии:
mrf (Шу+т^и2
W' = 2 2 = т2 = 1
W\ т\ +т2 } । mi
2 т2
Из последнего соотношения следует, что если второй шар обладает
очень большой массой по сравнению с массой первого шара (т2 »т1),
71
w' ,
то — ~ 1, т. e. вся первоначальная механическая энергия переходит в
немеханическую форму (внутреннюю энергию).
Пример 16. Тело массой т начинает скользить без трения по на-
клонному желобу высотой Н, переходящему в окружность радиусом R
(рис. 26). С какой силой давит тело на желоб в положении 2, определяе-
мом углом а с вертикалью?
Дано:
Н, R, а
Q-?
Второй закон Ньютона для тела в
положении 2 имеет вид:
N + mg = та, где N — сила нор-
мальной реакции со стороны желоба;
а — полное ускорение тела в этом
положении. Сила Q, действующая
на желоб, связана с реакцией N, действующей на тело, третьим законом
Ньютона: Q = -N, или Q = N.
Следовательно, для ответа на вопрос задачи необходимо найти N.
Направим ось X к центру окружности, по которой движется тело, и
спроецируем уравнение второго закона Ньютона на эту ось:
N + mgcosa = та», где ап = v2/r ; v — скорость тела в точке 2. Трение
отсутствует, работа силы N вдоль всей траектории равна нулю (дока-
жите сами), поэтому можно воспользоваться законом сохранения меха-
нической энергии. Выберем нулевой уровень, как указано на рисунке.
Тогда Wnl + WK1 = Wn2 + , или mgff - mgh + mv2 /2 , где h = R + R cosa.
л u2 mv2
Получили систему уравнении: N + mg cos a = m—; mgH = mgh +-------;
h=R+R cosa.
Решая
систему
уравнений,
найдем
Q = N = mg 2-3cosa-2 .
R
72
8. Работа. Мощность. КПД
8.1. Мальчик тянет санки так, что скорость санок v = 1 м/с, прилагая
при этом к веревке силу F= 100 Н. Веревка образует с горизонтом угол
а=30°. Чему равна работа силы F, если санки переместились на рас-
стояние I = 50 м. Какую мощность развивает мальчик?
8.2. На тело массой т действует сила, параллель- =
нал наклонной плоскости, образующей угол а с го-
ризонтом (рис. 8.2). Под действием этой силы тело
равномерно перемещается на расстояние I из точки 1 ,
в точку 2. Найдите работу всех сил, приложенных к р с 8 2
телу. Коэффициент трения между телом и плоско-
стью равен ц.
8.3. На груз действует сила F, направленная вертикально вверх.
Одинакова ли работа этой силы, если груз поднимают на некоторую
высоту: 1) равномерно; 2) равноускоренно. Одинакова ли работа силы
тяжести в этих случаях?
8.4. Лифт массой т=103кг поднимается с ускорением а = 0,2 м/с2.
Чему равна работа силы натяжения каната, с помощью которого подни-
мается лифт, за первые т = 4 с движения?
8.5. Два автомобиля одновременно трогаются с места и движутся
равноускоренно. Массы автомобилей одинаковы. Во сколько раз сред-
няя мощность первого автомобиля больше средней мощности второго,
если за одно и то же время первый автомобиль достиг вдвое большей
скорости, чем второй?
8.6. Автомобиль массой т = 800 кг трогается с места и, двигаясь рав-
ноускоренно по горизонтальной дороге, проходит путь S=20 м за время
т = 2 с. Какую мгновенную мощность должен развить мотор автомобиля
в конце перемещения? Сопротивлением движению пренебречь.
8.7. Тело массой т лежит на шероховатой горизонтальной плоско-
сти. Под действием горизонтальной силы тело в первом случае движет-
ся равномерно со скоростью v, а во втором случае — с ускорением
а = const без начальной скорости. Нарисуйте в обоих случаях графики
зависимостей работы силы от времени, мгновенной мощности от време-
ни, средней мощности от времени. Коэффициент трения равен ц.
8.8. Поезд массой т = 600 т, отойдя от станции на S= 1 км, приобрел
скорость v = 72 км/ч. Какую среднюю мощность развивает двигатель
73
поезда? Какая мощность двигателя в конце перемещения? Сила сопро-
тивления движению постоянна и равна F= 103 Н.
8.9. Одинаковую ли работу совершает человек, поднимаясь по вер-
тикальному канату, который в одном случае привязан к потолку, а в
другом — перекинут через блок и на конце его привязан груз, масса
которого равна массе человека. Считать массу каната равной нулю.
8.10. Цилиндрическое бревно массой т и длиной I лежит на Земле. Ка-
кую работу необходимо совершить, чтобы поставить бревно вертикально?
8.11. Какую работу необходимо совершить, чтобы вырыть колодец
глубиной h и поперечным сечением S. Плотность Земли р. Вынимаемый
грунт рассыпается тонким слоем по поверхности Земли.
8.12. Из шахты глубиной 77= 200 м поднимается груз массой т =
= 500 кг на канате, каждый метр которого имеет массу т0=1кг. Какая
работа совершается при поднятии груза? Чему равен КПД подъемного
8.13. Тело движется в положительном
направлении оси X. На тело действует си-
ла F, проекция которой на ось в зависимо-
сти от перемещения представлена на
рис. 8.13. Определите работу силы на пере-
мещениях 4 м и 8 м.
8.14. При упругом удлинении первона-
чально недеформированной спиральной пру-
жины на х=2см возникает сила упругости
F=4H. Начертите график зависимости силы упругости от удлинения пру-
жины и по нему определите работу A i силы упругости при указанном удли-
нении пружины. Чему равна работа А2 силы, которая растягивает пружину?
8.15. В задаче 8.14 пружину удлинили еще на Д/ = Зсм. Чему в этом
случае равна работа силы упругости?
8.16. Какую работу необходимо совершить, чтобы только сдвинуть с
места брусок массой т = 1 кг, лежащий на шероховатой горизонтальной
устройства?
Рис. 8.13
поверхности, растягивая в горизонтальном направлении легкую пружи-
ну (рис. 8.16)? Коэффициент трения между бруском и поверхностью, на
Рис. 8.16
которой он находится, ц=0,8. Жесткость пружи-
ны к=40 Н/м.
8.17. В задаче 8.16 пружина первоначаль-
но была нерастянута. Приложив к пружине
74
силу, брусок передвинули иа I = 2 м. Найдите работу приложенной
силы.
8.18. Два мальчика, взявшись за разные концы динамометра, растя-
гивают его, прилагая каждый силу F=100H. Пружина динамометра
растянулась при этом на Д/=2см. Что покажет динамометр? Какую
работу совершили мальчики?
8.19. Две легкие пружины одинаковой длины, имеющие соответст-
венно жесткость kt = 10 Н/см и к2 = 20 Н/см, соединены между собой
последовательно. Какую работу необходимо совершить, чтобы растя-
нуть систему на I = 1 см?
8.20. Две пружины с жесткостями Л^ЗООН/м и Л2=500Н/м скреп-
лены последовательно и растянуты так, что абсолютное удлинение вто-
рой пружины равно х2 = 3см. Какая работа была совершена при растя-
жении пружин?
8.21. Две легкие пружины одинаковой длины, имеющие соответст-
венно жесткости ^=9,8 Н/см и к2= 19,6Н/см, соединены между собой
параллельно. Какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть
пружины на Z = 2 см?
8.22. Для растяжения пружины на I требуется сила F. Какая сила по-
требуется для растяжения на ту же длину I двух таких же пружин, со-
единенных: 1) последовательно, 2) параллельно? Какая работа будет
совершена при растяжении последовательно и параллельно соединен-
ных пружин?
8.23. Санки массой ш = 2кг и длиной 1= 1 м выезжают со льда на ас-
фальт. Коэффициент трения полозьев об асфальт ц = 0,5. Какую работу
совершит сила трения к моменту, когда санки полностью окажутся на
асфальте?
8.24. Цепь массой т и длиной I лежит на столе так, что часть цепи
длиной свешивается со стола. Чему равна работа силы трения при
соскальзывании цепи, если коэффициент трения между цепью и сто-
лом равен ц?
8.25. Какую работу необходимо совершить для того, чтобы
перетащить цепочку массой т и длиной I с одной т
полуплоскости на другую (рис. 8.25)? Коэф- । <rr~r~r^>—
фициент трения при движении цепочки по первой Hi Иг
полуплоскости равен ц,, по второй . Цепочка Рис. 8.25
вначале располагалась так, как указано на рисунке.
75
8.26. Груз массой т= 100кг поднимают с помощью наклонной плоско-
сти на высоту h=1 м. Наклон плоскости к горизонту а=30°, коэффициент
трения ц=0,1. Груз движется равноускоренно с ускорением а=1м/с2, на-
чальная его скорость равна нулю. Найдите работу, произведенную при
подъеме груза, среднюю мощность и КПД подъемника. Сила, перемещаю-
щая груз, направлена параллельно плоскости.
8.27. Какая мощность развивается к концу выстрела, если на снаряд
массой т = 6 кг действует постоянная сила давления пороховых газов
Г=6-104Н? Длина ствола орудия /=1,8м, сопротивлением движению
пули пренебречь.
8.28. Автомобиль массой т = 2т, мощность мотора которого
У=40 кВт, трогается с места и движется равноускоренно. Определите
время т, по истечении которого скорость автомобиля станет v = 60 км/ч.
8.29. Поезд массой т = 4-105 кг равномерно движется в гору. Уклон
горы составляет /г = 4м на каждый километр пути. Сила трения равна
Г=104Н. Тепловоз развивает мощность Р=0,32 МВт. С какой скоро-
стью движется поезд?
8.30. Уклон участка шоссе равен 0,05. Спускаясь под уклон с вы-
ключенным двигателем, автомобиль движется со скоростью v =15 м/с.
Какая должна быть мощность двигателя, чтобы автомобиль смог под-
няться на такой же подъем с той же скоростью? Масса автомобиля
т = 103кг.
Примечание: уклоном горы называется тангенс угла наклона горы.
9. Кинетическая и потенциальная энергии. Теорема об изменении
кинетической энергии. Закон сохранения механической энергии
9.1. Тело массой т= 1 кг свободно падает т = 3 с. Определите кинети-
ческую энергию тела в конце падения. Начертите графики зависимости
скорости и кинетической энергии тела от времени.
9.2. Тонкий обруч, имеющий массу т и радиус R, вращается равно-
мерно с частотой v относительно оси, перпендикулярной его плоскости
и проходящей через центр. Найдите кинетическую энергию обруча.
9.3. Мяч, летящий со скоростью vt =15 м/с, отбрасывается ударом
ракетки в противоположном направлении со скоростью о2 = 20м/с. Най-
76
дите изменение импульса мяча, если изменение его кинетической энер-
гии AWK=8,75 Дж.
9.4. Тело массой т = 0,5 кг, брошенное вертикально вверх со скоро-
стью ut = 20 м/с, упало обратно на Землю со скоростью v2 = 16 м/с. Опре-
делите работу силы сопротивления. Чему равна работа силы тяжести на
всем перемещении тела?
9.5. По склону горы длиной 7 = 50 м съезжают санки массой т = 60 кг
с высоты 7г = 10 м. Определите среднюю силу сопротивления при сколь-
жении санок, если у основания горы они имели скорость п = 8м/с. На-
чальная скорость санок равна нулю. Решите задачу двумя способами:
1) на основании второго закона Ньютона; 2) с помощью теоремы об
изменении кинетической энергии.
9.6. Гора, имеющая высоту Н и угол наклона а, плавно переходит в
горизонтальный участок. Санки съезжают с вершины горы и далее дви-
жутся по горизонтальному участку до остановки. Коэффициент трения
на всем пути одинаков и равен ц. Определите расстояние S, которое
пройдут санки, двигаясь по горизонтальному участку. Решите задачу,
используя теорему об изменении кинетической энергии.
9.7. Хоккейная шайба, имеющая начальную скорость п0=5м/с, про-
ходит до удара о борт площадки путь 5] = 5 м. Какой путь 52 пройдет
шайба после удара? Удар считать абсолютно упругим, коэффициент
трения шайбы о лед ц = 0,1.
9.8. Шарик, брошенный с высоты Я=250м вертикально вниз с на-
чальной скоростью п0 = 20м/с, погрузился в грунт на глубину h = 0,2 м.
Определите среднюю силу сопротивления грунта, если масса шарика
т = 2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь. Предложите два способа
решения задачи.
9.9. Камень массой т падает с высоты Н. Определите глубину по-
гружения камня в грунт, если средняя сила сопротивления грунта рав-
на F. Сопротивлением воздуха пренебречь.
9.10. Пуля, летящая с некоторой скоростью, углубляется в дерево на
расстояние ^ = 2 см. На какое расстояние 12 углубится в то же дерево
пуля, летящая со скоростью вдвое большей первоначальной?
9.11. Пуля летит с некоторой начальной скоростью. Она пробивает
доску толщиной <7= 3,6 см и продолжает полет со скоростью, состав-
ляющей и = 0,8 начальной. Какой максимальной толщины доску она
может пробить?
77
Рис. 9.13
9.12. Тело массой 1 кг пустили вверх по наклонной плоскости, со-
ставляющей угол 30° с горизонтом. Найдите максимальную высоту
подъема тела и работу силы трения, если начальная скорость тела равна
10 м/с, а коэффициент трения между телом и плоскостью равен 0,15.
9.13. Доска с покоящимся на ее
краю бруском, движется со скоростью
о = 3 м/с (рис. 9.13). При внезапной
остановке доски брусок начинает
скользить по ее поверхности. При
достижении бруском противополож-
ного края доски его кинетическая энергия уменьшилась в три раза по
сравнению с первоначальной. Чему равен коэффициент трения между
бруском и доской, если длина доски I = 0,45 м?
9.14. Тело массой т движется горизонтально в положительном на-
правлении оси X под действием силы F, проекция которой на ось X
задается выражением Fx = c-x, где с = const > 0, Начальная координата
тела х(0) = 0, начальная скорость о(0) = 0. Найдите зависимость скорости
тела v <ут координаты х. Трение отсутствует.
9.15. Тело массой т падает с высоты Н без начальной скорости. Най-
дите зависимость кинетической WK, потенциальной VTn и механической
VTMex энергий от времени. Постройте графики этих зависимостей. Нуле-
вой уровень выбрать на поверхности Земли. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
9.16. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0 = 14м/с. Чему
равна скорость тела в тот момент, когда кинетическая энергия тела рав-
на двум его потенциальным энергиям? Нулевой уровень выбран на по-
верхности Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь.
9.17. Тело брошено вертикально вверх со скоростью п0 = 20м/с. На
какой высоте его кинетическая энергия будет равна потенциальной?
9.18. Какие значения кинетической энергии WK и изменение потенци-
альной энергии AWn стрелы массой т = 0,1 кг, выпущенной из лука со
скоростью п0 = 40м/с вертикально вверх, через время = 3 с и ?2=6с
после начала движения? Сопротивлением воздуха пренебречь.
9.19. Тело массой т = 100 г, брошенное вертикально вверх с началь-
ной скоростью п0 = 20м/с, достигло максимальной высоты й=15м. Оп-
ределите работу силы сопротивления воздуха на этом участке.
78
9.20. Тело брошено с поверхности Земли со скоростью v0 под уг-
лом а горизонту. В каких точках траектории кинетическая энергия
тела максимальна, минимальна? В каких точках траектории потенци-
альная энергия тела максимальна, минимальна? Как меняется механи-
ческая энергия тела в процессе движения? Сопротивлением воздуха
пренебречь.
9.21. Тело массой т = 0,2 кг брошено под углом а = 60° к горизонту
со скоростью п0= 10 м/с. Определите его кинетическую, потенциальную
и полную механическую энергию в высшей точке траектории. Какая
работа была совершена при бросании тела? Сопротивлением воздуха
пренебречь.
9.22. Пуля массой т= Юг, выпущенная под углом а = 60° к горизон-
ту, в верхней точке траектории имела кинетическую энергию 1ТК =
= 800 Дж. Найдите начальную скорость пули. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
9.23. Тело бросают с высоты h вверх под углом а к горизонту с на-
чальной скоростью . В какой момент времени кинетическая энергия
тела будет равна его потенциальной энергии. Нулевой уровень выбран
на поверхности Земли.
9.24. Тело массой т = 1 кг, брошенное горизонтально со скоростью
v = 10 м/с, через некоторое время стало ближе к Земле на h = 20 м. В этот
момент его кинетическая энергия равна И/к = 200Дж. Найдите работу
силы сопротивления воздуха при движении тела за это время и работу
силы тяжести.
9.25. Самолет массой т летит на высоте h со скоростью vt. Летчик
выключает двигатель, и самолет в планирующем полете достигает по-
верхности Земли, касаясь ее со скоростью v2. Определите работу сил
сопротивления во время спуска самолета.
9.26. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы однород-
ный куб массой т = 100 кг, находящийся на горизонтальной плоскости,
перевернуть с одной грани на соседнюю? Длина ребра куба Z = 0,5 м.
9.27. При подъеме воздушного шара потенциальная энергия системы
«шар-воздух-земля» не увеличивается, а уменьшается. Почему?
9.28. На нити длиной I подвешен маленький шарик. Какую горизон-
тальную скорость надо сообщить шарику, чтобы нить отклонилась на
угол а=90°?
79
9.29. Вертолет поднимается вверх равномерно со скоростью и0=
=5 м/с. На высоте Л = 50м из него выпадает предмет. Пренебрегая со-
противлением воздуха, определите скорость, с которой предмет упадет
на Землю. Предложите два способа решения задачи.
9.30. Тело массой т, находящееся на вершине наклонной плоско-
сти высотой Н, соскальзывает вниз и, пройдя некоторый путь по го-
ризонтальному участку, останавливается. Какую работу надо совер-
шить, чтобы втащить тело обратно на вершину наклонной плоскости
по тому же пути?
931. Колодец, площадь дна которого S и глубина Н, доверху запол-
нен водой. Какой полезной мощностью должен обладать насос, чтобы
откачать воду за время т через трубу радиусом R? Сопротивлением
движению воды пренебречь.
9.32. Вертикально висящая недеформированная пружина обладает
жесткостью й=10Н/см. К нижнему концу пружины подвесили груз
массой т = Зкг и отпустили без начальной скорости. Определите макси-
мальное удлинение пружины, если масса пружины ничтожно мала.
9.33. Груз подвешен с помощью резинового жгута, первоначальная
длина которого 10. Длина жгута с подвешенным на нем неподвижным
грузом равна Ц. Груз поднимают до точки крепления жгута и отпуска-
ют. Найдите максимальное удлинение жгута.
9.34. Маленькое колечко массой т надето на
Рис. 9.34
большое проволочное кольцо радиусом R, распо-
ложенное в вертикальной плоскости. Колечко без
начальной скорости начинает скользить вниз из
верхней точки большого кольца (рис. 9.34). Най-
дите зависимость силы давления Q маленького
колечка на большое кольцо от высоты h, на кото-
рую опустится колечко. Нарисуйте график зави-
Рис. 9.35
симости Q=f(h) и определите по гра-
фику, на какой высоте й, колечко пере-
станет давить на большое кольцо. Тре-
ние отсутствует.
9.35. Небольшое тело соскальзыва-
ет по наклонному желобу, переходя-
щему в окружность радиусом R
(рис. 9.35). Первоначально тело нахо-
80
далось на высоте Н= 2R. На какой высоте h тело оторвется от поверхно-
сти желоба? С какой силой тело будет давить на желоб в тот момент,
когда скорость тела направлена вертикально вверх? Масса тела т,
трение отсутствует.
9.36. С какой минимальной высоты Н должно начать соскальзывать
тело в задаче 9.35 (рис. 9.35), чтобы оно в течение одного полного обо-
рота не оторвалось от поверхности желоба?
9.37. Какую горизонтальную скорость надо сообщить маленькому
шарику, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости,
если он висит: а) на жестком невесомом стержне длиной I; б) на легкой
нити длиной I ? Силами сопротивления пренебречь.
9.38. Небольшое тело массой т вращается в вертикальной плоскости
на невесомой штанге. Найдите разность сил натяжения штанги, когда
тело занимает крайние нижнее и верхнее положения. Рассмотрите два
случая: 1) скорость вращения постоянна; 2) скорость вращения меняет-
ся под действием силы тяжести. Силами сопротивления пренебречь.
9.39. Шарик массой т подвешен на нити длиной I. Первоначально
шарик находится в положении 7, при котором нить горизонтальна
(рис. 9.39). Шарик отпускают. 1) Определите работу силы натяжения
нити А(Т) и работу силы тяжести A(mg) при —О 7
перемещении шарика из первоначального по- р 7
ложения 7 в положение равновесия 2. 2) В I /
предположении, что силы сопротивления от- ; /
сутствуют, определите максимальную силу I /
натяжения нити при движении шарика. v J
3) Определите силу натяжения нити при про-
хождении шариком положения равновесия, %
если модуль работы сил сопротивления при рис 9 39
перемещении шарика равен А.
9.40. Небольшой груз массой т = 0,18 кг, подвешенный на длинной,
невесомой и нерастяжимой нити, приходит в движение без начальной
скорости из положения, в котором нить составляет угол а=90° с верти-
калью. Известно, что нить разрывается при натяжении Т = 2,7 Н. Опре-
делите угол а нити с вертикалью в тот момент времени, когда она раз-
рывается. Определите в этот момент (до разрыва нити) ускорение груза.
Силами сопротивления пренебречь.
9.41. Небольшой груз подвешен на невесомой и нерастяжимой нити.
Груз отклонили на угол а=90° от вертикали и отпустили. Определите угол
81
а между нитью и вертикалью в момент времени, когда вертикальная со-
ставляющая скорости груза максимальна. Сопротивлением пренебречь.
9.42. Шарик массой т = 0,1 кг подвешен к нити длиной Z = 1 м. Шарик
выводят из положения равновесия так, что нить становится горизон-
тальной, а затем отпускают, предварительно сообщив ему скорость
п0=1м/с, направленную вертикально вниз. Чему равна сила натяжения
нити в момент, когда она образует с горизонтом угол a = 30°? Какой
минимальной прочностью на разрыв должна обладать нить, чтобы она
не оборвалась в данном опыте? При какой начальной скорости шарик
сможет совершить полный оборот? Сопротивлением пренебречь.
9.43. Маленький шарик начинает скользить из верхней точки непод-
вижной гладкой полусферы радиусом R. На какой высоте ht от основа-
ния полусферы шарик оторвется от ее поверхности? На какую высоту h2
шарик подскочит после абсолютно упругого удара о горизонтальную
плоскость, на которой стоит полусфера?
9.44. На концах невесомого стержня длиной I укреплены два малень-
ких шарика массой т\ и т2>т}. Стержень может вращаться относи-
тельно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его сере-
дину. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают.
Определите угловую скорость стержня в момент прохождения им поло-
жения равновесия.
9.45. Невесомый стержень длиной /=1м может вращаться в верти-
кальной плоскости относительно оси, проходящей перпендикулярно
стержню на расстоянии Zt = 0,4M от конца, на котором укреплен груз
массой /Я] = 0,3 кг. На другом конце укреплен груз т2 = 0,6 кг. Первона-
чально стержень располагался вертикально так, что груз т2 находился
вверху. Стержень начинает свободно вращаться. Определите скорости
грузов, когда стержень повернется на угол п. Силы сопротивления от-
сутствуют.
9.46. Небольшое тело соскальзывает без начальной скорости с вер-
шины гладкой горки высотой Н, имею-
щей горизонтальный трамплин высотой
h (рис. 9.46). При какой высоте h трам-
плина тело пролетит наибольшее рас-
стояние S по горизонтали? Чему равно
это расстояние?
9.47. На горизонтальной шерохова-
той поверхности лежат два тела, массы
82
«1 к т2
F
MMlBi
Рис. 9.47
Во втором случае к
каком минимальном
Рис. 9.48
которых т1 и т2. Тела связаны друг с другом
легкой ненапряженной пружиной (рис. 9.47).
Коэффициент трения между телами и поверхно-
стью ц. В первом случае к телу те, прикладывают
переменную силу F. При каком минимальном
значении силы Ft второе тело начнет двигаться?
телу прикладывают постоянную силу F. При
значении постоянной силы F2 второе тело начнет двигаться?
9.48. Две пластинки, массы которых т1 и те2, скреплены невесомой
пружиной (рис. 9.48). Система стоит на горизон-
тальном столе. С какой силой F надо надавить на
верхнюю пластинку, чтобы, двигаясь вверх после
прекращения действия силы, она приподняла ниж-
нюю пластинку.
9.49. Ракета с включенным двигателем «зависла»
над поверхностью Земли. Какая мощность, развивае-
мая двигателем, если масса ракеты т, а скорость ис-
течения газов из двигателя и?
10. Законы сохранения импульса и механической энергии.
Абсолютно упругое и абсолютно неупругое взаимодействия.
Общефизический закон сохранения энергии
10.1. Шар из пластилина массой mt = 0,5 кг, движущийся со скоро-
стью и - 10 м/с, соударяется с неподвижным шаром из воска, имеющим
массу те2 = 0,2кг. Происходит абсолютно неупругое взаимодействие.
Чему равна работа внутренних неупругих сил, возникающих при взаи-
модействии? Найдите долю механической энергии, перешедшей в дру-
гие формы энергии.
10.2. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой т1 =
= 0,99 кг. Пуля массой те2=10г, летящая горизонтально со скоростью
v = 500 м/с, попадает в брусок и застревает в нем. Время взаимодействия
пули с бруском т=0,01с. Определите среднюю силу F, тормозящую
пулю в бруске. Какое количество механической энергии перешло в дру-
гие формы энергии?
83
10.3. Пуля массой mt = 15r, летевшая горизонтально со скоростью
v=400м/с, попадает в деревянный брусок массой т-^ 1 кг, лежащий на
гладкой горизонтальной плоскости. Средняя сила сопротивления дерева
движению пули F=6000 Н. На сколько углубилась пуля в брусок?
10.4. Горизонтально летящая пуля попадает в деревянный брусок,
лежащий на гладкой горизонтальной поверхности и пробивает его. Оп-
ределите, какая часть энергии пули перешла во внутреннюю энергию.
Масса пули т} = Юг, масса бруска т2 = 10кг, начальная скорость пули
= 500 м/с, скорость пули после вылета и2 = 300 м/с.
10.5. Два тела из пластилина, массы которых т1 и т2, скользят по
гладкой горизонтальной плоскости со скоростями и и2 соответствен-
но. Вектор V] составляет угол а с вектором v2. Вычислите скорость и
совместного движения тел после абсолютно неупругого удара. Опреде-
лите угол Р между векторами и й. Выполняется ли закон сохранения
механической энергии для данного взаимодействия?
10.6. Два тела массой да, = 4 кг и да2 = 6кг движутся горизонтально
навстречу друг другу. Скорость первого тела относительно второго
и= 10 м/с. Какое количество теплоты выделится при абсолютно неупру-
гом взаимодействии?
10.7. Человек, стоящий на гладкой поверхности льда, бросает камень
в горизонтальном направлении. Камень покидает руку человека на вы-
соте Л = 1,8 м и падает на лед на расстоянии L=9m от места бросания.
Какую работу совершил человек, если его масса да , = 60 кг, масса камня
т2 = 3 кг?
10.8. На горизонтальной поверхности стоят два связанных нитыЬ
одинаковых бруска массами да, между которыми расположена сжатая
легкая пружина. Нить пережигают, и бруски разъезжаются в разные
стороны так, что расстояние между ними возрастает на I. Какая была
потенциальная энергия сжатой пружины, если коэффициент трения
между брусками и поверхностью равен ц?
10.9. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два тела, между
которыми находится сжатая пружина, массой которой можно пренеб-
речь. Пружине дали возможность распрямиться, вследствие чего тела
приобрели некоторые скорости. Вычислите их, если массы тел да1 = 1 кг,
да2 = 3 кг, а энергия сжатой пружины W= 3 Дж.
84
10.10. При распаде неподвижного ядра образуется три осколка мас-
сами т1, m2, т3 с общей кинетической энергией W. Осколки разлетают-
ся в горизонтальной плоскости так, что углы между векторами их ско-
ростей равны и составляют 120°. Найдите скорости осколков.
10.11. Два абсолютно упругих шара массой и т2 движутся по
гладкой горизонтальной плоскости навстречу друг другу со скоростями
и, и v2 соответственно. С какими скоростями и, и и2 будут двигаться
шары после центрального удара?
10.12. Докажите, что при центральном абсолютно упругом ударе
одинаковых шаров, они обмениваются скоростями.
10.13. Определите отношение масс соударяющихся шаров, один из
которых до столкновения покоился, если после центрального упругого
удара шары разлетаются с одинаковыми скоростями.
10.14. Два абсолютно упругих шара массой и т2 движутся по
гладкой горизонтальной плоскости навстречу друг другу. Во время
столкновения шары деформируются. Найдите максимальное значение
потенциальной энергии W упругой деформации.
10.15. Во сколько раз уменьшится скорость атома гелия после цен-
трального упругого столкновения с неподвижным атомом водорода,
масса которого в четыре раза меньше массы атома гелия?
Рис. 10.18
10.16. В покоящийся клин массой т, попадает горизонтально летя-
щий шарик массой т2 и после абсолютно упругого удара о поверхность
клина отскакивает вертикально вверх (рис. 10.16). На какую высоту
поднимется шарик, если горизонтальная скорость клина после взаимо-
действия равна и? Трением пренебречь.
10.17. Клин массой находится на абсолютно гладкой горизон-
тальной поверхности. На клине лежит брусок массой т2 (рис. 10.17).
Наклонная грань клина имеет плавный переход к горизонтальной плос-
кости. Брусок начинает скользить по клину без трения с высоты h. Оп-
85
ределите скорость бруска после соскальзывания с клина в случаях:
1) клин закреплен; 2) клин может перемещаться по поверхности.
10.18. Тело массой т1 = 1 кг скользит по гладкой горизонтальной по-
верхности и въезжает на подвижную горку массой т2=5кг и высотой
й=1,2м (рис. 10.18). Трение между телом и горкой отсутствует. При
какой минимальной начальной скорости v0 тело сможет преодо-
леть горку?
10.19. Два небольших тела, отношение масс которых 1тг = 2, од-
новременно начинают соскальзывать внутрь полусферы радиусом R.
Первоначально тела находились на противоположных концах горизон-
тального диаметра полусферы. Происходит абсолютно неупругий удар,
после которого тела продолжают двигаться вместе. Найдите максималь-
ную высоту, на которую поднимутся тела от дна полусферы.
10.20. Груз копра массой т1 падает на сваю массой т2 с высоты h без
начальной скорости. Предполагая, что удар между грузом и сваей абсо-
лютно неупругий, а длительность его бесконечно мала, найдите глубину
погружения сваи в грунт, если средняя сила сопротивления грунта равна F.
10.21. С горки высотой Н соскальзывает небольшой мешок с песком
(рис. 10.21). Определите расстояние, пройденное мешком
по горизонтальному участку, если коэффициент трения
мешка о горку и горизонтальную поверхность ц. Угол
наклона горки к горизонту а. Указание: горка не имеет
плавного перехода к горизонтальной поверхности.
Рис. 10.21 10.22. Три одинаковых шара лежат на гладкой гори-
зонтальной плоскости. Центры шаров лежат на одной
прямой. Шары расположены на небольшом расстоянии друг от друга. В
крайний шар ударяется такой же шар, имеющий скорость v0 = 10 м/с,
которая направлена вдоль линии, соединяющей центры шаров. Найдите
скорость последнего шара, считая соударения абсолютно упругими.
10.23. Идеально гладкий шар А, движущийся
со скоростью V, одновременно сталкивается с
двумя такими же, соприкасающимися между со-
бой шарами ВпС (рис. 10.23). Удар является аб-
солютно упругим. Определите скорости шаров
после столкновения.
Рис. 10.23
10.24. Резерфорд наблюдал, что при лобовом соударении с ядрами
атомов меди а-частица с энергией Е<. = 5 МэВ отлетает назад с энергией
86
£2=3,9МэВ. Вычислите по этим данным отношение
меди и а-частицы.
10.25. На подставку массой т,, подвешенную на
пружине, жесткость которой к, с высоты h падает
тело массой т2 и прилипает к подставке
(рис. 10.25). Определите максимальное растяжение
пружины. Массой пружины и нитей подвеса пре-
небречь. Продолжительность взаимодействия бес-
конечно мала.
10.26. Пластилиновый шарик массой т падает с
высоты h на невесомую подставку, закрепленную
на конце пружины, жесткость которой к
(рис. 10.26). Определите максимальную скорость
шарика после абсолютно неупругого взаимодейст-
вия. Продолжительность удара бесконечно мала.
10.27. В неподвижный математический маят-
ник массой т1 попадает пуля массой т2, летящая
горизонтально со скоростью V, и застревает в нем.
На какую высоту h поднимется маятник? С какой
скоростью о, должна лететь пуля, чтобы маятник
с пулей после взаимодействия смог описать
окружность в вертикальной плоскости? Длина
нити маятника I.
10.28. В шар массой -1 кг, подвешенный на нерастяжимой нити
длиной 1= 1 м, попадает и застревает в нем пуля массой т2= Юг, летев-
шая вниз под углом а=60° к горизонту. Шар с пулей отклонился на
угол Р = 30°. С какой скоростью и летела пуля?
10.29. Пробирка массой т1 = 30 г подвешена горизонтально на неве-
сомой тонкой нити длиной /=0,5м и закрыта пробкой массой т2 = 5г.
При нагреве пробирки давление воздуха в ней повышается и пробка
вылетает. С какой минимальной скоростью должна вылететь пробка,
чтобы пробирка сделала полный оборот? Как изменится решение зада-
чи, если пробирка будет подвешена с помощью легкого жесткого
стержня?
10.30. Два шарика, сделанные из пластилина, массы которых
да, = 0,1 кг и т2 = 0,Зкг, подвешены на одинаковых нитях длиной 1= 1 м
каждая так, что шарики соприкасаются. Первый шарик отклонили от
в
масс ядра атома
Рис. 10.26
87
положения равновесия на угол а=л/2 и отпустили. На какую высоту
поднимутся шарики после абсолютно неупругого удара?
10.31. Два шарика, описанные в предыдущей задаче, сделаны из аб-
солютно упругого материала. Определите высоты, на которые подни-
мутся шарики после абсолютно упругого взаимодействия.
10.32. Тело массой т толкнули вверх по шероховатой наклонной
плоскости со скоростью v0. Тело остановилось, поднявшись на высо-
ту Н. Какое количество теплоты выделилось при этом?
10.33. Тело начинает скользить вниз по наклонной плоскости, со-
ставляющей с горизонтом угол а. В нижней точке тело ударяется о
стенку, поставленную перпендикулярно направлению его движения.
Удар абсолютно упругий. Определите коэффициент трения между плос-
костью и телом, если после удара тело поднялось до половины первона-
чальной высоты.
10.34. Брусок, скользящий по гладкой горизонтальной плоскости,
ударяется о вертикальную упругую и шероховатую стенку под углом а
к нормали к ней. При каком значении коэффициента трения ц между
бруском и стенкой брусок отскочит перпендикулярно стенке?
10.35. При ударе шарика об идеально гладкую, но не совсем упругую
горизонтальную плоскость теряется Т] = 30% его кинетической энергии.
Угол падения (угол между направлением скорости и нормалью к плос-
кости) а=45°. Найдите угол отражения. При какой потере кинетической
энергии т] 1 шарик не отскочит от плоскости?
10.36. Поезд массой да = 2000 т при торможении с ускорением
а = 0,3 м/с2 остановился спустя время т = 50с после начала торможения.
Какое количество теплоты Q выделилось при торможении.
10.37. Тело массой да = 1 кг соскальзывает с наклонной плоскости
длиной / = 20м, которая образует с горизонтом угол а = 30°. Скорость
тела у основания наклонной плоскости равна v = 4 м/с. Какое количество
теплоты выделилось при трении тела о плоскость, если начальная ско-
рость тела была и0 = 2 м/с?
10.38. Брусок массой да равномерно втягивают за привязанную к не-
му веревку на высоту h по доске, угол наклона которой к горизонту
равен а. Веревка параллельна доске. Коэффициент трения между бру-
ском и доской равен ц. Найдите энергию, которая идет на нагревание
доски и бруска.
Ф
88
1039. При медленном подъеме тела по наклонной плоскости с углом
наклона а и коэффициентом трения ц совершена работа А. Какое коли-
чество теплоты выделилось при этом?
10.40. Снаряд массой т1, летящий горизонтально вдоль рельс, попа-
дает в вагонетку с песком массой zn2 > которая первоначально покоилась.
Найдите наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он
сможет вылететь через противоположную стенку вагонетки, если сред-
няя сила трения его о песок равна F, а длина вагонетки I. Трением колес
о рельсы пренебречь, стенки вагонетки считать настолько тонкими, что
они не оказывают сопротивление движению снаряда.
10.41. На гладкой горизонтальной плоскости покоится шар. С ним
сталкивается другой шар такой же массы. Удар абсолютно упругий и
нецентральный («косой»). Докажите, что в результате удара шары раз-
летаются по двум взаимно перпендикулярным направлениям.
10.42. На покоящийся шар налетает со скоростью п = 2м/с другой
шар, одинаковой с ним массы. В результате столкновения шар изменил
направление движения на угол а = 30°. Определите: 1) скорости шаров
после удара; 2) угол Р между вектором скорости второго шара и перво-
начальным направлением движения первого шара. Удар считать абсо-
лютно упругим.
10.43. Плита А большой массы скользит по глад-
кой горизонтальной плоскости со скоростью й
(рис. 10.43). С гладкой стороной плиты абсолютно
упруго взаимодействует шарик, скользящий со ско-
ростью v0 по той же горизонтальной плоскости под
углом а к плоскости плиты. Определите скорость рис додз
v шарика после взаимодействия.
10.44. Маленький мяч начинает скользить из верхней точки непод-
вижной гладкой полусферы радиусом R. На какую высоту он подскочит
после абсолютно упругого удара о горизонтальную поверхность, на
которой стоит полусфера?
10.45. К корзине воздушного шара массой т1 привязана веревочная
лестница длиной I, внизу которой стоит человек массой т2. Вся система
находится в воздухе в положении равновесия. Определите, какую рабо-
ту должен совершить человек, чтобы подняться в корзину, и на какое
расстояние переместится воздушный шар. Массой лестницы и сопро-
тивлением воздуха пренебречь.
89
V.
СТАТИКА
Статикой называется раздел механики, в котором рассматриваются
условия равновесия материальных точек и абсолютно твердых тел.
_ _ Абсолютно твердое тело не дефор-
мируется при действии на него других
У X тел, поэтому силу, приложенную к абсо-
I а / \ лютно твердому телу, можно переносить
I \ h / X вдоль линии ее действия. Рассмотрим
тело, которое может вращаться относи-
/ тельно неподвижной оси, перпендикуляр-
ной плоскости чертежа и проходящей
Рис' через точку А (рис. 27). Приложим к телу
силу F.
Моментом силы относительно оси, проходящей через точку А (обо-
значим так: Ma(F) ), называется произведение модуля силы F на плечо
силы h, взятое со знаком «+» или «-»:
А/Л(Г) = ±|#|Л.
Плечом силы h называется длина перпендикуляра, опущенного из
точки А на линию действия силы. Условимся считать момент силы по-
ложительным, если эта сила, действуя в отдельности, вращала бы тело
по часовой стрелке, и отрицательным, если бы вращала против часовой
стрелки. На рис. 27 момент силы F равен MA(F) = -|f|a .
Если алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произ-
вольной оси равна нулю (^Mt = 0), то тело не вращается или вращает-
(0
ся равномерно.
Центр масс — такая точка в теле или вне тела, которая является
точкой пересечения линий действия сил, вызывающих только поступа-
тельное движение тела. Центр тяжести — точка приложения равно-
действующей сил тяжести отдельных частей твердого тела (обозначает-
ся буквой с). Центр тяжести определяется из условия, согласно которо-
му алгебраическая сумма моментов сил тяжести отдельных частей твер-
дого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести, равна
90
Xm<x<
__(0__
1>.
(0
нулю, т.e. ^A/c(zn,g) = 0. Для всех тел, рассматриваемых в нашем
(0
курсе, центр масс и центр тяжести совпадают. Для произвольного коли-
чества материальных точек да,, координаты которых известны (х, , у(, где
i= 1, 2, ... N; N — число материальных точек) центр тяжести системы
(центр масс) можно рассчитать по формулам (см. пример 19):
Ус = ---- •
(Г)
Если тело рассматривается как материальная точка, то необходимым ус-
ловием покоя является равенство = 0. Если тело рассматривается как
(О
абсолютно твердое, то это уравнение ограничивает только поступательное
движение, но не вращательное. В общем случае твердое тело находится в
равновесии, если выполняются два условия: 1) алгебраическая сумма про-
екций всех сил, приложенных к телу, иа любое направление равна нулю
(ХЛх=о, 1^=0, Х^ = 0); 2) алгебраическая сумма моментов
(0 (0 (О
всех сил, приложенных к телу относительно оси, проходящей через любую
точку О, равна нулю (Х^о(Л)=0 — уравнение моментов сил). При
(О
равновесии тело находится в покое (5 = 0) в выбранной системе отсчета.
Все задачи рассматриваются в системе отсчета, связанной с Землей.
Различают три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и без-
различное.
Устойчивое равновесие характеризуется тем, что при достаточно
малом отклонении тела от положения равновесия возникают силы или
моменты сил, стремящиеся вернуть тело в первоначальное положение.
Например, твердый шарик находится в нижней точке вогнутой сфериче-
ской поверхности. В этом случае у шарика минимальное значение по-
тенциальной энергии.
В случае неустойчивого равновесия при сколь угодно малом откло-
нении тела от положения равновесия возникают силы или моменты сил,
стремящиеся увеличить это отклонение (положение твердого шарика,
находящегося в верхней точке выпуклой сферической поверхности, где
шарик имеет максимальное значение потенциальной энергии).
91
Пример 17. Груз массой т подвешен на кронштейне АВС (рис. 28). Угол
между стержнями АВ и ВС равен а. Определите усилия в стержнях ВС и АВ.
Дано:
т, а
F,-?
Г2-?
Рассмотрим равновесие узла В (точка пере-
сечения стержней АВ и ВС). На узел В дейст-
вует сила натяжения нити Т и реакции
стержней АВ и ВС: F\ и F2. Узел В нахо-
дится в равновесии, поэтому Fjx = 0 и
(О
(О
(х): -Fx + F2 cosa = 0;
(у): -T + F2 sina = 0.
Учитывая, что T=mg (докажите самостоятельно), получаем:
Г2 = F} = zngctga.
sin a
Пример 18. Стальная балка АВ длиной I и массой т шарнирно за-
креплена с одного конца. Балка удерживается под углом а к горизонту с
помощью горизонтального троса ВС (рис. 29). Определите силу реакции
шарнира А и натяжение троса.
Дано:
I, т, а
R — ?Р — ?Т— 1
На рисунке указаны силы, действующие
на балку: Т — сила натяжения троса;
mg — сила тяжести; R — сила реакции
шарнира. Балка находится в равновесии,
92
поэтому линии действия сил, приложенных к балке, должны пересекать-
ся в одной точке (докажите самостоятельно с помощью уравнения мо-
ментов сил), что позволяет графически определить направление R (см.
рис. 29). Составим систему уравнений:
(х): Лх-Г = 0,
(у): Ry-mg = 0,
MA(mg) + MA(T) + MA(R) = 0,
где Ry=R cosP; Ry=R sinP — проекции силы R на выбранные оси.
Учитывая, что MA(R) = 0, уравнение моментов сил можно предста-
вить в виде
wg-^cosa-77sina = 0.
Из последнего уравнения найдем Т = Q,5mg ctga.
Следовательно,
R = + Ry = »rg-^l + 0,25ctg2a ;
tg₽ = ~ = 2tga; p = arctg(2tga).
1
Пример 19. Определите положение центра тяжести системы, со-
стоящей из двух материальных точек, массы которых гщ и пг2, а их ко-
ординаты соответственно равны (Xj, ); (х2, у2).
Дано:
т1,т2,х1,у1,х2,у2
хс—1ус—1
Силы тяжести, действующие на ма-
териальные точки системы, указаны на
рис. 30. Воспользуемся определением
центра тяжести: '^jMc(mlg) = Q. Тогда
(О
получим -m1gh1+m2gh2 = 0, где
Л1=хс-х1— плечо силы ;
h2=x2-xc — плечо силы m2g. Из уравнений найдем координату центра
93
т^х, + тгх2
тяжести хс - ——----—-. Для нахождения ус мысленно повернем рису-
тх + тг
нок против часовой стрелки на 90° и повторим процедуру, описанную
тт - т1У1 +"г2>?2
выше. Найдем координату ус = ——-----—-.
т1 +т2
11. Равновесие материальной точки. Центр тяжести
11.1. Различные случаи равновесия малых тел А и В показаны на
рис. 11.1. Для всех представленных случаев нарисуйте силы, действую-
щие на тела, и укажите происхождение этих сил.
Рис. 11.1
г)
11.2. Найдите силы натяжения нитей в случае, изображенном на
рис. 11.1, а (задача 11.1), если масса тела Л равна т = 10 кт, а = 30°.
11.3. Найдите абсолютное и относительное удлинения обеих пружи-
нок, изображенных на рис 11.1,6 (задача 11.1), если масса тела А равна
гИ| = 2кг, масса тела В равна т2 = 3кг, жесткости пружинок равны соот-
ветственно &j=500H/m, &2=150Н/м, а их первоначальные длины =
=50 см, /2=25см. Массой пружинок пренебречь.
11.4. Определите силу натяжения Т нити и силу давления Q шарика
массой т на наклонную плоскость в системе, изображенной на рис. 11.1, в
(задача 11.1), если трение отсутствует, а углы аир заданы.
11.5. На полусфере радиусом R находится маленькое тело А (зада-
ча 1 Г. 1; рис. 11.1, г). Определите высоту h от основания полусферы,
начиная с которой тело будет соскальзывать с полусферы. Коэффициент
трения равен ц.
94
11.6. На кронштейне (рис. 11.6) подвешен груз т=200кг. Найдите
усилия в стержнях АВ и АС, если АВ= 1,5 м, АС=Зм.
Рис. 11.9
Рис. 11.10
11.7. На кронштейне подвешен груз т = 500 кг (рис. 11.7). Найдите
усилия в стержнях АС и ВС, если АВ = 1,5 м, ЛС=Зм, ВС=4м.
11.8. Грузы висят так, как показано на рис. 11.8. Углы аир заданы,
масса Wj известна. Определите натяжение нити АВ и величину мас-
сы т2 Нить АВ горизонтальна.
11.9. Груз массой т{ = 10кг уравновешен грузами т2 и т3 (рис. 11.9).
При этом нить, удерживающая груз т3, идет от точки А горизонтально.
Найдите массу груза т3 и угол а, если т2 = 18 кг.
11.10. Определите силы натяжения нитей и силу давления на на-
клонную плоскость в системе, изображенной на рис. 11.10, если массы
mt, т2 и угол а заданы. Угол Р — прямой, трение отсутствует. Опреде-
лите массу груза т.
95
11.11. В системе, изображенной на рис. 11.11, определите натяжение
нитей ОА и ОВ, если масса груза равна т, углы аир известны.
Рис. 11.12
2
11JL2. При какой массе т система, изображенная на рис. 11.12, нахо-
дится в равновесии. Массы т2 и угол а известны.
11.13. При каком угле а система, изображенная на рис. 11.13, будет
находиться в равновесии? Массы ляь т2 и т3 известны.
Рис. 11.17
11.14. При каком соотношении между мас-
сами т{ и т2 возможно равновесие системы,
изображенной на ри». 11.14.
11.15. В задаче 11.6 найдите момент силы
тяжести груза относительно осей, проходящих
через точки А, В, С (рис. 11.6).
11.16. Невесомый стержень длиной под-
вешен за концы с помощью двух параллель-
ных пружин одинаковой длины. Жесткость
пружин и 12. К стержню подвешивается
груз. На каком расстоянии /2 от первой пружи-
ны подвешивается груз, если стержень остает-
ся горизонтальным?
11.17. В двух вершинах равностороннего
треугольника помещены маленькие шарики
массой т. В третьей вершине помещен шарик
массой 2т (рис. 11.17). Найдите положение
центра тяжести системы.
11.18. Пять маленьких шариков, массы ко-
торых 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, укреплены на
96
тонком невесомом стержне на одинаковом рас-
стоянии I друг от друга (рис. 11.18). На каком О О О 0—0
расстоянии от первого шарика находится центр । 2 3 4 5
тяжести системы? „ ,, , „
ищи “ 1 ал Рис- 1L18
11.19. На конце стержня длиной 1 = 30 см ук-
реплен шар, радиус которого 7? = 6 см, а центр его лежит на продолже-
нии стержня. На каком расстоянии от другого конца стержня находится
центр тяжести системы, если массы стержня и шара одинаковые?
11.20. Два однородных шара, алюминиевый (Р] = 2,7-Ю3 кг/м3) и цин-
ковый (р2 = 7,1-103кг/м3), одинакового радиуса 7? = 10 см, скреплены в
точке касания. На каком расстоянии от центра цинкового шара будет
находиться центр тяжести системы?
Рис. 11.21
11.21. На рис. 11.21 представлены фигуры, вырезанные из листового
железа. Найдите центры тяжести фигур. Размеры указаны на рисунке.
11.22. Две стороны проволочной рамки в форме равностороннего
треугольника сделаны из алюминиевой проволоки, а третья — из мед-
ной. Проволоки имеют одинаковое сечение, а сторона треугольника
/=1м. Плотность алюминия и меди равны соответственно Pj =
= 2,7-103 кг/м3, р2= 8,9-103 кг/м3. Найдите положение центра тяжести системы.
11.23. С какой минимальной силой F, направленной горизонтально,
нужно прижать плоский брусок массой от = 5 кг к вертикальной стене,
чтобы он не соскользнул вниз? Коэффициент трения между бруском и
стеной ц = 0,1.
11.24. Тело находится на наклонной плоскости, угол наклона кото-
рой к горизонту равен а, а коэффициент трения между телом и плоско-
стью равен ц. При каком условии тело будет оставаться в покое?
97
Рис. 11.26
11.25. На шероховатой наклонной плоскости на-
ходится призма АВС (рис. 11.25). Груз какой массы
необходимо положить на призму, чтобы она со-
скользнула с наклонной плоскости?
11.26. На наклонной плоскости с углом наклона
а и коэффициентом трения ц находится в равнове-
сии тело массой т. К телу прикладывают силу
F под углом р к наклонной плоскости (рис. 11.26).
При каком значении силы F тело останется в
равновесии?
11.27. В задаче 11.26 (рис. 11.26) тело переме-
щают равномерно вверх по плоскости, прикладывая
силу F. Под каким углом Р необходимо приложить
силу, чтобы ее величина была минимальной?
12. Статика твердого тела
12.1. Однородная доска массой от=20кг лежит на острой опоре на
расстоянии Z/4 ее длины. Какую силу, перпендикулярную доске, необ-
ходимо приложить к ее короткому концу, чтобы удержать доску в гори-
зонтальном положении?
12.2. Рельс длиной 1г = 10 м и массой т = 900 кг поднимают на двух
параллельных тросах. Один трос закреплен на конце рельса, а другой —
на расстоянии /2 = 2 м от другого конца. Найдите натяжения тросов, если
рельс остается все время в горизонтальном положении.
12.3. Две параллельные и противоположно направленные силы
Fj = 10H и F2 = 25H приложены в точках А и В тонкого невесомого
стержня, расположенных на расстоянии <?=1,5м друг от друга. Силы
перпендикулярны стержню. Найдите силу R , уравновешивающую силы
F\ и F2, а также точку приложения этой силы.
12.4. Однородный прямой цилиндр поставлен торцом на наклонную
плоскость, угол наклона которой к горизонту может увеличиваться.
Высота цилиндра вдвое больше его радиуса. При каком максимальном
значении угла а цилиндр еще не опрокинется?
98
123. Кирпич, размеры которого ах2ах4а, можно поставить на гори-
зонтальную плоскость торцом, боком и плашмя. Масса кирпича т. Чему
равна потенциальная энергия кирпича относительно плоскости, на кото-
рой он лежит, в каждом случае? Какое из положений наиболее устойчиво?
12.6. Если ведро с картофелем интенсивно потрясти, то крупный
картофель окажется на поверхности. Почему?
Рис. 12.7
Рис. 12.8
12.7. К вертикальной стене на веревке длиной I подвешен шар мас-
сой т и радиусом R, как указано на рис. 12.7. Докажите, что при отсут-
ствии силы трения между стеной и шаром мысленное продолжение нити
должно проходить через центр шара. Найдите в этом случае силу давле-
ния Q шара на стенку и натяжение нити Т.
12.8. Тяжелый цилиндрический каток массой т и радиусом R необ-
ходимо вкатить на ступеньку высотой h (рис. 12.8). Найдите минималь-
ную силу F, которую необходимо приложить для этого к центру масс
катка в горизонтальном направлении, если R>h.
12.9. На наклонной плоскости с углом наклона а лежит цилиндр
массой т. Цилиндр удерживается в состоянии покоя с помощью оги-
бающей его невесомой ленты, один конец которой закреплен на плоско-
сти в точке В, а другой — тянут вертикально вверх с силой Т
(рис. 12.9). Чему равна сила Т1 Как изменится ответ, если незакреплен-
ный конец нити тянуть параллельно наклон-
ной плоскости влево?
12.10. Один конец стержня шарнирно за-
креплен в точке О, к другому концу стержня в
точке А прикреплен конец веревки, перекину-
той через два блока, как указано на рис. 12.10.
Масса тг такова, что левый конец стержня в
отсутствии вертикальной силы F поднимает-
Рис. 12.10
99
ся вверх. Чему равна сила F, удерживающая стержень в горизонтальном
положении? Масса стержня т{, АВ=0,25 АО.
«и» , 12.11. Тяжелая балка массой т{ шар-
> нирно закреплена на конце О. Балка удер-
^Д/SAj живается горизонтально с помощью нити,
прикрепленной к другому концу балки и
т2|~*~| Д перекинутой через неподвижный блок, как
: показано на рис. 12.11. Нить образует с
Рис. 12.11 вертикалью угол а. Определите реакцию
шарнира R , если масса т2 известна.
12.12. К стене прислонена лестница массой т под углом а к вертикали.
Центр масс лестницы находится на расстоянии 1/3 длины от ее нижнего
конца. Какую минимальную силу F необходимо приложить к середине
лестницы, чтобы «оторвать» верхний конец лестницы от стены? Укажите
направление этой силы. Как изменится решение задачи, если силу F
приложить горизонтально? Считайте, что трение между лестницей и по-
лом достаточно велико, так что нижний конец лестницы не скользит.
12.13. При каком минимальном угле а между лестницей и полом ле-
стница сможет стоять прислоненной к вертикальной
стене. Коэффициент трения между лестницей, по-
\ лом и стеной одинаков и равен ц.
р 12.14. Прутик опирается на гладкую вертикаль-
Ш ную стенку, образуя с ней угол а=30° (рис. 12.14).
\ Нижний конец прутика находится на шероховатом
------------ полу. При каком коэффициенте трения между пру-
тиком и полом жук, взбирающийся вверх по прути-
Рис. 12.14 Ку, сможет д0СТИЧЬ его вершины? Масса жука втрое
меньше массы прутика.
дС 12.15. Однородный стержень АВ прикреплен к
\ вертикальной стене посредством шарнира А и удер-
\ живается под углом а = 60° к вертикали с помощью
\ невесомой веревки ВС, образующей с ним угол
\ р = 30° (рис. 12.15). Определите силу натяжения ве-
ревки, а также модуль и направление силы реакции
В шарнира, если известно, что масса стержня от = 2 кг.
Рис 12 15 12.16. Ширина обуха клина а=4 см, а длина щеки
100
/=24см. По клину, вставленному в углубление
полена, ударяют с силой F=500H. С какой силой
клин разрывает полено? Трение не учитывать.
12.17. Каков должен быть коэффициент тре-
ния для того, чтобы клин, заколоченный в брев-
но, не выскакивал из него? Угол при вершине
клина а = 30°.
12.18. Две одинаковые доски, массой От) каж-
дая, шарнирно закреплены в точке А. Между
досками удерживается шар массой от2
(рис. 12.18). Точка касания доски и шара нахо-
дится посередине доски. Угол между досками
равен 2а. При каком минимальном коэффициен-
те трения ц это возможно?
12.19. Гибкий канат массой т подвешен в
двух точках так, что вблизи точек подвеса он
образует с горизонтом угол а (рис. 12.19).
Определите силу натяжения каната в нижней
точке Лив точке подвеса.
12.20. Катушка массой т подвешена за намо-
танную на нее нить к вертикальной стене, как
показано на рис. 12.20. Малый радиус катушки г,
большой /?, коэффициент трения между катуш-
кой и стеной ц. При каком наименьшем угле а
между нитью и стеной катушка не будет сколь-
зить по стене?
12.21. Кубический брусок массой от = 1 кг мед-
ленно движется на двух небольших выступах 1 и 2
по наклонной плоскости, расположенной под уг-
лом а=30° к горизонту (рис. 12.21). Найдите силы,
действующие в местах контакта кубика с плоско-
стью. Коэффициент трения ц=0,05.
12.22. На горизонтальной поверхности стоит
куб (рис. 12.22). С какой минимальной силой и
под каким углом к горизонту а нужно тянуть куб
за верхнее ребро, чтобы он опрокинулся без
Рис. 12.18
проскальзывания? Коэффициент трения равен ц, а масса куба от.
101
VI. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Основным отличием жидкостей и газов от твердых тел является их
подвижность (текучесть). Жидкости (газы) не имеют своей формы, а
принимают форму сосуда, в котором они находятся. При исследовании
поведения жидкости (газа) изучают поведение физически малого объема
жидкости (газа).
Гидроаэромеханика — раздел механики, посвященный изучению
равновесия и движения жидкостей и газов. Гидростатика изучает рав-
новесие жидкостей и воздействие покоящейся жидкости на погружен-
ные в нее тела. Гидродинамика изучает движение несжимаемых жидко-
стей и их взаимодействие с твердыми телами. Несжимаемыми называ-
ются жидкости, изменением плотности которых под действием сил
можно пренебречь. Это значит, что жидкости (и газы) не обладают уп-
ругостью при изменении их формы, их упругие свойства проявляются
при изменении объема.
Основной силовой характеристикой в жидкостях и газах является
давление — отношение нормальной составляющей силы к площади
S, на которую она действует:
S
Подчеркнем, что давление в жидкости и газе на внесенную маленькую
площадку не зависит от ее ориентации.
Единицей давления в СИ является паскаль: 1 Па= 1 Н/м2.
Внесистемные единицы давления: 1 атм (физическая атмосфера) =
= 760 мм рт.ст. = 1,01 • 105 Па; 1 ат (техническая атмосфера) = 1 кгс/см2 =
= 0,98-105 Па.
Силой давления, действующей на площадку S, называют F=pS, где
р — давление на площадки.
Благодаря силе тяжести верхние слои жидкости оказывают давление
на нижние. При условии несжимаемости жидкости давление на глубине
h рассчитывается по формуле p=p0 + pgh, где р0 — давление на поверх-
ности жидкости, р — плотность жидкости. (Напомним: плотность —
величина, определяемая для однородного вещества его массой в едини-
це объема: p = w/V.) Слагаемое pgh называется гидростатическим
давлением. Из условия несжимаемости жидкости следует, что плот-
ность жидкости р = const по всему объему жидкости (см. пример 20).
102
Закон Паскаля: поверхностные силы, действующие на неподвиж-
ную жидкость или газ, создают давление, одинаковое во всех точках
жидкости или газа.
Закон сообщающихся сосудов: в сообщающихся сосудах, заполнен-
ных однородной жидкостью, давление на одном уровне одинаково (см.
примеры 21, 22).
На каждый элемент поверхности (Д5) тела, погруженного в жидкость
или газ, действует сила давления, равная F=pAS. Равнодействующая
сил давления, действующая на тело, называется выталкивающей си-
лой, или силой Архимеда (FA).
Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (или газ), дей-
ствует выталкивающая сила, равная силе тяжести жидкости (или
газа) в объеме погруженной части тела. Fh = pVg, где р — плотность
жидкости (или газа), V — объем погруженной части тела. Эта сила все-
гда направлена вертикально вверх и приложена к центру объема погру-
женной части тела. Подчеркнем, что центр тяжести тела и точка прило-
жения архимедовой силы могут не совпадать (см. пример 23).
Гидродинамика — раздел гидроаэромеханики, в котором изучается
движение несжимаемой (р=const) идеальной (отсутствуют силы трения)
жидкости. Если параметры, характеризующие движение жидкости (ско-
рость, давление, плотность), не меняются с течением времени, то такое
течение называется стационарным. При течении жидкости по трубе
переменного сечения справедливо уравнение неразрывности: viSi=v2S2,
где ц1 и v2 — скорости жидкости в произвольных сечениях 5, и 52(см.
пример 24). Можно показать (см. примеры 25, 26), что если идеальная
несжимаемая жидкость течет стационарно по наклонной трубе перемен-
рц2
ного сечения, то справедливо уравнение Бернулли : —— + pg/г + р = const
для любого сечения трубы, где h — высота сечения над некоторым нуле-
вым уровнем, v — скорость жидкости в этом сечении трубы, р — давле-
ние в жидкости в этом сечении. Из уравнения Бернулли следует, что в
стационарном потоке идеальной несжимаемой жидкости давление выше
в тех местах, где скорость течения меньше (закон Бернулли).
Пример 20. Бак, имеющий форму куба (рис. 31, а), длина ребра ко-
торого I, наполнен водой. Определите силу давления на стенку бака со
стороны воды, если атмосферное давление равно р0. Плотность воды р.
103
Дано: График зависимости
1,р0,р давления от глубины h
показан на рис. 31,6. Дав-
F ление на боковую стенку
линейно зависит от h. Следовательно,
сила давления, действующая на стенку,
1 г равна произведению.- среднего давле-
я) 0 ния на площадь стенки:
F=Pcp-S=0,5(pl+p2)l2, где Pi=p0,
Рис-31 P2=Po + PS^- Таким образом,
F=(po + O,5pg/)/2. Точка приложения силы давления находится не в
центре грани куба, а смещена вниз.
Пример 21. Докажите, что в однородной жидкости на одном гори-
зонтальном уровне давление одинаково.
Ради общности задачи рассмот-
рим сообщающиеся сосуды, в кото-
рые залита однородная жидкость,
причем в одном сосуде плавает те-
ло, а в другом налита еще одна жид-
кость меньшей плотности (рис. 32).
Необходимо доказать, что на произ-
вольном горизонтальном уровне АВ
давления в точках 1 и 2 равны. Но
прежде докажем, что давление в
точках 3 и 4, расположенных на
одной горизонтали, равны. Мысленно выделим прямой круговой ци-
линдр, основаниями упирающийся в точки 3 и 4. Запишем для него
условие равновесия в проекции на ось X: p3S-p45 = 0, где р35 — сила,
действующая на левое основание цилиндра, p4S — на правое. Сокра-
щая на S, получим р3 = р4. Мысленно выделим вертикальный цилиндр,
основания которого упираются в точки 1 и 3. Запишем для него усло-
вия равновесия в проекции на ось Y: -piS-mg+p3S = 0, где т — масса
жидкости в вертикальном цилиндре. Для аналогичного цилиндра,
основания которого упираются в точки 2 и 4, получим
-p2S-tng+p4S = 0. Решая систему уравнений, найдем, что р{ =р2 .
104
Пример 22. В два цилиндрических сообщающихся сосуда налита
ртуть (рис. 33, а). Сечение одного сосуда S2 в два раза больше другого .
Широкий сосуд доливают водой до края. На какую высоту h поднимается
при этом уровень ртути в другом сосуде? Первоначально уровень ртути
был на расстоянии I от верхнего края широкого сосуда. Плотности ртути и
воды соответственно равны рр и рв.
Дано:
h Рр » Рв ’ $2 /$1 ~ ?
h — ?
Ситуация после долива во-
ды изображена на рис. 33,6.
Согласно закону сообщаю-
щихся сосудов (см. пример
21), давление в точках 7 и 2
будет одинаково: Pi=p2, или
Po + PPg(h+x)=pQ+pBg(l+x),
где р0 — атмосферное давле- р с 33
ние, ах— расстояние, на
которое опустится уровень ртути в правом колене. Так как ртуть несжи-
маема, то 51/г = 52х. Решая совместно два уравнения, получаем
h = 2——I.
ЗРР-РВ
Пример 23. Полый цинковый шар, внешний объем которого V, пла-
вает в воде так, что половина его погружена в воду. Найдите объем по-
лости шара, если отношение плотностей воды и
цинка равно п.
Дано:
P2/Pi =n, V
Vo-?
На шар действуют две силы: mg — сила тяже-
сти и Fa — архимедова сила (рис. 34). Условие
равновесия в проекции на ось Y дает: F^-mg = Q.
105
Масса шара равна zn = p1(V- Vo), где р1 — плотность цинка, Vo — объем
полости, V — внешний объем шара. Сила Архимеда равна FA = 0,5 Vp2g,
где р2 — плотность воды. Решая систему уравнений, получим
Vo=V(l-O,5p2/p1) = V(l-O,5«).
Пример 24. Жидкость течет по трубе переменного сечения (рис. 35).
Радиусы труб 7?1 и R2. Скорость течения жидкости в первой трубе vt.
Найдите скорость жидкости во второй трубе.
Дано:
vt, Rt, R2
В процессе течения жидкости
мысленно выделенное сечение 5,
за время Дг сместится на расстоя-
ние а сечение S2 — на
расстояние l2 = v2At, где и, и v2 —
скорости жидкости в трубах. Так
как жидкость несжимаема, то
заштрихованные объемы Vl = llSl и V2 = l2S2 должны быть равны: l{S{ = l2S2,
или ц1Дг51=ц2Д/52, или = v2nR2. Откудац2 = ц1(7?1/7?2)2.
Пример 25. По горизонтальной трубе переменного сечения (рис. 36)
течет жидкость плотностью р. Известны скорости м, и и2 жидкости в
сечениях 51 и S2 соответственно. Определите давление жидкости в се-
чении S2, если давление в сечении 51 равно р1.
Рис. 36
Дано:
Р, Ul,U2,Pi
р2~1
Мысленно выделим два сече-
ния трубы 5, и S2 (рис. 36), кото-
рые за время Д/ сдвинутся вместе
с жидкостью на расстояния Z1 и 12
соответственно. Воспользуемся
106
теоремой об изменении кинетической энергии (ДИ'К =^А) для массы
(О
жидкости, заключенной в объеме между сечениями. Предполагаем тече-
ние стационарным, поэтому изменение кинетической энергии всей массы
жидкости будет равно изменению кинетической энергии масс mt и т2,
2 2
т2и2 т1и1
заключенных в заштрихованных объемах: ДИ* =—у-= . На рас-
сматриваемый объем жидкости действуют следующие силы: 1) сила тя-
жести; 2) силы давления со стороны стенок трубы; 3) силы давления со
стороны жидкости, которые равны соответственно Fl=plSl и F2=p252, где
Р] — давление слева от сечения 5,, р2 — давление справа от сечения S2.
Силы сопротивления на жидкость не действуют, так как жидкость считаем
идеальной. Работа сил давления со стороны стенок трубы и работа силы
тяжести равны нулю, так как эти силы перпендикулярны перемещению.
Работы сил давления F, и F2 отличны от нуля и рассчитываются по из-
вестным формулам:
A(F1) = F1Z1cosO°=p151Z1; A(F2) = F2Z2cosl80° = -p252Z2.
Заштрихованные объемы жидкостей могут быть получены с помо-
щью следующих равенств: V, = Slll; V2 = S2l2, а их массы соответственно
равны т{ = р V,; т2 = р У2. Так как жидкость несжимаема, то V, = V2 = V и,
следовательно, /и1=/и2 = рУ. Теорема об изменении кинетической энер-
гии запишется в виде
т2и2 rnrf pKu2 pVu*
-у2------Y~= pxSxli~P2S2l2,wm ----------^ = py-p2v.
Откуда p2 = Pi-p 2 < .
2 2
„ P^l P^2 гч
Ответ в задаче можно переписать в виде —+ pt= + р2. От-
куда следует, что при стационарном течении идеальной несжимаемой
pw2
жидкости выражение —— + р будет одинаковым для любого сечения
трубы.
Таким образом, при решении задачи было доказано уравнение Бер-
нулли для горизонтально расположенной трубы.
107
Пример 26. Из открытого бака сечением S, вытекает вода. Верхний
уровень воды находится на высоте Я от дна. У основания бака имеется
отверстие площадью S2 (рис. 37). Определите скорость вытекания воды
из отверстия, если уровень воды в баке поддерживается постоянным.
Дано:
Н, 5t, S2
Рис. 37
Рассматриваем бак с отверстием как
трубу переменного сечения. Запишем урав-
нение неразрывности (сохранение массы) и
уравнение Бернулли (закон сохранения
механической энергии) для сечений 7 и 2 (рис. 37): 51u1 = S2z?2;
2 2
рО. , Р^2 =•
---L- + pg/j1 + Р; =-£- + Р^Л2 + 772 > Где Р1=Р2=Ро> так как &ак ОТКРЫТ И
давление в сечениях 1 и 2 равно атмосферному давлению р0; hl=H,
h2 = 0, так как нулевой уровень выбран на уровне сечения 2; vt и v2 —
скорости воды в соответствующих сечениях. Решая систему уравнений,
получаем v2 = • Если S2«51, то v2 = ^2gH .
13. Гидростатическое давление. Сообщающиеся сосуды.
Закон Паскаля
В этой и последующих главах, там, где не оговорено, считать
плотность воды ро=1О3кг/м3, нормальное атмосферное давление
ро=105Па.
13.1. Вертикальный цилиндрический сосуд площадью поперечного се-
чения 5= 20 см2 наполнен жидкостью и плотно прикрыт поршнем массой
т = 10 кг. Определите давление, которое оказывает поршень на жидкость.
Ответьте на вопрос задачи, если: 1) на поршень положили груз массой
mt=5 кг; 2) на поршень подействовали силой F= 200 Н, направленной под
углом а=30° к поверхности поршня. Какое давление оказывает жидкость
108
на поршень в каждом из случаев? Как изменятся ответы, если вместо
жидкости будет газ? Атмосферное давление р0 нормальное.
13.2. На столе стоит цилиндрический сосуд с водой. Постройте гра-
фик зависимости гидростатического давления в жидкости от глубины.
Постройте график полного давления (с учетом атмосферного давления)
от глубины. Как изменятся графики, если: 1) в сосуд налить жидкость,
плотность которой в два раза больше плотности воды; 2) сосуд имеет
форму усеченного конуса, площадь дна которого меньше (больше) пло-
щади верхней части сосуда?
13.3. В цилиндрический сосуд диаметром d= 25 см налита вода, за-
нимающая объем У=12л. Какое давление оказывает вода на стенку
сосуда на высоте h = 10 см от дна? Атмосферное давление нормальное.
13.4. До какой высоты h нужно налить жидкость в аквариум, сечение
которого представляет собой квадрат со стороной а, чтобы сила давле-
ния жидкости на дно аквариума равнялась силе давления жидкости на
его боковую стенку?
13.5. В подводной части корабля образовалась пробоина площадью
5=5 см2. Отверстие находится ниже уровня воды на глубине /г = 3м.
Какая минимальная сила требуется, чтобы удержать заплату, закры-
вающую отверстие с внутренней стороны корабля?
13.6. В одном из опытов Паскаля в крышке прочной деревянной бочки
сделано узкое отверстие и туда вставлена длинная трубка, через которую
наливалась вода. Когда бочка и трубка заполнились, давление воды разо-
рвало бочку. Определите силу, действующую на дно и крышку бочки, если
высота бочки ht = 1 м. Уровень воды в трубке находился на высоте h2=4 м
от крышки. Площади дна и крышки бочки одинаковы и равны 5=0,2 м2.
13.7. В цилиндрический сосуд налиты равные по массе количества
воды и ртути. Общая высота столба жидкостей в сосуде Н= 143 см. Най-
дите давление на дно сосуда, если плотность ртути р= 13,6-Ю3 кг/м3.
Постройте график зависимости гидростатического давления от глубины
погружения. Как изменится график, если учесть атмосферное давление?
13.8. У основания здания давление в водопроводе равно р1 = 5-105Па.
Под каким давлением вытекает вода из крана на четвертом этаже здания
на высоте Н-15 м от основания?
13.9. Длинная труба с плотно прилегающим поршнем опущена верти-
кально в колодец с водой. Поршень касается воды в трубе и может переме-
щаться вверх с помощью привязанного к нему шнура, пропущенного через
109
трубу. При подъеме поршня вода следует за ним. Почему? До какой макси-
мальной высоты Н поднимется вода в трубе, считая от уровня воды в колод-
це, если атмосферное давление нормальное? Как изменится высота подъема
воды, если взять трубу вдвое большего сечения? Какое усилие надо прило-
жить к шнуру для подъема воды на максимальную высоту, если сечение
поршня 5=2см2? Массами поршня и шнура пренебречь. Считать g = 10м/с2.
13.10. Можно ли через вертикальную трубку длиной 1 м откачать на-
сосом из сосуда ртуть? Трубка погружена в ртуть на 2 см.
13.11. Барометрическая трубка наклонена под углом а = 30° к гори-
зонту. Какова длина ртутного столбика в ней при нормальном атмо-
сферном давлении? Плотность ртути р= 13,6-103 кг/м3.
J 13.12. В бассейн с водой погружен опрокинутый
вверх дном цилиндрический сосуд высотой h = 1 м
Н (рис. 13.12). Цилиндр заполнен маслом р =
- 0,9-103 кг/м3. Найти давление в цилиндре непо-
средственно под его дном в точке А, если нижний
— открытый конец цилиндра находится на глубине
Н=3м от поверхности воды в бассейне. Атмосфер-
ное давление нормальное.
13.13. В {/-образной трубке одинакового сечения находится ртуть.
На сколько повысится уровень в правой части трубки, если в левую
налить воды так, чтобы она образовала столб высотой Н= 13,6 см?
Плотность ртути р= 13,6-103кг/м3.
13.14. В сообщающиеся сосуды налили ртуть, а поверх нее в один
сосуд налили столб масла высотой /г1=48см, а в другой — столб керо-
сина высотой /г2 = 20см. Определите разность уровней ртути в обоих
сосудах, если плотность масла р,= 900кг/м3, плотность керосина р2 =
= 800 кг/м3, плотность ртути р3 = 13600 кг/ьг.
13.15. В двух сообщающихся сосудах нахо-
дится ртуть. Диаметр одного сосуда в четыре
раза больше диаметра второго (рис. 13.15). В
левый сосуд наливают столб воды высотой
Л=0,7 м. На сколько поднимется уровень ртути в
правом сосуде и опустится в левом по отноше-
нию к первоначальному уровню? Плотность
ртути р= 13600 кг/м3.
по
13.16. Ртуть находится в 17-образной трубке. Площадь сечения лево-
го колена в три раза меньше, чем правого. Уровень ртути расположен на
расстоянии Л=0,3 м от верхнего конца левого колена трубки. На сколько
поднимется уровень ртути в правом колене, если левое колено трубки
полностью залить водой? Плотность воды р0= 103 кг/м3, плотность ртути
р= 1,36-104 кг/м3.
13.17. В зигзагообразной трубке
в одних коленах находится воздух, —-----------Г”Т------П1--
а в других ртуть (рис. 13.17). Опре-
делите давление воздуха в трубках 7;
А, В, С, если давление атмосферы v
нормальное, а разность уровней ’ Г~Т~ - |_-j--
ртути в двух соседних коленах рав- L__J I I L_
на /г = 0,76м. Плотность ртути р = Рис. 13.17
= 13,6-103 кг/м3.
13.18. В сосуд с водой опущена трубка сечением 5=2 см2. В трубку
налили масло массой т = 72г. Найти разность уровней масла в трубке и
воды в сосуде. Плотность масла р = 0,9-103 кг/м3.
13.19. Сосуд, имеющий форму усеченного конуса (площадь сечения
нижней части сосуда больше площади сечения верхней части) с при-
ставным дном, опущен в воду. Если в сосуд аккуратно наливать воду, то
дно оторвется, когда масса воды станет равной т = 200 г. Оторвется ли
дно, если на него поставить гирю массой т i = 200 г?
13.20. Два одинаковых вертикальных сообщающихся сосуда запол-
нены водой и закрыты легкими поршнями. На какую высоту поднимется
правый поршень после установления равновесия, если на левый поста-
вить груз массой т = 3 кг? Площадь каждого поршня 5 = 200 см2.
13.21. Какая сила давления может быть получена с помощью гидрав-
лического пресса, если к малому поршню приложена сила Ft= 100Н, а
площади поршней пресса соответственно равны 5] = 5 см2, S2 - 500 см2 ?
13.22. Малый поршень гидравлического пресса за один ход опуска-
ется на высоту Л1=0,2м, а большой поршень поднимается на высоту
/г2 = 0,01 м. С какой силой F2 действует пресс на зажатое в нем тело,
если на малый поршень действует сила Ft = 500 Н?
13.23. При подъеме груза массой т = 2 т с помощью гидравлического
пресса была произведена работа Л =400 Дж. При этом малый поршень
111
сделал л = 10 ходов, перемещаясь за один ход на А = 10 см. Во сколько
раз площадь большого поршня больше площади малого?
13.24. Какая сила давления может быть получена на гидравлическом
прессе, если к длинному плечу рычага, передающего* давление на малый
поршень, приложена сила /= 100 Н? Соотношение плеч рычага равно 9,
Площади поршней пресса соответственно равны 5^5 см2, 52 = 500см2.
КПД механизма 7] = 0,8.
14. Закон Архимеда. Гидродинамика
14.1. В чем причина возникновения выталкивающей силы в жидко-
стях н газах? Будет ли действовать выталкивающая сила на тела в ва-
кууме; в невесомости?
14.2. Кусок дерева плавает в воде, погружаясь на 3/4 своего объема.
Какова плотность дерева, если плотность воды р= 103 кг/м3 ?
14.3. Какую силу необходимо приложить, чтобы удержать под водой
парафиновый шар массой /л = 0,9 кг? Плотность парафина составляет
90% от плотности воды.
14.4. Что труднее удержать в воде: брусок из сосны или кусок желе-
за, если они имеют одинаковые массы?
14.5. В сосуд с водой поочередно опускают три разных тела одина-
кового объема, сделанные из железа, олова и свинца. Каждый раз тело
висит в воде на нити, не касаясь дна сосуда. Меняется ли давление на
дно сосуда во всех случаях?
14.6. Вес однородного тела, целиком погруженного в жидкость плот-
ностью р0, в п раз меньше, чем в воздухе. Чему равна плотность мате-
риала тела? Выталкивающей силой воздуха пренебречь.
14.7. В прямоугольный сосуд, площадь дна которого S, налита жид-
кость плотностью р. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если
в него опустить тело произвольной формы массой т, которое не тонет?
14.8. Плотность морской воды на 3% больше плотности речной. Чтобы
пароход при переходе из моря в реку не изменил своей осадки, с него сняли
т = 90 т груза. Определите массу парохода вместе с оставшимся грузом.
14.9. В сосуде, наполненном водой, плавает металлическая коробка,
в которой находится гирька. Что произойдет с уровнем воды в сосуде,
если гирьку вынуть из коробки и поставить на дно сосуда?
112
14.10. На весах уравновесили сосуд с водой и затем опустили в воду
конец деревянной палочки, держа другой ее конец в руках. Изменится
ли равновесие весов? Если изменится, то какой груз необходимо поло-
жить (или снять?) на другую чашку весов для восстановления равнове-
сия? Объем погруженной части палочки V. Плотность воды р. Вода из
сосуда не выливается.
14.11. Какая часть т], от всего объема айсберга находится над по-
верхностью воды? Плотность льда р, =0,9-103 кг/м3, плотность воды
р2=103кг/м3. Какая часть Г], от всего объема айсберга находится под
поверхностью воды?
14.12. Высота плоской льдины над уровнем океана Л = 2м. Опреде-
лите толщину всей льдины, если плотность льда р, =0,9-103 кг/м3, плот-
ность океанской воды р2= 1,03-103 кг/м3.
14.13. На дрейфующей метеорологической станции во льду пробу-
рили скважину для забора воды. Толщина льда оказалась h - Юм. Какой
минимальной длины нужна веревка, чтобы зачерпнуть ведро воды?
Плотность льда составляет п = 0,9 от плотности воды.
14.14. В цилиндрический сосуд налита жидкость, плотность которой
рж. В жидкости плавает кусок льда. Что произойдет с общим уровнем
жидкости, когда лед растает? Рассмотрите три случая: 1) плотность
жидкости равна плотности воды (рв); 2) рж>рв; 3) рж<рв. Вода, полу-
ченная из растаявшего льда, не смешивается с жидкостью, и смесь не
выливается из сосуда.
14.15. В сосуд налита вода. В воде плавает кусок льда, в который
вмерз гвоздь. Что произойдет с уровнем воды в сосуде, когда лед раста-
ет? Как изменится решение задачи, если вместо гвоздя находился кусок
дерева; пузырек воздуха?
14.16. В цилиндрическом сосуде, площадь дна которого 5, в воде
плавает кусок льда. Внутри льда находится кусочек свинца объемом Vc.
Объем льда без свинца V„. Определите изменение уровня воды в сосуде
после таяния льда. Плотность льда (рл), свинца (рс) и воды (рв) извест-
ны. рл < рв < Рс .
14.17. Определите наименьшую площадь плоской льдины толщиной
Л = 40 см, способной удержать на воде человека массой т = 75кг. Плот-
ность воды р, = 103кг/м3, плотность льда р2 = 0,9-103 кг/м3.
113
14.18. Какое наименьшее число бревен длиной /=10м и площадью
поперечного сечения 5=300 см2 надо взять для изготовления плота, на
котором можно перевезти через речку груз массой т=5т, не замочив
его? Плотность дерева р = 0,6-103 кг/м3.
14.19. Сообщающиеся сосуды имеют диаметры d{ и d2. В сосуды на-
ливают одинаковую жидкость, плотность которой р. В один из сосудов
опускают тело массой т, которое плавает в жидкости. На сколько под-
нимется уровень жидкости в сосудах после того, как опустили тело?
14.20. Сплошной однородный шар объемом V плавает на границе
двух несмешивающихся жидкостей так, что часть шара находится в
верхней жидкости, а часть — в нижней. Плотность верхней жидкости
р,, нижней р2. Плотность материала шарика р, причем Pj < р< р2. Какой
объем шара будет находиться в верхней жидкости?
14.21. На границе раздела двух жидкостей плотностью р( и р2 плавает
шайба, сделанная из материала, плотность которого р (р1<р<р2). Высота
шайбы h. Определите глубину ее погружения во вторую жидкость.
14.22. Металлический шар плавает на поверхности ртути, причем
четверть его объема погружена в ртуть. Какая часть объема шара будет
погружена в ртуть, если поверх ртути налить слой воды, полностью
закрывающей шар? Плотность ртути р= 1,36-104 кг/м3.
14.23. Воздушный шар объемом V находится в равновесии. Какую
массу балласта т нужно выбросить за борт, чтобы шар начал подни-
маться с ускорением а? Плотность воздуха р.
14.24. Определите минимальный объем воздушного шара, наполненно-
го водородом, который может поднять человека массой = 75 кг на высо-
ту h = 100м за время т=30с. Масса оболочки и корзины т2=20кг. Плотно-
сти воздуха и водорода соответственно равны р( = 1,3 кг/м3, р2=0,1 кг/м3.
14.25. В жидкости плотностью р, плавает полый шар, внешний объ-
ем которого равен V. Плотность материала шара р2. Какой объем полос-
ти шара, если известно, что объем погруженной в жидкость части шара
составляет п наружного объема шара?
14.26. Полый шар из алюминия взвешивается с помощью динамо-
метра вначале, погружая шар в воду, затем, погружая его в бензин. По-
казания динамометра равны соответственно Р, = 0,24Н, Р2 = 0,33 Н. Най-
дите объем полости, если плотности алюминия и бензина равны соот-
ветственно Р] = 2,7-103 кг/м3, р2 = 0,7-103кг/м3.
114
14.27, Слиток сплава золота и серебра в воздухе растягивает пружи-
ну динамометра с силой Р1 = 147Н, а в воде с силой Р2=13,4И-
Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, найдите массы золота и
серебра в слитке, считая, что при сплавлении их первоначальный объем
не меняется. Плотности золота, серебра и воды равны соответственно
р! = 19,3• 103 кг/м3, р2 = 10,5-103 кг/м3, р3 = 103 кг/м3.
14.28. Для определения плотности ацетона сплошной металлический
цилиндр высотой h= 10см и диаметром d=7cM был взвешен в воде и в
ацетоне. Разность показаний весов получилась равной АР=0,75Н. Ка-
кова плотность ацетона, если плотность воды рв= 103кг/м3 ?
14.29. Вес сплошного тела, погруженного в жидкость с плотно-
стью р,, равен Р}, а погруженного в жидкость с плотностью р2 — Р2.
Определите плотность тела.
14.30. На дне сосуда находится тело массой т и
плотностью р], полностью погруженное в жидкость
плотностью р2. Плоская часть поверхности тела площа- Г
дью S плотно прилегает ко дну так, что вода не подтека-
ет (рис. 14.30). С какой силой тело давит на дно? Глуби-
на сосуда h, атмосферное давление р0.
1431. В цилиндрическом стакане с водой плавает льдин- -
ка, притянутая нитью ко дну (рис. 14.31). Когда льдинка
растаяла, уровень воды изменился на Д/i. Какое было натя-
жение нити? Площадь дна стакана S, плотность воды р.
14.32. Тонкая однородная палочка шарнирно закреп-
лена за верхний конец. Нижний конец палочки погружен
в воду. При равновесии под водой находится 1/5 часть
палочки. Определите плотность вещества палочки. Па- Р
лочка с поверхностью воды образует некоторый угол.
14.33. Решите задачу 14.32 в предположении, что рис 1431
шарнир находится под водой, а 1/5 часть длины палочки
находится над водой.
1434. Камень объемом У=0,5м3 перемещается в воде вертикально вверх
на расстояние h= 1 м. Чему равно изменение потенциальной энергии камня,
если плотность камня р,=2,5-103кг/м3, плотность воды р2=103кг/м3.
Указание-, архимедова сила является потенциальной (консервативной)
силой.
115
14.35. Плоская льдина площадью S и высотой Н плавает в воде. Ка-
кую работу нужно совершить, чтобы полностью медленно погрузить
льдину в воду? Плотность льда pf, плотность воды р2.
1436. Широкий цилиндрический сосуд заполнен жидкостью до вы-
соты Л. У основания сосуда имеется кран малого сечения. С какой ско-
ростью начнет вытекать жидкость из крана, если его открыть?
14.37. С катера, идущего по озеру со скоростью V, опускают в воду
изогнутую под прямым углом трубку так, что опущенный конец трубки
горизонтален и обращен отверстием в сторону движения. Другой конец
трубки, находящийся в воздухе, вертикален. На какую высоту h по от-
ношению к уровню воды в озере поднимется вода в трубке?
14.38. Горизонтально расположенный велосипедный насос без со-
единительного шланга заправлен водой. С какой скоростью будет вы-
брасываться вода из отверстия насоса, если к поршню приложить си-
лу F? Площадь поршня насоса 5,, площадь отверстия насоса, из кото-
рого выбрасывается вода, S2.
116
vn. ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ.
ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
Термодинамика — наука о наиболее общих свойствах макроскопи-
ческих физических систем, находящихся в состояниях термодинамиче-
ского равновесия, и о процессах перехода между этими состояниями.
Термодинамика строится на основе законов, которые являются обобще-
нием опытных фактов и выполняются для любых систем. Обоснование
законов термодинамики дается молекулярно-кинетической теорией
(МКТ). МКТ посвящена изучению свойств макроскопических тел, со-
стоящих из очень большого числа (коллектива) частиц (атомов, моле-
кул, ионов, электронов), исходя из свойств этих частиц и взаимодейст-
вия между ними. Более подробно об этом будет сказано в разделе VIII.
Суммарная кинетическая энергия хаотического (теплового) движения
молекул, атомов, ионов и потенциальная энергия взаимодействия этих
частиц называется внутренней энергией (И) тела. Опыт показывает, что
изменить внутреннюю энергию системы можно двумя способами:
1) сообщить системе некоторое количество теплоты (0; 2) совершить
внешними силами над системой работу (А*):
AU=Q+A*.
Это утверждение называется первым законом (началом) термоди-
намики. Энергия, переданная путем теплообмена (т. е. в результате
теплопроводности, излучения, конвекции и т. п.), называется количест-
вом теплоты. Вместо работы внешних сил А* обычно рассматривают
работу системы Л против внешних сил, причем А* = -А.
Таким образом, первый закон термодинамики запишется в виде
Q = AU+A,
его словесная формулировка: количество теплоты, сообщенное систе-
ме, идет на изменение внутренней энергии этой системы и на соверше-
ние системой работы над внешними телами.
В СИ единицей количества теплоты является джоуль (Дж). Иногда
применяется внесистемная единица количества теплоты — калория
(кал): 1 кал = 4,2 Дж.
Если энергия тела меняется только путем теплообмена, то Q = MJ,
т. е. можно сказать, что количество теплоты есть мера изменения внут-
ренней энергии тела при теплообмене. Рассчитать количество теплоты в
некоторых процессах можно следующим образом:
117
1) при изменении температуры тела:
Q = cmtsT = CAT,
где т — масса тела, АТ — изменение температуры, с — удельная тепло-
емкость вещества, С — теплоемкость тела (при этом предполагается,
что в пределах изменения температуры АГ удельная теплоемкость оста-
ется постоянной);
2) при плавлении кристаллического вещества (или кристаллизации
расплава):
е = пп,
где г — удельная теплота плавления, т — масса кристаллического ве-
щества;
3) при испарении жидкости (или конденсации пара):
б = Л/и,
где Л — удельная теплота парообразования, т — масса жидкости;
4) при сгорании топлива:
Q = qm,
где q — удельная теплота сгорания топлива, т — масса топлива.
Рассмотрим неподвижную систему тел, причем работа внешних сил
равна нулю. Пусть теплообмен осуществляется только между телами
системы, т. е. к системе не подводится и от системы не отводится тепло.
Тогда закон сохранения энергии можно записать в виде
А£/сист = А//,= 0, или Полученные соотношения носят
(О (О
название уравнений теплового баланса. Для некоторых тел, входящих
в систему, изменение внутренней энергии АП>0, т. е. тела получают
некоторое количество теплоты (С>0); для других тел АП<0, т. е. тела
отдают некоторое количество теплоты (Q < 0) (см. пример 27).
Если в системе действуют непотенциальные силы (например, сила
трения), работа которых не равна нулю, то внутренняя энергия системы
тел меняется. Изменение внутренней энергии равно работе этих сил
(^(^непот))> или убыли механической энергии (-AlVMex): А{7=Л(^неп0Т) =
= -АИ/мех, или At/+AWMex = 0 (см. пример 28).
Опыт показывает, что объем твердых и жидких тел, как правило,
возрастает с увеличением температуры. В определенном интервале тем-
ператур справедлива линейная зависимость V2 = Vx [1 + Р(/2 - tx)], где Vt и
Vj — объемы тела при температурах и r2; Р — коэффициент объемно-
го расширения. Есть некоторые исключения из этого правила. Напри-
118
мер, вода при нагревании от 0°С до 4°С уменьшает свой объем. Линей-
ный размер тела при нагревании меняется по закону /2 = lt [1 + a(f2 - tt)],
где /, и /2 — линейные размеры тела при температурах 1, и t2; а — ко-
эффициент линейного расширения, причем Р = За (см. пример 29).
Пример 27. В калориметре находилось тх = 0,5кг воды и такое же ко-
личество льда при /1=0°С. Какое количество водяного пара при t2= 100°С
было впущено в воду, если весь лед растаял и температура в калориметре
установилась 0 = ЗО°С. Теплоемкость калориметра Ск=200Дж/К.
Дано:
= 0,5 кг; т2 = 0,5 кг; tl = 0°С; t2 = 100°С; 0 = ЗО°С;
с = 4,2-103 Дж/(кгК); Ск=200Дж/К;
г=3,3-105Дж/К; Х = 2,3-106Дж/кг
т3 — ?
Для системы тел (лед, вода, пар, калориметр) запишем уравнение те-
плового баланса: Qt + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 = 0, где Ql = CK(Q-tl) — количе-
ство теплоты, полученное калориметром при его нагревании от tx = 0°С
до 0 = ЗО°С; Q2 = rm2 — количество теплоты, полученное льдом при его
плавлении; 03 = c(m1+m2)(0-f1) — количество теплоты, полученное
первоначальным количеством воды тх и водой, образовавшейся после
таяния льда т2 при нагревании от Г[=0°С до 0 = ЗО°С; б4=-А.«3 — ко-
личество теплоты, выделяемое паром при его конденсации; Q5 =
= ст3(0-%) — количество теплоты, выделяемое водой, полученной
после конденсации пара т3, при ее охлаждении от t2 = 100°С до 0 = 30°С.
Уравнение теплового баланса перепишем в виде
Ск (0 -1,) = гт2 + с (wij + т2) (0 - tx) - Хт3 + ст3 (0 -12) = 0,
откуда
т , ~ )+ ГУП2 + + т2 )(0 - f,) _ р Q97
3 Х + с(г2-0)
Пример 28. Свинцовая пуля, летящая со скоростью vx =400 м/с, по-
падает в стальную плиту и отскакивает от нее со скоростью с2 = 200м/с.
119
И
Какая часть пули расплавится, если иа ее нагрев пошло Г) =70% тепло-
ты, выделившейся при ударе, а расплав не отскакивает от плиты? Тем-
пература пули при ударе г1 = 107°С. Температура плавления свинца
Г2 = 327°С. Удельная теплоемкость свинца с= 1,3-10* 2 *Дж/(кг-К), удельная
теплота плавления свинца г=2,5-106 Дж/кг.
Дано:
и, =400м/с; п2 = 200м/с; t{= 107°С; г2 = 327°С;
г =2,5-106 Дж/кг; с= 1,3-102 Дж/(кг-К); Т] =0,7
П^/ш,---?
При неупругом взаимодействии уменьшается механическая энергия
пули. Пуля нагревается и часть ее плавится. Закон сохранения энергии
запишем в виде АИ^-Т] + А17=0, где АИ/мех-г] — часть механической
энергии, которая перешла во внутреннюю энергию пули (AVFMex<0);
AU=cmi(t2-t}) + rm2>0, где т1 — первоначальная масса пули, т2 —
масса расплава, который не отскакивает:
2 '
—у- T] + C"W2-'1)+ гт2 =0.
Откуда
= (vj -v2}fi-2c(t2-tl) = 019
2r-v2T]
Пример 29. Медный лист площадью 50 = 0,30 м2 при Г, = 20^С нагрели
до t2 = 600°С. Как изменилась его площадь, если коэффициент линейного
расширения меди а= 1,7-10-5 К’1 ?
Предположим, что лист имеет форму прямоугольника со сторонами,
равными ах и Ьх при температуре . При температуре t2 длины сторон
соответственно равны а2 = п1(14-а-Аг), й2 = й1(1+а-Аг), где Дг = г2-г1.
Изменение площади листа As = s2-sl=a2b2-alb}=al(l + а-А?)х
х i,(l + a-Ar) - afa = ajfcjG + а-Ar)2 - albl = albl [1 + 2а-Дг + а2-(Дг)2] - albl.
Учитывая, что а« I, пренебрегаем слагаемыми а2-(Л?)2 по сравне-
нию со слагаемыми 2ос-Аг. Учтем, что albl-s0. В результате получим
As=s0(l + 2а-Дг)-$0=2а-Дг.$0=59-1(Г4 * м2.
120
15. Тепловое расширение. Теплообмен без изменения агрегатного
состояния. Сгорание топлива
15,1. Как должны относится длины двух стержней при температуре
0°С, чтобы при любой температуре разность длин стержней оставалась
постоянной, если стержни сделаны из материалов с различными коэф-
фициентами линейного расширения а, и ?
15.2. Коэффициент объемного расширения воды для двух интервалов
температур: (З^-З.ЗЛО^К-1 (0°C<r<4°C); P2 = 4,8-10’5K"‘
(4°С<Г< 10°С). Найдите объем У2 воды при ?2=10°С, если при ^(FC
объем воды равнялся Vt = 1 л.
15.3. Найдите плотность ртути р2 при температуре 100°С, если при
20°С ее плотность р, = 1,36-104 кг/м3, а коэффициент объемного расши-
рения ртути Р = 0,18-10"3К-1.
15.4. Нефть на складе хранится в цилиндрической емкости, имеющей
высоту /=8м. При температуре t}=-5°C уровень нефти не доходит до
верхнего края емкости на 30 см. Выльется ли нефть при повышении
температуры до t2 = +30°С ? Коэффициент объемного расширения нефти
Р= 1-10'3К-1. Расширением емкости пренебречь.
15.5. В железный бидон вместимостью Уо= Юл налит до самого вер-
ха керосин при ?! = 5°С. Какой объем керосина вытечет, если поместить
бидон в комнате, где температура ?2 = 20°С? Расширение бидона не учи-
тывать, коэффициент объемного расширения керосина (3 = 1 • 10~3 К"1.
15.6. Какую поправку надо внести в решение задачи 15.5, если учи-
тывать расширение бидона? Коэффициент линейного расширения желе-
за а= 1,2-10’5К~‘.
15.7. Стальной стержень, имеющий площадь поперечного сечения
5= 10 см2, упирается концами в две жесткие неподвижные стенки. С
какой силой стержень будет давить на каждую из стенок, если его тем-
пература повысится на А1 = 15°C? Модуль Юнга для стали £=206ГПа,
коэффициент линейного расширения стали а = 1,Г10*5К-1.
15.8. В ванну налили и смешали 50 л воды при температуре 15°С и
30 л воды при температуре 75°С. Какой станет температура воды в ван-
не, если пренебречь потерей теплоты, идущей на нагревание самой ван-
ны и окружающей среды?
121
15.9, В каком отношении должны быть взяты массы т{ и двух жид-
костей с удельными теплоемкостями с, и с2 и начальными температурами tt
и t2 (^>Гг), чтобы общая температура после их смешения получилась рав-
ной 0 ? Теплоемкость сосуда, в которой находится жидкость, не учитывать.
15.10. Две жидкости с одинаковой удельной теплоемкостью (с^сД
но разной массы (zn2 = 3zn1) и имеющие разную температуру (Ту = 2Т2),
смешали в калориметре. Выразите установившуюся температуру 0 через
Ту. Теплоемкостью калориметра пренебречь.
15.11. Две жидкости одинаковой массы (mj = т2), но разной удельной
теплоемкости (с, = 2с2) и имеющие разную температуру (7’2 = 37’1), сме-
шали в калориметре. Выразите установившуюся температуру 0 через Т2.
Теплоемкостью калориметра пренебречь.
0 40 80 120 Q, кДж
Рис. 15.12
15.12. На рис. 15.12 изображены гра-
фики изменения температуры трех тел в
зависимости от количества подводимой
теплоты. Сравните теплоемкости этих тел.
15.13. В сосуде смешиваются три хи-
мически не взаимодействующие жидко-
сти, имеющие массы w^Ikt, m, = 10кг,
/и3 = 5кг, температуры ty = 6°C, г2 = -40°С,
?3 = 60°С и удельные теплоемкости
с1 = 2кДж/(кг-К), с2 = 4кДж/(кг-К), с3 = 4кДж/(кг-К). Найдите температу-
ру 0 образовавшейся смеси. Теплоемкостью сосуда и тепловыми поте-
рями пренебречь.
15.14. В двух одинаковых сосудах содержится вода. В одном — мас-
са воды ту =0,1 кг при Г,=45°С, в другом — ш2 = 0,5кг при Г2 = 24°С. В
сосуды наливают одинаковые массы ртути с одинаковой температурой,
после чего температуры в сосудах оказались одинаковыми и равными
Г=17°С. Найдите теплоемкость сосуда. Удельная теплоемкость воды
с = 4,2-103 Дж/(кг-К).
15.15. Для измерения температуры воды, имеющей массу т = 66г, в
нее погрузили термометр, который показал температуру Г, = 32,4°С.
Какая была действительная температура воды, если теплоемкость тер-
мометра С= 1,9 Дж/К, а перед погружением в воду он показывал темпе-
ратуру t2= 17,8°С? Удельная теплоемкость воды с = 4,2-103 Дж/(кг-К).
122
15.16. В стеклянный сосуд, имеющий массу т1=0,12 кг и температу-
ру ?! = 20°С, налили горячую воду, масса которой т2 = 0,2 кг и темпера-
тура ?2= 100°С. Спустя время т=5 мин температура сосуда с водой стала
равной ?=40°С. Теряемое в единицу времени количество теплоты по-
стоянно. Какое количество теплоты терялось в единицу времени?
Удельные теплоемкости стекла и воды С! = 840Дж/(кг-К), с2 =
=4,2-103 Дж/(кг-К).
15.17. В железном калориметре массой 0,1 кг находится 0,5 кг воды
при температуре 15°С. В калориметр бросают свинец и алюминий об-
щей массой 0,15 кг и температурой 100°С. В результате температура
воды становится равной 17°С. Определите массы свинца и алюминия.
Удельная теплоемкость свинца 125,7 Дж/(кг-К), алюминия 836 Дж/(кг-К),
железа 460 Дж/(кг-К).
15.18. Устройство, в котором выделяется мощность Р=30кВт, охла-
ждается проточной водой, текущей по трубе диаметром </=15 мм. В
установившемся режиме проточная вода нагревается на А/ = 15°С. Опре-
делите скорость воды, предполагая, что все количество теплоты, выде-
ляемое устройством, идет на нагрев воды. Удельная теплоемкость воды
с = 4,2-103 Дж/(кг-К), плотность воды р= 103 кг/м3.
15.19. В алюминиевую кастрюлю массой 0,5 кг налит один литр во-
ды. Кастрюля довольно долго стоит на газовой плите, от которой ежесе-
кундно получает 100 Дж теплоты, а температура воды не становится
больше 95°С. Плиту выключают. Через какое время температура воды
станет равной 94°С? Плотность воды 103 кг/м3. Удельные теплоемкости
воды и алюминия равны соответственно 4,2-103 Дж/(кг-К), 0,9 кДж/(кг-К).
15.20. Нагретое до ?t= 100°С тело опустили в сосуд с водой. Темпе-
ратура воды повысилась с ?2 = 20°С до ?3 = ЗО°С. Какой станет темпера-
тура 0 воды, если в нее опустить еще одно такое же тело, нагретое до
?4 = 80°С?
15.21. Какое количество теплоты сообщили медному шарику, если
его объем увеличился на ДУ=1см3? Удельная теплоемкость меди
с = 0,38кДж/(кг-К), плотность меди р = 8,9-103 кг/м3, коэффициент ли-
нейного расширения а= 1,7-10-5К"1.
15.22. Какой КПД двигателя автомашины, если при скорости
v = 20м/с расход топлива составляет V= Юл бензина на 5= 100км пути?
123
Двигатель развивает мощность У=20кВт. Удельная теплота сгорания
бензина q = 44 МДж/кг, его плотность р = 0,7-103 кг/м3.
15.23. Какая масса пороха сгорает при выстрелу из карабина, если
масса пули те=10г, скорость ее при вылете v=700 м/с, КПД карабина
Г| = 30%, удельная теплота сгорания пороха q = 3,8 МДж/кг?
15.24. Реактивный самолет имеет четыре двигателя, развивающих
силу тяги F=2104H каждый. Сколько керосина израсходуют двигатели
на перелет 5=5000км? Удельная теплота сгорания керосина q=
= 45 МДж/кг, КПД двигателя Г| =25%.
15.25. Определите, на сколько увеличится расход бензина на 5 = 1 км
пути при движении автомобиля массой т- 103кг по дороге с подъемом
Л = 3м на 2=100м пути по сравнению с расходом бензина на горизон-
тальной дороге. КПД двигателя Г| = 30%. Скорость в обоих случаях оди-
накова. Удельная теплота сгорания бензина <? = 43 МДж/кг.
15.26. Автомобиль развивает скорость и , = 20 м/с, расходуя при этом
W] = 80r бензина на 5= 1 км пути. Какое количество бензина будет рас-
ходовать автомобиль при скорости v2 = 25 м/с ? Какую мощность он при
этом разовьет? Сила сопротивления пропорциональна скорости. КПД
двигателя Т] = 30%. Удельная теплота сгорания бензина <? = 43 МДж/кг.
16. Тепловые явления с изменением агрегатного состояния
16.1. Кусок свинца массой т = 1 кг расплавился наполовину при со-
общении ему количества теплоты Q = 50 кДж. Какова была начальная
температура свинца? Удельная теплоемкость свинца с = 0,13кДж/(кг-К),
удельная теплота плавления свинца г= 24 кДж/кг, его температура плав-
ления Го = 6ООК.
16.2. Тигель, содержащий олово, нагревается электрическим током.
Мощность нагревателя постоянна. За время Т] = 10мин температура
олова повышается от zI = 20°C до г2=70°С. Еще через т2=83мин олово
полностью расплавилось. Найдите удельную теплоемкость олова.
Удельная теплота плавления олова г = 5,9-104 Дж/кг, его температура
плавления t0=232°C. Теплоемкостью тигля и.потерями пренебречь.
124
16.3. Для нагревания на электроплитке воды от температуры
до кипения потребовалось время 15 мин. После этого потребовалось
время т2 = 1 ч 20 мин для обращения всей воды в пар при тех же услови-
ях. Найдите удельную теплоту парообразования воды, если удельная
теплоемкость воды с = 4,2-103 Дж/(кг-К).
16.4. В чайник со свистком налили воду массой т1 -1 кг и поставили
на электрическую плитку мощностью У= 900 Вт. Через т1 = 7 мин раз-
дался свисток. Сколько воды останется в чайнике после кипения воды в
течение т2 = 3мин? Чему равен КПД нагревателя? Начальная темпера-
тура воды Г = 20°С, ее удельная теплоемкость с = 4,2-103Дж/(кг-К),
удельная теплота парообразования воды Л = 2,3 МДж/кг.
16.5. В воду массой т{ = 1 кг, взятой при температуре t1=20°C, бро-
сают кусок железа массой т2 = 0,1 кг, нагретый до Г2 = 500°С. При этом
некоторое количество воды обращается в пар. Окончательная темпера-
тура воды получилась равной 0=24°С. Пренебрегая рассеянием тепла,
определите массу испарившейся воды. Удельные теплоемкости воды и
железа с1 = 4,2-103 Дж/(кг-К), с2 = 0,46-103 Дж/(кг-К). Удельная теплота
парообразования воды Л = 2,3 МДж/кг.
16.6. В сосуд, содержащий т1 = 10 кг воды при температуре = 10°С,
положили лед, имеющий температуру t2 = -50°С, после чего температура
в сосуде оказалась равной 0 = -4°С. Сколько льда положили в сосуд?
Удельные теплоемкости воды с1=4,2-103Дж/(кг-К) и льда с2 =
= 2,1-Ю3Дж/(кг-К). Удельная теплота плавления льда г=0,33 МДж/кг.
Теплоемкостью сосуда и потерями теплоты пренебречь.
16.7. Ванну объемом У=100л необходимо заполнить водой, имею-
щей температуру 0 = ЗО°С, используя воду с температурой Г] = 80°С и
лед с температурой г2=-20°С. Найдите массу льда, который придется
положить в ванну. Удельные теплоемкости воды с1=4,2-103Дж/(кг-К) и
льда с2 = 2,1-103 Дж/(кг-К). Плотность воды р= 103кг/м3, удельная тепло-
та плавления льда г=0,33 МДж/кг. Теплоемкостью ванны и потерями
теплоты пренебречь.
16.8. В медном калориметре массой mt = 1 кг находится вода массой
лн2 = 2кг и лед массой те3 = Зкг. Температура воды /1=0°С. Калориметр
необходимо нагреть до Г2 = 80°С пропусканием водяного пара при
125
t3 = 100°C. Сколько пара для этого потребуется? Удельные теплоемкости
меди С] = 38ОДж/(кг-К), воды с2 = 4,2кДж/(кг-К). Удельная теплота плав-
ления льда г=0,33 МДж/кг. Удельная теплота парообразования воды
А. = 2,3 МДж/кг.
16.9. В калориметр положили кусок льда массой т= 10 кг, имеющий
температуру Г| = -10°С. Найдите массу воды в калориметре после того,
как его содержимому сообщили количество теплоты Q = 20 МДж.
Удельные теплоемкости льда с| = 2,1-103Дж/(кг-К) и воды с2 =
= 4,2-103 Дж/(кг-К). Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг.
Удельная теплота парообразования воды А = 2,3 МДж/кг. Теплоемко-
стью калориметра пренебречь. Постройте график зависимости темпера-
туры содержимого калориметра от времени.
16.10. В сосуд, содержащий воду массой 0,2 кг при температуре
Г] = 8°С, погружают лед массой т2 = 0,Зкг, имеющий температуру
Г2 = -20°С. Какую температуру 0 будет иметь содержимое сосуда после
того, как установится тепловое равновесие? Удельные теплоемкости
воды и льда равны ct = 4,2-103Дж/(кг-К) и с2 = 2,1103Дж/(кг-К) соответ-
ственно. Удельная теплота плавления льда г= 0,33 МДж/кг. Теплоемко-
стью сосуда и потерями теплоты пренебречь.
16.11. В калориметре находится w,=500r льда при температуре
Г1 = О°С. В него вливают те2 = 200г воды при г2 = 80°С. Какая будет уста-
новившаяся температура и что будет в калориметре? Теплоемкостью
калориметра и потерями теплоты пренебречь. Удельная теплоемкость
воды С] = 4,2-103 Дж/(кг-К), удельная теплота плавления льда г=
= 0,33 МДж/кг.
16.12. В калориметре находится вода Ш] = 500г и лед т2 = 54г при
температуре Г] = О°С. В калориметр вводится водяной пар массой
/п3=10г при температуре г2=100°С. Какой будет температура после
установления теплового равновесия? Удельная теплоемкость воды
с1=4,2-103Дж/(кг-К), удельная теплота плавления льда г=0,ЗЗМДж/кг,
удельная теплота парообразования воды Л = 2,3 МДж/кг.
16.13. В сосуд с водой с общей теплоемкостью С= 1,7 кДж/K помес-
тили лед массой т = 0,1 кг, первоначальная температура которого
Г2=-8°С. Первоначальная температура воды в сосуде Г] = 20°С. Какая
126
температура установится в сосуде? Удельная теплоемкость воды ct =
=4,2-103Дж/(кгК) и льда с2=2,1-103Дж/(кгК). Удельная теплота плав-
ления льда г=0,33 МДж/кг. Рассеянием теплоты пренебречь.
16.14. С какой высоты Н упал без начальной скорости свинцовый
шар, если при абсолютно неупругом взаимодействии с поверхностью
его температура повысилась на А7'=10К? Считать, что на нагревание
шара идет 80% его механической энергии, которой он обладал непо-
средственно перед взаимодействием. Сопротивлением воздуха пренеб-
речь. Удельная теплоемкость свинца с= 130 Дж/(кг-К). Как изменится
решение задачи, если шар будет стальной и взаимодействие абсолютно
упругое?
16.15. С какой скоростью должна вылететь из ружья свинцовая дро-
бинка при выстреле, сделанном вертикально вниз с высоты й = 100м,
чтобы при ударе о неупругое тело дробинка расплавилась? Считать, что
выделившееся количество теплоты распределилось между дробинкой и
телом поровну. Начальная температура дробинки 1\ = 500 К, температу-
ра плавления свинца Т2 = 600К, удельная теплоемкость свинца с =
= 130 Дж/(кг-К), удельная теплота плавления свинца г=25 кДж/кг.
16.16. Свинцовая пуля пробивает деревянную доску, причем ско-
рость в момент удара была =400 м/с, а после прохождения доски
о2=100м/с. Температура пули в момент удара Г, = 323 К. Какая часть
пули расплавилась, если удельная теплота плавления свинца г=
= 25 кДж/кг, температура плавления Т2 = 600 К, удельная теплоемкость
с~ 130 Дж/(кг-К). Считать, что на нагрев пули идет Т| = 70% потерянной
механической энергии, а расплав остается внутри доски.
16.17. С какой минимальной скоростью влетает железное метеорное
тело в атмосферу Земли, если при этом оно испаряется? Испарение ме-
теорного тела происходит достаточно быстро. Его начальная температу-
ра Г] =4 К, температура плавления железа Г2= 1535°С, температура ки-
пения железа Г3=ЗО5О°С, удельная теплоемкость железа с=
= 0,46 кДж/(кг-К), удельные теплота плавления и испарения железа
г=0,3 МДж/кг, Х = 58 кДж/кг.
16.18. С какой скоростью должны лететь навстречу друг другу две
одинаковые льдинки с температурой -10°С, чтобы после абсолютно
127
неупругого удара обратиться в пар при 100°С ? Необходимые табличные
величины возьмите из справочника.
16.19. Под колоколом воздушного насоса находится сосуд с водой
при 0°С. Быстро откачивая воздух из-под колокола, можно превратить
воду в лед. Почему? Какая часть воды может быть обращена в лед при
0°С ? Удельная теплота парообразования воды при 0°С А. = 2,3 МДж/кг,
удельная теплота плавления льда г=0,33 МДж/кг.
16.20. Чистая вода может быть переохлаждена до температуры
Z] = -10°C. Такое состояние воды неустойчиво, и'при любом возмущении
вода превращается в лед с температурой Г2 = 0°С, Какая масса льда, об-
разовавшегося из лереохлажденной воды, если масса воды была
Л1] = 1кг? Удельная теплоемкость воды с = 4,2-103 Дж/(кг-К), удельная
теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг.
128
VIII. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ МКТ.
ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ
К ПРОЦЕССАМ В ГАЗАХ. ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ.
СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ПАРОВ
Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) описывает макроскопи-
ческие свойства вещества на основе микроскопической (молекулярной)
картины его строения. МКТ утверждает, что все тела состоят из струк-
турных химических элементов (атомов). Атомы элементов, соединяясь
друг с другом, образуют молекулы. Атомы можно обозначить символом
2 X, где X — символ химического элемента,1 Z — порядковый номер
элемента в таблице Менделеева (число протонов в ядре), А — массовое
число (суммарное число протонов и нейтронов в ядре).
Массы атомов выражаются в специальных единицах, называемых
атомной единицей массы (а.е.м.). Одна а. е. м. равна одной двенадца-
той части массы атома изотопа углерода : 1 а. е. м. = 1,66-10“27 кг.
Относительной молекулярной (или атомной) массой вещества Мг
называют отношение массы молекулы (или атома) тп данного вещества
к 1/12 массы атома углерода т^.
Мг=-Д-
Количеством вещества v называют отношение числа молекул в
данном теле к числу NA атомов в 0,012 кг углерода *^С :
N
v =---.
Количество вещества в СИ выражают в молях. Моль — количество
вещества, содержащего столько же структурных элементов (молекул,
атомов, ионов), сколько содержится атомов в 0,012 кг углерода *^С.
Число Аа молекул или атомов в моле вещества называют постоянной
Авогадро (или числом Авогадро): NA = 6,022-1023 моль'1.
Молярной массой М называют массу вещества, взятого в количестве
одного моля. Ее единица измерения в СИ: [Л/] = кг/моль.
Взаимодействие между молекулами осуществляется посредством моле-
кулярных сил, действие которых простирается на малые расстояния поряд-
129
ка 10“10м. Эти силы имеют электромагнитную, а также особую квантовую
природу. Силы взаимодействия между молекулами подразделяются на
силы притяжения (Fn) и силы отталкивания (Fo), которые действуют одно-
временно и различно зависят от расстояния г между молекулами:
F = — F = —
п г7> О Г1Э’
где а и Ь — коэффициенты, зависящие от строения молекул и типа сил
межмолекулярного взаимодействия.
Все частицы, из которых состоит вещество (молекулы, атомы, ионы),
находятся в непрерывном хаотическом движении, которое называется
тепловым движением. Три состояния вещества: газообразное, жидкое и
твердое — отличаются одно от другого характером теплового движения
молекул, атомов и ионов. С ростом температуры увеличивается количе-
ство быстрых молекул и уменьшается количество медленных.
В данной главе рассматривается идеальный газ — модель реального
газа. Исследования показали, что все газы при не слишком больших
давлениях (в пределах до 10-15 атм) ведут себя одинаково, подчиняясь
одним и тем же законам. С точки зрения МКТ идеальный газ удовлетво-
ряет следующим требованиям:
1) объемом всех молекул газа можно пренебречь по сравнению с
объемом сосуда, в котором газ находится;
2) силами взаимодействия между молекулами вне моментов столк-
новения можно пренебречь;
3) при столкновении молекулы кратковременно взаимодействуют
друг с другом и со стенками сосуда по законам абсолютно упругого
удара.
Основное уравнение МКТ для газов гласит: давление идеального га-
за равно 2/3 произведения концентрации молекул п на среднее значение
кинетической энергии хаотического поступательного движения моле-
кул
э
(WK), или p=-n{WK)
(средние значения физических величин
будем обозначать угловыми скобками). Средняя кинетическая энергия
1 /2
молекул может быть представлена в
виде =
где т0 —
. . J N
масса молекулы, (и2) =— Уц2 —средний квадрат скорости молекул,
130
N — число молекул, и, — скорости молекул. Величина ига =J(u2) на-
зывается средней квадратичной скоростью молекул. Основное урав-
1 ! 2 \ 1 2
нение МКТ можно записать в виде p = —nm0(v Средняя
кинетическая энергия хаотического движения молекул газа пропорцио-
нальна абсолютной температуре:
->
где к= 1,38-10*23 Дж/К — постоянная Больцмана, Т— абсолютная тем-
пература газа (Г= t °C + 273). Таким образом, абсолютная температура
газа есть мера средней кинетической энергии поступательного движения
молекул.
Уравнение состояния идеального газа связывает параметры газа в
состоянии теплового равновесия (уравнение Менделеева-Клапейрона)'.
pV = —RT,
М
где т — масса газа, М — молярная масса, R = 8,31 Дж/(моль-К) — уни-
версальная газовая постоянная. Величина v = m/M определяет число
молей газа. Из этого уравнения следует выражение для плотности газа
т рМ
р = — = —— и связь между давлением, концентрацией и температурой
У RT
р = пкТ, где к = R/NA — постоянная Больцмана.
Если газ представляет собой смесь различных газов, то справедлив
закон Дальтона', давление смеси газов равно сумме их парциальных
давлений'. р = ^Р{, где — парциальное давление газа i-ro сорта.
(<)
Парциальным называется давление, которое производил бы каждый
отдельный газ этой смеси, занимая весь объем смеси. Для каждой ком-
поненты смеси справедливо уравнение состояния
pjy = -^-RT.
Процессом в газе называется переход газа из одного состояния (ха-
рактеризуемого параметрами рх, Vx, 1\) в другое (с параметрами р2, V2,
Т2). Изменение параметров газа в процессе можно изображать графиче-
131
ски в различных системах координат: (р, V); (р, Г); (V, Т). Рассмотрим
изопроцессы в идеальных газах (рис. 38).
Рис. 38
Изотермический процесс (7= const). Если масса газа и молярная
масса газа не меняются, то переход газа из одного состояния в другое
описывается уравнением pV= const (закон Бойля-Мариотга). В коорди-
натах (р, V) график процесса представлен на рис. 38, а, где показаны две
изотермы, причем Т2 > Ti.
Изобарный процесс (р = const). Если масса газа и молярная масса га-
за не меняются, то процесс описывается уравнением К/Г = const (закон
Гей-Люссака). В координатах (V,T) график процесса представлен на
рис. 38, б, где показаны две изобары, причемp2>Pi
Изохорный процесс (V-const). Если масса газа и молярная масса га-
за не меняются, то процесс описывается уравнением р/Т = const (закон
Шарля). В координатах (р, Т) график процесса представлен на рис. 38, в,
где показаны две изохоры, причем V2 > Vt.
Адиабатный процесс протекает без теплообмена с окружающей
средой (Q = 0). Уравнение адиабатного процесса имеет вид рУ7 = const,
ср 1
где у = — > 1, с и cv — удельные теплоемкости газа при постоянном
давлении и постоянном объеме. График адиабатного процесса в
координатах (р, V) (рис. 38, г) идет круче изотермы.
Внутренняя энергия идеального газа есть сумма кинетических
энергий хаотического движения всех его молекул. Величина внутренней
132
энергии и ее изменение для одноатомного идеального газа (гелий, аргон,
криптон и др.) рассчитываются по формулам:
U = -—RT- &U = -—RM.
2М 2М
Внутренняя энергия является функцией состояния, т.е. при переходе
газа из одного состояния в другое изменение внутренней энергии зависит
только от изменения температуры и не зависит от процесса. Для любого
замкнутого процесса (цикла) изменение внутренней энергии равно нулю.
Работа газа численно равна площади под
графиком процесса, изображенного в координа-
тах (р, V) (рис. 39). Если газ расширяется
т0 работа газа больше нуля; если газ
сжимается (V2< V,), то работа газа меньше нуля.
Отметим, что работа газа равна работе внешних
сил, взятой со знаком «минус»: Агаза = -А*.
Количество теплоты, полученное газом при теплопередаче, можно рас-
считать по формуле Q=cm ДЕ. Особенностью применения этой формулы для
газов является то, что в отличие от твердых и жидких тел, у которых удель-
ная теплоемкость является величиной постоянной, у газов она зависит от
процесса, в котором участвует газ. В молекулярной физике и термодинамике
наряду с удельной теплоемкостью (с = ———) часто пользуются молярной
т-\Т
теплоемкостью (смол = —), которая показывает, какое количество тепло-
ты надо подвести к одному молю вещества, чтобы изменить его температуру
на 1 К. Напомним, что количество теплоты (Q) — величина алгебраическая:
Q>0, если газ получает теплоту; Q<0, если газ отдает теплоту.
Рассмотрим применение первого закона термодинамики к некото-
рым процессам с заданной массой газа.
Изохорный процесс. V= const => Агаза = 0. Q = cvmAT, где cv —
удельная теплоемкость газа в изохорном процессе. Первое начало тер-
модинамики записывается в виде: Q = &U, т.е. изменение внутренней
энергии газа происходит только за счет теплообмена с внешней средой.
Изотермический процесс: Т = const => At/ - 0. Первое начало термо-
динамики записывается в виде: Q=A, т.е. подвод или отвод количества
теплоты не сопровождается изменением внутренней энергии.
133
Изобарный процесс: р = const => = p-AV = — RAT. Для одно-
М
3 in
атомного газа (гелий, аргон, криптон и т.п.) ДС7 =-RAT . Первое
2 М
начало термодинамики записывается в виде Q=AU+A, или Q=
= стАТ = --RAT + pAV = -—RAT .
р 2М 2М
Адиабатный процесс: Q=0. Первое начало термодинамики записы-
вается в виде Д£7+Агаа=0, или Аи=-Апзл. Следовательно, можно изме-
нить температуру газа без теплообмена.
Тепловой машиной называется периодически действующий двига-
тель, совершающий работу за счет получаемого извне количества теп-
лоты. Любая периодически действующая тепловая машина должна ра-
ботать на циклах (круговых процессах), в результате которых рабочее
тело, получающее тепло и совершающее работу, возвращается в исход-
ное состояние, поэтому внутренняя энергия его не меняется. В цикличе-
ском процессе AU = 0. Второй закон термодинамики утверждает, что
нельзя построить периодически действующую тепловую машину, кото-
рая бы все полученное количество теплоты превращала в работу. Обяза-
тельно часть теплоты должна быть отдана более холодным телам (холо-
дильнику). Термическим КПД тепловой машины называют величину
n=A=aia=1+a=1.lal<1,
е. а а а
где Qi — количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревате-
ля за цикл (2| > 0); Q2 — количество теплоты, отдаваемое рабочим те-
лом холодильнику за цикл (<22 < 0); А — работа, совершаемая рабочим
телом за цикл (А > 0). Французским инженером С. Карно был предложен
цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, который при заданных
температурах нагревателя (Д') и холодильника (Г2) имеет максимальный
КПД Пк = - •
11
Насыщенные пары. Влажность. Испаряться могут как жидкости,
так и твердые тела (камфара, йод, лед). Процесс испарения твердых тел
называется сублимацией (или возгонкой). Пар, находящийся в динами-
ческом равновесии со своей жидкостью (или кристаллом), называется
насыщенным (или насыщающим). При неизменной температуре плот-
134
ность и давление насыщенного'пара остаются величинами постоянны-
ми. В диапазоне средних давлений и температур к ненасыщенным и
насыщенным парам применимо уравнение Менделеева-Клапейрона.
Воздух, содержащий водяной пар, называется влажным. Для харак-
теристики влажности воздуха пользуются понятиями абсолютной и
относительной влажности. Абсолютная влажность — это количество
водяного пара в 1 м3, т. е. по существу это плотность р водяного пара,
содержащегося в воздухе. В метеорологии абсолютную влажность оце-
нивают по парциальному давлению водяного пара р. Относительная
влажность г — это отношение абсолютной влажности к плотности на-
сыщенного водяного пара рн при той же температуре: г = р/рн (или
г = р/рк , где р — давление водяного пара, находящегося в воздухе,
ря — давление насыщенного водяного пара при той же температуре).
При понижении температуры влажного воздуха абсолютная влажность
не меняется, но плотность насыщенных паров уменьшается и относи-
тельная влажность увеличивается. При некоторой температуре Гр отно-
сительная влажность станет равной единице (или 100%). При дальней-
шем понижении температуры будет происходить конденсация водяных
паров. Температуру Тр называют точкой росы.
Поверхностное натяжение в жидкости. Поверхностный слой жид-
кости ведет себя как растянутая эластичная пленка, следовательно, мо-
лекулы поверхностного слоя жидкости обладают избытком потенциаль-
ной энергии по сравнению с энергией молекул внутри жидкости. Эту
энергию называют поверхностной энергией Wn0B. Она пропорциональна
площади поверхности lVn0g=o5. Величина а называется коэффициен-
том поверхностного натяжения. Любая система стремится перейти в
состояние с минимальной энергией. Поэтому в отсутствие внешних сил по-
верхность жидкости стремится принять такую форму, чтобы ее площадь
была минимальной (капля жидкости в невесомости принимает форму сфе-
ры). Поверхностный слой, стремясь сократиться, действует на дайну I своей
границы с силой F= а I. Величина о зависит от температуры жидкости и от ее
природы. С ростом температуры значение о уменьшается.
Как показывает расчет (см. пример 36), изогнутость поверхности
жидкости связана с добавочным давлением Др на ту сторону поверхно-
сти, куда она обращена своей вогнутостью. В случае сферической по-
верхности радиусом R добавочное давление равно
Др=2а/Я.
135
Пример 30. Оцените среднее расстояние между молекулами воды,
если ее плотность р= 103 кг/м3. Рассчитайте массу молекулы воды.
Дано: 1
Возьмем V= 1 м воды, имеющей массу m=pV.
р= 10 кг/м ;
WA = 6,02-1023 моль-1; Число молей воды v = —. Число молекул воды
М = 18-10-3 кг/моль .
х, хг хг т Р^
определим как N = NAv = /vA — = NA----.
М М
образом, на каждую молекулу воды приходится кубик со
Г (
6.0210“ 10’
2 7
L —?/п0 —?
Таким
стороной
( V У/3
£= —
UV
М
^аР
L дает среднее расстояние между молекулами воды.
Значение
Проверим размерность:
= 3,1-Ю-|Ом.
\1/з
= м.
кг-моль-1
моль-1 -кг-м-3
Рассмотрим 1 моль воды, масса которого равна М и который содер-
жит NA молекул воды. Масса молекулы воды равна
Л/ 18 -10~3
т°~ 6,02-Ю23
[i]=
= 3-10-26 кг.
Пример 31. Считая воздух газом, состоящим из одинаковых моле-
кул, оцените скорость теплового движения молекул газа при нормаль-
ных условиях, если плотность воздуха равна 1,3 кг/м3.
Дано: хл-тг-т-
р -105Па’ Воспользуемся основным уравнением МКТ в виде
р= 1,3 кг/м3 р = . Плотность воздуха можно представить как
укв ? р = пт0 .Таким образом, = ^/Зр/р = 280 м/с.
Пример 32. Определите плотность смеси т{ = 32г кислорода и
тп2 = 8г азота при давлении р = 1 атм и температуре 1=0°С. Относитель-
ные молекулярные массы кислорода и азота равны соответственно
Л/Г| = 32,Л/Г2 = 28.
136
Дано:
т} = 3210~3 кг;
zn2 = 8-10’3 кг;
М{ = 32-10-3 кг/моль;
М2 = 28-10-3 кг/моль;
р=105Па; Г=273К
р-?
„ т,+т2
Согласно определению плотности, р = —1--
где V — объем смеси. Согласно закону Дальтона
и уравнению Менделеева-Клапейрона, имеем
т. RT т2 RT тт „
р = —1-----+-------. Найдем из этого уравне-
A/j V М2 V
ния V и подставим в выражение для плотности.
„ т, +т2 р , „ , >
Получим р = —5 — = 1,3 кг/м .
^L + _^2. ЛГ
Мх М2
Пример 33. При расширении идеального газа его давление линейно зави-
сит от объема: p=aV, где а — постоянная величина. Во сколько раз изме-
нится объем газа при увеличении температуры от Т\ =200К до Т2=400К?
Дано:
р = аУ;
Г, = 200 К;
Г2 = 400К
Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона
pV=vRT. Подставив в это уравнение значение р=аУ,
найдем связь между V и Т: V2=v RTa~l. Запишем полу-
ченное уравнение для двух состояний газа:
V2 = vtfZja-1; V2 = vRT2a~l.
Поделив уравнения, получим —
VJV.-2
2.
Пример 34. Идеальный одноатомный газ в количестве умоль со-
вершает процесс, в котором зависимость температуры от объема задает-
ся уравнением 7'=aV2, где a=const >0. Объем газа меняется от
до У2. Найдите работу газа и изменение его внутренней энергии.
Дано- 2 Используя соотношения
У,; У2; Г=аУ г=ау2 и pV=vRT, полу-
д___?AtZ__? чаем зависимость p-f(V) в
виде p = vRa.V. График
процесса в координатах
(р, V) представлен на рис. 40. Работа газа чис-
ленно равна площади под графиком процесса,
изображенного в координатах (р, V):
137
Л^О^р,+ргЦУ,-У,),
где pt = v/faPj, р2 = v/?aK2. Таким образом,
А = 0,5v/?a(K22 -И/).
Изменение внутренней энергии одноатомного газа можно рассчитать по
формуле AU = ^vRAT, где Г( = ас/, Т2 = аИ22.
3
Следовательно, AU = —v/?a(K22 -F2).
Пример 35. Относительная влажность воздуха в аудитории равна
40% при температуре 20°С. Сколько надо испарить в этой аудитории
воды, чтобы поднять влажность до 60% ? Объем аудитории 50 м3, давле-
ние насыщенных водяных паров при 20°С рн = 2,3-103Па.
Дано:
г, =0,4; г2 = 0,6;
Г=293К; V=50m3;
рн = 2,3103Па;
М = 1,8 -10~2 кг/моль
Am — ?
Используя определение относительной влаж-
ности г = р/рн и выражение для плотности на-
р„М
сыщенного пара рн = ——, найдем массы водя-
RT
ного пара в аудитории при соответствующих
влажностях:
r. rz РНМ rz ,, IZ Р»М ,,
=р1И=г1рнИ = г1-^—И, =p2V = r2p„V = ^-±=-V.
v KI К1
Откуда Ат = т2-т{= (г2 V = 0,17 кг.
RT
Пример 36. Найти добавочное давление, обусловленное поверхно-
стным натяжением, внутри шаровой капли радиусом R. Коэффициент
поверхностного натяжения равен а.
Дано:
/-----°
Рассечем мысленно каплю диаметраль-
ной плоскостью на две половинки
(рис. 41). Вследствие поверхностного на-
тяжения обе половинки притягиваются
друг к другу с силой F= о-l = a-2nR. Эта сила прижимает
друг к другу оба полушария по поверхности S=nR2,
поэтому Ар = F/S = 2a//?.
__/R
Ар—?
Рис. 41
138
Пример 37. Найти массу воды, поднявшейся по стеклянной капил-
лярной трубке диаметром 0,5 мм, если коэффициент поверхностного
натяжения воды 7,2-10"2 Н/м.
Дано:
</=О,5-1О’3м;
а=7,2-10~2 Н/м
Рассмотрим поверхность раздела жидкость-воздух
в трубке. Так как вода смачивает стекло, то форма
этой поверхности — вогнутый мениск, который будем
т — ? считать сферическим с радиусом
R = djl (рис. 42). Непосредственно
под вогнутым мениском в точке 2
давление жидкости будет меньше,
2а
чем в точке 1 (см. пример 36): - р2 = —. Со-
R
гласно закону сообщающихся сосудов, р3=р4, но
p3=p2 + pgh, где р — плотность воды. Давление в точках 1 и 4 равно
атмосферному р0. Получаем систему уравнений:
2а
А-Р2=у,
Рз ~ Рз + Pgh, или
Рз = Р 4’
,Pi=P4 = Ро>
2а
Ро Р1 ~ ’
Ро~Р2 =P8h’
, 2а
откуда п =------высота, на которую поднимется вода.
Pgh
ndc
Найдем массу воды т = рИ = pSh -----, где V — объем поднявшей-
g
ся воды, S — площадь сечения трубки. После подстановки численных
значений получим т = 1,2-10-5 кг.
Замечание. Выбранный способ решения задачи позволил повторить
основные законы гидростатики. Однако эту задачу можно решить зна-
чительно проще. Сила поверхностного натяжения, действуя по краю
мениска жидкости вверх, уравновешивает силу тяжести, действующую
_ ГТ П Г. J
на столбик жидкости. Поэтому 2л/са = mg, ала = mg, т =---.
g
139
17. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа.
Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы
Во всех задачах этой и последующих глав под «нормальными ус-
ловиями» понимается: Г0 = 273К (О°С),ро=1О5Па (760 мм рт.ст.).
17.1. Вычислите массу молекулы кислорода. Относительная атомная
масса кислорода МГ= 16. Число Авогадро NA = 6,02-1023 моль-1.
17.2. Оцените для газа при нормальных условиях: 1) число молекул в
1см3 (число Лошмидта wL); 2) среднее расстояние между соседними
молекулами.
17.3. Оцените для железа: 1) концентрацию атомов; 2) расстояние
между центрами соседних атомов. Плотность железа р = 7,8-103 кг/м3,
молярная масса М= 0,056 кг/моль, число Авогадро NA = 6,02-1023 моль-1.
17.4. Определите число атомов меди в объеме 1 см3. Необходимые
табличные величины возьмите из справочника.
17.5. С неподвижной стенкой сталкивается пучок молекул. Найдите
давление пучка на стенку, если скорость молекул в пучке v, концентра-
ция молекул п, их масса т0. Рассмотрите два случая: а) пучок падает на
стенку нормально; б) пучок падает на стенку под углом а к нормали.
17.6. Вычислите средние квадратичные скорости молекул водорода и
гелия при температуре t = 27°С. Атомные массы водорода и гелия равны
соответственно Я j = 1 а. е. м., Л2 = 4 а. е. м.
17.7. Определите, где больше молекул: в комнате объемом V, = 50 м3
при нормальном атмосферном давлении и температуре г=20°С или в ста-
кане воды объемом Р2=200см3. Молярная масса воды М= 0,018 кг/моль,
плотность воды р= 103кг/м3, число Авогадро Аа = 6,02-1023моль-1.
17.8. Во сколько раз изменится давление идеального газа, если в
данном замкнутом объеме средняя квадратичная скорость теплового
движения молекул газа уменьшится в два раза?
17.9. Во сколько раз изменится давление газа, если концентрация его
молекул увеличится в три раза, а среднеквадратичная скорость его мо-
лекул уменьшится в три раза?
17.10. В закрытом сосуде находится идеальный газ. Во сколько раз
возрастет его давление, если средняя квадратичная скорость молекул
возрастет на 20% ?
140
17.11. Под каким давлением находится в баллоне кислород, если ем-
кость баллона У=5л, а средняя кинетическая энергия поступательного
движения всех молекул кислорода = 6 кДж ?
17.12. При какой температуре Т\ молекулы гелия (М। =
= 4-10-3 кг/моль) имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как
и молекулы водорода (М2 = 2- КГ3 кг/моль) при t2 = 27°С ?
17.13. Во сколько раз изменится количество молекул в сосуде, вме-
стимость которого не меняется, если при постоянном давлении абсо-
лютная температура воздуха возрастет на 25% ?
17.14. После того, как в комнате протопили печь, температура под-
нялась с fj= 15°С до г2 = 27°С. На сколько процентов изменилось число
молекул в этой комнате?
17.15. Гелий находится при температуре г=27°С. Кинетическая энер-
гия хаотического теплового движения всех молекул газа равна
И/=10Дж. Рассчитайте число молекул гелия. Постоянная Больцмана
к = 1,38-10“23Дж/К.
17.16. Найдите среднюю кинетическую энергию атома аргона, если
v = 2кмоль этого газа в баллоне объемом V- Юл
создают давление р=10бПа. Число Авогадро
УА = 6,02-1023 моль'1.
17.17. В баллоне лампы накаливания объемом
Г=200см3 образовалась трещина, в которую еже-
секундно проникает N= 1012 молекул. За какое вре-
мя в лампе установится нормальное давление, если
температура поддерживается /=0°С ?
17.18. В координатах (V,T) (рис. 17.18) изображе-
ны зависимости объема от температуры при изобар-
ном нагревании трех газов: гелия
(М{= 4-10-3кг/моль), кислорода (М2=32-10“3кг/моль)
и углекислого газа (Л/3=44-10“3 кг/моль). Массы газов
одинаковы. Все три газа находятся под одинаковым
давлением. Какой график соответствует какому газу?
17.19. На рис. 17.19 показаны две изобары для од-
ной и той же массы газа. Углы наклона изобар к оси
абсцисс равны а, и . Как относятся давления газа?
17.20. На графиках в координатах (р, V),
141
(р, 7), (V, Т) нарисуйте: 1) две изотермы, соответствующие температурам
T=Tt и Т=2Т\; 2)две изобары, соответствующие давлениям р-р{ и
р=2р{; 3) две изохоры, соответствующие объемам V=Vt и V=2V:.
Масса газа и его молярная масса не меняются.
17.21. В координатах (р, Т) представлена
зависимость давления от температуры
(рис. 17.21) при изохорном нагревании раз-
личных масс одного и того же газа в одинако-
вых по объему сосудах. Что можно сказать о
массах этого газа?
17.22. В координатах (р, V) нарисуйте две
изотермы, соответствующие одной и той же
температуре, если: 1) массы газов одинаковы, но
Мх > М2; 2) газы одинаковы, но т2 > т}.
Рис. 17.23
Рис. 17.24
17.23. На рис. 17.23 в координатах (р, V), (К Т),
(p,t°C) представлены некоторые процессы 1-2.
Масса газа в ходе процесса не меняется. Укажите,
как меняются в этих процессах температура, давле-
ние и объем.
17.24. В координатах (р, Т) на рис. 17.24 показан
процесс, который прошел с идеальным газом. Объ-
ем газа постоянен. Найдите точки, где масса газа
максимальна и минимальна.
142
17.25. В координатах (V, Т) на рис. 17.25 показан процесс, который
прошел с идеальным газом при постоянном давлении и постоянном
объеме. Во сколько раз изменилась масса газа?
17.26. Идеальный газ совершает процесс 1-2-3 (рис. 17.26). Найдите
отношения максимального и минимального давлений и объемов в этом
процессе. Масса газа не меняется. Начертите график этого процесса в
координатах (р, Т).
17.27. Идеальный газ совершает процесс 1-2-3 (рис. 17.27). Найдите
отношение максимальной и минимальной температур в этом процессе,
если участок 1-2 является гиперболой. Масса газа не меняется. Начер-
тите график этого процесса в координатах (р; Т) и.(Г; Т).
17.28. Дан график зависимости объема иде-
ального газа от температуры (рис. 17.28). Масса
газа не меняется. Постройте графики процесса
в координатах (р, Т), (р, V).
17.29. Газ сжат изотермически от объема
У, =8л до объема Г2 = 6л. Давление при этом
возросло на Др = 4 кПа. Каким было первона-
чальное давление газа?
17.30. Некоторая масса газа нагревается
изобарически на ДТ=200К, причем объем газа
увеличивается в п = 2 раза. Найдите конечную температуру газа. Нари-
суйте график процесса в координатах (V, Т).
17.31. Газ нагревается изохорно на 4 К, причем давление возросло на
2%. Определите первоначальную температуру газа. Нарисуйте график
процесса в координатах (р, Т), (р, V).
143
1732. Баллон содержит идеальный газ при температуре 27°С и дав-
лении 200 кПа. Из баллона выпустили 80% газа и охладили его до 12°С.
Какое давление установится в баллоне?
1733. Чему равна плотность воздуха при нормальных условиях?
Эффективная молярная масса воздуха М= 0,029 кг/моль. Начертите
графики изменения плотности идеального газа в зависимости от темпе-
ратуры в изотермическом, изобарном, изохорном процессах.
17.34. Плотность смеси из неона и аргона при давлении Р= 150 кПа и
температуре 7 = 300 К равна р= 1,8 кг/м3. Сколько молей аргона содер-
жится в смеси, если масса неона те = 0,01кг? Молярная масса неона
Mi = 0,02 кг/моль, аргона М2 - 0,04 кг/моль, R - 8,31 Дж/(моль-К).
1735. В баллоне находится газ, плотность которого р = 2кг/м3, дав-
ление /?1 = 105Па. Из баллона откачали часть газа, при этом масса его
уменьшилась на Дте=4г, а давление упало до р2 = 0,6105Па; температу-
ра осталась прежней. Найдите объем баллона.
1736. Объем газа при нагревании изменяется по закону V = а ,
где а — постоянная величина. Начертите графики этого процесса в
координатах (р, V) и (V, Т).
1737. Идеальный газ расширяется по закону рV2 = const. Как меняет-
ся его температура?
1738. В баллоне объемом И=10л находится кислород (М=
= 0,032 кг/моль) массой те =12,8 г. Давление в баллоне измеряется
//-образным манометром, заполненном водой. Какая разность уровней в
трубках манометра при температуре газа Г = 27°С? Атмосферное давле-
ние нормальное, плотность воды р = 103 кг/м3.
1739. В вертикально стоящем сосуде со свободно двигающимся порш-
нем массой гп\ и площадью S находится некоторое количество идеального
газа. При нагреве газа на ДТ его объем увеличивается на ДИ. Найдите массу
те2 газа, если атмосферное давление р& Молярная масса газа М.
Рис. 17.40
17.40. В цилиндре под поршнем массой те^бкг на-
ходится воздух. Поршень имеет форму, показанную на
рис. 17.40. Площадь сечения цилиндра 5о=20 см2. Атмо-
сферное давление нормальное. Найти массу т2 груза,
который надо положить на поршень, чтобы объем возду-
ха в цилиндре уменьшился в два раза. Температура воз-
духа не меняется, трением пренебречь.
144
17.41. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при
температуре /=7°С было равно р-105 Па. На сколько градусов bt нужно
нагреть бутылку, чтобы из нее вылетела пробка? Известно, что из хо-
лодной бутылки без нагревания пробку можно вынуть, приложив силу
F=50 Н. Сечение пробки 5=4 см2.
17.42. В узкой стеклянной трубке, запаянной с одного конца и распо-
ложенной горизонтально, находится столбик воздуха длиной /=
= 30,7 см, запертый столбиком ртути длиной h = 21,6 см. Найдите длину
воздушного столбика, если: 1) трубку расположить вертикально отвер-
стием вверх; 2) трубку расположить под углом а=30° к горизонту от-
верстием вниз (ртуть при этом не выливается) ? Атмосферное давление
нормальное, плотность ртути р= 1,36-104 кг/м3.
17.43. Открытая с двух концов трубка длиной 1 = 0,76 м до полови-
ны погружена вертикально в ртуть. Какая будет длина ртутного стол-
бика h, если, плотно закрыв верхнее отверстие, вынуть трубку из
ртути? Атмосферное давление нормальное, плотность ртути
р= 1,36 104 кг/м3.
17.44. Запаянная с одного конца цилиндрическая м
трубка длиной L погружается в воду открытым концом £
вниз до тех пор, пока запаянный ее конец не оказался
на одном уровне с поверхностью воды (рис. 17.44). , г
Когда температура воздуха в трубке сравнялась с тем-
пературой воды, оказалось, что вода в трубке находит-
ся на уровне нижнего ее среза. Определите начальную Рис’17,44
температуру воздуха 1\, если температура воды остается постоянной и
равной Т2. Атмосферное давление р0, плотность воды р. В процессе
опыта воздух из трубки не выходил.
17.45. Посередине закрытой с обоих концов трубки длиной L= 1 м,
расположенной горизонтально, находится в равновесии подвижная пе-
регородка. Слева от нее температура газа г, = 100°С, справа температура
того же газа t2 = 0°С. На каком расстоянии от левого конца трубки уста-
новится перегородка, если после теплообмена температура газа в обеих
частях трубки станет одинаковой?
17.46. Сосуд вместимостью 7, = 5л содержит газ при давлении
/>, = 100 кПа. Сосуд соединили с другим пустым сосудом, вместимость
которого У2 = 3л. Чему равно установившееся давление р2 в сосудах,
если температура газа не менялась?
145
17.47. Под каким давлением />, нужно наполнить воздухом баллон
объемом У, = 10л, чтобы при соединении его с баллоном объемом
У2=30л, содержащим воздух при р2 = 0,1МПа, установилось давление
р = 200 кПа?
17.48. В сосуд, на дне которого лежит твердый шар, нагнетают воз-
дух при г=27°С. Когда давление в сосуде стало равно р = 2106 Па, шар
поднялся вверх. Чему равна масса шара, если его радиус г=5см? Мо-
лярная масса воздуха М= 0,029 кг/моль.
17.49. Закрытый цилиндрический сосуд высотой h разделен на две
равные части невесомым поршнем, скользящим без трения. При засто-
поренном поршне обе половинки заполнены газом, причем в одной их
них давление газа в п раз больше, чем в другой. Определите перемеще-
ние поршня х после снятия стопора. Температура газа не меняется.
17.50. Баллон емкостью У=40 л наполнен воздухом при о = 27 °C и
Pi = 1,5-107 Па. Какой объем Vx воды можно вытеснить этим воздухом из
цистерны подводной лодки, которая находится на глубине /г = 20м?
Температура воды на этой глубине г2=7 °C, плотность воды р = 103 кг/м3.
Атмосферное давление pQ= 105 Па.
17.51. Объем пузырька газа, всплывающего на поверхность со дна
озера, увеличился в три раза. Оцените глубину озера, если считать, что
температура воды постоянна? Плотность воды р=103кг/м3, атмосфер-
ное давление нормальное.
_____________ 17.52. В цилиндре под поршнем, масса которо-
I I ' го тх = 5 кг и площадь 5= 50 см2, находится v =
3/___________= 0,5 моль воздуха. К поршню через систему бло-
ков, как показано на рис. 17.52, подвешен груз
ЧУ массой /и2 = 20кг. Цилиндр охлаждают на Д7’=
I =50 К. На какое расстояние переместится груз?
[j w2 Атмосферное давление нормальное. Трение между
поршнем и стенками сосуда пренебрежимо мало.
Рис. 17.52 17.53. В вертикально расположенном цилинд-
рическом сосуде находится газ, масса которого т, молярная масса М.
Газ отделен от атмосферы невесомым поршнем, соединенным с дном
сосуда растянутой пружиной, жесткость которой к. При температуре То
поршень расположен на расстоянии h от дна сосуда. До какой темпера-
туры надо нагреть газ, чтобы поршень поднялся до высоты Я= 2h ?
146
17.54 . На поверхности воды, плотность которой р, плавает пустой
тонкостенный цилиндрический стакан, наполовину погруженный в во-
ду. Стакан достают из воды, переворачивают и начинают погружать в
воду. На какой минимальной глубине должно оказаться дно переверну-
того стакана, чтобы он вместе с заключенным в нем воздухом пошел ко
дну? Высота стакана I, атмосферное давление р0. Давлением водяного
пара внутри стакана пренебречь. Температура не меняется.
17.55 . В цилиндрическом вертикально расположенном сосуде нахо-
дится в равновесии тяжелый поршень. Над поршнем и под ним находят-
ся одинаковые массы одного и того же газа прн одинаковой температу-
ре. Отношение верхнего объема к нижнему равно nt = 3. Какое будет
отношение объемов п2, если температуру газа увеличить в и3 = 2 раза?
17.56 . В баллоне вместимостью 7=40 л находятся т{ = 1кг углеки-
слого газа и лг2 = 0,5кг кислорода. Баллон выдерживает давление не
более р = 310бПа. При какой температуре возникает опасность разрыва
баллона? Молярная масса углекислого газа = 0,044 кг/моль,1 кислоро-
да М2 = 0,032 кг/моль.
17.57 . Закрытый сосуд объемом 7= 5 л разделен на две равные части
полупроницаемой перегородкой. В одной половине сосуда первона-
чально находится Wj=3r водорода, в другой лг,= 16г кислорода. Через
перегородку может диффундировать только водород. Какие давления
установятся в обеих частях сосуда после прекращения процесса диффу-
зии, если сосуд находится все время при постоянной температуре
1=27°С? Молярные массы водорода и кислорода соответственно равны
Мх = 0,002 кг/моль, М2 = 0,032 кг/моль.
17.58 . В сосуде находится озон (О3) при температуре Г = 527°С. Через
некоторое время он полностью превратился в кислород (О2), а темпера-
тура в сосуде упала до 127°С. Во сколько раз уменьшилось давление в
сосуде? Атомная масса кислорода А = 16 а. е. м.
17.59 . Сосуд, содержащий идеальный газ при температуре г, = 27°С,
снабжен клапаном, открывающимся при перепаде давлений внутри и
снаружи, равном Др=400 кПа. Газ нагревают до 12=127°С, при этом
часть газа выходит из сосуда через клапан. Какое давление установится
в сосуде после охлаждения газа до первоначальной температуры? Атмо-
сферное давление р0= 100 кПа.
147
17.60 . До какого давления накачан футбольный мяч объемом V] = 3 л
за л=40 качаний поршневого насоса? При каждом ходе поршня насоса
он захватывает из атмосферы объем воздуха К2 = 150 см3. Атмосферное
давление нормальное.
17.61 . Определите объем сосуда Vt, если при выкачивании из него
воздуха поршневым насосом давление в нем после п = 8 качаний упало с
р( = 100кПа до р2=р1/256. Объем камеры поршневого насоса V2 =
= 1,5 дм3. Температура при откачке не меняется.
18. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам.
Адиабатный процесс
18.1. На сколько изменится внутренняя энергия одного моля одно-
атомного газа при его нагревании на ДТ = 100 К ?
18.2. При изотермическом расширении идеальному газу сообщили
10 Дж тепла. Какую работу совершил газ?
18.3. Одноатомный газ нагревается при постоянном давлении. Какая
доля сообщенного газу количества теплоты Q идет на совершение работы?
18.4. Какое количество теплоты необходимо сообщить гелию, нахо-
дящемуся в закрытом баллоне, чтобы нагреть его на ДТ = 20 К ? Масса
гелия т = 40 г, его молярная масса М= 0,004 кг/моль.
18.5. В сосуде емкостью У=2л находится криптон под давлением
Pj = 105na. Стенки сосуда могут выдержать давление р2 = 1МПа. Какое
максимальное количество теплоты можно сообщить газу, чтобы сосуд
не взорвался? Нарисуйте график процесса в координатах (р, V),(p,T).
18.6. Какое количество теплоты нужно передать двум молям идеаль-
ного одноатомного газа, чтобы увеличить его объем в три раза при по-
стоянном давлении? Начальная температура газа То.
18.7. Газ совершает процессы, изображенные на рис. 18.7, a-в. Опре-
делите работу сил давления газа. Значения рх, р2, V,, V2, обозначенные
на рисунке, заданы.
18.8. В задаче 18.7 (рис. 18.7) укажите для каждого участка процес-
сов, как меняется внутренняя энергия газа. Найдите участки процессов,
148
на которых газ отдает некоторое количество теплоты, и участки, на
которых газ получает некоторое количество теплоты.
РА
Рг-
Л -
oL
Рис. 18.7
18.9. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится ки-
слород массой т - 2 кг (Л/= 0,032 кг/моль). Для повышения температуры
кислорода на AT=5K ему было сообщено количество теплоты
Q = 9,16 кДж. Найдите удельную теплоемкость кислорода в данном про-
цессе, работу газа при расширении, изменение внутренней энергии газа.
Трением пренебречь.
18.10. Температуру газа, имеющего массу т и молярную массу М,
повышают на А Г один раз при постоянном давлении, другой раз при
постоянном объеме. На сколько отличаются сообщенные газу количест-
ва теплоты Qp и Qv и удельные теплоемкости ср и cv
давлении и постоянном объеме?
18.11. Одноатомный газ находится в цилиндре и
заперт тяжелым поршнем, перемещающемся без
трения. Цилиндр может занимать положения, пока-
занные на рис. 18.11, а, б. Одинаковые ли количества
теплоты необходимо сообщить газу, чтобы нагреть
его на 1 °C ?
18.12. Идеальный газ расширяется по закону р=aV, где а — известная
константа. Найдите работу, произведенную газом при его расширении от
объема V] до V2- Нарисуйте график процесса в координатах (р, V) и (V, Т).
18.13. Давление v молей идеального газа связано с температурой со-
отношением Т = ар2, где а — известная постоянная. Вычислите рабо-
ту, совершенную газом при увеличении его объема от V, до У2 - Погло-
щается или выделяется количество теплоты в этом процессе?
при постоянном
а) б)
Рис. 18.11
149
18.14. Газ расширяется так, что в координатах (р, V) процесс изобра-
жается прямой линией. В начальном состоянии давление газа равно
р= 105Па, а занимаемый объем У=5л. В конечном состоянии давление
равно 0,5р, а занимаемый объем 2V. Найдите алгебраическую сумму
количеств теплоты, подведенных к газу в этом процессе. Укажите, как
меняется температура в этом процессе.
18.15. Из начального состояния, характеризующегося давлением р, и
объемом V,, газ расширяется в одном случае изотермически, в дру-
гом — адиабатно до одного и того же объема V2 Напишите первое на-
чало термодинамики применительно к этим процессам. Во сколько раз
меняется температура газа в случае адиабатного расширения? В каком
из этих процессов окончательное давление больше, а в каком газ совер-
шает большую работу?
18.16. В цилиндре компрессора адиабатно сжимают v =4моля иде-
ального одноатомного газа. Определите, на сколько поднялась темпера-
тура газа за один ход поршня, если работа внешних сил Л = 500 Дж.
18.17. Два теплоизолированных сосуда, содержащие один и тот же
газ, соединены между собой трубкой с закрытым краном. Число моле-
кул газа в первом сосуде вдвое больше, чем во втором. В первом сосуде
средняя квадратичная скорость молекул газа и, = 400 м/с, а во втором —
z?2 = 500m/c. Какая установится средняя квадратичная скорость, если
открыть кран?
18.18. Сосуд содержит т = 1,28 г гелия при температуре Г = 27°С. Во
сколько раз изменится средняя квадратичная скорость молекул гелия,
если его адиабатно сжать, совершив работу Л = 252 Дж? Молярная масса
гелия М= 0,004 кг/моль.
18.19. В цилиндре при г, = 20°С находится т = 29 г воздуха. Г аз изо-
барно нагревается до г2= 120°С, затем изохорно охлаждается до перво-
начальной температуры. Найдите работу газа, изменение внутренней
Рис. 18.20
энергии и количество теплоты, подведенное газу
в этом процессе. Нарисуйте графики процесса в
координатах (р, V), (р, Т). Молярная масса возду-
ха М= 0,029 кг/моль.
18.20. В тепловом процессе один моль иде-
ального одноатомного газа переводят из началь-
ного состояния 1 в конечное состояние 4
(рис. 18.20). Какое количество теплоты подведе-
150
но к газу, если разность конечной и начальной температур ДГ = 100 К?
Нарисуйте данный процесс в координатах (р, V) и (р, 7).
18.21. Если идеальный газ совершает про-
цесс АВС, то ему сообщается количество тепло-
ты Qi (рис. 18.21). Какое количество теплоты Q2
необходимо сообщить газу в процессе ADC1
Величины р\,р2, Vi, и V2 заданы.
18.22. Кислород массой т = 0,5 кг (М=
= 0,032 кг/моль) при температуре Т=320К охла-
дили изохорно, вследствие чегб его давление Рис. 18.21
уменьшилось в п = 3 раза. Затем газ изобарно
расширили так, что температура его стала равной первоначальной. Найди-
те работу газа. Во сколько раз изменилась его внутренняя энергия? Най-
дите алгебраическую сумму теплот, полученных газом в этом процессе.
18.23. Для повышения температуры газа, имеющего массу т = 20 кг и
молярную массу М= 0,028 кг/моль, на ДТ=50К при постоянном давле-
нии, необходимо сообщить количество теплоты б, = 1 МДж. Какое ко-
личество теплоты Q2 следует отнять после этого от данного газа при
постоянном объеме, чтобы его температура понизилась на ДТ= 50 К ?
18.24. В двух вертикальных цилиндрах находятся при одной темпе-
ратуре две равные массы одного и того же газа. Подвижный поршень
первого цилиндра в два раза тяжелее, чем во втором цилиндре. Оба
цилиндра нагрели до одной и той же температуры. Газ в первом цилин-
дре совершил работу At = 100Дж. Какую работу А2 совершил газ во
втором цилиндре?
18.25. Один моль идеального одноатомного газа изохорно охладили
на At- 100°С, затем газ адиабатно сжали до первоначальной температу-
ры. Найдите работу газа, изменение внутрен-
ней энергии и количество подведенной тепло-
ты в этом процессе. Изобразите процесс в ко-
ординатах (р, V).
18.26. Найдите работу, совершенную одним
молем газа в цикле, указанном на рис. 18.26,
если температуры газа в точках 7 и 2 равны
соответственно Г, и Т2
18.27. На рис. 18.27 в координатах (р,Т)
представлен замкнутый процесс, про-
151
исходящий с одним молем одноатомного газа.
Какую работу совершает газ за цикл, если темпе-
ратуры газа в точках 2 и 4 одинаковы, а темпера-
туры газа в точках 7 и 3 равны соответственно 7\ и
Т3. Найдите температуру газа в точках 2 и 4.
18.28. Один моль идеального одноатомного
газа совершает циклический процесс, состоящий
из трех процессов: адиабатного расширения,
изотермического сжатия, изохорного нагрева-
ния. Какая работа была совершена газом в адиабатном процессе, если в
процессе изохорного нагревания к газу было подведено количество
теплоты б31= ЮкДж?
19. Тепловые двигатели. Свойства паров. Влажность.
Поверхностное натяжение жидкостей
19.1. На рис. 19.1 представлен циклический процесс. Найдите точки
на графике, соответствующие максимально-
му и минимальному значениям внутренней
энергии. Найдите участки цикла, на которых
работа газа положительна; отрицательна.
Чему равно изменение внутренней энергии
газа за цикл? Можно ли использовать данный
цикл для работы тепловой машины; холо-
дильной машины?
19.2. Идеальная тепловая машина, работаю-
щая по циклу Карно, имеет максимально возмож-
ный КПД при заданных значениях температур
нагревателя и холодильника Т2. Цикл Карно
представлен на рис. 19.2. Здесь 7-2 — изотерма,
соответствующая температуре нагревателя Г,; 3-
4 — изотерма, соответствующая температуре
холодильника Г2; 2-3 и 4-1 — адиабатные про-
цессы. Рассмотрите качественно теплообмен газа
со средой на каждом участке цикла и обозначьте
соответствующие количества теплоты. Запишите,
чему равно КПД цикла, используя введенные
Вами обозначения.
152
19.3. В результате циклического процесса газом совершена работа
А= 100 Дж, при этом холодильнику было передано количество теплоты
(22=-400 Дж. Определите КПД цикла.
19.4. Нагреватель тепловой машины, работающей по циклу Карно,
имеет температуру lt = 200°С. Определите температуру холодильника Т2,
если при получении от нагревателя количества теплоты 2, = 1 Дж, ма-
шина совершила работу А = 0,4 Дж за цикл.
19.5. Тепловая машина работает по циклу Карно. Абсолютная темпе-
ратура нагревателя в три раза выше абсолютной температуры холодиль-
ника. Определите, какую часть от количества теплоты, получаемой ма-
шиной за цикл, составляет количество теплоты, отдаваемое машиной
холодильнику за цикл.
19.6. Тепловая машина имеет КПД ц1 = 40%. Каким станет КПД ма-
шины, если количество теплоты, потребляемой за цикл, увеличить на 20%,
а количество теплоты, отдаваемой холодильнику, уменьшить на 10% ?
19.7. Тепловая машина работает по циклу Карно и имеет КПД
Т] = 60%. Во сколько раз количество теплоты, полученное при изотерми-
ческом расширении рабочего тела, больше количества теплоты, отдан-
ного при изотермическом сжатии?
19.8. Тепловая машина с максимально возможным КПД имеет в ка-
честве нагревателя резервуар с кипящей водой при температуре
г1=100°С, а в качестве холодильника — сосуд со льдом при г2=0°С.
Какая масса льда растает при совершении машиной работы, равной
А = 10б Дж ? Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг.
19.9. Двигатель машины расходует за т = 1 ч работы ш = 5кг бензина.
При этом температура газа в цилиндре двигателя Tt= 1200 К, а отрабо-
танные газы имеют температуру 7’2 = 370К. В предположении, что дви-
гатель работает по циклу Карно, найдите макси-
мальную мощность, развиваемую двигателем,
если удельная теплота сгорания бензина
<7 = 46 МДж/кг.
19.10. Тепловая машина работает по циклу,
изображенному на рис. 19.10. В качестве рабочего
тела взят 1 моль одноатомного газа. Определите
КПД цикла, если известны значенияpl,p2,Vl,V2.
Изобразите цикл в координатах (р, Т) и (V, Т).
Рис. 19.10
153
19Л1. Определите КПД цикла, состоящего из
двух адиабат и двух изохор, совершаемого одно*
атомным идеальным газом (рис. 19.11). Извест*
но, что в процессе адиабатного расширения
устанавливается температура =0,75 Г,, а в
процессе адиабатного сжатия достигается тем-
пература Т4 = Т3 / 0,75.
Рис. 19.11
19.12. Идеальный одноатомный газ расширя-
ется от объема до V2 по закону p = aV, где
а — постоянная величина. Затем газ изохорно охлаждается до первона-
чального давления и изобарно сжимается до первоначального объема.
Определите КПД цикла.
19.13. Холодильник, потребляющий из электрической сети мощность
N, за время т превратил в лед воду, имеющую массу т и температуру t.
Пренебрегая теплоемкостью холодильника, определите, какое количест-
во теплоты выделит холодильник в кухне за это время. Необходимые
для решения задачи табличные величины считать известными. Во
сколько раз изменится температура в кухне, где стоит холодильник,
если дверку работающего холодильника оставить открытой?
19.14. За время т = 1 ч в холодильнике превращается в лед при Г=О°С
масса воды т = 3,6кг, начальная температура которой Г2 = 20°С. Какая
мощность потребляется холодильником от электросети, если он отдает в
окружающее пространство энергию со скоростью # = 840Дж/с? Удель-
ная теплота плавления льда г= 0,33 МДж/кг, удельная теплоемкость
воды с = 4,2-103 Дж/(кг-К).
19.15. В первом закрытом сосуде находится вода и ее насыщенный
пар. Во втором закрытом сосуде находится только водяной пар. Во
сколько раз изменится давление в этих сосудах при повышении темпе-
ратуры? Нарисуйте график зависимостиp=f(T) для обоих сосудов.
19.16. Начертите в координатах (р, V) три изотермы для вещества
при температурах ниже критической, равной критической и выше кри-
тической. Укажите на диаграмме точку, соответствующую критическо-
му объему и давлению.
19.17. Какое давление будет создавать водяной пар, насыщенный при
t= 100°С, если в момент насыщения его отделить от воды и изохорно
нагреть на Дг=50°С ?
154
19.18. Насыщенный водяной пар при температуре t= 100°С занимает
объем У] = 20л. Путем изотермического сжатия объем пара уменьшают
до У2=10л. Чему равна работа внешних сил? Объемом воды, образо-
вавшейся при конденсации, пренебречь. Нарисуйте график процесса в
координатах (Р, V).
19.19. В герметически закрытый сосуд объемом У=5м3 поместили
т = 20 кг воды и нагрели до температуры Т= 453 К. Найти массу пара и
давление пара в сосуде. Плотность насыщенного пара при температуре
Т = 453 К равна р = 5,05 кг/м3. Молярная масса воды М= 0,018 кг/моль.
19.20. В цилиндре под поршнем площадью 5 = 0,01 м2 находится
v = 1 моль воды при 11 = 0°С. Цилиндр нагревается до 12 = 200°С. На ка-
кую высоту h поднимется поршень? Масса поршня m = 100 кг; первона-
чально поршень соприкасался с водой. Атмосферное давление нормаль-
ное. Давление насыщенных водяных паров при г2 = 200°С рн= 1,6-106Па;
молярная масса воды М= 1,8-10"4кг/моль; плотность воды р=1О3кг/м3.
Поршень в цилиндре перемещается без трения.
19.21. В задаче 19.19. под поршнем первоначально находилось
V, = 1 моль воды и v2= 1 моль воздуха. Все остальные условия те же са-
мые. На сколько в этом случае поднимется поршень? Объемом воды в
этом случае можно пренебречь.
19.22. В цилиндре под поршнем находится вода массой От! = 35мг и
водяной пар массой от2 = 25мг при температуре Г=27°С. Газ изотерми-
чески расширяется. При каком объеме вода в цилиндре полностью ис-
парится? Давление насыщенных паров воды при температуре г=27°С
равнорн = 3,56 кПа. Молярная масса воды М = 0,018 кг/моль.
19.23. В цилиндре под поршнем находится водяной пар при темпера-
туре Г!=100°С и давлении рх = 40кПа. Объем пара изотермически
уменьшают в пять раз. Найдите давление р2 пара в цилиндре. Нарисуйте
график процесса в координатах (Р, V).
19.24. В сосуде емкостью 1/=10л находится сухой воздух при нор-
мальных условиях. Каким будет давление в этом сосуде, если туда на-
лить воду массой /и = 2г и нагреть сосуд до t2= 100°С? Молярная масса
воды М = 0,018 кг/моль.
19.25. В задаче 19.24 в сосуд налили /и = 7 г воды и нагрели до
t2= 100°С. Каким будет давление в этом случае?
155
19.26. Температура воздуха вечером была Г1 = 18°С, относительная
влажность г=65%. Ночью температура воздуха понизилась до Г2=9°С.
Была ли роса? Если была, то сколько водяного пара сконденсировалось
из 1 м3 воздуха? Давление насыщенных паров воды при 18°С составляет
р, = 2,07кПа, а при 9°С — р2= 1,15кПа. Молярная масса воды М=
= 0,018 кг/моль.
19.27. Воздух имеет температуру г, = 38°С и абсолютную влажность,
р! =25 г/м3. Какой будет абсолютная влажность р2 этого воздуха, если
температура понизится до Г2= 10°С? Давление насыщенных паров воды
при 10°С составляет рк = 1,23кПа. Молярная масса воды Л/=
= 0,018 кг/моль. Чему равна относительная влажность при t21
19.28. При какой максимальной относительной влажности воздуха г
в комнате бутылка молока, взятая из холодильника, не будет запоте-
вать? Температура в холодильнике Г,=5°С, а в комнате — t2 = 25°C.
Давление насыщенных паров воды при 5°С составляет />н 5» = 886 Па, а
при 25°С — рн>25°=3192 Па.
19.29. Сухой и влажный воздух при одинаковой температуре t=27°C
и одинаковом давлении занимают одинаковый объем V= 1 м3. Опреде-
лите, на сколько отличается масса сухого воздуха от массы влажного,
относительная влажность которого г = 60%. Давление насыщенных
паров воды при 27°С составляет /?н = 26,74 мм рт. ст. Молярная масса
сухого воздуха Мв=0,029 кг/моль, а водяного пара Ма = 0,018 кг/моль.
19.30. Спичка длиной / = 4см плавает на поверхности воды. Если по
одну сторону от спички налить касторовое масло, спичка придет в дви-
жение. Определите силу, действующую на спичку, и ее направление.
Коэффициенты поверхностного натяжения воды и касторового масла
О] = 0,072 Н/м, о2 = 0,033 Н/м.
19.31. Проволочное кольцо радиусом /?=6см и массой /и = 5 г приве-
дено в соприкосновение с поверхностью раствора медного купороса.
Какое усилие надо приложить для отрыва кольца от поверхности рас-
твора? Коэффициент поверхностного натяжения медного купороса
ст=0,074 Н/м.
19.32. Какую работу надо совершить, чтобы выдуть мыльный пузырь
радиусом R=4 см? Коэффициент поверхностного натяжения мыльного
раствора ст=0,04 Н/м.
156
19.33. Восемь шаровых капель ртути, диаметром </=1мм каждая,
сливаются в одну каплю тоже шаровой формы. Сколько при этом выде-
лится теплоты? Коэффициент поверхностного натяжения ртути
о=0,47 Н/м.
1934. Вычислите давление внутри мыльного пузыря радиусом R.
Коэффициент поверхностного натяжения о, атмосферное давление р0.
1935. Определите разность уровней ртути в двух сообщающихся ка-
пиллярах с диаметрами каналов dt = 1 мм и J2 = 2mm. Коэффициент по-
верхностного натяжения ртути о=0,47 Н/м. Ртуть не смачивает стекло.
Плотность ртути р = 1,36-104 кг/м3.
1936. Длинная, открытая с обоих концов капиллярная трубка радиу-
сом R= 1 мм наполнена водой и располагается вертикально. Какова бу-
дет высота оставшейся в капилляре воды? Коэффициент поверхностно-
го натяжения воды ст = 0,073 Н/м, плотность воды р= 1103 кг/м3.
1937. Какой минимальной высоты слой воды можно иметь в решете,
не смачиваемом водой, если диаметр отверстий сетки решета d= 1 мм?
Коэффициент поверхностного натяжения воды о=0,07 Н/м, плотность
воды р = 1 • 103 кг/м3.
1938. Капиллярную трубку опустили в сосуд с водой, а затем на по-
верхность воды налили слой масла. Какова высота слоя масла, если его
уровень совпадает с уровнем воды в трубке? Коэффициент поверхност-
ного натяжения воды о = 0,073 Н/м, плотности масла и воды р,=
= 0,9-103 кг/м3, р2=103кг/м3, радиус трубки 2?=1мм. Вода смачивает
капилляр.
1939. Смачиваемый водой кубик с ребром I = 0,03 м и массой т = 20 г
плавает на поверхности воды. На каком расстоянии от поверхности
воды будет находиться нижняя грань кубика? Решите задачу с учетом и
без учета сил поверхностного натяжения. Сравните результаты. Как
изменится решение задачи, если кубик плавает на поверхности глицери-
на, который не смачивает кубик? Коэффициенты поверхностного натя-
жения воды и глицерина а, = 0,072 Н/м, о2 = 0,059 Н/м. Плотность воды
pt = 103кг/м3, плотность глицерина р2= 1,3-103кг/м3.
157
IX. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Электростатика — раздел электродинамики, в котором изучается
взаимодействие неподвижных электрических зарядов и заряженных тел.
Электрический заряд характеризует свойство заряженных тел вступать,
в электромагнитные взаимодействия. Способность электрических заря-
дов в одних случаях к взаимному притяжению, в других — к отталкива-
нию объясняет существование двух различных видов зарядов, условно
называемых положительными и отрицательными. Эксперименталь-
но установлено, что одноименно заряженные тела отталкиваются, а
разноименно заряженные — притягиваются. Электрический заряд дис-
кретен, то есть существует элементарный электрический заряд е, поло-
жительный или отрицательный, численно равный заряду электрона:
\е\ = 1,6-10-19Кл. В СИ за единицу электрического заряда принят кулон
(Кл), 1 Кл=1 А-1 С.
Закон сохранения электрического заряда является фундаменталь-
ным законом природы и состоит в том, что внутри изолированной сис-
темы заряженных тел при любых взаимодействиях алгебраическая сум-
ма электрических зарядов остается постоянной:
+ <72 + -" +<7„ = const.
Опыт показывает, что нейтральные атомы и молекулы любого хими-
ческого вещества, из которого состоят тела, могут стать заряженными
частицами — положительными или отрицательными ионами, если в
результате какого-либо взаимодействия часть электронов переходит от
одного тела к другому. В результате такого взаимодействия одно тело
приобретает отрицательный электрический заряд, а второе — равный по
модулю положительный электрический заряд.
Закон Кулона. Основным законом электростатики является закон
Кулона', два точечных неподвижных электрических заряда взаимодей-
ствуют в вакууме с силой, пропорциональной произведению модулей
этих зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния меж-
ду ними:
3 г2
где q{ и q2 — взаимодействующие заряды; г — расстояние между ними;
к — коэффициент пропорциональности в СИ, равный & = 9-109Н м2/Кл2.
158
Коэффициент к в законе Кулона в СИ может быть выражен через
электрическую постоянную: е0 = —^— = 8,85-10-12 . Тогда закон
4лЛ Н-м
Кулона примет вид
F 1
3 4ле0 г2
В системе электрических зарядов , q2,..., q„ взаимодействие заря-
да q{ с каждым из оставшихся зарядов определяется по закону Кулона, а
результирующая сила, действующая на заряд qx, является геометриче-
ской суммой векторов сил, с которыми взаимодействует заряд qt с каж-
дым из зарядов системы: Ft = \ Ft, = Fl2 + F13 +... + Fln. Tаким образом,
1=1
электрическое взаимодействие двух точечных зарядов не зависит от
присутствия других зарядов, поэтому для электрических сил взаимодей-
ствия справедлив принцип суперпозиции.
Взаимодействие между зарядами осуществляется посредством осо-
бого вида материи — электрического поля. Электрическое поле непре-
рывно в пространстве, потенциально, распространяется со скоростью
света, обладает энергией и массой. Вокруг любого электрического заря-
да существует электрическое поле, которое действует на другой заряд, и
наоборот. Исследовать электрическое поле можно с помощью пробного
заряда — малого по размерам и несущего малый положительный заряд q0.
Для описания электрического поля вводят две характеристики: сило-
вую, которой является векторная физическая величина, называемая на-
пряженностью электрического поля (Е ) и энергетическую — скаляр-
ная физическая величина, называемая потенциалом (ср).
Напряженностью Е данной точки поля называется векторная
физическая величина равная отношению вектора силы F3, дейст-
вующей на пробный заряд qQ, помещенный в данную точку, к значе-
нию этого заряда:
- F
Е~ — .
<?о
Единицей напряженности электрического поля в СИ является
1В/м=1Н/1Кл.
159
В случае если на электрический заряд q действуют одновременно
электрические поля нескольких зарядов, то результирующая сила равна
геометрической сумме сил, действующих со стороны каждого поля в
отдельности. Это утверждение означает, что поля подчиняются прин-
ципу суперпозиции: вектор напряженности данной точки поля Е равен
геометрической сумме векторов напряженностей, создаваемых в этой
точке каждым из зарядов в отдельности:
Ё = £1+Ё2+...+£я=^Ё1..
(О
Графически изобразить электрическое поле можно с помощью ли-
ний напряженности электрического поля. Линией напряженности
электрического поля называется линия, касательная к которой в каждой
точке направлена вдоль вектора напряженности. Электрическое поле
называется однородным, если напряженность поля одинакова по моду-
лю и направлению в любой точке пространства. В противном случае
поле называется неоднородным.
Поле, источником которого служит точечный заряд Q, является не-
однородным (рис. 43). Напряженность такого поля по модулю равна
Ег=—^,
4ле0 ег2
где £ — относительная диэлектрическая проницаемость среды, в кото-
рой находится заряд, показывающая во сколько раз напряженность поля
в данной среде меньше, чем напряженность поля в вакууме; г — рас-
стояние от заряда до точки, в которой определяется напряженность;
£г(г) — проекция вектора Е на направление г. График зависимости Ег(г)
показан на рис. 43, а. В случае вакуума (или воздуха) £= 1.
Неоднородным также является поле, созданное равномерно заря-
женным металлическим шаром (сферой), радиус которого равен R
(рис. 44). Напряженность поля внутри шара и за его пределами рассчи-
тывается по формуле:
О при г < R,
где Q — заряд шара; г — расстояние от центра шара до точки определе-
ния Е; £ — диэлектрическая проницаемость среды, в которой находит-
ся шар; Ег — проекция вектора Е на направление г, Е„ — напряжен-
160
Однородное поле равномерно заряженной бесконечно большой
плоскости, поверхностная плотность заряда a=Q/S которой одинакова
в любом месте ее поверхности, а вектор напряженности поля перпенди-
кулярен к плоскости в любой ее точке, показано на рис. 45. Напряжен-
ность этого поля рассчитывается по формуле:
о
2Е£о
О
2ее0
при х > О,
при х < О,
161
где Ех — проекциявектора Е на ось X. График зависимости Е/х) пред-
ставлен на рис; 45, а.
Напряженность электрического поля между двумя параллельными пла-
стинами, заряженными равномерно равными по модулю разноименными
зарядами, при условии, что размеры пластин значительно превосходят
расстояние d между ними, а объем между пластинами заполнен диэлектри-
ком с относительной диэлектрической проницаемостью е (рис. 46), равна
Ё ~ Ё, + Ё2, где Ех и Ё2 — векторы напряженности каждой из пластин.
Проекцию вектора Ё на ось X можно рассчитать по формуле:
О при х<0 и x>d,
Е = \ а п ,
х ----- при 0<x<d,
£е0
162
где q — поверхностная плотность заряда одной из пластин, взятая по
модулю; d — расстояние между пластинами. График зависимости. £^х)
представлен на рис, 46, а.
Пример 38. В однородном электрическом поле с напряженностью Ё, си-
ловые линии которого составляют угол а с вертикалью и направлены вверх,
подвешен на непроводящей невесомой нити шарик массой т, имеющий отри-
цательный заряд q (рис. 47). Определите силу натяжения нити.
Дано:
Е, а, т, q
Т___9
Силы, действующие на заряженный ша-
рик, показаны на рис. 47. Заряд шарика отри-
цательный, поэтому кулоновская сила
Ё3 = qE направлена противоположно вектору
Ё. Условие равновесия запишем в виде
Л + т8 + Г = 0, или в проекциях на оси:
(X): -F3 sina + TsinP = 0 ;
(У): ZcosP-mg-Fg cosa = 0 .
Решая систему уравнений относительно силы
Т, найдем:
Т = ^q2E2 sin2 a+ (mg + qEcosa)2 .
Пример 39. Три точечных заряда
<21 = !22>0 и 2з<0 расположены в вершинах
равностороннего треугольника со стороной а
(рис. 48). Найдите напряженность электриче-
ского поля в точке пересечения медиан.
Дано:
<21 = <22 = <2, Сз.«
Рис. 48
Ё — ?
163
Согласно принципу суперпозиции электрических полей,
Ё = + ,Ё2 + Ё3/где £ = Е = --1 -~^2, Е3-- .
4я£0 а1 4пеа а
Таким образом, Е = 2Ei cos а+Е3, где а=60°, или
E~El+E3=-^(Q2+\Q3\).
4яе0а
Работа электрических сил. Потенциал. Разность потенциалов.
Электрическая (кулоновская) сила является потенциальной. Работа этой
силы не зависит от вида траектории, а определяется положением начальной
и конечной точек траектории (см. раздел IV). Заряд, помещенный в элек-
трическое поле, обладает потенциальной энергией. С потенциальной энер-
гией электрического поля связана энергетическая характеристика, назы-
ваемая потенциалом. Потенциалом <р электрического поля в данной точ-
ке пространства называется скалярная физическая величина, равная от-
ношению потенциальной энергии Wn, которой обладает пробный заряд q,
помещенный в данную точку поля, к значению этого заряда:
Wn
<р = —.
Я
Нулевой уровень потенциальной энергии выбирается произвольно, в
соответствии с условием решаемой задачи. Для уединенных зарядов он
обычно задается на бесконечном удалении от зарядов («на бесконечно-
сти»), т. е. при г —> оо потенциал <р —> 0 .
Разность потенциалов (Ф1~Ф2) двух точек электрического поля
можно определить через работу потенциальных сил поля:
Л+<д
Ф1-ф2=^^->
Я
где — работа сил поля по перемещению положительного заряда q
из точки 1 в точку 2.
Таким образом, работу сил поля можно рассчитать по формуле
А = д(ф|-ф2). Работа сил поля А и работа внешних сил А* связаны соот-
ношением А=-А". Принимая во внимание выбор нулевого уровня по-
тенциальной энергии, можно сформулировать следующее определение
164
потенциала: потенциалом <р данной точки поля называется отношение
работы поля по перемещению пробного заряда из данной точки поля в
точку, потенциал которой принят равным нулю, к значению заряда:
^1-^2
(р = —
Я
В СИ единицей потенциала (разности потенциалов) служит вольт:
1 В= 1 Дж/1 Кл.
Эквипотенциальной поверхностью называется поверхность, все
точки которой имеют одинаковые значения потенциала. Разность по-
тенциалов равна нулю между любыми точками на эквипотецциальной
поверхности, а линии напряженности электрического поля перпендику-
лярны эквипотенциальной поверхности.
Принцип суперпозиции для потенциала. Потенциал в точке поля,
созданного системой зарядов q{, q2, ..., qn, равен алгебраической сумме
потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности:
Ф=ф1+Ф2 + ...+Ф„ = £ф..
(»)
Потенциал точки поля точечного заряда Q, если нулевой уровень
потенциала выбран при г —> °° («на бесконечности») равен
1 Q
ф = ------.
4яе0 ег
График зависимости ф(г) представлен на рис. 43, б.
Потенциал точки поля шара радиусом R, равномерно заряженного
по поверхности зарядом Q, при условии, что ф«, = 0, равен
——— при r<R,
4яе0 eR
1 Q
-------при r> R.
4яе0 ег
График зависимости ф(г) приведен на рис. 44, б.
Связь между напряженностью и разностью потенциалов в одно-
родном электрическом поле имеет вид ф1-ф2=£'б?, где d — расстояние
между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль силовой линии (рис. 49). В
направлении линии напряженности электрического поля потенциал
убывает: ф2=фЕх.
ф=
165
Используя последнюю формулу, рассчитаем распределение
потенциала в электрическом поле между равномерно заряженными
пластинами {плоского конденсатора). График зависимости ф(х)
представлен на рис. 46, б. Нулевой потенциальный уровень выбран на
отрицательно заряженной пластине.
Проводники н диэлектрики в электрическом поле. При
внесении проводника в электрическое поле свободные заряды,
всегда имеющиеся внутри проводника, располагаются на его
поверхности так, чтобы напряженность результирующего
электрического поля, являющаяся векторной суммой на-
пряженностей внешнего поля и поля, созданного поверхностными
свободными зарядами, везде внутри проводника обращалась в нуль,
а потенциалы всех точек внутри И на поверхности проводника были
равными (эквипотенциальными). Поэтому внутри проводящего
шара напряженность электрического поля равна нулю.
В диэлектрике нет свободных зарядов. В электрическом поле
происходит поляризация диэлектрика, т. е. смещение в противо-
положные стороны разноименных связанных зарядов, входящих в
состав атомов и молекул вещества. Напряженность электрического
поля Е внутри диэлектрика равна Е = Ео + Е', где Ео — напряжен-
ность внешнего электрического поля, Е' — напряженность элек-
трического поля, создаваемого связанными зарядами, расположен-
ными на поверхности диэлектрика. Если диэлектрик поместить во
внешнее электрическое поле напряженностью Ео, то поле внутри
диэлектрика ослабляется в е раз:
Е = — .
е
Безразмерный коэффициент е называется относительной диэлектри-
ческой проницаемостью вещества.
Пример 40. Бесконечно большая тонкая пластина равномерно
заряжена с поверхностной плотностью заряда а и находится в
воздухе. Найдите зависимость <р(х), считая <р(0) = 0. Найдите раз-
ность потенциалов между двумя точками, находящимися на одной
силовой лиции на расстоянии d друг от друга.
166
-<Ж1 > 1 i d . 'Г-
1 ; в ьп Я 'Л .><; 2 'Са6Г
’ 0 ж +? р л э Р
Рис. 49
Дано:
Пусть ; произвольная
s Тбчка 5 Находится на рас- '
—стоянии х' от пластины
Ф(*) —? ' (рис. 49). Рассмотрим проб-
(Ф1 ~ Ф2) ~ ? ный положительный заряд
.+<?, перемещающийся из .
точки В в точку с нулевым потенциалом,
которая выбрана на пластине. Согласно
определению потенциала, <р(х) = <рв =
Ав->о Fxcosn а
=------= —------= -Ех =-----х. График зависимости ф(х) представ-
Я Я 2е0
лен на рис. 45, б. Разность потенциалов между точками 1 и 2:
A,., F.d cos 0 а ,
ф,-<р2 =_= ------= Ed =----d .
q q 2e0
Пример 41. Две частицы с массами /И] и т2 соответственно имеют
положительные заряды <2| и Q2 и движутся в воздухе горизонтально
навстречу друг другу из бесконечности с одинаковыми начальными
скоростями н0 (рис. 50, а). Определите наименьшее расстояние, на кото-
рое сблизятся частицы. Сил сопротивления нет.
Дано:
rth, Qlt Q2, v0
х—?
Изменение энергии час-
тиц связано с работой про-
тив сил электростатического
поля. Скорость частиц по
мере их сближения будет
уменьшаться и в какой-то момент времени более легкая частица ос-
тановится. Благодаря силам отталкивания эта частица начнет дви-
гаться в обратную сторону. Более тяжелая частица начнет догонять
легкую, расстояние между частицами будет уменьшаться до тех пор,
пока их скорости не сравняются. В момент максимального сближения
частиц их центр масс будет иметь скорость й, которую можно найти
из закона сохранения импульса. В проекции на ось X (рис. 50, б):
167
+wsj) =o,=z>0; Поскольку'силами сопротивг-
л^н^я можно пренебречь, воспользуемся законам сохранения меха-
нической Энергий:
= или !vL+!vL.^^^sL.&Oi
2 2 2 4m„ х
где Wnl — начальная потенциальная энергия частиц, равная нулю, так
как частицы находятся бесконечно далеко друг от друга.
Решая систему уравнений относительно х, получаем:
Х-_С1& (^1+w2)
8яе0 mim2VQ
Пример 42. В электрическое поле точечного заряда 2 = 310 *7Кл
внесли незаряженный металлический шар радиусом Л=0,2 м. Расстоя-
ние между центром шара и точечным зарядом J=0,3m. Определите
потенциал шара ф. Найдите заряд шара q, который он приобретет при
заземлении (рис. 51).
+Q
•-
о
Дано:
2=310'7Кл,
Л = 0,2 м;
<7=О,Зм;
£=9Ю9Н- м2/Кл2
ф-?9-?
При внесении шара в электрическое поле точечного заряда на по-
верхности шара индуцируются электрические заряды (рис. 51). Потен-
циал всех точек на поверхности и внутри металлического шара одина-
ков. Для центра шара (точка d) он равен сумме потенциалов, созданных
точечным зарядом Q и зарядами, индуцированными на поверхности
шара: ф1=фщ)+ф(+)+ф(1). Так как индуцированные на поверхности шара
заряды симметричны и находятся на одинаковом расстоянии от его
центра, то ф(+) +фн= 0.
Q 3
Следовательно, потенциал шара равен ф = £—=910 В. При зазем-
d
лении шара на его поверхность перетекают избыточные на Земле отри-
цательно заряженные электроны. Потенциал шара становится равным
168
нулю. Р'в соответствии с принципом суперпозиции для; потенциала
шара справедливо равенство' ф = = ^огда^арад’^Й^)^1
^-^-гю-’кл. I v- ,И!;
а '
Пример 43. На каком расстоянии от точечного заряда напряженность
электрического поля в воде с отаосительной диэЛектрйческой проницаемо-
стьюе=81 будет такой же, как в вакууме на расстоянии г, -0,27 м?
Дано: Так как напряженность поля в двух случаях одинакова
г-027м Е-Е то W W
Z^-U.Z/M С1-С,2,то , - 2*
4яепг, 4ле„ег,
г2 — ?------------------------_________
Следовательно, r2 = г, J 1/е = 3 -10~2 м.
20. Закон Кулона. Напряжённость электрического поля
20.1. * Два тела малых размеров имеют равные отрицательные элек-
трические заряды и отталкиваются в воздухе с силой F3=0,9 Н. Опреде-
лите число избыточных электронов в каждом теле, если расстояние
между ними г=0,08м. Заряд электрона е=-1,6-10~|9Кл.
20.2. Три капли ртути, диаметром d= 1 мм каждая, несут заряды 2q,
q, -5q соответственно. Капли сливаются в одну большую. Каким станет
заряд большой капли? Определите поверхностную плотность заряда
большой капли, если <?=310’17Кл. ,
203. Рассматривая планетарную модель атома водорода, определите
силу электрического взаимодействия протона и электрона и скорость дви-
жения электрона в атоме по круговой орбите радиусом Л=0,5310-8см.
204. Точечные заряды <71=4Ю*6Кл и <72=-810^Кл расположенына
расстоянии /=0,5м друг от друга. Где надо поместить заряд <?3 и какое
должно быть его значение, чтобы система трех зарядов находилась в
равновесии? Является ли это равновесие устойчивым?
Недостающие данные в условии задач следует брать нз таблицы «Физические постоян-
ные» Приложения.
169
20.5. Точечные заряды Ю^Кли 240^Клзакреплены.на расстоянии
1 недруг »т друга. На прямой» соединяющей заряды» на одинаковом рас-
стоянии от каждого заряда помещен третий точечный эаряд *-3-10“9Кл.
Определите силу, действующую на этот заряд. ।
20.6. Маленькие заряженные шарики находятся на расстоянии 1=2 м
друг от друга. Шарики отталкиваются с силой F= 1Н. Суммарный заряд
шариков <2=5-10~5Кл. Определите заряд каждого шарика.
20.7. На двух одинаковых капельках воды находится по одному лиш-
нему электрону, причем сила электрического отталкивания капелек урав-
новешивает силу их взаимного тяготения. Какие радиусы у капелек?
20.8. Два одинаковых металлических шарика имеют заряды Q и -5Q.
Шарики привели в соприкосновение и развели на прежнее расстояние.
Во сколько раз изменилась сила взаимодействия шариков?
20.9. Два одинаковых металлических шарика имеют разноименные за-
ряды, отношение значений которых равно п. Шарики первоначально на-
ходятся на некотором расстоянии друг от друга. Во сколько раз изменится
расстояние между шариками, если их привести в соприкосновение, а по-
том раздвинуть так, чтобы сила взаимодействия не изменилась?
20.10. В вершинах квадрата закреплены одинаковые одноименные
заряды <7=4-КГ6 Кл каждый. Какой заряд Q необходимо поместить в
центре квадрата, чтобы система зарядов находилась в равновесии? Яв-
ляется ли это равновесие устойчивым?
20.11. На нити подвешен шарик массой т=9,8г и зарядом
q= 1,0мкКл. Когда к нему поднесли снизу такой же заряженный шарик,
то сила натяжения нити уменьшилась в четыре раза. Определите рас-
стояние между центрами шариков.
20.12. Два одинаковых маленьких проводящих шарика, массой
т=0,1г каждый, подвешены на нитях длиной /=0,2м так, что они со-
прикасаются. Один из шариков отвели в сторону, зарядили и отпустили.
После соприкосновения шарики разошлись, причем нити составили угол
2а=60° (рис. 20.12). Определите начальный заряд первого шарика.
А 20.13. Два маленьких заряженных шарика под-
вешены на невесомых непроводящих нитях одина-
ковой длины. Шарики опустили в керосин с е = 2.
Определите плотность материала шариков, если
угол расхождения нитей в воздухе и в керосине
Рис 20 12 один и тот же. Плотность керосина рк=0,8 г/см3.
170
20.14. Два металлических шарика распо- -^q I : • ij?
ложены на непроводящем гладком столе, •<—:
имеют противоположные по: знаку, заряды Рис. 20.14 <
|<у|= 10~7Кл каждый и соединены непроводя* г: • _ ь ».
щей нитью длиной 1=0,1 м. Отношение масс
шариков т,/Щ2 = 0,5. Какую внешнюю силу
F необходимо приложить к шарику меньшей
массы (рис. 20.14), чтобы в процессе движе-
ния нить была натянута?
20.15. Шарики малых размеров массами
т1 и т2 подвешены на невесомых непрово-
дящих нитях (рис. 20.15). Шарикам сообщи-
ли одинаковые заряды q. Длина нити ВС рав-
на I. Найдите силу натяжения нитей на участ-
ках АВ и ВС.
20.16. На непроводящем гладком столе
лежат три одинаковых шарика, масса и
заряд каждого из которых соответственно
равны т =10 г, |<y|= 10"7Кл. Шарики соеди-
нены нитями, образующими равносторон-
ний треугольник со стороной 1 = 0,1 м. Зна-
В
С
Ч * т2
Рис. 20.15
ки зарядов указаны на рис. 20.16. К отрицательно заряженному ша-
рику приложили силу, под действием которой система стала переме-
щаться с ускорением а, при этом натяжения нитей одинаковы. Най-
дите это ускорение и силу f.
20.17. На окружности радиусом Я=2см на одинаковом расстоянии
расположены электрические заряды ^1=4,8-10-7Кл, <у2=<73= 1,610"7Кл,
<74=-1,610~7Кл. Определите напряженность электрического поля, обра-
Рис. 20.18
зованного всеми зарядами, в центре окружности.
20.18. По тонкому проволочному кольцу радиусом R=0,01м равно-
мерно распределен заряд <2=4-10~7Кл. В центр кольца внесли положи-
тельный точечный заряд ^о=1О"8Кл
(рис. 20.18). Определите силу, действующую
на этот точечный заряд. Какая сила будет
действовать на точечный заряд, находящийся
на расстоянии Л = 0,1м от центра кольца по
перпендикуляру к его плоскости?
171
20.19. По кош>цу радиусом R, расположенному вертикально в поле силы
тяжести, могутскользить без трения одинаковые шарики массами т и заря-
дом Qt. Какой заряд О-> необходимо сообщить неподвижно закрепленному
шарику, чтобы он и два подвижных шарика расположились в вершинах пра-
вильного треугольника. Рассмотрите два случая: закрепленный шарик нахо-
дится на верхнем и нижнем конце вертикального диаметра кольца.
20.20. Два одноименных заряда (З^ЗД-Ю^Кл и Q2 = 1,7 10-7Кл на-
ходятся на расстоянии /=0,2 м друг от друга. Определите, в какой точке
на прямой между зарядами напряженность электрического поля равна
нулю. Нарисуйте картину линий напряженности электрического поля в
данном случае. Как изменится картина линий напряженности, если знак
одного из зарядов поменять на противоположный?
20.21. В какую среду помещен точечный электрический заряд
<7=4,5Ю"7Кл, если на расстоянии 1=50 мм от него напряженность элек-
трического поля равна £'=2104Н/Кл? Определите относительную ди-
электрическую проницаемость е этой среды.
20.22. В углах при основании равностороннего треугольника со сто-
роной а находятся заряды величиной q, а в вершину помещен заряд -q.
Найдите напряженность электрического поля в точке пересечения медиан.
20.23. В однородном электрическом поле с напряженностью
£'=310бВ/м, силовые линии которого составляют угол а=45° с верти-
калью, висит на непроводящей невесомой нити шарик массой т=2 г,
имеющий заряд д=310“9Кл. Определите силу натяжения нити.
20.24. На какой угол отклонится бузиновый шарик, несущий заряд
<7=4,910 9Кл и массой ли = 0,4 г, подвешенный на шелковой нити, если
его поместить в горизонтальное однородное электрическое поле с на-
пряженностью Е = 105 В/м ?
20.25. Маленький шарик массой т=0,04 г, имеющий заряд
<7=О,6нКл, подвешен на невесомой нерастяжимой непроводящей нити
(рис. 20.25). Сила натяжения нити Т=4,910^*Н.
Нить другим концом прикреплена к одноименно
К заряженной бесконечной плоскости. Найдите по-
верхностную плотность заряда плоскости.
20.26. Шарик массой ли = 2г и зарядом
т, q <7=2,5 10~9Кл подвешен на нити и движется по ок-
ружности радиусом Л=0,03 м с угловой скоростью
<й1 = 2с-1. В центре окружности поместили шарик с
172
таким же зарядом (рис. 20.26). Какой должна
стать угловая скорость вращения шарика <о2,
чтобы радиус окружности не изменился?
20.27. Найдите натяжение нити, соединяю-
щей одинаковые шарики радиусом г, в центре
которых находятся одинаковые заряды Q. Один
из шариков плавает на поверхности жидкости с
плотностью рж, второй шарик имеет массу т и
висит на нити внутри жидкости. Расстояние
между центрами шариков I (рис. 20.27).
20.28. Электрон движется в однородном элек-
трическом поле с напряженностью Е=120В/м
вдоль направления силовой линии. Начальная
скорость электрона и= 106м/с. Какое расстояние и
за какое время пролетит электрон до остановки?
20.29. В однородном электрическом поле
электрон движется с ускорением а = 3,2-1013 м/с2.
Определите напряженность поля.
20.30. Большая плоская диэлектрическая пла-
стина заряжена равномерно с поверхностной
плотностью заряда +о и расположена горизон-
тально. Параллельно пластине начинает двигать-
ся отрицательно заряженная частица со скоро-
стью v0 . Заряд частицы qo, а масса то. В гори-
зонтальном направлении частица пролетела рас-
стояние/ (рис. 20.30). Найдите: 1) вертикальное
смещение частицы; 2) изменение кинетической
энергии частицы. Как изменится результат расче-
Рис. 20.30
Рис. 20.31
тов, если частицей будет электрон?
20.31. Тонкая металлическая пластина, рав-
номерно заряженная по поверхности зарядом £7=10 7 Кл, находится в
однородном вертикально направленном электрическом поле
(рис. 20.31). Результирующее поле над пластиной равно £] = 5-105В/м, а
под пластиной — Е2=2-105В/м. Определите массу пластины, если она
находится в равновесии в электрическом поле и в поле силы тяжести.
20.32. Электрическое поле образовано внешним однородным элек-
трическим полем и электрическим полем заряженной металлической
173
пластины. Напряженность результирующего
электрического поля слева от , пластины
_2_i £| = 5104В/м, а справа равна Е^З-ПУ’В/м
(рис; 20;32). Определите заряд пластины, если
сила,! действующая ;на пластину со стороны
’ внешнего электрического поля F=0,7 Н.
Рис 20 32 20.33. Электрический диполь образован
двумя точечными зарядами, значение которых
по модулю |<?| = 8-10-9 Кл, а расстояние между ними 7 = 0,2 мм. Найди-
те напряженность электрического поля в точках: D — делящей рас-
стояние I пополам; А — отстоящей от середины диполя на расстояние
DA = 0,1 мм и расположенной на перпендикуляре к оси диполя; В и
С — отстоящих от отрицательного заряда на расстоянии
МВ = МС = 0Д мм (рис. 20.33).
Рис. 20.33 Рис. 20.34
20.34. В центре незаряженной металлической сферы радиусом
R=0,2 м помещен точечный заряд ^=4-10”7Кл. Определите напряжен-
ность электрического поля в точках А, В и С, расположенных соответст-
венно на расстояниях от центра ОД = 27?, OB=R, OC=0,5R (рис. 20.34).
Постройте график зависимости 7Г(г). Как изменится напряженность поля
в данных точках, если металлическую сферу заземлить?
20.35. Две металлические сферы, центры которых совпадают, а ра-
диусы соответственно равны 7?t = 0,5 м и R2 = 1 м, находятся в вакууме
и равномерно заряжены: <7] = 1мкКл и <?2 = -ЗмкКл (рис. 20.35). Най-
@дите значения и направления векторов напря-
женности электрического поля в точках А
(ОД = 1,2 м), В (0.8 = 0,75м) и С (ОС= 0,25 м).
Постройте график зависимости Е(г).
, 2036. Две бесконечно большие плоскости на-
'2
ходятся в вакууме и равномерно заряжены с по-
Р 20 35 верхностной плотностью заряда СТ|=-10~7Кл/м2 и
174
2
ч
ст2 а2 ~ 3-1(Г7 Кл/м2 соответственно. Найдите модуль и
3 направление вектора напряженности элекгричесжо-
го поля.в областях Ц 2, и З (рис,2ДЗб).
; А ; . график зависимости £(х).. > i \
, 20.37. Две параллельные мсталнйческиё'пла-
Рис 20 36 стины находятся на малом расстоянии}?друг от
друга в воздухе. Одной пластине сообщают
заряд Q, другая пластина не заряжена. Площадь каждой пластины
равна S. Найдите заряд другой пластины и силу взаимодействия между
пластинами.
2038. На расстоянии d от большой проводящей пластины находится
точечный заряд q. С какой силой заряд притягивается к пластине?
2039. Определите модуль и направление
действия силы на один из положительных заря-
дов со стороны остальных, если точечные заря-
ды |<?| каждый закреплены в вершинах квадрата
со стороной а. Найдите напряженность электри-
ческого поля в центре квадрата (рис. 20.39).
20.40. Небольшой шарик висит на непро-
водящей упругой нити над горизонтальной
проводящей плоскостью. После того как
шарику сообщили заряд q= 1,4-10~6Кл, он опустился на Дг=9 мм
и его расстояние до проводящей плоскости стало равным
г= 10 см. Найдите жесткость нити.
20.41. Какой минимальный заряд Qmjn необходимо поместить в
нижнюю точку непроводящей сферы радиусом R, чтобы шарик мас-
сой т с зарядом Q находился в устойчивом равновесии в верхней
точке сферы (рис. 20.41)?
т, Q
, а
+Я».......
а
+?•
• ~Я
Рис. 20.39
R
Рис.20.41
C?min
175
2ft42. Частйца сзарда <?= КГ9 Ютвлетает в областьодафодногоэлек-
триЧескогополя напряженностью £=106В/м и шириной 6=0,1м подуглом
а^^ ^'горЙбйкий!, а вылейет под углом1 Р=69°-(рис. 20.42). Определите'
кинетическую энергию частицы в момент влета йоблйсть пбля. Траекторий
чаСТЙцылёжигв плоскости чертежа. Силой ixusectft пренебрегите.
21. Работа сил электрического поля. Потенциал.
Разность потенциалов. Проводники в электрическом поле
21.1. В вершинах квадрата со стороной а = 15 см расположены точеч-
ные заряды <?1 = 1нКл, ?2--2нКл, <?з = ЗнКл, д4=-4нКл. Определите
потенциал точки электрического поля, находящейся в центре квадрата.
21.2. Используя данные задачи 20.17, определите потенциал точки
электрического поля, образованного всеми зарядами в центре окружно-
сти, а также потенциал точки, лежащей на оси, перпендикулярной к
плоскости кольца и отстоящей от центра кольца на расстоянии d= 2см.
213. В двух точках поля точечного заряда отношение значений напря-
женностей л =4. Во сколько раз отличаются потенциалы этих точек поля?
j В 21.4. Электрическое поле образовано положи-
+* * J * тельным точечным зарядом. Потенц иалы точек А и В,
Рис 2| 4 лежащих на одной линии напряженности электриче-
ского поля, соответственно равны <рл=30В и
фд=20В. Определите потенциал точки С, лежащей посередине между точками
А и В (рис. 21.4).
21.5. Сфера радиусом R равномерно заряжена с поверхностной плот-
ностью заряда -ст. Найдите модуль напряженности и потенциал как
функции расстояния от центра сферы. Постройте графики функций Е(г),
ф(г). Докажите, что потенциал в любой точке внутри заряженной сферы
имеет достоянное значение.
21.6. На расстоянии I от поверхности незаряженного металлическо-
го шара радиусом R находится точечный заряд q. Определите потен-
циал шара.
21.7. На расстоянии а=0,16 м от центра равномерно заряженной сферы
радиусом /?=11мм напряженность электрического поля Е=77В/м. Опре-
делите потенциал ф сферы. В.ектор Е направлен от сферы.
176
7?
Рис. 21.10
- 21.8.Проводящуюсферу радиусом R& потенциал которойф^эдру-
жают концентрической проводящей незаряженной тонкейсф^рическр^,
оболрчкр^й радиусом, Д изрреддают.с нрй, ^айдите поте^пдиа^ йфрр^ф^.
продесоеданедарободо^ой., , ^эрнтснЙя
21.9. В цещрф,мруаллтерк^й сфрры радаром
ложительный заряд £)=10нКл, находится маленький шарик с положи-
тельным зарядом <7=20нКл. Найдите потенциал ф электрического поля
в точке, находящейся на расстоянии г~ 107? от центра сферы. Постройте
график функции ф(г). <
21.10. Точечный положительный заряд б=510-7Кл окружен незаря-
женным сферическим проводящим слоем с внутренним и наружным ра-
диусами равными соответственно /?]=0,1м и
7?2=0,2м (рис. 21.10). Определите напряжен-
ность и потенциал в точках, находящихся на
расстояниях 7?3=0,15 м и /?4=0,25 м от центра
сферы. Постройте графики функций Е(г) и ф(г).
Как изменятся результаты расчетов, если сфери-
ческий слой заземлить?
21.11. Вблизи заряженного металлического
шара радиусом 7? на расстоянии I от его поверхности находится точеч-
ный заряд Q{. Найдите заряд шара Q2, если известно, что шар имеет
потенциал ф0. Как изменится результат расчета, если шар заземлить?
21.12. Две концентрические металлические сферы, радиусы которых
7?1 и Т?2, имеют соответственно заряды Qt и Q2. Найдите зависимость
напряженности и потенциала электрического поля от расстояния г, от-
считываемого от центра сфер.
21.13. На расстоянии <7=0,3 м от поверхности большей из двух кон-
центрических металлических сфер, радиусы которых Rf-0,1м1 и
R2=0,2m, помещен положительный точечный заряд <?0= Ю^Кл. Сферы
имеют соответственно заряды 61=2-10-7Кл и £)2=-5-10“7Кл. Определи-'
те какой потенциальной энергией Wn обладает точечный заряд. Какой
потенциал ф0 имеет центр сфер?
21.14. По кольцу радиусом 7? равномерно распределен заряд Q. Оп-,
ределите напряженность и потенциал в центре кольца, а также в точке,
отстоящей на расстоянии h от центра кольца по перпендикуляру к его
плоскости.
177
21.15. Напряженность однородного электрического поля Е= 120 В/М.
Определите разность потенциалов между двумя точками, отстоящими
друг;, от друга нй расстоянии 1= 1 см, если; 1) точки расположены на
одной силовой линии; 2) точки расположены на прямой', Перпендику-
лярной силовым линиям поля; 3) точки расположены На прямой, со-
ставляющей угол а=30° с силовой линией.
21.16. Между параллельными заряженными пластинами, располо-
женными горизонтально, удерживается в равновесии пылинка массой
т = 1,010-12кг, имеющая заряд ?=510“16Кл. Определите разность по-
тенциалов между пластинами, если расстояние между ними
d= 1,010~2м.
21.17. На расстоянии Г] = 2,0 см от проводящей бесконечной плоско-
сти находится заряд q= 1,0-10“9Кл. Определите потенциал в точке поля,
отстоящей от плоскости на расстоянии г, и от заряда на расстоянии
г2=3,0см.
21.18. ^= 103 одинаковых заряженных шаровых капелек ртути име-
ют один и тот же потенциал ф0 = 1В. Определите потенциал ф большой
шарообразной капли, получившейся в результате слияния этих капелек.
21.19. На стол перпендикулярно силовым линиям однородного элек-
трического поля положили друг на друга тонкие металлические пла-
стинки площадью 5=300 см2 каждая. Какой заряд возникнет на верхней
пластинке, если ее немного приподнять? Чему будет равна разность
потенциалов между верхней и нижней пластинками? Напряженность
электрического поля Ео= 2-105 В/м.
21.20. Две большие тонкие параллельные пластины равномерно за-
ряжены с поверхностной плотностью о и -а. Расстояние между пла-
стинами d. Определите разность потенциалов между пластинами. По-
стройте графики изменения напряженности и потенциала электриче-
ского поля вдоль оси X, перпендикулярной пластинам. Какую работу
надо совершить, чтобы перенести заряд q с одной пластины на дру-
гую? Нулевой потенциальный уровень выберите
. ~ *2 на положительно заряженной пластине.
------.Г ~ > 21.21. Положительный заряд ^=10-7Кл пере-
---------------------> носится из точки 1 в точку 2 в однородном элек-
/«<-1—трическом поле напряженностью Е=50 кВ/м
Рис. 21.21 (рис. 21.21). Модуль вектора перемещения
178
|А?|=Z = 8 сМ, угол а» 30е: Найдите разность
потенциалов ф,-фги работу сил поля. л . \
21.22. Неподвижный точечный заряд Q создает ., . ,,,
в некоторой точке Л электрическое поле напряг, .
женностью Ел, а в точке В — напряженностью .Ея. .,.............
Определите работу, необходимую для перемеще- . , , . Д
ния точечного заряда q из точки А в точку В. ’
21.23. Определите работу электрических сил ^Ц2
при перемещении точечного заряда ^=1,0-10-8Кл
из точки С в точку D и из точки D в точку С в элек- Рис. 21.23
трическом поле, созданном точечными зарядами
д^б-Ю^Кл и ?2=210“6Кл, помещенными в точки А и В и удаленными
друг от друга на расстояние 1=0,4 м (рис. 21.23). Линия АВ, соединяющая
заряды qx и q2, параллельна линии CD движения заряда q и отстоит от нее
на расстоянии «7=0,3 м.
21.24. Два заряда, значением q = 1,0мкКл каждый, находятся на рас-
стоянии г\= 0,5 м друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы
сблизить заряды до расстояния г2= 0,05 м?
21.25. Какую работу А надо совершить, чтобы перенести заряд
<7 = 3-1О~8Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии
7 = 0,9 м от поверхности сферы радиусом 7? = 0,1м, если поверхностная
плотность заряда сферы о=2-10-8 Кл/м2 ?
21.26. Какую работу надо совершить, чтобы перенести точечный за-
ряд <?= 10’ 9Кл из точки А в точку В, находящиеся от поверхности шара
соответственно на расстояниях /j = 0,2m и /2 = 0,1м? Потенциал шара
ф0 = 200 В, радиус шара R=0,1 м.
21.27. Два параллельных тонких кольца радиусом R каждое распо-
ложены на общей оси и имеют равномерно распределенные заряды Qt и
Q2 соответственно. Расстояние между центрами колец равно «/. Найдите
работу, совершаемую электрическими силами при перемещении заряда
б3 из центра первого кольца в центр второго.
21.28. В однородном электрическом поле напряженностью
£=1-103B/m находится тонкая металлическая пластинка толщиной
d= 1 мм и площадью 5=40 см2. Какую минимальную работу необходимо
совершить, чтобы извлечь пластинку из поля? Плоскость пластинки
перпендикулярна направлению электростатического поля.
179
B^LA С
-q ------• —е------•
гв гл г с
Рис. 21.31
21.29. Два электрона движутся под действием сил электростатического
отталкивания. Какую скорость они будут иметь на бесконечно большом
удалении друг от друга, если в начальный момент расстояние между ними
составляло 10 мм, а начальная скорость обоих электронов равнялась нулю?
2130. Два электрона находятся на большом расстоянии друг от друга
и начинают двигаться навстречу с одинаковыми скоростями 1,0 км/с. На
какое минимальное расстояние сблизятся электроны?
2131. Электрон подлетает к неподвижному точечному отрицатель-
ному заряду <7 = -1О“5Кл (рис. 21.31). Находясь в точке А на расстоянии
гл=20см от точечного заряда, электрон имеет скорость vA = 106 см/с. На
какое минимальное расстояние гв приблизится электрон к заряду q?
Какая кинетическая энергия будет у элек-
трона после того, как он, двигаясь в обрат-
ном направлении, окажется в точке С на
расстоянии гс= 50 см ?
2132. Электроны, ускоренные разно-
стью потенциалов (ф^Фг), влетают в электрическое поле отклоняющих
пластин электронно-лучевой трубки параллельно им, а затем попадают
на экран, расположенный на расстоянии L от конца пластин. На какое
расстояние h сместится электронный луч на экране, если на пластины,
имеющие длину I и расположенные на расстоянии d одна над другой,
подается напряжение Un ?
2133. Электрон вылетает из точки, потенциал которой ф0= 1 кВ, со
скоростью ио=1О7м/с в направлении линий напряженности электриче-
ского поля. Определите потенциал ф точки, в которой скорость электро-
на равна нулю.
21.34. Из ядра атома радия со скоростью и=2,0-107 м/с вылетает
а-частица массой т=6,67-10-27 кг. Определите энергию частицы и раз-
ность потенциалов, которая обеспечила частице такую энергию. Заряд
частицы <7 = 3,21О~|9Кл.
2135. Протон, летящий по направлению к ядру двукратно ионизиро-
ванного неподвижного атома гелия, в некоторой точке поля с напряжен-
ностью Е=103кВ/м имел скорость и=103м/с. На какое минимальное
расстояние протон приблизится к ядру? Рассмотрите два варианта ре-
шения задачи: 1) ядро гелия остается неподвижным; 2) ядро гелия в
результате взаимодействия приходит в движение.
180
2136. Чему равна потенциальная энергия взаимодействия треходи-
наковых точечных зарядов q, расположенных в вершинах равносторон^
Него треугольника со стороной /? Какую работу надо совершить; ^ггобы
расположить эти заряды в линию на расстоянии 2/друг от друга?'Как
изменится потенциальная энергия взаимодействия трех зарядов? " Л “
2137. Заряды q, -2q, 3q расположены в вершинах равностброннего1
треугольника со стороной а. Какая потенциальная энергия этой системы?
2138. Маленький шарик массой т = 1 г и зарядом д, = 0,15 мкКл дви-
жется к закрепленной сфере из точки, удаленной на большое расстояние
от сферы, имея начальную скорость v = 1 м/с. Заряд сферы q2=0,3 мкКл.
При каком минимальном значении радиуса сферы шарик достигнет ее
поверхности?
2139. От поверхности не закрепленного металлического шара мас-
сой М и радиусом R, заряд которого Q, отрывается одноименно заря-
женный точечный заряд q массой т. Какой будет скорость точечного
заряда на большом расстоянии от шара?
21.40. Закрепленному в горизонтальной плоскости тонкому прово-
лочному кольцу радиусом R = 0,12 м сообщили электрический заряд
Q=l,2-10~6Ka. Из центра кольца отпустили без начальной скорости
небольшой шарик массой /и = 8,3 г и зарядом д = 22-1(Г8Кл. Найдите
скорость шарика на расстоянии h- 0,075 м от его начального положения.
Какое ускорение шарика в данный момент падения?
21.41. По наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а и
высотой h соскальзывает без трения тело массой
т, имеющее заряд -q. Такой же по модулю по-
ложительный заряд +q закреплен в вершине пря-
мого угла (рис. 21.41). Найдите скорость тела в
момент перехода на горизонтальную плоскость.
21.42. Положительный точечный заряд q на-
ходится в центре положительно заряженного
кольца радиусом R с зарядом Q. Масса заряда т,
масса кольца 10m. Кольцо не закреплено. Заряд незначительно смеща-
ется вдоль оси, перпендикулярной плоскости кольца, после чего система
кольцо-заряд приходит в движение. Какой будет скорость точечного
заряда на большом расстоянии от кольца?
Рис. 21.41
181
Электрическая емкость. Конденсаторы
Потенциал уединенного заряженного проводника (р пропорционален
его заряду Q, следовательно, отношение 2/ф=const. Эта константа,
обозначаемая буквой С, называется электрической емкостью уеди-
ненного проводника:
с-Я
Ф
Единице измерения электрической емкости в СИ кулону, деленному
на вольт (Кл/В), присвоено специальное название фарад (Ф):
1Ф = 1Кл/1В.
Электрическая емкость (емкость) проводящего шара (сферы) ра-
диусом R, помещенного в диэлектрик с относительной диэлектрической
проницаемостью е, с учетом того, что потенциал шара равен
Ф = Q/^itEEgR, определяется по формуле
С=4пее0/г.
Данная формула показывает, что электрическая емкость зависит
только от геометрических размеров, формы проводника и диэлектриче-
ских свойств среды, в которой он расположен.
Электрической емкостью двух проводников (взаимной емкостью),
имеющих разноименные, но равные по модулю заряды Q, называется
физическая величина, равная отношению абсолютного значения заряда
Q к разности потенциалов (cpj-<p2) между проводниками:
с . |е|
I®,-ф2| '
Если обозначить разность потенциалов |ф|- ф2| = С7, то электрическая
емкость двух проводников выразится формулой
С-й
и '
Понятие взаимной электрической емкости имеет физический смысл
только при условии, что вблизи данных проводников нет других заря-
женных или проводящих тел.
Электрический конденсатор — электротехническое устройство,
предназначенное для накопления значительного количества разноимен-
ных электрических зарядов. Конденсатор состоит из двух проводников
182
(обкладок), разделенных диэлектриком, > толщина которого мала по
сравнению с линейными размерами обкладок. Две плоские металличе-
ские пластины,.ра£положенные параллельно и разделенные слоем-;ди-
электрика, образуют плоский конденсатор (рис.52,<»Х Две мегаяпинеские>
концентрические сфрры радиусами Rt и Т?2 соответственно, рдздадещпда,
слоем диэлектрика, образуют сферический конденсатар^{1^^52^6).1\--.-л^и
С помощью принципа суперпозиции легко найти результирующее по-
ле как внутри, так и вне конденсатора. В области между обкладками кон-
денсатора с поверхностной плотностью заряда о для плоского конденса-
тора результирующее поле Е=Е++Е_=с/ее0. Вне объема конденсатора
результирующая напряженность поля равна нулю. Разность потенциалов
между обкладками плоского конденсатора равна <pl-<p2=Ed=ad/eev,
отсюда для емкости плоского конденсатора справедлива формула
с.Й,
d
где S — площадь обкладки, d — зазор между обкладками.
Для сферического конденсатора, обкладки которого несут одинако-
вые по значению и противоположные по знаку заряды +q и -q, резуль-
тирующее поле сосредоточено в зазоре между поверхностями и опреде-
ляется по формуле Е(г)=—-----при Rl<r<R2. Разность потенциа-
4ле0е г
лов между обкладками сферического конденсатора определяется по
183
, q | 1 1 I ...
формуле ф,-ф2 =—-— —:-----------При этом* потенциал внешней
4ле0е I R2 I
сферы может быть выбран равным нулю. Тогда емкость сферического
конденсатора определяется по формуле
оюнно.’ккпв- хл-"....u-i I. ;. ’ и..ж«ц.., 7?» :ч. <'
on . • С*4яе0б:-' Я- ,
. ,°.Л2-Л , . . . .
где Rl hR2 — радиусы внутренней и внешней обкладок.
Соединение конденсаторов в батарею. Конденсаторы между собой мо-
гут быть соединены в батарею последовательно (рйс. 53, а), параллельно
(рис. 53, б) или смешанно (последовательно и параллельно) (рис. 53, в).
в)
б)
Рис. 53
+0 ~Q +Q -Q
С[ С2
а)
Последовательным называется такое соединение конденсаторов,
при котором разность потенциалов на батарее равна сумме разностей
потенциалов на соединяемых конденсаторах, а заряды на всех конденса-
торах одинаковы:
1
е=е1=с2==е„,
у=у,+у2
Учитывая, что U6=QJC6 и U^Q/C^ для последовательного соединения
конденсаторов, справедлива формула
Л=у±=-1+Д
с с с с
еб . (>) Ч Ч Ч
где U6, С6 — соответственно разность потенциалов и емкость конденса-
торов, соединенных в батарею.
Параллельным называется такое соединение конденсаторов, при ко-
тором общий заряд батареи равен сумме зарядов на всех конденсаторах,
а разности потенциалов на конденсаторах одинаковы. Электроемкость
батареи в этом случае с учетом того, что Q6=C6U и Qt=CtU, равна
184
c6^C,=q +.C2 + Q,„.
(<)
г'дёt?5, — со^таВтствейно заряд и емкость батарей кбвденсэтб|ю^:“^
Энергия заряженного конденсатора. На обкладках заряженного
конденсатора электроемкостью С накапливаются одинаковые по моду-
лю электрические заряды Q. Разность потенциалов между обкладками
конденсатора равна (ф1-ф2)0=*2/С- В процессе разрядкиконденсаТора
(соединении разноименных обкладок проводником) разность потенциа-
лов убывает от первоначального значения до нуля. Среднее значение
разности потенциалов в процессе разрядки равно (Ф1_Ч>2)ср=
(ф, - ф, )n Q
--------- = Электрическое поле конденсатора в процессе раз-
2 2С
рядки совершает работу по переносу заряда Q с одной обкладки на дру-
гую: А = Q• (ф1 -ф2)ср = - -° = . При этом происхо-
дит убыль энергии электрического поля, равная работе, которая совер-
шается при разрядке конденсатора:
W =W о-л-^ ~ф2)° - С~ф2^ =
’ 0 2 2 2С
Таким образом, энергия W3 электрического поля конденсатора емко-
стью С, заряженного до разности потенциалов (ф, - ф2)0 = U, равна
Jr^Q2.CU2_QU
э 2С 2 2
Подставив в это выражение значение емкости плоского конденсатора и
выразив разность потенциалов через напряженность поля Е, получим^
W3= — = ^~E2d2 =^-Sd.
э 2 2d 2
Разделив обе части уравнения на объем V-Sd, занимаемый электри-
ческим полем, получим выражение для энергии, содержащейся в едини-
це объема, т. е. объемной плотности энергии электрического поля:
W. ёоеЕ2
w=—^- = —---.
F 2
Полученное выражение показывает, что плотность энергии электрического
поля пропорциональна квадрату напряженности. Эго выражение справедливо
185
не только дляоднородного электрического поля конденсатора, но и для любого
электрического поля (неоднородного, меняющегося во времени).
гиЙйиг емкость, заряжённого конденсатора под действием внешних сил
будрТг^сщггься рт.значения С\ до С2, то,изменение энергии конденсатора
виаьп н • ' л* 1 ( 1 1 ;
ДИл=И/2-Ил1 равно работе А внешних сил AW = А‘ = 1 ——— I. По-
скольку заряд конденсатора не изменяется при изменении электроёмкости,
для расчета энергии конденсатора воспользуемся формулой W = q2 * /(2С).
При этом допускается, что перемещение зарядов (электрический ток), обу-
словленное изменением емкости, происходит настолько медленно, что
потерями на джоулеву теплоту можно пренебречь.
В случае, когда конденсатор подключен к источнику тока, ЭДС которого %,
то остается неизменным напряжение, а изменение значения заряда равно
z5q=q2_?i- Изменение энергии конденсатора происходит за счет механической
&1 \
работы А = — (С, - С2), так и за счет работы, совершаемой источником
питания А^ = S Aq = ^2(С2-С,),поэтому
Д1У = А’ + Атет =-у(С2-С^2(С2 -С,),
откуда следует, что работа источника тока равна удвоенному изменению энер-
гии конденсатораАисг=2Д IV.
Если учитывать выделившуюся при движении зарядов теплоту Q, то
уравнение баланса энергии принимает вид W2-Wt + Q = А*+Аист •
Пример 44. Определите электроемкость С6 батареи конденсаторов и
заряд на каждом конденсаторе в схеме, показанной на рис. 53, в. Раз-
ность потенциалов между точками схемы А и В равна U.
Схему можно представить в виде трех последовательно соединенных
конденсаторов. (рис. 54), емкости которых равны 2С каждого, так как
два параллельно соединенных конденсатора
емкостью С каждый дают суммарную ем-
кость 2С. Тогда емкость батареи равна:
1 1 1 1 „ 2„
— ------1-— + —, Сй =—С. При последо-
С6 2С 2С 2С 6 3 F
2С 2С 2С
•• 1 2
Рис. 54
186
нательном соединении конденсаторов заряды на всех конденсаторах
2
емкостью 2С (рис. 54) одинаковы и равны Q = C6U =—CU. На парал-
лельно соединенных конденсаторах, емкостью С каждый, разность по-
тенциалов в точках их подключения 1 и 2 равна
1 2С 3 2С
= —U. Тогда заряд на каждом конденсаторе емко-
стью С равен q - —CU.
Пример 45. Плоский конденсатор, площадь пластин которого 5, а
расстояние между ними d, имеет поверхностную плотность заряда о.
Конденсатор отключен от источника ЭДС. В конденсатор вставлен пло-
ский диэлектрик с диэлектрической проницаемостью Е, вплотную при-
легая к одной из пластин и занимая половину объема конденсатора.
Какую работу необходимо совершить для удаления диэлектрика? Чему
равно изменение энергии конденсатора, не отключенного от источника,
ЭДС которого равна g, при удалении диэлектрика? Определите работу
внешних сил при не отключенном источнике ЭДС.
+ст -ст
Дано:
S, d, о, е, g
А — ?
AW—?
А’ — ?
а)
£
Рис. 55
в)
а) Конденсатор отключен от источника ЭДС (рис. 55, а). Изменение
энергии поля в конденсаторе равно работе внешних сил по удалению
диэлектрика: A = W2-Wl. Поскольку конденсатор отключен от источника
ЭДС, заряд конденсатора остается постоянным и равным Q=aS. Восполь-
, - Q2 , Q2 Q2 е05
зуемся формулой W = . Тогда А = —----, где С2 =-----.
2С 2С2 2С] d
б) Для определения емкости Сх конденсатора с диэлектриком
(рис. 55, а), представим его в виде двух последовательно соединенных
187
конденсаторов С[ и Cf (рис. 55, б). Емкость такого конденсатора опре-
'• с{-с\ 2£as 2eoeS л
делим по формуле ц = —j, где С, =---------, С, = —у. Отсюда
. и. • ci+ci d d
€€ 2S
С\ После соответствующих подстановок и преобразований
найдем А =
g2S(6-l)fif
2ее0
в) Конденсатор не отключен от источника ЭДС (рис. 55, в). Разность
потенциалов на обкладках конденсатора остается постоянной и рав-
ной £ Энергия конденсатора изменяется как за счет механической рабо-
ты, так и за счет работы, совершаемой источником питания:
1У2-Ил]=А*+А|1СТ. Поскольку в этом случае остается неизменным раз-
ность потенциалов, для расчета энергии конденсатора целесообразно
использовать формулу 1¥= С#2 / 2. Тогда
e0S£2
2d
1-е
1+е ’
При изменении заряда на обкладках конденсатора на величину
<71 источник питания совершает работу All„=is(q2-ql). Заряды
конденсатора определяются соотношениями ql = Cl^, q2 = C2%. Тогда
. ~,2 М 1 — 6 „ __
Аист = <5 ——-—. Работа внешних сил по удалению диэлектрика
, еп5$2 е — 1
равна А = j—• ®тметим> чт0 AHCT=2-(W2-Wj), т е- работа
источника равна удвоенному изменению энергии конденсатора.
22. Электроемкость. Конденсаторы. Соединения конденсаторов.
Энергия заряженного конденсатора
22.1. Уединенному незаряженному проводнику сообщили заряд
Q= 1,0-1(Г8Кл. Его электрический потенциал увеличился на ф=100В.
Определите электроемкость проводника.
188
22.2. Определите емкость Земного шара, если 2?з=6,37 106м. На
сколько изменится потенциал поверхности Земли, если на нее перенести
заряд(2=ГКл? г
22.3. Металлический шар радиусом R=90 мм заряжают до потенциа-
ла ф= 104 В. Определите электроемкость и заряд шара. \\
22.4. Во сколько раз изменится потенциал заряженной сферической
поверхности, если ее радиус увеличился в п раз?
22.5. Два металлических шарика одинакового радиуса находятся на
большом расстоянии друг от друга и заряжены соответственно до по-
тенциалов ф1 и ф2. Шарики соединили тонким проводником. Какие по-
тенциалы будут на шариках после соединения?
22.6. Два удаленных друг от друга металлических шара радиусами
и R2, причем Rl>R2, заряжают одинаковыми зарядами Q. Определите
потенциалы шаров до и после их соединения тонким проводником. Ка-
кие заряды будут на шарах после соединения?
22.7. Два удаленных друг от друга шара радиусами 7?1=О,О5м и
= 0,1 м и зарядами <?| = 0,8 нКл и q2 = -2 нКл соответственно соединяют
длинной тонкой проволокой. Какой заряд протечет по ней? Определите
потенциалы шаров после их соединения.
22.8. N= 103 одинаковых маленьких капелек ртути в результате их
сближения сливаются в одну сферическую каплю. Во сколько раз элек-
троемкость этой капли больше электроемкости маленькой капли?
22.9. Проводник емкостью С, имеет потенциал ср,, а проводник ем-
костью С2 — потенциал ф2. Проводники удалены на большое расстоя-
ние друг от друга. Каким будет потенциал этих проводников, если их
соединить проводником, емкостью которого можно пренебречь?
22.10. Плоский конденсатор электроемкостью 5 пФ заряжен до
разности потенциалов 1 кВ. Определите заряд каждой пластины. Как
изменятся параметры данной задачи, если объем конденсатора запол-
нить диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемо-
стью е = 5 ?
22.11. Определите толщину слоя диэлектрика с е = 6, занимающего
весь объем помещенного между пластинами плоского конденсатора
емкостью С=500 пФ. Площадь каждой пластины равна S = 10-3 м2.
22.12. С какой силой взаимодействуют пластины плоского кон-
денсатора площадью 5 = 0,01 м2, если разность потенциалов между
ними U = 500 В и расстояние d = 3 мм ? Как изменится сила взаимо-
189
действия этих пдастин, если расстояние между ними уменьшить в-,,
три раза? , V
22ДЗ.В электрическом поле плоского конденсатора, пластины кото-
рого-расположены горизонтально, находится во взвешенном состоянии
капедькамасла, имеющая заряд ^=3-10-|1Кя. Расстояние между плат
станами 4= 2,5 см, а разность потенциалов £7=300 В. Плотность масла
р=0,9-103 кг/м3. Найдите радиус R капельки.
22.14. В плоском горизонтальном конденсаторе в вакууме нахо-
дится во взвешенном состоянии капелька ртути. Расстояние между
пластинами <7= 2 см, а разность потенциалов £7, = 1200 В. Разность
потенциалов резко падает до U2= 1000В. За какое время капелька
достигнет пластины, если первоначально она находилась посередине
конденсатора?
22.15. Плоский конденсатор состоит из горизонтально расположен-
ных пластин площадью 5=0,2 м2, причем нижняя пластина закреплена
неподвижно, а верхняя подвешена на пружине жесткостью 7:=35 Н/м.
Расстояние между пластинами d= 10-3м. Когда конденсатор зарядили от
источника ЭДС, то пружина удлинилась на Дх=0,5 10~3м. Определите
разность потенциалов на обкладках конденсатора.
22.16. Поверхностная плотность заряда на пластинах плоского вакуум-
ного конденсатора а=0,ЗмкКл/м2. Площадь пластины 5=0,01 м2, емкость
конденсатора С=10пФ. Какую скорость приобретает электрон, пройдя
расстояние между пластинами конденсатора?
22.17. Плоский воздушный конденсатор зарядили до разности по-
тенциалов £7,=200 В, а затем отключили от источника тока. Какой ста-
нет разность потенциалов U2 между обкладками конденсатора, если
расстояние между ними увеличить от <7, =0,2 мм до </2=0,7мм, а про-
странство заполнить диэлектриком с Е=7 ?
22.18. Какой заряд пройдет по проводам, соединяющим пластины
плоского воздушного конденсатора и источник тока с ЭДС 8=6,3 В, при
погружении конденсатора в диэлектрик с е=2? Площадь каждой пла-
стины конденсатора 5 = 180 см2, расстояние между ними d= 2 мм.
22.19. Пластины плоского конденсатора, площадь которых 5=0,01 м2
раздвигают так, что расстояние между ними увеличивается от
б/1 = 2'10'3м до </2=4-10~3м. Конденсатор все время остается подключен
190
к источнику ЭДС 8= 100 В. Определите изменение заряда обкладок
конденсатора и напряженности поля между обкладками. > .
22.20. К пластинам плоского конденсатора, одна из которых- За-
землена, приложена разность потенциалов 17=100 В: В воздушный и
зазор, шириной </=0,04 м между пластинами, вдвигается йезаряжен- ‘
ная тонкая металлическая пластина на расстоянии 1 = 0,03 м от зазем-
ленной пластины. Как при этом изменится емкость конденсатора?
Определите потенциал внутренней пластины и напряженность поля
по обе стороны от нее.
22.21. В условие задачи 22.20 добавьте следующие данные: пло-
щадь каждой из трех пластин 5= 1210-2м2, толщина вдвигаемой пла-
стины dy = 0,01 м, расстояние I - 0,02 м. Постройте графики изменения
ф(х) и Е(х).
22.22. В пространство между обкладками не- +Q
заряженного плоского конденсатора вносят м
металлическую пластину, имеющую заряд Q, АМ/г
так, что между пластиной и обкладками кон- |И
денсатора остаются зазоры /, и 12 (рис. 22.22). •- |И —•
Площади пластины и обкладок конденсатора |И
одинаковы и равны S. Определите емкость сис- И
темы и разность потенциалов между обкладка- —
ми конденсатора. Рис. 22.22
22.23. Пространство между пластинами
плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков. Пер-
вый диэлектрик имеет толщину d} = 1 см и е, = 6, второй — толщину
</2 = 2см и е2 = 2. Разность потенциалов между обкладками 17=2,1 кВ.
Определите напряженность поля и разность потенциалов в каждом из
слоев. Постройте графики зависимостей Е(х) и <р(х), приняв потенци-
ал одной из обкладок равным нулю.
22.24. Найдите электроемкость конденсатора, изображенного на
рис. 22.24. Площадь каждой пластины равна 5=0,01 м2, а расстояние
между пластинами равно <7=2 мм. Как из- < —............. g
менится емкость конденсатора, если про- t
странство между пластинами заполнить •— » « '
диэлектриком с относительной диэлектри-
ческой проницаемостью е = 2 ? 1 1 1
Рис. 22.24
191
Рис. 22.25
22.25. Найдите емкости батарей конденсаторов, включенных в схе-
мы, показанные на рис. 22.25, а-г.
22.26. Определите емкость системы конденсаторов относительно то-
чек А и В, включенных по схеме, показанной на рис. 22.26, а-г. Емкость
каждого конденсатора С.
Рис. 22.27
22.27. Определите эквивалентную
емкость цепи, состоящей из одинако-
вых конденсаторов емкостью С каждый
(рис. 22.27).
22.28. Определите емкость батареи
192
конденсаторов и заряд каждого конденсато-
ра в схеме, показанной на рис. 22.28. Емко-
сти конденсаторов С1 = С2=С3 = С4=С5 =
= С6=С. Разность потенциалов между точ-
ками А и В равна U.
22.29. Воздушный конденсатор емко-
стью Со заполняют диэлектриком с про-
ницаемостью е. Конденсатор какой емко-
сти необходимо включить последователь-
но с данным, чтобы такая батарея имела
емкость Со ?
22.30. Три конденсатора, емкости кото-
рых С], С2, С3 известны, соединены в схему,
показанную на рис. 22.30. Разность потен-
циалов между точками А и В равна U. Опре-
делите заряды на конденсаторах и разность
потенциалов между точками А и D.
22.31. Плоский воздушный конденсатор
состоит из двух металлических пластин, пло-
щадью S каждая и расстояние между которы-
ми d. Конденсатор зарядили и заключили в
незаряженную плоскую металлическую ко-
робку (рис. 22.31). Определите емкость полу-
чившейся системы конденсаторов.
22.32. Трем изолированным конденсато-
рам, емкостью С каждый, сообщили заряды
“Уз- Найдите значения зарядов кон-
денсаторов, собранных в схему, показанную
на рис. 22.32.
2233. Три незаряженных конденсатора, ем-
кости которых равны Сх, С2, С3, соединены, как
показано на рис. 22.33 и подключены к точкам
А, В и D. Потенциалы этих точек равны
фл=100В, <рв=60В, фо=50В. С,=С2=С3. Оп-
ределите потенциал общей точки О.
Рис. 22.28
Рис. 22.30
193
2234. Конденсаторы емкостями С и 2С образуют цепь, показанную на
рис. 2234. К точкам цепи А и В приложена разность потенциалов
^лв=24 В. Найдите эквивалентную емкость системы конденсаторов отно-
сительно АВ и разность потенциалов между точками DmE.
В Е
Рис. 22.34
2235. Одну пластину незаряженного конденсатора емкостью С за-
земляют, а другую присоединяют длинным тонким проводом к удален-
ному уединенному проводящему шару радиусом R, имеющему заряд q0.
Какой заряд останется на шаре?
В Рис. 23.37
22.36. В пространство между обкладками плоского конденсатора с
площадью каждой пластины S и расстоянием между ними d помеща-
ется диэлектрик, занимающий объем пространства по всей глубине
между пластинами так, как показано на рис. 2236.
Относительная диэлектрическая проницаемость
диэлектрика е. Найдите емкости таких конденса-
торов.
2237. Какой заряд q протечет через гальванометр
после замыкания ключа К? Разность потенциалов
между точками А и В схемы (рис. 2237) равно U.
Емкости конденсаторов равны С.
194
22.38. Найдите заряд, появившийся на не-
заряженном конденсаторе С( после замыкания
ключа К. Конденсатор С2 заряжен и несет заряд
q2 (рис. 22.38).
22.39. В схеме рис. 22.39 емкость каждого
конденсатора равна С. Вначале ключ К разомк-
нут , конденсатор Ci заряжен до разности потен-
циалов Uq, а остальные конденсаторы не заряже-
ны. Определите разность потенциалов на каждом
конденсаторе после замыкания ключа.
22.40. Конденсатор, емкостью С]=4 мкФ и
разностью потенциалов на обкладках U{ = 80 В,
соединяют с конденсатором, емкостью
С2 = 60мкФ и разностью потенциалов на обклад-
Рис. 23.39
ках U2= 16В, одноименно заряженными обкладками. Определите раз-
ность потенциалов U на конденсаторах после их соединения.
22.41. Конденсатор, емкостью С, = ЗмкФ и разностью потенциалов
на обкладках Ц = 100 В, соединяют параллельно с конденсатором, емко-
стью С2=4мкФ и разностью потенциалов на обкладках (72 = 50В, разно-
именно заряженными обкладками. Определите заряды Q( и Q2 на кон-
денсаторах после их соединения.
22.42. Два удаленных изолированных металлических сферических
тела радиусами и Т?2 заряжены до потенциалов <pj и ф2 соответствен-
но. Тела соединили тонким длинным проводником. На сколько измени-
лась энергия системы заряженных тел?
22.43. Обкладки плоского воздушного конденсатора площадью
5= 100 см2 раздвигают от первоначального расстояния между ними
= 1 мм до расстояния </2=2мм. Конденсатор подключен к источнику
тока с ЭДС 8= 100 В. Найдите работу по раздвижению пластин и изме-
нение энергии системы. Выделением теплоты в источнике и в подводя-
щих проводах можно пренебречь.
22.44. Решите задачу 22.43 ддя случая, когда конденсатор перед раз-
движением пластин отключают от источника ЭДС.
22.45. Плоский конденсатор емкостью С-0,2 мкФ и разностью по-
тенциалов на обкладках С=600 В опускают в жидкий диэлектрик с е=4
в двух случаях: а) конденсатор отключают от источника ЭДС; б) кон-
195
Р1 +
' с;
денсатор не отключают от источника ЭДС. Во сколько раз при этом
изменится энергия электрического поля конденсатора? Определите ра-
боту внешних сил.
22.46. Два одинаковых плоских конденсатора, емкостью С= 0,01 мкФ
каждый, соединили параллельно и подключили к источнику тока с ЭДС
8=300 В. После отключения от источника пластины одного из конденсато-
ров раздвинули на расстояние, вдвое большее первоначального. Найдите
изменение энергии AW системы конденсаторов при раздвигании пластин.
22.47. Какую работу против электрических сил нужно совершить,
чтобы уменьшить в два раза радиус заряженной сферы? Первоначаль-
ный радиус сферы R, а ее заряд Q.
22.48. Какое количество теплоты Q выделится при заземлении заря-
женного до потенциала ф = 3000 В шара радиусом R=5 см ?
22.49. Какое количество теплоты Q выделится
при соединении одноименно заряженных обкладок
конденсаторов (рис. 22.49), один из которых имеет
емкость С] = 2 мкФ и разность потенциалов на об-
кладках Ц = 100 В, а другой — емкость С2 = 0,5 мкФ
и разность потенциалов на обкладках U2=50 В ?
22.50. Найдите общее количество теплоты, выде-
лившееся на резисторе R (рис. 22.50), если при по-
очередном изменении емкости конденсаторов от С
до 0,5С затрачивается работа Л=14Дж. Первона-
чальный заряд каждого конденсатора <2i = <22 =
= 2-10~4Кл, а емкость С=4-10'9Ф.
22.51. Тонкой сферической оболочке, радиусом
R{ = 50 мм и массой т = 15-10-6 кг, сообщают заряд до
тех пор, пока при достижении потенциала ф] = 104 В
оболочка разлетается на мелкие осколки вследствие электростатическо-
го отталкивания ее заряженных частей. Найдите скорость v осколков к
моменту, когда они окажутся в пространстве на сферической поверхно-
сти радиусом R2 = 120 мм.
Рис. 22.49
R
С
С = 0,5С
Рис. 22.50
196
X. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток.
ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Электрическим током называется упорядоченное (направленное)
движение свободных электрических зарядов. За направление электриче-
ского тока принимается направление движения положительно заряжен-
ных частиц. Количественной характеристикой электрического тока яв-
ляется сила тока. Силой тока I называется скалярная физическая ве-
личина, численно равная электрическому заряду, переносимому через
поперечное сечение проводника за единицу времени:
д/-»о Д/ dt
Это значение силы тока называется мгновенным значением, т. е. значе-
нием силы тока в конкретный момент времени.
Если сила тока не изменяется во времени, т. е. за равные промежутки
времени через поперечное сечение проводника протекает равное коли-
чество зарядов, то такой ток называется постоянным:
1 = 1.
t
Единица силы электрического тока в СИ принята в качестве основ-
ной и называется ампер: 1А = 1 Кл/1 с.
Плотностью электрического тока (у ) называется векторная физи-
ческая величина, по модулю равная отношению силы тока к площади
поперечного сечения проводника 5±, расположенному перпендикулярно к
направлению упорядоченного движения носителей электрического заряда:
I
J~s± ’
Суммарный заряд q, который протекает через поперечное сечение 5±
проводника за время Д1, можно выразить через целое число N частиц
зарядом qQ, образующих электрический ток: q=Nq0. При средней ско-
рости упорядоченного движения частиц и, их концентрации (количестве
частиц в единице объема) п, суммарный заряд равен q=qtfiS1v&. Следо-
вательно, сила тока l=ql t\t=q(/iS1v, а плотность электрического тока
по модулю равна j=I/ S± = qrfiv.
Условием существования электрического тока в проводнике является
197
наличие свободных электрических зарядов, а также силы, действующей
на эти заряды. Возникновение силы, действующей на заряды, возможно,
если к концам проводника приложена постоянная разность потенциалов.
В результате в проводнике возникает электрическое поле, которое су-
ществует как внутри проводника, так и вне его. Это поле действует на
свободные заряды с силой F3=qJ£, которая заставляет их двигаться
вдоль проводника. В металлах носителями электрического тока являют-
ся свободные электроны q0 = |е|.
Закон Ома. Сила электрического тока I в проводнике пропорцио-
нальна разности потенциалов ф(-ф2 на концах этого проводника:
(ф]—ф2)//=const. Эта постоянная называется электрическим сопротив-
лением проводника, зависит от материала проводника, его геометриче-
ских размеров и температуры. Следовательно, сопротивление провод-
ника, на концах которого разность потенциалов ф] - <р2 = U н по которо-
му протекает электрический ток I, равно:
R=UII.
Сопротивление проводника в СИ измеряется в омах (Ом):
1 Ом = 1В/1 А. Сопротивление металлических проводников длиной I,
имеющих поперечное сечение S и удельное сопротивление р, рассчиты-
вается по формуле
R = pl/S,
где удельное сопротивление имеет размерность [р] = Ом-м. Электриче-
ское сопротивление металлических проводников с ростом температуры
от до 12 возрастает в соответствии с законом
R2=Rt [1 + a(r2-fi)],
где 7?, — сопротивление проводника при температуре Гь а — темпера-
турный коэффициент сопротивления, [а] = °C'1.
Закон Ома можно сформулировать следующим образом: сила тока I в
проводнике прямо пропорциональна разности потенциалов ф(-<р2 (падению
напряжения U) на нем и обратно пропорциональна его сопротивлению R:
R R ’
В электротехнике часто используется величина, обратная сопротив-
лению: g = 1/R, которая называется электрической проводимостью. Еди-
ницей проводимости в СИ является сименс (См). А также используется
198
величина, обратная удельному сопротивлению, которая называется
удельной проводимостью: о= 1/р.
Электротехническое изделие, основным функциональным назначе-
нием которого является оказывать определенное активное сопротивле-
ние протеканию электрического тока, называется резистором. Резисто-
ры можно соединять в электрической цепи последовательно, параллель-
но и смешанно (последовательно-параллельно).
При последовательном соединении резисторов (рис. 56, а) сила тока
в проводниках: /посл=/]=/2 = ...=/„, а напряжение на участке цепи, со-
держащем последовательно соединенные резисторы, равно сумме паде-
ний напряжений на каждом резисторе: Unoai=Ul + U2+ ... + Un. Тогда
сопротивление участка электрической цепи, состоящей из последова-
тельно соединенных резисторов, можно представить в виде эквивалент-
ного сопротивления Дпосл (рис. 56, б), равного /гпосл = 7?1+7?2+... + R„ =
(')
I R
и 3
^посл
Рис. 57
Рис. 56
1 их 2 и23
При параллельном соединении резисторов (рис. 57, а) напряжение на
всех резисторах одинаково: [/пар=Ц = [/2 = ... = [/„, а общий ток равен
сумме токов, протекающих через каждый из параллельно соединенных
проводников: /пар=/1+/2+...+/„. Эквивалентное сопротивление Дпар
(рис. 57, б) параллельно соединенных резисторов равно
—— = — + — + — = У —. Если и = 2, то Д = . При
*пар Rx R2 Rn ^R> ₽ ^1+д2
Rl=R2 = ... = R„=R эквивалентное сопротивление Дпар=R/n.
Электродвижущая сила. Любые силы, действующие на заряженные
частицы, за исключением сил электростатического происхождения (т.е.
кулоновских), называются сторонними силами. Сторонние силы необхо-
димы в любой замкнутой электрической цепи для поддержания длитель-
199
ного электрического тока. Сторонние силы приводят в движение заряжен-
ные частицы внутри всех источников тока: генераторов на электростан-
циях, гальванических элементов, аккумуляторов. Действие сторонних сил
характеризуется электродвижущей силой (ЭДС), которая обозначается 8
или Е. ЭДС в замкнутом контуре равна отношению работы сторонних сил
Лст по перемещению заряда q вдоль контура" к значению заряда:
Q
г На рис. 58 изображена замкнутая цепь постоянного то-
?;__i| р__ ка. Закон Ома для такой цепи имеет вид фл - IR - 1г + %=фл,
l/l 8
I о откуда / =-----------. Эта формула выражает закон Ома для
,2ц г + R
Рис 58 полной цепи: сила тока в полной цепи равна электродви-
жущей силе источника тока, деленной на сумму сопро-
тивлений внешнего и внутреннего участков цепи.
Обобщенный закон Ома для неоднородного участка
цепи (содержащего ЭДС) (рис. 59) можно записать следующим образом:
/(г + Л) = (ф2-ф1)-^, или
r + R
%, г где направление обхода выбрано совпадаю-
{ ।—। ~[|+ щим с направлением тока. Из последнего вы-
/1 ' 1/ ражения видно, что в общем случае падение
напряжения на участке 2-1, равное l(r + R),
Рис. 59
не равно разности потенциалов ф2-ф[. Одна-
ко, если участок цепи не содержит ЭДС (рис. 56), то падение напряже-
ния и разность потенциалов совпадают по значению. ЭДС, как и раз-
ность потенциалов, выражается в вольтах (В).
Для измерения силы тока служит электротехнический прибор, кото-
рый называют амперметром. В ряде задач сопротивление амперметра
принимается равным нулю (Яа = 0). Такой амперметр называется иде-
альным. Для расширения пределов измерения данного амперметра
параллельно амперметру подключают проводник, через который
проходит часть измеряемого тока. Сопротивление этого проводника,
называемого шунтом, рассчитывают так, чтобы сила тока через
амперметр не превышала его предельного значения, а остальная часть
тока протекала бы через шунт (рис. 60). При увеличении предела
200
измерений токов амперметром в п раз (7=^7,), для Тока через шунт мож-
но записать уравнения: 7Ш= 7-7, (л-1)/а и 7П17?ш=7а/?а. Решая эти урав-
R
нения, для сопротивления шунта получаем формулу 7^ = ——.
и-1
Для измерения разности потенциалов (падения напряжения на участ-
ке цепи) служит вольтметр. Идеальный вольтметр имеет бесконечно
большое сопротивление 7?в, поэтому током через него в ряде задач мож-
но пренебречь. Увеличить пределы измерения напряжения в и раз ре-
альным вольтметром можно, если последовательно ему подключить
дополнительный резистор сопротивлением 7?д (рис. 61).
Рис. 60 Рис. 61
Тогда сумма падений напряжений на вольтметре [/, и на дополни-
тельном сопротивлении Ua равна измеряемому напряжению U (рис. 61):
U = UB+Ua. Так как токи через вольтметр и дополнительное сопротивле-
ние одинаковые, то t/B/Ua=RB/Ra. Отсюда,
R = — 7?в =
д £7. ’
и-и,
и.
= (и-1)Лв. Это дополнительное сопротивление в цепи вольтметра в
электротехнике называется добавочным сопротивлением.
Для упрощения расчета разветвленных электрических цепей, содержа-
щих неоднородные участки, удобно пользоваться правилами Кирхгофа,
построенными на законе сохранения электрического заряда и законе Ома.
Первое правило Кирхгофа относится к узлам и формулируется следующим
образом: алгебраическая сумма сил токов для каждого узла равна нулю:
71+72+...+7п=0. Причем токи, подтекающие к узлу, берутся с одним зна-
ком, а токи, оттекающие от узла, — с другим. Второе правило Кирхгофа
относится к отдельным замкнутым контурам цепи и формулируется так:
алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической
сумме произведений сил токов и сопротивлений каждого из участков этого
контура. Рассмотрим применение правил Кирхгофа на примере.
201
Пример 46. На рис. 62, а представлен замкнутый контур АВС, кото-
рый вычленен из некоторой электрической схемы. Обозначенные на
рисунке элементы схемы и силы токов считаются заданными. Найдите
токи в узлах А, В, С и алгебраическую сумму падений напряжений для
этого замкнутого контура.
Токи в узлах А, В, С найдем в соответствии с первым правилом
Кирхгофа: /л=/]+/3, /в=/1-/2, /с=/2+/3. Выберем обход контура АВС по
часовой стрелке, как показано на рис. 62, а. Запишем обобщенный закон
Ома для всех участков цепи:
АВ: (Г| + В,) = фА — фв + ,
ВС: /2г2 =фв-фс,
СЛ: — ЛВ2 — Фс — Фл •
Сложим полученные выражения:
7, (В; + ) + /2г2 — /3В2 = .
Таким образом, алгебраическая сумма падений напряжений равна
алгебраической сумме ЭДС.
Рис. 62
На рис. 62,6 представлен замкнутый контур aodba некоторой раз-
ветвленной электрической цепи. Определите заряды конденсаторов Сь
С2 и С3, если Ci = С3 = С; С2 = 2С; Bi=В; В2 = 2В; сила тока I задана.
После зарядки конденсаторов на них появятся заряды <21, б2 и Q3 и
токи в них прекратятся. Сила тока будет протекать на участке цепи abd
через сопротивления В] и В2. Знаки зарядов на обкладках конденсаторов
б)
202
взяты произвольно. В выделенном замкнутом контуре aoba сумма раз-
ностей потенциалов на элементах контура равна нулю:
[/С1+[/С2+/тг = °. (1)
Аналогично для контура dobd:
UC}+UC2-2IR = 0. (2)
Согласно закону сохранения электрических зарядов их алгебраиче-
ская сумма в узле «о» равна нулю:
61 + 62-63 = 0. (3)
В уравнениях (1) н (2) произведем замену неизвестной, используя соот-
ношение 6 = UC. Получим:
+ -^- + /7? = 0; (4)
С 2С
Ql+Ql-2IR = 0. (5)
С 2С
Решая систему уравнений (3), (4) и (5) с неизвестными, находим заряды
конденсаторов
3 1 5
й=-лгс; q2=-irc; q3=—irc.
4 2 4
Если знак заряда на одном из конденсаторов окажется отрицательным,
то необходимо на схеме на этом конденсаторе поменять полярность.
Пример 47. В электрической схеме, изображенной на рис. 63, а, оп-
ределите эквивалентное сопротивление цепи. Сопротивления резисто-
ров известны: R{,R2,R3. Найдите токи, протекающие через резисторы и
ток, подтекающий к узлу А, если разность потенциалов между точками
схемы 1 и 2 равна Un.
а) б)
Рис. 63
203
Потенциалы точек 1,АиС равны: ф] = <рл = <рс, так как они со-
единены проводниками, сопротивления которых равны нулю.
Аналогично фв = Фо = Ф2- Таким образом, на всех резисторах раз-
ность потенциалов U одинакова. Следовательно, резисторы со-
/ хо 1111
единены параллельно (рис. 63, о): ----= — + — + —, или
, ^пар ^2 *3
„ r,r2r,
Rmp=-------- ------. Силу тока, протекающего через каждый
Т?|Т?2 + R{R3 + R2R2
резистор, найдем из закона Ома: Il = U/Rl, I2 = U/R2, I3 = U/R3.
Ток, подтекающий к узлу А, является алгебраической суммой то-
ков (первое правило Кирхгофа): / = /j+/2+/3 = U/Ro6m.
Пример 48. Определите показания идеальных вольтметра и ам-
перметра в схеме, изображенной на рис. 64. Значения г,, r2, R, 8,,
82 известны.
Рис. 64
Дано:
rj, r2, R, , 82
Предположим, что ток течет в на-
правлении, указанном на рисунке. Выбе-
рем направление обхода контура по ча-
совой стрелке. Запишем второе правило
Кирхгофа для замкнутого контура: I(R+rl+r2) = 8]-82. Отсюда
7 =—У—.3—. Если 8. > 8,, то />0 и направление тока соответст-
R + t\ + r2
вует указанному на рисунке. В противном случае истинное на-
правление тока будет противоположно указанному. Вольтметр
показывает разность потенциалов между точками 1 и 2. Запишем
обобщенный закон Ома для участка цепи 7-81-2: /г, = ф1-ф2+81.
@2г, + @,г2 + 8.7?
Откуда С/12 = Ф! -ф2 = 7^ -8,=-------------.
7? + г, + г2
Таким образом, при 8, > 82 показания идеального вольтметра опреде-
лятся по формуле
204
[/ = ф2-ф!
$2Г| +S|2?
/? + z, + г2
Рассчитайте самостоятельно показания вольтметра при < <?2
Работа и мощность электрического тока. На произвольном участ-
ке проводника, к концам которого приложено напряжение U, за время t
протекает заряд q=I-t. При этом силы электростатического поля и сто-
ронние силы, действующие на данном участке, совершают работу
A=U-q=U-I-t. По закону Ома I=U/R, R — сопротивление участка
проводника, поэтому при известном напряжении работу можно рассчи-
U2
тать по формуле А =---1. Учитывая, что U=I R, работу можно рассчи-
R
тать по формуле А=I2 R t.
Мощностью электрического тока называется скалярная физиче-
ская величина, равная отношению работы силы тока А к значению вре-
мени г, за которое эта работа совершена P=Alt. Мощность электриче-
ского тока можно рассчитать по одной из формул: P=IU=I2R=U2/R.
В ряде задач этого раздела мощность обозначается буквой N.
Закон Джоуля-Ленца. Если в электрической цепи не происходит
химических реакций и не совершается механическая работа, то энергия
электрического поля превращается во внутреннюю энергию проводника
(теплоту), поэтому температура проводника возрастает. Таким образом,
количество теплоты, выделяемое проводником за время г.
Q=A = I2Rt.
Если в электрической цепи совершается механическая работа Лмех,
то закон сохранения энергии может быть записан в виде Лтока=Q+АМ„,
где Лтока — работа силы тока; Q — количество теплоты, выделяемое в
проводниках.
Единицей работы электрического тока в СИ является джоуль, едини-
цей мощности — ватт: 1 Дж = 1 Кл • 1 В, 1 Вт= 1 Дж/1 с = 1 А -1 В.
Электрический ток в электролитах. Электрический ток может
протекать в расплавах и растворах электролитов: кислот, щелочей и
205
солей. Носителями электрического тока в электролитах служат отрица-
тельные и положительные ионы (проводники II рода). Положительные
ионы (катионы): ионы металлов и водородные ионы — движутся к от-
рицательному катоду, а отрицательные ионы (анионы): кислотные ос-
татки и гидроксильные группы ОН — движутся к положительному ано-
ду. Прохождение электрического тока через электролиты сопровож-
дается электролизом — выделением на электродах веществ, входя-
щих в состав электролита. Масса выделившегося вещества подчиня-
ется закону Фарадея'.
1 М Т
т =-----It,
F п
где F=eWA=96500 Кл/моль — постоянная Фарадея; М — молярная
масса вещества; п — валентность атома; / — сила тока; t — время элек-
тролиза; е — заряд электрона; NA — число Авогадро.
Если в законе Фарадея ввести обозначение k=MKF-n), то закон за-
пишется в виде m = klt, или m = kq. Величина к называется электрохи-
мическим эквивалентом вещества.
Электрический ток в газах. Газы в нормальных условиях являются
диэлектриками. Электрический ток в газах называется газовым разрядом.
Для возникновения газового разряда газ необходимо ионизировать. Газ
ионизируется при повышении температуры, при воздействии на его моле-
кулы различных излучений, при бомбардировке молекул газа потоками
частиц, в том числе потоками электронов (ионизация электронным уда-
ром). Работа, которую необходимо совершить, чтобы оторвать электрон
от нейтрального атома (ионизировать атом), называется работой иониза-
ции А„. Работу ионизации можно охарактеризовать с помощью потенциа-
ла ионизации. Потенциалом ионизации фи называется наименьшая раз-
ность потенциалов U, которую должен пройти электрон в ускоряющем его
электрическом поле, чтобы приобрести энергию, достаточную для иони-
зации невозбужденного атома (или молекулы) электронным ударом. Ио-
низация электронным ударом становится возможной, когда электрон на
длине свободного пробега X приобретает кинетическую энергию WK, дос-
таточную для совершения работы ионизации: И/к>Ли, или еЕк>Ая, где
Е—напряженность электрического поля, ускоряющего Электрон.
Энергия связи электронов в атомах и молекулах (энергия ионизации)
обычно выражается в электронвольтах (эВ). Один электронвольт равен
206
работе, которую совершает электрическое поле при перемещении элек-
трона между точками с разностью потенциалов в 1 В: 1эВ =
= 1,610’,9Кл1 В = 1,610"19Дж.
Пример 49. Источник тока, ЭДС которого Й, а внутреннее сопротив-
ление г, подключен к реостату, сопротивление которого может изме-
няться от нуля до R (рис. 65). Каким должно быть сопротивление R для
того, чтобы получить максимальную силу тока в цепи, максимальную
полезную мощность, максимальный коэффициент полезного действия?
8, г
Рис. 65
Рис. 66
Дано:
Е,г
/(/?)—?Р(/?) — ?
П(/?) —?РП(/?) —?
Ток в цепи определяется законом Ома:
I=$/(R+r). При R=0 ток короткого замыкания
1ю = ^/г является максимальным током в данной
цепи. При R —» «о /-э 0 (рис. 66, а, б).
Мощность Р источника тока: Р=/$=82/(7?+г).
При 7?=0 мощность источника достигает максимального значения, которое
на графике рис. 66,6 принято за единицу и равно Р^-^/г. Полезная мощ-
ность Рп, т. е. мощность, выделяющаяся на реостате, может быть найдена из
закона сохранения энергии применительно к данной цепи: %1=12г+Рп, отку-
да P^ftl-I1 r=I(£-Ir). Максимальное значение Рпта (вершина равнобоч-
ной параболы Рп(7), показанной на рис. 66, а) достигается при значении тока
/= %12г и равно Рптах=Зависимость Pn(R) может быть выражена соот-
207
, 82R
ношением P=IR = --------гт- =---------тт— и представлена на рис. 66,6.
(R + rf R + 2r + r2/R
Так как ток при максимальном значении Рп выражается соотношением
$/(7?+г)=8/2г, то 2r=R+r, следовательно, максимальное значение полезная
мощность принимает при R=r. Коэффициент полезного действия Т| источни-
Р R
ка определяется отношением т] = — =---. Зависимость т](/?) представлена
Р R + r
на рис. 66,6. При R=r мощность источника и ток равны половине своего
максимального значения, КПД достигает значения т]=0,5, а полезная мощ-
ность достигает своего максимального значения, равного половине полной
мощности. Любую полезную мощность Pt, меньшую максимальной, можно
получить при двух значениях Я, и R2 сопротивления реостата (рис. 66,6), при
этом ток принимает значения и Ц соответственно (рис. 66, а).
Пример 50. Чему равен КПД электромотора, подключенного к элек-
трической сети, при протекании по его обмотке тока силой /,? При полной
остановке якоря электромотора сила тока в цепи возрастает до значения 12.
Дано: Воспользуемся законом сохранения энергии: ЛТО1а=
Л' Л =б+Лмех. Разделив правую и левую части уравнения на
т] — ? время г, получим Ртока=е/г+Рмех» и™ иц = 12R + Р„а, где
1/Ц — мощность, потребляемая из сети; I2R — мощность
тепловых потерь; Рмех — механическая мощность электромотора. Най-
TZrTTI Рма иЦ-lfR , ItR
дем КПД: Т] = -й^- = —!-!— = 1——.
иц иц U
Неизвестное значение сопротивления R получим, воспользовавшись
тем, что при полной остановке якоря электромотора его механическая
мощность обращается в нуль. Закон сохранения энергии для этого слу-
чая запишется в виде UI2=I2R, откуда значение сопротивления элек-
тромотора и подводящих проводов R = —. Следовательно, т] = 1 - — .
Л Л
Пример 51. Какая масса меди выделится на катоде из раствора мед-
ного купороса (CuSO4) за время т, если сила тока за это время линейно
возрастает от 0 до /0? Электрохимический эквивалент меди равен к.
208
Дано: Согласно закону Фарадея, т = kq,
t,I0,k где Ч — заряд, прошедший через
~ ~~ электролит за время т. Для нахож-
т ~~ дения заряда рассмотрим график
(рис. 67). Затемненная пло-
щадь численно равна прошедшему заряду:
q = О,5/от. Поэтому т = О,5Л/от.
Рис. 67
Пример 52. Потенциал ионизации атома ртути <р. Определите наи-
меньшую скорость v электрона, способного ионизировать атом ртути
при ударе. Масса электрона те и заряд е известны.
Дано:
ф, те, е
V — ?
Электрон должен обладать кинетической энергией
№к = ~~~ - А > гДе работа ионизации Аи=|е|ф. Отсюда
v= 0S.
23. Сопротивление проводников. Соединения резисторов. Закон
Ома для однородного участка цепи. Измерение токов и напряжений
23.1. * В течение 20 с сила тока на участке электрической цепи воз-
растает линейно от 0 до 5 А. Какой электрический заряд был перенесен?
Постройте график зависимости силы тока от времени и по нему опреде-
лите перенесенный электрический заряд.
23.2. Чему равна сила тока в проводнике, если за 1 мин через попе-
речное сечение проводника протекает электрический заряд 30 мКл?
23.3. Определите физическую величину, которая выражена форму-
лой (nevV)/I, где п — концентрация носителей электрического тока; е —
элементарный электрический заряд; v — средняя скорость направленно-
го движения свободных электронов; V — объем проводника; I — сила
тока в проводнике.
Недостающие данные в условии задач следует взять из таблицы «Физические постоян-
ные» Приложения.
209
23.4. По проводнику, поперечное сечение которого 1,5 Мм2, протека-
ет электрический ток 0,3 А. Концентрация свободных электронов в ве-
ществе проводника 1028м'3. Определите среднюю скорость направлен-
ного движения свободных электронов.
23.5. В проводнике сила тока 1= 10 А. Найдите массу электронов,
прошедших через поперечное сечение проводника за время т = 1 ч.
23.6. Два куска медного провода соединены последовательно. Сече-
ния проводов равны 5, = 2 мм2 и 52=4мм2. По проводникам протекает
электрический ток. Сравните скорости упорядоченного движения элек-
тронов в проводниках.
23.7. Согласно классической электронной теории проводимости ме-
таллов физическая величина j/(eri) представляет собой...? Где / — плот-
ность электрического тока; е — элементарный заряд; п — концентрация
свободных электронов.
23.8. Определите среднюю скорость <v> направленного движения
электронов вдоль медного проводника при плотности тока j = 11 А/мм2,
если считать, что на каждый атом меди приходится один свободный
электрон. Молярная масса меди М= 0,064 кг/моль, плотность медн
d= 8,9103 кг/м3.
23.9. Определите плотность тока, если за время т= 100 с через попе-
речное сечение проводника 5=5 мм2 проходит заряд q = 150 Кл.
23.10. Стальной провод диаметром D = 1 мм и массой га=300 г намо-
тан на деревянный цилиндр. Определите омическое сопротивление про-
вода. Удельное сопротивление стали р= 15Ю~80мм, плотность стали
d=7,8-103 кг/м3.
23.11. Какую массу меди следует израсходовать на изготовление
электропровода длиной 5 км, чтобы его сопротивление составляло
5Ом? Удельное сопротивление меди 1,68-Ю"80м-м, плотность меди
8,9-103 кг/м3.
23.12. Определите площадь поперечного сечения и длину алюминие-
вой проволоки, если ее сопротивление 7? = 2 Ом, а масса га=54 г. Удель-
ное сопротивление алюминия р = 2,7-Ю"80м м, плотность алюминия
d=2,7103 кг/м3.
23.13. Согласно закону Ома физическая величина (/рУ)/5 представля-
ет собой...? Где j — плотность электрического тока; р — удельное со-
противление; V — объем проводника; 5 — сечение проводника.
210
23.14. Какую разность потенциалов можно приложить к катушке,
имеющей У =1000 витков однослойной плотной намотки медным про-
водом, если допустимая плотность тока у = 2А/мм2? Диаметр витка
О=6 см, удельное сопротивление меди р= 1,7-10-8 Ом-м.
23.15. Сопротивление вольфрамовой нити электрической лампы при
7 = 293 К равно R=35,8 Ом. Какая будет температура Тп нити лампы,
если при включении ее в сеть напряжением U= 120 В по нити протекает
сила тока I=0,33А? Температурный коэффициент сопротивления
вольфрама а=4,6-10-3 К-1; 7Ь=273,15 К.
23.16. При нагревании серебряного проводника сечением 5=
=5-10~2мм2 его сопротивление возрастает на Д/?= 1,5-10~2Ом, а внутрен-
няя энергия увеличивается на ДИ/к=1,6Дж. Найдите температурный
коэффициент сопротивления серебра. Плотность серебра d=
= 10,5-103кг/м3, удельное сопротивление р= 1,47-10~8Ом-м, удельная
теплоемкость с = 235 Дж-кг-1-К”1. .
23.17. Угольный и железный стержни одного сечения соединены по-
следовательно. При каком соотношении их длин сопротивление данного
соединения не зависит от температуры? Температурные коэффициенты
сопротивления ау=-0,8-1(Г3К-1, аж = 6-10'3К"1. Удельные
ния ру=4-1(Г50м м, рж = 1,2-КГ7 Ом-м.
23.18. Реостат и резистор сопротивлением R подклю-
чены, как показано на рис. 23.18. Разность потенциалов
между точками А н В поддерживается постоянной. Пер-
воначально ползунок реостата находился в таком поло-
жении, что сопротивление реостата было равно нулю.
Какое сопротивление г реостата необходимо ввести, что-
бы сила тока уменьшилась в п раз?
23.19. Электрическая лампа рассчитана на напряжение [/, = 36 В при
силе тока /, = 2А. Ее надо включить в сеть с напряжением £72= НОВ с
помощью дополнительного сопротивления из нихромовой проволоки
сечением 5=0,2 мм2. Найдите длину проволоки /, если удельное сопро-
тивление нихрома р = 1,0-10”6 Ом-м.
23.20. Определите сопротивление схе-
мы, представленной на рис. 23.20, если
R{ = 0,5 Ом, R2= 1,5 Ом, R3=R4=R6= 1 Ом,
Я, = 2/3 Ом.
сопротивле-
А В
R г
Рис. 23.18
А
Т?2 R3 в
Рис. 23.20
211
23.21. Найдите общее сопротивление участка цепи между точками А
и В, изображенное на рис. 23.21, а, б, если /?,=R2=R3=R4=Rs = 3 Ом.
& 23.22. Определите сопротивление R цепи,
0 г—j г—| представленной на рис. 23.22, если
L ' A nil ^i=^2=^5=^6=10m, 7J3=10Om, 7?4 = 8 0м. Чему
с/ R3 I I Ra I |
т т равна сила тока I, текущего через резистор л3,
п р если [/=10В?
Рис. 23.22 23.23. Когда ключ К замкнут, сопротивле-
ние схемы (рис. 23.23) равно 7^ = 80 Ом. Оп-
ределите сопротивление схемы R2, когда ключ К разомкнут.
23.24. В схеме на рис. 23.24, найдите силы токов и 12, если сила
тока 1=5 А. Чему равна разность потенциалов между точками 1 и 2?
Определите эквивалентное сопротивление схемы относительно точек А
и В, если сопротивление R= 1 Ом.
Рис. 23.23
23.25. На рис. 23.25, а-з представлены фигуры, сваренные из
кусков проволоки, сопротивление каждого из которых R. Опреде-
212
лите эквивалентное сопротивление каждой фигуры относительно
точек А, В, В' и В".
д) е) ж)
Рис. 23.25
23.26. Найдите общее сопротивление цепи, представленной на
рис. 23.26, где каждый резистор имеет сопротивление R.
23.27. Из проволоки, единица длины которой имеет сопротивление
Rl , согнут каркас в форме окружности радиусом г, пересеченный двумя
взаимно перпендикулярными диаметрами (рис. 23.27). Найдите сопро-
тивление полученной электрической цепи, если источник тока подклю-
чен к одному из диаметров АВ.
A R
В
Рис. 23.26
213
23.28. На вход цепочки из сопротивлений R и 2R (рис. 23.28) подано
напряжение £/Лв=160В. Определите напряжение UCD на выходе если
/?=5Ом.
R R R R2
Рис. 23.28 Рис. 23.29
Рис. 23.30
23.29. Если на вход электрической цепи (рис. 23.29) подано напря-
жение Z7j = 100 В, то напряжение на выходе £/2=40В. При этом через
сопротивление R2 сила тока равна /2= 1 А. Если на выход подать напря-
жение £73 = 6ОВ, то напряжение на входе окажется равным £/4=15В.
Определите сопротивления резисторов Rx, R2, R3.
2330. Электрическая цепь на рис. 23.30 составлена из семи резисторов,
имеющих следующие сопротивления:
Л]=/?4=60м, Л2=/?5=Л6=Л7=20м, 7?3=10м.
Найдите напряжение между точками А и В
q схемы, если сила тока на входе цепи £= 6 А.
2331. Найдите общее сопротивление
участка цепи относительно точек А и В, со-
держащего бесконечное число сопротивле-
ний R = 1 Ом (рис. 23.31) и силу тока на входе
цепи, если между точками приложено напряжение £/=5,4 В.
Рис. 23.31 Рис. 23.32
23.32. Плоский конденсатор с квадратными пластинами, размеры ко-
торых аха = 0,2x0,2 м2 и расстояние между ними d= 2 мм, присоединен к
источнику тока ЭДС которого #=750В. В пространство между пласти-
нами с постоянной скоростью v = 0,08 м/с вводят стеклянную пластину с
е = 7 и толщиной d (рис. 23.32). Какой ток будет протекать в цепи?
214
2333. Электрическая цепь сопротивлением R =100 Ом питается от
источника постоянного напряжения. Для измерения тока в цепь вклю-
чили амперметр с внутренним сопротивлением R} = 1 Ом, при этом ам-
перметр показал 7j = 5A. Какой силы ток 12 показал бы идеальный ам-
перметр, включенный в цепь?
23.34. Определите сопротивление Rt (рис. 23.34), если идеальный
амперметр показывает силу тока 1= 5 А, а вольтметр — разность потен-
циалов 17= 100 В. Внутреннее сопротивление вольтметра R2 = 2500 Ом.
Рис. 23.35
23.35. Определите показания вольтметров, подключенных к потен-
циометру сопротивлением 7? =100 Ом (рис. 23.35). Ползунок потенцио-
метра находится в точке D посередине. Напряжение источника U-60 В,
сопротивления вольтметров = 60 Ом, R2 = 40 Ом.
2336. Вольтметр, соединенный последовательно с резистором сопро-
тивлением /?]=5Ю0м, при включении в сеть с напряжением 77= 100 В
показывает 77, = 25 В, а соединенный последовательно с неизвестным рези-
стором R2, показывает U2=50 В. Найдите сопротивление резистора R2.
23.37. В электрической цепи (рис. 23.37)
ЭДС источника тока <?=14В. Один из трех
одинаковых вольтметров V) показывает на-
пряжение 77t = 6B. Определите показания ос-
тальных вольтметров. Внутренним сопротив-
лением источника тока пренебрегите.
2338. Миллиамперметр с пределом измере-
ния токов /0=25тА необходимо использовать
как амперметр с пределом измерения токов 1= 5 А. Какое сопротивление 7?ш
необходимо подключить к миллиамперметру? Во сколько раз изменится
цена деления шкалы прибора? Сопротивление миллиамперметра R= 10 Ом.
23.39. Амперметр рассчитан на измерение максимальной силы тока
71 = 0,1 А, при этом падение напряжения на приборе составляет 77= 0,2 В.
215
Какое сопротивление шунта необходимо подобрать, чтобы амперметром
можно было измерять силу тока до /2=2 А?
23.40. Вольтметр рассчитан на измерение напряжений до макси-
мального значения 77о=ЗОВ. При этом через вольтметр идет ток
7= 10 мА. Какое добавочное сопротивление 7?д надо присоединить к
вольтметру, чтобы им можно было измерять напряжения до 77= 150 В ?
23.41. Цена деления шкалы возросла в 10 раз, когда к амперметру, рассчи-
танному на максимальную силу тока 2 А, присоединили шунт сопротивлени-
ем 0,5 Ом. Какое добавочное сопротивление необходимо присоединить к
амперметру, чтобы им можно было измерить напряжение до 220 В ?
23.42. Милливольтметр с внутренним сопротивлением 5,0 Ом и шка-
лой до 100 мВ необходимо использовать в качестве: а) амперметра для
измерения силы тока до 5,0 А; б) вольтметра для измерения напряжений
до 100В. Что необходимо подключить к милливольтметру, чтобы про-
извести такие измерения?
23.43. Измерительный прибор имеет цену деления 70 = 10 мкА и шка-
лу из N= 100 делений. Внутреннее сопротивление прибора R=50 Ом.
Как с помощью этого прибора можно измерить напряжение до 77= 200 В
и силу тока до 7= 0,8 А?
23.44. Определите разность потенциалов между точками А и В элек-
трической цепи и падение напряжения на каждом резисторе (рис. 23.44).
Сопротивления резисторов: /?] = Т?4 = /?5 = Re = 2 Ом; Т?2 = Т?3=10м; а сила
тока через резистор /?3 равна 7= 2 А.
23.45. Найдите силу тока на входе электрической цепи (рис. 23.45),
если напряжение на входе (т. АВ) 77= 10В; 7?i=/?2 = 0,5Om; 7?3 = 80м;
/?4= 12Ом; /?5=Т?6= 1 Ом; /?7=20м; Rs= 15 Ом; Т?9= ЮОм; Лю=20Ом.
216
24. Закон Ома для замкнутой цепи.
Закон Ома для неоднородного участка цепи
24.1. В замкнутой цепи, содержащей источник тока с ЭДС 8= 30 В, сила
тока 7=ЗА. Напряжение на зажимах источника £7=21 В. Определите со-
противление нагрузки и внутреннее сопротивление источника.
24.2. К источнику тока подключили резистор сопротивлением /?,=
= 5 Ом, сила тока в цепи составила = 1 А. Другой раз, к тому же источ-
нику подключили резистор сопротивлением R2= 15 Ом, и сила тока ста-
ла 72=0,5 А. Найдите ЭДС источника и его внутреннее сопротивление.
24.3. Электрическая цепь состоит из источника ЭДС с внутренним
сопротивлением г=5Ом и нагрузки сопротивлением 7?н=15 0м. При
подключении к нагрузке некоторого резистора параллельно, а затем
последовательно сила тока через этот резистор не меняется. Определите
сопротивление резистора.
24.4. Генератор с ЭДС £=130 В и внутренним сопротивлением г=
= 1,8 Ом питает несколько параллельно соединенных электрических
ламп общим сопротивлением /?н = 240м. Сопротивление подводящих
проводов R = 0,2 Ом. Определите силу тока в цепи генератора, напряже-
ние на лампах, падение напряжения на подводящих проводах и напря-
жение на зажимах генератора.
24.5. Определите ЭДС £ источника тока, если при измерении напря-
жения на его зажимах вольтметром сопротивлением Rt = 20 Ом прибор
показал U} = 1,37 В, а при замыкании источника тока на резистор сопро-
тивлением R2 = 10 Ом сила тока в цепи равна 12 = 0,132 А.
24.6. При коротком замыкании источника тока в цепи возникает сила
тока 7], а при подключении резистора сопротивлением R, сила тока в
цепи 12. Определите ЭДС источника тока.
24.7. К батарее с ЭДС £=ЗВ подключили резистор сопротивлением
R = 20 Ом, при этом напряжение на резисторе оказалось равным U= 2 В.
Определите силу тока короткого замыкания батареи.
24.8. Вольтметр подключен к зажимам гальванического элемента,
замкнутого на внешнюю цепь. При силе тока 7] = 0,4 А вольтметр
показал 77] = 1,2 В, при увеличении силы тока в два раза показание
вольтметра равно Т/2=1,0В. Определите ЭДС и внутреннее сопро-
217
тивление элемента. Какую наибольшую силу тока можно получить от
данного элемента?
24.9. Резистор подключен к источнику тока с внутренним сопротивле-
нием r= 1 Ом. Идеальный вольтметр, подключенный к зажимам источни-
ка, показал напряжение t/j = 20B. Если параллельно резистору включить
еще один резистор такого же сопротивления, то показания вольтметра
уменьшатся до U2= 15В. Определите сопротивление резистора.
24.10. В цепь, состоящую из аккумулятора и подключенного к нему
резистора сопротивлением R = 20 Ом, подключили вольтметр сначала
последовательно, затем параллельно резистору. Показания вольтметра в
обоих случаях одинаковы. Определите внутреннее сопротивление акку-
мулятора, если сопротивление вольтметра /?в = 5000м.
Рис. 24.11 Рис. 24.12
24.11. Определите силу тока Ц в резисторе Rt. Параметры схемы
(рис. 24.11): г=1Ом, Rt =4 Ом, Я2=10м, /?3 = ЗОм, £=6 В известны.
Чему равно показание идеального вольтметра?
24.12. Определите показания идеальных амперметра и вольтметра
(рис. 24.12) для положений 1,2,3 переключателя К. Параметры схемы £,
R, г заданы. Определите заряды конденсаторов, если их емкости С} и С2
известны.
24.13. Когда параллельно конденсатору, подключенному к зажимам
источника тока, присоединили резистор сопротивлением Я=150м,
заряд конденсатора уменьшился в и =1,2 раза. Определите внутреннее
сопротивление источника тока.
24.14. Напряженность электрического поля в плос-
ком конденсаторе Е=2 кВ/м, а расстояние между его
обкладками J = 5mm. Конденсатор подключен парал-
лельно резистору Ri в схеме, показанной на
рис. 24.14. Сопротивления r=Rx = R2. Определите
ЭДС источника тока.
1 2
Рис. 24.14
218
24.15. Определите разность потенциалов между точками А и В в схе-
ме, изображенной на рис. 24.15. Параметры схемы, указанные на рисун-
ке, заданы. Внутренним сопротивлением источника пренебрегите.
24.16. В схеме, изображенной на рис. 24.16, определите заряды кон-
денсаторов С,, С2, С3, если С{ = С3 = С, С2=2С. ЭДС источника 8, внут-
ренним сопротивлением источника пренебрегите.
Рис. 24.15
Рис. 24.18
24.17. Определите разность потенциалов и заряд на конденсаторе емко-
стью С= 1,0 мкФ, если ЭДС источника <?=6,0В, внутреннее сопротивление
г=5,ООм, сопротивления резисторов /?1=/?2=/?3=20,0Ом (рис 24.17).
24.18. В момент замыкания ключа К в схеме, изображенной на рис. 24.18,
через источник протекает сила тока короткого замыкания /0= 10 А. Устано-
вившийся ток в цепи 1= 1,0А. Емкости конденсаторов С]=С2=10мкФ, со-
противление R=4,5 Ом. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление ис-
точника тока, заряды на конденсаторах после замыкания ключа.
24.19. К аккумулятору последовательно подключены переменное со-
противление и вольтметр (рис. 24.19). Если сопротивление уменьшить в
три раза, то показания вольтметра возрастут вдвое. Во сколько раз из-
менится показание вольтметра, если сопротивление уменьшить до нуля?
219
24.20. Два источника тока с ЭДС <?1=8Ви^г=6Ви внутренними сопро-
тивлениями и=0,8 Ом и г2=1,ООм соединены резистором, сопротивление
которого Л=3 Ом (рис. 24.20). Найдите силу тока в электрической цепи.
Рис. 24.19
Рис. 24.20
24.21. Во сколько раз изменится сила тока в резисторе внешней цепи,
сопротивление которого R=2 Ом, если и = 10 одинаковых гальванических
элементов, соединенных последовательно с этим резистором, включить
параллельно ему? Внутреннее сопротивление элемента г=0,2Ом.
24.22. Батарея из п одинаковых аккумуляторов, соединенных в од-
ном случае последовательно, а в другом — параллельно, замыкается на
резистор сопротивлением R. При каких условиях значение силы тока в
резисторе в обоих случаях будет одинаковым?
Рис. 24.24
24.23. Два одинаковых источника тока с ЭДС $ и внутренним сопро-
тивлением г (рис. 24.23) соединены встречно (случай а) и согласно (слу-
чай б). Определите показания идеальных амперметра и вольтметра.
24.24. Два аккумулятора с ЭДС ^ = 57 В и 82 = 32В соединены, как
показано на рис. 24.24. Что покажет идеальный вольтметр, если отно-
шение внутренних сопротивлений аккумуляторов г2/гх = 1,5 ?
24.25. N одинаковых источников с ЭДС 8 и внутренним сопротивлени-
ем г соединены последовательно. В замкнутую цепь включен идеальный
220
амперметр (рис. 24.25). Что он покажет? Что
покажет идеальный вольтметр, включенный
параллельно п источникам (n <N) ?
24.26. Определите разность потенциалов
между точками А и В (рис. 24.26), если
= 1 В, 82=1,ЗВ, Г] = ЗОм, г2 = 50м, 7? = 70м.
24.27. Два источника тока с ЭДС = 4 В
и <?2 = 6 В и внутренними сопротивлениями
Г] = 0,1 Ом и г2 = 0,4 Ом соединены последо-
вательно. При каком значении сопротивле-
ния внешней цепи разность потенциалов
между клеммами одного из источников бу-
дет равна нулю?
24.28. Найдите разность потенциалов ме-
жду точками А и В (рис. 24.28). Величины Ci,
С2, , <?2 заданы.
24.29. Три одинаковых источника тока с
> '2
В
Рис. 24.26
внутренним сопротивлением г=6 0м поочередно замкнули, один раз
соединив параллельно, а другой раз последовательно на некоторый
резистор сопротивлением R. При этом сила тока в обоих случаях
была одинаковой. Определите сопротивление R.
24.30. Найдите заряд Q конденсатора, включенного в схему, изобра-
женную на рис. 24.30. Известно: ^ = 4В, #2=2В, Г]=0,25Ом,
г2 = 0,75 Ом, /?]= 1 Ом, /?2=30м, 7?3 = 50м, С=2мкФ.
24.31, Найдите разность потенциалов между обкладками каждого из
конденсаторов в схеме, изображенной на рис. 24.31, если емкости конден-
саторов С] = 4 мкФ, С2 = 1 мкФ, ЭДС источников тока <?, = 2 В, <?2=6 В.
Рис. 24.28
Рис. 24.30
Рис. 24.31
221
24-32. Какие заряды и напряжения воз-
никнут на предварительно разряженных
конденсаторах в трех случаях коммутации
ключей К и К2. а) замыкают ключ К;
б) замыкают ключ К2; в) замыкают одно-
временно ключи К и К2? Параметры схе-
мы (рис. 24.32) и С известны.
2433. На рис. 24.33 изображена схема, состоящая из шеста одинаковых
элементов и резистора R. Определите показания идеальных амперметров и
вольтметров, показанных на схеме, если ё= 10 В, г =0,5 Ом, R=3,0 Ом.
2434. В схеме, изображенной на рис. 24.34, сопротивления резисто-
ров , R2 и ЭДС , &2 источников тока известны. Определите ЭДС $}
третьего источника, при которой ток через резистор R3 не течет. Сопро-
тивлениями источников ЭДС пренебрегите.
2435. В схеме, изображенной на рис. 24.35, сопротивления /?, =
= 10 Ом, R2 = 20,0м, R3 = 30 Ом и сила тока /3 = 3 А известны. Определите
токи Zj и 12, протекающие через сопротивления R} и R2 соответственно,
и напряжения на источниках тока с ЭДС и <?2, если = <?2.
222
2436. Аккумуляторная батарея с ЭДС 8=25 В
и внутренним сопротивлением r= 1 Ом заряжается
от сети с напряжением [/=40В через добавочное
сопротивление Я=5 Ом. Найдите напряжение ил
на зажимах аккумулятора (рис. 24.36).
2437. Через аккумулятор в конце зарядки
сила тока /]=4А. Напряжение на его клеммах
равно С/] = 12,8В. При разрядке того же
аккумулятора сила тока /2=6А, напряжение на
его клеммах равно [/2=11,1В. Найдите ЭДС,
внутреннее сопротивление и ток короткого
замыкания аккумулятора.
2438. Генератор с ЭДС 8(=12В и внутрен-
ним сопротивлением г,=0,2 Ом заряжает батарею
аккумуляторов с ЭДС S^lOB и внутренним
сопротивлением г2=0,6Ом. Параллельно батарее
включена электролампа сопротивлением
Я=3,0 Ом (рис. 24.38). Определите токи в генера-
торе , батарее /2 и лампе I.
2439. Схема для зарядки аккумуляторов
(рис. 24.39) содержит внешний источник тока
с ЭДС U= 18 В. ЭДС заряжаемых аккумулято-
ров 8] = 82 = 12 В, а их внутренние сопротивле-
ния соответственно =0,4 Ом и г2=0,6 Ом. Параллельно аккумуляторам
включена осветительная лампа сопротивлением Ra = 3 Ом. В цепь внеш-
него источника тока включен переменный резистор сопротивлением
Я=0,2 Ом. Определите силу тока зарядки аккумуляторов, силу тока
через лампу и падение напряжения на лампе.
24.40 . Для определения места повреждения изоляции между проводами
двухпроводной телефонной линии длиной 1=6 км к одному концу линии
подсоединили батарею с ЭДС 8= 24 В. При этом оказалось, что, если про-
вода у другого конца линии разомкнуты, то через батарею течет ток силы
/( = 1,5 А, а если замкнуты накоротко, то сила тока через батарею /2=2А.
Определите место повреждения изоляции. Сопротивление одного километ-
ра провода Rq=6 Ом. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
223
25. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока
25.1. Какая работа произведена электрическим током при протека-
нии через поперечное сечение проводника заряда <у=1,5Кл? Падение
напряжения на проводнике U— 2 В.
25.2. Какая работа произведена источником тока с ЭДС 8= 12 В и ка-
кой заряд прошел по проводнику с сопротивлением Я = 10 Ом за время
т=20 с? Внутреннее сопротивление источника не учитывать.
25.3. Размерность работы электрического тока в «SI» можно пред-
ставить в виде (выберите правильный ответ): 1)Кл-В/с; 2)АВ с;
3) Кл-В; 4) Н ^/Кл; 5) А2-Омс.
25.4. При подключении нагрузки (внешнего резистора Ян) к источни-
ку тока с ЭДС #=30 В и внутренним сопротивлением г=2Ом, напряже-
ние на зажимах источника стало равным //= 28 В. Какую работу совер-
шают сторонние силы источника за время г=5 мин? Какую работу со-
вершает сила тока на внешнем и внутреннем участках электрической
цепи за тот же промежуток времени?
25.5. Какую работу совершает электродвигатель за время /=30мин,
если он потребляет из сети с напряжением U=220 В силу тока /=1,25 А,
а его КПД г) = 80%?
25.6. При изменении внешнего сопротивления с Я,=6 Ом до
= 21 Ом КПД схемы увеличился вдвое. Чему равно внутреннее сопро-
тивление источника тока?
25.7. Рассчитайте электрическую мощность,
I I n I потребляемую электрической лампой, паспорт-
U (Х)Л ные данные которой следующие: мощность
J и | //=60 Вт при номинальном напряжении UH =
=250 В, в двух случаях (рис. 25.7, а, б): а) сила
а) б) тока, протекающего через лампу, /=0,25 А;
Рис. 25.7 б) напряжение сети, в которую включена лампа,
//=220 В.
25.8. Сколько метров нихромовой проволоки диаметром </=310-4м
надо включить последовательно с лампой, рассчитанной на напряжение
//]=120В и мощностью М=40Вт, чтобы лампа давала нормальный
* В задачах этого параграфа электрическая мощность обозначается буквами N и Р.
224
накал при напряжении в сети £/2=?220В? Удельное сопротивление ни-
хрома р = 1,1 • КГ6 Ом-м.
25.9. Какое напряжение U необходимо поддерживать и какая мощ-
ность Pi должна потребляться из сети, чтобы питать током л=40 ламп,
мощностью Я=60 Вт каждая, соединенных параллельно? Напряжение,
на которое рассчитаны лампы, Un = 120 В. Сопротивление подводящих
проводов Я=4 Ом. Найдите КПД схемы.
25.10. Источник тока с ЭДС 8 и внутренним сопротивлением г замкнут
на реостат, сопротивление R которого меняется от 0 до Найдите зависи-
мости от Я: 1) мощности Рх, выделяемой во внешней цепи; 2) мощности
Р2, выделяемой внутри источника; 3) полной мощности P3=Pt+P2, разви-
ваемой источником; 4) КПД источника; 5) падение напряжения U на рео-
стате. Постройте соответствующие графики зависимостей.
25.11. Аккумулятор с ЭДС 8= 10 В и внутренним сопротивлением
r= 1 Ом замкнут на резистор. На резисторе выделяется мощность
Я=9 Вт. Определите разность потенциалов на клеммах аккумулятора. В
чем причина неоднозначности результата?
25.12. Аккумулятор имеет ЭДС 8 и внутреннее сопротивление г.
Какое максимальное значение полезной мощности Рп можно получить
от него? Обоснуйте полученный результат с помощью графика зави-
симости Рп(/).
25.13. При подключении к источнику тока с ЭДС 8= 15 В резисто-
ра сопротивлением Я= 15 Ом КПД источника тока составил т| = 75%.
Какую максимальную мощность может выделить данный источник во
внешней цепи?
25.14. Два электронагревателя, соединенные в электрическую цепь
параллельно, потребляют мощность А=4кВт. Какую мощность А3 бу-
дут потреблять эти нагреватели, включенные в цепь последовательно,
если один нагреватель потребляет из сети мощность Nx = 1 кВт?
25.15. К источнику тока подключены два рези- К,
стора (рис. 25.15). На первом резисторе выделяется
мощность Pj = 1 Вт, а на втором резисторе мощность Ц
Р2 = 2Вт. Какая мощность будет выделяться на вто- g—Lt
ром резисторе, если первый закоротить с помощью L___________Т
ключа К? Внутренним сопротивлением источника Рис. 25.15
тока пренебрегите.
225
25.16. Найдите мощность, выделяемую во внешней цепи, состоящей
из двух одинаковых резисторов, если известно, что в них выделяется
одна и та же мощность как при последовательном, так и при параллель-
ном соединении резисторов. Источников служит элемент с ЭДС 8= 12 В
и внутренним сопротивлением г= 2 Ом.
25.17. Два нагревательных элемента, подключенных к сети с напря-
жением С/, выделяют мощности Pt и Р2 соответственно. Нагреватели
соединяют: а) параллельно; б) последовательно и включают в ту же
сеть. Какую мощность выделяют нагреватели в первом и втором случаях?
25.18. При одном и том же напряжении одна электролампа потребляет
мощность в два раза больше, чем другая. Найдите мощности иР2, по-
требляемые каждой электролампой при их последовательном включении в
цепь, если вместе они при этом включении потребляют мощность Р=30 Вт.
25.19. N одинаковых источников тока с ЭДС £ и внутренним сопротивле-
нием г каждый (см. рис. 24.25) соединены последовательно и замкнуты нако-
ротко. Какое количество теплоты выделяется в схеме в единицу времени?
25.20. Два проводника сопротивлениями /?! = ЮОм и /?2 = 23 0м
включены в сеть напряжением С/= 100 В. Какое количество теплоты
выделится за t= 1 с в каждом проводнике, если их соединить:
а) последовательно; б) параллельно?
25.21. Чему равно сопротивление подводящих проводов, если два
одинаковых чайника, потребляющие при напряжении t/=220B мощ-
ность Р=400Вт каждый, закипают при последовательном и параллель-
ном соединении за одно и то же время?
25.22. Электрический чайник имеет два нагревателя. При включении
одного из них вода в чайнике закипает через = 15 мин, а при включе-
нии другого — через г2 = 30мин. Через какое время закипит вода в чайни-
ке, если включить оба нагревателя: а) последовательно; б) параллельно?
25.23. Электроплитка имеет три секции с одинаковым сопротивлени-
ем (рис. 25.23). При параллельном их соединении вода в чайнике заки-
226
пает через 6 минут. Через какое время закипит вода той же массы и той
же начальной температуры при соединении секций: а) последовательно;
б) и в) смешанно?
25.24. Электрический чайник вместимостью У=0,6л воды при г=
= 5,4°С включили в сеть с напряжением U= 120 В и забыли выключить.
Через сколько времени после включения вся вода выкипит, если сопро-
тивление подводящих проводов Я=2 Ом, сила тока в цепи 1=5 А, КПД
чайника д = 60%? св=4,2-103 Дж/(кг-К); Хп=2,3-106Дж/кг; рв=
= 1000 кг/м3.
25.25. К источнику тока, ЭДС которого 8= 12 В и внутреннее сопро-
тивление г=0,2 Ом, подключили нагреватель, в котором выделяется
тепловая мощность Я =100 Вт. При этом КПД источника д =
=Я/Яист>50%. Когда спираль нагревателя перегорела, к источнику под-
ключили оставшуюся целой а=0,8 часть спирали.
Во сколько раз изменилась мощность нагревателя и
КПД источника тока?
25.26. К источнику постоянного тока с ЭДС
#=40 В и внутренним сопротивлением г=1,0Ом
последовательно подключили два резистора сопро-
тивлением R{ и R2 (рис. 25.26). На резисторе Rt вы-
деляется мощность Р] = 60 Вт, а на резисторе R2 — мощность Р2 = 10 Вт.
Чему при этом соединении равно напряжение на резисторе R2 2
25.27. В конце зарядки сила тока через аккумулятор равна /, = 4 А, а
напряжение на его клеммах U1 = 12,8 В. При разрядке того же аккумуля-
тора сила тока составила /2 = 6А, а напряжение на его клеммах
£72= 11’1 В. Определите максимальную мощность, которую может раз-
вить данный аккумулятор на внешнем сопротивлении.
25.28. Какой наибольшей мощности электропечь можно установить в
конце двухпроводной линии, имеющей сопротивление Я =10 Ом, если
напряжение сети, к которой подключена линия, составляет U = 220 В?
25.29. Какой наибольшей мощности электропечь можно установить в
конце двухпроводной линии, имеющей сопротивление Я =10 Ом, если
источник тока развивает мощность не более Я=6 кВт при напряжении
на источнике U= 1000 В?
25.30. От источника с напряжением U = 750 В необходимо передать
потребителю мощность Я=5 кВт на некоторое расстояние. Какое наи-
Рис. 25.26
227
большее сопротивление R может иметь линия электропередачи, чтобы
потери мощности в ней не превышали д = 10% от мощности, дошедшей
до потребителя?
25Л. Потребителю передается мощность Р= 100 кВт. Сопротивле-
ние линии электропередачи R= 10 Ом, а напряжение на шинах электро-
станции U =2кВ. На сколько изменится КПД электропередачи, если
увеличить напряжение на шинах в л = 3 раза, а передаваемую мощность
оставить неизменной?
25.32. Во сколько раз следует повысить напряжение источника, что-
бы потери мощности в линии электропередачи снизить в 100 раз при
условии постоянства отдаваемой генератором мощности?
25.33. Каково сопротивление линии электропередачи, если электро-
станция мощностью А=5МВт при напряжении £7=60 кВ передает по-
требителю Т]=95% энергии?
25.34. Электромотор включен в сеть постоянного тока напряжением
U= 220 В. Сопротивление обмотки мотора Я = 2Ом. Сила тока, потреб-
ляемого из сети, /=10А. Найдите потребляемую мощность, мощность
потерь и КПД мотора.
25.35. Электромотор с сопротивлением обмоток Я=2 Ом подключен
к генератору с ЭДС #=240 В и внутренним сопротивлением г=4 Ом.
При работе мотора через его обмотки проходит сила тока /=10А.
Найдите КПД электромотора. Сопротивлением подводящйх проводов
пренебречь.
25.36. Электромотор питается от источника, напряжение которого
£7= 12 В. Какую механическую мощность развивает мотор при протека-
Рис. 25.37
нии по его обмоткам силы тока Ц-2А, если при
полном затормаживании якоря мотора сила тока в
цепи /2 = 8 А ?
25.37. В плечи мостика Уинстона включили две
электролампы одинаковой мощности (рис. 25.37),
рассчитанные на НОВ и 220В соответственно.
Найдите соотношение сопротивлений Я(/Я2 плеч
мостика при условии равновесия. Внутренним со-
противлением источника пренебречь.
25.38. Найдите КПД источника тока с внутрен-
ним сопротивлением г=0,1 Ом, если он работает на нагрузку с сопро-
тивлением Ян= 1,5 Ом.
228
25.39. Электродвигатель подъемного крана подключен к сети с на-
пряжением U = 380 В и потребляет силу тока /=20 А. Определите сопро-
тивление обмотки мотора, если груз массой т = 1 т кран поднимает на
высоту Н= 19 м за время т=50 с.
25.40. Трамвай массой т=22,5 т движется со скоростью v=36 км/ч
по горизонтальному участку пути. Коэффициент сопротивления движе-
нию |Л=0,01, напряжение в контактной сети /7 = 500 В, КПД электродви-
гателя Г] = 75%. Определите силу тока, проходящего через двигатель. С
какой скоростью будет двигаться трамвай в гору с уклоном 0,03, расхо-
дуя ту же мощность?
*
26. Электрический ток в различных средах*
26.1. Определите массу меди, выделившейся на электродах из рас-
твора сульфата меди в течение времени г=2ч при силе тока /= 10А. F=
= 9,65-104 Кл/моль; М=64-10“3 кг/моль; г=2.
26.2. Гальванический элемент разряжается током /=0,2А. При раз-
ряде израсходована масса т = 5,0 мг цинка. Найдите время работы эле-
мента. М=65-10"3 кг/моль; z=2.
26.3. Какую массу двухвалентного никеля можно выделить электро-
литическим путем из раствора сернокислого никеля за время t= 1 ч при
силе тока /= 1,5 А ? Для никеля к = 3-10“7 кг/Кл.
26.4. Сколько времени потребуется для покрытия изделия слоем зо-
лота толщиной 8 = 5 мкм? Плотность тока в растворе хлористого золота
равна /=20А/м2. М= 0,197кг/моль; z = 2; 4^^ = 1,93 104кг/м3.
26.5. Какой силы ток должен проходить через электролит, чтобы
хлористую медь массой т = 100г разложить за время Г=10ч? М=
= 64-10~? кг/моль; z = 2.
26.6. При электролизе воды выделившийся кислород занял объем
V=0,25 л при давлении Р= 129 кПа. Через ванну при электролизе протек
В задачах данного параграфа в расчетных формулах использованы следующие обозначе-
ния физических параметров: F — постоянная Фарадея; М — молярная масса; л или z —
валентность атома; е — заряд электрона; к — электрохимический эквивалент вещества; р
или d — плотность вещества; А — массовое число, равное числу нуклонов в атоме; Z —
число протонов в ядре.
229
заряд 9=1000Кл. Определите температуру выделившегося кислорода.
Для кислорода к=8,29- 1(Г8 кг/Кл, М = 0,032 кг/моль.
26.7. Через подкисленную воду течет электрический ток /=59А. Ка-
кой объем гремучего газа выделится при электролизе за время t= 1 мин
(условия нормальные)? Электрохимические эквиваленты кислорода и
водорода соответственно 8,29-10"8 кг/Кл и 1,04-10"8 кг/Кл.
26.8. Пользуясь законом электролиза и числом Авогадро, определите
заряд электрона е и массу водородного иона тн.
26.9. Какая масса т меди выделится при электролизе, в ходе которо-
го затрачено 1^=8 кВт ч электроэнергии? Напряжение на электродах
электролитической ванны U= 12 В, КПД установки Т| = 80%. Электрохи-
мический эквивалент меди к = 3,3-10-7 кг/Кл.
26.10. Какие затраты электроэнергии на получение т = 1 кг алю-
миния, если электролиз ведется при напряжении U= 10 В, а КПД ус-
тановки т] = 80% ? Электрохимический эквивалент алюминия
* = 9,32-10’8 кг/Кл.
26.11. Какая масса серебра выделится из раствора азотнокислого се-
ребра за время t-1,5 мин, если первые т = 30с сила тока равномерно
нарастала от 0 до 2 А, а остальное время электролиза поддерживалась
неизменной? Постройте график Электрохимический эквивалент
серебра к = 1,12-10^ кг/Кл.
26.12. Для серебрения ювелирных изделий общей площадью поверх-
ности 5=600 см2 через раствор соли серебра в течение времени т = 5ч
пропускается сила тока /= 1,8 А. Какой толщины 5 слой серебра отло-
жится на изделиях? М=0,108 кг/моль; z = 1; d= 10,5-103 кг/м3.
26.13. Три ванны с растворами CuSO4, AgNO3, NiSO4 соединены по-
следовательно. За время электролиза в первой ванне выделилась медь мас-
сой л1меди=10г. Сколько никеля и серебра выделилось в других ваннах?
Даны: *меди=3,3-10~7 кг/Кл; к^ = 1,12-10-8 кг/Кл; *ник= 3,04-10'7 кг/Кл.
26.14. В цепь электролитической ванны с раствором сульфата меди
включен амперметр, который показывает силу тока /= 5 А. При электро-
лизе за т = 25мин выделилась медь массой т = 2,1г. Внесите корректи-
ровку в показания амперметра. Для меди *меди = 3,3-10'7 кг/Кл.
26.15. При электролизе раствора серной кислоты за т= 143 мин
выделился объем У=5,0л водорода при нормальных условиях. Мощ-
230
ность электролитической ванны Р=32,5 Вт. Определите сопротивле-
ние раствора.
26.16. Аэростат объемом V=250m3 заполняют водородом при темпе-
ратуре Г=27°С и давлении р = 2атм. Какой электрический заряд необ-
ходимо пропустить при электролизе через слабый раствор серной
кислоты, чтобы получить требуемое количество водорода?
26.17. При электролизе раствора сульфита меди была совершена ра-
бота, равная W= 4 кВт-ч. Определите массу выделившейся меди, если
напряжение между электродами ванны £7= 6 В. Для меди
*меди = 3,3-10-7Кг/Ю1.
26.18. Ядро атома неона ускоряется разностью потенциалов
U= 10В. Найдите скорость ядра, если Z= 10; |е|= 1,6-10~19Кл; А = 20;
тр= 1,67-10-27 кг.
26.19. Электрон отрывается с одной из обкладок конденсатора, меж-
ду которыми приложена разность потенциалов U- 100 В. Определите
скорость, которую приобретет электрон, дойдя до другой обкладки.
26.20. Электрон, летящий со скоростью v = 2,2-10б м/с, ионизирует
газ. Определите потенциал ионизации этого газа.
26.21. Какой наименьшей скоростью должен обладать электрон, что-
бы ионизировать атом гелия, если его энергия ионизации WH = 24,5 эВ ?
26.22. Электрический пробой воздуха наступает при напряженности
электрического поля £0 = 3,0 МВ/м. Определите потенциал ионизации
воздуха и скорость электронов перед ударом о молекулы, если длина
свободного пробега электронов X = 5,0 мкм.
26.23. До какого потенциала можно зарядить уединенный металли-
ческий шар радиусом г=5,0мм? Какой заряд при этом он будет иметь?
Напряженность поля, при которой наступает пробой воздуха,
Е() = 3,0 МВ/м.
26.24. Атом неона в неоновой лампе ионизируется при столкновении
с электроном, энергия которого равна WH = 21,63B (энергия ионизации).
Средняя длина свободного пробега электрона в неоновой лампе Х = 1 мм.
Расстояние между двумя плоскими электродами лампы d= 1 см. Опре-
делите напряжение, при котором зажигается лампа (происходит процесс
ионизации).
231
R
Й-ф сф Лф
Рис. 26.25
26.25. Включение неоновой лампы Осуще-
ствляется по схеме, изображенной на
рис. 26.25. После замыкания ключа К конден-
сатор заряжается. Когда напряжение на кон-
денсаторе достигает некоторого значения U3,
зажигается лампа. Минимальное напряжение,
при котором она еще горит, составляет
t/=8OB, при этом ток через лампу 1= 1 мА. ЭДС источника #= 120 В,
внутренним сопротивлением пренебречь. При каком сопротивлении
резистора R лампа не будет гаснуть?
26.26. Между плоскими электродами разрядной трубки ионизатора
сила тока насыщения достигает значения /и = 2-10лмА. Площадь каждо-
го электрода 5=0,01 м2, а расстояние между ними d=5 мм. Определите
сколько пар ионов возникает ежесекундно под действием ионизатора в
объеме V= 1 см3 разрядной трубки.
26.27. Какой должна быть напряженность электрического поля Е,
чтобы электрон смог ионизировать атом газа при длине свободного
пробега Л. = 0,5 мкм? Энергия ионизации газа W„ = 2,4-10“18 Дж.
26.28. Электрон проходит путь 1 = 0,01 м в электрическом поле на-
пряженностью £=10 МВ/м. Сколько атомов кислорода он может иони-
зировать на своем пути? Энергия ионизации кислорода W„ = 13,6 эВ.
26.29. Мощность тока в электронно-лучевой трубке Р=0,5Вт. Энер-
гия электрона в луче We- 8,0-10~16 Дж. Определите силу анодного тока.
26.30. В вакуумном диоде, анод и катод которого — параллельные
пластины, зависимость силы тока от напряжения на электродах выраже-
на формулой /= CU3/2, где С — постоянная. Во сколько раз увеличится
сила давления на анод, возникающая из-за ударов электронов о его по-
верхность, если напряжение на диоде увеличить в два раза? Начальной
скоростью электронов пренебрегите.
26.31. В разветвленной электрической цепи,
содержащей источник тока с ЭДС #=10В, внут-
ренним сопротивлением г= 1,0 Ом и два резистора
с равными сопротивлениями Rt =R2= 100 Ом
(рис. 26.31), в одну из ветвей между точками I и 2
последовательно с резистором подключили диод D
один раз а) — прямое включение, другой раз Ь) —
обратное включение. Сопротивление прямого вклю-
232
чения диода г0 = 1,0 Ом, обратного включения Яо= 100 Ом. Определите
силу тока через источник питания и мощность, выделяющуюся на рези-
сторе /?2 в обоих случаях подключения диода.
Рис. 26.32
характеристики (ВАХ) диода
26.32. Какая часть вольт-амперной
(рис. 26.32) отражает зависимость тока от напряжения в прямом (про-
пускающем) направлении протекания тока? Какая — в обратном (запи-
рающем) направлении? Найдите внутреннее сопротивление диода на
прямом направлении г0 при напряжении £7, = 0,4 В и на обратном Ro при
напряжении С72 = 400В.
26.33. Диод с ВАХ (вольт-амперной характеристикой), показанной
на рис. 26.33, и резистор сопротивлением = 1,5 кОм подсоединили по-
следовательно к батарее с ЭДС $=6 В. Определите ток в цепи. При ка-
ком сопротивлении резистора диод перестает работать на прямолиней-
ном участке ab ? R2
26.34. Определите ток через диод в схеме,
изображенной на рис. 26.34. ЭДС ^ = 6,0 В и
$2 = 8,5 В. Внутренние сопротивления источников
г, = 100 Ом и г2=150Ом. Сопротивления нагру-
зок /?1 = 20Ом и /?2=150м. Прямое сопротивле-
ние диода г0= 1,5 Ом, обратное — /?0= 150 Ом.
DV "
%1>Г\ Т ^>Г2
Рис. 26.34
233
XL МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ.
СИЛЫ АМПЕРА И ЛОРЕНЦА. ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ИНДУКЦИИ
Магнитное поле создается электрическими токами или постоянны-
ми магнитами. Оно является особым видом материи и проявляется в
том, что в пространстве, где магнитное поле существует, со стороны
этого поля на пробные токи или постоянные магниты действует сила.
Основная характеристика магнитного по-
ля — магнитная индукция В . Ее физический
смысл раскрывается с помощью опыта по изу-
чению поведения малой по площади S рамки с
током I в магнитном поле. На такую рамку со
стороны поля будет действовать вращающий
механический момент М, значение которого
зависит от ориентации рамки в поле. Ориента-
ция рамки характеризуется нормалью п к плос-
кости рамки. Нормаль совпадает с поступательным перемещением ост-
рия правого буравчика вдоль его оси при вращении рукоятки буравчика
по току в рамке (рис. 68). Момент вращающих сил заставляет рамку
поворачиваться в поле в положение устойчивого равновесия, когда нор-
маль к рамке совпадает с направлением магнитной индукции В внеш-
него поля. Значение момента вращающих сил максимально, если нор-
маль к рамке перпендикулярна вектору В поля, и минимально (равно
нулю) в положении устойчивого равновесия рамки.
Из опыта следует, что магнитная индукция является силовой харак-
теристикой, так как ее значение В равно отношению максимального
момента сил Мтт, действующих на рамку с током в магнитном поле, к
произведению силы тока I в рамке на площадь рамки S:
ft _ ^тах
В СИ за единицу измерения магнитной индукции принимается
тесла (Тл):
[д]= -nrn=— = Тл-
№] Ам
В качестве удобного способа изображения магнитных полей пользу-
ются линиями магнитной индукции — линиями, в каждой точке ко-
234
торых вектор магнитной индукции касателен к ним. Линии магнитной
индукции всегда замкнуты, либо уходят в бесконечность, а густота ли-
ний пропорциональна модулю магнитной индукции.
Линии магнитной индукции, изображающие магнитное поле, образо-
ванное прямым бесконечно длинным про-
водом с током, представлены на рис. 69.
Направление линий магнитной индукции
определяется правилом буравчика: если
вращать рукоятку буравчика так, чтобы
поступательное движение его острия сов-
пало с направлением тока в проводе, то
направление вращения рукоятки буравчика
укажет направление линий магнитной ин-
дукции.
Значение магнитной индукции В в данной точке поля, удаленной на
расстояние г от провода, прямо пропорционально силе тока I в проводе и
обратно пропорционально расстоянию г:
5 =
2т-
где = 4л-10 7 Гн/м — магнитная постоянная.
Из последнего равенства следует, что с увеличением расстояния г от
провода значение магнитной индукции
В уменьшается. Это означает, что поле
прямого тока является неоднородным
магнитным полем. Магнитное поле
называется однородным, если во всех
точках пространства, где это поле
присутствует, В = const. Линии маг-
нитной индукции однородного поля
параллельны и равноотстоят друг от
друга. Такое поле может быть получено
в центральной части между плоскими
параллельными полюсами постоянного
магнита (рис. 70) или внутри длинного
соленоида с током (рис. 71).
Магнитная индукция внутри длинно-
го соленоида определяется равенством
Рис. 71
В = ^1п,
235
где I — сила тока, протекающего по виткам соленоида; п — величина,
численно равная количеству витков, приходящихся на единицу длины
соленоида (плотность намотки). Направление В внутри соленоида сов-
падает с направлением нормали п к отдельному витку с током.
На тОк в магнитном поле действует сила. Ее значение определяется
по закону Ампера. Закон Ампера устанавливает связь между силой Ам-
пера Fa , действующей на линейный проводник в магнитном поле, си-
лой тока I в проводнике, длиной проводника I, значением магнитной
индукции поля В и углом а между направлением проводника (это на-
правление выбирается совпадающим с направлением тока в проводнике)
и направлением вектора магнитной индукции В :
FA=IlBsina.
Направление силы FA определяется по пра-
вилу левой руки, которое гласит: если располо-
жить кисть левой руки так, чтобы вектор
магнитной индукции поля входил в ладонь, а
четыре пальца руки были направлены по току,
то отогнутый под прямым углом большой па-
лец левой руки укажет направление силы Ампе-
ра (рис. 72).
Существует еще один способ установить физический смысл магнит-
ной индукции — с помощью закона Ампера. Из него значение магнит-
ной индукции определяется как отношение максимальной силы, дейст-
вующей на проводник с током, к произведению силы тока I в проводни-
ке на его длину I:
F
g __ max
и
Из этой формулы следует, что магнитная индукция является силовой
характеристикой магнитного поля, так как она численно равна силе,
действующей в магнитном поле на проводник единичной длины е еди-
ничной силой тока.
Пример 53. Прямой проводник длиной I = 20 см и массой т = 5 г под-
вешен горизонтально на двух легких нитях в однородном магнитном
поле, линии индукции которого направлены горизонтально и перпенди-
кулярно к проводнику (рис. 73). Какой силы ток необходимо пропустить
по проводнику, чтобы одна из нитей оборвалась? Значение магнитной
236
индукции 7?=0,05Тл, максимально допустимая нагрузка на каждую из
нитей подвеса Го=0,04 Н.
Дано:
т = 5 г, <_ ‘* * * * v * * * * х
/=20см, g, 5
5 = 0,05Тл, -п , п-
т г т
г0=0,04 н / .г-»,/. LL,
Проводник покоится. Из второго закона ф р
Ньютона следует, что 0 = IT + mg + FK. Про-
ецируя векторные компоненты уравнения на рис. 73
ось X, имеем 0 = 2T-mg-FA, откуда
Т - , где /гд - //£ sin у . Для разрыва одной из нитей сила на-
тяжения Г должна быть больше (или в предельном случае равна) макси-
мально допустимой силе Го, т. е. Г = + —- > Го. Таким образом,
2r0-Tng
Bl
. Подставляя численные значения, получаем 1> 3,1 А.
Если в однородном магнитном поле движется заряд q со скоростью
v , то на него со стороны поля действует сила Лоренца, значение кото-
рой следует из формулы
л_
Fn = <p5sin(5,5).
Для определения направления силы Лоренца справедливо правило
левой руки с одним уточнением: четыре пальца кисти левой руки
следует направлять по скорости положительного или против скоро-
сти отрицательного зарядов (рис. 74, а, б). Тогда большой палец, ото-
гнутый на угол 90° от остальных пальцев кисти левой руки, укажет
направление силы Лоренца, если при этом вектор В магнитного поля
входит в ладонь. Штриховыми линиями на рис. 74 указаны траекто-
237
рии движения зарядов (на рис. 74, а — для положительного заряда, на
рис. 74, б — для отрицательного).
а)
X X х _ х'
VF в '
Х’^Л. X Х1
Рис. 74
Пример 54. Электрон влетает в магнитное поле с индукцией В пер-
пендикулярно линиям индукции поля. Докажите, что траекторией элек-
трона является окружность. Определите радиус окружности. Чему равна
работа силы, действующей на электрон?
электрона в виде окружности радиуса R.
На электрон, движущийся в магнитном поле
перпендикулярно линиям индукции поля, дейст-
вует сила Лоренца Fq. Она направлена перпен-
дикулярно скорости частицы (рис. 75) и откло-
няет электрон в момент влета в поле вниз от
горизонтально направленного (для данного при-
мера) вектора скорости электрона.
В каждой следующей точке траектории сила
Лоренца будет направлена к центру кривизны
кривой, по которой движется электрон. Значение
силы Лоренца не меняется, меняется лишь ее
направление. Результатом явится траектория
Согласно второму закону Ньютона та = Ёл. В проекции на ось Y:
та„ = Рл, но ап=иг/к, поэтому mv2/R = Fn. С другой стороны,
F;I =|e|jjfisina, где a = (u, 5) = 90°. Окончательно, ------------= |е|ц5 и
mv
PF’
R =
238
Поскольку вектор Fn перпендикулярен Дг — вектору перемеще-
ния электрона в любой точке траектории, то работа силы Лоренца рав-
на нулю.
Рассмотрим площадку S, находящуюся в однородном
магнитном поле с индукцией В (рис. 76). Потоком Ф
вектора В через площадку S называется произведение
|в| на площадь S и на косинус угла а между направле-
нием В и нормалью п к площадке:
Рис. 76
А
Ф = В Scos(5, п).
Единицей измерения потока в СИ является вебер (Вб): [Ф] =
= [В] [Х] = Тл-м2 = Вб.
Явление электромагнитной индукции состоит в том, что при лю-
бом изменении магнитного потока через площадь, ограниченную конту-
ром проводника, в проводнике наводится ЭДС индукции $и и, если про-
водник замкнут, в нем протекает индукционный ток /и. Значение ЭДС
индукции определяется законом Фарадея-Максвелла (законом элек-
тромагнитной индукции):
ЭДС индукции прямо пропорциональна скорости изменения магнит-
ного потока. Знак «-» диктуется правилом Ленца, которое утверждает,
что при любом изменении магнитного потока через площадь, ограни-
ченную контуром проводника, в проводнике возникает индукционный
ток такого направления, чтобы собственным магнитным полем пре-
пятствовать любым изменениям магнитного потока, вызывающим
появление индукционного тока.
j =1 = _11£
и R R dt ’
где R — сопротивление контура.
239
В
X X X X X
Xi X ‘ X
X
п
Xj X X
В случае движения линейного проводника
длиной I со скоростью и в однородном магнит*
ном поле с индукцией В изменение магнитного
потока следует находить через площадь S, «про-
черченную» («заметенную») проводником при
его движении (рис. 77). При этом в проводнике
наводится ЭДС индукции, значение которой
определяется формулой
Рис. 77
|$и| = Bvlcos(B,n).
Здесь й — вектор нормали к плоскости движения проводника.
Пример 55. Металлический однородный стержень длиной /=0,Зм
приведен во вращение с угловой скоростью со=300 с-1 вокруг оси ОО',
проходящей через один из его концов (рис. 78). Вращение стержня осу-
ществляется в однородном магнитном поле в плоскости, перпендику-
лярной оси вращения. Линии магнитной индукции внешнего поля па-
раллельны оси вращения. Значение магнитной индукции 5 = 0,4Тл. Най-
дите разность потенциалов между концами стержня и полярность наве-
денной ЭДС.
<Р1-ф2— ?
Рис. 78
Дано:
/ = 0,Зм,
со= 300 с'1,
5 = 0,4Тл
При своем вращении за
время Дг стержень «заметает»
площадь затемненного сектора
(рис. 78). Согласно закону
электромагнитной индукции в
стержне наводится ЭДС ин-
ДФ
дукции $и =-------, причем
Д/
ДФ=ВД5, где Д5 — площадь «заметаемого» сектора. Из геометрических
, „ АС /2Дср _ .„j 5/2Дср
соображении легко наити, что До =——. Откуда |ви| = —, но
Дер )а> । 5/2со
со = —, и окончательно =--------.
& 1 1 2
cPi-cp2=|^| = ^ = 10,8B.
240
: Полярность наведенной ЭДС #и в
стержне устанавливается, в частности, с
помощью силы Лоренца, действующей на
условно выделенный в проводнике сво-
бодный электрон. В движущемся провод-
нике электрон перемещается вместе с про-
водником в направлении его скорости
(рис. 79). На электрон, согласно правилу
левой руки, действует сила Лоренца, направленная вдоль стержня к
оси вращения 00', куда электрон и отклоняется. Действие силы Ло-
ренца на электроны стержня приводит к тому, что конец стержня,
упирающийся в ось вращения, зарядится отрицательно. Противопо-
ложный конец стержня, где будет испытываться недостаток электро-
нов, зарядится положительно.
Пример 56. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией
5=0,2Тл находится плоский проводящий виток площадью 5= 10 см2 так,
что вектор В направлен под углом а =30° к плоскости витка (рис. 80).
Какой заряд протечет по витку, если значение В внешнего магнитного
поля будет уменьшаться до нуля? Сопротивление витка 7? = 1 Ом.
Дано:
В = 0,2Тл,
5 = 10 см2,
а=30°,
Я=10м
При исчезновении магнитного поля
в витке, согласно закону электромаг-
нитной индукции, наводится ЭДС ин-
дукции $я и течет индукционный ток
АФ g
'и=у- Поскольку
ДФ = Фкои- Фнач = -Ф> так как Фкои = °> а <*>„a4 = 5SC0SP, ГДС
Р = 90° - а, то |йи| = с другой стороны, %и=InR, следовательно,
q-?
, „ BS sin а _
IUR =-----------. Так как
AZ
(Az=z), откуда
по условию задачи $и = const, /и = const, то q = IKt
55sina 1П_4тг
q =------=10 Кл.
R
241
В общем случае при произвольном изменении потока АФ через пло-
Ф —Ф
щадь витка (контура) в витке протечет заряд q = ——-—. Если в
R
том же поле находится катушка (рамка) с N витками, то
Ф -Ф
_ у нач ^кон
R
Ток в замкнутом контуре создает магнитное поле (рис. 81). Магнит-
ный поток Ф, пронизывающий площадь контура (сцепленный с конту-
ром), линейно зависит от силы тока I в контуре:
Ф = Ы,
Ж где коэффициент пропорциональности L
носит название индуктивности контура.
Единицей измерения индуктивности в СИ
гп [ф] Тл г
_ является генри: [L] = = — = Гн.
Если сила электрического тока в контуре
меняется, то меняется и сцепленный с дан-
ным контуром магнитный поток. В контуре
индуцируется ЭДС. Это явление называется
Рис. 81 самоиндукцией. ЭДС самоиндукции $си и
сила тока самоиндукции /си пропорцио-
нальны скорости изменения основного тока в контуре:
%„=-£ — |Чи=-Ь— b Ли
at I Az I
R R dZ
Пример 57. Определите индуктивность соленоида, если известно,
что его длина /, площадь витка S, число витков N. Предполагается, что
длина соленоида много больше радиуса его витка R (l«R).
Предположим, что по виткам соленоида течет ток I. Тогда
2 1_ с учетом однородности магнитного поля внутри соленоида
L — ? значение магнитной индукции в нем определится как
5 = ц0/и, где n=N/l. Магнитный поток, пронизывающий
площадь одного витка, Ф0 = 55. Поскольку соленоид имеет N витков,
242
Рис. 82
полный магнитный поток в соленоиде равен <&=NBS=
= [JL0InNS = [jL0N2IS/1. С другой стороны, Ф = £7, откуда следует, что
jL — ————— '
I
Полученное выражение индуктивности соленоида является прибли-
женным. Оно тем точнее, чем больше отношение длины I соленоида к
диаметру D его витков. Точным это выражение является для «замкнуто-
го» соленоида, имеющего форму тора, т. е. соленоида, намотанного на
каркас в форме бублика.
Пример 58. Пластинка из железа находится в однородном магнитном
поле с магнитной индукцией 5] = 0,25Тл. Линии магнитной индукции со-
ставляют угол а=53° с поверхностью пластины. В пластине линии магнит-
ной индукции изменяют свое направление и отходят от поверхности под
углом Р = 3°. Определите магнитную индукцию В2 внутри пластины.
Дан°: Линии магнитной индук-
Bi = 0,25 Тл цИИ непрерывны, поэтому на
а = 53° границе раздела сред, обла-
Р = 3° дающих магнитными свойст-
~ ~ вами, линии преломляются.
2 ’ При этом густота линий будет
больше в среде, где значение
магнитной индукции выше. Число линий
магнитной индукции, пересекающих площад-
ки 5] и S2 одинаково (рис. 82). Так как маг-
нитный поток пропорционален числу линий
магнитной индукции, пересекающих площад-
ку, то потоки через площадки Si и S2 также
будут одинаковы: Ф] = Ф2.
Ф1 =5iSi =5iS since; <&2 = B2S2 = B2S sinp.
Или 5]5 sina=525 sinP, откуда следует
Лг=А!“2.3,8Тл.
sinp
Пример 59. В однородном магнитном по-
ле находится замкнутая катушка из сверхпро-
водника. Магнитный поток через катушку Ф = 0,40 мВб. После исчезно-
243
вения магнитного поля в катушке возник ток 7=20 А. Чему равна индук-
тивность катушки? Какова энергия магнитного поля, создаваемого то-
ком катушки?
Дано: Свойство контуров и катушек из сверхпроводников
Ф = 0,40мВб, состоит в том, что при любом изменении магнитной
7= 20 А индукции поля сквозь площадь, ограниченную контуром
? или витками катушки, а также при изменении названной
? площади магнитный поток, пронизывающий контур,
либо витки катушки, остается неизменным. В данном
примере, следовательно, после исчезновения магнитного поля магнит-
ный поток сквозь площадь, ограниченную витками катушки, останется
равным Ф = 0,40 мВб. Поэтому
Ф
L = — = 0,2 мкГн.
I
Энергию магнитного поля катушки определим по формуле
LI2 Ф1 л п
W = —— = = 4 мДж.
27. Магнитная индукция. Сила Ампера. Сила Лоренца
27.1. Рамка площадью 400 см2 помещена в однородное магнитное по-
ле с индукцией 0,1 Тл так, что нормаль к рамке перпендикулярна линиям
магнитной индукции. При какой силе тока в рамке на рамку будет дей-
ствовать вращающий момент 20 мН-м ?
27.2. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл находит-
ся квадратная рамка со стороной а = 2см и с силой тока в ней 7=0,1 А.
Вектор магнитной индукции перпендикулярен одной из сторон рамки и
составляет с нормалью к плоскости рамки угол а=п/6. Определите си-
лы, действующие на каждую сторону рамки. Укажите их направления.
Чему равен вращающий момент, действующий на рамку?
27.3. Определите магнитную индукцию поля, если максимальный
вращающий момент, действующий на рамку площадью 5=1 см2, равен
Л7тах=5-10"4Н-м при силе тока в рамке 7=1 А. На рамку намотано
N= 100 витков провода.
244
27.4. Проволочная рамка в виде треугольника, од- в
на из сторон которого вертикальна, находится в од-
нородном магнитном поле с индукцией В, вектор
которой направлен вертикально вниз (рис. 27.4). \
Площадь треугольника S, сила тока, протекающего по \ k
его контуру, равна I. Определите вращающий мо- \
мент, действующий на рамку. f
27.5, Прямой провод, по которому течет ток /=
= 10 А, находится в однородном магнитном поле с Рис. 27.4
индукцией 5 = 0,1 Тл. Угол между направлением тока
и направлением вектора магнитной индукции а = л/3. На проводник со
стороны магнитного поля действует сила F-1 Н. Определите направле-
ние силы и длину проводника.
27,6. Между полюсами электромагнита в однородном магнитном
поле с горизонтальным направлением линий магнитной индукции
подвешен прямолинейный проводник. Проводник расположен гори-
зонтально и перпендикулярно линиям магнитной индукции. Какой
силы ток должен течь в проводнике, чтобы сила натяжения в поддер-
живающих его гибких непроводящих проводах стала равной нулю?
Магнитная индукция 5 = 0,01 Тл, отношение массы проводника к его
длине т/1 = 0,1 кг/м.
27.7. Проводник массой т и длиной I подвешен на тон-
ких гибких жестких непроводящих нитях (рис. 27.7). При
пропускании по проводнику тока I проводник отклонился в
однородном магнитном поле, линии индукции которого
расположены вертикально, так, что нити образовали угол а
с вертикалью. Найдите значение магнитной индукции поля.
27.8. На горизонтальных рельсах, расстояние между ко-
торыми Z = 60 см, перпендикулярно им лежит стержень. Определите силу
тока, который необходимо пропустить по стержню, чтобы стержень
начал двигаться. Рельсы и стержень находятся в однородном магнитном
поле с индукцией 5 = 60мТл. Линии магнитной индукции поля направ-
лены вертикально. Масса стержня /и = 0,5 кг. Коэффициент трения о
рельсы ц = 0,10.
27.9. Две параллельные проводящие шины, лежащие в горизонталь-
ной плоскости, замкнуты с одной стороны на источник с ЭДС $= 10 В и
внутренним сопротивлением г= 0,10 Ом. На шинах лежит металличе-
ский стержень массой т = 10г. Шины находятся в однородном магнит-
245
ном поле. Определите минимальную магнитную индукцию Bmin, при
которой стержень начнет перемещаться по шинам. Расстояние между
шинами а = 0,1м, коэффициент трения стержня о шины ц = 0,6. Сопро-
тивлением шин и стержня пренебречь.
27.10. По двум длинным параллельным проводам, расстояние между
которыми d=5см, текут токи = 2 А и /2 = 8 А в одном направлении. В
какой точке магнитная индукция будет равна нулю?
27.11. Два бесконечно длинных провода с токами Ц и 12 располо-
жены перпендикулярно друг к другу. Кратчайшее расстояние между
проводами равно а. Определите значение и направление магнитной
индукции в точке, расположенной посередине кратчайшего отрезка
между проводами.
27.12. Определите силу взаимодействия, приходящуюся на единицу
длины двух бесконечно длинных параллельных проводников с токами Ц
и 12. Кратчайшее расстояние между проводниками равно а.
27.13. Какая сила действует на протон, движущийся со скоростью
у =106 м/с в магнитном поле с индукцией 5 = 0,2Тл перпендикулярно
линиям индукции?
27.14. В направлении, перпендикулярном линиям индукции, в маг-
нитное поле влетает электрон со скоростью v = 10бм/с. Найдите магнит-
ную индукцию поля, если электрон описал в поле окружность радиусом
/?=1см. Заряд электрона е = -1,6-10'19Кл, масса электрона те =
= 9,1-10~31кг.
27.15. В однородное магнитное поле с индукцией 5= 10 мТл перпен-
дикулярно линиям индукции влетает электрон с кинетической энергией
Ил=4,8-10-15 Дж. Каков радиус кривизны траектории движения электро-
на в поле? Заряд электрона г? = -1,6-10~19Кл, масса электрона
те = 9,1-10'31кг.
27.16. Протон и электрон движутся в однородном магнитном поле
перпендикулярно линиям индукции. Во сколько раз отличаются радиу-
сы окружностей, которые описывают частицы? Во сколько раз отлича-
ются их угловые скорости, если у частиц одинаковы: а) линейные скоро-
сти; б) энергии? Отношение заряда к массе для электрона е/те =
= 1,76-10нКл/кг, а для протона е/»гр = 9,58-107Кл/кг.
27.17. Электрон влетает в область однородного магнитного поля
перпендикулярно ее границе (рис. 27.17). Нарисуйте возможные виды
246
траектории электрона для различных значений, его скорости — от очень
малых до очень больших.
Рис. 27.17
Рис. 27.18
27.18. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией В
перпендикулярно границе поля. Определите время пребывания электро-
на в магнитном поле, если в направлении осей X и Y (рис. 27.18) поле
безгранично. Удельный заряд электрона е/те известен.
27.19. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией
5=1 мТл перпендикулярно линиям индукции под углом а = л/4 к грани-
це поля. Скорость электрона v = 107 м/с. В направлении осей X и У поле
безгранично (рис. 27.19). На каком расстоянии I от точки влета электрон
вылетит из поля? Отношение заряда к массе для электрона
е/те = 1.76-1011 Кл/кг.
27.20. Линии напряженности однородного электростатического поля
с напряженностью Е=100В/см перпендикулярны линиям индукции
однородного магнитного поля с индукцией В = 0,02 Тл. Электрон влетает
в эти поля перпендикулярно Е и В . При какой скорости электрон бу-
дет двигаться в электрическом и магнитном полях прямолинейно? Ука-
жите на рисунке направление скорости и.
27.21. Положительно заряженная частица влетает со а &
скоростью v =10б м/с перпендикулярно границе ОХ
двух однородных магнитных полей, индукции которых ____, _____1
5] =2Тл и В2=8Тл (рис. 27.21). Векторы магнитной ин- О q X
дукции полей параллельны друг другу и перпендику- ^2
лярны вектору скорости частицы v . Определите сред- Рис. 27.21
нюю скорость (ух} смещения частицы вдоль оси ОХ.
27.22. Незаряженный металлический цилиндр с радиусом основа-
ния R вращается в однородном магнитном поле с угловой скоростью со
247
вокруг своей оси. Вектор магнитной индукции В направлен вдоль оси
вращения. Значение В известно. Найдите напряженность электрическо-
го поля в цилиндре в точке на произвольном расстоянии г от его оси.
21.23. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией В
так, что его скорость v0 образует угол а с направлением вектора маг-
нитной индукции. Определите радиус R и шаг h винтовой линии, по
которой будет двигаться электрон. Масса электрона те, заряд е.
27.24 . Электрон влетает в однородное
магнитное поле (рис. 27.24). В точке А он
а £_________________________«_имеет скорость и. Направление вектора
д С скорости составляет угол а с направлением
Рис 27 24 вектора магнитной индукции. При каком
значении магнитной индукции электрон
окажется в точке С? Удельный заряд электрона е/те, расстояние АС=1.
27.25 . Опишите движение электрона в электрическом и магнитном
полях, линии напряженности и индукции которых параллельны. На-
чальная скорость электрона направлена под некоторым углом к направ-
лению Е и В.
Рис. 27.26
27.26 . Определите, какую максимальную
скорость разовьет заряженное тело, скользя-
щее по наклонной плоскости в однородном
магнитном поле с магнитной индукцией В и в
поле сил тяжести (рис. 27.26). Масса и заряд
тела соответственно равны т и q (q > 0). Линии
магнитной индукции параллельны наклонной
плоскости и перпендикулярны вектору скорости тела, угол наклона
плоскости к горизонту равен а, коэффициент трения тела о плоскость
равен ц.
28. Закон электромагнитной индукции
28.1. Вдоль оси вертикально стоящей катушки падает полосовой маг-
нит. С одинаковым ли ускорением будет он падать при замкнутой и
разомкнутой обмотке катушки? ?
248
28.2. Будет ли возникать индукционный ток в проводящей рамке,
плоскость которой перпендикулярна линиям магнитной индукции, и
каково его направление в следующих случаях: 1) стороны рамки мо-
гут, деформироваться так, что площадь рамки S с течением времени:
а) уменьшается, б) увеличивается; 2) значение магнитной индукции В:
а) увеличивается, б) уменьшается; 3) площадь рамки и величина маг-
нитной индукции не изменяются, а рамка перемещается параллельно
самой себе в направлении, перпендикулярном линиям магнитной
индукции?
28.3. В поле прямого бесконечного тока находится прямоугольная
рамка в одной плоскости с током. Будет ли возникать индукционный
ток в рамке, и каково его направление в следующих случаях: 1) рамка
движется параллельно самой себе в направлении, перпендикулярном
проводу: а) от провода, б) к проводу; 2) рамка движется параллельно
проводу?
28.4. Линии индукции однородного магнитного поля перпендику-
лярны к плоскости медного кольца (р= 1,75-10~8Ом-м), имеющего диа-
метр О = 20 см и толщину d= 2 мм. С какой скоростью должна изменять-
ся во времени магнитная индукция В, чтобы сила индукционного тока I
в кольце равнялась бы 10 А ?
28.5. В магнитном поле расположена квадратная проволочная рамка
со стороной а - 0,2 м и сопротивлением R = 0,3 Ом. Какой величины сила
действует на каждую сторону рамки в момент времени /=2с, если век-
тор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки и изме-
няется по закону 5=5О+ЛГ, где А = 10'2 Тл/с, Во= 10"2 Тл ?
28.6. Квадратная рамка, имеющая N= 10 витков, находится в од-
нородном магнитном поле. Вектор магнитной индукции В перпен-
дикулярен плоскости рамки. За время Дг=0,1с магнитная индукция
равномерно увеличилась на ДВ = 0,01Тл. Определите: 1) силу тока,
индуцированного в рамке; 2) количество теплоты, выделившееся в
рамке за это время. Сопротивление рамки R = Ю"3Ом, сторона рамки
а = 5см.
28.7. Из двух одинаковых проводников изготовлены два контура:
квадратный и в виде кольца. Оба контура помещены в одной гори-
зонтальной плоскости в однородное, равномерно изменяющееся во
времени магнитное поле. Линии магнитной индукции поля направле-
ны вертикально. В кольцевом контуре индуцируется постоянный ток
/, = 4 А. Найдите силу тока 12 в квадратном контуре.
249
Рис. 28.8
28.8. Проводящий контур площадью 5=
=400 см2, в который включен конденсатор емко-
стью С=10мкФ, расположен в однородном маг-
нитном поле перпендикулярно линиям индукции
(рис. 28.8). Магнитная индукция возрастает по
закону: В=(2+5г)Ю~2Тл, где t — время в секун-
дах. Определите энергию электрического поля
конденсатора. Укажите, какая обкладка конденса-
тора заряжается положительно.
28.9, В магнитном поле расположена катушка,
содержащая N витков, причем вектор магнитной
индукции составляет с плоскостью витков угол а.
Определите ЭДС индукции в катушке, если маг-
нитная индукция изменяется со временем, как
показано на рис. 28.9. Постройте график зависи-
мости ЭДС от времени: $=/(г). Площадь попе-
речного сечения катушки S.
28.10. Проволочный виток радиусом г=0,1 м
находится в однородном магнитном поле с индукцией 2? = 0,2Тл.
Вектор магнитной индукции составляет с плоскостью витков угол
а = 60°. Какой заряд протечет по витку, если поле исчезнет? Площадь
поперечного сечения проволоки S= 10-6 м2, удельное сопротивление
р = 210~8 Ом-м.
28.11. Рамка из N= 1000 витков, площадь каждого 5=5 см2, замкнута
на гальванометр с сопротивлением R= 10 кОм и помещена в однородное
магнитное поле с индукцией В = 10 мТл, причем линии магнитной ин-
дукции перпендикулярны к ее плоскости. Какой заряд q протечет по
цепи гальванометра, если направление линий магнитной индукции маг-
нитного поля изменить на обратное?
28.12. Проволочное кольцо радиусом г =0,1 м лежит на столе. Какой
заряд q протечет по кольцу, если его перевернуть с одной стороны на
другую? Сопротивление кольца R=1 Ом. Вертикальная составляющая
магнитного поля Земли В = 0,5-КГ4 Тл.
28.13. При появлении однородного магнитного поля, линии магнит-
ной индукции которого перпендикулярны плоскости кругового витка,
по витку прошел заряд q. Какой заряд qt протечет по витку, если виток в
том же магнитном поле перевить «восьмеркой», состоящей из двух
250
одинаковых окружностей (рис. 28.13)? Плос-
кость «восьмерки» также перпендикулярна ли-
ниям магнитной индукции.
28.14. Виток площадью S=50 см2, находя-
щийся в изменяющемся однородном магнитном
поле, замкнут на конденсатор емкостью С=
= 20 мкФ. Вектор магнитной индукции В пер-
пендикулярен плоскости витка. Определите
скорость изменения магнитной индукции поля,
если заряд конденсатора q= 10'9Кл.
28,15. Реактивный самолет летит горизонтально со скоростью
v = 900 км/ч. Определите разность потенциалов между концами его
крыльев, если вертикальная составляющая магнитного поля Земли
2? = 50мкТл, размах крыльев самолета /=24м. Можно ли на самолете
измерить эту разность потенциалов?
28.16. Металлический стержень А В и провода,
по которым он скользит, находятся в однородном
магнитном поле, вектор магнитной индукции В
которого перпендикулярен плоскости чертежа
(рис. 28.16). Расстояние между проводами равно
а, скорость стержня равна V, сопротивление цепи
R. Найдите силу тока, индуцированного в цепи
(пренебрегая магнитным полем этого тока).
28.17, Проводящая перемычка АВ длиной 1 =
= 0,1 м может без трения скользить в горизон-
тальной плоскости по проводящим рельсам,
замкнутым через резистор сопротивлением
/?=5Ом (рис. 28.17). Движение перемычки осу-
ществляется в однородном магнитном поле с
индукцией 5 = 0,1 Тл. Линии магнитной индук-
ции поля направлены вертикально. Какую силу
необходимо приложить к перемычке, чтобы рав-
номерно перемещать ее со скоростью v= 10м/с
В
х х д х х
' X
ах
, х
х х В х х
Рис. 28.16
вдоль рельсов? Сопротивлением перемычки и
рельсов пренебречь.
28.18. Прямоугольная проволочная рамка со сторонами а и 2а и пе-
ремычкой, расположенной посередине, находится в однородном маг-
251
Рис. 28.18
нитном поле, вектор магнитной индукции В которого
перпендикулярен плоскости рамки (рис. 28.18). Значе-
ние магнитной индукции изменяется Йо закону B=kt.
Сопротивление проволоки длиной а равно R. Опреде-
лите показания амперметров.
28.19. В однородном магнитном поле с индукцией
В=0,1Тл находится квадратная рамка со стороной
а = 2см. Вектор магнитной индукции В перпендикуля-
рен плоскости рамки. Какой силы ток пройдет по рамке,.
если ее выдвигать из магнитного поля со скоростью
о=1 м/с. При движении плоскость рамки остается перпендикулярной
линиям магнитной индукции. Поле имеет резко очерченную границу, и
две стороны рамки параллельны этой границе. Сопротивление рамки
7?= 1 Ом.
28.20. Прямоугольная рамка из проводника сопротивлением R, дви-
гаясь поступательно с постоянной скоростью V, пересекает область од-
нородного магнитного поля (рис. 28.20). Вектор магнитной индукции В
перпендикулярен плоскости рамки. Размеры рамки а*Ь. Протяженность
области магнитного поля с. Определите магнитную индукцию В, если в
рамке за время пролета в поле выделилось количество теплоты Q.
28.21. Металлический брусок, размеры которого axfexc (b«a,c),
движется со скоростью v в магнитном поле с магнитной индукцией В
(рис. 28.21). Определите поверхностную плотность зарядов на боковых
гранях бруска и разность потенциалов между ними.
28.22. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией
/?=0,05Тл по вертикально расположенным шинам, замкнутым пере-
мычкой сопротивлением R = 1,0 Ом, свободно скользит без нарушения
контакта проводник длиной I = 50 см и массой т = 1 г. Линии магнитной
252
индукции поля горизонтальны. Определите установившуюся скорость
проводника. Сопротивлением шин и проводника пренебречь.
28.23. На двух горизонтальных рельсах, расстояние между которыми
1= 1,0м, лежит проводник сопротивлением R= 1,0 Ом, массой т=0,5 кг.
Коэффициент трения между проводником и рельсами Ц=0,1. Вся систе-
ма находится в однородном магнитном поле с вертикальным направле-
нием векторов индукции. Значение магнитной индукций поля 5=0,1 Тл.
Рельсы подключают к источнику тока с ЭДС £=10 В. Пренебрегая
внутренним сопротивлением источника и сопротивлением рельсов, оп-
ределите установившуюся скорость движения проводника.
28.24. В однородном магнитном поле с индукци-
ей 5 = 0,6Тл по вертикально расположенным рель-
сам, замкнутым на источник тока с ЭДС £= 1В
скользит без трения и без нарушения контакта неве-
сомая перемычка длиной /=10см (рис. 28.24). Век-
торы магнитной индукции поля горизонтальны.
Скорость движения перемычки v = 10 м/с, сопро-
тивление перемычки 5=5 Ом. Определите величину
и направление силы, необходимой для осуществле-
ния такого движения. Внутренним сопротивлением
сопротивлением рельсов пренебречь.
Рис. 28.24
источника тока и
28.25. В однородном магнитном поле с магнитной индукцией
5=10-3Тл начинает падать проводник длиной 1=0,1 м и массой
?т1=0,1кг, скользящий без трения и без нарушения контакта по верти-
кально расположенным шинам, замкнутым внизу резистором сопротив-
лением 5, =0,5 Ом. Параллельно резистору подключен конденсатор
емкостью С=400 пФ. Определите максимальную энергию электрическо-
го поля, запасенную в конденсаторе. Сопротивлением шнн пренебречь.
Линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости, в которой
лежат шины.
28.26. Металлический диск радиусом го=О,2м привели во вращение
вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его
центр, с угловой скоростью (D=100c-1. Диск находится в однородном
магнитном поле с магнитной индукцией 5=0,2Тл. Вектор магнитной
индукции В перпендикулярен плоскости диска. Найдите разность по-
тенциалов между центром и краем диска. Чему равна разность потен-
циалов между центром и точкой, расположенной посередине расстояния
253
от центра диска до края? Как изменятся ответы, если линии магнитной
индукции будут направлены под углом а=30° к плоскости диска?
Рис. 28.28
28.27. В однородное магнитное поле с
магнитной индукцией 5=2,0Тл помещено
горизонтальное металлическое кольцо ра-
диусом г=5,0 см. Ось кольца 00' совпадает
с направлением линий магнитной индукции.
Между центром кольца и его ободом под-
ключен источник ЭДС <f= 1 В. Вокруг оси
00' вращается стержень так, что один его
конец упирается в ось, а второй скользит по
кольцу (рис. 28.27). Определите установив-
шуюся угловую скорость вращения стержня.
28.28. Контур, ограничивающий полу-
круг радиусом г=0,1м, находится на гра-
нице однородного магнитного поля с ин-
дукцией 5 = 0,1Тл (рис. 28.28). Контур на-
чинает вращаться с постоянной угловой
скоростью <о= 100с1 вокруг оси ОО', пер-
пендикулярной плоскости рисунка. Сопро-
тивление контура R = 0,314 Ом. Найдите
количество теплоты, выделившееся в кон-
туре за один оборот.
28.29. ДЬе плоскости, пересекающиеся под углом а=60°, делят про-
странство на четыре области (рис. 28.29). Магнитное поле в каждой
области однородно. В областях 1 и 3 линии магнитной индукции парал-
254
лельны плоскости симметрии АА'. Магнитная индукция в области 7 —
В1=0,2Тл, в области 2 — 52=0,5Тл. Определите магнитную индукцию
в областях 3 и 4.
29. Явление самоиндукции. Индуктивность.
Энергия магнитного поля
29.1. В цепь источника ЭДС параллельно
включены резистор и катушка индуктивности
(рис. 29.1). Как будут изменяться показания
гальванометров сразу после: 1) замыкания
ключа К; 2) размыкания ключа К ?
29.2. Индуктивность рамки £=40мГн. Чему
равна ЭДС самоиндукции, наведенная в рамке,
если за время Az=0,0 Ге сила тока в рамке уве-
личилась на Д7=0,2А? На сколько при этом
изменился магнитный поток, пронизывающий площадь рамки?
29.3. Определите индуктивность катушки, в которой при линейном
изменении силы тока от 7, = 5 А до 72 = Ю А за время Az=0,1 с наводится
ЭДС самоиндукции #си= 10 В.
29.4. Определите индуктивность цепи, если при изменении силы тока
по закону 7=l-0,2z в цепи наводится ЭДС самоиндукции 8СИ=
=2,010"2В.
29.5. К источнику тока с ЭДС <?=ЗВ после-
довательно через ключ К включена катушка
индуктивности Д=0,5Гн (рис. 29.5). Через какое
время после замыкания ключа К сила тока в
катушке достигнет значения I=24А? Сопро-
тивлением источника и катушки пренебречь.
29.6. Кольцо из сверхпроводника помещено
в однородное магнитное поле, магнитная индукция которого изменяется
во времени по закону B=kt(k — постоянный коэффициент). Чему будет
равен результирующий поток магнитной индукции, пронизывающий
плоскость кольца в любой момент времени? Определите силу тока 7,
индуцируемого в кольце, если радиус кольца R, а индуктивность L.
Плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитной индукции.
255
29.7. Сверхпроводящее кольцо, по которому течет ток, деформируют
так, что площадь, ограниченная кольцом, увеличивается. Как изменяется
сила тока в кольце и магнитная индукция в центре кольца?
29.8. Сверхпроводящее кольцо, в котором существует электрический
ток, изгибают в две окружности в виде восьмерки и затем складывают
вдвое. Как изменяется сила тока в кольце и магнитная индукция в цен-
тре вновь образованного кольца?
29.9. По длинному соленоиду, индуктивность которого L=0,40 мГн, а
площадь поперечного сечения S= 10 см2, течет ток 7=0,5 А. Определите
магнитную индукцию внутри соленоида, если он имеет N-100 витков.
29.10. Соленоид имеет #=1000 витков провода на длине 7=0,5 м.
Площадь поперечного сечения соленоида S=50 см2. Определите маг-
нитный поток внутри соленоида и энергию магнитного поля, если сила
тока в соленоиде 7= 10 А.
29.11. При изменении силы тока в соленоиде от 7j = 2,5A до
72=14,5А магнитный поток сквозь один виток увеличился на
ДФ = 2,4мВб. Соленоид имеет #=800 витков. Чему равна ЭДС самоин-
дукции, наведенная при этом в соленоиде, если изменение силы тока
происходит за время Дг=0,15 с ? Определите индуктивность соленоида и
изменение энергии магнитного поля в нем.
- 29.12. Какой минимальной скоростью
• _ должен обладать сверхпроводящий тонкий
х и [— —। стержень сечением S, длиной I и массой т,
-—» чтобы влететь в продольное магнитное
поле с индукцией В (рис. 29.12)?
Рис. 29.12 29.13. На катушке с сопротивлением
7?=8,2 Ом и индуктивностью L=25 мГн поддерживается постоянное
напряжение 77=55 В. Определите энергию магнитного поля. Какое ко-
личество теплоты выделится на катушке при размыкании цепи? Чему
равна ЭДС самоиндукции, наведенная в катушке, если процесс размы-
кания цепи до установления минимальной силы тока длится Дг = 12 мс ?
29.14. В катушке, содержащей #=400 витков, намотанных на кар-
тонный цилиндр радиусом г=2,0 см и длиной 1=0,4 м, сила тока изменя-
ется во времени по закону 7=0,2 Т- Определите ЭДС самоиндукции и
энергию магнитного поля в конце десятой секунды.
256
29.15. Конденсатор емкостью С зарядили до напряжения Uo и соеди-
нили с катушкой индуктивностью L, обладающей некоторым сопротив-
лением. В определенный момент времени, когда суммарное количество
теплоты, выделившееся в катушке, равнялось Q, напряжение на конден-
саторе было равно U. Какой силы ток в этот момент времени протекал
по виткам катушки?
29.16. Катушка индуктивностью L=0,30 Гн, намотанная толстым
медным проводом, соединена параллельно с резистором сопротивлени-
ем R и подключена к источнику тока с ЭДС $=4,0 В. Внутреннее сопро-
тивление источника г=2,0 Ом. Какое количество теплоты выделится в
цепи после отключения источника тока?
29.17. Цепь состоит из источника тока с ЭДС $= 10 В с очень малым
внутренним сопротивлением и последовательно соединенных резистора
сопротивлением /?=Ю0м и катушки индуктивностью L=0,01 Гн
(рис. 29.17). Определите: 1) скорость возрастания силы тока в началь-
ный момент сразу после замыкания ключа К; 2) скорость возрастания
силы тока в момент, когда сила тока достигла значения 1=0,3 А.
29.18. В цепи имеется участок с последовательно соединенными ка-
тушкой индуктивностью L=0,01 Гн и резистором сопротивлением
R=0,1 Ом (рис. 29.18). Сила тока на участке цепи меняется во времени
по закону I=2t. Найдите закон изменения разности потенциалов на
концах этого участка с течением времени. Определите силу тока в мо-
мент, когда <р j—<р2=0,1 В.
Рис. 29.19
Рис. 29.20
257
29.19. В цепи, представленной на рис. 29.19, £( =0,02 Гн, £2=0,01 Гн.
Силы токов 7, и 12 изменяются во времени по законам: ?i=0,20+10/ и
72=О,1О+10/. Найдите сопротивление R.
29.20. Цепь состоит из источника тока с ЭДС 80 и последовательно
соединенных реостата сопротивлением 7?0= 1,0 Ом и катушки индуктив-
ностью £= 1 Гн (рис. 29.20). В цепи протекал постоянный ток 70. С неко-
торого момента времени сопротивление реостата меняется так, что сила
тока уменьшается со временем по закону 7=7О(1 -//т), где т=0,5 с. Вы-
числите сопротивление цепи спустя время /=т/2 после начала измене-
ния силы тока.
Л L С 29.21. В цепи с источником переменной ЭДС
_। |_гуул_| |_ последовательно включены резистор сопротивле-
*/ нием 7?=200 Ом, катушка индуктивностью £=
'------о~-о—-----' =0,01 Гн и конденсатор емкостью С=10~9Ф
е (рис. 29.21). В момент, когда полярность внешней
Рис 29.21 ЭДС соответствует направлению тока, указанного
на рисунке, а ее мгновенное значение 8=50 В,
мгновенное значение силы тока в цепи 7=0,1 А, причем сила тока воз-
растала с постоянной скоростью Д7/Дг=400А/с. Каким был в этот мо-
мент заряд конденсатора?
258
ХП. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Механические колебания и волны
Механическими колебаниями называют движения тел около неко-
торого положения равновесия, повторяющиеся точно или приблизи-
тельно через одинаковые промежутки времени.
Различают свободные, затухающие и вынужденные колебания.
Свободными называются такие колебания, которые имеют место в
системе тел, не подвергающейся внешним воздействиям. Свободные
колебания осуществляются под действием внутренних упругих сил,
направление которых противоположно смещению тел относительно
положения равновесия.
Затухающие колебания возникают в системах тел, на которые со
стороны внешних тел действуют силы трения (сопротивления), препят-
ствующие движению тел.
Колебания, возникающие под действием периодических внешних
сил, называются вынужденными.
В настоящем пособии мы ограничимся рассмотрением свободных
гармонических колебаний.
Свободным гармоническим называется такое колебание, при кото-
ром смещение тела относительно положения равновесия изменяется по
закону синуса или косинуса:
х = хт sin (ох + а0) или х = хт cos(cnr + a0),
где х — смещение тела от положения равновесия; хт — амплитуда коле-
баний, т. е. максимальное смещение тела относительно положения рав-
новесия; t — время; (о — циклическая частота, равная числу полных
колебаний за 2л секунд; (ог+Oq — фаза колебаний; Oq — начальная фаза
(значение фазы при г=0).
Найдем скорость и ускорение тела, совершающего гармонические
колебания:
х = xm sin(mr + a0); (1)
dx
vx = — = xm(ocos((or + a0)=xm(osin((or + a0 + л/2);
dr
ax
dnx _ d2x
dr dr2
= —xm<o2 sin (oh + a0 )=
xm<o2 sin((or + a0 + л).
259
Если тело совершает гармонические колебания, то скорость и уско-
рение тела также меняются по гармоническому закону с той же цикли-
ческой частотой, что и смещение, но со сдвигом по фазе.
Амплитудное значение скорости
»m = V°-
По фазе скорость опережает смещение на л/2. Следовательно, при
х=±хт и = 0, априх=0 |и| = шах. Ускорение изменяется в противофазе
по отношению к смещению, т. е. при х>0 ах>0 и наоборот. Вектор
ускорения всегда направлен в сторону положения равновесия. При этом
выражение для ускорения имеет вид
d2x 2
ах =—- = ~шх.
dr2
Это соотношение является необходимым и достаточным для описа-
ния гармонических колебаний. Это означает, что если тело, движущееся
под действием приложенных сил, приобретает, в частности, ускорение
с
ах =---х , где с=const (с>0), то тело будет совершать гармонические
т
колебания с циклической частотой (0 = Jc/m . *•
х л 7
Рис. 83
Период колебаний Т — это минималь-
ное время, по истечение которого состоя-
ние колеблющегося тела, т. е. его смеще-
ние, величина и направление скорости,
полностью повторяются. Следовательно,
x(t+T)=x(t).
Это выражение справедливо для любого
момента времени. После подстановки в
данное уравнение уравнения (1) имеем
xm sin [co(f + Т)+ а0 ]= xm sin(wt+а0).
Так как фаза за время Т изменяется на 2л, то
2л 1
<o(t + Т) + Oq = (nt + а0 + 2л. Отсюда <о = — = 2лу , где v = — — частота
колебаний, т. е. число полных колебаний за 1 с. График
гармонических колебаний представлен на рис. 83.
260
Рассмотрим движение пружинного маят-
ника: тела массой т, укрепленного на конце
невесомой пружины (рис. 84). Найдем период
колебания этого физического маятника. Пред-
положим, что сил трения нет. Выберем на-
правление оси X совпадающим с направлени-
ем колебания тела на пружине. Начало коор-
динат совместим с положением равновесия
системы. Выведем систему из положения рав-
новесия, растянув пружину на длину х, и пре-
доставим систему самой себе.
Второй закон Ньютона, записанный в проекции на ось X: тах=-кх,
k 2
приводит к выражению для ускорения ах --х, а так как ах=-чо х, то
т
co = , а, следовательно, период колебаний Т = .
Математическим маятником называется материальная точка,
подвешенная на нерастяжимой невесомой нити и совершающая малые
колебания около положения равновесия (угол отклонения нити от вер-
тикали не превышает 8°).
Рассмотрим колебания математического
маятника (рис. 85). Смещение 5 тела от поло-
жения равновесия равно дуге ОА (будем счи-
тать смещение тела влево положительным). В
проекции на ось X, касательную к дуге ОА в
точке А, второй закон Ньютона запишется в
виде maT=-mg sina~-mga, где v.=S/l (здесь
I — длина нити маятника). Поэтому
ax=-gS/l, т. е. тело будет совершать коле-
бания по гармоническому закону с цикличе-
ской частотой (о = -^g/l. Период колебаний
математического маятника Т = In-jl/g .
Рис. 85
При гармонических колебаниях в отсутствии трения выполняется за-
кон сохранения механической энергии, т. е. происходит периодическое
превращение потенциальной энергии системы в кинетическую и наобо-
рот, причем IVK + Wn=const:
261
_ fcx2 _ kx^ cos2tor _ ото2 _ m( dx V _ отй)2х2 sin2d>r
” F” 2 ’ 11 2 2\d7j 2 ?
tt тг, II7 kxi. cos2(Of
Полная механическая энергия И,= И'К+И'П=— <— +
n(i)2xl sin2tar „ к 2 к*™ ти1™
----2-------. Поскольку — = (о ,& vxm= wxm, то W = —= —— =
2 от 2 2
= const. Полная механическая энергия равна максимальному значению
потенциальной или кинетической энергии.
Упругой волной называется процесс распространения механических
колебаний в упругой среде. Волны называются поперечными, если час-
тицы среды совершают колебания в направлении, перпендикулярном
направлению распространения волны, и продольными, если частицы
среды колеблются в направлении распространения волны. Распростра-
нение волны происходит с определенной скоростью v.
Рис. 86
Рассмотрим бесконечно длинный шнур, левый конец которого (х=0)
начинает совершать гармонические колебания у=ym sinter (рис. 86). Ко-
лебательное движение постепенно распространяется вдоль всего шнура.
В частности, точки в сечении М шнура на расстоянии х от начала шнура
начнут совершать колебания через время т=х/о. Если нет затухания, то
можно считать, что амплитуда колебаний не будет изменяться и точки в
сечении М будут совершать колебания по тому же закону, но с опозда-
нием на т: y = ymsin
. (2лг 2лхЛ _
= ут sinJ —--— . Произведение Tv
есть расстояние, пройденное волной за время, равное одному периоду.
Оно называется длиной волны X: X = vT = v/v. Длина волны — это
кратчайшее расстояние между точками волны, колеблющимися в одина-
ковой фазе.
262
Геометрическое место точек, до которых в пространстве в данный
момент времени доходит процесс колебания, называется фронтом
волны. Если фронт волны является плоскостью, то волна называется
плоской.
Распространение волн всегда сопровождается распространением
энергии.
Упругие волны с частотой примерно от 20 Гц до 20000 Гц улавлива-
ются человеческим ухом и называются звуковыми волнами.
При переходе из одной среды в другую изменяется скорость v и дли-
на волны X, а частота колебаний v не изменяется: v=u/X=const.
Пример 60. Шарик массой т = 200 г совершает гармонические коле-
бания с амплитудой хт = 5см и периодом 7= 4 с на упругой пружине.
Напишите уравнение колебаний x=f(i). Определите координату шарика
в начальный момент времени и через г = 2 с от начала движения. Опреде-
лите максимальное ускорение и максимальное значение упругой силы,
действующей на шарик. Найдите жесткость к пружины.
Дано:
т = 200 г,
хт = 5см,
7= 4 с,
г=2 с
х(г) —?
х0,х,—?
ахтах ?
F —?
* хтах
к — ?
Уравнение колебаний в общем виде записывается как
x=xmcostot, где со = 2л/7=л/2. С учетом, что хт = 5-10~2м,
имеем х = 5• 10'2cos( лг/2). При г=0 х0 = 5 • 10'2cos0 = 5 10-2 м.
При t=2c x/ = 5-10-2cos(n-2/2) = -540'2M. Найдем ско-
dx
рость и ускорение шарика: vx = — = -toxmsin(ot =
dt
= ---540’2sin(nt/2)=-7,840~2sin(nt/2), ax = ^ =
2 dt
= -w2xm coswt = -5-IO"2 cos(ra/2)= -0,12cos(Ttt/2).
Максимальное значение ускорения имеет место при cosa = ±l:
|axmax|= ОД2 м/с2. Максимальное значение действующей на шарик силы
находим из уравнения Fxmax =тахтах, Fxmax = 2,4 10~2Н. Для нахож-
1 , - к 2
дения жесткости пружины к воспользуемся формулой — = ю, откуда
лг
£=wen2 = 0,5 Н/м.
263
Пример 61. Математический маятник длины I совершает колебания
вблизи вертикальной стенки. Под точкой подвеса маятника на расстоя-
нии а=1/2 от нее в стенку вбит гвоздь (рис. 87). Найдите период коле-
баний маятника.
Рис. 87
Дано:
1,а=Ц2
Т— ?
Для того, чтобы совершить одно
полное колебание, время которого рав-
но периоду Т, маятнику необходимо
7\/2с двигаться, обладая длиной I и
Т2/2с — обладая длиной l-а. Здесь
Д = 2 л — , а Т2 = 2 л -------. Но
vg V g
Пример 62. Волна с частотой у = 5Гц распространяется в простран-
стве со скоростью v = 3 м/с. Найдите разность фаз между двумя точками
волны, отстоящими друг от друга на расстояние /=0,2м. Точки лежат
вдоль оси распространения волны.
Дано: Разность фаз между двумя точками волны, отстоящими
v = 5 Гц, друр от друга на расстояние X, равна 2л. Составляя пропор-
v-Зм/с, 2л Дф хл
/=0 2м цию — = —наидем> чт0 разность фаз Дф между двумя
Дф ? точками, разделенными расстоянием I, определяется как
. 2л/ . . _ , . 2nlv _.
Дф = ——, где X=v/v. Таким образом, Дф =----= 2,1 рад.
X v
30. Механические колебания и волны
30.1. Напишите уравнение гармонического колебательного движе-
ния, амплитуда которого хт=5 см, если за время т = 1 мин совершается
^=120 колебаний. Начальная фаза колебаний равна нулю. Начертите
график этого движения.
264
30.2. Амплитуда гармонических колебаний хт=50 мм, период Т=4 с.
Нач!альная фаза равна л/4. Напишите уравнение колебательного процес-
са. Найдите смещение колеблющейся точки от положения равновесия
при г, = 0 и /2=1,5с. Начертите график колебательного процесса. Чему
равна скорость точки в моменты времени г3 = 2 с, t4 = 3 с ?
30.3, Материальная точка совершает гармонические колебания по за-
кону: х= l,2cos[n(2r/3+1/4)] (м). Определите амплитуду, циклическую
частоту, период и начальную фазу колебаний. Найдите амплитуды ско-
рости и ускорения.
30.4. Через сколько времени от начала движения точка, совершаю-
щая гармоническое колебание, сместится от положения равновесия на
половину амплитуды? Период колебания Т= 24 с, начальная фаза коле-
бания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет
равна половине ее максимальной скорости?
30.5. Точка В равномерно движется по окруж-
ности радиусом R со скоростью v (рис. 30.5) так, /
что радиус-вектор точки вращается с некоторой / АХсх )
угловой скоростью. Запишите, как меняются со I <у j >х
временем проекции радиуса-вектора, скорости и ч /
ускорения точки на ось X. Рассмотрите два слу-
чая: 1) в момент начала движения х=0; 2) в мо- Рис 30 5
мент начала движения х-R.
30.6. Маленький шарик массой /и = 5г укреплен на конце легкой
пружины, лежащей на гладком горизонтальном столе. Второй конец
пружины зафиксирован. Смещение шарика от положения равновесия
меняется по закону х=0,5 sin(ra/4) (м). Определите жесткость пружины
и максимальное значение упругой силы, действующей на шарик. Чему
равны максимальные значения кинетической и потенциальной энергий
шарика? Чему равна полная механическая энергия шарика? Постройте
один под другим графики зависимостей кинетической энергии от време-
ни, потенциальной энергии от времени, полной механической энергии
от времени. Чему равны период и частота колебаний кинетической и
потенциальной энергий?
30.7. Шарик массой 0,020 кг, закрепленный на невесомой пружинке,
колеблется с периодом 2 с. В начальный момент времени шарик обладал
энергией 0,01 Дж и находился от положения равновесия на расстоянии
265
16 см. Напишите уравнение гармонического колебания шарика х=/(г) и
выражение для зависимости силы упругости от времени = f(t).
30.8. Небольшой шарик на нерастяжимой нити длиной Z = 1 м (мате-
матический маятник) выведен из положения равновесия резким ударом.
Маятник начал колебаться с угловой амплитудой <ро=0,1рад. Какой
путь прошел шарик за время от tt = ЗТ/4 &ot2 = Tпосле начала движения?
Чему равна средняя скорость шарика на этом интервале? На сколько
изменилась за это время фаза колебания?
30.9. Один из математических маятников за некоторое время совер-
шил Hj = 10 колебаний, а другой за это же время — л2 = 6 колебаний.
Разность длин маятников Д/- 16 см. Найдите длины маятников.
30.10, Математический маятник и шарик, упруго подскакивающий на
полу, совершают колебания. Каково должно быть отношение длины
маятника I к высоте подскока шарика Н, чтобы периоды колебаний были
одинаковы?
30.11. Определите период малых колебаний Т математического ма-
ятника, подвешенного к потолку лифта, движущегося с ускорением
а = 3,2 м/с2, направленным вертикально вверх. В равномерно движущем-
ся лифте тот же маятник имеет период Т = 2,2 с.
30.12. Период колебаний математического маятника равен 2 с. При
какой длине нити период колебаний будет в четыре раза больше?
30.13. Найдите потенциальную энергию математического маятни-
ка массой m = 200 г в положении, соответствующем углу отклонения
нити от вертикали а= 8°, если частота колебаний маятника v = 0,5 с-1.
Считайте потенциальную энергию маятника в положении равновесия
равной нулю.
30.14. К легкой пружине подвешен груз массой m (пружинный маят-
ник). При этом период колебаний маятника равен Т\. Пружину укороти-
ли на треть ее длины и подвесили тот же груз. Найдите период колеба-
ний Т2 получившегося маятника.
30.15. К легкой пружине подвешиваются поочередно два разных гру-
за. Период колебаний первого Г, =4 с, второго — Т2 = Зе. Чему будет
равен период колебаний, если к пружине подвесить оба грузика?
30.16. На гладкой горизонтальной плоскости
(рис. 30.16) лежит грузик массой т{,
прикрепленный горизонтальными пружинами к
стенам. Жесткость одной пружины к, а дру-
гой — 2к. Если грузик несколько сместить
266
Если грузик несколько сместить вправо (влево),
он начнет колебаться. Найдите период колеба-
ний грузика.
30.17. Брусок за края подвешен к потолку на
двух одинаковых пружинах, жесткости к каж-
дая, и притянут к полу пружиной жесткости 2к
(рис. 30.17). Период колебаний бруска равен Т.
Найдите массу бруска.
30.18. Шарик массой m совершает гармо-
нические колебания с амплитудой хт на пружине жесткости к. На рас-
стоянии хт/2 от положения равновесия установили массивную сталь-
ную плиту, от которой шарик абсолютно упруго отскакивает
(рис. 30.18). Найдите период колебаний шарика.
Рис. 30.17
Рис. 30.18
Рис. 30.19
30.19. Коробка массой М стоит на горизонтальном столе. Коэффици-
ент трения между коробкой и столом равен ц (рис. 30.19). Внутри коробки
лежит груз массой т, который может без трения двигаться по дну короб-
ки. Он прикреплен к стенке коробки пружиной с жесткостью к. При какой
амплитуде колебаний груза коробка начнет двигаться по столу?
30.20. На легкой пружине подвешен тяжелый груз. Пружину медлен-
но оттягивают вниз за середину, совершая при этом некоторую работу
А, затем пружину отпускают. Определите максимальную кинетическую
энергию груза при последующем движении.
30.21. Груз массой т покоится, подвешенный на пружине жестко-
стью к. Грузу сообщили скорость Vo, направленную вертикально вниз.
Через какое минимальное время после этого на груз можно положить
перегрузок, чтобы колебания мгновенно прекратились? Чему равна мас-
са этого перегрузка?
30.22. С каким ускорением и в каком направлении должна двигаться
кабина лифта, чтобы находящийся в ней секундный математический
маятник за время t = 150 с совершил п = 100 колебаний?
267
30.23. Математический маятник в виде железного шарика массой
т=40 г подвешен на нити длиной /=1ми совершает гармонические
колебания. Если снизу под шарик поместить магнит, то он будет притя-
гивать шарик с постоянной силой F=0,24H. Определите период колеба-
ний шарика в новом состоянии. .
30.24. Определите период колебаний Т математического маятника
массой т и длиной I, если его зарядить зарядом рОи поместить в од-
нородное электрическое поле, вектор напряженности которого Е на-
правлен вертикально: а) вниз; б) вверх.
30.25. Математический маятник длиной I подвешен в вагоне, движу-
щемся горизонтально с ускорением а. Определите период колебаний
математического маятника.
30.26. Небольшое тело совершает малые колебания в вертикальной
плоскости, двигаясь без трения по внутренней поверхности сферической
чаши радиусом R. Чаша опускается вниз с ускорением a = g/2. Опреде-
лите период колебаний тела.
30.27. Чему равна скорость распространения волны, если длина вол-
ныХ = 0,2м, а частота v = 2 Гц?
30.28. Звуковая волна частотой v имеет в первой среде длину волны
X,, а во второй среде — Х2. Как изменится скорость распространения
волны при ее переходе из первой среды во вторую, если Xj = 2 Х2 ?
30.29. Звуковые колебания, имеющие частоту г=500Гц и амплитуду
хт=0,25-1 (Г3м, распространяются в воздухе. Длина волны Х=70см.
Определите скорость распространения волны и максимальную скорость
молекул воздуха.
30.30. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x=4sin600nt.
Найдите смещение от положения равновесия точки, находящейся на
расстоянии 75 см от источника колебаний, через 0,01с после начала
колебаний. Скорость распространения колебаний в среде 300 м/с.
30.31. Какую разность фаз будут иметь колебания двух точек, нахо-
дящихся на расстоянии соответственно Х[ = 10 м и хг = 16 м от источника
колебаний. Период колебаний Т=0,04с, скорость распространения вол-
ны v= 100 м/с.
30.32. Найдите разность фаз колебаний двух точек, отстоящих на 2 м
друг от друга, если длина волны равна 1 м.
30.33. Чему равна скорость распространения волны с частотой коле-
баний 5 Гц, если разность фаз между двумя точками в волне, отстоящи-
268
ми друг от друга на 24 см, равна те/3? Точки лежат вдоль оси распро-
странения волны.
3034. Глубина моря Н= 2600 м. Сиг- д р
нал звукового эхолота, посланный с -А /-----------------
катера А, принят на катере В, находя-
щемся на расстоянии 5=3 км, дважды с --------------------------
интервалом т=2с (рис. 30.34). Опреде- рис 3034
лите скорость звука в воде.
30.35. Напишите уравнение плоской волны, распространяющейся в
воздухе. Малые объемы воздуха колеблются с частотой у = 2кГц и ам-
плитудой уш=1,7мкм. Скорость распространения звука в воздухе
v - 340 м/с.
Электромагнитные колебания и волны
Свободные электромагнитные колебания (периодические измене-
ния заряда, силы тока и напряжения) возникают в колебательном конту-
ре — электрической цепи, состоящей из последова- +
тельно соединенных катушки индуктивности и кон- 11
денсатора (рис. 88). 2 /
При отсутствии омического сопротивления в —
катушке и соединительных проводах разность по- ——
тенциалов между точками 1 и 2 одновременно
равняется напряжению Uc на обкладках конденса- рис
тора и ЭДС самоиндукции £си в катушке
{Uc=^~, ^ =-£—):
с С it
С it'
На рис. 88 для произвольного момента времени показаны полярность
заряда на обкладках конденсатора и направление тока в катушке. Прн-
Т iq v i2q
чем I = -j—, а, следовательно, еси = -L-^ . Поэтому
q r i2q i2q 2
— = —L—у, или —y+®o^ = O.
C it2 it2 °
269
Решением этого уравнения является функция ^=^mcos(o)c/), где qm —
максимальный заряд конденсатора (его амплитудное значение);
гт ,
(0° = — собственная (циклическая) частота электромагнитных
колебаний в LC-контуре. Функция q(t) показывает, что заряд в контуре
изменяется по гармоническому закону.
По аналогичному закону изменяется сила тока в цепи: I = dq/dt =
=-^mw0sin(w0z)=/mcos(tD0/+л/2), где Im=qmti)0 — амплитудное значение
силы тока.
Выражения для заряда и силы тока показывают, что колебания силы
тока опережают колебания заряда по фазе на л/2. Напряжение на кон-
денсаторе меняется, следуя функциональной зависимости Uc =q/C =
= -^-cosftOot) = Um cos((00t), где Um - . Период колебаний T зависит
С С
только от параметров контура и определяется формулой Томсона:
Т = — = 2h4lc .
ш0
Полная электромагнитная энергия в контуре в любой момент време-
ни равна сумме энергий магнитного и электрического полей:
т j 2 2
W = -— + — = const.
2 2С
В процессе колебаний в отдельные моменты времени энергия сосре-
дотачивается или только в катушке, или в конденсаторе. В эти моменты
времени энергия является максимальной энергией магнитного или элек-
трического полей соответственно, причем
2 2С
Если к колебательному контуру подсоединить источник внешней пе-
ременной ЭДС, то при совпадении частоты внешнего источника ЭДС с
собственной частотой (Оо колебательного контура в нем возникает явле-
ние резонанса. Оно состоит в резком возрастании амплитуды вынуж-
денных колебаний силы тока в колебательном контуре.
Электромагнитной волной называется переменное электромагнит-
ное поле, распространяющееся в пространстве. Уравнение плоской
270
электромагнитной волны для напряженности электрического поля в
вакууме имеет вид
Е = Ет cos cd г —
I с
где Ет — амплитуда колебаний напряженности электрического поля;
х — координата; с — скорость электромагнитной волны в вакууме:
с = -Д= = 2,998-108 м/с,
-уеоМ-о
где е0 и ц,; — электрическая и магнитная постоянные соответственно.
Длина волны А — это кратчайшее расстояние между соседними точ-
ками волны, колеблющимися в одинаковой фазе, или расстояние, кото-
рое волна проходит за время, равное периоду Т электромагнитных
колебаний. Для вакуума Ао = с Т= c/v.
При переходе электромагнитной волны из вакуума в вещество часто-
та колебаний остается неизменной, но на границе раздела сред скачком
уменьшаются скорость волны v и длина волны А:
п п
где п — абсолютный показатель преломления вещества (табличная
величина).
Пример 63. Колебательный контур включает конденсатор емкостью
С=8,010-|0Ф и катушку индуктивностью А=2,010-6Гн. Определите
период и частоту собственных колебаний контура.
Дано:
Период электромагнитных колебаний в контуре оп-
IQ ПТ11ПШЛ IXXJ 1*11X1Г J » ixviujpv ЧД1
L=2 0-10 6Гн' реДОляется по формуле Томсона Т = 2п/а>0 = 2n-jLC =
у, у ? =2,5-Ю’7с. Частота колебаний v = 1/Г=4,0-10бГц.
Пример 64. Конденсатор емкостью С=50пФ сначала зарядили от
источника с ЭДС £=3,0 В, а затем, отключив от источника, подключили
к катушке с индуктивностью £ = 5,1мкГн. Напишите выражение для
мгновенного значения силы тока в контуре. Чему равно максимальное
271
значение силы тока в контуре? Определите максимальные значения
энергии электрического и магнитного полей.
Дано:
С=50пФ,
L=5,l мкГн,
8= 3,0 В
Заряд q и напряжение U на конденсаторе колеблют-
ся синфазно:
<7=<7mcos((iw), Z7=Z7mcos(mz),
поэтому qm=UmC, здесь Um=$. В свою очередь
I = — = -<?m(0sin((0t)= Im cos((ot + л/2) — мгновенное
dr
тока. Из последнего уравнения имеем 1т=дта>~ш^С.
I—? I —f
1 ’ 1т
значение силы
Период колебаний в контуре определяется, как Т = 2п>/ЬС , но и>~2п/Т,
поэтому (0 = -J1/LC . Окончательно амплитудное значение силы тока
/ = —;---= 9,4 мА. Максимальное значение энергии
VZc
электрического
поля в конденсаторе
значение энергии
w ^2с2
м 2
W3 =^S- = — = 2,2510'1ОДж.
3 2С 2
магнитного
_-пс 1Л-10 тт
д
Максимальное
поля
катушке
в
Пример 65. Идеальный колебательный контур состоит из конденса-
тора емкостью С= 10~5Ф и катушки индуктивностью Л=0,2 Гн. Конден-
сатор зарядили до максимального значения U= 2 В, после чего он начал
разряжаться. Каким будет мгновенное значение силы тока в контуре в
момент, когда значения энергий магнитного поля в катушке и электри-
ческого поля в конденсаторе будут равны между собой?
Дано:
С=10~5Ф,
Л=0,2Гн,
t7=2B
1—2
мулу дает
Из условия задачи следует, что
LI2 _ д2
2 ~ 2С'
откуда
/2=-^—, но o = omcos(or=t/Ccos(or, a /=-<7m(0sin(iW.
J * П1 ’ л nt
Подстановка мгновенных значений I и q в исходную фор-
<?2 со2 sin2coz = q^ cos2w/bC . После преобразований послед-
него равенства получим cos coz = 1/5/2 . В этом уравнении t — время, при
272
кагором значения энергий полей в катушке н в конденсаторе равны
между собой. Зная время, находим мгновенное значение силы тока:
/=^ = ^-^£=_^L = o,oia.
VLC y/LC J2LC
31. Электромагнитные колебания и волны
31.1. Частота колебаний в колебательном контуре ЗЮ5 Гц. Какова
будет частота колебаний, если расстояние между обкладками плоского
конденсатора, включенного в контур, увеличить в два раза?
31.2. Какова должна быть емкость конденсатора, чтобы с катушкой
индуктивностью 3,0-Ю^Гн обеспечить настройку контура в резонанс на
длину волны 100 м? Скорость света в вакууме с=3-108 м/с.
313. Идеальный колебательный контур состоит из катушки и двух
одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Период собст-
венных колебаний контура 7\ = 20 мкс. Чему будет равен период колеба-
ний, если конденсаторы включить последовательно?
31.4. Какую длину волны электромагнитных колебаний будет при-
нимать радиоприемник, колебательный контур которого имеет конден-
сатор С=750пФ и катушку L= 1,34мГн? Найдите частоту колебаний
контура радиоприемника. Скорость света в вакууме с=3-108 м/с.
31.5. Идеальный колебательный контур состоит из катушки индук-
тивностью Л=20мкГн и конденсатора, емкость которого может менять-
ся в пределах от CpZ-lO4® до С2= 10~8Ф. На какие длины волн рас-
считан контур? Определите диапазон частот электромагнитных колеба-
ний данного контура? Скорость света в вакууме с=31O8 м/с.
31.6. На какую длину волны настроен колебательный контур, со-
стоящий из катушки индуктивностью £=2мГн и плоского конденсато-
ра? Пространство между обкладками конденсатора заполнено вещест-
вом с диэлектрической проницаемостью е = 11. Площадь обкладок кон-
денсатора S=800 см2, расстояние между ними d= 1 см. Скорость света в
вакууме с=3-108 м/с.
31.7. При изменении силы тока в катушке индуктивности на Д/= 1А
за время Аг=0,6 с в ней индуцируется ЭДС 8=0,2 мВ. Какую длину вол-
ны будет иметь радиоволна, излучаемая генератором, колебательный
273
контур которого состоит из этой катушки и конденсатора емкостью
С= 14,1 нФ?
31.8. В колебательном контуре происходят свободные незатухающие
колебания. Зная, что максимальный заряд конденсатора qm =10-6Кл, а
максимальная сила тока в контуре /т=10А, найдите длину волны, на
которую настроен контур. Скорость света в вакууме с=3 • 108 м/с.
31.9. Конденсатор емкостью С= 100 пФ зарядили от источника с ЭДС
8=6,0 В, а затем, отсоединив от него, подключили к катушке с индук-
тивностью Г=10мкГн. Определите частоту колебаний и максимальную
силу тока в контуре.
31.10. Напряжение на конденсаторе в идеальном колебательном кон-
туре изменяется по закону 17c=50cos(l-105r) и при этом максимальное
значение заряда конденсатора ^ш = 510-6Кл. Определите индуктивность
контура.
31.11. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью
L=0,2 Гн и конденсатора с емкостью С= 10-5Ф. В момент, когда мгно-
венное значение напряжения на конденсаторе Ul = 1 В, мгновенное зна-
чение силы тока в контуре Ц =0,01 А. Чему равны амплитудные значе-
ния силы тока и напряжения в контуре?
31.12. Радиолокатор работает в импульсном режиме. Частота повто-
рения импульсов v = 1500 Гц. Длительность импульсов т= 1,2 мкс. Чему
равны максимальная и минимальная дальности обнаружения цели? Ско-
рость света в вакууме с=3 -108 м/с.
31.13. Сколько электромагнитных колебаний (высокой частоты) с
длиной волны А.=375 м происходит в течение одного периода звука с
частотой у = 500Гц, произносимого перед микрофоном передающей
станции? Скорость света в вакууме с=3-108 м/с.
31.14. Длина воздушной линии передачи 300 км. Частота напряжения
50 Гц, Найдите сдвиг по фазе напряжения в начале и конце этой линии.
31.15. Электромагнитные волны распространяются в однородной
среде со скоростью и = 2-108 м/с. Какую длину волны А., имеют они в
этой среде, если длина волны в вакууме была А.=300 м? Скорость света
в вакууме с=3-108 м/с.
274
XIII. ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Переменный электрический ток представляет собой вынужденные
электрические колебания, возникающие под действием внешнего источ-
ника переменной ЭДС. Сила тока в цепи и напряжение на элементах
цепи изменяются по гармоническому закону с соответствующим сдви-
гом по фазе.
Резистор в цепи переменного тока
Предположим, что резистор, обладающий сопротивлением R, вклю-
чен в цепь источника ЭДС (рис. 89). Пусть напряжение на полюсах ис-
точника меняется по гармоническому закону U = t/mcos(ow). Тогда мгно-
венное значение силы тока в цепи определится по закону Ома:
U U cos(cor) Um
— = -----=7mcos(co0, где 4=^- —
Л Л Л
амплитуда силы тока. Из этого равенства следует,
что колебания силы тока на резисторе совпадают
по фазе с колебаниями напряжения.
Мощность в цепи переменного тока также ме-
няется во времени. Мгновенная мощность
Рис. 89
P=I2R. Среднее значение мощности за период для тока, меняющего-
ся по гармоническому закону, составляет (р) = = I2R, где
1„ = — действующее значение силы тока (величина постоянная,
V2
хотя ток в цепи переменный). В общем случае, для переменного тока,
меняющегося по произвольному закону, действующее значение
силы тока вводится таким образом, чтобы тепловая энергия, выде-
ляемая за некоторое время этим постоянным током на резисторе со-
противлением R, равнялась бы тепловой энергии, выделяемой пере-
менным током на том же резисторе за то же время.
275
Пример 66. По резистору сопротивлением R течет импульсный ток.
Закон изменения силы тока во времени представлен на рис. 90. Отноше-
ние периода повторения импульсов Т к длительности импульса т
составляет Т/т=5. Определите действующее значение силы тока.
Дано:
Т/т = 5
Л-?
По определению действующего
значения силы тока можно записать
I^RT=/^Rt, или 1z=1qT/T. Откуда
/д=/оМ.
Конденсатор в цепи переменного тока
U=Um cos tot -г-С
Рис. 91
Пусть напряжение на полюсах источника, под-
ключенного к конденсатору, меняется по закону
U= J7mcos(cor) (рис. 91). Так как заряд на конденса-
торе связан с емкостью и напряжением соотноше-
нием q=CU, то заряд на конденсаторе меняется по
тому же закону: q=qmcos((nt) = CUmcos(ti)f). Сила
тока в цепи (производная от заряда по времени)
равна I = — = -rnCUm sin a>t = (aCUm cos(ow + л/2) = Im cos(om + л/2),
Рис. 92
где Im = UmmC = — амплитуда силы
„ 1
тока, Xc = —— — емкостное сопротив-
ление. Из выражений для мгновенных
значений силы тока, заряда и напряжения
следует, что колебания напряжения и за-
ряда на конденсаторе отстают по фазе
от колебаний силы тока на л/2 (рис. 92).
276
Катушка индуктивности в цепи переменного тока
Рассмотрим электрическую цепь, в которой к
клеммам источника переменной ЭДС подключена
катушка индуктивностью L (рис. 93). Предположим,
что сила тока в цепи меняется по гармоническому
закону Z=Zmcos(ow), тогда напряжение на катушке UL
численно равно ЭДС самоиндукции #си, взятой с об-
ратным знаком: UL--^CK. Поскольку £СИ=-Е—=
df
Рис. 93
= L®Zmsin(o)0, то [/L=-L®Zmsin(o)?)= LcoZmcos((af+n/2) = (Zmcos(aw+n/2),
где ZZm = L®Zra=Zm XL. XL=wL — индуктивное сопротивление.
Следовательно, колебания напряжения на катушке опережают по
фазе колебания силы тока на п/2 (рис. 94).
Полное сопротивление электриче-
ской цепи, содержащей элементы
R, С, L, определяется по формуле
Z = ^R2 +(XL-XC)2 . Величина XL-XC
называется реактивным сопротивлени-
ем. Амплитуда силы тока определяется из
закона Ома:
Z -Jr2+(XL~XC)2
Если XL—XC=O, то в контуре возникает явление резонанса, когда
амплитуда силы тока Zm становится максимальной. При этом
частота электромагнитных колебаний в контуре равна резонансной
частоте, определяемой из условия
г 1 п П~
р сорС р VZC
Пример 67. Определите полное сопротивление электрической цепи,
состоящей из резистора сопротивлением Z?= 10000м, конденсатора
емкостью С=0,1 мкФ, катушки индуктивностью Е=0,5Гн (рис. 95).
277
Цепь включена в сеть с частотой v= 1000Гц. При какой частоте v0 в сети
реактивное сопротивление цепи будет равно нулю?
Дано:
R = 10000м,
С=0,1 мкФ,
L Е=0,5Гн,
v = 1000 Гц
Рис.95 Z—?V0—?
Полное сопротивление цепи рассчитывается по формуле
. ( 1 Y
Z = R2+1 0)L----
V I wC I
1
2
Поскольку0)=2тгу,то Z = , Ir2 + 2nvZ----— = 1,8 1030м.
V • 2nvC
T, n r 1
Реактивное сопротивление равно нулю, если 2ttv0L = —---—
Откуда резонансная частота v0 =-= 712 Гц.
2njLC
Источником внешней переменной ЭДС может быть генератор пере-
менного тока, принцип действия которого основан на явлении элек-
тромагнитной индукции. Если в однородном магнитном поле с магнит-
ной индукцией В вращается с постоянной угловой скоростью О) прово-
дящая рамка площадью S, то мгновенное значение магнитного потока,
пронизывающего площадь, ограниченную рамкой, запишется в виде
Ф(0=55со5(со?).
Тогда, согласно закону электромагнитной индукции, в рамке наво-
дится переменная во времени ЭДС индукции 8И:
$и = —= R5wsin(o)r)= &Q sin(wr)i
dr
и по рамке течет переменный индукционный ток I, причем
278
/ =
£ g5<osin(<o?) _ sin (tor)
7 ~ ~R R ~ R
= Io sin (co?),
где R — полное сопротивление цепи, в которую включена рамка,
80= BS(f> и 70=-^^ — амплитудные значения переменной ЭДС и
R
силы тока соответственно. Посредством скользящих контактов можно
«снимать напряжение» с такого простейшего генератора переменного
тока и передавать потребителю.
В качестве электрического генератора можно также использовать
машину постоянного тока. Принцип действия машины основан на явле-
нии возникновения ЭДС индукции в рамке при вращении ее в однород-
ном поле. В генераторе постоянного тока переменная ЭДС, возникаю-
щая во вращающейся обмотке, выпрямляется при помощи коллектора,
который представляет собой вращающийся переключатель. Значение
выпрямленной ЭДС определяется из формулы
£=2nX<bmaxv,
где N — число витков вращающейся обмотки, Фтах — максимальный
магнитный поток, пронизывающий площадь одного витка обмотки, v —
частота вращения.
Трансформатор
Простейший трансформатор пред-
ставляет собой устройство, включаю-
щее замкнутый ферромагнитный сер-
дечник с навитыми на него двумя про-
водящими обмотками (рис. 96). В осно-
ве работы трансформатора лежит явле-
ние электромагнитной индукции.
Если к одной обмотке (первичной)
подключить источник переменной ЭДС,’
то во второй (вторичной) станет наво-
диться ЭДС индукции. Соотношение числа витков первичной Nt и вто-
ричной N2 обмоток влияет на значение наводимой ЭДС и позволяет по-
вышать или понижать напряжение. Отношение действующих значений
ЭДС, наводящихся в обеих обмотках, связано с отношением числа витков
следующим образом:
279
_!l= м.
ё2 N2
Для ненагруженного трансформатора, вторичная обмотка которого
разомкнута, действующие значения ЭДС, наводящихся в обеих обмот-
ках, равны действующим значениям напряжений в обмотках (С/, и U2
Рис. 97
соответственно). Под действующим
значением напряжения в обмотке
следует понимать значение разности
потенциалов, которое показывает
вольтметр, подключенный к этой об-
мотке. Для нагруженного трансформа-
тора, на выход которого (к вторичной
обмотке) подключен нагрузочный рези-
стор с сопротивлением R (рис. 97), дей-
ствующее значение напряжения в первичной обмотке практически равно
действующему значению ЭДС в ней (17,»^). Однако во вторичной об-
мотке действующее значение напряжения U2 отличается от действую-
щего значения ЭДС #2 на величину падения напряжения на внутреннем
сопротивлении вторичной обмотки г.
U2-'t>2-l2r, или U2 = l2R,
где 12 — действующее значение силы тока во вторичной обмотке.
В дальнейшем при рассмотрении примеров решения задач и в их ус-
ловиях будем опускать слова «действующее значение», используя толь-
ко термин «напряжение», понимая под ним «действующее значение
напряжения».
Величина £=Л\/7/2 называется коэффициентом трансформации
трансформатора. Из вышесказанного следует, что NlIN2=Uxl^2.
Если k< 1, трансформатор является повышающим (повышает напряже-
ние: Й2> t/j). Если к> 1, трансформатор является понижающим ($2<U\).
Коэффициентом полезного действия трансформатора называется от-
ношение мощности, передаваемой нагрузке, к мощности, потребляемой
в первичной обмотке:
l/2Z2 U2I2
Г) = , ,
Ц/1 U2l2+I2r
или
286
Пример 68. Первичная обмотка трансформатора с коэффициентом
трансформации к= 10 включена в сеть с напряжением I/,=220 В. Сопро-
тивление вторичной обмотки г=2 Ом, сила тока в ней /2=3,3 А. Опреде-
лите напряжение U2 на зажимах» вторичной обмотки. Потерями в пер-
вичной обмотке пренебречь.
Дано: Если за время т=7/5, где I — длина цепи,
к= 10, с = 3-108 м/с— скорость света в вакууме, необходимое
U = 220 В, передачи электромагнитного сигнала в самую отда-
г = 2 Ом ленную точку цепи, сила тока I изменяется незначитель-
у _ 3 3 А но, то мгновенные значения силы тока во всех сечениях
! цепи будут практически одинаковыми.
Ui — 1 Предположим, что в нашем примере длина цепи
/=3м, тогда т= 10'8с. За время т протекания тока про-
мышленной частоты (г=50Гц) по цепи значение силы тока изменится
т 6
лишь на — = 5-10" своей начальной величины. Также незначительно за
Т
это время изменятся напряжение U и ЭДС £. Поэтому в таких цепях к
мгновенным значениям всех электрических величин будем применять
законы постоянного тока.
Изобразим эквивалентную схему вторичной обмотки трансформато-
ра в виде источника ЭДС с внутренним сопротивлением г (рис. 98).
Напряжение U2 на вторичной обмотке меньше значения ЭДС , наве-
денной на вторичной обмотке, на величину падения
напряжения на внутреннем сопротивлении вторич-
ной обмотки г. Поэтому U2=ft2-I2r, но ^2=и{/к.
Окончательно,
U2 =-^1—Дг = 15,4В.
2 к * 2
Рис. 98
32. Генераторы переменного и постоянного тока. Резистор,
конденсатор и катушка индуктивности в цепи переменного тока.
Трансформаторы
32.1. Проволочная рамка площадью S равномерно вращается в од-
нородном магнитном поле с индукцией В вокруг оси ООперпенди-
281
кулярной вектору магнитной индукции В
(рис. 32.1). В начальный момент времени вектор
В перпендикулярен плоскости рамки. Опреде-
лите законы изменения во времени магнитного
потока, пронизывающего площадь рамки, и ЭДС
индукции в рамке. Постройте графики зави-
симостей Ф(г) и 8(f). Найдите амплитудное зна-
чение ЭДС индукции.
32.2, Проводящая рамка площадью 5=400 см2
имеет N= 100 витков и равномерно вращается в
однородном магнитном поле с индукцией
В = 10 мТл вокруг оси, перпендикулярной вектору магнитной индук-
ции В , так, как показано на рис. 32.1. Период вращения рамки Т=20мс.
Концы обмотки рамки через скользящие контакты замкнуты на резистор
сопротивлением А = 50 Ом. Определите силу тока, протекающего через
резистор. Чему равно максимальное значение силы тока? Какова частота
изменения силы тока? Сопротивлением рамки пренебречь.
32.3. Полагая, что переменное напряжение изменяется по синусои-
дальному закону, а начальная фаза равна нулю, определите напряжение
в моменты времени ^ = 5,0мс, г2=10мс, г3=15мс. Амплитудное значе-
ние напряжения Uo = 200 В, частота v = 50 Гц. Чему равно действующее
значение напряжения?
32.4. Сила тока изменяется со вре-
менем по закону, представленному на
рис. 32.4. Чему равно действующее
значение силы такого переменного
>. тока?
f 32.5. Переменный ток в пределах
одного периода изменяется по закону
I = /т , гДе 1т — максимальное
значение силы тока, Т — период. Определите действующее значение
силы тока.
32.6. Действующие значения напряжения и силы тока в катушке, об-
ладающей некоторой индуктивностью, составляют 1/д=127В и
/д=0,50А соответственно. Определите индуктивность катушки, если
282
частота переменного тока У=50Гц. Сопротивлением провода катушки
пренебречь.
32.7. По участку цепи, включающему последовательно соединенные
катушку и конденсатор, протекает синусоидальный ток. Действующее
значение напряжения на катушке 1/£=127В, а на конденсаторе —
£/с=20В. Найдите действующее значение напряжения на всем участке
цепи и сдвиг по фазе между этим напряжением и током в цепи.
32.8. По участку цепи, включающему последовательно соединенные
катушку, конденсатор и резистор протекает синусоидальный ток. Дейст-
вующие значения напряжения на данных элементах равны соответст-
венно Uх, U2, U3. Найдите действующее значение напряжения на всем
участке цепи и сдвиг по фазе между этим напряжением и током в цепн.
32.9. В цепь переменного тока напряжением U=220 В и частотой
у=50Гц включен конденсатор. Амплитудное значение силы тока в цепи
/0=4,89 А. Найдите емкость конденсатора.
32.10. В цепь последовательно включены катушка индуктивностью
L=0,5 Гн, конденсатор емкостью С = 1 мкФ и резистор сопротивлением
R = 1 кОм. Найдите индуктивное сопротивление XL, емкостное сопро-
тивление Хс и полное сопротивление цепи Z при частотах тока V, =50 Гц
и v2 = 10 кГц.
32.11. Неоновая лампа включена в сеть переменного тока с дейст-
вующим значением напряжения 1/д=71 В и периодом Г=0,02с. Найдите
промежуток времени Аг, в течение которого длится вспышка лампы, и
частоту вспышек лампы п. Напряжение зажигания лампы 1/3 = 86,7В
считайте равным напряжению гашения Ur.
32.12. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффи-
циентом трансформации к=8 включена в сеть с напряжением Ц=220 В.
Сопротивление вторичной обмотки г=1,2Ом, сила тока в ней 1=5 А.
Определите напряжение U2 на зажимах вторичной обмотки и сопротив-
ление R нагрузки трансформатора. Потерями в первичной обмотке пре-
небречь.
32.13. Коэффициент трансформации повышающего трансформатора
к=0,1. Напряжение на вторичной обмотке 172=5,6кВ. Вольтметр, под-
ключенный к витку провода, надетого на вторичную обмотку, показал
1/о=О,4В. Сколько витков имеет каждая из обмоток трансформатора?
283
32.14. Сила тока в первичной обмотке трансформатора /( = 2А, на-
пряжение на ее зажимах Ux - 220 В. Напряжение на зажимах вторичной
обмотки U2=22 В. КПД трансформатора Т] = 0,9. Определите силу тока 12
во вторичной обмотке.
32.15. Мощность, потребляемая трансформатором Р=100Вт, а на-
пряжение на зажимах вторичной обмотки 1/2=50В. Определите силу
тока 12 во вторичной обмотке, если КПД трансформатора q = 0,8.
32.16. Мощность потерь в трансформаторе Рп=40Вт, напряжение на
зажимах вторичной обмотки £/2=50В. Определите силу тока 12 во вто-
ричной обмотке, если КПД трансформатора Т] = 0,9.
32.17. Коэффициент трансформации повышающего трансформатора
it=0,5. Напряжение на нагрузке, включенной в цепь вторичной обмотки
£/2=216В. Сопротивление нагрузки Л =10,8 Ом. Определите напряже-
ние Hj на первичной обмотке трансформатора, силу тока в ней и КПД
трансформатора, если сопротивление вторичной обмотки г=0,2Ом.
Сопротивлением подводящих проводов пренебречь.
32.18. Электромотор постоянного тока, соединенный с источником
ЭДС #=24 В, делает Vj = 600 об/мин при силе тока в цепи 7=0,2 А (пол-
ное сопротивление цепи 7?=20 Ом). Какую ЭДС £, разовьет электромо-
тор, работая в качестве генератора и делая v2= 1400 об/мин ?
284
XIV. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
В данном разделе рассматривается взаимодействие света с телами,
линейные размеры которых несоизмеримо больше длин волн видимого
света, поэтому при таком взаимодействии волновая природа света не
проявляется.
В основе геометрической оптики лежат следующие законы:
1. Закон прямолинейного распространения
света.
В однородной изотропной среде свет распространя-
ется прямолинейно.
2. Закон отражения света.
Луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к
поверхности раздела сред, восстановленный в точке
падения луча, лежат в одной плоскости. Угол паде-
ния равен углу отражения (рис. 99):
а=р.
3. Закон преломления света.
Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр
к поверхности раздела сред, восстановленный в
точке падения луча, лежат в одной плоскости. От-
ношение синуса угла падения к синусу угла прелом-
ления есть величина, постоянная для данных сред,
равная отношению абсолютных показателей пре-
ломления второй среды к первой (рис. 100):
sin а и9
--------------------= — = «12, или n!Sina=n2siny,
sin у и,
где п12 — относительный показатель преломления второй среды относи-
тельно первой. Здесь
с с
»!=—, п2= — ,
У] v2
где с — скорость света в вакууме; п, и и2 — скорости света в соответст-
вующих средах. Если первая среда вакуум («, = 1), либо воздух («, = !),
то п12-п2-п.
Явление полного внутреннего отражения. Если луч света падает из
оптически более плотной среды с показателем преломления п2, на гра-
ницу раздела с оптически менее плотной средой с показателем прелом-
285
ления л, (л2>л1) (рис. 101), то при углах падения
аххо наблюдается полное внутреннее отраже-
ние, когда луч полностью отражается от границы
раздела сред, как от идеального зеркала. Пре-
дельный угол полного внутреннего отражения (Xq
находится из условия: n2sinao=n1sin9O°. При
этом, если Л] = 1, то
I
sin a0 = —.
«2
Пример 69. На дне водоема глубиной /7=80 см находится точечный
источник света S (рис. 102). Определите диаметр светового пятна иа
поверхности воды, если показатель преломления воды и = 1,3.
Дано:
Н= 80 см,
л= 1,3
D —?
При падении лучей на границу раздела вода-воздух под углами а < Oq
лучи выходят в атмосферу. Если ахЛц, то луч света испытывает полное
внутреннее отражение и возвращается в воду. Следовательно, на по-
верхности воды будет освещена площадка, равная площади основания
воображаемого конуса с вершиной в точке S и боковой поверхностью в
виде лучей, падающих на поверхность водоема под углом Oq. Для этих
лучей справедливо соотношение sinaQ= 1/и. Из треугольника ABS име-
. 7?
ем: sin a0 = —=====. Приравнивая правые части последних двух вы-
7я2+я2
1 R 2Н
ражений, получаем — = , -, откуда D = 2R = .— — = 1,9 м.
« >Ir2+h2 77^4
286
Важнейшим элементом ряда оптических д
приборов является призма (рис. 103). Угол ф х Ад
при ее вершине называется преломляющим х \
углом призмы. Угол у между направлением 1
падающего на призму и преломленного лучей /
(обозначены 1 и /') называется углом откло- / ' \SU'
нения луча в призме. При прохождении приз- / п2
мы с л2 > Й1 луч отклоняется к ее основанию. «1
Показатель преломления любой среды за- рис юз
висит от частоты (или длины) волны падаю-
щего света, поэтому при преломлении луча белого света на границе
среды происходит его разложение по цветам —явление дисперсии. При
прохождении луча через границу раздела сред или тонкую прозрачную
пластинку это явление мало проявляется. Но при прохождении через
призму, где луч дважды преломляется на двух заведомо не параллель-
ных гранях призмы, разложение луча в спектр становится явным. По-
этому во всех примерах и задачах о прохождении света через призму в
этом разделе будем считать, что на призму падает монохроматический
луч (т. е. луч одного цвета, одной длины волны).
Пример 70. Призма сделана из материала с показателем преломле-
ния п= 1,75. При каком угле падения на одну из граней выход луча из
второй грани становится невозможным? Преломляющий угол призмы
ф = 60°.
Дано: Д*
п = 1,75,
ф=60°
На рис. 104 представлен ход лучей в призме / \
для случая падения луча на вторую грань под Z_________________д
предельным углом полного внутреннего отраже-
Рис. 104
ния ctg. Угол падения а при этом является мак-
симально возможным углом падения, при котором выход луча из второй
грани становится невозможным. Для падения луча на первую и вторую
грани выполняются соответственно условия:
287
Из треугольника АВС: ср+(9О°-у) + (9О°-ао) = 180°, откуда ср=у+а0,
х 1 . 1
поэтому sin((p-у) = — и у = cp-arcsin—. Подстановка значения наиден-
п п
sin а
ного угла у в выражение-----= п дает значение а:
sin у
а < arcsin
а <48°.
Плоским зеркалом называется поверхность, при отражении от которой
падающие на нее параллельные лучи остаются параллельными и после
отражения. Для построения изображения, например, точечного источника S
Рис. 105
в плоском зеркале необходимо выбрать
любые два луча 1 и 2, падающие от
источника на ь зеркало (рис. 105), по-
строить отраженные лучи н провести
продолжения этих лучей (пунктирные
линии на рисунке) до их пересечения в
точке SВ этой точке на расстоянии от
зеркала OS'=OS находится мнимое
изображение точечного источника S.
Линзой называется прозрачное (обычно стеклянное) тело, ограни-
ченное двумя сферическими поверхностями (рис. 106). Толщина тонкой
288
линзы I значительно меньше радиусов Rt и R2 ограничивающих ее сфе-
рических поверхностей. Прямую OtO2, проходящую через центры сфе-
рических поверхностей, называют главной оптической осью линзы.
Точка О, лежащая в центре линзы на главной оптической оси, называет-
ся оптическим центром линзы. Любая другая прямая (кроме главной
оптической оси), проходящая через оптический центр, называется по-
бочной оптической осью линзы.
Линза является собирающей, если она преломляет лучи, падающие
на нее, в направлении главной оптической оси. Точка F, в которой пере-
секаются после преломления в собирающей линзе лучи, падающие на
линзу параллельно главной оптической оси, называется главным фоку-
сом линзы (рис. 107). В однородной среде оба главных фокуса распола-
гаются по обе стороны от линзы на одинаковых расстояниях от нее.
Расстояние от оптического центра линзы до главного фокуса называется
фокусным расстоянием F. Плоскость, проходящая через главный фо-
кус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной.
Линза является рассеивающей, если она преломляет лучи, падающие
на нее, в направлении от главной оптической оси. На рис. 108 представ-
289
лена рассеивающая линза, ход параллельных лучей, падающих на неё, и
положение главного фокуса линзы.
собирающая линза
а) б)
Рис. 109
Для построения изображений в тонких линзах пользуются отдель-
ными характерными лучами 1, 2, 3, обладающими следующими свойст-
вами (рнс. 109):
1. Световой луч 1, проходящий через оптический центр линзы, не
преломляется.
2. Световой луч 2: а) проходящий через главный фокус собирающей
линзы, выходит из нее параллельно главной оптической оси; б) направ-
ленный на главный фокус за рассеивающей линзой, выходит из линзы
параллельно главной оптической оси.
3. Световой луч 3, параллельный главной оптической оси собираю-
щей линзы, после преломления в ней пересекает эту ось в главном фоку-
се за линзой (для рассеивающей линзы луч 3 пересекает эту ось своим
продолжением в главном фокусе перед линзой).
Кроме того, световой луч 4, параллельный побочной оси 1, пересека-
ется с ней в фокальной плоскости. Точка пересечения называется по-
бочным фокусом.
Для построения изображения точки необходимо построить ход
любых двух характерных лучей, проходящих через эту точку. По-
строение изображения любого предмета как совокупности точек сво-
дится к построению изображений отдельных его точек. В частности,
для получения изображения прямой достаточно построить изображе-
ния двух ее точек.
290
Пример 71. На рис. 110, а, б дан ход луча АА' в линзах. Постройте
ход луча В после прохождения линзы, если положения главных фоку-
сов F обеих линз неизвестны.
Рис. 110
Найдем положения главных фокусов F обеих линз. Для этого парал-
лельно лучам А проведем через оптические центры линз лучи 1-1'. Пе-
ресечение луча 1-1' с лучом А' для собирающей линзы и с продолжени-
ем луча А' для рассеивающей линзы даст точки F', принадлежащие фо-
кальным плоскостям линз. Фокальные плоскости проводятся перпенди-
кулярно главным оптическим осям ОХО2 через точки F'. Точками пере-
сечения фокальных плоскостей с осями ОХО2 являются главные фокусы
обеих линз. Направление хода лучей В' находится соединением главных
фокусов обеих линз с точками пересечения лучей В с линзами.
Пример 72. Найдите построением изображение предмета АВ в тон-
кой рассеивающей линзе. F — фокус линзы (рис. 111).
Направим вдоль предмета АВ
луч света, который после прелом-
ления в линзе своим продолжением
пересекается с побочной осью,
параллельной предмету АВ, в по-
бочном фокусе F'. Изображение
предмета А'В' лежит на продолже-
нии луча 1, преломившегося в лин-
зе после прохождения через пред-
мет АВ: точка А' находится на глав-
Рис. 111
291
главной оптической оси (так как на ней находится точка А), а точка В'
лежит на пересечении продолжения луча 1 и побочной оптической оси,
проходящей через точку В.
Формулой тонкой линзы является следующее соотношение:
1 1 1
где du f — соответственно расстояния от линзы до предмета и от лин-
зы до изображения предмета, F— фокусное расстояние (рис. 112).
Приведенная формула справедлива как для собирающей, так и для
рассеивающей линзы, но фокусное расстояние для рассеивающей линзы
берется со знаком «-» (F< 0), а для собирающей линзы — со знаком «+»
(F>0). Мнимому изображению в линзах соответствует отрицательное
значение f Отношение 1/F называется оптической силой линзы и обо-
значается D: D=\J F. Оптическая сила собирающей линзы положитель-
на, а рассеивающей линзы — отрицательна. Единицей измерения опти-
ческой силы является диоптрия: 1 дптр= 1 м'1.
Линейным увеличением называется отношение линейного размера
изображения Н к линейному размеру предмета Л:
Г = —.
h
Из подобия затемненных треугольников на рис. 112 следует, что
— = —, откуда Г = —. Построением хода лучей можно показать, то для
h d d
собирающей линзы в зависимости от значения d реализуются следую-
щие изображения:
292
1) d>2F — изображение действительное, перевернутое, уменьшен-
ное (Г < 1);
2) d=2F — изображение действительное, перевернутое, в натураль-
ную величину (Г = 1);
3) F<d<2F — изображение действительное, перевернутое, увели-
ченное (Г> 1);
4) d<F — изображение мнимое, прямое, увеличенное (Г> 1).
Для рассеивающей линзы вне зависимости от положения предмета
относительно линзы реализуется только один случай: изображение
мнимое, прямое, уменьшенное (Г< 1).
Фокусное расстояние F, радиусы кривизны сферических поверхно-
стей лннзы 7?, и Т?2 и показатели преломления вещества линзы и ок-
ружающей среды п2 связаны соотношением
Знаки перед слагаемыми второго сомножителя правой части уравне-
ния берутся следующим образом: «+» — для выпуклых поверхностей,
«-» — для вогнутых. Например, воздушная линза с выпуклыми поверх-
ностями (l/Т?,>0 и 1/Т?2>0), образованная в стекле (п1<п2), служит
рассеивающей линзой, так как обладает отрицательным фокусом:
и, следовательно, l/F<0. А воздушная линза с вогнутыми поверхностя-
ми (l/Т?]<0 и 1/Т?2<0), образованная в том же стекле («]<n2), служит
собирающей линзой, так как у нее 1/F> 0.
Пример 73. Собирающая линза дает действительное изображение с
увеличением Г=2. Расстояние между предметом и изображением
£=27 см. Определите фокусное расстояние линзы (рис. 113).
Дано:
Г = 2,
£=27 см
Г — ?
Н Н f
Поскольку Г = — и — = —, то f= d Г. Далее, ис-
h h d
, - 111
пользуя формулу тонкой линзы —I-— = — и усло-
d f F
293
вие, что L = d+f,
Г=£Г/(Г+1)2 = 6см.
находим фокусное расстояние линзы
Пример 74. Оптическая система состоит из рассеивающей Лх и соби-
рающей Л2 линз с одинаковыми фокусными расстояниями Fi=F2=20cm.
Линзы находятся в фокусах друг друга (рис. 114). Предмет АВ расположен
на расстоянии J, = 35cm перед рассеивающей линзой. Постройте изображе-
ние предмета, определите его положение и общее увеличение системы линз.
Рис. 114 f~ ?Г — ?
Для построения изображения воспользуемся двумя характерными луча-
ми 1 и 2. Луч 1 из точки В направим на рассеивающую линзу параллельно
главной оптической оси системы. После преломления в линзе Л{ он попада-
ет на линзу Л2, причем его продолжение проходит через левый фокус лин-
зы Л]. Этот фокус одновременно является двойным левым фокусом линзы
Л2, поэтому луч 1, преломившись в ней, проходит также через точку, уда-
ленную от линзы Л2 справа на двойное фокусное расстояние.
Луч 2 направим на оптический центр линзы Л{. Так как он является
одновременно левым фокусом линзы Л2, то луч 2 после преломления в
линзе Л2 идет параллельно главной оптической оси системы. Пересече-
294
ние лучей 1 и 2 дает изображение точки В. Изображение точки А лежит
на главной оптической оси.
Для определения увеличения линзы рассмотрим затемненные тре-
угольники. Они подобны. Поэтому
h d.
= 0,57.
Пример 75. Определите оптическую силу системы двух тонких со-
бирающих линз 77] и Л2, сложенных вплотную друг к другу (рис. 115).
Оптическая сила линзы равна , оптическая сила линзы Л2 — D2.
Дано:
£>о6ш-?
Рис. 115
Поместим светящуюся точку в левый фокус линзы Л>. Ее изображе-
ние, как следует из хода лучей 1 и 2 (рис. 115), должно находиться в
правом фокусе линзы Л2. Тогда применительно к данной системе линз
, - 111
формулу тонкой линзы —+— = — можно записать в следующем виде:
7Г- = 4-+^-.илиОо6щ=О1+О2.
**обш Л г2
33. Отражение и преломление света
33.1. Пучок параллельных лучей идет из проекционного аппарата в го-
ризонтальном направлении. Как необходимо расположить плоское зеркало,
чтобы после отражения от него пучок шел вертикально вверх; вниз?
33.2. Дно глубокого колодца требуется осветить с помощью отра-
женных от зеркала солнечных лучей, падающих на поверхность Земли
под углом а = 60° к вертикали. Как для этого необходимо расположить
плоское зеркало?
295
33.3. Зеркало поворачивается на угол а. На какой угол повернется
отраженный от зеркала луч?
А 33.4. На рис. 33.4 изображено ограниченное
\по размерам зеркало и предмет АВ. Построени-
ем хода лучей покажите, в какой области про-
странства должен находиться глаз наблюдате-
зеркало ля’ что®ы> ГЛЯДЯ в зеркало, он мог видеть изо-
I------------------1 бражение всего предмета.
33.5. В комнате на стене вертикально висит
зеркало, верхний край которого расположен на
’ ’ уровне глаз человека. Рост человека 182 см.
Какой наименьшей высоты должно быть зеркало, чтобы этот человек
видел себя в зеркале во весь рост?
33.6. Круглый бассейн радиуса В=5 м залит до краев водой. Над цен-
тром бассейна на высоте h = 3 м от поверхности воды висит лампа. На
какое расстояние от края бассейна может отойти человек, рост которого
Н= 1,8 м, чтобы все еще видеть отражение лампы в воде?
33.7. На какой высоте находится аэростат Л, если с башни высотой Я
он виден под углом а над гори-
зонтом, а его изображение в озере
видно под углом Р под горизон-
том (рис. 33.7) ?
33.8. Предмет помещен между
двумя взаимно перпендикулярными
зеркалами. Сколько получается
изображений? Постройте их. Най-
дите решение для общего случая,
когда угол между зеркалами а,
360°
причем т =----есть целое число,
а
33.9. Луч света падает из воздушной среды на границу раздела воз-
дух-вода-под углом а=30° к горизонту. Относительный показатель
преломления воды и = 1,33. Определите угол преломления.
33.10. Угол падения света нз воздуха на поверхность воды а=30°.
Как изменится угол преломления, если угол падения увеличить на
Да= 15° ? Относительный показатель преломления воды п= 1,33.
33.11. На дне реки лежит монета. Человек хочет толкнуть ее шестом.
Прицеливаясь, он держит шест под углом <р=20° к горизонту. На каком
296
расстоянии от монеты воткнется шест в дно реки, если ее глубина
Н= 50 см? Абсолютный показатель преломления воды п = 1,3.
33.12. Человек, склонившись к поверхности воды, видит лежащую на
дне водоема монету. Луч зрения перпендикулярен поверхности воды.
Глубина водоема Н. Какова кажущаяся глубина залегания монеты? По-
казатель преломления воды п. Для малых углов tga = sina.
33.13. Угол падения пучка параллельных лучей на поверхность воды
a = 60°. Ширина пучка в воздухе d= 10 см. Определите ширину пучка в
воде. Абсолютный показатель преломления воды и = 1,3.
33.14. При падении на плоскую границу двух сред с абсолютными
показателями преломления л, и п2 луч света частично отражается, час-
тично преломляется. При каком угле падения отраженный луч перпен-
дикулярен преломленному?
33.15. Луч света падает на стеклян-
ную плоскопараллельную пластинку
толщиной d=2cM под углом а=45°.
Определите боковое смещение луча на
выходе из пластинки, если показатель
преломления стекла и = 1,5 (рис. 33.15).
33.16. На тонкую призму из стекла с
преломляющим углом <р= 15° падает луч
света перпендикулярно боковой грани.
Найдите угол между продолжением падающего луча и лучом, выходя-
щим из призмы, если показатель преломления стекла и = 1,66.
33.17. На стеклянную призму, сечение которой представляет собой
правильный треугольник, перпендикулярно одной из граней падает мо-
нохроматический луч света. Найдите отклонение луча от первоначаль-
ного направления. Показатель преломления стекла и = 1,66.
33.18. Луч света выходит из призмы под тем же углом, под которым
падает на нее, причем отклоняется от первоначального направления на
угол у=15°. Преломляющий угол призмы <р = 45°. Найдите показатель
преломления вещества призмы.
33.19. На дне водоема, имеющего глубину 77= Зм, находится точеч-
ный источник света. Какой минимальный радиус должен иметь круглый
непрозрачный диск, плавающий на поверхности воды над источником,
чтобы с вертолета нельзя было обнаружить этот источник света? Пока-
затель преломления воды п = 1,33.
297
33.20. На поверхности озера, имеющего глубину /7=2 м, находится
круглый плот радиусом R=8 м. Найдите радиус полной тени от плота на
дне озера при освещении воды рассеянным светом. Показатель прелом-
ления воды п = 1,33.
33.21. На какой глубине Н под водой находится водолаз, если он ви-
дит отраженными от поверхности воды те части горизонтального дна,
которые расположены от него на расстоянии 7= 15 м и больше? Рост
водолаза h = 1,5 м. Показатель преломления воды п = 1,33.
33.22. В стекле с показателем преломления пх = 1,52 имеется сфериче-
ская полость радиусом /? = 2,0см, заполненная водой. Показатель прелом-
ления воды п2= 1,33. На полость падают параллельные лучи света. Опре-
делите радиус светового пучка, который проникает в полость.
33.23. Прямоугольный тонкостенный аквариум, заполненный прозрач-
ной жидкостью, освещается снизу лампочкой, расположенной под аква-
риумом вблизи центра его дна. Определите минимальное значение показа-
теля преломления жидкости, при котором лампочку нельзя увидеть через
боковые стекла аквариума. Толщиной стенок аквариума пренебречь.
33.24. Луч света выходит из скипидара в воздух. Предельный угол
полного внутреннего отражения для этого луча а0=42°. Чему равна
скорость света в скипидаре?
33.25. Сколько времени потребуется лучам красного и фиолетового
цвета, чтобы пройти сквозь плоскопараллельную пластинку толщиной
d - 1 мм, если лучи падают нормально к поверхности пластинки? Пока-
затели преломления материала пластинки для красного и фиолетового
лучей равны соответственно п{ = 1,643 и л2= 1,685.
33.26. Показатель преломления алмаза пх = 2,4, а стекла п2 = 1,5. Чему
должно быть равно отношение толщин этих веществ, чтобы время рас-
пространения света в них было одинаковым?
34. Линзы. Оптические системы
34.1. Точечный источник света 5 находится на главной оптической
оси ОХО2 собирающей линзы (рис. 34.1). Постройте ход луча SA, падаю-
щего от источника на линзу, после его преломления в ней. Определите
построением хода лучей положение изображения источника.
34.2. Точечный источник света 5 находится на главной оптической
оси Ot<?2 рассеивающей линзы. Постройте ход луча SA, падающего от
298
источника на линзу, после его преломления. Определите построением
хода лучей положение изображения источника.
343. На рис. 34.3 представлен ход луча АА' в собирающих линзах.
Найдите построением ход луча В после его преломления в линзе
(рис. 34.3, а) и ход луча В ' до его преломления в линзе (рис. 34.3, б).
Рис. 34.4
34.4. На рис. 34.4 представлен ход луча АА' в рассеивающих линзах.
Найдите построением ход луча В после его преломления в лннзе
(рис. 34.4, а) и ход луча В' до его преломления в лннзе (рис. 34.4, б).
299
34.5. На рис. 34.5 даны точечный источник 5 и его изображение S'.
Определите построением хода лучей положение оптического центра
линзы и ее фокусов в случаях, когда главной оптической осью линзы
являются прямые 1-4.
34.6. Постройте ход луча, преломленного системой линз: собираю-
щей JIt и рассеивающей Л2 (рис. 34.6). Линзы имеют фокусные расстоя-
ния Fj и F2 соответственно.
1
2
3
4
Рис. 34.5
О\ 2F F F О2 Oi F F О2
а)
Рис. 34.7
34.7. Светящийся предмет может занимать пять положений, как по-
казано на рис. 34.7. В каждом случае с помощью трех характерных лу-
чей найдите изображение предмета. Для каждого случая: напишите
формулу линзы; укажите, какое изображение получается; найдите уве-
личение н укажите, какое оно: Г> 1 илн Г< 1.
34.8. Постройте изображение светящегося предмета АВ в случаях, ука-
занных на рис. 34.8. Главные оптические оси линз и их фокусы заданы.
34.9. Постройте изображение светящегося предмета АВС в случа-
ях, указанных на рис. 34.9. Главные оптические осн линз н их фокусы
заданы.
зоо
34.10. На рис. 34.10 изображены главная оптическая ось линзы OXOZ,
предмет АВ и его изображение А'В Определите построением положе-
ние оптического центра линзы н ее фокусов. Какая линза дает подобное
изображение — рассеивающая или собирающая?
F О2
Рис. 34.9
34,11. Положение предмета АВ н его изображение А'В' приведены на
рис. 34.11. Определите построением положение линзы, главной оптиче-
ской оси линзы и ее фокусов.
34,12. Как следует расположить две собирающие линзы, чтобы пучок
параллельных лучей, пройдя через них, остался параллельным и сохра-
нил свое первоначальное направление.
Ох 2F F
301
34.13. На рис. 34.13 показано два положения предмета АВ, положе-
ние собирающей Л1 и рассеивающей Л2 линз и их фокусов. Постройте
изображение предмета в системе линз в двух случаях.
Рис. 34.13
плоское
зеркало
~~О2
Рис. 34.14
34.14. На рис. 34.14 показано положение предмета АВ, собирающей
линзы, ее главной оптической оси и плоского зеркала. Постройте изо-
бражение предмета.
34.15. Свеча находится на расстоянии 12,5 см от собирающей линзы с
оптической силой Юдптр. На каком расстоянии от линзы получится
изображение и каким оно будет?
34.16. На каком расстоянии от линзы с фокусным расстоянием 12 см
необходимо поместить предмет, чтобы его действительное изображение
было втрое больше самого предмета?
302
34.17. С помощью фотоаппарата, размер кадра которого ахй =
= 24х 36 мм, а фокусное расстояние объектива F=50 мм, фотографируют
человека ростом h= 1,8 м. На каком минимальном расстоянии от челове-
ка необходимо установить аппарат, чтобы получить фотографию в пол-
ный рост?
34.18. На экране, отстоящем от объектива проекционного аппарата
на расстоянии/=4м, получено четкое изображение диапозитива. Объек-
тив обладает оптической силой О = 5дптр. Экран отодвигают на рас-
стояние Z = 20 см. На сколько и куда необходимо подвинуть диапозитив,
чтобы восстановить четкость изображения?
34.19. Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы Р=40см. Точеч-
ный источник света находится на главной оптической оси линзы на
расстоянии а!=50 см от нее. Линза разрезается плоскостью вдоль глав-
ной оптической оси на две равные части, которые раздвигаются на рас-
стояние 1 = 5 см относительно друг друга симметрично относительно
оси. Найдите расстояние между двумя изображениями точки.
34.20. Кинооператору требуется снять автомобиль, движущийся со
скоростью v = 72 км/ч на расстоянии а!=26м от оператора. Фокусное
расстояние объектива кинокамеры F= 13 мм. Какова должна быть экспо-
зиция Дг, чтобы размытость контуров изображения не превышала значе-
ния а = 0,05 мм?
34.21. Расстояние между источником света и экраном равно L.
Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение при двух
положениях, расстояние между которыми I. Определите фокусное
расстояние линзы.
34.22. Какое увеличение Г может дать лупа с оптической силой
D = 8 дптр ? Расстояние наилучшего зрения d0 = 25 см.
34.23. Мнимое изображение предмета находится на расстоянии f= 1 м
от собирающей линзы с фокусным расстоянием F= 0,25 м. На каком
расстоянии от линзы расположен предмет?
34.24. На пути сходящегося пучка лучей поставили собирающую
линзу с фокусным расстоянием F=7cm. В результате лучи сошлись в
точке А на расстоянии /= 5 см от линзы. На каком расстоянии b от точки
А сойдутся лучи, если линзу убрать?
34.25. Собирающая линза дает прямое изображение предмета с уве-
личением Г = 2. Расстояние между предметом и изображением £=20см.
Определите фокусное расстояние линзы.
303
34.26. Расстояние Между Двумя точечными источниками света
1=24 см. Где между ними нужно поместить собирающую линзу с фо-
кусным расстоянием Г=9см, чтобы изображения обоих источников
получились бы в одной и той же точке?
34.27. На главной оптической оси между тонкой собирающей лин-
зой и ее фокусом расположены две точки А и В. Если предмет помес-
тить в точке А, то изображение будет увеличено вдвое, а если помес-
тить его в точке В, то втрое. Во сколько раз линза увеличивает изобра-
жение отрезка АВ ?
34.28. На стеклянную сферическую колбу с тонкими стенками, на-
полненную жидкостью, падает узкий параллельный пучок света так, что
ось пучка проходит через центр колбы. На противоположной стороне
колбы пучок света имеет диаметр в три раза меньше диаметра пучка,
падающего на колбу. Определите показатель преломления жидкости п.
34.29. Светящаяся точка лежит на главной оптической оси рассеи-
вающей линзы на расстоянии 150 см от нее. Фокусное расстояние линзы
70 см. Определите положение изображения точки и укажите, какое оно.
34.30. Мнимое изображение светящейся точки в рассеивающей линзе
с оптической силой D=-5 дптр находится в два раза ближе к линзе, чем
сама точка. Найдите положение светящейся точки, если она лежит на
главной оптической оси линзы.
34.31. Сходящийся пучок лучей имеет вид конуса с вершиной в точке
А. Когда на пути лучей поставили рассеивающую линзу, сходящийся
пучок превратился в расходящийся с вершиной в точке В. Точки А и В
лежат на главной оптической оси линзы на расстоянии 1= 0,45 м друг от
друга, и оптический центр линзы делит отрезок ВА в отношении п: т
1:2. Найдите фокусное расстояние F линзы.
34.32. Предмет высотой h = 0,03 м расположен на расстоянии
d-0,15 м от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F=0,3 м. На
каком расстоянии от линзы находится изображение? Найдите высоту
изображения.
34.33. Светящаяся точка и ее изображение в тонкой линзе находятся
на расстояниях L1 и Ь2 > Ь2) с одной стороны от главной оптической
оси. Прямая, проходящая через источник и изображение, составляет с
главной оптической осью угол а. Найдите фокусное расстояние линзы.
34.34. Стеклянная линза имеет в воздухе (п=1) оптическую силу
D = 5 дптр. Найдите фокусное расстояние той же линзы, погруженной в
воду. Показатель преломления стекла пст= 1,5, воды пв= 1,33.
304
34.35. Кусок стекла с показателем преломления лст=1,5 имеет воз-
душную (л = 1) полость в виде двояковыпуклой линзы с радиусами кри-
визны Я = 10 см. На главной оптической оси линзы внутри стекла на
расстоянии </=20 см от линзы расположена песчинка. Найдите расстоя-
ние от линзы до изображения песчинки.
34.36. Точечный источник света находится на главной оптической
оси рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F= 10 см на расстоя-
нии d= 15 см от линзы. По другую сторону линзы на расстоянии Ь = 5 см
от нее расположено плоское зеркало. Найдите расстояние между источ-
ником и его мнимым изображением в зеркале.
34.37. Ученик привык читать книгу, держа ее на расстоянии «У=20 см
от глаз. Какова должна быть оптическая сила очков, которые должен
носить ученик, чтобы читать книгу, держа ее на расстоянии наилучшего
зрения <7О = 25 см?
34.38. В трубу вставлены две тонкие собирающие линзы таким обра-
зом, что их главные оптические оси совпадают. Расстояние между лин-
зами 7=0,16 м; фокусное расстояние первой линзы Fi = 0,08 м; фокусное
расстояние второй линзы F2 = 0,05 м. Предмет высотой Л = 0,09 м поме-
щен на расстоянии <7=0,4 м от первой линзы. На каком расстоянии/2 от
второй линзы получится изображение предмета? Найдите высоту изо-
бражения Л.
305
XV. СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
Интерференция, дифракция и дисперсия света
Явлением интерференции света называется явление усиления или
ослабления интенсивности I света в данной точке среды в результате
наложения световых волн. Явление интерференции наблюдается только
при наличии когерентных источников, т.е. таких, которые обладают
одинаковой частотой и постоянной во времени разностью начальных
фаз световых волн. При интерференции не происходит простого сумми-
рования интенсивности света, а имеет место перераспределение энергии
световых волн в пространстве.
Пусть S, и S2 — близко расположенные когерентные источники ма-
лых линейных размеров в виде двух ярко освещенных щелей (рис. 116).
Рассмотрим случай, когда плоскость экрана Э параллельна плоскости, в
которой находятся линейные источники, а расстояние L много больше
расстояния й.
Выберем точку А на экране. Выделим два световых луча, попадаю-
щих от источников в данную точку. Геометрическая разность хода А
этих лучей и длина волны X определяют результат интерференции в
точке Я:
306
Д = Г!-Г2,
где г, и г2 — расстояния соответственно от источников 5, и S2 до точ-
ки Л. Если световые лучи распространяются от источников до точки
наблюдения в различных средах с абсолютными показателями прелом-
ления л, и л2, то результат интерференции определяется оптической
разностью хода Д:
^ = nlrl -П2Г2 .
Условия наблюдения интерференционных максимумов или миниму-
мов имеют вид:
1
Д = ±2тп — — максимум тп-го порядка (светлая полоса), т = 0, 1, 2,...
1
Д = ±(2т -1)— — минимум т-го порядка (темная полоса), т= 1, 2,...
Из этих условий следует, что если для данной точки наблюдения на
разности хода интерферирующих лучей укладывается четное число
длин полуволн, то в данной точке наблюдается максимум интерферен-
ционной картины, а если нечетное — то минимум.
В результате интерференции на экране будет наблюдаться система
чередующихся светлых и темных полос. Причем, как это следует, на-
пример, из условия максимумов интерференционной картины, при об-
лучении щелей фиолетовым светом максимумы интерференции будут
уже и ближе расположены к центру картины, чем соответствующие
(того же порядка) максимумы картины, полученной от источников крас-
ного света (см. рис. 116, на котором представлен график распределения
на экране интенсивности 7 для фиолетового (а) и красного (6) света).
Расчет интерференционной картины (т. е. определение координат мак-
симумов и минимумов) рассмотрим на следующем примере.
Пример 76. Два когерентных источника и S2 (см. рис. 116) испус-
кают монохроматический свет с длиной волны А = 600 нм. Определите,
на каком расстоянии от центра экрана будет расположен первый макси-
мум интерференционной картины, если Е = 4м, /г=1мм?
Дано: Из рис. 116 следует: г2 = Т,2+(х + й/2)2, г2 =
А = 600 нм, „
£=4м = L +{x-h/2; . Вычитая из 1-го уравнения 2-е, имеем
Л=1мм (ri-r2)(ri+гг)= . Из условия L» h следует, что
____7 Г] + г2 = 27,. Отсюда, с учетом того, что А = г, - г2:
xi
307
. 2xh h
------= x—.
2L L
Условие максимумов интерференционной картины:
X
Д = ±2т-^-, где Xq — длина волны в вакууме.
Приравнивая правые части последних двух уравнений, находим ко-
ординату тл-го максимума в виде
, mknL
х„ = ±---—.
т h
XnL
Для т= 1 (первый максимум) х1 = ±—— = ±2,4 мм.
h
Присутствие знаков «+» и «-» в ответе означает, что максимумы
первого порядка (как и всех других порядков) симметрично расположе-
ны относительно центра экрана по обе его стороны.
Пример 77. На плоскопараллельную пленку толщиной d под углом а
падает монохроматический свет с длиной волны X. Показатель прелом-
ления вещества пленки п. Найдите оптическую разность хода двух волн,
отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки. Найдите опти-
ческую разность хода этих волн при условии, что угол а=0°.
Дано:
d, а, X, п
Д —?
Будем предполагать, что по
обе стороны пленки находится
воздух, показатель преломления
которого п~1 (рис. 117). Па-
дающая на пленку волна час-
тично отражается от пленки
(луч 1) и частично преломляет-
ся (луч 2(). В свою очередь
волна, достигшая нижней по-
верхности, также частично
отражается (луч 22). Прелом-
ленный на верхней поверхности пленки луч 23 будет интерферировать с
308
лучом 1. Результат интерференции наблюдается в фокальной плоскости
линзы Л. Оптическая разность хода лучей 1 и 2з, достигших волновой
поверхности DC, описывается выражением
А = (АВ + ВС)п - (AD + АУ2),
где (АВ + ВС)п — оптическая длина пути луча 2, (AD + А/2) — оптиче-
ская длина пути луча 1 (здесь слагаемое А/2 учитывает потерю 1-м лу-
чом полуволны при отражении его от оптически более плотной среды —
пленки).
(АВ + ВС) = 2АВ', из AAFB: АВ = -^— или АВ + ВС = -^~.
cosy cosy
Из ААЕВ: AE=EBtg{, но EB=d, поэтому AE=dtg{ и AC=2AE=2dtg{.
Наконец, AD=/4Ccos(90°-a) = 2dtgysina. Таким образом,
* „ dn . А
А = 2-----2d tgysina—.
cosy 2
Умножим и разделим второе слагаемое в правой части уравнения на
„ dn „,sin2ysina A sin a
smy, имеем A = 2-----2d--------------, но----= n, поэтому
cosy cos у sin у 2 sin у
. — dtt „ • 2 \ A л > A. VT
A = 2-----(1-sin y)--= 2a«cosy---. Или иначе:
cosy 2 2
, , Г. A „ , , sin2 a A . „ , r~i A
A = 2dny]l-sm2у — = 2dnJl------:-----; A = 2dn-yn -sm a —.
2 V n 2 2
Если волна падает перпендикулярно поверхности пленки, то sina=0 и
» „ , А
А = 2dn---.
2
Под дифракцией света понимают явление огибания световыми вол-
нами препятствий, соизмеримых с длиной световой волны, и проникно-
вение волны в область геометрической тени, т. е. непрямолинейное рас-
пространение света.
Качественные закономерности явления дифракции устанавливаются
с помощью принципа Гюйгенса-Френеля, который утверждает:
309
Рис. 118
1) Каждая точка среды, до которой доходит
волновое возмущение, является источником
вторичных сферических волн (рис. 118). Оги-
бающая этих сферических волн дает новое поло-
жение волнового фронта.
2) Все точки фронта волны колеблются с
одинаковой частотой и в одинаковой фазе и,
следовательно, представляют собой совокуп-
ность когерентных источников. Распространяясь
вперед, волны от всех когерентных источников
интерферируют друг с другом.
Рис. 118 с помощью принципа Гюйгенса-
Френеля качественно иллюстрирует, как лучи
параллельного пучка света, освещающего отвер-
стие, отклоняются от прямолинейного распро-
странения и заходят в область геометрической тени, оставаясь перпен-
дикулярными новому фронту волны.
Важнейшим спектральным прибором, предназначенным для раз-
ложения света в спектр и измерения длин волн, является дифракци-
онная решетка. Пусть на решетку падает плоская (фронт волны
представляет собой плоскость) монохроматическая волна с длиной Л.
(рис. 119).
Рис. 119
310
За решеткой на пути дифрагирующих лучей помещается линза Л, а в
ее фокальной плоскости — экран Э. Линза фокусирует дифрагирующие
на решетке параллельные лучи в одной точке экрана, где происходит
наложение волн. Волны, которые распространяются под углом дифрак-
ции <р от двух одинаково расположенных точек двух соседних щелей
решетки, имеют разность хода A=dsin<p, где d — период решетки. Если
на разности хода А лучей, собирающихся в данной точке на экране, укла-
дывается четное число длин полуволн или, что то же самое, — целое чис-
ло длин волн, то в данной точке наблюдается дифракционный максимум.
Таким образом, условие максимумов запишется в виде: d sin <р = ±тиА, где
ти = О, 1, 2, 3,... — порядок максимума.
Пример 78. Белый свет падает на дифракционную решетку перпен-
дикулярно к ее поверхности. Чему равна постоянная решетки d, если для
того, чтобы увидеть красную линию (А! = 700 нм) в спектре второго по-
рядка, зрительную трубу необходимо установить под углом <pj = 30° к
нормали к решетке? Определите положение максимума второго порядка
для зеленой линии (А2 = 550 нм).
Дано: Условие появления красной линии в спектре второго
А,-700 нм, (тп = 2) порядка: 6/sin<p1 = TwA1 позволяет найти период
Ф1= зо°, ,
т = 2, дифракционной решетки d = ——!- = 2,8 мкм. Направле-
А2 = 550нм SlntP1
ние на зеленую линию в спектре второго порядка опре-
d — ? ср2 ? делиТСя соотношением d sincp2 = mA2, откуда
тиА,
smcp2 =—- и<р2 = 23 .
d
Пример 79. Дифракционная решетка, на 1 мм которой нанесено
75 штрихов, освещается монохроматическим светом с длиной волны
А = 500 нм (рис. 120). Дифракционная картина наблюдается с помощью
зрительной трубы, отстоящей от решетки на расстояние L. Промежуток
между центральной и второй светлыми полосами, измеренный вдоль
плоскости PP',h= 11,25 см. Определите расстояние L.
311
зрительная
труба
Рис. 120
Дано:
У=75мм~',
Х = 500 нм,
Л = 11,25 см
L—?
Для определения угла ср обратимся к
формуле, определяющей условие максиму-
мов дифракции на решетке: dsin<p = wX. Здесь
d=i/N, т = 2. Угол ср мал, так как
/л Л.
sin ср =-= mXN = 0,075. Для таких малых
d
углов можно считать, что sincp ~ tgcp.
Следовательно, tgcp=wiAJV, но tgcp = /i/Z
(см. рис. 120). Тогда L =
h
------= 1,5 м.
mXN
Явлением дисперсии называется зависимость показателя преломле-
ния п вещества от частоты v электромагнитной волны. Для подавляюще-
го большинства веществ в области видимого света показатель прелом-
ления увеличивается с увеличением частоты.
35. Интерференция, дифракция и дисперсия света
Во всех задачах на тему «дифракция света на решетке» следует
считать, что свет падает нормально к поверхности решетки.
35.1. На пути одного из параллельных световых лучей поместили
нормально ему плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной
1 мм. Считая показатель преломления стекла и =1,50, определите,
какую добавочную оптическую разность хода лучей вносит пластинка.
35.2. Сколько длин волн монохроматического света с частотой
у = 5-1014Гц уложится на пути 1= 1,2мм: 1) в вакууме; 2) в стекле с
312
абсолютным показателем преломления и1 = 1,5; 3) в воде с абсолютным
показателем преломления п2 -1,33 ?
35.3. От двух когерентных источников красного света получили ин-
терференционные полосы. Как изменится картина интерференционных
полос, если воспользоваться источниками фиолетового света?
35.4. Оптическая разность хода волн от двух когерентных источни-
ков в некоторой точке экрана Д = 3,015 мкм. Каков будет результат ин-
терференции в этой точке, если длина волны равна: 1) Л( = 603нм;
2)Л2 = 670нм?
35.5. Световые волны от двух когерентных источников с длиной вол-
ны Л| = 500нм попадают на экран. Геометрическая разность хода волн
А = 0,75 мм. Что будет наблюдаться в этом случае в точке на экране —
интерференционный максимум или минимум? А в том случае, если при
той же разности хода А длина световых волн источника изменится и
станет Л2 = 750 нм ?
35.6. Световые волны от двух когерентных источников с длиной вол-
ны Л=400 нм распространяются навстречу друг другу. Каков будет
результат интерференции в точках схождения волн, для которых раз-
ность хода равна: 1) Aj = 2 мкм; 2) Д2 = 2,2 мкм ?
d $2
Рис. 35.7
35.7. Два когерентных источника света St и S2 с дли-
ной волны Л = 0,5 мкм находятся на расстоянии d= 2 мм
друг от друга (рис. 35.7). Экран расположен на расстоя-
нии Л = 2м от 5,. Плоскость, в которой расположены ис-
точники, параллельна плоскости экрана. Каков будет
результат интерференции в точке А экрана?
35.8. Расстояние между двумя точечными когерент-
ными источниками света h = 2 мм. Источники расположе-
ны в плоскости, параллельной экрану на расстоянии
L=1 м от него. Расстояние между соседними интерферен-
ционными полосами на экране Ах=2,1 мм. Найдите длину
световой волны.
35.9. При наблюдении в воздухе интерференции света от двух коге-
рентных источников излучения на экране видны чередующиеся темные
и светлые'полосы. Что произойдет с шириной полос, если наблюдение
производить в воде (и =1,33), сохраняя все остальные условия опыта
неизменными?
313
35.10. На толстую стеклянную пластинку (nt = 1,5) нанесена прозрач-
ная пленка (п2= 1,4). На пленку нормально к поверхности падает моно-
хроматический свет с длиной волны Л = 600 нм. Чему равна наименьшая
толщина пленки, если в результате интерференции лучи максималь-
но ослабляются?
35.11. Дифракционная решетка, постоянная которой равна 0,004 мм,
освещается монохроматическим светом с длиной волны 687 нм. Под
каким углом к решетке в проходящем свете необходимо производить
наблюдение, чтобы видеть изображение спектра второго порядка?
35.12, Определите постоянную дифракционной решетки, если при
освещении ее светом с длиной волны 656 нм спектр второго порядка
виден под углом 15°.
. 35.13. При освещении дифракционной решетки монохроматическим
светом с длиной волны 600 нм угол, соответствующий направлению на
четвертый дифракционный максимум, ф = 15°. Сколько штрихов на 1 мм
длины имеет дифракционная решетка?
35.14. Определите, длину волны света для линии в дифракционном
спектре третьего порядка, совпадающей с линией дифракционного мак-
симума четвертого порядка световой волны с длиной 490 нм.
35.15. Определите угол, под которым виден наибольший порядок
спектра, получаемого с помощью дифракционной решетки, имеющей
600 штрихов на 1 мм. Решетка освещается светом с длиной волны
X = 500 нм.
35.16. Спектр получен с помощью дифракционной решетки с перио-
дом d= 1,9-10-5 м. Дифракционный максимум второго порядка удален от
центрального максимума на расстояние /г = 7,3-10-2м, а от решетки — на
расстояние L= 1,13 м. Определите частоту падающего на решетку света.
35.17. На дифракционную решетку с периодом d= 1,2-10~3см падает
монохроматическая волна. Оцените длину волны, если угол между спек-
трами второго и третьего порядка Дф = 2°30'.
35.18. В водоем на некоторую глубину помещен источник белого
света. Показатель преломления для красных лучей и, = 1,328, а для
фиолетовых — п2= 1,335. Вычислите отношение радиусов кругов, в
пределах которых возможен выход красных и фиолетовых лучей из
воды в воздух.
35.19. На стеклянную призму (рис. 35.19) падает луч белого света.
Постройте качественно ход диспергирующих лучей в призме и ход лу-
314
чей вне призмы. Показатель преломления п{ материала призмы больше
показателя преломления п2 среды, в которой находится призма.
Рис. 35.20
35.20. На плоскопараллельную стеклянную пластинку (рис. 35.20)
падает луч белого света. Постройте качественно ход диспергирующих
лучей в пластинке и ход лучей вне пластинки. Показатель преломления
п{ материала пластинки больше показателя преломления и2 среды, в
которой находится пластинка.
Элементы теории относительности
Понятия и принципы классической механики (механики Галилея и
Ньютона) применимы в области макроскопических объектов с размера-
ми <7»10~6м, движущимися со скоростями v«c (с=2,998-108м/с).
Поведения объектов атомных масштабов и движущихся со скоростями
v ~ с описываются законами квантовой механики и специальной тео-
рии относительности.
В основе специальной теории относительности лежат два принципа:
1) в любых инерциальных системах отсчета все физические явления (а
не только механические, как утверждает принцип относительности Га-
лилея) при одних и тех же условиях протекают одинаково;
2) скорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета
одинакова и не зависит от движения источника и приемника света.,
Следствием этих постулатов являются следующие положения:
1. Невозможна передача сигналов со скоростями, большими скоро-
сти света в вакууме.
2. Линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной
системы отсчета, уменьшается в направлении движения:
315
1 с
где /0 — длина идеального жесткого стержня, измеренная в движущейся
системе отсчета, относительно которой стержень покоится; I — длина
стержня, измеренная в неподвижной системе отсчета; v — скорость
движущейся системы отсчета.
3. В движущейся инерциальной системе отсчета замедляется ход те-
чения времени:
т = -г^=,
н
где т — промежуток времени между двумя событиями в неподвижной
системе отсчета; т0 — промежуток времени между этими же двумя со-
бытиями в движущейся системе отсчета; v — скорость движущейся
системы отсчета.
4. Инертная масса тела, движущегося относительно инерциальной
системы отсчета, увеличивается:
т =
то
р = irw -
где т0 — масса тела, измеренная в движущейся системе отсчета, отно-
сительно которой тело покоится (масса покоя); т — масса тела, изме-
ренная в системе отсчета, по отношению к которой тело движется со
скоростью v (релятивистская масса); v — скорость движущейся системы
отсчета. Импульс тела является нелинейной функцией его скорости:
5. Энергия и масса тела связаны универсальным соотношением
2 «ос2
w = тс = г=-------
316
Если скорость тела равна нулю, то тело обладает энергией покоя
W=m0c2.
Пример 80. С какой скоростью v должен двигаться космический ко-
рабль, чтобы линейка длиной /0, лежащая на корабле вдоль его осевой
линии, при измерении с Земли оказалась бы вдвое короче? Какой про-
межуток времени т0 пройдет на этом корабле за 25 земных суток?
Дан0: Проявление релятивистского сокращения длины
Z / /0 = 0,5, выражается в специальной теории относительности
т=25 сут I
(СТО) формулой Z = ZOJ1—- , откуда, учитывая, что
V — ? т0 — ? V с2
Z = 0,5 Zo, найдем v = 2,6-108 м/с.
Замедление хода движущихся часов записывается в СТО уравнением
т I и2
т = —, 0 , откуда т0 = tJI —= = 12,5 сут.
, и2 V с
Пример 81. Космический корабль массой т0=5 т движется сначала со
скоростью г\ = 8км/с, затем со скоростью о, = 2,9-108м/с. Определите реля-
тивистскую массу корабля при различных скоростях и, и и2 его полета.
Дано: При движении корабля со скоростью о, =8 км/с
то = 5-1О кг, релятивистская масса корабля определяется по фор-
п1 = 8-103м/с, т
и2 = 2,9-108м/с МуЛе 5000,0035 И РаЗН°СТЬ
— ? т2— ? масс равна ти1-?и0 = 3,5г при массе покоя корабля
то = 5-1Обг, т.е. релятивистская масса корабля отли-
чается от его массы покоя настолько незначительно, что к описанию
движения корабля можно применять законы классической механики.
При движении корабля со скоростью иг = 2,9-1(/м/с, очень близкой
по значению к скорости света в вакууме (с = 2,998-108 м/с), релятивист-
ская масса корабля составляет т2 =
то
71 - v22/c2
= 19,7 т и почти в че-
317
тыре раза превышает массу покоя корабля. Понятно, что законы класси-
ческой механики нельзя применять к описанию движений с подобными
скоростями.
Квантовая теория излучения
Согласно теории М. Планка, в дальнейшем развитой А. Эйнштейном,
излучение и поглощение света веществом происходит конечными пор-
циями, называемыми квантами. Таким образом, свет при испускании и
поглощении ведет себя подобно потоку частиц {фотонов) с энергией
отдельного фотона, равной е = hv = hc/X , где /г = 6,62-10'34Дж-с — по-
стоянная Планка; с — скорость света в вакууме; Л — длина световой
волны. Подобно частице фотон обладает релятивистской массой
е hv _ h ~
т = —г = -г- и импульсом р = тс , модуль которого р = —-. Особенно-
ст с Л
стью фотона является то, что он неделим, движется со скоростью света и
его масса покоя т0- 0.
Пример 82. Определите энергию фотонов, соответствующих наибо-
лее длинным (X! =750 нм) и наиболее коротким (Л2 = 400нм) волнам
видимой части спектра, и энергию фотона, соответствующего рентге-
новскому излучению (Л3= 10'1Ом).
Дано- . Используя формулу для энергии фотона е = hv = ,
Л, = 750 нм, Л
t2 tn-io*1' имеем е, = — = 2,6-10"19 Дж, е2 = — = 5,0-10~19 Дж,
Л3=10 нм Л, Л2
Е| ? е3 = ~ = 2,0 • 10-15 Дж. Сравнивая полученные значения
е2 —? л3
Е3 — ? энергий, видим, что энергия «рентгеновского» фотона
больше энергии «светового» фотона приблизительно на
четыре порядка. Подобное соотношение соблюдается и
для релятивистских масс этих фотонов.
Пример 83. Адаптированный к темноте глаз воспринимает свет с
длиной волны Л = 590 нм при мощности падающего на зрачок глаза све-
318
тового потока Р=3,7-10 18 Вт. Сколько фотонов и при этом ежесекундно
попадает на сетчатку глаза?
дано: Энергия светового излучения выражается форму-
Л=590нм лой W=Pt. С другой стороны, W=eN, где е — энер-
Р = 3 7-10-18 Вт 11151 Фотона (£ ~ ^v), N — число фотонов. Приравнивая
(= 1 с правые части двух уравнений, выражающих энергию
светового излучения, имеем: hvN=Pt, откуда
п —? W Р РХ ,,
п=—- — =------= 11.
t hv he
Внешний фотоэффект
Внешним фотоэффектом называется испускание электронов веще-
ством под действием света. Электроны, вылетевшие из вещества под
действием света, называются фотоэлектронами, а электрический ток,
образуемый ими при упорядоченном движении во внешнем электриче-
ском поле, называется фототоком. Падающий на поверхность вещест-
ва свет испытывает поглощение электронами проводимости. Каждый
поглощенный фотон передает электрону свою энергию E = hv. Если зна-
чения этой энергии достаточно для преодоления электроном работы
выхода А, то электрон вырывается из вещества наружу в вакуум или газ.
Уравнение Эйнштейна, выражающее закон сохранения энергии при
взаимодействии фотон-электрон, записывается в виде:
, . mvL.
hv = А+——,
2
где т — масса электрона; цтах — максимальная начальная скорость
вылета электрона.
Как видно из уравнения, максимальная кинетическая энергия фото-
электронов —- линейно зависит от частоты света. Максимальная
кинетическая энергия обращается в нуль при частоте v0, соответствую-
щей красной границе внешнего фотоэффекта. Красной границей внеш-
него фотоэффекта называется наименьшая частота v0, при которой
еще возможен фотоэффект: V0=A/h. Значение максимальной кинетиче-
319
ской энергии экспериментально определяется по задерживающей разно-
сти потенциалов 1Z,:
Пример 84. Определите максимальную скорость фотоэлектронов,
вылетевших из цинкового катода с Л = 6,4-1 О*19 Дж при освещении его
ультрафиолетовым светом с длиной волны Х = 300нм. Определите, ка-
кую задерживающую разность потенциалов U3 необходимо приложить к
электродам вакуумной трубки, чтобы прекратить фототок. Определите
красную границу фотоэффекта.
Дано: А = 6,4-10'19 Дж, X = 300 нм mv2 Уравнение Эйнштейна hv = А н с учетом того, что v = cl\, позволяет найти максимальную
t/3-? V0-? кинетическую энергию фотоэлектрона: тах_/г А, откуда cmax Jzfh а\/ш Z, Л V 1 А у/ = 2,2-105м/с. Красная граница внешнего фотоэффек-
та определяется соотношением Уо=Л//г = 9,7-1014Гц. Граничной частоте
v0 соответствует длина волны Хо = — = 310 нм. Для прекращения фото-
v0
тока необходимо к электродам вакуумной трубки приложить такую
разность потенциалов, чтобы тормозящее электрическое поле препятст-
вовало попаданию фотоэлектронов на анод. При этом работа сил куло-
новского поля должна быть равна изменению кинетической энергии
2 2
. WOmax г г г г . т-.
фотоэлектронов: —— = eU3, U3 = —— = 0,14 В.
2 2е
36. Теория относительности. Квантовая теория излучения.
Внешний фотоэффект
36.1. Собственная длина стержня равна 1,0 м. Определите его длину
для наблюдателя, относительно которого стержень перемещается со
скоростью 0,6с, направленной вдоль стержня.
320
36.2. Во сколько раз замедляется темп хода часов в ракете при ее
движении относительно Земли со скоростью: о1 = 2,6-108м/с, v2 =
= 8-1О3м/с.
36.3. Сколько времени пройдет на Земле, если в космическом кораб-
ле, движущемся со скоростью 0,99с относительно Земли, нройдёт
20 лет?
36.4. Собственное время жизни ц-мезона составляет 2,21-10"%. Оп-
ределите, прилетают ли ц-мезоны, наблюдаемые у поверхности Земли,
из мирового пространства или рождаются в атмосфере. Скорость
ц-мезона относительно Земли принять равной 0,99с.
36.5. Рассмотрим две жесткие линей-
ки, скрещенные под углом а друг к другу
(рис. 36.5). Если линейку 1 двигать вверх
___________________________________а 1 со скоростью v, точка пересечения линеек
М будет двигаться со скоростью
и =----. Если угол а очень мал и
Рис. 36.5 sin а
и
sin а = —, где с — скорость света в ва-
2с
кууме, то скорость движения точки М окажется равной и = = 2с.
v/2c
Не противоречит ли этот результат специальной теории относительности?
36.6. При какой скорости релятивистское увеличение массы тела со-
ставит 1 %, 50% ?
36.7. Определите кинетическую энергию и импульс электрона при
скорости и = 0,75с по классическим и релятивистским формулам. Масса
покоя электрона т0=9,1 • 10"31 кг.
36.8. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти
электрон, чтобы приобрести скорость, равную 0,9с ?
36.9. Определите энергию фотона для света с длиной волны в вакуу-
ме к = 400 нм, распространяющегося в среде с абсолютным показателем
преломления п = 1,5. Постоянная Планка h = 6,63-10-34 Дж-с.
36.10. Определите массу и импульс фотона, энергия которого равна
энергии поступательного движения молекулы водорода при t = 27°С. Какова
длина волны света, соответствующего этому фотону? Постоянная Больцма-
на к= 1,38-10-23Дж/К. Постоянная Планка h=6,63-10-34 Дж-с.
321
36,11. Определите массу и импульс фотона для излучения с длиной
волны в вакууме Х = 1мкм. Постоянная Планка Л=6,63-10'34 Дж-с.
36.12. Источник света мощностью Р= 100 Вт за одну секунду испус-
кает и=5 1015 фотонов. Определите среднюю длину волны излучения.
36.13. Монохроматический источник света мощностью Р=100Вт
имеет длину волны Л=500 нм. На каком максимальном расстоянии этот
источник будет замечен человеком, если глаз реагирует на световой
поток, соответствующий л = 60 фотонам в секунду? Диаметр зрачка
<2=0,5 см.
36.14. Определите, какую максимальную скорость могут получить
вырванные из калия электроны при облучении его светом с длиной вол-
ны Л = 0,4 мкм. Работа выхода электронов А = 3,24 О"19 Дж. Постоянная
Планка h = 6,634О*34 Дж-с. Масса электрона те = 9,14 О31 кг.
36.15. Фотон, которому соответствует световая волна длиной
Л = 320 нм, вырывает с поверхности лития фотоэлектрон, максимальный
импульс которого ртт = 6,0340 25 кг-м/с. Определите работу выхода
электрона.
36.16. Поверхность лития освещается монохроматическим светом
некоторой частоты. Для прекращения фототока прикладывается задер-
живающая разность потенциалов С73=2,1 В. Определите частоту моно-
хроматического света. Работа выхода электронов из лития /1 = 2,39 эВ
(1 эВ = 1,6-10-19 Дж). Постоянная Планка h = 6,63 10-34 Дж-с. Заряд элек-
трона |е( = 1,6- КГ19 Кл.
36.17. Определите задерживающую разность потенциалов для фото-
электронов, вырываемых с поверхности калия (А = 2,0 эВ) при его осве-
щении светом с длиной волны к = 330 нм.
36.18. Определите постоянную Планка h, если при облучении неко-
торого металла светом частоты у1 = 2,2-1015Гц фототок прекращается
при задерживающей разности потенциалов (7/= 6,6 В, а при облучении
того же металла светом частоты У2 = 4,6-1015Гц фототок прекращается
при задерживающей разности потенциалов U" = 16,5 В.
36.19. Изолированная металлическая пластинка освещается све-
том с длиной волны Х = 450 нм. Работа выхода электронов из металла
/1 = 2 эВ. До какого потенциала зарядится пластинка при непрерыв-
ном действии света?
322
36.20. Работа выхода электронов из натрия Л=2,27 эВ. Найдите крас-
ную границу фотоэффекта для натрия. Постоянная Планка
h=6,63-10’34 Дж-с.
36.21. Красная граница фотоэффекта для платины соответствует
длине волны около 198 нм. Если платину прокалить при высокой тем-
пературе, то красная граница фотоэффекта станет соответствовать
длине волны 220 нм. На сколько прокаливание уменьшает работу вы-
хода электронов?
36.22. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла соот-
ветствует длине волны А0 = 275нм. Чему равно минимальное значение
энергии фотона, вызывающего фотоэффект?
36.23. Красная граница фотоэффекта для некоторого металла соот-
ветствует длине волны А0 = 275нм. Найдите максимальную скорость
электронов, вырываемых светом с длиной волны А = 180 нм.
36.24. Плоский алюминиевый электрод освещается ультрафиолето-
вым светом с длиной волны А = 83 нм. На какое минимальное расстояние
от поверхности электрода может удалиться электрон, если вне электрода
имеется задерживающее электрическое поле напряженностью
Е = 7,5 В/см ? Красная граница фотоэффекта для алюминия соответству-
ет длине волны Ао = 332 нм.
36.25. Одна из пластин плоского конденсатора, изготовленная из
материала с работой выхода А, освещается излучением частоты V,
причем ежесекундно с каждого квадратного сантиметра площади
вырывается N электронов. Фотоэлектроны собираются на второй
пластине. Через какое время фототок прекратится? Расстояние между
пластинами равно d. Постоянная Планка h, заряд электрона е и элек-
трическая постоянная е0 заданы.
36.26. В сосуде, из которого откачан воздух, имеются два электрода
из цинка. К ним подключен конденсатор С=3,5-10“6Ф. Один из элек-
тродов освещается светом с длиной волны А = 0,25 мкм. Какой величины
заряд будет находиться на конденсаторе при длительном освещении?
Работа выхода электрона из цинка А =6,4-10"19 Дж. Постоянная Планка
h = 6,63-10’34 Дж-с.
36.27. Два фотокатода освещаются одним и тем же источником света.
Вольт-амперные характеристики фотокатодов приведены на рис. 36.27.
323
Работа выхода электронов из какого фото-
катода больше? Ответ обоснуйте.
36.28. Нарисуйте график зависимости
максимальной кинетической энергии вы-
летевших с поверхности фотокатода элек-
тронов от частоты падающего на фотока-
тод света. По графику определите красную
границу фотоэффекта, работу выхода и
постоянную Планка.
36.29. Определите, через какой проме-
жуток времени масса Солнца изменится на
1%, полагая, что Солнце все это время будет излучать с постоянной
интенсивностью, и зная, что на 1 м2 поверхности, расположенной пер-
пендикулярно солнечным лучам за пределами земной атмосферы, при-
ходится удельная мощность (называемая солнечной постоянной)
Jc = 1370 Вт/м2. Масса Солнца М= 1,98-1О30 кг, расстояние от Земли до
Солнца R= 1,5-1011 м.
324
XVI. АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Строение атома
В развитии теории строения атома прошло несколько этапов. Со-
гласно классической модели атома Э. Резерфорда, атом состоит из
ядра и окружающей его электронной оболочки. Ядро положительно
заряжено, и в нем сосредоточена практически вся масса атома. Размеры
ядра составляют 10~15-10-14м. Электронная оболочка занимает область с
линейными размерами 10-10м. Электроны движутся вокруг ядра по кру-
говым орбитам (ядро находится в центре круговой орбиты). Однако
предложенная модель никак не могла быть согласована с устойчивостью
атома и наличием линейчатого спектра излучения атома, так как по за-
конам классической электродинамики электрон, движущийся с ускоре-
нием, будет излучать электромагнитную волну. Его энергия будет не-
прерывно уменьшаться до тех пор, пока он «не упадет» на ядро.
Теория Н.Бора составила следующий важный этап в развитии со-
временной физики. Эта теория применима не только к атому водорода,
но и к так называемой водородоподобной системе, состоящей из ядра с
зарядом Ze (Z — порядковый номер химического элемента в таблице
Менделеева) и одного электрона, вращающегося вокруг ядра. Теория
Бора сводилась к трем постулатам.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний).
Существуют некоторые стационарные состояния атома, находясь в
которых он не излучает энергии.
Второй постулат Бора (правило квантования орбит).
В стационарном состоянии атома должно выполняться условие
mvr = n—, где п= 1, 2, 3, ...
2л
Здесь т — масса электрона, v — скорость электрона, г — радиус его
орбиты.
Третий постулат Бора (правило частот).
При переходе атома из одного стационарного состояния в другое ис-
пускается или поглощается один квант энергии:
hv = Wn-Wk,
где Wn и Wk — энергии атома в двух стационарных состояниях. При
W„ > Wk происходит излучение фотона, при W„ < Wk — его поглощение.
325
На основании предложенной теории Бор получил, что радиусы круговых
орбит электронов в атоме водорода и водородоподобных ионах (т. е. в ато-
мах, потерявших все электроны, кроме одного) определяются выражением
л2й2е0 _
г„ ------у-, где п = 1, 2, 3,...
rnnZe2
Здесь Z — число протонов в ядре атома (для водорода Z=l). Полная
энергия электрона в атоме определяется по формуле W -----—-
8А
1
п2 ’
Схема энергетических уровней атома водорода (Z= 1) и ряд возмож-
ных энергетических переходов электронов с одних уровней на другие с
указанием длин излучаемых волн приведены на рис. 121.
326
На этрм рисунке представлены две вертикальные шкалы с различ-
ным отсчетом нулевого уровня энергии. На левой шкале за нулевой
уровень отсчета энергии выбран самый нижний уровень энергии элек-
трона в атоме, на правой шкале — самый верхний. По левой шкале
удобно отсчитывать энергию, сообщенную атому, по правой — энер-
гию, излучаемую электронами атома.
' Наименьшему значению энергии электрона отвечает орбита с ми-
нимальным радиусом , соответствующая невозбужденному (основно-
му) состоянию атома. С ростом гп, т. е. с увеличением п, иначе — с пе-
реходом электрона на более далекие орбиты, его энергия возрастает,
атом переходит во все более возбужденное состояние. При п —э °° радиус
орбиты г„—э°° и W—эО. Наибольшее значение энергии Wmax = 0 при
п—>°° соответствует ионизации атома (для атома водорода энергия
ионизации WH= 13,60 эВ), т. е. отрыву от него электрона.
Пример 85. Выведите формулы для радиуса орбиты г и полной энер-
гии W электрона в атоме водорода, пользуясь элементами теории Бора
для водородоподобных систем. Рассчитайте значение радиуса первой
боровской орбиты г,.
Электрон движется по круговой орбите вокруг ядра. На электрон
действует кулоновская сила притяжения к ядру, которая и создает нор-
мальное ускорение:
2 2
тип' е
та„ = F , или -----= ------- .
г 4ле0г
Правило квантования орбит дает соотношение
h
mvr = п—.
2л
Исключая из двух последних уравнений скорость электрона v и решая
их относительно радиуса орбиты электрона г, находим
n2h2EQ
г =-----
типе
При п = 1 для водорода имеем
h2e
г, = -5-Ц- = 0,529 • Ю’10 м = 0,0529 нм.
Пте
Полная энергия электрона в атоме водорода равна сумме его кинети-
ческой и потенциальной Жп энергии в электростатическом поле ядра:
327
. ттг m . rrz < в*
2 4леог
Преобразовав уравнение для кулоновской силы, приведенное, в начале
решения, к виду mv ----------, получим
4ле0г : ‘
2 2 * 1 ; 2 ' . - - -
е _ g
2 4леог 8леог ’
Подставив в последнее выражение значение радиуса орбиты электро-
на г, имеем . ,
у- те* 1
8/j2ejj п2 ’
= -21,79-10’19 Дж=-13,60 эВ*>;
«1
-4 = -5,45 • Ю’19 Дж = -3,40 эВ.
«2
Пример 86. Определите для атома водорода энергию электрона на
первой и второй стационарных орбитах. Определите частоту излучения
при переходе электрона со второй орбиты на первую.
Дано:
т = 9,109-Ю’31 кг,
е=-1,602-Ю’19 Кл,
А = 6,626 10’34Джс,
е0=8,854- 10’12Ф/м,
и, = 1, и2=2
Ж, — ? W2 — ?
V —?
Воспользуемся выражением для энергии элек-
трона в атоме водорода:
8A2£q
W2= —
8А Eg
При переходе электрона со второй орбиты на
первую атом излучает фотон, которому соответст-
вует электромагнитная волна с частотой
у = = 2,47-ю15 Гц.
h
эВ — электрон-вольт: 1 эВ = 1,602-10’19 Дж.
При выводе выражения для энергии предполагалось, что ядро, обладая
очень большой массой по сравнению с массой электрона, является неподвиж-
ным. Для более точного расчета нужно использовать приведенную массу элек-
трона т* =----— (здесь М—масса ядра), тогда получим И^ = -13,53эВ.
1 + т/М
328
Спектры испускания и поглощения атома водорода
Согласно второму постулату Бора, электрон, перескочивший сболее
удаленной от ядра орбиты на более близкую, либо, наоборот, с более
близкой на более удаленную, соответственно излучает или поглощает
фотон. Дискретный характер изменения энергии электрона является
причиной возникновения характерных, в частности для атома водорода,
линейчатых спектров испускания и поглощения.
Пусть электрон переходит с п-й орбиты на к-ю, где п>к. При этом
излучается фотон энергии е = hv:
, те4 ( 1 1
hV = W -Wk =—z-y-
п 8h2E20 [к2 п2
Частота излученного света v = ----Т
где R = —т-r- = 3,29 • 1015 с 1 — постоянная Ридберга.
8Л3£о
В спектре излучения появляется спектральная линия, соответствую-
щая частоте v перехода электрона с п-й орбиты на к-ю. Обратный пере-
ход электрона с к-й орбиты на п-ю возможен при поглощении атомом
фотона с той же энергией е=hv.
Пример 87. Определите длину волны излучения атома водорода при
переходе электрона с четвертой орбиты на вторую. Какому цвету соот-
ветствует это излучение?
Дано: Воспользуемся формулой для определения частоты испус-
п - 4, каемого света при переходе электрона с п-й орбиты на к-ю'.
к=2
Этой частоте соответствует длина волны Х = — = 4,86-10'7 м.
v
Цвет спектральной линии — зелено-голубой.
329
Пример 88. Какое значение должна иметь минимальная энергия фотойа,'
поглощенного атомом водорода; находящимся в оснойиом состояний,
чтобы в излучении атома при обратном переходе электрона на второй
энергетический уровень наблюдались шесть линйй спектра? f *
Дано:
к=2
^Vmin ?
При переходе электрона с п-й орбиты на к-ю излучается фотон с
энергией hv = hR\ |. По условию задачи к=2. Тогда для наблю-
I к п I
дения в излучении шести линий спектра число п должно принимать
шесть значений от п = 3 до п-8. Для этого нужно, чтобы электрон в
возбужденном фотоном атоме водорода перешел с первого энергетиче-
ского уровня на восьмой (рис. 121). Этот переход соответствует мини-
мальной энергии поглощенного фотона:
Avmin =6,63-10”34
-3,29- 1015f 1--Д- I
I 8 J
= 2,15-IO’18 Дж =13,44 эВ.
Строение ядра
Атомное ядро состоит из двух видов элементарных частиц — про-
тонов и нейтронов. Эти частицы носят название нуклонов. Атомное
ядро характеризуется зарядом Ze (где е — величина заряда протона; Z —
порядковый номер химического элемента в таблице Менделеева, число
Z равно числу протонов в ядре) и массовым числом А, равным числу
нуклонов в ядре. Для обозначения ядер применяется символ ^Х, где
под X подразумевается химический символ данного элемента. Ядра с
одинаковыми Z, но различными А, называются изотопами.
Для измерения масс ядер и нуклонов принята внесистемная единица
массы — атомная единица массы (а. е. м.): 1 а. е. м. = 1,661-Ю”27кг.
Очень большая плотность ядерного вещества (~1017 кг/м3) приводит к
тому, что нуклоны в ядре располагаются практически вплотную друг к
другу. Тем не менее, ядро является устойчивым образованием, хотя
330
включает одноименно заряженные элементарные частицы — протоны.
Это означает, что, кроме электрических сил отталкивания, между ядер-
ными частицами действуют особые силы притяжения —- ядерные силы.
Ядерные силы притяжения действуют на расстояниях между нуклонами
в ядре (~10"15м) и по порядку величины намного превосходят все из-
вестные нам силы в природе.
Масса ядра меньше суммарной массы составляющих его нуклонов на
= Zmv + (А - Z )тп - ,
где тр и тп — массы покоя протона и нейтрона соответственно; Л/яд —
масса покоя ядра; (A -Z) — число нейтронов в ядре. Величина Лт назы-
вается дефектом массы ядра.
Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что дефекту массы
Д/и соответствует изменение энергии
Д fFCB = Д/ис2 = [Zmp +(A-Z)mn- М яд ]с2.
Величина Д1УСВ называется энергией связи ядра. Удельной энергией
связи ядра Ди'св является энергия связи, приходящаяся на один нуклон:
Ди>св
Д1ГСВ
А
Ядерные реакции сопровождаются выделением или поглощением
большого количества энергии. При любых ядерных реакциях должны
выполняться следующие законы сохранения: 1) сумма зарядов исход-
ных продуктов реакции должна быть равна сумме зарядов конечных
продуктов реакции; 2) сумма массовых чисел исходных продуктов ре-
акции должна быть равна сумме массовых чисел конечных продуктов
реакции; 3) изменению массы взаимодействующих частиц при реакции
соответствует изменение энергии Д W (энергетический выход реакции).
Энергетический выход реакции рассчитывается следующим образом:
ДИ^ = с2
( (0 (/)
где — суммарная масса исходных продуктов реакции; ^mj —
<i) U)
суммарная масса конечных продуктов реакции. Если Д1У>0
331
> Xmy )’ то Pea™ идет с выделением энергии, а если AW<0
(>) (У)
( \ m, < X mj ), то реакция идет с поглощением энергии.
(О (У)
Радиоактивностью называют самопроизвольное превращение не-
устойчивых изотопов одного химического элемента в изотоп другого
элемента, сопровождающееся испусканием элементарных частиц или
ядер. К числу основных таких превращений относятся: альфа (а) -распад
и бета (Р) -распад.
Альфа-распадом называется самопроизвольное деление атомного
ядра на а-частицу (ядро гелия * Не) и ядро-продукт. При вылете
а-частицы из ядра число протонов в ядре уменьшается на два и продукт
а-распада оказывается ядром элемента с порядковым номером, на две
единицы меньшим исходного. Массовое число ядра-продукта меньше
массового числа исходного ядра на четыре единицы.
Явление электронного бета-распада представляет собой самопроиз-
вольное превращение атомного ядра, в результате которого его заряд
увеличивается на единицу при испускании электрона.
Распад большого количества ядер любого радиоактивного изотопа
подчиняется закону радиоактивного распада-.
N = N0-2 Т'12 ,
где No — количество радиоактивных ядер в начальный момент времени
(г = 0); N — количество ядер, не испытавших распада до некоторого
произвольного момента времени t; Т1/2 — период полураспада (через
промежуток времени, равный периоду полураспада, исходное количест-
во радиоактивных ядер уменьшается вдвое).
Закон радиоактивного распада можно также переписать в другом виде
0,693/
N = N0-e т''2 ,
где е=2,71828... — основание натуральных логарифмов. Две представ-
ленные записи этого закона эквивалентны. Подсчитав N, например, по
последней формуле, можно найти число распавшихся ядер атомов
&N=N0-N.
Активностью образца А называется число распадов атомных ядер,
происходящих за 1 с:
332
. АУ
А =---.
Аг
В случае, когда время t мало по сравнению с периодом полураспада
Т1/2, активность можно определять по следующей приближенной фор-
О,693Уо
муле А =---------. Единицей активности в СИ является беккерель (Бк).
^1/2
1 Бк равен активности радионуклида, в котором за 1 с происходит
1 распад.
Пример 89. При радиоактивном распаде из ядра ™ U испускается
а-частица. Напишите формулу ядерной реакции. В ядро какого элемента
превращается в процессе распада ядро атома урана?
Дано:
ядро 2,2 и ,
а-частица
zX -?
а-частица является ядром атома гелия \Не. Тогда
ядерная реакция запишется в виде
£8U-> jHe+ АХ.
Из законов сохранения массовых чисел и зарядов сле-
дует, что 238 =4+Л и 92 = 2+Z. Поэтому массовое чис-
ло ядра неизвестного химического элемента Л = 234, а
порядковый номер элемента (или число протонов в его ядре) Z=90.
Этим элементом является торий од4 Th . Окончательно ядерная реакция
запишется следующим образом: ад8и -» 4Не + 23940Th .
Пример 90. Вычислите энергетический выход ядерных реакций
7,Li+[Н-»2 4Не и ‘9F + !Н->‘‘О + ?Не .
J 1 Z 7 1 О Z
Интересующие нас массы изотопов, выраженные в а. е. м., составля-
ют: М. =1,00783 , М. =4,00260 , М,, . =7,01601 , Л/|6п =16,00000 ,
। Н 2 Не j Ll g С/
Л/„ =19,00444.
9*
Для первой реакции имеем: Л/,^+Л/,Н = 7,01601 + 1,00783 =
= 8,02384; 2М4Н<_ = 8,00520. Следовательно, убыль масс покоя в резуль-
тате реакции составляет АЛ/ = 8,02384 - 8,00520 = 0,01864, что соответст-
вует выделению энергии А1У=АЛ/с2 = 2,78-10~12Дж= 17,31 МэВ.
ззз
Предлагаем убедиться самим, что для второй реакции ДЛ/=
= 0,00967 а. е. м. и AW= ДМс 2 = 1,44-1012 Дж=9,03 МэВ.
37. Атомная и ядерная физика
37.1. Найдите радиус стационарной орбиты электрона в атоме водо-
рода, отвечающей состоянию атома с энергией W=-3,40 эВ.
37.2, При переходе электрона атома водорода с одной орбиты на дру-
гую, более близкую к ядру, энергия атома уменьшается на 1,89 эВ. При
этом атом водорода излучает квант света. Определите длину волны из-
лучения.
37.3. Сколько квантов с различной энергией могут испускать атомы
водорода, если их электроны находятся на третьем энергетическом
уровне?
37.4. Определите длину волны излучения, возникающего при пере-
ходе ионизированного атома водорода в основное состояние.
37.5. При переходе электрона в атоме водорода со второго энергети-
ческого уровня на первый излучается фотон, соответствующий электро-
магнитной волне с длиной X, = 121 нм. Найдите длину волны Х2 излуче-
ния атома водорода при переходе электрона с третьего энергетического
уровня на первый. Постоянную Ридберга считать неизвестной.
37.6, Электрон, движущийся со скоростью и, при соударении с ато-
мом водорода, находящимся в основном состоянии, возбуждает его,
отдавая всю свою энергию. Какую наименьшую скорость должен иметь
электрон, чтобы атом водорода, переходя после соударения снова в ос-
новное состояние, мог излучить три различные линии спектра? Масса
электрона wJe = 9,ll-10’31 кг, постоянная Планка й = 6,63-1 (Г34 Дж-с, по-
стоянная Ридберга R=3,29-1015 с-1.
37.7. Электроны, ускоренные электрическим полем с разностью по-
тенциалов U= 12,3 В, проходят через атомарный невозбужденный водо-
род. Определите длины волн испускаемого излучения, возникающего
при переходе атомов водорода из возбужденного состояния в основное.
37.8. Атом водорода поглощает фотон, вследствие чего электрон, на-
ходившийся на второй воровской орбите, вылетает из атома со скоро-
стью v = 6-105 м/с. Определите частоту электромагнитной волны, соот-
ветствующей поглощенному фотону. Масса электрона /ке = 9,11-10-31 кг,
334
постоянная Планка h=6,63-10-34 Дж-с, постоянная Ридберга R=
= 3,29-Ю15 с"1.
37.9. При прохождении через гелий рентгеновского излучения с дли-
ной волны Х=10~|0м происходит ионизация атомов гелия. Зная, что
энергия ионизации атома гелия W= 24,5 эВ, определите без учета реля-
тивистского эффекта скорость v электрона, покидающего атом.
37.10. Каков состав ядер фтора F , серебра *°7 Ag, бария |3^Ва ?
37.11. При бомбардировке а-частицами ядер алюминия образуется
новое ядро и нейтрон gti. Запишите ядерную реакцию и определите,
ядро какого элемента при этом образуется? Порядковый номер алюми-
ния в таблице Менделеева 13, его массовое число 27.
37.12. Если плутоний Рп бомбардировать а-частицами, то образуется
новое ядро кюрия 2^Ст и какая-то частица. Запишите ядерную реак-
цию. Какая частица рождается в результате реакции? Порядковый номер
плутония в таблице Менделеева 94, его массовое число 239.
37.13. Напишите недостающие обозначения в следующих ядерных
реакциях:
13AI+ оП-»?+ 4Не; gMn + ?-» ^Fe + дП ; ?+ JH-» ^Na + 2Не .
37.14. Определите энергии связи: Д1Усв1 ядра трития ,Н и AWcb2 ядра
гелия 4Не. Масса ядра трития Л/зн =3,01605а.е.м., масса ядра гелия
М,Не = 4,00260 а. е. м., масса протона тр= 1,00728 а. е. м., масса нейтро-
на тп= 1,00866а. е.м., 1 а. е.м. = 1,66-10-27 кг.
37.15. Определите удельную энергию связи (приходящуюся на один
нуклон) ядра лития 3 Li. Масса ядра лития М7 = 7,01601 а. е. м., масса
3 *-*
протона /ир= 1,00728а. е. м., масса нейтрона тп= 1,00866а. е. м.,
1 а. е. м. = 1,66-10”27 кг.
37.16. Какую минимальную энергию должна иметь а-частица для
осуществления ядерной реакции 3Li + 4Не —э ’“Вч- дП? Масса ядра
лития М7 =7,01601 а.е.м., масса ядра гелия М. = 4,00260 а. е. м.,
з Li 2 Нс
масса ядра бора М ,ов =10,01294 а. е.м., масса нейтрона тп =
= 1,00866 а. е. м., 1 а.е.м. = 1,66-10"27кг.
335
37.17. Определите энергетический выход ядерной реакции
’Be + 2Н '°B + дП. Масса ядра бериллия Af,Be =9,01219 а. е.м.,
масса ядра дейтерия АЛН = 2,01410 а. е. м., масса ядра бора ,М,9в =
= 10,01294а.е.м., ' масса нейтрона wn =1,00866 а. е. м., 1а.е.м.=
= 1,66-10’27 кг.
37.18. Неподвижное ядро \ Li, захватывая протон, распадается на две
а-частицы. Определите суммарную кинетическую энергию этих частиц.
Кинетической энергией протона пренебречь. Масса ядра лития
Мъ. =1,01601 а. е.м., масса протона m =1,00728 а. е.м., масса
а-частицы М4 „ =4,00260 а. е. м., 1 а. е. м. = 1,6610~27кг.
2 Нс
37.19. Какое количество урана U расходуется в сутки на атомной
электростанции мощностью А= 5000 кВт? КПД станции Г| = 0,17. Счи-
тайте, что при каждом акте распада выделяется энергия Ео= 190МэВ.
Число Авогадро Аа = 6,02-1023 моль , заряд электрона |е|= 1,6-10-19 Кл.
37.20. Почему в качестве замедлителей нейтронов применяют пара-
фин, воду и другие водородоподобные вещества?
37.21. Сколько распадов ядер за минуту происходит в препарате, ак-
тивность которого составляет 104 МБк ?
37.22. В свинцовой капсуле находится 4,5-1018 атомов радия. Опреде-
лите активность радия, если его период полураспада равен 1620 лет.
37.23. За какое время распадается 80% атомов радиоактивного изо-
топа хрома 24 Сг, если его период полураспада 27,8 сут ?
336
ОТВЕТЫ
1. Векторные величины. Равномерное прямолинейное движение
материальной точки. Относительная скорость
1.1. |г| = 5 ; а = arctg(4/3)= 307°.
1.2. хн = -4,3; № = -2,5.
1.4. с = yja2 +b2 + 2a6cos(n/3) = 4,4; 0 =
arcsin — since =23,2°.
с )
1.5. с= -\la2 +b2 + 2afecos60° =8,7; 0 = arcsin — sin60 °] = 36,7°.
1.6. ах = |a|cosl20° =-2,5; ау = |a|sinl20° - 4,3; Z\=0; by = -|fe| = -2;
сх = |c|cos30° =2,6; cv = -|c|sin30° =-1,5;
kx = -cos45° =-2,8; ky = -|&|cos45° =-2,8;
1.8. ax=x2-x{ = 2; ay=y2-yl = 7-, 6x=x4-x3 = -4; by=yA-y3=-l-,
cx=ax-bx=6; cy=ay-by=8; а = arctg(cy/cx)= 53°.
1.9. = L +bxY + (av+bv=6,3; а = arctg = 108°.
' y ax + bx
1.10. |АН| = 4л/2см; а = 315°.
1.11. Z=5n,/n2 =0,15 м.
1.12. 5=n2 (г2-г1) = 510м; vx-S I Г] = 850м/с.
1.14. Xj = l,5r; x2 = 4-2r; 52=10m; x2 = -6m.
1.15. и(1) = 2м/с; n(2,5) = 0; и(4) = 3м/с; пх(1) = -2м/с; nx(2,5) = 0;
пх(4) = 3м/с; 5(2) = 4м; 5(3) = 4м; 5(5)=10м.
При0<г<2 х=2-2г; при 3<г<5 х=-2 + Зг.
1.16. x=x0-(ncosa)r; ^=y0 + (nsina)r; y=^o+xotga-(tga)x.
1.17. Xj=-21 + 8r; x2 = 7 + 4r; rBCT = 7c; хвст = 35м.
1.18. x1=n1r=l,5z; x2 = l- v2 r=-3,5 r+300; tBCT =l/(yx -n2)=60c;
5. = ?,= 90 м; 52= n2rB =210m.
i i w t 'XX dv i
1.19. о, = 1,1 м/с; и2 = 0,5м/с. '
1.20. иф =46,1 км/ч.
1.21. пф1=2цп2/(п,+п2); иф2 = (и, +2у2)/3.
1.22. ?озере < ^рещ.
1.23. 35 суток.
1.24. r=r1r2/(2r2-z1) = 90c.
1.25. 1) n42 =v4 -v2 = 10 м/с; 2) у31 =v3 + vx =30м/с;
3) n2J = yjv2 + v2 =18 м/с; 4) v4 3 = yjv^ + v2 = 32 м/с.
1.26. 1= (?! -t2)(n2 -n2)/2n2 = 4480 м.
1.27. т = [(^ + n2)t + /2]/ (n2 -vx ) = 80с .
1.28. 1)а=90°, t = L/n2; 2) a = arccos(n1/n2); t = l/ ^v2 -vx .
1.29. v =4км/ч.
1.30. vl 2 = -v2 l; v2 l = (о2 + v2 + 2n1n2 cos af2; r = (Lv2 sin a)/n2,.
1.31. vx = v2 / tg a = 8,7 м/с.
1.32. и = v sin P/sin а.
1.33. v2 = nj/cosa .
1 vi
1.34. v2 =--!—; движение груза не является равномерным.
cosa/2
1.35. v2 = vxlx/l2-, a = arcsin/1//2 v0TH=vJl-(lx/l2^ .
1.36. v2 = vxl/ф2 -vxt2 .
1.37. xA=d+vt- yA = 0; xB=0; yB = ф2 - (d + vtf ;
Пду =-(d + vt)vly/l2 ~(d + vtf Ф const .
1.38. 100 ступенек.
2. Равнопеременное прямолинейное движение
2.1. 1)хо=1Ом, п0х = -Зм/с, п014 OX, ax= 1 м/с2, а ?? ОХ, й1Чп0;
. 2) vx = t-3, п(2)=1м/с, п(4)=1м/с, пх(2)=-1м/с, пх(4)=1м/с;
3)х(6)=10м, 5(6) = 9м.
338
2.3. х(7) = 5 м, иф = 10,7 м/с.
2.4. х, = а,г2/2 = 0,12512; х2 =v02t-a2t2/2 = 6t-0,5t2;
1) alx=at = 0,25 м/с2, = -a2 = -1 м/с2;
2)х,(4) = 2м, x,(8) = 8m; x2(4)=16m, X2(8) = 16m;
3) 5,(10) = 12,5 m, 52(4) = 16m, 52(10) = 24m.
2.6. o(5)=1m/c; x(5)=-1,5m; 5(5)=4,5m.
2.7. t = ^/25/a =3c.
2.8. В 1,5 раза.
2.9. t = v0/2a, S-3vg/Sa.
2.10. 5(3) = 95 (за три секунды), 53 = 55 (за третью секунду).
2.11. а = п0/т=2м/с, 5 = п0т/2 = 100 м,
%i =vo/2(2-3/2)= 16,7м/с, V& = п0/2>/2 =7,1м/с.
2.12. а = 2l/t2 = 0,4м/с2, v = 2lt2/t2 = 8м/с,
Дг = Т, (л/К) - л/8 У V2 = 2,9 с.
2.13. и0 = (35, - 52 )/2т = 1 м/с, а = (S2 - 5, )/т2 = 2,5 м/с2.
2.14. = (о,5а,/2 + а,/,г2 + 0,5а,?,г3 )/(г, + г2 + г3) = 24 м/с.
, 5 v( 1 1 )
v 2(а, а2 >
2.16. v =0, a=g = 9,8 м/с2.
2.17. й = 2#т2 = 45м.
2.18. Д5=9,8м.
2.19. Z = (25 + gr2y2gr = 7c, И = gt2/2 = {1S + grffagi2 = 238м.
2.20. v0 =v + gh/2v - 345 м/с.
2.21. h = y(gr+y)/g - v.jv{lgt + v)lg = 154м.
2.22. A/ = 7T2+2//g-T = lc.
2.23. l = gtt + gr2/2=20t+20.
2.24. l = l0 = const.
2.25. y0=(h,-h2VgM.
339
2.М. Я= 3^=120 м ;/ = т(2+л/б)= 8,8 с.
2.27. При0<г<т: vy=2gt, <^=2#=const, y=gt2;
приг>т: ay=-g, vy=2gT-gt, y=gi? + 2gv-g?!2.
2.28. t = v0+ +2gh Ig = 3,4 c; v = ^v2 + 2gh = 19,9 м/с.
2.29. xt= v0lt-at2/2=-t2 + 2Ot; x2 = l0-v02t-at2/2 = -t2-lOt + 3OO;
vxl = u01 -at = -2z + 20; vx2 = -v02t - at = -2t-10;
t, =/o/(yoi+yo2)=1Oc; =y01rB - at2 /2 = 100 m;
S2 = l0-Sl = 200m.
2.30. H = ht2 /12 + 2h2t2/tfg = 15 m, v = figH = 17,3 м/с.
2.31. а = 211т1т2 =0,3m/c2, =/(t,+t2)/t1t2 = 0,45м/с.
2.32. t = ^4h/g+(btf = 3,lc.
2.33. z=2t + tV2 = 102мин.
2 2
2.34. Z = —+ —= 2,5c; Я =^--^- = 18,7м.
g 2 2g 8
2.35. vl 2=-gt.
2.36. y0 = H^gl2(H -h) = 7,5 м/с.
2.37. 5=0,5a r2.
3. Криволинейное движение материальной точки.
Движение твердого тела
3.1. |д?| = у = 10м/с, со = л/15 = 0,2рад/с.
3.2. о/о =Т/Г = 60; ус/ум=20.
3.3. v = (о, -и2)/2п1 = 1,6об/с, R = I = 0,3 м.
у(-у2
3.4. v = v/ttd = 80 об/с, ап = 2v2/d = 5 • 104 м/с2.
3.5. vt = InR/T - 465 м/с, где Т= 24 ч — период вращения Земли,
ап1 =4л2Я/7’2 =0,034 м/с2;
340
и2 = _ 23J мус, _ 4П2д cos ф/72 = о^о 17 м/с2. ( „ ?
3.6. а„м = 4л2/1/Т]2 = 6,1 • 10-9м/с2, Где 7^ = 1 ч=3600с, ат=0. ,
ат = 4п212/т2 = 2,1-Ю’10 м/с2, где Т2= 12ч=43200с,а„=0.
3.7. n = ^/gfl =7,9-103м/с.
3.8. ап = а^т2/R = 0,08 м/с2; ат=а0 = О,1 м/с2; а = ^а2 + ах - 0,13м/с2.
3.9. v2-vl + axt = 25 м/с, где ах = 2(5 - п/)/г2 = 0,33 м/с2;
а = y]v2/R2 + а2 = 0,7 м/с2.
3.10. v = 2ttv//<p = 800 м/с.
3.11. 1,а — прямая линия; 1,6 — парабола; 2(а,б,в) — времена равны.
3.12. х = п0Г = 25г; y = H-gt2/2 = -5t2+25; :
y = -gx2/2v£+H = 8-10~3x2+25;
tn =7Wg= 2,2с; Z = ^otn = 55м.
3.13. v = ^vl + g2t2 ; a = arctg(^2gH/v0 )= 41,5° .
3.14. t = n0 tga/g = 1,7 c; v = п0/соза = 20м/с.
3.15. L = (v+u)JlH/g .
3.16. a„=gsina=7 м/с2; aT~,gcosa=7м/с2, где a=arctg(^0/gr)= 45°.
3.17. 1. x=(v0 cosa)r; у = (nosina)t-O,5gt2/2. 2. Уравнение траекто-
PX2
рии: у = — -------—+xtga. 3. tn = 2у0 sin a/g .
2(v0 cos ay
4. Z = nosin2a/g. 5. a=45°. 6. ^ = n02sin2a/2g .
3.18. v = y/v2 cos2cc + (n0 sina-gt)2 , vx =n0cosa = const;
vy =nosina-gt, an=g, <^=0; R = v}cos2 a/g .
3.19. L2/Z1=4.
3.20. tj = u0 sin a - -Ju„ sin2 a - 2gh
lg = \,4c,
341
t2 = v0 sin a + si
%! = (n0 cosa)^ = 420м;
sin2 a
2gft g = 58,6 c,
x2 = (°o cosa)/2 = 17580м;
v-v0 cosa = 520 м/с.
3.21. v0 = 80 м/с; й=75м.
3.22. x=(n0cosa)r; у = /7 + (n0sina)r-gr2/2;
у = -gx2/(2i>o cos2a) + xtga + H ;
L = (n0 cos a )rn; ₽ = arctg(grn - n0 sin a) / n0 cos a;
где время полета: rn = sin a + yjvg sin2 a + 2gH /g.
3.23. L = (n0 cos a)?n ~ 490 м, где tn = ( - n0 sin a + yjvg sin2 a + 2gh .
3.24. Л = 4,9м.
3.25. a=arctg4 = 76°.
3.26. v0 = 7(/, +/2)g/sin2a = 13,6 м/с.
3.27. m - [iVgpS sin a)/g = 2,25 кг.
3.28. S' = 2vgyjgH cosa/g = 39 м.
3.29. Z=8Asina=8M.
2vg (sin a cos P - cos a sin 3) cos a _ 2vg sin(a - P)cos a
geos 3 geos 3
3-31- Lmax =—y/vg+2gff ; a = arctg-==Д= .
s >JVg+2gH
3-32- dmiB^2vg^v2g-2gH/g.
3.33. H = 2vt(v2cosa-n^tg2a/g.
3.34. n0 = Rv / (R-r), вправо; n0 = Rv / (R + r), вправо.
3.35. v0=v, vA=0; vB-2v; vc=vj2; vD =y>/2(l + cosa).
3.36. (0 = + v2 )/27?; n0 = (n! - v2 )/2.
3.37. x2 + (a-y)2 = a2; S=a(ar.
3.38. a„ =12/79?+16; at =9г/^9?+ 16; R = (9? +16^/12.
342
4. Сила упругости. Закон всемирного тяготения.
Применение законов Ньютона к одному телу, движущемуся
прямолинейно и по окружности
4.1. e = 4F/EttZ)2 =5,5-10~4м, AZ=eZ=2-10“3m.
4.2. S = Fzn/e = 12 мм2.
4.3. m = 7iD2a2/4g = 252 кг, AZ = 4lom}g / EnD2 = 0,04м,
остаточной деформации не будет, так как mxg/S < <5j.
4-4- ^поел =^Лг/(^1+^)=1,5кН/м, ктр = к}+к2 = 8кН/м.
4.5. 1) 2*; 2) 1,5*.
4.6. g' = 0,25g=2,5 м/с2.
4.7. А = £Я2Т2/2(Я + Я)2 =2,2м.
4 ,
4.8. а0 = —nGpR = 0,21 м/с2.
4.9. Дд = /7?2Р2 = 1,6 м/с .
4.10. F = mg(R0/rf = 6,ЗН.
4.12. l)0-2c:Fx = 0; 2) 2-3с: F=1 Н; 3) 3-7с: Fx = -0,5H. А=15м.
4.13. l)a = F/m, Qx = mg\ 2) a = Fcosa/m, <22 = mg-Fsina.
4.14. x(10) = 50 м, иср=5м/с.
4.15. 1) a = (F-mg)/m = 15м/с2(вверх); 2)д = 0,
3) a = (mg - F)/m = 5 м/с2 (вниз).
4.16. a = (F + mg)/nr, 1)а = 35м/с2, 2) a = 20 м/с2, 3)д=15м/с2.
4.17. Q = m(g + a) = 10mg = 6000H.
4.18. a = gsina, <2 = mgcosa.
4.19. a = \ig.
4.20. a! = a2 = 0, a3 = F/m—pg = 0,5 м/с2.
4.21. a = g-F/m, T=F, F>mg.
4.22. a = [F cos a-p(wg-F sin a)]/ m, p = Fcosa/(mg-Fsina).
4.23. l)P = mg=10H; 2)P=mg=10H; 3) P=m (g + a,)= 13 H;
4)P = m(g-a2) = 7H; 5)P=0.
4.24. P}=P2=myla2+g2 =10,2H.
343
4.25. 1) T=mg= 1H, a=0; 2) 7’ = mg/cosa = l,lH, a=arctg(a/g)=27°; .
3) r=mgcosP=0,9H, a=p.
4.26. a=g(sina-jicosa), 6=mgcosa; a)p.>tga, 6)M.=tga.
4.27. v = -j2gh(l + gctg a) = 5 м/с.
4.28. a = F(cosa-jisina)/m = 7,7 H.
4.29. S = (F-Fc-mgsina)T2/2m = 7,6m.
4.30. 1) одинаковое; 2) гподъема > гспуска.
4.31. T = mg(sina-jicosa)+ mv/т = 1834H.
4.32. m = /?(cosa + ^sina)/g(sina-^cosa).
4.33. F = zng(]icosa + sin a)/(cosa-]isina).
4.34. a=g(p.cosa-sina).
4.35. t = 2/ / g(sin P - tg a cos P) = 0,82 c.
4.37. Мост выпуклый: Q^mgcosa - mv2/R = 4700 H,
Qi = m8 ~ mv2/R = 6000 H, = ,/gR = 32м/с.
Мост вогнутый: Q} = mgcosa + mv2/R = 12700 H,
Qi = mg + mv2/R = 6000 H. .
4.38. P = m(g-y2/fl)=5100H.
4.39. я=ц^-и2/л)=2,9м/с2.
4.40. t = 2n^h/g .
4,4L V,=^W = 0’36O6/C; Упокоя =™ = 0,12 H.
v2
4.42. R = — = 40 m.
Pg
4.43. e = m(n2/g-g)=2250H.
4.44. P = т^2+^2/Р^ = 51H.
4.45. 7 = 271^77 = 5026 c.
4.46. r = tfgR%T2 /in = 5,4 • 103 km .
344
. _ [~R~ : ' с, '• ••
4.47. T = 2nRJ--.
№
4.48. 7’ = л/3я/(7р ='6846 c. '
4.49. M = 4пгг3/сТг = 6,44-Ю23 кг.
5. Применение законов Ньютона к системе связанных тел
5.1. а} = а2 = F/(mx + m2) = 2м/с2, Т2 = т2а2 = 0,4Н.
5.2. F <Т0(т1 + т2}/т2 =7,5Н.
5.3. Т\ = mxF cosa/(тх + т2 + m3); Т2 — {тх +m2/Fcosa/{mx + т2 +т3').
5.4. а = [Fcosa-p^g + wijg-Fsina)]/(тх + ш2);
Т - Fm^cosa + gsina)/ {тх + т2).
5.5. a) а = m2g/(mx +т2\ Т = mxm2g/(mx+т2);
б) a = (mx-m2)g/(<mx+m2), Т = 2m1m2g/(m1+т2);
в) а = (т2-ml sina)#/^ +т2), Т = mlm2g(l + sinа)/(т} + m2).
5.6. a) Q = tJ2 ; 6) <2 = 27’; в) Q = T-j2 + 2sina , где Тсм. ответ 5.5.
5.7. Q = 2mm3g/(2m + m3); F = 4mg(m + m3)/(2m + m3}f
5.8. а = (m}g-m2g-+m2)-1,25м/с2
5.9. F = m(g + a)/2.
5.10. mx=m2/2', a = g(m2 -2m1)/(4m1 +m2)= 1,4м/с2;
T=m1(g+2a)=l,3H.
5.11. S = Ft2/4т = 0,5 м.
5.12. 1\/Т2=4.
5.13. at = f/mx, a2 = (m2g-f)/m2.
5.14. a = (m2-m1)g/m2, F^m}g.
5.15. a = [(wi]+m2)g + F]/(«J]+m2)= 11 м/с2; T = m^F/(m\ +»»2)= 1H.
5.16 a = [Fcosa-wijg-p^g-Fsina)]/+m2)= 1,4м/с2.
5.17. = m(a + [ig)/k, ^l2=2m(a + iig')/k, F=3m(a + fig).
5.18. c=F/4S.
5.19. F = [F1(L-/) + F2/pI,.
345
5.20. Тл = F(m2 + m3)/(m1 +m2 + m3)=135 H,
Tc =F(2m2+m3)/2(ml+m2+m3)=105H.
. n r, m,m-,-3m,m, + 4m2m-, .. ,2
5.21. 2au+«2l+a3l=0; a3x = 1 3-~ 1 2- ...g = -4,1 м/с2;
4m2m3 + m}m2 + mxm3
а2х=3м/с2; v°.5m/c2; Т3 = 14ДН; T2=14H; Tl = T2 + T3. " :
6. Разные задачи на законы Ньютона
6.2. В верхней точке v = 0, а = g.
6.3. m3 = 2тхт2/(тх + m2) = 190 кг.
6.4. a = [FcosP-p(mg-FsinP)]/m -1 м/с2,
где ц = F cos a./(mg - F sin a).
6.5. S = #(sina-]j.cosa)/psina.
6.6. Указания: а) измерить силы, которые необходимо приложить к
бруску, чтобы двигать его равномерно вниз и вверх по шоссе;
б) при равномерном соскальзывании бруска tga = ц.
6.7. t = jvng/Z?(cosa + psina)=167c.
6.8. а = (ц cos a + sin a)g/(cos a - ц sin a).
6.9. a = arcsin(2//gr1T2) = 1,7°.
6.10. F2 = Fi + 2mg.
6.11. a = g - [F2 cosa + pfF] +F2 sina)]/m = 7 м/с2, а направлено вниз.
6.12. p>(mg-F2cosa)/(F,+F2sina)=2,2.
6.13. При Q<F<[img FTp = F; при F>pmg Fip = pmg.
6.14. Покой: Fip = ct; скольжение: FTp = pcmg
6.15. v2 = vt ^m2/mx = 3,5 м/с.
6.16. mx = l(m2g - Q)/g = 800 кг.
6.17. a = 2g.
6.18. = (2mlm2g-m} + m2)=34,9H;
T2 = (2m1m2g + m2f )/(m} + m2 )= 39,9 H.
6.19. p = 0,6tga = 0,l.
, „ rag(sina + Licosa)
6.20. Если p>tga,to 0<F<———-—------------- ;
cosP + psinP
346
„ mg(sina-ucosa) mg(sina + ucosa)
если ц < tga, то —-—- -- < F < ——---------------.
cosp-psinp cosp + psinp
6.21. a = arctgp, F = (xmg71 + p2 .
6.22. a= arcsin ^{Рг-Р^Рг ~ 30°.
6.23. F = 0,5m2g(l + 4p + ml/m2)= 24,5 H.
6.24. a = g sin a(l + m} /m2). >
6.25. R = kl0T2/(kT2-4n2m).
6.26. <n = g/(P~h\
6.27. Vj = -JgR = 7,9 км/с.
6.28. ДР/РПОЛ = 4it2R/T2g = 3 • 10’3, T= 24 ч.
6.29. v = y/Rg/ii.
6.30. a = arctg(4n2v2r/g)=38“.
6.31. a = arctg(t>2/Pg)= 16“.
6.32. ]i>v2/Rg.
6.33. T = 2n^l/g.
6.34. tj = 2nA//cosa/(g + i7), t2 = 2nA//cosa/(g-a).
6.35. T = 2n^L3/GM.
6.36. T = 2n7^/0,08g «5ч.
6.37. P = m•^[(g-4n27?/7’2)cos(p]2 +g2sin2<p, где T= 24ч.
7. Импульс. Изменение импульса. Закон сохранения импульса
7.1. Р = -У(т1и1)2+(т2и2)2 = 12-72 кг-м/с; a = arctg(m2u2/m1u1)= 45°.
7.2. 1)Р = 0; 2)P=2mv = 16кг-м/с; 3)P=mv =8кг-м/с.
7.3. = 0; р2 = т v0 .
7.4. Др = т(и2 - ) = 9 кг-м/с; Др направлен в сторону v .
7.5. Др = 42mv ~ 0,14 кг-м/с; F\t-f\p = 0,14 кг-м/с.
347
7.6. Др, = V2mn = 14 кг-м/с; Др2 = 2mv = 20 кг-м/с; Др3=О. 1
7.7. Др = 2m v0 sina =100 кг-м/с; Др направлен вертикально вниз;
t„ = Др/mg = 2 п0 sina/#=2с.
7.8. Др, = m^2gh = 0,5 кг-м/с; Др2 = 2muyj2gh = 1 кг-м/с.
7.9. N = /ng + /n(iJ + 3/2gAyT = 158H.
7.10. F = 2mvcosa/'c = 100 Н.
7.11. р = 2pt>2cos2a = 150кПа.
7.12. р = pv2 cos2 a = 75 кПа.
7.13. т1/т2 =(vQ+v)/(v0-v)= 3.
7.14. и = m2t>cosa/(m, +m2) = 8,5м/с, 5 = и2/2ц£ = 18м.
7.15. и = m,t>cosa/m2 = 0,5 м/с.
7.16. и = mxv/(m{ + m2) = 4м/с, и2-их.
7.17. и = -m2v2 cosa)/(m, + m2)= -0,15 м/с, тележка поедет назад.
7.18. w2 = (m,t>2 cosp-m,t>, cosa + m2u,)/n?2 = 8,5м/с, направление дви-
жения платформы не изменится.
7.19. и = -^(m,!?])2 +(w2t>2)2 /(mi + т2),
угол между и, и й a = arctg(m2o2 /m,t>,).
7.20. и = (Mv0-mv)/(M-ш)=160м/с.
7.21. Не упадет, так как тело пройдет путь I = m2v2/2{тх + т2 = 4 м.
7.22. S = т2(и,-v2)2/(2mf pg) = 7,8м.
7.23. и = (mt-m2)y/2g^/m2 =219 м/с.
7.24. w, = m2v/mx = 5 м/с, и2 =m2v(/2mx-т2}/тх{тх-m2)= 10,3м/с.
w3 = 2m2v/mx = 10м/с, w3<w2.
7.25. и - + т2).
7.26. т2=т,(/-5)/5 = 160кг.
7.27. т3 = -^(/п^,)2 +(т2ь2^ /v3= 0,5 кг
7.28. 13=ф2+12.
348
7.29. w0 = Jgl / (1 +mx]m2 )sin 2a .
7.30. v2 = (v- 0,2ц )/0,8 = 3,7 м/с;
v2 = ^(ОДц)2 +у2 -ОЛцасозЗО" /o,8 = 8,5 м/с.
731. AZ = m2w0 sina/(m| + m2)g.
732. 41.
733. v = Sgz/4H.
734. L = mxv2tn/(jnx + m2),
где I, = ^~uB+^uB+gH ^]g , uB = mx/gH /(mx+m2).
735. F = mig + 4m1m2a/(m1+m2) + m3a ;
ax = 2m2a/(mx +m2); a2 = 2m1a/(m1 + m2).
8. Работа. Мощность. КПД
8.1. A = Flcosa=4,3кДж; N= Fucosa=87Вт.
8.2. A(F) = mgZ (sina+ц cosa); A(/V)=O; A(FTp)=-[imglcosa-,
A(mg) = -mgl sina.
83. Работа силы F — разная, работа силы тяжести — одинаковая.
8.4. A = 0,5m(g + a)ar2 = 1,6-104Дж.
8.5. N= mv2/2tN^=4N^.
8.6. 7У=452т/т3= 1,6-105Вт.
8.7. Ax = p.mgv t; A2=0,5ma(p.g + a)r2;
Wcpi = M-m^; N^2 = 0,5ma(p.g + a)t;
Млгн1 = Ц'я.?1’; ^Mra2 = ma(pg + a)Z;
8.8. =w(f + »w72s)=2,4-106Bt, Nc =0,5/VMrH.
U П \ If' vP Ml tl
8.9. Во втором случае работа человека в два раза больше.
8.10. A = 0,5mgZ.
8.11. A = 0,5p/t25g.
8.12. A = mgH+Q,5mogH2 =1,2МДж; n\=mgH/A = O,83.
8.13. А1 = 7,5Дж, А2=1,5Дж.
8.14. А1=-Рх/2 = -4-10’2Дж, А2=-А!.
8.15. А = -(F + FAZ/2x)A/ = -2,1 • 10’3 Дж.
349
8.16. Л = ц2т2£72* = 0>8Дж.
8.17. A-\L2m2 g2 l2k + \xmgl = \6,5 Дж.
8.18. A=0,5FAZ=l Дж.
8.19. А = 0,5/2 ktk2/(kt + к2 )= 3,3 • 10^* Дж.
8.20. А = 0,5(1 + к2 /кх )к2х2 = 0,6 Дж.
8.21. А = 0,5(ky + kjl2 = 0,29-10"'Дж.
8.22. Fi = 0,5ld ;F2=2kl;At = 0,25kl2; A2 = kl2.
8.23. A = ~Q,5pmgl=-5 Дж.
8.24. A = -0,5pmg(l-ll'f/l.
8.25. A = 0,5(ц, + ц2
8.26. A = [mg(sina + ncosa)+ma]/i/sina = 1374Дж;
Ncp = A^a sin a/2Л = 687 Вт; T] = mgh/A = 0,72.
8.27. W = f72H/»? = 11MBt.
8.28. т = пк»7(2У)=10с.
8.29. v = Pl(mghlS + F}=\2,?> м/с, где S= 103м.
8.30. N=2mgt>sina=15KBT.
9. Кинетическая и потенциальная энергии. Теорема об изменении
кинетической энергии. Закон сохранения механической энергии
9.1. Wk = 0,5mg2T2 =450 Дж; v(t)=gf, WK(t)=0,5mg2t2.
9.2. W^2n2mv2R2.
9.3. Ар = 2A WK /(v2 - vx) = 3,5 кг-м/с.
9.4. A(Fc ) = 0,5m(t>2 - v2) = -36 Дж, A (mg ) = 0.
9.5. Fc = famgh - mu2 )/2l = 82 H.
9.6. S = #(l-nctga)/n.
9.7. S2 = Vg/2\tg-Sx = '1,5m.
9.8. Fc =\2mg(H + h}+mv20}/2h = 2,7-104H.
9.9. S = mgH/(F- mg).
9.10. l2 = 4Zj = 8 см.
350
9.11. d/(l- 0,82 )= 10 см.
9.12. Л=4м, А = -10Дж.
9.13. n = v2/3gl = 0,7.
9.14. v = x^c/m .
9.15. WK = 0,5mg2?, W^mgH-O^mg2^, Wua=mgH.
9.16. v = ^2/3 n0 = 11,5 м/с.
9.17. h = fo/4g = 10 м.
9.18. 1Кк1 = 0,5m (t>0 - glt J =5 Дж, 1Кк2 = 0,5m (t>0 -gt^f = 20 Дж,
AWnl = mg^tt -0,5gt,2)=75 Дж, ДИ^ = mg(uot2 -0,5g!?) =60 Дж.
9.19. А(Гс) = т(/г£-0,5<)=-5Дж.
9.20. WK = max = mv% /1 в момент бросания и в момент падения на по-
верхность. = m(v0 cosa)2/2 = min в верхней точке траектории.
Wn = max в верхней точке траектории. Wn = min на поверхности
Земли. И^мех = + Wn=const.
9.21. WK = 0,5 mv^ cos2a = 5 Дж, Wn = 0,5(nw2-mv^ cos2a)= 15 Дж,
lFMex = 0,5muo = 20Дж, A = 0,5mv^ = 20Дж.
9.22. v0=^/m /cos a - 800 м/с.
9.23. t = ^t>0 sin a ± ^v02 sin2 a + gh-1>02/2 ^/g .
9.24. A^F^) = Wx - 0,5nro2 - mgh = -50 Дж, A(mg) = mgh = 200Дж.
9.25. A(FC )= mv2 /1 -mv 2 /2- mgh.
9.26. A = mgZ(5/2-lp2 = 98Дж.
9.28. v = j2gl.
9.29. v = ^0 + 2gh = 32 м/с.
9.30. A = 2mgH.
351
932. х = 2mg/к = 0,06 м.
9.33. x = (Z,-Z0)^+^(/1+Z0)/(Z1-Z0)).
9.34. Q = -3mgh/R+mg:, hx=R/3.
9.35. Л = 5К/3; Q = 2mg.
9.36. H=2,5R.
937. a) q = 2^/gZ; 6) v2 = JSgl.
9.38. l)AT=2/ng; 2)AT=6mg.
9.39. l)A(7) = 0, A(mg) = mgZ; 2) T= 3mg; 3) T=3mg-2A/l.
9.40. a=arccos(773mg)=60°; a = = 9,1 м/с2.
9.41. a=arccos(l/V3 )=55°.
9.42. T = 3mg sin a + mv2 /l = 1,6 H, Tmin =3mg + mv2 /Z = 3,1 H,
v0 = figl - 5,5 M/c.
9.43. hx = 2R/3, h2 =23R/21.
9.44. co = 2yjg(m2 - mx )/(l(mx + m2)) .
9.45. vx = 2Zj^g(m2 -mx)/((nxlx +»»2(Z-ZI)2) = 2,7 м/с;
v2 = 2(Z -Z, )^g(m2 - mx)/{mxlx +m2(l-lx )2) = 4 м/с.
9.46. h = Q,5H; S=H.
9.47. F] = jXzhj + m2 )g; F2 = ц(т, + m2/2)g.
9.48. F>(rnx + m2)g.
9A9. N = mgol2 .
10. Законы сохранения импульса и механической энергии.
Абсолютно упругое и абсолютно неупругое взаимодействия.
Общефизический закон сохранения энергии
10.1. A = mxm2v2/2{тх +т2)=7Дж; Г| =/н2/(пг1+пг2).
10.2. F = mxm2v/r(mx +m2) = 495H;
AW = mxm2v2/2(тх +m2)=1237 Дж.
10.3. x = mxm2v2]2F(mx +ш2)=0,19м.
352
10.4. т] = 1-(«2/ц)2-t^)2/^2^2 = 0,64.
10.5. и = -^(ти^)2 +{т2и2У + 2?n1?n2o1o2 sin a f{mx + m2);
₽ = arcsin[zn2i>2 sin а./(тх + m2 )n].
10.6. Q = mxm2v2 /2(jnx +т2)=120Дж.
10.7. A = l)g {m2/mx + m2)/ 4Л = 360 Дж.
10.8. Wa = nmgl.
10.9. vx = -fim2 W/(m2 + mxm2) = 2,1 м/с;
v2 = ^2/njfF/(znf + mxm2] = 0,7 м/с. '
10.10. Uj = ^2m2m3W / mx(mxm2 + mxm3 + m2m3);
v2 = ^2mxm3W j m2(mxm2 + mxm3 + m2m3);
v3 = ^2mxm2W/m3(mxm2 +m{m3 +m2m3).
10.11. W] = (2m2v2 + vx (m2 - mx ))/(mx + m2),
w2 = (2mxvx + v2(mx -m2))/(m1 + m2).
10.13. тх1т2 = 3.
10.14. W = тхт2(ц + v2/2(тх +m2).
10.15. 5/3.
10.16. H = u2mx (mx -m2 )/2g?n2.
10.17. 1) v = y]2gh; 2) v2 = -^2mxgh/(mx +w2).
10.18. u0 = yj2gh(mx + m2 )/m2 .
10.19. h=R/9.
10.20. S=t--------
4n\+fn2XF-\mx+m2)g\
10.21. 5 = //(since-p.cosa)cos2a/sina.
10.22. v = v0 = 10 м/с.
10.23. Шар А откатится назад co скоростью vx = u/5, шары В n С будут
иметь скорости v2
= 2^/3v/5.
353
10.24. m,/m, =(j£^ + 1/£7y(j^‘-1/Ej)-16.
(0.25. x = + М-Л
к к у (mt +m2)g
10.26. v = ^2gh + mg2 /к.
2 2
<л/,„ i m2v mx+m7
10.27. h = —--2-——; v, = —------г- J5gl.
2^+mJg m2
10.28. u = 72g/(l -cos ₽ж + m2}/m2 cos a = 326 м/с.
10.29. ц = mx yj5gl/m2 =30 м/с; v2 = m{ ^4gl/m2 = 27 м/с.
10.30. hx = [m] /(m, + m2 )f I = 6 cm .
10.31. Aj =
m2 -mx
/ = 0,25 м; h2 =
2mx
m2 +mt
10.32.
10.33.
10.34.
10.35.
10.36.
10.37.
10.38.
10.39.
m2 +mx
6 = (o,5o02 -gh)m .
p.=tga/3.
p.=0,5tga.
P = arcsin(sin a/ д/1 — T] )= 15°; T) i = sin2a=0,5.
e = 0,5ma2T2 =2,3-IO8 Дж.
Q = 0,5m(oo - v2)+ mgl sin a = 96 Дж.
2=pngctga.
Q = y4p.cosa/(sin a+p.cosa).
/ = 0,25 м.
10.40. v = ^2(mi +1)1^11mxm2
10.42. Uj =v cos a = 1,7 м/с; u2 = usina = lM/c; P = 90°-a = 60°.
10.43. w = +4u0Msina + 4w2 ; p = arctg(u0sina + 24/(u0cosa)).
10.44. Я=23/?/27.
10.45. A = m2gl; x=m2l/(.mi+m2').
11. Равновесие материальной точки. Центр тяжести
11.2. Тх=mgctga= 168Н; Г2 = zng/sina = 196Н.
354
11.3. Д/] = (тх + m2}g/k = 0,1 м; = 0,2;
Д/2 = m2g/k2 = 0,2м; AZ2 /72 = 0,8.
11.4. Q = mgtga/(cosatgp + sina);
Т = mg tg a sin a/((cos a tg p+sin a)sin p).
11.5. й = /?/71 + Ц2 •
11.6. Ft = mgtga=1132H; F2 = mg/cosa = 2263H,
где a = arcsin(AS/.4C)=30°.
11.7. Fx = mg(BC/AB)= 1,3 -104 H; F2 = mg(AC/AB) = 104 H.
11.8. Tl = mlgctga; m2 = ctga/ctgp.
11.9. m2 = y[m22 -m2 = 15 кг; a = arccos(m1/m2)= 56°.
11.10. Tt = mt gsina; T2=m2g; Q=mlgcosa-m2g-, m=mx sina.
11.11. 7] =mg/(tgpcosa + sina); T2 = mg/(tgacosp + sinp).
11.12. m = yjm2 +m2+ 2mim2 cos a.
k 3 1 /
11.14. m2 = 8mx.
11.15. AfA(mg) = 0; MB(mg) = mg\AB) = 3000 Нм;
M^mg) = mg-(AB) - 3000 Нм.
11.16. l2 = k2ll/(kl +k2).
11.17. На половине высоты, опущенной из точки, где находится 2т.
11.18. 81/3.
11.19. 3//4 + /?/2 = 25,5 см.
11.20. 2/?р,/(Р1 +р2) = 5,5 см.
11.21. а) На пересечении медиан;
б) слева от центра на расстоянии Rr2/2(/?2 - г2);
в) вниз от точки О2 на расстоянии
ая:(У2 -1У(2-Vz).
2 4-n(j2-lf
г) на оси симметрии на расстоянии 26 см от левого конца.
355
11.22. На-расстоянии хс =1 1—от середины медной стороны.
11.23. F = mg/ji = 500H.
11.24. p>tga.
11.25. Условие равновесия не зависит от массы тела (см. задачу 11.24),
поэтому при любой массе призма не соскользнет.
ns sina + jicosa
11.26. F<mg------—--------.
cosp + psinp
11.27. p=arctgp.
12. Статика твердого тела
12.1. F=mg = 200H.
12.2. 7] = mg^ - 2l2 )12(1Х - /2 )= 3375 Н; Т2= mglx/2(/( - /2) = 5625Н.
12.3. R = F2 - Fx = 15 Н, на расстоянии х = 1 м справа от точки В.
12.4. a=45°.
12.5. Wnl = 2mga; VPn2 = mga; Wn3 = Q,5mga;
последнее положение наиболее устойчиво.
12.6. Система имеет минимальную потенциальную энергию.
12.7. Q = mgR/^l + Ry--R2; Т = mg(l + R)/yj(l +R^ - R2.
12.8. F = mg^h(2R-h)/(R-h).
12.9. 7] =mgsina/(l + sina); T2 = 0,5/ngsina.
12.10. F = (m2 -m^g/1,5.
12.11. R = gy]m2 sin2 a + (m1 —m2 cos a)2; вектор R направлен под
углом a = arctg^zn, - m2 cos a)/m2 sin a]к горизонту.
12.12. F\ = (2/3}ngsina; F2 = (2/3)mgtga.
12.13. a = arctg[(l -ц2 У^2р].
12.14. p = 5tga/8.
12.15. T = mgsina/2sinp = 22,6H;
R = ^R2x+R2y = Jr2+m2g2- 2mgT cos(a - p) = 11,3 H.
12.16. Г2 = ^//а = 3000Н.
356
12.17. p£tg(a/2)=0,27.
12.18. ц = (m2/?w1 sin 2a)+tga.
12.19. TJ = 0,5mgctga; T2 = mg/2sina.
12.20. a = arctg(r/pJ?).
12.21. TV, = 0,5(1 + p)mg cosa = 4,5 H, N2 = 0,5(1 -p)mgcosa = 4 H,
F^ =0,5(1 + p)pmgcosa = 0,2H, 7*^2 = 0,5(l-/z)/i/ngcosa = 0,2H.
12.22. F = 0,5mg при p. > 0,5; F = 0,5wg-^(l/p-2)2 + 1 при p. < 0,5.
13. Гидростатическое давление. Сообщающиеся сосуды.
Закон Паскаля
13.1. р = р0 + zng/S = 1,5• 105Па.
1)р = р0 + (т + т^/$ -1,75Ю5 Па;
2) р = р0 + (mg + Fsin a)/S = 2 • 105 Па.
13.3. p = p0+pg(4V/nd2-h).
13.4. h = 2a.
13.5. F=pgW=15H.
13.6. F,=pg(h1 + h2)5= 104H, F2 = pg/i2S=0,8-104H.
13.7. p = 2p1p2gA/(p1 +p2)= 26,1 кПа.
13.8. p2=P\-р£Й = 3,5104Па.
13.9. /Z = po/pg = 10,3M, F=Po5=2OH.
13.10. Нет.
13.11. I = p0/pgsina = l,52 m.
13.12. p = p0 + g(p0H-ph) = 1,2-1O5Па.
13.13. x = 0,5Яр0 /р = 0,5 см.
13.14. ^(рД -р2й2)/р3 =2см.
13.15. х = йро/17р = О,Зсм; у= 16х=4,8см.
13.16. х = р0й/(4р-Зр0)= 5,8мм.
13.17. рА=ро + р£Й = 2-1О5Па; pfl=po + 2pg/i = 31O5na;
рс=р0 + 3 pgA=4-105na.
357
= 4 мм.
13.19. Оторвется.
13.20. h = m/2р5 = 7,5 см.
13.21. F2 =FiS2/Sl =104Н.
13.22. F2 =FxhJh2 =104Н.
13.23. S2/St = hnmg/A = 50.
13.24. F = 9fS2r\/S[ = 72 кН.
14. Закон Архимеда. Гидродинамика
14.2. p = O,75po = 750 кг/м3.
14.3. F = mg(l/0,9-l)=0,98H.
14.4. Кусок железа.
14.5. Одинаково.
14.6. р = роп/(п -1).
14.7. A/i = m/pS.
14.8. М =т/0,03 = 3000 т.
14.9. Понизится.
14.10. Положить m = p0V.
14.11. n, =(p2-Pi)/p2; n2=pi/p2.
14.12. Н = Лр2/(р2-р,)=16м.
14.13. / = й(1-л)=1м.
14.14. При рж=рв — уровень не изменится; при рж > рв — уровень по-
высится; при рж<рв — уровень понизится.
14.15. Понизится. Не изменится; не изменится.
14.16. Понизится на ДЛ = (рлИл + рсИс -рвК„)/5рв.
14.17. 5 = т/й(р|-р2)=1,9м2.
14.18. л = т//5(р0-р)=42.
14.19. h = 4m/np(d? +d2\
14.20. =К(р2-р)/(р2 -Р1).
14.21. х = й(р-р,)/(р2-р1).
358
14.22. х = (0,25р - р0 )/(р - р0).
14.23. т = р Va/(a + g).
т, 6”.+m,Yg + a) з 2h
14.24. V = -i-7-= 81 м3, где a = —.
£(Р-Р2)-Р2« T
14.25. Кп=И(р2-«Р1)/р2.
14.26. V = Рг(р1-Ро)-^(Р1-Р2) =!0 смз
£Р1 (Po — Рг /
14.27. ml = 296r, m2=120r.
14.28. p = pB-4AP/nJ2Ag = 800кг/м3.
14.29. р = (Р2р,-^р2)/(Р2-^).
14.30. S = mg-mgp2/p1+5(p0+p2g/i).
14.31. T=pgSAh.
14.32. p = 9p0 /25 = 0,36 • 103 кг/м.
14.33. p = 16p0/25 = 0,64-IO3 кг/м.
14.34. AWn = (p, - p2 )Vgh = 7350 Дж.
14.35. A = (p2-p^H2Sg/2p2.
14.36. v = ^2gh.
14.37. h = v2/2g.
14.38. v = >l2F/Sip^-S2/S2).
15. Тепловое расширение. Теплообмен без изменения агрегатного
состояния. Сгорание топлива
15.1. 12/1х=щ1с1.2.
15.2. V2 = К, (1 + ₽!А/, Х1 + ₽2д?2) = ^ (1 + PiA?i + ₽2^2) = WOO16 л,
где А/, =4К; Дг2 = 6К.
15.3. р2 = Р! /(1 + 80₽) = 1,34 • 104 кг/м3.
15.4. /,=7,96; не выльется.
15.5. Д7=УоРД7’=151О-5м3 = О,15л.
15.6. ДУ уменьшится наЗаУоДТ=5,4-1О'6м3.
15.7. Г=Е5аДг=34кН.
359
15.8. 0 = 37°С.
15.9. т} /т2 = с2 (0 -t2 )/с\ - 0).
15.10. 0= 57] /8.
15.11. 0=5Г2/9.
15.12. С1=0,5кДж/К; С2=1кДж/К; С3=1кДж/К.
15.13. 0 = -6,2°С.
15.14. С = с [т2 (t2 -1)- W] (/, -1)]/ (г, -12) = 140 Дж/К.
15.15. Г = Г, + Ofc - Г2)/cm = 32,5°C.
15.16. q= 161,3Дж/с.
15.17. тис=104г; тиа = 46г.
15.18. v = 4Р1<жРрМ = 2,7 м/с.
15.19. 46,5 c.
15.20. 0 = [r3 (r, -12)+ r4 (/3 -12)]/ (r, +13 - 2t2) = 35 °C.
15.21. 0 = срДК/За = 66кДж.
15.22. T] = NS/Vvpq = 0,32 .
15.23. mn - тигI2qx\ = 2 г.
15.24. m = 4FS/qv\ = 35,6 т.
15.25. Лги = mgS sin a/qT] = 0,023 кг.
15.26. m2 = m{v2]v\ = 0,1 кг; N2 = rjqm^/vtS = 32,2 кВт.
16. Тепловые явления с изменением агрегатного состояния
16.1. Т = (стТ0 + 0,5/ти - О)/ст = 308 К.
16.2. с = -----г- = 0,23 • 103 Дж/(кгК);
V2 “ h Лг — vo ~ Л1
16.3. X = т2с(100-rj/t] =2,24МДж/кг;
16.4. т] = m{c(fK -t)/Nzl - 0,89 ; т2 =т,[1- (ct2 (tx - ()/Хт3)] = 0,96 кг,
где гк= 100°С.
_ </2 - е)- С1Д., (е - <,), ,
с,(г,-е)+л ’ д
360
,, , c,m, (t. -)+ rm. + c2m, (f0 -0) ,л
16.6. m, = -1—‘Al—0/ . 1 2 1V0---= 40 кг, где t0 = 0°C.
c2(9-^)
16.7. mn = pVci(tl-ti)/(r-c2t2 +с10)=53кг.
16.8. m = + C27^+Гт^ 1,1 кг.
X + C2 \t2 t2 )
16.9. mB =-^[X + c1(^-f1)+r + c2(r3-r0)]—^=4,6кг,
где ro=O°C, t3= 100°C.
16.10. 0=O°C.
16.11. 0 = 0°C. Масса растаявшего льда Дти = ctm2 (t2 - )/г = 0,2 кг.
В калориметре /и2 + Лги = 0,4 кг воды и - 1\т = 0,3 кг льда.
16.12. 0__c(wi+m2k+W2-"w2+^3 _.10С
c(mt +т2 + т3)
16.13. 0 = О°С, останется примерно 14 г льда.
16.14. Н = сДГ/pg = 162,5 м. При абсолютно упругом взаимодействии
шар нагреваться не будет.
16.15. v = ^4c{T2-Tx}+4r-2gh = 387м/с.
16.16.
т г- 0,5т]о2
16.17. v = J 2[с(Т3-Т\)+г+к] = 1941 м/с, где Г3 = Г3 + 273 = 3323 К.
16.18. v = 72(10сл+Х + 100св+г) = 2,2 • 103 м/с.
16.19. тл jm = X/(X + г) = 0,87.
16.20. тл - стх (t2 - )/г = 0,12 кг.
17. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа.
Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы
17.1. т0 =2Mr-\Q-3/Nh = 5,3-10-26 кг.
17.2. nL= р0ДГ0 = 2,7-Ю19см"3, L = 1/V« =3,3-10"7 см.
17.3. n = pNjM = 8,4-1028м“3; L=^M/pNk =2,3-Ю"10м.
361
17.4. п = pN*/М = 8,4-1022 см’3.
17.5. а) р, = 2т0и«2; б) р2 = 2m0nv2 cos2a.
17.6. икв1 = д/з7?Г/2Л, -10’3 = 1934 м/с;
икв2 = yj3RT/2A2 -10’3 = 1367 м/с.
17.7. Ni=pVi/kT = l,2-1021; N2 = pV2Nh/M = 6,7-Ю24.
17.8. Уменьшится в 4 раза.
17.9. Уменьшится в 3 раза.
17.10. р2/Р1 =1,22 =1,44.
17.11. р = 2(1Г)/ЗИ = 8-105Па.
17.12. 7’1 = Л/1 (t2 + 27з)/'М2 = 600 К.
17.13. Уменьшится на 25%.
17.14. Уменьшилось на (1 - 7] /Т2 )• 100% = 4%.
17.15. N = 2W/3kT = 1,6 -1021.
17.16. (w) = 3pY/2vNA =1,2-Ю’23Дж.
17.17. т = p0VlkTN = 5,3-109 с = 166 лет.
17.18. 1 — углекислый газ, 2 — кислород, 3 — гелий.
17.19. pjp2 =tga2/tga1.
17.21. m3>m2>ml.
17.25. m1/m2 = 3.
17.26. Pmax /ртп =p2 /Рз= 3/2; Vmax / Vmin = V21V, = 3.
17.27.
17.29.
17.30.
17.31.
17.32.
17.33.
Tmax / Tmin = 7*3 / 7^= 3 .
p, = V2 Др/(V! - V2) = 12 кПа.
Т2=лАТ/(л-1) =400K.
7'1 = 200K.
р2=0,2р! 7'2/7’1 = 38кПа.
p=pM/RT= 1,3 кг/м3.
трМ, - mpRT п ,
v = —-—1--------= 0,5 моль.
M{pRT — МхМ2р
V = pl^m/p(pl-p2)=5n.
17.34.
17.35.
362
17.36. p=cV, где с=/иЯ/а2Л/=const.
17.37. Уменьшается(VT= const).
17.38. ДА = (p0 - niRT/MV^/pg = 2,8 cm .
17.39.
2 RAT
17.40. tn2=p^alg + ml = 26кг.
17.41. \t = TF/PS-T = 70° C.
17.42. Z1=poZ/(po + P#A) = 23,8cm; Z2 =p0Z / (p0 - pgA sina) = 35,8 cm .
17.43. A =^/?02+p2g2/2 -Po+pg/^pg = 0,5 м, гдер0 = 105 Па.
17.44. Tj = p^/p^+pgL.
17.45. х=Т2Д/(7’1 + 7’2) = 0,42м.
17.46. p2 =P\ Vi IW + Vi> = 62,5 кПа.
17.47. Pi = [p (V, + V2)-p2 VJ / V, = 5-105 Па.
17.48. m = fyii^Mp / 3RT= 12 г.
17.49. x = (n - l)/(n +1)- A/2.
17.50. Vx = + pgA^J- V = 1,8 m3 .
17.51. A = 2po/pg = 2OM.
17.52. x = vRAT / [2paS + (2mx - m2 )g] = 0,23 м.
17.53. T=2(Mkh2/mR + Tq).
17.54. h=Po/Pg ~
17.55. n2 = n*-l + yj(nx -l)2 +4n,2n32 /2n,n3 = (2 +713^3 = 1,9
17.56. T = -.— --i--------r—= 377 К.
\mjMx + m2/M2)R
17.57. р1=гп1/?7’/Л/1У=7,5105Па; p2=px + 2m2RT I M2V= 12,5-105Па.
17.58. p,/p2 = 2^/372 = 4/3.
17.59. p2 = (p0 + Др) Tx IT2 = 375 кПа.
17.60. p = nV2p(iIV,= 0,2МПа.
17.61. F[= М^К = 1,5дм3.
^~\PilP\
363
18. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам.
Адиабатный процесс
18.1. ДС/= 1,5уЯДТ= 1246Дж.
18.2. А =10Дж.
18.3. А/2 = 0,4.
18.4. Q=3mRATl2M =2493Дж.
18.5. 2=1,5 У(р2-р1)=ЗкДж.
18.6. 2= ЮRт0.
18.7. a) A=p2(V2-Vi)>0;
б) А = (pj -р2) (V2 - V,) < 0;
в) А = 0,5(р2 -р]) (V2 - Vj) > 0.
18.8. а)ДС712>0; ДС723>0; 2п>0; 22з>0-
б) ДС712>0; ДС/23>0; ДС734 <0; 212>о; 22з>0; 2з4<0-
в)ДС712>0; ДС723<0; 212>о; 22з<0-
18.9. ср = 2/"гЛ7’=916Дж/(кг-К); А = ?пЯД77Л/=2,59-103Дж;
ДС7=2-А = 6,57-103Дж.
18.10. Qp-Qv=mRAT / М\ cp-cv=RlM.
18.11. Одинаковые.
18.12. A = (v22-V12)a/2; V = JvRT/a.
18.13. А = (V2 - Vj2) / 2vRa, поглощается
18.14. 2 = 0,75pV=375Дж.
18.15. Изотермический процесс: Q=A ‘, T= const. Адиабатный процесс:
А = -ДU; температура понижается. Аизотерм > Аадиа6ат.
18.16. ДТ=2А/ЗуЯ=10К.
18.17. икв = = 469 м/с.
18.18. vm2/v^ = 71 + ZMAfimRT = 1,1.
18.19. A=mRAT/M=Si\Дж; 2=А; ДС7=0.
18.20. 2 = 0,5vRAT= 415Дж.
18.21. 22 = <21-(P2-jP1)(V2-Vi).
18.22. Q = A = — — /?7’ = 2,7104 Дж.
п М
18.23. Q2 = mRAT/M - 2!=-0,7МДж.
364
18.24. А2=Ai = 100Дж.
18.25. А = -1,5у/?Д7’=-1246Дж; ДС7=0; Q=A.
18.26. А = /?(Т2-7’1)2/2Т1.
18.27. Г2 =Т4 = ТОД ; А = у/?(7'1+7'3-27^Г).
18.28. А12=(2з1= ЮкДж.
19. Тепловые двигатели. Свойства паров. Влажность.
Поверхностное натяжение жидкостей
19.1. Д1/цшцю=0; 2=А<0.
19.2. <2]2=!21>0; <223=О; 2з4=!22<0; (24]=0; A = (2i + 22;
r\=(Qi + Q2)/Qi = (Ti-T2)/Ti<l.
19.3. п=А/(А-22) = 0.20.
19.4. Т2 = 7’1(е1-А)/21 = 284К.
19.5. |22|/2i= 1/з.
19.6. т]2 = (1 + ЗП1)/4 = 0,55.
19.7. е1/|22|=1/(1-П) = 2,5.
19.8. т — Л7’2/г(Т’1 -7'2)= 8,3кг.
19.9. N=?n<7(7’1 —7’2)/7’1т = 44кВт.
1,ю П-
19.11. Т] = 1 + (Т3 - Т2) / (Т\ - Т4) = 0,25.
19.13. Q=Ni + cm(t°-Q°) + rm\ увеличится.
19.14. N=q-m [c(t2-f1) + r]/i: = 416BT.
19.17. р=ро(г+Д/+273)/О+273) = 1,13-1О5Па, гдер0= 105Па.
19.18. A=pH(Vl- У2) = 1О3Дж.
19.19. p = mRT/MV=Q,8МПа.
19.20. h = vRT2/(j>0 +mg/S)-vM/pS = 17,8 мм.
19.21. h = [(vj + v2 )RT2 - ]/PS = 2,8 м.
19.22. V=(mx + m2)RTIMpK = 2,'3ji.
365
19.23. р2—Ри,1оо°— Ю Па.
19.24. р2=рйТ/Тй + mRT/MV= 1,7-105Па.
19.25. Pi=PqT/Tq + ри100» = 2,410 Па».
19.26. Роса была; Атп = -^^ =6,5 г.
( 7] Т2 )
19.27. р2=рнМ/ЯГ2 = 9,4г/м3, г= 100%
19.28. г < Р”’5°Т2 = 30%, где 7] = (5 + 273)К, Т2 = (25 + 273)К .
Рн, 25’71
19.29. Дл? = пгсух - твл = (Мв - Мп) rVp„ / RT= 9,5 г.
19.30. F=(a1-a2)/=l,610’3H.
19.31. F=mg + 4отгЯ = 0,1 Н.
19.32. А = 8отгЯ2 = 1,610“3Дж.
19.33. И,= 47к/2ст=6-10Ч)Дж.
19.34. р=р0+4а/Я.
19.35. h = 4a(d2-d\)/pdid2g = 7мм.
19.36. h = 4u/pgR~3cM.
19.37. h=4a/pgd=3cM.
19.38. h = 2a/Rg(pi -p2)= 15 cm.
20. Закон Кулона. Напряженность электрического поля
20.1. N = r/\f\-jF3/k =5-1012.
20.2. -2q; ст=-3,710'пКл/м2.
20.3. F=e2/4ne07?2=8,2-10-12H; v = e/^itEomR =2,1 IO6м/с.
20.4. х = //(Д/^-1) = 1,22м; <?3=|<?2|х2//2=4,76-10-5Кл;
равновесие неустойчивое.
20.5. F=<73(<72-«71)/ne0Z2= IJ-IO^H; в сторону заряда <7 = 210-8 Кл.
20.6. <? = 0,5е±7(б/2)2 -4ne0/2F ; 91=3,8410’5Кл; q2= 1,16-10'5Кл.
20.7.
Р2
I2
3
- F = V3w/4np = 7,6-10’5M.
4ле0/2 У
366
20.8. Уменьшилась в 1,25 раза.
20.9. А = 2^.
г2 п-1
20.10. 0 = <?(1 + 2Л/2)/4; 2=-3,810-6Кл.
20.11. Z = 2qy/k/3mg = 0,36 м.
20.12. 2=2>ngZ2ctga/£=32-10’7IGi.
20.13. рш = рк/(1-1/е) = 1600 кг/м3.
20.14. F>q2(1+mJmJ /4ne0Z2 = 1,35-Ю’2H.
20.15. TAB=(mx+mJg; Твс=m2g + q2/4ne0Z2.
20.16. a - <y2cosa / 2n£(/nZ 2( 1+sina)=0,48 м/с2.
20.17. Ei = E2 = 7,2-106B/m; £3= 10,2-1 06B/m .
20.18. В центре кольца F=0;
на расстоянии h Fh=q0E.= —-— =3,55-10-3 H.
4ле0
20.19. Q2 = 2i +343mgR2/kQi .
20.20. x,=zfe-72^y(21-22)=o,iiM.
20.21. e=81; вода.
20.22. £=3<7/2лЕой2.
20.23. T = ^(mgY ±2qmgEcosa + (qEY ; Г, = 2,7-10“2Н; T2= 1,5-10’2Н.
20.24. a = arctg(<?£/mg) = 7°.
20.25. ст = 2e0д/г2 - m2g2 /q = 8,7 • 10~6 Кл/м2.
20.26. w2 = -J cd2 -<?2 /4ne0A3m = 1,7 c’1.
O2 4
20.27. T^mg + -^-T--%r3pMg.
4ne0Z 3
20.28. ; = и2/и/2е£=2,37-10“2м; t=vm/eE=47HC.
20.29. E = mea/|e| = 182 B/м.
20.30. y=(g + csq0/2E0m0)l2/2v02; EW=<5qoyl2EQ + mQgy\
ye - |^|ctZ 2/4e0 me v02; AWe=|e|o>/2e0.
20.31. m = (Ei-E2)Q/2g=l,51Q'3KT.
367
20.32. 2=-7-10‘5Кл.
20.33. £D=8<7/4neoZ2=l,444OloB/M; Ес =32<?/4ле09/2 = 6,4-109В/м;
EA=141q /4tceoZ2 = 5,O9-1O9B/m; Eb — найдите самостоятельно.
2034. Ea=2,25-104В/м; Ев=9-104В/м; Ес=3,6-105В/м; Е'д = 0.
2035. Ел = (|<71|-|<72|)/4ле0(ОА)2 = -12,5-Ю3В/м;
Ев=|<?1|/4ле()(ОВ)2=1,6-104В/м; Ес=0.
20.36. £,|ж=-(|сг2Нсг11)/2е0; £'гх=-(|сг1|+|сг2|)/2е0; Е3х=-(|а2|-|ст1|)/2Е0.
20.37. -2; F=22/2e05.
20.38. F=kq2/4d2.
20.39. F = 3q2/8ле0а2; Е = ^2-q/iiEoa2.
20.40. к = &?2/(4г2Дг)=49Н/м.
20.41. Qma>ZR2mglkQ.
20.42. WK = qEb / (sin2a - tg0-2cos2a)=7,3-10-5 Дж.
21.1. ।
21.2. ।
21.3.
21.4. ।
21.5. <
21.6. !
21.7. ।
21.8. ।
21.9. ।
21.10.
21.11.
21.12.
21. Работа сил электрического поля. Потенциал.
Разность потенциалов. Проводники в электрическом поле
фо = -18ОВ.
фо = 288 кВ; фй = 204 кВ.
X] = -Jn=2.
Фс = 2ФаФв/(Фа + Фв) = 24В-
E=-a/?2/eor2; ф=-а/?2/еог, r>R.
(p = q/47tE0(R + l).
ф = а2Е/Е=180В.
Ф = Ф0Е0/Е.
ф = ф, + ф2 = (Q + q) / АОлЕой - 27 В.
• £л,=°; Ф«,=0/4леоЛ2; =e/4nE0tf2 ; ФЙ4 = е/4ле0Е4 .
. в2=471Е^(р0 - Q\RJ(l+Е), Q2 = QiR/(l+R).
—+ —1 для 0<r<E,; ф| =——f— + — 1 для
Ej R2 j 4лЕо( r E2 J
R{<r<R2, ф2=——
4ле0
1
Фо = ----
4ле0
+^2 дляг>Я2.
368
21.13.
21.14.
21.15.
21.16.
21.17.
21.18.
ф0 =—I—+—^—| = 4,52-103В;
4ле01 R' R2 R2+d J
=<?-q0 =
Чо ( Qi
4яеД Я2 +</
—^—=-5,4-1 (Г6 Дж.
R2+d J
В центре кольца Е = 0, ф=Q / 4лЕоЛ;
, п 1 Qh 1 Q
на расстоянии h Et=-----, фк =-----------------, .
4ле0 (Л2+А2)’/2 4ле0
1) ф1-ф2=£/= 1,2В; 2)ф!-ф2 = О; 3) ф1-ф2 = Е/со8а = 0,6В.
Ф1—Фг= mgd/q = 196 В.
ф = ф0^1У? = 102В.
21.19. Q — z^E0\ ф| ф2 —0.
21.20. ф-ф2 = а<//е0; A = <5dqlt(i.
21.21. ф!~ф2 = £/со5а=2кВ; A = «7EZcosa = 210-4Дж.
21.22. Аав = q^Q/‘\ne() {^Ел — -JEB).
21.23. Асо = 0,36-10~3 Дж;ADC=-0,36-10"3 Дж.
21.24. А = q2( 1 /г2-1/г 2) / 4ле0 = 0,16 Дж.
21.25. А = <?а/?2/ео(/?+/) = 6,8-1О'7Дж.
21.26. Л12=-^-(—----------— 1 = 9Яф/—-----------— Ъ-3,3-IO'8Дж.
’2 R + l2 J ДЯ+А R + l2 J
21.27. i 1
4лео [Л ylR2+d2 J
21.28. А = Д W,== 17,7-10'11 Дж.
21.29. 160 м/с.
2130. Zmin = е2/4л£0 mv2 = 0,25 мм.
21.31 . гв =--------А , , . = 0,32 см;
1 + 2лЕ0те^^/<7|е|
369
WK = ^- + -^И-Г—1 = 5-10'23 Дж.
2 4яе0 rA rc J
21.32 . h=—7^—r(Z + 2Z).
Мф1~Фг) ’
21.33 . ф=ф0 - meu02 / 2|e|=720 В.
21.34 . IV= 1,33-10-12Дж; ф1-ф2=4-106В.
21.35 . n = ... 1-----—— = 4,16 10-7 м;
yj2n£0E/e + пг0три2/е2
г2 =------—4........... = 4,89 • 10'7 м.
4ле0три /5е2 + ^2пЕ0Е/е
21.36 . Wn = 3<у2 / 4tc£0Z ; A = -lq2 / IGne,/; уменьшилась.
21.37 . W^-Sq2/^^.
21.38 . /?=9,^2/2леупи2 = 0,81 м.
21.39 . v = ^qQMl2iK,0Rm(m + Л/) .
21.40 . и = ^2gh + 2kq£^ 1/R +1/V/?2 +й2^ = 26,1 м/с;
a = g + kqQh/ (r2 +h2 J =11,4 м/с2.
21.41 . v = yl2gh-q2^-tga)/2n£.0mh .
21.42 . v = ^2kqQ/\,\Rm .
22. Электроемкость. Конденсаторы. Соединения конденсаторов.
Энергия заряженного конденсатора
22.1. С=2/ф=Ю0пФ.
22.2. С=4леоЯ3 = О,711О~3Ф; Дф = 2/С= 1,4-103В.
22.3. С=471£оЛ=1ОпФ;2 = Сф=1О"8Кл.
22.4. ф]/ф2 = и.
22.5. ф = (ф! + ф2)/2.
22.6. Ф1 <ф2 ; <21= <2^1 /(2г=QRil(Ei+R2) ;
Ф1'=Ф2/=2/4л£о(/?1+Л2).
370
22.7. Д?=(ShR-qЛ)/(^j+/?2) = 1,2-Ю-9Кл;
ФГ=(?i+?2) / ДЭТЕоСК^Лг)=-72 В.
22.8. CR)Cr=^N =10.
22.9. ф = (C^+C^2) /(Ct+C2).
22.10. |^J = |<у2| = 5 нКл; С2=5СХ\ ф2=0,2ф1.
22.11. d=Eo&S/C=O,llмм.
22.12. F=E05t/2/2J2= 1,2310-3Н; не изменится.
22.13. R = l]3qU/4npdg = 2,1-10"4м.
22.14. r = ^JI7l/(t7I-I72)g =0,1с.
22.15. U = J2k&x(d-brf /e0S = 70,3 В.
22.16. и = fye^S/mC = 1,03 -107 м/с.
22.17. C72 = J2{71/eJi=1OOB.
22.18. &q = q2 - q{ = E0(E- 1 )58/ </=0,5 нКл.
22.19. Дб = e058 (1/d2 - \/dx) = -2,2 • 10’9 Кл;
ДЕ = 8 (1/ d2 - 1/rf t)=-5 -104 В/м.
22.20. Емкость конденсатора не изменится;
ф=М/</=75В; Е= C7/d=2,5 кВ.
22.21. ДС = е05 [1/(J - d{)- i/d ] = 8,85 пФ;
E=U/(d-dt)=33,3 В/м; ф = Ul/(d-dj = 66,7 В.
22.22. C=e05/(Z,+Z2); Дф = 2(/2-/,)/2е05.
22.23. t7l = E2</1t7/(E2J1+EIJ2) = 300B; Е, = 30кВ/м;
t72 = E1J2t7/(E1J2+E2JJ)= 1800 В; Е2 = 90кВ/м.
22.24. С=2е05/</=88,5пФ; Ct = 177n®.
22.25. а) С^СД/СС^С.) + С2С4/(С2+С4);
б) С6=(Ct+CjtCi+CJ /(Ct+C2+C3+C4); в) С6=С; г) Сб=ЗС.
22.26. а)С6 = 8С/7; б) и в) С6= 12С/7; г)САВ = 6С/5.
22.27. сэ=0,5с(>/5-1).
22.28. <71 = <72 = <75 = <76 = <74/2={/С/2; <?3 = 0; С6 = 2С.
22.29. С=е0С0/(е-1).
22.30. qi = UCl(C2+C2)/(Ci+C2+C2)-, q2=UC\C2l(Ct+C2+C3);
371
q3 = UCiC3/(Cl+C2+C3); |фл-фв|=17(С2+С3)/(С1+С^+С3).
22.31. Cl = 3C/2=3e0S/2d.
2232. = (2^t — q2 — q3 )/3 ; q2 = (2^2 ~ 9i ~ 9з > 9з = ~ 9i ~ 91 )/3 •
2233. Фо = (С1Ц)А + С2Ц>В + C3<pD )/(Ct + C2 + C3)=70 В.
2234. UDB=3B.
2235. ФШ = (Ф1-Ф2)К; q = q0/(l + C/4itE0R).
22.36. a)C=2Ee05/J(e+l); 6) C=E($E+V)/2d;
e) C=eo5(3E+l)/2d(E+l); г) C=2ee05'/d(E+l).
22.37. q=UC.
2238. qt=q2Ct/(Ct+C2).
22.39. C72=3C70/8; U3 = Uq/4-, U4=Us=U0/9; U6=0.
22.40. U=(ClUl+C2U2)/(Cl+C2) = 20B.
22.41. 61,=C1-|C2t/2-CIt7I|/(C1+C2)=4,3-10'5Kn;
Q2 = C2-\C2U2-Cl ux\l (Ct+C2) = 6,7- IO’5 Кл.
22.42. HW = -R{R^~-^ ле0.
22.43. A = O,5^2eo5 (1/dt - \/d2 );
ДW = O,582eoS (l/rf2 -1/) = -2,2 • IO’7 Дж.
22.44. А = Д1У = ^-^-Г^--1>1 = 4,4-10‘7Дж.
2J, [d' J
22.45. а) 1У2/1¥1 = 1/£;А=-1,8-10'2Дж; 6) W2/'W1 = e-, А = -3,6-10’2Дж.
22.46. Д1У=1У2-1У1 = С^2/3 = 3-10~4Дж.
22.47. А = 22/8ле07?.
22.48. Q = 2лЕо/?ф2 = 25 мкДж.
22.49. Q = Wo - W= Ct C2( Ux-U2)212(Ct+C2) = 0,5 мДж.
22.50. Q=A -q2IC=4J\7K.
22.51. бф,/2 = бф2/2 + mu2/2; у = ф,^4пЕйКх(112 -Rx}/mR2 =4,7м/с.
23. Сопротивление проводников. Соединения резисторов. Закон
Ома для однородного участка цепи. Измерение токов и напряжений
23.1. Дд=О,5/оДг=5ОКл.
372
23.2. /=0,5мА.
233. I — длина проводника.
23.4. 0,125-Ю'3 м/с.
23.5. т = теЛ/|е| = 0,2 мг.
23.6. vx/v2 = S2/Sl = 2.
23.7. v — скорость свободных электронов.
23.8. (v) = jM/\^Nkd = 8,2 • IO" м/с.
23.9. j = ^/tS = 0,3 А/мм2.
23.10. Я = 16тр/л2£>4<7 = 9,36Ом.
23.11. 750 кг.
23.12. l = ^mR/pd = 0,12 м, S = ^pm/Rd = i,7 Л^м2.
23.13. U — падение напряжения.
23.14. ф] - <р2 = jpndN = 6,4 В.
23.15. Ти =Т0-1/а + [/[1 + а(7’-7’0)раЯ7 = 2467К.
23.16. а = 3,5 10'3К’’.
23.17. /у//ж = -ажрж/ауру = 1/44,5.
23.18. r=R(n-l).
23.19. I = (U2 - Ux ]S/pIx = 7,4 м.
23.20. Л=0,5Ом.
23.21. а) Л= 1 Ом; б)/?=30м.
23.22. Я=70м; 73 = 5/7А.
23.23. /?2=80Ом.
23.24. /1=72 = 2,5А; /?лв=1,5Ом; ф1-ф2=0.
23.25. a)RAB=l,5R; R^=5R/4; 6)RAB=0,5R- e)RAB=7R/6;
г) RAB = 5R/3 ; d)RAB=6R/5; e)RAB = 3R/4; RAB^=5R/6-,
/?zUr=7/?/12; mcIRm^R/I-, з) Rab = 7R/\5.
23.26. RAB=R/7.
23.27. R = iirRL/(n+4).
23.28. UCD=20 В.
23.29. /?j = 20Om; /?2=60Om; 7?3 = 40Om.
23.30. 1Л»=ЗВ.
AO
373
2331. /?0бщ=л(1+7з)=2)7Ом;/=2А.
2332. / = 8еоаи(е-1)/J = 3,2-10'7А.
2333. I2 = IX(R + Rt )/R = 5,05 А.
2334. R, = U/{l - UIR2) = 20 Ом.
2335. Vj=33B; V2=27B.
23.36. R2 = RtUx (U - U2 )/U2 ([/-[/,)= 170 Ом.
23.37. t72=S-U1 = 8B; С73=/?/3=/?/2-Л71=2В.
23.38. Rm =/0Я/(/-/0)= 0,05 Ом; n =///0 = 200 раз.
2339. Яш = U/(l2 - It) = 0,1 Ом.
23.40. Ra = (U - Uo )/I = 12 кОм.
23.41. А = г7/7-Лш(л-1)=Ю5,50м.
23.42. Яш = rU0 /(ir - Uo ) = 20 мОм; Ra = r(U - Uo )/U0 = 5 кОм.
23.43. Яш =#/0Я/(/-.№0)=0,6 10'2Ом;
Ra = R(U/NIQR -1) = 200 кОм.
23.44. U! = U2=U4~1B-, U3 = U5 = 2B-U6=Uab=4B.
23.45. 1= U/R^m= 1,51 A.
Закон Ома для замкнутой цепи.
Закон Ома для неоднородного участка цепи
24.1. Лн=7Ом; г=30м.
24.2. g = /1/2(/?2-12)= ЮВ; г = (l2R2 --12)= 5Ом.
24.3. /? = Л2/г = 450м.
24.4. 1=5A; t7n=120B; t/np=lB; t7r=121B.
24.5. g = I2 (R2 - R{ )/(l - I2Rt /Ui) = 1,42 В.
24.6. % = IxI2Rl(!i-I2\
2A.1. Iia=Wl^-U')R.
24.8. r = (Ц -U2)/(l2 -Ix)= 0,5Ом ;8=их + гЦ = 1,4В; Ia= g/r= 2,8 A.
24.9. R = r(2U2 - Ut )/(их - U2 ) = 2 Ом.
24.10. r = R1lR3 =0,8Om.
24.11. Ix =^(Z?2 + Z?3)/[r(Z?1 + R2 + R3)+Rl(R2 + Я3)]= 1 A; t7=/1/?1=4B.
374
24.12. l)/.=0; t/,=8; qx = Cx8; 2)It=ti/r = I„; V,=0; ^=^2=0; -
3) /. = &/(Z?+r); U,= %R/(R + r); q2 = %RC2/(R + r).
24.13. г = Я(л-1)=30м.
24.14. & = 3£</ = 30B.
24.15. <p, - <p2 = # (qz?, - c2r2 )/(C]+C2 )(Z?, + R2 ).
24.16. ^=7«C/12; q2=5VC/6' q3=$C/4 .
24.17. Uc =#[1 - r/(0,5Z? + r)]=4B; q = CUc =4-10~6Кл.
24.18. 8 = 2Z?Z/(l-//Z0)= 10B; r = 2Z?Z/(Z0-/)=1Om;
qx = 2С/Я = 910’5Кл; q2 = CIR = 4,5 IO’5Кл.
24.19. Уменьшится в 4 раза.
24.20. I = (^ + 82)/(« + r1 + r2)=2,9A.
24.21. 12 //j = (Z? + nrjfciR + r) = 0,2 .
24.22. R=r.
24.23. a) 1 = 0, ф!-ф2=^; 6)I = ^/r-, ф]-ф2=О.
24.24. ф] -ф2 = -(^r2 + )/(n + r2 )= -47 В.
24.25. 7 = g/r; ф,-ф2=0.
24.26. Фд ~Фв = (82(п + Я)+^1г2)/(г1 + г2 + Я)= 1,2 В.
24.27. R = (8 tr2 - g 2r\ )/S 2 = 0,17 Ом.
24.28. фл - фв = (с2?2 - СД )/(С, + С2).
24.29. R= г= 6 Ом.
2430. Q = С (r2 + R2)+ 82 (rx + Rx)]/ (rt + r2 + Rx + R2) = 7 • 1 O’6 Кл.
fe2 -^JCj fa-%2)c2
24.31 . Uc =—----^-i = 3,2B, Uc =-^-!--^- = 0,8B.
C1 Cx+C2 c' Cx+C2
24.32 . a)Q2 = Q3 = ^C-,Uct = Uc2 = ^;
6) Qx=Q3=2^C/3; Ucl=ts/3; Uc2=2ti/3;
в)21=-2з = 2^С; e2=0; UCI = S; UC2 = 0-, UC3 = 2ti.
24.33 . Zj =3^/(я + Зг/2)=8 А; ф,-ф2 = 3^R/(R + 3r/2')= 24 В;
/2=0,5Z, =4A; ф3-ф4 =<?-Z2r = 8B.
2434. g, = (%}R2 + %2Rx )/(Rt + R2).
24.35 . Ц =I3R2!{Rx +^2)=2A;Z2=Z3-Z1 = 1 A; = IxRt + Z3Z?, =110B.
375
24.38.
2436. [7. =(17r+g/?)/(P + r)=27,5B. ь
2437. l = =12д2В; /и =-^^^- = 71,3А;
/2 + Д ю
г = (77] - иг)/(/( +12) = 0,1,7 Ом.
^ = 5,24А; 72=1,59А; 73 = 3,65А.
z = ^(i/n+i/^+i/^h^/n-^ _ 1632А.
1 + Р(1/г1+1/г2+1/Лл) ’ ’
= 6,84 А; /2 =--i----
24.39.
= 4,56 А;
Г2
А =
24.40.
I, = —— = 4,92 А; Un = 13R„ = 14,76В.
«л
х=2,29 км.
25. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока
25.1. А = qU= 3 Дж.
25.2. А = %2x/r = 288 Дж; q = &t/R = 24 Кл.
25.3. Ответы: 2; 3; 5.
25.4. Д, =#г(8-[/)/г = 9кДж; AR = Ut^-U)/r = 8,4кДж;
Аг = (^-[/)2г/г = 600Дж.
25.5. Л = Г|17/ = 396кДж.
25.6. г = Р1Л2/(Л2-2/?1)=140м.
25.7. а) Р = 72[/2^ = 65Вт; б) P = NU2/U2 =46Вт.
I = л</2ц(г72 - Ц )/4ptf = 19,3 м.
и = и л+—= 200В; Р. =nP+R
U„
25.10. См. пример 49.
25.11. (ф1-ф2)1 = 9В, (ф!-ф2)2=1В.
’max = , см. пример 49.
25.13. Ртах = g2п/4Л(1 - Т]) = 11,2 Вт.
25.14. = Nl(N-Nl)/N = 0,75кВт.
25.8.
. лР
= 4кВт; Т] = — = 0,6.
пР
и„
25.9.
25.12.
376
25.15. Р = (ft + Р2 У /р2 = 4,5 Вт.
25.16. Я = г; Р = 2&2/9Я = 16Вт.
25-17. Рмрад=Р1 +Р2; Ражл= Wfa + Р2\
25.18. Pt = 2Р/3 = 20Вт; Р2 = Р/3 = 10Вт.
25.19. Q = N$2/r.
25.20. а)е!=90Дж; 22=207Дж;
б)(21 = 10кДж; (22 = 435Дж.
25.21. Янр=г72/Р=1210м.
25.22. а) г=/! + г2=45мин; б) t = txt2/(fi + г2)=10мин.
25.23. а) т=54 мин; б) т= 12 мин.
25.24.
25.25.
т = р,К(с.ДГ + Ап - IR)= 1,36 ч.
Р' = 82я7(Я'+г)2=115Вт;
R' = a %2/2P-r + il (^2/.2Р- г)2 - г2 j = 0,8 Ом;
Р'/Р = 1,15; i}' = R'/(R'+r)=0,8; г}/г}'= 1,03.
^i,2 = W.2; Л,2 = ± 7^-4г(Р>+Р2)у2г;
17i=0.3B: t/: = 5B.
25.26.
25.27. См. 24.37; Рт = #2/4г = 216 Вт.
25.28. Рт = 172/4Я = 1210 Вт.
25.29. Рп =P-P2R/U2 =5640Вт.
25.30. R = i}U2/p(l + T]f =9,3Ом.
25.31. Дг| = 47%.
25.32. и=10.
25.33. г = 1/2(1-т])/# = 360Ом.
25.34. У=Я7=2,2кВт; т] = i-IR/U = 91% ; Р„отерь=/2Р=200Вт.
25.35. т] = 1 - IR/^ - Ir) = 0,9.
25.36. Рмех=1Д1.(1-Л//2)=18Вт.
25.37. Aj/A2 = 1/4.
25.38. п = Ян/(г + Лн)=0,94.
377
25.39. 7?=9,7 Ом.
25.40. 7=59А; и=2,5м/с.
26. Электрический ток в различных средах
26.1. т=0,024кг.
26.2. г=74с.
26.3. т=1,6г.
26.4. t = &Лолота zF/Mj = 4,727 • 103 с = 1,31 часа.
26.5. I = mzF[Mt = 4A.
26.6. Т= pVM/kqR = \55QK.
26.9. т=^ф = 0,63кг.
26.10. W = mU[r\k = 37 кВтс = 1,310® Втч.
26.11. т= 168мг.
26.12. 8 = MlT/FzdS = 5iмкм.
26-13. mHHK = 34r; mcepe6 = 9,2r.
26.14. Д/=0,7А.
26.15. R =1,3Ом.
26.16. 4=4-109Кл.
26.17. т - 0,8 кг.
26.18. v - ^2zeU/Amp = 4,1 • 103 м/с.
26.19. v = ^2eU/mc = 5,9 • 106 м/с.
26.20. фи = mev2/2e = 13,5 В.
26.21. umin = yl2Wjme = 2,94 • 106 м/с.
26.22. <pH=£0X = 15B; v = ^еЕ^/т. = 2,3- IO6м/с.
26.23. ф=£'ог=15кВ; #=4л£ог2£'о=8,3-1О-9Кл.
26.24. U3 >W„d/ek = 216В.
26.25. R<40кОм.
26.26. #=2,5-107.
26.27. £'=3-106В/м.
378
26.28. N = eEl/Wx- 7353.
26.29. I = \^P/Wt = 1 • 10м A.
2630. F2/F! = (г/2/ц У = 4.
2631. /„=0,2 A; P„=0,98 Вт;
4 = 0,15 А;Р* = 0,25Вт.
2632. г0=4Ом;Ro= 1Ю60м.
2633. / = 2-10~3А; при Р<0,3 кОм и Я>3 кОм диод перестает рабо
тать на прямолинейном участке ab ВАХ.
26.34. Ток обратный,
j (^i +riX:~(^2 +ггХ1= 5-10"4А
*0 (^1 + Г1 )+ (^1 + Г1 Х^2 + Г2 )+ Кц (/?2 + г2 )
27. Магнитная индукция. Сила Ампера. Сила Лоренца
27.1. /=5А.
27.2. F13=/aB=210‘4H; F2A=IaBsina= Н0чН;
Af=/a2Bsina=210’6H-M.
27.3. В = Mmax//5N=0,05Tn.
27.4. M=ISB.
27.5. /=F//Bsina= 1,2м.
27.6. Z=mg//B=98A.
27.7. В =mg/Z/ctga.
27.8. I =}imglIB =13,6A.
27.9. B^m = fj.mgr/$a^l + ц2 = 5,0 • 10“3 Тл.
27.10. На расстоянии x=0,01 м от тока Ц .
27.11. В = \к^12 +122/па.
27.12. F/1 = }1йЦ1212па.
27.13. Р=еиВ=3,210‘14Н.
27.14. В = теи/е/?=5,710’4Тл.
27.15. R = yl2mcWjeB = 5,8 см.
27.16. а)Z?p//?e=mp/me= 1836; cop/coe=me/mp=5,41O^*;
379
б) Лр/Ле = ^mp/me =42,8; (Op/(Be=me/mp=5,410M.
27.18. T=nmJeB.
27.19. /=2meusina/eB=8cM.
27.20. u=£'/B=5-105m/c.
27.21. (их) = 2и(В2-В1)/л(В1+В2)=3,8-105м/с.
27.22. E = cor(|e|B±mco)/|e|.
27.23. /?=meuosina/eB\ h = 2nmev0cosa/eB.
27.24. B=2itmcnvcosa/el, где n= 1, 2, 3, ..., нол<°°.
27.25. u=mg(sina-pcosa)/p^B.
28. Закон электромагнитной индукции
28.4. |dB/dr| = \6Ip/rtDd2 = 1,11 Тл/с.
28.5. F = a3A(B0+A/)/7?=8-lO^H.
28.6. /=Mz2AB//?A/=2,5A; <?=№a*(AB)2//?Af =6,2510’4Дж.
28.7. /2 = л/1/4=3,1А.
28.8. iy=C52(dB/d/)2/2 = 2-10'nДж.
28.9. ^=NSB^ina/tt $=0
28.10. ^=B5rsina/2p = 0,43Kn.
28.11. 9=2^5/Л=110^Кл.
28.12. ^=2лВ/г/7?=3,110-6Кл.
28.13. qx=q.
28.14. |dB/df| = q/CS = 0,01 Тл/с.
28.15. <Pi — <p2=B^v I=0,3 В; нет, нельзя.
28.16. l=Bva/R.
2ЯЛ1. F=B2l2v/R=2-10^H.
28.18. Ix = I3=a2k/3R; I2=0.
28.19. Z=Bua//?=210"3A.
28.20. В = ylQR/2bv/а,еслиc>; В = y[QR/2cv/а,еслн.с<Ь .
28.21. ct=£ouB; <p1-<p2=Bu6.
380
28.22. о=Лт«/В2/2=15,7м/с.
28.23. и = ~ = 51 м/с
1В
28.24. Fl 2 = (Bvl ± %)lB/R; Fj=0,0192 H; F2=0,0048 H.
28.25. W =СтУ/?12/2/2В2=4,810’3Дж.
28.26. <Pj — <р2=Всогд2/2 = 0,4B, <р1-<р3=Всог02/8=0,1 В;
<P]-<p2 = 0,2B; <Pj — ф3 = О,О5В.
28.27. w = 2g/Br2 = 400c"‘.
28.28. (2=лсоВ2г4/2/? = 5,0-10"*Дж.
23.29. ^-Д.-О.ЗТл; й, = Д, ~^in(B, ш(а/2)/Вг)]_ Тд
2 4 3 2 sina/2
29. Явление самоиндукции. Индуктивность.
Энергия магнитного поля
29.2. |ёси| = LM/M = 0,8 В; ДФ = LAI = 8,0 • 10~3 Вб.
29.3. |£| = <?снЛг/Л/ = 0,2 Гн.
29.4. L=-8СН / (dl/df)=0,1 Гн.
29.5. A/=L//g=4c.
29.6. Ф = 0; I = knR2t/L.
29.7. уменьшается; уменьшается.
29.8. не изменяется; увеличивается.
29.9. В=и/^=2,010-3Тл.
29.10. Ф = ро/№5// = 0,12Вб; W=po№5/2/2/=0,63Дж.
29.11. |ёси| = NM>/bt = 12,8 В; L = ТУДФ/(Г2 - It) = 0,16 Гн;
Д W = L (1} - /j2 )/2 = 16,3 Дж.
29.12. v = BjSl/iiom .
29.13. 1У=£.г/2/2В2 = 0,56Дж; (? = 0,56Дж; \^K\ = LU/R^= 14В.
29.14. |g| = 0,2цо№лу2// = 1,2610"* В; W = цйМ2т-212/11 = 10’3 Дж.
29.15. I = yl[c^-U2)-2Q\/L.
381
29.16. С=/Л2/2г2=0,6Дж.
29.17. l)d//dt=^/L=1000A/c; 2) d//dr=(8-//?)/L=7OOA/c.
29.18. «Pj-cp^Cflr+LHB); /=0,8A.
29.19. Л=|Д^—|/(/1-Z,)=1Om.
P dt 2 dt )/v 1 2'
29.20. R=2R0 + 2L/t=60m.
29.21. q = C(%-L&J/M- //?) = 2,6-10"8Кл.
30. Механические колебания и волны
30.1. x=5-10"2cos(4nr).
30.2. x=5-10~2cos(nr/2 + n/4); /] = 0, = 3,5-10"2м; t2= 1,5с,
х2=-5-10"2м; 13 = 2с, v3 = 5,6-10"2м/с; г4 = 3с, и4=5,6-10"2м/с.
30.3. хт=1,2м; ю=2л/3рад/с; 7’=3с; Оо=л/4; илт=2,5м/с;
ат=5,3 м/с2.
30.4. /=4с; Г/Т=О,О8.
30.5. 1) х=R cos(vt/R+л/2); vx = -v sin(v t/R + л/2);
ax=—v2 cos(vt/R+л/2) / R;
2)x=Rcos(vt/R); vx=-vsin(vt/R);, ax=-v2cos(vt/R)/R.
30.6. *=3,1-10~3H/m; Fmax= 1,5-1 O’3H;
^,тах = ^тм = 1Уми = 3,9-10-4ДЖ; T=4c-, со=1,6рад/с.
30.7. x = 0,32cos(nt + n/3); = 0,063cos(nr +л/З).
30.8. 5=/фо = О,1м; ucp =2/фо/лл///^ = О,2м/с; Дф=л/2.
30.9. /1 = П22Д//(л12-п22)=9см; /2=25см.
30.10. //Я=2/л2=0,2.
30.11. r = T0Vg/(g+a) = l,9c.
30.12. /=4#7’12/л2= 15,9м.
30.13. Wn=mg2(l-cosa)/47t2v2= 1,9-10’2Дж.
30.14. 72=0,87’.
30.15. Г = 7/;2 + Г22 =5 с.
382
30.16. Т = 2njm/3k .
30.17. т=ЛТ2/п2.
30.18. T = 4nJm/k/3.
30.19. xm>]i(M+m)g/k.
30.20. WK = А/2.
30.21. т = Г/4 = п^т/к/2 ; Ет = kv0>/m/g /g .
30.22. a=g(l - п2Г12/г2) = 5,4м/с2, где 7\ = 1с; вниз.
30.23. T = 2nJl/(F/m + g} = l,6c.
30.24. а) Т = 2it^ml/(qE + mg); б) Т = 2п^ ml/(mg -qE), (qE<mg);
T = 2ity]ml/(qE-mg), (qE > mg).
30.25. T = 2n/l /^a2+g2 .
30.26. T = 2n^2R/g .
30.27. u=Xv=0,4m/c.
30.28. u1/u2=X1/X2=2.
30.29. v=X v = 350 м/с; om = 27tvxm = 0,78 м/с.
3030. 4м.
30.31. Аф = 2n(x2 - x, )/X = 9,4 рад.
3032. 12,6 рад.
3033. v=7,2м/с.
30.34. v = ^H2 + S2/4 -= 1502 м/с.
30.35. y=ymcos[2Ttv(r-x/u)].
31. Электромагнитные колебания и волны
31.1. v2 =vtV2=4,2-105Гц.
31.2. С=Х2/4л2с2£=9,4-10’10Ф.
31.3. Т2 = Т,/2= 10мкс.
31.4. X = 2tkJlC = 1,9км; у=с/Х=0,16МГц.
383
313. Xt = 2m^LCl = 1190 м; X2 = 2ncjLC^ = 840 m;
У|=с/Х|=250кГц; У2=с/Х2 = 360кГц.
31.6. X = 2nc^eeQLS/d = 2350 м.
31.7. X = 2ncy/C^M/M = 2450 м.
31.8. X=2nc9in//m=190M.
31.9. /m =&c/7Zc = 19mA; v = 1/2nVZc = 5 МГц.
31.10. £= t/m/<a02^in= 10~3Гн.
31.11. Im = Jute/l+if = 0,012 A; Um = ^Uf+Uf/C .
31.12. 5min=rc/2 = 180M; 5max = c/2v= 100км.
31.13. A=c/Xv=1600.
31.14. Дф=0,314рад.
31.15. X, =цХ/с = 200м.
32. Генераторы переменного и постоянного тока. Резистор,
конденсатор и катушка индуктивности в цепи переменного тока.
Трансформаторы
32.1. <X> = B5cos(iW; ^H = 55tt)sin(0f; Йтах = (й55.
32.2. /H = O,25sin(314r+ao); /тах = 0,25 А; у=50Гц.
32.3. U, = 200В; С/2 = 0; (73=-200В; (7Д= 141В.
32.4. /д=/0Д/2.
32.5. /д = /т/л/2.
32.6. Х=(7д/2т1У/д=0,81Гн.
32.7. U=UL-UC= 107В; ф = л/2.
32.8. ; Ф = агс1ё[(<71-172)/173].
32.9. С = /0/2>/2[Л1У = 50мкФ.
32.10. Приу, = 50Гц: Xl=160Om, Хс=3,2кОм, Z= 3,2кОм;
приу2=10кГц: Xl=31,4kOm, Хс= 15,90м, Z=31,4kOm.
32.11. Az=3,3mc; n=100.
32.12. U2=UJk - /г=21,5В; Я=С/2//=4,ЗОм.
384
32.13. /^ = 1/^/1/0= 1400 ; А2=72/1/0= 14000^
32.14. /2=Т]1/1/1/1/2=18А.
32.15. /=Т]/71/2=1,6A.
32.16. /=т]Рп/(1-п)1/=7,2А.
32.17. Ul=k(R + r)U2/R=U0B; r\=R/(R+ r) = 0,98;
/( = 1/2/А:(/?+г)Г|=40А.
32.18. =v2(^-/Z?)/V] =47В.
33. Отражение и преломление света
33.3. на 2а.
33.5. 91см.
33.6. l=RHIh=3u.
33.7. /i=Z/sin(a+|3)/sin(|3-a).
33.8. Три изображения. Если плоскости зеркал образуют между собой
произвольный угол а, при котором т = 360°/а есть целое число,
то число изображений равно т - 1
33.9. P = arcsin(cosa/n) = 40,6°.
33.10. др =10°.
Jn2 -cos2<p - sin ср
33.11. AS = //cos<p------- = 0,85 м.
sincp^n2 -cos2cp
33.12. h=H/n.
33.13. D = djn2 -sin2 a/ncosa = 0,15 м.
33.14. a=arctg(n2/nt).
33.15. /i = Jsina^l - cosa/^n2 -sin2a^ = 0,6 cm.
33.16. y= arcsin(n sincp) - cp = 10,4°.
33.17. ₽ = 60°.
33.18. n = sin[(y+<p)/2]/sin(<p/2)= 1,3.
33.19. Я = яД/п2-1=3,4м.
33.20. г = /?-яД/п2-1= 5,73м.
385
33.21. Я = Л/2 + //2л/п2-1 • r
33.22. г=/?и2/п1 = 1,8см.
33.23. л=1,41.
33.24. u=csiny0=2-108M/c.
33.25. T1=Jn1/c=5,48-10"l2c; T2-dn2/c=5,62-10~l2c.
33.26. dt/d2=n2/nt = 0,625.
34. Линзы. Оптические системы
34.12. Задняя фокальная плоскость первой линзы должна совпадать с
передней фокальной плоскостью второй линзы.
34.15. 0,5 м; действительное, увеличенное, перевернутое.
34.16. 16 см.
34.17. dmi„=F(h+b)/b=2,55M.
34.18. A^=1/(D/-1)[D(/+Z)-1] = 5,3-10"4м; в сторону линзы.
34.19. L=/d/(d-F) = 25cM.
34.20. \t<a(d-F)lvF~5 мс.
34.21. F=(L2-Z2)/4L.
34.22. DJ0<r<DJ0+l; 2<Г<3.
34.23. J=/F/(f+F) = 0,2M.
34.24. Z> = /2/(F-/)=12,5cm.
34.25. Г=£Г/(Г-1)2=40cm.
34.26. di =/(l±71-2F//)/2;
6 см от одного источника и 18 см от другого.
34.27. В 6 раз.
34.28. п = sin a/sin 0 = a/у = 1,5 .
34.29. f-48см; мнимое.
34.30. J=-l/0=0,2 м.
34.31. F = 1/(т/п + п/т + 2')=0,1м.
34.32. /=FJ/(F+£Z) = 0,1m; H=hF / (F+d) = 0,02м.
3433. F=L1L2/(L1-L2)tga.
34.34. F=nB(nCT-1)/О(пст-пв)=0,8м.
386
34.35. f= Rdn^/[2d(1 -nCT) -RnCT]=-8,6 cm .
3436. x=21 cm.
34.37. DO4K=l/J0- 1 /J=-1 дптр.
3438. f2 = 0,3 м; h = 0,068 m.
35. Интерференция, дифракция и дисперсия света
35.1. Д=J(n-1) = 510-4м.
35.2. Nt = /v/c=2000; N2=/vn!/c=3OOO; N3=2660.
353. Полосы будут уже и ближе расположены к центру картины.
35.4. 1) Максимум (т = 5); 2) минимум (ли=5).
35.5. 1) Максимум; 2) максимум.
35.6. 1) Максимум; 2) минимум.
35.7. Максимум второго порядка (т = 2).
35.8. Х=Дхй/L = 600hm.
35.9. Ширина пойос уменьшится в 1,33 раза.
35.10. ^п = Х/4и2=107нм.
35.11. 20°.
35.12. 5мкм.
35.13. N=sin<p/»iX= 108 мм’1.
35.14. 653нм.
35.15. (p=arcsin(zHAJV) = 64,l°, где ли = 3.
35.16. у=лис£/</й=4,9-10|4Гц.
35.17. X = Дф <7 / (ли3 - ли2) = 523 нм.
35.18. гф/% = 7(п,2-1)/(п22-1) = 0,99.
36. Теория относительности. Квантовая теория излучения.
Внешний фотоэффект
36.1. 0,8 м. ____________
36.2. 1) т( /т0 = 1/д/1-и2/с2 = 2 (в два раза); 2) т2-т0(практически не
замедляется).
363. Примерно 142 года.
36.4. В системе отсчета, связанной с земным наблюдателем, путь, прой-
денный ц-мезоном до распада, примерно равен 4600 м, и поэтому
387
наблюдаемые у поверхности Земле ц-мезоны прилететь из кос-
моса не могут.
363. Нет, не противоречит, так как точка М не является материальной
точкой.
36.6. =4,2-107 м/с; и2= 2,2-108 м/с.
36.7. 1Ук1=т0о2/2 = 2,3-10’14Дж;
^к2 =w0c2^l/-Jl - и2/с2 - 1^ = 4,2-10'|4Дж;
р, = mQv = 2,0-10-22 кг-м/с;
р2 = mov // 1 - и2/с2 =3,1-10-22 кг-м/с.
36.8. 6,6-Ю5 В.
36.9. е=/1с/пХ=3,3-10’|9Дж.
36.10. 7п = ЗШ2с2=6,9-10’38кг; X = 2hc/3kT=3,210~5M.
36.11. т = h/ck = 2,2-10"36кг; р = h/X = 6,6-10’28кг-м/с.
36.12. X=hcn/P=9,9-Ю’10м.
36.13. R = dyjPX/hnc/4 = 2,6 -106 м.
36.14. = ^2(йс/Х- л)/ш =6,2-105 м/с.
36.15. А = Лс/Х - р2„ /2т = 4,2 • 10’” Дж .
36.16. v = (|е|[73 + л)/й = 1,1-1015 Гц.
36.17. U3 = (йс-ХЛ)/|е|Х = 1,8В.
36.18. h = |е|(и;- U[ )/(v2 - v,) = 6,6 • 10’34 Дж • с .
36.19. ф = (Лс/Х - Л)/е = 0,76В.
36.20. уо=А/й = 5,49-1О14Гц.
36.21. На 0,6 эВ.
36.22. е=йс/Х0=7,2-10’19Дж.
36.23. = ^2Лс(1/Х - 1/Х0)/т = 9,2 • 105 м/с.
36.24. /=/1с(1/Х-1/Х0)/е£'=1,5см.
36.25. т = е0 (hv - Л )/(е2Ли).
36.26. q = С(йс/Х - А)/е = 3,4 • 1 О’6 Кл.
36.27. A2>A,.
388
36.29.Д/=0,0Шс2/4пЛ2/(,= 1,461011лет.
37. Атомная и ядерная физика
37.1. г2=е2/8лЕо|№| = 2,12-1О-|Ом.
37.2. 656 нм.
37.3. Три.
37.4. 91 нм.
37.5. Х2 = 27Х( / 32 = 102 нм.
37.6. v = ^2hR(n2 -l)/n2me = 2,06 • 10б м/с.
37.7. X, = 9c/8Z?= 103нм; Xj = 36с/5/?=656 нм; Х3=122нм.
37.8. v=Z?/n2 + mv2/2h = 1,0710|5Гц; п = 2.
37.9. v = ^2(hc-Wk)/mk = 6,6 • 107 м/с.
37.11. 273А1 + 2Не—> |3Р+ on; ядро фосфора.
37.12. 2^Pu+ 2Не—> 2^Cm+ on; нейтрон.
37.13. ^Na; 2Н; ,2Mg.
37.14. AWCB1 = 7,98 МэВ; AWcb2=27,34 МэВ.
37.15. AwCB = с2 [zmp +(A-Z)mn-MтLiJ/A = 5,40 МэВ.
37.16. ^mjn =с2(л/1?в +mB-MlL. 2,79 МэВ.
37.17. AW = с2 (л/9о. + Мг -Af- mn )= 4,38 МэВ.
37.18. WK =c2kf,,.+m -2M4u )=16,9МэВ.
к V jli P 2 He/
37.19. m = NtM/(t]£0^M)=32,6 г .
37.21. 6,2 109расп/мин.
37.22. 61МБк.
37.23. Через 64,5 сут.
389
ПРИЛОЖЕНИЕ
Некоторые физические постоянные
Скорость звука в воздухе при нормальных
условиях...................................и=331 м/с
Скорость света в вакууме...................с=2,998-Ю8 м/с
Гравитационная постоянная..................G=6,673-Ю”11 Н-м^кг2
Постоянная Авогадро........................1VA=6,022-Ю23 моль”1
Молярный объем идеального газа при
нормальных условиях........................Ум=22,41-Ю”3м3/моль
Универсальная газовая постоянная...........Я=8,314Дж/(моль-К)
Постоянная Больцмана.......................£=1,381-Ю”23 Дж/К
Постоянная Фарадея.........................F=9,648-Ю4Кл/моль
Электрическая постоянная...................е0 = 8,854-Ю”12 Ф/м
Магнитная постоянная.......................ц0=4л-Ю”7 Гн/м
Масса покоя:
электрона.................................те=9,109-Ю”31 кг
протона..............................тр = 1,673-10”27 кг
нейтрона.............................лип= 1,675-Ю”27 кг
Элементарный электрический заряд...........е=1,602-10”19 Кл
Отношение заряда электрона к его массе.....е/тс= 1,759-Ю11 Кл/кг
Атомная единица массы......................1 а. е. м. = 1,661 • 10”27 кг
Постоянная Планка..........................h- 6,626- Ю”34 Дж-с
390
Система единиц физических величии
В 1963 г. введена Международная система единиц (СИ), включаю-
щая основные, дополнительные и производные единицы физических
величин. СИ содержит 7 основных и 2 дополнительные единицы.
Величина Единица СИ
Наименование Обозначение Размер- ность Наименование Обозначение
Основные единицы СИ
1. Длина 1, L, г L метр м
2. Масса т, М М килограмм кг
3. Время t, Т,х т секунда с
4. Термодинамиче- ская температура T,Q,x 0 кельвин К
5. Количество вещества V, п N моль моль
6. Сила тока I I ампер А
7. Сила света J J кандела кд
Дополнительные единицы СИ
8. Плоский угол а, Р, у, 0, <р, ф 1 радиан рад
9. Телесный угол Q, ш 1 стерадиан ср
Большинство единиц физических величин, применяемых в физике,
являются производными. Они образуются по определяющим эти едини-
цы уравнениям из других единиц системы СИ. Помимо основных и
производных единиц, в некоторых разделах физики и повседневной
жизни используются внесистемные единицы (ангстрем, час, литр, мил-
лиметр ртутного столба, калория, килограмм-сила, электрон-вольт и др.).
391
Приставки и миожители для образования *
десятичных кратных и дольных единиц
Приставка Множитель
Наименование Обозначение
тера Т 1012
гига Г 109
мега М 106
КИЛО К 103
гекто г 102
дека да 101
деци д кг1
санти с 10’2
МИЛЛИ м 10-3
микро мк иг6
нано н 10’9
ПИКО п 10"!2
Основные математические формулы,
используемые при решении физических задач
1. Проекцией вектора на произвольную ось называется произведе-
ние модуля вектора на косинус угла, образованного вектором с положи-
тельным направлением оси:
сх =|c|-cosy = -|c|-cos|3 ,
bx = |£| • cos90° = 0 ,
ах =|a|-cosa.
392
2. Арифметика -зЗо т.у л,ь; .
ad=bc, а = —,
а с ad а с d
— : — = —; —=± —=> , •
b d be b d a b , ad ....;
— = —, o =—.
c d c
3. Алгебра.
Виды функций:
а) постоянная функция y=b;
б) линейная функция у=ах+b, (а * 0);
в) обратно пропорциональная зависимость у=к/х, (£#0);
г) степенная функция у - У;
д) квадратичная функция у=ох2 + Ьх+с, (а> 0);
е) логарифмическая функция y=logax, (а>0, а* 1).
Решения линейных уравнений:
, b а , а , с-Ь
ах = Ь=$х = — ; — = Ь=$х = —; ах + Ь = с => х =--.
а х Ъ а
3. Решение квадратного уравнения:
2 , „ -b + yb2-4ас ,2 . v
ах +Ьх+с = 0 => х12 =-----------, Ь2 -4ас>0. 1
2а
4. Планиметрия и стереометрия.
Длина окружности L и площадь круга S:
L=2nR, S=л/?2, п=3,1415927...
Теорема косинусов. Теорема синусов:
а2 =Ь2 + с2 -2Ьссд&а;
а _ b _ с
Sina sinfj stay
39Э
Площадь поверхности шара и объем шара:
5=4лй2, К = -лЛ3.
3
5. Тригонометрия.
1 радиан =180°/л=57,3°; 1о=тг/180о радиан=0,017 рад.
Основные тригонометрические соотношения:
a b а х b
sina =—; cosa =—; tga = —; ctga =—;
с с Ь a
sin2 a+cos2 a = 1; , /, 2 ±tga ±1 sin a = ±y 1 - cos a = . = —=====; 71 + tg2a Vl + ctg2a , /, .2 ±ctga ±1 cos a = ± V1 - sin a = -° = . ; Vl + ctg2a 71 + tg2(X 1 ±sina ±vl-cos2a tga= = = ; ctg« VI -sin2 a cosa 1 ±cosa ±-\/l-sin2a ctga= = = tg01 Vl-cos2a sina c a N. b
Знаки «+» и «-» определяются для каждого квадранта по знаку искомой
функции.
Четность тригонометрических функций:
cos(-a)=cosa; sin(-a)=-sina; tg(-a)=-tga; ctg(-a)=-ctga.
Периодичность тригонометрических функций:
sin(a + 2n£)= sina; tg(a+7t&)= tga;
cos(a+2n£)=cosa; ctg(a + n£)=ctga; где k=0, ±1, ±2, ...
Некоторые формулы приведения:
sin(90°±a)=cosa; sin(180°±a)= + sina; tg(90°±a)=+ctga;
cos(90°±a)=+sina; cos(180°±a) = -cosa, tg(180°±a)= ±tga.
Формулы для суммы и разности аргументов:
394
sin(a ± 0)=sin a cos 0 ± sin 0cos a,
cos(a±0)= cosacos0Tsinasin0,
tg(a±0)=
tga±tg0
ITtgatgf}'
Формулы двойных аргументов
• - - . 2tga 2ctga
sm 2a = 2 sin a cos a =-=5— =----——,
1 + tg a l + ctg2a
2
cos 2a = cos2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a = —а
1 + tg a
tg2a =
2tga
l-tg2a
Таблица тригонометрических функций некоторых углов
Функция 0° 90° 180° 270° 30° 45° 60°
sin a 0 1 0 -1 0,5 %
cosa 1 0 -1 0 0,5
tga 0 00 0 00 1 •Л
ctga 00 0 00 0 л/з 1
6. Производная по времени.
Пусть задан физический процесс, который описывается уравнением
S=f(t), где 5 — произвольная физическая величина (масса, температура,
координата, давление, скорость и т. д.), t — время изменения этой физи-
ческой величины. Значением производной функции S=f(t) в момент
времени t называют следующий предел:
lim —= lim ----------t—J “'
txt—>0 txt tXt—>0 Д/
Производную по времени обозначают следующим образом:
395
s'=*l=r
dt
Геометрический смысл производной'. S' равна тангенсу угла на-
клона касательной к графику функции S(t) в момент времени I.
Физический смысл производной по времени: S' равна скорости из-
менения физической величины 5.
Некоторые формулы дифференцирования:
d С d
a) -j— = 0, где С=const; г) — [acos(cot + а)] = -^cosin(cot + а);
б) — (at+b)=a; д) — [^sin(cot + a)]= ^cocos(cor + a);
dt dt
в) — (at2 +bt + c)=2at + b ; e) — (^t")= Ant"'1.
at' ’ dtV 7
Некоторые правила вычисления производной:
а) (/;(*)+/2W) =/t'W+/2(x);
б) (С/(%)) = С/'(х), где С=const;
в) (fi(x)f2(х)) = f((x)f2(х)+ f (f)f2(x);
д) [/(<р(х))/ = /'(<р)-<р'(х) —«цепное правило» дифференцирования
сложной функции.
396
Латинский алфавит
Буква Название Буква Название
А а a W п эн
В b бэ 0 о 0
С с ЦЭ Р Р , ПЭ
D d ДЭ Q я ку
Е е e R г эр
F f эф S s эс
G g ЖЭ Т t тэ
Н h аш и и У
I i И V v вэ
J J жи W w дубль-вэ
К к ка X X ИКС •
L I эль Y у игрек
M m эм Z z зэт
Греческий алфавит
Буква Название Буква Название
А а альфа N v ню
В з бета н t КСИ
Г Y гамма О о омикрон
Д 5 дельта П п пи
Е е эпсилон Р Р ро
Z С дзета X ст сигма
н Т) эта Т т тау
© е.е тета Y и ипсилон
I i йота Ф <р,ф фи
К к каппа X X хи
А А. ламбда Т V пси
М р. мю Q ш омега
397
ЛИТЕРАТУРА
1. Павленко Ю. Г. Начала физики. М.: Моск. гос. ун-т, 1988. 639 с.
2. Гу реки й И. П. Элементарная физика с примерами решения задач. М.: Нау-
ка, 1984. 256с.
3. Кабардин О. Ф. Физика. Справочные материалы. М.: Просвещение, 1988.367 с.
4. Физическая энциклопедия. М.: Большая Российская энциклопедия, 1994.
Т. 1-4.
5. Тарасов Л. В., Тарасова А. Н. Вопросы и задачи по физике. М.: Высш, шк.,
1984.256 с.
6. Зубов В. Г., Шальнов В. П. Задачи по физике. М.: Наука, 1985. 256с.
7. Гольдфарб Н. И. Сборник вопросов и задач по физике. М.: Высш, шк.,
1982. 351с.
8. Кирьянов А. П., Коршунов С. М. Термодинамика и молекулярная физика.
М.: Просвещение, 1977. 159с.
9. Шаскольская М. П^ Эльцнн И. А. Сборник избранных задач по физике.
М.: Наука, 1986. 208 с.
10. Кашина С. И., Сезонов Ю.И. Сборник задач по физике.. М.: Высш, шк.,
1983.207 с.
11. Меледнн Г. В. Физика в задачах. М.: Наука, 1985. 208 с.
12. Коган Б.Ю. Задачи по физике. М.: Просвещение, 1971. 286с.
13. Задачи по физике / Г. А. Бендриков, Б. Б. Буховцев, В. В. Керженцев,
Г. Я. Мякишев. М.: Наука, 1976. 386 с.
14. Физика. Экзаменационные задачи / А. П. Касаткин, А. Т. Комов, А. Н. Се-
дов, М. Г. Тимошин М.: «Ин-кварто» при участии научно-издательского
центра «Инженер», 1998. 250с.
15. Задачник по физике / Э. Б. Абражевич, А. В. Кириченко, А. М. Монахов,
В. В. Цуканов. М.: Издательство МЭИ, 1998. 209с.
16. Савченко Н.Е. Решение задач по физике. Минск: Высш, шк., 1988. 367 с.
17. Гринченко Б. И. Как решать физические задачи. М., 1991. 167 с.
18. Демков В.П., Студннков Е. Л., Студникова И.Н. Задачи по физике всту-
пительных экзаменов в МАИ в 1995 г. М., 1995. 48с.
19. Материалы вступительных экзаменов. Задачи по математике и физике /
Под редакцией Н. X. Розова, А. Л. Стасенко. М.: Бюро Квантум, 1993. 320 с.
20. Конкурсные задачи по математике и физике / Л. П. Паршев, А. Г. Андреев,
Н. А. Гладков, Ю. А. Струков. М.: Машиностроение, 1993. 192 с.
21. Сборник задач по элементарной физике / Буховцев Б. Б. , Кривленков В. Д.,
Мякишев Г. Я., Сараева И. М. М.: Наука. 1987. 416с.
398
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...................................................3
Указания к решению задач......................................4
I. Кинематика..................................................5
1. Векторные величины. Равномерное прямолинейное движение мате-
риальной точки. Относительная скорость.......................14
2. Равнопеременное прямолинейное движение.....................20
3. Криволинейное движение материальной точки. Движение твердого тела ....25
П. Динамика. Законы Ньютона. Силы в механике...................31
4. Сила упругости. Закон всемирного тяготения. Применение законов
Ньютона к одному телу, движущемуся прямолинейно и по окружности....39
5. Применение законов Ньютона к системе связанных тел.........45
6. Разные задачи на законы Ньютона............................49
III. Импульс. Импульс силы. Закон сохранения импульса..........55
7. Импульс. Изменение импульса. Закон сохранения импульса.....59
IV. Энергия. Работа. Общефизический закон сохранения энергии.
Закон сохранения механической энергии......................65
8. Работа. Мощность. КПД......................................73
9. Кинетическая и потенциальная энергии. Теорема об изменении кине-
тической энергии. Закон сохранения механической энергии......76
10. Законы сохранения импульса и механической энергии. Абсолютно
упругое и абсолютно неупругое взаимодействия. Общефизический
закон сохранения энергии......................................83
V. Статика.....................................................90
11. Равновесие материальной точки. Центр тяжести...............94
12. Статика твердого тела......................................98
VI. Механика жидкостей н газов................................102
13. Гидростатическое давление. Сообщающиеся сосуды. Закон Паскаля.... 108
14. Закон Архимеда. Гидродинамика............................. 112
VII. Тепловые явления. Первый закон термодинамики...............117
15. Тепловое расширение. Теплообмен без изменения агрегатного со-
стояния. Сгорание топлива....................................121
16. Тепловые явления с изменением агрегатного состояния...:...124
VHI. Идеальный газ с точки зрения МКТ. Применение первого закона
термодинамики к процессам в газах. Тепловые машины. Свой-
ства жидкостей и паров..........................................129
17. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа. Уравнение со-
стояния идеального газа. Газовые законы........................140
18. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам.
Адиабатный процесс.............................................148
399
19. Тепловые двигатели. Свойства паров. Влажность. Поверхностное
натяжение жидкостей........................................ 15^
И. Электростатика......................................... 158
20. Закон Кулона. Напряженность электрического поля...........169
21. Работа сил электрического поля. Потенциал. Разность потенциалов.
Проводники в электрическом поле................................176
22. Электроемкость. Конденсаторы. Соединения конденсаторов. Энергия 1
заряженного конденсатора..................................188
X. Постоянный электрический ток. Законы постоянного тока.....197
23. Сопротивление проводников. Соединения резисторов. Закон Ома для
однородного участка цепи. Измерение токов и напряжений.......209
24. Закон Ома для замкнутой цепи. Закон Ома для неоднородного участка цепи.... 217
25. Работа и мощность тока. Тепловое действие тока............224
26. Электрический ток в различных средах......................229
XI. Магнитное поле. Магнитная индукция. Силы Ампера и Лоренца.
Закон электромагнитной индукции.......................... 234
27. Магнитная индукция. Сила Ампера. Сила Лоренца.............244
28. Закон электромагнитной индукции...............<...........248
29. Явление самоиндукции. Индуктивность. Энергия магнитного поля.255
XII. Колебания и волны..........................................259
30. Механические колебания и волны............................264
31. Электромагнитные колебания и волны........................273
ХШ. Переменный электрический ток................................275
32. Генератор переменного тока. Резистор, конденсатор и катушка в це-
пи переменного тока. Трансформаторы.......................281
XIV. Геометрическая оптика......................................285
33. Отражение и преломление света.............................295
34. Линзы. Оптические системы..............................,..298
XV. Световые волны. Элементы теории относительности. Световые
кванты.................................................... 306
35. Интерференция, дифракция и дисперсия света................312
36. Теория относительности. Квантовая теория излучения. Внешний
фотоэффект.....................................................320
XVI. Атомная и ядерная физика.................................. 325
37. Атомная и ядерная физика................................. 334
Ответы......................................................337
Приложение................................................ 390
Литература..................................................398
400