Е. П. ПОПОВ
АВТОМАТИЧЕСКОЕ
РЕГУЛИРОВАНИЕ
И УПРАВЛЕНИЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерство»:
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия
для высших технических учебных заведений
(@
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА1966

6П2.15
П 58
УДК 62-50
Евгений Павлович Попов.
Автоматическое регулирование и управление.
Μ., 1966 г.. 388 стр. с илл.
Редактор Ο. K. Соболев.
Техн. редактор К. Ф. Брудно. Корректор А. Д. Халанская
Печатьс матриц. Подписано к печати 28/1 1966 г. Бумага 84х108/‚2. Физ.
печ. π, 12.125. Условн. печ. л. 20.37. Уч.—изд. л. 19,19. Тираж 50 000 эка.
Цена книги 77 коп. Заказ № 116.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, 13-71. Ленинский проспект. 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва. Ж-54. _Валовая, 28.
3-3-14
35-66

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие κ первому изданию . . . . . . . . . . . . . . 6
ОТИЗдательства........_............... 7
Введение. 9
Гл ав а I. Принцип действия и общие свойства систем авто-
матического регулирования и управления . . . 14
§ 1. Принцип действия системы автоматического регулиро-
вания . . . . . . 14
§ 2. Общее определение понятия ο системах регулирования
иуправления... ....... ..21
§ 3. Примеры непрерывных автоматических систем . . . 29
§ 4. Переходные процессы и статические ошибки автома-
тических систем . . . . . 39
§ 5. Ошибки при вынужденных колебаниях и частотные
характеристики автоматических систем . . . . . . . 46
§ 6. Импульсные автоматические системы . . . . . . . . 53
Глава ΙΙ. Переходные характеристики звеньевисоставление
уравнений автоматических систем. . . . . . 60
§ 7. Разбивка/автоматической системы на звенья . . . . 60
§ 8. Переходные характеристики типовых позиционных
звеньев . . . . 67
§ 9. Переходные характеристики дифференцирую щих и ин-
тегрирующих звеньев . . . . . . . . . . 76
§ 10. Примеры составления уравнений динамики регулируе—
могообъекта..... ...........80
§ 11. Пример составления уравнений динамики автоматиче-
ского регулятора . . . . . . . . . . . . . 90
Глава 111. Алгебраическое исследование динамики автома-
тическихсистем.... ...........101
н
§l2. Простейшее исследование процесса регулирования
(система автоматического регулирования первого по-
рЯДка). .........101
§ 13. Автоматические системы второго порЯДка . . . . . 109
§ 14. Автоматические системы третьего порядка . . . . . 123
ς 15. Автоматические системы более высокого порялка . . 139
§ 16. Процессы при включении и перенастройке автомати—
ческойсистемы .143
11!

4
Глава
ς 17.
§l8.
§ 19. gm ς 21.
ОГЛАВЛЕНИЕ
IV. частотное исследование динамики автоматических
систем o o O О . о . . О . . . . о о о ι о о .
Частотные характеристики типовых позиционных
звеньев................
Частотные характеристики дифференцирующих и инте-
грирующихзвеньев.................
Исследование автоматических систем при помощи амп-
литудно-фазовых частотных характеристик . . . . .
Исследование автоматических систем при помощи лога-
рифмических частотных характеристик . . . . . . .
Передаточные функции и частотные характеристики
замкнутых автоматических систем . . . . . . . . . .
Г л а в a V. | Случайные процессы в автоматических системах
ς 22. § 23. ς 24. ς 25. ς 26. § 27.
§ 28.
Понятие о случайной величине и ее среднем значении
Характеристики рассеяния дискретной случайной ве-
личины
Характеристики непрерывной случайной величины .
Понятие 0 случайных процессах . . . . . . . . . .
Корреляционная функция и спектральная плотность
случайногопроцесса
Оценка ошибок автоматических систем при случайных
воздействиях....................
Пример определения случайных ошибок следящей си-
стемы
Гл a ва VI. Корректирующие средства автоматических систем
(ΟΝ-0) имт
29. 30.
31. 32.
ς 33.
Введение производной взаКон регулирования . . . .
Введение интеграла в закон регулирования. Астати-
ческиесистемы...................
Влияние обратных связей на свойства звеньев . . .
Автоматические системы с дополнительными обратными
связями
Комбинированные автоматические системы с регули-
рованием по возмущению . . . . . . . . . . . . . .
Глава VII. Нелинейные автоматические системы . . . . . .
534.
§35.
§3
§37.
ς 38. § 39. ς 40.
Релейные автоматические системы . . . . . . .
Изображение процесса регулирования на фазовой пло-
скости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(З.А'втоколебания в релейных системах . . . . . . . .
Гармонические коэффициент. усиления релейных
звеньев......................
Исследование автоколебаний и устойчивости релейных
систем при помощи гармонической линеаризации . .
Влияние различных нелинейностей регулятора на про-
цесс автоматического регулирования . . . . . . . .
Нелинейные законы регулирования и применение ло-
151
151
161
165
171
176
182
182
188
192
198
204
211
214
218
218
231
244
255
269
279
279
295
306
315
324
334
гических устройств . . . ‚. . . . . . . . . . ‚ . . . 347

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава VIII. Оптимальные и самонастраивающиеся системы 358
§4l. Оптимальные автоматические системы . . . . . . . . 358
§ 42. Системы с самонастройкой программы (экстремальные
системы). . . . .....363
§43. Системы с самонастройкой параметров (собственно
самонастраивающиеся системы) . . . . . . 368
§ 44. Системы с самонастройкой структуры (самоОрганизую-
щиесясистемы). 377
Литература.......................381
Предметный указатель ..........383

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
За последние годы автоматика шагнула далеко вперед.
Получили развитие многие новые виды автоматических систем
в различных областях промышленности, транспорта, связи
ит. п. Появилась совершенно новая область применения автома-
тики—искусственные спутники Земли, космические корабли и
ракеты. Все это вместе взятое вызвало к жизни и новые при—
кладные разделы науки об автоматике, которые раньше
казались чисто теоретическими и далекими от приложений.
В связи с этим, даже в рамках основных понятий, невоз-
можно ограничиваться изложением круга вопросов, освещен-
ных В прежней книге автора «Автоматическое регулирование»,
на базе которой написано настоящее учебное пособие.
Прежде всего, теперь невозможно отделять автоматиче-
ское регулирование от управления. Этим объясняется наиме—
нование данного учебного пособия. Оно соответствует и новому
содержанию книги. В современных системах автоматического
управления широко применяются принципы регулирования
по замкнутому контуру. В данной книге освещаются именно
те вопросы управления, которые связаны с применением
замкнутых автоматических систем;
Поскольку три издания книги «Автоматическое регули-
рование» (1956, 1957 и 1959 гг.) были хорошо приняты чита-
телями и уже нашли широкое применение в качестве на-
чального учебного пособия, автор счел целесообразным
сохранить прежний общедоступный стиль изложения. Но для
того чтобы лучше удовлетворить указанным применениям
в современных условиях, в данное учебное пособие внесено
изложение ряда новых не включавшихся в прежнюю книгу
вопросов.
Такими вопросами являются: частотные характеристики и
частотное исследование автоматических систем, случайные

от ИЗДАТЕЛЬСТВА 7
процессы в системах управления и случайные ошибки следя-
щих систем, нелинейные законы управления и применение
логических устройств, понятие об оптимальных, экстремаль-
ных, самонастраивающихся и самоорганизующихся автомати—
ческих системах. При этом с некоторыми сокращениями и
переработкой сохранено и изложение всех ранее рассматри-
вавшихся в прежней книге вопросов.
Поскольку книга предназначена для первоначальногоозна-
комления широкого круга читателей с основами автомати-
ческого регулирования и управления, автор стремился к мак—
симальной наглядности и простоте изложения с конкретными
примерами из различных областей техники без использования
сложного математического аппарата, обычно привлекаемого
в руководствах по теории регулирования. Примеры и нагляд—
ный разбор основных принципов без сложных выкладок лучше
всего способны вооружить читателя для правильного пони—
мания работы многих современных автоматических систем,
а также и для перехода к изучению более капитальных
трудов в этой области.
Автор пользуется случаем принести свою глубокую
благодарность Г. А. Вольперту, которому принадлежит идея
написания настоящей книги,
E. Попов
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Второе издание книги воспроизвоцит без изменений
первое. Обновлен лишь список литературы в конце книги.

ВВЕДЕНИЕ
Автоматизация управления производственными процессами,
энергетическими системами, транспортнымиобъектами, научно-
испытательными установками и т. п. является одним из самых
прогрессивных направлений в общем развитии науки и тех-
ники нашего времени. Автоматизация охватывает буквально
все области техники, включая и военную технику.
Без автоматизации процессов управления совершенно
немыслимы ни развитие реактивных летательных и космиче-
ских аппаратов, ни применение атомной энергии, а также и
целый ряц современных произволственных процессов.
Автоматизация касается не только управления машинами
и другими сложными техническими объектами. Автоматизи-
ровать можно также технику инженерных расчетов при про—
ектировании Машин, предприятий, различных установок, в том
числе и при проектировании самих автоматических устройств.
Автоматизации подвергаются любые сложные вычисления,
связанные с решением систем алгебраических, дифференци-
альных и других уравнений при проведении научно-исследо-
вательских работ, а также экономические и другие вычис-
ления при учете идпланировании в любом масштабе вплоть
до общегосударствеЖного.
Из всего этого видно, что если механизация была при-
звана облегчить физический труд человека, то теперь авто-
матизация, совершенствуя выполнение этой задачи, имеет
целью также облегчить и умственный труд человека (это
важнейшая ее особенность). Облегчая труд человека, по-
вышая культуру человеческого труда во всех ее видах,
сглаживая различие между физическим и умственным трудом,
автоматизация в то же время в сотни и тысячи раз повышает
производительность труда, позволяет полнее удовлетворять
многообразные потребности человека и человеческого обще-
ства в целом. Вместе с тем, автоматизация делает практи-

10 вввдвнив
чески осуществимым целый ряц таких производств и новых
видов сообщения и связи, а также инженерных и экономи-
ческих расчетов, которые без нее были бы вообще невоз-
можны. ͵
Говоря об автоматизации, имеют в виду полное или час-
тичное применение всего комплекса средств автоматики,
телемеханики и вычислительной техники. Эти средства Β на-
стоящее время исключительно разнообразны; среди других
технических средств здесь все более широкое применение
получает, Β частности, электроника, полупроволники‚ бес-
контактные электромагнитные, микромолульные, молекуляр-
ные и другие элементы. Однако сохраняют свою важную
Жет/мж-
[fly/4w
WWI/MW!
. Λ
v Ито/та Лите/мт _
LL”; штук/%. IIIII __ W ;
тже. %‘д’жёіі ;ζἕἔᾖἷῖζ жити/тж. Идет РДИ/ЩЖ!!!
Рис. 1.
роль также электропневматическне и электрогидравлические
устройства, обладающие как силовые исполнительные устрой-
ства в ряде случаев большей надежностью и быстродействием,
чем чисто электрические. Весьма разнообразны также и общие
принципы структурного построения автоматических, теле-
механическнх и вычислительных систем.
Все автоматические системы делятся на системы с разомк-
нутой целью (рис. 1), системы с замкнутым контуром
(рис. 2) и комбинированные (рис. 3). Стрелками на рисун—
ках обозначены направлення воздействий, передаваемых от
одного блока системы к другому. Назначение каждого блока
указано на рисунках. Приведенные здесь примерные общие
схемы трех классов систем могут принимать Β действитель-
ности чрезвычайно разнообразные конкретные формы. По
таким принципам образуются как простые, так и весьма
сложные комплексные автоматические и полуавтоматические

Вввдвнив' 11
системы. Они могут иметь любую физическую природу и
включать в себя устройства любой конструкции и принципа
действия, а также комплексы машин и людей.
‚Ит/х .
“ “'” ”MM/M»
, др./‚70 ‚т.т-
тив/мд!
ити/лтд
ити/тм-
. Л.;/Ит!
ширма/№7
жру/тм- ||“; (/— I Pg . . .
Iii/MM _ між/лиги; : ἁμάξῃ“; ”ИМ/МИ |
aim/Wily житии/750 | ИЭМ/Л I
шит/‚ти! | 4
ι !
Рис. 2.
Изучение каждого блока по отдельности может быть
предметом любой отрасли технических наук. Например, таким
ЗИМА/ит
“||
лтд/ими
yaw/mm”
Имидж/ті ‚!?/титул
Лайт/тж „Дж/ти- щий/1; - ”””;—”М” Жити/т
—›— итд/ті или ”%;/‚55% ттт?
Миди/тт [WWW/i ’ ͵ утрат/ит
”ma/mm щадит/иж ””’/”””””
I _ › ! ,
рут/дт лтд/дт „дд/‚,
ушли/ттт уі/ЛДЛж/ит/
Рис. 3.
отдельным блоком в системе может быть вычислительная машина, линия связи, электронный или магнитный усилитель,

12 ввндвнив
электрический или гидравлический привод, измерительная
система. Точно так же и объектом управления может быть
любая производственная установка, самолет, эскадрилья
самолетов, энергетическая система, отдельный двигатель,
генератор, испытательный стенд, диспетчерский пункт и т. п.
Поставим своей задачей не рассмотрение отдельных бло-
ков, а изучение принципов построения и законов функциони-
рования автоматической системы управления В целом, которые
являются общими для систем любой природы, конструкции
и назначения. Эту широкую общую задачу мы несколько
сузим. Дело в том, что указанные общие принципы и законы
относятся к преобразованию и передаче информации, кфор-
мированию команд управления в различных разомкнутых
цепях систем и линий управления, к функционированию
вычислительных и логических устройств, квопросам надеж-
ности и помехозащищенности автоматических систем, к функ-
ционированию замкнутых контуров систем управления и
регулирования, к вопросам динамики процессов в этих кон-
турах, к определению ошибок автоматических систем,
к способам их уменьшения и т. д.
Из всех этих общих вопросов будут изучаться лишь те,
которые относятся к функционированию, принципам построе-
ния, динамике и ошибкам замкнутых систем автоматического
управления и регулирования, т. е. иначе говоря—вопросы
теории автоматического регулирования и часть вопросов
теории автоматического управления, относящаяся к замкну-
тым и некоторым комбинированным системам.
Другими вопросами, не рассматриваемыми здесь, зани-
мается теория преобразования и передачи информации, теория
вычислительных машин, теория надежности. В наиболее об—
щем виде такого рода вопросами занимается кибернетика.
Она уже не ограничивается областью техники, а изучает еще
более широкие принципы управления и принципы преобразо-
вания информации, которые являются общими как для техни-
ческих устройств, так и для живых организмов, а также для
экономики и военного дела, включающих в себя сложные
комплексы техники и людей, которые с ней взаимодействуют.
Естественно, что столь общие и разнообразные вопросы
в их строгой постановке требуют привлечения буквально
всего арсенала методов современной высшей математики
вплоть до самых отвлеченных разделов математической

Вввдвнив 13
логики. Более того, всего современного колоссального мате-
матического аппарата оказывается недостаточно для строгого
описания указанных выше проблем автоматики и кибернетики.
Поэтому помимо развития теории дифференциальных урав-
нений, теории нелинейных колебаний, теории вероятностей
и вариационного исчисления, связанных с потребностями
исследования устойчивости и качества автоматических систем,
в недавнее время возникли целые новые разделы математики,
такие как теория информации, теория игр, теория програм-
мирования, теория оптимизации, теория статистических ре-
шений и другие.
Нашей задачей будет наиболее доступное и наглядное
изложение принципиальной стороны построения и исследова-
ния замкнутых систем автоматическогоуправления и регули-
рования без привлечения сложных математических выкладок.
Будут рассматриваться различные замкнутые системы
управления, регулирования, стабилизации, следящие системы.
Условимся применять для них общий термин автоматиче-
ские системы, когда речь будет идти о свойствах, относя-
щихся В равной степени ко всем системам. В первой главе
будут даны понятия об этих видах автоматических систем,
а в конце книги—также о новых, так называемых само-
настраивающихся системах.

ГЛАВА I
принцип действия и овщив СВОЙСТВА систвм
Автоммичвского РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
§ 1. Принцип действия системы автоматического
регулирования
Для наглядного пояснения основного принципа действия
всякой системы автоматического регулирования обратимся
сначала к примеру системы регулирования температуры,
а затем уж дадим общие определения.
Пусть имеется электропечь для закалки металла (рис. 4).
Чтобы измерять температуру 0 Β печи, поставлена термопара,
\ δ- r
ι ‘le/Ioflek )— ..).-1 Pena/”am —-›— Электро-
φ дЛЯ
, θ діти/ш
б'трел/га ‘ ` ! ᾽ металла
”№№ [дд/мд} _
Рис. 4.
которая дает электрическое напряжение U, пропорцио-
нальное температуре θ. Шкала прибора, измеряющего напря-
жение U, проградуирована на величину температуры 0
в градусах. Человек, обслуживающий электропечь, следя
глазами за углом поворота q) стрелки прибора, читает на
его шкале значение температуры в печи. В зависимости от
того, в какую сторону температура отклонилась от требуе-
мого ее значения, человек производит перемещение здВиж-
ка реостата в соответствующую сторону. Тем самым

§ 1] принцип действия системы регулировхния 15
οΗ меняет сопротивление г в электрической цепи нагрева
печи. При увеличении сопротивления г ток Β цепи нагре—
ва уменьшается и температура Β печи уменьшается. При
уменьшении г ток возрастает и температура θ увеличи—
вается.
Так выглядит ручное регулирование температуры в печи
для закалки металла.
Постараемся полностью автоматизировать этот процесс
регулирования температуры. Прежде всего надо проанализи-
ровать функции человека Β этом процессе. Если говорить
о них в самых грубых чертах (в детальных подробностях
эти функции, как мы увидим AS А
впоследствии в главе ΠΙ᾽
имеют много интересных
особенностей), то можно
сказать, что человек здесь α
осуществляет перемещение 0 ἶθ
движка реостата в зависи— [градуса/]
мости от наблюдаемого им [(8 t a
отклонения температуры. g [графе]
Такой простейшей зави-
симостью является пропор— Рис. 5_
циональность между переме-
щением и величинбй отклонения с учетом направления
(знака) этого перемещения, а именно:
As=kA6, (1.1)
где ΔΘ есть нежелательное отклонение температуры
в печи от некоторого требуемого ее значения 00. Через k
обозначен коэффициент пропорциональности, который по-
_казывает, сколько сантиметров перемещения As движка
реостата приходится на каждый градус отклонения темпе-
ратуры ΔΘ, τ. е. коэффициент k имеет размерность а.м/градус.
Графически зависимость (1.1) показана на рис. 5.
Требуемую зависимость (1.1) можно осуществить, на-
пример, если изъять указательный прибор со стрелкой
(рис. 4) и заставить непосредственно движок реостата пере-
мещаться под действием напряжения и, для чего надо по-
ставить небольшой привод (сервопривод), как показано
на рис. 6.

16 принцип двйствия систвм РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. l
Тогда термопара и питающийся в зависимости от нее
привод будут совместно осуществлять заданную зависимость
(1.1), которая называется законом регулирования по откло-
нению*). Впоследствии (глава νι) этот простейший вид за-
кона регулирования, возникающий из первоначального самого
грубого анализа функций, выполняемых человеком в про-
цессе ручного регу-
.5' С лирования, будет ус-
”’” 116017 ’ Peon/mm Зла/(тра ложнен.
”д'/д На этом примере
[5.1205 U “533“ ясно видно, что для
полной автоматизации
73pm- θ металла п _
, MM інші роцесса регулирова
_ ния нужно вместо ра-
{Ліда/пли cam] зомкнутой системы
Рис. 6. (рис. 4) создать
замкнутую систему
(рис. 6), осуществляющую заданный закон регулирования
автоматически (без помощи человека).
В замкнутой системе входное воздействие (питание при-
вода регулирующего реостата—и) непосредственно зависит
от значения выходной величины 6. Эта непосредственная
связь от выхода системы к ее входу называется обратной
связью. Наличие этой обратной связи и создает замкнутый
контур передачи воздействий в системе автоматического
регулирования.
Обратная связь осуществляется с помощью измеритель-
ного устройства (термопара или др.). Оно служит уже не
просто для регистрации величины температуры, а является
чувствительным элементом, который реагирует на откло-
нение температуры от требуемого значения и сам передает
соответствующее воздействие на привод регулирующего ре—
остата.
Однако эта система (рис. 6) не является еще совершен—
ной, так как термопара дает настолько слабый электриче-
ский ток, что его мощности совершенно недостаточно для
питания даже маленького приводного электродвигателя. Πο-
᾽") Для осуществления закона (1.1) нужно поставить не обыч-
ный привод, который дает скорость, пропорциональную напряжению,
а следящий привод, дающий угол поворота, пропорциональный
напряжению. Об его устройстве мы узнаем позже (ς 31).

§ 1] принцип действия систвмы рвгулировхния 17
этому необходимо ввести промежуточное звено— усилитель
(электронный, магнитный, электромашинный, релейный или
другой), как показано на рис. 7. Это не меняет общего
принципа действия системы, но очень важно с точки зрения
его практического осуществления.
Характерной чертой большинства систем автоматического
регулирования (как и в данном примере), кроме обязатель-
ного наличия обратной связи, является то, что слабые
᾽ [!
““ 2 ἓ г
357%,, ‚ ”fit/17017 r Рвоотат —›— «he/(mpg-
new:
= - для
”(é/2,01%, . завал/ш
UL Тврмо- ξ. металла
` лари `
U0 {Ліда/тая связь) [Ев/жд]
// "
| дада/лиш"
egg/Jammy!)
\ ввллтт,’
" ‘ ,
Рис. 7.
управляющие сигналы на входе, идущие от измеритель-
ного устройства, преобразуются в достаточно мощные
воздействия на регулируемый объект (в данном случае
печь)
Далее, нужно предусмотреть задание системе любого
желаемого режима работы. Простейшим режимом работы
печи будет выдерживание постоянной температуры втечение
достаточно длительного периода времени. Но надо иметь
возможность устанавливать систему на автоматическое под-
держание заданной температуры, скажем 600ο (либо 800°,
либо 1000°).
Для этого на входе системы перед усилителем вводится
«эталонное» напряжение Uo (рис. 7), которое соответствует
требуемой температуре 0, (например, 600°). Это напряжение
Uo сравнивается с напряжением U1 термопары, которое от-
вечает фактической температуре в печи. Разность напряже-
ний U: U1——Uo называется рассогласованием. Оно про-

18 принцип действия оиствм регулировлния [гл. l
порционально отклонению температуры θ от требуемого
значения 60, τ. е. ошибке системы регулирования. Эта
разность напряжений U и подается на-усилитель, питающий
привод движка регулирующего реостата.
Следовательно, характерной чертой системы автомати—
ческого регулирования является то, что сама ошибка (рас-
согласование) является движущим сигналом для системы,
работающей на уничтожение этой ошибки. Всякое появление
ошибки (отклонение температуры от требуемого значения),
независимо от причины ее возникновения, тут же одновре-
менно само создает и воздействие, направленное на уничто-
жение возникшей ошибки.
Был рассмотрен случай, когда требуется поддерживать
постоянное значение температуры.
Но иногда требуется не просто выдерживать постоянное
значение температуры, а изменять ее по желаемому закону
[ὦ | ι 0“. [/0 А дд,
‚іі _ЗДЛГ: ___ ` - _ ,!” 'g£’—-————— __
т #717” №7 '6’00”
M Μ’ 4 м 500‘
LA I Ад I ; . 1 i ι 7 >
0 тмин. Иман даш/ж. тмин. Л тут, тмин. Ими/і. №№:: t
a) o‘)
Рис. 8.
во времени. Например, термическая обработка металла в
печи может требовать постепенного нагрева его с опреде-
ленной скоростью до определенной температуры.
Для этого на входе системы (рис. 7) должно вводиться
не постоянное, а переменное задание. Тогда эталонное на-
пряжение Uo нужно изменять, как и требуемую температу-
ру 00, по заданной программе во времени либо с постоян-
ной скоростью (см. рис. 8,а), либо по какому-нибудь дру-
гому закону (рис. 8,6).
В отличие от случая поддержания постоянного значения
регулируемой величины 0, рассмотренного ранее, данный
случай изменения θ по заданной программе называют про-

§ 1] принцип действия снствмы РЕГУЛИРОВАНИЯ 19
граммным регулированием. Говорят, что Β этом случае
система автоматического регулирования работает Β следя-
щем режиме, т. е. система «отрабатывает» задаваемое на
входе переменное значение Uo(t), осуществляя тем самым
на выходе соответствующее переменное значение темпера--
туры 00(1‘). Другими словами, система все время автома-
тически следит за задаваемой по программе на входе
величиной Uo (t). Саму же программу, т. е. задание пере-
менного во времени требуемого значения регулируемой
величины, можно осуществить при помощи специадьного
программного устройства с тем или иным датчиком отсчета
времени.
Рассмотрев таким образом функции, которые должна
выполнять система автоматического регулирования, мыполу-
чили в виде рис. 7 так называемую блок-схему или струн-
турную схему нашей системы (иногда еще применяют тер-
мин «функциональная схема»).
Теперь, чтобы осуществить практически такую систему,
надо Β соответствии с полученной структурной схемой соста-
вить принципиальную схему системы.
Структурная схема (рис. 7) показывает принцип действия
всей системы в целом. Для составления же принципиальной
схемы необходимо выбрать принцип действия каждого из
звеньев системы. Возьмем в качестве усилителя магнитный
усилитель, а в качестве приводного двигателя—двухфазный
индукционный двигатель. Тогда принципиальную схему данной
системы в общих чертах можно изобразить так, как пока-
зано на рис. 9. Программное устройство здесь включает
в себя часовой механизм, причем в передачу от часового
механизма к движку потенциометра вводится тот или иной
кулачок, форма которого определяется требуемой програм-
мой (рис. 8).
Следующим этапом проектирования системы будет кон-
структивная разработка отдельных узлов системы и уточне-
ние деталей общей принципиальной схемы. При этом может
измениться конкретный состав аппаратуры в намеченной на
рис. 9 схеме.
Например, может быть, будет сочтено более целесо-
образным производить нагрев печи другим родом тока,
вследствие чего изменится конструкция и принцип действия
регулирующего органа (в данной схеме—реостата). Может

20 Принцип двйствия систвм РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.
быть, окажется более целесообразным другой тип усилителя
и приводного двигателя и т. п. Но общий принцип действия
всей системы автоматического регулирования в целом, опи-
санный выше, независимо от принципа действия и конструк-
ции отдельных ее звеньев, останется тем же самым.
Более того, тот же самый общий принцип действия си-
стемы автоматического регулирования В целом, который мы
рассмотрели на данном примере регулирования температуры
в печи, остается неизменным и для автоматического регу-
лирования любых других физических величин в объектах,
Лаги/штат .͵-
ушла/лтд ’ΐ „"`… „ j I I
flag/:3
%%
фирм/тащит!!! _ [има/тра
Уатта ᾿ -‹— | 2>д
‚шта— }
ЖДЗЛ
Рис. 9.
относящихся к любой отрасли техники (регулирование дав-
ления в герметической камере, скорости вращения вала лю-
бого типа двигателя, напряжения в электрической сети, час-
тоты переменного тока, курса и высоты полета самолета,
громкости звука, химического состава газа и т. п.). Во всех
этих случаях будет существенно меняться конструкция и
принцип действия отдельных звеньев системы и самого
объекта; будет меняться даже физическая природа явлений
и процессов, входящих в рассмотрение. Но общий принцип
действия и общий принцип построения структурной схемы
системы автоматического регулирования в целом (именно
как автоматической системы) может оставаться совершенно
одним и тем же во всех указанных чрезвычайно разнооб-
разных случаях. Одним и тем же будет, как мы потом
увидим, и математический расчет системы в целом.

§ 2] ποΗπτπΕ о СИСТЕМАХ ввгулировшия ᾽21
§ 2. Общее определение понятия о системах
регулирования и управления
Чтобы иметь возможность в дальнейшем говорить язы-
ком, одинаковым для всех систем автоматического регули-
рования независимо от их природы и конструкции, условим-
ся о некоторой общей терминологии (рис. 10).
Агрегат, в котором происходит процесс, подлежащий
регулированию, называется регулируемым объектом (в при-
мере на рис. 9 это была печь). Для краткости будем гово-
рить просто «объект». Величина .ac1 (рис. 10), которую
Летел/апатит) регулятор
r‘ ______________________
' _ . н - |
, Удалите/мт Με ἐξ ‚$3550; | Er
одолжите/гиде , „„„„-
: дуо/тратил сти : ”туд”?
I | дут/сш
| Шмит/- | “Ζ' ЛЁЗЁ’ЖЛ?
| , ”re/7M0: , ‚’
| устриц Г‘
I ”W {mm
L——- ______________ Jmpmmm—MIMMIMI
”gym/flaw вех/ттт
драг/щитов
стол!/пт от
[у додати/аж
Рис. 10.
необходимо в этом агрегате регулировать, т. е. поддержи—
вать постоянной или изменять по заданной программе, на-
зывается регулируемой величиной (в примере это была тем-
пература 0y
Автоматически действующее устройство, предназначенное
для выполнения задачи регулирования, называется автома-
тическим регулятором (впоследствии для краткости будем
говорить просто регулятор). На рис. 10 он обведен пунк-
тирной линией.
Автоматический регулятор включает в себя измеритель-
ное устройство, T. e. чувствительный элемент, реагирую-
щий на отклонение регулируемой величины х,. Далее ставит-
ся усилительно-преобразовательное устройство (в примере
это был магнитный усилитель). Затем идет исполнитель-
ное устройство (в примере—приводной электродвигатель
с редуктором и регулирующий реостат), служащее для

22 ПРИНЦИП дЕйствия систвм Рвгт'лиговнния' [гл. {
оказания соответствующего воздействия на регулируемый
объект. В соответствии с этим_ величина xs (рис. 10) назы—
вается регулирующим воздействием (B примере—изменение
сопротивления г электрической цепи нагрева печи).
Автоматический регулятор вместе с регулируемым объ-
ектом называется системой автоматического регулирова-
ния. Она представляет собой замкнутую систему. Процесс
регулирования характеризуется передачей воздействий от
одного звена к другому по замкнутому контуру (рис. 10).
Все физические величины (х„ х„ х„ x4, эс5 на рис. 10 или
0, П„ П„ s, r Ha рис. 9), участвующие в этом процессе,
зависят друг от друга и влияют друг на друга. Поэтому
здесь мы имеем не сумму процессов в отдельных звеньях
системы, а единый круговой процесс. В процессе регулиро—
вания нельзя определить работу отдельного звена, не зная
состояния в данный момент всех остальных звеньев. В част-
ности, разбирая процесс регулирования, нельзя говорить
отдельно о работе регулятора, не зная, что происходит в
объекте регулирования. Не может быть плохого или хоро-
шего регулятора вообще, если ничего не говорится об
объекте. О качестве автоматического регулятора можно су-
дить только тогда, когда исследована его работа совместно
с регулируемым объектом.
Все воздействия звеньев друг на друга, выражаемые ве-
личинами х„ х„ х„ х„ х‘ (рис. 10) или θ, П„ П„ s, r
(рис. 9), называются внутренними воздействиями. Но кроме
этих внутренних воздействий, образующих замкнутый кон-
тур, система имеет и некоторые связи с внешним- миром,
т. е. имеются и внешние воздействия на систему.
Первым внешним воздействием является задаваемая ве-
личина на входе x0 (рис. 10) или U0 (рис. 9), идущая либо
от ручной настройки, либо от программного устройства.
Будем считать, что здесь имеет место внешнее/воздействие
в том случае, когда в рассматриваемом процессе регулирова—
ния происходит изменение задаваемой величины κου) или
Uo (t) либо при работе программного устройства, либо при
ручной перенастройке системы. Если же система была зара-
нее однажды настроена и в рассматриваемом процессе регу-
лирования величина x0 (или U0) остается уже неизменной,
то будем считать, что в данном месте системы внешнее
воздействие отсутствует.

§ 2] понятие о системах регулирования 23
Другой внешней связью системы регулирования является
питание энергией усилительно-преобразующих устройств (на
рис. 9 это питание переменным током магнитного усилителя
и приводного двигателя). Здесь внешнее возмущающее воз-
действие на регулятор может выражаться в нарушении нор-
мального режима питания (колебания напряжения в питаю-
щей сети или—в других схемах—колебания давления в
трубопроводе, если питание пневматическое, и т. п.). В слу—
чае же соблюдения нормального режима питания возмущаю—
щее воздействие в данном месте системы отсутствует.
Наконец, третьим и часто самым главным внешним воз-
действием на систему является возмущающее воздействие
на регулируемый объект. В рассмотренном выше примере
(рис. 9) это будет, прежде всего, изменение загрузки печи
металлом. В процессе работы печи отдельные металлические
изделия могут все время выниматься или закладываться в
печь. Общая загрузка печи может самым произвольным об-
разом во времени меняться, а система регулирования должна
при этом автоматически поддерживать одну и ту же темпе-
ратуру; Если, например, в печь закладывается новая партия
холодного металла, то при сохранении прежней интенсив-
ности работы нагревающего устройства температура в печи
начнет падать; это будет воспринято термопарой, и регуля—
тор автоматически будет уменьшать сопротивление регули-
рующего реостата в цепи нагрева, увеличивая ток нагрева
так, чтобы температура сохранялась на одном и том же
уровне. Изменение загрузки регулируемого объекта явля-
ется В данном случае главным внешним возмущающим воз-
действием на объект. Кроме того, в состав возмущающего
воздействия входит также и нарушение нормального режи-
ма питания цепи нагрева энергией (рис. 9). Если напря-
жение источника питания понизится, то температура в печи
начнет падать, регулятор сработает и уменьшит сопротив-
ление цепи нагрева так, чтобы ликвидировать падение тем-
пературы в печи (по какой бы причине оно ни возникало).
Итак, системой автоматического регулирования назы-
вается такая автоматически (без помощи человека) дей-
ствующая система, которая в течение достаточно дли-
тельного времени поддерживает требуемое неизменное
значение некоторой физической величины в каком-либо
процессе (при любых возмущающих воздействиях) или же

24 принцип действия систем РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. 1
изменяет это значение по заранее заданной программе.
Это относится к обычным системам регулирования. 0 co-
временных, выходящих за рамки этого определения, системах
будет сказано в конце книги (см. главу VIII).
Системы автоматического регулирования, работающие на
поддержание постоянного (в частности, нулевого) значения
регулируемой величины, называют также системами стаби-
лизации. Часто этот термин применяется в системах авто—
матического регулирования и управления, включающих в себя
гироскопические устройства (гиростабилизация), но и во
многих других случаях говорится также о стабилизации ско—
рости, напряжения и т. И. при помощи автоматических ре-
гуляторов.
Регулятор, в котором имеется усилительно-преобразова-
тельное устройство, питаемое извне от добавочного источ-
ника энергии (рис. 9 и 10), называется регулятором не-
прямого действия.
В простейших регуляторах, как мы увидим ниже, усили—
тельно-преобразовательного устройства и привода может и
Летел/апатит
вега/№3!
|
: [lily/711'.
дум/иа
| дім/{т
Итера- :
дада/„_ ЛЕЛЬ/тб] ‘
Μ! M- 1᾽
4/111? ' ῄῃῃςῃ } ‘z;
I
ι. ______ _J
Рис. 11.
не быть вовсе, т. е. измерительное устройство может не-
посредственно (без дополнительного источника энергии)
воздействовать на регулирующий орган (рис. 11). Такой
регулятор называется регулятором прямого действия. Пи-
тание регулятора прямого действия энергией идет не извне,
а целиком за счет энергии самого регулируемого объекта,
передаваемой через измерительное устройство.

§ 2] понятив о СИСТЕМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ 25
Но существуют, наоборот, и более сложные регуляторы.
Так, кроме одиночных систем регулирования, о которых
здесь идет речь, состоящих из одного регулируемого объ-
екта и одного регулятора, существуют связанные системы
регулирования. Связанными системами регулирования назы-
ваются такие, в которых в единый автоматически работаю-
щий комплекс связаны несколько регуляторов на одном
объекте или несколько регуляторов и несколько объектов
с перекрестными связями-
между ними. | 47558070}
Другой широкий класс ͵͵΄
автоматических систем //
составляют следящие си- |
стемы. Следящей систе-
мой называется такая |
автоматическая систе- ////\
ма, которая на выходе | ͵|͵
(на объекте управления) . | ώθῇθ“ ‚
“‹?ЛЁЖ/ЛДЛ/т’д/Д
воспроизводит задавае— артериит/тж
мую ей на входе вели-
чину, произвольно изме- ψΜῃᾗῳιζ-ζζζξ-
няющуюся во времени. /.
В качестве примера
приведем следящую си- Рис. 12'
стему за звездой. На
звезду направляется телескоп. За счет подвижности осно-
вания, на котором находится телескоп (в том числе,
например, за счет вращения Земли), звезда уходит из
поля зрения телескопа. Чтобы звезда оставалась в поле
зрения телескопа, нужно его ось все время поворачивать
вслед за уходом звезды. Это можно делать вручную. Од-
нако этот процесс легко полностью автоматизируется.
Пусть (рис. 12)ос°(1‘)—изменяющийся угол положения
звезды, и,…—текущий угол положения оси телескопа,
@=(осо—осд—рассогласование между ними. Последнее
преобразуется в ток с помощью фотоэлектронного преобра-
зователя, усиливается и подается на привод, который пово-
рачивает корпус телескопа таким образом, чтобы ликвиди-
ровать рассогласование β. Фотоэлектронный преобразователь
только тогда не дает сигнала на управление движением
телескопа, когда β::0.

26 принцип двйствия систем регулирования [гл. I
Β результате схема следящей системы Β общей форме
принимает вид рис. 13. Как легко видеть, она отличается
от общей схемы системы автоматического регулирования
только тем, что вместо постоянного или программного за-
дания регулируемой величины здесь имеет место произволь-
ное, вообще говоря, заранее неизвестное изменение входной
величины (известны бывают лишь некоторые общие дан-
ные относительно характера и быстроты изменения входной
величины). Произвольность задания входной величины в
dare-.2} йаду/лежала—
WW е \ … www- гг %%:
дате./мита ͵
даш/таги ‚упали/вида увидала/мда
Ι.;
Ліда/тт? 67/730 |Улравмеш/д/а
| дім/т:
Рис. 13.
рассмотренном примере вызывается изменениемт положения
звезды относительно тела, на котором помещается телескоп.
По принципу такого рода следящих систем строятся так
называемые автоматические системы ориентации (в данном
случае ориентация оси телескопа на звезду), a также ав-
томатические системы наведения (в данном случае наве-
дение телескопа на звезду). Системы наведения характери-
зуются еще добавочным устройством поиска (в данном
случае поиска звезды на фоне неба).
Таким образом, следящие системы и системы автомати-
ческого регулирования имеют фактически единый общий
принцип действия, как замкнутые автоматические системы.-
Те же общие принципы используются Β разного рода
системах автоматического управления. Управление —более
общий термин, чем регулирование, стабилизация, слежение,
ориентация, наведение. Система автоматического управления
может решать любую из этих задач, но может решать также
и совокупность такого рода задач и иметь различные допол-
нительные функции.

§ 2] понятие 0 системы РЕГУЛИРОВАНИЯ 27
Рассмотрим, например, систему автоматического управ-
ления полетом самолета (система самолет—автопилот).
Автопилот имеет три канала управления: управление дви-
жением в вертикальной плоскости (по тангажу), управление
движением в горизонтальной плоскости (по курсу) и управ—
ление поворотом вокруг собственной оси (по крену). Для
примера' на рис. 14 изображен один канал автопилота—кур-
совой. Здесь корпус самолета I является объектом управ—
ления, гироскоп 2 с потенциометрической схемой служит
Зайди/‚тг
„лтд/тт
Рис. 14.
измерительным устройством. Далее идут усилитель, привод—
ной двигатель 3 с редуктором (рулевая машинка) и, в ка-
честве регулирующего органа, руль 4.
Гироскоп сохраняет неизменное направление в простран—
стве. Поэтому при отклонении самолета ψ от заданного
курса движок, связанный с гироскопом, смещается с нулевой
точки. В результате на усилитель подается напряжение,
пропорциональное углу отклонения ψ. Оно приводит в дви-
жение исполнительное устройство3—4. При этом, вследст-
вие отклонения руля δ, самолет возвратится в требуемое
положение. Позднее (глава VI) будет показано, что одного
сигнала гироскопа для управления самолетом недостаточно.
Аналогично устроены и два других канала автопилота.
Очевидно, что если с помощью автопилота надо поддер-
живать неизменный курс или надо разворачивать самолет по

28 принцип двйствия снотвм гвгулиговдния [гл. l
заданной программе, то данная система управления будет
работать по общей схеме системы автоматического регули—
рования (рис. 10) либо Β режиме стабилизации постоянной
величины, либо в режиме программного регулирования. Если
же самолет надо наводить на какую-либо цель, причем за-
данное направление (рис. 14) вместо гироскопа (или в до-_
полнение к нему) определяется каким-нибудь визирующим
цель устройством (оптическим или радиолокационным), то
данная система управления будет работать как следящая
система (рис. 13).
Аналогично обстоит дело и по каналу тангажа. В канале
крена обычно имеет место автоматическая стабилизация ну—
левого угла крена. При этом окаждый из трех каналов упра-
вления действует на свой руль (руль направления, руль
высоты, элероны), т. е. имеются три отдельных регулятора
на одном объекте. Однако между ними часто вводятся еще
перекрестные связи. Например, для улучшения поворота са-
молета по курсу полезно ‚самолет несколько накренить. Πο-
этому полезно сигнал отклонения курса подавать не только
на руль направления, но также и Β канал крена (так назы-
ваемый координированный разворот).
Кроме того, данная система автоматического управления
полетом самолета может выполнять и некоторые другие
функции, связанные со стабилизацией скорости и линии
пути и с анализом обстановки на местности и в воздухе на
основе обработки информации от разных измерителей на
борту, от команд с земли и т. п.
Большое значение в технике управления имеют системы
комбинированного действия с регулированием по возмуще-
нию. Некоторым системам этого класса будет посвящен § 33.
Системы управления с самонастройкой, самооптимизацией и
самоорганизацией будут рассмотрены отдельно в последней
главе книги.
Наконец, необходимо сказать о делении систем автома-
тического регулирования и управления на системы прерыви-
стого (дискретного) и непрерывного действия. В системе
непрерывного действия изменение регулируемой величины
(например θ на рис. 9) приводит к непрерывной передаче
воздействия по всей замкнутой цепи, т. е. вызывает непре-
рывное по времени изменение всех остальных величин: П„
U, U2, 3, r. Несколько других примеров такого рода систем

§ 3] примеры непрерывных Автомлтичвских систвм 29
приводятся ниже. Один класс систем прерывистого дейст-
вия—импульсные системы—будет рассмотрен Β § 5. Дру-
гой их класс—релейные системы—в главе VII.
Наиболее общим и кратким термином, которым дальше
будут объединяться все рассматриваемые системы, будет
термин автоматические системы.
§ 3. Примеры непрерывных автоматических систем
Один из первых в истории техники автоматических регу-
ляторов был изобретен И. И. Ползун’овым в 1765 г. Это
был автоматический регулятор уровня воды в котле его на-
ровой машины (рис. 15). Здесь полностью осуществлен
общий принцип дей-
ствия любого автома- ”тд/7 ”дд ”%%/‚$113
-<———
тического регулятора [таща/ита! Φ
прямого действия, дан- ”Mel/WW”
ный на рис. 11. Изме-
рительное устройство
(поплавок), измеряю-
щее регулируемую ве-
личину (высоту уровня
воды В котле), непо-
средственно переме-
щает регулирующий
орган (клапан питания
котла водой). Котел
является регулируе-
мым объектом.
Изменение величи-
ны отбора пара из Рис. l5-
котла в паровую ма-
шину является основным возмущающим воздействием на
регулируемый объект. Если отбор пара увеличится, испаре-
ние воды ускорится, уровень воды Н(регулируемая величина)
начнет уменьшаться. Тогда поплавок, опускаясь, будет шире
открывать регулирующий клапан, усилится приток питающей
воды и уровень будет автоматически восстанавливаться,
Кроме изменения отбора пара, возмущающее воздействие на
объект будет проявляться также Β изменении условий тепло-
вого режима работы котла (интенсивность топки, температура
Измераталмде
утих/тт
Η
[ гг |”; г-
ὧᾖεπὖζωω

30 принцип двйствия систвм регулировмгия [гл. \
питающей воды и окружающего пространства). Регуля-
тор во всех случаях будет одинаково действовать на унич-
тожение нежелательного отклонения уровня воды, по каким
бы причинам онб ни возникало.
Следующим в истории техники автоматическим регулято-
ром, получившим широкое распространение, был центробеж-
ный регулятор скорости вращения вала паровой машины,
изобретенный Джэмсом Уаттом в 1784 г. (рис. 16). Здесь
другая конструкция регулятора и другая природа регули—
руемой величины (угловая скорость (0), но совершенно тот
А
Паради
||“ „. маши/а `в)
#5251 ᾽ [ регулируемый
! ’ Цент Меж/ім?
Mae/rm} mega/w»!
+ два;/ли- ‚ду/аши
|
Лита/ше маши/т
:. дадим
же общий принцип действия регулятора прямого действия
(рис. 11). Измерительное устройство регулятора (центробеж-
ный механизм) реагирует на изменение регулируемой вели-
чины ω. Так, если угловая скорость вала ω увеличивается,
шары центробежного механизма расходятся, муфта подни-
мается и перемещает непосредственно регулирующий орган
(например, заслонку в трубе питания машины паром). Это
изменяет приток энергии в машину, чем автоматически уни-
чтожается нежелательное отклонение угловой скорости ω.
Основным возмущающим воздействием на регулируемый
объект здесь является изменение нагрузки на валу паровой
машины. Если бы не было регулятора, при увеличении на-
грузки угловая скорость уменьшилась бы. Регулятор автома-
тически ликвидирует это уменьшение путем соответствую-
щего усиления притока энергии в машину. Кроме этого, может
иметь место и другое возмущающее воздействие в виде на—

§ 3] примеры нвпрврывных Автомнтичвских систвм 31
рушения нормальных параметров пара Β трубе питания
машины. Регулятор гасит влияние этого воздействия (Β опре—
деленных пределах), работая все время на уничтожение
отклонения ω при любой причине его возникновения.
После изобретения этих первых автоматических регуля—
торов, чисто механических, в течение XIX B. в свяЗи
с потребностями промышленности, транспорта и энергетики
появляется много различных конструкций регуляторов, сна-
чала больше механических, а затем и электрических. Даль-
нейшее развитие автоматики особенно Β XX B. идет все
+
Ч
.: дада/таж
ттт;
тяга/тт
[регулиру-
lam/11'
Lt θάψῃ}
—›— —›— , _—
Рис. 17.
Pail/amp
больше и больше по пути электрификации систем автома-
тического регулирования, В том числе и для механических,
тепловых и химических объектов.
Для иллюстрации общности принципов построения систем
автоматического регулирования, относящихся к самым разно-
образным техническим объектам, приведем еще несколько
конкретных примеров.
На рис. 17 изображена схема автоматического регулиро-
вания температуры воды или масла Β тепловом двигателе.
Нагретая вода из двигателя (регулируемый объект) посту-
пает Β термостат (измерительное устройство регулятора).
Если температура воды повышается, то псд действием увеличе-
ния давления паров специальной легко испаряющейся жидко-
сти, находящейся В сильфоне термостата, прикрывается
клапан прямого возврата воды Β двигатель. Вследствие этого

32 принцип двйствия систем РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. l
большее количество воды пойдет в обход—через радиатор,
где она охлаждается. Таким образом автоматически поддер-
живается постоянная температура воды в системе охлаждения
теплового двигателя (в частности, автомобильного). Это—,
регулятор прямого действия, работающий по той же общей
схеме (рис. 11).
Ha рис. 18 показана схема автоматического регулирова-
ния угловой скорости ω вращения вала электродвигателя (Дв).
Ц; Лавру/дт
.——- +
3:3 J y Jain/MM
с Y ”a
\ Щ _
“Игла-и, ᾽”
Рис. 18.
Последний является регулируемым объектом. Данная система
работает согласно общей схеме автоматического регулятора
непрямого действия (рис. 10). Здесь изменение нагрузки _на ва-
лу электродвигателя представляет возмущающее воздействие.
Измерительным устройством служит тахогенератор Тг(электри-
ческий тахометр), вырабатывающий напряжение []„ пропорцио-
нальное регулируемой величине—угловой скорости ω. На
потенциометре задатчики устанавливается напряжение (10,
соответствующее требуемому значению угловой скорости coo.
Рассогласование U2=Uo—U, подается на электромашинный
усилитель (ЭМУ); может быть введен также предваритель-
ный электронный усилитель (показан пунктиром). Электро-
машинный усилитель в соответствии с поступающим в его
обмотку возбуждения сигналом и, изменяет ток в цепи
якоря электродвигателя. Это является регулирующим воз-
действием, которое ликвидирует создавшееся отклонение
угловой скорости ω.
По той же общей схеме (рис. 10) работает центро-
бежный регулятор скорости непрямого действия (рис. 19).
Он отличается от регулятора прямого действия (рис. 16)

§ 3] примеры нвпрврывных автоммичвских систвм 33
тем, что измерительное устройство 2 (центробежный меха-
низм) перемещает не непосредственно регулирующий орган
(задвижку), а легкий золотник 3, который пускает рабочую
жидкость в ту или иную полость гилравлического привода 4,
перемещающего регулирующий орган 5. Здесь золотник
представляет собой усилительно-преобразовательное устрой-
ство, а гидравлический привод—исполнительное устройство.
\.‘ш
Ten/705M
Нашу—7“ Лигита/м
дада/тт?
Литта
Рис. 19.
Задание определенного числа оборотов производится
рукояткой (например, сектор газа у летчика), которая пере-
двигает корпус золотника. Тут роль напряжения и, (рис. 18)
играет перемещение штока золотника 8 (рис. 19), а роль
эталонного напряжения Uo играет эталонное перемещение во
корпуса золотника от рукоятки задатчика, так что гидравли-
ческий привод работает от сигнала рассогласования
As=s—so.
Если произвольно перемещать задатчик по произвольному
закону 30(1‘), то данная система регулирования будет рабо-
тать как следящая система, воспроизводя тот же закон
в изменении угловой скорости ω(ΐ).
Совершенно аналогично работает и система автоматиче-
ского управления воцяной торпеды по курсу (рис. 20). Ги-
роскоп 2, сохраняя неизменное направление, измеряет
2 E. П. Попов

34 принцип действия систем РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. ι
отклонение торпеды ψ πο курсу. С гироскопом жестко свя-
зана заслонка, открывающая доступ воздуха под давлением
в пневматическую рулевую машинку 3 (исполнительное
устройство), которая поворачивает руль 4, возвращая тем
самым торпеду на заданнп курс. Как видим, система авто—
матического управления Водяной торпеды (рис. 20) работает
как автоматический регулятор непрямого действия (рис. 10).
Wig/1161M] φ ”WWW/Mo
[%;/%% | {гг/ттт}
д` ' 7
Луи/д «J ”WWW
ἆ’ мат/мт
Рис. 20.
Приведем еще схему автоматического регулирования на-
пряжения генератора постоянного тока при помощи электрон—
ного регулятора Β упрощенном виде (рис. 21). В данном
случае регулируемым объектом является генератор постоян-
ного тока, регулируемой величиной—напряжение U на
клеммах генератора, внешним возмущающим воздействием—
нагрузка в сети, на которую работает генератор. Измери-
тельным устройством регулятора служит сетка лампы,
а исполнительным устройством—анодная цепь лампы. При
нежелательном изменении напряжения U (например, U> По)
появляется напряжение Ug на сетке и пропорциональное ему
изменение тока Ia В анодной цепи, а следовательно, и в

§ 3] HPHMEPH HEUPEPHBHHX ABTOMATH‘IECKHX систвм 35
обмотке возбуждения генератора, которая включена в анод-
ную цепь. Этим изменением тока возбуждения ликвидируется
нежелательное отклонение регулируемого напряжения U.
Рассмотренные примеры относятся к Одиночным системам
автоматического регулирования.
Примерами связанных систем регулирования являются
регулирование напряжения и частоты переменного тока,
AAAAA
VVV
%
‹
Рис. 21.
регулирование скорости и температуры в реактивных двигате-
лях, регулирование различных величин В энергетической
системе, состоящей из нескольких параллельно работающих
объектов. Связанная система управления получается при
рассмотрении работы всего автопилота на самолете в целом.
Пример электромеханической следящей системы показан
на рис. 22. Принцип ее действия следующий. На входе лег-
ким вращением рукоятки задается произвольный закон для
угла поворота во времени: хо (t). Тот же самый закон угла
поворота во времени должен быть автоматически воспроизве-
ден на выходе системы хд=х°„(і), т. е. на управляемом
объекте. Для этой цели угол поворота на выходе х, пере-
дается при помощи вала обратной связи на вход системы,
где он вычитается из задаваемого угла хо. Это вычитание
осуществляется при помощи механического дифференциала
(рис. 22). Если угол на выходе x1 He равен углу на входе хо,
то третий валик дифференциала повернется на разность
этих углов х=хо—х, (рассогласование). Пропорциональное
ему напряженне U подается через усилитель на приводной
2’

36 flPHHan двйствия систвм РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. l
двигатель, который вращает выходной вал системы. Если же
х‚=х°‚ то двигатель обесточен и вращения не будет. Сле-
довательно, система все время автоматически работает на
уничтожение рассогласования х=хо—х„ решая таким обра-
зом задачу воспроизведения на выходе x1 произвольно зада—
Ваемой на входе величины xo(t). Такая система позволяет
Ἐξ: ‚!!/Ит!-
рещш/і ᾽
(гг/г?
law/j
+ _
…… …
f .
.... {;“-ΜΓ-
yJ/Mll- [gag fig/k \ пуд/ЛЩ!”
||“
”M" M" ”И” .Ζ' 01mg”:
' ’ |
"7 ἢ
ὥρῃ“ мт
Рис. 22.
при незначительной мощности на входе управлять любыми
мощными или тяжелыми объектами (орудийными башнями
и т. п.).
Очень часто следящие системы применяются для дистан-
ционного управления самыми разнообразными объектами,
а также для телеуправления.
Дистанционное управление трудно осуществить при
механической обратной связи, показанной на рис. 22. Β этом
случае применяется реостатная обратная связь на постоян—
ном токе (рис. 23) или сельсинная обратная связь на пере-
менном токе (рис. 24), т. е. механический вал обратной
связи заменяется электрической передачей. При этом пульт
управления (вход системы) и управляемый объект (выход)
могут находиться на некотором расстоянии друг от друга.
Здесь рассогласование получается непосредственно в виде
электрической величины U= Uo—U, (рис. 23).
Все три примера относятся к электромеханическим сле-
дящим системам. Существуют также электрогидравлические,
электропневматические и чисто гидравлические или пневма-

ξ 3] примеры непрерывных Автомпичвских систем 37
тические следящие системы в зависимости от вида приме-
няемых в них усилительных устройств. Общий принцип
действия во всех случаях остается тем же самым.
v
΄ιτ͵͵||| ἹΞῄ
Ъ-с—уа—ь— ”I -r'l
᾽ Лёт/таж mm
+ ‚5—— } ' W ᾽
- ..а /:_‘”=[4 ᾽“ *
‚Лига/лтд ‚у
͵ “πω͵;-
°+ а_— Иша/шт ";/”` 2%: MW
.. ду.—___ __ ”7W + .Ζ' відділ;
I I
№
Рис. 23.‚
Телеуправление применяется, когда пульт управления
относится на большие расстояния. Он может быть неПОДвиж—
ным, а управляемый объект может двигаться в пространстве
и т. п. В этом случае между задатчиком величины καί),
+
|
Jo |ΐ| ὀπω- ; Зла/тра — ΧἨΖΜ- ”Л“/”.”“
“7! тат ’ двига/лтд или [6/11 Маг/г ‘
Далгат/‹- `_"" ΄ `
шкалы/ма Imam/I-
£IJOCW “дд/”"и
Рис. 24.
помещаемым на пульте управления, и входом следящей
системы вводится радиолиния или другая линия связи для
передачи задаваемой величины χοᾶ) Β виде электрической
величины U0 (t) (рис. 25).
Входная и выходная величины следящей системы могут
быть не только механические, как в примерах на-
рис,. 22—25; они могут иметь любую физическую природу.
Конструкции тоже могут быть весьма разнообразными.

38 принцип действия систем регулирования [гл. 1
Следящие системы, у которых входная и выходная величины
являются механическими перемещениями (вращения), иногда
называются сервомеханизмами.
По принципу следящей системы работают многие
системы дистанционного управления самыми разнообразными
+ -
‚с! +
% “
Лежат/Ж / ’ ..- ’
||; ддт/тж l ᾽
’ ‚‚_-МШ „. We.» Δ},
Уса/т— , L . ”””./”"
тт ᾽ f" ᾿ ;““
͵- ὦ а асе/т
Речи/тр
Рис. 25.
объектами, радиолокационные системы сопровождения само-
летов, многие счетно-решающие устройства (например,
интегрирующее устройство, схема которого дана на рис. 26),
усилители с отрицательной обратной связью, многие точные
измерительные системы, радиокомпас, радиодальномер и т. п.
Тетради/гра-
дла/тре-
, imam/m
&=&/ждал:
Β настоящее время во многих областях техники суще-
ствует необозримое количество самых разнообразных систем
автоматического управления, использующих принцип следя—
щей системы. Он применяется почти везде, где нужно
добиться высокой точности и надежности автоматического
управления.
По мере расширения задач автоматического управления
и увеличения степени полноты автоматизации различных

§ 4] пврвходныв процессы и оптические ошивки 39
процессов все чаще и чаще Β состав таких систем вклю-
чаются вычислительные устройства. Автоматическая следя-
щая система с вычислительным устройством уже не просто
воспроизводит какое-то заданное извне воздействие, а по
простейшим первичным данным может сама предварительно
автоматически вычислять ту величину, которую она должна
затем воспроизводить. Кроме того, вычислительные устрой—
ства могут применяться Β следящих системах для улучше-
ния качества воспроизведения заданной на входе величины.
В комплексных системах автоматического управления
может содержаться одновременно несколько следящих систем
и несколько систем автоматического регулирования или ста-
билизации, связанных друг с другом либо непосредственно,
либо через посредство различных вычислительных устройств.
К таким системам относятся, например, комплексные системы
автоматического управления самолетом, включающие в еди-
ную автоматическую систему не только каналы автопилота,
но также и аппаратуру автоматического управления работой
двигателя и автоматический прицел или автоматические
навигационные устройства, а также наземные станции управ—
ления и контроля.
Комплексными автоматическими системами являются
также и многие системы управления производственными
процессами.
§ 4. Переходные процессы и статические ошибки
автоматических систем
Принципиальная сторона процесса автоматического ре-
гулирования была описана в предыдущих параграфах. Теперь
нас будет интересовать количественная сторона. Математи-
чески процесс регулирования характеризуется изменением
регулируемой величины ›‹:1 (рис. 10) во времени, т. е. функ-
цией х,(1‘). Обычно процесс регулирования х,… пред-
ставляют в виде графика и называют: кривая процесса
регулирования.
Пусть, например, автоматический регулятор работает на
поддержание постоянного значения регулируемой величины x?
(пунктир на рис. 27). Какие бы возмущающие воздействия
(реально возможные) на систему ни действовали, автомати-
ческий регулятор должен все время удерживать регулируемую

40 принцип двйствия систвм РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. I
величину вблизи заданного значения x3. Кривая процесса
регулирования (рис. 27) показывает, насколько хорошо
данная система автоматического регулирования справляется
с этой задачей. В технических требованиях указывается
численно за какие пределы
“i; ᾽ 0
(например, 2 /о) не должны за-
ходить отклонения фактиче-
ского значения регулируемой
величины [кривая х, (1‘)] от тре-
Лафайет/таит
Жака/шт!
ὦ; βᾶθβῄἐῄᾶῤ'ῄβᾶῤ’αβ буемого значения (прямая x3).
Если же речь идет ο си-
стеме программного регулиро-
"
V Г
Ы!
вания, то кривая процесса
Pnc. „_ регулирования ‚эс1 (t), отражаю-
щая фактические значения
регулируемой величины, должна лежать вблизи заданной
программной кривой x20) (рис. 28), не выходя за допусти—
мые по техническим условиям отклонения.
В удовлетворении этого требования и состоит, главным
образом, задача выбора основных параметров регулятора
„г, для какого-либо заданного
x ’ объекта. При этом под
параметрами регулятора
͵ понимаются такие данные
ж\лтдддёдддддтщ основных звеньев регулято-
ра, как передаточные числа,
коэффициенты усиления,
amt] время запаздывания в пере-
, flaw/mm даче сигнала, момент инер-
мрастг/іатдажаг ции, сила демпфирования,
коэффициент жесткости пру-
; жины, индуктивность, ем-
д ΐ кость, сопротивление элек-
pm, 23, трической цепочки и т. п.
Оказывается, что наме-
тить правильную схему регулятора в полном соответствии
с общими принципами, изложенными в предыдущих пара-
графах, еще недостаточно.
При неудачном выборе параметров регулятора (хотя
схема его намечена правильно) может получиться, что ре-
гулятор будет не успокаивать систему, а, наоборот, раска-

§ 4] пврвходныв процвссы и СТАТИЧЕСКИЕ ошивки 41
чивать систему за счет имеющегося притока энергии, так
что кривая процесса регулирования будет уходить от задан-
ной программы.
Системы с расходящимися собственными колебаниями
называются неустойчивыми. Неустойчивая система не может,
конечно, служить системой автоматического регулирования.
Поэтому при проектировании автоматических регуляторов
очень большую роль играют расчеты и эксперименты по
правильному выбору наилучших параметров регулятора для
данного объекта, которые бы позволяли, во-первых, сделать
систему устойчивой и, во-вторых, кривую процесса регули—
рования как можно лучше приблизить к требуемой прямой
χ': (рис. 27) или к программной кривой x‘l’(t) (рис. 28).
Следовательно, расчет и эксперименты должны быть
не только статическими, но и динамическими, т. е. рас-
считывать и проверять экспериментально нужно не только
равновесные режимы работы системы регулирования, но
также переходные процессы и другие динамические режимы,
когда имеется переменное возмущающее воздействие.
Переходные процессы могут возникать:
а) при включении системы автоматического регулиро-
вания,
б) при перенастройке системы на новое значение регу-
лируемой величины,
в) при возмущающем воздействии в виде скачка (например,
скачкообразное изменение нагрузки объектах
г) при возмущающем воздействии в виде импульса (воз-
действие типа ударного толчка),
д) при возникновении возмущающего или задающего
воздействия любого вида.
При включении _или при перенастройке системы автома-
тического регулирования может иметь место довольно боль-
шое начальное рассогласование между требуемым значе-
нием регулируемой величины и тем значением, которое
фактически было в регулируемом объекте в момент вклю-
чения регулятора. Например, в печи (рис. 9) была темпера-
тура 700°, а мы включили автоматический регулятор с на-
стройкой на 800°. Система должна отработать начальное
рассогласование в 100° так, чтобы возможно быстрее и
достаточно плавно прийти к требуемому значению темпера-
туры (рис. 27). То же самое требуется и в случае, коща

42 принцип действия систвм рвгуливоыния [гл. I
летчик включает автопилот с настройкой на определенный
курс Β тот момент, когда фактический курс самолета отли-
чается от требуемого (например, на 15°).
Для быстрой ликвидации большого начального рассогла-
сования нужна достаточно большая скорость процесса вна-
чале. Однако при этом система «по инерции» (инерционностью
обладает всякий реальный процесс) может пройти далеко за
требуемое значение. Такое отклонение регулируемой вели-
чины Β противоположную сторону называется забросом
или перерегулированием (рис. 27 и 28). Технические тре-
бования к системе предусматривают его ограничение,причем
быстрота затухания переходного процесса, величина пере-
регулирования и вообще форма кривой х, (t) объединяются
общим названием: «качество переходного процесса». При-
менительно к автопилоту, например, перерегулирование
означает, что самолет сильно качнется в противоположную
сторону, прежле чем установится на требуемый курс, что
недопустимо.
Аналогичное по существу явление (рис. 27 и 28), но в
меньшем по величине отклонений масштабе (если регулятор
хороший) получается в переходном процессе при возмущаю-
щем воздействии в виде скачка. Например, это будет при
загрузке партии холодного металла в печь, где регулируется
температура; при включении нового потребителя Β сеть, где
регулируется напряжение; при попадании самолета в резкую
струю бокового ветра и т. п. При этом иногда может и не
возникнуть сразу заметной величины начального рассогла-
сования, но может возникнуть большая скорость нарастания
отклонения регулируемой величины.
Возьмем тот же пример с нагревательной печью. Если
печь не имеет регулятора, то при закладке партии холод-
ного металла температура сильно понизится, а затем будет
медленно подниматься (кривая 1 на рис. 29). Величина
установившейся температуры Θ1 и время ее установления !,
могут очень сильно зависеть от количества холодного ме-
талла, заложенного в печь.
Между тем термическая обработка металла Β печи тре-
бует вполне определенного режима нагрева независимо от
количества заложенного металла. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Требуется, чтобы металл с самого начала
находился в условиях постоянной высокой температуры

§ 4] переходные процессы и СТАТИЧЕСКИЕ ошивки 43
Β печи. Установка автоматического регулятора, настроенного
на постоянную температуру, приведет к тому, что при
закладке той же партии холодного металла изменение тем-
пературы в печи пойдет по кривой 2 вместо I (рис. 29, а).
Таким образом, при наличии автоматического регулятора
значительно (во много раз) уменьшится время установле-
ния t2 по сравнению с t, и первоначальное падение темпе-
ратуры b (рис. 29, a) по сравнению с а. УстановивШаяся
51 дн ΄͵͵͵͵͵͵
T- t all/t] ’,‘
ὦ до ‚‚ , " -___ _-_-___.
L ’ “ἷ'
ἆ!
Рис. 29.
же температура в конце переходного процесса вместо 0,
станет очень близкой к требуемому значению θο.
Случай 2. Требуется, чтобы после закладки холодного
металла температура в печи повышалась постепенно по
определенному закону во времени. Пусть пунктирная кри-
вая О„(і) на рис. 29, б показывает требуемое программное
изменение температуры. Кривая 3, показывающая повышение
температуры в печи без регулятора, при большом количе-
стве металла может пойти много ниже и подъем ее будет
много медленнее, чем требует программа (при малом коли-
честве металла подъем ее может быть даже быстрее, чем
требуется). Установка ΄ автоматического регулятора, настроен—
ного на заданную программу О„(і), приведет к тому, что
кривая фактического изменения температуры в печи (кри—
вая 4, рис. 29, 6) станет достаточно близкой к требуемой
программе независимо от количества заложенного в печь
металла (в определенных пределах).
Изобразим для случая .1 некоторые простейшие стати-
ческие и динамические характеристики системы. Обозначим
через Q количество закладываемого в печь холодного металла.
Кривая I Ha рис. 30,а показывает зависимость величины
установившейся температуры Θι от количества металла Q

44 принцип действия систвм регулировяния [гл. :
Β печи без регулятора, а кривая 2—с автоматическим регу-
лятором. При хорошо спроектированном регуляторе отличие
кривой 2 от постоянного значения θο можно сделать практи-
чески незаметным. Кривая 1 (рис. 30, а) называется стати-
ческой характеристикой данного объекта (без регулятора),
подлежащего регулированию. Кривая 2—статическая харак-
теристика автоматизированного объекта, т. е. объекта с регу-
лятором (статическая характеристика'системы автома-
тического регулирования).
ὦ
Рис. 30.
В идеале регулятор должен был бы поддерживать одну
и ту же температуру печи при любом количестве заклады-
ваемого металла (пунктир на рис. 30, a). Но регулятор не
работает идеально, и установившиеся значения температуры θι
(кривая 2) будут отличаться от требуемой температуры „.
Это отличие установившегося значения регулируемой вели-
чины от требуемого, заштрихованное на рис. 30, а, назы-
вается статической ошибкой системы автоматического
регулирования АВС,. Системы автоматического регулирования,
обладающие статической ошибкой, называются статическими
системами. Использование простейшего закона регулирова-
ния (1.1) всегда дает статическую систему. О других законах
регулирования будет сказано в главе VI.
Кривые tl и ι“᾿ на рис. 30,6 показывают зависимость от
количества металла Q времени установления температуры
(длительность переходного процесса) в печи без регулятора
tl и с автоматическим регулятором і,. Кривые а и b (рис. 30, &)
показывают зависимость от Q величины максимального па-
дения температуры в печи без регулятора (кривая а) и с авто-
матическим регулятором (кривая b). Указанные четыре кривые

ξ 4] ПЕРЕХОДНЫЕ процвссы и стАтичвскив оШивки 45
являются динамическими характеристиками объекта и си-
стемы 8 переходных процессах. Отклонение фактического
значения регулируемой величины θα) (рис. 29) в переходном
процессе от установившегося или от программного ее значе—
ния называется переходной динамической ошибкой системы
автоматического регулирования.
В этих примерах и во многих других, с точки— зрения
изложенного, задача регулятора состоит в том, чтобы корен—
ным образом улучшить статические и динамические характе-
ристики объекта, так как объект и без регулятора при нали-
чии возмущающего воздействия приходит в некоторое
установившееся состояние, хотя и далекое от требуемого
(см. рис. 29).
Но бывают системы, в которых объект без регулятора
вообще не имеет определенного установившегося положения
(неустойчивые и нейтральные объекты или, как их называют,
объекты без самовыравнивания). Например, неуправляемый
самолет безразличен к курсу. Возмущающие воздействия
(ветер или несимметричная тяга) могут увести самолет
с первоначального курса в любое положение. Наличие авто-
пилота принципиально изменяет статические и динамические
свойства самолета, позволяя сохранять заданный курс и
совершенно по-новому реагировать на возмущающие воздей—
ствия, «не поддаваться» их влиянию.
Итак, рассмотренные примеры наглядно показывают, на-
сколько сильно можно менять в нужную сторону все ста-
тические и динамические характеристики различных объек-
тов в разных областях техники при помощи присоединения
автоматического регулятора.
Аналогично обстоит дело Β следящих системах и в си-
стемах управления. Здесь также важна быстрота протека-
ния переходных процессов и малость отклонений выходной
(регулируемой) величины от требуемого закона ее изменения.
В частности, при испытании следящих систем часто интере-
суются их реакцией на включение входного воздействия,
изменяющегося с постоянной скоростью. Пусть, например,
Β следящей системе (рис. 23) В течение некоторого времени
на входе не было никакого воздействия (х°=0), а затем
было включено воздействие х„(і), нарастающее с постоян-
ной скоростью (рис. З1,а). На выходе (рис. 81,6), вслед-
ствие инерционности системы, сначала процесс пойдет

46 пРинцип действия Систем РвгУдиРовхния [гл. ι
медленнее, потом скорость будет нарастать и могут прои-
зойти некоторые колебания (переходный процесс). Колебания
в переходном процессе (заштрихованные ординатки) и дли-
тельность его #„ представляющие собой переходную дина-
мическую ошибку, должны быть достаточно малыми. Затем
на выходе установится тоже постоянная скорость. Но при
этом останется некоторое постоянное отставание Axl выход-
ной величины x] по сравнению с входной хо. Эта величина
/
* и,
в ? о 7
t ———›-
L “| ’ ἆ!
Рис. 31.
Ах1 называется установившейся ошибкой в режиме слеже-
ния с постоянной скоростью. Она возникает потому, что
для вращения управляемого объекта с постоянной скоростью
нужен некоторый постоянный вращающий момент, а для
этого в схеме на рис. 23 нужно постоянное напряжение U,
а значит, и постоянное рассогласование (хо—х,), что и
приводит к неизбежности указанной ошибки. Величина этой
ошибки обычно пропорциональна скорости слежения. Введе-
нием специальных корректирующих устройств можно бо-
роться и с этой ошибкой.
§ 5. Ошибки при вынужденных колебаниях и частотные
характеристики автоматических систем
Выше была показана возможность коренного изменения
свойств объекта в переходных процессах, а также сущест-
венного уменьшения статических ошибок при помощи рету-
лятора или системы управления.
Так же сильно при наличии автоматического регулятора
изменяются и динамические характеристики вынужденных
колебаний объекта и установившиеся динамические ошибки

§ 5] ошивки при вынуждвнных колввАниях систвм 47
системы. Поясним это на примере системы автоматической
стабилизации.
Возьмем успокоитель боковой качки корабля (рис. 32),
работающий как автоматический регулятор непрямого дей-
ствия (рис. 10). Здесь регулируемой
величиной является угол бокового
крена корабля φ. ΟΗ измеряется чув-
ствительным элементом регулятора
Лира-
(успокоителя)——гироскопом. С послед- „„„ f/t/
него снимается электрический сигнал, ; —‹——
который усиливается и запускает при- ‚умм—
вод. Привод перемещает плоскости тт
бокового стабилизатора (регулирую-
щий орган). При отсутствии качки эти δ᾽ Wm} δ᾽
плоскости убраны внутрь корпуса ко—
рабля. При наличии качки они автома—
тически выдвигаются на величину s,
тем большую, чем сильнее качка.
Возмущающим воздействием f(t), pm. 32.
вызывающим боковую качку корабля
(вынужденные колебания объекта), является волнение моря.
Для простоты будем считать f(t) синусоидальной:
f(t)=a sin cot, (5.1)
тде а—амплитуда возмущающего воздействия, (:)—угловая
частота качки. Корабль без успокоителя будет качаться
с некоторой амплитудой бокового крена Α1 и отставанием
по фазе В„ т. е. по закону
ф,:А1 sin (cot—FBI) (Bl <0). (5.2)
Корабль с успокоителем будет иметь другую амплитуду и
фазу:
ф2=А23іп (mt+Bz) (Bz<0), (5.3)
причем в обоих случаях амплитуда и фаза будут зависеть от
частоты (:)—это является законом для всяких вынужденных
колебаний в природе. Примерные графики зависимостей
амплитуд ΑΙ, Α2 и фаз В„ В2 от частоты качки ω пока-
заны на рис. 33 (отрицательность фазы соответствует от-
ставанию вынужденных колебаний по фазе). Графики по-
казывают‚ что за счет присоединения автоматического

48 принцип действия систвм регулирования [гл. \
регулятора (успокоителя) амплитуда вынужденных колебаний
(качки) корабля уменьшается во много раз и ликвидируется
резонансный пик, имеющийся у корабля без успокоителя
при частоте качки, близкой к собственной частоте колеба-
ний корабля ως (рис. 33, а).
Графики, изображенные на рис. 33, называются соответ-
ственно амплитудной частотной характеристикой Α(ω) и
фазовой частотной характеристикой Β(ω). Характеристика
1%
A;
.1 I ι = l _ №
λ123 ш„ a" 70"”[cex]
Рис. 33.
Α(ω) иногда в общей теории колебаний называется резонанс-
ной кривой, но к системам автоматического регулирования
это название не применяется. Заметим, что графики Α(ω)
строятся в предположении, что меняется только частота ω,
а амплитуда возмущающего воздействия а остается неизмен-
ной. Если в опыте она меняется, то надо пропорциональным
пересчетом приводить результат опыта для величины А к
одной и той же амплитуде а. Отношение амплитуд Az и Α1
определяет степень успокоения качки.
В идеале успокоитель качки должен полностью ликвиди-
ровать качку (‹р=0). Поэтому величина ср„ определяемая
формулой (5.3) и графиками А2 (ω) и 32((0) (рис. 33), является
установившейся динамической ошибкой данной системы,

§ 5] ошивки при вынужденных колввАниях систвм 49
Кроме того, здесь будут иметь место и переходные динами-
ческие ошибки, как и в первом примере, возникающие при
разных толчках и в момент включения системы в работу.
Часто графики А((0) и В((0) объединяют в один (рис. 34),
построенный в полярных координатах. Это называется ампли-
тудно-фазовой частотной характеристикой. Она широко
применяется при расчетах систем автоматического регулиро-
вания. Эта характеристика строится следующим образом.
Берем какое-нибудь значе-
ние частоты (0, например,
(0:3. По графику фазо-
вой характеристики В1 ((0)
(рис. 33,6) находим соот-
ветствующее значение фазы
В1 и откладываем его в виде
угла на рис. 34 от гори-
зонтальной оси по часовой
стрелке (так как угол В1
отрицательный; если бы он
был положительный, то мы
отложили бы его против
часовой стрелки). Получаем
луч OD (рис. 34). Ha этом Рис. 34-
луче откладываем величину
амплитуды А„ взятую с графика амплитудной характери—
стики для (0:3 (рис. 33,а). В результате на луче OD
получаем точку, около которой ставим отметку частоты
=3 (рис. 34). Точно таким же образом строим на
рис. 34 и точки для (0:2, (0:1, (0:0, a также (0:6,
(0:10 и т. д. Все полученные точки соединяем плавной
кривой. Эта кривая и будет амплитудно-фазовой частотной
характеристикой для корабля без успокоителя. Кривая имеет
на себе отметки частот (0:0, 1, 2, 3, 6, 10, ..., причем
расстояние каждой точки от начала координат Ο показы-
вает величину амплитуды качки корабля, а угол—фазу.
Аналогичным путем по значениям A2 и В: для разных
частот (0 (рис. 33) строится амплитудно-фазовая частотная
характеристика для корабля с успокоителем (рис. 34). Этот
один график заменяет собой прежние два.
Исследование ошибок при вынужденных колебаниях, свя-
занное с анализом частотных характеристик, весьма важно

50 принцип действия систвм регулирования [гл. I
для всех видов систем автоматического управления, особенно
для следящих систем.
Частотные характеристики следящей системы строятся
следующим образом. На вход системы подаются синусоидаль-
ные колебания:
x0 = а sin wt. (5.4)
Тогда на выходе установятся тоже синусоидальные колеба-
ния, но с другой амплитудой и с отставанием по фазе:
х1 =А, sin ((М—}— В). (5.5)
Подавая на вход колебания разных частот ω, мы каждый раз
А
будем определять величину усиления амплитуды 14::l и
Л
сдвига фазы В на выходе. Таким образом у нас получается
амплитудная A(m) и фазовая Β(ω) частотные характеристики
или одна заменяющая их амплитудно-фазовая частотная ха-
рактеристика следящей системы (рис. 35).
Практическое их значение состоит в ‚том, что они опре-
деляют собой установившиеся динамические ошибки сле-
дящей системы. От следящей системы требуется, чтобы она
на выходе воспроизводила возможно точнее закон изменения,
заданный на входе, т. е. величина х,… (рис. 23) должна
быть возможно ближе к величине х„(ъ‘). Как видно из фор-
мул (5.5) и (5.4), в идеале требуется, чтобы Α:], В=О.
Отличие усиления амплитуды А на выходе от единицы, по-
казанное штриховкой на рис. 35,а, называется ошибкой сле-
дящей системы по амплитуде, а величина В (рис. 35, б)

§ 5] ошивки пни выНуждвнНых колввхниЯх систвм 51
целиком является ошибкой следящей системы по фазе, в ре-
жиме установившихся синусоидальных колебаний при разных
частотах.
Частотные характеристики (рис. 35) показывают, что если
входная величина изменяется с любой частотой ω, находя-
щейся на участке Ο ς ως а)„ то она будет воспроизводиться
на выходе с малой ошибкой по амплитуде. Этот интервал
частот Οςωςω1 называется интервалом равномерного
пропускания частот. В следующем интервале частот
ωιςωςω2 колебания входной величины пропускаются
до
υ ἢ а ’7
а] MM h\
Рис. 36.
следящей системой, но с уменьшенной амплитудой. При бо-
лее высоких частотах ‹о>со2 амплитуда на выходе будет
столь малой, что практически это называют непропуснанием
частот, больших чем m2.
Другими словами, колебания входной величины с часто—
тами между ω1 и (о2 плохо воспроизводятся на выходе,
а колебания с частотами выше а), практически вовсе не
вызывают изменения выходной величины.
Имея в виду это свойство, говорят, что следящая система
служит как бы фильтром нижних частот (сглаживающий
фильтр). Это значит, что если входная величина хо (рис.23)
имеет сложную форму с «высокочастотными флуктуациями»
(рис. 36, а), то выходная величина х„ вследствие непропу-
скания системой высоких частот, будет более гладкой
(рис. 36,6). Это свойство является полезным, например,
в радиолокационных следящих системах, тде все эти высоко—
частотные флуктуации являются как раз помехами, которые
не должны воспроизводиться системой.
Итак, по частотным характеристикам следящей системы
можно судить о том, насколько данная следящая система

52 принцип действия систвм регулировьния [гл. I
может воспроизводить быстроменяющиеся величины. Подбо-
ром схемы и параметров следящей системы можно изменять
в желательную сторону пределы воспроизводимых системой
частот ω1 и (02. При проектировании следящих систем ста-
вятся требования к пропусканию определенного диапазона
частот, исходя из предполагаемого практического назначе-
ния системы.
Указанные выше помехи, имеющие место, например,
в радиолокационной системе сопровождения летящего само-
лета, обычно не заданы как определенные функции времени,
а известны вероятности появления той или иной конкрет-
ной формы помехи. Здесь мы имеем дело со случайными
процессами и случайными ошибками автоматических систем.
Указанный «вероятностный» характер помехи, а частои
самого полезного сигнала (входной величины), привел к ши-
рокому применению так называемых статистических методов
(с применением теории вероятностей) при расчетах следящих
систем и систем автоматического управления. Им будет спе-
циально посвящена глава V.
Выше мы убедились в том, что действительно, путем
присоединения автоматического регулятора мы можем очень
сильно изменять все статические и динамические свойства
объекта в желательную для нас сторону. В общей поста-
новке вопроса возможности здесь уже на современном этапе
развития техники практически безграничны, т. е. современная
автоматика может удовлетворять почти любые реальные
требования в_ етом отношении. Однако имеются опреде-
ленные ограничения с точки зрения физической осущест-
вимости желаемых качеств процесса регулирования и про-
цесса слежения, а также характера задаваемых программ,
в каждой конкретной системе при определенном ее кон-
структивном выполнении. Этого нельзя не учитывать как
при составлении технических требований для конкретных
систем, так и при расчетах и проектировании этих систем.
Все указанные ограничения в каждой данной конструк-
ции системы автоматического регулирования или следящей
системы приобретают конкретные числовые значения.
Однако имеется целый ряд средств (корректирующих уст-
ройств), при помощи которых можно сильно улучшить про-
цессы регулирования и слежения по всем их статическим и
динамическим характеристикам, что будет показано в главе VI.

§ 6] импульсныв Автомпичвскив систвмы 53
В настоящее время уже имеются все возможности для
достижения чрезвычайно высоких точностей и быстродействия
автоматических систем всех видов.
Наконец, необходимо отметить очень большое значение
проблемы надежности (безотказности) работы всех элемен-
тов автоматической системы, а также и системы в целом.
Это чрезвычайно важно для многих систем. автоматического
регулирования ответственных или опасных объектов, рабо-
тающих полностью без вмешательства человека. Известно,
что надежность всех отдельных элементов системы иногда
может не обеспечивать надежности работы системы в целом.
И наоборот, имеются пути для обеспечения надежной ра-
боты автоматической системы в целом при ограниченной
надежности ее отдельных элементов.
Эти вопросы требуют особого изучения и здесь не рас—
сматриваются.
§ 6. Импульсные автоматические системы
Чтобы наглядно представить себе принцип работы про-
стейшей импульсной системы регулирования, покажем, как ее
можно получить из обыкновенной линейной системы регули—
дада/лиж "'
' г
a _п_п.п_п_| I
||! '
᾽ξ- Лауда/изжил
Маг/т -
J
..Ξ
+
Рис. 37.
рования непрерывного действия, т. е. из разряда тех систем,
которые рассматривались в предыдущих параграфах.
Возьмем систему регулирования температуры непрерыв-
ного действия (рис. 37). Она работает согласно общей

54 принцип действия систем регулирования [гл. ι
схеме (рис. 10). Необходимо полдерживать постоянную тем-
пературу объекта, охлаждаемого воздухом. Регулирующим
органом являются шторки, угловое положение которых φ
определяет собой интенсивность поступления охлаждающего
воздуха.
Измерительное устройство регулятора состоит из термо-
метра сопротивления 1, включенного в качестве одного из
плеч моста 2, и гальванометра 3, измеряющего ток в диаго-
нали моста. Мост 2 настраивается так, что при заданной
температуре, которую надо поддерживать неизменной, ток
-›-і δ' Ф ͵
--—ч
ML. а ᾽
Г
№
Ё .7
y ξ @ш-т/ті
ξ |“4”””1.m”1;5
' Ц
№ Ἡ
Рис. 38.
в диагонали моста отсутствует. Таким образом, чувствитель-
ный элемент (I, 2, 3) регулятора дает на выходе пере-
мещение стрелки s, пропорциональное отклонению темпе-
ратуры θ.
Стрелка скользит по потенциометру 4, управляющему ра-
ботой двигателя 5. Якорь двигателя питается через потен-
циометр (и, возможно, усилитель). Двигатель 5 через редук-
тор 6 вращает шторки.
Существенным недостатком данной конкретной системы
является то, что стрелка гальванометра 3 (рис. 37) имеет
значительную механическую нагрузку в виде трения об об-
мотку потенциометра. Это заметно снижает чувствительность
измерителя, а значит, и всего регулятора к малым отклоне-
ниям регулируемой величины θ. Целесообразно было бы
предоставить стрелке гальванометра возможность двигаться
свободно без нагрузки. Это делается следующим образом.
На рис. 38 изображен вид на стрелку гальванометра 3
с торца (с носика). Носик стрелки движется вправо и влево
свободно, не прикасаясь к обмотке потенциометра. Над

§ 6] импульсные АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы 5'5
стрелкой помещена так называемая падающая дужки (П. Д.),
опирающаяся на эксцентрик, который вращается с постоян—
ной угловой скоростью ω. Когда падающая дужка приходит
в нижнее положение, она прижимает стрелку гальванометра 3
К обмотке потенциометра 4 на короткое время. В течение
остальной части периода
колебаний дужки стрелка 3 δ᾽
свободна. и) . |
Β результате при не- ! Ξ '
прерывном перемещении I” ᾽ . I. :>!—
стрелки s напряжение U,
питающее цепь якоря дви-
гателя, будет подаваться
с потенциометра в виде ко—
ротких импульсов (рис. 39, 6).
Постоянный период че-
редования импульсов Т за-
дается системе принудитель-
но извне и определяется величиной угловой скорости ω
вращения эксцентрика независимым от данной системы при-
волом. Длительность импульсов τ тоже постоянна.
Поскольку перемещение стрелки s пропорционально откло-
нению регулируемой температуры θ, а скорость вращения
‹іФ
вала элект О вигателя —
р д dt в
примерно пропорциональна
питающему напряжению U, а]
то, в первом приближении, W V,
получается импульсная за- ᾶν
висимость скорости враще- &]
ния привода регулирующего
\\
органа от отклонения регу- Л t
лируемой величины, пока-
занная на рис. 40. Там же φ
изображен вытекающий от— ду
сюда закон движения самого тд
регулирующего органа—
перемещение шторок φ (t). РИС— 40-
В первом приближении
они равномерно движутся во время подачи импульса и
затем стоят на месте в промежутке между импульсами,
"?

56 принцип действия систем регулирования [гл. ι
Ηα самом же деле, конечно, за счет инерционности
двигателя при подаче импульса напряжения нарастание и
ἀφ
убывание скорости Ἡ будет происходить не мгновенно, как
на рис. 40,6, а по некоторой кривой (рис. 41,а). Поэтому
d регулирующее воздей-
..ἕ ствие φ (1‘) Ha объект со
a’t стороны реального им-
”) пульсного регулятора изо-
0 I бразитсявнесколько сгла-
женном виде (рис. 41,6).
φ Отсюца видно требование
разумного назначения ве—
ἁ личины периода чередо—
᾿ _ вания Т и длительности
ТЛ 7 τ импульсов, обусловлен-
Рис. “_ ное инерционностью вы-
хода из импульсного
звена, в данном случае
инерционностью разгона и остановки (или, как говорят, «при-
емистостью») двигателя. Существуют, конечно, и другие
важные условия для выбора Т и τ.
Всякое устройство, которое осуществляет указанное на
рис. 39 преобразование непрерывной входной величины
δ’ (B данном случае s) В дис-
кретную импульсную ве-
д] личину (U), T. e. В
последовательность им—
Ἴῃ №7 пульсов с постоянным
периодом их чередования,
__ _ называется импульсным
&] >41 звеном. В данном примере
_ _ _ показано механическое
47H . ἐ импульсное звено с элек—
ι. _ трическим выходом. Βο-
Рис. 42. обще же в других авто-
матических системах оно
может осуществляться и чисто электрическими и электрон-
ными устройствами—там, где требуется малый период че-
редования импульсов Т (с другим входом, с менее инерци-
‘онным выходом из импульсного звена и для других объектов),

§ 6] импульсныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы 57
Импульсное звено, осуществляющее указанное на рис. 39
преобразование величин, называется импульсным звеном
типа l.
Применяется также и другое импульсное звено типа 2,
которое осуществляет показанное на рис. 42 преобразование,
при котором величина импульсов U постоянна, но зато дли-
тельность их τ переменна и пропорциональна значению
входной величины s в момент начала импульса, причем пе-
риод чередования импульсов Т остается по-прежнему
постоянным.
Импульсное звено типа 2 можно осуществить, например,
Β той же системе регулирования температуры с помощью
..-А AAA
VVV'VVVV
Рис. 43.
падающей дужки, имеющей наклонные вырезы, и с заменой
потенциометра на контактные пластины 4 (рис. 43).
Основной смысл введения импульсного звена Β системах
автоматического регулирования, подобных рассмотренной,
заключается в освобождении измерительного устройства
регулятора от нагрузки на его выходе. Это позволяет при—
менить более точное и тонкое маломощное устройство для
измерения отклонения регулируемой величины, т. е. улуч-
шить реакцию регулятора на это отклонение, с обеспечением
в то же время достаточной мощности регулирующего воз-
действия на объект. Кроме того, при импульсном режиме
уменьшается расход энергии на привод регулирующего
органа. В других системах (например, Β системах телеуправ-
ления и телеизмерения) импульсный режим может быть

58 принцип действия систвм регулировлния [гл. !
полезен также с точки зрения удобства построения многока—
нальных схем и т. п.
К импульсным системам относятся также системы авто-
матического управления и регулирования Β тех случаях,
когда Β замкнутый контур системы включается цифровое
вычислительное устройство. Это устройство бывает необхо-
димо В тех случаях, например, когда измерительные при-
боры Β системе управления не могут измерить непосред—
ственно отклонение регулируемой величины от требуемого
- [WWW/Mi „Уши/итти
”Ix/232%: дмг/лтд- ... дрифта-
ail/Mania ”WM/2%" r Мита/хдд
! уст/аудит усилит/дд
Ἀ ‚
‹уЛДЛі/іЯЯЛА/Ё
айда/Ил
Рис. 44.
(программного) значения и оно должно вычисляться по опре-
деленным формулам через показания измерительных приборов.
В других случаях цифровое устройство может служить для
вычисления не только отклонения, но и самого программного
значения регулируемой величины по каким-либо критериям
наилучшего качества работы данной системы (см. главу VIII).
Оно может выполнять и другие весьма разнообразные
функции.
Система регулирования или управления в этих случаях
будет работать как импульсная, потому что цифровое уст-
ройство выдает результат вычисления дискретно, т. е.
в виде импульсов через некоторые промежутки времени,
необходимые для производства вычисления. Это устройство
и будет играть роль импульсного звена системы (рис. 44).
Включение цифрового вычислительного устройства Β контур
системы управления сопряжено с преобразованием непре-
рывных величин Β дискретные на входе и обратным пре—
образованием на выходе.

ξ 6] импульсные АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы 59
Темп работы вычислительного устройства подбирается
обычно так, чтобы дискретность его действия не влияла на
работу системы в целом, т. е. чтобы частота следования
импульсов была достаточно высокой. Учитывать дискретность
системы необходимо для определения допустимой ее величины
Вообще же при достаточно высоком темпе работы цифро—
вого вычислительного устройства можно производить расчет
системы в целом как непрерывной.

ГЛАВА II
HEPEXOlIHblE ХАРАКТЕРИСТИКИ зввньвв
и СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Автоммичвских
систвм
§ 7. Разбивка автоматической системы на звенья
Приступая к анализу процесса регулирования или управ—
ления и к выбору структуры и параметров автоматической
системы, предварительно разбивают ее на отдельные звенья.
При этом определяют статические и динамические характе-
ристики каждого звена в отдельности.
Ждёт/тд?
Жми/у ,т—
ам: ту mam»
Рис. 45.
Поясним это на примере системы регулирования скорости
электродвигателя, принципиальная схема которой представлена
на рис. 18. Разбив ее на отдельные звенья, получим струк-
турную схему, показанную на рис. 45. Каждое отдельно
взятое звено имеет свою входную и выходную величины. Напри-
мер, тахогенератор имеет В качестве входной величины угло-
вую скорость вращения вала ω (B данном случае это регули-
руемая величина), а в качестве выходной величины — напряже-
ние “υ вырабатываемое тахогенератором. В электромашинном

§ 7] РАЗБИВКА автомьтичвской систвмы НА зввнья 61
усилителе входная величина—напряжение, приложенное
к цепи возбуждения, а выходная величина—ток I В цепи
якоря (соединенной последовательно с цепью якоря двигателя).
Регулируемый объект (электродвигатель), как звено общей
системы регулирования, имеет входную величину—ток I В
цепи якоря (регулирующее воздействие на объект) и вы-
ходную—угловую скорость ω вала двигателя (регулируе—
мая величина). Кроме того, ‚на регулируемый объект
поступает внешнее возмущающее воздействие {(ἢ Β виде
изменения нагрузки на валу двигателя илив виде нарушения
Μ}
—>, ?
‚”тут/Дуг—
! мд и’ Math @
_)— /д//7Мтрд— “᾽“
a) джига/лтд]
№
нормального режима независимого питания обмотки возбуж-
дения двигателя, которое должно быть неизменным (рис. 18).
После выяснения физического смысла всех входных и вы-
ходных величин каждого звена системы переходим к нахож-
дению статических и динамических характеристик каждого из
звеньев в отдельности. Начинаем с регулируемого объекта.
Заметим-, что сам регулируемый объект может тоже разби-
ваться на несколько звеньев, особенно, если он имеет не
одну степень своболы, как, например, самолет. Но даже и
при наличии одной степени свободы может оказаться целе—
сообразной разбивка объекта на звенья. В данном примере
этого не требуется.
Итак, рассматриваем регулируемый объект (электродви-
гатель) как одно отдельно взятое звено общей системы
(рис. 46). Статическая характеристика объекта должна
выражать собой зависимость между выходной (регулируемой)
величиной ω и входной величиной (регулирующим воздей-
ствием) ! Β установившихся режимах при разных постоянных
Рис. 46.

62 пвввходныв хлвАктвгистики зввньвв [гл. п
значениях внешнего воздействия f(t)=const =f°, T. e. при
разных постоянных значениях нагрузки Мнг на валу и неза-
висимого питания возбуждения Пп.
Из всех возможных установившихся режимов с постоян-
ными значениями нагрузки и питания один определенный сред—
ний режим является номинальным, на который в основном
рассчитана работа данного двигателя. Ему соответствует но-
минальная нагрузка на валу ΜἓΙΓ и номинальное напряже-
ние питания (13. При этих значениях будем считать/(і)=0.
Всякое же отклонение Мнг и Un OT номинальных, которое,
вообще говоря, может происходить произвольно во времени,
будет представлять собой
внешнее возмущающее воз-
действие f(t).
‚ Сначала построим ста-
тическую характеристику
объекта ω(|) при/=О, т.е.
при Μἳπ и U3 (жирная ли-
ния на рис. 47). Ее можно
определить расчетным путем
на основании теории элек-
трических машин или же
снять экспериментальным
Рис. 47° путем. Отметим на этой
кривой точку С, соответ-
ствующую номинальной угловой скорости ωο вала двига-
теля. Ей соответствует и определенное номинальное значе-
ние тока I°.
При увеличении нагрузки на валу статическая характери-
стика (0(1) пойдет ниже, а при уменьшении—выше (рис. 47).
Кроме того, за счет отклонения напряжения питания возбужде-
ния от номинального будет иметь место еще дополнительное
смещение статической характеристики (0(1).
Полученные статические характеристики регулируемого
объекта имеют, вообще говоря, криволин-ейное очертание,
или, как говорят, они являются нелинейными. Заметим, что
линейной называется статическая характеристика,. имеющая
вид прямой линии; всякое отступление реальной статической
характеристики от прямой линии будет нелинейностью.
Однако в процессе регулирования статическая характеристика
ШМ
ωθ

§ 7] РАЗБИВКА АВТОМАТИЧЕСКОЙ систвмы НА зввнья 63
объекта используется не на всем ее протяжении. Так, по самому
смыслу задачи автоматического регулирования отклонения Δω
(рис. 48, а) регулируемой величины ω от требуемого значе-
ния ω" должны быть малы. Аналогично сравнительно невелико
К‘“ Μ
і Slim/£7.
ωθ
и >: z? ‘7
а] ἆ}
Рис. 48.
должно быть и изменение ΔΙ тока цепи якоря I (рис. 48, 6). Все
колебания переменных ω и ! в процессе регулирования долж-
ны происходить, следовательно, вблизи точки С (рис. 49, a),
Aw[L:'Z§a—”] μω
o u:
} ᾽ Аа)
w- -——---- ----- 7,7 , @
Маши
, ”ί!“ %птгл]
I 07
т ἶ
”° 1" Йама
0}
Рис. 49.
отвечающей установившемуся номинальному режиму работы
двигателя (/°, ω"). На рис. 49,а изображена только одна
статическая характеристика при f: О.

C4 пвввходныв ХАРАКТЕРИСТИКИ зввньвв [гл. 11
Учитывая малость отклонений Δω И AI, можно (для упро-
щения расчетов) прилежащий к точке С криволинейный
отрезок статической характеристики ω... заменить прямой,
например, по касательной *) в точке номинального режима С.
Приняв теперь точку С за начало координат, можем нужный
нам «рабочий участок» статической характеристики вспрямлен-
ном виде изобразить отдельно (рис. 49, б) в новых осях коорди—
нат (AI, Δω), означающих отклонения величин I, со от их но-
минальных значений 1°, ω”.
Такая замена реальной нелинейной характеристики на
линейную, основанная на малости отклонений, называется
линеаризацией. Следовательно, рабочий участок статической
характеристики в линеаризованном виде (рис. 49,6) будет
описываться формулой
Am=koAl, (7.1)
где
_ радиан
Ιεθ-ἐξα (ῇεεκ-Μπερ) (7.2)
берется как положительное число, равное тангенсу угла на-
клона статической характеристики объекта ω(1) Β точке но-
минального режима С. Число ko имеет размерность, указан-
ную в формуле (7.2), которая соответствует размерностям
по осям ординат ω и абсцисс ! графика статической харак-
теристики.
Коэффициент ko называется крутизной статической харак—
теристики регулируемого объекта. Его называют также
коэффициентом усиления объекта по аналогии с усилите-
лями, а иногда еще передаточным числом объекта по анало-
гии с механизмами. В дальнейшем во всей книге эти три
термина (крутизна статической характеристики, коэффициент
усиления, передаточное число) всегда будут обозначать одно
и то же. Все три названия имеют свой смысл. Это число нам
действительно показывает, с каким коэффициентом (передачи,
усиления) передается входная величина звена 1 Ha выход
данного звена ω (рис. 46).
Надо помнить, что определенная величина коэффициента k0
справедлива вблизи данной номинальной точки С (рис. 42, а),
причем действие ее распространяется тем дальше от точки С,
*) Можно также проводить не касательную, а секущую.

§ 7] РАЗБИВКА Автомхтичвской систвмы НА зввнья 65
чем меньше кривизна статической характеристики. Однако
надо всегда иметь в виду, что при перенастройке системы
на другой номинальный режим (на другое ω“) надо брать и
другое значение k0, если крутизна статической характери—
стики в новой номинальной точке будет заметно отличаться
от старой.
Таким образом, мы определили статические свойства дви-
гателя как объекта регулирования (как звена общей системы).
Совершенно аналогично нужно поступать и для всех других
объектов регулирования во всех отраслях техники.
Обратимся теперь к динамическим характеристикам
звена в переходном процессе (собственные колебания звена),
АЛ АША
Λ
Ги}? лтд“/$41}
\ - _ _ _
Л ᾽ а] ΐ д ᾖ] 3‘
Рис. 50.
которые называются переходными или временными характе-
ристиками. Кроме того, необходимо определять также дина-
мические характеристики для вынужденных колебаний звена,
которые называются частотными характеристиками (они
будут рассмотрены в главе IV).
Для получения переходной характеристики подают мгно-
венно скачком на вход звена некоторое постоянное значе-
ние и наблюдают переходный процесс (свободные колебания)
на выходе Звена.
В данном случае (рис. 46) при сохранении номинальной
нагрузки на валу и номинального напряжения питания возбуж-
дения двигателя (т. е. при f: O) каким-нибудь способом надо
изменить скачком ток I Ha входе на некоторую постоянную
величину Alc (рис. 50, а). При этом угловая скорость воз-
растет согласно формуле (7.1) на величину Amc=koAlc.
Однако это увеличение скорости произойдет не мгновенно,
а по прошествии некоторого времени гс, в течение которого
будет происходить переходный процесс. Это и есть переход—
ная характеристика звена (рис. 50, б).
3 E. П. Попов

66 пврвходныв ХАРАКТЕРИСТИКИ зввньвв [гл. n
Постепенность изменения выходной величины звена при
мгновенном изменении входной называется инерционностью
звена. Как увидим ниже, она может проявляться в разных
формах переходных процессов (апериодических и колебатель-
нЫх). Чем больше время переходного процесса при скачке
входной величины, тем более инерционным считается звено.
А!“
! β
[) щ
шт
”г!/"7; дала/л
..?/ИУ
Рис. 51, Рис. 52.
Возьмем теперь другое звено той же системы (рис. 18),
например, электромашинный усилитель (рис. 51). Его стати-
ческой характеристикой в данном случае будет зависимость
между выходной величиной I (ток якоря) и входной величи-
ной и, (напряжение возбу-
flu/a ждения) в установившихся
“ режимах при постоянных и,
а] (W39 и I. После линеаризации,
аналогичной вышеизложен-
Л ἠ;- ной, она изобразится в виде
рис. 52. Для по'лучения пе-
реходной характеристики
подаем на вход скачком из-
менение и, на величину АЦ8С
и наблюдаем переходный
процесс на выходе Δ|(ί).
Допустим, что при двух
Рис. 53_ разных вариантах парамет-
ров элек'громашинного уси-
лителя мы получили две разные переходные характеристики
(рис. 53, б и 54,6), первая из них апериодическая, но
другой формы, чем на рис. 50,6, а вторая —колебательная.
Указанные три вида переходных характеристик (рис. 50,
53, 54), определяющие свойство инерционности звена, яв-
ляЮтся типичными. Они имеют такие же формы идля других

§ 8] пвввходныв ХАРАКТЕРИСТИКИ тип. позиционных зввньвв 67
самых разнообразных звеньев систем автоматического регу-
лирования, следящих систем и т. п., разной физической
природы и конструкции во всех отраслях техники. Поэтому
можно ввести общие термины.
Всякое звено, независимо от его физической природы
и конструкции, обладающее переходной характеристикой вида
рис. 50, 6, называется апериодическим звеном (его же иногда
называют просто инерционным звеном). Если же переходная
характеристика имеет вид рис. 53, 6, то звено называется
апериодическ'им звеном второго порядка. Наконец, всякое
звено, обладающее перехоцной характеристикой вида
рис. 54, 6, называется колебательным звеном.
м
" ΐε ___—>.!
All ` ` `
1 *’ oy- _ — —— __ —-5.-
ail ‘44”. /// / @@@/416:
{в κ᾿ fl ἷ
Рис. 54.
Кроме них существует еще ряд типовых звеньев автома-
тических систем; они будут рассмотрены ниже. Все звенья,
в которых после окончания переходного процесса устанавли-
вается вполне определенное постояннОе значение выходной
величины при постоянном значении входной величины (что
имело место в приведенных выше примерах), называются
позиционными звеньями. Звенья же, производящие операцию
дифференцирования или интегрирования входной величины,
называются соответственно дифференцирующими и интегри-
рующими. Последние именуются еще астатинескими.
§ 8. Переходные характеристики типовых позиционных
звеньев
Рассмотрим общие свойства переходных характеристик
различных типов звеньев. Обозначим входную и выходную
величины звена через х и у. В настоящей главе мы будем
иметь дело только с линейными звеньями, т. е. такими,
у которых статические характеристики имеют вид прямой

68 пврвходныв ХАРАКТЕРИСТИКИ зввньвв [гл. "
линии. К нелинейным звеньям обратимся лишьв главе VII.
Итак, пусть статическая характеристика звена имеет вид
y=kx (рис. 55), как и в приведенных выше примерах. Ве-
личина .k есть коэффициент усиления звена.
1. Переходная характеристика апериодического звена
показана на рис. 56, 6. Математически эта кривая описы-
вается следующей формулой (пока—
3’“ зательной функцией, которая `назы-
a: вается экспонентой): t
‹” y=yc(1—e „, Μ
ἆξΐἔαιζρωῄφ] где ус—установившееся значение
выходной величины у, причем со-
Рис. 55. rnacnoxramqecxofi характеристике
Ус=1°хс _
Величина Т называется постояннои времени апериоднче-
ского звена и имеет размерность времени [сек]. Она опреде-
“”+
4
а] “ξ“
_ >!
ἆ’Λ
___—__ 'Г
ἆ} Λ
‚;;-вт
0 < &=” ‘
Рис. 56.
ляется на графике переходной характеристики, как величина
проекции касательной на линию установившегося значения
у=ус (рис. 56, 6), причем во всех точках кривой она одина-
кова. Так как касательные к экспериментально полученной

§ 8] flEPEXOIlelE ХАРАКТЕРИСТИКИ тип. позиционных зввньвв 69
кривой y(t) проводить точно бывает трудно, то можно взять
две-три точки кривой (как на рис. 56, 6), найти для каждой
из них величину Т и выбрать какое—то среднее ее значение.
Кроме того, для уточнения этого значения надо использовать
следующее свойство кривой (8.1): в точке != Т переменная у
должна иметь значение y=0,63yc.
Таким образом, имея из опыта переходную характеристику
звена, мы можем определить его постоянную времени Т, и
наоборот, если нам известна постоянная времени Тзвена, то
мы можем по формуле (8.1) построить его переходную ха-
рактеристику. На рис. 56, б видно, что чем больше постоян-
ная времени Т, тем более полого пойдет кривая y(t), T. e.
тем длительнее будет переходный процесс установления вы-
ходной величины ус. Поэтому говорят, что постоянная вре-
мени Т апериодического звена характеризует его инерцион—
ность (инерционное запаздывание в передаче входного сигнала
на выход звена). Длительность переходного процесса будет
ἐς = 3T [се/с] (8.2)
[согласно формуле (8.1) наша кривая приближается к значе-
нию ус асимптотически, т. е. у=ус только при t: оо, но
практически уже за время t ::: 3T эта кривая почти сливается
с прямой у=ус].
Итак, апериолическое звено характеризуется двумя чис—
ловыми данными: 1) коэффициентом усиления или передаточ-
ным числом k, определяющим статические свойства звена,
2) постоянной времени Т, определяющей динамические
свойства звена.
Переходная характеристика вида рис. 56, 6, описываемая
экспонентой (8.1), является решением следующего дифферен-
цИального уравнения:
d
rig—Hz“. (8.3)
Следовательно, динамика апериодического звена описы-
вается обыкновенным дифференциальным уравнением пер-
вого порядка с постоянными коэффициентами.
Дифференциальное уравнение звена очень важно знать,
потому что оно содержит в себе не только переходную ха—
рактеристику звена (8.1) (рис. 56, 6), но и многие другие
свойства этого звена, которые нам тоже дальше понадобятся
при анализе качества рабо-ты автоматических систем.

70 пврвходныв ХАРАКТЕРИСТИКИ зввньвв [гл. 11
Заметим, что дифференциальному уравнению (9.5) соот-
ветствует характеристическое уравнение
Tp+1=0, (8.4)
корнем КоТор`ОГО является значение
1
Вместо дифференциального уравнения динамики звена (9.5)
часто пишут так называемую передаточную функцию звена:
у__ k
T—T—p—I—l’ (8.6)
которая обозначается через W, T. e.
k
Она фактически имеет тот же самый смысл, что И уравне-
ние (8. 3), только в других обозначениях. Чтобы перейти от
передаточной функции к дифференциальному уравнению,
нужно переписать выражение (8.6) следующим образом:
k
после чего надо раскрыть СКОбКи и ру заменить на %.
Следовательно, буква р Β выражении передаточной функции
звена всегда соответствует производной по времени Β диф-
ференциальном уравнении.
Передаточными функциями мы воспользуемся лишь Β гла-
вах ιν И V, а здесь их пока употреблять не будем.
2. Переходная характеристик-а апериодического звена
второго порядка показана на рис. 57,а. Проведем каса-
тельную к данной кривой в точке перегиба Π и отметим
три отрезка времени і", і„ Τ᾿ (рис. 57,а). Динамика апе-
риодического звена второго порядка описывается дифферен-
циальным уравнением второго порядка
Τ: (17%“— 1 dt y+y =]”: (Т] > 2Т‚)‚ (8.9)
причем Tl берется непосредственно из графика переходной
характеристики y(t) (рис. 57,а), а величина T: опреде-
ляется специальпым графиком на рис. 57, б в зависимости

§ 8] HEPEXOIIHHE ХАРАКТЕРИСТИКИ тип. позиционных зввньвв
71
Л]
IA `Гц—"ЬЦЁД 7;-
+ ------ --—- -_-.-
: :
: : П ἆ’ἦἷὧἰ'
Л tin—pi ,c 7
Т 2 ᾽ "‘"
.ἆ
1 g
И,
02 ‚
Рис. 57.

72 ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ зввньвв [гл. 11
от tl и Τ,. Как видим, динамика апериодического звена вто-
poro порядка определяется двумя постоянными времени Т,
и Т, [сек], причем Т,>2Т,. То же самое уравнение (8. 9)
записывается также еще в другом виде:
Ta Τι d—t—z zy+(T;+T4) a—z—i—y-‘ka, (8.10)
что совпадает с уравнением (8.9), если Τξ:Τ,,,Τ
Τ, = Τ, + Τ,. При этом величины Τ, и Τ, тоже определяются
специальным графиком (рис. 57, в) в зависимости от измерен—
ных на кривой переходной характеристики величин t1 и Τ,.
На том же графике показана еще зависимость tn от
ι', и Τ,. Эта величина tn дана здесь для целей проверки.
В самом деле, на экспериментальной кривой y(t) бывает
трудно с достаточной точностью найти точку перегиба и про-
вести в ней касательную. Проделав это возможно тщательнее,
надо затем после взятия с чертежа γα) размеров Τ, и ί,
удостовериться в том, что на графике рис. 57, в для этих дан-
ных получается значение ι'", примерно такое же, как на кри-
вой y(t). В противном случае надо заново провести касатель-
ную, добившись примерного совпадения этих значенийгп.
Переходная характеристика апериодического звена вто-
рого порядка (рис. 57,a), математически являющаяся реше-
нием дифференциального уравнения (8.9) или (8.10), запи-
сывается в виде
Т -; Т __1
y=yc(‘—fi——’—T.e “ж+ж "‘)° (8-1”
Это— сумма двух экспонент с разными постоянными вре-
мени Т, и Т,.
Дифференциальному уравнению (8.9) [или (8.10)] соответ-
ствует характеристическое уравнение
ТЁр’+ Т,р+ 1 =0 или Τ,Τ,ρ᾽-|-(Τ,-|- Т,)р+1=0‚
которое имеет два корня
— Т. +VT§ — 4T;
1
р'——Ё_ 2T; ’
—T,—V Τξ-4Τ;
4 2T:
(8.12)

§ 8] пврвходныв ХАРАКТЕРИСТИКИ тип. позиционных зввньвв 73
Эти корни и стоят в показателях двух слагаемых экспонент
в выражении переходной характеристики (8.11), точно так же
как корень (8.5) стоял в показателе экспоненты (8.1) для
апериодического звена
первого порядка.
3. Колебательное
звено обладает коле-
бательной переходной
характеристикой, по-
казанной на рис. 58, а.
Амплитуда колебаний
затухает по экспонен-
те (см. пунктирные
кривые на рис. 58, a).
По графику переход-
ной характеристики
y(t) мы можем опреде-
лить постоянную вре—
мени Тэтой экспонен-
ты (это можно сделать
по двум-трем точкам
верхней и нижней эк-
спонент). Кроме того,
замеряем на том же 0 Z ἀ i J И
графике полупериод Рис 58
колебаний ἵ,. По от- " ᾽
ношению этих двух
величин Т/ъ‘1 на основании специального графика на рис. 58, 6
находим величину Τ, и вычисляем
2 TIT
Т:: 2
Это даст нам возможность записать дифференциальное
уравнение колебательного звена
723% + Т. d—yt+y=kx ‹Т.<2Т_‚›‚ (8.13)
которое является уравнением второго порядка того же вида,
что и уравнение (8.9), с той только разницей, что здесь
соотношение между постоянными времени Tl и T2 иное, а
именно: Тд<2Тг Следовательно, соотношение этих двух

74 пврвходныв ХАРАКТЕРИСТИКИ зввньвв [гл. n
постоянных играет очень большую роль, которую можно
описать следующим образом. Постоянная Tl характеризует
собой демпфирование собственных колебаний звена, a по-
стоянная Tz— их раскачивание.
Формула для переходной характеристики колебательного
звена (рис. 58, a), как решение уравнения (8.13), будет
τ
y:_—yc[1—e-7 (cosmt+7.l—wsinmt)] , (8.14)
где Т—постоянная времени затухания амплитуды колебаний,
ω- частота колебаний, причем
2T; π l/ 4Τξ- Τξ
Т=—‚ Ф=—=—————. (8.15)
Τι t1 2T:
Время затухания колебаний будет {съ 3T.
Характеристическое уравнение для (8.13)
ТЁр’+ Т,р+ 1:0
имеет комплексные сопряженные корни
1 . . ——
р…=—7і1‹0 ‹1=1/— ι), (8.16)
чем и объясняется, математически, колебательное решение
(8.14) вместо апериодического (8.11)᾽ которому соответствова-
ли вещественные корни (8.12).
При отсутствии демпфиро-
вания (Т, = 0) дифференциаль-
гное уравнение колебательного
звена (8.13) получит вид
2
Ti§§+y=kx, (8.17)
Рис. 59. и переходная характеристика
выразится в форме незатухаю—
щих колебаний с постоянной амплитудой (рис. 59)᾿ которые,
в отличие от затухающих колебаний (рис. 58, а), назы-
ваются периодичесними колебаниями:
y=yc(1-—cos—Tt—z), (8.18)

§ 8] HEPEXOIIHblE ХАРАКТЕРИСТИКИ тип. позиционных зввньвв 75
причем характеристическое уравнение ТЁр2+1:О будет
иметь чисто мнимые корни
. 1
р…: πω, (0:77. (8.19)
2
4. Идеальным (чисто усилительным безынерционным)
звеном называется такое звено, постоянная времени Т(рис. 56)
которого настолько мала, что ею можно ‘“
пренебречь, и переходную характери- ‘
стику изобразить в виде рис. 60. ᾽ л
Такое идеальное звено не обладает "&=&-32-
инерционностью и мгновенно дает на _ 7+—
выходе величину у:!гх. Математиче- ” t
ски это соответствует тому, что, пре- Рис. 60.
небрегая постоянной времени Т ввиду
ее малости в дифференциальном уравнении (8.3), мы полу-
чаем уравнение динамики звена в виде
у : kx, (8.20)
T. e. для идеального (усилительного) звена уравнение дина-
мики перестает быть дифференциальным уравнением, а ста-
новится простейшей алгебраической завйсимостью, которая
совпадает со статической характеристикой.
Идеальным звеном можно считать, например, электронный
усилитель, помещенный в электромеханическую систему регу-
лирования (рис. 18), так как его постоянная времени очень
мала по сравнению с постоянными времени (т. е. инерцион-
ностью) электромеханических устройств (ЭМУ, двигателя и
т. п.). Идеальным звеном можно ”A
также считать преобразование ме-
ханического перемещения в элек- - τ “&=/Ъ?
трическое напряжение с помощью по- v ΄’᾽ :
тенциометра или реостата (рис. 23), д ’ ’7
так как напряжение, снимаемое
с потенциометра, при достаточно Рис. 61.
тонкой обмотке изменяется мгно-
венно при перемещении движка и пропорционально ему.
5. В отличие от рассмотренного выше инерционного
запаздывания иногда бывает необходимо учитывать чистое

76 пврвходныв ХАРАКТЕРИСТИКИ зввньвв [гл. "
запаздывание по времени, когда выходная величина идеально
повторяет входную, но с отставанием на постоянный отре-
зок времени τ (рис. 61), что описывается уравнением
_щн=мхи—ту юао
§ 9. Переходные характеристики дифференцирующих
и интегрирующих звеньев
Часто в системах автоматического регулирования приме-
няются кроме рассмотренных выше еще так называемые диф-
ференцирующие и интегрирующие звенья.
1. Идеальное дифференцирующее звено представляет
собой устройство, которое на выходе дает «чистую» (без
искажений) производную по времени от входной величины, т. е.
d
γΞκᾖ. юм
В качестве примера такого звена можно привести тахогене-
ратор в случае, если входной величиной х служит угол по-
ворота вала. Тахогенератор дает напряжение, пропорциональ-
ное угловой скорости вращения вала
U=kco,
но угловая скорость ω является, как известно, производной
по времени от угла поворота вала φ. Β результате получаем:
ἀφ
[!=/за?, (9.2)
что совпадает с уравнением дифференцирующего звена (9.1).
Если же входной величиной тахогенератора является ω, как
в схеме на рис. 18, то это будет идеальное звено (рис. 60).
Построим переходную характеристику идеального диффе—
ренцирующего звена. Для этого подадим на вход скачком
постоянное значение x=xc (рис. 62, α). Согласно уравнению
(9.1), на выходе будет у::О как при х=0, так и при
х=хс. Только лишь в момент изменения x, T. e. только
dx
В самой точке i=0, производная —— He будет нулем. Если
df
dx
скачок мгновенный, то производная d—t
бесконечностью, и переходная характеристика будет иметь
в точке i=0 будет

§ 9] ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИФФЕРЕНЦНРУЮЩИХ зввньвв 77
вид мгновенного импульса (сплошные линии на графике у,
рис. 62, 6). Но так как Β природе всегда будет не чисто
мгновенное изменение (пунктир на графике х), то И импульс
на выходе будет конечным (пунктир на графике у), хотя И
очень кратковременным.
Переходная характеристика Идеального дифференцирую-
щего звена не очень наглядна. Поэтому на рис. 62, г по-
казан график выходной величины y(t) этого звена при про-
извольном изменении входной величины x(t) (рис. 62, в).
Ліда/итд ;!
ἆ»- іафтіДв/‚ш— ᾽-1ν-
ута/т ада/т
‘ТА
I, λ
а] I ‘2';-
Л 7
!
Лит/№036 „
(um лат: .Ζ’
ἆ; --. и” “
!
Л 2‘
Рис. 62.
dx
График у=ігЩ здесь легко построить при любом х, если
вспомнить геометрический смысл производной—тангенс угла
наклона касательной _к кривой x(t). В результате y(t) будет
иметь максимум и минимум в тоЧках перегиба Π Η Π кри-
вой κα), так как там кривая κα) имеет наибольший наклон
(рис. 62, в, г). В точках же максимума Μ, Η минимума !И2
кривой x(t) получается γε.-Ο, так как касательные к κα)
Β них горизонтальны.
2. Не всегда удается сделать Идеальное дифференцирую—
щее устройство, дающее согласно (9.1) производную без
искажений. Всякое реальное устройство будет обладать инер—
ционностью в большей или меньшей степени, выражающуюся
в наличии некоторой постоянной времени. Поэтому, по анало-
гИИ с формулой (8.3), инерционное дифференцирующее звено

78 HEPEXOIIHHE ХАРАКТЕРИСТИКИ зввньвв [гл. и
вместо (9.1) описывается уравнением
dy dx
TEE—I—kaEZ' (9.3)
Это относится ко многим дифференцирующим устройствам
различных типов. В примере с тахогенератором это будет
означать, что он вырабатывает напряжение U He идеально
(іі—[Ф, как в формуле (9.2),
a с искажением в виде инерционного запаздывания, характе-
ризующегося постоянной времени Т:
dU _ аф
ТЁ—і—и—ЁЁ'
пропорциональное угловой скорости
Переходная характеристика инерционного дифференци—
рующего звена показана на рис. 63 и описывается формулой
t
_ Где?, т,
являющейся решением дифференциального уравнения (9.3).
If Легко видеть, что при T=0
(идеальное дифференцирующее
7ch звено) график рис. 63 вырож-
7— дается в мгновенный импульс
᾽ > (рис. 62, 6).
ἅμ’-”| I" 3. Идеальное интегрирующее
Рис. 63. звено представляет собой такое
устройство, у которого выходная
величина пропорциональна интегралу от входной величины
по времени, т. е.
›; = k S x (t) dt, (9.4)
или, что то же самое, производная от выходной величины
по времени пропорциональна входной величине
dy 9
—= . .5
dt ,” ( )
Переходной характеристикой идеального интегрирующего
звена согласно (9.4) будет наклонная прямая y(t) (рис. 64),
так как интеграл геометрически представляет собой площадь
под кривой x(t), a В данном случае (x=const =xc) эта

ξ 9] ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩНХ зввньвв 79
площадь возрастает пропорционально абсциссе t:
yzkxct.
Примером такого звена может служить маломощный
электродвигатель, сконструированный так, что угловая ско-
рость вращения его вала ω точно про-
порциональна напряжению U В цепи ул; ,?
яко я ya: ὦ}
Ρ (о:/ги
α
или в выражении через угол поворота ‚_
вала (p, δ’ δ
ἀφ
——:_—k 9.6
d, U, ‹ ›
Рис. 64.
что соответствует уравнению интегри—
рующего звена (9.5), если выходной величиной у звена
является угол поворота вала Двигателя φ.
4. Однако электролвигатель всегда имеет более или менее
заметную инерционную постоянную времени, вследствие нали-
чия механического момента инерции вала двигателя и. вр`
щаемых этим двигателем масс. у“
Поэтому уравнение электродви- t α:͵ἰ2:’
гателя вместо (9.6) обычно имеет i "
вид a
d’q> ἀφ _ +
ΤΕΡΔΓἘ-ω. (97) ”~74 t
Рис. 65.
Это —— инерционное интегри-
рующее звено, уравнение динамики которого в общем виде
будет
d’y dy
l'Iepekonnaa характеристика инерционного интегрирую-
щего звена показана на рис. 65. Ее формула, как реше-
ние уравнения (9.8), будет
t
y=kxct—— kch(1—e_7). (9.9)
5. Апериодичесное звено с введением производной—
это устройство, которое, в отличие от (8.3), описывается
уравнением
dy dx
Ta—l—kalx—i-‘kzai. (9.10)

80 составление УРАвнвний автоматических систем [гл. и
Таким уравнением описывается, например, цепочка, изо-
браженная на рис. 66, если через х и у обозначить напря-
жения на ее входе и выходе.
Переходная характеристика апериодического звена с вве-
дением производной, как решение уравнения (9.10), будет
k __‘_
y=yc[1—(1—fi)e T], ус=ь,хс. (9.11)
Она изображена на рис. 67 в двух вариантах: іг,</г,Т
и kz>le. Интересно отметить, что если k2=le, то по-
лучится характеристика
‘ идеальногозвена(рис.60),
" уравнение которого нам
¢-——0 ' уже известно: y=kx.
ιΖ'
ρ’
Lnfu'ummr— y Следовательно, при із, =
ftp; =kl'l‘ производные в
уравнении (9.10) с обеих
сторон как бы компенси-
РУЮТ дРУГ друга.
Наконец, укажем, что возможны более сложные типы
звеньев, встречающихся в системах автоматического регу-
лирования. В частности,
ἆ; 1’7 различными электрическими
"""" "" цепочками и электронными
схемами можно «набирать»
дифференциальные уравне-
ния с любыми правыми и
левыми частями, т. е. созда-
вать любые типы сложных
звеньев. Это так называе—
мые операционные усилите-
ли, корректирующие и вы—
числительные устройства,
которые широко применя-
Рис. 66.
Рис. 67.
ЮТСЯ В современных системах автоматического управления.
§ 10. Примеры составления уравнений динамики
регулируемого объекта
Анализ процесса регулирования или управления можно
производить различными способами: расчетным путем, экспе-
риментально и путем комбинирования расчетов с экспери-

§ 10] yPABHEHmI IIHHAMHKH РЕГУЛИРУЕМОГО ОБЪЕКТА 81
ментом. Для расчета процесса регулирования нужно соста-
вить уравнения динамики всех звеньев системы. Для экспе-
римента надо иметь выполненную конструкцию регулятора
в натуре или в виде действующего макета, а также иметь
и сам объект. Однако одним только экспериментом не удается
обойтись при создании автоматического регулятора. Комби-
нирование же расчетов с экспериментом часто бывает выгодно,
потому что для одной части системы (например, чисто элект-
рической и электронной) бывает легче построить действую-
щий макет, чем составить уравнения, a для другой части—
наоборот. При этом большое значение имеет моделирование
динамики процессов автоматического управления с использо—
ванием электронных математических машин.
Г Л I
‚<% - “ flay/Izzy y дла/три ἐ
ш “Μ“
0 ддт ттт гадит/И
«ед/Рая |
\ Да;/Жажа
ἃ}
Рис. 68.
Β качестве первого примера на составление уравнений
рассмотрим простейшую систему регулирования напряжения
генератора постоянного тока. Принципиальная и структурная
схемы системы регулирования приведены на рис. 68. Регу-
лируемым объектом является генератор постоянного тока Г
с параллельным возбуждением. Регулируемая величина—
напряжение U на клеммах генератора, от которых питается
электрическая сеть с различными нагрузками (на схеме не
показано). Привод для вращения якоря генератора тоже на
схеме не показан.
Автоматический регулятор должен поддерживать постоян-
ное напряжение U при различных нагрузках и различных
скоростях привода. Он состоит из измерительного устройства
и регулирующего органа, связанных друг с другом непосред-
ственно (регулятор прямого действия). Измерительным устрой.-

82 СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Автомктичвских систЕм [гл. 11
ством является электромагнит I с сердечником 2. Обмотка
электромагнита l включена через реостат задатЧика 4
Ha напряжение U, подлежащее регулированию. Регулирую-
щий орган представляет собой реостат 3, включенный
в цепь возбуждения генератора Ο. Движок регулирую-
щего реостата 3 жестко связан с сердечником 2 электро-
магнита.
Возмущающее воздействие f(t) появляется в результате
включения и выключения потребителей в электрической сети,
питаемой данным генератором, или в результате изменения
режима работы этих потребителей. Кроме того, возмущающее
воздействие может быть результатом нарушения нормальной
угловой скорости вращения привода генератора. Возмущаю-
щее воздействие вызывает нежелательное отклонение напря-
жения U от требуемого значения. По какой бы причине оно
ни происходило, регулятор автоматически ликвидирует это
отклонение.
Если, например, напряжение U по какой-то причине на-
чало падать, уменьшится ток !„ а значит, и тяговая сила
электромагнита 1. Поэтому сердечник 2 вместе с движком
регулирующего реостата 3 оттянется пружиной вниз. В ре-
зультате уменьшится сопротивление цепи возбуждения, воз-
растет ток возбуждения ], чем ликвидируется начавшееся
падение напряжения U.
Реостат задатчика 4 заранее устанавливается в опреде—
ленное положение. Чем выше установлен его движок, тем
более высокое напряжение U будет поддерживать данный
регулятор. В самом деле, если движок 4 (CM. рис. 68, а) по-
ставить, например, выше, то сопротивление цепи электро-
магнита будет больше. Ток II В обмотке электромагнита
станет меньше. Поэтому движок регулирующего реостата 3
под действием пружины станет ниже. Ток возбуждения I
будет больше, следовательно, на клеммах генератора будет
поддерживаться более высокое напряжение.
Как уже говорилось, система автоматического регулирова-
ния разбивается на отдельные звенья (см. структурную схему
на рис. 68, б). В данном случае измерительное устройство
оказывается удобным разбить на два звена: электрическая
часть (цепь обмотки электромагнита) и механическая часть
(сердечник с пружиной). На структурной схеме показано
стрелками направление передачи воздействий, образующее

§ 10] УРАВНЕНИЯ диНАмиКи РЕГУЛИРУЕМОГО ОБЪЕКТА 83
замкнутый контур, и указаны физическиевеличины, которые
соответствуют этим воздействиям.
Для составления уравнения динамики регулируемого
объекта (генератора), как одного звена общей замкнутой
системы, изображаем это
звено отдельно (рис. 69). -—>-f, 4’?
Ha его структурной схеме | Л
имеются три величины: вход- [| ;Д/Рб’ёд/Щёж [;
ная величина звена r, вы- ᾽ "᾽" „%%/[„ "᾽
ходная величина звена U и №} _
возмущающее воздействие тр
f(t). Поэтому надо составить Рис. 69.
такое уравнение динамики,
которое давало бы связь между этими тремя величинами.
Сначала напишем уравнение динамики цепи возбуждения.
Так как эта цепь обладает омическим сопротивлением (R+r)
и индуктивностью L, то ее уравнение будет
(R+r)1+L§—:=U. (10.1)
В динамике (в переходном процессе) переменными с те-
чением времени t будут: ток возбуждения I, напряжение на
клеммах генератора U и сопротивление регулирующего
реостата r.
Это есть дифференциальное уравнение первого порядка.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если все
переменные и все производные от этих переменных входят
только в первой степени и все они только складываются или
только вычитаются между собой. В противном случае урав-
нение будет нелинейным. В нашем уравнении (10.1) каждая
dl
переменная в отдельности (r, I, U), а также и производная ?;
имеют первую степень, но переменные г и !перемножаются
между собой. Это уже означает, что наше уравнение ока-
залось нелинейным.
Нелинейные уравнения решать гораздо труднее, чем ли-
нейные. Поэтому, если можно, надо всегда стараться привести
полученное уравнение к линейному виду. Проделаем это.
Вспомним, что задача автоматического регулирования со—
стоит в том, чтобы удерживать напряжение U вблизи задан-
ного постоянного значения (обозначим его через U°). Тогда

84 COCTABJIEHHE ypABHEHnfi ABTOMAqucxnx CHCTEM [гл. 11
в процессе регулирования (согласно рис. 70, a) будет
U=U°+AU, (10.2)
где АЦ—переменное во времени отклонение регулируемой
величины, которое остается все время малым.
и” If”,
№-
1
”0
Φ а
а „] :
Рис. 70.
Аналогично предполагаем, что ток возбуждения I и сопро-
тивление (R+r) тоже будут иметь в процессе регулирова-
ния малые отклонения Δ! и Ar (рис. 70, б) около некото-
рых постоянных значений 1° и (R+r°):
l.—_-[°+Al, R+r=R+r°+Ar. (10.3)
При этом для определения постоянного значения тока I“, когда
индуктивность не проявляется, вместо уравнения динамики
(10.1), можем написать уравнение установившегося режима
(R+r°)l°=U°. ` (10.4)
Подставив теперь выражения (10.2) и (10.3) в формулу
(10.1), получим:
(R+r°+Ar)(/°+AI)+L‘%=U°+AU
ИЛИ
(R+r°)1°+(R+r°)A1+1°Ar+A1Ar+Liftl=u°+Au
Отсюда вычтем почленно уравнение установившегося ре-
жима (10.4). Будем иметь
dAl
(Н+-Р)А1+1°Аг+А1Аг+ЬЪТ=АЦ (ΙΘ-5)

§ 10] YPABHEHHH nHHAMHKH регулируемого овъвктх 85
Поскольку ΔΙ и Аг—малые, то их произведение AIAr будет
настолько мало, что им можно пренебречь (это малая выс-
шего порядка). Например, если AI=0,03 OT 1° и Ar=0,02
от R+r°, то первые три члена уравнения (10.5) будут
(R + г°) - 0,031ο + [° . 0,02 (R + r°) + 0,00061° (R + г°) :
= 0,050610(R+ "О);
если же пренебречь произведением AIAr, то получим незна-
чительное отличие
(12+ г°) . 0,031° + 1° . 0,02 (R + r°) = 0,051° (R+r°).
Поэтому, пренебрегая величиной произведения AIAr, при—
ходим из (10.5) К следующему уравнению динамики цепи
возбуждения, записанному в отклонениях всех переменных:
„ о dAI__
(R+r)A/+IAr—|—L7t—__AU. (10.6)
Оно, в отличие от исходного уравнения (10.1), уже является
линейным относительно всех переменных (Δ], ΔΓ, AU) и их
dAI
проиЗВОДных (ἷἶ) .
Такое превращение нелинейного уравнения в линейное
называется линеаризацией. Линеаризация уравнений всех
звеньев или части звеньев делается при расчете любых си-
стем регулирования. Она всегда базируется на малости от-
клонений всех переменных величин в процессе регулирова-
ния от их установившихся значений. Линейное уравнение
всегда выражается в отклонениях, как (10.6), причем оно
всегда бывает более приближенным, чем исходное нелинейное
[в данном случае (10.1)] за счет отбрасывания малых нели-
нейных членов (здесь AIAr).
Итак, мы рассмотрели только уравнение цепи возбужде-
ния и не трогали цепи якоря генератора. Вспомним, что
уравнение объекта мы должны были составить так, чтобы оно
связывало между собой три переменные: г, U и f(t), a В no-
лученном уравнении (10.6) имеется лишняя переменная !. Πο-
этому дальше, учитывая цепь якоря, мы должны сделать так,
чтобы исключить лишнюю переменную 1и ввести нужную
f(t). Для этого обратимся К нагрузочной характеристике ге-
нератора U(l), т. е. К статической зависимости напряжения
на клеммах генератора от тока возбуждения при номинальной

86 СОСТАВЛЕНИЕ увАвнвний Автомктичвских систвм [гл. n
нагрузке в сети и номинальной скорости вращения якоря
(рис. 71, а). Отметим на ней точку номинального режима
работы генератора С, определяемую координатами I°, U°.
!]
Рис. 71.
Найдем тангенс угла наклона касательной (крутизну) харак-
теристики в точке С:
θολὸ”!
k’ =tgoc [ ] .
ампер
В результате для малых отклонений получаем линейную за-
висимость (см. рис. 71, б)
АП:/«УА! (10.7)
при номинальной нагрузке и номинальной скорости.
Данное уравнение оказалось не дифференциальным, а
алгебраическим, так как оно получено из статической харак-
теристики. Это значит, что мы пренебрегаем индуктивностью
якоря, в отличие от уравнения (10.6), где индуктивность
цепи возбуждения учитывалась, за счет чего в уравнение
вошла производная по времени. Учет индуктивности цепи воз-
буждения и неучет индуктивности цепи якоря, ввиду сравни-
тельной малости последней, при расчете электрических ма-
шин часто делается.
Выразим из уравнения (10.7) A]:
l
и подставим его в уравнение (10.6). В результате получим
уравнение динамики генератора в виде
ΕΓ,-’“ AU+I°Ar +—, “‘—Ш =AU. (10.8)

§ 10] УРАВНЕНИЯ диНАмики гвгуливувмого овъвкм 87
Здесь содержатся только нужные нам переменные ΔΖ!" ΔΓ,
лишних нет. Определим, к какому типу звена относится дан-
ное звено (генератор как объект регулирования). Уравнение
(10.8) есть дифференциальное уравнение первого порядка.
Вспомним, что уравнением первого порядка описывалось апе-
риодическое звено (8.3). Все необходимые члены уравнения
dAU
апериодического звена здесь имеются: AU вместо у; Ἕ-
dy
вместо ἆ и Аг вместо х. Однако внешний вид нашего урав—
нения (10.8) отличается от (8.3). Приведем егок стандарт-
ной форме записи (8.3). Для этого соединим вместе два
члена, содержащие AU, и разделим все уравнение на
величину
R+r° 1
k’ _ '
Тогда, действительно, уравнение динамики генератора (10.8)
примет стандартную форму:
dAU
T07+AU=—koAr, (10.9)
где обозначено
L 1°k' вольт
To=m[cem], k°:R+r°—k'[ 0M ], (10.10)
где То—постоянная времени объекта, іео—коэффициент
усиления объекта, характеризующий эффективность регули-
рующего реостата в цепи возбуждения генератора (рис. 72).
При этом формулы (10.10) показывают, как определять Т0
и ko через параметры генератора (L, R, r°, ΙΘ'). Постоянная
времени пропорциональна индуктивности цепи возбуждения,
а также зависит от ее сопротивления и от крутизны нагру-
зочной характеристики.
Но использованное нами уравнение (10.7) годится, как
там отмечалось, только для неизменной номинальной
нагрузки в сети и номинальной скорости вращения якоря,
ибо при этих условиях составлена статическая нагрузочная
характеристика генератора (рис. 71), которой мы пользова-
лись. В связи с этим и в уравнении (10.9) величина—ЬОАг
определяет собой изменение напряжения AU 3a счет смеще—
ния движка регулирующего реостата при сохранении

88 сосмвлвнив УРАВНЕНИЙ Автомнтнчвских систвм [гл. 1!
номинальной нагрузки в сети и номинальной скорости вра—
щения якоря (рис. 72, a).
При изменении же нагрузки в сети или скорости враще-
ния якоря сместится н характеристика генератора U(r)
(рис. 72, 6), sa счет чего напряжение U получит дополни-
тельное изменение. Обозначая последнее через f(t), добавим
АЛ
“ lam/mm „№№
М
(! Мало/т
Ir
flaw/1mm
\ игру;/а
:! Морт/ш
#
|" "
Рис. 72.
его в правую часть уравнения (10.9), Получим окончатель-
ное уравнение динамики генератора как объекта регули-
рования В виде
dAU
TOT+AU=—koAr+f(t). (10.11)
Аналогичный подход применяется и при составлении урав-
нения динамики регулируемых объектов любого другого рода.
Заметим только, что здесь
применен упрощенный способ
введения возмущающего воз-
действия f(t) В уравнение ре-
гулируемого объекта. Вообще
же его надо вводить при со-
ставлении уравнений с самого
начала в виде конкретных фи-
зических величин.
В качестве второго примера
системы автоматического регу-
лирования возьмем одноосный
гиростабилизатор (рис. 73).
Регулируемым объектом является гироскоп в кардановом
подвесе. Внешняя рамка 1 этого подвеса должна удержи-
Рис. 73.

§ 10] YPABHEHHH динамики регулирувмого свъвктх 89
BaTbCfl ГИРОСТ абИЛИЗЗТОРОМ В определенном положении.
Через α (рис. 73) обозначена угловая скорость ухода
рамки; а—угол отклонения ее от требуемого положения.
Внутренняя рамка 2- имеет вид цилиндрического кожуха,
внутри которого с большой угловой скоростью ω вращается
ротор гироскопа. Кинетический момент Н гироскопа будет
Н:]Ш,
где 1—момент инерции ротора гироскопа. Через β обозна-
чена угловая скорость ухода внутренней рамки (прецессия);
В—ее угол отклонения. Углы α, β и угловые скорости
α, β предполагаются малыми.
Регулятор—цепь стабилизации—состоит (см. рис. 73)
из датчика угла 3, измеряющего угол прецессии β, усили-
теля-преобразователя 4 и датчика момента 5, прикла-
дывающего стабилизирующий момент к оси стабилизации
внешней рамки. Этот момент представляет собой регули-
рующее воздействие, препятствующее уходу внешней рамки
от требуемого положения.
Динамика регулируемого объекта (гироскопа с карда-
новым подвесом) при малых углах отклонения a и β описы-
вается системой двух уравнений моментов относительно
осей стабилизации и прецессии соответственно
1а%+д„65—Н@=м+м„ l
Jfifi+hafi+fla=Mn I (10-12)
где .]… 13—моменты инерции всех масс, участвующих во
вращении соответственно вокруг оси стабилизации и вокруг
оси прецессии; то}, ἡββ- демпфирующие моменты трения;
Ηβ, Нос—гироскопические моменты; М -—стабилизирующий
момент; Ml, Mz—Boamymaloume моменты.
Стабилизирующий момент М определится уравнением
регулятора (цепи стабилизации) как функция изменения угла
прецессии β, измеряемого датчиком угла 3.
Своеобразие этой системы состоит в том, что измери-
тельное устройство регулятора измеряет не непосредственно
отклонение регулируемой величины α, а другую величину β᾿
с ней связанную. К этому примеру мы вернемся позже
В ἓ 21.

90 СОСТАВЛЕНИЕ УРАвнвний Автомлтичвских систвм [гл. 11
§ 11. Пример составления уравнений динамики
автоматического регулятора
Проиллюстрируем составление уравнений динамики авто-
матического регулятора на первом примере § 10. Согласно
рис. 68,6 регулятор разбивается в данном случае на три
звена. Принципиальная и структурная схемы данного авто-
матического регулятора представлены на рис. 74.
‚0’
φΜΜ
а)
r __________________________
ἆ} ι 7 2 J “
| I
[| ι Зла/триж— έ Лахти/«ее- j Регулиру— I Ρ
|| ᾽ ‚т гиде/ім ’ Жал тета ' тиши идет :
L_________€€z.z.fl_€z7_ee _________ ͵'
Рис. 74
Составим уравнение динамики кансдого из трех звеньев
регулятора по ощельности, а потом напишем общее уравне-
ние динамики всего регулятора и найдем его статическую
характеристику.
1. Электрическая часть измерительного устройства
регулятора включает в себя цепь обмотки электромагнита,
обладающую сопротивлением Rl и индуктивностью L1,
а также добавочный реостат задатчика Нд '(рис. 74, a).
Уравнение этой цепи будет
(81+Кд)/_+Ь‚%=Ы (11.1)

ἓ 11] УРАВНЕНИЯ диннмики РЕГУЛЯТОРА 91
В таком виде это уравнение уже является линейным *) и
содержит только нужные нам переменные: U (входная) и Il
(выходная). Поэтому остается только привести его к стан-
дартной форме, разделив все на (Н,+12д) и перейти от пол-
ных величин переменных ll, U К отклонениям АД, AU.
В результате получим уравнение динамики электрической
части измерительного устройства в виде
ам I
Где
T_—._"-_I_[cex] k—:— ' [““”]; (11.3)
' кт+кд ’ ' к…чгд вольт
Это—апериодическОе звено (см. § 8). Постоянная времени
его Т1 равна отноШению индуктивности цепи к ее омиче-
скому сопротивлению.
Если не учитывать индуктивности этой Цепи (ΤΙΞΟ)᾽
уравнение электрической части измерительного устройства
будет
А!,=Ь,АП (11.4)
—идеальное звено.
2. Механическая (подвижная) часть регулятора пред-
ставляет собой сердечник электромагнита, жестко скреплен-
ный с движком и покоящийся на пружине (рис. 74, а). Урав—
нение динамики механического движения здесь будет (по
второму закону Ньютона)
(12$
тдр=Р,—Р2—Р`,—Р‚
где т—масса подвижной части, з—координата, определяю-
щая положение конца движка, [°,—тяговая сила электро—
магнита, [’,—упругая сила пружины, [:,—сила сопротивле-
ния движению (трение), Р— вес полвижной части. Положе-
ние равновесия—при номинальном режиме работы генератора
определяется некоторыми значениями $°, Ἐξ), F3, F3 :0, прИ-
чем тяговая сила электромагнита уравновешивается силой
ПРУЖИНЫ И BeCOM
*) При более тщательном рассмотрении оно было бы нелинейным
вследствие наличия стального сердечника.

92 СОСТАВЛЕНИЕ уравнений автоматических систем [гл. 11
В отклонениях от этого равновесного положения уравне-
ние динамики механической части будет
dzAs
Сила электромагнита F1 примерно пропорциональна квад-
рату тока II В его обмотке (рис. 75, a), т. е.
Г, = с,!12, (11.6)
где со—коэффициент 'пропорциональности, который можно
рассчитать или определить экспериментально. Следовательно,
| 11'5“”;
|
|
‚!.-д (‚кд __
’ / Л 49:52;
, а d:
/
“а
!]
Рис. 75.
эта сила—нелинейная. Необходимо ее линеаризовать в пре-
делах малых отклонений от точки номинального режима С.
(рис. 75, a) В виде
АР1=01Аіп (11.7)
где с,—крутизна тяговой характеристики электромагнита,
причем, если задан график (рис. 75, а), то
грамм
ампер
с,=івос[
——тангенс угла наклона (крутизна) кривой Р,(/,) в точке С
Если же задана формула (11.6), то график чертить не надо,
так как тангенс угла наклона касательной в любой точ-
ке можно определить простым вычислением, как первую
производную от выражения (11.6)
аг,
{да:-271: 2C0’1'

§ 11] УРАВНЕНИЯ динвмики РЕГУЛЯТОРА 93
Чтобы определить его в нужной нам точке С, надо под—
ставить значение II В этой точке, т. е. 1‘1’. Итак, коэффи-
циент с] для формулы (11.7) можно определить и без гра-
фика, путем только вычислений
с, .; вс,/3. (11.8)
Далее, изменение силы пружины, как известно, пропор-
ционально ее удлинению
AF,:=c,As, (11.9)
грамм
CM
Сила трения F или изменение ее АР, (это одно и то же,
|
потому что мы отсчитываем изменение ее от значения Р`, =0)
где с2—коэффициент жесткости пружины [
ds dAs
aaancm‘ OT СКОРОСТИ Движения d—t ИЛИ Ἔ, ЧТО ОДНО И ΤΟ
же, так как
ds dAs
__ 0 __ с
S—S +AS’ dt dt
Зависимость силы трения от скорости показана на
рис. 75, 6. Она нелинейна из-за наличия «сухого» трения
покоя, показанного вертикальным отрезком в начале гра-
фика. Этот отрезок означает, что для того, чтобы сдвинуть
подвижную часть регулятора с места, надо приложить не—
которую силу для преодоления силы сухого трения. Нели-
нейную зависимость здесь заменим прямолинейной—пунк-
тирной линией с углом наклона β на рис. 75,6 в виде
dA
ΔΡ,:ε,Ἑΐ, (11.10)
причем с‚—коэффициент силы сопротивления движению
_ грамм
(З,—ЁЕБ [см/сек] ᾿
Итак, уравнение динамики механической части (11.5)
с подстановкой (11.7), (11.9), (11.10), будет
(РАЗ dAs
m-cmlAll—czAs—c,—‘F. (11.11)
Здесь имеется входная величина звена AIl и выходная As
с двумя производными по времени. Следовательно, согласно
§ 8, это есть либо колебательное, либо апериодическое звено

94 СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Автомятичвских систвм [гл. и
второго порядка. Приведем полученное уравнение к стандарт-
ной форме записи (8.9) или (8.13). Для этого все члены,
содержащие As, перенесем влево и разделим все уравнение
на ο,. В результате получим следующее уравнение динамики
механической части регулятора:
ТЁ‘і—ЁЁ—і— T,-d—AS+AS =/е„‚А1 (11.12)
где постоянные времени и коэффициент усиления будут
т с ᾽
ΤξεζμεκἼ, Τ,:ξ![οεκ], (11.13)
с, 2%]? [ см ]
’32:ng ампер °
Если соотношение параметров механической части регуля-
тора (т, с„с ,, ο,) таково, что Τ, <2Т2 то это согласно
§ 8 будет колебательное звено. Если же Τ, >2Т2‚ то—апе-
риодическое звено второго порядка. Следовательно, в данном
случае масса подвижной части т является раскачивающим
фактором, а коэффициент силы сопротивления с8 (трение)
является полезным демпфирующим фактором, успокаивающим
колебания. Колебания ликвидируются и получается апериоди-
ческое звено при Т‚>2Т„ т. е. при
> 4тс2.
В противном случае (при недостаточном демпфировании) будет
колебательное звено. Однако слишком большая величина
демпфирования (большое ο,) не полезна, так как большое
увеличение Τ, (см. Т] на графике y(t) на рис. 57,а) создает
большую инерционность процесса. Поэтому часто стремятся
к границе апериодичности (Τ,:2Τ,), τ. е.
εξ = 4тс2.
Это соотношение можно использовать при предваритель—
ном подборе параметров механической части регулятора. На
основании этого можно предварительно решить, например,
надо ставить в регуляторе дополнительно воздушный демпфер
или какой-либо дРугой, или можно обойтись без него. Но
окончательный выбор параметров всех частей регулятора мо-
жет быть сделан только впоследствии при рассмотрении ра-

§ 11] УРАВНЕНИЯ диНАмики регулятора 95
боты всей замкнутой системы автоматического регулирования
в целом.
Если масса псдвижной части незначительна (например,
легкий якорек вместо сердечника), то и демпфирование не
будет нужно. Оно может уже оказаться не полезным, а вред-
ным. Так, если т “с O, то Т2 = O, и вместо уравнения (11.12)
получим:
т,%ё+дз=е,ы„ (11.14)
T. е. апериодическое звено первого порядка, в котором по-
стоянная времени Т, (а значит, и коэффициент силы сопро—
тивления с,) вместо полезного демпфирования будет играть
роль вредной инерционности, затягивающей процесс (см.
рис. 56). Следовательно, если подвижная масса т незна-
чительна (Tzz 0), то надо стремиться к тому, чтобы и со-
противление движению было незначительным (Τ, = O), T. e.
стремиться к идеальному звену
As:k,A/, (11.15)
(в полной мере это, конечно, невозможно).
3. Регулирующий орган представляет собой реостат
(рис. 74, a), включенный в цепь возбуждения генератора.
Омическое сопротивление реостата изменяется пропорцио-
нально перемещению движка, т. е.
Ar=k,As, (11.16)
ΟΜ
где коэффициент k, [ЕЯ] определяется размерами обмотки и
материалом реостата. Эго—идеальное звено типа (8.20).
4. Ha основании уравнений звеньев надо теперь написать
единое уравнение динамики всего регулятора. Имеем три
звена. Начнем с простейшего случая, когда все три звена
регулятора идеальные, т_. е. имеют вид (11.4), (11.15) и
(11.16), а именно
ΔΙ1 = k,AU, AS = ‚дА/„ Ar = k,As.
Эти уравнения соответствуют идеальной безынерционной
передаче воздействий по всей цепи регулятора.
Входной величиной регулятора (см_. рис. 74) является U
выходной г. Поэтому для получения единого уравнения регу-
лятора надо из написанных трех уравнений звеньев исключить
’

96 составление угавнвний Автомятичвских систем [гл. 11
промежуточные внутренние переменные А], и As. Под-
ставив из первого уравнения величину Al1 во второе, а то,
что получится,—в третье, мы придем к искомому единому
уравнению «идеального» регулятора:
Аг = дарили, (11.17)
где обозначено
ядра:/г, ka Ь,; (11.18)
величина leper называется общим коэффициентом усиления
регулятора. Он определяет наклон статической характери-
стики регулятора (рис. 76). Формула (11.18) характерна не
только для данного примера. В любых автоматических регу—
ляторах, состоящих из по—
...” следовательно соединенных
звеньев, общий коэффи-
циент усиления регулятора
будет равен произведению
коэффициентов усиления
jg всех звеньев.
Рассмотрение идеально—
“"-'д’шуіргг го регулятора (11.17) пред-
ставляет собой наибольшую
степень идеализации реаль—
ного регулятора. Зависи-
мость (11.17) означает иде-
альное выполнение регуля-
тором закона регулирования: регулирующее воздействие на
объект Аг пропорционально отклонению регулируемой вели-
чины AU. Такого типа «закон регулирования по отклонению»
встречается Β очень многих автоматических регуляторах.
Кроме этого простейшего закона регулирования существуют
и другие, которые мы рассмотрим Β главе ….
Реальный регулятор за счет наличия постоянных времени
в его звеньях осуществляет указанное регулирующее воздей-
ствие не мгновенно, а с инерционным запаздыванием. Соста-
вим уравнение динамики регулятора с учетом одной постоян-
ной времени. Для этого предположим, что регулятор таков,
что постоянная Т:, равная массе подвижной части, деленной
на коэффициент жесткости пружины (11.13), очень мала.
Тогда останутся две постоянные: Т„ характеризующая тре—
Рис. 76.

§ 11] УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ регулятор». 97
ние (11.13) и Т„ характеризующая индуктивность (11.3).
Если вторая из них очень мала по сравнению с первой, то
уравнения всех трех звеньев регулятора будут (11.4), (11.14)
и (11.16), a именно:
dAs
Al,=k,AU, Τ,-ζἷ-||-Δ8:|8,Δ|,, АГ=Ё,А8.
Умножив все члены второго из этих уравнений на k, и под-
ставив Β него значения Δ], и k,As из первого и третьего,
получим единое уравнение динамики регулятора с одной
постоянной времени Β виде
Т,адА,-—Г+Аг=іг№ AU (k
Аналогично, если постоянная Т, много меньше, чем Τ,,
уравнения звеньев регулятора будут (11.2), (11.15) и (11.16)
тд“ —',+A/ =із AU, Ав=іг,А„/ Ar=k,As,
—_-із,із ,із,). (11.19)
рег
и единое уравнение динамики регулятора с одной постоян-
ной времени в этом случае будет
dAr
T,d—,+Ar=k, AU (11: =із,із,із,). (11.20)
per
Таким образом, вид уравнения регулятора в целом не за-
висит от того, в каком из звеньев учитывается постоян-
ная времени, от того, идет ли в схеме сначала идеальное
звено, а потом апериодическое, или наоборот. В обоих слу—
чаях регулятор Β целом представляет собой апериодическое
звено. Следовательно, он выполняет свой закон регулирова-
ния (11.17) не идеально, а с инерционным запаздыванием
типа рис. 56.
Рассмотрим теперь регулятор с двумя постоянными вре—
мени. Пусть по-прежнему постоянная Τξ (11.13) очень мала,
а обе постоянные TI и Τ, существенны. Тогда уравнения
звеньев будут (11.2), (11.14) и (11.16). Умножив (11.14) на
k, H подставив (11.16), найдем величину 112212,AIl и его про-
изводную
dAr
dAl dA dAr
із…ізАі=т,д,+Аг, із,із,_ d, = 1‘,d—,—,’+— .
Подставим их Β уравнение (11.2), предварительно умно-
жив его на вид,. В результате получим-единое уравнение
4 E. П. Попав

98 состнвлвнив уравнений автоматических систем [гл. 11
динамики регулятора с двумя постоянными времени в виде
Т,Т‘ЁА—’+(Т,+Т)"—^’+Аг =1г, е,Аи (k
Τ' dt' =k1 k: ἑθ-
(11.21)
рег
Как видим, в этом случае регулятор в целом представ-
ляет собой апериодическое звено второго порядка типа
(8.10). В связи с этим заметим, что всегда два последова-
тельно соединенных апериодических звена составляют вме-
сте апериодическое звено второго порядка. Присоединение
идеального звена до, после или между ними не меняет дела.
Следовательно, такой регулятор выполняет свой закон регу-
лирования (11.17) не идеально, а с инерционным запаздыва—
нием типа рис. 57.
Важно здесь заметить следующее. Если постоянные вре-
мени двух последовательно соединенных апериодических
звеньев Т, и Т, выражаются малыми числами, например,
Τ, _О 02 Т, =0,03, то их сумма будет Т, +Т, =0„05 а
произведение Т, Т,_0 0006 очень мало по сравнению с сум-
мой. В таких случаях иногда бывает допустимо произведе-
нием Т,Т пренебречь и писать уравнение динамики регуля-
тора вмес’то (11. 21) в виде
(T +Т)“^’+А =k,, „Аи (k
т. е. считать, что два последовательно соединенных аперио-
дических звена с малыми постоянными времени эквива-
лентны одному апериодическому звену первого порядка
с постоянной времени, равной их сумме.
Предположим далее, что масса и трение в подвижной части
регулятора (т. е. постоянные Т: и Т,) имеют существенное
значение, а индуктивность (постоянная Т,) сравнительно с ними
очень мала. Тогда уравнения звеньев регулятора имеют вид:
(11.4), (11.12) и (11.16), Подставив первое и третье из них
во второе, получим единое уравнение динамики регулятора
с двумя постоянными времени в ином виде:
T:‘:f,——’+ Τ, “м+м—н Аи (k
=k,k,k,), (11.22)
рег
=k,k,k,). (11.23)
Per
Согласно формулам (8.9) и (8.13) регулятор в этом случае
представляет собой в целом апериодическое звено второго

§ 11] yPABHEHmI JIHHAMHKH регулятора 99
порядка, если Т,>2Т„ либо колебательное звено, если
Т,<2Т,. В последнем случае регулятор выполняет свой за-
кон регулирования (11.17) с инерционным запаздыванием ко-
лебательного типа (рис. 58).
Наконец, с учетом всех трех постоянных времени регу-
лятора, когда уравнения звеньев имеют вид (11.2), (11.12)
и (11.16), единое уравнение динамики регулятора будет
дифференциальным уравнением третьего порядка
Tzd'A d2 r
Т! Ttar+(TlaT ‘1_Ti ТЗ: +
+‹т„+Т)"^—’+Аг=іерегАи (11.24)
(/2133:ka aka)°
Как видим, порядок уравнения динамики регулятора зави-
сит от числа учитываемых постоянных времени звеньев регу—
лятора. Это является общим положением для регуляторов
любых физических величин во всех областях техники. Все
члены в левой части уравнения динамики регулятора кроме
последнего (при принятой стандартной форме записи) всегда
выражают неидеальность работы регулятора. Чем меньше по—
стоянных времени звеньев учтено, тем ниже порядок диффе-
ренциального уравнения регулятора и тем грубее описывает-
ся динамика данного регулятора. Чем порядок уравнения
регулятора выше, тем тщательнее описывается его ди-
намика.
Однако это вовсе не значит, что надо стремиться к как
можно более высокому порядку уравнения динамики регуля-
тора. В каждом конкретном случае есть свой разумный предел.
Всегда есть определенное число постоянных времени в звеньях
регулятора, которые существенно влияют на динамические
процессы в регуляторе (на переходные процессы в нем и на
его частотные характеристики). Если мы упустим какую-либо
из них, то опишем динамику регулятора грубо, тем грубее,
чем меньшее количество существенных постоянных времени
учтем.
Но кроме этих существенных постоянных времени в звеньях
регулятора всегда есть целый ряд других постоянных времени,
которые мало влияют на динамические процессы в регуляторе,
и потому их следует отбрасывать, так как, повышая порядок
единого уравнения регулятора, они сильно усложняют расчет,
4.

100 состлвлвнив УРАвнвний Автомгхтичвских систвм [гл. 11
но мало влияют на результат. А раз так, то их учет не дает
вообще уточнения расчета по сравнению с теми допущениями
(линеаризация, неучет обратного влияния звеньев друг на
друга), которые мы вводим при самом составлении уравнений
регулятора.
Целесообразная общая приближенность составления урав-
нения объекта и регулятора зависит, конечно, и от того, яв-
ляется ли целью расчета ориентировочная прикидка или по-
лучение детального представления о качестве прОцесса
регулирования.

Г Л А В А ΙΙΙ
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 12. Простейшее исследование процесса регулирования
(система автоматического регулирования первого порядка)
В данной главе мы познакомимся с простейшим анализом
процесса регулирования алгебраическими методами. При этом
пока будут рассматриваться одноконтурные статические
системы, т. е. такие, которые осуществляют простейший
закон регулирования типа (1.1). Будут рассмотрены также
некоторые основы выбора параметров регулятора или системы,
управления для заданного объекта. Впоследствии (глава VI)
эти методы будут применены для исследования различных
корректирующих устройств, улучшающих качество процессов
регулирования и управления.
Найти процесс регулирования—это значит определить,
как изменяется регулируемая величина или ее отклонение в
данной системе с течением времени при наличии разного рода
возмущающих воздействий. В примере системы регулирования
напряжения (рис. 68) это значит—найти зависимость U(t)
или ΔΗ... при заданном f(t), которое является результатом
изменения нагрузки в сети или нарушения номинальной ско-
рости вращения якоря. `
Поскольку все звенья системы автоматического регулиро-
вания соединены В замкнутую цепь (например, рис. 68, 6),
то процесс регулирования нельзя определить путем отдельного
рассмотрения регулятора и объекта. Необходимо рассматри-
вать их работу одновременно, как единой динамической си-
стемы. Без этого невозможно изучение сущности процесса
регулирования и немыслимы проектирование и расчет автома—
тических регуляторов и вообще замкнутых систем управления.

102 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динамики [гл. m
В самом деле, регулируемый объект в данном примере
(рис. 69) имеет входную величину г, выходную Un внешнее
возмущающее воздействие f(t). Последнее, т. е. функцию
f(t), мы можем задать по своему произволу. Но о поведении
при этом регулируемой величины U из рассмотрения объекта
мы ничего не можем сказать, потому что оно зависит от того,
как будет изменяться г, а это последнее зависит от поведе-
ния регулятора. Но как ведет себя регулятор, мы тоже не
можем сказать из рассмотрения самого регулятора (рис. 74),
потому что его поведение зависит от того, как меняется U,
a это-то нам как раз и неизвестно, это мы ищем. Получается
«заколдованный круг»: чтобы найти U(t), надо ее уже знать.
Это является одной из важных особенностей всякой замк-
нутой автоматической системы. В ней нельзя найти такую
входную точку, начиная с которой можно было бы изучать
процессы путем последовательного рассмотрения отдельных
звеньев (в отличие от разомкнутых систем, где это всегда
можно сделать).
Поэтому отдельным поочередным рассмотрением регуля-
тора и объекта процесс регулирования не определяется. Нужно
уравнение регулятора и уравнение регулируемого объекта
рассматривать одновременно, как единую систему уравнений,
решая их совместно.
В данной главе будет проведено изучение процесса регу-
лирования в простейших случаях на нескольких примерах.
Но выводы из этого исследования будут достаточно общими,
так что по такому же образцу могут исследоваться и раз-
личные другие системы регулирования любой физической
природы.
Система регулирования первого порядка получается,
когда динамика объекта описывается уравнением первого по-
рядка, а регулятор—идеальный. В примере системы регу-
лирования напряжения (рис. 68) уравнение регулируемого
объекта (10.11) имеет вид
Т0%Ч+АП=—Ь0Аг+/(і), (12.1)
а уравнение идеального регулятора (11.17) будет
Ar=leper AU. (12.2)
Требуется найти процесс регулирования А!](і) при лю-
бом заданном возмущающем воздействии f(t).

§ 12] простейшее исследовании процесся РЕгулировлния 103
Путем исключения неинтересующей нас промежуточной
переменной Ar найдем единое уравнение всей системы автома-
тического регулирования в целом, а именно: подставим Аг
из (12.2) в уравнение (12.1)
ТаА“ —+ AU=— k л,… AU—l—f(t)
и перенесем член с AU влево. Тогда уравнение динамики
системы регулирования в целом будет
To Т-‘А—Аич—(і +k е,…) Au: -.f(t) (12.3)
Путем решения этого уравнения можно определять про-
цесс регулирования AU(t) при любом внешнем возмущающем
воздействии f(t), возникающем как результат изменения на-
грузки в сети или скорости вращения якоря.
Процесс регулирования AU (t) складывается из двух ча-
стей: переходного процесса AUnep(t) и установившегося
процесса ΔΙ}...- (t): _
AU: AUnep + Аиуст. (12.4)
Математически переходный процесс определяется общим ре-
шением однородного уравнения (при f(t):0):
т, №+<+л1лред дилер—__ о, (12.5)
a установившийся процесс — частным решением неоднородного
уравнения (12.3) при заданной правой части f(t).
C точки зрения теоретической механики переходный процесс
есть свободное движение системы, а установившийся процесс —
вынужденное движение. С точки зрения теории колебаний
первое есть собственные колебания, а второе ——вынужденные
колебания (но, конечно, это ни в коем случае не означает,
что переходный и установившийся процессы всегда будут
по форме колебательными).
Разберем по отдельности переходный и установившийся
процессы в системе с идеальным регулятором.
В данном случае характеристическое уравнение для (12.5)
имеет вид
Тор + (1 + ігоігрег) = О.
Корень его равен
_ ЁЩЩ
Т. '

104 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ [гл. m
и, следовательно, переходный процесс, как решение одно-
родного уравнения (12.5), будет экспонентой
_‘+k0kpert
AUnep =Ce To ’ (12.6)
где С— произвольная постоянная, определяемая из заданных
начальных условий процесса; в данном случае она равна
начальному значению
”a”! величины AUnep:
C: Айдер при t: O.
(12.7)
Кривая переходного
процесса (12.6) для
:.
Л д‘ положительного зна-
_L чения С показана на
7* одре.? рис. 77.
pm; 77. Оценим характер
протекания переходно-
го процесса в системе с идеальнын регулятором по сравне-
нию с переходным процессом в том же объекте без регуля—
тора. Последний в данном случае представляет собой гене-
ратор без изменения
“дифицит сопротивления цепи
возбуждения. Следо-
T вательно, объект без
ὦ регулятора опишет-
ся здесь уравнением
\ (12.1) при Аг=0, т. е.
”„ ὦ ;] t Τοξἷἷἕ-ι-Δυεχω.
Рис. 78. (12-8)
Рассуждая тем же пу—
тем, найдем переходный процесс в объекте без регулятора
t
AUnep.06 = сое —Т° ‚ (12.9)
Где
C0 = Аипероб при t: О.
Кривая этого переходного процесса показана на рис. 78.

§ 12] простейшее ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ 105
Из сравнения рис. 78 и 77 видим, что в системе с регу-
лятором переходный процесс затухает значительно быстрее,
чем В объекте без регулятора, так как ᾽
_т„_ T,
l+kokper °
Следовательно, присоединение идеального регулятора
уменьшает постоянную времени системы (рис. 77) в
(1 +Ьоігрег) раз, т. е. сильно уменьшает инерционность объ-
екта (рис. 78), придает объекту новые динамические качества
(это является иллюстрацией одного из общих положений
главы I). Выбором коэффициента усиления регулятора leper
можно по желанию менять степень инерционности системы.
Длительность переходного процесса tc (рис. 77), которая
для экспоненты принимается равной приблизительно трем по-
стоянным времени, для системы автоматического регулиро-
вания первого порядка с идеальным регулятором будет
Ν зто
і°`1—+Ё0Ёрег° (12.10)
Таким образом определяется переходный процесс.
Установившийся же процесс в системе регулирования
зависит от конкретной формы возмущающего воздействия
f(t), т. е. он зависит от ‚и.
характера изменения на- ‘
грузки в сети и скорости
вращения якоря генератора. “f,
Вообще f(t) может быть }
произвольным. (7 r:
Все реальные случаи
внешнего воздействия, во— Рис. 79.
обще говоря, могут быть
рассмотрены при определении качества процессов автомати-
ческого управления и регулирования. Здесь изучим пока
только случай мгновенного сначкообразного воздействия
(рис. 79). Синусоидальное внешнее воздействие рассматри-
вается в главе IV, a случайное внешнее воздействие—в
главе V.
В случае рис. 79 установившийся процесс, как частное
решение уравнения (12.3) при f(t)=const=f°, будет
{ο
AUYCT—l—Jrkokper'

106 ΑπΓΒΒΡΑΒΒΕοκοΒ исследования динамики [гл. m
Следовательно, генератор будет иметь Β новом установившемся
состоянии постоянное по величине отклонение напряжения.
Оно называется статическим отклонением. Поэтому обо-
значим его через лис,. Статическое отклонение регулируе-
мой величины
__ f0
AUCT._lm. (12.11)
Оно зависит от [°, т. е. в данном примере от величины
изменения нагрузки в сети или скорости вращения якоря
(против номинальных). Величина [° определяется по харак-
теристикам генератора, как показано на рис. 72,6.
Из рис. 72,6 или из уравнения (12.1) видно, что вели-
чина [° представляет собой статическое отклонение на-
пряжения в объекте без регулятора (при Ar=0) вслед-
ствие изменения нагрузки и скорости вращения. Поэтому фор-
мула (12.11) показывает, что присоединение регулятора
уменьшает статическое отклонение напряжения генера-
тора в (1+kokper) раз, т.е. присоединение регулятора
существенно улучшает статические свойства объекта.
Но остается статическая ошибка системы регулиро-
вания (o ее ликвидации см. в главе V1). Наибольшая стати-
ческая ошибка будет иметь место при наибольшем значении [°
(которое можно определить из рис. 72,6), а именно, из
(12.11) находим:
0
наиб
НЗИб. АПС, : № .
Чтобы ее уменьшить, надо брать по возможности больше
коэффициент усиления регулятора. По техническим требо-
ваниям на проектирование регулятора всегда задается наиболь-
шая допустимая статическая ошибка (наиб. лис,) при реально
возможном Β данной системе [: Из этого условия опреде-
ляется игре,.
Итак, процесс регулирования AU(t) согласно (12.4) в слу—
чае мгновенного приращения [° (рис. 79) в соответствии
с формулами (12.6) и (12.11) будет
l+kokper
_ -——„ t в
"‘/“се T “LW'
per
аиб'

ξ 12] простейшвв ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА регулирования 107
Предположим, что до момента t=0 система была в нор-
мальном установившемся состоянии и при t=0 было AU: О.
Написанное уравнение при этих данных дает
0 ‚0
О=С _; отк да (λτ;-ξ- .
+ 1 +kok ’ γ 1+112011eper
per
При этом условии процесс регулирования запишется в виде
1+kok
’“ (1 '—r рег‘) (1212
AU—-m \ —е . . )
Β объекте без регулятора при тех же условиях согласно
уравнению (12.1) при 411,
Аг=0 процесс изме- L—
нения напряжения бу— °°°°°°°°°°° “"“-"'-
дет
\\
АП:/”(1 — (‚’—%)
(12.13)
06a npouecca изобра—
жены на рис. 80. fa
Заметим, что рас- mi [Лёд/"”“”? ршил/„тая
смотренный процесс ›
работы идеального ре- ' }
гулятора лучше опи- Ц'Л ?
сывает поведение элек- рис 80.
тронных регулято-
ров (рис. 21), чем электромеханических (рис. 68).
Об устойчивости систем All
регулирования. Система регу- ^ "Ρ
лирования с затухающим пере-
ходным процессом (рис. 77)
называется устойчивой, а с рас-
ходящимся переходным про-
цессом (рис. 81)— неустойчи-
вой. В данном случае система
регулирования будет устойчи-
вой при любых значениях па-
раметров объекта и регулято- Рис. 81.
ра, так как согласно (12.6)
показатель степени при г будет отрицательным при любых
значениях #„ 13 To (положительные числа).
$1
κ
Pet"

108 Алг'ввРАичвскОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ дпнмтки [гл. m
Неустойчивой система была бы в том случае, если бы
показатель степени при е был положительным, т. е. если бы
корень характеристического уравнения р был положительным.
В данном примере это могло бы быть только при неправиль—
ном присоединении регулятора. Например, присоединим регу-
лятор так, чтобы при увеличившемся напряжении (AU>0)
он перемещал движок реостата в сторону уменьшения сопро-
тивления цепи возбуждения, т. е. уравнение регулятора
(12.2) запишем в виде
Ar = — Ь„„Аи.
Тогда уравнение системы регулирования вместо (12.3) будет
dAU
Т°_Ёі—_ (11201::per —1)AU=f(t).
Корень характеристического уравнения Тор— (kokper— 1):0
будет
_Ёодрег _ l .
P To ‚
он будет положитедьным при потере, > 1, и переходный про—
есс
Ц kok рег — 1
Аиде, : Се Το
будет расходящимся (рис. 81).
Следовательно, правильное присоединение регулятора
математически выражается в том, чтобы правые части
уравнений регулятора и регулируемого объекта [не считая
f (t)] имели бы противоположные знаки при всех положи-
тельных коэффициентах обоих уравнений. Физически это
значит, что регулятор при этом дает такое направление
воздействия на объект, которое действительно направлено
на уничтожение создавшегося отклонения регулируемой
величины. Иначе можно сказать, что правильное присоеди-
нение регулятора в общем случае (при любых знаках
коэффициентов в уравнении объекта) будет таким, кото-
рое делает положительными все коэффициенты левой
части уравнения динамики системы регулирования в целом.
В уравнении первого порядка, очевидно, это достаточно для
устойчивости системы. В других же случаях (в системах
третьего и более высокого порядка), как увидим ниже, это
оказывается недостаточным.
t

§ 13] АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы второго порядкх 109
Рассмотрим еще случай, когда может получиться неустой—
чивая система первого порядка с идеальным регулятором;
это — случай регулирования неустойчивого объекта. Объект
с уравнением (12.1) устойчив (обладает самовыравниванием),
так как переходный процесс Β нем (12.9) затухает. Неустой-
чивым объект был бы в том случае, если бы вместо (12.1)
он описывался уравнением
d
To E;_x:—koy+f(t)v
где х—отклонение регулируемой величины, у—регулирую-
щее воздействие. Тоша при правильном присоединении регу-
лятора в виде у=ігрегх уравнение системы регулирования
вместо (12.3) имело бы вид
T0 % + (kokper — 1) x =f(t).
Корень ХЗРЗК’ГЗРИСТИЧВСКОГО уравнения
__ 120kper — l
P — To
будет отрицательным (т. е. система будет устойчивой) только
при ігоігрег> 1. При меньшем значении ігоігрег она была бы
неустойчивой, так как корень р получился бы положитель-
ным, а переходный процесс—расходящимся.
Значит, при помощи идеального регулятора легко можно
неустойчивый объект превратить в устойчивую систему
регулирования. Но здесь, Β отличие от прежнего, роль регу-
лятора заключается не только в том, чтобы ускорить пере-
ходные процессы и существенно уменьшить статические
отклонения, но прежде всего в том, чтобы придать системе
устойчивость.
§ 13. Автоматические системы второго порядка
Процесс регулирования будет описываться дифференци-
альным уравнением второго поряйса Β двух случаях: 1) объект
и регулятор по отдельности описываются уравнениями пер-
вого порядка; 2) объект второго порядка с идеальным регу-
лятором. Рассмотрим эти случаи отдельно.

110 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динлмики [гл. m
Объект первого порядка с регулятором, обладающим
одной постоянной времени. Уравнение динамики регулируе-
мого объекта (10.11) будет
TdAU
To dt +AU=—ko,Ar+f(t) (13.1)
a уравнение динамики регулятора имеет вид! 1 . 19) или (1 1 _20),
или (11.22):
Т‘М’ П+Аг=1е AU, (13.2)
где Т—постоянная времени регулятора, которая может рав-
няться либо Т„ либо Τ], либо (ДА—Т,).
Найдем уравнение динамики всей системы регулирования.
Для этого выразим из уравнения (13.1) величину
dAU
—k Ar: To— Щ +AU—f(t)
и ее производную
dAr d‘AU (Ш:/_
чот-= ——+—
Умножив теперь все члены уравнения (18.2) на—іго и
(ΙΔ!
подставив в него найденные—йоАг и _k°Tt" получим
искомое уравнение динамики данной системы автоматического
регулирования В виде
Ton';—'?IU+(T0 + T) dgTU+(1+kokPer)AU=
__ τἓζ-Ηω, (13.3)
где To, ‚го—постоянная времени и коэффициент усиления
объекта; Т, ігри—постоянная времени и коэффициент усиле-
ния регулятора.
Процесс регулирования по—прежнему складывается из пере-
ходного и установившегося процессов
AU: AU ep+Au
Для нахождения переходного процесса записываем харак-
тернстическое уравнение
ТоТр2+(То+ T)p+(l +kokper):0

§ 13] ΑΒτοΜΑτπηεοκπε системы второго ПОРЯДКА 111
Оно имеет два корня:
_ (То + Τ) I 1| (To _ T): _ 4ΤοΤῤοῥ’ρει'
p1.2 = 27.07, . (13.4)
Если параметры системы таковы, что
Т, — T
kper<(4T GOT/e) ’ (13.5)
то корни будут вещественные, и переходный процесс будет
апериодичесним
А!}… = C‘ef’i‘ + Сде?"
или, иначе,
_; -L
AUnep=Cle α.}-ε; Tb, (13.6)
т. е. он складывается из двух экспонент с разными постоян-
ными времени
T : 2т,т
“ т+Т_1/‹Т, ——T)'——4TTkk ’
o o 0 per (13.7)
Т_ 2Т or
" Т,+Т+1/‹Т, _т›=—4Т„Ты„‚
причем Τα) Ть-
Через С, и C2 обозначены произвольные постоянные, опре—
деляемые из начальных условий, в качестве которых зада-
ются значения
dAU
AUuep и "Tm, при t=0,
или же значения
AUnep и Arnep при i=0.
Обозначим заданные значения через
С=Аи„„ при t=0 и 0: dt
при != Ο. (13.8)
Легко себе представить различные варианты апериодиче-
ских переходных процессов в данном случае. Пусть точка А
(рис. 82) соответствует заданному значению аи„„=с при

112 АЛГЕБРАНЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динамики [гл. m
Δ
dt
ски—это скорость протекания процесса, а геометрически—
наклон касательной)
при t: Ο положитель-
на, то переходный про-
цесс в системе регу—
лирования опишется
кривой 1; если она
равна нулю—кривой
2, а если она отри-
цательна—кривой 3
или 4.
Математически все
эти кривые переход-
ного процесса описыва-
ются формулой (13.6),
в которой коэффициенты С1 и C2 определяются следующим
образом. Продифференцируем выражение (13.6) по времени
f f
dAUnep_ С, —7; C_2e-T(;
d U
i=0. Если задано, что производная ——=D (кинематиче-
__е __
dt _ Ta Т„ (13'9)
Подставив в формулы (13.6) и (13.9) значения С и D
согласно (13.8) при i=0, получим два уравнения:
__ __Съ _&
С_с,—\—С„‚ 0— Ta Tb’
откуда находим
т _ —T
σ1 =Ta_aTb(C+ TbD), Сг=та_—Ё(С+ TaD). (13.10)
По формуле (13.6) с учетом значений (13.10) и строятся кри-
вые апериодического переходного процесса (рис. 82).
Г раничный случай апериодического переходного процесса
будет тогда, когда параметры системы вместо (13.5) удовле-
творяют соотношению
k
_ (To - Т)2
Μ- „о… (13.11)
При этом корни характеристического уравнения (13.4)
равны друг другу:
T0+T T :Tb_ 2T0?“
[Да:—тт, a -ἶ-Π;, (13.12)

§ 13] ΑΒτοΜΑτπηΕοκπΕ систвмы второго ПОРЯДКА 113
а решение ДЛЯ переходного процесса имеет ВИД
t
Аипер=‹с,+с,г)е"й. (ΙΒ-13)
Продифференцировав его
t
атм/„е„ _L 1 "т?,
dt =Cze Ta_T_a(C‘+C2t)e
и подставив в оба выражения начальные условия (13.8), по-
лучим два уравнения
С=С„ θεᾷ-ἕξ,
a
откуда находим
С,:С, с,=о+Т3. (13.14)
Проследим влияние параметров регулятора Т и leper на
качество переходного _
процесса в системе Μ’];
автоматического регу- 75
лирования. Под ка-
чеством понимаются
относительные значе-
ния отклонений регу-
&!
27o
лируемой величины L 5+]-
AUneP "0 Сравнению 7 flag/Midland} №жеі4тммщ'_
с начальным отклоне- Л _ г if
нием, характер и дли- [іі/___,] I”?
тельность переходного 45770
процесса іс. Будем при рис, 83.
заданных То, іео и Т
(причем, конечно, Т< To) менять коэффициент усиления ре—
гулятора в пределах
Т — Т 2
0<kper<(T°iJ—k}. (13.15)
При малых значениях Ьрега Ο из (13.7) имеем Та-ъТои
Tb-‘t: T. Затем при увеличении k ег величина Та уменьшается,
а Tb увеличивается (рис. 83). Переходный процесс состоит
из двух экспонент, постоянные времени которых Ta и Tb

114 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динамики [гл. m
меняются в пределах
вт.,т 2ToT
Το) Та> τῇ, T< Τοζπἶ“
Вторая экспонента затухает быстрее первой, так как
Ть< Ta. Следовательно, в конце переходного процесса прева-
лирует первая экспонента и по ней можно примерно судить
о длительности переходного процесса в целом, т. е. считать
{съЗТш (13.16)
Как видно из (13.10) и (13.6), при положительных Си D
вторая экспонента вычитается из первой, за исключением
случая (13.13). Поэтому можно считать, что длительность
переходного процесса будет даже несколько меньше, чем
ЗТ“, но только не вблизи точки В (рис. 83), так как там
коэффициенты С, и С„ согласно (13.10) увеличиваются, а
в самой точке В, как видно из (13.13), длительность пере-
ходного процесса будет несколько больше, чем ЗТ“ (но зато
здесь сама величина Ta меньше).
Во всяком случае, поскольку везде Ta< То, присоедине-
ние регулятора к объекту уменьшает длительность переход-
ного процесса, т. е. уменьшает инерционность объекта, причем
увеличение leper в пределах (13.15) оказывается полезным с
этой точки зрения (за исключением только точки верхнего
предельного значения leper).
Однако это уменьшение инерционности объекта с присое-
динением регулятора, обладающего постоянной времени Т,
происходит далеко не столь эффективно, как при идеальном
регуляторе, рассмотренном ранее; это видно из сравнения
формул (12.10) и (13.16).
Увеличение постоянной времени регулятора Т, как видно
из рис. 83, неблагоприятно сказывается на быстроте затуха-
ния переходного процесса в системе автоматического регули-
рования, так как Ta и Т„ при этом становятся больше.
Отсюда уже видна важность учета неидеальности регулятора,
а дальше мы увидим это еще полнее.
Если еще более увеличить коэффициент усиления регу—
лятора, т. е. взять
(To-7')2
кре,>_т‚ (13.17)

§ 13] АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы второго ПОРЯДКА 115
то корни характеристического уравнения (13.4) станут ком-
плексными, а именно:
l О . _—
ръ.==—Т;:Ь1ш U=V—1), (13.18)
где обозначено
_ 2Т0Т _ ЁоЁРЁГ Т°_ Т ᾿
Та—_—‚Г0+Т‚ (0— ῖἷ-ς 2Т0Т ) . (13.19)
Переходный процесс при этом станет колебательным
t
АЦпер : Сде ᾽πε... (mt + с,), (13.20)
причем произвольные постоянные С1 и С, определяются из
тех же начальных условий (13.8). Для этого надо продиф—
ференцировать (13.20)
dAU -}.
Щ=С1е Таш cos (mt—PC.) —%— e
a
t
dt Та sin (cot + С:)
и подставить в оба выражения С, D и t=0 согласно (13.8),
что дает
C=C1 sin С„ 0:6᾿ ω cos Cz ——%зіп С„
откуда находим
С‚=С 1/1+(_Ь(%+Т‘;)'‚ ς,:εκεἰπἓ .(1321)
Как видно из (13.20), переходный процесс имеет вид
синусоиды, амплитуда
которой затухает по (“Z/nap
экспоненте с постоянной \
времени Ta (рис. 84).
Длительность переходно- L
го процесса поэтому бу- &'
дет _! ..
гсъзта, (13.22) w ‚к"
: ,! t
причем величина Ta В /’ "
данном случае согласно
(13.19) не зависит от
коэффициента усиления Рис. 84.
регулятора, т. е. быстро-
та затухания переходного процесса не меняется с увеличением
laper сверх значения (13.11), что показано также на рис. 83.

116 АлгввгАичвсков ИССЛЕДОВАНИЕ диНАмики [гл. III
В этом состоит принципиальное отличие системы с регулято-
ром, обладающим постоянной времени, от системы с идеальным
регулятором, где длительность переходного процесса согласно
(12.10) все время уменьшалась с увеличением ἄρα.
Следовательно, наличие В регуляторе постоянной времени
делает бесполезным увеличение коэффициента усиления регу-
лятора сверх значения (13.11) с точки зрения быстроты
затухания переходного процесса в системе автоматического
регулирования (но по-
лезным, как увидим
дальше, с точки зре-
ния уменьшения ста-
тической ошибки). Уве-
личение же постоянной
времени Т регулятора
замедляет затухание
переходного процесса
Β системе автоматиче-
ского регулирования
(увеличивает значе-
W ние Ta).
Что касается часто-
та:/дт ты ω колебаний регу-
fl д; 4; д‘; W у"; 4; g; у! ὦ; | лируемой величины Β
переходном процессе,
Рис. 85. то,как видно из(13.19),
она повышается с уве-
личением leper. Увеличение leper при условии (13.17) приво—
дит, следовательно, к повышению «колебательности» систе-
мы регулирования, так как при повышенной частоте си—
стема успеет совершить большее число колебаний за то
же самое время длительности переходного процесса ΒΤ“.
Представляет интерес посмотреть, как зависит значение
k Ha границе апериодичности (13.11) от постоянной времени
per
регулятора Ти от параметров объекта (То, k0). Если величи-
ὦ“
Т .
ну 7.— откладывать по оси абсцисс, а ігоігрег— по оси ординат,
0
то формула (13.11) даст кривую (рис. 85). Если при данном
I— зять значение k k той к ивой
То Β o рег, лежащее выше а р , то
согласно (13.17) Β системе регулирования будет колебатель-

ἓ 13] ABTOMATHHECKHE системы второго ПОРЯДКА 117
ный переходный процесс, a ниже—апериодический, причем
для каждой точки плоскости рис. 85 можно по формулам
(18.19) или (13.7) определить, соответственно, Та, ω или Ta,
Tb. Чем больше постоянная времени регулятора Т, тем скорее
можно оказаться в колебательной области. Плоскость рис. 85
называется плоскостью параметров системы регулирования.
Ее использование Помогает наглядному представлениюо вли—
янии параметров регулятора на процесс регулирования и об—
легчает выбор этих параметров.
Обратимся теперь к исследованию установившегося про-
цесса в случае мгновенного изменения f(t) OT Ο до посто-
янного значения f° (рис. 79). Установившийся процесс, как
частное решение уравнения системы регулирования (13.3)
при f(t)=c0nst=f°, здесь выразится, как и прежде, в виде
статического отклонения, определяемого той же формулой
(12.11).
Статические свойства системы регулирования в этом случае
не зависят от постоянной времени регулятора *). Поэтому
остается в силе прежнее правило: для уменьшения стати-
ческой ошибки системы регулирования согласно (12.11) по-
лезно увеличивать игре,. Но здесь это требование уже при-
ходит в противоречие с требованием качества переходного
процесса, согласно которому значение вре, полезно держать
где—то вблизи величины (13. 11), He увеличивая его особенно.
Следовательно, наилучшее значение kper надо находить из
совместного сопоставления указанных результатов статичес-
кого и динамического расчетов системы регулирования.
Найдем процесс регулирования, складывающийся из двух
составляющих
Аи: лапе, + AUycr
В случае мгновенного изменения f(t) Ha постоянную вели-
чину f°. При условии (13.5) это будет
t t
__ __. f0
AUZCIQ Т0+С2е Ть+№° (13.23)
*) Что же касается других видов установившихся процессов (при
случайном или при колебательном изменении f). то они будут суще—
ственно зависеть от постоянной времени регулятора Т (см. главы
IV и V).

118 mrespmqacxoe исследовшив динамики [гл. m
Произвольные постоянные С1 и С, определим из условия,
что до скачка f(t) система работала в номинальном установив-
шемся режиме, т. е. в момент приложения скачка f(t)=f°
было
AU=O и Ar=0 при t=0.
Ha основании уравнений регулятора (13.2) и объекта (13.1)
получаем
0
dAU=L при t=0. (13.24)
AU=° 7;— т,
Дифференцируя (13.23) по времени
t t
αΔυ Ole-1‘7. с, “2‘3
717— Ё _Ё
и подставляя в оба выражения заданные начальные условия
(13.24), получаем два уравнения:
__ f° Ε'- Ὀι С:
O‘CI+C'+1+k.k..p’ ТГ ТГП
откуда находим
1 1
F—Tl ья? „
С= o b( + орег) {ο, Cz=——C— f .
ι 1_1 I 1+kokp;
T7 ᾿Τ᾽͵᾽͵
Следовательно, процесс регулирования (13.23) В данном
случае будет
τ t ι
Аи=С1(8_п—е_Т—д)+Т—_+_і%—(1 —е—ТЬ)_
0 per
Аналогичным путем определяется процесс регулирования
при условии (13.17), когда он становится колебательным. На
рис. 86 показаны оба вида процесса регулирования в сравне-
нии с прежде полученными кривыми. Видно, что в системес
регулятором, обладающим постоянной времени, можно добиться
той же произвольной степени малости статической ошибки,
что и с идеальным регулятором, но только ценой колеба-
тельного процесса. Это является новым важным ограничи-
вающим обстоятельством сверх общего для них условия фи-
зической осуществимости большого kw.

§ 13] автоматические систвмы второго порядка 119
Отсюда также вытекает практическая важность учета по-
стоянной времени (т. е. инерционного запаздывания) регуля-
тора при проектировании или просто при анализе работы
системы автоматического регулирования.
Проведенное исследование процесса регулирования цели-
ком можно применить к к очень многим другим системам
ΛΗ}
ft!
arr/Z '?
_ ‘ \ [' Ліда/ттт Ζ' > ‚шарде/тром рег (ἦ Πα
Рис. 86.
автоматического регулирования. Например, в § 7 было выяс-
нено, что в системе регулирования скорости двигателя
(рис. 18) объект (двигатель) является апериодическим звеном
первого порядка
dAco .
Т“ Т ”Г Δω: koAl+f(t). (13.25)
Если динамику электромашинного усилителя охарактеризовать
с помощью одной постоянной времени Т, а остальные звенья
регулятора считать идеальными, то уравнение регулятора в
схеме рис. 18 будет
(M!
T
Ἔ- + A]: — kperAm'
В результате уравнение динамики всей системы регулирования
в данном случае получит тот же самый вид (13.3) с заменой
только AU на Am, и все прежнее исследование процесса ре-
гулирования целиком останется справедливым и для этой
системы.

120 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динамики [гл. m
06 устойчивости системы. Здесь, т. е. Β случае, когда
система регулирования в целом описывается дифференциаль-
ным уравнением второго порядка, для устойчивости системы
достаточно тоже (как и в системе первого порядка), чтобы
все коэффициенты левой части общего уравнения всей
системы были положительными. Это является одновременно
условием правильного присоединения регулятора, которое
соответствует физическому требованию, что регулятор дол-
жен давать на объект воздействие такого направления, чтобы
уничтожить возникшее почему-либо отклонение регулируемой
величины.
Важно отметить, что при правильном присоединении ре-
гулятора система регулирования в данном случае устойчива
при любых значениях параметров регулятора и объекта,
так как коэффициенты уравнения (13.3) положительны. При
выборе наилучших параметров регулятора (Т, leper) здесь надо
исходить только из желаемого качества перехолного процесса
и из допустимой статической и динамической ошибок.
Легко также (как Β § 12) проверить, что при регулиро—
вании неустойчивого объекта выбором параметров регулятора
сначала надо обеспечить устойчивость системы, так как в
уравнении (13. 3) вместо 1 будет—1. Устойчивость системы
будет обеспечена условием kok рег>], так как тогда все
коэффициенты левой части уравнения станут положительными.
Объект второго порядка с идеальным регулятором.
Обратимся теперь к другому случаю системы регулирования
второго порядка, когда динамика регулируемого объекта опи-
сывается уравнением не первого, а второго порядка, причем
регулятор идеальный. Для примера рассмотрим систему ста-
билизации крена ракеты. Динамика регулируемого объекта
(движение крена ракеты) описывается уравнением
To Τΐζζἓ +%? -=—в„б+і‹г›‚ (13.26)
где ср—угол крена, б—угол отклонения рулей,/(і)—про-
извольное внешнее возмущающее воздействие; То—постоян-
ная времени объекта, равная моменту инерции ракеты, де-
ленному на коэффициент сопротивления воздуха вращению
ракеты; іго—коэффициент «усиления» объекта, характеризу-
ющий эффективность рулей.

§ 13] Автомтхтичвскив систвмы второго ПОРЯДКА 121
Уравнение идеального регулятора (стабилизатора крена)
будет
δ : Ьрегср. (13.27)
В этом случае уравнение системы регулирования (движе—
ние крена ракеты с автоматической стабилизацией крена) по—
лучает вид
ΤΟ gd—tz ch—l—fl M+kokpercp ___/(і) (ΙΒ-28)
Корни характеристического уравнения
Top2 + р + kokper :
будут
— 1 ::1/1 — подо/ерег
Р1,2 : 2То .
Условие апериодичности переходного процесса будет
1
kpergm, (13.29)
причем кривая переходного процесса определяется формулой
(13.6), где
Τ _2То _ 2Το
= _, T... __
" 1—1/1—4T0120kper " 1+V1— Nico/2W“
Колебательный переходный процесс будет при
и определяется он формулой (13.20), г е
“ἂψ“ 1—
Ta=2To, (D: To —4T: '
Сам же объект (13.26) без регулятора является, согласно
§ 9, инерционным интегрирующим звеном. Такой объект на-
зывается «нейтральным», так как он безразличен к значе-
нию регулируемой величины φ. Β самом деле, Β уравнении
объекта (13. 26) самого угла φ нет, ииеются только его про-
изводные. Поэтому внешнее возмущающее воздействие f(t)
может как угодно изменить угол крена ракеты без регуля-_
тора (6:0), причем при f(t)= const=/°, как видно из
(13.26), получится даже вращение ракеты с постоянной ско-

122 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ исслвдовннив диннмики [гл. m
ἀφ
ростью d—t=f°. Нейтральный объект не имеет собственной
устойчивости (по величине φ). Присоединение регулятора при—
дает ему устойчивость, причем из формул (13.29) и (13.30)
видно, что систему регулирования путем выбора значения [эре,
можно сделать либо колебательной, либо апериодической,
независимо от того, каким является сам объект. Однако это
надо согласовать также с величиной статической ошибки
‚_о—
(Per =г—,ь„,
определяемой частным решением уравнения (13.28) при f(t)=
=const=f°, a также и с динамическими ошибками при
произвольном реально возможном f(t).
Такого же типа уравнениями как (13.26)—(13.28) описы-
вается динамика следящей системы (рис. 23), если принц-
мать во внимание только инерционность двигателя и враща-
емых им масс, а остальные звенья системы считать безинер-
ционными. В самом деле, если относительно угловой скорости
двигатель является апериодическим звеном (13.25), то отно-
dx
сительно угла х,(рис. 23), согласно соотношению ω:ἷΐ1 ‚
он будет инерЦионным интегрирующим звеном
Tail—1x71 +d_x, =kol+f(t), (13.31)
где Т, пропорционально моменту инерции всех вращаемых
двигателем масс, приведенному к оси управляемого объекта,
[(!)—нагрузка на объекте.
Далее, из схемы (рис. 23) имеем U,=k,x,, По:/где„
!=Ь‚(Ц,——П,) или
I=k (х,—х,), kper=k,k,. (13.32)
Подставив это в уравнение (13.31), получим единое
уравнение всей следящей системы в виде
, τἰ}; +91; +1г, А:„„х, =1е,/г perx, «)+/(1). (13. 33)
Отсюда видно, что если при постоянной входной вели-
чине х,(і)=сопз’с обозначить Ах,:х,—х„ то придем к
уравнению
To (12:88—13 +dA_x_1 +k° ἀνε FAX l=f(t) (ΙΒ-34)
рег

§ 14] АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы третьего ПОРЯДКА 123
того же типа, что H (13.28). Следовательно, при постоян-
ной хо справедливо все прежнее исследование процесса регу—
лирования. При переменной же входной величине xo (t) процесс
определяется аналогично—решением уравнения (13.33).
§ 14. Автоматические системы третьего порядка
В большинстве случаев такого простейшего исследования
процесса регулирования, которое сводится к анализу диффе—
ренциальных уравнений первого и второго порядков, бывает
недостаточно. Приходится иметь дело с уравнениями более
высокого порядка. Здесь мы покажем, какими практически
важными обстоятельствами это вызывается H как подойти к
исследованию процесса регулирования в системах выше вто-
рого порядка (мы ограничимся сначала некоторыми простей—
шими соображениями, касающимися системы третьего по-
рядка, а затем и более высокого).
Интересно, что теория автоматического регулирования
начала свое существование тогда, когда известный русский
инженер и ученый И. А. Вышнеградский в 1876 г. описал
систему регулирования дифференциальным уравнением именно
третьего порядка и провел его исследование. Этот факт имеет
принципиальное значение. Дело в том, что хотя математиче-
ское описание системы регулирования уравнениями первого и
второго порядков (см. § 12 H 13) может быть полезным во
многих отношениях, однако оно в принципе не определяет
еще важнейших свойств системы автоматического регулиро-
вания.
Достаточно привести хорошо известное из опыта об-
стоятельство, что система регулирования становится неустой-
чивой (начинается расходящийся процесс) при большом уве—
личении коэффициента усиления регулятора, или при увели-
чении инерционности регулятора. Между тем, из уравнений
первого и второго порядков это принципиально нельзя уви—
деть при всех положительных коэффициентах. Там система
устойчива при любых Т и leper.
Поэтому переход к исследованию системы третьего по—
рядка является принципиально важным для правильного по—
нимания основ автоматического регулирования.
Рассмотрим три типа систем. Сначала—систему, состоя-
щую из объекта первого порядка и регулятора второго порядка

124 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динамики [гл. пт
(с двумя постоянными времени) на примере той же системы
регулирования напряжения (рис. 68). Однако рассуждения и
выводы при этом будут общими для всех систем автоматиче-
ского регулирования любой физической прироцы, если они
описываются такого же типа уравнениями.
Уравнение динамики регулируемого объекта (10.11) имеет
вид
TdAU
To T: +AU=—ko)Ar+f(t. (14.1)
Уравнение динамики регулятора будет
Ті°%’+т тд"_а_А’+Аг_—_ь№ AU, (14.2)
где T: и ТД _постоянные регулятора, характеризующие соот-
ветственноД раскачивание колебаний и демпфирование, причем
для уравнения регулятора (11. 21) они будут: Τ,,::Τ,Τ,,
Τ,, : Т 1+ Τ,; для уравнения регулятора (11. 23) := ξ,
T: =T:; наконец, для уравнения регулятора (11. 24)“, если
в них можно пренебречь произведением Τ, Τξ, имеем
Ті=ТТ +Тё, Т ,:τΔΓτ,
Для исследования процесса регулирования AU(t) составим
уравнение динамики всей системы автоматического регулирова-
ния В целом. Выразим из (14.1) величину—ЁОАГ и продиф—
ференцируем ее по времени два раза:
dAU
—koAr=To—dt—+AU—-f(t),
dAr__ ати dAU а;
_Ёот—Тот'дг'тг—аг
d’Ar Таз/ш d2AU тг,
—ko—.u2 _ To ша ___—+ 4:2 _а?—
Подставим все это в уравнение (14.2), умножив его пред-
вари'гельно на —ko. В результате получим искомое уравнение
динамики системы регулирования
:сі__’А!/1Г_(Тосі2АП
д)(і__АП
TOT“ (χε-Τ᾿ ТД+Т2) dt2+(0T‘1T [+
+п+ьоарег AU: Tij—ti +дТ , :ij Д!) (14.3)

§ 14] АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы третьего порядка 125
Это есть дифференциальное уравнение третьего порядка.
Характеристическое уравнение для него будет уравнением
третьей степени
ЛЁЫ+ППЬ%Ё№ЧНД+Лрт+П+щцщ=№
оно имеет три корня p1, рэ, p3. При положительных коэффи-
циентах уравнения возможны три варианта:
а) все три корня вещественные отрицательные:
1 1 1
д=—Ё‚д=—Ё‚щ=—Ё; пн)
6) один корень вещественный отрицательный, а два ком—
плексные с отрицательной вещественной частью
1 .
:=—— =——--— 0)‘ 14.5
p1 Ta, Ра Tbi] ’ ( )
Β) один корень вещественный отрицательный, а два КОМ-
плексные С положительной вещественной частью
1 .
р1=—— р2=-7-,—д-:Ь_](0. (14.6)
Существуют формулы для вычисления корней уравнения
третьей степени (в справочниках по математике их можно
найти), откуда можно вывести очень сложные зависимости
Ta, Tb, Tc, ω οτ параметров системы То, Τἕ, ТД, k0, leper.
Однако углубляться в этот вопрос мы не будем и оценим
возможные процессы регулирования только качественно.
Решение для переходного процесса в случае (14.4) будет
суммой трех экспонент
_і _і _і
мыды№ W+Qen+ge“, пап
в случае (Мб)—суммой экспоненты и затухающей синусо—
ИДЫ
t t
Ац№=ц№`й+сд"дыщш44щ‚ пащ
a В случае (МБ)—суммой экспоненты и расходящейся си-
нусоиды:
t t
Г
ΔΠΠΘΡΞΕΙΒ-Ἱἶ-ξ-ζεἷεὶπ (ше—і—Сз). (14.9)

I26 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ исслвдовинив динхмики [гл. m
Произвольные постоянные С„ С„ С, определяются во
всех случаях из начальных условий, в качестве которых за-
даются значения
AU
пер!
dAU"ep ά’ΔΠπερ _
Τ’ dt‘ "PM—0’
или же
dAr
пер!
Аг, при i=0
(состояние объекта и состояние регулятора в момент i=0).
Можно это и подробнее расшифровать по звеньям регулятора.
Процедура определения произвольных постоянных из указан-
ных условий вобщем остается прежней (см. § 13), только
вместо двух уравнений с двумя неизвестными С1 и С, здесь
”Alan, W454“?
I277;
‘7 “a `?
д’]
Рис. 87.
получатся три уравнения с тремя неизвестными С„ С„ С,.
Заниматься их определением мы не будем.
В случае (14.7) переходные процессы будут иметь такой
же вид, как на рис. 82.
В случае (14.8) могут иметь место две основные формы
переходного процесса, показанные на рис. 87. Это зависит,
во-первых, от соотношения произвольных постоянных С, и С,
и, во-вторых, главным образом, от соотношения постоянных
времени Ta и Т . Если Ta< Tb, то экспонента затухнет бы-
стрее, чем синусоида, и процесс будет в основном колеба-
тельным (рис. 87, а). Если же Τα) Tb, то синусоида затух-
нет быстрее, чем экспонента, и процесс может оказаться не
колебательным, а монотонным (рис. 87, 6). Чаще всего он не
будет колебательным при Та>Тд, несмотря на наличие

§ 14] автоматические системы тввтьвго ПОРЯДКА 127
комплексных корней, но, вообще говоря, это зависит еще и
от начальных условий (от соотношения величин С, и С,).
Наконец, в случае (14.9) переходный процесс оказывается
колебательным расходящимся (рис. 88). Получается, следо-
вательно, неустойчивая система. В этом случае, получив ка-
кое-нибудь начальное отклонение от равновесного состояния,
система к нему не вернется, а будет сама собой раскачи-
ваться без всякого внешнего воздействия (за счет собствен—
ного источника энергии).
Итак, принципиальная особенность системы регулирования,
описываемой уравнением третьего порядка, в отличие от вто-
рого и первого (§ 12 и l3),
состоит в том, что при всех
положительных коэффи-
циентах левой части диф-
ференциального уравнения
возможна неустойчивость J
системы. Это подтверждает- д
ся и опытом.
Положительность всех
коэффициентов левой части
уравнения системы регули—
рования в целом здесь по—
прежнему соответствует правильности присоединения регу-
лятора. Например, присоединив регулятор неправильно, т. е.
так, чтобы он уменьшал сопротивление цепи возбуждения
генератора [при этом в правой части (14.2) будет знак
минус], мы в уравнении всей системы (14.3) получили бы
вместо положительного коэффициента +(1+іг°ігрег) отри-
цательный коэффициент—(іг-„ігрег— 1), а значит, и неустой-
чивую систему.
Однако одной только правильности присоединения регу-
лятора (т. е. положительности коэффициентов левой части
уравнения всей системы) теперь уже недостаточно для устой-
чивости системы регулирования. Устойчивый объект может
стать неустойчивым даже при правильном присоединении
регулятора, если параметры регулятора (leper, Тд, Т:) ока-
жутся такими, что мы попадем на случай (14.9), или, что
то же самое, (14.6).
Следовательно, здесь проектирование (выбор параметров)
регулятора всегда будет состоять в том, чтобы сначала
|
Рис. 88.

128 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динамики [гл. …
обеспечить устойчивость системы [т. е. не попасть на слу-
чай (14.6)], а потом уже добиваться желаемого качества пе-
реходного процесса (14.7) или (14.8) и малости статической
и динамических ошибок.
Что касается статической ошибки, то она здесь как
частное решение уравнения (14.3) при f(t)=c0nst=f°, по-
прежнему будет f°
AUCT —— 14.10
1-1—1121?pep ‹ )
т. е. с точки зрения статической ошибки нужно добиваться
как можно большего значения коэффициента усиления регу—
лятора. Но с точки зрения динамики на это накладываются
весьма существенные ограничения, которые мы сейчас и рас-
смотрим.
Для устойчивости системы требуется, чтобы веществен-
ные ч'асти всех корней характеристического уравнения были
отрицательными. Чтобы судить об устойчивости системы не—
посредственно по коэффициентам уравнения, не определяя
его корней, применяют так называемые критерии устойчивости.
Критерий устойчивости любой системы третьего по-
ряд/са формулируется следующим образом. Пусть левая часть
дифференциального уравнения системы автоматического регу-
лирования имеет вид
god—"ta +01d—Zf—I— azdt—I—ax (14.11)
(вид правой части для устойчивости не играет роли). Для
устойчивости системы необходимо и достаточно:
1) чтобы все коэффициенты были положительны
a.>0. a.>0. a.>o, a.>0: υ...»
2) чтобы произведение средних коэффициентов было боль-
ше, чем произведение крайних коэффициентов
а,а‚>ооа,. (14.13)
В нашем примере, согласно (14.3) и (14.11), будет`
00—17—07“; а,=Т°7д+ ТЁ, } (14.14)
02=T0+Tu9 (18:1 +kokper'
Первое условие устойчивости (14.12) y нас уже обеспечено
правильным присоединением регулятора. Второе условие

ἓ 14] ABTOMATH‘IECKHE систвмы тгвтьвго ПОРЯДКА 129
устойчивости (14.13) выразится согласно (14.14) В виде
(Torn—l— Т:) (To + Ta) > ΤοΤἰξ (I + kokper)’
откуда
J
1 T0+T T
κως (T7 +?) Ё’ (14.15)
Это и есть ограничение, накладываемое динамикой про-
цесса регулирования на увеличение km, В то время как для
уменьшения статической ошибки надо брать ігри, как можно
больше. Ввиду наличия этого противоречия становится осо-
бенно важным учет обоих требований одновременно путем
нахождения наилучших значений параметров с обеих точек
зрения.
На основании формулы (14.15) на плоскости параметров
с осями координат Тд/Тк и ігоігрег можно построить границу,
до которой данная система регулирования будет устойчивой.
Эта граница устойчивости получится, если вместо неравен-
ства Β формуле (14.15) поставить равенство. Представим его
В виде
_ Lg & Тц Тд '
*о oer—(r.+T.)T:+(T;) °
Считая TK/T0 заданным числом, построим по этой формуле
кривую зависимости lee/apeP OT Ta/TK' Ha рис. 89 эта кривая
показана Β общем виде (рис. 89, a) и для двух конкретных слу-
чаев: Тк/Т,=0,1 и %:ОЬ (рис. 89, б). Следовательно,
устойчивость системы не распространяется теперь (рис. 89)
на всю положительную часть плоскости параметров, как было
ранее (рис. 85). Наглядно видно, что стремясь увеличить
kokper (с целью уменьшения статической ошибки), мы можем
здесь не только попасть в область колебательных процес-
сов, как на рис. 85, но даже получить неустойчивую си-
стему с расходящимися колебаниями (рис. 88). При этом,
чем больше постоянная времени регулятора Тк, тем скорее
это происходит.
Мы знаем теперь, каких типов процессов можно ожидать
Β системе регулирования третьего порядка и знаем условие
ее устойчивости. Однако мы не знаем еще, как связано на—
личие той или иной формы процесса с величинами параметров
5 E. Ц. Попов

1
30 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ исслвдовннив диндмики [гл. m
системы, потому что мы не вычисляли постоянных Ta, T, Тс, (в, которые фигурируют в формулах (14. 7) и (14. 8).
1
Mm
дгушдіт/тт
Imam/mm
|
, /
|| _ _ 7' 7'
αἵζρα - 7! + #
0}
драг
ἆ} Рис. 89.
Чтобы обойтись без
сложных формул для этих
постоянных, воспользу-
емся готовыми резуль-
татами исследований ос-
новоположника теории
автоматического регули-
рования И. А. Вышне-
градского. Вводятся сле-
дующие обобщенные ла-
раметры:
a
ΑΖΒ-ἧ- ‚
1/000.
0 (14.16)
8:3—2——;‚
l/aoaa
где ао, а„ а„ (1’ СУТЬ
коэффициенты левой ча-
сти уравнения системы
регулирования (14.11).
Легко проверить, что
условия устойчивости си-
стемы (14.12) и (14.13)
выражаются при этом в
виде
А>О, в>о‚ АВ>1.
Поэтому, построив на
плоскости с координата-
ми А и В гиперболу
AB: 1, мы получим гра—
ницу устойчивости си-
стемы (рис. 90), ниже и
левее которой система
“неустойчива, где имеет
место расходящийся про—
цесс (рис. 88), a выше и правее лежит область устойчивости, т.е. область затухающих переходных проЦессов.

ἓ 141
АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
I31
Область устойчивости делится на три части:
1) апериодический переходный процесс- (14.7), имеющий
одну из форм, показанных на рис. 82; эта часть области
ξ! 17 г [[ . ;
| Γ Γ
J
Ялта/Минский - ~—
/лгрг.гді№ш прадеда
l/e/mfleiam/IMMZ [141,7]
‘ перешит/и“ „рт/ет | .z'
{Mil/7,1711 7,"z >71, Ё ||
.2:
‚, \ Ь / |
\ : ’
| /
W,
.7 ἢ ` },
ъ
Μ᾽;
% Ктеіателмыи'
2 ᾽ξ переход/ши“ Imam:
᾽ξ ' 04.51 при ζζ 7},
c}: $
Ё“;
| “% t
. Мёд/дд
— fie Μα} ”ὁ
1/ “από
| (1/. !}
U I 2 3 4 ὁ“ δ᾽ Л
Рис. 90.
ограничена кривыми CE и CF (рис. 90), которые строятся
по уравнению
А=В=—4(А°+В°)+18Ав—27=0;
2) колебательный переходный процесс (14.8), показанный
на рис. 87, α; эта часть области ограничена границей устой-
чивости и кривыми CF и CD (рис. 90), последняя из которых
50

132 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ [гл. …
строится по уравнению
2A'—9AB+27=O при А<3;
3) неколебательный переходный процесс (14.8) типа,
изображенного на рис. 87, 6; эта часть области ограничена
кривой ВСЕ (рис. 90).
Полученный график называется диаграммой Вышнеград-
ского. Пользоваться этой диаграммой можно следующим
образом.
Выше мы записали величины коэффициентов левой части
уравнения системы регулирования для нашего примера через
параметры системы (14.14). В соответствии с этим обобщен—
ные параметры А и В (14.16) для данного примера будут
A‘— ТоТд+ T: B— T0+T11
'— з ᾽ _ 3
Итак: (ι + №№) / т: (I + №…?
Если все параметры регулятора (Tn, Тк, leper) и объекта
(To, [во) заданы, то можно вычислить значения А и В и, смотря
по тому, куда точка с этими координатами А и В попадет
на диаграмме Вышнеградского (рис. 90), можно сказать, ка—
кого типа переходный процесс получится в данной системе.
Если, например, получится А=4, 8:2, будет колебатель—
ный переходный процесс, если же А=4, В::4—аперио-
дический и т. п.
Можно решать и другую задачу. Пусть заданы только
параметры регулируемого объекта (To, до), a параметры ре-
гулятора надо подобрать, исходя из желаемого качества пе-
реходного процесса. Например, стремясь получить достаточно
быстрое затухание и отсутствие колебаний, будем считать
Желательной точку диаграммы Вышнеградского (рис. 90) с
координатами А=2,5 и 8:3. Тогда на основании формул
(14.17) запишем
‚(14.17)
т,т„+т; _? 5_ Т0+Тд _3
ὃ _ ’ ’ 3 — .
n/Tzrzu На…) /T.T;<1+k.kper>=
Подбираем параметры регулятора Тд, Тк, kpep так, чтобы
приблизительно удовлетворить данным равенствам, меняя па-
раметры в реальных физически осуществимых пределах. При
этом надо учесть одновременно, конечно, и соблюдение до-

§ 14] АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы трвтьвго ПОРЯДКА 133
пустимой величины статической ошибки (14.10). Если жела-
емые значения 2,5 и 3 He получаются, то допускаем другие
(по возможности не очень далеко от точки А=В= 3).
Из выражений Α и В (14.17) видно, что с увеличением
коэффициента усиления регулятора leper значения Α и В умень-
шаются. Согласно диаграмме Вышнеградского (рис. 90) это
означает, что если при малых laper был апериодический про-
цесс, то с увеличением kpep OH перейдет в колебательный, и
затем в расходящийся (в область неустойчивости). Это и
показано было для данного примера на рис. 89.
То же самое исследование процесса регулирования спра—
ведливо во многих других системах. Например, если в системе
регулирования скорости двигателя (рис. 18) электроматиин-
ный усилитель согласно § 7 описывается уравнением вто-
рого порядка с постоянными T: и Тд при всех остальных
идеальных звеньях, то уравнение регулятора в этой системе
будет ды d I
Ті— Т„ +T д (1A; +Al=—kperAm.
Учитывая уравнение регулируемого объекта (13,25)᾽ πο-
лучим уравнение всей системы в том же виде (14.3) с заме.
ной только AU на Δω. Обобщенные параметры здесь опре—
делятся теми же формулами (14.17), и мы получим для
системы регулирования скорости двигателя непрямого дей-
ствия (рис. 18) совершенно такую же зависимость формы
переходных процессов от параметров регулятора, что и
в системе регулирования напряжения прямого действия
(рис. 68).
Обратимся теперь к другому типу системы автоматиче—
ского регулирования третьего порядка, а именно, к ней-
тральном}: объекту второго порядка с регулятором & виде
апериодического звена. Примером здесь может служить
автоматическая стабилизация крена ракеты. Уравнение дина—
мики регулируемого объекта (движение крена ракеты) имеет
вид (13.26)
To dd; ”%+ = '— [€06 +] (t)
Уравнение динамики регулятора вместо прежнего (13.27)
возьмем с учетом его постоянной времени
(16
Τι a? + δ = kPeI‘CP'

134 хлгввРАичвсков ИССЛЕДОВАНИЕ динамики [гл. …
Уравнение динамики всей системы регулирования (ракета
с автоматической стабилизацией крена) в этом случае будет
d’
ToTldt?+(To+T1)d:2 ἦ-ᾶᾗ ¢+kok percPZTl dt f°+f(t)
(14.18)
Статическая ошибка системы имеет выражение
(P __]… ᾽
_ ,
ст kokper
для ее уменьшения надо увеличивать ἀρε
Требование положительности всех коэффициентов в урав-
нении (14.18) соблюдается. Поэтому условие устойчивости
системы согласно критерию (14.13)
будет
(To + T1)> Το leokper
ИЛИ
То +Т__,_
Ьрег<° To T k (14.19)
Граница устойчивости на пло-
скости параметров с осями коор-
динат T/To и Tokokper будет
Тоёоігрег— __ 1 +%.
7; Она изображена на рис. 91.
Рис. 91. Снова видим, что требование
устойчивости (требование дина-
мики) противоречит требованию
статики—увеличивать как можно больше leper. Постоянная
времени, т. е. инерционность регулятора (B данном случае
автомата стабилизации крена) влияет отрицательно, умень-
шая допустимые значения kpe и увеличивая тем самым ста-
тическую ошибку. Без учреета инерционности регулятора
(T :0) система была устойчивой при любом значении kpe
[_см. уравнение (13.28)].
Определение возможных видов переходных процессов
внутри области устойчивости в зависимости от выбранных
значений параметров регулятора (и выбор параметров по
желаемому виду переходного процесса) можно производить
с помощью диаграммы Вышнеградского (рис. 90), для чего
4/‚6' l

ξ 14] АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы тввтьвго ПОРЯДКА 135
надо записать согласно (14.16) и (14.18) выражения
T T
А=д—22і2_'_‚в ____'____2 2 . (14.20)
| Ton/101%er 27"- T T ігО/грег
Аналогичным путем исследуется и следящая система.
Если в ней учесть постоянную времени Т1 усилителя (рис. 23),
то вместо прежнего уравнения (13.32) получим
T1dt+l:kper(x0_ x1)
и общее уравнение всей следящей системы согласно (13.31)
будет
Т’сіх__1 d"’xl
Τι (“_—8 +(To + Τι)" dtz +dxl+kokperx1=
=kokperxo (г)-\— T:— ζ-ι-χ.(ε)
При хо =const оно совпадает с уравнением (14.18), если в
нем заменить φ на Ах =х —х. Для этой следящей системы
будет справедливо το же самое оусловие устойчивости (14.19)
с графиком рис. 91 и те же обобщенные параметры (14. 20).
Рассмотрим, наконец, последний пример системы автома—
тического управления третьего порядка—нейтральный
объект, описываемый уравнением третьего порядка со
сложной правой частью, с идеальным регулятором (само-
лет с курсовым автопилотом). Уравнение управляемого
объекта (движение рыскания самолета в горизонтальной
плоскости с учетом скольжения) имеет вил
T02 dt’ “р…—‹ 1+Т 0612)— dtz Μ-Ι-ψ
=——1г°(То2а—-Ё+б)+/(1), (14.21)
где ф—угол отклонения самолета от заданного курса (рис. 14),
δ — угол отклонения руля направления. Кроме того,
8
Т =_"_ T —_"i‘: k: ΜΡ
οι Mi: › 02 Z3 › 0"— АТФ
причем J обозначает момент инерции самолета при вращении
его вокруг вертикальной оси, проходящей через центр тя-
жести; ME— крутизна (тангенс угла наклона) аэродинамиче-

136 АЛГЕБРАНЧЕСКОЕ исслвдовкппв динкмики [гл. …
ской характеристики самолета, выражающей зависимость мо-
мента сопротивления воздуха Mc OT величины угловой скорости
вращения самолета ψ вокруг той же вертикальной оси;
т—масса самолета; У—скорость самолета; 23—крути3на
аэродинамической характеристики самолета, выражающей
зависимость боковой силы Z от величины β угла скольжения;
МЪ—крутизна аэродинамической характеристики, выражающая
зависимость вращающего момента Mp возникающего при от-
клонении руля, от величины угла отклонения руля δ (рис. 92).
ΜΛ ΖΛ “MP
В 12 _ _
„цій 75' 73
&
”даёт; Z β =4; 22 ‚% 43713,
L
` L
Рис. 92.
Зависимостью момента Мс от угла δ и некоторыми другими
второстепенными зависимостями здесь пренебрегаем. Внеш-
нее возмущающее воздействие f(t) происходит от наличия
уводящих самолет моментов вокруг вертикальной оси и боко-
вых сил, например, вследствие несимметрии тяги самолетных
двигателей, от неточности собственной аэродинамической сим—
метрии самолета, от изменчивости ветра.
Уравнение курсового автопилота возьмем в идеальном
Bane
б:!грегчэ, (14.22)
т. е. автопилот отклоняет руль пропорционально отклонению
самолета от курса без заметного запаздывания.
Подставляя (14.22) В (14.21), получаем общее уравнение
замкнутой автоматической системы (самолет с курсовым авто-
пилотом)
T т„‚Ё—ЁЪ"+‹Т…+Т дій—2,2 "Ч—
+(1+Т„№ „ рег) )ξζζὍΓ коврегф=;(1). (14.23)

§ 14] АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы тгвтьвго ПОРЯДКА 137
Статическое отклонение
——f—_O
1|)CT :}; okper. (14.24)
Так, если при постоянно действующем уводящем моменте
от несимметрии тяги неуправляемый самолет (14.21) будет
уходить с постоянной угловой скоростью
ἂψ- ο
Ἴ-ἶν
το при наличии автопилота такой момент создаст только ста-
тическое отклонение ф… которое можно сделать достаточно
малым путем выбора коэффициента усиления kmr (он назы-
вается передатбчным числом автопилота). Однако динамика
процесса управления налагает ограничение на увеличение
kpe Рассмотрим этот вопрос.
е"Условие устойчивости системы согласно (14.13) и (14. 23)
будет
T01+T02)(1+Tozkko per >> То lTozkok'per
или
T +7
();—22113002 + kPCF>O°
Ηο положительность коэффициентов уравнения (14.23) тре-
бует, чтобы >О
k0 kper
Последние два неравенства ГОВОРЯТ Ο ТОМ, ЧТО СИСТЕМЕ]
устойчива при любом коэффициенте усиления автопилота.
Необходимо проанализировать теперь изменение формы пере—
ходного процесса при увеличении коэффициента усиления
автопилота leper. Для этого воспользуемся диаграммой Вышне-
градского. Обобщенные параметры Α и В согласно (14.16)и
(14.23) выразятся через параметры самолета с автопилотом
следующим образом:
Α.- _ Т… + To: Β: __1i_To_2__k_k_._p=__r (14 25)
, 3 . .
Ё/Т__—; T: k κω ‚/__—_ Turozkgkger
Проследим изменение величин А и В с увеличением leper
от О до оо. Это даст нам на диаграмме Вышнеградского
кривую, изображенную пунктиром на рис. 93 в двух вариантах
(для двух разных вариантов значений параметров самоле-
та Του T0,. до). Стрелкой показано направление увеличе-

138 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динхмики [гл. m
ния Ь„ег. Из этого графика видно, что при сравнительно
малых значениях ἐν“ мы находимся в области апериодических
процессов, с увеличением же kmF переходим в колебательную
область и при leper—+00 неограниченно близко подходим к
границе устойчивости системы, т. е. к незатухающим коле-
баниям.
Следовательно, хотя для уменьшения статической ошибки
(14.24) требуется увеличивать передаточное число автопилота
kper, его нецелесообразно
увеличивать сверх опреде-
ленного предела, так как
иначе получится колебатель-
ный переходный процесс
_(колебательное рыскание
самолета на курсе), что
нежелательно. Поэтому на-
"илучшие значения лежат в
районе точки С (рис. 93),
даже немного не доходя
, _ точки С. Кроме того, уве-
Г 2 J 4 J ὀ" ? личение ігрег ограничено
его физической осущест-
вимостью (мощностью и
скоростью рулевой машин-
ки и предварительными коэффициентами усиления).
Устойчивость при любом вре, получилась за счет того,
что взят идеальный автопилот. Если учесть постоянные вре-
мени (инерционное запаздывание) автопилота, а также, если
более тщательно учесть динамику полета самолета, то повы-
сится порядок уравнения системы и устойчивость системы будет
нарушаться при больших значениях kmr (см. § 15).
В заключение заметим, что использованная в данном па-
раграфе диаграмма Вышнеградского отражает только свойства
левой части дифференциального уравнения системы регулиро-
вания. Однако качество процессов регулирования и управле-
ния существенно зависит и от правой части его (последняя
влияет на значения произвольных постоянных в переходном
процессе и, конечно, на установившуюся часть процесса).
Все это определяется более совершенными методами иссле-
дования, имеющимися в теории автоматического регули-
рования.
Рис. 93.

ξ 15] АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы волвв вывокого ПОРЯДКА 139
§ 15. Автоматические системы более высокого порядка
В предыдущем параграфе был указан критерий устойчи-
вости для систем третьего порядка. Существуют аналогич-
ные алгебраические критерии устойчивости (Гурвица‚ Рауса)
и для систем более высокого порядка. Имеются также и
способы вычисления корней характеристического уравнения
любой степени (приближенные численные), различные алгеб-
раические оценки качества процессов и т. д.
Например, для автоматической системы четвертого порядка,
когда характеристическое уравнение имеет вид
aop4+a1p3+a2p2+asp+a4=0, (15.1)
алгебраический критерий устойчивости сводится к двум ус-
ловиям:
а) положительность всех коэффициентов
ao>0, a1>0, ...,a4>0; (15.2)
6) выполнение неравенства
а8 (а1а2—а°а‚)—аіа4> 0. (15.3)
Для систем еще более высокого порядка это неравенство
сильно усложняется и кроме него появляются новые до-
полнительные неравенства.
Поэтому при исследовании устойчивости автоматических
систем высокого порядка часто прибегают к графическому
критерию устойчивости Михайлова, который заключается
в следующем. Обозначим левую часть характеристического
уравнения через L(p) и подставим в нее чисто мнимое зна—
чение р=1'о). Тогда, например для уравнения (15.1), по-
лучим
L (χ'ω) = αοω4 —jalco3 —— а2со2 +jaau) + a4.
Выделим здесь вещественную И МНИМУЮ части:
L υω) = X160) +J'Y(w).
Где
Х=аою‘—а2ш'+а4, ὶ “5 4)
Ι о
Y: — aim3 + азот.

140 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динихмики [гл. m
Будем теперь задаваться различными значениями ω и по
точкам строить согласно уравнениям (15.4) кривую на пло-
скости Х, Y (рис. 94, a), которая называется кривой Михайлова.
\ у у
ω, ἆ]
ωε᾽
a] (02 +
„д,/_
Л ›‹— 04‘›'| χ
ше
MW
Φ-
᾽α:
\L.
Рис. 94.
Для устойчивости автоматической системы требуется,
чтобы кривая Михайлова проходила последовательно
столько квадрантов, наново степень характеристического
АУ A”
\
(ᾖς-χ πᾷ д']?
J
уравнения (окружая начало координат против хода часовой
стрелки). Это и показано на рис. 94, a для системы четвер-
того порядка, а на рис. 95—для систем пятого и шестого
порядков.
><“
%
Рис. 95.

§ 15] Автоммичв'скив системы волв'в высокого ПОРЯДКА 141
Если же кривая Михайлова пройдет через начало коор-
динат, как указано для системы четвертого порядка на
рис. 94, 6 или в, то система будет находиться на границе
устойчивости, так как в этом случае L(jcoo)=0, а значит
характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых
корней p: ijmo (в случае рис. 94,6) или же нулевой ко-
рень р=0 (в случае рис. 94, в). На рис. 94, г показан пример
кривой Михайлова для неустойчивой автоматической системы.
Паре чисто мнимых корней, как известно, соответствует
чисто синусоидальное решение линейного дифференциального
уравнения, как было, например, на рис. 59. Поэтому, по
своему физическому смыслу, величина" ωο (т. е. значение ω
Β той точке кривой Михайлова, которая попадает в начало
координат) является частотой незатухающих колебаний дан-
ной автоматической системы на границе устойчивости (в мо-
мент потери устойчивости).
Отсюда вытекает простое правило построения области
устойчивости автоматической системы любого порядка на
плоскости ее параметров (такие области мы уже строили
на рис. 89—91, но другим путем для систем третьего по-
рядка). Поясним это правило на примере системы четвер—
того порядка.
Появление чисто мнимого корня в характеристическом
уравнении (или прохождение кривой Михайлова через на—
чало координат) означает, что L (jcoo) =0 или согласно (15.4)
X: аошЁ— азшЁ—Ъ a4: О, ὶ
Y: — 01(03—1— ада)о : О, |
что и представляет собой параметрические уравнения гра-
ницы устойчивости (за исключением некоторых лишних
кривых, вопрос о которых здесь не рассматривается).
Система регулирования четвертого порядка получается,
например, когда при регулировании напряжения (рис. 68)
учитываются все постоянные времени регулятора. Объединяя
соответствующее уравнение регулятора (11.24) с уравне-
нием объекта (10.11), получим характеристическое уравне-
ние всей системы в виде
Т011Т22Р4+(Т0Т1Тз+ ТОТЁ+ Т1Т22)р8+
+<m+ т„т‚+т‚т.+ т:›р*+
+<To+ 7, + T.>p+1+ темы- (156)
(15.5)

142 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ исслвдовкнив динлмики [гл. m
Подставив p=jcoo и выделив вещественную и мнимую
части, получим следующие параметрические уравнения
границы устойчивости:
X=1+kokper_(ToTl + тот:—"' TnTa+ Т:) (03+ "
+ TOTIT: (иЗ-:: Ο,
Y=(To+ T1+ Ta) (00— (T0T1T3+ тот:—"'
+ Т1ТЁ) (03:0.
Допустим, нас интересует плоскость параметров T: и
leper. Выразим из (15.7) Τζ и leper через coo. Для этого из
второго уравнения (15.7) находим
T: = To + Τι + Ts _ TOTIT3
(To + Τι) ωξ Το + Τι
подставив это затем в первое уравнение (15.7), найдем из
него
; (15.8)
T, 2 4 2 2 2
kper=m[TzT1wo+(T0+ T1)(Do+l] (15.9)
ЗЗДЗВЗЯСЬ РЗЗЛИЧНЫМИ ЗНЭЧВНИЯМИ (0°, ΠΟ ЭТИМ ДВУМ
формулам подсчитываем числовые значения T22 и ἄρῃ. По
полученным данным и строится
Лёт \\ФЕЮ искомая граница устойчивости
7 7‘7\ системы (рис. 96).
_ + + \ __ _—
„_ 0er Лтд—д Если положить Т,__О (считая
незначительной инерционность
_ электрической части измеритель-
(of ного устройства), то область
д;,‚дддд ᾽" _____ устойчивости будет шире (пунк-
gamma/mama ,- тир на рис. 96). Видно также,
А;; fo+fJ что область устойчивости расши-
fl _ . ряется при увеличении демпфи-
If рующей постоянной Т„ когда
pm. 96. имеется инерционная масса, т.е.
при T22 =/_-0.
Аналогичное исследование можно провести и для само-
лета с курсовым автопилотом. Уравнение этой системы бу-
дет иметь четвертый порядок, если учесть инерционное
запаздывание автопилота, т. е. вместо (14.22) записать его

§ 16] процессы при включвнии и пвРвнаствойкв систвмы 143
уравнение в виде
d6
Тогда удастся учесть влияние постоянной времени авто-
пилота T Ha процесс автоматического управления курсом
самолета.
Кроме исследования устойчивости требуется определение
качества переходных процессов, а также статических и ди-
намических ошибок системы. Статические ошибки опреде-
ляются здесь точно так же, как это делалось в предыду-
щих параграфах. При решении всех остальных вопросов для
автоматических систем высокого порядка чаще всего прибе-
гают к вычислительным машинам дискретным (цифровым) и
непрерывным (моделирующим), а также используют частот-
ные меТОДы расчета (см. главу IV).
§ 16. Процессы при включении и перенастройке
автоматической системы
Начало процесса регулирования при включении регуля—
гора в работу имеет свои особенности, которые тоже должны
быть учтены при проектировании регулятора или при под—
боре регулятора к данному объекту. Если регулятор уже
работал, будучи настроенным на поддержание некоторого
постоянного значения регулируемой величины, и мы изме-
нили его настройку на новое желаемое значение регули-
руемой величины (переставили, например, движок потенцио-
метра задатчика на рис. 68, а, 18, или рукоятку на рис. 19,
или винт на рис. 17), то начало процесса регулирования
при перенастройке будет иметь особенности, аналогичные
процессу при включении регулятора.
Для упрощения выкладок предположим, что в момент
включения или перенастройки регулятора внешнее возму—
Щающее воздействие отсутствует (f=0), T. e. имеет место
установившийся режим работы объекта, с некоторым по-
стоянным значением регулируемой величины.
Рассмотрим начало процесса регулирования при скачко-
образной перенастройке регулятора на примере системы
регулирования напряжения (рис. 68). Уравнение динамики
регулируемого объекта (генератора) согласно (10.11) при

144 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ диннмики [гл. …
f: 0 будет
Таши
т, T: +AU=—k°Ar. (16.1)
В уравнение же динамики регулятора необходимо ввести
задающее воздействие z(t) Ha движке реостата задатчика 4
(рис. 68, a). Чтобы выяснить, как в данном примере выгля-
дит это задающее воздействие, возьмем уравнение цепи
электромагнита, в которую включен рсостат задатчика. Со-
гласно (11.1) имеем
(Н,+Кд)/,+Ь,%=и. (16.2)
Ранее величина сопротивления реостата задатчика считалась
неизменной. Теперь она во время перенастройки изменяется.
Обозначим
12, = 123+ z (t),
где КЁ—величина сопротивления Нд, соответствующая уста-
новившемуся состоянию с прежней постоянной настройкой;
га)—изменение сопротивления Нд во время перенастройки.
Уравнение (16.2) теперь будет
[Н,+НЁ+г(і)]/,+Ь,%=Ы (16.3)
Здесь имеется произведение двух переменных: 2(2‘)/,. Это,
как мы знаем, является нелинейностью, от которой надо по-
стараться освободиться, т. е. надо линеаризовать это урав-
нение. Уравнение (16.3) похоже на встречавшееся уже у нас
ранее уравнение (10.1), В котором r=r°—|—Ar. Считая
здесь z(t) малым по сравнению с R,—1—Rf1 (так же как
там Ar по сравнению с R+r) и проводя те же самые рас-
суждения, по аналогии с (10.6), вместо (16.3) получим ли-
нейное уравнение
(R, +12д)А/, +1°z (t +Ь,—— “`," =AU.
Для приведения уравнения к стандартному виду разде—
лим все на (Η,-Ἡρὼ и перенесем 2(1‘) вправо. Получим:
T,"A’*—(—AIl -11: AU—kz() (16.4)

§ 16] процессы при включении и пвввнастюйкв системы 145
где
L
T =_I_ сек , 1
. R1 ΜΝ 1
k _ 1 [ампер]
1— R1+R§ вольт ’ % (16.5)
I? [ампер]
_ R1+Rg ом ' 1
Уравнения остальных звеньев регулятора остаются преж-
ними: уравнение механической части (11.12) и уравнение
регулирующего органа (11.16).
Ha основании этих уравнений тем же способом, что и в
ξ 11, находим общее уравнение динамики всего регулятора.
Ограничиваясь пока оценкой инерционности регулятора при
помощи одной постоянной времени Т, запишем уравнение
динамики регулятора вместо (11.19) или (11.20) с учетом
(16.4) в виде
Tf’d—A'+Ar =k „Аи—ми,) (16.6)
где постоянная времени регулятора Т равна либо Т„ либо
Т либо T,+ T, H кроме того,
”
ἐνε =kkk kzzkzk,k. (16.7)
128’
Продифференцировав уравнение регулируемого объекта
(16.1) по времени, найдем
dAr d’AU dAU
—тт= … —+—.— ……
Умножив теперь уравнение регулятора (16.6) Ha ——ko и
полставив в него (16.1) и (16.8), получим уравнение дина-
мики всей системы регулирования в целом:
Т ТЁ—Ё,“+‹ Τ +) Т) dA—U+(1 +kokpe,)AU:/e,kzz(t). (16.9)
Из сравнения этого уравнения системы, составленного
для процесса регулирования при перенастройке регуля-
тора, с уравнением той же системы (13.3), составленным
для процесса регулирования с постоянной настройкой при
наличии возмущающего воздействия, видим, что левые части

146 клгвввличвсков исследование диНАмики [гл. m
уравнений Β точности совпадают между собой, а правые
части существенно различаются по своей структуре: в преж-
нем уравнении (13.3) функция f(t) входит вместе с ее про-
изводной по времени, в то время как в новом уравнении
(16.9) функция 2(t) входит без производной.
Процесс регулирования AU(t) по—прежнему складывается
из двух частей, переходной и установившейся,
AUZAUnep+ AU),
Поскольку левые части уравнений (16.9) и (13.3) совпадают,
все исследование переходного процесса в общем виде, на—
чиная с формулы (13.4) и кончая (13.22), остается буквально
СТ.
Z тем же самым. Однако
+ ввиду различия струк-
а] }„ туры правых частей
Y этих уравнений уста—
W г? новившийся процесс
AUycr (t) при зада нном
ДЩЪ ’“ 4ὧῃ΄ο 2(t) будет другим, чем
J] _ при заданном f(t),
если даже сами функ—
{!%/тд”- ции f(t) и z(t) одина-
...-.. v ковы. Вследствие это-
_ г
д \Йргг<Лд' 7/ έ го числовые значения
45752: произвольных посто—
Рис. 97. янных С1 и C2 nepe—
ходного процесса бу-
дут другими, отчего и конкретные кривые переходных про-
цессов Β этих двух случаях окажутся разными, хотя общие
их выражения Β буквенном виде (13.6) или (13.20) сохра-
няются.
Рассмотрим процесс регулирования при мгновенной пере-
настройне регулятора, т. е. при быстрой перестановке движка
реостата задатчика (рис. 68, a) из одного положения в дру-
гое. Это соответствует скачкообразному изменению z(t)
(рис. 97, а) на некоторую величину 2° (увеличение сопро-
тивления реостата задатчика при перестановке движка).
Установившийся процесс Β новом положении, как частное
решение уравнения (16.9) при z(t)=c0nst=z°, будет
_ ‚го/гг 0 ~
AUycr—mz (16.10)

§ 16] процессы при включении и пЕРЕНАствойкв систвмы 147
Эта величина определяет собой, насколько отличается новое
значение регулируемой величины (в данном случае напря-
жение на клеммах генератора), которое будет поддерживать
регулятор после перенастройки, от старого. Соотношение
(16.10), следовательно, может быть использовано для гра-
дуировкн шкалы на реостате задатчика в единицах желае-
мого значения регулируемой величины (напряжения U).
Процесс регулирования при перенастройке, как сумма
переходного и установившегося процессов, может иметь два
варианта. Если параметры системы удовлетворяют соотноше-
нию (13.5)‚ то согласно (13.6) и (16.10) получаем
t t
AU=C,e’T_u+C,e‘T5+AL/W. (16.11)
Поскольку до перенастройки мы имели установившийся про-
цесс
AU=0 и Ar=O при t=0,
то В соответствии с уравнением регулируемого объекта (16.1)
находим начальные условия
AU=O и {gt—”=0 при t=0. (16.12)
Как видим, различие правых частей уравнений вносит
с собой и различие [см. выражение (13.24)] начальных ус-
ловий переходного процесса при регулировании, несмотря
на одинаковое первоначальное состояние системы. Это
является очень важным обстоятельством, общим для любых
автоматических систем.
Дифференцируя уравнение (16.11) по времени,
t t
‘1A_U=__Qe‘Ta_C_2e‘Tz
а: Т„ Т„ ’
и подставляя начальные условия (16.12) В 06a уравнения
получаем два соотношения
Cl C
0=C1+C2+Auycv ΟΞ-π-Τ-ζ’
откуда находим
Ta
1 Та __ уст?
C:
2 Ta _ Tb vcr'

148 Алгвввяичвсков исследовлнив динямики [гл. m
Следовательно, процесс регулирования AU(t) при перена-
стройке регулятора (16.11) будет иметь вид
Τ __‘_ Т __г
АП:-АПУ“ (1—Ё:2Ёе Та+—Т—а—__д_Тде ть), (16.13)
где Ta и Τὀ определяются формулами (13.7) через параметры
системы регулирования.
В случае же, когда параметры системы удовлетворяют
соотношению (13.17), получится колебательный процесс регу-
лирования при перенастройке регулятора, который можно со-
вершенно аналогичным путем отыскать, используя вместо (13.6)
уравнение (13.20).
Оба процесса показаны на рис. 97,6. Все указывавшиеся
выше различия процессов регулирования при изменении f и
при изменении z наглядно видны из сравнения соответствую-
щих кривых рис. 86 с рис. 97. В последнем случае мы имеем
значительно более затянутую начальную часть процесса.
Математически это является результатом различия струк-
туры правых частей дифференциальных уравнений. Физи-
чески же это является следствием того, что внешние воз-
действия f(t) и 2(t) приложены в разных местах системы:
f(t)—K объекту, а z(t)—K регулятору.
Отметим, что наличие производных от внешнего воздей-
ствия 8 правой части уравнения способствует более быст-
рому протеканию начальной части процесса регулирования.
Оно влияет также и на величину установившейся ошибки
системы при переменном заданном внешнем воздействии,
которая пока здесь не определяется. Она определяется
частотными характеристиками системы (главы ιν и V).
Аналогичным образом можно рассмотреть процессы при
перенастройке системы и на всех остальных примерах.
В частности, при перенастройке автопилота с одного
курса на другой уравнение управляемого объекта (самолета)
вместо (14.21) при f=0 будет
d3 d2 d ᾶδ
ΤοιΤευἷἓ-Ι-(Τοι + Toz)£U—:p+gt$=_ до (THE-(‘6), (16.14)
а уравнение автопилота вместо (14.22) —
б:!грегф—іггг (t), (16.15)

ἓ 16] процвссы иви включЕнии и пврвнхстройкв систвмы 149
где г(1‘)—движение ручки задатчика автопилота, [гг—соот-
ветствующее передаточное число. Подставив это значение δ
Β уравнение (16.14), получаем уравнение динамики движения
автоматически управляемого самолета при перенастройке
автопилота в виде
Τ" d—t’ ЗФ…— 01+ Toz)dt22¢+(1+ Tozkokper)“ ᾶψ + kokperw =
_— _Tozkokzd_[ +kok ΖΖζΐ). (16.16)
Здесь снова наблюдаем одинаковость левых и различие
структуры правых частей, но Β несколько ином виде. В этом
случае, в отличие от предыдущей системы, протекание на—
чальной части процесса регулирования (в переходном режиме)
будет более быстрым при перенастройке автопилота, чем при
внешних возмущающих воздействиях, так как уравнение
(16.16) включает производную от г….
Градуировка шкалы настройки автопилота определяется
соотношением (как частное решение уравнения (16.16) при
z(t)=const=z°):
*: о
ψγετ2ζπ2 _ (16.17)
Рассмотрим теперь начало процесса регулирования при
включении регулятора в работу.
Перед включением регулятора в работу он настроен на
поддержание желаемого значения регулируемой величины.
Естественно предположить, что в момент включения регуля-
тора фактическое значение регулируемой величины не совпа-
дает с тем, на которое настроен регулятор. Таким образом,
Β момент включения регулятора имеет место начальное рас-
согласование между фактическим и требуемым значениями
регулируемой величины, чем и вызывается переходный режим
Β начальной, части процесса регулирования при включении
регулятора.
Будем считать, что фактическое значение регулируемой
величины было постоянным, т. е. что перед моментом вклю—
чения регулятора было установившееся движение объекта
с постоянным зНачением той величины, которую нужно регу-
лировать. В этом случае процесс включения регулятора можно
уподобить процессу перенастройки регулятора. В примере
с самолетом процесс включения автопилота в этом случае

150 АлгввРаичвсков ИССЛЕДОВАНИЕ дпнхмикн [гл. m
можно определять тем же уравнением (16.16), если условно
принять согласно (16.17) скачкообразное изменение z(t) на
величину
k
0— per
Z _ ἆ: Фут—9
где через ψ „. обозначена разность (рассогласование) между
значением ‚ которое нужно поддерживать при помощи
автопилота, и фактическим значением ψ, имевшим место
перед моментом включения автопилота.
Это—простейший случай условий включения регулятора.
Вообще же они могут быть весьма разнообразными. В ряде
случаев регулятор бывает присоединен к объекту с самого
начала, еще до пуска объекта В хол. Тогда регулятор
участвует в процессе разгона объекта до номинального ре-
жима. Часто регулятор на время разгона бывает отключен
и включается в работу автоматически на режимах, достаточно
близких к номинальному. Эти вопросы имеют большую специ—
фику в каждой конкретной системе автоматического регулиро-
вания и требуют специального изложения, выходящего за
рамки данной книги.

ГЛАВА IV
ЧАСТОТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 17. Частотные характеристики типовых позиционных
звеньев
Общее понятие о частотных характеристиках автомати-
ческих систем и о их важном значении было уже дано
в § 5. Здесь будут рассмотрены частотные характеристики
типовых звеньев, которые понадобятся в дальнейшем для
частотного исследования процессов регулирования и управ-
ления.
Если подать на вход любого из рассмотренных в § 8
звеньев синусоидальные колебания
x=asincot (17.1)
(например, синусоидальные колебания напряжения U3 на
входе электромашинного усилителя, рис. 51), то на выходе
звена *) установятся тоже синусоидальные колебания (в ука—
занном примере—колебания тока I), но с измененными
амплитудой и фазой:
у : А, sin (cot +В). (17.2)
Усиление амплитуды
А=— (17.3)
и сдвиг фазы В будут иметь разные значения при разных
частотах колебаний ω. Например, очевидно, что если на-
пряжение и, (рис. 51) будет колебаться медленно (c низкой
*) Речь идет только ο звеньях, описываемых линейными урав-
нениями.

152 ЧАСТОТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ систем [гл. IV
частотой), то ток I будет успевать изменяться вслед за ним.
При этом усиление амплитуды будет хорошее (близкое
к статическому коэффициенту усиления и, ,.рис 52), а сдвиг
фазы В будет невелик (в данном случаеу будет отставание
по фазе, B<0). Если же напряжение Ua будет колебаться
быстро (с высокой частотой), то вследствие инерционности
данного звена ток I He будет успевать быстро изменяться;
усиление амплитуды Α будет малое, а отставание по фазе
увеличится. Эта картина зависимости амплитуды и фазы
колебаний от частоты, представленная в виде частотных
характеристик, бУДеТ иметь, следовательно, примерно
такой же вид, как на рис. 35.
Очевидно, что частотные характеристики вида (рис 35)
можно легко получить для любого звена эксперименталь-
ным путем. подавая колебания на вход звена и измеряя
их на выходе. Но, оказывается, очертание частотных харак-
теристик для любого звена легко определяется также и рас-
четным путем через передаточную функцию звена, понятие
о которой было дано в § 8 [см., например, формулу (8.7)].
Покажем, как это делается для всех типов звеньев, рас,-
смотренных в § 8.
1. Передаточная функция апериодического звена имеет
вид (8.7), т. е.
k
W:-——.
Tp+1 (17.4)
Аналогично тому, как поступают для синусоидального пере-
менного тока в электротехнике, заменяя р на jco, получим
k
W(jm)=fi‘m—+_l’ (17-5)
T. e. комплексное число, модуль которого дает усиление
амплитуды Α, а аргумент—сдвиг фазы В. Следовательно,
для данного типа звена имеем
‘1'ka+1':| lika+1l— :VTZS—z—Fl’
A:
B=arg =argk—arg(jTo)+1)=—arctg Τω.
k
ij + l
Таким образом, получаются выражения для амллитудной
и фазовой частотных характеристик апериоднческого

ξ 17] ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКГЕРИСТИКИ позиционных зввньвв 153
звена:
k
=VT=m=+1’
Формула (17.5), в которой они обе содержатся, называется
выражением амплитудно-фазовой частотной характе-
ристики.
Графики всех этих трех частотных характеристик, по-
строенные по формулам (17.6), изображены на рис. 98. При
этом амплитудно-фазовая Μ,
характеристика ”&’/(103),
которая строится в по- Г
лярных координатах А, В Ir [г;/?
по тем же формулам ζᾶ 3
(17.6), имеет вид полу-
окружности, диаметр ко- |
торой равен статическому
коэффициенту усиления k.
Каждая точка характери- -450 ________
стики соответствует опре—
деленному значению ча- -ῃῃοΓ _________ . ________ ..
стоты колебаний ω.
Видно, что с увели- А
чением частоты ω усиле- 0 ᾽ _
ние амплитуды Α все 01:00 \\ о A7 “F0 ἆ
время падает и тем ζ“
быстрее, чем больше по- \
стоянная времени Т, ха- \ %»
рактеризующая инерци- И/[у'ш/ ,
онность звена. В ре- 7
зультате коэффициент pm. 98.
усиления в динамике
(в колебательном режиме) всегда меньше статического коэф-
фициента k. Это свойство характерно для всех апериодиче-
ских звеньев. На низких частотах, где А близко к k, звено
хорошо пропускает колебания, а на высоких частотах—
плохо. Поэтому каждое звено характеризуется своей полосой
пропускания частот. Для апериодического звена согласно
рис. 98 ее можно принять
А B=—arctg Τω. (17.6)
ω:
l

154 частотное ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ снствм [гл. ιν
Важно заметить, что по виду частотной характеристики
можно судить и о свойствах переходного процесса. В самом
деле, длительность переходного процесса равна примерно 3T.
Ширина же полосы пропускания частот обратно пропорцио-
нальна Т. Отсюда вытекает правило, которое является общим
для многих звеньев и целых систем: чем шире на частот-
ной характеристике полоса пропускания, тем быстрее
затухает переходный процесс (меньше инерционность),
Часто бывает, что передаточная функция (или, что то
же самое, дифференциальное уравнение динамики) звена
неизвестна, но можно экспериментально снять с него частот-
ные характеристики. Тогда, если последние будут похожи
на рис. 98, то можно сказать, что данное звено является
апериодическим, причем по характерным точкам, указанным
на рис. 98, можно определить коэффициенты k и Т его пе-
редаточной функции (17.4).
В практических расчетах автоматических систем, как
увидим ниже, очень удобно применять графики частотных
характеристик, построенные в логарифмическом масштабе.
Для построения логарифмической амплитудной частот-
ной характеристики по оси ординат откладывается вели-
чина 201gA. Обозначим ее через А,:
А,:2О lg A. (17.7)
Единица измерения этой величины называется децибел. Уве-
личению А, на каждые 20 децибел соответствует изменение
усиления амплитуды в 10 ρα3 (так как lg1=0, 1g10=1,
1g100=2 и т.д.), а на один децибел приходится изменение
усиления амплитуды в 2{’/10=1,12 раза, т.е. примерно
на 12°/o. Нулевая точка на оси ординат (рис. 99) соответ-
ствует усилению амплитуды А=1 (так как lgle). Уси-
лению ампяТитуды А< 1, т. е. ослаблению ее, соответствуют
отрицательные значения ординаты А, (рис. 99).
По оси абсцисс откладывается lg ω, но пишется значение
самой частоты ω. Поэтому на оси абсцисс получается не—
равномерный логарифмический масштаб. Равномерными еди-
ницами на оси абсцисс служат октава и декада. Каждой
октаве соответствует увеличение частоты ω Β два раза,
а каждой декаде—в десять раз. Октава равна примерно
0,3 декады (так как lg 2% 0,3, а 1g10=1). В начале коор-
динат на оси абсцисс можно помещать по желанию любое

§ 17] частотных—: ХАРАКТЕРИСТИКИ позиционных зввньвв 155
значение частоты в зависимости от того, в каком диапазоне
частот приходится строить частотную характеристику. На
рис. 99, например, проставлено (9:0,1 (точка же ш=0
будет в бесконечности слева, так как 1gO=——90).
”z Α
[іі/
M i =1w
‚30 ..
Ч Q
“a %
Zfl--fl=/fl ἓ § Jam/a ‚%?/Мда
% ё
10 -- №№:
: f
. ‚ r 4. „ + *. %!!) —
д, ω д,: l г 4 и тд mm №
‚50.
Рис. 99.
Итак, построим логарифмическую амплитудную частот-
ную характеристику для апериодического звена. Согласно
(17.7) И (17.6) получаем
А,:2019А=201д/е—20131/Тгш=+1. (17.8)
Чтобы наглядно представить себе вид этой характери—
стики, найдем ее аспмптотш, т. е. прямые, к которым она
стремится при (:)—>О и при (о——›оо.
Когда ш—›О, получаем
201ду’№%20131=0
и, следовательно,
А‚—+2О131г при (о—-›О. (17.9)
Когда же (:)—>00, имеем Tm>>1 и, следовательно,
A‘—>201gk—201g Тш—›—оо при ю—›оо. (17.10)

156 члстотнов ИССЛЕДОВАНИЕ динлмики систвм [гл. ιν
Формула (17.9) дает асимптоту в виде горизонтальной пря-
мой ab (рис. 100, a), а формула (17.10) дает асимптоту
в виде наклонной прямой дс. Найдем наклон этой прямой,
измеряемый в децибелах на декаду. Возьмем расстояние по
оси абсцисс, равное одной декаде. Тогда в точке d (рис. 100, а)
ω::10|Τ. Изменение ординаты на этом расстоянии будет
(Am—(Am: (201gk _— 201g 7173) _ 201gk=— 20 дб.
Следовательно, наклон асимптоты bc равен—20 дб/де/с.
Ломаная линия abc называется асимптотической логарифми-
ческой амплитудной
11 ’45 характеристикой. Ис-
1 ἆ---- тинная логарифмиче-
θ’ ἶἕθἆἆ ская амплитудная ха-
" рактеристика будет
несколько отличаться
от нее (рис. 100,a), при-
δ᾽ чем наибольшее откло-
=77 нение будет в точке b.
А > Оно равно «.3 дб.
д' На всем остальном
_ _ 0"— протяжении истинная
ЛраЖ—і 200%, характеристика будет
отличаться от асимпто-
тической менее чем на
3 дб.
Важно…заметитьсле—
дующее. Если k=1,
то 201gk=0. Тогда
асимптотическая лога-
рифмическая ампли-
тудная характеристика
апериодического звена
вместо рис. 100, α при-
мет вид рис. 100,6.
На рис. 100,3 согласно (17.6) изображена и логариф-
мическая фазовая частотная характеристика B_—_—arctg Τω,
для которой только частота откладывается в логарифмиче—
ском масштабе, а фаза В—в натуральном масштабе.
0/
ἆ] Ад! ω
Q
Ξ
1|
"\
ет;

§ 17] ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ позиционных зввньвв 157
В таком виде (рис. 100,6) характеристика А, будет при-
меняться И далее. Очевидно, что прежняя характеристика А,
(рис. 100, а) получается из этой простым подъемом на вели-
чину 201gk (Ha 20 дб при k=10, на 40 дб при k=100
и т. д.).
2. Для апериодического звена второго порядка переда-
точная функция согласно (8.9) будет
— z k при Т,??Тз.
szz+Tlp+1
Ее же согласно (8.10) можно записать в иной форме
k
W: 1 .1
T.T.p=+<T.+T.)p+I ’ (7 ”
причем Т„ Т2 и Т„ Т„ связаны формулами (8.12). Если
знаменатель выражения (17.11) разложить на множители, то
получим
k
mp + 1) (7111+ 1)‘
Амплитудно-фазовая характеристика (при р:](о) будет
. 11:
WW) = (mm +1)(1T.w -|-1)’
откуда прежним способом получаем амплитудную частотную
Характеристику
W:
(17.12)
k
VT§m= +1 Ι|Τ͵ξω2 +1
И фазовую частотную характеристику
В=— arctg 7,0) — arctg T40). (17.14)
Логарифмическая амплитудная характеристика согласно
(17.7) и (17.13) здесь будет
A_201gk—20]gVT2 2+1—2010VT +1 (17.15)
Оба слагаемые, солержащие квадратные корни, совпадают
с таковыми в выражении (17.8). Следовательно, при k=1
логарифмическая амплитудная характеристика аперио-
дического звена второго порядка просто складывается из
характеристик двух апериодических звеньев. Эти слагаемые

158 ЧАСТОТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ систвм [гл. ιν
показаны на рис. 101, a суммарная характеристика аперио-
дического звена второго порядка (17.15) при k=1—-Ha
рис. 102, где изображена и фазовая характеристика (17.14).
Если даза-1, το вся характеристика А, просто поднимается
на величину 201g k.
11/75
-1
“". 73 ω
Β граничном случае (T,=2T) точки (oz—l- и (0::—
2 Т8 T4
1
сливаются в одну (DZ—77'.
2
Амплитудно-фазовая характеристика этого звена, постро-
енная в полярных координа-
А тах А, В по формулам (17.13),
᾿«--͵’|--Ἴ (17.14), показана на рис. 103.
flzoo < Ῥω: > 3. Для колебательного звена
β ” передаточная функция согласно
ЖТ? Д ω (8.13) имеет вид *)
k
ἀπέ [№] ТЁр2+Т1р+1
РИС. 103. ПР" Т1<2Т29 (17’16)
*) В литературе часто встречается также выражение для пере—
даточной функции колебательного звена в виде
k
Tap? + 2ch +1
W:

§ 17] ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ позиционных зввньвв 159
а амплитудно-фазовая характеристика (при р:]ш)
k
W :' :=
(“(°) —T§m2+jT,m+1’
причем
Α: k , (17.17)
[/0 — Τξωἓ)2 _|— Τξω2
Bz—arctgi‘” . (17.18)
l — Τζω"
Амплитудно-фазовая характеристика, построенная по этим
формулам, будет иметь тот же общий вид, что и на рис. 103,
но только более вытянутый
книзу.
Логарифмическая ампли-
тудная характеристика со-
гласно (17.17) будет
А, = 20 lg k —
—201gV(1 — Τζω”) + Τἷωἴ
Найдем асимптоты этой ха-
рактеристики. При ω —› 0
под корнем получаем еди-
ницу. В результате
Ады-201312 при со—›О.
(17.19)
При ш——›оо, т.е. при боль-
ших ω, главное значение
получает член, содержащий
ω”. Поэтому
о |7͵0|| маи/ш; ма—
А,—+20131г— —.90 ———————— №№” l
—4OlgT20)—>—OO 272-
при ω ——›оо. (17.20) _,ддо __________________
Формула (17.19) дает асим- Рис. 104.
птоту в виде горизонталь-
ной прямой ab, которая при k=1 совпадает с осью абсцисс,
а ф'ормула (17.20)—B виде прямой bc (рис. 104) с наклоном

160 чхстотнов исслвдовхнив динкмики систем [гл. ιν
-4Ο дб/ден. Истинная логарифмическая амплитудная харак-
теристика колебательного звена может более сильно отли-
чаться от полученной асимптотической характеристики abc,
чем это было для апериодических звеньев. Это отличие
зависит от соотношения постоянных Tl H Ta, как показано
на рис. 104. В диапазоне
Т
1>2—Т*—2->0‚5
истинная характеристика не сильно отличается от асимпто—
тической. При
T:
0‚5>Ё>0
получается сильное расхождение, причем тем большее, чем
меньше отношение Т1/2Т„ т. е. чем более колебательным
является данное звено.
Подсчитаем отклонение Н истинной характеристики от
_ 1
асимптотической в точке (о:—77. Согласно рис. 103 в этой
точке имеем А=ігТ‚/Т‚. Поэтому при k=l
H=20lg%. (17.21.)
1
При отсутствии демпфирования в колебательном звене
(когда Т‚=О) имеем Н=оо.
Как видим (рис. 104), амплитудная частотная характе-
ристика колебательного звена, в отличие от апериодических,
может обладать резонансным пиком с коэффициентом уси-
ления амплитуды больше статического коэффициента 12. Ha
том же рис. 104 показана и фазовая логарифмическая
характеристика колебательного звена (17.18), причем отме-
ченным там характерным точкам соответствуют частоты
1 Т, 2 “_ Т,
"’ъ=='т:(1/<Ги>+‘+ёт;)° ("᾽”)
l
При отсутствии демпфирования получаем со… =(о2 =7, .
Поэтому, когда демпфирование мало, фазовая частотная харак-
теристика колебательного звена принимает характерный вид,
показанный на рис. 104 внизу.

§ 18] ХАРАКТЕРИСТИКИ интегрирующих зввньвв 161
4. Для идеального (чисто усилительного, безинериион-
ного) звена согласно (8.20) передаточная функция W=k
И Α͵:2ΟΙς|ε, В=О (рис. 105).
Λ
Λ fl -τω >:
„20491? Δ- \ д ω
' 5=Л ω
Рис. 105. Рис. 106.
5. Звено с чистым запаздыванием (8.21) имеет переда-
точную функцию
W=ke“P (17.23)
И частотные характеристики (рис. 106)
W(jco)=ke‘/“”, Azk, В=—т‹о [радиан],
причем амплитудно-фазовая характеристика имеет вид полной
окружности, периодически повторяющейся.
§ 18. Частотные характеристики дифференцирующих
И интегрирующих звеньев
Найдем частотные характеристики для тех типов звеньев,
которые рассматривались в § 9.
1. Для идеального дифференцирующего звена согласно
(9.1) будет
W=kp, (18.1)
И амплитудно-фазовая характеристика (рис. 107)
W(j0))=jk(0, A=km, 3: 90°.
Логарифмическая амплитудная характеристика
Α͵:2ΟΙςἑ-|-201ςω
при k=1 имеет вид, показанный на рис. 108,а. Здесь,
в отличие ОТ всех Предьщущих звеньев, существенным
является, во—первых, положительный наклон (—|—— 20 дб/ден')
и, во-вторых, опережение по фазе (В:-|_ 90°).
6 Ε. Π. Попов

162 ЧАСТОТНОЕ исследомнив динхмики систвм [гл. ιν
2. Для инерционного дифференцирующего звена (9.8)
имеем
__ ἂρ
ψ-Ἰἷ-Π’ (18.2)
и амплитудно-фазовую характеристику (рис. 109, а)
. __ jkw __ km _ о_
WUw)_I_————Tw+l , А——_У№’ 8—90 arctg Τω.
Логарифмическая амплитудная характеристика
A,=201gk+201gm—201g1/sz=+ 1.
Она складывается, следовательно, H3 Tpex уже известных
`..
\
”a „и
“1 ”’ T “δ’“ »
ω.. We» И“ ὦ
'Г ] ара/г:!
ддт, .. д’] ΛΒ
ι №”
(0:01 ἡ 0 «Т
Рис. 107. Рис. 108.
А _ ш=—7 Ад„
а] ”||!“ ͵ в]
/
5>0ш= ; »
характеристик (рис. 105, 108,а и 100, б), a при 12:1-
из последних двух, показанных на рис. 109,6. Результат
сложения характеристик при [2:1 имеет вид рис. 109,8.

§ 18] ХАРАКТЕРИСТИКИ интегрирующих зввньвв 163
Как видим (рис. 109, г), инерционность этого звена сни-
жает опережение по фазе по сравнению с идеальным диф-
ференцирующим звеном тем
больше, чем выше частота
колебаний. Принято считать, ' δ᾽
что это звено выполняет свои и, ‚о U:
дифференцирующие функции l l
удовлетворительно при часто- L, „‚
„
тах, меньших l/T. Примером
(кроме указанных в § 9) может
служить электрическая цепочка RC (рис. 110) для которой
k = T: RC.
3. Для идеального интегрирующего звена согласно (9.5)
k (18.3)
Рис. 110.
“у:—‚
p
и амплитудно-фазовая характеристика (рис. 111,a)
№№:—1%, «4:3 В=—90°.
’
Логарифмическая амплитудная характеристика (рис. 111, б)
А1=20 lgk—ZOlgm
при k=l имеет вид рис. 111,6. Существенным отличием
а) А д'] А β;
} ᾽ 0):] 0:
5=-.90° Т
- ἐξ.
‚%% Μ;
ω: Л
1 _ж
Яри #:
ω
"—
r
Рис. 111.
этого звена является отставание фазы на 90° (рис. 111,3).
4. Для инерционного интегрирующего звена согласно (9.8)
k
”тт—Гц ……
δ᾽

164 ЧАСТОТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ диннмики систвм [гл. ιν
и амплитудно-фазовая характеристика (рис. 112, а)
__5_ А _ _k__
inTw+l)’ ᾿"ω т/Тгюг-і— 1’
Логарифмическая амплитудная характеристика
Al=201gk—20lg(o——20lgVT’m‘—{—- 1.
При k=1 она складывается из двух характеристик
(рис. 112, 6), что дает результат в виде рис. 111,3. Инер-
ционность данного звена увеличивает отставание фазы еще
W (χω) = В = —90°—arctg Τω.
ιν------ιι’-΄ ___
_/ддЧ.____-_-__—____
Рис. _112.
Χ),
более 90° (рис. 112,2). При частотах, меньших 1/Т, оно
близко к идеальному интегрирующему.
5. Наконец, рассмотрим идеальное звено с введением
производной. Его передаточная функция будет
W = k (1 + km),
a амплитудно-фазовая характеристика (рис. 113, а)
W (χω) = k (1 +жд), А = k γἶ-ἷἑἷ-ωἷ, B: arctg klm.
Логарифмическая амплитудная характеристика
A,=201gk+20 №№
`имеет вид рис. 113,6. Такое звено ведет себя близко
к идеальному усилительному на низких частотах и идеальному

§ 19] АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 165
дифференцирующему—на высоких частотах. Опережение
по фазе возрастает с увеличением частоты (рис. 113, в).
Для более сложных звеньев, которые могут встретиться
в системах автоматического управления и регулирования,
частотные характеристики, особенно логарифмические, легко
строятся, как комбинации перечисленных здесь (см., напри-
мер, рис. 109 и 112).
Во всех случаях, когда трудно составить дифференци-
альное уравнение или передаточную функцию для какого—
либо устройства, можно снять с него экспериментально
; ||
1 fa, д'] ‘ wag
. ЛДД ἐκ!
0! №0)! _
-ω ' Τ (‚Т
Л
[} ω = \
д {«} ++
Рис. 113.
частотные характеристики. По их виду можно, во-первых,
определить тип звена, к которому это устройство относится,
и, во-вторых, найти коэффициенты передаточной функции.
Можно даже, не делая этого, при исследовании автомати-
ческой системы В целом использовать в расчетах непосред-
ственно частотные характеристики звеньев, снятые экспе-
риментально.
§ 19. Исследование автоматических систем
при помощи амплитудно-фазовых частотных
характеристик
Во многих случаях, особенно для систем высокого по-
рядка, когда решения дифференциальных уравнений и алге-
браические критерии устойчивости становятся очень гро-
моздкими, Удобнее и нагляднее оказывается частотное иссле—
дование, в том числе и при помощи логарифмических частотных
характеристик (см. § 20). Кроме того, частотное исследова-
ние выгодно в тех случаях, когда для некоторых звеньев

166 чьстотнов ИССЛЕДОВАНИЕ динхмики систем [гл. 1v
системы, легко ПОДдающихся макетированию, легче бывает
экспериментально снять частотные характеристики, чем
составлять дифференциальные уравнения динамики.
Пусть замкнутая система регулирования состоит из
нескольких последовательно соединенных звеньев, как, на-
пример, на рис. 68. Рассмотрим сначала по отдельности
частотные характеристики объекта и регулятора.
Уравнение объекта имеет ВИД (10.11). Оно имеет в пра-
вой части две переменные: Аг—воздействие регулятора
и f(t)— внешнее воздействие. Передаточные функции объек-
та записываются отдельно для каждого воздействия, а именно
U k U 1 (19.1)
__ _ 0 __ __
'—ш—”д_тл+1“в"шГ—лт+г
При этом знак минус, имеющийся в уравнении (10.11), от-
носят не к передаточной функции, а к самой переменной
Ἀ дт
.. [} ‘
_А-С-ъ` Ліда/ИЛ ——›-
Λ
___%—›
Рис. 114.
(это впоследствии будет учтено). Как видим, объект является
здесь апериодическим звеном, для которого частотные ха-
рактеристики (рис. 114) уже известны из § 17.
Регулятор в данной системе состоит из трех звеньев
(рис. 74), передаточные функции которых согласно (11.2),
(11.12) и (11.16) в общем случае имеют вид
_ ’ἡ _ ”ε W=k 192
' Tm+1’ “_тт+тш+1’ ’ ” (᾿)
а в частных случаях, если Т мало,
2
W
._ k. __ k. ._
1—7m+V M‘Tm+v M—WV 09M

§ 19] АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 167
Если же Т1 и Τ᾿ малы, то
ё,
W1=kv W— _ Т‚р+__1’ W,=k,. (19.4)
Частотные характеристики для всех этих типов звеньев
также в § 17 уже рассматривались.
Составим передаточную функцию и частотные характе-
ристикивсего регулятора. В общем случае (19.2) уравнение
регулятора имело вид (1 |.24). Вообще говоря, имея готовым
это уравнение, легко можно написать соответствующую ему
передаточную функцию
WW: 2 "`*’“ . (19.5)
Т…;энт +Т:›р*+‹Т,+Т‚›р+1
Однако на практике следует поступать иначе. При ча-
стотном исследовании вовсе не требуется выводить обіцее
дифференциальное уравнение регулятора, как это делалось
в конце § 11. Передаточная функция регулятора, состоя-
щего из последовательно соединенных звеньев, получается
простым перемножением передаточных фун/щий всех
звеньев:
k
W =WWW: 9“ 19.6
"‘” ‘ ’ ’ ‹Т1р+1›‹Т:р+Т‚р+1›’ ( )
kpep = [где,/г,.
В самом деле, если раскрыть скобки знаменателя, полу-
чится точно то же самое, что и в формуле (19.5), которая
записана по дифференциальному уравнению. Для дальней-
шего же удобнее именно выражение (19.6) без раскрытия
скобок. _
Амплитудно-фазовая частотная характеристика регулятора
будет
k
W ᾽ : рег , 19.7
"" ...,) (ШФ—|— 1›‹— тім? + mm +1) ( )
причем
рег = ””" , (19.8)
1/ Τ'ξω2 + 1 1|Τξω + (1 — T§w=)=
Т8 ω
8pm; — arctg Т ω —— arctg ———°—— (19.9)
Ι-ΤΖω 2

168 чхстотнов исследование динамики систвм [гл. ιν
Отсюда видно, что усиление амплитуды в регуляторе,
состоящем из последовательно соединенных звеньев, равно
произведению усилений амплитуд во всех звеньях, а сдвиг
фазы в регуляторе равен сумме сдвигов фаз во всех звеньях
регулятора, а именно
Арн:/11142.43, Врег=Вд+Вг+Вз (19.10)
(B данном примере А,:іг8 и В,:О).
Поэтому, имея амплитудно-фазовые характеристики от-
дельных звеньев (в данном случае—рис. 115), можно по
Ἀ тли] _ Αι ИИФ) А
D] 4...,9,__>.w:0 Й <_/гг—-›… \ 5] +жд—‚1 ›—
I 63 ω:0 %
I ω да
w=—’ ; ω
7: (”=72
Рис. 115.
точкам построить общую характеристику регулятора (рис.
116), проделав простые операции (19.10) для нескольких
значений частоты ω. Это может быть сделано независимо
от того, каким путем получена амплитудно-фазовая характе-
Ἀ ристика каждого звена (рас-
четным или эксперименталь-
ным), а также независимо от
> количества звеньев, соединен-
/ -
ш=оо ὦ“ (!!—д ных последовательно, т. е. для
системы регулирования любого
Д„“ И/Дш/ высокого порядка. Случай, ког-
да не все звенья регулятора
соединены последовательно,
рассматривается ниже, В § 32.
Чем больше каждая из
постоянных времени звеньев и
чем больше их общее количество, тем больше отставание
фазы выходной величины регулятора (B<O), что экви—
валентно увеличению инерционного запаздывания в регуля-
торе.
Рис. 116.

§ 19] АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 169
Соединим теперь объект с регулятором, но только
в одном месте, оставив вторые концы разомкнутыми (рис.
117, а). Toma тем же самым способом можем получить
амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой цепи
W(ja)) всей данной системы регулирования (рис. 117, 6).
Вспомним при этом, что на вход объекта согласно рис. 114
(по условию написания пере-
даточной нкции W по- -Ar 41/ Аг-
дается велЁЗ’ина—Аг, 0)т. е. *_ЛідеЖ/л @@@/ттт
обратная по знаку выход- a}
ной величине регулятора Ar __
ЖЖ
(рис. 117, a). Это соответ- _, ”№” Ш:”
ствует также условию правиль- __; ἠ … =
ного присоединения регулято- d) ω JIM/j
pa к объекту (см. об этом на
стр. 108, § 12) при последую- \
щем замыкании системы регу-
лирования.
Всякая амплитудно-фазовая
частотная характеристика, как
известно, показывает усиление А
амплитуды Α и сдвиг фазы В Г
выходной величины по отно- _ ‚
шению к входной в режиме “| „[,-(„]
синусоидальных колебаний для г]
любого значения частоты коле-
баний ω. Β данном случае, pm. 117.
следовательно, величины Α и
В (рис. 117,6) представляют собой усиление амплитуды
и сдвиг фазы выходной величины Ar по отношению к вход-
ной—Аг, когда эта входная величина изменяется по си-
нусоидальному закону.
Очевидно, что при замыкании системы эти колебания
нарушатся и будет происходить какой-то другой процесс,
так как уже нельзя изменять—Аг по своему желанию.
Величина—Аг определится тогда тем, что получится на
выходе (Ar). Однако в одном частотном случае существова-
ние собственных синусоидальных колебаний В замкнутой
системе возможно. Это будет тогда, когда Аг по отноше-
нию к—Аг имеет усиление амплитуды, равное 1, и сдвиг
фазы— 180°. При этом такие колебания во время замыкания

170 ЧАСТОТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динвмики систем [гл. ιν
системы с переменой знака совпадут с тем, что подается
на вход (—Ar). Это соответствует случаю, когда ампли-
тудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи проходит
через точКу —1 (рис. 117, в), где А=1, В=——180°.
Если же характеристика пересекает отрицательную ось
абсцисс правее точки —1 (рис. 117,6), то при Β:--180ο
имеем А<1. При этом амплитуда колебаний на выходе
(Аг) меньше, чем на входе (— Ar). При замыкании системы
эта уменьшенная амплитуда при повторном прохождении
колебаний по цепи еще больше уменьшается. Следовательно,
в этом случае собственные колебания в замкнутой системе
будут все время затухать.
Наоборот, если характеристика пересекает отрицательную
ось абсцисс левее точки —1 (рис. 117,2), то при
В=— 180° будет А> 1. Это значит, что при прохожде—
нии по данной цепи амплитуда колебаний увеличивается и,
следовательно, при замыкании системы амплитуда свободных
колебаний в ней при каждом повторном прохождении по цепи
с течением времени будет все больше увеличиваться.
Выше уже говорилось, что система с затухающими соб-
ственными колебаниями (τ. е. с затухающим переходным
процессом) называется устойчивой, а с расходящимися—
неустойчивой.
Отсюда вытекает следующий частотный критерий устой-
чивости: для устойчивости замкнутой системы требуется,
чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой
цепи этой системы не охватывала точку —1 (как напри-
мер, на рис. 117,6).
Заметим, что эта формулировка относится к системам,
состоящим из устойчивых звеньев *), т. е. например, лю-
бого типа звеньев, рассмотренных в §§ 17 и 18. Если в цепь
включается неустойчивое звено, то формулировка критерия
меняется (здесь она не приводится).
Случай, изображенный на рис. 117,3, соответствует
границе устойчивости системы. Значение ω Β той точке
амплитудно—фазовой характеристики, которая попадает в точку
—1, определяет собой частоту свободных колебаний, кото-
*) Точнее говоря, предполагается, что разомкнутая цепь системы
в целом устойчива или нейтральна (т. е. корни знаменателя пере-
даточной функции разомкнутой цепи имеют отрицательные вещест-
венные части, но могут иметься и нулевые корни).

ξ 20] логарифмические ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 171
рые возникают в замкнутой системе регулирования на гра—
нице устойчивости (в момент потери устойчивости).
Чтобы замкнутая система регулирования была не только
устойчивой, но иМела бы и хорошее качество затухания
переходного процесса без сильных колебаний (без большого
перерегулирования), нужно, чтобы на рис. 117,6 ампли-
тудно-фазовая характеристика была достаточно удалена от
критической точки —1. Существуют определенные оценки,
позволяющие судить о качестве системы по степени этого
удаления.
§ 20. Исследование автоматических систем
при помощи логарифмических частотных характеристик
Пусть регулятор состоит из трех звеньев (рис. 74)
с передаточными функциями (19.2), т. е.
.::———EL—- “7::: k2
1| TIP +1 , : Тёрг + Tap "Ι'-1
Поскольку усиления амплитуды отдельных звеньев пере-
множались [см. (19.10)], то логарифмы их будут склады-
ваться. Следовательно, логарифмические частотные харак-
теристики регулятора, состоящего из последовательно
соединенных звеньев, получаются сложением характери-
стик: всех звеньев, а именно
20 lg AP”: 201g А1 + 20153/12 + 20 lg А„
%ы=д+%+3г
Β данном случае второе из звеньев (20.1) будет либо
апериодическим звеном второго порядка (если Т,>2Т,),
либо колебательным звеном (если Т8<2`Т2). Рассмотрим
эти два случая отдельно.
В случае, когда звено W2 является апериодическим вто-
рого порядка (т. е. Т8>2Т2), нужно найти корни знаме—
нателя передаточной функции:
__ L Τ, — 1/ T, =
“ν᾽ πἓπψ Ёп) 9 (mm
И ввести новые постоянные времени
Т,=——, Т=———. (20.4)
ли:/е,. (20.1)
᾿
} (20.2)

172 члстотнов ИССЛЕДОВАНИЕ динлмики систвм [гл. 1v
Тогда передаточная функция 172 (20.1) перепишется
в виде
_ іг2
_ (TJ’+1)(T5P+1)’
так как она будет иметь те же корни знаменателя, что и преж-
няя. Теперь, действуя по правилу (19.6), получаем следующую
передаточную функцию ре-
JW гулятора
-J ᾽ W =
. _а .L рег
"“ὤ“ а e гры
__ =<Т,р + 1><T.p+ 1) (Т_..‚р +1),
”Μ᾽-“ἑ k k (20.6)
1 2 8'
Отсюда видно, что нужно
сложить три логарифмиче—
ские частотные характери-
стики апериодических звень-
Рис. ”8- ев (типа рис. 100 при
Ь=1) и прибавить к ним
20 1g kper. Все складываемые
характеристики изображены
на рис. 118. В результате
логарифмические (амплитуд-
ная и фазовая) характери-
стики регулятора прини-
мают вид рис. 119.
В случае же, когда зве-
W2
(20.5)
J
|
45°
ω“
Д
Ἀ me: if
HO W2 является колебатель-
ным (τ. е. Т‚<2Т,), пере-
даточная функция регуля-
тора будет
_ kper
Рис. 119. (Т1Р+1)(Тір‘+Т.р+ 1)
(20.7)
Здесь нужно складывать логарифмические частотные харак-
теристики типа рис. 100 при k=1 и рис. 104, добавив
к ним затем 201g leper. Эти отдельные слагаемые изображены

ξ 20] логарифмичвскив чхСтотныв ХАРАКТЕРИСТИКИ 173
на рис. 120 *), а суммарные характеристики регулятора—
Т на рис. 121 в двух вариантах, соответственно для 12 Ё>О‚5 :
Ts
И 0,52%; > 0. При
этом величина Н для
второго случая, согласно
(17.21), вычисляется по
формуле:
_ Τὶ
Найдем теперь лога-
рифмические частдтные
характеристики разом-
кнутой цепи всей си-
стемы регулирования. Для
этого к полученным ха-
'.90 ° .
'Iflflor--“ ----------------- "
Рис. 120.
рактеристикам регулятора (рис. 119 или 121) нужно добавить
Λ даре; Λὤβἓἓ
: ||
--——&
Я | vi? ‚\
“Μ“; j;- Mme
f
”ДЦЗЗ—%>” ἆ“ ”β“ ᾶἆ)
Адри Ἀ Бред
I
12701 ---------- ___-зщ __________ ‚--.…
Рис. 121.
характеристику объекта (рис. 114). Суммарные характери- стики в тех же трех вариантах показаны на рис. 122.
*) На рис. 120-122 показаны асимптотические амплитудные
Т характеристики, за исключением систем, у которых Ο. 5-22 8>О.

174 чхстотнов исслвдовхнив динхмик'и систвм [гл. ιν
Определим теперь устойчивость замкнутой системы ре-
гулирования непосредственно по найденным логарифмическим
частотным характеристикам разомкнутой цепи. Сформулиро-
ванный в § 19 частотный критерий устойчивости сводится
к тому, чтобы при сдвиге фазы В=— 180° усиление ам-
плитуды А было бы меньше единицы. Отсюда, учитывая,
что 1g1=0, получаем с теми же ограничениями, что и на
стр. 170, следующий критерий: для устойчивости замкну-
той системы требуется, чтобы при значении Β:..--180ο
(точка С на рис. 122) логарифмическая амплитудная ха-
рактеристика имела отрицательное значение.
11 дд №
"20
Ἴ'ἩΙἼ
те" _
еж ----------------- 5 ле}. ----- — ------- что“ ------- - ------ --
a) б) 6)
Рис. 122.
Для обеспечения хорошего затухания переходного про-
цесса и малой его колебательности (перерегулирования)
нужно иметь достаточное удаление от границы устойчи-
вости (определяемой равенством А,:О при В=— 180, как
показано на рис. 122, 8). Поэтому обычно вводится понятие
запаса устойчивости по амплитуде ED и по фазе FG
(рис. 122, а, б) и в практических расчетах предъявляются
определенные требования к их значениям.
Теперь по логарифмическим частотным характеристикам
разомкнутой цепи легко можно проследить влияние различ-
ных параметров (Т и k) на устойчивость данной системы
регулирования.
Если увеличивать коэффициент усиления регулятора, то
вся амплитудная характеристика А, будет просто, не меняя
своего очертания, подниматься вверх. Фазовая характеристика
останется без изменения. Следовательно, будут уменьшаться

§ 20] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ члстотныв ХАРАКТЕРИСТИКИ 175
запасы устойчивости DE И FG (последний за счет переме-
щения точки L вправо при подъеме всей характеристики А,).
Система окажется на границе устойчивости, когда точка E
совпадет с D. При дальнейшем увеличении leaper данная си-
стема регулирования будет неустойчива. Если же изменять
постоянные времени регулятора Т„ Т„ Т„ το будет ме-
няться И амплитудная, и фазовая характеристики, причем
эти изменения настолько наглядны, что легко можно про-
следить их влияние на устойчивость системы регулирования.
Заметим, что здесь была исследована устойчивость системы
автоматического регулирования четвертого порядка. Как
видим, простота исследования, в противоположность алгеб-
раическим методам, не
зависит от порядка
системы. Это является ”kW/W
причиной того, что в 355%]; дій/дт»
настоящее время в ""` {%%/;;
Инженерных расчетах \\
обыкновенных линей- "\
ных автоматических си- Φ _ "с ‚ ε.-͵-
сгем наиболее распро— (”a (“=] (”ΝΜ \ш”
странено применение ' "’/іі!
именно логарифмиче-
ских частотных харак-
теристик. Некоторые рис, 123.
усложнения расчета
появятся при рассмотрении неодноконтурных систем (см. § 32).
Аналогично можно определять устойчивость И запас
устойчивости любых других автоматических систем, в част-
ности И самолета с автопилотом.
Укажем еще оценки качества процесса слежения по
виду амплитудной логарифмической частотной характеристики
разомкнутой цепи.
Ось абсцисс этой характеристики (рис. 123) разбивается
на три части: область низких, средних и высоких частот.
Границами между ними являются примерно значения: ma, где
(4,230 дб, и сон где Ala—1666 (рис. 123).
Область низких частот (οςωςωα) определяет собой
ширину спектра частот управляющего воздействия, который
может воспроизводиться на выхоце данной замкнутой системы
без существенных искажений. Ордината асимптоты начальной

176 ЧАСТОТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ динамики систвм [гл. ιν
части характеристики при (0:1 (рис. 123) определяет
«коэффициент добротности» следящей системы kc (общий
коэффициент усиления разомкнутой цепи). Иначе та же самая
величина kc может быть определена по величине частоты
(о„ (рис. 123). Чем больше [ес, тем меньше ошибка слеже-
ния за входной величиной, изменяющейся с постоянной
скоростью.
Область средних частот (юа<ш<ю„) определяет за-
пас устойчивости (см. рис. 122) и имеет главное значение
для оценки качества переходного процесса. Величиной частоты
среза сос (рис. 123) оценивается в основном быстрота зату-
хания переходного процесса. Чем ше больше, тем короче
переходный процесс. Увеличение отрицательного наклона
характеристики сверх 20 дб/дек вблизи ω может привести
к увеличению колебательности системы.
Область высоких частот не оказывает существенного
влияния на процесс слежения.
§ 21. Передаточные функции и частотные характеристики
замкнутых автоматических систем
Для оценки качества процесса регулирования рассматри—
ваются также частотные характеристики замкнутой системы,
которые оказываются определенным образом связанными
с рассмотренными выше характеристиками разомкнутой цепи.
На основе этой связи выработаны критерии оценки качества
процесса регулирования в замкнутой системе непосредственно
по виду характеристик разомкнутой цепи, о чем частично
уже упоминалось. Эти вопросы подробно рассматриваются
во многих имеющихся книгах по теории регулирования.
Кроме того, частотные характеристики замкнутой системы
имеют важное самостоятельное значение. Они определяют
установившиеся динамические ошибки при синусоидальных
внешних воздействиях любых частот (см., например, § 5).
Зная реакцию системы на синусоидальные воздействия, най-
денную для широкого спектра частот, можно приблизительно
судить и о поведении этой системы в динамических про-
цессах при различных других изменяющихся во времени
воздействиях. Впоследствии (в главе V) будет использована,
например, амплитудная частотная характеристика замкнутой
системы при расчете случайных процессов,

§ 21] ПЕРЕДАТОЧНЫЕ функции ЗАМКНУТЫХ систем 177
Учитывая все это, покажем, как составляются передаточ—
ные функции замкнутых систем, по которым затем строятся
частотные характеристики замкнутых систем.
Для системы автоматического регулирования, изобра—
женной на рис. 68, передаточные функции объекта запи-
саны в виде (19.1), а уравнение Динамики объекта в этом
случае формально на основании (19.1) можно представить
в виде
_ _ _ko_ ;
U——W0A'+er “"" и-—_т,р+1А’+Т„р+1д
что соответствует дифференциальному уравнению объекта
(10.11).
В общем случае системы регулирования (рис. 124, a)
имеем уравнение объекта и уравнение регулятора:
x=—W00+Wf, '0szer (21.1)
(обозначения переменных указаны на рис. 124᾽ а).
д?
а) 1%] №
WWI/)7 г ρ“ '
‚ЛЛ/ЛЛ
№11 „„„/52,1
11°-
д „%.-‚с
_ (I) &=&—53
Рис. 124.
Подставив второе уравнение в первое, получим уравне-
ние замкнутой системы регулирования
(1 + шок/реги: πᾳ, (21.2)
откуда передаточная функция замкнутой системы регу-
лирования будет
x__ ψ!
f 1+W01Vper
Следовательно, подставив сюда р:]ш, найдем ампли—
тудно-фазовую характеристику замкнутой системы регули-
ιν“: (21.3)

178 чАстотнов ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ систвм [гл. ιν
рования жилищ), причем амплитудная и фазовая частотные
характеристики по отдельности будут модулем и аргументом
этого выражения:
Ах‚=№х;(і<°>!› Bxfzarg ТИС/(103). (21.4)
В частности, для рассмотренного выше примера замкнутой
системы регулирования напряжения (где x—_—U), подставляя
(19.1) и (19.6) в формулу (21.3), получаем передаточную
функцию
W : (T,p+1)(T§p’+ Tap+1)
"f mp +1><T.p +1><sz2+ др + 1) + №№!
В знаменателе передаточной функции замкнутой
системы стоит левая часть характеристического урав—
нения. Это общее положение иллюстрируется в данном
примере тем, что, раскрыв здесь скобки знаменателя, дей-
ствительно пОлучим левую часть уравнения (15.6).
Амплитудно-фазовую характеристику замкнутой системы
автоматического регулирования можно определять согласно
формуле (21.3) He только аналитически, как только что
было сделано, но и графически (например, когда нужно
учесть полученные экспериментально амплитудно-фазовые
характеристики для некоторых звеньев системы). Покажем
как это делается.
Пусть имеются готовые характеристики объекта W0, W,
и регулятора Wper. Изобразим сначала характеристику Wf
(рис. 124,6). Затем по правилу, указанному в § 19, найдем
произведение характеристик W0 и шт„ и сдвинем его на
единицу по горизонтальной оси, как показано на рис. 124, в.
После этого искомая амплитудно-фазовая характеристика
замкнутой системы fo (рис. 124, г) найдется как отношение
двух предыдущих характеристик по правилу деления ком-
плексных чисел:
(“\=/112142, 3:31—32.
Приведем еще пример составления передаточных функ-
ций гиростабилизатора как замкнутой системы автоматиче-
ского регулирования (рис. 73).

§ 21] пврвдАточныв ФУНКЦИИ зхмкнутых систвм 179
Уравнения объекта (гироскопа с кардановым подвесом)
согласно (10.12) можно записать в виде
1- - M+M1+HB
(1,:— @=—
ρ ’ Jap+h. ’
Β соответствии с этим структурная схема данного объекта
может быть представлена в виде, изображенном внутри
M,
Г ________________________ Ἴ
: ) :
M; _ К _ | _ 7
WW γ марта 7 ТЭ
11/2 :
а] “ΝΜ! Н “|| :
|
I
ти,
Ν
3
J
ть
Γ᾽᾽"᾽᾽᾽᾽᾿᾿᾿᾽΄
`=‚|``
М
‚_)-
ъ
3: .
”I + И/„т/ β ᾽ Wz/fl/ а
07 М
”%%/д]
___-_…
Рис.125.
пунктирного прямоугольника на рис. 125, а с тремя входами
(M, M“ М,) и двумя выходами (α, β), причем ос—рег-ули-
руемая величина. На каждом звене структурной схемы ука-
зана его передаточная функция.
Регулятор (цепь стабилизации) согласно рис.( 73 пред-
ставляется тремя звеньями (рис. 125, а):
ul=k1fiv uz=—Wx(p)un MZW.(p)lI”

180 qACTOTHoE ИССЛЕДОВАНИЕ динхмики Систвм [гл. lv'
соответствующими датчику угла, усилителю-преобразователю
(включающему в себя корректирующее устройство) и датчику
момента.
В случае учета только одного возмущающего момента М1
всю эту схему можно привести к виду, показанному на
рис. 125,6, где
k 1
W = 0 , W =—(J h ᾿
° p<T§p2+T1p+n ‘ H “)+ )
k : Н Τ: = JaJQ Τ __ haJB+hBJa
° 112+}thB ’ * [%+/%БВ ’ 1— ига-панд ’
Wpep = ’с, W, (P) W. (Ρ)-
Здесь, в отличие от обычных систем регулирования,
объект разбит на два блока (W/o и W1), так как регулятор
реагирует в этой системе не непосредственно на изменение
регулируемой величины α, а на другую величину β, с ней
связанную.
Передаточную функцию всей замкнутой системы Wu по—
лучим в этом, случае на основании уравнений (см. рис. 125, 6)
β: W0(M+M1)’ M:— ρενβτ α: ινιβι
откуда
.0:— WOW,
M1 1 + WOW/per
При исследовании гиростабилизатора надо иметь в виду,
что в передаточной функции объекта Wo демпфирующая
постоянная Т1 невелика. Поэтому W0 представляет собой
комбинацию интегрирующего
ιν"-
звена с колебательным.
‚д,/ддт!) +f‘ W .Z' Амплитудная частотная ха-
[a] рактеристика последнего
имеет пик на частоте
.; _ 1
_ (')—Ё.
Рис. 126.
Перейдем теперь к полу-
чению передаточных функ-
ций :: частотных характеристик: для замкнутой следящей
системы (рис. 126). Обозначим через W передаточную
функцию разомкнутой цепи, хо—управляющее воздействие
(полезный входной сигнал), f -—помеху‚ в—ошибку следя-
щей системы, х— выходную величину. Тогда согласно рис. 126

§ 21} ПЕРЕДАТОЧНЫЕ функции ЗАМКНУТЫХ с'иствм 181
имеем
х=й’/(е—\—/`)‚ e=xo—x. (21.5)
Исключив отсюла ε, получим передаточную функцию для
выходной величины замкнутой следящей системы
х W
szmsz. (21.6)
Исключив же из (21.5) величину х, будем иметь
(1+И’/)е=х,—й’//‚
откуда находим передаточные функции замкнутой следя-
щей системы для ошибки по управляющему воздействию
ш„ и по полгехе их„ в виде
W в 1 W W
‘xZZZT—W’ ‘le—q—TV. (21.7)
Соответствующие частотные характеристики замкнутой
системы найдутся теперь подстановкой p=jco и взятием
модуля и аргумента от полученного комплексного выраже-
ния, как это уже много раз делалось в данной главе. При
этом частотные характеристики для выходной величины, по—
лучаемые из формулы (21.6), приобретают вид рис. 35
и определяют собой ошибки и возможности следящей системы
по воспроизведению входных сигналов на вых0де, как это
было описано в § 5.
Как и прежде, формулы (21,6) и (21,7) можно применять
либо аналитически, либо графически. Существуют также
номограммы, составленные по этим формулам.
В отношении оценки качества переходных процессов по
частотным характеристикам замкнутой системы можно ска-
зать, что чем шире граница полосы пропускания ωΙ (рис. 35),
тем короче по времени переходные процессы. Это следует
из того, что расширение верхней границы полосы пропуска-
ния (о, говорит о хорошем прохождении быстро меняющихся
по времени величин через систему, т. е. о меньшей инер-
ционности этой системы (что влечет за собой и более бы-
строе затухание переходных процессов).

ГЛАВА V
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ
§ 22. Понятие о случайной величине и ее среднем
значении
Во многих случаях характер возмущающего воздействия
на систему бывает таким, что его нельзя считать опреде-
ленной функцией времени. Оно может принимать с течением
времени самые разнообразные случайные значения. В таких
случаях можно каким-нибудь способом оценить только веро-
ятность появления той или иной формы возмущающего воз-
действия в тот или иной момент времени.
Возьмем, например, систему автоматического регулирова-
ния напряжения. Там возмущающее воздействие в основном
является результатом изменения нагрузки в сети и измене-
ния скорости вращения якоря генератора. Как первое, так и
второе зависит от множества причин, случайным образом
переплетающихся друг с другом. Первое зависит от вклю-
чения, выключения и изменения режима работы множества
потребителей; второе—от разных факторов режима работы
привода.
Другой пример — автопилот. Возмущающие воздействия —
случайного характера: порывы ветра и изменения других
атмосферных факторов, изменения тяги, флуктуации напря-
жения питания усилителя автопилота и рулевой машинки и т. п.
Третий пример—помехи в следящих систеМах, которые
попадают на вход вместе с полезным сигналом, например,
в радиолокационной системе сопровождения. Το же имеет
место и в системах телеуправления.
Прежде чем рассматривать поведение автоматических
систем при случайных воздействиях, приведем некоторые

§ 22] СЛУЧАйНАя ВЕЛИЧИНА и ЕЕ СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ 183
необходимые сведения 0 случайных величинах, случайных
процессах и их вероятностных характеристиках.
Пусть, например, случайным событием является попада-
ние Или непопадание снаряда Β цель, имеющую определенные
размеры (рис. 127). Случайными величинами Β этом примере
будут: расстояние L от орудия до места падения снаряда и
отклонение его вбок от линии центра цели. Нескольким
попаданиям Β цель будут соответствовать несколько различ-
ных значений каждой из этих случайных величин. Как бы
мы ни старались сделать условия всех выстрелов одинако-
выми, всегда будет рассеивание снарядов из—за множества
случайных комбинирующихся друг с другом причин: Неболь-
шие отклонения от нормы веса и формы снаряда, отклонение
свойств взрывчатого ве-
щества,атмосферных фак- ῃ а; [[а/т ὦ _
торов, неточности при- Ἴ _l ὦ“
Целивания и т. п. Каждая := L ,.
причина сама по себе от- pm. 127.
клоняет снаряд мало, но
вместе они, складываясь и вычитаясь случайным образом,
могут дать отклонения Β ту или другую сторону как малые,
так иногда и большие.
Итак, в общей массе одинаковых событий (например,
попадание Β цель) случайная величина (например, L) будет
иметь каждый раз разные значения из—за множества случай-
ных обстоятельств. .
Другие примеры случайных величин: изменение скорости
молекул в газе при данном его общем состоянии; результаты
многократного измерения какой-нибудь физической величины
Β «одинаковых» условиях и т. п.
Такая случайная величина, которая может принимать
отдельные разрозненные значения, как в последнем примере,
называется дискретной случайной величиной. Непрерывная
же случайная величина принимает все значения на опреде-
ленном отрезке (как, например, L Ha рис. 127).
Знать случайную величину—это не значит знать, что
в данном испытании она получила такое-то значение.
То, что она получила какое-то определенное значение,
является только лишь отдельной реализацией данной слу-
чайной величины, И это вовсе не дает еще предста-
вления о свойствах случайной величины. Нужно знать

184 случайных-: процессы в Автомнтичвских СИСТЕМАХ [гл. v
определенные вероятностные характеристики случайных
величин.
Простейшей числовой характеристикой случайной вели-
чины является среднее значение (математическое ожида-
ние). Но кроме знания среднего значения надо еще знать,
как сильно случайная величина рассеяна около этого сред-
него значения. Например, дальность падения снаряда при
стрельбе есть случайная величина L. Если ее среднее зна-
чение совпадает с центром цели, то это хорошо. Но этого
ту?
д ᾶιἼ
|
ае-
%%
&&
дд…
“'Ἴ |
е l ᾿ д' ΄ 5 Γἷ
а] 07
Рис. 128.
мало. Спрашивается еще, как будут падать отдельные сна—
ряды? Многие ли из них поразят цель определенных разме-
ров? Если большинство из них ложится близко к центру
цели (т. е. близко к своему среднему значению), то имеет
место малое рассеяние, если же далеко—большое рассеяние.
Мерой рассеяния случайной величины может служить:
1) среднее отклонение, 2) среднеквадратическое отклонение
или же его квадрат—дисперсия, 3) средневероятное откло—
нение.
В следующих параграфах будут рассмотрены все эти
понятия, а здесь пока рассмотрим только среднее значение
дискретной случайной величины.
Пусть для какой-нибудь дискретной случайной величины
известны:
а) все возможные значения х, которые она может прини-
мать при данных условиях задачи или опыта;
6) вероятность р появления каждого из этих значений,

§ 22] cnqufiHAa ВЕЛИЧИНА и въ: срвднвв знячвнив 185
Например, выбитое число очков при кажцом выстреле по
мишени (рис. 128, a) есть случайная величина (дискретная),
причем дано:
Значение величины x 0 ι 1 3 5
.(22.1)
Его вероятность р 0,1 | 0,2 0,5 0,2
Это значит, что на каждые сто выстрелов в среднем
можно ожидать:
10 выстрелов по 0 очков;
20 выстрелов по 1 очку;
50 выстрелов по 3 очка;
20 выстрелов по 5 очков.
(22.2)
Указанные данные (22.1) называются законом распределения
дискретной случайной величины.. Закон распределения
p=f(x) можно изображать графически (например, рис. 128, 6).
График закона распределения дискретной случайной ве-
личины состоит из отдельных ординат, сумма которых в це-
лом равна единице, так как предполагается, что какое-нибудь
одно из данных значений рассматриваемая случайная вели-
чина обязательно в каждом опыте получит (т. е. все возмож-
ные значения случайной величины образуют полную систему
событий). Из закона распределения видно, какие значения
случайной величины возможны и какие из них наиболее
вероятны.
В общем виде закон распределения дискретной случайной
величины, принимающей конечное число значений, может
быть представлен таблицей
Значение случайной
х, x, x, . . - хп
величины
‚ (22.3)
Его вероятность р1 p2 р, . . . р„
причем р1+р2+р8+ +рп= 1.

186 случвйныв пгоцвссы в Автомпичвских систвмм [гл. v
Хотя закон распределения полностью определяет случай-
ную величину, но все же для практики нужны, как уже
говорилось, более простые осредненные характеристики
свойств случайной величины в целом, выражающиеся в виде
обыкновенных неслу чайных чисел (среднее значение, среднее
отклонение и т. п.).
В примере стрельбы по мишени, согласно (22.2), среднее
значение величины очков на каждый выстрел можно подсчи-
тать следующим образом:
1о-о+2о.1 + 50-з+2о.5_№_
100 “100—
2,7
или, что то же самое,
0,1.0+0,2.1+o,5.3+0,2.5—_—2,7.
Следовательно, в общем виде такое среднее значение х слу-
чайной величины х (называемое также математическим
ожиданием) будет *)
'М=
l l
||
Β нашем примере х=2,7.
По аналогии с этим среднее значение квадрата случай-
ной величины запишется в виде
и
x2—
__
-р,-. (22.5)
ΒΜ:
за.
l
В частном случае, когда все значения случайной вели—
чины равновероятны, закон распределения будет
*) Условимся среднее значение (математическое ожидание) вся-
кой случайной величины обозначать волнистой линией сверху.

§ 22] СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ 187
1
причем ΣρΞΙ, откуда p27. Среднее значение в этом
случае будет
п п
ΞερΣχ,:πξΣχ͵.. (22,6)
ι΄.-.ι ι':ι
Например, если стрелок по мишени с равной вероятностью
выбивает любые очки: Ο 1, 3, 5, то p=0,25 И x:
‚
=0,25-9=2,25. Можно сказать, что прежний стрелок, для
которого x=2,7, лучше этого.
Примером аналитического задания закона распределения
дискретной случайной величины является часто применяемый
закон Пуассона, согласно которому случайная величина
принимает значения х=0, 1, 2, ..., со с вероятностью
каждого из них
λ” -
рх=х—!е λ. (22.7)
Графически этот закон имеет вид рис. 129, причем место
максимума зависит от величины λ. Это число λ, как легко
проверить вычислением по
формуле (22.4), представляет .”
собой среднее значение слу—
чайной величины х, распреде-
ленной по закону Пуассона
(22.7). ῃ
Основные свойства сред-
него значения всякой слу-
чайной величины следующие:
1. Для любых случайных величин среднее значение их
суммы равно сумме средних значений этих величин:
№т=2+5+2+… (22.8)
2. Среднее значение произведения случайных величин,
независимых друг от друга во всей совокупности, равно
произведению средних значений этих величин:
I 2 5 4! i ὁ'
Рис. 129.
”””
хуг...=х-у—г...
Для зависящих друг от друга случайных величин последнее
равенство несправедливо.

188 случлйныв процессы в автоматичвских системах [гл. v
§ 23. Характеристики рассеяния дискретной
случайной величины
Если х—случайная величина, а х—среднее значение
ее, то величина x—x есть отклонение случайной величины
от ее среднего значения. Это отклонение, очевидно, является
случайной величиной, как и сама х.
Средним отклонением Δ называется среднее значение
(математическое ожидание) абсолютной величины отклоне-
ния, т. е.
“τε“ ” ‚.
A=|x—x|=l§1|xi—x|pi. (23.1)
Заметим, что без знака абсолютного значения было бы
х—х=0.
Для прежнего примера стрельбы по мишени х=2,7.
Следовательно, для этого примера
x,- О l 3 5
ре,—32| 2,7 1,7 0,3 2,3
… 0,1 0,2 0,5 0,2
Отсюда среднее отклонение согласно (23.1) будет
A=2,7-0,1+1,7-0,2+O,3-O,5+2,3-0,2=1,22.
При равновероятном появлении любого числа очков, когда
р=_—О,25, имеем
А = 0,25 (2,25 + 1,25 + 0,75 + 2,75) = 1 ‚75.
Как видим, среднее отклонение здесь больше.
Среднее отклонение случайной величины (так же как и
среднее значение ее) является уже не случайной величиной,
a обычным числом.

§ 23] ХАРАКТЕРИСТИКИ РАССЕЯНИЯ случАйной величины 189
Другой мерой рассеяния случайной величины, чаще упо—
требляемой в практике, является среднеквадратическое откло-
нение.
Среднеквадратическим отклонением σ случайной вели—
чины называется корень квадратный из среднего значения
(математического ожидания) квадрата отклонения (ж:—х)"
случайной величины x, a именно:
: (х_х) ——:]/l” Σ (xi —x)'pi=1/:z:_ ();62. (23.2)
Можно показать, что всегда о> >А причем обе они по-
ложительны. Надо иметь в виду, что среднее значение квад-
рата случайной величины xz всегда бывает не меньше, чем
квадрат ее среднего значения (x)2 т. е.
> δε)”.
Заметим далее, что величина подкоренного выражения
в формуле (23.2), T. e. величина
’
σεξἷΐἶἧἷ: Ё (x.- -3΄σ)᾽ρ,-:5Ξ᾽ — σε)”, (23.3)
называется дисперсией случайной величины х. Дисперсия
всегда может употребляться как мера рассеяния случайной
величины, вместо среднеквадратического отклонения случай-
ной величины.
Для прежнего примера стрельбы по мишени имеем дис-
персию
σ᾿:Σ(χ͵.-Ξ)’ρἱ:
=2,7=.0,1+1,7=.0,2 +0,32.0,5+2,3*.0,2=2,41
или по другой формуле [последнее равенство в формуле
(23.3)] с учетом (22. 5).
x =2x,-pi=0.0,1+1.0,2+9.0,5+25.0,2=9,70;
(Sé)=_—_—.2,7==7,29; о==9‚70_7‚29=2‚41.
Среднеквадратическое отклонение, следовательно, будет
0=V2—,71_1= 1,55.

190 случхйныв процессы в Автомхтичвских систвмхх [гл. v
При равновероятном выбивании любого числа очков, когда
рі=р=0,25, получаем большее рассеяние:
а2 = 0,25 (5,06 + 1,56 + 0,56 + 7,56) = 3,68;
σ: 1,92.
Укажем простейшие свойства среднеквадратического
отклонения.
1. При сложении независимых случайных величин
u:x+y—-|—z—|—...
дисперсии СКЛЗДЫВЗЮТСЯ
afi=ofc+oj+0§+
Поэтому среднеквадратическое отклонение суммы независи—
мых случайных величин будет
ou=V0j+aj+o§+ (23.4)
Эта формула применяется в измерительной технике и
в автоматике при вычислении ошибок, но следует помнить,
что она справедлива только для независимых случайных
величин.
2. Пусть имеется n случайных величин
х1‚ x2, .. ., хп
с одинаковым средним значением х и с одинаковым законом
распределения. Тогда их среднее арифметическое
y=x1+x2+~°+xn
n
тоже будет случайной величиной с тем же самым средним
значением у=х, но среднеквадратическое отклонение его
будет в VII раз меньше, чем для каждой из составляющих
(в случае попарно независимых случайных величин):
(23.5)
Например, если производится п измерений одной и той же
физической величины, то их среднее арифметическое, хотя
тоже является случайной величиной, но всегда надежнее
[имеет меньшее среднеквадратическое отклонение), чем каж-

§ 23] ХАРАКТЕРИСТИКИ РАССЕЯНИЯ случайной величины 191
дое измерение в отдельности. Здесь случайные ошибки
измерения как бы компенсируются. Но надо помнить, что
если имеется систематическая ошибка данного прибора,
то она остается Β полной мере и Β составе среднего арифме-
тического, и никакой массовостью измерений при помощи
одного прибора скомпенсирована быть не может.
3. Для п случайных величин, независимых и имеющих
ОДНО и то же среднее значение (математическое ожидание) x,
среднее арифметическое будет при достаточно большом гг
как угодно мало отличаться от среднего значения х (с ве-
роятностью, как угодно близкой к единице). Замечание
Β скобках означает, что это практически достоверно, но не
абсолютно, потому что среднее арифметическое есть все же
случайная величина.
Итак, при большом п в указанных условиях имеем
x1+x2+--°+xn “ (23.6)
n
——>x при н——›оо.
Этот закон больших чисел, доказанный П. Л. Чебыше—
вым, имеет первостепенное значение для обработки всяче-
ских экспериментальных данных и для статистики учета.
Перейдем теперь к другим характеристикам дискретной
случайной величины.
До сих пор рассматривалась вероятность появления того
или иного числового значения случайной величины. Но часто
бывает необходимо еще знать вероятность нахожцения слу—
чайной величины в некоторой области числовых значений.
Особенно важно это будет в дальнейшем для непрерывных
случайных величин.
Функцией распределения или интегральным законом
распределения F(x) называется вероятность того, что слу-
чайная величина примет значение меньше некоторого значе-
ния х. Математически эта формулировка записывается в виде
F(x) = Ρ(ξ <x), (23.7)
_где Р означает «вероятность», Е—текущее значение слу-
чайной величины.
Например, если график закона распределения дискретной
случайной величины х имеет вид, показанный на рис. 128,6,
то график функции распределения F(x) для нее будет иметь
вид рис. 130. Он показывает, что вероятность того, что

192 случьйныв процессы в автоматичвских систвмнх [гл. v
величина х получит значение меньше нуля, равна нулю;
вероятность того, что x меньше единицы, равна 0,1 (это
вытекает из рис. 128, б); вероятность того, что х меньше
трех, равна 0,3 (сумме вероятностей появления значения
16:0 и х=_—1, согласно рис. 128, 6) и т.д.
‚:
; ...... {Μ᾽
ἕξ ддт Ы:—
I
’ fl : I I
“ __ I": I : I I
аг ` ` ..!—1. I I I I l
I 1 _ . I I I I I I |}“?
Л | ‘ “:; J ;?" 0 | 2 ‹.7 4 ἆ- i 7
Рис. 130. Рис. 131.
Функция распределения F (x) всегда возрастает с уве-
личением х, причем F(x)=1 при наибольшем возможном
значении x и далее (в нашем примере при x25).
Аналогично для закона распределения Пуассона (22.7),
изображенного на рис. 129, функция распределения
.Ρ(χ) = ξρκ
будет иметь вид бесконечной лестницы (рис. 131), HO He
заходящей выше единицы, т. е. Р(х)—›1 при х—›оо.
§ 24. Характеристики непрерывной случайной величины
Непрерывная случайная величина может принимать все
значения х в каком-нибудь заданном интервале (а, b) или
вообще все значения от — оо до +00. Следовательно, функ-
ция распределения (интегральный закон распределения)
для непрерывной случайной величины будет изображаться
непрерывной кривой (рис. 132, где показаны оба упомяну—
тых выше варианта). Здесь по-прежнему
F(x)=P(§<x) (24.1)
(ё—текущее значение случайной величины х).

§ 24] характеристики непрерывной слУЧАйной величины 193
Вероятность того, что непрерывная случайная величина
примет определенное числовое значение х, бесконечно мала
(например, вероятность попадания центра тяжести снаряда
в определенную геометрическую точку цели). Вероятность же
того, что непрерывная случайная величина окажется в неко-
тором промежутке х,<&<х2, будет иметь конечное зна—
чение, а именно (см. рис. 132,6):
Р(х,<ё<х2)=Р(х2)—Р(х,) (24.2)
(например, вероятность попадания снаряда в цель заданной
длины ас,—х„ рис. 127, где ξ.-:ι).
10
а]
ι
0 12.23.13 о .z'
ш
J]
Л 31% a?
Рис. 133.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина
содержится в промежутке между х и x+dx, Ha основании
формулы (24.2) будет
Р(х<1;<х+ах)=а!’(х)=%ах.
Величина
%:шш (24.3)
называется плотностью вероятности.
Закон распределения для непрерывной случайной вели-
чины, в отличие от дискретной, задается не в виде значе-
ний вероятности, а в виде плотности вероятности w(x).
Это есть дифференциальный закон распределения (рис. 133,
где показаны два варианта: с ограниченным и неограничен-
ным интервалами). Если бы здесь пользовались тем же поня—
тием закона распределения, что и для дискретной случайной
величины, то получились бы бесконечно малые ординатки Р:-
7 E. Π. Попов

194 случзхйныв Процессы в АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ [гл. v
Запишем следующие очень важные для дальнейшего со-
отношения, вытекающие из формул (24.3) и (24.2).
Выражение w(x)dx означает вероятность того, что слу-
чайная величина содержится между х и x—f—dx, a именно
w (x) dx = P(x ς ξ <х + dx) (24.4)
Вероятность τοὕο, ιιτο случайная величина содержится
между значениями xl и х„ определяется формулой
Р(х, ς ξ < х,) = S w (x) dx, (24.5)
ЧТО геометрически выражается ЗЗШТРИХОВЗННОЙ ПЛОЩЗДЬЮ
(рис. 133).
. Имеет место зависимость
x +00
F(x)_—_- S w(x)dx, причем S w(x)dx=1. (24.6)
Следовательно, плотность вероятности непрерывной случай-
ной величины w(x) может принимать любые неотрицательные
значения, но так, что вся площадь под кривой w(x) равна
единице.
Среднее значение (математическое ожидание) непре-
рывной случайной величины выразится формулой
+00 +00
:6: S xw(x)dx или x: S xdF (x), (24.7)
—Ю -οο
что вытекает из формул (22.4) и (24.4) как предел суммы.
Среднее значение квадрата непрерывной случайной ве-
личины по аналогии с (22.5) будет
+00
χ᾽: S x2w(x)dx. (24.8)
~00
Рассеяние непрерывной случайной величины можно оце-
нивать одним из следующих значений, словесное определе-
ние которых остается прежним (CM. ξ 23).

§ 24] ХАРАКТЕРИСТИКИ непрерывной случлйной величины 195
1. Среднее отклонение (мало удобная для вычисления
величинах
+00
A: S lx—Sc'jmxwx. (24.9)
—‹Ю
2. Дисперсия (наиболее удобная для вычисления вели-
чинау
+00
a”: S (x—£)2w(x)dx=£2—(SZ)2, (24.10)
T Θ. -ω
+00 +00
о”: S x=w(x)dx—[S xw(x)dx]’. (24.11)
3. Средненвадратичесное отклонение
о=і/‹?, причем о>А>0. (24.12)
4. Средневероятное отклонение АВ есть такая величина,
при которой отклонения
|х—2|<Ави |х—3`с!>Ав
имеют одинаковую вероятность. В связи с этим значение Ав
определяется геометрически (рис. 134) так, чтобы площади
р„ р„ р„ р„ представляю- ἦ
щие собой вероятности от-
клонений меньших и боль-
ших, чем ΔΒ, были следУЮ—
щими: Л
1
p1+p4=pz+pa=§ °
Например, если х—
дальность падения снаряда,
то при этом будет одинаковая вероятность того, что снаря-
ды лягут внутри отрезка ΑΒ и вне его.
Рассмотрим простейшие типовые законы распределения
непрерывных случайных величин.
1. Равномерное распределение случайной величины на
определенном участке характеризуется плотностью вероят-
ности w(x) И функцией распределения F(x), показанными-
7i

\96 СЛУЧАЙНЫЕ процессы в Автоматических СИСТЕМАХ [гл. v
на рис. 135. При этом вследствие свойства (24.6) имеем
1
с=Ь—а
Подсчитаем характерные значения. Среднее значение (мате-
матическое ожидание)
- ᾽... b (b2 = b
x: S xw(x)dx=chdx=_-c‘——a—)= ᾽ξ“;
- а
2
среднее значение квадрата случайной величины
b
ἷ’ .1sz вах =c—(b’3—= α’) (1—2; + ab + Ь:
᾽ 3
a
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение
сг"=.›с2 —(x)'= ῥ᾽”) , o=b;a;
ωΙ
2
средневероятное отклонение
_ l—(b—a)<o.
Максимально возможное отклонение случайной величины
“10 от среднего значения В даННОМ слу—
д чае (рис. 135) будет
1
' [.А—{А; . = Amax=§(b—a).
‚___. ἓἕἑ’ω $ Как видим, здесь
Amax = 2ΔΒ = 1|3σ͵
7 2. Нормальный закон распре-
деления для непрерывных случай-
ных величин (закон Гаусса) имеет
д а b Ё вид
Рис. 135. 1 _ Щ
Ш<Х)= —_-е за? , (24.13)
0V 2::
Где Ο’2 — Дисперсия, σ- среднеквадратическое отклонение,
х—среднее значение (математическое ожидание). График
этого закона изображен на рис. 136.

§ 24] ХАРАКТЕРИСТИКИ нвпрврывной СЛУЧАйной ввличины 197
Для этого закона средневероятное отклонение будет
, 7
AB_ l/FO—‘O’GMG' (24.14)
За максимально возможное отклонение принимается вели-
чина
Атак—230, (24,15)
так как вероятность того, что отклонение |х—х! будет
больше 30, ничтожна, а именно
Р(| х _} | > Зо) : 0,003.
Чем меньше σ, тем меньше рассеяние случайной вели-
чины. Таким образом, при помощи нормального закона можно
Λω 17 M’
”Inf?
ι .
| dim/1 L
: ”“ : } 0,245
ῃἷ | , , : Л : "\
ζῴῳ.-σ.. ἶ- ' ' .}-
“_ ἐγ'-’] і‹—]—›ч-‹—/—-›[ 8
Рис. 136. Рис. 137.
охарактеризовать случайные величины с весьма различными
рассеяниями.
Для удобства расчетов вводится функция Лапласа (единич-
ный нормальный закон), обозначаемая Ф(а), которая
определяется значениями о=1 И x=0 (рис. 137). При
помощи таблиц, составленных Для Ф(а), кОторые можно
найти Β справочниках, решаются различные задачи при
любых заданных σ и х нормального закона распределения.
Нормальный закон распределения принимается в подав-
ляющем большинстве исследований непрерывных случайных
величин, в частности, Β теории стрельбы, в измерительной
технике и в автоматике.
Существуют математические и экспериментальные обосно—
вания раЗумности этого закона распределения для непре—
рывных случайных величин различной физической природы.

198 СЛУЧАйныв ПРОЦЕССЫ в Автомнтичвских систвмхх [гл. v
§ 25. Понятие 0 случайных процессах
Случайная величина х, изменяЮщаяся во времени t, будет
случайным процессом. Случайный процесс это не есть опре-
деленная кривая x(t). Это есть совокупность множества
возможных кривых x(t), так же как и случайная величина
не имела определенного значения, а была совокупностью
множества возможных значений.
Можно еще сказать, что случайный процесс есть такая
(случайная) функция времени, значение которой Β каждый
данный момент времени является случайной величиной.
:.Ζ' “᾽: «2'2 а;, т„
: I : I
' ι , ι
l
:
ι
l
: : ' V
: : Ξ :
Рис. 138.
Примерами случайных процессов могут являться: изме-
нение координаты самолета, замеряемой радиолокационной
станцией; угол визирования движущейся цели следящей
системой; помехи, имеющие место в обоих указанных слу-
чаях; нагрузка электрической сети; изменение возмущающих
воздействий в различных системах автоматического управ-
ления, Β том числе в производственных процессах.
Итак, в случайном процессе нет определенной зависи-
мости x(t). Каждая кривая (рис. 138) является лишь отдель-
ной реализацией случайного процесса x(t). Никогда нельзя
сказать, по какой кривой пойдет процесс. Если уже вероят-
ност'ь того, что непрерывная случайная величина примет
определенное значение, бесконечно мала (см. § 24), το тем
более бесконечно малой будет вероятность того, что слу-
чайный процесс пойдет по какой-то определенной, заранее
заданной, кривой. В самом деле, для этого надо было бы,
чтобы случайная величина не только приняла определенное
значение х, в момент !„ но чтобы и во все последующие

§ 25] понятив 0 случайных ПРОЦЕССАХ 199
моменты t
ха! ха, ° ° °
Чтобы что-то знать о возможном характере протекания
случайного процесса, надо оценить его какими-то вероят-
ностными характеристиками.
В каждый отдельный момент времени ταυ ta, ta, . . . ,tn)
(рис. 138) мы имеем дело со случайными величинами xl =x (і,),
x2=x(tz), ..., каждая из которых имеет свой закон рас-
пределения. Поскольку это непрерывная случайная вели-
чина, то надо пользоваться понятием плотности вероятности.
2, t3, . . . получились определенные значения
| |
ι Α ι
|
| | /T\
: : :
‹— 02} "Ἴ «.Z'] ь‹— $2 "Ἴ $2 ‹— $3 —›1 a?
РИС. 139
Обозначим w(x, t) закон распределения для ‚всех этих
отдельных случайных величин в каждый данный момент
Времени t (B общем случае он меняется с течением времени).
Для каждого данного t В отдельности (11, !„ t3, . . .) имеем
свой закон распределения (рис. 139):
w(x1v t1): №ФС” t2), ШОС“ t8)? ' " ’
причем по свойству (24.6) для каждого из них
+00
S w(x,t)dx=1.
-00
В каждый заданный момент времени здесь можно при-
менить все то, что мы знаем для случайных величин (§ 24).
Β результате будем иметь среднее значение (математиче-
ское ожидание) и дисперсию в виде
+00
x(t)= S xw(x, t) dx, (25.1)
"'Ю
+00
am): 8 (x—Zérmx,t)dx=P(t)—[3'c(t)]=. (25.2)
.—00

200 слУЧАйныв процессы в АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ [гл. v
Среднее значение (математическое ожидание) случай-
ного процесса x(t) представляет собой некоторую среднюю
кривую (рис. 140), около которой группируются все воз-
можные отдельные реализации этого процесса, а дисперсия
02(t) или среднеквадратическое отклонение 0(t) характе-
ризует рассеяние отдельных возможных реализаций процесса
около этой средней кривой (среднеквадратическое отклонение
в общем случае меняется с течением времени).
Αι-
“} Μ
е Λ ` ”᾽
\
Рис. 140.
Кроме этих осредненных характеристик ;(!) и σ᾿(ΐ)᾽ κο-
торые для каждого данного момента времени являются сред-
ними по множеству значений случайной величины, нам
потребуется еще находить среднее значение по времени
(обозначаемое Ξ) для отдельной реализации случайного про-
цесса x(t), которое определяется следующим образом
(рис. 141):
+1
_ _ l
x: 11m _ S x t dt. 25.3
2т -Τ () ( )
Знак предела при Т—›оо здесь необходим для того, чтобы
характеризовать не какой-нибудь отдельный участок кривой,
а всю возможную кривую x(t) В целом. Практически обра-
батываемая кривая, конечно, не будет бесконечной, так как
время наблюдения 2T всегда конечно. Но надо стремиться,
чтобы оно было как можно больше.

§ 25] понятие 0 случайных процессы: 201
Однако таких характеристик, вообще говоря, недостаточно.
Надо еще знать связь между возможными значениями слу-
чайной функции x(t) В последующие моменты времени
с предыдущими.
Простейшим типом случайных процессов является чисто
случайный процесс, в котором все значения (х, в момент
і,; х,: в момент і,; . . .) совершенно не зависят друг от друга.
Тогда появления значений (х„ і,), (х„ t2), (х„ !,), . . . будут
Ἀιῖ'
___—__
V
ч.
-r 0 +7
Рис. 141.
независимыми случайными событиями. Это приводит к самым
простым соотношениям в теории случайных процессов, кото-
рые могут применяться для характеристики некоторых видов
помех (чисто случайные хаотические помехи).
Для характеристики полезных входных сигналов следя—
щих систем, систем управления и регулирования это редко
может быть применено, так как для этих сигналов хол про-
цесса в последующие моменты времени в какой-то степени
(слабо или сильно) зависит от того, что было в предыду-
щие моменты времени.
В самом деле, если речь идет о слежении за самолетом,
то он не может как угодно быстро менять свое положение
и скорость. Поэтому, если он в момент Ifl занял некоторое
положение х„ то этим самым его возможные положения х:
в следующий момент t2 ограничены, т. е. события (х„ 12)
и (х„ і,) не будут независимыми. Чем более инерционен
изучаемый объект, тем сильнее эта взаимозависимость.
В зависимости от формы этих связей рассматриваются
разные типы случайных процессов в отличие от чисто слу-
чайных. Есть, например, марковские процессы (по имени
известного математика А. А. Маркова) и другие, которых
мы, однако, рассматривать не будем.

202 СЛУЧАЙНЫЕ процессы Β ΑΒτοΜΑτπηΕοκπκ CHCTEMAX [гл. v
Другая классификация всех случайных процессов (по
иному признаку) состоит Β разделении их на стационарные
и нестационарные. Теория стационарных случайных процессов
наиболее разработана и чаще всего применяется на практике.
Далее речь будет идти только о них.
Стационарным случайным процессом называется такой
процесс, в котором все плотности вероятностей и связи не
меняются при любом сдвиге рассматриваемого участка про-
цесса во времени (на любую величину to, рис. 142). Следо-
вательно это есть такой процесс, который не меняет свои
Λ-ῖ' Ιιΐ
Рис. 142.
вероятностные характеристики с течением времени. Можно
сказать, что стационарный случайный процесс Β какой-то
мере аналогичен обычным стационарным или установившимся
динамическим процессам Β автоматических системах. Напри-
мер, при рассмотрении обычных установившихся периоди-
ческих колебаний ничего не изменится, если перенести на-
чало отсчета времени на величину, равную любому целому
числу периодов (если число периодов не целое, то изменится
начальная фаза). В стационарных же случайных процессах
даже и фаза не имеет никакого значения, так что там сдвиг
to BO времени может быть совершенно произвольным.
Значит, в стационарном случайном процессе закон рас-
пределения τιν для каждого момента f один и тот же, т. е.
плотность вероятности не зависит от t, a именно:
w(x, t)=w(x).

,5 25]᾽ понятие о СЛУЧАйных процвссхх 203
Отсюда получаем §=c0nst и o=const вдоль всего слу-
чайного процесса.
Следовательно, Β стационарном случайном процессе сред-
няя линия, Β отличие от общего случая (рис. 140) будет
горизонтальной прямой x=const (рис. 142), подобно посто-
янному смещению средней линии обычных установившихся
синусоидальных колебаний. Рассеяние значений переменной x
В стационарном случайном процессе, определяемое величиной
=c0nst, также будет все время одинаковым, подобно по-
стоянной амплитуде колебаний Β обычном установившемся
колебательном процессе. ᾽
Стационарные случайные процессы обладают замечатель—
ным свойством, которОе известно под названием эргодиче-
ского свойства. Оно состоит Β следующем. Для стационар-
ного случайного процесса с вероятностью, равной единице
(т. е. практически, достоверно), всякое среднее по множеству
равно соответствующему среднему по времени, Β частности
х=х‚ х2=х2.
В самом деле, поскольку вероятностные характеристики
стационарного случайного процесса с течением времени не
меняются (Β частности, x=c0nst), то длительное наблюде-
ние случайного процесса на одном объекте дает Β среднем
такую же картину, как и большое число наблюдений, сде-
ланных Β один и тот же момент времени на большом числе
однотипных объектов.
Итак, среднее значение (математическое ожидание) для
стационарного случайного процесса будет
+00 1 +T
x: S xw(x)dx=§= lim ᾖ Яхта. (25.4)
—00 Т—›оо —Т
Эргодическое свойство позволяет сильно упрощать все
расчеты и эксперименты. Оно позволяет для определения
х, σ и т. п. вместо параллельного испытания многих одно-
типных систем Β Один и тот же момент времени пользоваться
одной кривой х (t), полученной при испытании одной системы
в течение достаточно длительного времени.
Таким образом, замечательное свойство стационарного
случайного процесса состоит Β том, что отдельная его

204 СЛУЧАЙНЫЕ процессы в автоммичвских СИСТЕМАХ [гл. v
реализация на бесконечном промежутке времени полностью
определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчис-
ленными возможными его реализациями. Этим свойством не
обладают другие типы случайных процессов.
§ 26. Корреляционная функция и спектральная
плотность случайного процесса
Для характеристики уже упоминавшейся ранее зависи-
мости случайной величины х в последующий момент времени
t—l—r (рис. 142) от предшествующего значения x В момент
t применяется так на-
зываемая корреляцион-
ная функция. Это есть
мера связи между слу-
чайными значениями
x(t+1:) и x(t).
КорРеляционной
А.и-
“
At At At l-<-—H ' функцией R (или, что
! : _. `: то же самое, автокор-
t, 32 дд t5 :“ реляционной функ-
I
цией) называется сред-
`‹-———— 7' —————›1 нее по времени от
произведения случай—
Рис. 143' ных величин x(t) и
x(t+1:), взятых в
случайном процессе в любые два момента времени, отличаю-
щиеся друг от друга на определенный промежуток времени
τ (рис. 142), а именно
+1
Rm: x(t)x(t+r):=Tlim 2i S x(t)x(t+t)dt. (26.1)
—>oo —Т
Для стационарного случайного процесса это весьма уни-
версальная характеристика. Она будет одной и той же для
всех случайных процессов, подчиненных одинаковому закону
распределения.
Ее можно легко вычислять на основании эксперимен-
тально снятых кривых (т. е. отдельных реализаций протека-
ния исследуемого случайного процесса). Так, если имеется
какая-нибудь реализация случайного процесса x(t) на участке

ἓ 26] KOPPEJIfiLIHOHHAfl ФУнкция 205
времени Τ, το можно вычислить (см. рис. 143)
Τ-τ
Βωξἶξ-τ S x(t)x(t+1:) (it—t:
0
аті τ Σ х (і,) х (1, +т) At. (26.2)
Чем больше Т и чем больше таких кривых имеется, тем
, лучше. Для механизации вычислений по этой формуле суще-
ствуют специальные приборы, называемые корреляторами.
Корреляционная функция обладает следующими свойст-
вами.
1. Значение корреляционной функции R(17), чаще всего,
будет тем меньше, чем больше промежуток τ (связь между
далеко отстоящими друг от друга значениями x обычно
будет слабее).
2. Чем менее инерционен (более подвижен) объект на-
блюдения, тем К(т) будет меньше. Например, у самолета
как подвижной цели, связь между последующими и предып
дущими положениями будет тем меньше, чем он легче и
маневреннее.
3. Ha основании эргодического свойства и предположения
о том, что бесконечно удаленные друг от друга значения х
можно считать независимыми, выводится очень важное соот-
ношение
к<оо›=‹52›*=‹5с'›=‚ (26.3)
T. e. значение корреляционной функции при т=оо равно
квадрату среднего значения случайной функции x(t).
4. Из формулы (26.1) нахолим другое столь же важное
соотношение
+т
R(0)= lim 2% x=(t)dt=§3=§=, (26.4)
Т—›сю
-T
τ. е. значение корреляционной функции при т=0 равно
среднему значению квадрата случайной функции x(t).
5. Заметим, что всегда R(17)<R(O), причем R(0)> 0.
Кроме того, корреляционная функция всегда является чет-
ной, т. е.
R(— τ) = Rm. (265)

206 случАйныв процессы в Автоматических СИСТЕМАХ [гл. v
T. e. она симметрична относительно оси ординат (см. при-
меры ниже, где это наглядно видно).
6. Из формул (26.3) и (26.4) очевидно, что среднее зна-
чение (математическое ожидание) будет
;: = .; = ιΠε-(Ξ), (26.6)
дисперсия
a’=§2—(§)2=R(0)—R(oo), (26.7)
среднеквадратическое отклонение
o=VR(0)— R(oo), (26.8)
a среднее значение квадрантсамой функции х(0 будет
”=?=RM. (πω
Таким путем, зная корреляционную функцию, получен-
ную из опытных кривых как функций времени, можно узнать
вероятностные характеристики х и σ для множества значе—
ний случайной величины в стационарном случайном про-
цессе x(t) (B любой момент времени).
Приведем несколько примеров.
Пример I. Для постоянной величины x(t)_—:b имеем
корреляционную функцию
+T
Rm: lim '2]? S еда;—172. (26.10)
Т-›оо —Т ‘
Пример 2. Для синусоиды (периодическая кривая) с по-
стоянной составляющей
x(t)=b+asin (mt+cp); R(1:)=b2+c;—2cosmt. (26.11)
Значит, если в каком-нибудь стационарном случайном
процессе будет постоянная составляющая или будет перио-
дическая составляющая (что не бывает ясно при простом
взгляде на отдельные записи реализаций случайного про-
mecca), то после нахождения корреляционной функции R(1:)
обе они обязательно выявятся, причем выявляется частота
периодической составляющей ω (фаза, как уже ранее гово—
рилось, не играет роли).
Пример 3. Типичная простейшая корреляционная функция
ΗΠ) для стационарных случайных процессов без постоянной

ς 26] KOPPEJIHUMOHHASI функция 207
и без периодической составляющих имеет вид (рис. 144,а)
R(t)=e"“"'. (26.12)
Пример 4. При наличии постоянной составляющей (но
без периодической) кривая R(17) имеет вид, показанный на
рис. 144,6. Чем более сжата эта кривая по оси τ, тем мень-
шими участками времени ограничена связь между отдельными
точками процесса.
Ад ἆ} I]?
I
!
___—Ё__———_‹_—
д ‚__ 1 Л “Γ Ar
τ Z
А)? 4/7
д'] г]
/ „тг
\/ ” V7 τ ” ᾽ ?
Рис. 144-.
Пример 5. Для стационарных случайных процессов
с периодической составляющей (но без постоянной) кривая
RU?) имеет вид рис. 144,8.
Пример 6. Для чисто случайного стационарного процесса,
когда нет связи между значениями x(t) В последующие и
предыдущие моменты времени, имеем R(1.')_—_-O для всех τ,
кроме т_—_—О. Но при 1::0 согласно (26.4) будет R(O)_—_J7°'
(рис. 144, 2).
В заключение необходимо еще ввести понятие взаимной
корреляционной функции, используемой при рассмотрении
каких—нибудь двух стационарных случайных процессов x(t)
H y(t). Это есть среднее по времени от произведения
х (t)y 0+1), a именно +
Τ
Rx, (т) _—_ дню-217; 5Тх (t) y (t + 1:)dt. (26.13)

208 СЛУЧАЙНЫЕ процессы в АВТОМАТИЧЕСКИХ систвмхх [гл. v
Она характеризует взаимную связь разных случайных про—
Цессов между собой в разные моменты времени, отстоящие
друг от друга на промежуток τ. Значение же ny(0) харак-
теризует эту связь в один и тот же момент времени. При-
мером таких взаимосвязанных случайных процессов могут
служить две координаты пространственного положения по-
движной цели.
Для не связанных друг с другом случайных процессов
имеем для всех τ
ny (1)20.
В связи с этим часто употребляются выражения: про-
цессы коррелируют или не коррелируют, что означает,
имеется между ними статистическая (вероятностная) связь
или нет.
Следующей очень важной для практики характеристикой
стационарных случайных процессов является спектральная
плотность. Это понятие связано с разложением кривой
стационарного случайного процесса на гармонические состав-
ляющие, аналогично тому, как всякая заданная во времени
периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье
на гармонические составляющие (синусы и косинусы).
Использование понятия спектральной плотности случай-
ного процесса позволит нам потом применить частотные
характеристики автоматических систем для исследования
качества процесса регулирования при случайных воздействиях.
Математически спектральная плотность, обозначаемая
8(m), определяется через корреляционную функцию R('r)
следующей формулой:
οο
8(0)) : 2 S Rm cos ωτ аг. (26.14)
0
Точно так же вводится понятие и взаимной спектральной
плотности δ᾽” (ω) для двух процессов через взаимную кор-
реляционную функцию Rx (τ).
Связь между 8(a)) и [%(т) такова, что чем шире график
корреляционной функции R(1:), тем уже график спектральной
плотности 8(ш), а чем уже R(1:), тем шире 8(ω). Это ана-
логично связи между обычной кривой переходного процесса
и частотной характеристикой, ο чем говорилось на стр. 154.

§ 26] CHEKTPAJIbHAfl плотность 209
Приведем примеры.
Пример I. Если дано согласно (26.12) для процесса без
постоянной и без периодической составляющих
R(T)=e"°‘"'.
то по формуле (26.14) получаем
οο
S(w)=25e'“‘cos шаг: (26.15)
0
2a
az-l—m”
что показано в двух вариантах (для двух разных значений α)
на рис. 145, причем a2>a1.
ρ Я
α, аг >05,
ἷ ἢ Ё
ύ' Αδ'
α, /\
агни,
" εἴ ; εἶ
Рис. 145.
Пример 2. Для периодической составляющей x:
=asin(mot—|—cp), когда R(1:) определяется согласно (26.11)
при (7:0, имеем для $(ш) трафик с одной-единственной
частотой ωο (рис. 146).
Пример 3. Для постоянной составляющей x=b, когда
согласно (26.10) R(r)=b2, имеем график 8(0)) В виде им-
пульса в начале координат (нулевая частота) (рис. 147).
В общем, спектральная плотность, как и корреляционная
функция, тоже по-своему характеризует наличие или отсут-
ствие периодичности и постоянной составляющей в случайном
процессе или же указывает преобладающие, т. е. наиболее
вероятные полосы частот в его составе (в его общем спектре
частот}:

210 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ в автоммичвских СИСТЕМАХ [гл. v
Пример 4. Для чисто случайного процесса, когда R(t)=0
при τςἑΟ, все частоты равновероятны, вследствие чего
Α’ АЯ
”тк/? ‚‚
“…
ι ὗ' ι m5
Ё
I
|
т z?
-(ид Л Шо ω
Рис. 146. Гис. 147.
a7
8(a)):const (рис. 148). Поэтому чисто случайный процесс
называют белым шумом, или говорят, что он имеет белый
спектр.
Во многих случаях хаотические помехи считают чисто
случайным процессом, так
Я как хотя они и не имеют
сколь угодно больших
частот (это соответствова-
лобы их бесконечной мощ—
ности), но все же наиболь—
шие имеющиеся там час-
готы далеко превышают
ширину полосы частот,
пропускаемых следящей
А.? системой. Поэтому по
сравнению с последней
можно считать спектр
частот хаотических помех
> распространяющимися до
θ бесконечности.
Рис. 148. Оказывается, что сред-
нее значение квадрата
случайной функции x(t) В стационарном случайном процессе
выражается через спектральную плотность следующим
%,
“I

§ 27] ОЦЕНКА ошивок АВТОМАТИЧЕСКИХ систвм 211
образом:
—5_1 __1
‚эс—Ё S 8(ω)ᾶω..π
-οο
S (ω) da). (26.16)
°С./38
Эта формула понадобится нам дальше для исследования
автоматических систем.
§ 27. Оценка ошибок автоматических систем
при случайных воздействиях
Пусть имеется некоторая система автоматического управ-
ления или регулирования, полвергающаяся случайному воз-
мущающему воздействию f(t). Если возмущающее воздействие
{(!) представляет собой стационарный случайный процесс,
то и отклонение x(t) регулируемой величины будет тоже
стационарным случайным процессом *).
Среднеквадратической ошибкой хкв автоматической си—
стемы называется корень квадратный из среднего значения
квадрата отклонения регулируемой величины как случайной
функции x(t), a именно
‚ска:/Ё, (27.1)
где согласно (26.9) и (26.16) имеем
1 +00
2% Sx((o)a'co, (27.2)
-οο
1-6—2sz (Ο)
причем величина х’ называется средним квадратом ошибки
автоматической системы.
Отклонение регулируемой величины хявляется выходной
величиной автоматической системы. Поэтому задача состоит
в следующем.
1) Определение корреляционной функции Rx (τ) или спект-
ральной плотности Sx (ω) для выходной величины заданной
автоматической системы, если'известна корреляционная функ-
ция R,(17) или спектральная плотность Sf(1:) входного слу-
чайного воздействия f(t).
*) Речь ндет только о системах, описываемых линейными диф-
ференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

212 случьйныв процессы в автоматических систвмьх [гл. ᾽ν
2) Указание способа вычисления интеграла от спектраль-
ной плотности в формуле для среднеквадратического значения
выходной величины (27.2).
Будем использовать спектральные плотности. Тогда
первая из указанных задач решается следующей формулой,
приводимой здесь без доказательства, а именно: спектраль-
ная плотность выходной величины x(t) автоматической
системы будет
S. «о) =| ‘*’/„(до) I” зна», (27.3)
где | ту…/'ы) | - амплитудная частотная характеристика замк-
нутой системы, полученная для внешнего воздействия f(t)
(см. об этом в § 21). Данная формула широко применяется
на практике при расчете автоматических систем.
Если кроме возмущающего случайного воздействия f(t)
В систему еще подается независимый от него другой слу-
чайный входной сигнал, например, управляющее воздействие
х„(ъ‘), то
зна» =| №№) I” зна» Ἡ №10» I” 8x.<w>. (27.4)
Для решения второй из указанных задач, т. е. для вы-
числения интеграла от спектральной плотности, существует
следующий прием.
Обычно в реальных задачах спектральная плотность
выходной величины х автоматической системы представляет
собой отношение многочленов вида
G (ω)
Sx(m7=h |Н(1'ш)[2 ›
(27.5)
где И—постоянный множитель.
При этом многочлен Η(|᾿ω) при замене jco=p удовлет-
воряет критерию устойчивости *), а многочлен 0(a)) имеет
степень ниже 211, если п—степень 1-1(j(o).
Поскольку знаменатель (27.5) является четной функцией,
то все члены числителя с нечетными степенями ω дают при
интегрировании (27.2) нуль. Следовательно, в многочлене
*) Эго объясняется тем, что в состав многочлена Н, как ВИДНО
из формулы (27.3), обязательно входит знаменатель передаточной
функции замкнутой системы, т. е. левая часть характеристического
уравнения данной системы (об этом см. в § 21).

§ 27.] ОЦЕНКА ошивок Автоммичвских систвм 213
0(0)) надо рассматривать только четные степени ω, а все
нечетные степени, если они будут, можно отбросить.
Итак, согласно (27.2) и (27.5) имеем
1 +°° σω
Ἴ- ω
х _лд S ————'H(jm)‘zdm, (27.6)
где МНОГОЧЛСНЫ ПОД ИНТЗГРЗЛОМ имеют ВИД
н‹;‹о›а=„ σω) ›"‚+а‹ σων-“Γ +a … ι
G(000017): σω ω“ ‚"‘—01°)… 4+"'+дп—1° J (27.7)
Интегралы
1+°° G()
“ ω
’“:Ξ-διἤῶΜω
заранее вычислены. Приведем их готовые Выражения:
a b
b .1;
I—b° Г_ „+%
‘ _ ἹΖαΟαι ’ 2 _ 2a0al ’
02!) +a b +°__ “° “ b
I = (27.8)
° 2ао (a a2 — aoa,)a ’
a b
до (azas _ 0104) + aoaabl + aoalbz + ἓ (ата: "' ада,)
I = “
2 2
2ао (alaza, — aoa8 — ад,)
В итоге получаем следующую формулу для практических
расчетов:
.? = h]. (27.9)
Здесь оценивалась среднеквадратическая ошибка автома—
тической системы. Однако возможен и другой подход.
Например, системы управления подвижными объектами можно
оценивать по вероятности попадания такого объекта в опре-
деленную ограниченную область пространства при наличии
случайных возмущающих воздействий.

214 cnqufiHbIE процессы в Автомхтичвских систвмхх [гл. v
§ 28. Пример определения случайных ошибок
следящей системы
Рассмотрим пример применения формул (27.4) и (27.9)
К вычислению спектральной плотности и среднего квадрата
ошибок следящей системы, схема которой изображена на
рис. 149. В частно-
ад”/#715] 5+2" „ z сти, это может быть
᾽ W7 ` We следящая система ору-
ὶ дня или пулеметной
турели.
Рис. 149. Пусть стрельба ве-
дется так, что орудие
или пулемет переводится с одних целей на другие, слу—
чайным образом появляющиеся. Тогда полезный входной
сигнал х„(і) будет представлять собой скачкообразное зада-
вание ряда случайных значений углов поворота в случайные
моменты времени (рис. 150, а). Будем считать этот входной
(is:
Λ.:υῃ сигнал xo(t) чисто случай-
ным процессом, причем про-
0.3 ед изводная от него xo (рис.
6'2 Θ’ 150,6) пусть будет ста-
c, σ’,,- __ Ционарным чисто случайным
”l ᾽ 2* процессом с постоянной
а] с, спектральной плотностью
_ _a’.zv Sko(m)=const=2[3c2,(28.1)
“τῖ’-Ἡ
где с’——среднее значение
| квадрата величины задавае-
д I мых скачков с,- (рис. 150, а)
__ [ | I входной величины xo(t) для
перевода орудия с одной
ῥ᾽} цели на другую, Б—сред-
Рис. 150. нее число скачков в едини-
цу времени. При этом пред-
полагается, что среднее
значение (математическое ожидание) случайной функции
xo(t) равно нулю.
Пусть, кроме того, на входе системы (рис. 149) имеется
помеха f(t), называемая также «шумом», независимая от
хо (t) и представляющая тоже чисто случайный стационарный
“"

§ 28] СЛУЧАЙНЫЕ ошивки слвдящвй систвмы 215
процесс с постоянной спектральной плотностью
Sf (ω) =const=y'. (28.2)
Следящая система (рис. 149) состоит из двух блоков:
1) фильтра с усилителем и 2) силового приВОДа. Переда-
точные функции этих двух блоков пусть заданы в виде
TIP—(‘1, 2 (Т2Р+1)р
Передаточная функция разомкнутой цепи данной следящей
системы будет
W=:,2-_-WW
ψ,:
із 12із
—(Т1Р+ 1) Ι(Τ2ρ-Ι- l)p
Спектральная плотность ошибки ε согласно формулам
(27.4) и (21.7), где в соответствии с заданием (28.1) вво-
дится xo вместо x0, будет
Se ((0) =| W... (χω) |᾽8͵εο (ω) +! W.;(J'm) I’S;(w). (28.3)
причем
w-=iW=i 1 : ‹т‚р+1›‹т„р+1›'
6" P "‘ р1+й7 (Tlp+1)(sz+1)P+kxkz’
W _ W = klkz
Ef-—1+'W (T1P+1)(T2P+1)P+k1kz.
Среднее значение квадрата ошибки по (27.2) будет
1 +00
: 83+ εὖ:-ᾖ S 8,(ω)αω. (28,4)
-οο
Найдем сначала по отдельности средние значения квад-
ратов ошибки от каждого из внешних воздействий в соот—
ветствии с двумя отдельными слагаемыми формулы (28.3).
Средний квадрат ошибки от входного воздействия
1.3: T fT§m4+ (T: +Т3) m2+1
lT1T2(iw)’+(T1+T2) (1w)2+1w+k22dl
:2βε᾿-
Для использования общих формул (27,6), (27.7), (27.8), (27,9)
здесь имеем
n = 3: „(./Ш) : Τι Таи“)? +(T1 + T2) (ἴων +10 + klkz'

216 случайные процессы в автоматических системях [гл. v
причем условие устойчивости данной системы (при jm=p)
согласно критерию (14.12)—(14. 13) будет
1, + Τ,) TIT k k. (28.5)
2 1 2'
Далее имеем здесь
0(a)): Tngm‘+(T:—l— Т:)со’Ч— 1.
Следовательно,
а, = Т,Т„ а, : Т,—[— Т„ 02:1, а, =1з,іг,‚
до: ΤξΤξ, д, =(Tf+ Т:)”, д,: 1.
Пользуясь формулой (27.8) для интеграла !„ находим
E?— Бс’ пт,/е, (T: + TIT: + Т:) + Т1т‚‹т‚+ Τ,)
x __ T1T2k1k2(T1 + Τ: "' Т,Т‚/е,/г‚)
(28.6)
Видно, что на границе устойчивости системы, когда
согласно (28.5) Т,+Т,=Т„Т/г,/г„ будет бесконечная
ошибка (ἷζε-τω).
Для определения среднего квадрата ошибки от помехи
согласно (28.4) и (28.3) имеем формулу
+00
”2
в;
hf k;
—2__ l
81—255 SOD |T1T2(iw)’+(T1 +Tz) (iw)’+iw + k ΜΠ ᾶω
Здесь также имеем п=3; Н(1'со)—то же самое,
0(a)):ksz. Следовательно, а„ а„ а„ (:,—те же; [70:0,
Ь,:О, д,:ігіізі. В результате получаем
Tszkllez (Τι + T2)
2T1Tz (Τι + Τ: '" Tszkxkz) .
j: ‚!,—:?:
͵ (28.7)
Параметры системы (например, Ь,) выбираются по кри-
терию минимума сред—нехвадратической ошибки, т. е. так,
чтобы величина в 2=1-32—}-е} имела наименьшее значени_е_.
Например, на графике (рис. 151) показана величина тіп ε
πο коэффициенту усиления із, в зависимости от отношения
спектральных плотностей помехи и производной полезного
сигнала, т. е. в зависимости от величины
2
2рс2 ›

§ 28] случАйныв ошивки слвдящвй систвмы 217
которая характеризует относительную интенсивность помехи.
На том же графике показан оптимальный коэффициент уси-
ления 12mm, соответствующий этому минимуму ошибки.
Величина ε2 определяет установившуюся динамическую
ошибку при случайных воздействиях. Результат выбора
параметров системы по кри-
терию минимума этой ошиб- “ _
ки необходимо оценить тлег
с точки зрения и других
качеств системы, в частно—
сти, качества переходного
,?
процесса (оно при вычисле- “”"
нии среднеквадратической
ошибки не читывалось. >
Π у ) 0 кг
оэтому после того как 2,603
параметры выбраны по
Рис. 151.
тіп а“, надо построить кри-
вую переходного процесса
в данной системе при выбранных значениях параметров. Ока-
зывается, что в данном примере при отсутствии помех (y=0),
котда klonT по критерию минимума среднеквадратической ошиб—
ки имеет наибольшее значение (рис. 151), получается слишком
колебательный переходный процесс. Выбор параметров по
этому критерию при наличии помех, когда коэффициент
усиления дают меньше, приводит к лучшему переходному
процессу.
В дополнение к этому могут привлекаться и другие
оценки, описанные в предыдущих главах.

Г Л А В А VI
КОРРЕКТИРУЮЩИЕ СРЕДСТВА
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 29. Введение производной в закон регулирования
Как видно из предыдущих трех глав, во многих случаях
удается подобрать общий коэффициент усиления регулятора
так, чтобы статическая и динамические ошибки не превышали
допустимого значения и чтобы переходные процессы были
хорошими. Однако очень часто бывает и так, что достигнуть
этого не удается, так как при больших коэффициентах уси-
ления появляются нежелательные колебания регулируемой
величины в переходных процессах (и даже неустойчивость).
Тогда прибегают К изменению структуры автоматической
системы путем введения в нее специальных корректирующих
устройств. Основным принципам решения этой задачи по—
священа настоящая глава.
Одним из эффективных и часТо применяемых средств
является введение производных в закон регулирования.
Вообще, законом регулирования называется зависимость
между входной и выходной величинами регулятора, состав-
ленная без учета инерционности (без учета постоянных
времени) регулятора, т. е. закон регулирования есть урав-
нение «идеального» регулятора.
Термин закон регулирования будет применяться в обоб-
щенном смысле, т. е. не только по отношению К системам
регулирования, но также и К следящим системам, и К си-
стемам автоматической стабилизации, ориентации и управ-
ления. Применяемый часто термин закон управления обозна-
чает то же самое.
Все системы, рассматривавшиеся в предыдущих главах,
имели простейший закон регулирования вида
у = kperx, (29.1)

§ 29] вввдвнив производной в ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ 219
где х—отклонение регулируемой величины, у—регулирую—
щее воздействие на объект.
Производная в закон регулирования может быть введена
различными способами. Первый способ: к обычной, рассмат-
ривавшейся выше схеме регулятора или системы управления,
Зуд/тт?
T." ____ ’ ᾽᾿|
| ”mew/- |
_ ттт/04 @ |
" yaw/pm- Уст/имма— |
тт Imp/MM-
. тие/мт
f/t/ Рагу/1:1- z, уси/тт-
.,- душ/ш) [№№ -_ ἐξ шта
”Jae/m #32735”
Итама-
mam/mg ‚‘;-'У |
yam/ma- ᾽
||7
д “ ‚дегу/ттт
L ____________________ .|
Рис. 152.
состоящей из измерительного устройства, усилительно-
преобразовательного и исполнительного устройств, подклю-
чается еще дифференцирующее устройство, как показано
на рис. 152, дающее величину
dx
= k —_i o
хг dt
Найдем закон регулирования в такой системе. Измерительное
устройство измеряет отклонение регулируемой величины
х, = 18136.
В усилительно-преобразовательное устройство поступает
воздействие (сигнал)
dx
x1+x2=k1(x+k7t_) '
После него получаем
хз : k2(x1 + x2),
a исполнительное устройство дает воздействие на объект
yzkaxs'

220 корректирующие средств»` Автомпичвских систвм [гл. v1
Из последних трех формул получаем закон регулирования
dx
y=kper(x+kd—t), kperzklkzka. (29.2)
Регулирующее воздействие на объект у здесь оказывается
пропорциональным не только отклонению х регулируемой ве-
личины, то также и производной от этого отклонения. Таким
образом мы получаем вве-
дение производной в закон
регулирования.
Введение производных в
закон регулирования пред-
fl ? назначается для улучшения
ἆ' динамических качеств си-
|
ι
ι
стемы регулирования (для
. подавления колебаний и для
1/_ убыстрения затухания пере-
fl &‘ ходных процессов).
Эффект подавления ко-
Рис. 153. лебаний в системе автомати-
ческого регулирования при
введении производной в закон регулирования можно нагляд-
но, хотя и грубо, проиллюстрировать следующим образом.
Допустим, что отклонение регулируемой величины x
изменяется во времени, как показано сплошной линией на
рис. 153, а. Там же (рис. 153, б) изображен график изменения
&]
ἓ с течением времени (ее величина представ-
ляет собой тангенс угла наклона касательной в соответствую-
щей точке кривой x).
Если регулятор работает по простейшему закону (29.1),
то все время, пока х>0, т. е. на участке OAB, регулятор
передает на объект положительный сигнал у, действующий
на уменьшение положительного отклонения х. Это мы имеем,
например, в системе регулирования напряжения (рис. 68),
где величинами х и у являются AU и Аг. Регулятор пере-
ключается на действие в обратную сторону только тогда,
когда изменится знак отклонения, т. е_. в точке В (рис. 153, а).
Но вследствие инерционного запаздывания регулятора он
будет все еще работать на уменьшение регулируемой вели-
чины и переключится на действие в обратную сторону
производной

§ 29] вввдвнив производной Β ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ 221
позже—внутри участка ВС, когда уже накопится отрица-
тельное отклонение x. Это способствует раскачиванию си-
стемы и тем сильнее, чем больше коэффициент усиления
регулятора.
Если же регулятор работает по закону (29.2), т. е.
с введением производной, то при возрастании отклонения x
(Ha участке ОА) производная % и само отклонение химеют
одинаковые знаки. Их сложение (29.2) увеличивает воздей-
ствие регулятора у на объект (по сравнению с прежним
у=крегх), направленное на уменьшение отклонения x. Сле-
довательно наличие производной в законе регулирования
форсирует действие регулятора на участке возрастания
отклонения регулируемой величины. Поэтому вследствие
более энергичного действия такого регулятора по сравнению
с простейшим, на участке ОА максимальное отклонение
(Β точке А) будет меньше (см. пунктирную кривую на рис. 153).
На участке АВ, где отклонение х уменьшается, произ-
водная имеет отрицательные значения. Поэтому сигнал по
производной Β формуле (29.2) будет вычитаться из сигнала
по отклонению, что уменьшает воздействие у данного регу-
лятора на объект (по сравнениюс воздействием простейшего
регулятора у=крегх). Следовательно, наличие производной
в законе регулирования тормозит действие регулятора на
участке уменьшения отклонения регулируемой величины.
Это полезно, так как этим предотвращается переход отклоне-
ния В отрицательную сторону, т. е. подавляются колебания
Β системе регулирования и мы можем получить апериодический
переходный процесс (пунктир на рис. 153, а).
За счет вычитания двух сигналов (29.2) регулирующее
воздействие у станет отрицательным согласно закону регули-
рования не после точки B, a раньше, еще при положитель-
ном x. Таким путем введение производной компенсирует
инерционное запаздывание Β переключении регулятора на
действие Β обратную сторону.
Из сказанного видно, что если Β закон регулирования
введена производная, то регулятор реагирует не только на то,
какое значение имеет отклонение регулируемой величины
Β данный момент времени, но также и на то, будет ли откло-
нение Β последующие моменты времени убывать или возрас-
тать и с какой быстротой, Учитывая это, говорят, что

222 корректирующие СРЕДСТВА АВТОМАТИЧЕСКИХ систем [гл. νι
регулятор работает как бы с опережением (с предварением),
улучшая качество процесса регулирования за счет учета
тенденции последующего развития процесса. Так действовал
бы и разумный человек при ручном регулировании, учитывая
не только величину, но и скорость изменения отклонения
(в доступных его органам чувств медленно протекающих
процессах).
Интересно отметить, что при возмущающих воздействиях
в виде внезапных толчков, когда сразу появляется конечная
величина скорости отклонения, регулятор, имеющий произ-
водную в законе регулирования, сразу по возникшей вели-
dx
чине _t’ даже еще до накопления отклонения х, уже начи—
d
нает действовать на уничтожение будущего отклонения. Это
предотвращает большие «забросы» регулируемой величины,
которые могли бы быть при отсутствии производной в законе
регулирования. Это уже превышает возможности человека
при ручном регулировании.
Все то же самое можно проиллюстрировать и с помощью
частотных характеристик. Закон регулирования (29.2) пред-
ставляет собой только правую часть уравнения регулятора.
Левая его часть, которая здесь не выписана, может оста-
ваться неизменной. Поэтому передаточная функция регулятора
с введением производной будет согласно (29.2) отличаться
множителем 1+kp, а именно,
Wper = "7301- (1 + ἂρ),
где УБН—передаточная функция регулятора без введения
производной. Следовательно и передаточная функция разомк-
нутой цепи всей системы будет
W = № υ + km,
а амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи
Wm») = № (I'm) (1 нае», (29.3)
где W* и W* (jm) —— передаточная функция и амплитудно—
фазовая характеристика той же цепи без введения производной.
Пусть, например, “7* (fan) имеет вид, показанный на
рис. 154, т. е. система регулирования без введения производ-
ной неустойчива (см. частотный критерий устойчивости в § 19).

§ 29] вввдвнив производной в ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ 223
'ξ-
Амплитудно-фазовую характеристику W(jm) при введении
производной можно согласно (29.3) получить сложением комп-
лексных величин
W(j(o) = ‘*'/* (іш) +17№ “7* (ΙΘ),
которое производится графически как сложение векторов
(рис. 154).
Β результате, как видно из рис. 154, вектор или)
оказывается повернутым относительно вектора №№) на
некоторый угол γ против ὃ
хода часовой стрелки. Таким
образом, за счет введения ш=оо 02:0
производной в закон регу- -,
лирования создается опере- ?, "
жение по фазе, которое до ид"
некоторой степени компен- W
сирует инерционное за-
паздывание в регуляторе
(создающее отрицательный
сдвиг фазы, см. § 19).
За счет этого поворота РИС- 154-
новая амплитудно-фазовая
характеристика W(j(o) может быть сделана такой, чтобы она
не охватывала критической точки—1, т. е. неустойчивая
система путем введения производной в закон регулирования
может быть сделана устойчивой. Если же до этого она была
устойчивой, то за счет поворота против часовой стрелки при
введении производной амплитудно-фазовая характеристика
может быть отодвинута от точки— 1, что уменьшает или
вовсе ликвидирует колебательность переходного процесса.
Тот же эффект проиллюстрирован на рис. 155 при по-
мощи логарифмических частотных характеристик на основании
вытекающих из (29.3) формул
А,:А; +201gl/1 +1220)”, B=B*-|—arctg Ага).
При этом, как видно из рис. 155, ранее неустойчивая
система становится устойчивой, а если она была устойчивой,
то повышается ее запас устойчивости.
Обратимся теперь к простейшему математическому описа-
нию указанного эффекта.

224 когрвктирующив СРЕДСТВА АВТОМАТИЧЕСКИХ систвм [гл. νι
Предварительно заметим, что регулирование в полном
смысле только по одной производной
y: дитё—‚ (29.4)
обычно невозможно. В самом деле, пусть уравнение регули-
“|; руемого объекта имеет вид
I
— ω- I
ω-ΙῬ Το d—t x+x=— ‚гоу “\”/(Ё)
j ω
‚% Подставив сюда значение у
”a из уравнения регулятора
д„ (29.4), получим уравнение
‘ всей системы регулирования:
(Ἡ- №№) 37x+x=f<t).
В результате система регу-
лирования имеет ту же са-
мую величину статического
“180” ------- отклонения хст=/°, что и
объект, и даже еще боль-
шую постоянную времени.
рис, 155, Цель регулирования не вы—
полняется.
Если же регулируемый объект описывается уравнением
второго порядка
ТЁ2 ((ζ-ξ _|_—Т οι dt x+x:_ key +f(t): (295)
то присоединение к нему регулятора только по производной
(29.4) приведет к уравнению всей системы регулирования
в виде
—____—____
ι
εν
тий—ЁЁ +<т1+ёоёред$°+х=і (”° №6)
Здесь статическое отклонение регулируемой величины
опять остается таким же, как без регулятора (хст=/`°). H0
получающееся 3am увеличение ПОСТОЯННОЙ Το! Ha величину
ігоігрег является полезным, ибо мы знаем, что в звене второго
порядка (см. § 8) это означает усиление демпфирования ко-
лебаний.

§ 29] вввдвннв производной в ЗАКОН регулировьния 225
Следовательно, в колебательном объекте второго порядка
регулятор только по производной (29.4), хотя и не выполняет
в полном смысле задачу регулирования, но может использо-
ваться для увеличения собственного демпфирования
объекта.
Это обстоятельство используется в самолетостроения. Если
не удается аэродинамическими средствами сделать самолет
не колебательным, например, по углу тангажа 1‘}, то установка
‚—
[mammal/”1111' гиде/РМ
Лула
Луи/тм маши/‚т
Рис. 156.
на этом самолете двухстепенного (прецессионного) гироскопа
с подачей от него воздействия на руль высоты (рис. 156):
б:]грегі' dt ’
может создать необходимое демпфирование, т. е. может при—
дать самолету новые динамические качества, которые нужны,
чтобы летчику было легче управлять движением самолета.
Самостоятельно вести самолет без летчика такой регулятор
не может, так как он не выполняет полной задачи автома—
тического регулирования.
Аналогичное значение имеет такой регулятор и в объекте
третьего порядка.
В обоих случаях регулятор по производной, вводя демпфи—
рование, может сделать неустойчивый объект устойчивым.
Например, если в уравнении (29.5) будет Τωςθ, το объект
неустойчив (имеет незатухающие колебания), а с регу-
лятором (29. 4) он станет устойчивым согласно (29.6) при
k0 Hper>l 01 Ι'
Однако для полного выполнения задачи регулирования
вместе с производной надо вводить и само отклонение регули-
руемой величины, как показано в формуле (29.2). Присоединяя
этот регулятор к объекту второго порядка (29.5), получаем
8 Ε. Π. Попов

226 корректирующие СРЕДСТВА Автоматичвских систвм [гл. v1
уравнение всей системы регулирования В виде
Tag—Hm +k.k … т%+‹1+№„›х=/‹г›‚ (29.7)
откуда видно, что сигнал по производной увеличивает за-
тухание колебаний в переходном процессе, a сигнал по са-
мому отклонению уменьшает статическую ошибку
f0
=1+долрег
Как видим, введение производной в закон регулирования
(29.2) He влияет непосредственно на величину статической
ошибки, так как формула (29.8) останется без изменения и
при обычном регуляторе у=ігрегх. Однако мы знаем, что
при обычном регуляторе увеличение leper, необходимое для
уменьшения x", ограничено тем, что с увеличением ἄρῃς"
стема становится колебательной. Поэтому вследствие увели-
чения демпфирования, T. e. постоянной То, в уравнении (29 7),
введение производной в закон регулирования позволяет уве-
личить значение kp е„ и тем самым уменьшить статическую
ошибку.
Аналогично обстоит дело и с регулированием объектов
третьего и более высокого порядка.
Пока что мы рассматривали действие идеального регуля-
тора с введением производной (29.2). Но всякий реальный
регулятор обладает некоторым инерционным запаздыванием,
т. е. одной или более постоянными времени. Учтем одну
постоянную времени регулятора с введением производной
dy dx
тд+у=ирег(х+ьд). (29.9)
Пусть объект описывается уравнением первого порядка
To dt dx+x=— ‚гоу +f(t)
Найдем отсюда величину
_ koy Το $171+ 35— f“):
продифференцируем ее по времени
dy αὶ; dx df
—k°&—t= Тост 217—75
хст (29.8)

§ 29] вввдвнив производной в ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ 227
и подставим все это в уравнение регулятора (29.9), умножив
его предварительно на —ko. В результате получим следую-
щее общее уравнение системы регулирования
d’x dx
m „,—„ +% + т+ щем d—.+<1 + мых =
=Т % +f(t). (29.10)
В объекте первого порядка при идеальном регуляторе
(Т=О) введение производной в закон регулирования было бы
вредным, оно только увеличило бы постоянную времени, т. е.
только затягивало бы переходный процесс. При учете же
постоянной времени регулятора введение производной в закон
регулирования даже для объекта первого порядка оказывается
полезным, так как согласно уравнению (29.10) оно увеличи-
вает средний коэффициент уравнения, т. е. увеличивает за-
тухание колебаний в системе по сравнению с такой же си-
стемой без введения производной (12:0).
Поэтому можно сказать, что введение производной в за—
кон регулирования способно подавлять колебания, возни-
кающие как вследствие колебательности самого объекта, так
и вследствие неидеальности регулятора. Введение производ-
ной В закон регулирования до некоторой степени компенси-
рует неидеальность регулятора.
Итак, если производная вводится в закон регулирования,
то ее надо вводить обязательно вместе с самим отклонением
(для полного решения задачи автоматического регулирования).
Вместо чисто дифференцирующего устройства (рис. 152),
дающего производную отдельно от самого сигнала, чаще
применяются комбинированные дифференцирующие устройства
(рис. 157, a), которые дают на выходе сразу величину
xz=li¢2 (xl+k%l), что приводит к тому же закону регу-
лирования (29.2). Пример применения такого устройства по-
казан на рис. 157, 6, где представлена принципиальная
схема системы автоматического регулирования скорости
электродвигателя. Все ее отличие от уже знакомой нам
схемы (рис. 18) состоит во введении комбинированного
дифференцирующего устройства (обведено пунктиром на
рис. 157, б). Оно описывается динамическим уравнением
аи, dU
T ш +и,=/е,(и,+ь („=), (29.11)
8*

228 корректирукпцив СРЕДСТВА АВТОМАТИЧЕСКИХ систвм th νι
где
CRAR R
Ἱ᾽Ξῄ᾽ἑ сек k =——2—— kZCR сек.
ΙΗ; 1. ‚ ΚΗ, ll ]
За счет этого устройства вмеспэ прежнего закона регули—
*&тйтшф
„.и/ещ— Жажда/и.
“ζ итд/ид; ξζζ (ix/427w.
yaw/pm- ygmflplj— Усти/утих}
д/Лбд . 6W7€fl ββἔθᾧἆἆῄ '
тия/мтв
',`/[] да;/„117 уЁ/„ДЛЁ' ’
—›— [yaw/a тир
σῶα“:
Итати/1-
ξ иги/мда “ξ; '
ити!)- ᾽
ттт
ἅ}
[ига/шта
ἷ 72 Жид/ма
ω
И I y’
‚Ут/ш— _ у
итд [4-122 "И _ {:
07
Рис. 157.
рования в данной системе
Δ} = ὢρειΔω
теперь будет
dAco
М_ьрег (Am—l—k Τ).
Наличие постоянной времени Т в дифференцирующем
устройстве говорит об его неидеальности (инерционнои 3a-
nasnuBannL

§ 29] вввдвнив производной в ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ 223
Другой способ введения производной & закон регу/шро-
вания показан на рис. 158 для системы автоматического
управления самолета. Здесь аВТОПИЛОТ имеет два СЗМОСТОЯ-
тельных измерительных устройства 1 и 2, первое из которых
*:]Лід/ЛИ/Ж
‘ ᾽ % Изм. „,
‚ ут]. , y
| тли/иммо—
@ ᾽ %%?
Ш %%‘Й’ d: fig” [| утро/№№
᾽ адам/л " ,
{сажа/мт] 2 ‘
д' (mam: ζ},
ἢ маш/‚эт :
и рум
Рис. 158.
измеряет само отклонение регулируемой величины ψ, а вто—
d
рое—скорость изменения отклонения %. В результате на
усилительно-преобразовательное устройство идет сумма двух
сигналов
и‚+и„=/г1(ч›+/г—Ё,-‘,Ё)‚
что после умножения на коэффициенты усиления последую-
щих звеньев (А!2 и Ь,) приводит к закону регулирования
с введением производной
δ = kw (ψ + k %) (от = дуг,/а,) (29.12)
того же типа, что и (29.2).
В качестве измерительного устройства 1 применяется
трехстепенный (свободный) гироскоп, измеряющий угол от-
клонения самолета от заданного курса. Измерительное
устройство 2—двухстепенный (прецессионный) гироскоп,
измеряющий угловую скорость вращения самолета вокруг
d
вертикальной оси, т. е. производную %.
Считая автопилот идеальным (т. е. не учитывая его по—
стоянных времени), подставим значение δ из уравнения

230 KOPPERTHPYIOUIHE СРЕДСТВА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ [Г.П. νι
автопилота (29.12) и его производную
d5
717=kper(':_'tp +k Εἴ!)
Β уравнение управляемого объекта (уравнение движения са-
молета по курсу), заданное в виде (14.21). В результате
получим уравнение всей системы автоматического управле-
ния (самолет-автопилот)
То: „,—‚— 31+” „+Т„+’го „. kperk)_dt2__1—
01+(1 +koTozkper+kokperk)—ddT'p+kokper1p=.f(t) (29.13)
Отсюда видно, что при отсутствии введения производной
(12:0) это уравнение совпадает с нашим прежним уравне-
нием (14.23). В результате введения производной в закон
регулирования увеличились средние коэффициенты уравне-
2
ния (29.13)——коэффициенты при %; и %,). Согласно крите-
рию устойчивости (14.13) требуется, чтобы произведение
средних коэффициентов было больше, чем произведение
крайних коэффициентов
ΤΟ] +Toz+koTozkperk)(1+koTozkper+kokOIperk)>T Tozkokper'
Поэтому увеличение средних коэффициентов за счет k при
оставлении прежних значений крайних коэффициентов урав—
нения полезно с точки зрения устойчивости системы, а значит,
и с точки зрения подавления возможных колебаний в системе.
Увеличение k означает увеличение интенсивности введения
производной в закон регулирования (29.12) или, как говорят,
увеличение передаточного числа автопилота по производной,
которое равно Ыгрег (величина же 112per есть передаточное
число автопилота по отклонению). Это дает возможность
получить более благоприятные для конструктора траектории
изменения параметров на диаграмме Вышнеградского (пунктир
на рис. 93).
Еще один способ введения производной в закон ре-
гулирования—с помощью обратной связи—будет показан
В §§ 31 H 32,

§ 30] BBElIEHHE ИНТЕГРАЛА В ЗАКОН РЕГУЛИРОВАНИЯ 231
§ 30. Введение интеграла в закон регулирования.
Астатические системы
Введение интеграла в закон регулирования позволяет
получить систему автоматического управления или регулиро-
вания, не обладающую по принципу своего действия стати-
ческой ошибкой. Такая система называется астатической
системой.
Попробуем систему с реостатным регулятором напряжения
(рис. 68) сделать астатической. Надо ликвидировать причину
статической ошибки (жесткую зависимость положения движка
ГД
’ а ͵
Г лм (# тля 'l/
Рис. 159.
регулирующего реостата 3 от отклонения регулируемой
величины AU). другими словами, надо сделать так, чтобы
разные положения движка регулирующего реостата 3 стали
возможными при одном и том же U, T. e. при одной и той
же тяговой силе электромагнита. Для этого нужно, чтобы
сила электромагнита уравновешивалась в регуляторе некоторой
постоянной силой, не зависящей от положения движка 3.
Прежде всего для этого необходимо изъять пружину.
Тогда сила электромагнита будет уравновешиваться только
постоянной силой веса механической части регулятора. В этом
случае, однако, вообще при появлении малейшего отклонения
AU сердечник 2 с движком реостата 3 будет прыгать до отказа
вверх при AU>0 и до отказа вниз при AU<0 (T. e. при
уменьшении U). Чтобы избежать этого, после изъятия пружины
поставим демпфер (рис. 159, a), который имеет силу сопро-
тивления, пропорциональную скорости движения сердечника.
В результате сердечник 2 при равновесии регулятора
будет спокойно висеть, и его сила веса должна быть

232 коррвктирующив СРЕДСТВА Автомагичвских Систем [гл. νι
уравновешена тяговой силой электромагнита—одной и той же
независимо от положения движка. Это значит, что при из-
менении нагрузки в сети регулятор придет Β равновесие
только тогда, когда движок 2 установится Β новое положение,
отвечающее сохранению того же самого (номинального) напря-
жения на клеммах генератора. При движении же регулятора
(в переходных процессах), когда имеется скорость перемеще-
ния, демпфер оказывает сопротивление движению, тем боль—
шее, чем больше скорость, и таким образом обеспечивает
плавность движения регулятора при изменении AUB переход-
ных процессах.
Так получается астатическая система регулирования на-
пряжения.
Заметим, что в этих рассуждениях считалось, что тяговая
сила электромагнита зависит только от величины напряже-
ния U и не зависит от положения сердечника. На самом же
деле последняя зависимость имеет место, и она в данной
схеме (рис. 159, а) может привестик небольшой статической
ошибке. Поэтому для получения точно астатической системы
нужно после введения демпфера сохранить слабую пружинку
(рис. 159, б) для компенсации зависимости силы электромаг-
нита Е…, от координаты положения сердечника s. Жесткость
этой пружинки определится наклоном кривой Feds) при
постоянном (номинаЛьном) напряжении U (рис. 159, в).
Такой регулятор не будет иметь статической ошибки,
так как в любом положении движка регулирующего реостата
(т. е. при любой нагрузке Β сети) регулятор будет Β равно-
весии только при ОДНОМ и том же (номинальном) напряжении.
Для выяснения принципиального отличия этих схем
(рис. 159) от прежней (рис. 68) напишем для них закон
регулирования. В первом звене регулятора (электрическая
часть I, рис. 159) приращение тягововй силы электромагнита
будет пропорционально отклонению напряжения (при малых
отклонениях):
АРМ: идиш. (30.1)
Во втором звене регулятора (механическая часть 2) откло—
нение силы электромагнита равно силе демпфера
ΜΝΞ-Δᾶτ- с, duff . «30.2)

§ 30] вввдвнив ИНТЕГРАЛА Β ЗАКОН регулирования 233
В третьем звене регулятора (реостат 3)
Ar=kaAs. (30.3)
Из этих трех формул находим закон регулирования для ас-
татической системы (рис. 159)
ά-ἓζ-ΞΒΜ AU, Β,,Θ ΖΕ: [L], (30.4)
с8 вольт—сек
в то время как в статической системе (рис. 68) закон регу-
лирования был
Ar = ЁреГАП. (30.5)
В общих обозначениях астатический закон регулирования
будет
d
d—lt’ : дрегх (30.6)
В отличие от статического (29.1)
Следовательно, астатическая система принципиально отли-
чается от статической тем, что не сама выходная величина
регулятора, а ее скорость пропорциональна отклонению ре-
гулируемой величины. Поэтому астатический закон регули—
рования (30.4), (30.6) часто называют скоростным, а стати-
ческий (30.5), (29.1)—позииионным. Астатический закон
регулирования (80.4) можно представить иначе в виде
Аг = ΒριΞΓ S AUdt (30.7)
или, в общих обозначениях,
у= ΒΡΘΓ S x dt. (30.8)
Поэтому говорят, что & астатической системе происхо-
дит регулирование по интегралу от отклонения регули-
руемой величины, в то время как в статической системе—
просто по отклонению регулируемой величины (29.1).
Уничтожение статической ошибки системы автоматического
регулирования при таком законе регулирования доказывается
математически следующим образом. Возьмем уравнение ди—
намики регулируемого объекта, в данном случае генератора
(10.11),
Td—A—U + AU: — Β ΔΒ +]… (-30.9)

234 коррвктирующив СРЕДСТВА автомАтичвских систвм [гл. νι
и подставим в него величину Аг из уравнения регулятора
(30.7). Получим уравнение динамики данной системы регули-
рования с идеальным астатическим регулятором в виде
TdAU
Т., д—г —+AU=—- до kperSAUdt+f<t>
или, что то' же самое,
d’AU dAU
To Т+— +ko ἑρΘΡΔζ]: (1);.
Если нагрузка в системе изменится на некоторую постоянную
величину, то будем` иметь f(t)=const =]“. Производная же
от постоянной величины
будет
‚ЁЁ
dt =O’
вследствие чего правая
часть уравнения нашей
і} „. системы обратится в
| ᾿;- нуль, и частное решение
”I ψ ’: его будет
4” Леттнер/ша“ may/mm [рад. 151] Аист : О’ (30' 10)
5} В отличие от прежнего
(12.11).
Л ΐ Можно ожидать, что
Рис. 160. динамические свойства
обеих этих простейших
схем астатических регуляторов (рис. 159) будут хуже в
смысле склонности к колебаниям, чем статического (рис. 68),
как показано на рис. 160, а, 6. Это объясняется отчасти
тем, что механическая часть регулятора имеет малую
податливость при толчках и вообще при быстрых изменениях
регулируемой величины AU, так как при этом демпфер ока-
зывает очень сильное сопротивление, не успевая срабатывать.
Движок регулирующего реостата в такие моменты почти не
смещается, вследствие чего в объекте почти не возникает
противодействия начавшемуся быстрому нарастанию отклоне-
ния AU. Лишь потом, с отставанием, начинается перемещение
подвижной части регулятора.

§ 30] вввдвнив интвгмлн в ЗАКОН Регулироввния 235
Для улучшения динамических свойств, т. е. для умень-
шения колебательности и убыстрения затухания переходных
процессов, в регулятор вводят комбинацию из пружины
с демпфером, называемую изодромным устройством (рис. 161).
Смысл его введения следующий. I
При толчках и вообще при бы- ”
стрых изменениях регулируемой
величины AU, когда демпфер не
успевает срабатывать, регулятор
на пружине ведет себя почти
как статический, обеспечивая хо-
рошее затухание колебаний в ᾽΄ _ Лужи/а
начале переходного процесса. '
Потом, когда скорость процесса
уменьшится, демпфер срабатывает
и постепенно ликвидирует стати-
ческое отклонение (рис. 160,8).
Так, вероятно, действовал бы
опытный человек при ручном Рис. 161.
регулировании, энергично дей-
ствуя в начале при больших отклонениях и постепенно
затем сводя оставшиеся малые отклонения к нулю.
Посмотрим, каков закон регулирования в этой новой
астатической системе.
Соотношение (30.1) здесь остается:
АРМ : klAU.
Далее, приращение силы электромагнита уравновешивается
изменением силы пружины (рис. 161), а это последнее урав-
новешивается силой демпфера:
АРЭЛ=АРпр, АРпр=АР`д‚
причем, так как у пружины оба конца перемещаются, то
ΔῬΗΡ : с2 (As — Аг), АРД = с, (1—3;- .
Кроме ТОГО, остается прежнее соотношение
АГ=Ё8А$.
Из всех этих формул находим закон регулирования для
астатической системы с изодромным устройством (рис. 161):
dA dAU
_С=ьре,(—+ьди)‚ (30.11)
I‘m-mun Даш/фе;
ll
dt dt

236 корректирующие СРЕДСТВА Автомхтичвских систвм [гл. VI
_k,k, ом _ с: 1
kPel‘_ с‚_ [вольт] ’ k—Z [ἆ ’
или, Β общих обозначениях,
dy dx
d—tzkper(—27+kx). (30.12)
Здесь тоже получается скоростной закон регулирова-
ния, но только с введением производной от регулируемой
величины.
Полученный закон регулирования (30.11) можно записать
иначе Β виде ᾽
Где
Аг=іерег(АС/+іг$ AUdt) (30.13)
или, в общих обозначениях,
у =Ёрег (x+k S x dt). (30.14)
В такой системе, следовательно, регулирование происхо—
дит по отклонению регулируемой величины и по интегралу
от него. При этом дополнительный
'” коэффициент k показывает интен-
сивность введения интеграла Β за-
[7 __ ; кон регулирования (k имеет раз-
" t 1
- | мерность _) .
‘УЛЁ. сек
| Заметим, что значение интегра-
I
ла Β любой момент времени t есть
_ площадь под кривой изменения
д' ἐ 7 отклонения регулируемой величины
Рис. 162. (заштрихованная на рис. 162). Поэто-
му интеграл накапливается медлен—
но. Этим еще раз подтверждается,
что интеграл сказывается главным образом в конце пере-
ходного процесса, в то время как. Β начале процесса
главную роль играет сигнал, пропорциональный самому от-
клонению регулируемой величины. Это соответствует опи-
санному выше объединению в такой системе свойств стати-
ческого регулятора (в начале переходного процесса) и аста—
тического (в конце).

§ 30] введении-: ИНТЕГРАЛА в ЗАКОН регулирования 237
Чтобы математически показать здесь отсутствие статиче-
ской ошибки, подставим Аг из уравнения регулятора (30.13)
в уравнение регулируемого объекта (30.9). Получим урав-
нение системы с идеальным астатическим регулятором с изо—
дромным устройством в виде
TodAL/
—+AU=— k. k—perkaUdt во врегАШгда
ИЛИ
7,24 AU dAU
Т, th +(1+kokper)—d— —+еоьрегьди=%‚
откуда при f=f° получаем АПСТ=0.
Итак, уничтожение статической ошибки в принципе
действия регулятора всегда связано с введением (тем или
иным способом) интеграла в закон регулирования в форме
(30.8) либо (30.14), или, что то же самое, с созданием ско-
ростного закона регулирования в форме (30.6) либо (30.12).
Передаточная функция разомкнутой цепи системы авто-
матического регулирования при введении интеграла в закон
регулирования согласно (30.14) Λ
будет
W:W*<1+%), .! . ш=оо mffl_
W n”
a амплитудно-фазовая характери-
стика разомкнутой цепи _
k \ 7min”.
шож»): W*<jw)(1 —1'—„,—)‚
(30.15) mm) .
где W* и W* (jco)—nepe11aTo- р,… 163.
чная функция и амплитудно-
фазовая характеристика той же цепи без введения интеграла.
Пусть, например, W*(ju)) имеет показанный на рис. 163
вид. Амплитудно-фазовая характеристика WUm) получится
геометрическим вычитанием векторов:
или) = 117* (I'm) —1°% π’” σω),
τ. е. она будет повернута относительно №№) по ходу
часовой стрелки, причем точка a): 0 уходит в бесконечность

238 ковввктирующив СРЕДСТВА Автоматических систвм [гл. νι
вдоль отрицательного направления мнимой оси. При этом
амплитудно-фазовая характеристика приближается к крити-
ческой точке -— 1, что означает увеличение колебательности
переходного процесса. Может случиться так, что характе—
ристика W(jco) охватит
точку - 1. Тогда си-
стема станет неустой—
чивой, хотя до введения
интеграла она была
устойчивой.
Это обстоятельство
является существен-
ным отрицательным
свойством рассмотрен—
ного способа получе-
МВ ния астатической си—
стемы путем введения
интеграла в закон ре-
ἓν
᾽ $
’30”: В β гулирования. Его всег-
—/дд°—.__.________ __ д<1 надо иметь В виду
и специально прове-
рять при проектиро-
вании астатических си-
стем. Другой способ
получения астатиче-
ской системы, не обладающий указанным отрицательным
свойством, будет описан ниже в § 33.
Покажем также изменение вида логарифмических частот-
ных характеристик разомкнутой цепи при введении интеграла
в закон регулирования. Согласно (30.15) получаем
___—2"
A£=A:+201g 1/1 +%, В=В*—агсі,‹;%.
Отсюда видно, что введение интеграла изменяет лога-
рифмические частотные характеристики, в основном, в низ-
кочастотной области, как показано на рис. 164. Наиболее
характерным является наклонный спуск начальной части
амплитудной характеристики и снижение фазовой характе-
ристики. Последнее приволит к перемещению влево точки
пересечения фазовой характеристики с линией —180°
(рис. 164), т. е. κ снижению запаса устойчивости системы.
Рис. 164.

ξ 30] вввдвнив интеграла в закон РЕГУЛИРОВАНИЯ 239
Интеграл в закон регулирования может вводиться самыми
различными конструктивными путяМи (электрическим, элект-
ронным, электромеханическим). В приведенном ранее примере
был показан чисто механический способ.
ЗМЬ’
Нагруд-
И;
V
It | ... Y' ид
I? q, Удалите/м ||2ἓ||͵ 11, + .
, ‚Ъ 4 й,:
Рис. 165.
“Электрический способ введения интеграла проиллюстри-
руем на примере системы регулирования скорости эле/стро-
двигателя. Показанная на рис. 18 схема непрямого действия
является статической с законом регулирования
А!:ЁреГАШ.
Введем в эту систему интегрирующий контур (как изобра—
жено на рис. 165), который дает
Пэй, (U. +kS U, ι“)
(здесь поставлено приближенное равенство, так как оно спра-
ведливо только в определенных пределах; точное интегриро-
вание на ОДНОМ пассивном контуре невозможно), где
_ к, _1_ L
ks—RZJFRI’ мии]—
Тогда получим новый закон регулирования в этой системе
(рис. 165)
ΔΙ: хеш (Δω -|- k S Δω dt),

240 корректирующив СРЕДСТВА Автомпичвских систем [гл. VI
который аналогичен закону регулирования в астатической си-
стеме с изодромным устройством (30.13). Статической ошибки
в принципе действия не будет.
Обратимся теперь к системам непрямого действия другого
рода, в которых интегрирующим звеном является исполни-
тельное устройство (привод).
Это всегда делается в следящих системах (рис. 23 и
рис. 123) для ликвидации статической ошибки воспроизведения
входной величины на выходе системы.
Такого же типа астатической системой будет и система
автоматического регулирования температуры в печи, изобра-
женная на рис. 9. Там измерительное устройство (термопара)
с учетом задатчика дает
U: klAO,
магнитный усилитель
U2 = sz,
двигатель с редуктором
dAs
T = диз
и регулирующий орган (реостат)
Аг = k4As,
откуда получаем закон регулирования в виде
dAr
dt ___. kpepA" (km = димы).
Такой же астатической системой будет система регули—
рования скорости теплового двигателя (рис. 19)᾽ включающая
в себя гидравлический привод, если скорость перемещения
поршня гидропривода 4 пропорЦиональна величине открытия
ОКОН ЗОЛОТНИКЗ
dAz
dt
= kAS,
вследствие чего и закон регулирования будет
dAz
_а; _АгрегАсо.
В данной системе этот закон чаще всего будет неудов-
летворителен, вследствие чего здесь применяются дополни—
тельные обратные связи (см. § 3‘2).

§ 30] вввдвнив интвгрялр` в закон регулировяния 241
Рассмотрим, наконец, еще систему автоматического
управления самолетом` при помощи курсового автопилота.
Раньше (рис. 158) шла речь о так называемой позиционной
рулевой машинке, дающей угол поворота руля δ᾽ προπορ-
Циональный входному напряжению (!„ подаваемому от уси—
”тел“ δ : щи,. (30.16)
Такая рулевая машинка конструируется специальным образом
(см. ниже § 31). Если же мы в качестве рулевой машинки
поставим просто электродвигатель, дающий скорость враще-
ния, примерно пропорциональную напряжению
d6
ἷἶ = щи„ (30.17)
то будем иметь скоростную рулевую машинну и получим
скоростной закон регулирования или регулирование по ин—
тегралу: d6
-d—t=kpertp, или г5=1грег S фай. (30.18)
При введении же производной согласно схеме (рис. 158) со
скоростной рулевой машинкой (30.17), получим скоростной
закон регулирования с введением производной
ід=ьрег(ф+д_ _?) (ігреГ=/г,іг2/г,) (30.19)
или, что то же самое, закон регулирования с введением ин-
теграла
д=ЁЬег(Ф+’г'5ФС“) (вре ___-лет,и, k': %).(3020)
В данном случае (рис. 158) интегрирующим звеном является
сама рулевая машинка. Это будет астатический автопилот,
который по принципу своего действия не дает статической
ошибки.
Покажем, что для автопилота закон регулирования только
по интегралу (30.18) недостаточен.
Подставим значение δ и его производную из уравнения
автопилота (30.18) в уравнение самолета (14.21). Получим
ypaBHeHdue всей системыа
Το: (из 1.|)7`__і—(Т01—}цо >312№+
=- Ёе (тог/гриф _ kper S 1‘96”) ΔΙ᾿-| (t)

242 коррвктигующив СРЕДСТВА Автоммичвских систвм [гл. νι
ИЛИ
То: dt—er+(T01+0,)ddt,¢+—:d—t2¢+
+koT oz ἐρετ- d”:— ψ-Ἡ’ῖο’ὃρει-ψ: f“) (ΒΘ-21)
Β первом грубом приближении пренебрежем здесь про—
изведением ТМТ”. Тогда уравнение системы управления
будет
Т01+Т oz)_ dt’ ‚ФЗ—+ {Τῇ-2 ψΠ-ΙζοΤΜ’Θρει-ψ dt + kokpep‘l’sz) (30 22)
Условие устойчивости системы, т. е. условие устойчивости
полета самолета с автопилотом, согласно критерию (14.13)
6 дет
У Тоз>Тот+Тоа при k0 ‚жрец->О
Очевидно, что при положительных значениях T01 и T02
это условие невыполнимо, вследствие чего автопилот, реаги-
рующий только на отклонение регулируемой величины и
имеющий скоростную рулевую машинку, невозможен.
Поэтому введение производной при скоростном законе
регулирования в автопилоте является совершенно обязатель-
ным. Без введения производной возможен только позицион-
ный закон регулирования б=1грегтр (его осуществление см.
в § 31). Но и в этом случае введение производной в закон
регулирования полезно, что обычно и делается в автопилотах
для подавления колебаний и придания плавности движению
самолета в переходных процессах. В случае же скоростного
закона регулирования для этой цели приходится вводить еще
вторую производную в закон регулирования
ὢ: Μζψ-Η +041?) (30.23)
или, что то же самое, осуществлять закон регулирования
с введением интеграла и производной
б=ЁЬег(Ф+’г'3ФШ—\-ё”%) (ь”=%)‚
что является улучшением прежнего закона (30.20). Здесь
интеграл введен для ликвидации статической ошибки, а
производная—для подавления колебаний, которых всегда
можно ожидать после введения интеграла.

§ 30] BBEILEHHE ИНТЕГРАЛА в закон РЕГУЛИРОВАНИЯ 243
Введение двух производных (30.23) осуществляется уста-
новкой так называемого демпфирующего гироскопа Β качестве
измерительного устройства 2 (рис. 158).
Выше даны были общие наиболее типичные свойства
систем регулирования при введении Β закон регулирования
производных и интеграла. Возможны, конечно, и исключения,
когда введение произвшной не будет полезным, и т. п. Этот
вопрос в каждом конкретном случае надо анализировать
подробнее.
Все указанные Β §§ 29 и 30 способы введения интеграла
и производных Β закон регулирования представляют собой
дада/‚то?
,
᾽ Имеди ᾽
*‘
ιΞ' итд/тв
* yap/M’- ‚”Уста—
mm мид-
драмати-
зил/„№- ддт/яму;
“ЁЁ/- аши! ута/ти-
“σάω дит
И
ПМЛ/і!!-
иг/ид/т; “ἑ |
утри- ἡ
сти
_
Рис. 166.
различные частные случаи последовательных корректирую-
щих устройств. Более общий случай будет такой, когда в
систему регулирования включается, как показано на рис. 166,
корректирующее устройство или фильтр, описываемые, на-
пример, дифференциальным уравнением вида
dzx dx d’x dx
ао fizz—Fa: Tta+aaxz=bo Ё+д1 Ё+дах17
.или даже более высокого порядка. Правой частью уравнения
вводятся производные Β закон регулирования, а левая часть,
характеризующая инерционность данного устройства, служит
для сглаживания сигнала, для фильтрации его от помех (как,
например, на рис. 36).
Если a2: 0, то вводится интеграл; если же а, =а,=0—
двойной интеграл (дважды астатическая система). Такие уст-
ройства легче всего осуществляются на электрических це-
почках и электронных схемах, но могут применяться и уст-
ройства другой природы.

244 когрвктирующив СРЕДСТВА Автомнтичвских систвм [гл. v1
§ 31. Влияние обратных связей на свойства звеньев
Всякая система автоматического регулирования обладает
замкнутым контуром воздействия, т. е. имеет обратную
связь. Она заключена в измерении отклонения регулируемой
величины при помощи измерительного устройства регулято-
ра (рис. 166). Эта обратная связь создает основной замкну-
тый'контур. Такие системы автоматического регулирования,
содержащие только одну основную обратную связь, назы-
ваются одноконтурными.
Г'_—` .z' @z'
r-T Лела! ’ Иви/172 z Лена.?
ἓ __J
*.
Ξ
᾿ξ $ Далтллтгльж' r
.τ J \ ἓξ трат/ш
чЁ одяг/:
\
%
Регулируемый
Маг/тт
Рис. 167.
Для улучшения процесса регулирования часто в регу-
лятор вводят дополнительные (внутренние) обратные связи,
создающие внутри регулятора дополнительные замкнутые
контуры. Ввиду этого, в отличие от устройств, рассмор
ренных в §§ 29 и 30, они называются параллельными кор-
ректирующими устройствами.
В результате получается многоконтурная система авто-
матического регулирования. Заметим, что многоконтурность
системы автоматического регулирования может получаться и
по другим причинам, в частности за счет многоконтурности
самого объекта, за счет комплексного соединения нескольких
регуляторов и объектов перекрестными связями и т. п.
Здесь у нас будет идти речь только о дополнительных об-
ратных связях внутри одиночного регулятора.
Пусть регулятор состоит из нескольких последовательно
соединенных звеньев (рис. 167). Дополнительной обратной
связью называется устройство, передающее воздействие от

§ 31] влиянии-: оврхтных связвй 245
какого-либо последующего звена на одно из предыдущих.
Например, на рис. 167 показана обратная связь, пере-
дающая воздействие с выхода звена 3 на вход звена 2.
В данном случае обратная связь *) охватывает два звена
(3 и 2), вообще же она может охватывать любое число
звеньев, в том числе и одно.
Важно не количество звеньев, охватываемых обратной
связью., а вид уравнения динамики всей той части цепи,
которая охватывается, т. е. важны типы охватываемых звеньев
(о типах звеньев см. §§ 8, 9), а также и тип самой обрат-
ной связи (тип звена, используемого в качестве обратной
связи).
Поэтому рассмотрим сначала одно отдельно взятое звено
и изменение его свойств при охвате обратной связью
(рис. 168), причем будем брать разные типы звеньеви раз-
ные типы обратных связей. После этого нам легче будет
судить о влиянии дополнительных обратных связей на про—
цесс регулирования в системе в целом.
Обратные связи по методу их присоединения разделя-
ются на положительные и отрицательные.
Положительной называется такая обратная связь, сигнал
которой x0c вводится в звено с тем же знаком, что и по-
ступающая по основной цепи входная величина х. Например,
пусть апериодическое звено охватывается обратной связью,
которая представляет собой идеальное звено
х0с=ігосу. (31.1)
Это будет положительная обратная связь, если ее сигнал
вводится в звейо следующим образом:
Т%+у=іг(х+хос). (31.2)
Отрицательной называется такая обратная связь, сигнал
которой x0c вводится в звено со знаком, противоположным
знаку поступающей по основной цепи входной величины x.
В том же примере введение отрицательной обратной связи
*) Поскольку дальше речь будет идти только ο дополнительных
обратных связях, вводимых сверх основной (всегда имеющейся в си—
стеме регулирования), мы будем просто говорить «обратная связь»,
не повторяя больше слова «дополнительная».

246 корректирующие СРЕДСТВА Автомхтичвских систвм [гл. v1
выражается В ВИДе
т%+у=мх—хос). (31.3)
Смысл введения положительной обратной связи состоит
в увеличении коэффициента усиления звена. Смысл же вве-
дения отрицательной обратной связи в данном примере со-
стоит в уменьшении инерционности звена, а в других слу-
чаях—в улучшении устойчивости, в подавлении колеба-
ний, в изменении типа звена.
Покажем это.
Эффект увеличения коэффициента усиления при помощи
положительной обратной связи можно пояснить тем, что к
слабому входному сигналу х добавляется еще некоторая ве-
личина хос и все это вместе умножается на коэффициент
усиления звена k. Ясно, что установившееся значение вы-
ходной величины y=k(x-|—xoc) будет больше, чему=1гх
при отсутствии положительной обратной связи. Математи-
чески это доказывается следующим образом. Подставим зна-
чение x0c из уравнения обратной связи (31.1) в уравнение
звена (31.2).
Получим
d
Tz£§+y=k0¢+kocy>
ИЛИ d
Tait—H1 —kkoc)y=kx,
ЧТО эквивалентно тоже апериодическому BBEHy, HO'C НОВЫМИ
постоянными:
dy
Τι ᾖ "Η' : дых, (31A)
_ Т k_ k
1—l—kkoc’ 1—1—kkoc'
Где
T (31.5)
Если !гігос<1, то новый коэффициент усиления kl больше
старого, причем выбором значения коэффициента обратной
связи ігос в пределах
1
0 < koc < ᾿ξ“
можно менять новый коэффициент усиления в пределах от k
до бесконечности. Однако при этом ровно во столько же

§ 31] влияние ОБРАТНЫХ связвй 247
раз увеличивается и новая постоянная времени звена Т,
(т. е. увеличивается инерционность звена). Следовательно,
реальным пределом увеличения коэффициента усиления при
помощи положительной обратной связи будет такое значе-
ние, при котором новая постоянная времени Т1 не превос-
ходит допустимого значения. Если же взять коэффициент
1
обратной связи koc>f: то звено станет неустойчивым
(Т,<0). „ „
При введении отрицательнои обратнои связи вида (31.1)
в апериодическое звено (31.3) получаем уравнение динамики
звена с обратной связью в виде
T%+y:k(x_kocy)
ИЛИ
dy
ТЩ+4ъ+вщду=жд (то)
ЧТО МОЖНО saanaTb В виде
d
Tqii+y=km (31.7)
Где
Т k
ΤιΞι-Ἴτρτοςν ”πη-πεῖ;-
Β результате получаем тоже апериодическое звено, но с
меньшей постоянной времени, т. е. получаем менее инерци-
онное звено. Увеличивая коэффициент обратной связи koc,
мы можем как угодно сильно уменьшить новую постоянную
времени Т,. Однако ограничением в этом полезном меро-
приятии является то, что ровно во столько же раз умень—
шается и коэффициент усиления звена, что необходимо иметь
в виду.
При достаточно большом коэффициенте усиления данного
звена k можно вместо (31.7) писать
уаёд (ыы
0С
т. е. апериодическое звено с большим коэффициентом уси-
ления, охваченное жесткой обратной связью, будет близко
к идеальному звену с коэффициентом усиления, равным
обратной величине коэффициента обратной связи.

248 корректирующие СРЕДСТВА Автомлтичвских систвм [гл. νι
Отрицательные обратные связи, применяемые в системах
автоматического регулирования, по своей структуре разде-
ляются на следующие типы.
1. Жесткие обратные связи:
а) простая жесткая обратная связь
xoc=kocy; (31.9)
6) инерционная жесткая обратная связь
Тос‘і—Ё;°+хос= (31.10)
2. Г иб/сие обратные связи:
‘ а) простая гибкая обратная связь
—-d—yk0c αἱ; (31.11)
б) инерционная гибкая обратная связь, называемая иначе
изодромной обратной связью,
dx d
тс… d—;"‘-+xoc= до…—%. (31.12)
Могут применяться и более сложные обратные связи.
Конструктивно это могут
быть любые механические,
_'і_*_` „„„ ἆ’ тепловые, электрические,
электронные и другие уст-
.ἆ’ ройства, динамика которых
$00 приближенно описывается
одним из уравнений такого
вида.
Выше уже был показан
Рис. 168. результат охвата апериоди-
ческого звена жесткой об-
ратной связью.
Охватим теперь (рис. 168) жесткой обратной связью
(31.9) интегрирующее звено
Ліда/ляля
сйт
-d—yt=k(x—xoc). (31.13)
Получим
Т1Щ+у=1гх, (31.14)

§ 31] ВЛИЯНИЕ ОБРАТНЫХ связвй 249
где
1 1
Т`Р—ШП [г,—ЕЕ. (31.15)
Следовательно, интегрирующее звено, охваченное жесткой
обратной связью, эквивалентно апериодическому звену.
Отсюда и вытекает вы-
вод о том, как можно ско-
ростной привод регулирую-
щего органа (в частности,
и скоростную рулевую ма-
шинку автопилота) сделать
позиционным: для этого надо
ввести жесткую обратную
связь. 5’ .?
Например, пусть в си- ᾽
стеме регулирования курса ”lg/”0| Ξ |
торпеды, изображенной на
рис. 20, скорость движения р,… 169.
руля пропорциональна углу
поворота заслонки γ (т. е. величине открытия отверстий)
d
ᾗεαγ. (31.16)
Лт ел ле/тла Z
Лежат/т с ‚его
Это— интегрирующее звено. Введем жесткую обратную связь
(рис. 169). Видно, что перемещение колодки с отверстиями
будет
х…. = ἑθεν,
где koc определяется соотношением плеч рычага. Переме-
щение заслонки на линии отверстий будет
x=ry.
Открытие окон заслонки, как видно из рис. 169, будет теперь
равно х—хос. Следовательно, вмест" уравнения (31.16)
будем теперь иметь
dy x — x0c k
— —_ —— ___ k — — x
а: k r Ὑ r W
a после подстановки x0c ___-— kocy получим
dy _ ___’__ _ '
TIE +y—‘k'1y’ Τι _Ё’гос, kl—k—oc'

250 корректирующив СРЕДСТВА Автомхтичвских систвм [гл. v1
Вместо скоростного (31.16) получаем позиционный привод.
При достаточно большом k (3 OH в этой системе действи-
тельно велик) можно считать Т1 пренебрежимо малой и писать
y = ігд. (31.17)
Здесь, собственно говоря, вместо простого двигателя по-
лучается следящая система, дающая на выходе перемеще-
ние, пропорциональное входной величине.
То же самое можно сделать и в электрическом привоце
(или в электрической рулевой машинке автопилота) постоян-
ного тока, например с помощью потенциометра (рис. 170),
"ἢ
κ᾽υ ἓ д
“ ῬΝΞ [ Редж
% ἓ
{ >“:
[ L
\
ӎ:
Рис. 170.
дающего U0c =koccp. Без потенциометра обратной связи имеем
скоростной привод (простой двигатель)
ιἰφΝ
шыш,
а с ним—позиционный привод (следящий привод)
фани, k1=1
_. 31.18
‚гос ( )
Точнее, если учесть механическую постоянную времени элек-
тродвигателя (момент инерции вращаемых двигателем масс),
без обратной связи имеем:
тт, ”+? (31.19)
а с обратнойа2 связью (рис. 170)
711—11sz? __k (и— „ОС), Uoc = kocq)!

§ 31" влияние оврятных связвй 251
ИЛИ
Tad: ι
Т„,—,?+Т‚Ё—, —+q>=k..U (31.20)
Где
‚; ___,}, „__—%., 1.1:;
0С ОС 0C
При достаточно большом k вполне можно принять напи—
санное выше приближенное равенство (31.18). Это обеспе-
чивается установкой усилителя, показанного пунктиром на
рис. 170.
Формулы (31.19) и (31.20) показывают, что инерционное
интегрирующее звено, охваченное жесткой обратной связью,
превращается в апериодическое звено второго порядка (если
Т,>2Т,), или же в колебательное звено (если Т,<2Т,).
Одним словом, если какое-нибудь звено (или цепь звеньев)
имело интегрирующее свойство, то при охвате жесткой
обратной связью оно его теряет. Это будет очень важно
в дальнейшем.
Охватим теперь интегрирующее звено (31.13) инерцион-
ной жесткой обратной связью (31.10). Чтобы получить урав—
нение такой системы (рис. 168), найдем из уравнения звена
(31.13) величину вхо, и ее производную
dy №№: [2— dx d’y
““=“—Щ, dt d—t _d_t=
и подставим их в уравнение обратной связи (31.10), пред-
варительно умножив его на k. Получим
T2 d
Таш—%+Т1ааі+у=іг1(х+тосйі)9 (31°21)
Где
TI εὖ:-Η Τιεῖἑ", kx=l+
0С ОС 0C
Следовательно, интегрирующее звено с инерционной обрат-
ной связью превращается в позиционное звено второго по-
рядка с введением производной, причем интенсивность вве-
дения производной определяется постоянной времени 06-
ратной связи ТОС. Если k достаточно велико, можно вместо
(31.21) писать уравнение идеального звена с введением про-
изводной:
%( +T … “ἕ,-᾿ξ) (31.22)

252 корректирующие сввдствв автоммичвских систвм [гл. νι
Введение производной Β закон регулирования, как мы уже
знаем (§ 29), Β большинстве случаев весьма полезно для
улучшения процесса регулирования.
Это является замечательным свойством инерционной об—
ратной связи. В то время как инерционное запаздывание в
основной цепи регулятора вредно, инерционное запаздывание
Β дополнительной обратной связи в регуляторе полезно; оно
эквивалентно введению производной в закон регулирования.
Наконец, охватим простой жесткой обратной связью
(31.9) звено второго порядка (рис. 168):
= d2
Т… „,—‚НТ … ‘Z—yt+y=k<x—— х…) (31.23)
Получим:
Тэ d
T2d_t!1+Tldd—yt+y:k1x) (31'24)
Где
‚ To: т__,‚_, k
Τ: "Μ’ T: ж+ж… kFT/ekcc-
Чтобы определить характер изменения этого звена, возьмем
отношение
Т, _ T01
2—Tz—2T02V1‘+kkoc'
Видим, что отношение это меньше, чем Β таком же звене
без обратной связи. Следовательно, жесткая обратная связь
уменьшает демпфирование Β звене второго порядка. Это по-
лезно в случае апериодического звена (То,>2То,) для убы-
стрения затухания переходного процесса, но может оказаться
вредным в случае колебательного звена (Τ01 <2T02). Однако
с точки ”зрения работы всей системы регулирования Β целом
это Β большинстве случаев будет полезным при любом типе
звена, так как сильно уменьшаются обе постоянные времени
Т: и Т,. Например, при достаточно большом k вместо (31.24)
МОЖ ΗΟ НЗПИСЗТЬ
у >; kic x. (31.25)
Как видно из предыдущего, звенья любого типа (позици-
онные и интегрирующие) с достаточно большим коэффици-
ентом усиления k при охвате простой жесткой обратной

§ 31] влияние овмтных связей 253
связью становятся близкими к идеальному звену (31.25),
а при охвате инерционной жесткой обратной связью—
близкими к идеальному звену с введением производной
(31.22). Это—очень важное свойство. Если же коэффициент
усиления звена k невелик, то дело обстоит сложнее, и надо
учитывать полные уравнения, написанные выше для каждого
отдельного случая.
Перейдем к исследованию влияния гибких обратных связей.
Охватим согласно схеме рис. 168 апериодическое звено
(31.3) простой гибкой обратной связью (31.11). Получим
d dy
Τά-ἵ-Ι-ἹΞἅζ "С—Ёша?)
141111
(T+kkoc)2—t+y=kx. (31.26)
Как видим, в данном случае гибкая обратная связь вредна.
Она только увеличивает постоянную времени апериодического
звена, не меняя его коэффициента усиления.
Охватим теперь колебательное звено (31.23) той же
гибкой обратной связью (31.11). Получим
: d2 d
To. d—ti’ +(T 0,+ Με“) ᾖ -|— у : kx. (31.27)
Здесь гибкая обратная связь, не меняя коэффициента уси-
ления звена, увеличивает демпфирование колебаний, и при
достаточно большом коэффициенте обратной связи koc может
вообще подавить колебания, превратив колебательное звено
в апериодическое. Такая обратная связь особенно полезна
для колебательных звеньев с небольшим коэффициентом уси-
ления или вообще там, где нежелательно снижать его (жест-
кая обратная связь уменьшает коэффициент усиления звена).
Наконец, интегрирующее звено (31.13) при охвате про-
стой гибкой обратной связью (31.11) дает
a’y dy
ἙΓι =k (x _k°c ἴτ᾽)
dy_ k
—l +12}:0c
_тоже интегрирующее звено, но с уменьшенным коэффи-
циентом усиления. Принципиально важно здесь только то, что
или
(31.28)

254 корректирующие СРЕДСТВА Автомьтичвских систем [гл. VI
интегрирующее звено при охвате гибкой обратной связью,
в отличие от жесткой, не теряет интегрирующего свойства.
Однако для идеального интегрирующего звена такой охват
едва ли имеет смысл. Возьмем инерционное интегри-рующее
звено (рис. 168)
T-d—tz zyd+y --= k (x — х….) (31.29)
и охватим его простой гибкой обратной связью (31.11). Πο-
лучим
d__’y
. O
1—1—12120c αι: +% =1+kkkocx’ (31 3 )
Хотя коэффициент усиления и уменьшается, но во столько же
раз уменьшается постоянная времени, т. е. уменьшается
инерционность звена, что очень важно. При достаточно боль-
шом k звено можно считать идеальным интегрирующим:
а_у 1
d—t koc x. (31.31)
Аналогичный вывод относится и к инерционной (изодром-
ной) гибкой обратной связи (31.12), но она даст больше.
Охватим ею инерционное интегрирующее звено. Выразим из
уравнения звена (31.29) величину 113160c и ее производную и
подставим их в уравнение обратной связи (31.12), предвари—
тельно умноженное на k. Получим:
Т3%—°Ё+Т157=4г—=ё(х+ То…-‚%) (31.32)
«_ тост _Т0с+т ἅ,, k
= "1+kkoc’ 1—1+kkoc’ 1—l+kkoc'
Наши надежды оправдались. Г ибн'ая инерционная (изодром-
ная) обратная связь превращает инерционное интегрирую-
щее звено в интегрирующее звено с введением производной
(и с уменьшенной инерционностью за счет уменьшения по-
стоянной времени). При достаточно большом коэффициенте
усиления k вместо (31.12) можно считать
23% {№ +10…) (31.33)
Интенсивность введения производной определяется величиной
постоянной времени обратной связи. Здесь опять—таки мы ви—
где
Т

§ 32] системы с дополнитвльными овмтными связями 255
дим, что инерционность (запаздывание) в дополнительной
обратной связи, в противоположность инерционности прямой
цепи регулятора, является полезным явлением.
Формулы (31.32) и (31.33) можно записать еще в виде
Τα d2 у
Tzd—t" + Τι d—t+y=k1(Sxdt+ Тосх )*
_Тос __ 1
із, (μι-ἄξῃ“ ), к.,—д;, Аа,—д;,
как МЫ делали ДЛЯ астатических систем С ИЗОДРОМНЫМ УСТРОЙ-
ством или с введением интеграла в § 30.
§ 32. Автоматические системы с дополнительными
обратными связями
Из предыдущего параграфа уже ясно вилно, что допол—
нительные обратные связи (параллельные корректирующие
устройства) могут применяться в системах автоматического
регулирования как мощное средство улучшения качества
процесса регулирования.
Одна из типовых схем системы автоматического регули—
рования с дополнительной обратной связью показана на
рис. 171, а. Эффект введения отрицательной обратной связи
здесь можно пояснить грубо следующим образом.
Если обратной связи нет и регулятор реагирует на откло-
нение регулируемой величины x (без введения производных),
то привод регулирующего органа управляется сигналом
х,:ігх, пропорциональным отклонению регулируемой вели-
чины. Он будет включен в работу на уменьшение регулируе-
мой величины все время, пока x положительно, т. е. вплоть
до точки В (рис. 171, б). Ввиду инерционности системы ре-
гулирования величина х будет уменьшаться и дальше. И толь-
ко спустя некоторое время после точки В, когда отклонение х
уже будет отрицательным, произойдет переключение привода
регулирующего органа на действие в обратную сторону.
При наличии же обратной связи, на усилителе, управляю—
щем работой привода регулирующего органа, получается
разность двух сигналов (рис. 171, а): х‚—хос=/г,х—хос.
Из сигнала, пропорционального Отклонению регулируемой ве-
личины, вычитается сигнал обратной связи, вследствие чего
нуль на входе усилителя будет не при х=0‚ а еще при

256 КОРРЕКТИРУЮЩИЕ СРЕДСТВА Автоммичвских систвм [гл. v1
положительном значении х— в некоторой точке Е(рис. 171,6).
Поэтому отрицательную обратную связь в схеме регулирова-
ния на рис. 171, а иногда называют выключателем. Она вы-
ключает привод регулирующего органа заблаговременно,
раньше, чем отклонение регулируемой величины упадет до
нуля, а система затем по инерции доходит до положения
[дада/№111?
Лама/11— .;- ynpafl/Ifl/ommi
.z' “ἐξῇ ;, .2 элемент или
#35,” r—>1L ушла/пело
‚и- и-
gg" a: Ραμ. Ира/тая VJ?
”“Μ- №№”! Мит 3
”We ддт/кт
Pea ли- $,;
орган $.?
41
Рис. 171.
равновесия (пунктир на рис. 171, б). Этим предотвращаются
колебания регулируемой величины. Так действовал бы разум-
ный человек при ручном регулировании (в системах с доступ-
ными для его органов чувств сравнительно медленно проте-
кающими процессами).
Найдем передаточную функцию разомкнутой цепи с обрат-
ной связью (рис. 172). Пусть известны передаточные функ—
ции всех звеньев прямой цепи “7“ W2, W3, W4 и переда-
точная функция обратной связи шос. Тогда уравнения всех
звеньев системы можно записать символически в виде
x1 = W111,
x2 = W2 (χ] ’- χοο)’
х, = Wax”
x4 = ψᾳχυ
χοε : шосхг

§ 32 системы с дополнительными оввятными связями 257
Β частности, для жесткой обратной связи будем иметь
W0c=kw для гибкой обратной связи Woc=kocp, для инер-
ционной (изодромной) гибкой обратной связи ЪРОС=№ ‚
. Tocp+l
для инерционной жесткой обратной связи шт:—ш…
Tocp+l
.2' .z'
-—!1-›-` | J": 2 22, ‚_? а, 4 4
μ.... __.1.
$00
ЛЛ. ᾽
Рис. 172.
Искомую передаточную функцию разомкнутой цепи опре—
делим как отношение
W23:
u .
Чтобы получить ее, подставнм предварительно третье
уравнение звена в пятое, а затем—во второе. В резуль-
тате будем иметь
x2: Wax: _ Wocwz шведа,
откуда
W2
”2 21+ Wocwawax"
Тогда, воспользовавшись очевидным равенством
W = 34- __:д fl _x_, I;
и и x1 x2 x8 ’
окончательно получим
W : Ш=__и*_—
1 + W0C WZWS l + WOCWOXB .
Итак, передаточная функция разомкнутой цепи с об-
ратной связью равна произведению передаточных функций
всех последовательно соединенных звеньев ΙΧ" (без учета
обратной связи), деленному на единицу плюс передаточная
функция обратной связи, умноженная на передаточную
функцию Wex13 звеньев, охваченных обратной связью.
9 Е. п. Попов

258 корректирующих-: срвдствх автомхтичвских систем [гл. νι
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи
‹: обратной связью, следовательно, будет иметь вид
W” (і ω)
1 + W/oc (ΙΘ) Woxa (|ω) ᾽
ψυω) =
где №№) и шохв(у'‹о)—амплитудно-фазовые характери-
стики, соответственно, цепи без обратной связи и звеньев,
охваченных обратной связью.
Л Λ
31/7/01] , ___ “ὗε шол
_;7 K“ __ _
„ 4, 4
ω I
"Ъ
ω
Л
”Л“/]
_1 ^ _
5=5г52
Рис. 173.
Из сравнения полученной формулы с выражением (21.3)
вытекает, что здесь можно применить тот же способ по-
строения амплитудно-фазовой характеристики, как и на
рис. 124, что и показано здесь на рис. 173. За счет вы-
читания фаз (Bl —— В,) характеристика W* (;о)) деформируется
так, что ее векторы поворачиваются против хода часовой
стрелки. В результате характеристика W(jm) удаляется от
критической точки ——1, что способствует подавлению ко—
лебаний в системе и даже может неустойчивую замкнутую
систему Сделать устойчивой (см. частотный критерий устой-
чивости в § 19).
Существуют также способы построения логарифмических
частотных характеристик для таких систем. Ниже будет
проиллюстрирован один из таких. способов на примере.-

§ 32] систвмы с дополнительными оврхтными связями 259
Β качестве примера рассмотрим введение жесткой обрат—
ной связи в реостатный регулятор напряжения непрямого
действия. Жесткая обратная связь осуществлена здесь
(рис. 174, а) в виде дополнительной обмотки электромагнита,
включенной на напряжение Uoc,c снимаемое с потенциометра,
движок которого установлен на одной оси с регулирующим
DQOCTaTOM, так ЧТО имеем
ΔΠΟς = ksAz. (32.1)
Двигатель, приводящий в движение регулирующий орган,
является интегрирующим звеном, вследствие чего данная
система без обратной связи была бы астатнческой. Но здесь
(рис. 174) цепь звеньев, включающая в себя это интегри-
рующее звено, охвачен—а жесткой обратной связью. Согласно
§ 31 при этом теряются интегрирующие свойства и из-за
жесткой обратной связи возникает статическая ошибка. Но
зато уменьшается склонность системы к колебаниям, а ста-
тическую ошибку можно будет сделать достаточно малой
соответствующим выбором параметров системы. Покажем
все это простейшим математическим исследованием.
Уравнение измерительного устройства, состоящего
(рис. 174) из двух электрических обмоток и механической
части, имеет вид
Аз=/г,Аи—— kBAUoc (32.2)
(знак минус соответствует правильному включению обмотки
обратной связи, как отрицательной).
Напряжение на якоре двигателя будет
AU}18 = szs. (32.3)
Уравнение динамики двигателя, с редуктором (с учетом
механической постоянной времени, т. е. момента инерции
вращаемых масс)
Td’Az
ТТ„ +d Щ =k Аим,. (32.4)
Уравнение регулирующего реостата
Аг = k‘Az. (32.5)
Подставим значение (32.1) В формулу (32.2)
As : иди—— ігьігвАг.
9.

-›— И
_ 1/3
Ewe/lamp % __: ᾽ 5
[регулируемый Ё Ё
Маг/кт] ёё '
% А + Ὁ \——‹›
“Лос ᾿" t Г “,
|.5’ [ШШ/Пти
+ — L. ...... μ
flezyqz/py/a- r<”1/1113 ᾿"
шил ареал κ....
ἆ
Pad : Д ξ
{Ζ 4— \_/\__.‚
”’ ᾽ и и
Jflekmpuvi- ΗΜ,
‚дегу/;”- СЖД}? 4/Л5/77д r y” [Ii/717M-
Маг/(т уде/гал > может; а
“ἕω тат/› ушли/лтд
:5
Wm
Ἀ 7' ддт/шт-
Mfg/775012 Ддигатглд
5 ma , ‘
_рггт‘
душі/ид ἷ < ——J Раду/(тар
‘ Деда/тт j] Ζ
Рис. 174.

§ 32] системы с дополнительными овмтными связями 261
Затем это выражение подставим в формулу (32.3), а потом
совместно с (32.5)-—B уравнение (32.4). Получим уравнение
динамики регулятора в виде
14 ——A—dr+€1Ad—tr=knpmAU—koxakocAr, (32.6)
где введены обозначения:
1) коэффициент усиления прямой цепи регулятора (чув—
ствительный элемент, управляющий потенциометр, двигатель
с редуктором, регулирующий реостат)
ΟΜ
k =1: ΜΛ [__—], (32.7)
“P“ вольт . сек
2) коэффициент усиления обратной связи, г. е. коэффи-
циент усиления звеньев, входящих в обратную связь (потен—
циометр обратной связи и дополнительный канал чувстви-
тельного элемента)
koczksk3 [безразм]: (32.8)
3) коэффициент усиления звеньев, охваченных обратной
связью (управляющий потенциометр и двигатель с редукто-
ροΜ)
до, =ka [I]. (32.9)
сек
Приведем уравнение регулятора (32.6) к стандартной
форме, для чего надо перенести член, соцержащий выход-
ную величину регулятора Ar, влево и разделить все уравне-
ние на коэффициент при ней. В результате уравнение
динамики регулятора непрямого действия с жесткой
обратной связью будет иметь вид:
ΤιΞᾶ-άἓἨ-Τ тд„‘іА—ГЧ—Аг —_—ь,‚, rAU, (32.10)
Где I
№:;- [секг], Т =——1——[се/с], ]
“"ὢ“ д “wk“- (32.11)
k = ‘ ἑΠΡἘΙΜ : klkll : ‚гнеохв . I
рег ROXB ἑ09 k5k6 {ἶσα
Здесь видно, что без обратной связи (Ьос_—_-О)‚ согласно
(32.6), регулятор был инерцион-ным интегрирующим звеном

262 корректирующих—: сгвдства автоматических систвм [гл. νι
(астатическим)
2
тд ^——’—|—"д^—_’=/грегди (k
Щ, : 12.12.12.124),
per
a с обратной связью он стал, согласно (32.10), позиционным
звеном второго порядка (колебательным или апериодическим),
т. е. статическим.
Уравнение регулятора (32.10) совпадает с (14.2), иссле—
лованным в главе ΠΙ, Уравнение регулируемого объекта
(генератора) тоже будет прежним (14.1)
Td—A—HU—IeAUz—k Ar+f(t). (32.12)
Поэтому здесь полностью можно использовать то исследова-
ние свойств системы регулирования в целом, которое было
проведено в § 14.
Условие устойчивости системы согласно формуле (14.15)
с учетом (32.11) здесь будет
1 Тп’гохп (ἔως +1 1
Ёпрям<(Ё+_—Т_)Е;° (32-13)
Уже отсюда видно, что увеличение коэффициента обрат—
ной связи улучшает условие устойчивости системы, так как
позволяет повысить предел, до которого можно увеличивать
коэффициент усиления прямой цепи регулятора km“. В той
же системе без обратной связи (!гос=0) условие устойчиво—
сти будет 1 1 l
kan < (To—FT) k—o ’
τ. е. предел возможного увеличения ἐπι”... определяется
только параметрами объекта To, k0 и постоянной времени
регулятора Т. При наличии же обратной связи у нас в ру-
ках имеется дополнительный коэффициент koc, изменением
которого можно добиваться желаемого качества процесса
регулирования.
Наглядное представление об этом дает графическое
изображение условия устойчивости (82.13) на плоскости
параметров с координатами k0x13 11:0c и km)”. Граница устой-
чивости получится из (32.13) заменой неравенства на знак
равенства, что даст прямую линию (рис„ 175, а) с уравне—
нием
knpsm— _ а + bkoxak ос!

§ 32] системы с дополнительными оврлтными связями 263
Где
1 1 1 Т,
а—(пттЬ b—T—ko'
Область устойчивости системы, согласно (32.13), лежит' ниже
этой прЯмой.
Стати-ческая ошибка системы с жесткой обратной связью
в соответствии с формулой (14.10) главы …, с учетом конк-
ретного значения kpep для дан-
ной системы (32.11), будет
ідрян
Δ U = f ° : fokoc fleycmozimmcr
ст l + kokpel‘ ‚гос + kueoxa
(k = w.
_ Г \
Эта зависимость показана на ἐ,- ];; Лаи/атм
рис. 175, 6, где иллюстрируется удтдачивдста___
увеличение статической ошибки 0 да;/Б„
системы регулирования с увели- д}
чением коэффициента обратной Ar!
связи. „73,3
Покажем на примере данной
системы регулирования построе- „,; | --
ние логарифмических частот— ’
ных характеристик для разом— “ / I
кнутой цепи с обратной связью. Л! ͵|
Разорвем цепь системы в месте И
присоединения регулятора к объ— „ I] 44 д,; 45 | 7“
екту, как показано волнистыми
линиями на рис. 174, б.
Передаточная функция та- Рис. 175.
кой разомкнутой Цепи с обратной
связью, согласно общей формуле, выведенной выше, и на-
писанным выше уравнениям звеньев данной системы будет
Ζ;
_ a tier-7.70-
неохв
W*
W:—
1+WOCWOXB ,
Где _
k k k k k k k
*__ 0 1 Ρ. a 4 __ ___ z ’ .
W “(T0p+1)(Tp+1>p’ “’“—“**" W°XB—'<Tp+1>‘p°
В результате
W хвоя,/глади
: (Top +1) [W + 1) p + шев/гиг.] ' (32°14)

264 КОРРЕКТИРУЮЩИЕ CPI-11161311 Автомлтич'ЕСКих систем [гл. ᾽ν!
Разделив числитель и знаменатель “на leak k k получим
θ 2 3’
W = ”οἷν“ , (32.15)
(Top + 1) (Τά-Ἡ Tap +1)
где
из ‚_ T _ 1
ἄνευ-τῴ “—m’ “_а—лье; (32°16)
Логарифмическая амплитудная характеристика для пере-
даточной функции (32.15) легко строится по правилам § 20.
Например, в случае Т8 > 2 T2
Μ’“ if она пол
-“.- учает вид, показан-
ἆ“ ;; ный на рис. 176, где Т4
г гиде—ж?; _ и ТБ определяются через
” _/_ .1. 1 ' корни р, и р: квадратного
fa J4 ἷ трехчлена в знаменателе
—6’Лд‚% выражения (32.15) по фор-
мулам (20.4) и (20.3).
, Следовательно усложне—
нне расчета системы ча-
Μ стотным методом здесь (по
_ >0) сравнению с одноконтурны-
Χ ми системами, § 20) состоит
только в предварительном
Чёт \ преобразовании передаточ-
Рис. 176. ной функции к виду (32.15).
Добавочное усложнение по-
явится в том случае, когда квадратная скобка в знамена-
теле (32.14) будет содержать многочлен выше второй
степени. Тогда корни его придется определять только
численно (или же пользоваться специальными номограммами
или таблицами).
Все сказанное по поводу рассмотренной электромехани-
ческой системы регулирования напряжения с жесткой обрат-
ной связью целиком относится и к чисто механической
системе регулирования скорости теплового двигателя
(рис. 177), где жесткая обратная связь осуществлена с по-
мощью тяги А. Вся остальная часть схемы совпадает
с ранее рассмотренной (рис. 19). При этом все написанные
здесь уравнения и графики остаются справедливыми и для
схемы рис. 177 только с другим физическим смыслом рас-
сматриваемых переменных. Некоторое отличие будет только

§ 32] системы с дополнительными оврлтными связями 265
d Δω
Β случае объекта без самовыравнивания ἶι- = —/i:o Δ͵ν +f(t),
dAm
вместо обычного Το ἷ-Ἔ- Δω = — ko Ay +f(t).
Более того, все те же самые выкладки, рассуждения и
графики справедливы целиком и для системы регулирова-
ΒΦ + "—
f ᾽ ЁЁ:
Л ἵππω ’
L : діу+№
Лаг # ’
ЛИ 0 [гамма
Лаг/гетто
Рис. 177.
Лаг/га
Лап/д
Драг/аммтг yummy/7m Лури/мара
Уатт/і о і“>67
мат- [ὦ
„адм
Рис. 178.
ния температуры (рис. 9), если в нее ввести жесткую
обратную связь, как показано на рис. 178. Вычитание

266 корректирующие СРЕДСТВА Автомхтичвских систвм [гл. νι
напряжения обратной связи U0c из напряжения прямой цепи,
поступающего от измерительного устройства регулятора,
происходит Β магнитном усилителе.
Что касается жесткой обратной связи в курсовом авто-
пилоте, то она вводится, как показано на рис. 170, ‚где
ф—угол поворота, передаваемый на руль направления,
а U— напряжение, снимаемое с гироскопа, пропорциональное
отклонению самолета от курса: (!=/еф (см. рис. 14). Урав-
нение д’ля схемы рис. 170 Β приближенной форме имеет вид
(31.18), а точнее (32.20). Если ограничиться приближенной
формой, то для автопилота Β целом приходим к уравнению
(14.22). Простейшее исследование автоматически управляе-
мого движения самолета с таким автопилотом уже было про-
делано в § 14.
Введение в регулятор инерционной жесткой обратной
связи может быть продемонстрировано на той же схеме си-
стемы регулирования напряжения (рис. 174). Если там сде-
лать достаточно заметной величину индуктивности Β цепи
обратной связи, то в выражении (32.2) перемещение As
можно разбить на две части:
As = Asl — ΔΒ,.
Из них AsI вызывается изменением ампервитков обмотки
чувствительного элемента (здесь индуктивностью пренебре-
гаем, считая ее малой, ибо увеличение ее принесло бы вред)
ASl = kI AU,
a Δε᾿ вызывается изменением ампервитков обмотки обратной
связи (здесь делаем большую индуктивность и ее учитываем)
тмд^5=+дз =k, AU“.
Написанные три уравнения надо ввести в прежнюю систему
вместо одного (32.2).
В результате уравнение регулятора вместо (32.10) при—
мет вид
Т.?Ё—‚ЁЧ—Т Т…—Ё’+Аг=е„г(ди+т Μ“), (32.17)
где все коэффициенты те же, что и в уравнении (32.10),
кроме только одного
‚ т.т.т,с
ТК: k koc
0X8

§ 32] системы с дополнитвл5ными оврнтными связями 267
(при составлении уравнения (32.17) было пренебрежено про-
изведением ТТОС, деленным на kOXBk-oc.
Из сравнения уравнений регуляторов (32.10) и (32.17)
видно, что, увеличив индуктивность цепи обратной связи,
мы ввели тем самым производную в закон регулирования,
т. е. получили еще дополни- _?
тельное средство для улучше- “д ‹
ния качества данной системы ав- j
томатического регулирования.
Если в какой-либо системе
введение жесткой обратной „дА—‘
связи, несмотря на ее хорошее Μ ‚__
влияние на динамику процесса
регулирования, вызывает не—
допустимо большую динамиче-
скую ошибку, то можно при—
бегнуть к гибкой обратной
связи.
Например, в рассматривав-
шейся системе регулирования ‚делит;
напряжения (рис. 174) гибкую ‚умеете/15
обратную связь можно полу- Рис. 179_
чить, разорвав цепь и вставив ᾽
в нее трансформатор (рис. 179). Тогда ток в обратной связи
(вторичная цепь трансформатора) будет только тогда, когда
есть изменение тока в первичной цепи, причем
dU,l dAz
„жжёт—221%?!" . (32.18)
ll
__—
°:
Гайд/7 Лёши-
Регу/щу/дшш WW жеж или
джет 17"
В установившемся равновесном состоянии регулятора эта
обратная связь не действует, так как при Un=const имеем
и…,:о, и система будет астатической, какой она была
без обратной связи. В переходных же и других динамиче-
ских процессах эта обратная связь будет действовать, улуч-
шая их качество, но не внося статической ошибки.
Чтобы написать уравнение регулятора, надо воспользо-
ваться всеми прежними формулами (32.2)—(32.5) и новой
(32.18) вместо старой (32.1). Тогда уравнение регулятора
вместо (32.6) будет
Td’ Ar d Аг d Ar
Тб.—і? +71— : knPaM AU— koxakoc Ἕ-

268 корввктигующив СРЕДСТВА Автоммичвских систвм [гл. νι
или
Таг Аг d Ar
Tl Т! +—— dt =kpel. AU, (32.19)
Где
Т k
T = —— kpe :т—"ШМ— 32.20
1 + kOXBkOC’ —l + kOXBkOC ( )
Видно, что действительно регулятор астатический, но
с меньшей инерционностью.
Используя уравнение объекта (32.12)᾽ найдем уравнение
динамики всей системы регулирования:
Td’ AU (12 AU dAU
Τι dt’ +(To +T1)—— dtz +7 +tkokperAU= Tth2+Z—f
Условие устойчивости по критерию (14.13) будет
(ТО + Tl) > Τ OTIkokper'
C учетом обозначений (32.20) его можно переписать в виде
1 k B[n+1 l+k k
knpam<(fi+ ОХ ’;)— ) kOXB 0С.
0
Из сравнения этого условия с (32.13) видим, что на
устойчивость системы гибкая обратная связь действует
столь же благоприятно,
как и жесткая.
1/..9 ' -
.- Заметим, что гибкая
обратная связь в данной
ζ. системе может быть вве-
дена иначе с помощью
тахогенератора (рис. 180),
дающего напряжение Uoc,
пропорциональное угло-
вой скорости вала:
dAz
δἷ’
ll
“ОС:-Ё
что совпадает с прежним
уравнением (32.18).
Любой из этих двух способов введения гибкой обратной
связи может быть применен и в системе регулирования тем-
пературы вместо жесткой (рис. 178). На рис. 181 показано

§ 33] Систвмы с гвгулнровкнивм по ВОЗМУЩЕНИЮ 269
введение инерционной (изодромной) гибкой обратной связи,
состоящей из демпфера Д (катаракта) и пружины. Она опи—
сывается уравнением
du dyI
Tocfi+u—kocfi°
Эта обратная связь, как мы знаем, более эффективна,
чем простая гибкая обратная связь.
ὦ” “Μφαῃεῄῤωεῃεωρσᾶωἀ
Ждегуларуаидщ ' ' Тилли/73
: -—‹————
Маг/кт;
Рис. 181.
§ 33. Комбинированные автоматические системы
с регулированием по возмущению
Мы уже познакомились с тем, каким образом можно
ликвидировать статическую ошибку в принципе действия
системы регулирования (см. § 30). Путем введения интеграла
в закон регулирования мы сумели в принципе *) полностью
устранить влияние постоянной величины возмущающего воз-
действия в установившемся режиме.
*) В принципе полное устранение статической ошибки не является
в действительности полным (за счет зоны нечувствительности,
см. § 39).

270 коррвктируЮщив средствх АВТОМАТИЧЕСКИХ систем [гл. νι
Аналогично можно поставить вопрос о ликвидации уста-
новившихся ошибок, возникающих и от других заданных
форм возмущающего воздействия. Например, если ввести
в закон регулирования двойной интеграл, то в принципе
будет устранена установившаяся ошибка не только от по-
стоянной величины возмущающего воздействия, но также
и от возмущающего воздействия, нарастающего с постоянной
скоростью: f=at+b. Действительно, если например урав-
нение динамики объекта будет.
Το d7 x+x=_ ὤαν-ΗΜ, (33-1)
3 уравнение динамики арегулягтора
Тата—= y+d dt2 = ἄρον”, (33-2)
или, иначе,
т%+у=ир„ S (Хх at) dt,
то на основании (33.1) и (33.2) уравнение всей системы ре-
гулирования (если пренебречь произведением ТТО, считая
его малым) 6y11e1‘da
(To +) T)d cit—3' M+ („а x+kokpelx= Τά; +d—:z ° (33-3)
Как видим, действительно, при нарастании возмущения с
постоянной скоростью (f=at+b) В правой части уравнения
динамики системы будет нуль, вследствие чего не будет
не только статической ошибки при f: const, но не будет
и установившейся ошибки при нарастании f: at—|—-b.
Что же касается ошибки переходного процесса (переход—
ной динамической ошибки системы), то она, конечно, будет,
причем даже больше, чем в статической системе. В данном
примере переходный процесс будет даже расходящимся,
т. е. система оказывается неустойчивой, ибо в уравнении
(33.3) вовсе нет члена в то время как по критерию
dx
Ἡ,
устойчивости (14.12) он обязательно должен присутствовать
с положительным коэффициентом. Здесь сказалось раскачи-
вающее действие интеграла, о котором говорилось в § 30.
Поэтому регулятор типа (33.1), хороший с точки зрения
установившихся процессов, не годится вовсе по причине

§ 33] систвмы с РЕГУЛИРОВАНИЕМ по возмущвнию 271
расходящегося переходного процесса. Надо принять меры
для создания устойчивой системы. Для этого в уравнение
регулятора (33.2)d8 введем производную
dx
Td—t’ y+dt2 :kper(x+k ὦ)’
Тогда уравнение системы вместо (33.3) будет
d2
‹т„+т› S—Zf+j§—f +k.k %+Ьоим х=т;‘—;С+„—‚С‚
причем должно соблюдаться согласно критерию (14.13) усло-
вие устойчивости системы
+><то+п
—коэффициент интенсивности введения производной должен
быть больше суммы постоянных времени объекта и регу-
лятора.
Но одной устойчивости мало. Надо еще обеспечить хоро-
шее затухание переходного процесса и малость динамических
ошибок при любых других изменениях f(t). Может быть,
для этого понадобится ввести в регулятор дополнительную
обратную связь, но для сохранения двойной астатичности
системы (сохранения двойного интеграла в законе регулиро-
вания) эта обратная связь должна быть гибкой, но не типа
однократного дифференцирующего звена (31.11) или (31.12),
а двукратного.
Одним словом, всякие попытки полного (в принципе)
устранения влияния каких—либо заданных форм возмущающего
воздействия, предпринимаемые в замкнутой системе регули-
рования на базе измерения отклонения регулируемой вели-
чины, обязательно будут связаны с трудностями обеспечения
устойчивости системы и надлежащего качества переходных
процессов, так как они обязательно будут существенно
изменять левую часть уравнения динамики системы автома-
тического регулирования В целом.
Поэтому возникает мысль о том, чтобы при выполнении
указанной задачи отойти от чистого принципа регули—
рования по отклонению (или по интегралам и произ-
водным от него) и соединить этот принцип с другим прин-
ципом—с регулированием по возмущению. Такого рода
системы регулирования называются комбинированными,

272 корректирующие СРЕДСТВА Автомпичвских систвм [гл. v1
Возьмем, например, ту же систему регулирования скоро-
сти электродвигателя (рис. 18) и, сохранив целиком всю
прежнюю цепь регулирования по отклонению регулируемой
величины, добавим к ней новую цепь регулирования по воз-
мущающему воздействию (рис. 182). Эта новая дополнитель—
ная цепь состоит из моментной муфты, которая измеряет
JMV
ω мг;/тж
1 7}- WWW , Наддув/га
__ жим * И Μ,“: т:]
_ m
Y
κέ ”;;/‚’: 02:47-14
9— 49 ~s
Карими/идти Y
жилищ/під пл 1/4
Mamas/mo l
Рис. 182.
возмущающее воздействие в виде отклонения момента
нагрузки АМнг=/(г) от номинального значения Миг, и из
специального корректирующего устройства. При отклонении
момента нагрузки АМнг моментная муфта измеряет напря-
жение U4:
AU4=k' ΔΜΗΓ: k'f(t), (33.4)
a корректирующее устройство вводит, допустим, еще про—
изводную, т. е. на выходе его получаем
али,
dt'
мл:/е“ (Аа,-нг (33.5)
В цепи же измерения отклонения регулируемой величины
после тахогенератора и элемента настройки получаем
AU,=—'k, Δω, (33.6)
a после ЭдеКТРОННОГО УСИЛИТЭЛЯ
Δυὕπῥε2 АЦ. (33.7)

§ 33] системы с регулироврхнивм по возмущению 273
Далее, напряжения и, и U5 из обоих каналов склады-
ваются и дают изменение напряжения Β обмотке возбужде—
ния электромашинного усилителя
AUo =AU, + до,. (33.8)
Уравнение ЭЛВКТРОМЭШИННОГО усилителя С учетом его no-
СТОЯННЫХ времени запишем В виде
d2 ΔΙ d ΔΙ
EW+TId ————}—AI=k AU. (33.9)
Все эти соотношения приводят к следующему уравнению
динамики регулятора:
:d а^__’+т,“а_^,’+А1_—__в,е,Аш—\—вв[тн 1%] (3310)
Где
kpe _ —k k k ьв=в'/г”в,‚ f(t)= АМ.…
128’
причем 11:l3 есть коэффициент усиления цепи регулирования
по возмущению, іг—коэффициент интенсивности введения
производной Β корректирующем устройстве этой же “цепи.
Уравнение (33.10) показывает, что данный регулятор
реагирует не только на отклонение регулируемой величины,
но также на величину возмущающего воздействия и на его
производную (скорость изменения возмущающего воздействия).
Уравнение регулируемого объекта (электродвигателя)
можно записать Β виде
(10)
JET—l— C10): Map — М…..
После перехола к отклонениям: Δω, ΔΜ,, р=с Al,
ΔΜ „г:/(і) и после деления на с получим уравнение дина-
мики объекта в виде
ΤάΔω
Το ὡ +Am=koAI——k' f(t), (33.11)
Где
„__.1 __с ‚__1
”'“Ё’ ko—c‘f’ о”?
Выразив из уравнения объекта (33.11) величину koAl,
взяв первую и вторую производные от него и подставив все
это в уравнение регулятора (33.10), предварительно умно-
женное на Ь„ найдем уравнение динамики всей системы

274 корректирующие средства АВТОМАТИЧЕСКНХ систвм [гл. vr
рег улиро вания
d’ Δ аг Δ )άΔω
тт:,—„°’+‹т…:›т+т ›,—„°’+‹ ‹т +т> —+
d ' d
+… +kokper) ACOZ— ἑοΤἶάἶ-ζἦἼ kokak_k0T1)d_l;+
мда,/гв — тд)/(т). (ΒΒ-12)
Β наших руках имеются два параметра: [вв и k, которые
входят в правую часть уравнения и не входят в левую.
Следовательно, меняя их, мы совершенно не повлияем на
устойчивость нашей системы, ибо устойчивость согласно
главе Ill определяется характеристическим уравнением си-
стемы (т. е. только левой частью):
ТоТЁР'—\-<То7`1+ T3)P’+(To+ T,)P+(1+kokper)=0
Эти два параметра (вв, k) и характеризуют как раз допол—
нительную цепь на рис. 182. Таким образом, регулирование
по возмущению обладает замечательным свойством—оно
изменяет только правую часть уравнения динамики
системы, не влияя на левую, т. е. не влияя на устойчи-
вость системы, не создавая в ней склонности к коле-
баниям.
До тех пор, пока мы весь процесс автоматического ре-
гулирования строили только на измерении отклонения регу-
лируемой величины (или ее интегралов и производных),
в регуляторе не было такого рода параметров.
Если теперь мы захотим освободиться от статической
ошибки системы, не меняя основного замкнутого контура
системы, то мы должны выбрать коэффициент усиления цепи
регулирования по возмущению так, чтобы
в,: —° (33.13)
Тогда коэффицйент при f(t) в уравнении нашей системы
(33.12) будет нулем и, следовательно, при f(t)=c0nst=f°
получим, как частное решение, Ашст=0.
Если мы захотим освободиться, кроме того, также и от
установившейся ошибки при возрастании AM“: f (f) с по-
стоянной скоростью: 1/(с)=а2-]—0‚, то], ‚кроме условия

ἓ 33] систвмы с рвгуливовхнивм по возмущению 275
(33.13), надо выполнить еще одно условие:
к:,т,
Ё_№_Т„ (33.14)
где іг—коэффициент интенсивности введения производной
в корректирующем устройстве по возмущению. При этом
оба последних коэффициента в правой части уравнения нашей
системы (33.12) будут нулями.
Наконец, если мы хотим полностью ликвидировать уста-
новившуюся ошибку системы при синусоидальных колеба-
ниях момента нагрузки с заданным периодом Т, когда
. 2π
{(!)ΞΔΜΗΓΞΑειπ-Ἰτΐ, (33.15)
το коэффициенты k и kB нужно взять следующими:
kgr. %( №:)
2m , kB:'k—o 1 _ Т2 '. (33.16)
Тогда согласно (33.15) имеем
df _ 2a 2a d’f __ 4π2 . 2π
(?!—ТАСС” Tt’ №._—ЁА smTt.
Подставив их в правую часть уравнения нашей системы
(33.12), при условиях (33.16) получаем нуль. В этом
случае синусоидальные колебания нагрузки (33.15) He будут
вызывать никаких колебаний угловой скорости двигателя
(кроме только переходного процесса вначале).
Таким образом, изменением настройки корректирующего
устройства по возмущению (рис. 182) можно создавать усло-
вия полной ликвидации установившихся ошибок от различных
форм изменения возмущающего воздействия (для одной
формы при каждой настройке). При этом никак не меняется
устойчивость системы.
В частности, здесь очень просто достигается ликвидация
статической ошибки, в то время как, осуществляя это в § 30
другими средствами, мы ухудшали устойчивость системы,
увеличивали склонность системы к колебаниям.
Устойчивость системы можно обеспечивать в основной
цепи системы (например, введением последовательного кор-
ректирующего устройства—дифференцирующего контура,
как на рис. 157), независимо от цепи регулирования по

276 КОРРЕКТИРУЮЩНЁ СРЕДСТВА АВТОМАТИЧЕСКИХ Систвм [гл. Vi
возмущению. Затем введением корректирующего устройства
по возмущению можно уменьшать установившиеся ошибки
любого типа, не влияя на устойчивость системы. Это прин-
ципиально важно потому, что раньше у нас всегда было
противоречие между требованием малости установившейся
ошибки и условиями устойчивости системы. Здесь же оно
отпадает.
Конечно, полностью ликвидировать установившуюся
ошибку возможно, как видно из предыдущего, только для
заданной формы одного из возмущающих воздействий. От
других возмущающих воздействий ошибки не будут полно-
стью ликвидированы. Однако совершенно ясно также, что
в такой комбинированной системе все ошибки всегда можно
сделать значительно меньшими, чем в обычной системе
регулирования.
Корректирующее устройства по возмущению надо спе-
циально настраивать на наиболее опасную, часто встречаю-
щуюся или какую-то средневероятную форму возмущающего
воздействия, чтобы ее влияние устранялось наиболее полно,
но чтобы при этом Β системе достаточно хорошо гасились
бы и отклонения регулируемой величины, происходящие от
всех других возможных форм возмущающих воздействий.
К этим прочим не полностью подавляемым возмущающим
воздействиям относятся в данном примере не только иная
форма изменения момента нагрузки, но и возмущающие воз-
действия другого рода, например, колебания напряжения пита-
ния независимой обмотки возбуждения двигателя, колебания
угловой скорости вращения якоря электромашинного усилителя.
Такие небольшие побочные возмущения всегда бывают и в
других системах регулирования. Все эти второстепенные воз-
мущающие воздействия подавляются основной цепью регули—
рования по отклонению.
Но, вообще говоря, может ставиться два или несколько
корректирующих устройств по возмущению, если в системе
имеются два или несколько сильных источников возмущения.
В рассмотренном примере введен измеритель величины
возмущающего воздействия—моментная муфта. Часто непо-
средственное измерение величины возмущающего воздействия
бывает неудобным, а иногда даже практически невозможным.
В таких случаях можно вводить корректирование не непо—
средственно по самому возмущению, а по другим физическим

§ 33] систвмы с ввгуливовинивм по возмущению 277
величинам, тесно с ним связанным (кроме отклонения регу-
лируемой величины).
Возьмем, например, аналогично построенную систему
автоматического регулирования частоты ω переменного тока
синхронного генератора С.Г., приводимого от двигателя
постоянного тока Дв. (рис. 183). В данном случае основным
возмущающим воздействием является не изменение нагрузки
Литта/Л` "'",
прада/7
(”1'
\: \ т ‹ = _
`5 “ Ξ: @ Тг ДГ
1' Ι ’ __ а) IN.
Усилитель «- ”f _
u
Рис. 183.
двигателя или синхронного генератора (т. е. не изменение
нагрузки на объекте), а изменение угловой скорости враще-
ния (or якоря генератора постоянного тока Г. Основная
задача регулирования состоит здесь в том, чтобы получить
от синхронного генератора переменный ток постоянной ча-
стоты ω при большом диапазоне изменения угловой скорости
вращения вала первичного привода сог, например, от авиа-
двигателя.
Большие изменения скорости шг составляют здесь главное
возмущающее воздействие. Вводя регулирование по возму-
щению предыдущим способом, надо было бы измерять (ог.
Таким измерителем мог бы быть тахогенератор, дающий
напряжение U, пропорциональное сог. Но здесь лучше исполь-
зовать сам генератор постоянного тока Г. Его собственное
напряжение U и ток I как раз будут такими физическими
величинами, которые сильно зависят от возмущающего воз-
действия (изменения (ог).
Поэтому конкретным выражением регулирования по воз-
мущающему воздействию в данном примере будет устройство

278 кОврвктиРующив' СРЕДСТВА АвтоМнтйчвских систвм [гл. ‘1
смешанного возбуждения двигателя Да, приводящего син-
хронный генератор. В самом деле, угловая скорость двига-
теля в установившемся режиме будет
и—кяі
(‚)=—_—
стфя
причем, смешанное возбуждение дает
Фя=с,и— с,].
Поэтому, если подобрать параметры этой цепи так, чтобы
сэ=с2Нш
то получим
1
(о:—:сопз’с,
съ:
т. е. частота синхронного генератора становится в устано-
вившихся режимах одной и той же постоянной, независимо
от величины угловой скорости первичного привода (or, ко—
торая может изменяться в больших пределах. Это устройство,
таким образом, берет на себя главную часть решения задачи
поддержания постоянной частоты при переменной скорости,
вращения, существенно облегчая работу цепи регулирования
по отклонению, на долю которой остается лишь уточнение
решения указанной задачи и парирование влияния всех
остальных второстепенных возмущающих воздействий.
И в других системах бывает так, что цепь регулирования
по возмущению в той или иной форме выполняет основную
задачу регулирования, а цепь регулирования по отклонению
уточняет работу системы путем ликвидации влияния второсте-
пеннЫх возмущающих воздействий.
В комбинированных следящих системах, кроме основной
Цепи регулирования по отклонению (рассогласованию), вво-
дится дополнительная цепь регулирования по управляющему
воздействию xo (t) (рис. 23), этим самым вводятся в правую
часть уравнения следящей системы (13.33) дополнительные
члены, содержащие χ...) и ее производные по времени.
Назначение их аналогично вышеизложенному.
Ο других способах улучшения процесса автоматического
управления и регулирования будет еще речь в главе ν....

ГЛАВА VII
НЕЛИНЕЙНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 34. Релейные автоматические системы
Релейные системы регулирования относятся тоже, как и
импульсные, описанные в § 6, к категории систем автомати-
ческого регулирования прерывистого действия. Но их суще-
ственное отличие от импульсных систем заключается Β том,
что релейные системы по самому принципу своему являются
нелинейными системами. Дело в том, что здесь моменты
времени, в которые происходит замыкание и размыкание
системы, заранее неизвестны; они не задаются извне, а опре-
деляются внутренними свойствами самой системы (ее струк-
турой и величинами ее параметров). Этим обусловливаются
и основные специфические особенности динамики процессов
регулирования Β релейных системах, с которыми мы ниже
познакомимся.
В качестве первого примера релейной системы рассмот-
рим систему регулирования температуры, примерно той же
структуры, как на рис. 37, но с тем отличием, что вместо
импульсного звена для управления работой привода шторок
в ней поставлено релейное звено—в данном случае поляри-
зованное реле 3 (рис. 184). Его средний контакт Β зависи-
мости от знака тока Β диагонали моста 2, т. е. в зависи-
мости от знака отклонения регулируемой величины θ, замы-
кается с правым или с левым контактом, включая ток либо
в одну_ либо в другую обмотку возбуждения двигателя,
Β результате чего получаем либо одно, либо другое направ—
ление движения шторок на регулируемом объекте.
Считая, по физическим соображениям, тепловой процесс
нагревания и охлаждения объекта инерционным и апериоди-

280 нвлинвйныв Автомлтичвскив системы [гл. vu
ческим, запишем уравнение регулируемого объекта в виде
d0
Tm+0=—koq>+f(t). (34.1)
где То—постоянная времени объекта, 0—отклонение тем-
пературы, ср—угол поворота шторок, Лео—«коэффициент
——$д'
[mm ’ Z
...-“Ζ“- ‹9 .
Лег ла ема/а
ῄῃᾖζω
д,!
¢V\ l
ИИД/ЖД \
\ „в „‚
\ ‹:
Е «ξ "’
" Л:;
Рис. 184.
усиления» регулируемого объекта, вернее, коэффициент эффек-
тивности воздействия регулирующего органа на объект,
[(!)—внешнее возмущающее воздействие на объект, кото—
рое может быть произвольной функцией времени; в данном
случае это есть изменение температуры за счет любых дру-
гих причин, кроме поворота шторок (изменение теплового
режима работы самого объекта, т. е. «тепловая нагрузка»,
изменение температуры охлаждающего воздуха и т. п.). Па—
раметры объекта То и k0 можно определить экспериментально,
например, путем снятия переходной характеристики (§ 8,
рис. 56, где надо считать х=0‚ у=ср).
Измерительное устройство (термометр сопротивления !и
мост 2) характеризуется тем, что ток I В диагонали моста,
т, е. в управляющей обмотке реле, будет
1: до. (34.2)

ξ 34] Рвлвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы 281
Из сети в управляемую цепь реле (цепь контактов) подается
постоянное напряжение U=c. Напряжение U, питающее
двигатель, изменяется Β зависимости от величины тока I В
диагонали моста по ‚одному из законов, изображенных на
рис. 185. Нейтральному положению среднего контакта реле
соответст-вует значение U=O при малых величинах тока
—b<l<b (рис. 185,а). При некоторой величине тока
l=b реле срабатывает, включая напряжение U=c В одну
”Ἀ ”Ἀ
а] Й 6.
_д с Л
Л ἆ ! ἆ, дд !
"δ'
[Π
0! с
‚к Y _
Л l
Рис. 185.
из обмоток двигателя. При обратном направлении тока !, ко—
торое считается отрицательным, будет та же картина сраба-
тывания при l=—b, причем то же самое напряжение U
включается Β другую обмотку двигателя и дает ему другое
направление вращения. Это направление будем считать отри-
цательным и поэтому напряжение в этом случае будем отме-
чать знаком минус: U=——c (рис. 185, а). Интервал —b<
ςΙςὺ, где U=O, называется зоной нечувствительности
реле. Показанная зависимость выходной величины реле U
от входной ! называется статической характеристикой
реле.
Как известно, величина тока срабатывания реле не сов-
падает с величиной тока отпускания. При учете этого обстоя-
тельства получаем петлевую статическую характеристику
(рис. 185, 6), где дг—величина тока срабатывания, а 17,—
тока отпускания. Эта петля аналогична той, которая

282 нелинейные АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. vu'
получается при гистерезисных явлениях. Поэтому и в данном
случае ее называют гистерезисной петлей. Если петля не
широка, то ею часто можно пренебрегать.
Зона нечувствительности реле, имеющая место в этих
двух статических характеристиках, получается в том случае,
когда средний контакт поляризованного реле обладает ней-
тральным положением. Если этого нет, то он будет сразу
перескакивать из одного крайнего положения в другое
(рис. 185, в). Это будет идеальная релейная характери-
стика без зоны нечувствительности и без петли. Реальная
характеристика реле и в данном случае тоже будет иметь
петлю (рис. 185, г), половину ширины которой обозначаем
через b. Это—характеристика реле с петлей без зоны
нечувствительности, т. е. без среднего нейтрального поло-
жения.
Для статической характеристики реле введем общее обо-
значение: U: [:.(/), (343)
где Р(!)—нелинейная функция, задаваемая графически в од-
ной из форм, указанных на рис. 185. Это и будет уравне-
нием реле как звена данной системы регулирования. Оно
существенно нелинейно, т. е. такую статическую характери—
стику нельзя просто заменять одной прямой линией, если мы
хотим рассмотреть особенности работы релейной системы
регулирования:
Далее, двигатель имеет скорость, примерно пропорцио-
нальную напряжению U. Поэтому уравнение двигателя
с редуктором и со шторками (рис. 184), с учетом его меха-
нической постоянной записывается в виде
d2 d
т, ᾖ + ᾖ = 12,0, (34.4)
где (р—угол поворота шторок.
Для самого регулирующего органа (шторок) отдельного
уравнения писать не нужно, так как уравнение двигателя
(34.4) приведено уже к оси вращения шторок, а угол их
поворота φ уже входит непосредственно в уравнение регу-
лируемого объекта (34.1) Система замкнулась.
Отличие данной релейной системы регулирования (преры-
вистой) от непрерывной системы состоит в том, что вместо
реостата (рис. 37), дающего непрерывную зависимость U(s),

§ 34] ввлвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы 283
здесь поставлено реле (рис. 184), имеющее разрывную ха-
рактеристику (рис. ЮЗ)—скачкообразное изменение U(I).
В случаях а и 6 (рис. 185) релейный регулятор называется
трехпозиционным, а в случаях в и г—двухпозиционным.
Последнее называется также регулированием по принципу
«да — нет». Закон регулирования в данной релейной системе,
если принять характеристику реле идеальной (рис. 185, в) и
не принимать во внимание постоянных времени регулятора
(как всегда составляется закон регулирования), на основании
уравнений (34.2), (34.3), (34.4)
для релейной системы без нейтраль- ἔ-φχ
ного положения (двухпозиционной) а’ъ‘
будет
ἀφ“
(17 = k,c при θ) 0. \ , >
ἀφ (34.5͵ θ
(72—1230 при 6<0$
для релейной системы с нейтраль- а]
ным положением (трехпозиционной) Ἔκ
закон регулирования будет а’д‘
%):—ща при 0>О, "
Ё—‚Ф=0 при 0:0, } (34.6) *? " 7
%):—[азс при 9<O. J —;7-————
Оба закона регулирования изо- РИС- 186-
бражены графически на рис. 186.
Второй отличается от первого только фиксированным поло-
жением нулевой точки-.
Работа реле во времени выглядит следующим образом.
Пусть, например, ток I в диагонали моста изменяется как
показано на рис. 187, а. Тогда, если реле имеет характери-
стику типа а (рис. 185), изменение напряжения U, подавае—
мого на двигатель, будет происходить показанным
на рис. 187,6 образом. Принципиально важно здесь то, что
переключения реле происходят при определенных значениях
входной величины !=!) 'и I=—b.

284 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы [гл. vn
Покажем, как в этом случае можно определить ход про-
цесса регулирования. Выделив нелинейное звено (реле), сведем
все остальные звенья системы, включая и объект, в линей-
ную часть системы (рис. 188). Уравнение динамики линейо
ной части системы получится в данном примере, если
подставить значение 0, выра-
М
женное из (34.2) через I, В
уравнение объекта (84.1):
д 2"…- к ----- ’7‘: ТОЗ—, ’-+ I ——-k kmcp+k,f<t),
—д ”Г ----- ὡ-Μ-τ" t выразить отсюда— k olazlcp, про-
: а} : | дИфференцировать дважды not
| |
W : Ξ >]
6' -— Ξ : _
Л _ : : » Лилий/тя ттт/эт
LJ 5‘ 905/776 гдет
слетел/Ы
.с-
ἆ} Z
Рис. 187. Рис. 188.
и подставить все это в уравнение привода (34.4), умножив
его предварительно на —-ігоіг,. Получится искомое уравне-
ние динамики линейной части системы в виде
Tldt—a' „… +To) (?!—2 21+ch2
=_koan+k1(7w (Ту—2 ‚сд—+ (LC): (34])
где дел:/где, обозначает коэффициент усиления линейной
части регулятора. К этому надо присоединить уравнение
нелинейного звена (реле) в виде нелинейной функции (34.3):
U=F(I)
В одной из форм, указанных на рис. 185. Если реле имеет
характеристику типа a (рис. 185), то согласно рис. 187 надо
поступать следующим образом.
Пусть известны начальные условия процесса, характери-
зующие начальную точку искомой кривой [(t). Пока ll|<b,
имеем U: 0, Решаем уравнение (34.7) при этом условии и

§ 34] РЕлвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы 285
продолжаем решение до тех пор, пока не станет I=b.
Далее, при !> b надо решать уже уравнение (34.7) при U= с
и т. 11.
Например, при расчете переходного процесса (f: О),
пренебрегая малой величиной произведения TOT], надо после—
довательно решать следующие уравнения:
(T +7" )д—‚2+Ё—]——— ПРИ |1|<д‚
(Т +ПЁ—З—і—Ё—і —/г„/г„с при 1 >b.
(T +7“ “+: при|/і<д,
(T +1 )д—:і._‚+Ё—‚ ἀπε при 1<—д
и т. д. Следовательно, процесс в релейной системе может
быть найден путем решения различных линейных уравнений
по участкам, границы между которыми определяются дости-
жением величиной ! значений 1:0 и I=—b. При этом,
решая уравнения каждого участка, мы в качестве начальных
условий для него берем значения переменных, полученные
в конце предыдущего участка. Такой метод отыскания про-
цесса регулирования в релейной системе называется методом
припасовывания. Ниже будет дан еще иной подход к этому
вопросу.
В приведенном примере релейной системы имелось элек-
тромагнитное реле, управляющее работой привода регули-
рующего органа. Однако к релейным системам регулирова—
ния и управления относятся не только системы, содержащие
именно реле, а всякие системы, в составе которых есть
звенья (любой физической природы), обладающие статиче-
скими характеристиками релейного типа, когда выходная
величина звена меняется скачкообразно при непрерывном
изменении входной величины.
Например, если в пневматической системе управления
курсом водяной торпеды (рис. 20) оказывается, что при
открытой заслонке поршень и руль движутся пол действием
сжатого воздуха в установившемся режиме с постоянной
скоростью, а набор этой скорости происходит по экспо-
ненте, то уравнение пневматического привода можно записать

286'. нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы [гл. vu-
по аналогии с (34.4) В виде
Τ, T; yd—l—d—f kp, (34.8)
Где у—перемещение руля, р— давление воздуха, Т,—по-
стоянная времени, пропорциональная
Μ приведенной массе подвижной части
Г'_Г_ привода и руля.
с Статическая характеристика работы
Y 7 заслонки будет нелинейная
0 д
p = PW); (34.9)
она имеет вид рис. 189, где у—угол
Рис. 189. поворота заслонки, передаваемый от
ГИРОСКОПЗ, причем уравнение ГИРОСКО-
, КНК чувствительного элемента регулятора, имеет ВИД
т=/г,Ф‚ (34.10)
где ф—отклонение управляемой величины (отклонение тор-
педы от заданного курса).
Сравнивая эти три уравнения с прежними (34.2), (34.3),
(34.4), видим, что здесь, несмотря на коренное отличие
физической природы, имеется система управления того же
самого релейного типа, как и Β первом примере этого
параграфа.
Уравнение же объекта (рыскание торпеды на курсе) будет
иным, чем раньше, а именно:
Т„;‘Ё—ЁЁ+Ё—Ё"= —— key +f<t), (34.11)
где постоянная To пропорциональна моменту инерции торпеды
относительно вертикальной оси.
В этой системе заслонка играет ту же роль, что электро-
магнитное реле Β первом примере.
Возможно и другое рассмотрение данной пневматической
системы. Предположим, что поршень рулевой машинки 3
(рис. 20) очень. быстро по сравнению с поворотами самой
торпеды перебрасывается из одного крайнего положения
в другое при открытии заслонки и остается достаточно
длительное время в крайнем положении, пока не поступит
сигнал обратного знака. Тогда, не пользуясь уравнением
na

§ 34] Рвлвйныв автоматичвскив систвмы 287
(34.8), можно сразу записать уравнение всего регулятора
в виде
y=F(Y), Y=knl>, (34-12)
где нелинейная функция F(y) определяется графиком
рис. 190. Здесь величина запаса перекрытия заслонкой
отверстий является причиной
петли гистерезисного типа Β ре- ἄλ
лейной характеристике, в то время 4
какв предыдущем случае(рис. 189) ξ
она же была причиной зоны не— >?
чувствительности. Ι-ν-ὀ-Ι-ι-
Последний случай (34.12)
отличается от предыдущих двух
тем, что здесь сам регулирую- Рис. 190_
щий орган работает в релейном
режиме, а там было релейное управление привода рег):-
лирующего органа (так называемый привод постоянной скоро-
сти, или, как еще говорят «сервомотор» постоянной скоро-
сти). Это—наиболее распространенные типы релейных авто-
матических систем.
В случае системы с релейным режимом работы самого
регулирующего органа, в отличие от скоростного релейного
закона (34.5) или (34.6), получаем согласно (34.12) релей-
ный закон регулирования Β виде
у::с при 0,
y:_c при $20 } (34.13)
В случае ДВУХПОЗИЦИОННОГО регулятора, а В случае трехпо-
зиционного
у =с при ф>0,
у =0 при ψΞΟ, (34.14)
у_—_—— с при 1p<'0.
Приведем другой более типичный пример такой релейной
системы, Β которой сам регулирующий орган работает
Β релейНом режиме (двухпозиционном). Это—система регу-
лирования скорости ω электродвигателя (рис. 191). Чувстви-
тельный элемент (центробежный механизм 1) дает непре-
рывное перемещение муфты s:
Δ8 = kl Δω.

288 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы [гл vu
В некотором среднем положении, которое мы примем за начало
отсчета для As, муфта нажимает на контакт 2 (регулирующий
И „ орган), замыкая его. При разом-
кнутом контакте 2 В uenb возбужде—
ния регулируемого двигателя Ο вклю—
чено добавочное сопротивление Нд.
При замкну гом контакт е 2 оно выклю-
чено, так как цепь возбуждения замы-
кается параллельно этому сопроти-
влению. Поэтому статическая харак-
теристика регулирующего органа
будет иметь вид, показанный на
рис. 192, без петли (а) или с пет-
лей (б) в зависимости от качества
контактной пары.
Следовательно, регулятор описы-
вается двумя уравнениями:
As = kl Δω, Ar=— F(As), (34.15)
где Р(А$)—релейные характери-
стики, показанные на рис. 193, a, 6.
Рис. 191. Если учитывать переходные процес-
сы В цснтробежном механизме, то
уравнения регулятора будут
134%13284гт— “АЗ +As=k Δω, ΔΓΖ-ΗΜ, (34.16)
где Τξ пропорционально приведенной массе механизма (рас-
”А
\Jf’
17475.74
„ 78
=_і/г
__?ь—ё
@?
д?
Рис. 192.
качивающий фактор), Т,—постоянная, характеризующая
демпфирование.

§ 34] ввлвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы 289
Уравнение регулируемого объекта (двигателя) по ана-
логии с уравнением (33.11) имеет вид
dAm
где f(t) определяется как изменением нагрузки на валу
двигателя, так и всеми другими внешними причинами,
например, колебаниями питающего напряжения U.
AF 1/..-
Γ- Γ
б' δ'
γ- ?-_
Рис. 193.
Еще одним типичным примером двухпозиционного релей-
ного регулирования (с релейным режимом работы регулирую—
щего органа) является вибрационное регулирование напряже-
ния на клеммах генератора постоянного тока, применяемое на
автомобилях, самоле-
тах и т. п. Принци- __JVWV\
пиальная схема пока— д
зана на рис. 194.
Регулируемая вели-
чина—напряжение U.
Для чувствительно- . ἡ
го элемента — элекТро-
магнита 1—с учетом ἆ
его постоянной време-
ни (индуктивности) "'—___“
Литл/а
имеем Л ’-
dAl
Т1 d—t+AI=kl AU. ,“ .“
(34.18) Рис. 194.
Изменение тока AI
создает изменение тяговой силы электромагнита. При умень-
шении последней пружина замыкаег контакты k, выключая
10 E. П. Попов

290 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. vn
добавочное сопротивление Нд из цепи возбуждения генера-
тора. Следовательно, уравнение регулирующего органа
(контактов) “здесь будет иметь вид релейной характеристики
Ar=F (ΔΙ), (34.19)
показанной на рис. 195.
Регулируемый объект (генератор) описывается уравне—
нием (10.11)
ἔξ’-|- AU=— k Ar +f(t) (34.20)
° dt ° '
Процесс регулирования во всех этих системах можно опре—
делить методом припасовывания, указанным выше в первом
примере, или иначе (см. ниже).
Ar Для улучшения процесса ре-
гулирования в релейных системах
применяются те же самые сред-
1/; ства, что и в непрерывных линей-
᾽ 7 ° ных системах. К этим средствам
ἢ . Jr д :” ОТНОСЯТСЯЗ
а) последовательные коррек-
тирующие устройства (введение
| производных и интегралов в за-
Рис. 195. кон регулирования),
6) параллельные корректи-
рующие устройства (введение
жестких и гибких обратных связей, инерционных и безинер-
ционных),
B) корректирующие устройства по возмущению (комбина-
ция принципа регулирования по отклонению регулируемой
величины с принципом регулирования по возмущающему
воздействию).
Все эти средства по—прежнему имеют целью подавление
колебаний регулируемой величины в процессе регулирования,
улучшение качества переходных процессов, расширение обла-
сти устойчивости равновесного состояния системы.
Кроме введения указанных корректирующих средств, су-
щественное значение для всех качественных показателей
работы релейной системы автоматического регулирования
имеют:
а) ширина зоны нечувствительности,
б) ширина гистерезисной петли.

§ 34] рвлвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы 291
Β большинстве случаев первый фактор способствует
успокоению колебаний, а второй—раскачиванию колебаний.
Однако иногда дело может обстоять и иначе. Например,
мы видели, что в пневматической системе регулирования
(рис. 20) при сравнительно медленном движении поршня
зона нечувствительности, получающаяся вследствие запаса
перекрытия отверстий заслонкой, создает хорошую зону
нейтрального положения (рис. 189), внутри которой возможны
устойчивые равновесные положения системы. При очень
быстрых же движениях поршня та же самая зона нечувстви-
тельности В работе заслонки превращается В гистерезисную
петлю на регулирующем органе (рис. 190), т.е. Β этом
случае она же вместо создания зоны возможного успокоения
системы будет способствовать колебаниям объекта на курсе.
Подобные превращения мы увидим и ниже на других при-
мерах.
Хотя зона нечувствительности часто и способствует
успокоению колебаний, использование ее для этой цели весьма
ограничено, так как расширение ее приводит кдополнитель-
ным установившимся ошибкам, в частности, к статической
ошибке. В самом деле, возьмем первый наш пример (рис. 184).
При характеристике реле типа а (рис. 185) равновесное со—
стояние системы возможно в любой точке внутри зоны
—-b<1<b;
при этом согласно (34.2) регулируемая величина может
получить любое значение Β интервале
b b
_k7<0<k_1’ (34.21)
что и представляет собой статическую ошибку системы,
пропорциональную ширине зоны нечувствительности. Стати—
ческая ошибка, вследствие наличия зоны нечувствительности,
здесь имеется, несмотря на то, что по отношению к возму-
щающему воздействию, как видно из уравнения (34.7),
система является астатической.
Наконец, надо сказать о дополнительной особенности
введения обратной связи в релейных системах регулирования.
На рис. 196 изображена прежняя наша система регулирования
(рис. 184), но только с введением жесткой обратной связи,
состоящей из потенциометра 7 и дополнительной обмотки
10*

292 нвлинвйныв Автомьтичвскив системы [гл. vn
реле 8, ампервитки которой AWDc вычитаются из ампервит-
ков основной обмотки (от измерительного устройства) AW“,
a именно
AWZAWHy—AWoc’ (34.22)
причем
AWny=k16’ } (34 23)
Атос : kOCCP' .
Характеристику реле изобразим здесь в виде рис. 197, а, 6
(аналогично можно представить и два остальные вида харак-
теристики рис. 185, заменив I на AW), T. e.
u: ΗΑ W). (34.24)
Уравнения привода и регулируемого объекта остаются
прежними (34.4) и (34.1).
Рассматривая отдельно замкнутый контур, состоящий из
(см. рис. 196) реле 3, привода 5, редуктора б, потенцио-
метра 7 и обмотки 8, можно считать его следящей системой
;.ч
f/t Μ’
Йегуда/„илмий
Maw/27
ΑΛ..
IAAAA
Puc.196.
(см. § 3), входной величиной которой является Аш”, а вы—
ходной— угол поворота шторок φ. Шторки в этой системе
будут управляемым Объектом. Как и всякая следящая система,

§ 34] ввлвйныв Автоммичвскив систвмы 293
при удачном выборе параметров этот контур осуществляет
с некоторой определенной точностью задачу слежения, т. е.
задачу осуществления пропорциональности (или равенства)
между выходной и' входной величинами:
φ ==: kAWHY (34-25)
(с точностью до статических и динамических ошибок, при—
сущих всякой следящей системе), причем согласно (34.23)
имеем
Α WW : іг,0.
Следовательно, если не вдаваться в детали процесса ра-
боты указанного внутреннего замкнутого контура (3, 4, 5, 6,
)” M7
δ' ὀ'
A; v „ л с + L
᾽ д ᾗ“ ᾷῤἆ flh/
а] ἆ}
Рис. 197.
7, 8, рис. 196) как следящей системы, то работу всего релейного
регулятора с жесткой обратной связью Β целом в грубых
чертах можно (при удачном подборе ἆτος) описать уравнением
φ = игре,!) (даре, : we). (34.26)
Это является законом регулирования в данной системе
(рис. 196), который получился вместо прежнего релейного
закона регулирования (34.5) или (34.6).
Отсюда видно, что введение жесткой обратной связи
в релейный регулятор (такое, чтобы реле входило в число
охватываемых звеньев) может превратить разрывный релей-
ный занон регулирования в непрерывный, приблизительно
линейный (34.26). Это является замечательным и практически
очень важным свойством дополнительных обратных связей
Β релейных системах регулирования. Обратная связь позво-
ляет сгладить и, следовательно, приблизить к линейной такую
существенно нелинейную систему регулирования как релей—

294 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систнмы [гл. vu
ную, а значит, и применить к ней Β первом грубом прибли-
жении обычные линейные методы расчета, простейшие
из которых указаны были Β предыдущих главах. Более же
точный расчет с учетом нелинейности надо вести по системе
уравнений (34.22), (34.23), (34.24), (34.4) и (34.1).
Если вместо жесткой обратной связи в данную систему
(рис. 196) ввести гибкую, т. е. вставить Β нее дифференци-
рующии трансформатор (как было на рис. 179) или заменить
потенциометр тахогенератором (как было на рис. 180), то
Β выражении (34.22) получим
d
Αψος“: koc ᾖ ’
и новый замкнутый контур при удачном подборе его пара-
метров будет работать как следящая система, выполняющая
задачу
dq> `
Ἡ \. ЬА‘Уиу,
вследствие чего закон регулирования вместо (34.26) станет
d
d—‘5=kper0 или ф=ерег$0шн (34.27)
Это—тоже непрерывный линейный закон, но скоростной
(астатический).
Заметим, что при наличии Β регуляторе дополнительной
обратной связи зона нечувствительности реле может ока-
заться нежелательной. Она ино-
Λφ ; д гда может привести к тому, что
при движении по закону (34.25)
Β одну сторону процесс пойдет
) по прямой ΑΒ (рис. 198), а в дру-
/'-'. 7/14“, гую сторону—по прямой CD.
Может получиться, следователь-
Л „*'д но, иногда превращение зоны
нечувствительности в гистерезис-
Рис. 198. ную петлю, ширина которой
пропорциональна ширине зоны.
Она может усугубляться при наличии зазоров Β механи-
ческой передаче от двигателя к шторкам. Это будет способ-
ствовать колебаниям или же мелкому дрожанию системы
(последнее не всегда вредно).

§ 35] ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОЦЕССА НА фАзовой плоскости 295
Улучшение работы релейной системы, связанное со сгла-
живанием ее характеристики, может быть достигнуто еще и
другим путем—при помощи вибраций, получающихся либо
специальным введением вынужденных колебаний, либо соз-
данием определенного автоколебательного режима, а также
так называемого скользящего режима. Но улучшение работы
системы отнюдь не всегда связано с приближением ее к линей—
ной системе. Бывает, что именно релейный режим приводит
к повышению быстродействия системы. Иногда с этой целью
даже в обычную линейную систему регулирования вводят
релейное корректирующее устройство (так называемые опти-
мальные системы, см. § 41).
§ 35. Изображение процесса регулирования
на фазовой плоскости
Отыскание процесса регулирования Β релейной системе
по методу припасовывания, упоминавшееся Β предыдущем
параграфе, решает задачу, но не всегда Β достаточно нагляд—
ной форме. Для достижения наглядности и лучшей обозри-
мости возможных форм процесса регулирования применяют
изображение его на так называемой фазовой плоскости,
с которой мы здесь познакомимся. Правда, при этом нам
придется ограничиться рассмотрением только таких случаев,
когда динамика всей системы регулирования Β целом описы—
вается дифференциальным уравнением второго порядка. Это
ограничение существенно, ибо, как мы видели в главе Ill,
переход от уравнения второго порядка к третьему является
для теории автоматического регулирования весьма принци-
пиальным. В этом же мы убедимся и здесь (§§ 36 и 38).
Однако изображение процессов на фазовой плоскости является
все же прекрасным средством иллюстрации простейших отли-
чительных особенностей релейных систем регулирования.
Поэтому мы к нему сейчас и обратимся.
Фазовой плоскостью называется плоскость, на которой
по двум осям координат (х, у) откладываются какие-либо
две переменные, характеризующие поведение данной системы
регулирования в динамике (в переходном процессе). В ка-
честве двух таких переменных можно взять, например,
отклонение регулируемой величины х и скорость изменения

296 нвлинвйныв Автомпичвокив систвмы [гл. vu
этого отклонения
dx
yZEZ'o (35.1)
Это—наиболее распространенный выбор координат фазовой
плоскости. Вообще же можно брать и любые две другие
переменные, например, x=AU, y=AI для системы вибра-
ционного регулирования напряжения (рис. 194) и т. п. Мы
dx
будем пользоваться здесь фазовыми координатамиу :ἆ и х.
ὡ:
!”ᾗ'
дат,-иа)
Рис. 199.
Посмотрим, как выглядят на фазовой плоскости основные
типы процессов регулирования.
1) Сначала рассмотрим случай периодических колебаний
с постоянной частотой и амплитудой а (рис. 199, а). Пусть
процесс x(t) начинается в точке А с положительным на-
чальным отклонением xo и положительной начальной ско-
dx
ростью у°=217 при i=0. Тогда начальная точка Α προ-
цесса x(t) изобразится на фазовой плоскости (х, у) в виде
определенной точки MA (рис. 199,6) с заданными координа-
тами хо, yo.
Далее, на участке процесса ΑΒ (рис. 199, а) отклонение х
х
увеличивается, а скорость у=а7 уменьшается. В соответст-
вии с этим изображающая точка М на фазовой плоскости
(рис. 199, 6) будет двигаться, описывая кривую MAME. Эта
кривая называется фазовой траекторией. Точка МВ, где
γε.-Ο и х=х будет соответствовать верхней точке В
процесса x(t).
max»

§ 35] ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОЦЕССА нь фАзовой плоскости 297
Затем участку ВС процесса x(t) будет соответствовать
движение изображающей точки М на фазовой плоскости (x, y)
по некоторой кривой МВМС, причем точка МС отвечает
dx
а:
имеет отрицательное значение. Аналогично легко убедиться
Β том, что участкам CD и DE процесса κα) соответствует
движение изображающей точки М на фазовой плоскости
по кривой МСМВМЕ.
Наконец, спустя время, равное периоду колебаний Т
(рис. 199, а), в точке F система будет иметь те же самые
точке С процесса x(t), В которой х—=О, а скорость y:
dx
значения отклонения х И СКОРОСТИ yZ-(F’ ЧТО И В началь-
ной точке процесса А (если, как мы условились Β начале,
процесс действительно периодический). Это значит, что
изображение М,.— точки F процесса х (t) совпадает на фазовой
плоскости (рис. 199, б) с изображением МА начальной точки А
процесса.
В дальнейшем ходе процесса кривая x(t) после точки F
будет точным повторением того, что было в первом периоде
колебаний (так как мы рассматриваем периодический процесс).
Следовательно, и изображающая точка М на фазовой пло-
скости после точки Мг пойдет точно по тому же замкнутому
контуру, который у нас получился в первом периоде колеба-
ний. Направление движения изображающей точки М по фа—
зовой траектории принято обозначать стрелками.
Следовательно, любой периодический колебательный про-
цесс с постоянными амплитудой и частотой всегда изо-
бражается на фазовой плоскости в виде некоторого замк-
нутого контура—замкнутой фазовой траектории. Каждому
периоду колебаний соответствует прохождение изображающей
точкой всего контура.
Например, если колебания χω синусоидальны, т. е.
—asin(ot ((о—23—
Х— › __Т 7
2π
где а — амплитуда, ω -- частота (а):? — радиан в секунду:
6,28 радиан в секунду составляет один герц—одно полное
колебание Β секунду), то
dx
yz—zamcosmt,
(it

298 нвлинвйныв автомьтичвскив систвмы [гл. vu
Эти две формулы дают на фазовой плоскости эллипс с полу-
осями а (no оси x) и ао) (πο оси у). Если же колебания
несинусоидальны, то замкнутый контур на фазовой плоскости
будет отличаться от эллипса.
2) Рассмотрим теперь случай затухающего колебатель-
ного процесса (рис. 200, а). Пусть имеют место те же самые
начальные условия процесса (x0, yo), а значит, и то же самое
начальное положение изображающей точки МА на фазовой
плоскости (рис. 200,6).
Рис. 200.
Начальная часть процесса ABC аналогична таковой в
прежнем случае, и изображается она аналогичной кривой
МАМВМС. Дальнейшие размахи колебаний (CDE и т.д.)
происходят с меньшими амплитудами а„ а„ Вследствие
этого и соответствующие участки фазовой траектории МсМдМЕ
и т.д. оказываются ближе к началу координат фазовой
плоскости. Поэтому, спустя время Т (рис. 200, α), в точке F,
когда наступит та же фаза колебаний, которая была в на-
чальной точке А процесса x(t), отклонение x окажется
меньше начального хо и изображающая точка MP He совпа-
дет с начальной МА, а будет ближе располагаться к началу
координат (рис. 200,6).
Следовательно, затухающий колебательный процесс изо-
бражается на фазовой плоскости в виде сходящейся спи-
ралевидной фазовой траектории.
3) Расходящийся колебательный процесс (рис. 200, а)
изображается на фазовой плоскости в виде расходящейся
спиралевидной фазовой траектории (рис. 201,6).

§ 35] ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОЦЕССА HA фазовой плоскости 299
4) Затухающие κ нулю апериодические процессы раз-
личных шести видов, указанных на рис. 202, а, как легко
Рис. 201 .
проверить, изображаются различными фазовыми траекто-
риями, вливающимися в начало координат фазовой пло-
скости (рис. 202,6).
Рис. 202.
5) Изображением расходящихся апериодичесхих процес-
сов (рис. 203, а) будет показанная на рис. 203, б картина
фазовых траекторий, уходящих от начала координат фа-
зовой плоскости.
Приведенными здесь картинами фазовых траекторий мы
будем дальше пользоваться в обратном смысле. По заданным
уравнениям динамики системы автоматического регулирования

300 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы [гл. VII
будем строить для нее картину фазовых траекторий, по
которой будем судить о том, какие переходные процессы в
данной системе регулирования возможны.
Укажем два общих для фазовых координат (x, y) npa-
вила, которые надо учитывать при построении фазовых тра-
екторий.
Рис. 203.
а) В верхней половине фазовой плоскости, где у>0,
изображающая точка всегда движется слева направо (в
сторону увеличения x), a в нижней половине плоскости,
где у<О,—справа налево. Это правило используется при
расстановке стрелок вдоль фазовых траекторий. Оно непо-
средственно вытекает из формулы (35.1), так как при у> 0
d
x
имеем d—t>0’ что означает увеличение х, а при у<0—
наоборот.
6) На оси х, разделяющей верхнюю и нижнюю половины
фазовой плоскости, имеем у=0. Это согласно (35.1) озна-
чает, что %:О, т. е. скорость изменения x равна нулю.
Следовательно, фазовые траектории пересекают ось х под
прямым углом. На изображенных выше картинах фазовых
траекторий это соответствовало максимумам и минимумам
кривой x(t).
Эти правила не распространяются на другие системы
фазовых координат, к которым, однако, мы прибегать и не
будем (но общий характер фазовых траекторий для разных
типов процессов, выясненный выше, сохраняется и для дру-
гих систем фазовых координат).

§ 35] ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОЦЕССА НА фАзовой плоскости 301
Чтобы полностью характеризовать переходные процессы
Β системах регулирования, описываемых дифференциальными
уравнениями второго порядка, достаточно двух координат
(х, у). При повышении порялка увеличивается и число не-
обходимых координат (оно равно порядку уравнения). Поэтому
там понадобилось бы изображать фазовые траектории Β трех—
мерном и с большим числом измерений пространствах или
применять другие ухищрения. Поэтому нам и придется, как
указывалось Β начале, ограничиться Β данном параграфе
рассмотрением релейных систем только второго порядка.
”А y
а] F): д? % "с
V μ
,Β. ? _а 79
| № {Η ‚„ L
Ул ”А
ὦ) :о г] Γ |“ 170
А ___
”'д jg 'д
4
Рис. 204.
В качестве первого примера возьмем релейную систему
регулирования температуры (рис. 184), описываемую уравне—
ниями (34.7) и (34.3). Будем рассматривать только переход-
ные процессы при отсутствии внешних возмущающих воз—
действий (f = O). Чтобы иметь дело с уравнением второго
порядка, пренебрежем величиной произведения ТОТ,. Кроме
того, интересуясь изменением не величины I, а регулируе-
мой величины θ, заменим Β уравнении (34.7) согласно фор-
муле (34.2) величину I Ha [210. Β результате вместо (34.7)
получим уравнение
d20
d0
‹Д+…№+Щ=—щыд вы)
где (]=Р(6)—нелинейная функция, которая из заданных
релейных характеристик (рис. 185) получается изменением
только масштаба по оси абсцисс, как показано на рис. 204.

302 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. νυ
Построим картину фазовЫх траекторий для данной си-
стемы регулирования В случае релейной характеристики типа а
(рис. 204). В этом случае уравнение динамики системы (35.2)
на разных участках будет иметь одну из следующих трех
форм: =0 ае
d b b
(T.+T.)d-gz+7t=0 "p"—E<9<7a’ (35.3)
‹120 d0 b
(T1+ To)(fi3+a=—koksc при 6>Е › (354)
dzfl d0 b
(T1+To)fi3+7t=kokac при θζ-ἶ ° (35-5)
Возьмем фазовую плоскость с координатами
х=6‚ 31:37. (35.6)
Тогда уравнение (35.3) будет действовать внутри полосы
ABCD (рис. 205), уравнение (35.4)—справа от нее, а урав.
нение (35.5)——слева.
Изобразим сначала фазовые траектории внутри полосы
ABCD. Для этого в уравнении (35.3) заменим
d0 _ fl_dy
(Т:—% „::=—Щ—
Получим
d
<n+mfi=—» ‹жр
Но на фазовой плоскости нет переменной t. Следовательно,
чтобы получить уравнение фазовых траекторий, надо из
(35.7) искл'ючить переменную t. Для этого воспользуемся
вытекающей из обозначений (35.6) формулой
d
fizzy, (35.8)
и разделим уравнение (85.7) на (35.8). В результате полу-
чйм дифференциальное уравнение фазовых траекторий внутри
полосы ABCD В виде
d
<n+mfi=~n
откуда фазовые траектории будут
1
yz—mx—Jl—Cv (35.9)

§ 35] ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОЦЕССА НА фАзовой плоскости 303
где С —произвольная постоянная интегрирования. При всех
возможных ее значениях —-оо<С <+оо получаем на
фазовой плоскости прямые, заполняющие всю полосу ABCD
(рис. 205), причем С, есть ордината точки пересечения
каждой прямой с осью у. Тангенс угла наклона всех прямых
1
Т1+То°
в соответствии с указывавшимся выше общим правилом.
Правее полосы ABCD согласно уравнению (35.4) с 060-
значениями (35.6) имеем
d
(Т, + To) ᾖ:“! "᾿" koksc'
Для исключения переменной t разделим это на уравнение
(35.8). Получим дифференциальное уравнение фазовых тра-
екторий в виде
ОДИНЗКОВ И равен —— На ПРЯМЫХ поставлены стрелки
d ἐᾶι:
<n+mg=—fi$¢
ИЛИ
ydy
dx=—(T1+T°)y+ko,kc’
откуда путем интегрирования получаем фазовые траектории
x-=<T.+T.><k.k.c1n\y+k.k.cI—y>+c.. (35.10)
По этому уравнению построена картина фазовых траек—
торий, изображенная на рис. 205 справа от полосы ABCD,
причем каждая кривая соответствует определенному значе—
нию произвольной постоянной С,.
Слева от полосы ABCD согласно уравнению (35.5) будет
то же самое, что справа, но только надо переменить знак
перед величиной ь,ь,с на обратный, т. е. фазовые траекто—
рии вместо (35.10) будут
35: _.(Тт + To)(kok301n 'У _ koksc |. ἦν) _ Cr (35'11)
Они изображены на рис. 205 левее линии CD.
Общая картина для данной системы (рис. 205) такова,
что все фазовые траектории имеют вид спиралевидных кри-
вых, прибЛижающихся к началу координат. Следовательно,
при любых начальных условиях переходный процесс в си-
стеме будет затухающим. Например, если заданы начальные

304 нвлинвйныв Автоммичвскив системы [гл. vu
УСЛОВИЯ процесса
d9
6=х°, ЁЁ=У° при i=0,
получим начальную точку фазовой траектории МА(х„,у°),
а сама фазовая траектория будет иметь вид кривой
МАМ,М2М_,М4МБМ6. В точке М, процесс остановится. По
этой фазовой траектории можно приблизительно (так как
(2’6
3’77“
Л .‚4
”(v/30%
Рис. 205.
времени t Ha фазовой плоскости нет) составить себе пред-
ставление о форме переходного процесса (рис. 206, где _ну-
мерация точек та же, что на рис. 205).
Остановка процесса может произойти В любой точке от-
резка EOF фазовой плоскости (рис. 205), т. е. в любой
точке зоны нечувствительности реле (рис. 204, a).
Построим теперь картину фазовых траекторий в той же
системе в случае релейной характеристики типа 6 (рис. 204).
Эта характеристика отличается от прежней тем, что пере-
_ d0
ключения реле при увеличении 0 (т. е. при Щ>0' что со-

§ 35] ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОЦЕССА НА фАзовой плоскости 305
ответствует верхней половине фазовой плоскости) сдвинуты
b —b
Ha величину J—F—J относительно переключений реле при
1
уменьшении θ. Поэтому картина фазовых траекторий вместо
М 7
Рис. 206.
прежней принимает вид, изображенный на рис. 207. Пере-
ходный процесс по-прежнему получается затухающим при
a?
?=]???
№№
κῇ,
‹
7r;
Рис. 207.
любых начальных условиях, но вследствие указанного сме-
щения переключений реле (за счет гистерезисной петли)

306 нелинейные Автомхтичвскив систвмы [гл. v11
затухание переходного процесса становится несколько менее
интенсивным.
При идеальной характеристике реле (рис. 204, в), когда
b=0, полоса ABCD (рис. 205) отсутствует, и картина фа-
зовых траекторий принимает вид рис. 208. Получаем тоже
затухающий колебательный переходный процесс.
ἐν
№
Рис. 208.
Аналогичным путем можно построить картины фазовых
траекторий для всех других релейных систем, рассмотренных
в § 34, если понизить порядок их уравнений до второго.
§ 36. Автоколебания в релейных системах
Построим картину фазовых траекторий для той же ре-
лейной системы регулирования температуры (рис. 184), что
и в предыдущем примере, но при петлевой характеристике
реле (рис. 204, г). При этом, чтобы можно было использо-
вать фазовую плоскость, как и раньше, пренебрегаем вели-
чиной произведения TITO. Тогда мы можем воспользоваться

ξ 36] АВТОКОЛЕБАНИЯ в релейных СИСТЕМАХ 307
результатами предыдущего параграфа, учтя, что при петле—
вой релейной характеристике типа г (рис. 204) линия пере-
до
ключения реле сдвинется при 27> Овправо, а при ζἩ(0---
b
влево, на величину ἷ от оси ординат фазовой плоскости,
1
что приведет к картине фазовых траекторий, указанной на
рис. 209.
\УЁХ ||]
Рис. 209.
Эта картина принципиально отличается от предыдущих
тем, что от Центра плоскости (от отрезка COB) все фазовые
траектории по спирали расходятся. Это значит, что при ма-
лых начальных отклонениях в системе получается расхо-
дящийся колебательный переходный процесс. Однако с краев
плоскости все фазовые траектории по спиралям сходятся
внутрь плоскости. Следовательно, при больших начальных
отклонениях получается затухающий колебательный пере-
ходный процесс.
Границей между расходящимися изнутри фазовыми траек-
ториями и сходящимися снаружи фазовыми траекториями

308 нвлинвйныв автомгхтичвскив системы [гл. Vu
является замкнутый контур MNKLM. OH соответствует пе-
риодическому колебательному процессу с постоянной часто-
той и амплитудой ао- К нему асимптотически приближаются
спиральные фазовые траектории изнутри и снаружи. Такой
замкнутый контур называется устойчивым предельным цик:-
лом.
Итак, получаем картину переходных процессов в данной
системе, показанную на рис. 210. При малых начальных от-
клонениях процесс расходящийся, а при больших—Затухаю-
щий, но не до нуля. Оба процесса сходятся к одному и
Рис. 210.
тому же периодическому колебательному процессу с посто-
янной амплитудой а9 (жирная линия на рис. 210). Период Т
этих колебаний непосредственно из картины фазовых тра-
екторий неясен. В конце параграфа мы укажем приближенное
его определение.
Равновесное состояние системы в данном случае неус-
тойчиво, так как при малейшем отклонении от него полу-
чается расходящийся переходный процесс. Но он расходится
только до определенной амплитуды ае. Периодический же
колебательный процесс с амплитудой а9 будет устойчи-
вым, так как, если систему отклонить от него в любую
сторону, она, как видно из рис. 210, снова к .нему вер-
нется.
Мы впервые встретились с такого рода картиной процес-
сов. Раньше всегда (во всех предыдущих параграфах и гла-
вах) мы имели либо затухающий при любых начальных усло-

§ 36] ΑΒτοκοπΕΒΑΗππ Β рвлвйных СИСТЕМАХ 309
виях переходный процесс (устойчивая система), либо расхо—
дящийся при любых начальных условиях процесс (неустой-
чивая система). Здесь же оказалось, что при одних началь-
ных условиях (когда амплитуда первого колебания меньше ае)
переходный процесс расходится, а при других начальных
условиях (когда амплитуда первого колебания больше ао) он
затухает. Это характерное новое явление присуще только
нелинейным системам. Спрашивается, считать ли такую си-
стему устойчивой или неустойчивой?
Относительно равновесного состояния эта система неус—
тойчива, но зато она обладает устойчивыми периодическими
колебаниями с определенной амплитудой ае. Такая система
годится для целей регулирования, если эта амплитуда коле-
баний аа невелика и частота их не опасна, т. е. если нало-
жение этих колебаний на требуемое постоянное значение ре-
гулируемой величины практически допустимо по техническим
требованиям, предъявляемым к данной системе. В этом слу-
чае можно считать систему прантически устойчивой.
Если же амплитуда устойчивых периодических колебаний а0
(рис. 210) велика настолько, что для целей регулирования
система не годится, то практически для нас это будет рав-
ноценно системе с расхоцящимся колебательным процессом.
В таком случае систему следует считать практически не-
устойчивой.
Очень важно отметить, что описанные периодические ко-
лебания не вынуждаются никакими внешними периодическими
воздействиями, это — не вынужденные колебания. Мы пришли
к ним путем рассмотрения дифференциальных уравнений пере-
ходного процесса при f(t)_-:O. Значит, они являются соб-
ственными свободными колебаниями системы. Это первое
важное обстоятельство.
Во-вторых, эти колебания имеют вполне определенную
амплитуду и частоту, не зависящую от начальных усло-
вий процесса. Это видно из рис. 209 (из любой точки фа-
зовой плоскости траектории сходятся к одному и тому же
предельному циклу). Амплитуда и частота этих периодиче-
ских колебаний, как видно из того же рис. 209 и из урав-
нений фазовых траекторий (35.10), зависят толысо от на-
раметров самой системы (регулятора и объекта): #„ b, с,
Ь„ Т„ k0, To. Они могут зависеть от величины постоянной
внешней нагрузки на объект и других подобных неизменных

310 нвлинвйныв Автомхтичвскив систвмы [гл. vn
внешних факторов, определяющих само равновесное состоя-
ние системы, около которого происходят эти колебания.
В-третьих, эти устойчивые собственные свободные перио-
дические колебания системы возникают не только при одних
каких-то граничных сочетаниях параметров системы, а в целой
более или менее широкой области сочетаний параметров
системы (подобно области устойчивости равновесного состоя-
ния в линейной системе регулирования). В самом деле, как
изменится картина фазовых траекторий, если мы изменим
параметры системы? Качественно она останется прежней,
тоже будет устойчивый предельный цикл, но только изме-
нятся его размеры (он сожмется или растянется).
Такого рода устойчивые собственные свободные перло-.
дические колебания, обладающие указанными свойствами,
называются автоколебаниями. Наличие автоколебаний яв—
ляется замечательным специфическим свойством нелинейных
систем (не только релейных, но и некоторых других). Да-
леко не во всяких нелинейных системах они могут иметь
место, но возникать они могут только в нелинейных систе-
мах. Если в какой-нибудь реальной системе регулирования
на практике наблюдаются автоколебания, то Зто всегда обя-
зательно является следствием наличия определенного вида
нелинейности в этой системе. Ниже (§ 39) будут показаны
случаи возникновения автоколебаний также в некоторых не—
линейных системах без релейных звеньев. В чисто линейных
системах автоколебаний быть не может.
В данной системе (рис. 184 и 185, г), согласно картине
фазовых траекторий (рис 209) и уравнению (35.10) получаем,
что амплитуда автоколебаний α9 увеличивается с увеличением
следующих параметров: ширины гистерезисной петли b, коэф-
фициентов усиления привода k и объекта k0, напряжения с,
постоянных времени Τ1 и Т(, (рис. 211). Амплитуда автоколе-
баний уменьшается с увеличением коэффициента усиления
чувствительного элемента k.
Величина амплитуды автоколебаний а, определяется гра-
фически как максимальная абсцисса ON 0предельного цикла
(рис. 209). Для такого ее определения надо строить
достаточно точно всю картину фазовых траекторий по край-
ней мере внутри полосы |у|<к°к,с (чтобы определить сам
предельный цикл). Однако, можно вычислить амплитуду а„ и
аналитически, без построения картины фазовых траекторий. Для

§ 36] ABTOKOJ‘IEBAHHH В ввлвйных систвмкх 311
этого прежде всего нужно найти сам предельный цикл, как
такую фазовую траекторию, у которой ордината точки К
равна и противоположна по закону ординате точки М
(рис. 209):
уК=—ум или (‚?=—Й, (36.1)
где Ум и Ук определяются из формулы (23.10) как
b b ,
Ум=У>О при χεῖ, уК=у<0 при xz—E. (30.2)
Этими двумя уравнениями с учетом (36.1) определяется зна-
чение произвольной постоянной Cz в формуле (35.10), соот-
ἁ я?" " 7
5'
”0A д J Лд
7r, 7%
Рис. 211.
ветствующее предельному циклу, и величина BM, a именно:
ьоьзс-ъвм 2b
1 __: — 2Ё/_И=————-
k°kac П kukac _ BM Ё, (Τι + To) ᾽
C2: _ ЕЁ ігоігдс [1п (koksc + [ЗТ/т) +1n(kok,c _в_/м)]. (36.4)
(36.3)
Первое из этих уравнений относительно неизвестной ВМ
можно решить графически (рис. 212), построив левую часть
уравнения в виде кривой 1᾽ а правую—прямой 2. После
этого искомая амплитуда ае определится из (35.10) как

312 нвлинвйныв Автомятичвскив систвмы [гл. v11
значение х при у=0, т. е.
ао =(T1 + То) kokac 1n kokac + C2. (36.5)
В данной системе надо стремиться к всемерному умень-
шению амплитуды а„, так как автоколебания представляют
собой установившуюся, периодически меняющуюся ошибку
системы регулирования. Но,
}) выбирая параметры из этого
условия, надо одновременно
последить и за тем, чтобы
все остальные качества си-
стемы (переходные процессы
и вынужденные движения
при наличии возмущающих
. воздействий) были тоже хо-
—- =— рошими.
L—fl/IZ; 5” Факт наличия автоколе-
E 03 ᾿ ' баний (при очень малой их
Рис. 212. амплитуде) сам по себе ча-
сто является полезным. Он
создает вибрационный режим работы системы, который по-
вышает чувствительность регулятора к малым отклонениям
регулируемой величины, потому что при вибрациях ликвиди-
руются всякие застои и заедания от сухого трения и т. п.
Однако при этом надо учитывать не только амплитуду, но и
частоту вибраций (в данном случае автоколебаний). Частота
должна находиться в определенном, достаточно высоком
диапазоне, чтобы не вызвать нежелательных колебательных
явлений ни в одном звене системы.
На фазовой плоскости величина частоты автоколебаний
непосредственно не видна. Ее можно, однако, приближенно
определить следующим образом. Поскольку предельный цикл
MNKL (рис. 209) не является эллипсом, автоколебания
(рис. 210) не будут в принципе синусоидальными (хотя они
практически могут быть и близкими к синусоиде). Но опи-
шем их на этот раз приближенно синусОИДой
Z
\
ἕ.»-
7
зч
@
1.
Q
ΔΓ.
___-__— ——————_—
θ: а6 sin cot,
где ω или Т неизвестно. Такие колебания, как мы уже знаем,
изображаются на фазовой плоскости в виде эллипса с полу-
осями ад и αὑω. Наметим на оси у точку. Е (рис. 209), кото-

§ 36] ΑΒτοκοπΕΒΑΗππ Β ввлвйных системах 313
рая бы примерно явилась вершиной "эллипса, приблизительно
заменяющего собой истинную форму предельного цикла.
Тогда можем вычислить приближенно частоту
шъ%[Ё—Ё] , Т==ЗЁ [се/с] (36.6)
с учетом масштаба чертежа по обеим осям. Если считать
OE=BM (рис. 209), το можно обойтись без построения
картины фазовых траекторий, определив
(р\т, (36.7)
“9
где величины ВМ и a9 вычисляются по формулам
(36.3) — (36.5).
C физической точки зрения появление автоколебаний
в данной системе (рис. 184 и 185, 2) вполне естественно,
так как реле не имеет ней- 67
трального положения. Оно все
время переключает двигатель
с одного направления враще—
ния на другое. При этом
переключение реле происходит
с запаздыванием (рис. 213, б),
обусловленным петлей в ха-
рактеристике реле, что создает
как бы подталкивающее воз-
действие на систему (на уча-
стках ОА, CD и т. д.,
рис. 213, a), поддерживающее
ее колебания. Равновесное Рис. 213
состояние физически не может
существовать при данной ха-
рактеристике реле. Единственно возможным установившимся
режимом работы данной системы является вибрационный
автоколебательный режим. То же самое относится и к ре-
лейным системам регулирования скорости и напряжения
(рис. 191, 193 и 194, 195). Амплитуда колебаний a при
b
ЭТОМ ВСЕГДЗ будет больше ПОЛОВИНЫ ШИРИНЫ петли -k—-.
1
С этой точки зрения картину фазовых траекторий, изоб-
раженную на рис. 208 и относящуюся к системе с идеальной

814 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. vu
релейной характеристикой (рис. 185, 6), можно тракто-
вать как предельный случай картины рис. 209, говорящий
о том, что если в реле без нейтрального положения ширина
гистерезисной петли b пренебрежимо мала, то пренебрежимо
малой будет и амплитуда автоколебаний а@ (в пределе a0=0,
рис. 208). Но надо представлять себе дело так, что автоко-
лебания с незаметной амплитудой (a9 ъ O) на рис. 208 име-
ются, ибо при отсутствии нейтрального положения реле си-
стема в принципе не может быть в равновесии, а будет со—
вершать автоколебательные вибрации.
Однако тут же следует заметить, что вытекающий из
рассмотрения картин фазовых траекторий вывод о пренебре—
жимой малости амплитулы автоколебаний при пренебрежимо
малой ширине петли во многих случаях практики окажется
неверным. На самом деле, даже при отсутствии петли (т. е.
при идеальной характеристике реле типа 6, рис. 185) может
получиться большая амплитуда автоколебаний. Все дело
здесь в том, что при построении картин фазовых траекторий
на плоскости мы вынуждены ограничиваться дифференциаль-
ным уравнением второго порядка. Для этого в уравнении
данной системы регулирования (34.7) нам пришлось пренеб-
речь величиной произведения постоянных времени ТоТ,. Ви-
димо, при малой ширине петли и тем более при ее отсутст-
вии это обстоятельство является решающим в получении
неверного результата. Тут принципиально необходим переход
к уравнению третьего порядка, что мы не можем сделать на
фазовой плоскости, но сделаем другим путем (см. § 38).
Вместо перехода к уравнению третьего порядка иногда можно
ограничиваться введением постоянного по времени запазды-
вания τ.
Отметим и еще один во многих случаях неверный резуль-
тат, являющийся следствием ограничения ᾽ уравнения системы
на фазовой плоскости вторым порядком без учета дополни-
тельного запаздывания. Картины фазовых траекторий, изобра-
женные на рис. 205 и 207, говорят о том, что система регу-
лирования (рис. 184) с трехпозиционной характеристикой
реле (рис. 185, а, 6) устойчива относительно равновесного
состояния при любых положительных значениях ее парамет-
ров. В самом деле, как бы мы ни увеличивали коэффициенты
усиления #„ k. и #„ как бы ни изменяли размеров релейной
характеристики b, b b с и постоянных времени Τ9 и Т„
μ ”

§ 37] ГАРМОНИЧЕСКИЕ коэффициенты усиления 315
до тех пор, пока все они остаются положительными, картина
фазовых траекторий качественно не меняется. Всегда будет
только затухающий переходный процесс (при этом картину
на рис. 208 можно считать предельным случаем картины
рис. 205 при 17:0, т. е. характеристику реле типа 6
рис. 185 можно относить также к трехпозиционной при пре-
небрежимо малой ширине зоны нечувствительности). Этот
результат, как мы увидим Β § 38, верен отнюдь не при всех
положительных значениях параметров, а только в ограничен-
ной области их изменения, причем из рассмотрения фазовой
плоскости не видно этих ограничений. Даже качественно
нельзя здесь увидеть иного хода процессов.
Все это является ярким свидетельством того, что точное
решение уравнения (каковым является решение на фазовой
плоскости в случае, если уравнение поддается точному интег-
рированию) может часто оказаться практически неверным
даже качественно из-за необходимости вводить слишком
большие упрощения при составлении самого уравнения, чтобы
оно точно решалось. Инженеру всегда надо иметь в виду
это обстоятельство. Однако, несмотря на это, построение
картины фазовых траекторий на плоскости, ввиду своей на-
глядности, является все же полезным для практических ис-
следований средством, позволяющим в первом грубом прибли-
жении судить ο возможных видах процессов в нелинейных
системах автоматического регулирования (особенно при учете
временного запаздывания, что здесь не рассматривается).
§ 37. Гармонические коэффициенты усиления
релейных звеньев
Как мы уже выяснили, амплитуда а и частота ω автоко-
лебаний, так же как и сам факт возникновения автоколеба-
ний, существенно зависят от параметров системы регулиро-
вания. Для определения этих зависимостей надо привлекать
Β большинстве случаев дифференциальные уравнения системы
по крайней мере третьего порядка (хотя иногда может ока-
заться достаточно и второго). Принципиально для релейных
систем возможно решение уравнений меТОДОМ припасовывания,
упоминавшимся в § 34. Однако, получение изнего зависи-
мостей a и ω от параметров для систем выше второго по—
рядка слишком сложно.

316 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы [гл. v11
Поэтому мы обратимся к излагаемому ниже приближенному
методу. Он обладает вполне достаточной для практических
целей точностью и, что самое главное, наикратчайшим путем
приводит к непосредственному выражению требуемых зависи-
мостей амплитуды a и частоты ω автоколебаний от парамет-
ров системы, что легче можно использовать как при общем
анализе свойств данной системы регулирования, так и при
выборе ее структуры и параметров во время проектирования
или наладки системы.
Основой метода является предположение о том, что авто—
колебания приближенно можно искать в синусондальной
форме
x=asinmt, (37.1)
где а и ш—искомые амплитуда и частота автоколебаний.
Как уже говорилось, в принципе автоколебания имеют всегда
несинусоидальную форму, хотя практически могут быть и
очень близки к синусоиде. Для системы второго порядка,
If :“
, , ———-т ЛА
1‘75/76’ ζ Литл" > %#
‚ Тб,
φ Ё'
x”: ла мид/1! ‚ _—`
{$$$/л _ `
а] 07
Рис. 214.
например, это будет выражаться в близости предельного
цикла (например, рис. 209) к форме эллипса.
Когда можно надеяться, что такой подход даст надежный
результат? Чтобы осветить этот вопрос, возьмем пример
системы, структурная схема которой изображена на рис. 214, a
(эта схема соответствует, например, системе, показанной на
рис. 184 и многим другим). Обозначим входную величину
реле через х, а выходную—через у (на рис. 184 это будут
I и U). Пусть для простоты имеет место идеальная характе-
ристика реле y(x) (рис. 214, 6), Тогда, если входная вели-

§ 37] ГАРМОНИЧЕСКНЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ усиления 317
чина реле х изменяется по синусоиде (37.1), то изменение
выходной величины реле у будет выражаться прямоуголь-
ной кривой, как показано на рис. 214, а. В каком случае
такой процесс будет реально возможен в данной замкнутой
системе?
Чтобы разобраться в этом, представим себе прямоуголь-
ную кривую ͵ν(΄ΐ) Β виде суммы ряда синусоид (рис. 215).
| __? !=.%*%*%*~~
ттт/шт
_? [ шта/ла ωνξἕ]
.? гида/тт
Летит/а ‚За/]
.. ! гилд/шт
t [т:/Лтд Jay
Рис. 215.
Это производится следующим образом. Прямоугольная кривая
имеет определенную частоту
_2_л_
_ Т .
Если мы возьмем синусоиду
у, : Α1 sin (о!, (37.2)
то она (рис. 215, б) по сравнению с прямоугольной кривой,
изображенной около нее пунктиром, будет иметь меньшие
ординаты по углам и большие ординаты в середине. Чтобы

318 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы [гл. vn
исправить это, к синусоиде (37.2) прибавим еще одну сину-
соиду с утроенной частотой
›;8 = А, sin 3mt,
причем ἈεζΑ1 (рис. 215, 8). Сумма двух синусоид(у,+у_._)
уже ближе будет подходить к прямоугольной кривой. Но
все же уголки еще булут срезаны, а вместо прямой будут
волны. Для исправления этого недостатка прибавим еще
третью синусоиду, в пять раз большей частоты, чем первая:
»5 : АБ sin Scot,
причем А5<А8 (рис. 215, г). Сумма трех синусоид
(y,—|—y,+y5) еще лучше будет подходить к прямоугольной
кривой.
Известно, что если продолжать прибавление синусоид
с увеличивающимися частотами 70), 9(1),. . . до бесконечно-
сти и брать для них все уменьшающиеся амплитуды
АБ > А,> А„ >. . . до нуля, то при соответствующем подборе
указанных амплитуд можно осуществить точное равенство
между прямоугольной кривой и суммой синусоид
у=у1+у‚+уь+у‚+ ... (37.3)
Это есть так называемое разложение произвольной периоди-
ческой кривой в ряд Фурье. При этом первая синусоида у„
имеющая ту же частоту ω, что и прямоугольная кривая, на-
зывается первой гармони/сай; последующие синусоиды, имею-
щие частоты Βω, бов,. . . называются третьей, пятой и т. д.
гармониками разложения прямоугольной кривой. Все гармо-
ники, кроме первой, называются высшими гармониками
разложения. В общем случае ряд Фурье содержит еще
и четные гармоники (у„ у“. ..).
Теперь ясно, что для того, чтобы входная величина
реле x(t) была близка к синусоиде (37.1), нужно, чтобы
колебания с частотой ω (первая гармоника у,) с выхода реле
хорошо передавались через все звенья системы (на рис. 214, a
это привод, регулирующий орган, регулируемый объект, чув-
ствительный элемент), но одновременно с этим нужно, чтобы
все колебания с высшими частотами (все высшие гармоники
у„ у_‚_‚. . .) плохо передавались через те же звенья системы,
т. е. чтобы амплитуды всех высших гармоник очень сильно
при этом гасились.

§ 37] ГАРМОНИЧЕСКИЕ коэффицивнты усилвния 319
Это, как правило, мы и наблюдаем в системах регули-
рования. В самом деле, если мы будем сравнительно медленно
(т. е. с малой частотой ω) колебать напряжение U постоян-
ного тока, питающего привод, то его угловая скорость будет
успевать следовать за колебаниями напряжения. Регули-
рующий орган (шторки) будет колебаться при этом с доста—
точно большой амплитудой и регулируемая величина (темпе-
ратура θ) будет успевать следовать за ним и тоже будет
колебаться с заметной амплитудой. Это и означает хорошее
пропускание всеми звеньями данной системы колебаний срав—
нительно низкой частоты ω.
Теперь предположим, что мы будем сравнительно быстро
(т. е. со сравнительно большой частотой 3m или δω и т. д.)
колебать напряжение постоянного тока, питающего привод.
Тогда он за время одного колебания напряжения не будет
успевать сильно разгоняться и тормозиться. В результате
амплитуда колебаний шторок φ будет сравнительно малой,
а это в сочетании с высокой частотой колебаний шторок
может вызвать лишь мало заметные или практически вовсе
незаметные колебания температуры 6. Это и означает практи—
чески непропускание всеми звеньями системы высших гармо-
ник колебаний, имеющих частоты Βω, бы,... Чем больше
инерционность звеньев, тем меньшие частоты колебаний они
пропускают _(эти звенья, как говорят, являются фильтром
нижних частот; см. частотные характеристики в главе 1V).
Итак, первая гармоника »1 (рис. 215, 6) имеет наиболь-
шую амплитуду Α1 и хорошо пропускается звеньями системы.
Все высшие гармоники у„ ув, (рис. 215,8, г) сами по
себе имеют уже меньшие амплитуды А„ АБ,. . . и к тому же
плохо пропускаются звеньями системы (как бы отфильтровы-
ваются). При этом, чем выше частота гармоники, тем мень-
шую амплитуду она имеет сама по себе и тем хуже она
пропускается. Оба эти обстоятельства, реально существую-
щие в системах регулирования, благоприятствуют тому, что
прямоугольная кривая γα) в результате прохождения через
все звенья системы превращается в синусоиду x(t), а эта
последняя, пройдя через реле, преобразуется снова в прямо-
угольную кривую и т. д. Установившийся процесс в замкну-
той системе регулирования, действительно, прн этом сможет
иметь форму, указанную для x и`у на рис. 214, а, и, следо-
вательно, мы имеем законное право искать автоколебания

.;
320 нвлинвйныв хвтомхтичвскив систвмы [гл. vn
этой системы для переменной x В синусоидальной форме
(37.1).
В соответствии с этим первый этап приближенного опре-
деления автоколебаний в релейных системах заключается
в гармонической линеаризации релейной характеристики. Она
базируется на следующем. Поскольку в разложении (37.3)
прямоугольной кривой на выходе реле все высшие гармоники
в последующих звеньях системы гасятся, то мы их прини-
мать во внимание в расчете не будем, а учтем только пер-
вую гармонику у,. Если релейную характеристику в общем
случае (в любой из форм рис. 185, 186, 189, 190, 193,
195, 197) обозначить как нелинейную функцию
у=г‹х›‚ (37.4)
то при х=а sin cot первая гармоника у, этой функции (т. е.
прямоугольной кривой) для релейных характеристик без
петель, или, как говорят, для однозначных релейных ха-
рактеристик (рис. 185,а и в, 186, 189, 193, a, 197, а),
определяется формулой
у, = А, sin cot, (37.5)
причем амплитуда А, является известным коэффициентом
ряда Фурье
1 “ . .
А, = Τί;}: (α sm ψ) sm ψ ἂψ (ψ = not). (37.6)
ο
Для петлевых релейных характеристик (рис. 185,6 и
г, 190, 193,6, 195, 197,6) первая гармоника определяется
другой формулой:
у, : А, sin mt+B, cos ωΐ, (37.7)
причем
=% S F(a sin ψ) sin ψ dxp,1
21: (87.8)
=—:lt—SF(asin1p)cos¢d\|J. J'
В практических расчетах всеми этими формулами поль-
зоваться совершенно не придется. Расчет не будет содержать

§ 37] ГАРМОНИЧЕСКИЕ коэффициенты усилвння 321
никаких интегралов. Эти формулы нужны нам сейчас только
для вывода основных положений метода.
Поскольку x=asin mt, мы можем написать
1 dx
=amcosmt, count—Row. (37.9)
° 1—32 43
s1nm __ a , dt
Тогда для однозначных релейных характеристик на основании
(37.5) и (37.9) имеем первую гармонику:
у, :Αἷ' x, (37.10)
а для петлевых релейных характеристик согласно (37.7) и
(37.9) получаем d
у1=%х+%—д-Ё. (37.11)
Зависимость (37.10) можно объяснить следующим образом.
Пусть, например, задана однозначная релейная характери—
стика Obef (рис. 216). Если входная величина x изме—
няется по закону х = asinmt,
то первая гармоника выход— ἂ” p
ной величины „=А1 sin cot Д,-—?——7/
будет согласно (37.10) та- &' '
кой, как если бы вместо
релейной характеристики _ д _
Obef y нас была линей- д а ref
ная OD с крутизной (т. е. с “
тангенсом угла наклона), рав-
ной А—'.
a
Рис. 216.
Следовательно, при опре-
делении первой гармоникиу,
периодических колебаний на выходе релейного звена (при
синусоидальной входной величине) можно релейное звено
при отсутствии петель заменять идеальным линейным звеном
с коэффициентом усиления q
112i. (37.13)
a
В случае петлевой характеристики релейное .звено со—
гласно (37.11) в том же режиме колебаний можно заменить
11 E. п. Попов

322 нвлинвйныв автомАтичвскив систвмы [гл. νι!
идеальным линейным звеном с введением производной:
_вах
с коэффициентами усиления
А, в
4:7. q.=—a‘—. (37.15)
Очень важно при этом заметить, что для петлевых ха-
рактеристик гистерезисного типа величина ql всегда полу-
чается отрицательной. Поэтому Β уравнении (37.14) произ-
водная вводится с отрицательным коэффициентом. Из § 29
мы знаем, что введение производной с положительным коэф-
фициентом вносит опережение Β работу звена. Здесь же про-
изводная с отрицательным коэффициентом дает запаздывание
в работе звена *). Таким образом, смысл уравнения (37.14)
следующий. Первый член его qx играет точно ту же самую
роль, что и Β рассмотренном выше уравнении (37.12). BTO-
dx
рой же член 53-m— означает, что при рассмотрении первой
гармоники на выходе релейного звена величину запаздывания
реле, выраженную нелинейно в виде гистерезисной петли,
можно заменит-ь линейным выражением запаздывания в виде
производной от. входной величины с отрицательным коэффи-
циентом (о,<0).
Итак, смысл обоих уравнений (37.12) и (37.14) заклю-
чается в том, что, ограничиваясь рассмотрением первой гар-
моники на выходе релейного звена при синусоидальных ко-
лебаниях входной величины, заданное нелинейное уравнение
релейного звена (37.4) можно заменить линейным уравнением
(37.12) или (37.14). Это называется гармонической линеари-
зацией нелинейных зависимостей. «Гармонической» ова
называется потому, что вытекает из разложения нелинейных
колебаний на гармонические составляющие (гармоники). Be-
личина q называется гармоническим коэффициентом усиле-
ния нелинейного звена.
*) Вообще говоря, возможно создание не «запаздывающей», а
«опережающей» петли (с обратным направлением стрелок, чем на
рис. 185) с помощью специальных устройств. Тогда будет а,>0;
согласно формуле (37.14) введение такой характеристики будет экви-
валентно введению положительной производной в закон регулирова—
ния (§ 29.).

§ 37] l‘APMOHHqECKHE коэффициенты усиления "323
Принципиальное отличие гармонической линеаризации не-
линейных зависимостей от обычной линеаризации, рассмот-
ренной ранее в §§ 10 и 7, состоит в следующем.
При обычной линеаризации (§§ 7, 10) нелинейная харак-
теристика заменяется прямой линией с определенной крутиз-
ной k, He зависящей от переменных х и » (входной и вы-
ходной величин звена). Здесь же нелинейная характеристика
заменяется прямой линией (рис. 159), крутизна которой q
зависит, как видно из формул (37.13) и (37.6), OT размера
амплитуды а входной величины x. В результате гармониче—
ская линеаризация дает нам взамен нелинейного звена (в дан-
ном случае взамен реле) не чисто линейное звено, как
обычная линеаризация, а своеобразное линейное звено, коэф—
фициент усиления которого q зависит от амплитуды входной
величины а. Сохранение этой очень существенной особен—
ности нелинейных звеньев в коэффициентах q и q1 при гар—
монической линеаризации и является таким важным обстоя-
тельством, которое позволит нам в дальнейшем простейшими
методами линейной теории, рассмотренными в главе …, опре-
делять существенные свойства нелинейных систем автомати-
ческого регулирования.
Вычисление по формулам (37.6) и (37.13) дает для иде-
альной релейной характеристини (рис. 185, в, 186, 193, a)
следующее значение гармонического коэффициента усиления:
_Ёі
q—na ’
aim)
a для релейной характеристики ‹: зоной нечувствитель-
ности (рис. 185, (1,189, 197, a)
q=fii ъ_Ё. ‹щ>щ (тли
πα а2
причем при ας!) имеем q=0.
Вычисление по формулам (37.8) и (37.15) для двухпо-
зиционной релейной характеристики 0 гистерезисной пет`
лей (рис. 185, г, 190, 193,6, 195) дает
ί]- 40 1/1 b2
_Ъ— _'_2'т
“b“ ш>щ‚ ‹тлщ
(];—_‚Ёі
И"

324 нвлинвйныв Автомхтичвскив системы [гл. vu
а для трехпозиционной релейной характеристики с гисте-
резисной петлей (рис. 185,6, рис. 197, 6)
- 2" (1/1 —"2 —-”—*>
(‚_—“_“- ? “᾿ ’ (37.19)
Ч‚'_———д—а'=—- (а>д,).
Так выглядят выражения коэффициентов гармонической
линеаризации для основных типов релейных характеристик.
Здесь видна их зависимость от
AV амплитуды колебаний входной
:? величины а. Графически эта
ἐς ‘3le :Φζ. зависимость для трех типов
релейных характеристик пока-
зана на рис. 217.
д;“ & h/Z 75 Мы видим, что гармониче-
I
д 1? Hz‘ @ ский коэффициент усиления
ΖΗ : " релейного звена q уменьшает-
πᾶ д/А/Г ся с увеличением амплитуды а,
-έὄ.’ + ”-
‚„ начиная со значения a=bV 2.
͵ Это физически оправдано, так
Рис. 217' как выходная величина реле
у=с остается неизменной при
увеличении входной величины x>b. Коэффициент а„ ха-
рактеризующий запаздывание вследствие наличия гистере-
зисной петли, по абсолютной величине тоже уменьшается
с увеличением амплитуды.
Коэффициенты q и ql для всех типов релейных звеньев
при больших (сравнительно с величиной b) амплитудах сбли-
жаются друг с другом, так как роль зоны нечувствитель-
ности и гистерезисной петли с увеличением амплитуды в ра-
боте реле становится менее заметной.
§ 38. Исследование автоколебаний и устойчивости
релейных систем при помощи гармонической
линеаризации
Рассмотрим, как пример, ту же релейную систему регу-
лирования температуры (рис. 184), для которой мы в ἓ 37
строили картины фазовых траекторий.

§ 38] ИССЛЕДОВАНИЕ Автоколввлний и устойчивости 325
При отсутствии возмущающего воздействия (f: О) урав-
нение динамики переходных процессов в регулируемом объ—
екте имеет вид (34.1)
dB
То 37+0=_Ёоф- (38.1)
Уравнение чувствительного элемента (34.2)
I: [219. (ΒΒ-2)
Уравнение реле (34.3) В соответствии с (37. 12) или (37.14)
после гармонической линеаризации получает вид
_ Чт d]
U=ql ИЛИ U—ql ἷἱὖ', (38.3)
соответственно, дЛЯ ОДНОЗНЗЧНОЙ И петлевой релейных харак—
TepHCTHK.
Наконец, уравнение привода и регулирующего органа
будет (37.4)
d
T.$r+¢=w.u (mm
После того, как нелинейная функция (34.3) заменена гар-
монически линеаризованным выражением (38.3) исследуем всю
систему в целом таким же методом, каким исследуются ли-
нейные автоматические системы. Если в уравнение (38.4)
подставить величину U из (38.3), заменив в ней I на k“)
согласно (38.2), то получим общее уравнение динамики
регулятора в виде
d
Т…;Щ+—Ф=№Ьл0 в&ы
при однозначной релейной характеристике. При петлевой ре-
лейной характеристике уравнение динамики регулятора будет
(1 d0
T,d—:§P+dt Ф=№ (qe (%,—,), (38.6)
где добавляется справа член, характеризующий дополнитель-
ное запаздывание регулятора за счет наличия гистерезисной
петли (ql <0).
Как видим, общий коэффициент. усиления регулятора
ЬреГ=Ь,/г,‹; в отличие от линейных систем, зависит от амп-
литуды искомых колебаний (так как от нее зависит q).
11“ E. п. Попов

326 НЕЛинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. vn
Общее уравнение динамики всей системы регулирования
получается обычным путем из уравнения регулятора (38.5)
и объекта (38.1) в виде
ттт“ т dz" ‘” ево—о 387
o 1а_р+(о+Т1)№+д—;+Ьо ι sq _“ ( ')
при однозначных характеристиках реле. При петлевых харак-
теристиках реле уравнение всей системы регулирования будет
(1’0 (120 , (10
ТоТ1№+(То+ Тц>№+<1+ЁоЬ1Ёз%>Щ.+
+ е,е,е,‹10=о. (38.8)
Когда мы строили картины фазовых траекторий, то пре-
небрегали членом с произведением постоянных времени ТОТ,.
Поэтому и здесь сначала (для сравнения с прежними резуль-
татами) примем то же самое пренебрежение, а потом иссле-
дуем полное уравнение, чего мы прежде не могли сделать.
Итак, сначала возьмем вместо (38.7) уравнение
c120 d0 ‘
(1, + mat—2417+ зонт): 0.
Здесь система описывается уравнением второго порядка со
всеми положительными коэффициентами в левой части. Из
§ 13 мы знаем, что такая система устойчива. Этот результат
совпадает с выводом из картин фазовых траекторий на
рис. 205 и 208, относящихся к тем же Однозначным характери-
стикам реле (рис. 185, a и в), как и рассматриваемое урав-
нение.
Вместо (38.8), пренебрегая произведением ТОТ„ имеем
уравнение системы
d") ql d0
(T0 + ”472+ (1 + koklk, a) ΕΞ + Ь0Ь1ё‚90=0.
Поскольку qI <0, средний коэффициент этого уравнения мо-
жет быть, вообще говоря, либо положительным, либо отри-
цательным, либо равным нулю. Характеристическое уравнение
(To + Top” + (1 + воем %) P + kok1k.q= 0
при УСЛОВИИ
1 + koklk, % :. (38.9)

§ 38] ИССЛЕДОВАНИЕ Автоколввиний и устойчивости 327
будет иметь чисто мнимые корни
. κακὰ“, . —
= _— = —— 1 .
р 3:1 1/7“. +T1 (| V )
Это значит, что уравнение будет иметь синусоидальное ре-
шение 0=a6 sin mt, где
kok k q
: —‘—°—. 38.10
ω 1/T0+Tl ( )
Например, если реле имеет двухпозиционную петлевую
характеристику (рис. 185, г), то, используя (37.18), перепи—
шем формулы (38. 9) и (38.10) в виде
1— kk k — =0,
° ' ' лага)—
2: №…“ ΜΓ; (38.11)
ω -πα(Το +T) а_2’
где а согласно принятым выше обозначениям является ампли—
тудой колебаний входной величины релейного звена, т. е.
в данном случае !. Она выражается через амплитуду ад ко-
лебаний регулируемой величины θ согласно соотношению
(38.2) в виде
a=klae. (38.12)
Подставив это в формулы (38.11), по первой из них на—
ходим
__4Ьс/г0/г‚
л/гдаё
(38.13)
,
с учетом чего вторая из формул (38.11) дает
Meg—Ta;
4ckok,(To+Tl)= 1/7— Ι-ἑξζξ . (38.14)
Полученные две формулы (38.13) и (38.14) определяют
частоту ω и амплитуду аВ колебаний регулируемой величины θ
в зависимости от параметров регулятора (kn #„ с, 1), TI)
и регулируемого объекта (120, To). Решение этих уравнений
при любых значениях указанных параметров дает определен—
ные положительные ответы для величин ω и ад. Это значит,
что периодические колебания 0=ад sin mt имеют место в дан-
ной системе при любых сочетаниях ее параметров. Амплитуда
π“;

328 нелинейные автоматические систвмы [гл. vu
и частота этих колебаний, как видим, зависит только от со-
четания параметров самой системы и не зависит от начальных
условий. Следовательно, это и есть автоколебания, которые
будут иметь место в данной системе при любых сочетаниях
параметров *).
Данный вывод полностью совпадает с полученным ранее
выводом из рассмотрения картины фазовых траекторий на
рис. 209. При этом на основании формулы (38.14) можно
легко построить все графики зависимости амплитуды автоко-
лебаний αΘ οτ параметров системы, изображенные на рис. 211.
Для этого вовсе не требуется разре'шать уравнение (38.14)
относительно неизвестной а,. Для построения, например, пер-
вого графика на рис. 211 надо просто задавать разные зна-
чения ае> ἕ и вычислять по формуле (38.14) соответствую-
щие значения cliaoka (при всех остальных заданных параметрах).
После этого по формуле (38.13) легко строятся графики
зависимости частоты автоколебаний ω от параметров данной
системы регулирования. `
Итак, на примере исследования упрощенного (с пренебре—
жением ТОТ,) уравнения релейной системы автоматического
регулирования мы убедились в том, что метод гаріионической
линеаризации, несмотря на свою приближенность, дает пра-
вильные результаты` Конечно, как всякий приближенный метод,
он имеет свои ограничения, вытекающие из его основ, указан-
ных в начале параграфа. Но этот метод очень важен для
практических расчетов вследствие следующих своих пре-
имуществ:
1) здесь проще, чем другими методами определяется, бу-
дут ли в системе автоколебания или она будет устойчива
относительно равновесного состояния;
2) наиболее коротким путем получаются формулы, опре-
деляющие непосредственно зависимость амплитуды и частоты
автоколебаний от параметров системы [сравните формулу
(88.14) с формулами (36.3)—(36.5)];
3) применение метода не ограничивается уравнениями вто-
рого порядка, он-пригоден для уравнений более высокого
порядка не только с релейными, но, как увядим ниже, и
с самыми различными другими нелинейными характеристиками.
*) Строго говоря, требуется еще исследование устойчивости по-
дученного периодического решения, но мы этого здесь не касаемся.

§ 38] ИССЛЕДОВАНИЕ автоколввлний и устойчивости 829
При построении картин фазовых траекторий Β ς 36 мы
уже обнаружили недостаточность уравнения второго порядка
для описания процесса регулирования Β релейных системах.
Теперь исследуем полное уравнение третьего порядка (38.7)
методом гармонической линеаризации и выявим здесь новые
особенности динамики релейной системы регулирования.
Пусть в системе регулирования температуры (рис. 184)
поляризованное реле имеет трехпозиционную характеристику
типа a (рис. 185). Уравнение динамики этой системы после
гармонической линеаризации было получено в виде (38.7).
Характеристическое уравнение данной системы, следова-
тельно, будет
Т„Т,р° —|——(TO—(— Т,)р2—\— іеоіг,іг,о=0, (38.15)
где согласно (37.17) имеем
__ 4c 1/1 b2
q—na а2 '
Все коэффициенты характеристического уравнения поло-
жительны. Для устойчивости системы третьего порядка по
линейному критерию (14.13) требуется еще, чтобы произве-
дение средних коэффициентов было больше, чем произведе-
ние крайних коэффициентов, т. е.
(То + Т,) > Toleoklkaq. (38.16)
Но величина q, как видно из рис. 160, ограничена пределами
20
Поэтому условие устойчивости данной релейной системы
(38.16) принимает вид
(T0+T1) >T011kok1ksn—b'
Отсюда, например, область устойчивости для коэффициента
усиления !:аз привода и регулирующего органа будет
1 1
k°<2chm (T.+'r:)°
Граница устойчивости выражается равенством
ЛЬ 1 l
k 3:27;: (Τ᾽. ἦ-π). (38.18)

830 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. v11
Ha плоскости двух параметров (Τι, Ь,) она изображена на
рис. 218. Величина Т1 является постоянной времени регу-
лятора.
На рис. 218 мы видим, что если бы постоянная времени
регулятора Τ1 равнялась нулю (т. е. если бы система регу—
@… лирования действительно
описывалась уравнением
pyjama: _ второго порядка), то дан-
аа/тЖмгіа/ша’ ная релейная система
была бы устойчива при
любых положительных
значениях параметров ре-
ΖΜ τγἶἧθἶἆᾖἆᾗἶ--- ‹ гулятора и объекта, как
это получалось в карти-
l He фазовых траекторий
д 'f (рис. 205). Однако не-
Рис. 218. избежное наличие в ре-
гуляторе некоторой по-
стоянной времени Т1 при—
водит к тому, что устойчивость равновесного состояния
сохраняется только до определенного предела. С увеличе-
нием козффициента усиления k3 она нарушается ‚и возникают
автоколебания. Нарушение устойчивости равновесного состоя-
ния системы наблюдается согласно рис. 218 тем раньше, чем
больше постоянная времени регулятора Т1 и чем больше
другие параметры: To, k0, 1:51, с. Что же касается ширины
зоны нечувствительности b, то ее увеличение расширяет
область устойчивости (но одновременно увеличивает и стати-
ческую ошибку системы).
Очень важно отметить следующее. При отсутствии зоны
нечувствительности реле (b=0) граница устойчивости
(38.18) вырождается к виду [23:20. Следовательно, наличие
даже самой незначительной постоянной времени Т1 приводит
в данном случае к полному отсутствию области устойчиво-
сти,—в системе обязательно будут автоколебания‚—-в то
время как на фазовой плоскости (рис. 208) получается устой-
чивость. Эксперимент подтверждает обязательное наличие
автоколебаний в такой системе.
Исследуем эти автоколебания. Характеристическое урав-
нение системы (рис, 184) имеет вид (38.15), причем для ха-
рактеристики реле без зоны нечувствиТельности (рис. 185᾿ в)

§ 38] ИССЛЕДОВАНИЕ автоколввАний и устойчивости 331
согласно (37.16) и (38.12) имеем
4c
Автоколебания ищем приближенно в синусоидальном виде
θεαΘ sin mt. Нам известно, что такое решение может иметь
место только при наличии чисто мнимых корней p: ijm
В характеристическом уравнении системы. Поэтому подставим
p=jm В наше характеристическое уравнение (38.15). В pe-
зультате с учетом формулы (38.19) получим
. 4k:—3
_ Т0Т11Ш8_(То+ T1)(x)_]2+(0—+ C 0'
KOMHIIEKCHOB Выражение равно НУЛЮ ТОЛЬКО ТОГДЗ, КОГДЗ Be-
щественная И МНИМЗЯ LIEICTH ПО ОТДеЛЬНОСТИ равны НУЛЮ, Т. е.
4 №
ξταΘε-(Το-ἹΓ- T1)m’:0, } (38.20)
ω- Τ0Τ1ω᾽::0.
Таким образом, мы получили два уравнения для определе-
ния двух неизвестных: частоты ω и “амплитуды а, автоколе-
баний регулируемой величины.
Из второго уравнения (38.20) находим частоту
1
: ___, 38.21)
Угол (
а из первого —— амплитуду
4ckok3ToT,
: _— . .2
° π (А+ T.) (38 2)
Полученная зависимость амплитуды ад и частоты ω автоколе-
баний от коэффициента усиления liea и от постоянной вре-
мени регулятора Τ1 представлена графически на рис. 219.
Как уже говорилось ранее, автоколебательный режим ра-
боты регулятора (так называемый вибрационный регулятор)
пригоден тогда, когда амплитуда автоколебаний достаточно
мала. Если же она будет велика, то систему надо считать
практически неустойчивой. Поэтому, если задано максимально
допустимое значение амплитуды автоколебаний регулируемой
величины в данной системе а,:а, ‚до", то практическую гра-
ницу устойчивости данной релейной (вибрационной) системы

332
нвлинвйныв Автомятичвскив систвмы [гл. vn
регулирования согласно (38.22) можно выразить в виде
πα 1 1 _ anon _ _ . ’*’"— (т‚+то>’
4c]:o
на рис. 220 показана соответствующая область практической устойчивости системы (область допустимых амплитуд автоко— лебаний) на плоскости параметров Т k
Л
И
”a
QC
а!
‘34),
Ι’ 8'
Μ
Л
„7
Рис. 219.
Совершенно аналогичным способом можно исследовать автоколебания релейной системы регулирования с зоной не-
v
уму/Матти [Ways/mar”: шли/ат ὧν
жгут/тушили
[жай/{устоит
всі/шт ὧν ͵
„тайма вишу
тдідлгімші
Рис. 220.
Літо/т „ро/татами?
7}
чувствительности (рис. 184 и
185, а) вне области ее устой-
чивости (рис. 218).
Наконец, исследуем влия-
ние жесткой обратной связи
(рис. 196) на устойчивость релей-
ной системы регулирования. Со—
ставим уравнение регулятора для
этого случая.
Согласно формулам (34.22) и
(34.23) входная величина реле AW
здесь будет
А W: [до — ῥοςφ. (38.23)
Характеристика реле (34.24) типа а (рис. 197) после гар- монической линеаризации согласно формуле (37.12) будет
U=qAW, (38.24)

§ 38] ИССЛЕДОВАНИЕ АвтоколЕВАний и устойчивости 333
где q определяется формулой (37.17), В которой а обозна-
чает амплитуду колебаний входной величины реле, т. е.
в данном случае AW.
Уравнение привода с регулирующим органом остается
прежним (38.4). Полставив в последнее уравнение выражения
(38.24) и (38.23), находим уравнение динамики регулятора
с обратной связью в виде
T, ГР “+! q>—{—I’a:,qkoccp= kaqk θ. (38.25)
Как и следовало ожидать (см. § 31), из-за жесткой обратной
связи прежний астатический регулятор (38.5) стал теперь
статическим.
Принимая прежнее уравнение регулируемого объекта
(38.1), получаем общее уравнение динамики системы регу-
лирования:
‚іі—‚мт + Т )Ζἶ-ἶ +0 + Тонис/$34—
+<kok1 + ἄσε) km = 0. (38.26)
Условие устойчивости системы по линейному критерию
(14.13) будет
(To + T1) (1 + Tokakocq) > ТО Tl (kokl + kOC) kaq
г() + T, + T3k,kocq> толще,/ед. (38.27)
Но поскольку величина q здесь, как и прежде, заключена
в пределах (38.17), то данное условие устойчивости системы
выразится в виде
ИЛИ
ль (To + T.)
k8 < 2("To (leokl _ То,—дос) .
Отсюда границу устойчивости системы можно записать в виде
ЛЬ 1 1
ἔ,: ͵ Το \ (ддт—„;). (38.28)
2c (kale, — τ᾽, koc
Сравнивая это выражение границы устойчивости с преж-
ним (38.18), видим, что введение обратной связи [гос увели-
чивает граничное значение k,, T. e. расширяет область устой-
чивости системы. Это благоприятное влияние обратной связи

334 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. vn
показано графически на рис. 221᾽ построенном на основании
формулы (38.28).
Итак, жесткая обратная связь в релейной системе ре—
гулирования (рис. 196) является сильным средством подав-
ления автоколебаний. Это обнаруживается в том, что с уве-
личением коэффициента обратной связи [гос расширяется
область устойчивости равновесного состояния системы
(рис. 221) и убыстряется
затухание переходных про-
цессов, которые здесь не
рассмотрены. Интересно от-
метить, что при достаточно
большом коэффициенте об—
ратной связи
№
№№:/тэ . gimp/fa/Ié’izm/a
„и _! „‚_!
“ЛЬ/Ё 7 ὦ Ліда/м
утилита/1
‚го/гид
ЁосЭ—Т
- релейная система, описывае-
Μ a: мая уравнением третьего по-
ἶἶ рядка, с релейной характе-
Рис. 221. ристикой типа а (рис. 197)
становится устойчивой при
любых положительных значениях параметров, т. е. при любом
коэффициенте усиления 13, и при любой постоянной вре-
мени Т„ привола регулирующего органа. Это ясно видно из
условия устойчивости системы (38.27).
Здесь везде применялись алгебраические способы иссле-
дования, описанные в главе ΙΗ. Аналогично можно исполь-
зовать и частотные способы на основании главы 1V.
§ 39. Влияние различных нелинейностей регулятора
на процесс автоматического регулирования
Как нам уже известно, всякое отклонение реальной стати-
ческой характеристики хотя бы одного из звеньев системы
от прямой линии представляет собой нелинейность и система
в целом становится тогда нелинейной. Кроме того, могут
иметь место нелинейности в дифференциальных соотношениях
между переменными.
Здесь будет идти речь только о нелинейностях в стати-
ческих характеристиках и о нелинейном трении и демпфиро-

§ 39] влиянив РАЗЛИЧНЫХ нвлинвйноствй регулятор», 335
вании. При этом мы будем говорить только о «существенных»
нелинейностях, сильно влияющих на процесс регулирования,
т. е. о таких случаях, когда для правильного представления
о ходе процесса регулирования,
даже приближенного, необходи- Ly
мо учитывать данную нелиней-
ность.
Заметим, что один важный а
класс нелинейных систем регули- -ὖ \ _
рования —— релейные системы _ мы & 5
уже рассмотрели в пяти преды- {да:/Р
дущих параграфах. Теперь бегло _
будут рассмотрены другие нели- ὶ
нейности, тоже часто встречаю-
щиеся. Рис. 222.
Начнем с зоны нечувстви-
тельности (рис. 222), когда вдали нулевой точки выходная
величина звена у изменяется линейно:
y=k(x—b) при x>b,
y=k(x+b) при x<—b,
а вблизи нулевого положения выходная величина равна нулю
у=0 при —b<x<+b.
Такая зона нечувствительности может иметь место во многих
чувствительных элементах регулятора и приводных устрой-
ствах. В любой одноконтурной системе регулирования при
наличии зоны нечувствительности в каком-либо звене глав-
ное нежелательное обстоятельство состоит в появлении до-
бавочной статической ошибки системы за счет зоны нечув-
ствительности. В многоконтурных системах зона нечувствитель-
ности может доставить другие неприятности, а именно, при
охвате обратной связью она может образовать петлевую ха-
рактеристику типа рис. 198, способствующую возникновению
автоколебаний. Все это требует специального исследования
в каждой конкретной системе, если имеется большая зона
нечувствительности.
При исследовании колебательных процессов в системе ре-
гулирования, включающей в себя звено с зоной нечувстви-
тельности (рис. 222), можно применять описанный в ἓξ 37 и 38

336 нелинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. vn
метоц гармонической линеаризации, заменяя (для первой гар—
моники) нелинейную характеристику y=F(x) (рис. 222) вы-
ражением
у : qx,
где 4—гармонический коэффициент усиления данного звена,
определяемый согласно (37.13) и (37.6) по формуле
2k . b b b2
q=k—?<arcsm;+-Z 1—3) (α)ό), (39-1)
где а—амплитуда колебаний входной величины х. Эта фор-
мула показывает, насколько уменьшается общий коэффициент
усиления звена за счет зоны нечувствительности. Уменьше-
ние его тем сильнее, чем меньше амплитуда колебаний вход-
ной величины. При достаточ-
ὦ, но большой амплитуде, т. е.
при достаточно малом отноше-
I b
: б'=/гд нии ἷ’ влияние зоны нечув-
l
a
Y > СТВИТЭЛЬНОСТИ СТЗНОВИТСЯ Mano-
0 д .τ
гус ==,?
заметным.
Обратимся далее κ харак-
теристике звена с ограни-
чением выходной величины
(рис. 223). Такого вида харак-
теристика получается, напри—
мер, для руля самолета с огра-
ничением его отклонения при помощи упоров. Если при этом
через x обозначить отклонение руля, которое должно было
бы быть при отсутствии ограничения, а через у—действи—
тельное его отклонение, то на рис. 223 будет 12:], a
величина c=b представит собой то отклонение руля, при
котором он ложится на упор.
По самым различным физическим причинам, в том числе
вследствие явления насыщения, статическая характеристика
звена может иметь вид у(х), показанный на рис. 224. Влия-
ние ее на процесс регулирования аналогично влиянию харак—
теристики вида рис. 223, которую часто при исследовании
динамики системы и применяют. К. эффекту, эквивалентному
характеристике с насыщением, приводит характеристика
М„„(со)дв привода регулирующего органа (электродвигателя),
изображенная также на рис. 224 внизу.
Рис. 223.

ξ 39] влияние вАз'личных нвлинвйноствй регулятор». 337
В случае, если в процессе регулирования входная вели—
чина х данного звена не превышает значения b (или превышает
его очень мало), то звено работает как линейное. Следова-
тельно, Β отличие от предыдущей (рис. 222), данная нели-
нейность (рис. 224 и 223) играет „1/
роль только при достаточно боль- Λ
ших входных величинах x, BO
всяком случае x> b.
Характеристика с ограниче- _ _ Л
нием или с насыщением звена в М
одноконтурной системе регулиро- a
вания, изменяя форму кривой про-
Цесса регулирования при больших д ω
отклонениях, обычно не влияет “
на границу устойчивости системы tya=k
(если система состоит из устой- Рис. 224.
чивых звеньев). Однако положи-
тельное ее влияние состоит Β том, что она делает границу устой-
чивости системы «безопасной» по следующей причине. На самой
границе устойчивости линейная система (при х <b) совершает
периодические колебания. За границей устойчивости будут
расходящиеся колебания. В линейной системе они расходи-
лись бы до бесконечности. Но здесь они будут расходиться
по линейному закону только до значения x—_-b. Далее, когда
станет x>b, выхолная величина у будет ограничена посто—
янным значением с (рис. 223). Это будет аналогично как бы
снижению общего коэффициента усиления регулятора, вслед-
ствие чего раскачивание колебаний системы прекратится. В этом
смысле переход за границу устойчивости в одноконтурной
системе регулирования, включающей Β себя звено с нели-
нейной характеристикой типа рис. 223 или 224, является
«безопасным» (по сравнению с чисто линейной системой).
Математически это можно показать применением метода
гармонической линеаризации, в котором нелинейная характе-
ристика y=F(x) (рис. 223) заменяется выражением
y=qx, (39.2)
где, согласно формулам (37.13) и (37.6),
qrzk при αςὀ,
‚__—2.
q=i—k(arcsi"%+%V1-%> may), (ΒΘ-3)
a:
J’
awn-

338 нелинейные Автомвтичвскив снетвмы [гл. vn
причем а обозначает амплитуду колебаний входной величины х.
Формулы (39.8) показывают как уменьшается общий коэффи-
циент усиления звена q при возрастании амплитуды колеба-
ний а входной величины x. Графически это показано на рис. 225.
¢ Пусть, например, в системе
Λ 'стабилизации крена ракеты, ура-
внения которой были приведены
Β § 14, имеется ограничение хо-
да руля. Тогда уравнение дина-
мики регулируемого объекта
(ракеты) вместо прежнего при
:— f(t)=0 будет
Л 2? a Таг
Tod—ff +?!” =—k.y, (39.4)
Рис. 225.
а уравнение динамики регулято-
ра вместо прежнего запишется в виде двух соотношений
Τι dt _x=+x Ё?“ φ’ } (39.5)
y=F(x),
де F(x) задано графиком рис. 223 при 13:1. Здесь у—
действительное отклонение руля с ограничением из-за упо-
ров, а х—отклонение его, которое было бы при отсутствии
упоров.
Используя гармоническую линеаризацию (39.2), запишем
уравнение динамики регулятора (39. 5) В виде
T. „+, "у+—у — k... ᾳφ, (39.6)
где q определяется формулами (39.3) при k=1. Общее
уравнение динамики системы, по аналогии с (14.18), здесь
будет
Jr
Г—
ἴ'
d3
T0T1d—tT-1-(T „+Т)д—,Ё+Ё—‚ cp+kolitperqq>=0 (39-7)
Условие устойчивости системы согласно (14.13) будет
(Т0 -{-Τ,) )> Т,Т,1е°іг perq.
Ηο так как максимальное значение q согласно рис. 225
равно k, а в данном случае k=1, то это условие совпа-
дает с _условием устойчивости данной системы, как чисто

§ 39] влияние РАЗЛИЧНЫХ нелинейностей регулятом 339
линейной (14.19), а именно:
Το + Τι
kver < ”Ги, °
Исследуем поведение системы за границей устойчи-
вости, т. е. при
т + Т д` Ξ
0 1
kPer > Тол/го ' : |
Будем искать автоколе- : Ἰ
бания приближенно в фор— |
ме φ = а„ sin mt. Для этого b '
напишем характеристиче- ᾽᾽᾽᾽᾽᾽᾽᾽᾽᾽
ское авнение нашей си-
стемы ур Лё Jamil/ammo Ismaimiizmm `
7+7 Т
2 | Дб .
ТоТ1р8+(То+Т1)р2+ 707,719
"Η’ + kokperq = 0° Рис. 226.
Подставим сюда, как дела-
лось в § 38, p=jm, и выделим вещественную и мнимую
части. Получим
kokper q — (To + T1) (02 = O)
ω- ΤοΤιω᾽ =0.
Из второго уравнения находим частоту автоколебаний
1
(О:—:. 39.9
ктот, ( )
Тогда первое из уравнений (39.8) с учетом (39.9) при
12:1, дает
Т Tl
игре,: “ ( 13+ b) _? (a>b). (39.10)
QTOT‘k0 (arc sm 7+ 71- 1/1 —— ?,)
Задаваясь разными значениями амплитуды a и вычисляя
каждый раз по формуле (39.10) величину leper, можно по-
строить график зависимости а от {ΒΡΘΓ (рис. 226). График
этот показывает, что действительно за границей устойчи-
вости получается не расхождение колебаний до бесконеч-
ности, как в чисто линейной системе, а установление авто-
колебаний с ограниченной амплитудой а, величина которой
определяется графиком рис. 226,
(39.8)

340 нелинейные АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы [гл. v11
Заметим, что здесь а есть амплитуда колебаний входной
величины х нелинейного звена. Чтобы определить ампли—
туду а,; автоколебаний регулируемой величины (угла крена
ракеты) через найденную величину а, воспользуемся первым
из уравнений (39.5), которое дает
'——‚—2 Т
а,=.‚;р;у1+т,… :ἑτ 1/1+7_3. (39.11)
Таково "влияние нелинейных характеристик с ограниче-
нием (рис. 223) или насыщением (рис. 224) в Одноконтур-
ной системе регулирования.
Λ! Оно часто является благо—
приятным.
В многоконтурных же
системах, т. е. в системах
с дополнительными обрат-
ными связями в регуляторе,
влияние этих нелинейнЫх
характеристик может быть
совсем иным, неблагоприят-
ным, особенно, если такая
характеристика охватывает-
ся обратной связью. В
этом случае она может вы-
зывать сужение области
устойчивости и ухудшение качества переходного процесса
по сравнению с такой же многоконтурной чисто линейной
системой.
Рассмотрим теперь нелинейность в виде зазора (люфта)
в механической передаче. Статическая характеристика его
имеет вид рис. 227, где х обозначает входную координату
(угол поворота ведущей оси), а у—выходную координату
(угол поворота ведомой оси), Ь—половину ширины зазора.
Движение ведомой оси в одну сторону происходит по закону
(прямая ΑΒ)
Рис. 227.
y=k(x—b) (при %>О);
затем, когда угол поворота ведущей оси х достигнет макси-
мума (например, х=а,), и ведущая ось пойдет в обратную
сторону, ведомая будет некоторое время стоять на месте,

§ 39] влиянив РАЗЛИЧНЫХ нвлинвйноствй регулятор». 341
пока не выберется ширина зазора 2b (участок ВС, рис. 227)
у : const: k ((11 — b).
Движение ведомой оси в обратную сторону пойдет по закону
(прямая CD):
y=k(x+b) (при %<О).
Особенность характеристики зазора состоит в том, что
она имеет вид петли гистерезисного типа неизменной ширины,
но длина ее меняется в зависимости от амплитуды а колеба-
ний входной величины x (Ha рис. 227 показаны два конкрет-
-ных значения амплитуды: (11 и а,). Поэтому влияние зазора
на процесс регулирования будет очень существенным при
малых значениях x H становится мало заметным при доста—
точно больших значениях х (так же как и влияние зоны
нечувствительностиу
Как и всякая другая причина появления гистерезисной
петли, зазор в одноконтурной системе регулирования может
способствовать колебаниям в процессе регулирования с тем
большей амплитудой, чем больше ширина петли, т. е. раз-
мер зазора. При исследовании колебательных процессов по
методу гармонической линеаризации в этом случае надо
пользоваться выражением (37.14):
y=qx+q—“’—" „,—„ (39.12)
где согласно (37.15) и (37.8) имеем
(]:—і— [%+агсзіп<1—2—:\)+
+2(1_—) V {;©—%>], } (39.13)
41=_‘:—§<1—%> (a>b).
Это зависимость q и ql от амплитуды а колебаний вход-
ной величины х представлена графически на рис. 228. Пер-
вый график показывает, насколько снижается коэффициент
усиления звена q по сравнению с k вследствие зазора при
разных соотношениях между амплитудой колебаний и раз-
мером зазора. Второй график ql характеризует величину
__,

342 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. νυ
запаздывания Β изменении выход'ной величины у, вызывае-
мого наличием гистерезисной петли.
Расценивая петлю, как специфическое нелинейное выра-
жение запаздывания, на основании материала глав Ill—1V
мы можем сказать, что если Β одноконтурной системе
оно является вредным, то в многоконтурной это может
l?) оказаться и полезным. На-
пример, если зазор имеется
Β составе дополнительной
связи регулятора, то вво-
димое им Β обратную связь
запаздывание может благо-
приятно влиять на качество
процесса регулирования, по-
добно инерционной обрат—
ной связи (см. § 31).
До сих пор мы рассма-
тривали петли гистерезисно-
го типа различного проис-
хождения, но не связанные с физическим явлением гисте-
резиса. Физическое явление гистерезиса влияет на про-
цесс регулирования аналогично. Но оно вносит в статиче-
скую характеристику петлю
несколько другого харак-
тера, особенность которой
состоит в том, что с изме—
нением амплитуды колеба-
ний входной величины x ме-
няется не только длина, но
и ширина петли, т. е.
b=f(a).
Ha рис. 229 показана
такая гистерезисная стати-
Рис. 229. ческая характеристика для
двух конкретных амплитуд
(11 и a2 с соответствующими размерами bl и b2, характери-
зующими переменность ширины петли. Особенность здесь
заключается в том, что петля с переменной шириной может
существенно влиять на процесс регулирования при всех
`малых и больших) значениях x, ᾽ ᾽
ёічч % NH
Рис. 228.

ξ 39] влиянив РАЗЛИЧНЫХ ивлинвйноствй РЕГУЛЯТОРА 343
Такого рода гистерезисные петли может оказаться необ-
ходимым учитывать Β характеристике генератора при при-
менении его в качестве электромашинного усилителя. Ана-
логичную форму имеет гистерезис при упругих деформациях
деталей. Если конфигурация такого рода петли будет задана,
то для нее также можно ввести приближенное выраже-
ние (39.12), но со специально вычисленными по формулам
(37.15) и (37.8) или графически найденными своими гармо-
ническими коэффициентами q и (],.
Встречаются в автоматических +?
регуляторах также и нелинейные
характеристики квадратичного и ку-
бичного вида (рис. 230):
y=k1x+(sign x) {ΘΗ,} (39 14)
8 ' r ;—
y:k1x+ kzx . ῄ {Ζ’
2
В первом случае перед х поставлен {Даг-‚?,
знак Slgn величины х, чтобы харак-
теристика имела вид, показанный на
рис. 230.
Такого вида характеристики мо- Рис. 230.
гут появиться, во-первых, как ре-
зультат нелинейного сопротивления механическому движению,
если х—скорость, у—сила или момент трения. Во-вторых,
они могут выражать собой статические зависимости меЖДу
самыми различными величинами, скажем, силой тока (у) и
напряжением (х) и т. п. в различных устройствах.
В отличие от характеристик с ограничением (рис. 223)
или насыщением (рис. 224), данные характеристики (рис. 230)
дают увеличение коэффициента усиления с увеличением
входной величины х. В одноконтурных системах регулиро-
вания это может быть нежелательным,—может сузить об-
ласть устойчивости системы, создав расходящиеся колебания
при больших начальных отклонениях там, где чисто линей-
ная система С КОЭффициентом k1 была бы устойчивой.
Однако в многоконтурных системах квадратичная или
кубичная характеристика вида рис. 230 может оказаться по-
лезной. Такого рода характеристики иногда специально
вводят в дополнительные обратные связи регулятора для
улучшения качества процесса регулирования. Оказывается,
что увеличение коэффициента обратной связи в регуляторе

844 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы [гл. \…
при больших отклонениях с помощью нелинейной характери-
стики вида рис. 230 (в отличие от увеличения коэффициента
усиления прямой цепи регулятора) может способствовать
подавлению колебаний в процессе регулирования и расши-
рению области устойчивости.
При исследовании колебательных процессов можно нели-
нейные характеристики (39.14) (рис. 230) заменять прибли—
женным "выражением
y=qx, (39.15)
где согласно формулам (37.13) и (37.6) для квадратичной
характеристики (39.14) имеем гармонический коэффициент
усиления
8
q: ь, +% Ь„ (39.16)
а для кубичной характеристики (27.14) получаем
3 2
= #, + % и (39.17)
что показано графически на рис. 231.
Эти же выражения коэффициентов гармонической линеа-
рнзации применяются И ТОГДЗ, КОГДа характеристики (3914)
дА (рис. 230) относятся не
ᾖ͵,” bloke/7711mm} К статическому коэффициен—
гариттш/ММ ту усиления, а к нелиней-
ному демпфированию. Толь-
ко в этом случае х обозна-
чает скорость изменения
входной величины звена и
1“;
’ а—амп ни
Для {Wk/MM й “my” T κοπεδε й
Ιῃῤῃῄῃῄῤῃῃῃῃῄῃ ЭТО СКОРОСТИ. ЗКОГО mm
1 нелинейное демпфирование
% (увеличивающееся с увели-
” & чением скорости) в системе
РИС- 231- с регулятором, описываемым
уравнением выше первого
порядка, приводит к эффекту получения безопасной границы
устойчивости, ограничивая раскачивание колебаний.
Применяются и другие нелинейные статические характе—
рнстики (особенно в обратных связях) и другие виды нели-
нейного демпфирования. В частности, хороший эффект,

§ 39] влиянив' РАЗЛИЧНЫХ нелинейностей регулятом 345
убыстряющий протекание монотонных процессов в системах
автоматического регулирования с регулятором
ду
Tzd—Tz + Tndt+yzkper
дает изменение постоянной демпфирования Τ“ в зависи-
мости не от скорости, как указывалось выше, а от отклоне-
ния регулируемой величины х или регулирующего воздей-
ствия у
Тд=Р(х) или Тд=Р`(у)
с разными типами этих зависимостей.
Рассмотрим, наконец, еще Одну часто встречающуюся
существенную нелинейность— сухое трение. Момент сухого
трения М является нелинейной функцией от угловой ско-
Т
рости ω. налогично, сила сухого трения FTP является такой
же нелинейной функцией поступательной скорости
М =—F((o), F =—F(v). (39.18)
ТР TD
Указанная нелинейная функция имеет вид, изображенный на
рис. 232, а или 6.
В первом случае (рис. 282, а) момент сухого трения
считается постоянным независимо от величины скорости.
[А [%
V
:; —Т— Π
с
Y _ L >
0 _ ‚(‚/(;;! ” та
и z/
‚4 '
a] 51
Рис. 232.
Направление момента сухого трения противоположно направ-
лению вращения. Внешне эта характеристика похожа на ре-
лейную. Но это сходство кажущееся. Принципиальное отли-
чие ее от релейной характеристики состоит в том, что
момент сухого трения при (0:0 может принимать любое
значение между —с и +0, уравновешивая приложенный

346 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы [гл. v11
вращающий момент Map. Следовательно, нелинейная функ-
ция F(m) В формуле (39.18) имеет вид:
Г(ю)=(знак (о)с при 03:0,
(39.19)
——c< F(m)<c при (0:0, }
причем, если при (9:0 приложенный вращающий момент Мвр
оказывается по абсолютному значению больше величины cp
то F((o) мгновенно перескакивает с величины +в на -—с или
наоборот, как в релейной характеристике. Если. же при
(9:0 приложенный момент Мвр окажется по абсолютному
значению меньше с, то Ρ(ω) перескочит Β точку Р`: М„„
на оси ординат. Дальше будет постепенное движение πο
прямой ΑΒ (рис. 232, а).
В первом случае движение плавно продолжается Β дру-
гую сторону (происходит изменение знака скорости при
03:0). Во втором случае имеет место остановка движения
(ω.-.:Ο Β течение определенного отрезка времени), которая
продолжается до тех пор, пока величина МВр не достигнет
значения с или —с.
В различных системах влияние сухого трения на процесс
регулирования может быть самым разнообразным. Во многих
случаях оно дает полезный эффект демпфирования колеба-
ний. В некоторых особых случаях оно может служить при-
чиной возникновения нежелательных колебаний, Β частности,
автоколебаний. Часто сухое трение может быть причиной
различных застоев и нечувствительности регулятора к малым
отклонениям. Оно может иногда вызывать неплавное движе-
ние с задержками и рывками и т. п.
В заключение заметим, что все виды нелинейности, в
том числе и многие нерассматривавшиеся здесь, не только
должны учитываться, как неизбежные в тех или иных регу-
ляторах, но часто их можно использовать специально, как
нелинейные корректирующие средства для улучшения
процесса регулирования. Это—весьма богатая, еще мало
разработанная область, требующая теоретических и экспери-
ментальных исследований.
Колебательные процессы и колебательные границы устой—
чивости всевозможных нелинейных систем часто можно опре-
делять методом гармонической линеаризации, понятие о кото-
рой было дано выше. Существуют и различные методы

ξ 40] нвлинвйныв зяконы РЕГУЛИРОВАНИЯ 347
построения переходных процессов. Особенно важны методы
электрического моделирования на математических машинах
непрерывного и дискретного действия, которые часто стано-
вятся единственным средством надежного решения сложных
нелинейных задач.
§ 40. Нелинейные законы регулирования и применение
логических устройств
Законы регулирования рассматривались уже ранее
в главе VI. Там они представлялись различными линейными
комбинациями отклонения регулируемой величины, ее произ-
водных и интеграла, т. е. в виде суммы, например, вида
у=1г„,(х_!,—/а,“ (it—(4227:: +в, Яхт), (40.1)
причем введение производных, как правило, улучшало каче-
ство переходного процесса и уменьшало динамические
ошибки, а введение интеграла ликвидировало статическую
ошибку. Кроме того, статическая и динамическая ошибки,
как правило, уменьшались также с увеличением leper. В то
же время увеличение (apeF приводило, как правило, к ухуд-
шению качества переходного процесса, к появлению колеба-
тельных процессов и даже к неустойчивости системы.
Рассматривались в данной главе также и релейные законы
регулирования: скоростной (34.5) и позиционный (34.13),
которые являются простейшими примерами нелинейных зако-
нов регулирования.
Как уже говорилось, для подавления колебаний В релей-
ных системах также применяется введение производных
в закон регулирования. Тогда релейный закон регулирова-
ния с введением производных вместо (34.5) примет вид
ἀφ
ἙΞἅΟ при (В+/гс; „>О,
(40.2)
%):—даф при <0+k— 0t’><0
а вместо (34.13)
у=с при <1p+k37y>>0 (403)
‚у:—с при < 4,><0.

348 НЕЛИНЕЙНЫЕ АВТОМАТИЧЕСЕИЕ СИСТЕМЫ [Г.П. VII
Кроме таких простейших случаев, нелинейные законы
регулирования могут быть получены заменой линейного
выражения (40.1) любым нелинейным выражением, например,
y=1aeper [(ц— )х+/е5%‘]‚ (40.4)
(Ξ
dt
или
у : kper [(Sign x) VIE—i— k %] ‚ (40.5)
или другими. Здесь знак абсолютного значения при произ-
водной в первом случае и знак величины х перед корнем
(signx) BO втором случае
Λ 5 2 поставлены для того, чтобы
|| данный член в целом менял
l знак при изменении знака
отклонения регулируемой
величины x, как должно
> быть во всяком законе ре—
.Z' гулирования.
Смысл такого вида зако-
нов регулирования заклю-
чается в следующем. В ли-
нейном законе (40.1) член
kperx меняется всегда про-
порционально отклонению х
р,… 233_ с одним и тем же коэффи-
циентом усиления (прямая
I на рис. 233). В нелинейном же законе. типа (40.4) член
dx
kPP—P(1+'¢F‘)x имеет как бы изменяющийся коэффициент
dx
Щ ), — прямые I, 2,
3 на рис. 233. Он тем больше, чем больше величина про-
усиления, равный величине kper<1+
dx ΄
изводной ‚іі—г\“ В нелинейном же законе типа (40.5) первый
член, график которого изображен в виде кривой 4 Ha
рис. 233, можно записать в следующей форме:
k …
ἔχ-
V\xl
Отсюда видно, что коэффициент усиления здесь уменьшается
с увеличением х (он обратно пропорционален корню из x).

§ 40] нелинейные ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ 349
Это может быть весьма полезным. Мы знаем, что увеличе—
ние leper уменьшает статическую ошибку, но ведет, как
правило, к раскачиванию системы. Поэтому выгодно около
положения равновесия (x=0) иметь высокое значение leper,
а вдали от него—сниженное, чтобы препятствовать раска-
чиванию системы. Это и наблюдается при данном законе.
В нелинейных законах регулирования рассмотренного типа
дело сводится как бы к целесообразному изменению пара-
метров регулятора (коэффициентов усиления) в зависимости
от размера отклонения регулируемой величины и его
производных. Вариантов такого типа нелинейных законов
очень много. Это является богатой областью для исследования.
Другого типа нелинейные законы регулирования связаны
с целесообразным изменением структуры регулятора в за-
висимости от размера отклонения регулируемой величины
и его производных. Например, известно, что жесткая обрат-
ная связь в регуляторе является сильным средством подав-
ления колебаний и убыстрения затухания переходных про-
цессов. Но зато она снижает общий коэффициент усиления
регулятора и тем самым может увеличивать статическую и
некоторые установившиеся динамические ошибки.
Поэтому полезно было бы в некоторых системах включать
жесткую обратную связь только при появлении больших
отклонений (с целью их быстрой ликвидации) и выключать
жесткую обратную связь при достаточно малых отклонениях
(с целью увеличения точности регулирования). Вместо этого
может применяться переключение системы на гибкую обрат-
ную связь при достаточно малых отклонениях регулируемой
величины. Осуществление такого нелинейного закона регу-
лирования показано схематически на рис. 234, а.
Применяются также нелинейные законы со структурными
переключениями последовательных корректирующих устройств.
Например, если полный закон регулирования имеет вид (40,1)᾽
το можно построить систему так, что постоянно будет вклю-
чен только сигнал и„„х, а остальные будут подключаться
только по мере необходимости (рис. 234, 6), например,
в зависимости от соотношения знаков и размеров величин x
dx
ἆ' Интеграл можно подключать только в конце пере-
ходного процесса, a производные тогда, когда они
действительно дают сигнал, способствующий уменьшению

350 нелинейные АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. vn
отклонения В ходе процесса регулирования. Таким путем
можно сильно повысить эффект работы регулятора или
системы управления. Все эти переключения легко можно
осуществить при помощи релейного логического устройства
I Л \ Лтд/т. ᾽
Удали/тт Уст/тт:: ' усі/т 1
А
.2’ Ъ
` "' " “Μ“;
04-— a 6, < J’l/ .
' а д-
ат д’Ж/Л
’ Лий/т μ
д. а
͵ Идиш/-
‘ Иди/д ᾽
(?./‚Идиш? ᾽ ᾽
Уатт/мд _ ”тт/х.
Г” ”Mai/w. yaw. Г'—
… <--
Лдгг/тттд' .] ζ“- _ _ _ _ _ _ _
yaw/M5777! ᾽ " ”f
п а’ a"?
ду {__—“\’— Τἷ Til; ”7
Ц }
Ἴ x v
@ митр. Лит
Рис. 234.
по заранее заложенному в него закону (алгоритму) дей—
ствия В зависимости от соотношения знаков и размеров вели-
dx
ἆ '
На некоторых объектах, если надо экономить энергию и
нужно заботиться лишь о факте уменьшения отклонения,
ЧИНХИ

§ 40] нвлинвйныв зьконы РЕГУЛИРОВАНИЯ 351
но не о быстроте этого процесса, на некоторые промежутки
времени можно отключать вообще весь регулятор или си—
стему управления.. В самом деле, можно отключать регуля-
dx
тор, когда х и ἶἶΐ имеют противоположные знаки, так как
при этом величина отклонения|х| уменьшается. Регулятор
снова надо включить, когда знаки указанных величин станут
одинаковыми.
Расчеты процесса регулирования при нелинейных законах,
в том числе и при использовании логических устройств, можно
производить теми же способами, которые применялись выше
для других нелинейных систем. Для систем второго порядка
удобно использовать фазовую плоскость, а для систем более
высокого порядка—метод гармонической линеаризации или
же вычислительные машины (цифровые и моделирующие).
Проиллюстрируем первый из этих способов на простейшем
примере. Допустим, что требуется стабилизировать угловое
положение некоторого тела, когда сопротивлением среды его
вращению можно пренебречь. Уравнение объекта будет
аф _
J a? _ M, (40.6)
где `і—момент инерции тела, ср—угол поворота тела, ср—
его угловая скорость, М—управляющий момент со стороны
исполнительного органа системы стабилизации.
Уравнение регулятора (системы стабилизации) запишем
в виде
М=М1Ф(Ф› ф), (40.7)
где M1 —постоянная положительная величина, Ф(ср, (р)—не-
линейный закон регулирования, осуществляемый при помощи
логического устройства. Будем включать исполнительный
орган системы стабилизации на полную величину M1 управ-
ляющего момента в одну или в другую сторону (М:—{_М1
или М=—М,) или же выключать его (М=О). Следова-
тельно, величина Ф в формуле (40.7) будет принимать одно
из трех значений: + 1, — 1, О, в зависимости от комбина-
ции значений φ и φ. При этом сигналы об угловом положе—
нии тела φ и_ его угловой скорости φ поступают с соответ,-

302 нвлинвйныв Автомлтичвскив систвмы [гл. VII
ствующих измерительных \устройств системы стабилизации
(рис. 235, a).
Логику построения нелинейного закона регулирования
Φ(φ᾿ φ) можно выбирать, исходя из наилучшего выполнения
поставленной задачи, в самых разнообразных вариантах.
Регулирует/11 Γ-Ἰἅ-ᾗἕἱῖᾗἆὗ-Ἰ
дім/’!!! —›1 ιῖἴὅζᾶ J Бах/ддт I
‚трат? |
j ..... -J
a
Imam”
дуга/и
᾽
„тратит/тт;
I II ῤ .
I
{2:0 f @=“, |
| _М__‹ :
|
: @=” ᾽ :
|
1 _ ι ἆ
2 ‚Т " | . '2
ι : % :
' ι
| 51 I
д? |
|
" π
Рис. 235.
Осуществим, например, указанную выше идею отключения
регулятора, когда знаки φ и φ противоположны. Учтем при
этом, как указано на рис. 222, зону нечувствительности
измерителя угла, обозначив ее—д<ср<+д, и зону не-
чувствительности измерителя угловой скорости (— big
écpg—erl), причем размеры этих зон b и bl зададим
в виде положительных чисел.

§ 40] нвлинвйныв здконы регулирования 353
Тогда нелинейный закон регулирования получит вид
Г—1при Ф>+д И (ὁ)-01,
O при (p>+b и ср<——д„
(I): Oan—b<(p<—{-—b и φ любом,
Ο при cp<-—b и ф>+д„
[+1 при cp<—b и ф<+д,.
На фазовой плоскости (рис. 235, 6) штриховкой выделены
области включения исполнительного органа в соответствии
с этим законом. По углу φ фазовая плоскость ограничена
значениями+л и—л, так как это составляет один полный
оборот тела.
Логическое устройство должно в такой системе работать
следующим образом. Оно выдает сигнал включения —]
при положительном сигнале от измерителя угла, если одно—
временно с ним от измерителя угловой скорости либо посту-
пает положительный сигнал, либо отсутствует сигнал. Логи—
ческое устройство выдает сигнал включения +1 при отри—
цательном сигнале от измерителя угла, если одновременно
с ним от измерителя угловой скорости либо поступает отри-
цательный сигнал, либо отсутствует сигнал. Наконец, логиче-
ское устройство выключает исполнительный орган (ΦΞΟ),
во-первых, при отсутствии сигнала от измерителя угла (неза—
висимо от показаний измерителя угловой скорости) и, во-
вторых, когда сигналы от этих двух измерителей имеют
противоположные знаки.
Изобразим теперь процесс регулирования на фазовой
плоскости. Уравнение всей системы согласно (40.6) и (40.7)
будет
d' -
ἐξ =сФ (φ, φ), (40.8)
где обозначено
_М1 ε
c._—J[1/celc ],
причем с имеет физический смысл величины углового уско-
рения, сообщаемого данному телу постоянным моментом М,.
Умножнв почленно уравнение (40.8) на выражение
_dq>
φ-ἶἶν

354 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. vu
получим дифференциальное уравнение фазовой траектории
Φᾶᾧ = @ (φ, ф) άφ- (40-9)
Это уравнение легко интегрируется внутри участков, на
которых CD=const. В результате для каждого отдельно взя-
того участка уравнение фазовой траектории будет
где (рн и (рн—значения φ и φ Β начальной точке данного
участка.
Зададим начальные условия процесса:
φΞΟ, φ::φο при 15:0.
Для данной начальной точки процесса (см. рис. 235,6) имеем
(Dz-.70. Поэтому на первом участке процесса согласно (40.10)
уравнение фазовой траектории будет
φ = const = φο.
Этот участок движения с постоянной скоростью заканчивается
Β точке 1 (рис. 235, 6), где происходит включение испол-
нительного органа (Ф=—1). Следовательно для второго
участка процесса (после точки I) из (40.10) получим урав—
нение фазовой траектории
ф’=фЁ—2с(ср—д)‚ (40.11)
так как Β начальной точке 1 этого участка имеем φΗΞῥ᾿
φΗΞφο. фазовая траектория (40.11)—парабола‚ ось которой
совпадает с координатной осью φ. Это соответствует равно-
замедленному Движению ((р=с). Изображая параболу гра-
фически, доводим ее до границы (р=л: (участок 1—2 на
рис. 235,6), причем в точке 2 согласно (40.11) имеем
Φ, == 1/ЁРЁ — 2c (π - b). (40.12)
Это значение переносим Β точку 2’ (для вращающегося
тела ср=іл—это одна и та же точка). Здесь ПРОИСХОДИТ
выключение исполнительного органа (Ф=О). Поэтому даль-
нейшее движение согласно (40.10) пойдет ‹; постоянной

ξ 40] нвлинвйныв ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ 350
скоростью
φ = const = (p2
до точки 3 (рис. 235, 6). Таким образом, Β рассмотренной
начальной части процесса регулирования тело совершило один
полный оборот, но Β конце этого оборота скорость вращения
его стала меньше начальной.
В точке 3 снова включается исполнительный сигнал
(СБ:—1), в результате чего фазовая траектория будет
ф2=ф;_2с«р_д)‚ (40.13)
так как Β точке 3 имеем ср„=д, ср„=ср2. Допустим, что
соответствующая уравнению (40.13) парабола 3—4 He доходит
до границы ср.—:л. Это означает, что тело больше не совер—
шает полного оборота, а начнет (с точки A) возвращаться
Β сторону нулевого положения.
В точке 4 (рис. 235) имеем скорость (ᾖ:-01. Следова—
тельно, из (40.13) угловая координата ее будет
ф2 _ b2
(fizzy—(3764, (40.14)
где ф, определяется по формуле (40.12). Дальше (4—5)
процесс пойдет с постоянной скоростью (так как Ф=О),
после чего тело войдет в установившийся автоколебательный
режим, определяемый предельным циклом 5—6—7—8. Урав-
нение параболы 7—8 согласно (40.10) будет
. a _ Ь’
Ё_2_1_—_-_с«р—д). (40.15)
Отсюда амплитуда угловых автоколебаний а как значение
φ при q)—_-.-O, будет
φ,
b2
a?=b+§‘, (40.16)
a амплитуда колебаний скорости
“...-τὀν (40.17)
Она равна зоне нечувствительности измерителя угловой ско-
рости 1)], В то время как амплитуда угловых колебаний (40.16)
несколько больше зоны нечувствительности измерителя угла 1).,

356 нвлинвйныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы [гл. vu
Период автоколебаний ta можно вычислить как сумму
времени
ta =1[хол + [раб, _
где {ход и #986 — времена участков (6—7) + (8—5) и (5—6) +
+(7—8) соответственно. По законам равномерного и равно-
замедленного движений соответственно получаем
b b
га=4(д+?'). (40.18)
Итак, установившийся режим стабилизации в данной
системе является автоколебательным. Однако, уравнение
системы (40.8) справедливо только для идеальной системы
стабилизации. Всякое реально имеющееся запаздывание в ра-
боте усилительно-преобразовательного и исполнительного
устройств приведет к увеличению амплитуд автоколебаний
по сравнению с полученными здесь значениями (40.16) и
(40.17).
Подсчитаем расход энергии в установившемся режиме.
Пусть задан секундный расход Е при включенном исполни-
тельном органе. Тогда средний секундный расход за периол
автоколебаний будет
. Е: 6 ΕΗ
с„= ,” =. ‘„ (40.19)
a ж+ж),
а за все время установившейся стабилизации t расход энер-
гии будет
EZECPt.
Как видим, для уменьшения расхода энергии в первую
очередь согласно (40.19) нужно стремиться к уменьшению
зоны нечувствительности измерителя угловой скорости. Кроме
того, нужно по возможности увеличивать зону нечувстви—
тельности измерителя угла, что, однако, связано с умень-
шением точности угловой стабилизации объекта. Следова-
тельно, всякое увеличение точности стабилизации покупается
ценой увеличения расхода энергии. Из (40.19) видно также,
М
что выгодно увеличивать значение c=—J—‘ (любым путем, но
только не за счет увеличения E). Наконец, надо всячески
уменьшать запаздывание в контуре стабилизации, ибо оно

§ 40] нвлинвйныв звконы РЕГУЛИРОВАНИЯ 357
приводит к увеличению амплитуды скорости αᾧ, которая
входит Β квадрате в числитель формулы (40.19).
В заключение заметим, что нелинейные законы управления
со структурными переключениями, осуществляемые при помощи
тех или иных логических устройств Β зависимости от соот-
ношения знаков и размеров различных переменных, фигури-
рующих в процессе регулирования, могут принести большую
пользу при построении систем регулирования и управления
с желаемым качеством процессов. Они могут использоваться
также в целях повышения надежности системы, простоты
выполнения и экономичности силовой части системы.
12 E. Π. Попов

ГЛАВА VIII
ОПТИМАЛЬНЫЕ И САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ
СИСТЕМЫ
§ 41. Оптимальные автоматические системы
Существует много критериев качества систем автоматиче-
ского управления, регулирования и следящих систем. Чазть
из них была освещена Β этой книге. Качество автоматической
системы может оцениваться по быстроте затухания и по ми-
нимуму перерегулирования Β переходном процессе, но пока-
зателю колебательности на частотной характеристике, по
минимуму установившихся ошибок в разных режимах (стати-
ческое отклонение, слежение с постоянной скоростью, сле-
жение за синусоидальными колебаниями), по минимуму средне-
квадратического отклонения при случайных воздействиях или
по максимуму вероятности попадания Β заданную область
и т. д. Могут привлекаться и другого рода критерии качества,
например, минимум расхода энергии объекта на процесс его
управления, максимальная надежность работы регулятора или
системы управления Β условиях эксплуатации и т. п.
Вообще говоря, все эти критерии качества важны Для
многих автоматических систем. Но часто Β зависимости от
устройства и назначения системы один из указанных (или
иных) критериев качества может играть главную роль. Тогда
при проектировании (при синтезе) системы надо «выжать»
из нее все, чтобы добиться максимума или минимума именно
того показателя, который соответствует данному критерию.
Остальные же показатели качества нужно при этом удержи-
вать просто В допустимых по техническим требованиям пре-
делах. Коша одинаково важны два каких-либо критерия, то
составляется новый комбинированный показатель качества,
максимум или минимум которого нужно обеспечить.

§ 41] оптимтхльныв АВТОМАТИЧЕСКИЕ системы 359
Оптимальной автоматической системой называется
система, Β которой закон регулирования выбран по максимуму
или минимуму того или иного показателя качества. При этом
закон регулирования может быть либо линейным, либо не-
линейным.
В оптимальной системе с линейным законом регулиро-
вания рассчитываются значения всех коэффициентов по макси-
муму или минимуму выбранного показателя качества, или же
рассчитывается передаточная функция корректирующего
устройства или фильтра (так называемый оптимальный ли-
нейный фильтр). В этом случае достигается максимум того,
что может дать чисто линейная система.
Более широкими возможностями при оптимизации системы
по тому или иному критерию обладают, очевидно, нелинейные
законы регулирования, о которых говорилось в предыдущем
параграфе. Введение нелинейностей Β закон регулирования
2
у=_/`(х, % , fit—f, Sx αἱ) принципиально расширяет его воз-
можности. То же самое касается и нелинейных корректи-
рующих устройств и нелинейных фильтров. Однако рас-
чет их структуры и параметров по максимуму или минимуму
какого-либо показателя качества становится значительно
сложнее.
В частности, в оптимальных системах часто применяется
релейный закон регулирования типа (34.13) или (34.14), но
только с более сложным условием переключения:
“ΞΟ при f(x1a x2: хз» !xn)>0’
и=0 при {(χ}, x2, х„ ‚х„)=0,
“ΞΟ при {(χ}, x2, хз, ᾽ .' ’xn)<0,
где и—регулирующее (управляющее) воздействие, с—за-
данная постоянная; х„ х„ х„ ‚хп—обобщенные коор-
динаты системы, в которые могут входить отклонения регу-
лируемой (управляемой) величины и других переменных,
характеризующих текущее состояние системы, а также их
производные; функция переключения [может еще зависеть
от начальных значений этих переменных и от характеристик
задаваемого (программного) значения регулируемой величи-
ны В рассматриваемой системе автоматического управления.
Вид этой функции зависит как от выбранного показателя
12"

360 оптимальныв и самонлстмивяющився системы [гл. vm
качества, так и от структуры и параметров объекта и си-
стемы в целом.
Во всех случаях оптимизации автоматической системы по
тому или иному критерию должны учитываться реальные
ограничения, всегда имеющиеся на практике, например, огра-
ниченность запаса энергии, величины мощности, скорости,
усиления, тока, емкости, допускаемой перегрузки, нагрева
и т. п. Эти ограничения записываются Β виде неравенств
dx
(например ἆςὸ), добавляемых к уравнениям динамики
системы, которые рассматривались в предыдущих главах.
Используемый критерий качества тоже должен быть
выражен либо непосредственно Β виде функции от подлежа-
щих выбору параметров закона регулирования или фильтра,
либо как подлежащий оптимизации результат решения уравне-
ний динамики автоматической системы. Тогда задача сводится
к отысканию максимума или минимума некоторого функ-
ционала и могут применяться общие методы теории вариа-
ционного вычисления или же специальные методы (динами-
ческое программирование, принЦип максимума, теория опти-
мальных фильтров), рассмотрение которых выходит за рамки
данной книги.
Приведем лишь простейший пример построения автомати-
ческой системы, оптимальной по быстроте затухания пере-
ходного процесса. Пусть в следящей системе (рис. 236,а)
требуется обеспечить минимум времени tc (рис. 236,6) от-
работки начального рассогласования хо. Допустим при этом,
для упрощения примера, что силовая часть системы описы—
вается простым уравнением без демпфирования
d2
а??:/аси. (41.1)
Допустим далее, что силовая часть представляет” собой
электродвигатель, в котором должен быть ограничен ток
якоря, пропорциональный (без момента нагрузки) второй
производной от выходной величины х. Тогда ограничение
запишется в виде
d’x
W
<&, (41.2)
где із—заданное положительное число,

§ 41] OHTHMAJIbeIE АВТОМАТИЧЕСКИЕ систвмы 361
Чтобы система была оптимальной в смысле минимума вре—
мени іс, нужно найти соответствующий оптимальный закон
регулирования, который должен быть осуществлен в управ-
ляющей части системы.
д.;
“ [ттт а’: ι
ттт :
l
Л : I і“
I
0/
Μ' 6’}
_, ____________ all
Т : ""Т"—".
то : ‚а ' t
ι ' д і .„ : :
= {_а—__:
” ᾽ д‘, :
07 07
Рис. 236.
Решить эту задачу можно следующим путем. Заметим, что
[С
”:?!“
т. е. x0 равняется площади под кривой, изображающей график
изменения скорости движения по времени. Следовательно,
нужно найти такой график скорости движения, который бы
имел заданную площадь хо при минимальном размере осно-
вания tc на оси абсцисс и при ограничении величины наклона,
касательной (41.2). Оказывается, что какие бы кривые ни
рассматривались, самый меньший размер Ifc при данном огра-
ничении будет иметь равнобедренный треугольник с макси-
мально возможным наклоном сторон (236,6).
Отсюда вытекает, что минимум времени t получится
тогда, когда сначала будет дан двигателю максимальный
2
2x dx
Ξἷ’ _ “h, a затем максимальное торможение d—t2 =—h.
Чтобы осуществить такой режим согласно заданному урав-
нению силовой части (41.1), воздействие на нее и (t) со стороны
Elm.“
разгон

362 OHTHMAflebIE и САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ системы [гл. vm
управляющей части должно иметь `вид
рис. 236, г, где
, показанный на
с :; ‚ (41.3)
С
т. е. должен осуществляться релейный закон регулирования.
При этом управляющая часть системы должна быть устроена
x
так чтобы переключение реле происхоцило при х=—°—
‚ 2 ’
а полное выключение—при x=xo. Это относится только
к случаю xo=const. При переменном же задании xo(t) по-
требуется более сложное переключающее устройство.
Здесь был взят очень простой частный случай. В других
случаях решение задачи сильно усложняется. В общем случае
управляющая часть такой оптимальной следящей системы
должна обязательно содержать более или менее сложное
вычислительное устройство для того, чтобы переключать
реле в надлежащие моменты времени, определяемые в виде
функций текущего рассогласования, его производных и т. д.
В связи с этими трудностями часто переходят к обыч—
ному линейному закону регулирования, например, В данном
случае (рис. 236,a):
de
и=ь,(е+ьд>, е=х,—х‚ (41.4)
а затем в полученном путем подстановки (41.4) в (41.1)
уравнении системы
α: d
ἁ (Ff—{42% +x x=k dx—°—+x (41.5)
выбирают параметры управляющей части kl и k таким обра-
зом, чтобы переходный процесс был наиболее близок к опти-
мальному (в данном случае—к рис. 236, 6).
Точно так же и при оптимизации любой системы по лю—
бому другому критерию ищут либо саму форму оптимального
закона регулирования (как делалось сначала в данном при-
мере), и тогда, как правило, приходят к необходимости вклю-
чения вычислительного устройства в контур системы, либо
заранее задают форму закона регулирования (линейную или
нелинейную), а ищут оптимальные значения коэффициентов
этого закона регулирования.

§ 42], системы с схмомстройкой ПРОГРАММЫ 363
§ 42. Системы с самонастройкой программы
(экстремальные системы)
Раньше речь шла все время о таких системах регулиро-
вания, В которых требуемое значение регулируемой величины
было заранее задано либо постоянным, либо изменяющимся по
определенной программе во времени, а в следящих системах
задавалось извне во время работы системы.
В отличие от них экстремальными системами регулиро-
вания или управления называются такие, которые сами ищут
наивыгоднейшую программу,т.е. то значение регулируемой
величины, которое нужно в данный момент выдерживать,
чтобы режим работы регулируемого объекта был наивыгод-
нейшим. При этом имеется в виду уже не выбор закона
регулирования, а автоматический поиск требуемого наивы—
годнейшего значения регулируемой величины при изменяю—
щихся внешних условиях работы объекта. Следовательно,
на систему, называемую экстремальной, сверх обычной
задачи автоматического выдерживания требуемого значения
регулируемой величины, накладывается дополнительная
задача автоматического поиска наивыгоднейшего значения
самого этого требуемого значения регулируемой величины,
т. е. самой программы регулирования.
Сказанное можно пояснить следующим образом. В пер-
вой главе (рис. 10) была изображена в общем виде схема
замкнутого контура обычной системы автоматического .регу—
лирования. Там требуемое значение регулируемой величины
задавалось извне при помощи заранее сделанной настройки
на некоторое постоянное значение или при помощи про-
граммного устройства, изменяющего требуемое значение
регулируемой величины по заранее заданному во времени
закону (в следящих системах оно заранее не известно,
но задается опять-таки на входе системы извне; см.
рис. 13).
Теперь вместо программного устройства или задатчика
(рис. 10, 13) поставим устройство автоматического поиска
(рис. 237), которое произведит анализ какой-нибудь харак-
теристики объекта z и подает в регулятор требуемое зна.-
чение регулируемой величины x0 так, чтобы данная харак-
теристика z(xo) получила экстремальное (максимальное или
минимальное) значение.

364 оптимлльньів и САМОНАСТ'РАиВАЮщився системы [гл. ν...
Например, характеристика z(xo) Может быть коэффициен-
том полезного действия регулируемого объекта (например,
двигателя) или величиной расхода горючего в объекте.
Тогда устройство автоматического поиска будет выдавать
такое требуемое значение регулируемой величины хо
(например, требуемая скорость вращения двигателя), кото—
рое дает, соответственно, максимум коэффициента полез—
ного действия или минимум расхода горючего.
йа,/халатики
27/303}an-
тиви/мда
Лат/„ш-
таи/джиг
Идти/-
„Мид/де
утилит/275
Ц
L
I
I
I
|
I
I
I
I
|
l
|
|
'-———А
'ттд ттт
ад”/штил-
ива/Юга
лишат
від/”Дашуля ‘
II? “" A?
/°\ gal/056W! ἓ
/\ джа/идиша;
„ттт/шквал χ!
давати/175111
Α
; `
,
.2}, εἴα
Рис. 237.
При этом как сама величина экстремума z, так и соот-
ветствующее ему значение x0 могут существенно меняться
в зависимости от внешних условий работы объекта, как
показано на рис. 237. Устройство автоматического поиска
должно всегда наХОДить этот экстремум независимо от при-

§ 42] системы с САМОНАСТРОЙКОЙ ПРОГРАММЫ 365
чин, вызывающих его смещение в процессе работы объекта.
Способы такого автоматического поиска будут описаны ниже.
В схеме на рис. 237 в целях наглядности функции авто-
матического поиска х‹) и измерения фактического значения
х, регулируемой величины разделены. Чаще же система
экстремального регулирования устраивается так, что обе
эти функции объединены в одном приборе, в результате
чего устройство автоматического поиска выдает не x0,
а непосредственно разностный сигнал на усилитель х„
Удалите/яма-
”WW” ‘2" %%? @
датах/джиг ͵ _
уси/гладили убирала/750
дегу/ш; 503/11.
Дуди/мх дада”
А ‘23 дій/т -
Ищут/диап z, г
΄ дата/„дилиж- g
ἦν“ лит/2.7 ᾽
ЗЖЛЛ/Демумд
Рис. 238.
пропорциональный отклонению фактического значения регу-
лируемой величины от требуемого для обеспечения экстре-
мума той или иной характеристики регулируемого объекта
(рис. 238). Это не меняет общей сути дела.
Экстремальное регулирование может применяться, напри-
мер, для поддержания наивыгоднейшей скорости полета,
соответствующей минимуму расхода горючего на единицу
длины пути. При этом будет достигнута и максимальная
дальность полета при заданном запасе горючего. Примерами
экстремальных систем регулирования могут служить также:
автоматическое поддержание максимальной скорости проходки
скважины турбобуром при меняющихся свойствах грунта; авто-
матические системы управления различными производствен—
ными процессами, ПОДдерживающие наивыгоднейший режим
работы станков; управление энергетическими установками и
системами, обеспечивающее автоматические поиски и под-
держание экстремума эксплуатационных характеристик,
“‘ Τ' Π..

366 оптимлльныв и САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ систвмы [гл. vm
Принципы действия устройств автоматического поиска
Β экстремальных системах могут быть различными. Рассмот—
рим только случай зависимости экстремума характеристики
от одной переменной (рис. 239). Поиск экстремума можно
производить следующими способами.
Способ последовательных шагов. Пусть ищется максимум
(рис. 239). Сначала дается принудительное изменение вели-
_! чины х в какую-нибудь
1 M сторону на некоторую
;“” """"""""""""" величину шага Δ. Полу—
чившееся новое значение
величины z В конце шага
сравнивается с тем, ко-
торое было вначале.
Если эта разность поло-
жительна, то снова дается
изменение х на новый
, \ Β...“ Δ Β ту же сторону.
|| „жд I погда же новое значение
Рис. 239 z окажется меньше ста-
рого (разность отрица-
тельна), то произвщится
переключение направления изменения х в обратную сторону
на такой же шаг Δ н т. д. Все это осуществляется устрой-
ством автоматического поиска. В результате система будет
колебаться около точки экстремума хо.
Способ взятия производной. Берется производная по
времени от входной величины z сначала при принудитель-
ном (пробном) измененин х Β определенную сторону. При
этом знак производной 3—2,- покажет, движется ли система
к экстремуму или от него. Например, если ищется максимум
-z и х принудительно увеличивается, то после перехода
через экстремум, т. е. при изменении знака производной
ἐς;
I
I
I
|
I
ι
ι
I
I
l
I
I
I
I
I
ἑ
"‘I
ЁЁ с плюса на минус регулятор (система управления) должен
переключиться на убывание величины х, затем опять
на возрастание и т. д. Переключения могут произво-
диться при помощи реле, причем устанавливается авто-
колебательный режим работы регулятора около точки экстре-
мума. ᾽ ᾽ ᾽

§ 42] системы с самонаствойкой ПРОГРАММЫ 367
Способ запоминания экстремума. При поиске максиму-
Ma система все время работает на увеличение входной
координаты z, a как только достигается максимум, он
фиксируется запоминающим устройством, после чего проис—
ходит переключение системы (она реагирует уже на откло—
нение величины 2 OT зафиксированного экстремального зна—
чения). Здесь также устанавливается автоколебательный
режим.
Способ наложения вынужденных гармонических колеба—
ний. Очевидно, что фаза наложенных на медленно меняющуюся
входную величину гармонических колебаний будет на выходе
меняться на 180° при переходе через экстремум. Поэтому
выделяя эти колебания полосовым фильтром и используя
фазовый дискриминатор, можно держать систему вблизи экстре—
мума (который определяется по моменту переключения фазы).
Как видим, во всех этих способах система не просто уста-
навливается на экстремуме, а совершает установившиеся
колебания около него. Частота и амплитуда колебаний должны
быть такими, чтобы регулируемый объект на них не реагиро-
вал вовсе, а регулятор не терял бы свои'х качеств. Очевидно,
что есливрезультате этих колебаний «рабочая точка» регуля-
тора будет ползать около экстремума М (рис. 239) по не-
которой дуге АВ, то среднее значение :… на этом участке
(на которое будет фактически устанавливаться регулируемый
объект) отличается от экстремума. В данном случае оно
меньше максимума ΖΜ. Разность гм—гср называется потерей
системы на поиск: и является Одним из дополнительных
показателей качества экстремального регулирования сверх
обычных. Другим показателем является амплитуда колеба-
ний переменной х около значения хо, соответствующего экстре-
муму М. Она тем больше, чем положе экстремум и, следо-
вательно, тем неопределеннее становится работа экстремаль-
ного регулятора (системы управления).
Возможно применение различных других приемов, улучшаю—
щих процесс поиска, обостряющих экстремальный пик, умень-
шающих амплитуды установившихся колебаний и т. д.
Вместо непрерывной работы устройства автоматического по-
иска может применяться эпизодический поиск, включаемый от
времени до времени, или может производиться временное
прекращение поиска, когда установлен экстремум. Зада-
ча усложняется в тех случаях, когда ищется экстремум

368 оптиммьны'в и САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ системы [гл. νη!
функции, зависящей не от одной величины x, a от нескольких
переменных. В этом случае применяется метод градиента,
метод наискорейшего спуска и другие.
Заметим далее, Что Β экстремальных системах регулирова-
ния, как и в обычных, возможно применение регулирования
по возмущению (см. § 33), причем, как и там, наиболее
эффективными оказываются комбинированные системы.
Итак, экстремальная система регулирования отличается
от обычной тем, что в ней производится автоматическая
настройка требуемого значения регулируемой величины, т.е.
самой программы регулирования. Поэтому мы имеем здесь
дело уже с одним из видов самонастраивающихся систем
автоматического регулирования и управления.
§ 43. Системы с самонастройкой параметров (собственно
самонастраивающиеся системы)
Основным, в настоящее время, видом самонастраиваю—
щихся систем регулирования и управления являются такие
системы, в которых автоматически, не заданным заранее
образом, изменяются какие-нибудь параметры регулятора
(или системы управления), т. е. коэффициенты усиления,
коэффициенты интенсивности введения производной и
интеграла в закон регулирования, коэффициенты обратных
связей и постоянные времени фильтров. Когда говорят о
самонастраивающихся системах управления, то имеют в виду
чаще всего именно этот вид самонастраивающихся систем.
Но поскольку системы экстремального регулирования, рас—
смотренные выше, тоже по существу являются самонастраива-
ющимися, то данный новый вид самонастраивающихся систем
более полно называют системами с самонастройкой параметров
регулятора или системами с самонастраивающимися корректи-
рующими устройствами (имеется Β виду тоже самонастройка
их параметров). Рассмотрим основную идею работы этого
вида самонастраивающихся систем.
В предыдущих главах книги было показано, как произ-
водится выбор параметров регулятора или системы управле-
ния, а также вводимых Β них корректирующих устройств
(последовательных, параллельных и по возмущению). Когда
хорошо известны свойства объекта и внешние возмущающие
воздействия и система достаточно проста, можно уверенно

ξ 43] Системы с САМОНАствойкой ПАРАМЕТРОВ 369
выбрать наилучшие значения указанных параметров, чтобы
добиться надлежащего качества работы проектируемой авто—
матической системы.
Если же параметры самого объекта известны недоста-
точно достоверно и если, к тому же, они могут Β процессе
работы в некоторых пределах случайным образом меняться,
то и параметры регулятора (системы управления) и коррек-
тирующих устройств можно подобрать лишь ориентировочно.
Поскольку все качества работы автоматической системы
(точность или ошибки при разных воздействиях, запас
устойчивости, форма переходного процесса и т. п.) зависят
от общей совокупности всех параметров объекта и регуля—
тора, то очевидно, что Β данной ситуации будет обеспечено
надлежащее качество системы лишь в среднем. При этом
будут происходить более или менее существенные ухудше-
ния качества работы системы при случайных отклонениях
параметров объекта в ту или другую сторону (или просто
за счет недостоверности знания этих параметров при проек-
тировании системы).
Есть несколько путей, по которым можно найти выход
из такого положения.
В том случае, когда имеет место простая недостовер-
ность значения параметров объекта, но точно известно,
что Β процессе работы эти параметры остаются постоян-
ными, можно просто произвести ручную подстройку неко-
торых параметров регулятора Β начале эксплуатации
данного объекта, добившись тем самым желаемого качества
работы системы. Для этого нужно предусмотреть в кон-
струкции регулятора соответствующие регулировочные по—
тенциометры, емкости, винты и т. п. для настройки величин
коэффициентов усиления, коэффициентов обратных связей
и т. и., как показано Β общем виде на рис. 240 сверху
(в данном случае—только ручная настройка параметров).
В тех случаях, когда параметры объекта изменяются
во времени при его работе (т. е. динамика объекта описы—
вается уравнением с переменными коэффициентами), причем
хорошо известен закон их изменения во времени, то можно
заранее рассчитать, по какому закону во времени нужно
менять параметры регулятора, чтобы при данном изменении
параметров объекта качество работы системы Β целом оста-
валось неизменно хорошим.

370 ОПТИМАЛЬНЫЕ и САМОНАСТРАИВАЮЩНЕСЯ системы [гл. VIII
Например, пусть при каком-нибудь вираже самолета,
управляемого автопилотом, параметр самолета Т02 Β его
уравнении (14.21) будет меняться известным образом по
времени. Тогда по формулам (14.25) можно подсчитать, как
нужно менять коэффициент усиления автопилота ἄρα, чтобы
числа А и В при заданном изменении Т02 оставались по
возможности Β заданном районе диаграммы Вышнеградского
Ллодра/пшли
шп! ‚д;/«жал
„астра/ім
„аромат/дд
__ __ ________ ___—1
йод/тимо— |
придрат— д Ито/та %
. —›— тджмдд +-
даттмод утилит/пдд I
усилит/т |
I Итог-‚
_ _„ ‚тема/11
““ὢ-“2:2 “ : ддт/тг
Лал/6711— Ζ';
итд/тд «—
рот/011017130 '
I _
___________ _J
Драг/шими
утилит/пдд
ша дада/тах
Дагу/прута!
дали!/шт
Рис. 240.
(рис. 90), чем гарантируется сохранение желаемого качества
системы Β целом. Критерии качества вместо этого могут
закладываться, конечно, и другие, Β том числе интеграль—
ные, частотные и вероятностные.
В данном случае нужно будет включить Β систему уже
не ручную, а программную настройку параметров регу-
лятора (рис. 240, сверху) по заданному закону во времени
(в данном примере изменение величины [apeP BO времени).
Вобщем случае необходимо менять несколько параметров
регулятора, корректирующего устройства или фильтра.
Поскольку непрерывное изменение параметров не всегда
удобно для конструкции, то прибегают к ступенчатому

§ 43] системы с САМОНАстройкой ПАРАМЕТРОВ 371
изменению параметров регулятора через определенные про-
межутки времени, рассчитанные так, чтобы за это время
качество системы не сильно ухудшалось. При этом от про-
граммного устройства в определенные моменты времени будут
скачком подключаться или отключаться определенные участки
сопротивлений, емкостей или т.п. для соответствующего
изменения параметров регулятора.
Указанные пути ручной или программной настройки
параметров, конечно, не приводят к самонастраивающимся
системам. Мы описали их только для того, чтобы сделать
более наглядным последующее изложение основ самона-
стройки. Вместе с тем изложенные вопросы программной
настройки имеют и самостоятельное практическое значение
и часто применяются.
Во многих случаях такого рода ручной или программной
настройки параметров регулятора или системы управления
бывает достаточно, чтобы Β среднем (с допустимыми откло-
нениями) получать желаемые качества работы системы в те—
чение всего времени. Однако на практике существует много
случаев, когда указанные пути неприемлемы.
Во-первых, часто характер работы объекта вообще не
допускает ручной настройки параметров системы управления
во время эксплуатации. Во—вторых, составление программы
изменения параметров регулятора часто невозможно вслед—
ствие либо незнания истинного закона изменения хотя бы
некоторых параметров объекта, либо вследствие случайного
характера их изменения.
Это имеет место, например, Β различных неустановив-
шихся режимах полета скоростных самолетов, когда встает
задача о полной автоматизации управления ими. Такие же
ситуации часто могут иметь место Β системах управления
многими производственными процессами Β металлургии, в ма-
шиностроении, в химической промышленности и т. п.
Во всех этих случаях приходится прибегать к самона-
стройн'е параметров регулятора (системы управления) по
заданному показателю желаемого качества работы си-
стемы. При этом в системе должно иметься специальное
автоматическое устройство для анализа качества работы
объекта В данной системе по какому-нибудь заданному кри-
терию или для анализа величины ошибок регулирования
(рис. 241). Β обоих случаях это устройство (анализатор)

Г Устрш/‘стда смо/гастрита ἼΙ
' Жар/„рагат— Днллщд/іщд |
‚'Ла/975 : [ма
I ymzpoz/c/Imo алиас/штор I
|_ ___________ _ .]
ΜΜΜΜΜ.
, ”дт/тд- %%?
””””/”"’ ттт/тии r
усилии/дит ἆ
Улдда— ,
лишь/а
діти/;
Измери—
те/тдтг «
устроит/„дд
Зайти/иж
рвами/Дума
дел;/иили
Magpie/77M балт/астрда’жг/
Анализатор шт axl/mwwa/ofl
flow/mamm- : ‚шага убита/1277180
___—1
Удали/иглами
„ищут/ства
„мидраш-
ЁЛ/УЙА’ЛдИ/дд’
Λ
ДегулаДуМд/х’
Звідттж
55.011 Vl/fl/I/
Иола/иш—
mafia/(04’
усилит/тт
Улли-‚
ЛЛ/Ъ’А/д/і/
ода/‚эти
Лэм/гра -
тела?/де _
убила/стад
Рис. 241.

§ 43] системы с САМОНАствойкой ПАРАМЕТРОВ 373
определяет отклонение системы от требуемого качества и
передает соответствующий сигнал на настраивающее.уст-
ройства, которое автоматически изменяет параметры регу-
лятора в нужную сторону, чтобы ликвидировать нежела-
тельное ухудшение качества работы системы.
Критерий качества может быть выбран любой из приме—
няемых Β теории регулирования вообще или даже любой
другой критерий, вновь выработанный в интересах практики.
Выбор его зависит от назначения и конструкции системы.
Таким образом, Β самонастраивающихся системах данного
типа сверх обычного замкнутого контура регулирования
(управления) имеется замкнутый контур самонастройки
(рис. 241).
Дальнейшим развитием устройств самонастройки в систе-
мах данного типа является самоолтимизация системы,
когда анализатор качества на схемах рис. 241 заменяется
оптимизатором. т. е. устройством, которое произволит
настройку параметров регулятора оптимальным образом,
отыскивая экстремум качества по заданному крите—
рию, в частности, например, по минимуму ошибки регулиро-
вания.
Если задачей обычной самонастройки (с анализатором
качества) было сохранение заданного качества системы в
некоторых пределах, то теперь задача оптимизатора (т. е.
экстремальной настройки параметров регулятора) состоит
в том, чтобы в каждый момент времени при меняющихся
параметрах объекта настраивать параметры регулятора так,
чтобы получать максимум качества, возможный в данных
реальных условиях.
Такой оптимизатор должен содержать в себе, следова-
тельно, устройство автоматического поиска экстремума
качества (минимума ошибки) подобно поиску экстремума
регулируемой величины в рассматривавшихся ранее экстре—
мальных системах регулирования. Но особенность оптимиза-
тора здесь состоит не только Β специфике той величины,
экстремум которой ищется, но главным образом в том, что
воздействует он не на настройку требуемого значения регу-
лируемой величины, а на настройку параметров корректи-
рующих устройств самого регулятора.
Самооптимизация (экстремальная самонастройка) являет-
ся наиболее совершенным, но в то же время и наиболее

374 оптимяльныв и САМОНАСТРАиВАющився системы [гл. V111
сложным видом системы с замкнутым контуром самона-
стройки параметров.
В тех случаях, когда самонастройка применяется Β систе-
мах управлення вследствие недостоверности знання свойств
объекта, система самооптимизацни напоминает процесс само-
обучения системы *). Система при этом, путем автоматиче—
ского поиска, как бы сама познает неизвестные свойства
управляемого объекта и обучается управлять этим объектом
наилучшим образом (сама настраивает параметры регулятора
по зкстремуму заданного критерия качества).
В таких случаях можно поступать следующим образом.
Запустить указанную сложную самооптнмнзирующуюся (самс-
обучающуюся) систему Β пробную эксплуатацию и дать ей
возможность самой настроить параметры регулятора. Затем
можно снять устройство самонастройки вовсе, и дальше
эксплуатировать более простую систему с постоянной или
с программной настройкой, выработанной Β процессе само-
оптимизации (самообучения). Это, конечно, далеко не всегда
возможно.
Одним из распространенных видов анализаторов и опти-
мизаторов качества Β самонастраивающихся системах явля-
ются математическне модели, построенные из' блоков вычи-
слительных машин, которые имитируют такое динамическое
поведение объекта, какое хотелось бы иметь. Тогда это
эталонное качество поведения модели сравнивается с реаль—
ным поведением системы 11 параметры регулятора настраива—
ются автоматически таким образом, чтобы поведение системы
«подогнать» к эталонному поведению модели.
На этом же принципе производится «обучение» машины
человеком. В самом деле, в качестве эталонной модели
можно взять работу человека по управлению, например,
процессами Β металлургической печи. Можно ввести при
этом все те же связи с автоматической системой, которые
вводятся в указанной выше самонас'граивающейся системе
с моделью. Тогда Β результате произойдет самонастройка
параметров этой системы. Система настроится на ра-
боту, дающую те же результаты, которые давала работа
человека.
*) Более совершенный принцип самообучения, связанный с са-
моорганизацией, будет описан в следующем параграфе.

ἓ 43] системы с схмонжтвойкой ПАРАМЕТРОВ 375
Важная особенность такой системы заключается в том,
что здесь не требуется закладывать заранее критерий
качества (что требовалось выше), так как он содержится
в самой работе человека.
При помощи современных средств автоматики и вычисли-
тельной техники, включая, конечно, и присущие ей логи-
ческие операции, такого рода сложные задачи для некоторых
объектов оказываются вполне осуществимыми. Пока что это
делается только для длительно работающих объектов с мед-
ленным или с редким скачкообразным изменением парамет—
ров, когда процесс самонастройки успевает за темпом изме-
нения свойств объекта. При быстром изменении параметров
объекта и окружающих его условий построение таких само-
настраивающихся систем является в настоящее время весьма
трудной задачей.
Возможны еще и другие виды систем с самонастройкой
параметров регулятора, которые не ПРОИЗВОДЯТ непосред-
ственно анализ или оптимизацию какого—либо показателя
качества работы (или ошибки системы), a анализируют форму
возмущающего и задаваемого извне управляющего воздей-
ствия на систему (рис. 242) и перенастраивают параметры
регулятора в зависимости от формы воздействия по опреде-
ленному правилу, заложенному заранее в настраивающее
устройство. Это системы с самонастройкой параметров регу-
лятора по возмущению.
Применение их выгодно В тех случаях, когда внешнее
воздействие может быть измерено с целью анализа его
свойств и когда изменение его формы является решающим
для качества работы системы. Часто это имеет место в раз—
личного рода следящих системах, особенно когда на вход
системы вместе с полезным сигналом поступает помеха, как,
например, на рис. 149 (см. главу V). В этом случае, для
наилучшего воспроизведения полезного сигнала изменяю—
щейся частоты на фоне случайных помех, целесообразно
было бы менять полосу пропускания следящей системы. Это
можно сделать, например, путем изменения постоянной вре-
мени фильтра в управляющей части W1 указанной следящей
системы в зависимости от измеренной частоты поступающего
извне сигнала или других свойств сигнала и помехи. В ре-
зультате вместо обычной следящей системы (рис. 149) по-
лучится самонастраивающая система по возмущению типа

376
OflTHMAIleblE и САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ сйстЕмы [гл. VII
Улли-‚
‚тат/11
Ліда/ги
| yaw/0110mm самдждс/лрда’жа
: даст/дада-
mange Анализа/лор
} утилит/77490
y `
W ._____________
:Jca/Ia/zzgflo/xo-w _
Wm- ‚г,/55,7553;
дата/голод „ ͵
уд/жшл’д/і/д'д ||” ””‘/6777”
Игра?-
жми/аа
Имара—
игла/‚хдд
уси/‚тушит
даёт/таж
Дагу/щаии/ші =
дбУ/(Л/Д/у‘д/
I _ ‚
0}
I? ᾿᾿᾿᾿᾿᾿ "᾽
ιἧ |
| ξ Нас/„ДШ/дд- | Усти/итти Игла/та-
к „мидраш
| ἓ ”да/“07 даж/тали "" идут:/дд
: Ξ утилит/7750 : уст/адалт штата/тир
%
I *» Λ I
I ἓ. I
| ἓ | Измери—
I ξ Лиджи/307140 | игла/{дв
I Ё I ycwflawmm
% _ ' ι _
ц
r
дада/тем
рагужщумд
делит/ш
d7 Рис. 242.

§ 44] снотвмы с сАмоНАствойкой структуры 377
рис. 242, 6 (ее называют часто следящей системой с само—
регулированием параметров). При этом анализатор свойств
внешнего воздействия может быть более или менее сложным,
основанным на анализе вероятностных характеристик полез-
ного сигнала и помехи.
§ 44. Системы с самонастройкой структуры
(самоорганизующиеся, системы)
Все те же задачи самонастройки и некоторые новые за-
дачи целесообразно бывает выполнять не путем изменения
параметров регулятора, имеющего определенную структуру,
а путем изменения самой структуры регулятора (системы
управления) не заданным заранее образом. Это будут системы
с самонастройкой структуры (самоорганизующиеся системы).
Раньше при автоматической настройке параметров регу-
лятора закон регулирования был заранее задан, а менялись
не заданным заранее образом лишь входящие в него коэффи-
циенты. Теперь же при автоматической настройке структуры
регулятора не задан, вообще, даже и закон регулирования;
в общем случае не известно заранее, какие'корректирующие
устройства и как вводить, какие логические и вычислитель-
ные операции производить. В общем случае может меняться
структура не только усилительно—преобразовательного, но
и измерительного устройства системы управления, если
почему-либо окажется выгодным применять разные принципы
измерения или же измерять разные исходные величины
в разных условиях работы данного объекта (подобно
тому, как человек использует в разных условиях то зре-
ние, то слух, то осязание и т. п. или комбинированное их
действие).
В частных случаях возможны более простые самоорга-
низующиеся системы, в которых заранее не задана структура
лишь одной небольшой части системы, а остальная часть
задана неизменной. В законе регулирования может быть
определено, например, что сигнал по отклонению регули—
руемой величины обязательно идет по вполне структурно
определенному каналу, а добавляемые сверх этого коррек-
тирующие устройства самоорганизуются.
Говоря о самонастройке структуры или, что то же
самое, о самоорганизации, мы все время подчеркиваем, что

378 оптимхльн'ыв и САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ системы [гл. vui
имеется в виду автоматическое изменение структуры не за-
данным заранее образом. Это весьма существенно.
В самом деле, когда рассматривались нелинейные законы
регулирования (§ 40), уже говорилось об изменении струк-
туры регулятора. Там могли включаться и отключаться про-
иЗВОДные и интеграл, могла включаться или переключаться
обратная связь и т. п. Но все это делалось хотя и автома-
тически, но заранее заданным образом Β зависимости от зна-
чения отклонения регулируемой величины и ее производных.
Такое изменение структуры относится не к самоорганизации,
а к нелинейным законам регулирования. Нелинейные законы
регулирования применяются, Β частности, в оптимальных
автоматических системах (§ 41).
Точно так же, если бы структура регулятора менялась
от программного устройства по определенному заданию
во времени, это тоже- не относилось бы к самоорганизации,
так же как программное изменение параметров, рассматри-
вавшееся в предыдущем параграфе, не относилось к само-
настройке параметров.
Равным образом к самоорганизующимся системам не от-
носятся многие существующие измерительные системы,
Β которых имеется несколько измерительных приборов, осно-
ванных на разных принципах измерения Одной и той же
величины, когда обработка информации от всех этих при-
боров, а также включение и отключение каждого из них,
заранее запрограммировано либо по времени, либо в зави-
симости от размера и скорости изменения измеряемой вели-
чины. Вообще же, возможна, конечно, и самоорганизация
в измерительных системах со многими чувствительными
элементами.
В самоорганизующуюся систему закладывается лишь тот
или иной определенный критерий качества работы системы
или комбинация критериев для разных внешних условий
работы системы. Система сама путем автоматического по-
иска с применением вычислительных или логических операций
выбирает такую структуру (из возможных, имеющихся в ее
распоряжении), при которой удовлетворяется заданный кри-
терий качества работы всей системы. Это делается путем
подключения и отключения различных звеньев в некоторой
логической последовательности с фиксированием (запомина—
нием) более удачных структур.

§ 44] системы с САМОНАстройкой структуры 379
При любой самонастройке и особенно при самооргани-
зации может быть учтено требование повышения надежно-
сти и предусмотрена возможность работы системы при вы—
ходе из строя каких-либо звеньев.
В самоорганизующейся системе, как и прежде, должен
быть либо анализатор, либо оптимизатор качества. Анализа-
тор ставится, когда нужно обеспечить просто заданное Β
определенных пределах качество. Оптимизатор же предназ-
начается для отыскания и осуществления максимально воз-
можного в данной системе (при данных реальных условиях
ее работы) качества.
В крупном плане общую схему системы можно предста-
вить Β таких же вариантах, как на рис. 241 и 242, но
только не с настраивающим устройством, а с логической
схемой переключения отдельных звеньев системы в соответ-
ствии с сигналами анализатора или оптимизатора качества.
В качестве анализатора здесь тоже может применяться,
в частности, математическая эталонная молель объекта
с желаемыми свойствами.
Замена такой модели действиями человека позволяет и
здесь производить как бы обучение машины человеком. Это
совершенно аналогично той картине процесса обучения,
которая была описана выше в связи с самонастройкой пара—
метров, но здесь имеет место, образно говоря, более высокий
уровень обучения.
Как и прежде, здесь Β ряде случаев возможна установка
на объект самоорганизующейся системы управления лишь
в начальный период его эксплуатации. Затем самооргани-
зующаяся система может быть снята и заменена более про-
стой системой с определенной структурой или со структурой,
меняющейся по программе, которая была автоматически вы-
работана в процессе работы самоорганизующейся системы.
Очевидно, что при прочих равных условиях самооргани-
зация, т.е. автоматический поиск наивыгшнейшей структуры
системы по результатам анализа или оптимизации качества
ее работы, является процессом более сложным и более дли-
тельным, чем самонастройка параметров, а потому пока что
значительно более далеким от применения к автоматиче—
скому управлению динамическими объектами, где не только
поиск, но и сам по себе анализ качества работы требует
некоторого промежутка времени… Поэтому здесь, опять-таки,

380 ОПТИМАЛЬНЫЕ и САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ системы [гл. vm
речь может идти в настоящее время об объектах, работаю—
щих Β более или менее стационарных условиях, изменяю-
щихся либо медленно, либо редкими скачками.
Существуют различные другие аспекты самоорганизации,
самообучения H T. n., которые рассматриваются в литературе
по кибернетике, изучающей наиболее общие законы управ-
ления H преобразования информации в автоматических
системах, Β системах связи, в вычислительных H других
машинах, а также H В )κνιΒΒικ᾽ организмах, с общей точки
зрения. Чем дальше развивается автоматика Β технике H
наши познания Β биологии,.тем больше появляется формаль—
ных аналогий функционирования автоматических систем и
живых организмов, Β том числе и „системы высшей нервной
деятельности, и простейших функций головного мозга чело-
века. Получение этих аналогий, рассматриваемых с общей
кибернетической точки зрения, оказывается очень полезным
как для техники, так и для биологии. Однако изложение
этих вопросов выходит за рамки настоящей книги.

ЛИТЕРАТУРА
А й 3 е р м а H M. А.,’ Теория автоматического регулирования.
Изд—во «Наука», Главная редакция физ.—матем. литературы,
1966.
5 е с е к е р с к H й Β. Α. и др., Сборник задач по теории автома—
тического регулирования, изд. 2-е, Изд—во «Наука», Главная
редакция физ.-матем. литературы, 1965.
Б е се к е р с к и й В. А., По п ов E. П., Теория систем автома-
тического регулирования, Изд-во «Наука», Главная редакция
физ.>матем. литературы, 1966.
В ас и л ьев Д. B. H др., Основы теории и расчета следящих си-
стем, Госэнергоиздат, 1959.
В о р о н о в А. А., Элементы теории автоматического регулирова-
ния, Воениздат, 1954.
Β о р о н о в А. А., Основы теории автоматического управления,
Изд-во «Энергия», 1965.
И в а х н е н к о А. Г., Техническая кибернетика, Гостехиздат
УССР, 1959.
Красовский А. А., Поспелов Γ. С., Основы автоматики
H технической кибернетики, Госэнергоиздат, 1963.
К y 3 H H Л. Т., Расчет и проектирование дискретных систем
управления, Машгиз, 1962.
Кузовков Н. Т., Теория автоматического регулирования, Обо—
ронгиз, 1957.
Летов А. М., Устойчивость нелинейных регулируемых систем,
Гостехиздат, 1955.
Л у р ь е А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматиче-
ского регули ования, Гостехиздат, 1951.
Мееров М. В., истемы многосвязного регулирования, Изд-во
«Наука», Главная редакция физ.-матем. литературы, 1965.
Оп п ел ьт В., Основы техники автоматического регулирования,
Госэнергоиздат,]960.
П е р ο в Β. Π., Статистический синтез импульсных систем, Изд-во
«Советское радио», 1959.
П о л е т а е в И. А., Сигнал, Изд-во «Советское радио», 1958.
Поп ов Ε. П„Динамика систем автоматического регулирования,
Гостехиздат, 1954.
Поп о в Е. П., Π ал ьтов И. П., Приближенные методы иссле-
довани я нелинейных автоматических систем, Физматгиз, 1960.

882 ли ТЕРА’ГУРА
Пугачев В. С., Теория случайных функций и ее применение
к задачам автоматического управления. изд. 3-е, Физмат-
гиз, 1962.
Π у г а ч е в B. C. (ред.), Основы автоматического управления, Физ-
матгиз, 1963.
Сол одов А. В., Линейные системы автоматического управления
с переменными параметрами, Физматгиз, 1962.
С о л о д о в н и к о в B. Β., Статистическая динамика линейных си-
стем автоматического управления, Физматгиз, 1960.
Солодовн и ков Β. Β. (ред.), Основы автоматического регули-
рования. Теория, Машгиз, 1954.
Т р а к се л Дж., Синтез систем автоматического регулирования,
перев. с англ., Машгиз, 1959.
Ул анов Г. М., Регулирование по возмущению, Госэнергоиздат,
1960.
Федоров С. М., Автоматические системы с цифровыми управ-
ляющими машинами, Изд-во «Энергия», 1965.
Ф е л ь д 6 а у м А. А., Электрические системы автоматического ре-
гулирования, изд. 2-е, Оборонгиз, 1957.
Ф ел ьдбау м А. А., Вычислительные устройства в автоматиче—
ских системах, Физматгиз, 1959.
Ф е л ьд ба у м А. А., Основы теории оптимальных автоматических
систем, изд. 2-е, Изд-во «Наука», Главная редакция физ.-
матем. литературы, 1966.
ФелЬДбаум А. А., Дудыкин А. Д., Мановцев А. П.,
М и р ол Ю 60 в Н. Н., Теоретические основы связи и управ-
ления, Физматгиз, 1963.
Цыпк и н Я. З., Теория релейных систем автоматического регу-
лирования, Гостехиздат, 1966.
Цы п кин Я. З., Теория импульсных систем, Физматгиз, 1958.
Цыпкин Я. З., Теория линейных импульсных систем, Физмат-
гиз, 1963.
Ц я н ь С ю э - с з н ь, Техническая кибернетика, ИЛ, 1956.
Ш аталов А. С., Структурные методы в теории управления и
электроавтоматике, Госэнергоиздат, 1962.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 306, 310, 328, 334
Автоматизация 9
Автопилот 27, 135, 148, 150, 182,
225, 229, 241, 266, 365
-, включение 150
-‚ перенастройка 148
Алгоритм 350
Амплитуда автоколебаний 309.
310
— колебаний переменная 367
Анализ процесса регулирова-
_ ния 60, 80
Анализатор 371
Блок-схема 19
Блоки автоматической
мы 11
Введение в закон регулирова-
ния интеграла 231 и д., 237
— — — — прОИЗВОДных 219,
221
— обратной связи гибкой 253,
254, 294
—— — — жесткой 251, 252, 253.
293
систе-
Величина, задаваемая на вхо—
де 22
—— регулируемая 21
— случайная 183
— — дискретная 183
— — непрерывная 183
Вибрации 295
Включение автопилота 150
—- регулятора 143, 149
Воздействие внешнее 22
_ —- скачкообразное 105
—— внутреннее 22
—— возмущающее 23
.— регулирующее 17, 22
В ход системы 16
Гармоника высшая 318
—— первая 318
Генератор 81, 96, 106, 289
—, коэффициент усиления регу-
лятора 96
—‚ отклонение статическое 106
—‚ регулирование напряжения
34, 81, 90 и д., 94, 95. 96
—‚ уравнение динамики регу-
лятора напряжения 90 и д.
Гироскоп 225
— В карданном подвесе,
лирование 88
Гиростабилизатор 178
— одноосный 88
Гистерезис 342
Граница устойчивости 170
регу-
Двигатель тепловой 31, 240, 265
Демпфер 232, 235
— регулятора напряжения 94
Демпфирование 225, 345
— собственных колебаний звена
колебательного 74
Децибел 154
Диаграмма Вышнеградского 132
Дисперсия случайной величины
189, 195
Заброс 42
Задание режима работы 17
— — — переменное 18
Зазор 340
Закон больших чисел 181
— Гаусса 196
— Пуассона 187
-— распределения дискретной
случайной величины 185

384
Закон непрерывной случайной
величины интегральный 192
————— нормальный 196
-- — случайной величины диф-
ференциальный 193
— — — — интегральный
192
— регулирования 96, 218, 283
— —линейный 359
— — нелинейный 348, 349
— — позиционный 233
- - по отклонению 16, 96
— — релейный 347
— —скоростной 233, 227
Запаздывание инерционное 69
— чистое 76
Запас устойчивости 174
Затухание переходного процес—
са 154
Звено апериодическое (инерци-
онное) 67, 68, 69, 152, 274
— — второго порЯДка 67, 70, 98
— — — —, функция передаточ-
ная 157
— с введением производной 79
астатическое 67
дифференцируюшее 67
— идеальное 76, 161
— инерционное 77, 162
— с чистым запаздыванием 161
иёеальное (безынерционное)
7
191,
|||||||
— импульсное 56
— — типа l 57
— — типа 2 57
—— интегрирующее 67
—— — идеальное 78, 163
— — инерционное 79, 163
— колебательное 67, 73, 158
— линейное 67
— позиционное 67
Значение среднее квадрата слу-
чайной величины 194
— — — — функции 210
— — случайной величины (ма-
тематическое ожидание) 184,
186
—-— — — непрерывной 194
— -- -, свойства 187
среднеквадратическое непре-
рывной случайной величи-
предметный
УКАЗАТЕЛЬ
ны 194
Зона нечувствнтельности 281,
330, 335
Изменение загрузки регулируе-
мого объекта 23
— параметров регулятора сту-
пенчатое 370
Инерционность звена 66
Интервал равномерного пропу-
скания частот 51
Качество переходного процесса
42. 113
Квадрат средней ошибки 211
Кибернетика 12
Колебания апериодические 74,
296
Контур самонастройки замкну-
Чый 373
Координаты обобщенные 359
Корабль, успокоение качки 48
Коррелятор 205
Коэффициент усиления звена 68
— — общий регулятора 96
— — объекта 64
Крен ракеты 120
Кривая процесса регулирования
39
— резонансная 48
Критерий качества работы си-
стемы 378
— минимума среднеквадратиче-
ской ошибки 216
— устойчивости 139
—— — графический
139, 140
— — системы третьего порЯДка
128 '
Михайлова
— — частотный 170
Крутизна характеристики ста-
тической 64
Линеаризация
320, 328, 351
—— уравнения 85
—— характеристики 64
Люфт 340
гармоническая
Машина паровая 29, 30

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Машинка рулевая позиционная
241
— -- скоростная 241
Нагрузка номинальная на валу 62
Напряжение питания номиналь-
ное 62
Настройка параметров регуля—
тора в процессе работы 369
— — —программная 370
Насыщение 336
Непропускание высших гармо-
ник колебания 319
— частот 51
Область высоких частот 176
—— низких частот 175
-- средних частот 176
— устойчивости 141
Обучение машины человеком 379
Объект второго порялка с иде-
альным регулятором 120
— — —_— с регулятором в виде
апериодического звена 133
— колебательный 225
_— первого порядка с регулято—
ром второго порядка 123ид.
— ———- —‚ обладающим одной
постоянной времени 110
— регулируемый 21, 22
— — нейтральный 121
— третьего порядка нейтраль—
ный с регулятором идеаль—
ным 135
— управления 12
Оптимизатор 373
Отклонение средневероятное слу-
чайной величины непрерыв-
ной 195
— среднее случайной величины
188
— — — — непрерывной 195
— среднеквадратическое случай-
ной величины 189‚ 190
— — — — непрерывной 195
Оценка качества процесса сле-
жения 173
Ошибка системы 18
— — регулирования 1?
— — — динамическая переход-
ная 46 ᾽
ЗЕЦЗ
Ошибка системы регулирования
статическая 44, 106, 128
—— — следящей по амплитуде 50
— — -- πο фазе 51
— среднеквадратическая 211
— статическая 117
—, установившаяся в системе
слежения с постоянной ско-
ростью 46
—— — динамическая 46, 48
— — — следящей системы 50
Параметры обобщенные 130
— регулятора 40
Перенастройка автопилота 148
-— системы регулирования скач-
кообразная 143
Перерегулирование 42
Петля гистерезисная 282
Пик резонансный 160
Питание энергией 23
Плоскость параметров системы
117
— фазовая 295
Плотность вероятности 193
— спектральная величины вы-
ходной 212
— стационарного случайного
процесса спектральная 208
Поиск структуры автоматиче-
ский 378
Полоса пропускания частот 153
Постоянная времени 68, 97, 99
Построение области устойчиво-
ртр]: на плоскости параметров
Потеря системы на поиск 367
Привод позиционный (следящий)
250
- скоростной 250
Принцип действия автоматиче-
ского регулирования 14
Присоединение регулятора пра-
вильное 108
Процесс колебательный 297
— — затухающий 298
— — — апериодический 299
— — расходящнйся 299
— — — апериодический 299
— переходный 41, 103, 104, 125
— — апериодический 111

386
Процесс переходный апериодиче-
ский‚граничный случай 112,131
— — колебательный 115,126,131
-— — монотонный 126
— — неколебательный 132
— — расходящийся 127
— регулирования 39, 101, 117
— — при мгновенной перена-
стройке регулятора 146
— — — скачкообразной
настройке 143
— случайный 198
— — стационарный 202
— установившийся 103, 105, 117
— чисто случайный 201
пере-
Ракета 120, 340
Раскачивание собственных ко-
лебаний звена колебательно-
го 74
Распределение
случайной
мерное 195
Рассеяние непрерывной случай-
ной величины 194
Рассогласование 17, 18
—— начальное 41
Регулирование в релейных си-
стемах 290
— комбинированное 271
— неустойчивого объекта 109
— по возмущению 269 и д., 274
— программное 18
— скорости теплового двига-
теля 240
— — электродвигателя 239, 287
Регулятор 166, 167
— автоматический 21
— боковой качки корабля 47
— вибрационный 331
— идеальный 226
— напряжения генератора по—
непрерывной
величины равно-
стоянного тока 34, 81,
90 и д.
-—-———— ————,демпфирование94
————— , регулирукпций
орган 95
————— , часть механиче-
ская 91
—- —— —— -—- -. - электриче-
ская 90
првдмвтный указатель
Регулятор напряжения реостат—
ный непрерывного действия
259 .
— непрерывного действия 261
— непрямого действия 24
—‚ параметры 40
— прямого действия 24
— реальный 226
— релейный двухпозиционный
283
— — трехпозиционный 283
— скорости вращения вала
электродвигателя 32
—— температуры воды или масла
в тепловом двигателе 31
— — при термической обработ—
ке металла 42, 43
— уровня воды в котле паро-
вой машины 29
— центробежный скорости вра-
щения вала паровой маши-
ны 3O
Режим номинальный 62
— скользящий 295
— следящий 18
Реле 281
Самонастройка параметров ре-
гулятора 371
— структуры 377
Самообучение системы _374
Самооптимизация системы
Свойство эргодическое 203
Связь обратная 16
— — гибкая 248
— — дополнительная 244
— — жесткая 248, 333, 334
— - отрицательная 245
— — положительная 245
Сдвиг фазы колебаний 151
Сервомеханизм 38
Сигнал входной 201
— управляющий 17
Система автоматическая 13, 29
— — непрерывного действия 28
— — прерывистого (дискретно-
го) действия 28
— астатическая 231
—— второго порядка 109
—— импульсная 53 и д.
373

предметный
Система комбинированная 10, 11
—— комплексная 39
— многоконтурная 244
— наведения 26
— неустойчивая 41, 107, 120, 308
— — практически 309
— — одиночная 25
— одноконтурная 244
— оптимальная 359
— ориентации 26
— регулирования 18 и д.
—- — скорости двигателя
264
— — температуры
двигателя 265
— релейная 29, 279, 285
— с замкнутым контуром 10
—- с разомкнутой цепью 10
— с самонастройкой 363
-— самоорганизующаяся 377
-— связанная 25
—- следящая 25, 38, 45, 122, 135,
180, 182, 214, 240
—— — комбинированная 278
_ —— с саморегулироваинем
параметров 375
— — электромеханическая 35
- собственно самонастраиваю-
щаяся 368
-- стабилизации 24
— — крена ракеты 120
— статическая 44
— телеизмерения 57
—— телеуправления 57
— третьего порядка 123
—- управления 26, 45
— —— торпедой 285
—- устойчивая 107, 120, 308
— — "практически 309
— экстремальная 363
Событие случайное 183
Спектр белый 210
Способ взятия производной 366
— запоминания экстремума 367
119,
ΤΘΠΠΟΒΟΓΟ
—— наложения вынужденных
гармонических колебаний
367
— последовательных шагов 366
Стабилизация крена ракеты 120
Степень успокоения качки κο-
рабля 48
387
УКАЗАТЕЛЬ
Схема системы регулирования
принципиальная 19
— — — структурная см. Блок-
схема
— — — функциональная
Блок-схема
с д`! .
Телеуправленне 37, 57, 182
Торпеда, управление 33, 36, 285
Точка изображающая 296
Траектория фазовая 296
Трение сухое 345
Турбобур, экстремальное регу-
лирование 365
Управление водяной торпедой
33, 285
—— дистанционное 36
Уравнение динамики регулято-
ра напряжения генератора
постоянного тока 95, 96
— — — с двумя постоянными
времени 98
— — — с одной
времени 97
—— — — с тремя постоянными
времени 99
— — системы регулирования по
возмущению 274
— характернстическое аперио-
дического звена 70
Усиление амплитуды
ния 151
Усилитель 16
Успокоитель боковой качки ко-
рабля 47
Устойчивость системы 107, 120,
127. 170, 174
— — третьего порядка 128
Устройство автоматического
поиска экстремума 273
— вычислительное 39
— измерительное 16, 21
— изодромное 235
— исполнительное 21
— Kggpex'rupylomee нелинейное
3
постоянной
колеба-
—— — параллельное 244
_ _ по возмущению 276
— — последовательное 243
— логическое 350

388
Устройство настраивающее 373
— поиска 26
— усилительно-преобразова—
тельное 21 __
— цифровое 58
Фильтр линейный оптималь-
ный 359
— нелинейный 359
— нижних частот (сглаживаю-
щий фильтр) 51
Функция корреляционная 204,
207
— передаточная гиростабнлиза-
тора 178 и д.
— — замкнутой системы 177,
180
- - звена апериоднческого 70,
152
— — — — второго порядка 157
— — — ндеального 161
— — —— колебательного 158
— — — с чистым запаздыва—
нием 161
— — переключения 359_
— — разомкнутой цепи 257
—- -— регулятора 167
— распределения случайной ве-
личины 191
—- —- — — непрерывной 192
Характеристика амплитудная
логарифмическая асимптоти-
ческая 156
— — часточная
ская 154 и д.
- амплитудно—фазовая разомк-
нутой цепи 169
— апериоднческого звена ам-
плитудная 153
— — — фазовая 153
— гистерезисная 323. 342
— динамическая 45
логарифмиче-
првдмвтный
УКАЗАТЕЛ Ь
Характеристика динамическая
вынужденных колебаний 46
— — переходная (временная)
65, 66
— квадратичная 343
—— кубичная 343
— реле идеальная 282, 323
— — с петлей без зоны нечув—
ствительности 282
— — — — и зоной нечувстви-
тельности 281
— — статическая 281
— релейная с зоной нечувстви-
тельности 323
— сухого трения 345
— — — петлевая 281
— статическая 44, 61
— — линейная 62
— — нелинейная 62
— — релейного типа 285
—— частотная 65
— — амплитудная 48
— — амплитудно—фазовая 49.
153
— — замкнутой системы 176
— — логарифмическая 171
— — — разомкнутой цепи
173
— — следящей системы 50
— — фазовая 48
Цикл предельный устойчивый
308
Частота автоколебаний 310
Число передаточное 64
Шум белый 210
Элемент чувствительный 16,
Электродвигатель 32, 119.
287