Д. В. ВАСИЛЬЕВ, В. Г. ЧУИЧ

СИСТЕМЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ

(примеры расчета)

Допгщено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве
учебного пособия Для студентов технических
вузов

ИЗДАТЕ (I Ь С Т В О
«В Ы С ША Я Ш к О Л А»

МОСКВА —19 67
6П2. 154 4

В-	19)

УДК 62-50

Системы автоматического управления (примеры расчета).
Д. В. Васильев. В. Г. Чуич. «Высшая школа», 1967, стр. 1—419,

Книга содержит числовые примеры расчета автоматизированных
систем, сгруппированные по основным разделам теории автоматиче-
ского управления. Примеры приведены с подробными решениями,
необходимыми методическими указаниями и пояснениями.

Рассмотрены вопросы составления и преобразования функцио-
нальных и структурных схем, составления операторных уравнений
и определения передаточных функций звеньев и систем, устойчиво-
сти и точности работы систем автоматического управления. Разобра-
ны на конкретных примерах методы учета влияния нелинейностей,
а также способы и практические приемы математического моделиро-
вания систем автоматического управления.

Книга предназначается в качестве учебного пособия по курсам
теории автоматического управления и регулирования, следящим си-
стемам, основам технической кибернетики и др., читаемым в высших
технических учебных заведениях, в частности, для студентов заочно-
го и вечернего обучения. Она может быть также использована инже-
нерно-техническими работниками при самостоятельном изучении и
углублении основ теории автоматического управления.

Таблиц 62, рисунков 230, библиографий 35.

Рецензенты:

1.	Кафедра автоматики и телемеханики МЭИ

2.	Профессор Б лаж кин А. Т. (Ленинградский механический
институт)
ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга «Системы автоматического управления» (примеры расчета)
представляет собой учебное пособие по примерам расчета для ряда
курсов по теории автоматического управления, теории следящих си-
стем, основам теории технической кибернетики и др., читаемым во
многих высших технических учебных заведениях, в частности поли-
технических, электротехнических и радиотехнических втузах.

В связи с этим материал книги рассмотрен в соответствии с ос-
новными разделами курса по теории автоматического управления.
Таким образом, при изучении данного раздела имеется возможность
закреплять и конкретизировать материал курса проработкой и ре-
шением примеров данного учебного пособия как под руководством
преподавателя, так и в порядке самостоятельных занятий. Большин-
ство типовых примеров даются с решениями, что должно помочь
усвоению методики подхода к расчету и исследованию в данной
области, а также позволит преподавателю на базе имеющихся при-
меров составлять различные варианты примеров для самостоятель-
ной работы студентов, в частности, контрольных работ.

Подобного рода методика изложения материала, по мнению авто-
ров, позволит пользоваться учебным пособием в вечерних и заочных
втузах, для которых учебной литературы в настоящее время явно
недостаточно. Эта книга может оказаться полезной и для инженеров
п научных работников при решении ими практических задач.

В соответствии с принятой методикой вопросы расчета систем
излагаются в виде отдельных этапов в соответствующих главах (со-
ставление функциональных и структурных схем, статический расчет
системы, передаточные функции, частотные характеристики и т. и.).

Для уяснения выполнения расчета системы в целом в гл. VIII
приводится пример полного расчета системы по методу логарифмиче-
ских частотных характеристик, получившему наибольшее распро-
странение в инженерной практике.

Учебное пособие написано на базе вышедшей в 1959 г. книги тех
же авторов «Расчет систем автоматического управления», Машгиз.
Однако содержание книги подверглось существенной методической
обработке и значительно расширено новыми материалами (гл. I,
Функциональные схемы систем автоматического управления; гл. IX,
Учет влияния нелинейностей в системах автоматического управле-
ния; гл. X, Моделирование систем автоматического управления).

Остальные главы также пополнены некоторыми новыми примера-
ми в соответствии с назначением книги как учебного пособия.

Авторы будут благодарны за все замечания и пожелания, кото-
рые следует направлять по адресу: Москва, К-51, Неглинная, 29/14,
издательство «Высшая школа».
Глава I. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМ.
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 1.1.	Основные функциональные элементы систем
автоматического управления

Современные системы автоматического управления представ-
ляют собой сложные комплексы взаимодействующих техниче-
ских устройств и элементов, работа которых основана на раз-
личных физических принципах (механических, электрических,
гидравлических, пневматических и др.). Различно также их кон-
структивное выполнение и технические характеристики.

При изучении курса теории автоматического управления ос-
новное внимание уделяется не техническим свойствам отдельных
элементов, а функциям, которые они выполняют в системе уп-
равления, и характеру связей между ними. Наглядное представ-
ление об этом дают функциональные схемы систем автоматиче-
ского управления *.

Несмотря на многообразие отдельных систем автоматическо-
го управления и входящих в них элементов, последние могут
быть сведены к нескольким основным типам, различающимся по
их назначению (функции) и взаимодействию в системе управле-
ния. Соответственно этому можно говорить о Типовой или обоб-
щенной функциональной схеме системы автоматического управ-
ления. В общем виде такая схема представлена на рис. 1.1. Схе-
ма отражает то обстоятельство, что сложная современная авто-
матическая система должна выполнять одновременно две зада-
чи: 1) обеспечивать с требуемой точностью изменение выходной
величины системы в соответствии с поступающей извне входной
величиной, играющей роль команды или программы. При этом
необходимо преодолевать инерцию объекта управления и других
1лементов системы, а также компенсировать искажения, возни-
кающие вследствие неточного знания характеристик отдельных
элементов и нестабильности их параметров. Иногда это называ-
ют управлением в узком смысле или слежением-, 2) при задан-

* Их не следует смешивать с блок-схемами, характеризующими систему
по составу входящих в нее отдельных конструктивных блоков (блок питания,
распределительный щит и т. д.).
ном значении входной величины (заданной программе) система
должна, по-возможности, нейтрализовать действие внешних воз-
мущений, стремящихся отклонить выходную величину системы
от предписываемого ей в данный момент значения. В этом смыс-
ле говорят о задаче регулирования или стабилизации.

В действительности обе эти задачи решаются совместно и
об их разделении можно говорить лишь условно. Однако в от-
дельных конкретных системах автоматического управления одна

Рис. 1.1. Общая функциональная схема системы автоматического
управления

из указанных функций может быть выражена более сильно, чем
другая. В этих случаях функциональная схема системы может
иметь более простой частный вид.

Как видно из схемы (рис. 1.1), на объект управления ОУ
(называемый также объектом регулирования ОР), находящий-
ся под влиянием внешнего возмущающего воздействия Р, посту-
пает регулирующее воздействие хр, являющееся выходной вели-
чиной управляющей части системы (регулятора), которая пред-
ставляет собой совокупность обведенных пунктиром элементов,
специально введенных для получения замкнутой системы авто-
матического управления (регулирования).

Замыкание контура управления производится подачей в ре-
гулятор по цепи главной обратной связи ОСГЛ управляемой ве-
личины, которая в общем случае может отличаться от выходной
величины объекта управления, если последняя недоступна для
прямого контроля (например, измерение тока якоря электродви-
гателя вместо непосредственного контролирования вращающего
момента, противо-э. д. с. вместо скорости вращения якоря и т. д.).
В этом случае ошибка системы может быть определена разно-
стью между действительной выходной величиной хвых и ее «иде-
альным» значением хид, представляющим собой выход некото-
рой воображаемой «идеальной» системы ИС, осуществляющей
точное заданное преобразование входной величины.
Необходимость введения задающего элемента ЗЭ объясняет-

ся тем, что задающее воздействие, непосредственно поступаю-
щее на элемент сравнения ЭС, может отличаться от входной ве-

личины по двум причинам: 1) эти воздействия могут быть связа-
ны друг с другом определенной функциональной зависимостью *
или просто различаться масштабом величин; 2) задающее
воздействие часто содержит в себК наряду с полезным
входным сигналом, и случайные возмущения или помеху (шум).

Возмущающие воз-

действия могут посту-
пать на любой элемент
системы управления.
Учет их зависит от кон-
кретной постановки за-
дачи. При этом отнесе-
ние их к внешним или

Рис. 1.2. Функциональная схема простейшей
системы автоматического регулирования

внутренним возмуще-
ниям является весьма
условным. Так, напри-
мер, колебания напря-

жения источников питания в электрических системах в одних
случаях могут рассматриваться как внешние возмущения, а в
других — вызывать флюктуации внутренних параметров системы.

Сигнал ошибки хс, представляющий собой разность задаю-
щего воздействия х3 и сигнала главной обратной связи х0 с, в об-
щем случае не должен отождествляться с ошибкой Дх, даже ес-
ли выходная величина ссвпадает с управляемой, а задающее
воздействие — с входной величиной. Так, в статической системе
при отсутствии возмущающих воздействий и неизменных пара-
метрах системы установившаяся ошибка равна нулю, при этом
сигнал ошибки должен иметь отличную от нуля величину, необ-
ходимую для поддержания заданного значения выходной вели-

чины системы.

Усилительный элемент У и исполнительный элемент ИЭ вхо-
дят в основной контур системы.

Преобразующий элемент ПЭ и элемент местной обратной
связи ОСМ вводятся в систему для придания ей лучших динами-
ческих свойств, т. е. для коррекции системы, в связи с чем их на-
зывают соответственно последовательным и параллельным кор-
ректирующими элементами. Их наличие не является обязатель-
ным. Однако в этом случае могут быть осуществлены лишь про-
стейшие системы автоматического управления с крайне низкими
качественными показателями.

* Как, например, в следящих системах счетно-решающих устройств, от-
рабатывающих такие функции входной величины х, как 51П х, сов х, х2 и т. д.
На рис. 1.2 и 1.3 изображены соответственно функциональ-
ные схемы простейшей замкнутой системы автоматического ре-
гулирования и простейшей следящей системы. Особенностью
этих схем является то, что все изображенные на них элементы
являются необходимыми. Отсутствие какого-либо из них делает
невозможным существование замкнутой системы автоматическо-
го управления. В обеих системах предполагается возможность

Рис. 1.3. Функциональная схема простейшей
следящей системы

непосредственного конт-
ролирования выходной
величины (которая, таким
образом, совпадает с уп-
равляемой или регулиру-
емой величиной) и совпа-
дение задающего воздей-
ствия с входом системы.
На практике это имеет

место тогда, когда существует твердая уверенность в том, что
указанные пары величин связаны между собой жесткой зависи-
мостью (обычно пропорциональной).

Особенностью следящих систем, предназначенных для отра-
ботки (отслеживания) механических перемещений, является,

как правило, высокая точность передачи сигнала по цепи глав-
ной обратной связи ОСГЛ от выхода системы к элементу срав-
нения ЭС. При этом в установившемся режиме выходная вели-
чина 0Еых должна с очень малой (по сравнению с переходным
режимом) погрешностью совпадать с входной величиной 0ВХ *.
Вследствие этого элемент главной обратной связи производит
передачу сигнала к элементу сравнения с коэффициентом, рав-
ным единице, и может быть заменен на функциональной схеме
одной линией (рис. 1.3). При этом ошибка следящей системы
0 = 0 ВХ 0 ВЫХ'

Встречающиеся на практике системы автоматического управ-
ления могут быть представлены функциональными схе.мами, за-
нимающими промежуточное положение между общей схемой,
изображенной на рис. 1.1, и простейшими схемами, приведенны-
ми на рис. 1.2 и 1.3.

Умение разделять системы автоматического управления на
основные функциональные элементы и составлять функциональ-
ные схемы в общем виде способствует ясности представлений о
физических процессах, происходящих в системе, и имеет боль-
шое значение для дальнейшего исследования и расчета основ-
ных режимов работы системы.

* Это оказывается возможным в связи с тем, что, будучи астатическими,
следящие системы содержат интегрирующее звено-исполнительный двигаю ,ь
ИД, осуществляющее длительное запоминание отработанного входного сиг-
нала.
§ 1.2.	Примеры составления функциональных схем
по принципиальным схемам

Пример 1.1. Составление функциональной схемы системы
автоматического регулирования напряжения генератора посто-
янного тока.

Принципиальная схема системы регулирования изображена
па рис. 1.4. Система работает следующим образом. Напряжение
обратной связи /7О.С, пропорциональное регулируемой величи-
не— напряжению генератора й/г, сопоставляется с напряжением

Рис. 1.4. Упрощенная принципиальная схема системы авто-
матического регулирования напряжения генератора посто-
янного тока

сравнения й/ср. Разность Иср— И0.с поступает на вход электрон-
ного усилителя У, питающего обмотку управления ОбУ электро-
машинного усилителя с поперечным полем ЭМУ, являющегося
возбудителем генератора Г. Для повышения динамической ус-
'юйчивости системы в ней предусмотрена стабилизирующая
местная обратная связь по напряжению ЭМУ, осуществляемая
при помощи конденсатора С и делителя напряжения /?с. Величи-
на главной обратной связи устанавливается делителем /?0-

При разделении системы автоматического регулирования на
Функциональные элементы выделим, прежде всего, генератор,
который будем рассматривать как объект регулирования ОР. На
него действует напряжение возбуждения Йв.г, являющееся регу-
лирующим воздействием, и возмущающее воздействие — ток на-
। р\ зки /н-

Регулируемая величина й/г преобразуется в напряжение 1/0.с
элементом главной обратной связи ОСГЛ и сравнивается с на-
пряжением /7ср при помощи элемента сравнения ЭС, который в
данном случае является электрическим соединением, поскольку
в рассматриваемой системе регулирования сравниваются элект-
рические величины Пср и По.с-

В качестве усилительного элемента принят электронный уси-
литель У, а ЭМУ в данном случае является исполнительным эле-
ментом ИЭ *.

Стабилизирующий контур С7?с представим как элемент мест-
ной обратной связи ОСК, входной величиной которого является
напряжение ЭМУ ^напряжение на обмотке возбуждения генера-

Рис. 1.5. Функциональная схе-
ма системы автоматического
регулирования напряжения ге-
нератора постоянного тока

Принципиальная схема

тора ОВГ), а выходной — напря-
жение По, представляющее собой
сигнал местной обратной связи,
подаваемый на вход усилителя и
вычитаемый из основного сигна-
ла Пор По.с.

При указанном разделении
системы регулирования напряже-
ния генератора на элементы
функциональная схема будет
иметь вид, изображенный на
рис. 1.5.

Пример 1.2. Составление функ-
циональной схемы простейшей
следящей системы с асинхрон-
ным двухфазным двигателем АД.
следящей системы изображена на

рис. 1.6. Система работает следующим образом. Положение
входной и выходной осей системы сравнивается при помощи -ме-
ханического дифференциала Др, с которым связан движок по-
тенциометра П. Напряжение Пс, снимаемое с потенциометра,
усиливается однокаскадным ламповым усилителем У, собран-
ным на двойном триоде Л. Выходное напряжение усилителя Пу
подается на управляющую обмотку ОбУ асинхронного двухфаз-
ного двигателя с полым ротором, обмотка возбуждения ОВ ко-
торого питается переменным напряжением от той же сети, к ко-
торой подключен потенциометр. Конденсатор С, включенный па-
раллельно вторичной обмотке выходного трансформатора, слу-
жит для фазирования напряжения Пу с напряжением на обмот-
ке возбуждения двигателя.

Приняв механический дифференциал за элемент сравнения
ЭС, а потенциометр — за преобразующий элемент ПЭ, получим
функциональную схему следящей системы,' изображенную на
рис. 1.7. На схеме асинхронный двигатель объединен вместе с
редуктором в один элемент — исполнительный двигатель ИД.

* Такое разделение весьма условно: с равным правом можно рассматри-
вать электронный усилитель вместе с ЭМУ как усилительный элемент, .а ис-
полнительным элементом считать цепь возбуждения генератора ОВГ, приняв
якорь последнего за объект регулирования.
Пример 1.3. Составление функциональной схемы следящей
системы с асинхронным двухфазным двигателем АД и тахогене-
ратором АТГ.

Работа системы может быть пояснена при помощи принципи-
альной схемы, изображенной на рис. 1.8. Входная и выходная

Рис. 1.6. Принципиальная схема простейшей следящей системы
с асинхронным двухфазным двигателем:

Р — редуктор, ГрЕХ и Грвых — входной и выходной трансформаторы

оси следящей системы связаны соответственно с движками за-
дающего /7] и отрабатывающего П2 потенциометров. Разность
снимаемых с них напряжений, пропорциональная ошибке 0=:

= 0вх—®вых, сум мирует-
ся алгебраически с на-
пряжением 1Д отрица-
тельной обратной связи

от асинхронного тахоге-

нератора И поступает на Рис. 1.7. Функциональная схема следя-
вход лампового усилите-	щей системы

ля, состоящего из двух

каскадов. Первый каскад — фазоинверсный, собранный на лам-
пе 77], осуществляет предварительное усиление и управляет двух-
тактным оконечным каскадом (лампы Л2, Л2), работающим че-
рез выходной трансформатор Трвых на обмотку управления
асинхронного двигателя. Конденсатор С в обмотке возбуждения
двигателя осуществляет сдвиг фазы питающего напряжения на
90° по отношению к напряжению на обмотке управления.

Рассматриваемая следящая система относится к числу ди-
станционных систем, в которых сравнение сигналов управления
и отработки. производится путем суммирования электрических

величин.
Рис. 1.8. Принципиальная схема следящей системы с асинхрон-
ным двухфазным двигателем и тахогенератором

Функциональная схема следящей системы представлена на
рис. 1.9, а. Наличие в схеме двух преобразующих элементов объ-
ясняется тем, что в данной
системе сравниваются не не-
посредственно углы поворо-
та входной и выходной осей,
а пропорциональные им на-
пряжения 17П1 и Оп2, снимае-

Рис. 1.9. Функциональные схемы сле-
дящей системы:

а — исходная; .6 — преобразованная

разующего скорость вращения

й

мые с потенциометров /71 и
П2. Остальные элементы
схемы соответствуют лампо-
вому усилителю, двигателю
с редуктором и местной об-
ратной связи, осуществляе-
мой при помощи асинхрон-
ного тахогенератора, преоб-
вых выходной оси системы в

напряжение 170-

Схема, изображенная на рис. 1.9, а, может быть преобразо-
вана в эквивалентную ей функциональную схему с одним преоб-
разующим элементом (рис. 1.9,6), в которой входные сигналы
сравниваются непосредственно. Действительно, напряжения
Ут и 1}ц2 можно представить в виде:

^П1 ®ЕХ И УП2 — ^п2®вых>

где кщ и кп2 — передаточные коэффициенты потенциометров.

Разность напряжений потенцио-
метров, подаваемая на второй эле-
мент сравнения,

^Л1   ^111	^П2   ^“111 ®ЕХ	^П2 ®ЕЫХ»

Рис. 1.10. Принципиальная схема системы автоматического регули-
рования скорости двигателя постоянного тока

при отсутствии рассогласования должна равняться нулю, откуда
следует, что

Ь (н)	— А /н)	•

/гп1 ^вх	'“'вых?

при ЭТОМ ДОЛЖНО 0ЕХ = ©ВЫХ, СЛеДОВЗТеЛЬНО /гп1 = &п2 = ^п.

Подставив кп в выражение для (7П, получим

^П = ^п(®ВХ-еЕЬ,х)=Ш.

что соответствует- функциональной схеме, приведенной на
рис. 1.9,6.

Пример 1.4. Составление функциональной схемы системы
автоматического регулирования скорости двигателя постоянного
тока Д.

Принципиальная схема системы регулирования показана на
рис. 1.10. Из рассмотрения схемы видно, что скорость вращения
двигателя преобразуется с помощью тахогенератора ТГ в напря-
жение обратной связи Д0.с, сравниваемое с задающим напря-
жением Т73, изменяя которое можно задавать различную ско-
рость двигателя. Разность Ся—И0_с суммируется с напряжением
Ио местной отрицательной обратной связи, получаемым для по-
вышения динамических свойств системы регулирования в стаби-
лизирующем контуре Д0С0, и подается на вход лампового усили-

Рис. 1.11. Функциональная схе-
ма системы автоматического
регулирования скорости двига-
теля

теля постоянного тока, состоя-
щего из двух каскадов. Первый
каскад — фазоинверсный (лам-
пы Л2), второй — оконечный
каскад на лампах Л3 и Л4, в
анодные цепи которых включены
обмотки управления ЭМУ так,
чтобы м.д. с. этих обмоток были
направлены навстречу друг дру-
гу. При отсутствии сигнала на

входе усилителя токи /у1 и 1у2
равны между собой, и резуль-
тирующая м. д. с. управления
ЭМУ равна нулю. Электрома-

шинный усилитель нагружен на
обмотку возбуждения генерато-
ра ОВГ, работающего на двигатель постоянного тока с незави-

симым возбуждением по схеме генератор — двигатель.

Будем считать двигатель объектом регулирования ОР. На-
пряжение генератора Иг представляет собой регулирующее воз-
действие, а момент нагрузки М на валу двигателя — возмущаю-
щее воздействие.

В качестве исполнительного элемента ИЭ примем генератор,
вращаемый с постоянной скоростью приводным двигателем ПД,
а ламповый усилитель объединим вместе с ЭМУ в один усили-
тельный элемент У.

Добавив элементы главной ОСГЛ и местной ОСМ обратных
связей, а также элемент сравнения ЭС, получим функциональ-
ную схему системы автоматического регулирования, изображен-
ную на рис. 1.11.

Пример 1.5. Составление функциональной схемы следящей
системы с корректирующим контуром переменного тока.

Электрическая схема следящей системы дана на рис. 1.12
[Л. 18]. Система работает следующим образом. Напряжение пе-
ременного тока, амплитуда которого пропорциональна величи-
не рассогласования (ошибке), а фаза определяется знаком
ошибки, поступает на управляющую сетку пентода 6Ж8 через
Т-образный контур.

Последний состоит из конденсаторов С4, С5 и сопротивлений
Дь Рё, Р? и служит для повышения динамических качеств сле-
дящей системы. Конденсаторы Сь С2, С3 включены для улучше-
ния частотной характеристики Т-образного контура. Сигнал
Рис, М2. Электрическая схема следящей системы с корректирующим контуром переменного тока
ошибки усиливается далее двумя последующими каскадами,
собранными на двух половинах двойного триода 6Н9С, и поступа-
ет на фазоинверсный усилительный каскад на двойном триоде
6Н8С с катодным выходом, к которому подключены управляю-
щие сетки оконечного каскада. Со вторичной обмотки выход-
ного трансформатора напряжение подается на управляющую
обмотку асинхронного двухфазного двигателя. Одновременно
часть этого напряжения через делитель /?12, поступает в

виде отрицательной
обратной связи на вхо-
дной каскад усилите-
ля. Обмотка возбуж-
дения двигателя под-

Рис. 1.13. Функциональная схема следящей ключена к сети пере-
системы	менного тока через

конденсатор Сщ, обес-
печивающий сдвиг фазы тока в обмотке возбуждения на 90° по
отношению к току в управляющей обмотке двигателя.

Сельсинная схема измерения рассогласования состоит из сель-
сина-датчика СД и сельсина-трансформатора СТ, выполняющих
функции элемента сравнения ЭС и преобразующего элемен-
та ПЭ.

Т-образный контур является корректирующим звеном КЗ,
включенным последовательно в замкнутую цепь следящей си-
стемы.

Отрицательная обратная связь в усилителе охватывает безы-
нерционные звенья и не влияет на динамику системы, отража-
ясь только на величине коэффициента усиления,- Поэтому ее
можно не выделять на функциональной схеме, а учесть при оп-
ределении численных значений параметров системы.

С учетом сделанных замечаний фукциональная схема следя-
щей системы будет иметь вид, представленный на рис. 1.13.

Пример 1.6. Составление функциональной схемы системы
автоматического регулирования скорости двигателя постоянного
тока с тиратронами.

Работа системы регулирования, принципиальная схема кото-
рой показана на рис. 1.14, протекает следующим образом. Тре-
буемая скорость двигателя задается потенциометром /7Ь кото-
рый питается постоянным напряжением через стабилизатор
СТВ1. Разность напряжений, снимаемых с потенциометра П\ и
потенциометра П2, питаемого напряжением от тахогенератора
ТГ, поступает через сопротивление /?с на управляющие сетки
пентодов 6Ж7, образующих входной каскад усилителя (лампы
Л1 и «77 2) •

Конденсатор Сь включенный между анодом и сеткой лампы
Л\, образует совместно с сопротивлением дифференцирую-
щий /?С-контур в цепи местной обратной связи, вводимой для
стабилизации системы регулирования. Результирующий сигнал
усиливается лампой Л%, анодное напряжение которой подается
на сетку триода Л3, образующего совместно с конденсатором
С2 фазовращающий мост. Напряжение, снимаемое с диагонали
моста, поступает на сетки тиратронов УТ1 и Тг, работающих по
схеме двухполупериодного управляемого выпрямителя, в цепь
нагрузки которого включен якорь двигателя Д.

Рис. 1.14. Принципиальная схема системы автоматического
регулирования скорости двигателя постоянного тока с тира-
тронами

При изменении скорости вращения двигателя (например,
вследствие переменной нагрузки) меняется напряжение на зажи-
мах якоря тахогенератора и, соответственно, — на потенциомет-1
ре /72. В результате возникает разбаланс на входе усилителя,
напряжение разбаланса совместно с демпфирующим сигналом
местной обратной связи усиливается и воздействуя на лампу Л3,
сдвигает фазу напряжения, поступающег© на сетки тиратронов,
изменяя угол отсечки анодного тока каждого тиратрона. В ре-
зультате изменяется среднее значение тока в якоре двигателя,
благодаря чему скорость двигателя восстанавливается до значе-
ния, близкого к заданному.

При разделении системы автоматического регулирования на
функциональные элементы следует принять во внимание способ
включения стабилизирующего /?С-контура в схему усилителя.
Как видно из принципиальной схемы, сетки ламп Л} и сое-
динены между собой параллельно и отделены от входа системы
(движка потенциометра П\) сопротивлением /?с. Напряжение
усиливаемэе лампой Л2, является результатом действия как

Рис. 1.15. Функциональная схема
системы автоматического регули-
рования скорости двигателя с ти-
ратронами



входного сигнала системы 113—
^о.с, так и. стабилизирующей об-
ратной связи, поступающей с ано-
да лампы Поэтому весь вход-
ной каскад усилителя, состоя-
щий из триодов Л} и Лг, вместе
с /?С-контуром местной обратной
связи, целесообпазно рассматри-
вать как активный корректирую-
щий элемент КЗ, включенный
последовательно в главную цепь
системы регулирования. С ним
можно объединить усилительно-
преобразовательный элемент
УПЭ— фазовращающий мост,
что вызовет лишь изменение ве-

личины передаточного коэффициента корректирующего элемен-
та, которое всегда может быть учтено при подстановке числен-
ных значений параметров системы.

Если принять двигатель за объект регулирования ОР, то
тиратронный усилитель мощности можно считать исполнитель-
ным элементом ИЭ, входной величиной которого служит напря-
жение с изменяющейся фазой Пт на сетках тиратронов, а вы-
ходной — среднее значение выпрямленного напряжения на за-
жимах якоря двигателя Ия, представляющее собой регулирую-
щее воздействие.

Фукциональная схема системы регулирования будет иметь
вид, изображенный на рис. 1.15.

Пример 1.7. Составление функциональной схемы следящей
системы профилешлифовального станка с полупроводниковым

усилителем.

Упрощенная электрическая схема следящей системы изобра-
жена на рис. 1.16. Система работает следующим образом. Про-
граммирующее устройство ПрУ воспроизводит в виде угла пово-
рота входной оси следящей системы заданный закон перемеще-
ния шлифовального круга ШК в плоскости, перпендикулярной
к обрабатываемой поверхности ОП. Шлифовальный круг имеет
постоянную скорость подачи вдоль указанной поверхности. По-

дача осуществляется специальным приводом, не показанным на
схеме.

Выходной осью системы служит ходовой винт ХВ, передаю-
щий движение суппорту С. Благодаря применению в конструк-
ции станка специального шарикового винта люфт в паре винт-
гайка весьма мал, и перемещение шлифовального круга с доста-
точной точностью соответствует повороту выходной оси следя-
щей системы.

Разность углов поворота входной и выходной осей с помощью
дифференциала Др реализуется в угол поворота ротора вра-
щающегося трансформатора ВТ. Напряжение, снимаемое с од-
ной из обмоток ВТ, при малых углах поворота ротора пропор-
ционально ошибке 0 = 0ВХ—©вых- Это напряжение подается на
обмотку 1 входного трансформатора Тр} полупроводникового
усилителя, состоящего из каскада усиления переменного тока,
фазочувствительного выпрямительно-усилительного каскада и
оконечного каскада усиления постоянного тока. Между фазо-
чувствительным и оконечным каскадами включено корректирую-
щее звено На сопротивления /?5 и К5 ф'азочувствительного
каскада через корректирующий контур, состоящий из сопротив-
лений и и конденсаторов С2 и С3, подается напряжение
якоря ЭМУ. На обмотку 2 трансформатора Трх, одинаковую с
обмоткой 1, от асинхронного тахогенератора подается напряже-
ние отрицательной обратной связи по скорости вращения выход-
ной осн, регулируемое при помощи делителя Вм.

Сопротивление В\ъ, шунтирующее компенсационную обмотку
КО ЭМУ, подобрано так, чтобы скомпенсировать не только раз-
магничивающее действие продольной реакции якоря, но и в зна-
чительной мере падение напряжения на сопротивлении якорной
обмотки ЭМУ. Благодаря этому уменьшаются отклонения скоро-
сти двигателя с изменением нагрузки, что существенно при ма-
лых скоростях.

При разделении следящей системы на функциональные эле-
менты нужно выделить участки схемы, охватываемые местными
обратными связями, и последовательные корректирующие зве-
нья в прямой цепи системы. Каскад усиления переменного тока
полупроводникового усилителя выделим в качестве первого уси-
лительного элемента схемы Фазочувствительный каскад
представляет собой усилительно-преобразовательный элемент
УПЭ, так как, помимо усиления сигнала, в его функции входит
преобразование переменного напряжения в постоянное. Он отде-
лен последовательным корректирующим звеном КЗ от второго
усилительного элемента У2, объединяющего оконечный каскад
усиления постоянного тока полупроводникового усилителя и
ЭМУ. Последним элементом в прямой цепи системы является
исполнительный двигатель ИД вместе с понижающим редук-
тором.
Элементы местных обратных связей ОСХ и ОС2 отражают на-
личие в следящей системе отрицательных обратных связей по
напряжению ЭМУ и по скорости вращения выходной оси.

Соответственно трем обратным связям (одной — главной и
двум местным) на функциональной схеме необходимо иметь три
элемента сравнения ЭС, из которых первый осуществляет меха-
ническое суммирование величин 0^ и а два других — эле-
ктрическое суммирование сигналов прямой цепи и местных об-
ратных связей. Вращающийся трансформатор представляет со-
бой преобразующий элемент ПЭ.

Рис. 1.17. Функциональная схема следящей системы профи-
лешлифовального станка с полупроводниковым усилителем

С учетом сделанных замечаний можно изобразить функцио-
нальную схему рассматриваемой следящей системы в виде, пред-
ставленном на рис. 1.17.

Пример 1.8. Составление функциональной схемы следящей
системы копировально-фрезерного станка 6441А завода им.
Я. М. Свердлова.

Упрощенная принципиальная схема следящей системы изо-
бражена да ряс. В] 8. Работа схемы протекает следующим обра*
зом. Индуктивное следящее устройство ИСУ (копировальный
прибор) преобразует механическое отклонение копировального
пальца КП от нулевого положения, соответствующего опреде-
ленной степени растяжения пружины, в напряжение сигнала
ошибки Ис, подаваемое на вход электронного усилителя через
входной трансформатор 7рвх.

Копировальный прибор жестко связан с. фрезой Ф, благодаря
чему напряжении Ис характеризует отклонение профиля поверх-
ности обрабатываемого изделия И от заданного шаблоном Ш,
т. е. ошибку следящей системы 0, причем амплитуда этого на-
пряжения определяет величину ошибки, а фаза — ее знак.

Входной каскад усилителя, собранный на двойном триоде
Л1 и работающий в режиме фазочувствительного выпрямителя,
помимо усиления напряжения Сс, формирует сигнал управления
системой. Выходное напряжение этого каскада, кроме состав-
ляющей, пропорциональной ошибке, содержит также составляю-
щие, пропорциональные производной р© и интегралу от ошибки

но времени — Сигнал, пропорциональный р©, получается с по-
Р

мощью дифференцирующего трансформатора ДТр, первичные
обмотки которого включены в анодные цепи триода Л1г а вто-
ричные— в сеточные цепи оконечного каскада на лампах Л2 и
Л3. Сигнал, пропорциональный интегралу от ошибки, вырабаты-
вается во входном каскаде при помощи контуров Я1С] и /?2С2,
образующих совместно с триодом Л\ активное интегрирующее
звено. Конденсаторы С3 С6 служат для отфильтровывания пе-
ременной составляющей сигнала.

Выходной каскад электронного усилителя представляет со-
бой усилитель постоянного тока. В анодные цепи ламп Л2 и Л3
включены обмотки управления ОУ] и ОУ2 электромашинного
усилителя с поперечным полем ЭМУ, работающего на исполни-
тельный двигатель ИД постоянного тока с независимым возбуж-
дением. Обмотки СУ] и ОУ2 включены таким образом, что раз-
виваемые ими м. д. с. направлены встречно. При отсутствии
сигнала на входе усилителя (при нулевой ошибке) токи, проте-
кающие в управляющих обмотках ЭМУ, равны между собой, а
результирующая м. д. с. управления равна нулю.

В следящей системе имеется местная отрицательная обрат-
ная связь по напряжению ЭМУ, осуществляемая с помощью
контура, состоящего из сопротивлений /?1в, Дп и конденсатора
С7. Переменное сопротивление Д18, шунтирующее компенсацион-
ную обмотку КО, позволяет изменять степень компенсации ЭМУ.

Следящая система копировально-фрезерного станка 6441А
подробно описана в [Л. 25].

Индуктивное следящее устройство будет представлено на
функциональной схеме преобразующим элементом ПЭ, входной
величиной которого является ошибка а выходной — напряже-
ние сигнала ошибки 1Д.

Следующим узлом принципиальной схемы является входной
каскад лампового усилителя. При составлении функциональной
схемы важно отразить обе его функции — усиление сигнала
ошибки и выработку дополнительных управляющих сигналов,
пропорционатьных производной и интегралу от ошибки. Это
можно сделать, представив входной каскад усилителя двумя
последовательно включенными элементами: усилительным У] и
корректирующим КЗ.

Оконечный каскад электронного усилителя целесообразно
объединить в один усилительный элемент У2 вместе с ЭМУ. Этот
элемент охватывается местной отрицательной обратной связью
< по напряжению ЭМУ, в соответствии с чем необходимо вы-
делить элемент обратной связи и второй элемент сравнения ЭС.

В качестве последнего элемента на функциональной схеме
выделим исполнительный двигатель ИД вместе с механическим
редуктором Р, который, помимо понижения скорости, преобра-
зует вращательное движение вала двигателя в поступательное
перемещение суппорта с фрезой и копировальным прибором,
представляющее собой выходную величину системы ©вых- Поэто-

му в последнее звено войдет также

Рис. 1.19. Функциональная схема следящей
системы копировально-фрезерного станка
6441А

и винтовая передача, изо-
браженная на принципи-
альной схеме отдельно
от редуктора.

Функциональная схе-
ма следящей системы ко-
пировально - фрезерного
станка 6441А будет иметь
вид, изображенный на
рис. 1.19.

Пример 1.9. Состав-
ление фУнкЦиональнС)й

схемы системы автоматического управления продольным дви-
жением самолета с автопилотом АП-28.

В упрощенном виде принципиальная схема системы управле-
ния изображена на рис. 1.20. Самолет, представляющий собой
аэродинамический объект управления, должен занимать во вре-
мя полета определенное положение в вертикальной плоскости
симметрии, характеризуемое углом тангажа О. Действие внеш-
них возмущений (ветровой момент, изменение центра тяжести
и др.) создает момент Л4В относительно центра масс самолета,
стремящийся изменить заданную величину <1. Назначение авто-
пилота (вынесенного на схеме для наглядности за контуры са-
молета) состоит в том, чтобы на основе информации, получае-
мой от гироскопических приборов и других устройств, вырабаты-
вать управляющие сигналы, в соответствии с которыми рулевая
машина РМ поворачивает руль высоты на угол 6, кбторый со-
здает восстанавливающий момент, приводящий угол тангажа к
заданной величине.

На отдельные входные обмотки магнитного усилителя МУ,
представляющего собой первый каскад общего усилителя руле-
вого тракта, поступают сигналы, преобразованные при помощи
потенциометров в электрические напряжения постоянного тока:
Да — сигнал ошибки системы управления, пропорциональный
угловому отклонению корпуса самолета от некоторого опорного
положения й|Оп, определяемого гировертикалью ГВ; 17я — задаю-
щий сигнал, поступающий от рукоятки управления РУ или про-
граммного механизма, позволяющий изменять заданное угловое
положение самолета; Щ — сигнал, пропорциональный угловой
скорости тангажа &, поступающий от датчика угловой скоро-
сти ДУС; — сигнал, пропорциональный углу поворота руля
высоты от нулевого положения, идущий от датчика положения
рулей ДПР. Указанные сигналы суммируются алгебраически в
магнитном усилителе в виде ампер-витков подмагничивания, мо-
24


Аудируются частотой 400 гц и поступают на вход резонансного
электронного усилителя ЭУ, амплитуда выходного напряжения
которого пропорциональна величине суммарного сигнала, а
сдвиг фазы (0 или 180° по отношению к сети 400 гц, питающей
рабочие обмотки магнитного усилителя) определяет его знак.
Усиленное напряжение с выхода электронного усилителя посту-
пает на сетки фазового дискриминатора ФД, в анодные цепи
которого включены управляющие обмотки пропорционального
электромагнита ПЭМ рулевой машины. Среднее значение и по-
лярность выпрямленного напряжения й/эм на зажимах этих об-
моток определяются соответственно амплитудой и фазой пере-
менного напряжения на сетках фазового дискриминатора.
В свою очередь, поляризованный пропорциональный электро-
магнит поворачивает свой якорь на угол, пропорциональный
среднему значению тока в его управляющих обмотках, причем
направление поворота зависит от полярности Пах[. С якорем про-
порционального электромагнита связана игла следящего золот-
ника гидравлического сервомотора ГС рулевой машины. Золот-
ник, повторяя перемещение X иглы, управляет движением порш-
ня сервомотора и, уменьшая нагрузку на пропорциональный
электромагнит, увеличивает чувствительность автопилота. Пере-
мещение поршня гидравлического сервомотора преобразуется в
пропорциональный ему поворот руля высоты. Более подробно
устройство и работа автопилота АП-28 разобраны в [Л. 8].

При разделении рассматриваемой системы управления про-
дольным движением самолета на отдельные функциональные
элементы и определении связей между ними будем исходить из
общей функциональной схемы системы автоматического управ-
ления, приведенной на рис. 1.1.

Объектом управления ОУ является самолет, угол тангажа
которого представляет собой управляемую или выходную вели-
чину системы. В данном случае оба эти понятия сливаются в
одно, так как выходная величина системы — угловое положение
корпуса самолета, если его определять в не связанной с самоле-
том системе координат каким-либо внешним способом (напри-
мер, фотографированием при помощи кино-пулемета с земли),
одновременно является как раз той величиной, которая непо-
средственно сравнивается при помощи гировертикали с некото-
рым опорным положением в пространстве, т. е. управляемой ве-
личиной системы. При этом, если пренебречь возможными де-
формациями корпуса самолета, то следует считать, что выход-
ная величина системы «передается» к элементу сравнения — ги-
ровертикали без каких-либо преобразований. Следовательно,
элемент главной обратной связи должен иметь передаточный
коэффициент, равный единице, а сама обратная связь может
быть изображена на функциональной схеме в виде линии, сое-
диняющей выход системы с элементом сравнения.
Регулирующим воздействием в данной системе считается
угол б поворота руля высоты, так как создаваемый им восста-
навливающий аэродинамический момент также зависит от па-
раметров самолета и режима полета и может быть обнесен к
величинам, характеризующим свойства объекта управления.

Сложнее выглядит вход системы управления. Особенностью
рассматриваемой системы является то, что входная величина,
определяющая требуемое в каждый данный момент значение
угла тангажа, в общем случае представляется в виде двух со-
ставляющих: неизменного опорного значения ©оп, определяемого
положением гировертикали, и заданного значения Оз, вводимого
пилотом или программным механизмом для изменения требуе-
мого значения угла тангажа, относительно которого должно ста-
билизироваться угловое положение самолета в вертикальной
плоскости. При этом в отличие от ©оп вторая составляющая ©3
не непосредственно сравнивается с действительным значением
угла тангажа, а сначала преобразуется с помощью потенцио-
метрического датчика в пропорциональное электрическое напря-
жение П3, которое затем уже сравнивается с другими сигналами
па входе магнитного усилителя. Это находит отражение на
функциональной схеме (рис. 1.21, а) в виде двух различных
сходных величин. Первая из них ©оп поступает на элемент срав-
нения ЭСЬ С ней сравнивается действительное значение й и их
разность Д©оп=©оп—©при помощи потенциометрического преоб-
разующего элемента ПЭг (образующего вместе с ЭСХ чувстви-
тельный элемент ЧЭ — гировертикаль) преобразуется в электри-
ческий сигнал Па = ^1Д©оп, поступающий на второй элемент срав-
нения ЭС2 (вход магнитного усилителя), где суммируется с
напряжением б/3=А2©3, получаемым на выходе второго преобра-
зующего элемента ПЭ2, представляющего собой потенциомет-
рический датчик ручного управления (здесь к2 — передаточ-
ные коэффициенты соответствующих потенциометрических дат-
чиков) .

«Идеальная» система управления, очевидно, может быть
представлена воображаемым элементом сравнения ЭС4, осуще-
I шляющим точное суммирование обеих составляющих входной
величины.

Ввиду того что гировертикаль и датчик ручного управления
обладают собственными погрешностями (что отражено на схеме
<лучайн/>1ми возмущениями /1 и |2), ошибка системы управления
д© = ©ид-©,

I не 0„д=©оп+©3 — «идеальная» выходная величина системы,©—
д( и» твнтельная выходная величина (измеряемая, например, фо-
7<>1 рафированием, как указывалось ранее).

В том же элементе сравнения ЭС2 из суммы сигналов 173+179
вычитается сигнал П9, пропорциональный углозой скорости ©
тангажа. Этот сигнал вырабатывается в датчике угловой скоро-
сти, представляющем собой элемент местной обратной связи
ОСы2- Наличие в системе еще одной местной обратной связи
ОСм1, вырабатывающей сигнал, пропорциональный углу пово-
рота руля, обусловливает появление на функциональной схеме
еще одного элемента сравнения ЭС3.

Рис. 1.21. Функциональные схемы системы автоматического управления про-
дольным движением самолета:

С — исходная; б — преобразованная упрощенная

Строго говоря, следовало бы каждое из поступающих на вход
магнитного усилителя напряжений преобразовать в соответст-
вующие ампер-витки, так как фактически именно они, а не на-
пряжения, суммируются в магнитном усилителе (поскольку име-
ется четыре раздельные управляющие обмотки). Однако это
значительно усложнило бы функциональную схему, так как по-
требовалось бы ввести еще четыре преобразующих элемента до
суммирования. При расчете четыре управляющие обмотки маг-
нитного усилителя могут быть заменены одной эквивалентной.
Поэтому целесообразно представить на функциональной схеме
суммирование сигналов в виде электрических напряжений.

Безынерционные электронный усилитель и фазовый дискри-
минатор можно объединить с магнитным усилителем в общий
усилительный элемент У (усилитель рулевого тракта), считая
входом его эквивалентное входное напряжение (7ВХ магнит-
ного усилителя, а выходом — напряжение Дэм на зажимах уп-
равляющих обмоток пропорционального электромагнита, пред-
ставляющего собой усилительно-преобразовательный элемент
УПЭ, преобразующий электрический сигнал в механическое пе-
ремещение X иглы следящего золотника гидравлического серво-
мотора рулевой машины.

Пропорциональный электромагнит целесообразно выделить
в качестве отдельного элемента еще и потому, что он обладает
значительной инерцией, и при исследовании динамики системы в
этом случае будет легче осуществить переход от функциональной
схемы к структурной.

Следящий золотник, практически без запаздывания повто-
ряющий перемещение иглы, удобно объединить вместе с гидрав-
лическим сервомотором и выделить в качестве исполнительного
элемента ИЭ.

Изображенная на рис. 1.21, а функциональная схема системы
управления продольным движением самолета хорошо отражает
физическую сторону процессов, происходящих в системе. Одна-
ко она неудобна для расчетов ввиду своей сложности.

Приняв ряд допущений (обычно оправдываемых с точки зре-
ния практики) и проведя некоторые преобразования, можно по-
лучить более простую и удобную в расчетном отношении экви-
валентную функциональную схему.

Если считать погрешности гировертикали и датчика руч-
ного управления /а достаточно малыми, то можно пренебречь
ими (Л = ^2=0). Тогда отпадает надобность в сравнении с «иде-
альной» системой.

Далее, рассматривая горизонтальный полет самолета с по-
стоянной скоростью, положим &оп=0, т. е. будем отсчитывать
углы тангажа от горизонтали. Тогда будут иметь место равен-
ства:

^з = ^ид и А$оп = — $•

С учетом этого приведенные ранее значения сигналов Ст3 и
могут быть записаны в виде:

П3 = Мз и А$оп = — К

а их сумма

+ Ц» = 'б’з — К

Сделав передаточные коэффициенты потенциометрических
преобразующих элементов ПЭХ и ПЭ2 равными кх=к2~к§ , бу-
дем иметь

^Д9 =	($з ~ $) = М $ид — $) =	А$>

где ДО — ошибка системы управления.
Преобразованная таким образом функциональная схема си-
стемы приведена на рис 1.21,6. На схеме в эквивалентном чув-
ствительном элементе получается с помощью элемента сравне-
ния ЭС| ошибка системы Лй, как разность заданного 4>3 и дей-
ствительного О значений угла тангажа, преобразуемая одним
преобразовательным элементом ПЭ в сигнал ошибки Пдэ, из
которого затем в элементе сравнения ЭС% вычитаются сигналы
местных обратных связей 1Л и 11 ъ .

Схема, изображенная на рис. 1.21,6, более удобна для мате-
матического анализа и расчета.
Глава II. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 2.1. Основные правила составления и преобразования
структурных схем

При исследовании и расчете систем автоматического управ-
ления исходят из математического описания происходящих в
них физических процессов. Обычно это описание бывает пред-
ставлено в виде системы дифференциальных уравнений, выра-
жающих связи между переменными величинами и их производ-
ными. Такой подход, когда уравнения описывают поведение
исследуемой системы в целом, является наиболее общим в мате-
матическом плане и применимым во всех случаях.

Вместе с тем для большого класса систем автоматического
управления (линейных систем) широко применяется и другой
способ, связанный с использованием операторного метода. При
этом способе исследуемая система разделяется на части — звенья
направленного действия, обладающие свойством передачи сиг-
нала только в одном направлении: от входа к выходу. Совокуп-
ность этих звеньев совместно с линиями связи между ними, ха-
рактеризующими их взаимодействие, образует структурную
схему системы управления.

Между функциональными и структурными схемами есть оп-
ределенная общность — те и другие отражают процесс передачи
н переработки информации в замкнутом контуре системы управ-
1сния. Однако между ними существует и четкое различие: функ-
'шональные схемы характеризуют систему по составу входящих
и нее элементов, рассматриваемых с точки зрения их назначе-
ния, т. е. выполняемых ими функций (см. § 1-1); структурные
схемы, состоящие из звеньев направленного действия, описыва-
ют математически динамические свойства системы. Исходя из
структуры системы и вида входящих в нее функциональных эле-
ментов, можно произвести разделение систем на звенья направ-
ленного действия в общем виде так, чтобы для каждого из них
можно было наиболее просто определить передаточную функ-
цию звена как отношение операторных изображений выходной
не'дичины звена к зходной и соединить отдельные звенья между
с обой линиями связи.
Передаточная функция каждого звена направленного дейст-
вия представляет собой записанное в операторной форме и раз-
решенное относительно изображения выходной величины диффе-
ренциальное уравнение данного звена. Таким образом, задача
составления дифференциальных уравнений системы автоматиче-
ского управления в целом сводится к составлению уравнений
отдельных звеньев. Получаемый при этом выигрыш в части тру-
доемкости становится более очевидным, так как на практике в
подавляющем большинстве случаев структурные схемы систем

автоматического управленья пред-
ставляют собой различные комбина-
ции небольшого числа так называе-
мых типовых звеньев направленно-
го действия, передаточные функции

и динамические свойства которых
п „, ~	могут быть определены раз и на-

Рис. 2.1. Система направлен-	г	>

него действия	всегда.

Весьма важным преимуществом
структурных схем является их физи-
ческая наглядность, дающая более ясное представление о про-
цессах, происходящих в исследуемой системе, по сравнению с
общей формой записи дифференциальных уравнений.

В свете сказанного понятна необходимость в умении разде-

лять системы автоматического управления на звенья направлен-
ного действия и составлять структурные схемы в общем виде,
основываясь на принципиальных и функциональных схемах си-

стем управления.

После того как составлена структурная схема и получены пе-
редаточные функции входящих в нее звеньев, необходимо опре-
делить передаточную функцию всей системы. При этом, если для
разделения систем управления на звенья направленного дейст-
вия нельзя дать какого-то единого рецепта, а приходится каж-
дый раз руководствоваться в значительной мере соображениями
общего порядка и интуицией, приобретаемыми в процессе на-
копления опыта и выполнения специальных упражнений, то для
определения передаточной функции системы по ее структурной
схеме можно воспользоваться специальными правилами преоб-

разования структурных схем, основные из которых приводятся

ниже.

Читателю, не имеющему достаточного навыка в использова-
нии структурных схем, рекомендуется не просто пользоваться
полученными в данном параграфе формулами, а внимательно
разобрать сам процесс их вывода, являющийся примером пре-
образования структурных схем в наиболее общем виде. Кроме
того, в сложных случаях может оказаться выгоднее не пытаться
применить окончательные формулы преобразования, а идти пу-
тем, намеченным при их выводе.
Рассмотрим разомкнутую систему, обладающую свойством
направленного действия (рис. 2.1). Это может быть как одно
звено, так и любая их комбинация.

По определению передаточной функции.

^(Р)=2^Я-.	(2.1)

X ВХ (Р)

откуда следует основное свойство направленной системы

Хв;„(Р) = ^(р)Хвк(р),	(2.2)

т. е. операторное изображение выходной величины равняется пе-
редаточной функции системы, умноженной на изображение
входной величины.

Рис. 2.2. Последовательное включение звеньев направлен-
ного действия

Рассмотрим основные случаи включения звеньев направлен-
ного действия.

1.	Последовательное включение (одноконтурная
разомкнутая система). Структурная схема приведена на рис.2.2.

На основании формулы (2.2) для каждого из п звеньев моя-
но записать;

Х1(р) = ^1(р)Хвх(р),

х1(р)-^1(р)^(рЪ

х„(р) = ^„(р)Х„_7(р).

Исключая все промежуточные величины, т. е. подставляя
предыдущие в последующие, получим выражение для последне-
го члена:

х„ (р) =	(Р) Х„_г (Р) =	(Р)	(р) хп_2

Учитывая, что выход последнего п-го звена является одновре-
менно выходной величиной системы, т. е.

Хя (р) = ХБЫХ (р),
получим

ХВЫх (р) =	(Р)	(Р)  • •	(р)  • • №„-1 (р) &п (р) Хвх (р).

Так как отношение

^аш (Р)

Авх (р)

по определению есть передаточная функция всей системы й/(р),
то окончательно будем име, ь

п

2^л^. = Г(р) = П^(р)-
Лвх (Р>

(2.3)

Итак, передаточная функция
звеньев направленного действия

последовательно включении;,
равняется произведению пере-

Рис. 2 3. Параллельное согласное вклю-
чение звеньев направленного действия

даточных функций от-
дельных звеньев.

2.	Параллельное
согласное в ключ е-
н и е. Параллельным со-
гласным включением зве-
ньев направленного дей-
ствия считается такое,
при котором входная ве-
личина системы подается
параллельно на входы
всех звеньев, а их выход-

ные величины алгебраически суммируются на выходе системы.

На рис. 2.3 изображен частный случай параллельного соглас-
ного включения трех звеньев напр-вленного действия.

На основании формулы (2.2) для каждого из п параллельно

включенных звеньев можно записать:

У,(р) = Г1(р)Хвх(р),

Уц(Р) = 1^2 (Р) Авх(р),

УДр) = ^(р)Хвх(р),

Уп{р} = ^п{р',Х9Х(р).

Суммируя написанные равенства и принимая во внимание,
что по определению параллельного согласного включения звень-
ев направленного действия сумма левых частей является выход-
ной величиной системы, получим

Лвых (р) = У1 (Р) + У 2 (?) + • • • + У,Ар} + • • • + у „ (р) =

= 1^! (р) -I- ^2 (Р) + • • • + ^ (Р) + • • • +	(Р)1 Авх КР).
Согласно определению передаточной функции (2.1), из по-
следнего выражения будем иметь

п

Лвх (Р)	"

(2.4)

Таким образом, передаточная функция параллельных соглас-
но включенных звеньев направленного действия равняется алге-

браической сумме передаточных функций отдельных звеньев.

3.	Параллельное встреч-
ное включение (обратная
связь). Рассмотрим сначала ос-
новной случай — отрицательную
обратную связь.

На рис. 2.4 изображена струк-
турная схема замкнутой системы
автоматического управления в
наиболее общем виде, где О(р)
и 2 (р) — передаточные функции

Рис. 2.4. Параллельное встречное
включение звеньев направленного
действия (обратная связь)

соответственно прямой цепи сис-

темы и цепи обратной связи. Сигнал обратной связи Хос(р) вы-
читается из входного сигнала Хвх(р) (в случае положительной

обратной связи они не вычитаются, а складываются). Переда-
точные функции С(р) и 2(р) могут соответствовать как про-
стым звеньям направленного действия, так и их любым комби-

нациям.

Для схемы, изображенной на рис. 2.4,

Хвых (р) = С (р) [Хвх (р) - Хо..с (р)],
^о.с (?) = 2 (р) Хвых (р).

Исключив из них промежуточную величину Хос, получим пе-
редаточную функцию замкнутой системы

ЗВЬ!х(р). = ф (я) = —...	(о 5)

ХвЯР)	1+Г(р)’

[•де

№(р) =О(р)7(р)	(2.6)

есть передаточная функция разомкнутой системы. Смысл по-
следнего названия становится понятным, если'мысленно разомк-
нуть контур управления в любом месте и, «выпрямив» его, рас-
сматривать прохождение сигнала, поданного в месте размыка-
ния, по цепочке, последовательно включенных звеньев* направ-
ленного действия.

Итак, передаточная функция замкнутой системы автоматиче-
ского управления равняется отношению передаточной функции
прямой цепи к увеличенной на единицу передаточной функции
разомкнутой системы.

Следует отметить, что этот вывод, равно как и формула (2.5),
справедливы только для изображенного на рис. 2.4 случая, ког-
да внешнее воздействие поступает на вход системы управления.
Поэтому Ф(р) иногда называют передаточной функцией замю
нутой системы по входному воздействию.

В действительности, кроме управляющего входного воздей-
ствия, всякая реальная система подвержена различным возму-
щающим воздействи-

Рис. 2.5. Структурная схема системы авто-
матического управления

ям (колебания нагруз-
ки, нестабильность ха-
рактеристик элемен-
тов, помехи и т. д.),
которые могут посту-
пать в систему в лю-
бом месте. Для учета
их влияния нужно
уметь при помощи
структурной схемы ус-
танавливать зависи-

мости между этими возмущениями и изменениями управляе-
мой (выходной) величины системы.

Рассмотрим структурную схему системы автоматического уп-
равления, изображенную на рис. 2.5. Прямая цепь системы со-

стоит из последовательно включенных звеньев направленного
действия с передаточными функциями 01 (р), С2(р), С3(р). На
входы двух последних звеньев поступают возмущающие воздейст-
вия /•'Др) и Л2(р), суммирующиеся с соответствующими выход-
ными величинами предыдущих звеньев. Кроме того, возмущение
Р3(р) действует непосредственно на выходную величину систе-
мы, что обозначено на схеме специальным элементом суммиро-
вания. При этом принципиально важно, что место приложения
возмущения К3(р) охвачено обратной связью, т. е. на звено с пе-
редаточной функцией 2(р) поступает выходная величина систе-
мы уже с учетом действия Р3(р). В противном случае никакого
эффекта регулирования не было бы, так как управляемая вели-
чина системы, искаженная влиянием возмущающего воздейст-
вия, не корректировалась бы обратной связью.

Из структурной схемы (рис. 2.5) видно, что возмущающие
воздействия КДр), ^з(р) поступают на входы звеньев прямой це-
пи системы не непосредственно, а через дополнительные звенья
с передаточными функциями С/2(р)» С/3(р), которые отражают
характер зависимости данной величины системы от конкретного
возмущающего воздействия.

В силу линейности рассматриваемой системы управления к
ней применим принцип наложения, дающий возможность опре-
делить общую реакцию системы (изменение выходной величин
ны) как сумму частных реакций от каждого из внешних воздей-
ствий в отдельности.

Положим Лвх(р) =0, А2(р) =0, ^з(р) =0 и определим зависи-
мость Хвых(р) от Г) (р).

На входе звена О2(д) действует сумма сигналов Г1(р) +
+ С?1(р)[0—2 (р) Хвых(р)], которые, пройдя через звенья С2(р),
О3(р), дадут на выходе

(Р) =	(Р) Оз (Р) [^1 (Р) ~ 01 (Р) (р) Хвых (р)].

Разрешив последнее равенство относительно ХВых(р). будем
иметь

ХВЬ!Х(Р) = -^^^(Р),	(2.7)

где и7(р) = е1(р)О2(р)Сз(р)7(р) — передаточная функция
разомкнутой системы.

Полученный результат можно обобщить в виде следующего
правила: операторное изображение выходной величины системы
равняется дроби, числитель которой есть произведение изобра-
жения внешнего воздействия на передаточные функции звеньев,
включенных последовательно между точкой приложения воздей-
ствия и выходом системы, а знаменатель — увеличенная на еди-
ницу передаточная функция разомкнутой системы.

Аналогичным путем получим выражения и для остальных
внешних воздействий:

6 г (р) О„ (р)

Хвых(р) = -^^Г2(р),	(2.8)

Лвых (/?) = 1 + 8^(р)Рз (р):	(2’9)

ХВЫх (Р) = —*вх (Р).	(2.10)

При одновременном воздействии всех возмущений результи-
рующее значение Хвых(р) определится как сумма полученных
частных значений, что может быть записано следующим обра-
зом:

X / .	01 (Р) Сг (Р) Оз (р) хвх (р) + 02 (р) Оз (р)	(р)

выхУР	1+№(Р)

 О/2 (Р) Оз (Р) (Р) + О/3 (Р) Рз (Р)

'	1+1Г(р)		’

Из выражения (2.5) можно получить (как частный случай)
формулы, характерные для следящих систем. Особенностью по-
следних, как отмечалось в § 1.1, является передача выходной
мое системой с некоторой

т 1 I ^1ых1р>
-----—— '“1Р> |	г

Рис. 2.6. Структурная схема
следящей системы

после чего, заменив з [2.5)

величины 0Вых к элементу сравнения, т. е. на вход системы, с
коэффициентом передачи, равным единице. Кроме того, основ-
ным видом внешних воздействий в следящих системах обычно
считают входное (управляющее) воздействие ©вх, отрабатываз-
ошибкой (рассогласованием)

© = 8ВХ — 0ВЬ!Х.

С учетом сказанного, положив в
[(2-6) 2(р) = 1, будем иметь

Г(р) = 6(р),
обозначения входной и выходной ве-

личин, получим

(Р) 	(Р)	/9 1

®зх(Р.'	1+^(Р)*

Соответствующая структурная схема следящей системы при-
ведена на рис. 2.6.

В силу линейности преобразований Лапласа, операторные
изображения ошибки, входной и выходной величин связаны ме-
жду собой так же, как и их оригиналы, т. е.

®(р) = ®вх(р)-®вых(р).	[2.13)

Определив 0Вых(/>) из (2.13) и подставив в (2.12), получим
после несложных преобразований

=--------.	(2.14)

®вх(Р) 1+^(Р)

Выражения (2.12) и (2.14) иазызаютсг соответственно пе-
редаточными функциями следящей системы по выходной вели-
чине и по ошибке.

Во всех рассмотренных случаях передаточные функции замк-
нутых систем управления определялись через передаточную
функцию разомкнутой системы V?(р). Последняя обычно может
быть представлена в виде

=	(2.15)

где Л(р), В(р) —полиномы от р.

Подставив (2.15) в выражения (2.12) и (2.14), можно полу-
чить полезные для расчетов следящих систем формулы:

®ВЫХ (р) _ А (р)

(Р)	4 (р) 4- В (р)

и

®(Р) = Д(Р)	/2 17)

®вх(Р)	Л(Р) + В(Р)’	' 
Выше рассматривалась отрицательная обратная связь. Чита-
телям предлагается в порядке упражнений самостоятельно убе-
диться, что в случае положительной обратной связи в знамена-
теле формул (2.5), (2.7)	(2.12), (2.14) знак плюс перед №(р)

изменяется на минус.

Преобразование многоконтурных Структурных схем с пере-
крещивающимися связями производят по способу переключения
^перенесения) связей, сущность которого поясняется на приме-
ре 2.7.

§ 2.2. Примеры составления структурных схем
и определения передаточных функций систем
в общем виде

Пример 2.1. Составление структурной схемы и определение
передаточных функций системы автоматического регулирования
напряжения генератора постоянного тока.

Принципиальная схема системы регулирования приведена на
рис. 1.4.

Будем обходить основной контур системы регулирования, на-
чиная с электронного усилителя, в направлении передачи воз-
действия.

В качестве первого звена направленного действия примем
участок контура от входа электронного усилителя до поперечной
цепи якоря ЭМУ. Запаздывание передачи воздействий в этом
звене будет определяться отставанием изменения тока в обмот-
ке управления ЭМУ от изменения напряжения на обмотке. За
выходную величину этого звена можно принять э. д. с. еч в по-
перечной цепи якоря ЭМУ, пропорциональную току в обмотке
управления. Тогда передаточная функция первого звена

(р) =

Ед(р)

(Р)

где Ед(р) и Увх(р)—соответственно операторные изображения
э. д. с. поперечной цепи якоря ЭМУ и напряжения на входе элек-
тронного усилителя.

Вторым звеном направленного действия будем считать часть
контура системы регулирования, динамические процессы в ко-
тором характеризуются изменением тока в поперечной цепи яко-
ря ЭМУ под действием э. д. с. с9, являющейся для данного звена
входной величиной. В качестве выходной величины звена при-
мем э. д. с. еа продольной цепи якоря ЭМУ. Передаточная функ-
ция второго звена

Г,(р) =

Ед(р)
В качестве последнего звена направленного действия в прямой
цепи системы регулирования примем звено с передаточной функ-
цией

^в(р) =

Ег (Р)

Еа(р) ’

где Ег(р) —операторное изображение э. д. с. якоря генератора,
В цепи главной обратной связи, замыкающей основной кон-
тур системы автоматического регулирования, будем иметь одно
безынерционное звено — делитель напряжения /?0. В более об-
щем случае передаточная функция звена главной обратной
связи

2о.с (р) =

^О.С (Р)
б'г (Р)

где Уо.с(р)—изображение напряжения обратной связи;

Щр) — изображение регулируемой величины (напряже-
ния генератора).

Основной контур системы регулирования оказался разделен-
ным на четыре звена направленного действия, из которых три
входят в прямую цепь системы и одно — в цепь обратной связи.

Остается выделить звено направленного действия в цепи
местной обратной связи, образуемой стабилизирующим /?С-кон-
туром.

Входной величиной этого звена является напряжение С7В.Г на
обмотке возбуждения генератора, несколько отличающееся от
еа за счет падения напряжения в якоре ЭМУ, однако это отли-
чие может быть учтено введением соответствующего коэффици-
ента в передаточную функцию звена местной обратной связи:

где Ц)(р)—изображение напряжения местной обратной связи,
подаваемого на вход электронного усилителя.

Структурная схема системы регулирования, составленная из
рассмотренных звеньев направленного действия, приведена на
рис. 2.7, а, где С7ср(р)—напряжение сравнения, с помощью ко-
торого производится настройка системы на требуемое значение
регулируемого напряжения; Е(р)—возмущающее воздействие
(например, изменение нагрузки генератора); ОДр)—переда-
точная функция возмущающего воздействия, определяющая ха-
рактер зависимости регулируемой величины от данного возму-
щения (если, в частном случае, возмущающим воздействием
служит ток нагрузки, то 6Др) является постоянной величиной,
равной сопротивлению якоря генератора).
Для определения передаточной функции разомкнутой систе-
мы необходимо преобразовать полученную многокочтуоную
структурную схему с помощью основных правил, приведенных
в § 2.1. С этой целью выделим пунктиром на схеме участок пря-
мой цепи системы, охваченный местной обратной связью, и, ис-
пользуя свойство параллельного встречного включения звеньев
направленного действия [см. формулу (2.5)], заменим его экви-
валентным звеном с передаточной функцией

г, (О) =_____

1+»’у(р)^(р)20(р) ’

после чего структур-
ная схема примет бо-
лее простой вид (рис.
2.7,б).

Передаточная фун-
кция разомкнутой си-
стемы, составленная
из последовательно
включенных звеньев
направленного дейст-
вия, примет вид

Имея №(р), можно
получить передаточ-
ную функцию замкну-
той системы для воз-
мущающего воздейст-
вия

бг (р) = 6/(р)

Д(Р) 1+1Г(р)

Рис. 2.7. Структурные схемы системы автома-
тического регулирования напряжения генера-
тора постоянного тока:

а — первоначальная; б — преобразованная

и передаточную функцию замкнутой системы для управляющего
воздействия

бг(Р) = 1У1 (р)-'У/в(Л

бср(р) 1 + №(Р)

Пример 2.2. Составление структурной схемы следящей си-
стемы с асинхронным двухфазным двигателем (рис. 1.6).

Первым звеном направленного действия можно считать пре-
образующий элемент — потенциометр П, входной величиной ко-
торого служит ошибка 0, а выходной — сигнал ошибки С7с, по-
ступающий на вход усилителя. Так как это звено можно считать
безынерционным, то его передаточная функция вырождается в
передаточный коэффициент
Вторым, также безынерционным, звеном направленного дей-
ствия будем считать ламповый усилитель с передаточным коэф-
фициентом

где I!у—напряжение на управляющей обмотке двигателя.

В качестве третьего звена направленного действия примем
асинхронный двигатель вместе с редуктором. Входной величи-
ной этого звена является напряжение В качестве выходной
величины принимают: 1) угол поворота выходной оси 0Вых» яв
ляюшийся выходной величиной следящей системы, или 2) угло-
вую скорость вращения выходной оси йВых. а затем добавляют

Рис. 2.8. Структурная схема следящей системы с асинхрон-
ным двухфазным двигателем

отдельное интегрирующее звено направленного действия, с по-
мощью которого скорость вращения выходной оси преобразует-
ся в угол поворота последней.

Выберем второй вариант и запишем передаточную функцию
третьего звена

чу — ^внх
д- 1/у(Р) ’

а передаточную функцию последнего (интегрирующего) звена

(р) = —.

р

При таком разделении следящей системы на звенья направ-
ленного действия ее структурная схема примет вид, изображен-
ный на рис. 2.8.

Передаточная функция разомкнутой системы, состоящей из
последовательно включенных звеньев направленного действия,
на основании выражения (2.3) примет вид

од/ (р) =	(Р1 _

р

Передаточная функция для выходной величины следящей си-
стемы определяется по формуле (2.12)

®вых (Р) = МуУд(Р)
(₽)	Д (р) + Р
Передаточная функция для ошибки на основании формулы
(2.14)

8(Р) =Р

®ВХ (₽)	Асйу Vд (р) + р

Пример 2.3. Составление структурной схемы следящей си-
стемы с асинхронным двухфазным двигателем и тахогенерато-
ром (рис. 1.8).

Принимая во внимание возможность замены потенциометров
771 и П2 эквивалентными им сравнивающим и преобразующим
элементами (см. пример 1.3), примем в качестве первого звена
направленного действия в структурной схеме следящей системы
безынерционное звено с передаточным коэффициентом /гс, ха-
рактеризующее преобразование ошибки 0 в напряжение сигна-
ла ошибки 77с-

Вторым звеном направленного действия будем считать безы-
нерционный ламповый усилитель с передаточным коэффициен-
то.м (коэффициентом усиления по напряжению) Выходное
напряжение усилителя 17у является входной величиной третьего
звена направленного действия, характеризующего динамические
свойства исполнительного двигателя с редуктором. Передаточ-
ная функция этого звена

Ш — ЙВЬ1Х (р)
д(Р 17у(Р) ’

где Пвых(р)—угловая скорость вращения выходной оси си-
стемы.

Последнее в прямой цепи системы звено — интегрирующее,
преобразующее скорость вращения в угол поворота выходной
оси.

Стабилизирующее напряжение 77О, подаваемое на вход уси-
лителя от тахогенератора, представляет собой выходную вели-
чину звена местной обратной связи с передаточной функцией

20(р)= и°(р} .

Явых(р)

Структурная схема следящей системы представлена на
рис. 2.9. Заметим, что при таком разделении системы на звенья
направленного действия передаточная функция звена местной
обратной связи является постоянной величиной, так как напря-
жение тахогенератора пропорционально скорости вращения вы-
ходной оси системы. В том случае, если не выделять, как это ча-
сто делают, и"тегрирующее звено на структурной схеме, а объ-
единить его с предыдущим звеном направленного действия
^(р), то входной величиной звена местной обратной связи
пришлось бы считать не ПВых(р), а 0Вых(р). При этом, очевид-
но, вместо передаточной функции 1^д(р) имели бы передаточную
функцию

У’ (р) = _Уд(р)
д	р

а вместо %о(р) —функцию

2о(р) = р2о(р).

Рис. 2.9. Структурная схема следящей системы с асин-
хронным двухфазным двигателем и тахогенератором

Два средних звена в прямой цепи следящей системы, охва-
ченные местной обратной связью, можно заменить на основании
формулы (2.5) эквивалентным звеном с передаточной функцией

Г,(р) =---------------

1+йуГд(р)70(р)’

после чего передаточная функция разомкнутой системы нахо-
дится по формуле (2.3)

№(р) =	(Р) ~ =-------^уГд(р)------_

₽ рП+АуГд(р)7о(р)]

Передаточная функция замкнутой системы для выходной ве-
личины, в соответствии с формулой (2.12),

8ВЫх (Р) _	1	______________с^д(р)__________

©вхИ д *	^у^д(Р) + Р[1+^д(Р)^о(Р)1

+ ^(р)

Передаточная функция замкнутой системы для ошибки на
основании выражения (2.14)

6(Р)	Р[1 +^у Гд (р)70(р)]

евх (р)	асйугд (р) + р 11 + лу1гд (р) /о (р) ]

Пример 2.4. Составление структурной схемы системы авто-
матического регулирования скорости вращения двигателя по-
стоянного тока (рис. 1.1С) и определение в общем виде выраже-
ния для операторного изображения регулируемой величины при
одновременном изменении настройки системы (задающего на-
пряжения) и момента нагрузки на валу двигателя.
В качестве первых двух звеньев направленного действия пря-
мой цепи системы регулирования, аналогично примеру 2.1, возь-
мем звенья.с передаточными функциями №?(р) и	учиты-

вающими процессы изменения токов в обмотках управления и в
поперечной обмотке якоря ЭМУ. Третье звено отражает харак-
тер изменения тока в цепи возбуждений генератора, однако за
выходную величину звена примем не напряжение, а э. д. с. якоря
генератора ег, являющуюся более удобной в качестве входной

Рис. 2.10. Структурная схема системы автоматического
регулирования скорости двигателя постоянного тока

величины следующего звена, преобразующего ег в скорость вра-
щения вала двигателя п. Передаточные функции этих двух
звеньев могут быть записаны как

(р) =	и г (р) =

Еа(р) д Ег(р)

Здесь п'(р) —скорость вращения вала двигателя (регулиру-
емой величины) при отсутствии возмущающего воздействия.

Цепь главной обратной связи замыкается через звено направ-
ленного действия с передаточной функцией 7о.с(р). Входной ве-
личиной звена является скорость вращения якоря двигателя и,
а выходной — напряжение тахогенератора, пропорциональное п.
Следовательно^ в данном случае 2о.с(р) —постоянная величина.

Звено местной обратной связи, образуемой стабилизирую-
щим /?С-контуром, имеет передаточную функцию
2в(р)=^7,

Ег (р)

где Цо(р)—напряжение местной обратной связи.

Структурная: схема системы автоматического регулирования
изображена на рис. 2.10.

Пользуясь формулой (2.5), найдем передаточную функцию
эквивалентного звена
р'7 /р\ _ __^у(Р) №д(р)УРв (Р)

1 +Гу(р)Г</(р)Гв(р)20(р) ’

тогда передаточная функция разомкнутой системы [см. (2.3)]
^(р) = ^1(р)Гд(р)2о.с(р).

Так как рассматривается линеаризованная система, для ко-
торой справедлив принцип наложения, то операторное изобра-
жение регулируемой величины при одновременном изменении
настройки и момента нагрузки на валу двигателя найдем по фор-
муле (2.11) как сумму двух слагаемых, каждое из которых ха-
рактеризует поведение системы регулирования под влиянием
только одного из указанных воздействий:

П1р\ № гд (Р)	(Р) + С-; (р) Л (р)

1+№(р)

Пример 2.5. Составление, структурной схемы следящей си-
стемы с корректирую! дим контуром переменного тока и опреде-
ление в общем виде операторных изображений выходной вели-
чины и ошибки.

Принципиальная схема следящей системы изображена на
рис. 1.12. Начнем ее разделение на звенья направленного дейст-
вия со входа системы.

Сельсинное устройство измерения угла рассогласования, со-
стоящее из сельсина-датчика и сельсина-трансформатора и пре-
образующее ошибку следящей системы 0 в сигнал ошибки (7С,
может быть выделено в качестве первого звена направленного
действия. Поскольку это звено практически безынерционно, то
его передаточная функция представляет собой передаточный
коэффициент кс.

Сигнал ошибки поступает на вход последовательного коррек-
тирующего звена, образуемого Т-образным контуром. Так как
входное сопротивление первого каскада усилителя (триод 6Ж8).
очечо велико, то корректирующий Т-образный контур можно
считать звеном направленного действия с передаточной функ-
цией.

(р) =

^в(р)

М(Р)

где С7в(р) —изображение напряжения на входе лампового уси-
лителя.

Усилитель будем считать также безынерционным звеном на-
правленного действия с передаточным коэффициентом ку. Вы-
ходное напряжение усилителя й/у подается на управляющую об-
мотку асинхронного двухфазного двигателя. Местная отрица-
тельная обратная связь, охватывающая усилитель, сказывается
лишь на величине и может быть учтена при расчете усили-
теля.
Четвертым звеном направленного действия с передаточной
функцией №к(р) можно выделить двигатель с редуктором. Вы-
ходная величина этого ззена — угловая скорость вращения вы-
ходной оси йБых(р) —преобразуется в угол поворота последней
®вых(р) при помощи интегрирующего звена с передаточной
функцией — .

Структурная схема следящей системы (рис. 2.11) не содер-
жит параллельных звеньев, поэтому передаточная функция

Рис. 2.11. Структурная схема следящей системы с корректирую-
щим контуром переменного тока

разомкнутой системы равна произведению передаточных функ-
ций всех звеньев направленного действия, т. е.

	(Р)	(р)

Р

Изображение выходной величины [см. (2.12)]

Л) /п\ _____	(Р)	(р)	„

'-“вых \Р>	, ,	, . .„	Цж (Р).

ксРу^к (Р)	[р) + р

Изображение ошибки [см. (2.14)]

@(р) = ------------------®вх(Р)’

РсяуГк(р) 1Гд(р)+р вх^'

Пример 2.6. Составление структурной схемы системы авто-
матического регулирования скорости двигателя постоянного то-
ка (рис. 1.14) и определение в общем виде операторного изобра-
жения регулируемой величины при меняющихся значениях за-
дающего напряжения и -момента нагрузки на валу двигателя.

В соответствии с указаниями к составлению функциональной
схемы системы регулирования (см. пример 1.6) будем рассмат-
ривать участок прямой цепи системы от сеток пентодов и Л3
до сеток тиратронов как одно последовательное активное кор-
ректирующее звено направленного действия, включающее, кро-
ме входного каскада, усилителя с /?С-контурэм в цепи местной
обратной связи, также и фазовращающий мост с лампой Л3 и
конденсатором С2. Передаточная функция этого звена

№к (р) =

_____(р)

(73(р) —17о.с(р) ’

где [7т(р] — напряжение на сетках тиратронов.
Считая тиратронный усилитель мощности безынерционным,
получим вторре звено направленного действия с передаточным
коэффициентом ку. Выходной величиной звена служит напряже-
ние С7д(р) не зажимах яКоря двигателя.

Следует заметить, что основное усиление напряжения про-
исходит в первом каскаде усилителя и учитывается передаточ-
ной функцией №к(р). Подобное разделение на звенья направ-
ленного действия весьма условно: с равным правом два первых
звена можно объединить в одно с передаточной функцией
№'к(р)=/?у№к(р)-

Рис. 2.12„ Структурная схема системы автома-
тического регулирования скорости двигателя
постоянного тока с тиратронами

Двигатель представим звеном направленного действия с пе-
редаточной функцией

^д(Р) =

п' (р)
Сд(р)’

где п'(Р) — регулируемая величина при отсутствии возмущаю-
щего воздействия (изменения момента нагрузки на
валу двигателя).

Звено обратной связи характеризует преобразование регули-
руемой величины — скорости вращения двигателя п — в напря-
жение обратной связи [7О.С, получаемое от тахогенератора. Так
как зависимость С70.с от п линейная, то передаточная функция
звена обратной связи представляет собой постоянную величи-
ну — передаточный коэффициент кол.

Звено с передаточной функцией 6/(р) характеризует влия-
ние возмущающего воздействия Р(р).

Структурная схема системы регулирования приведена на
рис. 2.12.

Передаточная функция разомкнутой системы

^(р) = МоЛх(Р)ад.
Изображение регулируемой величины при одновременном из-
менении настройки системы и возмущающего воздействия [на
основании (2.11)]

А (/>) =

(Р) Уд (Г>) Уз (Р) + О/ (Р) Г (Р)

1+Г(р)

Пример 2.7. Преобразование структурной схемы (рис.
2.13, а) системы автоматического управления и определение в
общем виде передаточной функции замкнутой системы.

Структурная схема имеет перекрещивающиеся параллель-
ные связи, поэтому преобразование ее к виду, удобному для со-
ставления передаточной функции, будем производить с помощью
способа переключения связей.

Местную обратную связь, поступающую через звено на
вход звена 1Г4, перенесем на вход звена \Ф3. Чтобы результат не
изменился, добавим в цепь этой связи последовательно звено

. Обратную связь с передаточной функцией, равной единице,
Уз

подаваемую на вход звена 22 с выхода звена 1^4, заменим связью
с передаточной функцией —с выхода звена Параллельные,
согласно включенные звенья с передаточными функциями 1 и \У2
заменим одним звеном 1 + 1^2- После этого структурная схема
примет вид, изображенный на рис. 2.13,6.

Следующим шагом будет замена двух параллельных, соглас-
но включенных звеньев 23 и в цепи обратной связи эквива-

лентным звеном с передаточной функцией 23 + —,. Теперь мы
Ув

имеем две параллельные цепи обратной связи (рис. 2.13,в), ко-
торые можно заменить эквивалентным звеном с передаточной
функцией

7Э = —

Уз

+ -^
Ув

+ 2273.

Заменяя участок прямой цепи системы, охваченный местной
обратной связью 7Э, эквивалентным звеном с передаточной функ-
цией

р// __	1^з1^41^5

э ~ 1 + Г3Г4Г67э

получим окончательно одноконтурную структурную схему \рис.

2.13,г), передаточная функция разомкнутой системы которой

«7 = ^(1+^^,.
Передаточная функция замкнутой системы
Хвыудр; ^(1 + Т2; >ГЭ!76

Хвх (р)	1 +

Подставляя в последнее выражение полученные ранее значе-
ния Ц7, Р73. 2э, получим окончательно

Хгых(Р) _ ____________ (1 + ^г)	_____________

Хвх (р)	1+ЙЧ1+1ПР ^3^4Г6Гв70+ 1Г4Г671+ 1Р3Г472 + Г31Р4^32223 '

Рис. 2.!3. Преобразование структурной схемы системы автоматического
управления
Пример 2.8. Составление структурной схемы следящей си-
01 емы профилешлифовального станка с полупроводниковым
усилителем (рис. 1.16) и определение в общем виде передаточ-
ных функций для выходной величины и ошибки.

Первым звеном направленного действия в прямой цепи си-
стемы будем считать вращающийся трансформатор. Это безы-
нерционное звено с передаточным коэффициентом кс. Его вы-
ходная величина — напряжение сигнала ошибки 67С алгебраиче-
ски суммируется в трансформаторе Тр\ с напряжением жесткой
отрицательной обратной связи [}02 от тахогенератора. Разность
б/с—б/02 служит входной величиной следующего безынерцион-
ного звена с передаточным коэффициентом /гуь представляющим
собой каскад усиления переменного тока полупроводникового
усилителя. Выходной величиной этого звена будем считать на-
пряжение Е7У1 на вторичной обмотке трансформатора Тр2. Из
этого напряжения вычитается напряжение гибкой обратней свя-
зи 1/01, получаемое на сопротивлении ^'з+^'й (см. рис. 1.16) при
помощи корректирующего контуоа (С2, С3, /?]2, /?1з). Разность
(/У1 — 67О1 является входной величиной фазочувствительного кас-
када, образующего третье безынерционное звено направленного
действия с передаточным коэффициентом /гу2.

Выходное напряжение фазочувствительного усилительно-пре-
образовательного каскада П'у2 поступает на вход корректирую-
щего звена б?1/?8 с передаточной функцией

Ц7к(р) =

^у2(₽)

где (7 у2(р) — изображение выходного напряжения корректиру-
ющего контура, являющееся одновременно вход-
ной величиной следующего звена направленного
действия, объединяющего оконечный каскад полу-
проводникового усилителя и ЭМУ.

Передаточная функция этого последнего усилительного звена

^уз (Р) =

Ёд (?)

Ууч (р)

где Ед(р) —изображение продольной э. д. с. якоря ЭМУ.

Электродвижущая сила Ед служит входной величиной звена
с передаточной функцией Й7д(р), представляющего исполнитель-
ный двигатель вместе с редуктором и преобразующего Ед в уг-
ловую скорость вращения выходной оси следящей системы йвых.
Преобразование йвых в угол поворота выходной оси <^ВЬ1Х осу-
ществляется включением интегрирующего звена с передаточной
функцией, равной —- .

Р
В цепи жесткой обратной связи по скорости будем иметь
безынерционное звено с передаточным коэффициентом к0.с, ко-
торый может изменяться при помощи делителя /?14.

Гибкая обратная связь в следящей системе осуществляется
путем включения корректирующего звена с передаточной функ-
цией 20(р), определяемой параметрами контура С2, С3, /?12, /?]3.

Как видно из принципиальной схемы следящей системы,
входной величиной звена гибкой обратной связи должно быть
напряжение на зажимах якоря ЭМУ, отличающееся от э. д. с.
Ел на величину падения напряжения в якоре ЭМУ. Однако в

Рис. 2.14. Структурная схема следящей системы проАилешлифовального
станка с полупроводниковым усилителем

рассматриваемой системе степень компенсации продольной ре-
акции якоря ЭМУ подобрана таким образом,- что внешняя ха-
рактеристика ЭМУ близка к горизонтальной прямой (см. при-
мер 1.7), т. е. напряжение на зажимах якоря ЭМУ мало чем от-
личается от э. д. с. Еа- Поэтому входной величиной звена гибкой
обратной связи можно приближенно считать Еа[р).

В соответствии с изложенным, структурная схема следящей
системы профилешлифовального станка будет иметь вид, изо-
браженный на рис. 2.14.

Для составления передаточной функции разомкнутой систе-
мы заменим участок прямой цепи, охваченный гибкой обратной
связью, эквивалентным звеном с передаточной функцией

эду /	(р)	__ _____(р) 1Гуз (р)_______ ™

*7у1(р)	1+*у»1Гк(р)Гу3(р)70(р)	*	’	7

Вторым эквивалентным звеном с передаточной функцией

Г ( ) = Йвых(Р).

^с(р)

заменим участок прямой цепи системы, охваченный жесткой об-
ратной связью с передаточным коэффициентом /г0.с> включаю-
щий звено ’л71(р). При этом будем иметь
ГИГ /п\  	*У1^1 (Р)	(р)  	] п\

2{р)	1+*у1иМр)гд(р)*о.с'

Передаточная функция разомкнутой системы

Г(р) = ЛсГ2(р) —.	(2.20)

ХР

Подставив в выражение (2.19) значение ^(р) из (2.18), по-
лучим

уу / \ _ _____^У1^У2^К (Р)	(Р) 1^Д (Р)___ (2 21)

^Р} ~ 1 -р /гу2^к (р) ^у3 (р) 120 (р) + /гу1й0.е^д {р)1 *

после чего из формулы (2.20) будем иметь

/ \__________кску1ку2^к (р) Гуз (р) <ГД (Р)__ м 22)

(1+/гу2Гк(р)1Гу3(р)Е20(р) + Лу1йОЛГд(р)1}р

Обозначим числитель выражения (2.22) через Д(р), знаме-
натель— через В(р), а А(р)+В(р)—через Н(р). .Тогда, вос-
пользовавшись формулами (2.16) и (2.17), получим

0ВЫХ (р) _ А (р)

0вх(р) ~ Н(р)

0(Р) = Д(Р) .
©вх (р) В (р)

Пример 2.9. Составление структурной схемы следящей си-
стемы копировально-фрезерного станка 6441А завода имени
Я. М. Свердлова (рис. 1.18) и определение в общем виде переда-
точных функций для выходной величины и ошибки.

Двумя первыми звеньями направленного действия будем счи-
тать безынерционные звенья с передаточными коэффициентами
кс и ку\, соответствующие копировальному прибору и первому
каскаду лампового усилителя. Формирование дополнительных
управляющих сигналов, пропорциональных первой производной
и интегралу от ошибки, отразим на структурной схеме включе-
нием последовательного корректирующего звена с передаточной
функцией Й7к(р).

Следующее звено направленного действия с передаточной
функцией и7у2(р) будет характеризовать динамические свойства
ЭМУ, с которым целесообразно объединить также и оконечный
каскад лампового усилителя.

Исполнительный двигатель совместно с редуктором и винто-
вой передачей представим в виде звена с передаточной функци-
ей 1Гд(р). Входной величиной этого звена является э. д. с. яко-
ря ЭМУ Еа(р), а выходной — скорость перемещения фрезы
Увых(р). В этом случае последним звеном направленного дейст-
вия в прямой цепи системы будет интегрирующее звено с пере-'
даточной функцией-1, преобразующее скорость УВых в пеоеме-
о

щение фрезы 5вых(р).

Перейдем к рассмотрению обратных связей в следящей си-
стеме. Из принципиальной схемы (рис. 1.18) видно, что оконеч-
ный каскад электронного усилителя и ЭМУ охвачены местной
отрицательной обратной связью. Электрический контур, состоя-*
щнй из конденсатора С7 и сопротивлений 7?16 и К\7, с помощью

а)

6]

Рис. 2.15. Структурные схемы следящей системы копировально-фрезер-
ного станка 6441А завода им. Я. М. Свердлова:

а — первоначальная; б — преобразованная

которого формируется сигнал обратней связи, может быть пред-
ставлен на структурной схеме звеном направленного действия
в цепи местной обратной связи с передаточной функцией 73(р)
Входной величиной этого звена должно быть напряжение на за-
жимах якоря ЭМУ 1Щр). Однако при выполненном разделении
прямой цепи системы на звенья направленного действия будем
иметь на структурной схеме не напряжение, а э. д. с. якоря ЭМУ
Ед(р), отличающуюся от 1}а(р) на величину падения напряже
ния в якоре ЭМУ, пропорциональную току двигателя. Но в ли-
неаризованной следящей системе ток двигателя пропорционален
ускорению, т. е. первой производной от Увых. Поэтому в струк-
турной схеме можно получить операторное изображение напря-
жения ЭМУ, если вычесть из э. д. с. Еа (р) величину, получаемую
на выходе звена с передаточной функцией 2?(р), на выход кото-
рого поступает скорость перемещения фрезы УВых(р)-

С учетом сделанных замечаний структурная схема следящей
системы будет иметь вид, изображенный на рис. 2.15, а.
Полученная структурная схема неудобна для составления пе-
редаточной функции, поэтому преобразуем ее, воспользовавшись
способом переключения связей.

Перенесем начало обратной связи (с передаточной функци-
ей, равной единице', поступающей на вход звена 2з(р), с выхо-
да звена Ц7у2(р) на выход звена №я(р). Это равносильно вклю-
чению в цепь этой связи звена с передаточной функцией ^д(р).
Чтобы результат не изменился, добавим в нее последовательное
звено с передаточной функцией, равной (см. пример 2.7).

Полученные таким образом две параллельные связи заменим
их алгебраической суммой —^(р), после чего структур-
ная схема следящей системы примет вид, представленный на
рис. 2.15, б.

Заменим участок системы, охваченный местной обратной
связью, в соответствий с формулой (2.5), эквивалентным звеном
с передаточной функцией

1Р'1 (р) ___________(р) ^д (р)_____________

1 -I- ^у2 (р)	(р) г3 (Р) —- г2 (р)]

I и д \Р'	I

после чего найдем передаточную функцию разомкнутой системы
[по формуле (2.3)]

И7(р) = му1и7к(р)г1(р)'1-.
р

или

• /р) _	^>^У1	(р) в7У2 (р) йд (р)	1

1+1Гу2(р)23(р)[1-Гд(р)22(р)1 ‘ р '

По формулам (2.15) и (2.17) получим в общем виде переда-
точные функции следящей системы соответственно для выход-
ной величины и ошибки

^*ВЫХ (р) _	(р)

5вх(р) ~ Н(Р)

И
&(р)	_ В(Р)

$ВХ (р)	1 (р)’

где А(р) — числитель передаточной функции . разомкнутой си-
стемы ;

В(р) — ее знаменатель;

^(р)= {(Р)+В(р).

Пример 2.10. Составление и преобразование структурной
схемы системы автоматического управления продольным дви-
жением самолета.
Упрощенная принципиальная схема системы управления
приведена на рис. 1.20.

При рассмотрении системы будем исходить из ее функцио-
нальной схемы, полученной в примере 1.9 в преобразованном уп-
рощенном варианте (рис. 1.21,6).

Гировертикаль автопилота практически без запаздывания оп-
ределяет мгновенное отклонение ДО угла' тангажа от заданного
значения 03 и преобразует его в пропорциональное напряжение
Пдэ. Следовательно, преобразующий элемент функциональной
схемы может быть представлен на структурной схеме безынер-
ционным звеном направленного действия с передаточным коэф-
фициентом к» .

В качестве следующего звена поямой цепи системы выде-
лим магнитный усилитель, с которым можно объединить безы-
нерционный электронный усилитель и фазовый дискримина^оп.
Их общая передаточная функция

( х = Сэм (р)
у ’

где Пэм(р) —операторное изображение напряжения на зажимах
подмагничивающей обмотки пропорционального электромаг-
нита; ПвхСр)—изображение эквивалентного входного напряже-
ния магнитного усилителя (напряжение, которое в установив-
шемся режиме создает управляющие ампер-витки, равные алге-
браической сумме ампер-витков, развиваемых всеми четырьмя
обмотками управления магнитного усилителя).

Пропорциональный электромагнит, обладающий значитель-
ной индуктивностью и механической инерцией, необходимо выде-
лить в отдельное звено направленного действия с передаточной
функцией

^Эм(Р)=—

СЭЫ(Р)

Перемещение X иглы следящего золотника, являющееся вы-
ходной величиной пропорционального электромагнита, практи-
чески мгновенно отрабатывается в виде перемещения самого
следящего золотника, играющего роль гидравлического усили-
теля.

Ввиду его безынерционностн он может не выделяться на
структурной схеме отдельно, а войти в общую передаточную
функцию гидравлического сервомотора рулевой машины

%(р) ’

выходная величина которой б(р) представляет собой оператор-
ное изображение угла поворота руля высоты, являющегося, в
свою очередь, входной величиной последующего звена — самолета
как аэродинамического объекта управления с передаточной
функцией К7с(р).

В качестве выходной величины последнего целесообразно
принять операторное изображение угловой скорости тангажа
ё(р), которое должно быть выделено ка структурной схеме как
входная величина цепи местной обратной связи с передаточной
функцией

\Р) — .	»

й(₽)
где (р) — изображение напряжения, вырабатываемого гиро-
скопическим датчиком угловой скорости.

Рис. 2.16. Структурная схема системы автоматического управления продоль-
ным движением самолета

Переход к выходной величине — углу тангажа 0(р)—дол-
жен быть осуществлен через интегрирующее звено с передаточ-
ной функцией —«

Р

Напряжение С'в . снимаемое с потенциометрического датчи-
ка положения руля высоты и поступающее на вход магнитного
усилителя, представляет собой сигнал местной отрицательной
обратной связи, пропорциональный величине б. На структурной
схеме это должно быть отражено в виде звена местной обратной
связи с передаточной функцией, вырождающейся в передаточ-
ный коэффициент звена (ввиду безынерционности последнего)

. б'б (р)

5 “ б(р) ’

Структурная схема системы автоматического управления
продольным движением самолета будет иметь вид, изображен-
ный на рис. 2.16.

В силу свойства коммутативности порядок подключения
местных обратных связей на входе усилительного звена 1^у(р)
не имеет принципиального значения. Однако в практическом от-
ношении их выгодно располагать так, как указано на схеме, во
избежание образования перекрещивающихся связей, затрудня-
ющих дальнейшее преобразование структурной схемы.

Перейдем к определению передаточной функции системы уп-
равления. На основании формул (2.5) и (2.6), заменим часть
звеньев прямой цепи системы, охватываемых отрицательной
местной обратной связью с передаточным коэффициентом
эквивалентным звеном с передаточной функцией

ц/ ________(Р) ‘ Уэм (Р) Ц''г.с (Р)_

1 + №у(Р)Гэм(р)№гс(дНв

Затем, применяя эти же формулы к последовательности
звеньев ^(р) и №с(р), охватываемых местной отрицательной
обратной связью с передаточной функцией 20(р), получим вто-
рое более общее эквивалентное звено с передаточной функцией

^2^)=	= ----ГнрИГИр)------

^(р)	1 + и'/,(р)Гс(р)7„(Р)

Таким образом получена одноконтурная эквивалентная
структурная схема, для которой передаточная функция разомк-
нутой системы

№(р) = к^2(р) —
Р

&0	(Р)	(р)

1+^1 (р)1Гс(р)70(р)

1

Р

Подставив в последнее выражение значение №1(р), получим
в окончательном виде

^^у(РНГм(Р)^г.с(Р)^с(Р)__________1_

(Р \ +^(р)^э!л(р)^г_с(р')1к, + ^с(р)Х0(р)]	 р ‘

Передаточная функция замкнутой системы управления опре-
деляется как отношение

й (Р) = йЧг)

<Ыр) 1+«Чр)
Глава III. ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

§ 3.1.	Основные расчетные соотношения

Установившимся называют режим работы системы управле-
ния после затухания переходных процессов. Ери этом перемен-
ные величины системы или остаются неизменными, или находят-
ся в так называемом вынужденном движении, характер которог
го определяется бндсми внешнего воздействия. М.зтематкческк
в линейных системах этому соответствует обраг .ение в нуль экс-
поненциальных составляющих решения дифференциальных
уравнений, описывающих поведение системы, что имеет место
при /->оо.

Практически можно считать режим установившимся, когда
экспоненциальные составляющие, характеризующие свободное
движение системы, станут настолько малыми, что общее реше-
ние'уравнения лишь незначительно (обычно на 2—5% от макси-
мального значения соответствующей функции) будет отличать-
ся от его частного решения, определяющего вынужденное дви-
жение системы.

Точность системы автоматического управления в установив-
шемся режиме характеризуется ошибками системы при различ-
ных воздействиях — постоянном возмущающем, а также управ-
ляющих (входных), изменяющихся по определенным законам.

Необходимые расчетные соотношения могут быть найдены
из общих операторных выражений, полученных в § 2.1.

На основании формулы (2.11) операторное изображение вы-
ходной величины системы управления Хвых(р) может быть пред-
ставлено в виде суммы двух составляющих

-^вых (р) = ^аыхО (р) + А X (р),
из которых

^вых0(р)=-Г^-Хвх0(р)

!+№(₽)
соответствует заданному значению выходной величины, а

<31>
определяет ошибку, т. е. отклонение выходной величины от ее за-
данного значения под влиянием возмущающего воздействия
Р(Р).

В последних выражениях С(р) —передаточная функция пря-
мой цепи системы, а С/(р) —передаточная функция объекта уп-
равления (в общем случае — звеньев, расположенных между
точкой приложения возмущающего воздействия и выходом си-
стемы).

Разомкнутую систему управления (в частности, объект уп-
равления) можно считать частным случаем замкнутой с пере-
даточной функцией цепи обратной связи, равной нулю, т. е.
2(р)=0. В этом случае на основании формулы (2.6) также и
№(р)=0.

Обозначив через

А Хг (р) = О; (р) Р (р),	(3.2)

получим ошибку системы управления [из (3.1)]

АХ(р)

 ДЛ/(р)

(3.3)

Формула (3.3), связывающая операторные изображения оши-
бок в разомкнутой и замкнутой системах управления, справед-
лива как для переходных, так и для установившихся режимов.
Однако для последних оригиналы могут быть найдены сравни-
тельно просто при помощи теоремы операционного исчисления
о предельном значении функции. Эта теорема утверждает, что
если х(() есть оригинал операторного изображения Х(р), т. е.

х(1) = Х(р),

и если рХ (р) — аналитическая функция комплексного перемен-
ного р на мнимой оси и в правой полуплоскости, то

Ит х(/) = Нт рХ (р).'

Передаточная функция разомкнутой системы в общем случае

Г (Р) =	,	(з,4)

(«о р" + рп Ч-------Р-|-а,г) Р“

где V — степень астатизма системы, причем в реальных систе-
мах т < п.

Из (3.4) видно, что все члены полиномов, содержащие р в чи-
слителе и знаменателе дроби (т. е. все, кроме Ьт и ап), при р -*

0 обращаются в нуль. Следовательно, при исследовании пре-
дельного перехода, связанного с применением теоремы о пре-
дельном значении функции, вместо формулы (3.4) можно рас-
сматривать более простое выражение

Шр)=Ак._1_.	(3.5)

ап Р

Выясним, как сказывается наличие Отрицательной обратной
связи, т. е. переход к замкнутой системе управления, на величи-
не ошибки от возмущающего воздействия по сравнению с
разомкнутой системой.

Пусть на объект управления действует некоторое пос гоянное
(или медленно изменяющееся по сравнению с временем протека-
ния переходных процессов) возмущение. Если разомкнутая си-
стема устойчива (объект управления статический), то на ее вы-
ходе будет постоянная ошибка ДХ/, операторное изображение
которой, определяемое выражением (3.2) *,

ДХ/(р) = ^^.

Р

По формуле (3.3) будем иметь

Установившееся значение ошибки замкнутой системы управ-
ления ДХ может быть найдено при помощи теоремы о предель-
ном значении функции

ДХ=ИтрДХ(р) = ДХ/Нт —1— .	(3.6)

₽-»о	₽-»о 1 + № (р)

В статической системе управления, не содержащей интегри-
рующих звеньев, степень астатизма V=0.

Обозначив —— = К., получим из (3.5)
ап

№(р) = К,	(3.7)

т. е. передаточная функция в установившемся режиме вырожда-
ется в безразмерный коэффициент усиления системы управле-
ния, физический смысл которого можно пояснить следующим об-
разом. Если мысленно разрезать в каком-либо мзсте замкнутый
контур системы управления и в точке разреза подать некоторый
сигнал, то последний, пройдя через систему в направлении пере-
дачи воздействия, появится на другом конце разреза увеличен-
ным в Л раз.

* Е установившемся режиме передаточная функция С/(р) статического
объекта управления может быть выражена в виде постоянного множителя —-
передаточного коэффициента. В случае астатического (неустойчивого) объек-
та управления понятие установившейся ошибки лишается смысла, так как под
действием постоянного возмущения отклонение выходной величины от ее за-
данного значения будет неограниченно возрастать во времени.
Подставив значение IV(р) из (3.7) в (3.6) и вычислив пре-
дел, получим

АХ =	,	(3.8)

1+Д	' '

или в относительных единицах

(3-9>

1 + Л
где

Л АХ/	АХ

о =----и у =--------

ХБыхО	Хвых0

— относительные установившиеся ошибки разомкнутой и замк-
нутой систем управления соответственно.

Следовательно, в статической системе управления установив-
шаяся ошибка, вызванная постоянным возмущающим воздейст-
вием, уменьшается по сравнению с разомкнутой системой в
1 + К раз.

При этом в 1+Х раз уменьшится также и передаточный ко-
эффициент замкнутой системы, в чем легко убедиться, подставив
IV (р) =К в формулу (2.5). Это уменьшение должно быть ском-
пенсировано либо введением в прямую цепь системы дополни-
тельных усилительных звеньев, либо соответствующим увеличе-
нием входного сигнала.

В астатической системе управления V =/= 0.

Подставив значение IV (р) из (3.5) в (3.6), получим

А X = АХ/ Пт------------= 0.

Р +----

ап

Следовательно, в астатической системе управления устано-
вившаяся ошибка, вызванная постоянным возмущающим воз-
действием, равняется нулю. Полученный вывод справедлив для
идеализированной системы, в которой не учитываются такие
факторы, как зова нечувствительности, сухое трение, люфт и
другие нелинейности.

В реальных системах учет влияния этих факторов произво-
дится из условия компенсации соответствующего постоянного
возмущения за счет увеличения статической (установившейся)
ошибки системы. Так, статическая ошибка следящей системы
при. заданном статическом моменте Л4СТ на валу исполнительно-
го двигателя определяемся из условия

Л4СТ тр>

где Л4Тр — момент трогания двигателя, развиваемый последним
в заторможенном состоянии при определенной величине ошибки
© = 0ст.
Считая 7Итр пропорциональным напряжению, подаваемому на
двигатель, можно записать

тр = Ои-7  €и ку .-с 0СТ,

где с0 — коэффициент усиления усилителя по напряжению;

Лу—передаточный коэффициент двигателя по моменту;

. кс— передаточный коэффициент чувствительного элемента.
Приравнивая Л4СТ и Л4тр, получим

Э„=—.	(3.10)

•^С ..у Су

Следящие системы обычно являются астатическими система-
ми с астатиемом первого порядка, работающими при перемен-
ном управляющем воздействии. Для таких систем в установив-
шемся режиме наиболее характерным является изменение вход-
ной величины по линейном у закону с постоянной скоростью

0ВХ(О = Ш,
чему соответствует операторное изображение

@вх(Р)=4-
р2

На основании формулы (2.14) будем иметь

е(р) = —!-------А	(зло

1 4-157 (р) р2

Установившуюся ошибку следящей системы при входном сиг-
нале, изменяющемся с постоянной скоростью, называют скорост-
ной ошибкой 0И. Ее можно определить с помощью теоремы о
предельном значении функции. Принимая т = 1 и обозначая

= —, будем иметь из (3.5)

Г(р) = ^-.	..	(3.12)

р

Подставляя значение 1У(р) из (3.12) в (3.11) и переходя к
пределу, получим

0О = ПтрО(р) = Итр--—~ • 4’
р->0	р-»о , Ыр ₽

Р
откуда следует

®0=4-	<3-13)

Постоянная величина
называется добротностью следящей системы по скорости и име-
ет размерность сек-1. Она показывает величину установившейся
скорости выходной оси следящей системы, развиваемой на еди-
ницу скоростной ошибки.

В следящей системе с астатизмом второго порядка (г=2)
скоростная ошибка равняется нулю, вследствие чего установив-
шуюся ошибку 0а здесь определяют при изменении входной ве-
личины по квадратичному закону с постоянным ускорением

евх(0 = -|-<2.

При этом

= А	(3.14)

где Оа — добротность следящей системы по ускорению, имею-
щая размерность сек~2.

Величины и зависят от параметров системы управле-
ния. В одноконтурных системах без местных обратных связей
они определяются как произведения передаточных коэффициен-
тов звеньев системы. В более сложных системах для определения
установившихся ошибок удобнее пользоваться не готовыми фор-
мулами, а теоремой о предельном значении функции, применяя
ее к операторному изображению ошибки следящей системы в
каждом конкретном случае.

Определение амплитудных и фазовых ошибок следящих си-
стем при отработке гармонических управляющих воздействий
вида

®вх (0 = А 8Ш (Ы + <р)

сводится к построению частотных характеристик замкнутых си-
стем (см. главу V).

Полученные выше формулы (3.8), (3.9), (3.13), (3.14), стро-
го говоря, справедливы при неизменных значениях величин К,
Оа В тех случаях, когда параметры системы управления в
процессе работы могут изменяться в широких пределах, расчет
установившихся режимов по этим формулам может в отдельных
случаях дать существенное отклонение от действительности.
Вместе с тем, более подробное исследование зависимости уста-
новившихся ошибок от изменения тех или иных параметров си-
стемы управления может позволить в ряде случаев произвести
более точные расчеты и настройку системы с тем, чтобы доби гь-
ся снижения максимальных установившихся ошибок.

В свете сказанного рассмотрим вопрос об оптимальной на-
стройке статических систем автоматического регулирования в
установившемся режиме. Представим коэффициент усиления К
системы регулирования, входящий в формулу (3.9), в виде

где р, и р — соответственно передаточный коэффициент прямой
цепи системы и коэффициент обратной сцязи.

Цепь обратной связи может быть выполнена достаточно ста-
бильной. В то же время прямая цепь системы, включающая в се-
бя объект регулирования, обычно содержит элементы, подвер-
женные влиянию различных возмущающих воздействий, которые
приводят к тем или иным изменениям коэффициента р,, а следо-
вательно, и коэффициента К Поэтому, если коэффициент усиле-
ния системы регулирования определен расчетным путем через
средние значения параметров системы, то выражением (3.9) мо-
жно пользоваться только для определения ошибок, обусловлен-
ных такими внешними воздействиями, которые не изменяют су-
щественно коэффициентов ри/< (считаем р = соп8(). К подобным
воздействиям можно, например, отнести изменение нагрузки
|(если оно не влияет на внутренние параметры системы), внеш-
ние помехи в усилителе и некоторые другие.

Вместе с тем подавляющее большинство возмущающих воз-
действий вызывает изменение параметров системы, вследствие
чего. К не остается постоянным. Примерами таких воздействий
могут служить: изменение сопротивления нагрузки в системах
регулирования тока генератора, изменение скорости вращения
якоря и сопротивления обмоток ЭМУ, нелинейность характери-
стик (насыщение, гистерезис), непостоянство питающего напря-
жения и т. п. В этих случаях в формулу (3.9) необходимо под-
ставлять действительное значение коэффициента, отличающееся
от его расчетного значения

Ко ~ Йо Р-

Однако, если управляющее воздействие является точным, то
относительная ошибка системы регулирования, определяемая
формулой (3.9), численно равна относительному изменению пе-
редаточного коэффициента замкнутой системы, которое можно
выразить через изменение коэффициента р,, численно равное
ошибке 6 незамкнутой системы. В результате получим формулу
у =----------------------------*-----	(3.15)

в которую входит расчетное значение коэффициента усиления
системы [Л. 34]. В последнем выражении верхний знак в знаме-
нателе относится к системам с отрицательной обратной связью,
а нижний — с положительной

Из формулы (3.15) следует, что при одинаковом по величине
отклонении передаточного коэффициента прямой цепи системы
от его расчетного значения р0 величина ошибки системы регули-
рования будет зависеть от знака этого отклонения. В случае от-
рицательной обратной связи при б>0, что соответствует умень-
шению р, величина |у| будет больше, чем при б<0,-соответст-
вующем увеличению р. Это объясняется тем, что при увеличении
р возрастают регулирующие свойства замкнутой системы вслед-
ствие увеличения коэффициента усиления К. В случае положи-
тельной обратной связи, наоборот, |у| будет больше при б<б,
чем при 6>0.

Если при настройке статической системы регулирования уста-
новить не расчетное значение р0, а некоторое оптимальное значе-
ние ро/и, разделив полный диапазон Алт возможных изменений
коэффициента р в отношении о: (1—о), то максимальная ошиб-
ка системы будет наименьшей [Л. 34].

Величина о определяется из формулы

°	+ (1 ± Ко) + /(6,„/<о)2 + (1 ±/<о)2А (3-16)

где

В последнем выражении все верхние знаки относятся к отри-
цательной обратной связи, а нижние — к положительной.

Зная о, можно найти требуемое значение

Пор/ = Во + (Р — о)	(3 -17)

где р — множитель, показывающий, как делится полный диа-
пазон Ат изменений коэффициента р по отношению к
расчетному значению р0.

В зависимости о? соотношения численных значений рис ве-
личина роР( может быть больше или меньше ро-

В тех случаях, когда речь идет о Йом, какое значение р сле-
дует принять за расчетное при известных пределах его измене-
ния с тем, ч-'обы возможная ошибка была наименьшей (напри-
мер, при расчете масштаба управляющего воздействия), из фор-
мулы (3.17) определяется р0 при данной величине рорь в каче-
стве которой берется одно из значений р внутри диапазона Ат-

§ 3.2.	Псимеры расчета статических параметров
сдельных элементов

Пример 3.1. Определение передаточных коэффициентов
двигателя постоянного тока с независимым возбуждением.

Двигатель имеет следующие номинальные данные: Рн=9 кет-,
17н=220 в; 7Я.Н==46 а; ин=78С об!мин\ »?я.н=0,218 ом.
Необходимо определить передаточные коэффициенты двига-
теля: ПО скорости — &дв и по моменту — си.

Передаточный коэффициент двигателя по скорости йдв= —
се
представляет собой коэффициент пропорциональности между
э. д. с. двигателя и угловой скоростью вращения якоря, номи-
нальное значение которой

Й„ = ин = 789 -^- = 81,5 рад!сек.
30	30

Скоростной коэффициент

^я.и я.н _ 220- -0,2*8-46 _2 57 е

Йв	8<5	’ рад/сек

Передаточный коэффициент двигателя по скорости
=-^- = 0,39^^.
дв 2,57	в

Передаточный коэффициент двигателя по моменту

См

г — —Щ

Кя.н

где см — коэффициент пропорциональности между током яко-
ря и вращающим моментом 7Ивр двигателя.

Так как

р	о

Мво „ = 975	= 975 — = 11,25 кГм,

вр-н	И	7ЯП

то

с = Л'!в1ьн_ =	_ 0 244 кЛи

/я.н	46	а

= 0,244

“	0,218	в

Произведение сеси представляет собой коэффициент внутрен-
него скоростно.о трения в двигателе, определяющий наклон его
механической характеристики

к = с с = 2,57-1,12 = 2,88

е “	’	рад/сек

Определение одного из передаточных коэффициентов двига-
теля через другой в некоторых пособиях рекомендуется произво-
дить с помощью зависимости се=9,81 см. В этом случае исполь-
зуется в расчете не момент на валу, а электромагнитный момент
двигателя.

. Пример 3.2. Определение общего' передаточного коэффици-
ента по скорости двигателя постоянного тока с редуктором.
Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением
имеет следующие номинальные данные: Рн=0,3 кет, Йп=220 в;
Лт.н=2,1 а; ив=960 об/мин:, Дя.н=4,75 ом. Передаточное число
понижающего редуктора /г, = 72.

Аналогично примеру 3.1, имеем

йн = 960 — = 100 рад/сек-,

220 — 4,75-2,1 _	1 в

100	’ рад! сек

Лдв = — = —= 6,6- ю-3^^
д се/р 2,1-72	в

Пример 3.3. Определение передаточного коэффициента уси-
лительного элемента системы автоматического регулирования
скорости двигателя постоянного тока.

Принципиальная схема системы регулирования изображена
на рис. 1.10. Параметры системы следующие: крутизна характе-
ристики лампового усилителя на одно плечо

А6'вх	в

сопротивление якоря ЭМУ вместе с сопротивлением компенса-
ционной обмотки и добавочных полюсов /?я=2 ом; сопротивле-
ние обмотки возбуждения генератора /?вг=8 ом; наклон харак-
теристики холостого хода ЭМУ в ее линейной части

А6/г оо ®

тэ == ---— = 3,3 —.

А/у1	ма

ЭМУ считается скомпенсированным.

Передаточный коэффициент усилительного элемента системы
регулирования найдем как произведение передаточных коэффи-
циентов его отдельных участков

Лу

= 25т3 Яв'-Г—= 2-100-3,3- — = 528.

А17вх	Яя + Кв.г	2 + 8

Пример 3.4. Определение передаточных коэффициентов по
скорости и моменту асинхронного двухфазного двигателя по его
механическим характеристикам (рис. 3.1).

В отличие от механических характеристик двигателя посто-
янного тока с независимым возбуждением, механические харак-
теристики асинхронного двухфазного двигателя непрямолиней-
ны. Однако в области невысоких скоростей (примерно до 55%
синхронной скорости), являющейся рабочей областью для таких
двигателей, механические характеристики достаточно точно ап-
проксимируются отрезками прямых. Поэтому передаточные ко-
эффициен^ы двигателя можно определить с помощью треуголь*
ника АВС на рис. 3.1, где стороны треугольника представляют
собой приращения скорости и момента. Приращение напряже-
ния 1/у на управляющей обмотке двигателя определится как раз-
ность напряжений, при которых снимались соответствующие ха-
рактеристики.

Из рис. 3.1 имеем

--Аи л-3300

Рис. 3.1. Механические харак-
теристики асинхронного двух-
фазного двигателя

30	30

= 346 рад сек;

== 55 — 30 = 25 в;

Ш = 3,2 Г дм.

Рис. 3.2. Электромашинный
усилитель с отрицательной
обратной связью по напря-
жению

Передаточный коэффициент по скорости

^дв

1

Се

Ай __ 346 _ ^рад/сек

ыТу “ 25~ “	’ ' в

Передаточный коэффициент по моменту

с =	= 0,128 Гдм/в.

“ ЫУу 25

По механическим характеристикам двигателя можно также
определить коэффициент внутреннего скоростного трения

Лт се си

АМ

Ай

= 9,25-10-3-—

346	рад/сек

Пример 3.5. Определение коэффициента обратной связи элек-
тромашинного усилителя.

Электромашинный усилитель, нагруженный на постоянное
сопротивление /?н, охвачен отрицательной обратной связью по
напряжению для уменьшения остаточного намагничивания и
улучшения передаточной характеристики ЭМУ (рис. 3.2). Необ-
ходимо определить величину коэффициента обратной связи 0,
устанавливаемую делителем /?0, при которой остаточное намаг-
ничивание уменьшается в 8 раз по сравнению с ЭМУ без обрат-
ной связи.

Параметры схемы Следующие: номинальное напряжение
Сф=220 в; номинальный ток нагрузки /н= 12,3 а; сопротивления
и числа витков обмоток управления 1 и 2 соответственно: /?,=
= 68 ом, о>| =400; /?2=90 ом, щ2=360; сопротивление цепи якоря
ЭМУ /?л=1,75 ом', сопротивление делителя напряжения Го=
=200 ом; номинальное задающее напряжение на обмотке уп-
равления 1 при отсутствии обратной связи ^^ = 6,5 в. ЭМУ счи-
тается скомпенсированным.

ЭМУ с обратной связью можно рассматривать как замкну-
тую систему управления. Отрицательная обратная связь в уси-
лителе уменьшает влияние возмущающих факторов (в том чис-
ле остаточное намагничивание ЭМУ) в 1+К раз, где К — коэф-
фициент усиления системы. В данном случае необходимо иметь
/(=8—1=7.

Коэффициент усиления системы равен произведению переда-
точных коэффициентов отдельных участков замкнутого контура

К =

причем

Е

V =----,

^рез

где Е — э. д. с. якоря;

Крез—результирующая м. д. с. возбуждения, равная разности
м. д. с. эбмотск управления 1 и 2, т. е. Рфя—Е^Ег-

Током через сопротивление делителя 7?о пренебрегаем ввиду
его малой величины.

Коэффициент т определяется наклоном характеристики холо-
стого хода ЭМУ.

При отсутствии обратной связи

Г2 = 0 И Грез = р1-

В этом случае величину V можно найти как отношение э. д. с.
якоря к м. д. с. обмотки 1 в номинальном режиме:

„ __ в., _ (Цк +	/н) Ъ _ (220+1,75-Г2,3)68	_ ™ 8

Лн 1/;н№1	6,5-400	’ а-в*

Коэффициент

а =____—-----= ------—------=0,91.

^, + КяЛ. 220+ 1,75-12,3

* а-в — ампер-витки»
Коэффициент обратной связи
=	= ±90----------=

к^уа 360-6,32-0,91

Так как передаточный коэффициент усилителя при включе
нии обратной связи также уменьшается в\' + К раз, то соответст-
венно и напряжение на обметке 1 необходимо увеличить во
стол ько же раз, т. е.

Ци = (1 + ЮЦН = 0 + 7)6,5 = 52 в.

Для проверки рассмотрим номинальный режим ЭТИ 7 с об-
ратной связью.

Магнитодвижущая сила, развиваемая обмоткой /,

Р = {Днич = 52-400 _ 30
К1 68

Магнитодвижущая сила обмотки 2

„ Рб'н^ 0,304-220-360	о„7 о „

гй = --	= —----------= 267,8 а-в.

/?2	90

Результирующая м. д. с.

Грез = 306—267,8 = 38,2 а-в,

чему соответствует напряжение на зажимах якоря ЭМУ

V = чРрез — Дя /и = 6,32-38,2 — 1,75-12,3 = 220 в,
т. е. номинальное напряжение.

§ 3.3.	Примеры расета установившихся ошибок
। статических параметров систем автоматического
управления

Пример 3.6. Определение установившейся погрешности си-
стемы автоматического регулирования напряжения генератора
постоянного тока (рис. 1.4) при изменении тока нагрузки гене-
ратора от нуля до номинального значения.

Система регулирования имеет следующие параметры: коэф-
фициент усиления электронного усилителя кУ[ = 46; коэффициент
усиления скомпенсированного ЭМУ по напряжению йу2—7,8;
наклон характеристики холостого хода генератора, равный отно-
шению приращения э. д. с. якоря к приращению тока возбужде-
ния, шг=117 в/а; сопротивление ебмотки возбуждения генера-
тора /?в.г=65 ом\ коэффициент обратной связи, выражающий от-
ношение напряжения Ьо.е, снимаемого с делителя Ло, ко всему
напряжению на зажимах якоря генератора, “ = 0,62; падение на-
пряжения в сопротивлении якоря пси номинальной нагрузке со-
ставляет 11% напряжения на зажимах якоря.
Установившаяся ошибка статической системы автоматичес-
кого регулирования на основании формулы (3.9)

где ё—ошибка разомкнутой системы (без обратной связи);

Л — коэффициент усиления системы, равный произведению
передаточных коэффициентов всех элементов главного
контура системы регулирования.

В установившемся режиме ток в стабилизирующем /?С-кон-
туре (рис. 1.4) равен нулю, поэтому местную обратную связь,
образуемую этим контуром, можно не принимать во внимание.
В этом случае коэффициент усиления системы регулирования

К = &У1АуаАгсф.

Передаточный коэффициент генератора по напряжению

__ Ег   Е1   тг _ Н7 _ 1

^В.Г	Ев.Г^В	Ев.Г 65

Величина а определяется по отношению падения напряжения
в якоре генератора к напряжению на его зажимах, которое в
свою очередь равно отношению сопротивления якоря к сопротив-
лению номинальной, нагрузки

— = 0,11.
Ян

Тогда

а =	=	—I—=0,9.

Ег Ев + Ея Яя. 14-0,11
+ Ен

Относительная ошибка разомкнутой системы, вызванная уве-
личением тока нагрузки от нуля до номинального, равна паде-
нию напряжения в якоре генератора, отнесенному к э. д. с. якоря
$ Е — С/н   Ея /н

~ Е Е

Так как Е=7н(7?н+/?л), то

д = —^2---= 1------= 1 — а.

Ев + Ея	Ев + Ея

Подставляя численные величины, будем иметь

К = 46 • 7,8  1,8  0,9  0,62 = 360;

ё% = (1 — а) 100 = (1 —0,9) 100 = 10%;
Пример 3.7. Определение установившейся ошибки следящей
системы. Принципиальная схема системы приведена на рис. 1.6.
Входная (задающая) ось вращается с постоянной угловой ско-
ростью Й=40 град)сек. На валу исполнительного двигателя
действует статический момент нагрузки Л4Ст = 552 Тем.

Параметры системы: коэффициент усилении электронного
усилителя ку=297; постоянные исполнительного двигателя по
скорости и моменту соответственно — се=0,814 * в— и си =
рад/сек

= 18,6 Гсм/в\ передаточное число редуктора /р=209; рассогласо-
вание входной и выходной ос^й в 1° вызывает изменение напря-
жения на входе усилителя на 1 в.

Установившаяся ошибка равняется сумме статической ошиб-
ки, вызванной действием Л4СТ и скоростной ошибки, обусловлен-
ной заданной скоростью изменения входного сигнала.

Статическая ошибка

0 =	=-----------= о,1°,

ст кскуси 1-297.18,6

где Ас = 1 в/град— общий передаточный коэффициент диффе-
ренциала и потенциометра.

Скоростная ошибка, представляющая собой установившуюся
ошибку при линейном изменении входной величины и Л4ст = 0,
©*=# [см (3.13)].

Так как система не содержит местных обратных связей, то
совпадает с передаточным коэффициентом разомкнутой си-
стемы Б, равным произведению передаточных коэффициентов
отдельных звеньев системы:

/р

Поскольку с =	= 0,0142-----------, то

3 е 57,3	град/сек

О = 1 -297- —. — = 100—,
0,0142 209 сек

0г, = — = 0,4°.

®	100

Результирующая установившаяся ошибка определится сум-
мой ©ст и ©щ, т. е.

©Уст = ©ст + ©„ = 0,1° + 0,4° = 0,5°.

Пример 3.8. Определение статической ошибки следящей си-
стемы. Статическая ошибка следящей системы, рассмотренной
в примере 3.7, обусловлена совместным действием постоянного
момента нагрузки на выходном валу (после редуктора) Мст =
— 1,27 кГм и несимметрией плеч электронного усилителя, даю-
щей после приведения ко входу усилителя сигнал Д1/с=40 мв.
Будем считать, что составляющие ошибки имеют одинаковый
знак.

Статическая ошибка следящей системы складывается из двух
составляющих, обусловленных действием Л4СТ и / .17 с. Каждая из
этих составляющих должна равняться такой величине ошибки,
при которой достигается компенсация соответствующего внеш-
него воздействия. Следовательно, в рассматриваемом случае

_ М„ . Д1/с 1,27-10®	. 40-10~3	.-о

АсАуси/р кс 1-297-18,6-209	1

Пример 3.9. Определение добротности следящей системы и
максимально возможной скорости вращения входной оси.

Следящая., система (рис. 1.8) имеет следующие значения па-
раметров: передаточные коэффициенты потенциометров кс =
= 86 в/рад\ коэффициент усиления лампового усилителя &у=
= 1200; постоянная асинхронного двухфазного двигателя по ско-
рости се=0,26 —-—; передаточное число редуктора /р=264;

рад!сек

передаточный коэффициент тахогенератора &тг=2,6-10-3 ———

допустимая скоростная ошибка 01> = О,36°.

Следящая система содержит местную отрицательную обрат-
ную связь по скорости вращения выходной оси, поэтому доброт-
ность не равна передаточному коэффициенту основного контура
следящей системы, а меньше его за счет сигнала, подаваемого
на вход усилителя от тахогенератора.

Воспользуемся структурной схемой следящей системы (рис.
2.9). Так как мы рассматриваем установившийся режим, то опе-
раторные передаточные функции двигателя с редуктором и зве-
на местной обратной связи можно заменить их передаточными
коэффициентами, положив

(р) = — и 20 (р) = / йтг.

Се/р

Множитель /р в последнем выражении добавлен потому, что
на структурной схеме редуктор не выделен в отдельное звено
направленного действия и на вход звена 20(р) поступает ско-
рость вращения не вала двигателя (и, соответственно, не тахо-
генератора, сидящегс с двигателем на одном валу), а выходной
оси системы. Целесообразно обозначить ктг~косе, где ко— без-
размерный множитель.

Заменяя на структурной схеме часть звеньев, охваченных
местной обратной связью, эквивалентным звеном с передаточ-
ным коэффициентом
1

Йу

Се]р

1+Ау т~ ‘/рйоС(
се /р

(см. пример 2.3) и применяя правила преобразования структур-
ных схем, получим передаточную функцию разомкнутой системы

Г (р) = кс	,

Р (1+Мо)₽
где
_____________________________ кс
се]р

Как видно, введение обозначения ктт—косе оправдалось со-
кращением множителей се/р в знаменателе передаточной функ-
ции.

Операторное выражение ошибки следящей системы
1 + г (р)

При 0ВХ(/) = Ш входная величина

©в. (р)=4-
Р2

Подставляя в выражение для 0(р) значения передаточной
функции и входной величины, получим

__ (1 + &у ко) Р
(1+Лу Л0)р-|-/) р2

Скоростную ошибку следящей системы на основании теоре-
мы о предельном значении функции определим как

0О = Ига 0 (0 = Игл р 0 (р) =

/-►со	р-»-0	О

Добротность следящей системы по скорости

& = —.

Сравнивая два последних выражения, получаем, что

=-----—.

в 1 + ку к0

Подставив численные значения параметров, найдем

Г = —' -2- = 1500 —

0,26-264	сек
Так как

Лтг = 2,6-10~3

се 0,26

= 0,01,

то

/) =----------= 115—.

*	1+1200-0,01 сек

Максимально возможная скорость вращения входной оси,
при которой ошибка не превысит 0,36°,

& =	= 115-0,36= 41,5 град сек.

Пример 3.10. Опре-
деление коэффициента
усиления системы ав-
томатического регули-
рования тока нагрузки
генератора постоянно-
го тока (рис. 3.3, а).

Параметры систе-
мы: сопротивление и
число витков задаю-
щей обмотки ЭМУ
(обмотка У) соответст-
венно Ал = 216 ом и

Рис. 3.3. Система автоматического регулирова-	ЬУ 1=450; сопротивле-
ния тока нагрузки генератора:	ние И ЧИСЛО ВИТКОВ об-

а — принципиальная схема; б — структурная схема МОТКИ обратной СВЯЗИ
ЭМУ (обмотка 2) со-
ответственно /?2=0,12 ом и ^2= 12; сопротивление нагрузки
/?н=0,336 ом; сопротивление обратной связи в цепи нагрузки
7?о = 0,004 ом; добавочное сопротивление в цепи обратной связи
#доб=0,22 ом, сопротивление цепи якоря генератора /?г=0,02 ом;
угловой коэффициент характеристики холостого хода генератора
тГ= ^-Г- =17,6 о/а; сопротивление обмотки возбуждения гене-
Д/в

ратора Рв = 8,2 ом; сопротивление продольной цепи якоря ЭМУ

А'э=1>6 ом; угловой коэффициент характеристики холостого хо-
д/?

да ЭМУ т = —- =20 в1а-в. ЭМУ считается скомпенсиро-
АГр

ванным.

Структурная схема системы автоматического регулирования
тока нагрузки генератора в установившемся режиме изображена
на рис. 3.3, б.

Рассматриваемая система является статической, не содержа-
щей местных обратных связей. Ее коэффициент усиления равен
произведению передаточных коэффициентов звеньев, входящих
в замкнутый контур системы,
К •	+	^-н ^о.с*

Следовательно, задача сводится к определению передаточ-
ных коэффициентов отдельных звеньев структурной схемы.

Передаточный коэффициент генератора кт представляет со-
бой отношение э. д. с. генератора и ЭМУ, в то время как обычно
задается коэффициент тг, равный отношению э. д. с. к току воз-
буждения генератора. Но ток возбуждения генератора можно
найти, поделив э. д. с. Э7ИУ на сопротивление цепи возбуждения
генератора. Поэтому

+ 7?э	8,2 + 1,6

Передаточный коэффициент звена нагрузки

/?„+?+ + ко 0,336+0,02+0,004

Передаточный коэффициент звена обратной связи равен отно-
шению м. д. с. Р2 к току нагрузки. Ток нагрузки создает на со-
противлении падение напряжения, равное 7Н7?О, которое буду-
чи разделенным на сумму сопротивлений /?2 и вызовет ток
в обмотке 2 ЭМУ. Умножив последний на число витков обмотки
2, получим м д. с. Р2. Следовательно,

°‘с- я2+/?д

0,004-12

0,12 + 0,22

= 0,141 а-в}а.

Передаточный коэффициент ЭМУ при разделении структур-
ной схемы На звенья направленного действия (рис. 3.3, б) будет

кэ = V.

Таким образом, коэффициент усиления системы регулирова-
ния Л=20-1,8-2,78.0,141 = 14,1.

Пример 3.11. Определение величины задающего напряже-
ния и добавочного сопротивления в цепи обратной связи систе-
мы автоматического регулирования тока нагрузки генератора.

Система регулирования рассмотрена в примере 3.10. Требуе-
мые значения, задающего напряжения 1Э\ и добавочного сопро-
тивления /?ДОб в цепи обратной связи должны быть определены
при условии, что установившаяся ошибка не должна превосхо-
дить 2% от заданного значения тока нагрузки /н.о = 500 а. Из-
вестно, что в такой же системе без обратной связи максималь-
ное отклонение тока нагрузки от его заданного значения под
действием внешней э. д. с., вносимой в контур нагрузки извне,
составляет А/н=100 а. Сопротивление нагрузки постоянно.

В статической системе регулирования относительная уста-
новившаяся ошибка

д
у =-----.

*	1+К
где 6—относительная ошибка системы без обратной связи;
К — коэффициент усиления системы регулирования.

Е данном случае

&% =	. ЮО = —  100 = 20%.

/н.о	500

Подставив полученное значение б в предыдущее выражение,
найдем требуемый коэффициент усиления системы

К = - — =	? = 9.

у 2

Так как К~кэкткцк0,с, то необходимый коэффициент обратной
связи

ког = -^-
кэкгкн

С другой стороны,

9

20-1,8-2,78

= 0,09а-в/а.

к.

откуда находим

^доб - -т— -
«О .С

Заданное сначение
возмущений

+ Ядоб

К2 =

0,004-12

0,09

0,12 = 0,414 ом.

тока нагрузки при отсутствии внешних

/	_ к& кг кн .,

1 н.о —	, , „	1?1>

откуда можно определить требуемое значение задающего на-
пряжения .71, вычислив предварительно передаточный коэффи-
циент

А! = ^- =	= -45? = 2,08а-б/в.

6',	А';	216

Тогда

1/± = -1±А_ /н =---------1±д-------500 = 24 в.

1 1цк3кгка н 2,08-20-1,3-2,78

Пример 3.12. Определение необходимого коэффициента уси-
ления лампового усилителя следяш.ей системы с корректирую-
щим контуром переменно"о тока (рис. 1.12). Установившаяся
ошибка в режиме слежения с постоянной угловой скоростью
П=40 град/сек не должна превышать значения 0„=О,5°. На вы-
ходе следящей системы действует внешнее скоростное трение,
создающее момент сопротивления, удельное значение которого,
отнесенное к единице скорости вращения выходной оси, равно
6,29

рад /сек
Параметры'системы: передаточный коэффициент сельсинного
по?., разующего устройства Ас —1,25	постоянные асин-

хронного двухфазного двигателя по скорос^ти’и моменту соответ-
ственно се=0,81 ра^усед. и си = 0,9 1 дм/г,-^ передаточное число
редуктора /Р=24С; затухание, вносимоех корректирующим -роб.
разным контуром на несущей частоте, ха|)актеризуется переда-
точным коэффициентом контура Ак=0,045.

Воспользуемся структурной схемой, Полученной в примере
2.5 (рис. 2.11). В данном случае будем име^ь

^к(Р) “ кк и Гд(р) = Аде_

Из-за наличия внешнего скоростного трения передаточный
коэффициент Адв двигателя вместе с Р^ДУктоРом не будет рав-
няться 1/се/р, как в других примерах, в -<о--орь.х предполагалось
отсутствие внешних моментов нагрузки. для нахождения Адв
подставим в уравнение двигателя в устанцвившемся режиме

Су = Л4С	се си

(где Пу — напряжение на управляющей обметке двигателя)
значение момента сопротивления

ч = *;Чв.

здесь Ат коэффициент внешнего скорос.уЯоро трения приве-
денный к валу двигателя.

После преобразований'будем иметь

О — с“ Ц
“дв .	^у»

&г+се си

откуда, принимая во внимание, что ЙдВ = /р^) получим

1

где Ат — сес„—0,81 • 0,9 —0,73 рад!сек ко$ффициент внутренне-
го скоростного трения в двигателе.

Коэффициент внешнего скоростного трения на выходной оси
следящей системы

Гдм
рад./еек.

<ВЫх = е,29

Будучи приведенным к валу двигателя, атот же коэффициент
к' = ^вых = 6^9 1 4 = с Гдм

1 /*
Справедливость подобного приведения легко показать, выра-
зив йт и йт.вых через отношения моментов скоростного трения и
угловых скоростей на валу двигателя и на выходной оси си-
стемы:

д' __ Мск-Д.ч	_ ^ск.вых

Т о	Т.ВЫХ	о ’

““БЫК
откуда следует

^Т.ВЫХ   Мск.вых	!   *2

а' ~	'р'р “ 'р*

/?т	2И2СК-ДВ Ьс:вых

Подставляя численные значения величин в полученную выше
формулу для Лдв, будем иметь

1

к№ =	'Л0 = 2,07-

дв	1,09	в

1 +
0,73

Требуемая добротность следящей системы

Б =_Я=^ = 80Л
г ©„	0,5 сел

Система не содержит местных обратных связей, поэтому

где О = йсЛкйуЛдв—передаточный коэффициент по замкнуто-
му контуру следящей системы.

кс =1,25 в! град= 1,25 -57,3=71,7 в!рад.

Необходимый коэффициент усиления лампового усилителя

=-------— =------------т = 12 000.

. йсйкйдВ	71,7-0,045-2,07-10-3

Пример 3.13. Определение максимальной установившейся
ошибки системы автоматического регулирования напряжения
генератора постоянного тока с отрицательной обратной, связью
по напряжению ЭМУ при переменных параметрах системы.

Принципиальная схема системы регулирования изображена
на рис. 3.4, а.

Система имеет следующие параметры: сопротивление и чис-
ло витков задающей обмотки 1 ЭМУ соответственно — Я1 =
= 640 ом и и>1=320; то же для обмотки местной обратной связи
2 — /?2=2200 ом и 1г>2=275; сопротивление якорей ЭМУ и гене-
ратора соответственно — 7?э=1,8 ом и /?г=0,0075 ом\ сопротив-
ление обмотки возбуждения генератора /?в=6,8 ом\ сопротивле-
ние нагрузки /?в = 0,15 ом; угловые коэффициенты характеристик
холостого хода ЭМУ и генератора соответственно — тэ=
= 10 600 в/а и /т?г—32 в/а; коэффициент главной обратной связи
0=0,81.

Система регулирования подвергается следующим возмущаю-
щим воздействиям:

1)	скорости вращения якорей ЭМУ генератора могут из-
меняться на ±10% номинальной скорости;

2)	сопротивление обмотки возбуждения генератора вследст-
вие нагрева может увеличиваться на 1,2 ом;

Ццс

Рис. 3.4. Система автоматического регу-
лирования напряжения генератора:
а — принципиальная схема; б — структурная
схема

3)	сопротивление нагрузки в процессе работы может умень-
шаться на 0,11 ом и увеличиваться на 0,05 ом.

Составим структурную схему системы автоматического регу-
лирования (рис. 3.4, б) и определим расчетный коэффициент
усиления системы при отсутствии возмущающих воздействий.

Используя формулу (2.5), заменим участок прямой цепи си-
стемы, охваченный местной отрицательной обратной связью с
коэффициентом 0', эквивалентным звеном с передаточным коэф-
фициентом

Л, = —------.

1±*Э0'

Передаточный коэффициент ЭМУ без учета местной обрат-
ной связи
Коэффициент местной обратной связи

о/ _	_ 640- 275 __ 0 22

Р К8ш1 ~ 2200-32'0

Затем можно вычислить

К

-----------= 3,06.
1+13,1-0,25

Передаточный коэффициент генератора

0,0075

1 + 0.15 ,

32

= 4,48.

Передаточный коэффициент прямой цепи системы
р0 = кх кг = 3,06-4,48 = 13,7.

Коэффициент усиления разомкнутой системы
Ко = Иор = 13,7-0,81 = 11,1.

Под влиянием возмущающих воздействий передаточный ко-
эффициент прямой цепи системы р будет отклоняться от своего
расчетного значения р0.

Рассмотрим сначала те возмущения, которые вызывают
уменьшение' р. Учитывая, что коэффициент тэ пропорционален
квадрату скорости вращения якоря, а тг — первой степени, по-
лучим;

0,9М0 600

640(1 4---8- - ]

6,8+ 1,2/

10,95;

0,9-32

/	0,0075

(6'8 + ,Ч+^-^7

= 3,03.

Измененное значение

И. --------1С^95----= 2,93,

1	1 + 10,95-0,25

а соответствующее значение р будет

ц' =к\к'г = 2,93-3,03 = 8,9.

Максимальное относительное уменьшение р

х „ На—Iх' _

+ ~ Ро

13,7 — 8,9

13,7

= 0,35.
Аналогичным увеличение р:	путем определим максимальное относительное  = _ммо =  /1,8.  м0(1 + +  у-	Ы-зг	  г	/	0,0075 \  6,8\ +0,15 + 0,05/  к\ =	15^5--  - = 3 2-  1	1 +15,85-0,25	’ ’  =	= 3,2-5 =45,0;

б = ^' = 32^ = ^0,163.

Но	13,7

Определим ошибки системы регулирования соответственно
при уменьшении и увеличении ц по формуле (3.15)

~ 1-|-(х — 0,35)-11,1 —• °’0426’

Т_ = —;—— ~------------ = — 0,012.

1+11—(—0,168)1-11,1

Максимальная установившаяся ошибка системы регулирова-
ния составляет 4,26%.

Пример 3.14. Расчет оптимальной настройки системы авто-
матического регулирования напряжения генератора.

В системе регулирования, рассмотренной в примере 3.13, не-
обходимо определить оптимальное значение передаточного ко-,
эффициента прямой цепи системы цоР1, на которое нужно на-
строить систему, чтобы максимально возможная установившая-
ся ошибка была наименьшей.

Максимальный предел изменения ц

&т =	— р' - 16,0 — 8,9 = 7,1,

или в относительных единицах

д = ^ = б, — б_ = 0,350 — (— 0,168) - 0,518.
Цо +.

Соотношение между 6+ и 6т

б+ _ 0,350 п
р“ Ьт 0,518 ~°>675-

По формуле (3.16) найдем

о = -----------[о,518-11,1 +(> + 11,1) —

2-0,518-11,1 1	’

— /(0,518-11,1)2 + (1 + 11,1)*] =0,387.
После чего из выражения (3.17) получим

рор/ = 13,7 +(0,675 — 0,387)-7,1 = 15,74.

При такой настройке системы относительные изменения ко-
эффициента р в сторону его увеличения и уменьшения, опреде-
ленные относительно расчетного значения р0, будут соответст-
венно равны:

= <^т и д_ = — (1 — о) ёт.

Рис. 3.5. Усилитель с отрицательной обратной связью:
а — схема; б — передаточная характеристика

Подставляя эти значения в формулу (3.15), получим устано*
вившиеся ошибки системы регулирования при оптимальной на-
стройке системы

.. *________________ __________0,387-0,518______ _ д 0203-

У+ ~ 1+(1 — одт)Х0 ’ 1+(1 —0,387-0,518)-11,1 ~ ’

=	— (1 — о) 6т =— (1 — 0,387)-0,517	= __ д 0203

1+[1+(1-о)дтИ0	1+[1 +(1 — 0,387)-0,517]-11,1

Максимальная установившаяся ошибка системы автомати-
ческого регулирования уменьшилась с 4,26 до 2,03%.

Практически осуществить требуемую настройку системы мож-
но, например, изменением масштаба задающего напряжения
П3, перенастройкой регулятора скорости вращения приводного
двигателя ЭМУ и генератора и т. п.

Пример 3.15. Расчёт оптимальной настройки усилителя с
обратной связью при переменном коэффициенте усиления.

Усилитель с отрицательной обратной связью (рис. 3.5, а),
вследствие нелинейности передаточной характеристики (рис.
3.5,6) ПВых=р(ПЕК), имеет переменный коэффициент усиления
р, изменяющийся в зависимости от величины входного напряже-
ния от р'=200 до р"=400 при постоянном коэффициенте обрат-
ной связи р = 0,1.
Нужно определить, какое значение р следует принять для
расчета масштаба задающего напряжения 1У3, чтобы максималь-
ная ошибка преобразования сигнала была наименьшей.

Усилитель с отрицательной обратной связью можно рассмат-
ривать как статическую систему регулирования.

Из выражения (3.17) определяем расчетное значение р0 при
известном цорь в качестве которого можно принять любое из
значений р в интервале от р' дс р".

Нетрудно видеть, что если принять за расчетное одно из
крайних значений, то максимально возможная ошибка не будет
наименьшей.

Например, приняв ро = р"=4ОО, будем иметь: /Со=Цо₽ =

= 400  0,1 =40; Дт = р"—р' = 400 — 200 = 200;	~ =

400

= 0,5- 5, =	400 ~20- =0,5; р - -Ё± _ ОлЁ 1

’ ’	+	,р0	400	р~6т 0,5 х-

На основании формулы (3.15)

Так как

д_ = р0—р" = 400 —400 = 0, то у_ = 0. Максимальная ошибка
- составляет 2,38%.

Для нахождения наивыгоднейшего расчетного значения р0
воспользуемся формулой (3.16):

а = -2 - [0,5-40 + (1 4-40)—уЛ(0,5-4°)2+(1+40)2]= 0,385.

Положив в формуле (3.17) рор( = р" = 400 и подставив значе-
ния Дт, рис, найдем требуемое расчетное значение ро=4ОО—
— (1—0,385)200 = 277.

При этом ошибки системы регулирования [на основании вы-
ражения (3.15)] будут:

у =-------О^ЖЗ-Щб-----= 0,00578;

’+	1 + (1 -0,385-0,5)40

у --------—(1 —0.385)0^5-= _ 0 00578.

1 + [1+(1—0,385)0,5)40

Таким образом, если масштаб задающего напряжения Дя, по-
даваемого на вход усилителя, рассчитывать не по крайней ха-
рактеристике, а по некоторой средней, соответствующей р = ро =
= 277, то максимально возможная ошибка воспроизведения сиг-
нала уменьшится с 2,38 до 0,578%.
Пример ЗЛ6. Определение оптимального значения переда-
точного коэффициента прямой цепи системы автоматического
регулирования напряжения генератора.

Читателям предлагается для системы регулирования, рас-
смотренной в примере 3.13, самостоятельно определить значение
Цорн при котором максимальная установившаяся ошибка систг
мы будет наименьшей.

Параметры системы регулирования: #1 = 500 ом; №1=200;
#2=2000 ом-, №2=160; '#э=2,4 ом; #г=0,008 ом; #в=& ом; #н=
=0,2 ом; тэ= 13 000 в/а; тг=25 е/а; ^=0,75.

Возмущающиеся воздействия в системе:

1)	изменение скорости-вращения приводного двигателя ЭМУ
и генератора на ±10% номинальной;

2)	увеличение сопротивления обмотки возбуждения генера-
тора на 2 ом;

3)	уменьшение сопротивления нагрузки на 0,16 ом и увели-
чение на 0,05 ом.

Ответ: р.сР1 —14,23. Максимальная установившаяся ошибка
уменьшается с 6,16 до 2,59%.
Глава IV. УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ
ФУНКЦИИ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 4.1. Ме.одика составления операторных уравнений
и определения передаточных функций

Достоверность динамических расчетов систем автоматическо-
го управления прежде всего определяется тем, насколько близ-
ко к действительности принятое математическое описание проис-
ходящих в системе физических процессов.

В связи с интенсивным развитием и внедрением в инженер-
ную практику средств вычислительной техники, центр тяжести
расчетно-исследовательской деятельности специалистов по авто-
матическому управлению за последние годы все больше смеща-
ется из области анализа и синтеза математически заданных си-
стем в направлении поиска новых принципов их построения и
уточнения математических зависимостей, определяющих поведе-
ние исследуемой или проектируемой системы управления.

Любое физическое явление неизмеримо богаче его математи-
ческого отображения, по необходимости являющегося всегда
ограниченным. Сднако из этого неверно было бы сделать вывод
о том, что всегда следует стремиться к большей полноте и слож-
ности уравнений, характеризующих исследуемый процесс. Для
практических целей весьма важной является возможность выде-
лить из общей совокупности явлений какую-то часть, характери-
зующую основные черты доведения системы управления без за-
громождения их второстепенными факторами, сильно осложняю-
щими исследование физического процесса.

Л^атематичебкое описание динамики систем автоматического
управления обычно производится путем составления системы
дифференциальных (иногда интегро-дифференциальных) урав-
нений. Строго говоря, любая реальная динамическая система яв-
ляется нелинейной. Однако большинство непрерывных систем
управления могут быть линеаризованы,, т. е. заменены прибли-
женно эквивалентными системами, переходные процессы в ко-
торых описываются обыкновенными линейными дифференциаль-
ными уравнениями постоянными коэффициентами.. Такие си-
стемы управления принято называть линейными.
Линеаризация исходных систем основывается на методе ма-
лых отклонений. Сущность этого метода заключается в том, что
динамические свойства системы управления исследуются не во
всем возможном диапазоне изменения переменных систем, а
вблизи их некоторых значений, соответствующих характерным
режимам работы (например, установившимся режимам).

Составление и линеаризация уравнений обычно производит-
ся по отдельным звеньям. Разлагая в ряд Тейлора непрерывную •
аналитическую функцию, связывающую переменные звеньев и
их производные, и отбрасывая члены второго и высших порядков
малости, получим линейное уравнение звена. Однако в расчет-'
ной практике, как правило, не прибегают к разложению функ-
ций в ряд, а пользуются заранее линеаризованными характери-
стиками звеньев, которые чаще, всего задаются не в аналитичес-
кой форме, а в виде графиков, таблиц, паспортных данных
и т. д.

Полученные дифференциальные уравнения линейных звеньев
направленного действия обычно выражают в операторной фор-
ме и представляют в виде передаточных функций (см. § 2.1).
Структурная схема, для всех звеньев которой передаточные
функции определены, представляет собой наглядную форму
записи дифференциальных уравнений исследуемой системы уп-
равления в операторной форме.

Составление уравнений и определение передаточных функций
объектов управления, вообще говоря, выходит за рамки теории
автоматического управления и должно производиться на основе
физических законов, характеризующих эксплуатационные режи-
мы этих объектов (например, законы аэродинамики для лета-
•тельных аппаратов). Однако нужно уметь правильно представ-
лять и преобразовывать уравнения объектов управления к наи-
более удобному для расчетов виду.

Специалисту по автоматическому управлению необходимо
также уметь определять и преобразовывать передаточные функ-
ции‘тех звеньев, которые входят в управляющую часть системы
(чувствительные элементы, усилители, исполнительные двигате-
ли, корректирующие звенья и т. д.).

При всем многообразии технических средств автоматики по-
давляющее большинство звеньев, составляющих структурные
схемы систем автоматического управления, может быть сведено
к нескольким, так называемым типовым звеньям направленного
действия.

Передаточные функции наиболее часто встречающихся из
них приводятся ниже.

1.	Безынерционное звено (пропорциональное, усилительное):

= №(р) = А?.

.	Авх(Р)
Передаточная функция безынерционного звена вырождается
в передаточный коэффициент к, представляющий собой постоян-
ное вещественное число.

2.	Апериодическое звено (инерционное первого порядка);

Лвых = ур (п) =--------

Хвх(р)	Тр-р1 ’

где к — передаточный коэффициент;

Т —постоянная времени звена (7’>0).	4

3.	Колебательное звено (инерционное второго порядка):

=______к_____

 *вх(р)	Г^ + 2^р+Г

где к — передаточный коэффициент;

Т — постоянная времени звена (7’>0);

^ — безразмерный коэффициент затухания (^>0).

К указанному виду легко приводится любая передаточная
функция, у которой числитель есть постоянное число, а знаме-
натель — квадратный трехчлен (относительно р) с положитель-
ными коэффициентами. Действительно, пусть передаточная
функция некоторого звена* имеет вид

Я7(р) =

т

ар2 +Ьр + с'

Поделив числитель и знаменатель на с и поиравняв выраже-

ния

к

7'2р2+2^Гр+1’

получим, из условия равенства коэффициентов при соответст-
вующих степенях р, систему уравнений:

— = к\ ~ = Т2-, ~ = 2СТ,

с	с	с

решая которую, будем иметь

При (;> 1 квадратное уравнение

Т2рР + 2'СГр 4-1=0

будет иметь два отрицательных вещественных корня, и колеба-
тельное звено может быть заменено двумя последовательно
включенными апериодическими звеньями.
4.	Интегрирующее звено:

•X ВЫХ (Р)	([А —

Ха(р)	Р ’

5.	Дифференцирующее звено:
для идеального дифференцирующего звена (чисто дифференци-
рующего)

*вх(р)

для реального дифференцирующего звена

Хвых (Р) _ т . 4 __ ТР
- Авх(р)	Ц-Т₽’

где с — постоянная времени звена.

Составление операторных уравнений систем автоматического
управления сводится к определению их передаточных функций
путем преобразования структурных схем в соответствии с пра-
вилами, изложенными в § 2.1.

§ 4.2. Примеры определени! передаточных функций
отдельных элементов

Пример 4.1. Определение передаточной функции генератора
постоянного тока с независимым возбуждением.

Сопротивление и индуктивность обмотки возбуждения гене-
ратора соответственно равны: /?в = 65,5 ом и Ьв=27,5 гн\ угло-
вой коэффициент характеристики холостого хода генератора в
ее линейной части

гпГ = — = 108 в/а,

где Ет— э. д. с. генератора.

Подставив в операторное уравнение цепи возбуждения гене-
ратора	<

I)в — р1в /?в в

Е
значение тока возбуждения /Е== — э получим после преобразо-
ванкй

(р) =	= —

иъ(р) 1+твр’

Гт р ь — ад. . т ——•	-	"

где	дв,

Ив — напряжение.на обмотке возбуждения.
Полученное выражение представляет собой передаточную
функцию апериодического звена направленного действия с пе-
редаточным коэффициентом кг и постоянной времени Тв. Под-
ставляя численные значения, получим-

,	108	1 СС

«г =----= 1165: \

65,5	'

Т =	= 0,42 сек-,

65,5

и? (Р) =	= 1.-.65 .

с/в(р) 1+0,42р

Пример 4.2. Определение передаточной функции электро-
машинного усилителя с поперечным полем.

Параметры ЭМУ имеют следующие значения: сопротивление,
индуктивность и число витков обмотки управления соответст-
венно /?у=2000 ом, Лу=80 гн, и»у=3200; сопротивление и индук-
тивность поперечной цепи якоря ЭМУ—/?д=1,23 ом, /,д=0,16гн;
угловой коэффициент характеристики холостого хода ЭМУ, оп-
ределяемый как отношение э. д. с. якоря по продольной оси к
м. д. с., создаваемой обмоткой управления, тэ=4,2—^. ЭМУ
считается скомпенсированным.

Передаточная функция ЭМУ

__Ед (р)

где Ел[р) и 6/у(р) — соответственно операторные изображения
э. д. с. якоря по продольной оси и напряже-
.	ния на управляющей обмотке.

Операторные уравнения для цепи обмотки управления и по-
перечной цепи якоря ЭМУ:

Ьур1у + Ку1у^иу-	(4.1)

+	=	(4-2)

где /у и 1д — соответственно токи в обмотке управления и в.
поперечной цепи якоря.

Электродвижущая сила, действующая по поперечной оси яко-
ря, в пределах линейного участка кривой намагничивания маши-
ны пропорциональна м. д. с. 5У, развиваемой обмоткой управле-
ния:

Ед = V! Еу = V! еуу ’у.	(4.3)

Электродвижущая сила якоря по продольной оси пропорцио-
нальна поперечной м. д. с. якоря Рд, создаваемой током 1д:

Ед = у2Ед = ^гша1д.	(4.4)
В выражениях (4.3) и (4.4) гша — число активных витков яко-
ря ЭМУ; V] и т>2 — коэффициенты пропорциональности.

Подставив значения /у и /д из формул (4.3) и (4.4) соответ-
ственно в (4.1) и- (4.2), получим передаточные функции двух
каскадов усиления ЭМУ:

1  где к± =  «У	;	(4.5)  иу	1+Лр  	,	(4.6)  Еч	1+Т2р’  и к2 = —- — передаточные	коэффициенты  ^0  соответственных каскадов уси-
Т —  1 «У	ления;  и Т2 = 	постоянные времени цепи об-  мотки управления и попереч- ной цепи якоря ЭМУ.

Таким образом, ЭМУ с поперечным полем может быть пред-
ставлен в виде двух последовательных апериодических звеньев
направленного действия.

Исключив из выражений (4.5) и (4.6) Ед, получим передаточ-
ную функцию ЭМУ

Г Др) = -4_ =-------------,

Гу (1+Т1Р)(1+Т2рУ
или

Л72Р2+(Л+т2)р+1 ’

где йэ= к±к2 — передаточный коэффициент (коэффициент уси-
ления по напряжению) ЭМУ.

Для определения к3 нет необходимости знать раздельно к\ и
к2, которые обычно неизвестны, а достаточно иметь угловой ко-
эффициент характеристики холостого хода ЭМУ гпа и парамет-
ры обмотки управления.

В установившемся режиме

=	, но Д = -у^,

Гу Гу ' у Ну
следовательно,

откуда

А ___ шу тэ

ЯХ'ТЛ г	»
Подставляя численные значения, будем иметь:

,	3200-4,2	„ _

кэ =--------= о,/;

2000

'Г 80 Г\ л Т- 0,16 ЛЮ

7\ = — = 0,04 сек, Т9 = —— =; 0,13 сек-,

1	2000	’	’	2	1,23 '

ц/ _ Ед ___________6,7_______

3 бу ~ (1+0,04р)(1+0,13р)

ИЛИ

№э(р) = — =-----------—----------

’ бу	0,0052 р2 + 0,17 р + 1

Пример 4.3. Определение передаточной функции асинхронно-
го двухфазного двигателя.

Передаточные коэффициенты двигателя по скорости и мо-
менту соответственно равны: — = 7,19^^^; си= 1,2 Г • см!в.

Се	®

Момент инерции ротора 7 = 75 • 10-4 Г • см - сек2.

Уравнение двигателя

сиУ = Мс + се си Й

представляет собой уравнение моментов, в котором си1] — вра-
щающий момент двигателя, уравновешиваемый внешним момен-
том сопротивления Мс и внутренним скоростным трением сесий.
Последнее обусловлено влиянием э. д. с. двигателя, пропорцио-
нальной угловой скорости й вращения ротора.

В общем случае внешний момент сопротивления складывает-
ся из динамического момента Л4дин=7рЙ, момента внешнего
скоростного трения Л4ск=й^,Й и статического момента Л1Ст=
= соп81, т. е.

мс = 7рй + й;й ± м*.

В данном случае внешнее скоростное трение отсутствует. Вели-
чина статического Кгомента, обусловленного наличием сухого
трения, не зависит от скорости вращения ротора, но знак его
меняется с изменением направления вращения. Поэтому Л4СТ,
представляющий собой нелинейную разрывную функцию от й,
не может быть учтен при составлении линеаризованного уравне-
ния двигателя. Его влияние должно быть учтено при рассмотре-
нии установившегося режима.

Полагая, в соответствии со сказанным, й' = 0 и Л4Ст = 0 и под-
ставляя значение Л4с = 7рЙ в исходное уравнение двигателя, бу-
дем иметь ‘

си1) = 7рЙ + се си Й,
откуда получим передаточную функцию двигателя по скорости
1

й(Р) _ се
и (р)	1 + гыР ’

'Г -г

где 1 м —---------электромеханическая постоянная времени

се Си

двигателй.

Так как К (р) = Д0дв (д), где @дв(р)—угол поворота вала
двигателя, то передаточная функция двигателя по углу

1

®дв(Р) = се

У(р) (1+1\иР)р'

Подставляя численные значения величин, получим:
„	75-10-4-7,19	’ _

Т., =--------— = 0,045 сек;

1,2
й (р) _	7,19

С'(Р) — 1 4-0,045р ’

0ДВ (Р) _	7,19

и (р)	(1 4-0,045р)р

Пример 4.4. Определение передаточной функции асинхронно-
го двухфазного двигателя с учетом момента инерции нагрузки
и внешнего скоростного трения.

Вал двигателя через редуктор с передаточным числом /р=362
связан с механизмом, момент . инерции которого /к =
= 0,0126 кГм-сек2. Внешнее скоростное трение характеризуется
моментом сопротивления, равным 0,238 кГм на 1 рад/сек скоро-
сти вращения вала нагрузки. Остальные параметры двигателя
те же, что в примере 4.3.

Момент сопротивления на валу двигателя складывается из
суммы динамического момента, обусловленного инерционностью
ротора и,нагрузки, и из момента внешнего скоростного трения.
Приводя соответствующие моменты к валу двигателя, получим

\	/р /

Подставляя значение Мс в уравнение двигателя
си1) = Мс +сеси^1,

получим после преобразований передаточную функцию двигате-
ля вместе с редуктором

Он (р) __ &ДВ ,	'

и (р)	1 + тыр
где

1

се 1р

передаточный коэффициент;

— постоянная времени;

кт = сеси— коэффициент внутреннего скоростного
трения;

—угловая скорость вала нагрузки.

Подставляя численные значения величин, будем иметь:

= —

т 7,19

= 0,167 Г‘см-;
рад/сек

7,19

362
0,288-105
3622-0,167

= 0,00856 -Р-аЭ/^—;
в

0,0126-105

3622

0,167-4

0,288-105
3622

= 0,0443 сек;

йн (р) _	0,00856

У(р) 1 + 0,0443р '

Пример 4.5. Определение передаточной функции двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением.

Параметры двигателя: постоянные двигателя по скорости и

моменту соответственно — се—0,276 --------и = 0,024 кГм[а;

рад/сек

индуктивность и сопротивление цепи якоря Ая=0,024 ен и
= 3,2 ом; маховой момент якоря двигателя СО2 = 0,00495 кГм2.

Передаточную функцию двигателя найдем из уравнений
э. д. с.

V : Р? + I + Еде
и моментов

= Л4С,
где V — напряжение, подведенное к якорю двигателя;

I — ток в якоре;

Ядв — э. д. с. якоря двигателя;
Л4вр и Мс — соответственно вращающий момент и момент со-
противления на валу двигателя.

Электродвижущая сила двигателя пропорциональна скорости
вращения якоря

Е — г 2

а вращающий момент — току якоря

^вр = I-

’ Будем считать, что двигатель нагружен только динамическим
моментом, обусловленным механической инерцией якоря, т. е.

Мс =

Подставив значение Епв, Мвр и Мс в приведенные выше урав-
нения и исключив из последних ток I, будем иметь

+ Й = —И.

Се См	Се См	Се

Умножив числитель й знаменатель коэффициента при р1 2Й в
последнем уравнении па /?я, получим передаточную функцию
двигателя по скорости

1

2 (Р) = ______Ср_____

Е(р) 737'мр2 + Тыр+1 ’
д п

где Тэ = — и Тм — —— соответственно электромагнитная и
Ея	сесм

электромеханическая постоянные времени двигателя.

Подставляя численные значения величин, получим:

т = ^024 =

3,2

,	0,00495-10®	„ г 2

= —--------= 12^6 Г см  сек2;

4-9,81

1 _	1	_ з 02 Рад!сек

се 0,276	’ в ’

Й(р) ____________3,62________

V (р) ’ 0,000456/? + 0,0608р + 1 ’

В двигателях малой и средней мощности электромагнитные
переходные процессы обычно затухают значительно быстрее
механических вследствие малой величины Тэ. Пренебрегая вели-
чиной Тэ, получим упрощенную передаточную функцию двига-
теля, часто применяющуюся при расчете систем автоматического
управления,

1

Щр) = се
^(Р) гмр + 1 ’ к
или в численном выражении
й(р) _	3,62

СЦр) ~ 0,0608р + 1

Пример 4.6. Определение передаточной функции дифферен-
цирующего трансформатора, нагруженного на обмотку управле-
ния электромашинного усилителя с поперечным полем.

Параметры трансформатора следующие: число витков, сопро-
тивление и индуктивность первичной обмотки соответственно —
от 1=420; 7?!=24 ом, Ь\ = 1,15 гн\ то же вторичной обмотки —
ш2 = 2680, /?2=720 ом, 12=47 гн; индуктивность и сопротивление
нагрузки—Гн=110 гн, 7?н=2200 ом.

Передаточную функцию дифференцирующего трансформато-
ра в данном случае удобнее определить как отношение тока на-
грузки трансформатора к напряжению на его первичной об-
мотке.

Операторные уравнения для первичной и вторичной цепей
трансформатора:

рЦ + Л + Мр 12,	(4.7)

0 = Ч- ^2^2 Ч~	(4'8)

где — напряжение на зажимах первичной обмотки;

/2 — соответственно токи в первичной и вторичной цепях
трансформатора;

М — коэффициент взаимоиндукции;

12 = Ь2 + Ьн и /?2 = /?2 + /?н.

Влияние вторичного тока на первичную цепь в дифферен-
цирующем трансформаторе обычно незначительно, поэтому по-
следним членом в уравнении (4.7) можно пренебречь.

Исключив из уравнений (4.7) и (4.8) ток Ц, получим

Л(р) ____________Мр_________

64 (р) (б1р + (б2д + /?2)
или, поделив числитель и знаменатель на /?1^2,
М
_______________________________7 Р
/д (р) _________________________^1^2____

</1(р)	(1+Т1Р)(1+Т2р)'
где

7, = -^ и т2 = ^--
/?2

При относительно небольшом рассеянии между обмотками '
трансформатора можно считать

/И2 ЦЦ и	= Л?

1-1	\и>1/

где А] — коэффициент трансформации.

Из двух последних зависимостей следует, что М—к\Ь\, после
чего передаточная функция дифференцирующего трансформа-
тора

1* (Р) ____*_____ЪтТгР_____	.

1Мр> (1 +Лр)(1 +т2Р)'	' '

Знак минус в последнем выражении не имеет практического
значения, так как направление тока /2 всегда можно изменить
на обратное, поменяв между собой зажимы первичной или вто-
ричной обмоток трансформатора.

Таким образом, дифференцирующий трансформатор может
быть представлен в виде последовательно включенных звеньев
направленного действия: одного чисто дифференцирующего и
двух апериодических с постоянными времени 7\ и Т2.

Если дифференцирующий трансформатор работает на на-‘
грузку с большим активным сопротивлением, например, на вход
лампового усилителя, то постоянная времени Т2 мала, и ею мож-
но пренебречь, положив Г2 = Э. При этом передаточная функция-

/2 (р) _. Ь1Т1Р

6Т(Р)	Т?2	1+Т1Р

т. е. дифференцирующий трансформатор может быть представ-
лен также одним чисто дифференцирующим и одним апериоди-

ческим звеном.

Численные значения параметров+ == 6,4; /?2=720+
+2200=2920 ом; Г'2 = 47 + 110 = 157гн; Тг= = 0,048 сек

„	157

И 1 Я = -----

2	2920

= 0,0538 сек подставим в формулу (4.9), тогда

/2(р) _	1	6,4-0,048р

1/1 (р)	2920 (1 +0,048р)(1 +0,0533р) ’

или

Л(Р) 0,105-10—Зр
1/м (р)	0,00258ра + 0,102р + 1
Пример 4.7. Определение передаточной функции дифферен-
цирующего трансформатора типа ТС 14ч/10, нагруженного на
активное сопротивление /?н= 113 ом.

Параметры трансформатора: число витков, сопротивление и
индуктивность первичной обмотки соответственно — <2'1 = 2620,
/?1=48 ом, 7-1 = 12,5 гн\ то же вторично^ обмотки — ьу2=1970,
/?2 = 27 ом, Ь2=1 гн-, длительно допустимый ток первичной об-
мотки— 1,4 а, длительно допустимый ток вторичной-обмотки—
1,8 а.

Обозначив,/?2 =/?2+^?н> напишем уравнения трансформатора
для первичной и вторичной цепей-

+ ПЛ + Мр12-	(4.10)

0 = к2р12 + Е'212 + Мр1Г	(4.11)

В рассматриваемом случае ток вторичной обмотки /2 может
иметь большие значения, поэтому пренебрегать членом Мр12
в уравнении (4.10), как это было сделано в примере 4.6, не сле-
дует *.

Передаточную функцию дифференцирующего трансформато--
ра определим как отношение операторных изображений вторич-
„ бМр)
ного и первичного напряжении .

Решим уравнение (4.10) относительно /] и подставим в (4.11).
Принимая во внимание, что 072 = /?н/2, после преобразований
будем иметь

ЯНМ .

=-------------------------------.	(4.12)

рНр)	м* /и б2\

---------Р + V + ~ I р +1

Считая, что рассеяние между обмотками трансформатора

мало, примем Л42 = Л1А2 и М=к\Ь\, где к\ = —--коэффициент

'	Е<1

трансформации (см. пример 4.6).

Обозначив далее а— Т- =*— и Т2 = из выражения
^1	К2

(4.12) получим

к2(р) __	ак! Т1Р

Р1(Р) -	(14-7» ’

(4.13)

где Т=7'1 + 72.

* Как будет видно в дальнейшем, сохранение члена Мр12 в случае чистс
активной нагрузки не только не усложгяе--, но даже упрощает окончатель-
ный вид передаточной функции дифференцирующего трансформатора.
Таким образом, дифференцирующий трансформатор можно
представить в виде последовательно включенных чисто диффе-
ренцирующего звена и апериодического звена с постоянной вре-
мени, равной сумме постоянных времени первичной и вторичной
цепей трансформатора.

Численные значения параметров К2 — 21 +113= 140 ом; =
= — = 0,752; 7\ = ^ = 0,26сек; Т2 = — = 0,Обсек;	а =

2620	’ 1	48	3	140

= НБ = 0’807’ 7" “ 0>26 + 0>05 = 0,31 сек подставим в формулу
(4.13), тогда

Ц2(р) =	0,807-0,752-0,23р _	0,158р

7/Др) ~~	1 +0,31р	“	1 Д-0,31р‘

Знак минус в передаточной функции дифференцирующего
трансформатора так же, как и в предыдущем примере, не имеет
практического значения, поскольку полярность выходного на-
пряжения 1^2 зависит от порядка включения обмоток трансфор-

матора.

Заметим, что если нагрузка дифференцирующего трансфор-
матора обладает индуктивностью Ьа (следовательно, полная ин-
дуктивность вторичной цепи—Ь'2 — Ь2+Ьц), то передаточная

функция трансформатора, которую в этом случае целесообразно
72 (р)

определить как отношение — * ' , будет равна передаточной
функции трех последовательных звеньев направленного дейст-
вия: чисто дифференцирующего и двух апериодических.

Действительно, повторив сделанные выше выводы, получим

М

--ГР

(Р) =51^2, .	(4,14)

(Р) Д ь' — М2 / I д \

	"I” I ~ I т7 + 1

Д Т?2	Т?2 I

которая отличается от (4.12) отсутствием множителя /?в в чис-

лителе. В знаменатель вместо входит Ь'2.

Коэффициент при члене, содержащем р2 в знаменателе, мо-
жет быть записан как

•	7-х Д — 7142 4~ Д Д

7?1 Т?2

Если теперь принять 2И2=Е17.2, то выражение (4.14) примет
вид

7г (Р) =______I , ____________Д ДР____________	(4 15)

Д(р) 7Д *	+	+ 1 ’	7
где

Т.

гт ____	.

1 н —	, 9

К

= А

’ *2

_ к>2

К»!

Можно показать, что корни р\ и р2 характеристического
уравнения

Л7нр2 + (Л + г2)р + 1 = 0

(4.16)

будут вещественными и, следовательно, знаменатель формулы
(4.15) можно записать в виде

(1 + 7» (1 + Т'р),
где
т. _ 1	т,  ____1_

г !	, г 2

Р1	Р2

Корни уравнения (4.16) будут вещественны при условии

(71 + 72)2>4Т1Гн.	(4.17)

Заменим в формуле (4.17) Ти на Т2. При этом выражение
(4.17) легко преобразуется в условие

(Л-т2)в>о,

выполняемое при любых значениях 71 и Т2. Тем более будет
удовлетворяться условие (4.17), поскольку 72>7И.
Таким образом, дифференцирующий трансформатор может
быть представлен последовательным включением чисто диффе-
ренцирующего звена и двух апериодических с постоянными вре-
мени 7]и 72 .
Пример 4.8. Определение передаточных функций пассивных

дифференцирующих контуров (рис. 4.1). Примем /?1 = 400 ком,
/?2=133 ком, С=0,1 мкф.
Рассмотрим контур, изображенный на рис. 4.1, а. Электри-
ческие процессы в контуре описываются уравнениями:

^ = ^/1 + ^24,	(4.18)

^4 = ^.	<419>

/2 == 4 + /с .	(4.20)

Определим из уравнения (4.19) тэк 1с и подставим в (4.20),
откуда получим

I =-----!---/

1	1 +К1Ср
Подставив значение Ц в выражение (4.18) и принимая во
вниманий что И2=^Г2, будем иметь

С 2 (р) __ ^2 + Я2В1 Ср	(4 21)

Разделив числитель и знаменатель формулы (4.21) на /?1 + /?2
и обозначив

к0 = ——— ; т = -?! С; Т — Лот,
получим

(р) _	+ Тр

и ар) ~ 1+Тр '

или

-2 (Р) _ г 1 + *Р
°1+Тр*

6)

С
“ -» -----------------»

Р2 2 Щ	^ । |

----0	0 ------— ё- —Я

Рис. 4.1. Пассивные дифференцирующие контуры

Из полученных выражений видно, что выходное напряжение
корректирующего контура (рис. 4.1, а) содержит составляющие,
пропорциональные входному сигналу и его первой производной.
Контур обладает запаздыванием, обусловленным наличием в
знаменателе члена Тр, причем Т<т, так как /г0< 1.

При малых значениях Т иногда пренебрегают собственным
запаздыванием контура и считают, что.

Подставляя численные значения параметров контура

к = ' 133 . = о 25, т = 400  10~3 • 0,1 = 0,04 сек-,
400 + 133

Т = 0,25  0,04 = 0,01 сек,
получим

^2 (Р) =0 »5 + °,04-

С-(Р)	’	1+0,01р'
Беги принять 7?1 = со, то получим контур, изображенный на
рис. 4.1,6, передаточную функцию которого определим из выра-
жения (4.21), поделив его-числитель и знаменатель на и по-
ложив ^1= со, р2=Р- В результате будем иметь

(р) _ ТоР

(р)	1 + Тор

т. е. передаточную функцию реального дифференцирующего зве-
на направленного действия, где Т0=РС.

Из полученного выражения видно; что выходное напряжение
контура, изображенного на рис. 4.1,6, пропорционально только
первой производной от входного напряжения.

а) пг	$)

Рис. 4.2. Пассивные интегрирующие контуры

Учитывая численные значения параметров, получим

То = 133-10—3-0,1 =0,0133сек;

Ц2(Р) =	0,0133р

С'НР) 1+0,0133р'

Пример 4.9. Определение передаточных функций пассивных
интегрирующих контуров (рис. 4.2).

Для рис. 4.2,а: примем Я1= 160 ком; 1?2=800 ком; С=5 мкф.

Ток в контуре

I = -----.	(4.22)

+ /?2 +
Ср

Выходное напряжение контура

*4(р)	+	(4.23)

\ Ср)

Исключив из уравнений (4.22) и (4.23) ток I, получим

(Р) _____	1 ~Н Ср

(р)	1 + (/?1 + /?а) Ср

(4.24)

Умножив и разделив коэффициент при р в знаменателе на
/?ь обозначим
а = Л + ^2  т==ад Л = ат.

В результате получим передаточную функцию контура

^1- = . 1 + тр ..	(4.25)

^х(р) 1+Лр

Из полученного выражения видно, что выходное напряжение
контура, обладающего запаздыванием из-за наличия в знамена-
теле члена Тур, содержит составляющие, пропорциональные
входному напряжению и его первой производной. Однако в от-
личие от дифференцирующего контура, рассмотренного в при-
мере 4.8, здесь всегда имеет место т<7\, так как а>1.

В ограниченном интервале времени можно считать Тур^>1.
В этом случае, пренебрегая единицей в знаменателе формулы
(4.25), будем иметь

Ц»(р) __ 1 , - 1

1У1(р)	« Лр ’

откуда следует, что выходное напряжение контура в ограничен-
ном интервале времени, зависящем от величины Ту, содержит
составляющие, пропорциональные входному напряжению и его
интегралу. Поэтому такой контур носит название интегрирующе-
го контура.

Подстановка численных значений параметров контура а =
= 160 + 800 = б	= 160 10-з 5 = 0 8сек т 6.0 8 = 4,8 сек дает

160

б'г(р) = 1 +0.8р
(р)	1 + 4,8р

Корректирующий контур, изображенный на рис. 4.2, б, можно
получить, приняв в рассмотренном выше контуре (рис. 4.2, с)
/?1 = 0 и Я2 = К- При этом из уравнения (4.24) получим

<72(Р) =	1

1^1 (Р)	1 + Тр

где Т=Р.С. ~

Полученное выражение представляет собой передаточную
функцию апериодического звена направленного действия с пере-
даточным коэффициентом, равным единице.

С учетом численных значений параметров контура имеем:

Т = 800-10-3-5 = 4 сек.

__ 1

(р)	1 + 4р

Пример 4.10. Определение передаточной функции пассив-
ного интегро-дифференцирующего контура (рис. 4.3).
Примем следующие значения параметров: Д1=22,8 ком-, Д2 =
=33 ком; /?з=1 Мом; /?4 = 667 ком; С]=20 мкф, С2=0,1 мкф.

Рассматриваемый контур
носит название пассивного ин-
тегро-дифференцирующего, по-
скольку содержит в себе эле-
менты как дифференцирующе-
го, так и интегрирующего кон-
туров (см. примеры 4.8 и 4.9).

Передаточная функция кон-
тура [Л. 14]

Рис. 4.3. Пассивный интегро-диффе-
ренцирующий контур

Р2(Р)

1Д(р)

_____________________(7\р 4- 1) (724р -|- 1)__________________2^^
(т'17’г4 + —- Т13Та) р2	I Т1 + Г24 + ~ (71з 4- Т’г) | Р + 1 4-

где

= ^1^1, ^24 = С2(/?2 “Ь ^1); 1	27)

Т’хз = Сг 4- Кз); Т2 = С2Р2-1

Формула (4.26) может быть представлена в виде

(Р) _	(1 4~ 71Р) (14~724Р)	22)

^1(Р) “ 0 (1 4- Та р) (14- Ть Р) ’	'

где

к —
«4-1-«3

что является более удобным при расчете систем автоматического
управления частотными методами.

Для определения входящих в формулу (4.28) значений Та и
Ть, в [Л. 14] приводятся следующие формулы при 7’а>7’ь:

где

а — ^0	4~

\	АЗ	/

₽ = ^[Л + П44-^-(Лз+ Т2)1.

I	аз

(4.29)

(4.30)

(4.31)

(4.32)
Если (как часто бывает) р2>4а, то можно считать, что

Тк^Таъ^.	(4.33)

Подставив численные значения параметров контура в выра-
жения /4.27), будем иметь:

7\ *= 22,8 КГ3  20 = 0,455 сек-,
‘	= (33-10-3 + 667-10-3)-0,1 = 0,07се/с, -

7\3 = (22,8  10~3 + 1) - 20 = 20,5 сек;

Т2 = 33 • Ю~3 -0,1 = 0,0033 сек.

Определив

вычислим а и р [по формулам (4.31) и (4.32)]:

а = 0,(5 ^0,455-0,07 + 667'™~3 .20,5-0,0033) = 0,046се№;

р = 0,6 [о,455 + 0,07 + 667(20,5+ 0,0033)^ = 8,5 сек.

Так как р2 =8,52	4а=4 • 0,046, то

Ть~~ 212^- ^0,0054 сек, Та^8,5 — °^~ ^8,5 сек.
8,5	8,5

Подставив найденные величины в (4.28), получим

У* (Р)	0 д (1 + 0Л55р) (1 + 0,07р)

17! (р)	’ (1+8,5р)(1 +0,0054р) ‘

Пример 4.11. Подбор параметров структурной схемы.

В структурной схеме (рис. 4.4, а) необходимо подобрать ве-
личины коэффициента жесткой отрицательной обратной связи
ко.с, постоянной времени Т2 и передаточного коэффициента к2
так, чтобы в динамическом отношении эта схема была эквива-
лентна колебательному звену (рис. 4.4, б), при следующих значе-
ниях параметров:^ = 7, 7\ = 0,52сек, к — 46,1——-, 6=3,29 —— ;
сек?	сек

с = 21,1 —.

сек7

Передаточная функция разомкнутой системы (рис. 4.4, а)

(1+Лр)(1+Лр)'
Передаточная функция замкнутой системы



Хв„,х (Р) _ I +ЛР

1+ТъР

X ВХ (Р)

Подставив в псследнее
преобразования получим

1 +’^(Р)

выражение значение №(р), поело

/г2

^1ЫХ (Р) ___

^ВХ (Р)

Приравнивая соответству-
ющие коэффициенты в послед-
нем выражении и в передаточ-
ной функции колебательного
звена, получим систему из
трех уравнений

' АА = А;

1 4~ к^ к^ /?р.с _

Г,Т, ~ С'

1 й2 ^о-Ь
ЛГ,

Рис. 4.4. Структурные схемы системы
с жесткой обратной связью и эквива-
лентного колебательного звена

Из третьего уравнения найдем значение постоянной времени

Т2 =---------=-------------= 0,73 сек,

Ь——	3,29—-----

,	7\	0,52

а из первого — значение передаточного коэффициента

кТ\Т2	46,1-0,52-0,73	пг

к2—	-	— —	- —  — 2,5,

«1	7

после чего из второго уравнения определим величину коэффи-
циента обратной связи

,	с?\Т2—\	21,1-0,52-0,73—1	'

рос— ——*------=---------------------- = 0,4.

кгк2	7-2,5

1 Пример 4.12. Определение передаточной функции пассивного
корректирующего контура (рис. 4.5}.

Примем следующие значения параметров:	1,8 ком- С1 =

= 20 мкф\ /?2= 1 ком-, Сг=8 мкф; /?3= 1 ком.
Рис. 4.5. Пассивный корректирующий
контур

Для схемы, приведенной на
рис. 4.5, имеем следующую си-
стему'уравнений:

И, = Л +	/ + Д3 /а, (4.34)

^/1=^,	(4.35)

С1 р

(4.36)

Л4-'С1 = Д + /С2 = /.(4.37)

Определим из уравнений (4.35) и (4.36) /С1 и /С2 и подставим
их значения в формулу (4.37), откуда будем иметь:

/ = (1 + Я3Сар)/2 и Д = -] + ^р 7

1 + сг р

Подставив найденные значения / и Л в уравнение (4.34) и
принимая во внимание, что ^2 = Кз^г, после преобразований по-
лучим

б'2 (Р)

(р)

1+111 р

— ^01

где

/?2

Л1+^?2 + #3

Т11 72зР24

(Т?2 + Яз) Т1г 4- (К1 4- /?2) Т’гз

--------------------------------Р + 1

К1 4- #2 + Кз '

(4.38)

ъ Рз

01	К1+К2 + КЗ ’

— С\ /?11 Т2-л —

Приравняв нулю знаменатель выражения (4.38), получим
характеристическое уравнение. Если оно имеет вещественные
корни Р1 и Р2, то выражение (4.38) может быть представлено

в виде	^2 (р) _ д,	1 + Л1 Р  , У Ар)	4,1 (1+Т1Р)(1+Тгр) ’	(4.39)
где	Л = - —; Та=---. Р1	Ра	(4.40)

Условие вещественности корней знаменателя формулы (4.38)
может быть записано как

Гн № + К3) + Т23 (/?1 + К2)]2 > 4Тц Т23 /?2 (/?! + /?2 + /?3).
Раскрыв скобки, будем иметь

П («2 + #з)2 + 2ТП Т23 (/?1 ₽2 + К3 +	/?3) +

+	- 4Л1 ^23 Я2 +	+ /?2 ^з) > 0-
Прибавив к левой части неравенства разность 47'117'2г/?1/?3—-
•—47’ц7’2з^1^з> равную нулю, получим условие вещественности
корней

[ТХ1 + /?3) - 72з (Я, + Я2)]2 + 4Гц > О,

которое всегда выполняется, так как входящие в него парамет-
ры контура существенно.положительные числа.

Следовательно, передаточная функция рассматриваемого,
корректирующего контура всегда может быть выражена в виде
уравнения (4.39). При этом должны выполняться условия:

р 'Р 	^2 Тц Т23

+ /?2 + Из

711 (/?а +	+ 7*23 (А?1 + <^г)

Л+^2 =

1?1 + 1?2 + Я3

(4.41)

(4.42)

которые легко получить, раскрыв знаменатель выражения (4.39)
и приравняв соответствующие коэффициенты в выражениях
(4.38) и (4.39).

Определение постоянных времени Т\ и 7г в явной форме че-
рез параметры контура, записанные в общем виде, затрудни-
тельно. Поэтому обычно прибегают к численному решению ха-
рактеристического уравнения. Подставив численные значения
параметров контура, найдем

к01 = -----?-----= 0,263;

Тп = 20-1,8-10 = 0,036 сек-, Т2й = 8-1 • 10 = 0,008 сек.

Характеристическое уравнение, согласно формуле (4.38), по-
лучит вид:

____1____0,036-0,008^ + .(1 + 00.036+ (1,8+ 1)0,008 р+ 1 =0

или

ра + 328р+ 13200 = 0.

Корни уравнения будут:

р1==—47; р2 = —281.

Постоянные времени:

Т1 =-------— = 0,0213 сек-, Т2 =

—= 0,00356 сек.

—281

Передаточная функция корректирующего контура

(р) = 0 2б3	1 +0,036р

У1(Р)	’	(1 +0,0213р)(1 +0,00356р) ’
§ 4.3. Примеры определения передаточных функций систем
 автоматического управления

 ’ Пример 4.13. Составление операторного уравнения системы
автоматического регулирования напряжения генератора посто-
янного тока.

Для системы регулирования, принципиальная схема которой
изображена на рис. 1.4, найдем операторное изображение откло-
нения регулируемой величины от заданного значения под дейст-
вием внешнего возмущения — изменяющегося тока нагрузки.

Рис. 4.6. Структурная схема системы автоматического
регулирования напряжения генератора

Параметры системы: коэффициент усиления электронного
усилителя &у] = 6,1; передаточный коэффициент ЭМУ по напря-
жению йУ2=4,1; передаточный коэффициент генератора по на-
пряжению кг =	=4; коэффициент обратной связи р =

Ув.Г	,	1^Г

= 0,4; постоянная времени цепи управляющей обмотки ЭМУ
Гу=0,008 сек; постоянная времени поперечной цепи якоря ЭМУ
7"ч=С,04 сек; постоянная времени цепи возбуждения генератора
7’в=0,4 сек; сопротивление якоря генератора /?яг=0,222 ом. Па-
раметры стабилизирующего контура: /?с=10 ком-, С—0,2 мкф\
ТУ

йо = а&о1=О,2;а = 5— (/?в и На — сопротивления обмотки воз-
буждения генератора и продольной цепи якоря ЭМУ); &01— ко-
эффициент, характеризующий положение движка на делителе
Не.

Разделим систему автоматического регулирования на звенья
направленного действия (см. пример 2.1) и, принимая во внима-
ние полученные в предыдущем параграфе передаточные функций
генератора ЭМУ и пассивного дифференцирующего контура (см.
примеры 4.1, 4.2 и 4.8), составим структурную схему системы ре-
гулирования (рис. 4.6).

/

ПО
На структурной схеме: передаточный коэффициент &У1 ха-
рактеризует общее усиление электронного усилителя и первого
каскада ЭМУ, ку2 — коэффициент усиления второго каскада
ЭМУ (очевидно, что .$У1 &У2 = ^у1 &уг)', 1=ЯсС.

Для составления операторного уравнения’системы регулиро-
вания (что равносильно определению соответствующей переда-
точной функции замкнутой системы) необходимо сначала, найти
передаточную функцию разомкнутой системы №(р). С этой
целью заменим участок прямой цепи структурной схемы, охва-
ченный местной обратной связью (см. пример 2.1) эквивалент-
ным звеном с передаточной функцией

^у!	^у2

Г1 (р) =---1±1уР—1+тчР..----------.	‘ (4.43)

, , АУ1	, ТР

1 "т-	~	-----

1 + Ту р 14- Р 1-(-тр

Обозначив ку=кугку2, после преобразования получим

Г (р)=--------------------Лу(1-+тр)------------------. (4.44)

Передаточная функция разомкнутой системы

Г(р) = Г1(р)—^— =₽.

* 4-Твр

После подстановки значения (р) и ряда преобразований

=	(4.45)

где

Л(р) = АуАг₽(! +тр);

В (р) = тТу Тг/ Тв р* + (тТу Т(} + хТу Тв + тТ,, Тв + Ту Т9 Тв)р> 4-

+ [тТу + тТ, + Ту Тд + Ту Тв + Т,. Тв + (1 + ку к0) тТв] р2 +

+ (Ту +	+ ТВ + (1 + ку к0) ;] р+ 1.

Номинальное напряжение генератора в операторной форме

Дг о М = ^(Р} ^сР (Р)-------'о »,	(4.46) '

1 4- 1У (р) р 1 4-	(р) 0	’ -

где р(р) = 1^1 (р)	.1

* “Г * в Р

— передаточная функция прямой цепи
системы.

В выражении (4/6) первый член представляет собой э. д. с.
генератора^ а второй — падение напряжения в обмотке якоря
генератора при номинальном токе нагрузки 10. При произволь-
ном значении тока нагрузки 7П изображение регулируемой ве-
личины— напряжения генератора 1/г — будет отличаться от
С7г.о за счет дополнительного падения напряжения в якоре, обус-
ловленного изменением тока нагрузки на величину А/ от своего
номинального значения:

(Р)= Мр) 6/ср (Р)------(Р)------------------Ы(Р). (4.47)

1 + Г(р)	к+и/(р)	1 + иТр)

Соответствующее отклонение напряжения генератора от но-
минального значения можно определить как разность [вычитая
уравнение (4.47) из (4.46)]

Ж (р) = 6/г.о (р) - 1/г (р)=	- Л/ (р).	(4.48)

1	+ Г (р)

Подставив значение №(р) из выражения (4.45) в (4.48),
после преобразований получим

Л6/ (р) =	4- &1 Р3 Ч~ Ьг р2 Ч~ &з р Ч~	ц щ

а0 Р1 + Щ р3 + а2 Р2 + ОзР + «4 Я'Г

где

а0 = Ь0 = ТуТ(ГТвх;

0, = ^ = Ту Тч Тв + Ту Тч х + Ту Тв х + Тд Тв т;

аз —	= ТуТд ТуТв ТуТъ Тух	ТдХ

+ (1 + ^у^о)

аз ~ Ту 4- тч + Тв (1 + ку к0 4- К) т;

ь3 = Ту 4- 7, 4- тв 4- (1 4- ку к0) х-

^4=1; с4 = 1 4" К.

V

Здесь К = кук&—коэффициент усиления системы
лирования.

Выражение (4.49) представляет собой операторное уравне-
ние- системы автоматического регулирования напряжения гене-
_ратора с нулевыми начальными условиями, разрешенное отно-
сительно регулируемой величины.

Для получения уравнения в численном виде необходимо за-
даться законом изменения возмущающего воздействия. Пусть,
например, ток нагрузки увеличивается скачком на 45 а. Тогда

Л/(р) = —.	(4.51)

р

Подставляя численные значения параметров системы в выра-
жения (4.50), будем иметь:

. ку = к'уХ к'у2 = &у1 к^ = 6,1 -4,1= 25;

(4.49)

(4.50)

регу-
К = 25-4-0,4-40; т= 10-10-3-0,2 = 0,002 «к;
о0 = 60 = 0,008-0,04-0,4-0,002 = 0,256-Ю-6 сек1;
а1=Ь1 = 0,008 • 0,04 • 0,4 + 0,008 -0,04 • 0,002 + 0,008 • 0,4 • 0,002 +

+ 0,04-0,4-0,002 = 0,167ч Ю-3 сек3-,

а2 = Ь2 = 0,008-0,04 + 0,008-0,4 + 0,04-0,4 + 0,008-0,002 +
+ 0,04-0,002+ (1 +25-0,2)0,4-0,002 = 0,0244 сек2;

а3 = 0,008 + 0,04 + 0,4 + (1 + 25  0,2 + 40) 0,002 = 0,54 сек;

= 1 + 40 = 41;

Ь3 = 0,008 + 0,04 + 0,4 + (1 + 25-0,2) 0,002 = 0,46 сек;
64=1.

Согласно формуле (4.49),

(р) _ 0,256-10~6 р4+0,167-10~~3 р3 + 0,0244р3 Ц-0,46р + 1
0,256-10-^ р4 + 0,167-10-3 р3 4-0,0244р2 + 0,54р+41

45

X.0,222——,
Р

или

(р) _	2,56-10-6 р4 + 1,67-10~3 р3 + 0,244р2 + 4,6р + 10

’ (0,256-10~ер4 + 0,167-10~3р3 + 0,0244р2 + 0,54р+41) р

Пример 4.14. Определение операторных изображений выход-
ной величины и ошибки следящей системы с асинхронным двух-
фазным двигателем при единичном входном воздействии.

Принципиальная схема следящей системы изображена на
рис. 1.6.

Параметры системы: передаточный коэффициент преобра-
зующего устройства (дифференциала вместе с потенциометром)
/гс = 1 в)град; коэффициент усиления лампового усилителя /гу—
= 64; скоростной коэффициент двигателя се = 0,35------е- ;

рад/сек
электромеханическая постоянная времени двигателя Тк==
=0,075 сек; передаточное число редуктора )р=408.

Разделим следящую систему на звенья направленного дей-
ствия (см. пример 2.2) в соответствии со структурной схемой,
изображенной на рис. 4 7, а.

Используя свойство последовательного включения звеньев
направленного действия, преобразуем структурную схему к ви-
ду, приведенному на рис. 4.7,6, где принято Б= —с ку .

се
Передаточная функция разомкнутой.системы

'7 (п\ — ®ЕЫХ (Р) _ Р

®(р)	(1 + Тир)р

Операторные изображения выходной величины и ошибки сле-
дящей системы соответственно получим, используя формулы
(2.16) и (2.17):

®вых(Р) = ------—------- Эвх(/7) = ---~------6вх(р),

Х> + (14-7ир)р вх^' . тыр* + р + Р вх^/’

Рис. 4.7. Структурная схема следящей системы с асин-
хронным двухфазным двигателем

при

©вх(0 = 1 (0= —:
р

ЭвЫХ (Р) ~ (Т^ + р + ^р '

©(// = —<1+ 1у_р1р_ евх(р>= - —*р +1—ревх(д)

Р+^+Т„.р)р В/"К ГМР2 + Р + О

или

О(р)

Гир-Н

Т^ + р+В

Подставив численные значения параметров следящей систе-
мы, будем иметь:

—.	1 •17,3-64 п_ _ , ,

Е =-------------= 25,7 1/5ЙК-

0,35-408	-

~	.	_______25,7___________

выхОЛ	(0,075р2 + р + 25,7) р ’

0(р) =-------0,075р+..1----

г075р2 + р 4-25,7
Пример 4.15. Определение операторных изображений вы-
ходной величины и ошибки следящей системы с асинхронным
двухфазным двигателем при различных входных воздействиях.

Найдем ®вых(р) и 0(р) следящей системы, рассмотренной
в примере 4.14, при входных воздействиях, изменяющихся по за-
конам: 1) линейной функции 0ВХ(/)=О/, где 0=40 град/сек-,
2)' квадратичной функции 0Вх(') = -|-^2, гДе е = 90 град/сек2',
3) синусной функции 0ВХ(О =А где 5 = 6,28 рад/сек и Л = 1.

В примере 4.14 были получены общие выражения:

- ©вых (Р) =

-----------------©вх (р),
Ткр* + р + О

©(р) =

р -р 1

Т'м Р2 + Р + Р

Р©ВХ (Р)-

При линейной входной функции имеем:

А I \

НВЫХ(Р1 (Гмр2+р+О)р'^'

е (р) =:—. . 23.

7\,р2 + р + О р

или в численном виде:

0	.	25,7-40	________1030________

мвых (Р) - (0 075ра+р+ 25>7) р2 — (0,075р® + р + 25,7) р2

И

, 0,075о + 1	40	Зр-р40

0 (п) = -------:--------- . - -	--------------------

0,075р2 + р 4- 25,7 р (0,075р2-|-р + 25,7)р

При квадратичной входной функции 0вх(р)= — имеем:
рз

.д , . _ ______Ре_______

вь,х(Р'-(гмр2 + р + р)р’ ’

„ . . Тм р + 1 е

.	® (Р) =---!!2СГ-------,

Тар^р + О Г'

или в численном виде:

%ых (Р) — (0 075р8 + р + 25>7) р8 (0,075ра + р + 25,7) рз

И

_	0,075р + I_____ 90 =	6,75р + 9С

“ 0,075р2 + р + 25,7 ’ р’ (0,075ра4- р + 25,7)ра *
При синусной входной функции, которая в операторном виде
запишется так:

\ ЛЬ

0ВХ (р)=--------,

имеем:

®ВЫХ (р)

<Э(Р) =

АОЬ

(Л,р2+р+В)(р2 + 62)’
7'., Р ~Ь 1 АрР___

р2 + р + о р2 + ь2

или в численном виде:

®ВЫХ (р)

1-25,7-6,28

(0,075р2 + Р + 25,7)(р2+6,282)

161

(0,075р2 + р + 25,7) (р2 + б,282) ’

Ьр-6,28
р2 + 6,282

0(р)»—°'°75'’+|_________

0,075р2-)-р+25,7

0,471р24-6,28р

(0,075р2 + р + 25,7) (р2 + 6,282)

Пример 4.16. Определение передаточных функций по вы-
ходной величине и ошибке следящей системы с асинхронным
двухфазным двигателем и жесткой отрицательной обратной
связью по скорости (рис. 1.8).

Примем следующие значения параметров системы: скорост-
ной коэффициент двигателя се = 0,22-— ' ; коэффициент усиле-
рад/сек

ния усилителя &у=1100, передаточное число редуктора /р=312;
передаточный коэффициент потенциометрического преобразую-
щего устройства йс = 1,6 в/град', коэффициент жесткой обратной
связи йо = О,О11; электромеханическая постоянная времени дви-
гателя Ум=0,1 сек.

Составим структурную схему следящей системы (рис. 4.8).
На схеме передаточный коэффициент звена местной обратной

ям™’

ВС(Р)
ВНР/

"у
ив(Р)

1^МР

ВбыАР)

&оСе]р

,, .	--------Я1ЫХ(Р)

“*1Р> ..

Рис. 4.8. Структурная схема следящей системы с асинхрон-
ным двухфазным двигателем и жесткой обратной связью
по скорости
связи, осуществляемой в следящей системе при помощи тахоге-
нератора, представлен произведением /госе/Р. Наличие в послед-
нем множителя /р вызвано тем, что для простоты изображения
на структурной схеме не выделено звено, соответствующее меха-
ническому редуктору. Так как се — скоростной, коэффициент ис-
полнительного двигателя, то безразмерный коэффициент й0 ха-
рактеризует соотношение между скоростью вращения ротора ис-
полнительного двигателя и э. д. с. тахогенератора, наводимой
в управляющей обмотке (это соотношение может быть различ-
ным как по причине разных конструктивных данных машин, так
и вследствие применения специальных устройств, например пе-
ременного сопротивления в обмотке возбуждения тахогенерато-
ра или делителя напряжения в цепи местной обратной связи, не
показанных на рис. 1.8). Целесообразность такого обозначения
передаточного коэффициента звена местной обратной связи за-
ключается в упрощении передаточной функции и уравнений сле-
дящей системы..

Выделим на структурной схеме следящей системы участок
прямой цепи, охваченный жесткой обратной связью по скорости,
который можно представить одним эквивалентным звеном с пе-
редаточной функцией

1

, Сг/Р

Г? у	~	1

(р) = —1±1цр_ =---------с_е12----.

1	Ты р -р 1 -р ку к0

1-рйу _Р косе]р •

Тогда передаточная функция разомкнутой системы

(ТКР+ 1+кук0)р
где

__ к? ку
се / р

Применяя формулы (2.16) и (2.17), получим соответственно
передаточные функции следящей системы для выходной величи-
ны и ошибки:

®ВЫХ (Р)__Р ___________________  Р

6вх(р) 7Ч-(7М р-Р1+*у /г0) р 7мр2 + (1 + Руй0)р + Г

6(Р) (7мр + 1 +ЛуД0)р гмР2 + (1+ауМр

^вх(Р) 7> + (Гмр + 1 +кука)р 7мр2 + (1 +АуА0)р + Г> '

После подстановки численных величин получим

1,6.57.3-1100

0,22-312	сен ’
евь1х (р)	1470 =	1470.

®вНР) 0,1р2+(1 + 1100-0,0П)р+ 1470	0,1р2-|-13,1р+ 1470 ’

е;р} =	о,1р2 + (1 + ноо-0,011) р = одр2 + 1з,1р

Овх»- 0,1р2 + (1 +1100-0,0'1)р+ 1470 ~ 0,1р2+13,1р+1470’

Пример 1.17. Определение операторных изображений вы-
ходной величины и ошибки следящей системы с корректирую-
щим контуром переменного тока при линейном входном сигнале.

Найдем @ВЫх(р) и О(р) для следящей системы (рис. 1.12)
при линейно изменяющемся входном сигнале @ВХ(/)=П/, где
П = Зб град!сек.

Рис. 4.9. Структурная схема следящей системы с коррек-
тирующим контуром переменного тока

Параметры следящей системы: передаточный коэффициент
сельсинного преобразующего устройства /гс=1 в/град; скорост-
ной коэффициент двигателя се=Э,32—-—; элек^ромеханиче-
рад/сек

ская постоянная времени двигателя Тм=0,07 сек; передаточное
число редуктора /р=276; коэффициент усиления лампового уси-
лителя йу= 11 500.

Передаточная функция Т-образного корректирующего конту-
ра по отношению к сигналу ошибки (огибающей несущей часто-
ты системы) приближенно может быть записана [Л. 14] в виде

(1 + Гкр),

Сг(р)
где кк=0,015; 7'к=0,04 сек.

Структурная схема следящей системы будет иметь вид, изо-
браженный на рис. 4.9. При этом передаточная функция послед-
него звена направленного действия объединяет в себе переда-
точную функцию исполнительного двигателя по скорости и ин-
тегрирующее звено, вследствие чего в знаменателе присутствует
множитель р.

Обозначив

Р)—~	к'*

се /р

запишем передаточную функцию разомкнутой системы

1 (1+Тыр)р
Воспользовавшись формулами (2.16) и (2.17), получим соот-

ветственно ошибки:	операторные изображения выходной величины и  ©вых (Р) =	+7’кр)—2(р) =  О (1 + 7’к р) + (1 + 7\р) р в"  = 			0вх(р);  7'м₽2 + (Г + О7к)р + Р  0 (р) =	(1. + 7^Р)Р	@вх (р) =  Р(1+Гкр) + (1+7мр)р  Ты р -(- 1	„ , .  = 	— 	Р©пх (Р).  7мр2 + (1 + РГк)р + О

Подставив в последние выражения изображение входной
функции

-	©вх(Р)= 4’ р2
получим:	©вых(Р) = 	+ Р		Е-  ТмРг + (1+ОТк)р + О р*’  © (р) =	Г^+-	5-.  7мР2 + (1+Г7к)р|-о	р

Подставив численные значения параметров системы, будем
иметь:

/7= 1-57,3-0,015-11 500 = ц2 1 .
0,32-276	сек '

@	.	। 112-0,04р + 112______ . 35 _

вых(Р) — 0>07р2_|_(1 +112.0,04) р+112 ' р2 —

_	157р + 3920__________

.“ (0,07рг + 5,48р+ 112) р2 ’

с, .	0,07р+ 1	35	2,45р+35

0,07ра + (1 + 112-0,04)р-Ь 112 р (0,07ра4-5,48р+1.2)р

Пример 4.18. Определение операторного изображений от-
клонения регулируемой величины в системе автоматического ре-
гулирования скорости двигателя постоянного тока с тиратрон-
ным усилителем при изменении нагрузки.

Принципиальная схема системы регулирования изображена
на рис. 1.14.

Параметры системы регулирования: динамический коэффи-
циент усиления лампы рДШ1=50; общий коэффициент усиле-
ния по напряжению от управляющей сетки лампы Л2 до зажи*
мов якоря двигателя &у=700; скоростной коэффициент двигате-
ля се=1,59-— ; передаточный коэффициент тахогенератора

с делителем напряжения П2 /гтг=0,955---------; электромеханиче-

рад/сек

ская постоянная времени двигателя Гм=0,22 сек; сопротивление
в сеточной цепи лампы Л\ /?с = 100 ком; емкость конденсатора
между анодом и сеткой Л\ С, = 6 мкф; коэффициент внутреннего
скоростного трения в двигателе, определяемый наклоном его ме-
ханической характеристики, &т = 0,406--------.Момент нагрузки

рад/сек

на валу двигателя изменяется скачком от 0 до 8,5 кГм.

Рис. 4.10. Активное корректирующее
звено

Л\ С контуром ЯсСх. Входной

При составлении структур-
ной схемы можно различным
образом произвести разделе-
ние системы на звенья направ-
ленного действия.

Из принципиальной схемы
(рис. 1.14) видно, что напряже-
ние усиливаемое лампой
Л.2, зависит как от входного
сигнала системы П3—По.с, так
и от сигнала местной обратной
связи в лампе Л}, вырабаты-
ваемого с помощью цепочки
ВсС\. Поэтому целесообразно
выделить в качестве первого
звена направленного действия
активное корректирующее зве-
но, образованное пентодом
величиной этого звена будем

считать разность Пвх(р) = П3(р)—^о.с(р), а выходной — напря-
жение на сетках 67г(р) (сетки ламп Л\ и Л2 включены парал-
лельно).

Поскольку усилительный каскад на лампе Л2, фазо-сдвигаю-
щий мост (триод Л2 и конденсатор С2) и тиратрэнный усилитель
мощности можно считать практически безынерционными, то их
удобно объединить в одно усилительное безынерционное звено
с передаточным коэффициентом ку.

Следующим звеном направленного действия будем считать
двигатель с передаточной функцией

1
п' (р' _ се
Ур.(р) 1+Тыр
где п'(р) — скорость вращения при отсутствии нагрузки;

С/Д(р) — напряжение на зажимах двигателя..
Цепь обратной связи будет представлять собой безынерцион-
ное звено с передаточным коэффициентом /гтг, который удобно
записать в виде произведения косе. При заданных значениях па-
раметров системы

Для определения передаточной функции корректирующего
звена рассмотрим отдельно его схему, изображенную упрощенно

Рис. 4.11. Структурная схема системы автоматиче-
ского регулирования скорости двигателя

на рис. 4.10. Считая входные сопротивления пентодов Л{ и Л2
бесконечно большими, будем иметь:

Свх(р) —(р) = С^(р)—Са(р) = у	(4 эд

1

СуР

~ Идин Ц, (Р)>	(4.53)

где

И
Р-дин —	„	>

р — статический коэффициент усиления лампы Л^

Исключив из уравнений (4.52) и (4.53) Ца(р)> получим

, .‘т ^вх (Р).	(4.54)

1+?кР

здесь Тк=(1 + |1дИн) КсСх — эквивалентная постоянная времени
корректирующего звена, передаточная функция которого, как
видно из формулы (4.54), соответствует апериодическому звену
с передаточным коэффициентом, равным единице.

Структурная схема системы автоматического регулирования
скорости двигателя будет иметь вид, изображенный на рис. 4.11.
Передаточная функция разомкнутой системы

1

Г (р) =----’--ь __Д----к с

1+ткР у 1+тмР 0 е'
или

Г= 7.4,7 -УлЗ-г.......1 ’	(4-55)

С1 +™кР)(1 + ГиР)

где К = кук0— коэффициент усиления системы регулирования.

Из структурной схемы и выражения (4,55) видно, что рас-
сматриваемая система является статической системой регулиро-
вания, так дак не содержит интегрирующих звеньев.

Поскольку требуется определить лишь отклонение регулиру-
емой величины от заданного значения под действием скачкооб-
разного изменения момента нагрузки от .0 до постоянной вели-
чины М, то за начало отсчета можно принять скорость холостого
хода двигателя и рассматривать операторное уравнение с нуле-
выми начальными условиями. Для этого нужно положить П3(р) =
= 0, псслс чего операторное изображение отклонения регулируе-
мой величины может быть найдено по формуле (2.9):

Ап (р) — ---.

1 + V (₽)

Подставив в последнее выражение значение №(р) из урав-
нения (4.55), после преобразования получим

А / \	4” (ТК 7 Л,) Р "Т 1 е А Л/Т	IЛ

Ап (р) — ————— ——	---ЗД М,	(4.56)

^7'мр2 + (7’к + 7ы)р-Ь1+Л-

где Г =-----коэффициент нагрузки, характеризующий падение

кт

скорости двигателя с увеличением момента на
валу.

Так как с увеличением момента нагрузки скорость двигателя
уменьшается, то ?<0. Следовательно,

Е = _^=_2.46-Еф^.

0,406	кГм

Отклонение скорости на величину

Ап (р) = п0 (р) — п (р)
соответствует приращению момента

Ш (р) = М0{р} — М (р)„.

где п0 и Мо— значения скорости и момента в режиме холостого
хода двигателя.
Так как

Мо(р) = О,

то

&М(р) = — М(р).

При скачкообразном изменении момента от Э до М

М(р) и ДЛ1 (р) = —— .
Р	Р

Из уравнения (4.56) имеем

л > \	Тк Т’м Р2 + (Гк + Р + 1 г

Дп .р) =-----———— —- —  ---------,

Гк Та р + (Тк + Гы) р +1+ Л) р

(4.57)

Подставив численные значения параметров, получим:

К = 700 0.6 = 420; Тк = (1 + 50) 100- Ю^-6 = 30.6 сек-.

г )== _	30,6-0,22р2 + (30,6 + 0,22) Р + 1 _Г 2 46 — 8 5

'Р [30,6-0,22р2-}-(30,6 + 0,22) р + 1-р 420]р \	л / ’

Окончательно

дп 'п) = »346ра + 6160р + 200
(6,73р2 + 30,8р + 421) р

Пример 4.19. Определение операторного изображения регу-
лируемой величины системы автоматического регулирования
скорости двигателя постоянного тока при изменении задающего
воздействия.

Пусть в системе регулирования, рассмотренной в примере
4.18, задающее напряжение изменяется скачком при /=0 от С до
<73.о=110 в и момент нагрузки на валу двигателя отсутствует
(двигатель разгоняется вхолостую).

В соответствии с условиями задачи, примем на структурной
схеме (рис. 4.11) Л4(р)=0, тогда

п(р) = л'(р).

Передаточная функция разомкнутой системы определяется
тем же выражением, что и в предыдущем примере.

Считая, что до включения задающего напряжения система
находилась в покое, т. е. принимая нулевые начальные условия,
запишем изображение скорости вращения двигателя

1

1+Ткр ку 1+ТмР
Н-^(р)

п(р) =

<4 (Л

зо

* Множитель — в последнем выражении добавлен для того, чтобы из-

рад/сек об/мин

менять размерность д-----;---- на-----;— .

М	м
или

П (Р) = ---------—-------------(₽)•

ТкТкР + (Тк + Та)р+\+К

Подставив численные значения параметров системы, будем
иметь

 К = 420; Тк = 30,6 сек-, 6/3(р) = —;
Р

700

30,6-22р2 +(30,6+ 0,22) р +1 +420 ’ р

____________463 000________

“ (6,73р2 + 30,8р + 421) р '

Пример 4.20. Определение передаточных функций для вы-
ходной величины и ошибки следящей системы профилешлифо-
вального станка с полупроводниковым усилителем (рис. 1.16).

Примем следующие значения параметров системы: переда-
точный коэффициент преобразующего устройства (дифференци-
ала и ВТ) /гс = 3,6 в/град; передаточные коэффициенты по на-
пряжению каскада усиления переменного тока и фазочувстви-
тельного каскада полупроводникового усилителя1 соответственно
/?У1=32,6 и Ру2=4,35; общий передаточный коэффициент по на-
пряжению оконечного каскада полупроводникового усилителя и
ЭМУ йуз = 9,9;	скоростной коэффициент двигателя се=

=0,435—-—; передаточное число редуктора /р=233; постоян-
рад/сек

ная времени поперечной цепи якоря ЭМУ 7г/ = 0,02 сек; электро-
механическая и электромагнитная постоянные времени двигате-
ля (с учетом приведенного момента инерции механизма) соот-
ветственно Тм ?= 0,03 сек и 7., = 0,018 сек-, коэффициент жесткой
обратной связи по скорости вращения выходной оси /гос =
= 3,63—-—выходное сопротивление фазочувствительного кас-
рад!сек

када /?Вых2=2 ком-, входное сопротивление оконечного каскада
полупроводникового усилителя ^вхз=6,6 ком. Параметры стаби-
лизирующих связей (рис. 1,16): /?8 = 20 ком; С] = 1 мкф; /?)2 =
= 980 ом, /?1з=1,56 ком; Въ = К'ъ + В.'\=\ ком; = мкф; С3 =
= 32 мкф.

Степень компенсации электромашинного усилителя, изменя-
емая с помощью переменного сопротивления /?15, подбирается
таким образом, чтобы можно было скомпенсировать не только
продольную реакцию якоря, но и падение напряжения в обмот-
ке якоря ЭМУ, т. е. внешняя характеристика ЭМУ близка к го-
ризонтальной прямой.
При составлении структурной схемы следящей системы при-
мем разделение последней на звенья направленного действия,
произведенное в примере 2.8 (см. рис. 2.14). В этом случае сле-
дует предварительно определить передаточные функции: элект-
ромашинного усилителя совместно с оконечным каскадом полу-
проводникового усилителя 1^у(р), дцигателя с редуктором
М7д(р), последовательного корректирующего звена Ж;(р) и па-
раллельного корректирующего звена (гибкой обратной связи)

20(р), после чего только можно
будет составить структурную
схему и определить искомые пе-
редаточные функции системы.

Пренебрегая постоянной вре-
мени цепи управляющих обмо-
ток ЭМУ, напишем передаточ-
ную функцию ЭМУ совместно с
оконечным каскадом полупро-
водникового усилителя:

^у(Р) = Т-^.

1+ячр

Так как в условии задачи даны
ромагнитная постоянные времени
функция последнего (см. пример

( )= _2_тд(р). = _

Д	Еэ (р)

Рис. 4.12. Последовательное кор-
ректирующее звено

электромеханическая и элект-
двигателя, то передаточная
4.5) совместно с редуктором

1

-----^2--------.	(4.58)

Гэ7\,р2 + Тмр+1	к ’

Последовательное корректирующее звено представляет собой
пассивный дифференцирующий контур, подобный рассмотрен-
ному в примере 4.8 (рис. 4.1, а); однако малое входное сопротив-
ление оконечного каскада /?вхз вынуждает учитывать выходное
сопротивление фазочувствительного каскада /?вых2, вследствие
чего передаточная функция корректирующего звена будет не-
сколько иной. При ее определении рассмотрим схему, изобра-
женную на рис. 4.12, для которой справедливы уравнения

^2 (Р) = (^ЫХ2 + ^вх з) 1 (Р) + #8 71 (Р);	.

К84(р)=^-;

С1Р

/(Р) = /1(Р)+4(Р)-

Исключив из этих уравнений Л(р) и /2(р) и приняв во вни-
мание, ЧТО 1/у2 (р) =/?вхз/(р), получим

^У2 № __	/р\ _ _______ЯВХ.З (1 + Яд	р) _

П',2 (р)	^ВЫХ 2 + Яя + Явх з + (Явых г + Явх з) Яв р ’
или, поделив числитель и знаменатель на сумму Двых2+^?8+Двхз,
будем иметь

(4.59)
1+'оР

где

а = -------.  т = сх;

Рвых а + Ра + Явхз

п _1_ р	(4.59)

То = Вт; 8 = __5вЫхг + ^вхз . .

'	Рвых 2 4“ Ра ~Ь РвхЗ

Параллельное корректирующее звено с передаточной функ-
цией 20(р) имеет точно такую же структуру, что и корректирую-
щий контур, рассмотренный в примере 4.12 (рис. 4.5). В соответ-
ствии с выражением (4.39)

20 (р) =	= к01-------Щк----------.

ЕЭ(Р)	(1+Г1Р)(1 +Г2р)

(4.60)

За входную величину звена 20(р) принято изображение э.д.с.
якоря ЭЛ1У Еа(р), что вполне оправдано в связи с надлежащей
компенсацией ЭМУ (см. пример 2.8).

Для того чтобы при расчете величин, входящих в выражение
(4.60), можно было использовать формулы, полученные в при-
мере (4.12), необходимо принять Д1 = ДГз; /?2 = Д?121 Дз=Дз; С1 =
= С3; 7'ц = 7'з,

+ Р12 +

Дз — Дц — С3 ДХз;

Даз = СаД5.

(4.61)

Ддя определения постоянных времени Т\ и Т2, как указыва-
лось в примере 4.12, рекомендуется найти в численной форме
корни знаменателя выражения (4.38), после чего и Т2 легко
получить из уравнения (4.40).

Передаточный коэффициент звена жесткой обратной связи
^о.с = ^0	/р»

откуда безразмерный множитель

^0 —

^о.с
се/р

3,63

0,435-233

= 0,0358.

Структурная схема следящей системы профилешлифовально-
го станка примет вид, изображенный на рис. 4.13,
Заменяя последовательно участки прямей цепи системы, ох-
ваченные местными обратными связями, эквивалентными звень-
ями (см. пример 2.8', после преобразований получим передаточ-
ную функцию разомкнутой системы

=	(4.62)

0(р)	5(р)

где

А (р) = Ьор3 +	+ Ь2р + 63;	(4.63)

В (р) = сор7 + Сгрй + С# + с3р4 + с$р3 + Сар2 + Свр; (4.64)

Ьо = ОгТ\Т2, Ь±—О (т7\ + т7'а + Т\Т2)- |

й2 = П(т + л + ^); ь3 = о- /

Рис. 4.13. Структурная схема следящей системы профилешлифо-
вальноТо сталка с передаточными функциями звеньев

Г О — ' О1 5 ' 1 '2'э ' и,

С1 = т0 тд Л т2 т„ + т0 тч л Тэ Ты + Т0ТдТ2ТаТм +
+ То Т, Т2 Т„ Тэ + тч 7\ т2 тэ ты-,

С2 = т, т\ т2 + т0 тч т\ гм + т0 т; т2 тм +1; л т2 +

-ь	Т2 Ты + То гс Т3 Тм + То Т, Тэ Тм + Т, Т2 Тэ Ти 4-

+ Тг7\ Тм 4- л, Г2тэ Тм 4- т,Т2 Т5 Ты 4-

4- ойу2 Ауд ^01 '.Тз Тэ Тк‘,

с3 = То Тч Тг 4- то т9 Т2 4- То л Т2 4- 7\ Т2 4-

4 То Гд7к + Т071Ты + Т1]Т1Тм + Т0Т2Тм + Тв72Тм +
+ Л'/ а 7 « + ?0 г Ты 4- Та Ты 4- 7\ 7 Э 7М 4- Л Тэ Ти 4-
4“ а^у2 ^01 (’ ^3 Т’м "Г 7] э Тк 4- тз Та 7\ ') 4"
4-АуаА0т7,17’2;
с, ^тетд + тотг + ТдТ\ + Т0Т2 + тчт2 + Т\Т2 +

+ ТОТМ + ТдТы + 7\ты + Т2ТМ + ТаТк +

+ аку2 ку3 к01 (тТ3 + тТм + Т3 Ти + Ть Ти) +

+ ику кд (тТ! 4- \Т2 + 7\ Т2);

сз = То + Тч + Тг + Т2 + Т„ аку2 ку3 к01 (т + Т3 4- Ты) +

4- &ку к0 (г + Тг 4-

с3 ~ 1 Ч- о.ку2 ку3 кд-± 4~ ику к3;

“ ^у1 ку2 ку3;

I) = к( куй —— .
Сс 7р

(4-67)

На основании формул (2.16) и (2.17) можем написать соот-
ветственно передаточные функции следящей системы для выход-
ной величины и ошибки:

®ВЫХ (Р)  Л (р) ________________

®ВХ (Р) Л (Р) 4" В (р)
________________Ьо р3 + Р~ 4~ ^2 Р 4~ к3_______________ .
Со р7 + Щ р6 + а2 р5 + аз р4 4- а& р3 + а6 р2 + а6 р + а7

6(Р) = В(Р) _

®вх (Р) А (р) + В (р)

с0 Р7 -р С1 Р6 -р с2 Р5 -р с3 Р4 4~ с4 Р3 С 5 р2 -р С6 р_

а0 Р7 -р Щ Р6 + а2 р5 + аз р4 + а4 Р3 + а5 Р2 + аъ р-}-а7

«о = Со,

а* =	+ с4,

с1г о.2 — с2, а3 — с3,

п5 = &1 4~	= к2 4* с6, п7 = Ь3 = О.

(4.68)

(4.69)

(4.70)

Перейдем к определению передаточных функций в числен-
ном виде. Для этого, нужно предварительно найти ряд величин,
не заданных непосредственно в условии задачи.

Определяем параметры последовательного корректирующего
звена И7К(/4- Из выражения (4.59) следует:

а =------’6 - = 0,23; т = 20 • 10~3  1 = 0,02 сек;

2 + 20 4-6,6

и = 2±6’6 . = 0,3; То = 0,3• 0,02 = 0,006 сек.

г 2 + 20 + 6,6

Для нахождения постоянных времени Л и Т2 звена гибкой
обратной связи вычислим по формулам (4.61) ка, Т3 и Т23:

А01 =-----------------= 0,282;

1,56 + 980-10~3+1

Т3 = Ти = 32-1,56- Ю-3 = 0,05 сек;

Т^з = 7 ’ 1  16-3 = 0,007 сек;
после чего найдем корни характеристического уравнения, кото-
рое получим, приравнивая нулю знаменатель формулы (4,38):

-----------------0,05-0,007р2 +

1,564-980-10~3+1

д (980-10~3 4- 1) 0,054- (1,56 4- 980-10~3)-0,007 р । = р

1.56 4-980 -10—3 4-1

или

р2 4- 341р 4- 10 320 = 0,

откуда

р1 = — 33,5 и р2 = — 307,5.

Постоянные времени звена гибкой обратной связи:

Т-, —---—!— = 0,03 сек и То —--------1— = 0,00326 сек.

1	—33,5	2	-307,5

Из уравнений (4.67) имеем:

= 32,6-4,35-9,9 — 1400;

П = 3,6-57,3-1400-0,23----------= 658 —.

0,435-233 сек

Подставив полученные величины в выражения (4.62) — (4.66),
определим численные значения коэффициентов передаточной
функции разомкнутой системы

где

А (р) = 12,9- 10~4р3 + 2,4р2 + 34,9р + 658;

В(р) = 6,37 • 10~12р7 + 38,7- 10-10р6 + 231 • 10~8р5 4-

+ 269- 10-6р4 + 164-10~4р3 + 55,9-10~2р2 4- 15,4р.

Передаточные функции следящей системы соответственно
для выходной величины и ошибки после подсчета коэффици-
ентов:

®вых (р)   71 (р) #

0вх(р) “ Н(р) ’
е(р)  В(р)
©вх(р) Н(р)
где

Н (р) = А (р) + В (р) = 6,37  Ю"12 р7 4- 38,7 • 10~10 р6 +
4-231-10_8р5 4- 269-10-ср4+ 177-10-4р3 4-

4- 296  10~2 р2 4- 50,Зр 4- 658.
Пример 4.?1,. Определение передаточных функций для вы-
ходной величины и ошибки следящей системы копировально-
фрезерного станка 6441А завода им. Я. М. Свердлова (рис. 1.18).

Параметры системы: передаточный коэффициент копироваль-
ного прибора /гс= 10 в/лои; коэффициент усиления первого кас-
када лампового усилителя йУ1=9,6; общий коэффициент усиле-
ния по напряжению оконечного каскада лампового усилителя и
ЭМУ Лу2=1СЭ; постоянная времени поперечной цепи якоря ЭМУ
Уд = 0,032 сек; электромеханическая постоянная времени двига-
теля 7’м=0,11 сек; скоростной коэффициент двигателя се=1—-—;
рад/ сек.
передаточное число редуктора вместе с ходовым винтом /р=
= 26,2 .рад/мм; передаточный коэффициент дифференцирующе-
го звена &д=0,573 сек; передаточный коэффициент интегрирую-
щего звена йи=1,22 1/сек; передаточный коэффициент стабили-
зирующего контура в цепи гибкой обратной связи к0=0,081;
постоянная времени стабилизирующего контура То=О,2 сек; со-
противление цепи якоря ЭМУ /?я.э=5,5 ом; сопротивление цепи
якоря двигателя /?я.д= 1,4 ом.

Разделение следящей системы копировально-фрезерного
станка 6441А на звенья направленного действия в общем виде
было сделано в примере 2.9 (рис. 2.15).

Копировальный прибор и первый каскад лампового, усили-
теля считаем безынерционными звеньями направленного дейст-
вия с передаточными коэффициентами соответственно кс и йу1.

Передаточная функция активного корректирующего звена,
вырабатывающего дополнительные сигналы управления, про-
порциональные первой производной и интегралу от ошибки по
времени (см. описание следящей системы в примере 1.8),

^к(Р) = 1 + М +АИ-^ = ^р2 + р+^.. .
р	р

Передаточная функция ЭМУ совместно с оконечным каска-
дом лампового усилителя,

^^“ТТМ-

Передаточная функция звена, объединяющего двигатель и
продольную цепь якоря ЭМУ

Гл(р)= -Се’р...

д 1 + ?ыР

Выходная величина последнего звена — скорость перемеще-
ния фрезы КБЬ;х(р) преобразуется в выходную величину систе-
мы— перемещение фрезы 5вых(р'; с помощью интегрирующего
„ , „1
звена с передаточной функцией -—- .

Р
Местная обратная связь в следящей системе осуществляется
с помощью стабилизирующего /?С-контура (аналогичного изо-
браженному на рис. 4.1, а), передаточная функция которого (см.
пример 4.8)

® а

На вход этого контура подается напряжение якоря ЭМУ I
отличающееся от э. д. с. Еэ на величину падения напряжения
якоре ЭМУ, т. е. на

где / — ток в цепи якорей ЭМУ и двигателя.

Пренебрегая статическим моментом нагрузки, получим

см I (р) = Л1ДВ = 7рЙдв (р),ч

где Л4ДВ — вращающий момент двигателя;

Пдв — угловая скорость вращения;

У — момент инерции двигателя с учетом приведенной
массы поступательно движущихся звеньев кинема-
тической цепи системы (суппорта);

см — передаточный коэффициент двигателя по моменту.

Так как

^дв " /р^вых»

ТО

/(р)= ^рГвнх(р),

С,у

(р) = Еэ (р) -	рУвЬК(р).

см

Умножив числитель и знаменатель коэффициента при
рУвых(р) в последнем выражении на Кясе, где /?я=/?я.э+Еа.д, по-
лучим

V* (Р) = Еэ (р) -	се /р Тм рУвых (р),

Дя

ггу У/?я

где I „ = —------электромеханическая постоянная времени

се см

двигателя.

Следовательно, передаточная функция звена обратной связи,
обозначенная на структурной схеме рис. 2.15,а через 202(р), бу-
дет

^02(Р) = -~±^/р7,мР-

•Кя
С учетом сказанного структурную схему следящей системы
копировально-фрезерного станка 6441А можно изобразить в ви-
де, представленном на рис. 4.14, а,

Преобразуем полученную структурную схему. Для этого пе-
ренесем начало цепи обратной связи с передаточным коэффи-
циентом, равным единице, со входа на выход звена с передаточ-
ной функцией №д(р)- При этом, чтобы не изменить эффект, вно-
симый связью, нужно включить в ее цепь звено с передаточной
функцией

1	 1+ГмР

^д(р)	1

се /р

Рис. 4.14. Структурная схема следящей системы копировально-фрезерного
- станка 6441А с передаточными функциями звеньев

Образовавшиеся две параллельные связи с передаточными
функциями —-— и 202(р) на основании выражения (2.4) заме-
на д	«

ним одним звеном с передаточной функцией, равной алгебраи-
ческой сумме

- 202 (р) =	Се ] Ты р = се /р (1 + уТы р),

•Кд (р)	•	Кя /

се /р
где
/?Я.Л
у = .---------------------------- .

Яя ’

после чего структурная схема примет вид, изображенный на
рис. 4.14, б.

Для определения передаточной функции разомкнутой систе-
мы заменим участок прямой цепи системы, охваченный местной
обратной связью (рис. 4.14,6), эквивалентным звеном с пере-
даточной функцией

се /р

(1 4- Тд р) (1 ф Тм р) (1 ф Тор) ф Ру2 (к0 ф Тор) (1 + уТ’мР)

Передаточная функция разомкнутой системы
^(р) = МУЛ(р)ад-Ц

или, раскрывая №К(р) и Кф(р), будем иметь

де, / ч =	6оР3 + &1Р2 + Ь2р + Ь3	__ А(р)

(СоР* ф С!Ра + с2р ф Сз) ра в (р)
где

= -ПАд То'

&2 = О(1 фЛ„Т0);

63 = ки О',

С0=ТдТ„Т0-

Ъ = Тд Тм + Тд То ф (1 + ку2 у) Тм То;

са = Тд ф Та + (1 + ку2) То -ф ку2 к0 уТы-
с8=1+ку2к0; В=к^кУ\

Се!р

Используя формулы (2.16) и (2.17), получим соответственно
передаточные функции следящей системы для выходной величи-
ны и ошибки:

5Вых (р) _ А (р)	_ЬоР3 + Ь1Р2 -|- Ь2р + Ьз___________

5ВХ(Р) Л(р)4-Й(р) а0р5 + О1Р4 + а2р3 + азР3 + ЩР + «5
Й(р) __ В(Р) _ СоР3 + С!Р2 + с2р + с3
8вх(р) А(р) + В(р) й0р5 + а1Р1 + а2Р3-|-сзРа + а4р + а5
где

и2 = Ь8 ф- с2, С13 — ф- с3,	— Ь2, и.^ = 63.
Подставив численные значения параметров системы, будем
иметь:

п 10-9,6-100

“	1-26,2

1,4

у = -----------

5,5 + 1,4

= 366 —;
сек

= 0,203;

Ьо = 366 -0,573  0,2 = 42;

Ъг = 366- (0,573 + 0,2) = 284;

Ь2 = 366(1 + 1,22-0,2) = 457;

/?3 = 1,22-366 = 448;

с0 = 0,032  0,11 • 0,2 = 0,000704;

С1 = 0,032-0,11 + 0,032-0,2+ (1 + 100-0,203)-0,11-0,2 = 0,478;
с2 = 0,032 + 0,11 +(1 + 100)-0,2+ 100-0,081 • 0,203-0,11 = 21;
с3 = 1 + 100-0,081 = 9,1;

а„ = с0 = 0,000704;

= С1 = 0/78;

а2= 42 + 21 = 63;

о3 = 284 + 9,1 ^293;

= 62 = 457;

а5 = Ь3 = 448.

Подставив численные значения коэффициентов в полученные
выше выражения, будем иметь:

передаточную функцию разомкнутой системы
уу (р) =	+ 284р2 + 4Б7р + 448	•

(0,000704Д’ + 0,478+ + 21 р + 9,1) р2 ’
передаточную функцию следящей системы для выходной вели-
чины

5вых(р) = ___________42р3 -|-	& + 457р + 448__________.

5вх (р)	0,000704р5 + 0,478+ + 63рз + 293р2 + 457р + 448 ’

передаточную функцию следящей системы для ошибки

6(р)  __________0,000704++ 0,478р2 + 21р + 9,1_____ 2

Зы (Р) ~ 0,000704р5 _|_ 0,478р4 + 63рз + 293р2 + 457р + 448 Р '
Глава V. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УНГ/ ВЛЕНИЯ

§ 5.1. Виды частотных характеристик, применяемых при анализе
и синтезе систем автоматического управления

Частотные характеристики получили исключительно широ-
кое использование при анализе и синтезе систем автоматическо-
го управления.

Выражения для частотных характеристик отдельных звеньев
и системы легко могут быть получены из соответствующих пе-
редаточных функций, написанных в операторной форме, путем
замены оператора р на /и.

Физически частотная характеристика замкнутой или разомк-
нутой системы имеет место при подаче на вход системы гармо-
нического воздействия при изменении его частоты от нуля до
бесконечности и сохранении постоянной амплитуды входного
сигнала на всем диапазоне изменения частот. Подобного же
рода частотная характеристика свойственна и отдельным звень-
ям системы. Очевидно, что при экспериментальном получении
подобной характеристики диапазон изменения частоты входного
гармонического воздействия ограничен определенными техни-
ческими возможностями того или иного устройства для подачи
гармонических воздействий.

При подаче на вход линейной системы автоматического уп-
равления гармонического воздействия

= Хвх тях 5!п а>1

характеристика отработки системы по окончании переходного
процесса будет также представлять собой периодическую функ-
цию вида

^вих ~ -^вых.тах	(й)	ф)«

отличающуюся от входной функции по амплитуде и по фазе,
но имеющую ту же частоту, что и входная функция. При этом
система будет находиться в режиме вынужденных колебаний^
Отношение

Хвых-гпах е/«=<“)= ф(ум)

-^вх-тах

представляет собой комплексную частотную функцию, которая
называется комплексным коэффициентом усиления системы.

Таким образом, при подаче на вход системы гармонического
сигнала, установившаяся гармоническая величина на выходе
определяется произведением входной функции на комплексную
частотную функцию, которая может быть непосредственно по-
лучена из передаточной функции, т. е.

^вых = -^вх Ф (/®) •

Выражение для Ф(/ю) может быть разделено на вещест-
венную и мнимую части:

ф (/и) = р (и) + Щ (со) = А (го) е' ф(ю\

где Р(ю), Л (со), <р(го)—полиномы от со.

При определенном значении со комплексная частотная функ-
ция Ф(/со) представляет собой вектор на плоскости комплекс-
ного переменного и характеризуется амплитудой А и фазой ср.

При изменении частоты со амплитуда и фаза векторов Ф(>го)
будут изменяться, а их конец будет описывать на плоскости
комплексного переменного кривую (геометрическое место кон-
цов векторов частотной функции), представляющую собой ам-
плитудно фсзовую характеристику замкнутой системы.

Очевидно, что при изменении частоты будут изменяться так-
же и величины Р, (^, А и ср, что позволяет построить частотные
характеристики и для этих величин. Соответственно имеются:

Р(го)— вещественная частотная характеристика замкнутой
системы;

ф(го) — мнимая частотная характеристика замкнутой си-
стемы;

А(ю) — амплитудная частотная характеристика замкнутой
системы;

<р3(ю) — фазовая частотная характеристика замкнутой си-
стемы.

Соотношения между характеристиками определяются выра-
жениями:

А («) = ]/р2 (го) + <22 (го); <р3 (го) = агс{§ ;

Р (и) = А3 (го) соз ф3 (го); <2 (го) = А3 (го) 81 п <р3 (го).

Для получения частотных характеристик эксперименталь-
ным путем для каждого значения частоты определяют ампли-
туду гармонического воздействия, амплитуду выходной вели-
чины, а также фазовый сдвиг между обеими амплитудами.

Кривые зависимости отношения амплитуд и фазового сдви-
га от частоты воздействующей величины и являются амплитуд-
ной и фазовой частотными характеристиками. По этим харак-
теристикам могут быть построены и другие характеристики:
амплитудно-фазовая, вещественная и др. Подобные характери-
стики могут быть получены как для замкнутой системы, так и
для разомкнутой, а также для отдельных звеньев системы.

Частотные характеристики разомкнутой системы обычно
обозначают:

— амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой си-
стемы (а. ф. х.);

С'(ю)— вещественная частотная характеристика разомкнутой
системы;

Н(ю) — мнимая частотная характеристика разомкнутой си-
стемы;

Л(«>) — амплитудная частотная характеристика разомкнутой
системы;

<р(ш) — фазовая частотная характеристика разомкнутой си-
стемы.

Соотношения между этими характеристиками определяются
выражениями, аналогичными выражениям для замкнутых си-
стем.

Кроме амплитудно-фазовой характеристики, на плоскости
комплексного переменного может быть построена также и так
называемая характеристическая кривая, или кривая Михай-
лова, получаемая в результате формальной замены в характе-
ристическом уравнении замкнутой системы оператора р на /и.
Выражение для этой характеристики может быть написано как

У7 (/о) = х(и) + ]'у (и),

где х(ю) и у(со)—соответственно ее вещественная и мнимая со-
ставляющие.

Ценность использования частотных характеристик заключа-
ется в том, что они позволяют косвенно, т. е. без решения диф-
ференциального уравнения системы, судить о поведении пос-
ледней в отношении устойчивости и ряда показателей качества,
а также определять и рассчитывать средства коррекции системы
для получения заданных динамических показателей.

Наибольшее использование получили характеристики разом-
кнутой системы благодаря их наглядности и простоте построе-
ния. В особенности это следует отметить относительно логариф-
мических частотных характеристик (амплитудной и фазовой),
позволяющих производить синтез системы наиболее простым
образом.
Для расчета кривой переходного процесса удобно использо-
вание вещественной частотной характеристики замкнутой си-
стемы,

§ 5.2. Примеры построения амплитудных
и фазовых частотных характеристик
в вещественной и комплексной плоскостях

Пример 5.1. Построение амплитудно-частотной, фазо-частот-
ной и амплитудно-фазовой характеристик апериодического
звена.

Примем передаточный коэффициент /г=! и постоянную вре
мени 7=2,5 и 0,5 сек.

Передаточная функция апериодического звена

Г(р) = —------.

1+Гр

Заменяя р на /со, получим соответственно выражения для
амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик:

Л(И)= —;

У 1 + со2 72

Ф (со) = аг§ [1^ (/со)] — — агс!§ соТ.

Подставив числовые значения Т, вычислим А (со) и ф(со).
Результаты вычислений представлены в табл. 5.1, по которой
построены кривые А (со) и ф(со) (рис. 5.1, а и б).

Таблица ;>. 1

Т ~ 2,5 сек			Т = 0»5 сек		
<0	Л(<о)	<р(ш)	ш	Л(<»)	Ф(ю)
0,5	0,622	—51 °6'	1	0,895	—26°36'
1	0,372	—68°24'	2	0,708	
1,5	0,258	—75°6'	3	0,554	—56°!8'
2	0,195	—78°48'	5	0.3’2	—68° 12'
2,5	0,158	—81°	7	0.279	—74°
3	0,127	—82°6'	10	0,196	—78°42'
20	0,02	—86°30	50	0,04	—87°48'

Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена
(рис. 5.1, в) представляет собой расположенную в четвертом
квадранте полуокружность с диаметром, равным отрезку к и
координатами центра на вещественной оси ; /0^ .

Пример 5.2, Построение амплитудно-частотной, фазо-частот-
ной и амплитудно-фазовой характеристик двух последователь-
но включенных апериодических звеньев.
Постояннные времени: 1^0,05 сек и Г. = 0,12 сек; общий
передаточный коэффициент ^ = й, = Й2=1.

Передаточная функция системы из двух апериодических
звеньев

Рис. 5.2. Частотные характеристики
последовательных апериодических
звеньев:

а — амплитудная; б — фазовая; в — ампли-
тудно-фазовая

Рис. 5.1. Частотные характеристики
апериодического звена:

а — амплитудные: б — фазовые; в — ампли-
тудно-фазовые

Подставив р=/со, имеем:

Л (СО) = | Г (/СО) | = -	;..../	. - - =

V (1+7? о?) (1+7? о/2)

_______________1_____________ .

’ Л(1 +0,052ы2)(1 + 0,122 со2)

ф (со) = аг§ [И7 (/со)] = — (агс!§ Тг со + агс(§ Т2 со) =

= — (агс(§ 0,05 со'+ агс(р 0,12 со).

Задаваясь различными значениями со, находим Л (со), ф(со)
и 1У(/со). Результаты вычислений сведены в табл. 5.2, по кото-
рой построены частотные характеристики Л (со), ф(со) и 1^(/со) =
= П(со)+/У(со) (рис. 5.2).
Таблица 5.2

ад	Д(о>)	ф(ш)	ад	А(а>)	ф(т)
1	0,99	—10°	20	0,272	—112°30'
2	0,968	—19°	50	0,061	—148°30'
5	0,83	—45°	0	1	0
10	0,572	—76°30'			

Пример 5.3. Построение амплитудно-частотной, фазо-частот-
ной и амплитудно-фазовой характеристик следящей системы
с асинхронным двухфазным двигателем.

Примем параметры следящей системы, рассмотренной в при-
мере 4.14. Структурная схема системы приведена на рис. 4.7.

Заменяя в выражении для передаточной функции разомкну-
той системы р на /со, имеем

0 <“) + = А еМШ> ’

/со (1 +/сотм)

где

,	огм	25,7-0,975	1,93

и (ш) = —-------у— —-------------------=---------------------;

1_р72(02	1+О,О752со2	1+5,63-Ю-3 со2

со + Г2 со3	ы-|-5,63-10~3 со3

А (со) = | Г (/со) [ = ]Л/2(со) +У2(ю)';

, ,	2.	V (<°)	4.	1

Ч> (со) = агс(§ = агс!§ —— .
о (со)	Тмсо

Подставляя различные значения и, рассчитываем Л (со),
ф(со) и 1Г(/со). Результаты вычислений представлены в табл. 5.3.
Частотные характеристики построены на рис. 5.3.

Таблица 5.3

Ш	С/(ш)	их®)	Д(ш)	ф(ш)
0	—1,93		 ОО	ОО	— 90°
1	— 1,92	—25,6	25,6	— 94,5°
2	—1,88	—12,55	12,7	— 98,5°
5	— 1,65	— 4,51	4,8	—110,5°
10	—1 24	— 1,65	2,06	— 128°
20	—0,595	— 0,1665	0,62	— 158°
50	—0,0129	— 0,0193	0,0232	—165°
Пример 5.4. Построение амплитудно-фазовой характеристи-
ки следящей системы с корректирующим контуром переменного

тока.

Параметры следящей системы указаны в примере 4.17.

Структурная система приведена на рис. 4.9.

Подставляя в выражение для передаточной функции разомк-

нутой системы р=](й, по-
лучаем

И? (/и) = Р(1 + /Гк-ю)- =
/со(1+/ГмМ)

= [7(ы) + /У(Ч

Рис. 5.4. Амплитудно-
фазовая характери-
стика следящей систе-
мы с корректирую-
щим контуром пере-
менного тока

Рис. 5.3. Частотные характеристики
следящей системы:

а — амплитудная; 6 — фазовая; в — ампли-
тудно-фазовая

где

и и = -	_______3-36- .. •

1 И2	1 +0,072 И2

у (со) = _ Д(ТКТМ 0)2+1) =	0,314 0)2 + П2

«(1+Г2ю2)	0)(1 +0,072 И2) •

Задаваясь различными со и вычисляя {/(со), У(ы), строим
амплитудно-фазовую характеристику системы.

Результаты вычислений представлены в табл. 5.4, по которой
построена кривая на рис. 5.4.

Пример 5.5. Построение амплитудно-фазовой характеристи-
ки системы автоматического регулирования скорости двигателя
постоянного тока.	*
Таблица 5.4

ю	С/(«)	У(ш)
1	—3,34	—112
2	—3,3	—55,5
5	—2,99	— 21,3
10	—2,25	— 9,63
20	— 1,135	— 4,02
50	—0,254	— 1,35
100	—0,067	— 0,65

Структурная схема системы приведена на рис. 4.11. Числен-
ные значения параметров приведены в примере 4.18.

Подставляя в выражение для передаточной функции систе-
мы р=]ы, имеем

К7 (/ со) =--------1—_____ = _р уу

1 + Мо + (Тк + Тм) - Тк Тм ш2
где

(1 -р к у ко — ТКТ м со-)

(У (ю) = -----—------------------------;

[1 + кук0 - Т,,ТМ соМЧ- со2 (Гк+ ТКР

Ш

—(7^-р Тм) со

V (со) =-------------.

11 + куко-ТК1\. со2Р+ со2 (Тк ч- Тыу

Подставляя численные значения параметров системы, полу-
чим

Щ<о) =

440(421 —6,73 со2)
(421 — 6,73 со2)2 + со2- 30.82

V (со) - —

440-30,8 со

(421 — 6,73 со2)-(-со2-30.83

Задавая ряд значений со, вычисляем (7(со) и У(со). Резуль-

таты вычислений сведены в
табл. 5.5, на основании которой
строим кривую амплитудно-фазо-
вой характеристики (рис. 5.5).

Таблица 5.5

ы		У(ш)
0	1,045	0
2	1,09	—0,17
5	1,27	—С ,772
10	—0,702	—0,855
20	—С, 18	—0,049
50	—0,025	~0

Рис. 5.5. Амплитудно-фазо-
вая характеристика системы
автоматического регулиро-
вания скорости двигателя
Пример 5.6. Построение амплитудно-фазовой характеристи-
ки следящей системы с асинхронным двухфазным двигателем и
жесткой обратной связью по скорости.

Структурная схема системы изображена на рис. 4.8. Числен-
ные значения параметров системы I риведены в примере 4.16.

Подставляя в выражение для передаточной функции разом-
кнутой системы /7=/о), получим

Г (/и) =---------------------= V (и) + /V (ю),

— Тм со2 4-/<м (1 + кукй)

где

со2?2+(]+Аул0)2

_________1470-0,1

0,12ы2+(1-|-1100-0,011)2’

Рис. 5.6. Амплитудно-фа-
зовая характеристика
следящей системы с же-
сткой обратной связью
по скорости

У (ц)) __ Д (1 -}- ку ко)	_

«НГм + (1 +*УЧ2|
1470(1 + 1100-0,011)
— (о[0,12 <о2+(1-р1100-0,011)2| ’

Таблица 56

о»		!/(.,>)
0	—0,858		ОО
2	—0,857	—55,7
5	—0,855	—22 2
10	—0,852	—Н,2
20	—0,838	- 5,6
50	—0,748	— 2
100	—0,543	— 0,725

Задавая

ряд значений а>, вычисляем I/ (со) и У(а>). Резуль-

тэты вычислений сведены в табл. 5.6, по которой построена ам-
плитудно-фазовая характеристика (рис. 5.6).

Пример 5.7. Построение амплитудно-фазовой характеристи-
ки следящей системы с пассивным дифференцирующим кон-
туром.

Структурная схема системы приведена на рис. 5.7, а.

Параметры системы: &с = 28 в]рад-, /гу= 1158; ге=0,18——-;

рад/сек

/р=400, Т’м=0,04 сек; а = 0,333; т=0,01 сек.

Передаточная функция системы



Му —д— (а + тр)
се /р,

Р (а + т р)

Р (1 + т р) (1 + Ты Р) Р (1 + Тр) (1+7мр^
где

се)р

После подстановки р=]'а> получим

Г (/со) -

О (а / сот)
/<о() +/ сот) (1 + /со7’м)

Рис. 5.7. Следящая система с пассивным диф-
ференцирующим контуром

Комплексную частотную функцию можно представить в виде
произведения:

Ж (/ Щ) =	(/и) 172 (/со) Ж3 (/со) 174 (/со).

Принимая во внимание численные значения параметров си-
стемы, можно записать

(/со) = — = -/ — = 4 (со) е/с₽,(ш),
/(О	й)

1Ка (/со) = а + / сот = 0,333 + / 0,01 со = Д (со) е'ч’г(ш),

№3 (/и) =------------ =------------= А3е'^ ,

зи 1 + / сот 1-Н 0,01 со

1К4(/со) = ----------=--------'----= Де'^” .

1 +1 со Ты 1+0,04со
Используя правило умножения комплексных величин (моду-
ли перемножаются, а аргументы складываются), получим чис-
ленные значения № (/со).

Вычисления сведены в табл. 5.7, по данным которой пост-

Рис. 5.8 Следящая система с гибкой обратной
связью, охватывающей безынерционный усилитель

Таблица 5.7

со	Л	^8	А,	А,	о  Ч>1	<₽2	<р°	о  Ч>4	4 ПА1 С=1	4 , 2 «=1
1	450	0,333	I	1	—90°	1°45'	—40'	—2°20'	150	—91°15'
5	90	0,334	1	0,945	—90°	8°30'	—2°50'	—11°20'	28,2	—95°40'
10	45	0,3347	0,995	0,929	—9'3°	16°45'	—5°45'	—21°45'	13,9	—100°45'
12	37,5	0,351	0,992	0,907	—90°	19°50'	—5°55'	—28°37'	11,85	—105°42'
15	30	0,364	0,99	0,857	—90°	24°15'	—8°3‘2'	—31°	9,18	106°
20	22,5	0,3886	0,98	0,781	—90°	31°	—11°20'	—38°40'	6,68	109°
25	18	0,4165	0,97	0,707	—90°	37°	—14° 12'	—45°	5,14	112°12'
30	15	0,447	0,958	0,683	—90°	42°	—16°45'	—50°12'	4,38	114°45'
40	11,25	0,519	0,929	0,5967	—93°	50°12'	—21°50'	—58°	3,22	119°40'
50	9	0,6	0,895	0,448	—90°	56°20'	—26°35'	—63,25'	2,16	124°
60	7,5	0,6863	0,86	0,385	—90°	60°55'	—31°	—67°20'	1,705	128°20'
70	6,4	0,7752	0,819	0,337	_9)°	64°30'	—35°	—70°20'	1,365	130°40'
80	5,625	0,866	0,781	0,299	—УО°	67°22*	—38°40'	—72°40’	1,13	134°
100	4,5	1,051	0,707	0,243	—90°	71°35'	—45°	—75°55'	0,815	139°20'

Пример 5.8. Построение амплитудно-фазовой характеристи-
ки следящей системы с гибкой обратной связью, охватывающей
безынерционный усилитель.

Структурная схема системы приведена на рис. 5.8, а.

Система имеет следующие параметры: /гс=18 в!рад\ йУ1 = 60,

&у2=Ю, се = 0,2 -------, /р=360, &о=О,8, 70=0,01 сек, Тк=

рад/сек

= 0,06 сек.
Передаточная функция системы

У7(р) =--------Щ1+Тор)----------

Р(1+7’мР) [1 + 7’0(1 -р ^у?Ло)Р1
где

Д _ куукуэ
се /р >"
Заменяя р на /со, подучим

В7 (/®) =---:------^1+-Го/ю)----------= У(а) + /V (и).

/со (1 + /7\ СО) [1 + То (1 + йу2 ки) I со]

Подставляя численные значения параметров и разделяя
мнимую и вещественную части, получим

и (М) = .________21+0;0081 юг______•

'0,0225 со2-р (1 — 0,0054 со2)2 ’
,	0,225 со2 + 150(1 —0,0054 со2)

со [0,0225 со2 (1 — 0054 со2)2]

Задавая ряд значений со, вычислим функции II(со) и V (<•>)•
Результаты расчетов сведены в табл. 5.8.

Таблица 5.8	Таблица 5.9

<о	€/(<»)	И(и)	СП		С(ш)
0	—21		ОО	0	— 118,3			_ ^0
2	—20	—70,5	2	—4,83	—1,73
5	—16,2	—23,4	3	—2,23	—0,806
10	— 8,85	— 3,72	5	—0,855	—0,367
20	— 2.34	— 0,4	10	—0,270	—0,158
50	— 0,194	0,124	20	—0,146	—0,0475
100	— 0,034	0,013	50	-0,92-10—5	-2,3-10—3

Амплитудно-фазовая характеристика следящей системы с
гибкой обратной связью приведена на рис. 5.8, б.

Пример 5.9. Построение амплитудно-фазовой характеристи-
ки следящей системы с гибкой обратной связью.

Структурная схема системы представлена на рис. 5.9, а и
имеет следующие значения параметров:

кс — 0,87 в]град, Тд = 0,12 сек, 1\. = 0,25 сек,

к = Ю0, се = 0,0106-----------; /’ = 165,

грао]сек *

к0 = 0,2, 70 = 0,1 сек.
Передаточная функция системы



__________ Д (1 + Тор)	
р + ра[7'д + 7’м + 7'о(1 +	*о)1 +

где

+ (7’97’м + ГмГ0 + Г?7’0)р3^7’97м7’0р« ’

кску 0,87-100	о 1

----— =-------------- — 4У,о--------.

се/р 0,0106-165	сек.

Рис. 5.9. Следящая система с гибкой обратной
связью

Подставляя р=/со и численные значения параметров, полу-
чим

В (/со)

где

А (/а) = О (И- }Т0 й) = 49,8 (1 + / 0,1 й);

В(/(о) = /и — и2 [Т9 + т„ + т0(1 +Ауад —
- / й8 (Т9 тк + ти т0 + тч То) + тч Т№ То Й4 =
= / и — и2 [0,12 + 0,25 + 0,1 (1 + 100-0,2)] —

— /й8 (0,12-0,25 + 0,25-0,1 + 0,12-0,1) + 0,12-0,25 0,1 оД
После преобразований

IV' (/ ю)  --.—49,8(1+/0,1 ю)--------'

/со —2,47 со2 —/0,067й3 + 0,003 со*
Разделяя мнимую и вещественную части, имеем:

г, _ — 49,8 (2,47 — 0,003 ы2) + 4,98 (1 — 0,067 со2) .

со2 (2,47 — 0,003 со2)2 + (1 —0,067 со2)2

у ._______49,8 со2 (2,47 — 0,003 со2) + 4,98 (1—0,067 со2)

со [со2 (2,47 — 0,003 со2)2+(1 — 0,067 со2)2]

Задавая ряд значений со, подсчитываем {7(со) и У(со). Ре-
зультаты расчетов сведены в табл. 5.9, на основании которой

а)



1 - 1&е/р

®1ыг(Р)

^;МмР)

ВВых(Р!

Рис. 5.10. Следящая система с гибкой и жесткой
обратными связями по скорости

построена кривая амплитудно-фазовой характеристики, пред-
ставленная на рис. 5.9, б.

Пример 5.10. Построение амплитудно-фазовой характеристи-
ки следящей системы с гибкой и жесткой обратными связями
по скорости.

Структурная схема системы представлена на рис. 5.10, а.

Параметры системы: йс = 0,87 в! град; 7'9=0,1 сек;

Тм— 0,5 сек; сс= 0,0103------; /‘ = 245;	= 20;

град/сек

а = 0,25; т = 0,01 сек; /е0 = 0,1.

Передаточная функция системы

«7(р)=
где

Л (р) = Ас к„ —-— (1 + т р);

Се1р

В(р) = (1 + кукоа)р + [Тд + Тм + т(1 + ку 60)] р2 +
+ {Тд Т,й + Тд т + Ти т) р3 +'Т? ТК г р\

Подставив р=/ю, получим

^ (/«)=^4,-

В(/и)

где

Л(/М) = А!СА!У—(1 + /т®) = 0,87-20 ——1—(1 + /0,01®);

Ср ]р	О, (Л Оо • 4 10

В (/®) = (1 + ку к0 а) / м — [Тд + Т№ + (1 + ку к0) т] ®2 —
- (Т9Тм + Тд т + Ти т) / и3 + Т9 ТК т®4 = (1 + 20-0,1-0,25) /® -
— [0,1 +0,5 +(1 + 20-0,1)-0,01] ®2 —

— (0,1 -0,5 + 0,1-0,01 + 0,01-0,5) /и3 + 0,1-0,5-0,01 ®4.

После преобразований

№(/») =

___________4,63(1 + /0,01 ы)__________
/<о — 0,42 и2 — ) 0,0374 ш3 + 0,000333 со* '

Разделяя мнимую и вещественную части, получим:

.	4,63(—0,42 + 3,33-10—4 <й2) + 0,0463 (1—0,0374 со2)

у (®) --------------------------------------------------;

со2 (— 0,42 + 3,33 • 10~4 со2)2 + (1 — 0,0374 и2)2

V (®) =

—4,63(1 — 0,0374 со2)+ 0,0463 со2 (—0,42 + 3,33-10~4 со2)
и [и2 (— 0,42 + 3,33-10~4 со2)2+ (1 — 0,037 о2)2]

Подставляя различные зна- чения ®, вычислим V (ю) и У(м). Результаты расчетов сведены в табл. 5.10, по кото- рой построена амплитудно-фа- зовая характеристика, пред- ставленная на рис. 5.10,6.  Пример 5.11. Построение амплитудно-фазовой характе- ристики следящей системы с		Таблица 5.10	
	СО	{/(«>)	
	0  1  2  5  10	—1,905 —1,73 —1,33 —0,45 —0,085		ОО  —4,07  —1,41  —0,0365  0,0465

дифференцирующим и интегрирующим контурами в основной
цепи и с гибкой обратной связью по скорости.

Структурная схема системы представлена на рис. 5.11, а.
Параметры системы: йс = 0,87 в/град; /гл=0,1 сек;

к№ = 1 — ; /?у = 100; се = 0,00818 ---------; > = 220;

сек	град/сек р

Ло = 0,2; Ту = 0,15 сек-, Тм = 0,3 сек; То = 0,01 и 0,05 сек.

Передаточная функция системы

кс ку —— (1 -р Т\,р) (1 + клр + ки —

I?7 (р) =----------------'------------------------Р_/___________

р+Им+Ту+ТУИ + Мо)1 Р2 + (ГвТм+ ТдТ0+7\,Т0)рз+ Т9ТКТ^ '

Рис. 5.11. Следящая система с дифференцирующим
и интегрирующим звеньями и гибкой обратной связью
по скорости

Подставляя р = /м, получим

№(/®) =

О[*и-(*д + 70>21 +

- со2 4- (7в Тм + ТдТо ТЫТЪ) -

—1~ / со Л? (1 -р к„То — с>- каТо)

- /<о3 [7\, 4- Тч + Го (1 + ку к0)-^ Тч Т№ ТУ] ’

где

__ кс ку

се /р

Подставляя численные значения параметров системы, по-
лучим: при 7'о=0,01 сек

В (]<й)
где

А(/со) = 48,3 [I — (0,1 + 0,01)со2] + /+-48,3(1 + 1-0,01 —
—	0,1 -0,01) = 48,3 — 5,32со2 + /со-48,3(1,01 —0,001 со2),

В(/а>) = — со2 + (0,15-0,3 + 0,15-0,01 + 0,3-0,01)со4 —
— /со3 [0,3+ 0,15+ 0,01(1 + 100-0,2)—ш2-0,15-0,3-0,01] =
= — со2 + 0,0495 со4 — /со3 (0,66 — 4,5-10~4 со2);

при То = 0,05 сек	-	,

где

В (/со)

Л (/со) = 48,3 [1 —(0,1 +0,05) со2] + /со-48,3 (1,0 + 1,0 -0,05 —

— со2-0,1-0,05) = 48,3 —7,25 со2 + /со-48,3(1,05 —0,005 со2);

В (/со) = — со2 + (0,15  0,3 + 0,15  0,05 + 0,3 • 0,05) со4 —

— /со3 [0,3+ 0,15+ 0,05(1 + 100-0,2)—0,15-0,3-0,05со2] =

= — со2 + 0,054 со4 — / со8 (0,765 — 6,75  10~4 со2).

Разделяя мнимые и вещественные части, вычисляем их для
разных значений со. Результаты расчетов сведены в табл. 5.11,
по которой построены соответствующие амплитудно-фазовые ха-
рактеристики (рис. 5.11,6).

Таблица 5.11

То — 0,01 сек			То == 0,05 сек		
ш	С/(ш)	И(<»)		С/(го)	У(го)
3	—7,6	—2,12	5	— 1,3	—0.613
5		з	—0,323	7	—0,684	—0,48
7	— 1,63	—0,45	10	—0,373	—0,364
10	—0,863	—0,231	15	—0,227	—0,257
20	—0,251	—0,05	20	—0,193	—0,17^
50	—0,053	—0,001	40	—0,08	—0,016
100	—.	—	100	—	—

§ 5.3. Примеры построения логарифм чезких
частотных характеристик

Пример 5.12. Построение логарифмических частотных харак-
теристик апериодического звена.

Передаточный коэффициент звена Л=1; постоянная времени
Т=0,5 и 2,5 сек.

Передаточная функция апериодического звена
Сопрягающие частоты:
при Г=0,5 сек

юх =	= 2 сек~г [0,3 дек[;

при Т = 2,5 сек

ы2 = —— = 0,4 сек~г [— 0,4 дек].

2,5

а]

Цы),
дб‘
20

Рис. 5.12. Логарифмические частотные
характеристики апериодического зве-
на:

а — амплитудная; б — фазовая

Строим асимптотические (приближенные) логарифмические
амплитудные характеристики, проводя из точек оц и о>2 полу-
прямые с наклоном — 20
дб/дек.

Фазовую частотную харак-
теристику строим в логариф-
мическом масштабе частоты
по формуле

<р = — агс!§ Та

или с помощью шаблона. Ча-
стотные характеристики изоб-
ражены на рис. 5.12.

Пример 5.13. Построение
логарифмических частотных
характеристик двух последо-
вательно включенных аперио-
дических звеньев.

Постоянные времени: Тх =
= 0,01 сек и Гг = 0,22 сек-, об-
щий передаточный коэффици-
ент /г=/г]/г2 = 32.

Передаточная функция системы

" 'и; — .. , ~г,, . ~ \ •
(1 + Т\р) (1 + Т2р)

В численном выражении

Г (р) =--------~.

(1 + 0,01 р) (1 + 0,22р) -

Логарифмическая амплитудная характеристика (л. а. х.) си-
стемы 1(оз) будет равна сумме двух составляющих Ь1(<о) и
7-2(оз);- поднятой на 20 \%кдб по оси ординат, причем:

11(ю) = 201е| ,- * ,I;

[ 1 +0,01 /и |

(ы) = 201§

1

1 +0,22/а
Приближенная л. а. х. строится при помощи сопрягающих
частот:

со, == —— = —-— = 100 сек~1 [2 дек];

1	7\	0,01	1

©2 = — = —-1— = 4,56 сек~140,658 дек].

7*2	0 * 22

До точки ©2 = 0,658 дек л. а. х. идет параллельно оси абсцисс
на высоте 20 1^ 32 = 20-1,505 = 30,1 дб.

В интервале ©]>®>т2 (от 0,658 до 2 дек) л-а. х. представ-
ляет собой прямую с наклоном — 20 дб)дек, а при ©>о>| (боль-
ше 2 дек) с наклоном — 40 дб/дек.

Фазовая частотная характеристика системы <р(со) будет
определяться суммой двух составляющих <р1(и) и <р2(и)> Рас"
считываемых по формулам:

<Р1(ь>) =—агс1§7\со = —агс!^О,О1со;

«р2 (и) = — агс1§ 7^2© = — агс!^ 0,22 ох

Логарифмические частотные характеристики системы пост-
роены на рис. 5.13.

Пример 5.М. Построение логарифмических частотных харак-
теристик следящей системы с асинхронным двухфазным двига-
телем.

Структурная схема системы приведена на рис. 4.7. Значения
параметров системы указаны в примере 4.14.

Рис. 5.13. Логарифмические частотные
характеристики двух последователь-
ных апериодических звеньев:
а — амплитудная; б — фазовая

Рис. 5.14. Логарифмические частотные
характеристики следящей системы с
асинхронным двухфазным двигате-
лем:
Передаточная функция разомкнутой системы

1

1Г(р) = кс ку ---------- =-----.

У 1+7\р Р (1+0,075р)р

Добротность системы

Ц, = Кш рУР (р) = кс ку -А- = 57,3  64	=

р->-0	се]р	408-0,35

= 25,7 сек~х [28,2

Сопрягающая частота

й>! = — = —= 13,3 сек~х [1,125 дек].

Т№ 0,075	1

Логарифмическая амплитудная характеристика при а><(01
идет с наклоном — 20 дб)дек, а при и><»1 — с наклоном
—40 дб/дек.

Фазовая частотная характеристика представляет собой фа-
зовую характеристику апериодического звена, смещенную на
90° вниз по оси ординат за счет влияния интегрирующего звена
(вызывает постоянный сдвиг фазы на —90°).

Характеристики представлены на рис. 5.14.

Пример 5.15. Построение логарифмических частотных харак-
теристик следящей системы с последовательным корректирую-
щим контуром.

Структурная схема системы приведена на рис. 4.9. Числен-
ные значения параметров системы указаны в примере 4.17.

Передаточная функция разомкнутой системы

1

1

- (1+ткр)	Ц2(1-р0,04р)

{\-\-Ткр)р	(Ц-0,07р)р

Добротность системы

Ц, = Нт р™ (р) = 112 сек~х [41 55] 4

р-*-0

Сопрягающие частоты

ш. = — =	= 14,3 сек~х [1,156 дек\;

7"1	0,07	1

и» = —— ='—!— = 25 сек~х [1,398	.

2	7\	0,04
Наклон л. а. х. при
<о<И1 составляет —20
дб/дек, при И1<и<
<и2 — —40 дб/дек-,
ври И><02 — —20
дб/дек.

Амплитудная и фа-
зовая частотные ха-
рактеристики следя-
щей системы построе-
ны на рис. 5.15.

Пример 5.16. Пост-
роение логарифмиче-
ских частотных харак-
теристик системы авто-
матического регулиро-
вания скорости двига-
теля постоянного тока.

Рис. 5.15. Логарифмические частотные харак-
теристики следящей системы с последователь-
ным корректирующим контуром:

а — амплитудная; б — фазовая

Структурная схема системы приведена на рис. 5.11,«, а чис-
ленные значения параметров —в примере 4.18.

Передаточная функция разомкнутой системы

1

1	'^и'се	,	,

1Г (р) =---------& •	.— =---------»----------

Ц-ТкР у 1+7\,Р	(1+ЛЖ1+7\,Р)

700-0,6	420

(1+30,6р) (1 + 0,22р)	(1 + 30,6р) (1+0,22р) *

Коэффициент усиления системы регулирования
К = Пт Г (р) = 420 [52,5 дб] .

р->-0

Сопрягающие частоты:

и, = —— = —-— = 0,0327 сек~А [— 1,485 дек];

1	7К 30,6

и, = —— = —-— = 4,55 сек~1 [— 0,358 дек].
ты 0,22	1

Наклон л.а. х. составляет: при ю<И1—0 дб/дек-, при (щ<
<и<и2------20 дб/дек, при и>ы2------40 дб/дек.

Амплитудная и фазовая частотные характеристики приведе-
ны соответственно на рис. 5.16,4/ и б.

Пример 5.17. Построение логарифмических частотных ха-
рактеристик следящей системы с асинхронным двигателем и
жесткой обратной связью по скорости.

Структурная схема системы изображена на рис. 4.8. Числен-
ные значения параметров приведены в примере 4.16.
Рис. 5.16. Логарифмические частотные ха-
рактеристики системы автоматического ре-
гулирования скорости двигателя

а;

Рис. 5.17. Логарифмические частотные
характеристики следящей системы с же-
сткой обратной связью по скорости:
Передаточная функция разомкнутой системы

1

к ___Се’>Р

г (р) = лс----------. X =

1	\ р

, , . се’]р .

’Х 1+Л1Р Л-^/Р

_ 1,6-57,3-1100:(0,22-312) _ ____1470	_________121,5

(1 + 1100-0,011)р+0,1ра	р(12,1 + 0,1р) “ р (1 + 0,00825р)

Добротность системы

= 121,5 сек~1 [41,7 дб].

Сопрягающая частота

©! = -1— =-------?--= 121 сек~1 [2,08 дек].

Т„ 0,00825	1

Характеристики приведены на рис. 5.17.

Пример 5.18. Построение логарифмических частотных харак-
теристик следящей системы с пассивным дифференцирующим
контуром в главной цепи.

Структурная схема системы приведена на рис. 5.7, с. Чис-
ленные значения параметров приведены в примере 5.7.

Передаточная функция разомкнутой системы

Г(р) =

1
кс-ку------— (а + тр)

си'1р

Р (1 + ТР) (1 + Тыр)

450(0,333 + 0,01р)	_	150(1+0,ОЗр)

р(1 +0,01р)(1 + 0,04р) ~ р (1 + 0,01р) (1 + 0,04р) *

Добротность системы

= 150 сек~' [43,7 <?6].

Сопрягающие частоты

= -X — —!— = 25 сек~1 [1,398 дек];

1 Тк 0,04

со, = —-— = 33,4 сек-1 [1,523 дек];

2	0,03

со3 = X = --Х- = 100 сек.-1 [2 дек].

Амплитудная характеристика имеет наклон: при ю<й1 —
—20 дб!дек; при. <О1<со<«>2-----40 дб/дек; при (02<и<ы3 —

—20 дб!дек; при <о>и3-------40 дб)дек. Характеристики приве-

дены на рис. 5.18.
Рис. 5.18. Логарифмические частотные ха-
рактеристики следящей системы с пассив-
ным дифференцирующим контуром;

а — амплитудная; б — фазовая

Рис. 5.19. Логарифмические кастетные ха-
рактеристики следящей системы с гибкой
обратней связью, охватывающей безынерци-
онный усилитель:
Пример 5.19. Построение логарифмических частотных харак-
теристик следящей системы с гибкой обратной связью, охваты-
вающей безынерционный усилитель. Структурная схема системы
приведена на рис. 5.8, а. Численные значения параметров при-
ведены в примере 5.8.

Передаточная функция разомкнутой системы

XV 1р) = Агс-/?у1-

1 + куп-к0

Т«Р
1 4- Тор

се'/р

р(1 + Тыр)

__________________________Р(1 +Твр)________________________

Р + (Те + ку2- ка- Тп 4- 7'..) р2 + (То- Ты + ку^-к0- 7'Ь-Т,,) р->

150(1 4-0,01 р)

р + 0,15 р24-0,0054рэ'

Добротность системы

По= 150 сек-1 [43,5 ОД.

Сопрягающие частоты

Ы] =	= 6,66 сек~‘ [0,824 дек];

а>2=—~— = 27,8 секГ1 [1,444 дек];

0,0054	1

®3 = о* = 100 сек-1 [2 дек].

Логарифмическая амплитудная характеристика этой систе-
мы имеет наклон: при и<со1 — —20 дб)дек, при <П1<от<со2 —
—40 дб/дек, при И2<«<сйз----------60 дб1дек, при и>оз —

—40 дб/дек. Характеристики приведены на рис. 5.19.

Пример 5.20. Построение логарифмических частотных харак-
теристик следящей системы с гибкой обратной связью.

Структурная схема системы приведена на рис. 5.9, а. Числен-
ные значения параметров приведены в примере 5.9.

Передаточная функция разомкнутой системы

/

1

ку	Се /р

17/ (п\ — Ъ + ТЧР (I + Ткр)р

________Се /Р___________

(1 +ТдР)(\ +ТнР)(1+Тар)р
ку	(1 + Тп р)

—	се’/р

Р+(М-Л>+^+йу к0 Т0)р^+(Тч Ты+Ты То+Тд Т0)рз+7’0 Ты Тор*

=________49,8(1 +0,1р)_______

р (1 + 2,47р + 0,067р2 + О.ООЗр3) '

Добротность системы

Рис. 5.20. Логарифмические частот-
ные характеристики следящей систе-
мы с гибкой обратной связью:

а — амплитудная; б — фазовая

Ор = 49,8 сек~' [34 66].

Сопрягающие частоты

1
и, =----- =

2,47

= 0,405 сек~х [—0,392

и2 = УГ = сек~1 П дек];

2,47
(03= ---- =

0,067

= 36,8 сек-1 [1,566 дек];
,	0,067

4	0,003

= 22,3 сек-1 [1,348 дек].

Характеристики приведены
на рис. 5.20.

Пример 5.21. Построение
логарифмических частотных
характеристик следящей сис-
темы с гибкой и жесткой об-

ратными связями по скорости.

Структурная схема системы приведена на рис. 5.10, а. Чис-
ленные значения параметров приведены в примере 5.10.

Передаточная функция разомкнутой системы

Г (р) = кс

ку	се /р

\+Тчр ' р(\+Тчр)

1

(1 + Тд Р)

се /р (Д + тр)
р (1 + 7\, р) (1-|- тр)

к0 се /р р

-^-(1 +тр)
се'1у>_______________

Р[1+(Тм + Г? + т + Лу к0 т)р + (7м Тд + 1 Тм + т Тд)р^ +
6,95(1 +0.01Р)_________

+тТм Тч р3 + ку Лоа] р[1 4-0,63р + 0,056р2+0,005р3+0,5]

_ __________4,65(1 4-0.01Р)________

~ р[1 + 0,42р + О,О374р2 + ОЛСОЗрЗ]

Добротность системы

^ = 4,65 сек~1 [13,4 дб].

Рис. 5.21. Логарифмические частотные характеристики следящей
системы с гибкой и жесткой обратными связями по скорости:

а — амплитудная; б — фазовая

Сопрягающие частоты

И1 = -А- = 4,8 сек~1 [0,68 й?/с];

т = . 0,42 . = 112 сек-1 [1,05 дек];

0,0374	п

т = .в’0374.. = 125 сек-1 [2,096 дек];

3	0,0003	1

<в4 = —-— = 100 сек-1 [2 дек].

0,01

Характеристики приведены на рис. 5.21,

§ 5.4. Примеры построения вещественных	,

частотных характеристик

Пример 5.22. Построение вещественной частотной характе-
ристики следящей системы по ее амплитудно-фазовой характе-
ристике.

Рассмотрим следящую систему из примера 4.14.
Воспользуемся ее амплитудно-фазовой характеристикой
(рис. 5.3,в).

Построение вещественной частотной характеристики произ-
ведем графическим методом.

Передаточная функция следящей системы на основании фор-
мулы (2.12)

= ф (п) = ——-О’?.

®вх(р)	! + »(₽) ’

Рис. 5.23. Вещественная ча-
стотная характеристика сле-
дящей системы

Рис. 5.22. Построение
вещественной частот-
ной характеристики
следящей системы по
ее амплитудно-фазо-
вой характеристике

где Ж (д) — передаточная функция разомкнутой системы.
Пусть

№ (/со) = и (со) + /V (со),

Ф (/со) = Р (со) + ]($ (и),

где II, У,’Р, С]— функции со. Тогда

р , ю = У + 1У = (1 +Ц-1У)(Ц + !У)
’1’ 4	14-1/+/У	(1+1У)а + У2

Припавнивая вещественные части, получим

р_.ц(1+^)+у»

(1-Ь<7)а-ь Vй *

где Р — ордината вещественной частотной характеристики, со-
ответствующая координатам V и V амплитудно-фазо-
вой характеристики.
Можно показать, что линии /’ = сопз1 представляют собой
окружности с радиусами

|2(1 — Р) |
и центрами, лежащими на вещественной полуоси на расстоянии

1 — 2Р

2(1 —Р)
от начала координат.

Пусть требуется найти Р(и>) для *Точки А (рис. 5.22) ампли-
тудно-фазовой характеристики, причем частота для этой точки
равна ир Соединяем точку А прямой линией АВ с точкой (—I,
/0) и восстанавливаем перпендикуляр СО\ к середине отрезка
АВ до пересечения его с вещественной осью в точке О,. Рас-
стояние от точки С1 до точки (—1, /0) равно радиусу окружно-
сти В. Измерив В, вычисляем

п, ч 2Р-1	,	1

Р (ы.) — ----- =1-------.

1 2Р	2Р

Аналогичным путем определяются ординаты характеристики
Р(ы) для других значений и.

Построенная таким образом вещественная частотная харак-
теристика следящей системы изображена на рис. 5.23.

Пример 5.23. Построение вещественной частотной характе-
ристики следящей системы с последовательным корректирую-
щим контуром по ее амплитудно-фазовой характеристике.

Следящая система рассмотрена в примере 4.17, а ее ампли-
тудно-фазовая характеристика приведена на рис. 5.4.

Передаточную функцию разомкнутой системы можно пред-
ставить в виде

И7 (/и) = С/ (и) + /V (ю).

Передаточная функция замкнутой системы

= ф (/й)= =р (ю) +
евх(/<й)	1-1-Г(/й)

где

’ р (ш) = У (•»)[! +1/(ш)] + ИЧ<о)

[1 +^(И)]2 + У2(Ы)
представляет собой искомую вещественную частотную характе-
ристику замкнутой системы. Подставив в последнее выражение
ряд значений Й(ю) и У(со), полученных при построении ампли-
тудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, вычислим
соответствующие значения Р(а). Результаты расчетов сведены
в табл. 5.12, с помощью которой построена вещественная ча-
стотная характеристика системы (рис. 5.24).
Таблица 5.12

со	Що>)		Р+)
2	—3,3	—55,5	1,0
5	—2,99	—21,3	1,0
10	—2,25	—9,63	1,005
20	—1,135	—4,02	1,01
50	—0,254	—1,35	0,685
100	—0,06/3	—0,65	0,373

Пример 5.24. Построение
вещественной частотной ха-
рактеристики следящей систе-
мы с пассивным дифференци-
рующим контуром (рис.5.7,а).
Численные значения парамет-
ров системы приведены в
примере 5.7. Передаточная
функция разомкнутой системы

Ц7(р) =----.

Р (1 + V) 0 + Т'м Р)

На основании выражения (2.12) имеем

&вЛр) ~	^ ~Тм^+(Тм + т)р^ + (1+^т)р+а^,

где

Рис. 5.24. Вещественная частотная
характеристика следящей системы
с последовательным корректирующим
контуром

Рис. 5.25. Вещественная ча-
стотная характеристика сле-
дящей системы с пассивным
дифференцирующим конту-
ром

Подставляя численные значения
меняя р на /со, получим

параметров системы и за-

450 (0,333 +/0,01 <о)

Ф(/й) =

—/-4-10 4<о8— 0,05с? +/55со + 150 ’

откуда, после преобразований,

Р («) = Ке [Ф (до)]

450 (50 + 0,0383с? — 4 -10~6 со4)
(150 — 0,05с?)2 + (5,5<о — 4- 10-4<о3)2 '

Задавая различные значения со, строим характеристику
Р(со), изображенную на рис. 5.25.
Глава VI. УСТОЙЧИВОСТГ, СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 6.1. Критерии устойчивости линейных систем

Для того чтобы система автоматического управления могла
нормально функционировать, она должна, прежде всего, удов-
летворять требованию устойчивости.

Система является устойчивой, если она возвращается к уста-
новившемуся состоянию после прекращения действия возмуще-
ния, которое вывело ее из этого состояния.

Общее решение х{1) дифференциального уравнения линей-
ной системы управления может быть представлено в виде суммы
двух функций времени

х (/) = х5 (I) + ха (I),
из которых хя(/) характеризует так называемое вынужденное
движение системы и зависит от внешнего воздействия, а ха(1)
определяет свободное движение или переходный процесс в си-
стеме.

Математическая форма записи условия устойчивости пред-
ставляет собой требование обращения в нуль хД/) при неогра-
ниченном возрастании времени с момента начала переходного
процесса, т. е.

ПтхД/) = 0.

Функция хД/), являющаяся общим решением соответствую-
щего однородного дифференциального уравнения (т. е. урав-
нения системы управления с нулевой правой частью) для линей-
ной системы п-го порядка имеет вид:

хй (I) ~ С1 е 1 1 + С2 е 2 1 + ‘ ' сп е

где С], с?2, ..., сп — постоянные интегрирования, а Д, 7.2,	—

неравные корни характеристического уравнения системы управ-
ления.

Из последнего выражения видно, что при 1^-<х>хЛ(1) будет
стремиться к нулю только в том случае, если все п корней ха-
рактеристического уравнения имеют отрицательные веществен-
ные часта *.

Следовательно, для суждения об устойчивости системы уп-
равления нет необходимости определять значения корней ха-
рактеристического уравнения, что связано обычно с трудоем-
кими вычислениями. Достаточно располагать косвенными
признаками, которые позволяли бы судить об отсутствии в ха-
рактеристическом уравнении системы управления корней с не-
отрицательной вещественной частью (действительные корни
могут рассматриваться как частный случай комплексных с ну-
левой мнимой частью). Такие признаки получили название кри-
териев устойчивости.

Известно несколько критериев устойчивости. Наиболее упот-
ребительными из них являются алгебраические критерии Рауса
и Гурвица, -основанные на рассмотрении системы неравенств,
образуемых из коэффициентов характеристического уравнения,
а также связанные с частотными представлениями критерии
Найквиста и Михайлова.

Ниже приводятся без доказательства формулировки этих
критериев устойчивости.

При использовании операторного исчисления характеристи-
ческое уравнение системы управления легко находится прирав-
ниванием нулю знаменателя передаточной функции замкнутой
системы

1+№(р) = 0	(6.1)

[см. формулу (2.10)].

Учитывая выражение (2.15), получим характеристическое
уравнение в виде

Н(р) = А(р) + В(р) = 0.	(6.2)

Для системы п-го порядка функция Н(р), представляющая
собой левую часть характеристического уравнения, имеет вид
многочлена и-й степени

Н (р) = а0 рп + а± рп~' 4--Ь ап_1 р + ап .	(8.3)

Критерий Гурвица. Проверка устойчивости по Гурвицу сво-
дится к вычислению по коэффициентам характеристического
уравнения так называемых определителей Гурвица, которые для
устойчивой системы управления должны быть положительными.

* Этот вывод справедлив и для случая, когда среди корней Л, (1=1, 2,...,
...,«) имеются кратные корни.
Для получения определителей Гурвица составляется табли-
ца из коэффициентов характеристического уравнения п-й сте-
пени:

О11 «в  • • О

^0	@2	‘ ' 0^

О ду а9 • • • о

О ай а2 •  • О

0...........ап

Правила составления таблицы просты: по главной диагонали
выписываются по порядку п коэффициентов характеристическо-
го уравнения от щ до ап; каждая строка содержит п элементов;
строки с нечетными и четными индексами чередуются; недоста-
ющие элементы строк заполняются нулями. Отчеркивая соот-
ветствующие строки и столбцы таблицы, получим п определи-
телей Гурвица:

△1 = «1>

а1 п3

^0

а1 а3 а5

ао о2 о1 ,

О П1 а3|

Ц] о3 си  • • О
йу а2 а4 • • • О

О а3 •  • О

О а0 с2 - • • О
0............

Критерий устойчивости Гурвица заключается в требовании
положительности всех п определителей (при а0>С), т. е.

Д, >0, Д2 > 0,..., Д„ > 0.

Необходимым (но недостаточным) услсвием устойчивости
системы /1-го порядка при а0>0 является требование положи-
тельности всех коэффициентов характеристического уравнения:
а0 >0, аг > 0, а2 > 0..................ап > 0.

Поскольку последнее условие легко проверяется по виду 
уравнения, записанного с конкретными числовыми коэффици-
ентами, то целесообразно проанализировать критерии Гурвица
с учетом этого необходимого условия. В результате такого ана-
лиза, излагаемого в большинстве руководств по теории автома-
тического управления и регулирования [21, 19 и др.], можно по-
лучить систему неравенств, соблюдение которых эквивалентно
выполнению условий устойчивости.

Для систем первого и второго порядка необходимое усло-
вие устойчивости

«о >0, ах > 0, аа > 0

одновременно является и достаточным.

Для систем более высокого порядка, кроме выполнения тре-
бования положительности всех коэффициентов характеристи-
ческого уравнения, необходимо и достаточно соблюдение сле-
дующих неравенств:

для системы третьего порядка

«1 «а ~ ао а3 > 0;

для системы четвертого порядка

сз(й1а2~ аосг) — ^а4>0;

для системы пятого порядка

С&1 0-2 ~ @0 ^з > 0,

(С1 а2 — со аз) (аз — с2 сй) — (°1 ао св)2 > 0;

для системы шестого порядка

С3 (о4 С2  @0 »з)	(®1	^б)

( «1 «2 — «0 Сз) [ й5 ( «4 «3 — С2 й5) + С6 (2с1 С5 — Сз)] +

Г ( а1 с4 а0 аз) [ а1 а2 аб а5 ( С1 С4 а0 °б)] ~	О'

Критерий Рауса. Практически критерием Гурвица выгодно
пользоваться при исследовании устойчивости систем автомати-
ческого управления не выше пятого порядка. Для систем более
высоких порядков удобнее применять критерий Рауса.

Составим таблицу-схему из коэффициентов характеристиче-
ского уравнения (табл. 6.1). В первую строку таблицы вписы-
ваются коэффициенты с четными индексами, а во вторую —
с нечетными. Все последующие строки получаются в результате
делений разности перекрестных произведений коэффициентов
двух предыдущих строк на коэффициент первого столбца пре-
дыдущей строки. Всето таблица содержит п+1 строку.

Согласно критерию Рауса, для устойчивости системы необ-
ходимо и достаточно, чтобы при а0>0 все коэффициенты пер-
вого столбца табл. 6.1 были положительны, т. е. чтобы

ах > 0, &1>0, Н > 0, й1>0, ...
	оа	а4	ав	
П1	Оз	о5	о?	•  •
О1&2 —* «(Дз  Ь1—  «1	ага4 — а„а5 —  О1	а4аа —  Ь3 —  «1	ЯзДв — аоа$ — 1  ‘ "	. . .
бщз — а4Ь2  С1~	к	— оА  Ь,	^1^7 — 01^4  Сз~ Ь,	Ь1Оз — О1&5  01	• - .
— Ь1С2  «1 —  С1	, сгЬ3 — Нез о?—  С1	, с4Ь4 — Ь4с4 «з— "  С1	с165 — Ь4Сз —	. . .
в .	.	. • .		• • •	’ . .

Критерий Найквиста. Критерий Найквиста основан на рас-
смотрении амплитудно-фазовой характеристики Ц7(/ы) разомк-
нутой системы, по виду которой можно судить об устойчивости
замкнутой системы, что обусловлено наличием однозначной за-
висимости между передаточной функцией 1^(р) разомкнутой
системы и характеристическим уравнением замкнутой [см. фор-
мулу (6.1)].

Амплитудно-фазовая характеристика IV7(/о>) может быть по-
строена расчетным путем на основании аналитического выраже-
ния функции при замене в последней р на /ю и измене-
нии и от 0 до со (практически расчет заканчивается, когда
значения модуля |№'(/со) | становятся достаточно малыми).

Эта характеристика может быть также получена экспери-
ментально, в частности, по снятым опытным путем частотным
характеристикам отдельных звеньев системы. Это обстоятель-
ство является важным практическим преимуществом частотно-
го критерия Найквиста.

Формулировка критерия устойчивости замкнутой системы
управления зависит от свойств разомкнутой системы.

Согласно критерию Найквиста, если разомкнутая система
устойчива, т. е. ее характеристическое уравнение не имеет кор-
ней с положительной вещественной частью (но может иметь
нулевые корни), то для устойчивости замкнутой системы авто-
матического управления необходимо и достаточно, чтобы ампли-
тудно-фазовая характеристика 1^(/со) не охватывала точку с ко-
ординатами (—1,/0).
 Если же разомкнутая система имеет т корней с положи-
тельной вещественной частью, то для устойчивости замкнутой
системы требуется, чтобы характеристика №(/«) охватывала
точку (—1, /0) в положительном направлении раз.

Критерий Михайлова. Критерий устойчивости Михайлова
основан на построении так называемой кривой Михайлова,
представляющей собой годограф вектора И (/со), вычерчивае-
мый при изменении со от 0 до со (практически ограничиваются
достаточно большими значениями со, при которых угол поворо-
та вектора перестает изменяться с увеличением со).

Комплексная функция //(/со) получается подстановкой р =
=/и в характеристический полином Н(р), стоящий в левой ча-
сти характеристического уравнения.

Согласно критерию Михайлова, для устойчивости, системы
автоматического управления п-го порядка необходимо и доста-
точно, чтобы характеристическая кривая Михайлова при изме-
нении ю от 0 до со , начиная с положительной вещественной оси,
обошла последовательно в положительном направлении (т. е.
против часовой стрелки) п квадрантов.

Если представить комплексную функцию //(/и) в виде

Н {/а,) = х (а) +/у (а)

и построить графики вещественных функций х(о>) и у(ы), от-
кладывая о) по оси абсцисс в положительном направлении, то
можно указать другую формулировку критерия Михайлова.
Согласно этой формулировке, графики функций х(и) и у (ш)
для устойчивой системы должны пересекать ось со, последова-
тельно чередуясь друг с другом.

Алгебраические критерии Гурвица и Рауса удобны при про-
верке устойчивости систем дс пятого-шестого порядка. Для си-
стем высших порядков выгоднее применять частотные критерии
Найквиста и Михайлова.

При исследовании устойчивости систем автоматического уп-
равления может ставиться задача не только проверки устойчи-
вости системы при заданных значениях ее параметров, но также
и определения некоторой области изменения отдельных пара-
метров, внутри которой система остается устойчивой.

Построение областей устойчивости в функции одного и двух
параметров системы управления может быть выполнено при
помощи любого критерия устойчивости. Существуют различные
формальные способы выделения областей устойчивости. Одна- .
ко эффективность применения того или иного способа в силь-
ной степени зависит от конкретного содержания решаемой за-
дачи. Поэтому целесообразно не приводить общее описание
этих способов, а предоставить читателю освоить сущность неко-
торых из них на конкретных примерах, рассматриваемых в дай-
ной главе, с указанием, по мере необходимости, на соответст-
вующие руководства по теории.

§ 6.?. Примеры исследования устойчивости
по критериям Рауса ч ''урЧвица

Пример 6.1. Проверка устойчивости системы автоматическо-
го регулирования по критерию Гурвица.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

р3+ 1,48рг + 4,6 р + 4 = 0.

Для уравнения третьей степени условием устойчивости по
Гурвицу, помимо положительности коэффициентов уравнения,
является выполнение неравенства

Д2 = й1 а2 — а0 ая > О,

где Дг— определитель второго порядка.

В данном случае а0—1; «1=1,48; «2 = 4,3; а3=4. Следова-
тельно, система устойчива.

Гц имер 6.2. Проверка устойчивости системы автоматическо-
го регулирования.

Характеристическое уравнение имеет вид:

р« + 0,212рГ) + 2,42 р4 + 36,2 р3 + 228 р2 + 1408 = 0.

Система неустойчива, так как не выполняется необходимое
условие положительности всех коэффициентов уравнения (от-
сутствует член с первой производной).

Пример 6.3. Проверка по критерию Рауса устойчивости сле-
дящей системы.

Система задана характеристическим уравнением

0,0008 р5 4- 0,03 р4 + 1,36 р3 + 4р2 + 52,5 р + 50 = 0.

Составим таблицу Рауса (табл. 6.2).

Система устойчива, так как из таблицы следует, что
а0 >0, аг > 0, Ь± >0, су > 0,	> С, > 0.

Пример 6.4. Проверка по критерию Рауса устойчивости сле-
дящей системы с интегрирующим и дифференцирующим звенья-
ми и гибкой обратной связью по скорости.

Структурная схема системы приведена на рис. 5.11, а. Пара-
метры системы имеют следующие значения: Лс = 0,75 в/град-, Тд=
= 0,08 сек; Гм=0,2 сек; се=0,0101 ---------; /р=148; /?у=100;

ерад/сек

/го=О,2; Го = О,О5 сек; &„=!—; к. =0,1 сек.

сек
а0 = 0,0008	°2 = 1.36	аз = 52,5
й! = 0,03	Оз = 4	а5 = 50
1,36-0,03—4-0,0008	52,5-0,03—50-0,0008	Ь3 = 0
и ч —~	*	—-1 .  1	0,03	Ьг ~	о.оз	
4-1,25 — 0,03-51,2	1,25-50—0,03-0 с2--  125	-50	с3 = 0
1,25	~^77		
2,77-51,2-50-1,25	2,77-0— 1,25-0  Й2“	2,77	~°	4> = о
~	2,77		
28,6-50—2,77-0  е —	....	._. . __ 50  1	28,6	е2 = 0	е3 = 0

Передаточная функция разомкнутой системы

0(1 + Та р) /1 + кл р -|—

Г (р) =--------------------------.

У (1 +ГоР)(1 +Т9р)(1+Тмр)р + кук0Тир^

Передаточная функция замкнутой системы после преобра-
зований

где

€>вых (Р) =	с<> Р3 + р2 + с8 р + с3

®ЕХ (Р)	а0 Р®+«1Р* + «гР3 + азР2 + азР +о3’

Св = %Та;

С1=П(Йд + Тв);

С2 = П(1+^иТв);

с3 = Б/ги;

-	ГТ* 'Г /Т~г

^0	‘ д * м * О»

Й1 = ТЧТК + ТО(ТЧ + ТК)-,

а2 — Тд + Та + То 4- Т0(ку к0 + ЛДП);

«з = 1 + Т> (кл + То);

аз = О(Д+каТ0у,

а5 = &и2>,

2^___

се /р
Характеристическое уравнение получим, приравнивая нулю
знаменатель передаточной функции замкнутой системы:

аор5 + Я1Р4 + а2р3 + а3р2 + а4р + а5 = 0.

Подставив численные значения параметров системы, будем
иметь:	\

0.75Л00 = 50±;

0,0101-148 сек

а0 = 0,08-0,2-0,05 = 0,0008;

= 0,08-0,2 + 0,05 (0,08 + 0,2) = 0,03;

а2 = 0,08 + 0,2 + 0,05 + 0,05 (100-0,2 + 0,1 -50) = 1,58;

- а3 = 1 + 50 (0,1 + 0,05) = 8,5;

с4 = 50(1 + 1-0,05) = 52,5; а5 = 1 -50 = 50,

0,0008 р5 + 0,03 р4 + 1,58 р3 + 8,5 рг + 52,5 р + 50 = 0.

Составим таблицу Рауса (табл. 6.3). Все коэффициенты пер-
вого столбца таблицы положительны. Следовательно, следящая
система при заданных значениях параметров устойчива.

Таблица 6.3

Со = 0,0008	а2 = 1,58	а4 = 52,5
а, = 0,03	а3= 8,5	а5 = 50
1,58-0,03—8,5-0,0008  6, = -2	!		=1 36  0,03	52,5-0,03—50-0,0008 Ь2=—	1			=51,2  0,03	63 = 0
8,5-1,36 — 51,2-0,03 сх = —				:	=7,36  1,36 „ /	1,36-50 с2 — 	— 50  1,36	с3 = 0
51,2-7,36 — 50-1,36  =	!			 = 42  7,36	Л2=0	43 = 0
50-42  е, =	= 50  1	42	е2 = 0	е3 = 0

Пример 6.5. Проверка по критерию Гурвица устойчивости
системы автоматического регулирования напряжения генера-
тора.
Структурная схема системы регулирования изображена на
рис. 4.6.

Из примера 4.13 имеем характеристическое уравнение
о0Р4 +	+ й2рг + а3р + а4 = О,

где

а0 = 0,256-10~6; аг = 0,167-10~3; а2 = 0,0244; а3 = 0,54; а* = 41.

Для устойчивости системы, имеющей характеристическое
уравнение четвертой степени, помимо положительности всех ко-
эффициентов уравнения, необходимо выполнение условия

Д3 = а{ а2 а, — а2^ — а0 а2 > 0.

Подставив численные значения коэффициентов уравнения,
будем иметь

Д8 = 0,167-10^-0,0244-0,54 — (0,167- Ю~3)2 • 41 —

-0,256-10~6-0,542 = 0,98-10~6 > 0.

Следовательно, система устойчива.

Пример 6.6. Проверка по критерию Гурвица устойчивости
следящей системы с интегрирующим и дифференцирующим
звеньями и с гибкой обратной связью по скорости.

Структурная схема системы изображена на рис. 5.11, а. Зна-
чения параметров системы: /гс = 0,87 в]град', /г„=1—;	=

= 0,1 сек-, /гу=Ю0; се=0,00818 — -----; /р=220; /го=О,2;	=

град/сек

= 0,15 сек; 7м=0,3 сек; То=0,05 сек.

Передаточная функция, а следовательно, и характеристиче-
ское уравнение следящей системы, имеют такой же вид, как и
в примере 6.4, отличающемся только численными значениями
параметров системы.

Определим коэффициенты характеристического уравнения
(см. пример 6.4):

48 4 -1-;
0,00818-220	’ сек

а0= 6,15-0,3-0,05 = 0,00225;

= 0,15-0,3 + 0,05 (0,15 + 0,3) = 6,0675;

а2 == 0,15 + 0,3 + 6,05 + 0,05(100-0,2 + 0,1-48,4) = 1,74;

с3 = 1 + 48,4 (0,1 + 0,05) = 8,26;

= 48,4(1 + 1-0,05) = 50,8;

а6= 1-48,4 = 48,4.
Есе коэффицие1.ты уравнения положительны. Для устойчи-
вости системы пятого порядка необходимо также, чтобы были
положительны определители второго и четвертого порядка, т. е.
чтобы

™	^2	’ «О «3 >	\

Д4 = (а4 а2 — а0 а3) (а3 а1 — а2 а5) — (а±	— а0 а5)2 > 0.

Подставляя численные значения коэффициентов характери-
стического уравнения, имеем:

Д2 = 0,0675-1,74 - 0,00225-8,26 = 0,0989 > 0;

Д4 = (0,0675-1,74 — 0,00225-8,26) (8,26-50,8 — 1,74  48,4) —

— (9,0675-50,8 — 0,00225-48,4)а = 22,о > 0.

Система устойчива.

Пример 6.7. Проверка с помощью критерия Гурвица устой-
чивости следящей системы.

Структурная схема изображена на рис. 5.10, а при следую-
щих параметрах: Ас = 0,87 в1град\ 7^ = 0,12 сек- 7"м=0,25 сек\

се = 0,0106-------; /_= 165; а = 0,1; к0 = 0,2;

град!сен р

ку = 100; т = 0,1 сек.

Передаточная функция разомкнутой системы

Г (р) = -------------?_<*_+ДЗ-------------.

(1 +Т<1Р) (1 +Л!Р) (1 -НТО Р + коку (а + тр) р

Характеристическое уравнение следящей системы (соответ-
ствующее знаменателю передаточной функции замкнутой си-
стемы) на основании формулы (6.2) получим как сумму числи-
теля и знаменателя выражения 1^(р), что даст после преобра-
зований

ТчТихр* -ь (Тчты + Т.х -ь Тмт)р3 -ь (Т„ + ТМ4-

-|-т-|-т) р‘2 + (1 4- ку к0 а + Ст) р + П = 0,

где о = ^у.

ее!р

Первое необходимое условие устойчивости (положитель-
ность всех коэффициентов характеристического уравнения) вы-
полняется, так как все параметры системы представляют собой
положительные числа.

Вторым условием устойчивости по Гурвицу для уравнения
четвертой степени является требование положительности опре-
делителя третьего порядка, что для данного случая равносиль-
но выполнению неравенства
(1 4- Мо а + В?) Тк + Тд т + Тмт) (Т9 + Тм + т + ку йот) -
- ТчТ№х(\ + кукоъ + От)] -О(Т9ТЫ + Тчх + Та т)2 > 0.

Подставив численные величины, получим:

Г = °-87-100 = 4 9 7 -Ь
0,0106-165	’ сек ’

(1 + 100.0,2-0,1 + 49,7-0,1)-[(0,12-0,25 +0,12-0,1 +0,25-0,1) X

X (0,12 + 0,25 + 0,1 + 100-0,2-0,1) — 0,12-0,25-0,1 X

Х(1 + 100-0,2-0,1 + 49,7-0,1)] -49,7(0,12-0,25 +

+ 0,12-0,1 + 0,25-0,1)2 >0
или

7,97(0,067-2,47—0,003-7,97)—49,7-0,067* = 0,91 >0.

Следовательно, следящая система устойчива.

Пример 6.8. Проверка по критерию Гурвица устойчивости
следящей системы.

Характеристическое уравнение системы имеет вид

0,0003 р4 + 0,0337 р3 + 0,43 р2 + 51,2 р + 24,8 = 0.

Обозначим коэффициенты характеристического уравнения:
а0=0,0003; 04 = 0,0337; я2=0,43; а3=51,2; а4=24,8.

Все коэффициенты положительны. Проверим, выполняется
ли требование положительности определителя третьего по-
рядка:

Д3 = а3 ( ак а2 — а, а3) —а4а^

= 51,2(0,0337-0,43 — 0,0003-51,2) — 24,8-0,0337* =

= — 51,2-0,0009 — 24,8 -0.03372 < 0.

Следовательно, система неустойчива.

Пример 6.9. Определение области устойчивости следящей
системы с интегрирующим и дифференцирующим звеньями и
гибкой обратной связью.

Рассмотрим следящую систему из примера 6.4 при двух зна-
чениях передаточного коэффициента дифференцирующего зве-
на /гд=0,1 и 0,01 сек и зададимся целью определить, при каких
значениях передаточного коэффициента усилителя ку система
будет устойчивой. Выделение областей устойчивости следящей
системы произведем при помощи критерия Гурвица.

Воспользуемся общими выражениями, полученными в при-
мере 6.4, и определим коэффициенты характеристического урав-
нения следящей системы, не зависящие от величины /гд:

«о = тд Тм То = 0,08-0,2-0,05 = 0,0008;

Й1 = Тд Ты + То {Тд + Тм) = 0,08 • 0,2 + 0,05 (0,08 + 0,2) = 0,03;
ал =	(1 + ка То) = —°-75Лу	(1 + 1  0,05) = 0,525 к-

се1р	0	0,0101-148	у

Коэффициенты а2 и а3 зависят от величины 6Д, поэтому даль-
нейшие расчеты будем вести отдельно для разных зна-
чений кд.

1.	При кд=0,1 сек:

а2 = т, + тм + т0 + т4буб0 + бдМЧ = 0,°8 + о,2 +

\	се 1р I

ч 0,05 + 0,05^0,2^ + 0,1- °’-75Ч 1 = 0,33 + 0,0125 6 •

I ’ У 0,0101-148 /	У

“1 + Й;**'+ ГЛ= 1	(0.Ч-0.05)=1+0.°75 к,.

Все коэффициенты характеристического уравнения положи-
тельны. Определитель второго порядка при 6у>0 тоже положи-
телен:

Д2 = а1 а2 — а0 а3 = 0,03 • (0,33 + 0,0125 60 —-

— 0,0008 (1 -I- 0,075 60 = 0,0091 + 0,000315 ку > 0.

Граница устойчивости для системы пятого порядка в таком
случае определяется уравнением

(ах а2 — а0 а3) (а3 а4 — а2 а3) — (ах а, — а0 а5)а = 0,
которое получаем приравниванием нулю определителя четверто-
го порядка. Подставим в это уравнение численные величины:

[0,03-(0,33 + 0,0125 60 — 0,0008(1 + 0,075 60] X

х [(1 +0,075 60-0,525 6У — (0,33 + 0,0125 60-0,560 —

— (0,03 • 0,525 6у — 0,0008 • 0,5 602 = 0

или после преобразований

(62 + 17,2 6у +315) 6у = 0.

Получилось уравнение третьей степени относительно 6У. Это
уравнение имеет один нулевой и два комплексных корня:

6 =0;6у =—8,64-/15,5.

У1 ’	у2,3	’ ~	’

Нулевой корень соответствует тривиальному случаю перехо-
да системы в неустойчивое состояние при отрицательных зна-
чениях 6У (при этом нарушается необходимое условие а4>0 и
Й5>0),
Отсутствие в уравнении вещественных положительных кор-
ней свидетельствует о том, что следящая система не имеет гра-
ницы устойчивости (кроме /гу=0). Следовательно, возможно
одно из двух: система либо устойчива, либо неустойчива при лю-
бых положительных ку. Для выяснения этого достаточно про-
верить устойчивость системы при произвольном значении /\>0.

Воспользуемся результатом, полученным в примере 6.4, при
решении которого было установлено, что следящая система
устойчива при &у=100. Следовательно, она устойчива при лю-
бых положительных ку.

2. При йд = 0,01 сек аналогично предыдущему случаю будем
иметь;

аг = 0,33 4-0,01025Лу;

Оз = 1 4- 0,03 ку.

Проверяем условие Дг>0:

Д2 = 0,03 (0,33 + 0,01025 Д.) — 0,0008 (1 + 0,03 ку} =

= 0,0091 + 0,000283 ку > 0.

Подставим численные значения параметров в уравнение, оп-
ределяющее границу устойчивости:

[0,03 (0,33 + 0,01025 ку} — 0,0008 (1 + 0,03 ку} X

X [(1 + 0,03/гу)-0,525 6У — (0,33 + 0,01025 6У)-0,5/гу] —

— (0,03  0,525 ку — 0,0008  0,5 йу)2 = 0.

После преобразований получим уравнение третьей степени
относительно ку

ку (3,01 к* — 47,2 ку + 3280) = 0,
которое имеет один нулевой и два комплексных корня:

ку1 = 0; ку2 3 = 7,85 ± / 35,8.

Отсутствие в уравнении вещественных корней свидетельству-
ет о том, что при &д=0,01 сек следящая система не имеет грани-
цы устойчивости в области положительного ку. Следовательно,
либо система устойчива при любых значениях ку, либо неустой-
чива при любых ку.

Читателю предлагается самому убедиться в устойчивости си-
стемы, проверив ее любым способом при произвольно выбран-
ном значении /?у.

Подобный результат объясняется физически тем, что с уве-
личением ку возрастает стабилизиоующее действие гибкой об-
ратной связи, охватывающей усилитель.

Пример 6.10. Построение области устойчивости следящей
системы с жесткой обратной связью по скорости в плоскости
двух параметров.
' Структурная схема следящей системы изображена на
рис. 6.1. Произведем построение области устойчивости в функ-
ции коэффициента усиления первого каскада усилителя и
коэффициента обратной связи к0.

Параметры системы: /гс=0.4 в/град', /гу2=5,2, се=

= 0,014 -------; /р = 297; У„ = 0,06 сек, УМ=Э,1 сек.

град/сек

Прежде всего нужно найти передаточную функцию разомк-
нутой системы. Для этого заменим участок прямой цепи систе-

Рис. 6.1. Структурная, схема следящей системы
с жесткой обратной связью по скорости

мы, охваченной жесткой обратней связью, эквивалентным зве-
ном, передаточная функция которого определится выражением

1

^1(р) =

^уг	се 1 р

1 4~ У д п 1 4~ У и Р

1

7’у 2

14

сс/р ,
, т '“осе-1р

или после преобразований

Г, (р) =

&У2

"1 /р

(1 4- Тд р)( 1 + Т,., р) 4- Ау2 ^0

Передаточная функция разомкнутой системы

IV7 (р) = йс к х (р) • — =
р
Обозначив

кс куг ку2
 се/р

1(14-Уд р! (1 4- Ум р) 4- р

се /р

после преобразований получим из последнего выражения в
окончательном виде передаточную функцию разомкнутой си-
стемы

Уд Ум Р3 4- (Уд + Ум) Р2 4- (14-АуЛ)Р
Передаточную функцию замкнутой системы для выходной
величины можно определить по формуле (2.16) как

^ЕЫХ (Р) _ ______________О_________________

вЕХ (₽) “ Тд Гм Р3 4- (Тд + Гм) Р« + (1 +йу8 кд) Р + О'

Характеристическое уравнение имеет вид:

«оР3 + «1Р2 + а2Р + «з = 0,
где

ао — ТдТы\ Я1 — Тд-{-Ты-,
а2 = 1 + Лу2^0; «3 = О = ку1.
се1р

Подставим численные значения параметров системы:

«0 = 0,03-0,1 = 0,006;

а± = 0,06 + 0,1 =0,16;

«2 - 1 I 5,2 кд^

0,4.5,2 , п _ ,
— 0,5 Лмл,
3	0,014-297 у1 ’ у1

Условие устойчивости системы по Гурвицу:

а0 >0; аг > 0; аг > 0; а3 > 0;

Д2 = «1 «2	«0 «3 +

Первые четыре условия выполняются при й0>0 и &У1>0. Из по-
следнего условия имеем

0,16 (1 + 5,2 к0) — 0,006 • 0,5 ку1 > О,
откуда следует, что

к0> 0,0036 ку1 — 0,192.

Последнее неравенство выражает собой условие устойчивости си-
стемы. Граница устойчивости будет определяться выражением
к0 = 0,0036 &у1 — 0,192,

представляющим собой уравнение прямой, проходящей через
точку с координатами (—0,192; /0) под углом, равным
агс!^ 0,0336.

Значение к0=~0,192 является границей устойчивости также
и по условию

«2 ~ 1 + 5,2 кд +> 0,
из которого следует, что

кд>----— = —0,192.

0	5,2
уменьшается с увеличением

Рис. 6.2. Область устойчивости
следящей системы в плоскости
параметров куг и п0

Область устойчивости в плоскости параметров йУ1 и /г0 по-
строена на рис. 6.2.

Такое построение области устойчивости может быть практи-
чески использовано, например, в том случае, когда требуется
снизить статическую ошибку системы, обусловленную влиянием
сухого трения, зоны нечувствительности и щругих факторов, не
учитываемых при рассмотрении линеаризованной системы. Ста-
тическая ошибка следящей системы
передаточного коэффициента
усилителя (см. формулу 3.10).
Поэтому, с одной стороны, жела-
тельно иметь как можно боль-
шее значение ку\, однако, с дру-
гой стороны, увеличение кУ1 при-
водит к ухудшению устойчивости
системы. Введение жесткой отри-
цательной обратной связи по ско-
рости повышает устойчивость
системы. Построение области ус-
тойчивости, выполненное на рис.
6.2, наглядно показывает, какое
необходимо иметь значение ко-
эффициента обратной связи ко,
чтобы обеспечить устойчивость
следящей системы при заданном
(из условия статической точно-
сти) значении коэффициента уси-
ления Йу1.

Заметим, что построенная область устойчивости не может
быть использована при расчете системы на заданную скорост-
ную ошибку. Действительно, в режиме работы с постоянной ско-
ростью установившаяся (скоростная) ошибка следящей систе-
мы зависит от добротности системы, которая при наличии жест-
кой обратной связи по скорости будет равняться

1 + кУ2 ка

В этом случае имеет смысл определение области устойчиво-
сти в плоскости параметров к0 и /Д (а не к0 и ку1 или В). Для
этого представим последний коэффициент характеристического
уравнения в виде

о3 = Д = Д»Д1 +Ау2А0)
и, подставив в условие устойчивости, получим

(Тч + Тв)(1 + ку2к0) -ТдТыО„(1+ ку2к0) > 0,
откуда следует, что
Полученный результат означает, что в рассматриваемой сле-
дящей системе предельное значение добротности из условия
устойчивости определяется постоянными времени 7, и Ти и не
зависит от параметров обратной связи.

Пример 6.11. Проверка по критерию Рауса устойчивости
следящей системы с интегрирующим и дифференцирующим
звеньями и гибкой обратной связью по скорости (рис. 5.11, о).

Значения параметров системы: /гс = 5С в!рад-, 7’9=0,12 сек;

Тм=0,25 сек; Т0=0,01 сек; се=0,7 —-—; /р=143; /гд=0,01 сек;
рад/сек,

кк = 1 — ; Лу=200; Ло=О,1.
сек

Характеристическое уравнение

+ «гР® + ЯзР2 +	+ аъ = 0

имеет следующие коэффициенты:

д  ++ 50  200   । рр 1 .
се1р 0,7-143	сек ’

о0 = Т9ТкТ0 = 0,12-0,25-0,01 = 0,0003;

= Т,ТМ + ТО(ТЦ + Тм) = 0,12-0,25 + 0,01 (0,12 + 0,25) =0,0337;

с2 = ф- Гм + 7'0 -р Т0(кук0 + АДО) = 0,12 + 0,25 + 0,01 +

+ 0,01 (200-0,1 4- 0,01 -100) = 0,59;

й3 = 1 +О (кД + То) = 1 + 100 (0,01 + 0,01) = 3;

а4 = О(1 +йиТ0)= 100(1 + 1-0,01)= 101;

аъ = киО = 1 -100 = 100.

Составим таблицу Рауса (табл. 6.4). Коэффициент С! в ле-
вом столбце таблицы отрицательный. Следовательно, система
неустойчива, и продолжать дальше вычисления нет смысла.

Пример 6.12. Определение области устойчивости следящей
системы.

Произведем с помощью критерия Гурвица выделение обла-
сти .устойчивости следящей системы, рассмотренной в примере
6.11, в функции величины О.

Выразим коэффициенты характеристического уравнения
++ +	+ ц2р3 + а3р2 + а.,р + а,, = 0

через О'

а0 = Тч Ты То = 0,12  0,25  0,01 = 0,0003;

а3 = ТЧТЫ + ТО(ТЧ + Тм) = 0,12-0,25 + 0,01 (0,12 + 0,25) =0,0337; -

о2 = Тя + Тк + То + То (ку.к0 + кДО) = 0,12 + 0,25 + 0,01 +

+ 0,01 (200-0,1 +0,010) = 0,38 + 0,00210;
Таблица 6.4

ав = 0,0003	с2 = 0,59	а4 = 101
о, = 0,0337	&3 у3 3	а5 = 100
3,37-10~2-0,59—3-10—4-3 — —  3,37-10—3 = 0,564	^2 =  _ 3,37-Ю-2-101—3-10-^ 100  3,37-Ю-2	~  = 100	Ь3 = 0
0,564-3 — 3,37-10—2-100  Г*	0,564	~  = — 2,98	с2 =	с3 =
(!,=	й2 =	^3 ===
е» =	₽2 =	е-л =

ая = 1 + (/?д + То) О = 1 + (0,01 + 0,01) 0=1+ 0,020;

а, = (1 + ^,7’0)О = (1 + 1-0,01)0 = 1,010;

а-а = йиО = О.

Для системы пятого порядка условие устойчивости по Гур-
вицу сводится к требованию положительности всех коэффици-
ентов характеристического уравнения и определителей Д2 и Д4.

Коэффициенты, характеристического уравнения будут поло-
жительными при О>0.

Проверим условие Д2>0:

Д2 ~	— аоа3 = 0,0337-(0,38 + 0,00210) —

— 0,0003 • (1 + 0,020) = 0,0125 + 6,58 • 10~5 О > О

при О>0.

Следовательно, в этом случае границу устойчивости будет
определять уравнение Д4=0.

Подставив в выражение

Д 4 = (а^ — о0аа) (а3а4 — а2а5) — (а.а,_ — а0а5)2 = О
значения коэффициентов характеристического уравнения, будем
иметь:

[0,0337 • (0,38 + 0,00210)— 0,0003 (1 + 0,020)] X

X [(1+0,020)-1,010 — (0,38 +0,00210)0] —

— (0,0337 -1,610 — О.ОООЗО)2 = 0.
После преобразований получим уравнение третьей степени
относительно О

П (1,175-10~6П2 — 8,73- 10-4О + 78,8-10~4) = О,
которое имеет три корня:

= 0; Д2 = 8,93; П3 = 735.

Полученные значения О определяют границы устойчивости
следящей системы.

Для того чтобы выяснить, какая область значений О являет-
ся областью устойчивости, необходимо проверить устойчивость
системы при любом значении О.

Воспользуемся результатом, полученным в примере 6.12, в
котором было установлено, что при /9=100 рассматриваемая

Устойчив'

Неустойчива Г Неустойчива Д Устойчиво.

I ।

-200 0	200 400 000 800 .000 П,/сен

Рис. 6.3. Определение области устойчивости сле-
дящей системы в функции параметра

система неустойчива. Значит области неустойчивой работы на-
ходятся в пределах 8,93<2?<735 и при О<0, а области устойчи-
вости соответствуют значениям 0<О<8,93 и Д>735.

На рис. 6.3 выделены участки числовой оси значений И, со-
ответствующие устойчивой и неустойчивой работе следящей
системы. Ввиду малой величины интервала 0<Д<8,93 практи-
ческое значение имеет лишь область Д>735.

Упражнения для самостоятельной проработки

1.	Проверить с помощью критерия Гурвица устойчивость системы автома-
тического регулирования по характеристическому уравнению

0,0015р'1 4- 0,25р2 + 1,8р + 245 = 0.

Ответ. Система устойчива.

2.	Проверить устойчивость системы автоматического регулирования, ха-
рактеристическое уравнение которой имеет вид

0,318 р5 + 4,25 р* + 38,2 р3 + 446 р2 + 2220р = 0.

Ответ. Система неустойчива.

3.	Проверить по критерию Гурвица устойчивость следящей системы, за-
данной передаточной функцией разомкнутой системы

.   ®вых (Р)_________________Д (1 ~Ь Др)_______________

О(р) ~[(1+Т1р)(1+Т^(1+Твр)+куко(т+ТМр ’

при следующих значениях параметров: 71=0,12 сек; Г2=0,25 сек, То —0,05 сек\
Ру=50; *о=0,2; т=0,5; П=25.
Ответ. Следящая система устойчива.

4.	Проверить по критерию Гурвица устойчивость системы автоматическо-
го регулирования, заданной характеристическим уравнением

0,003р4 + 0,337рз	3,85р2 + 611 р + 75 = 0.

Ответ Система неустойчива.

5	Проверить по критерию Гурвица устойчивость^ следящей системы, струк-
турная схема которой изображена на рис. 5.10 при следующих параметрах

в

системы: Ас=50 в/рад; То = 0,1 сек; Тм = 0,31 сек; се=0,637 —— ; /в=158;
рао/сек

Т=0,01 сек; а=0,5; йо=0,1; Ау = 68.

Ответ. Следящая система устойчива.

6.	Проверить по критерию Рауса устойчивость следящей системы с интег-
рирующим и дифференцирующим звеньями и гибкой обратной связью по ско-
рости (структурную схему см. на рис. 5.11), задавшись следующими парамет-
рами системы:

Ас = 0,92 в/град; Тд — 0,08 сек; Тм = 0,2 сек; Ау=100;

в

к0 = 0,18; к„ = 0,6 сек; се = 0,01 -----;

град/сек

= 174; ки = 0,85 —; Тв = 0,175 сек.

сек

Ответ. Следящая система устойчива.

7.	Проверить по критерию Гурвица устойчивость следящей системы при
заданной передаточной функции для выходной величины

6ЕЬ1Х(р) _	_________49,6(1 +0,01 р)____________

0ВХ (р) ~ 0, ОООЗр4 + 0,0337р3 + 0,58р2 + 6,5р -г 49,6 ’

Ответ. Система устойчива.

§ 6.3. Примеры исследования устойчивости
по критерию Найквиста

Пример 6.13. Проверка устойчивости следящей системы
с гибкой обратной связью и определение запаса устойчивости
по фазе и модулю.

Структурная схема следящей системы приведена на
рис. 5.9, а. Значения параметров системы: /гс = 0,87 в/град; к0=

= 0,2; Л.. = 100; с. = 0,0106 ---------; /_ = 165; Та = 0,12 сек;

гсад/сек

Т„ = 0,25 сек; Тц = 0,01; 0,025 и 0,5 сек.

Передаточная функция разомкнутой системы

Ц7(р) = •--------------Р(1 +У(|Р)_______________=-

(1 + твР) (1 + тчр) (1 + тмр) р + Мо V

=___________________________ЩИ-?»_____________________________

тчтитер^- (7в7м+ 7970+ ТиТ0) р* + (Т^ Тм+ 70+ куквТй)р* + р ’
где

._ Г^'у

се /р

Заменив р на /о и подставив численные значения парамет-
ров, будем иметь:

при Го = 0,01 сек

Г (/ю) =	49,8(1+О.О1/<о)__________.

(0,0003м4—0,58си2) + / (со — 0,0337со3)'

при То=0,025 сек

1У7 (ко) =__________49,8(1 -{-0,025 /со)______.

У ’	(0,00075 м4 —0,895 со2) 4-/(™—0,0393м3)’

Рис. 6.4. Определение запаса устойчивости сле-
дящей системы с гибкой обратной связью

при То=0,5 сек

1^(/со) =

__________49,8(1 4-0,5/со)_____________

(0,015со4 — 10,9со2) + / (со — 0,215 со")

Задавая в трех последних выражениях ряд значений и, по-
лучим три амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой си-
стемы, построенные на рис. 6.4.

Чтобы судить об устойчивости следящей системы по виду ам-
плитудно-фазовой характеристики ^(/о), необходимо предва-
рительно выяснить, является ли устойчивой разомкнутая си-
стема.

В данном случае это проще всего сделать по критерию Гур-
вица. Характеристическое уравнение разомкнутой системы име-
ет вид

(д0р3 4- агр2 4- а2р 4- ая)р = 0.

При Го=0,01 сек

а0 — 0,0003; а1 = 0,0337; а2 = 0,58; а3 — 1,
и условие устойчивости

о,а2 — аоа3 = 0,0337-0,58 - 0,0003-1 = 0,0193 > 0

выполнимо; '
при Го—0,025 сек

а1а2 — аоаз = 0,0393 • 0,895 — 0,00075  1 > 0;

при То=0,5 сек

«1а2 — аоаз = 0,215-10,9 — 0,015-1 > 0.

Во всех трех случаях разомкнутая система устойчива. По-
этому для устойчивости следящей системы необходимо и доста-
точно, чтобы характеристика 1У(/и) не охватывала точ-
ку (—1,/0).

Из рис. 6.4 видно, что при Т0 = 0,01 сек следящая система не-
устойчива, так как амплитудно-фазовая характеристика охваты-
вает точку с координатами (—1, /0).

При 7о=О,О25 сек характеристика проходит через эту точку,
т. е. система находится на границе устойчивости.

При То = О,5 сек следящая система устойчива.

Для определения запаса устойчивости по фазе проведем
окружность радиусом, равным единице, с центром в начале ко-
ординат и соединим отрезком прямой начало координат и точку
пересечения амплитудно-фазовой характеристики с окружно-
стью единичного радиуса. Угол Дф, образованный отрезком
прямой с отрицательной вещественной осью, определяет запас
устойчивости по фазе (избыток фазы).

Для устойчивой системы (То = О,5 сек) имеем положительный
избыток фазы Дф=30°.

При Г0=0,01 сек имеем отрицательный избыток фазы Дф=
=—18°.

При То—0,025 сек избыток фазы равен нулю.

Запас устойчивости по модулю при устойчивой системе
(То=О,5 сек) Д/? = 52% определен как выраженное в процентах
отношение отрезка вещественной оси, заключенного между точ-
кой (—1,/0) и точкой пересечения амплитудно-фазовой харак-
теристики с вещественной осью, к отрезку, равному единице.

Пример 6.14. Проверка устойчивости следящей системы с
гибкой обратной связью, дифференцирующим и интегрирующим
контурами в главной цепи (рис. 5.11, а).

Значения параметров системы: Ас=0,87 в!град\ /гя=0,1 сек;
^„=1,0—; *у=190; /р=250; се = 7,2-10-3------; /го = О,2; Т =

сек	град! сек	4

= 0,15 сек; Гм=0,3 сек; То = О,О9 сек.
Передаточная функция разомкнутой системы

1р\ __ Д(^иЧ~Р Ь^дР2) (1 4~ УрР)

К р2 + рЧ^м + Л?4-7’о(1+Мо)1 +

+ Р4 (УМ Тд + Ти То + Тд Тд) + Ты Тд То р* '

где О = —-- у .

се'1\>

После подстановки численных значений параметров
_ 48,3(1 + 1,09р 4- 0,19 р2 4- 0,009 р1)

'Р ~ р2 4- 2,34р1 4- 0,0855р14- 0,00405р5 '
Заменяя р = /ю, имеем

.	48,3(1 +/ 1,09 м —0,19 се2—/ 0,009 «4

и	— юа—/2,34 со3 4-0,0855со44-/ 0,00405а5

Подставляя в последнее выражение ряд значений и, строим
амплитудно-фазовую характеристику системы (рис. 6.5).

Из рисунка видно, что система при данных параметрах
устойчива, так как характеристика ее не охватывает точку с ко-
ординатами (—1, /0), что является условием устойчивости сле-
дящей системы, поскольку разомкнутая система устойчива *.

Пользуясь приемом, описанным в примере 6.13, определим
запасы устойчивости по фазе и по модулю.

Для данной системы получаем: запас по фазе Лф = 35°; за-
пас по модулю Л/? = 95%.

Пример 6.15. Проверка устойчивости следящей системы.

Рассмотрим следящую систему из примера 6.14 при следую-
щих значениях параметров: /гс = 0,87 в/град; /гд = 0,6 сек;

Ли = 1 — ; ку = 100; Се = 0,0106 ---; /_ = 165;

сек у	град/сек р

= 0,2; Тч = 0,12 сек; Д,, = 0,25 сек; То — 0,01 и 0,1 сек.

Передаточная функция разомкнутой системы

Т> (1 4- Лдр 4~ Ли х

XV (р) =-----‘------------------------*

Р + Р2[ТМ+Тд+Т0(1 +Мо)1 +

> ___________X (14-УрР)__________

4- Р3 (ТдТм +ТдТ0+ТмТ0) 4- Р4У,УмУ0 ’

к

где О = —-------добротность системы.

с₽1р

* Здесь так же, как и в примере 6.15, не приводится предварительная
проверка устойчивости, разомкнутой системы, которая легко может быть сде-
лана, например, по критерию Гурвица.
Подставляя численные значения параметров системы, по-
лучим. при 7о = О,1 сек

Й7 (п) = 49,8(1 + 1.1 Р +0,7 р8 +0.06 р^) .

р2 + 2,47 рз 0,067 р4 + 0,003 р5 ’

при То = 0,01 сек

де,, ) — 49’8 С1 + 1.01 Р + 0.61 р2 + 6,006 рз)

'Р)	рг+ 0,58рз + 0,0337 р4 + 0,0003 р« ’

После замены р на /ю получим следующие выражения для
амплитудно-фазовых характеристик системы:

Рис. 6.5. Амплитудно-фазовая харак-
теристика следящей системы с гиб-
кой обратной связью и с дифферен-
цирующим и интегрирующим конту-
рами

Рис. 6.6. К определению запаса
устойчивости следящей системы

при То = 0,1 сек

де, .. .   49,8 (1 -|- у 1,1 ю — 0,7а2 — /0,06 а3)

~ — а2 — / 2,47 а3 + о,067 а4 + / 0,003а5 ’

при 70 = 0,01 сек

49,8(1 + /1,01 а —0,61 а2 — /0,006 а3)

</®1 —	_ а2_. 0,58 юз+0,0337	+ о э0003 а5 ’

по которым построены соответствующие кривые на рис. 6.6.

Пользуясь приемом, описанным в примере 6.13, определим
запасы устойчивости системы по фазе и модулю *:
при 70=0,1 сек

Д<р== 51°; ЛК — 90%;

при 7с=0,01 сек

Лгр = 30°; ЛК —90%.

См. сноску на стр. 188.
§ 6.4, Пример!  каследоваииг устойчивости
по критерию Михайлова

Пример 6.16. Исследование устойчивости следящей систе-
мы с жесткой и гибкой обратными связями по скорости.

Структурная схема системы приведена на рис. 5.10, а. Пара-
метры системы: /гс = 0,37 в!град-, /гу=100; се=0,0106 -------;

град /сек

/,,= 165; Т’7=0,12 сек; 7'м=0,25 сек; т=С,01 сек; /го = О,2; а=
= 0,02-1-0,4.

Передаточная функция разомкнутой системы

^(р) = Ас^(Р),

где 1Гг(р)—передаточная функция звеньев, охваченных об-
ратней связью. В свою очередв,

1Г, (р) =-------------------у(1+-^----------------— .

с<7рР[(1 + ‘г/Р + ТР + т Тцр2) (1 4- ?\.,Р) 4- кукп (а+тр)]
Передаточную функцию разомкнутой системы можно запи-
сать как

Г(р) = 411^_

В(р)

где А (р) = кукс (1 + гр),

В (р) = се/рР [т Т„Т^ + (т Тч + ТЦТК + т р* |-

+ (7,в + т + ^м + ^у^О Т) Р + (1 + ^у ^0 Ы)1 •
Передаточная функция замкнутой системы

®ВЫХ (Р) _ _________ _ А 1Р)

©вх(Р) -	~ Н(р}'

где

В (р) = А (р) + В (р) = се/р т + се/р (т + ТаТ,, + т Ти) ря+
+ (7\ + т + Тк + О0 т) се/р р2 + (се/р + се;ркук0 а + кукс т)р+А^с:
Характеристическое уравнение системы

В (р) = 0.

Обозначим:

а0 = се]рТкТчг = 0,0106-165-0,25-0,12-0,01 = 0,060524;

01 = 7Р • (т Т<1 +	+ т Тк) =

= 0,0196-165(9,01 -0,12 + 0,12-0,25 + 0,01-0,25) = 0,0589;

й2 =	~ + Ты кукот)се]р — (0,12 4 0,01 + 0,25 4-

+ 1С0-0,2-0,01) 0,0106-165= 1,014;
а3 = Д/’р + Д/’р&у&О а + Т = 0,0106 • 165 + 0,0105 X

X 165-100-0,2а + 100-0,87-0,01 = 2,619 + 35а;

а4 = ЛуЛс = 100-0,87 = 87.

Тогда	ч

// (р) = аср4 + а4р3 + оу?2 + а3р + о4 = 0.

Уравнение годографа Михайлова

Н (/го) = а0 (/и)4 + о1 + а2 (/и)2 + а3 (/го) + а, =

= а0 го4 — /«! го3 — а2 и2 + /а3 го + а4 = х + /у,
где

х — а0 го4 — а2 го2 + о4, у = — аг и3 + а3 го.

Подставив значения коэффициентов, получим:

х = 0,000524 го4 — 1,014 го2 + 87;

у = — 0,0589 го3 + (2,62 + 35 а) го.

Для данной системы коэффициенты характеристического
уравнения являются линейными функциями параметра а. При
этом исследование влияния коэффициента а на устойчивость си-
стемы сводится к построению только двух характеристических
кривых, соответствующих двум предельным значениям варьи-
руемого параметра.

Так как при фиксированных значениях го

= 0; ду^а} = 35 ю = СОП51>
да	да

то приращение 7/(/и) при изменении а для фиксированного го
будет пропорционально Да:

А Н (/го) =	Ла = С Аа,

где С — постоянная для каждого значения го.

Отсюда следует, что для построения семейства характери-
стических кривых по параметру а достаточно построить две кри-
вые этого семейства для двух произвольных значений а, а за-
тем разметить отрезки, соединяющие точки обеих кривых с оди-
наковыми значениями и, в соответствии с выбранным
интервалом изменения приращения Аа.

Построим предельные кривые для значений а=0,02 и а=0.4:
при а=0,02 и 0,4

х = 0,000524 го4 — 1,014 и2 + 87; .

при а=0,02

у = — 0,0589 и3 + (2,62 + 35 • 0,02) го = — 0,0589 го3 + 3,32и;

при а=0,4

у = — 0,0589ш3 + (2,62 + 35 - 0,4) го = — 0,Э589го3 + 16,6 го.
Таблица 6.5

Расчет характеристических
кривых Михайлова для а=0,02
и 0,4 приведен в табл. 6.5.

Графическое построение кри-
вых Михайлова с интервалом
Аа=0,095 выполнено на рис 6.7*.

।

Рис. 6.7. Построение кривых Михай-
лова

ьо ОО ИЭ со о

со о о <м со

о о о о о о	о о о о о о
см  «	О	о
9 II	со  3 3 з5| II со ад СМ СО II е  3 ю со - Й о	_ к
3 3§ 35 8°	
О	” X	-со — к а,
°	с  к	о	р.с

Из рисунка видно, что систе-
ма находится на границе устой-
чивости при значении параметра
а, примерно равном 0,08.

При а>0,08 система устойчи-
ва. При а<0,08 имеет место не-
устойчивая работа системы.

Пример 6.17. Исследование
устойчивости следящей системы
с интегрирующим и дифференци-
рующим звеньями и гибкой об-
ратной связью.

* На рис. 6.7—6.11 показаны на-
чальные участки кривых Михайлова.
Дальнейший ход кривых ясен из таблиц,.
Структурная схема системы представлена на рис. 5.11, а.

Параметры системы: кс = 0,87-------; к„ — 0,1 сек;

град! сек

/ги=1 —; к.. = 100; с, = 0,00818,-?—; /„ = 220;
сек	х град р

кп = 0,2; Ту — 0,15 сек-, Т,л = 0,3 сек; То = 0,01 -ь- 0,5 сек.

Для составления уравнения системы найдем передаточные
функции звеньев, эквивалентных интегро-дифференцирующему
звену и звеньям, охваченным гибкой обратной связью.

Передаточная функция звена, эквивалентного интегро-диф-
фереицируюгцему звену,

1ГДр) = 1 + кар +	.

р	р

Передаточная функция звена, эквивалентного звеньям, охва-
ченным гибкой обратной связью,

_____________с? !р_____

(1 + Ту р)(1 +ГМ р) р

1_________с^/р_________ касе /р р2У0

+ (1 + Т(7Р)(1+7’„Р)Р ' 70р + 1

~ (Т’оР + 1)

__________се 1р________________________

ОН-Т^рЦ! + Т„ р) (Т ор + I) р ку к0 То р2

Передаточная функция разомкнутой системы

к

(кД р2 + р + к„) (Тор + 1)

«7 (р) = к (р) Г О = -------------.

(1 + Ту р) (1 + Тыр) (1 + Тор) р* + кукоТоР*

Передаточная функция замкнутой системы для ошибки

о(р) =	1	=!=

0ВХ (Р)	1 + № (р)	Д (^д Р2 + Р + ^и) (ТоР -I- 1)

(1 + Ту р) (1 -|- Т м р) (1 -|-7’ ор) р2 + кукоТ оР3

__ __________(1 4~ Ту р) (1 I- 7М р) (1 -|- Трр) р"3 -|- ку кр Урр3_

~ (1 + Ту р) (1 + Тм р) (1 + Т,)Р) р2 + ку ко ТоР3 + О (йдР2+р+йи (ТоР+1) ’
где

п кску 0,87.100	.

и = -Д-Х- =--------------= 48,34 сек-1.

се/р	8,18-10-3-220

Характеристическое уравнение имеет вид

(1 + Тчр) (1 + Ты р) (1 + ТоР) р2 + Ау я0 Тор> 4-

4-	Р (Лд р2 + р + ки) (Гор 4-1) = 0.

После преобразований

Т. Тк то р> 4- (Т, Ти + Т9Т0 + Тк То) р* 4-

+ (Тч 4- Тм 4- То 4- Ло То 4-	То) р3 4-

+ (1 + О&д 4- ОТ0)р2 + (0 4- йиОТ0)р + О6И = О,

откуда получаем выражение вектора Михайлова

/7 (/и) = Тч Ты То/и5 + (Т,Ты + ТдТ0 + Тм То) и4 -

1	~(ТЧ + Тм + То + ку к0 То + Е>кл То) /и3 - (1 + Окл + ^Т0) й2 +
+ (О 4- ка ОТ0)/и +	О,15-О,ЗТо/й° +

4- (0,3-0,15 + О,15То + О,ЗТо) и4 —

- (0,15 + 0,3 + То + 100  0,2То + 48,3  0, !Т0) /и3 —

— (1 +48,3-0,1 + 48,ЗТО) й2 + (48,3 + 1  48,37 в)/й + 48,3  1 =
0,045То /и5 + (0,045 + 0,45То) и4 — (0,45 + 25,83Т0) /а3 —
— (5,83 + 48,ЗТО) и2 + (48,3 + 48,ЗТ0) /а + 48,3.

Задаваясь параметром То и подставляя различные значения
частоты, можно построить кривые Михайлова.

В соответствии с изложенным в примере 6.16, достаточно по-
строить только предельные кривые (для То=О,01 и 0,5 сек), а
промежуточные получить графически.

Построим кривую Михайлова для значения постоянной вре-
мени цепи обратной связи То=0,01 сек

Н (/й) = 0,00045/и5 + 0,0495й4 — 0,708/й3 — 6,32и2 4-
+ 48,8/ы + 48,3 = 0,0495и4 — 6,32й2 + 48,3 +
+ /и (0,00045и4 — 0,708й2 + 48,8).

При и = 0

Н (/и) = 48,34;

при й= со

Н (/й) -> ОО.

Расчеты при других значениях й сведем в табл. 6.6.
Таблице 6,6

1  2	0 ю2	0,1  0,01	0,5 * 0,25	1  1	2  4	3  9	5  25	10  100	20  400	30  900	' 50 2 500
3	ш4	0,0001	0,0625	1	16	81	625	10 000	160 000	810 000	6 250 000
4	0,0495'(3)	0,00000495	0,00309	0,0495	0,792	4,01	30,9	495	7 920	40 090	309 4С0
5	6,32(2)	0,0632	1,58	6,32	25,3	56,9	158,0	631 0	2 52?	5 686	.15 790
6	(4)4-48,34—	48,3	46,8	42,1	23,8	—4,52	-78,6	—88,4	5 391	34 460	293 600
7	-(5) 0,0004.(3)	0.000000045	0,0000281	0,00045	0,0072	0,0364	0,281	4,5	72	364,5	2 812
8	0,708'(2)	0,00708	0,177	0,708	2,83	6,38	17,7	70,8	283,0	637,5	I 771
9	(7)4-48,8—	48,8	48,6	48,1	46,0	42,5	31,4	-17,5	—162,5	—224,2	I 090
10	-(8) (9)ш	4,88	24,3	48,1	92.0	127,0	157,0	—175,0	—3250	—6 725	54 500
11	(6)+/(10)	48.3+/4,88	46,8+	+42,1 +	23,9+	—4,52+	—78,6+	—88,4—	5391—	34 460—	293 609+
ю			+/'24,3	+/48,1	+/92,0	+/127,0	+/157,0	-/175,0	—/3250	—/6725	+/54 500

Таблица 6.7

1	СО	0,1	0,5	1	2	3	5	10	20	30	50
2	(О2	0,01	0,25	1	4	9	25	100	400	900	2 500
3	й)4	0,0001	0,0625	1	16	81	625	10 000	160 000	810100	6 250 000
4	0,27.(3)	0,000027	0,01687	0,27	4,32	21 ,87	168,7	2 700	43 200	218 700	1 687 000
5	30(2)'	0,3	7,5	30	120	270	750	3 000	12 000	27 000	75 000
6	(4)+48,3- —(5)	48,04	40,86	18,61	—67,34	-199,8	—530,9	-251,7	31 250	191 700	1 612 000
7	0,0225-(3)	0,00000225	0,0014	0,0225	0,36	2,40	14,06	225	3 600	23 990	140600
8	13,37-(2)	0,1337	3,342	13,367	53,47	120,3	334,2	I 336	5 347	12 030	33 420
9	(7)+72,51 —  -(8)	72,38	69,17	59,16	19,40	-45,39	-247,6	—9685	-1 674	12 040	107 200
10	(9)ш	7,238	34,58	59,16	38,80	-136,2	—1238	29 684	—33 480	361 100	5 362 000
11	(6)+/(10)	48,04+ +/7,273	40,86 + +/34,58	18,61 + +/'59,16	—67,34+ +/3880	-199,8—  —/136,2	-530,9-  —/'1238	-251,7-  —/9685	31 248-  —/33 480	191 700+ +/361100	161 200+ +/5 362 000
На основании таблицы строим кривую Михайлова (рис. 6.8).

Согласно критерию Михайлова, система устойчива, если го-
дограф вектора Михайлова проходит последовательно в поло-

жительном направлении (против часовой стрелки) п квадрантов -
(п— порядок уравнения, описывающего систему).

Исследуемая система описывается уравнением пятого по-
рядка. Из таблицы и графика видно, что кривая проходит по-

Рис. 6.8. Построение кривых
Михайлова

следовательно пять квадрантов *. Зна-
чит при То = О,О1 сек система устой-
чива.

Построим кривую ЛАихайлова для
Го = 0,5 сек-.

Н (/(о) = О,О225/(оя + 0,27ы4—13,37/ь.3 -

— ЗОш2 4- 72,51/<о 4- 48,3 =0.,27и4—

—ЗОы2 — 48,3 4- /<о (0,0225(о4 —

— 13,37а>2 4-72,51).

При (0 = 0

Н (/<о) = 48,34,

При (0= оэ

И (/О)) -> СО.

Расчеты при других значениях (о
сведем в табл. 6.7, на основании кото-

рой построим кривую Михайлова.

Кривая проходит последовательно пять квадрантов. Значит,
при 7\)=0,5 сек система также устойчива.

Строим кривые для промежуточных значений То. Из графика
видно, что при всех промежуточных значениях То система устой-

чива.

Выясняем, устойчива ли система при отсутствии гибкой об-
ратной связи. Для этого строим кривую Михайлова при То=О:

Н (/и) = О,О45(о4 — 0,45/(о3 — 5,834(о2 4- 48,34/(0 4- 48,34 =

= 0,045ю4 — 5,834(о2 4- 48,34 4- /(о (48,34 — 0,45(о3).

В этом случае имеем систему четвертого порядка.

При (о = 0

Д(/(о) = 48,34.

При (0= СО.

Н (/(0) -> СО.

Расчеты при других значениях (о сводим в табл. ^.8, на осно-
вании которой строим кривую Михайлова (рис. 6.8). Из табли-

* См. сноску на стр. 192.-
цы и рисунка видно, что кривая про-
ходит последовательно четыре квад-
ранта. Значит, при отсутствии гибкой
обратной связи (То=0) система устой-
чива.

Пример 6.18. Исследование устой-
чивости следящей системы с гибкой
обратной связью путем построения
кривых Михайлова для различных
значений параметра Тс = 0,05-:-0,005
сек.

Структурная схема системы пред-
ставлена на рис. 5,9, а.

Параметры системы: йс = 0,87 в/град-,
Т9 = 0.05 сек-, /р=165; /?0=0,2; /гу= 100;
г,. = 0,0106; Тм=0,14 сек.

Передаточная функция замкнутой
системы

еЕЫх (р) =Р(1 4-тор)

^вк (Р)	(14-Тв р) (1фТм р) (1 +7оР) Р +

+ ку ки То р2 -]- О (1 -|- 7'0 р)

где О —	— добротность системы.

се /р

Характеристическое- уравнение си-
стемы

// (р) = Тч Тк То р4 + (Т, Тм +

+ ^т0 + 70т;,)р« +

+ (^<7 + ?в +	^0 Л>) Р2 +

+ (1 +от0)р + о = о.

Подставим численные значения
параметров, соответствующие двум
крайним значениям То:

при То= 0,005 сек

Н (/со) = 49,7—0,295т2 -|- 0,35 • 10~4 со’ +
+ / (о) • 1,249 — 7,95  10-3 и3);

при То = О,О5 сек

Н (/со) = 49,7 — 1,24со2 + 3,5  10 -* со’ ф-
+/(3,485со —0,0165со3).
Подставив ряд значений и, построим две кривые, соответст-
вующие двум крайним значениям параметра То. Соединим точ-
ки, соответствующие одинаковым частотам, прямыми и разде-
лим их на три равные части. Соединив точки деления плавными
кривыми, получим семейство кривых Михайлова (рис. 6.9),

Рис. 6.9. Определение области устойчивости следящей системы
при помощи критерия Михайлова

Дополнительно построим кривую Михайлова при То~
= 0,002 сек.

Как видно из рассмотрения кривых, система будет устойчи-
ва при значениях параметра То = 0,05:-0,005 сек. При 7'0<
<0,005 сек система неустойчива.
Глава VII. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 7.1. Освоенье способы определения переходных процессов

По окончании расчета системы автоматического управле-
ния, в процессе которого из условия обеспечения устойчивости
и заданных косвенных показателей качества (времени переход-
ного процесса, величины перерегулирования и т. д.) оказывают-
ся выбранными структура и значения параметров системы,
обычно производится приближенное построение кривой переход-
ного процесса в системе при каком-либо типовом воздействии.

Различные методы определения переходных процессов (в ви-
де графиков изменения во времени выходной величины или
ошибки) для наиболее характерных режимов работы системы
можно разбить па две основные группы.

В первую группу входят различные (аналитические, графиче-
ские, графо-аналитические) способы приближенного решения
дифференциальных уравнений системы управления, из которых
наибольшее распространение получил операторный метод, осно-
ванный на использовании преобразований Лапласа [Л. 27].

Вторую группу составляют методы, основанные на использо-
вании частотных характеристик систем автоматического управ7
ления. Здесь наиболее известным является метод построения
кривой переходного процесса при помощи так называемых тра-
пецеидальных вещественных частотных характеристик.

При использовании операторного метода, благодаря алге-
браизации дифференциальных уравнений (при переходе к опе-
раторным изображениям величин), существенно упрощается
процесс составления уравнений систем автоматического управ-
ления, который сводится к определению передаточных функций
отдельных звеньев и преобразованию структурных схем систем
управления (см. гл. II, IV).

После определения передаточной функции замкнутой систе-
мы Ф(д) операторное изображение выходной величины'на осно-
вании формулы (2.5) может быть получено как

Хвь,х(Р) = Ф(Р)*вх(Р). .
В качестве типового входного воздействия хвх(/), являюще-
гося оригиналом по отношению к изображению Хвх(р), чаще
всего применяется воздействие в виде единичной (скачкообраз-
ной) функции времени

*ВХ (0 =!(/) =

1 при / > О,
О при I < О,

операторное изображение которой по Лапласу

^'вх (0 -^вх (р) =	•

р.

Кроме единичной функции в качестве типовых воздействий
при исследовании систем автоматического управления (главным
образом, следящих систем), принимаются также следующие
входные воздействия:

в виде линейной функции времени

®вх (0 = при й = сопзК

для которой операторное изображение

0вх(р) = 4;
Р®

в виде квадратичной функции времени

6вх (0— ПРИ е = СОП81,

для которой операторное изображение

©вх(р) = -^;

р3
в виде синусной функции времени

@вх (0 = 51П При А = СОП81, Ь = 00051,
для которой

®вх (Р) =	•

х	р2 + Ь2

Следует иметь в виду, что в ряде руководств по операцион-
ному исчислению операторные изображения функций определя-
ются не преобразованием Лапласа (принятым в данной книге),
' а так называемым преобразованием Карсона-Хевисайда, отли-
чающимся наличием множителя р перед интегралом Лапласа.
Поэтому, пользуясь таблицами из этих руководств, нужно все
операторные изображения разделить на р.

Если известна передаточная функция системы Ф(р) и зада-
но входное воздействие, то определение переходного процесса
сводится к нахождению оригинала хвых(/) по его операторному
изображению Хвых(р). При этом должны быть заданы началь-
ные условия, которые большей частью принимаются нулевыми.
Для нахождения оригиналов в системах невысокого порядка
могут быть использованы таблицы операторных изображений
[Л. 27 и др.].

В системах выше третьего порядка обычно., пользуются вто-
рой теоремой разложения Хевисайда, сущность которой заклю-
чается в следующем. Пусть операторное'изображение Р(р) не-
которой функции /(/) представлено в виде дроби

^(р) =фгп

РРг (Р)

где Р\(р), Рг(р) — полиномы от р.

Тогда оригинал может быть определен как

Р2(0)	ркР'АРк)

к=1

где

(7.1)

зд=1~Ч р ’

[ йр \р-=рк

а Рь Р2,Рк — суть корни алгебраического уравнения, среди
которых нет кратных и нулевых корней *.

Применение теоремы разложения позволяет избежать трудо-
емкой процедуры определения постоянных интегрирования, не-
обходимой при использовании классических методов решения
дифференциальных уравнений, но не избавляет от нахождения
корней уравнения ^(р) = О, являющегося характеристическим
уравнением исследуемой системы управления.

Из многочисленных способов определения приближенных
значений корней характеристического уравнения наиболее эф-
фективными, по мнению авторов, являются метод деления мно-
гочленов [Л. 21] и итерационный метод [Л. 1], применение кото-
рых показано на примерах, рассмотренных в § 7. 2.

Построение кривой переходного процесса при помощи трапе-
цеидальных вещественных частотных характеристик основано
на наличии однозначной связи между функцией хвых(/), опреде- '
ляющей переходный процесс в системе управления, и частотной
функцией Р(а), представляющей собой вещественную часть
комплексного выражения

Ф (/ю) = Р (®) + /ф (и),

получаемого подстановкой р=]а в передаточную функцию
замкнутой системы управления Ф(р).

* Нахождение оригинала при наличии нулевых и кратных корней, а так-
же учет ненулевых начальных условий излагается в [Л. 19].
Метод трапецеидальных вещественных частотных характери-
стик подробно изложен в руководствах по теории автоматиче-
ского управления [см., например, Л. 19, 26 и др.]. Практическое
применение метода иллюстрируется в данной книге на приме-
рах, рассмотренных в § 7.3. Подробные таблицы используемых
при этом так называемых /гх -функций содержатся в [Л. 26].

В следящих системах переходный процесс чатто определяет-
ся в виде графика изменения не выходной величины системы
®вых(0> а ошибки &((). В этом случае передаточная функция
замкнутой системы определяется формулой (2.14) [вместо
(2.12)], а начальные условия пересчитываются с учетом соотно-
шения

0(О=©ВХ(О-0ВЫХЮ-

§ 7.2. Примеры решения уравнений операторным методом

Пример 7.1. Определение переходного процесса в апериоди-
ческом звене при единичном входном воздействии.

Передаточная функция звена

^ВЫХ (Р) _	&

Авх (р)	~ 1 + Тр ‘

Входная величина представляет собой единичную функцию
времени хвх (/) = !(/); А=1; постоянная времени звена 7=0,05;
0,5 и 2,5 сек.

При хвх(0 = 1 (/)

*ВХ(Р) = ~

Р
и

АВЬ1Х (р) =------.

х ’ ^+Тр)р

Получено простое операторное изображение, для которого
оригинал

*вых(*) = 41 — е г)'

На рис. 7.1 построен график функции хВых(0 ПРИ заданных
значениях Т.

Пример 7.2. Построение графика, изменения выходной ве-
личины апериодического звена при линейном входном воздейст-
вии хпх(/) =а1.

Параметры звена: к —10; с=40—;	7=0,05; 0,5 и 2,5 сек.

сек
При хвх(1) = а1

Хйх (Р) = — •
ра

Тогда Хвых (р) = -А---

Тр+\ & .

Функцию Лвых(О можно найти по таблицам или интегриро-
ванием в пределах от 0 до I оригинала, соответствующего изо-

Рис. 7.1. Кривые ХВых (0 для апе-
риодического звена при единичной
входной функции

Рис. 7.2. Кривые Хвых (/) для
апериодического звена при ли-
нейной входной функции

В обоих случаях
/	_ 2\

Хвых (0 =	~ а&Т \ 1 — е Т / 

После подстановки численных величин
/	_ 2_\

хвых (0 = 400^ — 4007 \ 1 — е т / .

График хвых(0 для указанных значений Т построен на
рис.7.2.

Пример ?.3 Построение графика хвых(0 для апериодиче-
ского звена при квадратичном входном воздействии.

Передаточная функция звена
Хвых (Р) ___________________	&

А'вх(р) Гр 4-1

Параметры звена: 7=0,05; 0,5 и 2,5 сек\ /г=10.
Входная величина

хвх (0 = А г2,
Так как

(0 = ХВх (Р) = ~, то Хвих (р) = —^7—
Р3	(Гр+1)рз

Интегрируя дважды оригинал, соответствующий изображе-
нию

кЬ

(Тр + 1)р *

для апериодического зве-

ческого звена при синусной входной

на при квадратичной
входной функции

функции

После подстановки числовых величин

хВЬ1х (О = 20/2 — 40Т/ — 4 ОТ211 — е т

График хЕых(0 Для заданных значений Т построен на
рис. 7.3.

Пример 7.4. Построение графика хВых(0 Для апериодиче-
ского звена при синусоидальном входном воздействии.

Пусть хБХ(/) =А зш 01,

где А = 1, О = 2— .
сек

Тогда

*вх (р) =

ЛО
₽2+<>2 ’

•^вых (Р)

МО
(Тр+1)(р2-ро2)'
Пользуясь таблицей операторных изображений [Л. 27], на-
ходим

Хвых (0 = ~ кА ----------Та — е т + 51П (И/ — агс(§ 7П) .

|/7'2й2 + 1 |/7’2<22 + 1

После подстановки числовых величин

хВых (0 = — 10 - 2Г е г + 81п(2^ —агс(§27) .

У' 472 + 1	/ 472 + 1

График хВЫх(О построен на рис. 7.4.

Рис. 7.5. Структурная схема следящей системы

Пример 7.5. Построение графика изменения ошибки следя-
щей системы по семейству безразмерных кривых. Передаточная
функция следящей системы

6 (р) = 7мр2 + (1 + ^уМр
<Эех(р)	7мр2 + (1+*уй0)р + о'

Параметры системы: 7’м=0,04 сек; /гу = 300; йо=0,002; П =

= 100—. Структурная схема системы изображена на рис. 7.5.
сек

Воспользуемся приведенными на рис. 7.6 безразмерными
кривыми ошибки 0(/), построенными по оригиналу операторно-
го изображения

©(₽) = —_р2 + ^_...

( р2 + 2*<оо р-ЬИд) р

для различных значений коэффициента затухания 5 при единич-
ном входном воздействии 0ВХ(/) = 1(0-

Подставляя численные значения параметров и принимая

еЕХ(р) = —
р
будем иметь

© (п) =	0,04р2 + 1,6р	= Р2 + 4О

(0,04р2 + 1,6р + 100) р р2 + 40р + 2500‘
Сравнивая полученное выражение с изображением ошибки в
безразмерных параметрах, находим, что в нашем случае =
=2500 и, следовательно, шо=5О.

Из уравнения 2 • 50^=40 находим С=0,4.

Выбираем на рис. 7.6 кривую при ^=0,4 и наносим по оси
абсцисс значения времени из условия

<х>о 50
где ( — безразмерное время.

Рис. 7.6. Безразмерные
кривые ошибки для си-
стем второго порядка

Рис. 7.7. График 0(0 для следя-
щей системы при единичном воз-
действии

В результате получим график 0(0, приведенный на рис. 7.7.

Пример 7.6. Построение графика ©Вых(0 для следящей
системы при входном сигнале, изменяющемся по линейному за-
кону 0ВХ(О =

Система имеет следующие значения параметров: кс =
= 50 в/рад-, /гу=400; се=0,6—----; Гм=0,02 сек; /р=250; й0=

рад/сек

= 10-4; й = 60 град/сек.

Структурная схема следящей системы изображена на рис.
7.5. Так как

®вх(0 = П/=-^,
то операторное изображение выходной величины

вых' '	1Л, Р2 + (14- Лу V/ Р4-О] Р2 ’

где

Ру

се /р
В справочнике по операционному исчислению имеем формулу

-------1------- ~’—- ГI--------------Н — е~“г еш (Ы - X) I,
[(р + «)2 + ^ра а2 + *2 [ й2+*2 ь	]

где 7.=2агс1§——.

—а	\

Выражение для 0Вых(р) можно преобразовать к виду

(с) = —--------------~

1	п!0

тк

Рис. 7.8. Графики 0ЕХ(/) и
0шл (/) для следящей системы
при линейном воздействии

Рис. 7.9. Графики 0Вх(<)
и ©вых (/) при квадра-
тичном воздействии

Приравнивая соответствующие коэффициенты знаменателей,
замечаем, что последнее выражение можно свести к формуле
справочника, если положить

2ТЫ ’
ь = ~~ У'4ОТм-{1+кук0Г ;

О2 + Ь2 = — ,

Тм

Учитывая постоянный множитель □, будем иметь

«вых (/) = О/ — й [ —----- 4- е-*1 ЯП (Ы - А)1.

[ а2 + 62 Ь	]	<

После подстановки численных значений параметров системы
©вых = 60/ — 60 [0,00777 — 0,0129е726' яп (77,4/ — 3,79)] .

График 0выХ(/) представлен на рис. 7.8.
Пример 7.7. Построение графика 0Вых(/) для следящей си-
стемы ири квадратичном входном воздействии.

Пусть 0Вх(/) = — /2 (е = 40 —.

2	\	сек2 /

Подставляя в передаточную функцию системы, рассмотрен-
ной в примере 7.6, значение

©вх(р)^4’
д’

будем иметь

0ВЬ1Х (р) -----------—-----------.

1ТмР2 + (\+куке)р + о]р^

Вводя те же подстановки, что и в примере 7.6, запишем

©вых (Р) = (а2 + й2) е

_________1________

рЗ[(р + й)2+Ь“-]

Готовой формулы в справочнике нет, поэтому проинтегриру-
ем оригинал табличного изображения, использованного в при-
мере 7.6:

I

------1--------~ Г-----!--Г/ — -— ------1- -- е~а* 51 п (Ы — Л)1 п'/,

р* [(Р + а)2 -Г Ь2] ‘ а2 + Ьа [	а2ф&2 Ь	]

о
где

Л = 2агс 1ц Ь .

—а

Выполняя интегрирование и учитывая наличие постоянного
сомножителя е, получим

0ВЫХ (/) = — I2---------[%а1 + е~а1 Г — яп (Ы — X) +

вых \ ;	2 а2 + 62 I	[ Ь

-ф СОЗ (Ы — 7)1 -ф — 8Ш X — С08 X

Подставив в последнее выражение численные значения пара-
метров следящей системы, будем иметь

©вых (0 = 20/2 — 0,006 {52/ + е-26' [0,336 зт (77,4/ — 3,79) +

+ со5 (77,4/ — 3,79)] + 0,597} .

График функции 0Вых(/) представлен на рис. 7.9.

Пример 7.8. Определение переходного процесса на выходе
следящей системы при 0Вых(/)	П/.

Значения параметров входного воздействия: Д = 1, й =
= 8 рад [сек.

Поскольку

51 п (.11 = —------- ,

• Р2Ф<>2
то изображение выходной величины следящей системы (из при-
мера 7.6)

0В,,„ (₽) = -------------~---------------

1Л, Р2 + (1 + ку к0) Р + О] (р2 + Й2)

Вводя такие же подстановки, как и в примере 7.6, можем на-
писать

Овых (р) = (а2 + &2)-----—------------•

[(р + а)2 + 62] (о2 + й2)

Применяя соответствующую формулу из справочника по
операционному исчислению, будем иметь

©вых (О = ---------аа + Ъа -..- ЯП (П/ - ^) +

V(а2 + Ь2 — й2)2 + 4а2 Й2

.	(й2 Ь2) й	—а1 • /11 к

Ч----------*	- е 8Ш (Ы — ср),

Ь '/(а2 + Ь2 — й2)2 + 4а2 й2

где

»	, 2ай	,	—2а6

Л = аге гр----------: ср — аге гр----------.

ь а2 4- Ь2 — й2 т	а2 — Ь2 4- й2

Подставив численные значения параметров системы, полу-
чим

©вых (О = 1,024 81п (8/ — 0,063) + 0, Ю6е~2М §1п (77,4? — 3,79).

Значения 0ВЫХ(/) приведены в
табл. 7.1, по которой построен гра-
фик, изображенный на рис. 7.10.

Таблица 7.1

Рис. 7. 10. График ©вых(О
при синусном воздействии

1, сек	»ВЫХ«>	1, сек	°вых«>
0	0	0,20	1,021
0,005	0,0008	0,35	0,404
0,01	0,0076	0,50	—0,73
0,05	0,341	0,60	—1,02
0,10	0,682	0,80	0,0552
0,15	0,929	1,00	1,02

Пример 7.9. Построение кривой переходного процесса в сле-
дящей системе с жесткой отрицательной обратной связью по
скорости.

Структурная схема системы изображена на рис. 7.5.

Управляющее воздействие имеет вид единичной функции вре-
мени.
Система имеет следующие параметры: передаточный коэф-
фициент преобразующего устройства Ро = 50 в/рад-, передаточный
коэффициент усилителя Ру=800; скоростной коэффициент двига-
теля се<=0,6 —-—; электромеханическая постоянная времени
рад/сек,

двигателя Тм=0,04 сек\ передаточное число редуктора /р=250;
коэффициент жесткой обратной связи /?с=0; 0,0001; 0,00565; 0,01.
Передаточная функция разомкнутой системы

1

С?]?

Г (р) = Лс ----- ----------------= ------—5---------

йу --;—-

, .	се /р .

I + -— • «о се 1О р -

(Тмр+Г)р 0 е1ри
гдеО=^-.

се /’р

, Операторное изображение выходной величины

©вых (Р) = ! + ©вх (Р) = —	©вх (Р) =

1+гТК

=----------—----------евх (р).

7мр2-Ь(1+*уЛ„)р-|-1)

При 0Вых(/) = 1 (О
операторное изображение входной величины

©вх (Р) = — ,

р

тогда

О

©вых (Р) =

[Тмр^(1+кук0)р^О\р
О

"КГ

!	1 -4- йу ка О \

Р\Р + ~^Р+^)

В таблице операторных изображений имеем:
при п2>т2

1

+ %тР +	' п2

е ”г<|со5п-^+

т .

•— ЗШПхП ,
“1 И

где	= Уп2 — т2 ;
1

5

1 — е

р {р2 + 2тр + п2)	' п2 [

где а = ^т2 — п2 .

В данном случае

2т = 1+Мо ;

Ты

— бЬа/
а

2 О
п2 =-----

Тк

В зависимости от /?0 может быть п2>т2 или т2>п2.

Рассмотрим несколько случаев при различных значениях к0:
1) ко=О.

2т = — = —!— =25;
Тм 0,04

пг = 12,5; т2 = 12,52 = 156,2;

2 О кску	50-800 сс „

5М се1рТы 0,6-250-0,04
т2<+

Чтобы перейти от изображения к оригиналу, находим:
% =	—«2 = 1^6666— 156,2 = 80,75;

тогда

0ВЫХ (0=1 — е~'2’5' 'СО5 80,75/ + 0,155 51п 80,75/).

2)	/го=1О-4.

2т = 1+Му = 1 + 800-Ю-4 = 27.

Ты	0,04

т= 13,5; т2= 182,25;

= 1Л6666— 182,25 = 80,6;

+ ==6666; — = 0,1675;

«1

т2 < п2.

©вых.(/) = 1 — е“13,а (005 80,6/ + 0,1675 51п 80,6/) .

3)	к0 = 0,01)565.

2^  1 Н~ ку   I	0,00565 - 800   ’ 38’

- “ Тм ~	0,04

т ~ 69; т2 = 4760; т2 < п2;

П1 = ^6%6 — 47 30 = 43,6; — = 1,583;

п.

©вых (6=1 —е 69/(СО5 43,6/+ ,503 511143,6/).
4)	Ао = О,01.

о 1 +	1 4-800-0,01	о__	.

2/л =----------= —!-----------— = 225; т = 112,-5:

Тк	0,04

т2 = 12 635; т. е. т2 > и2.

При этом условии (по приведенной выше формуле)
а = ут2~^ = У12 635 — 6666 = 77,25;
— = 1,456;

а

©вых (0 = 1— е~112-5/ (сЬ 77,25/ + 1,456 зк 77,25/).

Таблица 7.2

1, сек	®вых				/, сек	6 вых			
	с	к х	ю со  о х	х		Пэ	г?  х	к,= 0,00565	х
0	0	0	0	0	0,1	1,02	1,01	0,992	0,973
0,01	0,293	0,274	0,16	0,17	0,11	1,2	1,17	——	—
0,02	0,913	1,1	0,408	0,4	0,12	1,22	1,2	—	—
0,03	1,44	1,43	0,615	0,577	0,15	0,85	0,89	—	-—
0,04	1,61	1,59	0,766	0,704	0,19	1,08	1,07	—	—
0,05	1,33	1,39	0,864	0,796	0,28	0,949	0,956	—.	~	
0,06	1,02	1,02	0,919	0,853	0,27	1,03	1,02	—	—
0,07	0,705	0,726	0,955	0,892	0,31	0,986	——	—-	—
0,08	0,596	0,71	0,974	0,926	—	—	—	—	—.
0,09	0,824	0,791	0,986	0,964	—	—	—	—	—

Рис. 7.11. Графики 0ВЫХ(О для следя-
щей системы:

1 — Лс=0; 2 — Ло=10~4; 3 — Лс= 0,00565;

й — ^=0.01

Рассчитанный по табл.
7.2 график 0Вых(/) изобра-
жен на рис. 7.11.

Пример 7.10. Построение
кривой переходного про-
цесса 0Вых(/) в следящей
системе с жесткой обратной
связью по скорости (рис.
7.5) при изменении управ-
ляющего воздействия по за-
кону единичной функции
времени.

Система имеет следую-
щие параметры: передаточ-
ный коэффициент преобра-
зующего устройства /?с =
= 0,87 в/град; передаточный
коэффициент усилителя
А\ = 400; скоростной коэффициент двигателя се=0,0131--------- ;

град / сек.

электромеханическая постоянная времени двигателя Тм==
= 0,02 сек-, передаточное число редуктора )р=200; коэффициент
жесткой обратной связи Р0==0; 0,0001; 0,00565; 0,01.

Передаточная функция разомкнутой \ системы (см. пример
7.9)

117 (р) = _----2,

(7 м Р + 1 +	&о) Р

где

Гу __ КС Гсу

Се /р

Операторное изображение выходной величины

©вых (р) = -	©вх (р) =

имл V 7	«	 жт/7 х х ИЛ V /

1 + и7 (р)

Р

Т
л м

ку кр

Ты

о
р + ~^~

1 м

©вх (Р)-

приевх(о = ПО

©вх (р) = —
р

откуда

©вых (Р) —

р

ТУ

V + ты р+ ти /

Для расчета переходного процесса применим формулы, при-
веденные в примере 7.9:
при п2>т2

1	•	1 Г1 Л—/	. . 772 .	,\1

----I----------------- 1— е (СО5П,/-)	51ПП./ ,
р (р2 4-2тр + па) п2 [	(	пх 1 /]

где пх = }/Л«2 — т'2 ;

при т2>/г2

--------------= —7- [1 — е-т/ (ей а1 — з11 а/) ,

р(р2 4-2тр-(-л2)	(	а /)

где а = |//;Г2 — и* .

В данном случае
2т = 1+Мд • /г2 =

ТЛ1

В зависимости от к0 может быть т2>п2 или п2>т2.
Рассмотрим несколько случаев при различных значениях Лс:
1) Ло=О.

т — 25;	= 625;

п2 = — = ._к^ку	----= 6660;

Тм се/р7м 0,0131.200.0.02

П1 = у~п2~т2 = /6660 —625 = 77,7;

— =	=0,325.

«1	77.7

Перейдем от изображения к оригиналу. Так как т2<и2, то

©вых (0=1— е~К1 (со5 77,7/ + 0,325 яп 77,7/).

2)	Ло = 10~4.

2/н = 1±М
. м

1 + 400.10-4
0,02

т = 26; т2 = 676;

Л1 = К6660—676 = 77,4;

=0,336;
п, 77,4

6№» (0=1— е~™ (со® 77,4/ + 0,336 мп 77,4/).

3)	Ло = 0,00565.

2/и — 1 4~	0,00565-400 _263*

~ Ты ~	0.02	’

т = 81,5; ш2 = 6642;

«г = 1/6665 — 6642 = 4,8;

т 81,5 _____ .

7Г= 4-8 ~ ’

©вых (0=1— е~81'5 * (соз 4,8 / + 17 яп 4,8 /).

4)	Ло = О,О1.

2т =	=	= 250;

Ты	0,02

т = 125; «2 = 15 600.
В данном случае т2>л2, а следовательно,

а = 1/ т2 — л2 = У15600— 6665 = 94,6;

21 = 2^ = ] 32-
а Э4,6

©ЕЫХ(/) = I — е'125 * (сЬ 94,6 * + 1,32 зЬ 94,6 0-

Данные расчета ОВЫХ (0
представлены в табл. 7.3,
на основании которой
построены кривые пере-
ходных процессов в сле-
дящей системе (рис.
7.12).

Пример 7.11. Постро-
ение кривой переходного
процесса 0Вых(О в сле-
дящей системе с гибкой
обратной связью.

Структурная схема
системы изображена на
рис. 5.9, а. Управляющее

6^(0

Рис. 7.12. График 0ВЫх(О для следящей
системы:

I, 2 — ке=0 и *о= Ю-4; 3 — ко=0,00565; 4 — к„=0,01

Таблица 7.3

(, сек	о  вых				сек	е  вых			
	I	^-01=’»	*о=0,00565	О  1		1  Л?	1 о  7  ч?	00565 		о
0	0	0	0	0	0,045	1,34	1,32	0,883	0,71
0,005	0,07	0,075	0,06	0,06	0,06	1,08	1,05	0,996	0,81
0,01	0,266	0,269	0,19	0,166	0,07	0,917	0,925	0,998	0,88
0,015	0,52	0,50	0,354	0,271	0,08	0,865	0,893	0.999	0,965
0,02	0,792	0,785	0,493	0,366	0,09	0 898	0,896	—	—.
0,025	1,0	1,02	0,616	0,45	0,1	0,964	0 967	—-	—
0,63	1,20	1,199	0,702	0,53	0,2	0,999	1,0	—.	—
0,035	1,34	1,33	0,712	0,6	—	—	—-	—	—
0,04	1,36	1,35	0,84	0,653	—	—	—	—	—

воздействие изменяется по закону единичной функции времени.

Система имеет следующие параметры: передаточный коэф-
фициент преобразующего устройства &с~ 0,87 в/град-, постоян-
ная времени поперечной цепи якоря ЭМУ Тч=0,12 сек, электро-
механическая постоянная времени двигателя Гм=0,25 сек;
скоростной коэффициент двигателя се=0,0106----------; переда-

град/сек

точное число редуктора /р= 165; коэффициент гибкой обратной
связи #о=О,2; коэффициент усиления усилителя #у—100; посто-
янная времени стабилизирующего звена То=О,5 сек.

Передаточная функция разомкнутой системы
к-у

IV (р) = #с(14-+ Тм р)р_
Ру

. ,	Се /р_____ #о се ]р рТрР

+ (1 + Л,р)(1+Гмр)р ’ (1 + Гвр)

Передаточная функция замкнутой системы

<Э,ых(Р) 	(р)	=

©ВХ (Р) I + Ч' (Р)

___________________________О (14~7пр)___________________

“ 7\^сР4+(ГуГы+ГсГм+ГсТ^+(Г9+Гы+Г0+/гуРсТв^+(1+РЛ,)р+С’

где

р =
се /р

Определим численные значения:

р =	_ лд у.

0,0106-165	* ’ ’

70 Тм То = 0,12 • 0,25 • 0,5 = 0,015;

7, Л, + то Гм + Л То = о, 12-0,25 + 0,5-0,25 + 0,5-0,12 = 0.215;

7Ч+7Н + То + к^0Т0 = 0,12 + 0,25 + 0,5 + 100-0,2-0,5 = Ю,9;

1 + ОТ0 = 1 + 49,7-0,5 = 25,9;

6ВЫх(Р) ___________49,7(1 +0,5р)________

©вХ(Р) 0,015 р4 + 0,215 р3 + Ю,9 рЧ-25,9р +49,7’

Характеристическое уравнение системы имеет вид

0,015р4 + 0,215р3+ 10,9р2 + 25,9 р + 49,7 = 0,

или

+ 14,3 р3 + 725 Р2 + 1710 р + 3320 = 0.

Определим корни характеристического уравнения по методу
деления многочленов [Я.21].

Первое приближение:

725р2+ 1710рф- 3320 = 0,

или

Р2+ 2,37р +4,6 = 0;
_р’+ 14,3 р3 4- 725р2 + 1710р + 3320 |р2 +2,37 р +4,6

Р4 + 2,4 р3 4-4,6 р2_______	2	12р 4- 692

_ 12р34-720р24-1710р
12р3 4- 28р2 +	54р

692 р3 4- 1660 Р4- 33^0

Второе приближение:

692 р> + 1660р 4-3320 = 0,
пли

р2 4- 2,4 р + 4,8 = 0;

_Р* + 14,3р34-725р2 4- 1710 р 4-3320' р^ 4-2,4 р +4,8

р*+ 2,4 р3 4-4,8 р2_________ 2	12 р 4- 691

_ 12р34-720р2 4- 1710р

12 р3 4- 29 р2 4- 57 р
— 691 р24- 1650р4-3320
691 р2 + 1660 р +3310.

Дальнейшие вычисления не имеют смысла, так как результаты
их отличаются лишь в третьем знаке.

Таким образом, характеристическое уравнение системы раз-
лагается на два квадратных:

691 р2 4- 1660 р 4- 3310 = 0 и р2 4- 12р + 691 = 0,

или

р2 4-2,4Р 4-4,79 = О и р2 + 12р4-691 =0.

Корни характеристического уравнения:

Р1 2 = — 1,2 ± / 1,83;

Рз,4 = — 6 ± /25,6.

Таким образом,

Р1 = — 1,2 4- / 1,83 = 2,19 90° 4- 33°15' ;

р2 = —1,2 — / 1,83 = 2,19 \ — (90° 4- 33° 15');

Рз = — 6 + / 25,6 = 26,31 90° + 13° 10';

р4 = — 6 — / 25.6 = 26,31 — (90° 4- 13е 10').

При 0вх(/) = 1(/)

®вх(Р) = —•

Р

Операторное изображение выходной величины
где

Г1(р) = 49,7(1 + 0,5р);

Г2(р) = 0,015 р4 + 0,215р3 + 10,9 р2 + 25,9р + 49,7-

Используем вторую теорему разложения (7.1) для отыска-
ния оригинала по его изображению. В данном случае:

Г;<р) = 0,06 р3 -V 0,645 р2 4- 21,8 р + 25,9;

Л (р) = 49,7(1+ 0,5 р).

ВЫЧИСЛИМ —

Р1 Т'г (рО

Р1 = — 1,2 + / 1,83 = 2,19|90° + 33° 15';

Л (Рг) = 49,7 [1 + 0,5 (—1,2 + / 1,83)| =

= 20,9 + / 45,5 = 49,71 66°22';

Р’2 (рх) = 0,06 р; + 0,645 р* + 21,8 р, + 25,9;

0,06 р^ = 0,06-10,51 9°45' = 0,621 + /0,106;

0,645 р? = 0,645-4,81 180°+66°30' = — 1,23-/2,84;

21,8= 21,8 (— 1,2 + / 1,83) = — 26,1 + /39,8;

Р2(Р1) = — 0,798 + / 37 = 37190° + 1°15'.

Тогда

Л(Р1) =	49-7 1^	= 0 б13 ,-/<№453=8')

Р1 т2 (Л)	37 I900 + Г15' •2 •19 |90° + ЗУ1У

Соответственно

Л (рг) = о $1зе<<9<)0+5808'>

Р2Т2(Р2)

Вычислим

Р38 2 (Рз)

р3 = — 6 + / 25,6 = 26,31 90° + 13°10';

Г, (р3) = 49,7 [1 + 0,5(— 6 + / 25,6)] =

= — 98,6 + / 637 = 6441 90° + 8°52';

^(р3) = О.Обр3 + 0,645рз + 21.8р3 + 25.9;

6,06 р’ = 0,06-18170 [ 270° + 39°30' = 694 — /841;

0,645 р2 = 0,645-6911 180°+26°20' = — 400 — / 198;
21,8р3 = 21,8 (—6,0 4- /25,6) = — 130 + /556;
5; (р3) = 190 — / 482 = 5181 — 68°ЗОЛ.

Тогда

„ , ,	644190°+8о52'

________________________!—=—----------к 0,0472 е
Рз.р’АРа) 518|—68°30'-26,3|90° +13°10'

Соответственно

.	= 0,0472 е~/64°12' .

Р4 р'ъ (Р*)

Подставляя в формулу (7.1), будем иметь:

евых (0 = 1+ о,б1з е-'<90°+58°8') •е(~1-2+'' 1-83)' +

+ 0,613е'(&0°+58°8)-е(—1,2-'1,83) 1 + 0,0472 е'64’12' .е<-6+/25-6>'

или после преобразований

®вых(0= 1 + 1,23е-1’2' соз(1,832,58) +
+ 0,0945 Г5'96 * соз (25,61 + 1,12).

Результаты расчета функции
7.4, по которой построен график
(рис. 7.13).

©вых(0 представлены в табл.

с гибкой обратной связью при
То=О,5 сек

Таблица 7.4

1, сек	вБы+>	Л сек	евых(О
0	0	2,0	1,05
0.2	0,446	2,4	0,839
0,4	0,792	2,8	0,965
0,8	1,2	3,2	0,974
1,0	1,27	3,6	0,989
1,2	1,27	4,0	1,0
1,6	1,17		

Пример 7.12. Построение кривой переходного процесса
<Эвых(^) в следящей системе с жесткой и гибкой обратными свя-
зями.

Структурная схема системы изображена на рис. 5.10, а. Уп-
равляющее воздействие изменяется по закону единичной функ-
ции времени. 

Система имеет следующие параметры: передаточный коэф-
фициент преобразующего устройства йс = 87 в!град-, постоянная
времени поперечной цепи якоря ЭМУ Т<,=0,12 сек; электроме-
ханическая постоянная времени двигателя 7'м=0,25 сек\ скорост-
ной коэффициент двигателя се = 0,0106 -----------; передаточное

грарсек

число редуктора /р= 165; коэффициент гибкой обратной связи
#о=О,2; коэффициент усиления &у=100; постоянная времени ста-
билизирующего звена т=0,05 сек; передаточный коэффициент
стабилизирующего звена а = 0,2.

Передаточная функция разомкнутой системы

____ се 1р________

(п) — /г _________Р) (1 + Ум Р) Р____________ _ А (р)

с	ку	В(р)’

ср/'р к0 се /р р (а+тр)

(1 + У^ р) (1 + УмР) Р (1 + тр)
где

Л (р) = 0(1+тр),

В (р) = Тя Та тр’ + (Г. т 4- ТК т + Тч Тл) р> +

+ \ТЧ + Та + (1 -ф ку к() т] р2 + (1 + ку коа) р;

0___ &С

се /р

Передаточная функция замкнутой системы

®вых(Р)	1Г(р) _ А(р)

®ъ-Лр)	1+Г(р) Н(р) *

где

Н(р) = А (р) 4- В (р) = Тч Ты тр' 4- (Тя т 4- Ты т 4- Т, Ты) р' +

+ [Тч 4- Л, + (1 4- /г0)т[ р* + (1 + ку кйа 4- От) р + О.

Найдем численные значения коэффициентов:

Е) = ** кУ = 0,87-100	, 197 1 .

се1р 0,0106-165	’ сек ’

797мт = 0,12-0,25-0,05 = 0,0015 сек3;

Т,т + т„т + ТдТм = 0,12-0,05 4- 0,25• 0,05 4-

+ 0,12-0,25 = 0,0485 сек2;

Ту + Тк + (1 + ку к0) т = 0,12 4" 0,25 +

+ (1 +0,2-100)0,05= 1,42 сек;

1 4- ку к0 а + От = I + 0,2 • 100 - 0,2 + 49,7 • 0,05 = 7,49;

евь,х(р) _______________49,7(1 +0,05р)___________

евх(р) 0,0015/7* 4~ 0.0485р3 + 1,42р2 + 7,49р49,7

Характеристическое уравнение системы имеет вид

0,0015р4 + 0.0485Р3 + 1,42р + 7,49р + 49,7 = 0,
или

р* 4- 32,3 р3 + 947р2 + 4990р 4- 33 200 = 0.

Для определения корней характеристического уравнения вос-
пользуемся методом деления многочленов [Л.21].

Квадратное уравнение первого приблйжения

947Д2 4- 4990р 4- 33 200 = 0,
или

р2 4- 5,27р 4-35,1 = 0,

р* 4- 32,Зр3 4- 947р2 4- 4990р 4- 33 200 | р2 + 5,27 р 4- 35,1

р* + 5,27р3 + 35,1р2	р2 + 27,1 + 769

'“_27,1р34-912р2+4990р

27,^4-143^4- 949р

769р24-4042р4-33 200.

Квадратное уравнение второго приближения

769р2 4- 4042р 4- 33 200 = 0,
или

р2 4-5,25р 4-43,1 = 0,

р4 4- 32,Зр3 + 947р’ + 4990р + 33 2001 р2 4- 5,25р + 43,1

р1 + 5,25р3 + 43,1р2	р2 4-27,1р-|4бГ

_27,1р34-904р2 4- 4990р

27,1р3 4- 143р2 4- И70р _________

761р2 4- 3820р 4- 33 200.

Квадратное уравнение третьего приближения

761р2 4- 3820р 4- 33 200 = 0,
или

р2 4- 5,02р 4- 43,5 = 0,

р4 4- 32,Зр3 4- 947р2 4- 4990р 4- 33 2001 р2 4- 5,02р 4- 43,5

р* 4- 5,02р3 + 43,5р2	р2 4- 27,Зр 4- 766

'	_ 27,Зр3 4- 903р2 4- 4990р-

27,Зр3 4- 137'р2 4- 1190р

~766р2 4- 3800р 4- 33 206.

Квадратное уравнение четвертого приближения

766р2 4- 3800р 4- 33 200 = 0,

или

р2 4- 4,95р + 43,2 = 0,
221
__ Рл 4 32,Зр3 4 947,4 4 4990р 4 33 200 [ р8 4 4,95р 4 43,2

р* + 4,95р3 + 43,2д2

__27,4р3 4- 904р2 + 4990р

27,4р3 4 136р2 4 1180р

3768р2 4- 38 Юр 4- 33 200~
768Р2 4 3800р 4 33390.

р2 + 27,4р 4 768

Этим можно ограничиться, так- как результаты вычислений
отличаются лишь в третьем знаке.

Таким образом, характеристическое уравнение системы раз-
ложено на два квадратных;

р2 4 4,95р 4 43,2 = С,

р2 4 27,4р 4 768 = О,
решая которые, получим корни характеристического уравнения:
р12 = —2,48 ± /6,09;

Рзл = -13,7+ /24,1.

Операторное изображение выходной величины

©вых (Р) = — —
вых^' Г2(Р)

4
р

где

Рг (р) = 1 4 тр = 1 4 0,05р;

Г2(р) = 0,0015р4 + 0,0485р3 4 1,42р2 4 7,49р 4 49,7.

Для перехода от оператосной функции <ЭВых(р) к оригиналу
0Вых(0 воспользуемся формулой разложения (7.1), в которой
р2 ( р4) = О.ООбр3 4 0,1455Р2 4 2,84р 4 7,49.

Обозначим

а0 = 0,006;	0,1455; а2 — 2,84; а3 = 7,49.

Тогда

р2 (Рк) = ао (~а + /Р)3 + а\ (~а + /₽)2 + аг (~а +	+ аз =

= (—с0 а3 4- За0 ар2 4- «1 — аг ₽2 — а2 а 4- ав) 4-

4- /(За0а2р — а0р3 —	сф4-йаР),

где а и р — соответственно вещественная и мнимая части к-го
корня характеристического уравнения.

Соответственно

О-Л (О = Д-1_ = 1

Р2(0) О
Вычислим:

Р1 =—2,48 + /6,09 = 6,571 112° 10'; ' р2 = 6,571—112° 10' ;

Л(й) = 1 + 0,05 (—2,48 + /6,09) = 0,876 + /0,304 =

= 0,9271 19° 40' ;

Рх (р2) = 0,876 — / 0,304 = 0,92/1—19° 40';

р2 ( Р1) = (—0,006 • 2,483+ 3 - 0,006 • 2,48 • 6,093 + 0,1455 • 2,482 —
— 0,1455 • 6,09? — 2,84 • 2,48 + 7,49) + / (3 -0,006 • 2,482 -6,09 —

— 0,006-6,093 —2-0,1455-2,48-6,09+ 2,84-6,09,1 =

= —2,51 + /12,3= 12,61 101° 40';

р2 ( Р2) = — 2,51 — / 12,3 = 12,6 |—101° 40' .

Тогда

д (Р1)	(Рг) еРг1 =

Р1^2(Р1) Рг-РЙРг)

49,7-0,927 |19° 40'	^(—2,48+/ 6,09) / ,

“ .6,57 [112° 10' 12,6|101°40Г Ё	+

49,7-0,927 |-19° 40'	^-2,48-/ 6.09) , _

6,57 |—112° 10' -12,6 |—101° 40'

= е—2,48/ (0,559е-/ф -е'6,9' + 0,559е'ф е~‘ °'(’9/) =

= 1 118с~2,48< е' (6'09<~ф) + е~> (6-та~ф)

’	2

= 1,118е~2’4а • С05 (6,09/ — ф),

где <р= 194° 10'.

Окончательно получим

у Р11 (рк) = _ 1	соз(6,09. —0,256).

Рк-Р^^)

к=\

Вычислим:

р3 =— 13,7 + /24,1 = 27,71119° 30';

рл = 27,71—119° 30' ;

^(Рз) = 1 + 0,05(—13,7 + /24,1) = 0,316 + / 1,21

= 1,24 [75° 20';

Г; (р3) =(-0,006-13,73+3-0,006-13,7-24,12 + 0,1455-13.72—

— 0,1455 • 24,13 — 28,4  13,7 + 7,49) + / (3  0,006 • 13,72  24,1 —
— 0,006-24,13 —2-0,1455-13,7'24,1 +2,84-24,1 =
= 39,4 — / 29,4 = 49,21—36° 40'.

Тогда

Р.>-Г'2{РВ}

49,7-1,240175° 20'

27,7 |119° 30' -49,2 )—36М07

= 0,0453|—8° 30'.

Аналогично предыдущему

У --р1 {Рк) ерк‘ = 0,0906е~и’11 соз (24,И —0,14).

Р^-р2(Рк)

Таким образом, решение уравнения переходного процесса
имеет вид

Овых (0= 1 + 0,0906е~13,7/ СО8 (24,1/ — 0,14) —

— 1,118е-2,48г соз (6,09/ — 0,256).

Результаты расчета по полученному аналитическому выра-
жению сведены в табл. 7.5, по данным которой построен график
переходного процесса в следящей системе (рис. 7.14).

Рис. 7.14. График пе-
реходного процесса
©вых(0 в следящей си-
стеме с гибкой и жест-
кой обратными связями
по скорости

Таблица 7.5

сек		сек.	Овых'О
0	0	0,5	1,32
0,1	0,123	0,6	1,26
0,15	0,393	0,8	1,06
0,2	0,592	0,9	0,939
0,25	0,814	1,05	0,912
0,3	1,0	1,3	0,992
0,35	1,15	1,55	1,02
0,4	1,25	1,8	1,0
0,45	1,31	2,0	0,994

Пример 7.13. Построение кривой переходного процесса
©вых(/) в следящей системе с интегрирующим и дифференци-
рующим звеньями и гибкой обратной связью.

Структурная схема системы изображена на рис. 5.11, о. Уп-
равляющее воздействие имеет вид единичной функции времени.
Начальные условия — нулевые.

Система имеет следующие параметры: передаточный коэф-
фициент преобразующего звена /гс=0,87 е!град\ передаточный
коэффициент дифференцирующего звена /гд=0,6 сек-, передаточ-
ный коэффициент интегрирующего звена Аи=1------; коэффици-

ент усиления усилителя ку= 100; скоростной коэффициент дви-
гателя се=0,0106 -------; передаточное число редуктора /р=

град/сек

-165; коэффициент гибкой обратной связи /г0—0,2; постоянная
времени поперечной цепи якоря ЭМУ 7^ = 0,12 сек\ электромеха-
ническая постоянная времени двигателя ^=0,25 сек; постоян-
ная времени стабилизирующего звена 7’0=0,4 сек.

Определим передаточную функцию замкнутой системы. Объ-
единив три параллельных звена в прямой цепи системы в одно
эквивалентное звено с передаточной функцией

^1(Р)=АДР+ 1+-^-
Р

и заменив часть системы, охваченную гибкой обратной связью,
эквивалентным звеном

1

/;У	_	с'-' /р

уу _________________(1 + Уц р) (1 ф- 7ф р) р________

.	_________с,- IР	Р ,

+ (1+^Р) ’ (1+Л,р)р ’ 1+Тор >С‘,9р

— (1+^р)

__ _____________се1р_____________________

1(1 + Тч р) (1 + Ты р) (1 + То р) + ку к0 То р] р ’

получим передаточную функцию разомкнутой системы

Г(р) = асг1(₽).г2(р).

Передаточную функцию замкнутой системы для выходной
величины определим из выражения

®ВЫХ (Р) _ У (р)

©в>(р) ~1 + Г(р)'

Подставляя значения 1^1(р) и №2 (Р,) после преобра-
зований получим

©ВЫХ (р) _ А (р)

0вх(р) ~ Н(р) ’

где

Л (р) = Та кя /гс ку р3 + /гу кс (кя + То) р2 +
"4“ ку кс (1 ф- ки) р ф- ку кс к^.

8—1162
н (р) = То Тк се ]рр6 + [7,Тм + 70(1 , 4- Тн)] се}рР* 4-
+ {[т, + 3 м + 7оС + Му)] мР 4- тйкаксъу}р* +

+ /р + ку кс (кд 4- Тр)] р2 4- ку кс (1 + То Аи) р 4- ку ке ки.
Подставляя численные значения параметров системы, будем
иметь;

А (р) — 0,4-0,60-0,87-100р8 4-0,8? • \С0 (0,6 4-0,4)р? +
4-0,87-100(1 4- 0,4-1)р4- 100.0,87-1;

Жр)-= 0,4-0,12-0,25-0,0106- 165р5 4- [0,12-0,25 4- 0,4-0,12 4-

4- 0,4-0,25] -0,0106- 165р4 4- {[0,12 4- 0,25 4- 0,4(1 4- <42- *00)] X

X 9,0106-165 4- 0,4-0,6-0,87-100} р3 4- [0,0Юб • .65 4-

4- 0,87-100(0,6 4- 0,4)] ра 4- 0,87-100(1 4- 0,4- !)р 4- 100-0,87 1.
Окончательно

6ЕЬ,х(/?) =_______20,9р3-]- 87р2 + 122р-{-87	Л (р)

0ЕХ(р) 0,021р5 + 0,311р4 + 36,2р3+88,7р2+122р + 87 рР2(р)

или

©еых(р) = -^--0вх(р).

Р'Рг(Р)

Характеристическое уравнение имеет вид

0,021р5 4- 0,311'р14- 36,2р3 4- 88,7р2 4- И2р 4- 87 == 0,
или

/(р)=рв + 14,83р4 4- 1726р3 4- 4230р2 4- 5800р 4- 4150 = 0.

Определим корни характеристического уравнения методом
итераций [Л.1]. Обозначим: «!== 14,83;, а2= 1726; й3=4230; а4=
= 5800; «5=4160.

Формулы итерацирнного способа (считая, что младшие по
модулю корни комплексные) имеют вид:

а = Од —Р) .

аз — У («з	V)2

В = а Ж — а) 4----;

аз —У

у = а(а2 — р) 4-	(а, — а).

аз— V

Первое приближение:

а -	5800 _ 4*80(1726— С) _п 0

4230 — 0	(4230 — 0)2

₽ = 0,972(14,83 — 0,972)4-	= ;4.6;

у = 0,972 (1726 — 14,6) 4- -^зо^с ’(К’83 “ °’Э72^ 168°‘
Второе приближение:

5800	_ 4150(1726—14,6) _ . 185.

—'4230—1680	(4230 — 1680)2	~ ’

р = 1,185(14,83—1,105)4-----—-----=17,8;

~	42301680

V = 1,185 (1726 — 17,8- 4-- —-(14,83 — 1,185) = 2050.

’	'		' ' 4230—1680

Третье приближение:
о_ _______________5800______ 4150(1726— 17,8) _

~ 4230 —2050~	(423С — 2050',2	~ ’

6= 1,175 —(14,83— 1,175)4-----—------= 17,9;

’	'	’	•	' г 4230_2050

у = 1,175(1726 — 17,9)4---—------(14,83 — 1,175) = 2030.

*	4230 — 2050

Различие в определении а, р и у в третьем знаке. Процесс
итерации можно закончить, приняв

а = 1,175; р = 17,9; у = 2030.

Разлагаем }(р) на множители:

НР) = (Р2 4- ар 4- ——) [р3 4-	— а)р2 + (а2 — р)р 4- «з — у] =

\	а3 — у/

= (р* 4- 1,175р4-	) [р3 4- (14 83 — 1,175) р2 4-

V ’	4230 — 2030 /

4- (1726— 17,9) Р 4- 4230 — 2030] =

= (р2 4- 1,175р 4- 1,89) • (р8 4- 13,66р2 4- 1708р 4- 2200) = 0.

Откуда имеем два комплексных корня

р, 2 = —0,587 ± }/(—0.587)2— 1,89 = —0,587 ± / 1,242
и уравнение третьей степени

Д (Р) = рз 4- 13,66р2 4- 1708р 4- 2200 = 0.

Обозначим: а\ = 13,06; п2=1708; аз=2200.

Считая, что младший по модулю корень действительный, бу-
дем иметь:

йз

а = ——-;

а2 — ₽

Р = а (ау — а).

Первое приближение:

Р= 1,29(13,66—1,29) = 15,9.
Второе приближение:

2200	1 90

а =-----------= 1,30:

1708—15,9

р = 1,30 (13,66 — 1,30) = 16,05.

Принимаем а= 1,30; ₽= 16,05.

Разлагаем /1 (р) на множители:

?Лр) = (Р + а) [р2 + (ах —а)р + а2 —р] =

= (р + 1,30) [р2 + (13,66— 1,30) Р + 1708 — 16,05] =

= (р + 1,30) (р2 + 12,36р + 1692) = 0.

Откуда получим корни:

р3 = — 1,30;

р4 5 = — 6,18 + /(—6,18}2—1692 = — 6,18 ± /40,7.

Таким образом, характеристическое уравнение имеет следую-
щие корни:

р12 = — 0,587 ± /1,242;

Рз = — 1,30;
р4 5 = —6,18 ±/40,7.

Построим кривую переходного процесса. При ®вх(0 = Н0

/х (Р) = — *
р

евых(Р) = -|Ц^-.
рг2 (р)
Применив теорему разложения, получим

®вых (0 =

Р1(0) , V

Рв(0)

ГЛр.) ср,{

Р; ^(Р.)

где п=4; /)]—ьй корень характеристического уравнения.
Вычислим производную

с-, ч 4Г2(р)	й(0,021р5 + 0,311р4 + 36,2р34-88,7р2 +122р + 87)

~~ аР ~	аР

= 0,105р* + 1,244р3 + 108,6р2 Ч- 177,4р + 122.

Далее имеем

Л(0)	1

Р2(0)

Обозначив

/(. = рг

р, / (р()
запишем выходную величину

ОЕЬ,х (0 = 1 +	+К^* +к^1 +к^1 +к^.

Определим коэффициенты К(,..., Кз-

Обозначив

= (г = 1,2,..?, 5),

будем иметь:

ё1 = 20,9 (—0,587 + /1,242)3 + 87 (—0,587 + /1.242)2 +
+ 122 (—0,587 + /1,242) +87;

Ъ - (— 0,587 + /1,242) [0,105 (—0,587 -ф /1,242)* +

+ 1,244 (— 0,587 + /1,242)3 + 108,6 (—0,587 + /1,242)2 +
+ 177,4 (—0,587+ /1,242) + 122];

Кг = — 0,05— /0,214;

К^ = — 0,0,5 + (0,214,

у.л = РМ = 20,9 (— 1,30)3 + 87 (— 1,30)2 + 122 (— 1,30) + 87;
/з = Рз рг (Рз) -= — 1,30 [0,105 (— 1,30)* + 1,244 (— 1,30)3 +
+ 108,6 (— 1,30)2+ 177,4 (— 1,30) + 122];

+3 = —0,319;

ё4 = р1 (Ра) = 20,9 (— 6,18 + /40,7)3 + 87 (— 6,18 + /40,7)2 +
+ 122 (—6,18+ /40,7)+ 87;

/4 = Рг-^Ир? = (-6,18 + /4°,7) [0,105(-6,18 + /40,7)* +
+ 1,244 (— 6,18 + /40,7)3 + 108,6 (— 6,16 + /40,7)2 +
+ 177,4(— 6,18 + /40,7) + 122],
К4 = — 0,2905 + /0,0565;

К5 = — 0,2905 — /0,0565.

На основании формул Эйлера имеем:

(а + ]Ь)е{х+м‘ + (а ~/Ь)е1х-,у>1 = ех‘ [а (е!у! + е~1уе) +
+ /6 ( е’у1 — е~,у/)] = 2ех/ [а соа у1 + Ь 81п у1\ =

= 2 У а2 + Ь2 е,х( (ат <р • соа у1 + соа ф а1п у1)	2Аех( а!п № + ф),

где

А — а3 + й2; 5Ш ф — —; сое <р = — Ь ;

Vа2+	V а3+Ь3

Ф = агс(§ —.
Примем /\1 = й-|-/Ь и К2=®—]Ь,
здесь

а — — 0,05;

6 = —0,214.

Тогда

2А = 2 /Т—6.050)2 + ;с,21с/• = 0,439;

<р = агс1§-^- = агс^-=9^- = 347° = 6,054

—Ь	0,2*4

Аналогично имеем для К4 и /\5:

2А =2>< (—0.2905)2 — (0,0565)2=0,592;

<р = агс^.=21^ = 259° = 4,52 рад.
т 6 —0,0565	’ р

Выходная величина следящей системы

®ЕыХ (0 = 0,439е~°’587' .5Ш(1,242/ + 6,054) — 0,319е~‘,3/ +

+0,592е-б,18/ мп (40,7 + 4,52).

Результаты расчета полученного аналитического выражения
сведены в табл. 7.6, по которой построен график переходного
процесса в следящей системе (рис. 7.15).

Рис. 7.15. График переходного
процесса 6вмх(0 в следящей
системе при единичном воздей-
ствии

Таблица 7.6

сек	°вь«<о	1, сек	®вых'О
0	0 ' 1	2,0	1,08
0,2	0,777	2,5	1,01
0,4	0,952	3	0,968
0,6	1,02	4	0,953
1	1,12	5	0,993
1,5	1,14	7	1,01

Пример 7.14. Построение кривой переходного процесса
©вых(0 и кривой ошибки 0(1) в следящей системе с интегрирую-
щим и дифференцирующим звеньями и гибкой обратной связью.

Структурная схема системы изображена на рис. 5.11,а.

Управляющее воздействие изменяется по линейному закону
6вх(6 =<^ ПРИ ^=60 град/сек.

Система имеет следующие параметры: передаточный коэф-
фициент преобразующего звена ^с = С,’75 в1град\ передаточный
коэффициент интегрирующего звена йи= 1 — э коэффициент
усиления усилителя йу=5; скоростной коэффициент двигателя
с,.=0,0104 ---------; передаточное число редуктора 7Р=144; ко-

град/сек

эффициент гибкой обратной связи ко=0,1; постоянная времени
поперечной цепи якоря ЭМУ 7^ = 0,08 сек; электромеханическая
постоянная времени двигателя 7м=0,20 сек; постоянная време-
ни стабилизирующего звена То = 0,01 сек; ^ередаточпый коэффи-
циент дифференцирующего звена йд=0,01; 0,05; 0,1 сек.

На основании формулы (2.14)

®(р) =______* *__В (р',

&ЕХ(Р)	Н(р) '

где

в (р) = (р3 +	+

। 7М 7^ -{- То ф Тп кр ку ,_____1	\ 2

Т^ТдТд	^ТдТр)1^'

// (р) = р5 +	+

Т„ТдТ0

। 7М -|- Гд 4- Го -р Г0 Ли лгу Д- Гр Ркц „	ф РТр ф Ркя 2 ।

Т^ТдТр	р Тд.ТмТй р

। й| 4~ I Ор । Р

1	'Г' Т Т ’	'	71 Тг’ 'Г

* ы * д 1 I)	1 м 1 д 1 о

После подстановки значений параметров системы получим:

ТыТдТ0 = 0,00016;

Ти + Тд + То = 0,29;

К Тд + ты То + Тд То = 0,0188;

-т = 6250; То к0 ку = 0,005;

* м * ? о

ОТ0 = 0,025; О = 2,5.

При йд=0,01 характеристическое уравнение будет

р5 4- 117,5р4 + 1845р8 + 6510р2 + 6310р + 15 600 = О,

откуда получим корни:

Р1 = —4,34;

р2 = - 13,3;

Рз = — 99,6;

р45 = —0,’20 ±/1,64.

Выражение для ошибки будет иметь вид:

0(0 = 1,29е~4’34' — 0,067 е-13,3' -3 - КГ5 е-59,6' ф-

+ 39,Зе^’12' соз(1,64/ ф- 1,6).
При /гд = 0,05 будем иметь характеристическое уравнение
ръ + 117,5р4 + 1850р3 + 7190/? ± 6310р ± 15 600 = 0
с корнями:

Рг = — 5,14; р2 = — 12,4; р3 = — 99,6;
р4>5 = — 0,146 ±/1,56;

выражение для ошибки будет

6(/) = — 0,827е~5,ш ± 0,267 е~12,4' — 7- 10-5е“9°,6/ +
± 37,9 е^0,14®* со8(1,56/ + 1,556).

При /гд = 0,1 будем иметь характеристическое уравнение
р5 ± 117,5р4 ± 1860/? ± 7940/? ± 6310р ± 15 600 - 0

с корнями:

А = —6,43; р2= — 11,1; рз = —99,6;

р415 = —О,!63± /1,473;

выражение для ошибки будет

6(0 = — 3,36е"6'43/ ± 1,32е-11,1/ — 60-10"5 е~99’и +

± 36,2 е~°’163' соз (1,473/+ 1,514).

Результаты расчета помещены в табл. 7.7, по данным кото-
рой построены графики переходных процессов соответственно
для выходной величины (рис. 7.16,о) и ошибки (рис. 7.16,6).
При этом

евых(0 = вВх (0-0(0-

Таблица 7.7

сек	о ~-б(м вх	*Д=°-01		кл= 0,05		^=0,10	
		6(0		6(0	®ВЫХ^	0(0	«выхЮ
о,1	6	6	0	5,3	0,7	3,2	2,8
0,2	11	13	1	10,7	1,3	8,2	' 3,8
0,4	24	22,9	1,1	20,4	3,6	17,1	6,9
0,6	36	30,4	5,6	28,6	7,4	24,2	11,8
0,8	48	33,6	14,4	31,8	16,2	28,6	19,4
1,0	60	33,4	26,6	32,7	27,3	30,4	29,6
1,5	90	19,1	70,9	22,2	67,8	23,7	66,3
2,0	120	—5,4	124,4	—4,4	124,4	6,5	113,5
2,5	150	—23,5	173,5	—17,8	167,8	—11,1	161,1
3,0	180	—25,6	205,6	—24,4	204,4	—20,8	200,8
5,0	300	19,2	280,8	18,2	283,5	13,6	286,4
7,0	420	—14,6	434,6	—13,5	432,5	—8,5	428,5
10	—.	7,8	—	1,1	—	6,1	—
15	—.	—2,7	—.	—4,2	—	—0,1	
20	—	3,4	—	0,5	—	— 1,2		г
Пример 7.15. Построение графика переходного процесса
0(/) в следящей системе при управляющем воздействии, изме-
няющемся по квадратичному закону.

Примем

(0 = —
юл Ч /	*

где е=30 град]сек2.

Рис, 7.16. Графики переходного процесса в следящей
системе при линейном воздействии

Значения параметров следящей системы возьмем из примера
7.13.

Структурная схема системы приведена на рис. 5.11, а. На-
чальные условия — нулевые.

Передаточная функция разомкнутой системы

1Г(р) = И1+М+—)х

\	Р /

/^у

(1 + Тьр)

V ____________________________

р 4-1) (Ты р 4-1) (Тор +1)р+ку к0Твр> '
На основании формулы (2.14)

। . _______С (.;д р* 8 4- + кк) (1 4- Твр)__

Р](Тд р I) (Тыр*) ^’ оР 4-1) Р-^-ку к0 7® р'2}
где

р —
си'р
После преобразований

е^ = ^Г0“^
где

в (р) = р [(ТЧР + 1) 0’м р + 1) (Тор + ) р + Ау кд Т0р2] =

= Тд Тм ТорЬ + (Тд То + Тд Т„ + 7 м Тд)р* 4-

+ (Тд ~Г Тм Тд + ку кд Тд) р3 + ра;

^(р)=Р[(ТдР+\)(ТыР+ 1)(ТдР+1)р + кукдТвр2] +

ч- 7? (Адр2 + р + Ли + ка ТдР* + Тд? + кя ТдР) = Тд Ты ТдРъ +
+ (ТдТд + ТдТм + ТмТд)р^ +

+ (Тд Тм	Тд 4- ку кдТд 4- Р^ТдИ) р? 4*

4- (1 + ОТд 4- Окл) ? 4- (Оки Тд 4- О)р 4- кКО.

Подставляя численные значения параметров и учитывая, что
е=0,524 рад/сек1, после преобразований получим

„ , .	0,00629рЧ 4- 0,0931р2 + 4,59р + 0,524

'	(0,012р6 4- 0,178р4 + 20,7рз 4- 50,7р8 4- 69,6р 4- 49,7) р

Начальные условия для функции ©(0 находятся из соотношений
©<й)(О) = е'*)(О)-©^)х(о).

где А=0, 1,2,..., п—1 — порядок производной.

В данном случае начальные условия для функции ©Вых(0
заданы нулевыми, т. е.

© (0) = ©’ (0) = ©" (0) = 0" (0) = ©’У_ (0) = 0.
ВЫХ ' '	ВЫХ ' '	ВЫХ ' 7	ВЫХ ' '	ВЫХ ' '

С другой стороны,

®вх (0) = (0) = е;х (0) = ©'V (0) = о
©'вх(0) = е.

Следовательно, начальные условия для ошибки ©(/) будут
иметь вид:

© (0) = ©' (0) = &" (0) = ©°У) (0) = 0;

@"(0) = е.
Характеристическое уравнение и его корни те же, что и в
примере 7.23, так как изменился только вид входной функции.

Подставляя значения корней в формулу (7.1), после преоб-
разований, аналогичных проделанным в примерах 7.13 и 7.14,
ДОЛуЧИМ

0 (/) = 0,0105 + 0,366 е~1,314- е-6,17 *(— 0,000194 соз 40,71 4-

+ 0,000495 ып 40,71) + г-0,587 * (— 0,372 соз 1,241 +

4-0,263 ап 1,24/)

или

0(0 = 0*,0105 + 0,366е~1,3/ 4- 0,0002е~6,17/ 81п(40,7/ — 75°40')+
+ ОЛгЗе^-^'зтС!^/ —61°20').

Значения функции 0(0 представлены в табл. 7.8, по дан-
ным которой построен график (рис. 7.17).

Таблица 7.8

4  сек	9(0	1, сек	9(0	1, сек	9(0	сек	9(0
0.8	0,117	2,8	0,0753	4,5	-0,019	6,5	0.0124
1.6	0,186	3,0	0,0521	5	-0,01	8,5	0,0106
2	0,167	3,5	0,0071	5,5	0,0016	9,77	0,0102
2,4	0,124	4	—0,0147	6	0,0114		

Рис. 7.17. График переходного про-
цесса в следящей системе при
квадратичном воздействии

§ 7.3. Примеры построения кривой переходного процесса
по вещественным трапецеидальным частотным характеристикам

Пример 7.16. Определение- характера изменения ошибки в
следящей системе с жесткой и гибкой обратными связями.

Структурная схема системы изображена на рис. 5.10,а.
Значения параметров системы: &с=0,87 в!град-, Тд=

= 0,12 сек; 7м=0,25 сек; се=8,75- 10-3 ---; /р=200; йо=О,2;

град/сек

т=0,05 сек; /гу=50; а=0,25; ®ВХ(/)=Ш, (2 = 60 град) сек.
Операторное изображение ошибки

{Тч Ты тр* + (Тд Тк + ТдТ + Гм т) рз + *

+Г<? + гм + (1 +Мо)т1р + (1 +^у^«)	й

+ 17’9 + Тм+(1+АуА0)т]р2 + (1+йуЛ0а + Рт)р + 1)} ‘ р’

где О =
се/р

Умножив это выражение на р и заменив р на /со, выделим
вещественную часть и получим выражение для построения обоб-
щенной вещественной частотной характеристики

р(ю) =	 РЩ-ТдТкТ^-УГдТи--_________________

[Тд Ти то*- [Г9 + Тм + (1 4- ку к0) т].И2 + 0)2 + *

_________ — (1 + йу йп) Т21 Ц*8 + 1 + ку к0 а)_

+ [ — (Тд-Ты + Тд т -}- Ты т) со3 -}- (1 + ку кй а -}- От) о]2

или, после подстановки численных значений параметров систе-
мы,

= 1491_________— 0,75-1(Г~4ь? —0,25-10~2ыя +3,5

’ '	(0,0015 со4—О,92со2+24,85)2+(—0,0485 <о3+4,743 со)2 ’

По этой формуле строим вещественную частотную характе-
ристику (рис. 7.18. а), которую аппроксимируем шестью трапе-
циями (рис. 7.18, б),-имеющими следующие параметры:
трапеция 1—Р-= 10,35; (ой = 5,5; о0 = 7,75; х=0,71;

трапеция II—Рп=3; сой = 7,75; ыо=9; %=0,86;

трапеция III — Рш=1,5; ша=9; юо=1О,5; х=0,85;

трапеция IV — Р1У = 1; <ой = 10,5; ю0 = 13,5; х=0,78;

трапеция V — Ру =—5,35- <,)й=2,5; соо=4,75; %=0,53;

трапеция VI — РУ1=—2,05; сой=О,75; (оо=2,5; х=0>$-

По таблицам Иу —функций [Л.26] строим соответствующие
отдельным трапециям составляющие сигнала ошибки, суммируя
которые, получаем требуемую кривую €>(/), приведенную на рис.
7.18, в. На этом же рисунке показаны и отдельные составляю-
щие процесса.

Пример 7.17. Построение кривой переходного процесса в сле-
дящей системе с гибкой обратной связью (рис. 5.9,а).

Параметры системы: кс=0,87 в/град; ку—20; се=

=0,0175 —-------; /р= 100; 7„=0,12 сек; Тм=0,25 сек; А0=0,1;

град-сек

7’0=0,3 сек; ®вх (0 = 1(0-
Заменяя р на /со в передаточной функции разомкнутой систе-
мы полученной в примере 5.9, будем иметь

1>(14-/7»

(1 +у®	(1 -|-/со . м) (1 + /со Тв) /со + ку к0 То (/со)2

где

Передаточная частотная функция замкнутой системы для вы-
ходной величины

6вых(/С0) =	(/и) = ______________Р(1 +/соТп)____________

ввх(/си) 1 + Г(/со) ТдТыТй<^-{акТ0 + ТыТд+ТчТ0)ая-~

— (Т’м + Тд + То 4- ку к0Тв) со2 4-/(1 + Т0О) со 4- О

. Подставляя численные значения параметров следящей си-
стемы и используя соответствующие формулы, получим выра-
жение

р	Р,94 (0,009 со4—1,27 со2-)-9,94)—2,98 (0,141 со^—3,98 со) со

~	(0,009 со4—1,27 со29,94)2 4-(0,141 со3 —3,98 со)2 ’

по которому строим вещественную частотную характеристику
(рис. 7.19, а).
Разбиваем Р((о) на четыре трапеции (рис. 7.1*9, б), имеющие
следующие параметры:

трапеция I	Л—Р2= 1,263+0,57 =1,833;

ыа; = 2,75; й01 = 4,78;

трапеция II — РТ1=РО—А — 1—1,263=—0,263;

Цй = 3,4; <ом = 1,7;

трапеция III — Рт=Р2—Р3=—0,57+0,22=—0,35;

“йз = 6,7; ю03 = 10,7;

трапеция IV — Р1У=Р3 = —0,22; ый4 = -0.7; а)С4 = 16.

Коэффициенты наклона трапеций:

х, =	= 0,575;

<оО1 4,78

Х2 =	= 0,235;

«02	1,7

х, = “-4? = Ы- = 0,626;

3	«03	10,7

х4 =	= 0,67.

«04

Используя таблицы йх (0-функций, рассчитываем ординаты
составляющих переходного процесса, суммиру.т которые, строим
кривую <ЭВых(0 (рис. 7.19, в).

Пример 7.18. Построение кривой переходного процесса при
единичном управляющем воздействии в следящей системе с гиб-
кой и жесткой обратными связями по скорости (рис. 5.10, а).
Вещественная частотная характеристика Р (со) изображена
па рис. 7.20, а.

Аппроксимируем ее четырьмя трапециями со следующими
параметрами (рис. 7.20, б):

трапеция I —	—0,18; соО!=2,3; (0^1=0,9;

Рис. 7.20. Построение
кривой переходного про-
цесса в следящей систе-
ме с гибкой и жесткой
обратными связями

трапеция II — Рп= 1,98; ««1=4,75; «аъ—3;
х2 = °^ = 0,63;

^02

трапеция III — /ЭП1=—0,48; шоз— >5; ©йз—5,2;

= 0,69;

©0з

трапеция V —	-----0,32; ®о4 1	>5,

Х4 =	= 0,73,
По таблицам (/) -функций рассчитываем отдельные состав-
ляющие переходного процесса, соответствующие четырем трапе-
циям, и строим кривую 0ВЫХ(О. приведенную на рис. 7.20, в.

Пример 7.19. Построение кривой переходного процесса
©вых(0 в следящей системе с интегрирующим и дифференци-
рующим звеньями и гибкой обратной связью (рис. 5.11, а) при
единичном входном воздействии.

Примем следующие значения параметров системы: ^с =
=0,87 в/град-, Г„=0,15 сек. Тм=0,3 сек; се=0,0’8 —; /р=

= 100; /?0=0,2; То=О>О5 сек; /гд=0,1 сек;	йу=100.

Передаточная функция следящей системы для выходной ве-
личины

6вых(Р) _
©вх (Р)

_ _________________Р(1 +Тор) (АдР2 + р + &и)_______________

“ р2 [(1 + Тдр) (1 +Ткр) (1 + ТоР) + к^Тор\ + (1 +тйр) (*дР2+р+^и)’
где

Р) = ^У

се !р
Подставляя численные значения параметров системы в на-
писанное выражение и заменяя р на /ю, после преобразований
получим

р , , _ 4,83 [(1 — 0,15 со2) (0,0675 <+ —8,24 о/-48,3) +
~	(0,0675 со4 — 8,24 со2 + 48,3)2 +

+ (1,05 со — 5-1О~3со3)| [со (2,25-10~3со4—1,74 со2 + 50,6)]

+ [со (0,00225 со' — 1,74 со2 + 50,6)[2

Строим вещественную частотную характеристику (рис. 7.21,
о), которую аппроксимируем пятью трапециями, изображенны-
ми на рис. 7.21,6.

Трапеции имеют следующие параметры:

трапеция I —Р1 = —0,20;	1=0,9; со01=2,5; у1 = 0,36;

трапеция II — Рп = —0,47; +2=2,5; со02 = 3,9; ^ = 0,64;
трапеция III — Р1П = 2,04; +з=5,0; со0з=7,0; у3=0,71;
трапеция IV — Р1У = —0,22; ой4=8,0; +4=9,8; у4=0,85;
трапеция V —Ру=—0,15; <+5 = 9,8; +5=27,5; у5‘=0,36.

Кривая ©вых (О и составляющие переходного процесса по-
строены на рис. 7.21, в.
Глава VIII. ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПО МЕТОДУ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАС' ОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

§ 8.1. Основные положения метода Логарифмических
частотных характеристик

Метод расчета систем автоматического управления, с приме-
нением 'логарифмических частотных характеристик получил ши-
рокое распространение в инженерной практике, благодаря своей
простоте, наглядности и минимальному количеству необходимых
вычислений.

Для минимально-фазовых систем (системы без запаздыва-
ния, без линий связи с распределенными параметрами и т. п.)
имеет место однозначная связь между амплитудно-частотной
и фазово-частотной характеристиками. Поэтому можно по виду
амплитудной характеристики судить о фазовой, т. е. пользовать-
ся в основном амплитудной частотной характеристикой при
оценке поведения системы.

Наиболее удобным оказывается построение амплитудной ча-
стотной характеристики в логарифмическом масштабе, так как
последний позволяет установить характер влияния каждого из
звеньев на поведение системы и определить характеристику кор-
ректирующего контура, обеспечивающего заданные условия ра-
боты системы.

Напишем в логарифмическом масштабе передаточную функ-
цию некоторой системы в разомкнутом состоянии. В обычном
масштабе она имеет вид:

Прологарифмируем эту функцию:

1п К. (/со) = 1п /СА (©) + /ф (со).

Член 1п КА (со) представляет собой амплитудную логарифми-
ческую частотную характеристику разомкнутой системы, а
ф(со)—фазовую логарифмическую частотную характеристику
оазомкнутой системы, совпадающую с нелогарифмической ха-
рактеристикоь, но строящуюся в логарифмическом масштабе
частот.

Амплитудное значение коэффициента усиления передаточной
функции системы КА (со) представляет собой произведение ам-
плитудных значений коэффициентов усиления последовательно
включенных звеньев системы:	к

КА(со) = К1 (со). К2 (со)	(со).

При логарифмировании величины КА (ст) получим

1п КА (со) = 1п Ку (со) + 1п К2 (со) -Ь 1п Кп (со).

Следовательно, после логарифмирования имеем сумму ло-
гарифмических характеристик коэффициентов усиления отдель-
ных звеньев, которая равна логарифмической характеристике
коэффициента усиления всей системы (в разомкнутом со-
стоянии) .

Переход от произведения частотных характеристик к их сум-
ме значительно упрощает расчет системы и повышает его нагляд-
ность, так как влияние каждого слагаемого на общую сумму
установить существенно проще, чем влияние каждого сомножи-
теля на произведение.

Кроме того, вид амплитудных частотных характеристик в ло-
гарифмическом масштабе позволяет пользоваться приближенной
их формой в виде отрезков прямых линий с разными наклонами,
что значительно облегчает их построение (большинство харак-
теристик звеньев системы может быть построено при помощи
двух-трех отрезков со стандартными наклонами).

Так как величина 1пКА(со) определяет собой логарифм от-
ношения амплитуды выходной величины к амплитуде входной
величины, то величину логарифма указанного отношения выра-
жают в децибеллах, т. е. в единицах, принятых при оценке ве-
личины усиления.

Обычно вместо натуральных логарифмов 1пКА (со) использу-
ют масштаб десятичных логарифмов:

В = «1п КА (со) = 20КА (и) [56].

Коэффициент пропорциональности а определяется следую-
щим образом: если обозначить

1п КА (со) — п,
то

е" = К А (со),

КА (со) =

Отсюда

§ = 20К А (со) = 20п!§е = 201§е-1пКА(й))^8,б6 пА'а(®).

и, следовательно, а=8,66.
Масштаб частоты также принимается логарифмическим, т. е.
характеризующим отношение частот, имеющее размерность или
октав (одна октава соответствует удвоению частоты), или декад
(одна декада соответствует отношению частот, равному десяти).
Таким образом, откладывается (обычно по оси абснисс) не само
значение частоты о», а 1ор2—, или , где сщ — некоторое оп-
сд	«1

ределенное заранее выбранное значение частоты, которое, на-
пример, может быть принято равным единице, частоте собствен-
ных колебаний системы или же частоте од == — , соответствую-
щей постоянной времени какого-либо звена, в частности наиболь-
шей постоянной. Соотношение масштабов декад и октав может
быть определено из выражения
 —

= ~-~3>321ё—.

«1	1§2	сд

Следовательно, при сд = 1 для определения частоты в октавах
следует найти и умножить его на 3,32.

Кроме логарифмических амплитудной и фазовой частотной
характеристик, используют также логарифмические амплитудно-
фазовые характеристики разомкнутой и замкнутой систем (стро-
ятся в прямоугольных координатах: логарифм амплитуды—
фаза).

§ 8.2.	Примеры определения передаточных функций
и построения частотных характеристик
корректирующих звеньев

Нпимер 8.1. Определение передаточной функции и построе-
ние частотных характеристик простейшего инерционного (апе-
риодического) звена (рис. 8.1, а).

1.	Составляем уравнение э. д. с. звена при единичном возму-
щении, т. е. при подаче на вход звена напряжения постоянного
тока

Выражение для тока имеет вид

1 = сРиг,

откуда

С71 = (С7?р+1)4/2.

Полагая СЕ = Т, получим

Г (р) =	= —1—.

О, 1 + Тр
2.	Для построения амплитудно-фазовой частотной характе-
ристики заменим р на /со, тогда

1

7/ю +1 ’

освобождаемся от мнимой величины в знаменателе:

г (“)•

7 2 <о2 +1 т10)2 +1

Рис. 8.1. Апериодическое звено и его характеристики

Амплитудно-фазовая характеристика звена может быть так-
же изображена в виде

1Г/(/и) =	...

1/7’2 со2 + 1

Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой
(при изменений частоты в пределах ®=0-:-оо) полуокружность
(рис. 8.1, б).

3.	Для построения логарифмической амплитудной характери-
стики (л. а. х.) звена напишем

20А (ш) = — 10(Т2 со2 + I) дб.

На рис. 8.1, в представлена л. а. х., построенная по точкам
(кривая /), причем масштаб частоты взят относительный (ча-
стота	принята за единицу). На этом же рисунке построе-

на приближенная, асимптотическая л. а. х. (характеристика 2),
состоящая из двух участков — горизонтального, полученного в
предположении, что 7"2а2<^1 и, следовательно, при малых часто-
тах А (а) ~1, и наклонного участка (с наклоном — 6 дб/Окт),
соответствующего предположению, что 201^Л(а)~
~ — 20Та(Т2а23> 1) (единицей на этом участке пренебрегаем).
Указанные участки соединяются при сопрягающей частоте шт =

Рис. 8.2. Апериодическое звено при
учете входного сопротивления сле-
дующего звена и его характери-
стика

~	. Как видно из рис. 8.1, в,

наибольшая ошибка при постро-
ении приближенной л. а. х. апе-
риодического звена имеет месте
при частоте а = ау и составляет
—3 дб.

4.	Фазовая характеристика
строится по точкам по формуле
ф(ю) =—агс!д Та. На рчс. 8.1, а
приведена фазовая характери-
стика, построенная в функции
частоты в логарифмическом мас-
штабе (частота взята в относи-

тельных единицах —] . Оче-
СОу у

видно, что при и = (от значение
агс!& Тео=45°.

Пример 8.2. Определение тех
же данных, что и в примере 8.1,
учетом входного сопротивления

для апериодического звена с
следующего звена (рис. 8.2, а).

Передаточная функция звена
й? (р) = к0-----------------1--,

7 о Гр + 1

где

к0 =

«г +

/у/ _ ^2 у»

“ К1+Й2

Если сравнить полученную передаточную функцию с переда-
точной функцией звена, изображенного на рис. 8.1, а, то ока-
зывается, что: а) передаточный коэффициент при нулевой ча-
стоте (постоянный ток) меньше единицы за счет входного со- •
противления следующего звена.

Постоянная времени также уменьшается:

Г = т—^— = ТА'О;
/?,+%

б)	амплитудно-фазовая характеристика по-прежнему будет
иметь вид полуокружности, но с диаметром, равным ко:
в)	логарифмическая амплитудная характеристика будет про-

ходить ниже линии, соответствующей нулю децибелл (рис. 8.2,0);

г)

фазовая характеристика остается такой же (точке сот =

соответствует угол ср=—45°).

Пример 8.3. Определение передаточной функции и построение

частотных хаоактеристик апериодического звена, имеющего
схему, представленную на рис. 8.3, а.

Рис. 8.3. Комбинированное апериодическое звено и его характеристики

1. Передаточная функция звена

Лд + 1

Очевидно, что при со = 0 значение передаточного коэффици-
ента кй= I, а при со = со

к _ т* Ъ
	“ Л 7?г+₽а'

2. Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой
полуокружность, которая не проходит через начало координат
при со—со, а диаметр ее равен 1—ка (рис. 8.3,6).

3. Логарифмическая амплитудная характеристика строится

по выражению

20А (со) = 10 (Т2 3 * * со8 + 1) — Ю 1ё (78 со2 + 1).
Первое слагаемое характеристики (числитель дроби) пред-
ставляет собой так называемую полубесконечную прямую 1
(рис. 8.3, в) с положительным наклоном +6 дб)окт, а второе
слагаемое — полубесконечную прямую 2 с отрицательным нак-
лоном — 6 дб]окт.

Результирующая характеристика 3 имеет два крайних гори-
зонтальных участка и средний с наклоном — 6 дб/окт.

4. Фазовая характеристика строится как сумма двух состав-
ляющих характеристик, соответствующих числителю и знамена-
телю передаточной функции.

Рис. 8,4. Влияние изменения сопротивления
на л. а. х. звена на рис. 8.3.

На рис. 8.3, г представлены: составляющая 1, соответствую-
щая числителю, составляющая 2, соответствующая знаменате-
лю, и результирующая характеристика 3, имеющая максималь-
ный отрицательный фазовый сдвиг в середине наклонного уча-

стка л. а. х.

Пример 8.4. Анализ влияния величины сопротивления /?2
в схеме, изображенной на рис. 8.3, а, на передаточную функцию
и логарифмические характеристики (при значениях /?2, рав-
ных 0; 0,5Ль /?г, 2/?1 и 10/?]).

Полагаем неизменным и определяем Строим л. а. х.
для указанных значений /?2. Значения соответственно равны:
.0; 0,33; 0,5; 0,667; 0,91.

Логарифмические амплитудные характеристики представле-
ны на рис. 8.4. Как видно из этого рисунка, при увеличении /?2
возрастает равно как и постоянные времени Т} и Т2, что вы-
зывает смещение характеристик в область меньших частот и
уменьшение разности между 1г0 и &«,.

Пример 8.5. Определение передаточной функции и построе-
ние частотных характеристик для звена по схеме, изображенной
на рис. 8.5.

1Г (р) = й0 1^±-'. • А -;
1

л, Л1.

Ф (со) = аге Тг ы — агс(§ 7\ ы;

гр __	Нг Иг р е р ._____ Нг'Нз

* ~	 Лг &	2’ Я~Л2 + Лз

^2 + Лз Иг

Частотные характеристики имеют тот же вид, что и для зве-
на, изображенного на рис. 8.3, а.

Пример 8.6. Получение передаточной функции и построе-
ние частотных характеристик апериодического звена второго
порядка, схема которого представлена на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Инерционное
звено второго порядка

Рис. 8.5. Корректирую-
щее звено с учетом вход-
ного сопротивления по-
следующего звена

1.	Уравнение э. д. с. для этой схемы будет иметь вид

где

/ = Л + 4;

Л = ^1Р^С1 •

/2 — С2рУ2у

УС1 = 1^ + ^У2(1+Я2С2р).

Следовательно,

/ = (Л2С2р + 1) + СаМ = П2	+ (Сг + С2) р].

Отсюда

А =	+ Лг (С, + С2) р] 172 + Л2С2р[/2 + Н2.

Далее получаем

(р) =-------.---?------------,

717^+(71+7’а+7112)р + 1

где

У, =

;= ^2С2-, Т1Л = ЛА.
Подставив р=/сд, получим

Л (®) = —	- - 		 ---------

У I + I (Л + т^+ г112)2- 27\ т2] ш2+ Г2 Г2 со4

В случае последовательного включения двух апериодических
звеньев через разделительный усилитель 7"112=0.

Первая сопрягающая частота определяется приравниванием-
второго члена подкоренного выражения единице и имеет вид

®1 =

_________1__________

}Г(Т1+Тй+Т1^~2Т1Т2

Вторая, сопрягающая частота находится приравниванием
второго члена подкоренного выражения третьему:

^1+Га+Г~)2-

е>, = ---------------------.

ТхТг

2.	Логарифмическая частотная амплитудная характеристика
имеет три участка (рис. 8.7), на которые она делится указанны-
ми сопрягающими частотами а>] и а>2 (наклон первого участка
О дб/окт, второго — 6 дб!окт и третьего — 12 дб!окг).

Фазовая характеристика легко строится по двум полубеско-
нечным прямым с наклоном — 6 дЬ1окт, на которые можно раз-
делить л. а. х. данного звена.

Пример 8.7. Определение передаточных функций и построе-
ние частотных характеристик простейшего упреждающего (диф-
ференцирующего) звена, представленного на рис. 8.8.

1.	Для определения передаточной функции составим урав-
нение э. д. с. данного звена:

171==С/с + С/2,

где

= //?; 1 = Ср[/0 .
или

отсюда

I/ = —— =
с Ср КСр

Передаточная функция

Тр + 1
где Т=К.С.
2.	Амплитудно-фазовая частотная характеристика
.	Г/ ы	Г2 ш2 , .	''’ю

(/№) — 1 + г. ш — ! + Г2 Ш2 + / . + -Г2

Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой по-
луокружность с диаметром, равным единице (рис. 8.9,а).чПри
ю = 0 передаточная функция 1^(/а)==0, 1^ри е>= со—№(/а>) = 1.
Соответственно фазовый сдвиг будет <ро=9О° и =0°,

Рис. 8.7. ЛогатиФмиче-
ская амплитудная харак-
теристика инерционного
звена второго порядка

Рис. 8.8. Простейшее
упреждающее диффе-
ренцирующее звено

Рис. 8.10. Корректиру-
ющее звено с задан-
ной зоной дифферен-
- цирования

Рис. 8.9. Частотные характеристи-
ки простейшего упреждающего
звена

3.	Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
може г быть построена по двум составляющим, одна из которых
(20 Ты) представляет собой прямую линию с наклоном
+20 дб!дек, а вторая — [10 ^Ц + Т2©2)] является л. а. х. инер-
ционного (апериодического) звена (рис. 8.9,6).

Результирующая л. а. х. имеет наклонный участок
( + 20 дб/дек) в зоне частот о от 0 до у и горизонтальный —
• 1

при частотах ю> —.
4.	Фазовая характеристика звена представлена на рис. 8.9, в.
Она также имеет две составляющие:

Ф = ф1 + фг = + 90° — агс(§ Та.

Выбор величины Т связан с желаемой зоной дифференциро-
вания. Очевидно, что чем меньше Т, тем больше указанная зо-
на. В частности, при весьма малых значениях Т, т. е. когда на
широком диапазоне частот 7'2со2<1 можно приближенно счи-
тать, что л. а. х. звена равна 20 1^(7ю).

Пример 8.8. Определение передаточной функции и частотных
характеристик для корректирующего ззена с заданной зоной
дифференцирования, представленного на рис. 8.10.

1. Для определения передаточной функции находим следую-
щие величины:

ц = дс + д?2; г/с = /Л; / = +

//„

/„ = Ср11г-, V. — 7. 7?. 4- 77?2; I = СрИс 4-;

[] =. д .

с	' ^Ср 4-1 ’

или

^у __^у Кг 4~ /?2 (7?1Ср 4-1)

2 К2(7?1Ср4-1) ’

Тогда передаточная функция

ут/ / V __ ^2 _	Ч~ ^2	_ & МР Т~

7/1 ~/?1 4-ТйКаСр 4-Кг “ 0 Ггр4-1 ’

где 7'1 = 7?1С; Т2=-^~ С-

А1 "1

к0 = —.

4-

2.	Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой
полуокружность, причем диаметр ее равен к№ —ко. В данном
случае

следовательно,

д. = к —к0 = ——— (рис. 8.11, а).
00	0	«1 + й»

3.	Логарифмическая амплитудная характеристика звена мо-

жет быть получена как сумма трех составляющих (рис. 8.11,6):
1) 2О1§Ао (безынерционное звено); 2) 10 1ё(^2с°2+0—по-
лубесконечная прямая с положительным циклоном и
3) —10 1^(^2 ®2+1)—полубесконечная прямая с отрицатель-
ным наклоном.

Рис. 8.11. Частотные характеристики корректирующего зве-
на с заданной зоной дифференцирования

Результирующая характеристика имеет три участка (два
крайних горизонтальных и средний с наклоном + 20 дб!дек)

1 1
и две сопрягающие частоты: к»! =-- и и2 =-.

Л

4.	Фазовая харак-
теристика может быть
получена как сумма
двух фазовых харак-
теристик (числителя и
знаменателя переда-
точной функции):

<Р = <Рт + Ч>2 — агс!§
Т1И — агс1§Т2а.

Рис. 8.12. Фазовая характеристика корректиру-
ющего звена с заданной зоной дифференци-
рования

Как видно из рис.
8.12, фазовая характе-
ристика дает упреж-
дающий сдвиг в зо-
не восходящей части

л. а. х. с максимумом, приходящимся на средину наклонной ча-

сти л. а. х. звена.

5.	Выражение для кривой переходного процесса при единич-
ном возмущении имеет вид

Пример 8.9. Построение семейства л. а. х. и фазовых харак-
теристик корректирующего звена примера 8.8 при различных
значениях А’о= ’/г; 'А; 'А; ’/щ; ’/зг; */б4 и '/128.
Установим, как меняется при этом зона дифференцирования
и максимальное значение фазового сдвига.

ПОСТРОИМ Зависимости <ртах=*(М-

Приведем также значение коэффициента форсировки т$= —,
=	^0

необходимого для того, чтобы не снижать передаточный коэф-
фициент системы в низ-
кочастотной зоне при по- I
следовательном введении 1
данного корректирующего з
звена.	I

1. Семействе л. а. х. при. *
'	1.1ч

изменении к0= — ----------

2	128

представлено на рис. 8.13. 1
2 Фазовые характери- !
стики даны на рис. 8.14.
3. Зависимость <ртах=
= ^(й0) представлена на I
рис. 8.15.
4. Зона дифференциро-
вания, т. е. отношение соп-

С02
рягающих частот — =
СО!

Пример 8.10. Определение влияния сопротивления источника
питания в схеме корректирующего звена примера 8.8 (рис.
8.16, а).

Рис. 8.14. Семейство фазовых харак-
теристик корректирующего звена при-
мера 8.8

Рис. 8.15. Зависимость «Ртах =
=((й0) для корректируют! его
звена примера 8.8

1.	Передаточная функция

Г(р) = Ле

Т1Р + 1
г2р-Н ’
где /ге

+ #2

/?3

Л = Я2С;

14

(₽1 + ₽з)^3

#1 +1?2 + 1?3

к =—!—


2.	Лмплитудно-фазовая характеристика представляет собой
полуокружность с диаметром й=-к«,—к0.

Рис. 8.16. Корректирующее звено с учетом сопротив-
ления источника питания и его характеристика

Рис. 8.17. Дифференцирующее звено второго порядка
и его характеристики

3.	Логарифмическая амплитудная характеристика звена име-
ет тот же вид, но участок характеристики в зоне высоких частот
расположен ниже нуля децибел (рис. 8.16,6).

4.	Фазовая характеристика имеет тот же вид, что и у основ*
ного звена.

5.	Первая сопрягающая частота цц осталась той же, вторая
сопрягающая частота несколько уменьшилась, так как увели-
чилась величина Т2.

Пример 8.1*. Определение передаточной функции и построе-
ние частотных характеристик для дифференцирующего звена
второго порядка, представленного на рис. 8.17, а.
I.	Передаточная функция

Г(р) =

___________Л7Уа____________.

Т1Т^ + (Л + т2 + 71,2) р + 1 ’

^о = °;	= 1-

Отличительной особенностью передаточной функции второго
порядка, по сравнению с двумя звеньями первого порядка,
включенными через разделительный усилитель, является нали-
чие дополнительной постоянной времени Т112. При малых значе-

Рис. 8.18. Интегро-дифференцирующее звено и его
характеристики

ниях и С2 величиной Т'1,2 можно пренебречь. Тогда передаточ-
ные функции для обо«х случаев будут практически одинаковы.

2.	Построим частотные характеристики звена. Амплитудное
значение передаточного коэффициента

А(к>) =

___________________7\7У>а____________________

КI + [(Тур Т2+ ТХ 2)2- 2ТхГ2] <о2+ Т^со4

Логарифмическая амплитудная характеристика (рис. 8.17,6)
имеет две сопрягающие частоты:

________1________’ .

Л+Гв+Г1.2)г-2Г17’2
В пределах ю = 0 -г-си наклон л. а. х. составляет 40 дб/дек',
в зоне частот и = ь>1 -г- ы2 наклон равен 20 дб/дек и, наконец, при
со>«>2 наклон равен 0.

Амплитудно-фазовая характеристика представлена на
рис. 8.17,в.

Пример 8.12. Определение передаточной функции и частот-
ных характеристик интегро-дифференцирующего звена, схема
которого представлена на рис. 8.18, а.

1.	Передаточная функция

/ „\ ____+ (7'1 + 7'2)р+1________.

к	Г I Я1 \	'1

Л72Р2+	1+ 3*-+^;р+1

к \	*\2 /	.1

А:о=1; ^ = 1,	Т2=Е2С.2.

Средний участок имеет нулевой наклон при значении пере-
даточного коэффициента

Соотношения справедливы при Т1>Т2.

2.	Построим частотные характеристики.

Логарифмическая амплитудная характеристика звена имеет
два наклонных участка — 20 дб/дек и +20 дб/дек и три гори-
зонтальных (рис. 8.18,6). Средний участок находится в зоне
частот от с»! = — до и2= — . Подобного рода л. а. х. часто ис-
7\	Т2

пользуется для корректирования частотной характеристики си-
стемы в определенной зоне частот.

Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой
окружность (рис 8.18, о) с диаметром г/=1—/г,.

Пример 8.13. Определение семейства л. а. х. и построение
фазовой характеристики для звена, представленного на
рис. 8.18, по следующим данным: — =4 и /гг = 2, 4, 8, 16, 32.

Т’г

Ответ. Логарифмические амплитудные характеристики для
заданных условий изображены на рис. 8.19, а.

Фазовая характеристика для одной из л. а. х. приведена
па рис. 8.19, б.

Пример 8.14. Определение передаточной функции и построе-
ние частотных характеристик для интегро-дифференцирующего
звена, изображенного па рис. 8.20, о.

1.	Передаточная функция

№(/>) =

Т\Т2р* + (7\ + т2)р + 1

т\т\р- +

11

,	\ , <г. 1	, ^1 + Т?2 + ^3

/?2 + /?3
Рис. 8.19. Частотные характеристики
звена, изображенного на рис. 8.18, а

Рис. 8.20. Интегро-диффеоенцируюшее звено и егс
характеристики
=------—

1 I

; = 1;

^г+^з

т =	/?2/?з с т = с

К8 + «3

2.	Построим частотные характеристик^.

Логарифмическая амплитудная характеристика звена пред-
ставлена на рис. 8.20,6. В отличие ст предыдущего случая
й0=/= 1, что объясняется наличием сопротивления /?з, благодаря
которому при б)=0 (постоянный ток) цепь оказывается замк-

нутой и в сопротивлении 7?] имеет место

В	. б'г (0)

/К1, которое и уменьшает к0=	'

Амплитудно-фазовая характеристи-
ка, имеющая вид спирали, представлена
на рис. 8.20, в: при Л1 = /?2=Дз=1 С[ —
=0,1, С2=2.

Фазовая характеристика подобна
предыдущему случаю.

Пример 8.15. Определение передаточ-

падение напряжения

V/

ь с

1Г-Г—-

Я - 11г

Рис. 8.21. Колебательное
звено

ной функции колебательного звена (рис. 8.21). Определение ре-
зонансной частоты с/рез и показателя колебательности звена в
зависимости от его параметров.

1.	Для определения передаточной функции составим сле-
дующие уравнения:

^^14-+^+^

ил

или	6/, = ^/+ //?-№

1=Сри% (если С и /? поменять местами),
отсюда

	иг = ьср2и2 + дсрС/2 + п2.
Тогда	Ц7(р) = -^- = 	’	  1/х	ЬСр* + КСр + 1
или	№(р) =	—	—,  ' ' 1 1 ’  Р2+ т р+

-г л
глеТ--.
Характеристическое уравнение:

р2+^р+~- = о.

Корни уравнения

При 7? = 0 имеем

= ± / <"о,

где (Оо= Т/ ---- —частота незатухающих колебаний звена

у 1~С

при 7? = 0.

Определим значение граничного сопротивления 7?г (граница
между отрицательными вещественными и комплексными кор-
нями) :

Выразим величину Я в относительных единицах:---= г или

Я с

К-2Г /А .

Следовательно,

Заменим в полученном выражении для №(р) р на /со и

Тогда будем иметь

о	9

— о) + 2г 0)0 /о + Оу

Перейдем к относительным частотам й=—
о0

Для этого разделим числитель и знаменатель на о)д. Тогда
будем иметь

У7 (/й) =-----!-----.	(8.1)

— а2+2г/а + 1

2.	Определим резонансную частоту йрез и показатель коле-
бательности М.
Амплитудное значение коэффициента усиления

А =---- 1	- =------ 1	. (8.2)

У (1 _ ^2)2 4Г2 ^2	У1 + (2г2 — 1) 2гР + а*

Беря производную от последнего выражения и приравнивая
ее нулю, определим	_______

^рез=К1-2г2 '	<8‘3)

Подставляя (8.3) в (8.2), получим значение резонансной ам-
плитуды

Ашах = -----•	(8-4)

2г У1 — г2

Как известно, показателем колебательности М называется
отношение максимальной амплитуды частотной характеристики
звена или замкнутой системы к ее значению при частоте, равной
нулю.

Следовательно,

А1 = Атах.

Пример 8.16. Построение частотных характеристик колеба-
тельного звена в обычном и логарифмическом масштабах. Оп-

ределение показателя колебательности М для различных зна-
чений относительного сопротивления г = 0,707; 0,5; 0,25; 0,125; 0.

1.	Строим частотные характеристики в обычном масштабе.

Для этого, используя выражения
(8.3) и (8.4), подсчитываем зна-
чения йрез и М для заданных ве-
личин. Полученные результаты
сводим в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Рис. 8.22. Амплитудные частот-
ные характеристики колеба-
тельного звена

Г	^ргз	м
0,707	0	1
0,5	0,707	1,16
0,25	0,93	2,06
0,125	0,97	2,6
0	1	ОО

Пользуясь выражением (8.2), подсчитываем и строим
(рис. 8.22) частотные амплитудные характеристики звена при
различных значениях г (для различных М).

2.	Определяем частотные характеристики в логарифмическом
масштаое. Точные характеристики в логарифмическом масшта-
бе строятся так же по точкам, как и в обычном масштабе.
Амплитудные значения берутся, как 20 Л (*/)'.

приближенные л. а. х. колебательного звена могут быть по-
строены из следующих соображений. На основании (8.2) для
частот (1С 1 справедливо выражение

2=-;

У 1 + 4 гМ2

для частот 1 — выражение

V а4 + 4гм»

при й— 1

А ~ —

^шах *

Сопрягающие частоты имеют значения:

если Й1<Й2, то имеем наклон:

в зоне 0-^о>1 —0 дб/окт;

» »	----6 дб/окт;	х

»	й2-:-сс---12 дб/окт.

При й1></2 имеем наклон;

в зоне 0-ьй2 — 0 дб/окт;

»	»	й2-т-1----1- 6 дб/окт;

» »	1-4-Й!----18 дб/окт;

»	»	^1-т-со---12 дб/окт.

При Й1=й2=1 соответственно наклоны составляют: д=
=0-^1—0 дб/окт и й= 1 -4-со—12 дб/окт.

При г>0,5 имеем Й1<д2; при г<0,5 й1>й2; при г=0,5 сЛ =
=</2 = 1.

§ 8.3.	Пример расчета системы автоматического управления

Как уже отмечалось, за последнее гремя в инженерной практике наи-
бол ьшее применение получили частотные методы определения параметров
керпектир ующих звеньев для получения требуемого качества системы управ-
ления.

Наличие частотной характеристики позволяет рассматривать систему ав-
томатического управления с позиций теории цепей и теории связи (полоса
пропускания частот, частота среза, показа ель колебательности и т.п.), т. е.
исходить из общих рекомендаций, применимых к любой линейной системе.

При помощи частотных характеристик может быть установлено достаточ-
но наглядное влияние того или иного звена на быстродей -твие системы и точ-
ность ее работы (особенно при использовании логарифмических частотных
характеристик).

Из нескольких частотных методов расчета с построением частотных ха-
рактеристик (прямых и обратных) для замкнутых и разомкнутых систем наи-
более разработанным и удобным является, по мнению авторов книги, метод
логарифмических частотных характеристик.
Метод логарифмических частотных характеристик с расчетом по ступен-
чатому воздействию разработан наиболее полно, так как снабжен большим
колия гством номограмм, графиков и типовых характеристик.

Дпгтсинством этого метода является простота построения нескорректиро-
ванной и желаемой характеристик, а также нахождение суммарной характе-
ристики последовательных корректирующих звеньев.

Однагс имеются известные затруднения при нахождении обратных кор-
ректирующих звеньев. Вместе с тем на "практике они получили наиболее ши-
роко ; распространение как технически удобное Средство коррекции.

Расчет автоматизированной системы, состоящей из связанных между со-
бой в единую замкнутую цепь автоматического управления различных эле-
ментов, представляет достаточно сложную задачу с возможностью многознач-
ного решения.

1	ыбор оптимального варианта зависит от требований, которые выдвига-
ются в данных условиях (малогабаритность, быстродействие, точность и др.).

Поэтому детальный план расчета следящей системы не может носить
сколько-нибудь универсального характера. Укажем лишь его общий порядок
с тем, чтобы проектировщик системы сам мог конкретизировать некоторые
детали в процессе расчета на базе рассматриваемого примера.

Киже приводится краткая характеристика основных этапов расчета.

Задание на расчет. В зависимости от технических условий зада-
ние может быть довольно разнообразным. Чаще всего в задание вводятся
лишь эксплуатационные требования общего характера: мощность, точность,
режим работы, максимальная скорость, максимальное ускорение работы си-
стемы. эксплуатационные условия (температурный режим, длительность экс-
плуатации и т. д.).

В некоторых случаях выдвигаются дополнительные требования: габари-
ты, вес, род тока, тип двигателя, тип усилителя, требования бесконтактное™
и др.

Иногда проектировщику приходится самому дополнительно задаваться
некоторыми данными, необходимыми для расчета в качестве исходных.

Выбор исходных данных. К исходным данным расчета относя--
ся: вид госмушающего воздействия (гармоническое или единичное ступенча-
тое'воздействие), величина перерегулирования о% при единичном воздействии
(обычно в пределах 10—40%), время переходного процесса /п, число перехо-
дов через положение равновесия (обычно 1—3), запас по модулю и фазе, род"
тока, величины напряжений и частоты, типы усилителей и исполнительного
двигателя, тип чувствительного элемента и главной обратной связи. Иногда
значительная часть этих данных содержится в задании.

Все исходные дачные принимаются или на основании опыта проектиро-
вания, или же на основании инженерных соображений, связанных с вопросами
экономики, удобством эксплуатации и местных условий.

В наиболее ответственных случаях может быть предусмотрено несколько
вариантов исходных данных, по которым следует провести соответствующее
количество параллельных расчетов.

Выбор основных элементов схемы. После уточнения исход-
ных данных необходимо произвести выбор основных элементов схемы, к кото-
рым относятся: усилители (электромашинный, магнитны!, электронный, по-
лупроводниковый), исполнительный двигатель, выявительный или чувствитель-
ный элемент, редуктор, жесткая обратная связь, преобразовательные элемен-
ты (дискриминаторы, выпрямители и т. п.), источники питания.

Здесь должны быть установлены входные и выходные мощности элемен-
тов, их марка или тип, напряжения питания, каталожные данные выбирае-
мых элементов. Должны быть также сформулированы требования на расчет
некоторых нестандартных элементов, например усилителей, дискриминато-
ре? и т. д.

Определение параметров основных элементов и со-
ставление структурной схемы главной цепи. После выбора
основных элементов необходимо определить их параметры, соответствующие.
как статическому, так и динамическому режимам. К этим параметрам отно-
сятся: коэффициенты усиления по напряжению, постоянные времени всех це-
пей, передаточные числа, передаточные функции элементов.

Часть параметров может быть определена расчетным путем, часть — по-
лучена экспериментально, некоторые же могут быть взяты из справочных ма-
териалов.

После этого составляется структурная схема главной цепи и определяется
ее передаточная функция.

Наличие указанных выше данных и структурной схемы главной цепи по-
зволяет перейти непосредственно к расчету системы.

Статический расчет системы по структурной схеме.
Определяются все статические характеристики отдельных звеньев и произво-
дится расчет статической точности системы в соответствии с техническими
условиями. Выполняется линеаризация характеристик элементов. Производит-
ся проверка статической точности при заданных изменениях температурного
режима.

Расчет отдельных элементов системы. Сюда относится
расчет усилителей, сопряжение усилителей с исполнительным двигателем, со-
пряжение каскадов усилителей, выбор и расчет корректирующих цепей в уси-
лителях, учет влияния отдельных факторов на работу элементов, уточнение
передаточных функций и коэффициентов усиления элементов и т. п. Уточня-
ется линеаризация характеристик элементов.

Динамический расчет системы. К динамическому расчету с
применением л. а. х. относятся:

а) определение логарифмической частотной характеристики нескорректи-
рованной системы (частотная характеристика главной цепи) и ее оценка;
б) построение низкочастотной зоны желаемой характеристики из условий за-
данной точности; в) определение среднечастотной зоны из условий запаса
устойчивости и быстродействия; г) построение высокочастотной зоны; д) на-
хождение вещественной частотной характеристики; е) предварительный вы-
бор или определение корректирующей характеристики и корректирующих
средств, а также места их включения; ж) определение корректирующих звень-
ев и их параметров; з) построение скорректированной характеристики и со-
поставление ее с нескорректированной и желаемой характеристиками; и) вне-
сение изменений в средства коррекции и уточнение скорректированной харак-
теристики; к) построение характеристики переходного процесса при единич-
ном ступенчатом воздействии; л) внесение дополнительных коррективов и
окончательная оценка результатов расчета системы.

Расчет системы автоматического управления на
примере расчета следящей системы профилешлифо-
вального станка. Работа следящей системы профилешлифовального
станка (принципиальная схема изображена на рис. 1.16) описана в при-
мере 1.7.

Технические условия:

1.	Максимальная скорость обработки Ртах = 20 мм/мин.

2.	Максимальная скоростная ошибка тах -^0,008 мм.

3.	Динамические показатели качества переходного процесса при единич-
ном управляющем воздействии: максимальное перерегулирование о <^20%;
продолжительность переходного процесса <п<^0,2 сек\ число колебаний ЦЛС2.

4.	Корректирующие устройства должны выбираться с учетом возможно-
сти их сопряжения с полупроводниковым усилителем, принятым в системе.

5.	В качестве исполнительного двигателя принят двигатель постоянного
тока с независимым возбуждением типа СЛ-621. Передаточное число редук-
тора /р=233, ходовой винт между суппортом и выходной осью следящей си-
стемы Л=2 мм.

6.	Предусмотреть наличие в системе жесткой отрицательной обратной
связи по скорости, необходимой для обеспечения широкого диапазона изме-
нения скорости следящей подачи.
Выбор основных элементов следящей системы:

I.	Исполнительный двигатель. Тип исполнительного двигателя оговорен
в технических условиях.

Основные технические данные двигателя СЛ-621 приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Номинальное напря- . жение возбуждения "и.в- 6		Номинальный ток возбуждения 7	. п	д я	Номинальный ток якоря 7Н , а	Ток короткого за- мыкания 1.. а л-3	Номинальная мощ- ность Ры, в п	Номинальный вра- щаю ший момент  Л1н, гем	Пусковой момент  Л1п, гем	Момент инерции якоря 4, есм-сек^	Сопротивление об- мотки возбуждения рв, °я		। Сопротивление об- мотки якоря /?я, ом	Индуктивность об- мотки якоря Ля, мгн	Номинальная ско- рость п, об/мин
ПО	0,22		2,08	31	172	7000	12 500	6,72	560	3	35	2400

2.	Электромаишнный усилитель. Потребляемая мощность двигателя

Рн.„в	172

Т’потр.дв =	— „ с- — 202 вш.

Чда	°,85

Из условия, что /’пол.0>/’потр.дв, выбираем ЭМУ-5А с комплектом обмо-
ток 5—2—Б, номинальные технические данные которого приведены в табл. 8.3.

Таблица 8.3

Мощность Рн, кет	Напряжение С/н> в	е  о	Скорость вращения п, об/мин	К. п. д. т;, %	Сопротивление якоря Ря, ом	Индуктивность якоря Ля, мгн	Сопротивление ком- пенсационной об- мотки /? , ом	Индуктивность ком- пенсационной об- мотки 1 , мгн	Сопротивление об- мотки управления Ду, ом >	Индуктивность обмотки управления  Ьу, гн	Номинальный ток обмотки управления  /уч, ма
0,5	115	4,35	2850	69	1,7	40	1,3	30	3000	100	10

Полезная мощность ЭМУ

Т’пол.э = Рн. 1Ъ = 0,5-0,69 = 0,344кет..

Условие /’пол.э>/’потр.дв выполнено.

3.	Датчик. Датчиком в следящей системе служит вращающийся транс-
форматор ВТ-2 нулевого класса точности. Технические данные ВТ-2 приведе-
ны в табл. 8.4.

Передаточный коэффициент датчика (с учетом дифференциала) Ар= =
0

=3,6 в!град или к,) =206 в)град. С учетом шага ходового винта передаточный
коэффициент от оси датчика к суппорту к'$ =0,318 мм!рад или ^'<> = 5,55 X
X10-3 мм/град.

4.	Тахогенератор. Напряжение, пропорциональное скорости вращения
исполнительного двигателя, в проектируемой следящей системе вырабаты-
Таблица 8-4

Питание		Коэффи- циент транс- формации	Предель- ная скорость вращения п, об/мин	Погрешность работы 8, %	Электри- ческая ассимет- 'рия не превышает. мин	Сопротивление обмоток			
						статора.		ротора	
п’ ®									
						X, ом	Г?, ом	X, ом	й, ом
но	500	2*0,05	1000	0,06	*2	1050	150	670	92

вается тахогенератором переменного тока АТ-231. Технические данные его
приведены в табл. 8.5.

Таблица 8.6

Напряже- ние воз- буждения Г/в.«	Частота напряже- ния воз- буждения /. гц	Макси- мальная скорость вращения п, об/мин	Крутизна характе- ристики, м&/ об/мин	Сопротивление обмдток			
				возбуждения		генераторной	
				2, ом	И. ом	2, ом	К. ом
ПО	500	4000	5,7	440	30	2300	250



Рис. 8.23. Эквивалентная

схема тахогенератора

5.	Полупроводниковый усилитель. Расчет по-
лупроводникового усилителя здесь не приводится.
Как видно из принципиальной схемы следящей си-
стемы (рис. 5.16), полупроводниковый усилитель
состоит из трех каскадов, коэффициенты усиления
которых соответственно равны: йУ1==32,6, &Уг=4,0,
йуз=2,7.

6.	Выбор параметров жесткой отрицательной
обратной связи по скорости (ЖОСС). На основа-
нии расчета установившихся режимов (расчеты

установившихся режимов систем автоматического
управления рассмотрены в гл. ИГ, примем, что ос-
новной сигнал управления в результате введения

ЖОСС уменьшается в ржосс раз (Ржоес=4).
При максимальной ошибке

“шах —

0,008

5,55-10-з

= 1,44°,

входное напряжение усилителя ИВх.у=5,2 в. Тогда напряжение ЖОСС

6/жосс = Фжоес - 1) =	(4 - 1) = 3,96.

Ржосс

Эквивалентная схема тахогенератора, работающего на нагрузку, изобра
жена на рис. 8.23.

Для тахогенератора АТ-231, согласно данным табл. 8.5,

Хтг = У 2*г — К?г = V2306^2503 = 2290 ом.

Электродвижущая сила тахогенератора при пн=4000 об/мин
Дт гЛ = Атг пн = 5,7 • 10-з • 4000 = 22,8 Ь.
Примем /?д(Ли)=5 ком. Тогда

«о.е =	+ Ягг)2 + А2ТГ =

з= '"Л	(5000 + 25°)2 + 22902 = 975 ом-

22,8

Тахогенератор с исполнительным двигателем соединен через повышаю-
щий редуктор, Коэффициент передачи которого

й.

птг.н	4000

------— -------— = 2. ш.

Яцв-Н	2400

Передаточный коэффициент тахометрической эбратной связи

Й»;осс

Джосс	3,9

-^- = 1,67'5,7~

Етг	22,8

= 1,63 ——-----= 0,0156 —-— .

об! мин	рад! сек

Определение передаточной функции нескорректи-
рованной системы:

1.	Исполнительный двигатель. Кроме параметров самого электродвига-
теля, в звено «исполнительный двигатель» включены параметры якоря ЭМУ и
его код сенсационной обмотки.

Для звена «исполнительный двигатель» можно составить следующее
диффепенциальное уравнение:

ЙЭ----	+ г (Дя.э +	+ Дя.дв) 4“ (^-я.э + ^-к + ^-я.дв) ,. ,	(8.5)

где еэ — э. д. с. продольных щеток якоря ЭМУ;

йди — э. ц. с. двигателя; ’

Дя.э — сопротивление якоря ЭМУ;

К — сопротивление компенсационной обмотки ЭМУ;

Дя.дв — сопротивление якоря двигателя;

7-я.э — индуктивность якоря ЭМУ;

Ья.дв— коэффициент самоиндукции якоря двигателя;

Ек— коэффициент самоиндукции компенсационной обмотки.

Если обозначить

Дя.э + Дк + Дя.дв = -?.

^-я.э 4“ ^-к 4“ ^-я.дв =

и учесть, что едв = е10дЕ,

(где Одв—угловая скоростьэлектродвигателя, 61 — коэффициент пропорцио-
нальности), то можно переписать уравнение (8.5):

Л

гэ = б10цв + Д? +	•	(8.6)

Уравнение движения вала двигателя можно записать в следующем виде:

Мвр = ^—^- = ^.	(8.7)

с.1

Выходной величиной звена будем считать скорость Онв. Исключая из
уравнений (8.С),и (8.7) величину г, находим связь между ев и йдВ:

	+	(8-8)
Разделив обе части на Е, получим:

й/2 + е а1 +

®2 ~	^2 _

— •<.>дп = еэ-с- —.

Если обозначить: = ТЭЛ электромагнитной постоянной времени; -----=

/?	Ег еа

= Тд„— электромеханической постоянной времени, то это уравнение примет
вид

<№дв . 1 аолз 1	1 ______1___

'	Тэл	' А1	+ ТЭЛ7ЭМ	цв = 61	’ ТЭЛТЭЫ	Ё3

ИЛИ

Тэл тэм

ар

, лпдв

эм аг

+ йдв - Йдв ®Э>

(8.9)

1

где клв = —— передаточный коэффициент звена.

е1

Уравнение (8.9) представляет собой уравнение колебательного звена с
собственной частотой колебаний

соо —

(8.10)

Вводя постоянную затухания & согласно уравнению (8.9) получим

Записывая уравнение (8.9) в операторной форме, будем иметь

Тэл ТэМ Идв Р2 Ч Тэм &2дв Р + &2дв &ДВ Е'э,

откуда передаточная функция звена
.	, ,___^дв ___ _______^дв_________

дв {Р) ~ Еэ ~ Тэл Тэк р2 + Тэм р + 1 '

Или, если за выходную величину принять угол ®, то

к№ (Р) = Р(ТЭлТэмр2'+7’эмр + 1) ’

С учетом (8.10) и (8.11) передаточная функция звена

*дв(р) = -	2 2	----------- 

Р (ТдР + 2Е,Т0 р 4- 1)

(8-11)

(8.12)

Определим численные значения параметров данного звена:

Е1

Едв.Н	(^ДВ.Н 60

(^дв.н 2тшн

110-60

2л2400

= 0,435 в-сек!рад\

1

0,435

= 2,3 рад!в-сек\

Едъ - -
М№.„	7000-10—5	л „ппп ,

е2 = —------= -------------— 0,0336 кГм/а;

/я.н	2,08

7? —• Ня.э

'я.Дв = 1,7 + 1,3 + 3 = 6ол;

дв

Гэм

М.мех = 6,72+ 0,47
77? _ 7,2-10-5-6
еге2 = 0,435-0,0366

7,2 г-см-сек'

= (\0296 сек;

7эл —

I.

(40+ 30+ 35)-10-з

6

= 0,0175 сек;

а>о = -—	- = —		= 44 сек-1;

/Тэл 7ЗМ / 0,0175-0,0296

7’о = 0,0228 сек;

Коэффициент затухания имеет
достаточно большое значение, по-
этому данное звено можно пред-
ставить в виде цепочки из двух
апериодических звеньев с постоян-
ными времени ТДЕ1=0,0333 сек и
7^2=0,0156 сек.

На рис. 8.24 приведена лога-
рифмическая амплитудная частот-
ная характеристика колебатель-
ного звена с (5=0,65, которое раз-
бито на два инерционных звена
с постоянными времени Гдв] и
7’д,,2. Замена колебательного зве-
на двумя инерционными звеньями
приводит к ошибке не более 1,5 дб.

Таким образом, передаточная
функция звена «исполнительный
двигатель»

Рис. 8 24. Логарифмическая амплитуд-
ная характеристика колебательного зве-
на

^ДВ(Р) --

7-ДВ

Р (1 + Т’дв! р) (1 + ТДВ2 р)

или в численном выражении

2,3

*дв (Р) = р (1 + 0,0333р)(1 + 0,0156р)ра3/е'

2.	Электромашинный усилитель. Введем обозначения:

7-о.у—коэффициент индуктивности обмотки управления ЭМУ,

7?о.у—активное сопротивление обмотки управления ЭМУ,
7?у .вых — выходное сопротивление предварительного усилителя.

Передаточная функция звена

Еэ	кэ

( Ео.у (1 + 7’0.у р) (1 + 7’э р)

где Еэ — э. д. с. продольной цепи ЭМУ;

Ео.у — напряжение на обмотках управления ЭМУ;
То.у — пост оянная времени обмотки управления;

Та —постоянная времени поперечной цепи якоря ЭМУ.
Численные значения постоянных времени:

г _.	-----=---------------= О, ХС22 сек.

Ко.у+йу.вых 3000 4-456000

По сравнению со всеми постоянными времени, постоянной времени То.у
можно пренебречь, так как она в 71 раз меньше последней учитываемой по-
стоянной времени следящей системы.

Передаточный коэффициент звена можно приблизительно определить как

(7Н э ПО

^=”С=^-=3’67

Таким образом, передаточная функция звена

, .	3,67

э(Р)-- 1+с>02р ’

(8.15)

3.	Предварительной усилитель. Усилитель на полупроводниковых эле-
ментах является безынерционным звеном.

При синтезе корректирующих звеньев удобно разбить усилитель на от-
дельные каскады, так как они охватываются различными обратными связя-
ми. По надо учитывать, что коэффициент усиления всего усилителя снижает
ся за счет введения в усилитель прямого корректирующего звена. Как ука-
зывалось выше, коэффициенты усиления отдельных каскадов составляют:
ЛУ1 = 32,6; йу2=40; Ау8=2,7.

4.	Редуктор. Передаточная функция редуктора

*р = — = -!- = 0,00428,	(8.16)

,	/р

где /р — передаточное число редуктора.

5.	Датчик. Передаточный коэффициент цепи датчика

АЙ = ЯС6 в/рад.	(8.17)

6.	Жесткая обратная связь по скорости (рис. 8.23). Коэффициент жесткой
обратной связи по скорости

Л-жосс = 0,0156 в-сек!рад.

(8.18)

Передаточные функции всех основных звеньев сведены в табл. 8.6.

7.	Передаточная функция нескорректированной ' системы. Для расчета
корректирующих звеньев удобнее всего пользоваться передаточной функцией
системы, че охваченной жесткими обратными связями, так как в этом случае
упрощается методика определения структуры корректирующих звеньев. По-
сле выявления вида и места включения корректирующих звеньев передаточ-
ная функция всей скорректированной системы выводится с учетом жестких
обратных связей.

Определим добротность следящей системы, которая отвечала бы задан-
ной точности и максимальной скорости исполнительного органа.

Передаточное число между исполнительным двигателем и суппортом шли-
фовальной головки

7п

233

= 116,5----,

ММ

2₽
н
Таблица 8.6

м>	Наименование звена	Передаточная функция	С татический коэффициент усиления	Постоянные времени
1	Датчик	кд	^206 в/рад	—
2	Усилнтел!	^у!	32,6	
		Йу2	4,0	
		ЛуЗ	2,7	
3	ЭМУ	к3	3,67	Тэ = 0,02 сек
		1 + 1 эР		
4	Исполни- тельный двигатель	кдв	„ рад	Т = 0,0333 сек
		р (1 + Т(I + ?'дв2р)	в-сек	Т = 0,0156 сек
5	Редуктор		0,00428	—
6	ЖОСС	^жосс	сек 0,0156а  рад	—
где	 /Р = 233 — передаточное чи?ло редуктора: Л=2 мм — шаг ходового винта.  Максимальная скорость суппорта  пн.лв 2400		ин = 0,344лы  1	1)сек<,
	г тах —	о	— «элг —	™   /п	116,5  Добротность системы  Ута-	0,344			
	©	0,008	’1° сек ‘  Ушах Передаточная функция нескорректированной системы Оу			
ИЛИ	*'	""	р(1+?-3р)(1+ГдВ1р)(1+Гдв2р)’  в численном выражении  43			(8.19)  ы х х а р а к - лгающих частот.  48;
'' 'н/ р (1+0,02р) (1+0,0333р) (14-0,0156р)  Построение логарифмических частотн теристик. Построение л. а. х. производится методом сопрз Сопрягающие частоты:  1 1				
	дв' 'Тдв! 0,0333		ШДВ1 — 1 8	
(Одв2= = 64 сек-1' ’8 Мдв2 ~1 ’81;

<оэ = ~	= 50 сек-1, 1й ыэ = 1,7,

Добротность системы в децибелах

Ь = 20	= 20 18 43 = 32,7 дб,

Логарпфмическая амплитудная частотная характеристика приведена^ на
рис. 8.25, а. Фазовая логарифмическая частотная характеристика (рис. 8-2->,б)
строится путем суммирования
фазовых характеристик отдель-
ных звеньев системы. Из по-
строенных частотных характе-

Рис. 8.25. Частотные характеристики не-
скорректированной системы

ристик следует, что
неустойчива.

О пределение

система

в и -

да корректирующих
звеньев и места их
включения. Для опреде-
ления вида желаемой логариф-
мической амплитудно-частот-
ной характеристики была ис-

пользована

моделирующая

счетная машина ИПТ-5. Пред-
варительный расчет на ИПТ-5
показал, что амплитудная ха-
рактеристика, отвечающая за-
данным качественным показа-

телям следящей
жна иметь вид,
на рис. 8.26
ка 2).

Вычитая из
рактеристики 2

системы, дол-
изображеиный
(характеристи-

желаемой ха
исходную I,

получим логарифмическую ам-
плитудно-частотную характе-
ристику корректирующих звень-
ев 3. Кривая 3 показывает, что
для того, чтобы скорректиро-

вать систему, необходимо осуществить довольно сложное корректирующее
звено. Для облегчения этой задачи характеристика 3 разбивается на две со-
ставляющие 4 и 5, каждая из которых осуществляется самостоятельным кор-

ректирующим звеном, характеристика 4 — последовательным корректирую-
щим звеном, характеристика 5 — обратным параллельным корректирующим
звеном. Обратное звено одновременно осуществляет стабилизирующую об-
ратную связь и жесткую обратную связь по напряжению ЭМУ.

Введение обоих звеньев в систему понижает коэффициент усиления си-
стемы на 23 дб. Поэтому необходимо увеличить статический коэффициент уси-
ления основных звеньев до 56 дб (характеристика 6).

Последовательное корректирующее звено включается перед оконечным
каскадом предварительного усилителя. Стабилизирующая обратная связь по
напряжению охватывает ЭМУ и два последних каскада усилителя (фазочув-
ствительный и оконечный). После введения корректирующих звеньев струк-
турная схема следящей системы принимает вид, показанный на рис. 8.27.
Рис. 8.27. Структурная схема следящей системы:

ГОСИ — гибкая обратная связь по напряжению; ЖОСН— жесткая обрат-
ная связь по напряжению; ЖОСС — жесткая обратная связь по скорости;

КЗ — корректирующее звено

Рис. 8.28. Последовательное кор-

ректирующее звено
1.	Расчет последовательного корректирующего звена. Логарифмическая
амплитудно-частстчая характеристика последовательного згена приведена на
рис. 8.26 (л. а. х. 4). Передаточная функция такого звена

Кк.3(р) = ^4ттт'’	<8-20)

1 + Ар

т 1

где Т3=-------,

©3

Исходя из передаточной функции, составим электрическую схему коррек-
тирующего звена -(рис. 8.28). Здесь РШХ2 —выходное сопротивление фазо-
чувствительного усилителя (Йвых2--2 ком), /?вха—входное сопротивление
оконечного каскада (/?Вх3=6,6 ком).

Для данного звена:

*о =

_______Двхз______

^ВЫХ2 + 7?ВХЗ + Кв

Тв — Р.вС1, Т3

Ивыхэ ~г~ Двхз

Квыха + Кв + Кв&

Из л. а. х. 4 (рис. 8.26) находим:

Тэ = 0,02 сек; Та= —— = 0,006 сек*

©з

Тоцци

о = (К1+"Кз)(Тэ-7з) = (2,0+ 6,6) (0,02 — 0,006)

• Т9	0,006

Тэ 0,02

С1 = —2- = —5- = 10-6 ф = 1 мкфг,
2-Ю!

_______7?вхз_______

Двыхг + Квхв + 7?в

6,6

2,0 + 6,6 + 20

= 0,25,

7 ад им образом, передаточная функция последовательного корректирую-

щею звена

*(к.з — 0,25

1 + 0,.02р

1 +0,006р

(3.21)

й0 —

2.	Расчет обратного корректирующего звена. Если система будет скор-
ректирована при помощи прямых звеньев, то передаточную функцию системы
можно представить как

Кск(р) = К(Р)*п.з (р)-

Если система скорректирована при помощи звеньев обратной связи, то
передаточную функцию можно представить в виде

СК 1+Кохв(Р)Ко.с(р)’

Приравнивая эти дза выражения, получим

Кп.з(р)= — + Лохв(р}Ло.с1рГ '

Допустим, что в каком-то диапазоне частот со'-^и"
Кохв (р) Ко.с (р)	’ •
Тогда

Кг.з —

Ал>ХВ (₽) ^о-с

1

Прологарифмируем это выражение:

2018 Яп.з = - 2018 Кохв - 2012 Ко.с,

или

- 2018 Ко.с = 20 Ц Кохв 4 20 16 Кп,3.

Дли того чтобы найти л. а. х. обратных корректирующих звеньев, надо
сложить л. а. х. звеньев, охваченных обратной связью, с л. а. х. прямых коп-
ректцрующих звеньев, и эту сумму взять с обратным знаком. Эта операция
произведена гоафически на рис. 8.29.

Рис. 8.29. К расчету корректирующих звеньев:

1 — л. а. х. звенье), охваченных обратной связью; 2 — л. а. х. прямого кор-
ректирующего звене; 3 — л. а. х. обратного торректигующего звена

Передаточная функция звеньев, охваченных гибкой обратной связью,

Отсюда

<хь (Р) = *у2 *к.з (Р) йу.з кэ (₽) =

4,0-0,25-2,7-3,67(1 + 0,0333р)_________10

(1 + О.ООбр) (1 + О.ОЗЗЗр) = (1 + О.ООбр)

(8.22)

2018 <та = 2018 10^20 36;

<«з — т-----= Ю6,5 сек 1е о)з = 2,22.

0,006	.	Е

Электрическая схема звена, при помощи которого можно осуществить
характеристику 3 (рис. 8.29), изображена на рис. 8.30.

Передаточная функция такого звена

КО.С(Р) ко.с (;+2.гР}/1+Гдв1р)-

(8.23)

Параметры звена должны удовлетворять следующим уравнениям:
- 1 =Д1зСз!

Т 2 71дВ1 = &о.с Т т /?12

(8.24)

(8.25)

1
Тг + Удв2 —

(1?12 +/?в)	+ (/?13 +К12) '^о С2

Р|3 + ^12 +^?5

(8.26)

/?5 +	12 + %13

(8.27)

Из расчета усилителя известно, что /?5=1000 ом.

Из л. а. х. обратного корректирующего звена (рис. 8.29) следует, что:

С3

Рис. 8.30. Корректирующее звено
обратной связи

20 1р кос = — 11 дб; ко,с = 0,282;

сох = 2,0 сек~г; Т3 = — = 0,5 сек;
«1

со3 = 3,63 сек~712 =----= 0,276 сек;

ы2

1

^дв1 — 30,2 сек ; Тде1 —	—

ЫАВ1

= 0,0333 сек.

Зададимся 7?12=980 ом.

Из выражения (8.27) получим

К13

/?5 — *о.с(Р5 +^12)	1,0 — 0,282(1,0 + 0,98)

^О.с

0,282

= 1,56 ком.

Решая совместно (8.25) и (8.26), определим

С __ 7де1 Р?5 Гдв! - &О.С (#12 + #5) Л I __
^о-с#5 [Т’двт (Й|3 + Р12) — Тг #12]

0,0333 П 000• 0,0333 — 0,282 (1000 + 980) 0,51 10°

= --------------------------------------------------= 7,16 мкф.

0,282 • 1000 [0,0333 (1560 + 980) — 0,5 • 980]

Если принять С2 = 7 мкф, то постоянная времени Т2 в соответствии с
(8.25) будет

Рр.с Т х Р12 С2

2 Т

1 ДЕ1

0,282-0,5-980-7-Ю-6

0,0333

— 0,297 сек..

Из выражения

(8.24) определим

с

0,5-Ю6

——— = 32 мкф.
1560

На основании

корректирующего звена

произведенного

расчета передаточная функция обратного

Ро.с(р) = 0,282

1 +0,5р

(1 + 0,297 р) (1 + 0,0333 р) '

(8.28)

Передаточная функция скорректированой системы.
На рис. 8.31 приведена структурная схема скорректированной следящей си-
стемы, для которой передаточная функция в разомкнутом виде

К(р) =

кд ку1 /гсхв (Р) *дв (Р) кр

1 + *о.с (Р) ^охв (р) + ^жосс ^охв (р)

(8.29)
Подставив в (8.29) выражения передаточных функций отдельных звень-
ев, будем иметь:

______________кд ^у! ^охв ^дв _______
Г	^хв^сП+Лр)

Р<1+ЗД(1+Гд„р)(1 + 7>р> [ + ,Т^)(1+^)„+г>-)+.

4» Л>

жосс охв

(1 + Т'зР)(1 + Тдв1р) (1 + ^ДВ-2 Р)_|

р п+т’зр) (н-Гдш

кд ^у! ^охв Р.

ЛВ

(1+УзР) ( Н~^гР) (1д~7* 1 *дв1Р)(1~Ь71ДЕ2.р)4~

(1 + Т3р) (1 + т2р) X

*р

~Ь ^охв *0.с О+^Р) О ~Ь Т\в2 Р) ~Ь *жосс ^охв (1 4~ Т2 р)
х(1+тДВ1р)(1 +Т’двг Р)

^у! ^охв ^лв	)д

” Р [О+^О+Тз РХЧЛвт РМ’+^гг Р) +

---------------------------------------------------------. (8.30)

+ <хв *0.с (1 + Тг Р) (1 + Тдв2 р) + йжосс к'охв (1 + 72 р) ]

Приведем выражение (8.30) к виду

А \.Р) = -	—	—-	,	~тх •	V-  )

Р (а^ + СзР3 * * * + о2р- + агр + 1)

Раскрывая скобки в знаменателе выражения (8.30) и группируя члены
по степеням р, можно определить величины коэффициентов О] н- а^.

_____Т2Т^Т ДВ1 Т ДВ2	
г____п	*

~1^ОХВ Ро.С ~Ь ^охв ^жосс

Т2Т^ Удв1 ~^Т2ТВТ ДВ2 ~|~ Г2Т'двз 7"дв1 + Лч Т'дв! ^двг
а3 — -------------------------—--------------------,

1 "Ь^ОХВ ^О.С ^охв ^жосс

т2 (713+ГДВ1+ГДВ2)+Г3(ГДВ1-^ДВ2)+ГДВ 7дВ2+р;хв р0.с тг 7 Д

а2 —	;---------	,

1 “Ь^ОХВ ^о.с+^охв ^жосс

Г2+Гз+7 * *’ДВ1+Где2 + <хв ^.еГ1+Тдв2)Ч-Ржосс <хв Г2

°1 — ’ ~ 1, ' •

1 "Ь Р<>ХВ "о.с “Ь ^охв ^жосс

где

Рохв = к^к1Лк^ к =4,0-0,25 2,7-3,67 = 10;

ОлВ	ко уо Э ’	1	11

."	.	.	.	. Р<лд,сек

кохв = ку1 ку2кк3ку3кэкДВ = 32,6-4 0-0,25-2,7-3,67-2,3 = 744 -------.
"м- (1+Тзр)(НТдВ1р)(1+Тдвгр)

Г-------------------------------л.— --------------------------------- -

1 + г/р

Рис. 8.31. Структурная схема скорректированной следящей системы
Определим численные значения коэффициентов:

0.297-0,005-0,0333-0,0156 „	,

04 =--------1-----’------------- = 0,605-10~7 сек\

1 + 10-0,282 + 744-0,0156

(0,297-0,006-0,0333 + 0,297-0,006-0,0156 + 0,297-0,0333-0,0156 +

а3 =

1 + 10-0,282 + х

+ 0,006-0,0333-0,0156) „	4

- -— ------------— - = 0,16 Ю~4 сек3;

+ 744-0,0156

0,297(0, >0 +0,0333+0,0156)+С,006(0,0333+0,0150+0,0333-0,0156+

1 + 10-0,282 +

+ 10-0,282-0,5-0,0156

+ 744-0,0156

= 0,256-10~2 сек*

0,29/+0,006+0,0333+0,0156+10-0,282(0,5+0,0156)+0,0156-744-0,297
~ ~ — ’----------------------------" ——--------—  —  " —. —

1 + 10-0,282+744-0,0156

= 0,321 ёек;

_ 206-32,6-10-2,3-0,00428	1

' ~ 1+10-0,282 + 744-0,0156 ~ ' сек

Таким образом, передаточная функция скорректированной следящей си-
стемы

К(Р) =

__________________11(1-+2^97 Р)_____________________	(8.32,
р (0,605• 10~7р4 + 0,16 • 10-4рЗ+0,256 • 10~2 р2+0,321 р+1)

По передаточной функции (8.32) построим логарифмическую амплитуд-
но-частотную и фазовую частотную характеристики.

Сопрягающие час<оты:	<

-	= — = - *	=3,12 сек-\ 1§ сй! = 0,494;

V. О/. 1

	«1	0,321	1 9^	—1.	Тл гл- 9 1 •
<й2		а2	0,256-,10~ 2			Сел э	
	«2	0,256-10~2		
®3 =		—	— 160 сек \	1§ш3 = 2,2;
	а3	0,16-10“*		
	а3	0,16-10~4		
®4 =		— 			•	• 	— 265 сек 1‘,	1^ Од = 2,42;
	«4	0,605-10~7		

<+ = 0~^97 = 3,37 сгк 1; 1ё®;=0.528*

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика изображена на
рис. 8.32, а. На рис. 8.32, б построена фазовая частотная характеристика ме-
тодом сложения фазсвых характеристик отдельных звеньев.

Из частотных характеристик видно, что система обладает запасом устой-
чивости но фазе Дер=56° и запасом по модулю А7.=9,5 дб.

Построение кривой переходного процесса. Для по-
строения кривой переходного процесса в следящей системе воспользуемся
Таблица 8.7

<о, сек 1	1., Об	ср, град	р	со, сек, 1	1., дб	ср, град	Р <ш>
2	25,0	—93	1,0	40	—1,5	—135	0,25
3	21,5	—94	1,0	50	—3,5	—146	—о,з
4	18,5	—96	1,0	60	—5,0	— 156	—0,7
5	16,5	—96,5	1,0	80	—7,5	—173	—0,7
8	12,5	—90	0,98	100	—9,5	—190	—0,5
10	10,5	—101	0,97	120	—11,0	—205	—0,3
20	4,5	—113	0,85	160	—15,5	—228	—0,1
30	1,0	—124	0,62	200	—23,0	—245	—0,025

приближенным методом типовых трапецеидальных вещественных частотных
характеристик.

Предварительно необходимо построить вещественную частотную харак-
теристику замкнутой системы Р(<о). Для этого используем номограмму
(рис. 8.33). Задаваясь рядом значений <;>, перенесем значения амплитуды и
фазы, определяемые из частотных характеристик системы (рис. 8.32), на но-
мограмму (рис. 8.33). Соединив эти точки плавной кривой, получим амплитуд-
но-фазовую характеристику разомкнутой системы Точки пересечения этой
'кривой с сеткой кривых номограммы дадут значения вещественной частотной
характеристики замкнутой системы Р(о).

Все вычисления сведены в табл. 8.7. Характеристика Р(о) построена на
рис, 8.34.
Вещественную частотную характеристику разбиваем на четыре трапеции.
Каждая трапецеидальная вещественная частотная характеристика определя-
ется следующими параметрами:

Рис. 8.33. Номограмма для построения вещественной частотной характери-
стики по л. а. х. разомкнутой системы

а) коэффициентом основного наклона					Таблица 8.8	
оу/ х =	,  <оо		Номер трапеции	сек 1	“О’- сек 1	и'а  ">0	Р (0)
где — интервал равномерного	про-					
						
пускания частот;		1	9	29	0,31	0,3
(оо— интервал пропускания	час-	2	29	61	0,475	1,46
тот;		3	74	129	0 574	—0,56
		4	129	200	0,645	-0,2
б) высотой трапеции Р(0).						

Переходный процесс при единичном возмущении для трапецеидальной
характеристики при Р(0)=-1 выражается уравнением

111	соз — сов (х/)1

й = —  ---- 5/ (<% /)—х (х<ооО +  ----— ------------ -

* л 1 —х [	I	3
Значения Л* для разли шых значений /иг приведены в таблицах спра-
вочников "

Ьсе параметры трапеций, на которые разбита вешествен«ая частотная
характеристика данной системы, приведены в табл. 8.8.

Таблица 810

Таблица 8.9

т	н	сек	*1==1-₽1 (0)	т	Н	т  1=	“,  сек	Хг—пРг (0)
0	0	0	0	0	0	0	0
0,4	0,166	0,014	0,05	0,4	0,186	0,006	0,272
1,0	0,405	0,034	0,1.21	1	0,452	0,016	0,660
2,0	0,740	0,069	0,22	2	0,819	0,033	1,19
3,0	0,964	О,’О4	0,289	3	1,04’’	0,049	1,52
4,0	1,071	0,’38	0,322	4	1,133	0,066	1,65
5,0	1,090	0,172	0,328	5	1,117	0,082	1,63
6,0	1,066	2,207	0,320	6	1,058	0,098	1,54
7,0	1,037	0,242	0,311	7	1,003	о,;15	1,50
8,0	1,019	0,276	' 0,306	8	0,975	0,131	1,42
				10	0,033	0,164	1,43
Трапеция 1. % = 0,31;  Р1 (0) = 0,3; о>01 = 29 сек—1.				12  14  16	0,092 0,994 1,009	0,197 0,230 0,262	1,45  1,45  1,47

Трапеция 2. % = 0,47-

Р2 (0) = 1,46;
ы02 = 61 сек~1.

Таблица 8.11

т	К		"сек  ‘»03	*а=йР3 (о)
0	0	0	0
6,4	0,199	0,003	—0,111
1	0,482	0,008	—0,027
2	0,864	0,015	—0,48
3	1,089	0,023	—0,60
4	1,154	0,031	—0,64
5	1,112	0,039	—0,61
6	1,03	0,046	—0,57
7	0,967	0,054	—0,54
8	0,947	0,062	—0,53
10	0,987	0,077	—0,55
12	1,012	0,093	—0,56
14	1,005	0, Ж	—0,55
16	1,006	0,124	—0,55

Трапеция 3. у = 0,57;

Рз (0)=—Г.,56;

<ооз =129 сек—1.

Таблица 8.12

	л	г= ’сек  «>м	^=ЙР4 (0)
о \	0	0	0
0,4	0,208	0,002	—с.с-г
1	0,505	0,005	—0,101
2	0,898	0,010	—0,180
3	1,116	0,015	—0,223
4	1,162	0,020	—0,232
5	1,097	0,025	—0,219
6	1,001	о.озо	—0,206
7	0,94’	0,035	—0, .88
8	0,934	0,040	—0,187-
10	1,005	0,050	—0,201
12	1,026	0,060	—С, 205
14	0,998	0,07С	—0,200

Трапеция 4. % — 0,65;

(0) = -0,2;

<оО4 = 200 сек—1.
Ппи помощи таблиц й^-функций определим переходный процесс для каж-
дой трапеции при единичном возмущении (табл. 8.9—8.12).

Переходный процесс следящей системы будет огтзедтляться суммой

®вых (0 — х (О — Хх (О + Хд (О + Х8 (I) -ф- X* (<).

Рис. 8.34. Вещественная частотная характери-
стика следящей системы

Кривая переходного процесса следящей системы приведена на рис. 8.35.
Там же даны отдельные составляющие указанной кривой.

Таблица 8.13

Оу. сек—1	дг, дб	Дер, град	%	*п’  сек	р-
4?	9,5	56	14	0,12	2

Качественные показа-
тели следящей системы. В
результате проведенного расчета мо-
жно определить качественные пока-
затели, которые имеет рассчитанная
следящая система профилешлифо-
вальнрго станка.

Из логарифмической амплитуд-
ной и "фазовой характеристик (рис.
8.32) следует, что система обладает
запасом устойчивости по амплитуде
Д^.=9,Е дб и по фазе А<р=56°.

Рис. 8.35. Кривая переходного процесса
в следящей системе и составляющие
этой кривой
График переходного процесса при единичном возмущении, приведенный
на рис. 8.35, показывает, что максимальное перерегулирование в системе <т=
= 14%, время переходного процесса 7П =0,12 сек и число колебаний не превы-
шает р = 2

Все полученные качественные показатели системы сведены в табл. 8.13.

Следящая система отвечает техническим условиям, сформулированным в
начале расчета,
Глава IX. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 9.1. Вводные замечания

Анализ и синтез нелинейных систем автоматического управ-
ления значительно сложнее, чем линейных систем, что объясняет-
ся необходимостью решения нелинейных дифференциальных
уравнений. В большинстве случаев подобное решение не может
быть дано в общем виде, в связи с чем приходится прибегать к
частным решениям, выполняемым с той или иной степенью при-
ближения. Поэтому большую роль приобретают различные уп-
рощенные и приближенные методы, при помощи которых мож-
но получить ответы на отдельные вопросы (устойчивость в опре-
деленных условиях; наличие автоколебаний; поведение системы
в каком-либо частном режиме, например при установившейся
скорости, при воздействии и возмущении определенного вида
и т. п.).

Следует подчеркнуть, что принцип суперпозиции, широко
применяемый в линейной теории, при анализе и синтезе нелиней-
ных систем не применим. Таким образом, в последнем случае
выходной сигнал в статике не пропорционален входному, форма
выходной величины при ступенчатом воздействии оказывается
зависимой от величины этого воздействия, а реакция на произ-
вольное входное воздействие не может быть найдена как сумма
реакций на отдельные составляющие входного воздействия.

Невозможность применения принципа суперпозиции связана
с невозможностью использования экстраполяции. Определенные
сведения о переходном процессе в нелинейной системе при сту-
пенчатом воздействии на входе не позволяют сделать заключе-
ния о характере реакции системы на подобное воздействие боль-
шей или меньшей величины. Таким же образом оказывается не-
возможным использовать известную реакцию системы на сигнал
одного вида для суждения о реакции на сигнал другого типа
(нарушается формальное соотношение между временной и час-
тотной областями, которое существует для линейных систем).

В настоящее время разработано весьма большое число мето-
дов исследования нелинейных систем. Некоторые из этих мето-
дов годятся только для анализа отдельных элементов, другие
применимы для систем в целом. Полного решения поставленной
задачи редко удается достичь при -помощи какого-либо едного
метода. Чаще приходится использовать несколько методов, каж-
дый из- которых обеспечивает некоторую часть необходимой ин-
формации при анализе и расчете.

Приведем краткую характеристику основных групп методов
и остановимся в дальнейшем на применении в расчетах лишь
некоторых из них, как получивших наибольшее использование
для решения практических задач.

А. Методы, интегрируемой аппроксимации: 1) линейная,
2) кусочно-линейная, 3) нелинейная интегрируемая.

Принцип первого вида аппроксимации основывается на до-
пущении, что основные параметры системы имеют постоянное
значение, соответствующее выбранной течке, что позволяет при-
менить методику .линейного анализа. Последний имеет силу
лишь для ограниченной зоны вблизи рабочей точки (малые сиг-
налы или малые отклонения, или же малая степень нелинейно-
сти).

Второй вид аппроксимации предназначен для случая сравни-
тельно больших сигналов- и заключается в составлении линей-
ных дифференциальных уравнений для каждого прямолинейно-
го участка, на которые разбита нелинейная характеристика. Об-
щее решение сводится в этом случае к решению ряда неоднород-
ных линейных уравнений. Требуемый объем вычислений обычно
велик, особенно если система высокого порядка или нелиней-
ность такова, что для точной аппроксимации требуется разбивка
характеристики на большое число линейных отрезков.

В случае применения третьего вида аппроксимации решение
уравнения находят путем замены характеристики нелинейного
элемента некоторой близкой к ней кривой, которая может быть
написана аналитически. Таким образом, производится замена
«точного» уравненк я приближенным, которое может быть точно
проинтегрировано, что практически является не менее точным,
чем приближенное решение «точного» уравнения.

В ряде случаев значительной точности аппроксимации не
требуется, причем часто соображения физического характера
указывают на требуемую точность аппроксимации.

Из видов аппроксимации нелинейных характеристик можно
отменить:

I)	аппроксимацию целой рациональной функцией:

= аВ + рВ" (а > 0; р > 0);

2)	аппроксимацию дробной рациональной функцией:

1 — р/1
3^ аппроксимацию при помощи степенной функции:
В^а-Н\

4, аппроксимацию при помощи логарифмической функции:
В = а1п(1 +~ (при Ч>0).

Выбор того или иного вида аппроксимации зависим от вида не-
линейной «арактеристики и от желательной степени упрощения
решения задачи.

Б. Численно-графические методы. Исследование и расчет
нелинейных систем могут производиться путем численных и гра-
фических методов интегрирования нелинейных дифференциаль-
ных уравнений.

Целесообразно проводить расчет нелинейной системы комби-
нированным путем, т. е. предварительно использовать какой-ли-
бо приближенный метод, а затем для уточнения и проверки пра-
вильности выбранных параметров провести расчет численным
или графическим путем или же при помощи моделирования.

В настоящее время известен целый ряд численных и графи-
ческих способов, из которых следует отметить: способ численно-
го интегрирования по разностному методу Адамса [Л. 17], способ
приближенного интегрирования акад. Чаплыгина, метод Эйлера
(один из наиболее просты:; методов), численное интегрирование
методом разложения в ряд Тейлора, численное интегрирование
методом разложения во временный ряд (использование импуль-
сной функции), метод Боксера и Тэйлора с использованием
г-преобразования и др. [Л. 29].

За последнее время появились достаточно простые графиче-
ские методы, из которых следует отметить метод секущих, метод
касательных [Л. 19] и метод с использованием решения уравне-
ния в конечных разностях [Л. 9]. В ряде случаев вместо приме-
нения трудоемких численно-графических методов может быть
применено моделирование, позволяющее получить большое чи-
сло вариантов решения нелинейных задач.

В. Методы Лавовых траекторий. Эти методы основаны на вве-
дении некоторых наглядных понятий и представлений геометри-
ческого характера. Основным из них является понятие фазового
пространства, которое дает полное представление о характере
возможных движений в системе.

Пусть система описывается дифференциальным уравнением
п-го порядка. Ее состояние может быть охарактеризовано п чис-
лами, которые можно рассматривать как задание некоторой точ-
ки в к мерном пространстве, причем каждой точке этого прост-
ранства будет соответствовать одно определенное состояние
(определенная фаза) системы. Поэтому такое пространство на-
зывается фазовым пространством.
В основном область применения этого метода ограничена си-
стемами не выше третьего порядка, однако он может оказаться
полезным и для проверки различных приближенных методов,
применяемых к системам более высокого порядка.

Для систем, описываемых дифференциальным уравнением
второго порядка, фазовое пространство (в этом частном случае)
превращается в фазовую плоскость.

Практически наибольшее распространение для исследования
нелинейных систем получил метод фазовой плоскости. Результа-
ты исследования этим методом дают полную картину поведения
систем в том смысле, что могут быть получены все решения дан-
ного дифференциального уравнения для широкой совокупности
начальных условий и возмущающих функций в виде скачка или
линейно возрастающего сигнала. Метод фазовой плоскости при-
меним для любого типа нелинейности, а также для сочетания
нелинейностей. Путем графического интегрирования на его осно-
ве можно получить кривую переходного процесса.

Недостатком метода является его ограничение системами вто-
рого порядка и возмущающими функциями вида ступенчатого
воздействия или линейно нарастающего сигнала.

В некоторых случаях можно аппроксимировать системы выс-
ших порядков системой второго порядка с запаздыванием, что
расширяет область применения метода фазовой плоскости. Од-
нако подобный прием не гарантирует, в отдельных случаях, от
существенных неточностей. Этот метод дает возможность уста-
новить физическую картину влияния на систему того или иного
типа нелинейности в большей степени, чем какой-либо другой.

Г. Методы малого параметра. Основные исследования по ме-
тоду малого параметра были проведены французским матема-
тиком Пуанкаре и русским ученым Ляпуновым. В дальнейшем
были разработаны различные варианты метода малого парамет-
ра, успешно применяемые в радиотехнике и теории автоматиче-
ского управления, составившие целую группу методов малого
параметра.

Последняя может быть разделена на две подгруппы методов:
аналитические и графоаналитические.

Наиболее ранними являются методы Ляпунова, Рэлея и
Ван дер Поля. Метод последнего был строго обоснован Мандель-
штамом, Папалекси и Андроновым, которые также развили ме-
тод Пуанкаре.

Булгаков развил свой оригинальный метод малого параметра
применительно к системам высокого порядка. Крылов и Боголю-
бов разработали на этой же научной базе принцип так называе-
мого гармонического баланса, а Теодорчик — принцип энергети-
ческого баланса. Графоаналитические варианты, базирующиеся
на указанных принципах, разрабатывались Гольдфарбом, Тео-
дорчиком, Поповым и др.
Наибольшее распространение в инженерной практике'полу-
чили графоаналитические методы Гольдфарба и Попова, бази-
рующиеся на принципе гармонического баланса.

Ниже приводятся примеры расчета по этим методам. Общая
идея метода малого параметра основана на том, что ряд членов,
входящих в левую часть дифференциальных уравнений нелиней-
ных систем, можно считать малыми по сравнению с остальными
членами, в основном определяющими характер движения систе-
мы. Поэтому рассматриваются упрощенные уравнения без ма-
лых членов как уравнения, близкие к линейным (в определенных
условиях). Следовательно, можно говорить о так называемых
квазилинейных системах.

В связи с этим методы малого параметра, направленные к
исследованию периодических режимов нелинейных систем, явля-
ются приближенными, так как они позволяют определить лишь
приближенные значения амплитуды и частоты основной гармо-
ники периодических колебаний, предполагаемых близкими к
гармоническим.

Графоаналитический метод гармонического баланса (метод
гармонической линеаризации) представляет собой результат
распространения частотной линейной методики на исследование
нелинейных систем. Как известно, при гармонических сигналах
на входе нелинейного звена на выходе последнего будут иметь
место периодические несинусоидальные величины, которые мож-
но разложить на основную и высшие гармоники. Если последни-
ми пренебречь, а рассматривать только основную гармонику, то
можно вычислить комплексный коэффициент усиления нелиней-
ного звена по первой гармонике, который является своеобраз-
ным аналогом передаточной функции. Таким образом, этот ме-
тод позволяет использовать обычный линейный частотный аппа-
рат с некоторыми видоизменениями.

Д. Методы моделирования. Исключительно важное значение
для анализа и синтеза нелинейных систем автоматического уп-
равления за последнее время приобрели методы моделирования
в связи с широким распространением аналоговых (непрерыв-
ных) и дискретных электронных вычислительных машин как
специализированных, так и общего назначения.

Поскольку сложная нелинейная задача не может быть реше-
на в общем виде, то для нахождения оптимального, или просто
приемлемого варианта, нужно решить значительное число част-
ных задач. Подобная работа проще всего может быть выполнена
на моделирующей установке. С ее помощью можно промодели-
ровать весьма сложные системы со многими нелинейностями и
обследовать широкую область начальных условий и внешних
возмущений, причем коррекцию целесообразно выполнять при
помощи последовательных приближений.
Однако и в этом случае аналитические и графические мето-
ды анализа могут оказаться весьма полезными, так как они по-
зволят предварительно нащупать оптимальную структуру систе-
мы и зону варьирования параметрами.

В некоторых случаях существенные черты влияния отдельных
нелинейностей ппоще раскрываются при помощи фазовой харак-
теристики (фазового портрета системы),'а не переходной. Поэте
му предварительное изучение задачи тем или иным методом
может дать значительную экономию машинного времени, умень-
шить объем полученного материала и сократить время для его
анализа.

§ 9.2. Примеры расчетов по методам
линейной аппроксимации

В общем случае некоторая физическая переменная у зависит
от п независимых физических переменных, т. е.

У = [(х1г хя, ... ,х„).

Очевидно, что подобная зависимость не анализируется обыч-
ными линейными методами. Линеаризация может быть допусти-
мой лишь при небольших отклонениях, в зоне некоторой рабо-
чей точки.

Тогда за переменные можно принять приращения физиче-
ских переменных относительно некоторой точки у0:

&У = У—Уо,
&хг = х1  х1о<

&х„ = х„~хп0,

где ус, х10, х2о,..., хп0 — значения переменных в рабочей точке.
Если ввести приращения, то можно написать

- Ду = △/(△%!, Дх2...Дхп).

Линейная модель этого нелинейного уравнения имеет вид

Ду = к± Д*1 4- к2 Дх2 Ч-\-кп Ьхп.

Таким образом, построение модели сводится к соответствую-
щему выбору коэффициентов кг, кг, ..., кп (наклону прямых вазо-
не точки у0) 

В простейшем случае при плоской задаче

)	Ду — кАх (см. рис. 9.1).

Определение коэффициента к может быть осуществлено при
помощи различных приемов. Рассмотрим два наиболее распро-
страненных: метод касательных (разложение в ряде Тейлора) и
.метод минимальной квадратичной ошибки (метод наименьших
квадратов).

Для систем с малой степенью нелинейности и небольшой ра-
бочей областью оба метода дают приблизительно одинаковые

результаты.

Первый метод основан на учете только первого члена ряда
Тэйлора и ппоще всего применим, если нелинейность задана в
~	“ метод применении для рабочей

аналитической форме. Второй

Рис. 9.1. Линейная аппроксимация
методом касательных и методом

наименьших квадратов

области, большей, чем в перзом
случае.

Рис.
ной
ции

9.2. К линей-
аппроксима-
уравнения

движения маятни-

ка

На рис. 9.1 линия А представляет собой аппроксимацию ме-
тодом касательных, дающую хорошее совпадение вблизи рабо-
чей точки и существенное расхождение у границ рабочей зоны.
Линия В является аьппоксимацией методом наименьших квад-
ратов. Она мало отклоняется от нелинейной зависимости во всей
рабочей зоне, хотя ее наклон не соответствует наклону кривой
в рабочей точке у0.

Пример 9Л. Выполнение линейной аппроксимации по мето-
ду касательных уравнения маятника, колеблющегося, с малой
амплитудой (рис. 9.2).

Считаем подвес Ь абсолютно жестким, но не обладающим
массой. Вся масса сосредоточена в грузе М.

В данном случае нелинейная характеристика задается в ана-
литической форме.

Для математического маятника (без трения; можно напи-
сать:

—Ма — — Мз —	81п ф.

Если учесть, что = Ь- йф, то это уравнение можно перепи-
сать, т. е.

"	—Д-8Шф
Полученное уравнение является нелинейным, так как имеет
множитель кт ф.

Разложение 51п ф в ряд около ф = 0 дает

I 1	1 о \

+ I

ь

Для малых значений можно учесть только первый член ряда
ф = ^.

т ь

В результате решения этого уравнения получим

ф = А151П /— •/ 4- Л2\

где Л] и Л2 — коэффициенты, определяемые начальными усло-
виями.

Следует отметить, что полученная приближенная зависи-
мость дает хорошую точность в пределах около 30° (ошибка не
превышает 1%)-

Пример 9.2. Проведение линейной аппроксимации по методу
наименьших квадратов кривых, изображенных на рис. 9.3.

Рабочая точка характеризуется значениями: у=4; Х]=4;
х2 = 0.

Основные положения метода: общий случай, когда имеется
одна зависимая переменная у и п независимых переменных х!г
х2, ..., хп. Пусть соотношение между у и последними задано как
совокупность точек в окрестности рабочей точки у0, которой со-
ответствуют значения х]0, х20, ..., хи0- Следовательно, совокупно-
сти Дхц, Дх2Ь ..., Дх,н соответствует определенное Ду (таких со-

Рис. 9.3. Линейная аппроксимация
методом наименьших квадратов

вокупностей имеется т). Поло-
жим, что количество численно
заданных точек превышает
число независимых перемен-
ных, т. е. ш>м. Необходимо
определить соотношение меж-
ду приращениями переменных
в виде

Ду = ^1Дд1+А:2Дх2+- •+А:пДх„
так, чтобы сумма квадратов
разностей между двумя значе-
ниями Ду одного определенно-
го из последнего выражения и
другого, полученного из задан-
ной числовой совокупности, бы-
ла минимальной, т. е. необходимо найти такие значения /гь к2,
кп, при которых выражение

т

Е2 =	'Л1 Ах1(-	к2 Дх2/ + • • • + кп Дхя<

«=1

было бы, по возможности, минимальным.

Предыдущее выражение для Ду показывает, что рабочая точ-
ка лежит на аппроксимирующей линии (в общем случае плос-
кости), поскольку оно не содержит свободного члена.

Для того чтобы минимизировать Е2, приравняем нулю каж-
дую из первых частных производных:

дЕ1 . йД2	. дЕ*

дкх ’	дк2 ’	’ дкп

В результате получается система из п линейных уравнений
относительно п неизвестных ки к2, ..., кп, решение которой может
быть произведено обычными методами.

Чаще всего приходится иметь дело с одним или двумя неза-
висимыми переменными.

В случае одного независимого переменного

Ду = /?Дх,

где

т

X д%! Л//;

ЕД2х(
1=1

Для случая двух независимых переменных

Ду = к^хг + /?2Дх2,

, еЬ — Лс , аЛ — се

где к\ = -------— и к2 = ----------, причем

аЬ + с2	аЬ — с"

т

а = I Д2 -Ч1-;

1=1

Ь= ^ДЧ2[.;

1=1

с = Дхп Ах2,-;

1=1

= 1 Ау^Дхг,-;

1=1
т

1=1

Численные значения выбранных точек независимых пере-
менных могут быть взяты симметричными Тогда члены, содер-
жащие перекрестные произведения, окажутся равными нулю,
что значительно облегчает вычисление коэффициентов.

Для случая двух независимых переменных это соответствует
равенству нулю величины
т

с = Ахи Д.хи = 0.

Да рис. 9.3 представлены, к^х уже отмечалось, три кривые
у -,*(Х1) при различных значениях х2=1; 0; —1; рабочая точка
задана по кривой х2=0 (у=4 и Х1=4).

В данном случае имеем две независимые переменные. Выби-
раем численные значения точек симметричными для получения
с=0 и заносим эти значения в табл. 9.1.

Вычисляем соответственные величины для определения к\
и к2:

9

а = Е А2 хи = (-: )2 + (О)2 + (I)2 + (-1)2 + (О)2 +

1=1

+ (1)2 + 1-1)2Ч-(0)2 + (1)2 = 6;

9	9

Ь = V А2 х21- = 6; с = 0; а = У Ду, Ах,, = 8;

1=1	«=1

9

* = Е Ау,- Дхи. = 9;

1=4

^=—=1,5; /г2=1,33-

1	6-6	2

Отсюда

Ау = 1.5АХ! + 1,ЗЗДх2.

Соответствующие прямые (сплошные линии) проведены на
рис. 9.3 и являются аппроксимацией по методу наименьших
квадратов. Там же нанесены пунктирные линии, проведенные
по методу касательных.

Как видно из рис. 9.3, метод наименьших квадратов дает в
пределах заданной рабочей области лучшую аппроксимацию,
чем метод касательных. Однако он более трудоемок.

* Если нелинейные зависимости заданы в аналитической интегрируемой
форме, то суммирование можно, заменить интегрированием.
Таблица 9.1

Т очка	1	2	3	4 |В  1		6	7	8	9
ЛХ1	—1	0	1	— 1	0	1	—1	0	1
Дх2	—1	-1	—1	0	0	0	1	1	1
Д'/	—3	—1	0	—2	0	—1,5	0	1,5	2,5

Данные метода наименьших квадратов могут быть приме-
нены для аппроксимации в случае одной независимой перемен-
ной при помощи полинома. Для этого может быть использова-
но выражение

' у = кй + кхх + к&2 + • • + кпхп;

В неге подставляются значения заданных точек на основа-
нии общего случая следующим об разом:

Ду = у; Дхх = 1; Дх2 = х; Ах3 = х2   •; Дх„ = х"-1.

§ 9.3. Примеры расчетов численно-графическими
методами

1. Метод разложения в ряд Тейлора. Данный метод реше-
ния нелинейных дифференциальных уравнений основан на экс-
траполяции функции между двумя точками с помощью ряда
Тэйлора.

Решаемое дифференциальное уравнение может быть пред-
ставлено в виде

«/П)=НМ, У,- , у(п-1))

при заданных начальных условиях.

Применим разложение в ряд Тэйлора, взяв в качестве не-
зависимой переменной время I:

У = У (10) + V (/ _ д + ПУ . (г_ /о)2 + ПУ (| _ ,о)з +...
л!	о!

Численные результаты выражаются через фиксированные
отрезки времени к:

1п —

— *п—1-
При подсчетах последовательно перемещается начальная точка:
- й2 — /г3

Уп +1 ~ Уп УпЬ- + Уп "2! Ь Уп 3! •

Производные уп, уп, уп могут быть найдены, если продиф-
ференцировать исходные уравнения и подставить значения уп
и 1п. Ряд сходится достаточно быстро, если выбранное /г доста-
точно мало.

Производные от г/„+1 могут быть также определены при по-
мощи ряда Тэйлора.

Ряд для первой производной получается дифференцирова-
нием у„+1 по /г:

........../г2

У,г\-у Уп “Р Уп + Уп 21 4“  ‘ '

Аналогично находятся и старшие производные.

Следует отметить, что данный метод является весьма тру-
доемким. Поэтому чаще всего ряд Тэйлора используется в
начале расчета, а в дальнейшем решение проводится каким-
либо другим методом, например методом Эйлера.

Пример 9.3. Решение по методу Тэйлора нелинейного диф-
ференциального уравнения следующего вида:

У + У + У2 — 1 = 0;

начальные условия: у=1, у= — 1 при / = 0.

Определяем производные при указанных начальных усло-
виях:

// = 1 —у —у2;

У = — у — 2уу,

У = — У — ЪУУ — 2(р)2.

Следовательно, при / = 0 получим

Уо=Ъ Уо = — 1; Уо=1; Уо = Н у0 = ~5.

Для п = 0 разложение получит вид

Положив /г = 0,1, получаем

^ = 1 —0,1 +0,005 + 0,00174----= 0,9052.

Для того чтобы вычислить у2, необходимо определить уи
У\ и т. д. Однако для их нахождения необходимо вычислить
величину у] так же, как это было сделано для величины уи т. е.

Уг — - - 1 + /г Ч-----,

2	6

что получается в результате дифференцирования по /г ряда
для у\.

Подставляя также к = 0,1, имеем

г/1 = — 1 + 0,1 + 0,005 — 0,0008 = —0,8958.

Далее определим

у,= \+к~^

или

у± = 1 + 0,1—0,0250 = 1,0750.

Для проверки правильности решения подставим эти вели-
чины в исходное уравнение:

у + У + У2 — 1 = 1,0750 + (—0,8958) + (0.9052)2 — 1 =
= 0,007 = 0-

Указанная ошибка (—1%) характеризует степень точности, ко-
торая получается при выбранном временном шаге /г = 0,1 сек и
данном количестве членов.

Таким же образом подсчитываются величины уь у:

г/1 = 0,6141, у = 3,3645.

Следовательно, при п= 1

у, = 0,9052 — 0,8958й + 1,0750 — + 0,6141 — —3,3645 —.

»2	,	,	2!	3!	4!

При том же значении /г=0,1 сек находим //2=0,8104.

Далее также последовательно определяются у$, у$, ..., уп.

Пример 9.4. Решение при помощи ряда Тэйлора уравнения

х = — х + I при I = 0 величина х = 0*.

Таким же образом эти методы применяются и к нелинейным
дифференциальным уравнениям первого порядка.

Выбираем интервал /, равным /г = 0,1 сек. Производные х,
х, х имеют вид:

х = —х + I,

* В дальнейшем для наглядности проводим решение этого простого урав-
.непия также методами Эйлера и Адамса. Точное решение может быть легко
получено аналитически.
х = —1,

X = — X.

В начальной точке п=0 значения производных будут:

хо=0; х0= 1 и х——1.

Как и в предыдущей задаче, получаем первых три значе-
ния х:

Х1 = 0+0 + — -1 -о,1в + — (— 1)0,1® = 0.С05;
2	6

х2 = С + 0 + ^--1-С,2э- +	] )-0,2® = 0,019;

х3 = 0 + 0 + -у- • 1-0,3® + — (—!) 0,3® = С,€40.

Вычисления производились с точностью до третьего знака
после запятой. Однако точность определения третьего десятич-
ного знака в этом случае является недостаточной, так как при
вычислениях число десятичных знаков должно быть по меньшей
мере на один знак больше, чем выбранное числе знаков (в дан-
ном случае следовало бы производить вычисления с четырьмя
знаками после запятой).

Будем считать, что значение третьего десятичного знака в
Хз сомнительно. Поэтому вернемся к х2 и будем вести процесс
экстраполяции от х2 к х3. При п=2 производные будут:

ха = 0,181; хг = 0,8’.9; х2= —0,819.

Тогда вновь определенное значение

х3 = 0,019 + (0,181 -6,1) + — -0,819-0,1® +

+ -Н—0,819)-С, 1® = 0,041.

6

2. Модифицированный метод Эйлера. Этот метод дает вы-
сокую точность, если временной шаг й в ряде Тэйлора доста-
точно мал. Тогда сумма двух первых членов может обеспе-
чить хорошую точность:

хп+1 = хп + тп • К (9.1), 1 де тп =

Это выражение является заведомо неточным. Первое опущен-
ное слагаемое ряда -Тэйлора имеет порядок й2.

Можно повысить точность результатов. Значение хп-[ в вы-
ражении для ряда Тэйлора получается путем замены положи-
тельного временного прираи ;ения й на отрицательное —п. Выч-
тя результат из выражения

*л+1 = Хп +	+ -^тп^ +~тпь? + ' •

Здесь т,г = (— ; т = 1^—^-1 • •  ],

I	\<Н)п' п \^!п Г

голучим

Хп+1=Хп-1+2тпН‘	М

Это выражение точнее, чем первое (9.1), так как первое
опущенное слагаемое имеет порядок й3 (если И мало, то й3 зна-
чительно меньше, чем 1г2',. Можно еще повысить точность, а
также обеспечить проверку вычисления, используя выражение
(9.1) с подстановкой вместо тп среднего значения т между
точками хпи х„+1. В этом случае

х ,, = х 4- — {т. + т„,,) й.	(9.3)

л-Н п * 2 \ п 1 л“г1 *	' /

Здесь два значения т вычисляются соответственно при
И ^п+1-

Выражения (9.2) и (9.3) могут быть использованы совмест-
но для решения заданного уравнения. Тогда первое значение
хи+1 вычисляется по уравнению (9.2). Значение тп+\ определя-
ется затем из дифференциального уравнения.

Далее вычисляют второе значение хп+\ го уравнению (9.3)
(это значение оказывается более точным, чем первое). Сно
может быть снова использовано для подстановки в дифферен-
циальное уравнение с целью определения нового значения тп+1,
которое, в свою очередь, может быть использовано в уравнении
(9.3) для нахождения еще более точного значения хп+ь

Для определения хп+1 из уравнения (9.2) необходимо вычис-
лить хп_) и тп, что может быть сделано из ряда Тэйлора путем
определения X] и т\ по х0 и (0 и нескольким производным, вы-
численным при 1 = 10.

После этого начального шага вычисления продолжают только
при помощи выражений (9.2) и (9.3).

Пример 9.5. Решение по методу Эйлера уравнения х=—х+/
с начальными условиями: х=0 при /=0.

В качестве временного приращения выбираем также й=
= 0,1 сек. Используем значение Х1 = 0,005, лайденное в предыду-
щей задаче по методу Тэйлора. Производим вычисления по сле-
дующим формулам:

^п°,
х^==хп-г + 2тп/1’
(т„)ср= ~ (тп + т„+1);

г =
6	лл4-1 Лп4-Г

Подсчет по формуле (9.2) обозначаем через х^, а по фор- '
муле (9.3) — Хп+1. Разница между ними является поправкой
с, которая должна быть порядка одной-двух единиц в послед-
нем удерживаемом десятичном разряде. Результаты подсчетов

Таблица 9.2

п	*п	хп	тп		Л) *л+1	тп+1	(т 1 п ср	Л2	С
0	0	0	0						
1	0,1	0,005	0,095	0,019	0,019	0,181	0,138	0,019	0,000
2	0,2	0,019	0,181	0,036	0,041	0,259	0,220	0,041	0,000
3	0,3	0,041	0,259	0,052	0,071	0,329	0,294	0,070	0,000
4	0,4	0,070	0,330	0,066	0,107	0,393	0,362	0,106	—0,001
5	0,5	0,106	0,394	0,079	0,149	0,451	0,422	0,148	—0,001
6	0,6	0,148	0,452						

заносим в табл. 9.2. (Строки таблицы вычисляются в последо-
вательном порядке).

В данном случае результаты подсчета могут быть, вследст-
вие простоты уравнения, сопоставлены с точным (аналитиче-
ским) решением

х = ё~1 + I— 1.

Данные таблицы совпадают с численными значениями точ-
кого решения, за исключением значении Хъ и Хе (они мень-
ше на 0,001, что допустимо).

Как уже отмечалось, точность приближенного решения за-
висит от выбора временного приращения И. Если значение по-
правки с нарастает или с самого начала расчета является боль-
шим, то это значит, что принятая величина И велика и ее сле-
дует уменьшить.

3. Метод Адамса. Этот метод позволяет производить более
точную экстраполяцию от одной точки к последующей при рас-
чете процесса по точкам, например по методу Эйлера или ка-
кому-нибудь другому, чем при помощи прямой линии, проводи-
мой между соседними точками.

По методу Адамса для экстраполяции используется не ли-
нейная зависимость, а алгебраическое уравнение, степень кото-
рого выше единицы. Это позволяет осуществлять экстраполя-
цию рещения на большем интервале и с большей точностью.
Довольно часто применяют квадратичную экстраполяцию
решения дифференциального уравнения. Более точные резуль-
таты можно получить при использовании кривых высшей степе-
ни. Как пример автоматического использования экстраполя-
ции можно указать на цифровую систему управления копиро-
вально-фрезерным станком, в которой производится считывание
управляющего сигнала с перфоленты ('сигнал по точкам) и
превращение его при пропускании через экстраполирующее уст-
ройство в непрерывный сигнал.

Следующей по сложности за прямой линией является пара-
бола, описываемая уравнением второй степени:

х =; хп + а (I — 1п) + Ь (I — 1п)2,

где а тл Ь — постоянные,

1п и хп — координаты точки, через которую должна пройти
искомая кривая.

Дифференцируя это выражение, получим:

Д V

~ = а + 2Ь(1-1п}.

Полагая, как и выше, 1=1п и —=тп, получим, что

<н

а = тп.

Подобно этому при /=/„_! и /п_1—/и =—И имеем

— = т„ . = т„ — 2Ь-к

Я п-1 п

и, следовательно,

= тп — Отд-!

21г

Отсюда получим экстраполяционную формулу

Подобным же образом получается экстраполяционная фор-
мула более высокой степени, например, пятого порядка

^+1 = хп + 1г [тп	+ ~Лгтп_2 +

+ — Д3т„_3 ф- — Д4т„_4^ ,

‘ 8	720	/’

где

ДШд.!

А2тп_2 = Ат„_1—Дт«-2:
Ьвггп_3 = №тк_2—Д*т1

Д4 ^п-4 ~ 3 тл-3---Д3 ^-11-4 

Из этой формулы могут быть получены соответствующие
формулы более низших порядков, а именно: если оставить лишь
первое слагаемое, т. е. 1г  тп, то получим линейную экстраполя-
цию, при двух "ервых слагаемых — квадратичную параболи-
ческую экстраполяцию и т. д.

Аналогично выражению для определения хп+1 выводится
выражение для вычисления предыдущих точек решения:

, /	1 Л	1 Л8

Хп 1 = Х~П тп----77	1---: ' Д т„ 9 —

,—П	. П	П	ГС—1	?9	И—2

1 лч	19 ..

--	Д8 т„ ,-* т,
24----------------п“3	720	'

Здесь коэффициенты при слагаемых меньше, чем в выра-
жении для хп+ь что указывает на большую его точность по
сравнению с последним.

Решение может также производиться с использованием обе-
их формул, причем сначала вычисляют хп+1, используя значе-
ние хп и значения производных т и их разностей, опреде-
ленных в точке хп- Полученное значение хп+1 проверяется при
помощи выражения для хп-\- Для этого значения хп+1 различ-
ные значения производных т и их разностей в точке хп+1 сле-
дует подставить в качестве хп, тп и т. д. в правую часть выра-
жения для Хп_|.

Полученное значение хп_] должно быть равно значению хп,
с которого был начат процесс вычисления. Если получится су-
щественное расхождение, то следует сно^г определить хп+1 при
помощи первой формулы.

Пример 8.6. Применение кубической экстраполяции по ме-
тоду Адамса для уравнения

Начальное условие: х=0 при /=0. Постоянное временное
приращение И=0,1 сек.

Используем первые два значения х, оппеделенные в преды-
дущем примере с помощью ряда Тейлора: Х}=3,005 и Х2=0,019.

Для вычисления данных таблицы используются следующие
формулы:

= хп "Г"
Дтп_х = тп~тп_х-„

А2 тп_2 = Дт„_1 — Д/к„_2 ;  ’
А	в = -^-^^-2, С= — д2 /«»-&;

х„4-1 = хп + К (тп + А + В);

•^п-1 = Хп — А (тп — А — С).

Данные подсчета сводятся в табл. 9.3.

Рассматриваемый пример решается со значительным дубли
рованием данных, которое можно сократить.

Таблица 9.3

й		хп			л’тл-2	А •	В	Хп+1	С	хп— 1
0  1	0  0,1	0 0,005	0 0,095	0,095	—	—,	—	—	—	—
2	0,2	С.01Э	0,181	0,086	—0,009	0,043	—0,004	0,641	—	—
3	0,3	0,041	0,259	0,078	—0,008	0,039			—0,001	0,019
3	0,3	0,041	0,259	0,078	—0,008	0,039	—0,003	0,071			—
4	0,4	0,071	0,329	0,070	—0,008	0,035	• > • -		—0,001	0,041
4	0,4	0,071	0.329	0,070	—0,008	0,035	—0,003	0,107	—	—
5	0,5	0,107	0,393	0,064	—0,006	0,032	• - • •		—0,001	0,071
5	0,5	0,107	0,393	0,064	—0,006	0,032	—0,003	0,149	—	—
6	0,6	0,149	0,451	0,058	—0,006	0,029			—0,001	0,107

Проверка производилась после каждого шага, причем ни
одно из найденных значений хп+1 не потребовало пересчета. Ре-
зультаты расчета полностью совпадают с точным решением '[за
исключением Хц которое больше на 0,001).

В процессе вычислений формула для хп+1 впервые приме-
няется при вычислении строки п=2 для определения х3. Пос-
леднее значение подставляется как хп в строку п=3. По этому
значению хп и по соответствующим значениям тп и разностей
с помощью определения хп_( проверяется значение х2. Послед-
нее вписывается в крайнюю правую графу первой из строк
п—3. Сопоставление значений х2 из крайней правой графы этой
строки со значением х2 предыдущей строки таблицы в третьей
слева графе дает проверку точности.

После проверки значения Хз при помощи выражения для
хп+1 вычисляется новая строка таблицы для п=3 и определя-
ется х4, после чего в строке п=4 производится проверка при
помощи выражения для хп-1. Строки, соответствующие после-
довательному применению этих выражений, сгруппированы в
таблице попарно.

• Таким образом, как в методе Эйлера, так в методе Адам-
са для проверки расчетов предусмотрена две попеременно при-
меняемые формулы.
Поскольку подобные вычисления весьма трудоемки, то про-
ведение проверок в процессе расчета необходимо. В связи с
этим разработано большое количество методов проверки, кро-
ме отмеченных выше (графический метод, метод последова-
тельных разностей, численное интегрирование и др.). Подробнее
см. [Л. 17 и 29].

4. Решение уравнений порядка выше первого. Уравнения,
порядок которых выше первого, могут быть решены аналогич-
ным образом, как и уравнения первого порядка, путем сведения
их к системе уравнений первого порядка, что достигается вве-
дением дополнительных переменных.

Пусть дано уравнение третьего порядка

~ +	+ ах +/о(х,/) = О,

аг*	а12	а/

где функции Л, /о однозначны, непрерывны и дифференци-
руемы. Это уравнение может быть сведено к трем уравнениям
(1х	(1^Х

первого порядка путем замены — = у и--------= г.

<11	<из

После введения дополнительных переменных получаем си-
стему уравнений:

<1х	<1ц

— = У, — = 2;

<и	<и

=	(X,	(х, 1)у — 1о(х, I).

ш

•Эта система уравнений может быть последовательно решена
путем известных методов решения уравнений первого порядка
(Тэйлора, Эйлера и пр.).

Как обычно, необходимо определить начальные значения х,
у и г, после чего решение всех трех уравнений должно произ-
водиться последовательно, что является более трудоемким, но
в принципе аналогично решению одного уравнения первого по-
рядка.

Следует подчеркнуть, что общность численных методов ве-
лика, так как ими можно воспользоваться для решения любого
дифференциального уравнения.

Однако при решении сложных задач трудоемкость настоль-
ко возрастает, что приводит к необходимости применять авто-
матические вычислительные машины. Для более простых слу-
чаев (или когда требуются лишь ограниченные сведения) воз-
можно выполнение вычислений вручную или при помощи ариф-
мометра.

Пример 9.7. Решение уравнения третьей степени

Д’х йх ____

~<№ М ~ '
((1х \	/	\

---I =0; I ---) =1 при / = 0.

(11 / о	\ ^/2 / о

Принимаем временной шаг И=0,1 сек.

Вычисление проведем по методу Эйлера с получением пер-
вых данных по методу Тэйлора.

.Проводим замену заданного уравнения третьего порядка
тремя уравнениями первого порядка путем введения дополни-
тельных переменных у и г:

(1х	Ди	йг	,	,

— = У, — = 2; — = у + I.

Ш * (И '01

Производные более высокого порядка и их значения при

Определяем с помощью ряда Тэйлора значения переменных
Л'ь У1 и 21 при /1 = 0,1:

+ = х0 + у0Н + 2<Л2 + 4“ 14Я =

2	Ь \ ш /□

= 1+0+— •Ь0,12 + 0 = 1,005;

1	1 2

= о + 1-0,1 + 0 + — -2-0,1» = 0,1;

6

= 1 + 0 + -у-2-0,12 + 0 = 1,01.

Далее по методу Эйлера вычисляются для каждого из трех
уравнений первой степени отдельные таблицы с использованием
найденных значений ху, у\ и При составлении таблиц про-
изводится последовательное вычисление величин

у(1) г/О) 7(1) ’ х(2)	/у(2)	7(2) ш

иЧ-1’ Ул+Р Л~|-Р Лп+1’ У п+1’ л+Р ^п+1 >

после чего весь процесс повторяется. Перед каждой таблицей
приведены соотношения, применяемые для ее вычисления.
Формулы для вычислений к табл. 9.4:

^=У> х^=хп_^2упИ-, х<^ = хп+ (у„)срй;

(^)сР = ” ( Уп + ^1): сл = х(Д1 ~ *&•

Таблица 9.4

п	п	хп	Уп	2У„Л	*п-Н	4^	Ср	Хп+1	сх
0	0,0	1,000	0										- -
1	0,1	1 ,00ь	0,?00	0,020	1,020	0,202	0,015	I 320	0
2	0,2 .	1,020	0,203	0,041	1,046	0,308	0,026	1,046	0
3	0,3	1,046	0,310	0,062	1,082	0,421	0,037	1,083	о,оо:
4	0,4	] ,083	0,423	0,085	1,131	0,543	0,048	1,131	о
5	0,5	1,131	—	—	*—	—	—	—	

Формулы для вычислений к табл. 9.5:

~ = 2! Уп+. = Уп-х + 2гЛ
^1 = уя + (гЛР-/г’

(гЛР = у-С^ + ЗД);

си ~ У^-1 - УЙ-1-

Таблица 9.5

п	п	Уп	г«	2гпЛ	„(О  уп+1	гв+1	ср	4+1	су
с	0,0	0	1,003	—					_—		~	
1	0,1	0,100	1,010	0,202	0,202	1,640	0,103	0,203	0,001
2	0,2	С, 203	1,040	0,208	0,308	1,091	0,107	0,310	0,002
3	0,3	0,310	1 ,091	0,218	0,421	1,162	0,113	0,423	0,002
4	0,4	0,423	1,163	0,233	0,543	.,256	0,121	0,544	0,001
5	0,5	0,544	—		.—	—	—	—	•—

Формулы для вычислений к табл. 9.6:



2Й, •-= гп-\ -ь 2ш„ к; г^, *=гп + ( ^)ср А;

‘,®п)чГ= Т + ^п+1Сг = г"+х “ г«11"

*
Таблица 9.6

п	1п		гп	тп			№я+1	{к,«>ср	$«+1	сг
0  1	0,0  0,1	0 0,100	1,000  1,010	0  0,200	0,946	1,04(\	0,40?	0,030	1,640	0
2	0,2	0,203	1,040	0,403	0,081	1,091	0,610	0,051	1,091	0
3	0,3	0,310	1,091	0,610	0,122	1,162	0,823	0,072	1,163	0,001
4	0,4	0,423	1,163	0,823	0,165	1,256	1,044	0,093	1,256	0
5	0,5	0,544	1,256	0	—	—	—	—		—

Решение в аналитической форме данного дифференциаль-
ного уравнения:

х = — 1 +е( + е-{ —

Численные данные отличаются от точного решения не более
чем на единицу третьего десятичного разряда.

5. Численное интегрирование с применением г-преобразова-
ния. В настоящее время метод г-преобразования является ос-
новным методом анализа импульсных и цифровых систем.

Применение аппарата г-преобразования позволило почти
полностью перенести на дискретные системы частотные мето-
ды, разработанные для непрерывных систем, а также понятия
передаточных функций, логарифмических характеристик, коэф-
фициентов ошибки, частотные критерии устойчивости, частот-
ные методы анализа и синтеза при случайных воздействиях
и Др.

> Метод г-преобразования позволяет также производить ана-
лиз нелинейных дискретных систем. Хотя этот метод был разра-
ботан для импульсных систем, однако он оказался достаточно
удобным и для получения временных переходных функций не-
прерывных систем при условии, что непрерывная система за-
меняется ее импульсной моделью. Ио теории 2-преобразования
известно [Л. 28], что функция 1(1) может быть представлена
в импульсной форме как последовательность импульсов в мо-
менты времени пТ'; при этом площадь каждого импульса рав-
на значению функции в соответствующие моменты времени
1=пТ. Для такой функции можно применять аппарат г-преоб-
разования.

Преобразование по Лапласу импульсной функции имеет вид
^*(-5) = Т НпТ)-е-^т,

п=0

где Т — период прерывания,

а — комплексная переменная.
Приведенное уравнение показывает, что Р*(з) представляет
собой бесконечный ряд по еТх. Это позволяет использовать
подстановку

Тз	1 ,

г = е или 5 = — 1п г
Т

и применить сокращенное обозначение Р(г) для получающейся
функции от г. Следовательно,

г	П~ ОО

Р (г) = Р* 1п г ) =	/ (пТ) г-".

п=0

Уравнение для Р(г) определяет математическую операцию,
широко известную в литературе под названием г-преобразова-
ния. Это уравнение, представляющее собой г-преобразование,
является аналогом преобразования Лапласа

= Iх е 5/ &
о

и изображается бесконечной суммой, так как применяется к
импульсным функциям.

Так же, как и для непрерывных систем, можно и для им-
пульсных систем говорить о передаточной функции (импульсной
передаточной функции или г-передаточной функции импульс-
ной системы):

ш

х(х)

Таким образом, передаточной функцией импульсной систе-
мы является отношение г-преобразований импульсного выхода
системы к ее импульсному входу. Она аналогична передаточ-
ной функции системы без импульсных элементов

, . У(х)

^(5) = ^7Т.

х(х)

Эта аналогия позволяет использовать г-преобразование и
импульсные передаточные функции так, же, как преобразование
Лапласа и обычные передаточные функции, что делает г-пре-
образование удобным математическим методом в теории им-
пульсных систем и позволяет использовать его для линейных и
нелинейных непрерывных систем.

Так же, как и для функции У7 (г), может быть написано
аналогичное выражение для функции

&(?) = Ё ё(пТ)г~п.

п.—Ъ
Если функция ё(1) является некоторой импульсной функ-
цией, то ё(пТ) представляет собой площадь импульса в момент
1=пТ, а не значение §(/) в этот момент.

Основываясь на рассмотренных определениях г преобразо-
вания временной функции и импульсной передаточной функции,
можно вычислить импульсные передаточные функции системы
или ее отдельных элементов по их рбычным передаточным
функциям.

Рис. 9.4. Ступенчатая	Рис. 9.5. Линейно-нара-

функция	стающая функция

Из уравнения для Е(г) можно легко получить х-преобразо-
вание временной функции, а затем и искомую временную функ-
цию системы.

Таким образом, для вычисления импульсной передаточной
функции §(х) надо определить ё(1) и ё<з), найти временную
последовательность ё(пТ) подстановкой пТ вместо I в функ-
цию и, наконец, определить сумму ряда ё(г) (для физи-
чески реализуемых систем этот ряд сходится).

Если функция ё(з) является сложной, то ее необходимо раз-
ложить на составляющие и к ним применить преобразование.

Пример 9.8. Определение г-преобразования ступенчатой
функции (рис. 9.4).

Ступенчатая функция может быть записана как

ё(1) = ки(1).

Функция

ё® = Цё«)} = А.
$

Подстановка в уравнение ё(1) последовательности импуль-
сов дает

ё (пТ) = ки (пТ) = Л.

Положим, что начало прерывания совпадает с началом сту-
пенчатой функции.
Определяем зависимость ^(г), т. е. вычисляем х-преобразо
вание ступенчатой функции

П=СО

V кг-” = к(1 +^ + г~2 + ---)=

'	п=0

представляя сумму в виде бесконечного ряда, который равен

-—— для ]г-’|<1 (при делении числителя к на знаменатель
(I—г-1) получается бесконечный ряд).

Умножая числитель и знаменатель на г, получим

&(г) = для | г—11 < 1.

Пример 9.9. Определение г-преооразования линейно-нара-
стающей функции (рис. 9.5).

Линейно-нарастаюшая функция (функция с постоянным на-
клоном) может быть записана как

&(/) = &(0-

Обычная передаточная функция ^(з), т. е. преобразование
Лапласа от имеет вид:

^(5)=г{^(/)} = 4.

Подстановка последовательности импульсов /=/г7" дает
§{пТ) = кТп,
где п — целое число.

Далее получаем ^-преобразование функции с постоянным
наклоном:

ё (г) = 2 Ап7г-« = кТг-1 [ 1 + 2г-1 + Зг~2-]-

...+ (А + 1)2-л+...]= _^_Для 1г^1<1

или	§ (г) = -	для | г-1! < 1.

(г— I)2

Полученное выражение является также импульсной переда-
точной функцией для системы с обычной передаточной функ-
цией ^ («)=—.

Пример 9.10. Определение г-преобразованш экспоненциаль-
ной функции (рис. 9.6).
Переходная и обычная передаточные Функции:
= ле~а1 и &(з) = Ь{^(0) =	-

где с — постоянная.

Импульсная последовательность

Т2'( 37 4Т~‘

О
д(пт}

ё(пТ> = ке~ап1 .

Определяем г-преобразсва-
ние экспоненциальной функ-
ции:

О

№

1—1 —I—Ь-ЛГ
т гт зт ьт

Рис. 9.6. Экспоненциальная
функция





Рис. 9.7. К определению им-
пульсной передаточной
(Ьугкции

^(г)= X кё~апГ 2

т

или

’ 'УЧ-]*=7---=^-=1При|е

1 —е г

ё(г) = —при \е-аТг~А |
г-— е

Пример 9.11. Определение импульсной пеоедаточной функции
системы, структурная схема которой представлена на рис. 9.7.

Передаточная функция всей системы

. . к (Ь — а)
а («) =---5—---.

(5 + а)(5+Ь)

Разлагаем на составляющие

, у	*

&(«) = —-

к

Переходная функция и импульсная последовательность соот-
ветственно будут:

Я(0 = А^е-а'-е-ы),

д(пТ) = А (е~апТ— е~ЬпТ) .

Определяем импульсную передаточную функцию

ё^)= X ё(пТ)

-е6пГ
Отсюда получим, что сумма ряда

. .	к

ё^) = -----^г~~-

1 —е г

После небольших преобразований получим

^(г) =

кг ( е~аТ — е~ьт)

(г-е^) (г-,->?) ’

Поимер 9.12. Вычисление кривой переходного процесса на
выходе инерционного звена (рис. 9.8) с использованием г-пре-
образования при подаче на вход ступенчатого воздействия.

Значения параметоов схемы: входное напряжение х=1 в;
К = 1 ом и Ь = 1 гн.

Для вычисления выходного напряжения у (к) с использова-
нием г-преобразования необходимо представить х(1) и импульс-
ную переходную функцию (функцию веса) ^(/) в виде соответ-
ствующих последовательностей импульсов.

Импульсная переходная функция для
цепи при указанных параметрах

^(0 = ^.

При этом входная функция х* (/) представ-
ляет собой серию равномерно распределен- к
ных импульсов (рис. 9.9), а функция —
затухающую последовательность импульсов
(интервал между импульсами примем рав-
ным 0,3 сек).

Каждая функция может быть записана

к

Рис. 9.8. К вычисле-
нию кривой переход-
ного процесса с ис-
пользованием г-пре-
образовапия

виде временного ряда:

Рис. 9.9. Последователь-
ности импульсов при вы-
числении переходного
процесса в инерционном
звене

х* (0 = Ро (0 + Ро V - 0,3) + р0 (I - 0,6) +
+ (П == Ро (0 + е'°’3 р0 (^ - 0,3) +
+ е ’6 Ро ---------0,6) + • • •,

где р0(/)— единичный импульс при / = 0;
р0(/—0,3)—импульс в момент времени
/ = 0,3 сек и т. д.

Произведем почленно преобразование
Лапласа:

х* (х) = 1 + е-с’35 + е-0,65 4--------

Этот бесконечный ряд можно записать
в виде предела

х*
Таким же образом

I \	1 т —-0,3 —-0,3$ . —0,6 —-0,6$ .

ё (5) = 1 +е 'е +е -е 4----------------,

или

$	~ 1 _ е-о.з.е-0.3^

Вводя подстановку через г" = ечТ8, получим:

X (2) =	,

г — 1

ё (2) = ----------•

'	г —0,7408

Получены уже известные выражения для г-преобразованпя
последовательности равномерно распределенных импульсов. При
получении г-преобразования для выходной величины у*(1) над-
лежит перемножить х(г) и ^(г):

у (г) = х (г) -у (г) =--------------.

6	г2— 1,7408г+ 0,7408

Разделив числитель полученного выражения на знаменатель
(разложение в степенной ряд), получим

у (2) = 1 + 1,741 г-1 -|- 2,29 г-2 + 2,697 г3-]-

Для этого выражения подстановка епТз вместо г" дает об-
ратное г-преобразование и-го члена в импульс, имеющий место
в момент времени пТ.

Следовательно, обратное преобразование для получения вы-
ходной временной функции имеет вид (рис. 9.9, в)

У (0 = Ро (0 “Ь 1 »741 р0 (/ — 0,3) + 2,29 ро (I — 0,6) 4-

+ 2,697 ро(* — 0,9)4---

Для непрерывной функции могут быть выбраны различные
способы аппроксимации. Интервалы между импульсами Т дол-
жны быть взяты достаточно малыми, чтобы обеспечить жела-
тельную точность решения.

Наиболее простым методом для данной задачи может быть
принят следующий.

Полагают, что площадь каждого импульса равна значению
действительной функции времени в отсчитываемый момент, ум-
ноженная на Т (интервал между импульсами). Тогда действи-
тельная функция может быть представлена импульсной после-
довательностью, определяемой равенствами:

х:(о = тх*(/),

с (0 = тё* V).
При этом выходная импульсная последовательность полу-
чается равной выходной величине умноженной на Т (при-
ближенно) .	а

Обоснование этого положения лежит в использовании ра
венства

з — -—Лиг (см. ниже).

В связи с этим «-преобразование для выходной величины

Рис. 9.10. Вычисления
выходной величины
инерционного звена:
/ — при помощи «г-преоб-
разования; 2 — точным
решением уравнения

мы с применением

4/о(г) = Тх(г)-^Х.

Результаты подсчета выходной величины
представлены на рис. 9.10 (кривая У); там
же дано точнее решение (кривая 2). Из со-
поставления кривых видно, что чем меньше
выбирается Т, тем ближе кривая, получае-
мая по рассматриваемому методу, стоит к
действительности.

Если параметры цепи Д и Ь изменялись
бы с изменением напряжения (нелинейная
цепь), то необходимо было бы определять
их значение при каждом последовательном
ша^е вычислений.

Пример 9.13. Вычисления, кривой пере-
ходного процесса линейной следящей сйсте-
сбратного «-преобразования.

Обратное «-преобразование представляет собой метод вы-
числения переходного процесса системы, основанный на преоб-
разовании уравнения #(-г)=^(«) х(«) во временную область.

Метод обратного «-преобразования позволяет получить вре-
менную функцию, справедливую (строго говоря) лишь для дис-
кретных моментов времени. Как уже отмечалось, выражение
г-преобразования в общей ферме имеет вид

Г(г) = Ц /(пТ)«-п.

Обратное «-преобразование может быть представлено как
/(л Г) = 5 (г) «”-1г/«.

Интеграл в этом выражении должен вычисляться вдоль
замкнутого - контура в плоскости комплексного деоеменного г.

Приближенно выражение для определения !(пТ) может
быть написано так:
чуо можно переписать следующим образом:



где контуп интегрирования представляет собой окружность еди-
ничного радиуса с центром в начале координат г-плосг.ости.

Если функция Р 1п 2^ может бытК выражена через отно-
шение двух полиномов от г, то после выполнения деления вы-
числяется	а следовательно, и переходный процесс во

времени. Однако указанная функция не позволяет сделать не-
посредственного разложения. Поэтому приходится использовать
следующее разложение:

1пг = 2

Выразим величину $-1 через г, т. е. $-1 = -—.

Подставим в последнее выражение полученное выше значе-
ние для 1п г и разделим числитель на знаменатель:

(’ — г-*)®
(1+г-ф

Для удобства расчетов (с достаточной для практики точ-
ностью) ограничимся первым членом полученного ряда:

5-1 = 21 1+*-1

2 ’ 1—г-1

Таким же образом находится выражение для я-2 и дЛя лю-
бых степеней з:

Взяв два первых члена, приближенно получим
5-2 =	1 + Юг-* +

12 ’	(1—г-Ч2

Выражения для з-1 н-з-5 приведены в табл. 9.7. С ее по-
мощью при расчетах можно выполнить переход от преобразо-
вания Лапласа к ^-преобразованию.

Таким образом, величину Р	можно представить в

виде отношения полиномов, расположенных по степеням г~к.

Применим рассмотренный метод для расчета переходного
процесса заданной следящей системы.
		Таблица 9.7	Пусть передаточная
Преобра- зование Лапласа		2-преобразование	функция замкнутой си-  стемы	__  -®«. (5) =	5.  &1	52 + 2,4« + 4
1		Т 1 + 7-1	
5		2 ‘ 1 - г-1	Рассчитаем переходный процесс при единичном воздействии 0,=4 рад.  4
2	72	1 + Юз'1 + г~~2	
5	12	1 — 2?-1 + г~2	Тогда 0, («) = — , отсюда  5
			0 (с\ 	 16
—3	73	7-1 + 2 -'2	°°	53 + 2,4в2 + 4з'
	2	1 — 3?—1 4- Зг“2 — г~3	Делим числитель и знаменатель на «3, т. е. приводим к «-'-форме:
	7«	г-1 + 4г-2+	
	6	1—4г~1+6г“2—	
		+ г—3	74	1 -1-2,45—1-1-45—2 '
		-4г-3+г-4	720	Переходим от преоб- разования Лапласа к г- преобразованию, исполь-
	75	2-1 + 11г~2+	
5—5	24	^йг^+Юг-2— + 112-3+г-4	зуя приведенную выше таблицу	(подставляем  вместо «~«—2, «~3 их зна-
		—10г~3+5.г”4— 7~5	чения, выраженные че- рез г):

(1-г-1)+1,27(1+7-1) (1-г-^+ — (1+102-4-7-2) (1-7-1)
О

_	______________2472 г-1 + 2472 г-2_________________

~ (3+3,67+Т12)—(9+ 3,67—972)г-1+(9—3,67—972)г~2—(3—3,67+ Т2)г—'л

Далее выбираем подходящее значение для Т. Обычно реко-
мендуется выбрать Т, равным не более одной десятой ожидае-
мого периода собственных колебаний системы или времени пе--
реходного процесса (если такая оценка хотя бы приближенно
может быть сделана).

Примем ориентировочно 7=0,4 сек (если эта величина пос-
ле получения характеристики переходного процесса окажется
завышена, то придется задаться меньшим значением Т и про-
извести расчет переходного процесса вновь). Подстановка при-
нятого значения Т в выражение для ©о (г) дает

~	.	3,84 г-1+ 3,84 г-2

©о (г) =------:.

“	4,6 — 9г~'+6,12 г—2—1,72 г—3

Получаем бесконечный ряд путем деления числителей на зна-
менатель: .

©0 (г) = 0,836 • г-1 + 2,47 • г ~2 + 3.71 • 2~3 + 4,29 • г”4 +

+ 4,39-г5 + 4,33-г6 + 4,1 -2~7 + 4,0 • 2~Ч-

Как уже отмечалось, каждый коэф-
фициент при г-" представляет собой
значение ©0 в соответствующий момент
времени 1=пТ, что позволяет по точ-
кам построить кривую переходного
процесса ©0(7) (рис. 9.11). На этом же
рисунке сплошной линией приведена
кривая точного решения. Можно отме-
тить, что величина Т выбрана удачно.

Пример 9.14. Вычисление кривой
переходного процесса в нелинейной
электрической цепи с использованием
обратного г-преобразования.

На рис. 9.12 дана электрическая
цепь ЯС с переменным сопротивлени-
ем, величина которого зависит от при-
ложенного к нему напряжения.

Допустим, что вольтамперная ха-
рактеристика сопротивления схемы
характеризуется зависимостью

дящей системы

I

Рис. 9.12. К вычислению
кривой переходного процес-
са в нелинейной электриче-
ской цепи НС

Дифференциальное нелинейное уравнение рассматриваемой
схемы будет

/ = /с +	= С17 + Н2.

Положим, что 1 = 4 а и С=0,04 Ф, тогда уравнение примет
вид

4 = 0,0417 +172.

Полученное уравнение является интегрируемым и его точное
решение запишется как

17 = 2 • 1/г • 501.
Решим эту же задачу с использованием обратного г-пюеобг
разования. Напишем исходное уравнение обычным образом:

0,04(7 + СЛ — 4 = 0. .

Приравняем 1/2=ОС, где 7) будем временно считать по-*
стоянной величиной (в действительности 0=1/), чтобы иметь
возможность применить обычное преобразование Лапласа.
Уравнение получит вид	>

0.04Й+Ш —4 = 0.

При нулевых начальных условиях

Т11.	100	100\-®

О 15) =-------=-----------.

• я2+ 2508	1+25-08-1

Подставим вместо з-2 и 5-1 их выражения, определенные через
г, тогда

100 — - —------

г/(г) = -1-------------

т | + 28С.-’Т1±

2(1 —

(12 + 15007) — 24 г-» + (12 — 150 ОТ} г- ®

Выбираем величину 7=0,005 сек и подставляем в предыдущее
выражение:

,,, .	0 > 5 + 5г-1 + 0,5г—2

I/ (?) =----------!—!-----5.

(12 + 0,750) — 24г—1 + (12 — 0,750) г-2

Если бы П была постоянной величиной {линейная система),
то для вычисления V {I) надо было бы почленно разделить,
как это делалось выше, числитель на знаменатель. В данном
случае необходимо на каждом шаге деления определять й и
использовать его в следующем шаге, что равносильно измене-
нию величины 2). скачками от одного интеовала времени к дру-
гому (в пределах каждого интервала Л остается постоянным).
Это допущение вносит в расчет некоторую ошибку, которая
сказывается тем меньше, чем меньше выбрана величина Т. Оче-
видно, что при уменьшении Т возрастает объем вычислений.

При ^=0, т. е. при включении источника тока в схему КС,
величина 7>=0, поскольку 1/=0. Следовательно. выражение для
V (г) получит вид

12 —24г—1 + 12г—2

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим бес-
конечный ряд:	,

Ц,(г) = 0,0417 + 0,499т-1 + 0,968г-2 + 1,356г-3 + 1,634г~4-(--
Отсюда находим величину 17=0,0417 при 1=Т, т. е. в конце
первого интервала.

Так как в данном примере принято, что 0 = 17, то для вто-
рого шага следует положить Ъ=0,0417.

Для более точного подсчета возможно применение метода
итераций (производится корректировка коэффициентов на каж-
дом шаге);	\

Определяем напряжение при 1=Т, подстаьиь в выражение
17(г) найденное значение 0 = 0,0417 для первого шага:

т, . ,	0,5 + 5г—1 + 0,5г—2

17, (г) —-’—!------!--------,

1	12,03 —24г-1+11,97г-2

Деление числителя на знаменатель дает
(г) = 0,0416+ 0,499 2^4-----------------

Следовательно, при 1=Т значение напряжения
17 (7) = 0,499.

Это же значение принимается для О в интервале между
1 — Т и 1=‘2Т. Оно подставляется в выражение для 17(г) при
определении значения 172(г) в момент времени /=27:

172(г) =

0,5 4- 5г-1 + 0,5г—2
12,37 —24г—*+ 11,63г-2

Д.

В табл. 9.8 даны расчетные значения 17, О и значения числи-
теля и знаменателя выражения 17(г).

Разложение в ряд (обратное г-преобразоьание) для рас-
сматриваемого случая имеет вид

17 (г) = 0,499г-1 + 0,92г-2 + 1,3г-3 + 1,52г"4 + • • •

На рис. 9.13 нанесены расчетные точки значений 17 в дис-
кретные моменты времени и там же проведена кривая точного
решения, с которой указанные точки достаточно хорошо сов-
падают. Для уменьшения ошибки можно применить способ,
заключающийся в повторении основной операции для нового
значения Т.

Таблица 9.8

1	О	У	(12-1-0.750) —24г—*+( 12—0,750) г”2	
				и.О"ГО2 -г  +0,5г-2
0	0	0	12—24г—14-12г—2	
т	0,0417	0,499	12,03—242-4-7,, 97г-2	
2Т	0,499	0,92	12,37-г^г-’+И,63г-2	»
ЗТ .	0,92	1,3	12,73—24г-‘+11,25 г-2	»
47	1,3	1,52	12,974—24г—Ч* 11,026г-2	
Начальное значение Т выбирают из соображений приемле-
мой трудоемкости. С выбранным Т производят вычисления и
наносят на график кривую переходного процесса.

Затем выбирают меньшее значение Т (например, половину
начального) и вновь вычисляют кривую переходного процесса.
Сопоставление полученных кривых позволяет судить о степени

Рис. 9.13. Кривая пере-
ходного процесса нели-
нейной электрической це-
пи /?С

повышения точности при втором значении
Тио целесобразности его дальнейшего
повышения.

Одним из способов повышения точ-
ности является также определение нели-
нейных коэффициентов на основе экстра-
поляции. В этом случае находят некото-
рое ожидаемое значение Т по его вели-
чине в предыдущих членах последова-
тельности. Экстраполяция может быть
линейной, квадратичной и более сложной.

Пример 9.15. Расчет переходного про-
цесса в следящей системе с нелинейной
инерционной нагрузкой.

Рассчитаем переходный процесс в не-
линейной системе по методу обратного
г-преобразования с применением линей-
ной экстраполяции.

Нелинейность в системе вызывается изменением момента инер-

ции нагрузки в виде намоточного барабана. В этом случае мо-
мент инерции нагрузки является функцией углового положения

исполнительного вала:

7 = 5,65 + |0О|.

Пусть на вход системы подано ступенчатое воздействие 0;=
= 4,0 рад, а операторное выражение для выходного перемеще-
ния

0О (5) =---------*----------.

'	0,0442/53 + б52 -М

После подстановки значения ] и некоторых преобразований
получим

I \	4«-з	45—3

0 (5) --------------------------------- =-----------------

" '	0,0442 (5,65 + | 0„ |) + 0,655-1 + 5-2 А + 0.655-1 + 5~2

где А = 0,0442 • (5,65 + 10О |).

Положим 7=0,4 сек и выразим х через 2, т. е. перейдем к
г-преобразованию при помощи приведенной выше таблицы:

0о (г) =------------------3,84 0-х + г-2)_________________ .

(124 + 1,6) — 364г-1 + (364 — 2,88) г-2 — (124 — 1,28)г-®

Прямолинейная экстраполяция определяется равенством
(рис. 9.14)

0О (пТ) =20о [(и - 1) 7] - 0О [(и - 2) 7].
Подобная экстраполяция достаточно точна, если величина

———- мала. Поэтому можно ожидать расхождения в точках
<1пТ

перегибов и резких изломов кривой.

При /=0 очевидно 0о=О; А —0,0442 -5,^5=0,25.

После первого шага, определяемого делением числителя,
равного 3,84 (г~‘+г~2), на знаменатель, равный (4,6—9г-1 +
,+6,12г-2“— 1,72г~3), находим значение 0О(7) =0,835 при / = 7.

Рис. 9.15. Кривая переход-
ного процесса нелинейной
следящей системы

Рис. 9.14. Прямолиней-
ная экстраполяция

Знаменатель для второго шага равен:

(5,482 — 11,65 г-1 + 8,77 г-2 — 2,602 г-3).

Произведя обратное ^-преобразование для второго шага, по-
лучим 0о (27) =0,07 (коэффициент при г~2).

Затем опять проводим экстраполяцию для нахождения 0О
и А, соответствующих третьему шагу, и т. д.

В результате получаем следующий ряд для нелинейной си-
стемы:

©0 (г) = 0,835 г-1 + 2,07 г-2 + 3,0	+ 3,87 г-4 + 4,31 г-5 +

+ 4,65 г~6 + 4,54 г-7 + 4,19 г"8 + 4,0 г~9-  •

Как уже отмечалось, коэффициенты этого ряда представля-
ют собой дискретные значения угла 0О переходного процесса
следящей системы. По этим значениям строим переходный про-
цесс (рис. 9.15).

§ 9.4. Примеры расчетов по методам
фазовых траекторий

Для построения фазовых траекторий (характеристик) ис-
пользуется характеристическое уравнение системы, которое мо-
жет быть записано в общем виде:

Ап • А 1	х Ац х х = 0.

мп	Л"'1
Для заданных определенных начальных условий решение
этого уравнения отображается единственной кривой в п-мерном
пространстве.

Координатами последнего являются х, х, х, ...,	.

Это пространство может быть названо фазовым пространст-
вом, а кривая, отображающая решение характеристического
уравнения, — фазовой траекторией или фазовой характери-
стикой.

Семейство фазовых траекторий для всех возможных началь-
ных условий или некоторой совокупности их, представляющей
интерес для анализа, называется фазовым портретом.

Каждой точке фазовой траектории соответствует некоторое
определенное значение времени I. Очевидно, что коэффициенты
характеристического уравнения Ао... Ап могут иметь постоян-
ное значение (линейное уравнение), быть функцией времени
(линейное уравнение с переменными коэффициентами) или
функциями сигналов и их производных (нелинейное уравнение).

В случае уравнения второго порядка фазовое пространство
превращается в фазовую плоскость с фазовыми траекториями,
построенными в прямоугольных координатах х, у, где у—х.

Фазовый портрет системы дает возможность провести ана-
лиз поведения системы, получив следующие данные:

1)	переходный процесс для заданной совокупности началь-
ных условий;

2)	тип переходного процесса (апериодический или колеба-
тельный) ;

3)	величину перерегулирования;

4)	устойчивость;

5)	автоколебания (амплитуда и частота);

6)	возможные режимы работы;

7)	влияние отдельных нелинейностей (сопоставление с ли-
нейными системами и нелинейными с другими нелинейностями);

8)	рекомендации по коррекции системы линейными и нели-
нейными средствами.	 -

Уравнение второго порядка может быть записано как

х + Ах Вх = Г
или

х = Р — Вх — Ах.

Обычно обозначают х—у, тогда последнее выражение будет
^ = Р ~Вх — Ау.
си	а
Для получения фазового портрета необходимо провести ряд
преобразований исходного дифференциального уравнения.

К этим преобразованиям относятся:

1.	Исключение величины (, которая отсутствует (в явной
фопме) в фазовой траектории.

Для этого исходное уравнение делим йа у= тогда

4у

01  йу  Р — Вх — Ау

Ах	Ох	у

Для общего случая:

— = Р(х,у}-,

<и

оу = <2(х, у)
ах р (х, у)

Уравнение для -- определяет наклон фазовой траектории
в координатах х, у.

2.	Разделение переменных для интегрирования 'уравнения.

Для некоторых уравнений переменные разделяются просто
и интегрирование может быть проведено достаточно легко.

3.	Интегрирование уравнения для получения фазовой траек-
тории.

Интегрирование может быть осуществлено аналитически,
графически, численно или при помощи вычислительной машины.

В ряде случаев для нелинейных уравнений переменные раз-
деляются далеко не всегда.

Если удается получить решение для х и у — х, но процесс
алгебраического исключения I весьма сложен, то отдельные
точки фазовой траектории морут быть получены путем вычис-
ления х и у из каждого уравнения в отдельности для выбран-
ных значений б Тогда траектория строится по точкам, причем
каждой точке будет соответствовать определенный индекс вре-
мени, что является полезным для построения переходного про-
цесса.

Этот же прием можно использовать в некоторых случаях
при решении уравнения на вычислительной машине.

Как правило, для нелинейных уравнений интегрирование
проще всего выполнять графически, так же как и для большин-
ства линейных уравнений.
Разработан ряд практических методов построения фазовых
характеристик (метод изоклин, построение Льенара, дельта-
метод и др.), использующих те или иные приемы графического
интегрирования.

Пример 9.16. Получение фазовой характеристики для линей-
ного консервативного звена.

1.	Простейшее дифференциальное уравнение консервативно-
го звена имеет вид

х + X = 0.

Величина

= -х.
а(

Исключаем параметр /:

<И   х   (1у
йх	у	йх'

аГ

Производим разделение переменных:

у-йу = —хйх.

Интегрирование обеих частей равенства дает уравнение фа-
зовой траектории

у2 х2 = с
или

с са

Для данного консервативного звена фазовая траектория
представляет собой окружность, а фазовый портрет — семейст-
во окружностей, диаметры которых зависят от начальных усло-
вий (величина с).

2. Консервативное линейное звено характеризуется уравне-
нием

х + <±>о х = 0.

Решение последнего может быть записано как

х = А 51 п (юс I + <р),
где А и <р — постоянные, определяемые из начальных условий
(А — амплитуда; <р — фаза колебаний).

Значение величины

~ ®оСОЕ (“о + <₽)•
Исключая величину а»0^+<р из уравнения для х и у, получим

, что является уравнением эллипса с полуцсями А и о>оА

Фазовая траектория, представляющая собой эллипс
(рис. 9.16, кривая /), соответствует незатухающим колебаниям
системы с амплитудой, определяемой начальными условиями
(в данном случае начальным отклонением).

Рис. 9.16. Фазовые траектории линейного консерва-
тивного звена

При другой начальной амплитуде имеет место эллипс с дру-'
гими полуосями и т. д. (рис. 9.16, кривая 2).

Метод изоклин. В ряде случаев разделение переменных и
интегрирование представляет собой трудоемкую, а подчас и
трудно выполнимую операцию. Тогда целесообразно прибег-
нуть к использованию выражения — , представляющего собой

Ах

наклон фазовой траектории в данной точке, и графическому ин-
тегрированию.

г>	&У	ау

В выражении для •— имеются три переменных: х, у и
ах	ах

Зададимся каким-нибудь определенным значением

= лу_ =	у',

1 ах р (х, у)"

В этом случае получается уравнение с двумя неизвестными
х и у, что на плоскости ху дает одну единственную кривую —-
изоклину, представляющую собой геометрическое место всех
точек фазового портрета, для которых наклон фазовой траек
тории равен постоянному значению

Задаваясь различными постоянными значениями наклона
№1, А/г, 7У3, ..., Мп, можно построить семейство изоклин для неко-.
торого уравнения, т. е. для некоторой системы.
Последнее используется для построения фазовых траекторий
с различными начальными условиями при помощи отрезков
прямых, направленных в соответствии с наклоном, определяе-

мым изоклинами.

Пример 9.17. Построение фазовой траектории по семейству
изоклин.

На рис. 9.17 изображено семейство изоклин для некоторой
определенной системы. Необходимо построить фазовую траек-
торию при произвольно выбранных начальных условиях работы
этой системы.

Возьмем в качестве исходной точки, например, точку Д на
изоклине /Д и от нее начнем построение траектории. На каж-

Рпс. 9.17. Построение фазо-
вой траектории по изокли-
нам

дой из изоклин наносится стрелка,
указывающая наклон фазовой траек-
тории, когда она пересекает данную
изоклину.

Для построения участка траекто-
рии между двумя соседними изокли-
нами М1 и Лг2 из точки А проводим
две прямые под наклоном ТУ] и 1У2 в
направлении изоклины М2. Поскольку
траектория в точке А имеет наклон
М, а следующую изоклину должна
пересекать с наклоном Л/2, то она
должна лежать внутри угла, образо-
ванного указанными прямыми. При
ближенно можно положить, что точка

В пересечения траекторией изоклины находится на середине
отрезка последней, отсекаемого этими прямыми.

Из точки В таким же образом проводим две прямые с на-
клоном ТУ2 и 7У3 и получаем точку С фазовой траектории, в кото-
рой она пересекает изоклину 7У3 и т. д.

Фазовая траектория проводится через полученные точки А,
В, С, Д...

Очевидно, чем чаще будут проведены изоклины, тем точнее
окажется построение фазовой траектории.

Выбирая другие начальные точки на той же изоклине
строим другие траектории и получаем фазовый портрет.

Метод изоклин наиболее удобен именно для построения не
единичной фазовой траектории, а фазового портрета для опре-
деленной зоны начальных условий.

Для некоторых уравнений изоклины являются прямыми или
легко вычисляемыми кривыми и могут быть построены доста-

точно просто.

В более сложных случаях, в частности, для построения еди-
ничной фазовой траектории, можно рекомендовать другие ме-
тоды графического приближенного интегрирования.
Пример 9.18. Построение семейства изоклин и фазового пор-
трета для консервативного звена, описываемого уравнением
типа

х + х = о.

Учитывая, что и=х, напишем
— + х = 0.	'

ах

Освобождаясь от параметра I, получим

ИЛИ	Рис. 9.18. Семейство изоклин и фа-

।	зовая траектория простейшего

и =------- х.	консервативного звена

Если задаваться постоянными значениями от нуля до
бесконечности, то получим семейство изоклин в виде прямых
линий, расположение которых на плоскости х, у определяется
значением величины IV (рис. 9.18).

Следует отметить, что стрелки, определяющие наклон тра-
ектории, пересекающей любую изоклину, в данном случае ока-
зываются перпендикулярными линии изоклины, так как распо-
ложение изоклины (т. е. ее наклон) определяется так же, как
и наклон траектооии, величиной IV.

Отсюда следует, что для данного консервативного звена все
фазовые траектории являются окружностями (рис. 9.18). Полу-
ченные результаты согласуются с данными аналитического ре-
шения для этого звена (см. пример 9.16).

Пример 9.19. Построение семейства изоклин и фазовой тра-
ектории для консервативного звена, описываемого уравнением
типа

х 4- х = 0.

Так же, как и в предыдущем примере, напишем

ах 0
Освобождаясь о” параметра I, получим

Полагая =М, будем иметь

(1Д
^ = — —.

У

Откуда получим уравнение для изоклин

Рис. 9.19. Изоклины консервативного
звена при йд 1

Рис. 9.20. Семейство изоклин
и фазовая траектория консерва-
тивного звена при о0^1

При о>о = 1 имеем предыдущий случай консервативного звена.
И в данном случае семейство изоклин представляет собой пря-
мые линии, располагающиеся при тех же наклонах траектории,
что и линии, изображенные на рис. 9.18, но под другими углами
на фазовой плоскости, определяемыми значением Ид.

Действительно, положим ®д = 2. Тогда при ^=! будем иметь
уравнение изоклины у=—2х. Следовательно, эта изоклина ока-
зывается сдвинутой на 30° относительно оси у (рис. 9.19) *.

Наклон траектории /V на указанной изоклине составляет45°,
так как ДО=1.

Пусть теперь = 0,5. Тогда изоклина имеет уравнение у=

— —0,5 — . При 2У=1 получим у=—0,5х (рис. 9.19), что дает
/V

сдвиг относительно оси у, равный 60°.

Фазовые траектории при Юд=4= 1 представляют собой эллипс
с большой полуосью, совпадающий или с осью у (сод =2), или
же с осью х (к>0=О,5), как показано на рис. 9.20.

* На_рис. 9.18 этот сдвиг составляет 45°,-
Пример 9.20. Построение семейства изоклин и фазовой ха-
рактеристики линейной системы с положительным демпфирова-
нием.

Уравнение линейной системы второго порядка с положи-
тельным демпфированием имеет вид

\

х + ах + Ьу = 0

ИЛИ	— + ау + Ьх = 0, Л 1 » 1
откуда	= —ау — Ьх _ ах	у
Уравнение изоклины	— ь  У =	 -х  М + а

представляет собой уравнение прямой линии (семейство прямых
линий).

Построим для некоторого конкретного случая фазовую тра-
екторию линейной системы с положительным демпфированием.
Положим, что а=1 и 6 = 1, Тогда уравнение изоклины примет

вид

У = —-х = [(х}.

^ + 1

Задаемся рядом значений
подсчитываем коэффициен-
ты уравнения соответствую-
щих изоклин и сводим полу-
ченные результаты в табл. 9.9.

На рис. 9.21 приведено по-
строение фазовой характери-
стики для рассматриваемой
системы.

Предварительно было по-
строено семейство изоклин по
полученному выше уравнению
У=Цх) при Л?=0-нс/г и опре-
делены углы а = агс^ТУ, т. е.
наклон фазовой траектории в
точке ее пересечения с данной
изоклиной. Соответствующие
наклоны в виде стрелок нане-

Таблица 9.9

	—1  Д/4-1	а°=агс(^ №
—1	ОО		4$
—1,5	2	—56,5
—2,0	1	—63,5
—3,0	0,5	—71,5
—5,0	0,25	—78,7
—11,0	0,1		35
		ОО	0	—96
3,0	—0,25	90+18,5
2,0	-1/3	90+26,5
1,0	—0,5	90+45
0,5	—0,667	90+63,5
0,0	—1,0	180
—0,5	—2,0	180+26,5
—1,0	ОО	180+45
—2,0	1	180+63,5
—3,0	0,5	180+73,5
—5,0	0,25	180+78,7
—11,0	0,1	180+85
— ОО	0	180+90

-м
сены па изоклины, которые в данном случае представляют со-
бой прямые линии.

3 атем выбрана произвольная начальная точка Д (напри-
мер, на оси у) на любом расстоянии от начала координат (т. е.
любые начальные условия) и последовательно найдены на
изоклинах точки Дь А2, ..., Ап фазовой траектории, которая
в данном случае представляет ссбой скручивающуюся к началу
координат спираль.

Полученная траектория показывает, что характеристика си-
стемы является затухающей с небольшим колебательным про-
цессом.

Пример 9.21. Построение по методу изоклин фазовых траек-
торий системы, описываемой нелинейным уравнением х+хх+
+х=9.

Нелинейность в уравнении (произведение хх) явл5.ется ана-
литической и поэтому решение з&дачи может быть проведено
так же, как и в предыдущих случаях. Можно написать:

— +'ух + х — О,

отсюда

Делим обе части на =у,
тогда получим

^.^-У+1-х^М.

(1х	у

При этом имеем уравнение изоклины при постоянном значе-
нии А’:

х + А’

В данном случае изоклины не являются прямыми (нелиней-
ное уравнение) и поэтому каждую изоклину приходится строить
по нескольким точкам.

На рис. 9.22 представлено семейство изоклин и базовые тра-
ектории для двух случаев на!чальных условий. Указанные тра-
ектории являются замкнутыми, что характеризует систему как
автоколебательную.

Пример 9.22. Построение по методу изоклин фазовой траек-
тории системы, описываемой уравнением Ван дер Поля.

Нелинейное уравнение Ван дер Поля имеет вид

х — е(1—л2)  х + х - 0.
Оно характеризует колебательную систему с переменным
коэффициентом демпфирования (для некоторых видов лампо-
вых генераторов).

Как видно из приведенного уравнения, при больших откло-
нениях х (№>1) демпфирование является положительным и,

Рис. 9.22. Примеры фазовых траекторий для уравнения

х+хх+х=0

наоборот, при малых отклонениях, т. е. когда х2<1, демпфиро-
вание становится отрицательным.

Вид фазовых траекторий зависит от величины коэффици-
ента е.

Как обычно, определяем значение наклона траектории;

е(1 —х2)у + х = 0

ат

или

— = —х + е(1—х2)у,
откуда

Ау_ = у = 6(1 — хг)у — х
с!х	у

Уравнение изоклины имеет вид
х '

У =-------------•

е (1 — х2) — Ы

Пусть значение коэффициента е=0,2, т. е.

0,2(1— х*) — Ы

Решение этого уравнения для ряда значений АГ дает семейст-
во изоклин, представленное на рис. 9.23. В данном случае изо-

клины также не являются
прямыми линиями. Начало
координат, является особой
точкой, через которую про-
ходят изоклины при различ-
ных значениях М.

На этом же рисунке
представлена замкнутая фа-
зовая траектория системы,
являющаяся предельным
циклом, к которому стре-
мится любое решение неза-
висимо от начальных усло-
вий. Указанный предельный
цикл характеризует наличие
в системе устойчивых перио-
дических колебаний, к ко-
торым система приходит
вне зависимости от перво-
начального отклонения (ес-
ли начальная точка находится

Рис. 5.23. Изокл&и-я и фазовая траекто-
рия для нелинейного ур гниения Ван
дер По л" при в=0,2

внутои предельного цикла, то фа-

зовая траектория представ тает собой развертывающуюся спи-
раль и, наоборот, при начальной точке вне этого цикла — свер-
тывающуюся спираль). Очевидно, что дли точного построения
фазовой траектории необходимо нанести большее количество
изоклин, чем это показано на ркс. 9.23.

Существенно отметить, что полученная фазовая траектория
близка по своей форме к окружности. При е = 0 она превраща-

ется в окружность, так как уравнение системы переходит
в уравнение линейного консервативного звена (рис. 9.18). На-
оборот, при увеличении е фазовая траектория предельного цик-
ла вытягивается вдоль оси у. (Наибольшее отклонение х близко
к двум при любых значениях е.)
Пример 9.23. Построение фазовых траекторий системы с на-
сыщением.

/сходим из аппроксимированной нелинейной характеристи-
ки насыщения усилителя (рис. 9.24,а), состоящей из трех пря-
молинейных отрезков (линейно-кусочная аппроксимация}. По-
добная нелинейная характеристика является неаналитической и

Двигатель

Усилитель - с нагрузкой

Рис. 9.24. Блок-схема и фазовые траектории следящей системы
с насыщением
поэтому се целесообразно разбить на участки, в пределах каж-
дого из которых может быть написано достаточно простое ана-
литическое выражение. Так, для линейной зоны получим урав-
нение

	х + ах + Ъх = 0, \
где	а = — и Ъ =  Тд	'

Это уравнение справедливо в пределах значений величины
—*'1<х<+Х], где значение при котором наступает насы-
щение.

Для зоны насыщения уравнения имеют вид:

при	—Х1

	х + ах — с = 0,
При Х>+Х{	х + ах + с = 6,

где с=&Х].

Найдем уравнения изоклин для трех участков рассматрива-
емой нелинейной системы.

Первое уравнение является линейным и изоклины представ-
ляют собой семейство прямых линий, проходящих через начало
координат. Уравнение изоклин для этого случая имеет вид

	— Ь  у =	X.  М + а
Для участков	насыщения уравнения изоклин будут:  — + ау — с = 0, Л  — + ау + с = 0  Л
или	Ау	,  ъ—°и+с-  — = — ау — с,
отсюда	_ ау — с =  Ах	у  А-У = __ ау-\-с  Ах	у
Следовательно,

 с

у — +--------------.

Таким образом, для зон насыщения изоклины представляют
собой прямые, параллельные оси абсцисс и отстоящие от нача-
ла координат на расстояниях, зависящих от величины наклона Л/
при заданных параметрах с и а.

Рис. 9.25. Фазовый портрет релейной следящей
системы

Фазовая плоскость разделена на линейную зону (средняя
часть), ограниченную вертикальными линиями при значенияхх,
равных Х1 и —X] (рис. 9.24,6), и две нелинейные, расположен-
ные по обе стороны от первой.

Фазовые траектории строятся обычным образом.

На рис. 9.24 построены три фазовые траектории при различ-
ных начальных условиях (начальные отклонения соответствен-
но равны в относительных единицах хн=1; 6,8; 0,4).

Следует отметить, что фазовые траектории свидетельствуют
о колебательном затухающем процессе.

Пример 9.24. Построение фазовых траекторий релейной си-
стемы.

Примем, что реле системы имеет некоторую зону нечувстви-
тельности а0 (рис. '9.25,а}. Следовательно, релейная характе-
ристика имеет три зоны: а, Ь и с. Для зоны Ь (средней) имеем
уравнение

х + ах = О,

1

где а = —.	\

ГТ Тд

Для зон а и с уравнения соответственно имеют вид:

х + ах + с = О,

х -фах— с = О,
что совпадает, как и следовало ожидать, с уравнениями зон
насыщения в предыдущем примере.

Уравнения для изоклин в зонах а и с, очевидно, получаются
такими же, как и в примере 9.23, а именно

Для средней зоны Ь получим

 —+ аг/ = О,
ел *

или ’

отсюда

йу
аг

— = —а = 7У,
&х

что свидетельствует о неизменном наклоне траектории в зоне
нечувствительности, равном №=—— (тангенс угла наклона пря-

Тд  \

мых участков траектории составляет — !.

Тд'

На рис. 9.25, б представлен фазовый портрет релейной систе-
мы, из которого видно, что отработка системы носит колеба-
тельно-затухающий характер и в зоне нечувствительности тра-
ектории обладают неизменным наклоном.

В данном (простом) случае задача может быть решена
также интегрированием отдельных дифференциальных уравне-
ний, написанных для отдельных зон.

Так, после исключения переменной I и интегрирования полу-
ченных выражений будем иметь уравнения фазовых траекторий
для отдельных зон:

для зоны Ь

1

У = —— ^ + ^1

1 д
для зоны а

х = Тд[с-1п(у + с) — у] +с2;

для зоны с

х=—Тд[сАп(у~с)+у]—св,

где С], с2, Сз — произвольные постоянные интегрирования.

Как уже отмечалось, в зоне Ь фазовые траектории при зна-
чениях 7—со <С1<+ оопредставляют собой прямые с ординатами
пересечения оси у, равными различным значениям щ. Тангенс
угла наклона этих прямых равен —1/Тд.

Указанная зона Ъ ограничена линиями переключения СР и
АВ, слева и справа от которых расположены траектории зон
а и с, построенные по полученным уравнениям или при помощи
изоклин.

Траектории этих участков подобны, но имеют разные знаки.
Стрелки указывают направление движения изображающей
точки, причем все (разовые траектории имеют форму спирале-
видных кривых, сходящихся в начале координат. Следователь-
но, при любых начальных условиях система будет устойчивой,
т. е. переходный процесс является затухающим.

При построении фазовых траекторий надлежит учитывать,
что в верхней половине фазовой плоскости, где г/>0, изобража-
ющая точка М всегда движется слева направо, т. е. в сторону
увеличения х, а в нижней половине плоскости — справа налево
.(соответственно ставятся и стрелки вдоль фазовых траекто-
рий). При пересечении траекториями оси х величина у=0, т. е.
4^- =0, что соответствует максимуму и минимуму кривой х (/)•
сП

В точке пересечения траекторией оси х наклон всегда 7У=со,
т. е. фазовые траектории пересекают ось х под углом 90°.

Пример 9. “5. Получение кривой переходного процесса по
фазовой траектории системы.

Если имеется фазовая траектория, полученная косвенным
образом, например по методу изоклин, то ее можно использо-
вать для расчета кривой переходного процесса при помощи ка-
кого-либо графического метода.

Известно, что значение х во времени будет

I

х — х 11

или

Ах = у х (11,
ц
отсюда приближенно

Дх — хср-Д/.

Это соотношение можнс использогать для определения гра-
фическим путем значения I для любых точек фазовой траек-
тории.

Для этого, например, аппроксимируем фазовую траекторию
прямолинейными отрезками (прямолинейная аппроксимация) и
определяем значение хср в середине каждого отрезка.

Рис. 9.26. К определению кривой переходного про-
цесса по фазовой траектории системы

Проекция этого отрезка на осп х.дает Дх. При этом

Д/ = -^Д- и / = 2Д/.

Пусть дана некоторая фазовая траектория устойчивой си-
стемы (свертывающаяся спираль), представленная на
рис. 9.26, а и построенная по уравнению

х + 0,6 X + х = 0.

Аппроксимируем траекторию отрезками прямых

4-2,2-нЗ,3-ь4 и т. д.

Далее находим средние значения х: х.ю, х2ь х32... и проекции
отрезков на ось х: Дхщ, Дх2ь Дх32, Дх43...

Затем определяем значение времени: Д/1 = ™-9 ; Д4=^1-...,
после чего строим х=/(/), начиная с его максимального значе-
ния в точке О (рис. 9.26, б).

На этом же графике нанесена кривая х=Ц1).

Все методы вычисления времени по фазовой траектории име-
ют общий недостаток — трудность точного считывания коорди-
нат кривой в некоторых точках.

Так, траектория в точке пересечения оси х всегда нормаль-
на к ней и поэтому значения Дх в этой зоне настолько малы,
что можно допустить существенную ошибку.

§ 9.5. Примеры расчетов по методам
гармонического баланса

В § 9.1 отмечалось, что методы гармонического баланса
представляют собой один из вариантов метода малого парамет-
ра и базируются на понятии комплексного коэффициента уси-
ления по первой гармонике для коэффициента усиления нели-
нейного звена [Л. 22].

Комплексный коэффициент усиления по первой гармонике
для нечетной функции |/(—х0) =—^(х)] нелинейного звена, име-
ющего зависимость х2 = ^(х5), может быть записан как

*н= —=^и)+/-т

Ч
где

^(Л) = -Г-1 /(Л-ыпф)8шфсгф,
лД Д

О

2к

Ь (X.) = -1— , НА- 81П ф) СО5 ф йф.
лА ,]

Входная величина Х1=Л 81пф.

Выходная величина х2 представляет собой, как уже отмеча-
лось, несинусоидальную - периодическую функцию. Если разло-
жить ее в тригонометрический ряд и ограничиться первой гар-
моникой, то получим

х2 = / (Л • 81П ф) = 81П Ф	У /(А  81П ф) 5Ш фс?ф^ +

О

+ С08ф[Д-	/(Д-81Пф)-С08фЙф^.

О

Полученные зависимости показывают, что комплексный ко-
эффициент усилейия нелинейного звена зависит от амплитуды
А входного сигнала^
При однозначной нечетной функции Хг—Цх^ выражение
для упрощается, так как составляющая Ь(А) оказывается
равной нулю и, следовательно, кп— действительным числом
(между %1 и х2 нет сдвига по фазе).

Пользуясь указанными формулами, можно определить ком-
плексный коэффициент усиления для различных частных слу-
чаев характеристик нелинейных звеньев. Так, для звена с зоной
нечувствительности (рис. 9.27, а) функция х2=Нх1) может быть
записана в следующем виде:
при 1^1 < а	%2=0;

при Х1>а

Л-2 —	—— и *9

при %1<—а

х2 = X! + а.

Так как функция х2=^(Х1) однозначна и нечетна, то 6(Л) =
= 0, т. е. первая гармоника выходного напряжения не сдвинута
по фазе относительно входного напряжения.

Выражение для комплексного коэффициента усиления будет
иметь вид

2

ка = § (Л) = —— Г (Л • 51п ф — а) 51п ф Ар =;
лА 3

а

_ । 2а 81п2а	4сока

4л л	т.А ’

а

где

а
а = аге 51п —.

А

Очевидно, что эта формула справедлива при А>а. Интеграл

может быть взят в пределах от а до

—, поскольку выходная

кривая симметрична относительно вертикальной линии, прохо-
дящей через

На рис. 9^.27, б представлена характеристика коэффициента
усиления нелинейного звена с зоной нечувствительности в зави-
симости от амплитуды входного синусоидального воздействия
А, отнесенной к величине зоны нечувствительности а, т. е. от
А о	А	1

величины —. Здесь интересно отметить, что до значения—= 1
а	а

величина йн=0, так как сигнал Х\ в этом случае остается в пре-
делах зоны нечувствительности. При увеличении — коэффи-
циент кп стремится к пределу, равному 1. Это объясняется тем,
что при больших значениях А зона нечувствительности стано-
вится пренебрежимо мала по сравнению с амплитудой А вход-
ного сигнала.

Для релейной характеристики выражение для коэффициента
усиления имеет вид

2

кн = § (Л) = —— . В 51Л ф 4ф = соз а,
лЛ и	лЛ

. а

здесь а = агсз1п —;

А

Рис. 9.27. Характеристика коэффициента уси-
ления нелинейного звена с зоной нечувстви-
тельности

Б — величина напряжения на выходе реле.

Подставляя значение а в уравнение для кв, получим

Характеристика кн в зависимости от — представлена на
рис. 9.28.

Для звена, имеющего однозначную нелинейную характери-
стику с насыщением, характеристика кв дана на рис. 9.28.

Для нелинейного звена с неоднозначной характеристикой
комплексный коэффициент усиления кн имеет обе составляю-
щие Я и 6, в связи с чем фаза первой гармоники Хг оказывается
отличной от фазы гармонического задавания величины Хр

Комплексный коэффициент усиления

\ а /	\ а / <•
2
лА

/ (4 81П ф)  51П ф Яф =

Рис. 9.28. Характеристика коэффициента усиления
нелинейного звена насыщения

а

Рис. 9.29. Характеристика нелинейного звена
типа люфта или сухого трения

Ь ' = ------- I / (Я 81П ф) СЭЕ ф б/ф =

\ а ] лА ,]

о

2 Г 3 , . 2	,1 о 1

ь= —---------р 8иг а 4---сое 2а .

л [	4	4	]

Здесь

. /,	2а \

а — аге ат 1 — •— .

к	А /

. Можно записать
кна (—) = Vе2 +	= агс(е—.

\ а )	\ а )	ё

(А \

— 1 и

/ А \	а

у — ф —1 для рассматриваемого случая.

\ а I

По методу Гольдфарба при использовании /гн в графических
построениях на комплексной плоскости применяют зависимость,
обратную по отношению к йн, т. е. строят

Рис. 9.30. Геометрическое
место точек концов векто-
ров для нелинейного звена
с неоднозначной характери-
стикой

Рис. 9.31. Структурная схе-
ма нелинейной системы

Подобное геометрическое место точек концов векторов гн
д

для случая рис. 9.29 при —, изменяющемся от 0 до со, пред-
а

ставлено на рис. 9.30.

/ Л \

На характеристике гн — ц — ] нанесены отдельные цифро-
\ а /

А

вые значения —, которым соответствуют определенные векто-
а

ры гн. При----► со величины кн и га стремятся к единице. При

а

А

---->1 величина йн->0, а гн->оо, причем сдвиг по фазе в пос-
а

леднем случае стремится к 90°, что видно также из рис. 9.29.

Следует подчеркнуть, что ка зависит от величины А и не за-
висит от частоты входного воздействия.

Пусть имеется система, состоящая из линейной части с ком-
плексным коэффициентом усиления йл(](о) и нелинейного эле-
мента с комплексным коэффициентом усиления йн(А). Подоб-
ная система может быть представлена как последовательное
соединение двух звеньев с коэффициентами усиления кл(]а>) и
АН(Л). На вход системы подается гармоническое возмущение х
(рис. 9.31). На вход линейного звена поступает величина х,=
=х—х3. Соответственно, на вход второго (нелинейного) звена
подается величина х3.

Для коэффициентов усиления каЦа) и кн(А) можно на-
писать:	'

кл(/а>)—~ и ЛН(Л)^ —

Допустим, что в системе установились устойчивые автоко-
лебания, которые могут возникнуть после начального возмуще-
ния. Тогда можно считать режим автоколебаний, происходящим
при х=0.

В этом случае для уравнения первого приближения можно
ПОЛОЖИТЬ Х3 = —X].

Найдем условия возникновения автоколебаний на базе отме-
ченных соотношений. Напишем:

^2 =

х3 = кк (А)-х2 = ~х1.

Отсюда, подставляя значение из второго равенства в пер-
вое и сокращая на х2, получим

1 = ~кл (]&) ки (Л)

или

Следует подчеркнуть, что коэффициент усиления кл(]а) за-
висит лишь от частоты колебаний и не зависит от их амплиту-
ды, в то время как коэффициент усиления АН(Л) зависит от
амплитуды и не зависит от частоты колебаний.

Решение полученного уравнения удобнее всего произвести
графически путем построения на комплексной плоскости харак-
теристик— кл (/и) и -----, т. е. амплитудно-фазовой харак-

И)

теристики клЦа) линейной части, взятой с обратным знаком, и

характеристики гн = —— для нелинейного звена.
(•«)

Точка пересечения этих кривых определяет частоту и ампли-
туду возможных автоколебаний.

Если характеристики не пересекаются, то уравнение не име-
ет места и автоколебания в данной системе невозможны.

Пусть в системе имеется нелинейное звено с характеристи-
ками, изображенными на рис. 9.29 и 9.30, что соответствует на-
личию в системе сухого трения или люфта.
Рис. 9.32. Примерный вид
/ Л \
характер ютик гн|—I
\ а }
и Ал(»

На рис. 9.22 г.эстроено одно из возможных сочетаний харак-
теристик йл(/и) и —*—. Характеристики пересекаются в точ-
7-)

ке М~. Наличие пересечения указанных кривых свидетельствует
лишь о возможности существования автоколебаний. Поэтому
необходимо исследовать точку М на устойчивость автоколеба-
ний. Очевидно, неустойчивые автоколебания физически в систе-
ме существовать не могут.

Устойчивость автоколебаний может
быть определена следующим образом
(эта оценка является приближенной и
строго не обоснована). Если точка ам-
плитудной характеристики гы(Д), соот-
ветствующая увеличенной амплитуде
Д + ДД, не охватывается амплитудно-фа-
зойой частотной характеристикой линей-
ной части, то рассматриваемые колеба-
ния устойчивы, в противном случае — не:
устойчивы.

Пользуясь этим правилом, установим
вид автоколебаний для случая рис. 9.32.

При увеличении амплитуды на ДД вектор переместится .по

д
амплитудной характеристике в направлении------> со, например

а

в точку ТИь Поскольку последняя не охватывается амплитудно-
фазовой частотной характеристикой, то в данном случае авто-
колебания устойчивы. Таким образом, система в линейном при-
ближении (без учета нелинейного звена) является устойчивой,
поскольку характеристика йл(/ы) не охватывает точку —1; /О,
или, что то же самое, точку 1, /0, как это изображено на
рис. 9.32.

Если учесть нелинейное звено (люфт или трение), то оказы-
вается, что система является автоколебательной с устойчивыми
колебаниями в точке М, которая определяет амплитуду (по ха-
рактеристике гы) и частоту [по характеристике — ^л(/®)] уста-
новившихся колебаний.

Рассмотрением характеристик гн и кл можно установить
влияние параметров системы на устойчивость и определить, как
надо деформировать амплитудно-фазовую характеристику ли-
нейной части системы, чтобы избежать автоколебаний (если
это, конечно, необходимо, так как в некоторых случаях они же-
лательны) .

Пример 9.26. Определение возможности возникновения авто-
колебаний в системе с насыщением по методу Гольдфарба.

Зудем считать, что система имеет звено с однозначной нели-
нейной характеристикой насыщения, которую аппроксимируем,
как и выше (рис. 9.24), тремя отрезками прямых (наклонным
и двумя горизонтальными).

Коэффициент усиления по первой гармонике для данного
звена

,	/ А \	4 а 51п 2а . сов а

«н = ^— =—	---------------—	,

\ а } л 2	4 А

а

где а=агс81п (а — ширина линейной зоны).

Положим, что в пределах линейной зоны коэффициент уси-
ления звена равен единице (действительный коэффициент уси-
ления можно рассматривать принадлежащим отдельному звену
без насыщения). При увеличении амплитуды входного сигна-
ла А коэффициент усиления будет уменьшаться и в пределе
стремиться к нулю.

Величина, обратная кп, т. е. ги(—^ = —, нанесенная на
\ а / Лн

комплексную плоскость, в этом случае будет представлять со-
бой прямую линию, совпадающую с положительным направле-
нием вещественной оси.

Поскольку с увеличением А/а коэффициент /г,, стремится
к нулю, то величина гн будет стремиться к бесконечности и, на-

Л	/ А \

оборот, при----> 0 величина ги — = 1, так как йн=1 (в ли-

а	\ а /

нейной зоне). Следовательно,	располагается оф точки 1,

/О вправо (рис. 9.33).

Нанесем на комплексную плоскость характеристику разом-
кнутой линейной части системы с обратным знаком — йЛ1 (/со),
которая не охватывает точки 1, /0 (система как линейная устой-
чива). Поскольку характеристики йл) и хв не пересекаются, то
автоколебаний не возникает и, следовательно, система устой-
чивая как линейная, остается устойчивой и при наличии звена
с насыщением.

Возьмем теперь характеристику Ллг(/ш) линейной части си-
стемы, которая охватывает точку 1, /0. В этом случае характе-
(А \

—| пересекаются в некоторой точке /И
а /

(рис. 9.27).

При увеличении амплитуды до величины ДМ+ДА вектор гп
переместится в некоторую точку Л4ь которая не охватывается
хаоактеристикой йЛ2((со), что свидетельствует о наличии устой-
чивых колебаний в системе.

Таким образом, неустойчивая линейная система преврати-
лась в автоколебательную нелинейную систему за счет внесения
в нее звена с нелинейной характеристикой типа насыщения.
Рис. 9.33. Варианты расположения
характеристик кл (/со) по отношению
[ А \

характеристики гц1—I звена с на-
сыщением

Рис. 9/34. Варианты взаимного расположения характепи-
/ А \

стик Ы/со) и характеристики гн| — звена с неодно-
\ а /

значной нелинейностью
Наконец, возьмем более сложную линейную характеристику
лз(/ы) устойчивой системы, пересекающую характеристику гн
в двух точках ТУ и М\ здесь возможны автоколебания в двух
точках (рис. 9.27).

При увеличении амплитуды А первая точка ТУ смещается
в положение ТУ], которое охватывается характеристикой &лз(тсо),
вторая точка М при увеличении амплитуды не охватывается
этой характеристикой. Поэтому в первом случае автоколеба-
ния неустойчивы, а во втором устойчивы.

Следовательно, система, устойчивая как линейная, при нали-
чии звена с насыщением стала устойчива в малом и автоколеба-
тельна в большом.

Пример 9.27. Определение возможности возникновения ав-
токолебаний в системе с люфтом по методу Гольдфарба.

Пусть задана характеристика г„ у. вида, изображенного
на рис. 9.32, для нелинейного звена типа люфта или сухого
трения. Рассмотрим возможные варианты взаимного располо-
жения линейной характеристики и неизменной нелинейной ха-
/71 \
рактеристики гп[—.

\ а )

На рис. 9.34, а характеристики не пересекаются, причем ли-
нейная часть устойчива, так как ее характеристика не охваты-
вает точку 1,/0. Система остается устойчивой и не имеет авто-
колебаний после внесения в нее нелинейного звена рассматри-
ваемого типа.

На рисунке 9.34, б частотная характеристика охватывает
точку 1,/0 и имеет пересечение с характеристикой гн (точка ТУ),
Если рассматривать увеличение амплитуды, то нужно передви-
нуться из точки ТУ в некоторую точку ТУ], которая охватывается
частотной характеристикой. Следовательно, автоколебания не-
устойчивые.

Таким образом, система неустойчивая, как линейная, при
наличии нелинейного звена устойчивых автоколебаний в дан-
ном случае не имеет. Однако при амплитудах, меньших Ак, си-
стема становится устойчивой, так как при А<Ау амплитуды
при наличии нелинейного звена затухают (система в малом
устойчива). При А>АК колебания неограниченно возрастают
(система неустойчива в большом).

Таким образом, внесение в систему нелинейного элемента
(сухое трение или люфт) стабилизировало систему при малых
отклонениях от положения равновесия.

На рис. 9.34, в имеет место пересечение в двух точках М и
Л/, причем частотная характеристика соответствует устойчивей
линейной системе. Точка М характеризует устойчивые автоко-
лебания, а точка ТУ—неустойчивые.

При амплитудах, меньших Лк, система так же, как и в пре-
дыдущем случае, оказывается устойчивой, так как в этом слу-
чае колебания затухают. При амплитуде А>АК колебания воз-
растают и при амплитуде Ам становятся незатухающими.
Следовательно, система устойчива в малом и имеет автоколеба-
ния в большом.

' Наконец, в последнем варианте (рис. 9.34, г) характеристи-
ки не пересекаются, причем система, как линейная, неустойчи-
ва. При внесении люфта или сухого трения автоколебаний не
возникает и система остается неустойчивой как в малом, так и в
большом.

Пример 9.28. Определение автоколебаний с использованием
логарифмических частотных характеристик в системе с насы-
щением.

Использование логарифмических частотных характеристик
для определения автоколебаний наиболее удобно, если рас-
сматривать неизменную структуру линейной части, определен-
ную нелинейность, например, типа насыщения и переменный
коэффициент усиления системы.

Рассмотрим случай, представленный на рис. 9.33, для систе-
мы с характеристикой Ал2(/го)- Предварительно строим харак-
теристики: амплитудную логарифмическую §л(«>) и фазовую
ф(и) (рис. 9.35).

Характеристика нелинейного звена — представляет собой
ён

прямую линию, проходящую по вещественной оси, т. е. в зоне
угла ф=0° или ф=—180° [это зависит от знака йл (/»)]. Обычно
на графике логарифмических характеристик нелинейная харак-
теристика насыщения наносится в виде вертикальной линии
в точке ф=—ЬСЗ° вверх от нуля децибелл, так как гн(—ме-
няется в пределах от

Точно так же, как и на комплексной плоскости (рис. 9.33),
пересечение линейной и нелинейной характеристик свидетель-
ствует о возможности возникновения автоколебаний. Устойчи-
вость последних может быть установлена на основании следу-
ющих данных. Если -^-<0 при перемещении точки М вверх

Ай

с увеличением амплитуды А, то автоколебания устойчивы.

Из рассмотрения рис. 9.35 видно, что он соответствует ха-
рактеристике ^л2(/«>), пересекающей гн(— в точке М и изоб-
\ а ,

раженной на рис. 9.33. Система, как линейная, неустойчива, при-
чем звено с насыщением превращает ее в автоколебательную си-
стему с устойчивым режимом автоколебаний.

Пример 9.29. Определение автоколебаний при помощи ло-
гарифмических характеристик в сложной системе с насыще-
нием.
Рассмотрим использование логарифмических характеристик
для случая системы с характеристикой, аналогичной характе-
ристике Алз(/и), изображенной на рис. 9.23 (характеристика
#лз(/ю) имеет два пересечения с нелинейной характеристикой).

Пусть система имеет передаточную функцию

^(р\__	& (Р (,р + Ь2)	_______Мл + 4) (р + 8)__

Р (Р + щ) (р + а2) (р+а3) р(р + 0,4)(р + 0,8) (р+50)'

Рис. 9.35. Определение автоколебаний при помо-
щи логарифмических характеристик в системе
с насыщением

Расположение логарифмической амплитудной характеристи-
•ки зависит от величины статического коэффициента усиления к.

На. рис. 9.36 приведены три амплитудные характеристики —

2, 3, соответствующие большому, среднему и малому значе-
ниям к.

Фазовая характеристика ф(<м) занимает, естественно, неиз*
менное положение при любых значениях к. Поскольку она гте-
ресекает линию— 180° дважды (при и=1 и 5), то в точках пе*
ресечения проводятся линии нелинейной характеристики \!§н.
При коэффициенте усиления к, соответствующем характери-
стике 3, пересечение с 1/^п отсутствует. Система как линейная
устойчива и автоколебаний нет. Характеристика 2 имеет одно
пересечение в точке 5. В этом случае система неустойчива, как
линейная, получает устойчивый автоколебательный режим
{—<0 и при увеличении амплитуды А точка характеристики
\ аы

1/§а перемещается вверх).

Частота, соответствующая точке 5, характеризует частоту
автоколебаний, а их амплитуда определяется значением ампли-
туды по характеристике 1/@а в точке 5.

Обратимся теперь к характеристике 1. Система с такой ха-
рактеристикой в линейном плане является устойчивой. Харак-
теристика 1 пересекает линии 1/^„ в точках 4 и 6, что свиде-
тельствует о возможности возникновения двух автоколебатель-
ных режимов.

. Рассмотрение точек пересечения 4 и 5 показывает, что точка
6 соответствует неустойчивым автоколебаниям, а точка 4 —
устойчивым. Следовательно, при малых амплитудах система
устойчива (устойчивость в малом). При‘увеличении амплитуды
входного воздействия за ее значение при точке 6 система пере-
ходит в устойчивый автоколебательный режим.

Пример 9.30. Определение автоколебаний при помощи лога-
рифмических характеристик в системе с релейным элементом.

Характеристика релейного элемента представлена на

(Л \	1

— ] =------- имеет две ветви, уходя-

а I I А \

ЧЧ

(А	А	\

при — = 1 И----> со | . Минимум этой

а	а	/

функции имеет место при — = 1,41 и составляет гнт.п= 1,61
а

или й'н.т1п~3,4 дб. Характеристика является чисто веществен-
ной. В связи с этим обычная характеристика устойчивой систе-
мы не будет пересекать нелинейной характеристики. Поэтому
возьмем л. а. х. неустойчивой системы (рис. 9.38). Нанесем
также фазовую характеристику ф(со) системы. Поскольку ха-

/ А \	о

рактеристика гн[ — I является однозначной и, следовательно,
\ а /

вещественной, то она будет располагаться на комплексной плос-
кости по вещественной оси, а при использовании логарифмиче-
ских характеристик в виде вертикальной линии (с двумя ветвями)
в точке фазовой характеристики, соответствующей фазовому
сдвигу ф =—180° (рис. 9.38).

Начинаться эта характеристика будет на уровне ^нтш-
= 3,4 дб.
Рис. 8.36. Влияние измене-
ния коэффициента усиления
на поведение системы
с насыщением

Рис. 9.37. Характеристика
коэффициента усиления ре-
лейного звена

Рис. 9.38. Определение
автоколебаний при по-
мощи логарифмических
характеристик в системе
с релейным элементом

*/411—1162
В рассматриваемом случае амплитудная характеристика пе-
ресекает обе ветви нелинейной характеристики -ри одной и той
же частоте и разных амплитудах А{ и Х9, причем А1<^А$, что
ясно из графика.

Пересечение в точке Л] соответствует неустойчивым авто-
колебаниям	н0 Движение точки вниз при увеличении

Рис. 9.39. Определение автоколеба-
ний системы с люфтом при помощи
логарифмических характеристик

амплитуды).

Следовательно, система не-
устойчивая, как линейная,
стала устойчивой в малом (до
амплитуды /Ц). В точке Д9
имеют место устойчивые авто-
колебания (система автоколе-
бательна в большом), т. е. при
амплитуде Л А).

Пример 9.31. Определение
автоколебаний при помощи
логарифмических характери-
стик для системы с люфтом.

Нелинейная характеристи-
ка звена с люфтом является
неоднозначной, в связи с чем
коэффициент усиления подоб-
ного звена является комплек-
сным, т. е. дает фазовый сдвиг.
Поэтому в этом случае удоб-
нее решать задачу на комплек-
сной плоскости в обычном
масштабе (рис. 9.34) или же в
логарифмическом в координа-
тах: логарифм амглитуды —
фаза.

Пусть имеется система
третьего порядка с люфтом.
Передаточная функция ее в
частотной форме

/<о о 4-1) (.0,1 > -у1) 

На рис. 9.39 нанесена в координатах логарифм амплиту-
ды — фаза амплитудно-фазовая логарифмическая характери-
стика системы [§л (/“)]•

Там же построена нелинейная характеристика звена с люф-
том ----—.. Указанные характеристики пересекаются в двух

Чт)
течках Мик’, Что соответствует случаю, представленному на
рис. 9.34, в, где дано такое же решение в обычном масштабе на
комплексной плоскости. Точка б/ соответствует неустойчивому
колебательному режиму, а точка М — устойчивым автоколеба-
ниям. Следовательно, система устойчива «в малом» и автохоле-
, бательна «в большом».

Если необходимо устранить автоколебания, может быть при-
менена линейная коррекция для смещения амплитудно-фазовой
характеристики так, чтобы не было пересечений характепистик

и Результат такого смещения показан на рис. 9.39
(пунктирная линия, обозначающая новое положение амплитуд-
но- разовой характеристики Коррекция достигнута при по-
мог (И последовательного корректирующего звена с передаточ-
ной функцией

(/«>) = 0,2 0|12<Дг

Пример 9.32. Определение автоколебаний по методу Попо-
ва Е. П. для системы с насыщением.

Исходной теоретической базой метода Попова являются гдеи
гармонического баланса и эквивалентной линеаризации, разра-
ботанные в трудах И. М. Крылова и П. П. Боголюбова.

Эквивалентная линеаризация представляет собой приближен-
ную-.замену нелинейного выражения выражением, которое по-
хоже на линейное, но существенно отличается от него тем, что
коэффициенты его зависят не только от частоты, но и от ам-
плитуды искомых колебаний в системе. По методу Гольдфарба
рассматривался наиболее простой вид нелинейности, счисызаемой
непосредственно зависимостью между выходной и входной вели-
чинами, т. е.

*2 = /(Х1).

В ряде случаев приходится иметь дело с нелинейными диф-
ференциальными зависимостями. Встречаются и более сложные
случаи, когда обе величины (входная .и выходная и их про-
изводные) находятся под знаком нелинейной функции раз-
дельно.

Рассмотрим нахождение приближенных уравнений нелиней-
ных звеньев применительно к простейшей нелинейной дифферен-
циальной зависимости вида х*—/^, Д)*.

Полагая, что лу = А вш ш/, можем написать

= / (А 81П	А«> сок

* Ознакомиться с более сложными случаями можно в специальной лите-
ратуре [Л. 21, 22].
Обозначим ы = о>/ и разложим функцию х8 в ряд Фурье:
2к	2п

= б, Лии, Лю СО8 ы)	+ ~ /(Л81ПП, Л<йСЭ8И)Х

2~

81п«4-Г-^ । г(Л 81п и, Лшс28и)со8ы йи ссзы

Данный метод предполагает отсутствие постоянной составля-
ющей при исследовании автоколебаний. Поскольку первый ин-
теграл предстаьляет собой некоторую постоянную величину, то
полагаем этот интеграл равным нулю.

Отбросив высшие гармоники и учтя, что

4

5Йую/ = ^ И СО8Ю?=41.

А	А.ы

можем написато:

х3^<7(Л, ю)Х14-^~^-хь

где

2я

д(Л, ш) = “^ \ [(А 81п и, ЛшсоБирДп и

2л

<71(Л, о>) = ^Д /(Л81пы, Лю сое и) сое и йи.

Таким образом, нелинейное выражение заменяется прибли-
женным, похожим на линейное. Последнее может рассматри-
ваться как линейное при постоянных значениях Лию, что име-
ет место при автоколебаниях. Это обстоятельство позволяет при-
менить к полученному выражению линейные методы исследова-
ния для приближенного определения автоколебаний.

Следует отметить,, что рассматриваемый вариант метода гар-
монического баланса отличается применением приближенного
выражения, похожего на 'линейное, от метода Гольдфарба, по-
строенного на использовании комплексного коэффициента уси-
ления, зависящего только от амплитуды Л и независящего от ча
стоты колебаний системы.

Если определить значения коэффициентов ' приближенного
уравнения для зависимостей х2 = /(л1), тс для этого частного
случая выражения для комплексного коэффициента усиления,
естественно, совпадут с теми, которые были получены ранее.

Зная приближенное уравнение нелинейного ззена, определен-
ное при помощи гармонической линеаризации, можно получить
приближенное уравнение всей системы, имеющей линейную часть
и нелинейное звено.

Дифференциальное уравнение линейной части в общем виде

Ппиближенное уравнение нелинейного звена

<2а(Р')Хъ = &Мх1-

Операторные многочлены <2н(р) и Ян(р) для различных ха-
рактеристик нелинейностей будут иметь различный вид.

Перемножая приведенные уравнения, получим условное ха-
рактеристическое уравнение замкнутой системы с учетом нели-
нейности:

(Р) & (Р> + (Р) Ки (р) - 0.

Если в системе возникнут незатухающие колебания (автоко-
лебания) с постоянной амплитудой Ап и постоянной частотой юП(
то для этого режима коэффициенты характеристического урав-
нения становятся постоянными. В этом случае последнее урав-
нение является линейным с постоянными коэффициентами, ко-
торому соответствует пара чисто мнимых корней.

Появление незатухающих собственных колебаний в системе
можно установить применением любого из методов определения
границы устойчивости линейной системы. В частности может
быть использован метод Михайлова.

Если в условное характеристическое уравнение замкнутой
нелинейной системы при постоянной амплитуде А подставим пе-
ременную величину /ы, которая по аналогии с линейными урав-
нениями может рассматриваться как параметр, играющий мате-
матически ту же роль, что и частота колебаний в системе, то по-
лучим ряд уравнений при различных постоянных значениях ампли-
туды Ль Ла......Ап и переменном параметре /ш:

й (/ш) = (2Л (/а>) <2Н (/ш) 4- %я	(/ш).

Эти уравнения графически представляют собой на комплекс-
ной плоскости семейство кривых, подобных кривым Михайлова
для линейных систем.

Если уравнение нелинейного звена, как это рассматривалось
выше, имеет вид ха = /(Х1), то в случае однозначной характери-
стики нелинейного звена получим семейство уравнений вида

й (/Ш) = О, (/«) + Ря (/Ш) <7 (А).

В случае же неоднозначней характеристики получим

ь №=а. №+(/«) [д иа+/«>].
Для нахождения значений Ап, а>п и построения семейства
кривых Михайлова на комплексной плоскости, как обычно, выде-
ляют в выражении Щ®) вещественную и мнимую части:

4(/и>) = Х(<«>)-|-/У (ш).

Если имеют место автоколебания, то одна из кривых Михай-
лова при амплитуде Ап должна пройти через начало координат.
В этом случае при некоторой частоте % координаты этой кри-
вой Хп и Vп превращаются в нуль, т. е.

А„)=0 и УК, Л„)=0.

Рис. 9.40. Кривые Ми-
хаш ова для опреде-
ления устойчивости
автоколебаний в не-
линейной системе

Рис. 9.41. Зависи-
мости Ап —/ (к)

Из этих двух уравнений можно определить искомые ампли-
туду Ап и частоту автоколебаний рассматриваемой нелиней-
ной системы.

В случае, когда вещественные положительные решения для
Ап и <чи не получаются, тс автоколебания в данной системе не-
возможны.

Далее необходимо определить, ' являются ли автоколебания
устойчивыми (в случае положительных вещественных значений
Ап и О-

Дадим малое приращение амплитуде АЛ. Тогда при увели-
ченной амплитуде А = Ап-[АД кривая Михайлова может занять
положение 1 или 2 (рис. 9.4С).

Кривая 1, поскольку она охватывает начало координат, ха-
рактеризует в линейной теории устойчивую систему, колебания
которой затухают. Кривая 2 — неустойчивую систему, колебания
которой возрастают. Следовательно, если увеличенная ампли-
туда соответствует кривой 1, а уменьшенная (АК — А А) — кри-
вой 2, то колебания являются устойчивыми, так как они с обеих
сторон сходятся к началу координат.
Наоборот, если увеличенная амплитуда соответствует кои
вой 2, а уменьшенная — кривой 1, то колебания являются не-
устойчивыми. Е этом случае кривая, проходящая через начало
координат, является границей между затухающими (устойчи-
вость в малом) и расходящимися колебаниями (неустойчивость
в большом).

Данный метод позволяет также строить графики зависимо-
стей шп и /.„ от какого-либо параметра системы, например коэф-
фициента усиления /г. В этом случае последний надо считать пе-
ременным, т. е.

Х(ш„, Ап, й) = 0;

У (шп, Ап, к)=0.

Пользуясь этими уравнениями, можно найти зависимост.:
Ап = Цк) и шп — [(к), как это показано, например, на рис. 9.4!.

Затем с помощью графиков можно выбирать параметр к в
соответствии с условиями по амплитуде и частоте автоколеба-
ний (если режим автоколебаний желателен в системе). В част-
ности, при необходимости устранения автоколебаний параметр
к выбирается из условия к^к^.

Рассмотрим применение метода Попова к исследованию не-
линейной системы с насыщением.

Характеристика звена с насыщением [Л. 22]

<7(Л) = -*у(агс	+	1 — т)’

где к.. — коэффициент усиления звена в линейной зоне;

о — ширина линейной зоны.

Г.усть характеристическое уравнение линейной части системы

(ЛрН-1)(^р+1)р+^л=о.

По методу гармонической линеаризации характеристика с
насыщением может быть заменена соотношением

^ = д[А)х1.

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной
системы

ЛЛр3 + (1\ + Та) р2 + р 4- клд (Л) = 0.

Подставляя /? = /«> и разделяя на вещественную и мнимую
части, получим

Х(Л„, 0 = 0 и У(Л„, ш„)=0
или

^(Л„)-(Л4-^)^ = 0;

1-ЛДХ = 0.
Из последнего уравнения определяем частоту периодического
режима:

1

Ц)„ -= —

Подставляя значение % и д (Л) в первое уравнение, получаем
выражение для определения амплитуды Ап периодического реше-
ния через параметры системы:

Л

__ л+л

ТЛ '

Для определения устойчивости автоколебаний можно восполь-
зоваться приемом, указанным на рис. 9.40, или одним из его
вариантов [Л. 22].

Из выражения для видно, что частота автоколебаний за-
висит только от постоянных времени Тг и Т2.

Полученные соотношения позволяют построить зависимости
амплитуды Ап и частоты ып ГРИ изменении каждого из парамет-
ров системы (& = &лАу; Тг или Т.-,; Ь).

Ддя определения влияния коэффициента усиления к на амп-
литуду автоколебаний получим:

к =



При Ап — Ь коэффициент усиления

^кр

Следовательно, автоколебания могут возникнуть лишь при
к А" &кр.

Вместе с тем, если рассматривать систему как линейную, то
условия ее устойчивости могут быть получены как

*гр-(Л + Л)ш’=0;

1-71Т2^ = 0;

откуда

7\Т* ' .

Таким образом, к.^ — к^.

Следовательно, при к<^ккр = кгр система является устойчивой
и автоколебания не возникают (ср. с рис. 9.33).

Аналогичны решения задач по данному методу и для систем
с другими нелинейностями, которые были рассмотрены выше
применительно к методу Гольдфарба [Л. 5].
Глава X. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 10.1,	Основы метода математического
моделирования

Непрерывное повышение требований к современным систе-
мам автоматического управления в части точности, быстродейст-
вия, диапазона изменения переменных величин и параметров
приводит к существенному усложнению управляющих алгорит-
мов. Становится необходимым учет тонких структур изучаемых
процессов, что требует более полного и точного их математиче-
ского описания. При этом обнаруживается возрастающее несо-
ответствие возможностей теоретических методов исследования и
проектирования автоматических систем практическим потребно-
стям.

Аналитические методы разработаны достаточно полно и до-
ведены до уровня инженерных расчетов лишь для линейных си-
стем. Однако и здесь возрастание порядка дифференциальных
уравнений, определяющих поведение системы управления, резко
снижает эффективность теоретических расчетов вследствие их
большой трудоемкости.

Для нелинейных же систем и процессов нет общего матема-
тического аппарата, и обычно приходится довольствоваться
частными исследованиями отдельных вопросов, относящихся к
учету влияния тех или иных нелинейностей на поведение соответ-
ствующих линеаризованных систем управления. Вместе с тем,
наметившаяся в последние годы тенденция к широкому исполь-
зованию новых кибернетических принципов в технике управле-
ния (оптимизация, самоприспосабливание и т. д.) приводит
к необходимости рассмотрения существенно нелинейных систем
автоматического управления как за счет уточнения свойств объ-
ектов управления и условий их работы, так и в связи с примене-
нием более сложных управляющих алгоритмов. Поэтому во мно-
гих случаях приходится обращаться к экспериментальной дора-
Сотке и отладке опытных образцов аппаратуры управления
в натурных условиях.

Однако метод экспериментального исследования на реальных
установках (натуре) обладает рядом принципиальных недостат-
ков, из которых следует указать, в первую очередь, на следую-
щие:

а)	высокая стоимость изготовления и испытаний эксперимен-
тальных образцов;

б)	большие затраты труда и времени;

в)	непригодность для исследования ряда важных режимов
(аварийное состояние, предельные режимы и т. д.);

г)	невозможность применения метода при разработке и
проектировании новых систем, когда отсутствуют макеты и
опытные образцы аппаратуры.

Кроме того, многие второстепенные факторы, сопровождаю-
щие реальные процессы управления, часто оказываются излиш-
ними на начальной стадии исследования, затемняющими основ-
ной процесс.

В связи с изложенным сейчас ьзсе более широкое применение
в инженерной практике получает метод математического моде-
лирования, который может рассматриваться как своеобразный
вид экспериментального исследования систем автоматического
управления.

В основу этого метода положено понятие о математической
модели исследуемого процесса. Под математической моделью*
будем понимать совокупность сведений, используемых в качест-
ве математического описания процесса управления, заданных в
виде аналитических зависимостей (например, системы диффе-
ренциальных уравнений), таблиц, графиков, логических соотно-
шений и т. п.

Математическая модель составляется на основе физических
законов, выражающих связи между отдельными сторонами про-
цесса, и экспериментальных данных, характеризующих числен-
ные значения переменных и параметров системы управления, а
также тех зависимостей, которые не могут быть выражены
в аналитической форме.

Возможны два пути исследования реального физического
процесса (системы) по его математической модели.

Первый из них заключается в проведении расчетов (в том
- числе на универсальных цифровых вычислительных машинах)
с помощью тех или иных расчетных методов, оканчивающихся
обычно получением результата «на бумаге» (в виде графиков,
таблиц, формул и т. д.).

* Ео избежание путаницы в терминах рекомендуется избегать употреб-
ления выражений «математическая модель» и просто «модель» для сокращен-
, ного обозначения моделирующего устройства или вычислительной машины,
как это принято рядом авторов.
Второй путь предусматривает воспроизведение (реализацию)
исследуемого процесса, заданного его математической моделью,
в виде искусственно создаваемого в специальной моделирую-
щей системе (установке) физического процесса, подобного илч
аналогичного исследуемому процессу с точки зрения динамики
управления. Подобие обоих процессов обычно выражается в
том, что характеризующие их переменные величины, соответст-
вующие друг другу, связаны между собой пропорциональной
зависимостью в каждый момент времени. .

Метод математического моделирования на практике обычно
отождествляется со вторым путем исследования процесса управ-
ления по его математической модели.

В частном случае, когда физическая природа процессов в ис-
следуемой системе и в моделирующей установке одинакова, име-
ет место так называемое физическое моделирование. Несмотря
на большую наглядность последнего и ряд положительных ка-
честв, возможности его весьма ограничены [см. Л. 15]. Вследствие
этого моделирование систем автоматического управления в на-
стоящее время производится почти исключительно при помощи
математических моделирующих устройств, из которых наиболь-
шее распространение получили электронные (ламповые и полу-
проводниковые), как наиболее экономичные и удобные в экс-
плуатации. Вместе с тем, в ряде случаев оказывается необходи-
мым использование также и электромеханических устройств.

Первоначально моделирующие устройства создавались по
принципу прямой аналогии, сущность которого состоит в тог1,
что специально подбираются и сочетаются определенным обра-
зом между собой отдельные элементы (обычно, электрические:
сопротивления, конденсаторы, катушки самоиндукции и др.)
так, чтобы их естественные свойства воспроизводили соответст-
вующие свойства элементов исследуемой системы, например та-
ких, как вязкость, упругость, инерционность и т. д. Примерами
такого моделирования могут служить: воспроизведение колеба-
ний маятника при помощи электрического контура Р.ьС, ис-
пользование электродвигателя постоянного тока для моделиро-
вания аэродинамических свойств самолета и др. [Л. 15].

В настоящее время моделирование по методу прямой анало-
гии имеет ограниченное применение. Универсальность матема-
тических моделей, их независимость от физической природы ис-
следуемых процессов обусловили то, что в качестве главного
отличительного признака, характеризующего конкретные моде-
лирующие устройства, принято выделять вид математических
зависимостей (например, определенный класс дифференциаль-
ных уравнений), описывающих данный процесс. При тагом под-
ходе построение моделирующих устройств производится с пози-
ций реализации в виде некоторого физического процесса
исходной математической модели, отражающей свойства и за-
кономерност и многих, различных по своему физическому содер-
жанию реальных процессов, если все они могут бьш количест-
венно охарактеризованы данной математической моделью. При
этом составные элементы моделирующих устройств различаются
по виду выполняемых ими математических- операций (умноже-
ние, суммирование, интегрирование и т. д.),' а сами моделирую-
щие устройства могут рассматриваться как анал >гоеыг вычис-
лительные машины, предназначенные для исследования физиче-
ских процессов, описываемых определенным классом математи-
ческих зависимостей. В отличие от моделирования по методу
прямой аналогии здесь требование подобия величин соблюдает-
ся не по отдельным элементам, а для всего процесса в целом.

В последнее время начало успешно развиваться ма темати-
ческое моделирование на цифровых вычислительных машинах,
обладающее рядом преимуществ, особенно важных при иссле-
дованиях сложных систем и процессов, требующих выполнения
большого числа логических операций, учета статистических
факторов и т. д. Однако это перспективное направление имеет
свою специфику и в данной книге не рассматривается.

Основным средством исследования систем автоматического
управления методом математического моделирования, получив-
шим наибольшее распространение и быстро входящим в повсе-
дневную инженерную практику, являются по-прежнему аналого-
вые вычислительные машины (аналоговые моделирующие уст-
ройства), выпускаемые отечественной промышленностью. Их
применение для анализа и расчета систем автоматического
управления иллюстрируется на примерах, представленных в
данной главе.

Вычислительная машина может замещать при моделирова-
нии исследуемую систему управления полнос'гью или частично
(например, гбъект управления при сохранении овального управ-
ляющего устройства). В последнем случае имеет место так на-
зываемое моделирование с включением реальной аппаратуры
(иногда называемое также физическим моделированием), тре-
бующее специальных преобразующих устройств (динамических
стендов) для сопряжения макетов или образцов приборов, входя-
щих в исследуемую систему, с вычислительной машиной.

Подобный способ моделирования имеет очень важное прак-
тическое значение как средство для отладки и настройки прибо-
ров управления в условиях работы, близких к действительным.
В качестве примеров такого использования аналоговых вычис-
лительных машин можно указать на испытательные стенды для
отладки автопилотов, имитирующие полет самолета или ракеты,
различные тренажеры для летного состава и т. п.

Однако на стадии разработки и проектирования новых си-
стем управления, естественно, применяется моделирование на
вычислительных машинах всей системы в целом.
Рис. 10.1. Основные элемен-
ты структурных моделей:
а — решающий усилитель;

б —- суммирующий усилитель

Одним из основных преимуществ метода матема 'ического
моделирования является его инвариантность по отношению
к характеру исследуемых задач. В частности, весьма важно то,
что нет принципиальной разницы между моделированием линей-
ных и нелинейных систем автомати-
ческого управления.

Тем не менее, опыт показывает,
что в подавляющем большинстве
случаев сначала исследуется мо-
дель линеаризованной системы, а
затем уже в нее вводятся те или
иные нелинейные зависимости.

Соответственно этому в первую
очередь теобходимо освоить мето-
дику моделирования линейных си-
стем на аналоговых вычислитель 
ьых машинах.

Для исследования линейных си-
стем управления необходимо иметь
в составе моделирующего устрой-
ства вычислительные элементы,
выполняющие три математические
операции: масштабное преобразо-
вание (умножение на постоянный
множитель), суммирование и инте-

грирование. В современных электронных вычислительных ма-
шинах все эти действия выполняются при помощи так назы-
ваемого решающего (или операционного} усилителя постоянного
тока с отрицательной обратной связью (рис. 10.1).

При большом значении коэффициента усиления к усилителя
передаточная функция последнего достаточно точно описывается
следующим выражением (Л. 15]:

^вых(Р)
^вх(р)

(рис. 10.1, а).

где 71 (/?) — входное сопротивление усилителя;

20(р)— сопротивление в цепи обратной связи.

В зависимости от характера и 20(р) будем иметь один
из тех случаев:

1)	если

гу(р)=^1 и г0(р)=я0,

то

ивыЛр)=-^ивЛр),
и усилитель выполняет операцию умножения на постоянный от-
рицательный множитель (инвертирование сигнала);

2)	если

71(р) = /?, а г0(р) = ~,

то

^выЛР)=-^-^вх(Р).

и усилитель является интегрирующим;

3)	если

2в(р) = Я, а

то

^выХ(р)=-^СрУвх(р),

т. е. усилитель играет роль дифференцирующего звена.

Заметим, что при моделировании систем автоматического
управления по возможности избегают применения дифференци-
рующих усилителей вследствие их чувствительности к внешним
и внутренним помехам (наводкам), имеющим обычно повышен-
ную частоту.

На рис. 10.1, б изображен суммирующий усилитель, выход-
ная величина которого в операторной форме определяется вы-
ражением

1= 1

где 71г- (р) = сопротивление /-ой входной цепи.

При 20(р) = ^ имеем суммирующий интегрирующий уси-
литель.

Существует два способа набора задач на моделирующих
устройствах:

а)	набор по дифференциальному уравнению, описывающему
данную систему;

б)	набор по структурной схеме исследуемой системы.

В первом случае за исходные данные при моделировании
принимается уравнение (или система уравнений), которое при-
водится к определенному виду.

Поясним применение этого метода на примере исследования
простей системы автоматического управления, динамические
свойства которой описываются линейным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами:

х" -}- а^х + а±х — / (/).
Пусть машинное уравнение (т. е. уравнение, подготовленное
для набора на модели и отличающееся от исходного только
масштабами переменных) имеет вид

Р^Х-\-а1РХ-\-а^ = Р.

Рис. 10.2. Моделирование системы
автоматического управления по
уравнению

Здесь X и Р не операторные изображения функций х и а
так называемые машинные переменные (чтобы не усложнять
записи, примем все масштабные коэффициенты равными еди-
нице).

Разрешив машинное уравне- г	\

ние относительно старшей про-"''"
изводной, получим

Р*Х=Р(1) — ахРХ — агХ. (20.1)

Представим себе, что на вход
интегрирующего усилителя по-
дана величина Р*Х (не предре-
шая пока вопроса о ее получе-
нии). Тогда на выходе этого уси-
лителя полупим величину, рав-
ную — РХ. Подав ее, в свою оче-
редь, на второй интегрирующий
усилитель, получим на его выхо-
де X (рис. 10.2,а). Если нам
нужно иметь отрицательную ве-
личину — X, то мы должны будем использовать инверсный
усилитель. Остается умножить величины — РХ и — X соответ-
ственно на постоянные щ и а>, при этом получим все члены,
стоящие в правой части машинного уравнения.

Подадим величины Р, — а-РХ и — ачХ на вход первого инте-
грирующего (и одновременно суммирующего) усилителя (умно-
жение на щ и а, можно осуществить подбором сопротивлений
и делителей напряжения во входных цепях усилителя), как по-
казано на рис. 10.2, б. Полученная схема, работающая по прин-
ципу «сведения баланса», обеспечит выполнение равенства
(10.1).

Подобным образом решаются и более сложные задачи, опи-
сываемые одним или несколькими уравнениями.

Однако в практике моделирования систем автоматического
управления наибольшее применение получил другой способ на-
бора задач, заключающийся в том, что исследуемая система на-
бирается по отдельным звеньям, соответствующим определен-
ным звеньям структурной схемы исследуемой системы. Э.ът
способ оказывается предпочтительнее в силу ряда причин:

1)	системы автоматического управления обладают явно вы-
раженной направленностью передачи воздействий, равно как и
составляющие их звенья, передаточные функции которых выра-
жают математическую зависимость двух величин (входной и
выходной) и поэте му удобны для моделирования по звеньям;

2)	набор задачи по структурной схеме модели дает ясное
представление о соответствии величин и параметров в исследуе-
мой системе и модели, что удобно при подборе корректирующих
связей;

3)	такой способ позволяет осуществлять набор задачи путем
сочетания небольшого числа элементов модели, соответствую-
щих типовым звеньям направленного действия, из которых
обычно составляется структурная схема системы автоматическо-
го управления.

Часть наиболее употребительных звеньев модели приведена
в табл. 10 1, в которой указаны также и соответствующие им
передаточные функции.

Масштабы переменных величин задаются при этом весьма
просто.

Машинная переменная Х(- связана с соответствующей пере-
менной Х[ выражением

где ГП} — масштабный коэффициент.

За машинную единицу обычно принимается напряжение, рав-
ное 100 в.

При выборе масштаба нужно следить, чтобы

тЛ- <С 1 (ЮОа).

Если I — натуральное, ат — машинное время, то
т = т/,
где т,— масштабный коэффициент времени.

Так как

то в машинных единицах будем иметь

о й 1
Р= -г-= —р,
т тр

откуда

р = т/Р.	(10.2)

Обычно моделирование ведется в замедленном 1) или
натуральном (т{ — 1 — пои сочетании модели с реальной аппа-
ратурой) масштабе времени.

Определив состав решающих элементов, входящих в моде-
лирующее устройство, предназначенное для решения опоеде-
ленного типа задач, необходимо установить связь между от-
дельными элементами, задать численные значения параметров
исследуемой системы и начальных условий.
Пункт

Схема

Передаточная функция

б

Нр)

Л А __

тр-Ь<’ &

В

‘М = -‘Йт5; *=&

Ту - /?зО

Т^ = {^ + ^)С

г

. . ч Т2р 4-1

=--------Т^Г’

Т2 = ^С

, ( \	1 Т 2Р —р 1

^__Т^’г3р + 1;

Ту =	2 -

Т,

С.

т\
Продолжение табл. 10.1

к<Д + Пр)

1 + р(Л + гЯ-П)Ч-

к (р} - _ .. РТ^+РТ2}

[р)~ [Н Р(Л+П + Г3) +

Г, = С1Л1; те = /?2С2; Г3 = С&
та=иас„.

к^=~кт^п

Т^НгО, й = ^

В зависимости от способа соединения решающих блоков сэ-
воеменные аналоговые вычислительные машины могут быть по-
строены по матричному или структурному принципам.

В моделирующих установках матричного типа вход каждого
решающего элемента заранее соединен с выходами всех элемен-
тов через коммутационные устройства, при помощи которых из-

37С
меняется степень связей между решающими элементами в со-
ответствии с численными значениями коэффициентов исследуе-
мой системы уравнений (таковы моделирующие установки ИПТ-4,
ЭЛИ-14, ЭЛИ-12 и др.).

Преимуществом матричных моделирующих устройстз, укро-
щающих их эксплуатацию, является минимум коммутационных
операций между блоками, которые сводятся к установке числен-
ных значений коэффициентов.

Вместе с тем, данному типу присущ ряд недостатков: увели-
чивается число потребных решающих усилителей; для набора за-
дачи предварительно преобразовывается исходная система диф-
ференциальных уравнений в специальную матричную форму,
что оказывается сопряженным со значительной подготовитель-
ной работой; затрудняется воспроизведение нелинейных зависи-
мостей.

В связи с этим современные моделирующие устройства стро-
ятся, в основном, по структурному принципу, при котором ре-
шающие элементы (или их группы) выполняются конструктивно
в виде отдельных блоков, соединенных между собой гибкими
проводами непосредственно или на специальном наборном поле
в соответствии со схемой набора исследуемой задачи (ИПТ-5,
МПТ-9, МН-7, ЭМУ-8 и др.). При этом обычно не требуется
особой подготовки исходных уравнений для набора на машине.
Суть подготовительных операций в основном сводится к состав-
лению схемы набора задачи и выбору надлежащих масштабов
переменных, что легко усваивается из рассматриваемых в дан-
ной главе примеров.

Большие возможности и эффективность метода математи-
ческого моделирования наиболее полно раскрываются при ис-
следовании нелинейных систем. В практике моделирования раз-
личают воспроизведение так называемых типичных нелинейно-
стей систем автоматического управления (насыщение, люсЬт,
сухое трение, релейные характеристики и т. д.) и воспроизведе-
ние нелинейных зависимостей произвольного вида.

В принципе моделирование нелинейных систем и процессов
производится так же, как и линейных, однако используемые при
этом технические средства являются более сложными.

Типичные нелинейности систем автоматического управления
обычно воспроизводятся при помощи комбинаций линейных ре-
шающих усилителей с так называемыми диодными ограничите-
лями и запирающими напряжениями (основные схемы набора
типичных нелинейностей приведены в табл. 10.2).

Для воспроизведения функций произвольного вида, получе-
ния произведений переменных и ряда других нелинейных опе-
раций в электронных моделирующих установках наиболее часто
используются диодные функциональные преобразователи, осно-
ванные на линейнокусочной аппроксимации воспроизводимых
Наименование нелинейной зависимости

а)	ломаная линия А

б)	ломаная линия Б

в)	ломаная линия В

г)	ломаная линия Г



д)	зона нечувствительности

График нелинейной
зависимости
Схема соединения элементов на коммута-
ционном поле
е)	ограничение по V

ж) момент сухого трения

з) релейная характеристика

и) люфт

функциональных зависимостей. Кроме того, применяются схемы
на злсктрснно-лучевых трубках, а также электромеханические
блоки [Л. 15].

В инженерной практике обычно стремятся сначала воспроиз-
вести модель линеаризованной системы управления (а в суще-
ственно нелинейных системах, не поддающихся линеаризации, —
линейную часть системы), которая затем усложняется в процес-
се исследования введением нелинейных зависимостей.

§ 10.2. Примеры моделипозания линейных систем
автомат! веского управления

Пример 10.1. Составление схемы набора апериодического
звена.

Передаточная функция апериодического звена

х5 (Р) _ к
х,(р)	\ + Гр-

Выбирая масштаб времени т1 (выбор его числового значе-
ния зависит от параметров моделируемого звена), запишем на
основании формулы (10.2)

р = т1Р.

Введем машинные переменные, после чего

Х2__ к

Хк 1 + Тт[Р'

откуда

т(ТРХ^Хг = кХ1

или

*	1	т{1

Предположим, что уже имеется величина — X, в виде
рического напряжения. Взяв от нее с немощью делителя
пропорциональную коэффициенту —у, и просуммировав
пряжением Х1 (Х1 — заданная входная величина),

злект-
часть,

с нэ-

полу-

чим напряжение, пропорциональное РХО_, которое затем подадим

па вход интегрирующего усилителя. Тогда на выходе усилителя
получим величину — Х2. Соединив выход усилителя с входной
клеммой, принятой в начале набора за величину — Х2, получим
требуемую схему модели апериодического звена, приведенную в
табл. 10.3, пункт а, в которой через и й.2 обозначены переда-
1 Пункт [	Передаточная функция	Схема набора	Коэффициенты
а	л-Ё (р)	 к	&—Л	к =	•  1 1П{Т ’
	хЛр) \+р?	г-1 Рг !—ь/	кц — '
			г т/Т
б	х^р) _  -Ч (р)  _ к		ь ^=^'  й —	1	•  -Й5
	1 -\-'1'7Гр-\- 1~р~	 у		
			к, — — • к, — 1
			111(7'	4
		Л	।	
в	хЕ _ Ь Р	ЧУА 1	л  НАЙ/	II ч|»
	х, (р) ’^+рТ	иХ/ц—{ту]—- [л?|-.		
точные коэффициенты решающего усилителя по соответствую-
щим входным канатам*.

Пример 10.2. Составление схемы набора колебательного зве-
на.

Передаточная функция колебательного звена -

А (р) 	к

х,(р) ТУ + 2СГр+Г

. Принимая масштаб времени т1 и переходя при помощь соотно-
шения

р-т^Р

к машинным уравнениям, будем иметь

Х2	к

откуда

т?ГРаХ2 + 2ЩГРХ* + Х2 = кХг

или

02 V к у 2Соул 1

Как и в предыдущем примере, предположим, что в схеме на-
бора имеются величины Хъ — РХ% и — Х2. Умножив их с помо-
щью делителей на соответствующие коэффициенты и просумми-
ровав, будем иметь на входе интегоирующего усилителя РаХ2.
С выхода этота усилителя снимем — РХ2 и, проинтегрировав на
втором усилителе, получим Х2. Псдав Х2 на инвертирующий уси-
литель, получим — Х2. Располагая — РХ» и — Х2, произведем все
соединения на коммутационном поле. Схема набора приведена
в табл. 10.3, пункт б.

Если при сопряжении данного звена с другими звеньями не-
обходимо иметь величины Х2 и — Х2, то коэфс нциенты &2 и ке
имеют значения:

Если же
может быть

необходимо иметь только Х2,

то коэффициент

входами, т. е.

перераспределен как угодно между Вторым и пятым

аг~ '~ т‘]Т°'

* В примерах § 10.2 при переходе к машинным переменным, чтобы не
усложнять запись уравнений, не вводятся масштабные множители для пе-
ременных величин, которые легко учитываются при выборе передаточных ко-
эффициентов решающих усилителей.
Пример 10.3. Составление схемы набора диффереицирующе-
го звена.

Передаточная функция дифференцирующего звена
х, (р)  кр
х, (Р)~ ^ + Тр-

Вводя масштаб времени т1г переходим к машинным уравне-
ниям:

Х2 _ кт/Р

Х± \т^Тр	.

или

гщТРУ. = кгщРХг — Х2.

Эту схему, требующую применения дифференцирующего уси-
лителя, стараются не воспроизводить по причинам, изложенным
в § 10.1. Поэтому проделаем дополнительное преобразование,
разделив обе части последнего выражения на т{ТР,

у _к у IX,
л^—рл1 т(т'Р‘

X

Предполагая, что в схеме имеются величины Х1 и — умно-
жим их на соответствующие коэффициенты и просуммируем на
входе решающего усилителя. С выхода последнего снимем ве-
личину — Х2.

X

Интегрируя — Х2, получим и после инвертирования с по-

X

мощью третьего усилителя будем иметь — . Схема набора зве-
на приведена в табл. 10.3, пункт в.

Пример 10.4. Составление схемы набора интегро-дифЛеоен-
цирующего звена.

Передаточная функция моделируемого звена

Хг (Р)  л 1 Т1Р
х1 (р) । -Ь т$р

Переходя к машинным уравнениям, имеем

ч ’	Х,_. Х-^-т^Р

Х~К^т1Т,Р-
или

к (т^Р +1) Х1 = (тД\Р +1) Х3.

Умножим обе части полученного выражения на 1\ и добавим
затем к правой части У2Х2— У2Х2, тогда получим:

к [рП(Т\Р —1) У [Х1 = (У 2У	-]- У1) Х2 —]— У2Х2 — У2Х2;

к Ш + 1) УЛ = У2 (тД\Р +1) Х2 - (У2 - У0 Х2;

^Л + 57?Йтх*=2'Л-
Окончательно

*=Ф:х'+^,41х-

Множитель, стоящий перед Х2 в правей части последнего ра-
венства, представляет собой не что иное, как передаточную
функцию апериодического звена, рассмотренного в примере 10.1,

Ту

с передаточным коэффициентом, равным 1 — ~.

Следоватзльно, выходную величину Х2 необходимо подать
перез схему модели апериодического звена на вход решающего

Г

усилителя, суммируя ее с величиной АуХ.. Отсюда вытекает
схема набора, представленная в двух вариантах в табл. ’О.З,
пункты гид.

Согласно табл. 10.3, пункт а, имеем

1-Ь

д _ 1 А А _	_ 1	1 _ А 1

’ ^4— пуТ, ~т1Т1	3 т/Тг

т

Если Т^^>Т1г то 1 —и выходная величина схемы моде-
ли апериодического звена должна иметь тот же знак, что и ХР
Это обеспечивается наличием в замкнутой цепи (табл. 10.3,
пункт а) двух решающих усилителей, вследствие чего знак меня-
ется дважды.

- т

Если же	то 1—у<(0 и уравнение набора задачи

примет вид

Х2 = /г-рХ,

-* 2

Т,
1\

х2.



В этом случае для изменения знака в замкнутой цепи долж-
но быть три усилителя, что отображено в табл. 10.3, пункт д.
При этом

Пример 10.5. Исследование переходного процесса в следящей
системе копировально-фрезерного станка.

Структурная схема системы приведена на рис. 10.3. Примем
единичное входное воздействие и указанные ниже параметры
системы: передаточный коэффициент преобразуюшего устрой-
ства кс —10 е/лои; передаточный коэффициент дифференцирую-
щего трансформатора йдт = 0,104 сек; коэффициент усиления
электронного усилителя напряжения &у11 = 6,3; передаточный ко-
эффициент ЭМУ- по напряжению йэ = 35,6; передаточный коэф-
фициент двигателя с редуктором по скорости кав — —г =
се/р

__ 0 053 мм сек коэффициент гибкой обратной связи ко с =

= С,027 сек, постоянная времени дифференцирующего трансфор-
матора = 0,0303 сек; постоянная времени поперечной цепи

Рис. 10.3. Структурная схема следящей системы коггировально-фрезерного
стенка

якоря ЭМУ 7^ = 0,0616 сек; электромеханическая постоянная
двигателя Тм = 0,134 сек.

В структурной схеме линейной системы передаточные коэф-
фициенты можно перераспределять между звеньями, не охвачен-
ными обратными связями (или охваченными одинаково). Вос-
пользовавшись этим, представим передаточные коэффициенты
звеньев прямой цепи системы Ас, кун, &лв в виде произведений

Кс---	> Ку.н - ^у.н ^у.н> &дв - ^дв ^дв,

придав отдельным сомножителям следующие числовые значе-
ния:

&=1,	&' = 1С;

Кушн-» ,	*^у.н-6,3,

йдВ = 1, йдВ-3,953.

Произведение ку.в к^ отнесем к последнему (интегрирую-
щему) звену. Благодаря этому при последующих расчетах коэф-
фициентов схемы набора по отдельным входам усилителей бу-
дут, в основном, иметь дело с единичными передаточными коэф-
фициентами, что упрощает вычисления.

Используя затем табл. 10.3, составим по исходной структур-
ной схеме следящей системы схему набора ее математической
модели (рис. 10.4).
С помощью формул, приведенных в табл. 10.3, рассчитаем
передаточные коэффициенты по входам усилителей, приняв
масштаб времени т< = 20:

«, = 1; *,= !; ^ = ^ = ^ = 3,43;

20-0,0303 =	**=Ь65; й, = 1; Л6=1;

/^7 - — '• /?с ^у.н 1*1   1,	 А? 7 — ^у.н -“= 1 $

Рис. 10.4. Схема набора к примеру 10.5.

-^7 = —= -8,5;

“ Ш(1д 20-0,0616	’ ’

^ю = 1;	— —^==	Р —0,812;

11 т{Тд 20-0,0616

Л13 = ^=§^ = 0,202;

^13 ^14 /чВ = ТЦт( ~ 0,134 • 20 ~

й13 = 0,373; йи=1; Л1С=1; к16 -	= 0,373;

к„ = -V =	- - 0,373;

20-0,134	’	’

1	^у.н ^дв 10 • 6,3 • 0,053 Л 7

*« =-----тГ~ =---------20-----~ °'167-

При исследовании модели не рекомендуется работа операци-
онных усилителей с передаточными коэд фйциентами, бог ь щимл
10. При подсчете коэффициентов получено ^ = 28,9. Уменьше-
нием .^ = 35,6 в 10 раз получим ^ = 2,89. Но при этом должно
сохраниться постоянство произведения кэкос, вследствие чего
необходимо в 10 раз увеличить кО (.. В результате получаем —
— 2,02. Для сохранения постоянства произведения кум к3 кав
необходимо кК увеличить в 10 раз: &г8 = 1,67. Для удобства на-
бора производим последнее перепаспределение коэффициентов:
принимаем 618 = 1 и увеличиваем к1Ъ в 1,67 раз: 6,в = 0,373-1,67 =
= 0,623.

Окончательно принятые в схеме набора коэффициенты:

6, = 1;

6^ = 1;

/г3 = 3,43;

^4= 1,65;

6В = 1;

6е=1;

6, =1;	6)3 = 0,373;

68=1;	6,4=1;

к9 =2,89;	кК = 1;

6,0 = 1;	616 = 0,623;

&п = 0.812;	617 = 0,373;

612 - 2,02;	6<8 = 1.

Рис. 10.5. Рабочая схема набора на моделирующей установке МН-7

Рабочая
оказанием

схема набора на моделирующей установке Л1Н-7 (с
нумерации усилителей, входов и коэффициентов,

установленных по входам) представлена на рис. 10.5.

Кривая переходного процесса, изме-
ренная по точкам, приведена на рис. 10.6.

Динамические показатели системы:
время переходного процесса /п = 0,5 сек;
перерегулирование а = 50%, число коле-
баний т—1.

Решая операторное уравнение иссле-
дуемой системы, получим следующее
выражение:

5ВЫХ (/) = 1 + 1,12е~14>75< + 2,11е~7-6/ соз X
X (12,9I + 3,37) — 0,С25е-1437.

Состроенная по
кривая переходного
точно совпадает с
при исследовании на

этому выражег ию
процесса достаточно
кривой, полученной
модели.

Рис. 10.6. Кривая пере-
ходного процесса, полу-
ченная на модели
Гример 10.6. Исследование переходного процесса в следящей
системе ппофьлешлифовального станка.

Структурная схема следящей системы изображена на рис. 4.13.
Параметры системы:

&У1=32,6; А>у3 = 4,35; &у3 = 9,9; ^с = 3,63^^;

^0] = 0,282; а —0,231; с₽ —0,435—^7—', /р = 233; йс = 206 в/рад;

к.. — 1—; Л = 0,03 сек; 7\~0,003 сек; Тй — $,№§сек;

Тд = 0,02 сек; Т„ = 9,093 сек; Тэ = 0,018 сек;

т = 0,02 сек; Г3 = С,05сек.

Варьируя параметры постоянной времени гибкой обратной
связи Тя и коэффициента усиления второго каскада усилителя
й 2, постараемся дсбиться наилучших показателей качества пе-
реходного процесса, укладывающихся в пределы:

а)	максимальное перерегулирование а -=д25°/(,,

б)	продолжительность переходного процесса („ - 0,2 сек,

в)	число колебаний т-=сЗ

при единичном входном воздействии.

При моделировании не рекомендуется работа операционных
усилителей с коэффициентами усиления, большими 10, в то вре-
мя как в моделируемой системе такие коэффициенты имеют ме-
сто (йс = 206, йу1 = 32,6).

Воспользуемся тем, что в линейной структурной схеме коэф-
фициенты усиления можно перераспределять между звеньями,
не охваченными обратными связями (или охваченными одинако-
во), и найдем произведения, постоянство которых должно быть
выдержано при моделировании:

йу8 а йу3 = 4,35-0,231 -9,9 = 10;

я 1 ____ 32,6 — 0 32 ’ •

0,435  233	’

М„ = 206-1 =206.

Перераспределив коэффициенты усиления, получим следую-
щие параметры для моделирования системы:

йс = 2, йу1 = 0,321, йу2 = 2;

1

а = 0,5, /гу3=10,

се]$

1; 6„ = 103, /г01 = 9,282;

&ОС = 3,63; 7\ = 0,03 сек, Г2 = 0,003 сек,
ч = С,32сек, То —0,006 сек, Тч =0,02 сёк,
7’э = С,Э18 сек, ГМ = С,03 сек.

Примем масштаб времени т, = 5Э.
Используя табл. 10.3, составим структурную схему модели
системы (рис. 10.7) и рассчитаем коэффициенты:

А1 = АС = 2; й2 = йс--2; й3 = йу1 = 0,321;

^ = ^^ = 0,321-3,63=1,17;

^в = ^У2 = 2; &, = &у3 = 2;

^~°'Т0	0,5 6,006	к,67;

Рис. 10.7. Схема набора модели следгдцей системы профилешли-
фовального станка

^9^16 — т( т ) — 50 \0,006	0.02,1 ” 21 33’

^8 = 2,33; 68=1;	= 50 ^да = 11 /г16=1;

г, __ ^уз __ Ю _______1П- А ___ 1	__ '] •

11 ~ т(Тд ~ 50 • 0,02 — и’ 12 — т{Тд ~ 50 • 0,02 — ’

^1з^в — ко, =О,2825о 0>03 •	= 3,13;

^1з —ЗДЗ; /ги =	=50 0 = 0,667; ^1В = 1;

^17^18^0 = —	= до (ода — ода) — 6,27;

/ё17 = 1; /218 = 6,27; ^в=1; кк = ~~ = 50/Ода = С,4;

1

К, — _=_________________!_______ — 0 74-

21 ш?Т Т 502 • 0,018  0,03 — и>2
* В м	’	*
1

---/»2Т Т

'‘I* э м

508  0,018 - 0,03

= 0,74; &2=1

____.

‘Л

0,03
50-0,018-0,03	’

а Т= /ТЭТЫ};

/

/	т

(так как С==,

Рис. 10.8. Переходный процесс-в модели следящей
системы

^24 > ^20 0,74 ^26 1,

&7 = ^ =~ = 2,06.
Ш( 50

Принятое значение параметров системы, в том числе Т3 = ,
= 0,05 сек и йу3 = 4,35, дает переходный процесс (рис. 10.8, а) со
следующими динамическими показателями:

с = 35%; /„ = 0,4 сек; т}>5,

т. е. не удовлетворяет предъявленным требованиям.

Измеряя значения Т3 и /гу2, получим следующие результаты:
при 73 = 0,05 сек и &у2 = 4,35

о = 35%, 1п = 0,4 сек, т^>5;

при 7,3 = 0,05 сек и &у2 = 8,7

а = 30%, /„ = 0,5 сек, /л}>5;

при Т3~ 0,03 сек и &у2 = 4,35

а = 30%, /„ = 0,35 сек, т = 5;

при Т3 = 0,02 сек и йу2 = 4,35

с = 30%,	=0,3 сек, т = 4;

при Т3 = 0,03 сек и &у3 = 8,7

а = 25%, /„ = 0,2 сек, т=4;
при Т3 — 0,02 сек и &у2 = 8,7

с=г2О°/о, /„ = 0,15 сек, ГГ. — 2.

Наилучшие результаты дает последний вариант, для которого
переходный процесс изображен на рис. 10.8, б.

§ 10.3- Примеры моделирования нелинейных систем
автоматического управления

Пример 10.7. Исследование следящей системы с безынерци-
онным усилителем, охваченным гибкой обратной связью, с уче-
том нелинейности его передаточной характеристики.

Рис. 10.9. Структурная схема следящей системы с учетом не-
линейности передаточной характеристики усилителя

На рис. 10.9 приведена структурная схема исследуемой сле-
дящей системы с асинхронным двухфазным двигателем и безы-
нерционным усилителем, второй каскад которого, охваченный
гибкой обратной связью с передаточной функцией •

обладает нелинейной характеристикой типа «насыщение», в уп-
рощенном виде изображенной на структурной схеме.

Подавая на вход следящей системы скачкообразное входное
воздействие

©Вх(0 = ввх.о-1(0.

где-

0вх.о = 0,4 град,
исследуем качество переходного процесса в следящей системе
при изменении коэффициента усиления первого каскада усили-
теля йу1 в пределах от 35 до 1400.

За показатели качества переходного процесса примем: время
переходного процесса /п, величину перерегулирования а, число
переходов за время /„ через равновесное состояние т.

Зададим следующие параметры системы: передаточный ко-
эффициент чувствительного элемента /гс — 1 в[град-, коэффициент
усиления второго каскада усилителя на линейном участке его
характеристики &у2 = 1; передаточный коэффициент двигателя по
скорости с учетом понижающего редуктора кдя = 3,6 ?Рае)!сек.,
электромеханическая постоянная времени двигателя Т = 0,05 сек-,
передаточный коэффициент звена гибкой обратной связи Ао = 1О;
постоянная времени звена гибкой обратной связи 7'1 = 0,2 сек.

Ширина линейного участка передаточной характеристики
усилителя определяется значением его выходного напряжения
^2тах = 30 в, при котором наступает насыщение.

Рис. 10.10. Схема набора модели следящей системы с учетом
нелинейности усилителя

Выберем масштаб моделирования по времени /7^ = 20 и за-
дадимся величиной входного воздействия в модели, равной 40 в.

Тогда масштаб входного воздействия и ошибки определится
как отношение

т0 =^ = 100 в/град.

Схема набора модели изображена на рис. 10.10.

Насыщение усилителя воспроизведено в соответствии с
табл. 10,2, е.

Заметим, что в стличие от схемы, приведенной в таблице
13.3,в, инверсный усилитель со входом на рис. 10.10. включен
последовательно не с интегрирующим, а с суммирующим усили-
телем. Это вызвано необходимостью осуществить в модели си-
стемы отрицательную обратную связь при наличии суммирую-
щего усилителя со входами /?4, кв, который также инвертирует
знак выходного напряжения йа по отношению к своему входу.
В то же время в замкнутом контуре модели звена гибкой сбрат-
ной связи {к^к6) всегда должно быть нечетное число решаю-
щих усилителей. На расчет коэффициентов схемы набора это не
влияет, так как к^ = 1.

Коэффициенты схемы набора, рассчитанные для отдельных
звеньев модели по формулам табл. 10.3, имеют следующие чис-
ловые значения:

/г.^1,	/г4 = 35^-1400,	^7 = 1,	&1в=1,

^=1,	&8 = 10,	^=-5,	/?п = 3,6,

&з—1,	Л6=1,	Д = 0,25,	кп — 0,05.

Полученные коэффициенты неудобны для набора. Вместе с
тем, в отличие от моделирования линейных систем, в данном
случае нельзя распределять произвольно передаточные коэффи-
циенты между звеньями, разделенными нелинейностями. В част-
ности, коэффициент усиления первого каскада усилителя куХ —
— 1400 практически невозможно реализовать между входом мо-
дели и звеном с насыщением без введения в схему набора до-
полнительных решающих усилителей и соответствующего услож-
нения схемы.

Поэтому в практике моделирования широко применяется
прием, основанный на известном положении теории подобия фи-
зических явлений, в соответствии с которым условия подобия,
справедливые для линейных систем, могут быть распростране-
ны и на нелинейные системы при дополнительном условии — сов-
падении относительных характеристик нелинейных зависимо-
стей. Иными словами, искажения, вносимые в протекание про-
цесса за счет нелинейностей, должны сказываться одинаково
(отличаясь лишь масштабом переменных) в оригинале и в мо-
дели.

В применении к рассматриваемой следящей системе это ус-
ловие выражается в требовании, чтобы ограничение выходного
напряжения усилителя наступало при том же относительном
значении (связанном с величиной входного воздействия), что и
в исходной схеме.

С учетом сказанного распределим коэффициенты схемы на-
бора в моделируемой системе сначала, как в линейной, а затем
изменим соответственно величину напряжения ограничения.

Для значения Лу1 = 70 примел: = 1, къ = 1, к^ — 1.

В этом случае усилитель будет находиться на границе насы-
щения при входном сигнале

^₽=^=Л=0’43^

(в установившемся режиме сигнал гибкой обратной связи рав-
няется нулю и может не приниматься в расчет).
Этому слответствует входное напряжение модели

^вх.гр - ®вх.грт® = 0,43 • 100 -- - 43 в.

Так как при выбранных коэффициентах схемы набора произ-
ведение Й1^4=1, то величина ограничения усилителя в модели
должна равняться /73гр = 43в.

Поскольку выходное напряжение модели должно быть при-
ведено к тому же масштабу, что и входное, то произведение ко-
эффициентов кп к13 должно подчиняться условию

к1г кп = 3.6 • 0,05 • 79= 12,6,

из которого можно получить приемлемое распределение:

йн = 1,26, /г1а=10.

Остальные коэффициенты схемы набора можно эста пить без
изменений.

Таким образом, для &у1 = 70 будем иметь окончательно сле-
дующие значения коэффициентов по входам решающих усили-
телей в схеме набора:

к1 — 1, ' й4 = 1,	= 1, кю — 1,

к2=1,	йв=10, й8 = 5, ^п = 1,26,

Л3=1,	&6 = 1,	&> = 0,25, &12=10.

Для других значений коэффициента усиления первого каска-
да усилителя коэффициенты схемы набора кг и к* должны вы-
бираться так, чтооы удовлетворялось равенство

м>=^.

Определим масштаб, моделирования тя по скорости выход-
ной оси следящей системы.

Лхаксимальное значение скорости в установившемся режиме
будет иметь место при напряжении насышепия усилителя

^выхтах — ^дв б^тах — 3,6 • 30 — 103

В модели выходное напряжение Ив предпоследнего решаю-
щего усилителя, при выбранном напряжении ограничения —
— 43 в, будет иметь максимальное значение

тах - кп 67агр = 1,26-43 = 54 в.

Следовательно,

Ц, тя, 53	в

ай шах	/ч г*

~ йвыхшах ~ 108 ~ ,5град1сек •
При исследовании следящей системы на модели задаем по-
следовательно значения коэффициентов усиления первого кас-
када усилителя

йу1 = 35, 70, 140, 350, 700, 1400,
и фиксируем переходные процессы (при скачкообразном входном
воздействии) на экране осциллографа с послесвечением.

Последующая обработка
осциллограмм позволяет
установить зависимости вы-
бранных показателей каче-
ства переходного процесса
от изменения величины АуЬ
выраженные графически на
рис. 10.11.

Пример 10.8. Исследо-
вание влияния начальных
условий на переходный про-
цесс в следящей системе с
насыщением.

Исследуем переходные
процессы в следящей сис-
теме, рассмотренной в при-
мере 10.7 при нулевых, от-
рицательных и положитель-
ных начальных условиях по
скорости изменения выходной

Рис. 10.11. Зависимости показателей ка-
чества следящей системы от изменения
коэффициента усиления первого каскада
усилителя

величины системы:

Пвых (0) = 0, йвых (0) = - 48 г-^, йвых (0) = 48’^.

Схема набора модели остается той же, что и в предыдущем
примере.

При масштабе моделирования по скорости тв = 0,5---------

град/сек
начальные условия в модели будут соответственно:

(0) = 0. Цг (0) = - 24 в, 11в (0) = 24 в.

Подавая входное воздействие скачкообразного типа ппи
0вхо=О,4 град и коэффициентах усиления первого каскада уси-
лителя

ку1 = 35, 70, 140, 350, 700, 1400,
получим осциллограммы переходных процессов.

Анализ осциллограмм свидетельствует о том, что характер
зависимостей, представленных на рис. 10.11, существенно не из-
менился.

В качестве иллюстрации на рис. 10.12 приведены три осцил- -
лограммы зависимости 0Вых(О» полученные соответственно при
Йвых (0).— 0, Пвых(0)>0 И йвых(0)<0.
Пример 10.9. Ясследование следящей системы с гибкой об-
ратной связью по скорости с учетом насыщения усилителя.

Структурная схема исследуемой следящей системы приведе-
на на рис. 10.13. От схемы, изображенной на рис. 10.0, данная
система отличается тем, что гибкая обратная связь, реализуемая
путем дифференцирования напряжения тахогенератора, охваты-

Рис. 10.'* 2. Влияние начальных условий на пере-
ходный процесс в следящей системе: ’

а — при нулевых начальных условиях; б — при положи-
тельных начальных условиях; в — при1 отрицательных на-
чальных условиях

вает наряду со вторым каскадом усилителя также и исполни-
тельный двигатель.

Параметры системы:

кс = 1 в! град; Лу1 = 35 -ь 1400; куг = 1; кйВ= .,25 град'№К .

Т = 0,05 сек; к0 = 2,88-----; 7\ — 0,1 сек; и2тзх = 30 в

град/сек

(напряженке при насыщении).

Схема набора модели следящей системы изображена на

рис. 10.14.	,

Масштабные коэффициенты примем такими же, как и в при-
мере 10.7.

Коэффициенты набора, рассчитанные аналогично кредыду
щим примерам, указаны на схеме набора.

Подавая на в^од модели скачкообразное воздействие, соот-
ветствующее функции

©вх(о = ©вх0-<а

(где Овтп—0 4 град}, исследуем зависимости показателей каче-
ства процесса /п и с от добротности следящей системы О =

1 &у2^дв» изменяемой за счет величины Лу1,- при нулевых,-по-
ложительных и отрицательных начальных условиях по скорости
изменения выходной величины.

Рис. 10.13. Структурная схема следящей системы с
гибкой обратной связью по спорости с учетом насы-
щения усиг аТвЛЯ

Рис. 10.14. Схема набора модели следящей и стемы с гибкой обратной
связью по скорости с учетом нелинейности усилителя

Для получения различных
значений добротности в моде-
ли необходимо изменять зна-
чения коэффициентов набора
входного суммирующего уси-
лителя аналогично изменению
и кг в схеме, изображенной
на рис. 10.10 примера 1С.7. /

Полученные на модели за-
висимости и а от /) пред-
ставлены графически на рис.
10.15, ма котором индекса-
ми « + » и «—» отмечены кри-
вые, снятые соответот венно
при йпых(0)=48 град/сек и
^вых(О) =—48 град/сек, а без
индекса —при Йвых(0) =0.

13*	361

Рис. 10.15. Зависимости <т .и /п от до-
бротности следящей системы
Пример 10.10. Исследование следящей системы с нелиней-,
ным законом управления.

На рис. 10.16 изображена функциональная схема следящей
системы, в которой для повышения быстродействия и снижения
динамической ошибки использовано нелинейное управляющее
устройство дискретного типа, вырабатывающее дополнительное
форсирующее воздействие. Прямая цепь системы содержит те
же элементы, что и в предыдущих примерах.

Рис. 10.16. Функциональная схема следящей системы
с нелинейным законом управления:

ЧЭ — чувствительный элемент; ДУ — дифференцирующее уст-
ройство; СУ — следящее устройство; У — усилитель; Д — дви-
гатель; Р — редуктор; КР — контакт реле; НУУ — нелинейное
управляющее устройство; СС — схема совпадения

Нелинейное управляющее устройство срабатывает при сов-
падении знаков ошибки 0 и производной от ошибки 0, что сви-
детельствует о нарастании ошибки по абсолютной величине. По-
сле того как ошибка пройдет через максимум и начнет умень-
шаться (3 изменит знак), форсирующее воздействие снимается,
и система работает обычным образом.

-Исследуем на модели зависимости показателей качества пе-
реходного* процесса 1п, с, т от величины добротности системы и
сравним их с соответствующими зависимостями для следящей
системы с линейным законом управления.

Примем входное воздействие, величину, насыщения усилите-
ля и масштабы величин такими же, как и в примере 10.7.

Схема набора модели на вычислительной машине МН-7 изо-
бражена на рис. 10.17.

Решающие усилители 3, 4 и 6 моделируют дифференцирую-
щее звено с передаточной функцией

Поскольку постоянная времени 7]=0,05 сек относительно не-
большая, то запаздывание невелико, и звено близко к чисто диф-
ференцирующему.

Усилители 11 и 12, имеющие большие коэффициенты усиле-
ния и ограничение характеристик при выходном напряжении
ГО в, работают в режиме, близком к релейному. Их выходы под-<
ключены ко входу суммирующего усилителя 13, выходное на-
пряжение которого поступает на обмотку реле с контактом 1Р.

При таком подборе параметров реле срабатывает при малых,
но совпадающих по знаку напряжениях на входах усилителей
11 и 12. Если же знаки этих напряжений, соответственно про-
порциональных 0 и 0, различны, то на выходе усилителя 13 на-
пряжение будет близким к нулю и реле не сработает.

Рис. 10.17. Схема набора модели следящей системы с нелинейным законом
управления

При срабатывании реле на вход усилителя 10 подается до-
полнительный сигнал, переводящий его в режим насыщения.

Результаты исследования следящей системы с нелинейным
законом управления представлены в виде графиков на рис. 10.18,
на котором для сравнения приведены подобные же кривые, по-
лученные в предыдущих примерах.

Из сравнения графиков видно, что введение нелинейного за-
кона управления позволяет получить лучшие качественные пока-
затели работы следящей системы.

Пример 10.11. Исследование следящей системы с нелиней-
ной характеристикой усилителя и квадратичной обратной связью
по скорости.

Принципиальная схема исследуемой следящей системы изо-
бражена в упрощенном виде на рис. 10.19.

Особенностью схемы является наличие двух тахогенераторов.
Обмотка возбуждения ОВ2 одного из них подключена на посто-
янное по амплитуде напряжение сети переменного тока, а у дру-
П1 68И

Рис 10.18. Р^еЗультирующие кривые за-
висимости показателей качества переход-
ного процесса от параметров следящей
системы:

/, 4, б — нескорректированные системы, 2, 5,
7 — системы с нелинейным законом управле-
ния; 3 — система с линейным законом управ-
,	'ления

Рис. 10.19’. Принципиальная схема следящей системы с
квадратичной обратной связью:

Д — дифференциал; Р — редуктор; АТ-1, АТ-2 — асинхронные
тахогенераторы; ИД — исполнительный двигатель; П — потенци-
ометр; ОВ — обмотка возбуждения; ОУ — обмотка управления

Рис. 10.20. Структурная схема следящей системы
с квадратичной обратной связью по скорости
того обмотка возбуждения С5] запитывается выходным напря-
жением 171 первого тахогенератора. Выходное напряжение
второго тахогенератора проходит через делитель напряжения
суммируется как сигнал обратной связи {/о.с с напряжением си-
гнала ошибки Ис и подается на вход электронного усилителя.

Напряжение на выходе каждого тахогенератора пропорцио-
нально произведению скорости вращения ротора и напряжения
возбуждения. Следовательно,

6/^МоЙ,

б/а —	— А.т1 Аг2170 й2,

где &г1, йт2 — передаточные коэффициенты тахогенераторов.
Тогда, с учетом коэффициента делителя

будем иметь напряжение обратной со язи

б/о.с = Ао.сЙ2,

где Й0.с = а&т1&г2б/о—сопзб — коэффициент обратной связи.

Таким образом, напряжение обратной- связи в данной систе-
ме пропорционально квадрату скорости вращения выходной оси.

Благодаря этому следящая система имеет переменнее демп-
фирование: при малых скоростях обратная связь слабо влияет
на работу системы, при больших скоростях ее демпфирующее
действие резке возрастает. При определенных условиях это мо-
жет дать существенное улучшение качественных показателей

системы.

Структурная схема следящей системы с квадратичной жест-
кой обратной связью по скорости представлена на рис. 10.20.

На схеме нелинейное звено в прямой цепи системы воспроиз-
водит ограничение передаточной характеристики электронного
усилителя (рис. 10.21, а). 3 этом же звене учитывается величина
коэффициента усиления ку на линейном участке характеристики.

Нелинейное звено в цепи обратной связи воспроизводит квад-

ратичную зависимость сиг-
нала обратной связи от ско-
рости воащения выходной
оси системы (рис. 10.21,6).
‘ Параметры системы име-
ют следующие значения:
передаточный коэффици-
ент потенциометра кс —
=0,87 в!град-, передаточный
коэффициент усилителя на
линейном участке &у=4,8;
Передаточный коэффициент

Рис. 10.21. Передаточные характеристики-
нелинейных звеньев:

а — электронного усилителя; б — обратной
связи
,	. град/сек

двигателя по скорости с учетом редуктора лдв= 1 ——-— ;

в

> электромеханическая постоянная времени двигателя Тм=
=0,2 сек\ коэффициент обратной связи йос=0,1-------------; огра-

рад/сек?

ничение передаточной характеристики усилителя йОГп=4,8 в.

Рис. 10.22. Схема набора модели следящей системы с квадра-
тичной обратной связью

Примем масштаб времени т4 = 5О.

Схема набора модели представлена на рис. 10.22, для кото-
рой коэффициенты входов, рассчитанные без учета нелинейно-
стей, имеют после их распределения следующие значения:

&!=!,	= Аос = 0,5-4-1, А7 = 0,1,

Ла=1,	Л6 = <8,	А8=1,

Л3=1,	/г6 = 0,1,	Ае=1.

Зададимся величиной входного скачкообразного воздействия

Овх = Овх0 !(/),

равной 0Вхо=5 град, и примем масштаб те=5 ——. Этому бу-
град

дет соответствовать входное напряжение модели йвко=25 в. При
этом насыщение в модели будет иметь место при те ПОГП=5Х
X4,8=24 в.

Насыщение усилителя воспроизводится так же, как и в пре-
дыдущих примерах.

Нелинейное звено в цепи обратной связи моделируется при
помощи нелинейного блока типа БЙ-10 совместно с решающи-
ми усилителями моделирующей установки. При этом для удоб-,
ства набора коэффициент Ао.с можно представить в виде произ-
ведения двух коэффициентов:

^-о.с ~ ^о.с! ^о.с2г
из которых Ао.с2 учитывается при наборе передаточной характе-
ристики Ао.сгМН) в блоке БН-10, а к0.С1— на входе соответст-
вующего решающего усилителя.

При наборе квадратичной зависимости можно восполь-
зоваться табл. 10.4, где принято &о.с2 = 0,1; к0.с\ = 10/го.с2-

Правила настройки нелинейных блоков приводятся в инст-
рукциях по соответствующим моделирующим установкам.

Таблица 10.4

		кХ	Номер элементов							
			1	2	3	4	5 1	6	7 1	8
1	Рабочий квадрант									
	и знак кХ	+	1		1		3		3	
2	Ограничение по									
	X, в		4	9	15	20	—41	—9	—15	—20
3	Набор 1Увх, в	30	30	30	30	30	-30-	-30	—30	-30
4	Г (Х)-[7вых, в	11	34	57	76	85	_34|-	-57	—76	—85

Подавая на вход системы скачкообразные воздействия @Вхо
с величинами, последовательно равными 2; 5; 10; 15 град при
ко с — 1---------, исследуем зависимости показателей качества

град/сек?

переходного процесса от величины входного воздействия, что ха-
рактерно для нелинейных систем.

Таблица 10.5

©вх. град	». %	*п • сеК	т
2	50	0,41	4
5	44	0,56	6
10	30	0,63	6
15	10	0,7	6

Таблица 10.6

^О-С	О, %	сек	т
град1се1&			
0,5	70	0,8	1
1	44	0,56	6
3	18.	0,26'	2
10	0	0,3	0

Результаты исследования представлены в табл. 10.5, поддан-
ным которой построены графики, изображенные на рис. 10.23.

Подавая затем входные воздействия величиной <Эвхо=5 град
и изменяя последовательно значения коэффициента обратной
связи йос=0,5; 1; 3; 10--------, исследуем зависимости показа-

град/сек^

телей качества переходного процесса от величины ка.с.

Результаты исследования представлены в табл. 10.6 и на
рис. 10.24.	1

Пример 10.12. Исследование релейной автоколебательной
следящей системы.
Рис. 10.23. Зависимости показателей качества
нелинейной следящей системы от величины
входного воздействия

Рис. 10.24. Зависимости показателей качества не-
линейной следящей системы от величины коэффи-
циента квадратичной обратной связи

Рис. 10.25. Структурная схема релейной автоколебатель-
ной следящей системы
Структурная схема сис-емы изображена на рис. 10.25.

Система имеет следующие параметры: передаточный коэф-
фициент фильтра Аф=1; передаточный коэффициент ЭМУ по
напряжению Лга=3,75; постоянная еремени поперечной цепи
якоря ЭМУ 72=0,1 сек; передаточный коэффициент двигателя с
редуктором по скорости &дв=80; коэффициент усиления элект-
ронного усилителя (включая передаточный коэффициент преоб-
разующего устройства) &у=уаг; постоянная времени фильтра
71=уаг.

Рис. 10.26. Передаточные характеристики нелинейно-
го (релейного) элемента

Передаточная характеристика нелинейногс (релейного) эле-
мента НЭ имеет один ид четырех видов, представленных на
рис. 10.26 (типы А, Б, В, Г соответственно обоз>1ачены на
рис. а, б, в, г). При исследовании на модели требуется:

1)	определить амплитуду и период автоколебаний в следя-
щей системе при характеристике нелинейного элемента, изобра-
женной на рис. 10.26, а, и изменении постоянной времени фильт-
ра в пределах 0,01 сек<7"1<0,12 сек;

2)	определить амплитуду и период автоколебаний при' раз-
личных характеристиках нелинейного элемента (рис. 10.26,6,
в, г) и значениях переменных параметров системы ку= 1 и 7\ =
= 0,01; 0,02; 0,04 сек.

3)	исследовать влияние изменения коэффициента ку на ам-
плитуду и период автоколебаний при = 0,01 сек и различных
характеристиках нелинейного элемента (рис. 10,26,б, в, г).

Используя табл. 16.3, составим блок-схему набора линей-
г ной части системы на модели (рис. 10.27, а) и определим пере-
, даточные коэффициенты по входам, приняи масштаб времени
тг = 80:

= 1; *-2 = 1; «э “ -у
80-0,01

Л5 = —!------------------= 1,25;

т/?!	80-0,01	’ ’

Схема набора характеристики нелинейного элемента типа А
показана на рис. 10.27, б. Если заперты оба диода, сопротив-
ление обратной связи равно бесконечности, и коэффициент, уси-
ления усилителя очень велик (порядка 40000). Поэтому при
небольшом напряжении на входе X напряжение на выходе У
резко возрастает до заданной величины а, при которой откры-
вается один из диодов.

Сопротивление обратной связи при этом становится значи-
тельно меньше входного сопротивления, и при дальнейшем уве-
личении напряжения на входе X напряжение на выходе оста-
ется постоянным У=а.

При изменении постоянной времени 7\ изменяются в наборе
задачи коэффициенты кц и к5. Результаты зависимости измене-
ния амплитуды 0Вых и периода автоколебаний т от Л сведены
в табл. 10.7. Для удобства проверки величины 0Вых даны в
вольтах, ат— в секундах работы на модели, т. е. не приве-
дены к натуральному масштабу. Графики зависимостей ©Вых=
=/(7’1) и т = |(Т1) изображены на рис. 10.27,в.

Таблица 10.7

Л,	$вых,	т	1\,	®вых,	
сек	в	сек	сек	в	сек

Таблица 10.8

ти  сек		т, сек

0,01	7,8	17,5	0,08	38,2	47
0,02	13,8	24	0,10	42,3	53
0,04	23,2	33	0,12	46,4	58
0,05	28,5	37	0,14	50,0	62
0,06	31,9	40			

Таблица 10.9 Таблица 10.10

0,01	7,2	17,5
0,02	13,4	24
0,04	22,9	33

Л.  сек	в	сек	Л, сек	$вых, в	сек
0,01	12,1	21,5	0,01	8,4	18,5
0,02	17,9	27,5	0,02	14,4	25
0,04	26,4	36,0	0,04	23,8 	34

Таблица 10.11 возрастании

< Релейная характеристи-
ка типа Б набирается по
схеме, изображенной на
рис. 10.28. Пока напряже-
ние на входе меньше на-
пряжения отпирания диодов
входной диодной ячейки,
входное сопротивление стре-
мится к бесконечности и
коэффициент усиления ра-
вен нулю/ Как только при
входного сигнала открыва-

Лу	®вых* в	т, сек
1	12,1	21,5
2	10,1	19,5
4	8,8	18,5
8	8,2	18
15	7,8	17,5

ется один из диодов, входное сопротив-
ление становится значительно меньше
сопротивления обратной связи. Напря-
жение на выходе резко возрастает и ог-
раничивается диодной ячейкой обрат-
ной связи.

Результаты зависимости изменения
амплитуды и периода автоколебаний от
Т\ для данной релейной характеристики
сведены в табл. 10.8.

Релейная характеристика типа В набирается по схеме, при-:
веденной на рис. 10.29. Дополнительный (по сравнению с ха-
рактеристикой типа А) сдвиг момента изменения знака выход-

ного сигнала осуществляется за счет положительной обратной
связи. Результаты исследований при данной релейной харак-
теристике сведены в табл. 10.9.

На рис. 10.30 дана схема набора релейной характеристики
типа Г. Подобно предыдущей схеме, положительная обратная
связь вносит дополнительный (по сравнению с релейной харак-
теристикой типа Б) сдвиг момента отключения реле. С по-
мощью потенциометров 77] и Яг устанавливается ширина зойы
нечувствительности. В табл. 10.10 приведены результаты ис-
Рис. 10.28. Схема набора релейной характеристики
типа Б

Рис. 10.29. Схема набора релейной характеристики
-	типа В

Рис. 10.30. Схема набора релейной характери-
стики типа Г
следования работы схемы при данной релейной характери-<
стике.

Для релейных схем типа Б, В, Г при увеличении коэффи-
циента ку амплитуда и период автоколебаний приближаются к
соответствующим величинам, полученным для характеристики
типа А. В табл. 10.11 в качестве иллюстрации приводятся дан-
ные об измененищамплитуды и периода автоколебаний при уве-
личении коэффициента ку, полученные для релейной ха раите-,
ристики типа В при Л = 0,01 сек.

- § 10.4. Примеры построения областей равного качества
в проста ...с: параме ров систем управления

Пример 10.13. Исследование следящей системы с гибкой об-
ратной связью.

7-'^

Рис. 10.31. -Структурна'я схема следящей системы с
гибкой обратной связью

Структурная схема ’ следящей системы -изображена на
рис. 16.31.	-	_

Система имеет следующие значения параметров: передаточ-
ный коэффициент чувствительного элемента йс=0,87 в! град,
постоянная времени поперечной цепи ЭМУ Г, = 0,12 сек; элект-
ромеханическая постоянная времени исполнительного двигателя
Гм=0,25 сек; передаточный коэффициент двигателя по скорости
с учетом редуктора йдв=0,57 в е'1' ; коэффициент обратной
♦ в

связи от тахогенератора й0=0,35 --------; поцтоянная времени

гряд/сек

звена обратной связи Го = 0,5 сек; общий коэффициент усиления
усилителя ку=ку\ • ЛУ2= 100.

Как видно из структурной схемы, часть общего усилителя
системы с коэффициентом Луг входит во внутренний контур, т. е.
охватывается гибкой обратной связью, а коэффициент Лу) влия-
ет'только на величину добротности следящей системы И—
—к^ку\ку2к-р^.

При моделировании будем исследовать зависимость време-
ни переходного процесса 1а и перерегулирования о от измене-
ния параметров системы То и йу2 при постоянной добротности.
Для этого, приняв в качестве исходных /гУ1 = 1 и /гу2 = 100, будем
изменять их значения в обратно пропорциональной зависимости
так, чтобы обеспечивалось условие /гу=^у1йу2=соп§1.

Составим схему набора модели исследуемой системы
(рис. 10.32) и произведем расчет ее коэффициентов при помощи
таблицы набора типовых звеньев (табл. 10.3).

Поскольку целью дачного исследования является определе-
ние областей равного качества в плоскости параметров Та, /гу2,

Рис. 10.32. Схема набора модели следящей системы с гибкой об-
ратной связью

что требует получения большого числа отдельных решений, то
значительное замедление процесса при моделировании было бы
нецелесообразным, так как сильно увеличило бы общее время,
исследования. Поэтому примем масштаб времени ГП{ = 3..

Так как система линейная, то выбор масштаба других пере-
менных не имеет принципиального значения, поскольку резуль-
таты исследовация можно представить в относительных едини-
цах. Необходимо только в процессе моделирования следить за
тем, чтобы решающие усилители не попадали в режим насы-
щения («не зашкаливали»).

Рассчитанные значения коэффициентов набора:

*1 = 87;	й4	= 6,35;	к7	= 1,33;	й10=1;

й2 = 0,87;	къ	= 2,78;	к8	= С,33;	^^^	= 0,67.

к8 = 5;	кв	— 6,7;	кв	— 0,35;

Подавая на вход модели единичные воздействия при нуле-
вых начальных условиях, будем фиксировать на экране осцил-
лографа с, послесвечением переходные процессы в исследуемой
системе для двух значений к0, равных 0,2 и 1, изменяя при этом
параметры внутреннего контура:

То — в пределах от 0,025 сек до 1 сек, ку2— в'пределах от
20 до 120.

При этом добротность системы С будем поддерживать по-
стоянной за счет соответствующего изменения ку\.

Практически это делается следующим образом. Устанавли-
ваются исходные значения То и ку2 л определяются показатели
качества /„ и о. Затем одному из этих параметров дается не-
большое приращение в какую-либо сторону, а второй параметр
варьируется так, чтобы привести показатели качества к преж-
ним величинам. Когда это будет достигнуто, то полученная
пара значений То, ку2 определит точку на линиях равных зна-
чений /„иев плоскости параметров То, ку2. В силу
свойства непрерывности решения дифференциального уравне-
ния, описывающего систему в области ее устойчивой работы,
изложенная процедура занимает сравнительно немного време-
ни, если не давать слишком больших приращений параметров.
Целесообразно также наложить на экран осциллографа проз-
рачную сетку с нанесенными 'значениями показате2 ей качества,
что позволит ограничиться визуальными наблюдениями отдель-
ных переходных процессов без их фиксирования.

Так как, согласно формуле для расчета коэффициентов на-
бора дифференцирующего звена (см. табл. 10.3,в),

^11 ^12 ^13 =	~ ,

т11 о

то требуемое изменение То может осуществляться путем вариа-
ции в схеме набора модели любого из трех коэффициентов
левой части последнего выражения.

Результаты моделирования представлены в виде соответ-
ствующих семейств кривых ?п=сопз1 и о=сопз1 на рис. 10.33
и 10.34 для к0=0,2 и к0— 1 соответственно.

На тех же рисунках показаны границы устойчивости иссле-
дуемых систем в виде заштрихованных кривых.

Пример 10.14. Исследование следящей системы копироваль-
но-фрезерного станка.

Структурная схема ' исследуемой системы изображена на
рис. 10.3.

Значения параметров указаны в примере 10.5.

Целью исследования является построение области устойчи-
вости и зон равного качества в плоскости параметров коррек-
тирующих звеньев: последовательного — дифференцирующего
трансформатора (/гдт, Т2) и параллельного — гибкой обратной
связи (й0.с).

За показатели качества примем время переходного процес-
са 1п и перерегулирование о при единичном входном воздейст-
вии и нулевых начальных условиях.


Рис. 10.33. Линии равного качества при
,го=О,2 •

Рис. 10.34. Линии равного качества при

1

Рис. 10.35. Схема набора модели следящей системы коплрозально-фрезер-
ного станка
Особенностью рассматриваемой следящей системы является
то. что постоянная времени звена гибкой обратной связи вы-
брана равной электромеханической постоянной времени испол-
нительного двигателя Тм. Однако последняя не поддается точ-
ному контролю в процессе работы и может изменяться в до-
пслвно широких пределах. Поэтому необходимо также иссле-
довать чувствительность системы к вариациям Тм в прямой
цепи системы.

Схема набора модели исследуемой следящей системы при-
ведена на рис. 10.35.	'

Приняв масштаб времени ги(=20, рассчитаем коэффициенты

входов решающих

усилителей по формулам табл. 10.3:

К = 1;

^=1; й3 = 4

к6 —

т(Т.

20-0,0303

;д.т___р. 1с1____п ли.

Г2 — С,0303 ~	’

= 1,65; ^4= 1,65;

^=1;

ь __

8 т{Тд

^11 —

те = 1;

35,6

к7 =1; /?8 = 1;

20-0,0316

I

- 28,9; й10 = 1

пцТд 23-0,0616

=С,П2;



1

1



1

0,373;

т/7,

Л12 =	=0,202;

Тм 0,134

'	^14 ^Лй *	—-	—1

13	20-0,134

= 0,373; Л17 = —— =

20-0,134	т(Ты 20-0,134

,   ку.ц Лдв  10-6,3-0,053
/г18 —	-------

=0,373;

20

=0,167.



Перераспределив
модели системы на
тельно: 

*!=!; Аа=1;

коэффициенты с учетом удобства набора
вычислительной машине, получим окончи-

к3 = 3,43; /г4 = 1,65; Л, = 1; Л6 = 1

67=1

/?8 — 1; кв — 2,89; й10 — 1

ки = 0,012; &12 = 2,02;

Лгхз = 0,373; А^=1; Л15=1; к1в = 0,373; к,7 = 0,373;
&18= ]567.

Как видно из приведенного 'Ььгае расчета, коэффициент к3
схемы набора определяется отношением параметров дифферен-
цирующего трансформатора йд.т и Т2. Поэтому изменение к3
эквивалентно вариациям любого из них при неизменном втором
(или обоих сразу). Это дает возможность существенно сокра-
тить объем исследования и выпазить его результаты в виде
линий равного качества в плоскости двух параметров: отно-
шения Ад.т/Т’г и коэффициента гибкой обратной связи йос. Пос-
ледний можно варьировать путем изменения коэффициента к\2
схемы набора.

Семейства кривых /П=соп8|; и <т=соп51, приближенно разби-
вающих пространство параметров корректирующих звеньев сле-

Рис. 10.36. Построение области устойчивости и зон ра зного
качества для следящей системы копировально-фрезерного
станка

дящей системы на зоны равного качества, представлены на
рис. 10.36. Там же показана штриховой линией граница обла-
сти устойчивости. Процедура моделирования подобна изложен-
ной в предыдущем примере.

Исследование чувствительности системы к изменению по-
стоянной времени исполнительного двигателя Тм (при неизмен-
ной постоянной звена гибкой обратной связи) можно осущест-
вить путем вариации коэффициентов &16 и к\7 набора модели,
так как

-2-яд — ^17 —	•

16	17 ш(Ты

Результаты исследования представлены в табл. 10.12 и изо-
бражены в виде графиков зависимостей /п и о от величины
О 134

а = ——•, выражающей отношение неизменяемой постоянной
времени звена обратной связи к постоянной времени исполни-
тельного двигателя, варьируемой в процессе исследования
(рис. 10.37).

Как видно из графиков, при а>1 существует значительная
область, в которой изменение Тм в прямой цепи системы прак-

тически не влияет па качество
переходного процесса.

Таблица 10.12

Рис. 10.37. Чувствительность следя-
щей системы к изменению парамет-
ров

Гм , сек	0.134 а = 			  Ти	/п , сек	а. %
0,5	0,27	4,5	90
0,25	0,535	1,0	55
0,166	0,81	0,65	45
0,125	1,07	0,35	35
0,1	1,34	0,3	30
0,083	1,63	0,25	26
0,0625	2,14	0,2	23
0,05	2,7	0,2	20

 Пример 10.15. Определение областей устойчивости и зон рав-
ного качества системы стабилизации углового положения са-
молета.

Рис. 10.38 Структурная схема системы угловой стабилизации самолета

Структурная схема исследуемой системы приведена на
рис. 10.38.

Необходимые динамические свойства системы обеспечива-
ются путем надлежащего выбора параметров корректирующе-
го звена местной обратной связи &01 и к02, являющихся пере-
даточными коэффициентами сигналов, пропорциональных соот-
ветственно скорости и ускорению угла тангажа О’, вырабаты-
ваемых гироскопическими датчиками автопилота.

Параметры прямой цепи системы имеют следующие значе-
ния: передаточный коэффициент гировертикали (определяющий
сигнал ошибки на единицу рассогласования угла тангажа
Д-?)..#а = 11,5 е/рад-, передаточный коэффициент рулевого трак-

та #р.т= 0,495	; постоянная времени электродвигателя

в

рулевой машины 7'М=О,СЗ^ рек; передаточный коэффициент са-
молета по скорости тангажа #1с=0,88 1/сек; постоянные време-
ни самолета 7'1С=1,27 сек; /с=0,725 сек; коэффициент затуха-
ния передаточной функции самолета ^=С,476.

Рис. 10.39. Схема набора модели системы стабилизации самолета

Область устойчивости и зоны равного качества (/П=соп8( и
ст=соп5[) определим в плоскости параметров #оь #02 корректи-
рующего звена в цепи местной обратной связи.

' В результате предварительного подбора на модели возьмем

в качестве исходных значений #01.= 26,7 ——и #<>2=28,6 ———
рад/сек	рад/сек*

(при которых получаются удовлетворительные показатели каче-
ства) и, приняв масштаб времени т<=2, рассчитаем коэффи-
циенты входов решающих усилителей для схемы набора, приве-
денной на рис. 10.39:

#1 = #а = 11,5; #2 = #й = 11,5;

#3 = ^01 = 26,7; #4 = #02 = 28,6;

#5 =	= 3 /4;

2-0,066

'	#„ = — =---------’---= 7,58; #г = — = 4- = 0,5;

6 т{Ти 2-0.066	7	2
_ *1С1\с = 0,88-1,27 _

!® - т, Т2е ~ 2-0,725* ~

#ю —

1

2*-0,725*

= 0,476;

0,88

22-0,7252

= С,42;

2-0,476

2-0,725

^12 —

= 0,656; #13 = 1; #14 = 1;

^6=1; «1в = — = -^ = СД
т( 2

После перераспределения коэффициентов для удобства на-
бс, 1а получим окончательные значения:

Л1=1; Л2=1; к3 = 2,32; К = 2,49; к5 = 3,74; к& = 7,58;

А, = 0,5; А8 = 2,14;	= 5,75; #10= 0,476; к1г = 4,85;

#12 = 0,356; #1з=1; #14 = 1;, к1ъ = ; #1е = 0,5.

Для определения границы области устойчивости будем из-
менять «шагами» коэффициент #0Г, а затем подбирать такие
значения #02, при которых переходный процесс в системе стано-
вится расходящимся.

Полученная последовательность точек с координатами #О1,.#о2
определит искомую границу области устойчивости. Соответст- ,
вующие значения к0\, к02 приведены в табл. 10.13.

Таблица 10.13

&01	1,15	3,46	5,75	11,5	17,25	26,7	46,0	57,5	69,0	80,5	92,0	115,0
^02	6,27	2,4	1,55	0,8	0,99	1,45	2,27	2,67	3,62	4,27	4,95	6,26

Аналогичным образом определяются линии постоянных зна-
чений показателей качества, приближенно характеризующие
зоны равного качества в пространстве параметров #оь #02, при-
веденные на рис. 10.40.

На том же рисунке штриховой линией нанесена граница об-
ласти устойчивости.

Пример 10.16. Исследование системы стабилизации продоль-
ного движения самолета в функции параметров корректирую-
щих связей.

В данной системе стабилизация углового положения само-
лета в вертикальной плоскости осуществляется при помощи
Рис. 10.40. Построение областей устойчи-
вости и зон равного качества в прост-
ранстве параметров корректирую'щего
звена системы стабилизации самолета;

а — /п, сек-, б—ч, %
двух обратных связей: по углу поворота б рулей высоты и по
угловой скорости О тангажа.

Степень влияния каждой из этих связей зависит от величи-
ны соответствующего передаточного коэффициента къ и й0
(см. структурную схему, изображенную на рис. 10.41).

Рис. 10.41. Структурная схема системы стабилизации продольного движе-
ния самолета

Рис. 10.42. Схема набора модели системы стабилизации самолета

Необходимо исследовать, как зависят качественные показа-
тели системы от изменения этих коэффициентов, т. е. построить
области равного качества ^п=сопз1 и о=соп8! в пространстве
параметров къ, к0.

Система имеет следующие параметры:

й(> = 0,7 в!град-, Лр.т = 2,43	; Т„ = 0,066 сек;

Д1С = 0,6 \/сек; Т1С— 1,83 сек- Тс = 0,67 сек; ^ = 0,41.

В качестве исходных значений варьируемых параметров,
после предварительного подбора на модели, возьмем кь =
= 0,43—^— и йо=0,46—
град	град] сек
Приняв масштаб времени в модели т4=2, составим схему
набора (см. рис. 10.42) и рассчитаем ее коэффициенты:

^ = ^ = 0,'/; ^ = ^ = 0,7; А6 = 1; А>4 = к0 = 0,46;

= л8 = 0,43:

Рис. 10.43. Построение линий равного качества в пло-
скости параметров корректирующих связей системы
стабилизации самолета:

а — /п, сек-, б — а.%.

А.1О = —-— = 0,55; Ац
т( Тс

_2^ = 1^=0,61;
т/Тс 2-0,67

&12=1; &1з= ; &'и = т(к1с /,с = 2-9,6-1,83 = 2,2;
~ ^1с = 6,6;

В данном случае перераспределять коэффициенты схемы на-
бора модели нет необходимости.	 . .

Результаты моделирования представлены графически на
рис. 10.43 в виде линий равного качества (/п=соп§1 и о=сопф)
и заштрихованной границы области устойчивости в плоскости
параметров корректирующих сзязей исследуемой системы,
Л 41ЕРАТУРА

1.	Айзерман М. А. Лекции, по теории автоматического регулирова-
ния. ГТТИ, 1958.

2.	Анисимов В. И., В а з и л о в А. А., Ф а т е е в А. В. Сборник при-
меров и задач по линейной теорий автоматического регулирования. ГЭИ, 1959.

3.	А н д р о н о в А. А., В и т т А. А., X а й к и н С. Э. Теория колебаний.
ФМ, 1959.		'

4.	Бесекерский В. А., Орлов В. Полонская Л. В., Фе-
доров С. М. Проектирование следящих систем малой мощности. Судпром-
гиз, .,958.

5.	Бесекерский В. А., Пальтов И. П., Фабрикант Е. А., Фе-
до р о в С. М., Ч и н а е в П. И. Сборник задач по теории автоматического
регулирования. ФМ, 1963.

6.	Блажкин А. Т. Электромашинное автома тическоё управление при-
водами. Металлургиздат, 1954.

7.	Блох 3. Ш. Динамика линейных систем автоматического регулиро-
вания. Техиздат, 1952.

8.	Б о д н е р В. А., Козлов М. С. Стабилизация летательных аппара-
тов и автопилоты. Оборонгиз, 1961.

9.	Васильев Д. В., Филиппов Г. С. Основы теории и расчета сле-
дящих систем. ''"ЭИ, 1959.

10.	Васильев Д. В., Чуич В. Г. Расчет систем автоматичгского
управления. Машгиз, 1959.

11.	Васильев Д. В., Митрофанов Б. А., Рабкин Г. Л., Са-
мохвалов Г. Н., С е м е н к о в и ч А. А., Фатеев А. В., Ч и ч е р и н Н- И-
Проектирование и расчет следящих систем. Судостроение, 1964.

12	. Васильев Д. В., Михайлов В. А., Нор невский Б. И. Ав-
томатизация судовых установок. Судостроение, 1965.

13.	В о р о н о в А. А. Основы теории автоматического управления,
часть I. «Энергия», 1965.

14.	Джеймс X., Ни колье., Филлипс Р, Теория следящих си-
стем. ИЛ, 1953.

15.	Коган Б. Я- Электронные моделиэующие устройства и их приме-
нение для исследования систем автоматического регулирования. ФМ, 1963.

16.	Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и тех-
нической кибернетики. ГЭИ, 1962.

17.	Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем. Госэнер-
гоиздат, 1962.

18.	М а й о р о в 1 Ф. В. Электронные регуляторы. Техиздат, 1956.

19.	Под ред. Солодовникова В. В. Основы автоматического регу-
лирования. Теория. Машгиз, 1954.

20.	Под ред. Пугачева В. С. Основы автоматического управления.
ФМ, 1963.

21.	Попов Е. П. Динамика систем автоматического регулирования. Тех-
издат, 1954.

22.	П о п о в Е. П., П а л ь т о в И. П. Приближенные методы исследова-
ния нелинейных автоматических систем. ФМ, 1960.
23.	П о п к о в С. Л. Следящие системы. Высшая школа, 1963.

24.	С о к о л о в Т. Н. Электромеханические системы автоматического
управления. ГЭИ, 1952.

	25. С о к о л о в Т. Н., Д р у ж и н с к и й И. А. Автоматическое управле-
ние процессами копирования на металлорежущих станках. Машгиз, 1954.

26.	С о л о д о в н и ко в В. В., Топчеев ЮИ., Крутикова Г. В.
Частотный метод построения переходных процессов. Гостехиздат, 1955.

27.	Т е у м и н И. И. Справочник по переходным электрическим процес-
сам. Связьиздат, 1951.

28.	Т у Юлиус Т. Цифровые и импульсные системы автоматического
управления. Машиностроение, 1964.

29.	Т э л е р Д ж., Пестель М. Анализ и расчет нелинейных систем
автоматического управления. Энергия, 1964.

30.	Фатеев А. В. Основы линейной теории автоматического регулиро-
вания. ГЭИ, 1954.

31.	Фельдбаум А. А. Электрические системы автоматического регули-
рования. Оборонгиз, 1957.

32.	Ф е л ь д б а у м А. А. Вычислительные устройства в автоматических
системах. ФМ, 1959.

33.	Ф е л ь д б а у м А. А., Д удыкии А. Д„ М а н о в ц е в А. П„ М и -
р о любов Н. Н. Теоретические основы связи и управления. ФМ, 1963.

34.	Ч у и ч В. Г. Настройка статических систем авторегулирования. Элек-
тричество, 1956, № 9.

35.	Ч е с т н а т Г., М а й е р Р. Проектирование и расчет следящих си-
стем и систем регулирования. ГЭИ, 1959.
I

ОГЛАВЛЕНЬЕ

Стр.

Предисловие . . -................... .......	3

Глава I. Функциональные схемы систем автоматического управления 5

§ 1.1.	Основные функциональные элементы систем автоматическо-
го управления..............?................................ 5

§ 1.2.	Примеры составления функциональных схем по принципи-
альным схемам .............................................. 9

Глава II. Структурные схемы, систем автоматического управления .	31

§ 2.1.	Основные правила составления и преобразования структур-
ных схем................................................    31

§ 2.2.	Примеры составления структурных схем и определения пе-
редаточных функций систем в общем	виде . ............	39

Глава III. Точность систем автоматического управления в устано-
вившемся режиме ..........................................  .	59

§ 3.1.	Основные расчетные соотношения................   .	59

. § 3.2. Примеры расчета статических параметров отдельных элемен-
тов ........................................................ 66

§ 3.3.	Примеры расчета установившихся ошибок и статических
параметров	систем	автоматического управления ......	71

Глава IV. Уравнения и передаточные функции систем автоматиче-
ского управления ......................................       87

§ 4.1.	Методика составления операторных уравнений и определе-
ния передаточных	функций................................. 87

§ 4.2.	Примеры определения -передаточных функций отдельных
элементов . . ........................................  	90

§ 4.3.	Примеры, определения передаточных функций систем авто-
матического управления . . . ............................   ПО

Глава V. Частотные характеристики систем автоматического управ-
ления . .................................................... 135

§ 5.1.	Виды частотных характеристик, применяемых при анали-
зе и синтезе систем автоматического управления .....	135

§ 5.2.	Примеры построения амплйтудных и фазовых частотных
характеристик в вещественной и комплексной плоскостях 138

§ 5.3.	Примеры построения логарифмических частотных характе-
ристик ................................................   151

§ 5.4.	Примеры построения вещественных частотных характеристик 161
Стр.

Глава VI. Устойчивость систем автоматического управления . . . •	165

§ 6.1.	Критерии устойчивости линейных систем....................165

§ 6.2.	Примеры исследования устойчивости по критериям Рауса
и Гурвица.................................................  ।	171

§ 6.3.	Примеры исследования устойчивости по критерию Найквиста 185

§ 6.4.	Примеры исследования устойчивости по критерию Михай-
лова . . . . . ... ... . . . ... . . .	... ..... .	190

Глава VII. Переходные процессы в системах автоматического
управления ..........................	........................ . .	199

§ 7.1.	Основные способы определения переходных процессов . . .-	199

§ 7.2.	Примеры решения уравнений операторным методом ....	202

§ 7.3.	Примеры построения кривой переходного процесса по веще-
ственным трапецеидальным частотным характеристикам . .	235

Глава VIII. Динамический расчет систем автоматического управле-
ния по методу логарифмических частотных характеристик . .....	242

§ 8.1.	Основные положения метода логарифмических частотных
характеристик . ......................................... . . .	242

§ 8.2.	Примеры определения передаточных функций и построения
частотных характеристик корректирующих звеньев................ 24л

§, 8.3	. Пример расчета системы автоматического управления ....	262

Глава IX. Расчет нели 'ейных систем автоматического управления .	285

§ 9.1.	Вводные замечания......................................  285

§ 9.2.	Примеры	расчетов	по	методам линейной аппроксимации . .	290

§ 9.3.	Примеры	расчетов	численно-графическими методами ....	295

§ 9.4.	Примеры	расчетов	по	методам-фазовых траекторий ....	321

§ 9.5.	Примеры	расчетов	по	метода™ гармонического баланса . .	340

Глава X. Моделирование систем автоматического управления . . .	361

§ 10.1.	Основы метода математического моделирования............ 361

§ 10.’2	. Примеры моделирования линейных систем автоматическо-
го управления . . ........................................  •	374

§ 10.3.	Примеры моделирования нелинейных систем автоматическо-
го управления................................................. 385

§ 10.4.	Примеры построения областей равного качества в про-
странстве параметров систем упря зления....................... 403

Литература .... . ..............................................    415
Васильев' Дмитрий Васильевич
Чунч Воислав Георгиевич

Системы автоматического управления
(примеры расчета)

Редактор О в о д о в а С. М.

Художественный редактор

Гуторов Н. К-

Техн, редактор Григорчук Л. А.

Корректор Марченко С. К.

Переплет художника

Алексеева А. В.

Т—06853. Сдано в набор 3/11—67 г. Подп«
к печати 5/У1—67 г. Формат бОХЭО1/]®-
Объем 26,25’ печ. л. Уч.-изд. л. 20,93.
Изд. № Стд/20. Зак. 1162. Тираж БООООэкз.
Цена 86 коп.

Тематический план издательства
«Высшая школа» (вузы и техникумы)

I	на 1967 год. Позиция № 93

Москва. К-51. Неглинная ул., д. 29/14.
Издательство «Высшая школа»

Главполиграфпром Комитета, по печати
при Совете Министров СССР. Отпечатано
в Ордена х Трудового Красного Знамени
Ленинградской типографии № 1 «Печат-
ный Двор» им. А. М. Горького^ г. Ленин-
град, Гатчинская ул„ 26 с матриц Влади-
мирской типографии. Гор. Владимир, ул-
Победы, д. 18-6