Текст
                    ДИОФАНТ
АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
АРИФМЕТИКА
И
КНИГА
О
МНОГОУГОЛЬНЫХ
ЧИСЛАХ
Перевод с древнегреческого
И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО
Редакция и комментарии
И. Г. ВАШМАКОВОЙ


Книга представляет собой первый перевод на русский язык всех дошедших до нас произведений Диофанта Александрийского — последнего великого математика античности. «Арифметика» Диофанта положила начало новой алгебре; в ней применялась буквенная символика и были введены отрица- отрицательные числа. Вместе с тем «Арифметика» послужила отправным пунктом и для теоретико-числовых исследований Нового времени: там были развиты методы решения неопределенных уравнений, по- получившие новую жизнь в работах Ферма, Эйлера, Якоби и Пуанкаре. Именно на полях «Арифметики» Диофанта написаны знаменитые за- замечания Пьера Ферма (включая и его Великую теорему), послужив- послужившие программой для исследования по теории чисел в течение двух веков. Эти замечания впервые переведены на русский язык здесь. Книга снабжена комментариями, в которых результаты и ме- методы Диофанта освещаются с современной точки зрения. Она будет интересна и полезна как математикам — студентам, аспирантам, преподавателям, так и историкам науки.
Предисловие Диофант был последним великим математиком античности. Вмес- Вместе с тем он был одним из первых создателей новой алгебры, основы- основывающейся не на геометрии (как это было у Евклида, Архимеда и Аполлония), а на арифметике. Именно Диофант ввел отрицательные числа и пользовался буквенной символикой. Можно утверждать, что его произведения оказали столь же определяющее влияние на формирование буквенной алгебры, как и творчество Архимеда на создание дифференциального и интегрального исчисления. Но не одна только алгебра восходит к Диофанту. «Арифметика» Дио- Диофанта послужила отправным пунктом для теоретико-числовых исследований Ферма и Эйлера, особенно же для развития теории неопределенных уравнений, которые получили в честь их создате- создателя имя диофантовых. Новое развитие алгебраической геометрии и арифметики алгебраических кривых и многообразий высшего числа измерений, которое идет, нарастая, с начала нынешнего века, позволяет теперь с более общей точки зрения проанализи- проанализировать и оценить методы Диофанта. То, что удалось нам сделать в этом направлении, изложено во введении и комментариях. Предлагаемая книга представляет первый перевод на русский язык всех дошедших до нас сочинений Диофанта, т. е. шести книг его «Арифметики», состоявшей из 13 книг, и отрывка из книги «О многоугольных числах». Перевод выполнен И. Н. Веселовским с критического издания Поля Таннери Diophanti Alexandrini Opera onmia cum graecis commentariis, Editit et latine interpretatus est Paulus Tannery, Lipsiae, 1893—1895, 1—2 vol.
ПРЕДИСЛОВИЕ В комментариях, составленных II. Г. Башмаковой, помещены переведенные ею замечания Ферма к «Арифметике» Диофанта (по изданию П. Таннери в книге «Oeuvres de Fermat», t. I, Paris, 1841). Задачи, к которым имеются примечания Ферма, отмечены звездочкой *. В тексте «Арифметики» имеются фразы, которые были искаже- искажены при переписках, а затем восстановлены на основании критичес- критического анализа текста и вошли в таком виде в издание Таннери. Та- Такие фразы мы заключаем в угловые скобки <>. В прямые скобки [ ] мы заключаем слова или формулы, вставленные при переводе на русский язык. В такие же скобки заключены куски текста, кото- которые, по общепризнанному мнению, принадлежат позднейшим ком- комментаторам, однако все такие места отмечены в специальных сносках. Несколько слов о символике, принятой в книге. Знаки Дио- Диофанта для неизвестного и его первых шести положительных и от- отрицательных степеней мы передаем обычными для нас символами: х, х2, ..., а6, х^1, . . ., аГ6. Это же относится к знакам вычитания и равенства. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет ря- рядом положительные члены, причем в каждом члене сначала запи- записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент, так что члены достаточно четко отделены друг от друга (см. об этом подробнее в комментариях). Отрицательные члены записы- записываются рядом, а перед всей группой их ставится знак минус. Мы для удобства читателя вводим привычный для нас знак +, что не вносит принципиальных изменений в символику «Арифметики». Для указания на задачу некоторой книги мы будем в дальней- дальнейшем писать номер книги римскими цифрами, а рядом внизу — номер или номера задач арабскими цифрами. Так, V2-s означает задачи 2 и 3 книги V. В заключение я приношу глубокую благодарность И. Р. Ша- фаревичу за ту большую и многостороннюю помощь, которую он оказал мне при работе над книгой. Я благодарю также А. Н. Пар- Паршина и А. Н. Рудакова, советами и замечаниями которых я поль- пользовалась при составлении комментариев. Мне хочется особо отме- отметить самоотверженную работу А. Ф. Лапко, которая далеко вы- выходит за рамки простого редактирования, и выразить ему горячую благодарность. И. Башмакоеа
ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ И ЕГО «АРИФМЕТИКА» 1. Диофант Мы очень мало знаем о Диофанте. В одной из эпиграмм Палатинской антологии говорится х): «Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком, И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил» Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Ty-i и увидел предел жизни печальной своей.» Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть «муд- «мудрым искусством его». Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы еще за восемнадцать веков до н. э. Но когда же жил Диофант? Теон Александрийский в своих комментариях к «Альмагесту» Птолемея привел отрывок из сочинений Диофанта. Поскольку деятельность Теона падает на вторую половину IV века н. э., очевид- очевидно, Диофант не мог жить позднее середины IV века. *) Перевод С. П. Боброва.
и. г. бапшаКова Этим определяется верхний предел промежутка возмож- возможного времени жизни Диофанта. С другой стороны, сам Диофант в своей работе «О многоугольных числах» дваж- дважды упоминает Гипсикла, математика, жившего в Алек- Александрии в середине II века до н. э. Итак, нижним пределом является вторая половина II века до н. э. Таким об- образом, получаем промежуток в 500 лет! Сузить этот промежуток попытался П. Таннери, из- известный историк науки, издатель критически проанали- проанализированного текста сочинений Диофанта, который теперь принят в качестве канонического. В библиотеке Эскуриала он нашел отрывок из письма Михаила Пселла, Визан- Византийского ученого XI века, текст которого был искажен при переписках. После восстановления Таннери один из отрывков письма может быть переведен так: «Что ка- касается этого египетского метода, до Диофант рассмотрел его более точно, и ученейший Анатолий, после того как собрал наиболее важные части этой науки, посвятил их своему другу Диофанту» х). Известно, что Анатолий Александрийский составил «Введение в арифметику» в десяти частях, фрагменты из которого дошли до нас в передаче Ямблиха2) (IV век н. э.). Но Анатолий, познания которого в арифметике, геометрии и астрономии превоз- превозносит Евсевий, жил в Александрии в середине III века, причем в 270 г. он покинул ее, став епископом Лаодикий- ским (в СирииK). Таким образом, если Таннери правильно прочел письмо Пселла, то Диофант жил в середине III века н. э. Это подтверждается еще и тем обстоятельством, что сама «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дио- Дионисию», который, как это видно из введения к первой книге, интересовался наукой о числах и ее преподаванием. Между тем с 231 по 247 г. во главе Александрийского христианского училища для юношества стоял Дионисий, ставший в 247 г. епископом Александрийским. По пред- 4) Diophanti Alexandrini Opera omnia cum graecis commentariis, ed. P. Tan- Tannery, Lipsiae, 1893—1895, 1—2 vol., см. т. 2, стр. 37—42. Поль Таннери исправил в дошедшем до нас тексте слово етерсос на етоирсо, после чего вся фраза приобрела смысл. ь 2)Jamblichus Ghalcidensis, Theologumena arithmeticae..., ed- Fr. Ast, Lipsiae, 1817. 3) E в с е в и fi, Церковная история, СПБ, 1848, стр. 457—463.
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ положению Таннери, именно ему и была посвящена «Арифметика». Поэтому обычно теперь считают, что Диофант жил около 250 г. Из сочинений Диофанта до нас дошло два: «Арифме- «Арифметика» и «О многоугольных числах», однако оба они сохра- сохранились не полностью. Из 13 книг «Арифметики», о которых говорит Диофант во введении к этой работе, до нас дошло 6, а конец второго сочинения утрачен. В «Арифметике», когда речь идет о теоретико-числовых предложениях, Диофант обычно отсылает к своим «Поризмам». Неизвест- Неизвестно, была ли то отдельная книга, или доказательства «поризмов» были включены в саму «Арифметику». Во всяком случае, ни одного доказательства теоретико- числового предложения от Диофанта не дошло. 2. Предшественники Диофанта Появление таких произведений, как «Арифметика» Диофанта, невозможно без долгих лет, а то и веков под- подготовительной работы многих ученых. Представим себе, что все наши сведения о Ньютоне были бы утрачены и дошли бы только его «Математические начала натуральной философии». К какому веку мы бы отнесли жизнь их автора? Вероятно, мы бы сразу отвергли время до XVI века и более детальный анализ текста привел бы нас к XVII или началу XVIII века. По тем же причинам можно утверждать, что «Арифметика» не могла быть на- написана до н. э. В это время еще слишком сильны были традиции геометрической трактовки всех частей матема- математики, включая и алгебру, и арифметику, а, с другой сто- стороны, новые направления, если они и были, еще не ус- успели развиться и приобрести силу. Поворот на путь арифметизации мы видим в работах Герона (I век н. э.), где излагаются различные вычисли- вычислительные алгоритмы (например, приближенного вычисле- вычисления квадратных корней). В геометрии Герон интересует- интересуется в основном метрическими свойствами фигур. Дроби и иррациональности уже, по существу, трактуются как числа. В «Геометрике» встречаются даже геометрические задачи, сводящиеся к неопределенным уравнениям. Но
И. Г. БАШМАКОВА именно на этих задачах видно, что велико еще различие между творениями Герона и Диофанта. Герон при изложении целиком следует вавилонской традиции: после формулировки задачи (причем всегда для конкретных числовых данных) он дает алгоритм для ее решения в виде последовательности операций над задан- заданными числами. Пояснений почти нет. Неизвестных он не вводит, так что об оперировании с неизвестными не может быть и речи. Приведем для примера одну из его задач, сводящуюся к системе неопределенных уравнений: «Найти две [прямоугольные] области равного периметра, площади которых находились бы в четырехкратном от- отношении». Соответствующую систему уравнений можно записать так: ( X + Y - U + V, XY = aUV, где а = 4. Для нахождения сторон одного из прямо- прямоугольников Герон делает следующие операции: 43 = 64, 64 — 1 = 63, 4 — 1 = 3, 63 — 3 = 60, тогда сторонами будут 60 и 3. Далее, для нахождения сторон второго пря- прямоугольника: 42 =16, 16 — 1 = 15, 63 — 15 = 48. Сто- Сторонами второго будут 15 и 48. Тогда первая площадь будет 180, а вторая — 720. Все числа, с которыми он оперирует,— именованные. В приведенной задаче они выражают длины в футах. О том, как были получены фор- формулы для решения, Герон не пишет. Между тем в «Геометрике» приведена таблица сокра- сокращений и обозначений, в которой уже имеется символ для неизвестного числа g, тот самый, который потом встреча- встречается у Диофанта. Правда, этот символ записывается с некоторыми дополнениями в зависимости от того, в каком числе и падеже стоит слово «число»: сверху приписывает- приписывается одна или две буквы соответствующего падежного окон- окончания (см. таблицу на стр. 325). Это свидетельствует о том, что символика делает только первые шаги. - Отметим, что сам Герон в дошедших до нас произве- произведениях символа для неизвестного не употребляет. По- видимому, во времена Герона этот символ только-только начинал применяться. Но у нас есть свидетельство о том, что после Герона им уже широко пользовалась при реше- 8
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬИ нии задач. Ко II веку относится Мичиганский папирус 620, в котором при решении задач, эквивалентных системе линейных уравнений, применяется тот же символ для не- неизвестного. Поскольку папирус представляет популярное изложение того, что делалось в научной литературе, то можно считать, что за 50—100 лет, протекших после Герона, оперирование с неизвестными стало общепри- общепринятым. Итак, один из источников творчества Диофанта — это то арифметико-алгебраическое направление, которое раз- развивалось в александрийской математике в I—II веках н. э. Второй источник творчества Диофанта естественно искать в работах по исследованию неопределенных урав- уравнений. Однако об этой традиции мы знаем очень мало. Известно только, что еще в Древнем Вавилоне ставился вопрос о рациональных решениях уравнения (*) X2 + У2 = Z2. Пифагору приписывают правило для нахождения цело? численных его решений, а именно: где т — нечетное число (Прокл, Комментарий к Евклиду). При т = 3 получается треугольник со сторонами 3, 4, 5, который также связывается с именем Пифагора. Общие формулы для решения уравнения (*) содержатся в «На- «Началах» Евклида (кн. X, предл. 29): X = р2 - q\ Y = 2pq, Z = p* + q\ где p, q — целые числа. Этими формулами часто пользу- пользуется Диофант. Второе неопределенное уравнение, исследованное древними, было (**) аХ2 + 1 = У2. Оно получило впоследствии название уравнение Пелля (без особых исторических оснований), а теперь его чаще называют именем Ферма (что более обосновано историчес- исторически). Евклид показал, как находить все его решения, ис- исходя из наименьшего («Начала», кн. II, предл. 9) для слу- случая а = 2. Архимед поставил перед александрийскими 9
Й. f. БАШМАКОВА математиками задачу о быках, которая приводится к уравнению (**) для а = 4 729 494, наименьшее решение которого записывается с помощью 206 545 десятичных знаков. По-видимому, он специально подобрал такое значение а, чтобы решение нельзя было найти путем про- простого подбора. Его интересовало, владели ли александ- александрийцы общим методом нахождения наименьшего решения. Интересно, что точно к такому же приему прибегнул впоследствии Пьер Ферма: он также поставил перед своими корреспондентами задачу решения уравнения (**) ц,ля специально подобранных значений а, для которых наименьшее решение было очень велико. Это и все, что известно. Поэтому внезапное появление такого обилия и раз- разнообразия задач, которое мы встречаем в «Арифметике», до сих пор остается загадкой. Остается также совершенно неясным вопрос о связи «Арифметики» с исследованиями конических сечений, проведенными с такой полнотой Аполлонием, и кривых высших порядков, которыми занимались последующие математики. Многие задачи Диофанта эквивалентны на- нахождению рациональных точек на окружности или ги- гиперболе, а подстановки, которые он делает, отвечают проведению прямых через некоторую точку рассматривае- рассматриваемой кривой и нахождению второй точки пересечения с кривой. Догадывался ли об этом Диофант? Пользовался ли он геометрической интерпретацией? Его произведения не позволяют нам ответить на этот вопрос, хотя, конечно, маловероятно, чтобы он не усматривал связи неопределен- неопределенных уравнений с соответствующими алгебраическими кривыми. 3. Числовая область и буквенная символика Первой книге «Арифметики» предпослано введение, кото- которое является первым известным нам изложением основ алгебры. Здесь строится числовая область, вводятся •символы для неизвестного и его степеней, формулируют- формулируются некоторые аксиомы, определяющие операцию умноже- умножения, правила действия с многочленами и уравнениями. Диофант строит свою алгебру не на базе геометрии, жак это имело место в классической греческой математике, 10
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ а на основе арифметики. Поэтому определение числовой области, в которой было бы возможно производить все четыре действия арифметики, приобретает первосте- первостепенное значение. В определении (I) Диофант вводит число как множество единиц, т. е. повторяет определение 2 книги VII «Начал» Евклида. Это определение восходит еще к Платону и Аристотелю, а вероятно, и к пифаго- пифагорейцам; оно описывает натуральные числа, и в соответст- соответствии с этим дроби не считались числами. В «Началах» нет дробей, но есть учение об отношениях целых чисел, над которыми, впрочем, определяется только одна опе- операция — составление отношений, соответствующая умно- умножению; сложение для отношений чисел не было опре- определено. Совершенно иную трактовку мы встречаем у Диофанта. Несмотря на повторение определения Евклида, Диофант на протяжении всех своих книг называет числом (dpi&[xo<;) неизвестное, либо состоящее из неопределенного числа единиц, либо являющееся дробью. При решении задач он не делает отличия между целыми и дробями, называя и те и другие числами. Более того, он знает и об ирраци- иррациональных числах, однако не включает их в ту область, в которой он ищет решение. Так, в задаче IV9, получив равенство - 5, он пишет: «и х [т. е. неизвестное число.— И. Б.] не рационально, так как отношение одного вида к другому не будет отношением двух квадратов». Такие же обороты встречаются и в других задачах. Но и такое расширение являлось еще недостаточным для построения алгебры. Диофанту нужна была область, замкнутая относительно всех четырех действий ариф- арифметики, т. е. поле. И вот в определении (IX) он вводит отрицательные числа (отрицательное число он называет словом ХеГфф. Делает он это, по существу, аксиомати- аксиоматически, а именно, он определяет чисто формально «правило знаков» при умножении. Никакой интерпретации отри- отрицательные числа у него не получают. Разумеется, новые числа еще не имели равноправия с положительными: так, решение задач ищется только в полуполе Q+. Но такую ситуацию мы встречаем в истории 11
И. Г. БАШМАКОВА науки очень часто. Здесь невольно напрашивается аналогия между Диофантом и Бомбелли (XVI век). И тот и другой ввели новые числа: первый — отрицательные, второй — мнимые. Сделали они это одним и тем же способом — определив правило умножения новых чисел. Оба они не дали для новых объектов никакой интерпре- интерпретации. Наконец, и тот и другой применяли новые числа только в промежуточных выкладках, а окончательный результат искали в старой числовой области. Далее, Диофант вводит буквенную символику: он вво- вводит специальные знаки для неизвестного числа и его пер- первых шести положительных и отрицательных степеней (подробнее об этом см. в комментарии к книге I). Здесь заметим только, что для названия степеней неизвестного применяется еще геометрическая терминология: третья степень называется кубом (как и у нас), корень квадрат- квадратный из числа называется его стороной и т. д. Однако Диофант свободно складывает квадраты и кубы между собой и со сторонами, т. е. рассматривает все эти объекты как числа. Более того, он вводит квадрато-квадраты и кубо-кубы, не имея, конечно, в виду объекты пространств четырех и шести измерений. Присоединив к полю рациональных чисел Q1) неиз- неизвестное, Диофант специально останавливается на прави- правилах умножения его степеней. Замечательно, что он явно выделяет два чисто групповых свойства этой операции, а именно: 1) х-х~г = 1; 2) хпЛ = Л Итак, алгебра Диофанта на первый взгляд есть ал- алгебра рациональных функций одного переменного. Но в большинстве его задач вопрос ставится о нескольких неизвестных (часто пяти, шести и больше). Как же он оперирует с ними? Для решения задачи Диофант выражает все искомые числа как рациональные функции одного основного неизвестного и параметров. Этим параметрам, правда, придаются конкретные числовые значения. Но Диофант при этом обычно (но не всегда) оговаривает, что они могли бы быть и любыми другими. Параметры играют в «Ариф- *) В дальнейшем буква Q будет всегда обозначать поле рациональных чисел. 12
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ метике» роль дополнительных неизвестных. При этом Диофант часто берет в качестве параметров последова- последовательные числа 1, 2, 3 или 2, 3, 4, чем подчеркивается несущественность приданных параметрам конкретных зна- значений. Если оказывается, что выбранные значения парамет- параметров не годятся, т. е. основное неизвестное получается ир- иррациональным или отрицательным, Диофант выясняет, посредством каких операций оно было получено из пара- параметров. Пусть, например, при выбранных параметрах а. р, 7 (а = 1» Р = 2, у ~ 3) неизвестное х определя- определяется из уравнения (***) f{x, 1, 2, 3) = О, которое не имеет решений в Q+. Тогда Диофант восстанав- восстанавливает последовательность операций, с помощью которых была образована функция / (х, 1, 2, 3), рассматривая 1, 2, 3 как произвольные символы, т. е. на самом деле нахо- находит саму функцию / (#, ее, р, у). После этого он ищет условия, которым должны удовлетворять параметры, что- чтобы (***) имело рациональные положительные решения (см., например, задачи IV8_n). Таким образом, обычный для арифметики Древнего Востока «метод ложного положения» преобразуется у Диофанта в настоящий алгебраический анализ. В этом отношении очень интересны задачи III1O^U: при выбранных значениях параметров D и 5) обе они сводят- сводятся к уравнениям, которые чисто случайно имеют рацио- рациональные решения. Однако если смотреть на 4 и 5 не как на конкретные числа, но как на символы для обозначения произвольных чисел, то видно, что эти уравнения раз- разрешимы не всегда, а лишь при определенных условиях. И вот Диофант, не обращая внимания на случайно полу- полученные решения, ищет и здесь общие условия, которым должны удовлетворять параметры для того, чтобы решение существовало при любых допустимых значениях. (См. комментарий к 11110-ц-) Таким образом, символы для параметров несут в «Ариф- «Арифметике» двойную функцию: во-первых, это конкретные числа, а во-вторых, обозначения для произвольного чис- числа. Только недостаток символикрт не позволил Диофанту разделить эти функции. 13
И. Г. БАШМАКОВА 4. Неопределенные уравнения Основным содержанием «Арифметики» является решение в рациональных положительных числах неопределенных уравнений \1) ~ Г \Х-±9 3?2» • • ч Х или систем таких уравнений B) —- и, где F и Fi — многочлены с рациональными коэффициен- коэффициентами, а т <^ п. Но что означало для Диофанта решить такую систему? Достаточно ли было отыскать какое-нибудь одно решение или необходимо было найти их все? В настоящее время эта задача ставится так: пусть коэффициенты всех Fi принадлежат некоторому полю К; тогда требуется найти множество М (К) всех рацио- рациональных решений системы B) и определить его алгебраи- алгебраическую структуру. При этом решение (^0), xf\ . . ., х$) называется рациональным, если все х\ ЕЕ К. Множество М (К), разумеется, зависит от поля К. Одна и та же система может не иметь решения в некотором поле Кг и иметь конечное число или бесконечно много решений в другом поле К2- Так, например, уравнение х2 -f- г/2 = 3 не имеет решений в поле Q, а в поле Q(V3) у него бесконечно много решений. Наиболее простым является случай, когда неизвестные можно выразить как рациональные функции с коэффи- коэффициентами из Q от одного или нескольких параметров. Пусть, например, задано уравнение C) / (х, у) = О, где / (х, у) — многочлен, неприводимый над Q. Это урав- уравнение представляет на плоскости XOY кривую Г. Если можно выразить неизвестные в виде D) * = Ф(*). У= 14
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ где ф и if — рациональные функции с рациональными коэффициентами, так что @. ¦ @1 = о, то кривая Г называется рациональной. Говорят также, что уравнение C) униформизируется в рациональных функциях. В конце XIX — начале XX веков Д. Гильберт и А. Гурвицх) и, независимо от них, А. Пуанкаре2) показали* что всякая кривая рода 0, на которой лежит хотя бы одна рациональная точка, будет рациональной. Мы покажем, что Диофант доказал эту теорему для всех кривых второго порядка. Если же род кривой Г больше 0, то униформизации в рациональных функциях не существует. Но если род в точности равен 1, то множество М (Q) также имеет ал- алгебраическую структуру, а именно оно является абелевой группой с конечным числом образующих. Первое из этих утверждений А. Пуанкаре доказал с помощью ме- методов, которые применял уже Диофант, а второе он высказал в виде гипотезы, которую доказал в 20-х годах нынешнего века Л. Морделл 3). Относительно кривых рода Г> 2 окончательных ре- результатов до сих пор не существует. Неизвестно даже, может ли кривая рода >> 2 иметь бесконечно много ра- рациональных точек. Система B) определяет, вообще говоря, аффинное многообразие А№ измерения г = п — т. Если А^ би- рационально изоморфно аффинному пространству Qr, то оно называется рациональным. Оно называется уни- рациональным, если Qr можно рационально отобразить на него. Перейдем теперь к постановке вопроса у Диофанта. Среди историков науки до сих пор распространено убеждение (вернее, заблуждение), согласно которому *) D. H i I b е г t und A. H u r w i t z, Uber die diophantische Gleichungen vom Geschlecht Null, Acta Math. 14 A890), 217—224. f)H. Poincare, Sur les propriety arithmetiques des courbesalgebriques, J. Math., 5e serie, 7 A901), 161—233. *) L.j.MordeJl, On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degress, Proc. Cambr. Philos. Soc. 21 A922), 179—. 192, 15
И. Г. БАШМАКОВА Диофант довольствовался нахождением одного поло- положительного рационального решения задачи (см., нанример, Ван-дер-Варден, Пробуждающаяся наука, М., Физмат- гиз, 1959, стр. 375). Между тем это совершенно неверно! Основная цель Диофанта состоит в том, чтобы выразить, если это возможно, неизвестные уравнения A) или сис- системы B) как рациональные функции от одного или не- нескольких параметров так, чтобы каждому набору рациональных значений tx, . . ., tK отвечало решение задачи. При этом, однако, Диофант, по-видимому, не интересуется вопросом о том, нашел ли он все решения задачи или только некоторую, хотя бы и бесконечную, часть их. Так, например, система, к которой сводится задача IIIб, определяет многооб- многообразие А&К Диофант приводит два ее решения, в первом из которых неизвестные выражаются как функции от од- одного параметра, а во втором — от трех. Большинство кривых и многообразий, к которым приводят задачи Диофанта, являются рациональными (хотя встречаются и нерациональные многообразия). При этом, как правило* Диофант получает выражения для неизвестных через параметры, которым приданы кон- конкретные числовые значения, так что и само решение получается в рациональных числах. Однако, как мы уже говорили, вместо чисел, изображающих парамет- параметры, можно взять любые другие (произвольные или удовлетворяющие некоторым условиям) и, таким обра- образом, получить не одно, а бесконечно много решений. На это обстоятельство неоднократно указывает Диофант. Если, например, ему нужно сделать подстановку X = = fa _j- з, то он пишет примерно так: «положим искомое число равным нескольким ty увеличенным на 3, пусть %t + 3», или если он хочет представить три искомых числа в виде Хх - (Р2 - 1)*, Х2 = (у2 - 1)*, Х3 = (б2 —1)*, то он пишет, что их надо принять равными квад- квадратам без единицы и умножить на неизвестное число t: «пусть 3?, 8? и 15?». Однако в «Арифметике» имеются и такие* задачи, в которых^Диофант требует найти решение «в неопределен- неопределенной форме», т. е. найти явно те рациональные функции, 16
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ которые униформизируют неопределенное уравнение (см., например, леммы к задачам 1У34-зб)' Диофант поясняет, что нужно найти такие выражения (или формулы), которые удовлетворяли бы задаче, если вместо неизвестного х подставить такое числовое значение, какое мы захотим. Но не все задачи «Арифметики» сводятся к системам, определяющим рациональные кривые и рациональные многообразия. Особенно интересны задачи, которые приво- приводятся к определению рациональных точек эллиптической кривой (т. е. кривой рода 1). Здесь Диофант применяет новые замечательные методы, позволяющие, зная одно или два рациональных решения соответствующего урав- уравнения, найти новое его рациональное решение. Ниже мы подробно рассмотрим эти методы, а теперь перейдем к краткому обзору «Арифметики». 5. Шесть книг «Арифметики» «Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими решениями, полученными разными спосо- способами) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим про- произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и расположены так, что слу- служат иллюстрацией вполне определенных общих методов. Как это было принято в античной математике, методы не формулируются общим образом, отдельно от задач, но раскрываются в процессе решения. Напомним, что даже знаменитый «метод исчерпывания» — первый вариант тео- теории пределов — не был выделен в чистом виде ни его соз- создателем Евдоксом из Книда, ни Архимедом. Только ма- математикам XVII века, на основании анализа «Начал» Евклида и квадратур Архимеда, удалось его извлечь и сформулировать общим образом. То же самое мы попы- попытаемся делать при разборе задач Диофанта. Все задачи книги I являются определенными. Если они и ставятся как неопределенные, то доопределяются в про- процессе решения. В этой же книге имеется несколько задач (*27^зо), которые приводятся к системам двух уравнений от двух неизвестных, эквивалентным квадратному уравнению. 17
И. Г. ВАШМАКОЬА Для того чтобы решения были рациональными, Диофант требует, чтобы дискриминант уравнения был полным квадратом. Делает он это без специальных пояснений, что свидетельствует о том, что в его время формула решения квадратного уравнения во всех ее вариантах была хорошо известна. Задачи книги II относятся уже к собственно неопреде- неопределенному анализу. Первые десять задач эквивалентны урав- уравнениям вида E) F2 (X, Y) = О, где F2 (X, Y) — многочлен второй степени с рацио- рациональными коэффициентами (т. е. соответствующая кривая имеет род 0). На этих задачах Диофант показывает свой метод и, по существу, доказывает частный случай теоремы Гильберта — Гурвица — Пуанкаре, о которой мы гово- говорили выше, а именно: «Если уравнение E) имеет рациональное решение, то оно имеет и бесконечно много рациональных решений, причем неизвестные могут быть выражены как рациональные функции одного параметра: Мы расскажем подробно об этом методе Диофанта в комментариях к книге II. Здесь же отметим следующее: в книге II общий метод для выражения неизвестных в виде рациональных функций параметра излагается всег- всегда для конкретных значений параметра, и о числе решений явно ничего не говорится. О бесконечности числа решений можно заключить только из самого метода. В задаче Ш19, применяя решение задачи И8, Диофант уже явно говорит о том, что число ее решений бесконечно, а именно он пишет: «Мы знаем, что разложение данного квадрата на два квадрата можно производить бесконечным числом спосо- способов». Очевидно, сам Диофант считал, что этот результат достаточно ясно вытекает из его метода. Наконец, в книге VI Диофант доказывает две леммы о том, что если урав- уравнение аХ2 + b = Y2 имеет одно рациональное решение, то оно имеет и бесконечно много других решений (леммы к задачам VI12 и VI16). Остальные задачи книги II сводятся к системам урав- уравнений, таждое из которых не выше второй степени. 18
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ В задачах П11_13 Диофант излагает свой метод решения «двойного равенства» простейшего вида, т. е. системы {±а?Х + Ъ - \±с2Х + d = (в задачах книги II а2 — с2 — 1). В последующих задачах Диофант так выбирает вы- выражения для неизвестных через основное неизвестное и параметры, чтобы все уравнения системы, кроме одного, обратить в тождества. Оставшееся уравнение дает ему возможность выразить основное неизвестное (а значит, и все искомые в задаче числа) как рациональную функцию параметров. В конце книги II и начале книги III появляются зада- задачи, которые представляют собою распространение уже ре- решенных задач на большее число неизвестных. Во многих случаях метод таков, что он проходит для аналогичных задач, поставленных относительно любого числа неизвест- неизвестных (см., например, задачи II20_2i и Нз2-зз)- Книга III по своему содержанию и методам непосред- непосредственно продолжает предыдущую. Здесь рассматривают- рассматриваются системы трех, четырех и большего числа уравнений, каждое из которых имеет степень ^ 2. Здесь встречаются задачи, в которых Диофанту удается путем подстановок обратить в тождества все условия, кроме двух, причем эти оставшиеся условия образуют «двойное равенство». В книге IV впервые рассматриваются неопределенные уравнения третьей и четвертой степени, а также одно уравнение шестой степени (IVi8). В первых 14 задачах встречаются, однако, только такие уравнения, которые униформизируются в рациональных функциях. Задачи IV24 и IV26-28 сводятся к нахождению рациональных ре- решений неопределенных уравнений третьей и четвертой) степени, которые задают эллиптические кривые (т. е. кривые рода 1). В этом случае, как мы уже говорили, не- неизвестные не могут быть выражены как рациональные функции параметра. Поясним методы, которые применял Диофант для решения этих уравнений. При этом мы будем пользоваться языком геометрии, интерпретируя неопределенное урав- уравнение от двух неизвестных как кривую на плоскости, 19
И. Г. БАШМАКОВА а рациональное его решение — как рациональную точку этой кривой. Итак, пусть задана кривая L: F) F3 (X, Y) = О, где FQ (X, Y) — неприводимый многочлен третьей сте- степени. Для нахождения рациональных точек этой кривой теперь применяются следующие два метода: 1) «Метод секущей». Пусть известны две рациональные точки А (Хх, Ух) и В (Х2, F2), лежащие на L. Тогда пря- прямая, проходящая через эти две точки, пересечет L еще в одной точке С, координаты которой, как нетрудно видеть, также будут рациональны. Эти координаты и дадут нам новое рациональное решение. 2) «Метод касательной». Пусть известна только одна рациональная точка А (Х1? Yt) кривой L. Тогда через нее проводится касательная где к = - -ZjL- (Х которая пересечет кривую L еще в одной рациональной точке D. Мы покажем, что оба эти метода применял Диофант (см. комментарии к задачам IV24 и IV2e-27)» трактуя их, однако, чисто алгебраически. При этом метод секущей он применял только в случае, который при геометрической интерпретации может быть охарактеризован тем, что одна из данных рациональных точек является бесконечно уда- удаленной (задачи IV2e-27)- Книга V содержит наиболее трудные задачи. Может быть, именно этим объясняется, что текст ее во многих местах испорчен. Так, например, в задаче V9 Диофант формулирует ограничение, которое нужно наложить на некоторое число а для того, чтобы 2а -J- 1 представлялось в виде суммы двух квадратов. Это ограничение, которое свидетельствует о глубоких познаниях Диофанта в теории чисел, было при переписках испорчено. Вследствие пол- ногр непонимания вопроса никто из последующих ученых вплоть до Ферма не смог его восстановить. Только Ферма, который независимо пришел к аналогичной теореме, сумел 20
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ восполнить пробел. Имеются и другие пропуски (см. комментарии к книге V). Поэтому над этой книгой рабо- работало немало филологов и математиков, из которых назо- назовем Баше де Мезириака, Ферма, Якоби и Поля Таннери. В книге V появляется новый тип задач (V9-u)> в ко- которых заданное целое число N требуется представить суммою двух, трех или четырех рациональных квадратов, каждый из которых удовлетворяет некоторым неравен- неравенствам. Диофант применяет для их решения четкий алго- алгоритм, который он называет «методом приближения» (TrapicoTTjToc аусоут]). При этом он решает квадратные не- неравенства и рассматривает уравнение Ферма аХ2 + 1 == У2, решение которого ищет в целых числах. Последующие три задачи книги сводятся к отысканию рациональных точек на кубических поверхностях. При- Примененные при их решении методы эквивалентны прове- проведению пучка плоскостей, каждая из которых проходит через бесконечно удаленную прямую, лежащую на по- поверхности. Кривая, полученная в сечении, распадается на две компоненты: прямую и коническое сечение. По- Подобрав параметр так, чтобы на коническом сечении име- имелась рациональная точка, Диофант обычным способом находит другие рациональные точки этой кривой. Заме- Заметим, что каждая из плоскостей, проходящих через бес- бесконечно удаленную прямую, будет касаться исследуемой поверхности в двух точках. Это описание метода, разуме- разумеется, является переводом решения Диофанта на язык геометрии. Более подробно это рассмотрено в коммен- комментариях к соответствующим задачам. Все задачи книги VI ставятся относительно прямо- прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, т. е. таких трех рациональных чисел, которые удовлетворяют уравнению + г2 - Z\ К этому условию, общему для всех задач, присоединяются дополнительные условия относительно площади, длины параметра, суммы площади и одной из сторон и т. д., т. е. задается еще некоторая функция / (X, Y, Z) = 0. 21
И. Г. БАШМАКОВА При решении этих задач Диофант особенно искусно оперирует с конкретными числами, как с произвольными параметрами (подробнее об этом в соответствующих комментариях). В этой книге содержатся две леммы, о которых мы упо- упоминали выше, а именно к задачам VI12 и VI15, где доказы- доказывается, что уравнение аХ2 + Ъ = У2 имеет бесконечно много рациональных решений, если у него есть хотя бы одно такое решение. Книга VI интересна еще и тем, что в ней Диофант применяет почти все методы, которые имелись в преды- предыдущих книгах: тут применяется метод касательной для нахождения рациональных точек эллиптической кривой третьего порядка, решаются «двойные уравнения» раз- различного вида и т. п. Задачи VI книги послужили поводом для многих тео- теоретико-числовых предложений Пьера Ферма. Особенно важно его замечание к задаче, добавленной к книге Баше де Мезириаком, в которой требуется отыскать прямоуголь- прямоугольный треугольник в рациональных числах, площадь ко- которого была бы рациональной. Ферма заметил, что эта площадь не может равняться квадрату. Эта задача сво- сводится к доказательству неразрешимости в целых числах уравнения X4 — Г4 = Z2. Отсюда в свою очередь следует Великая теорема Ферма для случая п = 4. В своем замечании Ферма привел пол- полное доказательство своего утверждения — это единствен- единственное дошедшее от него теоретико-числовое доказательство. Он проводит его методом спуска. Именно из этого дока- доказательства мог заимствовать Эйлер этот метод. Мы при- приводим это замечание Ферма в конце комментариев к кни- книге VI. Здесь уместно поставить вопрос о том, каковы были познания самого Диофанта в теории чисел. Для ответа на него соберем вместе все предложения по теории чисел, которые Диофант формулирует явно или на которые он опирается в своей «Арифметике». 1 1. Всякое простое число вида 4/г -f- 1 представимо в виде суммы двух квадратов (III19; V9). 22
Вступительная статья 2. Целое число Л7 можно представить в виде суммы двух квадратов, если после выделения наибольшего ква- квадрата оно не имеет простых делителей вида 4п — 1 (V9), 3. Целое число N, являющееся произведением двух различных простых чисел вида 4/г + 1, представимо в виде суммы двух квадратов двумя различными способами. Квадрат такого числа представим в виде суммы двух ква- квадратов четырьмя различными способами (Ш1е). 4. Любое целое число можно представить в виде суммы четырех рациональных квадратов (IV2B-3<h Vu). 5. Никакое число вида 24п + 7 не может быть пред- представлено в виде суммы трех квадратов целых или дроб- дробных (VX1). Из приведенной сводки видно, что Диофантом был хорошо изучен вопрос о представлении чисел формой X2 + У2. Он знал о представимости чисел суммою четырех квадратов и рассматривал вопрос о представлении числа з в виде 2 X?. Мы ничего не знаем о том, как были дока- заны эти результаты. Весьма убедительные реконструк- реконструкции этих доказательств предложены К. Якоби, к кото- которым мы и отсылаем желающих с ними познакомиться х). Попытаемся в заключение представить себе, каковы же были сведения Диофанта в тех вопросах, которые мы те- теперь относим к алгебраической геометрии. Сама последовательность книг показывает, что Дио- Диофант классифицировал задачи по степеням уравнений, к которым они сводятся. Так, в первых трех книгах поме- помещены задачи, которые сводятся либо к уравнению не выше второй степени, либо к «двойному уравнению», каждое из^которых имеет степень 2. В книге IV появляются уравнения третьей, четвертой и даже шестой степени, которые затем встречаются и в последующих книгах. Но, помимо степеней, Диофант различал уравнения и по другому, более глубокому признаку, а именно по тому, униформизируются ли они в рациональных функ- функциях. Мы говорили уже выше, что эта проблема была пол- полностью решена им для уравнения второй степени от двух л) См. его статью «Ueber die Kentnisse des Diophantus von der Zusammenset- zung der Zahlen», Berliner Monatsbericht, 1847, Gesammelte Werke, VII, 1891, 332—344. 23
И. Г. БАШМАКОВА переменных. Далее, Диофант знал, что для некоторых уравнений третьей и четвертой степени такая униформи- зация также возможна, а для других нет. Уравнения, определяющие кривые рода 1, встречаются в «Арифме- «Арифметике» в шести задачах: IV24, IV2e-27> IV28, VI10 и VTl8. При этом рациональные точки этих кривых в задачах IV24 и VI18 находятся методом касательной, в IV2e-27 — методом секущей и, наконец, в IV28 и VIi0 — с помощью проведения параболы. В задаче IVi8 появляется уравне- уравнение, определяющее гиперэллиптическую кривую рода 2: Xе - 2а3Х3 + X + а6 - у которой существуют рациональные точки @; ±а3). Диофант для случая а = т2 находит еще одну ее рацио- рациональную точку. Больше он не ставил задач этого рода, видимо потому, что не мог найти для них общего метода (который, кстати сказать, и до сих пор не найден). Наконец, следует отметить, что при своих решениях Диофант всегда принимал во внимание случаи, соответ- соответствующие наличию бесконечно удаленных рациональных точек кривых или поверхностей (разумеется, не вводя этого понятия). 6. Диофант и математика нового времени Эпоха Диофанта, как мы говорили, еще мало изучена. Те отдельные факты, которые нам известны: «Арифме- «Арифметика» Диофанта, арифметические исследования Анато- Анатолия Лаодикийского, решительные изменения во взгля- взглядах на число, на соотношение между алгеброй, арифме- арифметикой и геометрией, развитие учения о неопределенных уравнениях — позволяют говорить о новом расцвете ан- античной науки. Однако, это был уже, по-видимому, по- последний взлет. Дальнейшее продолжение идеи и методы Диофанта нашли не в науке последних веков Римской империи, а в трудах ученых Средневекового Востока и, особенно, Европы. «Арифметика» Диофанта оказала столь же фундамен- фундаментальное влияние на развитие алгебры и теории чисел, как и труды Архимеда — на формирование исчисления бесконечно малых. Только влияние Диофанта было более 24
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ многостепенным и не окончилось в XVII веке, как это было с Архимедом, но продолжалось вплоть до начала нынешнего столетия. Первое, что было воспринято,— это алгебраический метод. Уже математики арабского Востока пользовались наименованием степеней неизвест- неизвестного, предложенным Диофантом. В XV—XVI веках эти методы встречаются уже в Европе, куда они могли попасть как через Византию, так и перейти от арабов. Тогда же начали оперировать с отрицательными числами. Решение арифметических и геометрических задач старались свести к уравнению. Что касается правил Диофанта для опе- оперирования с многочленами и уравнениями, то они повто- повторялись почти всеми, кто составлял руководства по ал- алгебре. Таким образом, в Европе сложилась несколько парадоксальная ситуация: ученые пользовались алгебра- алгебраическими методами Диофанта, не будучи знакомы с его пр оизведениями. Но в «Арифметике», как мы видели, содержится и дру- другой, гораздо более глубокий круг идей, связанный с тео- теорией чисел, с решением неопределенных уравнений и с проблемами и фактами, относящимися, по существу, к алгебраической геометрии. С этими вопросами ученые Европы познакомились только в конце XVI века, когда почти одновременно появился первый перевод «Арифме- «Арифметики» на латынь A575), сделанный Ксиландром (Виль- (Вильгельмом Хольцманом), и в знаменитой «Алгебре» Рафаэля Бомбелли были помещены 143 задачи Диофанта A572). В 1621 г. Баше деМезириак впервые издал греческий текст «Арифметики», снабдив его новым, более совершенным переводом на латынь и комментариями. Это издание стало знаменитым, так как на полях одного из его экземпляров сделал свои теоретико-числовые замечания Пьер Ферма A601-1665). Знакомство с текстом «Арифметики» было началом новой жизни методов Диофанта. Наиболее глубоко мето- методами великого ученого овладели Франсуа Виет A540— 1603) и Пьер Ферма. Оба они свободно пользовались ими для определения рациональных решений неопределен- неопределенного уравнения второй степени, а для уравнений третьей степени — методами «касательной» и «секущей» однако последний применялся только для того же случая, что и у Диофанта (т, е. когда одна из заданных рациональных 25
И. Г. БАШМАКОВА точек является конечной, а другая — бесконечно уда- удаленной). Ферма, кроме того, развил учение о решении двойных и тройных равенств. Он же первый применил метод бесконечного, или неопределенного, спуска, ко- который и до сих пор является одним из сильнейших при исследовании проблем диофантова анализа. После Ферма неопределенными уравнениями зани- занимался Ньютон, как это стало ясно из недавно опублико- опубликованных его математических рукописей. Он первый дал геометрическую интерпретацию методов Диофанта, при- причем для нахождения рациональных точек кривой третьего порядка он применил метод «секущей» для случая, когда известны две конечные рациональные точки кривой (пе- (перевод соответствующего места мы приводим в коммента- комментариях в книге IV). Наконец, много и плодотворно работал в области не- неопределенного анализа Леонард Эйлер A707—1783). Он сформулировал в общем виде, в чем состоит различие между проблемами отыскания рациональных решений неопределенных уравнений второй степени и уравнений третьей степени. Для уравнения У2 = /3 (X) он нашел условия, при которых неизвестные можно выразить как рациональные функции параметра. Ему же принадлежит и применение метода «секущей» в его алгебраическом ва- варианте для случая, когда оба заданных рациональных решения конечны. Но Эйлером были начаты изыскания и в совершенно ином направлении, которые на первый взгляд не имели ничего общего с неопределенным анали- анализом, однако в дальнейшем им суждено было пролить неожиданный свет на проблемы Диофанта. Мы говорим об исследовании эллиптических интегралов и установле- установлении теоремы их сложения. Связь этих исследований Эйлера с решением неопре- неопределенных уравнений третьей и четвертой степени впер- впервые установил К. Якоби A835) *), а именно он показал, что рациональные решения таких уравнений, если извест- известно одно или два таких решения, можно находить с по- помощью теорем умножения и сложения эллиптических интегралов. По существу, уже из его работ следовало, что 1) К. J а с о b I, De usu Uieoriae integral ium ellipticorurn et Integra Hum abe- Uanorum in analysi Diophantea, Grclle J. 13 A835), 5 3—55, 26
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬИ на множестве рациональных решений можно ввести опе- операцию сложения, после чего это множество образует абе- леву группу. Однако эта сторона дела не интересовала Якоби. Зато он перенес свои результаты на случай реше- решения уравнений F2 = fn (X), где /п (X) — полином степе- степени п ^> 4, применив для этого теорему сложения Абеля. Он отметил, что здесь нельзя уже по известным рацио- рациональным решениям находить новые решения того же рода. Но можно находить группы решений такие, что любые симметрические функции от них будут рациональ- рациональны. Такие группы точек впоследствии получили название рациональных. Работа Якоби не обратила на себя внимание совре- современников и, по-видимому, была забыта. И только в конце прошлого века Анри Пуанкаре пришел к тем же идеям, когда начал строить арифметику алгебраических кривых. В своем знаменитом мемуаре х) он установил уже совер- совершенно явно связь между методами «секущей» и «касатель- «касательной» Диофанта (впрочем, не упоминая его имени) и тео- теоремами Эйлера. Он же первый поставил вопрос о структуре множества At (Q) рациональных точек алгебраической кривой и исследовал его для случая, когда кривая — эллиптическая. Пуанкаре наметил в своем мемуаре развернутую программу будущих исследований проблем арифметики алгебраических кривых любого рода и над любыми числовыми полями. Но это уже новая страница в истории диофантова анализа и алгебраической геомет- геометрии, и мы не будем ее перевертывать. Итак, судьба работ Диофанта сложна и необычна. Трижды они оказали определяющее влияние на форми- формирование науки нового времени: при создании буквенной алгебры в математике Средневекового Востока и Европы, при становлении теории чисел и учения о неопределенных уравнениях в XVII—XVIII веках и, наконец, уже опо- опосредствованно, методы Диофанта явились основой для определения сложения точек эллиптических кривых и построения их арифметики. Мы думаем, что этим значение «Арифметики» не исчерпано и человечество еще не раз обратится к этой замечательной книге. ') H. Poincare, Sur !ез propriet&s arithmetiques des courbes algfcbrigues J.Math., 5e serie, 7 A901), 161—233.
«О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ» ДИОФАНТА Александрийская математика от Евклида и до Апол- Аполлония носит ярко выраженный геометрический характер: «логистика», т. е. вычислительная математика, предо- предоставляется купцам. Но в конце III века до н. э. у Архи- Архимеда и Аполлония замечается довольно ясно выраженный интерес к вычислительной математике, а во II веке до н. э. геометрическая школа типа Аполлония и совсем почти пропадает. Какие причины привели к вырождению геометрических методов? Можно привести две. Во-пер- Во-первых, III век до н. э. был эпохой расцвета вавилонской вы- вычислительной астрономии. Возникшая в VI веке до н. э. в обстановке крушения сначала мелких, а потом и круп- крупных государств храмового типа и образования универ- универсальных монархий, она имела тесную связь с астрологией и пыталась математическими методами предсказать буду- будущее, раскрыть волеизъявление фатума при помощи вы- вычисления движений планет, получивших имена старых вавилонских богов, которые, таким образом, из миро- держателей стали простыми служителями, информато- информаторами велений фатума. Пунические войны и их продолже- продолжение в первой половине II века, связанные с установлением гегемонии Рима в Средиземноморье, создали в последнем такую же обстановку, как и в Передней Азии VI века до н. э. В греческой философии это выразилось созданием стоицизма, научные основы которого давала вавилон- вавилонская вычислительная астрономия, лучше сказать — астро- 28
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ логия; в математике же появляются исследования, свя- связанные с установлением новых систем счислений у Архи- Архимеда и Аполлония (достаточно указать на место, которое занимает астрономия в «Псаммите» Архимеда). Во II веке появляется сферическая и плоская тригонометрия, принимается вавилонская шестидесятеричная система счисления, градусное измерение углов. Введение послед- последнего связано с именем греческого математика середины II века Гипсикла, который в математических кругах из- известен как автор 14-й книги «Начал» Евклида, а также не дошедшего до нас сочинения «О многоугольных чис- числах», которое стало нам известно по носящему то же название произведению Диофанта. Треугольными числами в арифметике называются суммы последовательных чисел натурального ряда, на- начиная с единицы. Это будут аг = 1, а2 = 1 + 2 = 3, а3 = = 1 + 2 + 3 - 6,..., ап - 1 + 2 + 3 + ... + п = li^til. Каждое треугольное число может быть изображено в виде треугольника, число углов которого C) одновременно дает и «(количество) углов» соответствующего числа. Вместо натурального ряда мы можем взять и более общий случай арифметической прогрессии, у которой первый член и разность отличаются от единицы. Наша задача состоит в том, чтобы найти число, равное сумме членов соответ- соответствующего арифметического ряда. Эта задача в настоящее время не представляет для нас большого интереса, но все же стоит подумать, почему же ею занимались два антич- античных математика, разделенных некоторым (даже не впол- вполне определенным) временем. Кроме того, аналогичные вопросы интересовали математиков индийских, средне- среднеазиатских (ал-Каши, XV век) и, наконец, ими занимался также поклонник геометрических (не алгебраических) методов знаменитый французский математик XVII века Блэз Паскаль, арифметический треугольник которого из- известен ученикам средней школы. Мы не будем заниматься арифметическим треугольни- треугольником, но приведем из сочинений Паскаля цитату, которая прольет некоторый свет на интересующий нас вопрос *): ') Цитата приведена яз книги «Паскаль» Е. М. Клауса я др. (изд. «Наука», 1971), стр. 366—367. 29
Й. Н.ВЁСЕЛОВСКИЙ «Те, кто хотя бы в малой мере разбирается в уче- учении о неделимых, не преминут усмотреть, что можно извлечь из предыдущих результатов для определе- определения криволинейных площадей. Эти результаты по- позволяют немедленно квадрировать параболы всех видов и бесконечно много других кривых. Если мы распространим на непрерывные вели- величины те результаты, которые найдены для чисел по методу, изложенному выше, мы сможем высказать следующие правила. Правила^ относящиеся к прогрессии натуральных чисел, начинающейся с единицы. Сумма некоторого числа линий относится к ква- квадрату наибольшей линии, как 1 к 2. Сумма квадратов тех же линий относится к кубу наибольшей, как 1 к 3. Сумма кубов относится к четвертой степени наи- наибольшей, как 1 к 4. Общее правило, относящееся к прогрессии нату- натуральных чисел, начинающейся с единицы. Сумма одинаковых степеней некоторого числа линий относится к непосредственно следующей сте- степени наибольшей из них, как единица к показателю этой степени». Поэтому я полагаю, что Гипсикл и Диофант пытались найти алгебраическое выражение того метода суммиро- суммирования, которое применялось Архимедом в его работах 1). Работа Гипсикла не дошла до нас, работа Диофанта «О многоугольных числах» дошла не полностью. Нам придется ограничиться рассмотрением того материала, который дошел до нас, тем более что он представляет *) Против этой гипотезы можно сделать следующие возражения: а) для квад- а рирования парабол (т. е. вычисления интегралов вида \ xndx) необходимо о было суммировать не арифметические прогрессии с различными разио- N стями, а находить суммы вида у. кп, те = 1, 2, 3, . . .; первые две из них умели находить задолго до Диофанта; б) многоугольные числа ин- интересовали и продолжают интересовать математиков независимо от каких былго ни было проблем интегрального исчисления. (Прим. ред.) 30
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ интерес (может быть, даже более широкий, чем задача об арифметическом треугольнике); он позволяет нам подой- подойти к выяснению причин, заставивших математиков отка- отказаться от греческого геометрического метода и перейти к египетскому алгебраическому. В следующих предло- предложениях книги Диофанта интересным является не столь- столько что доказывается, а именно как доказывается. В первом предложении даются три члена арифмети- арифметической прогрессии а, а — а, а — 2а и требуется доказать, что 8а (а — а) + (а — 2аJ = [а + 2 (а — а)]2. Выполняя все обозначенные действия, мы получаем 8а2 — 8аа + а2 — 4аа + 4а2 - 9а2 — 12аа + 4а2. Полученное тождество доказывает теорему. Все доказа- доказательство занимает две строчки. Так доказываем мы и мог доказывать Диофант: весь необходимый алгебраический аппарат у него имелся. Но его целью является дать геометрическое доказательство. Поэтому на прямой линии он откладывает отрезки АВ, ВГ и В А и ведет доказатель- доказательство, которое занимает более страницы, как может убе- убедиться читатель, обратившись к подлиннику. Второе и третье предложения дают формулы для по- последнего члена арифметической прогрессии, а также для ее суммы. Четвертое предложение, являющееся основ- основным, касается суммы п членов арифметической прогрес- прогрессии, начинающейся с единицы и имеющей разность а: S - 1 + A + а) + A + 2а) + ... + A + (п - 1) а) = . п (п — 1) Требуется доказать, что сумма взятых п членов, умно- умноженная на восьмикратную разность и сложенная с ква- квадратом разности, уменьшенной на двойку (не надо забы- забывать, что первый член прогрессии равен единице), дает квадрат, сторона которого без двойки (Хвтсоиаа Soifia) равна кратному разности, или разности, помноженной на число (xaxd xtva apt&jxov), которое, приняв единицу (о; TrpoaXapwv (xova5aO будет вдвое больше количества всех взятых членов, считая и единицу (oov тт) [xova^t). Соот- Соответствующая формула будет A) 8сс5 + (а - 2)а = [Bл - 1)а 1 2J2. 31
И. Н, ВЕСЕЛОВСКИИ Подставляя вышеприведенное значение S (п членов), получаем тождество B) [ ) = 4 + 4 Bп — 1) а +Bп— 1Jа Основная цель этой формулы заключается в том, чтобы установить связь суммы арифметической прогрессии с не- некоторым квадратом. В качестве примера положим а — 2, т. е. рассматриваемая прогрессия представляет последова- последовательность нечетных чисел. Тогда 165 = DпJ, или S = п2. Любопытно отметить, что формула Диофанта остается верной и при а = 1 (сумма чисел натурального ряда), когда разность а — 2 становится отрицательной. Доказательство, помещенное после формулировки предложения IV, представляет не что иное, как подтвер- подтверждение тождественности формул A) и B), выражающих соответствующее положение. В этом доказательстве лю- любопытны два момента. Во-первых, отрезками изображают- изображаются не только отрезки — члены рассматриваемой прогрес- прогрессии, но и стоящие при них числовые коэффициенты. Во-вторых, в процессе доказательства Диофанту при- пришлось рассмотреть произведение двух квадратов, которое должно дать квадрат их среднего геометрического. Он знает, что в классическом греческом анализе допустимы только квадраты и кубы линейных отрезков; поэтому он считает необходимым дать в качестве прибавления соот- соответственное доказательство. Мы указали, что одной из причин упадка классической греческой геометрии было появление вычислительной математики, связанной с принятием вавилонской астро- астрономии. Теперь мы можем указать и вторую. Если в гре- греческой математике величины изображались отрезками, то это позволяло иметь дело только с квадратами или куба- кубами, но у Диофанта отрезками стали изображаться и числа, а это позволило выйти за пределы второй и третьей сте- степени. Кроме того, алгебраические методы позволяли дать более простые и удобообозримые способы доказательства, в чем легко может убедиться читатель, сравнивая гео- геометрические доказательства с помещенными у нас алге- алгебраическими. В этом отношении Диофант является про- провозвестником новой эпохи в математике. 32
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ Последние теоремы имеют целью доказать определе- определение, данное Гипсиклом. Пусть дана арифметическая про- прогрессия 1 + A + а) + A + 2а) + - • - + И + (л — 1) «]¦ Сумма двух первых ее членов определяет число углов получающегося многоугольника. Если а — 1, то 1 + -j-1 + 1^3 дает число углов первого треугольника ОАВ, а также и второго ОАгВх и всех последующих. Если а = 2, то мы получаем четырехугольники ОАВС, ОА1В1С1 и т. д. Таким образом, получаются первые (основные) многоугольные числа 3, 4 и т. д. Из самого способа их образования мы получаем связь разности а прогрессии с числом углов N: N — а ~\~ 2. Стороной любого много- многоугольного числа мы называем сторону наибольшего полу- получившегося многоугольника ОА -\- ААг и т. д. Если длину каждого из получающихся отрезков положить равной единице, то для любого многоугольника Z, получившего- получившегося после суммирования п членов прогрессии, мы имеем сторону = п — 1. Мы можем сделать сторону равной /г, если в качестве первого отрезка (единицы) возьмем и на- начальную точку О; этим объясняется наличие выражений «если принять первым отрезком единицу» или «увеличить количество отрезков на единицу». В рассуждениях Гипси- кла Диофант видит недостаток — отсутствие аналитичес- аналитического доказательства. Его 1-я теорема позволяет написать 8 (а + а) а + (а - аJ = [(а + а) + 2а]2, а 4-я A) 8Sa + (а - 2J = [2 + Bл - 1) а]2, наконец, 1-я, примененная к прогрессии (а — 2) -f- a + + (а + 2),- C) 8 (а - 2) а + (а - 2J - [(ее + 2) + 2а]2. Если правую часть перепишем в виде B + 3аJ = [2 + B-2 - 1) а]2, то из сравнения A) и C), получим S = а + 2, п = 2. Пусть S есть сумма двух первых членов прогрессии, опре- определяющих число углов N получаемого многоугольного числа; тогда S = NnN=a-\-2. Сторона многоуголь- многоугольника определяется числом взятых членов прогрессии 33
И. Н. ВЕСЕЛОВСКИЙ или увеличенным на единицу числом отрезков, изобража- изображающих эту сторону; в нашем случае п = 2. Даже обидно, что почти очевидные определения Гипсикла доказываются при помощи двух лемм A и 4). Заметим, что их доказатель- доказательство становится понятным, только если оно проведено чисто алгебраически, и, кроме того, требует выхода за пределы второго и третьего измерений. Кстати, мы знаем, как эта теорема доказывается, но не знаем, как она могла быть получена. В приложениях основных теорем — нахождении мно- многоугольного числа по заданной стороне и обратно — чертежи уже полностью отсутствуют и изложение про- процесса близко к современному алгебраическому. После этого помещена задача, решение которой в до- дошедшем до нас тексте не доведено до конца Диофантом. (Дошедший до нас текст обрывается.) Она читается так: «Сколькими способами заданное число может быть представлено в виде многоугольного числа?» В современной постановке эта задача может быть сфор- сформулирована так: «Сколькими способами заданное число S может быть представлено в виде суммы арифметической прогрессии с начальным членом единицей, числом членов п и раз- разностью а?» Это сводится к решению неопределенного уравнения 2S = 2п + п (п — 1) а, где S — любое целое число, равное или большее 3, п ]> 2, а а изменяется в пределах от 1 до S — 2. Задача имеет тривиальное решение дг — 2, а = S — 2. Кроме того, для любого S > 3 можно найти конечное решение, давая п значения, большие 2, или а — меньшие S — 2. Таким образом, можно найти все решения для заданного 5. В общем случае их число определяется при помощи ре- решения в целых числах неопределенного уравнения вто- второй степени — задача, решение которой было получено индийскими математиками первого тысячелетия нашей эры и западноевропейскими в течение XVIII века. Эта задача представляет естественный переход к «Ариф- «Арифметике» Диофанта, в дошедших книгах которой реша- решаются в рациональных числах неопределенные уравнения второй и третьей степеней.
ДИОФАНТА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО ШЕСТЬ КНИГ АРИФМЕТИКИ И КНИГА О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
ДИОФАНТА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО «АРИФМЕТИКА» КНИГА I Достопочтеннейший Дионисий, зная что ты ревностно хочешь научиться решению задач, касающихся чисел, я попытался изложить природу их и могущество, начиная с тех оснований, на которых покоится эта наука. Может быть, этот предмет покажется тебе затрудни- затруднительным, поскольку ты еще с ним незнаком, а начинаю- начинающие не склонны надеяться на успех. Но он станет тебе удобопонятным благодаря твоему усердию и моим пояс- пояснениям, ибо страстная любовь к науке помогает быстро воспринять учение. (I) Все числа, как ты знаешь, состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увели- увеличиваясь до бесконечности. Так вот среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата; затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы от умножения кубов самих на себя. Из них при помощи сложения, вычитания, умножения или нахождения отношения между собой или каждого с собственной стороной, составляются многочисленные 37
ДИОФАНТ арифметические задачи; решение же их получается, если ты пойдешь путем, который будет указан дальше. (II) Было принято, что каждое из этих чисел, получив- получившее более краткое наименование, становится начальным элементом арифметической теории, так, квадрат назы- называется «динамис» и обозначается знаком А с индексом Г: Дт — Sovocjxk;. Куб обозначается знаком К с индексом Г: Кт — х6Cо<;. Квадрат, умноженный на себя,— квадрато-квадрат, его знаком будут две дельты с индексом Г: ДГД— диуау* оо ovajxt<;. Квадрат, умноженный на куб собственной стороны,— квадрато-куб, его знак ДК с индексом Г: ДКГ — fiova[xox6po<;. Куб, умноженный на самого себя,— кубо-куб, его знак — две каппы с индексом Т: КГК — хо^охорос Не получившее никакого из этих названий, но состо- состоящее из неопределенного количества единиц называется числом (apt6[xoc), и его знаком будет g. Другой знак для неизменного и определенного коли- количества единиц (tj [коше,) будет М с индексом о: М. (III) Подобно тому как для чисел одноименные части получают названия, схожие с этими числами, например, для трех будет треть, для четырех — четверть, так и теперь для вышеназванных чисел подобноименные части получают названия, соответствующие этим числам: Г * 1 для числа [х] арифметичная — , 1 i 1 для квадрата [х2] квадратичная -jj , для куба [xs] кубичная \^а\ , Г * 1 для квадрат о-квадрата [я4] квадрато-квадратичная \—т , Г 1 ¦] для квадрато-куба [хь] квадрато-кубичная — , для кубо-куба [х6] кубо-кубичная Г^ё" • Ij каждая из них над знаком подобноименного числа будет иметь знак * для различения вида. (IV) Указав тебе названия каждого из этих чисел, перехожу к их умножению, это будет для тебя очевидным, так как названия уже объяснены. 38
АРИФМЕТИКА КНИГА I Число, умноженное на число. производит квадрат, на квадрат — куб, на куб — квадрато-квадрат, на квадрато- — квадрато-куб, квадрат на квадрато-куб — кубо-куб. Квадрат же на квадрат — квадрато-квадрат, на куб — квадрато-куб, на квадрато- — кубо-куб. квадрат Куб же на куб — кубо-куб. (V) Всякое число, умноженное па одноименную ему часть, производит единицу. (VI) Так как единица остается всегда неизменной, то умноженный на нее вид остается тем же видом х). (VII) Подобноименные части, умноженные друг на друга, образуют части, подобноименные перемноженным числам. Например, арифметическая часть, умпоженная на арифметичную, производит квадратичную, на квадратичную, — кубичную, на кубичную, — квадрато-квадратичную, на квадрато-квадратичную, — квадрато-кубичную, на квадрато-кубичную, — кубо-кубичную. И так подобноименно. (VIII) Арифметичная часть, умноженная на квадрат, производит число, на куб, — квадрат, на квадрато-квадрат, — куб, на квадрато-куб, — квадрато-квадрат, на кубо-куб, — квадрато-куб. Квадратичная, умноженная на число, производит арифметичную часть, на куб, — число, на квадрато-квадрат, — квадрат, на квадрато-куб, — куб, на кубо-куб, — квадрато-квадрат. *) Вид — то eiSoe. (Прим. ред.) 39
ДИОФАНТ Кубичная часть, умноженная на число, дает квадратичную, на квадрат, — арифметичную, на квадрато-квадрат, — число, на квадрато-куб — квадрат, на кубо-куб — куб. Квадрато-квадратичная же, умноженная на число, дает кубичную, на квадрат, — квадратичную, на куб, — арифметичную, на квадрато-куб, — число, на кубо-куб, — квадрат. Квадрато-кубичная же, умноженная на число, дает квадрато-квадратичную, на квадрат, — кубичную, на куб, — квадратичную, на квадрато-квадрат, — арифметичную, на кубо-куб, — число. Кубо-кубичная же, умноженная на число, дает квадрато-кубичную, на квадрат, — квадрато-квадратичную, на куб, — кубичную, на квадрато-квадрат, — квадратичную, на квадрато-куб, — арифметичную. (IX) Недостаток, умноженный на недостаток, дает наличие; недостаток же, умноженный на наличие, дает недостаток; знак же для недостатка — я|э (пси) укорочен- укороченное и опрокинутое вниз: Д. (X) После объяснения умножения становится ясным и деление заданных видов; начинающим будет полезно поупражняться в сложении, вычитании и умножении этих видов: как неравные наличия и недостатки прибав- прибавляются к тем же самым, или также к наличиям и недо- недостаткам, и каким образом из наличных видов и других недостатков вычитаются другие наличия или также нали- наличия и недостатки. (XI) После этого, если в какой-нибудь задаче полу- получится равенство одних видов таким же, но в неравном количестве, то в каждой из частей равенства нужно от- отнять подобные от подобных, пока один вид не станет равен тоже одному виду. Если же в какой-нибудь части 40
АРИФМЕТИКА КНИГА I имеется наличие, а в обеих недостатки некоторых видов, то к обеим частям надо прибавлять недостающие, пока в каждой части не останутся только находящиеся в на- наличии виды, а затем отнимать подобные от подобных, пока в каждой части не останется только по одному виду. Старайся применять это, если возможно, ив образова- образовании предложений так, чтобы получилось равенство од- одного вида другому тоже одному; потом мы покажем тебе, как получается решение, если один вид будет равен двум оставшимся. Теперь мы перейдем к задачам, в которых собрано большое количество предложений относительно видов. Поскольку они имеются в очень большом числе и требуют много труда, то они медленно усваиваются и запоминаются учащимися; я постарался распределить все содержащееся так, чтобы в начале находились элементарные и от более простых совершался переход к более трудным, как и по- полагается. Так облегчится путь начинающим и запом- запомнится его развитие, и все сочинение будет изложено в тринадцати книгах. 1. Заданное число разложить на два числа, имеющие данную разность. Пусть заданное число будет 100, а разность 40. Опре- Определить эти числа. Положим, что меньшее число х, тогда большее число будет х + 40; взятые вместе они дадут 2х + 40; заданное же число 100. Следовательно, 100 равно 2х + 40. Из подобных вычитаем подобные: из 100 вычитаем 40; в остатке будет 2х, равное 60; тогда каждое х равно 30. К подстановкам*). Наименьшее число будет 30, а большее 70; доказательство очевидно. 2. Заданное число требуется разложить на два числа в заданном отношении. Требуется разложить 60 на два числа в отношении 3. ) em та<; О7гоотаоек. Диофант имеет в виду нахождение искомых чисел задачи при помощи выражений через неизвестное (х), т. е. при помощи подстановок. Этот термин применяется во всех задачах «Арифметики». (Пргш. ред.) 41
ДИОФАНТ Положим меньшее число равным х, тогда большее число будет Зх, т. е. большее число в три раза больше меньшего. Остается, чтобы оба (вместе) равнялись 60, и два сложенных числа дадут 4х. Значит, 4х = 60, и х будет 15. Следовательно, меньшее число 15, а большее 45. 3. Заданное число разложить на два так, чтобы 1-е из них на заданное число превышало определенное от- отношение от 2-го числа. Пусть требуется разложить 80 на два числа так, чтобы 1-е превышало на 4 трижды взятое 2-е. Положим, что меньшее число х, тогда большее будет Зх и 4, большее будет в 3 раза больше меньшего и будет иметь разность 4. Я желаю, чтобы оба вместе равнялись 80. Но оба сложенные будут 4х и 4. Значит, 4х + 4 равно 80. Из подобных вычитаю подобные, тогда 76 равно Ах; и х получится равным 19. К подстановкам. Меньшее число будет 19, а большее 61. [После прибавления 4 отнимаем их от 80, их отняли, чтобы найти, скольким единицам будет равно каждое число, затем к большему числу добавили 4, чтобы узнать, сколько единиц будет в каждом.] г) 4. Найти два числа в заданном отношении таких, что- чтобы была заданной и их разность. Зададим отношение большего числа к меньшему рав- равным 5, и пусть разность их составляет 20. Положим, что меньшее число будет х, тогда большее будет 5х. Затем я желаю, чтобы разность 5х и х равнялась 20. Но разность между ними составляет Ах, она же рав- равна 20. Меньшее число равно 5, а большее 25. И большее бу- будет в 5 раз больше меньшего, а разность станет равной 20. 5. Предложенное число разложить на два таких числа, чтобы заданные их неодинаковые части при сложении образовали заданное число. ) Фраза, поставленная в скобки, по мнению Таннери, пржнадлеэнэт оовд* нейшему комментатору. (Прим. ред.) 42
АРИФМЕТИКА КНИГА I Это заданное число должно быть таким, чтобы оно занимало среднее место между двумя получающимися числами, если от первоначального числа взять две задан- заданные неодинаковые части. Пусть число 100 требуется разложить на два числа так, чтобы V3 1-го числа и V5 2-го, сложенные вместе, дава- давали 30. Я положил, что V5 2-го числа есть х (тогда само оно будет 5х); следовательно, V3 1-го числа будет 30 — х, а само это число 90—Зх. Затем я хочу, чтобы два сложен- сложенных числа давали 100. Но оба сложенных числа 90 — Зх и Ъх дают 100. Отнимаем подобные от подобных, 2х = 10, следова- следовательно, х = 5. К подстановкам. Я положил 1/б 2-го числа равной х, тогда х — 5 и само 2-е число 25. Но V3 1-го числа 30 — х будет 25, следовательно, само это число 75. И сумма трети 1-го и пятой части 2-го равна 30, они, сложенные вместе, образуют первоначально заданное число. 6. Предложенное число разложить на два числа так, чтобы данная часть 1-го числа превышала данную часть 2-го на заданное число. Необходимо, чтобы это заданное число было меньше того числа, которое получается, если от предложенного чи- числа взять данную часть, соответствующую уменьшаемому. Поставим себе целью разложить 100 на два числа так, чтобы четвертая часть 1-го превышала на 20 шестую часть 2-го числа. Я положил шестую часть 2-го числа х, следовательно, само это число будет 6#, тогда 4-я часть 1-го числа будет х -\~ 20, а само это число Ах + 80. Затем хочу, чтобы оба сложенных числа составили 100, т. е. 10х + 80 равня- равнялись 100. Теперь подобные от подобных. Остается Юх = 20, и тогда х получится равным 2. К подстановкам. Я положил х равным V6 2-го числа, оно будет 2, значит, само число 12, а четвертая часть 1-го х -\- 20; получается 22, и, значит, само число 88; полу- полученные будут сложены вместе и образуют заданное число. 7. От одного и того же числа отнять два заданных числа и сделать так, чтобы полученные остатки имели бы междз собой заданное отношение. 43
ДИОФАНТ Пусть от одного и того же числа задано отнять 100 и 20 и сделать, чтобы большее равнялось утроенному мень- меньшему. Положим, что искомое число будет х. Если я от него отниму 100, то остаток будет х — 100, если же отниму 20, то будет х — 20. И нужно, чтобы большее число равня- равнялось утроенному меньшему, следовательно, три меньших будут равны большему. Но три меньших дадут За: — 300, они будут равны х — 20. Прибавим к обеим частям недостаток, получится Зх, равное х + 280. Отнимем подобные от подобных. Остается 2х = 280, и получится х = 140. К подстановкам. Я положил искомое число равным х\ следовательно, оно будет 140. Если я от него отниму 100, то останется 40, а если отнять 20, то останется 120. И большее число будет в три раза больше меньшего. 8. К двум данным числам прибавить одно и то же такое число, чтобы получающиеся числа имели между собой заданное отношение. Необходимо, чтобы заданное отношение было меньше того, которое большее из данных чисел имеет к меньшему. Предположим, что к 100 и 20 было прибавлено одно и то же число, и сделаем, чтобы большая сумма была в 3 раза больше меньшей. Возьмем в качестве х число, прибавляемое к каждому. Если мы прибавим к 100, то получим 100 -{- х, а если к 20, то будет 20 + #¦ И необходимо, чтобы отношение большей суммы к меньшей было 3; следовательно, утроенная мень- меньшая сумма будет равняться большей. Но утроенная мень- меньшая сумма равна 60 -f- 3#; это будет равно 100 + х. От подобных подобные. В остатке будет 2х = 40; и х окажется равным 20. К подстановкам. Я положил прибавляемое число рав- равным х\ оно будет 20. Если мы прибавим его к 100, то получится 120, а если к 20, то получатся 40. И большее будет равным утроенному меньшему. 9. От двух заданных чисел отнять одно и то же число и сделать так, чтобы остатки находились между собой в заданном отношении. Необходимо, чтобы заданное отношение было больше того, которое большее из заданных чисел имеет к мень- меньшему. 44
АРИФМЕТИКА КНИГА I Пусть задано: от 20 и 100 отнять то же самое число и сделать, чтобы большее число было шестикратным мень- меньшего. Положим, что х будет отнимаемое от каждого числа. Когда оно отнимается от 100, то остается 100 — х, а когда от 20, то остается 20 — х. И нужно, чтобы большее было в 6 раз больше меньшего. Следовательно, меньшее, взя- взятое 6 раз, будет равно большему. Но ушестеренное мень- меньшее будет 120 — 6#, это равно 100 — х. Прибавим недостаток к обеим частям и отнимем по- подобные от подобных. В остатке будет 5х = 20; и х полу- получается равным 4. К подстановкам. Отнимаемое от каждого числа я взял за х] оно будет 4. Если мы отнимаем его от 100, то оста- останется 96, а если от 20, останется 16. И большее будет равно ушестеренному меньшему. 10. Даны два числа, к меньшему из них надо приба- прибавить, а от большего отнять то же самое число и сделать, чтобы получающаяся сумма имела заданное отношение к остатку. Пусть предложено к 20 прибавить, а из 100 вычесть одно и то же число и сделать, чтобы большее было в 4 раза больше меньшего. Положим, что прибавляемое и отнимаемое от каждого числа будет х. Если мы прибавим его к 20, то получится 20 + х, а если отнимаем от 100, то получится 100 — х. И нужно, чтобы большее равнялось четырехкратному меньшему. Следовательно, учетверенное меньшее равно большему, но учетверенное меньшее будет 400 — 4#, это же будет равно 20 + х. Прибавим к обеим частям недостатки и отнимем от подобных подобные. В остатке будет Ъх равно 380; и х = 76. К подстановкам. Я положил прибавляемое и отнима- отнимаемое от каждого числа х, он будет равен 76. И если к 20 прибавить 76, то получается 96, а если 76 отнять от 100, то останется 24. И действительно, большее будет в четыре раза больше меньшего. 11. Даны два числа, одно требуется прибавить, а другое отнять от одного и того же числа и сделать так, чтобы полученные числа находились между собой в за- заданном отношении. 45
ДИОФАНТ Требуется 20 прибавить, а 100 отнять от одного и того же числа и сделать так, чтобы большее число было в три раза больше меньшего. Пусть искомое будет х. Если прибавим к нему 20, то получится 20 + х, а если от него отнять 100, то оста- останется х — 100. И нужно, чтобы большее было в три раза больше меньшего. Следовательно, три меньших будут равны большему. Но три меньших будут Зх — 300, значит, Зх — 300 рав- равно х + 20. Прибавим к обеим частям недостатки и от- отнимем подобные от подобных. Тогда 320 равно 2х\ и по- получается х = 160. К подстановкам. Большее будет 180, а меньшее 60. И действительно, большее будет в три раза больше мень- меньшего. 12. Заданное число разложить на два числа [уг + у2] и [zx + z2] двояко так, чтобы одно число [z/J из первого разложения имело заданное отношение [иг] к одному числу [z2] из второго разложения, а оставшееся число [zj из второго разложения к оставшемуся [у2] от первого раз- разложения тоже имело бы заданное отношение \п\. Пусть будет предложено разложить 100 на два числа двояко так, чтобы большее число из первого разложения [z/J было в 2 раза больше меньшего числа из второго раз- разложения [z2], а большее из второго разложения [zj было в 3 раза больше меньшего числа [у2] из первого разло- разложения. Обозначим меньшее число из второго разложения через х, следовательно, большее число из первого разложения [#J будет 2х\ значит, меньшее число из первого разложе- разложения [у2] будет 100 — 2х. И так как большее число из вто- второго разложения [zj втрое больше \у2] — меньшего числа из первого разложения, то оно будет 300 — 6х. После этого числа [zx и z2] из второго разложения сложенные дадут 100, но их сумма 300 — 6х и х, равная 300 —5х, равна 100, и получается, что х — 40. К подстановкам. Я обозначил [ух] большее из чисел первого разложения, как 2х, оно будет 80; меньшее же число из того же разложения 100 — 2х, оно будет 20. Большее же число 1гг] второго разложения 300 — 6х будет 60, а меньшее из второго разложения х, оно будет 40. И доказательство очевидно. 46
АРИФМЕТИКА КНИГА I 13. Предложенное число разложить на два числа тро- трояким образом так [уг + у2 ~ zx + z2 = иг + и2 = а], чтобы одно число из первого разложения [ух] имело бы заданное отношение к одному из чисел [z2] второго раз- разложения, оставшееся же [zj из второго разложения имело бы заданное отношение к одному из чисел [и2] третьего разложения, а оставшееся после третьего разложения число [щ] имело бы заданное отношение к числу [у2], оставшемуся после первого разложения. Пусть будет предложено разложить 100 на два числа трояким образом так, чтобы большее число из первого разложения [z/J было втрое больше меньшего числа [z2] из второго разложения, а большее число из второго раз- разложения [zj было бы вдвое больше меньшего [и2] числа из третьего разложения, большее же число из третьего разложения [иг] было бы в четыре раза больше меньшего числа из первого разложениях). Положим меньшее число из третьего разложения [и2] равным х\ тогда большее число из второго разложения [zj будет 2х. А так как раскладываемое число равно 100, то, значит, меньшее число [z2] из второго разложения будет 100 — 2х. И так как втрое больше его [z2] будет большее число из первого разложения, то оно [уг\ получится как 300 — 6.г; следовательно, меньшее из чисел \у2] первого разложения будет 6х — 200. А так как это число 1у2], взятое 4 раза, дает большее число [иг] из третьего разложения, то оно будет 2Ах — 800. Наконец, сложенные числа третьего разложения дадут 100. Но это сложение дает 25.Z — 800. Это равно 100; х оказывается равным 36. К подстановкам. Меньшее из чисел третьего разложения равно 36, а большее 64. Меньшее число первого разложения 16, а большее 84. Меньшее число второго разложения 28, а большее 72. Ясно, что они удовлетворяют условию задачи. 14. Найти два числа таких, чтобы их произведение имело заданное отношение к их сумме. Необходимо, чтобы предположенное количество еди- единиц одного из чисел было больше подобноименного числа единиц в заданном отношении. Пусть отношение произведения к сумме будет тройным. Ух — 3 A00 — г,), zx = 2ut, 100 — u2 = 4 A00 — yt). {Прим. перев.) 47
ДИОФАНТ Положим 1-е из этих чисел равным х, 2-е же согласно предварительному условию должно быть большим 3, пусть оно будет 12. Тогда произведение их будет 12я, а сумма х + 12. Далее, 12.г втрое больше, чем х + 12; следовательно, утроенное меньшее число будет равно большему; получится, что х = 4. 1-е из чисел равно 4, а 2-е 12. И они удовлетворяют задаче. 15. Найти два таких числа [у и z], чтобы каждое из них, взяв от другого заданное число, находилось с остат- остатком в заданном отношении: *-Л_ = т _Е_ — п I z— а ' у—Ъ J Положим, что 1-е число [у]> заимствуя от 2-го 30, ста- становится в 2 раза больше остатка: [у + 30 = 2 (z - 30)], а 2-е Ы, взяв от 1-го 50, становится в 3 раза больше остатка: [z + 50 = 3 (у — 50)]. Возьмем теперь 2-е число равным х + 30; тогда 1-е число [у] должно оказаться равным 2х — 30, чтобы после получения от второго 30 оно стало вдвое больше остатка 2). Далее, 2-е число [z = x -f- 30], получив от 1-го 50, должно стать втрое больше 2х — 80. Но если 1-е отдает 50, то остаток будет 2х — 80; 2-е же, приняв от 1-го 50, станет х + 80. Остается сделать, чтобы х -f- 80 равнялось утроенному 2х — 80; следова- следовательно, утроенное меньшее равно большему: -80) = аг + 80], откуда х = 64. И 1-е число будет 98, а 2-е 94. И они ре- решают задачу. 16. Найти три таких числа, чтобы они, сложенные попарно, равнялись данным числам 2). Необходимо, чтобы полусумма трех данных чисел была больше каждого из них. 1) Если отнимем 30 от 2-го и придадим к i-му, то г — 30 = х, а у + 30 ¦¦ 2х будет вдвое больше остатка. (Прим. перев.) 2) Частный случай епантемы Тимарпца. (Прим. Я. Тапиери.) 48
АРИФМЕТИКА КНИГА I Итак, пусть 1-е число, сложенное со 2 м, даст 20, 2-е с 3-м — 30 и 3-е с 1-м — 40. Положим, что все три вместе равны х. И так как 1-е и 2-е дают 20, то, отняв 20 от х, получу 3-е х — 20, на том же основании 1-е будет х — 30, а 2-е х — 40; остается сумму всех трех чисел приравнять х, но три сложенных числа дают Зх — 90; это равно х\ и получается х = 45. К подстановкам. 1-е будет 15, 2-е 5, и 3-е 25. И дока- доказательство очевидно. 17. Найти четыре таких числа, чтобы они, сложенные по три, давали заданные числа. Необходимо, чтобы третья часть суммы всех четырех [заданных] была больше каждого из них. Пусть три последовательных числа, начиная с 1-го, дают в сумме 20, три, начиная со 2-го, — 22, три, начиная с 3-го, — 24, а три, начиная с 4-го,— 27. Положим, что сумма всех четырех будет х. И следо- следовательно, если от х отниму первую тройку, т. е. 20, то в остатке получу 4-е х — 20. На том же основании 1-е будет х — 22, 2-е х — 24, а 3-е х — 27. Остается сложить все четыре числа; их сумма будет равна х. Но эта же сум- сумма будет 4х — 93; это равно х, которое получается рав- равным 31. К подстановкам. 1-е будет 9, 2-е 7, 3-е 4 и 4-е 11. И они удовлетворяют задаче. 18. Найти три таких числа, чтобы сумма попарно двух превышала бы оставшееся на заданное число. Пусть сумма 1-го и 2-го чисел превышает 3-е на 20, сумма 2-го и 3-го больше 1-го на 30, а сумма 3-го и 1-го больше 2-го на 40. Положим сумму всех трех равной 2х. Так как 1-е и 2-е вместе больше 3-го на 20, то, прибавив к обеим частям 3-е, получим, что сумма всех трех будет равна удвоенному 3-му и 20. Значит, если от суммы трех, т. е. 2х, я отниму 20, то получу удвоенное 3-е, равное 2х — 20; следова- следовательно, один раз взятое 3-е будет равно х — 10. На том же основании 1-е число будет равно х — 15, а 2-е х — 20. Теперь все три вместе дадут 2х, но их сумма составит Зх — 45, а это равно 2х. Отсюда х получается равным 45. К подстановкам. 1-е число будет 30, 2-е 25 и 3-е 35. И все они удовлетворяют предложенному. 49
ДИОФАНТ [Ин ач е.] *) Так как 1-е и 2-е (вместе) превышают 3-е на 20, то пусть 3-е будет х\ следовательно, вместе взя- взятые 1-е и 2-е равны х + 20. Затем, поскольку 2-е и 3-е превышают 1-е на 30, то я полагаю, что 2-е равно столь- стольким единицам, сколько будет в полусумме 20 и 30, т. е. 25. И так как 1-е и 2-е вместе будут х + 20, а 2-е равно 25, то, следовательно, остающееся 1-е будет х — 5. Затем нужно, чтобы 3-е вместе с 1-м превышали 2-е на 40, но 1-е вместе с 3-м дают 2х — 5; значит, они равны 65 2). Прибавим общий недостаток. Тогда 2х равно 70; и х получается равным 35. К подстановкам. Я положил 1-е равным х — 5; оно будет 30, 2-е 25, а 3-е х, оно будет 35. 19. Найти четыре числа таких, чтобы сумма трех из них превосходила оставшееся на заданное число. Необходимо, чтобы полусумма четырех избытков была больше каждого из них. Предположим, что сумма трех последовательных чи- чисел, начиная с 1-го, больше 4-го на 20, а сумма трех, на- начиная со 2-го, больше 1-го на 30, аналогично сумма трех, начиная с 3-го, больше 2-го на 40 и сумма трех последо- последовательных, начиная с 4-го, больше 3-го на 50 3). Положим, что сумма всех четырех (чисел) будет 2х. И так как три числа, начиная с 1-го, больше 4-го на 20, а на сколько первые три числа больше 4-го, на столько же все четыре больше удвоенного 4-го, четыре же числа равны 2х, то, следовательно, 2х превышают удвоенное 4-е число на 20: значит, удвоенное 4-е число равно 2х — 20, а само 4-е число будет х — 10. На том же основаншг.1-е число равно х — 15, 2-е х — 20 и 3-е ^;- 25. Кроме того, сумма четырех будет 2х, но сумма четырех равна Ах — 70, это же равно 2х\ и х оказывается равным 35. К подстановкам. 1-е число будет 20, 2-е 15, 3-е 10 и 4-е 25; они удовлетворяют задаче. *) Второе решение, по мнению Таннери, является позднейшей (Прим. ред.) 2) *з + х1 = х2 + 40 = 25 -f- 40, хя + xi = 2х — 5, 2эс — 5 = 65. {Прим. пере"-.) 3) xt + xt + х3 = х4 + 20, х2 + *s + *4 = хг + 30, х9 -Ь х* 4- хх = х2 4- 40, я« 4" «i + xz = хг 4" 50. {Прим. персе.) 50
АРИФМЕТИКА КНИГА I [И н а ч е.] 1)." Так как три числа, начиная с 1-го, превосходят 4-е на 20, то положим 4-е число равным х; следовательно, первые три числа будут х + 20. Затем три числа, начиная со 2-го, больше первого на 30 2). Положим, что вместе взятые 2-е и 3-е числа содержат столько единиц, сколько их будет в половине суммы двух избытков (я говорю о 20 и 30), т. е. 25. И так как три числа, начиная с 1-го, дают х + 20 и из них 2-е и 3-е равны 25, то остающееся 1-е будет х — 5. И так как три числа, начиная со 2-го, больше 1-го на 30, а три, начиная с 3-го, больше 2-го на 40, то вместе взятые 3-е и 4-е числа будут 35 3). Следовательно, оста- остающееся 3-е будет 35 — х. Но 2-е и 3-е равны 25, и из них 3-е будет 35 — х\ следовательно, остающееся 2-е будет х — 10. Наконец, три числа, [начиная] от 4-го, больше 3-го на 50; но сумма этих трех будет Зх — 15, а 3-е число равно 35 — х. Необходимо же, чтобы Зх — 15 превосхо- превосходило 35 — х на 50; таким образом, 85 — х равно Зх — 15; и х получается равным 25. К подстановкам. Я положил 1-е число х — 5; оно будет 20; точно так же 2-е будет 15, 3-е же 10, а 4-е 25. 20. Заданное число разложить на три таких числа, чтобы каждое из крайних, сложенное со средним, имело к оставшемуся крайнему заданное отношение. Пусть предложено разложить 100 на три числа так, чтобы сумма 1-го и 2-го была втрое больше 3-го, а 2-е и 3-е вместе были в четыре раза больше 1-го. Положим, что 3-е число будет х; так как 1-е и 2-е втрое больше 3-го, то положим, что оба вместе будут Зх. Следовательно, все три числа будут 4#, они же равны 100, и получается, что х — 25. К подстановкам. Я положил 3-е х; оно будет 25; 1-е же и 2-е вместе Зх, они равны 75. *) См. сноску *) на стр. 50. (Прим. ред.) 8) *i + х2 + *8 = х + 20, + ха + х — xt + 30, х2 + х* = V* (^° + 30) = 25. (Прим. перев.) х2 -Ь х3 + *4 — xt + 30, + xt + xt — x2 + 40. Хш + л4 = i/2C0 4- 40) = 35. (Прим. перев.) 51
ДИОФАНТ Далее, поскольку 2-е и 3-е вместе вчетверо больше 1-го, то возьмем 1-е за х, следовательно, 2-е и 3-е будут 4г; значит, все три будут 5х, или 100; и х окажется рав- равным 20. Таким образом, 1-е будет 20; 2-е же и 3-е 80, из кото- которых 3-е будет 25; значит остающееся 2-е будет 55. И они удовлетворяют предложенному. 21. Найти три таких числа, чтобы наибольшее пре- превышало среднее на заданную часть наименьшего, среднее же превосходило меньшее на заданную часть большего, а наименьшее на данное число превосходило бы задан- заданную часть среднего. Необходимо, чтобы среднее превосходило наименьшее на такую часть наибольшего, чтобы одноименное с такой же частью *) число, умноженное на разность среднего и наименьшего, содержало количество 2) [неизвестных] чи- чисел большее, чем [содержит] среднее число. Положим, что большее превышает среднее на третью часть наименьшего, а среднее больше наименьшего на третью часть большего, наименьшее же на 10 превышает третью часть среднего. Положим наименьшее равным х и 10, на которые оно превышает третью часть среднего; тогда среднее будет 3#, так как наименьшее равно третьей части среднего и 10. Или так: положим среднее Зх; и так как я хочу, чтобы наименьшее превосходило на 10 третью часть этого сред- среднего, то оно будет х -\~ 10. Остается, чтобы среднее превзошло наименьшее на третью часть первого числа; но среднее больше наимень- наименьшего на 2х — 10, это же будет третьей частью наиболь- наибольшего; значит, само наибольшее будет 6х — 30. Нужно, чтобы это наибольшее превышало среднее на третью часть наименьшего; но наибольшее превосходит среднее на Зх — 30; значит, это есть третья часть наимень- наименьшего; следовательно, наименьшее равно 9х — 90; но най- найдено, что оно будет a: -f- 10; и х оказывается равным 12V2- Таким образом, [наименьшее] число будет 221/2, сред- среднее 37V2, наибольшее же 45, и удовлетворяют предложен- предложенному. *) То есть знаменатель соответствующей дроби. (Прим. перев.) 2) То есть коэффициент при неизвестном. (Прим. ред.) 52
АРИФМЕТИКА КНИГА I [И н а ч е.] *) Найти и т. д. Необходимо, чтобы даваемая часть наибольшего была такой, чтобы после прибавления к наименьшему она со- составила бы с ним число меньшее того, которое в начале было взято от среднего. Положим опять наименьшее х и 10, на которое оно пре- превосходит третью часть среднего; следовательно, среднее будет Зх, чтобы наименьшее число было на 10 больше 3-й части среднего. Далее, так как я желаю, чтобы наиболь- наибольшее число превышало среднее на третью часть наимень- наименьшего, то, если я прибавлю к среднему 3-ю часть наимень- наименьшего, то получу наибольшее равным 3xlsx + 3V3. Оста- Остается чтобы среднее было равно наименьшему и 3-ей части наибольшего, но наименьшее с третьей частью наиболь- 1 1 шего будет 2-^- х -\- И-^- 2). Это же равно Зх. У У 1 1 Подобные от подобных. Тогда A ~) x = И-тр По- Помножим все на 9. Тогда 8х = 100. И получается х = = 12х/2- Доказательство то же самое, как и выше. 22. Найти три таких числа, которые становятся рав- равными друг другу, если каждое из них дает следующему за ним указанную свою часть. Пусть 1-е число дает 2-му свою треть, 2-е же 3-му четверть, а 3-е 1-му свою пятую часть, так чтобы после взаимного обмена все числа оказались равными. Возьмем 1-е число так, чтобы оно имело третью часть, ибо оно должно отдать треть; пусть оно будет Зх; 2-е же должно иметь четвертой частью сколько-то единиц, ибо оно должно отдать четверть. Положим, что оно будет 4; тогда 2-е, отдав и получив, станет х + 3. Наконец, 1-е, отдав и получив, также должно быть х + 3. Но оно дает от себя треть, т. е. я, и должно полу- получить ^3 — х7 чтобы стать х + 3. Следовательно, 3 — х будет пятой частью 3-го числа, которое, значит, будет 15 — 5х. Таким образом, 3-е число, дающее свою пятую часть и получающее от 2-го четверть, т. е. 1, будет х -\- 3. Но когда оно отдаст свою пятую часть, т. е. 3 — #, то оста- х) См. примечание1) на стр. 50. (Прим. ред.) 2) (ж + 10) + VaOVs» + З'/s) - 2lhx +HV9. (Прим. nepeej 53
ДИОФАНТ нется 12 — 4х. Когда же оно получит от 2-го числа чет- четверть, т. е. 1, то станет 13 — 4#. Это будет равно х + 3; тогда х окажется равным 2. К подстановкам. 1-е будет 6, 2-е 4, а 3-е 5. И предло- предложенное очевидно [выполняется]. 23. Найти четыре таких числа, чтобы после того, как каждое отдало следующему указанную свою часть, от- отдавшее и получившее стали бы равными. Пусть 1-е число дает 2-му свою третью часть, 2-е же 3-му — четверть, 3-е же 4-му — свою пятую часть и, наконец, 4-е дает 1-му шестую часть и после обмена они станут равными. Положим 1-е число нескольким х, имеющим третью часть, так как оно отдает третью часть; пусть оно будет Зх; пусть четвертая часть 2-го числа содержит целое число единиц, так как оно должно отдать четверть; пусть 2-е будет 4. Таким образом, 2-е число, дающее свою чет- четверть — единицу и получающее х — 3-ю часть от 1-го, станет х + 3. Следовательно, 1-е число, отдающее свою треть х и получающее от 4-го его шестую часть, должно стать рав- равным х + 3. Но, отдавая х, оно будет иметь в остатке 2х. Значит, принимая 6-ю часть 4-го, оно должно сделаться х -\- 3. Тогда 3 — х будет 6-й частью 4-го числа, а само 4-е число будет 18 — §х. Остается, чтобы и 4-е число, отдав свою 6-ю часть и получив от 3-го пятую часть, стало равным х + 3. Но оно, отдав свою 6-ю часть 3 — х, будет иметь в остатке 15 — 5х. Следовательно, нужно, чтобы оно, получив 5-ю часть 3-го числа, стало равным х + 3. Но оно станет х + 3, только получив 6х — 12, так что ?>х — 12 будет 5-й частью 3-го числа, и, значит, последнее будет ЗОя — 60. Тогда нужно, чтобы 3-е число, отдав свою 5-ю часть и получив от 2-го его 4-ю, стало бы х + 3. Но если оно отдаст свою 5-ю часть, т. е. Qx — 12, то будет иметь в остатке 24# — 48, получив же от 2-го его 4-ю часть <т. е. 1 >, станет 24я — 47. Это будет равняться х + 3; и х окажется равным 50/23. К подстановкам. 1-е будет 150, 2-е 92, 3-е 120, 4-е 114 23-х частей х); избавимся от дробей, тогда числа будут: 1) Xt = Зх, хг s= 4, хь — ЗОзс — 60, ж* = 18 — бас; х «= 50/23. (Прим. перее.) 54
АРИФМЕТИКА КНИГА I 1-е - 150, 2-е — 92, 3-е — 120, 4-е — 114. И они удов- удовлетворяют предложенному. 24. Найти три таких числа, которые становятся рав- равными после того, как каждое из них получает заданную часть от суммы двух других. Пусть 1-е число получает 3-ю часть от двух остальных объединенных, 2-е от двух остальных объединенных полу- получает 4-ю часть, а 3-е от двух остальных объединенных получает 5-ю часть и все они становятся равными. Положим, что 1-е будет х, а два остальных — сколько- то единиц, имеющих для удобства 3-ю часть целой, так как они дают третью часть; пусть это будут 3 единицы. Следовательно, все три вместе будут х + 3, а 1-е, полу- получившее от двух остальных 3-ю часть, становится х + 1. Следовательно, нужно будет, чтобы 2-е, получив от двух остальных объединенных 4-ю часть, стало бы х + 1. Учетверим все, тогда учетверенное 2-е вместе с двумя остальными будет равно утроенному 2-му вместе со всеми тремя *); следовательно, утроенное 2-е вместе со всеми тремя будет равно Ах + 4; значит, если от этого отниму все три числа, то полученные Зх + 1 будут равны утро- утроенному 2-му числу; следовательно, само 2-е число будет равно х + 1/3. Тогда нужно, чтобы 3-е число, получив 5-ю часть от объединенных двух остальных, стало х + 1. Так же как и выше, упятерим все, и на основании таких же рассуж- рассуждений получится, что 3-е будет х + г/2. Остается, чтобы сумма всех трех равнялась х + 3; х получается равным 13/12; если мы отбросим дроби, то 1-е число будет равно 13, 2-е — 17, а 3-е — 19. И они удовлетворяют предложенному. 25. Найти четыре таких числа, чтобы они, получив каждое от трех остальных объединенных заданную часть, сделались равными. Пусть 1-е получит от трех остальных объединенных третью часть, а 2-е от остальных трех объединенных чет- четвертую часть, 3-е же также от трех пятую часть, а 4-е — шестую. И они станут равными. Положим, что 1-е будет #, а три остальных имеют сколь- сколько-то целых единиц в третьей части, так как они отдают *) 4 [я, -f V« (*з + *i)] = %хг + (jxt + хг -f я8). (Прим. перев.) 55
ДИОФАНТ 3-ю часть; пусть это будут 3 единицы; следовательно, [все четыре вместе будут х + 3, а] 1-е, получив от остальных объединенных третью часть, будет х -f I i). Тогда нужно, чтобы 2-е, получив от остальных объе- объединенных четвертую часть, стало бы равным х -\- 1 2). Опять таким же образом учетверим все, получим, что 2-е число будет х + х/3, 3-е — х + 1/2, 4-е — х + 3/5. Остается, чтобы сумма всех четырех оказалась равной х + 3; отсюда получается, что х = 47 90-х частей. Тогда будут: 1-е равняться 47, 2-е 77, 3-е 92 и 4-е 101 Они удовлетворяют предложенному. 26. Для двух заданных чисел найти некоторое число, которое, будучи умножено на каждое из этих чисел, в од- одном произведении дает квадрат, а в другом — сторону квадрата. Пусть два данных числа будут 200 и 5, а искомое пусть будет х. Если оно будет помножено на 200, то произведет 200#, а на 5 произведет Ъх. Одно из них должно быть квадратом, а другое — стороной его. Теперь, если я возведу в квадрат Ъх, то получится 25#2, которые будут равны 200я. Разделим все на х\ тогда 25# равно 200; и х = 8 и удовлетворит предложенному. 27. Найти два таких числа, чтобы их сумма и произве- произведение равнялись заданным числам. Нужно, чтобы квадрат полусуммы искомых отличался от их произведения на квадрат. Это необходимое условие формирования 3). Пусть их сумма будет 20, а произведение 96. Положим, что их разность будет 2х. Так как их сумма равна 20, то, если я разделю ее пополам, каждая из полу- полученных делением частей будет равна половине суммы, т. е. 10. И если половину разности, т. е. х, я прибавлю к одной полученной от деления половине и вычту из другой, то у меня опять получатся сумма 20 и разность 2х. Положим теперь большее х + 10 (половине суммы); тогда меньшее будет 10 — х. И всегда будут сумма 20 и разность 2х. ») xt + V» (х* + *s + эс*) = х -Ь 1. (Прим. шрев.) •) х* + V4 (*1 + зс4 + *i) -= зс + 1. Шрим. перев.) 3) У Диофанта eoxi 8e тоито ттЛаор-aTLxov. Текст не совсем ясен, по-видимому, имеется в виду формирование онального решения. (Пршг. ред.) 56
АРИФМЕТИКА КНИГА Т Остается, чтобы произведение их было 96. Но. их произведение будет 100 — х2; это же равно 96; и х = 2. Следовательно, большее будет 12, а меньшее 8. И заданное выполнено. 28. Найти два таких числа, чтобы их сумма, а также сумма их квадратов, равнялась заданным числам. Нужно, чтобы удвоенная сумма их квадратов была больше квадрата их суммы на некоторый квадрат. Это необходимое условие формирования *). Пусть сумма этих чисел равна 20, а сумма их квадра- квадратов 208. Положим, что их разность равна 2х. И пусть большее будет х + 10 (эта опять сумма их половин), а меньшее 10 — х. И опять их сумма остается 20, а раз- разность 2х. Кроме того, сумма их квадратов дает 208; но сложение их квадратов дает 2хг + 200. Это будет равно 208; и х оказывается равным 2. К подстановкам. Большее будет 12, а меньшее 8. И заданное выполнено. 29. Найти два таких числа, чтобы их сумма и разность их квадратов равнялись заданным числам. Пусть их сумма составляет 20, а разность их квадра- квадратов 80. Положим их разность равной 2х. Тогда точно так же большее число будет х + 10, а меньшее 10 — х, и опять их сумма остается равной 20, а разность 2х. Кроме того, разность их квадратов равна 80; но раз- разность их квадратов будет АОх; это же равно 80. И опять получается, что большее число 12, а меньшее 8. И опять задача выполнена. 30. Найти два таких числа, чтобы их разность и про- произведение представляли заданные числа. Нужно, чтобы их учетверенное произведение вместе с квадратом их разности давало квадрат. И это также условие формирования. Пусть их разность будет 4, а произведение 96. Положим, что их сумма 2х; имеем также и их разность 4. Тогда подобным же образом большее будет х + 2, а меньшее х — 2, и сумма их остается 2х, а разность 4. *) См. сноску8) на стр. 56. {Прим, ред.) 57
ДИОФАНТ Теперь остается, чтобы их произведение давало 96; но их произведение будет х2 — 4; это же равно 96. И опять большее получается 12, а меньшее 8. И задача выполнена. 31. Найти два числа, имеющие между собой заданное отношение и такие, чтобы сумма их квадратов находилась в заданном отношении к их сумме. Пусть большее будет втрое больше меньшего, а сумма их квадратов в 5 раз больше их суммы. Положим, что меньшее х, тогда большее будет Зх. Кроме того, сумма их квадратов в 5 раз больше их вместе взятых; но сумма их квадратов составляет 10х2, а сумма их самих Ах; таким образом, Юя2 будет в 5 раз боль- больше Ах. Следовательно, 20х будут равны 10.x2; и х оказывается равным 2. Меньшее будет 2, а большее 6. И они удовлетворяют предложенному. 32. Найти два числа в заданном отношении и такие, чтобы сумма их квадратов имела заданное отношение к разности их самих. Пусть большее будет в 3 раза больше меньшего, а сумма их квадратов в 10 раз больше разности их самих. Положим меньшее х, тогда большее будет Зх. Кроме того, я хочу, чтобы сумма их квадратов была в 10 раз больше разности их самих; но сумма квадратов их со- составляет 10х2, а разность их самих 2х. Следовательно, 10х2 равно 10, умноженному на 2х. Разделим все на х. Следовательно, Юх будет равно 20; и х оказывается равным 2. И опять меньшее число будет 2, а большее 6. И они удовлетворяют предложенному. 33. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы разность их квадратов имела заданное отношение к сумме обоих чисел. Пусть большее будет втрое больше меньшего, а раз- разность их квадратов в 6 раз больше суммы их самих. Примем меньшее за х, тогда большее будет Зх. Кроме того, разность их квадратов равна 6 раз взятой их сумме, но разность их квадратов будет 8х2, а сумма чисел Ах. Следовательно, 8х2 в 6 раз больше Ах; значит, 24х равно З2; и х получается равным 3. 58
АРИФМЕТИКА КНЙГЛ I И меньшее число будет 3, а большее 9; и они удовлет- удовлетворяют задаче. 34. Найти два числа в данном отношении и такие, что- чтобы разность их квадратов имела заданное отношение к разности их самих. Пусть большее число будет втрое больше меньшего, разность же их квадратов в 12 раз больше разности их самих. Возьмем опять меньшее за х\ тогда большее будет Зх. Кроме того, разность их квадратов будет в 12 раз больше разности их самих; но разность их квадратов будет 8.x2; следовательно, она в 12 раз больше 2х. Значит, 24л; равно 8.x2; и опять х оказывается равным 3; а доказательство очевидно. Следствие. Аналогично найдутся два числа, имеющие между собой данное отношение, такие, что их про- произведение имеет заданное отношение к их сумл?е; и еще два числа, имеющие между собой заданное от- отношение, такие, что их произведение имеет заданное от- отношение к их разности. 35. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел к большему заданное от- отношение. Положим, что большее будет втрое больше меньшего, а квадрат меньшего равен ушестеренному большему. Возьмем опять меньшее за х, тогда большее будет Зх. Кроме того, квадрат меньшего равен ушестеренному боль- большему; но квадрат меньшего будет х2. Следовательно, х2 будет ушестеренным Зх. Таким образом, 18а: равно х2\ и х получается рав- равным 18. Меньшее число будет 18, а большее 54. И они удовлет- удовлетворяют задаче. 36. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел заданное отношение к мень- меньшему. Пусть большее число будет втрое больше меньшего, а квадрат меньшего будет в 6 раз больше меньшего. Возьмем точно так же большее за Зх, а меньшее х7 и большее остается утроенным меньшим. Кроме того, квадрат меньшего составляет 6 раз взятое меньшее. Следовательно, х2 будет в 6 раз больше х. 59
ДЙОФАН*Г Таким образом, 6а; равно х2; и х получается равным 6. Меньшее будет 6, а большее 18. И они удовлетворяют задаче. 37. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел бы заданное отношение к вместе взятым числам. Пусть большее будет втрое больше меньшего, а квадрат меньшего вдвое больше суммы обоих. Точно так же возьмем большее за Зх, а меньшее х. Кроме того, квадрат меньшего будет вдвое больше суммы обоих чисел; но квадрат меньшего будет х2, а вместе взя- взятые 4я. Значит, х2 равно удвоенным 4я. Следовательно, 8х равно х2; и х равно 8. И меньшее число будет 8, а большее 24. И они удовлет- удовлетворяют предложенному. 38. Найти два числа в данном отношении и такие, чтобы квадрат меньшего имел заданное отношение к их разности. Пусть большее равно утроенному меньшему, а квадрат меньшего в 6 раз больше разности; значит, х2 будет в 6 раз больше 2х. Таким образом, 12я равны х2\ значит, х будет 12. Следовательно, меньшее будет 12, а большее 36. И они удовлетворяют предложенному. [Следствие]. Подобным образом найдутся: два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат большего имел заданное отношение к меньшему; и также два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат большего имел заданное отношение к этому боль- большему; и подобно этому два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат большего имел заданное отношение к обоим вместе взятым; и еще два числа в данном отношении такие, чтобы квадрат большего имел заданное отношение к их раз- разности. 39. Для двух данных чисел подобрать еще одно число такое, чтобы из этих трех, складывая по два и умножая на третье, получились три числа с одинаковыми разно- разностями. Пусть два заданных числа будут одно 3, а другое 5, и пусть будет нужно подобрать еще одно число так, чтобы, 60
АРИФМЕТИКА КНИГА I складывая по два и умножая на оставшееся, можно было получить три числа с одинаковыми разностями. Пусть искомое будет х. Если мы сложим его с 5, то, получится х + 5; если же мы помножим это на оставшееся, то получится Зх + 15. Затем, если мы х сложим с 3, то получится х + 3, умножив это на 5, получим Ъх + 15. И еще, если мы сложим 5 и 3 и полученное 8 умножим на х, то получится 8х. Ясно, что Зх + 15 никогда не будет наибольшим, так как Ъх + 15 больше его; следовательно, Зх + 15 будет или средним, или наименьшим, а Ъх + 15 — или наи- наибольшим, или средним, но 8х может оказаться и наиболь- наибольшим, и средним, и наименьшим, так как значение х остается неизвестным. Предположим сначала, что наибольшим будет Ъх + + 15, наименьшим Зх + 15, а средним, конечно, Ъх, Если имеются три числа с одинаковой разностью, то сложенные наибольшее и наименьшее будут равны удво- удвоенному среднему; и наибольшее сложенное с наименьшим дает 8х -j- 30, это будет равно 16#. И х окажется равным 15/4. Таким будет искомое число, удовлетворяющее пред- предложенному. Но пусть наибольшим будет Ъх + 15, средним Ъх + 15, а наименьшим 8х. Если имеются три числа с одинаковыми разностями, то на сколько большее превышает среднее, на столько же и среднее будет превышать наименьшее; но наибольшее превышает среднее на 2#, а среднее большее наименьшего на 15 — Ъх. Таким образом, 15 — Ъх равно 2х\ и х окажется равным 15/7. Таковым будет искомое число, и оно удовлетворяет задаче. Но пусть теперь наибольшим будет 8х, средним Ъх + 15 и наименьшим Зх + 15. Так как теперь опять наибольшее и наименьшее равны удвоенному среднему и наибольшее вместе с наименьшим дает Их -f- 15, то это вдвое больше среднего; среднее же будет Ъх + 15. Следовательно, 10я + 30 равно Их + 15; значит, искомое число будет 15, и оно удовлетворяет предложен- предложенному. 61
ДИОФАНТ КНИГА II 1. Найти два таких числа, чтобы их сумма имела заданное отношение к сумме их квадратов. Предположим, что их сумма является 10-й частью суммы их квадратов. Пусть меньшее будет х, а большее 2х\ их сумма получается равной Зх, а сумма их квадратов Ъх2; следовательно, Зх должны быть 10-й частью от 5х2. Следовательно, ЗОх должно равняться Ъх2; и х ока- оказывается равным 6. Таким образом, меньшее будет 6, а большее 12, и задача сделана. 2. Найти два таких числа, чтобы их разность имела заданное отношение к разности их квадратов. Предположим, что их разность составляет 6-ю часть разности их квадратов. Примем меньшее за х, а большее за 2х; разность их оказывается равной х, разность же их квадратов Зх2. Таким образом, х должен быть 6-й частью Зх2. Значит, 6х равно Зх2; и х оказывается равным 2. Меньшее число будет 2, а большее 4, и задача сделана. 3. Найти два таких числа, чтобы их произведение имело заданное отношение к сумме или разности. Предположим сначала, что произведение будет в 6 раз больше суммы. Пусть искомые будут х и 2х, которые могут иметь заданное отношение. Тогда число, полученное их перемножением, будет 2х2, а их сумма Зх; значит, нужно, чтобы 2х2 было в 6 раз больше Зх. Тогда 18х равно 2х2; сократим все на х. Значит, 18 равно 2х; и х получается равным 9. Первое число будет 9, а второе 18, и задача сделана. Если предположить, что произведение равно шести- шестикратной разности, то произведение будет снова 2х2, а раз- разность х. Снова 6х будут равняться 2х2; и х окажется равным 3. 62
АРИФМЕТИКА КНИГА II Первое число будет 3, а второе 6, и задача опять сде- сделана. 4. Найти два таких числа, чтобы сумма их квадратов имела заданное отношение к их разности. Положим, что сумма их квадратов равна удесятерен- удесятеренной разности. Пусть опять одно будет х, а другое 2х. Следовательно, сумма их квадратов будет 5х2, а раз- разность х. Тогда нужно, чтобы Ъх2 было в 10 раз больше х. Значит, Ъх2 равно Юх; и х оказывается равным 2. 1-е число будет 2, а 2-е 4; и они решают задачу. 5. Найти два таких числа, чтобы разность их квадра- квадратов имела заданное отношение к их сумме. Пусть разность их квадратов будет в 6 раз больше суммы. Опять возьмем искомые числа: одно х, другое 2х; раз- разность их квадратов будет Зх2, а сумма Зх] значит, нужно, чтобы З.г2 было в 6 раз больше Зх. Таким образом, Зх2 равно 18х; и х оказывается рав- равным 6. И доказательство очевидно. 6. Найти два числа с данной разностью и таких, что- чтобы разность их квадратов превосходила разность этих чисел на заданное число. Нужно, чтобы квадрат их разности был меньше этой разности, сложенной с заданной разностью между раз- разностями квадратов чисел и самих чисел. Положим, что разность этих чисел будет 2, а разность их квадратов превосходит их разность на 20. Возьмем за х меньшее число; тогда большее будет х + 2. Их разность по-прежнему 2, а разность их ква- квадратов Ах + 4; значит, нужно, чтобы 4^ + 4 превышало 2 на 20. Таким образом, 4х + 4 будет 22; и х оказывает- оказывается 472- Меньшее будет 47г> а большее 6х/2» и они удовлетво- удовлетворяют предложенному. 7. Найти два таких числа, чтобы разность их квадра- квадратов была на заданное число больше, чем их разность, взятая в некотором отношении. Пусть разность их квадратов будет превышать на 10 утроенную их разность. Нужно, чтобы квадрат их разности был меньше суммы утроенной разности и заданных 10.
ДИОФАНТ Пусть их разность будет 2, а меньшее число х; тогда большее будет х + 2; следовательно, нужно, чтобы Ах + + 4 превышало на 10 утроенную двойку. Значит, трижды 2 и 10 будут равны Ах + 4. Но трижды 2 с 10 будут 16; это равно Ах + 4; и # получается 3. Меньшее число будет 3, а большее 5, и задача решена *). 8*. Заданный квадрат разложить на два квадрата. Пусть надо разложить 16 на два квадрата. Положим, что 1-й равен х2; тогда 2-й будет 16 — х2; следовательно, 16 — х2 тоже равно кадрату. Составляю квадрат из некоторого количества х минус столько единиц, сколько их найдется в стороне 16-ти; пусть это будет 2х — 4. Тогда сам этот квадрат равен Ах2 + 16 — 16я; он должен равняться 16 — х2. Прибавим к обеим сторонам недостающее и вычтем подобные из подобных. Тогда 5х2 равно 16#; и х окажется равным 16 пятым. Один квадрат 256/25, а другой 144/25; оба сложенных дают 400/25, или 16, и каждый будет квадратом. Иначе. Пусть опять нужно квадрат 16 разложить на два квадрата. Возьмем опять за х сторону 1-го квадрата, а сторону 2-го за сколько-нибудь #-ов минус столько единиц, сколь- сколько их будет в стороне разделяемого квадрата; пусть это будет 2х — 4. Таким образом, будут два квадрата — один х2, а дру- другой Ах2 + 16 — 16я. Я хочу, чтобы два этих квадрата после сложения дали 16. Следовательно, Ъх2 + 16 — 16я равно 16; и х окажется 16/5. Сторона 1-го квадрата будет 16/5, а сам он 256/25. Сторона же 2-го 12/5, а сам он 144/25; и доказатель- доказательство очевидно. 9*. Данное число, которое складывается из двух квадра- квадратов, подразделить на два другие квадрата. Пусть число 13, составленное из квадратов 4 и 9, надо подразделить на два другие квадрата. Возьмем стороны 2 и 3 упомянутых квадратов и по- положим стороны искомых квадратов: одну равной х + 2, ») Таннери считает эти семь предложений неподлинными; в текст второй книге они попали из древнего комментария к 1-й книге. {Прим. ред.) 64
АРИФМЕТИКА КНИГА II а другую нескольким #-ам минус столько единиц, сколь- сколько их будет в стороне другого квадрата: 3. Пусть она будет 2х — 3. И получатся квадраты: один х2 + Ах + 4, а другой Ах2 + 9 — 12х. Остается лишь сделать, чтобы два сложенных квад- квадрата дали 13. Но два сложенных дают 5х2 + 13 — 8х\ это равно 13; и х оказывается 8/5. К подстановкам. Я положил сторону 1-го х + 2; она будет 18/5. Сторона же 2-го 2х — 3; она будет 1 [пятая]. А сами квадраты будут: один 324/25, а другой одна двадцать пятая. И оба сложенные дадут 325/25, что сводится к за- заданному 13. 10. Найти два квадратных числа с заданной разно- разностью. Положим, что их разность будет 60. Пусть сторона одного будет х, а другого х и сколько захочется единиц, только чтобы квадрат их не превы- превышал заданную разность [и не равнялся ей] *), однако так, чтобы с обеих сторон остались один вид, равный одному виду; так решится задача. Пусть она будет х + 3; сле- следовательно, сами квадраты будут х2 и х2 + 6# + 9, их разность бх + 9. Это равняется 60; и х получается 8V2- Сторона первого квадрата равна 81/2, а второго HV2J сами же квадраты будут: один 72х/^7 а другой 132V4> и решение предложенного очевидно. 11. К двум заданным числам прибавить одно и то же число такое, чтобы каждое сделалось квадратом. Пусть эти числа будут 2 и 3 и надо прибавить х. Тогда х + 2 и х + 3 будут квадратами; такой вид называется двойным равенством; приравниваются же они следую- следующим образом. Зная разность, ищи два таких числа, чтобы их произведение давало эту разность; эти числа будут 4 и 1/±. Тогда или половина разности этих чисел, умно- умноженная на себя, будет равна меньшему, или половина суммы, умноженная на себя, будет равна большему. Но половина разности, умноженная на себя, будет 225/64; это равняется х + 2; и х получается 97/64. Половина же суммы, умноженная на себя, будет 289/64; это равняется большему, т. е. х + 3; и х получается 97/64. *) Эта фраза встречается только в одном из списков. (Прим. ред.) 65
ДИОФАНТ Следовательно, прибавляемое число будет 97/64, и предложенное очевидно. Чтобы избежать решения двойного равенства, нужно вести доказательство так: для 2 и 3 надо подыскать неко- некоторое число, которое, будучи прибавленок2 икЗ, образо- образовало бы квадрат. Сначала ищу некоторое число, которое вместе с 2 образует квадрат, или некоторое число, которое вместе с 3 образует квадрат. От какого-нибудь из этих квадратов отнимают заданные единицы; остаток и будет искомым. Пусть это будет 2 единицы; вычтем их из х2; остаток будет х2 — 2, и ясно, что если добавим 2, то полу- получим квадрат. Теперь остается получить квадрат при- прибавлением 3 единиц; но если к х2 — 2 прибавить 3, то получится з? + 1; это должно равняться некоторому квадрату. Образую квадрат на х минус такое число единиц, чтобы значение х2 превзошло бы те единицы, которые были ранее взяты вычитаемыми, как в рассматриваемом случае 2; тогда опять в каждой из частей останется по одному виду. Пусть это квадрат нах — 4; он будет х% + 16 — 8х; это должно равняться х2 + 1. Придадим к обеим частям недостающее и отнимем подобные от подобных; останутся 8х = 15, и получится х = 15/8. К подстановкам. Добавляемое число будет 97/64. 12. Из двух данных чисел вычесть одно и то же число такое, чтобы в остатках получились квадраты. Пусть задано отнять одно и то же число от 9 и 21 и сделать каждый из остатков квадратом. От каждого из этих чисел отниму какой-нибудь квадрат и возьму остаток; он, будучи отнят, составит квадрат. Пусть х2 будет квадрат, отнимаемый от 9; остаток будет 9 — х2. Нужно теперь отнять 9 — ж2 от 21 и получить квадрат. Но если я от 21 отниму 9 — х2, то останется х2 + 12; это будет равно некоторому квадрату. Образую квадрат на х минус столько единиц, чтобы их квадрат был больше 12; так опять с каждой из сторон [равенства] останется по одному виду. Пусть этих еди- единиц будет 4; тогда сам квадрат получится как х2 + 16 — 8х; это равно х2 -f- 12; подобные от подобных; останется 8х, равные 4; и х равен 4/8. Но 9 единиц сводятся к 72/8, или 576/64, а вычитание из них недостающего ж2, или 16/64, удовлетворяет зада- заданию. 66
АРИФМЕТИКА КНИГА II 13. От одного и того же числа отнять два заданных числа и сделать квадратом каждый из остатков. Пусть задано от одного и того же числа отнять 6 и 7 и сделать каждый из остатков квадратом. Возьмем за искомое х; если мы отнимем от него 6, то остаток х — 6 = Q, а если 7, то остаток х — 7 = Ц; и для них мы опять имеем двойное равенство. Так как разность [7—6] является единицей и записы- записывается, как произведение 2 на 7г» то заключаем, что х = 121/16, что и решает задачу. Чтобы не заниматься двойным равенством, нужно решать так. Сначала я ищу, от какого числа следует от- отнять 6, чтобы получить квадрат. К этому квадрату я, ко- конечно, прикладываю 6, это и будет искомое. Пусть [ква- [квадрат] будет х2; тогда искомое получится как х2 + 6; и ясно, что если от этого я отниму 6, то отстаток будет квадратом. Следовательно, нужно будет отнять 7 от #2+ + 6 и получить квадрат. Значит, х2 — 1 равно Ц. Образую квадрат на х — 2. Он будет х2 + 4 — Ах. Это равняется х2 — 1. И х будет 5/4. Искомое будет 121/16, что и решает задачу. 14. Данное число разложить на два числа и найти квадрат, который, будучи приложен к каждой из частей, образует квадрат. Пусть 20 требуется разложить на два числа. Возьмем два числа таких, чтобы сумма их квадратов была меньше 20; пусть они будут 2 и 3; если прибавить к каждому х, то их квадраты будут: один х2 + Ах + 4, а другой х2 + 6х + 9. Итак, если от каждого я отниму х2, т. е. квадрат, то получим искомые, которые, естественно, после приба- прибавления квадратов образуют квадраты. Но если я отниму х2, то остатки будут Ах + 4 и 6я + 9. Тогда нужно будет, чтобы их сумма, т. е. ICte + 13, равнялась 20; и х полу- получается 7/10; 1-е будет 68/10, а 2-е 132/10, и они удовлет- удовлетворяют задаче. 15. Данное число разложить на два числа и найти квадрат, который без каждого [из этих чисел] становится квадратом. Пусть опять будет задано разложить 20 на два числа. Возьмем искомый квадрат на стороне х плюс столько единиц, чтобы их квадрат не превосходил 20. Пусть это 67
ДИОФАНТ будет х + 2. Тогда квадрат будет х2 + Ах + 4; и ясно, что после вычитания 4я -|- 4 останется квадрат» И также после вычитания 2х -\- 3 остается квадрат х2 + 2.x + 1. На этом основании я полагаю одно число равным Ах + 4, а другое 2х + 3, и искомый квадрат я2 + Ах + 4; он по вычитании каждого из этих чисел образует квадрат. Остается, чтобы два этих числа были равны подразде- подразделенному. Но эти два числа дают 6х + 7 и должны быть равны 20. Отнимаем подобные от подобных, и х получается 13/6. 1-е число Ах + 4 будет 76/6, а 2-е 2х + 3 = 44/6, а квадрат 625/36, и выполнено предложенное. 16. Найти два числа в заданном отношении такие, чтобы каждое из них вместе с заранее данным квадратом давало квадрат. Пусть большее из этих чисел будет втрое больше мень- меньшего и каждое из них вместе с 9 образует квадрат. От некоторого квадрата, сторона которого есть коли- количество я-ов, сложенных с 3, отнимаю 9; остаток будет одним из искомых. Пусть меньшее число будет х2 + 6х, тогда большее будет Зх2 + 18#. Следовательно, нужно будет, чтобы последнее число, сложенное с 9, было квадратом. Но оно вместе с 9 будет Зх2 + 18х + 9; это же равно квадрату. Образую квадрат на 2х — 3; и х будет 30. Меньшее число равно 1080, большее 3240; вместе с 9 они удовлетворяют предложенному. 17 1). Найти три таких числа, чтобы каждое давало следующему за ним данную свою часть и, кроме того, данное число единиц, так чтобы давшие и получившие сделались равными. Пусть 1-е [хл] дает 2-му [х2] 5-ю часть и еще 6, 2-е [х2] дает 3-му [хв] 6-ю часть и 7, а 3-е [х3] 1-му [%] 7-ю часть и 8. Возьмем 1-е за Ъх и точно так же 2-е за 6х. И 2-е, получив от 1-го х + 6, становится равным 7гг + 6; 3-му оно дает 6-ю часть (т. е. х) ж 7 ж делается равным &х — 1. Но 1-е, отдав свою 5-ю часть и еще 6, становится рав- равным Ах — 6. И оно должно получить от 3-го 7-ю часть Задачи 17 и 18 Таннери не считает подлинными; по-видимому, они взяты из древнего комментария к книге I. См. задачи Its и Ь». (Яргш. перев.) 68
АРИФМЕТИКА КНИГА II и 8 и стать равным Qx — 1. Но если 4х — 6 получит 2х + + 5, то выйдет 6х — 1. Следовательно, 2^+5 будет 7-й частью 3-го и еще 8. Если от 2х + 5 отниму 8, то останется 2х — 3; остаток 2х — 3 будет 7-й частью 3-го, и, значит, само 3-е будет 14л; — 21. После этого нужно, чтобы оно [х3], получив от сред- среднего [#2] 6-ю часть и 7 и отдав 7-ю часть и 8, стало равным &х — 1. Но когда оно отдаст 7-ю часть и 8, то в остатке будет \2х —- 26, а получив от среднего 6-ю его часть и 7, оно станет \3х — 19; это равно 6х — 1. И х окажется равным 18/7. Тогда 1-е число будет 90/7, 2-е 108/7, 3-е 105/7; и они удовлетворяют предложению. 18. Данное число разложить на три таких числа, что- чтобы каждое полученное от разложения число превышало следующее за ним на заданную часть и еще на заданное число и все давшие и получившие числа сделались бы равными. Пусть требуется 80 разложить на три таких числа, чтобы 1-е давало 2-му свою 5-ю часть и еще 6, 2-е же 3-му — 6-ю часть и 7, а 3-е 1-му — 7-ю часть и 8 и, чтобы после обмена все сделались равными...1) [3 а д а ч а 17 иначе.]2) Положим 1-е число 5%, а 2-е 12. И 2-е число, получив от 1-го пятую часть, т. е. ху и 6, будет х + 18; когда же оно отдаст 3-му шестую часть и еще 7, то будет х + 9; теперь остается, чтобы все осталь- остальные числа, отдав и получив, стали равными. Но если 1-е дает свою 5-ю часть и 6, то остается Ах — —6. Следовательно, нужно, чтобы оно, получив от 3-го его 7-ю часть и 8, стало равным х + 9. Но оно станет х + 9, если примет 15—Зх. Значит, 15 — Зх равны 7-й части 3-го числа и еще 8. Тогда, если от 15 — Зх отнимем 8, то получим х/7 3-го числа. Седьмую часть 3-го числа будем иметь равной 7 — Зх, а само оно будет 49 — 21х. Теперь остается, чтобы это число, получив от среднего его 6-ю часть и 7 и отдав 1-му 7-ю часть и 8, стало бы х + 9. Но приняв и отдав, оно станет 43 — 18#; это равно х + 9. И х получается 34/19. 4) Решение аадачж отсутствует. (Прим. перев.) 2) Текст, по-видимому, принадлежит одному из комментаторов. (Прим. ред.\ 69
ДИОФАНТ Тогда 1-е будет 170/19, 2-е 228/19 и 3-е 217/19. 19. Найти три таких квадрата, чтобы избыток наи- наибольшего над средним имел заданное отношение к избыт- избытку среднего над наименьшим. Пусть одна разность будет втрое больше другой. Возьмем меньшее число за я2, среднее же х2 + 2х + 1 — очевидно, квадрат на стороне х -\- 1; тогда наибольшее будет х2 + 8х + 4. Следовательно, нужно, чтобы х2 + 8х + 4 — Ц. Образую квадрат на х (чтобы иметь х2) и еще стольких единицах, чтобы образующие квадрат виды, т. е. х и эти единицы, не превышали по количеству 8х и 4, но чтобы один вид был больше, а другой меньше. Пусть единиц будет 3; тогда этот квадрат будет х2 + + 6# + 9; его приравняем х2 + 8х + 4, и а; окажется равным 2V2. К подстановкам. Наибольший квадрат будет 301/4, наименьший 6V4, а средний 12х/4; и задача выполнена. 20. Найти два таких числа, чтобы квадрат каждого из них, сложенный с оставшимся, был квадратом. Пусть 1-е будет х, а 2-е 1 + 2х, и квадрат на 1-м, сложенный со 2-м, стал квадратом. Остается, чтобы квадрат 2-го, сложенный с 1-м, тоже был квадратом. Но квадрат 2-го, сложенный с 1-м, будет Ах2 + Ъх + 1; это должно равняться квадрату. Образую квадрат на 2х — 2; он будет 4#2 + 4 — 8х, [приравняв его 4#2 + 5х + И? получим х = 3/13. 1-е будет 3/13, а 2-е 19/13; и задача сделана. 21. Найти два таких числа, чтобы квадрат каждого из них минус оставшееся число был квадратом. Пусть меньшее число будет х и сколько-то единиц, пусть 1; большее же возьмем как квадрат меньшего минус х2, чтобы квадрат меньшего числа без большего стал квадратом. И так как квадрат меньшего есть х2 + 2х -\~ 1, то боль- большее будет тем, что следует за х2, т. е. 2х + 1. И квадрат меньшего минус большее является квадратом. Теперь нужно, чтобы и квадрат большего 4#2 + Ах -\- 1 минус меньшее был квадратом. Но квадрат большего минус меньшее х + 1 будет 4#2 + Зя; приравниваем это квадрату. Образуем квадрат на Зх\ тогда получится х - 3/5. 70
АРИФМЕТИКА КНИГА II Меньшее число будет 8/5, большее же 11/5, и они удовлетворяют предложенному. 22. Найти два таких числа, чтобы квадрат каждого из них вместе с суммой обоих составлял квадрат. Примем, что меньшее будет х, а большее х + 1; тогда квадрат меньшего, т. е. х2, сложенный с суммой обоих, т. е. 2х + 15 образует квадрат. Остается сделать, чтобы квадрат большего, сложенный с суммой обоих, составлял квадрат. Но квадрат большего, сложенный с суммой обоих, составляет х2 + кх + 2. И это должно равняться Ц. Образуем квадрат на х — 2; он будет х2 + 4 — Ах; получаем х = 2/8. Меньшее будет 2/8, а большее 10/8, и задача сде- сделана. 23. Найти такие два числа, чтобы квадрат каждого минус сумма обоих составлял квадрат. Примем, что меньшее будет х, а большее х + 1, чтобы таким же образом квадрат на большем, уменьшенный на сумму обоих, был квадратом. Теперь остается, чтобы квадрат на меньшем, умень- уменьшенный на сумму обоих, был тоже квадратом: он будет х2 — 2х — 1 и должен равняться Ц. Образую квадрат на стороне х — 3. Тогда х2 + 9 — %х будет равняться х2 — 2х — 1; и х получается 2V2. Меньшее число будет 2V2, а большее 3V2, и задача выполнена. 24. Найти два таких числа, чтобы квадрат их суммы, сложенный с каждым из них, был квадратом. И так как х2, если мы прибавим к нему Ъх2 или 8х2, будет квадратом, то одно из искомых чисел я возьму Ъх2, а другое Ъх2, а квадрат их суммы положу х2\ и квадрат их суммы с добавлением того или другого останется ква- квадратом. И поскольку сумма обоих Их2, то ,ее квадрат будет 121#4, но он также будет и х2. Следовательно, 121х4 равняется х2. А так как сторо- сторона одного должна равняться стороне другого, то х ра- равен Иж2. [Сократим] все на х, следовательно, Их равно 1; и х будет 1/11. К подстановкам. Одно число будет 3/121, а второе 8/121, квадрат же на сумме их 121/14641, и задача вы- цолнена. 71
ДИОФАНТ 25. Найти такие два числа, чтобы квадрат их суммы минус каждое из них составлял квадрат. Беру сначала некоторый квадрат, вычитая из которого два каких-нибудь числа получаю в остатке квадрат. Пусть это будет 16. Действительно, если из него я вычту 12, то останется квадрат, а если вычту 7, то опять получится квадрат. Затем опять кладу их в х2: одно 12а;2, другое 7х2, а квадрат суммы 16а;2; тогда квадрат суммы минус каждое из них будет квадратом. Остается, чтобы квадрат суммы равнялся 16#2; и так как сторона равна стороне, то 19а;2 = Ах; и х получается 4/19. 1-е число будет 192/361, 2-е же 112/361, и задача вы- выполнена. 26. Найти такие два числа, чтобы их произведение, сложенное с каждым из них, было квадратом, а стороны этих квадратов в сумме давали заданное число. Пусть заданное число будет 6. Если имеются два числа, большее из которых равно учетверенному меньшему минус единица \хх = Ах2 — 1], то их произведение, увеличенное на меньшее число, обра- зует квадрат; поэтому полагают меньшее #, а большее Ах — 1; их произведение, к которому прибавлено мень- меньшее число, дает квадрат. Теперь остается, чтобы их произведение, сложенное с большим числом, т. е. Ах — 1, тоже было квадратом, сторона которого будет 6 минус сторона 2х меньшего [квадрата]; тогда, согласно условиям задачи, сложенные стороны обоих [квадратов] дадут 6. Но это произведение, сложенное с большим [числом], будет Ах2 -j- Ъх — 1, а квадрат 6 — 2х дает Ах2 + 36 — 24г. Приравнивая их между собой, получаем х = 37/27'. К подстановкам. Я положил меньшее равным х (оно будет 37/27), а большее Ах — 1 будет 121/27, и предло- предложенное установлено. 27. Найти такие два числа, чтобы их произведение минус каждое из них было квадратом; стороны этих ква- квадратов в сумме дают заданное число. Пусть заданное число будет 5. Если имеются два числа, из которых большее равно учетверенному меньшему с 1, то их произведение минус 72
АРИФМЕТИКА КНИГА II меньшее число дает квадрат; возьму большее число Ах + 1, а меньшее х\ их произведение минус меньшее дает квадрат. Остается, чтобы их произведение минус большее чис- число тоже было квадратом; стороны этих квадратов дают в сумме 5. Но их произведение минус большее (число] будет Ах2 — Ъх — 1; это равно квадрату на стороне 5 — — 2х; их получается 26/17. Меньшее число будет 26/17, а большее 121/17, и оба удовлетворяют предложенному. 28. Найти два таких квадратных числа, чтобы их произведение вместе с каждым [числом] давало квадрат. Если один квадрат я положу х2, а другой 1, то про- произведение будет х1. Нужно, чтобы оно, сложенное с каж- каждым из квадратных чисел, было квадратом. Значит, дело свелось к отысканию квадрата, который, будучи сложен с единицей, дает квадрат. Полагаю, что квадрат, который я хочу сделать про- произведением этих чисел, будет х2. Тогда, если к нему прибавить 1, то он будет х2 + 1. Нужно, чтобы это равнялось квадрату. Этот квадрат строю на стороне х — 2. Он, т. е. х2 + А — Ах, должен равняться х2 + 1; и # получается равным 3/4. Тогда один [квадрат] будет 9/16, а другой 16 [шестнад- [шестнадцатых]. Их произведение вместе с 1 дает квадрат. Теперь нужно, чтобы их произведение вместе со вто- вторым [числом] давало квадрат. И так как это произведение будет 9/16, то возьмем его в ж2. Тогда 9я2/16 плюс второе число 9/16 после умножения всего на 16 будет 9х2 -4- 9, что должно равняться квадрату. Строю этот квадрат на стороне Зх — 4; он будет 9х2 -j- 16 — 24#, и получится х = 7/24. 1-е число 324/576, а 2-е 49/576. И задача решена. 29. Найти два квадратных числа таких, чтобы их произведение минус каждое было квадратом. Если 1-е я положу х2, а 2-е 1, то произведение их будет х2. Значит, нужно, чтобы и оно минус 1 было квадратом. Но х2 есть квадрат; дело свелось к отысканию, какой квадрат минус 1 будет квадратом. Но есть квадрат 25/16; он действительно, после вычитания 16/16 дает квадрат 9/16. 73
ДИОФАНТ Положу теперь один квадрат х2, а другой 25/16, и их произведение минус х2 дает квадрат. Теперь нужно, чтобы их произведение минус 25/16 также было равно квадрату. 25 25 Но их произведение минус 25/16 будет j^x2 — ~ . Это при- приравниваем квадрату. Все [множим] на 16 <и берем 25-ю часть >. Строю квадрат на х — 4. Тогда он будет х2 -\- 16 — — 8х, приравниваем х2 — 1; и получается х = 17/8. 1-е число будет 289/64, 2-е 100/64; и задача выполнена. 30. Найти два таких числа, чтобы их произведение после прибавления или вычитания суммы было квад- квадратом. Так как сумма квадратов любых двух чисел после прибавления или вычитания удвоенного их произведе- произведения дает квадрат *), то я взял два числа 2 и 3. Очевидно, что сумма их квадратов вместе с удвоенным произведе- произведением, дающая 25, образует квадрат, и также сумма их квадратов, уменьшенная на их удвоенное произведение, дает квадрат — единицу. Я возьму их произведение рав- равным 13д;2. 1-е из них я положу х, а 2-е 13я, и произведение их будет 13#2. Теперь 13ж2, прибавить ли к нему 12х2 или вычесть, будет квадратом. Тогда нужно, чтобы 12#2 равнялось их сумме. Но эта сумма равна 14#. Значит, 12#2 равно 14г; и х будет 14/12, или 7/6. Но 1-е равно х: оно будет 7/6, а 2-е — 13д;: оно будет 91/6, и задача выполнена. 31. Найти два числа, равные [вместе] квадрату, и такие, чтобы их произведение плюс или минус их сумма было квадратом. Если имеются два числа, из которых одно вдвое больше другого, то сложенные их квадраты после прибавления или вычитания удвоенного их произведения дадут ква- квадрат; возьмем 4 и 2. Будем считать в квадратах2). 1) х2 + у2 ± 2ху « {х ± уJ. {Прим. перее.) 2) Квадрат 2х равен 4#2, а квадрат 4эс равен 16я2; сумма 4 и 16 дает 20. Если от 20эс2 отнимем удвоенное произведение 2х и 4х, т. е. 16я2, то оста- останется 4#2 —¦ квадрат. Если же к 20х2 я прибавлю 1бяс2, то получится Збх2 — опять квадрат. Поэтому он считает произведение равным 20зс2, чтобы после прибавления или отнятия одного и того же числа все равно по- получался бы квадрат. (Комментарий Максима Плануды.) 74
АРИФМЕТИКА КНИГА II Возьмем произведение равным 20а:2, а сумму 16л;2. Пусть 1-е число будет 2х, а 2-е Юх\ их сумма равна 12л:, но также 16а:2. Значит, 16а;2 равняется 12а:; <и х получается равным 12/16 >, т. е. 3/4. 1-е число будет 6 [четвертых], а 2-е 30 [четвертых], и задача решена. 32. Найти три таких числа, чтобы квадрат каждого из них, сложенный со следующим, давал квадрат. Положим, что 1-е будет х\ если одно число будет пре- превышать удвоенное другое на единицу, то квадрат мень- меньшего числа, сложенный с большим, образует квадрат. Положим, что 2-е число равно удвоенному 1-му и 1; оно, конечно, будет 2х + 1, а 3-е, на 1 превышающее удвоенное 2-е, будет Ах -\- 3. И получается, что квадрат 1-го, сложенный со 2-м, будет квадратом х2 + 2х + 1, а также квадрат 2-го, сложенный с 3-м, даст квадрат 4r2 -J- + 8я + 4. Теперь нужно, чтобы квадрат 3-го, сложенный с 1-м, образовал квадрат. Но квадрат 3-го вместе с 1-м будет 16а:2 + 25х + 9. Это должно быть равно квадрату. Строю квадрат на стороне Ах — 4; он будет 16а:2 + + 16 — 32а:, приравниваю его к 16а:2 + 25а: -f 9; и х получается 7/57. 1-е число будет иметь 57-х частей 7, 2-е — 71, 3-е — 199; и задача выполнена. 33. Найти три таких числа, чтобы квадрат каждого из них после вычитания следующего был квадратом. Если одно число будет равно удвоенному другому без единицы [хг = 2о:2 — 1], то квадрат меньшего после вычитания большего должен быть квадратом Ц*); по- поэтому беру 1-е число как х + 1, 2-е 2а: + 1 и 3-е 4а: + 1. И получается, что квадрат 1-го числа без 2-го будет Ц и также квадрат 2-го минус 3-е будет Ц. Остается лишь, чтобы квадрат 3-го числа минус 1-е был квадратом; но квадрат 3-го минус 1-е будет 16а:2 + 7а:, а это будет Q Строю квадрат на 5х; следовательно, 25а:2 = 16а:2 + 7а:, и получается, что х будет 7/9. 1 8 *) хщ — Xi — х^ — 2хг + 1. (Прим. перев.) 75
ДИОФАНТ 1-е число будет иметь 16, 2-е 23, а 3-е 37 [девятых час- частей], и предложенные условия выполнены. 34. Найти три таких числа, чтобы квадрат каждого из них, сложенный с суммой трех этих чисел, давал ква- квадрат. Если число делится на какое-нибудь число и дает в частном некоторое число, то, взяв делитель и частное, из большего вычтем меньшее; тогда квадрат на половине этой разности, сложенный с первоначальным числом, будет квадратом х). Полагаю, что сумма трех этих чисел равна х2, умноженному на число, имеющее три делите- делителя; пусть это будет 12 (х2). Действительно, 12, разде- разделенное на 1, дает в частном 12, разделенное на 2 дает 6, а на 3 дает в частном 4. И если я вычту делитель из част- частного и возьму половину полученной разности, то этих разностей будет три: 1-я 5г/2, 2-я 2 и 3-я 1/2. Теперь оче- очевидно, что квадрат каждой такой разности, сложенный с 12, дает квадрат: 1-й 42V4, 2-й 16 и 3-й 12V4. Теперь выражаю их в х-ах: 1-й будет 5L/2x, 2-й 2х и 3-й г/2х. И сумма этих трех должна равняться 12а:2, сумма же трех будет 8х. Следовательно, 8х = откуда х — Ч%. Тогда 1-е число будет 22/6, 2-е 8/6, 3-е 2/6, и пред- предложенное выполнено. 35. Найти три таких числа, чтобы квадрат каждо- каждого из них, уменьшенный на сумму этих трех, давал квадрат. Я беру точно так же некоторое число, которое имеет три делителя; пусть оно опять будет 12. Прикладывая делитель к частному и беря половину, полагаю три числа: одно 6V2#, другое 4#, третье 3V2#- Показывается, что ква- квадрат на каждом из них без 12 будет квадратом. Остается, чтобы все три равнялись 12#2. Но три сложенных дают 14*. Следовательно, 14а; равно 12я2; и х будет 7/6. 1-е число будет 45V2, 2-е 28 и 3-е 24V3 [шестых частей]. И предложенное выполнено. 76
АРИФМЕТИКА КНИГА III КНИГА III 1. Найти три такие числа, чтобы квадрат каждого из них, будучи вычтен из общей суммы всех трех, давал квадрат. Положи два квадрата на сторонах — один х, а другой 2х\ тогда сумма обоих квадратов будет 5х2. Полагаю сумму всех трех чисел равной 5#2, а из иско- искомых чисел одно х, а другое 2х; и так два из назначенных [условий] выполнены. И мы имеем 5, подразделеное на два квадрата,— единицу и четверку; теперь надо под- подразделить 5 еще на два других квадрата, как это показано выше (П9), а именно 4/25 из 121/25. 3-е число я полагаю равным стороне одного из этих квадратов; пусть оно будет -^ х\ тогда его квадрат, вы- вычтенный из суммы обоих, даст опять квадрат 121/25. Остается, чтобы сумма всех трех равнялась 5я2; но эти 2 три будут 3— х. Следовательно, х получается 85/125. о 1-е число будет 85, 2-е 170, 3-е 34 [сто двадцать пятых частей], и предложенное выполнено. 2. Найти такие три числа, чтобы квадрат суммы всех трех, сложенный с каждым из этих чисел, давал квадрат. Положим, что квадрат суммы всех трех будет х2. 1-е я полагаю Зх2, 2-е 8х2, а 3-е 15х2, чтобы квадрат суммы трех, т. е. х2, сложенный с каждым из них, давал бы соот- соответственно квадрат, т. е. Ах2, (9х2) и 16л;2. И нужно, чтобы эти три сложенные оказались равными стороне квадрата суммы всех трех, т. е. х. Но все три сложенные равны 26х2; и х получается равным 1 (двад- (двадцать шестой >. Следовательно, 1-е число будет 3/676, 2-е 8/676 и 3-е 15/676; и задача выполнена. 3. Найти такие три числа, чтобы квадрат суммы всех трех минус каждое из этих чисел давал квадрат, 7?
ДИОФАНТ Положим, что сумма трех чисел будет 4г, а ее квадрат 16я2; если из него вычесть 7х2, 12а;2 и 15я2, то получатся квадраты. Тогда я беру 1-е число 7а:2, 2-е 12я2 и 3-е 15а:2. Остается,, чтобы сумма полученных трех равнялась трем [первона- [первоначальным]. Но мы положили, что сумма трех начальных: Ах, а сумма трех полученных равна 34я2; получается: х = 2/17, а х2 = 4/289. 1-е число будет 28, 2-е 48, 3-е 60 [двести восемьдесят девятых]; и задача выполнена. 4. Найти такие три числа, чтобы квадрат суммы всех трех, вычтенный из каждого числа, давал квадрат. Положим сумму трех чисел равной х, а ее квадрат х2,. и пусть три числа будут 2х2, 5х2 и 10а;2; тогда каждое число, из которого вычтен квадрат суммы трех, т. е. х2„ должно быть квадратом. И так как квадрат суммы трех чисел имеет, конечно,, стороной сумму этих трех чисел, то эта сумма трех, рав- равная х, будет также равна 17л:2. И х получается равным одной<17-й>, а х2 — одной <289-й>. 1-е число будет 2, 2-е 5, 3-е 10 [двести восемьдесят девятых]; и предложенное выполнено1). 5. Найти три числа, сумма которых равна квадратуг и такие, чтобы два из них, взятые вместе, превышали оставшееся третье на квадрат. Положим, что три числа, взятые вместе, равны квадрату на стороне х + 1, т. е. х2 + 2х + 1,' пусть 1-е и 2-е вместе превышают 3-е число на 1; тогда 3-е число будет г/2х2 + + х, так как 1-е и 2-е вместе должны превышать 3-е на 1. Далее, 2-е и 3-е должны превышать 1-е на квадрат; пусть этот квадрат х2\ тогда 1-е точно так же будет х + */2; и как остаток получим г/2х2 + */2 — 2-е число. Остается, чтобы 1-е вместе с 3-м превышали 2-е на квадрат. Но 1-е вместе с 3-м превышают среднее на 2х = [ Пусть этот квадрат будет 16; их получается равным 8. 1-е число будет 8V2, 2-е 32V2, 3-е 40; и предложенное выполнено. Иначе. Сначала я ищу три квадратных числа, сум- сумма которых была бы равна квадрату. Если я сложу два О Таннери подозревает, что задачи IIIi-4 этой книги, очень похожие на задачи 1134 и И35 книги II, проскользнули в текст из древнего коммен- комментария. (Прцм. ne-pes.) 78
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш квадратных числа, например 4 и 9, и поищу, какой квад- квадрат, сложенный с 13, дает квадрат, то я найду 36. И эти три квадрата [в сумме] равны одному Теперь дело свелось к отысканию трех чисел, чтобы они, взятые попарно, превышали оставшееся третье на заданное число: пусть 1-е вместе со 2-м будет больше 3-го на 4, а 2-е вместе с 3-м больше 1-го на 9, а 3-е вместе с 1-м больше 2-го на 36. Это же показано выше х); и 1-е будет 20, 2-е же 6V2 и 3-е 22V2; и они выполняют предложенное. 6. Найти три числа, равные в сумме квадрату, и такие, чтобы они, взятые по два, давали квадрат. Возьмем три [числа в сумме], равные П, [а именно] х2 + 2х + 1; пусть 1-е вместе со 2-м [будет] х2; тогда 3-е будет 2х + 1. Затем, так как мы ищем 2-е, которое вместе с 3-м дает [П, то пусть оно будет х2 -\- 1 — 2х на стороне х — 1; но эти три числа в сумме дают х2 + 2х -\- 1; сле- следовательно, оставшееся 1-е число будет 4х. Но 1-е вместе со 2-м положено было х2; значит, 2-е будет х2 — 4#. Следовательно, еще нужно, чтобы 1-е вместе с 3-м, равные 0>х + 1, равнялись квадрату; пусть этот квадрат будет 121; тогда х получится равным 20. 1-е число б^дет 80, 2-е 320, 3-е 41; они удовлетворяют заданию. Иначе. Положим, что сумма трех чисел равна х2 -\- 2х + 1, и пусть 1-е вместе со 2-м дает х2\ тогда остав- оставшееся 3-е будет 2х + 1. Пусть также 2-е вместе с 3-м равно я2 + 1 — 2х\ из них 3-е = 2х + 1; тогда остав- оставшееся 2-е будет хг — 4я. Но 1-е вместе со 2-м также будет х2; из них 2-е равно х2 — 4х; следовательно, остающееся 1-е будет 4#. И все три сложенные дают заданный выше Ц = х2 + 2х + 1, и 1-е вместе со 2-м и 2-е вместе с 3-м образуют Ц Следовательно, нужно, чтобы и 3-е, сложенное с 1-м, т. е. %х + 1, равнялось Q; пусть он будет 36; и х полу- полу35/6 чится 35/6. 1-е число будет 140/6, т. е. 840/36, 2-е 385/36 и 3-е 456/36; они выполняют заданное. 7. Найти такие три числа с одинаковыми разностями, чтобы, сложенные попарно, они давали квадрат. ') Задача Ii8. (Ярил*, перев.) п
ДИОФАНТ Ищу сначала такие три квадратных числа, чтобы они имели одинаковые разности, причем каждое число дол- должно быть меньше полусуммы всех трех. Возьму 1-е число как х2, а 2-е как х% + 2х + 1; их разность будет 2я + 1; если 2х -\- 1 я приложу ко 2-му числу, то получится 3-е число х2 + 4х + 2; это я делаю равным квадрату на стороне х -— 8; и х получается рав- равным 62/20, или 31/10. 1-е число будет 961, 2-е 1681, 3-е 2401; они решают искомую задачу, а именно; имеются три квадрата с оди- одинаковыми разностями, и половина суммы трех чисел больше каждого из них. Теперь я перехожу к ранее поставленной задаче, а именно: найти такие три числа с одинаковыми разностями, чтобы они, взятые по два, давали в сумме квадраты. Сна- Сначала ищу три квадратных числа с одинаковыми разно- разностями. Это уже сделано, и квадраты будут: 1-й 961, 2-й 1681, 3-й 2401. Теперь нужно сделать так, чтобы 1-й + 2-й равнялись 961, 2-й + 3-й равнялись 2401 и, изменяя порядок в разности, 3-й + 1-й равнялись 1681. Положим, что сумма трех будет х\ и так как эти три равны х, то, отняв сумму 1-го и 2-го, равную 961, я получу 3-е х — 961. И далее, если от х отниму сумму 2-го и 3-го, равную 2401, то получу 1-е х — 2401. Наконец, если от х отниму сумму 3-го и 1-го, равную 1681, то получу 2-е х — 1681. Остается, чтобы эти три числа сложенные дали бы х\ и х получается равным 25211/2. И 1-е число будет 120V2, 2-е 840Va и 3-е 1560V2; и пред- предложенное получается. 8*. Дано некоторое число; подыскать такие три дру- других, чтобы суммы любых двух вместе с данным числом образовали квадрат и, кроме того, сумма всех трех вместе с заданным числом тоже образовала квадрат. Пусть заданное число будет 3, а сумма двух первых х2 + 4# + 1, чтобы вместе с 3 получался квадрат; сумма 80
АРИФМЕТИКА КНИГА III же двух следующих х2 + fix + 6, а всех трех х2 + 8х + 13; каждая из этих сумм вместе с 3 даст квадрат. И так как сумма трех #2 -j- 8а; + 13, а сумма двух первых х2 + Ах + 1, то, значит, в остатке получится 3-е число Ах + 12. Опять так как сумма трех х2 + 8а; + 13, а сумма 2-го и 3-го х2 + Qx + 6, то в остатке получится 1-е 2х -\- 7. Но 1-е и 2-е вместе х2 -\- Ах + 1; тогда остаток даст 2-е число х2 -\- 2х — 6. Остается, чтобы сумма 1-го и 3-го вместе с 3 давала квадрат. Но 1-е с 3-м плюс 3 будут 6х + 22. Это должно равняться квадрату; положим 100; тогда х = 13. 1-е число будет 33, 2-е 189 и 3-е 64. И задача выпол- выполнена. 9*. Задано некоторое число; найти такие три других, чтобы сумма каких-нибудь двух минус заданное давала квадрат и, кроме того, сумма всех трех минус заданное тоже давала бы квадрат. Пусть опять заданное число будет 3; а сумма двух первых х2 + 3; после вычитания 3 получается квадрат; сумма двух же следующих х2 + 2х + 4, а всех трех х2 + Ах + 7; тогда и эти суммы минус 3 дадут квадрат. И так как сумма всех трех чисел равна а;2 + Ах + 7, где сумма 1-го и 2-го равна а;2 + 3, то в остатке будет 3-е число Ах + 4. Опять так как 2-е и 3-е вместе дают х2 + 2х + 4, где 3-е число Ах + 4, то в остатке получится 2-е число х2—2х. Но 1-е и 2-е числа вместе равны #2 + 3, а 2-е будет х2 — 2а:, и в остатке получится 1-е 2х + 3. Следовательно, нужно, чтобы 3-е вместе с 1-м минус 3 давали квадрат. Но 3-е вместе с 1-м минус 3 будет бх + 4. Это должно равняться квадрату; пусть он будет 64; тогда х получается 10. К подстановкам: 1-е число будет 23, 2-е 80, 3-е же 44; они и выполняют предложенное. 10. Найти такие три числа, чтобы произведение любых двух из них, сложенное с заданным числом, образовало квадрат. Пусть заданное число будет 12. г. " Так как мы ищем, чтобы произведение 1-го и 2-го чисел, взятое вместе с 12, давало квадрат, то если от 81
ДИОФАНТ какого-нибудь квадрата я отниму 12, то получу произве- произведение 1-го на 2-е. Пусть этот квадрат будет 25; если отнять от него 12, то в остатке получу произведение 1-го на 2-е, именно 13. Тогда пусть 1-е будет 13, а 2-е 1; построим их в а>ах, чтобы произведение их давало 13. И пусть 1-е будет 13#, а 2-е — арифметичная часть 1/х. Если я отниму 12 от другого квадрата, то буду иметь произведение 2-го на 3-е. Пусть этот квадрат будет 16; тогда остаток — произведение 2-го на 3-е — будет 4. Построим опять в #-ах так, чтобы произведение их давало 4; если 2-е есть 1/х, то остающееся 3-е будет Ах. Требуется, чтобы произведение 1-го и 3-го вместе с 12 давало квадрат. Но произведение 1-го и 3-го равно 52а:2. Тогда нужно, чтобы 52я2 вместе с 12 образовали квадрат; если бы количество [#-ов] 1-го числа равнялось 13, то уравнение получилось бы просто. Но это не так; приходится найти два таких числа, чтобы их произведе- произведение было квадратом и еще чтобы каждое из них вме- вместе с 12 давало квадрат. Если вместо чисел взять ква- квадраты, то произведение будет квадратом. Следовательно, надо искать два квадрата, каждый из которых вместе с 12 давал бы квадрат. Это же легко, и, как мы уже сказали, равенства решаются простох). Пусть это будет 4 и г1^\ каждое из них, сложенное с 12, даст квадрат. Найдя эти числа, я перехожу к первоначальному за- заданию и полагаю 1-е равным Ах, 2-е 1/х и 3-е г/^х. Нужно, чтобы произведение 1-го и 3-го вместе с 12 давало квадрат. Но произведение 1-го и 3-го равно х2. Тогда х2 вместе с 12 должен равняться квадрату. Я строю квадрат на стороне х + 3; он будет х2 + 6х + 9; приравняв это х21 + 12, получаем х = 1/2. И задание выполнено. 11. Найти такие три числа, чтобы произведение любых двух из них минус заданное число давало квадрат. Пусть заданное число будет 10. Так как мы хотим, чтобы произведение 1-го и 2-го минус 10 давало квадрат, то я получу их произведение, если к какому-нибудь квадрату приложу 10; пусть этот квадрат равен 4. Тогда произведение 1-го на 2-е будет 14. Если 1-е есть 14, то 2-е будет 1. Опять построим их в !) См. задачу Пю. {Прим. перев.) 82
АРИФМЕТИКА КНИГА III z-ax, чтобы произведение давало 14; пусть 1-е будет 14х, а 2-е Их. Прибавив 10 к другому квадрату, я получу произве- произведение 2-го на 3-е. Пусть этот квадрат будет 9; тогда про- произведение 2-го на 3-е даст 19; если 2-е равно Их, то оста- остающееся 3-е будет 19#. Теперь нужно, чтобы и произведение 3-го на 1-е минус 10 <давало квадрат. Но произведение 3-го и 1-го минус 10 > будет 266л:2 — 10; оно должно равняться квадрату. И на основании сказанного в предшествующем дело све- свелось к нахождению двух квадратов, каждый из которых после вычитания 10 давал бы квадрат; это же нетрудно. [Ты найдешь решение, поискав, какой квадрат после вычитания 10 останется квадратом. Действительно, если к какому-нибудь числу прибавить 1, половину суммы воз- возвести в квадрат и из полученного квадрата отнять перво- первоначальное число, то остаток опять будет квадратом; поэтому, если к 10 я прибавлю 1, половину полученного, т. е. 5V2, возведу в квадрат и отниму 10 от получающихся 30V4, то буду иметь квадрат 20х/4 на стороне 4V2. Теперь 1-е число я полагаю 30V4, a 3-е х2; нужно, чтобы после вычитания 10 из х2 остаток тоже был квадра- квадратом, следовательно, х2 — 10 тоже будет равен квадрату. Строю этот квадрат на стороне х — 2; он будет х2 + 4 — — 4х, и х получается 3V2. Так как 3-е число я положил х2, то оно будет 121/4. А первое число уже есть 30V4; оба они без 10 будут квадратами.] *). Возвращаюсь к первоначальному заданию и полагаю 1-е равным (ЗО1^) %, 2-е Их и 3-е A21/4)#; произведение 1-го и 3-го будет f 370 у ¦jg] я8; если из этого вычесть 10, то должен получиться квадрат. Чтобы х2 было целым, увеличиваю этот квадрат в 16 раз. Тогда 5929а:2 — 160 приравниваю квадрату на стороне Их — 2, т. е. 5929.Z2 + + 4 — 308а:. И х получается 41/77. Я положил 1-е число C0V4)#: оно будет 77 , 2-е Их будет 77/41, а 3-е A274) х будет^^, и заданное выполнено. >) Весь текст, взятый в квадратные скобки, вероятно, является поздней- позднейшей вставкой. (Прим. ред,) : — / . : 83
ДИОФАНТ 12. Найти такие три числа, чтобы произведение двух любых из них, сложенное с оставшимся, давало квадрат. Так как мы хотим, чтобы произведение 1-го и 2-го чисел, сложенное с оставшимся, давало квадрат, то, взявши какой-нибудь квадрат, некоторую часть его на- назовем 3-м числом, а остаток — произведением 1-го на 2-е; таким образом, мы удовлетворим одному из поставленных условий. Построим квадрат на х + 3; он будет х2 + 6х + + 9; положим, что 9 есть 3-е число; тогда остальное будет произведением 1-го на 2-е хг -f- 6x. Положим, что 1-е будет х] тогда 2-е число дает <# + 6. Теперь нужно, что- чтобы произведение 2-го и 3-го чисел, сложенное с 1-м, т. е, > Юх 4- 54, было равно квадрату и, кроме того, произве- произведение 3-го и 1-го вместе со 2-м, равное 10а; + 6, также равнялось бы квадрату. И получается двойное равенство, в котором разность Юх + 54 и Юх + 6 будет 48. Следовательно, нужно найти два квадрата с разностью 48, это делается легко и бесконечным количеством спо- способов. Пусть меньший квадрат будет 16, а больший 64; какой бы из них я ни взял для сравнения, я получу под- подстановку для х. Если мы положим, что Юх -f- 54 должно равняться 64, то х получится равным 1, если же мы затем скажем, что меньший 16 должен равняться 10«? -f- 6, получится х = 1. К подстановкам. 1-е число будет 1, 2-е 7 и 3-е 9; они удовлетворяют поставленным условиям. 13. Найти такие три числа, чтобы произведение двух любых из них минус оставшееся давало квадрат. Положим 1-е число х, 2-е х + 4; тогда их произведение будет х2 + 4х. Теперь нужно, чтобы оно без 3-го числа давало квадрат; если я возьму 3-е число 4я, <то одно из условий будет выполнено. Теперь нужно, чтобы произведе- произведение 2-го и 3-го без 1-го давало квадрат > и произведение 3-го и 1-го без 2-го тоже давало квадрат. Но произведение 2-го и 3-го без 1-го будет 4ж2 + 15х, равное квадрату; произве- произведение же 3-го и 1-го без 2-го будет 4#2 — (х + 4), тоже равное квадрату. Мы опять получаем двойное равенство. Так как разность оказывается 16х + 4, то я ищу два чис- числа, произведение которых будет i.Qx + 4; это 4 и 4# + 1. Далее, полусумма этих чисел, умноженная на себя, должна равняться большему, а полуразность, умноженная на себя, — меньшему; и х получается 25/20, 84
АРИФМЕТИКА КНИГА III 1-е число будет 25, 2-е 105, 3-е 100 [двадцатых], и предложенное верно. 14. Найти такие три числа, чтобы произведение двух любых из них, сложенное с квадратом оставшегося, да- давало квадрат. Возьмем 1-е х, 2-е Ах + 4, 3-е 1, чтобы были выполнены два из назначенных условий. Теперь остается, чтобы произведение 3-го и 1-го чисел вместе с квадратом 2-го числа, равное 16#2 + ЗЗх + 16, давало квадрат; пусть он будет на стороне ix —-5, т. е. 16а;2 + 25 — 40а;; получается х — 9/73. 1-е число будет 9, 2-е 328 и 3-е 73. 15*. Найти три таких числа, чтобы произведения лю- любых двух из них, сложенные с их суммой, давали квадрат. У всех квадратов произведение двух последовательных квадратов, сложенное с их суммой, будет квадратом. Возьмем 1-е число 4, а 2-е 9; их произведение, именно квадрат 36, сложенное с их суммой, дает квадрат. Оста- Остается, чтобы произведение 2-го на 3-е, сложенное с их суммой, а также и произведение 3-го на 1-е, сложенное с их суммой, давали квадраты. Положим, что 3-е число будет х; тогда произведение 2-го на 3-е вместе с их суммой 10х + 9 должно быть ква- квадратом, а также произведение 3-го на 1-е, сложенное с их суммой Ъх + 4, тоже должно быть квадратом; опять полу- получается двойное равенство, и разность будет Ъх + 5. Теперь я ищу еще два числа, чье произведение равно Ъх -f- 5. Это будут те, произведение которых равно разности, одно х + 1, а другое 5. И точно так же, как выше, их полусумма в квадрате будет равна большему, а полуразность в квадрате — меньшему; получается х = 28. 1-е число будет 4, 2-е 9 и 3-е 28. Они удовлетворяют предложенному. Иначе. Найти такие три числа, чтобы произведение любых двух, сложенное с их суммой, давало квадрат. Положим, что 1-е будет х, а 2-е 3; их произведение вместе с суммой 4я -f 3. Оно равно квадрату; пусть по- последний будет 25, и х получится 51/2- Тогда 1-е число будет 5V2, a 2-е 3, и одно из условий удовлетворено; действи- действительно, произведение этих чисел, сложенное с их суммой, дает квадрат. . . :-¦• 85
ДИОФАНТ Теперь нужно, чтобы произведение 2-го и 3-го, а также 3-го и 1-го вместе с их суммами давали квадраты. Положим, что 3-е будет х\ тогда произведение 2-го и 3-го вместе с их суммой будет опять \х + 3, а произве- произведение 3-го и 1-го (вместе с их суммой) (Q42)x + 5V2, и каждое из них должно быть квадратом. Но так как ко- количества х-ов и единиц одного равенства больше соот- соответствующих количеств другого и, кроме того, не имеют отношения квадрата к квадрату, то сделанная подстановка не годится. Таким образом, дело свелось к отысканию двух чисел, произведение которых вместе с суммой давало бы квад- квадрат и, кроме того, чтобы они, увеличенные на единицу, находились между собой в отношении квадрата к квадрату. Если одно число превосходит четырехкратное другое на 3, то они, увеличенные на 1, будут относиться, как квадратное число к квадратному числу х); я полагаю 1-е число х, а 2-е Ах +3. После этого нужно, чтобы их произведение вместе с суммой равнялось квадрату; но их произведение вместе с суммой будет 4#2 + 8х +3; это должно равняться квадрату. Строю квадрат на стороне 2х — 3, получается квадрат 4s2 -f- 9 — 12#, и получаем х = 6/20, или 3/10. Тогда 1-е число будет 3/10, а 2-е 42/10, или 4V5, и еще одно условие выполнено. Остается, чтобы произведение 2-го и 3-го вместе'с их суммой давало квадрат. Полагаю, что 3-е будет х, 2-е же равно 4V5. Их произведение вместе с суммой полу- получается EV5)# + 4*/5; это должно равняться квадрату. Умножаю EV5)# + 4V5 на 25; получается 130# -f- 13 3 +105 = Ц; равным образом тд ^ + jn множу на 100; получается 130я + 30, тоже равное Разность этих квадратов 75, мы опять имеем двойное равенство, из которого получается х = 7/10. 3-е число будет 7/10, 1-е 3/10, а 2-е 42/10. Постав- Поставленные условия удовлетворяются. 16. Найти три таких числа, чтобы произведение каж- каждых двух минус их сумма было квадратом. !) рр + 1 и Dзс + 3) -И относятся, как 1 к 4. {Прим. перее,) • Л 86
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш Если, подобно предыдущему, положим одно число равным х, а другое какому-нибудь количеству единиц, то попадем опять в безвыходное положение. Чтобы отно- отношение некоторого количества х к другому количеству х равнялось отношению двух квадратных чисел, нужно искать два таких числа, чтобы их произведение минус их сумма равнялось квадрату <и также чтобы эти числа, уменьшенные на 1, имели друг к другу отношение двух квадратных чисел >. Пусть одно число будет на 3 меньше четырехкратного другого; тогда оба эти числа, уменьшенные на 1, имеют друг к другу отношение, как одно квадратное число к дру- другому; [действительно, если отнять от каждого числа по 1, то уменьшенные будут 4 и 1; так же ясно, что если от четырехкратного отношения отнять четырехкратное, то получится тоже четырехкратное, т. е. отношение квадрата к квадрату] г). Полагаю 1-е число х + 1, а 2-е 4ж + 1; если я отниму от их произведения сумму, то получится 4#2 — 1, равное квадрату на стороне 2х — 2, т. е. Ах2 -\-А — 8ху и х = = 5/8. Одно число будет 13/8, а другое 28/8, и первое условие удовлетворено. И так как 1-е число равно 13/8 и 2-е Зх/2, то 3-е я пола- полагаю х. Произведение 2-го на 3-е будет CV2) x; после вы- вычитания суммы обоих, т. е. х +3V2, получается BЧ2)х—3V2, равное квадрату; <умножая это на 4, получим 10а; —14>. Произведение же 3-го и 1-го будет -q- x; после вычи- 5 13 тания суммы обоих получается -^ х — -&- , что равно квад- квадрату. Это умножаю на 16, что дает 10# — 26. Их разность 12 равна произведению 2 и 6; половина суммы, умноженная на самое себя, дает 16, которое приравниваем большему 10# — 14. И получается х = 3. 3-е число будет 3 или 24/8; имеем 1-е равным 13/8, а 2-е З1^, т. е. 28/8. И задача решена. 17. Найти такие два числа, чтобы их произведе- произведение, взятое вместе с суммой или же с каждым, давало квадрат. *) Фраза, по-видимому, вставлена одним из комментаторов. (Прим. ред.) 87
ДИОФАНТ Полагаю 1-е число х, а 2-е Ах — 1; если одно число в четыре раза больше другого минус 1, то их произведение вместе с меньшим дает квадрат. Остается удовлетворить и два остальных условия: чтобы произведение вместе со 2-м давало квадрат и еще чтобы произведение вместе с суммой давало квадрат. Но произведение вместе со 2-м будет Ах2 + Зх — 1 = Ц; про- проА изведение вместе с суммой обоих будет Ах2 -\-Ах — 1 = Q Получается двойное равенство; разность будет х и оп- определяется произведением \U и Ах; х получается равным 65/224. 1-е число будет 65, а 2-е 36 [двести двадцать четвертых долей]; задача решена. 18. Найти такие два числа, чтобы их произведение минус каждое из чисел или их сумма составляло квадрат. Положу одно х -f 1, а другое Ах; если одно число в че- четыре раза без 4 больше другого *), то произведение их ми- минус большее число дает квадрат. Кроме того, нужно, чтобы их произведение минус меньшее число, а также это произведение минус сумма обоих давали квадрат. Но их произведение минус меньшее будет Аос1 ~]-?>х — 1, а минус сумма обоих Аз? — х — 1, и они должны быть равны квадратам. Разность их будет Ах; один множитель беру Ах, а другой 1; и х получает- получается IV*. Одно число будет 2V4, а другое 5. И доказательство очевидно. 19*. Найти четыре таких числа, чтобы квадрат суммы всех четырех чисел оставался квадратом, если к нему при- прибавить или из него вычесть каждое из этих чисел. Так как во всяком прямоугольном треугольнике квад- квадрат на гипотенузе остается квадратом, если к нему приба- прибавить или от него отнять удвоенное произведение сторон, прилегающих к прямому углу, то прежде всего я ищу че- четыре прямоугольных треугольника, имеющих одинако- одинаковые гипотенузы; эта задача одинакова с задачей на разло- разложение какого-нибудь квадрата на два квадрата, и притом четырьмя способами, а мы знаем, что разложение данного квадрата на два квадрата можно производить бесконеч- бесконечным числом способов. *) 4 (я + I) — 4 = 4х; полагается, что эс> 1. (Лргш. перев.) 88
АРИФМЕТИКА КНИГА III Теперь возьмем два прямоугольных треугольника из наименьших чисел, как, например, 3, 4, 5 и 5, 12, 13, и помножим каждый из взятых на гипотенузу другого; тог- тогда первый треугольник будет 39, 52, 65, а второй 25, 60, 65. Это будут прямоугольные треугольники, имеющие одинаковые гипотенузы. По своей природе число 65 разлагается на квадраты двумя способами, а именно на 16 и 49, а также и на 64 и 1. Это происходит потому, что 65 получается от произве- произведения 13 и 5, а каждое из этих чисел раскладывается на два квадрата. Теперь для взятых 49 и 16 я нахожу сто- стороны, они будут 7 и 4, и образую прямоугольный треу- треугольник на двух числах 7 и 4; это будет 33, 56, 65. Точно так же у 64 и 1 сторонами будут 8 и 1; я опять образую на этих числах прямоугольный треугольник со сторонами 16, 63, 65. Таким образом, получаются четыре прямоугольных треугольника с одинаковыми гипотенузами; возвраща- возвращаясь к первоначальной задаче, в качестве суммы нужных четырех чисел я беру 65а;, а каждое из этих чисел в х2, взятым число раз, равное учетверенной площади, именно: 1-е 4056л:2, 2-е ЗОООя2, 3-е 3696х2 и 4-е 2016s2. И сумма четырех чисел 12768я2 будет равна 65#, так что х получается равным 65/12768. К подстановкам. 1-е число будет 17136600, <2-е 12675000) таких ше долей, 3-е 15615600 таких же долей, четвертое 8517600, а знаменатель равен 163021824. 20. Данное число разложить на два числа и подобрать для них такой квадрат, который по вычитании каждой части оставался бы квадратом г). Пусть данное число будет 10. Положим, что подыскиваемый квадрат будет х2 -f- -\~2х + 1. Он остается квадратом, если из него вычесть 2# 4-1, и также останется квадратом, если вычесть 4#. Поэтому я полагаю, что 1-я часть будет 2х + 1, а 2-я Ах, Оба этих числа после сложения должны произвести дан- данное. Но сумма их будет 6х -f-1; это должно быть равно 10, откуда х получается 1V2. К подстановкам. 1-я часть будет 4, а 2-я 6, а квадрат 6V4. >) Это другое решение задачи II,,. (Прим. перее.) 89
ДИОФАНТ 21. Данное число разложить на два числа и подобрать для них квадрат, прибавление которого к каждой части давало бы квадрат. Пусть данное число будет 20. Возьмем квадрат х2 -\-2х -}- 1. Он останется квадратом, если я прибавлю 2х -f- 3, а также если прибавлю Ах -f- 8. Тогда сумма обоих этих чисел будет €>х + 11 *). 1-я часть будет 6, 2-я 14, а квадрат 6V4. Доказатель- Доказательство очевидно 2). КНИГА IV 1. Данное число разложить на два куба, сумма сторон которых задана. Пусть требуется разложить число 370 на два куба, сумма сторон которых 10. Положим сторону 1-го куба х + 5, т. е. больше поло- половины суммы сторон. Тогда сторона 2-го куба будет 5 — х; следовательно, сумма самих кубов будет ЗОх2 +250; она равняется заданному числу 370; и х получается рав- равным 2. К подстановкам. Сторона 1-го куба 7, 2-го 3, а сами кубы — 1-й 343, а 2-й 27. 2*. Найти такие два числа, чтобы была задана их раз- разность, а также и разность их кубов. Пусть разность этих чисел будет 6, а разность их кубов 504.Положим, что сторона большего куба будет х + 3, а меньшего х — 3; тогда разность их сторон должна оста- оставаться равной 6. Кроме того, разность самих кубов равна 1) Здесь имеется лакуна в тексте, которую можно восполнить так: 1-я часть 2х -f 3, 2-я 4x -}- 8. Приравняв их сумму вх -J- 11 данному числу 2Q, на- находим х = 1 */а- (Прим. перев.) ¦) Это другое решение вадачи П14. (Яргш. перев.) 90
АРИФМЕТИКА КНИГА IV 504. Но разность обоих кубов будет 18я2 -f- 54, это же равно 504; и х получается равным 5. К подстановкам. Сторона большего куба будет 8, а меньшего 2. Сами же кубы будут один 512, а другой 8, и доказательство очевидно. 3. Квадрат и его сторону помножить на одно и то же число и сделать, чтобы эта сторона давала куб, а квад- квадрат — сторону этого куба. Положим, что квадрат будет х2 и, следовательно, его сторона х9 а множитель был бы какой-нибудь арифметич- ной х) частью, взятой кубическое число раз; пусть он бу- будет 8/х. Умножая это на х 2, получим 8х, а умножая на х, получим 8. Мы же хотим, чтобы 8х было стороной этого куба, следовательно, 8х должно равняться 2; и х получается равным 2/8, а множитель — 32. Если мы не хотим иметь дробных долей, то возьмем 8х равным 2; и х будет V4 2). К подстановкам. Квадрат будет 1/16, сторона */4, мно- множитель 32. Если же х = XU, то арифметичная часть Их будет 4. И доказательство очевидно. 4. К квадрату и стороне прибавить одно и то же такое число, чтобы получились опять квадрат и сторона. Пусть квадрат будет х 2 и, следовательно, сторона х; прибавляемое же число будет х2, взятое столько раз, что- чтобы вместе с х2 оно образовало квадрат. Пусть оно будет Зх2; если мы приложим его к ж2, то получим квадрат 4я 2, а если к ху то Зх 2 + х\ но это должно равняться сто- стороне квадрата 4х2, т. е. 2х\ и х получается равным Vb. К подстановкам. Квадрат будет V9, сторона V3, прибав- прибавляемое же число 3/9. 5. К квадрату и стороне приложить одно и то же такое число, чтобы получилось то же самое, но в обратном поряд- порядке, т. е. сторона и квадрат. Пусть квадрат будет х2, значит, сторона будет х\ для того же, чтобы сторона стала квадратом, прибавляемое число примем х 2, взятое квадратное число раз, минус х — сторона квадрата. Пусть оно будет 4а2 — х. <Если мы при- прибавим его к ж, получим квадрат, а если к ж2, то 5а:2 — # *) То есть 1/ае. (Прим. перев.) *) Место не вполне ясно. По-ввдимоыу, текст искажен. (Прим. ред.) 91
ДИОФАНТ последнее должно равняться 2х — стороне квадрата, получаемого после прибавления, и х оказывается рав- равным 3/5. К подстановкам. Квадрат будет 9/25, сторона 3/5, а прибавляемое число 21/25. 6. К кубу и квадрату прибавить один и тот же такой квадрат, чтобы получилось то же самое, т. е. куб и квадрат. Пусть теперь будут куб xs и квадрат я2, взятый неко- некоторое квадратичное число раз, например, 9я2. И так как мы хотим, чтобы некоторый квадрат вместе с 9#2 образовал тоже квадрат, то берем два числа, произ- произведение которых равно 9; пусть это будут 1 и 9. Если от 9 я отниму единицу и половину остатка умножу на себя, то я получу 16; прикладывая к нему 9, я образую квад- квадрат *). Теперь в качестве прибавляемого квадрата я беру 16х2; если я его прибавлю к Эа^, то получится квадрат; если же я прибавлю его к ж3, то получится х3 + 16.x2, что должно быть равно кубу. Пусть этот куб будет 8#3; тогда получится, что х = 16/7. К подстановкам. Куб будет 4096/343, квадрат 2304/49, а прибавляемый к ним квадрат 4096/49. 7. К кубу и квадрату прибавить один и тот же такой квадрат, чтобы получилось то же самое, но в обратном по- порядке. Пусть куб будет Хи квадрат Х2, а прибавляемый к ним квадрат Х3 2). Так как я хочу, чтобы прибавляемый квадрат Х3 обра- образовал вместе с Х2 некоторый куб, то пусть он образует куб «Х^. Таким образом, Хг превосходит Х2 на Х3, т. е. на квад- квадрат, ибо Х3 есть квадрат. Если же я возьму два каких- нибудь числа, то их квадраты, к которым прилагается или из которых вычитается удвоенное их произведение, дадут квадрат. Итак, я должен, взявши два числа, положить сумму их квадратов равной Xlt так как Хх равен сумме двух квадратов, именно искомого и прибавляемого: Х3 и Х2, а Хг равен удвоенному их произведению. Но Хг есть ') Используется пифагорейское соотношение ixv -J- Г— \ = ^=————\ , где \х = 9, v = 1. (Прим. перев.) *) У Диофанта соответственно обозначено 1-е, 2-е и 3-е, (Прим. ред.) 92
АРИФМЕТИКА КНИГА IV квадрат; следовательно, их удвоенное произведение тоже будет квадратом. Положим один из них равным х, а дру- другой 2х, чтобы их удвоенное произведение было квадра- квадратом. Теперь, взяв сумму их квадратов, полагаю Х1 = 5#2, а удвоенное их произведение 4х2 беру как Х3. Следова- Следовательно, разность Х2 = Хг — Xs будет я2, ибо она вместе с Xs будет равна Хг. Теперь остается сделать Хг кубом. Имеем, что 5х2 равно х3; я х получается равным 5. К подстановкам. Куб Хх будет 125, квадрат Х2 равен 25, и прибавляемый квадрат Х3 = 100. И доказатель- доказательство очевидно. Иначе. Пусть будут куб Хи квадрат Х2 и прибав- прибавляемый квадрат Х3. Так как я хочу, чтобы прибавляемый квадрат, будучи приложен к Х2, т. е. квадрату, образовал куб, то пусть он образует Хг. Затем, так как Х1у складываемый с Х3, об- образует квадрат, то у меня [все] свелось к нахождению двух [вспомогательных] квадратов, сумма которых вместе с од- одним из них дает квадрат, [вследствие того, что два квадра- квадрата: один, взятый дважды, и другой Х2 — образуют куб, т. е. XJ х). Возьмем два квадрата: первый х2, а второй 4. Их сумма вместе с одним из них будет 2х2 + 4 и равна квадрату: пусть последний будет построен на стороне 2х — 2; тогда получится квадрат 4х2 +4 — 8х\ и х оказывается равным 4. К подстановке. Один квадрат будет 4, а другой 16. Теперь прикладываемый к ним квадрат берут равным 2, а Х2 = Ах2. Тогда Хг будет 20^, ибо мы желаем, чтобы он был равен их сумме. Остается сделать 20я2 рав- равным х3; и получается х = 20. К подстановкам. Хх будет 8000, Х2 = 1600 и прикла- прикладываемый 6400. Доказано, что это можно сделать беско- бесконечным числом способов. 8. К кубу и стороне приложить одно и то же такое чис- число, чтобы получилось то же самое, [т. е. куб и его сторона]. Пусть прикладываемое число будет х, а сторона ку- куба — сколько-нибудь раз взятый х\ пусть это будет 2х; тогда куб будет 8#3. 1) Фраза в скобках, вероятно, является позднейшим добавление!*. {Прим. ршд.у 93
ДИОФАНТ Если я прибавить к 2ху то получится Зх, а если к 8я3, то получится 8#3 -f- x; это равно 27#3. Вычтем 8я3, останет- останется 19#3, равное х. Сократим на х; значит, 19з? = 1. Но единица является квадратом; если бы 19 — количе- количество х2 — было бы квадратом, то уравнение решилось бы. Но 19#2 получилось как разность между 27я3 и 8х3; и 27#3 есть куб на Зх, а 8хъ — куб на 2х. Таким образом, 19 получилось как разность между кубом на Зх и кубом на 2х. Но 2х взято по нашему предположению, а 3 всегда на единицу больше количества взятых сторон х\ таким образом, я пришел к отысканию двух чисел, отличающихся между собой на единицу и таких, чтобы разность построенных на них кубов была бы квадратом. Пусть одно из них будет х, а другое х -\-1\ к разность построенных на них кубов Зх2 -{-Зх + 1; пусть это равно квадрату на стороне 1 — 2х\ и х получается равным 7. К подстановкам. Одно из них будет 7, а другое 8. Теперь я возвращаюсь к первоначальной задаче и по- полагаю прибавляемое равным х и сторону куба 7х; тогда куб будет 343х3. Прибавляя х к каждому из них, получаем 8х и 343#3 -f- х] мы хотим, чтобы они дали куб на сторо- стороне 8х. Следовательно, 512а;3 = 343х3 + х\ и х получается равным одной тринадцатой. К подстановкам. Куб будет 343/2197, сторона 7/13, а прибавляемое одна тринадцатая. 9. К кубу и стороне приложить одно и то же такое число, чтобы получилось то же самое, но в обратном по- порядке. Пусть будет куб я3, взятый какое-нибудь кубическое число раз; пусть оно будет 8, следовательно, сторона куба будет 2х\ (прибавляемое же число, чтобы сделать сторону кубом, будет ж3, взятый кубическое число раз, минус 2ж>, т. е. минус количество кубических единиц в стороне куба; пусть оно будет 27#3 — 2х. Если мы прибавим это к 2х, то получим 27#3, и это бу- будет куб на стороне Зх, а если прибавить к 8а:3, то полу- получится 35#3 — 2х. Мы хотим, чтобы это было стороной куба для полу- полученного 27#3, иными словами, 3#; следовательно, 35#3 — —2х = Зх\ получается, что 5# равняется 35#3; сократив на х, находим, что 35а;3 равно 5. 94
АРИФМЕТИКА КНИГА IV И х не рационально *), так как отношение одного вида к другому не будет отношением двух квадратных чисел; но 35, количество л:2, представляет сумму двух кубов, 27 и 8, а 5 получается из сложения их сторон; значит, мне предстоит найти два куба, сумма которых к сумме их сторон имеет отношение квадратного числа к квадрат- квадратному числу. Пусть сумма их сторон равняется некоторому числу единиц, например 2. Положим, что сторона первого куба будет ж, тогда сторона второго куба получится 2 — х, а сумма их кубов будет бз? +8 — 12ж. Теперь мы хотим, чтобы это к сумме их сторон, т. е. 2, имело отношение квадратного числа к квадратному чис- числу. Но 2 представляет удвоенный квадрат; следовательно, и 6я2 +8 — 12# будет тоже удвоенным квадратом, и V2 их будет равняться квадрату, т. е. Зя2+4—6ж = Ц; пусть это будет квадратна 2—Ах. И х получается равным 10/13. К подстановкам. Одна сторона будет 10/13, а другая 16/13. Устраняю 13-е доли и беру половины. Стороны са- самих кубов будут одна 5, другая 8. Возвращаюсь к первоначальной задаче и полагаю сто- сторону куба равной Ъх; тогда куб будет 125х3 и прибавляе- прибавляемое — куб [без стороны], т. е. 512х3 — Ъх. Если это при- прибавить к 5х, то получится куб, а если к 12Ъх8, то 637#8 — —Ъх. Мы хотим, чтобы это было стороной куба для 512я3. Таким образом, 8х равняется 637я3 — Ъх и х получает- получается равным одной <седьмой>. К подстановкам. Куб будет 125/343, сторона 5/7, а прибавляемое число 267/343. 10. Найти два куба, сумма которых равна сумме их сторон. Пусть выраженные в х стороны кубов будут: 1-я 2х9 2-я Зх; тогда сумма кубов будет 35ж3, что должно равнять- равняться сумме сторон Ъх. Сокращая на х, получаем 35#2 = 5, и ж не рационально. Но 35х2 представляет сумму двух кубов, 8 и 27, а Ъх — сумму их сторон. Мне приходится искать два куба, кото- которые, будучи сложены и разделены на сумму их сторон, дают квадратное частное. ') оо pt)Toc {Прим, ред.) 95
ДИОФАНТ Это же было сделано выше [задача 9], и стороны кубов будут: 1-я 8, 2-я 5. Теперь я возвращаюсь к первоначаль- первоначальной задаче и беру стороны кубов: 1-ю 8х, 2-ю 5х; сумма ку- кубов будет 637#3. Она должна быть равна [сумме] сторон, т. е. 13х; и х получается равным одной (седьмой). К подстановкам. Сторона 1-го куба 5/7, 2-го 8/7. Сами же кубы — один 125/343, другой 512/343. 11*. Найти два куба, разность которых будет равна раз- разности их сторон. Пусть их стороны будут: 1-я 2х, 2-я Зх. Разность по- построенных на них кубов равна 19а:3, а разность сторон х. Значит, х равен 19я3. Опять х не рационально, так как один вид к другому не находится в отношении квадрата к квадрату. Мне при- приходится искать два куба таких, чтобы их разность к раз- разности сторон имела отношение, как квадратное число к квадратному числу. Пусть стороны кубов будут: 1-я х, 2-я же х +1, чтобы их разность была квадратом, т. е. 1. Так как сторона 1-го будет х, а 2-го 1 -f- x, то разность сторон будет 1, <а раз- разность кубов Зя2 -f- Зх +1). Теперь мы хотим, чтобы Зх2 -f Зх -f 1 к разности сторон 1 имело отношение, как квадратное число к квадратному числу; тогда их произ- произведение должно равняться квадрату. Но их произведение Зх2 -\-Зх +1. Приравняем его квадрату со стороной 1—2х; и х получается равным 7. К подстановкам. Стороны будут: 1-я 7, 2-я 8. Теперь я возвращаюсь к первоначальной задаче и бе- беру стороны кубов: 1-ю 7х, 2-ю 8х. Разность их будет х, а разность построенных на них кубов 169я3. Следовательно, 169я3 равно х\ и х получается равным одной (тринадцатой). К подстановкам. Стороны кубов будут: у одного 7, у другого 8 [тринадцатых]. 12. Найти два таких числа, чтобы куб большего числа вместе с меньшим числом равнялся кубу меньшего, сло- сложенному с большим числом. Пусть одно будет 2х, а другое Зх. И куб большего числа вместе с меньшим будет 27я3 ~\- 2х> а куб меньшего числа вместе с большим будет 8а? -\-Зх. Таким образом, 8xs + Зя равняется 27х3 + 2х. Сократив на х, получаем, что 19х2 равно единице, и х не рационально. 96
АРИФМЕТИКА КНИГА IV Но 19Я2 представляет разность двух кубов, а 1 — раз- разность их сторон. Я пришел к тому, чтобы найти два куба, разность которых имела к разности сторон отношение, как квадратное число к квадратному. Но это уже показано [в задаче 11], и стороны кубов бу- будут: одна 7, а другая 8. Возвращаюсь к первоначальной задаче и беру одно число равным 7ху а другое 8х. И полу- получается, что 343х3 + 8х равно 512ж3 + 7х, и х получается равным одной [тринадцатой]. К подстановкам. Одно число будет 7, а другое 8 [три- [тринадцатых]. И доказательство очевидно. 13. Найти два таких числа, чтобы каждое из них, или их сумма, или разность вместе с единицей составляли квадрат. Итак, если от какого-нибудь квадрата отниму 1, то по- получу Хг х); образую некоторый квадрат на скольких- ыибудь х-ах и 1, пусть это будет 3# -{- 1. Тогда этот квад- квадрат будет 9я2 -\-6х +1; если отниму 1, то получу Хх = 92 Далее, так как мы желаем, чтобы Хх и Х2 вместе с 1 образовали квадрат, а вместе взятые Xt и Х2 вместе с 1 будут <Х2 вместе с 1) и 9я2 + 6х, то Х2 вместе с 1 будет квадрат, и мне приходится искать, какой квадрат вместе с 9#2 + 6х дает тоже квадрат. Беру два числа, произведение которых 9а? + Ъх < = = (9х + 6) х, половину их разности беру за сторону мень- меньшего квадрата; она будет ix + 3); после ее умножения на себя получаю 16х2 + 2Ах + 9; отнимаю 1 и полагаю Х2 равным 16я2 -}- 24х + 8. Но Хг будет 9ж2 + 6я и каждый из них вместе с 1 дает квадрат. Остается теперь разность их вместе с 1 (она равна 7#2 -\- lSx + 9) приравнять квадрату на стороне 3—Зя; и х получается равным 18. К подстановкам. Хх будет 3024, аХ2 = 5624, и доказа- доказательство очевидно. 14. Найти три квадратных числа, сумма которых равна сумме разностей между этими числами. Так как сумма разностей наибольшего числа со сред- средним, среднего с наименьшим и наибольшего числа с наи- наименьшим будет равна сумме трех квадратов, а [сумма] ') У Диофанта соответственно 1-е и 2-е. (Прим. ред.) 97
ДИОФАНТ трех разностей равна удвоенной разности между наиболь- наибольшим и наименьшим числами, то удвоенная разность меж- между наибольшим и наименьшим числами будет равна [сумме] трех [квадратов]. Возьмем наименьший квадрат равным единице, а наи- наибольший х2 -\-2х +1, тогда удвоенная разность наи- наибольшего и наименьшего чисел равна 2х2 + 4я; она же равна сумме трех квадратов, два из которых равны х2 -\- 2х + 2; следовательно, остающийся средний будет з? -\-2х — 2; значит, это должно равняться квадрату, по- положим, построенному на стороне х — 4; тогда х полу- получается равным 9/5. К подстановкам. Наибольший квадрат будет 196/25, средний 121/25, а наименьший 1. Умножим все на 25; наибольший будет 196, средний 121 и наименьший 25. 15. Найти три таких числа, чтобы сумма любых двух, умноженная на третье, равнялась заданному числу. Предположим, что сумма 1-го и 2-го чисел, умножен- умноженная на 3-е, дает 35, Затем сумма 2-го и 3-го, умноженная на 1-е, дает 27. И, наконец, сумма 1-го и 3-го, умноженная на 2-е, дает 32. Пусть 3-е число будет х\ тогда сумма остающихся 1-го и 2-го будет 35/х. Положим 1-е равным 10/ж; тогда 2-е будет 25/#. Остаются еще два условия: сумма 2-го и 3-го, умножен- умноженная на 1-е, дает 27, <а сумма 1-го и 3-го, умноженная на 2-е, дает 32>. Но сумма 2-го и 3-го, помноженная на 1-е, 250 <дает> 10 + —¦ - Следовательно, 10 вместе с 250/ж2 равняют- 250 ся 27. 3-е же и 1-е, помноженное на 2-е, дают 25 + -*т = 32, 250 а 10 ~\—g" = 27- И числа единиц разнятся на 5. Тогда, если бы 25 А 2* и 10 -^—5" разнились на 5, то разности были бы одинаковы. Но 25 единиц получаются из 2-го числа, а 10 из 1-го. Теперь мы хотим, чтобы разность этих чисел тоже равня- равнялась 5. Но 1-е и 2-е не являются произвольными числами: их сумма должна равняться 35. Итак, мне пришлось раз- разложить 35 на два числа так, чтобы разность этих чисел равнялась 5 [IJ; они будут: одно 15, а другое 20. 98
АРИФМЕТИКА КНИГА IV Теперь я полагаю 1-е равным 15/х, а 2-е 20/я. Сумма 2-го и 3-го, умноженная на 1-е, дает 15 -{—г = 27. Сумма 300 же 1-го и 3-го, умноженная на 2-е, дает 20 -|—^ = 32. И ее- ли я 20 -\—^ приравняю 32, то ж получится равным 5. К подстановкам. 1-е число будет 3, 2-е 4, а 3-е 5. 16*. Найти <три> числа, равных в сумме квадрату, та- такие, чтобы квадрат на каждом из них, сложенный со сле- следующим числом, давал квадрат. Положим, что среднее число равняется скольким-то х; пусть оно будет Ах. Так как я желаю, чтобы квадрат на 1-м после прибавления 2-го числа давал квадрат, то мне надо отыскать какой-то квадрат, который после прибав- прибавления к Ах будет тоже квадратом. Прежде всего я буду отыскивать два числа, произве- произведение которых было бы Ах; пусть это будут 2х ит2; если 1-е число я возьму как их полуразность, т. е. х — 1, то у меня получится решение, так как квадрат 1-го, сложен- сложенный со 2-м числом, будет квадратом 1). Теперь нужно, чтобы квадрат 2-го числа, сложенный с 3-м числом, был тоже квадратом, т. е. 16а? + 3-е давало квадрат. Значит, если от некоторого квадрата я отниму 16.я?, то буду иметь 3-е число; искомый квадрат я построю из сто- стороны 16а?, именно Ах ~\~ 1. Этот квадрат будет 16а? -[- -{- 8х -\~ 1. Если отнять 16а?, то остаток 8х + 1 будет 3-м числом. Далее, так как я хочу, чтобы сумма всех трех равня- равнялась квадрату, а эта сумма будет 13#, то она должна быть квадратом. Пусть этот квадрат будет 169а? 2), и х полу- получится равным 13а?. К подстановкам. 1-е число будет 13а? — 1, 2-е 52а?, а 3-е 104а? +1. И у меня в неопределенной форме удовлет- удовлетворены три заданных условия. Остается, чтобы и квадрат на 3-м числе, т. е. 10816а^ + 208а? -f- 1, сложенный с 1-м числом 13а? — 1, был тоже х) (х — 1J + 4* = (х + IJ. (Ярим, персе.) *) Здесь Диофант вводит новое неизвестное, которое обозначает тем же сим- символом, что я старое. (Ярим, рев.) 99
ДИОФАНТ квадратом. Но он будет 10816а;4 + 221а? = Ц, Сократив на я2, получим 10816а? + 221 = Ц. Пусть этот квадрат будет на стороне 104ж +1;иж = 55/52. К подстановкам. 1-е число будет 36621/2704, 2-е [число] 157300/2704, 3-е 317304/2704. 17*. Найти три числа, сумма которых равна квадрату, такие, чтобы квадрат на каждом из них минус следующее число был тоже квадратом. Опять возьмем среднее число Ах; так как я хочу, чтобы квадрат 1-го числа после вычитания 2-го, т. е. Ах, был квад- квадратом, то я пришел к отысканию квадрата, который без Ах был бы тоже квадратом. Прежде всего я ищу два числа, произведение которых было бы Ах. Но Ах имеют множителями 2 и 2х. Беру поло- половину их суммы и полагаю первое число х +1; одно из условий у меня удовлетворено. Затем я хочу, чтобы квад- квадрат 2-го числа, т. е. 16а?, после вычитания 3-го был квад- квадратом; следовательно, если из 16а? отнимем некоторый квадрат (пусть он будет на стороне Ах — 1, т. е. 16а? + 4-1—8х, что я и вычитаю из 16а?), то остаток 8х — 1; я и беру 3-е число равным 8х — 1, и второе условие вы- выполнено. Затем я хочу, чтобы эти три числа давали в сумме квадрат, т. е. чтобы 1Ъх равнялось квадрату; пусть пос- последний будет равен 169а?, а х равен 13а? г). К подстановкам. 1-е число будет 13а;2 + 1, 2-е 52я? и 3-е 104а? — 1. И снова у меня выполнены в неопределен- неопределенной форме три заданхшх условия. Остается, чтобы квадрат 3-го числа минус 1-е был квад- квадратом. Но квадрат 3-го числа минус 1-е число будет 10816х4 - 221а? = Q [Сокращаем] все на а?: 10816а? - 221 = Q. Пусть [этот квадрат будет] на стороне 104я — 1; тогда х получается равным 111/104. К подстановкам. 1-е число будет 170989/10816, 2-е 640692/10816, 3-е 1270568/10816. Здесь Диофант, как и в IV™, вводит новое неизвестное, которое обовна- чает тем же символом, что и иервоначальное. (UpitM. ред.) 100
АРИФМЕТИКА КНИГА IV 18. Найти два таких числа, чтобы куб 1-го, будучи сло- сложен со 2-м, давал куб, а квадрат 2-го, будучи сложен с 1-м, давал квадрат. Положим, что 1-е число будет х, а 2-е будет кубическое число [минус Xs], пусть 8 — я8. И получится, что куб 1-го числа, сложенный со 2-м числом, дает куб. Остается сделать, чтобы квадрат 2-го числа, сложенный с 1-м, давал квадрат. Но квадрат 2-го числа, сложенный с 1-м, будет zG -\- х + 64 — 16#3; {пусть это равно квад- квадрату на стороне xz + 8, т- е- х* + 16я3 —j- 64>. Прибавив к обеим частям недостающие члены и отбрасывая одина- одинаковые, получаем в остатке х = , а после сокращения на х Ъ2з? = 1. Но 1 есть квадрат; если бы 32#2 было тоже квадратом, то равенство дало бы решение. Но 32#3 получилось из дважды 16Я3, а 16#3 есть дважды 8, помноженное на я3. Таким образом, 32я2 получилось из четырежды 8. Мне нуж- нужно найти куб, который, четырежды взятый, давал бы квадрат. Пусть искомый куб будет з?; он, четырежды взятый, , должен равняться квадрату. Пусть этот квадрат будет 2; тогда х получится равным 4. К подстановкам. Куб будет 64. Итак, кладу 2-е число равным 64 — а:3. Теперь остается сделать, чтобы квадрат 2-го, сложенный с 1-м, давал квад- квадрат. Но квадрат 2-го, сложенный с 1-м, дает *" + 4096 + х — 128х* = Q. Пусть этот квадрат будет на стороне яг3 + 64; тогда квад- квадрат равен х6 + 4096 + 128л;3. Получается, что х = 256я3. И, следовательно, х равен од- одной (шестнадцатой). К подстановкам. 1-е число будет 1/16, а 2-е [число] 262143/4096. 19*. Найти три числа в неопределенной форме такие, чтобы произведение любых двух вместе с единицей дава- давало квадрат. 101
ДИОФАНТ Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го вместе с 1 давало квадрат, то, если отнять 1 от любого квадрата, я получу произведение 1-го и 2-го чисел. Строю квадрат из взятого какое-нибудь число раз х и 1; пусть это будет х + 1. Тогда сам квадрат будет х2 + 2х + 1- Если от- отнять 1, то остаток х2 -f- 2х будет произведением 1-го и 2-го чисел. Пусть 2-е число будет х\ тогда 1-е будет х + 2. Затем, если я хочу, чтобы произведение 2-го и 3-го чисел образовало вместе с 1 квадрат, то подобным же обра- образом, отняв 1 от какого-нибудь квадрата, я получу произ- произведение 2-го и 3-го чисел. Построим квадрат на Ъх + 1: он будет 9л;2 + 6х + 1. Значит, если я отниму 1, то полу- получится 9х2 + 6я; произведением 2-го и 3-го чисел должно быть 9х2 + 6я; в него входит 2-е число х. Таким образом, остающееся 3-е число будет 9х + 6. Далее, я хочу, чтобы произведение 1-го и 3-го чисел вместе с единицей было квадратом. Но произведение 1-го и 3-го чисел вместе с единицей будет 9х2 + 24я + 13 = Q]. Я имею х2 взятым квадратное число раз; <если бы я имел и квадратное число единиц), то удвоенное произведение чи- чисел при х2 и 1 было бы равно числу при х, и три заданных условия были бы выполнены в неопределенной форме. Но 13 получилось из произведения 2 и 6 вместе с при- прибавленной 1; далее, 2 получилось из [1-го] згдвоенного про- произведения х и 1, а 6 — из 2-го удвоенного произведения Ъх и 1. Я хочу получить квадрат из [1-го] удвоенного числа при х, помноженного на [2-е] удвоенное число при х, и с [прибавленной] 1 [B-1).B-3) 4- 1]. Но [1-е] удвоенное число при х, умноженное на [2-е] удвоенное число при х, равняется учетверенному произведению обоих чисел при х. Я хочу получить квадрат из учетверенного произведе- произведения этих чисел и единицы. Для всякой пары чисел учет- учетверенное их произведение, сложенное с квадратом их раз- разности, будет квадратом; поэтому, если мы построим квад- квадрат их разности, то учетверенное произведение этих чи- чисел вместе с единицей будет квадратом. Если квадрат разности равен 1, то и сама разность бу- будет 1. Тогда нужно строить [квадраты] на х, взятых после- последовательное число раз, вместе с прибавляемой единицей (пусть это будут на х -\- 1 и 2х + !)• И квадрат на х -\- 1 будет х2 + 2х + 1. л 102
АРИФМБТИКА^КНИГА IV Если я отниму единицу, то останется х2 -\- 2х. Следо- Следовательно, произведение 1-го и 2-го чисел будет х% + 2х. Если 2-е число будет х, то остающееся 1-е будет х + 2. Далее, квадрат на 2х + 1 будет Ах2 -f- 4я; + 1; если я точно так же отниму 1, то остаток нолучится Ах2 + Ах; тогда произведение 2-го и 3-го чисел будет Ах2 + Ах, в ко- котором 2-е есть х\ следовательно, остающееся 3-е число будет Ах -f- 4. Итак, в неопределенной форме решена задача, как сделать, чтобы произведение любых двух чисел [из трех] вместе с единицей давало квадрат, и х будет таким, каким мы захотим. Искать в неопределенной форме — это зна- значит получить такую подстановку *), чтобы условия удов- удовлетворялись, если подставить такое х, какое мы захотим. 20*. Найти четыре таких числа, чтобы произведения любых двух, сложенные с единицей, образовали квадрат. Так как я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 2-е вместе с 1 давало квадрат, то, отняв от какого-нибудь квадрата 1, я буду иметь произведение 1-го числа на 2-е. Образую квадрат на х + 1; он будет х2 -\- 2х + 1. Если отнять 1, то остаток х2 + 2х даст произведение 1-го на 2-е. Пусть 1-е число будет х, тогда <2-е будет х +> 2. Далее, я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 3-е с 1 давало квадрат; образую квадрат на 2х + 1, взяв х на 1 большее число раз, согласно доказанному в пред- предшествующем; от взятого квадрата отниму 1; произведе- произведение 1-го числа на 3-е возьму равным Ах2 + Ах. В этом [про- [произведении] содержится 1-е число х; остающееся 3-е число будет Ах + 4. Еще я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 4-е вместе с 1 давало квадрат; этот квадрат я строю на Зх + 1, [увеличивая на 1 число ранее взятых х\\ взявши этот квад- квадрат и отняв 1, буду иметь произведение 1-го числа на 4-е 9х2 + 6х; в этом произведении содержится 1-е число х\ тогда останется 4-е число 9х + 6. И так как получается, что произведение 3-го числа на 4-е вместе с 1 дает квадрат, а произведение 2-го числа на 4-е с 1 будет 9х2 + 2Ах + 13 = П. с с , u *) ч илоатаснс. Здесь по смыслу следовало бы перевести «такую формулу». (Прим. ред.) 103
ДИОФАНТ то я приравниваю его квадрату на стороне Зх — 4, и по- получается я, равный одной \шестнадцатой). К подстановкам. [Тогда в шестнадцатых долях] 1-е число будет 1, 2-е 33, 3-е 68 и 4-е 105. 21. Найти такие три числа, составляющие пропорцию, чтобы разность двух любых из них была квадратом. Положим, что меньшее равно х, среднее х + 4, чтобы их разность была квадратом, а большее число х + 13, чтобы и разность этого числа и среднего тоже была квад- квадратом. Если бы разность наибольшего и наименьшего числа была квадратом, то получилось бы в неопределенной фор- форме решение задачи, что разность двух любых чисел равна квадрату. Но наибольшее число превышает меньшее на 13, а 13 есть сумма квадратов — 4 и 9; следовательно, мне нужно найти два квадрата, сумма которых была бы квадратом. Это легко [сделать], используя прямоугольный тре- треугольник; они будут 9 и 16. Я полагаю наименьшее число равным х, среднее х -f- 9, а большее х + 25, и разность двух любых чисел будет квадратом. Остается лишь, чтобы они были пропорциональны. Но если три числа пропорциональны, то произведение край- крайних равно квадрату на среднем. Но произведение наи- наибольшего и наименьшего, т. е. произведение крайних, равно х2 + 25х, квадрат же среднего хг -{- 18я + 81 = = х2 + 25я; и х получается равным 81/7. К подстановкам. Меньшее будет 81, среднее 144, боль- большее 256 седьмых, 22*. Найти такие три числа, чтобы составленное из них тело х) после прибавления каждого из них представляло квадрат. Пусть составленное из трех тело будет х2 + 2х, а 1-е число равно 1, чтобы тело из трех после прибавления 1-го числа было квадратом. Далее, я хочу, чтобы тело из трех вместе со 2-м было квадратом; я ищу квадрат, по вычитании из которого х2 + 2х буду иметь 2-е число. Строю квадрат на х + 3, и этот Г~) — (х2 + 2я) дает 4х -\- 9. 2-е число я полагаю равным Ах + 9. атереос. (Пргш. ред.) 104
АРИФМЕТИКА КНИГА IV Но так как тело из трех х2 + 2х, а произведение 1-го и 2-го Ах -f- 9, то, разделив х2 + 2х на Ах + 9, я получу 3-е число. Но это деление невозможно; для его возможности нуж- нужно равенство отношений х2 к4#и2;г к9, и перестановочно; как л:2 к 2х, так и Ах к 9. Но количество х2 г) представляет половину количества 2х. Если бы и Ах были по коли- количеству половиной 9, то деление было бы возможным. Но Ах получились из разности, на которую Ьх больше 2х\ а 6х — из удвоенного произведения 3 на х, т. е. из удво- удвоения 3; а 9 есть квадрат 3; таким образом, мне нужно най- найти некоторое число, вроде 3, которое после удвоения и уменьшения на двойку было бы половиной своего квад- квадрата. Пусть искомое число будет х; после удвоения и умень- уменьшения на двойку получится 2х — 2, а квадрат искомого 1 будет х2. Мы желаем, чтобы 2х — 2 было у х2. Следовательно, х2 = Ах — 4; и х будет 2. Я возвращаюсь к начальной задаче; 1-м числом я имел 1, а тело, составленное из трех, было х2 + 2х. Нужно, чтобы тело из трех с добавлением 2-го числа составляло квадрат. Таким образом, если от некоторого квадрата я отниму х2 + 2х, то получу 2-е число. Строю квадрат на х плюс столько единиц, чтобы эти единицы, удвоенные и уменьшенные на двойку, были половиной своего квад- квадрата; это уже было сделано, и это число есть 2. Я строю квадрат на х + 2; он будет х2 + Ах + 4. Если я вычту тело из трех, т. е. х2 + 2х, то остаток будет 2-е чис- число. Произведение 1-го и 2-го <2# + 4; если тело из трех, т. е. х2 + 2х, я разделю на произведение 1-го и 2-го>, т. е. на 2х + 4, то буду иметь 3-е число; полученное част- частное будет х/2. И остается, чтобы составленное из трех тело вместе с 3-м числом было квадратом. Но это тело вместе с 3-м будет х2 + 2г/2х == Ц, пусть Ах2, откуда х получается 5/6. К подстановкам. В шестых долях 1-е будет 6, 2-е 34 и 3-е 2V2. 23. Найти такие три числа, чтобы составленное из них тело минус каждое из этих чисел давало квадрат. Количество то artXrJGoc; мы сказали бы ©коэффициент». (Прим, псрев.) 105
ДИОФАНТ Возьмем х как 1-е число, а тело из трех х2 + #; после вычитания 1-го это дает квадрат. И так как тело из трех х* -{- х, а. 1-е число х, то, значит, произведение 2-го и 3-го чисел будет х -\- 1. Пусть 2-е число 1; тогда остающееся 3-е равно х -\- 1. Теперь надо, чтобы составленное из трех тело после вычитания 2-го и 3-го давало квадрат. Остатки будут: один х2 + х — 1, равный квадрату, другой х2 — 1, тоже равный квадрату. Получилось двойное равенство; беру разность: она бу- будет х; составляю два числа, произведение которых было бы [этим] х. Это х я разделю на V2; частное будет 2х, т. е. удвоенной стороной квадрата х2; это ты уже знаешь; получается х равным 17 восьмым. К подстановкам. 1-е число будет 17 [восьмых], 2-е чис- число 1, 3-е 25/8. 24. Данное число разложить на два числа и сделать, чтобы их произведение было кубом без стороны. Пусть данное число будет 6. Положим 1-е число х; тогда остаток 6 — х будет 2-м числом. Остается, чтобы их произведение было кубом без стороны. Но их произведение будет §х — х2\ это должно равняться кубу без стороны. Образую куб на х, взятом сколько-то раз минус 1, пусть на 2х— 1. Построенный куб без стороны будет 8#3 + Ах — 12я2. Это должно рав- равняться 6а; — х2. Если бы количества х в каждой стороне равенства были равными, то остались бы для сравнения члены с^и х2, и х получилось бы рациональным. Но Ах получается из разности 6а; и 2а:, т. е. из утроенного 2х; и если из утроен- утроенного 2х вычесть 2х, то получится дважды 2х. Но 6 является произвольным согласно предположению. Таким образом, я вынужден отыскивать число, как это 2х, которое, бу- будучи взято 2 раза, давало бы 6. Это число есть 3. Я ищу 6х — х2, равное кубз7 без стороны. Теперь сторону этого куба я беру За: — 1; построенный на ней куб без своей стороны будет 6а; — ж х получается равным 26/27. К подстановкам. 1-е число будет 26, а 2-е 136 [двадцать седьмых долей]. 106
АРИФМЕТИКА КНИГА IV 25. Данное число разложить на такие три числа, чтобы [построенное] на них тело было кубом, сторона которого равнялась сумме разностей между этими числами. Пусть данное число 4. Так как составленное из трех чисел тело есть куб, то пусть он будет 8х3 и его сторона 2х. Но разность 2-го и 1-го чисел, затем 3-го и 2-го и, наконец, 3-го и 1-го чисел [в сумме] дает удвоенную разность 3-го и 1-го чисел, т. е. если три числа не равны, то сумма трех разностей будет вдвое больше разности крайних чисел. По предположению мы имеем сторону куба, равную 2х\ тогда 2х должно быть суммой всех трех разностей; следовательно, 3-е больше 1-го на х. Пусть 1-е число равно какому-нибудь количеству #-ов, положим 2х\ тогда 3-е число будет Зх. А так как составленный из трех объем будет 8хг и произведение 1-го и 3-го равно 6#2, то остаю- остающееся 2-е будет AЧ^)х. И если бы 2-е число было больше 1-го и меньше 3-го, то задача была бы решена. Но 2-е число получилось из де- деления 8 на произведение 1-го и 3-го. Но 1-е и 3-е не будут любыми числами, но разнятся на 1; следовательно, я дол- должен искать два числа, разнящиеся между собой на 1 и та- такие, чтобы 8, разделенное на их произведение, давало число, большее меньшего и меньшее большего. Положим меньшее равным х, тогда большее будет х + 1. Если я разделю 8 на их произведение, т. е. на о х2 + х, то получится среднее, равное 2 . Мы хотим, X —|— 33 чтобы оно было больше х и меньше х + 1. И так как раз- разность этих чисел есть 1, то разность между 1-м и 2-м мень- меньше 1 х), так что 2-е вместе с 1 будет больше 1-го. Но 2-е вместе с 1, взятое в долях х2 + х, будет 8 + х2 + X2 + X и это больше, чщх + 1. Умножим обе части неравенства на знаменатели: х2 + х + 8 больше хъ + 2х2 + х. 1) В этом месте под 1-м числом Диофант понимает наибольшее, Ш>Д 2-М среднее и под 3-м — наименьшее. (Прим. ред.) 107
ДИОФАНТ После отбрасывания подобных получается: 8 больше xs -\- х2. Образую куб. который включал бы х3 + х2. Пусть тогда сторона этого куба будет х + 1/s. И так как 8 боль- больше, чем х3 + х2, и куб на х + V3 также больше х3 + я2, то я приравняю их стороны, т. е. положу 2 = х -j- х/з> к # получится равным 5/3. К подстановкам. 1-е число будет 8/3, 2-е 9/5, 3-е 5/3. Множим все три на 15. 1-е число будет 40, 2-е 27 и 3-е 25. Так мы избавились от знаменателей и нашли три числа, чтобы построенный на них объем был кубом, сторона ко- которого равнялась бы сумме их разностей. Теперь я полагаю 1-е число равным 4О.г, 2-е 21х и 3-е 2Ъх\ образованный из них объем будет кубом, сторона которого равна сумме их разностей. Остается лишь срав- сравнить сумму трех этих чисел с заданным числом; дано же было 4. Таким образом, 92# равно 4; и х будет одна (двад- (двадцать третья). К подстановкам. 1-е число будет 40, 2-е 27 и 3-е 25 [двадцать третьих]. 26. Найти такие два числа, чтобы их произведение, сложенное с каждым из них, давало куб. Составляю 1-е число из кубического количества х-ов г)\ пусть оно будет 8х; 2-е полагаю х2 — 1; одно условие удов- удовлетворено: их произведение, сложенное с 1-м числом, дает куб. Остается лишь, чтобы их произведение вместе со 2-м числом давало куб. Но это произведение, сложенное со 2-м числом, будет х2 оно должно равняться кубу. Строю этот куб на стороне 2х — 1; и х будет 14/13. К подстановкам. 1-е число будет 112/13, 2-е 27/169. 27. Найти два числа, произведение которых минус каждое дает куб. Составляю, подобно предыдущему, 1-е число из куби- кубического количества х, пусть 8%, а 2-е полагаю х2 -f- 1, *) Мы сказали бы: их с коэффициентом, равным кубическому числу». перев.) 108
АРИФМЕТИКА КНИГА IV и их произведение минус <1-е будет кубом. Затем это про- произведение минус) 2-е дает 8хг -\- 8х — х2 — 1. Это должно равняться кубу, что невозможно х). Опять положу одно число равным кубическому коли- количеству плюс 1; пусть оно будет 8х + 1; другое же число х2. Тогда их произведение минус 2-е будет кубом. Опять их произведение без 1-го будет 8xs + г2 — 8х — 1; это приравняем кубу на стороне 2х — 1; и х получается рав- равным 14/13. К подстановкам. 1-е будет 125/13, а 2-е 196/169. 28. Найти такие два числа, чтобы их произведение, с прибавлением или вычитанием их суммы, было кубом. Так как произведение чисел вместе с суммой образует куб, то пусть этот куб будет 64. Затем, так как их про- произведение без суммы образует <куб, то пусть этот куб бу- будет) 8. Следовательно, удвоенная сумма [этих чисел], равная разности [этих кубов], будет 56, т. е. сумма равна 28. Но произведение этих чисел вместе с их суммой равно 64; следовательно, их произведение будет остатком, рав- равным 36. Теперь мне приходится найти два числа таких, что бы их (сумма была) 28, а произведение 36, [задача 127]. Пусть большее число будет х + 14; тогда меньшее 14 — х. Остается их произведение 196 — хъ приравнять 36, и получится х2 = 160. Если бы 160 было квадратом, то моя задача была бы решена. Но 160 представляет разность между 196 и 36. А 196 есть квадрат 14, и 14 представляет половину 28. Та- Таким образом, 196 представляет произведение полови- половины 28 на самое себя. Но 28 есть половина 56, так что 14 будет четвертью 56; а 56 есть разность двух кубов 64 и 8, а 36 — это половина суммы этих кубов. Таким образом, я пришел к тому, чтобы найти два куба, четверть разности которых, будучи умножена на самое себя, без половины суммы давала бы квадрат. Пусть сторона большего куба будет х + 1, а меньшего х — 1; и кубы будут: больший (я3) + Зх2 + Зх + 1, а меньший хъ -\- Зх — Зх2 — 1, и четверть их разности х) Уравнение легко решается, если взять куб на стороне (ъх \ или -—-х — i); этим методом Диофант воспользовался выше (IV24). П. Таппери.) 109
ДИОФАНТ 1V2 хг 4- V2. Умножение ее на самое себя дает Если из этого я вычту полусумму кубов, равную х9 то в остатке получится 1Д _ ;рВ _ 3* = Q- [Умножаем] все на знаменатель 4: 9а;4 + 6я2 + 1 — 4а:3 — Мх. Это равно квадрату, пусть на стороне Зх2 + 1 — 6х; сам он будет * + 42а:2 + 1—Збя3 — 12а и должен равняться Прибавим к обеим частям недостающие и отбросим подоб» ные члены, остается и х получается равным 9/8. К подстановкам. Я построил кубы на сторонах: один на х + 1, а другой на а; — 1, и стороны будут 17, а дру- другая 1 [восьмых долей], а сами кубы — один 4913/512, а другой 1/512. Я возвращаюсь к начальной задаче и ищу, чтобы про- произведение этих чисел вместе с суммой давало куб 4913/512, а без суммы куб 1/512. Так как произведение вместе с суммой дает куб 4913/512, а произведение минус сумма дает куб 1/512, то удвоенная сумма будет равна разности того и другого 4912/512, так что сумма будет 2456/512. Но произведение их вместе с суммой равно 4913/512, где сумма 2456/512, значит, произведение равно 2457/512. Это уже было показано в первой книге, а теперь будет показано ради самой задачи. Положим 1-е число равным х плюс полусумма обоих, т. е. 1228/512; тогда 2-е число будет 1228/512 — х, и сумма равна 2456/512; произведение же равно 1507984 2 _ 2457 262144 Х ~ 512 " 110
АРИФМЕТИКА КНИГА IV Умножим все на знаменатель, т. е. 262144, и из подобных вычтем подобные; получится 262144а;2 = 250000; и х равен 500/512. К подстановкам. 1-е число будет 1728/512, а 2-е 728/512, и доказательство очевидно. Иначе. Найти два числа таких, чтобы их произве- произведение после прибавления или вычитания их суммы было кубом. . В подобных задачах всякое квадратное число, разло- разложенное на сторону и остаток, образует [два числа], про- произведение которых, сложенное с суммой, будет кубом. Действительно, возьмем квадрат х2 и разложим его на [две части]: сторону и остаток. Они будут х и х2 — х, и их произведение, сложенное с суммой, будет кубом. Остается [сделать], чтобы их произведение минус сум- сумма давало куб. Но их произведение без суммы будет х3 — —2х2; это будет равняться кубу, меньшему, чшх*. Я обра- 1 в зую -тгз? и множу все на 8. Получится — 16х2 = а?\ и х получается равным 16/7. К подстановкам. 1-е число будет 16/7, 2-е 144/49. 29*. Найти четыре <квадратных> числа, сумма которых, сложенная с суммой из сторон, давала бы заданное число. Пусть это число будет 12. Всякий квадрат, сложенный с собственной стороной и одной четвертью, дает квадрат, сторона которого минус V2 образует некоторое число, являющееся стороной пер- первоначального квадрата; следовательно, четыре [искомых] числа, сложенные с собственными сторонами, равняются 12, а с прибавлением четырех четвертей образуют четыре квадрата. Но 12, сложенное с четырьмя четвертями (т. е. 1), дают 13. Это 13 надо разделить на четыре квадрата: если из стороны каждого я вычту V2, то получу стороны искомых четырех квадратов. Разложим 13 на два квадрата 4 и 9, а затем каждый из них разложим на два квадрата: один на 64/25 и 36/25, а другой на 144/25 и 81/25. Взяв теперь стороны каждого 8/5, <6/5; 12/5), 9/5, вычту из каждой по 1/2; это и будут стороны искомых квадратов 11/10, 7/10, 19/10, 13/10, а сами квадраты 121/100, 49/100, 361/100, 169/100, Ш
ДИОФАНТ 30. Найти четыре квадрата, сумма которых минус сумма их сторон давала бы заданное число. Пусть это число будет 4. Так как нужно, чтобы 1-й [квадрат] без своей стороны и 2-й без своей стороны и 3-й и 4-й также без своих сторон, [сложенные вместе], давали 4, а всякий квадрат без своей стороны, но с добавлением V4 дает квадрат, сторона кото- которого с прибавкой V2 представляет сторону первоначаль- первоначального квадрата, то все четыре искомых квадрата без своих сторон, но с добавлением четырех четвертей, т. е. 1, об- образуют сумму четырех квадратов. Но и сумма четырех [искомых квадратов] без своих сторон равна 4, а если при- прибавить 1, то она обратится в 5. Итак, мне нужно разделить 5 на четыре квадрата. [Если к каждой стороне я прибав- прибавлю V2, то найду стороны искомых квадратов.] х) Итак, 5 разделяется на четыре квадрата: 9/25, 16/25, 64/25 и 36/25. Беру стороны этих квадратов: они будут 3/5, 4/5, 8/5 и 6/5. Прибавляю к каждой 1/2 и нахожу стороны: 11/10, 13/10, 21/10, 17/10. Следовательно, искомые квад- квадраты будут: 121/100, 169/100, 441/100 и 289/100. 31. Единицу разложить на два числа и прибавить к каждому по такому заданному числу, чтобы произведение [сумм] было квадратом. Пусть будет нужно разложить 1 на два числа и приба- прибавить к одному 3, а к другому 5 и сделать произведение квадратом. Положим 1-е число х, а 2-е 1 — х; если к 1-му приба- прибавить 3, то оно станет х + 3; если же ко 2-му прибавить 5, то оно будет 6 — х\ их произведение Зх + 18 — х2 — Пусть это будет Ах2. Придадим к обеим частям недостаю- недостающее, получим Зх + 18 — 5х2, и равенство не рационально. Но 5 есть квадрат, сложенный с 1; надо, чтобы это ко- количество, умноженное на 18 и сложенное с половиной от Зх 2) в квадрате, т. е. с 2V4, составляло fj- Таким обра- образом, нужно отыскать квадрат, который, сложенный с 1, после увеличения в 18 раз и добавления 2V4 давал бы О Пусть [3] будет х2; он вместе с 1, увеличенный в 18 раз и с добавлением 21/4, дает iSx2 + 20V4 = Г]. Все на 4, *) Вероятно, era фраза была вставлена комментаторами.(#ргш. ред.) *) Мы бы сказали: от коэффициента ири Зх. (Прим. ред.) 112
АРИФМЕТИКА КНИГА IV будет 72#3 + 81 = C Образуем этот Г] на 8х + 9; и по- получаем х = 18. К подстановкам: Ц будет 324. Возвращаюсь к исходному равенству За + 18 — х2 = ?• Положим квадрат равным 324га; ж получается равным 78/325, или 6/25. К подстановкам: 1-е число будет 6/25, а 2-е 19/25. Иначе. Единицу разложить на два числа и приба- прибавить к каждому по заданному числу, так чтобы произве- произведение сумм было квадратом. Нужно 1 разложить на два числа; к одному прибавить 3, а к другому 5, и произведение сделать квадратом. Полагаю 1-е х минус 3, т. е. то число, которое надо при- прибавить. Тогда оставшееся 2-е число будет 4 — х. Если к 1-му прибавляется 3, то получается х, а если ко 2-му 5, то будет 9 — х. Их произведение будет 9х — #2, что нужно приравнять к квадрату; пусть он будет 4х2: >a и х получается 9/5. К подстановкам. Не могу отнять 3 от х. Значит, нужно, чтобы х был больше 3, но меньше 4. Но х найден делением 9 на 5, которое будет квадратом плюс 1. Если же 9 после деления на некоторый квадрат плюс 1 дает 3, то, следовательно, число, на которое мы делим, будет 3; но частное от деления 9 на квадрат плюс 1 должно быть больше 3, так что квадрат с 1 (будет мень- меньше 3>, и если отнять 1, то квадрат будет (меньше) 2. Далее, мы хотим разделить 9 на квадрат с 1 и получить 4. Тогда на что мы делим (будет 2У4. На что же делится) 9 будет квадрат с 1, так что если частное должно быть меньше 4, то квадрат с 1 будет больше, чем 2V4. Отнимем 1; квадрат будет больше 1V4. Но показано, что квадрат меньше 2; и мне приходится искать некоторый квадрат, который больше 1х/4, но мень- меньше 2. Разложу это на квадратичные доли, именно на 64-е; они обратятся в 80 и в 128; теперь уже будет легко: квад- квадрат будет 100/64, т. е. 25/16. 113
ДИОФАНТ Теперь возвращаюсь к первоначальной задаче; я искал 9х — х2 — []]; по найденному этот квадрат т§х2\ и х по- получается 144/41. К подстановкам. 1-е число будет 21, а 2-е 20 [сорок первых]. 32*. Данное число разложить на такие три части, что- чтобы произведение 1-го на 2-е плюс или минус 3-е было квадратом. Пусть данное число будет 6. Положу 3-е число х, а 2-е составлю из числа единиц, меньшего чем 6; пусть их будет 2. Тогда 1-е число будет 4 — х. Остаются два условия относительно произведения 1-го на 2-е: если к нему прибавить или из него вычесть 3-е, то должен образоваться квадрат. И получается двойное равенство: 8 — х = ? и 8—Зх = Q И рациональным оно не будет, так как отношение чисел при х не является отношением между квадратными чис- числами. Но [число] при а: на 1 меньше 2, а при Зх — на 1 боль- больше 2. Мне приходится искать некоторое число, вместо 2, такое, чтобы после прибавления и вычитания 1 (полу- (полученные числа имели между собой отношение, как квадрат к> квадрату. Пусть искомое число будет х; если к нему прибавить 1, оно будет х + 1, а если отнять, то а; — 1. Мы хотим, чтобы эти количества имели между собой отношения квадратных чисел. Пусть это отношение будет 4 к 1. Тог- Тогда х — 1, умноженное на 4, даст Ах — 4, а х + 1, умно- умноженное на 1, <даст х + 1>. И эти полученные числа имеют между собой отношение квадратных чисел. Теперь из ра- равенства Ах — 4 = # + 1 получается х равным 5/3. Беру 2-е число равным 5/3, ибо 3-е будет х; тогда — 1-е число будет -~- — х. Остается условие, чтобы произведение 1-го на 2-е по- после прибавления или вычитания 3-го давало квадрат. Но произведение 1-го и 2-го вместе с 3-м дает 65 2 Т ~~ Tf x 114
АРИФМЕТИКА КНИГА IV а минус 3-е — Умножая все на 9, получаем 65—6х = Q 65—24я = Q Числа при х уравниваю, умножая на 4 большее ра- равенство; тогда будет 260—24я = ? и 65—2Ах = Q Теперь беру разность этих выражений, она будет 195; и полагаю два числа, произведение которых равно 195, это будут 15 и 13. Их полуразность, умноженная на себя§ равна меньшему квадрату; и х получается 8/3. К подстановкам. 1-е число будет 5/3, 2-е 5/3, а 3-е 8/3. И доказательство очевидно. 33. Найти такие два числа, чтобы каждое из них, по- получив от другого одну и ту же часть, или части, имело за- заданное отношение к остатку от давшего числа. Положим, что 1-е число, получая от 2-го некоторую часть или части, будет втрое больше остатка, а 2-е, полу- получая от 1-го такую же часть или части, будет в пять раз больше остатка 1). Положим, что 2-е равно х + i, а его часть или части будут 1, а 1-е Зх — 1. И 1-е, получив от 2-го такую же часть или части, т. е. 1, сделается втрое больше остатка. Мы хотим, чтобы и 2-е, получая от 1-го ту же часть или ча- части, было в пять раз больше остатка. Но так как оба числа вместе будут Ах и то, что 2-е получает, то 1-е дает, и 2-е становится в 5 раз больше остатка, то оба вместе, увеличивающиеся и остающиеся, будут 4ж, и остаток получится, когда мы от Ах возьмем 6-ю часть, т. е. B/3)#- Следовательно, если от Зх—1 отнимем B/8)#, то будем иметь часть или части от 1-го. Когда же отнимем, то остаток сделается -g- х — 1 ; тогда 7 берущее число 2-е, или х -\-1, взявши от 1-го -~- х — 1, ста- станет в 5 раз больше оставшегося от 1-го числа. j 3 (,), X 115
ДИОФАНТ" Теперь остается найти, будет ли 1 такой же частью от 7 х + 1, какой частью -~х — 1 является от Зх — 1. Если ты хочешь найти это, то произведение 7 -^х — 1 и х -f 1 должно быть равно Зх — 1, умноженному на 1; обе дроби перемножаются накрест: —. ¦7*2 | /у» ^^ Л Ц'К1 ___ '1 • г. Л р^ ^J^ •*< ""~~ X — KJtAs ^~^ X у О О и ж = 5/7. К подстановкам. 1-е число 8/7, а 2-е 12/7. 1 была какой-то частью 2-го числа; посмотрим, какой именно: 1, [деленная] на 2-е, будет 7/12. Оба числа умно- умножаю на семь. 1-е будет 8, 2-е 12, «части» же 7/12. Но так как 1-е число не имеет 12-й части, то утрою все их, чтобы избежать дробей; тогда 1-е число будет 24, 2-е 36, а «части» их 7/12, и доказательство очевидно. Лемма к нижеследующему. Найти два неопределенных числа, чтобы их произведение вместе с суммой образовало заданное число. Пусть это число будет 8. Положим первое х, а второе 3. И их произведение вме- вместе с суммой будет 4я + 3; это должно равняться 8. И х будет 5/4. К подстановкам. 1-е будет 5/4, а 2-е 3. Теперь посмотрим, откуда получилось 5/4; из деления 5 на [количество я-ов, т. е. 4]. Но 5 получилось из разно- разности 8 и 3; 4# будут на единицу больше 2-го числа. Следовательно, если в качестве 2-го числа мы возьмем сколько-то #-ов, отнимем их из 8, оставшееся разделим на 2-е число, увеличенное на единицу, то будем иметь 1-е число. Например, пусть 2-е будет х — 1; вычту его из 8; останется 9 — х. Это я разделю на 2-е, увеличенное на еди- g ницу, т. е. на х. И получится 1; это будет 1-е число. «и Так получается решение задачи в неопределенных чис- числах, когда их произведение вместе с суммой составляет 8. Это решение будет неопределенным, так как всегда, если кто-нибудь, взявши вместе х сколько угодно единиц, сде- сделает подстановку, задача будет завершена. 116
АРИФМЕТИКА КНИГА IV 34. Найти три таких числа, чтобы произведения лю- любых двух из них, сложенные с их суммами, образовали заданные числа. Заданные же числа должны быть квад- квадратами без единицы. Примем, что произведение 1-го и 2-го чисел, сложенное с их суммой, равняется 8, произведение 2-го и 3-го с их суммой равняется 15, произведение 1-го и 3-го с их сум- суммой равняется 24. Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го вместе с их суммой равнялось 8, то если я возьму 2-е равным чему- нибудь, вычту его из 8 и разделю остаток на увеличенное единицей 2-е число, то буду иметь 1-е число. Возьму 2-е в виде х — 1; если вычту это из 8 и разделю на увеличенное единицей 2-е число, то 1-е будет — — 1. Точно так же, если хочу, чтобы произведение 2-го и 3-го чисел вместе с их суммой давало 15, то, отняв <от 15> х — 1 и разделив остаток на 2-е число с единицей, т. е. на х, получу 6-е число 1. Теперь остается найти произведение 1-го и 3-го, сло- сложенное с их суммой; получится—г" — 1; приравняй это 24, найдем х = 12/5. К подстановкам. 1-е будет 33/12, 2-е 7/5 и 3-е 68/12. Приведем все к одному знаменателю; получается: 1-е 165/60, 2-е 84/60, 3-е 340/60. Лемма к нижеследующему. Найти такие два неопределенных числа, чтобы их произведение минус сумма равнялось заданному числу. Пусть это число будет 8. Положим 1-е х, 2-е 3; их произведение без суммы будет 2х — 3 = 8. И х получается равным 5V2. К подстановкам. 1-е будет 5V2, 2-е 3. Опять посмотрю, откуда получился х = 5х/2; это от де- деления 11 на 2; но 11 есть заданное число, сложенное со 2-м, а [количество я-ов, т. е. 2], будет 2-м числом, умень- уменьшенным на 1. Если я возьму 2-е число как угодно, то, сложив его с заданным и полученное разделив на 2-е чи- число без 1, найду 1-е. Пусть 2-е х -(- 1; это вместе с 8 даст х + 9. Разделю это 9 на уменьшенное единицей 2-е, т. е. на х, получится 1 -[- —. 117
ДИОФАНТ Найдено в неопределенных числах решение задачи: произведение двух чисел без их суммы сделать равным 8. 35. Найти такие три числа, чтобы произведения лю- любых двух из них минус их сумма равнялись заданным числам. Заданные числа должны быть квадратами без единицы. Пусть задано, что произведение 1-го и 2-го без их суммы равно 8, произведение 2-го и 3-го без суммы равно 15 и произведение 3-го и 1-го без суммы равно 24. Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го без их суммы равнялось 8, то, взявши 2-е число каким угодно, прибавим его к 8 и полученное разделим на 2-е, уменьшен- уменьшенное на 1, и тогда получим 1-е на основании предшествую- предшествующей леммы. Пусть 2-е число будет х +1; прибавляю к нему 8; по- получается х ~\- 9; это я делю на 2-е, уменьшенное единицей, g т. е. на х, и получаю 1 -\— ; это будет 1-е число. л С Подобно этому найдется и 3-е 1 -\ , и два уело- вия выполнены. Остается найти произведение 1-го и 3-го без их суммы: оно будет -rj- — 1 = 24; ; и х получится равным 12/5. К подстановкам. 1-е будет 57/12, 2-е 17/5 и 3-е 92/12. И если хочешь, чтобы у них были одинаковые доли, то возьми все в шестидесятых; 1-е будет 285, 2-е 204 и 3-е 460. Лемма к нижеследующему. Найти та- такие два неопределенных числа чтобы их произведение имело заданное отношение к их сумме. Примем, что их произведение втрое больше суммы. Положим 1-е х, 2-е 5. Их произведение будет 5х; мы хо- хотим, чтобы это равнялось утроенному х + 5. Тогда Зх + 15 будет равно 5х; и х получится равным 7V2- К подстановкам. 1-е будет 7х/2, 2-е 5. Теперь смотрю, откуда х получился 7V2; из деления 15 на [количество я-ов, т. е.] 2. Но 15 — это 2-е число, умно- умноженное на заданное отношение. А 2 получилось из разно- разности, на которую 2-е число больше отношения. Если мы положим 2-е число равным нескольким х, например х, и умножим его на отношение, то получим Зх; 118
АРИФМЕТИКА КНИГА IV если разделим это на разность, на которую 2-е число пре- превосходит отношение, т. е. на а; — 3, то первое число по- Зх лучится как -—о • 36. Найти такие три числа, чтобы произведение любых двух из них имело заданное отношение к их сумме. Примем, что произведение 1-го и 2-го чисел втрое боль- больше их суммы, произведение 2-го и 3-го вчетверо больше их суммы и произведение 1-го и 3-го в пять раз больше их суммы. Положим, что 2-е число будет х\ тогда вследствие лем- мы 1-е число о » & 3-е 7 . х — о 7 х— 4 Остается сделать, чтобы произведение 1-го и 3-го было в пять раз больше их суммы. Но произведение 1-го и 3-го равно » , ,о—=- , а сумма 1-го и 3-го чисел -9 , лп— Л/ I хм - I \Я/ *л* I X.U Но когда нужно складывать дроби, например Зх Ах и х — 3 х — 4 7 я-сы числителей множатся накрест на знаменателей, как, например, Зх на знаменателя другой дроби, т. е. х — 4, и Ах на знаменателя первой х — 3. Так сделано сложение 7х2 — 24# числителей, а в знаменателе <— произведение знаменателей, т. е. х2 +12) — 7х. Но мы имеем произведение 1-го и 3-го чисел Следовательно, я2+ 12 — 1х в 5 раз больше суммы. Но пятикратная сумма будет 35s8 — 12(Ь хг + 12 — 7х ' Умножим все на общий знаменатель, х2 -f-12 — 1х\ по- получается 12у2 = 35х2 — 120я. И х будет 120/23. К подстановкам. Ты имел 1-е ^ » 2-е ж, а 3-е X — о 119
ДИОФАНТ Было найдено, что х = 120/23. Если подставлять в 1-е число, то Зх будет 360. Остается знаменатель: 120 [два- [двадцать третьих] подставляем в х — 3, получаем 51. Окон- Окончательно 1-е число будет 360/51; 2-е 120/23, так как оно не имеет х в знаменателе; 3-е число, точно так же [подставля- [подставляем] 120/23 в Ах, получаем 480, и также [подставляем] в знаменатель 120 [двадцать третьих], т. е. в х — 4, полу- получаем 480/28, и доказательство очевидно. 37. Найти такие три числа, чтобы произведение лю- любых двух из них имело заданное отношение к сумме всех трех. Примем, что произведение 1-го и 2-го втрое больше суммы всех трех, произведение 2-го и 3-го вчетверо боль- больше всех трех и произведение 3-го и 1-го в пять раз больше всех трех. Так как произведение двух любых чисел имеет задан- заданное отношение к сумме трех, то я буду сначала искать три числа и еще одно произвольное, чтобы произведение двух любых имело заданное отношение к этому произвольному числу. Пусть это произвольное число будет 5. И так как про- произведение 1-го на 2-е втрое больше произвольного, т. е. 5, то, следовательно, произведение 1-го на 2-е будет 15. Пусть 2-е будет х, тогда первое равно 15/х. Затем, так как произведение 2-го и 3-го в четыре раза больше 5, то, значит, произведение 2-го на 3-е будет 20. Но 2-е есть х, тогда 3-е будет 20/ж. Остается, чтобы произведение 3-го и 1-го, т. е. 300/х2, было в пять раз больше 5. Получается, что ЗОО/я2 = 25. И если бы отношение двух видов было отношением квадрата к квадрату, то задача была бы у меня решена. Но 300 — количество Их2 — будет произведением 15 на 20. А 15 втрое больше 5 и 20 в четыре раза больше. Мы хо- хотим, чтобы утроенное 5, умноженное на учетверенное 5, имело к упятеренному 5 отношение квадрата к квадрату. Но 5 — это произвольное число х). Итак, мне приходится искать некоторое число, чтобы, оно, увеличенное в 3 ра- раза и умноженное на себя же, увеличенное в 4 раза, имело к пятикратному себе же отношение, как квадрат к квадрату. ») о &? e -cuxcov eoTtv. (Прим. ред.) 120
АРИФМЕТИКА КНИГА IV Пусть искомое число будет х; оно, увеличенное в 3 раза и умноженное на четырехкратное себя же, будет 12а?; теперь нужно, чтобы это имело к пятикратному х такое же отношение, как квадрат к квадрату. Мы, значит, хотим, чтобы 12х2 имело к 5х отношение, как квадратное число к квадратному. Следовательно, их произведение будет и само квадратом; итак, 60#3 = Ц. Это же легко: прирав- приравниваю 60хв к 900х2; и х получается равным 15. К подстановкам. Искомое будет 15. [Вместо 5] полагаю произвольное число равным 15; тогда произведение 1-го и 2-го будет 45. И 2-е число есть х; следовательно, 1-е будет 45/#. Таким же образом 3-е будет 60/ж. Остается, чтобы произведение 1-го и 3-го, т. е. 2700/ai2, было пятикратным 15: 2700 __ _ л 'У, И х получается равным 6. К подстановкам. 1-е число будет 7V2, 2-е 6 и 3-е 10. И если бы сумма трех чисел была 15, то искомое было бы найдено. Полагаю, что сумма трех равна 15#2, а сами три, выраженные в х, как мы нашли, будут: 1-е 7V2#, 2-е 6х, 3-е же Юж. Остается лишь, чтобы сумма этих трех чисел равня- равнялась 15#2, а сумма трех будет B3V2)#. Следовательно, х = 15а?; и х получается равным 47/30. К подстановкам. 1-е будет 352V2, 2-е 282 и 3-е 470 тридцатых. 38. Найти такие три числа, чтобы сумма этих трех, ум- умноженная на 1-е, давала треугольник *), умноженная на 2-е,— квадрат, а на 3-е, — куб. Положим сумму трех чисел х2, 1-е же 1/#2, взятое тре- треугольное число раз, например 6, 2-е 4-1/я2, а 3-е 1/х2 ку- кубичное число раз, пусть 8, *) Треугольное число есть сумма 1 + 2 + 3 4*;~ 4-* п = ^ ~ д, 8 /,\ -}- 1 = П. {Прим ред. 121
ДИОФАНТ И ж2, умноженное на 1-е число, дает 6 — треугольное число, умноженное на 2-е, дает 4 — квадратное число, а умноженное на 3-е — 8 — кубическое число. Остается, чтобы сумма трех была а?, но эта сумма рав- равна 18/а?: ж2 = 18 i . Множим все на а?, получится я4 = 18. Теперь нужно, чтобы 18 было квадратным числом, сто- сторона которого тоже квадрат. Но 1.8 представляет сумму треугольного, квадратного и кубического чисел. Мне при- приходится искать, каким образом квадрат, сторона которого есть квадрат, можно разделить на треугольник, квад- квадрат и куб. Пусть квадрат будет я4 +1—2я2. Тогда, если я от ж4 отниму я4 -}-1—2а?, то в остатке получится 2а? — 1; это опять нужно разделить на треугольник и куб. И пусть куб будет 8; тогда останется треугольник 2а? — 9, кото- который нужно приравнять треугольнику. Но всякий треугольник, взятый 8 раз и получивший прибавок 1, становится квадратом. Следовательно, 16х2— — 71 = О- Строю этот квадрат на стороне 4а; — 1. Квад- Квадрат будет 16а? + 1-—8ж; и х будет равен 9. К подстановкам. Треугольник будет 153, квадрат 6400 и куб. 8. Возвращаясь к первоначальной задаче, я полагаю, что сумма трех чисел будет квадрат а?, 1-е число 153 -^ , так как оно должно дать треугольник; 2-е 6400 -§•, так как оно должно дать квадрат, и 3-е 8-^, так как оно должно дать куб; и ж2, будучи квадратом, на который множатся эти числа, дает и треугольник, и квадрат, и куб- Сумма трех этих чисел должна равняться а?; она будет 6561-^ = а?. Множим все на а;2, получается хА = 656*; и х будет 9. К подстановкам. 1-е число будет 153/81, 2-е 6400/81 и 3-е 8/81; и доказательство очевидно. 39*. Найти такие три числа, чтобы разность наиболь- наибольшего и среднего имела заданное отношение к разности сред- 122
АРИФМЕТИКА КНИГА IV него и наименьшего и, кроме того, суммы двух любых чи- чисел давали квадрат. Потребуем, чтобы разность наибольшего и среднего была втрое больше разности среднего и наименьшего. Так как сумма среднего и наименьшего должна быть квадратом, то пусть этот квадрат будет 4. Тогда среднее должно быть больше двойки; пусть оно будет х + 2; следовательно, меньшее будет 2 — х. И так как разность между наибольшим и средним втрое больше разности между средним и наименьшим, а раз- разность среднего и наименьшего равна 2ху то разность наи- наибольшего и среднего будет 6х, и, значит, большее будет 1х + 2. [Наибольшее 1х + 2, среднее х + 2, наименьшее 2 — х.] Остаются два условия: сумма (наибольшего и наименьшего должна дать квадрат, и сумма наибольшего) и среднего тоже должна дать квадрат. И получается двой- двойное равенство: $х _|_ 4 - ? и 6я + 4 = Q И так как числа единиц являются квадратными, то ра- равенство решается легко. Я образую два числа, чтобы их произведение равня- равнялось 2х, как мы знаем для двойных равенств; пусть эти числа будут г/2 х и 4; тогда х получится 112. При переходе к подстановкам я не могу от двух отнять х, т. е. 112; по- поэтому я хочу иметь х меньшим 2, так чтобы 6х -\- 4 были меньше 16. Действительно, если двойка множится на и прибавляется 4, то получается 16. Так как я ищу [решения] 8х + 4 = Q и а квадрат двойки, т. е. 4, является квадратом, то у меня получились три квадрата: 8х +4, и разность наибольшего и среднего чисел является треть- третьей частью разности среднего и наименьшего. Итак, я при- пришел к необходимости найти такие три квадрата, чтобы разность наибольшего и среднего была третьей частью разности среднего и наименьшего, кроме того, чтобы наи- наименьший квадрат равнялся 4, а средний был меньше 16. Возьмем наименьший квадрат 4, а сторону среднего х + 2; тогда сам квадрат будет хг + 4# + 4. 123
ДИОФАНТ Так как разность наибольшего и среднего [квадратов] является V3 разности среднего и наименьшего, а разность среднего и наименьшего есть х2 -f- 4ж, так что разность наибольшего и среднего будет VgZ2 + 1V3?, а среднее число есть х2 -)- Ах -\- 4; тогда наибольший квадрат будет 14 Зх2 +5Va*+4 = Q Все на 9: 12х2 + 48х + 36 = ?. Берем четвертую часть: Зх2 + 12ж + 9 = Q Еще я хочу, чтобы средний квадрат был меньше 16, а сторона его, конечно, меньше 4. Но сторона среднего х + 2. И это должно быть меньше 4. Отбросив общее 2, получим, что ж меньше 2. Итак, мне нужно сделать Зх2 + 12я + 9 квадратом. Образую Q] на стороне 3 минус некоторое [число] х. Тогда х получится равным этому числу при х, взятом 6 раз с прибавлением 12 (т. е. количества х в уравнении), причем вся сумма разделена на разность, на которую квад- квадрат на этом числе больше 3— количества х2 в уравнении *). Итак, мне нужно отыскать какое-то число, взятое 6 раз с прибавлением 12 и разделенное на разность, на которую квадрат этого числа больше 3, [оно и] дает частное, мень- меньшее 2. Пусть искомое число будет х 2); оно, взятое 6 раз с до- добавлением 12, дает 6х + 12; квадрат же на нем минус 3 будет х2 — 3. Итак, я хочу разделить Qx + 12 на я2 — 3 и сделать частное меньше 2- Но 2, разделенное на единицу, дает частное 2. Значит, 6х + 12 имеет к х2 — 3 отношение меньшее, чем 2 к 1. И одна площадь не равна другой; значит, произведе- произведение 6х + 12 и 1 меньше произведения 2 на f — 3, т. е. Qx + 12 меньше 2х2 — 6. Добавив к обеим сторонам по 6, получим 6х -f- 18 меньше 2х2. 6?С -\~ 12 4) То есть если квадрат образован на 3 — kx, то х — — . {Прим. ред.). а — 3 *) Диофант вводит здесь новое неизвестное, которое обозначает тем же сим- символом, чт# и первоначальное. {Прим. реб.) 124
АРИФМЕТИКА КНИГА IV Когда мы решаем такое уравнение, то множим поло- половину [числа] при х на себя, получится 9, а также 2 при х2 на 18, получится 36; прибавляем к 9, получится 45; сторона [такой площади] не меньше 7. Прибавь половину количества я, (получится не менее 10; раздели на число при я2); будет не менее 5. Теперь мне нужно Зя2 + 12я + 9 приравнять квадра- квадрату на стороне 3 — 5х; и х получится 42/22, или 21/11. Сторону среднего квадрата я полагаю х -f 2; сторона квадрата будет 43/11, а сам квадрат 1849/121. Возвращаюсь к первоначальной задаче и полагаю 1849/121, являющееся квадратом, равным Qx + 4; множим на 121; и х получается 1365/726, что будет менее двойки. [Мы возвращаемся] к подстановкам первоначальной задачи; мы полагали среднее число х -f- 2, наименьшее 2 — х, а наибольшее 1х + 2. Наибольшее будет 11007/726, среднее 2817/726 и наименьшее (третье) 87/726. И так как знаменатель 726 не является квадратом, но только его 6-й частью, то, взявши 121, что будет квадратом, и разделив п л 1834у2 о 469V2 о 14V2 все на о, получим: 1-е число 121 , 2-е ' и 3-е -т^- . Если ты желаешь [получить] целые числа, то для уничтожения 2/г помножь на 4. Тогда будут: первое число 7338/484, второе 1878/484, третье 58/484. И доказатель- доказательство очевидно. 40. Найти такие три числа, чтобы разность, на которую квадрат наибольшего числа превышает квадрат среднего, имела заданное отношение к разности среднего и наимень- наименьшего чисел; кроме того, суммы взятых попарно чисел должны быть квадратами. Пусть разность на которую квадрат наибольшего чис- числа превышает квадрат среднего, будет втрое больше разно- разности среднего и наименьшего чисел. Так как наибольшее число вместе со средним образует квадрат, то пусть он будет 16.x2. Следовательно, наиболь- наибольшее число будет больше 8.x2; пусть оно будет 8х2 + 2. И поскольку сумма наибольшего и среднего чисел больше суммы наибольшего и наименьшего и" сумма* наи- наибольшего и среднего равна 16z2, то, следовательно, сумма наибольшего и наименьшего будет меньше 16а;2, но больше 8.x2. Пусть сумма наибольшего и наименьшего будет 9х2. И сумма наибольшего и среднего равна 16:г2, из которых 125
ДИОФАНТ наибольшее берет 8х2 ~\~ 2. Тогда среднее число будет 8.x2 — 2, а наименьшее число х2 — 2. И я хочу, чтобы разность квадратов наибольшего и среднего чисел была в 3 раза больше разности среднего и наименьшего чисел, но разность квадратов наибольшего и среднего чисел будет 64#2, а разность среднего и наимень- наименьшего чисел равна 7х2; мы желаем, чтобы 64х2 было втрое больше 7х2, а 7а;2, взятое 3 раза, дает 21#2. Но [ко- [количество] х2 получилось [из произведения] 32 на 2. И вот мне нужно найти некоторое число, которое, будучи взято 32 раза, дало бы 21; оно будет 21/32. 21 Я полагаю наибольшее число равным 8х2 + ^ »сРеД~ 21 21 нее число 8х2 — ^ , а наименьшее х2 — ^ . Остается одно условие, чтобы сумма среднего и наимень- наименьшего числа была квадратом. Но среднее и наименьшее число [вместе] дают 9х2 — ^, что должно равняться ква- квадрату, пусть на стороне Зх — 6. Их получается равным 597/576. К подстановкам. Наибольшее число будет равно 3069000/331776, среднее 2633544/331776 и наименьшее 138681/331776, КНИГА V 1. Найти такие три числа в геометрической пропорции, чтобы каждое из них минус данное число было квадратом. Пусть <данное> число будет 12. Геометрическая пропорция получается, когда произве- произведение крайних имеет среднее в качестве стороны. Прежде всего ищу, какой <квадрат> после вычитания 12 <дает квадрат). Это не представляет трудностей [см. задачу П10], и такое число будет 42V4. 126
АРИФМЕТИКА КНИГА V <Теперь первое число из крайних полагаю равным 42х/4>? второе же х2; тогда среднее будет F1/2)^. Нужно, чтобы каждое из остальных чисел минус 12 образовало квадрат и было х2 - 12 = ? и FVa)z — 12 = Q Их разность равна х2 — (б1^)^; деление на х дает частное х — 672- Половина разности, умноженная на себя, 169/16; это приравниваем меньшему, т. е. FV2) # — 12. И ж будет 361/104. 2346х/ 2 К л /oi / подстановкам. 1-е число равно 421/4, 3-е 130321/10816. 2. Найти такие три числа в геометрической пропорции, чтобы каждое из них после прибавления заданного числа было квадратом. Пусть заданное число 20. Опять отыскиваю какой-нибудь квадрат, который после прибавления 20 остается квадратом; это будет 16. Теперь одно из крайних я беру равным 16, а другое я2, тогда среднее будет 4#, и по предшествующей [задаче] остается искать + 20 - ? и х2 + 20 = И их разность есть х2 — 4#. Деление: делитель х, частное х — 4. Половина разности, умноженная на себя, дает 4, которое надо приравнять меньшему 4я + 20; это же не- невозможно, ибо 4 должно быть не менее 20. Но 4 является четвертой частью 16, а 16 не будет каким угодно числом: это квадрат, который после приба- прибавления 20 является квадратом; значит, мне предстоит искать, какой квадрат имеет четвертую часть большую 20 и сложенный с 20 дает квадрат. Этот квадрат будет больше 80. Но 81 есть квадрат больший 80; следовательно, если за сторону искомого квадрата возьмем х + 9, то тогда сам квадрат будет х2 + 18# + 81; он вместе с 20 должен сделаться квадратом; следовательно, х2 + 18ж + 101 ра- равно квадрату. Пусть он на стороне х — 11; тогда этот квадрат будет х2 + 121 — 22х. Приравниваем его х2 + + 18# + 101. И х получается 1/2. Сторона же искомого квадрата была х + 9; значит, квадрат будет 127
ДИОФАНТ Теперь возвращаюсь к началу и полагаю одно из крайних 9074» а третье х2. Тогда среднее будет 97г х\ и мне надо искать х1 + 20 — Q и (ЭУгЬ + 20 = Ц. И разность есть х2 — (97г)#; делитель и частное будут х и х — 97г- Поло- Половина разности, умноженная на самое себя, будет 361/16, которое надо приравнять меньшему, т. е. (97з)# + 20; и получится х = 41/152. OQQ1 / К подстановкам. 1-е число будет 9074? 2-e-.ro2 и 3-е 1681/23104. 3*. К данному числу подыскать такие три числа, чтобы каждое, а также произведение любых двух из них, будучи прибавлены к заданному числу, давали квадрат. Пусть данное число 5. И так как в «Поризмах» г) мы имеем: «Если каждое из двух чисел и их произведение вместе с заданным числом образует квадрат, то они получились из двух последовательных квадратов», то я беру два последовательных квадрата, 1-й на х + 3, 2-й же на х -f 4. И получаются квадраты: 1-й х2 Jr 6х + 9, 2-й же х2 + 8х + 16. Вычитаю из каждого по 5 и полагаю: 1-е х2 + Qx + 4, 2-е х? -f 8x + 11, а 3-е беру равным их удвоенной сумме без 1, т. е. 4х2 + 28х + 29. Следовательно, остается, чтобы и это, сложенное с 5, да- давало квадрат. Пусть 4гк2 + 28я + 34 равно квадрату на стороне 2х — 6. Это будет 36 ~ 24ж - 4х2 + 28ж + 34 и х получается 1/26. ») Этот поризм, но -видимом у, имеет отношение ко второму, также потерян- потерянному, решению 10-й задачи книги III, где спрашивается, при каких ус* ловиях удовлетворяются уравнения XtXz -г о. = П, ягх3 + а = G, Xs^i -j- a — \J, или, если положить xs ~ 1, хг + а = G, х2 -\- а — П, ххх% 4* а — П. Если согласно гюризму взять хх = х2 — а, зс2 = (х + l)z — а, то jct^cs = (зс2 + к — аJ — а. Нужно, однако, замезшть, что ЭТО деление не является общим. (Прим. П. Танпери.) 128
АРИФМЕТИКА КНИГА V К подстановкам. 1-е число 2861/676, 2-е 7645/676 и 3-е 20336/676. 4. Для данного числа подыскать такие три числа, что- чтобы каждое из них или произведение двух любых минус данное число было квадратом. Пусть заданное число будет 6. Опять таким же образом полагаю два последователь- последовательных квадрата: 1-й я2, 2-й х2 + 2х + 1, прикладываю ^к ним заданное число и беру: 1-е х2 + 6, 2-е х2 + 2х + 7, а 3-е равным удвоенной их сумме без 1, т. е. 4я2 + кх <+ + 25. Следовательно, остается, чтобы и это число минус 6 было квадратом. Тогда 4х2 + 4я + 19 должно равнять- равняться квадрату, положим на стороне 2х — 6. И этот квадрат будет Ах2 + 36 — 24х, равный Ах2 + 4ж> + 19. И х бу- будет 17/28. К подстановкам. 1-е число будет 4993/784, 2-е 6729/784, 3-е 22660/784. 5. Найти такие три квадрата, чтобы произведение двух любых, сложенное с их суммой или с оставшимся, давало квадрат. Мы опять имеем в «Поризмах» г): «Для двух любых последовательных квадратных чисел находится еще одно число, равное удвоенной сумме обоих квадратов вместе с двойкой; оно обра- образует число, большее из трех, таких, что произведе- произведение любых двух из них, сложенное или с их суммой, или с оставшимся третьим, дает квадрат». Положим эти три взятых квадрата: 1-й х2 -+- 2х -\- 1, 2-й х2 + Ах + 4, а 3-й 4х2 + 12я + 12. Теперь нужно построить это 3-е 4#2 + 12х + 12 так, чтобы оно равнялось квадрату. Разделив на 4, будем иметь х2 + Ъх + 3 = Д. Этот квадрат я строю на х — 3; он тогда будет я* + 9 — 6х - х2 + Зх + 3; и х будет равен 2/3. К подстановкам. 1-е число будет 25/9, 2-е 64/9 и 3-е 196/9. 6. Найти такие три числа, чтобы каждое из них минус двойка давало квадрат и также чтобы произведение любых Этот потерянный поризм, по-видимому, относится к 15-й задаче книги III. См. также Ш**. (Прим. П. Танпери.) 129
ДИОФАНТ двух чисел минус их сумма или остающееся число тоже давало квадрат. Если к каждому из найденных в предшествующем чисел я прибавлю двойку, то полученные числа удовлетво- удовлетворят заданному; и нужно сказать следующее. Возьмем как 1-е из искомых чисел х2 + 2, 2-е х% -\- ~Ь 2х + 3, 3-е же Ах2 + Ах + 6; и задания выполняются. Теперь остается приравнять квадрату Ах2 + Ах + А или его четверть, т. е. х2 + х + 1- Если в качестве стороны квадрата возьмем разность х — 2, то квадрат будет х2 + 4 — Ах = ж2 + я + 1. И х окажется равным 3/5. К подстановкам. 1-е число будет 59/25, 2-е 114/25, 3-е 246/25, и доказательство очевидно. [Первая] лемма к нижеследующему. Найти такие два числа, чтобы их произведение вместе с суммой их [квадратов] давало квадрат. Пусть 1-е будет я, а 2-е сколько хочешь единиц, напри- например 1; их произведение будет х, а сумма квадратов х2 + 1; вместе с х получится х2 + х + 1 - пусть он будет на стороне х — 2. Тогда квадрат будет х2 -f- 4 — Ах = х2 + х + 1; и х равен 3/5. К подстановкам. 1-е будет 3/5, 2-е 5/5; если отбросить знаменатели, то 1-е будет 3, а 2-е 5, и они удовлетворяют предложенному, ибо [сумма] их квадратов вместе с их произведением дает квадрат. Если умножить 3 и 5 на какое хочешь число, то полу- получающиеся числа тоже удовлетворят условиям. [Вторая] лемма к нижеследующему*. Найти три прямоугольных треугольника, имеющих одинаковые площади. Прежде всего нужно найти такие два числа, чтобы их квадраты вместе с произведением их давали (квадрат. Это уже показано выше; искомые числа будут 3 и 5; их квадраты вместе с произведением дают квадрат), имеющий сторону 7. 130
АРИФМЕТИКА КНИГА V Теперь строю три прямоугольных треугольника на двух числах: 7 и 3, затем 7 и 5 и, наконец, 7 и сумме упомянутых чисел 3 и 5, т. е. 8, следовательно, 7 и 8. Это будут треугольники 40, 42, 58; 24, 70, 74; 15, 112, ИЗ. И эти треугольники имеют одинаковую площадь 840. 7*. Найти такие три числа, чтобы квадрат каждого числа, увеличенный или уменьшенный на сумму этих трех чисел, был квадратом. И так как мы ищем квадрат 1-го числа, увеличенный или уменьшенный на сумму трех и равный квадрату, а у всякого прямоугольного треугольника квадрат гипоте- гипотенузы, увеличенный или уменьшенный на четырехкратную площадь, дает квадрат, то, следовательно, [искомые] три числа будут гипотенузами прямоугольного треугольника и сумма этих трех будет учетверенной площадью треуголь- треугольников, которым принадлежат гипотенузы. Мне нужно найти три треугольника с одинаковыми площадями. Но это уже сделано выше, и это будут треугольники D0,42, 58), <24, 70, 74) и A5, 112, ИЗ). Теперь, возвращаясь к первоначальной задаче, я строю в х-ах три гипотенузы этих треугольников, и они будут: 1-я — 58#, 2-я — 74я и 3-я — 113#. Сумму трех я беру в #, учетверенную площадь в х2. Таким образом, ЗЗбОх2 = = 245а:; и х получается 7/96. К подстановкам. 1-е число будет 406/96, 2-е 518/9G и 3-е 791/96. Лемма к нижеследующему. Для трех за- заданных квадратов можно найти такие три числа, чтобы произведения двух любых давали заданные квадраты. Действительно, если заданные квадраты будут 4, 9 и 16 и одно из искомых чисел х, то два остальных будут 4/х и 9/х; остается лишь, чтобы произведение 2-го и 3-го чисел давало 16. Но произведение 2-го и 3-го чисел будет 36/ж8 = ? - 16; и х получается равным 7 К подстановкам. 1-е число 1г/2, 2-е 21/2г/в и 3-е 6. Чтобы все это было изложено методически, пишу 36/.х2 равно 16 и умножаю все на х2; получается 1&х2 = 36, 131
и х2 будет 16-й частью 36; сторона этого квадрата будет 6/4. Но 6 — произведение сторон [квадратов] 4 и 9, т. е. [ко- [количеств] 2 и 3, а знаменатель, т. е. 4, является стороной квадрата, [равного] 16. Если тебе предложат найти три числа таких, чтобы произведения двух любых давали заданные квадраты, например 4, 9 и 16, то образуй произведение сторон [квадратов] 4 и 9 — получится 6; раздели это на сторону 16 (— квадрата); получится 1-е 6/4. Теперь опять 4 (— ква- квадрат) раздели на 6/4; получится 16/6; затем 9 (— квадрат) раздели на 6/4; получится 6. Следовательно, числа будут: 1-е 6/4, 2-е 16/6, 3-е 6. 8. Найти такие три числа, чтобы произведние любых двух из них, если прибавить к ним сумму всех трех или вычесть ее, давало квадрат. Опять отыщем сначала три треугольника, (имеющих равные) площади, и, найдя их, возьмем квадраты гипоте- гипотенуз; это будут 3364, 5476 и 12769. Имея их, найдем, как описано выше, три числа такие, чтобы произведения любых двух из них образовывали заданные квадраты; пусть это будут приведенные выше. Мы получим их вследствие того, что каждый из этих квадратов, если приложить к нему или вычесть 3360, дает квадрат и 3360 есть учетверенная площадь каждого из этих треугольников. Вследствие этого я полагаю в 4292 9 380132 q 618788 4292 взятые попарно их произведения образуют данные выше квадраты. Остается сумму этих трех приравнять 3360#2; для полу- получения одинакового знаменателя превратим его в [484996]1). тт , 18421264 о Г42954916 И 1-е получится равным [484996] х, 2-е [-^gSog-J 699230441 б [131299224-1 _ QQftM L 4о4УУи J Умножив ее на [484996], получим 131299224* --= [1629586560b2 х) В тексте стояло неверное число 121249, что привело к необходимости ис- исправить и дальнейшие выкладки. (Прим. ред.) 132
АРИФМЕТИКА КНИГА V х - [131299224/1629586560]. Взявши общий делитель, получим х = [781543/9699920]. К подстановкам. 1-е ... *) [¦ __ 781543 __ 781543 __ 7815431 Xl ~~ 255380 f Хг ~~~ 109520 ' Хъ ~ 67280 9*. Разложить единицу на две дроби и прибавить к каж- каждой из них заданное число так, чтобы получился квадрат. Данное число не должно быть нечетным, (и удвоенное от него, увеличенное на единицу, не должно делиться на простое число, которое, после прибавления единицы, является кратным четырем) 2). Предположим, что к каждой дроби добавляется 6 и получается квадрат. Так как мы желаем разложить единицу, прибавить к каждой части 6 и образовать квадрат, то, значит, сумма квадратов должна равняться 13. Таким образом, нужно разложить 13 на два квадрата, чтобы каждый из них был больше 6. Если я разложу 13 на два квадрата, разность которых меньше единицы, то решу задачу. Беру половину 13; получится 6х/г; и ищу, какую квадратичную дробь нужно придать к 67г для образования квадрата. Увеличим все в 4 раза. Тогда я буду искать, какую квадратичную дробь нужно приложить к 26, чтобы получился квадрат. Пусть 1 1 прибавляемая дробь будет — и 26 + —$ = Г~|. Множу все на хг\ получается 26а? + 1 = Ц. Пусть будет на стороне Ъх -{-1; и получим х равным 10. Тогда я2 будет 100, а 1/ж2 будет 1/100. Таким образом, к 26 нуж- нужно придать 1/100, а к 6V2 — одну четырехсотую, что дает квадрат на стороне 51/20. Таким образом, 13 надо разложить на два квадрата так, чтобы сторона каждого была возможна ближе к 51/20. И будем искать, что надо вычесть из 3 и прибавить к 2, чтобы получить именно 51/20. *) Конец задачи в рукописи отсутствует. (Прим* ред.) ') Текст задачи испорчен. Ограничение приведено по реконструкцн» Ц. Тан- нери. (Прим, ред.) 133
ДИОФАНТ Образую два квадрата: один на Их -f- 2, а другой на 3 — 9я. Й сумма этих квадратов 202я2 + 13 - Юз - 13, откуда получаем х = 5/101. Значит, сторона одного квад- квадрата будет 257/101, а другого 258/101. И если от каждого из этих квадратов отнимем 6, то одна из долей единицы будет 5358/10201, а другая 4843/10201, и ясно, что каждая вместе с 6 единицами образует квадрат. 10. Разложить единицу (на две дроби) и к каждой прибавить по некоторому заданному числу так, чтобы образовались квадраты. Пусть предложено разложить единицу и прибавить к одной [части] 2, а к другой 6 так, чтобы каждая стала квадратом. Построим единицу АВ, рассечем ее в Г, к АГ прило- приложим АА = 2, а к ГВ приложим BE — 6; каждый отре- отрезок ГА, ГЕ будет квадратом. ¦о-о-о Д А Г В Е И так как АВ = 1, а сумма АА и BE равна 8, то вся АЕ окажется равной 9, и ее нужно разделить на два квад- квадрата ГА, ГЕ. Но так как один квадрат будет больше АА, т. е. двой- двойки, и меньше АВ, т. е. тройки, то я прихожу к тому, что заданный квадрат, т. е. 9, нужно разделить на два квад- квадрата АГ и ГЕ так, чтобы один из них, ГА, находился между двойкой и тройкой. Когда ГА будет найден, а АА — двойка — является данным, то, значит, оставший- оставшийся АГ будет найден. Но АВ является единицей, и, значит, оставшийся ВГ будет найден; тогда будет найдена и точка Г, которая подразделяет единицу. Порядок действия будет описан ниже. Пусть один из квадратов, находящийся между 2 и 3, будет х2; следо- следовательно, остающийся будет 9 — я2, он равен квадрату: «7 %JU — Приравнять это квадрату нетрудно, но должно най- найти хг между 2 и 3. Берем два квадрата: один больший 2, 134
АРИФМЕТИКА КНИГА а другой меньший 3. Они будут 289/144 и 361/144. Если мы можем вставить х2 между двумя упомянутыми квадра- квадратами, то задача будет решена. Нужно, чтобы сторона х2, т. е. х, была больше 17/12 и меньше 19/12; таким образом, приравнивая 9 — х2 квадрату, надо найти х большим 17/12 и меньшим 19/12. Чтобы сделать 9 — х2 равным квадрату, построим сторону на 3 минус сколько-то х-ов; мы найдем х полу- получающимся из некоторого числа, взятого 6 раз и разде- разделенного на квадрат этого числа, увеличенный на единицу. Таким образом, приходится отыскивать некоторое чис- число, которое, увеличенное в 6 раз и разделенное на уве- увеличенный единицей квадрат этого числа, дает частное {пара$оХг\) большее 17/12 и меньшее 19/12. Пусть искомое будет х1), и ищу согласно предыдуще- предыдущему условию, чтобы было 17 6z 19 г?! меньше ., , , меньше ~ . 12 х14 1 1 х1 Но 17, деленное на 12, дает в частном 17/12, значит, нужно, чтобы 2 . было больше 17/12. Таким образом, произведение 6х на 12, т. е. 72х, должно быть больше, <чем произведение х2 + 1 на 17, т. е. Пх2 + 17>. Половина количества ху умноженная на себя, дает 1296, вычти произведение количеств х2 и единиц 2), т. е. 289; остаток будет 1007; возьми его сторону; она не боль- больше 31; прибавь половину количества я-ов; она полу- получится не больше 67 [ = 31 +36]; раздели на количество х2; тогда х получится <не больше) 67/17. Подобно этому нужно, чтобы 2 . было меньше х -f- 1 <19/12>; мы найдем, что х будет не меньше 66/19, но не больше 67/17. Пусть х будет 3V2. Образую сторону квадрата на 3—3V2 х; квадрат будет 12V4 х1 +9—21х; приравниваю это 9 — х2, откуда х = = 84/53, а х2 = 7056/2809. Если из этого вычтем 2, то *) Здесь Диофант вводит новое неизвестное, которое обозначает тем же сим- символом, что и старое. (Пттм. ред.) 2) То есть вычитается произведение коэффициента при л2 на свободный член. Щрим. ред.) 135
ДИОФАНТ получится один отрезок единицы 1438/2809, так что вто- второй отрезок будет 1371/2809. И заданное выполнено. 11*. Разложить единицу на три числа, к каждому из них прибавить одно и то же заданное число и сделать каждое квадратом. Нужно, однако, чтобы данное число не было двойкой, а также и числом, полученным из двойки увеличением на кратное восьмерки. Пусть будет задано разложить единицу на три числа и прибавить к каждому из них по 3 так, чтобы каждое из них сделалось квадратом. Нужно снова разложить 10 на три квадратных числа таких, чтобы каждое из них было больше 3. Если опять разложить 10 на три квадрата при помощи процесса при- приближения (см. задачу V9), то каждый из них бу- будет больше тройки, и мы сможем, вычитая из каждого из них по 3, получить дроби, на которые подразделяется единица. Возьмем третью часть 10, т. е. 3V3, и поищем, какую квадратичную дробь нужно придать к 3V3, чтобы полу- получить квадрат. Увеличим все в 9 раз. Теперь к 30 нужно придать некоторую квадратичную дробь и сделать це- целое квадратом. Пусть придаваемая дробь будет 1/ж2; множим все на #2. Тогда ЗОя2 +1 равно квадрату; пусть он будет на стороне Ъх + 1. Тогда этот квадрат будет 25Я2 + 10х + 1 =30я2 +1. Отсюда х = 2, х2 = 4 и 1/я2 = XU. Если к 30 прибавить V4, то к 3 V3 придается 1/36 и получится 121/36. Нужно разложить 10 на три квадрата так, чтобы сторона каждого квадрата была возможно ближе к 11/6. Но 10 складывается из двух квадратов, а именно 9 и 1. Разложим 1 на два квадрата: 9/25 и 16/25, так что 10 со- ставится из трех квадратов: " + §5 "т §5 • Нужно каждую из сторон этих квадратов построить возможно ближе к 11/6. Но стороны этих квадратов будут 3 и 4/5 и 3/5. Умно- Умножая все на 30, получим 90, 24 и 18. А 11/6 обратятся в 55; итак, нужно каждую из этих сторон построить (воз- (возможно ближе) к 55, 136
АРИФМЕТИКА КНИГА V Образуем одну сторону 3—35.Z, другую 31х + 4/5 и последнюю 37 х + 3/5. Сумма квадратов на них будет 3555я2 +10—116*. Приравниваем ее 10, откуда находим х = 116/3555. К подстановкам. Даны стороны квадратов, значит, и сами квадраты. Остальное очевидно. 12. Разложить единицу на три числа и к каждому из них прибавить по заданному числу так, чтобы каждое стало квадратом. Пусть заданы числа 2, 3 и 4. Опять приходим к раз- разложению 10 на три квадрата таких, что первый больше двойки, второй больше тройки и третий больше 4. Если мы разделим единицу пополам, придадим к каждому из данных чисел по V2, то надо будет искать один квадрат большим двух, но меньшим 2V2, а второй большим 3, но меньшим 3V2 и третий большим 4, но меньшим 4V2. И все это приводится к подразделению 10 — суммы двух квадратов,— [каждый из которых] делится на два новых квадрата так, чтобы один из них был боль- больше двух, но меньше 2V2. Если мы из этого вычтем двой- двойку, то получим одну из частей единицы. Затем, если другой из квадратов мы подразделим на два других квадрата так, чтобы один из них был больше 3, но меньше 3V2 и, если мы из него вычтем 3, то получим один из искомых. Таким же образом найдем и третий. 13. Заданное число разложить на три числа так, чтобы сумма двух любых давала квадрат. Пусть будет задано 10. И так как среди трех искомых чисел большее и сред- среднее дают квадрат и также среднее вместе с меньшим и меньшее вместе с большим, то, значит, три числа удвоен- удвоенные дадут три квадрата, из которых каждый будет мень- меньше 10. Но дважды взятые три [числа] дают 20; следова- следовательно, нужно 20 разложить на три квадрата, каждый из которых был бы меньше 10. Но 20 складывается из двух квадратов, именно 16 и 4; если один из искомых мы возьмем равным 4, то понадо- понадобится 16 разложить на два квадрата так, чтобы каждый из них был меньше 10. Но мы уже выучились, как задан- заданный квадрат разлагать на два квадрата так, чтобы один из них был больше 6 и меньше 10. 137
ДИОФАНТ Итак, пусть сумма обоих будет 16; нужно ее разло- разложить на два квадрата так, чтобы каждый из них был мень- меньше 10; и если каждый из них мы вычтем из 10, то найдем и остальные квадраты, которые, сложенные по два, об- образуют квадрат. 14. Заданное число разложить на четыре числа, ко- которые, взятые по три, [в сумме] давали бы квадрат. Пусть заданное число будет 10. Так как [сумма] (трех взятых) по очереди, начиная с 1-го, дает квадрат и то же самое дают три взятые, на- начиная со 2-го, а также три, начиная с 3-го, и три, начи- начиная с 4-го, то трижды взятые четыре числа дают в сумме четыре квадрата. Но взятые трижды четыре числа дают 30; таким образом, нужно 30 разложить на четыре квад- квадрата так, чтобы каждый был меньше 10; это же делается так. Найти искомые можно при помощи процесса прибли- приближения [см. Vu] каждого из них к 7V2 и последующего вычитания из 10. Или иначе: я вижу, что 30 складывает- складывается из 16, 9, 4 и 1. Возьмем 4 и 9; так как каждое из них меньше 10, то остается 17 разложить на два квадрата так, чтобы каждый из них был меньше 10. Если теперь, как мы выучились [см. Vlo] разложим 17 на два квадрата так, чтобы один из них был больше 8V2, но меньше 10, то каждый из них будет меньше 10; и если каждый из них мы отнимем от 10, то найдем остальные из искомых [одно будет 6, а другое 1, так что задача будет решена] г). 15. Найти такие три числа, чтобы куб суммы всех грех чисел, к которому прибавляется каждое из этих шсел, был кубом. Положим, что сумма трех чисел будет х, а искомые числа 1хъ7 26х3 и 63ж3; установлено, что куб суммы этих трех с прибавлением каждого из них образует куб; остается сумму трех приравнять х. Но сумма этих трех чисел будет 96а;3, так что 96ж3 = х. Разделив все на х, получим QQx2 = 1. И единица есть квадрат; если бы и 96я2 было квадра- квадратом, то задача была бы решена. Поэтому я ищу, откуда появилось 96. Это сумма трех чисел, каждое из которых 1) Слова, помещенные в квадратных скобках, Таннери считал интерполя- интерполяцией. (Яргш. ред.) 138
АРИФМЕТИКА КНИГА V вместе с единицей образует куб. Таким образом, дело приводится к отысканию трех таких чисел, чтобы каждое из них вместе с единицей давало куб и, кроме того, сум- сумма трех была квадратом. Положим сторону 1-го [куба] х +1, 2-го 2 — х, 3-го 2. Кубы будут: 1-й х3 + 3х2 + 3х + 1, 2-й бх2 + 8 — — х3 — 12я и 3-й 8. От каждого отнимаю по единице и по- полагаю 1-е х3 + Зя2 + Зя, 2-е бх2 + 7 — х3 — \2х и 3-е 7. Теперь остается, чтобы их сумма образовала квадрат: 9х2 + 14 — 9х = ?• Пусть он будет на стороне Зх — 4 и получится х = 2/15. Искомые числа будут: 1538/3375, 18577/3375, 7. Возвращаясь к первоначальной задаче, беру три числа: , 1538 з о 18577 3 Q - 3 3375 Зо/о Опять положим сумму трех равной х, и получится 43740 о 3375 х ~ Х' [Сократим] на 15 и [разделим] все на х\ получится 2916я2 = 225. И х будет 15/54. К подстановкам. Так и будет х). 16*. Найти такие три числа, чтобы куб суммы трех ми- минус каждое число было кубом. Положим опять сумму трех х, а самые числа -о-я3, 26 з 63 о ^ 27 #, та х • Опять сумму трех приравниваем х\ теперь некоторое кубическое количество будет равно х. [Разделим] все на х; получим некоторое количество квадратов, равное 1: L1728 Но единица есть квадрат; значит, должно быть квад- квадратом и количество х2. Откуда же получилось это коли- ,ч , 1538 / 15 \3 1538 ^ 18577 23625 >) 1-е равно — (_)=_ , w рйшо j^j , з-е равно ^^-. (Прим. 139
ДИОФАНТ чество х2? От тройки отнимаются три куба, каждый из которых меньше 1; [итак, задача] приводится к нахожде- нахождению трех кубов, каждый из которых меньше 1, а их сумма отнятая от тройки, образует квадрат. Будем искать каждый их этих кубов меньшим 1; если мы построим сумму этих трех меньшей 1, то каждый из кубов будет гораздо меньше единицы; таким образом, оставшийся [после их вычитания] квадрат будет больше 2. Построим остающийся квадрат большим 2; пусть он будет 21/А[ = 9/4]. Тогда нужно разделить на (три) куба 3/4 или какие-нибудь его кратные, могущие быть разде- разделенными на три куба. Пусть это будет 216; тогда нам нуж- нужно разделить 162 на три куба *). Но 162 представляет сумму куба 125 и разности двух кубов 64 и 27. Из «Поризмов» мы имеем: «Разность вся- всяких двух кубов равна сумме двух кубов» 2). Вернемся к первоначальной задаче и положим [числа соответственно равными] Xs, умноженному на найденные числа, а сумму всех трех полагаем х. Тогда получится, что сумма трех кубов по вычитании каждого из них дает куб. Было предложено, что сумма всех трех ранялась х. Но сумма этих трех будет 21/&сс3; это же равно х\ отсюда х получается 2/3- К подстановкам. 17. Найти три таких числа, чтобы куб суммы трех, будучи вычтен из каждого, давал куб. Положим опять, что сумма трех будет х, а эти три числа 2х3, 9.г3, 2&г3. Остается сумму этих трех приравнять х. Но сумма трех будет 39а;3, так что 39а;3 = х. Разделим на х: 39жа = 1. ») 216 = б3 = 53 + 43 + З3; -у- "B16) = 162 = 53 + 43 — З3. (Прим. П. Тапнери.) 4 *) Этот утерянный поризм, по-видимому, относится к 1-й и 2-й задачам IV книги. Если вместе с Баше положить то а3 + Э3 = а3 — Ь3. У Диофанта а ~ 4, Ь — 3. Таким образом, 3 + 3 303 V4 • (ш 40 \3^ /_5\3j (™L\3 1 ( 20 \ J " { [ ) + I J б3 [ 6 J ^ I 6-91 J """ { 6-91 ) [ 6 ) + Il82 J П" \Ш) ' (Прим. П. Танпери.) 140
АРИФМЕТИКА КНИГА V И если бы 39х2 <было квадратом, то задача была бы решена. Но 39) есть сумма трех кубов с 3; следовательно, нужно найти три куба, сумма которых с 3 была бы квадратом. Положим, что сторона 1-го куба будет х, 2-го 3 — х, а 3-го сколько-нибудь единиц, по- положим 1. И сумма трех кубов будет 9х2 + 28 <— 27#>. Взяв это вместе с 3, получим 9х2 f 31 - 27х = П = C* — 7J- И х получается 6/5. (Сторона 1-го будет 6/5,> 2-го 9/5 и 3-го 1. К кубу каждого из этих чисел я прибавляю 1 и воз- возвращаюсь к начальной [задаче]. Беру каждый #3, взя- взятый число раз из найденных, полагая, что сумма трех равна х. Остается сумму трех приравнять х\ но сумма трех равна -ое-^3; приравняв это х, получаем х = 5/17. К подстановкам [1-е 341/4913, 2-е 854/4913, 3-е 250/4913.] 18. Найти три числа, равные [в сумме] (квадрату), такие, чтобы куб суммы трех, сложенный с каждым из них, давал квадрат. Обозначим сумму трех чисел, чтобы она была квадра- квадратом, через х2, а искомые: 1-е Зя6, 2-е 8х6 и 3-е 15л:6. Тогда куб суммы всех трех, сложенный с каждым из них, ока- окажется квадратом. Остается приравнять квадрату сумму трех чисел. Но эти три числа вместе суть 26л:6; они равны х2. Разделив все на х2, получим 26ж4 = 1. Но 1 является квадратом, имеющим сторону квадрат- квадратную, так что 26я4 должно быть квадратом, имеющим квад- квадратную сторону; упомянутую же количество л;4 получи- получилось из некоторых трех чисел, каждое из которых вместе с 1 дает квадрат. (Итак, дело свелось к отысканию таких трех чисел, чтобы каждое из них вместе с 1 было квадра- квадратом) и еще чтобы сумма трех была квадратом со стороной тоже квадратом. Пусть 1-е из искомых будет я4 — 2х2, 2-е х2 -\~ 2х и 3-е х2 — 2х\ и ясно что каждое из них вместе с 1 дает квадрат и, наконец, три сложенные дают квадрат, (име- (имеющий стороной квадрат). Задача решена для неопреде- неопределенного х. 141
ДИОФАНТ Положим, что х — 3; тогда 1-е из искомых будет 63, 2-е 15 и 3-е 3. Возвращаемся к начальной задаче и опять положим все три вместе равными х2, а искомые 63х6, 15х6 и Зх6. Остается приравнять эти три х2, и получится 81я6 = х2\ и х будет 7з- Все остальное очевидно. 19. Найти три числа, равных [в сумме] квадрату, такие, чтобы куб суммы трех этих чисел по вычитании каждого из них давал квадрат 1). Опять нам нужно, как и раньше, разложить 2; куб числа 2 есть 8. От 8 мы должны отнять каждое число и получить квадрат. [Из утроенного 8 вычитаем 2; по- получается 22]. Теперь потребуется разделить 22 на три квадрата, каждый из которых больше 6. Если мы каждый из них вычтем из 8, то и получим искомые числа. Но уже было показано [Vu], как нужно делить 22 на три квад- квадрата, чтобы каждый из них был больше 6. 20. Данную дробь разложить на три дроби так, чтобы каждая из них минус куб суммы всех трех давала квадрат. Пусть данная дробь будет V4 и нужно V4 разложить на три дроби, как указано. Таким образом, нужно будет каждую из них минус 1/64 сделать квадратом. Следовательно, сумма трех минус 3/64 составляет сумму трех квадратов; и если к каждому из квадратов прибавим 1/64, то получим каждый из искомых. Г 1 3 " же нетрудно: \-г — g7 = 13 нт придется разложить на три квадрата, что нетрудно. Решение этой эадачи в рукописи не сохранилось. Фрагмент решения, ко- который следует за ней, относится к другой задаче. Баше де Мезириак пред- предположил, что между задачами 19 и 20 книги V были еще три, последняя из которых формулировалась примерно так: «Найти три числа, сумма ко- которых дана, и куб суммы минус каждое из них образует квадрат». Сох- Сохранившийся фрагмент является решением именно этой задачи, если дан- ное число равно 2. Подробнее о гипотезе Баше см. в комментариях. Там же приводится реконструкция решения задачи 19, принадлежащая Э. Ста- матису. (Прим. ред.) 142
АРИФМЕТИКА КНИГА V 21*. Найти три квадрата таких, чтобы тело, построен- построенное на трех, сложенное с каждым из них, давало квадрат. Положим, это тело из трех будет х2; поищем три квад- квадрата таких, чтобы каждый из них вместе с 1 был квадратом. Это можно получить из каждого прямоугольного тре- треугольника1); я беру три прямоугольных треугольника и, взявши квадрат одного катета, делю его на квадрат друго- 9 2 25 9 64 9 го катета; так найдутся квадраты -^ хА, щ#2, т^ х2, и ясно, что каждый из них вместе с х2 дает квадрат. Предполагается, что тело из этих трех равняется х2; л 14400 6 „ о это тело будет cigAOQ Приравняв это хг и разделив все на х2, получаем 14400 . 518400 [Приравниваем] сторону к стороне, получается 120 ж» _! 720 Х ~" ' Единица есть квадрат. Если бы тотт^2 было квадратом, то задача была бы решена. Но этого нет. Тогда нужно искать три таких прямоугольных треуголь- треугольника, чтобы тело из трех их катетов [а^^зЬ умноженное на тело из их оснований [Ь^^зЬ давало квадрат. Пусть его стороной будет произведение катетов iaxb^\ одного из прямоугольных треугольников. Если мы раз- разделим все на произведение катетов упомянутого тре- треугольника, то получится произведение катетов одного треугольника, помноженное на произведение катетов другого треугольника. И если один из треугольников мы возьмем C, 4, 5), то придется искать два прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катетов одного было в 12 раз больше произведения катетов другого или чтобы площадь одного была в 12 раз больше площади другого. Но если в 12, то, [отбрасывая квадраты], можно и в три. Дальше *) Если а2 = Ь» + с8, то -^- +1 = -^-, т. е. квадрату. Д*офШ*гвер«ГТреуголь- Д*офШ*гвер«ГТреугольники E, 4, 3), A3, 12, 5) и A7, 15, 8). {Прим, П. 143
ДИОФАНТ будет легко. Один треугольник будет (9, 40, 41), другой (8, 15, 17). Имея эти три прямоугольных треугольника, возвращаемся к первоначальной задаче 9 и полагаем три искомых квадрата равными: 1-йтттЯ2, 2-й #23й #2- И если построенное на них тело при- приравняем х2, то х получится рациональным. т» Г 9 225 81 6 о 6561 4 К подстановкам^ . -^ • Ттх = х > или 65535 х х2 = 256/81, х = 16/9. Искомые числа будут 16/9, 100/9, 4/25.] 22*. Найти три таких квадрата, чтобы образованное ими тело минус каждый из них было квадратом. Положим, что образуемое ими тело будет х2, а иско- искомые три квадрата берем из прямоугольных треугольников: 1-й 16/25, 2-й 25/169 и 3-й 64/289. Полагаю их в хг\ тогда я2, из которого вычитается каждый [из этих] квадратов, остается квадратом. Теперь нужно образованное этими тремя числами тело 2 а к 25600 б тт приравнять яг. Это тело будет 122Ю25 Приравниваем это х2 и делим все на х2; получается 25600 4 , я:4 = 1. 1221025 Единица есть квадрат, имеющий стороной тоже квад- квадрат; следовательно, 25600/1221025 тоже должно быть квадратом, <имеющим стороной квадрат), и опять дело приводится к отысканию трех прямоугольных треуголь- треугольников, у которых тело, образуемое тремя катетами и по- помноженное на тело, образуемое тремя гипотенузами, было бы квадратом. И если мы разделим [а1а2а3с1с2сз1 на [произ- [произведение] гипотенузы и катета 1-го треугольника, то [про- [произведение] гипотенузы и катета 1-го треугольника должно быть кратным произведения гипотенузы и катета [2-го треугольника], причем множителем является произведе- произведение гипотенузы и катета [3-го] прямоугольного тре- треугольника: [atfi— а2С2'а3Сз]^Пусть [3-й] треугольник будет C, 4, 5).'%''Дело сводится к нахождению двух прямо- прямоугольных треугольников таких, чтобы [произведение] ги- гипотенузы и катета в 1-м треугольнике было в 20 раз боль- 144
Арифметика книга v ше [произведения] гипотенузы и катета во 2-м треуголь- треугольнике: [a^i = 20я2с2Ь Если же в 20 раз, то [отношение площадей можно взять равным] 5. Это нетрудно. Больший треугольник будет 5, 12, 13, а меньший 3, 4, 5. Отправляясь от этих треугольников, нужно ис- искать два других таких, чтобы [произведение] гипотенузы и катета в одном треугольнике было 6, <а в другом 30>. Тогда в большем треугольнике гипотенуза будет1 6V2, а катет 60/13. В меньшем же треугольнике гипотенуза будет 21/2, а сторона, прилежащая к прямому углу, 12/5.. И взяв наименьшие подобные [треугольники], вернемся к первоначальной задаче: произведение трех квадратов-, полагаем х2, а сами квадраты будут 16 2 576 2 14400 2 25Х ' 625 *"' 28561^ * Остается произведение трех приравнять х2. Разделив все на х* и взяв сторону от стороны, получаем х = 65/48 К подстановкам. 23. Найти три таких квадрата, чтобы образуемое имиг тело по вычитании из каждого из них давало квадрат. Положим опять, что их тело равно я2, а сами они обра- образуются из каких-нибудь трех прямоугольных треуголь- треугольников; и здесь опять дело сведется к тому, что искалось в предыдущем предложении. Если и в этом предложении мы воспользуемся теми же прямоугольными треугольниками и положим искомые квадраты равными 25 о 625 2 28561 2 /у»? ма r?i то опять тело, образованное этими тремя, по вычете из; каждого будет образовывать квадрат. Остается лишь тело этих трех приравнять я2, и полу- получится, что х = 48/65. И все ясно. 24. Найти три таких квадрата, чтобы [произведение] любых двух из них, сложенное с 1, было квадратом. И так как я ищу произведение 1-го на 2-й, вместе с 1 дающее квадрат, то все это, умноженное на 3-й, будет квадратом. Таким образом, нужно, чтобы произведение 1-го на 2-й, <умноженное на 3-й), т. е. тело на трех вмес- 145
ДИОФАНТ те с третьим, давало квадрат, равно как и вместе с 1-м и со 2-м. Но это мы уже показали выше [см. V21L Таким образом, те же самые числа удовлетворяют искомому. 25. Найти три таких квадрата, чтобы произведение любых двух без единицы давало квадрат. [Умножим] все на 3-й; тогда произведение 1-го и 2-го на 3-й, т. е. произведение трех, из которого вычтен 3-й, будет квадратом. Также и произведение трех, из которого вычтены 1-й или 2-й, будет квадратом. Но это уже показано [см. V221- Те же три числа удовлетворяют и этому. 26. Найти три квадрата таких, чтобы произведение любых двух, отнятое от единицы, было квадратом. Опять в поисках произведения двух чисел, которые нужно вычесть из единицы, чтобы получить квадрат, умножив все на 3-й, можно свести все дело к отысканию трех чисел таких, чтобы произведение их, вычтенное из каждого числа, давало квадрат, а это мы уже сделали [см. V23]. 27*. Для заданного числа подобрать три квадрата так, чтобы два любых из них, сложенные вместе с заданным числом, давали квадрат. Пусть заданное число будет 15. И пусть одно из искомых будет 9. Нужно найти еще два числа таких, чтобы каждое из них, сложенное с 24[=9 + 15], давало квадрат и сумма обоих вместе с 15 тоже была квадратом. Итак, нужно искать такие два квадрата, чтобы каждый из них вместе с 24 давал квадрат. Возьмем какие-нибудь делители 24, которые образуют катеты прямоугольного треугольника. (Пусть один будет 6#, а вторым, соответствующим ему 2 4Лг, их полусумма будет — 4- За;. Пусть также) для 8х УС соответствующим будет 3/х, а полусумма обоих —- -f- 4#. Пусть стороной одного квадрата будет разность Зх, \ а другого — разность —- — Ах / . Каждый из квадратов на них с 24 дает квадрат. Остается, чтобы сумма обоих квадратов с 15 давала квадрат. Получаем 25x2^9-Q 146
АРИФМЕТИКА КНИГА V Пусть этот квадрат будет 25л;2. Тогда х = 5/6. 28*. Для данного числа подобрать три квадрата таких, чтобы сумма двух любых без заданного числа была квадратом. Пусть заданное число 13. Положим опять, что один из искомых квадратов будет 25. <Требуется найти два других таких), чтобы каждый из них вместе с 12 давал квадрат, а сумма их обоих минус 13 тоже давала квадрат. Опять возьмем делители Зх и 4/х. Сторона первого ли 2 квадрата получается как разность 172# » а сторона второго — как разность 2х . И каждый квадрат вмес- вместе с 12 будет давать квадрат. Остается лишь, чтобы сумма обоих минус 13 давала квадрат. Получается X* Пусть этот квадрат будет ~, и х получается 2. К подстановкам. 29*. Найти три таких квадрата, чтобы сумма квадратов на этих квадратах была квадратом. Положим, что искомые квадраты будут 1-й х2, 2-й 4 и 3-й 9 и сумма построенных на них квадратов будет х* + 97. Сравняем ее с квадратом на ж2 — 10; в остатке получится 20х2 = 3. Если бы каждая часть была квадратом, то задача была бы решена; а так она свелась к отысканию двух квадра- квадратов и некоторого числа таких, чтобы квадрат этого числа после вычитания квадратов на искомых давал некоторое <число), которое к удвоенному начальному числу имело отношение двух квадратных чисел1). Положим, что искомые квадраты будут: 1-й х2, 2-й 4, <а произвольное число х + 4); и квадрат этого числа после вычитания квадратов на искомых дал бы в остатке 8х2. Мы хотим, чтобы это к удвоенному (х2 + 4), т. е. к 2х2 -f- 8, имело отношение квадратного числа к квадрат- *) Дело обстоит так: мы положили х* + о* + Ь* ¦= (хг — у)*. Нужно най- найти агш Ьг и у такие, чтобы было 2LZI = ?• (Яргш. Я. Таннери.) 147
ДИОФАНТ ному числу. Возьмем от всех половину, тогда 4х2 к х2 + 4 будет иметь отношение квадратного числа к квадрат- квадратному числу. Но Ах2 является квадратом, так что х2 + 4 тоже рав- равно квадрату; пусть он будет на стороне х -\- 1; отсюда х = 1V2. Из искомых квадратов один будет 21/±, а другой 4, а произвольное число 6х/4. Помножим все на 4; полу- получим 1-й квадрат — 9, 2-й =16, а произвольное чис- число 25. Возвращаемся к первоначальной задаче и полагаем три квадрата: 1-й я2, 2-й 9, 3-й 16. И сумма квадратов на них будет я4 + 337. Это приравниваем квадрату на стороне х2 — 25; отсюда х — 12/5. Все остальное очевидно. 30. «Некто смешал вино в пять драхм и в восемь за конгий. Спутникам чтобы своим в плаванье радостным быть. Цену за все заплатил числом каким-то квадратным. Если прибавить к нему заданный счет единиц, То оно снова к тебе другим возратится квадратом; Будет его стороной конгиев сколько купил. Сколько во всем сочти восьмидрахмовых конгиев было, Также и всех остальных, стоивших только пять драхм?» Обозначаемое этой эпиграммой будет таким. Некто купил вино двух сортов, 1-е стоило 8 драхм за конгий, а 2-е 5 драхм, и заплатил за все цену, выражаемую квадратным числом; это число, сложенное с 60, образует квадрат, сторона которого равна количеству всех куплен- купленных конгиев. Скажи раздельно, сколько было восьми- и пятидрахмовых конгиев. Пусть количество конгиев будет х, так что цена станет х2 — 60. Дальше нужно приравнять х2 — 60 некоторому квадрату и сторону этого квадрата взять равной х минус сколько-то единиц. Но х2 — 60 складывается из двух чисел; цены восьми- восьмидрахмовых конгиев и цены пятидрахмовых; <и пятая часть цены пятидрахмовых конгиев) дает количество пятидрахмовых, а восьмая часть цены восьмидрахмовкх дает количество восьмидрахмовых. И так как общее ко- количество конгиев составляет х, то приходится некоторое число, равное х2 — 60, разделить на два числа так, чтобы 11% одного и V5 другого составляли х. 148
АРИФМЕТИКА КНИГА V И это я могу только сделать, если возьму х большим, 1 1 / чем -а- (х2 — 60), и меньшим, чем -^ (х2 — 60). Пусть х2 — 60 больше, чем Бх, и меньше, чем 8х. Так как х2 — 60 больше 5х, то придадим к обоим 60; тогда х2 больше 5х + 60. Таким образом, х2 равняется 5х и некоторому числу, большему 60, так что х необходимо будет не меньше 11. Затем, так как х2 — 60 меньше 8х, то придадим к обоим 60; тогда х2 равняется 8х и некоторому числу, меньшему 60; поэтому следует искать х не большим 12, но показано, что и не меньше И. Таким образом, нужно найти х большим 11, но меньше 12. Если мы ищем х2 — 60 равным квадрату, то образуем квадрат на стороне х минус какое-то число единиц; и х получится из какого-то числа, помноженного на себя и увеличенного на 60, а потом разделенного на себя удво- удвоенного. И дело сводится к отысканию некоторого числа такого, чтобы его квадрат, увеличенный на 60 и разделенный на себя удвоенного, давал бы в частном число, больше 11 и меньше 12. [Обозначим искомое через х2\ тогда х2 -+- 60, разделен- разделенное на 2х должно дать частное большим 11 и меньшим 12]1); х2 -\- 60 должно быть больше 22я; и 22х будет равно х2 и некоторому числу, меньшему 60. Значит, х не должно быть меньше 19. Далее, нужно, чтобы х2 -\- 60, разделенное на 2х, давало частное, меньше 12, так что х2 + 60 должно быть меньше 24#; тогда 24# будет равно х2 и некоторому числу, большему 60. Значит, х должно быть меньше 21. Но оно больше 19, пусть оно будет 20. Таким образом, приравнивая х2 — 60 квадрату, мы должны взять сторону последнего х — 20; отсюда полу- получается, что х — IIV27 а 22 = 13274- Отнимаю 60; останется 72х/4. Итак, нужно разделить 72V4 на два числа так, чтобы пятая часть 1-го и восьмая 2-го давали вместе 11V2. Пусть пятая часть 1-го будет 2; тогда восьмая часть 2-го будет 11V2. — х. Следователь- *) Эта фраза повторяет сказанное и считается позднейшей вставкой. (Прим, ред.) •) Здесь Диофант вводит новое неизвестное, которое обозначает тем же сим- символом, что и первоначальное. {IIvum. ред.) 149
ДИОФАНТ но, сами они будут: одно Ьх, а другое 92 — 8х. Оба вместе равны 72V4; значит, х = 79/12. Таким образом, пятидрахмового вина взято 6 конгиев 7 гемин1), а восьмидрахмового — 4 конгия 11 гемин. Остальное очевидно. КНИГА VI 1. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы гипотенуза минус каждая сторона, прилежащая к прямому углу, давала куб. Пусть искомый треугольник будет образован двумя числами2), и пусть одно будет х, а другое 3. Тогда гипотенуза будет х2 + 9, катет 6х, а основание я2-9. Если из гипотенузы вычесть одну из сторон при пря- прямом угле, т. е. х2 — 9, то получится 18, что не является кубом. Откуда же 18? Это дважды взятый квадрат 3. Поэтому нужно найти некоторое число такое, чтобы дважды взя- взятый квадрат его был кубом. Пусть искомое число будет х, и приравняем 2х2 кубу. Пусть он будет х3; тогда х равняется 2. Опять построим треугольник на х, но уже не на 3, а на 2. И гипотенуза получится равной х2 + 4, катет Ах, а основание х2 — 4. Тогда ясно, что гипотенуза по вычете основания, т. е. х2 — 4, будет кубом. Нужно, чтобы это было и по вычитании Ах; тогда х2 + 4 — Ах — кубу. Но это будет квадрат на стороне х — 2. Поэтому, если при- •) 1 конгий равняется 12 гемияам. (Прим. ред.) *) Если эти числа суть р. и v, то должно иметь место тождество (р,8 + \г)* = ~=Bp,v)* + (M-* — V2)8. Шрим. ред.) 150
АРИФМЕТИКА КНИГА VI равняем х — 2 кубу, то и решим задачу. Приравняем 8, и получится х = 10. Так образуется треугольник на 10 и 2; гипотенуза будет 104, катет 40 и основание 96, и все ясно. 2. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы гипотенуза, сложенная с каждой стороной при прямом угле, образовала куб. Если образуем искомый [треугольник] на двух числах, как в предыдущей задаче, то нужно искать, какой квад- квадрат при удвоении будет кубом; это квадрат на стороне 2, Образуем искомый [треугольник] на х и 2; тогда точно так же получится гипотенуза х2 -j- 4, одна из сторон при прямом угле Ах и другая 4 <—я2). Нужно, чтобы гипотенуза, сложенная и с другой из сторон при прямом угле, давала куб, но, переходя к подстановкам, находим, что х2 меньше 4 и, следовательно, х меньше 2. Приходится искать куб, который был бы меньше 4 и больше 2; таким кубом является 27/8. Тогда х -\- 2 = 27/8; и х получается 11/8. Итак, гипотенуза будет 377/64, а стороны при прямом угле — одна 135/64, а другая 5V2. Обратим в 64-е доли; треугольник будет 377, 135, 352, и все ясно. 3*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, сложенная с данным числом, была квадратом. Пусть данное число 5. Возьмем треугольник заданного вида Зх, 4х, 5х; его площадь плюс 5 будет + 5 - Пусть этот квадрат будет 9х2; отняв подобные от подоб- подобных, получим в остатке Зх2 = 5. Нужно, чтобы один вид относился к другому, как квадратное число к квадратному числу. Все приводится к отысканию прямоугольного тре- треугольника и квадратного числа таких, чтобы квадратное число без площади треугольника было 5- й частью квадрата, так как заданное число 5. Образуем (треугольник) на х (и Vz), его площадь х2 5 ; пусть сторона квадрата равна сумме х и г/х, взятой в количестве, равном удвоенному заданному числу 10/х, т. е. \х А . 151
ДИОФАНТ И квадрат получается равным х2 -| % + 20. Если 2 1 отсюда мы вычтем площадь, т. е. хг ^ , то останется 101 505 — -f- 20. Умножим это на 5; получится —т + 100 = Г]. Умножим на #2; будет 100х2 + 505 = Q. Пусть этот квад- квадрат имеет сторону Юх -\- 5; найдем х = 24/5. К подстановкам. Строим треугольник на 24/5 и 5/24; сторона квадрата будет 413/60*). Возьмем треугольник к 170569 2 в х-ах и его площадь, сложенную с о, приравняем Q nn дг; ODUU и остальное станет очевидным. 4. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь минус заданное число была квадратом. Пусть заданное число будет 6. Возьмем треугольник данного вида (За:, 4z, 5x), и согласно предложению 6х2 — 6 = Ц. Пусть квадрат 4#2; опять задача сведется к нахождению прямоугольного треугольника и квадратного числа та- таких, чтобы по вычитании этого квадратного числа из площади ушестеренный остаток был квадратом. Опять образуем треугольник на х и 1/#, а сторона квадрата пусть будет х минус Их, взятое в количестве, равном по- половине заданного числа, т. е. 3/х; тогда -^=4 х2 6 [Умножив] на б [и на х2], получим Збя2 — 60 = Q. Пусть этот квадрат будет на стороне 6х — 2, откуда получается х = 8/3. Итак, строим треугольник на 8/3 и 3/8, сторону же 8 9 37 квадрата возьмем -g я" = 24 • Найдя треугольник, беру Цстороны] его в rc-ах и, следуя предложенному, найду х рациональным. И [предложенное] выполнено. \ ("\ гипотенуза ( *) Стороны треугольника: 2, [—\ — (—"\ = , гипотенуза (~\ 332401 331151 „ / . 10 \2 площадь и вспомогательный квадрат (* +-J-) 14400 24 , 50 \2 /413 \2 Т + 1?) = ("во") 331151 „ ' площадь iiioT' и вспомогательный квадрат 152
АРИФМЕТИКА КНИГА VI 5. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, вычтенная из данного числа, давала квадрат. Пусть данное число будет 10. Опять возьмем треугольник Зх, Ах, 5х; получится Ю — б*2 = ?- И если мы сделаем его х2, взятым квадратное число раз, то опять все сведется к нахождению прямоугольного тре- треугольника и квадратного числа таких, чтобы квадрат, сложенный с площадью, равнялся 10-й части квадрата. Построим треугольник на х и 1/х, сторона квадрата пусть будет \-Ъх и сумма с площадью 26#2 + 10. Уве- jC личив это в 10 раз, получим 260а;2 -f- 100 = Q. Берем одну четверть: 65я2 -f 25 = []; пусть он будет на стороне 5 + 8х, откуда находится х = 80. К подстановкам. Найдем тем же способом, что и в предшествующем предложении. 6*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы площадь, увеличенная на одну из сторон при прямом угле, давала заданное число. Пусть это число 7. Возьмем опять треугольник, данного вида Зх, Ах, 5х; тогда Ьх2 + Зх = 7. И нужно, чтобы половина количества х, умноженная на себя и приложенная к произведению количества х2 <на количество единиц), образовывала квадрат. Но он не получается; так что надо найти такой прямоугольный треугольник, чтобы квадрат на половине одной стороны при прямом угле вместе с семикратной площадью образовывал квадрат. Пусть одна сторона при прямом угле будет х, а другая 1; составляем сумму 7 • у + (-jr) » множим все на 4 и полу- получаем 14г + 1 = П- И чтобы прямоугольный треугольник оказался раци- рациональным, нужно, чтобы и х2 + 1 было квадратом1). Разность будет х2 — 14е; делители х и х — 14; поло- половина их разности, умноженная на себя, даст 49. Прирав- Приравнивая это меньшему квадрату, получим х = 24/7. ') Имеем 14ас+1=П, х* -\- 1 — сумма квадратов катетов === П. Полу» чается двойное равенство. {Прим. псрез.)
ДИОФАНТ К подстановкам. Полагаю одну сторону при прямом угле треугольника равной 24/7, а другую 1. Умножая все на 7, получаем 24 и 7, а гипотенуза 25. [Взявши их в #-ах], получаем, что площадь вместе со стороной при прямом угле будет1) 8Ах2 + 1х. Это приравниваем задан- заданному числу 7, откуда получается (х — 1/4. Следователь- Следовательно, стороны треугольника) будут 7/4, 6, 25/4. Предложенное выполнено. 7*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь без одной из сторон при прямом угле давала заданное число. Пусть заданное число 7. Опять, если мы возьмем треугольник данного вида, то все сведется к нахождению прямоугольного треуголь- треугольника такого, чтобы половина одной перпендикулярной стороны, умноженной на себя и увеличенной семикратной площадью, равнялась квадрату. И стороны искомого треугольника будут 7, 24, 25. Беру все в .г-ах, и площадь после вычитания одной из перпендикулярных сторон будет 84#2 — 1х = 7, откуда х получается равным 2/3. К подстановкам. 8. Найти такой прямоугольный треугольник, чтобы его площадь, увеличенная на сумму перпендикулярных сторон, равнялась заданному числу. Пусть заданное число будет 6. Возьмем опять треугольник данного вида. Все сведет- сведется к нахождению прямоугольного треугольника, у ко- которого квадрат полусуммы перпендикулярных сторон, сложенный с ушестеренной площадью, давал бы квадрат. Положим, что одна сторона будет х, а другая 1; надо, чтобы [Умножив] на 4, получаем х2 + Ux + 1 = О [Кроме того, сумма квадратов катетов тоже равна квад рату]: 24 1) —.7 ¦= 84. (Прим. перез.) 2 154
АРИФМЕТИЙА КНИГА VI [Имеем двойное равенство, в котором] разность 14я, де- делители 2х и 7; половину их разности в квадрате [прирав- [приравниваем хг -f- 1]: 12V4 - откуда х = 45/28. Стороны [вспомогательного] треуголь- треугольника будут 45/28, 1, 53/28, или по умножении на 28я: Площадь с суммой перпендикулярных сторон будет 630я2 + 73х = 6, и х получится рациональным [х = 1/18]. т. Г45 28 53 К подстановкам. I ^g, j^ , jg. 9. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь минус сумма перпендикулярных сторон равнялась заданному числу. Пусть заданное число будет 6. И опять, если мы возьмем искомый треугольник за- заданного вида, то придется искать прямоугольный тре- треугольник такой, чтобы полусумма перпендикулярных сторон, умноженная на себя и увеличенная на шестикрат- шестикратную площадь, давала квадрат. Это уже было сделано, и [стороны] будут 28, 45, 53. Беру их в #-ах, и опять получится 630х2 — 73х = 6, откуда находим х = 6/35. „ [210 168 318 I К подстановкам. ^ t -35"' 5" • J 10*. Найти такой прямоугольный треугольник, чтобы его площадь, увеличенная на сумму гипотенузы и одной из перпендикулярных сторон, равнялась заданному числу. Пусть заданное число 4. И опять возьмем треугольник данного вида; все сведет- сведется к отысканию такого прямоугольного треугольника, чтобы полусумма гипотенузы и одной из перпендикуляр- перпендикулярных сторон, умноженная на себя <и увеличенная на учет- учетверенную площадь, давала квадрат. Образуем треугольник на 1 и х + 1; и произведение полусуммы гипотенузы и одной из перпендикулярных сторон на самое себя) будет 155
ДИОФАНТ а учетверенная площадь 4г* + 12а;2 -|- 8х. Таким образом, придется искать [х такой, что] х* + &z3 + l&z2 + 12д? + 1 = ?, пусть он будет на стороне Ьх ~\- 1 — х2; и х получается равным 4/5. Итак, образуется треугольник на <1 и> 9/5. Множим все на 5; тогда треугольник нужно будет образовать на 9 и 5. Беря наименьший из подобных, я полагаю в я-ах: получаю 2&г, 45#, 53#, а площадь, увеличенная на сум- сумму гипотенузы с одной из перпендикулярных сторон: 630а:2 + 81* = 4, откуда х — 4/105. « Г112 180 212 К подстановкам. |^_ , —, — 11*. Найти такой прямоугольный треугольник, чтобы его площадь минус сумма гипотенузы и одной из пер- перпендикулярных сторон, равнялась заданному числу. Пусть заданное число 4. И опять положим [треугольник] заданного вида. Все сведется к отысканию прямоугольного треугольника та- такого, чтобы его учетверенная площадь, увеличенная по- помноженной на себя полусуммой гипотенузы и одной из перпендикулярных сторон, давала квадрат. Можно пока- показать, что [треугольник] будет 28, 45, 53. Беру его в а;-ах, и получается 630а;2 — 81* = 4, откуда х = Ve. т, Г28 45 53 1 К подстановкам I -g »*тг • ¦§- • Лемма к нижеследующей задаче. Най- Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы (разность катетов была квадратом), а также и больший из катетов был квадратом и, наконец, площадь, сложенная с мень- меньшим катетом, образовывала квадрат. Образуем треугольник из двух чисел и предположим, что наименьший катет получается из удвоенного произ- произведения этих [чисел]. Теперь нужно найти два числа таких, чтобы их удвоенное произведение было квадратом, а также разность, на которую удвоенное произведение превышает разность их квадратов, тоже была квадратом. 156
АРИФМЕТИКА КНИГА VI Это же бывает и с двумя любыми числами, когда большее число вдвое больше меньшего. Остается сделать так, чтобы площадь треугольника, сложенная с наименьшим катетом, образовывала квадрат. Площадь треугольника в 6 раз больше биквадрата (мень- (меньшего) числа, и меньший катет равен утроенному квадрату того же числа. Делим все на квадрат меньшего числа; следовательно, будем искать такое число, чтобы его ше- шестикратный квадрат плюс 3 составлял квадрат. Таковы единица и бесконечное множество других чисел; поэтому искомый прямоугольный треугольник строится на числа 1 и 2 х). Другая [лемма], нужная для той же задачи. Для двух данных чисел, сумма которых со- составляет квадрат, можно найти бесконечное число квадра- квадратов, каждый из которых, умноженный на одно из данных <и сложенный с другим числом), образует квадрат. Пусть даны два числа 3 и 6. Нужно найти квадрат, произведение которого на 3, сложенное с 6, образует квадрат. Пусть искомый квадрат .г2 -j- 2х +1; получаем Зх2 + %х + 9 = ?; и это возможно сделать бесконечным числом способов вследствие того, что число единиц является квадратным. Пусть квадрат построен на стороне 3 — Зх и х равня- равняется 4; таким образом, сторона этого квадрата будет 5. Можно найти и бесконечно много других квадратов. 12*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, сложенная с любой стороной при прямом угле, составляла квадрат. Возьмем треугольник данного вида 5х7 12а;, 13х; по- получим ЗОя2 + 12ж = ? [и ЗОя2 + 5х = ГЦ]. Пусть 30#2 -{-12# равно 36#2; и х получается равным 2. Итак, х = 2; но нужно, чтобы ЗОх2 + 5х было квадра- гом; но оно не будет им. Теперь дело сводится к отысканию некоторого квадрата, избыток которого над 30, деля 12, давал бы в частном число, квадрат которого, взятый 1) Предполагается, что в тождестве BjivJ + (ц* — V2J — (ц2 -f v2J имеем Д = 2v. (Прим. перев.) 157
ДИОФАНТ 30 раз, после прибавления упятеренного найденного числа образовывал квадратное число. Пусть искомый квадрат будет х2; <если я вычту 30 и на остаток разделю 12, то получится) число -^—^; квад- квадрат его будет ^гХдооТГбОж2 .Умножая на 30 и прикладывая 60д;2 + 2520 пятикратную сторону, получаем ^ + 9QQ _ 6(ь, . Знаменатель есть квадрат. Тогда нужно, чтобы и 60а? + 2520 было квадратом. Но х есть сторона некоторого квадрата; Следовательно, нужно его найти); взяв я2 шестьдесят раз и прибавив к 2520, мы должны получить квадрат. Таким образом, если, изменив треугольник, построим числа 60 и 2520 так, чтобы они в сумме давали квадрат, то задача будет решена. Но 60 [получилось] из произведения сторон, прилежащих к прямому углу, а 2520 — из произведения большего катета, разности ка- катетов и площади. [Задача] сводится к нахождению такого прямоугольного треугольника, чтобы произведение сто- сторон при прямом угле, сложенное с произведением большего катета, разности этих катетов и площади, давало квадрат. И если мы положим, что больший катет есть квадрат, и разделим все на него, то нужно, чтобы меньший катет вместе с произведением площади на разность катетов образовывал квадрат. Все сводится к нахождению двух чисел: (произведения) площади на разность катетов <и меньшего катета) — и к поискам некоторого квадрата, который, помноженный на одно из данных и (сложенный с другим), давал бы квадрат. Но имеются вышедоказанные леммы, и пусть треуголь- треугольник будет 3, 4, 5. Полагаю его в я-ах; нужно сделать, чтобы %х2 -f- ix равнялось квадрату и 6х2 -\- Ъх равнялось квадрату *). Далее, если мы решим большее уравнение, *) В вспомогательном треугольнике C, 4, 5) площадь равна 6, а катеты 3 и 4. Таким образом, + 4jc = О = f2*2, 6я2 + Ззс = П. д Первое уравнение дает «число» х — — . Подстановка во второе уравне- I* — в нение по отбрасывании квадратов дает 12t2 -h 24 = ? = Ы2 + 6. Это — задача, решенная во второй лемме: / — 5. Искомый х — г __ = —. (Прим. перев.) 158
АРИФМЕТИКА КНИГА VI 4 tj- * 16 то получится «число» хъа • квадрат его будет Следовательно, ушестеренный квадрат вместе с утроенным «числом» будет й^6~__12 а *<таким образом, 12я2 -f> 24 является квадратом, который, умноженный на меньшее из данных и сложенный с большим, образует квадрат. Таким числом является 25, так что х2 = 25; и х = 5. Следовательно, отыскивая решение равенства 6х2 + -)- 4# = квадрату, приравняем 25ж2, и получается х= = 4/19. о 12 16 20 Значит, треугольник ^, j^ , jg , и предложенное выпол- выполнено. 13*. Найти прямоугольный треугольник такой, что- чтобы его площадь минус каждый из катетов была квад- квадратом. Опять, если мы положим этот треугольник данного вида, как в предшествующем предложении, то дело све- сведется к нахождению прямоугольного треугольника, по- подобного 3, 4, 5. Положим его в х-ах; получится 3zt 5х и 6я2 — Ах — Г Положим квадрат меньшим 6х2; тогда х появится как частное от деления 4 на избыток, который 6 имеет над некоторым квадратом. Если положить этот квадрат ft1 x), получим, что нужно сделать бх2 — Зх = ГЛ. Но 96 ~~ t* + 36 — Ш2 и утроенная сторона 12 72 — И если числитель вычтем из 96 с тем же знаменателем, то в остатке получим 36 — 12** ' *) Это новое неизвестное Диофант обозначает тем же символом, что и пер- первое. Во избежание путаницы мы вводим для него новую букву %. Диофант принимает, что 6л8 — kx = tlx*. (Прим. pea.) 159
ДИОФАНТ Но знаменатель является квадратом, так что и 12t2 -f 24 должно быть квадратом, и t = 1. Теперь я полагаю 6х2 — 4я = ж2, и х получается 4/5. Значит, стороны искомого прямоугольного треугольника будут 12/5, 16/5, 4. Если ты не хочешь пользоваться значением 1, то по- положим меньшее т -\-1 х). Тогда 3Z2 -{- 6 равносильно Зт2 + 6т + 9, которое нетрудно приравнять квадрату. Значение т получится не больше 13/9, значит, t будет не больше 22/9, и его квадрат, вычтенный из 6, сделает х рациональным. 14*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь без гипотенузы или одной из сторон при пря- прямом угле была квадратом. Пусть будет треугольник данного вида Зж, 4#, 5х, и опять придется искать бя2 — 5х = Ц и 6#2 — Ъх = [3 Тогда х будет частным от деления 3 на 6 — t2 2). Найдя таким образом х, получаем по 54 И нужно от 54 f2 _|_ 36 — 1 [2?2 90- + 36 — Ш2 * <отнять 5х>, это будет и остаток приравнять квадрату. Но остаток будет 15*2 — 36 t.4 4- 36 — Знаменатель есть квадрат, так что должно быть квадра- квадратом и 15г2 — 36. Но это равенство невозможно вследствие того, что 15 не разделяется на два квадрата. Однако первоначальная задача вообще не будет невозможной; таким образом, нужно воспользоваться треугольником другого вида, т. е. необходим диоризм. Действительно, 15?2 получилось из некоторого квадрата, меньшего площади, умноженного на произведение гипотенузы и одного из катетов, а вычита- *) Здесь Диофант вводит новое, третье по счету, неизвестное, которое обо- обозначает той же буквой, что и первые два. (Прим. ред.) з) Диофант вдюць цолаг^ет, что сторона квадрата равна t*x*. (/Jpiwt. peQ. 160
АРИФМЕТИКА КНИГА VI емое 36 получилось из произведения площади, одного катета и разности между гипотенузой и этим катетом. Й дело пришло к тому, чтобы сначала найти прямоуголь- прямоугольный треугольник и квадратное число, меньшее площади и такое, чтобы квадрат, умноженный на произведение гипотенузы и одного из катетов, после вычета тела, представляющего произведение площади, упомянутого катета и разности, на которую гипотенуза превышает (упомянутый катет, представлял бы квадрат. И если мы образуем треугольник на двух числах, и предположим), что упомянутый катет получился из уд- удвоенного произведения этих чисел, и разделим все на квад- квадрат их разности, (т. е. разности между гипотенузой и упомянутым катетом) х), и если числа, образующие пря- прямоугольный треугольник, мы возьмем подобными площа- площадям [имеющим отношение квадрата к квадрату], то решим задачу. Образуем треугольник из чисел 4 и 1. Чтобы сделать квадрат меньшим площади, возьмем его равным 36. Образовав треугольник, беру его в #-ах: 8ху 15я, 17я; площадь его минус один из катетов будет 60ж2 — 8х; приравняем ее 36а?; и х получается равным V3. К подстановкам. Треугольник будет 8/3, 15/3, 17/3, и предложенное выполнено. Лемма к нижеследующему. Даны два числа; если некоторый квадрат, помноженный на одно из них, после вычитания другого дает квадрат, то можно найти и другой квадрат, больший упомянутого и произ- производящий то же самое. Пусть даны два числа 3 и 11 и некоторый квадрат, например, на [стороне] 5, который, умноженный на 3, минус 11 дает квадрат на стороне 8. Ищем другой квадрат, больший 25, который произ- производил бы то же. Пусть сторона квадрата будет х -{-5; квадрат будет хг -j- Юх 4-25. Умножая это на 3 и вычтя 11, получаем оэг -f- 30# -{- 64; пусть это равно квадрату на стороне 8 — 2х. И получается х = 62. Тогда CTopopia квадрата 2 2 *) Пусть эти два числа будут Хх иХг- Гипотенуза будет Х1 + Х%. Вычитая катет, равный 2ХгХг, получаем (Хг — Х2J. Другой катет будет х\ — х\. (Прим. П. Таннери,) 161
ДИОФАНТ будет 67, а сам квадрат 4489, и он удовлетворяет пред- предложенному. 15*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, сложенная с гипотенузой или с одной из сторон при прямом угле, давала квадрат. Если мы возьмем треугольник заданного вида, то нам опять придется устроить диоризм и искать другой прямо- прямоугольный треугольник и квадратное число, большее пло- площади, чтобы квадрат, помноженный на (произведение) гипотенузы и одного из катетов искомого прямоугольного треугольника минус тело, получившееся от произведения площади, упомянутого катета и разности, на которую гипотенуза превосходит этот катет, <а эта разность и сама должна быть квадратом), образовал квадрат. Образуем треугольник из 4 и 1, а квадрат возьмем 36; он не будет больше площади. Итак, мы имеем два числа: одно — произведение гипотенузы и одпого из ка- катетов, т. е. 136, и другое телесное, образуемое площадью, одним катетом и разностью гипотенузы с упомянутым катетом и равное 4320. И так как некоторый квадрат, именно 36, умноженный на 136 и уменьшенный на 4320, образует квадрат, то будем искать другой квадрат, боль- больший 36. Если мы положим его равным я2 + \.2х +36 и будем следовать предшествующему доказательству, то найдем бесконечное количество квадратов, удовлетво- удовлетворяющих поставленной задаче; один из них будет 676. Итак, возьмем прямоугольный треугольник 8х9 17.г; получится х2 +8х = 676х2, откуда х = 1/77. tj» Г 8 15 17 1 К подстановкам. ^ , ^ , т! А 16. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы при рассечении пополам одного из его острых углов длина биссектрисы была рациональной. Пусть биссектриса будет Ъх, один из отрезков основа- основания Зх; следовательно, другой катет будет 4#. Положим, что первоначальное целое основание равня- равнялось скольким-то единицам, кратным тройке; пусть их число будет 3; тогда остающийся отрезок основания будет 3—Зх. Но так как угол разделен пополам и катет равен 162
АРИФМЕТИКА КНИГА VI 4/3 прилежащего сегмента [основания], то гипотенуза равна 4/3 оставшейся части основания; но оставшаяся часть основания положена равной 3—3#; следовательно, гипотенуза будет 4—4#. Теперь остается квадрат ее, т. е. 16а:2 +16 — 32я, приравнять сумме квадратов катетов, т. е. 16#2 -f- 9; и х получается равным 7/32; остальное все очевидно. Если я умножу все на 32, то получится: катет = 28, основание = 96, гипотенуза = 100, биссектриса = 35 <и отрезки основания, равные 21 и 75>. 17*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы площадь его вместе с гипотенузой давала квадрат, а пери- периметр его был кубом. Положим его площадь х, а его гипотенузу — некото- некоторому квадратному числу единиц минус х\ пусть она будет 16 — х. Но так как мы предположили, что его площадь равна х> то произведение его сторон, прилежащих к прямому углу, получается равным 2х. Но 2х представляет произведение 2 и ж. Следовательно, если одну из сторон положим 2, то другая будет х. И периметр получается равным 18 и не является кубом. Но 18 получилось из некоторого квадрата и 2; следова- следовательно, нужно будет найти квадрат, который после при- прибавления 2 становится кубом; следовательно, куб больше квадрата на 2. Возьмем теперь сторону квадрата за ж +1, а сторону куба за х — 1. Тогда квадрат будет х2 -\-2х + 1, а куб ж3 + Зх — Зя2 — 1. Теперь я хочу, чтобы куб был на двойку больше квадрата; значит, квадрат с двойкой, т. е. ж2 + 2я +3, равняется <ж3 -|->Зя — Зх2 — 1, откуда по- получается х = 4. Следовательно, сторона квадрата 5, а куба 3, а сами они будут: квадрат 25, а куб 27. Теперь переделаю треугольник; если я положил его площадь х, то полагаю гипотенузу 25 — х. Основание со- сохраняется равным 2, а катет х. Остается, чтобы квадрат гипотенузы равнялся квадра- квадратам сторон при прямом угле. Получается я2 + 625 — 50z = х2 + 4, откуда х = 621/50. К подстановкам. [Предложенное] выполнено. 1G3
ДИОФАНТ 18. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, увеличенная на гипотенузу, образовала куб, а периметр был квадратом. Если, как в предыдущем, положим площадь я, а ги- гипотенузу — некоторому кубическому числу единиц минус х7 то приходим к отысканию куба, который вместе с 21) давал бы квадрат. Сторону куба полагаем х — 1; куб вместе с 2 будет х3 + Зх + 1 — Зх* = Q; пусть Ц строится на стороне 1 + 1V2 #• Получается х = 21/4. Тогда сторона куба 17/4, а сам куб 4913/64. Опять беру площадь за я, гипотенузу -тгт х. Также имеем основание 2 и катет = х. Теперь, если квадрат гипотенузы приравняем сумме квадратов сторон при прямом угле, то получим х рациональным: [х = 24121185/628864]. 19. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы площадь с катетом давала квадрат, а периметр был кубом. Построим прямоугольный треугольник на некотором неопределенном нечетном числе; пусть оно 2х-{-12). Тогда катет будет 2х -j- 1, основание 2#2 -J- 2х и гипоте- гипотенуза 2х2 + 2х + 1. Остается, чтобы его периметр равнялся кубу, а площадь вместе с одной из сторон при прямом угле давала квадрат. Периметр получается как 4я2 -f 6# -f- 2 = кубу. Это число будет составным, именно произведением 4# -|- 2 и х +1. Тогда, если каждую сторону разделим на # +1, то получим периметр [подобного] треугольника 4х + 2; это должно быть кубом. Остается, чтобы площадь вместе с одной из сторон при прямом угле давала квадрат. Но площадь будет 1) Если площадь х, то сумму катетов можно положить равной 2 -\- х. (Прим, перев.) 2) Такое образование прямоугольного треугольника на нечетном числе при- писывается Пифагору: X ~ , У = n, Z = J— , где п нечетно. 2 2 (Прим. ред.) 164
АРИФМЕТИКА КНИГА \Х 9г3 Л- Чт2 -U т 2х 4- 1 т, -t-^ -г а один из катеТов —p-j-. Если приведем эти два выражения к одному знаменателю, то сумма числителей будет 2х3 + Ъх2 -\~кх -\-1. И общим знаменателем явля- является х2 -\-2х +1. Таким образом, сумма обоих будет 2х -f- 1 = П- Кроме того, мы нашли, что 4я -|- 2 = кубу. И дело сводится к отысканию куба, который был бы вдвое больше квадрата; это же будут 8 и 4. Пусть 4# -f 2 — 8; х получается 1V2. Следовательно, прямоугольный треугольник будет 8/5, 15/5, 17/5. И все установлено. 20. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его площадь, увеличенная на один из катетов, образовы- образовывала куб, а его периметр был квадратом. Опять, если мы воспользуемся тем же методом, что в предшествующем, то все сведется к тому, чтобы сделать 4х -f 2 равным квадрату, а 2ж + 1 — равным кубу. И нужно искать квадрат, вдвое больший куба. Это будут 16 и 8. Затем приравниваем 16 и Ах + 2, и получается х = 3V2- Следовательно, прямоугольный треугольник будет: 16/9, 63/9, 65/9. 21. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его периметр был квадратом, а после прибавления его площади стал кубом. Образуем прямоугольный треугольник из х и 1; одна из перпендикулярных сторон будет 2х, другая х2 — 1, и гипотенуза х2 -}- 1. И нужно, чтобы 2з? + 2х = квадрату, а ж8 -f 2х2 + х = кубу. Сделать 2х* + %х квадратом не- нетрудно; действительно, если разделить 2 на какой-нибудь квадрат без двойки, то найдешь х. Но х нужно найти таким, чтобы х3 + 2х2 -[-х было кубом. Теперь х получается от деления двойки на 1г — 2 1); куб получается от деления 8 на возведенное в куб выра- выражение t2 — 2. И тот же квадрат удвоенный получается от деления 8 на возведенное в квадрат выражение t2 — 2, а сам [х] равен а __ 2 . Приведем все к одному знаменателю; 2?4 сумма будетгг-?—«г»2); знаменатель будет кубическим; 1) Это новое неизвестное Диофант обозначает тем же символом, что и пер- первоначальное неизвестное, он полагает 2х2 + 2эс = г2х*. {Прим. ред.) ') Диофант пишет: «Д^Др ev цори» тмяло Д^аДМЭ корсо». (ГГргш. -ред.) 165
ДИОФАНТ следовательно, пусть 2?4 равно кубу. Разделим все на получится 2t = кубу. Если мы приравняем кубическому числу единиц, то мы получим, что t равняется половине некоторого куба. Пусть этот куб будет 8; тогда половина будет 4... 1), их2 равняется 1/49; и отсюда нужно отнять 1, так как один из катетов равен х2 — 1; и дело сводится к отысканию куба такого, чтобы У 4 его квадрата была больше 2 и меньше 4, И если мы положим куб равным х3, то будем искать, что- чтобы V42C6 было больше 2 и меньше 4; следовательно, xG больше 8 и меньше 16. Таким будет 729/64; следователь- следовательно, куб будет 27/8. Теперь полагаю 2t равным 27/8, и t получается равным 27/16, a t2 = 729/256. Если мы разделим 2 на это t2 без двойки, то найдем х равным 512/217 и из этого квадрата можем вычесть 1 2). 22. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы его периметр был кубом, а сложенный с площадью давал квадрат. Прежде всего нужно посмотреть, каким образом для двух заданных чисел можно найти такой прямоугольный треугольник, чтобы его периметр был равен одному из данных чисел, а площадь его была равна другому. Пусть эти два числа будут 12 и 7. Положим, что 12 будет его периметр, а 7 — площадь. Следовательно, про- произведение сторон при прямом угле равно 14, и если один катет мы возьмем —, то другой будет 14я. Но пери- X метр треугольника равен 12; значит, гипотенуза будет 12-A + 14*) Остается, чтобы ее квадрат, который будет -^-J- — + 336а:], равнялся сумме квадратов катетов, 1 Х ¦ т. е. -=¦ + 196я2. ¦) Таннери оставил лакуну незаполненной. В некоторы рукописях: «квад- «квадрат которого будет 16. Полагаю все в х2-ах, и получается: 16х2 равно 2х2 -f- -\- 2х. Их получается 1/7». (Прим. ред.) 2) Стороны искомого прямоугольного треугольника будут: 1024 222208 215055 309233 у„ ~ш. перев.) 166
АРИФМЕТИКА КНИГА VI Придадим к обеим сторонам недостающие и вычтем подобные из подобных. Умножим все на х, получим 172s = 336 х2 + 24. Но х будет рациональным, только если половина ко- количества х, умноженная на самое себя, без произведения количеств х2 и единиц будет квадратом. И количество х получается как сумма квадрата периметра и учетверенной площади, а произведение количества х2 и единиц есть восьмикратное произведение квадрата периметра на площадь. Пусть заданные числа будут такими; положим площадь равной х, а периметр 64 — одновременно квадратом и кубом. Для построения треугольника нужно из квадрата половины суммы 64 в квадрате и Ах вычесть восьмикратное произведение квадрата периметра на я, и, наконец, по- посмотреть, будет ли остаток равен квадрату. Получается 4х2 + 4194304 — 24576х; возьмем четверть х2 + 1048576 - 6144я = и, кроме того, х + 64 = [Имеем двойное равенство]; делаем равными количест- количества единиц, берем разность, разлагаем на множители, и остальное ясно. 23. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы квадрат гипотенузы был также суммой некоторого квад- квадрата и его стороны, а разделенный на один из катетов, был равен сумме некоторого куба и его стороны. Положим один из катетов равным х, а другой а?. И квадрат гипотенузы равен сумме квадратов сторон. Остается, чтобы #4 ~\- х2 = Q. Разделим все на х2; тогда х2 -f-1 = Ц, а именно на стороне х — 2. Отсюда 4 fЦ получается х, равный 3/4. Все остальное ясно, 24*. Найти прямоугольный треугольник такой, чтобы один из катетов был равен кубу, другой — кубу без стороны, а гипотенуза — кубу со стороной. Положим, что гипотенуза будет х3 -f- #» один из катетов Xs — х; тогда другой будет 2х2. Остается, чтобы 2а? равнялось кубу, пусть он будет а?\ и х получается равным 2. К подстановкам. Треугольник будет 6, 8, 10т и пред- предложенное выполнено.
ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ «О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ» Каждое из возрастающих от единицы чисел, начиная с трех, является первым, начиная от единицы, многоуголь- многоугольником 2) и имеет столько углов, сколько в нем содержится единиц, стороной же его будет число, которое следует за единицей, т. е. 2. Тогда 3 будет треугольником, 4 — че- четырехугольником, 5 — пятиугольником и т. д. [х] 2). О квадратах хорошо известно, что они получаются от умножения некоторого числа на самого себя; доказывает- доказывается также, что каждый многоугольник, умноженный на число, зависящее 3) от количества его углов, и сложенный с квадратом некоторого числа, тоже зависящего от коли- количества его углов, может быть представлен как некоторый квадрат [2]. К этому мы придем, показав, как по данной стороне находится многоугольник и как для данного мно- многоугольника определяется сторона. Сначала докажем все, что будет для этого необходимо. Если три числа имеют одинаковые разности, то восемь раз взятое произведение наибольшего и среднего, сложен- *) То есть первым среди одноименных с ним многоугольников. (Прим. ред.) 2) Знаками О], [2] и т. д. отмечены комментарии, помещенные в конце книги. (Прим. ред.) У Диофанта: «ксгса tt.v avaXcmav too 7гХу(-8о u<;to>v ywvlwv». (Прим. редщ)
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ное с квадратом наименьшего, будет квадратом, сторона которого равна сумме наибольшего и двух средних [3]. Действительно, пусть три числа АВ, ВГ и ВА имеют одинаковые разности; нужно доказать, что 8АВ-ВГ1), (сложенное с АВ2 2), образует квадрат, сторона которого равна сумме АВ и 2ВГ. Е А Г А В 8АВ-ВГ разложим на 8ВГ2 и 8АГ-ВГ.) Затем каждое из упомянутых разделим пополам, получим 4АВ»ВГ, 4ВГ2 и 4АГ-ВГ [т. е. 4ВГ.ГА, ибо АГ равно ГА; вместе же с АВ2 получится АВ2] 3). Второе из произведений 4АГ«ГВ, сложенное с АВ2, дает ВА2. Теперь остается узнать, каким образом АВ2 вместе с 4АВ-ВГ и 4ВГ2 даст в сумме квадрат. Если мы положим АЕ, равным ВГ, то 4АВ-ВГ преобразуется в 4ВА«АЕ, которое, будучи сложено с 4ГВ2 [или с 4АЕ2], сделается равным 4ВЕ-ЕА4), а оно, сложенное с АВ2, сделается равным квадрату на [сумме] BE и ЕА, как одной прямой 5). Но [сумма] BE и ЕА равна [сумме] АВ и 2АЕ, т. е. 2ВГ. Что и требовалось доказать. II Если дано любое количество чисел с одинаковыми разностями, то (разность) между наибольшим и наимень- *) Произведение двух чисел мы будем обозначать точкой, поставленной между ними. Диофант пишет: «оТ)х1(; оло' АВ, ВГ». (Щим. ред.) ¦) Для обозначения квадрата числа АВ Диофант ставит после А В знак П. Мы здесь будем придерживаться современных обозначений. (Прим. ред.) ¦) Так как АВ = АГ -f ГВ, то 8АВВГ = 8АГ-ВГ + 8ВГ2 = 4АВВГ + 4АГ-ВГ -J- 4ВГЯ. Поскольку АГ = ДГ, 4АГВГ = 4ВГГЛ. По 8-му предложению книги II «Начал» 4ВГ-ГА + ВА2 = 4 (ВА + ГД)-ГД + ВА2 «= 2ВА-2ГД + 4ГА2 -f + ВД2 = (ВД + 2ГДJ = АВ2. Всю Фразу в скобках Таннери считает позднейшей интерполяцией, {Пргьм. ред.) *) ВА-АЕ + АЕ2 = АЕ-(АЕ + АВ) = ВЕ-ЕА. (Прим. перев.) *) 4ВЕ-ЕА + АВ2 = (BE + ЕА)*. (Прим. перев.) 1G9
ДИОФАНТ шим равняется разности [чисел], умноженной на умень- уменьшенное на единицу количество заданных чисел [4] Пусть даны любые числа АВ, ВГ, ВД, BE с одина- одинаковыми разностями; нужно показать, что разность между АВ и BE равна разности между АВ и ВГ, умноженной на [количество] АВ, ВГ, ВД, BE, уменьшенное на единицу. Действительно, поскольку предполагается, что АВ, ВГ, ВД, BE имеют между собой одинаковые разности, то, значит, АГ, ГД, ДЕ будут между собой равными. Следо- Следовательно, ЕА равняется АГ, умноженному на количество АГ, ГД, ДЕ; количество же АГ, ГД, ДЕ будет на еди- единицу меньше количества АВ, ВГ, ВД, BE; таким образом, ЕА кратно АГ в число раз, на единицу меньшее количества АВ, ВГ, ВД, BE. И АЕ представляет разность между наибольшим и наименьшим числами, а АГ есть их одна общая разность. III Если дано любое количество чисел с одинаковыми раз- разностями, то сумма наибольшего и наименьшего из них, умноженная на их количество, дает число, вдвое большее суммы всех заданных чисел [5]. Пусть даны любые числа А, В, Г, Д, Е, Z с одина- одинаковыми разностями; требуется показать, что сумма А и Z, умноженная на количество А, В, Г, Д, Е, Z, ¦ • А . в • г • * . к # z # Н Л М К 0 образует некоторое число, в два раза большее суммы всех А, В, Г, Д, Е, Z. Количество А, В, Г, Д, Е, Z будет или четным, или нечетным. Положим сначала его четным, и пусть количество за- заданных чисел будет равно количеству единиц в числе Н0. Это Нв будет четным. Разделим его пополам в К и разделим НК в Л, М на содержащиеся в нем еди- единицы. 170
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ И поскольку разность между Z и А такая же, как между Г и А, то сумма Z и А равна сумме Г и А. Но сумма Z и А равна произведению суммы Z и А на НА; так же и сумма Г и А равна произведению суммы Z и А на AM. На том же основании и сумма Е и В равна произведению суммы Z и А на МК; таким образом, сумма А, В, Г, А, Е, Z равна произведению вместе взятых Z и А на НК. Но про- произведение суммы Z и А на НК вдвое меньше произведе- произведения суммы Z и А на Нв. Таким образом, сумма всех А, В, Г, А, Е, Z вдвое больше произведения вместе взятых Z и А на Н9, т. е. на количество А, В, Г, А, Е, Z. Это и требовалось доказать. Пусть в тех же предположениях количество А, В, Г, А, Е будет нечетным, а в ZH будет столько единиц, сколько имеется А, В, Г, А, Е. Следовательно, ZH будет нечетным, отложим на нем единицу Z9, разделим вН пополам в К, а вК разделим в точке А на заключаю- заключающиеся в нем единицы. И поскольку Е превосходит Г на л - в ^ г Z W А К Н столько же, как и Г превосходит А, то вместе взятые Г, А будут вдвое больше Г, т. е. произведения Г на АК; на том же основании вместе взятые В, А вдвое больше произведения Г и А6; таким образом, А, Е, В, А бу- будут вдвое больше произведения Г на вК. Но в/Н вдвое больше 0К; тогда А, Е, В, А равны произведению Г на 6Н; так же и Г равно произведению Г и ©Z. Таким образом, сложенные вместе А, В, Г, А, Е равны произ- произведению Г-ZH. Но удвоенное произведение Г-ZH будет равно произведению вместе взятых А, Е на ZH. Следова- Следовательно, удвоенная сумма А, В, Г, А, Е будет равна про- произведению вместе взятых А, Е на ZH, т. е. на количество заданных. Это и требовалось доказать. IV Если дано, начиная с единицы, любое количество чи- чисел с одинаковыми разностями, то сумма их всех, умно- умноженная на восьмикратную разность и сложенная с квад- квадратом уменьшенной на двойку разности, образует квадрат, 171
ДИОФАНТ сторона которого без двойки будет равна разности, ум- умноженной на некоторое число, которое после сложения с единицей будет вдвое больше количества всех взятых чисел, считая и [начальную] единицу [в]. Пусть будет, начиная с единицы, несколько чисел АВ, АГ и EZ с одинаковыми разностями. Я утверждаю, что все сказанное будет иметь место. Пусть Нв содержит столько единиц, сколько взято чисел, считая и единицу; так как разность, на которую EZ превышает единицу, к разности, на которую АВ больше (единицы), имеет отношение, равное числу единиц в Н© без одной, то, если мы положим АК, ЕЛ, НМ еди- единицами, будем иметь, что AZ равно KB, взятому столько раз, сколько единиц в Мб: так что AZ равно произве- произведению КВ-МЭ 1). Положим KN = 2 и посмотрим, не будет ли сумма всех [чисел], умноженная на 8 KB (где KB есть разность чисел) и сложенная с квадратом NB (т. е. уменьшенной на двойку разностиJ), равна квадрату, сторона которого без двойки образует некоторое число, равное разности, т. е. KB умноженной на сумму НЭ и 6М 3). о А N В QH 6 м -о Z Сумма всех [чисел] равна половине произведения вмес- взятых EZ и ЕЛ на ЭН; (представим произведение *) Так как АК =1 и АВ — первое число после единицы, то KB будет раз- разностью d прогрессии. Далее, Нв = п — числу взятых членов, AZ «= с= d (n — 1). (Прим, перев.) •) То есть S-8d + (d—2I. (Яргш. перев.) •) То есть S 8d -f (d — 2)г = [2 -f d Bn — 1)]». (Яргш. перев.) 172
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ вместе взятых ZE и ЕЛ на ВН> как сумму AZ и Н9 и 2ЕЛ-Н9, т. е. 2Н9; тогда сумма всех членов будет равна (половине) AZ-H9 и 2Н9. Но доказано, что AZ равно КВ«М9, и, значит, AZ-H9 будет равно телу КВ»М9*Н9, и, следовательно, с7мма всех равна по- половине [суммы] тела КВ-М9-Н9 и 2Н9 *). Тогда, если разделим Н6 пополам в S, то получим, что сумма всех равна телу KB-HB.9S вместе с Н9. Посмотрим, не будет ли тело KB.H9-9S вместе с 9Н, помноженное на 8KB и увеличенное на NB2, тоже квад- квадратом 2). Но тело КВ-НВ-9Н, помноженное на KB, состав- составляет произведение НВ-ВЕ на KB2 3). Таким образом, тело KB-H9-BS, умноженное на 8KB, будет равно Н0-9Е, умноженному! на 8KB2, или же произведению 8Н9.ВН-КВ2, т.е. 4НЭ.9М-КВ2. Если прибавить к этому произведение НВ на 8KB и NB2, то не получится ли квадрат? Но Н9, умноженное на 8KB, дает 8Н9-КВ; значит, не составит ли квадрат 4Н9-9М, умноженное на KB2, сложенное с 8Н9-КВ и NB2? Но 8Н9 • KB раскладывается на 4HN • KB и учетверен- учетверенную сумму Н9,9М (умноженную на КВ. Не составит ли сумма произведения 4Н9-ВМ), умноженного на KB2, 4НМ-КВ и учетверенной суммы Н9, 9М, умноженной на KB, и и NB2 квадрата 4)? Но 4НМ-КВ = 2NK-KB5). Увеличив это на NB2, получим [сумму] KB2 и KN2. Теперь, не образует ли квад- квадрата [сумма] 40Н-9М, умноженного на KB2, и 4 на сумму НЭ, вМ, умноженную на KB, и ВК2 и KN2? Но KB2 равняется НМ2«КВ2 и после прибавления к 4Н9-ВМ, умноженного на KB2, образует сумму НВ, х) Замечательно, что здесь Диофант свободно складывает «тело» со стороной 2Н0. Такие действия в классической греческой математике считались недопустимыми. Этой точки зрения придерживался еще Ф. Виет. Дио- Диофант же трактует, очевидно, и тело и сторону как числа, мы бы теперь ска- сказали — как ялементы одного и того же поля. (Прим. ред.) 2) (КВБ0-0Е + ВН)-8КВ + NB»e П. (Прим. перев.) ¦) (КВ-Нв-вЕ).КВ = Нв ©2KB2. (Прим, шрев.) о то есть 4неемкв2 + 4НМ-КВ 4- мне + ем)-кв + (Прим. перев.) •) НЛ1 = 1, NK = 2. (Прим. перев.) 173
ДИОФАНТ 6М в квадрате, умноженную на KB2 *). Теперь, не об- образует ли квадрата сумма квадрата вместе взятых НЯ и 6М, умноженного на KB2, и учетверенной суммы Нв, вМ, умноженной на KB, и KN2 2)? Если положим произведение суммы НЭ и вМ на KB равным некоторому числу N|, то и квадрат вместе взятых Нв и еМ, умноженный на KB2, будет равен N|2, что мы докажем ниже. Следовательно, образует ли квадрат сумма N?2 и NK2 вместе с учетверенной суммой Нв и еМ, умноженной на KB? Но произведение 4 на <сумму) НЭ, еМ и на KB равно 4N|, так как мы положили N? равным произведе- произведению [суммы] НЭ, еМ на KB, a 4N? = 2Ng-NK, ибо NK мы положили равным 2. Итак, не образует ли квад- квадрата <сумма> Nga и NK2 вместе с 2N?-NK? Но она действительно будет квадратом, сторона кото- которого равна К?; если уменьшить ее на двойку NK, то она даст некоторое число N|, равное разности KB, умножен- умноженной на сумму Не, еМ; если к последней прибавить единицу НМ, то мы получим (удвоенное) число всех взятых членов. Доказать пропущенное [7]. Пусть вместе взятые Нв и вМ равняются A, a KB равно В и произведение вместе взятых Не, вМ^на KB равно Г. Я утверждаю, что квадрат вместе взятых Нв, вМ (т. е. квадрат на А), умноженный на квадрат КБ (т. е. квадрат на В), равен квадрату на Г. 1) Так как НМ 8) То есть перт.) Ее — 0М. (Прим. 4 ем)*.квг 4 4(В0 4©м)-кв -t- knz«= п. 174
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ Отложим на прямой ДЕ, EZ, равное соответственно А и В, построим на них два квадрата А®, ЕЛ и до- дополним параллелограмм 6Z. Тогда АЕ относится к EZ, как Ав к параллелограмму Z0; а как вЕ к ЕК, так и параллелограмм 0Z к ЕЛ; следовательно, параллелограмм 6Z есть средняя пропор- пропорциональная между квадратами Ав и KZ; значит, произ- произведение квадратов A6»KZ равно квадрату параллело- параллелограмма 6Z х); и кзадрат Ав равен квадрату вместе взятых Нв и 6М, квадрат же ZK равен квадрату KB, и паралле- параллелограмм 0Z равен N§. И следовательно, квадрат на вмес- вместе взятых Н9, 6М, умноженный на квадрат KB, равен квадрату N? После того, как все предшествующее изложено, мы утверждаем, что если имеются числа, начиная с единицы в любом количестве и с какой угодно разностью, то вся их совокупность есть многоугольник; он имеет углы, количество которых равно разности этих чисел, увели- увеличенной на двойку, а стороной его будет количество этих чисел, считая и единицу. Действительно, мы доказали, что сумма всех имеющих- имеющихся чисел, умноженная на 8KB и сложенная с NB2, дает |К2; если мы возьмем другую единицу АО, то получим КО = 2; одновременно KN также будет 2. Следовательно, ОВ, ВК и BN будут иметь одинаковые разности; значит, восьмикратное произведение большего [числа] ОВ на сред- среднее ВК, сложенное с BN2, будет равно квадрату, сторона которого равняется сумме большего ОВ и удвоенного среднего ВК. Таким образом, ОВ, умноженное на 8KB и сложенное с NB2, равняется квадрату на вместе взятых ОВ и 2KB; его сторона, уменьшенная на двойку ОК, дает в остатке ЗКВ; это же будет KB, умноженное на трой- тройку; тройка же, сложенная с единицей, представляет удвоенную двойку. *) Здесь уже Диофант оперирует с такими немыслимыми для классической античной математики понятиями, как квадрат параллелограмма и произ- произведение двух квадратов. Хотя доказательство проводится на геометриче- геометрических объектах, но они служат скорее для наглядности, по существу же площади и квадраты их понимаются как числа. {Прим. ред.) 175
ДИОФАНТ Таким образом, сумма всех взятых чисел вместе с единицей решает ту же задачу, что и ОВ; но ОВ является совершенно произвольным, и первым многоугольником после единицы (так как единица есть АО, а второе число АВ), и имеет стороной двойку. Итак, вся совокупность взятых членов есть многоугольник, равноугольный с ОВ, имеющий число углов, большее разности KB на двой- двойку ОК; сторона же этого многоугольника будет Н6, что представляет количество взятых членов, считая и еди- единицу. Таким образом, доказано то, что Гипсикл принял за определение [8]. «Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет (треугольником, если же двойка) , то четырехугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу». Если разность равна единице, то получаются тре- треугольники, стороны которых равняются наибольшим из предложенных [чисел], и произведение наибольшего из предложенных на число, большее его на единицу, равно удвоенному рассматриваемому треугольнику. И если [многоугольное число] ОВ, имеющее столько углов, сколь- сколько в нем заключается единиц, множится на 8-кратное числа, которое меньше его на двойку (т. е. на разность, которая умножается на 8KB), и увеличивается на квад- квадрат числа, которое меньше его на четыре (это будет NB2), то получается квадрат г). Поэтому многоугольные числа имеют и такое опреде- определение: Всякий многоугольник, помноженный на восьмикрат- восьмикратное числа, меньшего на два количества его углов, и сло- сложенный с квадратом числа, меньшего количества его углов на четыре, образует квадрат. *) Если N — число углов рассматриваемого многоугольника, то разность d = N — 2. Тогда формула, установленная в предложении IV, принимает вид S-8 (N — 2) + (N — 4)« == [2 + Bп — 1) (N — 2I*. (Прим. перес.) 176
о многоугольных Числах После доказательства определения Гипсикла, а также и нового определения многоугольников остается лишь показать, как по заданной стороне находится предло- предложенный многоугольник. В самом деле, имея заданной сторону Нв некоторого многоугольника, а также количество его углов, мы име- имеем данной и КВ. Но тогда данным будет и произведение суммы Нв, 6М на KB, а это равно N?; отсюда же мы получаем данной и Kg, так как NK равна двум. Тогда данным будет и К?2, отнимая же отсюда уже данный NB2, получим данным и остаток, который будет кратным искомому многоугольнику, а именно по кратности 8KB. Таким образом, мы можем определить и искомое много- многоугольное число *). Подобным же образом для заданного многоугольного числа находим его сторону Нв; это и требовалось показать. Для желающих легко запомнить преподанное поучи- поучительнее будет привести следующий метод. Взявши сторону многоугольника, будем всегда удваи- удваивать ее и вычитать единицу; остаток множим на число углов, уменьшенное на двойку; к полученному всегда прибавляем двойку и сумму возводим в квадрат; отсюда вычитаем квадрат числа углов без четверки и остающееся делим на восемь раз взятое число углов без двойки; таким образом получается искомый многоугольник. Обратно, если дано само многоугольное число, то его сторона находится следующим образом. Множим число на восемь раз взятое число углов без двойки. К получен- полученному прибавим квадрат числа углов без четверки; если заданное число было действительно многоугольным, то должен получиться квадрат. От стороны этого квадрата вычитаем всегда двойку и делим остаток на количество углов, уменьшенное на два, к частному прибавляем еди- единицу и от полученного берем половину; после этого по- получится искомая сторона многоугольника. ') Зная сторону (число членов прогрессии) Нв = п, а также число углов iV, находим разность прогрессии KB — d = iV — 2. Далее, N? — = (Нв ¦+¦ вМ)-КВ = (п + п — 1) rf; многоугольное число (т. е. сумма S про- Г2 Ч~ Bтг — 1) d]2 (d *'jz грессаи) получается по формуле S= = —5 — . (Прим. перев.) Си 177
ДИОФАНТ [Найти, сколькими способами данное число можно пред- представить в виде многоугольника [9]. Пусть дано число АВ, количество углов которого равно ВГ, и возьмем на ВГ двойку ГД и четверку ГЕ. Так как АВ является многоугольником, имеющим ВГ углов, то 8АВ-ВД вместе с BE2 образуют квад ра. • ¦ • • • • • А 0 В Е Л V Л К Z Н N М Пусть стороной его будет ZH, тогда ZH2 равняется [сумме] 8АВ-ВД и BE2. Возьмем на АВ единицу Ав и разложим 8АВ-ВА на 4А6-ВА и учетверенную сумму АВ, Вв, (умноженную на В А. Положим, что АК равно учетверенной сумме АВ, В0), и преобразуем учетверенную сумму АВ, Вв, ум- умноженную на ВД, в произведение КД-ДВ, а 4А6-ВД в 2ВД-ДЕ (так как ЕД = 2). Значит, ZH2 =КД.ДВ я 2ВД.ДЕ и BE2. Но 2ВД-ДЕ и BE2 = ВД2 и ДЕ2. Значит, ZIP = КД-ДВ и В А2 и ДЕ2. Но КД-ДВ и ВД2 = КВ-ВД; значит, ZH2 - КВ-ВД и ДЕ2. Теперь, так как ДК, равное учетверенной сумме АВ, Вв, больше, чем 4Ав, т. е. четырех, а ДГ равно двойке, то остаток ГК больше, чем 2ГД. Значит, точка, делящая ДК пополам, упадет на ГК, пусть в Л. Преобразу- Преобразуем КВ-ВД в разность ВЛ2 и АД2. Ведь АК разде- разделен пополам в Л и к нему приложено ДВ. Тогда КВ-ВД вместе с АД2 равно ЛВ2 *); *) Евклид» кн. II, предл. 6. {Прим. ред.). 178
О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ значит, разность ЛВ2 и ЛА2 равна КВ-ВА. Следовательно, ZH2 равняется разности В Л2 и ЛД2 вместе с АЕ2. Прибавляем к обеим частям ЛА2, тогда [сумма] ZH2 и АЛ2 равна [сумме] ВЛ2 и АЕ2. По если [сумма] двух чисел равна [сумме] других двух чисел, то и [соответствующие]им разности будут равны; значит, разность Л А2 и АЕ2 равна разности ЛВ2 и ZH2. И так как ЕА - АГ и прибавляется Г Л, то ЕЛ- ЛГ вместе с ГА2 равно АЛ2. Значит, разность ЛА2 и АЕ2, т. е. разность ЛА2 и АГ2, составляющая произведение ЕЛ-ЛГ, равна разности ЛВ2 и ZH2. Положим ZM - ВЛ. (Действительно, ВЛ больше ZH, так как доказано, что [сумма] ZH2 и АЛ2 равна [qyMMe] ВЛ2 и АЕ2, наконец, АЛ2 больше, чем АГ2, т. е. больше АЕ2, значит, ВЛ2 больше ZH2. Значит, положим Тогда разность ZM2 и ZH2 равна ЕЛ-ЛГ. И так как АК есть учетверенная сумма АВ, В0, а АК делится в точке Л пополам, то АЛ является удво- удвоенной суммой АВ и Вв. Но АГ == 2А6, 179
ДИОФАНТ значит, остаток ЛГ является произведением 2 на 2В6 и ЛГ — 4В6, так что Вв является четвертой частью от ЛГ. Но единица Ав является четвертью ЕГ, т. е. четырех. Значит, и целое АВ есть четвертая часть ЕЛ. Но было доказано, что 0В является четвертой частью ЛГ; значит, и ЕЛ-ЛГ = 16АВ-ВВ. Но было доказано также, что ЕЛ-ЛГ - разности MZ2 и ZH2; значит, 16АВ-В6 - разности MZ2 и ZH2, т б МНг и 2ZH-HM. Значит, 16АВ-В6 = НМ2 и 2ZH-HM. Следовательно, НМ четно. Разделим его пополам в N...]1) «) На этом текст обрывается. Весь отрывок, взятый нами в скобки, П. Танне- ри считает позднейшей вставкой. (Прим. ред.)
КОММЕНТАРИИ К ШЕСТИ КНИГАМ АРИФМЕТИКИ И К КНИГЕ О МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЛАХ С ПРИЛОЖЕНИЕМ ЗАМЕЧАНИЙ ПЬЕРА ФЕРМА
КОММЕНТАРИИ К ШЕСТИ КНИГАМ «АРИФМЕТИКИ» ДИОФАНТА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ I Книга I распадается на две части: 1) введение, в котором строится числовая область, даются ос- основные определения и вводятся буквенные символы; 2) и задачи с решениями (их 39). В некоторых списках (например, в одном из списков Эскуриала) первая книга разделена на две, и, таким образом, «Арифметика» оказывается составленной из семи книг. «Введение» Диофанта представляет, по существу, первое изло- изложение основ буквенной алгебры над полем рациональных чисел. 1. Диофант приводит традиционное определение (I) числа как множества единиц. Однако впоследствии числом (apidjio?) он на- называет любое положительное рациональное число, как целое, так и дробное. 2. В определении (II) вводятся символы для шести первых степеней неизвестного. Для обозначения неизвестного Диофант применяет символ G, происхождение которого не вполне ясно. По-видимому, это — концевая «сигма», которая не имела числового значения (обычная «сигма» о обозначала число 200). Этот символ употреблялся и до Диофанта. Так, его вариации встречаются в «Геометрике» Герона (I век. н. э.) (см. Добавление II), а также в Мичиганском папирусе 620 (II век н. э.). Для обозначения второй и третьей степеней неизвестного Дио- Диофант применяет первые буквы соответствующих названий, а после- последующие степени образуются путем применения аддитивного прин- принципа, так, пятая степень обозначается как «квадрато-куб», шес- шестая — «кубо-куб». №
Комментарии Почти одновременно с Диофантом во «Введении в арифметику» Анатолия Александрийского (III век н. э.) появились обозначения степеней неизвестного по мультипликативному принципу: «квад- рато-куб» обозначал в этой системе шестую степень, а «кубо-куб» — девятую. Зато пятая степень не могла быть образована из пре- предыдущих; она называлась «первой невыразимой» (аХо^ос терштос), седьмая степень — «второй невыразимой» (aXo^oQ ЬвЬтвроо) и т. д. К сожалению, этот неудобный способ обозначения был воспринят математиками Индии и частью ученых Средневекового Востока и Европы. В частности, по такому принципу образовывали степени неизвестного коссисты. В Европе аддитивный принцип образования степеней был впер- впервые применен Леонардом Пизанским (XIII век). В этом же определении (II) Диофант вводит символ для еди- о ницы М. В дальнейшем он всегда пишет этот знак перед кое» стантами. В наших комментариях мы будем обозначать искомые числа буквами X, У, Z с соответствующими индексами, а неизвестное Дио- Диофанта ? через х или /, степени же его через я2, х3, . . ., t2, /3, . . . Таким образом, запись Х2 = х означает, что второе искомое число задачи принято за основное неизвестное х. 3. Отрицательные степени неизвестного (определение (III)) вво- вводятся как величины, обратные положительным: х~п — — (п = 1 , ... х . . .., 6). Для их обозначения Диофант применяет косой крест :>(, который ставится справа сверху вслед за индексом. Например, х2 обозначался как Ат, а аг2 — как А ***. 4. Особенно интересны определения (V) и (VI). После поясне- пояснения умножения положительных степеней неизвестного Диофант формулирует два общих утверждения относительно видов (ei'So*;), т. е. степеней неизвестного, взятых с некоторым числовым коэф- коэффициентом: 1) любое число, умноженное на одноименную с ним дробь (т. е. на обратный элемент), дает единицу: х- х = 1; 2) любой вид при умножении на единицу остается неиз- неизменным: Таким образом/ здесь Диофант впервые выделяет д*А чисто групповых свойства операции умножения. Приходится только 184
АРИФМЕТИКА КНИГА 1 удивляться глубине его проникновения в алгебраическую суть вопроса. 5. В определении (IX) вводятся отрицательные числа. Каждое такое число Диофант называет «АеТфк;». Это слово является спе- специальным термином, в обычных словарях оно отсутствует. Поэто- Поэтому перевод его вызывает большие трудности. Само слово произве- произведено от глагола «ЛеТтш», одним из значений которого является «не- «недоставать», «не хватать», поэтому в настоящем издании слово «},еЦк» переведено как «недостаток», что согласуется и с назва- названием отрицательных чисел в математической литературе средних веков. В соответствии с этим производные слова от этого глагола, например характеризующие группы отрицательных членов, пере- переведены как «недостаточные члены», «недостающие» и т. д. Положительное число во «Введении» называется словом «U7tap?lO> (далее это слово нигде не встречается), которое обозна- обозначает «существование», «бытие», а во множественном числе — «иму- «имущество». Здесь оно переведено как «наличие». Для сравнения приведем переводы соответствующих терминов на латинский язык в классическом издании «Арифметики» Диофанта Поля Таннери: ХъШ<; — minus, 6*ap?tc — plus. Вводятся отрицательные числа, по существу, аксиоматически; Диофант формулирует для них «правило знаков»: (-)•(+) = (-)¦ При этом, однако, правила знаков при сложении и вычитании (которое обозначается с помощью слов, производных от глагола «ос<ра1ре(!»> — отнимать) не дается. По-видимому, Диофант считал, что они уже хорошо известны. Отметим, что в случаях, когда надо вычесть из обеих частей уравнения отрицательные члены, Диофант говорит о «прибавлении недостатков», т. е. терминология у него здесь отлична от нашей. Для характеристики отрицательного числа вводится символ Д, отвечающий нашему минусу. На протяжении всех шести книг Диофант широко пользуется отрицательными числами, применяя их в промежуточных выклад- выкладках и в качестве промежуточных результатов. Так, например, в за- задачах IIi2, Ilia, П20, II23, lbs, Иге и П32 стороны квадратов, кото- которым должны быть равны левые части уравнений, при выбранных числовых параметрах получаются отрицательными. Это не сму- смущает Диофанта, потому что окончательный результат (т. е. сами квадраты) будет положительным. - 485
КОММЕНТАРИИ Итак, Диофант расширяет область чисел до поля рациональ- рациональных чисел Q — минимального бесконечного поля, над которым можно развивать обычную алгебру. Однако он еще не рассматривает отрицательные числа как рав- равноправные положительным. Решения обязательно должны быть положительными. Эту точку зрения восприняли Виет, Ферма и другие математики XVI — XVII веков. 6. Для обозначения операций сложения и умножения у Дио- Диофанта нет специальных символов. Все члены многочлена, которые должны быть сложены, просто приписываются друг к другу, после чего ставится знак минус и записываются все отрицательные члены. При этом сначала записывается степень неизвестного, а затем чис- числовой коэффициент. Свободный член (т. е. х°) характеризуется о символом М — это первые две буквы слова «jxovac;» — единица. Например, многочлен 202ж2 + 13—10* записывается так: д^ ар м- it A ei- Здесь of = 202, Ту= 13, Г= 10. Кроме перечисленных символов Диофант применяет еще знак [Н для неопределенного квадрата и знак io (первые буквы слова «Тоос» — равно) для знака равенства. Отсутствие символов для второго неизвестного и его степеней, а также для произвольного постоянного (параметра) создает боль- большие трудности, и приходится только изумляться виртуозной изобретательности Диофанта, который выбирает неизвестное так, что все искомые величины удобно и просто через него выражаются. Правда, ему иногда приходится на протяжении решения одной задачи обозначать символом с; последовательно два или три иско- искомых числа. Произвольным постоянным Диофант обычно придает конкрет- конкретные числовые значения. Каждую задачу он сначала формулирует в общем виде, а затем повторяет еще раз уже для конкретных значе- значений параметров. Далее, при подстановках он всегда оговаривает, какой из коэффициентов может быть взят произвольным, а какой фиксирован. Например, если подстановка должна иметь вид у = кх — 3, то Диофант пишет, что в качестве искомого числа «возьмем несколько х минус 3; пусть 2х — 3». Ясно, что здесь одело 3 фиксировано, а число 2 является одним из возмож» 186
АРИФМЕТИКА КНИГА I ных значений параметра, вместо которого можно взять любое другое произвольное значение. В дальнейшем, при пояснении хода решения Диофанта, мы будем ставить буквенный коэффициент лишь в тех случаях, когда сам Диофант указывает на возможность произвольного выбора параметра. Заметим еще, что если параметрам, входящим в условие задачи или в подстановку, надо придать числовые значения, причем ника- никаких дополнительных специальных условий на них не накладывает- накладывается, то Диофант, как правило, выбирает последовательные натураль- натуральные числа^например 2, 3, 4, что при греческой нумерации выглядит как р, у, &> т- е- параметры обозначаются последовательными бук- буквами алфавита, что подчеркивает их произвольность (об этом см. подробнее в статье Е. И. Славутина «Об арифметике Диофанта», Проблемы истории математики, МГУ, 1972). В наших комментариях мы будем обозначать параметры бук- буквами, выражающими в алфавитной нумерации те числовые значе- значения, которые дает им Диофант. Мы будем отступать от этого пра- правила только в тех случаях, когда это может привести к недоразу- недоразумениям (например, если двум различным параметрам Диофант придает значение р = 2, то один из параметров мы будем обозна- обозначать р, а другой — какой-нибудь другой буквой греческого ал- алфавита) . 7, В определении (XI) приведены правила действий с много- многочленами и уравнениями. В частности, формулируется правило при- приведения подобных ахп + bxn — (а + b)xn и правило прибавления к обеим частям уравнения одного и того же числа или вида. Оба эти правила получили впоследствии из- известность под арабизированными названиями «алджебр» и «аль- мукабалы». В «Арифметике» слово чя,Щ&о<& играет ту же роль, что и наше слово «коэффициент». В переводе, однако, применяется слово «ко- «количество», поэтому оборот «IiStj jjLYj 6n,07u\7j$7]» в определении (XI), т. е. «виды с различными коэффициентами», переведен как «виды, взятые в неодинаковых количествах». 8. О задачах книги I. В книге I собраны задачи, эквивалентные одному линейному уравнению от одного неизвестного или системам т уравнений от п неизвестных, т ^ п (п = 2, 3, 4), каждое из которых не выше второй степени. 187
КОММЕНТАРИЙ Только пять задач, а именно Ы, 122» 1гз» \ь и ^гз» являются по своей постановке неопределенными, однако в ходе решения Дио- Диофант доопределяет их всякий раз так, чтобы задачи стали опреде- определенными. Например, условие задачи Ii4 эквивалентно уравнению XY = к(Х + У). Диофант замечает, что одно из чисел можно задать произвольно, лишь бы только оно было больше значения к. После этого он берет к — 3, X = 12, тогда второе искомое число получается из линей- линейного уравнения. Интересно отметить, что ту же задачу Диофант решает в П3, но там он фиксирует только &, а оба искомых числа выражает через неизвестное: Л С, I pt \Р ?t) у в результате чего оба искомых числа выражаются как рациональ- рациональные функции от р. Аналогично этому в задаче 122, которая сводится к двум линей- линейным уравнениям от трех неизвестных, Диофант фиксирует одно из неизвестных, положив его равным 4. Задачи h — 125 и I39 эквивалентны системам линейных урав- уравнений (см. Добавление I); Диофант приводит в некоторых из них ограничения на заданные постоянные для того, чтобы решения были положительными. Задачи Ьв — Ьв сводятся к системам, эквивалентным квадрат- квадратному уравнению. При этом задачи 1гв и bi — 1зв приводятся к квад- ратным уравнениям типа Ах2 = Вх, а задачи Ь? — 13о эквивалентны системам Для того чтобы решения были рациональны, Диофант приводит к задачам In, be и 130 следующие ограничительные условия: к Ь?: (тг- — Ь2 = к Ь8 : 2Ь2 - а2 =* ?• к 130 : 462 + а = Q. 188
АРИФМЕТИКА КНИГА П КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ II 1. Начиная с книги II, Диофант ставит и решает задачи, экви- эквивалентные неопределенным уравнениям и системам таких уравне- уравнений, причем в книге II рассматриваются неопределенные уравнения второй степени и системы неопределенных уравнений от п неиз- неизвестных (п = 2, 3, 4, 5, 6), каждое из которых имеет степень ^ 2. Исключение представляют задачи II28, II29, в которых, однако, тоже каждое из уравнений имеет вторую степень относительно квад- квадратов неизвестных. Все многообразия, определяемые в задачах этой книги, явля- являются рациональными. Так, в переводе на язык геометрии, в зада- задачах 11Х_1О рассматриваются рациональные кривые второго поряд- порядка, в задачах П11-13, Hie и П2в_27 — рациональные пространствен- пространственные кривые, в задачах IIi4, His, П19_25 и П28_31 — рациональные поверхности, наконец, в задачах, 1132, Н33 и П34, П35 — рацио- рациональные многообразия размерности 3 в 6-мерном пространстве. Задачи 11x7 и His сводятся к системам линейных уравнений, пер- первая — к двум уравнениям с тремя неизвестными, вторая — к трем уравнениям с тремя неизвестными, так что она не является неопре- неопределенной. Эти задачи аналогичны задачам 122 и 123 и, по мнению большинства исследователей, представляют позднейшую вставку. Во всяком случае, в книге II они являются чужеродным телом. 2. Для решения неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными A) F% (X, Y) = О, где F2 (X, Y) — неприводимый над полем Q рациональных чисел многочлен второй степени с рациональными коэффициентами, Дио- Диофант применяет следующие два метода. М е т о д А. Пусть уравнение A) имеет рациональное решение Х01 Уо. Тогда, чтобы найти новое рациональное решение, Диофант делает подстановку л = л0 B) IF = Fo + kt, - — и 189
КОММЕНТАРИИ где к рационально. После подстановки A) преобразуется в квадрат ное уравнение относительно t, свободный член которого будет F% (^о> ^о) = 0. Таким образом, получим: t\ — О, a t2 рационально. Этому методу легко придать простую геометрическую интер- интерпретацию. Уравнение A) задает на плоскости XOY кривую вто- второго порядка; при этом решению XQ, Yo отвечает рациональная точка М (XOl Yo) этой кривой. Подстановка B) представляет урав- уравнение прямой, проходящей через точку М и имеющей угловой коэффициент к. Эта прямая пере- пересечет кривую A) еще в одной и только одной точке Ми которая, как нетрудно видеть, тоже будет рациональна. При этом между рациональными точками кривой A) и рациональными значениями параметра к устанавливается вза- взаимно однозначное соответствие (см. рис. 1), так что, придавая к всевозможные рациональные зпа- Рис. 1. г чения, мы получим все рациональ- рациональные точки кривой A). Проделав соответствующие выкладки, мы получим t = г(Л), где г — рациональная функция /с, а значит, х = ф№), у= где ф и if также рациональны. Мы будем и в дальнейшем для пояснения приемов Диофанта прибегать к геометрической! интерпретации, хотя сам Диофант этого не делал. Однако геометрический язык стал в настоящее вре- время столь неотъемлемой частью математического мышления, что многие факты будет легче понять и объяснить с его помощью. В частном случае, когда уравнение A) имеет вид ЪХ + с2, подстановки Диофанта особенно просты. Действительно, A') имеет рациональные решения X0 = 0t Yo = ± с, поэтому подстановка B) обратится в X = t, Y = kt ± с. МетодВ. Другой метод является некоторым видоизменением предыдущего. Если уравнение A) имеет вид A") Г2 - а2Х2 + ЬХ -\- с, 190
АРИФМЕТИКА КНИГА И то Диофант делает подстановку Y=at+k4 \ после чего X и У выражаются как рациональные функции от к. Поясним геометрический смысл подстановки C). Для этого запишем уравнение A") в однородных координатах, положив * = ? y = L- w1 w D) V* = a?U2 + bUW + cW2. Соответствующая кривая будет иметь рациональную бесконечно удаленную точку B') Uo = 1, Vo = а, Жо - 0. Уравнение прямой, проходящей через эту точку, имеет вид all — V + kW= 0. Переходя к обычным координатам, получим уравнение C). Таким образом, подстановка C) эквивалентна проведению пря- прямой через рациональную бесконечно удаленную точку кривой B'). Заметим, что подстановки Диофанта по методам А и В совпа- совпадают с так называемыми подстановками Эйлера, применяемыми при интегрировании дифференциалов вида dX Разница состоит лишь в том, что Диофант проводит все выклад- выкладки над полем Q рациональных чисел, тогда как подстановки Эйлера можно применять и тогда, когда а или с не являются квадратами, т. е. У а или У"с иррациональны. На то, что подстановки Диофанта совпадают с постановками Эйлера, обратил внимание еще Г. Г. Цейтен (История математики в древности и в средние века, М.— Л., ГТТИ, 1932, стр. 171). Однако на самом деле Диофант применяет свои подстановки не только в случаях, отмеченных Цейтеном, но и в самом общем слу- случае, когда известно произвольное рациональное решение уравне- уравнения A) (см., например, задачу 1Ь). Основной результат Диофанта, полученный в книге II, может быть сформулирован так: 191
КОММЕНТАРИИ если неопределенное уравнение A) имеет хотя бы одно рацио- рациональное решение, то оно имеет бесконечно много таких решений, причем все они представимы в виде E) Х = <Р(А), У = Ф(*), где ф и ф — рациональные функции с рациональными коэффици ентами. Хотя в книге II Диофант всякий раз находит только одно ре- решение, отвечающее некоторому определенному значению параметра к, однако метод его не оставляет сомнений в том, что решений бес- бесконечно много и что все они получаются с помощью одних и тех же операций, которые мы теперь записываем в виде формул E) при различных значениях параметра к. Диофант прекрасно понимал это, что видно не только из метода решения задач, но и из его замечаний в книге III (об этом см. подробнее в комментарии к IIg) и лемм к задачам VI12 и VIis. 3. Поясняя методы Диофанта, мы все время прибегали к гео- геометрической интерпретации. Между тем ее не только не было у Диофанта, но она отсутствовала и у Виета, Ферма и Эйлера. Ско- Сколем полагает1), что впервые такая интерпретация была дана во второй половине XIX века. Интересно отметить, что первая гео- геометрическая интерпретация метода А встречается в недавно опубли- опубликованных Д. Т. Уайтсайдом математических бумагах Ньютона. Приведем перевод этого отрывка озаглавленного: «О решении чи- числовых проблем»2): «Прежде всего искомые числа должны быть приведены к уравнению, отвечающему условиям вопроса; затем они должны быть представлены как основание и ордината кри- кривой линии, которую определяет это уравнение. Пусть эта кривая будет DC, а числа — ЛВ, ВС (см. рис. 2), кривая же бу- будет такой, что число ВС, приставленное как ордината к числу ЛВ под данным углом ЛВС, всегда оканчивается на ней. Затем нужно отыскать точки кривой, для которых числа ЛВ, ВС рациональны. Я открыл следующие случаи, когда это может быть сделано. 1. Если числа в уравнении не превышают второй сте- степени, так что кривая будет коническим сечением, и если ») Т. Н. Skolem, Diophantische Gleichungen, Berlin, 1938. ») The mathematical papers of Isaac Newlon, v. IV, ed. D, Tf Whiteside, Gambjige, 1971, стр. 110. 192
АРИФМЕТИКА КНИГА II задана точка F на кривой, для которой А Н, HF рациональны, то из этого единственного примера может быть получено общее правило. Возьми на АН <отрезок> НЕ некоторой ра- рациональной длины, проведи EF, которая пересечет кривую в G, и опусти GK параллельно СВ, тогда числа А К, KG будут РИС. 2. рациональными. Если точка F, находящаяся на АН, FH, будет нулевой, тогда возьми HN любой рациональной дли- длины, восстанови NE параллельно ВС ж также какей-нжбудь рациональной длины. Проведи НЕ, встречающую кривую в G, тогда АК, GK будут рациональными». Далее Ньютон останавливается на различных частных спосо- способах, с помощью которых можно отыскать на кривой второго поряд- порядка по крайней мере одну рациональную точку. Второй случай, от- отмеченный Ньютоном, относится к кривым третьего порядка, и мы поместим соответствующий отрывок в комментариях к книге IV. 4. Опишем теперь некоторые другие методы, применяемые Диофантом в книге II. а) Метод решения «двойного равенства», т. е. системы вида ах + Р = U2, ух + 6 = V2; Диофант рассматривает случай а = у (задачи Hu_13)» но его метод, как он сам впоследствии (см. книгу III) говорит об этом, проходит и для случая а : у = т2. Диофант вычитает одно уравнение из другого (если а : у = т2, то нужно предварительно уравнять коэф- коэффициенты при х) и получает #2 __ V2 = g __ §# Разность р — б он произвольным образом раскладывает на множи- множители: р — б = X\i, Приравнивая U + V — k, U — F = |Л, полу- ^4-ц т, % — м « А,2 4- и,2 3-4-6 чим U = ILXiL, V — Ji—El и найдем х = ; г — ILZJH л 2 2 4а 2а 193
КОММЕНТАРИИ Диофант не исследует в общем виде, при каких значениях а, Р, у и б система будет иметь решения. Этим вопросом, насколько нам известно, впервые занялся Баше де Мезириак, а окончательное решение он получил в работах Эйлера, Лагража и Лежандра. б) Если задача сводится к системе двух или трех уравнений (систем с числом уравнений, большим 3, в книге II нет), то Дио- Диофант стремится найти такие рациональные выражения для всех неизвестных через одно основное неизвестное и параметры, чтобы все уравнения, кроме одного, обращались в тождества. Оставше- Оставшееся уравнение дает возможность выразить это основное неизвестное как рациональную функцию параметров. Для обращения одного или двух уравнений в тождества Дио- Диофант, если это возможно, выражает неизвестные как линейные функции от одного основного неизвестного и одного параметра (гео- (геометрически такие подстановки описывают систему прямолинейных образующих поверхности). Такой прием мы будем в дальнейшем для краткости называть методом образующих. В других случаях Диофант пользуется алгебраическими тож- тождествами, причем в книге II встречаются только простейшие из них, а именно: а2 + Ь2 ± 2аЬ = (а ± Ь)\ — Ъ\*, , fa 5. Задачи П1_5 очень интересны. На первый взгляд кажется, что они просто повторяют задачи Isi, Ы, Ii4, Ьз и 133. На этом основании П. Таннери считал их последующей вставкой. Нам ка- кажется, что дело обстоит иначе. Первые задачи книги II принци- принципиально отличаются от соответствующих задач книги I, а именно они сводятся к неопределенным уравнениям, т. е. представляют первые задачи собственно диофантова анализа. Рассмотрим для примера задачу Hi. Она эквивалентна урав- уравнению X2 + Y2 = а (X + У). Для ее решения Диофант полагает X = х, Y =¦ $х, причем берет C = 2, после этого рациональное решение находится точно таким же способом, как и в задаче bj. Однако в задаче I3i отношение Y/X задано, поэтому мы полу- получаем только одно решение и задача является определенной, а в задаче Hi это отношение не задано, мы можем давать Р любые ра- рациональные значения, причем каждому такому значению будет отвечать одно и только одно рациональное решение. Диофант, ве- вероятно, и поместил схожие по формулировке задачи в книге I и па- 194
АРИФМЕТИКА КНИГА II чале книги II, чтобы ярче показать специфику неопределенного анализа. Все пять первых задач решаются методом А: поскольку все рассматриваемые там уравнения имеют рациональное решение (О, 0) *), то Диофант делает подстановку X = я, У = рх, прини- принимая во всех случаях р = 2, и получает выражение неизвестных в виде рациональных функций от р. Так, задача IIj эквивалентна уравнению X2 + У = а (X положив X — х, Y — §х (и взяв а = 20, р = 2), Диофайт делает подстановку и получает *2 A + Р2) = ах A + Р) И 1 + Р2 1 + Как нетрудно видеть, подстановка Диофанта эквивалентна прове- проведению прямой через точку @, 0), лежащую на окружности (*). Каждому рациональному значению углового коэффициента р будет отвечать рациональная точка этой окружности. И обратно, если мы соединим рациональную точку окружности (*) с началом коор- координат, то получим прямую Y = Р#, где р рационально. Задача П2 приводится к уравнению, являющемуся уравнением гиперболы, проходящей через начало координат; остальные три задачи также эквивалентны задачам на нахождение рациональных точек окружности (задача П4) и двух гипербол (задачи П3 и И6). Заметим, что Диофант не мог записать произвольное уравнение второй степени (поскольку он не имел обозначений для второго неизвестного и его степеней); поэтому, вероятно, он и начал с того, что продемонстрировал свой общий метод на различных уравнениях второй степени простейшего вида. 6. Задача Не является определенной, но по своей постановке близка к следующей, уже неопределенной задаче. Быть может, она была включена в книгу II для подготовки к решению зада- задачи 117- 7. В задаче П7 требуется найти такие два числа X и У, что - уз= а+ Ъ (X — У). х) Это решение не входят в Q+, т. е. оно не является допустимым. Но, отправ- отправляясь от него, Диофант находит решение, принадлежащее Q+. 195
КОММЕНТАРИЙ Диофант принимает а = 10, Ь = 3 и полагает X — У = р (р = 2) или X = х -f- Р, У = а: (т. е. применяет метод В), и уравнение принимает вид (х + РJ - х2 = а + Окончательно Диофант получает Тот же метод Диофант применяет в задаче 8. Задача Па эквивалентна уравнению X2 + Y2 = а2, в котором Диофант принимает а2 = 16. Рациональными его реше- решениями будут, например, @, а) и @, —а). Чтобы найти другие ре» шения, Диофант делает подстановку X = х9 У = кх — а (т. е. применяет метод А). Действительно, он пишет: «Составляю квадрат (т. е. У2) из некоторого количества я-ов минус столько еди- единиц, сколько их найдется в стороне 16-ти, пусть это будет 2х — 4». Здесь число 2 берется как одно из возможных, а число 4 фикси- фиксируется, поэтому адекватной буквенной записью подстановки Дио- Диофанта будет X = х, У = кх — а, где а фиксировано. После подстановки получим (кх — аJ = а2 — х2, откуда х — + 1 ' т. е. «У и У выражаются через рациональные функции параметра. Знал ли Диофант о том, что задача допускает бесконечно много решений? Здесь он об этом ничего не пишет, и только из его метода можно извлечь, что каждому рациональному А; отвечает рациональ- рациональное решение X, У. Однако в задаче IIIie Диофант пишет: «Мы знаем, что разложение данного квадрата на два квадрата можно производить бесконечным числом способов». Заметим, что, применяя метод Диофанта к уравнению (•)" X2 + У2 = Z2, 196
АРИФМЕТИКА КНИГА II ИЛИ получим X _ 2А Y „/с2— 1 Z А* + 1 f Z А2 + 1 * Чтобы получить решение в целых числах, положим! &= p!q, (/>, Ч) = *. тогДа X _ 2рд У _ръ — дъ Z Р ' откуда получим формулы для целочисленных решений X = 2рд, Y = p*-q\ Z = р* + д2. К задаче П8 Ферма сделал свое знаменитое замечание (№ II), известное как Большая или Великая теорема Ферма: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы». 9. Задача П9 особенно интересна для уяснения метода Дио- Диофанта. Она сводится к уравнению где TV = 13. Диофант представляет число 13 в виде двух квадратов: 4 + 9, т. е. находит одно рациональное решение X = 2, У =— 3, после чего полагает X = х + 2, (Р = 2). Подставляя в исходное уравнение, получим ее = и, таким образом, X и Y выражаются как рациональные функции от р. Решение Диофанта отвечает Р — 2, но в задаче оговорено, что следует взять «несколько я-ов», например 2. В этой задаче метод А применен в наиболее общем случае, когда исходное уравнение не имеет вида У2 = аХ2 + ЪХ + с2. Диофант показывает, что если известно одно рациональное реше- решение (в данном случае 2, —3) уравнения второй степени F2{X, У) = О, 197
Комментарии то X и Y можно представить как рациональные функции одного параметра и, таким образом, найти бесконечно много других ре- решений. Замечание Ферма к задаче П9 (№ III): «Может ли также и число, являющееся суммой двух кубов, быть разделено на два других куба? Это трудный воп- вопрос, решение которого, конечно, было неизвестно Баше и Виету, а может быть, и самому Диофанту; я решил его даль- дальше, в моих замечаниях к задаче IV2». 10. В задаче Пи мы впервые встречаемся с «двойным равенст- равенством» (uitcXcioctyjc), т. е. с системой вида X + а = U\ X + Ь = F2. Решение этой системы эквивалентно нахождению рациональных точек пространственной кривой Г. Диофант вычитает из первого уравнения второе (т. е. рассматривает проекцию кривой Г на пло- плоскость (U, V)). Он получает а — Ъ = U2 — V2 = (U — V) (U + V). Разность а — Ъ он раскладывает на множители: &7 а — Ь и приравнивает U 4- V - /с. U — V = к откуда U — 1Х~-га — Ъ у = 2к после чего X находится из первого или второго уравнения: 2ft Решение Диофанта соответствует &=4, а=3, b ~ 2. 11. Второе решение задачи Пи также основано на исключении X из заданных уравнений (т. е. на проектировании), однако ре- результирующее уравнение Диофант представляет в несколько ином ыиде: С/2 — а + Ь = F2, и решает, «додай*.- 198
АРИФМЕТИКА КНИГА II 12. Задачи П„ 1Q составляют единое целое. Они отличаются по постановке потому, что Диофант ищет только положительные решения. Во всех трех задачах применяется один и тот же способ, описанный нами в п. 9. 13. Задачи Пи и IIi5 эквивалентны системам Xi + Х2 = а, Х32 ± Xi = Yi2, л- У — V 2 л- У — V 2 В обеих задачах Диофант полагает а = 20 и для решения за дачи Ни делает подстановки: Х3= х, Y± = х + р, тогда Xi = 2pz + Р2 (Р = 2); Y2 = х + у, тогда Х2 = 2уж + V2 (Y = 3)' после чего два последних уравнения тождественно удовлетворяются а из первого он получает Чтобы решения были положительными, Диофант вводит ограни- ограничение Р2 + Т2 < «• Легко проверить, что преобразования Диофанта бирациональны. Действительно, p=Fi — Х3, у = Y2 — Х3. Решению Диофанта можно придать простую геометрическую интерпретацию. Уравнение Х32 + Xi = У12 определяет поверхность второго порядка в пространстве (Xi, Yi, а уравнения = Х3 + Р, Xi = 2РХ3 + Р2 — систему прямолинейных образующих этой поверхности. Анало- Аналогично определяется система образующих и на второй поверхности, задаваемой последним уравнением первоначальной системы. Наконец, Диофант находит в Q5 пересечение обеих этих систем образующих с гиперплоскостью Xi + Х2 = а- Размерность пере- пересечения всех трех многообразий будет равна 0. Задача ITi5 решается аналогично. Подстановки здесь таковы: Х3 - х + Р, Xi - 2р* + р», Yx - *, Х2 = 2 (Р - у)* + (Р2 - Y2)t ) Здесь X, «= *. 199
КОММЕНТАРИИ 14. Задача IIi6 приводится к системе X + а2 = УД + а2 = У22, где а = 3, & = 3. Здесь уже коэффициенты при X не относятся друг к другу, как квадратные числа, зато свободные члены являются квадратами. Диофант полагает Yi = ах + а (а = 1) и получает из пер- первого уравнения X — а2я2 + 2аах. Тогда первое уравнение тож- тождественно удовлетворяется, а второе дает ba2x2 + 2abax + а2 = У22. Это уравнение имеет рациональное решение х = О, У2 = —а, по- поэтому Диофант делает подстановку У2 = Ра; — а (р = 2), т. е. применяет метод А. Окончательно он получает и X, Уь Уг выражаются через рациональные функции двух пара- параметров аир. Можно показать, что на самом деле координаты точек кривой X, Yi, У2 зависят от отношения этих параметров, т. е. являются, по существу, функциями от одного параметра. В этом легко убе- убедиться, подставляя х в выражения X = а2х2 -\- 2аах, Y\ = ах -{- а, У2 = Ря; — а. Так, например, а = 2а Диофант, видимо, хорошо понимал это. Во всяком случае, он при- принял а — 1. В свою очередь fi/a рационально выражается черев X, Yi и У2, действительно: Р _ У2 + Д а У 1 — а * Таким образом, и здесь преобразования Диофанта бирациональны. 15. Задачи Hi? и His представляются чужеродным телом в системе задач книги II. Задача IIi7 сводится к двум линейным 200
КНИГА if уравнениям с тремя неизвестными, а задача Hie является опреде- определенной. 16. Задача Шэ эквивалентна уравнению X* - Х22 - а {Х22 - Xi2) (а = 3), которое определяет поверхность в трехмерном пространстве Xt9 X2i %з- При помощи подстановки Хг = х, Х2 = я + а (а = 1) Диофант сводит задачу к уравнению х2 + 2а(а-\- 1)х + а2 (а + 1) = Z^, которое он решает методом В, полагая Xz = х + у (у = 3). Окончательно получается 2r—2a(a+l) ' т. е. и здесь Диофант выражает неизвестные Xi, X%, Xz как раци- рациональные функции от двух параметров а и у. Для того чтобы реше- решения были положительны, он вводит ограничение 27 < 2а (а + 1), (а + 1)а2 < у2. Легко проверить, что и здесь все преобразования бирациональвты. 17. Задачи П20 и 1121 эквивалентны системам Х\ ± Х2 = У», каждая из которых определяет поверхность Л2 в Q4. Здесь Диофант, как и в задачах IIj4, II15, выбирает линейные подстановки. В задаче Иго он полагает (*) Хг = х, Х2 = 2ах + а2, Уг = х + а (а = 1), которые обращают первое уравнение в тождество. Геометрический смысл уравнений (*) такой же, как и там. Диофант подставляет (*) во второе уравнение и получает 4а2а:2 + Dа3 + \)х + а4 = У^. К этому уравнению он применяет метод В, полагая У2 = 2ctz - Р (Р = 2), откуда 4а8 + 4ар + 1 201
КОММЕНТАРИИ Х1? Х%, Уь Y2 выражаются как рациональные функции от двух параметров аир. Легко видеть, что при выбранных значениях параметров 3 20 У2 = 2. — — 2 = — — , т. е. имеет отрицательное значение. Диофан- 13 13 га это не смущает, так как окончательно в задаче фигурирует ^ т. е. положительная величина. Аналогично решается задача 112х- Здесь Диофант делает подстановки Хх = х + а, Х2 = 2ая + а2 (а = 1), Yx = z. Применяемые преобразования бирациональны. 18. Задачи П22 и П23 эквивалентны системам ± (Х1 + Xt) = 2 _±_ 2 — каждая из которых определяет А2 в Q4. В задаче П22 Диофант полагает Хг = ж, Х2 = # + 1, тогда Ух — х -\- 1. Первое уравне- уравнение тождественно удовлетворяется, а второе принимает вид х2 + 4я + 2 = Для его рационализации Диофант применяет метод В, полагая Заметим, что подстановки Диофанта можно несколько обобщить, если взять Хг х, Х2 = Bа - 1)х + а2; тогда Yx = х + ее. Из второго уравнения, положив У2 - Bа - получим 2 (а2 + р) Bа — 1) +2а * При выбранных Диофантом значениях параметров У2 получается отрицательным: У2 = — 7/4. Все примененные здесь преобразования бирациональны. Легко видеть, что и тут применяется метод образующих, о котором мы говорили выше (см. комментарии к задачам П14? П15 и П20, П21.) 19. Задачи Ц24 и П25 эквивалентны системам Х2J ±Х2 = YJ, 202
АРИФМЕТИКА КНИГА II каждая из которых определяет поверхность в четырехмерном пространстве. Диофант в задаче П24 полагает Хг = (Р2 - 1)х2, Х2 = (у2 - I)*2, Хх + Х2 = я, где р2 = 4, у2 = 9- Тогда оба уравнения тождественно удовлетво- удовлетворяются, если х определяется из условия Хх + Х2 = х, или (Р2 — I)*2 + (у3 — I)*2 = а:, т. е. поверхность рациональна. Все примененные подстановки бира циональны. Задача Н25 решается аналогично. 20. Задачи Шв и II27 эквивалентны системам где (для задачи Иге) а = 6. Каждая из систем определяет простран- пространственную кривую четвертого порядка. Диофант здесь снова при- применяет метод образующих, а именно для обращения второго уравне- уравнения в тождество он делает линейные подстановки Хг - Р2* - 1, Х2 = хч Y2 « Р^ (р = 2). При этом первое уравнение принимает вид Полагая Ух = а — р#, он находит а; = Задача Н27 решается аналогично. 21. Задачи П28 и Ibe сводятся соответств€Нй9й&^ свезвмаи ix\x\ ± х\ = \x\x\ ± х\ = каждая из которых определяет А2 в Q4. Поскольку (в задаче Il28) X{ (JfJ+ 1) = У*, то Х\+ 1 = f Диофант полагает сторону этого квадрата равной х — р (Р =* а А = л:, т. е. применяет метод В. Тогда а значит, *1 203
КОММЕНТАРИИ Второе уравнение дает Для его решения Диофант вновь применяет метод В. Задача Над'решается аналогично. Все преобразования ~i циональны. 22. Задача Пзо эквивалентна системе Х2) - ^2) = 2 которая определяет А2 в Q4. Для решения Диофант пользуется тождеством а2 + Ь2 ± 2аЪ = (а ± ЬJ. Он полагает ХХХ2 = (Р2 + у*)х2, Хх + Х2= 2Ру*2, Хг = х, Х2 = тогда оба уравнения тождественно удовлетворяются и х получается из условия Хг + Х2 = 2руо:2, т. е. (Р2 + 72 + 1)* = 2Py^2 (Р = 2, у = 3). Окончательно получаем ^1 == (Р + у)х, Y2 = (у - Обратно, ' "о* v * ^ "о" Z Л1 ? т. е. преобразования бирациональны. 23. Задача И31 эквивалентна системе + Х2 = У*, V \ , V2 Л2/ *— J 2» *2) = у;. которая определяет Л2 в Q5. При ее решении Диофант пользуется методом предыдущей задачи, только полагает в используемом тождестве Ъ = 2а. Это он делает для того, чтобы сумма Х1 + Х2 была полным квадратом. 24. Задачи И32 и П33 приводятся соответственно к системам у 2 _i_ "у , V Л1 — Л2 2 1» У 2 j_ у я v 204
АРИФМЕТИКА КНИГА II каждая из которых определяет Л3 в Q6. Эти задачи являются соответ- соответственно обобщениями задач П20 и П21 этой же книги со случая двух неизвестных на случай трех. Здесь также применяется метод образующих. Подстановки Диофанта для задачи Изг таковы: Хг = ху Х2 = 2ая + a2, Yt = х + а (а = 1), Х3 = 2РХ2 + р2 я 2РBаж + а2) + р2, У2 — 2ах + а2 + р (Р = 1). Тогда два первых уравнения обращаются в тождества, а треть* уравнение дает [2РBа* + а2) + р2]2 + х = YJ. Полагая У3 = 4сср«с — б (б — 4), получаем Легко проверить, что преобразования Диофанта бирациональны. 25. Задачи Н34 и П35 сводятся к системам Х\ ± (Хг + Х2 + Х3) - У? (i « 1, 2, 3), каждая из которых определяет А3 в Qe. Эти задачи являются обобщением на случай трех неизвестных задач П22 и И23, однако метод решения здесь иной. Для того чтобы удовлетворить всем трем уравнениям. Диофант пользуется тож- тождеством Далее, он выбирает число N, которое можно разложить на множи- множители тремя различными способами (очевидно; здесь речь идет о целых'числах): N = «!а2 = рхр2 == ViY2 (у Диофанта N'= 12), и полагает (в случае задачи II34) у «I — СГ2 _, у Pi — 32^ y Tl — Та все три уравнения тождественно удовлетворяются при уело- вии, что Хг + X2+Xs = No?, т. в. Nx* и *= «i + Pt + Ti~(«2+P2+T2) m Таким образом, неи^ 205
КОММЕНТАРИИ вестные выражаются как рациональные функции семи параметров, которые связаны тремя соотношениями, т. е. получаем четыре сво- свободных параметра. Но Диофант полагает а2 = 1. И действительно, как нетрудно проверить, функции, через которые выражаются не- неизвестные, зависят от отношения параметров к одному из них, на- например к сс2, т. е. эти функции, по существу, зависят от трех пара- параметров. Нетрудно также проверить, что параметры в свою очередь вы- выражаются рационально через Х\, Х2, Х3, Ух, У2, У3> т- е- преобра- преобразования бирациональны. Так, например, = Хл + Ух, а2 = Y\ — X\m Задача П35 решается аналогично, только тут Диофант ntyP** гает Хг = *+* х, Х{= ^+Р* *,. Ж, = Tl + T* х. КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ III По своему содержанию и методам книга III тесно примыкает к книге II, являясь ее непосредственным продолжением. Это особен- особенно относится к задачам П1г_,4: первая из них дополняет 1) задачи Нз4 и П35, а вторая и третья представляют распространение задач II24 и П25 на случай большего числа неизвестных, задача же ПТ4 дополняет задачи II12 и П13 в том же смысле, в каком ТТТ^ допол- дополняет задачи Н34 и И35. Это дало повод П. Таннери считать, что первые четыре задачи попали в третью книгу из старинного ком- комментария. Мы полагаем, что нет достаточных оснований для такого мнения. Скорее всего, эти задачи^либо включались первоначально в книгу II, либо книга III начиналась с задач Пи и П35, которые 2 *) Задачи1 Ha4" и Н8в эквивалентны системам Х\ + (Xt -\- X rb X9) = Y ({«= 1,2, 3), а задача III, сводится4 к системе X, Ч- X* -Ъ Л, — X* -= У (i-Ч, 2, 3). 206
АРИФМЕТИКА КНИГА III сами представляют обобщение задач П22 и П23 па случай большего числа неизвестных. Дальнейшие задачи книги III эквивалентны системам п урав- уравнений с т неизвестными (п = 3, 4, . . ., 8; т = 5, 6, . . ., 12), каж- каждое из которых не превышает второй степени. Как и в книге II, Диофант подбирает рациональные выражения для неизвестных через одно неизвестное и параметры так, чтобы все условия, кроме одного, были удовлетворены, а последнее условие позволило бы выразить неизвестное в виде рациональной функции параметров. Если это сделать не удается, то Диофант обращает в тождества все уравнения, кроме двух, так, чтобы эти последние условия своди- сводились к «двойному равенству», которое решается методами, изло- жепными в книге II. Несколько выпадает из общего стиля книги задача IIIi©, ко- которая сводится к нахождению целого числа, которое можно пред- представить в виде суммы двух квадратов четырьмя различными спо- способами. Эта задача вскрывает большие познания Диофанта в тео- теории чисел. Она послужила отправным пунктом для теоретико-чи- теоретико-числовых изысканий Ферма (см. комментарии к задаче IIIi9). В этой книге Диофант неоднократно проводит сначала анализ задачи, чтобы установить, какие условия надо наложить на пара- параметры, а потом решает ее. Трудность понимания этих мест состоит в том, что ход решения Диофанта чисто алгебраический, но опери- оперирует он при этом не с буквами, а с параметрами, выраженными конкретными числами. Решение задач Шю и II 1ц показывает, что Диофант действительно смотрит на параметры как на произволь- произвольные величины. В обеих задачах значение параметров случайно выб- выбрано так, что решение существует. Диофант не удовлетворяется этим и ищет, каким общим условиям должны удовлетворять эти параметры для того, чтобы уравнения были разрешимы. Для нас ход его мыслей становится более понятным, если сразу же обозна- обозначить произвольные параметры буквами, что мы и сделаем в наших комментариях. Поскольку обычный метод порождения системы уравнений со- состоит в том, что условие, записанное в первом уравнении, видо- видоизменено в последующих1 путем циклической перестановки неизве- неизвестных, то мы будем в дальнейшем применять сокращенные обозна- обозначения. Например, если система имеет вид + Х3 = I v v2 207
КОММЕНТАРИИ то мы будем ее записывать так: ХлХ{+1 + Х1+г = У? (i =* 1, 2, 3; i, i + 1, i + 2 e Z3), где Z3 — поле вычетов по mod 3, причем в качестве представителей классов несравнимых между собой чисел выбраны числа 1, 2, 3. Помимо тождеств, применяемых в книге II, Диофант поль- пользуется здесь и следующим: аЦа + IJ + а2 + (а + IJ = (а2 + а + IJ. 1. Задача IIIi, эквивалентная системе + Х2 + Х3) - Х\ = У\ (i = 1, 2, 3), как бы дополняет задачи Пз4 и П35. Эта система также определяет многообразие А3 в пространстве Q6. Поскольку Xi + Х2 + Х3 - Х\ + Y\ = Х\ + У^, то Дио- Диофант полагает Х\ + Х2 + Х3 ~ (а2 + Р2)д:2, Xi — arc, У1 = $х, Х2 = рж, У2 = ах (а = 1, р — 2), и первые два условия удовлет- удовлетворены. Этим он вводит дополнительное условие Xi — У2, которое влечет за собой Х2 = Yi. После этого система определяет уже не Л3, а Л2. Чтобы обратить и третье уравнение в тождество, Диофант, пользуясь методом задачи Н9, представляет a2 -f- P2 в виде суммы двух других квадратов у2 + б2, где afe2 + Щ — « 1 + /с2 1 + А'2 (У Диофанта к = 2, поэтому у = 11/5 и б = 2/5). Тогда, полагая Х3 = 7г» ^з == ^xt 0H обращает и третье уравнение в тождество. Остается условие v Ai + л 2 + л3 = (а + р + у)х = (а- откуда а: ~ . Нетрудно проверить, что все неизвестные выражаются рационально через отношение р/a и /с, т. е. являются функциями двух пара- параметров. 2. Задачи 1П2 и III3 эквивалентны системам (Хг + Х2 + Х3J ± Х{ - Y\ , (? = 1, 2, 3), каждая нз которых определяет у!3 в Qe. фти задачи представляют обобщение на случай шести неизвестных соответственно задач П24 208
АРИФМЕТИКА КНИГА III и II25, которые приводились к аналогичным системам от четырех неизвестных. Диофант применяет здесь те же самые методы, пока- показывая тем самым, что они пригодны для аналогичных систем п уравнений от 2/г неизвестных. 3. Задача П14 дополняет две предыдущие; она приводится к системе Хг - (X, + Х2 + *3J - Y\ (i = 1, 2, 3), которая определяет А3 в Q6. Подстановки Диофанта здесь сле- следующие: Х\ + Х2 -f Х3 = х, = (а2 + l)z2, Yi = ах (а = 1), ^2 = Р* (Р = 2), ^з= 7* (v=3). Тогда все три уравнения обращаются в тождества, если выпол- выполнено условие Хг + Х2 + Х3 - (а2 + Р* + у2 + 3)а:2 - а:, откуда 1 3 " Таким образом, неизвестные выражаются как рациональные функ- функции трех параметров. 4. Задача 1П5 эквивалентна системе Хг + Х2 + Х3 = Z2, + Xi+1 - Xi+2 = У? (i = 1, 2, 3; i + 1, i + 2 e Z3), которая определяет А3 в Q7. Диофант дает сначала более частное решение, при котором неизвестные выражаются как функции од- одного *) параметра, а потом — чрезвычайно изящное общее реше- решение. Оно основано, по-видимому, на следующем соображении: если сложить левые части трех последних уравнений, то получится ле- левая часть первого; отсюда получается условие для правых частей Z2 = Y\ + Y\ + Y*. Поэтому Диофант выбирает такие три квадрата, сумма которых является квадратом: 52 - е2 (Р - 2, у = 3, б = 6, е = 7). *) Впрочем, это решение легко обобщить так, чтобы неизвестные выража- выражались рациональными функциями от двух параметров. 209
КОММЕНТАРИИ Это он мог сделать методом задачи П™, а именно найти два таких квадрата Z2 и Y% что Z2 _ у2 = -.**,—* WM „«**r»™v±,, « — ж з ¦- »«, ж g — *, xxw^J^WlTl ^ и при а = 1 будет Z = 7, У3 = 6. После этого он приравнивает + Х2 — Х3 = — Х2 = б2. Получается определенная система трех линейных уравнений трех неизвестных, которую можно решить по способу задачи Окончательно получаем и все четыре условия удовлетворены. При этом неизвестные ей жены как рациональные функции трех параметров. 5. Задача Шв сводится к системе t i + Xi+l = У| . - (i = 1, 2f 3; i, i + 1 e Z3)f которая определяет Л3 в Q7, Можно предположить, что ход мыслей Диофанта здесь тот же, что и в предыдущей задаче. Если сложить левые части трех последних уравнений, то получим удвоенную ле- левую часть первого, поэтому 2Z2 - Y\ + Y\ + Y\. Полагая Y\ ~ я, Y2 = х — a, Z = х + Р (у Диофанта а = C *=* 1), получим а2. Пусть Y3 = у (Y — *!)» тогда 6. Задача III? эквивалентна системе Хг + Xi+1 = Y\ (i - 1, 2, 3; i, i + 1 e Z3), которая определяет Л2 в Qe. Ход решения таков: 1) поскольку Х2 — хх = У^ _ У2? а ^з _ х2 = У^ _ у2} то диофант ищет сначала три квадрата, имеющие одинаковые разности — 72 = F2 — 210
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш (эта задача является частным случаем задачи IIi9 и решается ана- аналогичным способом), 2) затем он полагает Yi = U, У2 = W, У3 = V и находит из последних трех уравнений _I_ Х2_Г_ Х3=_^_ где сами Uy F, ТУ являются рациональными функциями двух пара метров. 7. Задачи Ills и П19 эквивалентны системам A=1,2,3; i, i ± a - j каждая из которых определяет А3 в Q7. Диофант берет а = 3 и в случае задачи Шв, поскольку он делает подстановки У2- 2 * + 3 р Y б -2У2 (Р = (V- F = + » 2), 3), 4). Кроме того, он принимает У3 — X (X = 10) и получает 2 — 2б2 — а у 2B6 — 3— г) Неизвестные ЛЧ, Х2, ^ после этого легко определяются из пер- первоначальной системы, которая после подстановки выражений для Yi, У2, У3, У4 обращается в определенную совместную линейную систему. Задача НЬ решается аналогично. К задачам Ills и Шд Ферма сделал следующие замечания: К задаче Ш8 (№ IV): «Я указал в моем примечании к задаче V30 [в нашем издании V27 — И. Б.], как найти четыре такие числа, чтобы сумма любых двух из них, увеличенная на заданное число, давала бы квадрат». К задаче Ш, (№ V): «Мое примечание к V3i[y нас V28 — Я. Б.] показывает, как можно найти четыре такие числа, чтобы сумма любых двух из них, уменьшенная на заданное число, была бы квад- квадратом». 211
КОММЕНТАРИИ 8. Задачи Шю и IIIn эквивалентны системам XiXi+1 ± а = Y\ (i = 1, 2, 3; if i + 1 е Z3), каждая из которых определяет Л3 в Qe. Диофант полагает в пер- первом случае а = 12, во втором а = 10 и в обоих случаях проводит предварительный анализ. При решении задачи Шю он полагает сначала Y\ = 8 (е = 5), тогда XiX2 = е2 — а, и он принимает Xi = (е2 — а)х% Х2 — 1/*- Тогда первое уравнение обращается в тождество. Пере- Переходя ко второму уравнению, он полагает У2 = б (б = 4), тогда X2XZ = (б2 — а)у и поскольку Х2 = 1/я, то Х3 = (б2 — а)х. Под- Подставляя полученные значения для неизвестных в третье уравнение, найдем (*) (е2 - а)(б2 - а)х2 + а = Y\. Хотя при выбранных Диофантом значениях параметров б и г последнее уравнение принимает вид 52а:2 + 12 = т. е. является разрешимым (у него имеется рациональное решение х = 1, Y3 = 8), однако Диофант как будто не замечает этого. Почему? Мы полагаем, что здесь дело в том, что Диофант смотрел на е и б как на буквенные коэффициенты и искал условия, которые нужно наложить на них, чтобы уравнение (*) было разрешимо не только при некотором случайном выборе 8 и б, но для всех значе- значений их, принадлежащих некоторому классу, определенному этими условиями. Дальнейшие усилия Диофанта и направлены для на- нахождения этих общих условий. Он замечает, что полученное урав- уравнение будет иметь рациональные решения при условии, что (е2 — а)(б2 — а) = ?. А для его выполнения достаточно положить 82 — а = Г~1. б2 — а = Таким образом, Диофант оперирует с уравнением (*) так, как если бы оно имело буквенные коэффициенты, т. е. не арифметически, а чисто алгебраически. Проведенный анализ показывает, что для решения задачи достаточно выбрать такие два числа U и V, чтобы Диофант замечает, что легче всего удовлетворить этим требованиям, если ваять # *¦= О» У ж ?* 212
АРИФМЕТИКА КНИГА III Для нахождения U и V Диофант пользуется тождеством pq + f Р~Гд J = [ Р2 I и» представив, а = Л ./с » Ji .J (А: = 3f 2 = 2), принимает т. е. искомыми условиями для 8 и б будут 8 После этого он возвращается к исходной задаче и полагав^ Xl = (-яг) *' Тогда а У3 определяется из третьего уравнения а V (-4- а = \ z / \ л / Положив \ 2 получим X = Л — к\ tJL — Задача IIIn решается аналогично. В обеих задачах особый интерес представляет проводимый Диофантом анализ. 9. Задачи Ilha, III13 эквивалентны] системам ± Xi+% ^Y\ (i - 1, 2, 3; i, i + 1, i + 2 € Z,)f каждая из которых определяет i48 в Qe. В этих задачах вопрос впервые сводится к «двойному равенству». Проанализируем реше- решение задачи III12. Диофант выбирает в качестве У\ произвольный 213
КОММЕНТАРИИ квадрат (х + уJ (у = 3) и полагает XiX2 — z2 -f 2у.г, Х3 = V2» затем он берет Xi = а:, Х2 = ж + 2у. Тогда первое уравнение обращается в тождество, а второе и третье уравнения дают V + i)x + 2f = У|, (V2 + 1)* + 2y - У». Получаем первый тип «двойного равенства», которое Диофант ре* шает тем же способом, что и в задачах Пи — His- Задача IIIis решается аналогично, однако здесь Диофант приходит к «двойному равенству» нового вида. А именно, полагая Y -у ___ i^ Д2 Y" ft 2^». V — /ft О i Л] — X, Л 2 — *t ~i Р » -Л з — Р •*'» ¦• 1 — ¦*¦ \Р — ^/» он обращает первое уравнение в тождество, а второе и третье уравнения дают Вычитая одно уравнение из другого и полагая v v З2 12 У 3 — — , т ' получим у 2Т Чтобы после подстановки в уравнение уничтожался член с примем В результате получим т. е. решение будет зависеть только от одного параметра. Таким образом, из многообразия А3 выделяется рациональная кривая. 10. Метод решения задачи IIIn, которая определяет А3 в Qfi, можно обобщить, если положить = ах, Х2 = Аах У2 = ах + 2^2, У3 = /с2 — 16р* 214
АРИФМЕТИКА КНИГА III 11. Задачи II h5 и II he эквивалентны системам XiXin ± (Хг + Xi+1) = У? (? = 1 2f 3; if i + 1 S Zs), каждая из которых определяет А3 в Q6. В первом решении задачи IIIi5 Диофант пользуется тождеством се2(се + IJ + а2 + (а + IJ = (а2 + а + IJ. Он полагает Xi = Р2, Х2 = (Р + IJ, Х3 = х (р = 2); тогда Y\ = (Р2 + Р + 1) и первое уравнение удовлетворяется, а два последних дают «двойное равенство», которое решается обычным способом. Диофант получает х = 4 (р2 + р + 1), т. е. неизвестные выражаются как рациональные функции от одного параметра. Диофант, усмотрев, вероятно, что первое решение носит част- частный характер, приводит второе, более общее решение: он полагает Xi = х, Х2 = у (у = 3), Y\ = е (е = 5); тогда из первого урав- уравнения е2 — у х = L Обозначим Х3 == t (у Диофанта ЛГ3 обозначается тем же символом, что и первое неизвестное); тогда второе и третье уравнения, после соответствующих подстановок, дают «двойное равенство» (Т + 1) t + т = У», т+1 Для разрешимости этой системы в рациональных числах Диофант требует, чтобы коэффициенты при неизвестном относились друг к другу, как квадраты (это условие будет достаточным), т. е. ?l±! = !±!_ = п Итак, цужно найти такие два числа Xi, X2, произведение которых вместе р их сущирй давало бы квадрат, и такие, чтобы Поэтому Диофант долагает Xi = х, Х2 = $**? (Р2 -*«.Д) (Р = 2). Тогда у«до1М1в (*)-./Гцч :»•. -ется, а из первого павненри, положив 215
КОММЕНТАРИЙ Yi — $х — у (у = 3), получим т) • После подстановки новых значений неизвестных во второе и тре- третье уравнения получим «двойное равенство», которое разрешается методами задач Пи — 111з- В результате неизвестные выражаются через рациональные функции трех параметров. Задачу 16 Диофант решает тем же способом, который был при- применен при втором решении задачи IIlis. Замечание Ферма к задаче IIIis (№ VI): «У Диофанта имеется другая задача, V6, посвященная тому же вопросу. Но неизвестно, опустил ли он, хотя и знал ее, следующую задачу или, что более вероятно, дал ее решение в одной из своих тринадцати книг. Найти три квадрата таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, было бы квадратом. Мы можем дать бесконечно много решений этого вопро- вопроса. Вот, например, одно из них: три квадрата 3504384 2019241 4 203401 ' 203401 ' удовлетворяют предложенному условию. Но можно пойти дальше и распространить вопрос Дио- Диофанта. Так, мы решили следующую более общую задачу и можем дать бесконечное число ее решений: Найти четыре числа таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же чисел, давало квадрат. Сначала найдем, согласно V6, такие три квадрата, что произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, дает квадрат. Пусть это будут, например, три квадрата, найденные Диофантом: 25 64 196 9 * 9 ' 9 е Возьмем эти три квадрата в качестве трех первых чисел на- нашей задачи; пусть х будет четвертым; образуя его произведе- произведения с каждым из предыдущих и прибавляя сумму обоих множителей, получим 34 ,25 г-, 73 „ , 64 т 205 „, 196 z* + n, — * + ?, * + 9 9 9 9 9 9 216
АРИФМЕТИКА КНИГА Ш Возникает тройное равенство, которое мы разобрали в при- примечании к задаче VI24» [в нашем издании VI22.— И, Б.]. 12. Задачи IIIi7 и IIIi8 сводятся к системам XiX2 ±Xi= Y\, XiX2 ± (Xi + Xt) = Y\% каждая из которых определяет А2 в Q5. Полагая в первом случае Xi=xr *2=Р2я-1, Yi=$x (P==2), Диофант обращает первое уравнение в тождество, а два последних после соответствующих подстановок образуют «двойное равенство» + (Р2 - i)x - 1 = У», Решая его, найдем г_ 163*+1 г 8C2BC2 — 1) L 224. Таким образом, на поверхности А2 Диофант отыскивает рацио- рациональную кривую. 13. Задача IIIi9 резко выделяется на фоне остальных задач книги III. В ней требуется найти такие четыре числа, чтобы {Хг + Х2 + Х3 + Х4J ± Хг = П (i=l,2, 3, 4). При решении этой задачи Диофант впервые прибегает к прямо- прямоугольным треугольникам, стороны которых рациональны, точнее, он опирается на общее решение неопределенного уравнения Х2+ Y2= Z2 в целых числах, а именно: Z = а2 + Р2, Y = 2ар, X = а2 - р2. Диофант не приводит этих формул, но говорит как о чем-то хоро- хорошо известном об «образовании прямоугольного треугольника из двух чисел» и пользуется ими, когда составляет треугольники из чисел 7 и 4 и из чисел 8 и 1, Заметив, что если а, &, с — стороны прямоугольного треуголь- треугольника, гипотенуза которого равна с, тос2±2а&=[7\ Диофант ищет такое целое число TV, которое можно представить суммой двух квадратов четырьмя различными способами. Для этого он берет два прямоугольных треугольника «в наименьших числах» (т. е. стороны которых целые и не имеют общего делителя): C, 4, 5) и E, 12, 13) — и утверждает, что произведение их гипотенуз, т. е. 65, будет 217
КОММЕНТАРИИ представляться суммой двух квадратов двумя различными спосо- способами1). Последнее утверждение вытекает из тождества (а2 + 62)(с2 + d?) = (ас + bdJ + (ad — 6сJ = (ad + &сJ + (ас — которое является первым известным в истории математики приме- примером композиции квадратичных форм. Вероятно, Диофант знал эту формулу. Это можно заключить из его слов, что число 65, «по своей природе», допускает представление в виде суммы двух квадратов «дв^мя способами», потому что «65 получается от произведения 13 и 5, а каждое из этих чисел раскладывается на два квадрата». Он знал также, что 65 является гипотенузой четырех прямо- прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, иначе го- говоря, что квадрат числа, пред ставимого суммой двух квадратов двумя различными способами, сам представим в таком же виде четырьмя различными способами. Но знал ли Диофант, что каждое простое число вида 4/г + 1 представимо суммой двух квадратов и притом единственным спо- способом? Мы вернемся к этому вопросу при разборе задачи V9, пока же скажем только, что именно задача Шю навела Баше, а вслед за ним и Ферма на мысль об исследовании представимости целых чисел и, в частности, простых в виде суммы двух квадратов. Свои результаты Ферма изложил в примечании к комментарию Баше, относящемуся к этой задаче, в котором ставился вопрос о том, сколькими различными способами можно представить заданное целое число суммою двух квадратов. Вот это примечание Ферма (№ VII): «Простое число, которое превосходит на единицу кратное четырех, только один раз является гипотенузой прямоуголь- прямоугольного треугольника, его квадрат — два раза, его куб — три раза, его биквадрат — четыре и т. д. до бесконечности. Это же простое число и его квадрат только одним спо- способом представляются суммой двух квадратов; его куб и его биквадрат — двумя, его квадрато-куб и кубо-куб — четы- четырьмя и т. д. до бесконечности. Если простое число, представимое суммой двух квад- квадратов, умножается на другое простое, также представимое суммой двух квадратов, то их произведение дважды пред- *) Хотя Диофант не оговаривает этого, дело идет о представимости цело- целочисленными квадратами. Ведь Диофанту было хорошо известно, что если число представимо суммой двух рациональных квадратов, то оно пред- представимо в таком же виде бесконечным числом спосо^пя (см. задачу 218
КНИГА Ш ставимо суммой двух квадратов; если множителем будет квадрат второго простого числа, то произведение будет триж- трижды представимо суммой двух квадратов; если множителем будет куб второго простого числа, то произведение будет представимо суммой двух квадратов четырьмя способами и т. д. до бесконечности. Из этого легко определить, сколькими способами задан- заданное число представляется гипотенузой прямоугольного тре- треугольника. Надо взять все простые числа, превосходящие на еди- единицу кратное четырех, содержащиеся в данном числе, нап- например 5, 13, 17. Если данное число содержит степени этих простых множителей, то надо взять эти степени вместо про- простых множителей: пусть, например, данное число содержит 5 в 'кубе, 13 в квадрате и 17 как простую сторону. Тогда надо взять показатели всех множителей, а имен- именно для числа 5 показатель 3, присущий кубу, для числа 13 показатель 2, присущий квадрату, а для числа 17 просто единицу. Надо упорядочить как угодно показатели, о которых шла речь, например, пусть порядок таков: 3, 2, 1. Надо умножить первый на второй, удвоить и прибавить сумму первого и второго, будет 17. Затем умножить 17 на третий показатель, удвоить и сложить с суммой 17 и треть- третьего, будет 52. Тогда данное число будет гипотенузой 52 раз- различных прямоугольных треугольников. Метод останется неизменным, каково бы ни было число множителей и их степени. Другие простые числа, которые не превосходят кратное четырех на единицу, так же как их степени, ничего не до- добавляют к искомому числу и ничего от него не убавляют. Найти число, которое будет гипотенузой столько раз, сколько это желательно. Пусть надо найти число, которое представлялось бы гипотенузой семью различными способами. Данное число 7 удваиваем, будет 14. Прибавляем еди- единицу, будет 15. Берем все простые делители 15, будет 3 и 5. Вычитаем из каждого единицу и берем половину остатков, получим 1 и 2. Возьмем теперь столько различных простых множителей, сколько имеется чисел, а именно два, и перем- перемножим между собой эти простые множители, придав им по- показатели 1 и2, именно один па квадрат другого; так получим 219
КОММЕНТАРИИ число, удовлетворяющее условию, лишь бы только простые числа на единицу превосходили кратное четырех. На основании этого легко найти наименьшее число, ко- которое представлялось бы гипотенузой столькими способами, сколько это желательно. Найти число, которое представлялось бы суммою двух квадратов столькими способами, сколько это желательно. Пусть предложено 10 способами. Удвоенное его 20, берем все простые множители, получим 2, 2, 5. Вычитаем из каждого по единице, получим 1, 1, 4. Значит, нужно взять три простых числа, каждое из которых превосходит на еди- единицу некоторое кратное четырех, например числа 5, 13, 17; взяв квадрато-квадрат одного из них (из-за показателя 4), умножим на остальные два и получим, таким образом, ис- искомое число. На ^основании этого легко найти наименьшее число, ко- которое пред ставимо суммой двух квадратов столько раз, сколь- сколько это желательно. С другой стороны, вот метод, чтобы узнать, сколькими способами заданное число может быть составлено из двух квадратов: Пусть дано число 325. Его простыми делителями, кото- которые превосходят на единицу кратное четырех, будут 5, 13, последнее — один раз, а первое — в квадрате. Возьмем по- показатели 2, 1. Сложим их произведение и сумму, это дает 5, прибавим единицу, что дает 6, берем половину 3. Значит, столькими способами данное число составляется из двух квадратов. Если получатся три показателя, например 2, 2, 1, то процедура будет такова. Произведение двух первых, сло- сложенное с их суммой, даст 8. Умножаем на третий и прибав- прибавляем сумму сомножителей, что дает 17. Прибавляем, нако- наконец, единицу, что дает 18, половина которого есть 9. Столь- Столькими способами предложенное число будет составляться из двух квадратов. Если последнее число, от которого нужно взять поло- половину, будет нечетным, то от него следует отнять единицу и взять половину остатка. Можно еще задаться следующим вопросом: найти целое число, сумма которого с заданным числом будет квадратом и которое, с друзой стороны, будет гипотенузой стольких прямоугольных треугольников, сколько это желательно, 220
АРИФМЕТИКА КНИГА IV Этот вопрос труден. Если, например, требуется найти число, которое будет дважды гипотенузой и при прибавлении 2 дает квадрат, то число 2023 удовлетворяет условию, имеется и бесконечно много других, как 3362 и т. д.». Утверждение Ферма о том, что каждое простое число вида 4/г + 1 представимо суммою двух квадратов и притом единственным образом, было впервые доказано Л. Эйлером (Novi Commenta- rii, 1754—1755). Эта теорема играет большую роль в теории чисел. Она получила название первого дополнения к закону вза- взаимности. 14. Задачи П12о и Hbi совпадают соответственно с задачами Hi5 и Пи. Решения, предложенные в книге 111, существенно не от- отличаются от предыдущих. КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ IV В этой книге появляются уравнения третьей и более высоких степеней, как определенные, так и неопределенные. Кривые, по- поверхности и многообразия размерности ^ 3, которые встречаются здесь, уже, вообще говоря, не рациональны, неизвестные уже не могут быть выражены как рациональные функции от соответству- соответствующего числа параметров. Поэтому Диофант для нахождения рацио- рациональных решений применяет здесь существенно новые методы. Задачи IV2 2, IV15 и IV34_36 являются определенными. Задачи IV3_U и IV26 эквивалентны системам уравнений, задающих рацио- рациональные многообразия. Задачи IV24, IV26_28 сводятся к нахожде- нахождению рациональных точек на эллиптической кривой (т. е. кривой рода 1). В них Диофант впервые применяет методы касательной (IV24) и секущей (IV26_27). Задача IVie сводится к рассмотрению гиперэллиптической кривой рода 2 (см. комментарий к задаче IVis). В последующих задачах книги уже не встречается кривых рода g^l. Некоторые из задач помещены, по-видимому, для закрепле- закрепления материала предыдущих книг, другие представляют самостоя- самостоятельный интерес. Так, например, в задачах IV29 и IVS0 Диофант пользуется тем, что каждое целое число можно представить в виде 221
КОММЕНТАРИИ суммы четырех квадратов, из чего можно заключить, что он знал доказательство этого предложения (недоказанными предложе- предложениями греческие математики никогда не пользовались). Инте- Интересны также леммы этой книги (их две) и задача IV19, в кото- которых решение требуется найти «в общем виде», т. е. найти общие формулы для решений. 1. Задачи IVll2 определенные. Они сводятся к квадратным уравнениям, причем коэффициенты подобраны так, что корни ра- рациональны. В своем издании «Арифметики» Диофанта Баше де Мезириак присоединил к этим задачам еще пять задач, первые три из которых были рассмотрены Ф. Виетом (Зететика, IV18_90). Эти задачи экви- эквивалентны следующим неопределенным уравнениям: 1. X3 + ^3 = а3 — Ь\ а > 6, 2. X3 — У3 = а3 + Ь3, 3. X2 ~ У3 = а3 — Ь3, а > Ь. Во всех трех случаях для нахождения рациональных решений Баше применяет «метод касательной», который у Диофанта встре- встречается впервые в задаче IV24. Так, например, для решения первой из задач Баше делает подстановку X — t — Ь, У = а — Ы. Тогда /2A __ #5) + з* (ак2 — Ь) + 3 (Ь2 — аЧ) - 0. Положив к = Ь2/а2 (подробнее об этом методе см. в комментарии к> 1V24), он находит у h V а3 + б3 ' ~~ ал + Ь3 ' с ? Для того чтобы решения были положительными, Баше вводит ог- ограничение к задаче 1: 26* < а3, к задаче 3: 263 > а3. Ферма делает к задаче 1 Баше следующее замечание (№ VIII): «Повторяя операцию, легко можно избавиться от усло- условия [т. е. от ограничения.— И. Б.] и решить общим образом как этот вопрос, так и следующие, чего не смогли сделать ни Баше, ни сам Виет. Пусть даны два куба 64 и 125; требуется найти два дру- других куба, сумма которых была бы равна разности данных. Найдем методом, данным Баше при решении зада- задачи 3 (на следующей странице) два других куба, раз- разность которых будет равна разности двух заданных. Баше нашел их, это 15252992/250047 и 125/250047. По построению 222
АРИФМЕТИКА КНИГА IV разность их равна разности двух данных кубов; но, после того как они найдены методом задачи 3, поскольку удвоен- удвоенный меньший не превосходит большего, их можно взять в качестве данных задачи 1. Таким образом, мы получим два данных куба и будем искать два других, сумма которых равна разности данных; так как условие, указанное для задачи 1, выполнено, то решение можно получить без затруднений. Но разность ку- кубов, найденных путем решения задачи 3, равна разности двух первоначально заданных кубов 64 и 125; итак, ничто не мешает построить два куба, сумма которых равна разности данных 64 и 125, что, конечно, удивило бы самого Баше. Более того, проходя по кругу эти три задачи и повторяя это до бесконечности, получим бесконечно много пар кубов, удовлетворяющих одному и тому же условию; действительно, после того как мы нашли два куба, сумма которых равна разности данных, мы можем методом задачи 2 найти два других, разность которых равна сумме наших двух кубов, т. е. разности первоначально данных; от разности мы перей- перейдем к сумме и так до бесконечности». Относительно задач 2 и 3 Баше де Мезириака Ферма замеча- замечает (№ IX): «Условие, наложенное на задачу 3, незаконно, как мы покажем, действуя так же, как и в случае задачи 1. Более того, на основании вышеизложенного мы благо- благополучно решим задачу, неизвестную Баше: Данное число, составленное из двух кубов, разложить на два других куба, и это бесконечным числом способов, путем непрерывного повторения операций, как это было указано выше. Пусть надо найти два куба, сумма которых равна сумме других двух 8 и 1. Сначала на основании задачи 2 найдем два куба, разность которых равна сумме данных; они будут 8000/343 и 4913/343. Так как удвоенный меньший превосходит больший, то дело сводится к задаче 3, от которой перейдем к задаче 1 и получим решение. Если мы хотим получить второе решение, то возвра- возвращаемся к задаче 2 и т. д. Чтобы показать, что условие, наложенное на задачу 3, незаконно, возьмем два куба 8 и 1 и найдем два других кубэ, разность которых равна разности данных. 223
КОММЕНТАРИИ Баше объявил бы, конечно, что задача невозможна; од- однако нашим методом найдены два куба, разность которых равна 7, т. е. разности 8 и 1. Эти два куба таковы, 2024284625/6128487 и 1981385216/6128487, а их стороны равны 1265/183 и 1256/183». 2. Задачи IV3_5 сводятся к системам, каждая из которых опре- определяет рациональную пространственную кривую. 3. Задача IV6 эквивалентна системе х* + х\ = у», А -ь х\ == А- Диофант делает подстановки Хг = х, Х\ = у2х2 (у2 = 9), = 9,g=i). Тогда У2 = IL+l\ x и второе уравнение обращается в тождество* Первое уравнение после соответствующих подстановок при- принимает вид . Это уравнение определяет рациональную кривую третьего порядка, Диофант полагает Yt = fix (f> — 2) и получает -^Г 16-] -1 L 7J • Легко проверить, что р, g, p в свою очередь рационально выража- выражаются через Xlf X2, Ха, Ух, У2. Таким образом, установлено, что рассматриваемое многообразие рационально. 4. Задача IV7 по своей постановке эквивалентна системе + Х% = У». Однако в ходе решения Диофант добавляет к ней еще одно уело вие: У2 = ХХш Из второго уравнения Y\ — Х\ = Х| + А'^ а из первого Х\ = У. Чтобы обратить левую часть в квадрат, Диофант полагает Х\ = 2Z2^3- Он беРет ^2 = ж» ^з = 2», тогда Z* = 5s2. Ос- Остается определить х так, чтобы 5за было кубом. Для этого Диофант 224
АРИФМЕТИКА КНИГА IV берет Хх = [Зя (р — 2) и получает Решение может быть получено в виде функции от двух пара- параметров, если положить Х2 = оса;, Х3 = 2аа;. При втором решении Диофант исключает из обоих уравнений Y2=z X1vl получает Он берет Х3 = х, Х2 = р (р = 2) и Ух = Л* — р (А; « 2), тогда а; = - /с2 — 2 # После этого он полагает Хъ = — *, Х2 = pf, Уа ^ * и из второго /с2 — 2 уравнения находит t = $* k* + A .[=20], Таким образом, неизвестные выражаются в виде рациональных функций от двух параметров. 5. В задаче IVs, которая эквивалентна системе Х\ + Х2 = У3, = V и определяет пространственную кривую, Диофант полагает Х2 = av Хх =! Рж (Р = 2), тогда У = (р + 1)л и второе уравнение удов- удовлетворяется, а из первого получаем „2_ 1K— Поскольку у Диофанта р = 2, то я2 = 1/19, т. е. я будет иррацио- иррациональным. Диофант замечает, что уравнение будет иметь решение, если (Р + I)8 ~ Р3 = ?¦ Он берет р в качестве нового неизвестого р = t (он обозначает это новое неизвестное той же буквой, что и первое) и получает З*2 + 3* + 1 - Q. 225
КОММЕНТАРИИ Применяя метод А, он полагает сторону неизвестного квад- квадрата равной 1 — %t (% = 2). Тогда f _ 3 + 2% _ %* _ з А* _ 3 * Я2 + ЗЬ + 3 • Таким образом, неизвестные выражаются в виде рацион&дыГКП функций параметра. 6. Задача IVg сводится к системе + Х2 = У, — У t которая определяет пространственную кривую. Диофант полагает Х± = §х (Р = 2), У = ух (v — 3), тогда Х2 ~ yBxs — fix и второе уравнение обращается в тождество. Из первого получаем X2 s= Диофант отмечает, что при выбранных значениях р и у неиз- неизвестное, т. е. неизвестное число (aptd-^o^), «не рационально». Это замечание показывает, что Диофант знал об иррациональных числах. Диофант приходит к новой задаче: найти такие два числа Ux и U2, чтобы ul+v* =D' Положив U1 + U2 = р» Ux = t (Диофант обозначает это новое неизвестное тем же символом, что и первое), он приходит к урав- уравнению которое решает методом А, т. е. принимает сторону неизвестного квадрата равной р — Ьг (р = 2, б = 4). Определив и± и ?72» Диофант возвращается к первоначальной задаче и находит Х1У Х27 У как рациональные функции одного пара- параметра. 7. Решение задачи IV10, которая эквивалентна уравнению Xs + YS = X -f Yy сводится к решению предыдущей задачи. Баше в своем издании «Арифметики» присоединил к этой за- задаче следующую: «Найти два куба, сумма которых находится в за- заданном отношении к сумме их квадратов». Баше предполагает при этом, что отношение будет вида р2 или х/з р2. 226
АРИФМЕТИКА КНИГА IV По этому поводу Ферма замечает (№ X): «Это условие должно быть дополнено, как это мы сделали в следующем замечании. Не приходится удивляться, что Баше не увидел общего метода, который действительно труден; но он должен был, по крайней мере, предупредить читателя, что метод, который он дает, не является общим». 8. Задача IVn эквивалентна уравнению _ уз = х _ у, которое определяет плоскую кривую. Диофант полагает X = = 7* (у — 3), У = р? (Р = 2) и получает Р Г- 1 9 Он вновь отмечает, что t будет не рациональным и ищет такие два числа Ux и Uit чтобы тт тт = П. - . Положив U2 = Zy U1 — U2 = ее (а = 1), он приходит к уравне- уравнению второго порядка, свободный член которого является квад- квадратом. Решив его по методу А, Диофант возвращается к перво- первоначальной задаче и находит неизвестные как функции одного параметра. К задаче IVlt Ферма сделал следующее замечание («Ns XI): «Если требуется найти два квадрато-квадрата, разность которых равна разности их сторон, то вопрос может быть ре- решен с помощью нашего метода. Действительно, пусть нужно найти два квадрато-квадра- квадрато-квадрата, разность которых равна кубу, а разность их сторон 1. 9 13 Применяя первую операцию, найдем стороны — -^о" и -^о" • Но поскольку первое из этих чисел отмечено знаком —, то следует повторить операцию, следуя нашему методу, прирав- 9 13 няв первую сторону х — щ » вторую х + щ » и, таким об- разом мы получим положительные числа, удовлетворяющие задаче». Баше присоединил к этой задаче следующую: «Найти два куба, сумма которых имела бы заданное отношение к сумме их сторон». При этом он ввел ограничение: заданное отношение должно иметь вид р* или 1/з ра. 227
КОММЕНТАРИИ Ферма заметил по этому поводу (№ XII): «Условие незаконно, так как оно не общее. Нужно до- добавить: „или быть произведением (квадрата) на простое чис- число, которое превосходит на единицу кратное трех, или в а число, составленное из таких простых чисел", как 7, 13, 19, 37 и т. д. или 21, 91 и т. д. Доказательство и решение получаются из нашего метода». 9. Решение задачи IV12, эквивалентной уравнению Z3 + У = У3 + X, X > У, сводится к решению задачи IVn. 10. Задача IV13 эквивалентна системе X, + Х2 Х2 — Диофант полагает Yx=- ух ^- 1 G=3), тогда Хх = Y2aj2 + Первое уравнение удовлетворено, и он переходит к третьему. Чтобы обратить его в тождество, он использует соотношение и кладет - 1) х + 2т J тогда 3 2 " Теперь удовлетворены все уравнения, кроме последнего. После соответствующих подстановок оно принимает вид А& + Вх + С = Y\t где С = V2- Его униформизацию Диофант производит методом А, после чего все неизвестные выражаются как рациональные функ- функции от двух параметров. 11. Задача IVi4 эквивалентна уравнению Z2 = 2 (Z* - Z2), Z > У > X. Диофант полагает X = a, Z = t + а (а = 1) и, подставляя в уравнение, получает — 2сс2. 228
АРИФМЕТИКА КНИГА IV Далее, по методу В, он принимает У = * — б (б = 4) и получает t = 2(а+ 6) _9П 5J ' после чего все неизвестные оказываются выраженными как рацио нальные функции от двух параметров. 12. Задача IV15 является определенной. 13. Задача IVl6 эквивалентна системе ui = У? С = 1. 2, 3; X.2 Первое условие Диофант удовлетворяет, полагая = 4аж (з = 1), Zi = 2ой?"" 2 == аж — 1, тогда Ух « ах + 1. ^2 Второе условие дает = У\. Взяв Yz = 4аж 4- 1, он получает Х3 = 8ая -(^ 1 (метод В). После этого он переходит к последнему уравнению: Диофант принимает этот квадрат равным 169а2*2, где t — новое не- неизвестное. Диофант обозначает его тем же символом, что и старое, отчего могут произойти недоразумения. Если иметь в виду, что t ~ новое переменное, то получим х = 13а?2 и А. * ?i Остается третье условие: X* 4- Х± = A04а2г2 или 10816а2;2 -f 221 = П- Диофант полагает сторону квадрата равной 104af <$> m (m = 1) и получает л 221 — т2 208am Г-551 L 52j * Задача IVn решается аналогичным образом. В обоих случаях решение не будет общим. Ферма сделал к этим двум задачам следующие замечания XIII и № XIV): 229
КОММЕНТАРИИ К первой из них: «Эта задача допускает, пожалуй, более изящное реше- решение. Положим первое число х, второе 2х 4- 1, так что, прибав- прибавленное к квадрату первого, оно дает квадрат. Для третьего выберем произвольно коэффициент при х и свободный член, с условием, чтобы прибавление квадрата второго давало квад рат; например, пусть оно будет 4х -}- 3. Таким образом, два условия удовлетворены; нужно еще, чтобы сумма всех трех, а также квадрат третьего вместе с пер- первым составляли квадраты. Но сумма трех есть 4 + 7#, сумма же квадрата третьего и первого 9 + 2Ъх -f- 16а;2 Получаем двойное равенство, в котором свободные члены являются квадратами; поэтому решить его легко, сделав эти члены равными одному и тому же квадрату. Тем же методом можно распространить задачу на четыре числа и так до бесконечности; достаточно сделать, чтобы свободные члены в выражениях для отдельных чисел были квадратами, а это очень легко». Ко второй: «Способ рассуждения, который мы применили к преды- предыдущей задаче, позволяет решить и эту и распространить ее на произвольное число чисел». 14, Задача IVis эквивалентна системе В этой задаче появляется в процессе решения неопределенное урав- уравнение шестой степени. Диофант полагает Хг = х, Yx = р, Х2 = — х9 (Р = 2). Первое уравнение удовлетворено, а второе дает Это уравнение определяет гиперэллиптическую кривую рода 2. Для таких кривых и до сих пор неизвестен общий метод нахождения рациональных точек. Диофант делает подстановку У2 == Р3 + я3 и получает х = 4Р3ж3, или хг — 1/Dр3). Чтобы х было рационально, Диофант требует: 4р3 = ?• Это можно осуществить, полагая р = б2; ТПГГГЯ АЛ = 3* = 1/1 Z03l И л 1 = О12 Л9 = О^ 19 = О:) -4- - оо 50s Таким образом, на рассматриваемой поверхности выделяется ра- рациональная кривая. 230
АРИФМЕТИКА КНИГА IV 15. В задаче IVig требуется найти «общие выражения» для чи~ сел таких, что ХгХи1 + 1 = Y\ (* = i, 2, 3; М+16 Z,). Диофант полагает Yx = ax -|~ 1 (a = 1), тогда ХгХ2 = а2хг + 2az, он берет X2 — x, XY = a2s -f- 2a. Затем, переходя ко второму уравнению, он полагает У2 = 7^ + 1 (у == 3), тогда Х3 — 72;г + 2у. Остается последнее уравнение: (a + 7) * + 4ay + 1 = Yj. j Поскольку коэффициент при х2 является полным квадратом, то его можно было бы решить, положив У3 = аУх + Р* В этом случае все неизвестные были бы выражены как рациональные функции трех параметров, т. е. мы бы получили общее решение. Однако Дио- Диофант избирает иной путь. Он ищет частное решение, а именно он подбирает второй параметр так, чтобы левая часть третьего уравне- уравнения обратилась в полный квадрат. Это можно сделать, если поло- положить 4ау + 1 = D» а это будет иметь место, если 1 = (а — *уJ» так как 4т п + (т — иJ = (т + пJ. Поэтому Диофант полагает у — a = 1, т. е. Y=a + 1. Тогда все три условия задачи выпол- выполнены, и мы получим Хг = о?х + 2а, Х2 = х, Х3 = (а + 1Jя + 2 (а + 1), YlS=ax + l, У2 = (а + 1) х + 1, У3 = а (а + 1) s + Bа + 1). К этой задаче Ферма сделал следующее замечание (№ XV): «Пусть предложено найти три числа, произведение лю- любых двух из которых, увеличенное на единицу, будет квадра- квадратом, и, кроме того, каждое из этих чисел, увеличенное на еди- единицу, дает квадрат. Мы присоединим решение этого вопроса к уже рассмот- рассмотренному [см. задачу V3.— И* Б]. Пусть взято неопределен- неопределенное решение данной задачи Диофанта так, что свободные чле- члены для Хг и Х2, увеличенные на единицу, являются квадра- квадратами. Пусть, например, три неопределенных числа будут: первое ^* + g, второе *, третьэ Ясно, что они удовлетворяют данной задаче неопреде- неопределенным образом, сверх того, нужно, чтобы каждое из этих 231
КОММЕНТАРИЙ чисел, увеличенное на единицу, давало квадрат, т. е. возни- возникает тройное равенство, которое легко решить нашим мето- методом, так как свободный член каждого из выражений, после прибавления единицы, становится квадратом». 16. Результат предыдущей задачи применяется в качестве лем- леммы при решении задачи IV20, которая сводится к системе 1 = G (*, 7 = 1, 2, 3, 4; 1ф Чтобы удовлетворить уравнениям X\Xj + 1 = ? (/' = 2, 3, 4), Дио_ фант полагает Х\ — я, Хъ = аН + 2д, Хз = (а -\- 1Jх -J- 2 (а +1), ЛГ4 = (а + 2Jя + 2 (а + 2) (у Диофанта а = 1). При этом автома- автоматически удовлетворяются и уравнения Z3Z4 + 1 = П> -^2X3 + 1 = П (о выполнении последнего у Диофанта нет указания). Остается удовлетворить уравнению Z2Z4 + I — G» что и делает Диофант. Диофант, по существу, показывает, что его методом можно решить аналогичную задачу для любого числа переменных. К этой задаче Ферма сделал следующее замечание (№ XVI): «Следует найти три числа такие, что их произведение по два, увеличенное на единицу, образует квадрат; пусть, например, это числа 3, 1, 8. Теперь следует искать четвертое такое, что его произве дение на каждое из трех найденных будет квадратом после увеличения на единицу. Пусть это число будет я, тогда Зх+ 1, х 4- 1, 8а: 4- 1 равны квадратам, и возникает тройное равенство, которое решается найденным нами методом. Смотри мое замечание к задаче Vbi» [в нашем издании VI22.— И. Б.]. 17. Задача IV2i эквивалентна системе 2 -Л3 — Х2 == Yj, — V2 Диофант полагает Хг = х, Хй = х 4- a2, Xs = х 4- а2 + При этом аир должны быть выбраны так, чтобы ос + Р2 = С» Такие числа можно выбрать, если воспользоваться формулами для катетов прямоугольного треугольника, стороны которого рацио- рациональны, т. е. положить а = |2 — rja, P = 2|т] (у Диофанта g = 2, 232
АРИФМЕТИКА КНИГА IV г] = 1). Тогда все уравнения, кроме первого, удовлетворены, а пер вое уравнение дает (х + а2J = х (х + а2 откуда — а2 B?г]J — (Р — iff • 18. Задачи IV22 и IV2S эквивалентны системам *А*э ± *i = У? (* = 1, 2, 3). В первой из задач Диофант полагает уг = ж -f а (а = 1), Хх = а2, тогда ХгХ2Х8 = х2 + ^2 = * + Р (Р = 2), тогда Х2 = 2 (р - а) х + Р2, откуда 2a2 (p - а) х + а 1 2^i Диофант требует, чтобы = j— , т. е. (Р — 2аJ = 0, р = 2а; тогда Хз = ^^ , и первые два уравнения удовлетворяются, а третье дает * + [^ + ) * = Диофант полагает У3 = /^ и находит К этой задаче Ферма делает следующее замечание (№ XVII): «Задача может быть решена не только без леммы Дио- Диофанта х), но и без двойного равенства2). Положим: тело из трех чисел х% — 2х, первое число 1, второе число 2х. И два условия задачи будут удовлетворены. Чтобы найти третье, разделим тело из трех, хг — 2х, на прямоугольник на первом и втором, 2х\ из этого деления *) Под леммой Диофанта Ферма понимает условие, при котором х2 -\- 2ах нацело делится на 2а* (р — а) х -Ь а*Э*. ») Двойное равенство было применено Диофантом при решении следующей задачи (IVis). Но Баше указал, что и задача IV« может быть сведена к двойному равенству. 233
КОММЕНТАРИИ получится третье —х— 1, которое, сложенное с телом из трех, дает х2— -—.а? —1,что должно равняться квадрату. Кроме того, в силу сделанных предположений нужно, чтобы значение х превосходило 2; поэтому приравняем квад- квадрату, сторона которого равда х минус произвольное число, большее двух. Остальное известно». Решение задачи IV23 Диофант приводит к двойному равенству. Он полагает Х±Х2Х3 = х2 -\- ах (а = 1), Х± — ах, Y1 = хиХ2Х3 = = — + 1, и берет Х2 = 1, Хъ = — -{- 1. Первое уравнение удовлет- воряется, а второе и третье дают двойное равенство Решая его обычным способом, Диофант получает х= 1 + 16 а» т. е. a и на рассматриваемом многообразии выделяется рациональная кривая. 19. Задача IV&i эквивалентна системе Х2 = д, х2 = уз - г, которая определяет пространственную эллиптическую кривую L. Диофант полагает a = 6, Хх = ж, исключает Х2 и получает х (а — л:) = У3 — У. Две рациональные точки этой кривой L' можно найти сразу. Это Мг @, 1) и Л/2 @, —1). Диофант делает подстановку Y = $х — 1 (р = 2). Тогда $*х* — (Зра - 1) z2 + BР — в) а: = 0. Чтобы это уравнение имело рациональное решение, Диофант пола- полагает 2|3 — а=0,т. е. он устанавливает, что число р не может быть 234
АРИФМЕТИКА КНИГА IV выбрано произвольно. Это не переменный параметр, как в преды- предыдущих задачах, а вполне определенная величина, равная а/2. Это- Этому значению р отвечает рациональная точка кривой L': _ 3 (q/2)* -1 у_я . (а/2)» ' Т Геометрический смысл подстановки У = ~ х — 1 нетрудно ус- мотреть. Это прямая, проходящая через точку М2 и касательная к кривой U. При этом Диофант находит угловой коэффициент ка- касательной к чисто алгебраически. Метод его совершенно общий. Действительно, если F3 (X, У) = 0 — уравнение кривой третьего порядка, на которой лежит точка М (Хо, Уо), п X ~ Хо -f- t, У — = У0 -|~ kt — уравнение прямой, проходящей через М, то, решая совместно эти два уравнения, получим F3 (Хо + t, Уо Чг Л*)= F3(X0, Уо) + М(Х0, Уо) + /с^(Х0, Уо)+ , Уо, А) + №(ЛГ0, Уо) - 0. Но Fa (XOi У0) = 0; чтобы t было рациональным, приравниваем нулю коэффициент при /: A{XQ, У 0) + кВ(Х0, У о) = 0, откуда дХ Таким образом, способ Диофанта дает алгебраический метод вы- вычисления производной, только он применяет свой способ не в общем виде, а для конкретных кривых. Этим методом Виет, Баше и Ферма решали задачу о представ- представлении суммы или разности двух кубов суммой или разностью двух других кубов (см. примечания к задаче IV2). По-видимому, и сам Диофант решил таким образом уравнение Хв — У? = а3 + ^3> на которое он ссылается в задаче Vi6. Он применил этот же метод и в задаче VI20. Эйлер первый сформулировал, в чем состоит различие меж; у проблемами отыскания рациональных решений неопределенных уравнений второй и третьей степеней. В своей «Алгебре» он писал: «Мы должны заметить заранее, что здесь [т. е. для урав- уравнений третьей степени.— И. В.] нельзя найти общего ре- решения, как это было в предыдущих случаях, и метод, упот- 235
КОММЕНТАРИИ ребляемый ниже, приводит не к бесконечному множеству решений одновременно, но теперь каждая операция позво- позволит нам узнать только одно значение я» (L. E u 1 е г, Ё1ё- mens d'algebre, trad, d'allemand, 1796, т. II, § 112). И далее: «Мы только что говорили, что для того, чтобы формула = а + ЪХ + сХ2 + dX* могла быть преобразована в квадрат, необходимо предпо- предположить предварительно, что существует случай, когда такое преобразование возможно. Но такой случай виден яснее всего, когда первый член сам является квадратом и формула имеет вид У2 = /2 + ЪХ + сХ2 -\- dX*, так как она, оче- очевидно, становится квадратом, если X = О» (там же, стр. 137, § 114). В этом случае новое решение следует, согласно Эйлеру, искать в виде У = / 4> рх, «где / есть квадратный корень из первого члена, а р взято таким образом, чтобы второй член уничтожился, так что Р2Х2 оставалось бы сравнить только с третьим и четвертым членами формулы, а именно сХ2 -f- dX*t так как это последнее уравнение, которое можно разделить на X2, дает новое зна- чение X, которое будет X = ?——» (там же, § 117). а 20. Задача IV26 эквивалентна системе = [2 (Xs - Xt)]', которая определяет пространственную кривую. Диофант берет а = 4 и полагает Х9 — Хх = х, Хг = pa; (P = 2), тогда Х3 — = ф 4- 4) х- Но ^А — 8а;5» значит, 8 х 1) Если мы подставим полученные значения неизвестных в первое уравнение, то получим а и кривая рационализируется. 236
АРИФМЕТИКА КНИГА IV Однако Диофанту нужно учесть еще арифметическое условие Хг т. е. решить неравенство которое определяет интервал возможных значений параметра р. Диофант решает его так: поскольку 8 + 1) После этого он ищет куб, который был бы больше Р3 ^ Ра и Два пеР~ вых члена которого совпадали бы с р3 + р2. Диофант берет [р + -^-) р 4- \ — 8, откуда JL ЛГ=Аа? X =iLx X = *Lx 3 ' Х 3 a?I 2 5 Х* 3 3 f и а; находится из первого уравнения. Издатель Диофанта А. Чвалина подсчитал, что р должно ле- лежать в интервале A,428; 1,716). Для каждого рационального зна- значения р из этого интервала получим свое решение. Диофант выбрал р = 5/3 = 1,66..., т. е. одно из значений, принадлежащих интер- интервалу возможных значений параметра. 21. Задача IVae эквивалентна системе Диофант делает подстановку Хг = р3*, Х2 = ж2 — 1, Уг = ря (р = 2), которая обращает первое уравнение в тождество, а второе прини- принимает вид При фиксированном р это уравнение представляет эллиптическую кривую L на плоскости (я, У2). Диофант полагает и получает т. е. новую рациональную точку кривой L. 237
КоммёнФарйй Нетрудно усмотреть геометрический смысл подстановки Дис- фанта. Для этого запишем уравнение кривой L в однородных коор- координатах (X, У, U): - 63 = Эта кривая имеет две рациональные точки: конечную @, — 1, 1) и бесконечно удаленную A, |3, 0). Прямая, проходящая через эти две точки, будет иметь уравнение рх — и = у, или, возвращаясь к аффинным координатам, $х — 1 =Уг. Итак, здесь применен «метод секущей», но для случая, когда одна из рациональных точек является бесконечно удаленной. Пьер Ферма применял ме- метод секущей только в тех же ситуациях, что и Диофант, т. е. когда одна из точек была бес- бесконечно удаленной. То же име- имело место и в ранних работах Эйлера. Только в поздних ра- работах Эйлер рассмотрел слу- случай, когда известны две конеч- конечные рациональные точки куби- кубической кривой. До недавнего времени по- полагали, что методы касатель- касательной и секущей получили гео- геометрическую интерпретацию только в XIX веке. Однако не- недавно Д. Т. Уайтсайд обнару- обнаружил такую интерпретацию в бумагах Ньютона. Мы приводим здесь соответствующий отрывок: «Если уравнение достигает трех измерений и существуют три рациональных случая [т. е. имеются три рациональные точки.— И. Б.], не составляющие арифметической прогрес- прогрессии [т. е. не лежащие на одной прямой.— И. Б.], то может быть найдено бесконечно много других. Пусть Р, Q, R будут точками кривой, отвечающими этим случаям. Соедини PR,RQ, PQ, тогда точки S, Г, У, в ко- которых PR, HQ, PQ пересекают кривую, дадут другие три числа. Затем соедини QS, и точка X, в которой QS пересе- пересекает кривую, даст другое число. И так до бесконечности» 238
АРИФМЕТИКА КНИГА IV (см. рис. 3) (The Mathematical Papers of Isaac Newten, ed. D. T. Whiteside, t. IV, Cambridge, 1971, s. 112—114). 22. Задача IV27 эквивалентна системе — X% — л 2" Диофант пытается решить ее тем же методом, что и задачу IV26. Он полагает = 2), Х2 = а;2 + 1, тогда Ух = р«, первое уравнение обращается в тождество, а второе принимает вид z* — х2 4- Ps* — 1 = Диофант утверждает, что левую часть уравнения (*) невозможно преобразовать в куб. При этом он имеет в виду «невозможно методом предыдущей задачи». Действительно, если мы положим У2 = fix — — 1, то получим » 3Е 37 — р 3S2 1 » которое будет положительным при 1/3 < р2 < 3. При р = 2 а; = = — 2/11, т. е. решения с точки зрения Диофанта нет. В своем издании «Арифметики» П. Таннери указывает, что уравнение (*) можно было бы преобразовать в куб при р ~ 2 с по- 1 8 мощью подстановки Y% = 2х— -т^- или подстановки Уа = ~о" # — 1 • Но обе эти подстановки отвечают совершенно иному методу — ме- методу касательной, который был применен Диофантом в задаче IV24. Желая воспользоваться методом задачи IV28, т. е. методом секущей, Диофант меняет первоначальную подстановку. А именно он по- полагает Х1 = р3я + 1, Х2 = я2, тогда У2 = ря, после чего второе уравнение удовлетворяется, а первое принимает вид Теперь подстановка Y± = fix — 1 приводит к цели: ^ —- н ^ _i зв2 " 23. Задача IV28 эквивалентна системе Х2) - Х2) = 239
КОММЕНТАРИИ Вычитая второе уравнение из первого, Диофант находит у3 у3 1 2 - 2 Складывая эти уравнения, он получает У? 4- У? 2 Итак, Диофант приходит к системе вида (Хг + Х2 = А, у. Х^Х2 == В» Чтобы корни были рациональны, необходимо и достаточно выпол- выполнение условия I—1 2 7 ~^\ 4 / - 2 Полагая Yx = я -f- 1, Y2 — x — 1, Диофант получает 4. 1 = т. е., как и в предыдущих трех задачах, приходит к эллиптической кривой, координаты точек которой нельзя выразить как рацио- рациональные функции параметра. На этой кривой лежит рациональная точка, а именно @; 1), поэтому можно найти еще одну рациональную точку. Для этого Диофант применяет новую подстановку, он по- полагает сторону неизвестного квадрата равной Зх2 — 6я -\- 1 и по- получает х = 9/8. Мы вернемся еще к этому новому методу Диофанта, а сейчас эаметим только, что подстановку Диофанта, с помощью которой он свел задачу к уравнению (*), можно обобщить, положив Y1 = х -\- a, Y2 = х — а. Тогда мы получим, как и в предыдущих задачах, эллиптическую кривую, коэффициенты которой зависят от параметра (или, если угодно, пучок эллиптических кривых): 9а2я4 — 4х* + 6а4я2 — 12а2.г + а6 = z2. Следуя Диофанту, положим z = Sax2 — —х 4- а3, где коэф- фициенты подобрали так, чтобы в результирующем уравнении унич- уничтожались члены с я4, х и свободный член. Тогда х = 9/(8ос2). Метод Диофанта, заключающийся в том, что через рациональ- рациональную точку эллиптической кривой четвертого порядка проводится не 240
АРИФМЕТИКА КНИГА IV прямая, а парабола, на которую наложены те или иные условия, также был замечен Ферма и подробно описан де Бильи в его «Новом искусстве» («Inventum novum»; этот трактат, а также его перевод на французский язык помещены в Собрании сочинений Ферма, из- изданном П. Таннери). В своей «Алгебре» Эйлер также рассматривает неопределенное уравнение вида (**) У2 = /2 + ЬХ + сХ3 + dX* + g*X* и описывает два метода его решения. «При первом предполагают корень = / + рХ + gX2 и р определяют так, чтобы вторые члены уничтожились, т. е. .. . полагают Ъ = 2fp или р = _— и так как этим способом как первые, так и вторые члены, а также последние унич- уничтожаются, то остальные можно будет разделить на X2 и по- получить уравнение с + dX = 2fg + p2 + 2gpX9 откуда определяем c-2/g-pa Л ~ 2*rn d * (цит. соч., т. II, § 134). Требование /? = -тгг , как нетрудно видеть, означает, что пара- парабола Y = / + Р-^ + gX2 касается в точке @; /) кривой (**). «Но имеется, как мы уже говорили, еще и другой способ решения этой формулы: он состоит в том, что сначала пред- предполагают, как и раньше, что корень равен / + рХ + gX2t и затем определяют р таким образом, что уничтожаются чет- четвертые члены; это можно сделать, полагая в основном урав- d нении d = 2gp или р = -к—- ; так как, кроме того, первые и последние члены также уничтожаются, то остальные члены можно будет разделить на X, и получим уравнение Ь -f еХ = 2/р 4" которое дает (там же, § 135), 241
КОММЕНТАРИИ 24. Второе решение задачи IV28 состоит в том, что путем под- подстановки Хг ~ х2 — х, Х2~ х первое уравнение обращается в тож- тождество, а второе принимает вид я3 — 2х2 = Y%- Полагая Y2 = Диофант получает х = -^ _ , и, следовательно, З +1 23 Л1 = 2Р3 /оз |\2 > -^2 = gS | (Р = 2), т. е. на исследуемой поверхности выделяется рациональная кривая. 25. Задачи IV29 и IV30 эквивалентны соответственно уравнениям Диофант полагает в первом случае а = 12, а во втором а = 4 и в обоих случаях дополняет левые части до суммы четырех квадра- квадратов, после чего правые части, которые примут вид а -|~ 1, он пред- представляет в виде суммы четырех рациональных квадратов. Диофант не налагает никаких дополнительных условий на чи- число а, откуда можно заключить, что он знал о том, что любое целое число представимо в виде четырех рациональных квадратов. Однако в обоих случаях а выбрано так, что а + 1 является простым числом вида 4ге + 1. Диофант представляет его в виде суммы двух квадра- квадратов, каждый из которых он вновь раскладывает на сумму двух ра- рациональных квадратов. Баше заметил, что всякое число является либо квадратом, либо суммой двух, трех или четырех целочисленных квадратов. По-ви- По-видимому, он пришел к этому предложению чисто эмпирически, ни- никаких попыток доказать его он не сделал. Ферма добавил к этому замечанию Баше следующее (№ XVIII): «Более того, мы открыли впервые прекраснейшее и наи- наиболее общее предложение, а именно: каждое число является либо треугольным, либо суммою двух или трех треугольных; либо квадратом, либо суммою двух, трех или четырех квад- квадратов; либо пятиугольным, либо суммою двух, трех, четырех или пяти пятиугольных, и так далее до бесконечности, для шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных чисел; это чудесное и общее предложение может быть выска- высказано, очевидно, для любого числа углов. Здесь невозможно дать его доказательства, которое за- зависит от многочисленных и сокровеннейших тайн науки о числах; мы намерены посвятить этому предмету целую 34?
АРИФМЕТИКА книгу и продвинуть удивительны»! образом эту часть Ариф- Арифметики за пределы, известные в древности». Теоремой, высказанной Баше, занимался впоследствии Л. Эй- Эйлер, полное доказательство ее получил Ж. Лагранж в 1770 г. Дока* зательство теоремы Ферма о представимости любого целого числа суммою не более п n-угольных чисел предложил О. Коши (публи- (публикации 1813—1815 гг.). 26. Задача IV31 эквивалентна системе Хг + Х2 = 1, а) (Х2 + h) - { которая определяет пространственную кривую L, Диофант пред* лагает два ее решения. Он полагает а = 3, Ъ = 5 и при первом ре- решении делает подстановку Хх — хл Х2 = 1 — х, Y = $х (р — 2), после чего получает полное квадратное уравнение а (Ъ + 1) + (Ъ + 1 — а) х = (Р2 + 1) которое при выбранных Диофантом значениях параметров не имеет рациональных корней. Поэтому Диофант рассматривает параметр Р как новое переменное и приравнивает дискриминант квадрату, что дает + а + IJ + 4а (Ь + 1) Р2 - Q Поскольку свободный член в этом неопределенном уравнении яв- является полным квадратом, то дальнейшее решение проводится по методу А. При втором решении Диофант полагает Хх = х — а, Х2 = 1 + а — х, Y = $х ,,. (Р = 2), после чего второе уравнение принимает вид а + Ь + 1 — х) = р^2 и а + Ъ + 1 Х= р2 +1 ' Параметризация неизвестных получена, однако остается еще учесть арифметическое условие: а < я < а + 1 (так как Я^ > О, Х2 > 0) или откуда 243
КОММЕНТАРИЙ У Диофанта 5/4 < Р2 <[ 2; это неравенство он перелисывает в виде 80/64 < р2 < 128/64 и выбирает квадрат, лежащий между этими двумя: р2 = 100/64 = = 25/16; тогда х = 144/41, Хг = х — 3 = 21/41, Х2 = 4 — х = = 20/41. Аналогично получается рациональное решение для каж- каждого рационального квадрата, заключенного между 80/64 и 128/64. 27. Задача IV32 эквивалентна системе Диофант берет а = 6 и полагает Х3 — х, Х2 = Р (Р = 2); тогда А^ = а — Р — х, а два последних уравнения дают «двойное равен- равенство» (О \ /О А\ Д . Г» I — I- _i_ I fj _ j 1 ДТ ' "* _р (а - Р) - (Р + 1) х - У», для разрешимости которого Диофант требует, чтобы i 1 -Ь62 Поэтому Диофант полагает Хъ = с2 . и приходит к тому типу «двойного равенства», которое было рассмотрено в IIU — П13. Решая его обычным способом, Диофант находит для неизвестных рациональные выражения через параметр 6. Ферма сделал к этой задаче следующее замечание (№ XIX)' «Это можно сделать более легким способом. Разложим произвольным образом данное число 6 на две части, например на 5 и 1. Произведение их, из которого вычтена единица, т. е. 4, поделим на данное число 6, получится 2/3. Это частное вычтем как из 5, так и из 1; тогда оба остатка 13/3 и V3 можно взять в качестве двух первых частей числа, которое должно быть разложено; тогда третья будет 4/3». 28. Задача IV33 сводится к двум уравнениям от трех неизве- неизвестных X, У и к, а именно: X + kY = a{Y — kY), Y + кХ = Ь(Х — кХ). Диофант задает а = 3, Ъ = 5 и полагает kY — а (а = 1). Чтооы удовлетворить первому уравнению, он берет X = at — а, У = t + ее. 244
Арифметика книга IV Тогда второе уравнение примет вид откуда —1 ' ' ~и аб —1 при этом к = — , . , • — это именно то значение, которое а -\- о -j- ао -{-1 обращает определитель заданной сестемы в 0. Благодаря этому исходная однородная линейная система имеет бесконечно много ре- решений. Их-то и находит Диофант. 29. Задаче IV34 предшествует лемма, в которой требуется «най- «найти два неопределенных числа», для которых а- Диофант решает сначала задачу, принимая одно из искомых чисел за неизвестное х, а другому придавая конкретное числовое значе- значение. После этого он проводит анализ задачи и дает общее ее реше- решение, которое мы бы теперь представили в виде 1 + Он поясняет, что значит решить задачу в общем виде, или «в неопределенных числах». По существу, это означает дать формулу (тас и поа та a ei с), из которой получается числовое решение при подстановке конкретных значений для неизвестного и параметров. 30. Задача IV34 эквивалентна системе трех уравнений от трех неизвестных: Х2) = а, Х3) - Ь, {Х3ХХ + (ДГ, + Хх) = с. Это — определенная задача. Для того чтобы она имела рациональ- рациональные решения, Диофант накладывает следующие ограничения: Он принимает а= 8, Ъ = 15, с= 24. Затем он применяет преды- предыдущую лемму, полагая Х2 = х — 1; тогда аЧ-1 — х Ъ -\-\ — х 245
КОММЕНТАРИЙ и из последнего уравнения получаем (а + 1) (Ь + 1) - (с + 1) х\ причем х будет рациональным, так как д + 1» & + 1 и с -f~ 1 являют- являются квадратами. Ограничение Диофанта достаточно для существования рацио- рационального решения, однако оно не является необходимым. 31. Лемма к задаче IV35 аналогична лемме к задаче IVai. Реше- Решение задачи IV35, которая также является определенной, проводится по той же схеме, что и решение задачи IV34. 32. В лемме к задаче IV зв требуется найти такие два неопре- неопределенные, числа, чтобы Решение Диофанта следует обычному пути: сначала он придает чис ловое значение параметру к и одному из неизвестных, тогда второе неизвестное получает определенное числовое значение. Анализируя, с помощью каких арифметических операций это значение было получено, Диофант находит общую формулу, эквивалентную которую он формулирует словесно. Эту лемму он применяет при решении задачи IVge, которая эквивалентна следующей определенной системе уравнений: Х3Хг= т(Хв+ Хх). Ход решения аналогичен тому, который был применен в IV34. 33. Задача IV37, как и предыдущая, является определенной. Диофант решает ее путем остроумного введения дополнительного неизвестного, что позволяет ему провести алгебраический анализ задачи. 34. Задача 1Узз эквивалентна системе (А 1 -j- X2 -\- Хз) Х\ = 246
АРИФМЕТИКА КНИГА IV У(У + 1) Диофант принимает г; = 6, U2 = 4, V3 = 8 и полагает Хг + Х2 + Х3 = х2, тогда Я* При этом все три уравнения удовлетворяются при условии, что а: или _ 2 —х У(У + ) где 2 — треугольное число, т. е. по самому определению такого числа должно быть целым. Однако при выбранных Диофан- У(У + 1) том значениях для g , U2 и V3 сумма их равняется 18, т. е не является биквадратом. Поэтому задача свелась к нахождению такого треугольного числа, квадрата и куба, сумма которых равна биквадрату. Для решения этой последней задачи Диофант полагает U2 = = х* + 1~2*2, тогда —*"у-— = 2*2 — 1 — F3. Но 8 —1 ^ ' + = ГЗ» поэтому _ 8F3 - 7 =- Диофант полагает сторону этого квадрата равной Ах —г. а (а = 1) и получает а2 + 8F3 + 7 (*\ т —¦ ¦ или, поскольку а= 1, х = F3 + 1. Итак, получаем У (У 4- 1) —L-__!—L __. 2]/6 _|_ 3F3 + 1, t/" = F3 (Vs 4~ 2), У(У + 1) или, если принять вместе с Диофантом К3 = 8, то п — 153, a U2 = 6400. Баше де Мезириак считал, что я, определенный формулой (*), может быть целым только при ос = 1. Ферма заметил по этому поводу (№ XX): «Сделанные Баше попытки недостаточно точные Дей- Действительно, возьмем в качестве V3 произвольный: куб/сторона 347
КОММЕНТАРИИ которого превосходит кратное трех на единицу. Например, 2х2 — 344 нужно приравнять треугольнику г); значит, 16а:2 — 2751 будет равно квадрату, в качестве корня которого можно взять, если угодно, 4z — 3f и т. д. На самом деле ничто не мешает обобщить метод и взять вместо 3 другое произвольное нечетное число, только надо выбрать соответствующий куб». 35. Задача IV39 эквивалентна системе г — Х2 = ^ {Хг — Х3), Хч > Х2 + Xi+1 =Y\ A = 1, 2, 3; i, i + 1 е Z3). Диофант берет 1=3и делает сначала подстановку У2 == 2, Х2 =» = 2 + х, Х3 — 2 — х, тогда Xj = 1х + 2 и первое и третье условия выполняются, а второе и четвертое дают 8х + 4 = 6а; + 4 = | Решая это «двойное равенство» обычным способом, Диофант полу- получает х = 122. Но тогда Х3 = 2 — я получается отрицательным. Для того чтобы решение было положительным, Диофант требует, чтобы х < 2, т. е. 6а; + 4 < 16. Так как 8х + 4 и 6# + 4 должны быть квадратами, то числа 8л: + 4, 6л: -|- 4 и 4 составляют три квадрата, причем (8* + 4) - Fя + 4) - i/з Fа: + 4-4). Итак, Диофант приходит к задаче: ©тыскать три квадрата PF2, и С/ такие, что 1 (W2 — F2) = — (F2 — Z72), ?72 = 4, F2<16. Заметим, что Т72 = У^, V2 = У|, С^2 = Y\, поэтому W2 -^ F2 = Za — Хз =* ») Ферма принимает V -> 7, тогда 2рс2— 1 — Vя « 2л:1— 3^4, щ -.8V» — 7- lfcc«— 27M, 24§
АРИФМЕТИКА КНИГА IV Для отыскания нужных квадратов Диофант полагает V = t + 4 16 + 2 (так как V < 4, то t < 2), тогда FT2 = -g-12 + -у- * + 4, или, умножая на 9 и деля на 4, получаем 3f2 + 12* + 9 = Q Диофант берет сторону этого квадрата равной 3 — Ы и получает 12 + 6& *= /с2 — 3 f причем он явно формулирует, чему будет равно неизвестное, беря к произвольным, т. е. не придавая ему, как обычно, некоторого чис- числового значения. Далее, Диофант учитывает арифметическое условие: t < 2, - е- Ая_з <2» или BА; "" 3J> 45' Поскольку б2 < 45 < 72, то достаточно взять 2/с — 3 > 7, или к^5. Полагая к = 5, он получает *= 21/11, откуда 7= t+ 2 = 43/11 иа;= 1365/726, т. е. число, меньшее двух. В качестве значения параметра к можно взять любое рациональное, большее 5, и каждому такому значению будет отвечать решение. В замечании к этой задаче Баше исследует «двойное равенство» ах + Ь = ?, агх + h = ? в случае, когда аи а± различны и не имеют между собой отношения, как квадрат к квадрату, а свободные члены являются неравными числами. Баше показал, что решение возможно также в случаях: abi — fax 1) если — является квадратом (а > а\Ъ Ь\п 2) если является квадратом (а > Ферма пишет по этому поводу (замечание № XXI): «Но пусть будет предложено, например, двойное равен- равенство: 2х + 5 и 6х + 3 равны квадрату: 2а: + 5 можно взять равным 16, 6х + 3 можно взять равным 36, и можно найти бесконечно много других, удовлетворяющих задаче. К тому же нетрудно дать общее правило для решения задач этого рода, так что ограничения, данные Баше, едва 249
КОММЕНТАРИИ ли достойны такого мужа, йотом у что можно легко распро- распространить то, что он пашел для двух случаев, на бесконечное число случаев, более того, на все возможные случаи». 36. Задача IV40 эквивалентна системе Х^ — Х2 = а (Х2 — Х3), Хх ^> Х2 ]> Х3, г + Xi+l = У* (? = 1, 2, 3; i, i + 1 е Za). Диофант берет К = 3. Ход его решения таков: он принимает Хх + Х2 = б2*2 F-4), б2 Поскольку Диофант выбирает квадрат у2 (у = 3), который лежит между 62/2 и и б2, и полагает Тогда Хз = h ~ "X) ** - Р- Из Уровня Х^ _ Xj = X (Х2 - X.) получим б2 — т2 Остается удовлетворить условию Х2 + Х3 = что нетрудно сделать, так как Х2 + Х8 = у*а;2 — 20, т. е. рацио- рационализацию можно провести с помощью метода В, КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ V Эта книга содержит наиболее сложные задачи. Вместе с тем в ней имеются пробелы и некоторые места текста испорчены. Так, после формулировки задачи 19 идет отрывок решения другой за- задачи, условие которой отсутствует. Баше де Мезириак на основании 250
АРИФМЕТИКА КНИГА V отрывка решения восстановил текст условия и, кроме того, вставил между этой восстановленной задачей и задачей V19 еще две проме- промежуточные: V19l и V399. В задаче V9 испэртен текст диоризма, в котором должна была быть сформулирована чрезвычайно важная теорема теории чисел, а именно условие, при котором целое число N может быть представ- представлено в виде суммы двух квадратов. Это ограничение было восстанов- восстановлено Пьером Ферма, который вновь открыл эту теорему. Фило- Филологический а па лиз текста был впоследствии прэведен К. Якоби и П. Таннери. В нашем перзводе дан восстановленный текст, при- вэденный в издании П. Таннери. Далее, в леммах, предшествующих задаче V7, показывается, как построить три прямоугольных треугольника, имеющих одина- одинаковую площадь. А в задачах V22_2g без всякого объяснения выби- р штся два треугольника, площади которых имеют заданное отно- шэние. По-видимому, этим задачам также предшествовали леммы, в которых пояснялся способ построения таких треугольников. Задачи Vg_14 составляют замкнутый цикл. Они новы по своей постановке, в них требуется разложить данное целое число N в сум- сумму двух, трех ичи четырех квадратов, каждый из которых удовлет- удовлетворяет некоторому неравенству. Диофант находит рациональные числа, которым приближенно должны быть равны стороны этих квадратов, а затем и сами числа, удовлетворяющие условию задачи. Метод решения задач этого типа Диофант называет особым термином «гсарьабт^тос а^-ш^т]», что мож- можно перевести словами «метод приближения». В процессе решения этих задач дважды появляется уравнение Ферма ах2 + 1 - у2 для а — 26 и 30, формулируются ограничения, связанные с тем, что не всякое целое можно представить суммою двух или трех це- целых или рациональных квадратов. Эти ограничения, или диоризмьт, показывают, насколько глубоки были знания Диофанта в теории чисел. Подробнее об этих задачах рассказано в соответствующих комментариях. В задачах Vis-1 в рассматриваются системы уравнений, которые Диофант сводит к одному уравнению третьей или четвертой степени от трех или более неизвестных. О методах решения этих задач бу- будет рассказано подробнее в комментариях к ним. В последующих задачах этой книги применяются методы ре- решения задач V8_i4, а также привлекаются к рассмотрению пифа- пифагорейские треугольники (задачи V7, VW- 251
КОММЕНТАРИИ Условие последней задачи облечено в стихотворную форму. Кроме того, это единственная задача, в формулировке которой фигурируют конкретные числа. Это обстоятельство сближает ее с задачами и эпиграммами, встречающимися в греческой логистике. Однако при ее решении Диофант дважды рассматривает и решает квадратные неравенства, так что, по существу, эта задача гораздо сложнее тех, которые дошли до нас в различных сборниках и анто- антологиях. 1. Задачи \г и V2 эквивалентны системам ?= 1,2, 3). В первой задаче (отвечающей системе с верхним знаком) Диофант берет а — 12, во второй он полагает а = 20. Сначала, в первом случае, он находит такой квадрат J2, что Положив и — t — а, получим п+О* При а = 12, а = 1 Диофант получает t = 13/2. Затем он полагает тогда и первые два условия выполнены, а последние два дают «двойное равенство» того же типа, которое встречалось в Шаз: х — а = 2а * —"-*2' -— а д. Решая, его, найдем * = 7+rfT Ц~Т5~) + а\ (У Ди°Фанта я = 361/104). Вторая задача решается аналогично, однако произвольно вы- выбранное значение квадрата t2 такого, что t2 +-a= G» приводит к отрицательному решению. Анализируя задачу, Диофант при- приводит к условию t2 > 4а, в связи с которым и видоизменяет 252
АРИФМЕТИКА КНИГА V подстановку для t, полагая t — Ъ + х, где (Ь — IJ < 4а < Ь2. 2. Задачи Vg и V4 сводятся к системам •vr I = 123 + 4 В первом случае Диофант полагает а = 5, во втором — a = 6. Решение задачи V3 основано на применении следующего пориз^ ма: если гг + о. — р2, t2 + а = (/> + IJ, то ^f2 + a = ?• Нетруд« но посчитать, что этот последний квадрат будет =[/?(/>+ 1) — а]2. Задача V4 решается аналогично. К задаче V3 Ферма сделал замечание (№ XXII): «Из этого предложения легко выводится решение сле- следующего вопроса: Найти четыре числа при условии, что произведение лк- бых двух из них, сложенное с данным числом, дает квадрат. Возьмем три числа, удовлетворяющих задаче, так что каждое из них, сложенное с данным числом, составит квад- квадрат, как это и было предложено. Пусть четвертым искомым будет х + 1. Получим тройное равенство, решение которого легко находится с помощью нашего метода. Смотри замеча- замечание к задаче VI24 [в настоящем издании к VI22.— И. Б.]. Этим решается и вопрос, предложенный Баше к задаче 1П12 [у нас Ш10.— И. Б.], и помимо того, что метод более общий, он имеет еще то преимущество перед методом Баше, что при нашем решении три первых числа, сложенные с дан- данным, составляют квадрат. Однако мне до сих пор неизвестно, можно ли решить за- задачу при условии, что и четвертое число, сложенное с данным, составляет квадрат. Это надо будет еще исследовать». 3. Решение задачи V6, сводящейся к системе основано на применении следующего поризма: числа />2, (р + IJ и 2 [р2 + (р + IJ] + 2 таковы, что произведение любых двух из них, сложенное с их суммой или с третьим числом, образует квадрат. 253
КОММЕНТАРИИ 4. Задача V6 эквивалентна системе — 2— F? Диофант решает ее с помощью того же поризма, что и предыдущую задачу, т. е. полагает Хг = *г + 2, Хг = (х + IJ + 2, Х3 = 2 [а* + (х + IJ] +4. 5. Задача V7 эквивалентна системе Х2 + Х3) = Ъ\ Диофант замечает, что для ее решения достаточно найти три прямо- прямоугольных треугольника в рациональных числах с одинаковой пло- площадью. Тогда с2 ± 4S= D, где с — гипотенуза, а^ — площадь треугольника. Для нахождения трех прямоугольных треугольников с одина- одинаковой площадью служат две леммы, с помощью которых решение получается чрезвычайно изящно. В лемме 4 требуется найти такие два числа, чтобы Решая это неопределенное уравнение обычным способом, Диофант принимает Хх = я, Х2 = а (а = 1), У = х — Р (Р = 2) и получает — а2 X =г [-4-1- а Он полагает .Л j р *~~ ос j_ — oj, Х2 *= а (а + 2Р) [= 5]. В лемме 2 требуется построить такие три прямоугольных тре- треугольника, площадь которых одинакова. Показывается, что такими свойствами будут обладать треугольники, построенные на числах Xj4 У; X2i У и У, Хг + Х2- (См. комментарий к IIIi8.). Заметим, что от леммы 2 к лемме 1 Диофант мог прийти сле- следующим образом. Пусть надо построить два прямоугольных тре- треугольника с одинаковой площадью. Будем строить их на числах Xit Y и Х2} У, т. е. предположим, что одно из образующих чисел у них 254
АРИФМЕТИКА КНИГА V общее. Тогда из равенства площадей получим XjY (У2 — Х\) = Х2У (У2 — X* пли У2 - Х\ + X* + ХХХЛ. Если образовать третий треугольник из чисел У, Xi -f- СГ, то получим УХх (У2 - Х\) = (Хх + U) У [(Хх + С/J - У2] или У2 = Х\ + ХХС/ + С/2, т. е. С/ = Ха. Ферма сделал следующее замечание (№ XXIII) к лемме 2: «Но можно ли найти четыре или даже большее число, ра- растущее до бесконечности, треугольников равной площади? Ничто как будто не препятствует тому, чтобы эта задача была возможной; поэтому ее надо глубже исследовать. Мы разрешили задачу, более того, если дана площадь произвольного треугольника, мы построим бесконечно много других, имеющих ту же площадь: пусть, например, дана площадь 6 треугольника 3, 4, 5, то другим треугольником той же площади будет 7/10, 120/7, 1201/70, или, если желательно иметь один и тот же знаменатель, 49/70, 1200/70, 1201/70. Общий и всегда применимый метод таков. Пусть дан произвольный треугольник с гипотенузой Z, основанием В и высотой D. Из него можно вывести другой треугольник, не подобный ему, но одной с ним площади; образуем его из квадрата Z и удвоенного В на D и плоскоплоскостние стороны разделим на удвоенное Z на В квадрат — удвоенное Z на D квадрат г). Такой новый треугольник будет иметь площадь, равную площади предыдущего. Отправляясь от этого второго, таким же методом образу- образуем третий, из третьего четвертый, из четвертого пятый и по- получим бесконечно много неподобных треугольников одина- одинаковой площади. *) То есть кя чяолшх Z* и 2B-D. Полученные стороны делятся на 2?*?*»* 255
КОММЕНТАРИИ Чтобы не было сомнения в возможности построить более трех треугольников, к найденным Диофантом 40, 42, 58; 24, 70, 74; 15, 112, 113 прибавим четвертый, не подобный им и имеющий ту же площадь: 1412881 1412 880 1681 гипотенуза —ТШо— » основание —JTrq— » высота Если привести эти числа к одному знаменателю, то по- получим четыре треугольника в целых числах, которые отве- отвечают одной и той же площади: Первый Второй Третий Четвертый 47560, 28536, 17835, 1681, 49938, 83230, 133168, 1412880, 68962, 87986, 134357, 1412881. Можно найти тем же методом бесконечно много треуголь- треугольников одинаковой площади и тем самым распространить за- задачу Диофанта за пределы, которые он наметил. Вот еще треугольник, полученный другим методом, пло- площадь которого составляет ушестеренный квадрат, как и у 3, 4, 5, а именно: 2896804, 7216803, 7776485». Замечания Ферма к задаче V7 (№ XXIV): «Из сказанного выше явствует, что мы можем решить более общую задачу: Найти сколько угодно чисел таких, чтобы квадрат каж- каждого из них, увеличенный или уменьшенный на сумму всех этих чисел, составлял бы квадрат. Баше, вероятно, не знал решения этой задачи; иначе он обобщил бы вопрос Диофанта, как он это сделал для IV3i и других». 6. Задача Vs эквивалентна системе XiXi+1 + (Xi + Х2 + Х3) = У?, xixui - (xi + хг + х*) =zl (* = 1,2, 3; i, i + 1 e Z3). При ее решении Диофант применяет изящную лемму, в которой решение системы \ - 1, 2, 3; i,l + le Zs) 256
АРИФМЕТИКА КНИГА V находится в виде ex. i X — г г+ 'г с. о Он берет три прямоугольных треугольника с одинаковой пло- площадью S и гипотенузами clf с2, с3 и полагает у а Хх + Х2 + Х3 при условии, что откуда 7. Задала V* С1С2 Сз ^' = 46*. / С1С2 1 Тогда все "~ С\ ~* С2 -1С2J + (С2С3J СзС1 уравнения удовлетворяются + («,!)• эквивалентна системе 1 \г | y Xi + а = Л. а из которой легко следует, что 2а + 1 = У^ + У^- Поскольку не любое целое представимо суммою двух квадратов, целых или дробных, Диофант накладывает ограничение на число а. Однако текст рукописи испорчен и первые переводчики «Арифме- «Арифметики» Ксиландр и Баше де Мезириак не сумели его восстановить. Так, Ксиландр полагал, что заданное число а должно быть уд- удвоенным простым. Возражая ему, Баше заметил, что если взять а — 5, то 2а + 1 = 21, которое не является квадратом и не может быть разложено на сумму двух целых квадратов. Он полагал, что 21 нельзя представить и в виде суммы двух дробных квадратов, од- однако не мог это доказать. Ферма написал по этому поводу следующее замечание (№ XXV); «Число 21 не может быть разложено на сумму двух дробных квадратов. Мы можем это легко доказать. И вообще, никакое число, третья часть которого не имеет трети, не может быть разложено на два квадрата ни целых, ни дроб- дробных». К этому месту Ферма сделал еще одно замечание (№ XXVI): «Вот истинное условие, действительно общее и исклю- исключающее все непригодные числа: 257
КОММЕ НТ АРИИ необходимо, чтобы данное число не было нечетным и чтобы двукратное этого числа, увеличенное на единицу, после деле- деления на наибольший измеряющий его квадрат, не могло быть разделено на простое число, которое на единицу меньше кратного четырех». Таким образом, после Диофанта только Пьеру Ферма удалось найти нужное ограничение. К. Якоби провел филологический ана- анализ текста и предложил свою реконструкцию условия Диофанта. Более того, он реконструировал доказательства этого условия ме- методами, которыми вполне мог пользоваться Диофант (см. его статью, указанную в сноске на стр. 23). Окончательная реконструкция тек- текста, перевод которого мы приводим, принадлежит П. Таннери. Для того чтобы ограничение было достаточным, его следует сформули- сформулировать так: число 2а -f- 1 после выделения из него полного квадрата не должно делиться ни на одно простое число вида 4гс — 1. Выде ленного курсивом условия Диофант не оговорил, как он это не делал и в других случаях (см., например, наши замечания к Vn), так что можно предположить, что он считал его само собой разумеющимся. Диофант выбирает а = 6, так что 2а + 1 = 13. Заметим, что постановка вопроса в рассматриваемой задаче совершенно новая: число N = 2а + 1 требуется представить сум- суммою таких двух квадратов, каждый из которых больше а (поскольку Y\ = Хг + а, У\ = Х2 + а, Х± > О, Х2 > 0). Для решения этой и подобной ей задач Диофант применяет следующий четкий алгоритм: 1) Сначала ищется дробь 1/х2 такая, что 2а + 1 1 1 I 2 п а* ~ Умножая на 4, заменяя я на 2у и умножая на г/2, он получает 2 Bа + 1) у* + 1 = ?. Это — уравнение Ферма, которое при данном значении а имеет вид 26г/2 + 1 = С1. Диофант решает его, полагая сторону неизвестного квадрата рав- равной 5г/ -)- 1, и получает г/ = 10, а; = 20. Тогда 13 , 1 2601 П = 2 + 400 ^ 400 и сторона квадрата, большего 6, будет 51/20. Заметим, что метод Диофанта для решения уравнения Ферма i = у» 258
АРИФМЕТИКА КНИГА V применим, если р имеет вид пг2 + к, где ^ = + 1, + 2, +?гс. Дей- Действительно, полагая у = тх + 1> получим х — +2т/&, и при от- отмеченных значениях /с решение будет целым положительным. 2) Но и = г; = 51/20 не удовлетворяет условиям задачи, так как 1 Чтобы найти Ух и У2, Диофант раскладывает 13 на сумму двух квадратов: 13 = 22 + З2 и полагает Yx = 2 + Ш, У2 = 3—9г, тогда B + ШJ + C — 902 = 13 и / = 5/101, после чего по соот- соответствующим формулам определя- определяются Уь У27 Xj, Х2. В чем же состоит метод Дио- Диофанта? Для уяснения этого перей- перейдем к геометрической интерпрета- интерпретации. Согласно условию, на ок- окружности С: и2 + v2 — 13 требу- требуется найти такую точку (а; C), чтобы: 1) она была рациональ- рациональна, 2) ее координаты удовлетво- удовлетворяли условиям а2 > 6, р2 > 6. г-- Рис. 4. [ 51 \ Сначала находим рациональную точку А ? 2п '¦> ' on" 1 , котора лежит вне окружности и близка к ней. Далее выбираем некоторую рациональную точку на окружности, а именно В B; 3) (см. рис. 4). Бели теперь провести прямую через точки А ж В, то получим v — 3 и — 2 51 20 — 3 51 20 (*) или, в параметрической форме, 'v = — 9* + 3, 2, т. е. придем к подстановке Диофанта. Решая совместно уравнение прямой и окружности С, получим точку Р, близкую к Л и удовлет воряющую условиям задачи. Приведенное нами рассуждение есть дословный перевод реше- решения Диофанта на язык геометрии. Разумеется, сам он мог и не поль- пользоваться этим языком и прийти к подстановке (*) чисто арифмети- 259
КОММЕНТАРИЙ чески, однако, как мы думаем, для нас метод его становится яснее при ого геометрической интерпретации. Заметим, что сам Диофант, говоря в задаче Vn о примененном в задаче Vg методе, называет его «методом приближения» Можно было бы сказать и «неограниченного приближения», так как способом Диофанта можно получать квадраты Х%, У%, сколь угодно близкие к б1^. Действительно, для отыскания таких квадра- квадратов Диофант решает уравнение 26у2 + 1 = z2. 2к Если положить z = ку + 1, то получим у = 26 ^2" • Беря к рацио- рациональным и как угодно близким к |/*26, получим сколь угодно боль- большие значения для х = 2у. Им будут соответствовать квадраты =" 2 + а;2 13 и такие, что J^ — -л- будет как угодно мала (при этом, как у Дио- Диофанта, мы берем Y? = Х$ Суть метода Диофанта можно уяснить и не прибегая к геомет- геометрической интерпретации, если проделать все выкладки Диофанта более подробно а). При решении задачи V» (и аналогичных ей) Диофант поступает так. Две части, на которые надо разложить единицу, обозначает 1111 - + gr и ~2"~"" "ж5" (так что 2 < *2> т- е- ^ < ж)' при этом должны выполняться условия (а — данное число, у Диофанта а= 6) A) «+ 2 + я* ~м2' а+ 2 "" ж2 —г?2> отсюда получаем, что B) и2 + г;2 = 2а + 1, /2о + 1 ^— f) Приведенная реконструкция метода (до примечания 8) принадлежит А. Ф. Лапко. 260
АРИФМЕТИКА ЙНЙГА V Чтобы удовлетворить первому из уравнений A), Диофант пола- полагает ку +1 к 1 E) х*2 ' 1 Здесь у > —у— и /с > О (иначе D) не будет выполняться). Тогда из первого из уравнений A) Диофант получает У 2/с Учитывая неравенства D), отсюда мы получаем - /2 < /с < 2/оТТ + /2, причем если у положительно, то G) 2 VT+~i — /2 < & < /4а + 2 (у Диофанта 3,8773 < 5,0990). 4a + 2 — При любом рациональном к из интервала B|^д+1 —1^2, У^4а +2), получается рациональные значения х и и: (8) Значение v, вообще говоря, при этом получается не рацио- рациональным. Далее Диофант применяет метод приближения: он принимает в первом приближении /оч 4а 4- 2 4- к2 (9) mi = »1= >—-fL . 4/с Заметим, что если бы к = У^4д + 2 был рациональным, то l/~2a~TT * с- и = v = I/ —J— были бы рациональными основаниями квадра- квадратов, удовлетворяющими условиям задачи. Таким образом, Из этого неравенства видно, что приближение (9) будет тем точнее, чем ближе будет выбрано к к правому концу неравенства G). Кроме того, применяемая далее Диофантом методика нахож- нахождения точного решения системы A) при условиях C) и D) наклады- накладывает на выбор к дополнительные ограничения. Не приводя здесь соответствующих выкладок, отметим, что любое рациональное к, 261
Комментарий взятое из отрезка A0) /4а + 2 (/ Bа + 1 + /4а' Ы 2 + 4аJ 1 2а + 1 + /4а2 + 4а /4а + 2 (при а = 6 имеем 4,9102 < к <^ 5,0990), позволяет, следуя методу Диофанта, найти рациональное решение системы A) при услови- условиях C) и D). Предположим, что нам известно два таких рациональных числа ы0 ^ь v0 (у Диофанта и0 = 3, v0 = 2), что A1) Наличие известных чисел м0 и г?0 позволяет расширить допустимые значения к, а именно: /12) 2mq /a — 2г?о/а -}-1 __ /дГ— /a + 1 + u0 — г;0 /4a + 2 (при а = 6, м0 = 3, г^0 = 2 имеем 4,6724 < А: < 5,0990). Диофант этих неравенств не выписывает, но он указывает, что будет искать два квадрата и2 и v2 возможно ближе друг к другу, а для этого к надо взять возможно ближе к правому концу отрезка допустимых значений к (Диофант полагает к = 5). Далее Диофант предполагает искать два других числа и и v таких, чтобы A3) и2 + г;2 - и\ + г», используя подстановки A4) (и=и0- [v = г;0 где &i и fc2— любые. Тогда и 2 - 2 (Лш0 - Vo) t+ [k\ приравнивая это выражение A3), получим A5) t = 4 262
АРИФМЕТИКА КНИГА \ Следовательно, A6) и — Mo — МО г; — у о -г 2кг (kjuo — k2v0) 2 k2 к\ В задаче, которую мы сейчас рассматриваем, к\ и к2 выбирать про- произвольно нельзя, так как новые два числа и и v не только должны удовлетворять условию A3), но должны быть близки между собою и близки к найденному первому приближению (9). Следовательно, должны выполняться приближенные равенства 4а + 2 + к2 и v lu — v т. е., учитывая A4), + vo — kit — Vo — kit — 4a -f 2 + A;2 2A; 0, откуда A7) wo — 4a 4- 24/c2 4a +2 — г/о. Итак, чтобы решить поставленную задачу, в формулах A4) к\ и к2 надо выбрать так, чтобы выполнялись приближенные равенства A7). Для этого положим 4а+ 2 + A8) т. е. у — Vo — 4/с где X ш 1, /i = м0 — м1? Z2 = vQ — vi (если X = 1, то м = mi и v = vi). Значения и и v из A8)Диофант подставляет в A3) и находит ,igv , ^ 8 Dа + 2) № — 4fe'Da + 2 + /с2) (мо + ^о) { } 4 Dа + 2) /с2 — 4Л Da -f 2 + Ла) (м0 + г;о) + Dа + 2 + /с2)^ • Подставляя это значение А, в формулы A8), мы найдем рациональ- рациональные и и v такие, что м2 -4- г^2 " uj + »J = 2a + 1, и, кроме того, 263
КОММЕНТАРИИ будет иметь и zz hi, v zz vi\ все условия задачи будут выполнены Остается из соотношений A) найти B0) L+*- = u* — a и J__J_ = 2;2—a. ' 2 ж* 2 #2 В случае, рассматриваемом у Диофанта, 4а + 2+/с2_о 51 __ 9 °" 5Г *~б^' , 4a+ 4ft 20 20 и формулы A8) принимают вид »3Л Формула A9) дает тогда Я = 100/101, и, следовательно, 55 257 Отсюда " 101 101 ' V * J 101 101 ' 258\26_ 5358 1 1 4843 6 lOlj 10201 ' 2 ж2 10201 * Итак, схема решения аналогичных задач Диофантом следую- следующая. Решается первое из уравнений A), предварительно умножен- умноженное на х2 = 4*/2: B1) где за сторону квадрата, стоящего справа, принимается ку ~\- 1. Коэффициент к выбирается рациональным и возможно близким к У4а + 2. После этого из уравнения B1) Диофант находит у, а сле- следовательно, и и. Затем в качестве первого приближенного решения принимает их = vi и равное найденному значению и. Затем Дио- Диофант на основании известного решения щ, vQ уравнения B) находит h = и0 — Mlf Z2 = vQ — Vx и полагает U ~ Щ 1]\, V = Vq l^k. Подставляя эти значения и и v в A3), Диофант находит Я, а тем са- самым и л v, удовлетворяющие условиям задачи. Затем по формулам B0) находит те части, на которые требуется по условию разложить единицу. 264
АРИФМЕТИКА КНИГА V Если проделать все выкладки, приняв а — 6, и0" 3, #0= 2, к ~ 4,7, что допустимо согласно неравенству A2), то получим „ _ 2358198 v _ 2205317 895481 ' Ь95481 ' и, следовательно, для решения задачи единицу надо подразделить на части 749780479038 52105742323 801886221361 801886221361 * 8. Задача Vl0 эквивалентна системе Хг+ Xz = 1, Х1 + а = У», При решении этой задачи Диофант впервые прибегает к геомет- геометрической интерпретации искомых чисел в виде отрезков прямой. Интерпретация выдержана в духе «Начал» Евклида. Впрочем, пос- после этого он быстро переходит к обычной алгебраической трактовке. Положив а — 2, Ь = 6, он приходит к задаче разложить число с+ 6+ 1 [=9] в сумму двух квадратов У^ -f- У|, из которых один, например У^, удовлетворяет неравенству 2 < У? < 3. Пусть Уц = я, тогда У| = 9 — ^2, причем В качестве приближенных значений для этих радикалов Диофант берет 17/12 и 19/12. Первое из них получается по методу «боковых и диагональных чисел» пифагорейцев, который был обоснован в «Началах» Евклида (кн. II, предл. 9). Согласно этому методу каждое следующее приближение т]п/?п для У получается из предыдущего t\n_xlbn-\ по формулам Если в качестве первого приближения выбрать ?х = т^ =¦ 1, то по 1 3 7 17 41 лучим последовательные приближения— , -1-, —- , 1 и t) которые, как нетрудно видеть, совпадают с теми, которые по- получаются при разложении /2 в непрерывную дробь. 265
КОММЕНТАРИИ Аналогично, для |^3 последовательные приближения можно получить по формулам 1п = г\п^г + Ъп_г цп = v\n_x + 3gn_1 (о том, что пифагорейцы действительно пользовались такими фор- формулами для приближенного вычисления Уз, см. в статье М. Е. П а- е в а «О приближенном вычислении квадратных корней в Древ- Древней Греции», Историко-матем. исследов., вып. XVI, М., Наука, 1965, стр. 219—234). Получим последовательность приближений 2 Г ' 5 Т' 14 8 7 "" Т1 19 И1 52 30 26 ~ Тс. ' * ' * 15 Диофант выбирает в обоих рядах четвертое приближение, только «подправляет» дробь 19/11, беря меньшее значение 19/12. Далее, он полагает 9 — х2 = C — кхJ, где к— новое переменное, которому Диофант, против обыкновения, не придает конкретного числового значения. Тогда х = , и Диофант требует, чтобы 17 ^ 6/с < 19 12 А-3 + 1 12 ' откуда 3,504 . . . < к < 3,984 . . . и Диофант выбирает к — 3,5х). Ясно, что в качестве к можно выбрать и любое другое рациональное число из заданного интервала. Каж- Каждому такому числу будет отвечать рациональное решение задачи. Заметим, что в этой задаче Диофант не накладывает специаль- специальных условий на числа аи &, но выбирает их так, чтобы а+ Ъ+ 1 = П. а ему известно, что каждый квадрат можно разложить на сумму двух квадратов бесконечным числом способов. » Выбранное Диофантом значение к — 3,5 лежит вне полученного интервала; однако, если исходить из более точного условия У 2 < < Уз, то для к получим более широкий интервал возможных значений 3,146. ..< < к < 3,992. . ., и выбранноэ Диофантом значение летит внутри этого интер- интервала. Заметим, что к можно было бы взять и из другого интервала 0,2509. . .< < к < 0,2853 . . . (или более широкого интервала 0,2504 . . . < к < 0,3178 если исходить из б;олее точного условия), Диофант обычно рассматривал лишь один интервал. 266
АРИФМЕТИКА КНИГА V 9. Задача Vu эквивалентна системе 1 + Х2 + Х3 = 1, г из которой легко следует, что — За = Г* (i= 1,2,3), Поскольку не каждое целое число iV представимо в виде суммы трех квадратов, целых или дробных, то Диофант накладывает ограниче- ограничение на число а: оно не должно иметь вид 8п + 2, т. е. число N ф Ф 24& + 7. Еще Ферма заметил, что это ограничение недостаточно, так как суммою трех квадратов непредставимы все числа вида 4т (8к + 7). Весьма вероятно, что Диофант не рассмотрел чисел этого последнего вида, так как предполагал, кая и в случае задачи V9, что представляемые суммой трех квадратов числа уже свободны от квадратных делителей. Ход решения этой задачи тот же, что и у Уэ. Диофант полагает а = 3, тогда За + 1 = 10 и задача сводится к представлению числа 10 в виде суммы таких трех квадратов, каждый из которых больше 3: Y\ + Y* + У| = 10, У? > 3. Опять Диофант сначала отыскивает такую дробь 1/#2, чтобы или, умножая все на 9, заменяя х на Зг/ и умножая на у2, + 1 = z2. Поскольку 30 = 25 -}- 5, т. е. имеет вид т2 + т, то уравнение ре- решается подстановкой (см. комментарий к V») z = by + 1, откуда у = 2 и 1/х2 = 1/36, т. е. каждый из квадратов должен быть 121 10 1 близок к — = — + — » а стороны их, т. е. У$, близки к 11/6. 36 3 36 Затем Диофант выбирает некоторое представление числа 10 16 9 суммою трех квадратов: 10 = 9 -f 1 = 9 + — + — = Р2 + Я2 + ?'2» 25 25 где р = 3, ^ == 3/5, г = 4/5. Нужно выбрать новые три квадрата, стороны которых близки к 11/6. В первом приближении Диофант полагает Ух = У2 ~ ^з — Ш6, /11 \2 363 1 но 3-1-g-1 = -og- = 10 |2>10# Тогда, так же как и в задаче 267
КОММЕНТАРИИ Ve, Диофант находит .о_И_7_35 /_3__11___37 » _ 4 _ 11 _ 31 1 6"~Т~Ш' 2~Т ?~ зоэ -Т в" зо" Диофант умножает все на 30 и полагает Yi = 3 — 35/, (*) У, =|. Уз = * + Sit, О где t должно получиться близким к 1/30. Подставляя эти значения в равенство Yj + Y\ + Y| = 10, он находит f = 116/3555. Для уяснения смысла подстановки (¦) можно прибегнуть и к геометрической интерпретации. Уравнение и2 + v2 + w2 = 10 представляет сферу. Точка А C; 3/5; 4/5) лежит на ней, а точка В A1/6; 11/6; 11/6) — вне сферы, так как 3.A1/6J = lO^-. Прове- Проведем прямую через точки Л и В. Уравнение ее будет 3 4 v — — w — — и — 35 5 37 31 или, в параметрической форме, и = 3 — 35*, р = 4- + 37, ю 5 5 Точка пересечения этой прямой со сферой и даст новое рациональное решение, удовлетворяющее условиям задачи: соответствующая ра- рациональная точка будет лежать на сфере, и координаты ее будут близки к координатам точки В. К этой задаче П. Ферма сделал следующее замечание (№ XXVII): «Условия, наложенные Баше х), недостаточны: более того, он не провел свои исследования с нужной аккуратно- аккуратностью, так, например, число 37 не исключается этими усло- условиями, но оно не может быть взято. *) Баше сформулировал следующие условия: данное число а не должво быть вида 32п 4- 9. Он утверждал, что проверил все числа до 325 и не нашел ни одного исключения. 268
АРИФМЕТИКА КНИГА V Вот каковы должны быть условия: Возьмем две геометрические прогрессии со знаменателем 4 и имеющие первые члены 1 и 8 и напишем их одну под дру- другой следующим образом: 1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096 и т. д., 8, 32, 128, | 512, 2048, 8192, 32768 и т. д., и рассматриваем сначала первый член второй прогрессии, т. е. 8; нужно, чтобы данное число не равнялось удвоенной единице, т. е. члену, стоящему над 8, и не превосходило на удвоенную единицу кратное от 8. Затем рассматриваем второй член второй прогрессии, который равен 32, берем и удваиваем верхнее число, т. е. 4, что даст 8, и прибавляем к нему сумму всех предшествующих членов той же прогрессии (в данном случае эта сумма сводит- сводится к единице), что даст 9. Возьмем число 32 и 9; тогда нужно, чтобы данное число не равнялось 9 и не превосходило 9 на кратное от 32. Теперь рассмотрим третий член второй прогрессии, т. е. 128, удвоим стоящее выше число, т. е. 16, получим 32; приба- прибавим сумму предшествующих членов той же верхней прогрес- прогрессии, т. е. 1 и 4, получим 37. Итак, возьмем два числа 128 и 37; нужно, чтобы данное число не равнялось 37 и не пре- превосходило 37 на кратное от 128. Рассмотрим теперь четвертый член второй прогрессии, тем же методом получим числа 512 и 149. Итак, нужно, чтобы данное число не равнялось 149 и не превосходило 149 на крат- кратное от 512. Это и есть единообразный метод, который можно про- продолжать до бесконечности. Он не был указан в общем виде Диофантом и не был известен самому Баше; исследования это- этого последнего были ошибочны не только для числа 37, как я это уже указал, но и для 149 и других, которые также по- попадают в границы исследованных им чисел». 10. Задача V12 эквивалентна системе X2+b= У», r = У2 т. е. представляет распространение задачи Vio на случай трех известных. Диофант принимает а=2, Ь=3, с=4и 269
КОММЕНТАРИИ необходимости разложить число а-\-Ь-\-с-\-1= 10 на сумму трех квадратов У^ + Y\ + У^, которые удовлетворяют условиям .4<Y|<4Ve. Диофант не приводит полного решения задачи, намечая только его план: сначала он предлагает представить 10 в виде (••) 10 = Y\ + г;2, где 2 < У^ < 2 V2, а затем v2 разбить на сумму двух квадратов, удовлетворяющих вторым двум неравенствам (*). Реконструкция решения Диофанта была проведена его переводчиками и коммен- комментаторами Г. Вертгеймом, А. Чвалина, Вер-Экке и Э. Стаматисом. Мы здесь поясним ход решения. Итак, пусть сначала число 10 надо представить в виде (**), причем 2 < У^ < 21/ъ, а 7х/2 < п2 < 8. Найдем такие дроби 1/х2 и 1/z2, чтобы 2V-2 + I = P2 и 71/2+ 1 =о2- хг z2 Методом Диофанта без труда найдем р =¦ 19/12, q = 11/4= 33/12. Точка В A9/12; 33/12) лежит вне окружности и2 + v2 = 10. Прове- Проведем прямую через точки В ж А A; 3), лежащую на окружности. Урав- Уравнение ее будет и — 1 v — 3 19— 1 ~" 33 3 ' 12 12 или, в параметрической форме, и = 1х -\- 1, v = 3—За:. Решая совместно с уравнением окружности, получим х = 2/29, Уг= и= 43/29, v = 81/29. Следующий шаг состоит в разложении v2 па сумму двух квадратов, 1 один из которых лежит между 3 и 3-«". Это можно сделать методом задачи Vlo. 11. Задача V13 эквивалентна системе Х2 + Х3 ~ а, * (i=lf2f3; i, 1 270
АРИФМЕТИКА КНИГА V Следовательно, У^ + Уо + ^з ~ ^а' ДиоФант берет а = 10 и, таким образом, приходит к задаче: разложить число 20 на сумму трех квадратов, каждый из которых < 10 (поскольку У^ = Х\ + + Y. _^" v _i v i -у л п\ Л1+1 \, -A.J —р Л2 ~Х~ Лд X\Jy. Диофант разлагает: 20 = 4 + 16, и поскольку первый из квадратов уже меньше 10, то остается разложить 16 на два квадрата, каждый из которых меньше 10 или, еще, один из которых > 6 и < 10. Диофант предлагает сделать это методом, который уже нам изве- известен. Очевидно, он имеет в виду метод решепия задачи Vlo. 12. Задача Vl4 эквивалентна системе Хг Y -U Y Л- Y — V2 л1~ГЛ2~Г Лз — -*!' Y _1_ V -Х- Y V2 Л2 ~Т~ -Л з ~Т~ Л4 2Т Ж-О л. . ' л 4 из которой следует, что Yl = 3 (*i + Х2 + Х3 + Х4) = За. Диофант, как и в предыдущей задаче, берет а — 10. Он не на- накладывает никаких условий иа выбор числа а. По-видимому, ему было известно, что каждое целое можно представить в виде суммы четырех квадратов, целых или дробных (см. также задачи IV29_30). Диофант намечает два пути для решения этой задачи. Первый из них состоит в применении «метода приближения»: делим сначала 30 на четыре квадрата, каждый из которых < 10. Можно принять, что каждый из этих квадратов примерно равен 7V2, и, по методу Диофанта, найти такую дробь 1/я2, что или ЗОу2 -f 1 = Q = z2, где х = 2у. 15 1 121 Положив ^ = 5г/ + 1, получим у = 2, х = 4 и и2 = — 4- — = — , у \ . . у , 2 ' 16 16 т. е. каждая из сторон искомых квадратов дожна быть примерно равна 11/4 и, кроме того, сумма этих квадратов равна 30: (*) 30 - р2 -|- ф -|- г2 + 271
КОММЕНТАРИИ Но 30 можно представить в виде 30 — 1 + 4 + 9 + 16, т. е. одно рациональное решение у уравнения (*) уже есть — это A; 2; 3; 4). Тогда, как и в задаче Vfi, находим И 7 4 4 ' , 9 И 3 11 1 /3 = 3-т-т, , , 11 5 4 4 Умножая все эти значения на 4, получаем (**) р = 1 + 7/, $ = 2 + 3*, г = 3 — *, s = 4 — 5* (t должно получиться близким к 1/4). Подставляя эти выражения в (*), получим t = 5/21, откуда уг = р = 56/21, У2 = 5 = 57/21, Y3= г - 58/21, У4 = s = 59/21. После этого неизвестные найдутся как разности между 10 и квад- квадратами соответствующих значений Y\. Второй способ состоит в том, что число 30 представляется в вп; о 30 = 1 + 4 + 9 + 16. Диофант замечает, что квадраты 4 и 9 уже удовлетворяют условию. Остается разложить число 17= 1 + 16 на сумму двух других квад- квадратов, каждый из которых < 10. Диофант предлагает сделать это так, чтобы один из искомых квадратов был > 8V2 и < 10. Это можно осуществить методом задачи Vio. Интересно отметить, что здесь, как и в других местах, единица не считается полноправным решением задачи; Диофант старается заменить решение, содержащее единицу, другим рациональным решением. 13. Задача V15_17 образуют новый цикл. Соответствующие им системы имеют вид (Хх + Х2 + Xzf ±Xi~Y* (i = 1, 2, 3), причем верхний знак отвечает задаче V15, а нижний — задаче 16 и Хг - (Хг + Х2 + X3f - У» (i = 1, 2, 3) для задачи V17. По своей постановке они аналогичны задачам 1*34-35 и ^*1-4' только в предшествующих задачах неизвестные 272
АРИФМЕТИКА КНИГА V входят в степенях ^J 2, теперь же задача ставится и для неизвест- неизвестных в третьей степени. Диофант в задаче V15 полагает = (У3 - 1)*3> *з = (в1 - I)*3, тогда ^i = Р*. ^2 = Y*, Ys=6x (P = 2, V-3, 6- Таким образом, все три уравнения удовлетворяются при условии, что или 1 О Л- = Р3 + 78 + б3 — 3 " Для существования рациональных решений достаточно потре- потребовать, чтобы A) р3 + v3 + б3 - 3 = ? = z2. Последнее уравнение определяет кубическую гиперповерхность в четырехмерном пространстве. Для ее рационализации Диофант закрепляет один из кубов, полагая б = т (он берет т = 2), а два других неизвестных выражает как линейные функции параметра: Р = at + b, у = ct -\- d. Коэффициенты он подбирает так, чтобы 1) при подстановке в уравнение A) уничтожились члены третье- третьего порядка, 2) коэффициент при t2 был бы полным квадратом. Для выполнения первого требования достаточно положить а= —с — 1, что и делает Диофант. Тогда коэффициентом при t2 будет 3 F + d), т. е. надо потребовать, чтобы Ь ~j- d = Ък2. Диофант выбирает fc2=l,fe=l, d=2, тогда уравнение A) при- принимает вид 9t2 — 9* + т* + 6 = О- Если положить сторону неизвестного квадрата равной 3fcr-7 (I = 4), то получим л J2__m3_6 Г 2 6/ —9 после чего найдем рациональные значения р, у и 6. 273
КОММЕНТАРИИ Заметим, что решению Диофанта можно придать простую гео- геометрическую интерпретацию. Условие б = т равносильно пересе- пересечению гиперповерхности A) пучком гиперплоскостей. В сечения с каждой из этих гиперплоскостей получается кубическая поверх- поверхность в пространстве (J3, у, z). Перейдем теперь к проективным ко- координатам. Тогда уравнение поверхности A) примет вид A') и3 + ъ* + {т3 — 3) т3 = w2xy где х х х Подстановка Диофанта эквивалентна проведению пучка плоскостей B) и + v = (Ъ + d) х = Zt, каждая из которых проходит через бесконечно удаленную прямую C) ( [ О, лежащую на поверхности A'). Неопределенным при этом остается параметр /. Всякая плоскость пересекает поверхность A') по кривой третье- третьего порядка, а каждая плоскость пучка C) — по кривой, которая распадается на две компоненты: прямую C) и кривую второго порядка: D) Ш2 — 3Z2tu + (то3 + Z3 — 3) т2 = w2. При этом каждая из плоскостей B) будет касаться поверхности (Г) в двух точках: А A; — 1; /57; 0) и В A; — 1; — У"Ш; 0), которые будут точками пересечения прямой C) с кривой D). Теперь остается только подобрать параметр I так, чтобы точки А и Б были рациональными. Для этого достаточно положить, следуя Диофан- Диофанту, I = 3/с3. Интересно отметить, что по схожему пути следуют и современ- современные исследования арифметики кубических поверхностей. Для отыс- отыскания рациональных точек таких поверхностей проводят через известную рациональную точку М поверхности касательную пло- плоскость. Эта плоскость пересечет поверхность по кривой третьего порядка, для которой М будет двойной точкой. Поэтому получен- полученная кривая будет рода 0 и ее мояшо униформизировать в рациональ- рациональных функциях над полем рациональных числе Q. У Диофанта кар- картина получается несколько иной, так как плоскость B) проходит через прямую, лежащую на поверхности, т. е. кривая, полученная в сечении, оказывается приводимой. 274
АРИФМЕТИКА КНИГА V Задача Vl7 решается тем же методом. При решении задачи Vi6 Диофант полагает Xi + *2 + X* = х9 тогда все три уравнения удовлетворяются при условии, что 4 11 о 1 1 X причем 1<Г1 ±<1 1 рз ' т3 ' б3 Диофант накладывает иа искомые кубы еще одно условие, а именно: 111 1 _L _L *"-" 4 Тогда z2 > 2. Диофант выбирает г2 = 9/4 и получает 4 " Далее, Диофант домножает числитель и знаменатель 3/4 на 54, тогда знаменатель будет 216 = б3, а числитель 162. Он представляет его в виде 162 = 125 + 64 — 27, не объясняя, как было получено это разложение. П. Таннери предположил, что разложение Диофанта было получено следующим образом: 216 = б3 = 53 + 43 + З3, или \ ' 8 • 1 1 Вычитая и» обеих частей равенства 2- -L = — f подучлм ИЛИ А .216 = 162 = 53 + 43 — 33. 4 Знал ли Диофант, что всякое целое или рациональное число можно представить в виде суммы трех рациональных кубов? 275
КОММЕНТАРИИ Предложение это, как видно из замечания Ферма, которое мы приводим ниже, не было известно ни ему, ни тем более Баше и Виету. О нем не знал и Эйлер. Доказано оно было только в XIX веке (см. L. E. Dikson, History of the theory of numbers, t. II, New York, 1966, s. 726). Диофант не ссылается на то, что оно было установлено им в ка- каком-либо из не дошедших до нас произведений, с другой стороны, он не накладывает никаких ограничений на разлагаемые числа. Скорее всего, он нашел это предложение чисто эмпирически, но не мог обосновать его. Далее, Диофант утверждает, что разность двух кубов всегда можно представить в виде суммы двух других кубов. При этом он ссылается на предложение, доказанное им в не дошедших до нас «Поризмах». Об этом предложении, которое с помощью методов Диофанта доказали Р. Бомбелли, Ф. Виет, Баше и П. Ферма, см. и комментариях к IVX_2. Пусть тогда, возвращаясь к первоначальной задаче, положим что и даст решение задачи. Замечание Ферма к задаче Vie (№ XXVIII): «Либо греческий текст испорчен, либо Диофант не из- изложил способа решения. Баше полагал, что Диофанту помог случай, однако мы не можем этого допустить, так как мы думаем, что метод Диофанта нетрудно отыскать. Требуется найти квадрат, больший двух и меньший трех, такой, что по вычитании его из трех получается число, кото- которое представляется суммой трех кубов. Возьмем в качестве стороны искомого квадрата некоторое число X минус 1, например X — 1. Если отнять от трех квадрат этого, то останется 2 — X2 + 2Х, которое нужно представить в виде суммы трех кубов так, чтобы получилось равенство между двумя членами, имею- имеющими последующие степени. Это можно сделать бесконечным числом способов: пусть сторона одного из кубов будет 1 — V83T, другого же 1 + X 276
АРИФМЕТИКА КНИГА V (чтобы в сумме этих двух кубов член первого порядка был бы 2Х); сторона третьего куба должна состоять из одного члена, содержащего X, который к тому же надо снабдить знаком минус, чтобы значение X оставалось в намеченных пределах; нетрудно выбрать коэффициент этого члена, со- содержащего X, так, чтобы решение действительно лежало внутри пределов, о которых шла речь. После того, как это сделано, ясно, что наш первый куб будет меньше единицы, как это было желательно; напротив того, второй больше, а третий снабжен знаком минус; нужно найти два куба, сумма которых равнялась бы разности вто- второго и третьего; мы придем, таким образом, как и Диофант, ко второй операции. „Из «Поризмов» мы имеем,— говорит он,— что раз- разность всяких двух кубов равна сумме двух кубов". Здесь Баше вновь находится в затруднении, и, поскольку «Поризмов» Диофанта у него нет, он считает, что задача воз- возможна только при некоторых ограничениях; он учит, как разложить на два куба разность двух кубов, но только при условии, что больший из заданных кубов превосходит уд- удвоенный меньший. Он откровенно признается, что не знает, как можно в общем случае разложить на два куба разность двух произвольных кубов. Мы изложили выше по поводу задачи IV2 общее решение этого вопроса, а также других, относящихся к тому же предмету». 14. Задача V18 эквивалентна системе {¦ (Хг + Х3 + Х8K + Xt=Y\ (i = 1, 2, 3). Если положить Хг = (Р2 - 1) х\ Х2 = (V2 - 1) я*, Xs = (б2 - 1) а* (Р = 2, у = 3, 6 = 4), то и все четыре уравнения системы обращаются в тождества при усло- условии, что (Р2 + У2 + б2 — 3) я* = а;2, т е Р2 + V2 + °2 — 3 = *4- 277
КОММЕНТАРИИ Замечательно, что Диофант решает эту последнюю задачу в общем виде. Он полагает Р2 — 1 равным ?4 — 2t2 (для неизвестно- неизвестного он применяет тот же символ, который был уже употреблен в первой части задачи), у2 — 1 = t2 + 2t и б2 — 1 = t2 — 2t. Тогда (Р2 - 1) + (у2 — 1) + (б2 - 1) = *4. Возвращаясь к первоначальной задаче, Диофант полагает t = 3. Он вынужден был сделать это, так как располагал только одним символом для обозначения неизвестного. На самом деле, следуя ходу его мыслей, надо положить Хг = (& — 2t2) z6, Х2 = (t2 + 2*) z6, Х3 = (/2 — 2«) хе. Тогда все уравнения удовлетворяются, если Х± + Х2 + Х3 = ж2 откуда ж = 1/^ и неизвестные выразятся как рациональные функции одного параметра: 2 v ^—2 15. Задача Vw эквивалентна системе = 1, 2, 3). Решение этой задачи утеряно. Фрагмент, помещенный в тексте непосредственно после условия, представляет решение другой задачи. Баше предположил, что между задачами Vig и V20 были вставлены еще три задачи, а именно: 19 { 1Ш [X (Х + Х2 + X3f = Y* (i = i, 2, 3) = а, + Xi = У? (? = 1, 2, 3) lg Г X, + X2 + X 3" {(Z + X + X)s X Y\ (i = 1, 2, 3). Фрагмент решения относится к последней из вставленных задач, причем предполагается, что а = 2. Реконструкции решения задачи 193, основанные на дошедшем фрагменте, приведены в комментариях к «Арифметике» Г. Вертгей- ма, Вер-Экке и Э. Стаматиса (см. соответствующие издания «Арифме- «Арифметики» Диофанта). Э. Стаматис предложил также реконструкции решений задач V19, Vi9t и Vi9,, из которых мы приведем здесь решение задачи Vl9: 278
АРИФМЕТИКА КНИГА V «Положим опять сумму трех искомых равной х2, а каж- о о 15 дое из них — одно ж6, другое — х* и третье _-. я6. По- 4 9 16 лучается, что куб суммы всех трех по вычитании каждого из них дает квадрат. Остается приравнять сумму этих трех квадрату. Но их 371 сумма будет i а;6, приравниваем ее jr. После разделения 144 371 на х2 получится, что х4 = 1. 144 Но 1 есть квадрат, имеющий стороной тоже квадрат; 371 следовательно, #4 тоже должно быть квадратом, имеющим 144 стороной квадрат. Если бы 371/144 было квадратом со сто- стороной квадратом, то задача была бы решена. Откуда же полу- получилось количество #4? Оно получилось после вычитания из 3 трех квадратов, каждой из которых был меньше 1; дело приводится к отысканию трех квадратов, каждый из которых меньше 1, а их сумма, вычтенная из 3, была бы квадратом с квадратной стороной. Ищем теперь каждый из этих квадратов, меньших 1. Если мы возьмем три числа, сумма которых меньше 1, то каждое из них в отдельности будет гораздо меньше 1; таким образом, остающийся после вычитания квадрат с квадратной стороной должен быть больше 2; пусть он будет 1296/625. Теперь нужно 579/625 разложить на три квадрата; один из них будет 529/625, другой 49/625, третий 1/625. Теперь возвращаемся к первоначальной задаче и опять полагаем сумму трех чисел я2, а из искомых одно — х*, 625 другое —_ хв и третье -И-. я6 . PI получается, что куб 625 62^ суммы трех чисел после вычитания каждого дает квадрат. Остается сумму трех приравнять ж2, сумма же трех будет 1296 1296 хР ; разделив обе части на а;2, получаем i я4 = 1. И х 625 625 равняется 5/6. К подстановкам». 16. Задача V20 эквивалентна системе Х2 + Х3 - р/д, [Хк - (Хг + Х2 + Z3K - А (|« 1, 2, Щ. 279
КОММЕНТАРИИ Диофант берет р/д — V4, тогда Y* = (X, + Х2 + X,) -3 (X, и дело сводится к представлению 13/64 суммою трех квадратов, что сделать нетрудно, так как 13 = 4 + 9 и любой из этих квадратов (Диофант выбирает 9) можно представить в виде суммы двух рацио* нальных квадратов (см. задачу П8). 17. Задача V 21 эквивалентна системе Х\Х\Х\+ Х} = У| (? = 1,2,3). Диофант ищет три квадрата р2, д2, г2, которые удовлетворяю» уравнению (*) и2 + 1 = П- Если такие квадраты будут найдены, то положим Тогда все уравнения системы обратятся в тождества при условии, что jD2gW== х2. Для решения (*) Диофант замечает, что во вся- а2 с2 ком прямоугольном треугольнике (а, 6, с): р- + ^ = пр , поэтому можно положить p = ^L ч q = ^1 , r = ^i. Но тогда 6i 62 03 . е.. *** = 1, , или Диофант принимает сторону неизвестного квадрата равной произ- произведению катетов одного из треугольников, пусть это будет a3b^ а катеты другого треугольника, пусть ах и Ь±, принимает равными 3 и 4, тогда 12a2b2 = a3b3. Обе части равенства можно разделить на 4 — наибольший квад- квадрат, содержащийся в 12 (или, если угодно, можно считать, что сто- сторона неизвестного квадрата равна не a3b3, а 2а3Ь3); тогда Итак, мы приходим к задаче: найти два прямоугольных треуголь- треугольника, площади которых имеют отношение 3:1. Диофант приводит два треугольника, обладающих нужным свойством, а именно (9, 40, 41) и A5, 8, 17), не объясняя, как они были найдены. Формулы для нахождения прямоугольных треугольников в ра- рациональных числах, площади которых имели бы заданное отношение, 280
АРИФМЕТИКА КНИГА V приводит в своем замечании Ферма, однако и он не говорит, как он нашел эти формулы. Замечание Ферма (№ XXIX): «Вот как я восстанавливаю и объясняю метод Диофанта, который Баше не понял. Взяв в качестве первого треугольника C, 4, 5), для которого произведение сторон, содержащих прямой угол, есть 12, Диофант говорит: „Придется искать два прямоуголь- прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катетов одного было в 12 раз больше произведения катетов другого". Основа этого заключается в том, что если перемножить между собой эти два произведения, то получится плоское число, подобное 12, и, значит, умножая это последнее число на 12, получим квадрат, что и требуется в задаче. Диофант продолжает: „или чтобы площадь одного была в 12 раз больше площади другого",— что ясно само по себе. Далее: „Но если в 12, то можно и в три*'; действительно, разделив 12 на квадратное число 4, получим 3; и перемно- перемножение всех оснований и высот даст квадрат, так как деление квадрата на квадрат дает квадрат. Продолжение текста Диофанта не доставляет решения задачи, но мы восстанавливаем его так: В данном случае образуем один из треугольников из чисел 7 и 2, а другой — из 5 и 2. Первый треугольник будет иметь площадь, в три раза большую, чем второй, и оба они удовлетворяют задаче. Вот общее правило для нахождения прямоугольных тре- треугольников, площади которых находятся в заданном отнс- шении. Пусть заданное отношение будет R к S и R больше Sm Больший треугольник образуем из 27? + S и R — S, меньший — из R + 2S и R — S. Иначе1). Первый треугольник образуем из 2Л — S и R + S, второй треугольник образуем из 28 — R и Я + S. •) Треугольники, которые выбрал Диофант, найдены именно этим вторым способом. Они отвечают значениям R = 3, S = 1, причем второй треуголь» ник должен быть образован из чисел R — 2S, R -}- S. (Прим. ред.) 281
КОММЕНТАРИИ И ы а ч е. Образуем первый треугольник из 6R и 2R — S, образуем второй треугольник из AR -f- S и 4Л — Иначе. Образуем первый треугольник из R -\- AS и 2R — AS, образуем второй треугольник из 6R и R — 2S. Из предыдущего можно извлечь метод нахождения трех прямоугольных треугольников, площади которых пропорцио- пропорциональны трем данным числам, лишь бы сумма двух из этих чисел равнялась учетверенному, оставшемуся. Пусть даны, например, три числа R, S, Т, и пусть R, S вместе составляют учетверенное Т. Тогда три треугольника образуем следующим образом: первый из R -\~ AS и 2R — AS, второй из 6R и R — 2S, третий из AS + Т и AS — 27. Мы предполагаем здесь, что Л больше Г. Равным образом можно отсюда извлечь метод нахождения трех прямоугольных треугольников в числах, площади кото- которых образуют прямоугольный треугольник. Вопрос можно свести к нахождению треугольника, у кото рого основание и гипотенуза равны учетверенной высоте. Эта задача нетрудная, и искомый треугольник будет подобен следующему: 17, 15, 8. А эти три треугольника образуются [числами]: первый 49 и 2, второй 47 и 2, третий 48 и 1. Равным образом можно извлечь метод нахождения трех треугольников, площади которых пропорциональны трем данным квадратам, если только два будут равны учетверен- учетверенному оставшемуся',таким же путем можно найти три тре- треугольника с одинаковой площадью, мало того, можно беско- бесконечным числом способов построить два прямоугольных тре- треугольника, площади которых находятся в заданном отноше- отношении, умножая один из членов отношения или оба на заданный квадрат, и т. д.». 18. Задача V22 эквивалентна системе Х\Х\\\- Х\= Y; (/ - 1,2, 3). План решения тот же, что и в предыдущей задаче. 282
АРИФМЕТИКА КНИГА V Диофант берет три прямоугольных треугольника (аь Ьг, 2, Ь2, с2) и (я3, Ь3, с3), поскольку 1 - ^1 -= f ±. с2 \с он полагает 1 Z А С\ С2 Сз Тогда все уравнения системы удовлетворяются при условии, что \ClC2C3 ИЛИ Диофант принимает fei = 4, ci = 5, а сторону неизвестного квад рата — равной Ь3с3, тогда 20Ь2с2 = Ь3с3, или, как и в предыдущем случае, сокращая на 4, получим Для решения этой задачи Диофант берет сначала два треуголь- треугольника, площади которых относятся, как 1:5. Он выбирает треуголь- треугольники C, 4, 5) и E, 127 13). Исходя из них, он ищет два других тре- треугольника, в одном из которых произведение катета на гипотену- гипотенузу равно 6, а в другом — 30. Диофант не говорит о том, как он на- нашел эти треугольники. Он мог для этого воспользоваться тем, что числа А , В\ с с 2с 2 составляют прямоугольный треугольник, где (а, Ъ, с) — некоторый прямоугольный треугольник в рациональных числах. Действительно, исходя из двух выбранных им треугольников, найдем Ах = 12/5, Вг = 7/10, d = 5/2; А2 = 60/13, В2 = 119/26, С2 = 13/2. Диофант выбирает подобные им треугольники, а именно G, 24, 25) и A19, 120, 169). Эти треугольники вместе с треугольником C, 4, 5) и дадут катеты и гипотенузы, нужные для решения задачи. Поскольку Диофант не изложил метода нахождения треуголь- треугольников, обладающих нужным ему свойством, Ферма решил воспол- восполнить этот пробел. Приводим его решение. 283
КОММЕНТАРИИ Замечание Ферма (№ XXX): «При рассмотрении вопроса 25 [у нас задача V22. — И. Б.] Баше, как и в предыдущем случае, оставил в стороге метод Диофанта, который нужно еще выявить и объяснить. Нужно найти два прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катета и гипотенузы одного из них имело задан- заданное отношение к произведению катета и гипотенузы другого. Этот вопрос долго нас мучил, и тот, кто попробует его решить, сможет убедиться, что он действительно труден, но наконец был открыт метод общего его решения. Пусть требуется найти два треугольника таких, что про- произведение катета и гипотенузы одного из них вдвое больше произведения гипотенузы и катета другого. Пусть один из треугольников образован из чисел А и В, а другой — из чисел А и D. Для первого треугольника произведение катета на гипотенузу будет 2ВА3 + 2В3А, а для второго — произведение катета на гипотенузу будет 2DA3 + 2DSA. Требуется, чтобы 2ВА3 + 2В3А было вдвое больше про- произведения 2DA3 + 2DBA; следовательно, ВА3 + В3А = 2DA3 + 2П3А\ деля все на А, получим ВА2 + В3 = 22X4 2 + 2Л3, или, переставляя члены, 2D3 — В3 = ВА2 — 2DA*. Это значит, если частное от деления 2D3 — В3 па В -— 2D будет квадратом, то задача будет иметь решение. Значит, нужно найти два числа, В и/), удовлетворяющие условию, что удвоенный куб одного минус куб другого, разде- разделенный или умноженный (что приводит к тому же) на удво- удвоенное второе минус первое, будет квадратом. Положим первое X + 1, второе же 1. Удвоенный куб первого минус куб второго даст 1 + 6Z + 6Х2 + 2Х3. Уд- Удвоенное же второе минус первое 1 — X. Итак, произведение 1 — X на 1 + GX + 6Х2 + 2А'8 долж- должно дать квадрат. Но их произведение равно 1 + ЪХ — АХ3 которое можно приравнять квадрату на 1-f "Т Остальное не составит труда. 284
АРИФМЕТИКА КНИГА \ Чтобы распространить этот метод на случай произволь- произвольного отношения, достаточно взять в качестве одного из иско- искомых чисел X плюс избыток большого члена отношения над меньшим, а в качестве второго числа — сам этот избыток, что мы и сделали для отношения 2 к 1. Действительно, при этом свободный член в окончательном произведении будет квадратом, и уравнение будет решаться без труда. Этим спо- способом придем к двум числам, которые мы обозначили 5иЛ, а затем вернемся к первоначальному вопросу. Просматривая еще раз то, что было написано по поводу задачи 25 Диофанта, я хотел было все стереть, так как на самом деле эта задача не сводится к вопросу, решение кото- которого мы дали. Однако, если мы и ошиблись в сведении од- одного вопроса к другому, тем не менее этот последний был ре- решен правильно; наш труд был скорее не потерян, а неудачно помещен, поэтому мы его оставляем таким, каким мы его написали на полях. Сам же вопрос Диофанта мы подвергли новому исследо- исследованию, и, тщательно применив наш метод, получили наконец общее решение; однако мы приведем только один пример, сами числа которого покажут, что они были найдены не слу- случайно, но с помощью регулярного метода. В предложении Диофанта ищутся два прямоугольных треугольника при условии, что произведение гипотенузы и катета одного имеет к произведению гипотенузы и катета другого отношение, как 5 к 11. Вот два таких треугольника: первый треугольник имеет гипотенузу 48543669109, основание 36083779309, высоту 32472275580, второй треугольник имеет гипотенузу 42636752938, основание 41990695480, высоту 7394200038». 19.