Математика без формул. Книга 3 - Пухначев Ю.В., Попов Ю.П.

Автор: Пухначев Ю.В. Попов Ю.П.

Теги: математика

Год: 1979

Похожие

Математическая логика

Множества. Логика. Аксиоматические теории

Математическая логика и теория алгоритмов

Текст

ИРПИПЛППГЗ НАрОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 1979
' CJ LU L*J uU L3 естественнонаучный факультет
МАТЕМАТИКА
БЕЗ ФОРМУЛ
Ю.В.Пухначев
Ю.П. Попов
НАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Естественнонаучный факультет
Издается с 1961 г.
Ю.В.Пухначев
Ю.П. Попов
МАТЕМАТИКА
БЕЗ ФОРМУЛ
Выпуск 3
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ>
Москва 1979
Scan AAW
22. 1
П 90
Пухначев Ю. В. и Попов Ю. П.
П 90 Математика без формул. Выпуск 3. М.,
«Знание», 1979 г.
160 с. (Народный университет. Естественнонаучный
факультет).
Авторы книги в интересной и популярной форме разбирают
основные математические понятия: множества, отображения,
отношения и т. д.
Книга будет полезна самому широкому кругу специалистов,
стремящихся применять математику в своей практической дея-
тельности, а также может служить пособием для слушателей
народных университетов.

21.1
51
© Издательство «Знание», 1979 г.
МНОЖЕСТВА
— Буренка! Зорька! Пеструшка! — покрикивает пас-
тух, выгоняя коров из леса на опушку. Неровен час —
потеряются. Особенно эта Зорька: чуть зазеваешься —
шци-свищи! Пеструшка — та ничего: пока кнутом не
хлопнешь, с места не сдвинется. С Буренкой — своя беда:
уж больно бодлива, не подцепила бы кого на рога...
Для пастуха каждая корова — на особицу: у каждой
свой характер, свои привычки. Это вон для дачника все
коровы на опушке — просто стадо и только.
Вот ведь что значит точка зрения! Для одного — не-
повторимые индивидуальности. Для другого — совокуп-
ность, мыслимая как единое целое.
Вообще человеческому мышлению свойственно трак-
товать то или иное собрание предметов, родственных по
какому-либо признаку, как самостоятельный объект.
Первая скрипка, вторая скрипка, альт, виолончель,
контрабас, флейта, гобой, фагот, валторна, труба, литав-
ры. Про все, взятое вместе, мы говорим: оркестр.
Кофейник, молочник, сахарница, несколько чашек,
столько же блюдец. А все вместе — сервиз.
А, Б, В, Г, Д... Все вместе же — алфавит.
1, 2, 3, 4, 5... А вместе — так называемый натураль-
ный ряд чисел.
Не случайно каждую из этих совокупностей мы на-
зываем существительным в единственном числе: оркестр,
сервиз, алфавит, ряд — идея объединения проглядывает
даже в такой мелочи.
Подобное объединение необходимо, когда приходится
сравнивать какие-либо совокупности между собой.
Представьте: вы — новосел. Вы приходите в мебель-
ный магазин, чтобы выбрать мебель для своей новой
квартиры — и убеждаетесь, что сделать это не так-то
просто. Какому гарнитуру отдать предпочтение? То ли
этому — светлому, неполированному? Или тому, что под
3
карельскую березу? А может быть, вон тому — с плюше-
вой обивкой в полосочку?
Каждый гарнитур, оставаясь набором отдельных
предметов, в вашем воображении фигурирует как единое
целое.
Так оно происходит и на выставке филателистиче-
ских коллекций, и на конкурсе эстрадных ансамблей...
Всякая процедура сравнения тех или иных совокупнос-
тей заставляет мыслить их как одно целое.
Так дело обстояло и тогда, когда в семидесятых го-
дах прошлого века немецкий математик Георг Кантор,
исследуя тригонометрические ряды и числовые последо-
вательности, встал перед необходимостью сравнивать
между собой бесконечные совокупности чисел.
Для решения возникших при этом проблем Кантор и
выдвинул понятие множества, суть которого вполне пе-
редается словами «совокупность», «собрание», «набор»,
«ансамбль» и т. д.
Это понятие, введенное в довольно узкой области ма-
тематики для довольно специальных целей, вскоре стало
с успехом применяться в других ее областях. Посвящен-
ные ему исследования приобрели самостоятельный инте-
рес и выделились в особый раздел математики — теорию
множеств.
В современной математике понятие множества счи-
тается одним из основных. Так или иначе с него начи-
нается изложение традиционных математических дис-
циплин и построение новых математических теорий, воз-
никающих по мере того, как расширяется сфера приме-
нений математики.
Универсальность этого понятия в том, что под него
можно подвести любую совокупность предметов. Здесь
годится все: марки, числа, люди, точки, звезды, векторы,
коровы, функции... Даже сами множества могут объеди-
няться во множества: например, математики говорят про
множество фигур на плоскости, про множество тел в про-
странстве, но каждую фигуру, каждое тело они мыслят
как множество точек.
Плодотворность теоретико-множественной концепции
в том, что она породила весьма богатый и мощный ар-
сенал широких понятий и универсальных методов. Отто-
го теория множеств и служит прочным фундаментом ма-
тематизации разнообразнейших наук: экономики, биоло-
гии, лингвистики...
4
Предметы, составляющие некоторое множество,
называются его элементами. Про них говорят, что они
принадлежат этому множеству.
Помните, как Пушкин в романе «Евгений Онегин»
писал о своем герое, который, разочаровавшись в сует-
ной жизни света, попробовал было писать?
...Ничего
Не вышло из пера его,
И не попал он в цех задорный
Людей, о коих не сужу
Затем, что к ним принадлежу.
«Цех задорный» — это множество поэтов. Пушкин
принадлежит к этому множеству, является его элемен-
том. Онегин — не принадлежит, то есть элементом этого
множества не является.
Что же такое множество? Что это за термин, в кото-
ром, как в ящике фокусника, скрываются и марки, и
числа, и звезды? Как в математике определяется это по-
нятие?
Если честно — то никак. Ведь что это значит — опре-
делить? Это значит, например, назвать нечто более об-
щее, нежели определяемое, и указать в этом общем пре-
делы, отделяющие определяемое от всего остального.
(Описанный способ именуют определением через род и
видовое отличие.)
Так вот, для понятия «множество» не известно ничего
более общего по отношению к нему. (И это, кстати ска-
зать, хорошо согласуется с тем, что оно играет в совре-
менной математике одну из основных ролей.)
Когда мы говорили, что слово «множество» имеет
тот же смысл, что слова «совокупность», «собрание», «на-
бор», «ансамбль», мы лишь сопоставляли с ним его сино-
нимы, которые, быть может, помогали сделать новый тер-
мин более ясным, но отнюдь не составляли его строгого
определения.
Нам кажется, что после сказанного у читателя поя-
вилось некоторое недоумение: как же так — множество
определить нельзя, но выше мы говорили и про множест-
5
во натуральных чисел, и про множество букв русского
алфавита, и про множество,фигур на плоскости...
Неувязка?
Никак нет. Как абстрактное математическое понятие
множество действительно неопределимо. Но определить
какое-либо конкретное множество — задача не из труд-
ных. Например, можно с полной определенностью гово-
рить о множестве архитектурных памятников Ленингра-
да: чтобы его задать, достаточно пройти по улицам го-
рода и указать дома, на которых висят чугунные доски
с надписью «Охраняется государством».
Так и со всяким множеством. Определить его — зна-
чит относительно любого предмета уметь ответить на
вопрос, принадлежит он данному множеству или не при-
надлежит.
Поэтому и говорят, что всякое множество однозначно
и полностью определяется его элементами.
Так что пусть читатель не сетует, что термин «множе-
ство» остался не определенным. В свете сказанного ос-
новное понятие теории множеств видится не за этим
термином, а скорее за словом «принадлежать».
Для него введен особый символ, приведенный на ри-
сунке ниже. Там показано, как в символической записи
обозначается, что некоторый элемент а принадлежит не-
которому множеству А.
Говорят, что над входом в сад «Академия», где Пла-
тон любил беседовать со своими учениками, было напи-
сано: «Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».
Беседуя со своими читателями о математике, мы не
гонимся за академизмом и не требуем от них особых пре-
а
элемент
множества
знак
принадлежности
6
дварительных познаний. Тем не менее нам хочется ве-
рить, что нашему читателю известны простейшие гео-
метрические фигуры — треугольник и окружность, парал-
лелограмм и прямоугольник, квадрат и ромб, а возмож-
но — и некоторые свойства этих фигур. Все это приго-
дится нам в разговоре о множествах.
Мы также предполагаем в читателе некоторые
начальные познания из арифметики, надеемся, в част-
ности, что он имеет понятие о десятичных дробях, знает
о существовании бесконечных десятичных дробей —
например, представляет, что если попытаться выразить
дробь 3/22 в десятичной записи, деля уголком 3 на 22,
то в результате получится 0,1363636... а дальше будет
периодически повторяться без конца одна и та же группа
цифр (36).
Числа, которые выражаются конечными или беско-
нечными десятичными дробями, называются веществен-
ными (также действительными). К их множеству мы не
раз будем обращаться за примерами. Не удивительно:
ведь среди них содержатся все натуральные (то есть це-
лые положительные) числа, все целые числа вообще (и
положительные, и отрицательные; те и другие можно
трактовать как конечные десятичные дроби, не имеющие
ни одного знака после запятой). Во множестве вещест-
венных чисел заключаются также все рациональные
числа, или, другими словами, дроби, отношения целых
чисел — оказывается, всякое такое отношение можно
представить конечной или бесконечной периодической
десятичной дробью (как мы только что сделали это с от-
ношением 3/г2). Если же бесконечная десятичная дробь
непериодична, то такое вещественное число называется
иррациональным.
Математика знает также мнимые числа, комплексные
числа, но мы в нашей книге касаться их не будем.
Русское слово «множество» способно ввести в за-
блуждение: оно неявно подразумевает некоторое изоби-
лие. Тем более что наши примеры множеств давали тому
повод. Однако математический термин «множество» это-
го оттенка совсем не имеет.
Множество может состоять всего из двух элементов
(таково, например, множество естественных спутников
7
Марса—Фобос и Деймос). Может состоять из одного
(тогда его называют единичным множеством; пример —
множество естественных спутников Земли, в котором
единственный элемент, Луна). Наконец, математики го-
ворят про так называемое пустое множество, не содер-
жащее ни одного элемента. Это, например, множество
естественных спутников Венеры или, если угодно что-ни-
будь повеселее, множество владельцев действующих
вечных двигателей, множество квадратных колес, мно-
жество острых шаров, множество кривых прямых...
После таких примеров пустое множество может по-
казаться читателю этакой математической шуткой. Это
совсем не так! Чтобы показать необходимость и важ-
ность понятия пустого множества, мы приведем сейчас
весьма серьезный математический пример.
Известно, что одно из традиционных занятий матема-
тиков — решать алгебраические уравнения. Математик
пишет алгебраическое выражение, содержащее букву х,
и справа от него через знак равенства ставит нуль. То,
что получается при этом, и называется уравнением. На-
пример: х — 2=0 или х2 + 2х — 3 = 0.
Решить уравнение — значит найти такие числа, при
подстановке которых в уравнение вместо буквы х нуль
получается и по левую сторону от знака равенства. Та-
кие числа называются корнями уравнения.
Бывают уравнения, которые имеют только один ко-
рень (как первое из написанных нами; его единственный
корень — двойка: 2—2 = 0). Бывают уравнения, у кото-
рых два корня (как у второго нашего уравнения; его ле-
вую часть обращают в нуль, или, иначе говоря, ему
удовлетворяют единица и минус тройка, можете прове-
рить). Бывают уравнения, имеющие и десять, и двадцать
корней.
Математики говорят о множестве корней того или
иного уравнения. Если опять взять первый из наших
примеров, то множество корней этого уравнения — еди-
ничное, оно содержит всего один элемент, число 2. Мно-
жество корней второго из наших уравнений состоит из
чисел 1 и —3.
А каково множество корней уравнения х2+1=0? Во-
прос не из легких, если корни ищутся во множестве ве-
щественных чисел. Какое из них ни подставь в уравнение
вместо х, положительное или отрицательное, квадрат его
будет положительным числом. Прибавив к нему единицу,
8
мы никак не получим нуля. Множество вещественных
корней этого уравнения не содержит ни одного элемента.
Вот так, совершенно естественно мы вновь пришли к
понятию пустого множества.
Читатель может возразить: в подобных случаях не
так уж сложно выяснить, есть ли у уравнения вещест-
венные корни, и если нет, рассматривать такие уравне-
ния особо, обходясь без этой диковины — пустого мно-
жества.
Что ж, разобраться с корнями квадратного уравнения
действительно просто. Но ведь известны и такие уравне-
ния, про которые еще не выяснено, есть ли у них корни.
Вот уж три века математики бьются над великим уравне-
нием Ферма xn + z/n = zn: существуют ли целые числа х, у,
z, которые удовлетворяли бы уравнению при каком-то
целом показателе п, большем двух? Не пусто ли множе-
ство целочисленных корней великого уравнения?
И это далеко не единственный пример, когда, рас-
сматривая какое-либо множество, нельзя поручиться, что
оно не пусто. Потому-то понятие пустого множества в
математике не расценивается как нечто маловажное.
Для него даже придуман специальный символ: 0.
Это может показаться мнительностью, но мы, право,
не без основания опасаемся, что некоторые типичные
примеры множеств могут подтолкнуть читателя к невер-
ному толкованию этого понятия.
Мы говорим, например, о множестве букв русского
алфавита (А, Б, В, Г...), о множестве натуральных чи-
сел (1, 2, 3, 4...). Элементы того и другого принято рас-
полагать в определенном порядке. Но никакого опреде-
ляющего значения тот или иной порядок не имеет ни для
этих двух, ни для какого угодно множества. Как ни та-
суй колоду, это будет одно и то же множество карт.
И точно так же алфавит можно привести в любом по-
рядке— например, в том, который принят для клавиату-
ры пишущих машинок. А натуральный ряд можно запи-
сать, скажем, так, как показано на следующей странице
(в дальнейшем нам еще пригодится такая его запись).
Здесь стоит отметить (позже мы поговорим об этом
подробнее), что существуют бесконечные множества,
элементы которых принципиально невозможно располо-
9
y._ z 6-.7 жить в виде какой-либо последова-
/ / / 1Ч'' тельности, как числа натурального
3\/ / / ряда. Таково, например, множество
9 ,9 к всех вещественных чисел между ну-
10 12' лем и единицей (включительно).
Напоследок еще одно замечание
по поводу тех множеств, которые
поддаются перечислению. Если, ска-
жем, перечисляя русский алфавит, мы повторим какую-
то букву два раза, множество останется тем же самым —
русским алфавитом. Чтобы в таких случаях исключить
возможные недоразумения, говорят, что ни один элемент
множества не может содержаться в нем несколько раз.
Адам и Ева. Таково, согласно библейской легенде,
множество первых людей на Земле.
Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн,
Уран, Нептун, Плутон. Это множество планет Солнечной
системы.
И то и другое множество конечно, так что каждое
можно определить, указав все его элементы. (И если же-
лательно подчеркнуть, что указанные предметы рассмат-
риваются в совокупности, как некоторое множество, их
перечисляют через запятую и ограждают эту строчку с
обеих сторон фигурными скобками.)
{$,9,6,сгд1гДб,Е} ...}
Андрей Болконский, Пьер Безухов, Наташа Ростова,
Николай Ростов, Анатоль Курагин и так далее — множе-
ство персонажей романа Толстого «Война и мир».
Один, два, три, четыре, пять, шесть и так далее — уже
знакомый нам натуральный ряд, множество положитель-
ных целых чисел.
Способы задания множеств в последних двух приме-
рах уже другие, нежели в первых.
Что касается множества персонажей романа «Война
и мир», то его в принципе можно было бы определить
и прежним приемом — перечислением. Для этого, правда,
10
потребовалось бы несколько страниц нашей книги. А вот
для натуральных чисел такой прием не годится даже в
принципе, поскольку их множество бесконечно.
Как быть? В некоторых подобных случаях из затруд-
нительного положения удается выйти, назвав лишь не-
сколько элементов множества. Троеточие или оборот «и
так далее», которыми принято обрывать такой список,
подчеркивают, что названное не исчерпывает всего мно*
жества. Однако если уж из этого незавершенного переч-
ня становится понятно, как далее его продолжать, какие
предметы можно поставить в один ряд с названными,—
это значит, что есть критерий проверки, принадлежит
тот или иной^предмет данному множеству или не при-
надлежит. Мы уже знаем: если такой критерий есть, то
множество задано совершенно определенно.
Впрочем, на способы задания множеств можно
взглянуть с другой стороны, с которой становится неза-
метным различие между конечными и бесконечными со-
вокупностями.
Присмотримся к описаниям упомянутых множеств:
«первые люди на Земле», «планеты Солнечной системы»,
«натуральные числа», «персонажи романа «Война и
мир».
Такого описания вполне достаточно для того, чтобы
определить каждое из этих множеств. В подобных слу-
чаях говорят, что множество задано с помощью характе-
ристического (или определяющего) свойства — такого,
что им обладает каждый элемент этого множества и не
обладает ни один предмет, который этому множеству не
принадлежит. Принадлежность предмета данному мно-
жеству тогда можно выразить, сказав, что он обладает
данным свойством.
Поистине незаменим этот способ, когда элементы
множества просто невозможно перечислить каким-либо
списком, даже оборванным словами «и так далее».
Взять хотя бы уже упоминавшееся по этому поводу
множество всех вещественных чисел между нулем и еди-
ницей (включительно). Написав эту фразу, мы, собствен-
но, и указали характеристическое свойство элементов
этого числового множества: каждое принадлежащее ему
число неотрицательно и в то же время не превосходит
единицы. Можно было бы заменить словесное описание
формульным (O^x^l), но суть дела осталась бы преж-
ней.
11
Другой пример — окружность. Про нее говорят так:
множество точек, удаленных от центра на расстояние,
равное радиусу. И в этом выражается определяющее
свойство элементов этого точечного множества.
Делу время — потехе час.
Дел у нас с вами, читатель, еще много, а вот для раз-
влечений может не выкроиться ни минутки. Поэтому от-
ведем забавам хотя бы эту страничку.
Давайте сыграем в слова. Правила игры предельно
просты, берется какое-то слово и из его букв образуются
новые слова.
Не будем лазить за исходным словом в карман: нам
вполне подойдет заголовок этой главы.
МНОЖЕСТВА
нож
нос
сон
стон
жена
манеж
жетон
монета
жеманство
А теперь, читатель, забавы в сторону — займемся де-
лом.
Каждое из выписанных в столбик слов будем рас-
сматривать как множество букв. По правилам игры бук-
вы каждого новообразованного слова в этом столбике
черпались из исходного слова. Иначе говоря, любой эле-
мент каждого нового множества букв принадлежит ис-
ходному буквенному множеству.
Говорят, что некоторое множество включается в дру-
гое, если каждый элемент первого множества является
также элементом другого. При этом первое множество
называется подмножеством (или частью) второго.
Согласно сказанному множество букв слова «жетон»
является подмножеством (или частью) множества букв
слова «множества», множество букв слова «нож» вклю-
чается во множество букв слова «жетон» и т. п.
12
Нетрудно подобрать и математические примеры
включения множеств. Совсем недавно мы говорили, что
всякое натуральное число есть число вещественное, при-
надлежит их множеству. А это и означает, что множество
символ включения
(ж,Е,т,о,н)е {М,Н,0,Ж,Е,С,Т, В, А}
{н,0,Ж}^ {Ж,Е,Т,0,Н}
натуральных чисел включено во множество веществен-
ных. С другой стороны, множество натуральных чисел
включает в себя множество нечетных чисел, а оно вклю-
чает в себя множество простых (напомним, что нату-
ральное число называется простым, если делится лишь
на себя и на единицу — иными словами, не разложимо
на множители). Множество прямоугольников включает-
ся во множество параллелограммов, а оно, в свою оче-
редь, является частью множества четырехугольников.
То, что одно какое-то множество является частью
другого, иногда совершенно очевидно. Так, например,
дело обстоит в случае с прямоугольниками и параллело-
граммами. Определяющее свойство параллелограмма —
параллельность противоположных сторон. Всякий пря-
моугольник обладает таким свойством и, стало быть,
принадлежит множеству параллелограммов.
Но иногда включение одного множества в другое
приходится доказывать. Не всякому, быть может, оче-
видно, что любое простое число (кроме двойки) нечетно.
А между тем обосновать это просто. Ведь если бы оно
было четным, то оно делилось бы на два, то есть на чис-
ло, не равное ни ему самому, ни единице, и, стало быть,
не было бы простым.
Просмотрим теперь еще раз список слов, извлеченных
нами из слова «множества». Наша самая большая уда-
ча — это, несомненно, слово «жеманство». Будучи обра-
зовано по всем правилам нашей игры, оно, как множество
букв, включается в исходное слово «множества». Гордим-
ся же мы им потому, что оно также и включает в себя
исходное слово. Действительно, каждая буква слова
13
«множества» принадлежит множеству букв слова «же-
манство».
Иными словами, каждое из этих двух множеств яв-
ляется подмножеством другого. Причина такой взаимнос-
ти понятна: оба буквенных множества состоят из одних
и тех же элементов. Про такие множества говорят, что
{Ж,Е,М,А,Н,С,Т,В,О} с {М,Н,0,Ж,Е,С,Т,В,А}
{М,Н,О,Ж,Е,С,Т,В,А} S {Ж,Е,М,А,Н,С,Т,В,О}
{Ж,Е,М,А,Н,С,Т,В,О} = (М,Н,О,Ж,Е,С,Т,В,А}
они равны друг другу. А выражаясь строго, два множе-
ства называются равными, если одно включается в дру-
гое и наоборот — то есть если оба состоят из одних и
тех же элементов.
Попробуем и на этот счет подобрать пример из мате-
матики. Давайте рассмотрим два множества геометри-
ческих фигур: множество равносторонних треугольников
и множество равноугольных треугольников. Есть такие
теоремы: в треугольнике против равных сторон лежат
равные углы и наоборот — против равных углов лежат
равные стороны. Следовательно, каждый равносторонний
треугольник является равноугольным, то есть наше пер-
вое множество фигур (равносторонние треугольники)
включаются во второе (равноугольные треугольники).
Но согласно второй из упомянутых теорем верно и об-
ратное: каждый равноугольный треугольник — равносто-
ронний, то есть и второе множество фигур включается
в первое. Итак, оба множества равны друг другу.
Общеизвестно: всякая селедка — рыба, но не всякая
рыба — селедка.
Ясно, что в этой поговорке речь идет о двух множе-
ствах — множестве рыб вообще и множестве селедок в
частности.
Поскольку всякая селедка — рыба, множество селе-
док включено во множество рыб.
Но не всякая рыба — селедка. Иными словами, во
множестве рыб существует хотя бы один элемент, не при-
надлежащий множеству селедок, ну, скажем, лещ или
14
щука. В подобных случаях говорят не просто о включе-
нии, а о строгом включении.
Точно так же множество пешек строго включено во
множество шахматных фигур, множество простых чи-
строгого Ьнмочения
сел — во множество натуральных чисел, множество квад-
ратов — во множество прямоугольников.
Некоторое множество, строго включенное в другое,
называется его истинным, или собственным, подмноже-
ством (а не просто подмножеством, как говорили мы в
случае нестрогого включения).
Итак, множество селедок есть истинное подмножест-
во мнол^ества рыб, множество простых чисел — истинное
подмножество натурального ряда и т. д.
•
Помните загадку-шутку: два отца и два сына, а всего
трое — как такое может быть?
По-видимому, вы знаете ответ: это мальчик, его отец
и его дед. Но даже если это известно, остается поразмыш-
лять вот над чем: в чем, собственно, парадоксальность
загадки?
Да в том, что речь тут идет совсем не о числах (иначе
загадка не имела бы решения: два плюс два никак не
равно трем). Суть дела относится к теории множеств.
Два множества фигурируют здесь: множество отцов
(отец и дед мальчика) и множество сыновей (мальчик и
его отец, доводящийся сыном деду). Решить загадку —
значит составить из них третье множество, которое на-
считывало бы три элемента.
Определяющий признак этого третьего множества в
том, что состоит оно из всех тех и только тех элементов,
которые принадлежат либо первому, либо второму мно-
жеству, то есть хотя бы одному из них — множеству от-
цов или множеству сыновей.
Когда новое множество строится из исходных по та-
кому правилу, то оно называется объединением исходных
множеств.
15
Итак, множество, состоя-
щее из мальчика, его отца и
его деда, есть объединение
множества отцов и множест-
ва сыновей.
Отец мальчика принадле-
жит обоим. Но в их объеди-
нение он входит только один
раз, иначе это противоречи-
ло бы понятию множества:
ни один элемент не може<
содержаться в нем несколь-
ко раз. Так и объясняется
парадокс, которым озадачивает шутка про двух отцов
и сыновей.
Чтобы получше рассмотреть смысл нового понятия —
объединения множеств,— возьмем бинокль.
Поглядите в левый окуляр и запомните все, что видно
в него. Потом в правый окуляр. А теперь глядите в оба —
что видите вы на этот раз? Все то, что попадает в поле
зрения либо левого, либо правого окуляра (см. стр. 17).
Применяя уже знакомый нам термин, можно сказать,
что множество точек характерной фигуры, напоминаю-
щей поваленную на бок восьмерку, есть объединение
двух точечных множеств — двух накладывающихся друг
на друга кругов. Идею объединения множеств можно
усмотреть во многих математических формулировках.
Пример будет связан с понятием абсолютной вели-
чины действительного числа. Как она определяется? Если
число неотрицательное, то его абсолютная величина сов-
падает с ним самим. Скажем, абсолютная величина де-
сяти равна десяти. Абсолютная величина нуля равна
нулю. А чтобы получить абсолютную величину отрица-
тельного числа, надо взять его с обратным знаком. Ска-
жем, абсолютная величина минус семи равна семи. (За-
метим попутно, что абсолютная величина любого числа
в силу данного определения не может быть отрицатель-
ной.)
Зная это, разберемся теперь, что означает выраже-
ние: «Множество чисел по абсолютной величине больших
единицы». Очевидно, все элементы этого числового мно-
жества — это либо положительные числа, большие еди-
ницы, либо отрицательные числа, меньшие минус едини-
цы. Налицо объединение двух числовых множеств.
16
в
Поглядите еще
раз в наш бинокль,
читатель, да повни-
мательнее.
Замечаете ли вы,
что отнюдь не все
предметы, которые
видны в него, выгля-
дят выпуклыми, объ-
емными?
Дело в том, что
объемность появля-
ется у них лишь то-
гда, когда человек
глядит на них обои-
ми глазами. Неда-
ром физиологи назы-
вают объемное зре-
ние бинокулярным
(так сказать, «зре-
нием в два глаза»).
В поле зрения би-
нокля попробуем
очертить тот уча-
сток, где предметы
смотрятся выпуклы-
ми. Очевидно, это
будет та луночка, по
которой перекрыва-
ются круговые поля
зрения левого и пра-
вого окуляра.
Придадим наше-
му выводу теорети-
ке - множественное
звучание. Мы взяли
два множества (по-
ля зрения двух оку-
ляров) и образовали
из них третье. Опре-
деляющий признак
этого третьего мно-
Д
A U5 читается: объединение множества Д
и множества В
д и В
17
жества в том, что со-
стоит оно из всех тех
и только тех элемен-
тов (в данном слу-
чае точек), которые
принадлежат и пер-
вому и второму мно-
жеству.
Когда новое мно-
жество строится из
исходных по такому
правилу, то оно на-
зывается пересече-
нием исходных мно-
жеств.
А П В читается: пересечение множества /\
и множества В
После этого интересно вновь рассмотреть поставлен-
ную в предыдущем разделе проблему отцов и детей. Мы
уже отмечали, что отец мальчика принадлежит и множе-
ству отцов и множеству сыновей. Теперь мы можем выра-
зиться более научно: единичное множество «отец ребен-
ка» есть пересечение множества отцов и множества сы-
новей.
О множестве вещественных чисел больших нуля и
меньших единицы можно сказать, что это пересечение
множества вещественных чисел больших нуля и множе-
ства вещественных чисел меньших единицы. О множе-
стве квадратов — что это пересечение множества прямо-
угольников и множества ромбов (если читателю это не
кажется очевидным, пусть он попытается доказать это
строго).
Рассерженный малыш, адресуясь к коллегам по пе-
сочнице, делает гневное заявление: «Отдайте мне мои
игрушки — яс вами больше не играю».
Нет сомнения: через несколько минут дети помирятся
и будут по-прежнему лепить куличики. И если мы при-
влекаем внимание читателя к мимолетному конфликту,
то лишь для того, чтобы назвать вещи своими теоретико-
множественными именами.
Речь здесь идет о двух множествах: множестве всех
игрушек в песочнице и множестве игрушек, которые при-
надлежат обидевшемуся малышу. Очевидно, он вынес на
18
улицу не все свое игрушечное хозяйство — часть оста-
лась дома. Говоря «мои игрушки», он подразумевает пе-
ресечение первого множества (все игрушки в песочнице)
и второго (его игрушки в целом).
Есть свое имя и для множества всех остальных игру-
шек в песочнице. Это разность первого и второго мно-
жеств.
Если же говорить более общо, имея в виду два про-
извольных множества, то определение их разности тако-
во: она состоит из всех тех и только тех элементов пер-
вого множества, которые не принадлежат второму.
Сейчас чрезвычайно популярны тесты — от серьез-
ных, научно обоснованных, с помощью которых определя-
ют пригодность к той или иной профессии, до простень-
ких, шуточных, наполняющих развлекательные отделы
популярных журналов. Не отстанем от века и мы. Дано:
Требуется дополнить каждую картинку непрерывной
линией так, чтобы получились изображения хорошо изве-
стных предметов.
Отгадки, которые мы имели в виду, выглядят так:
гриб, гаечный ключ, кость домино «один — пусто».
Если вновь обратиться к теории множеств (для разъ-
яснения ее понятий и подбираем мы иллюстрации), то
каждую линию следует трактовать как множество точек.
Возьмем какой-нибудь из рисунков-отгадок (скажем,
гриб) и сопоставим его с соответствующим рисунком-за-
гадкой. По условию нашего теста все, что было в зага-
дочном наброске, сохранилось и в завершенном контуре
предмета. Иными словами, множества точек линии-отгад-
ки и линии-загадки пересекаются. Дополняющая линия,
очевидно, является их разностью, поскольку все ее точки
19
принадлежат первому мно-
жеству (полному контуру
предмета) и ни одна не при-
надлежит второму (фигуре-
загадке).
Кстати, глагол «допол-
нить», который мы употре-
били по адресу этой линии,
тоже имеет вполне научный
смысл. Дело в том, что множество точек линии-загадки
не просто пересекается со множеством точек линии-от-
гадки, но и целиком содержится в нем, является его под-
множеством. Во всех тех случаях, когда множество-
уменьшаемое включает в себя множество-вычитаемое, их
разность называется дополнением второго множества до
первого.
Так заплаты на штанах Чиполлино — это дополнение
прорванных штанов до штанов, которые имеют прилич-
ный вид.
Так множество неравнобедренных треугольников до-
полняет множество равнобедренных до множества всех
треугольников вообще.
Читатель, вероятно, уже догадался, что термин «до-
полнение» самостоятельного смысла не имеет: говоря о
дополнении некоторого множества, всегда необходимо
указывать, до чего же именно оно дополняется. Напри-
мер, множество равнобедренных треугольников можно
дополнить не только до множества всех треугольников,
но и до множества всех многоугольников или до множе-
ства всех фигур на плоскости.
Бывают, однако, случаи, когда уточняющих справок
не требуется. Мы говорим, например, о множестве нечет-
ных чисел. Очевидно, оно служит дополнением для мно-
жества четных чисел. Но дополнением до чего? Ясно: до
множества целых положительных чисел, до натурального
ряда. И если мы говорим, что множество простых чисел
дополняется множеством составных (то есть разложимых
на множители), то и в этом случае понятно, что речь идет
о дополнении до натурального ряда.
Как видим, множество натуральных чисел здесь (да
и во всей теории чисел, кстати сказать) играет особую
роль: все упомянутые нами числовые множества являют-
ся его подмножествами.
Если в каком-либо рассуждении подразумевается по-
20
добное «всеобъем-
лющее» множество,
его называют уни-
версальным (для
данного рассужде-
ния, теории и т. п.).
И если в таких слу-
чаях говорят о до-
полнении какого-то
множества, не ука-
зывая, до чего же
именно оно допол-
няется, следует по-
нимать, что допол-
няется оно до уни-
версального множе-
ства. /
Разумеется, в каж-
дом конкретном рас-
суждении универ-
сальное множество
— свое.
Когда, например,
мы говорим о какой-
либо линии или фи-
гуре на плоскости
как о множестве то-
чек, в роли универ-
сального выступает
множество всех то-
чек плоскости.
Д\В
Д\В читается: разность множества Л
и множества В
ft'
f\ читается: дополнение множества Л до
универсального множества или просто:
дополнение множества Л
Руководитель школьного хора составляет расписание
репетиций.
«Так... Четвертые классы... Их три: А, Б, В. Из чет-
вертого А восемь человек. Не густо, но зато два солиста.
Четвертый Б. О, эти все певуны — всем классом записа-
лись. Четвертый В. Ни одного человека! Чем они там за-
нимаются? Ах да, все они в кукольном театре, только из
них он и состоит».
Руководителю хора еще предстоит согласовывать и
увязывать сроки спевок и репетиций, а для наших целей
21
АПХ*0 Б^Х К^В В=К ВПХ=0
наговоренного им вполне до-
статочно. Он описал все воз-
можные отношения, какие
могут существовать между
двумя множествами.
На помещенном здесь ри-
сунке прямоугольник симво-
лически обозначает множе-
ство всех учеников школы.
Это универсальное множе-
ство нашего рассуждения. Заштрихованный овал в цен-
тре, помеченный буквой X, — это множество учеников,
поющих в хоре. Ну, а теперь .схематически изобразим
здесь же четвертые классы. Будем отмечать соответст-
вующие овалы теми же буквами, которыми эти классы
обозначены в школьном расписании, — А, Б, В. (Кста-
ти, и во вполне строгих математических рассуждени-
ях множества тоже обозначаются прописными буквами,
правда, латинскими. Универсальное же множество обыч-
но обозначают буквой U.)
Итак, четвертый А. Восемь его учеников поют в хоре.
У множеств А и X есть общие элементы, эти множества
пересекаются, что и показано на рисунке.
Четвертый Б. Это множество тоже пересекается с мно-
жеством X. Но ситуация здесь иная, нежели с пересече-
нием множеств А и X. Там множество А содержало эле-
менты, не входящие в X (всего лишь восемь учеников —
хористы). Там можно было говорить только о пересече-
нии. А здесь наблюдается нечто большее: каждый эле-
мент множества Б есть элемент множества X. Иными сло-
вами, множество Б включено в множество X.
Это включение — строгое: ведь в хоре поют не только
ученики четвертого Б.
Четвертый В. Хористов тут нет. Множество В и X не-
пересекающиеся. (Говорят еще так: их пересечение пу-
сто.) А еще известно, что множество В и множество К
(кукольный театр) состоят из одних и тех же элементов.
Иначе говоря, множества В и К равны.
Вот мы и перебрали все отношения, какие могут су-
ществовать между двумя множествами. Два множества
могут не пересекаться (как множества В и X из нашего
примера), а могут и пересекаться (как А и X, Б и X, В и
К). В последнем случае возможны три варианта. Множе-
ства могут быть равны (как В и К). Могут строго вклю-
22
чаться одно в другое (как Б включается в X; о вклю-
чении можно говорить и в случае двух равных множеств:
любое из них включено в другое, но тут уж речь идет
о нестрогом включении). Наконец, два множества могут
пересекаться так, что каждое имеет элементы, не принад-
лежащие другому (как А и X). Тогда говорят, что два
множества находятся в общем положении.
•
Круги и овалы, которые мы начали рисовать, экспе-
риментируя с биноклем, сослужили нам неплохую служ-
бу. С их помощью потом оказалось возможным проил-
люстрировать все отношения между множествами и опе-
рации над ними.
Подобные незамысловатые картинки называют диа-
граммами Венца, хотя еще раньше их применял извест-
ный математик Эйлер в своих знаменитых «Письмах к
немецкой принцессе».
Мы еще раз убедимся в пользе этих диаграмм, знако-
мясь с закономерностями, которым подчиняются опера-
ции над множествами.
Вот два примера — и совсем не рядовых: они носят
громкое название законов де Моргана (по имени иссле-
довавшего их шотландского математика).
Первый: дополнение объединения двух множеств рав-
но пересечению дополнений этих множеств.
Второй: дополнение пересечения двух множеств равно
объединению дополнений этих множеств.
Звучит сложновато, как трудно произносимая скоро-
говорка — в переменчивых сочетаниях повторяющихся
терминов путается язык.
А теперь — то же самое на диаграммах Венна. Двумя
перекрывающимися кругами обозначим на них два пере-
секающихся множества. Внешность каждого круга пред-
ставит собой дополнение соответствующего множества
до универсального, обозначенного традиционным прямо-
угольником (см. стр. 24).
Верхняя картинка: внешность этой лежащей на боку
восьмерки из двух кругов можно было бы получить, об-
разуя пересечение внешностей того и другого круга. Это
первый закон де Моргана в наглядном представлении.
Нижняя картинка: внешность луночки, по которой пе-
рекрываются круги, можно представить как результат
23
ZIU6 = ZJ П 6
объединения внеш*
ностей того и друго-
го круга. Таков в на-
глядном представле-
нии второй закон де
Моргана.
Читатель, подроб-
но разбиравший на-
рисованные на пре-
дыдущих страницах
диаграммы Венна,
конечно, обратил
внимание на строчки
символов, которыми
сопровождался каж-
дый рисунок.
Большие латин-
ские буквы повторя-
ют в этих строчках
обозначения мно-
жеств, изображен-
ных на картинках, а
значки, соединяю-
щие буквы, обозна-
чают операции над
OS = /I US
множествами, проиллюстрированные картинками.
Эти цепочки символов навевают воспоминания о фор-
мулах школьной алгебры, где маленькие латинские бук-
вы, обозначавшие вещественные числа, соединялись зна-
ками арифметических операций.
Такая аналогия совершенно справедлива.
Ведь что собой представляют законы алгебры? Вы-
сказывания типа: от перемены мест слагаемых сумма не
меняется (переместительный закон); умножить сумму на
число — это все равно, что умножить на число каждое
слагаемое в отдельности и результаты сложить (распре-
делительный закон умножения относительно сложения).
а + в = в +а
а(в+с) = ав+ас
24
Здесь нет никаких оговорок относительно чисел, к ко-»
торым можно применять эти высказывания. Следователь-*
но, выражаемые ими равенства выполняются всегда, ка-
кие конкретные числа в них ни подставишь. (Заметим,
что равенство двух алгебраических выражений, выпол-
няющееся при подстановке в него любых элементов не-
которого числового множества, называется тождеством,
определенным на этом множестве.)
Освоив свод таких законов, можно с успехом зани-
маться тем, что называется алгебраическими преобразо-
ваниями: упрощать громоздкие выражения, придавать
им вид, удобный для тех или иных вычислений, и т. д.
Подобный свод законов — алгебра множеств — суще-
ствует и для операций, при помощи которых из одних
множеств образуются другие — для объединения, пересе-
чения, дополнения.
В чем-то/оба этих свода законов, эти две алгебры
(чисел и множеств) похожи. Иными словами, все эти
формулы носят характер тождеств. Подобно формулам
школьной алгебры они используются для того, чтобы
преобразовывать выражения, содержащие символические
обозначения множеств,— упрощать их, придавать им оп-
ределенный вид и т. д. (табл. I).
Таблица 1
Коммута- тивность объединения Коммута- тивность пе- ресечения Ассоциатив- ность объе- динения Ассоциатив- ность пере- сечения Дистрибу- тивность пе- ресечения отн. объеди- нения Дистрибу- тивность объединения отн. пересе- чения AUB=BUA АПВ=ВПА AU(BUC)=(AUB)UC АП(ВЛС) = (АЛВ)ЛС АП (BUC) = (АЛ В) U (АЛО) AU(BCC) = (AUB)n(AUC) a+b=b+a а • b — b • а а+ (Ь + с) « = (а + 6) +с а (Ь • с) = = (а • Ь) с а (Ь+с) = = а • b + b • с Коммутатив- ность сложе- ния * Коммута- тивность умножения Ассоциатив- ность сложения Ассоциатив- ность умножения Дистрибу- тивность умножения отн. сложе- ния
25
Свойства
пустого
множества
Свойства
универсальн.
множества
Законы
де Мор-
гана
Аи(АЛВ)=А
ah(aubj =А
AUA=A
АПА=А
AU0=A
АП0 = 0
АПи=Д
AUU=U
АПВ = ДЦВ
AUB = AOB
AUA = U
АЛА = 0
а+0=а
в-0=0
Свойства
нуля
0=U
* Вместо «коммутативность» иногда говорят «переместительный
закон», или «переместительное свойство», вместо «ассоциативность» —
«сочетательный закон», «сочетательное свойство», вместо «дистрибу-
тивность» — «распределительный закон», «распределительное свой-
ство».
Наиболее употребительные формулы алгебры мно-
жеств приведены на соседней странице. В колонке при-
мечаний указано, каким формулам алгебры чисел они
аналогичны. Заметьте: для некоторых формул алгебры
множеств нет аналогов в алгебре чисел.
Взгляните на левый рисунок на следующей странице.
Такая позиция сложилась на 26-м ходу в 21-й партии
титанического матча между Капабланкой и Алехиным,
состоявшегося осенью 1927 года.
Далее последовало:
26. ...
27. Лс1 —el
27. а4 : Ь5
29. h2 — ЙЗ
30. Ле1 — Ы
31. Kf3 — d4
32. Л&1 — dl
Белые сдались.
Q6 — Ь2\
Лс8 — d8
аб : &5
еб — е5
е5 — е4
СЬ2 : d4
Кс4 : еЗ!
26
aecdefgh a bed e, fgh
Мы надеемся, что любитель шахмат получил некото-
рое удовольствие, разбирая фрагмент знаменитой партии.
Но, право, мы были бы бестактны, если бы привели при-
мер, понятный лишь шахматистам. Есть в нем нечто, что
имеет непосредственное отношение к теме нашего разго-
вора о теории множеств.
Присмотритесь к записи, не вникая в ее смысл. Всюду
в ней встречаются характерные пары, образованные из
строчной латинской буквы и натурального числа: /6,
62, cl...
На прописные латинские буквы обращать внимания
не будем — это сокращенные обозначения фигур. Чтобы
они не составили нам помехи, уберем фигуры с доски.
Что останется на ней тогда? Только лишь разметоч-
ные знаки.
Внизу — горизонтальный ряд букв, от а до h. Сле-
ва — вертикальный столбик чисел, от 1 до 8.
Каждая буквенно-числовая пара, о которых говори-
лось выше, образуется так: сначала берется элемент из
первого, буквенного множества и за ним ставится эле-
мент, выбранный из второго, числового множества.
Кстати, само слово «пара» — термин теории мно-
жеств. Так называются два элемента, расположенных в
определенном порядке (поэтому часто говорят не «пара»,
а «упорядоченная пара»).
Не довольствуясь несколькими вышеприведенными
примерами, образуем все возможные пары описанного
вида. Их множество мы назовем декартовым произведе-
нием двух исходных множеств — буквенного и числового.
(Читатель, вероятно, уже заметил про себя, что но-
вообразованное множество насчитывает 64 элемента,
27
ровно по числу клеток шахматной доски — ведь каждой
клетке соответствует своя пара, и наоборот, каждая
пара кодирует свою клетку.)
Понятие, с которым мы только что познакомились,
настолько важно, что мы приведем особо его строгое оп-
ределение: декартовым (или прямым) произведением од-
ного множества на другое называется множество всевоз-
можных пар, первые элементы которых принадлежат
одному множеству, а вторые — другому.
Теперь давайте разберем еще одну партию.
1. 2е —4е 1е — бе
2. 2d — 4d 7d — 5d
3. 4е — 5е 7с — 5с
4. 4d : 5с К8& — 6с
Читатель, даже не очень сведущий в шахматах, веро-
ятно, сразу заметил: здесь что-то не так. Действительно,
мы сделали некоторую перестановку: в наших буквенно-
числовых парах (2е, 4d, 7с) на сей раз сначала идут
цифры, а потом уже буквы. А ведь в данном выше опре-
делении пары подчеркивалось, что порядок элементов в
ней существен. И потому мы не можем назвать равными,
скажем, две такие пары: е2 и 2е. Стало быть, множество
буквенно-числовых пар, о которых говорилось в преды-
дущем разделе (/6, с2, cl, d4 и т. п.), не равно множеству
пар, появившихся в нашем рассказе сейчас (2с, 6f, 4d,
кит. п.) —ведь эти множества состоят не из одних и
тех же элементов.
Вывод? Он очевиден: произведение двух различных
множеств меняется от перемены мест сомножителей — в
противоположность произведению чисел, для которого
справедлив переместительный закон. Для множеств та-
кого закона нет.
Перестановка сомножителей ничего не изменит лишь
в том случае, когда перемножаемые множества равны.
Впрочем, и здесь все не так просто.
Возьмем только что применявшееся нами множество
целых чисел от 1 до 8. Умножим его на себя. В произве-
дении получится множество всевозможных пар вида:
(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,4)...
Не кажется ли вам повторением наличие в этой строч-
ке пар (1,2) и (2,1)?
28
Мы сочтем свой рассказ не напрасным, если вы отве-
тите: нет, эти пары не равны, хотя и образованы одинако-
выми элементами, потому что расположены эти элемен-
ты в разном порядке.
Совокупность упорядоченных пар, на первом месте в
которых стоит элемент одного множества, а на втором —
элемент другого, мы назвали декартовым произведением
первого множества на второе.
Можно говорить не только о парах, но и, скажем,
о тройках — разумеется, тоже упорядоченных. Например,
все обеды из трех блюд — это тройки, первый элемент
которых принадлежит множеству первых блюд, второй —
множеству вторых, третий — множеству третьих. (Упо-
рядоченность таких троек подчеркивается названиями
блюд: первое, второе, третье.) Такие обеды, составлен-
ные во всевозможных сочетаниях по естественному по-
рядку блюд, очевидно, образуют декартово произведение
трех множеств, где первый сомножитель — это множе-
ство первых блюд, второй и третий — множества вторых
и третьих блюд соответственно.
Три блюда, конечно, не предел для тренированного
едока. Помните те обеды, которыми турецкий султан уго-
щал достославного барона Мюнгаузена? Согласно уве-
рениям барона, о честности которого ходят легенды, чис-
ло блюд в этих обедах было умопомрачительно большим,
так что для математического описания тех знаменитых
трапез потребовалось бы понятие упорядоченной п-ки.
(Читатель, вероятно, знает, что в математике буква п
применяется для обозначения натуральных чисел и преи-
мущественно в тех случаях, когда под нею можно подра-
зумевать произвольное натуральное число.)
Таким понятием располагает теория множеств. Упо-
рядоченной n-кой называется набор из п элементов, где
на первом месте стоит элемент первого множества, на
втором — второго и так далее — до n-ного. Все возмож-
ные такие п-ки образуют декартово произведение тех п
множеств, из которых берутся элементы для образования
упорядоченных п-ок.
Сомножители в произведениях множеств могут быть
и одинаковыми. Попробуйте-ка представить, например,
что получится, если множество букв русского алфавита
29
трижды умножить на себя. Очевидно, в результате по-
лучится множество упорядоченных троек букв — иными
словами, множество всех ‘трехбуквенных слов русского
языка, осмысленных и не имеющих смысла: бал, лоб, мул,
дыр, бул, щыл...
Заметим, что упорядоченные n-ки из элементов не-
которого множества называют еще n-мерными вектора-
ми, определенными на этом множестве. (Наряду с терми-
ном «вектор» иногда в таких случаях употребляется рав-
нозначный ему термин «кортеж».)
Элементы, составляющие ту или иную n-ку, называ-
ются ее компонентами, или координатами, и различаются
по порядку: первая компонента, вторая и так далее.
ОТОБРАЖЕНИЯ
Без знания языка в чужой стране трудно.
Представьте: в каком-то чужедальнем аэропорту вы
спустились с трапа самолета, прошли таможенный до-
смотр и решили, скажем, известить домашних о благопо-
лучном прибытии. Надо бы спросить у кого-то, где здесь
можно телеграммку отбить, а вы по-ихнему, как говорит-
ся, ни бум-бум. Как быть?
Вот для таких безъязыких и придуманы средства ви-
зуальной информации: красный крест — медпункт, нож-
ницы и расческа — парикмахерская, чемодан — камера
хранения, конверт — о! это как раз то, что вам нужно,—
почта.
Основное достоинство этих легко узнаваемых карти-
нок в том, что каждая строго соответствует определенно-
му виду услуг.
Итак, с одной стороны — множество разновидностей
сервиса, с другой—множество транспарантов. Соответ-
ствие между элементами этих двух множеств помогает
ориентироваться в незнакомой обстановке.
Вот еще один пример соответствия. «Если плотву ло-
вить собираешься — бери мотыля, а на язя бери кузне-
чика. Для окуня выползок хорош или ручейник; кстати,
на ручейника и плотва неплохо идет. Ну, а для леща ни-
чего лучше пшенной каши не придумаешь. Стерлядь, го-
воришь? Нет, она на все наши наживки — нуль внимания,
ее только неводом и возьмешь. С щукой — та же история:
ее либо неводом брать надо, либо блеснить». Так по-
учает опытный рыбак начинающего, объясняя отточен-
ное многолетним опытом соответствие между множест-
вом рыб и множеством наживок, для этих рыб рекомен-
дуемых.
В холле гостиницы за спиной портье рядами висят
ключи. Каждый из них открывает дверь того номера, ко-
торому он соответствует.
31
Медпункт
Почта
К а мера
/ранения
Идет экзамен, и каждому экза-
менующемуся ставится соответст-
вующая оценка — элемент множест-
ва {двойка, тройка, четверка, пя-
терка}.
Заселяется новый дом. Опять со-
ответствие: между жильцами и но-
мерами квартир.
Если в каждой из описанных си-
туаций отвлечься от конкретных де-
талей, то сухой остаток будет таков:
есть некоторое множество А, и
каждому его элементу ставится в
соответствие определенный элемент
некоторого множества В: трафаре-
гу — услуга, гостиничному номе-
ру— ключ, сдающему экзамен —
оценка, жильцу—номер квартиры.
Причем с каждым элементом перво-
го множества сопоставляется в точности один элемент
второго.
Всякое такое соответствие в теории множеств назы-
вается отображением множества А в множество В или
функцией с областью определения А, принимающей зна-
чения из В.
В каждой паре из элемента множества А и соответ-
ствующего ему в данном отображении элемента множе-
ства В первый называется прообразом (или значением
аргумента), второй — образом (или значением функции).
Все элементы множества В, выступающие в данном
отображении в роли образов, в совокупности называются
образом множества А в этом отображении. (Ясно, что
при этом образ множества А включен в множество В, чи-
татель легко докажет это.)
— Алло! Это справочная вокзала? Скажите, сколько
стоит билет до Амвросиевки?
— Докуда? До Аросевки?
— До Амвросиевки!
— До Абросимовки? Вас очень плохо слышно. Пожа-
луйста, по буквам.
— Анна, Михаил, Владимир, Родион, Ольга...
32
Итак, еще одно отобра-
жение. Множество букв рус-
ского алфавита отображает-
ся в множество русских
имен. И прежде невнятное
сообщение становится отчет-
ливым и понятным.
Отображения и в науке
часто применяются благода-
ря именно этому своему до-
стоинству: они позволяют
заменить предмет исследования некоторым его образом,
по которому изучать предмет становится проще.
Возьмите схему любого прибора — хотя бы того же
телефона. Не правда ли, гораздо удобнее изучать не ре-
альный прибор, а его схему, где каждой детали постав-
лен в соответствие определенный значок?
Впрочем, понятие отображения важно не только этим.
Возьмите любую деталь какого-либо прибора и заду-
майтесь над принципом ее действия. Как, например, ра-
ботает катушка индуктивности, заметная на схеме теле-
фона? По закону самоиндукции: если текущий по ней ток
непостоянен, то в ней возникает электродвижущая сила,
пропорциональная скорости изменения тока.
Опять отображение! Каждому значению скорости из-
менения тока ставится в соответствие значение электро-
движущей силы.
Возьмите другие законы естествознания, владение ко-
торыми дало человеку столь уверенную власть над
природой. Очень многие из них носят характер отображе-
ния, функции. Каждому значению силы, действующей на
тело, ставится в соответствие значение ускорения, при-
обретаемого телом (второй закон Ньютона). Каждому
значению давления в газе при постоянной температуре
ставится в соответствие значение плотности газа (закон
Бойля—Мариотта). Каждому значению расстояния меж-
ду двумя электрическими зарядами ставится в соответ-
ствие значение силы взаимодействия зарядов (закон Ку-
лона) и так далее.
Мы надеемся, что после сказанного читателю стала
ясна важность этого понятия — отображение, функция.
2. Ю. В. Пухначев, Ю. П. Попов
33
Если читатель проглядит еще раз примеры, через ко*
торые мы подводили его к понятию отображения, то он,
конечно, заметит что-то неладное в примере с рыбаком.
Во-первых: для некоторых рыб рекомендуется сразу
несколько наживок (окуню ставится в соответствие вы-
ползок и ручейник, плотве — ручейник и мотыль). А оп-
ределение отображения требует, чтобы каждому элемен-
ту множества прообразов соответствовал точно один
образ.
Во-вторых: некоторым рыбам (стерлядь, щука) не со-
ответствует никакая наживка. А определение отображе-
ния требует, чтобы образ был у каждого элемента мно-
жества прообразов.
Стало быть, сопоставление наживок с рыбами, изло-
женное устами старого рыбака,— не отображение.
Призванный к бдительности примером с рыбаком,
читатель, вероятно, повнимательнее приглядится к дру-
гим примерахМ и остановит критический взор на описании
экзамена, трактуемого как отображение множества экза-
менующихся в множество оценок (двойка, тройка,
четверка, пятерка). В этом числовом множестве —
всего четыре элемента. И если экзаменующихся боль-
ше, то просто невозможно, чтобы у всех были различные
оценки.
Допустимо ли, может спросить читатель, чтобы при
каком-то отображении нескольким прообразам соответ-
ствовал один и тот же образ?
Да, допустимо, поскольку в определении отображе-
ния нет никаких оговорок на этот счет.
А как смотреть на то, возможно, не оставит своих
сомнений читатель, если на экзамене никто не получит
пятерку? Или на такой счастливый случай, когда никто
не получил двойку? Допустимо ли, чтобы при каком-то
отображении какой-то элемент множества, из которого
берутся образы, не был сопоставлен ни с одним элемен-
том из множества прообразов?
Да, допустимо, следует ответить и на сей раз, потому
что и на это мы не накладывали никаких запретов, когда
определяли отображение множества А в множество В.
Выделенный нами предлог в словно подчеркивает, что
некоторые элементы множества В вправе уклониться от
участия в отображении.
34
Если же роль об-
раза падает на каж-
дый элемент этого
множества, то про
такой поголовный
охват говорят, что
множество А ото-
бражается на мно-
жество В.
Знаете ли вы, откуда в нашей речи взялось присловье
«жив курилка»? Оно пошло от старинной народной игры.
Ее участники становятся в круг, а- по нему пускается
зажженная лучинка. Каждый играющий передает ее со-
седу со словами: «Жив, жив курилка!» У кого в руках
лучинка погаснет, тот должен исполнить какое-то жела-
ние играющих.
Передача лучинки от одного участника игры к соседу
ставит в соответствие каждому элементу множества иг-
рающих элемент, принадлежащий тому же множеству.
Про такое соответствие говорят, что оно отображает
множество в себя.
В каждом из наших прежних примеров, иллюстриро-
вавших понятие отображения, прообразы и образы при-
надлежали различным множествам. Однако определение
отображения на таком различии вовсе не настаивает.
Стало быть, допустимы случаи, аналогичные игре с лу-
чинкой,— отображения множеств в себя.
Нетрудно придумать и чисто математический пример
подобного отображения. Пусть каждому вещественному
числу х ставится в соответствие его квадрат: х2. И про-
образы и образы принадлежат здесь одному и тому же
множеству вещественных чисел. Оно отображается в себя
описанным соответствием.
Вот еще один математический пример такого рода,
на сей раз не алгебраического, а геометрического толка.
Каждой точке плоскости ставится в соответствие другая
точка той же плоскости, причем так, что направленные
отрезки, проводимые из какой-либо точки-прообраза в
соответствующую ей точку-образ, одинаковы по длине и
направлению. Описанным соответствием множество всех
точек плоскости отображается в себя.
35
Наши последние приме-
—х ры — с числами, с точками
Al ( I плоскости — вновь отлича-
/'--------7-—4—ются особенностью, которой
^2 If*/ /не было у прежних приме-
/ JI I I ров. До сих пор участника-
/ x-х PGP4 I ми каждого отображения
/ ч I / были конечные множества.
Bi I 4 7 ' Но ведь этого вовсе не тре-
т J 3(5 бует определение отображе-
* ния. В нем вообще нет ни-
каких ограничений на при-
роду множеств, которые могут участвовать в отображе-
ниях. Стало быть, эти множества могут быть и беско-
нечными.
Разберем еще один пример такого сорта. Это отобра-
жение замечательно тем, что в нем математика черпает
львиную долю средств для наглядного изображения сво-
их понятий.
Начертим прямую, одну из ее точек отметим числом
О, другую, лежащую правее,— числом I. Отрезок между
этими точками назовем единичным, а всю прямую — чис-
ловой осью. Будем теперь последовательно откладывать
на ней единичный отрезок вправо от точки I и обозначать
получающиеся засечки числами 2, 3, 4 и так далее. От-
кладывая единичный отрезок влево от точки 0, будем от-
мечать новые последовательные засечки числами —I, —2,
—3 и так далее. На числовой оси можно изображать и
нецелые числа. Например, число */г представится на ней
серединой отрезка между точками 0 и I, а чтобы изобра-
зить на числовой оси, скажем, число 2,7, нужно отло-
жить семь раз вправо от точки 2 десятую долю единич-
ного отрезка. Подобным образом на числовой оси отме-
чается любое вещественное число — иными словами, так
строится отображение множества вещественных чисел на
множество точек числовой оси.
А теперь скрестим на плоскости две числовые оси.
Возьмем какую-нибудь пару чисел, например (2,4). Пер-
вое число пары отложим на горизонтальной оси, второе —
1
2 2,7
--Н-----1---1---1--1-1---1--М-----1---
-3-2-101234
36
на вертикальной. Через полученные засечки проведем
прямые, параллельные осям. Их пересечение обозначит
некоторую точку плоскости. Так, каждой паре веществен-
ных чисел можно поставить в соответствие определенную
точку.
Сведущий читатель, конечно, распознал в этом по-
строении идею декартовых координат. Рассказ о ней нам
остается лишь дополнить терминологическими пояснения-
ми: скрещенные числовые оси называются осями коор-
динат, обозначаются они латинскими буквами х (гори-
зонтальная) и у (вертикальная), точка их пересечения
называется началом координат, а пара чисел, определяю-
щая положение той или иной TO4ipi, называется коорди-
натами этой точки: первое число, откладываемое по гори-
зонтальной оси,— абсциссой, второе, откладываемое по
вертикальной,— ординатой.
Ради примера на рисунке рядом в декартовой системе
координат отмечены точки плоскости, соответствующие
парам (1; 1), (—2; 4), (3; 9); (0,5; 0,25), (—1,5; 2,25).
Поскольку декартова система координат на плоскости
задается пересечением лишь двух числовых осей и поло-
жение точки в ней отмечается лишь двумя числами, ее
называют двумерной. Помещенный здесь же рисунок
трехмерной системы координат позволяет понять, как
множество всевозможных троек вещественных чисел
37
отображается на множество точек пространства. Необ-
ходимая для этого дополнительная ось отмечается бук-
вой z, а откладываемая по ней координата точки про-
странства называется аппликатой.
Отображение и функция.
В своих рассуждениях мы употребляли эти слова впе-
ремежку, и читатель мог посчитать их синонимами.
Это не совсем так. Чтобы показать тонкую разницу
между ними, обратимся к нашим испытанным примерам
отображений.
Пример с гостиницей. Каждому номеру ставится в со-
ответствие ключ. В роли прообразов здесь выступают
числа (номера). Всякое такое отображение называется
функцией числового аргумента.
Примеры с экзаменом и с новосельем. Здесь числа
выступают в роли образов (каждому экзаменующемуся
ставится в соответствие оценка, каждому новоселу —
номер его квартиры). Всякое такое отображение назы-
вается числовой функцией.
А теперь представьте, что в новом доме, куда недавно
вселились жильцы, устанавливают телефоны. Номеру
каждой квартиры ставится в соответствие номер телефо-
на. Как назвать такое отображение? Числовая функция
числового аргумента — не правда ли?
Наш недавний пример, где каждому вещественному
числу ставился в соответствие его квадрат, — тоже чис-
ловая функция числового аргумента.
На подобные примеры, когда и образы и прообразы —
числа, стоит обратить особое внимание. Именно в таких
случаях обычно говорят не «отображение», а «функция»,
не «прообраз», а «значение аргумента», не «образ»,
а «значение функции», не «множество прообразов»,
а «область определения функции» (ее составляют веще-
ственные числа, как правило, из некоторого ограничен-
ного или неограниченного промежутка). Часто в таких
случаях употребляют термин «область значений функ-
ции» — это тот самый образ множества прообразов, о ко-
тором говорилось в конце раздела, где определялось по-
нятие отображения.
Свои особенные наименования есть у многих отобра-
жений специального вида.
38
Отображения, сопоставляющие числовые функции
числового аргумента друг с другом, именуются операто-
рами, функции с числами — функционалами. Отображая
какое-либо пространство на себя, говорят о преобразо-
вании этого пространства. (Скажем, когда недавно каж-
дой точке плоскости мы ставили в соответствие другую
точку, отнесенную от первой на отрезок определенной
длины и направления, это было так называемое преобра-
зование параллельного переноса.)
Взгляните на такое выражение: 1+3 = 4. Примером
чего оно служит? Математик сказал бы, что оно иллюст-
рирует операцию сложения. А про выражение 2-5=10
он сказал бы, что здесь произведена операция умноже-
ния.
Но ведь про первый пример можно сказать и так:
двум числам, 1 и 3, поставлено в соответствие число 4,
называемое их суммой. А про второй так: двум числам»
2 и 5, поставлено в соответствие число 10, называемое их
произведением.
И там и тут парам чисел ставятся в соответствие чис-
ла. Стало быть, мы опять имеем дело с отображением
(или, как можно еще сказать, с числовой функцией двух
числовых переменных).
Можно вообразить наиболее общий случай такого
рода, когда упорядоченным парам, составленным из эле-
ментов некоторых двух множеств, ставится в соответст-
вие элемент третьего множества. Всякое такое отображе-
ние в математике принято именовать бинарной, или двух-
местной, операцией («бис» по-латыни «дважды»), опре-
деленной на произведении первого множества на второе
(напомним, что совокупность упорядоченных пар из
элементов двух множеств называется произведением этих
множеств) со значениями из третьего множества.
Значит, и сложение и умножение чисел — это дейст-
вительно отображения, но того специфического вида, ко-
торые именуются бинарными операциями. Определены
обе эти операции на произведении множества веществен-
ных чисел на себя, и значения принимают из того же
множества.
Можно говорить вообще об л-местных операциях,
когда л-кам элементов ставятся в соответствие элементы
еще какого-то множества. (Правда, в таких случаях
обычно говорят о функциях л переменных.) «Обыкновен-
ные» отображения, когда с элементами одного множества
39
сопоставляются элементы другого (или того же самого),
тоже иногда трактуются как операции — их называют
унарными, или одноместными («унус» по-латыни «один»).
Когда, например, положительным числам ставятся в со-
ответствие их квадратные корни, говорят об операции
извлечения квадратного корня.
Как все-таки многолико это понятие — отображение!
Как широко оно применяется! Недаром во многих курсах
математики о нем говорится как об одном из основных
понятий этой науки — не менее фундаментальном, чем
понятие множества.
Когда мы знакомились с пересечением и объедине-
нием множеств, с включением одного множества в другое,
на память о каждой операции над множествами или от-
ношении между ними нам оставалась выразительная
символическая картинка — диаграмма Венна.
Вероятно, читателю хочется получить подобный су-
венир, который давал бы наглядное представление о по-
нятии отображения.
Характерная картинка, приводимая для этой цели во
многих учебных пособиях по теории множеств, воспроиз-
ведена на странице 41. Овалы — это множества, точ-
ки — их элементы, стрелки — соответствия. Из каждой
точки левого овала, символизирующего множество про-
образов, исходит одна и только одна стрелка. В некото-
рые точки правого овала (он изображает множество,
элементы которого в данном отображении играют роль
образов) упирается несколько стрелок, в некоторые —
ни одной. Все вполне соответствует определению отобра-
жения. Но выразительные возможности таких картинок
явно не настолько широки, чтобы показать существенные
черты того или иного конкретного отображения.
Более богатые изобразительные средства стоят за
термином «график отображения», который встречается в
работах по теории множеств. Поинтересуемся, что он оз-
начает. Оказывается, так именуется множество пар, по-
строенных из элементов двух множеств, участвующих в
отображении, причем первые элементы всех таких пар
в совокупности представляют собой все множество про-
образов, а второй элемент каждой пары является обра-
зом первого в данном отображении.
40
Скажем, если рассматри- —*—Х~Х
вать экзамен как отображе- /°
ние, то его графиком будет I. .
экзаменационная ведомость, I I И N
полный перечень пар «фами- I /
лия — оценка».
Опять не очень живопис-
но. И не очень понятно: почему это называется графи-
ком? Это слово обычно ассоциируется с кривой, вычер-
ченной в координатных осях.
Дело в том, что такие кривые тоже представляют
собой графики отображений, но весьма частного вида.
Это графики числовых функций числового аргумента.
Ведь в таких отображениях каждая пара «прообраз —
образ» — это пара чисел. (Напомним, что в подобных
случаях принято говорить не «прообраз», а «значение
аргумента», не «образ», а «значение функции».)
Всякую пару чисел можно изобразить точкой на коор-
динатной плоскости. Перебрав все значения аргумента из
области определения функции, придав каждому соответ-
ствующее значение функции и изобразив каждую такую
пару точкой плоскости, мы и получим график функции.
Когда, знакомясь с декартовой системой координат,
мы отметили на координатной плоскости несколько точек,
соответствующих приведенным в тексте числовым парам,
внимательный читатель наверняка подметил характерное
свойство этих пар: второй элемент каждой из них есть
квадрат первого. Иными словами, эта россыпь точек —
не что иное, как фрагмент графика отображения, которое
41
каждому вещественному числу ставит в соответствие его
квадрат.
Изобразим на координатной плоскости все пары тако^
го рода. Они сольются в привычную параболу.
Рядом — график другого отображения, которое каж-
дому вещественному числу х ставит в соответствие число
х2Ч-х4-1. Глядя на формулу, не так-то легко ответить на
вопрос, какова область значений этой функции, созда-
ваемый ею образ множества всех вещественных чисел.
Но когда перед нами ее график, ответ почти очевиден:
это множество тех вещественных чисел, которые больше
или равны 3/4.
Как видим, графикам числовых функций числового
аргумента присуща та наглядность, которая помогает
быстро и несложно исследовать свойства этих функций.
«Занимайте места согласно купленным билетам» —
это неписанное правило коротко и ясно определяет ото-
бражение множества зрителей на множество кресел. Зри-
тели — прообразы, кресла — образы.
Быть может, этот пример вызывает у вас неприятные
воспоминания. Вероятно, с вами случались такие казусы,
когда, придя в кинотеатр, вы обнаруживали, что ваше
место уже занято: растяпа-кассир продал на него два
билета. Вам ничего не остается, как искать свободное
кресло, билет на которое остался непроданным.
Какие же требования следует наложить на отображе-
ние, чтобы исключить подобные вещи — и накладки, и
пропуски? Этих требований два, и они совершенно оче-
видны.
Во-первых, разным прообразам должны соответство-
вать разные образы (тогда не будет накладок: каждый
зритель получит свое кресло).
Во-вторых, каждый элемент множества, которому
принадлежат образы, должен иметь прообраз (тогда не
будет пропусков: каждое кресло получит своего зрителя).
Всякое такое отображение называется взаимно одно-
значным соответствием.
Смысл этого термина станет совершенно понятным,
если два требования, которым должно удовлетворять лю-
бое отображение без накладок и пропусков, мы попыта-
емся сформулировать одной фразой. Тогда определяю-
42
щее свойство такого
отображения выра-
зится так: каждый
элемент множества,
которому принадле-
жат образы, имеет
прообраз и притом
только один.
«Постойте! — вероятно, уже напрягает память чита-
тель.— Где-то раньше мне уже встречалась очень похо-
жая фраза!»
Спешим с подсказкой — давая определение понятию
отображения, мы подчеркивали: каждый элемент множе-
ства прообразов имеет образ, и притом только один.
(Если не выполнено хотя бы одно из этих двух условий,
соответствие не получит звание отображения — вспомни-
те пример с рыбаком!)
Сравним теперь две фразы, обращающие на себя вни-
мание своим сходством:
каждый элемент множества, которому принадлежат
образы, имеет прообраз, и притом только один;
каждый элемент множества прообразов имеет образ,
и притом только один.
Эти фразы взаимозаменяемы, не правда ли? Стоит
лишь поменять местами слова «прообраз» и «образ». От-
сюда и термин «взаимно однозначное соответствие».
Такое переименование можно произвести с любой па-
рой «прообраз — образ». И тогда множество образов
взаимно отобразится на множество прообразов.
В нашем кинопримере для этого достаточно каждому
креслу поставить в соответствие сидящего в нем зрителя.
Это отображение называется обратным по отношению к
тому, которое каждому зрителю ставило в соответствие
его кресло.
Два множества, между которыми можно установить
взаимно-однозначное соответствие, называются эквива-
лентными.
Множество месяцев в году, например, эквивалентно
множеству зодиакальных созвездий. (Оттого-то древний
астролог, составляя гороскоп для очередного клиента,
не указывал, в каком месяце тот родился, а витиевато
43
писал: «Появился на свет под таким-то знаком зоди-
ака».)
Множество цветов в спектре эквивалентно множеству
нот в гамме. (Недаром иные незатейливые проекты цве-
томузыки предполагают, что на экране вспыхивают цве-
та, соответствующие нотам мелодии.)
Если, прочтя наши примеры, вы начали подыскивать
свой собственный, а дело не клеится, не отчаивайтесь.
У вас всегда в запасе предельно простой вариант: возь-
мите любое множество и с каждым его элементом сопо-
ставьте тот же самый элемент. Такое отображение мно-
жества на себя называется тождественным.
Не смущайтесь незатейливостью этого примера.
У него есть свои достоинства. Он иллюстрирует одно из
трех свойств, которыми обладает эквивалентность мно-
жеств. Именуется это свойство рефлексивностью и заклю-
чается оно в том, что любое множество эквивалентно са-
мому себе.
А остальные свойства?
Довольно очевидно, что если мы подыскали для не-
которого множества другое, ему эквивалентное, то вто-
рое множество будет эквивалентно первому. В этом вы-
ражается второе свойство эквивалентности множеств,
именуемое симметричностью.
Доказать его просто. Ведь эквивалентность множеств
заключается в том, что между ними можно установить
некоторое взаимно однозначное соответствие. А оно, как
мы видели в предыдущем разделе, работает в обе сторо-
ны. С его помощью можно отобразить первое множество
на второе, но также можно, взяв обратное к этому ото-
бражению, отобразить второе множество на первое.
Возьмем еще раз пример, где множество месяцев в
Водолей Рыбы Овен Телец близнецы Ран
«« X Y б X S
Январь Февраль Март Апрель Май. июнь
красный оранжевый желтый зеленый голубой синий фиолетовый
А ев Дева Весы Скорпион Стрелец Козерое
июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
44
году отображается на множество знаков зодиака. А те-
перь вспомним циферблат больших часов Казанского
вокзала в Москве: знаки зодиака сопоставлены там с
цифрами, обозначающими часы дня. Опустив промежу-
точные звенья, можно сопоставить напрямую месяцы и
часы. В самом деле, если январь соответствует Водолею,
а Водолей на часовом циферблате ставится рядом с циф-
рой 1, то это означает, что январь соответствует первому
часу дня. Аналогичным образом февралю можно поста-
вить в соответствие второй час, марту — третий и так да-
лее до декабря, который окажется сопоставленным с две-
надцатым часом.
Отображение множества месяцев на множество часов
возникает при этом как результат определенной комби-
нации трех отображений, первое из которых сопоставля-
ет месяцы со знаками зодиака, второе — знаки зодиака
с цифрами от 1 до 12, третье — цифры с часами дня. Та-
кая комбинация называется произведением, или супер-
позицией, отображений.
Итак, если в цепочке множеств любые два соседа эк-
вивалентны друг другу, то эквивалентны и множества,
стоящие по краям цепочки. В этом выражается третье
свойство эквивалентности множеств, именуемое транзи-
тивностью.
У Марины Цветаевой в очерке «Мать и музыка» есть
такие строки:
«До явно белое, пустое, до — всего, ре — голубое,
ми — желтое (может быть — midi?), фа — коричневое
(может быть, фаевое выходное платье матери, а ре —
голубое — река?)».
Можно удивляться продемонстрированному здесь бо-
гатству поэтической фантазии. Можно не соглашаться
с этими цветомузыкальными соответствиями (написав-
шая процитированные строки и сама говорит далее, что
у каждого свои резоны на звуки и краски). Но бесспорно
одно: есть нечто общее между семью нотами гаммы и
семью цветами радуги. Это «нечто» роднит оба назван-
ных множества и с семью днями недели, и с семью стру-
нами гитары, и с семью чудесами света, и с семью хол-
мами, на которых стоит Рим, и с семью гномами из сказ-
ки о Белоснежке...
45
Это нечто общее выражается словом «семь». Все пе-
речисленные множества попарно эквивалентны и в каж-
дом из них — по семь элементов.
Обратите внимание: именно так в математике и воз-
никает понятие натурального числа.
Натуральное число — это общее свойство попарно
эквивалентных множеств.
Так, число «пять» — это выражение той общности,
которая связывает попарно эквивалентные множества
пяти олимпийских колец, пяти материков, пяти лучей
морской звезды, пяти пальцев на руке.
У читателя, прочитавшего предыдущий отрывок, мог-
ло создаться впечатление: чтобы установить эквивалент-
ность двух множеств, сначала надо пересчитать одно, по-
том другое и затем, сравнив их численности, убедиться,
одинаково ли количество элементов в них.
Но ведь, говоря так, мы оказываемся в порочном
кругу! В самом деле, понятие натурального числа мы
строили на основе понятия эквивалентности множеств,
а теперь пытаемся устанавливать эту эквивалентность,
основываясь на понятии натурального числа!
Порочного круга избежать можно. Эквивалентность
множеств можно устанавливать, вообще ничего не пере-
считывая.
В партии перчаток, поступивших в магазин, множе-
ство левых перчаток эквивалентно множеству правых —
утверждать это можно, не заглядывая в накладную.
«На каждый прилив — по отливу»,— сказал поэт,
провозгласив тем самым, что множество приливов экви-
валентно множеству отливов, хотя их никто не считал и
вообще не может пересчитать: приливные волны набега-
ли на берега материков, когда на них и не пахло жизнью.
И будут набегать еще века и века...
Этот образ навевает мысль о бесконечности. В нашем
рассказе об эквивалентности множеств она не представ-
ляется чужеродной. Примеры с перчатками и приливами
явно подсказывают, что можно установить эквивалент-
ность не только конечных, но и бесконечных множеств.
Но стоп! Бесконечность — вещь непростая, и прежде
чем рассуждать об эквивалентности бесконечных мно-
жеств, разберем несколько наводящих примеров.
46
«Мест нег».
Туристам и командированным, вероятно, хорошо зна-
комо это традиционное «приветствие», которым их встре-
чала не одна гостиница.
А вот немецкий математик Давид Гильберт спроек-
тировал такую гостиницу, в которой не возникает ника-
ких проблем с размещением гостей.
Администратор такой гостиницы спокоен даже тогда,
когда все номера заполнены. Даже в такой ситуации он
никогда не откажет вновь прибывшему.
— Вы желаете одноместный номер? Милости просим.
Только придется немного подождать. Сейчас мы пересе-
лим жильца из первого номера во второй, жильца из
второго — в третий, жильца из третьего — в четвертый
и так далее. И пожалуйста — номер первый к вашим ус-
лугам.
Разумеется, то, что проделал администратор гости-
ницы Гильберта, невыполнимо ни в одной реальной гос-
тинице. Будь в ней даже миллион номеров, жилец
последнего номера в результате вышеописанного пересе-
ления окажется выселенным. Такого не случится лишь в
гостинице, где за каждым номером, к какому ни подойди,
есть дверь следующего.
Очевидно, количество номеров в этой гостинице бес-
конечно. Мы произносим это слово уже вполне сознатель-
но и без всякой опаски, ибо рассказ о гостинице Гильбер-
та позволяет строго определить понятие бесконечного
множества.
Но прежде чем формулировать это определение, по-
говорим еще о достоинствах замечательной гостиницы.
Оказывается, она способна принять даже такую ту-
ристскую группу, число участников которой бесконечно.
Что в таком случае делает администратор? Например,
переселяет жильцов из первого номера во второй, из вто-
рого в четвертый, из третьего — в шестой... Короче го-
воря, у каждого жильца в ордере на поселение прежний
47
номер заменяется номером вдвое большим. Таким обра-
зом, заселяются лишь четные номера, а первый, третий,
пятый и все остальные нечетные оказываются свободны-
ми. В них и поселяют одного за другим туристов из бес-
конечно большой группы.
Обратимся к схемам переселения, которое провел ад-
министратор гостиницы Гильберта в первый и во второй
раз. Первая строка каждой таблицы показывает разме-
щение жильцов до переселения, вторая — после. Жирные
цифры обозначают занятые номера, светлые — свобод-
ные. Стрелки указывают порядок переселения. Одновре-
менно они позволяют установить взаимно однозначное
соответствие между множествами номеров, занятых до
и после переселения.
Но ведь до переселения (и первого, и второго) были
заняты все номера гостиницы, все их множество, а пос-
ле — лишь часть этого множества, лишь его истинное
подмножество (то есть включенное во множество, но не
равное ему, вспомните поговорку: «Всякая селедка рыба,
но не всякая рыба — селедка»).
Итак, оба раза мы установили взаимно однозначное
соответствие между всем множеством и его истинным
подмножеством.
Часть множества эквивалентна целому. Ну не дико-
винка ли?
Для конечных множеств — диковинка. Для бесконеч-
ных — естественное явление, фундаментальное свойство,
которое можно принять за их определение.
48
Бесконечным называется множество, из которого мож-
но выделить эквивалентное ему истинное подмножество.
Диковинный мир, в котором Гильберт построил свою
гостиницу,— это, конечно, математическая фантазия.
Сейчас мы продемонстрируем еще одно явление того
же рода — вполне реальное, но еще более удивительное.
Займемся геометрическими построениями. Начертим
на листе бумаги отрезок, а над ним параллельно ему
проведем другой, вдвое меньший по длине. Серией парал-
лельных прямых соединим точки малого отрезка с точ-
ками одной из половинок большого. Так между множе-
ствами точек малого отрезка и половины большого уста-
навливается взаимно однозначное соответствие. Иными
словами, два эти множества эквивалентны.
А теперь возьмем те же самые отрезки, но построения
сделаем несколько иные. Лучи, проведенные на этот раз,
устанавливают взаимно однозначное соответствие между
точками малого и большого отрезка. Стало быть, оба
множества точек эквивалентны.
Сопоставим два полученных нами вывода. Множество
точек половины большого отрезка эквивалентно множе-
ству точек малого, а оно, в свою очередь, эквивалентно
множеству точек всего большого отрезка. Но ведь по
свойству транзитивности, которым обладает эквивалент-
ность множеств (это свойство было объяснено тремя
разделами прежде), сказанное означает, что множество
точек половины большого отрезка эквивалентно множе-
ству точек всего отрезка в целом.
Разумеется, так оно получилось потому, что множе-
ство точек нашего (да и любого) отрезка бесконечно.
Этим примером мы еще раз продемонстрировали тео-
49
ретико-множественную истину: из бесконечного множе-
ства можно выделить эквивалентное ему истинное под-
множество.
Если читателю понравился фокус с отрезками, то мы
готовы предложить ему нечто еще более диковинное.
В чем заключается новый трюк, поясняет рисунок.
Ну не поразительно ли — оказывается, множество то-
чек отрезка эквивалентно множеству точек полупрямой!
Грубо говоря, в отрезке столько же точек, сколько их
в луче!
Числовая разметка рисунка’ показывает, что оба эти
точечные множества эквивалентны множеству всех ве-
щественных чисел между нулем и единицей включи-
тельно.
У последнего множества есть особое название, кото-
рое стоит запомнить на дальнейшее: континуум. Всякое
эквивалентное ему множество называется континуаль-
ным (а иногда и точно так же — континуум).
Тот же рисунок показывает, что множество всех по-
ложительных вещественных чисел — континуально. Не-
большим усложнением схемы нетрудно обосновать, что
таково же и множество всех вещественных чисел вообще.
Можно доказать, что континуальным является и множе-
ство всех точек квадрата, и множество всех окружностей
на плоскости...
Кстати, свое название есть и у множеств, подобных
множеству номеров в гостинице Гильберта. Отличитель-
ное их свойство в том, что их элементы можно прону-
меровать, поставить во взаимно однозначное соответствие
50
с числами натурального ряда.
Всякое такое множество назы-
вается счетным.
Нетрудно показать, что счет-
ным является, например, множест-
во всех дробей. Для этого их до-
статочно расположить в таблицу
так, чтобы числитель каждой дро-
би совпадал с номером ряда,
в котором она находится, а знаме-
натель — с номером столбца. А по-
Х___1 1
1 /2 /5
2/х 2/ 2/ 1.
7 /2 /3 5
jZ A/Z A/Z А А
1 /2 /3 ч б
4/ ц/ 4
; /г з ц 5
5/_5_jj_2L2L
1 г з 5
том остается пронумеровать все дроби по схеме, приведен-
ной на стр. 10.
Континуум (множество всех вещественных чисел
между нулем и единицей включительно) и натуральный
ряд (множество всех положительных целых чисел) в по-
добных сопоставлениях играют роль эталонов.
У дотошного читателя может возникнуть вопрос: а как
эти два эталона соотносятся между собою?
Оказывается: хотя оба множества и бесконечны, но
бесконечности эти разные. Множества эти неэквива-
лентны.
На числовой оси нетрудно показать, как из множе-
ства положительных вещественных чисел, не превосхо-
дящих единицы, можно выделить подмножество, эквива-
лентное натуральному ряду: пусть единице соответству-
ет единица, двойке — одна вторая, тройке — одна третья
и так далее.
Но перенумеровать все точки единичного отрезка не-
возможно.
Соотношение между этими бесконечными множества-
ми — натуральным рядом и континуумом — примерно
такое же, как между двумя конечными множествами, на-
пример, с пятью и десятью элементами. Из десятка всегда
можно выделить пяток, из пятка десяток — никогда.
Когда некоторому конечному множеству можно по-
ставить во взаимно однозначное соответствие часть дру-
гого конечного множества (или, выражаясь строго, истин-
ное подмножество другого конечного множества), гово-
XJL L 1 1
6 5 4 з г
I----------------------ь
о
Н
1
51
рят, что численность первого множества меньше числен-
ности второго. Скажем, если в первом пять, а во втором
десять элементов, то на языке чисел сказанное выразит-
ся так: 5< 10 (пять меньше десяти).
Когда же два конечных множества эквивалентны, то
есть между ними можно установить взаимно однозначное
соответствие, говорят, что они равночисленны. Скажем,
если в каждом по пять элементов, то факт их равночис-
ленности выражается равенством: 5 = 5 (пять равно
пяти).
В мире бесконечных множеств при подобных сравне-
ниях применяется иная терминология. Здесь не говорят
«численность», а говорят «мощность».
Если два бесконечных множества эквивалентны, то
есть между их элементами можно установить взаимно
однозначное соответствие, то их называют равномощны-
ми или имеющими одинаковую мощность. Если же одно
бесконечное множество эквивалентно истинному подмно-
жеству другого, а в обратную сторону такой эквивалент-
ности установить уже нельзя, говорят, что мощность пер-
вого множества меньше мощности второго.
Таким образом, понятие мощности бесконечного мно-
жества представляет собой обобщение понятия числен-
ности, применимого лишь к конечным множествам.
Используя новое понятие, мы можем теперь придать
строгую форму сказанному прежде о натуральных чис-
лах и вещественных числах между нулем и единицей:
мощность счетного множества меньше мощности конти-
нуального.
ОТНОШЕНИЯ
Брат моей жены — кто он мне? Деверь? Шурин?
А кто такая золовка? А свояченница?
Непросто разобраться в тонкостях родственных отно-
шений. Хорошо бы подвергнуть их математическому ана-
лизу, но таких исследований, насколько нам известно,
еще никто не предпринимал. Поэтому мы изложим здесь
самые простые соображения на этот счет.
Большую семью, представленную рядом замыслова-
той схемой, будем рассматривать как некоторое множе-
ство. Исследуем для начала какое-то одно отношение,
способное связать лишь два элемента нашего множества
(такое отношение называется бинарным). Например, та-
кое: «х есть брат у».
Прослеживая горизонтальные линии схемы, отберем
все те пары представителей исследуемой нами семьи,
для которых употребимо слово «брат». Например, Иван
Петрович есть брат Петра Петровича, Владимир Василь-
евич — брат Зинаиды Васильевны, Миша — брат Маши.
Очевидно, подобные высказывания могут утратить
смысл от перестановки имен. Миша — брат Маши, но не-
верно, что Маша — брат Миши.
Итак, речь идет о парах упорядоченных.
Разговор о таких парах у нас заходит уже не в пер-
вый раз. Множество всевозможных упорядоченных пар,
составленных из элементов некоторого множества, мы
привыкли называть произведением этого множества на
себя. В данном случае на себя умножается множество
родственников.
Отбирая среди всех возможных пар лишь те, для
которых употребимо слово «брат», мы тем самым выде-
лили из произведения множества родственников на себя
некоторое его подмножество. Перечень отобранных пар
составил исчерпывающий рассказ об отношении «х есть
брат у» среди членов исследуемой нами семьи.
53
дядя
Оказывается, таким образом можно полностью оха-
рактеризовать любое бинарное отношение, определенное
на любом множестве: надо лишь перечислить все такие
пары элементов множеств, в каждой из которых первый
элемент находится в данном отношении ко второму. По-
этому и говорят: всякое бинарное отношение, определен-
ное на том или ином множестве, есть некоторое подмно-
жество произведения этого множества на себя.
Среди всевозможных отношений, которыми можно
связать элементы того или иного множества, могут быть
и такие, которые охватывают не два, а больше элемен-
тов. Скажем, три — их называют тернарными. Это, на-
пример, отношение между родителями и ребенком.
В большой семье, представленной нашей схемой, это от-
ношение связывает Ивана Петровича, Ольгу Николаевну
и Машу, Мишу, Люсю и Андрейку. Чтобы описать отно-
шение между свояками, мы уже должны упоминать сра-
зу по четыре элемента множества родственников (сами
свояки и их жены, доводящиеся друг другу сестрами).
Ясно, что бинарные отношения проще тернарных и
прочих. Ими и занимаются больше. Их, как правило,
и имеют в виду, употребляя термин «отношение». Для
некоторых наиболее важных бинарных отношений введе-
ны специальные обозначения: х<у (х меньше у), х=у
(х равно у), х^.у (х меньше или равно у), х~у (х экви-
валентно у) и т. д.
Любой, даже мало сведущий в медицине читатель
знает: кровь каждого человека относится к одной из че-
тырех групп.
Это существенно осложняет переливание крови от од-
ного человека другому: надо быть уверенным, что кровь
первого подойдет второму.
Отношения совместимости между группами крови не-
просты. Кровь первой группы можно переливать любому.
Люди с кровью второй группы могут быть донорами
лишь для обладателей такой же крови и для людей с
кровью четвертой группы. То же можно сказать и про
кровь третьей группы: она совместима лишь с собой и с
кровью четвертой группы. Наконец, обладатели крови
четвертой группы могут давать свою кровь лишь таким
же, как они.
55
Перед нами — еще один пример би-
нарного отношения. Оно определено на
множестве,' элементы которого — груп-
пы крови.
Если сказанное словами перевести
на язык чисел, то получится, что чис-
ло 1 находится в описанном отношении
к числам 1, 2, 3, 4; число 2 — к числам
2 и 4; число 3 — к числам 3 и 4; число 4 — лишь к самому
себе. Можно выразиться еще короче: описанное отноше-
ние полностью характеризуется числовыми парами (1,1),
(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4).
Но пожалуй, наиболее лаконичное выражение сказан-
ному выше дает приведенная рядом картинка, где в чис-
ловой сетке жирными точками отмечены все только что
перечисленные пары чисел. (Первое число каждой пары
откладывается по нижнему горизонтальному обрезу сет-
ки, второе — по левому вертикальному.)
Кстати, перечень всех пар элементов множества, на-
ходящихся между собой в некотором отношении, назы-
вается графиком этого отношения. Мы намеренно прибе-
регли этот термин до разговора об отношениях между
числами, поскольку именно в этом случае графики отно-
шений выражаются сообразными этому слову наглядны-
ми картинками.
В той сетке, на которой мы изобразили отношение
совместимости между группами крови, нетрудно разгля-
деть фрагмент двумерной системы координат. Возьмем
ее целиком. Пары чисел, находящихся в каком-либо от-
ношении, будем изображать точками плоскости. Первое
число пары будем откладывать по оси х (обозначая той
же буквой), второе — по оси у (обозначая соответствен-
но).
56
Для примера рассмотрим на множестве веществен-
ных чисел бинарное отношение «х равно у». Его гра-
фик — прямая линия, биссектриса угла между коорди-
натными осями.
Теперь рассмотрим на множестве всех вещественных
чисел бинарное отношение «х меньше у». Графиком для
него служит часть координатной плоскости, лежащая
кверху от только что построенной биссектрисы.
Собственно говоря, на координатной плоскости таким
способом можно изобразить любое бинарное отношение
между числами. Возникший при этом график будет пред-
ставлять собой некоторую фигуру, более или менее за-
мысловатую. И наоборот: всякую фигуру на координат-
ной плоскости можно трактовать как график некоторого
бинарного отношения между числами. Если точка плос-
кости принадлежит этой фигуре, то первый элемент пары
чисел, выражающей координаты точки, находится в дан-
ном отношении ко второму элементу.
Так перекидывается своеобразный мост между алгеб-
рой и геометрией: числовые отношения становятся гео-
метрическими фигурами, фигуры же можно описывать на
языке чисел.
Желающих поупражняться в этом мы отсылаем к ри-
сункам, где графиками числовых отношений выступают
круг и квадрат.
Сходство между словосочетаниями «график отноше-
ния» и «график функции» — довольно глубокое, как вы-
яснилось в предыдущем разделе. Но есть между ними и
различия.
57
Иллюстрируя понятие функ-
ции, обычно рисуют кривую в
координатных осях. Причем та-
! [ I / кую, что любая пересекающая
х-1 ‘ I / ее вертикаль имеет с ней лишь
/ ! >1 \/ одну общую точку.
' I 1^^—< Графиком отношения меж-
। ! ; ду числами может быть любая
----!__I_____;__ 3 фигура на плоскости.
; ; 0 1 Различие понять нетрудно.
Вспомним определение функ-
ции: каждому значению аргу-
мента ставится в соответствие только одно ее значение.
Поэтому среди пар «значение аргумента — значение
функции» (полный набор которых и есть график функции)
нет таких, у которых одинаковы первые элементы и раз-
личны вторые.
Для графиков отношений таких ограничений нет.
Потому и говорят: функция есть частный случай би-
нарного отношения.
Вспоминая понятия отображения, операции и т. п.,
родственные понятию функции, можно сказать, что и они
включаются как частности в понятие отношения.
Взять хотя бы операцию сложения. На уроках ариф-
метики нам давали такое ее определение: сложить
два числа х и у означает поставить им в соответствие
третье число zf называемое их суммой.
Исходя из этого определения, бинарную операцию
сложения нетрудно представить как тернарное отноше-
ние: «х, будучи сложено с у, дает в сумме г».
•
Среди математических символов, кажется, нет более
понятного и бесхитростного, чем знак равенства. Однако
эта простота обманчива. У бинарного отношения равен-
ства есть свои свойства и о них стоит поговорить.
С отношением равенства мы чаще всего сталкиваемся
в мире чисел. Возьмем число 6. Вряд ли кому придет в
голову отрицать, что 6 = 6. Да и вообще каждое число
равно самому себе. Какой бы банальностью ни казалось
это свойство равенства, мы все-таки отметим его специ-
альным термином: рефлексивность.
Другие свойства равенства нам будет легче объяс-
58
нить, напомнкв, что одно
и то же число можно пред-
ставить по-разному. На-
пример, 6 — это и 3 + 3, и
4+2 и 5+1. Так вот, если
34-3 = 4+2, то 4 + 2=3 + 3.
Подобную перестановку допускает равенство любых двух
чисел. Называется это свойство равенства симметрич-
ностью.
Если 3 + 3 = 4 + 2, а 4 + 2 = 5+1, то, очевидно, 3 + 3 =
= 5+1. И какую бы тройку чисел ни взять, если крайние
порознь равны среднему, то они равны и между собой.
В этом выражается еще одно свойство равенства — тран-
зитивность.
Итак, рефлексивность, симметричность, транзитив-
ность. Три эти свойства составляют самую суть равен-
ства. Но, оказывается, они присущи не одному ему.
Вспомним: эти же три сакраментальных слова мы
произносили, говоря про эквивалентность множеств. Би-
нарное отношение эквивалентности между множества-
ми — ближайший родственник отношения равенства меж-
ду числами. (У этого родства — глубокие корни: ведь
понятие натурального числа основано как раз на эквива-
лентности множеств.)
Возьмем отношение подобия фигур на плоскости. Оче-
видно, каждая фигура подобна самой себе. Если одна
фигура подобна другой, то вторая подобна первой. Если
же одна фигура подобна второй, а вторая третьей, то
первая и третья также связаны отношением подобия.
Этими очевидными утверждениями мы выразили
тот факт, что отношение подобия фигур отличается
свойствами рефлексивности, симметричности, транзитив-
ности.
Но отвлечемся от сугубо математических объектов —
чисел, фигур. Закроем книгу по математике и раскроем,
например, книгу телефонную.
Сколько здесь фамилий — множество! В прямом и
математическом смысле слова. Есть здесь и уникальные
экземпляры: Амемошкин, Балухатый, Винтайкин, Голо-
хвостиков... А есть и такие фамилии, которые встречают-
ся часто: Кузнецов, Петров, Смирнов.
Отношение «быть однофамильцем» мы и рассмотрим
на множестве, перечень которого дан в телефонном
справочнике.
59
Нетрудно проверить, что и это отношение подчинено
триумвирату все тех же трех свойств: рефлексивности,
симметричности, транзитивности.
Количество примеров можно было бы приумножить —
в этом нам помогла бы и живая жизнь и абстрактная ма-
тематика: отношение «быть на одном курсе» среди сту-
дентов вуза, отношение «иметь одинаковый остаток при
делении на три (или любое другое целое число)» среди
натуральных чисел, отношение параллельности среди
прямых линий на плоскости...
Несмотря на глубокое несходство этих бинарных от-
ношений, каждому из них присущи все те же три свой-
ства: рефлексивность, симметричность, транзитивность.
Всякое обладающее этими тремя свойствами бинар-
ное отношение принято называть отношением эквива-
лентности.
Говоря о важности этих отношений, достаточно ска-
зать: на том или ином из них основана любая классифи-
кация, любая систематика, любой каталог.
В театре — паника. До начала спектакля — два часа,
а исполнитель главной партии, любимец публики тенор
Самоцветов, откушавши чего-то прохладительного, вне-
запно потерял голос. Надо заменить его, но кем?!
Проблема, неожиданно вставшая перед администра-
цией театра, поддается математическому толкованию.
Относится она к теории множеств. Ведь вся оперная
труппа — это множество людей. Возможность замены од-
ного исполнителя другим — это отношение между эле-
ментами рассматриваемого множества, причем бинарное.
Любитель математической четкости без труда придаст
ему строгую форму: «х может заменить у». Свойства это-
го отношения легко выяснить, прислушавшись к разгово-
ру в дирекции театра, где лихорадочно подыскивается
выход из создавшегося катастрофического положения.
«Отоларинголога вызывали? Нет? Так вызывайте не-
медленно! Чем черт не шутит: укол, массаж — и Само-
цветов, возможно, заменит сам себя. (В этой шутке есть
доля истины: отношение заменяемости — рефлексивно).
Потом надо срочно выяснить, кого в последнее время за-
менял Самоцветов. Аркадина? Прекрасно! Значит, Арка-
дин сможет заменить Самоцветова! (Заметим по поводу
60
только что сказанного: отношение заменяемости — сим-
метрично.) Что?! Аркадин в гастрольной поездке? Тогда
скорее наведите справки, кто когда-нибудь заменял Ар-
кадина. Не Петров ли?..» (Логика подавшего эту мысль
ясна: если Самоцветова может заменить Аркадин, а Ар-
кадина Петров, то Петров может заменить и Самоцвето-
ва. Иными словами, отношение заменяемости — транзи-
тивно.)
Итак, рефлексивность, симметричность, транзитив-
ность. Бинарное отношение заменяемости певцов пред-
ставляет собой отношение эквивалентности.
Следя за дальнейшим разговором в дирекции, мы бы
познакомились со всеми тенорами труппы. В других слу-
чаях, если бы речь шла о замене баса или сопрано, перед
нами предстали бы все обладатели этих голосов.
Так через отношение заменяемости мы пришли к су-
ществующему в любой оперной труппе разбиению певцов
по диапазонам голосов.
Случаен ли такой переход? Нет, глубоко закономерен.
Оказывается, всякое отношение эквивалентности, опре-
деленное на любом множестве, задает некоторое разбие-
ние этого множества на подмножества. Причем эти под-
множества попарно не пересекаются. (Иными словами,
ни один элемент множества не принадлежит сразу двум
подмножествам. В то же время каждый элемент принад-
лежит хотя бы одному подмножеству. Эти два положе-
ния и составляют суть термина «разбиение», просторечи-
выми синонимами которого служат слова «классифика-
ция», «каталог» и т. д.).
Появившееся в нашем рассказе понятие разбиения
нетрудно пояснить новыми примерами.
Отношение «иметь одинаковый остаток при делении
на три» разбивает все множество натуральных чисел на
три подмножества: 3, 6, 9, 12... (они делятся на три без
остатка); 1, 4, 7, 10... (при делении на три они дают в
остатке единицу); 2, 5, 8, 11... (эти при делении на три
дают в остатке двойку). Отношение параллельности раз-
бивает все множество прямых на плоскости на бес-
конечное число подмножеств, каждому из которых
принадлежит совокупность всех попарно параллельных
прямых.
61
Для подмножеств, на
которые некоторое множе-
ство разбивается тем или
иным отношением эквива-
лентности, есть особое на-
звание: классы эквива-
лентности. Звучит оно,
быть может, мудрено, но
для его пояснения нетруд-
но подыскать и более на-
глядные слова.
Что такое, например,
та или иная форма гео-
метрических фигур? Один
из классов эквивалентнос-
ти, на которые множество фигур на плоскости разбивает-
ся отношением подобия, не правда ли? Другой пример:
направление. Это, если разобраться,— один из классов
эквивалентности, на которые множество прямых на плос-
кости разбивается отношением параллельности.
В этом рассуждении перед нами предстает еще одно
практическое достоинство отношений эквивалентности.
Рассматривая различные классы, на которые какое-то
множество разбито отношением эквивалентности, можно
задаться вопросом: а чем же именно эквивалентны друг
другу предметы одного класса? Путь обобщения, нача-
тый с такого вопроса, в итоге приводит к абстрактному
понятию свойства, общего для всех предметов класса.
В подобных случаях говорят, что понятию дано определе-
ние через абстракцию. Именно таким образом возникают
понятия направления, формы и т. д.
Эквивалентность — весьма обобщенная форма равен-
ства. Когда говорят об эквивалентности предметов, под-
разумевают их сходство лишь в каком-то одном отноше-
нии (именно в том, которое дало повод сопоставлять
предметы между собой). А поскольку сопоставление
предметов некоторого множества можно провести по раз-
личным признакам, то различным получится в результа-
те и разбиение множества на классы эквивалентности.
Ярый болельщик «Спартака» делит все человечество
на приверженцев своей любимой команды и на тех, кто
не разделяет его симпатий.
62
Регулировщик уличного движения подразделяет всех
злодей на тех, кто соблюдает, и на тех, кто нарушает.
А чеховская Каштанка делила мир на хозяев и за-
казчиков; «между теми и другими была существенная
разница: первые имели право бить ее, а вторых она сама
имела право хватать за икры».
И, разумеется, каждое из этих разбиений человече-
ства не совпадает с другими, поскольку предметы, све-
денные в классы эквивалентности по какому-то одному
признаку, отнюдь не должны совпадать всеми другими
свойствами. (Полное совпадение всех свойств — это
весьма частное отношение эквивалентности. Оно назы-
вается тождеством и задает предельно мелкое разбиение
всякого множества: каждый класс эквивалентности при
этом состоит из одного-единственного элемента.)
Однако, коль скоро предметы какого-то множества в
каком-то отношении объединены в один класс эквива-
лентности, с точки зрения этого отношения они неразли-
чимы, и каждый из них может быть заменен дру-
гим там, где речь идет об этом отношении, выступая
полноправным представителем своего класса эквивалент-
ности.
Когда в вычислениях нам встречаются дроби вида
а/б или 4/12, мы, не задумываясь, сокращаем их — заме-
няем 3/б на У2, 4/i2 на Уз и т. п. На каком же основании
мы делаем это? На том, что результат любого арифмети-
ческого вычисления не изменится, если всякую входя-
щую в него дробь заменить пропорциональной (умножив
или разделив ее числитель и знаменатель на одно и то же
число). Нетрудно показать, что отношение пропорцио-
нальности среди дробей — это отношение эквивалентнос-
ти. А поскольку, как только что говорилось, такая экви-
валентность равнозначна заменяемости в арифметиче-
ских вычислениях, то это и позволяет упрощать их, беря
вместо любой сократимой дроби наиболее простого и
удобного представителя того класса дробей, к которому
она принадлежит, вместо 3/б, 4Д, 5/ю брать У2, вместо 4Л2,
7/гь 4О/12о брать Уз и так далее.
Но повторим, подобное отождествление возможно
лишь с точки зрения арифметических действий. Не прав
будет тот, кто вместо адреса «Новослободская 4/J2» за-
пишет «Новослободская Уз». На множестве адресных
дробей нет других отношений эквивалентности, кроме
тождества.
63
Мы так долго говорили об отношениях эквивалент-
ности, что читатель, вероятно, станет искать их свойства
в любом бинарном отношении.
Разумеется, такой поиск не всегда будет удачен.
Допустим, отношение параллельности между прямы-
ми, послужившее нам неплохим примером эквивалент-
ности, побудит читателя исследовать отношение перпен-
дикулярности прямых. Тотчас же выяснится, что этому
отношению несвойственна рефлексивность: ни одна пря-
мая не перпендикулярна самой себе. Правда, с симмет-
ричностью здесь все в порядке: если одна прямая пер-
пендикулярна другой, то и вторая перпендикулярна пер-
вой. А вот с транзитивностью — опять нелады: две пря-
мые, порознь перпендикулярные третьей, между собой не
перпендикулярны, а параллельны. Короче говоря, отно-
шение перпендикулярности не обладает свойствами, оп-
ределяющими отношение эквивалентности.
С успехом разбив на классы эквивалентности все на-
туральные числа в зависимости от того, какой остаток
они дают при делении на три, читатель, возможно, заду-
мается над отношением делимости между числами. И об-
наружит, что оно рефлексивно (всякое число делится на
себя), но, вообще говоря, не симметрично (поделив без
остатка одно число на другое, мы не сможем сделать
это, поменяв местами делимое и делитель, если они не
равны друг другу)...
Чеховская Каштанка, вероятно, напомнит читателю
о том, как ее хозяин, столяр Лука Александрович, про-
тивопоставлял друг другу профессии («Ты, Каштанка,—
недоумение. Супротив человека ты все равно, что плот-
ник супротив столяра»). Определенное таким противо-
поставлением отношение между профессиями не рефлек-
сивно (бессмысленно противопоставлять какую-то про-
фессию себе же), не симметрично (раз столяр поставлен
над плотником, то тем самым плотник не поставлен над
столяром)...
Наши примеры подтверждают очевидное суждение:
отнюдь не всякое бинарное отношение — эквивалент-
ность.
Однако проницательному читателю два последних
примера подскажут нечто большее. Несимметричность
рассмотренного там и тут отношения весьма строга: если
64
один элемент находится в данном отношении к другому,
неодинаковому с ним элементу, то отсюда следует, что
второй к первому в данном отношении отнюдь не нахо-
дится.
Подобное свойство называется антисимметричнос-
тью.
Звучание у термина замысловатое, а смысл — про-
стой: этим свойством обладает всякое отношение, с по-
мощью которого в том или ином множестве устанавлива-
ется некоторый порядок.
•
Младенец, впервые увидевший матрешек, быстро по-
нимает: если одну из них можно вложить в другую, то
вторая в первую никак не войдет. Так выясняется тот
порядок, в котором составляются матрешки.
Ребенок, даже еще не обученный правилам вежли-
вости, но внимательный к происходящему вокруг, подме-
чает: вот из этих двух человек один при встрече с другим
всегда здоровается первый; точно так же поступают и
эти двое, и вот эти тоже... Так проявляется порядок стар-
шинства между людьми. (Правда, замечает вниматель-
ный ребенок, есть люди, которые здороваются то так, то
сяк, не обращая внимания, кто должен делать это пер-
вым.)
Школьник, изучающий правила вычитания на счетных
палочках, видит: если из одного их количества можно
вычесть другое, не получая в остатке пустое место, то
наоборот вычитание уже не произведешь. Так постигает-
ся порядок, в котором целые положительные числа вы-
страиваются в так называемый натуральный ряд: один,
два, три, четыре, пять...
Итак, все перечисленные отношения, каждое из ко-
торых наводит порядок в своем множестве, обладают ан-
тисимметричностью: и отношение «х входит в у» между
матрешками, и отношение «х здоровается первым с уъ
между людьми, и отношение «х меньше у» (х<у) между
числами.
Но продолжим их рассмотрение далее. Если в одну
матрешку входит другая, а в эту другую — третья, то тре-
тья войдет и в первую. Если одно число меньше другого,
а это другое уступает по величине третьему, то первое
также меньше третьего. То же самое можно сказать про
3. Ю. В. Пухначев, Ю. П. Попов
65
любое отношение старшинства, которое устанавливается
между людьми.
Во всем этом мы узнаем хорошо знакомое нам свой-
ство транзитивности. Оно также весьма закономерно
связывается с представлением о каком бы то ни было
порядке, старшинстве, подчинении, иерархии. (Что полу-
чится, если при установлении порядка забыть про тран-
зитивность, легко вообразить, вспомнив принцип средне-
вековых феодалов: «Вассал моего вассала — не мой вас-
сал». Эта нетранзитивная формула так и отдает беспо-
рядками и распрями, которыми знамениты средние века.)
После сказанного естественно поинтересоваться: ну,
а рефлексивность? Обладают ли ею анализируемые нами
отношения?
Взяв две одинаковые матрешки, мы не сможем вло-
жить одну в другую. Ни про одно число нельзя сказать,
что оно меньше самого себя. Стало быть, ни отношение
«х входит в у» между матрешками, ни отношение «х
меньше у» между числами рефлексивностью не обла-
дают.
А вот в отношениях между людьми бывает и по-ино-
му. Глазами вышеописанного ребенка мы уже подмети-
ли: есть люди, которые при встрече не следят за тем,
кто должен здороваться первым: порой тот опережает
этого, порой наоборот. Причина подобного безразличия
понятна: такие люди в каком-то смысле равны — по воз-
расту, по должности и т. п. Значит, отношение «х первым
здоровается с у» рефлексивно.
Кстати, в мире чисел тоже есть подобное отношение.
Выражается оно словами «меньше или равно». Это отно-
шение — рефлексивное. Никто не будет отрицать, напри-
мер, что шесть меньше или равно шести (в формульной
записи: 6^6). И так можно сказать про всякое число.
Мы приходим к выводу, что отношения, при помощи
которых устанавливается порядок в том или ином мно-
жестве, бывают двух видов.
Если бинарное отношение нерефлексивно, антисим-
метрично, транзитивно, то оно называется отношением
строгого порядка. Его типичный пример — отношение
«х<у».
Если бинарное отношение рефлексивно, антисиммет-
рично, транзитивно, то оно называется отношением не-
строгого порядка. Его типичный пример — отношение
«х^у».
66
И вот какую еще деталь хотелось бы отметить напо-
следок: в каждом из двух отношений порядка, строгого
и нестрогого, свойства антисимметричности проявляются
по-своему.
При строгом порядке так: если один элемент нахо-
дится в упорядочивающем отношении к другому, то от-
сюда вытекает, что второй к первому в этом отношении
не находится. Скажем, если пять меньше семи, то отсюда
следует, что семь не меньше пяти.
При нестрогом же порядке могут найтись два элемен-
та, каждый из которых находится в упорядочивающем
отношении к другому. Но отсюда уже следует, что эти
два элемента эквивалентны (в частности, равны) друг
Другу.
Так было, как мы уже видели, с отношением «х пер-
вым здоровается с у» между людьми: равенство по воз-
расту или по должности, как легко доказать, представ-
ляет собой отношение эквивалентности.
Еще отчетливее проявляется это в мире вещественных
чисел, если рассмотреть в нем отношение «х меньше или
равно у». Всегда можно подыскать два таких числа, что
х^у и у^х. Вдумчивый читатель, конечно, догадывает-
ся, что такие два числа обязательно равны друг другу.
«Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидят Фа-
заньг\
Эту фразу, вероятно, помнит всякий, кто когда-ни-
будь имел дело с красками и цветными карандашами.
Она позволяет запомнить последовательность цветов в
спектре. Их названия зашифрованы первыми буквами
слов мнемонической фразы: К — красный, О — оранже-
вый, Ж — желтый и так далее.
За словами «последовательность» нетрудно разгля-
деть отношение строгого порядка. Действительно, отно-
шение предшествования цветов в их спектральной после-
довательности нерефлексивно (ни один цвет не предше-
ствует самому себе), антисимметрично (если один цвет
О,Ц 0,5 0,6 0,7мкм
> 1 1 . 1-d.. .. U-................L...
дшолетобый-шний-гоцбой-з еле ны ci-желтыйчзранжебый-к рас н ъ/ Ct
67
предшествует другому, то второй не предшествует перво-
му), транзитивно (если один цвет предшествует другому,
а тот — третьему, то первый предшествует третьему).
Читатель, знакомый с оптикой, понимает, что в основе
упорядоченности цветов лежит глубокая физическая за-
кономерность. Дело в том, что природа света — волно-
вая. Свет каждого цвета имеет определенную длину вол-
ны: красный — наиболее длинную для всех спектральных
цветов, фиолетовый — наиболее короткую.
Длину световой волны можно выразить числом. Так
от оптики, от отношения «х предшествует у» на множе-
стве спектральных цветов можно перейти к математике,
к отношению «х меньше у» на множестве вещественных
чисел, выражающих длины световых волн.
Разговор о цветах и числах мы завели отнюдь не за-
тем, чтобы пояснить понятие порядка новыми иллюстра-
циями. Есть у этих примеров особенность, которую встре-
тишь не каждый раз, когда на каком-то множестве уста-
навливается отношение порядка, строгого или нестрогого.
Какие бы два различных спектральных цвета мы ни
взяли, относительно них мы всегда можем сказать, что
один предшествует другому. Какие бы два различных
числа нам ни встретились, относительно них мы всегда
можем утверждать, что одно обязательно меньше дру-
гого.
Говорят, что некоторое множество упорядочено неко-
торым отношением порядка, если любые два различных
элемента этого множества обязательно находятся в дан-
ном отношении друг к другу: либо первый ко второму,
либо второй к первому.
Итак, множество спектральных цветов упорядочено
отношением «х предшествует у». Множество веществен-
ных чисел упорядочено отношением «х меньше у»; это
же отношение упорядочивает и множество рациональных,
и множество целых, и множество натуральных чисел.
Начиная разговор про упорядоченность множеств, мы
отмечали, что ее встретишь не каждый раз, когда на том
или ином множестве устанавливается отношение поряд-
ка. Читателю могло показаться, что это зависит от при-
роды множеств: какому-то из них никак не придашь упо-
рядоченности, а иному она свойственна в силу самого его
характера; например, «упорядоченным от природы» в
представлении многих выглядит множество чисел.
Подобное мнение неверно. Когда какое-то множество
68
упорядочено, то дело тут прежде всего в характере отно-
шения порядка, которое на нем устанавливается. На од-
ном и том же множестве можно ввести и такой порядок,
которым оно будет упорядочено, и такой, который его не
упорядочивает.
Возьмем хотя бы множество натуральных чисел. Как
уже говорилось, его упорядочивает отношение «х меньше
у». Рассмотрим теперь на нем другое знакомое нам отно-
шение порядка: «х делит у» или, что то же самое, «у де-
лится на х». Результат рассмотрения может показаться
странным: новым отношением порядка множество нату-
ральных чисел отнюдь не упорядочено — нетрудно найти
в нем такие два числа, что ни одно из них не делится на
другое (5 и 7, 9 и 13 и т. д.).
Может быть, такая странность наблюдается только
в мире чисел?
Что ж, обратимся к миру фигур. Рассмотрим на нем
отношение вложения (такого, что контур вложенной фи-
гуры нигде не касается контура объемлющей). Это от-
ношение нерефлексивно (ни одну фигуру не вложишь в
себя), антисимметрично (если одна фигура вкладывается
в другую, то обратное невозможно — ситуация такая же,
как с матрешками), транзитивно (здесь дело обстоит
опять-таки как с матрешками).
Как видим, все свойства строгого порядка присущи
отношению вложения. Но оно не упорядочивает множе-
ство фигур на плоскости: две различные фигуры, как по-
казано на нижнем рисунке на стр. 70, могут оказаться
такими, что первая не входит во вторую, а вторая не
входит в первую.
А теперь станем сравнивать фигуры по площади. Мы
обнаружим, что этим отношением их множество упоря-
дочено: про любые две фигуры, неравные по площади,
можно сказать, что площадь одной из них больше площа-
ди другой. В частности, из двух фигур на нашем рисунке,
которые мы никак не смогли связать отношением вложе-
ния, правая явно уступает по площади левой (это можно
и доказать: из всех ромбов с одинаковыми сторонами
наибольшая площадь у квадрата).
Итак, если на каком-то множестве введено некоторое
отношение порядка, это еще не гарантирует, что множе-
ство упорядочено этим отношением.
Если подобное наблюдается в строгой математике, то
тем более это вероятно в тех жизненных ситуациях, ко-
69
гда речь заходит о каком-
либо отношении типа поряд-
ка. Например, говоря о кар-
тинах и спектаклях, литера-
турных и музыкальных про-
изведениях, употребляют
слова «лучше», «талантли-
вее» и т. п. Если даже отно-
шениям, выраженным этими
словами, свойственны все
признаки отношения поряд-
ка, остается открытым во-
прос: упорядочивают ли они
упомянутые множества про-
изведений искусства? Всег-
да ли о любых двух постановках и книгах можно сказать,
что одна лучше или талантливее другой — подобно тому,
как о двух цветах на картине мы с уверенностью можем
утверждать, что один предшествует другому в спектре?
Бинарные отношения, которым мы посвятили немало
примеров,— это всего лишь частная разновидность отно-
шений, которые могут связывать элементы некоторого
множества.
Мы уже говорили, что существуют также отношения,
охватывающие сразу три элемента, четыре, пять и вооб-
ще п элементов (n-арные отношения, как говорят мате-
матики).
Мы остановимся здесь на тернарных. Поясняя их, мы
приводили в качестве примера отношение между роди-
телями и ребенком. Нетрудно подыскать пример тернар-
ного отношения и в элементарной математике.
Рассмотрим множество всех отрезков. Возьмем какие-
либо три из них и спросим: можно ли составить из них
треугольник? Определяющее правило на этот счет фор-
мулируется так: сумма любых двух отрезков из взятой
троицы должна превосходить третий. Все тройки отрез-
ков, находящихся в таком тернарном отношении, пригод-
ны для того, чтобы строить из них треугольники.
Когда исследуется какое-либо бинарное отношение,
заданное на множестве вещественных чисел, то при этом
очень помогает его график — фигура па плоскости.
70
Очевидно, чтобы опи-
сать графиком некоторое
тернарное отношение меж-
ду вещественными числа-
ми, нам потребуется уже
трехмерное пространство с
системой координат в нем:
каждую точку этого про-
странства можно тракто-
вать как тройку вещест-
венных чисел.
Пусть элементы всякой
такой тройки выражают
собой длины трех отрез-
ков, из которых мы хотим
составить треугольник. Как
лаемого построения годится
кая, элементы которой нахе
мы уже установили, для же-
не всякая тройка, а лишь та-
дятся в вышеописанном тер-
нарном отношении.
Отберем все подходящие тройки и посмотрим: что за
точки соответствуют им в трехмерном пространстве?
В какую область пространства сложатся эти точки?
У нас получится пирамида, упершаяся вершиной в
начало координат, касающаяся ребрами координатных
плоскостей и не имеющая основания — она простирается
неограниченно. Это и будет график того тернарного от-
ношения, о котором мы завели разговор.
Он был титулярный советник,
Она — генеральская дочь.
Он робко в любви ей признался —
Она прогнала его прочь.
По всей вероятности, причиной трагедии послужило
какое-то несоответствие чинов и званий. Сейчас нам труд-
но это понять, но когда-то табель о рангах многое зна-
чила во взаимоотношениях людей. (Табл. 2).
На соседней странице приведены армейская и граж-
данская колонки табели о рангах — в том ее варианте,
который относится ко времени создания процитированно-
го романса. (Составленная Петром Первым, она впос-
ледствии претерпевала некоторые изменения.)
Прослеживая взаимно однозначное соответствие меж-
ду множествами гражданских и военных чинов, мы ви-
71
Таблица 2
Табель о рангах
Классы Чины армейские Чины гражданские
1 Генерал-фельдмаршал Канцлер
2 Генерал от инфанте- рии, генерал от ка- валерии, генерал от артиллерии Действительный тайный советник
3 Г енера л-лейтенант Тайный советник
4 Генерал-майор Действительный стат- ский советник
5 (Бригадир *) Статский советник
6 Полковник Коллежский советник
7 Подполковник Надворный советник
8 Майор Коллежский асессор
9 Капитан (рот- мистр **) Титулярный советник
10 Штабс-капитан (штабс-ротмистр ♦♦) Коллежский секретарь
11 Поручик Корабельный секретарь
12 Подпоручик Губернский секретарь
13 Прапорщик (корнет **) Провинциальный секре- тарь
14 (Фендрик *) Коллежский регистратор
* Чин существовал в XVIII веке, потом был
упразднен.
* * Кавалерийский чин.
дим: титулярный советник действительно не ровня гене-
ралу, поскольку в пересчете на военные чины соответ-
ствует всего лишь капитану. Не улыбается бедняге и
сравнение по гражданской шкале: здесь даже самому
незнатному из генералов, генерал-майору, соответствует
действительный статский советник, что опйть-таки го-
раздо выше титулярного советника.
Итак, несчастный уступает своему несостоявшемуся
тестю и по военной и по гражданской линии. Потому что
взаимно однозначное соответствие, связывающее воен-
ную и гражданскую колонки табели о рангах, сохраняет
отношение старшинства, которое установлено в том и
другом множестве чинов.
Подобные случаи взаимно однозначного соответствия,
когда элементам одного множества, находящимся в не-
72
котором отношении, соответствуют элементы другого
множества, находящиеся в том же отношении, называют-
ся изоморфизмом.
Изоморфизмом было, например, взаимно однозначное
соответствие между множеством спектральных цветов и
множеством слов фразы: «Каждый охотник желает знать,
где сидят фазаны». Это соответствие сохраняло отноше-
ние предшествования, которое можно ввести в обоих мно-
жествах.
Следует сразу же отметить, что наши примеры со
сватовством титулярного советника и с фразой про охот-
ника и фазанов дают еще не совсем полное, а сказать
вернее — предельно узкое представление об изоморфиз-
ме. Когда он устанавливается между двумя множества-
ми, то совсем не обязательно, чтобы элементы того и дру-
гого подчинялись одному и тому же отношению, как это
было в наших примерах.
Об изоморфизме говорят и тогда, когда в каждом из
эквивалентных множеств действует свое отношение. Важ-
но лишь вот что: если несколько элементов из одного
множества связаны некоторым действующим там отно-
шением, то соответствующие им элементы другого мно-
жества связаны господствующим там отношением.
В таких случаях говорят, что изоморфизм, установ-
ленный между этими множествами, переводит одно отно-
шение в другое.
Из этого примечания, которое подчеркивает широту
понятия изоморфизма, нетрудно понять, что им можно
связывать не только упорядоченные множества — в них
могут рассматриваться отношения весьма разнообраз-
ные, как станет ясно из дальнейших примеров.
Ради эффекта возьмем для начала такой, где изомор-
физм устанавливается между множествами чисел и то-
чек, причем отношение, существующее в одном, на пер-
вый взгляд не имеет ничего общего с отношением, дей-
ствующим в другом множестве.
Множество чисел здесь составлено из всех делителей
числа тридцать: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Множество точек —
это вершины куба, расположенного так, как показано на
рисунке.
Введем в нашем числовом множестве бинарное отно-
шение кратности: «х делит у». (Мы уже рассматривали
его когда-то на множестве всех натуральных чисел и от-
метили, что оно этого множества не упорядочивает. Не-
73
сложно проверить, что не упорядочи-
вает оно и наше числовое множест-
во: в нем без труда можно подыскать
такие пары чисел, что ни одно из
двух не делится на другое — 2 и 3,
5 и 6, 10 и 15.)
Во множестве вершин куба вве-
дем бинарное отношение следования:
две вершины считаются связанными
этим отношением, если из одной
в другую можно пройти по ребрам куба снизу вверх.
Взаимно однозначное соответствие между обоими
множествами установлено самым простым образом: каж-
дой вершине приписан один из делителей тридцатки (см.
рисунок). Легдо видеть, что это — изоморфизм: если в
нашем множестве чисел какое-то одно делится на другое,
то соответствующие им вершины куба связаны восходя-
щим путем по ребрам куба. Например, путь из точки 30
через точку 10 в точку 5 — это путь наверх. Остальные
пути читатель может проследить самостоятельно.
В примерах изоморфизма, подобранных нами, просто-
ты ради фигурировали такие множествам которых вво-
дилось лишь одно-единственное отношение. Можно рас-
смотреть случаи, когда в том и другом множестве, между
которыми устанавливается взаимно однозначное соответ-
ствие, введено несколько отношений, и каждое из них,
действующее в одном множестве, переводится в свое,
действующее в другом множестве. Таково наиболее об-
щее понятие изоморфизма.
На стр. 75 — фрагмент таблицы десятичных лога-
рифмов. Слева — положительные числа, справа от каж-
дого из них в той же строчке поставлен его логарифм.
Так установлено взаимно однозначное соответствие меж-
ду множествами чисел левой и правой колонки.
Возьмем в левой колонке три числа, связанных тем
отношением, что произведение первых двух равно третье-
му. (Напомним, что это отношение — тернарное, посколь-
ку связывает три числа.)
Возьмем теперь в правой колонке числа, соответст-
вующие тем трем, что выбраны нами в левой колонке,
иными словами, возьмем логарифмы чисел левой колон-
74
/V рд/V
1,0 0,0000
1,1 0,0010
1,2 0,0192
1,3 0,1139
1,0 0,1061
1,5 0,1761
1,6 0,2001
1,1 0,2300
1,8 0,2553
ЦЭ 0,2788
2,0 0,3010
&
Таблица логарифмов

кп. Сложим два первых ло-
гарифма— у нас получится
третий.
И так будет всегда, ка-
кую бы тройку вещественных
чисел мы ни взяли, лишь бы
первые два в произведении
давали третье.
Итак, множество чисел
правой колонки с тернарным
отношением «сумма» между
ними связано изоморфиз-
мом со множеством чисел ле-
вой колонки, где действует
тернарное отношение «произ-
ведение».
Операция сложения го-
раздо проще и выполняется
легче, чем операция умнож
для того и существует, чтобы заменять умножение сло-
жением, а деление — вычитанием. Чтобы перемножить
два числа, следует отыскать в таблице их логарифмы, за-
тем сложить оба логарифма и таким образом получить
в результате логарифм произведения, а напоследок по
нему найти все в той же таблице само искомое произве-
дение. Деля одно число на другое, из логарифма первого
следует вычесть логарифм второго.
Особенно эффективна эта процедура, когда требуется
перемножать и делить многозначные числа. С такими
числами, например, приходится иметь дело в астроно-
мии — оттого их и называют астрономическими.
Недаром французский естествоиспытатель Лаплас
говорил, что изобретение логарифмов удлинило жизнь
астрономов.
Перед вами (стр. 76, 77) две схемы московского метро.
Одна выполнена в реалистической манере: извилистые
линии тесно привязаны к плану города. Во второй гео-
графическая точность принесена в жертву геометриче-
ской четкости: радиальные линии прямы, кольцевая пре-
вратилась в строгую окружность.
При всей своей географической недостоверности вто-
75
рой план не менее удобен, чем первый. Оба изоморфны
друг другу. Взаимно однозначное соответствие между
точками-станциями на них очевидно: и там и тут они от-
мечены одинаковыми названиями. К тому же в этом со-
ответствии сохранено отношнение следования между
станциями. И там и тут путь от «Беляева» до «Новых Че-
ремушек» проходит через «Калужскую», а чтобы про-
ехать от «Юго-Западной» до «Университета», согласно
тому и другому плану надо проследовать через «Про-
спект Вернадского».
Если же судить с точки зрения ориентации, то второй
план даже предпочтительнее первого: он проще, нагляд-
нее.
Эта незатейливая иллюстрация вновь напоминает
нам о достоинствах изоморфизма. Он позволяет спрям-
лять пути науки, заменяя один объект исследования дру-
гим, более простым, но сохранившим (быть может, в
76
преобразованном виде) все связи между своими элемен-
тами, существенные для исследования, свою структуру
(кстати, в дословном переводе слово «изоморфизм» и
означает «одинаковая структура»).
Примеров тому немало: от моделирования физиче-
ских процессов до наблюдавшихся порой попыток пере-
фразировать целые науки, перевести одну на язык дру-
гой.
Раскройте вторую книгу «Начал» Эвклида и прочтите
первое предложение:
«Если одна из двух линий разделена на произвольное
число частей, то прямоугольник между этими двумя ли-
ниями равен вместе взятым прямоугольникам, содержа-
щимся между неразделенной линией и отдельными частя-
ми другой».
Разобравшись в чертеже, вы, конечно, догадаетесь,
что Эвклид излагает на геометрическом языке распреде-
РЕЧНОЙ ВОКЗАЛ
ОКТЯБРЬСКОЕ
ПОЛЕ
БЕЛОРУССКАЯ
ПРОСПЕКТ МИРА
КОМСОМОЛЬСКАЯ
бАРРИКАДНАЯ^
КРАСНОПРЕСНЕНСКАЯ*
ЩЕЛКОВСКАЯ
ЗЕРДИНСКАЯ
МОЛйДЕЖНАЯ
КУЗНЕЦКИЙ МОСТЧ
ПРОСПЕКТ МАРКСА
ПЛОЩАДЬ СВЕРДЛОВА
КАЛИНИНСКАЯ
СМОЛЕНСКАЯ
КУЛЬТУРЫ.
\ПЛОЩА/
ЗОРИНА
КУРСКАЯ
ШИбАИОТЕМГНОВОКУЗНЕЬ
ТИМ ЛЕНИНА f Ж
1ЛОЩАДБ РЕЗОЛЮЦИИ
к ^^^^ТДГАНСКАЯ
ДОБРЫНЖСШТ^ЛЗЕЛЕЦКАЯ
ОКТЯБРЬ
ЛСД АНСБЕКА Я
ЮГО-ЗАПАДНАЯ
5ЕЛЯЕ30
ШОРСКАЯ
77
лительный закон умножения
относительно сложения. И
возможно, вас удивит эта
нарочитая наглядность: не
проще ли было написать ал-
гебраическую формулу?
Все дело в том, что древ-
a(e + c + d) = а& + ас + ad негреческие математики не
владели понятием вещест-
венного числа в той мере, в какой оно известно нам.
Греки пользовались целыми и рациональными числами,
но не знали иррациональных. В этом смысле и нужно
понимать, например, их вывод о том, что диагональ
квадрата не соизмерима с его стороной: отношение этих
двух отрезков выражается числом / 2, числом иррацио-
нальным, неизвестным древним грекам и, стало быть,
несуществующим для них.
Не имея с их точки зрения общей меры, эти два от-
резка тем не менее существовали для греков как геомет-
рические объекты. И это подсказывало выход из затруд-
нительного положения: заменить исследование чисел ис-
следованием фигур.
Основой такой замены, как догадывается читатель,
послужил изоморфизм между множеством положитель-
ных вещественных чисел и множеством отрезков. Отно-
шение равенства чисел он переводит в отношение кон-
груэнтности отрезков (это мудреное слово означает по-
просту совпадение при наложении), числовое отношение
«меньше» — в линейное отношение «короче», операция
сложения чисел заменяется при этом составлением от-
резков, операция умножения — построением прямоуголь-
ников и т. д.
Так и возникла «геометрическая алгебра», излагае-
мая во второй книге «Начал». Чтобы придать ей обще-
принятый вид, требуется лишь перевести ее предложения
с геометрического языка на буквенный. (Кстати, многие
термины «геометрической» алгебры внедрились в «бук-
венную» в непереведенном виде: мы говорим о квадрате
числа, о среднем геометрическом двух чисел.)
Вспомните, читатель, как на одной из предыдущих
страниц мы показали вам схему телефона. Мы иллюстри-
78
ровали ею важность понятия отображения. Мы говорили,
что реальный прибор удобно изучать по его схеме, где
каждой детали поставлен в соответствие определенный
значок.
Но ведь телефон — это не просто скопление деталей:
трубка, диск, звонок... Лишь соединенные системой про-
водов они образуют телефон.
Так и схема телефона немыслима без соединительных
линий, показывающих, как связаны между собой отдель-
ные детали этого устройства.
Так и отображение одного какого-либо множества в
другое особенно ценно тогда, когда оно так или иначе
передает отношения, существующие между элементами
отображаемого множества, переводит их в отношения,
установленные между элементами множества-образа.
Всякое такое отображение называется изоморфиз-
мом.
Надеемся, что после сказанного читатель убедился в
огромной важности и проистекающей отсюда широкой
применимости этого понятия.
ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
В книге о математике без задач не обойтись. Но если
уж они так необходимы, лучше все-таки подыскивать их
не в скучных задачниках, а в книгах позанимательнее.
Гашек. «Похождения бравого солдата Швейка».
Швейк — перед комиссией судебных врачей. «Радий тя-
желее олова? Могли бы вы вычислить диаметр земного
шара? Не знаете ли вы, какова наибольшая глубина в Ти-
хом океане?» — с такими вопросами наступают они на
свою жертву, надеясь по ответам испытуемого заключить,
все ли ладно у него с головой.
И бравый солдат решается на контратаку:
«Однако мне тоже хочется, господа, задать вам одну
загадку. Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже
по восьми окон, на крыше два слуховых окна и две тру-
бы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь ска-
жите, господа, в каком году умерла у швейцара его ба-
бушка?»
Швейк верен своему неистребимому чувству юмора,
и его загадка вызывает у нас невольную улыбку. Кстати,
почему? Пока вы размышляете над ответом, мы рискнем
предложить вам еще одну головоломку:
Если в огороде бузина, то в Киеве дядька. В огороде
бузина или лошади кушают овес. Если лошади кушают
овес, то Волга впадает в Каспийское море. Волга не впа-
дает в Каспийское море. Так проживает ли в Киеве
дядька?
Мы так и видим, читатель, как вы перечитываете это
условие еще раз и в недоумении морщите лоб.
Несуразиц тут еще больше, чем в загадке Швейка.
«В огороде бузина, а в Киеве дядька» — куда уж даль-
ше? «Волга не впадает в Каспийское море» — как это
понимать?
И тем не менее головоломка вызывает в памяти то,
в чем мы привыкли видеть воплощенные каноны логики.
80
Согласитесь, разве не похожа она на логические по-
строения математиков? Вот, пожалуйста, отрывок из
учебника геометрии:
Одна из сторон треугольника АВС равна диаметру
описанной окружности тогда и только тогда, когда тре-
угольник прямоугольный. Если все стороны треугольника
АВС не равны диаметру описанной окружности, то тре-
угольник остроугольный или тупоугольный. Если тре-
угольник АВС тупоугольный или прямоугольный, то его
ортоцентр не лежит внутри него. Ортоцентр треугольни-
ка АВС лежит внутри него...
А разве не так же выглядят другие общепризнанные
образцы логического метода, например, те, которыми
запоминаются лучшие произведения детективного
жанра?
В рассказе Честертона «Странные шаги» неизменный
герой этого писателя патер Браун раскрывает тайну по-
хищения серебряных ножей и вилок, обратив внимание
на загадочные шаги в коридоре отеля — то быстрые и
мелкие, то медленные и мерные. Кем бы мог быть, заду-
мался патер Браун, обладатель такой необычной по-
ходки?
Вот он идет неторопливо и вразвалку. Если это хозя-
ин отеля, то тот ходит вразвалку и торопливо или не
трогается с места. Если это лакей или посыльный, то те
ходят вразвалку, когда бывают навеселе, или стоят на
одном месте, особенно если окружающая обстановка
столь великолепна...
Что же общего между доказательством геометриче-
ской теоремы, разбором обстоятельств преступления и
условием головоломки о бузине и овсе? Уж конечно не
содержание, а форма.
Сложные фразы каждого из трех наших показатель-
ных отрывков содержат повторяющиеся части, соединен-
ные связками и, или, если,., то, тогда и только тогда,
а иногда видоизмененные частицей не. Повторения со-
ставных частей побуждают нас сопоставлять такие слож-
ные фразы, а характер связок, при помощи которых они
образованы, позволяет выводить из уже имеющихся
предложений новые, в чем, очевидно, и состоит всякое
рассуждение.
Так первые две фразы размышлений патера Брауна,
пересказанных нами, подсказывают, что обладатель за-
гадочной походки — не хозяин отеля.
81
Так последние две фразы математического отрывка
приводят к заключению, что треугольник АВС — не тупо-
угольный и не прямоугольный. За верность этого вывода
можно поручиться, не строя никаких чертежей и даже не
зная, что такое ортоцентр, для этого достаточно знать
смысл связующих слов не, и, или, если... то.
Наша бессмысленная головоломка с бузиной в ого-
роде и не менее бессмысленный для непосвященных ма-
тематический пример и многие другие примеры, подоб-
ные приведенным, говорят о том, что эти связки образу-
ют как бы каркас рассуждения, определяют его структу-
ру. Обнаружив эту структуру, мы склонны исследовать
ее саму по себе, не вдаваясь в содержание предложений,
нанизанных на этот каркас.
Наука, позволяющая анализировать рассуждения,
отвлекаясь от их содержания, обращая внимание лишь
на форму, выделяя их структуру, называется формаль-
ной логикой.
Быть может, кому-то из наших читателей в словах
«формальная логика» чудится пренебрежительное зву-
чание. Формальное мышление в представлении многих —
это нечто безжизненное, сухое, скучное. Напротив, содер-
жательное мышление — это нечто живое, яркое, увлека-
тельное.
Такое представление было бы верным лишь при од-
ном условии: если воображать обе стороны человеческо-
го мышления — содержательную и формальную — разъе-
диненными и противопоставленными друг другу. Но ведь
такое разделение — противоестественно и неразумно.
Не лучше ли мыслить их едиными, как есть от при-
роды? В плодотворном сотрудничестве каждая из обеих
сторон человеческого рассудка обнаруживает свои досто-
инства.
Содержательное мышление — залог творчества. Фор-
мальная же логика указывает творческой мысли прямые
пути к цели. Она помогает строить правильные рассуж-
дения и позволяет проверять правильность уже постро-
енных.
Современная формальная логика умеет проводить та-
кую проверку с поистине математической строгостью. Со-
держательные части фраз, из которых состоит испытуе-
82
мое рассуждение, заменяются буквами (как в алгебре,
оперирующей буквами вместо цифр), а логические связ-
ки, участвующие в построении фраз, обозначаются спе-
циальными символами. Так последовательность предло-
жений (и тех, что передают исходную информацию, и тех,
что получены в процессе рассуждения) превращается в
цепочку формул. Затем относительно каждой из формул,
обозначающих фразы, возникшие в ходе рассуждения,
решается, является ли она логическим следствием каких-
либо предыдущих формул анализируемой цепочки. Про-
верка проводится на основе так называемых правил вы-
вода, также выражаемых при помощи формул.
Расплывчатость и многозначность, свойственные фра-
зам живого языка, устраняются при их переводе на язык
символов. Опасаться приходится лишь того, что перевод
не сохранит каких-то смысловых нюансов отдельных
фраз или что перечень правил вывода не отражает всех
логических средств, используемых в людских рассужде-
ниях. Что же касается проверки логического следования,
то она заключается в простом сравнении предложений
анализируемого текста, переведенных на формульный
язык, с правилами вывода и потому ее можно выполнить
совершенно механически.
Использующая язык символов и математические ме-
тоды, современная формальная логика потому и назы-
вается символической, или математической, а отдельные
ее разделы — исчислениями (исчисление высказываний,
исчисление предикатов).
«Когда поймают рыбу, про сеть забывают. Когда пой-
мают птицу, про силок забывают. Когда поймают зверя,
про капкан забывают. Когда поймают мысль, про слова
забывают. Вот бы мне найти человека, который забыт
слова! Я бы с ним побеседовал».
Так написано в древнекитайском трактате «Чжуан-
цзы».
Приведенный из него отрывок, вероятно, придется по
душе всякому, кто понимает, что правильность логиче-
ского рассуждения обеспечивается в первую очередь его
структурой, а не содержанием составляющих его фраз.
Однако здесь следует сразу отметить, что в логиче-
ском рассуждении допустима отнюдь не всякая фраза.
83
Присмотримся к предложениям тех отрывков, с кото-
рых мы начали знакомство с формальной логикой.
Лошади кушают овес. Волга не впадает в Каспийское
море. Треугольник АВС остроугольный. Хозяин отеля хо-
дит вразвалку.
А теперь для сравнения — Гоголь, «Майская ночь»:
«Знаете ли вы украинскую ночь? О, вы не знаете ук-
раинской ночи! Всмотритесь в нее. С середины неба гля-
дит месяц. Необъятный небесный свод раздался, раздви-
нулся еще необъятнее. Горит и дышит он. Земля вся в
серебряном свете; и чудный воздух и прохладнодушен,
и полон неги, и движет океан благоуханий. Божественная
ночь! Очаровательная ночь!»
Великолепно, вдохновенно, поэтично сказано. И тем
не менее многие фразы этого отрывка в логическом рас-
суждении казались бы чужеродными.
Сравнение подсказывает ясно: фразы вопросительные
и восклицательные, повелительное и сослагательное на-
клонение неупотребительны в логических рассужде-
ниях. В них уместны лишь повествовательные предло-
жения.
Но это еще не все. Существеннейшую для дела осо-
бенность мы поймем, если возьмем одну лишь фразу:
«Дядька проживает в Киеве», и вдумаемся в нее с точки
зрения нашей головоломки про бузину и овес. Ответ на
головоломку, в сущности, заключается в том, чтобы ре-
шить, истинна эта фраза или ложна.
Но ведь истинность вывода обеспечивается истиннос-
тью предложений, приводимых в его обоснование. Стало
быть, проверке на истинность или ложность должна под-
даваться каждая фраза, которая участвует в логическом
рассуждении.
В логике всякое повествовательное предложение, ко-
торое может быть определено либо как истинное, либо
как ложное (но не как то и другое одновременно!), назы-
вается высказыванием.
Лошади кушают овес — высказывание, и притом ис-
тинное. Дважды два четыре — тоже высказывание и
тоже истинное. Дважды два пять — высказывание, но
ложное. Чудный воздух прохладнодушен — не высказы-
вание, поскольку слово «прохладнодушен» строгого смы-
сла не имеет, так что относительно этой фразы Гоголя
невозможно решить, истинна она или ложна. Средняя
плотность вещества во Вселенной меньше 10-29 г/см3 —
84
тоже высказывание. Правда, относительно него никто
еще точно не знает, истинно оно или ложно. А между тем
от этого зависит ни больше ни меньше, как дальнейшая
судьба Вселенной: истинность последнего высказывания
означает то, что она будет всегда расширяться, ложность
обещает то, что в один прекрасный момент она начнет
сжиматься. Можно исследовать обе возможности, сна-
чала посчитав вышеприведенное высказывание о средней
плотности вещества во Вселенной истинным, а потом —
ложным.
Истинность или ложность, приписываемая высказы-
ванию, называется его значением истинности.
Значение истинности того или иного высказывания
обозначают прописными буквами: И (истина), если вы-
сказывание истинно, и Л (ложь), если оно ложно.
Теперь мы можем уточнить, в каком смысле и каким
образом формальная логика отвлекается от содержания
высказываний, составляющих логическое рассуждение.
Тема каждого высказывания для нее действительно без-
различна. Однако она строго учитывает, какое значение
истинности приписывается каждому высказыванию, и на
основе этого проводит анализ всего рассуждения.
Когда мы знакомились с понятием высказывания, при-
мерами нам служили короткие простые фразы: «Лошади
кушают овес», «Хозяин отеля ходит вразвалку» и т. д.
Мы понимали, что это лишь фрагменты тех сложных
предложений, которые фигурировали в самом начале на-
шего разговора о логике: «В огороде бузина или лошади
кушают овес», «Хозяин отеля ходит вразвалку и тороп-
ливо или не трогается с места».
Мы уже знали к тому времени, какое важное значение
для логического анализа таких фраз и состоящих из них
текстов имеют слова и словосочетания не, и, или, если...
то, тогда и только тогда. Недаром им присвоено особое
название: пропозициональные связки.
Исходя из обычного разговорного смысла этих связок,
математическая логика выработала понятие так назы-
ваемых логических операций. С их помощью из одних вы-
сказываний образуются другие, более сложные. И наобо-
рот: сложные высказывания, содержащие пропозицио-
нальные связки, можно разлагать на элементарные (то
85
есть не содержащие связок или рассматриваемые как не-
разложимые) .
Поскольку, соединяя элементарные высказывания,
логические операции порождают опять-таки высказыва-
ния, относительно полученных таким образом предложе-
ний приходится выяснять, истинны они или ложны.
Задача, казалось бы, не из простых. Однако формаль-
ная логика решает ее без труда, совершенно механически.
Для этого, во-первых, всякий раз нужно знать значе-
ния истинности тех простых высказываний, из которых
состоит слбжное, подвергаемое анализу на истинность.
Во-вторых, нужно знать точные определения логических
операций, выражаемых пропозициональными связками.
В одном переулке
Стояли дома.
В одном из домов
Жил упрямый Фома.
Ни дома, ни в школе,
Нигде, никому —
Не верил
Упрямый Фома
Ничему.
Вы уже, конечно, вспомнили героя стихотворения
Михалкова «Фома». Фома был, что называется, масте-
ром критического анализа и все подвергал сомнению.
«На улице дождь», — говорили ему. Но Фома на это
резонное высказывание по своему обыкновению отвечал:
«Неправда, на улице нет дождя». «Смотрите, — говорили
ему в зоопарке,— это слон». Но Фома и тут был верен
себе, он тотчас же формулировал отрицательное выска-
зывание: «Это не слон».
С точки зрения логики Фома к любому высказыванию
своих собеседников применял логическую операцию от-
рицания и делал это просто: пользуясь частицей «не» или
любым равнозначным ей выражением типа «неверно,
что...»
Если ему говорили правду, то Фома таким путем пре-
вращал истинное высказывание в ложное. И наоборот:
каждое ложное высказывание после такой добавки ста-
новилось истинным.
Результат описанной лингвистической обработки на-
зывается отрицанием исходного высказывания. Если же
86
И
л
Л
И
говорить более строго, то отрицанием ка-
кого-либо высказывания называется та-
кое утверждение, которое ложно, когда
исходное высказывание истинно, и кото-
рое истинно, когда исходное высказыва-
ние ложно.
Сказанным мы уже определили логическую операцию
отрицания. В логике, однако, для определения логиче-
ских операций принят не только словесный, но и таблич-
ный способ. Для каждой операции строится так называе-
мая таблица истинности, равносильная ее определению.
Выше приведена такая таблица для операции «не».
В левой колонке таблицы перечислены возможные
значения истинности исходного высказывания. Возмож-
ностей — всего две: каждое высказывание может быть
либо истинным либо ложным.
В правой колонке, как бы заполненной рукой Фомы,
показано, какое значение истинности примет в зависи-
мости от исходного высказывания его отрицание.
«Завтра по области пройдут дожди и температура
понизится до 10 градусов...»
Эту сводку погоды услышали сотни, тысячи, если не
миллионы людей. И они строят свои планы в зависимости
от этих двух высказываний, соединенных союзом и.
Но сбудется ли предсказание? Истинно оно илч
ложно?
Мы назовем эту сводку верной, если истинными ока-
жутся обе ее половины: то есть и дождь пройдет и тем-
пература понизится до указанной отметки. Во всех ос-
тальных случаях мы посчитаем прогноз неверным. Таких
случаев всего три. Первый: дождь прошел, но температу-
ра до 10 градусов не опустилась. Второй: дождь не про-
шел, хотя температура понизилась, как было предсказа-
но. Третий: не было ни дождя, ни понижения температу-
ры. Иными словами, мы сочтем ложным весь вышепри-
веденный прогноз в целом, если ложно хотя бы одно из
составляющих его высказываний.
Логическая операция «и», с которой нас познакомил
этот метеорологический пример, носит название конъюнк-
ции. С ее помощью из двух высказываний получают тре-
тье, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны
87
(S3 т Ии1Т)
и и и
и л л
л и л
л л л
лением вновь дадим
оба исходных высказывания. Та-
ково определение конъюнкции.
Новое высказывание, получен-
ное применением этой операции
из исходных, называется их
конъюнкцией.
Вслед за словесным опреде-
табличное. В таблице истинности
для конъюнкции двух высказываний — три столбца.
В первых двух проставлены значения истинности исход-
ных высказываний, в третьем — значение их конъюнк-
ции. Разбор метеосводки показал, что среди комбинаций
исходных высказываний возможны.три таких, при кото-
рых их конъюнкция ложна, и лишь одна комбинация
такова, что их конъюнкция истинна. Итого, четыре воз-
можности. Столько же и строк в таблице.
Логическая операция конъюнкции позволяет связы-
вать не только два, но и любое конечное число высказы-
ваний. Их конъюнкция истинна тогда и только тогда, ко-
гда истинно каждое из них, ложна же она тогда, когда
ложно хотя бы одно из них.
Непонятно, хоть убей,
Снег ли это или сокол
Гонит белых голубей
Мимо звезд...
Поэтический образ — не научное предсказание.
В подлинно научном утверждении каждое положение
должно быть одназначным и верным. А подлинная поэзия
всегда допускает многозначность прочтения, увлекая чи-
тателя возможностью сотворчества.
Казалось бы, эта возможность делает равновероят-
ным как верное, так и превратное прочтение поэтических
высказываний. Ведь каждое утверждение может быть
либо истинным, либо ложным.
Однако, как мы уже говорили, это относится лишь
к элементарным высказываниям. Сложное высказыва-
ние можно построить так, что оно окажется верным
даже тогда, когда одна из его элементарных компонент
ложна.
Приглядимся внимательнее к поэтической картине,
нарисованной в процитированном отрывке из стихотворе-
88
ния Леонидзе «Песня первого
снега». Ради ясности перепишем
его строчки в нарочито строгой
форме.
«Идет снег или сокол гонит
белых голубей».
Перед нами — два элементар-
ных высказывания, соединенных
(D в ®илиё§
и и И
и л 1 И
л и и
л л ! 71
союзом «или». Разу
меется, если истинно и первое (идет снег) и второе (со-
кол гонит белых голубей), то истинным будет и все сло-
женное из них высказывание в целом. Но пусть истинно
хотя бы первое из них. Если даже второе и ложно, все
сложное высказывание в целом следует признать истин-
ным. Таким же будет оно и тогда, когда истинно второе
высказывание, а первое ложно. И только в том случае,
когда ложны оба, ложным будет и высказывание, об-
разованное из них посредством союза «или».
Логическая операция «или», с которой мы только что
познакомились, называется дизъюнкцией. С ее помощью
из двух высказываний образуется третье, которое истин-
но, когда истинно хотя бы одно из двух исходных выска-
зываний, и которое ложно, когда ложны оба. Таково оп-
ределение дизъюнкции.
Таблица истинности для дизъюнкции двух высказы-
ваний содержит три столбца и четыре строчки, как и таб-
лица, приведенная в предыдущем разделе. Только на сей
раз, в соответствии с определением дизъюнкции, в тре-
тьем столбце таблицы преобладают буквы И — символы
истины.
Логическая операция дизъюнкции позволяет связы-
вать не только два, но и любое конечное число высказы-
ваний. Их дизъюнкция истинна тогда и только тогда, ко-
где истинно хотя бы одно из них, ложна же она тогда,
когда ложны они все.
Одна из глав «Всеобщей истории, обработанной
«Сатириконом», посвящена древней стране Спарте (или
Лаконии) — царившим в ней порядкам, обычаям ее
жителей и, конечно, их своеобразной манере выра-
жаться:
«Они с детства приучались говорить лаконически, то
есть коротко и сильно... Так, одна спартанка, отдавая
89
щит сыну, сказала лаконически: «С ним или на нем».
А другая, отдавая кухарке петуха для жаренья, сказала
лаконически: «Пережаришь — вздую».
Этот отрывок привлек наше внимание потому, что
содержит два сложных высказывания, структуры кото-
рых стоит проанализировать.
О первом из них («со щитом или на щите») мы по-
говорим после. Пока займемся вторым.
«Пережаришь — вздую». Фраза звучит чересчур ла-
конически даже для такой немногословной науки, как
математика. Для понятности придадим ей более развер-
нутый вид: «Если петух будет пережарен, то кухарка
будет наказана».
Сложное высказывание такой структуры называют
импликацией тех двух элементарных высказываний, из
которых оно образовано. Из них первое, снабжаемое
слово «если», называется посылкой, или основанием, вто-
рое, начинающееся со слова «то»,— следствием, или за-
ключением.
Строго определить соответствующую логическую опе-
рацию, также называемую импликацией, нам вновь по-
может таблица истинности.
Чтобы построить ее, нужно проанализировать все воз-
можные исходы истории с петухом и кухаркой.
Петух пережарещ кухарка наказана. То есть и посыл-
ка и следствие истинны. Тогда в соответствии с обеща-
нием хозяйки (а суровые лаконские женщины умели дер-
жать слово!) истинно все сложное высказывание.
Петух пережарен, но кухарка избежала наказания. То
есть посылка истинна, а следствие — нет. При тех поряд-
ках, которые царили на лаконских кухнях, такое абсо-
лютно исключено, это явная ложь.
Петух не пережарен, кухарка не наказана. Истина.
Петух не пережарен, но кухарка наказана. Тоже ис-
тина: чего не бывает под горячую руку в доме, где вер-
ховодит суровая лаконская женщина!
Не спешите упрекать ее в несправедливости и нело-
гичности. В математической логике дело обстоит точно
так же.
Вот убедительный тому пример. «Если из двух сла-
гаемых каждое делится на три, то и сумма делится на
три». Все высказывание в целом не оставляет сомнений в
своей истинности. А теперь посмотрим, какие значения
истинности могут принимать основание и следствие.
90
Возможно, что оба они истин-
ны. Слагаемые 6 и 9 делятся на
три, и такова же их сумма — 15.
Возможно, что оба ложны.
Слагаемые 2 и 5 не делятся на
три, и то же самое можно сказать
про их сумму — 7.
ecAnggrofg
и и И
и л л
л и и
л л 1 и
Возможно, что основание ложно, а заключение истин-
но. Слагаемые 4 и 8 не делятся на три, а их сумма — 12—
делится.
Но нам не удастся найти пример, когда оба слагаемых
делятся на три, а их сумма — нет.
В ходе этих рассуждений мы словно заново заполни-
ли таблицу истинности для операции «если... то». И таб-
лица продиктовала нам прежнее определение этой логи-
ческой операции: импликация двух высказываний ложна
тогда и только тогда, когда основание истинно, а след-
ствие ложно.
Попробуем взглянуть на дело, так сказать, с обратной
стороны. Попытаемся разобраться, что обычно мы име-
ем в виду, говоря, что из некоторого высказывания А не
следует другое высказывание В? Подыщем математиче-
ский пример и к этому случаю.
Древние вавилоняне полагали, что площадь всякого
четырехугольника равна произведению полусумм проти-
воположных сторон. Отсюда нетрудно вывести такое ут-
верждение: если периметры двух четырехугольников
равны, то равны и их площади.
Верна ли эта импликация? Похоже, что нет. Вот, ска-
жем, квадрат и ромб с теми же сторонами, с углами
между ними 30 и 150 градусов. Периметры этих четырех-
угольников равны (основание высказанного утверждения
истинно), а площади разнятся в два раза (следствие
ложно). Стало быть, анализируемая нами импликация
ложна.
Итак, что же получается? Отрицать импликацию двух
высказываний А и В (неверно, что из А следует В) —то
же самое, что утверждать: А и не В.
Эта конструкция из двух высказываний построена с
помощью хорошо знакомых нам логических операций —
конъюнкции и отрицания, и потому нетрудно установить,
какие значения истинности принимает это сложное вы-
сказывание в зависимости от того, истины или ложны его
элементарные компоненты. Построим соответствующую
91
таблицу истинности,
и это будет, со-
гласно сказанному
выше, таблица для
отрицания имплика-
ции. Переменив вы-
численные значения
А в не В Аи не В не(Аи неВ) истинности на обрат- ные, дополним таб-
И и л л И лицу новым столб-
И л и и Л цом... глядите — у
Л и л л и нас получилось зна-
Л л и л и комое определение
импликации! Все
тут, как прежде: им-
пликация двух высказываний ложна в том и только в
том случае, если посылка истинна, а заключение ложно.
Мы не случайно уделяем так много внимания импли-
кации. На свойствах этой логической операции основаны
все умозаключения, позволяющие выводить одни утвер-
ждения из других и составляющие существо всякого ло-
гического рассуждения.
«Если дважды два пять, то существуют ведьмы»,—
говорил известный математик Хаусдорф.
При всей своей бессмысленности, этот афоризм весь-
ма поучителен. Приглядимся к нему. Это импликация. Ее
основание ложно. А теперь обратимся к таблице истин-
ности для этой логической операции. При ложном осно-
вании импликация всегда истинна, каким бы ни было
заключение — истинным или ложным. Недаром говорят,
что из ложных посылок можно вывести все, что угодно.
Слегка переиначим афоризм Хаусдорфа: «Если су-
ществуют ведьмы, то дважды два четыре». Опять им-
пликация, притом ее заключение истинно. Снова обра-
тимся к таблице истинности для операции «если... то».
При истинном заключении импликация всегда истинна,
каким бы ни было основание — истинным или ложным.
Недаром говорят, что к истинным выводам можно прий-
ти из каких угодно посылок.
Выражения «все, что угодно», «какие угодно», конеч-
но, преувеличение, если смотреть на дело с точки зрения
92
здравого смысла. В импликациях, употребляемых в ос*
мысленных рассуждениях, основание и следствие всегда
связаны по содержанию или предмету. Это же можно
сказать и про любое сложное высказывание, если поды-
скивать их реальные примеры.
Однако с точки зрения формальной логики никакого
преувеличения мы не допустили. Ведь математическая
логика анализирует рассуждения, отвлекаясь от их со-
держания. Поэтому требовать от нее, чтобы она как-то
отсеивала вздорные высказывания, подобные вышепри-
веденным, было бы чрезмерным. Да и как в конце концов
формализовать это понятие — вздор?
Остается лишь надеяться, что в разумных рассужде-
ниях бессмысленные сочетания элементарных высказы-
ваний не встретятся.
Некоторые логические операции в разговорном языке
(да и в математической терминологии) выражаются раз-
личными оборотами, и это может затруднять анализ
сложных высказываний.
Скажем, в математических рассуждениях часто упот-
ребляются слова «необходимо», «достаточно». Что стоит
за ними? Оказывается, не что иное, как логическая опе-
рация «если... то», импликация.
Что значит, например: «Для того, чтобы фигура была
квадратом, необходимо, чтобы она была ромбом»? Это
значит: если данная фигура — квадрат, то она — ромб.
Или — что значит: «Достаточным условием нечетности
числа является то, что число — простое»? Это значит:
если число простое, то оно нечетное.
Из всех логических операций импликация, быть мо-
жет, наиболее богата способами для своего выражения:
«если А, то В», «из А следует В», «А влечет В», «А им-
плицирует В», «В при условии, что А», «А достаточное
условие для В», «В необходимое следствие из А», «В не-
обходимое условие для А», «В тогда, когда А», «А толь-
ко тогда, когда В» и т. п.
В житейском языке слово «если» часто заменяется
словом «когда» (хотя давно известна латинская пого-
ворка: «После — не значит вследствие»). Иногда союз
«если» и вовсе опускается (как во фразе: «Пережа-
ришь — вздую»).
93
И, как правило, логика в живой речи густо окутана
эмоциями.
Вот почему, сопровождая свой рассказ о логике при-
мерами из литературы, мы часто пересказываем их, что-
бы вскрыть их логическое строение — то разворачивая
короткую фразу, то упрощая замысловатую, жертвуя
языковыми красотами оригинала ради ясности смысла.
Математические высказывания такой обработки, ра-
зумеется, не требуют, поскольку их смысл точен и недву-
смыслен.
Мы так обстоятельно говорили о логической опера-
ции «если... то», что читатель сможет, вероятно, и без
нашей помощи уяснить смысл сходной с ней по названию
логической операции «тогда и только тогда, когда» (ва-
рианты: «необходимо и достаточно», «если и только
если»).
Сложное высказывание, образованное из двух исход-
ных с помощью этой операции, называется их эквивален-
цией; так же называется и сама эта операция.
Определить ее нам поможет пример.
Говорят, что число делится на три тогда и только то-
гда, когда на три делится сумма его цифр. Это, очевидно,
означает следующее:
если число делится на три, то и сумма его цифр де-
лится на три
и
если на три делится сумма цифр числа, то и само
число делится на три.
Так можно развернуть эквиваленцию двух каких
угодно высказываний. Надо сначала образовать из них
импликацию, приняв первое высказывание за посылку,
а второе за следствие. Потом надо образовать еще одну
импликацию, приняв на сей раз за посылку второе вы-
сказывание, а за следствие — второе. Наконец, обе полу-
eMigiog если (grog g-ArixQ
И и И И И
и л л И л
л и и Л л
л л и и и
94
ценные импликации надо соединить операцией конъюнк-
ции.
После такой расшифровки нам уже будет нетрудно
определить логическую операцию эквиваленции. По опы-
ту предыдущих разделов мы знаем, что для этого нужно
установить, какое значение истинности принимает экви-
валенция двух высказываний в зависимости от того, ка-
ковы они сами — истинны или ложны. И еще мы знаем,
что таблица истинности для логической операции равно-
сильна ее определению.
Начертим два первых столбца таблицы и проставим
в них значения истинности двух высказываний, образую-
щих эквиваленцию, во всех четырех сочетаниях, которые
возможны. В третьем столбце укажем, какое значение
истинности примет при этом импликация первого и вто-
рого высказываний. В четвертом сделаем то же самое
для импликации второго и первого. А пятый заполним,
беря исходные данные из третьего и четвертого столбцов
и ставя им в соответствие такое значение истинности, ко-
торое предписывается операцией конъюнкции.
В согласии с приведенным выше развернутым пони-
манием эквиваленции пятый столбец таблицы и опреде-
лит собой эту логическую операцию.
Посмотрите его. Эквиваленция двух высказываний
истинна тогда и только тогда, когда оба они истинны
или оба ложны, то есть значения истинности того и дру-
гого совпадают.
В поисках иллюстраций для положений математиче-
ской логики мы перелистали с вами, читатель, страницы
Гашека и Честертона, «Сатирикона» и Леонидзе. Цита-
тами из них мы поясняли логические операции отрица-
ния, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивален-
ции.
Подбор первоисточников для этой цели в значитель-
ной мере обусловлен симпатиями авторов. Вы можете
взять любую другую книгу, извлечь из нее любое слож-
ное высказывание и проанализировать, какие значения
истинности принимает оно в зависимости от того, каковы
входящие в него элементарные высказывания — истинны
или ложны. Мы уверены: чтобы описать результаты та-
кого анализа, вам вполне хватит все той же пятерки —
95
^3 АИбО^ ^АИбО^Д
и и Л
и л и
л и и
л л л
отрицание, конъюнкция, дизъюнк-
ция, импликация, эквиваленция.
Кстати, можно и не лазить на
полку за новыми книгами. Помните
лаконскую женщину, которая про-
вожала сына на войну со словами:
«Со щитом или на щите»?
На первый взгляд ее напутствие представляет собой
обыкновенную дизъюнкцию. Однако, если разобраться,
союз «или» понимается тут несколько не так, как мы вос-
принимали его, разбирая строки стихотворения Леони-
дзе.
«Идет снег или сокол гонит белых голубей». Мы до-
пускаем, что сокол вылетел поохотиться на голубей во
время снегопада, иными словами, что в этом сложном
высказывании истинными могут быть оба элементар-
ных.
Иначе употребляла эту связку лаконская женщина,
изрекая свой знаменитый афоризм. Ее сложное высказы-
вание истинно лишь в двух случаях:
тогда, когда истинно первое из входящих в него эле-
ментарных высказываний («со щитом») и ложно второе
(«на щите»),
или
тогда, когда ложно первое высказывание и истинно
второе.
В подобных случаях говорят, что союз «или» имеет
разделительный смысл и выражает так называемую стро-
гую дизъюнкцию.
В разговоре, когда хотят подчеркнуть, что речь идет
именно о ней, союз «или» повторяют, иногда заменяя
его союзом «либо»: «Или пан, или пропал»; «или то,
или другое»; «либо в стремя ногой, либо в пень голо-
вой» и т. п.
Чтобы выяснить точный смысл новой для нас логи-
ческой операции, следует дать ей строгое определение.
Тот, кто разобрался с афоризмом лаконской матери, сде-
лает это без труда: строгая дизъюнкция двух высказыва-
ний истинна тогда и только тогда, когда значения истин-
ности того и другого не совпадают.
Сравните это определение с определением эквивален-
ции и вы согласитесь: строгая дизъюнкция двух выска-
зываний равносильна отрицанию их эквиваленции.
96
Как видите, этот наугад взятый пример подтвержда-
ет наше предсказание: для описания любой применяемой
нами в рассуждениях логической операции достаточно
пяти основных (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, им-
пликация, эквиваленция).
До сих пор мы занимались самыми простыми из
сложных высказываний, в состав каждого из которых
входило лишь два элементарных.
Попробуем теперь подняться на следующую ступень-
ку сложности. Попытаемся проанализировать какое-
либо высказывание, состоящее из трех простых компо-
нент.
Помните Безенчука, гробовщика-философа из романа
Ильфа и Петрова «Двенадцать стульев»? Классифицируя
своих клиентов, он, в частности, говорил: «Но самые мо-
гучие когда помирают, железнодорожные кондукторы
или из начальства кто, то считается, что дуба дают. Так
про них и говорят: «А наш-то, слышали, дуба дал».
Чтобы логическая структура этого суждения стала
яснее, перепишем его попроще и почетче:
Если умер железнодорожный кондуктор или умер на-
чальник, то люди говорят: дуба дал.
Теперь ясно видно, что это сложное высказывание
образовано из трех элементарных: «умер железнодорож-
ный кондуктор»; «умер начальник»; «люди говорят: дуба
дал».
Логическая структура сложного высказывания — это
совокупность и порядок логических операций, при помо-
щи которых оно образовано из элементарных.
Про структуру высказывания Безенчука можно ска-
зать, что это — импликация. Следствием в ней служит
последнее из трех перечисленных элементарных выска-
зываний, место посылки занимает дизъюнкция первых
двух.
Длинноватое описание, не правда ли? А ведь в даль-
нейшем нас ждут высказывания еще более сложные. Чем
они сложнее, тем труднее описывать словами их струк-
туру.
4. Ю. В. Пухначев, Ю. П. Попов 97
потому и возникли логические формулы. И когда
сложные высказывания переводятся на формульный
язык, их элементарные составляющие заменяются про-
писными латинскими буквами. А вместо пропозицио-
нальных связок ставятся символы соответствующих ло-
гических операций: ”] для операции «не», Д для опера-
ции «и», V для операции «или», -> для операции «если...
то», *-> для операции «тогда и только тогда».
(Надо сказать, что существуют и другие обозначения
для логических операций. Отрицание порой обозначается
волнистой чертой перед отрицаемым выражением,
импликация — символом zx Мы предпочли наиболее
наглядные, как нам кажется, обозначения.)
Ради примера переведем на формульный язык упро-
щенный вариант рассуждения Безенчука. Три входящих
в него элементарных высказывания закодируем буквами
А, В, С соответственно. Используя символ дизъюнкции
V , свяжем им первые две буквы: А V В; затем, оградив
для ясности эту комбинацию скобками, образуем из нее
и третьей буквы импликацию: (А\/В)->С.
А->В
AVC
C->D
~ID
ПС
А
В
Это тоже цитата, но на сей раз не из газеты и не из
книги, изданной массовым тиражом. Сам вид этого от-
рывка говорит, что он позаимствован из книги по мате-
матической логике.
Мы привели его, вспомнив хороший прием опытных
преподавателей иностранных языков. Наставляя своих
учеников в искусстве перевода, они просят переводить
тексты дважды: сначала с чужого языка на родной, а по-
том — обратно. Сопоставляя результат с оригиналом и
видя расхождения, лучше понимаешь свои промахи.
Некоторый опыт перевода с житейского языка на фор-
мально-логический, родной язык математики, мы уже
98
приобрели в предыдущих разделах. Займемся теперь об-
ратной процедурой.
Попробуем перевести с языка символов на русский
язык хотя бы первую строчку текста, с которого начи-
нается этот раздел. Прописные латинские буквы — это,
очевидно, высказывания. Стрелка — знакомый нам сим-
вол импликации.
Мы уверены, что после этого напоминания читателю
уже слышится голос строгой лаконской домохозяйки:
«Пережаришь — вздую». Но не будет никакой ошибки,
если перевод получится, например, таким: «Если тре-
угольник остроугольный, то его ортоцентр лежит внутри
него». Или даже таким: «Если лошади кушают овес, то
Волга впадает в Каспийское море».
Не будет ничего страшного, если разночтения вкра-
дутся и в перевод второй строчки с символического язы-
ка на русский. У одних, возможно, получится: «Идет снег
или сокол гонит белых голубей». У других: «Треугольник
АВС — остроугольный или тупоугольный». У третьих: «В
огороде бузина или лошади кушают овес».
Пусть, читатель, вас не озадачивает такая много-
значность. Это вовсе не порок, а великое достоинство.
Записав в таком кратком и четком виде структуру
какого-то одного логического рассуждения, мы тем са-
мым получаем возможность анализировать не толь-
ко его, но и все другие рассуждения той же струк-
туры.
Это, как в алгебре. Когда мы пишем a+b — b + a
(переместительный закон сложения), то за этим мы ви-
дим не какое-то одно числовое равенство (скажем, 1 +
4-2 = 2 +1), а всевозможные равенства такого же типа
(например, 5 + 7 = 7 + 5). Изучив по алгебраической фор-
муле эту закономерность сложения чисел, мы можем
складывать, не заботясь о порядке слагаемых, любые
конкретные предметы — станки и пуговицы, столы и ка-
рандаши.
В алгебре буквы, входящие в формулы, называются
переменными. Им можно придавать конкретные число-
вые значения или, как еще говорят, вместо них можно
подставлять элементы какого-то множества чисел (це-
лых, рациональных, вещественных). Буквы, входящие в
формулы исчисления высказываний, называются выска-
зывательными переменными. Вместо них, как подсказы-
вает сам термин, можно подставлять конкретные выска-
99
зывания. Подсказка в общем верна, но есть здесь одна
деталь, в которой стоит разобраться.
За переменными алгебраической формулы мы видим
числа, а за ними — конкретные предметы. Такие же трех-
звенные цепочки получаются и при толковании логиче-
ских формул. Первое звено — это высказывательная пе-
ременная. Последнее — конкретное высказывание. Ну, а
среднее?
Проницательный читатель уже догадался, вероятно,
что среднее звено — это значения истинности, И и Л.
И действительно, анализируя логические формулы,
конечно же, никто не представляет себе за комбинация-
ми букв ни Безенчука с его сентенциями, ни лаконскую
домохозяйку с ее самодурством. Исследуя логическую
структуру высказывания, отвлекаются от его конкретно-
го содержания и интересуются лишь тем, какое значение
истинности приобретает оно, когда вместо букв в его
формулу будут подставлены те или иные значения ис-
тинности — И или Л.
Кстати, в некоторых формулах исчисления высказы-
ваний встречаются и сами эти буквы, И и Л. Поскольку
их толкование однозначно, их называют высказыватель-
ными постоянными.
В разговорном языке пропозициональные связки, вы-
ражающие логическую структуру того или иного предло-
жения, тонут меж его слов.
В формульной записи символы логических операций
столь же заметны, как буквы, символизирующие элемен-
тарные высказывания. Логическая структура сложного
высказывания при этом видна отчетливо, а воз-
можные двусмысленности устраняются применением
скобок.
Собственно, всякую такую конечную последователь-
ность букв, знаков операций и скобок, удовлетворяющую
некоторым простым правилам (типа: левых скобок долж-
но быть столько же, сколько правых), можно назвать ло-
гической формулой.
Строгое же ее определение таково: всякая высказы-
вательная переменная и постоянная есть формула; вся-
кое отрицание формулы и всякое объединение двух фор-
мул с помощью знаков конъюнкции и дизъюнкции, им-
100
пликации и эквиваленции есть формула; никаких других
способов образования логических формул из высказыва-
тельных переменных и постоянных нет.
Не правда ли, за этим определением видятся смутные
образы разрастания, укрупнения? Вот на листе бумаги
появились две буквы, сцепленные символом логической
операции, вот символом-сцепкой к образовавшейся фор-
муле, огражденной для ясности скобками, присоединена
еще одна буква или другая формула... Это напоминает
химический синтез, когда посредством химических свя-
зей молекулы образуются из атомов или молекул по-
меньше.
И наоборот: видя логическую формулу, мысленно на-
чинаешь разымать ее на составные части, сообразуясь с
расстановкой скобок.
Стоит заметить, что в математической логике извест-
ны способы записи формул, позволяющие значительно
экономить скобки.
Истина и ложь — вот все множество значений, кото-
рые может принимать высказывательная переменная.
Сложностей, вроде ёы, никаких.
Сложности возникают, когда в логической формуле
не одна, а много переменных — п переменных, скажем
мы, чтобы подчеркнуть их многочисленность. Придавая
им конкретные значения истинности, надо всякий раз от-
давать себе отчет, какое значение получила первая из
переменных, какое — вторая... какое — п-ная.
Речь, стало быть, идет об упорядоченных наборах из
элементов множества {истина, ложь}. Речь идет об и-ках
этих элементов — вспомним термины теории множеств,
они сейчас нам понадобятся для преодоления кажущихся
сложностей.
Придавая всем п высказывательным переменным ка-
кой-либо логической формулы всевозможные наборы зна-
чений истинности, будем каждый раз смотреть, какое зна-
чение истинности приобретает при этом вся формула в
целом.
Речь, стало быть, идет об отображении множества
и-ок из элементов множества {истина, ложь} в то же са-
мое множество.
Такое отображение называется n-местной функцией
101
А В с (AVB) (AVB)-C
И И и И И
И и л и л
И л и и ! и
И л л и ! л
Л и и и и
Л и л и л
Л л и л и
Л л л л и
исчисления высказываний,
или высказывательной функ-
цией п высказывательных
аргументов.
Вам хотелось бы разо-
брать по этому поводу ка-
кой-то пример? И для нача-
ла попроще?
Что ж, напишите на бу-
маге любую букву и пони-
майте ее как логическую
одной высказывательной пере-
формулу, состоящую из
менной. Какое значение вы придадите переменней, такое
же примет и формула. Это будет простейшая одномест-
ная функция исчисления высказываний. Каждому эле-
менту множества {истина, ложь} она ставит в соответ-
ствии тот же элемент.
Поставьте теперь перед этой буквой символ отрица-
ния. Получится опять-таки одноместная функция исчис-
ления высказываний. Каждому элементу множества {ис-
тина, ложь} она ставит в соответствие другой элемент
того же множества. Характер этой функции уже знаком
нам из таблицы истинности, которую мы составляли для
логической операции отрицания.
Если две буквы, соединенные знаками конъюнкции
или дизъюнкции, импликации или эквиваленции, рас-
сматривать как высказывательные переменные, каждая
такая пара определит собой двухместную функцию ис-
числения высказываний. И опять в их исследовании по-
могут уже знакомые нам таблицы истинности, составлен-
ные нами раньше для этих операций. (Вспоминая тер-
минологию теории множеств, можно сказать, что каждая
такая таблица есть график соответствующей высказыва-
тельной функции.)
Пример трехместной функции исчисления высказыва-
ний нам поможет построить Безенчук. Помните, как мы
зашифровали его сентенцию о кондукторах и начальни-
ках? (А V В)->С. Будем понимать участвующие в этой
формуле буквы как высказывательные переменные, по-
строим для нее таблицу истинности и тем самым опреде-
лим трехместную функцию исчисления высказываний.
(Кстати, не могли бы вы сказать, сколько строк будет
в таблице на сей раз? Таблица для одноместной функции
насчитывает две строки, для двухместной — четыре, то
102
есть добавление новой переменной удваивает количество
строк. И это понятно: все комбинации прежних перемен-
ных следует рассматривать сначала вместе с истинным
значением новой, а потом — вместе с ложным. Стало
быть, трехместная формула имеет восьмистрочечную таб-
лицу истинности, четырехместная — таблицу из шестна-
дцати строк... Наконец, можно доказать, что таблица для
n-местной функции исчисления высказываний насчитыва-
ет 2П строк.)
Формулы, таблицы, функции... В своих рассуждениях
о них мы определяли каждое следующее понятие в этом
ряду через предыдущее. Говорят, что таблица, опреде-
ляемая формулой, -соответствует этой формуле, а функ-
ция, определяемая формулой или таблицей, соответству-
ет той и другой.
Разумеется, функцию можно определить и без форму-
лы, одной таблицей, указывая для каждого набора значе-
ний истинности, которые приданы высказывательным
аргументам, значение функции. (Вспомним: ведь и в
мире числовых функций не всякая задается алгебраиче-
ской формулой!)
Чаще всего, однако, формула для высказывательной
функции бывает известна. И потому эти два термина в
математической логике зачастую употребляются на рав-
ных. Говорят, например, не «значение функции», а «зна-
чение формулы» и т. д.
До сих пор, беседуя об исчислении высказываний, мы
говорили, собственно, лишь о том, как оно определяет
истинностное значение того или иного сложного выска-
зывания, исходя из значений его элементарных компо-
нент и его логической структуры.
Мы переходим сейчас к другой, существеннейшей сто-
роне исчисления высказываний. Руководствуясь так на-
зываемыми правилами вывода, оно исследует взаимосвя-
зи между истинностными значениями сложных высказы-
ваний, имеющих некоторые общие элементарные компо-
ненты, и на этом основании позволяет анализировать
логические рассуждения, доказывая или опровергая, что
последнее утверждение в некоторой цепи высказываний
есть логическое следствие исходных. При помощи тех же
правил исчисление высказываний позволяет также и
103
строить логические рассуждения, выводя одни высказы-
вания из других.
(Кстати, если при анализе какого-то рассуждения,
разлагая его фразы на элементарные составляющие, мы
видим, что все эти составные части различны, мы ни одну
из этих фраз не сможем вывести как логическое след-
ствие из других. Потому у нас и вызвала улыбку загадка
Швейка, с которой начинался наш разговор о логике:
ясно, что из информации о слуховых окнах и квартиран-
тах некоего дома нельзя сделать никаких достоверных
выводов о дате смерти бабушки швейцара.)
Во всех языках есть слова, звучащие по-разному, но
означающие одно и то же: «сильный» и «мощный», «боль-
шой» и «крупный», «быстро» и «скоро» и т. д. Такие сло-
ва называются синонимами.
Сопоставление синонимов иногда позволяет лучше
уяснить смысл стоящих за ними понятий. Вспомните, как
с этой целью мы перебирали синонимы слова «множе-
ство»: «совокупность», «набор», «ансамбль» и т. д.
Синонимичными бывают не только слова, но и целые
выражения. Возьмем для примера одно из тех, которые
содержат частицу «ни»: «ни рыба ни мясо».
Верные принципу формальной логики не вдаваться в
содержание анализируемых фраз, не будем углубляться
в образные оттенки этого выражения. Мы и без этого мо-
жем безоговорочно утверждать, что фраза: «Это не рыба
и не мясо» совершенно синонимична, то есть тождествен-
на по смыслу предложению: «Неверно, что это рыба или
мясо».
Здесь явно пахнет какой-то логической закономер-
ностью!
Но будем последовательны в своем безразличии к со-
держанию исследуемых предложений. Уже отработанным
приемом заменим буквами входящие в них элементарные
высказывания, превратим их в формулы, применимые не
только к продовольственным товарам. У нас получится,
что высказывание со структурой «неверно, что А или В»
означает то же самое, что высказывание со структурой
«не А и не В». А если выражаться еще более общо и сов-
сем уж научно, отрицание дизъюнкции нескольких вы-
сказываний равносильно конъюнкции их отрицаний.
104
Если читателю эта логическая находка показалась
небезынтересной, он может продолжить поиски самостоя-
тельно, например, доказать, что отрицание конъюнкции
нескольких высказываний равносильно дизъюнкции их
отрицаний. В частности, сложное высказывание со струк-
турой «неверно, что А и В» означает то же, что высказы-
вание со структурой «не А или не В».
Найденные закономерности называются законами де
Моргана. Позже мы увидим, что они отнюдь не случайно
носят имя того же математика, что и два известных за-
кона теории множеств.
Обнаруженные нами совпадения смысла у различных
по логической структуре сложных предложений — не та-
кая уж редкость для исчисления высказываний.
Вспомните-ка одну из фраз, с которых мы начали зна-
комство с этим исчислением: «Если лошади кушают овес,
то Волга впадает в Каспийское море». Сравните ее с та-
ким предложением: «Если Волга не впадает в Каспий-
ское море, то лошади не кушают овес».
Опять: высказывания разные, но означают они, по
существу, одно и то же.
Вам это не очевидно? Что ж, давайте перейдем от
этих высказываний к их формульной записи: C->D (для
первого) и “] D-> ~| С (для второго).
Формулы получились разные, но если построить для
той и другой таблицу истинности, то обе таблицы совпа-
дут. Стало быть, эти две формулы определяют одну и ту
же высказывательную функцию.
Две формулы исчисления высказываний, определяю-
щие одну и ту же высказывательную функцию, и называ-
ются равносильными.
О существовании таких формул проницательный чи-
татель наверняка догадывался раньше — еще когда мы
с помощью таблиц истинности доказали: высказывание
«неверно, что если А, то В» означает то же самое, что
высказывание «А и не В». Беря отрицание обоих выска-
зываний, заключаем, что формула импликации А->В рав-
носильна формуле “| (А А "1 В).
Здесь опять напрашивается аналогия с алгеброй. Там
тоже встречаются формулы, обозначающие одно и то же.
Например, а (Ь + с) и ab + ac. (Их равенством выражает-
105
ся распределительный закон умножения относительно
сложения.) Какие числа ни подставляй в ту и другую
формулу, результаты там и здесь всегда будут одинако-
вые. Подобное равенство называется тождеством и запи-
сывается с помощью особого знака: a (b + c)^ab + ac.
В алгебраических выкладках одну из таких формул
всегда можно заменить другой. Это позволяет преобра-
зовывать алгебраические выражения, упрощая их и при-
водя к определенному удобному виду.
Точно так же и в логических выкладках всегда можно
заменить одну формулу другой, ей равносильной. Таким
путем можно преобразовывать логические формулы в тех
же целях простоты и удобства, что и в алгебре.
Несколькими строчками выше мы заменили формулу
импликации А->В другой, содержащей иные логические
операции: “](АДЯ В). Замена выглядит громоздкой,
однако ее можно упростить, пользуясь законами де Мор-
гана, с которыми мы недавно познакомились. Возьмем
второй: отрицание конъюнкции нескольких высказываний
равносильно дизъюнкции их отрицаний. С его помощью
замена для формулы импликации становится более про-
стой: “] А V В.
Замена позволяет выразить все логические операции
через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (в этом за-
ключается приведение логических формул к так называе-
мой нормальной форме, удобной со многих точек зрения).
Алебраические тождества (вроде приводившегося
выше) выражают свойства арифметических операций.
Равносильность тех или иных логических формул выра-
жает свойства логических операций.
По явной аналогии с алгеброй равносильность логиче-
ских формул обозначают тем же символом, что и тожде-
ственное равенство: тремя горизонтальными черточками.
(Табл. 3).
Наиболее важные «равенства» такого рода приведены
на соседней странице.
«Быть или не быть?» — вопрошал Гамлет, принц
датский, герой одноименной трагедии Шекспира.
В нашей беседе о логике высказываний этот возглас
звучит диссонансом: ведь вопросительные предложения
высказываниями не являются.
106
Таблица 3
Равносильные формулы исчисления высказываний
АЛВеВЛА
AVB=BVA
АЛ(ВЛС>(АЛВ)ЛС
AV(BVC) = (AVB)VC
AA(BVC) = (AAB)V(AAC)
AV(BAC>(AVB)A(AVC)
АЛА^А
AVA-А
АЛИ = А
AVMsM
АЛЛ = Л
AVJl^A
Т1А = А
-|(AAB>1AV1B
“|(AVB)=“1AA“IB
А^В=ИВ-*1А
(AAB)-^C^(AAIC) — "IB
A-^b = -]AVB
А— в^(А-В)А(В-А)
Подредактируем Шекспира. Опустим в гамлетовской
фразе вопросительный знак, превратим ее в формулу,
заменяя слово «быть» высказывательной переменной А,
а союз или и частицу не—их символами: AVIA.
Что будет, если придавать переменной А то и другое
из ее возможных значений: истину и ложь?
Если А есть истина, истинной будет левая половинка
нашей дизъюнкции. Если же А есть ложь, истинной бу-
дет ее правая половинка. Истинности одного из двух
высказываний достаточно, чтобы их дизъюнкция была
истинной.
Итак, наша формула истинна всегда, какие значения
истинности ни придавать переменной, от которой эта
формула зависит.
Подобное бывает и с формулами, содержащими не
одну, а две, три и большее количество переменных.
Формула, значение которой есть истина, каковы бы
ни были значения входящих в нее высказывательных пе-
ременных, называется тождественно-истинной (или тав-
тологией, или общезначимой; см. табл. 4).
Если читателю подборка таких формул, помещенная
здесь, покажется слишком немногочисленной, он сможет
без особого труда понаделать из приведенных формул
107
Таблица 4
Тождественно-истинные формулы исчисления высказываний
((А—В)ЛА) — В
((А-*В)ЛПВ)-*ТА
((AVB)A“IB)—А
(АЛВ)-*А
A—(AVB)
((А-В)Л(В-*С))^(А-С)
((А^(ВЛ1В))^1А
А*(В^(АЛВ))
(A~-B)-*((AVC)-*'(BVC))
(А^В) — ((АЛС)* (ВАС))
(А—В) -* ((В — С) —’ (А— С))
((А-* В) Л (В **С))-* (А** С)
(А-*В)^(В*-А)
((АЛВ) —С)-*(А*(В-*С))
((А — В) Л (С - В))** ((AVC)—В)
((А-*В)Л(А—С))** (А-(ВЛС))
сколько угодно новых, опять-таки тождественно-истин-
ных. Рецепт таков: взять любую тождественно-истинную
формулу и вместо какой-то входящей в нее высказыва-
тельной переменной (всюду, где эта переменная встре-
чается!) подставить произвольную формулу (всюду одну
и ту же!). У вставленной формулы может быть много
аргументов, но значений — только два: истина или ложь,
то есть такие же, как у высказывательной переменной,
место которой заняла вставка. Так что если исходная
формула была тождественно-истинной, то она и после
подстановки не лишится своей тождественной истинности.
Есть еще один способ получения тождественно-истин-
ных формул. Оказывается, если взять две равносильные
формулы и соединить их символом эквиваленции, то по-
лученная формула будет тождественно-истинной. Ведь в
силу своей равносильности обе исходные формулы при
любых значениях входящих в них высказывательных пе-
ременных будут одновременно либо истинными, либо
ложными. И в том и в другом случае их эквиваленции
будет истинной.
Тождественно-истинные формулы замечательны тем,
что ими выражаются законы логики, по которым мы
строим свои рассуждения. В этом читатель убедится не-
сколькими разделами позже.
108
Можно поинтересовать-
ся: а бывают ли тождест-
венно-ложные формулы,
то есть такие, которые об-
ращаются в ложь при лю-
бых значениях входящих
в них высказывательных
переменных? Да, бывают.
Возьмите «гамлетовскую»
формулу и замените сим-
вол операции «или» на
символ операции «и»: АД Какое значение ни придать
переменной А, одна из половинок этой конъюнкции будет
истинной, а другая — ложной. А ведь если ложно хотя
бы одно из высказываний, образующих конъюнкцию,
ложна и вся она в целом.
Заметим, что у тождественно-ложных формул есть
еще одно обобщающее название: противоречие.
Однако как раз в этот момент мы вынуждены попро-
сить у читателя извинения: на наших часах — время
обеда.
На сей раз мы приготовим его сами, прямо у вас на
глазах.
На первое, пожалуй, пойдет щавелевый суп: 400 грам-
мов щавеля, 500 граммов мяса, 200 граммов лука, 2 сто-
ловые ложки масла и 3 литра воды. Такие исходные ком-
поненты рекомендует «Книга о вкусной и здоровой пище».
По ней мы перескажем и рецепт приготовления блюда:
«Сварить мясной бульон. Лук очистить, нарезать
мелкими кубиками и слегка поджарить на масле. Ща-
вель потушить, протереть сквозь сито и смешать с под-
жаренным луком. Смесь залить мясным бульоном, доба-
вить соль, размешать и варить 15—20 минут».
Пристрастные к математическим методам, мы мыс-
лим этот рецепт на графический манер. Линии нарисо-
ванного здесь графика — это путь от исходных продук-
тов через промежуточные к готовому блюду.
Подкрепившись, продолжим изыскания в области
математической логики. Переведем взгляд на следую-
щую страницу... Ба, знакомый узор линий!
109
Что, опять рецепт? Пожа-
луй, но не кулинарный. Это
графическая запись тех рас-
суждений, которые начинают-
ся бузиной в огороде и конча-
ются точным ответом на во-
прос, проживает ли в Киеве
дядька.
Но можно сказать и боль-
шее по поводу этого графи-
ка: по такой древовидной схе-
ме ведется логическое рас-
суждение, когда из нескольких высказываний, называе-
мых посылками, выводится новое,’ называемое заключе-
нием, которое и является целью всего рассуждения — это,
как правило, ответ на логическую задачу, сформулиро-
ванную посылками.
При этом все происходит примерно так же, как при
варке супа: из числа посылок берут какие-то две и из них,
как следствие, получают новое высказывание. Из расши-
рившегося таким образом множества высказываний —
посылки плюс выведенное из них следствие — опять бе-
рут какие-то два и получают, как следствие, еще одно
высказывание. Иногда очередной шаг заключается в том,
что какое-то сложное высказывание заменяется равно-
сильным, которое состоит из тех же элементарных ком-
понент, но имеет другую логическую структуру, более
удобную для дальнейших шагов. Так продолжается до
тех пор, пока не получится высказывание, которое можно
рассматривать как ответ на поставленную логическую
задачу. Последовательность образовавшихся по ходу
описанной процедуры высказываний называется доказа-
тельством, или выводом данного заключения из данных
посылок.
Искусство логического рассуждения, в частности, за-
ключается в том, чтобы угадывать кратчайшие пути от
посылок к заключению и верно подыскивать среди уже
имеющихся высказываний те, которые дадут новое.
Но даже и при столь искусном подходе мало-мальски
серьезные рассуждения имеют весьма сложные схемы,
которым вполне подходит придуманное для них назва-
ние: дерево логического вывода. Картинка, приведенная
тут,— всего лишь веточка. Но мы намеренно взяли для
иллюстрации именно ее: ведь за развесистыми деревьями
ПО
можно не разглядеть леса. А незатейливую веточку не-
трудно расчленить на составные части. И читатель, веро-
ятно, уже начал делать это сам, не дожидаясь призыва
авторов.
Вот одна из деталей схемы: точка под номером 5.
В нее упираются стрелки, исходящие из точек 3 и 4. Све-
ряясь с условиями головоломки, надписанные над ними
формулы следует расшифровать так: «Если лошади ку-
шают овес, то Волга впадает в Каспийское море» (фор-
мула C->D) и «Волга не впадает в Каспийское море»
(формула HD). Тогда высказывание “| С, написанное
рядом с точкой 5, надо понимать так: «Лошади не куша-
ют овес». Это вполне логичное следствие из предыдущих
двух высказываний, что, очевидно, и указывается стрел-
ками, ведущими из точек 3 и 4 в точку 5.
Точно так же из фраз «В огороде бузина или лошади
кушают овес» (AVC) и «Лошади не кушают овес»(~| С)
заключаем: «В огороде бузина» (А). А из фраз «Если в
огороде бузина, то в Киеве дядька» (А->В) и «В огороде
бузина» (А) получаем ответ на головоломку: «В Киеве
дядька» (В).
Теперь мы имеем возможность вкусить плодов с де-
рева вывода, вычерченного в предыдущем разделе. Дядь-
ка проживает-таки в Киеве. Решение головоломки полу-
чилось коротким и убедительным.
Нетерпеливый читатель, пожалуй, даже досадует:
стоило ли тянуть с ее решением, если оно оказалось та-
ким простым? Внимательный читатель, возможно, доба-
вит к этому, что формульная запись только что проведен-
ного нами рассуждения была помещена еще на стр. 98
(загляните-ка туда!). Разве мы не могли бы разобрать
еще тогда столь немудрящую, как выяснилось, логиче-
скую цепочку?
Для ответа на эти вопросы очень кстати упоминание
о логических формулах.
Действительно, из высказываний «В огороде бузина
или лошади кушают овес» и «Лошади не кушают овес»
нетрудно вывести: «В огороде бузина». Но не подсказан
ли этот вывод содержанием посылок? Всегда ли из двух
высказываний со структурой A VC и~] С будет следовать
высказывание А? В конце концов нас интересует не овес,
111
не бузина и не киевский дядька, а общие законы логиче-
ских рассуждений, те принципы, по которым из одних
высказываний выводятся другие.
Попытаемся разобраться, каковы должны быть эти
принципы. Всякое рассуждение, как мы уже знаем, на-
чинается с высказываний, называемых посылками. Есте-
ственно, все они полагаются истинными. Иначе из них
можно вывести все, что угодно, как мы подчеркивали за
разговором о логической операции «если... то». А тогда
логическое рассуждение теряет всякий смысл: ведь нас
интересуют только истинные заключения, выведенные из
посылок.
Сказанное и определяет естественное требование к
правилам, используемым на каждом шагу логических
рассуждений: эти правила должны быть такими, чтобы
из истинных высказываний получались опять-таки лишь
истинные. Иными словами, чтобы из истинных высказы-
ваний нельзя было получить ложное. Тогда и последнее
высказывание, именуемое заключением и представляю-
щее собой цель рассуждения, будет истинным.
Попробуем присмотреться с такой точки зрения к
только что подвернувшемуся нам примеру: верно ли, что
из любых двух высказываний со структурой AVC и “I С
следует высказывание А?
Чтобы придать ответу наибольшую общность, переве-
дем вопрос на чисто формульный язык. Заменим союз и
символом конъюнкции Л, слово «следует»—символом им-
пликации И тогда ответ на поставленный вопрос све-
дется к исследованию формулы ((А\/С) Л ”1 С)->А.
А теперь, внимательный читатель, напрягите свою па-
мять! Встречалась ли вам эта формула в нашей книге?
На 108-й странице она стоит третьей в списке
тождественно-истинных формул. Это означает, что она
истинна всегда, какие бы истинностные значения ни при-
давались высказываниями А и С.
Впрочем, согласно сказанному выше, они могут быть
лишь такими, что образованные из них сложные выска-
зывания А\/С и “1 С истинны: ведь оба входят в число
посылок. Если истинны они, то истинна и их конъюнкция
(А\/С)Л~|С. Итак, все, что стоит в исследуемой нами
формуле по левую сторону от стрелки,— истина. Тожде-
ственно-истинна и вся формула в целом. А при таких
условиях то, что стоит по правую сторону от стрелки, не
может быть ложью. Действительно, загляните в таблицу
112
истинности для логической операции «если... то», симво-
лизируемой стрелкой: при истинном основании имплика-
ция истинна лишь тогда, когда истинно следствие (в дан-
ном случае — высказывание А).
Стало быть, мы можем утверждать наверняка: всякий
раз, когда истинны высказывания со структурой А\/С и
С, истинно и высказывание А. В нашем понимании
это и означает, что из высказываний со структурой А V С
и "] С следует высказывание А.
В списке тождественно-истинных формул мы видим и
формулу ((А->В) Л П В)-> А. Она подтверждает, что из
высказываний «Если лошади кушают овес, то Волга впа-
дает в Каспийское море» и «Волга не впадает в Каспий-
ское море» следует высказывание «Лошади не кушают
овес». А формула ((А->В)ДА)->В, стоящая в списке са-
мой первой, обосновывает завершающее высказывание
всего нашего рассуждения о бузине и дядьке.
Вообще, всякое правило вида: «Из высказываний со
структурой, выраженной такими-то формулами, следует
высказывание, выражаемое такой-то формулой», назы-
вается правилом вывода.
Знакомство с правилами вывода, применяемыми в ис-
числении высказываний, мы начнем с так называемого
правила заключения. В словесной формулировке его
можно выразить так: из высказывания А и высказыва-
ния со структурой «если А, то В» следует высказыва-
ние В.
В списке правил вывода, наиболее употребительных в
исчислении высказываний (табл. 5), правило заклю-
чения стоит на первом месте. И не случайно: следующие
сводимы к нему.
Таблица 5
Правила вывода исчисления высказываний
правило заключения
правило силлогизма
введение дизъюнкции
удаление дизъюнкции
введение конъюнкции
В
А->В, В->С
А->С
А, В
AVB
AVB, ПА
В
А, В
113
АД В
А
А->В
1 В-> "1 А
(АД В)->С
(АЛ 1 С)-> |В
удаление конъюнкции
правило контрапозиции
правило расширенной контрапозиции
(Все приведенные правила даны в формульной запи-
си. При этом формулы-посылки выписываются через за-
пятую в строчку, подчеркиваются чертой, а под ней пи-
шется формула-заключение.)
Сверяясь со стр. 108, читатель обнаружит, что заго-
товками для перечисленных правил вывода послужили
тождественно-истинные формулы исчисления высказыва-
ний, имеющие вид импликаций и эквиваленций.
Мы надеемся, что теперь читатель понял, какую важ-
ную роль в обосновании логического следования играют
тождественно-истинные формулы и почему лишь после
знакомства с ними мы смогли дать убедительное реше-
ние головоломки о бузине и дядьке.
Мы надеемся также, что по ходу ее решения читатель
получил представление о принципах логических рассуж-
дений. В их основе лежит уже высказывавшееся нами
неявно определение логического следования: некоторая
формула есть логическое следствие из некоторых других
формул, принимаемых в качестве посылок, если она ис-
тинна по крайней мере при всех тех значениях входящих
во все эти формулы высказательных переменных, кото-
рые обращают в истину все посылки.
Принципы логического следования, с которыми мы
ознакомились, позволяют не только строить правильные
логические рассуждения, но и анализировать уже постро-
енные (если они основаны на тех законах логики, с ко-
торыми мы имели дело до сих пор).
Анализ рассуждения начинают с того, что выделяют
его схему. Сложные высказывания, из которых оно состо-
ит, разлагают на элементарные и заменяют их буквами.
Пропозициональные связки не, и, или, если... то, тогда и
только тогда заменяют символами соответствующих ло-
гических операций. В получившейся при этом цепочке
формул выделяются посылки (если запись вывода ведет-
114
ся в столбик, как на стр. 98, то они отделяются от даль-
нейших формул горизонтальной чертой). Затем относи-
тельно каждой из формул, следующих за посылками,
решается, можно ли получить ее из каких-либо предыду-
щих на основании того или иного правила вывода. Если
для каждой удается получить утвердительное решение,
то вся цепь рассуждений признается правильной — в том
смысле, что последнее высказывание в цепи не ложно,
если истинны посылки.
Впрочем, это можно проверить и сразу. Способ про-
верки естественным образом вытекает из определения
логического следования, данного нами в конце предыду-
щего раздела.
Нужно образовать импликацию, где роль основания
играет конъюнкция всех посылок (она будет истинной
лишь тогда, когда истинна каждая посылка), а роль
следствия — заключение всего рассуждения. Затем нуж-
но составить для полученной формулы таблицу истин-
ности, придавая высказывательным переменным всевоз-
можные значения, при которых посылки истинны. Если
вся полученная формула в целом при этом будет прини-
мать лишь одно значение — истина, то данное заключе-
ние действительно есть логическое следствие из данных
посылок.
Этот способ довольно громоздок, но зато надежен.
С его помощью относительно всякой промежуточной фор-
мулы рассуждения, построенного по знакомым нам прин-
ципам, можно решить, является ли она логическим след-
ствием из посылок.
Заметим, что в число посылок всегда можно включить
любую тождественно-истинную формулу: ведь требова-
нию истинности, которое предъявляется к посылкам, она
удовлетворит при любых истинностных значениях входя-
щих в нее высказывательных переменных.
Проверку логического следования, описанную в пре-
дыдущем разделе, часто проводят по несколько видоиз-
мененной схеме, известной под названием «доказатель-
ство от противного».
В чем его суть? К формулам-посылкам добавляют
отрицание предполагаемого заключения. Из расширенно-
го таким образом набора формул пытаются вывести про-
115
тиворечие, то есть какую-нибудь тождественно-ложную
формулу (как правило, имеющую вид «А и не А»). Если
это удается, то говорят, что предполагаемое заключение
следует из данных посылок.
Оправданна ли такая схема доказательства? Попро-
буем разобраться.
Предположим, что мы придали высказывательным
переменным такие истинностные значения, что все посыл-
ки обратились в истину. Выведенная тождественно-лож-
ная формула в согласии со своим названием при таких
значениях высказывательных переменных, естественно,
обратится в ложь.
Но ведь ложь логически следует только из лжи (за-
гляните в таблицу истинности для операции «если... то»:
при ложном заключении импликация истинна лишь в том
случае, если ложно основание). Стало быть, среди ис-
пользованных при выводе противоречия формул (вклю-
чая добавленную) есть такая, которая ложна при вы-
бранных истинностных значениях высказывательных пе-
ременных.
Ни одну из посылок в этом заподозрить нельзя: ведь
мы придавали высказывательным переменным именно
такие значения, чтобы все посылки были истинными.
Очевидно, все дело портит, обращаясь в ложь, использо-
ванное при выводе отрицание предполагаемого заключе-
ния. Стало быть, само предполагаемое заключение ис-
тинно при выбранных значениях высказывательных
переменных.
Нетрудно сообразить, что проведенное рассуждение
останется точно таким же при любых значениях выска-
зывательных переменных, при которых посылки обраща-
ются в истину. Всегда при этом в истину обратится
и предполагаемое заключение. А это и означает,
что данное заключение следует из данных по-
сылок.
Так и оправдывается схема доказательства от против-
ного.
Проводя по этой схеме доказательство какой-либо
конкретной теоремы на языке конкретных высказываний,
поступают так: к высказываниям-посылкам добавляют
отрицание доказываемого высказывания и из них выво-
дят высказывание со структурой «А и не А». Оно, соглас-
но только что сказанному, и обосновывает доказываемое
высказывание.
116
Ради иллюстрации------------------------------
здесь можно доказать от__________________________
противного какую-нибудь
несложную теорему. Возь- £
мем, например, за исход-
ное положение эвклидову аксиому о параллельных: че-
рез точку, не принадлежащую данной прямой, можно
провести не более одной прямой, параллельной данной.
Выведем отсюда такое утверждение: две различные пря-
мые, параллельные третьей и не совпадающие с ней, па-
раллельны друг другу (то есть не имеют общей точки).
Предположим противное: две наши прямые имеют
общую точку (обозначим ее М). Это равнозначно тому,
что через точку М мы провели две различные прямые,
параллельные третьей прямой (обозначим ее С). Но со-
гласно эвклидовой аксиоме о параллельных через точку
М проходит не более одной прямой, параллельной пря-
мой С. Объединим два последних высказывания в одно со
структурой тождественно-ложной формулы «А и не А»:
через точку М проходит более одной прямой, парал-
лельной прямой С,
и
через точку М проходит не более одной прямой, па-
раллельной прямой С.
Полученное противоречие и доказывает теорему о па-
раллельности любых двух прямых, порознь параллельных
третьей.
Уяснив, как проверяется правильность рассуждений,
проведенных по правилам исчисления высказываний, чи-
татель, естественно, захочет узнать, как по правилам
этого исчисления опровергаются неправильные рассуж-
дения.
Делается это так: для высказывательных перемен-
ных, участвующих в формульной записи рассуждения,
подбираются такие истинностные значения, чтобы все
посылки обратились в истину, а заключение — в ложь.
Это и означает, что анализируемое рассуждение не-
верно по своей структуре. Ведь правильной (напомина-
ем!) его структура считается лишь тогда, когда по вы-
ражающей ее цепочке формул от истинных посылок нель-
зя прийти к ложному заключению.
ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ
Точка, которую мы поставили в конце предыдущего
раздела, завершает не только его, но и весь наш рассказ
об исчислении высказываний.
Не будучи знакомым с ним, вряд ли можно сделать
хоть один осознанный шаг в логических рассуждениях.
Но это вовсе не значит, что оно дает все средства для
анализа любой логической задачи. Для характеристики
такой ситуации можно употребить уместное в нашей ма-
тематической книге словосочетание: необходимо, но не
достаточно.
Проиллюстрировать эту недостаточность можно с по-
мощью классического силлогизма, который наверняка
знаком хотя бы понаслышке многим нашим читателям:
«Все люди смертны. Сократ — человек. Следователь-
но, Сократ смертен».
Логично? Да. Но попробуем ответить на вопрос: а в
чем, собственно, логичность этого умозаключения? Во-
прос поставит нас в тупик, поскольку мы пока владеем
лишь средствами исчисления высказываний, а оно такие
умозаключения не способно ни строить, ни разбирать.
В самом деле, с чего начинается в нем и построение
и разбор всякого логического рассуждения? С анализа
посылок. В них выделяются простейшие компоненты, на-
зываемые элементарными высказываниями и соединен-
ные связками не, и, или, если... то, тогда и только тогда.
Каждое новое высказывание в логической цепи рассуж-
дения строится из уже имеющихся по тому или иному
правилу вывода.
В нашем примере посылок две: «Все люди смертны»
и «Сократ — человек». Здесь нет ни одной пропозицио-
нальной связки. Оба высказывания неразложимы, так
что каждое из них приходится рассматривать как эле-
ментарное. То же самое можно сказать и о заключении:
«Сократ смертен». И все эти три высказывания различ-
ив
ны, так что из первых двух третьего не получишь ни по
какому правилу вывода.
Словом, все как в загадке Швейка: с одной стороны —
слуховые окна и квартиранты, с другой — бабушка швей-
цара.
Конечно, нельзя сказать, что у этих высказываний
совсем нет общих элементов. В первом идет речь о всех
людях, в том числе и о Сократе. О нем же говорится и во
втором, и в третьем высказываниях. Сократ — вот то об-
щее звено, которое связывает заключение с посылками.
Но исчисление высказываний не способно выделить это
звено ни в одном из трех предложений, поскольку с ее
точки зрения все три неразложимы.
Вот и получается, что при всей очевидной логичности
заключения мы не можем вывести его из посылок, вла-
дея одним лишь исчислением высказываний.
Добро бы если эта беспомощность помешала нам
рассуждать лишь о судьбе Сократа. Нет, дело здесь в
гораздо большем: обороты логической выкладки, с кото-
рой мы только что познакомились, типичны для рассуж-
дений из самых различных областей математики.
Все квадраты — прямоугольники. Фигура АВСД —
квадрат. Следовательно, фигура АВСД — прямоуголь-
ник.
Существуют положительные целые числа. Все целые
числа — рациональны. Следовательно, существуют поло-
жительные рациональные числа.
Исчисление высказываний не способно разлагать
столь простые и очевидные рассуждения на достаточно
тонкие компоненты, чтобы доказать их правильность.
Для анализа и построения таких рассуждений нам
требуются новые логические средства, выходящие за
рамки исчисления высказываний.
•
Кто бы вы ни были, наш уважаемый читатель, но
хотя бы раз в жизни вам приходилось получать в каком-
либо учреждении какую-либо справку. И вы имели воз-
можность убедиться, на какую высоту поставил эту про-
цедуру наш рациональный век.
В канцелярском шкафу аккуратными стопками лежат
бланки для справок на все случаи жизни. В ответ на ваш
запрос достается нужный бланк и после заполнения всех
119
пробелов печатного текста невзрачный прежде листок
бумаги превращается в официальный документ.
А до этого он назывался формой: форма № 1 (для
справок с места жительства), форма № 3 (для справок
о научных трудах и изобретениях), форма № 286 (для
справок о состоянии здоровья).
Примерно такая же ситуация сплошь и рядом наблю-
дается в математических дисциплинах, в их логических
рассуждениях. Когда математик читает: «х — целое чис-
ло», для него х все равно, что для канцеляриста пробел
в бланке.
Подобно тому как бланк после заполнения пробелов
превращается в документ, так закавыченная фраза после
замены символа х конкретным числом превратится в вы-
сказывание. Например: «Пять — целое число».
И если канцелярский бланк называется формой, то
фразы, подобные закавыченной, именуются высказыва-
тельными формами.
Встречаются они не только там, где речь идет о чис-
лах. «S — выпуклая фигура», «I — ломаная линия», —
все это — типичные высказывательные формы.
Каждая математическая дисциплина применяет в по-
добных случаях свои буквы. Но логик предпочтет им
всем букву х и, не считаясь с устоявшимися обозначения-
ми, напишет: «х — острый угол», «х — замкнутая кри-
вая», если по смыслу рассуждения приходится рассмат-
ривать не какой-то определенный, а произвольный угол,
не какую-то конкретную, а какую угодно линию. В таких
случаях наиболее уместна, конечно же, буква х, недаром
ее называют переменной. (Иногда в роли переменных
выступают и другие буквы из второй половины латин-
ского алфавита: у или z, и или t и т. д.)
В дальнейшем мы увидим, что фразы с иксами очень
помогают при логическом анализе не только математиче-
ских, но и самых разнообразных рассуждений. Нам еще
встретятся выражения «х — овощ», «х — моряк». И что-
бы подчеркнуть, что традиционному иксу приходится
обозначать не только математические объекты, его назы-
вают предметной переменной (числовая переменная —
лишь частный случай предметной).
Названия же конкретных предметов, подставляемые
вместо икса в содержащие его выражения (типа только
что приводившихся), называются предметными постоян-
ными.
120
Вот несколько результатов подобной подстановки:
«Окружность — замкнутая кривая», «Помидор — овощ»,
«Магеллан — моряк». Слова «окружность», «помидор»,
«Магеллан» играют здесь роль предметных постоянных.
Из предыдущих разделов мы знаем, что каждое вы-
сказывание может быть либо истинным, либо ложным
(но не тем и другим одновременно). Из высказыватель-
ных форм могут получаться и те и другие, если вместо
предметной переменной подставить ту или иную пред-
метную постоянную.
«Пять — целое число» — высказывание истинное.
«Пи — целое число» — высказывание ложное. «Поми-
дор — овощ» — высказывание истинное. «Яблоко —
овощ» — высказывание ложное.
Поглядим теперь на дело с новой стороны.
Но сначала вспомним, что такое отображение. Это
соответствие, которое с каждым элементом некоторого
множества сопоставляет определенный элемент другого
(иногда того же самого) множества.
Предметы, названия которых мы подставляем вместо
предметной переменной в ту или иную высказывательную
форму, образуют некоторое множество, конечное или бес-
конечное. Для высказывательной формы «х — целое чис-
ло»— это множество вещественных чисел, для формы
«х — моряк» — множество людей.
То, что после подобной подстановки высказыватель-
ная форма обращается в истинное или ложное высказы-
вание, можно трактовать так: каждому элементу неко-
торого множества посредством данной высказыватель-
ной формы ставится в соответствии один из элементов
множества {истина, ложь}.
Такое специфическое отображение называют логиче-
ской функцией, или предикатом.
Как для всякой функции указывается ее область оп-
ределения, так говорят об области определения предика-
та (или об области значений его предметной перемен-
ной). Для предиката «х — целое число» — это множество
чисел, для предиката «х — моряк» — множество людей.
Внимательный читатель, конечно, заметил, что мы
только что повторили фразу, встречавшуюся ранее, од-
нако вместо термина «высказывательная форма» на сей
121
раз употребили термин «предикат». И это могло вызвать
недоумение: что же представляют собой выражения «х —
целое число», «х — моряк»? Высказывательные формы
или предикаты?
Точный ответ на вопрос таков: это высказывательные
формы, определяющие некоторые предикаты, если для
предметной переменной х указана область ее значений.
Однако в логике часто называют предикатом не толь-
ко ту или иную логическую функцию предметной пере-
менной, но и высказывательную форму, посредством ко-
торой выражается та или иная логическая функция.
Поэтому в дальнейшем мы будем называть предика-
том всякую фразу с иксом, в которую вместо икса можно
подставлять названия предметов из некоторого множе-
ства (области определения данного предиката).
Кстати, еще одна справка о справках. Формы их мо-
гут быть весьма разнообразны.
Справка с места жительства заполняется на одно
лицо. Свидетельство о браке — на два: мужа и жену.
Свидетельство о рождении — на три: ребенок, отец, мать.
Соответственно они отличаются и количеством про-
белов.
В исчислении предикатов дело обстоит точно так же.
Логическая функция (то бишь предикат) может зави-
сеть от нескольких предметных переменных.
Например, «х — отрицательно» — это одноместный
предикат; «х меньше у» — двухместный; «х плюс у равно
г» — трехместный. (Все переменные здесь, естественно,
числовые.)
Если в многоместном предикате одну из входящих в
него предметных переменных заменить предметной по-
стоянной, то количество мест в предикате понизится на
единицу, и это отразится на его названии.
Возьмем двухместный предикат «х меньше у» и при-
дадим переменной у конкретное значение — нуль. Полу-
чится: «х меньше нуля». Иными словами: «х отрицатель-
но». А это уже известный нам пример одноместного пре-
диката.
Точно так же трехместный предикат после подстанов-
ки предметной постоянной на место какой-то предметной
переменной превратится в двухместный.
122
Интересно, а как назвать то, что в подобном случае
получится из одноместного предиката? Нульместный
предикат — не правда ли?
Но еще раньше мы говорили, что результат такой за-
мены есть высказывание.
Стало быть, высказывание и нульместный предикат —
одно и то же.
Высказывательная форма, предметная переменная,
предметная постоянная, одноместный предикат, много-
местный предикат... Не слишком ли много мудреных тер-
минов, новых понятий для пяти страничек текста? Этак
недолго распугать всех читателей, даже самых предан-
ных математике.
Но, как часто бывает, за диковинными математиче-
скими абстракциями удается разглядеть нечто привыч-
ное и понятное. Так и тут.
Скажем, выражения «х меньше нуля», «х любит Есе-
нина»— это одноместные предикаты (первый определен
на множестве вещественных чисел, второй — на множе-
стве людей). Однако человек, не знакомый с предиката-
ми, мог бы сказать, что в том и другом выражении речь
идет о некотором свойстве: в первом случае об отрица-
тельности числа, во втором — о литературных вкусах че-
ловека.
И с этим нельзя не согласиться. Понятие свойства и
понятие одноместного предиката — по существу, одно и
то же. Не будет ошибкой сказать, что произвольный од-
номестный предикат можно задать выражением: «х об-
ладает некоторым свойством».
Одноместный предикат мы определяли как соответ-
ствие, при котором с каждым элементом некоторого мно-
жества, называемого областью определения предиката,
сопоставляется одно из двух значений истинности: «ис-
тина» или «ложь». Отберем в этом множестве те элемен-
ты, которые придают предикату значение «истина». Это
будет так называемая область истинности данного пре-
диката.
Но ведь такая процедура равнозначна испытанию,
обладает ли элемент некоторым свойством или не обла-
дает. Вспомним: в самом начале разговора о множествах
мы говорили, что именно так можно определить то или
123
иное конкретное множество с помощью некоторого ха-
рактеристического свойства.
Область истинности предиката «х меньше нуля» —
это множество отрицательных чисел. Область истинности
предиката «х любит Есенина» — это множество поклон-
ников поэта.
Возьмем теперь двухместные предикаты, скажем, та-
кие: «х меньше у», «х любит у» (определенные на тех же
множествах, что и рассмотренные только что). Про оба
примера опять-таки можно выразиться на общепонятном
языке: и там и тут говорится о некотором отношении.
Поскольку и то и другое отношение связывает по два
элемента из области своего определения, каждое назы-
вается двухместным, или бинарным.
Стало быть, двухместный предикат и бинарное отно-
шение — в сущности одно и то же. Не будет ошибкой
сказать, что произвольный двухместный предикат можно
задать выражением: «х находится в некотором отноше-
нии к у».
Рассмотрим поближе какой-нибудь конкретный двух-
местный предикат — хотя бы «х меньше у» или «х любит
у». Посмотрим, какие пары элементов из области его
определения придают ему значение «истина». Переберем
с этой целью все возможные пары элементов этого мно-
жества. Совокупность таких пар называется произведе-
нием множества на себя. Напомним, что порядок эле-
ментов в каждой такой паре существен: скажем, если
Ваня любит Таню, то Таня может и не любить Ваню;
если два меньше трех, то три никак не меньше двух. Это
напоминание говорит также о том, что, возможно, не
каждая пара обратит взятый нами предикат в истину.
Так или иначе, область истинности любого двухместного
предиката — это некоторое подмножество произведения
его области определения на себя.
Вспомним: за беседой о множествах именно так мы и
определяли всякое бинарное отношение, определенное на
некотором множестве.
Опять мы видим, что бинарное отношение и двухме-
стный предикат — одно и то же.
Что же касается многоместного предиката, то его
можно понимать как некоторое многоместное отношение.
124
Маленькое отступление о маленькой букве х.
Мы условились называть ее предметной переменной.
Читателю она наверняка знакома и в другой роли — в
роли неизвестного, в которой она выступает в уравне-
ниях.
Вот, например, квадратное уравнение х2—х—2 = 0.
Требуется найти такие х, которые ему удовлетворяют.
Попробуем действовать наугад. Подставим в наше
уравнение вместо х единицу. Получится: минус два рав-
но нулю. Это неверно. Или, говоря на языке логики, это
высказывание ложно.
Возьмем в качестве следующего кандидата двойку.
Подставив ее в уравнение, получим: нуль равен нулю.
Это высказывание истинно.
А если подставить тройку? Снова ложное высказы-
вание: четыре равно нулю. А если половину? Опять неу-
дача: минус два с четвертью равно нулю. А если минус
единицу? На сей раз удача: нуль равен нулю.
Теперь давайте разберемся: что же представляет со-
бой формула, о которой идет речь? Как называется вы-
ражение, которое становится либо истинным, либо лож-
ным высказыванием в зависимости от того, какое значе-
ние мы придаем иксу?
Высказывательная форма — прочтите еще раз опре-
деление этого понятия!
С помощью нашей высказывательной формы х2—х—
—2=0 элементам множества вещественных чисел (на-
пример, единице, двойке, тройке, половине, минус еди-
нице) мы ставили в соответствие один из двух элементов
множества {истина, ложь).
Но именно в таком соответствии заключается сущ-
ность логической функции, говоря иначе, предиката.
Так что, читатель, с высказывательными формами и
предикатами вы были непосредственно знакомы еще до
чтения этой книги. Оказывается, всякое уравнение — это,
в сущности, предикат.
Более того, фактически вы уже не раз сталкивались
даже с такими тонкими понятиями, как область опреде-
ления предиката, область его истинности или лож-
ности.
Вспомните те далекие времена, когда вы только-толь-
ко постигали искусство счета и за словом «число» еще не
125
видели ничего, кроме чисел целых положительных, ина-
че говоря, натуральных: один, два, три и т. д.
Вспомните, как в ту пору вас ставили в тупик вопро-
сы типа: сколько будет, если из двух вычесть пять? Ре-
шить задачу значило найти такое число, которое, будучи
сложено с пятеркой, давало бы в сумме двойку. Обозна-
чив по привычке неизвестное число буквой х, мы можем
переформулировать вопрос в виде уравнения: х + 5 = 2.
Ваше детское недоумение перед поставленной задачей
объяснялось тем, что из-за скудости вашего математиче-
ского образования вам приходилось рассматривать этот
предикат на множестве натуральных чисел, где он не
обращается в истину. Действительно, пять плюс один не
равно двум, пять плюс два — тем более, а уж за большие
числа нечего и браться. И вы растерянно говорили, что
из двух вычесть пять нельзя.
Позже, освоившись со множеством вещественных чи-
сел, вы уже без труда могли отыскать в нем решение
«неразрешимого» уравнения, область истинности преди-
ката х+5=2: она состоит из единственного числа минус
три.
Вспомните, читатель, о своих былых математических
затруднениях и учтите на будущее: говоря о том или
ином предикате, необходимо всегда отдавать себе отчет
в том, на каком множестве он рассматривается.
И тогда многие сложные вопросы становятся прос-
тыми.
Мы просим прощения у читателя, но мы опять о
справках.
Нет, поверьте, мы вовсе не сторонники бюрократии.
Но есть в канцелярском арсенале кое-что такое, что грех
не использовать в разговоре об исчислении предикатов.
Из правил приема в высшие учебные заведения
СССР:
«Заявление о приеме подается поступающим на имя
ректора высшего учебного заведения по единой форме.
К заявлению прилагаются:
документ о среднем образовании( в подлиннике),
характеристика для поступления в вуз,
медицинская справка...»
И вот в приемную комиссию вуза приходит абитури-
126
ент и подает секретарю стопку бумаг. Секретарь про-
сматривает их одну за другой:
«Аттестат... Петров А. А. окончил среднюю школу
номер... Характеристика... Петров А. А. морально устой-
чив, активно участвовал... Справка медицинская... Пет-
ров А. А. практически здоров...»
И убедившись в правильности всех бумаг, секретарь
выдает новоявленному абитуриенту экзаменационный
лист и справку: «От Петрова А. А. получены документы
в количестве...»
Любая заполненная справка, как мы уже говорили,—
это высказывание. Поэтому все, что представил в комис-
сию наш абитуриент,— это сложное высказывание:
«Петров А. А. окончил среднюю школу и морально ус-
тойчив и практически здоров».
Секретарь приемной комиссии ответил на высказы-
вание высказыванием: «От Петрова А. А. получены все
документы и Петрову А. А. выдан экзаменационный
лист».
Описать эту сценку нам не составило труда. Она пол-
ностью регламентирована правилами приема в вузы,
процитированными выше. В этих правилах, конечно, нет
фамилии Петров А. А.— мы ее придумали сами. В пра-
вилах фигурирует абстрактный абитуриент — так ска-
зать, абитуриент х. Так что с точки зрения математиче-
ской логики инструкция о порядке приема документов,
воплощенная в нашей сценке,— это не высказывание,
а предикат:
Если х представляет заявление о приеме в вуз и до-
кумент о среднем образовании и характеристику для
поступления в вуз и медицинскую справку, то х получает
экзаменационный лист.
Всмотритесь в эту словесную конструкцию. Она со-
стоит из нескольких предикатов: «х представляет заяв-
ление о приеме», «х представляет документ о среднем
образовании», «х представляет характеристику», «х пред-
ставляет медицинскую справку», «х получает экзамена-
ционный лист». Предикаты соединены теми же пропози-
циональными связками, которыми прежде мы соединяли
высказывания. И это естественно, поскольку, подставляя
вместо предметной переменной х ту или иную фамилию,
мы превращаем предикаты в высказывания.
Кстати, о подстановке предметных постоянных. Се-
кретарь приемной комиссии не подошьет в одно дело
127
справки, заполненные не на одно и то же лицо. Подоб-
ные неурядицы недопустимы и в математической логике:
связав несколько предикатов пропозициональными связ-
ками, мы обязаны заменять в них предметные перемен-
ные, обозначенные одной и той же буквой, каждый раз
одной и той же для всех предикатов предметной постоян-
ной.
Все предикаты, которые фигурировали в нашем при-
мере,— одноместные. Логические операции применимы
и к многоместным предикатам.
Ключик, который мы подобрали к предикатам в пре-
дыдущем разделе, позволит нам сейчас открыть сразу
две двери. Возможность применять к предикатам логи-
ческие операции поможет нам проложить связующие
пути из исчисления предикатов в исчисление высказыва-
ний и в теорию множеств.
Как всегда, дороги, которые мы выбираем, будут
пролегать по хорошо знакомы местностям.
Областью определения предикатов, рассматриваемых
ниже, послужит множество персонажей романов Жюля
Верна. На помещенных ниже рисунках мы обозначаем
его так же, как в теории множеств обозначали универ-
сальное множество того или иного рассуждения,— прямо-
угольником.
Многие из героев знаменитого писателя были моря-
ками. Для проверки их по этому признаку введем в рас-
смотрение предикат «х — моряк».
По методу диаграмм Венна внутри начерченного пря-
моугольника обведем кружком область истинности этого
предиката, обозначив ее буквой М. Точки круга — это и
Джон Гаттерас, и Роберт Грант, и Нед Ленд...
128
Нетрудно описать на «предикатном» языке и внеш-
ность очерченного круга. Это будет, очевидно, область
истинности предиката «х — не моряк», образованного из
предиката «х — моряк» применением логической опера-
ции отрицания. Точки этой области — это, например,
Сайрус Смит, Гектор Сервадак, Филеас Фогг...
В своих книгах писатель вывел немало своих сооте-
чественников. Это дает повод рассмотреть еще один пре-
дикат: «х — француз» и очертить область его истиннос-
ти Ф. Точки нового круга — это и Жак Паганель, и
Пьер Аронакс, и тот же Гектор Сервадак...
К предикатам, как мы уже говорили, применимы все
логические операции исчисления высказываний. Можно
рассмотреть предикат «х — моряк или х — француз»,
образованный из прежних предикатов с помощью опера-
ции дизъюнкции. Что представляет собой область его ис-
тинности? Это, очевидно, объединение множеств М и Ф:
Джон Гаттерас и Жак Паганель, Роберт Грант и Пьер
Аронакс — каждый из них либо моряк либо француз.
С помощью операции конъюнкции читатель может
построить предикат «х — моряк и х — француз» и дока-
зать, что область его истинности — это пересечение мно-
жеств М и Ф, а затем проверить, не пуста ли эта об-
ласть.
Рассматривая внешности двух последних фигур, сим-
волизирующих объединение и пересечение множеств М
и Ф, вдумчивый читатель поймет, почему о законах де
Моргана говорят и в теории множеств и в логике вы-
сказываний (см. правый рис. на стр. 130).
Пусть точка С на нашей диаграмме — это Сайрус
Смит, предводитель обитателей таинственного остро-
ва, которому посвящен одноименный роман Жюля
Верна.
б. Ю, В. Пухначев, Ю. П. Попов
М(х)УФ(х)=И
129
Нельзя сказать, что Смит был моряком или францу-
зом. И это равнозначно утверждению: Смит был не мо-
ряк и не француз. Заключив это, мы установили для од-
ной и той же пары высказываний равенство между от-
рицанием их дизъюнкции («Неверно, что Смит моряк или
Смит француз») и конъюнкцией их отрицаний («Смит не
моряк и Смит не француз»). В таком равенстве выра-
зился один из законов де Моргана, известных нам из
исчисления высказываний.
Но, с другой стороны, первой фразой предыдущего
абзаца выражен факт, что точка С принадлежит допол-
нению объединения множеств М и Ф, а второй фразой —
что точка С принадлежит пересечению дополнений мно-
жеств МиФ.
Так можно сказать про любую точку, лежащую за
пределами обоих кругов. Стало быть, дополнение объе-
динения двух множеств равно пересечению их дополне-
ний. А это — один из законов де Моргана, известных нам
из теории множеств.
Аналогично на наших диаграммах мы могли бы убе-
диться, что столь же тесно связаны между собой и два
остальных закона де Моргана — один из исчисления вы-
сказываний (отрицание конъюнкции двух высказыва-
ний равносильно дизъюнкции их отрицаний), а другой —
из теории множеств (дополнение пересечения двух мно-
жеств равно объединению их дополнений).
На диаграммах, которые мы научились строить и ана-
лизировать, хотелось бы теперь рассмотреть имплика-
цию каких-нибудь двух предикатов.
Но поскольку эта логическая операция, пожалуй, са-
мая сложная из известных нам, то для ее пояснения сто-
М(х)Л Ф(х) -И
х-не моряк и не француз

130
х-любит мыло
ит подобрать произведение попро-
ще, чем романы Жюля Верна, на-
пример, известное каждому ребен-
ку стихотворение Маяковского «Что
такое хорошо и что такое плохо».
Там, в частности, говорится: «Ес-
ли мальчик любит мыло, этот маль-
чик очень милый». И говорится это,
как нетрудно понять, не о каком-то
конкретном, а о произвольном маль-
чике— так сказать, мальчике х.
Если определить на множестве
мальчиков предикаты «х любит мы-
ло» и «х очень милый», то процити-
рованная фраза будет их имплика-
цией, в которой предикат «х любит
мыло» играет роль основания, а
предикат «х очень милый» — роль
следствия.
На диаграмме кругами очерче-
ны области истинности этих преди-
катов. Круги перекрываются. По-
пробуем выделить множество тех
иксов, тех мальчиков, которые об-
ращают наш предикат-импликацию
в истинное высказывание.
Это множество включает в себя
область ложности предиката-посыл-
ки «х любит мыло» (иначе говоря,
предиката «х не любит мыло»): ведь при ложной посыл-
ке импликация всегда верна (загляните в таблицу ис-
тинности для операции «если... то»). Принадлежит
этому множеству (как показывает та же таблица)
и область истинности предиката-следствия «х очень
милый».
Напрашивается вывод: искомая область истинности
предиката «если х любит мыло, то х очень милый» есть
объединение областей истинности предиката «х не любит
мыло» и предиката «х очень милый».
(Чтобы убедиться в этом окончательно, остается до-
казать, что искомая область состоит только из тех маль-
чиков, которые обращают в истину хотя бы один из двух
последних предикатов. Действительно, для всех осталь-
ных мальчиков верен предикат-посылка «х любит мыло»
если х любит мыло,
то X очень милый
область истинности
131
и ложен предикат-следствие «х очень милый». Но тогда
ложен и весь предикат-импликация в целом.)
Из предыдущего раздела мы знаем: объединить об-
ласти истинности двух предикатов — это все равно, что
связать сами предикаты логической операцией «или».
Итак, область истинности предиката «если х любит
мыло, то х очень милый» — не что иное, как область ис-
тинности предиката «х не любит мыло или х очень ми-
лый».
В этом утверждении, при всей его странности, мы ви-
дим уже знакомую нам равносильность двух логических
формул: «Если А, то В» и «не А или В».
До сих пор, чтобы повести разговор о каком-либо ма-
тематическом явлении, мы частенько начинали с далекой
от математики занимательной истории, шутки, стихотво-
рения.
Но ведь точные науки при всей их строгости и логич-
ности тоже могут дать повод для улыбки.
Известный математик Пойа в своей книге «Математи-
ка и правдоподобные рассуждения» рассказывает байку
про одного исследователя, который пытался эксперимен-
тально доказать, что все нечетные числа простые, то
есть делятся лишь на себя и на единицу.
Как рассуждал этот экспериментатор? «Единицу
можно рассматривать как простое число. Затем идут 3,5
и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 — досадный
случай; 9, по-видимому, не является простым числом —
оно делится не только на себя и на единицу, но и на
три. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9: это,
должно быть, ошибка эксперимента».
В этом рассуждении нашла отражение характерная
особенность человеческого мышления: делать глобаль-
ные обобщения на основании ограниченного числа фак-
тов.
Конечно, логика нашего экспериментатора не выдер-
живает никакой критики. Но отголоски подобных прие-
мов можно почувствовать и в строгих логических пост-
роениях.
Проанализируем чуть подробнее вероятный ход мыс-
лей нашего экспериментатора. Конечно, все началось с
открытия: существуют нечетные числа, являющиеся про-
132
стыми. И тут же скоропалительный вывод: любое нечет-
ное число — простое.
Разумеется, посылка и следствие в этом умозаключе-
нии не имеют строгой логической связи. Но отвлечемся
от содержания и обратимся к форме. Подобные конст-
рукции сплошь и рядом встречаются в математике.
Например: «Существуют х такие, что |х положитель-
но» (речь идет о вещественных числах). «Для любого
х\х удалено от центра на заданное расстояние» (речь
идет о точках окружности).
Мы не без умысла разрубили эти фразы вертикаль-
ной черточкой. Присмотритесь ко второму обрубку той
и другой. Это предикаты, не так ли? Один определен на
множестве вещественных чисел, другой — на множестве
точек окружности.
Однако сами фразы не являются предикатами. Это
высказывания. Про каждую фразу можно сказать, истин-
на она или ложна. (Во избежание недоразумений для
начала мы подобрали только истинные.)
Присмотритесь теперь к первому обрубку каждой из
фраз, разрубленных вертикальной чертой. Что это за
словосочетания «существует х такое, что...» «для любо-
го X...», которые превращают предикаты в высказывания?
Их называют кванторами.
Выражение «для любого х...» (синонимы: «для вся-
кого х...», «для всех х...») называется квантором общ-
ности.
Выражение «существует х такое, что...» (варианты:
«найдется х такое, что...» «для некоторых х верно,
что...») называется квантором существования.
V ос 3 се
к бан тор квантор
общности существования
Когда к предикату приписывается тот или иной кван-
тор, то это называется навешиванием квантора. Говорят,
что переменная, к которой относится квантор, связывает-
ся квантором, и после этого она именуется связанной пе-
ременной. Не связанная переменная называется свобод-
ной.
Квантор общности обозначается символом \х (у—
перевернутая начальная буква немецкого слова «АИе» —
133
«все»). Кван гор су-
ществования — сим-
волом g х (а —пе-
ревернутая началь-
ная буква немецкого
слова «Existieren»—
«существуют»).
Есть такая поговорка: «Каждому овощу — свое вре-
мя» — высказывание мудрое и употребительное во мно-
гих жизненных ситуациях.
Термин «высказывание» мы применяем здесь в стро-
гом логическом смысле, а называя его мудрым, подчер-
киваем, что оно истинно.
Интересно разобраться в структуре этой фразы. Сло-
во «каждый» — прямой намек на то, что здесь употреб-
лен квантор общности. Осознав это, нетрудно перевести
поговорку на язык исчисления предикатов. Для этой
цели, как полагается, введем предметные переменные:
буквой х будем обозначать элементы множества овощей,
буквой у — то или иное время года.
Ну, а теперь можно читать, как по писанному: «Для
любого х существует у такой, что х созревает в у».
wa у (эс созревает в у)
Предикат «х созревает в у» — двухместный. И пото-
му чтобы превратить его в высказывание, связав в нем
обе переменные, понадобилось два квантора.
А теперь попробуем немного поэкспериментировать с
этими кванторами. Поменяем их местами. Перед нами —
новое высказывание: «Существует у такой, что для лю-
бого х х созревает в у». Или более понятно: «Существует
время, в которое созревают все овощи».
3 у ОС (ос созревает бу)
Не надо быть знатоком сельского хозяйства, чтобы
сразу сказать: это неверно!
Стало быть, от такой малости, как перестановка кван-
торов, высказывание превращается из истинного в лож-
ное.
134
Следует заметить, что подобные казусы случаются
лишь с разноименными кванторами. Одноименные мож-
но переставлять без боязни. Отчетливее всего нам дока-
жут это математические примеры.
Будем обозначать буквами х и у прямые на плоскос-
ти. Возьмем такое высказывание: «Для любого х и для
любого у х пересекает у». Высказывание явно ложное
(ведь существуют и непересекающиеся, параллельные
прямые), и никакая перестановка кванторов не превра*
тит его в истинное.
Употребим в той же фразе кванторы существования:
«Существует х такая и у такая, что х пересекает у». Те-
перь высказывание верно, и ему не страшна перестановка
кванторов: оно от этого не станет ложным.
Станем теперь обозначать буквами х и у веществен-
ные числа. На сей раз начнем с истинного утверждения:
«Для любого х существует у такое, что х меньше у».
Переставим кванторы: «Существует у такое, что для лю-
бого х х меньше у». Высказывание получилось явно
ложное: ведь оно утверждает, что среди действительных
чисел есть наибольшее!
Итак, читатель, будьте осторожны с перестановкой
разноименных кванторов!
Предикаты и кванторы, свободные и связанные пере-
менные... Мы полагаем, читатель, что вы уже настолько
освоились с этими понятиями, что сможете решить с их
помощью несложную задачу, которую мы приготовили
для вас.
Дано: предикат «х меньше у», определенный на мно-
жестве вещественных чисел.
Требуется: построить на его основе высказывание
(безразлично какое — истинное или ложное).
Как вы догадываетесь, решений у задачи — неисчер-
паемое количество: «три меньше пяти», «семь меньше
десяти», «существует х такой, что х меньше семи»,
«для любого х х меньше нуля», «для любого х суще-
ствует у такой, что х меньше у...» (Из перечисленных
высказываний четвертое ложное, остальные ис-
тинны.)
Решений много, но способов решить поставленную за-
дачу— всего два: каждую из предметных переменных
135
предиката нужно либо заменить предметной постоянной,
либо связать квантором.
Предикат (а точнее, выражающая его высказыва-
тельная форма) становится высказыванием, когда в нем
не остается свободных предметных переменных.
Связывая любую из них тем или иным квантором или
заменяя ее предметной постоянной, мы снижаем число
мест в предикате на единицу.
Для нас уже стало привычным, знакомясь с очеред-
ным понятием мудреного исчисления предикатов, обра-
щаться за пояснениями к хорошо освоенным положениям
исчисления высказываний и теории множеств.
Так было, когда мы беседовали об одноместных и
многоместных предикатах, о логических операциях над
ними. Подыщем подобные аналогии и для кванторов.
С ними нас познакомил экспериментатор, пытавший-
ся доказать опытным путем, что все нечетные числа про-
стые. С точки зрения логики он размышлял над вопро-
сом: что будет получаться, если навешивать кванторы су-
ществования и общности на предикат «х простое число»,
определенный на множестве нечетных чисел? Беря при-
мер с нашего исследователя, не пошедшего в своих опы-
тах дальше тринадцати, сузим это множество вообще до
нечетных чисел первой десятки.
Первый вывод экспериментатора заключался в сле-
дующем: «Существует х такое, что х простое число».
Для нечетных чисел первой десятки это значит, что или
тройка, или пятерка, или семерка, или девятка — про-
стое число. Вывод верный и весьма плодотворный для
нас: мы видим, что квантор существования, по сути, не
что иное, как логическая операция «или».
Второй вывод экспериментатора был таким: «Для
любого х х простое число». Относительно нечетных чи-
сел первой десятки это означает, что и тройка, и пятер-
ка, и семерка, и девятка — простые числа. Вывод, несом-
ненно, ложный (все дело портит девятка), но не менее
плодотворный, чем первый: мы видим, что квантор общ-
ности, в сущности, то же самое, что логическая опера-
ция «и».
Поправим нашего экспериментатора: «Неверно, что
и тройка, и пятерка, и семерка, и девятка — простые чис-
136
ла». Это высказывание, очевидно, равнозначно такому:
«Или тройка, или пятерка, или семерка, или девятка —
не простое число». (Устанавливая такую равнозначность,
мы основываемся на одном из уже известных нам зако-
нов де Моргана: отрицание конъюнкции нескольких вы-
сказываний равносильно дизъюнкции их отрицаний.)
Перескажем последнее высказывание на «предикатном»
языке: «Существует х такой, что х не простое число»
(ведь операция «или» — не что иное, как квантор суще-
ствования).
По образцу только проведенного рассуждения можно
рассмотреть ложное высказывание: «Неверно, что суще-
ствует х такое, что х простое число», и доказать, что
оно равнозначно такому: «Для любого х х простое
число».
Что же получается? Когда строится отрицание выска-
зывания, содержащего квантор общности, он заменяется
на квантор существования, а операция отрицания пере-
носится на предикат, к которому привешен квантор. Ана-
логично строится отрицание высказывания, содержащего
квантор существования: он, соответственно, меняется на
квантор общности.
Но позвольте, заметит недоверчивый читатель, все
это, по-видимому, так лишь постольку, поскольку область
определения предиката, рассмотренного нами,— множе-
ство конечное: в нем всего четыре элемента, четыре не-
четных числа первой десятки, так что обобщающие вы-
сказывания обо всем этом множестве («для любого... су-
ществует...») мы могли заменить конъюнкциями и дизъ-
юнкциями высказываний о каждом элементе в отдель-
ности. А если перейти к предикатам, определенным на
бесконечных множествах? Так же ли будут строиться от-
рицания высказываний, содержащих кванторы?
Да, точно так же. Действительно, не нужно никаких
предположений о конечности и бесконечности множества,
элементы которого подразумеваются под переменной %,
чтобы согласиться с равнозначностью таких фраз:
«Неверно, что для любого х х обладает данным свой-
ством» и «Существует х такой, что х не обладает данным
свойством»;
«Неверно, что существует х такой, что х обладает
данным свойством» и «Для любого х х не обладает дан-
ным свойством».
Если это понятно, можно смело строить отрицания
137
высказываний, содержащих даже не один, а сколько
угодно кванторов,
Вернемся к вопросу о сроках созревания овощей.
Двумя разделами ранее мы решили: «Неверно, что
существует такое время, в которое созревает любой
овощ». Или в переводе на «предикатный» язык: «Невер-
но, что существует у такой, что для любого х х созревает
в у» (х — овощ, у — время).
неверно, что 3 у V ОС (ос созревает в у)
С учетом только что сказанного заменим это выска-
зывание таким, равнозначным: «Для любого у неверно,
что для любого х х созревает в у». И еще одно преобра-
зование по только что описанному методу: «Для любого
у существует х такой, что х не созревает в у». Или в пе-
реводе на житейский язык: «В любое время какой-то
овощ да не созревает».
Vу неверно, что У ас (ос созревает в уJ
Ny'Ax (х не созревает в у)
Не правда ли—эта фраза означает то же, что ис-
ходная?
Итак, мы видим, что строить отрицание высказыва-
ния, содержащего кванторы, — это играть в своеобраз-
ную чехарду: выражение «неверно, что» перепрыгивает
через кванторы, меняя квантор существования на кван-
тор общности, а квантор общности — на квантор суще-
ствования, пока не доберется до предиката, к которому
привешены эти кванторы.
Хороший способ развлечь заскучавшую компанию —
карточные фокусы. Одному из них мы вас сейчас научим.
Существуют карты симметричные и несимметричные,
у которых можно различать верх и низ. Скажем, бубно-
вый туз симметричен, а у туза пикового есть выделенное
направление, на которое указывает острие пики. Точно
138
так же можно различать верх и низ у всех семерок, а вот
шестерки такому различению поддаются все, кроме буб-
новой.
Сложите теперь все несимметричные карты, чтобы
верх у всех был ориентирован в одну сторону. Теперь
предложите кому-нибудь вытащить из этой облегченной
колоды какую-то карту и запомнить ее. Незаметно пере-
верните колоду, поменяв местами верх и низ, и попросите
вложить вынутую карту обратно — в любое место коло-
ды. После этого можете на глазах у всех перетасовать
ее — вы все равно угадаете, какая карта была вынута:
она обнаружит себя ориентацией, отличающей ее от всех
остальных карт.
Первый показ этого фокуса обычно проходит на
«ура». Однако если он разгадан и перестал вызывать ин-
терес, вы можете поправить дело, обратив внимание на
его логическую сторону.
Описание этого фокуса так и кишит кванторами: «Су-
ществуют несимметричные карты» (квантор существова-
ния); «существует симметричная шестерка» (тот же
квантор)»; «любая семерка несимметрична» (квантор
общности)...
Во всех этих высказываниях фигурирует одноместный
предикат, равнозначный свойству «быть симметричным»
и определенный на множестве 36 листов карточной коло-
ды. Во втором высказывании употребляется другой пре-
дикат, определенный на том же множестве и формули-
рующий свойство «быть шестеркой», в третьем — «быть
семеркой».
Чтобы сделать присутствие этих предикатов более
явным, перепишем эти высказывания в несколько более
пространном виде.
«Существуют такие х, что х несимметрично».
«Существуют такие х, что х симметрично и х шестер-
ка».
«Для любых х, если х семерка, то х несиммет-
рично».
(Кстати, эти фразы намечают еще одну параллель
между исчислением предикатов и теорией множеств. Пер-
вая означает, что множество несимметричных карт не-
пусто. Вторая — что непусто пересечение множества не-
симметричных карт и множества шестерок. Третья — что
множество семерок включено в множество несимметрич-
ных карт. Подобным образом на «предикатном» языке
139
можно выразить любое утверждение о непустоте или пе-
ресечении каких-либо множеств, о включении одного мно-
жества в другое.)
Не напомнил ли вам, читатель, наш карточный фокус
о Сократе, про судьбу которого мы так и не смогли ска-
зать ничего определенного, оставаясь в рамках исчисле-
ния высказываний? Не показалось ли вам, что дело зна-
менитого философа подлежит рассмотрению в свете ис-
числения предикатов?
В самом деле, первая посылка злополучного силло-
гизма выглядит совсем как фраза* «Все семерки несим-
метричны», которая на языке исчисления предикатов за-
звучала так: «Для любого х, если х семерка, то х несим-
метрично».
Если поступить также с первой посылкой силлогизма
о Сократе, то весь он перепишется следующим
образом:
Для любого х, если х человек, то х смертен.
Сократ человек.
Следовательно, Сократ смертен.
Теперь остается показать, как третье высказывание
следует из первых двух.
Во всякой доброй старой сказке, столкнувшись с
трудностями или замыслив великое дело, главный
герой незамедлительно отправлялся в дальнюю до-
рогу.
В странствиях по белу свету он набирался опыта,
мудрости, а от различных доброжелателей получал в по-
дарок разные чудесные штуковины, как то: меч-кладе-
нец, сапоги-скороходы, скатерть-самобранка и т. п. Вер-
нувшись домой во всеоружии, он без труда решал все
свои проблемы.
Читатель, по-видимому, уже обратил внимание на то,
что авторы частенько следуют примеру сказочных героев.
Так оно было и совсем недавно: обнаружив, что исчисле-
ние высказываний недостаточно для анализа силлогизма
о Сократе и многих других важных рассуждений, авторы
взяли читателя под белы руки и повели его по всяким
140
учреждениям, где выдают и требуют справки, затаски-
вали в компании, где показывают карточные фокусы и
рассказывают анекдоты о простых числах, и даже за-
брели в огород, где интересовались сроками созревания
овощей.
От взглядов внимательного читателя не утаилось, что
во время этих визитов авторы прихватывали с собой раз-
ные полезные вещи, как то: предикаты, предметные пе-
ременные и постоянные, кванторы.
Оказывается, достаточно присовокупить эти понятия
к основным понятиям исчисления высказываний (мы име-
ем в виду высказывания и логические операции), чтобы
на новой, расширенной основе стал возможным анализ
математических и не только математических рассужде-
ний.
Но вот какая заковыка: если выгоды от приобретения
сапогов-скороходов и скатерти-самобранки ясны каждо-
му Иванушке-дурачку, то по поводу предикатов и кван-
торов у читателя могли появиться серьезные сомнения.
В самом деле, кому они нужны, если нормальные
человеческие фразы вида «Все люди смертны» с их по-
мощью превращаются в каких-то монстров: «Для любо-
го х, если х человек, то х смертен»?
Конечно, простота — великое достоинство. Но невер-
но думать, что усложнения всегда нерациональны.
«Кто там?» — отзываетесь вы на стук в дверь. Фраза
понятна и вам и стучащему, а между тем она явно укло-
няется от норм грамматики. Попробуйте-ка разобрать ее
по членам предложения — и вы убедитесь, что ради этого
ее необходимо усложнить, добавив недостающее (но
подразумеваемое) сказуемое: «Кто есть там?»
Точно так же мы не могли вскрыть логическую связь
между фразами «Все люди смертны» и «Сократ — чело-
век», покуда не разложили первую из них на звенья,
одно из которых («х — человек») оказалось обобщенным
вариантом второй фразы.
Правда, мы еще не знаем, как использовать эту связь,
чтобы вывести из этих двух фраз третью: «Сокраг смер-
тен». Мы еще не до конца прошли дорогу, в которую от-
правились, столкнувшись с недостаточностью исчисления
высказываний.
Так что — снова в путь, читатель!
Можем вас обнадежить, что до цели осталось немно-
го. Да и идти придется знакомой местностью, через
141
пункты, с названиями которых мы знакомы по исчисле-
нию высказываний: логическая формула, равносильные
формулы, общезначимая формула, правило вывода.
Итак, пункт первый: логическая формула.
В исчислении высказываний это была любая выска-
зывательная переменная или постоянная, а также любая
их комбинация, образованная по определенным пра-
вилам с помощью символов логических операций и ско-
бок.
В исчислении предикатов, которое по отношению к
исчислению высказываний является расширением и обоб-
щением, шире толкуется и термин «формула».
Во-первых, это всякая высказывательная переменная
или постоянная.
Во-вторых, это любой символ для обозначения про-
извольного предиката. Кстати сказать, если традицион-
ное обозначение высказывательной переменной — про-
писные начальные буквы латинского алфавита, то тра-
диционное обозначение произвольного одноместного пре-
диката — Р (х), двухместного — Р (х, у) и так далее.
В формулах исчисления предикатов первый из этих сим-
волов можно понимать и как «х — овощ», и как «х — мо-
ряк», и вообще как «х обладает некоторым свойством»,
второй — и как «х меньше у», и как «х любит у», и вооб-
ще как «х находится в некотором отношении к у».
В-третьих, это все то, что получается из формул ис-
числения предикатов после навешивания на них кванто-
ров существования и общности.
В-четвертых, это любая комбинация формул исчисле-
ния предикатов, образованная с помощью символов ло-
гических операций и скобок по тем же правилам, что и в
исчислении высказываний. Надо лишь следить, чтобы в
каждой такой комбинации предметные переменные, сво-
бодные в одной формуле, были свободны и в других, то-
гда они будут свободны и во всей комбинации.
(Обратите внимание на первое и последнее положе-
ние: из них-то и следует, что исчисление предикатов
включает в себя все формулы исчисления высказываний,
являясь в этом смысле его расширением и обобщением.)
Как мы видим, в формулах исчисления предикатов
встречаются переменные трех сортов.
142
Прежде всего, это высказывательные переменные.
Далее, это предметные переменные предикатов. Наконец,
поскольку символы для обозначения предикатов могут
иметь в этих формулах произвольный смысл, их называ-
ют предикатными переменными.
Всем таким переменным, входящим в некоторую фор-
мулу исчисления предикатов, придают определенные зна-
чения: каждая предикатная переменная истолковывается
как какой-то конкретный предикат, вместо каждой сво-
бодной предметной переменной подставляется название
какого-то элемента из ее области значений, каждой вы-
сказывательной переменной придается истинное или
ложное значение. И тогда вся формула обращается в ис-
тину или ложь.
Предположим, написано: А-^^хР (х). Буква А, про-
писная начальная буква латинского алфавита,— это, не-
сомненно, какое-то высказывание. Например, такое:
«Дважды два пять». Р (х) — какой-то предикат. Скажем:
«х ведьма» (под х, естественно, подразумевается какая-
то женщина). Стало быть, один из возможных переводов
нашей символической фразы на общепонятный язык —
это известный нам афоризм Хаусдорфа: «Если дважды
два пять, то существуют ведьмы».
У этой импликации ложная посылка. Согласно опре-
делению логической операции «если... то» этого уже
достаточно, чтобы вся импликация в целом была
истинна.
Пункт второй: равносильные формулы.
В исчислении высказываний так назывались любые
две логические формулы, принимающие одни и те же ис-
тинностные значения, какие бы значения ни придавались
входящим в них высказывательным переменным.
В исчислении предикатов определение равносильной
формулы — точно такое же, кроме двух последних слов.
Вместо них следует поставить: «...предикатным, пред-
метным и высказывательным переменным».
Аналогия, как видим, весьма тесная. Она позволяет
без труда заключить, например, что любые две равно-
сильные формулы исчисления высказываний обращаются
в равносильные формулы исчисления предикатов, если
вместо одинаковых высказывательных переменных в них
143
подставить какие угодно (но одинаковые же) формулы
исчисления предикатов.
Конечно, такой способ не позволяет получить все
пары равносильных формул исчисления предикатов: ведь
исчисление высказываний не знает кванторов. А с их по-
мощью можно образовать не одну пару равносильных
формул исчисления предикатов.
Кстати, с такими парами мы уже неявно встречались,
разбирая поговорку: «Каждому овощу свое время». По
существу, мы доказали тогда, что отрицание произволь-
ной формулы исчисления предикатов, содержащей кван-
торы, равносильно такой формуле, где каждый квантор
существования заменен на квантор общности и обратно,
а знак отрицания перенесен на’ предикат, стоящий за
ними.
Пункт третий: общезначимая формула.
В исчислении высказываний этому термину соответ-
ствует понятие тождественно-истинной формулы. Соот-
ветствие четко подсказывает, в чем определяющее свой-
ство общезначимой формулы исчисления предикатов: она
обращается в истину всегда, какие конкретные предика-
ты ни подставить в нее вместо предикатных переменных,
какие значения из области определения этих предикатов
ни назначить входящим в них свободным предметным пе-
ременным и какие значения истинности ни придать вы-
сказывательным переменным, встречающимся в формуле.
Опыт предыдущего раздела подсказывает нам безот-
казный способ, которым можно получать общезначимые
формулы исчисления предикатов: взять любую тождест-
венно-истинную формулу исчисления высказываний и
каждую высказывательную переменную заменить произ-
вольной формулой исчисления предикатов.
Таблица 6
Общезначимые формулы исчисления предикатов
(-ivx/’(x))~*(3x-i/4x))
(_I3x/’(x))**(Vx‘IP(x))
(VxP(x)AVxQ(x))**(Vx(P(x)AQ(x)))
(3xP(x)V3xQ(x))«*(3x(P(x)VQ(x)))
(Vx MyP{x, </))**( VyVxP( x, у))
144
(ЗхЗуР(х,у))— (ЗуЗхР(х,у))
(VxP(a)VVxQ(a)) —(Vx(/»(x)VQ(x)))
(эл(г(х)ла(л))) ^(зхрщьзхащ)
(Ул(Р(л) — а(хУ)) (VxP(x)-» VxQ(x))
(,Зх^уР(х,уУ) (ууЗхР(х,у))
р(у)~(зхР(хУ)
(М*Р(хУ) — Р(у)
Поскольку такая аналогия весьма очевидна, не имеет
смысла помещать здесь получаемые с ее помощью обще-
значимые формулы исчисления предикатов. На соседней
странице приведены лишь формулы, выходящие за рам-
ки аналогии: они содержат кванторы (табл. 6).
В некоторых из них встречается символ эквивален-
ции. Так же, как и в исчислении высказываний, его мож-
но заменить знаком тождественного равенства: обе поло-
винки каждого такого равенства будут представлять со-
бой равносильные формулы.
Из формул, содержащих символ импликации, особого
интереса для дальнейшего заслуживают две последние.
Возьмем, например, самую последнюю. В переводе на
предметный язык ее можно прочесть так: «Если ночью
все кошки серы, то сера ночью и наша Мурка».
Общезначимость этой формулы доказать нетрудно,
особенно если продолжать ее разбор в «кошачьей» ин-
терпретации. Действительно, здесь возможны два вари-
анта. Первый, неблагоприятный: ночью не все кошки
серы. Это означает, что основание импликации ложно.
Но тогда вся импликация истинна, каким бы ни было
следствие, истинным или ложным (загляните-ка еще раз
в таблицу истинности для операции «если... то»). Второй,
благоприятный вариант: ночью все кошки серы. Но тогда
сера и Мурка, как одна из этих кошек. Тогда и основа-
ние, и следствие истинны, а значит, истинна и вся импли-
кация. Других вариантов нет. Стало быть, анализируе-
мая нами формула общезначима. Читатель может дока-
зать общезначимость всех остальных формул.
Он сразу обнаружит, что это не такое простое дело,
как в исчислении высказываний. Там для решения по-
добного вопроса было достаточно построить таблицу
истинности. В исчислении предикатов такой способ не-
применим, если хотя бы у одной свободной предметной
переменной, входящей в формулу, область значений пред-
ставляет собой бесконечное множество. Механическое
145
заполнение таблиц здесь уступает место рассуждениям,
не менее сложным, чем вышепроведенный разбор вопро-
са о ночной расцветке кошек.
Зато уж доказать, что какая-то формула не общезна-
чима, часто оказывается делом несложным.
Помните, как нас позабавил незадачливый экспери-
ментатор, который верил, будто все нечетные числа про-
стые? К такому предположению он пришел, обнаружив
несколько нечетных чисел, которые действительно про-
сты. А далее он повторил заблуждение многих, которое,
дабы не причинить никому обид, мы выразим в абстракт-
ной форме: «Если в некотором множестве существует
элемент, обладающий некоторым признаком, то этим
признаком обладают все элементы данного множества».
Но такая импликация вовсе не общезначима. Дока-
зать это можно на примере все того же экспериментато-
ра. Под элементами множества, о которых говорится в
нашей импликации, будем подразумевать нечетные чис-
ла — пусть их будет всего два: семерка и девятка. А при-
знак, о котором идет речь, пусть заключается в том, что
число — простое. Тогда основание разбираемой имплика-
ции верно: среди наших нечетных чисел существует про-
стое, например, семерка. А вот следствие импликации
ложно: не все из наших нечетных чисел просты, ска-
жем, девятка не такова. Но если основание имплика-
ции истинно, а следствие ложно, то вся импликация
тоже ложна.
«Единожды солгавши, кто тебе поверит?» — говари-
вал мудрый Козьма Прутков. Чтобы доказать, что неко-
торая формула исчисления предикатов не общезначима,
достаточно подставить в нее лишь раз подходящие для
этого конкретные предикаты с конкретными областями
определения и убедиться, что вся формула при этом об-
ращается в ложь.
Пункт четвертый: правила вывода.
Но прежде — несколько слов о логическом следова-
нии.
В исчислении высказываний, говоря, что из данных
формул-посылок следует некоторая формула-заключе-
ние, мы имели в виду, что заключение истинно по край-
ней мере при всех таких значениях, входящих во все эти
146
формулы высказывательных переменных, при которых
обращаются в истину все посылки.
В исчислении предикатов логическое следование опре-
деляется почти так же, но с небольшой обобщающей
поправкой: формула-заключение истинна по крайней
мере при всех таких значениях предикатных, предметных
и высказывательных переменных, при которых обраща-
ются в истину все формулы-посылки.
(Заметим, что сказанное позволяет добавить к посыл-
кам любую общезначимую формулу: она обращается в
истину всегда, каковы бы ни были входящие в нее пере-
менные.)
Нетрудно перефразировать для исчисления предика-
тов понятие вывода или доказательства, освоенное нами
в исчислении высказываний. Это некоторая последова-
тельность формул исчисления предикатов, каждая из ко-
торых есть либо одна из посылок, либо получается из
предшествующих ей формул по какому-либо правилу вы-
вода исчисления предикатов, а последняя формула есть
заключение.
Как и в исчислении высказываний, употребляемые
при этом правила вывода основаны на общезначимых
формулах. Эти формулы выражают собой законы логики,
и недаром их незримое присутствие можно выявить во
всяком рассуждении, которое укладывается в рамки ис-
числения предикатов.
Например, вслед за посылкой: «Ночью все кошки
серы» естественно написать: «Ночью наша Мурка сера».
Логично ли это заключение? Вполне. Для обоснования
достаточно к имеющейся посылке добавить другую —
высказывание: «Если ночью все кошки серы, то ночью
сера и наша Мурка», основанное на известной нам по
предыдущему разделу обозначимой формуле (а такие
формулы, как мы уже говорили, можно вводить в любое
рассуждение). К двум этим посылкам остается применить
правило заключения, знакомое нам еще по исчислению
высказываний и основанное на одной из ее тождествен-
но-истинных формул.
В чем же суть перехода от высказывания «Ночью псе
кошки серы» к высказыванию «Ночью наша Мурка
сера»? Оба получены из одного и того же предиката
«ночью х сера», определенного на множестве кошек.
Только в одном случае («ночью все кошки серы») этот
предикат превращен в высказывание навешиванием кван-
147
тора общности, а в другом («ночью наша Мурка сера») —
подстановкой предметной постоянной «наша Мурка».
Подобный переход логично делать с произвольным
предикатом и вслед за утверждением о том, что каким-то
свойством обладают все элементы какого-то множества,
утверждать, что данным свойством обладает некоторый
конкретный элемент данного множества. Это правило
вывода в исчислении предикатов называется правилом
универсальной конкретизации.
Формула, стоящая предпоследней в вышеприведен-
ном списке общезначимых формул исчисления предика-
тов, подсказывает еще одно правило вывода: от утвер-
ждения, что некоторый элемент какого-то множества об-
ладает каким-то свойством, логично переходить к утвер-
ждению, что существует элемент данного множества,
обладающий данным свойством. Например, вслед за вы-
сказыванием: «Треугольник АВС равносторонний» мож-
но писать: «Существуют равносторонние треугольники».
Это так называемое правило экзистенциального обобще-
ния.
Иногда в математических рассуждениях встречаются
переходы типа: «Существуют равносторонние треуголь-
ники. Пусть треугольник АВС равносторонний». Говорят,
что здесь применено правило экзистенциальной конкре-
тизации.
Наконец, в математических рассуждениях применяет-
ся так называемое правило универсального обобщения.
Скажем, берется произвольный треугольник и доказы-
вается, что его медианы пересекаются в одной точке. Да-
лее говорится: поскольку треугольник произвольный, то у
любого треугольника медианы пересекаются в одной
точке.
Таковы некоторые часто употребляемые в исчислении
предикатов правила вывода, содержащие кванторы и
потому выходящие за рамки исчисления высказываний.
Позвольте поздравить вас, читатель: мы с вами про-
шли до конца весь намеченный нами путь. Мы познако-
мились на нем с понятиями исчисления предикатов, впол-
не достаточными для анализа математических и не толь-
ко математических рассуждений.
На заключительном этапе пути нам крепко помогли
148
аналогии с исчислением высказываний. Читатель заме-
тил, что эти аналогии всегда носили характер обобщения.
Уже из определения формул исчисления предикатов сле-
довало, что в их число входит всякая формула исчисле-
ния высказываний.
Среди формул исчисления предикатов мы особо вы-
делили общезначимые, подчеркнув, что они выражают
законы логики. В них, согласно сказанному, включаются
и все тождественно-истинные формулы исчисления вы-
сказываний, также носящие высокое звание законов. Од-
нако это включение — строгое: законы исчисления выска-
зываний представляют собой лишь часть законов исчис-
ления предикатов. Отсюда и следует, что исчисление
предикатов позволяет анализировать такие рассуждения,
которые не под силу исчислению высказываний.
Догадливый читатель, вероятно, уже понял, что после
этих слов мы примемся за Сократа. Да, сейчас мы уже
готовы разобрать каверзный силлогизм.
Как и положено в науке, прежде чем браться за лю-
дей, мы обстоятельно поэкспериментировали с животны-
ми. Поговорка «Ночью все кошки серы» познакомила нас
с важным для исчисления предикатов правилом выво-
да — правилом универсальной конкретизации. Его-то мы
и применим к первой фразе силлогизма о Сократе (запи-
санной на «предикатном» языке): «Для любого х, если х
человек, то х смертен». На основании сказанного по по-
воду кошек логично, опустив в этом высказывании кван-
тор общности, подставить вместо х имя конкретного Со-
крата: «Если Сократ человек, то Сократ смертен». По-
ставим рядом с полученным высказыванием вторую по-
сылку силлогизма: «Сократ человек». Наконец, к двум
последним фразам применим правило заключения, зна-
комое, нам по исчислению высказываний, и получим:
«Сократ смертен».
Торжественность, с которой мы поздравили читателя
с решением головоломки о Сократе, вполне оправданна:
решив каверзную загадку, мы познакомились с исчисле-
нием предикатов, на котором держатся очень многие ма-
тематические теории: и арифметика натуральных чисел,
и элементарная планиметрия — врата математической
учености всякого школьника, и математический анализ,
149
и аналитическая геометрия, и теория функций комплекс-
ного переменного...
Пытаясь в самых общих словах охарактеризовать ту
или иную из них, мы тотчас почувствуем, что говорим на
«предикатном» языке.
В самом деле, каждая математическая теория имеет
дело со своим множеством математических объектов:
скажем, элементарная планиметрия — со множеством то-
чек и прямых на плоскости.
Множество объектов, описываемых математической
теорией, должно быть точно определено. Как, например,
определить множество точек, множество прямых? Пере-
числение здесь, очевидно, не годится, и следует при-
бегнуть к определению через характеристическое
свойство: «быть точкой», «быть прямой». Но любое
свойство, как мы уже знаем,— это одноместный пре-
дикат.
Объекты, изучаемые той или иной математической
теорией, мыслятся с определенными свойствами и в оп-
ределенных отношениях друг с другом. Так, элементар-
ная планиметрия говорит о непрерывности прямых ли-
ний, о принадлежности точек прямым, о параллельности
прямых, о конгруэнтности фигур (то есть о возможности
совместить их наложением), о том, что из любых трех
точек, лежащих на одной прямой, одна обязательно на-
ходится между двумя другими...
А теперь вспомним: всякое отношение между элемен-
тами каких-либо множеств — это не что иное, как много-
местный предикат. Бинарные отношения, выражаемые
фразами с иксами и игреками «х принадлежит у», «х па-
раллельно у», «х конгруэнтно у»,— это двухместные пре-
дикаты. Тернарное отношение между точками прямой,
выражаемое фразой «у лежит между х и z»,— трехмест-
ный предикат.
Свойства объектов, изучаемых той или иной матема-
тической теорией, и отношения между ними точно и пол-
но фиксируются в высказываниях, называемых аксиома-
ми. Вот, например, аксиомы элементарной планиметрии:
Для любых двух точек существует одна и только одна
такая прямая, что эти точки принадлежат ей.
Для любой прямой существуют по крайней мере две
точки, принадлежащие ей.
Существуют по крайней мере три точки, не принадле-
жащие одной прямой.
150
Для любых трех точек, принадлежащих одной пря-
мой, существует одна и только одна, лежащая между
двумя другими, и т. д.
Ни фразы без кванторов! Чистый «предикатный»
язык!
Обратимся к аксиомам арифметики натуральных чи-
сел — та же история: «Для любых двух чисел х и у вы-
полняется одно из трех соотношений: х меньше у или у
меньше х или х равно у». «Для любых двух чисел х и у
существует число z такое, что х плюс у равно z..,»
Полистаем первые страницы учебника математиче-
ского анализа. Мы и на его страницах обнаружим «пре-
дикатный» язык. Вот, скажем, как выражается тот факт,
что число а является пределом последовательности хп:
«Для любого положительного числа 8 существует нату-
ральное число N такое, что для любого номера и, если п
больше 2V, то абсолютная величина разности хп — а мень-
ше 8».
Листая учебник дальше (вернемся ради простоты к
учебнику элементарной планиметрии), мы увидим, что
на основе объектов и отношений, описываемых аксиома-
ми, определяются новые объекты и отношения. Взяв две
точки на плоскости и прямую, которой они обе принад-
лежат, определяют отрезок — совокупность точек пря-
мой, лежащих между двумя данными. Взяв три точки и
построив три соответствующих отрезка, определяют тре-
угольник. Введя понятие угла, а затем прямого угла, оп-
ределяют отношение перпендикулярности прямых и т. д.
На дальнейших страницах учебника мы вскоре уви-
дим особо выделенные высказывания, называемые тео-
ремами. Каждая теорема сопровождается доказательст-
вом — конечной последовательностью высказываний,
каждое из которых есть либо аксиома, либо получается
из других высказываний, предшествующих ему в доказа-
тельстве, по одному из правил вывода исчисления пре-
дикатов. Последняя фраза в этой цепочке высказываний
есть доказываемая теорема (ее часто отмечают словами:
«Что и требовалось доказать»).
Совокупность теорем (то есть высказываний, логиче-
ски следующих из аксиом) и представляет собой мате-
матическую теорию, основанную на данных аксиомах.
(При таком подходе каждую аксиому можно рассмат-
ривать как теорему: все ее доказательство состоит из
единственного высказывания — ее самой.
15!
в Быть может, кое-кого из наших чи-
©тателей удивит доказуемость аксиом.
Удивятся скорее всего те, кто считает
\ аксиомы очевидными истинами, не
) требующими доказательств. Весь наш
I разговор о логике внушает, однако,
с совсем другое представление об аксио-
и мах: это исходные высказывания неко-
“ торой теории, из которых выводятся все
остальные составляющие ее высказывания — теоремы.)
Впрочем, в учебниках, излагающих ту или иную ма-
тематическую теорию, лишь самые первые теоремы вы-
водятся непосредственно из аксиом. Видимо, памятуя
предостережение Вольтера: «Верное средство быть скуч-
ным— объяснять все», авторы учебников сокращают до-
казательства, начиная их не с аксиом, а с ранее доказан-
ных теорем, опуская очевидные положения и т. д.
Вот, например, как доказывается теорема о том, что
у любого четырехугольника, вписанного в окружность,
сумма противоположных углов равна 180°.
Рассмотрим произвольный вписанный четырехуголь-
ник ABCD. Известно, что любой угол, вписанный в ок-
ружность, равен половине дуги, на которую он опирает-
ся. Следовательно, угол Z. АВС равен половине дуги
о ADC. Аналогично, угол Z. ADC равен половине дуги
к> АВС. Сумма дуг kj ADC и k> АВС равна 360°. Следо-
вательно, сумма углов Z. ABC hZ-ADC равна 180°. По-
скольку четырехугольник ABCD произвольный, доказан-
ное справедливо для любого четырехугольника, вписан-
ного в окружность.
Вторая фраза приведенного доказательства — это ра-
нее доказанная теорема (об этом напоминают слова «из-
вестно, что»). Из нее по правилу универсальной конкре-
тизации естественно заключить (хотя это явно и не сде-
лано в приведенном доказательстве): «Если угол Z. АВС
вписан в окружность, то он равен половине дуги k> ADC,
на которую он опирается». Из формулировки теоремы вы-
текает и такое высказывание (хотя его тоже нет в дока-
зательстве): «Угол Z_ АВС вписан в окружность». После
сказанного становится заметным, что третья фраза при-
веденного доказательства следует из только что написан-
ных по правилу заключения, известному нам еще по ис-
числению высказываний. А последняя фраза основана на
правиле универсального обобщения.
ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ —
ДИАЛОГ АВТОРОВ
— Ну вот и окончилось наше путешествие по неко-
торым интересным уголкам математики.
— И поскольку мы исполняли обязанности гидов,
уместно поинтересоваться: не осталось ли у кого-то ка-
ких-либо вопросов?
— Позволь мне спросить первому: как ты думаешь,
кто вместе с нами дошел до конца? Кому оказалось по-
лезным знакомство с математикой, лишенной формул,
место коих заняли шутки и побасенки? Кто заинтересо-
ван в подобных книгах?
— Во-первых, мне кажется, преподаватели. Элемен-
ты высшей математики сейчас проникают даже в школь-
ный курс. Школьникам надо излагать ее иначе, чем
студентам. Как говорил Паскаль, «предмет математики
настолько серьезен, что полезно не упускать случая сде-
лать его немного занимательным».
— А можно воздействовать такими книгами непо-
средственно и на самих учеников, особенно если мате-
матика подавалась им в изрядно пересушенном виде
и потому казалась скучноватой. Привлеченные яркой
оболочкой занимательности, эти читатели попутно станут
усваивать и математическое содержание, которое до сих
пор казалось им горьким.
— Я вспомнил бы еще про тех, которым математика
сейчас нужна в гораздо большем объеме, чем излагалась
в школе и вузах, где они учились. Это биологи, лингви-
сты, социологи — короче, все те, кто пытается перевести
свою специальность на математические рельсы. Где брать
этим людям первые уроки математики? Из серьезных
учебников? Не слишком ли высока эта ступенька для
первого шага? Должны существовать книги, играющие
роль промежуточной ступеньки.
— И их должно быть тем больше, чем интенсивнее
происходит математизация знания. А ведь она ширится
и ускоряется на наших глазах. Уже давно замечено, что
153
из всех наук наиболее быстро развиваются точные. Вот
почему прочие науки стремятся перейти в разряд точ-
ных.
— Мне вспомнилось по этому поводу высказывание
Дарвина: «У людей, усвоивших великие принципы ма-
тематики, одним органом чувств больше, чем у простых
смертных».
— А я хотел бы привести слова другого биолога,
хотя и менее известного, чем Дарвин. Это Фабр, автор
книг о жизни насекомых. Про математику он говорил,
что это «удивительная учительница в искусстве направ-
лять мысли, приводить в порядок неупорядоченное, вы-
корчевывать глупости, фильтровать грязное и давать яс-
ность. Но она, — продолжал далее ученый, — тот дели-
катный цветок, который произрастает не на всякой почве
и распускается так, что никто не знает как».
— Имеется в виду, что никто не знает, каким обра-
зом некоторая область знания становится точной? К со-
жалению, исчерпывающих рекомендаций на этот счет,
действительно, не существует. И если мы с тобой про-
должим разговор на эту тему, мы сможем повторить
лишь самые общие соображения.
— Согласен. Но если мы не сумеем порекомендовать
представителю любой специальности, что именно следуем
делать ради математизации его науки, давай хотя бы
предостережем его от того, чего не следует делать.
— По крайней мере разберем некоторые хрониче-
ские заблуждения, касающиеся математики. Ну, напри-
мер, спроси любого: «Что такое математика?» — и в де-
вяти случаях из десяти ты услышишь в ответ: «Это наука
о числах и фигурах».
— Между тем существуют такие отрасли математики,
которые в отличие от арифметики и геометрии, по су-
ществу, не нуждаются в числах и фигурах. Это, напри-
мер, теория групп, исчисление высказываний.
— Просто в арифметике и геометрии, этих старейших
математических дисциплинах, раньше были продемон-
стрированы великие принципы математики, о которых
так почтительно отозвались Дарвин и Фабр.
— Эти принципы хорошо бы выразить ясно...
— Попытаюсь. Очень многие мыслители единодуш-
ны, определяя суть математики: это ее дедуктивный
метод, ее способность вывести все свои утверждения из
немногих основных, называемых аксиомами.
154
— Здесь, по-моему, стоит разобрать распространен-
ное заблуждение, касающееся аксиом. Многим кажется,
будто развитие каждой математической дисциплины на-
чинается с формулировки неких первооснов, невесть от-
куда взявшихся. А потом на них выстраивается все
дальнейшее. Напротив! Четкая формулировка аксиом
той или иной математической дисциплины, как правило,
завершает целый этап ее развития, оформляет достигну-
тые результаты. Как говорил Энгельс, «принципы — не
исходный пункт исследования, а его конечный резуль-
тат».
— Некоторые считают, что вся геометрия началась
с «Начал» Эвклида. А ведь до этой книги были открытия
Фалеса, Пифагора, Гиппократа, систематизированные
Эвклидом. Причем его систематизация была кое в чем
несовершенной, как выяснилось в прошлом веке. К ис-
ходу девятнадцатого столетия и была создана аксио-
матика геометрии, в основном приемлемая по тогдаш-
ним канонам строгости. Она завершила, таким образом,
двадцатипятивековый этап в развитии элементарной гео-
метрии!
— Но логично спросить: если точная наука начинает-
ся не с аксиом, то с чего же?
— Об этом могла бы рассказать история таких клас-
сических точных наук, как механика, термодинамика,
оптика, электродинамика. Все начинается с накопления
экспериментальных фактов, установления устойчивых
связей между явлениями, обычно называемых законами.
Возьми хотя бы ту же электродинамику. Закон Ампера,
закон Фарадея, закон Био-Савара — сколько их было
открыто, покуда не появились уравнения Максвелла,
своеобразные аксиомы электродинамики, из которых вы-
текали открытые до тех пор законы электромагнитного
поля.
— Но, очевидно, ценность уравнений Максвелла этим
не исчерпывается. В самом деле, хороша ли та теория,
которая лишь по-новому излагает уже известное?
— Разумеется, нет! Теория и строится и развивается
ради получения новых знаний о природе. Аксиомы цен-
ны тем, что из них логическим путем выводятся утверж-
дения, предсказывающие неизвестные ранее явления. Так
было и в электродинамике: тот же Максвелл, анализи-
руя свои знаменитые уравнения, пришел к заключению,
что существуют электромагнитные волны, что свет имеет
155
электромагнитную природу... Его гипотезы потом бле-
стяще подтвердились экспериментами. Великий принцип
математики, заключенный в ее дедуктивном методе, по-
истине вооружил физиков как бы новым органом чувств,
который позволяет им предвидеть и постигать то, что
они не могут увидеть и вообразить.
— Да, по-видимому, это хороший образец для любой
науки, желающей стать точной. Хотелось бы выделить
принципиальные моменты этого становления. По мере
того как экспериментаторы накапливают опытные фак-
ты, теоретики вырабатывают элементарные основопола-
гающие понятия, немногочисленные, но очень емкие в том
смысле, что наблюдаемые факты могут быть интерпре-
тированы как конкретные проявления этих понятий. В
механике к их числу принадлежит понятие материаль-
ной точки, в электродинамике — понятие напряженности
электрического или магнитного поля... Кстати, аксиомы
точной науки можно трактовать, как описание свойств
ее фундаментальных понятий и взаимосвязей между
ними.
— И еще один принципиальный момент: анализ спо-
собов рассуждения, которые применяются в данной нау-
ке. Из них вырабатываются те принципы вывода, по
которым из аксиом будут получаться следствия, пред-
сказания новых фактов.
— Здесь, по-моему, дело обстоит намного легче. Ло-
гика у каждой науки одна — исчисление высказываний,
исчисление предикатов. Очень хорошо, если найденные
в той или иной науке законы допускают количественную
формулировку. Тогда для их выражения нужно лишь
выбрать подходящий математический аппарат, а все
дальнейшее идет по соответствующим правилам преоб-
разования формул.
— Я не согласен со словом «выбрать». Это значит —
взять готовое. Такой путь, конечно, возможен и разумен.
Математика создала богатый арсенал методов, доказав-
ших свою эффективность и в механике, и в термодина-
мике, и в оптике...
— И часто случается, что одно и то же уравнение
позволяет описать очень далекие по своему физическо-
му смыслу явления. Одна и та же формула, например,
выражает и закон взаимодействия двух электрических
зарядов, и закон притяжения двух масс. Вполне может
оказаться, скажем, что математический аппарат термо-
156
динамики пригодится в какой-то лингвистической теории.
— Но может случиться и так, что готового аппарата
для новой развивающейся науки на математических
складах не найдется. Тогда его придется строить с нуля.
Кстати, это пойдет на пользу самой математике, попол-
нит ее арсенал. Необходимость творчества может вы-
явиться в самых непредвиденных местах. Вот, скажем,
ты уверен, что во всех науках логика одна и та же —
исчисление высказываний, исчисление предикатов с их
извечным «да — нет», «истина — ложь». Но вспомни, как
ты голосуешь на собраниях. У тебя не две, а три воз-
можности: «за», «против», «воздержался». И недаром
разрабатывается многозначная логика и еще более ди-
ковинные логические теории. Вполне возможно, что ка-
кая-то наука, становясь точной, примет на вооружение
такую логическую систему, которая точным наукам до
сих пор была неизвестна. Ведь закономерности в каждой
области знания свои.
— Иными словами, превращение той или иной науки
в точную — это процесс, идущий из самой ее глубины,
а не бездумное заимствование уже известного матема-
тического аппарата и отработанной терминологии.
— Такое, к сожалению, встречается нередко. В иных
книгах, написанных под девизом математизации науки,
по существу, нет ничего, кроме нагромождения формул
да жонглирования эффектными словечками: инвари-
ант, многомерность, изоморфизм...
— Искривленное пространство, векторное поле и про-
чая и прочая.
— Математизация не в этом. Не боясь повториться,
я бы вновь попытался подчеркнуть два существеннейших
ее положения. Первое — это обобщение уже достигнуто-
го той или иной наукой и выделение нескольких основных
утверждений, если угодно, аксиом, содержащих точное
и полное описание взаимосвязей между элементарными
понятиями данной науки и одновременно служащих оп-
ределениями этих понятий. Второе — это закрепление
принципов вывода, согласно которым всякое утвержде-
ние данной науки логически вытекало бы из ее аксиом.
— Все это, конечно, очень просто порекомендовать,
но очень трудно выполнить. Проблем тут возникает не-
мало. Располагает ли данная наука необходимыми для
описанной процедуры основополагающими понятиями?
Если располагает и на их основе удалось сформулиро-
157
вать некоторую систему аксиом, то полна ли эта систе-
ма— то есть можно ли исходя из нее вывести любое
утверждение данной науки, хотя бы любое из уже из-
вестных? Если же система неполна, то как ее пополнить?
Такое пополнение рано или поздно окажется неизбеж-
ным с открытием новых фактов... Вот что должно забо-
тить специалиста, желающего видеть свою дисциплину
в ряду точных наук.
— А что касается формул, это уж как получится.
— Вот на этой фразе, оправдывающей название на-
шей кни!и, давай и закончим.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ
ЛИТЕРАТУРА
Математика, ее содержание, методы и значение (под ред.
А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева). Т. 1—3,
М., Изд-во АН СССР, 1956.
П о й а Дж. Математика и правдоподобные рассуждения. Пер.
с англ. Изд. 2-е. М., «Наука», 1975.
П о й а Дж. Математическое открытие. Пер. с англ. Изд. 2-е. М.,
«Наука», 1976.
Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.
Пер. с англ. М., «Просвещение», 1968.
Столяр А. А. Логическое введение в математику. Минск, «Вы-
шэйшая школа», 1971.
Шиханович Ю. А. Введение в современную математику. М.,
«Наука», 1965.
СОДЕРЖАНИЕ
Множества . < .............
Отображения .......
Отношения ........
Исчисление высказываний . . . .
Исчисление предикатов . . . .
Вместо заключения — диалог авторов .
3
31
53
80
118
153
Юрий Васильевич ПУХНАЧЕВ
Юрий Петрович ПОПОВ
МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ
Выпуск 3
Редактор Н. И. Феоктистова
Заведующий редакцией естественнонаучной литературы
А. А. Нелюбов
Мл. редактор Н. Т. Карячкина
Художник Н. А. Гончарова
Худож. редактор М. А. Гусева
Техн, редактор Т. В. Луговская
Корректор Р. С. Колокольчикова
Информ, бланк We 1642.
Сдано в набор 28.11.78. Подписано к печати 28.03.79. Формат
84X108/32. Бумага тип. № 1. Гарнитура «Литературная». А 08986.
Печать высокая. Бум. л. 2,5. Печ. л. 5,0. Усл. печ. л. 8,4. Уч.»
изд. л. 8,07. Тираж 100 000 экз. Изд. № 546. Заказ 1439. Цена
30 коп. Издательство «Знание». 101835, ГСП, Москва, Центр.
Проезд Серова, д. 4.
Типография № 2 ордена Ленина комбината печати издательства
«Радянська УкраТна», Киев, Анри Барбюса, 51/2.
30