ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ

Под редакцией
д<жт. техн, наук,
проф. А. В. НЕТУШИЛ А

ИЗД. 2-е,
ДОПОЛНЕННОЕ И ПЕРЕРАБОТАННОЕ

Допущено Министерством высшего и среднего спе-
циального образования СССР в качестве учебника
для студентов, специализирующихся по автоматике
и телемеханике, вычислительной и информационно-
измерительной технике

МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1976
6®6.5

т п

УДК 62—5 {075.8}

Рецензенты: кафедра технической кибернетики Московского
института радиотехники, электроники и автоматики (зав. каф. проф.
Н. А. Бабаков)

Лев Семенович Гопьдфарб, Анатолий Васильевич Балтрушевич,
Анатолий Владимирович Нетушил, Евгений Борисович Пастернак,
Валерий Викторович Бурляев, Виталий Яковлевич Ротач,
Рудольф Евгеньевич Кузин

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Редактор С. М. Оводова. Художник В. 3. Казакевич. Художественный редак-
тор Н. К. Гуторов. Технический редактор 3. В. Нуждина. Корректор Р. К. Ко-
синова

Т-02821 Сдано в набор 30/УП—75 г. Подп. к печ. 21/1—76 г. Фор-
мат бОХбО'Дв- Бум. тип. № 2. Объем 25 печ. л. Уел, п. л. 25. Уч.-изд. л. 23,89.
Изд. Ка Стд—235. Тираж 44000 экз. Цена 1 р. 05 к. Зак. 377.

План выпуска литературы издательства «Высшая школа» (вузы и техникумы)
на 1976 г. Позиция № 116

Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14, Издательство «Высшая школа»

Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном коми-
тете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Москва, И-41, Б. Переяславская, дом 46.

Теория автоматического управления. Под ред.
Т-79 А. В. Нетушила. Учебник для вузов. Изд. 2-е, доп. и по-
рераб. М., «Высшая школа». 1976.

400 с. с ил.

На обороте тит. л. авт.: Гольдфарб Л. С., Балтрушевич А. В.,
Нетушил А. В. и др.

В книге изложена теория линейных, непрерывных и импульсных автома-
тических систем при детерминированных воздействиях.

Во втором издании (первое вышло в 1968 г.) книги описание процессов
дано в пространстве состояний с применением матричной записи уравнений.
Расширены вопросы применения вычислительной техники для анализа и син-
теза линейных систем автоматического управления и рассмотрены принципы
настройки промышленных регуляторов

_ 30530—106

001(01)—76 116—76	6Ф6.6

6Э Издательство «Высшая школа». 1976
ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая читателю книга представляет собой второе, перера-
ботанное издание учебника, основанного на первой части курса тео-

рии автоматического управления, в течение ряда лет читавшегося ав-
торами в Московском энергетическом институте для специальностей
«Автоматика и телемеханика», «Вычислительная техника» и «Инфор-

мационно-измерительная техника».

В сравнении с первым изданием
книги, вышедшей в 1968 г., второе
издание существенно переработано
за счет изъятия малосущественного
и устаревшего материала и вклю-
чения вопросов, отражающих раз-
витие теории автоматического уп-
равления за последние годы. Так,
в учебнике расширено изложение
применения матричных методов и
пространства состояний для иссле-
дования линейных систем автомати-
ческого управления при детер-
минированных воздействиях, вклю-
чены вопросы настройки промыш-
ленных регуляторов и идентифи-

техники для исследования ли

кации объектов, более подробно
освещено применение вычислительной

нейных систем автоматического управления.

При изложении материала учебника в соответствии с учебными пла-
нами специальностей предполагалось, что учащийся перед изучением
курса теории автоматического управления (ТАУ) уже изучил необ-
ходимые разделы курсов (рис. 0.1) теоретических основ электротех-
ники (ТОЭ), технической механики (ТМ) и вычислительной техники
(ВТ), а также знаком с общими элементами автоматики из курсов
электрических машин (ЭТИ), электрических измерений (ЭИ), магнит-
ных элементов (/ИЗ) и электронных элементов (ЭЭ) автоматики.

В приложении к книге кратко изложены вопросы, содержащиеся
в курсах ВМ и ТОЭ, необходимые для изучения теории автоматиче-
ского управления. Материал, приведенный в приложении, может
служить основой для согласования ТАУ с перечисленными курсами.

На курсе теории автоматического управления базируются следую-
щие курсы: автоматических измерительных приборов (АИ/7), регуля-
торов и следящих систем (РСС), автоматизированных систем управле-
ния (АСУ) и др.
Вместе со второй частью учебника, вышедшей в 1972 г., книга со-
ставляет полный учебник по курсу автоматического управления, на-
писанный в соответствии с программой, утвержденной Министерст-
вом высшего и среднего специального образования СССР.

На рис. 0.2 показана схема логических связей между разделами
курса, где приняты следующие обозначения:

Часть I. Разделы: I. Общая характеристика объектов и систем
автоматического управления (гл. I); II. Детерминированные воздейст-
вия в линейных непрерывных системах (гл. II—XII); III. Детермини-
рованные воздействия в линейных импульсных системах (гл. XIII—XV)-

Часть 1	Часть И

Рис. 0.2

Часть II. Разделы: IV. Детерминированные воздействия в нели-
нейных системах (гл. 1—VI); V. Оптимальные системы (гл. VII—VIII);,
VI. Случайные воздействия в линейных системах (гл. IX—X);
VII. Случайные воздействия в нелинейных системах (гл. XI); VIII.
Самонастраивающиеся системы (гл. XII).

Сплошными линиями показаны основные связи, а штриховыми —
вспомогательные связи, зависящие от характера изложения.

Работа над книгой распределена между авторами следующим обра-
зом: гл. I—VI написаны А. В. Нетушилом, гл. VII, XIII—XV, а так-
же §9.6 гл. IX —А. В. Балтрушевичем, гл. VIII —Р. Е. Кузиным,
и А. В. Нетушилом, гл. IX и X — Е. Б. Пастернаком, гл. XI —
В. В. Бурляевым, гл. XII — В. Я- Ротачем. В гл. VII— IX вклю-
чены некоторые материалы лекций Л. С. Гольдфарба [Л. 12Г

При написании книги авторы стремились сохранить стиль изложе-
ния Л. С. Гольдфарба, отличавшийся простотой и доступностью.

При подготовке второго издания книги большое значение имели
рецензии доц. Ю. К. Брезе, проф. О, А. Горяйнова, проф. Н. А. Баба-
кова, доц. С. В. Пантюшина, проф. В. В. Казакевича, проф. В. А. Бод-
нера, проф. Т. Качорека, доц. Д. П. Кима, ассистента В. М. Лохина,
доц. В. 3. Рахманкулова, опубликованные в журналах, перевод кни-
ги на английский язык и издание ее в издательстве «Мир», а также
ряд замечаний и пожеланий коллег по работе и студентов.

Всем, принявшим участие в рецензировании и обсуждении первого
издания книги, авторы выражают сердечную благодарность.

Все замечания по книге просьба направлять в издательство «Выс-
шая школа» по адресу: Москва, К-51, Неглинная ул., 29/14.
Г ПАВА I

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБЪЕКТОВ
И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 1.1	ВВЕДЕНИЕ

Курс теории автоматического управления ставит своей целью
ознакомление учащегося с общими принципами построения систем
автоматического управления, с процессами и методами исследования
процессов в этих системах. Теория автоматического управления сфор-
мировалась в самостоятельную науку на основе изучения процессов
управления техническими устройствами. Принципы построения и ис-
следования систем управления в данном курсе изучаются на основе
рассмотрения принципов управления различными техническими уст-
ройствами. Эти принципы управления имеют более широкий общий
смысл и могут быть применены при изучении процессов управления
в иных системах, например в биологических, экономических, общест-
венных и др.

Развитие техники автоматического управления связано с пробле-
мой замены человека в различных звеньях управления производст-
венными процессами. В Программе КПСС исключительное значение
придается автоматизации и механизации производства как основы со-
здания материально-технической базы коммунизма.

Большое внимание вопросам автоматизации систем управления
уделяется в решениях XXIV съезда КПСС.

Кибернетика — наука об общих закономерностях процессов управ-
ления— основывается на изучении объектов управления при внешних
воздействиях, получении информации о протекании процессов в этих
объектах и выработке управляющих воздействий, обеспечивающих
оптимальное в определенном заданном смысле состояние объектов.

Объектами управления могут быть: живые организмы (живот-
ные, растения), коллективы людей, производственные предприятия,
заводы, цехи, отдельные станки, машины. В зависимости от объекта
и задачи управления системы управления могут быть различными —
от самых простых систем автоматического регулирования, поддержи-
вающих неизменной какую-либо величину (например, напряжение,
температуру или давление), до сложных, содержащих десятки вычис-
лительных машин, решающих задачи оптимального управления мно-
жеством объектов.

В настоящем курсе в качестве объектов управления рассматривают»
ся технические устройства и в первую очередь наиболее простые. На-
ука об управлении техническими системами называется технической
кибернетикой.

Разделами технической кибернетики являются теория информаци-
онных устройств, связанная со сбором и переработкой информации,
необходимой для управления системой человеком, и теория автомати-
ческого управления, связанная с управлением системой без непо-
средственного участия человека.

Проблема исследования функционирования человека в системе уп-
равления техническими устройствами представляет собой самостоятель-
ный раздел технической кибернетики, известный под названием «Че-
ловек и автомат».

В основу теории автоматического управления положена теория
автоматического регулирования, которая сформировалась в самостоя-
тельную научную дисциплину только к 1940 г. Регулирование пред-
ставляет собой разновидность управления.

Автоматическим регулированием называется поддержание постоян-
ной или изменение по заданному закону некоторой величины, харак-
теризующей процесс, осуществляемое при помощи измерения состоя-
ния объекта или действующих на него возмущений и воздействия на
регулирующий орган объекта [Л. 1].

Управление охватывает больший круг задач. Под автоматическим
управлением понимается автоматическое осуществление совокупности
воздействий, выбранных из множества возможных на основании опре-
деленной информации и направленных на поддержание или улучше-
ние функционирования управляемого объекта в соответствии с целью
управления [Л. I].

Сравнивая определения управления и регулирования, можно за-
метить, что задачи регулирования входят в состав задач управления.
Кроме того, задачи автоматического управления охватывают такие
вопросы, как адаптация, или самонастройка системы управления,
в соответствии с изменением параметров объекта или внешних воздей-
ствий, вопросы формирования оптимальных управляющих воздейст-
вий, автоматического выбора наилучших режимов из нескольких воз-
можных и другие, не входящие в круг задач автоматического регули-
рования.

В начале курса термины «регулирование» и «управление» часто
применяются как синонимы, однако в последней части различие между
ними проявляется с полной определенностью.

§ 1.2.	ОБЪЕКТ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

При решении любой задачи управления, осуществляемого чело-
веком или автоматом, необходимо рассматривать объект управления.
Объект управления может быть представлен как управляемым техни-
ческим устройством, так и более простой системой управления. Во
втором случае речь идет о некоторой иерархической системе управле-
ния, в которой система управления более сложная включает в себя
управляемую ею более простую систему или подсистему. Обычно эле-
ментарными системами являются системы регулирования.
Состояние объекта определяется рядом величин, характеризую-
щих как воздействие на объект внешней среды и управляющих уст-
ройств, так и протекание процессов внутри самого объекта. Одни из
этих величин измеряются в процессе работы и называются контроли-
руемыми. Другие, влияющие на режим работы объекта, не измеряются
и называются неконтролируемыми.

Величины, выражающие внешние влияние на объект, называются
воздействиями. Воздействия, вырабатываемые управляющим устройст-
вом или задаваемые человеком, называются управляющими воздейст-

виями.

Воздействия на объект, не зависящие от системы управления, на-

зываются возмущениями. Возмущения можно подразделить на два вида:

а) нагрузка; б) помехи.
Наличие изменяющейся во
времени нагрузки обуслов-
лено работой объекта, от
нее объект принципиально
не может быть защищен.
Помехи бывают связаны с
побочными нежелательны-
ми явлениями и всякое
уменьшение их улучшает
работу объекта.

Контролируемые вели-

Рис. 1.1



чины, характеризующие

состояние объекта, по которым ведется управление, называются
управляемыми, или регулируемыми, величинами. Обычно регулируе-

мые величины в той или иной степени характеризуют качественные
показатели процесса в управляемом объекте.

Величины, характеризующие воздействия и состояние объекта
управления ОУ, схематически показаны на рис. 1.1, а и б. Здесь сово-
купность контролируемых возмущений обозначена вектором й = {й>
^2, • неконтролируемых — вектором I = {Д, /2,..., Д}, управля-
ющих воздействий — вектором и ={щ, и2,	щ}, управляемых ве-

личин — вектором у = {уъ у2, ..., ут}. Совокупность как контроли-

руемых, так и неконтролируемых величин, однозначно характеризу-
ющих состояние объекта, обозначена вектором х= {хг, х2, хп). При
этом п т. Отдельные координаты векторов х и у могут совпадать.

Координаты векторов и и у будем называть соответственно управ-
ляющими и управляемыми координатами, координаты векторов § и I —
координатами внешних воздействий', координаты вектора х — коор-
динатами состояния. При рассмотрении некоторой системы управления
в качестве объекта вектор состояния х иногда отождествляют с век-

тором управляемых величин у.

Если известно математическое описание объекта, то известна и си-
стема уравнений, связывающая управляемые величины со всеми внеш-
ними воздействиями на объект. При известных начальных условиях
эта система уравнений дает возможность по внешним воздействиям и,
2» 1 найти вектор состояния х и выходные управляемые величины у.
Если сбъект характеризуется одной управляющей и одной управ-
ляемой величиной, т. е. векторы и и у имеют по одной координате, то
сбъект называется простым, или односвязным. При наличии несколь-
ких взаимно связанных координат векторов и и у объект называется
многосвязным.

Каждый объект управления может рассматриваться в условиях
статики и динамики. В первом случае и внешние неуправляемые воз-
действия 6 и I, и управляющие воздействия и рассматриваются постоян-
ными, не зависящими от времени. Характеристиками объекта являются
зависимости управляемых величин от внешних воздействий:

У = ^1{и,е, Г}.	(1.1)

Здесь — некоторая в общем случае нелинейная векторная функция
не зависящих от времени переменных и, ё и I.

Если объект подвержен гармоническим воздействиям, то в устано-
вившемся режиме он также может быть описан соотношением не за-
висящих от времени величин, например амплитудами и фазами гармо-
нических воздействий. В этом случае его рассмотрение сводится к ана-
лизу уравнения (1.1).

При изучении динамики исследуется зависимость у (/) при задан-
ных изменениях внешних воздействий § (/), 1 (/) и и (/) или их статисти-
ческих характеристиках. При этом уравнение (1.1) принимает вид

у = Л{и, ёЛ},	(1.1а)

где Л — некоторый в общем случае нелинейный векторный опера-
тор, дающий возможность при известных функциях времени и (/),
ё (7) и Т (/) определить у (I). Путем введения понятия вспомогательного
вектора, характеризующего состояние объекта х, можно математиче-
ское описание динамики объекта представить уравнениями в нормаль-
ной форме Коши:

х = 'Г;{и>бЛ,х};

у = ЧМи.бЛ,х},	’

где х ~ (1x1(11, аУ; иТу— некоторые в общем случае нелинейные век-
торные операторы, преобразующие зависящие от времени переменные
и, 2, Г и х. Для решения этой системы уравнений должно быть извест-
Цю начальное значение вектора х (Ц) (начальные условия), ьсли конт-
^ролируемых координат & и ук достаточно для того, чтобы в соответст-
вии с уравнениями (1.2) однозначно определить состояние объекта
(вектор х), то объект называется полностью наблюдаемым. Если с по-
мощью управляющих воздействий щ можно однозначно задать состоя-
ние объекта (вектор х), то объект называется полностью управляемым.

Если система уравнений (1.2) может быть сведена к системе ли-
нейных дифференциальных уравнений, то объект называется линей-
ным. При описании объекта системой нелинейных дифференциальных
уравнений его относят к нелинейным.

Рис. 1.3

Для условий статики х = 0 и уравнения (1.2) принимают вид:

, ([ 2а)

у = 'Г!/{и,ёЛ, х), /

где векторы и, Д, у и х не зависят от времени.

При изучении статики основной интерес представляет собой зави-
симость управляемых координат у от управляющего воздействия и,
называемая статической характеристикой управления. Характери-
стики управления уг = у1 (ик) могут быть монотонными, когда ду1/дик
нигде не меняет знака (рис. 1.2, а и б), и немонотонными (экстремаль-
ными), когда при некоторых, обычно оптимальных, значениях управ-
ляющей координаты ик = икопТ производная ду11дик = 0, а справа
и слева от этого значения имеет различный знак (рис. 1.2, в).

Объект управления может быть устойчивым, неустойчивым и ней-
тральным.

Объект устойчив, если после кратковременного внешнего воздей-
ствия он с течением времени возвратится к исходному состоянию или
близкому к нему.

Нелинейные объекты могут быть устойчивы «в малом» или «в боль-
шом» — при воздействиях, не выходящих за определенные пределы,
и неустойчивы «в целом» — при больших воздействиях.
Если в устойчивом объекте воздействие, например имеет про-
должительность т (рис. 1.3), то управляемая координата у1 по истече-
нии некоторого времени I > т возвращается в исходное состояние или
близкое к нему.

Для таких объектов может быть предложена механическая аналогия
в виде шарика, находящегося в лунке, который может быть смещен
при внешнем воздействии, однако возвращается обратно по окончании
воздействия (рис. 1.3, а, внизу). Устойчивые объекты иногда на-
зываются объектами с самовыравниванием.

В неустойчивом объекте по окончании воздействия, как бы мало
оно ни было, управляемая координата продолжает изменяться. Для
этих объектов механическая аналогия имеет вид шарика на вершине
холма (рис. 1,3, б, внизу). По окончании импульса шарик продолжает
удаляться от положения равновесия.

Нейтральными объектами являются такие, в которых по окон-
чании воздействия устанавливается новое состояние равновесия, от-
личное от первоначального и зависящее от произведенного воздейст-
вия. Шарик на горизонтальной плоскости является механической ана-
логией этого типа объектов (рис. 1.3, в). Нейтральные объекты
иногда называются объектами без самовыравнивания. По Ляпунову,
нейтральные объекты относятся к устойчивым.

Неустойчивые объекты могут иметь статическую характеристику,
для снятия которой с помощью специальных устройств они приводят-
ся в состояние искусственной устойчивости.

Один и тот же объект при нелинейной его характеристике в зависи-
мости от режима работы может находиться в устойчивом и неустой-
чивом состояниях.

Процессы в объектах могут изучаться при регулярных и случайных
внешних воздействиях.

§ 1.3.	ПРИМЕРЫ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Рассмотрим некоторые наиболее простые примеры объектов управ-
ления, которые будут использованы в дальнейшем при описании раз-
личных принципов автоматического управления.

Примеры уравнений объектов рассматриваются для простейших
случаев при пренебрежении рядом несущественных факторов. Сужде-
ние об устойчивости объектов приводится без необходимых доказа-
тельств. Для простейших случаев оно вытекает из рассмотрения диф-
ференциальных уравнений объекта.

Гидравлический резервуар. Пример простейшего объекта автома-
тического управления показан на рис. 1.4, а. Управляющим воздей-
ствием и является расход воды С, притекающей в резервуар; управляе-
мой величиной у — уровень воды в резервуаре /7, а внешним возму-
щением — расход воды О, вытекающей из резервуара.

Между величинами С, Н и С может быть написана следующая за-
висимость:

8аН1(И = $ —С,	(1.3)

где 5 — площадь поперечного сечения резервуара.
Уравнение (1.3) представляет собой математическое описание объек-
та. Легко заметить, что рассматриваемый объект нейтрален, так как
при 0. = 0, 6 = 0 и Н = Но кратковременное увеличение расхода пос-
ле снижения его до нуля приведет к повышению уровня Н и переходу
к новому состоянию Но > Но, что соответствует графику, показанному
на рис. 1.3, в. Так как возрастание $ приводит к увеличению
то характеристика объекта является монотонной.

При наличии двух сообщающихся резервуаров (рис. 1.4, б) объект
будет описан системой уравнений:

8± с!Н г/(11 — (21	С1 —	1

82(1Н21(И = <Ъ-С2 + (212, )

п)	5)

Рис. 1.4

где (?12 = <212 (Нг — Н2) — некоторая в общем случае нелинейная
монотонная функция.

Уравнения (1.4) представляют собой математическое описание объек-
та, в котором каждый из векторов управляемых величин и воздействий
имеет по две координаты:

и = {<21, <?2}. У =	Н2}.

В зависимости от наличия устройств, контролирующих расходы
01 и 62, вектор возмущения {бр, 62} может быть отнесен к контролируе-
мым 2 или неконтролируемым Т возмущениям.

Управляемые координаты Нг и Н2 могут быть приняты в качестве
вектора состояния объекта х = {х1} х2} -у. Так как вектор у имеет
две координаты, связанные между собой и зависящие от обеих коорди-
нат вектора и, то объект относится к многосвязным.

Электрический генератор постоянного тока. В зависимости от за-
дачи управления регулируемыми величинами в электрическом генера-
торе могут быть ток, напряжение или мощность на выходе генератора.

Наиболее часто необходимо поддерживать постоянным напряжение
на зажимах генератора; при этом регулируемой величиной будет на-
пряжение на нагрузке: у± = пн (рис. 1.5, а).

Управление генератором производится со стороны обмотки возбуж-
дения. Управляющей величиной\и1 служит ток возбуждения или
•напряжение на обмотке возбуждения «в. Внешними воздействиями для
генератора являются: изменения угловой скорости вращения вала
генератора шя, сопротивления нагрузки гн или тока нагрузки 1Н, сме-
щение щеток относительно полюсов машины, износ коллектора, изме-
нение магнитных характеристик стали и воздушных зазоров машины
и т. п. Некоторые из этих воздействий, например ток нагрузки 1Н
или скорость вращения о\, могут измеряться и, следовательно, могут
быть отнесены к категории контро-
лируемых величин, остальные не
поддаются контролю и относятся к
числу неконтролируемых.

Если ток /н измеряется, а скорость
вращения вала соя не измеряет-
ся, то для рассматриваемого сбъек-
та ёг = гя1н, А = соя. Дифферении-

Рис. 1.5

альные уравнения, устанавливающие зависимость между «н, соя
и ив, определяют математическое описание объекта. Для схемы, пока-
занной на рис. 1.5, а. эти уравнения имеют вид:

= Г в в Ф* ^в ^Фв/^»

Фв = Фб 0* в)»

вя сп (Од фв = ив -р гя сн. .

(1.5)

Здесь фв (/в) — зависимость потока намагничивания генератора
от тока возбуждения; ея— э. д. с., наводимая в якоре генератора.

При составлении уравнений пренебрегли реакцией якоря, маг-
нитным рассеянием, вихревыми токами в магнитной системе и рядом
менее существенных факторов.

Коэффициент пропорциональности ся зависит от обмоточных дан-
ных якоря генератора и положения щеток относительно полюсов ма-
шины.

Система уравнений (1.5) при заданных начальных условиях пол-
ностью определяет зависимость «н от цв, /н, оя и может служить мате-
матическим описанием объекта.

Для электрического генератора с независимым возбуждением ха-
рактеристика управления ин = «н (1В) носит монотонный характер,
и с ростом тока возбуждения напряжение на нагрузке растет
(рис. 1.5,6).
Рассматриваемый генератор представляет собой устойчивый объект,
я для него при кратковременном изменении управляющей координаты
изменение управляемой координаты Дг/е = Днн имеет вид
кривой, показанной на рис. 1.3, а. При наличии гистерезиса характе-
ристики магнитной системы по окончании импульса Д/в напряжение на
зажимах генератора может несколько отличаться от первоначального
(см. штриховую на рис. 1.3, а).

Электрический двигатель постоянного тока. В таком двигателе
управление скоростью вращения вала может производиться со сторо-
ны питания цепи якоря или обмотки возбуждения (рис. 1.6, а).

В первом случае управляющей величиной является напряжение
или ток гя в цепи якоря, а во втором случае — напряжение иъ или
ток /в питания обмотки возбуждения.

Управляемой координатой для двигателя обычно служит угол
поворота вала двигателя <р или скорость его вращения со = дц>1й1.
При этом = ср или 1/1 = со.

Под внешними воздействиями понимаются силы, действующие на
вал двигателя, обусловленные трением и механическим сопротивлением
(нагрузкой) приводимого в движение механизма. Если управление
двигателем производится со стороны якоря двигателя, то изменения
напряжения или тока питания обмотки возбуждения могут рассма-
триваться как внешние воздействия, и, наоборот, при управлении дви-
гателем со стороны обмотки возбуждения в качестве внешних воздейст-
вий должны рассматриваться изменения напряжения или тока питания
цепи якоря.

Если управляющим воздействием иг является напряжение питания
якоря ня, то по величине тока якоря можно судить о нагрузке на валу
двигателя, и ток якоря можно считать контролируемой величиной,
характеризующей внешнее воздействие

Под неконтролируемыми воздействиями для двигателя понимаются
силы, действующие на вал двигателя, изменения параметров двигате-
ля, обусловленные нагревом, механическими воздействиями, износом,
смещением щеток и т. п.

Процессы, происходящие в электрическом двигателе так же, как
и в генераторе, могут быть описаны математически системой диффе-
ренциальных уравнений:

Фл ' — Фд (*в)’
ия = “Ь ^Фд»

*я Фд =	+ Мтр + 7ИН; >

л1Тр = ^тр (®)»

МН = Л4Н(СО).	1

(1.6)

Здесь фд (/в) и МТр (<о) — обычно нелинейные функции; } — момент
инерции механизма, приведенный к оси двигателя; 7Итр и 7ИН—мо-
менты трения и нагрузки на валу двигателя.

Коэффициент пропорциональности сд является параметром двига-
теля и определяется его конструкцией. В данном случае, так же как
и при рассмотрении генератора, реакцией якоря, магнитным рассея-
нием и влиянием вихревых токов пренебрегли.

При управлении со стороны якоря характеристика управления дви-
гателем со — со носит монотонный характер и с ростом напряжения
питания якоря скорость вращения вала растет (рис. 1.6, б). При
управлении со стороны обмотки возбуждения характеристика управ-
ления двигателя со = со (пв) носит монотонный характер, но с ростом
напряжения на обмотке возбуждения скорость вращения вала падает
(рис. 1.6, в). Обе эти зависимости непосредственно вытекают из
рассмотрения системы уравнений (1.6) при ды/сИ = 0 и монотонном
характере зависимостей фд (/в), Л4Н (со) и 7Итр (со).

Расчет динамических процессов при управлении двигателем со
стороны обмотки якоря значительно проще, чем при управлении со
стороны обмотки возбуждения, так как в последнем случае уравнения
(1.6) имеют переменный коэффициент фд при неизвестной со.

Однако в обоих рассматриваемых случаях управления скоростью
двигателя оз объект устойчив и переходные процессы при импульсном
воздействии на управляющие величины подобны графикам Лю =
~ ку1 (/), представленным на рис. 1.3, а (график, показанный штри-
ховой линией, соответствует наличию трения в системе).

В случае управления со стороны якоря значение = Лсо/Л^
положительно, а при управлении со стороны обмотки возбуждения зна-
чение дуг/дщ = Дсо/Див отрицательно.

По отношению к изменению угла
г

«Р = Фо+§«м*/	(1.7)

О

двигатель является нейтральной системой. Управлять углом ф можно,
изменяя напряжение на якоре так как только в этом случае можно
задавать управляющее воздействие, соответствующее останову двига-
теля (при ип = 0 и со = 0).

Примем за начало отсчета угла поворота вала двигателя положе-
ние ф0 = 0. Тогда при импульсе напряжения ип вал двигателя повер-
нется на некоторый угол фь после снижения управляющего напряже-

I

ния до нуля вал двигателя остановится в новом положении Ф\ =

о

Примерные графики ия (I) и <р (0 для этого случая показаны на рис. 1.7.
Асинхронный двигатель. В зависимости от рабочей точки на ха-
рактеристике асинхронный двигатель можно считать устойчивым или
неустойчивым объектом. Управление асинхронным двигателем в за-
висимости от режима его работы протекает в различных условиях.

Рассмотрим асинхронный двигатель (рис. 1.8, а), нагрузка на
валу которого характеризуется инерционными массами с моментом
инерции 7 и не зависящим от скорости вращения моментом Мн. Управ-
ление двигателем производится путем изменения трехфазного напря-
жения питания 17, имеющего частоту /. Зависимость момента Мд, раз-
виваемого на валу двигателя, от угловой скорости вращения его вала со
показана на рис. 1.8, б.

При некотором значении скорости момент, развиваемый двигате-
лем, достигает максимального значения и далее, по мере приближения
скорости к синхронной, убывает до нуля при

со — соо = 2п[/п,

где п — число пар полюсов.

Управляющей величиной здесь служит напряжение источника пи-
тания, а управляемой — скорость вращения вала двигателя. Контро-
лируемым внешним воздействием может быть частота сети, неконтро-
лируемыми воздействиями — изменения нагрузки, параметров двига-
теля, вибрации и т. п.

Процесс, происходящий в двигателе, может быть приближенно опи-
сан уравнением

Мд = Мо/Л + Ми	(1.8)

или

.Мео/* = Мд—Мн=АМ.	(1.8а)

Если АМ по мере увеличения скорости вращения двигателя
уменьшается, то режим устойчив. Если же возрастание со приводит
к увеличению АМ, и, следовательно, к дальнейшему росту скорости,
то режим неустойчив.

Рассмотрим объект, характеризующийся зависимостью, показанной
на рис. 1.8, б. Равенство нулю АМ, а следовательно, и с/соМ/ опреде-
ляет две точки стационарного режима — 1 и 5.

В точке / при со = со! возрастание напряжения до V' > 77 при-
водит к разгону двигателя с ускорением с/со/с# = ДМХ/Л Величина
начального ускорения определяется отрезком 1-2, в соответствующем
масштабе выражающим АМХ. Скорость двигателя будет возрастать до
тех пор, пока не достигнет величины со! (точка 3 на характеристике).
Последующее уменьшение управляющего напряжения до первоначаль-
ного приводит к отрицательному значению АМг (отрезок 3-4) и замед-
лению скорости двигателя до первоначального значения сог

Переходные процессы, соответствующие рассматриваемому режи-
му, схематически показаны на рис. 1.9, а, б и характерны для устой-
чивых объектов.
1.8, б) при о) ~ со2 возрастание напряжения

^кпрогрессивно-нарастаюгцему разгону двигателя. Величина
тачального ускорения й&7дЗ определяется отрезком 5-6, выражающим
ДМ2. По мере разгона двигателя и увеличения скорости со эта величи-
на возрастает до тех пор, пока скорость со не превысит величину, для
которой момент максимален; после чего (1ы1й1 начнет уменьшаться до
тех пор, пока скорость не достигнет величины в точке 5. Снижение
напряжения до первоначального значения во время переходного про-
цесса не изменяет характер процесса. В данном случае скорость нара-
стает до величины <ох. Переходный процесс, соответствующий этому
неустойчивому режиму, показан на рис. 1.9, а, в.

а>

Рис. 1.9

Рис. 1.10

^Управление курсом судна. Рассмотрим изменение курса движуще-
гося судна в зависимости от положения его руля (рис. 1.10). Если а —
угол отклонения курса судна от заданного угла а0, а 6 — угол от-
клонения руля, то при движении судна со скоростью V вдоль его оси
уравнение вращающих моментов, действующих относительно центра
тяжести судна в плоскости, перпендикулярной вертикальной его оси,
имеет вид:

/Л/Л2 = М.	(1.9>

Здесь 3 — момент инерции судна; М — суммарный момент гидроди-
намических сил, зависящий от угла руля 6, скоростей поступатель-
ного движения V и поворота а = судна, причем

М = М (V, 6, а = Да/й!).	(1.10)

В значение М в качестве слагаемых входят также неконтролируе-
мые воздействия на судно, обусловленные ударами волн, порывами
ветра, течениями и т. п.

Система уравнений (1.9) и (1.10) дает возможность найти зависи-
мость между координатами состояния движения судна а и а и управ-
ляющими координатами V и 6.
Процесс управления курсом летательного аппарата также может
быть описан уравнениями (1.9) и (1.10) с соответствующим выражением
нелинейной зависимости (1.10) на основании законов аэродинамики.

Управление углом тангажа летательного аппарата. Движение ле-
тательного аппарата состоит из двух составляющих: движения центра
масс и вращения вокруг него. Каждое из этих движений обладает тре-
мя степенями свободы и управляется силами тяги и рулями самолета.

Рассмотрим движение летательного аппарата, при котором вектор
скорости центра масс лежит в вертикальной плоскости симметрии»
перпендикулярной горизонту. Такое движение называется продоль-
ным. Оно характеризуется тремя степенями свободы: двумя составляю-
щими скорости движения центра масс, лежащими в плоскости сим-
метрии, и вектором угловой скорости вращения относительно центра
масс, нормальным по отношению к плоскости симметрии.

Угол между горизонтом и продольной осью летательного аппарата
называется углом тангажа г) (рис. 1.11). Одна из задач управления,
осуществляемая автопилотом, сводится к управлению углом тангажа,
характеризующим продольное движение летательного аппарата. Уп-
равляемыми величинами являются скорость движения V и угол танга-
жа д. Управление летательным аппаратом осуществляется с помощью
изменения силы тяги /?, совпадающей по направлению с продольной
осью аппарата, и положения руля высоты (угол 6), изменяющего вра-
щающий момент, который поворачива т аппарат в вертикальной пло-
скости симметрии.

Кроме того, на летательный аппарат действует сила веса О, на-
правленная вертикально, подъемная сила I, перпендикулярная век-
тору скорости ц, сила лобового сопротивления Л\ направленная на-
встречу вектору скорости. На величины подъемной силы и силы лобо-
вого сопротивления оказывают существенное влияние плотность воз-
духа, скорость, высота над уровнем моря и т. п. Изменения этих вели-
чин в большинстве случаев относятся к неконтролируемым воздейст-
виям, существенно влияющим на режим полета.

Для нахождения математического описания объекта рассмотрим
уравнения сил и моментов при продольном движении летательного
аппарата. Обозначим: а — угол между продольной осью аппарата
и вектором скорости, называемый углом атаки\ 0— угол между го-
ризонтом и вектором скорости, называемый углом наклона траектории.
При этом (см. рис. 1.11)

#^а + е.	(1.11)

Уравнения сил и моментов для рассматриваемой системы с тремя
степенями свободы имеют следующий вид:

для оси, совпадающей с вектором скорости V,

тШ = соз а —	— С 8Й1 6;	(1.12)

для оси, нормальной к вектору скорости,

товВ/М ~ К 81п а + Ь — 6 соз 0;	(1-13)

для моментов сил, действующих в продольной плоскости,

М/М2 = М,	(1.14)
где 7 — момент инерции летательного аппарата относительно оси,
перпендикулярной продольной плоскости и проходящей через центр
масс; М — суммарный момент аэродинамических сил относительно той
же оси, т — масса летательного аппарата.

В системе уравнений (1.12)—(1.14) величины ТУ, Б и ТИ представ-
ляют собой сложные нелинейные функции скорости, угла атаки и дру-
гих величин, характеризующих полет. Выделив наиболее существен-
ные из них, можно рассматриваемые зависимости представить так:

ТУ^ТУ(ща);	1

Б--Б(гда);	I	(1.15)

М = ТИ (у, 6, а, й = АЫй1). )

Рис. 1.11	Рис. 1.12

В выражения для ТУ, Б и Л4 в качестве слагаемых входят неконт-
ролируемые механические воздействия на летательный аппарат (поры-
вы ветра, воздушные течения и т. п.).

Система уравнений (1.11)	(1.15) дает возможность найти зависи-

мость между управляющими воздействиями 6 и /? и управляемыми
величинами V. 0 и О при заданных начальных условиях. Простейший
анализ этих уравнений для линейного приближения будет приведен
в гл. III.

При полете, близком к горизонтальному, значения ТУ и Б возрастают
с увеличением V и а, а значение М, возрастая с увеличением 6 и й,
уменьшается с ростом а и ЛЫЛ1.

При горизонтальном стационарном полете V = сопз!, 0^0,
Ои ж 0. В этом случае уравнение (1.14) принимает вид
М = 0.

Печи (топливные и электрические). Более сложным объектом управ*
ления является печь, нагрев которой производится путем сжигания
топлива (рис. 1.12).

Для печ ( регулируемыми величинами являются значения темпера-
туры в определенных точках печи йп. Управляющими величинами слу-
жат положения вентилей и шиберов щ 4- и4, регулирующих подачу
горючего, приток воздуха и вытяжку газов. Внешними воздействиями
являются изменения состава и расхода горючего, давления воздуха
системы, тепловых параметров, связанных с загрузкой и выгрузкой
печи. Некоторые из этих величин могут контролироваться (например,
расходы и температура), однако большинство не поддается контролю.

Тепловой режим печи описывается сложной системой дифференци-
альных уравнений в частных производных, которые обычно дают при-
ближенное представление о характере процессов в печи.

В приближешых расчетах систем, в которых управление ведется
только путем изменения скорости подачи горючего в пламенных печах
или мощности электрических нагревателей в электрических печах, ма-
тематическое описание объекта может быть сведено к дифференциаль-
ному уравнению первого порядка.

Если (} — количество тепла, выделяемого в печи за единицу време-
ни (управляющая величина), а Фср — средняя температура печи
(рис. 1.13, а), то уравнение теплового баланса может быть приближенно
записано как

<2 = г ( «СР — еЕН) + С ^ср/^,	(1.16)

где — теплопроводность системы печь — внешняя окружающая
среда, температура которой равна йвц’, С — теплоемкость печи.

Распределенный характер системы «печь — нагреваемая деталь»
приближенно учитывается введением некоторого запаздывания меж-
ду средней температурой печи ^ср и температурой детали или некоторой
точки печи Ф, являющейся регулируемой величиной, измеряемой в про-
цессе управления. Таким образом,

«(о = «СР а-и	(мп

где т — некоторое эквивалентное время запаздывания.

В общем случае параметры печи § и С зависят от температуры и
только в приближенных расчетах могут быть приняты постоянными.

Неконтролируемыми воздействиями являются изменения окружаю-
щей внешней температуры &вн, теплоемкости печи С и условий тепло-
обмена

Зависимость между установившейся температурой печи Оуст
и количеством тепла (2, выделяемого в печи за единицу времени, вы-
ражается монотонной статической характеристикой управления
(рис. 1.13,6).

Несколько сложнее описать математически процесс управления
в электрических печах радиационного нагрева поверхности различных
изделий. На рис. 1.14 схематически показан радиационный электро-
нагреватель, излучающий тепло для нагрева поверхности массив-
ного тела. Мощность, излучаемая на единицу поверхности изделия,
в тепловых единицах
где к — коэффициент пропорциональности, зависящий от излучателя
и обратно пропорциональный поверхности облучения; V и I — соот-
ветственно напряжение и ток нагревателей.

Управляющей координатой служит напряжение питания нагрева-
теля (Л Удельная мощность

(17)

(1.18)

нелинейно зависит от напряжения питания.

Управляемой координатой является температура нагрева поверх-
ности изделия.

Внешними, большей частью неконтролируемыми воздействиями
являются: различие в параметрах нагреваемых изделий, изменения
параметров излучателей, условий теплоотвода с поверхности изделия
и т. п.

Рис. 1.13

Рис. 1.14

Тепловой режим нагрева поверхности материала приближенно опи-
сывается одномерным уравнением Фурье для полуограниченного тела

Шдх2 = сд$/д1.	(1.19)

При начальных условиях

Ж 0) = а0 (х);	(1.20)

при граничных условиях, определяемых теплообменом на поверхности
изделия,

<7о = -Мт" (0. 0 + <7п [Я (0. 0. »вн1-	(1.21)

дх

В уравнениях (1.19) 4- (1.21) приняты следующие обозначения:
с и К — соответственно удельная объемная теплоемкость и удельная
теплопроводность нагреваемого материала; х — координата точки ма-
териала, отсчитываемая от его поверхности; дп — плотность теплового
потока отвода тепла от поверхности тела в окружающее пространство,
зависящая от температуры поверхности ^(0, I) и температуры воздуха
Фен, омывающего поверхность материала.

Решение этих уравнений дает возможность ориентировочно судить
о переходных процессах нагрева деталей.

Рассмотренные печи относятся к категории устойчивых объектов.

Объекты с экстремальной статической характеристикой. Далеко
не все объекты обладают монотонной характеристикой управления.
Существует много различных объектов, для которых зависимость меж-
ду управляющей и управляемой величинами имеет явно выраженный
максимум или минимум. Так, зависимость расхода горючего от скорости
движения автомобиля имеет минимум при определенной оптимальной
скорости. Движение со скоростью, меньшей или большей оптимальной,
приводит к перерасходу горючего. В зависимости от регулировки дви-
гателя и от условий пути расход несколько изменяется, а следователь-
но, минимум перемещается.

Еще одним примером объекта с экстремальной характеристикой
может служить система управления подачей долота при бурении сква-
жин. Скорость бурения (скорость подачи долота) зависит от давления
на долото Р так, что существует определенное оптимальное давление
Ропт, при котором скорость бурения максимальна. При давлениях,
меньших или больших оптимального, скорость бурения уменьшается.

Рис. 1.15

Аналогичные экстремальные характеристики имеют место при свер-
лении. Максимальная скорость сверления соответствует определенному
оптимальному давлению на сверло.

В электрических устройствах, работающих в режиме резонанса,
характеристика управления имеет также экстремальный характер.
В качестве примера подобных устройств рассмотрим выходной каскад
генератора радиостанции, упрощенная схема которого показана на
рис. 1.15, а.

На сетку электронной лампы поступает напряжение = 1/1тХ
Хзт 2л//. Напряжение н2, поступающее на излучающую антенну, зави-
сит от настройки в резонанс нагрузочного контура электронной лампы.

В качестве управляющей величины может быть принята регулируе-
мая емкость С. Управляемой величиной является напряжение на ан-
тенне а2. При некотором оптимальном значении емкости Сопт напряже-
ние на антенне и, следовательно, мощность излучения при заданной
частоте Д максимальны. Характеристика управления таким объектом
показана на рис. 1.15,6.

С изменением частоты источника / или сопротивления излучаю-
щего устройства гн характеристика изменяется (см., например, харак-
теристику при частоте/2). Внешними возмущающими воздействиями для
данного объекта будут изменения частоты комплексного сопротив-
ления излучения антенны гн, напряжения питания и других параметров
системы. Частота может быть как контролируемой, так и неконтроли-
руемой величиной. Изменения параметров нерегулируемой части кон-
тура обычно не поддаются контролю.
Особенно существенно влияние изменения параметров резонансного
контура, если нагрузкой служит не антенна радиопередающего уст-
ройства, а конденсатор, заполненный материалом, нагреваемым тока-
ми высокой частоты. В этом случае при изменяющихся в течение на-
грева параметрах материала характеристика управления существенно
изменяется и максимум характеристики смещается.

§ ^4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И СТРУКТУРНЫЕ
СХЕМЫ ОБЪЕКТОВ

При изображении систем управления применяются два принципа —
функциональный и структурный и соответственно схемы подразделяют-
ся на функциональные и структурные.

Функциональной схемой называется схема, в которой каждому функ-
циональному элементу системы соответствует определенное звено.

Рис. 1.16

Динамической структурной схемой называется схема, в которой
каждой математической операции преобразования сигнала соответст-
вует определенное звено. В дальнейшем для краткости динамические
структурные схемы будем называть просто структурными схемами.

Рассмотренные ранее примеры объектов могут быть представлены
общей функциональной схемой, показанной на рис. 1.1. При этом внеш-
ние воздействия каждого вида и, 1 и управляемая величина у могут
изображаться одной стрелкой (см. рис. 1.1, б).

В зависимости от математических операций, выполняемых различ-
ными звеньями, для каждого из рассмотренных объектов составляются
различные структурные схемы.

Структурные схемы могут быть двух типов: функциональные и опе-
рационные. В первом случае каждому функциональному элементу
схемы соответствует определенное звено, описываемое математически.
При этом на сложность математического описания не накладывается
каких-либо ограничений. Во втором'случае каждой элементарной ма-
тематической операции соответствует определенное звено. Такими эле-
ментарными операциями обычно являются: изменение масштаба, из-
менение знака, интегрирование, дифференцирование, нелинейное пре-
образование, суммирование и умножение.

При наличии системы уравнений (1.1а), описывающих зависимость
управляемой величины у от воздействий и, § и 1, функциональная схе-
ма объекта, изображенная на рис. 1.1, может быть отнесена к функцио-
нальным структурным.

При расчленении математического описания объекта на ряд эле-
ментарных операций, выражаемых, например, уравнениями (1.2),
для объекта может быть построена операционная структурная схема.
Наиболее общий вид операционной структурной схемы объекта изо-
бражен на рис. 1.16. Схема соответствует векторным дифференциаль-
ным уравнениям (1.2) и выражает три математические операции.

Для структурного представления о гидравлическом резервуаре,
изображенном на рис. 1.4, а и описанном уравнением (1.3), достаточ-
но ввести понятия интегрирующего звена и суммирующего узла. Струк-

Рис. 1.17

дурная схема для этого объекта показана на рис. 1.17, а. Здесь сумми-
рующий узел 1 изображен кругом, разделенным на четыре сектора.
Секторы, к которым подводится суммируемая величина со знаком
«+», не зачернены, а сектор, к которому подводится суммируемая ве-
личина со знаком «—», зачернен. Суммирующий узел 3 учитывает на-
чальные условия. Звено, осуществляющее операцию интегрирования,
изображено соответствующим прямоугольником 2.

Аналогично, применяя тот же принцип для представления уравне-
ний (1.4) двух сообщающихся резервуаров, можно получить более
сложную структурную схему для двухсвязного объекта, показанную
на рис. 1.17, б. Здесь , кроме суммирующих узлов и интегрирующих
звеньев, двойной рамкой показано нелинейное звено, преобразующее
величину ЛЯ =	— Н2 в расход 012.

Структурные схемы, соответствующие уравнениям (1.3) и (1.4),
могут быть также изображены в виде направленных графов (рис. 1.17, в
и г). Здесь совокупность вершин соответствует координатам векторов,
списывающих процесс, а дуги, соединяющие вершины, выражают свя-
зи между этими координатами. Каждая дуга описывает преобразование
передаваемой величины и соответствует звену в операционной струк-
турной схеме.
Закон преобразования указан на графе рядом с соответствующей
дугой. Передача сигнала без его преобразования изображается дугой,
обозначенной единицей. Дуга, выражающая линейное преобразование,
проведена простой линией, а нелинейное — двойной линией. Если
к вершине подходит несколько дуг, то производится суммирование
подводимых к ней величин (с учетом знаков функций.^ выражающих их
преобразования).

Из сопоставления структурных схем (рис. 1.17, а и б) и направлен-
ных графов (рис. 1.17, в и г) видно, что они полностью эквивалентны
и представляют собой различные способы начертания одних и тех же
структур, описываемых заданными системами уравнений.

8У6с)

V Т 8 Т (X
(с/,) 1(^)1

Рис. 1.18

Для описания объектов и систем управления пользуются как
структурными схемами, так и направленными графами. В дальнейшем
изложении будем пользоваться структурными схемами, имея в виду,
что каждая из них может быть также представлена соответствующим
н а пр ав л ен ным гр афом.

Для рассмотренного на рис. 1.5, а генератора постоянного тока,
описываемого системой трех уравнений (1.5), операционная структур-
ная схема показана на рис. 1.18, а. Здесь нелинейная зависимость
(гЕ/^Е)/в (Фг) представлена нелинейным звеном /;

уравнения

Лфг/Л = пв—гв/г;
пн = сг фг гя /н

(1.22)

обозначены суммирующими звеньями 2 и 6\ интегрирование и умноже-
ние на сгог произведено соответственно звеньями 3 и 5; начальные
условия учтены суммирующим узлом 4.
Структурная схема управления курсом судна (см. рис. 1.10), опи-
санного уравнениями (1.9) и (1.10), изображена на рис. 1.18, б. На
схеме не показаны неконтролируемые воздействия, влияющие на функ-
цию а (о, 6, а).

Применяя рассмотренный метод, можно построить соответствующие
операционные структурные схемы для любых объектов, описанных
известными уравнениями. В качестве упражнения можно предложить
читателю построить структурные схемы для объектов, показанных на
рис. 1.6, 1.8 и 1.11 и описанных уравнениями (1.6), (1.8), (1.11)—(1.15).
Представление математического описания объекта в виде структурных
схем имеет большое значение для расчета и моделирования систем
автоматического у пр авления.

§ 1.5.	ПРИНЦИПЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Общие положения. В зависимости от характера информации, полу-
чаемой об объекте в процессе его работы, наличия его математического
описания, статических характеристик объекта и главное — задачи,
поставленной перед системой автоматического управления, принципы
автоматического управления существенно различаются.

Если при рассмотрении объектов управления был получен ответ
на вопрос: чем управлять, то теперь ставятся вопросы: с какой целью,
как, какими средствами управлять объектом? Задачи, поставленные
перед системой управления, можно разделить на следующие группы.

1.	Стабилизация. В этом случае необходимо с заданной точностью
поддерживать постоянными те или иные управляемые величины.

2.	Программное управление. При этом закон изменения управляе-
мой величины заранее известен и задается оператором, обслуживающим
систему управления.

3.	Слежение за некоторой измеряемой величиной, закон изменения
которой заранее неизвестен. В этом случае управляемая величина
должна с заданной точностью воспроизводить измеряемую величину
или некоторую функцию измеряемой величины. Такие системы уп-
равления называются следящими.

4.	Самонастройка системы на оптимум какого-либо из показателей
объекта или системы. Это может быть обеспечение и экстремального
значения управляемой величины, и максимального быстродействия си-
стемы управления путем подстройки ее параметров, и режима работы
объекта оптимального в определенном, заданном смысле. Самонастрой-
ка может сочетаться со стабилизацией, программным управлением
и слежением.

Системы управления разделяются на разомкнутые и замкнутые.

В разомкнутых системах управляющее воздействие задается без
учета действительного значения управляемой величины на основании
цели управления, характеристик объекта и известных внешних воздей-
ствий. Такое управление называется жестким.

В разомкнутых системах управления отсутствует компенсация влия-
ния неконтролируемых возмущений; они применяются для стабили-
зации и программного управления.
В замкнутых системах управляющее воздействие формируется в не-
посредственной зависимости от управляемой величины.

Принцип действия разомкнутых и замкнутых систем управления
может быть иллюстрирован двумя примерами управления уровнем
жидкости в резервуаре, осуществляемого человеком-оператором
(рис. 1.19). В первом случае (рис. 1.19,я) оператор не получает инфор-
мации об интересующем его уровне жидкости, но зато знает о том, как
этот уровень изменяется с изменением притока жидкости в резервуар.
Измеряя расход жидкости	о и вычисляет необходимое положение

клапана, регулирующего приток жидкости иъ и устанавливает соот-
ветствующее открытие клапана.

Во втором случае (рис. 1.19, б) оператор получает информацию об
уровне жидкости уг и в зависимости от отклонения уровня от требуемого
значения изменяет положение клапана, регулирующего приток жид-
кости щ.

Первый принцип регулирования называется регулированием по
возмущению, а второй — регулированием по отклонению. Указанные
функции человека-оператора успешно и с большими скоростями дей-
ствия выполняются автоматическими устройствами — регуляторами.

Стабилизация. В зависимости от информации об управляемом объек-
те и о внешних воздействиях на него задача стабилизации может ре-
шаться различными путями. Если все внешние воздействия на объект
контролируются и могут быть измерены, а свойства объекта и его дина-
мические характеристики известны, то управление может вестись по
возмущению. Функциональная схема устройства, управляющего
по возмущению, показана на рис. 1.20, а. Здесь неконтролируемые
воздействия отсутствуют (/^ 0), и задача управления решается путем
нахождения функции

п = и &),

при которой обеспечивается условие

У =	= соп81,	(1.23)

где уэт — эталонное (требуемое) значение управляемой величины, со-
ответствующее заданию V.

Регулятор, выполняющий условие (1.23), обеспечивает стабилиза-
цию регулируемых величин или их инвариантность, т. е. независимость
от внешних воздействий. Для примера, изображенного на рис. 1.19, а9
регулятор выполняет функции человека-оператора.

При наличии неконтролируемых возмущений и при недостаточно
полном математическом описании объекта регулирование по возмуще-
нию не может обеспечить стабилизации управляемой величины. В этом
случае применяется принцип управления по отклонению, реализуемый
в замкнутой системе управления. Схематически устройство управления
по отклонению показано на рис. 1.20,6.

Управляющее воздействие на объект и зависит от разности е между
управляемой величиной у и заданием V и направлено в сторону умень-
шения этой разности. Задание на управляемую величину V может быть
либо равно требуемому значению у, либо несколько превышать эту
величину для того, чтобы обеспечить значение е, необходимое для ра-
боты регулятора. Для примера, показанного на рис. 1.19, б, регулятор
выполняет функции человека-оператора.

Для повышения точности систем автоматического управления при-
меняются комбинированные системы управления, сочетающие принци-
пы управления по отклонению и возмущению (рис. 1.20, в).

В дальнейшем основное внимание будет обращено на системы управ-
ления при неконтролируемых возмущениях, поскольку они требуют
применения принципа управления по отклонению, делающего управ-
ляемую величину практически не зависящей от внешних возмущений.

Программное управление. Программное управление какой-либо
управляемой величиной в зависимости от наличия математического
описания объекта и неконтролируемых внешних воздействий также
может осуществляться разомкнутыми и замкнутыми системами.

Если существует точное математическое описание объекта, а все
внешние воздействия контролируются и путем регулирования по воз-
мущению их влияние может быть сведено до нуля, то программное уп-
равление объектом осуществляется по разомкнутой системе жесткого
управления. При этом управлении задает-
ся такой закон изменения управляющей
величины, который обеспечивает требуе-
мый закон изменения управляемой вели-
чины.

Пусть требуется, чтобы управляемая ве-
личина у изменилась во времени по закону

у = у3т (О-

(1.23а)

а)

Т = 0

Тогда с помощью уравнений, описывающих объект, можно вычис-
лить требуемый закон изменения управляющей величины и (/). Приме-
нение программного устройства, задающего эту зависимость, обеспе-
чивает выполнение требуемого условия.

Зависимость и (/) можно определить автоматически с помощью спе-
циального вычислительного устройства. На рис. 1.21, а показана схе-
ма разомкнутой системы программного управления, на вход которой
подается задающее воздействие V (/); с помощью модели вычисляется
зависимость и (/), необходимая для обеспечения зависящего от V (/)
эталонного закона управления #эт (/), которая подается на уппавление
объектом.


Любая неточность математического описания объекта или наличие
неконтролируемого воздействия на объект приводит к нарушению соот-
ветствия между у (/) и #эт (/) и к невыполнению требуемого закона из-
менения управляемой величины.

- При наличии неконтролируемых воздействий применяется принцип
программного управления по отклонению. Системы, реализующие
этот принцип, представляют собой замкнутые системы управления.
В их регуляторе (рис. 1.21, б) сравниваются две величины [значение
заданной управляемой координаты V (/) и фактическое значение управ-
ляемой координаты у (I)] и вырабатывается такое управляющее воздей-
ствие и (/), которое обеспечивает минимальное значение рассогласова-
ния:

*

е (/) = г (/)-//(/).	(1.24)

В программных регуляторах функция о (/) задается с помощью
некоторого программного устройства.

Рассмотренные ранее системы автоматической стабилизации яв-
ляются частным случаем программных систем регулирования, в кото-
рых программа не зависит от времени, т. е. V (/) = сопзТ

Слежение. Слежение за изменениями измеряемой величины V (/),
например угла поворота вала, скорости его вращения или какой-либо
иной физической величины, выполняется с помощью следящих сис-
тем.

Основным требованием, предъявляемым к следящим системам, яв-
ляется минимум погрешности 6 (/), определяемой как разность между
заранее неизвестным законом V (/) и управляемой величиной у (/).
Следящие системы обычно представляют собой замкнутые системы
управления по отклонению. В них задающее воздействие V (^одноз-
начно определяет г/эт (/). В частных случаях г/эт (/) = V (I).

Самонастройка (адаптация). Задачи, ставящиеся перед самонастра-
ивающимися, или адаптивными, системами управления, значитель-
но сложнее и разнообразнее, чем задачи, решаемые рассмотренными си-
стемами автоматического управления.

Первой задачей является поддержание экстремума управ-
ляемой величины. Для этой цели на объект подаются пробные воздей-
ствия со стороны управления 6п, анализируется знак изменения управ-
ляемой величины у и производится управляющее воздействие, при-
ближающее режим к точке экстремума. Таким образом, система управ-
ления автоматически поддерживает режим, близкий к оптимальному,
при котором дуг/дщ 0. Устройства, обеспечивающие режим работы
управляемого объекта, близкий к оптимальному, называются автома-
тическими оптимизаторами, или экстремальными регуляторами.

Схематически система экстремального управления объектом пока-
зана на рис. 1 22, а. Такие системы применяются для объектов, имею-
щих экстремальные характеристики и существенные, но медленно меня-
ющиеся неконтролируемые факторы, приводящие к изменению экстре-
мальных характеристик. При этом можно считать, что за время прихо-
да к экстремуму характеристика управления объектом существенно
не изменяется.

Второй задачей самонастройки является поддержание
оптимальной работы системы регулирования по условию максималь-
ного ее быстродействия. В этом случае показателем экстремума являет-
ся время, в течение которого система приходит в соответствие с изме-
нением задающего воздействия. Это время может анализироваться с по-
мощью специального устройства самонастройки, изменяющего пара-
метры регулятора таким образом, чтобы время регулирования стало
минимальным. Схематически рассматриваемая система показана на
рис. 1.22, б. Здесь воздействие, изменяющее параметры регулятора,
обозначено через М. Определение времени регулирования производит-
ся с помощью пробных изменений задающего воздействия бгх

а)

Рис. 1.22

Объект вместе с регулятором можно рассматривать как объект
экстремального управления более высокой категории, управляемый
устройством самонастройки. Показатель качества переходных процес-
сов в системе регулирования, вычисляемый в устройстве самонастройки
на основании вводимых в нее величин у и /?, а также вырабатываемых
изменений управляющих воздействий 6о, является управляемой вели-
чиной, а некоторый настраиваемый параметр регулятора М — управ-
ляющей. Таким образом, рассматриваемая система может быть пред-
ставлена в виде двух систем, из которых одна управляет другой. По-
скольку самонастраивающиеся системы имеют двойственное значение,
так как сочетают изучение объекта и управление им, они называются
устройствами дуального управления.

До настоящего времени самонастраивающиеся автоматические си-
стемы получили относительно небольшое распространение из-за их
сложности. Однако быстрое развитие принципов построения надежных
вычислительных устройств, моделей для запоминания и преобразования
сигналов, а также применение цифровых вычислительных машин для
задач управления и выпуск специальных управляющих машин откры-
вают широкие перспективы для построения самонастраивающихся си-
стем.

В первой части курса объектом изучения являются замкнутые си-
стемы регулирования без самонастройки.
§ 1.6. ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ НЕПРЕРЫВНЫХ
ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ

И ИХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СХЕМЫ

Общая функциональная схема. Схематически замкнутая система
регулирования может быть представлена рядом элементов, выполняю-
щих определенные функции (рис. 1.23): / — исполнительное устройст-
во, 2 — объек! регулирования, <? —измерительное устройство, 4~
устройство сравнения, 5 — устройство задания на управляемую коор-
динату, 6 — усилитель. На рисунке не показано устройство коррекции,
улучшающее характеристики системы.

Объекты управления уже были рассмотрены в § 1.3. Принципиаль-
но объект управления отличает от всех остальных элементов системы
то, что он обычно бывает задан и при разработке системы управления
не может быть изменен, тогда как все остальные элементы выбираются
специально для решения заданной задачи управления. Примеры эле-
ментов систем автоматического управления и их математических
описаний приведены в приложении П.8.

Совокупность всех элементов системы, кроме объекта, образует
управляющее устройство, или регулятор. Измерительные устройства
предназначены для получения сигнала, соответствующего регулируе-
мой величине. Этот сигнал в устройстве сравнения вычитается из
заданного с помощью специального устройства задания на управляе-
мую величину. Полученная разность е, называемая величиной рассогла-
сования, подается на усилитель. Выход усилителя подключается к ис-
полнительному устройству, воздействующему на управляющую ве-
личину объекта.

В зависимости от физической природы управляющей и управляе-
мой величин в системе регулирования отсутствуют измерительное и ис-
полнительное устройства. Если выходом усилителя является управ-
ляющая координата, то отсутствует исполнительное устройство. Если
же выходная управляемая координата непосредственно подается на
устройство сравнения, то отсутствует измерительное устройство.

Задание V на управляемую величину может вводиться в систему раз-
лично. Наиболее простой случай — когда задание выражается в тех
же единицах, что и выходная величина измерительного устройства
кИу. При этом на исполнительное устройство поступает разность
е = V — к^у. Однако задание может быть также выражено коэффи-
циентом пропорциональности кИ измерительного устройства. В этом
случае выходная величина измерительного устройства кау сравнивает-
ся с некоторой, обычно постоянной, величиной Ео, и на вход усилителя
поступает разность е = Ео — к^у.

Регуляторы могут быть непрерывными и дискретными. В первом
случае все величины, преобразуемые различными звеньями системы,
непрерывно изменяются во времени; во втором они могут представлять
собой разрывные функции времени, причем моменты разрыва либо
задаются специальным импульсным устройством (импульсные систе-
мы), либо определяются нелинейными характеристиками элементов
(релейные системы и системы с переменной структурой). Ниже рассма-
триваются примеры простейших непрерывных систем регулирования.
Примеры импульсных систем рассматриваются в гл. XIII, а релейных
систем, систем с переменной структурой, а также самонастраиваю-

щихся систем — во второй части курса.

Поплавковый регулятор уровня Одним из первых в мире техниче-

ских регуляторов является поплавковый регулятор уровня жидкости,
построенный И. И. Ползуновым в 1795 г. для поддержания постоянного
уровня воды в паровом котле. Сейчас регуляторы такого типа находят
широкое применение в технике. Поимером простейшего и в то же время

наиболее распространенного
современного регулятора
уровня является поплавко-
вая камера автомобильного
карбюратора (рис. 1.24, а).
Объектом регулирования яв-
ляется камера /, в которой
уровень бензина Н непосред-

Рис. 1.23

Рис. 1.24

ственно измеряется положением поплавка 2. Системой рычагов
с поплавком связана игла 5, регулирующая приток бензина в
камеру 2. При уровне Н = игла полностью запирает канал при-
тока бензина, т. е. <2 = 0. Величина Но задает требуемое значение ре-
гулируемой величины; она устанавливается при наладке регулиров-
кой рычага иглы.

Внешним неконтролируемым воздействием служит расход бензи-
на С, поступающего к жиклерам двигателя. Этот расход приводит к
уменьшению уровня в поплавковой камере.

Функциональная схема рассматриваемого регулятора показана на
рис. 1.24, б. В ней выделено два элемента системы: поплавковая ка-
мера, служащая объектом, совмещенным с измерительным устройством,
на вход которого подается разность 0 — С, а выходной величиной яв-
ляется уровень бензина Н\ исполнительное устройство, представляю-
щее собой управляемый изменением положения поплавка и перемеще-
нием иглы канал притока бензина, задающий величину С.
Система автоматической стабилизации напряжения на зажимах
генератора постоянного тока. На рис. 1.25, а показана схема регу-
лирования напряжения на зажимах генератора постоянного тока с по-
мощью магнитного усилителя с самоподмагничиванием. На обмотку
управления магнитного усилителя подается величина рассогласова-
ния — разность некоторого эталонного напряжения /:0 и напряжения
нпел = снимаемого с делителя, пропорционального напряжению
на зажимах генератора:

е ~ Е$	(1.25)

Рис. 1.25

Рис 1.26

Нагрузкой магнитного усилителя служит ток 1В в обмотке воз-
буждения генератора. Требуемое значение регулируемого напряжения
задается регулируемым коэффициентом делителя напряжения кп, уста-
навливающим соответствие между регулируемым ив и эталонным Ео
напряжениями.

В рассматриваемом регуляторе измерительное устройство совмеще-
но с устройством задания на управляемую координату, а исполнитель-
ное устройство отсутствует, так как ток нагрузки магнитного усилите-
ля является управляющей величиной.

Возмущающими неконтролируемыми воздействиями служат: па-
дение напряжения в обмотке генератора, вызванное током нагрузки

2 Зак. 377

33
гн; помехи , вызванные изменением скорости вращения вала генератора
△сог и колебанием напряжения питания магнитного усилителя
и др.

Функциональная схема системы регулирования показана на
рис. 1.25, б. Здесь , как и на рис. 1.25, а, нумерация функциональных
элементов соответствует принятой на рис. 1.23.

Регулятор скорости электрического двигателя. Система регулиро-
вания скорости электрического двигателя с электромашинным усили-
телем показана на рис. 1.26, а.

Рис. 1.27

Здесь объектом регулирования является некоторый механизм /г
приводимый в движение электрическим двигателем постоянного тока.
В данном случае объект и исполнительный механизм 6 представляют
единое целое. Скорость вращения вала двигателя должна изменяться
по заданному закону или поддерживаться постоянной. Для измерения
скорости вращения вала служит тахометрический генератор 2, напря-
жение на зажимах которого иг пропорционально скорости вращения
вала. Это напряжение сравнивается с заданным значением и0 и раз-
ность е = ц0 — цг, полученная в контуре 4, подается на обмотку воз-
буждения электромашинного усилителя 5. Электромашинный усили-
тель питает якорь двигателя /, служащего регулируемьш объектом.
Функциональная схема рассматриваемой системы изображена на
рис. 1.26, б. Внешним возмущением в этой схеме является изменение
момента нагрузки М на валу рабочего двигателя. Каждому значению
регулируемой скорости со соответствует определенное значение напря-
жения рассогласования е между заданным напряжением щ и напряже-
нием тахогенератора иг. Рассогласование оказывается тем больше,
чем больше момент нагрузки на валу двигателя М.

Для уменьшения влияния момента, а также для улучшения дина-
мических характеристик системы применяется корректирующая цепь
7, вводящая в контур устройства сравнения дополнительно напряже-
ние ГдГя, пропорциональное току якоря двигателя.

Это напряжение тем больше, чем больше момент нагрузки на валу
двигателя. При соответствующем выборе сопротивления гд цепи якоря
в системе регулирования может быть получена высокая точность. Так
как в рассматриваемой системе управляющее воздействие ия зависит
не только от управляемой величины е>, но и от внешнего воздействия
М, контролируемого с помощью тока якоря /я, то система является
примером комбинированного управления по отклонению и возмущению
(см. рис. 1.20, в).

Следящая система. Следящая система (рис. 1.27, а) представляет
собой замкнутую систему регулирования угла поворота вала (отраба-
тывающей оси), управляемого двигателем; задающее воздействие
устанавливается путем поворота некоторого задающего вала (задающей
оси). Два делителя напряжения 2 и 3 соединены с задающей и отрабаты-
вающей осями. Напряжение (&0 или цД€Л), снимаемое с каждого из
делителей, пропорционально углу поворота оси сс0 или а. Разность
этих напряжений п0 — пдел = е в контуре 4 подается на усилитель 5,
питающий обмотку якоря рабочего двигателя /, 6. При любом несоот-
ветствии положения задающей и отрабатывающей осей в цепи усили-
теля появляется напряжение рассогласования е, и в обмотке якоря
рабочего двигателя возникает ток. Вал двигателя вращается до тех
лор, пока угол поворота отрабатывающей оси не станет равным углу
поворота задающей оси и напряжение рассогласования не снизится
до нуля.

Для обеспечения устойчивости всей системы и повышения качества
переходных процессов применяется корректирующая цепь 7, содержа-
щая тахометрический генератор, измеряющий скорость вращения вала
двигателя со. Напряжение коррекции цк, пропорциональное скорости
<о, подается в цепь сравнения и складывается с напряжением и0 — «дел.
В статическом режиме, когда со = 0, и0 = сопз! и идел = сопз!, ве-
личина ик = 0. В динамическом режиме при <о #= 0 корректирующая
цепь несколько замедляет разгон двигателя, однако при этом она за-
глушает автоколебания в системе. Функциональная схема рассматри-
ваемой системы показана на рис. 1.27,6.
ГЛАВА II

УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 2.1.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Общие положения. В зависимости от математического описания
функциональных элементов систем регулирования для них могут быть
составлены различные структурные схемы, отражающие различные
физические процессы в этих системах. Общим для всех систем может
служить описание их дифференциальными уравнениями, связывающи-
ми координаты состояний объекта и управляющего устройства (вектор
х) с входными воздействиями на систему (векторы V, 1, б)-

Физическая природа и соответственно размерность координат этих
векторов может быть самой различной. В качестве вектора у, характе-
ризующего выход системы регулирования, принимается некоторая
функция координат вектора состояния х и воздействий 1 и б- Для си-
стемы регулирования, рассматриваемой как объект управления, роль
управляющего воздействия и играет задающее воздействие V. Таким
образом, операционная структурная схема системы управления в об-
щем виде аналогична схеме, приведенной на рис. 1.16, а уравнения,
описывающие систему, имеют вид

х=^ (х, V, 1, б);
у =	(х, Т, б)

(2.1)

при заданных начальных условиях х (0). В общем случае [см. (1.2)1
управляемая величина у зависит также и от задающего воздействия V,
однако соответствующим выбором координат состояния х можно
обеспечить независимость у от V. В дальнейшем рассматриваются имен-
но такие случаи.

Система уравнений (2.1) предполагает описание объекта обыкновен-
ными дифференциальными уравнениями. В отдельных случаях, на-
пример при рассмотрении тепловых объектов (см. рис. 1.14), объект
имеет распределенные параметры и описывается дифференциальными
уравнениями в частных производных.

Если рассматривать раздельно уравнения, описывающие объект
и устройство управления, то их совокупность можно представить с по-
мощью двух операторов:

у = Л1(иЛ,б); и = Л2(е),

(2.2)

где е = V — у.

Здесь оператор Л( описывает объект и выражает преобразование
векторных функций и, 1 и в управляемые координаты вектора у, а опе-
ратор Л2 описывает регулятор и выражает преобразование вектора рас-
согласования е = V — у в вектор управляющего воздействия и. Функ-
циональная структурная схема, соответсгвующая уравнениям (2.2),
показана на рис. 2.1. При этом предполагалось, что помехи I и $
имеют место в управляемом объекте и измерение управляемых коор-
динат у и задающих воздействий V производится без погрешностей.
В этих случаях рассогласование е равно погрешности системы 6. В ре-

Рис. 2.1

альных системах это не всегда выполняется. Помехи могут иметь место
как в тракте передачи задающего воздействия, так и в устройстве из-
мерения у. Тогда рассогласование е = V — У + вводится в регуля-
тор с некоторой помехой, при этом погрешность 6 = у — у = е —
(см. штриховая на рис. 2.1).

Две формы математического описания системы автоматического уп-
равления, выражаемые векторными уравнениями (2.1) и (2.2), широко
применяются для исследования систем. В одних случаях, например при
моделировании, более удобной оказывается форма (2.1) с введением
координат состояния. В других случаях, например при исследовании
линейных систем, более удобно пользоваться формой (2.2), содержащей
в явном виде рассогласование е и управляющее воздействие и.

Рассмотрим дифференциальные уравнения и структурные схемы
систем автоматического регулирования для приведенных в § 1.6 при-
меров простейших одномерных систем, для которых векторы у, и, 1,
у, е имеют по одной координате, и векторные уравнения (2.2) переходят
в скалярные.

Поплавковый регулятор уровня. Зависимость между перемещением
поплавка е — Н по отношению к заданному уровню /70 и ско-
ростью притока бензина <2 в поплавковую камеру выражается неко-
торой монотонной функцией <2 (е). Учитывая уравнение резервуара
(1.3), для регулятора можно записать уравнение

(1Н/М = 1(2 (//о — Н) — 61/5,	(2.3)
Рис. 2.2

которое соответствует обще-
му выражению (2.1) при хх=
=	= Но, К = С.

В качестве координаты
вектора у можно пр тнять
уг = Н. Структурная схема,
соответствующая уравнению
(2.3), представлена на рис.
2.2.

Система автоматической
стабилизации напряжения на
зажимах генератора постоян-
ного тока (см. рис. 1.25).

Дифференциальные уравнения, описывающие систему в соответствии
с приведенными в § 1.3 уравнениями объекта управления (1.5), при
учете инерционности магнитного усилителя могут быть записаны сле-
дующим образом:

— &и пн =	+ Ту йиу!йЕ

нв = ив (Ну).

Ив = Г В	^Фв/Л;

ея = ся соя фв,

(2.4)

где I — ток; и — напряжение; е—э. д. с.; ф — магнитный поток;
г — сопротивление; хо) — число витков; с и /е — коэффициенты про-
порциональности; Т — постоянная времени, со — уголовая скорость
вращения вала генератора; индексами «в», «я», «н», «у» соответственно
< бозначены величины, относящиеся к обмотке возбуждения, якорю,
нагрузке генератора и усилителю. Нелинейные характеристики уси-
лителя и генератора обозначены соответственно ив (иу) и фв(/в).

Принимая в качестве координат состояния и х2 значения иу
и фв, уравнения системы запишем следующим образом:

Ту б/г/у/б//	Е^ Аи сп о)я фв ф- гп г/у,

к/в б/фв/б// ив (г/у) гв /в (фв).

(2.5)

При этом выходными координатами системы являются напряжение
на зажимах генератора у1 = ин = сясояфв — гя4н и рассогласование
с = Ео — Внешними воздействиями /г и служат изменения
Дюя и Дгн; задающим воздействием является коэффициент Ли.

Структурная схема; соответствующая приведенной системе урав-
нений, показана на рис. 2.3. Эта схема может быть как функциональ-
ной (операторы Дг и Л2), так и операционной.

Регулятор скорости электрического двигателя (см. рис. 1.26). Со-
ставим систему дифференциальных уравнений, описывающих процессы
в регуляторе скорости электрического двигателя.
Уравнения объекта регулирования (1.6) при управлении со сторо-
ны якоря можно привести к виду:

=* (ГД + гя) "Ь	|	/9 6 V

Мо/Л==сдгя Фд—7И, I

где и& = ия + гдгя — напряжение на выходе электромашинного уси-
лителя 5; Л1 = Л1И -г Л1тр — момент на валу двигателя, обусловлен-
ный нагрузкой и трением.

Система регулирования состоит из включенных по схеме, приведен-
ной на рис. 1.26, а, генератора постоянного тока 2 и электромашинного
усилителя 5, описываемых следующими уравнениями:

Рис. 2.3

иг = сг соФг,

е=^ и0 — нг + 1Я гд;

Щ, + (Т2 + Т3) (1ия1(11 + Т2 Т3 с? ид/№ = йу е.

(2.66)

Здесь Фг и сг — магнитный поток возбуждения и параметр якоря
генератора; /гу, Т2 и Т3 — коэффициент усиления и постоянные времени
электромашинного усилителя.

Для построения функциональной структурной схемы системы вы-
делим уравнения, описывающие объект управления, измерительное
устройство, усилитель и устройство коррекции, показанные на функ-
циональной схеме (см. рис. 1.26, б).

Исключив для этой цели /я в уравнениях (2.6а) и (2.66), получим

Тх (1^1(11 + со = кх (иэ + Анд);

Т2 т9 + (Т2 + та) + ив = к. е-.

(2.7)

иК = йи>1(И\

е = и0—ие + иК + аД иа,
где

С2 Ф2

иЛ л

Сд Фп

Диэ =



Сдфд

Здесь первые четыре уравнения (2.7) выражают преобразования
Лъ Л2, Л3, Л4 сигналов, осуществляемые функциональными звеньями
схемы (см. рис. 1.26,6), а последнее уравнение (2.7) описывает сумми-
рование сигналов на входе усилительного звена.

Рис. 2.4

Для полученной системы уравнений функциональная структурная
схема показана на рис. 2.4, а. Она соответствует функциональной схе-
ме, приведенной на рис. 1.26, 6. Для получения операционной струк-
турной схемы удобно ввести координаты состояния Обозначая =
= ид9 х2 = йщ/М. х3 = ух ~ со, V! = и09	= М, уравнения (2.6)

и (2.7) представим в следующем виде:

Х1 — Х2,

(2.8)

Х3 — б/31 Хг ^зз ^31 /1>


где <41=—

* 2 * 3

_1___

т* т3

Сд Фд

ГЛ #У СД Фд ].

С! Фд

Гг+Тз

Т2ТЭ '

^21 === ---"•

т2 т3

. 1

6?31 —

Структурная схема, соответствующая уравнениям (2.8), изображе-
на на рис. 2.4, б.

Обе структурные схемы (рис. 2.4, а и б) описывают одну и ту же
систему регулирования. Первая из них более удобна для рассмотрения

Рис. 2.5

процессов в реальной системе, а вторая — для их моделирования и
расчета.

Следящая система (см. рис. 1.27). Для генератора, усилителя и дви-
гателя следящей системы аналогично рассмотренным ранее приме-
рам запишем систему уравнений:

Ц, = гд + сд Фд Лх/Л;

Л2 а/с№ = Сд 1„ Фд—Л4;

и.. = сг Ф(, с!а/

е=кд (а0—а)—кк ис\

иа + (Тг + Т3)с!иа1(И + Т2Т3 с?и3№ = к^.

(2.9)

Вводя обозначения хг—у1 = а, х2 = йаЛЙ, х3 — иа, х4 = <1иэ1й1,
^1 == «о» /1 — уравнения (2.9) представим в следующем виде:

*1 = х2;

х3 ,

(2.Ю)

— (1^1 X} Д" ^/42 Х% Д' ^/43 Х3 Д" 6^44

Х4 + а41


где

Л к»

.	Сц Фд . л __ сд Фд . К ____________________________

г ___ ^у	__ /?у/гксгФг

а41 —	~	а42	~ _	*

'2'3	* 2 3

Г  _	1 . Я ==   ^г + ^З .	= ^у ^д

43	Т2т3' м Т2Т3 ’	"	Т,Т3’

Структурная сх^ма, соответствующая уравнениям (2.10), изображе-
на на рис. 2.5.

Все структурные схемы систем регулирования (см. рис. 2.2—2.5)
составлены для нулевых начальных условий. При ненулевых началь-
ных условиях на выходе каждого из интегрирующих звеньев добав-
ляется соответствующее воздействие, аналогичное изображенному на
рис. 1.18. выражающее начальное значение координаты состояния.

§ 2.2.	СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Предположим, что все воздействия V, 1, влияющие на систему
регулирования, не зависят от времени. Не будут тогда зависать от
времени и координаты состояния х. В этом случае х = 0, и уравнения
(2.1) приобретают вид:

X, {, б)=0;|

Тр (х, I, й) = У Л	'

В общем случае в уравнениях (2.2) операторы Л! и Л2 принимают
вид некоторых нелинейных функций и Т2.

С помощью уравнений (2.11) могут быть построены характеристики
регулятора по возмущению У1 (у}) и (/,) или по задающему воздейст-
вию (уставке) у( (щ). Причем эти зависимости строятся как для уп-
равляемых координат уь так и для рассогласования е, = щ — уг
в установившемся режиме.

Практический интерес представляет величина крутизны этих ха-
рактеристик: ду^/ду,, ду^д}] и де^/ску.

Если ду^д^ = 0 или ду^ду} — 0, то говорят, что регулятор астати-
ческий для 1-й управляемой координаты относительно воздействия
или При ду^} 0 или ду^йу} =^= 0 соответственно говорят, что
регулятор статический для 1-й управляемой координаты относитель-
но воздействия или

 Если де^до-, = 0, то регулятор называют астатическим по 1-му
задающему воздействию (установке) ог. При де^до} 0 регулятор соот-
ветственно называют статическим по г-му задающему воздействию.

Ответ на вопрос, к какому из названных регуляторов следует от-
нести тот или иной регулятор, будем называть суждением о статизме.

Рассмотрим примеры, соответствующие приведенным в § 2,1 систе-
мам регулирования.
Пример 2.1. Найти статические характеристики поплавкового регулятора
уровня, описанного уравнением (2.3). В установившемся режиме йН/(Н ~ О
и уравнение регулятора (2.3) приобретает вид:



(2.12)

Зависимость Н (6) называется статической характеристикой по возмущению*
а зависимость Н (Но) — статической характеристикой по заданию. Эти харак-
теристики представлены на рис. 2.6, а, б. Функция е (О) выражает зависимость
рассогласования от возмущения, а функция е (Но) — зависимость рассогласо-
вания от задающего воздействия (уставки). Для рассмотренного регулятора эти
характеристики приведены на рис. 2.6, в, г.

Так как в данном случае де/йО ф 0, то система является статической по воз-
мущению. Однако при этом (1е/йН0 = 0 и, следовательно, система является аста-
тической по задающему воздействию (уставке). Значение Но может задаваться

Рис. 2.6

с учетом рассогласования в системе. Так, если требуется, чтобы в номинальном
режиме при6н0м уровень был равен /7НОМ, то значение Но может быть выбрано
соответственно больше, чем Яном (см. рис. 2.6, а). При этом погрешность б —
= Яяом Н = е (Но — Нном).

Пример 2.2. Определить статические характеристики ип (соя) регулятора
напряжения генератора постоянного тока (см. рис. 1.25), описанного уравнениями
(2.4) вблизи номинальных стационарных значений оя = оя.ст, /в — /в,ст и
= ^и.ст*

Для суждения о статизме системы необходимо найти рабочие точки на
нелинейных характеристиках ив (иу) и /в (фв) Для заданных стационарных зна-
чений соя. ст, /н, ст и &и, ст. Это легко сделать, решая графически уравнения (2.5)
при йиу1<11~Ь и ^фв/сМ = О. На рис. 2.7, о построены зависимости ив (иу) и
НЯв(Иу) Для Пу = Е0+&и [гя 1Н—сп сояфв О’в)]. По точке пересечения 8 этих
зависимостей найдены установившиеся стационарные значения ив, ст и иУ9 ст_
Зная их, определим стационарные значения 1В, ст=пв. ст/гв, Фв. Ст = (^о
“Ь^и гп гп Му. ст)//?н ся (оя и нн. Ст = ся шя Фв.ст гя гн-

В указанных точках можно аппроксимировать нелинейные характеристики
ив (Пу) и фв (1В) прямыми линиями с наклонами

а — див/диу\ Ь~д$в!д1в.

(2.13>
Выражая в установившемся режиме рассогласование е в виде

С Е$—	Фв ~НЛЯ Ч] — ^у»

(2.14)

с учетом обозначений (2.13) получим

дв ь	«_ ^Фв

“	==---«И СЯ ™В. СТ СЯ а —

<коя

/?и ся соя ка	де

= —Ли Ф». СТ	* а 9

гв	&оя

откуда

де/д(Пп — —кя ся гв Фв. Ст/(гв ~Ь&и ся й)я аЬ).	(2.15)

Аналогично, произведя дифференцирование, найдем

де/д1п = кя гн гв/(гв+&и ся соя аЬ)\	(2.16)

де/дк^ — гв«н, ст/кв+*и^я®я^)«	(2.17)

Таким образом, система управления является статической как по возму-
щениям шян (н, так и по задаваемому воздействию ки. С ростом сйя и ки рассогла-
сование уменьшается, а с ростом гн оно увеличивается. Чем больше кяся&паЬ1гв%
тем изменение рассогласования меньше. Коэффициент (1 + курятяаЫгя} харак-
теризует степень улучшения статических характеристик системы за счет уста-
новки регулятора. При отсутствии регулятора этот коэффициент равен единице
и система более чувствительна к возмущениям Дсоя и Лгн.

Так, при отсутствии регулятора

дия/ди>„ = — деЦки да>я)=ся Фв. ст.	(2.18)

а при его наличии

дия!дтя— гв ся Фв, ст/(^в“Ь^и с» «я аЬ).

(2.19)

Статические характеристики нн (соя) для рассматриваемых двух случаев
(кривые 1 и 2) показаны соответственно на рис. 2.7, б.

Пример 2.3. Определить значения крутизны статических характеристик
системы регулирования скорости двигателя (см. рис. 1.26), описываемой уравне-
ниями (2.8), и составить суждение о статизме системы. При х± ==	= х3 == О

уравнения (2.8) приобретают вид:

^21 Х1 + ^23 хз+°21 =0;
^31 *1 +^33 хз+^31 11 = 0’

(2.20)

Решая эти уравнения относительно управляемой величины х3 = со, полу-
чаем

хз = (й21 ^31 01—^31 ^21 Л)/(^21 ^зз—^23 ^31)	(2.21)

Статическая характеристика по моменту на валу двигателя М = Д имеет
наклон

д*3^31^21	 Гя + ^Д(1 — *у)

0/1	^23 ^31 — ^21 ^33	Сд Фд (Сд Фд + &У СГ Фг)

а наклон характеристики по задающему воздействию V^

^3 ==	ку _

^21 ^33"*““ ^23 ^31 ку Ср Фр Сд Фд

При выборе гд = гя1(ку — 1) выражение (2.22) обращается в нуль и, следо-
вательно, система становится астатической по моменту на валу двигателя.
Пример 2.4. Определить крутизну статических характеристик следящей
системы (см. рис. 1.27), описываемой уравнениями (2.10), и составить суждение
о статизме системы.

Для установившегося режима х^ х2 “ х3 “ х4 =« 0, при этом получаем:
^23*з+*м/1=0;	|

^41 Х1+^43 *3 + а41	=0,	/

откуда

^43 &21 г	°41

^ = 7—

“ 23	41	(2.25)

дХ1 аюьл —г ах1 «41

--- ~ ---------------------------—  ---- = 1.

^41 ^23	СД Фд	^41

Таким образом,

де	дхг

— = 1 — — =
сЦ	дс»!

т. е. система астатическая по задающему воздействию и статическая по момен
ту на валу двигателя М —

На основании рассмотрен-
ных примеров можно сопоста-
вить различные случаи вычис-
ления задающего воздействия
V в зависимости от требуемого
эталонного значения управляе-
мой величины уэт, а также срав-
нить получающиеся при этом
рассогласование е и погреш-
ность 6.

Рис. 2.8

Структурная схема сопоставления этих величин показана на
рис. 2.8. Здесь штриховой линией выделена собственно система авто-
матического управления, обеспечивающая соответствие управляемой
координаты у задающему воздействию V. Часть схемы, расположенная
вне контура, обведенного штриховой линией, изображает алгоритм
расчета ошибки 6 , которая выражает разность между желаемым эта-
лонным значением управляемой координат и ее действительным
значением у в системе управления.

Очевидно, что при отсутствии помех и при правильной настройке
системы ошибка 6 в стационарных условиях должна быть равна нулю.
При этом для систем, статических по задающему воздействию, величи-
на рассогласования е отлична от нуля, а для астатических систем она
равна нулю.

Пример 2.5. Определить значения V и е в зависимости от эталонного значения
управляемой координаты у = уат для рассмотренных в примерах 2.1	2.4 си-

стем.

1.	Регулятор уровня (см. пример 2.1). Значение V = Яо должно
быть задано так, чтобы при некотором номинальном (эталонном) значении рас-
хода 6 = 6ЭТ уровень был бы также номинальным (эталонным): Н ~ Нат = удТ.
Значение е = Но — Нат определяется из уравнения (2 (е) — Оэт и, следователь-
но, V = уат + е.

Л
ь
к
2.	Регулятор напряжения (см пример 2.2). Требуется, чтобы
при некотором эталонном значении тока нагрузки /ц = &Эт и скорости вращения
вала (Од —/эт напряжение на зажимах генератора ня — уэт. При этом Фв,эт —
= (Уэт + /я&эт)/Ся/эт и по характеристике 1В (фв) находится гв. эт. Тогда
эт —«в.этгв, и по характеристике нв (ну) определяется ну. эт==е. Таким*
образом, й=уат-{-е. При этом из выражения е=^0—киуэт находится =
= (^о—€)/Уэт’

3.	Регулятор скорости (см. пример 2.3). Задано эталонное зна-
чение угловой скорости вращения вала двигателя св = уат. При этом согласно
(2.6) и (2.7)

ия ~ сд Фд Уэт 4"гя == е-гл ^я-

Так как в данном случае момент ла валу двигателя М = сд/яФд, то

е = — [сд Фд Уэт + 1'я (гя+гд)1 = Сд Фд уэт/ку -р — я

«у	«у Сд Фд

и, следовательно,

ЛдМ

С1=/?2^=«0 —Фг//эт— —— =

Сд Фд

Сд Фд (сд Фд~Ь^у сг Фг) #этЧ~М	(I —ку)]

/гу сд Фд

При /гу—1 + гя/гд величина не зависит от момента М, и система
инвариантна относительно нагрузки на валу.

4.	Следящая система (см. пример 2.4). Так как система астатиче-
ская по задающему воздействию, то, следовательно, для нее е = 0 и
Фактически из-за сухого трения момент на неподвижном валу двигателя может
изменяться в пределах ± А4С, т, где Л7С. т — момент сухого трения. При этом
в соответствии с уравнениями (2.9) ток /я изменяется в пределах ±Мс.т/сдФц,
— в пределах ± тМс. т/сд Фд и е — в пределах ± емакс = гЛ1с. тДу сл Фд*
Таким образом, в этом случае статическая ошибка следящей системы б может
быть охарактеризована следующим неравенством:— емакс< 6 < +емакс

§ 2.3. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ К НУЛЕВЫМ НАЧАЛЬНЫМ
УСЛОВИЯМ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОПИСАНИЯ СИСТЕМЫ

При исследовании систем автоматического управления можно ста-
вить задачу следующим образом. До момента времени I == 0 все воз-
действия на систему не изменялись во времени, т. е. V = уст, I — I т>
§ = бет, и к моменту I 0 все переходные процессы закончились.
В системе установился режим, характеризуемый стационарными зна-
чениями координат состояния хст.

В момент времена I = 0 происходит изменение каких-либо из воз-
действий и в системе возникает исследуемый переходный процесс.
При этом воздействия можно представить в виде

V —уст+Ду; ё =	+	* =

а вектор состояний в виде

х = хст + Ах.
Так как йхст 1М = 0, то ММ ~ МММ = х. Если нелинейная
функция в уравнении (2.1) существует и конечна при любых значе-
ниях аргументов, то Мс^М оо и х не может изменяться скачком.
В момент I = 0 значения х == х (0) = хст и Дх (0) = 0. Таким обра-
зом, для приращений Дх начальные условия будут нулевыми.

Разложим функцию Т; в выражении (2.1) в окрестности точки
стационарных значений х.т, уст, дст и Тст в ряд Тейлора. Тогда, пре-
небрегая членами разложения порядка выше первого, получим

х = Ч'у (уст, ест. ^ст. хст) + А Ду + В Д^ + С ДТ + О Дх, (2.26)

где матрицы А, В, С и В составлены из частных производных от ко-
ординат векторной функции Т; по соответствующим координатам век-
торов у, Г, е и х в точке, соответствующей стационарному режиму при
1 < 0.

Рис. 2.9

Принимая во внимание (2.11) и понимая в дальнейшем под коорди-
натами векторов V, д, I, х их приращения Ду, Ад, ДГ и Дх относительно
стационарных значений, найдем

х = А у + Вд + СГ + Ох.	(2.27)

Уравнение (2.27) представляет собой векторную запись системы
линеаризованных дифференциальных уравнений, выражающих зави-
симость между скоростью изменения координат вектора х и прираще-
ниями координат векторов V, й» 1 и х-

При этом предполагается, что векторная функция непрерывна
и дифференцируема по всем ее координатам, а приращения координат
изменяются в достаточно малых пределах.

Аналогично, раскладывая в ряд Тейлора функцию Ч^, получим

у = 8й + М + Мх.	(2.28)

Структурная схема, соответствующая уравнениям (2.27) и (2.28),
показана на рис. 2.9.

Рассмотрим уравнения (2.27) и (2.28) для ранее описанных простей-
еШих примеров систем регулирования.

Пример 2.6. Поплавковый регулятор уровня.
Подставляя общие обозначен г я коэффициентов линеаризации и пе-
реходя к фэрме уравнения (2.27), запишем выражение (2.3) в виде

х^а^ + с^ + с^х^

Структурная схема для этого случая показана на рис. 2.10, где

а - — Г •

\ дН0 /ст

1

с. = — И

1	5

Для полученного одномерного
уравнения А = а1; В = 0;

С = ба; 0 = 6^; ГО = 0;

8 = 0; М=1.

Рис. 2.10

Рис. 2.П

Пример 2.7. Стабилизатор напряжения генератора.

Производя линеаризацию уравнений (2.5) в соответствии с уравнениями
(2.27) и (2.28), запишем

= аг VI + 81+С1 /1 +^11 Х14" ^12 *2 \

Х2 = ^21 Х1 4“ ^22 х2 ’

!/1 =$1	+	^14-^12^2,

(2.29)

где

х1 = Диу; а^ = (гй :'и. ст ся ия< ст Фв.ст)/?1?»

VI = АЛЯ;	= ка, ст гя/ Ту*9 81 =

С\ =—/ги. стсяФв. Ст/7У» А = Асоя; ^и“ 1/^у'
б?12 = —	ст (оя ст ся/ Ту; х2 — Афв» ^21= (^ив/)ст/^в»

^22 ГВ (^в/^Фв)ст/^УВ>

У1 = Аин; §1=—гя; ^1 = сяФв. ст; ^12 = ся ^я. ст«
Структурная схема для этого случая показана на рис. 2.11.
Матрицы А, В, С, ОД К и М в уравнениях (2.27) и (2.28) имеют вид;

Йа1 II р И^П. г — II Г1И - ГЧ (И11 ^12П
о II Цо II II 0 II 11^21 (122 II

»0 И12
о о
Пример 2.8. Регулятор скорости электрического
двигателя.

Так как система уравнений (2.8) линейна, она непосредственно совпадает
с уравнениями (2.27) и (2.28) при следующих значениях матриц:

О 0 1

ООО

ООО

1

^22

О

О

^33

Пример 2.9. Следящая система.
Уравнения (2.10) линейны,

значениях матриц:

(2.28) при следующих

они совпадают с (2.27)

и

О
^23
О
^43

§ 2.4. УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В ИЗОБРАЖЕНИЯХ ПО ЛАПЛАСУ

^44

О

О

Как показано в § 2.3, многие системы автоматического управления
при малых отклонениях координат от начального стационарного со-
стояния могут быть описаны системой линейных дифференциальных
уравнений и, следовательно, для их исследований можно применить все
методы, разработанные в теории линейных дифференциальных урав-
нений.

Одним из таких методов является преобразование Лапласа
(см. приложение П.З). Применяя преобразование Лапласа к линейнььм
векторным уравнениям (2.27) и (2.28), запишем

Р X (р) - х(0) = АУ (р) + Вб (р) + СР (р) + ОХ (р);	(2.30)

V (р) ~ 86 (р) + М-' (р) + МХ (р),	(2.31)

где большими буквами [например, X (р)1 обозначены изображения
по Лапласу сигналов, записанных теми же, но малыми буквами [на-
пример, х (/)1; Р — комплексная переменная в преобразовании Лапла-
са. Иногда в литературе буквой р обозначают символ дифференцирова-
ния по времени (здесь обозначение не используется).

Для нулевых начальных условий х (0) = 0 и уравнение (2.30) имеет
вид

(р 1 - Б) X (р) - АУ (р) + ВО (р) + СР (р),	(2.32)

где 1 — единичная матрица размерности п вектора х.
Уравнения (2.31) и (3.32) дают возможность определить изображе-
ние по Лапласу управляемой величины на выходе системы по изобра-
жениям имеющихся воздействий.

Решение уравнений (2.31) и (2.32) удобно записывать в следующем
виде:

V (р) =	(р) V (р) +	(р) С (р) + \Ку/ (р) Е (р),	(2.33)

для Р (р) = С (р) = 0. При

где XV(р),	(р),	(р),— ли-

нейные операторы преобразования
сигналов, в общем случае записывае-
мые в виде матриц и называемые
передаточными функциями для сиг-
нала у относительно сигналов V,
§ и I. В дальнейшем будут рассмат-
риваться одномерные сигналы, для
которых передаточные функции од-
номерны и соответственно скал яр ны
(рис. 2.12). В этом случае V (р) =
У1 (р); С (р) = Сг (р) и V (р) -
= V, (р).

Чтобы определить (р), рас-
смотрим уравнение (2.32) и (2.31)
этом можно записать

(р 1 - О) X (р) = АЕ\ (р); У х (р) = МХ (р).	(2.34)

Если вектор X (р) имеет размерность м, а (р) и V! (р) — скаляры,
то

“11	“12 * * * “Уп

^21	^22 * ’ * ^2п

«1

^2

0 =

тп т12 • • • ш1г,
О 0 ... О

О О ...о

О 0 ... О

(р!-0)=-

^11 Р ^12	* ' •

^21	^22--Р""' б?2п

^П1	^п2	* * ’ ^пп Р

Для 1-й координаты вектора А УДр) получим

(Р) + ^2^2 Ф) +	— Р) (р) + ... + ^1пХп(р) +

+	(р) = 0.

(2.35)

Решая п уравнений типа (2.35) для 1 I п, запишем
(Р) =

^11—р	^12	* * ’ а1	^1п
^21	• ♦ Си  1  сз	* * *	^2п
^П1	^п2	* * '	‘ ^пп Р

|Р-р 11

иг(р)

где |Б — р\ | — определитель матрицы Б — р!\ коэффициенты лп
трицы А составляют к-й столбец определителя в числителе.

Таким образом,

у 1 (Р) = МХ (р) — тиХ1 (р) + т12 Х2 (р) + . - • + т1п Хп(р) =
= ^у0 (Р)	(р).

(2.36)

Здесь

(Р) =

п

2 'П1кхк(р)

к= 1	________

Т1 (р)

^11—р

^12	* * *

^22 Р ’ * “ ^2 * * *	^2п

^П2	* * ’	' ^пп Р

^21	^22---Р ‘	’ *	^2п

Ку у (Р)
&Ус (Р)

(2.37)

&п2	* ’ * ^пк ‘ ‘ * ^пп Р

где Куо (р) и Оуг (р) — полиномы от р.

Аналогично в виде дробно-рациональных функций могут быть за-
писаны передаточные функции №Уё (р) и (р).

Пример 2.10. Найти передаточную функцию для сигнала относительно
воздействия в стабилизаторе напряжения генератора, рассмотренного в при-
мерах 2.2 и 2.7. Подставив обозначения коэффициентов матриц из примера 2.7
в формулу (2.37), получим:

(Р)=-

йц—р
^21

Ш12

^11—Р ^12

^21	^22-Р

________^12 Д1 ^21_________
(^11 Р)(^22 Р) ^21 ^12

Подставив значения коэффициентов матриц из примера 2.7, окончательно
запишем

^уу (Р)- -^/[(1 +рТу) (1 +рГг) + /г2],	(2.38)

где
Пример 2.11. Найти передаточные функции, соответствующие операторам
Аь А2, Л3 и Л5, полученным для линейных уравнений (2.6) и (2.7), описыва-
ющих регулятор скорости электрического двигателя.

Произведя преобразование Лапласа для уравнений, соответствующих
операторам Л!, Л2, Л3 и Л4, при нулевых начальных условиях получим:

«Мр)=*1/(Лр+1); ^2(р)=*2;

(р)=Лу/[(Т2 р+1) (73 р +1)]; г4 (р)=*4 Р-

Для изображений сигналов по Лапласу может быть применена струк-
турная схема (см. рис. 2.4 а), в которой роль операторов Л.( играют
соответствующие функции (р).

При ненулевых начальных условиях [см. (2.30)] уравнения (2.34)
имеют вид

(р\-О)Х(р)^АУг(р) + х(0);

У1(р)=МХ(р),

(2.39)

где х (0) =

хЛО)
х2(0)
в

х„(0)

—матрица начальных условий;

при этом уравнение (2.36) запишется как

у1 (р) = -

^11—р	^12 •••	Г1 (?) + %! (0) ...

б/2]	а22—р • • •	о21'1 (р) + х2 (0)... а2п

^П1	^П2  ’ '	(Р)	~Ь	%п	(0)   * ^пп	Р

|О-р1|

(2.40)

Здесь коэффициенты матриц АГ, (р) + х (0) составляют к-и столбец
определителя в числителе.

Раскрывая определители в выражении (2.40), получим следующее
решение:

где

Х(р) = 2 ^,-Р'; О(Р) = 2 а1р1' ^р)^^ пр']—	(2.42)

/=0	4 = 0	1= 0	)

алгебраические полиномы от р степеней п и п — 1.

От начальных условий зависит только полином (р), причем при
его вычислении начальные условия (0) занимают такое же место, как
и коэффициенты матрицы при вычислении коэффициентов полинома
Х(р).

Учитывая (2.37), уравнение (2.41) можно записать так:

У, (р) = 1У (р) V. (р) + Ун.у (р).

(2.43)
Здесь

1Г (р) = К (р)/Р (Р): Уп.у (р) = /? (р)/О (р).	(2.44)

При нулевых начальных условиях

Ун.у (Р) = к (Р) = 0:	(р) = П7 (Р) V, (р).	(2.45)

Таким образом, для изображения сигнала на выходе линейной
системы, появляющегося под действием сигнала на входе с изображен
нием Их (р), может быть применено два вида уравнений.

1.	Уравнения (2.39), записанные для

координат состояния, содержащие вектор
состояний X (р), матрицы А. й, М и х (0)
(см. рис. 2.9).

2.	Уравнение (2.43), в котором связь
между входным и выходным сигналами
выражается с помошью передаточной функ-
ции 07 (р). При нулевых начальных усло-

Рис. 2.13

виях она однозначно выражает преобразование сигнала линейной

системой.

Так как в уравнения второго вида не входят координаты состоя-
ния, обозначенные буквой х, то обычно буква х применяется вместо у,
н, § или / — для обобщенного обозначения входного сигнала, а бук-
ва у — для обобщенного обозначения выходного сигнала любого зве-
на, рассматриваемого в отдельности. При этом, так как входной сиг-
нал одного звена может быть выходным сигналом другого звена, эти
обозначения могут не соответствовать обозначениям, принятым при
рассмотрении всей системы в целом.

Таким образом, любое линейное звено системы, обладающее в а-
правленным действием, т. е. передающее сигнал толь-
ко в одном направлении, — от входа к выходу, может описываться
уравнением

V (р) = V (р) X (р) + Ув.у (р)	(2.46)

и изображаться структурной схемой (рис. 2.13).

В выражении (2.46) в отличие от (2.39) под матрицей X пони-
мается вектор-столбец входных воздействий. Квадратная матрица
\У(р) выражает передаточные функции звена, а векторы-столбцы
У(р) и Ун.у(р) — управляемые величины и их составляющие, зави-
сящие от начальных условий.
ГЛАВА III

ПРОХОЖДЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО СИГНАЛА
ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНОЕ ЗВЕНО

§ 3.1.	РЕГУЛЯРНЫЕ СИГНАЛЫ

Любой сложный регулярный сигнал может быть представлен сово-
купностью более простых сигналов, из которых будем использовать
следующие:

а)	гармонический сигнал зт (со^ + ф);

б)	единичный скачок

в)	единичный импульс

а-0 а

Преобразования Фурье и Лапласа для этих сигналов приведены
в приложениях ПД и П.3, Пусть сигнал представлен некоторой функ-
цией времени х (/). Тогха выразить его совокупностью гармонических
сигналов можно путем применения ряда Фурье для периодических сиг-
налов и преобразования Фурье для непериодических сигналов (см. при-
ложение П.1).

Используя интеграл Дюамеля в различной форме, данный сигнал
можно представить совокупностью единичных скачков

I

X (0 = х (а) 10 (/) + С 10 и —Т) Л	(3.1)

л ат
о
при а -> 0 или совокупностью единичных импульсов

I

х (/) = $ х (т) б (I — т) б/т.

о

(3.2)

Графическая иллюстрация к интегралам (3.1) и (3.2) приведена на
рис. 3.1, где х (I) — совокупность скачков величиной (йх/дх) Ат,
действующих в моменты т при т</(рис. 3.1, а) или интеграл от б-
функций, умножаемых на значения хъ моменты времени т (рис. 3.1, б).

Для лучшего изучения поведения линейной системы при любых
сигналах можно представить их совокупностью простых составляющих,
на основании принципа наложения определить реакцию системы на

каждую из составляющих и затем просуммировать полученные состав-
ляющие на выходе. Сигнал, например, можно представить совокуп-
ностью интегралов от единичных скачков, действующих в момент вре-
мени I = О

х(/) = До1о(О + Аро(0Л + Дг^1о(О Л24-... = 1О(0Х
О	0 0

или в момент времени 1к

п А-

х(0=1оа-^) 2
1 = 0

(3-4)

Графики каждой из этих составляющих показаны на рис. 3.2.

Возможна и совокупность слагаемых, выражаемых уравнением
(3.4) для различных 1к. Иногда бывает удобно представить сигнал в
виде произведения простейших сигналов. Так, гармонический сигнал,
начавший действовать в момент времени I ~ 0, можно представить как

X (0 = 81П (С0^ + Ф) 10 (0-

(3.5)
Пример 3.1. Найти приближенное выражение для сигнала х (0, показанного
на рис. 3.3. Аппроксимируя х (0 ломаной линией и раскладывая полученную
функцию на ряд полупрямых хд (0 «	(/ — ^)10 (/ — и на скачок

х0 10 (0, получаем

Л

X (0 = Хи 1о (0 + 2	У’

6=0

(3.6)

где 1а = 0.

§ 3.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНОГО ЗВЕНА

В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение про-
стого (односвязного) линейного звена, выражающее зависимость между
входным х и выходным у сигналами, в соответствии с операторным урав-
нением (2.46), а также с учетом (2.42) и (2.44) записывается следующим
образом:

/г0 х 4-/ег х +/г2 х + ••• +/?тх(т, = 4'/ + ^11/ + ^2(/Н-Нп^п}- (3.7)

Для нулевых начальных условий уравнения в изображениях по
Лапласу имеют вид

К (р) X (р) = О (р) V (р),

где

К(р}= 2 *«р'; г»(р)= 2 ^р‘-

1=0	(=0

(3.8)

(3.9)

Соответственно зависимость между частотными спектрами X (/со)
и V (]т) запишется как

К X (/со) = О (/со) У (/©).	(3.10)

Сложные (многосвязные) звенья описываются векторными уравне-
ниями, аналогичными (3.8). Так, если звено имеет два входных (хх
и х2) и два выходных (ух и у^ сигнала, то уравнение (3.8) приобретает
вид системы уравнений:

Ки (Р) (р) + К12 (р) Х2 (р) = (р)У1 (р); |
^21(Р)^1(Р> + ^22(Р)Х2(р)=Д2(р)У2(р), |

или в векторной форме

К (р) X (р) = Б (р) V (р),	(3.12)

где матрицы

;	О(Р)=!Р1(р)	0	,

II О (р)

Ш1(Р) Л12(Р)

К 21 (р) К 22 (р)

а векторы

Х(р) =

Хг(р)

Хъ(р)

у<р) =

у^р)
у Ар)
Примером звена с тремя входами и одним выходом может служить
схема, приведенная на рис. 2.12, где

Х(р) =

У{р)

О(р)

У(р) = Г1(р).

(3.13)

Для количественного описания свойств линейного звена в за-
висимости от постановки задачи пользуются следующими взаимно
связанными его характеристиками: комплексным коэффициентом пере-
дачи, передаточной, переходной и весовой функциями. Рассмотрим опре-
деление каждой из перечисленных характеристик. -

Комплексный коэффициент передачи звена № = №(/©). Отношение
комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде
сигнала на входе при подаче на вход синусоидального воздействия на-
зывается комплексным коэффициентом передачи {усиления) звена.

Из уравнения (3.10)

Й? = Г (/со) ==	-= -ПМ. =	.	(3.14)

Хт X (/со) О

Полную характеристику звена дает изменение комплексного ко-
эффициента передачи звена при изменении со от 0 до со. Геометрическое
место конца вектора комплексного коэффициента передачи звена
при изменении частоты от 0 до оо называется частотным годографом
коэффициента передачи, или комплексной частотной характеристи-
кой звена. Иногда его называют также амплитудно-фазовой характери-
стикой звена.

Комплексный коэффициент передачи звена может быть измерен
экспериментально. При этом на вход звена надо подать синусоидальное
напряжение определенной амплитуды и частоты, а на выходе измерить
амплитуду и фазу сигнала. Так, если

х = Хт51п со/: = (со/ + ф),

то комплексная амплитуда входного сигнала Хт — Хт, а комплекс-
ная амплитуда выходного сигнала Ут" УпР19- Таким образом,

Г = Г(/©) = 4!Н- = —(3.15)
Хт хт

Отношение амплитуд и фазовый сдвиг определяются по графику
зависимости у от х, полученному в установившемся режиме при сину-
соидально изменяющемся х от времени (рис. 3.4).

Если на вход системы подать единичный импульс, частотный спектр
которого X (]&) = 1, то частотный спектр выходного сигнала совпада-
ет с зависимостью комплексного коэффициента передачи от частоты.
Действительно, в этом случае по формуле (3.14)

У (/со) = К (/со)/0 (/со) = И? (/со)
и, следовательно, комплексную частотную характеристику звена
можно определить как частотный спектр выходного сигнала при пода-
че на вход звена единичного импульса. Такое определение № (усо) но-
сит чисто теоретический характер, так как в практических условиях
реализация сигнала в виде единичного импульса невозможна.

Пример годографа комплексного коэффициента передачи звена
(комплексной частотной характеристики) показан на рис. 3.5, а.
Обычно в дифференциальном уравнении реального звена т<п, и в
выражении (3.14) порядок числителя меньше порядка знаменателя.
На годографе это отражается тем, что при со -> со значение П7 (/со) -> 0.
Вместо частотного годографа часто задают частотные зависимости мо-

дуля | У7 (усо) | и фазы ср (со) (рис. 3.5, б и в). Так как модуль № (усо)
равен отношению амплитуд сигналов на выходе и входе, то зависимость
| IV (усо) | от со называется амплитудно-частотной характеристикой.

Графики | V? (усо) | и ср (со) удобно выражать в логарифмическом
масштабе, откладывая по оси абсцисс десятичный логарифм частоты,
единица которого соответствует изменению частоты в 10 раз. В этом
случае говорят, что частота измеряется в декадах по отношению к не-
которой заданной частоте, соответствующей началу отсчета.

Модуль коэффициента передачи | 1Г (усо) | при этом измеряется в
децибеллах (дБ)

Г (со) = 20 | й? (усо) ].	(3.16)

Зависимость А (1^ со) называется логарифмической амплитудно-
частотной характеристикой (ЛАЧХ), а ср (1§ со) — логарифмической
фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ). Характеристика Ь (со) < 0
при 11Г (усо) | < 1; Ь (со ) = 0 при | № (у’со) | = 1 и Г (со) > 0 при
| № (/со) | > 1- Так как при со оо в реальных системах |№ (усо)| -> 0,
то Ь — оо.

Передаточная функция звена (см. § 2,4). Отношение изображе-
ния сигнала на выходе к изображению сигнала на входе при
нулевых начальных условиях называется передаточной функцией
звена.

Согласно (3.8) передаточная функция

(р) = У (р)/Х (р) = к (р)/о (р).	(3.17)
На структурной схеме линейно-
го звена приводится обозначение пе-
редаточной функции № (р) (рис.
3.6, а) или ее аналитическое выра-
жение.

Переход от передаточной функ-
ции к комплексному коэффициенту
передачи осуществляется путем за-
мены р на /ш.

Расчет комплексного коэффициен-
та передачи и частотных характери-
стик в случае сложных функций 1Г(р)
представляет собой трудоемкую
задачу, осложняющуюся комплекс-
ным характером величин. Для упро-
щения строят не истинные, а асимп-
тотические частотные характеристи-
ки, которые особенно просто выгля-
дят при построении в логарифмиче-
ских масштабах (см. гл. IV и VI).
Расчет и построение упрощаются с
применением цифровых вычислитель-
ных машин 1Л. 49].

Если известны полюсы р/ и ну-
ли д1 функции П7 (р), соответствую-

щие корням уравнений О(р) = 0 и К(р) = 0, то выражение (3.17)
можно записать как
т

кт П (Р—?;)

^(р) = 4?Г =------—--------•	(3.18)

0{Р> д

Н (Р~Р1)
1= 1

Предполагается, что полиномы О (р) и К (р) не имеют общих кор-
ней и дробь (3.18) не может быть сокращена.

С помощью разложения функции (р) на элементарные дроби
формула (3.18) может быть преобразована:

Г(р)= V —^2— = ЛМ+ у
О'(р»)(р-р0	0(0)

РК (Рр

Р1&' (Р1)(Р~Р1)

(3.19)

Здесь предполагается, что функция № (р) не имеет кратных полю-
сов и что п > т.

Многосвязное звено характеризуется матрицей передаточных функ-
ций, связывающих входные и выходные сигналы. Так, для звена с дву-
мя входами и двумя выходами в соответствии с уравнением (3.12) или
(2.36) и (2.46) можно записать

Ух (Р) =	(Р) (Р) + ^12 (Р) ^2 (р);

У 2 (Р) = ^21 (Р) (Р) + ^22 (Р) ^2 (Р) •

(3.20)
где

Гп (Р) = «и (Р)/^г (РУ< г12 (Р) = ^12 (Р)/^ (Р)П
И721 (Р) ~ ^21 (Р)/^2 (Р)’ ^22 (Р) = ^22 (Р)/^2 (Р)- I

(3.21)

В этом случае передаточная функция звена представляет собой
матрицу

^11 (Р)	^12 (Р)

^21 (Р)	^22 (Р)

(3.22)

Обозначения рассматриваемого звена показаны на структурной
схеме (рис. 3.6, б и в). Для примера, приведенного на рис. 2.12, пе-
редаточная функция

™(Р) =

(Р)
0
о

о о

Мы (р)	0

о Г„(р)

В дальнейшем для упрощения записи при обозначении передаточ-
ной функции звена там, где это возможно, вместо К7 (р) будет писаться
просто И7.

Переходная функция звена. Сигнал, получаемый на выходе звена
при подаче на его вход единичного скачка 10 (I), называется пере-
ходной функцией Н (/). При этом изображение по Лапласу входного
сигнала X (р) = 1/р и, согласно (3.17), изображение выходного сиг-
нала

Н (Р) = У (Р) = В7 (Р)/Р.	(3.23)

Переходя от изображения к оригиналу, получаем

Н (I) = У (() = Ь-1	(р)/р1.	(3.24)

Переходная функция звена может быть рассчитана операторным
и классическим методами. Как видно из выражения (3.24), она одно-
значно связана с передаточной функцией звена.

Выражая К7 (р) с помощью (3.19) и переходя от изображения к ори-
гиналу (см. приложение П.4), находим

Й (О = 2 У;1 . (ер« ' -1) 10 (0,	(3.25)

/=1 Р1& \Р1)

ИЛИ

Установившаяся (вынужденная) составляющая переходной функ-
ции

/густ = Л (оо) = ЛГ (0)/Р (0) = Г (0)	(3.27)

характеризует статические свойства звена.
Переходная (свободная) составляющая определяется как раз-
ность:

Лпер = Л О') — Л (оо) = Л-1

(0)

р

К(Рд
Р1О'{Р1)

&>1(.

(3.28)

Если принять К (р) = 1 и определить для этого случая переходную
функцию /1 (/) = Ли (/), то при любом

К (р) =	+ къо + ^гр2 + ... + ктрт

переходная функция

/г(/) = Рсй0(Г) + /г1-^- + ---+Лт-^.	(3.29)

Весовая, или импульсная, переходная функция звена. Сигнал,
получаемый на выходе звена при подаче на его вход единичного импуль-
са 6 (0, называется весовой, или импульсной, переходной функцией
гт (/). В этом случае изображение по Лапласу входного сигнала Л' (р) =
= 1, а изображение выходного сигнала совпадает с передаточной функ-
цией:

У (Р) = М (Р).	(3.30)

Переходя от изображения к оригиналу, получаем весовую функ-
цию

ш(0 = у(/) = 1-ЧГ(р)1,	(3.31)

т. е. весовая функция является оригиналом передаточной функции.

Так как изображение весовой функции й7 (р) отличается от изо-
бражения передаточной функции Н (р) только множителем р, то

ш (0 = ОН	(3.32)

Таким образом, зная переходную функцию, всегда можно найти
весовую функцию звена. Для 1Е (р) и Н (/), выражаемых формулами
(3.17) и (3.25), определяем

№(0= 2	(3.33)

Формулы (3.25) и (3.33) получены для некратных корней урав-
нения О (р) = 0. Формулы для кратных корней могут быть получены
из этих же выражений путем предельного перехода при стремлении
к нулю разности между соответствующими корнями.

Устойчивость звена. Из рассмотрения выражения (3.33) следует,
что устойчивость системы зависит от того, в какой области лежат кор-
ни р€. Для линейных систем определение устойчивости объекта или зве-
на может быть сформулировано более жестко, чем для общего случая.
Линейное звено является асимптотически устойчивым, если после окон-
чания внешнего воздействия его состояние с течением времени возвра-
тится к исходному.
Единичный импульс может быть рассмотрен как кратковременное
воздействие. В таком случае об устойчивости линейного звена можно
судить по значению и> (/) при I -> оо: звено устойчиво, если

Пт да (0 = 0;	(3.34а)

звено неустойчиво, если

Нт хю (/) = оо;	(3.346)

звено нейтрально, если

Рис. 3.8

Рис. 3.7

Если хю (/) при /-> оо является периодической функцией времени,
т. е.

Нт да (/ + 0) = /(/,)=/(0 + 7),	(3.34г)

/->-оо

где Т — период колебаний, то звено называется консервативным.

Каждому вещественному значению = о; в выражении (3.33)
соответствует слагаемое вида

ю((0 = с(е».',	(3.35)

где

сг = /С(аг)/О' (о,).

Комплексной паре корней характеристического уравнения
Р1 =	Р1+1 = О; — 1^1

соответствует слагаемое вида

даА (0 = даI (0 +	(/) = сг- е<°/+	1 + с1+1

= 2Л4 е°; * соз (о\-1	ср;).

е(0г-/о>рг _

(3.36)
Следует различать три случая расположения корней, когда ве-
щественная часть корня: 1) отрицательна (ог- < 0); 2) положительна
(о, >0); 3) равна нулю (ог = 0).

В первом случае корень лежит в левой полуплоскости корней, т. е.
левее мнимой оси (см. рА1 р2, р3 на рис. 3.7) , во втором случае —
в правой полуплоскости, т. е, правее мнимой оси (см. р^ р5, рв на
рис 3 7); в третьем случае — на мнимой оси (см. р7.	на

рис. 3.7).

В зависимости от расположения корней относительно мнимой оси
характер изменения составляющих (/) во времени различен. Если
о, > 0, то соответствующая составляющая при I -> оо стремится к бес-
конечности и, следовательно, ю (/) -* оо, т. е. звено неустойчиво.

Если < 0, то соответствующая составляющая при оо стре-
мится к нулю; следовательно, если все составляющие, число которых
конечно, удовлетворяет этому условию, то до (/) -> 0, г. е. звено асим-
п тот и чес к и у сто й ч и во.

Если = 0 при /;->оо, то составляющая остается конечной
и не равна нулю, т. е. звено нейтрально или консервативно. Оно от-
носится также к устойчивым, но неасимптотическим звеньям.

На рис. 3.8 для каждого случая расположения корней показаны
графики при вещественном корне (а, б, в) и при паре сопряженных
комплексных корней (г, д, е}.

Таким образом, необходимым и достаточным условием асимптоти-
ческой устойчивости линейного звена является отрицательное значе-
ние вещественной части всех полюсов функции ГГ (р), т. е. все полюсы
должны лежать в левой полуплоскости р. Эго условие было рас-
пространено на линеаризованные нелинейные системы А. М. Ляпу
новым в 1892 г.

Рассмотренные четыре вида характеристик линейных звеньев
1П7 (/со),	(р), й (/) и до (/)1 однозначно связаны друг с другом и, зная

одну из них, всегда можно найти любую другую. В дальнейшем в ка-
честве математического описания линейного звена будет приниматься
передаточная функция К7 (р), с помощью которой могут быть найдены
все остальные характеристики звена [Ж (До), й (/) идо (?)1.

§ 3.3. ПРИМЕРЫ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИИ

ОБЪЕКТОВ

Для всех рассмотренных в § 1.3 и 1.4 объектов может быть про-
ведена линеаризация уравнений (см. §2.3), и они могут быть представ-
лены в виде линейных звеньев с передаточными функциями 1Г (р).

Пример 3.2. Для гидравлического резервуара (см. рис. 1.4, а), описываемо-
го уравнением (1.3), входной величиной является изменение притока жидкости
х = С — О, а выходной — изменение уровня жидкости у = АН. В операторной
форме уравнение (1.3) имеет вид

5рУ(р) = Х(р)	(3.37)

и, следовательно, передаточная функция

№(р)-У(р)/Х(р) = 1/$р.	-	(3.38)
Так как функция (3.38) имеет один полюс р =» 0, то, следовательно, объект
является нейтральным.

Пример 3.3. Для сообщающихся резервуаров (см. рис. 1.4, б), описываемых
уравнениями (1.4), входными величинами х± и х2 являются — 6Х и (?2— 62,
а выходными величинами и у2 служат АНГ и ЛЯ2.

Линеаризуя зависимость 012 от — Н2, можно записать, что

(?12 —^о(у1—у2)>	(3.39)

где д0 —	~ —^012^2 при заданных значениях и Н2. После подста-

новки принятых обозначений и перехода от оригиналов к изображениям уравне-
ния (1.4) при нулевых начальных условиях принимают, вид

51 рУ1 = Х1 —	Ув); 1	(3 40)

52 р У2 = Х24-р0 (I7! — V2). |

Решим полученные уравнения относительно У, и У2, тогда
=	Х,+^2Хг; )

У2-Г21 Хх + ^2 Х2,|

где

№ И ~ (&0 +"$2 Р)/{Р [^0 ($1 + $2) + 31 $2 Р]}'»
^22 = (Ьо+^ р)/{р [Ъ. (51 + 52) + 51 52 р]};
1Р12 = «721 = Ь0/{р [/,, (5, +52)+5! 52 р]}.

Во всех рассматриваемых уравнениях в обозначениях X/, Ук и для
упрощения записи опущено обозначение функции р.

Пример 3.4. Для электрического двигателя постоянного тока (см. рис. 1.6, а),
описываемого уравнениями (1.6), входными величинами служат изменения на-
пряжения питания якоря и тока возбуждения хт = Дия и х2 ~ Д1В, а выходной
величиной является изменение скорости вращения вала у = Део. Линеаризуем
уравнения (1.6) вблизи точки начального режима:

Дфд = РД/в = Рл2;

Дня = Х1 =гя А/я+сд о)Дфд-(“Сд Фд Део:

Сд 1а Дфд ~ЬСд Фд Д/я	•/с/Дш/(II -р/иДш,

(3.42)

где Ь~ дфв/д/в; т=дМ/дсо9 /И =/Итр4-/Ии.

Исключим из уравнений Д/я и Дфд, тогда

^1	У ~\~Т(1у/си,	(3.43)

где

*1*=СдФд/(гят-|-с2 ф2);

= — сд Ь (сосд Фд — гя 1я)/(гят + с1 фд);

При этом предполагается, что малые пределы изменения входных и выход-
ных величин дают право в линейном приближении считать параметры &2 и Т
постоянными. В этом случае, переходя к изображениям, получаем

У=1Г1Х1+1Г2Х2,	(3.44)

где ^-^/(1+рП; ^2 = ^/(1+рТ).

Если управление ведется только по напряжению питания якоря, то х2 = 0,
и двигатель представляет собой простое звено с параметрами и Т, которые мож-
но считать не зависящими от щ.

Пример 3.5. Для асинхронного двигателя (см. рис. 1.8, а) в режиме, близком
к состоянию равновесия, уравнение (1.8 а) имеет вид
где АЛ! — функция напряжения сети V и скорости вращения вала ю, показанная
на рис. 1.8, б.

Разлагая АЛ4 в ряд по приращениям ы и V и пренебрегая составляющими
высокого порядка, получаем

АЛ1 — а А о + ЬЬС,	(3.46)

где а = д&М/да), Ь « д&М/д&11, причем в устойчивых точках 1	4 величина

а < 0, а в неустойчивых 5, 6 величина а > 0. При этом Ь и 7 всегда положи-
тельны.

Рассматривая (3.45) и (3.46) совместно, запишем

Й№=«/4-Т^/Ц/,	(3.47)

где к =—Ь/а;	Т~—//а; у — кы.

Далее перейдем к изображениям:

=УIX=к/( 1 +рТ).	(3.48)

При а < 0 значения к и Т положительны и корень уравнения 1 + рТ = О
меньше нуля, т. е. звено устойчиво. При а > 0 корень « —1/Т = а// поло-
жителен, и двигатель является неустойчивым звеном.

Пример 3.6. Рассмотрим уравнения движения летательного аппарата(1.11) ~г
4-(1.15) для случая, когда полет совершается с постоянной скоростью V == сопз!
И ПОСТОЯННОЙ силой ТЯГИ Я==Я0 «= С0П81.

Пусть начальный р^жим характеризуется величинами: Ао, Ао, 7И0 « 0,
60, Фо, «о, ео и (дф/д/)о “ О-

Изменение угла руля высоты на величину Аб приводит к изменениям ТУ, I,
М и соответственно Ф и ос. Для определения этих изменений могут быть исполь-
зованы уравнения (1.13) и (1.14), в которых нелинейные функции 1 (а) и М (6, а,
разложены в ряд и отброшены члены высокого порядка. Уравнение (1.12)
для V = сона! во внимание может не приниматься. Тогда

сс = а0-|-Да; -6 = Фв + АФ; д=50 + Аб;

/дЬ\

Ь ж Ао+ (— I Аа=/,0+^а Дос;

\ООС I о

1дМ\ .. . (ЭМ\ , 1дМ\ ЛМ

* Нг Д6+ — Д«+Нг т~

\ дв /о \да /0 \дО /0 (11

=} ( т6 Д6—та &а—

О С08 0 = 0 СО8 0О — О 81П е0 Д0«О СО8 0О;
7? 51п а = 7?0 51п а0+7?0 соз а0 Да.

(3.49)

(3.50)

(3.51)

(3.52)

(3.53)

Здесь с учетом отрицательного знака дМ/да и дМ/дб обозначено

(0Л/0а)о = 1а; (ОЛ4/Об)о=т6/;

(ОЛ1/5а)о=— та3-, (дМ/д&)0=—т# Т,	(3'54)

где

Переходя от (1.13) и (1.14) к уравнениям для приращений и учитывая, что
0 = & — а, получим:

д. &•& /й! = <1 Ла/(11~{- ^а/ТК\

0^
а12

лх

-^-=т6 Дб-таДа



где То = тг/(₽о соз а0+/а).

При этом учитывалось, что

/?0 81'п ОС04-70 — Со СО8 0о=О

(3.55)

(3.56)

(3.57)

ввиду установившегося характера предшествовавшего режима (^6/^0 «= 0.

3 Зак. 377	65
Рассматривая изменение угла руля Л6 как входную величину х, и изменения
углов тангажа АФ и атаки Ла как выходные величины уг и у2, после перехода к
изображениям уравнения (3.56) можно записать следующим образом:

рГ1 = рЕ2 + (1/Т.) Г2;

р^ + т® рУ^т^Х—т^^

(3.58)

Решая эти уравнения относительно У, и У2, получим (см. рис. 2.10, б)

=	У2-™2Х,

(3.59)

где

№1='М1 + Ргг)/{р[(^ + р)(1+рГЕ,)+та7!,]};	(3.60)

=	Тп/[(т$ ~|-р) (1 ~гРТу)-\-та Гр].	(3.61)

Если

1+т$ 7\<2]/т$ Т„+та Т*,

то два полюса функций (р) и №2 (р) — комплексные и лежат в левой полу-
плоскости. Функция (р) имеет третий полюс, равный нулю. Таким образом,
звено управления углом тангажа является нейтральным, а звено управления уг-
лом атаки — устойчивым асимптотическим.

§ 3.4.	ОБЩЕЕ СВОЙСТВО МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ
УСТОЙЧИВЫХ ЗВЕНЬЕВ

Общим показателем свойств звена является принадлежность нулей
передаточной функции к левой полуплоскости. Представляя переда-
точную функцию в форме (3.18), комплексный коэффициент передачи
можно выразить как

т

П (/со—<71)

кт г=1

№ (/“) = ~Г • ----------•	(3-62>

“п “

И (/со—р.)

?= 1

Рассмотрим сомножитель числителя /со — дг. Эта разность пред-
ставляет собой вектор, начало которого лежит в точке дь а конец —
на мнимой оси в точке /со. Фаза этого вектора характеризует поворот
его относительно вещественной оси против часовой стрелки.

На рис. 3.9 построены два таких вектора для различных положе-
ний точкиобозначенных д\ и д'ь Из построения видно, что при одном
и том же значении модуля комплекса /со — дг его фаза <р меньше в том
случае, когда лежит в левой полуплоскости. Поэтому звенья, все
нули передаточных функций которых лежат в левой полуплоскости
(Не дг < 0), называются минимально-фазовыми. Звенья, передаточные
функции которых имеют хотя бы один нуль, лежащий в правой полу-
плоскости (Не д1 > 0), называются неминимально-фазовыми.

Для минимально-фазовых устойчивых звеньев между амплитудно-
частотной и фазочастотной характеристиками существует однознач-
ная зависимость и следовательно, амп-
литудно-частотная характеристика од-
нозначно определяет передаточную
функцию системы. Это очень важное
для синтеза линейных систем обстоя-
тельство вытекает из известного в тео-
рии функций комплексного переменно-
го преобразования Гильберта, заклю-

Рис. 3.9

чающегося в следующем.

Если известна аналитическая функция комплексного переменного
Г (р), все полюсы которой лежат в левой полуплоскости р, то между
мнимой и вещественной составляющими этой функции от мнимого ар-
гумента Е (/со) = Е\ (со) + /Е2 (со) существуют следующие зависи-

мости:

л (ю) =

ОО

Л Д V—И)

—оо

ОО

Г? / \	1 Г Л ($) Л

Е2 (со) = ---- I 7 (IV.

Л Д	V—СО

—оо

(3.63>

(3.64)

Преобразование Гильберта дает возможность по частотной харак-
теристике вещественной части функции комплексного переменного най-
ти частотную характеристику мнимой части и, наоборот, по характе-
ристике мнимой части найти вещественную характеристику.

Пусть № (/с°) — комплексный коэффициент усиления минимально-
фазовой устойчивой системы. Тогда аналитическая функция

Е (/со) = 1п № (/со) = 1п | ТС7 (/со) | + /ср (со) = Е± (со) + ]Е2 (со) (3.65)

удовлетворяет требованиям преобразования Гильберта, так как усло-
вие минимальной фазы функции V/ (/со) обеспечивает отсутствие полю-
сов функции Е (р) в правой полуплоскости р. Тогда, зная логарифми-
ческую амплитудно-частотную характеристику

Е (со) = 20| № (/со) | = 8,71п | Г (/со) | = 8,7Г\ (со),	(3.66)

по формуле (2.68) можно найти фазочастотную характеристику

, ч 1 Г 1п | IV (/у) | ,
ср (со) =---- I -----1---(IV =

П Д V — СО
—оо

1 С Ь(о)

8,7л д V—со

—сю

(IV.

(3.67)

Вводя переменную и = 1п (о/со), запишем интеграл

, .	1 с а [ 1 п | в/ (/о) | ] . I и I ,

ю (со) = — I —-—!—и / м 1п с(Ь — \с1и.

л 3 аи	I 2 I

—оо

(3.67) как

(3.68)

В ряде случаев для определения <р (со) по Ь (со) удобно пользоваться
последним выражением,
3*
Итак, если известна амплитудно-частотная характеристика звена
и известно, что звено устойчивое и минимально-фазовое, то этого до-
статочно для того, чтобы найти все его частотные характеристики и,
следовательно, полностью охарактеризовать поведение системы при
любых сигналах, поступающих на вход*

Пример 3.7. Пусть известно что коэффициент усиления устойчивого мини-
мально-фазового звена не зависит от частоты; | № (/со) | = сопз! = к. Требуется
найти <р (со).

Подставим |ЦГ (/со)| = к в уравнение (2//1):

—оо

1п к

V---СО

оо

Г ЙЬ

Так как вычисление | ------ при интегрировании вдоль вещественной оси

О—ш

—оо

дает нуль, то ф(со)=О.

Таким образом, минимально-фазовым звеном, для которого коэффициент
усиления не зависит от частоты, является звено с передаточной функцией № (р}=>
— к.

Пример 3.8. Пусть известно, что минимально-фазовое устойчивое звено
имеет амплитудно-частотную характеристику |№ (усо)[ ==“1/1 + (соТ)2. Необходимо
найти ф (со).

При этом можно записать

Р1 (со) = 1п | Г (1а) I = Д 1п [1 + (оТ)215



С 1п[1+(оТ)21
\ -----------йа

Л	V—(О

—оо

(3.69)

(3.70)

Вычисление определенного интеграла в (3.70) при интегрировании вдоль
вещественной оси дает значение 2л агс1& соТ. Следовательно,

Ф = агс1§щГ.	(3.71)

Рассматриваемый пример соответствует звену с передаточной функцией
Г (р) - 1 + р7\

Пример 3.9. Найти <р (со) минимально-фазового устойчивого звена, если

(/*>) | = [1 +(«Т)2]а.	(3.72)

В данном случае
(со) = ШI Г (/со) | = а 1п [1 +(©Т)а];	(3.73)

а Г 1п [1 +(о7)2]

Ф (со)= — I --------------ЙО — 2а агс!§ со7\	(3 74)

л Л	V—а	'	'

—оо	•

Это соответствует звену с передаточной функцией
& (р) = [1 +₽т	(3.75)

Величина а может быть как положительной, так и отрицательной.
§ 3.5.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО
СИГНАЛА ЛИНЕЙНЫМ ЗВЕНОМ

Зная характеристики звена, легко найти сигнал на его выходе
при любом сигнале на входе. Действительно, как показано в §3.1,
любой сигнал можно представить совокупностью элементарных сиг-
налов типа синусоиды, единичного скачка или единичного импульса.
Для каждого же из элементарных сигналов, подаваемых на вход звена,
достаточно просто найти выходной сигнал. Применяя для линейных
систем принцип наложения, можно представить выходной сигнал как
совокупность составляющих, получающихся при рассмотрении множе-
ства простых сигналов на входе звена» Так, если входной сигнал за-
дан частотным спектром X то частотный спектр сигнала на выходе
находится с помощью комплексного коэффициента передачи

У (/со) = ТГ (/со) X (/со)>	(3.76)

Если входной сигнал задан изображением X (р), то изображение
сигнала на выходе определяется с помощью передаточной функции

У (р) = 1У (р) X (р).	(3.77)

Если входной сигнал задан функцией времени х (/). то сигнал на
выходе звена может быть получен с помощью переходной или весовой
функции.

Разлагая х (/) на совокупность единичных скачков 10 (/— т) по
формуле (3.1) и находя реакцию звена на каждый из скачков, опреде-
ляем

Г

р (!) = X (а) Л (/) С	Л (/ —т) ат.	(3.78)

а->о	Л ат

о

Аналогично, разлагая х (I) на совокупность единичных импульсов
б (I — т) по формуле (3.2) и находя реакцию звена на каждый из им-
пульсов, получаем

I

у{1)= $ х (т) щ (/—т) йт.	(3.79)

о

Таким образом, рассмотренные характеристики звеньев дают воз-
можность рассчитать сигнал на выходе звена, если известен сигнал на
его входе при нулевых начальных условиях.

Если начальные условия ненулевые, то расчет несколько услож-
няется. При этом в соответствии со схемой (см. рис. 2.13) к сигналу,
рассчитанному при нулевых начальных условиях, добавляется слагае-
мое Рн.у (О, обусловленное начальными условиями [см. (2,43) и (2.44)1.

П— 1

Если известны полином /? (р) = 2^ и переходная функция й0 (/)
1=0

для случая, когда К (р) = 1 и 1У (р) = 1/1) (р), то в соответствии с
(3.29) дополнительная составляющая у ((), обусловленная начальными
условиями,

п— 1	яч-1

Ун.У(0=	^ЩЛо(0-	(3.80)

Если входное воздействие в операторной форме может быть выра-
жено дробно-рациональной функцией

V — ЛТ 1гу\/ЛЛ /м	/ч ЯП

то в общем случае согласно (2.46)

(Р) К (д) ,	(Р)

М(р)’Р(р)	Р(р)'

(3.82)

Разлагая V (р) на элементарные дроби в соответствии с (3.19)
и группируя слагаемые, обусловленные корнями уравнений О (р) = 0
и М (р) = 0, получим

у = у [^(Р0А(рг-) + /?(р,-)^(рг)1 ,

+ У -------А (?*)---------.	(3.83)

А М’ (Рк) Б (Рк) (Р-Рк)

К — 1

Здесь предполагается, что все п корней Р1 уравнения О (р) = 0
и 5 корней рк уравнения М (р) = 0 различны и отличны от нуля.

Переходя от изображений к оригиналам согласно (3.26) получаем

У (0 = Упер (0 + #вын (0.	(3.84)

где

= у ЬУ(Р0К(рг) + 7?(рг)^(рг)1 ерг. I.

О'(Рг)М(Р1)	~	’

0ВЫН (П = У -(Р*)/<(РЛ,)

Увын	ЛГ(рА)Р(рА)

ерЛ

(3.85)

(3.86)

/г=1

Здесь г/пер представляет собой переход-
ную (или свободную) составляющую процес-
са, зависящую от начальных условий и от
сигнала х (/), а уъът выражает вынужденную
составляющую, не зависящую от начальных
условий.

При наличии кратных корней ргилирь
разложение на простые дроби (3.83) должно
вестись с учетом кратности корней. При крат-
ных корнях рк удобно пользоваться решением
в виде уравнений (3.78) или (3.79), дополни-
тельно учитывая начальные условия,
При нулевых начальных условиях уравнение (3.85) упрощается,
так как (рг) = О,

Пример 3.10. Пусть х (0 а а/, № (р) •= 1/(1 4- рТ) и при I = 0 значение
у = у0. Требуется определить у (/).

Найдем X (р) == /V (р)/М (р) = а/р\ Так как уравнение М (р) = 0 имеет
два нулевых корня, то выражение (3.86) непосредственно не может быть при-
менено. Воспользуемся выражениями (3.78) и (3.80). Тогда, определив по
формуле (3.26) значение Л 1/) •== (1 — е~11Т' получим

у(0 = а н—Т

I

+//н. у (0-

Для определения </н.у (0 запишем дифференциальное уравнение звена в виде
х у 4- Тау/сМ и его изображение по Лапласу

Х(р) = (1+РПК(р)-7р0.

(р)

Выразив из последнего уравнения V (р) — ~--^ + ;----~ и Я(р) = г0 = 7>0,

14-р7	1-|-рТ

по формуле (3.80) получим рн, у (0 =Ро е~

Если выбрать начальные условия так, чтобы р0 = —<Я\ то переходная
составляющая рПер = 0 и вынужденный процесс рВын(0 начнется при / = 0.
Графики х(/), Рвын(0 и р(0 Для случая, когда уо—09 показаны на рис 3.10.
ГЛАВА IV

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 4.1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТИПОВЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Для исследования процессов в реальных системах пользуются иде-
ализированными схемами, которые точно описываются математически
и приближенно характеризуют реальные звенья систем в заданном
диапазоне частот сигналов, При этом так же, как и при рассмотрении
электрических цепей, вводятся понятия г, С и 1. Хотя реальные резис-
тор, конденсатор и катушка индуктивности только в определенных
пределах частот соответствуют этим идеальным понятиями теории авто-
матического управления вводится понятие типовых звеньев, переда-
точная функция которых только в определенном частотном диапазоне
соответствует реальным звеньям системы управления.

Рассматривая характеристики звеньев независимо от их назна-
чения, физического принципа действия, мощности и скорости переда-
ваемых сигналов, можно выделить ряд типовых звеньев, описываемых
обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями пер-
вого и второго порядков:

а)	простейшие: пропорциональные, интегрирующие и дифферен-
цирующие звенья;

б)	звенья первого порядка: инерционные, инерционно-дифферен-
цирующие, форсирующие и инерционно-форсирующие;

в)	колебательные звенья второго порядка.

Введение типовых звеньев удобно для представления сложного
звена с передаточной функцией вида (3.19) или (3.18) параллельным
или последовательным соединением типовых звеньев (см. далее гл. VI).

Передаточная функция всех типовых звеньев представляет собой
рациональную дробь

(р) = К (р)/Г> (р),
причем нули и полюсы функции И/ (р), соответствующие уравнениям
К (р) == 0 и О (р) = 0, лежат в левой полуплоскости р или на ее гра-
нице, совпадающей с мнимой осью.

При отнесении реального звена к какому-либо типовому следует
оговаривать диапазон частот, при котором рассматриваются характе-
ристики. Выход за пределы этого диапазона может привести к необ-
ходимости учета дополнительных параметров и усложнению матема-
тического описания звена.
Ниже приводятся характеристики типовых звеньев и примеры этих
звеньев.

Неустойчивые и неминимально-фазовые звенья так жег как и зве-
нья, описываемые трансцендентной или иррациональной передаточной
функцией, относятся к нетиповым и будут рассмотрены в гл. V.

§ 4.2. ПРОСТЕЙШИЕ ЗВЕНЬЯ

Пропорциональное звено. Самым простым является звено, выход-
ная величина которого прямо пропорциональна входной величине.
Уравнение такого звена

У == кх.	(4.1)

где к — коэффициент передачи (усиления) звена.

Примерами такого звена (рис. 4.1) являются: делитель напряжения
(а), усилитель постоянного тока (б), рычажная передача (в), редуктор-
ная передача (а) и др.

Предполагается, что передача сигнала от входа к выходу произво-
дится мгновенно без какой-либо инерции. Поэтому пропорциональные
звенья называются безынерционными.

Если на вход пропорционального звена подать синусоидальный
сигнал

X = Хт 81П оя,
то на выходе появится сигнал

У = У т 81П О)/,
где

Ут - ЬХт.

В комплексной форме

У = кХ, или У (/со) = кХ (/со).	(4.2)

Комплексный коэффициент передачи

ТУ (/со) = У а^)/Х (/со) = к.	(4.3)

Годограф комплексного коэффициента передачи ТУ (/со) при
0 < со < оо имеет вид точки, сдвинутой на расстояние к от нуля по
вещественной оси (рис. 4.2, а).

Принятое описание связи между входом и выходом соответствует
идеальному звену, а для реального звена справедливо только при ча-
стотах, меньших определенной (верхней) величины сов. При более высо-
ких частотах принятое математическое описание звена перестает быть
справедливым и коэффициент передачи за счет малых неучтенных
параметров снижается до нуля. Для делителя напряжения
(см. рис. 4.1, а) таким малым параметром может являться емкость вы-
ходных проводов; для усилителя (см. рис* 4.1, б) — распределенные
емкости и индуктивности цепи; для механической передачи
(см. рис. 4.1, в и г) — упругость рычагов и валов. Поэгому при возра-
стании со до бесконечности коэффициент усиления любого реального
звена снижается до нуля и годограф коэффициента передачи при
(ов<со < 00 имеет вид графика, показанного на рис. 4.2, а штри-
ховой линией. Однако в системах автоматического управления обычно
рассматривается диапазон сравнительно низких частот, для которых
со < сов, при этом все устройства могут быть отнесены к категории про-
порциональных (безынерционных) звеньев, а годограф коэффициента

Рис. 4.2

передачи имеет вид точки к. Соответствующие амплитудно-частотные
и фазочастотные характеристики показаны на рис. 4.2, б и в.

В дальнейшем под пропорциональным будем понимать такое иде-
альное звено, в котором постоянство коэффициента передачи может быть
принято во всем диапазоне частот 0 < со < оо.

Переходя от коэффициента усиления к передаточной функции

Г (р) = к,

(4-4)

а затем к переходной и весовой функциям, получаем

Л (0 = к 1» (0;	(4.5)

Щ (/) = к& (/).	(4.6)

Графическое изображение переходной и весовой функций пропор-
ционального звена показано на рис. 4.2, г и д. Обе эти функции соот-
ветствуют идеальному пропорциональному звену» Реальные же
звенья, схемы которых приведены на рис. 4.1, имеют характе-
ристики, только приближенно описываемые этими графиками. Откло-
нение реальных характеристик от идеальных показано штриховой
линией (см. рис. 4.2).

В ряде систем автоматического управления применяются усилите- ।
ли переменного тока с модуляцией и демодуляцией или фазовым де- :
тестированием,- в которых несущая частота модуляции значительно
выше, чем наибольшая частота входного сигнала. Такие схемы дают
возможность получать стабильную работу при больших коэффициентах
усиления. Структурная схема усилителя с модулятором М и демоду-
лятором ДМ показана на рис. 4.3.

При частотах сигнала много меньших, чем несущая частота ш0,
такие усилители могут быть отнесены к категории пропорциональных;
при этом к ним применимы все характеристики, приведенные на рис. 4.2
для идеальных пропорциональных звеньев.

Рис. 4.3

Интегрирующее звено. Существует ряд звеньев, в которых выход-
ная величина пропорциональна или равна интегралу по времени от
входной величины:

у = Л ^х(1)си + У(,,	(4.7)

О

где к — некоторый коэффициент пропорциональности.

Рис. 4.4

Такие звенья называются интегрирующими. Примерами реальных
элементов, эквивалентные схемы которых сводятся к интегрирующему
звену (рис. 4.4), являются: электрический конденсатор (а), индуктив-
ность (б), вращающийся вал (в), гидравлический резервуар (а), а так-
же гидравлический усилитель (рис. 4.5, а).

Действительно, напряжение на конденсаторе

1 С

и= — \ 1(11 + и

магнитный поток в катушке  Ф=	с л —  1 с  = —\ий1 + Фо;	(4.9)  0  75'
угол поворота вала

(4- Ю)

уровень воды в гидравлическом резервуаре

5

(О—О)Л + Яо.

(4-11)

В выражениях (4.8) 4- (4.11) приняты следующие обозначения:
и — напряжение на катушке с числом витков г — ток в конденса-
торе С; ю — угловая скорость вращения вала; (2 — 6 — результирую-
щий приток воды в резервуаре с поверхностью 5.

Интегрирующим звеном может быть приближенно описан и гид5
равлический усилитель. Перемещение поршня золотника хг приводит
к изменению притока и слива жидкости. О в рабочем цилиндре и соот-
ветственно к перемещению рабочего поршня х2 относительно началь-
ного положения х20.

Зависимость между хг и С при постоянстве давлений в цилиндрах
системы представлена на рис. 4.5, б штриховой линией. Приближенно
этот график может быть заменен прямой С2 == ахг (см. сплошная линия).

Из условия несжимаемости жидкости получаем

о — 8^1(11 = ах1г	(4,12)

где 52 — площадь рабочего поршня, и, следовательно,

I	I

=	(2(11 + х№^-^-^х1^ + хй0.	(4.13)

о	о

Если на вход интегрирующего звена подать синусоидальный сиг
нал х = Хт з1п со/, то из уравнения (4.7) непосредственно следует, что
у = —(к/и>) Хт соз	(4.14)

или

—X и У(>) = —Х(/о).	(4.15)

/СО	/со	' '

*
76
Комплексный коэффициент передачи интегрирующего звена

=	(4.16)

Л (/со)	1(0	(I)

Частотный годограф и частотные характеристики интегрирующего
звена показаны на рис. 4.6, а и б соответственно.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика Ь =
= 20 1§ 11Г (/©) | в функции и имеет вид прямой е наклоном
—20 дБ/дек, т. е. при изменении частоты в 10 раз уменьшается на 20 дБ
(рис. 4.6, в). График Ь (<х>) для интегрирующего звена пересекает
ось абсцисс при & — к.

Рис. 4.6

Переходя от коэффициента передачи к передаточной функции

№(р) = к/р,	(4.17)

а затем к переходной и весовой функциям, получаем

/г(0 = Мо(0;	(4.18)

щ (0 = ^1 о (0	(4-19)

(рис. 4.6, г и 0).

Дифференцирующее звено. На практике не существует такого
реального элемента, в котором на выходе точно воспроизводилась бы
производная от любого входного сигнала. Однако, составляя струк-
турную схему системы, ее можно так разделить на звенья, что введение
понятия дифференцирующего звена будет вполне обосновано, В этом
случае выходная величина у зависит от входной величины х как про-
изводная

у = кДхШ,	(4.20)

где к — коэффициент пропорциональности.
Рис. 4.7

Примерами таких звеньев могут служить (рис. 4.7): электриче-
ский конденсатор (а), индуктивность (б), электрический тахометр (в).

Ток в емкости

I = С(1и!(1^

и а ир яжен ие н а ин ду ктивности

и = ЬйИМ

(4.21)

(4.22)

Рис. 4.8

и напряжение на зажимах тахометрического генератора постоянного
тока

и — а& = ай^>1й1

(4.23)

пропорциональны производным от напряжения, тока и угла поворота
вала.

Комплексный коэффициент передачи

IV (/со) = V (]а>)/Х (/со) = /Асо — Лео е'л/2.

(4.24)

Частотные характеристики звена показаны на рис. 4.8, а 4- в.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика имеет поло-
жительный наклон в 20 дБ/дек.
Передаточная функция дифференцирующего звена

№ (Р) = ^р,	''	(4.25)

а переходная и весовая функции соответственно

И (/) = кб (/);	(4.26)

(/) = Л6' (/)	(4.27)

(рис. 4.8, г и д). Производная от 6-функции или 6-функция второго
порядка 6' на рис. 4.8; д изображена в виде двух импульсов второго
порядка, интервал между которыми т стремится к нулю.

§ 4.3. ЗВЕНЬЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Инерционное звено. Одним из самых распространенных звеньев
систем автоматического управления является инерционное звено. Оно
описывается уравнением

Тду/(11 + у " кх,

(4.28)

где Т и к — соответственно постоянная времени и коэффициент уси-
ления звена.

Рис. 4.9

При линеаризации уравнений и соответствующем упрощении мате-
матического описания примерами инерционных звеньев могут служить
многие объекты, рассмотренные в гл. I (рис. 4.9): генераторы (а),
двигатели (б и в), электрические печи (г), а также исполнительные ме-
ханизмы, электронные и магнитные усилители, проходные четырех-
полюсники, содержащие индуктивности или емкости (рис. 4.10).

Действительно, в примерах 3.4 и 3.5 показано, что двигатель мо-
жет быть приближенно описан уравнением (4.28). Рассматривая урав-
нения (1.5) при линеаризации характеристики фв (/в), уравнением
(4.28) легко описать и генератор.

Из уравнения (1.16) для печи записываем

+ саШсИ = кЦ.	(4.29)

Полагая АС = х, АО = у. 1/& — к и С/% =- Т, получаем уравнение
(4.28).
Рассматривая схемы четырехполюсников, показанные на
рис. 4.10, а и б, легко убедиться, что и для них также справедливо
уравнение (4.28) при к = 1, Т = гС или Т — Ыг. а х = иг и у = н2.

Перейдем в выражении (4.28) от мгновенных значений к их частот-
ным спектрам или к гармоническим сигналам:

ТГ (/и) = У Цы)/Х Цы) = к/(1 + /0)7').	(4.30)

Частотные характеристики для полученной функции показаны на
рис. 4.11, а -т- в. Здесь

|ТГ(/о))|=/г/Г1 + (соЛ2;	(4.31)

<р (со) = —агс!§ со7'»	(4.32)

а) г	$) Ь

Рис. 4.10

Наряду с характеристикой В7 (/со) иногда бывает удобно поль-
зоваться инверсной характеристикой 1Ж (/со) = 1/к + ]<&Т1к
(рис. 4.11, б). Если характеристика № (/со) имеет вид типичной круго-
вой диаграммы, лежащей в IV квадранте и опирающейся на диаметр
ок. то инверсная характеристика имеет вид прямой, уходящей из точки
1/к в бесконечность параллельно мнимой оси.

Чтобы построить логарифмическую амплитудно-частотную харак-
теристику, представим ее в виде

Ь (со) - 201ё |	(/со) | - 201ё к—10[1 + (со7)2].	(4.33)

Эта зависимость показана на рис. 4.11, г штриховой линией.

При построении логарифмических характеристик пользуются
также их асимптотическими приближениями. Для инерционного зве-
на асимптотическое приближение можно получить, заменяя точную
характеристику ее двумя асимптотами при 0< со Г ^1 и соТ > 1.
Первая асимптота находится путем отбрасывания (соТ)2 в выражении
(4.33), а вторая — путем отбрасывания единицы в том же выражении.

Таким образом, асимптотическая характеристика описывается
двумя уравнениями:

20 !§/? при О<со7^1;

Ьа(со) = {

201§ к — 2О1§соТ при соТ>1.

(4.34)

На рис. 4.11, г характеристика (со). показана сплошной линией
(параллельной оси абсцисс при 0 < соТ < 1 и имеющей наклон
—20 дБ/дек при соТ > 1).
Разность между точной характеристикой Ь (соТ) и асимптотической
Ьа (соТ) представляет собой поправку к асимптотической характери-
стике

б (соТ) = Ь (соТ) — Ьа (ыТ).

(4.35)

На рис. 4.11, д и е в полулогарифмическом масштабе построены
зависимости Ь (аТ), ср (соТ) и б (соТ). Наибольшее значение б (со?)
имеет место при со Г = 1. В этой точке б (соТ) = —10	2 « —3 дБ,
Рис. 4Л?

Кривая ф (1§ ш) имеет центр
симметрии при со = ИТ и ф =
— —45°, в пределах двух декад ф
изменяется от 5,7 до 84,3°.

При частотах, отличающихся
от ИТ более чем в десять раз, эта
погрешность становится пренеб-
режимо малой*

Согласно (4.30) передаточная
функция инерционного звена

№ (р)	к/(\ + рТ).

Соответственно переходная функция

Н (/) = Ь"1



Весовая функция

®(0 = ^ = ^'е~г// СЮ-

си 1

(4.36)

(4.37)

(4.38)

Рис. 4.13

Графики переходной и весовой функций инерционного звена пока-
заны на рис. 4.12, а и б.

Пример 4.1. Инерционные звенья могут описывать процессы не только в схе-
мах с постоянными параметрами, но и с модуляцией. Так, инерционным звеном
может быть описан резонансный усилитель, структурная схема которого показа-
на на рис. 4.13.

Найдем переходную функцию системы как сигнал на выходе у (/) при сигнале
на входе х (/) = 10(/).

Сигнал после модулятора Л1

Х1 = 1о(О Мпо0 с

а напряжение на выходе усилителя

и2 (О = &1о (!) Г.

Переходный процесс при включении этого напряжения в цепь к, С, г рас-
сматривается в курсе электротехники. Если контур настроен в резонанс, т. е.
И'УТе = Ц)о, и г < Vг/с> то напряжение на сопротивлении г

х2=к (1 — е_р‘) 10 (/) 51п ш0 I.	(4.39)
Это выражение можно получить, рассматривая решение как сумму свободной
и вынужденной составляющих:

Х2пер = е~^ (Л 51ПО)! /+В СО8(Щ 1)\

*2ВЫН=^ 51П (00 Л

Здесь Р = Л/2г, а <О1='1/со§—р2 л;соо при'р<соо.

Произвольные постоянные А —к и В = 0 находятся из условий: х2 (0) =»

0" (0) = °’

Напряжение у на выходе демодулятора ДМ после выпрямления х2 представ-
ляет’собой переходную функцию инерционного звена

И (0 = ^(1-е-₽;) 10(/).	(4.40)

При этом предполагается, что составляющие с частотами со > соо сглажи-
ваются фильтром демодулятора.

Таким образом, в диапазоне частот при со соо резонансный уси-
литель может рассматриваться как инерционное звено.

Форсирующее звено. Звено, описываемое дифференциальным урав-
нением

у = к (х + Тйх/М),

(4.41)

называется форсирующим звеном. Такое звено получается в результате
параллельного соединения пропорционального и дифференцирующего
звеньев (см. гл. VI).

Для этого звена получаем:

XV (&) - V (/со)/Х (/со) = к (1 + /соТ);
| и/ (»| - к V1 + (®т)2;

ср (со) = агс(§ со 7;

Ь (со) = 20 1б к + К) 1ё [ 1 + (со?)2);

(4.42)

(4.43)

(4.44)

(4.45)

(4.46)

(«) =

201§/г при О<соТ<1;

20к + 20со 7 при со7?>1.

Частотные характеристики форсирующего звена показаны на

рис. 4.14, а 4- а, откуда видно, что прямая амплитудно-фазовая ха-

рактеристика форсирующего
звена аналогична инверсной
характеристике инерционного
звена, а инверсная его харак-
теристика соответствует прямой
характеристике инерционного
звена. Это, в свою очередь, от-
ражается на амплитудных и
фазовых характеристиках.

Передаточная функция фор-
сирующего звена

• Г (р) - к (1 + рТ) (4.47)

Рис. 4.14
и может быть представлена суммой передаточных функций пропор-
ционального и дифференцирующего звеньев (см. § 4.2).

Переходная и весовая функции форсирующего звена имеют вид
суммы соответствующих функций простейших звеньев:

Л (/) = /г10 (/) + кТд (/);	(4.48)

щ (/) = /гб (/) + к Т& (().	(4.49)

Так же, как и дифференцирующее звено, форсирующее звено в иде-
альном виде не может быть реализовано. В реальных форсирующих
устройствах всегда имеются малые параметры, создающие инерцион-
ность; они характеризуются полиномом в знаменателе 1)7 (р), порядок
которого выше, чем порядок числителя.

Рис. 4.15

Инерционно-дифференцирующее звено. Звено, описываемое диффе-
ренциальным уравнением

у + Тду/Ы = кйх/д.1,	(4.50)

называется реальным дифференцирующим, или инерционно-диффе-
ренцирующим, звеном. Примерами такого звена являются (рис. 4.15)
механическая система с гибкой гидравлической связью (а) и четырех-
полюсники, содержащие соответствующим образом включенные ак-
тивные и реактивные сопротивления (б и в).

Переходя в выражении (4»50) от мгновенных значений к частотным
спектрам, получаем

1)7 (/Ю) -	(4.51)

Х(/ш)	14-/07'	1Н-1//ИТ	'

Частотные характеристики для функции 1)7 (/ю) показаны на
рис. 4.16, п 4- г:

11)7 (До) | = йсо/К1 + (®П2;	(4.52)

<р (го) = л/2—агс1§ го7;	(4.53)

1/1)7 (До) = Т/к—Цкаг,	(4.54)

Ь (го) = 201§ | Г (До) | = 20йго — 101§ [ 1 + (гоТ)2].	(4.55)
Асимптотические характеристики состоят из двух полупрямых:
( 20к(о при соГ<1,

\ (®) = ( 201е при <4’56)

Так же, как и в инерционных звеньях, поправка к асимптотиче-
ской характеристике имеет вид кривой, построенной на рис. 4.11, е,
но с противоположным знаком.

Согласно (4.51) передаточная функция инерционно-дифференцирую-
щего звена

1Г (р) = кр/(1 + рТ).

Производя обратное преобразование Лапласа, получаем

й (0 = А"1

=Ае-(/т.1о (/).

(4.58)

После дифференцирования выражения (4.58) имеем
= ^б(/)-Ае-(/г.1о(0.

Т

(4.59)

Если экспериментально определены частотные характеристики
инерционного или инерционно-дифференцирующего звена, то по этим
характеристикам непосредственно могут быть найдены значения к и Т.

Из рис. 4.11, а и 4.16, а видно, что фазовый сдвиг между сигналами
входа и выхода, равный углу зт/4, имеет место при со = со? = МТ,
Из этого условия определяется Т. Коэффициент к находится по диа-
метру окружности частотной характеристики.

Часто бывает необходимо рассчитать параметры звена по переход-
ной характеристике, полученной экспериментально. В этом случае
целесообразно путем численного или графического дифференцирования
найти хш = МсИ и построить кривую переходного процесса в коорди-
натах й, Как следует из уравнений (437) и (4.38) или (4.58) и (4.59).
для обоих звеньев это будет прямая (рис, 4.17), проходящая через на-
чало координат для инерционно-
дифференцирующего звена (пря-
мая /) и через точку К = к
для инерционного звена (пря-
мая 2).

Тангенс угла наклона пря-
мых дает значение Т. Величи-

рис 4дз	на к для инерционного звена

находится по значению к при
а для инерционно-
дифференцирующего — по начальному значению /г0 = к!Т. Воз-
можность описать реальное звено рассматриваемым уравнением
определяется степенью соответствия требуемой характеристики по-
лученной экспериментальной кривой.

Ияерционно-форсирующее звено. Звено, описываемое дифферен-
циальным уравнением первого порядка в наиболее общем виде

у +	= к (х +

(4.60)

называется инерционно-форсирующим, или упругим, звеном.

Существенным параметром инерционно-форсирующего звена яв-
ляется коэффициент т-~ 1\П\. Если т < 1, то звено по своим свойст-
вам приближается к интегрирующему и инер тонному звеньям. Если
же т > 1, го звено ближе к дифференцирующему и инерционно-дифде-
ренцирующему звеньям.

Комплексный коэффициент передачи инерционно-форсирующего
звена

Г (/о)) = У (/со)/Х (/со) = к (1 + /со7\)/(1 + /соГ2),	(4.61)

а передаточная функция

Г (р> = к (1 + рЛ)/(1 + рТ,2).

(4.6?)

Примеры электрических схем инерционно-форсирующего звена
показаны на рис. 4.18.

Пример 4.2. Определить коэффициент передачи схем, показанных на
рис. 4.18, а и 6. Рассматривая его как коэффициент передачи делителя напря-
жения

и/ = 72/(71+72),

(4.63)

получаем:

для схемы (а)

=	72==г2 + 1//соС = (1 +/о)Сг2)//(оС;

(/со) =

1 4-/®Сг2	I 4~/со7\

1+/0)С	+ г2)	1+/соТй

(4.64)

где

к = 1| ?! «= Сг2; Т2 = С (гг 4- г2),
причем Т\!Тъ = т < 1;
где

для схемы (б)

(4.65)

= Г2/(Г1 +^2); Тх — Сг^ Т2 = СГх ^2/(Г1+Г2)>

причем Т1/Т2 = Т=:(Г1+Г2)Л2> Ь

Схема, приведенная на рис. 4.18, а, для которой Т±< Т2, называется упру-
гим интегрирующим звеном, а схема, приведенная на рис. 4.18, б, для которой
Тх > Т2 — упругим дифференцирующим.
На рис. 4.19 построены частотные характеристики при т<1
(а, в, д, ж) и т > 1 (б, г, е, з). Характеристики построены для нормиро-
ванных значений

(Я=4- (р)

в зависимости от относительной безразмерной частоты С) = соТ2,
Здесь

^о(Р) = (1+^)/(1+/^);	(4.66)
|«70(Я| = ГП + (ад/(1+О2);	(4.67)
Ф (П) = агс(§ Пт—агс!§ И.	(4.68)

Решив уравнение йф/йй = 0, находим, что максимальный фазовый
сдвиг

ф = Фмавс = ЗГС81П [(т— 1)/(т + 1)]	(4.69)

имеет место при

Й=ЙМ = 1/УТГ	(4.70)

Логарифмические характеристики описываются уравнением

Ло (П) = 201б | Го (/П) | = 101б [ 1 + (Пт)2[- 101б [ 1 + И2], (4.71)

Асимптотические характеристики в
выражаются различно:

если т < 1

10 при

— 201§П при

— 201§ т при

зависимости от величины т

П< 1;

1/т;

П 1/т;

(4.72)

если т> 1

^0а

о

201б Пт
. 201§т

при
при
при

(4.73)

Переходная функция определяется из уравнения (4.62) как

К = Ь~"	• -1 = [1 + (т-1) е-'/Л] 10 (0	(4.74)

и соответственно весовая функция

® (0 = = 4	е-(/Г2 (0 + /гтб (0.	(4.75)

0,1	1 2

Переходные и весовые функции для инерционно-форсирующих
звеньев показаны на рис, 4.20 [при т < 1 (айв); при т > 1 (би г)].
Рис. 4.20

§ 4.4. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО

Рис. 4.21

Колебательное звено описывается уравнением второго порядка

у+2^Т ^-+Т2-^- = кх
у <и <и*

(4.76)

при степени затухания С <1» что соответствует комплекс-
ным корням характеристического уравнения

1 + 2&Т + (рТ)2 = 0.

(4.77)

Постоянная времени Т колебательного звена связана
с его резонансной частотой а>0 соотношением

Т = 1/ю0	(4.78)

и в 2л раз меньше периода резонансных колебаний

То = 2л/е>а — 2лТ,

Иногда уравнение (4.76) записывают в виде

— + 2Сю0 — + у — кг х,
л2 0	0	1 ’

(4.79)

(4.80)

где =

Примерами колебательного звена могут служить упругая меха-
ническая система с существенным влиянием массы (рис. 4.21, а), элек-
трический колебательный контур (рис. 4.21, б), летательный аппарат
при рассмотрении в качестве выходной величины изменения его угла
атаки и в качестве входной — изменения величины угла руля (см.
пример 3.6),
Пример 4.3. Определить параметры колебательных звеньев, показанных на
рис. 4.21.

Для упругой механической системы (рис. 4.21, а) уравнение сил, действу-
ющих на тело с массой М, имеет вид

л л	(1у

(4.81)

где а и Ъ — коэффициенты пружины и успокоителя.
Для колебательного контура (рис. 4.21, б)

, п п а2“ъ

йт = ио “1“'~	——-

си ае

(4.82)

Уравнение (4.81) при С = Ь /(2"]/ аЛ4) < 1 соответствует колебательному
звену с параметрами к — 1, Тг=М/а, 21,Т—Ь/а; уравнение (4.82) при 2 =
= (г/2)“|/ГТС < 1 соответствует колебательному звену с параметрами Т =
= УТс; 21т = гС, к = 1.

Переходя в уравнении (4.76) к гармоническим сигналам,
получим комплексный коэффициент передачи колебательного звена

У (/со)	к

(,Ш) = X (/со) = 1 +2у<о7’+(/<о7)2	(4'83)
Вводя безразмерную частоту й = а>Т, можно получить

IV (/й) = к IV 0 (/Й) = -к------	{4 84)

1+2&/Й+(/Й)2	'	’

На рис. 4.22 показаны частотные характеристики колебательного
звена. Как видно из рис. 4.22, а, годограф частотной характеристики
проходит через два квадранта — IV и 111 — пересекает м!имую ось
при Й = 1, когда в выражении (4.84) 1	(/й)2 = о. При лом

Й7’ (/Й) = /г/(2/Х).

С уменьшением С петля, очерченная годографом, увеличивается
(см. штриховую линию), и при С = 0 характеристика вырождается в
две полупрямые: / — от IV (/й) = к до IV (/й) -> оо при 0 < Й < I
и 2 — от IV (/й) = —оо до IV (/й) = 0 при 1 < й < оо. Инверсная
характеристика [IV (/й)]-1 проходит через два квадранта — 1 и И —
и уходит в бесконечность при й -> оо (рис. 4.22, б).

Если экспериментально получен частотный годограф реального
звена, близкого к колебательному, то параметры соответствующего ко-
лебательного звена могут быть найдены по точкам характеристики, ле-
жащим на вещественной и мнимой осях (точки / и 2 на рис. 4.22, а).
По точке 1 находится величина к, а по точке 2 находятся значения
о)(, = 1/Т и ц.

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики колеба-
тельного звена выражаются уравнениями:

| IV (/Й) | = ^/1/(1 — Й2)2 + 4С2Й2;	(4.85)

<р (Й) = — агс!§ [ 2СЙ/{ 1 — Й2)].	(4.86)

При □ = 1 эти характеристики соответственно проходят через точ-
ки IV = *Ж) и <р = —л/2. Для < 1/| 2 === 0,707 кривая IV (Й)
имеет максимум

№макс = /е/(2?]Л^)	(4.87)

при

ЙМ = ]А —2^.	(4.88)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика колеба-
тельного звена описывается уравнением

Ь(й) = 201§ к—101§[(1 — Й2)2 + 4^2Й2].	(4.89)

Вблизи точки резонанса (соТ — Й = 1) эта характеристика сильно
зависит от степени затухания С- С удалением от резонансной частоты
характеристика практически перестает зависеть от

Для колебательных звеньев пользуются асимптотическими харак-
теристиками

ЛМ = (	20>8*	"Р"	(4.90)

1 201§&—401§й при й>1,

Поправка к асимптотической характеристике

б (Й) = Ь (Й) — Ьа (Й)	(4.91)
зависит от степени затухания Графики Ь (й), <р (й) и 6 (й) для раз-
ных 2; показаны на рис. 4.22, в 4- д. Согласно (4.83) передаточная функ-
ция колебательного звена

Г (р) = Ш + 2&Т + (р7)21.	(4.92)

Корнями характеристического уравнения 1 + 2^рТ + (рТ)2 = О
будут	______

Рис. 4.23

где р = &Т = и0 С — коэффициент затухания; — ®0 >Л1—=
= 1/1 — ^/Т—собственная частота колебаний звена.

Переходная функция

1+25рТ+(рГ)г ' Р
= Л.1о(О
Весовая функция

(/) = — =	10 (/) е_₽( 81п цц I.

(11	(01

1 — е~№ { СОЗ (0г I + — 51П й)х .

\ «1 /

(4.94)

(4.95)

Графики переходной и весовой функций колебательного звена пока-
заны на рис. 4.23, а и б. По экспериментальным переходным характе-
ристикам реального звена можно найти параметры соответствующего
колебательного звена. По графику Н (/) определяются к, Ль А2 и 1\
и вычисляются все параметры звена:

со, = 2л/Л; РЛ = 1п (А,/Аа); <оо = К^+р5 = 1 /Т; С = рТ.

Указанные величины можно найти по изображению переходного
процесса на фазовой плоскости (Н) (рис. 4.24), для которого Тг =
~ — 4-

Если С 1, то характеристическое уравнение звена имеет от-
рицательные вещественные корни и звено эквивалентно соединению
двух инерционных звеньев (см. гл. VI). Такое звено называется апе-
риодическим звеном второго порядка.
ГЛАВА V

ОСОБЫЕ ЗВЕНЬЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 5.1.	ОСОБЕННОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК НЕКОТОРЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Кроме рассмотренных в гл. IV типовых линейных звеньев, в систе-
мах автоматического управления встречаются звенья, которые сущест-
венно отличаются от типовых. К числу таковых относятся: неми-
нимально-фазовые звенья, передаточные функции ко-
торых дробно-рациональны и имеют нули в правой полуплоскости;,
неустойчивые звенья, имеющие полюсы в правой полу-
плоскости; звенья с распределенными параме-
трами, которые могут быть разделены на иррациональные, описы-
ваемые иррациональными передаточными функциями, и транс-
цендентные. описываемые трансцендентными передаточными функция-
ми. В звеньях с распределенными параметрами количество нулей и по-
люсов в передаточных функциях-может стремиться к бесконечности
и анализ динамических свойстз системы требует ^рассмотрения вспомо-
гательных вопросов. Это связано с тем, что звено описывается уже не
обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, а урав-
нениями в частных производных.

Рассмотрим звенья каждой из перечисленных групп и примеры ре-
альных элементов, соответствующих им.

§ 5.2.	УСТОЙЧИВЫЕ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

В ряде устройств, например при дифференциальных или мостовых
соединениях, встречаются неминимально-фазовые звенья, описываемые
дифференциальными уравнениями, имеющими отрицательные коэффи-
фиенты в правой части уравнения и соответственно нули передаточ-
ной функции в правой полуплоскости.

Дифференциальное уравнение устойчивого неминимально-фазового
звена первого порядка имеет вид

у + Т2 ду!(11 ^к(х—Тхах/(й}.	(5.1)

Комплексный коэффициент передачи такого звена

Г (/«>) = к (1 -/0)Тх)/(1 + /0)Г2),	(5.2)
а передаточная функция

IV (р) = й (1 — р7\)/(1 + рТ2).	(5.3)

Примерами таких звеньев могут служить мостовые схемы, изобра-
женные на рис. 5.1.

Пример 5.1. Определить параметры звеньев, показанных на рис. 5.1. Для
звена, приведенного на рис. 5 1, а, уравнение имеет вил

од	— ___г са^аь	(5

для звена, приведенного на рис. 5.1, б,

гу-\~г1 г^Сйу/сИ-г^ х—гг г2Сс1х/(11.	(5.5)

.Здесь г = Г1 + г2» а го = г2 — г1- В обеих схемах имеется в виду, что г2 > ГГ
Для схемы рис. 5.1, а

к = \\ 7\ = г0С; Т2^=гС; 1 = 7г/7,<1.

Для схемы рис. 5.1, б

Аг = г0/г < 1; Л=г1 Г2С/(Г2 —п):	.

Т2 = г1г2С/(г1+г2); т = 7\/Т2>1.

На рис. 5.2 построены частотные характеристики рассматриваемого
звена. Построение выполнено для нормирэванных характеристик
№0 = (Ш) № и й = &Т2 при т< 1 (рис. 5.2, а, в, дч ж) и т 7> 1
(рис. 5.2, б, г, е, з).

Как видно из построения, при т < 1 и при т 7> 1 частотные годо-
графы лежат в III и IV квадрантах и имеют вид полуокружностей.
Соответственно инверсные характеристики представляют собой полу-
окружности, лежащие в I и II квадрантах.

При различном расположении годографов IV (/й) для инерционно-
форсирующего (см. рис. 4.19) и неминимально-фазового рассматривае-
мого звена их амплитудно-частотные характеристики аналогичны.
Действительно, в рассматриваемом случае

I	(/Й) I = К1 + (Йт)2/]/ТТ^,	(5.6)

что полностью совпадает с формулой (4.67).
Соответственно аналогичны и логариф-
мические амплитудно-частотные характе-
ристики (см. рис. 4.19, ж и з и 5.2, ж
и з).

Для фазочастотных характеристик

ср (Й) = —агс1§ йт — агс1$ й, (5.7)
что существенно отличается от (4.68).

Таким образом, при совпадении ампли-
тудно-частотных характеристик минималь-
но-фазовых и неминимально-фазовых
звеньев их фазочастотные характеристики
не совпадают. Это очень важное обстоя-
тельство необходимо всегда иметь в виду
Рис. 5.3
при определении фазочастотной характеристики по известной ампли-
тудно-частотной (см. § 3.4).

По передаточной функции (5.3) может быть найдена переходная

функция (рис. 5.3, о)

й(О = Л[1-(1+т)е-^.]1о(0	(5.8)

и весовая функция (рис, 5.3, б)

№ (0 =	= -Ь6 (0 +	1о (/).

Ш	/ 2

(5.9)

Из рисунка видно, что Н (/) в зависимости от времени меняет знак,
однако в отличие от аналогичных характеристик минимально-фазовых
звеньев величина т не оказывает существенного влияния на ход кривых
Й (/) И VI) (/).

§ 5.3.	НЕУСТОЙЧИВЫЕ ЗВЕНЬЯ

Наиболее общая форма уравнения неустойчивого звена первого по-
рядка может быть записана как

у — Т2йу1(11 = к (х + Туйх!&1).	(5.10)

Передаточная функция

- Г (р) = А (1 + рЛ)/(1 - рТ2),	(5,11)

о)
1т

Ноль Полюс

—О---и—-г 

т^т^о

Не

5)

1т

"Полюс	Ноль Не

--*---------о-----

Ч 0 -Л
тг т,

Т?о*г,

Рис. 5.4

6)

Гт

Ноль	Полюс	Не

—о 	п-----м----

0

Ъ	Тг

Уравнения (5.10) и (5.11) отличаются от (4.60) и (4.62) только знач-
ком при Т2. Все виды звеньев первого порядка можно описать одним
и тем же уравнением (4.60), если считать, что при Т2 > 0 и 7\ > 0
звено — минимально-фазовое типовое; при Т2 > 0, но Тг < 0 звено —
неминимально-фазовое устойчивое; при Т2 < 0 вне зависимости от
знака 7\ звено — неустойчивое.

На рис. 5.4 показаны примеры нулей и полюсов передаточных функ-
ций звеньев первого порядка при различных знаках Т2 и 7\ в уравне-
нии (4.60) для устойчивых минимально-фазового (о) и неминимально-
фазового (б) звеньев, а также для неустойчивого (в) звена.

Наиболее распространенным примером неустойчивого звена яв-
ляется квазиинерционное звено, для которого 7\ = 0, Т2 — Т. В этом
случае в зависимости от выбора положительных направлений х и у
получаем

у — Т^У!(11 = кх

(5.12)
или

—у + Т<1у1<И = кх.

(5.13)

Примером неустойчивого звена может служить асинхронный дви-
гатель в режиме работы, соответствующем точкам 5 и 6 на характери-
стике (см. рис. 1.8, б), для которых а>0 (см. пример 3,5). Выбирая
для этого случая положительное направление отсчета А(7 таким, чтобы

Ь > 0, из (3.45) и (3.46) по-
лучаем уравнение неустой-
чивого звена (5.13), где

Т — Ла, к — Ыа.

Комплексный коэффи-
циент передачи неустойчи-
вого квазиинерционного
звена

Г (/со) = кЩв>Т — 1),
(5.14)
а передаточная функция
«7 (р) = кЦрТ — 1). (5.15)

Годографы амплитудно-
фазовой характеристики
неустойчивого квазиинер-
ционного звена показаны
на рис. 5.5, а и б. Как
видно из построения, пря-
мой и инверсный годогра-
фы комплексного коэффи-

циента передачи представ-

ляют собой зеркальные отображения относительно мнимой оси го-

дографов, полученных для инерционного звена (см. рис. 4.11).

Амплитудно-частотная характеристика имеет то же выражение, что
и для типового инерционнбго звена:

11Г (/<0)1 = /?/]/! 4-(соТЛ

(5.16)

Таким образом, графики | 1Г (/со) | и Ь (1§ со) рассматриваемого не-
устойчивого звена ничем не отличаются от аналогичных графиков ти-
пового инерционного звена.

Фазочастотная характеристика

Ф (со) — —п + агс!й ^Т,

(5.17)

Эта зависимость (рис. 5.5, в и а) представляет собой зеркальное
отображение фазочастотной характеристики инерционного звена от-
носительно прямой ср = —л/2, соответствующей мнимой оси.

Из рассмотрения полученных частотных характеристик следует,
что неустойчивые звенья могут иметь точно такие же амплитудно-ча-
стотные характеристики, как и устойчивые звенья, однако при этом
фазочастотные характеристики существенно различаются.

По передаточной функции (5.15) может быть найдена переходная
функция (рис. 5.5, д)

Л(/) = Л[е</г—1] 10(/)	(5.18)

и весовая функция (рис. 5.5, е)



(5.19)

Для линейных неустойчивых звеньев не существует установивше-
гося режима, и с течением времени при любой входной величине вы-
ходная величина стремится к бесконечности.

§ $.4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЗВЕНЬЯ

Звено с распределенными параметрами, описываемое одномерным
уравнением теплопроводности Фурье

д2и!дг2 — сМд1,	(5.20)

где V = V (г, 0 — величина, зависящая от пространственной коорди-
наты г и времени I, имеет иррациональную передаточную функцию,
вид которой существенно зависит от граничных условий, учитывающих
входной сигнал и место снятия выходного сигнала.

Рассматривая величину V как синусоидально изменяющуюся с ча-
стотой со, т, е. V = 1т V где

V (/со/) = Ут	(5.21)

уравнение (5.20) можно преобразовать следующим образом:

с!?Ут/(1г2—/соа!/т = О.	(5.22)

Это однородное дифференциальное уравнение имеет корни харак-
теристического уравнения (у2—/соа = 0)

Т1,2= ±]//соа.	(5.23)

Решение уравнения (5.22) запишется как

1/т = Де-гУ^+Дег1Л’^,	(5.24)

где Л и В — коэффициенты, зависящие от граничных условий.

Если граничным условием является Уп — 0 при оо, то В = О
и, следовательно,

Ут = Ае~'^.	(5.25)

Наиболее характерны три случая приложения входных и снятия
выходных воздействий:

1)	~^т При Г = 05	$ 26)

Ут = Ут При Г=/, .
что соответствует граничным условиям первого рода;

2)

Хт — — 7л1Ут/(1г при г = 0;

Ут = Уп ПРИ г = 0 или г=2.

что соответствует граничным условиям второго рода;

3)	Хт ——}.<1УтМг -*-а7т при г — 0;

(5.27)

(5.28)

Ут = Ут при ИЛИ Г = I,

что соответствует граничным условиям третьего рода.

Комплексный коэффициент передачи звена 17 (/со) определяется
как отношение Ут1Хт с учетом уравнения (5.25). При этом постоян-
ная А сокращается и для трех рассмотренных случаев получаем:

1)	17 (/«) = У т/Хт =е~1^	(5.29)

2)	17 (/Ю) = Ут/Хт = 1 /X V Цм,	______- (5.30)

«ли

. И7 (/«) = Ут/Хт=_(Х //М-1 е-'^;	(5.31)

3)	17(/<о) = Уго/Х=(а+1//«а)-1,	(5.32)

«ЛИ

17 (уЮ) = Ут/Хт = (а + X V/аа)-1 е“'	(5.33)

Во всех случаях комплексный коэффициент передачи выражается
иррациональной функцией /со.

Примерами иррациональных звеньев могут служить различные
диффузионные и тепловые объекты (рис. 5.6, а), в частности рассмот-
ренный в гл. I объект радиационного нагрева (см. § 1.3, рис. 1.14);
объекты индукционного нагрева; телефонный кабель (рис. 5.6, б)
с распределенными сопротивлением и емкостью.

Пример 5.2. Пусть тело неограниченной толщины (см. рис. 5.6, а) нагре-
вается потоком излучения при отсутствии теплоотдачи с поверхности (дп ~ 0).
Тогда уравнение (1.21) принимает вид

90 = -Х—0, 0	(5.34)

ог

при условии, что [согласно уравнению (1.19)]

^О/дг2=х(с/Х)(^/дО.	(5.35)

Уравнения (5.34) и (5.35) совпадают соответственно с (5.27) и (5.20) при
Сот == Ят, бт (0) = Утп (0) = Ут> “ а> Следовательно, для радиационной
печи

«71(/®) = ёт(0)/ёОт = (Х//^)-1.	(5.36)

Если с поверхности тела по закону Ньютона отводится тепло, т. е.

<7П = а Щ0, 0 — ^вн1,	(5.36а)
где а — коэффициент теплообмена между поверхностью материала
и воздухом, и температура воздуха ’&вн принимается равной нулю, то-
комплексный коэффициент передачи выражается уравнением

1^2 (/со) = бт (0)/фога = (а + X V/соа)"1'.

(5.37)

Если в качестве входной величины рассматривать температуру по-
верхности тела ёт (0) = Хт, а выходной — температуру на глубине
I, т. е. ёт (I) = V т, то

(5.38)

Г8(/Т0)=ё,и/)/О) = е-'^

Рис. 5.6

Обозначая ~ къ 1/а = к, а (Х/а)2 = Г, аР = То, можно
выражения (5.36), (5.37) и (5.38) записать следующим образом:

Г1 (/со) = Лх/	(5.39)

Г,(ДО=Л/(1+И&Т);	(5-40)

И73(/со) = е-»^,	(5.41)

что соответствует выражениям (5.30), (5.32) и (5.29).

Передаточные функции, соответствующие выражениям (5.39), (5.40)
и (5.41), запишутся как

И7, (Р) = ЫУп

»72(р) = ^/(1+ГрП;

Н73(р) = е~

(5.42)

(5.43)

(5.44)

Выражения (5.42) и (5.43) отличаются от передаточных функций
интегрирующего и инерционного звеньев только квадратным корнем.
По аналогии с интегрирующими и инерционными такие звенья можно
назвать полу интегрирующими и полуинерционными. Третье выраже-
ние не только иррационально, но и трансцендентно; звенья такого тип»
будут рассмотрены вместе с трансцендентными звеньями далее
Рассматривая задачи аксиального нагрева цилиндрических тел при
теплоотводе с их поверхностей, можно встретить передаточные функции
вида

№ (Р) = 6/И+рТ.	(5.43а)

Звенья с такими передаточными функциями могут быть названы
полуинернионными звеньями второго рода в отличие от звеньев,
описываемых уравнением (5.43) и называемых полуинерционными
звеньями первого рода.*

Рассмотрим характеристики иррациональных звеньев, описывае-
мых уравнениями (5.42) и (5.43).

Полуинтегрирующее звено. Частотные характеристики полуинте-
грирующего звена, построенные по уравнению (5.39), показаны на
рис. 5.7. Частотный годограф (рис. 5.7, а) имеет вид прямой линии,
лежащей в IV квадранте у идущей под углом — л/4, т. е, под углом
в два раза меньшим, чем для интегрирующего звена. Соответственно
инверсная характеристика (рис. 5.7, б) лежит в I квадранте и идет под
углом +л/4.

Амплитуда и фаза комплексного коэффициента передачи запишутся
как

| «7 (/«) | = V/®!	(5.45)

Ф (ш) = —л/4.	(5.46)

Соответственно логарифмическая амплитудно-частотная характе-
ристика

Ь (со) = 20 1 Г (усо) | = 20— 10со.	(5.47)

Графики амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик
показаны на рис. 5.7, виг. Как видно из построения, наклон логариф-
мической амплитудно-частотной характеристики Ь (со) в два раза мень-
ше, чем для интегрирующего звена, и составляет —10 дБ/дек.

Зная передаточную функцию (5.42), по таблицам преобразования
Лапласа (см. приложение П. 6) можно найти переходную и весовую
функции (рис. 5.7, д и е):

/7 (/) = А-1 (-Аг • —) = 2/г11 / — 10(/);	(5.48)

IV р р V л

к- (/) =	10 (/).	(5.49)

Если в интегрирующем звене за время I ~ 1 величина Н вырастает
до величины (штриховая линия на рис. 5.7, д), то в пол у интегрирую-
щем звене процесс протекает быстрее и за время I == 1 величина Н
достигает значения (2/)/л)^	1,13 кг. С течением времени в полуинте-
грирующем звене так же, как и в интегрирующем,	однако

0.

* См.: А. В. Н ету ш и л , Г. П. Л ы ч к и н а , Т. Ф. М а м о н о -
в а . Полу инерционное звено II рода и модели электротермических объектов. Из-
вестия вузов. «Электромеханика», 1972, № 7.
Рис. 5.7
Рис. 5,8
Полуинерционное звено. Частотные характеристики полуинерцион-
ного звена, построенные по уравнению (5.40), показаны на рис. 5.8, а 4-
4- г. Здесь

/г ____ к ______________	/г 1/ 2

1+УЖ 1+е^/4У^Г	(У2+У^7)+/

(5.50)

Годограф полу инерционно го звена (рис. 5.8, а) в отличие от годо-
графа инерционного звена представляет собой не половину, а четверть
окружности с центром в точке О, опирающуюся на хорду длиной к.
Касательные к годографу в точках о = 0 и со = оо образуют с вещест-
венной осью углы л/4 и пересекаются под углом л/2.

Инверсная характеристика (рис. 5.8, б) представляет собой полу-
прямую, выходящую из точки 1/к при со = 0 под углом л/4 к веществен-
ной оси.

Модуль и фаза комплексного коэффициента усиления (рис. 5.8, в)
соответственно будут:

|Г (/®) I = — -* 1^== - = - - - = =- ; (5.51)
У [У2+У<оТ]®+<вГ	]/ 1+У2соТ+соТ

<р (ш) = — агс1е IV йт/(У 2 + У^Т)1.

При й->оо значение <р=—агс!^ 1 = —л/4.

Соответственно логарифмическая амплитудно-частотная характери-
стика (рис. 5.8, г)

1((о) = 2О1^/г—101§[1 +У2йТ + о)Т].	(5.52)

Асимптотическая характеристика для рассматриваемого случая
может быть выражена двумя полупрямыми:

О) =

(20 \ёк

(201^/г—

при <оТ 1;

при аТ > 1;

при ыТ > 1 она имеет наклон —10 дБ/с.

Наибольшее расхождение точной и асимптотической характеристик
в точке излома при &Т = 1

6м = 1(1/Т)-Ба(1/Т) = -1012(2 + У2)«-5,3 дБ.

Таким образом, для полуинерционного звена фазовый сдвиг и на-
клон логарифмической частотной характеристики в два раза меньше,
чем для инерционного звена. В этом случае максимальная погрешность
при переходе к асимптотической характеристике получается заметно
выше (5,3 дБ вместо 3 дБ).

Переход от передаточной функции (4.43) к переходной функции
производится с помощью имеющегося в справочниках обратного пре-
образования Лапласа (см. приложение П.6):

й(О=Б-1

1 —е'/г ег!с

10(/), (5.53)
где

ОО
9 Г*

еНс (х) = —— 1 е~ и' Ди = 1 — егГ (х)

Ул Л

— табулированный интеграл вероятности.
Весовая функция

=т	ег,с/ г]1""’-

(5.54)

Переходная и весовая функции построены на рис. 5.8, д и е, где
штриховой линией показаны аналогичные характеристики для инер-
ционного звена.

Как видно из графиков, в отличие от инерционного звена при той
же постоянной времени Т переходный процесс полуинерционного звена
вначале идет быстро, а затем медленно приближается к установивше-
муся режиму. Значение выходной величины, достигаемое в полуинер-
ционном и инерционном звеньях за одинаковое время, соответствует
к = 0,5/г при I та §,1Т (см. точку пересечения а на рис. 5,8, д).

§ 5.5. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЗВЕНЬЯ

Пусть звено с распределенными параметрами описывается одномер-
ным телеграфным уравнением Даламбера

д\)!дг2 = п2д2п/Л2,

(5.55)

где V = V (г, 0 — функция пространственной координаты г и време-
ни I.

Рассматривая зависящий от пространственной координаты фазор

V’ (]ы1) = Угп е'“‘,

(5.56)

можно уравнение (5.55) привести к виду

^УтМг2 + а2®2Ут=0.

(5.57)

Корни характеристического уравнения у2 + а2®2 = 0 мнимые:

Т1,а = ± Я®.

(5.58)

Решение уравнения (5.57) можно записать как

Ут = Ае~'аа>' -уВе,ае>',

(5.59)

где А и В — коэффициенты, зависящие от граничных условий.

Первое слагаемое в (5.59) выражает волну, движущуюся в сторону
возрастания г, второе — обратную волну, движущуюся в сторону убы-
вания г.
Звено запаздывания. Ограничимся рассмотрением таких объектов,
в которых имеется только одна волна, движущаяся в сторону возраста-
ния г. Тогда В = 0 и

Ёт = Ле-/с“'.	(5.60>

Наиболее распространенным случаем является приложение вход-
ного воздействия при г = 0, т. е. Хт = Ут (0), и снятие выходного
сигнала при г = I, т. е. Ут = Ут (/)• При этом

Г(/<о) = Ут/Хт = е-/т,	(5.61)

Рис. 5.9	Рис. 5.10

Если х (/) = Хт 51П или X (/<о) = Хте'а1, то V (/«>/) =
== Хте-’“ (/~т> или у (0 — Хт 81П со (/ — т), т. е. выходная величи-
на звена воспроизводит входной сигнал с отставанием во времени на
величину запаздывания т. Звенья такого типа называются звеньями
запаздывания.

Примеры звеньев запаздывания можно встретить в самых различ-
ных технологических конвейерных установках, в системах магнитной
записи и воспроизведения, в гидравлических системах и в электриче-
ских цепях без потерь с распределенными индуктивностью Ео и
емкостью Со.

Некоторые примеры реальных звеньев запаздывания показаны на
рис. 5.9. При загрузке сыпучего материала на конвейер (рис. 5.9, а),
движущийся со скоростью V, толщина слоя 5,, находящегося на рас-
стоянии /, отстает от толщины слоя 50 при I = 0 на время т = //о.
Напряжение и2 на зажимах считывающей головки (рис. 5.9, б) магнит-
ной системы воспроизводит напряжение записывающей системы с за-
паздыванием т — Ни. Напряжение и2 в конце линии без потерь
(рис. 5.9, в), нагруженной на согласованное сопротивление гн = гс =
= ]/Ь^/С^ воспроизводит напряжение в начале линии с запаздыва-
нием т = /]Л!0С0.

Частотные характеристики комплексного коэффициента передачи,
выражаемого формулой (5.61), показаны на рис. 5.10. Амплитуд-

но-фазовая характеристика
(рис. 5.10, а) представляет
собой окружность единично-
го радиуса с центром в начале
координат. Окружность пере-

Рис. 5.11	Рис. 5.12

секает вещественную ось в точке +1 при о = 2лп/т и в точке — 1 при
со = л (2п + 1)/т.

Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики
(рис. 5.10, б и а) определяются следующими соотношениями:

I (/о) I = *» А = 0, <р = —сот-.

Передаточная функция звена запаздывания

1^(р)=е~рх.

(5.62)

Звено запаздывания является неминимально-фазовым устойчивым
звеном. Оно имеет бесконечное множество полюсов, лежащих в левой
полуплоскости, с модулем, стремящимся к бесконечности, и бесконеч-
ное множество нулей, лежащих в правой полуплоскости, с модулем,
также стремящимся к бесконечности. Действительно, уравнение
е-?т = 0 имеет решение Р1 ~ ре/Ч), если р -> оо и —л/2 < <р< л/2,
а уравнение е':т = 0, если р оо и л/2 < ф< Зл/2 (рис. 5.11).

Переходная и весовая функции (рис. 5.12, а и б) находятся по пере-
даточной функции:

К (Г) = I-1 {е - ™ /р} - 10 (/ - т);	(5.63)

иф) = йАМ/ = 6(/—т).

(5.64)

Из всех звеньев, рассматриваемых в настоящей главе, звено запаз-
дывания имеет наибольшее практическое значение. Особую роль оно
играет при рассмотрении импульсных систем.
Звено затухания (или полузапаздывания). Несколько сложнее
выражаюгся характеристики иррационального звена, описываемого
показательной передаточной функцией 1см. (5.44)1. Такое звено может
быть условно названо звеном затухания, так как в отличие от звена
запаздывания в нем сигнал на выходе всегда меньше сигнала на входе.
Оно также не является минимально-фазовым, поскольку функция имеет
нули в правой полуплоскости при р->оо.

Частотные характеристики звена могут быть получены из выраже-
ния (5.41):

Г	= е-- е-^^2 е~'.	(5.65)

На рис, 5ДЗ, а -г- в построены рассматриваемые характеристики.
При изменении аргумента на л/2 комплексный коэффициент передачи
уменьшается по модулю в еЛ/2 = 4,8 раза. Зависимость амплитуды
и фазы от частоты получается непосредственно из (5,65):

|1Г(/со)| = е-^/2;
ф(ш) = —]ЛоТо/2.

к5.66>

(5.67)
Соответственно логарифмическая амплитудно-частотная характери-
стика

Л = 201§ | Г (/со) | = —20	—8,7 VыТ0/2.	(5.68)

Зная передаточную функцию (5,44), путем табличного перехода от
Лапласового изображения к оригиналу (см. приложение П.6), полу-
чаем переходную функцию (рис, 5.13, г)

К (0 =	{е-^/р} = егк 0,5 УтЛ	(5.69)

м весовую функцию (рис, 5.13, <?)

ш (0 = Ж/сЧ = 0.5 ]АГ0/(л/3) е-г»/«.	(5.70)

Аналогично, но несколько сложнее могут быть найдены характери-
стики звеньев при иных граничных условиях, когда в уравнениях
(5.24) и (5.59) нельзя ограничиться одной первой слагающей. Такие
звенья соответствуют, например, нагреву пластин ограниченной тол-
щины.

Выше были рассмотрены простейшие звенья системы с распре-
деленными параметрами. Развитие структурного метода описания
систем с распределенными параметрами дает возможность иссле-
довать более сложные задачи (см. статью А. Г. Бутков-
с к о г о. «Структурный метод для систем с распределенными пара-
метрами» в журнале «Автоматика и телемеханика», 1975 г., № 5).
Г Л А В А VI

СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
СТРУКТУРНЫХ СХЕМ НЕПРЕРЫВНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 6.1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ

Математическое описание линейной системы автоматического ре-
гулирования в виде системы уравнений, записанных в форме Коши
(2.1) и (2.27), (2.28), предопределяет возможность построения струк-
турной схемы, состоящей из различно соединенных пропорциональных
« интегрирующих звеньев (см. рис. 2,3—2.5). Однако такое представле-
ние, удобное для моделирования системы, не всегда бывает удобно для
ее анализа.

Сложное соединение простых звеньев может быть преобразовано
в более простые соединения более сложных звеньев. Так, любая линей-
ная система, соответствующая схеме, приведенной на рис, 2.9, путем
эквивалентной замены соединений звеньев и структурных преобразова-
ний может быть сведена к простейшей схеме-, показанной на рис. 2.13.

Рис. 6.1
Замена соединения звеньев одним звеном с эквивалентной пере-
даточной функцией соответствует исключение переменной в системе
уравнений, описывающих это соединение.

При рассмотрении различных соединений звеньев необходимо учи-
тывать влияние рассматриваемого соединения на передаточные функ-
ции звеньев. Так, если выход некоторого четырехполюсника подклю-
чается к входу усилителя, имеющего сопротивление г, то это сопротив-
ление должно вводиться в схему четырехполюсника и учитываться
при определении его передаточной функции. Чтобы соединение звеньев
не влияло на их передаточные функции, необходимо входное сопро-
тивление последующего звена или мощность выходного сигнала пре-
дыдущего считать бесконечно большой величиной,

В дальнейшем при рассмотрении соединения линейных звеньев пред-
полагается, что звенья являются направленными (т, е. преобразуют сиг-
нал в одном направлении) и что выполняется условие независимости
передаточных функций отдельных звеньев от их соединения (т. е. пере-
даточные функции звеньев определены с учетом этих соединений).

Соединения звеньев бывают трех видов: последовательное
(рис. 6.1, а), параллельное согласное (рис. 6.1, б и в) и параллельное
встречное (рис. 6,1, г и д). Рассмотрим каждый из видов соединения
звеньев.

§ 6.2.	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ

При последовательном соединении звеньев выходная величина од-
ного звена является входной величиной другого. Если последователь-
но соединяются звенья г и /г, то

У, = Хк.	(6. 1)

Рис. 6.2

При последовательном соединении п звеньев (рис. 6.2) с переда-
точными функциями 1Гг, 1Е2, уравнения соединений имеют вид

Хц-1 = или (Р) = У{ (р).	(6.2}

Так как для каждого звена

у. (р) =	(Р) х, (Р),	(6.3)

то

хм (р) = Г, (р) Х1 (р).

Составив такие уравнения для всех звеньев и исключив из них
все промежуточные переменные, кроме входной величины X (р) =>
— Х1 (р) и выходной величины V (р) = Уп (р), получаем

У (р) =	(р) 1)72 (р) ... \Уп (р) х (р).	(6.5)
Таким образом, передаточная функция системы последовательно
соединенных звеньев

= п

* (р)

(6.6)

т. е. равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.
При этом модули комплексных коэффициентов перемножаются, а аргу-
менты складываются. При последовательном соединении звеньев лога-
рифмические амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики
отдельных звеньев складываются.

Рис. 6.3

При последовательном соединении минимально-фазовых звеньев
полученная система также будет минимально-фазовой, т. е. ее переда-
точная функция не будет иметь ни нулей, ни полюсов в правой полу-
плоскости. Действительно, если каждый из сомножителей произведе-
ния (6.6) не имеет ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости р,
то то же можно сказать и об их произведении. Аналогично можно по-
казать, что если хотя бы одно из последовательно соединенных звеньев
неминимально-фазовое или неустойчивое, то и вся система будет неми-
нимально-фазовой или неустойчивой.

Пример 6.1. Исследовать характеристики последовательного соединения
интегрирующего и инерционного звеньев (инерционно-интегрирующего звена).

Если последовательно соединяются два звена с передаточными функциями
(р) = 1/р и 1Г2 (Р) 1=1 &/0 + рТ), то передаточная функция соединения

(Р) =	(Р) ^2 (Р) - Ы1р (1 +РТ)].	(6.7)

Этой системе соответствует линейная модель управления курсом судна
(см. § 1.3) и двигатель постоянного тока с инерционной нагрузкой на валу, если
входной величиной считать напряжение питания якоря, а выходной — угол по-
ворота вала (см. § 3.3).
Комплексный коэффициент передачи системы

1Г(М)=хМ/со(1+/со7)1;

(6.8>

при 0 < со < оо он описывает годограф, показанный на рис. 6.3, а. Построение
этого годографа производится путем умножения соответствующих комплексных
значений, найденных для каждой заданной частоты по годографам интегрирую-
щего (см. рис. 4.6, а) и инерционного (см. рнс. 4.11, а) звеньев.

Преобразовав выражение (6.8) и выделив дёйствительную и мнимую части,
получим

Из выражения (6.9) видно, что при со 0 комплекс № (/со) уходит в беско-
нечность, перемещаясь по вертикальной прямой, проходящей через точку —
Эта прямая является асимптотой для рассматриваемого годографа.

Аналогично может быть построен и инверсный годограф (рис. 6.3, б).

Логарифмическая амплитудно-частотная и фазочастотная характеристик»
(рис. 6.3, в) получаются путем суммирования соответствующих кривых, показан-
ных на рис. 4.6, б и в, а также 4.11, в и г.

Переходная и весовая функции последовательного соединения находятся
по его передаточной функции и не могут быть получены простым суммированием*
характеристик отдельных звеньев:

МО=р(]* р7у  у = к\1 -т (I -е -"г)1:	(6. ю>

Ю(1) = <1Н1<И =к (1 —е -Ч'1) 10 (/).



Эти характеристики показаны на рис. 6.3, г и д. Штриховой линией про*-
ведены асимптоты Аа (/) = /г (/ — Т) и а*а = к.

При последовательном соединении дифференцирующего и инерционного
звеньев получается инерционно-дифференцирующее звено; соединение же форси-
112
рующего и инерционного звеньев дает инерционно-форсируютее звено /'см. § 4.3
и 4.4).

Пример 6.2. Исследовать последовательное соединение двух инерционны*
звеньев.

Передаточная функция двух последовательно соединенных звеньев с пере-
даточными функциями =» йг/(1 + рТд и №2	62/(1 + рТ2) имеет вид

^{р)^^2 = к1к2/[^+рТ1)(1+рТ2)].	(6.12)

Комплексный коэффициент усиления

^(/со)-А/[(1 +/со71)(1 +/оГг)1,

(6.13)

где к = кхк2.

Полученные уравнения совпадают с уравнениями колебательного звена для
С > 1-

Частотные характеристики
такого соединения звеньев пока-
заны на рис. 6.4. Годограф комп-
лексного коэффициента усиления
(рис. 6.4, а) имеет такой же вид,
как и для колебательного звена,
однако точка пересечения его с
мнимой осью лежит ближе к на-
чалу координат.

Инверсный годограф (рис.
6.4, б) аналогичен годографу ко-
лебательного звена. Логарифми-
ческие амплитудно-частотные и
фазочастотные характеристики

Рис. 6.5

получены простым суммированием ординат характеристик составляющих
звеньев для двух случаев:

Г2 < ?! (Рис- 6-4» в) и и Л (рис. 6.4, г).

По передаточной функции (6.12) находятся переходная и весовая функции:

Г1е-'/г«-7ге-^^

1о (0;

«>(<)= ~ 10 (/).

И-- 1 2

(6.14)

(6-15)

к(!) = к 1 —

Л-Г8

При 71 = Т’з или ? = 1 решение получается путем предельного устремления
Т2 Т\ и раскрытия неопределенности типа 0/0. В этом случае

И (0 = к [1	(6-16)

ш(П=(й/Г?)7е-//гЧо(О.	(6.17)

Если Т2 -► 0, то система вырождается в одно инерционное звено с постоянной
времени 7\ (см. § 4.4).

При 0 < Т2 < переходные функции лежат в промежуточной области
между кривыми, полученными для «= 0 и Т2 = Л (рис. 6.5, а и б).

§ 6.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МИНИМАЛЬНО-
ФАЗОВОЙ СИСТЕМЫ ПО ЕЕ АМПЛИТУДНО-
ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

Если известна частотная характеристика некоторой системы, полу-
ченная для всего диапазона частот от 0 до оо, то по ней может быть най-
дена эквивалентная схема минимально-фазовой системы, имеющей ту
же характеристику, что и заданная.
Найдем эквивалентную схему последовательного соединения инте-
грирующих, инерционных и форсирующих звеньев. Комплексный ко-
эффициент передачи такого соединения

к т

№ (/а» = —— П (1+	.

/=1

(6.18)

Здесь п0 — число интегрирующих звеньев; | гц | — число одинако-
вых инерционных или форсирующих звеньев.

Рис. 6.6

При > 0 — звенья форсирующие, а при < 0 — инерционные.

Общее число инерционных и форсирующих звеньев равно V | ^. |.

1= 1

Если целое число, то эквивалентная схема соответствует соеди-
нению типовых, легко реализуемых звеньев.

Если постоянные времени 7\- отличаются больше, чем на одну де-
каду, то на общей характеристике I (со) = 20 I (Л°) I могут быть
выделены участки, где асимптотическая логарифмическая характери-
стика, полученная для интервала частот 1/7^ < со < 1/7\+1, хорошо
совпадает с точной характеристикой. Так, для всей характеристики
Ь (со) может быть построена асимптотическая характеристика, имею-
щая вид ломаной линии с изменением наклона 20пг (дБ/дек). При
Пг > 0 изменение положительно и наклон Т (со) растет с частотой, а
при < 0 с ростом частоты наклон Ь (со) убывает.
Для уравнения (6.18) аналитические выражения точных амплитуд-
но-частотной и фазочастотной характеристик имеют вид

т

1И = 201б/г-по201§«)+2 п1 101еН +(®Л)2];	(6.19)

1= 1

л	т

Ч?(Ю) = — п0 — -4- У ^-агс^соТ,.	(6.20)

2	/= I

Точки излома асимптотической характеристики дают возможность
найти а разность углов наклона характеристик определяет степень

Пример 6.3. Дана характеристика системы Е (1& со), показанная на рис. 6.6, а.
Плавная кривая Ь (1^щ) может быть приближенно аппроксимирована ломаной
линией с наклоном на различных участках—20 дБ/дек,+20 дБ/дек, —40 дБ/дек,
0 дБ/дек, —80 дБ/дек. Требуется найти минимально-фазовую схему замещения
и построить фазочастотную характеристику.

Асимптотическую ломаную характеристику можно представить состоящей из
ряда составляющих, соответствующих асимптотическим характеристикам типо-
вых звеньев. Для рассматриваемого случая это одно интегрирующее звено (пря-
мая 0 с наклоном—20 дБ/дек), два одинаковых форсирующих звена с постоянными
времени Т2 (ломаная 1 с наклоном 0, +40 дБ/дек), три одинаковых инерционных
звена с постоянными времени Т3 (ломаная 2 с наклоном 0, —60 дБ/дек), два оди-
наковых форсирующих звена с постоянными времени Г3 (ломаная 3 с наклоном
0, +40 дБ/дек) и четыре одинаковых инерционных звена с постоянными времени
Т1 (ломаная 4 с наклоном 0, —80 дБ/дек).

Схема замещения имеет вид последовательного соединения звеньев с пере-
даточными функциями:

^0 = й/р; «^(1+рЛЛ ^2=1/(1+рТ2р;

^3=(1+рг3)2; 1Г/4 = 1/(1 + рЛ)\

что соответствует п0 = 1,	= 2, п2 == —3, п3 = 2,	=—4 и т = 4 в форму-

лах (6.18) и (6.19).

Зная параметры схем замещения, можно по формуле (6.20) построить фазо«
частотные характеристики (рис. 6.6, б).

Схемы замещения и соответственно 7\ == соГ' определялись по асимптотиче-
ским характеристикам, предполагающим погрешность в точках излома 6$ —
= гц • 3 дБ.

Каждому слагаемому в^ формуле (6.20), соответствует кривая, изображенная
на рисунке штрихпунктирной линией: результирующая кривая <р (со) представ-
лена сплошной линией.

Годограф 1Г (/со) для рассматриваемого случаи показан на рис. 6.7

В ряде практических случаев бывает необходимо найти частотную
зависимость ф (со) по 1 (оз) без построения реализуемой схемы замеще-
ния. При этом исходную кривую Ь (о) можно аппроксимировать произ-
вольной ломаной линией с участками, имеющими наклон П/-20 дБ/дек,
причем значение щ может быть любым числом, как целым, так и дроб-
ным. Вычисление ф (о) и в этом случае производится по формуле (6.20).
Если в местах излома характеристики Ь (со)’имеется резкий пик, а на-
клон в окрестности излома изменился на —40 дБ/дек, то для аппрок-
симации Ь (со) в этой области удобно пользоваться характеристикой
колебательного звена (см. § 4.4).
Если логарифмическая характеристика имеет вид ломаной, то для
минимально-фазовых систем характеристика <р (со) может быть полу-
чена точно без предположения о сглаживании характеристик вблизи
точек излома. Для этой цели необходимо найти фазочастотные характе-
ристики, точно соответствующие логарифмической амплитудно-ча-
стотной характеристике, имеющей вид ломаной линии.

Рассмотрим логарифмическую характеристику, описываемую урав-
нением (4.54), при к = 1 (сплошная линия на рис. 6.8, а):

Минимально-фазовое звено, имеющее такую характеристику, на-
зывается асимптотическим форсирующим звеном. Найдем по формуле
(3.67) фазочастотную характеристику минимально-фазового звена, со-
ответствующего амплитудно-частотной характеристике (6.21):

оо

Ч> (®) = V (~~~ ^Т) = <р0 (),	(6.22)

Л VI —(д/	\ (Оо /

1

где со0 = МТ.

Этот несобственный интеграл табулирован, и функция ф0 (со/соо)
показана на рис. 6.8, б. Если сравнить функцию ф0 (со/соо) с кривой
агс!й (со/соо), то можно заметить их сходство: они изменяются в одном
и том же диапазоне и проходят через точку <р = л/4 при а = соо. Одна-
ко кривая ф0 (со/со0) вблизи частоты <о — <о0 идет значительно круче,
чем кривая агс(§ (со/соо).

Если по кривым Ь (со) и ф0 (<о/соо) построить частотный годограф,
то он будет заметно отличаться от годографа форсирующего звена. На
рис. 6.8, в и г показаны точные (штриховые) и асимптотические (сплош-
ные линии) характеристики форсирующего звена. Наиболее существен-
но различие кривых вблизи частоты со = соо.

Функция фо (со/соо) более точно построена на рис. 6.9; она широ-
ко применяется для нахождения фазочастотной характеристики ми-
нимально-фазовой системы по ломаной логарифмической характери-
стике.

На рис. 6.10 показано разложение логарифмической характери-
стики на полубесконечные прямые, соответствующие асимптотическим
характеристикам форсирующего или инерционного звеньев с произволь-
ным углом наклона и получающиеся умножением соответствующей
характеристики на п{. Там же построена функция <р (а>) в результате
суммирования произведений п{(р0 (со7\), найденных для каждой из
полубесконечных прямых. График для каждого из слагаемых изображен
штрихпунктирной линией.

Описанный метод нахождения фазочастотных характеристик по
амплитудным впервые был применен Боде для синтеза усилителей
с обратной связью [Л. 71,

Как видно из сравнения кривых <р0 (<оАоо) и агс1§ (со/<оо), методы
разложения логарифмических характеристик на точные (см. рис. 6,6)
или на асимптотические (см. рис. 6.10) характеристики инерционных
или форсирующих звеньев весьма похожи и приводят к относительно
мало различающимся результатам. Причем первый метод проще, он
дает возможность по амплитудно-частотной характеристике найти эк-
вивалентную схему, состоящую из типовых звеньев, соединенных по-
следовательно, и оценить получающуюся при этом погрешность аппрок-
симации.

§ 6.4.	ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОГЛАСНОЕ
СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ

При параллельном согласном соединении на входы всех звеньев по-
дается одна и та же величина, а выходные величины суммируются (с со-
ответствующими знаками). Если параллельно соединяются п звеньев^
то входная величина

х х%	(6.23)

а выходная величина

п

У=?У1-	(6.24>

Переходя к изображениям, для передаточной функции параллель-
ного согласного соединения звеньев получим

Соответственно переходная функция

*(0=2М)	(б.2б>

<=1
и весовая функция

и> (П = 2

(6.27)

Схема параллельного согласного соединения п звеньев показана
на рис. 6.11.

При согласном параллельном соединении звеньев передаточные,
переходные и весовые функции складываются.

Для комплексных коэффициентов усиления сложение комплексов
требует представления их не в виде модуля и аргумента, а в виде веще-
ственной и мнимой частей. Если

«7, (/«) = Р, М +	(со),

то соответственно

(6.28)

(я) = 2	= 2 ю + / 2 & И-

1=}	1=1

(6.29)

При параллельном соединении устойчивых звеньев результирую-
щее звено также оказывается устойчивым. Это вытекает из того, что
общий знаменатель суммы дробей не может иметь иных корней, кроме
корней слагаемых, и, следовательно, отсутствие полюсов слагаемых
в правой полуплоскости исключает возможность появления таковых

в сумме.

Иначе обстоит дело с условием минимальной фазы. Сумма мини-
мально фазовых передаточных функций может иметь нули в' правой

•полуплоскости и, следовательно, параллельное согласное соединение

ряда минимально-фазовых звеньев может
дать неминимально-фазовую систему. На-
оборот, при параллельном соединении не-
минимально-фазовых устойчивых звеньев
может получиться минимально-фазовая
устойчивая система.

Пример 6.4. Определить частотную харак-
теристику согласного параллельного соединения
двух инерционных звеньев, включаемых с оди-
наковыми знаками (рис. 6.12, а).

Комплексный коэффициент передачи такого
соединения

№(/со) =	+ /соГ1) + /?2/(1 +Ж2). (6.30)

!т

63

Рис. 6.14


В зависимости от соотношения 7\ и 72 годограф комплексного коэффициента
имеет различный вид. Если 7\ > Т2, то частоты, при которых комплексный коэф-
фициент усиления пробегает окружности слагаемых годографов, оказываются раз-
личными; суммарный годограф имеет вид двух полуокружностей 1 и 2 радиусов
и к2 (рис. 6.12,6). При частотах, изменяющихся от 0 примерно до 10/71,
конец вектора комплексного коэффициента усиления описывает полуокружность
1 диаметром кг. При частотах, изменяющихся от 10/7\ до 0,1/Т2, конец этого век-
тора совершает небольшое перемещение вблизи точки А, а при изменении частоты
от 0,1/Т'2 до оо он описывает полуокружность 2 диаметром /?2. Если постоянные
времени 7\ и Т2 мал© отличаются, то вектор описывает некоторую плавную кри-
вую 3. Если же 71 = 7^, то годограф имеет вид полуокружности 4 диаметром
+ На-

пример 6.5. Найти частотную характеристику согласного параллельного
включения двух инерционных звеньев, включаемых с разными знаками
(рис. 6.13, а).

При этом комплексный коэффициент передачи

_____— (&1—М + /М&1 ^2—&а71)	...

\ +	1+/шТ2	(1+^Л)(1+/соЛ)	’	(	'

Если кг > к2 и	то система иеминимально-фазовая и имеет нуль

в правой полуплоскости. Годограф комплексного коэффициента усиления для
этого случая показан на рис. 6.13, б.

Если = к2, то

/со (/<Т 7 2— к2Т1)

^^ = 1 + М(Г1+Гг)+(^717г-	<6-32>

Для этого случая годограф принимает вид полной окружности (рис.6.13, в),
имеющей диаметр к^ (7\— Т2)ЦТ\ + Т’2) и при частоте со => \1~\/Т\Т2> проходя-
щей через точку к± (Т2 — Л)/(Л + ^г)-

При к±Т2 = к21\ годограф аналогичен изображенному на рис. 6.4, а и со-
ответствует апериодическому звену второго порядка (см. § 4.4).

Пример 6.6. Найти частотную характеристику согласного параллельного
соединения пропорционального звена (^ = 1) и звена запаздывания (/со) =
= включаемых с одинаковыми знаками.

Комплексный коэффициент передачи

1Г (/ш) = (1 + е“ ,ит)=2е-/иг/2со5(й>т/2).

(6.33>

Годограф для этого соединения показан на рис. 6.14. Как видно из построе-
ния, рассматриваемое соединение представляет собой фильтр, не пропускающий
частоты со = л (2 л + 1)/т, для которых коэффициент усиления равен нулю.

Примерами параллельного соединения более простых звеньев являются фор-
сирующее звено, состоящее из пропорционального и дифференцирующего звеньев.,
и инерционно-форсирующее звено, которое можно получить, соединяя параллель-
но инерционное и инерционно-дифференцирующее звенья или инерционное и про-
порциональное звенья.

§ 6.5.	ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ВСТРЕЧНОЕ
СОЕДИНЕНИЕ ЗВЕНЬЕВ

Параллельным встречным соединением двух звеньев называется та-
кое соединение, при котором выходной сигнал первого звена подается
на вход второго, а выходной сигнал второго звена с соответствующим
знаком суммируется с общим входным сигналом и подается на вход
первого звена. Общим выходным сигналом является выход первого
звена (см. рис. 6.1, а и д).
Звено, в котором направление передачи сигнала совпадает с на-
правлением передачи общего сигнала (первое звено), называется зве-
ном прямой связи, а звено, в котором направление передачи сигнала
противоположно направлению передачи общего сигнала (второе звено),
называется звеном обратной связи.

Если знак сигнала обратной связи положителен, т. е. если он сум-
мируется с общим сигналом (см. рис. 6.1, г), то обратная связь назы-
вается положительной. Если знак сигнала обратной связи отрицателен,
т. е. если он вычитается из общего сигнала (см. рис. 6.1, д), то обрат-
ная связь называется отрицательной.

Параллельное встречное соединение представляет собой такое со-
четание последовательного и параллельного соединений, при котором
звенья прямой и обратной связи соединены между собой последователь-
но в виде замкнутого кольца, а внешний сигнал подается к общей точ-
ке входа первого и выхода второго звеньев. Уравнения параллельного
встречного соединения имеют вид:

1)	уравнения входа:

а)	для положительной обратной связи

А'1 ~ А' т //2»	(6.34)

б)	для отрицательной обратной связи

#1 = х - у2»	(6.35)

Эти уравнения называются уравнениями замыкания;

2)	уравнение выхода

У = У1 = х2.	(6.36)

В теории колебаний обычно рассматривают цепи с положительной
обратной связью и пользуются уравнением (6.34).

В теории регулирования и управления большей частью рассматри-
ваются цепи с отрицательной обратной связью и пользуются уравне-
нием (6.35), которое принимается за основу в дальнейшем.

Рассматривая совместно уравнения (6.35) и (6.36) и имея в виду,
что

У (р) = г (р) X (РУ, V. (р) = Г, (р) X, (р); У2 (р) = 1У2 (р) Х2 (р), (6.37)
получаем

Хх (р) = У (р)/^ (р) = Х(р)-Я72 (р) У (р),	(6.38)

откуда у =	{р) х ^/ц +	(р) й?2 (р)],	(6.39)

ТГ (р) = У (р)/Х (р) = №х (р)/[1 +	(р) «72 (р)1.	(6.40)

Для звеньев с дробно-рациональной передаточной функцией
1У1 (Р) =(р)/2?1 (Р); Г2 = Х2(р)/2?2(р)	(6.41)

уравнение (6.40) может быть записано как

Й7 (Р) =	(Р) Я2 (р)/!^ (р) Д2 (р) + 2?х (р) О2 (р)].	(6.42)
Из рассмотрения этого уравнения следует, что нули 1Г (р) совпа-
дают с нулями 1Ег (р) и полюсами IV7 2 (р), однако полюсы функции
Ж (р) отличаются от полюсов (р) и №2(р). Таким образом, устойчи-
вые звенья при параллельном встречном соединении могут образовать
неустойчивую систему. Наоборот, соединение звеньев, среди которых
имеются неустойчивые, может оказаться устойчивым.

При гармонических сигналах комплексный коэффициент передачи

Г (усо) =	(/со)/[1 + Г, (/со)	(/со)].	(6.43)

Если цепь обратной связи представляет собой пропорциональное
звено 1№2 (р) = &21» 10 обратная связь называется жесткой, или
пропорциональной.

Если цепь обратной связи представляет собой дифференцирующее
звено [ Г2 (р) = рГ, или И?2 (р) = рТф(\ + рТ)], то обратная связь
называется гибкой, или дифференцирующей.

Если цепь обратной связи представляет собой интегрирующее зве-
но 1Г2 (р) = 1/рТ, то обратная связь называется интегрирующей.

Некоторые из типовых звеньев могут быть приведены к встречному
параллельному соединению более простых звеньев.

Пример 6.7. Интегрирующее звено охвачено жесткой обратной связью, при
этом

^1 = ^/р, №2 = *2.

Подставляя и №2 в формулу (6.40), получаем

(р) = *х/(*1 *2Ч~Р) = */(1 +рГ),
где

Г =!/(/?! /г2); *=1Д2.

Таким образом, встречное параллельное соединение интегрирующего и про-
порционального звеньев образует инерционное звено (см. § 4.3).

Пример 6.8. В пропорциональном звене с интегрирующей обратной связью
№2=*2/р.

Подставляя и №2 в (6.40), получаем

Г (р) = кг р/^ + р) - кр!( 1 + рТ),
где

Й = 1Д2; Т=1/(М1).

Таким образом, инерционно-дифференцирующее звено (см. § 4.3) может быть
получено путем встречного параллельного соединения пропорционального и ин-
тегрирующего звеньев.

Пример 6.9. Инерционно-интегрирующее звено охвачено жесткой обратной
связью, при этом

^1 = ^/[р(1 + рТ2)], 1Г2 = *2.

Подставляя в (6.40), получаем

Ах	к

Г (Р)5=^1Л2+р+р27’1== 1+2^7р + Т2р2’	(6'44)

к—*-• 7-1/К. Г_ 1

’ у к^’ гул^р,'
Таким образом, колебательное звено (см. § 4.4) может быть получено путем
охвата жесткой обратной связью инерционно-интегрирующего звена.

Пример 6.10. Усилитель с высоким коэффициентом усиления охвачен обрат-
чон связью.

Если в выражении (6.42) принять	IV п (р) и устремить -► оо, то

^(р)=1/>2(Р)-	(6.45)

Таким образом, при очень высоком коэффициенте усиления звена прямой
связи передаточная функция встречного параллельного соединения не зависит
от частотной характеристики цепи прямой связи и представляет собой инверс-
ную передаточную функцию звена обратной связи. Так, включая в цепь обратной
связи интегрирующее звено, можно получить систему, эквивалентную дифферен-
цирующему звену, или, включая в цепь обратной связи инерционное звено,
можно получить систему с характеристикой форсирующего звена.

Из приведенных в настоящей главе примеров следует, что все рас-
смотренные в гл. IV типовые звенья могут быть сведены к различным
соединениям двух простейших элементарных звеньев: пропорциональ-
ного и интегрирующего.

§ 6.6. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ звеньев

При исследовании различных процессов в системах автоматиче-
ского управления широкое распространение получили модели типовых
звеньев, из которых набираются более сложные структуры. Основой
моделей типовых звеньев являются решающие усилители постоянного
тока, передаточная функция которых соответствует пропорциональ-
ному звену с коэффициентом усиления, много большим единицы (он
обычно достигает тысяч и десятков тысяч).

Принципиальная схема модели звена, выполненной с помощью ре-
шающего усилителя, показана на рис. 6.15. Усилитель предполагает-
ся идеальным: его входное сопротивление между зажимамя 1—0 бес-
конечно велико, а выходное напряжение У (р) == —к 17, (р) не зависит
от нагрузки. Последнее означает, что внутреннее сопротивление уси-
лителя между зажимами 2—0 принимается равным нулю.

Применяя принцип наложения, можно записать

Щ (Р) = X (р)	- - +7 (р) — 21	.	(6.46)

(р) ~Г (Р)	(Р) + ^2 (Р)

Для усилителя

У (Р) =	(р).	(6.47)

Решая эти уравнения относительно У (р), получаем

у (р) =------------------X (р),	(6.48)

(1+к)21(р)+гар)

откуда передаточная функция

1Г (р) =	------ (6.49)

Х(р) (1+к)21(р)+2!!(р)
Если к 1, что имеет место в решающих усилителях, то уравнение
(6.48) можно упростить, полагая к -> оо. Тогда

№ (р) = —^2	(Р).	(6.50)

Выбирая различные значения (р) и 72 (р), на основании (6.50)
можно получить модели различных звеньев.

Пример 6.11. Используя в качестве сопротивлений ^(р) и Х2 (Р) активные
сопротивления г± и г2, построим пропорциональное звено. Выбирая Д (р) —
а /2 (р) = \/рС, получим интегрирующее звено с передаточной функцией Й7 (р) «=
= 1/рТ, где Т = ггС. Включая в качестве сопротивления Х2 (р) параллельное
соединение конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением г2, построим
инерционное звено с передаточной функцией

—га/гг

^1(р)	(1/Т2 + рС)Г1 1+^Ср

(6.51>

Для получения колебательного звена можно соединить интегрирую-
щее, инерционное и пропорциональное звенья так, как описано в при-
мере 6.9.

Таким образом, можно получить модели всех типовых звеньев ли-
нейных систем автоматического управления. Соединяя эти модели,
можно исследовать систему автоматического управления любой слож-
ности.

Пример 6.12. С помощью решающих усилителей могут быть построены модели
не только типовых, но и особых звеньев. Так, если в качестве сопротивления
22 (р) включить модель длинной линии, представляющую собой цепочечную схе-
му, состоящую из сопротивлений и емкостей, то при достаточно большом коли-
честве элементов цепочечной схемы ее входное сопротивление в операторной
форме

г2 (р)» Уг0/₽С0,	(6.52)

где г0 и Со — сопротивление и емкость элементов.

Если при этом (р) = /*!, то передаточная функция модели

г (р)=г2 (р)/^ (Р)=Уг0 /(г| сор).	(6.53)

Эта модель соответствует полу интегрирующему звену. Если, например,
нужно моделировать радиационный нагрев массивного тела, на поверхности ко-
торого связь между плотностью теплового потока д и температурой Ф описывается
уравнением полуинтегрирующего звена, а плотность теплового потока представ-
ляет собой разность плотностей падающего потока и тепловых потерь с единицы
поверхности [см. (5.36а)]

?п=а(^—&вн),	(6.54)
то модель объекта может быть построена из двух звеньев: пропорционального
с коэффициентом усиления а и пол у интегрирующего с передаточной функцией,
выраженной уравнением (6.53). Плотность падающего теплового потока
и температура окружающего воздуха фвн задаются в соответствующем масштабе
входными сигналами, подаваемыми на решающие усилители.

Структурная схема такой модели показана на рис. 6.16.

§ 6.7.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

Различные структурные схемы могут обладать одинаковыми пере-
даточными функциями, т. е. быть динамически эквивалентными. По-
этому очень важно установить общие правила, с помощью которых одна
схема может быть преобразована в другую с сохранением динамиче-
ских характеристик системы- Теория преобразования структурных
схем была разработана Б. Н. Петровым. Она основывается на рассмо-
трении алгебраических уравнений, описывающих различные схемы.

Здесь рассмотрим два вида преобразования схем путем перемеще-
ния:

а)	суммирующего узла через узел разветвления;

б)	звена через узел.

Перемещение суммирующего узла через узел разветвления. Пусть
направление перемещения суммирующего узла совпадает с направле-
нием передачи сигнала (табл. 6.1, п. 1, схема а). Тогда перемещение
суммирующего узла за узел разветвления изменит сигнал в узле раз-
ветвления и, следовательно, изменит сигнал во всех остальных ветвях,
отходящих от узла. Чтобы скомпенсировать это изменение, необходимо
в отходящей ветви добавить такой же суммирующий узел, как и пере-
мещаемый узел (табл. 6.1, п. 1, схема б).

Условие эквивалентности рассматриваемых схем определяется урав-
нением

+ х2,	(6.55)

выражающим первое правило преобразования (табл. 6.1, п. 1).

Если направление перемещения суммирующего узла противополож-
но направлению передачи сигнала (табл. 6.1, п. 2, схема п), то для
компенсации влияния переноса узла необходимо не добавлять к ответ-
вляемым величинам слагаемые в узле, а вычитать их (табл, 6.1, п. 2Г
схема б). При этом для эквивалентности схем а и б и сохранения зна-
чений величин, подводимых к схеме и отводимых от нее, необходимо от
величины, отводимой от узла разветвления, отнимать такую же вели-
чину (х2), как и та, которая была добавлена в перенесенном суммирую*
щем узле. Это соответствует второму правилу преобразования (табл. 6.1,
п. 2).

Перемещение звена через узел. Правила перемещения звена через
узел относительно направления передачи сигнала различаются для
узлов суммирования и разветвления. Однако если ввести понятие
направления ветвления, то для узлов суммирования и разветвления
можно сформулировать общие правила.

Введем понятие направления ветвления, указывающее направле-
ние разделения сигнала на составляющие или направление его переда-
931:

Таблица 6.1

Номер правила	Правило преобразования структурных схем	Исходная схема						Преобразованная схема					
1	«  Перемещение суммирующего уз- ла через узел разветвления по направлению передачи сигнала												
		а)  V		х2		Хз = Х; + Х2  У		о; а х^х.+хЛ			|Х2		
											?\ ГЛ2		
											* ।		
		/\							XI ]		у Х|А X,		
													
2  3	То же, против направления пе- редачи сигнала  Перемещение звена через узел по направлению ветвления	а)		1  X/  х,_		| Х2  Ь\Х3 = Х,*Х2		5)	1		Iх'			
		а)					>У,	X  я	г	//		1 |х3 = ,	
		Л т	1	*/ { гЛ					^1(Р)				
			(Р/										
					  >			^->4 :			<1	^1(Р)	

Номер правила	Правило преобразования структурных схем
5	Эквивалентность встречных па- раллельных соединений
6	Эквивалентность встречных и согласных параллельных соедине- ний
7	Эквивалентность последователь- ных соединений
Продолжение таблицы Ь,/

Исходная схема

Преобразованная схема


чи по нескольким ветвям (разветвления). Направление ветвления может
или соответствовать, или быть противоположным направлению передачи
сигнала. В суммирующем узле направление ветвления противополож-
но направлению передачи сигнала, а в узле разветвления — совпада-
ет с направлением передачи сигнала. На рис. 6.17 приведены узел
разветвления (а) и суммирующий узел (б); различными стрелками
показаны направления передачи сигнала (зачерненная стрелка) и вет-
вления (незачерненная стрелка).

Направление ветвления является понятием, применимым при пере-
даче как сигналов, так и вещества. Наглядным примером направления
ветвления при передаче вещества
может служить обтекание потоком
жидкости тела с двух сторон
(рис. 6.17, в). Здесь направление
ветвления выше обтекаемого тела
(область /) по течению жидкости, и
ниже обтекаемого тела (область
2) — против течения жидкости.

Рассмотрим перемещение звена
по направлению ветвления. Если
звено с передаточной функцией
перемещается через узел разветв-
ления величины уг (табл. 6.1, п. 3,
схема а), то условием сохранения
значений величин, отводимых от
схемы, является выполнение • усло-
вия

Г1 =	(6.56)

Для соблюдения этого условия необходимо во всех отходящих
от узла ветвях добавить звено с передаточной функцией Из рассмо-
трения схем а и б (табл. 6.1, п. 3) видно, что они эквивалентны по от-
ношению к внешним соединениям.

Если звено перемещается через суммирующий узел по направлению
ветвления, то можно прийти к аналогичным выводам. В этом случае
уравнение

У3 = (X, + Х2 )	= У2 + У3	(6.57)

выполняется, если во всех ветвях, отходящих от узла, добавляются
звенья с передаточной функцией Условие эквивалентности в данном
случае иллюстрируется схемами виг табл. 6.1, п. 3 и выражает третье
правило преобразования.

Если- направление перемещения звена противоположно направле-
нию ветвления, то для компенсации влияния звена, перенесенного в
общую ветвь (на сигналы в отходящих от узла ветвях), необходимо
в отходящие ветви включить звенья с обратными передаточными функ-
циями.

Условие эквивалентности вытекает из уравнения (6.56) для пере-
мещения звена через узел разветвления (табл. 6.1 п. 4, схемы а и б)
и из уравнения (6.57) для перемещения звена через суммирующий узел
(схемы в и г). Это выражает четвертое правило преобразования
(табл. 6.1, п. 4).

Применение четырех приведенных правил дает возможность произ-
водить самые различные преобразования структурных схем. При этом
следует иметь в виду, что звено или узел можно перемещать из одной
ветви в другую только при согласных направлениях передачи сигнала
в этих ветвях.

Кроме приведенных правил, можно сформулировать еще три пра-
вила преобразования (табл. 6.1, п. 5, 6 и 7), вытекающие из условия
эквивалентности передаточных функций различных параллельных
и последовательных соединений звеньев. Читатель может легко дока-
зать эти правила самостоятельно, исходя из выражений (6.40), (6.25)
и (6.6).

Следует иметь в виду, что три последние правила преобразования
относятся к нулевым начальным условиям и, следовательно, к отсутст-
вию эквивалентных внешних воздействий (см. рис. 2.13), обусловлен-
ных начальными условиями.

Рис. 6.18
Рассмотрим некоторые примеры применения указанных правил.

Пример 6.13. Найти соотношения между передаточными функциями схем,
показанных на рис. 6.18, а и б, при которых эти схемы эквивалентны. Преобра-
зуем схему рис. 6.18, б, переместив суммирующий узел 1 по направлению ветв<
ления через узел разветвления 2. При этом, по первому правилу преобразования
структурных схем, в двух ветвях, отходящих от узла 2, возникнут суммирующие
узлы /, как показано на схеме рис. 6.18, е.Затем переместим звено через вновь
образовавшийся узел разветвления 3 по направлению ветвления; при этом в двух
ветвях появятся звенья согласно третьему правилу преобразования структурных
схем. Это преобразование показано на схеме рис. 6.18, г. Если теперь сравнить
схемы рис. 6.18, а и а, то, очевидно, условием их эквивалентности будет

те?

^0=^, Гь=—, Гс = «73 и Гй=-1Г4.	(6.58)

Тот же результат может быть получен путем преобразования схемы рис.
6.18, а с помощью второго и четвертого правил (перемещение суммирующего узла
а через узел б).

Пример 6.14. Используя результаты примера 6.13, найти передаточные
функции схем, показанных на рис. 6.18, а и б. Для этой цели преобразуем схему
рис. 6,18, а, переместив звено против направления ветвления. По четвертому
правилу в отходящей от узла ветви добавляется инверсное звено (см. схему
рис. 6.18, б). Передаточная функция полученной цепи, представляющей собой
смешанное соединение звеньев, может быть найдена по формуле соединения
Звеньев

Ш	=__________

( Х(Р) 1 + 1Гй«7ьГс(Гй + 1/1Гь)	<• '

Подставив значения (6.58) в формулу (6.59), для схемы рис. 6.18, а получим

Г (р) = Г1Г2/(1	В73).	(6.60)

Эти же выражения могут быть получены путем составления алгебраических
уравнений для суммирующих узлов и решения их.

§ 6.8. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ
ФУНКЦИИ ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

В гл. II были рассмотрены примеры линейных структурных схем
четырех простейших систем автоматического регулирования
(см. рис. 2.4 и 2.5, 2.10 и 2.11). Первые две из этих схем получены пу-
тем линеаризации нелинейных уравнений, соответствующих нелиней-
ным структурным схемам (см.
рис. 2.2 и 2.3).

Путем преобразований исход-

ных схем, основанных на замене
параллельных и последовательных
соединений звеньев эквивалент-
ными звеньями, и перенесения
звеньев через узлы суммирования
и ветвления все рассматриваемые
схемы могут быть приведены к

Рис. 6.19
общему виду (рис. 6.19). Определим значения переменных и пара-
метров Й71 (р) и 1Е2 (р) этой схемы для каждого из четырех конкрет-
ных случаев.

Поплавковый регулятор уровня. Если в примере 2.6 пропорцио-
нальное звено аг, соответствующее коэффициенту при V^, перенести че-
рез суммирующий узел по направлению передачи сигнала, совпада-
ющему с направлением ветвления, то схема (см. рис. 2.10) преобра-
зуется в схему, приведенную на рис. 6.19 при следующих значениях
координат и параметров:

где

/г.2= (а<э/ая0)с-т1; К=

Рис. 6.20

Стабилизатор напряжения генератора. Полученная в примере 2.7
структурная схема после замены интегрирующих звеньев, охваченных
жесткой обратной связью, эквивалентными инерционными звеньями
и последовательного их соединения приобретает вид схемы, приведен-
ной на рис. 6.20, а, или после перенесения пропорциональных звеньев
б/12 и т12 в цепь с передаточной функцией (р) — вид схемы, приве-
денной на рис. 6,20, б. На рисунке эквивалентная передаточная функ-
ция

^э(р)=М(1+рЛ)(1+рт2)1,

(6.61)

где в соответствии со значениями йп,

2.7,

й22 и ^21, принятыми в примере

^21  Ту / дыв \	/ дфв \

^11 ^22	\ 'СТ \	7СТ

передаточная функция

(р) = М(1 + рЛ) (I + рТ2)1,

(6.62)

где

Р _ ся«я.ст^и / див \ / дфв \

К1-----и,12 г Э	I -ч I I -ч . I •

гв	\ /СТ\	/СТ

Перенося суммирующий узел с сигналами и через узел
разветвления влево по второму правилу, получим схему, показанную
на рис. 6.20, в. Так как (т12/й12)	— $х = 0 и (т12/^12) сг — пг 0,

то сигналы в цепи обратной связи компенсируют друг друга и полу-
ченная схема отличается от схемы, приведенной на рис.6.19, только
местом приложения сигнала п^г + 5^.

Перенося звено с передаточной функцией (р) через суммирую-
щий узел вправо по четвертому правилу преобразования, получим схе-
му, совпадающую со схемой, приведенной на рис. 6.19, в которой изо-
бражения сигналов / и V имеют вид

Р (р) = («Л (р) + 8101 (р)]/^1 (р);

V (Р) = —(^12/^12) «1 ^1 (Р) = ^2	(Р)>

(6.63)

где

, _	/тг12	_	1

. и1 ~~~ , V я гн.ст

“12	«И. ст

а передаточная функция

—ея®ястФв ст) = - “н ст

Яи.СТ

(Р) = 1.

Из этого примера видно, что независимо от места приложения воз-
действий их можно привести к одной точке структурной схемы.

Регулятор скорости электрического двигателя. Полученная в § 2.1
структурная схема системы (см. рис. 2.4) после замены цепей с жест-
кими обратными связями й33, ^22 и эквивалентными звеньями и со-
единения их последовательно может быть изображена в виде схемы,
приведенной на рис. 6.21. Здесь

№аз (Р) = —-—= - ^э3 ;

р—^зз	1 + р7э3
II? = —!— = —;

Р — Й22	1 +РГ82

 ^31 _____________ ^э!

Р--^21^92 Р(Р-------^22)--^21 Р^Э1 (1 +Р^эг) + I

где

,_ь	1 (гд4~ля) .

з	и	„2 ^2	’

“ЗЗ	СД Фд

1	___ А_______*	__ ^2^3

Э2 КЭ2	<	гг. . ~	’

а22 Ъ Т / 3

'р ~_____ 1 =.~ (гД~Ьгя) .

^21 Гя+Гл(1------^у)

^31 __ э1 СД Фд

^21	('д + 'я)

Рис. 6.21

Рис. 6.22

Если воздействие Ь31^ привести к тому же узлу, что и я2Л, то схема
рис. 6.21 преобразуется в схему рис. 6.19, в которой

V=а^1V1; Р(р) = Ь31р!(р)/^а1(р); у = х3\

(р)=^Э1 (Р) ^э3 (Р);

(р) = -^з = -Д- [Сгфг+

Т^Тз [	гд + гя ]

(6.64)

Следящая система. Полученная в §2.1 структурная схема
(см. рис. 2.5) после замены параллельных и последовательных соеди-
нений эквивалентными звеньями преобразуется в схему, показанную на
рис. 6.22. Здесь

р) =-------------= ------:

р1(р-а22)-а421Уз4(р)]	р[(1+ргЭ2)+*э11^34(р)]

1р\ — ^3^34

Р(Р^^«)—РГаз(1+рГэ4) + 1
Аналогично схеме, показанной на рис. 6.21, данная схема легко
преобразуется к схеме, приведенной на рис. 6.19.

Все рассмотренные простейшие регуляторы имеют математическое
описание, соответствующее структурной схеме, показанной на рис. 6.19,
в которой (р) представляет собой дробно-рациональную функцию
оператора р с порядком числителя, меньшим, чем порядок знаменателя,
а (р) представляет собой передаточную функцию пропорцио-
нального звена. Независимо от места приложения помеха может
быть приведена к тому же узлу, что и задание на управляемую коор-
динату.

Чтобы рассчитать поведение системы при различных внешних воз-
действиях, определяются передаточные функции, выражающие зависи-
мость изображений по Лапласу регулируемой величины у и рассогласо-
вания е от помехи / или задании V при нулевых начальных условиях.

В зависимости от места возникновения помехи величина рассогласо-
вания, поступающего на вход системы, должна рассматриваться раз-
лично. Если помеха возникает в тракте передачи задания то она
суммируется с заданием; при этом величина рассогласования ег со-
держит сумму Д и V. Если же помеха возникает в самом объекте управ-
ления, то приведение ее к входу системы изменяет сигнал, поступаю-
щий на вход, на величину Д В этом случае рассогласование е, посту-
пающее на вход системы, не содержит помехи /.

В рассматриваемых примерах систем регулирования помеха воз-
никает в самом объекте управления и передаточная функция должна
рассчитываться для величины е (см. рис. 6.19).

Таким образом, передаточные функции для координаты у или е
относительно воздействия [ или V запишутся как

П7 = Г (п>~У{р}-Г{р)-	Г1(р)	_	Г1(р)	

у/(Р) уЛР) Р(р) у(р) 1+Г1(р)Г2(р)	1+«7р(р)’

(6.66)

0 (р) =	=-------------=------?---	(6.67)

V (р)	1+«Мр)«Мр)	1+»'р(р)

1Ге . (р) =	= -^1 .	(б. 68)

' Р (р)	1 + «71(р)Г2(р)	1+И7р(Р)

>

Здесь 1ГР (р) =	(р) Й72 (р) — передаточная функция разом-

кнутой системы.

В конкретных системах автоматического регулирования бывает не-
обходимо рассчитывать передаточные функции относительно входных
воздействийи Пр (см. рис. 6.20, 6.21 и 6.22), а не их приведенных зна-
чений / и V (см. рис, 6.19). В этом случае

д (р) = V (Р)/Рг (Р) = у / (Р) Р (РУ/Р! (РУ, (6.69)

’ ^уК1(р)-У(р)/УЛр) = ^уЛр)У(р)/У1(рУ (6-70)
^е1,(р) = Е (рУ/Р, (р) = Же, (р) Р (р)/Л (р);	(6.71)

Н^,(р) = Е (р)1У1 (р) = №ев (р) У (р)^ (р).	(6.72)

Н айдем эти выражения для систем регулирования скорости элек-
трического двигателя. Подставим в выражения (6.66) — (6.71) значения
№1 (р), М2 (р), У (рУ/У1 (р) И Р (р)/Р1 (р) из уравнений (6.64).

После преобразований получим

ПЯ* __ ТО7___________ _ ^Э1 ^ЭЗ _ .

1+^Гг “ А(р) ~ а21 ’

Ц7 =	1 в (» + рГ8зИр781(1+рГ82)+1] =	,

1+^^	Л(р)	о21	’

\У2/( 1 + Г, Г2) = к2 г, р	(Ь-,А)

Ц/	^31 Ц7 __	__ _^31^ЭЗ [Р^э! П+РЛ^+П .

У11	1Г81	1Г81(1+1Г1И7г)	Л(р)

Ке11 = (&31/гэ1)1Ге/ = г2гр/1 = й2г1//1,

где

Л(р) = (1+рТ83)[рТ81(1+рТ82) + 1] + й81^3й2.	(6.74)

Зная передаточные функции, можно по известным воздействиям
и V! в соответствии с общим методом расчета переходных процессов
(см. §3.5)-найти у и е.

С помощью передаточных функций, полагая р = 0, легко получить
суждение о статических характеристиках системы (см, § 2,2).

Пример 6.15. Исходя из передаточных функций (6.73), составить суждение
о статических характеристиках регулятора скорости.

Полагая в выражениях (6.73) р ы 0, получим

= ф (0)=—*83	;

\ Э1л /ст	1	1 Н" &Э1 ^ЭЗ ^2

/ А __ Ц7 /дх __ _ °21 ^91 ^эз

\	)ст	1	1 + &Э1 Лэз ^2

(6.75)

Подставив значения коэффициентов, определим

(0) = -

1ГИО1(0) =

^я+'д (I —^у)____.

СД Фд (^д Фд сг Фг)
ку

Фд4~ ку'Сг Фг

(6.76)

что совпадает со значениями (2.22) и (2.23), найденными в примере 2.3.

* Здесь и далее в сложных формулах знак «(р)» для упрощения записи опу-
скается.
§ 6.9. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ
ФУНКЦИИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
ДВУСВЯЗНЫХ ОБЪЕКТОВ

До сих пор исследовались системы управления простыми односвяз-
ными объектами, в которых имеется одна управляющая входная и одна
управляемая выходная величины. Управление многосвязными объек-
тами с несколькими входными и выходными величинами значительно
сложнее.

Рассмотрим объект с двумя входными иг и и2 и двумя выходными
величинами ух и у2, связанными между собой линейными уравнениями
(3.11) и (3.41). Примером такого объек-
та может служить система сообщающих-
ся резервуаров (см. пример 3.8).

Уравнения двусвязного объекта в
операторной форме имеют вид

К| (Р) ~ ^11 (Р)	(Р) + ^12 (р) ^2 (р)>

У2 (Р) = ^21 (р)	(Р) + ^22 (Р) ^2 (Р)

(6.77)

или в векторной форме

V (р) = XV (р) 11 (р).	(6.77а)

Схематически рассматриваемый дву-
связный объект показан на рис. 6.23, а,
а его эквивалентная схема, соответству-
ющая уравнениям (6.77), изображена
на рис. 6.23, б.

Примерами объектов с несколькими управляемыми и управляющими
величинами, кроме гидравлической системы, являются системы управ-
ления кондиционера (температура и влажность воздуха), турбины
(скорость вращения и давление), дистилляционной колонны (темпера-
тура и уровень) и др.

Для поддержания неизменными отмеченных величин применяются
многосвязные системы регулирования по отклонению. Так, в двусвяз-
ных системах управляемые величины уг и у2 сравниваются с заданны-
ми I?! и ц2 и их разности ех и е2 подаются через систему регулирования
(звенья И7рег11 ТГрег12, Ц7рег21 и 1Грег 22) на вход объекта и н2).

В векторной форме уравнение регулятора может быть записано сле-
дующим образом

и (Р) = ^рег (р) IV (р) - V (р) 1 = XVрег (р) Е (р).	(6.78)

Схема многосвязного регулирования применительно к гидравличе-
ской системе показана на рис. 6.24, а, а ее структурная схема — на
рис. 6.24, б. Если, например, в этой схеме необходимо определить влия-
ние изменения заданной первой регулируемой величины на вторую
величину у2 или на ее рассогласование е2, то необходимо рассчитать
передаточную функцию, связывающую эти величины:

(Р) = Е2 (рЖ (Р).	(6.79)

При (р) = 0 изменение задания на регулируемую величину
первого регулятора не изменяет второй регулируемой величины и ре-
гулирование называется автономным.

Для расчета величины желательно найти среди восьми звень-
ев, составляющих систему регулирования, звенья, включаемые по-
Ре гуля тор

Рис. 6.24

следовательно или параллельно, и по формулам соединения звеньев
заменить исходные схемы эквивалентными.

Однако рассмотрение схемы, показанной на рис. 6*24, б, или схе-
мы иного изображения (рис. 6.24, в), более удобного для расчета, не
дает возможности усмотреть в этих схемах один из известных видов
соединений звеньев.

Преобразование структурной схемы позволяет упростить схему,
приведенную на рис. 6.24, в, и свести ее к совокупности параллельных
и последовательных соединений звеньев.

Ограничимся рассмотрением случая, когда изменения расходов
Л и /2 отсутствуют. Чтобы упростить схему, показанную на рис. 6.24, в,
переместим суммирующие узлы 1 и 2 через узлы разветвления 3 и 4
(правило первое). Полученная при этом преобразованная схема изо-
бражена на рис. 6.25, а. Эту схему можно далее преобразовать, если
переместить все восемь звеньев по направлению ветвления (правило
третье) через узлы 1 4- 8 так, как показано стрелками на рис. 6,25, а.
При таком преобразовании в каждой ветви окажется по два последо-

Ри • 6.25

вательно включенных звена, которые можно заменить одним звеном
с передаточной функцией, равной произведению двух передаточных
функций звеньев, переместившихся в эту ветвь. Получившаяся в ре-
зультате преобразования структурная схема приведена на рис» 6,25, б,
где имеются параллельные соединения звеньев.

Заменив каждое параллельное соединение звеньев одним звеном
с эквивалентной передаточной функцией, можно всю схему свести к со-
единению четырех звеньев (рис. 6.25, в), причем
- (1 + Н^еги + ^12

= О + ^22 ^рег22 + ^21 ^рет)’1;

^0=^2! и^+^регн

«^=^22 «\2+^рег12«^.

(6.80)

Зная передаточные функции каждого из четырех звеньев, можно
найти передаточные функции

ш —	Р1 (р) _		
	V, (р)	1 -^а	»
	(р).	«'а и?с	
и/	—	V! (Р) '	«7О 1Гв«7си7й-1	»
П7	—	^2 (Р) г.		
™ е2 V. —	У2(Р)’	1-^а^ь^с^а	
и/ —	Ег (Р) _		
	У2(р)	Гй-1	«

(6.81)

Условие автономности выполняется, если №с = Ц7а — 0 и пере-
даточные функции регулятора удовлетворяют условию

^рет=-^реги И?2Л;

^рег12=-^рег22^12/^И.

В этом случае

^1Р1 = Е1(р)/У1(р) = Га;

^&й = Е2(р)/У2(Р) = Г6.

(6.82)

(6.83)

При этом изменение задания на одну из регулируемых величин (у±)
не приводит к изменению второй регулируемой величины (у2) так же,
как если бы обе системы регулирования были полностью независимы
или, иными словами, автономны. Общая теория автономного регули-
рования была разработана проф. Н. Н, Вознесенским в 1934 г.

Пример 6.16. Найти условие автономного регулирования в схеме автомати-
ческого управления уровнями двух сообщающихся резервуаров, передаточные
функции которых приведены в примере 3.3.

Для получения автономности необходимо выполнение условия (6.82), Под-
ставляя в уравнения (6.82) функции (р), №22 (р) и №12 (р) = ^а! (р)> находим

№рег21= —№рег11/(1 + рА)?	^рег12 =—^рег22/(1+р7'2)>

где

Г1 = 51/^о; ’ Т2^82/Ьо.

Полученные соотношения показывают, что при автономном регулировании
всякое воздействие на приток жидкости в первый резервуар должно сопровож-
даться обратным воздействием на приток жидкости во второй резервуар с опреде-
ленной инерционностью, зависящей от канала между резервуарами (/?0). Такое
обратное воздействие компенсирует дополнительный приток жидкости во второй
резервуар, обусловленный поднятием уровня жидкости в первом резервуаре.
Инерционность воздействия на приток жидкости во второй резервуар должна точ-
но соответствовать инерционности процесса поднятия уровня в этом резервуаре
за счет связи его с первым резервуаром.
§ 6.10. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
МЕЖДУ ПРОИЗВОЛЬНЫМИ УЗЛАМИ СХЕМЫ

На основании исследования алгебраических уравнений, описываю-
щих структурную схему линейной системы, Мейсоном в 1953 г. было
предложено правило вычисления передаточной функции между двумя
заданными узлами. Это правило может быть выражено следующей
формулой:

*

IV/ =

™ тп

/? = 1

|ф П (1 + №Рйг)

(6.84)

П (1+^р/и)

г

Здесь 2'^прй — сумма г передаточных функций различных прямых
путей из узла ГП в узел п\ — передаточная функция разомкнуто-
го контура, взятая со знаком, соответствующим отрицательной обрат-
ной связи; произведение П включает все «замкнутых контуров системы;
знаком «*» обозначено исключение из скобки всех членов, содержащих
произведения передаточных функций одних и тех же звеньев (включая
звенья с передаточной функцией, равной единице).

Пример 6.17. Рассчитать передаточную функцию № (р) == У (р)/Х (р)
в схеме, изображенной на рис. 6.18, а. Для этой схемы в формуле (6.84) имеем
один (г = 1) прямой путь с передаточной функцией 1ГД и два ($ » 2) замкну-
тых контура с передаточными функциями	для разомкну-

тых цепей контуров отрицательной обратной связи. Подставив эти значения в фор-
мулу (6.84), получаем

(Р 1(1	^с) (I	^)]*	’	1 '

Раскрывая скобки и исключая все члены, содержащие произведение пере-
даточных функций общих ветвей, определяем

Г (р) =	№Ь/(1 +^а ^с + ^а	^),	(6.86)

что совпадает с результатом, полученным в примере 6.14 [см. (6.59)].

Пример 6.18. Найти передаточную функцию	«

'Х'е^=Е2(р)/У1(р)

©схеме, представленной на рис. 6.24, в. Для этой схемы имеется два (г = 2) пря-
мых пути с передаточными функциями — 1Урег 21^22 и —^рег 11^21 и шесть
(5 « 6) контуров с передаточными функциями ^^21^12» ^реггг^гг, ^регп^п*
^рег'Гг^гЬ —^рег 21^22 ^рег 12^11 и —^рег 11^21 ^рег 22^12- Подставив эти
значения в формулу (6.84) и исключив члены, содержащие произведение переда-
точных функций контуров и ветвей, имеющих общую ветвь, получаем

..7____________________—(^рег21 ^22 + ^регИ И?21)_____________

е1 Ь'2	1 -|- рег21 Н712 + №22 №рег22 + ^11 №реги +1^21 репг + № д

где

^д = («7рег21 ^рег12~^рег11 И?рег22) (^12 1^21-^11 ^22).

Здесь при исключении произведений передаточных функций контуров и вет-
вей, имеющих общую ветвь, учитывались ветви с передаточной функцией, равной
единице (ветви, отходящие от суммирующих узлов на рис. 6.24, в).

Выражение (6.86) совпадает с решением (6.80) и (6.81).
Г Л А В А VII

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 7.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Понятие устойчивости, сформулированное выше для объектов управ-
ления (см. гл. I) и для отдельных звеньев (см. гл. 111), распространяется
и на системы автоматического регулирования в целом. Устойчивость
представляет собой способность системы автоматического регулирова-

ния возвращаться к исходному состоянию после кратковременного
внешнего воздействия. Системы автома-
тического регулирования, как правило,
должны быть устойчивыми.

Так же, как и в случае линейных
звеньев, необходимым и достаточным ус-
ловием устойчивости линейной системы

автоматического регулирования являет-
ся отрицательность вещественных частей всех корней ее характери-
стического уравнения. Последнее может быть получено из передаточ-
ной функции замкнутой системы, связывающей любые ее вход и вы-
ход, путем приравнивания нулю знаменателя передаточной функции.

На рис. 7.1 показана структурная схема, к которой может быть
приведена любая односвязная линейная система автоматического ре-
гулирования при отсутствии всех внешних воздействий, кроме задаю-
щего. Если передаточная функция разомкнутой системы

Гр (р) = К (р)/Р (р),

(7.1)

где К (р) иЦ (р)—полиномы степеней соответственно т и п (т «С п),
то передаточная функция замкнутой системы

Г (п) = Г(р) =	=	^(Р)

а У(р) 1+И/р(р)	К(р)+Р(р)’

откуда путем приравнивания знаменателя Г3 (р) нулю получается
характеристическое уравнение замкнутой системы п-й. степени:

Обозначая

к (р) +о (р) = 0.

И (р) = к (р) + о (р),

(7.4)
можно записать характеристическое уравнение в виде

А (р) = апрп + ап^рп-1 + ... + а0 = 0.	(7.5)

Попытки анализа устойчивости линейных систем автоматического
регулирования путем прямого отыскания корней характеристического
уравнения наталкиваются на практические трудности, связанные с от-
сутствием аналитических выражений для корней уравнений степени
выше четвертой; для уравнений третьего и четвертого порядков имею-
щиеся выражения малоудобны. Однако нет необходимости находить
значения корней, поскольку для суждения об устойчивости системы
нужно знать лишь, что все они расположены левее мнимой оси на
плоскости комплексного переменного р. В теории автоматического ре-
гулирования пользуются условиями, которые позволяют судить о рас-
положении корней в левой полуплоскости без нахождения их значе-
ний; эти условия называются критериями устойчивости.

Существует несколько критериев устойчивости. Все они математиче-
ски эквивалентны, так как решают вопрос — лежат ли все корни ха-
рактеристического уравнения в левой полуплоскости или нет. Прак-
тическое применение того или иного критерия определяется характером
задачи и средствами, которыми располагает исследователь.

Существующие критерии устойчивости делятся на две группы:
алгебраические и частотные критерии.

§ 7.2.	АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Создание алгебраических критериев устойчивости связано с именами
английского математика Рауса (1877 г.) и швейцарского математика
Гурвица (1895 г.). Эти критерии связаны между собой и при анализе
устойчивости приводят к одним и тем же алгебраическим неравенствам.
Поэтому их иногда объединяют под общим названием критерия Рауса-
Гурвица. Здесь оба критерия будут рассмотрены раздельно, причем фор-
мулировки их будут приведены без доказательств [Л.48]. Кроме кри-
териев Рауса и Гурвица, будут рассмотрены некоторые другие алгебраи-
ческие критерии устойчивости.

Критерий Гурвица. Пусть дано характеристическое уравнение си-
стемы

апРп + ап-1Рп-1 + ... + а0 = 0.

Необходимо составить определитель уравнения		Гурвица из коэффициентов
	Яп-1 &п-3 ап-5		 0
		... 0
	0	«71-1 ®п~3		 0
△п =	О О _ $ О з о о 3	3  1	1  м	ьэ  •	*		 0  	 0	
		• • • • • • • • •
	ООО	ал аг 0
	ООО	а4 а2 а0
Правило составления определителя видно из его структуры. По глав-
ной диагонали последовательно записываются п коэффициентов урав-
нения, начиная со второго (ап_г). Сверху от элементов главной диаго-
нали в каждом столбце записываются коэффициенты с последовательно
убывающими, а снизу — с возрастающими индексами. При этом на место
коэффициентов с индексами, большими п или'меньшими 0, записы-
ваются нули. Получается определитель, содержащий п строк и п столб-
цов.

Далее составляются главные диагональные миноры определителя
Гурвица:

△1 — ап-1*	^2

ап-1 ап-3

ап ап~2

<*п-1

о

ап-3 ап-5

^п-2	^а-4

ап-1 ап-3

(7-6)

и т. д. до Дпвключительно.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим обра-
зом. Для устойчивости линейной системы автоматического регулиро-
вания с характеристическим уравнением (7.5) необходимо и достаточно,
чтобы при Оп> 0 все главные диагональные миноры определителя Гур-

вица были положительны.

Рассмотрим более подробно случаи, когда п = 1.......4:

1)	п = 1, при этом

ахр + «О — 0.	(7.7)

Условия устойчивости:

а, >0; Д, = а0 > 0;	(7.8)

2)	п = 2, тогда

а^р2 +	ахр + а0 = 0.	(7.9)

Условия устойчивости

а2 > 0;	(7.10а)

Д1 =	а1>0;	(7.106)

△2 = 01	° =а1О0>0.	(7.10в)

а2 а0

Условие (7.10в) при наличии (7.106) эквивалентно условию а0> 0.

Таким образом, условия устойчивости для уравнения второй сте-
пени сводятся к требованиям:

а2 > 0; аг > 0; а0 > 0;	(7.11)

3)	п = 3, в этом случае

айр3 + а?р2 + агр + а0 = 0.

(7-12)
Условия устойчивости:

> 0;

а2 а0

«з <4

= а() Л2 > 0.

(7.13а}

(7.136}

(7.1 Зв}

Условие (7.13в) при наличии (7.136) эквивалентно условию а0>0.

Условие Л2 2> 0 при а3 >0, а2 > 0, а0 > 0 возможно лишь при
ал > 0.

Таким образом, условия устойчивости для уравнения третьей сте-
пени можно записать следующим образом:

а3 >0; а2 > 0; аг >0; а0 > 0;
а2аг — а3а0 > 0;

4) п = 4, при этом

сцр* + а3р3 +	+ агр + а0 0.

Условия устойчивости:

>0; Лх = а3 > 0;

«3 «I

а2

= а3 а2 — ал

а3 аг 0

^4 ^2 &0

0 а3 аг

^^(аз^—а^а^—^аоХ);

(7.14а)

(7.146)

(7.15а)

(7.156)

(7.15в)

Д4 = а0Д3 > 0.

(7.15г)

Условие (7.15г) при наличии (7.15 в) эквивалентно условию а0 > 0.

Условие Д3 > 0 при а0 > 0 и Д2 > 0 возможно только при ах > 0.

Условие Д2 > 0 при а4 > 0, а4 > 0 и а3 > 0 возможно при а2 > 0.

Таким образом, условия устойчивости для уравнения четвертой сте-
пени сводятся к требованиям:

а4 > 0; а3 > 0; а2 > 0; аг > 0; а0 > 0;

(7.16а)

аг (аз^—а^а,) —	> 0.

(7.166)

△1 — ^2

— ^2 ^1

Из сказанного следует, что условия устойчивости для уравнения
первой и второй степеней сводятся к требованию положительности ко-
эффициентов характеристического уравнения.

Для уравнений третьей и четвертой степеней, помимо положитель-
ности коэффициентов характеристического уравнения, необходима по-
ложительность определителя Дп_4 [см. (7,14а), (7,146) и (7.16а),
(7.166)1.
При п > 5 число подобных дополнительных неравенств возрастает,
поэтому применение критерия Гурвица становится затруднительным.

Можно показать, что если выполнены все условия критерия Гур-
вица, кроме одного (Дп_х = 0), то характеристическое уравнение си-
стемы имеет пару сопряженных чисто мнимых корней. Если же выпол-
нены все условия Гурвица, кроме = 0, то уравнение имеет один
нулевой корень [это следует из непосредственного рассмотрения харак-
теристического уравнения (7.5)]. И в одном, и в другом случаях си-
стема находится на границе устойчивости: в первом случае она назы-
вается границей колебательной устойчивости, а во втором — аперио-
дической устойчивости.

Пример 7.1. Пусть дано характеристическое уравнение

(1 +рТд (1 +рТ2) (1 +рТ3) +^==0.	(7.17)

Это уравнение соответствует системе регулирования, содержащей три инер-
ционных звена с постоянными времени 7\, Т2 и Т3 и общим коэффициентом уси-
ления к. Необходимо найти предельное значение ^Пред» ПРИ котором система пе-
рестает быть устойчивой.

Перепишем характеристическое уравнение в виде

Л т2 Т3 ря+(Л Т2+Л Т3+Т2Т3)р*+

-Н(Т"1+Т2 + Гз) р + 1 -\-к = 0.	(7.18)

Согласно критерию устойчивости Гурвица система устойчива, если выпол-
няются неравенства (7.13) и (7.14), т. е. если все коэффициенты уравнения поло-
жительны и выполняется неравенство

(Т1 Т2 + л Т3 + Т2 Г3) (Л + Т2 + Т3) > (1 + к) Тг Т2 Т3.	(7.19)

Положительный знак коэффициентов вытекает из физического смысла ве-
личин. Неравенство (7 19) может быть переписано в виде

(1 +т2 + т3) (1 + 1/т2+ 1/т3) > 1 +/г,	(7.20)

где

т2 = Т2П\‘.

Из неравенства (7.20) видно, что оно нарушается при

> ^пред = О +тг + ^з) О +	+ 1Д3)— 1.	(7.21)

Выражение (7.21) показывает, что предельный коэффициент усиления /?пред
системы определяется не абсолютной величиной постоянных времени звеньев,
а их относительным значением: /?пред тем больше, чем больше величины т2 и т3,
т. е. чем резче отличаются постоянные времени друг от друга. В частном случае*
когда т2 = т3 = 1, т. е. Т1^Т2а Т3~ Т, значение &пред минимально и
равно 8.

Перед проверкой условий Гурвица целесообразно убедиться в по-
ложительности коэффициентов характеристического уравнения (точ-
нее говоря, в том, что все коэффициенты имеют один знак, так как в слу-
чае отрицательности их все члены уравнения могут быть умножены на
—1 и сделаны положительными). Положительность коэффициентов
характеристического уравнения является необходимым (но в общем слу-
чае недостаточным) условием устойчивости. Покажем это, предполагая
вначале, что все корни уравнения действительны. Раскладывая левую
часть характеристического уравнения (7.5) на множители, запишем

ап (р — Р1) (р — Рг) (Р — Рп) = 0.	(7.22)

В устойчивой системе все корни отрицательны (рх <0, р2 < 0, ...
•••» Рп < °), поэтому двучлены в левой части (7.22) будут иметь только
положительные коэффициенты. При раскрытии скобок и перемноже-
нии получится исходное уравнение (7.5), все коэффициенты которого,
образованные путем перемножения и сложения положительных ве-
личин, будут положительны (предполагается, что ап > 0).

При наличии комплексных сопряженных корней с отрицательной
вещественной частью, например р^2 — —а ± /0, в левой части
(7.22) появятся множители вида

(Р + а — /₽) (р 4- а 4- /₽) = (р 4- а)2 4- ₽2,	(7.23)

которые содержат лишь положительные коэффициенты и не меняют,
общего вывода о положительности коэффициентов исходного характе-
ристического уравнения (7.5).

Из сказанного следует, что для систем первого и второго порядков
положительность коэффициентов характеристического уравнения яв-
ляется не только необходимым, но и достаточным условием устойчиво-
сти. Для систем же более высокого порядка нужно проверять еще вы-
полнение дополнительных неравенств.

В 1914 г. французскими учеными Льенаром и Шипаром предложена
модификация критерия Гурвица, содержащего примерно в 2 раза
меньше детерминантных неравенств, чем основной критерий. Согласно
этой модификации для устойчивости линейной системы автоматиче-
ского регулирования необходимо и достаточно, чтобы были положитель-
ными все коэффициенты характеристического уравнения и главные диа-
гональные миноры Дп_х, Дп_8, Дп-5, — определителя Гурвица.
Применение модифицированного критерия к уравнению четвертой сте-
пени позволяет сразу получить условия (7.15) и (7.16).

Несмотря на сокращение количества детерминантных неравенств,
вычисление определителей для систем высокого порядка представляет
весьма трудоемкую задачу, поэтому критерий Гурвица практически не
применяют для систем выше пятого порядка.

Критерий Рауса. Пусть дано характеристическое уравнение системы

апрп + ап^рп~-1 +	+ а0 = 0.

Составим таблицу Рауса (табл. 7.1).

Правило составления таблицы легко усмотреть из ее структуры.
Любой из коэффициентов таблицы Рауса ск1 при I 3 (к обозначает
номер столбца, а I — номер строки таблицы) можно найти по формуле

С&1	^й+1, г-2	(7-24)

где

О	г-2^1,г-1*	(7,25)
Таблица 7.1

—	Сц —ап	С21 ~аП~2	С31 ~ап- 4	С41 — ап-е	в • •
—	С12~аП-1	С22~аП-3	С32—аП-Ъ	С42~ап-Ч	♦ » •
С1Г ^з = —  С12	с13 ” С21 —г3 с22	Сгз = с31—гз с32	С33 = С41	Г3 С42	С43 —С51	Г3 С52	• • •
с12  с13	С14 =С22 — г4 С23	С24 = С32	Г4 С33	С34 “С42	Г4 С43	С44 — С52	г4 С53	• • -
с13  ^Б —  С14	С15 = С23	Г5 С24	С2э — С33	Г5 С34	С35 = С43	Г5 С44	С45 = ^53	ГЪ С54	• « •

Число строк таблицы Рауса равно степени уравнения плюс еди-'
ница, т. е. (п + 1). Коэффициентам с отрицательными индексами соот-
ветствуют нули.

Критерий устойчивости Рауса формулируется следующим образом.
Для устойчивости системы автоматического регулирования необходимо
и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса
были положительны, т. е. чтобы

Гц > 0; с12 > 0; с^з > 0, г14 > 0; »*.;	п+1 > 0.	(7.26)

При составлении таблицы Рауса для численно заданных коэффи-
циентов уравнения в целях упрощения вычислений можно умножать
или делить строки таблицы на положительную величину. Это не меняет
результат.

Можно показать, что если не все коэффициенты первого столбца
положительны, т. е. система неустойчива, то число корней уравнения,
лежащих в правой полуплоскости, равно числу перемен знаков в пер-
вом столбце таблицы.

Пример 7.2. Пусть характеристическое уравнение имеет вид

р6 4- 6р5 + 21р4 + 44р3 + 62р?< + 52р + 100 «= 0.	(7.27)

Определить количество корней, лежащих в правой полуплоскости.

Как видно из табл. 7.2, в первом столбце имеют место две перемены знака:
с «+» на «—» и с «—» на «+». Следовательно, рассматриваемое характеристи-
ческое уравнение имеет два корня в правой полуплоскости и соответствует не-
устойчивой системе.

Можно также показать, что нуль в предпоследней строке первого
столбца таблицы Рауса свидетельствует о появлении пары чисто мнимых
сопряженных корней характеристического уравнения (граница коле-
бательной устойчивости). При этом последняя строка таблицы не рас-
считывается, поскольку для нее гп+1 = сю. При а0 = 0 в нуль обра-
щается сПп+1, что соответствует появлению одного нулевого корня
характеристического уравнения (граница апериодической устойчиво-
сти).
—	с6 = 1	.^4=21	а2=62	ао = 1ОО
—	а5=6	аз = 44	а! = 52	1	0  ♦
<з = у = 0.167	21—0,167 X X 44 = 13,65	62—0,167 X X 52 = 53,3	100—0.167Х  Х0 = 100	0
6  '^з.бз-0’44	44—0,44 X  X 53,3= 20,6	52—0,44 X  ХЮ0 = 8	0—0,44Х  Х0=0	0 — 0,44Х  X 0 = 0
13.65  г5 —	-—0,662  5	20,6	53,3—0,662 X  Х8=48,0	100—0.662Х X 0 = 100	0	0
20.6  г6 =	= 0,43  6	48,0	8—0,43х X 100=—35,0	0	0	0
48,0	, „„  г7 =	= — 1,37  7 —35,0	100+1,37Х  Х0 = 100	0	0	0

Если сравнивать критерии устойчивости Гурвица и Рауса, то пер-
вый из них имеет замкнутую форму, тогда как второй имеет алгорит-
мический характер (элементы таблицы Рауса появляются в процессе
вычислений). Этим объясняется тот факт, что длительное время из рас-
смотренных алгебраических критериев устойчивости преимущественное
применение имел критерий Гурвица.

С появлением цифровых вычислительных машин для анализа устой-
чивости линейных систем высокого порядка стал применяться критерий
Рауса. Его алгоритмическая форма очень удобна для программирова-
ния, а объем вычислений при высоких порядках уравнений меньше, чем
при использовании критерия Гурвица.

Использование цифровых вычислительных машин привело к по-
явлению специфического алгебраического критерия устойчивости, по-
лученного В, И, Зубовым (Л. 18, 49].

§ 7.3. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Критерий Михайлова. В основе критерия Михайлова, сформулиро-
ванного им в 1938 г. [Л. 28], лежит известный в теории функций ком-
плексного переменного принцип аргумента (Л.48]. Согласно этому
принципу приращение аргумента функции / комплексного перемен-
ного р при изменении его по замкнутому контуру в положительном на-
правлении (против часовой стрелки) составляет 2л (/V— р), где /V—
число нулей, ар — число полюсов функции / (р) внутри замкнутого
контура. Предполагается, что функция / (р) аналитична внутри этого
контура (кроме конечного числа полюсов) и не имеет нулей и полюсов
на контуре.

Если применить принцип аргумента к полиному Л(р), стоящему
в левой части характеристического уравнения (7>5), используя в ка-
честве контура мнимую ось (р = /со), замкнутую полуокружностью бес-
конечного радиуса, то можно получить критерий Михайлова. Пред-
почтем, однако, провести другое доказательство критерия Михайлова,
который является весьма простым и поучительным.

Пусть дано характеристическое уравнение

А(р) = апр” + ап_1р*-'+ ... +ао = О.	(7.28)

а)	8)

Полином А (р) можно представить в виде

А (р) = ап (Р — Р1) (Р — Р2) ... (Р — Рп),	(7.29)

где р{ — корни уравнения (7.28).

Положим р = тогда

А = ап — рг) (]а> — р2) ... (/со — рп). (7.30)

Рассмотрим геометрическое представление комплексных чисел
(/со — рг) на комплексной плоскости р. Начала векторов, изображаю-
щих комплексные числа, лежат в точках рь а концы — на мнимой
оси в точке /со (рис» 7.2).

Найдем аргумент комплексного числа А (]&):

аг§ А (/со) = 2 аг§ (/со —	(7.31)

1= 1
♦

Изменение аргумента А (/ш) с изменением о от — сю до оо равно

Даг§Д(/со) = 2 А аге (/со—Рд-	(7.32)

— оо<(0<оо	{— 1	—оо<(0<оо

Согласно (7.32) для определения изменения аргумента необходимо
подсчитать сумму изменений аргументов двучленов (/со — р{). Измене-
150
ния аргументов зависят от того, в какой (правой или левой) полу-
плоскости лежат корни Рассмотрим два случая. Пусть корень р,
лежит в левой полуплоскости (рис. 7.3, о). При изменении со от — оо
до оо конец вектора (/со — рд скользит вдоль мнимой оси снизу вверх,
поворачиваясь против часовой стрелки на 180°, при этом изменение
аргумента

А аг§ (/со—р^ = л.	(7.33)

— оо<й)<оо

Если корень лежит в правой полуплоскости (рис. 7.3, б), то,
рассуждая аналогично, получим

А аг^ (/со—р1) = — п.

— оо<(0<оо

(7.34)

Допустим, что уравнение А (р) = 0 имеет I корней в правой полу-
плоскости и и — I корней в левой полуплоскости (порядок уравнения
равен п). Тогда на основании (7.32), (7,33) и (7.34)

А аг§ А (]'а>) = (п—21) л.	(7.35)

— оо<0<оо

Выражение (7.35) и представляет собой запись принципа аргумента
для характеристического полинома А (р).

Для устойчивости системы автоматического регулирования, имею-
щей характеристическое уравнение (7.28), необходимо и достаточно,
чтобы число правых корней I было равно нулю, при этом

А аг§ А (]а) = пл.	(7.36)

— сю«0<оо

Заметим, что при I — 0 аргумент А (]'а>) будет монотонно возрастать
с увеличением со.

Критерий устойчивости Михайлова является наглядной графиче-
ской интерпретацией формулы (7.36). Построим годограф характеристи-
ческого вектора А Цы), называемого годографом Михайлова. При этой
можно ограничиться половинным диапазоном изменения со (0=С ® < °°),
так как для полиноминальной функции от /со справедливы равенства

Ке А (/со) = Ке А (—/со);

1т А (/со) = — 1т А (—/со),

(7.37)

и часть годографа А Цсф, соответствующая отрицательным значениям
со, представляет собой зеркальное отражение относительно действитель-
ной оси части годографа А (/со) для положительных со. При изменении
со в половинном диапазоне

А аг§ А (/со) = гт/2.
0<С1)<оо

(7.38)

Согласно критерию Михайлова для устойчивости системы автома-
тического регулирования необходимо и достаточно, чтобы годограф
характеристического вектора А (/со), начинаясь при со = 0 на дейст-
вительной оси, с ростом со от 0 до оо обходил последовательно в поло-
жительном направлении (против часовой стрелки) п квадрантов, где
п — порядок характеристического уравнения.

На рис. 7.4, а показаны годографы Михайлова для устойчивых
систем при различных значениях п. Все они начинаются при со — О
со значения а0 на положительной действительной полуоси. Это озна-

чает, что характеристические
ром их коэффициенты поло;

Рис. 7.4

уравнения приведены к виду, при кото-
<ительны, Годографы, изображенные на
рис. 7.4, а. уходят в бесконечность при
а) оо и обходят соответствующее чис-
ло квадрантов в положительном направ-
лении.

На рис. 7.4, б показаны годографы
неустойчивых систем. Все они не удов-
летворяют условию обхода п квадран-
тов в положительном направлении-

Согласно выражению (7.4) характе-
ристический полином замкнутой систе-
мы можно представить в виде суммы
К (р) и О (р). Отсюда следует, что

Рис. 7.5

для получения годографа А необходимо построить годографы
К (/«) и О (/со) и сложить векторы К(/со) и О(/(д) для каждого
значения со. В случае, когда К (/со) = к (к— коэффициент усиления
системы), построение упрощается. Годограф А (/со) получается про-
стым смещением годографа О (/со) вправо вдоль вещественной оси на
величину к.

Пример 7.3. Определить предельный коэффициент усиления ^пред системы
автоматического регулирования с передаточной функцией в разомкнутом состоя-
нии

к	к

и7р (Р) = (1+рЛ)(1+рТ2)(1+рТ3) =	•	(7-39)

Система содержит три инерционных звена. Характеристическое уравнение
замкнутой системы

А (р)=Я (р) + * = (1 +РЛ) (I +рТ2) (1 +рГ3ЬИ =0

(7.40)

совпадает с уравнением (7.17).
Для решения задачи следует построить годограф Михайлова.

А (/а)) = О(/й))+й.	(7.41)

Для этого построим вначале годограф

О (/со) = (1 +/СОТО (1 + /соТ2) (1 +/соТ3) = 17 (со) +/У (со),
где

V (со) = 1 - (Л Т2 + Л Т3 + Т2 Т3) со2; |
^(со)=со(Л + А4-Т3^Г1Т2Т3со2). )	( ’42)

Годограф О (/со) показан на рис. 7.5.

Для того чтобы получить годограф А достаточно мнимую ось сместить
влево на величину к. Из рис. 7.5 следует, что система будет на границе устойчи-
вости, если значение к будет равно значению /гпреД, при котором годограф А (/со)
пройдет через начало координат. Величина /гпред может быть определена из урав-
нений:

(юл)—V (соя) — ^пред»

(7.43)

где сол — частота, соответствующая точке пересечения годографа О (/со) с дей-
ствительной осью.

Решая уравнения (7142) и (7.43), получим

‘ол“ 1/(ЛЧ-Г.>4-^з)/Л Т*Т3\	(7.44)

Лпред=(7’1Т2+Т1Т3+ТгТ8)а>®-1=(Т1+Тг+7’3)^ +	+ Д-1. (7.45)

V1	/2	7 з/

Вводя обозначения

т2 = Т2/Г 1;

Т3=^з/^Х>

(7.46)

после несложных преобразований получим

*пред = (1 +г2+т3) (1 4- 1/т2 +1 /т3)-1,	(7.47)

что совпадает с выражением (7.21).

Заметим, что при повышении порядка системы (л > 4 4 5) объем
вычислений, связанных с применением критерия Михайлова, сущест-
венно возрастает. При использовании цифровых вычислительных ма-
шин предпочтение отдают критерию Рауса.

Критерий Найквиста. Для исследования устойчивости усилителей
с обратной связью Найквист в 1932 г. предложил критерий устойчиво-
сти, основанный на анализе частотных характеристик системы. Этот
критерий был по-новому обоснован и применен для систем автоматиче-
ского регулирования с дробно-рациональными передаточными функ-
циями А. В. Михайловым в 1938 г. Для исследования устойчивости
замкнутой системы регулирования, согласно этому критерию, необ-
ходимо знать амплитудно-фазовую частотную характеристику разом-
кнутой системы, которую можно получить как аналитически, так и эк-
спериментально. Последнее обстоятельство выгодно отличает рассма-
триваемый критерий устойчивости от ранее изложенных. Заметим
также, что критерий Найквиста имеет ясный физический смысл.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы регулирования
(р) = К (р)Ю (р). Образуем функцию

Е (р) = 1 + Гр (р) = Ю (р) + К (р)]Ю (р) = А (р)/О (р).(7.48)

Числитель этой функции представляет собой характеристический
полином замкнутой системы, знаменатель — характеристический по-
лином разомкнутой системы. Пусть степень О (р) равна п, а степень
К (р) равна т < п. Степень характеристического полинома замкнутой
системы К (р) + О (р) также равна п.

Рассмотрим три случая состояния разомкнутой системы: устойчи-
ва, неустойчива и находится на границе устойчивости, причем в по-

Рис. 7.6

следнем случае характеристическое уравнение' разомкнутой системы
Г) (р) = о имеет нулевой корень кратности V, т. е.

Р (р) =	(р).

I случай — система в разомкнутом состоянии устойчива.

Согласно критерию устойчивости Михайлова изменение аргумента
характеристического полинома разомкнутой системы

Д аг§ О (/со) = пп/2.

0<(0<оо

Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была ус-
тойчива, то должно удовлетворяться равенство

Д аг§ [О (]ы) + К (/«)] = пп/2.

0«1)<6о

При этом из (7.48) следует, что

Д аг§ Р (/<») = Д аг§ [О (/о) + К (/со)]—Д аг§ О	— 0.	(7.49)

0<(0<оо	0^(0<оо	0^(0 «30

Таким образом, система автоматического регулирования устойчи-
ва, если (и только если) изменение аргумента вектора Е Цы) при изме-
нении (о от 0 до оо равно нулю.

На рис. 7.6, а показаны два годографа Е (]ы) = 1 4- 1Гр (/со):
1 соответствует устойчивой системе, так как он не охватывает точку
(0, /0); 2 — неустойчивой, так как он охватывает точку (0, /0). Посколь-
ку Е (/со) отличается от №р (/со) на +1, то условие устойчивости можно
получить непосредственно для характеристики №р (/со) (рис. 7.6, б).

Приведем формулировку критерия Найквиста для этого случая.
Для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования
необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного
коэффициента передачи разомкнутой системы Ц7р (/со) при изменении
<0 от 0 до оо не охватывал точку (—1, /0).

Пример 7.4. Применим критерий Найквиста для определения предельного
коэффициента усиления системы регулирования, рассмотренной в примере 7.3.

Частотные годографы для этой системы при разных значениях к показаны на
рис. 7.7. Из рисунка видно, что с ростом коэффициента усиления к частотный
годограф увеличивается в размерах, сохраняя свою форму. При к > /гпред годо-
граф охватывает критическую точку (—1, 0), и система становится неустой-
чивой; при к ку система устойчива, при к “ /г2 > /гпреД — неустойчива.

Чтобы определить значение /?пред, необходимо найти значение к, при кото-
ром годограф проходит через точку (—1, /0), т. е. решить уравнение

1^Р (/»„) = Лпред/[(1 + /®я 7\) (1 +/<»„ Тг) (1 + /0>я Т3)] = -1	(7.50) .

или

(1 +/(0я Л) (1 +7<йя Т2) (1 + /соя 78) = -йпред.	(7.51)

Составив уравнения для мнимых и действительных частей, найдем ш_ и
эт
^пред:

®Я= У(Л+Т2+Тз)/Т1Тг Т3,	(7.52)

/гпред = (71 + Т2+73) (1 /7, + 1/Га+1 /Т3) - 1.	(7.53)

Полученное решение совпадает с результатами, найденными с помощью кри-
териев Гурвица и Михайлова в примерах 7.1 и 7.3.

II случай — система в разомкнутом состоянии неустойчива.

При рассмотрении многоконтурных систем или одноконтурных
систем, содержащих неустойчивые звенья, разомкнутая система может
оказаться неустойчивой.

Пусть система в разомкнутом состоянии неустойчива, при этом ха-
рактеристическое уравнение разомкнутой системы имеет I корней в пра-
вой полуплоскости. Тогда согласно принципу аргумента (7.35), учи-
тывая симметрии характеристик для +со и —со, получим

Л аг§ 7) (/со) = (п — 21) л/2.	(7-54)

0«О<оо

Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была устой-
чива, то должно выполняться равенство

Л аг§ 17) (]&) + К (/«)] = пл/2.

0<(0<оо

При этом с учетом (7.49)

△ аг§ Р (/со) = Д аг§ [Р (/со) + К (/со)]—Д аг§ Р (/со) =»
0<й)<оо	0<(й<оо	0^0) <оо
Отсюда следует формулировка критерия Найквиста. Для устойчи-
вости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо
и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента
передачи разомкнутой системы 1ГР (/со) при изменении со от 0 до оо
охватывал //2 раз в положительном направлении точку (—1, /0), где
I — число корней характеристического уравнения разомкнутой си-
стемы, лежащих в правой полуплоскости. Очевидно, что формулиров-
ка критерия Найквиста для первого случая является частным случаем
(/ = 0) только что приведенной формулировки.

Пример 7.5. Применим критерий Найквиста для определения предельного
коэффициента усиления системы автоматического регулирования неустойчивого
объекта.

Пусть

^р(р)-М(РЛ~1) (I +рГ2)].	(7.56)

Рис. 7.8

Частотные годографы для этой системы при различных значениях к и т =
— 1\1Т2 показаны на рис. 7.8, а.

Для данной системы п = 2 и / = 1, а следовательно, для того чтобы система
была устойчива, точка (—1, /0) при изменении со от 0 до оо должна охватываться
годографом в положительном направлении 1/2 раза или 1раз при изменении со
от — оо досю. Этому условию удовлетворяет только годограф 5, который при изме-
нении со от — оо до оо (см. штриховую линию для —оо <со < 0) охватывает
точку —1 в положительном направлении 1 раз, а при 0 < о) < оо — соответ-
ственно 1/2 раза.

Годограф / охватывает точку —1 только в отрицательном направлении, а го-
дограф 2 не охватывает эту точку. Таким образом, условием устойчиво-
сти является к > /гпред = 1 при Т1 > Т2.

Пример 7.6. Рассмотрим ту же задачу, что и в примере 7.5, но при передаточ-
ной функции разомкнутой системы

^Р(р) = МрЛ~1) (1 +рТ2) (1 +РТ3)].	(7.57)

В этом случае выполнение условий /г> 1 и 7\ > Т2 не всегда обеспечит
устойчивость системы. Рассмотрев годограф, показанный на рис. 7.8, б, можно
отметить дополнительное условие устойчивости: при частоте пересечения сол
годограф должен пересекать действительную ось правее точки (—1, /0).

Математическая формулировка этого условия получается путем нахождения
частоты пересечения при которой мнимая часть числителя ЙГр (/со) равна
нулю. В данном случае это выполняется при

1т О (/шя) = /®я	Л Т2 Г31 = 0,

откуда	_____________________

®Я=У(Т1-Тг-Т3)/(Т1Т2Т8) .

(7.58)
Соответственно отрезок оси

- Г р (/шл) = к/{ соД (7\ Т2 + Л Т3 - Т2 Т3) -11,
отсекаемый годографом, должен быть меньше единицы. Таким образом, в этом
случае условием устойчивости является неравенство

1 <^<^(Г1Т3 + Г1Г2-Т2Г3)-1.	(7,59)

III случай — система в разомкнутом состоянии находится на гра-
нице устойчивости.

Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

^р(Р) = /<(Р)/1Р^1(Р)1,	(7.60)

где V — число нулевых корней характеристического уравнения си-
стемы в разомкнутом состоянии; К (р) и (р) — полиномы от р9
причем (р) не имеет нулей в правой полуплоскости и на мнимой оси.

В этом случае нельзя пользоваться приведенными выше формули-
ровками критерия Найквиста, поскольку принцип аргумента, положен-
ный в основу критерия Найквиста, не рассматривает варианты, когда
корни находятся на мнимой оси. При (о -> 0 значение М7р (/со) оо,
и поэтому невозможно судить, охватывает годограф И7р (/со) точку
(—1, /0) или нет.

Путем искусственного сдвига нулевых корней (р< = ± ₽) с по-
следующим предельным переходом (0	0) рассматриваемый случай

можно свести к случаю устойчивой или неустойчивой системы, что даст
возможность применить приведенные формулировки критерия Найк-
виста.

Сведем рассматриваемую систему к системе, устойчивой в разомкну-
том состоянии (р1 =’—р). Возьмем для простоты вначале систему при
V = 1 и запишем ее измененную передаточную функцию в разомкну-
том состоянии:

И/ (п\ —	# _ К (р)	/7 6 В

г₽1(р)" (Р+₽)О*(Р) Р (р/Р+пснр) •	(7'61>

На рис. 7.9, а показано, как сместился нулевой корень харак-
теристического уравнения разомкнутой системы: она стала устойчивой.
При этом интегрирующее звено превратилось в инерционное с постоян-
ной времени и коэффициентом усиления, равными 1/0.

Комплексный коэффициент передачи разомкнутой системы

«7 (/(о) =------------= -1--------.	(7.62}

₽ 7	(/ш+₽)В1(М р (1+/й>/р)Р1(/ш)

На рис. 7.9, б показаны частотные годографы 1ГР (/«) и 1^р1 (/<°)
соответственно сплошной и штриховой линиями. Они близки друг к дру-
гу на высоких частотах и отличаются на низких частотах: годограф
1Гр (/со) при со —> 0 уходит вниз в направлении отрицательной мнимой
полуоси, годограф №р1 (/ю) при со -> 0 проходит через IV квадрант
и попадает на действительную положительную полуось в точку (к/$,
/0), где к — коэффициент усиления исходной разомкнутой системы,
равный К (/0)/^1 (/0)- При ₽->О оба годографа совпадают на всех
частотах, кроме со = 0: годограф №р1 (/<*>) отличается от 1ГР (/со) на-
личием дуги бесконечного радиуса, проходящей через IV квадрант
и приводящей годограф при со 0 к действительной положительной
полуоси (рис. 7.9, в). Будем называть эту часть годографа «дополне-
нием в бесконечности».

Аналогично строятся измененные частотные годографы при х =
— 2, 3,	• При V = 2 дополнение в бесконечности проходит через

два квадранта, а для произвольного значения V дополнение годографа
в бесконечности представляет собой дугу бесконечно большого ра-
‘ диуса, начинающуюся при со = 0 на действительной оси и с увеличени-
ем частоты описывающей угол гл/2 в отрицательном направлении
вокруг начала координат (рис. 7.9, г).

Для частотных годографов разомкнутых систем, дополненных
в бесконечности, можно пользоваться первой формулировкой критерия
Найквиста. Для устойчивости замкнутой системы автоматического
регулирования, которая в разомкнутом состоянии находится на гра-
нице устойчивости, имея нулевые корни характеристического уравнения,
необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного
коэффициента передачи разомкнутой системы (/с°)» дополненный
в бесконечности, при изменении со от 0 до сю не охватывал точку (—1,
/0)*.

* Аналогично путем рассмотрения дополнений в бесконечности могут быть
получены условия устойчивости системы автоматического регулирования, ха-
рактеристическое уравнение которой в разомкнутом состоянии имеет пару чисто
мнимых корней.
Показанные на рис. 7.9 годографы соответствуют: на рис. 7.9, б
устойчивой системе; на рис. 7.9, в — неустойчивой системе; на рис.
7.9, г при V = 2—устойчивой, а при V = 3—неустойчивой системе.

Пример 7.7. Применим критерий Найквиста для определения предельного
коэффициента усиления системы регулирования с передаточной функцией
разомкнутой системы



(7.63)

Частотные годографы для этой системы при различных значениях к показаны
на рис. 7.10. Кривая 1 соответствует неустойчивой системе (к > Рпред), а кривая
2 — устойчивой системе (к < &цред)- Величина ^пред определяется из условия

|ГР( =

(7.64)

где сол — частота, на которой годограф пересекает отрицательную действитель-
ную полуось. Она может быть получен I из уравнения

1ш	(/©„)=0.	(7.65)

В рассматриваемом примере числитель передаточной функции Й7р (р) пред-
ставляет собой действительное число к, поэтому уравнение (7.65) удовлетворяется
при значениях со, обращающих в нуль мнимую часть знаменателя №р (/со):

1т [/о)л (1+/соя Тг) (1 +/сол Т2)] =0,
или

1—71 Т2 со* =0,
откуда

ал = У1/Г1Г2.	(7.66>

На этой частоте знаменатель И'р (7<»я) представляет собой действительную
величину равную —<Вл (7, + Тг), поэтому

1»'р(7<ол)1 = Л7'1Г2/(Т1+Г2),

что при подстановке в (7.64) дает

бпред=(Г1 + Г2)/(Г1 Г2) = 1 /Т, +1 /Т2.	(7.67}

Понятие «охват точки (—1, /0)», используемое в приведенных
выше формулировках критерия Найквиста, имеет некоторую неопре-

деленность. Действительно, трудно
сразу сказать, охватывает или не
охватывает эту точку частотный го-
дограф 1ГР (/со), изображенный на
рис. 7.11, а. В сомнительных слу-
чаях можно прибегать к помощи
формульных записей критерия Най-
квиста [см. (7,49) и (7.55)]. Лучше,
однако, дать критерию Найквиста
иную формулировку, основанную на
подсчете числа переходов частотно-
го годографа Ц7р (/со) через отрица-

Рнс 7.10
тельную, действительную полуось от —I до —оо. Будем считать
такой переход положительным, если при возрастании со годограф пере-
ходит из верхней полуплоскости в нижнюю, и отрицательным, если
годограф переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (рис. 7.11),
Общая формулировка критерия Найквиста охватывает все три рас-
смотренных выше случая.

Для устойчивости замкнутой системы автоматического регулиро-
вания необходимо и достаточно, чтобы разность между числами по-
ложительных и отрицательных переходов частотного годографа
комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы 1Гр (/со)
через отрицательную действительную полуось от —1 до —оо была
равна 1/2, где I — число, корней характеристического уравнения ра-

Рис. 7.11

зомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Для систем,
находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости с ну-
левыми корнями характеристического уравнения, число I считается
равным нулю, а годограф №р(/со) берется с дополнением в бесконечности.

Показанный ранее на рис. 7.11, а годограф (/со) при / = 0
соответствует устойчивой замкнутой системе; на рис. 7.11, б показан
годограф 1Гр (/со) неустойчивой в разомкнутом состоянии системы,
для которой I == 2. Годограф имеет два положительных перехода и
один отрицательный переход, следовательно, разность между числами
переходов равна единице. Согласно приведенной выше формулировке
критерия устойчивости рассматриваемая система устойчива в замкну-
том состоянии*

§ 7.4.	СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НА ОСНОВАНИИ
КРИТЕРИЯ НАЙКВИСТА ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ
ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ РАЗОМКНУТОЙ
СИСТЕМЫ

Критерий устойчивости Найквиста может быть сформулирован при-
менительно к логарифмическим частотным характеристикам системы,
находящейся в разомкнутом состоянии. Точкам пересечения годогра-
фа 1Гр (/со) с отрезком действительной оси (—оо, —1) соответствуют
точки, для которых

1 (со) = 20121 ЯГр (/со) I > 0; ср (со) = аг$ (/со) = — л, —Зл, —5л,....

(7.68)
Точки логарифмической фазовой характеристики ср (со), для кото-
рых Ь (со) > 0 и в которых она пересекает (при возрастании со) прямые
—л, —Зл, —5л, ... снизу вверх, являются положительными перехо-
дами, а сверху вниз — отрицательными переходами характеристики
{рис. 7.12). При этих условиях критерий устойчивости может быть
сформулирован следующим образом. Система автоматического регу-
лирования устойчива* если (и только если) разность между числами по-
ложительных и отрицательных переходов логарифмической фазочастот-
ной характеристики равна И2* где / — число корней характеристиче-
ского уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплос-
кости.

При I = 0 (система устойчива в разомкнутом состоянии) формули-
ровка принимает следующий вид: система устойчива* если (и только
если) разность между числами положительных и отрицательных пере-
ходов логарифмической фазочастотной характеристики равна нулю.

Для систем, находящихся в разомкнутом состоянии на границе
устойчивости и имеющих нулевые корни характеристического уравне-
ния, значение / нужно брать равным нулю, а фазовую характеристику,
которая при со 0 стремится к значению — тл/2 (V— число нулевых
корней характеристического уравнения разомкнутой системы), нужно
дополнять монотонным участком, приводящим ее к значению ср = 0;
при этом 1(о))->оо. Такое дополнение соответствует дополнению
в бесконечности частотного годографа (/со).

Доказанные на рис. 7.12 логарифмические частотные характери-
стики соответствуют системе с V = 1. Дополнение фазовой характе-
ристики показано на рисунке штриховой линией. На основании при-
веденной формулировки критерия Найквиста можно заключить, что
данная система устойчива.

6 Зак 377

161
Применение логарифмических частотных характеристик при ана-
лизе устойчивости систем автоматического регулирования «вручную»
(без помощи вычислительной техники) придает критерию Найквиста
особую практическую ценность. С помощью асимптотических представ-
лений можно очень просто строить приближенные логарифмические
амплитудно-частотные характеристики одноконтурных систем любого
порядка, содержащих в разомкнутом состоянии лишь последовательно
соединенные звенья (см гл. VI).

Пример 7.8. На рис. 7.13 приведены логарифмические частотные характе-
ристики разомкнутой системы, рассмотренной ранее в примере 7.7.

Приближенные амплитудные характеристики построены асимптотическим
методом для трех различных значений коэффициента усиления к: кА < /?пред < к2.
Фазовая характеристика остается одной и той же для всех трех случаев:

—зт/2—агс1^ со7\—агс1§ соТ2.	(7.69)

При коэффициенте усиления /?х система, согласно критерию Найквиста,
устойчива. С увеличением коэффициента усиления характеристика Л (со), не
меняя своей формы, поднимается вверх, в результате чего диапазон частот, при
которых Л (со) > 0, расширяется, и система может стать неустойчивой (при к «
= к2), Предельный коэффициент усиления может быть найден из условия

Ь(®я)=0,	(7.70)

где соя — частота пересечения фазовой характеристикой ср (со) линии (р = —л.

Пример 7.9. Рассмотрим систему, находящуюся в разомкнутом состояний
и имеющую передаточную функцию

(Р) = */1Р2 (I +рЛ) (1 +рТ2)].	(7.71)

Ее асимптотические логарифмические частотные характеристики изображены
на рис. 7.14. Фазочастотная характеристика даже на очень низких частотах про-
ходит ниже прямой ср = —л:

<р= — л—агс!& со7\ — агс1^	(7.72)

в результате чего дополнение фазовой характеристики (штриховая линия) пере-
секает эту прямую при Ь (со) > 0, каким бы малым ни был взят коэффициент
усиления системы к Система неусточива при любом к.

Асимптотический метод построения логарифмических амплитуд-
ных частотных характеристик может быть распространен на системы
с внутренними обратными связями. Для случая минимально-фазовых
систем при анализе устойчивости можно ограничиться построением
амплитудных характеристик, поскольку фазовые характеристики свя-
заны с ними согласно формуле (3.68) (см. также § 6.3). Более подробно
асимптотический метод будет рассмотрен в гл. XI.

В литературе можно встретиться с изображением частотных ха-
рактеристик в виде логарифмических амплитудно-фазовых характери-
стик (так называемые диаграммы Никольса). При этом используется
прямоугольная система координат, в которой по горизонтальной оси
откладываются значения фазы <р в радианах или градусах, а по вер-
тикальной — значения Ь в децибелах; частота со при этом является
параметром, изменяющимся вдоль характеристики (рис. 7.15). При
практическом построении таких характеристик пользуются асимпто-
тическими логарифмическими амплитудно-частотными и фазочастот-
ными характеристиками, которые должны быть получены предвари-
тельно, согласно уже рассмотренной методике. Для систем, находящих-
ся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости с нулевыми кор-
нями характеристического уравнения, логарифмическая амплитудно-
фазовая характеристика при <о -> 0 должна дополняться в бесконеч-
ности (пунктирная линия).

Критерий Найквиста легко .можно сформулировать для логариф-
мических амплитудно-фазовых характеристик, используя понятия о
положительных и отрицательных переходах. Предоставляем читателям
сделать это самостоятельно, при этом для проверки можно воспользо-
ваться примером характеристики, изображенным на рис. 7.15, кото-
рый соответствует логарифмическим частотным характеристикам, по-
казанным на рис. 7.12.

§ 7.5.	УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ С ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ ЗВЕНЬЯМИ

Системы с иррациональными звеньями. В системах автоматическо-
го регулирования с иррациональными (полуинтегрирующими и полу-
инерционными) звеньями передаточная функция разомкнутой системы

(р) = К (Ур№ (Гр),	(7.73)

где К (д) и В (р) — полиномы от р (р = Гр), причем степень числи-
теля не превышает степени знаменателя.

Согласно (7.2) передаточная функция замкнутой системы

и^8 (р)=к (Ур)ПК (Гр)+я (Гр)] = к (Гр)М ( Гр) • (7.74)
Применение формулы обратного преобразования Лапласа позво-
ляет получить следующее условие устойчивости 1Л.8], Для устойчи-
вости системы с передаточной функцией (7.74) необходимо и достаточ-
но, чтобы все корни уравнения

А (?) = 0	(7.75>

лежали вне сектора величиной 90°, расположенного в правой полу-
плоскости комплексного переменного ? симметрично относительно дей-
ствительной оси (отмечен штриховкой на рис. 7.16).

Такое условие не позволяет непосредственно применять алгебра-
ические критерии устойчивости, определяющие расположение корней
уравнения типа (7.75) в левой полуплоскости,
частотные же критерии Михайлова и Найкви-
ста могут быть применены, поскольку принцип
аргумента справедлив для А (?). При этом в
качестве контура изменения ? должна быть взя-
та граница сектора, приведенного на рис. 7.16;
в плоскости комплексного переменного р — ср
ей соответствует мнимая ось (р = /<в). Отсюда
следует, что обычные формулировки критериев
Михайлова и Найквиста справедливы для си-
стем с иррациональными звеньями. При этом по
Михайлову должен рассматриваться годограф

вектора А (УТ®) при О^юСоо. Для устойчивой системы он будет
обходить п/2 квадрантов, где п — степень полинома А (?). По Найк-
висту должны рассматриваться пересечения действительной оси частот-
ным годографом ТГР (/со) — К (]Р(У7®) при 0 и < оо левей
точки (—1, /0).

Практически более удобно пользоваться критерием Найквиста,

Пример 7.10. Система регулирования объекта радиационного нагрева с пере-
даточной функцией

«71 = *1/Ур	(7.76)

имеет регулятор с передаточной функцией

^ = ^/[(1 +рЛ) (1 +РЛ)1.	(7.77)

Найти предельное значение коэффициента усиления разомкнутой системы
/гпред == пользуясь критерием Найквиста.

Сведение нейтральной системы к устойчивой достигается введением малого
параметра р и заменой передаточной функцией

»'{=*1/(Ур+₽)

(7.78)

при р 0. Построение годографа для Р -> 0 дает дополнение его в бесконечности.
Годограф

к

(7<о)=Г1 (/ш) »'2 (/<0)=—-  -7 Ч/. , • -Г ч	(7. 79)

|/ко(1 + ко71)(1-Н<»Л)

построен на рис. 7.17, а, где штриховой линией показано его дополнение в бес-
конечности.
Предельное значение коэффициента усиления /гпреД к частота пересечения
сйл находятся из уравнений:

^р(/®я)==—1;	(7.80)

У/<оя(1 +/сояТ1)(1 +/®я72) =—йцред.	(7.81)

Подставив 1// = (^ + )' 1/2 и выделив уравнения для действительных и
мнимых частей

[1 -шя(Л + Г2)-^ Л Г2] = -1/2 *пред;	(7.82)

1 + а)л (Л+Г2)—сояТ1 Т2=0,	(7.83)

найдем

сол -(7\ +Т2 + V П + бГаТз+Гр/рЛ Т2);	(7.84)

*нред=1/2	2	<7• $>>

Рис. 7.17

Решение уравнения (7.80) для любого вида функции Ц72 можно выполнить
графически. Если Г^р представить п виде

Гр(/©)=(А/1//®)«70(/Ш),	(7.86)

то уравнение (7.80) можно записать как

^0 (/*>„)= -У/^/Йпред-	(7.87)

Значения и /гпред могут быть найдены по точкам пересечения годографа
№0 (/со) и прямой, проходящей под углом аг§ (—Д//) = —Зл/4 по отношению
к вещественной оси (рис. 7.17, б).

Отрезок этой прямой А3 равен У<ая//гПред и> следовательно,

^пред =У^М1.	(7.88)

Системы со звеньями запаздывания. Передаточные функции си-
стем автоматического регулирования с запаздыванием содержат члены
с е~Г1, где т — время запаздывания. Рассмотрим в качестве примера
систему, изображенную на рис. 7.18. Передаточная функция звена 1
представляет собой дробно-рациональное выражение:

у.и».д.=г-1+-_- +л . т<„;

о<и й„р”+а»_,р»-‘+-.+л.
передаточная функция звена запаздывания 2 трансцендентна:
\У2 (р) = е-°\

Передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем имеют со-

ответственно вид

»7р(р) = ^(р)/П(р)]е-^;

(7.89)

_ У (р) _ К (р) е~рг _ /С(р)е~рг
У(р) Р(р)+К(р)е-рт ’ Д (р)

Последней передаточной функции соответствует уравнение дви-
жения замкнутой системы

д	г(I	л-----1_й и +к	л_

п Л" +ап-1 Лп-1 +	+«0^+^ Л„ +

+ ^-1 -~т~^1гТ) + • *' + У « ~т) =

= ^т—	+ > - • + /?0 о (/ -т).	(7.91)

У равней и я та кого типа
называются дифференци-
ально-разностными, их тео-
рия разрабатывалась в
трудах Л. С. Понтрягина,
А. Д. Мышкиса, Р. Белл-
мана, Н. Н. Красовского

и других ученых.

Решения уравнения (7С91), образующие свободную составляющую
движения, записываются в форме, принятой для линейных систем без

запаздывания:

у{ = СеР',

(7.92)

где С — постоянные, зависящие от начальных условий.

Подстановка (7.92) в (7.91) с нулевой правой частью (свободное
движение) дает характеристическое уравнение для р

А(р) = О(р) + К(р) е-Рг = 0,	(7.93)

которое может быть получено из знаменателя передаточной функции
^з(р).

Условием устойчивости системы автоматического регулирования
с запаздыванием является отсутствие корней характеристического урав-
нения в правой полуплоскости переменного р. В этом отношении систе-
мы с запаздыванием не отличаются от систем без запаздывания. Однако
характеристическое уравнение для системы с запаздыванием — транс-
цендентное. Это делает невозможным применение алгебраических кри-
териев устойчивости. Использование принципа аргумента при р = /а
[Л. 13] приводит к обычной формулировке критерия Михайлова для
характеристического вектора А(/ю), годограф которого для устойчивой
системы при 0 со < оо обходит п квадрантов, где п — порядок по-
линома О (р).

Естественно, что для системы с запаздыванием сохраняется также
формулировка критерия Найквиста относительно частотного годогра-
фа

Гр (/со) = [К (ло)1 е-,шт.

(7-94)

Критерий Найквиста более
удобен при практическом иссле-
довании устойчивости систем с
запаздыванием.

Из (7.94) видно, что для по-
строения частотного годографа
системы с запаздыванием сле-
дует построить годограф системы
без запаздывания Гр0 (/’«>) =
=/С (/ю)/Е> (/ю) и каждый вектор
этого годографа повернуть по
часовой стрелке на угол ют
(штриховая линия 1—Г на рис.
7.19, а). При возрастании ю
угол поворота увеличивается.
Поскольку при больших значе-
ниях ю модуль Гр0(/ю) обычно
мал, то годограф системы с
запаздыванием закручивается
вокруг нуля.

Пусть система без запазды-
вания устойчива и в разомкну-
том, и в замкнутом состояниях.
Это означает, что частотный го-
дограф Гр0 О'ю) не охватывает
точку (—1, /0) (рис. 7.19, б).
Будем увеличивать запаздыва-
ние т и следить за деформацией

Рис. 7.19

годографа Гр(/ю). При не-

котором значении т = тпред годограф Гр (/ю) пройдет через точку
(—1, /0), и, следовательно, система окажется на границе устойчивости.
При т < тпред система с запаздыванием устойчива, при т > тиред —
неустойчива.

Величина предельного запаздывания тпред может быть легко най-
дена графически. Для этого проведем окружность единичного радиу-
са на плоскости Гр0(/ю) (рис. 7.19, в). Точка пересечения годографа
Гр0 (/®) с этой окружностью определит частоту юл, и предельное вре-

мя запаздывания

тпред =	(7.95)

Приведенные выводы о применимости критериев Михайлова и Найк-
виста справедливы также и для систем автоматического регулирова-
ния с более сложными схемами, чем показанная на рис. 7.18, напри-
мер для систем с несколькими звеньями запаздывания и со звенья-
ми полузапаздывания. При этом выражения для характеристических
векторов и комплексных коэффициентов передачи соответственно ус-
ложняются.

§ 7.6. ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ

Примеры, рассмотренные в настоящей главе, показывают, что из-
менение параметров (в частности, увеличение коэффициентов усиления
и запаздываний) в системах автоматического регулирования может вы-
звать неустойчивость. Поэтому при проектировании систем стремятся
обеспечить их устойчивость с некоторой гарантией, так чтобы изменение
параметров в некоторых пределах не могло привести к неустойчивости.
Для этой цели используются понятия запасов устойчивости систем

автоматического регулирования, вводимых на основе частотного кри-
терия Найквиста. Запасы устойчивости характеризуют удаление ча-
стотного годографа разомкнутой системы (/со) от критической точки
с координатами (—1, /0). Запас устойчивости по фазе ус (рис. 7.20, а)
измеряется по дуге окружности единичного радиуса с центром в начале
координат между точкой (—1, /0) и ближайшей к ней точкой частот-
ного годографа №р (/сос). Частота пересечения годографа Ц7р и единич-
ной окружности называется частотой среза сос; на частоте среза
| №р(/<ос) = 1 ]• Запас по фазе обеспечивает сохранение устойчивости
при увеличении запаздывания в системе. Для неустойчивой системы
(рис. 7.20, б) запас по фазе считается отрицательным.

Запас устойчивости по усилению (говорят также запас по модулю)
равен отношению предельного коэффициента усиления системы, най-
денного из условия устойчивости, к ее коэффициенту усиления в ис-
следуемом случае. Согласно критерию Найквиста это отношение об-
ратно пропорционально отрезку ОА (рис. 7.20, а), отсекаемому годо-
графом №р (/со) на отрицательной действительной полуоси:

Р = ^д/* = 1/1^Р0<оя)|,	(7.96)

где соп — частота пересечения.
Запас устойчивости по усилению обеспечивает сохранение устой-
чивости при увеличении коэффициента усиления системы. Для устой-
чивых систем запас устойчивости больше единицы, для неустойчивых
(рис. 7.20, б) — меньше единицы.

Запас устойчивости по усилению удобно выражать в логарифмиче-
ском масштабе (дБ)

(7.97>

- 20Р - - 2011Гр [ - - Ь (<ол).

Величина Г8ап положительна для устойчивых и отрицательна
для неустойчивых систем.

На рис. 7.21 показаны запасы устойчивости по фазе и по усилению,
определенные по логарифмическим частотным характеристикам: на
рис. 7.21,а — для устойчивой системы, а на рис. 7.21,6 — для не-
устойчивой системы.

Запасы устойчивости систем автоматического регулирования не
только гарантируют сохранение устойчивости при изменении пара-
метров, но и определяют характер переходных процессов в системах.
Их численные значения выбираются исходя из требований, предъяв-
ляемых к переходным процессам (см. гл, X),
ГЛАВА VIII

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ЛИНЕЙНЫХ систем автоматического
РЕГУЛИРОВАНИЯ НА ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

§ 8.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Все приведенные в гл. VII критерии устойчивости дают возможность
при заданных параметрах системы делать заключение об ее устойчиво-
сти. С помощью этих критериев возможно проследить влияние некото-
рых параметров на устойчивость системы, например, определить пре-
дельные значения коэффициента усиления системы и времени запазды-
вания.

Чтобы исследовать влияние различных параметров системы на ее
устойчивость, разработаны специальные методы: а) анализ перемеще-
ния корней характеристического уравнения в плоскости корней и по-
строение так называемых корневых годографов; б) построение областей
устойчивости в пространстве параметров системы или коэффициентов
характеристического уравнения.

§ 8.2.	МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА

Метод корневого годографа позволяет оценить влияние параметров
системы автоматического регулирования на расположение корней ха-
рактеристического уравнения. Метод был предложен К. Ф, Теодор-
чиком (СССР, 1948 г.) и развит Э. Г. Удерманом (СССР, 1948 г.)
и Эвансом (США, 1950 г.) [Л. 5, 38,41]. Обычно рассматривают влияние
одного параметра на расположение корней, чаще всего — коэффициен-
та усиления системы.

Корневым годографом называется геометрическое место корней ха-
рактеристического уравнения при изменении одного из параметров си-
стемы от 0 до оо.

Пусть характеристическое уравнение системы п-го порядка пред-
ставлено в виде

А (р) = Р (р) + оС (р) = 0,	(8.1)

где Р(р) и (р) — полиномы от р; о — переменный параметр систе-
мы. В этом случае для определения корневого годографа необходимо
найти перемещение всех п корней характеристического уравнения при
0 V < оо.

Не ограничивая общность рассмотрения задачи, всегда можно вы-
брать так единицу измерения параметра V, чтобы коэффициенты при
высших степенях р в выражениях Р (р) и С} (р) обращались в единицу,
т. е. чтобы

Р(р)=-рп + а1рп~1 +

С}(р) = рг + Ь1рг~1 +

(8.2)

(8.3)

Тогда, найдя корни уравнения Р (р) = 0, обозначаемые через гъ
г2, ..., гп, и <2 (р) = 0, обозначаемые через дх, <?2, .... дг, можно урав-
нение (8.1) записать как

П (р — г() + V П (р — дд = О	(8.4)

п	•

ИЛИ при V =# О

— П (р—гг) + п (р—рг) = 0.
V п	'

(8.5)

При этом соответствующим выбором переменного параметра V всег-
да можно соблюсти условие п г.

Если корни уравнения (8.1) или соответственно (8.4) и (8.5) обозна-
чить через рь то при V = 0 корни р, совпадают с корнями гь а при
V — оо корни р4 совпадают с д, или уходят в бесконечность.

Так как все комплексные корни характеристического уравнения
в плоскости корней симметричны относительно действительной оси,
то на основании изложенного можно сформулировать следующее пра-
вило построения корневого годографа.

Правило 1. Корневой годограф симметричен относительно дейст-
вительной оси и состоит из п ветвей, выходящих из п нулей уравнения
Р (р) = 0 при о ~ 0, из них г ветвей заканчиваются в г нулях уравнения
р (р) = 0, а п — г ветвей уходят в бесконечность при о -> оо.

Остановимся на п — г асимптотических кривых корневого годогра-
фа при г<пио->а>. В этом случае представим уравнение (8.4)
в виде

—V = п (р—гг)/ П (р—?г) = Р (р)К} (Р).
п	9

(8.6)

Числитель и знаменатель уравнения (8.6) имеют вид полиномов
(8.2) и (8.3), причем ах = —а Ьх = —Разделив числитель на
п	9

знаменатель, получим

где

— У =	+с1рл~г“1+с2р'1-“г-2+..м

С1 = «1 —= 2гг.
9	П

(8.7)

(8.8)

Выражение (8.7) в общем случае представляет собой сумму бес-
конечного ряда членов с уменьшающимися до —оо степенями перемен-
ной р.

При | р | -> оо, что соответствует асимптотическим кривым, сущест-
венную роль играют только первые два члена ряда, поэтому ограничим-
ся рассмотрением коэффициентов только при этих членах.
В этом случае выражение (8.7) вырождается в уравнение (п — г)-
лучевой симметричной звезды. Действительно, параметрическое урав-
нение (п — г)-лучевой симметричной звезды с центром в точке х0
имеет вид

—р = (Р—хор~'.	(8.9)

где V изменяется от 0 до оо.

Рис. 8.1

При п — г — 1 эта звезда представляет собой полупрямую, ухо-
дящую по действительной оси из точки х0 в —оо (рис. 8.1, а). При
п — г = 2 звезда имеет два луча, уходящих из точки х0 по направле-
ниям +/ и —/ в бесконечность (рис. 8.1, б). Соответственно по
мере увеличения числа п — г количество лучей звезды возрастает
(рис. 8.1, в—е).

Записав равенство модулей и аргументов для уравнения (8.9), по-
лучим

той (р—х0) =	(8.10)
аг§ 1р—х0) = л (26 + 1)/(п—г).

(8.П)

При этом имеется в виду, что—1 = е'п(2*+1), где к — любое целое
число.

Из уравнения (8.11) следует, что угол между двумя соседними лу-
чами звезды равен 2л/(п — г), а угол между действительной осью и
ближайшим к ней лучом равен л/(п — г).

Уравнение (8.9), можно записать, воспользовавшись формулой
бинома Ньютона, в более близкой к уравнению (8.7) форме

—о =	—(п—г) рР-"-1 х0 +	О	+ ... . (8.12)

2!

Сравнивая уравнения (8.12) и (8.7), можно установить, что при
^р| -► оо и соответственно оо (когда можно ограничиться только
первыми двумя членами) уравнения совпадают, если с. — — (п — г) х0.

Выразив с. через г4 и по формуле (8.8) и решив полученное урав-
нение относительно х0, найдем

х0 = (Хге—2<7»у(п—г).

(8.13)

Выражение (8.13) является формулой для определения центра тя-
жести системы тел с весами +1 и —1.

Таким образом, для построения асимптотического корневого годо-
графа можно сформулировать следующее правило.

Правило 2. Асимптотический корневой годограф при V —> оо пред-
ставляет собой симметричную (и — г)-лучевую звезду с центром в точ-
ке. соответствующей центру тяжести корней уравнений Р (р) = О
ц (? (р) = 0, если корням уравнения Р (р) = 0 приписать вес + 1, а
корням уравнения С (р) = 0 — вес —1. Лучи звезды образуют между со-
бой углы. равные 2я/(п — г), а ближайший к действительной оси луч
повернут по отношению к ней на угол л/(п — г).

Сформулированные правила дают возможность определить участки
начала и конца ветвей корневого годографа при 0 и оо. При
промежуточных значениях параметра перемещение корней с измене-
нием V происходит либо по действительной оси, либо в комплексной
плоскости.

Построение годографа для промежуточных значений V в случае
необходимости лучше всего проводить с помощью ЭЦВМ, так как боль-
шинство их в настоящее время оснащено стандартными программами
по нахождению корней степенных уравнений.

Пример 8.1. Построить корневой годограф для системы регулирования с пе-
редаточной функцией

№ (р) = */[Р (1 +рГ1) (1 +рТ2)]	(8.14)

при изменении /г от 0 до оо, если Тг » 0,1 с и Т2 = 0,02 с.
Уравнение (8.1) для этого случая имеет вид

Л(р) = р(р + 1/Т1)(р + 1/Т2) + ^/Т1Т2 = 0.
Соответственно

Р(Р)=Р(р+1/Л)(р+1/Л); (?(р)=1;

V=к^^Т^Т^).

Таким образом,

п = 3, г = 0, г а 0, ^2	—1/7\ “ —Юс*1, г8 « —\/Т2 « —50с*1.

Так как п — г “ 3, то асимптотический корневой годограф имеет вид трех-
лучевой звезды (см. рис. 8.1, в) с центром в точке,определяемой по формуле

х0=( —10—50)/3 = —20 С"1.

Годограф, построенный на основании значений трех асимптот, трех корней
при V = 0 и нескольких промежуточных значений о, соответствующих точкам
разветвления г>1, пересечения мнимой оси и2 и другим, изображен на рис. 8.2.

Пример 8.2. Построить корневой годограф для системы, рассмотренной
в примере 8.1, но при изменении Т2 от 0 до оо, если 7\ = 0,1 с, а к = 1,6 с*1.

Уравнение (84) для этого случая имеет вид

/	1 \	1	/	1 к \

А(р) = р2 ( Р+~ )+— (ра+р —+ — )=°-

\	' 2 \ Л 11/

Соответственно

Г(Р)=Р2(р+1/Л);

<2(Р) = Ра+Р/7’1+/г/Л;

о=1/Т8.

Таким образом,

п=3, г=2, г1=г8=0, г3=—1/71 = —Юс-1,

Л92=Л/7’1=16с-1, й+<72=— 1/Т1=-10с-\

откуда

<71=—2 с-1, <?2==—8с-1.

Так как п — г = 1, то асимптотический корневой годограф имеет вид луча,
уходящего из точки га в —оо.

При заданных параметрах и любых положительных значениях V система ос-
тается устойчивой и годограф ее лежит в левой полуплоскости (рис, 8.3, а).
Если в этом примере к больше, чем 1/7\, то годограф в определенном диа-
пазоне изменения V перейдет в правую полуплоскость и в предельном случае
(V — гпреД = к — 1/7\) будет пересекать мнимую ось (рис. 8.3,6). При этом
корни уравнения ф(р)~ 0 оказываются комплексными и при а—>оо обе ветви
годографа заканчиваются в точках (71 и ^2. «е лежащих на действительной оси.

§ 8.3. МЕТОД О-РАЗБИЕНИЯ

Разбиение пространства параметров (или коэффициентов) на области
с различным распределением корней характеристического уравнения
системы называют О-разбиением. Области обозначаются через О (/),
где / — число корней уравнения в правой полуплоскости. Среди всех
областей Р-разбиения лишь одна О (0) является областью устойчиво-
сти (в общем случае она может быть многосвязной).

Знание области устойчивости в пространстве параметров системы
(особенно, если эти параметры относятся к числу настраиваемых)
имеет большое практическое значение, позволяя в процессе проекти-
рования или наладки правильно выбрать параметры системы.

Ю. И. Неймарк предложил способы получения Р-разбиения для
одного и двух параметров, входящих линейно в характеристическое
уравнение [Л. 29]. Рассмотрим способ для одного параметра.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид

Л (р) = Р(р)+у(?(р) = 0,	(8.15)

где V—исследуемый параметр.

Границы Р-разбиения согласно (8.15) определяются уравнением

Р (/со) + VII (/со) == 0,

так как границей между правой и левой полуплоскостями корней яв-
ляется мнимая ось, на которой р = /со (—оо < со < + оо).

Решая уравнение относительно V, найдем выражение для границы
Р-разбиения

V = —Р (/со) = х + 1’у.	(8.16)

При этом параметр V оказывается комплексным.

При построении границы Р-разбиения достаточно использовать
только положительные значения со, т. е. 0 со < оо (сплошная ли-
ния), и затем построенный участок дополнить зеркальным отображе-
нием относительно действительной оси (штриховая линия).

На рис. 8.4, а показана граница Р-разбиения в плоскости V = х +
4- /у. Ее можно рассматривать как результат преобразований мнимой
оси плоскости р (рис. 8.4, б) согласно формуле (8.16). Левой полупло-
скости переменного р соответствует часть плоскости переменной V,
лежащей слева от кривой Р-разбиения, если двигаться по ней в на-
правлении возрастания со. Эта часть заштрихована на рис. 8.4, а.

Если в плоскости V пересекать границу Р-разбиения по направле-
нию штриховки (стрелка /, рис. 8.4, а), то в плоскости р один ко-
рень переходит из правой полуплоскости в левую. Если же в плоскости
V пересекать границу Р-разбиения против штриховки (стрелка 2*
рис. 8.4, а), то в плоскости корней один корень переходит из левой
полуплоскости в правую.

Направление штриховки определяет направление перехода корней
через мнимую ось и их число. Поэтому для разметки областей Г (/)
достаточно знать распределение корней относительно мнимой оси при
каком-либо произвольном значении параметра. Переходя в плоскости
V от этого значения параметра к любому другому, по числу пересече-
ний границы О-разбиения и направлению штриховки можно опреде-
лить значение /в любой точке. Напомним,
что областью устойчивости будет область
О (0).

Рис. 8.5

Рис. 8.4

Ре

Р

В линейных задачах изменяемый параметр является вещественным
(коэффициент усиления, постоянная времени) и практический интерес
имеет область О-разбиения, прилегающая к оси х. Рассмотрение всей
области комплексного параметра представляет интерес для нелинейных
задач, где может быть использован полученный результат.

Пример 8.3. Пусть дано характеристическое уравнение системы из трех инер-
ционных звеньев

(1 +р7\) (1 +рГ2) (1 +р7з)+А = 0,	(8.17>

где Тъ Т2, Т3 — заданные постоянные времени; /? — общий коэффициент уси-
ления.

Для решения задачи построим границу О-разбиения в плоскости комплекс-
ного параметра Л и будем интересоваться лишь разбиением действительной оси.
т. е. действительными значениями к.

Из (8.17) следует что граница О-разбиения соответствуег уравнению

к=*+1У = — (1 +/соЛ) (1 + М\) (1 + /ш73).	(8.18>

Граница О-разбиения согласно (8.18) представлена на рис. 8.5, а. Претен-
дентом на область устойчивости является область 8, к которой направлена штри-
ховка границы О-разбиения. Можно показать, что эта область является не только»
претендентом, но и самой областью устойчивости. Действительно, точка (0, /0),
т. е. к = 0, лежащая в области 8, принадлежит области устойчивости О (0)’ и ба
характеристическое уравнение (8.17) превращается в уравнение

(1+рЛ)(1+рТ2)(1+рТ3)=0,
все три корня которого лежат в левой полуплоскости. Таким образом, система
устойчива, если действительные значения к изменяются в пределах, определяе-
мых отрезком АВ. Предельное значение к определяется точкой В. Система устой-
чива и при отрицательных значениях Л, если к > —1*.

Чтобы найти А'дред (точка В), следует определить значение соо, при котором

^(®о)“0;	(в-19)

аюгда

^пред = * (соо).	(8.20)

Проводя вычисления, из (8.18) получим

^пред — О + тг + ^з) (1 + 1/т2 +1 /т3) — 1,	(8.21}

где т2 “ ^2/^1» тя Тз/Л- Это решение совпадает с результатом, полученным в
примерах 7.1, 7.4 и 7.5.

На рис. 8.5, а показаны области О (0), О (1\ О (2). Область 75(3) в данном
случае отсутствует; это значит, что при положительных значениях Тъ Т2 и любом
значении к невозможно, чтобы все три корня уравнения (8.17) находились в
правой полуплоскости.

Если в качестве переменного параметра выбрать V = — 1//?, то для построения
границы О-разбиения можно воспользоваться нормированным частотным годо-
графом разомкнутой системы.. Действительно, обозначив

~к =х+,У = (1+/ШТ,) (1 + /ыТг) (1 + /шТ3) ’	(8‘И>

для границы 75-разбиения получим годограф, показанный на рис. 8.5, б.

Выполнив штриховку слева от гранцы 75-разбиения и произведя разметку
областей, можно установить, что система устойчива только в том случае, если
точка —\/к лежит вне замкнутого контура, показанного на рис. 8.5, б.

Аналогично, хотя и более сложно (см. например (Д. 9]), выпол-
няется О-разбиение по двум параметрам, входящим линейно в характе-
ристическое уравнение (параметры хну):

хР (р) + у<2 (р) + Р (р) = 0.

Большие скорости вычислений и наличие развитого математиче-
ского обеспечения ЭЦВМ позволяют решать задачи П-разбиения про-
стым перебором большого числа точек на плоскости параметров и оп-
ределением числа корней в правой полуплоскости на основе критерия
Рауса (см. § 7.2).

Для решения задачи на ЦВМ в плоскости параметров (например,
х и у) должна быть задана прямоугольная область, ограниченная
сверху (уи снизу (ув), справа (хв) и слева (хв) предельными значения-
ми параметров. Затем заданные отрезки осей абсцисс и ординат разби-
ваются на интервалы (Дх и Дв), число которых (пх и пу) определяется
необходимой точностью разбиения и возможностями выводных уст-
ройств ЦВМ. Таким образом, вся заданная область параметров раз-
бивается на пхпу прямоугольников, размер которых при выводе резуль-
тата будет равен габаритам литеры печатающего устройства ЭВМ.

Построение П-разбиения начинается с левого верхнего угла задан-
ной области. По значениям параметров в середине левого, верхнего
прямоугольника (у = ув— &у/2\ х = хв + Дх/2) ЦВМ вычисляет

* Отрицательным значениям к соответствует положительная главная обрат-
ная связь.
	/г
1111	.22222222222222222222222222222222222
1111	.22222222222222222222222222222222222
1111	.22222222222222222222222222222222222
1111	♦22222222222222222222222222222222222
1111	.22222222222222222222222222222222222
1111	.22222222222222222222222222222222222
1111	.22222222222222222222222222222222222
1111	..2222222222222222222222222222222222
1111	..2222222222222222222222222222222222
1111	.2222222222222222222222222222222222
1111	..2222222222222222222222222222222222
1111	.. 2222222222222222222222222222222222
1111	..2222222222222222222222222222222222
1111	...22222222222222222222222222222222.
1111	...22222222222222222222222222	
1111	.... 2222222222222222222	
1111		2222222222	
1111	
1111	
1111	
1111	
1111	
1111	
1111	
1111		Т
	
1111	
2222	111111111111111111111111111111111111
2222	111111111111111111111111111111111111
2222	111111111111111111111111111111111111
2+22	111111111111111111111111111111111111

хггпп = 2’001о0 хшах = 1-801О 1 пх—40 ёе1х = 5-001о — 1
угп!П=—5’00100 утах==2-501П 1 пу = 30 с!е1у = 1-001о 0

Рис. 8.6

сначала коэффициенты характеристического уравнения, а затем число
корней уравнения в правой полуплоскости на основе критерия Рауса.

Напомним, что критерий Рауса сводится к построению табл. 7.1
из п 4- 1 строк и т = Е 1(п + 3)/2] столбцов [где Е (...) — целая
часть числа] по заданным числовым коэффициентам характеристиче-
ского уравнения.

Число корней в правой полуплоскости I определяется числом смен
знаков чисел первого столбца. Определив /, машина печатает в левом
верхнем углу листа бумаги соответствующую цифру. Если I = 0, то
целесообразно печатать какой-нибудь специальный символ, например
точку. При этом хорошо видна область устойчивости.

После анализа первого прямоугольника машина переходит к сле-
дующему (слева направо) с координатами (у = уъ — Ду/2; х = хн +
+ 1,5Лд.) и так далее до конца строки печатаются символы, соответст-
вующие числу корней в правой полуплоскости — всего пх символов.
Затем ЦВМ переводит строку на печатающем устройстве. При этом
уменьшается у на величину Д^, и процесс продолжается слева направо.
п

22222222222222222222222222222222222222222222222222

22222222222222222222222222222222222222222222222222

22222222222222222222222222222222222222222222222222

22222222222222222222222222222222222222222222222222
222222222222222222222222222222222222222222222222..

222222222222222222.................................

222222222222.......................................

222222222..........................................

2222222............................................

222222.............................................

22222..............................................

22222..............................................

2222...............................................

2222...............................................

2222...............................................

222................................................

222................................................

222................................................

222................................................

222................................................

222................................................

222................................................

22.................................................

22.................................................

22.................................................

22.................................................

22.................................................

22.................................................

22.................................................

22.................................................Т

Хипп—-001о0 хтах = 1-001О1 пх = 50 бе!х=2-ОО1о— 1
ут1п=-0010 0 углах = Н10—20102 пу = 30 бе1у = 4-001о0

Рис. 8.7

Пример 8.4. На рис. 8.6 показано О-разбиение, построенное ЦВМ в пло-
скости параметров Т и к для системы из трех инерционных звеньев, передаточная
функция которой в разомкнутом состоянии

^р(р) = /г/[(1+71р)(1+5р)3Ь

Характеристическое уравнение замкнутой системы

25Тр3+(25+ЮТ)р2+(10+Т)р+(1-}-/г)=-0.

По оси абсцисс изменяется параметр Т от —2 до 18 с интервалом «= 0,5,
т. е. отрезок изменения Т разбит на 40 участков. Параметр к изменяется от —5
до +25 с интервалом =» 1. Таким образом, вся область параметров разбита
на 1200 прямоугольников, которые последовательно анализируются на основе
критерия Рауса. Минимальное значение предельного коэффициента усиления
к =» 8 имеет место при Т =*= 5. Этот случай соответствует равенству всех трех
постоянных времени инерционных звеньев, и его результат совпадает с (8.21).
Общее время решения адачи на ЦВМ ОДРА-1204 (которая имеет скромное быст-
родействие — около 30 тыс. операций в секунду) — 1 мин 55 с.

Рассматриваемая задача может быть решена аналитически, так как пара-
метры входят в характеристическое уравнение линейно. Отрицательные значения
параметров взяты только из методических соображений. Координатные оси про-
ведены уже после распечатки решения.
Интересно обратить внимание на символ ?+» в нижней строке, второй слева.
Программа печатает «+», если при заданных параметрах х и у в процессе вычисле-
ния таблицы Рауса встретилась операция деления на нуль, и критерий Рауса
оказывается неприменимым.

Пример 8.5. На рис. 8.7 показано О-разбиение в плоскости параметра 7
(времени изодрома) и коэффициента усиления к для системы, состоящей из объек-
та четвертого порядка и пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора. Пе-
редаточная функция системы в разомкнутом состоянии

/	1 \ ______________2_____________

«7р(Р) = *^> + Тр ) • 0 6р4_1_5>6рз+25р3+62р + 1 '

Характеристическое уравнение замкнутой системы

О, ьТр*+5,6Тр* + 25Тр3+62Тра+(2кТ+Т) р+2к +1 = 0.

Коэффициент при р включает в себя произведение кТ поэтому аналитически
задачу ГЬразбиения решать затруднительно.

Параметр Т изменялся от 0 дэ 10 с интервалом Дг=> 0 2, а коэффициент
усиления от 0 до 120 с интервалом 4. Время последовательного перебора
1500 точек на плоскости параметров с вычислением коэффициентов характери-
стического уравнения в каждой и анализом его корней по критерию Рауса со-
ставило всего 4 мин 40 с работы ЦВМ ОДРА-1204

Приведенные примеры показывают большие возможности приме-
нения ЦВМ для построения Р-разбиений. При этом важен тот факт, что
критерий Рауса хорошо программируется, так как сводится к простым,
хотя и многочисленным, арифметическим операциям.
ГЛАВА IX

КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
И ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ЕГО ИССЛЕДОВАНИЯ

§ 9.1. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА

Устойчивость системы автоматического управления — необходи-
мое, но далеко не достаточное условие рациональности ее примене-
ния. Очевидно, что устойчивая система при отработке различных воз-
действий может оказаться недостаточно точной, переходные процессы
управления в ней могут затухать чересчур медленно (недостаточное
быстродействие), не будет обеспечена требуемая плавность изменения
выхода, система не сможет достаточно хорошо осуществить автоматиче-
ское управление. Комплекс требований, определяющих поведение си-
стемы в установившемся и переходном процессах отработки заданного
воздействия, объединяется понятием качества процесса управления
(качества системы). Требования этого комплекса выдвигаются практи-
кой.

Задача анализа (исследования) процессов управления — уста-
новить, какое влияние оказывает структура системы и значение ее
параметров на процесс управления и показатели его качества, а также
выяснить, насколько та или иная система удовлетворяет предъявляе-
мым к ней требованиям.

Выбор структуры и параметров системы управления в соответствии
с требованиями качества относится к задаче синтеза.

Рассмотрим процессы управления в устойчивых системах, предпо-
лагая, что наиболее часто встречающиеся или наиболее тяжелые для
системы воздействия могут быть наперед заданы в виде определенной
(детерминированной) функции времени. Детерминированные воздейст-
вия, выбранные с учетом специфики работы системы, называются ти-
повыми.

В подавляющем большинстве практических задач исследование си-
стемы ограничивают стандартными случаями, рассмотренными в гл. III:
отработкой единичного импульса, единичного скачка, единичного сиг-
нала постоянной скорости или гармонического сигнала. Для этих эле-
ментарных задач разработаны прямые показатели качества переходных
процессов.

При исследовании систем программного управления бывает необ-
ходимо находить реакцию системы на произвольный сигнал, который
может быть представлен степенным рядом (3.3) или (3.4).

Рассмотрим структурную схему, изображенную на рис. 9.1. На
систему автоматического управления с передаточной функцией
состоящую из объекта управления №ов, последовательного устройства
управления ТЕпС и устройства управления в цепи обратной связи №о.с,
действуют задающий сигнал V (уставка регулятора, поворот задающей
оси следящей системы) и возмущение /.

Качество процессов отработки типовых сигналов V и / оценивают
порознь либо непосредственно по управляемой переменной системы —
ее выходу у, либо по ошибке системы б (0, представляющей собой раз-
ность выходов исследуемой системы и некоторой идеальной эталонной
линейной системы:

б = р8Т — у.

Рис. 9.1

Согласно рис. 9.1 изображение

Д (р) = Д7 V— Й7а V— Й7	---------------

а 1	\ Т 1+^пс^об^о.с

--------	р =	у__ ™ р
1+^ас^об^о.с-----------'

Эталонная передаточная функция должна соответствовать задан-
ному линейному динамическому преобразованию входного сигнала
V (0 в требуемый сигнал у (0 замкнутой системы. Так, для системы
автоматического регулирования в идеальном случае у должно быть
равно V, откуда (р) = 1; в системе копирования с изменением мас-
штаба у — ки, откуда №ЙТ = к; в интеграторе требуется, чтобы у =
I

— 7^— I' ш!1 и, следовательно, 1^эт = 1/(7\нр).

1 ин $

Если при исследовании качества системы автоматического регу-
лирования в качестве эталона принято 1КЭТ = 1 и 1ГО.С = 1, то
е (0 = б (0,	(9.3>

т. е. ошибка системы равна ее рассогласованию, и структурная схема,
изображенная на рис. 9.1, может быть представлена в виде схемы,
показанной на рис. 9.2. Поэтому часто ошибка отождествляется с рас-
согласованием. На рис. 9.2 №р (р) = УЕПС (р) УЕоб (р) — передаточ-
ная функция разомкнутой системы, поскольку 1Г0.0 (р) = 1; /э —
эквивалентное возмущение, приведенное ко входу системы. Из
рис. 9.1 согласно правилам преобразования структурных схем, изло
женным в гл. VI, следует, что

(Р) -	(р) Р (р) - Р (р)№пс (р);

(Р) = 1/^пс (Р).

(9-4)

Далеко не во всех случаях целесообразно предъявлять к системе
такие предельно идеализированные жесткие требования. Безынерцион-
ную систему с передаточной функцией (р) = 1 не только нельзя
физически реализовать, поскольку в ней должны возникать сигналы
неограниченно большой мощности, но и нецелесообразно, так как по-
добная система не может осуществить фильтрацию помех.

Вопросы рационального выбора эталона сравнения = В70пт
с учетом задач управления и реальных возможностей аппаратуры от-
носятся к теории оптимальных систем, основы которой будут изложены
во второй части курса.

На рис. 9.3 показан пример процесса отработки единичного скач-
ка по задающему (управляющему) сигналу V = 10 (0 в системе авто-
матического регулирования. Выход системы у (I) в этих условиях равен
переходной функции замкнутой системы



(9.5)

Рассмотрим прямые показатели качества этого процесса:

1)	установившееся значение выхода, определяющее статическую
точность системы (см. § 2,2),

Луст = И (оо) = Нт И (/) = Нт р = №ус (0);	(9.6)

?-*оо	р-*0	Р

2)	время регулирования ^рег, которое служит основной характери-
стикой быстродействия системы и определяется из условия малости
переходной составляющей:

| К (/) ^уст I $рег При I ^рег»

(9.7)
где 6рег — заранее заданное значение, определяемое точностью си-
стемы. Обычно, если нет специальных соображений, определяющих
другую оценку, принимают 6рег= 0,05;

3)	максимальное перерегулирование ДЛмакс, которое совместно
с показателями 4) и 5) характеризует плавность протекания переход-
ных процессов (демпфирование системы). Оно определяется как наи-
больший выброс управляемого процесса /т (/) относительно установив-
шегося йуст (0- Зачастую вводят относительную (безразмерную)
хара ктеристику перер егул ирован ия

п = (ДЛмакс/Луст) Ю0%;

4)	время максимального перерегулирования Гм, при котором

(^м) = ^манс = ^уст Алманс’	(0«8^

5)	число перерегулирований в интервале 0 С I 7рег, опреде-
ляемое как число выбросов, для которых

^уст ^макс > $рес >0.	(9.9}

Из рис. 9.3, видно, что первые три показателя определяют зону,
ограничивающую рассогласование системы в ходе процесса управле-
ния. Граница этой зоны выделена на рисунке штрихованными пря-
мыми.

С помощью аналогичных показателей можно оценить качество си-
стемы по ее рассогласованию е (I) или ошибке 6 (0.

Для того чтобы непосредственно оценить процесс управления по
прямым показателям качества, необходимо построить или эксперимен-
тально зарегистрировать оцениваемый процесс.

Методы, позволяющие построить исследуемый процесс непосредст-
венно, называются прямыми методами анализа качества. Как показа-
но в гл. VI, процессы управления в замкнутой системе при заданном
воздействии описываются неоднородными линейными дифференциаль-
ными уравнениями с постоянными коэффициентами, поэтому прямые
методы анализа качества совпадают с методами решения уравнений
этого типа.

При классическом способе решения сталкиваются с достаточно тру-
доемкими операциями решения характеристического уравнения зам-
кнутой системы: вычислением произвольных постоянных, соответствую-
щих заданным начальным условиям, и вариацией произвольными по-
стоянными.

Операторный метод существенно уменьшает трудоемкость решения,
сводя его к определению оригинала правой части операторного урав-
нения (9.4). Наличие подробных таблиц соответствия (см. приложение
П.4) значительно облегчает расчеты, однако и здесь сохраняются самые
трудоемкие операции — решение характеристического уравнения зам-
кнутой системы Л (р) = 0 и разложение изображения на элементар-
ные дроби.

Процесс управления в заведомо устойчивой линейной системе мож-
но построить, пользуясь частотным методом, основанным на обратном
преобразовании Фурье. В этом случае построение ведется при помощи
тех же расчетных или экспериментально найденных частотных харак-
теристик, которые обеспечивают исследование устойчивости. Решение
характеристического уравнения здесь не требуется. Инженерные графо-
аналитические способы расчета до минимума снижают трудоемкость
этого метода (§ 9.5).

При наличии электронных аналоговых моделирующих устройств
построение процессов управления полностью механизируется. Модели-
рование системы управления можно осуществить, как показано в § 6.6
и 9.6.

Помимо аналогового моделирования все большее распространение
получает моделирование систем управления с помощью ЦВМ — цифро-
вое моделирование. При этом дифференциальные уравнения системы
заменяются разностными и решение дает дискретные значения процес-
са в равноотстоящие моменты времени, достаточно близкие друг другу.
Методы цифрового моделирования рассмотрены в § 9.6.

Перечисленные прямые методы позволяют определить процесс управ-
ления при заданном воздействии и заданных параметрах системы.
Связь между параметрами системы и качеством процессов управления
при таком подходе только в частных случаях допускает простое выра-
жение. Это значит, что основная задача исследования качества пере-
ходных процессов не может быть полностью решена с помощью прямых
методов й требует применения специально разработанных в теории ав-
томатического управления косвенных методов анализа (см. гл. X).

По истечении времени, достаточного для затухания переходных
процессов (/ > ^рег), система автоматического управления работает
в установившемся режиме и ее поведение определяется вынужденной
составляющей решения дифференциального уравнения.

Мерой динамической точности системы служит погрешность отработ-
ки внешнего воздействия в установившемся режиме — вынужденная
составляющая ошибки бвын (/)• При этом возможны различные оценки
ошибки. Наибольшее распространение получили:

максимальная ошибка

$манс I $вын (О |макс»	($•

среднеквадратичная ошибка

бСр.кв = Нт 1/-7'Пб»ын(ПГ^=К^.	(9.11)

Г->ОО Г / Л

Анализ вынужденного режима может быть проведен с помощью
прямых методов исследования качества.

§ 9.2. КАЧЕСТВО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПРИ СТАНДАРТНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Переходная функция. Общераспространенность оценки качества
системы по ее переходной функции объясняется в основном простотой
и наглядностью эксперимента, проводимого как на модели системы,
так и в реальных условиях. Следует, однако, отметить, что в реальных
условиях абсолютную величину воздействия приходится выбирать до-
статочно малой, чтобы в процессе его отработки система не вышла за
границы области, в которой линеаризованные уравнения с заданной
точностью соответствуют математическому описанию физической (не-
линейной) системы. При низком уровне полезного воздействия раз-
личные помехи могут совершенно исказить результат эксперимента.
В этих случаях прибегают либо к испытаниям модели системы, либо
к косвенному определению переходной функции по частотным характе-
ристикам, либо к специальной методике определения К (/) по результа-
там статистической обработки многочисленных экспериментов.

Множество переходных функций автоматических систем можно
разбить на три типа: колебательные с перерегулированием, колеба-
тельные без перерегулирования и монотонные.

Рассмотрим использование показателей качества при оценке пере-
ходной функции системы.

Рис. 9.4

Пример 9.1. Оценить качество процесса отработки единичного скачкообраз-
ного управляющего воздействия следящей системой, структурная схема которой
изображена на рис. 9.4.

Реакция системы на задающее воздействие V (р) = 1/р изображается как

К(р) ,	к	1

у (Р)=	(р) =	V (р) = 	•—,

Л (р)	Р(1+р71) (1+р7з)+« Р

где

А (р) =	с*1; Т± = 0,1 с; Т2 1=3 0,02 с.

Характеристическое уравнение Л (р) = р3 + 60р2 + 500р + 8000 ==> 0 при-
ведем подстановкой р =» 20? к нормированному виду

93 + З?2 + 1,25? +1-0.

Корни этого уравнения можно определить по диаграмме, представленной на
рис. 10.23 (см. пример 10.4). Они равны = —2,57; ?2>3 = —0,1645 ± /0,59,
откуда рх — —53,4; р2>3 — —3,29 ± /11,8.

Следовательно,
___________________________________8000____________________

Н°(р) = р(р+53,4)(р+3,29-/11,8)(р+3,29+/11,8)'

Разлагая Лс /(р) на простейшие дроби и переходя от изображений к ориги-
налам, получаем

(0=1 — о,0545е“ 53 •« +1.08е ~3 •29/ зш (11,8/ +1,064).

Оценивая переходную функцию для 6рег = 0,05, как показано на рис. 9.5,
находим

йуСТ = 1» ^рег = 0,85с; ДЛмакс=6>^9; 2м = 0,26с; А/=2.

Статическая ошибка. Точность системы автоматического регулиро-
вания при отработке ступенчатого сигнала Ло 10 (/) оценивается стати -
ческой ошибкой системы Дст. В § 2.2 было показано, что точность ста-
тической системы тем выше, чем больше коэффициент усиления цепи
обратной связи (коэффициент усиления пропорционального регулято-
ра). Однако возможность увеличения коэффициента усиления в контуре
статической системы для повышения ее точности по управляющему
входу и возмущениям ограничена условием качества переходных про-
цессов и в пределе условием устойчивости

А <С &дред»	- (9.12)

Это приводит к необходимости коррекции систем автоматического

управления, т. е. к такому изменению структуры и параметров, при

котором можно получить од
новременно и высокую точ-
ность, и требуемое качество
протекания переходных про-
цессов (см. гл. II, XI).

И мпульсная переходная
(весовая) функция. Качество
систем, подверженных им-
пульсному (ударному) воз-
действию, а также систем,
выход которых должен вос-
производить интеграл от
входного сигнала, естествен-
но оценивать по реакции си-

Рис. 9.5

стемы на импульс.

При этом можно использовать те же оценки, что и для определения

рассогласования системы.

Заметим, что для устойчивых замкнутых систем статическое от-
клонение весовой функции

Шуст = Нт ш (/) = 0.

<->оо

(9.13)

Нарушение этого условия характеризует интегрирующую (нейт-
ральную) систему, для которой

А (р) = рД, (р),	(9.14)

и уравнение (2.34) может быть записано в форме



№(/) =

В(0)

л1(0)

(9.15)

откуда следует, что весовая функция нейтральной системы (интег-
ратора) характеризует ее качество так же, как переходная функция
— качество устойчивой системы.

Пример 9.2. Определить реакцию на единичный управляющий импульс (весо-
вую функцию) для следящей системы, рассмотренной в примере 9.1, и для приво-
да постоянной скорости (электромеханического интегратора), структурная схема
которого для основного и преобразованного вариантов (см. П. 3 табл.6.1) представ-
лена на рис. 9.6.
Поскольку переходная функция следящей системы по управляющему входу
уже определена в примере 9.1, найдем весовую функцию как производную пере-
ходной функции

№р (0=—= 2,9е-53-4/ + 13.2е-3>29' б!п (11,8/—0,23).
а1

Из графика (/), представленного на рис. 9.7, а, следует, что

^рег”6,98с (ПРИ $рег —0»$)» Аймаке = ц,макс==®» ^м“0,13с И Лг=2.

Очевидно, что (ос) = С.

Для электромеханического интегратора согласно структурной схеме, изо-
браженной на рис. 9.6

______________16___________8000

1ГЛИр)-р[(0,1р + 1)(0,02р + 1) + 16] — р {рг + 60р + 8500) •

Рис. 9.6

Корни характеристического уравнения:

Р1 = _30+ /87,2; ра= —30— /87,2,
откуда

»'з (р)=М00/{р 1(р+30Р+(87,2)Ч>
и после перехода от изображения к оригиналу

ш8 (0=0,941+О,993е-зо/8Ш (87,2/ —1,24).

Из графика ау (/), представленного на рис. 9.7, б, следует

^рег —6,105 с; Дсамане”6,38; ^ = 0,029 с и /У==2.

В этой нейтральной системе и>уст = 16/17 = 0,941.

Кинетическая ошибка. Точность астатических систем определяют
по установившейся погрешности при отработке сигнала постоянной
скорости, т. е. при воздействии

НО = л ,/.10(0»
откуда

V (р) = Аг/р3.	(9.16)

Установившаяся погрешность при этих условиях называется
кинетической ошибкой ЛКИн-

Кинетическая ошибка по управляющему воздействию Ло киа
служит основной характеристикой точности многих автоматических
систем, в частности следящего привода.

Из (9.16) следует, что
По теореме о предельном значении (см. приложение П.4) кинети-
ческая ошибка

△с кин

= Нш б (0 = Игл (р)

/-♦□о	р-*о I

р2]

= Пт

-------л1-

р

Поскольку рассматривается астатическая система, то (р) -> О
по меньшей степени так же, как р. Раскрыв для этого случая неопре-
деленность по правилу Лопиталя, получим

АгкиН=^(0)Л,

где

Рис. 9.7

и7'б(О)=ш^й(р)Мр|р=о.

Рассмотрим астатическую систему автоматического регулирования
при №8т = 1 и №₽ (р) = К (р)/О (р), где

К (р) = ктрт+кт^ рт~14-... + кг р + к0\

О<р) = (1п Рп+<1п-1 Р^1 +... + ^1 р + 4—

— полиномы от р, причем т п.

Передаточная функция

(р) = Г ре (р) = 1 - Г8 (р) = П (р)/[К (р) 4- И (р)]

соответствует условию (9.14), если, по крайней мере, й0 = 0.
При этом О (р) = рОг (р);	(0)	0.
Очевидно, что

(0) = И1 (0)/К (0) = аг/к0 = 1/*ас,	(9.18)

где /?ас — коэффициент усиления разомкнутой астатической системы,
или ее добротность.

Из (9.18) в этом случае следует, что

△кин = △1/^ас»	(9.19)

т. е. что кинетическая ошибка астатической системы регулирования
пропорциональна скорости воздействия и обратно пропорциональна
добротности системы. При современных требованиях, предъявляе-
мых к точности следящего привода, добротность достигает нескольких
тысяч. Очевидно, что реализация таких систем без корректирующих
устройств невозможна.

Кинетическая ошибка по возмущению определяется аналогично.

Динамическая ошибка. Погрешность системы в установившемся
режиме отработки произвольного воздействия называется динами-
ческой ошибкой системы. В большинстве случаев при этом рассмат-
ривают моногармоническое воздействие

х (I) = Аг 51 п • 10 (/).

Как показано в гл. II, установившийся режим (вынужденные ко-
лебания) на выходе динамической линейной системы с постоянными
параметрами может быть полностью охарактеризован комплексной
величиной

V (/о,) =	(/®1) А1г

где IV7 С/<°1) — комплексный коэффициент усиления системы при за-
данной частоте (Ор

Из (9.2) следует, что динамическая ошибка от управляющего воз-
действия

△Р див (/®1) =	(/®1) Л, = Др лин е/Фб <ю,),	(9.20)

где модуль

△р дин ~ I △₽ дин (/®1) I ~ I	(/®1) |	= Дрт	(9.2))

равен амплитудному значению динамической ошибки системы, или
амплитудной погрешности, а аргумент

<₽с О))= агб А = аг§ и®1)

(9.22)

— сдвигу фаз между динамической ошибкой и колебаниями на входе
системы.

В функции времени

д', дин (0 = т (®х) 5*п К* + <р6 (©О].	(9.23)

Динамическая ошибка по возмущению / определяется аналогично,
с заменой 1Грб Цац) на 1Г3 (/«•/)/IV7пс О®/). при этом

△/ дин (/®/) =	(У®/) А/Гпс Цы,),

(9.24)
где А1 — амплитуда моногармонического возмущения Д а №пс —
передаточная функция преобразователя, включенного последователь-
но (см. рис. 9.1);

△/ пин («/) = I №3 (/а,)/^вс {]&/) |	= Д/т (Оу);	(9.25)

(®у) = аг§ Г3 (/(Оу)—аг§ №пс (>7);	(9.26)

6/ пин (0 = Д/т (<»/) 81П [(Оу/ + ф6 (<Ву)[.	(9.27)

Поскольку рассматриваются синусоидальные колебания, то сред-
неквадратичная ошибка, или ее эффективное значение,

△ср.кв= △ = (/2/2) Дго.	(9.28)

Рис. 9.8

Оценим динамическую точность системы автоматического регули-
рования, для которой 1#б (/со) ==	(/ы). Структурная схема этой

системы представлена на рис. 9.8.

В рассматриваемом случае из (9.21) получим

Дет («.)	| ] — Г8 (/(О) | =

1

Ц-Ф’рО'со)

(9.29)

откуда следует, что динамическая точность системы обусловливается
комплексным коэффициентом усиления замкнутой системы при час-
тоте воздействия, а поэтому и видом частотной характеристики разомк-
нутой системы. Поскольку частотные характеристики системы опреде-
ляют и ее устойчивость (см. гл. VI), и протекание переходных процес-
сов регулирования (см. § 9.5), вопросы динамической точности необ-
ходимо решать с учетом получающегося при этом качества переходных
процессов.

Малые значения динамических погрешностей согласно (9.29) по-
лучаются при значениях 1Г3 (/со), близких к единице, что имеет место
для частот, при которых 11ГР (/’«) | > 1. Это неравенство опреде-
ляет так называемый рабочий диапазон частот системы, или ее по-
лосу равномерного пропускания (0 со <ой).

Граничная частота может быть определена из условия допусти-
мых амплитудных искажений управляющего сигнала как меньший
положительный корень уравнения

|1^Г3(/со)|/Г3(0)-6ДОп,	(9.30)

в котором бдоп задается заранее. Обычно принимают бдоп — 0,1 4- 0,05.

На рис. 9.9, а представлена амплитудно-частотная характеристи-
ка, соответствующая системе с колебательным переходным процессом,
а на рис. У.У, б — соответствующая частотная характеристика ошиб-
ки при отработке гармонического сигнала, построенная согласно
формуле (9.29).

Очевидно, что удовлетворительная динамическая точность может
быть обеспечена в сравнительно узком рабочем диапазоне частот,
а на частотах, близких к резонансным, управляющее устройство
не уменьшает, а увеличивает динамическую погрешность.

Из условия

I Я7р о®) I » 1 при 0 < ®	(0й

(9.31)

вытекает простая приближенная оценка точности замкнутой системы
в рабочем диапазоне частот по логарифмической частотной характе-
ристике разомкнутой системы. Действительно, в этом случае из (9.29)

А	получаем

ДгГП^Л1/|и7р(/со)| (9.32)

и соответственно

и (ш) - 20д, — ь (со). (9.зз)

Из (9.25) следует, что динами-
ческая погрешность системы ре-
гулирования со структурной схе-
мой, приведенной на рис. 9.8, по
возмущению / определяется фор-
мулой

Л/	и7пс (ДО/)

откуда следует, что система тем точнее отрабатывает гармоническое
возмущение, чем больше модуль комплексного коэффициента усиления
последовательного устройства управления И?пс (см. рис. 9.1) на час-
тоте возмущения (о = сор

Пример 9.3. Определить динамическую точность следящей системы, приве-
денной в примере 9.1, при гармоническом воздействии по заданию (управляю-
щему входу) V.
Передаточная функция для рассогласования замкнутой системы
^(р) = Р(Т1р + 1)(Т2р+1)/[р(71р+1)(Т2р + 1) + й].

Динамическая ошибка по заданию

△от— |	(М1) I ^1 —

/сох ()ц>Т14~ 1) (№>1 Т24~ 1)

/0)1 (/0)1	+1) (/сох Т2+1)+&

График точной зависимости Аг тМ1 от со^ при == 0,1с, Т2 = 0,02 с и 6=20
построен на рис. 9.10.

Приближенная оценка Аг т дается формулой (9.32)
д	, А	/_____________к_____________

ст |«7р(/®1)| Ч <01 У[(Т1<о1)2+1П(7’2ш1)Ч-1]’

Грубая оценка по асимптотической характеристике дает

△от (О>1) —(01/6

△от(С01)=Д1<й?Т1/А

△от (О1) = ^1 0)|Т1 Г2/к

в диапазоне О<со1<1/71;

в диапазоне 1/Л<<01<1/72?

в диапазоне 1/7г

Совпадение результатов расчета по точной и приближенным формулам с точ-
ностью до 0,1 имеет место при 0 < оц <	= 2,8 с-1.

§ 9.3. ВЫНУЖДЕННАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ОШИБКИ

При более сложных видах внешних воздействий бывает важно
определить вынужденную составляющую ошибки, характеризующую
поведение системы, когда переходная составляющая, выражающая
свободный процесс (3.85), затухает.

Если изображение внешнего воздействия представлено дробно-
рациональной функцией от р, не имеющей кратных корней, то вынуж-
денная составляющая ошибки может быть найдена по формуле (3.86).

Расчет вынужденной составляющей может быть значительно упро-
щен, если внешнее воздействие представлено степенным рядом (3.3).
Ниже излагается метод расчета вынужденной составляющей ошибки
для этого случая, называемый методом коэффициентов ошибки.

Если воздействие х (1) аппроксимируется полиномом

х(/)= ДоЧ-Л^Ч-...

1-4МО.
&

(9.34)

то его изображение

Х(0=А}+>|А + ...+Л,4г-®	(9.35)

г'	Л'	г	г

содержит только один кратный полюс р = 0.

Изображение ошибки

△ (р) = (р) 2 Л 4- = Г (р)	,	(9.36)

0 Р	Р

где II7 (р) — передаточная функция ошибки по рассматриваемому воз-
действию.
Если исследуется управляющий сигнал, то IX7 (р) =	(р);

если исследуется возмущение, то № (р) = №3 (р)/№пс (р)-

Изображение вынужденной составляющей ошибки устойчивой сис-
темы получается при разложении (9.36) на простейшие дроби, соот-
ветствующие нулевому полюсу кратности I + 1. Воспользуемся при
этом методом неопределенных коэффициентов

И? (Р) Сп .	,	_^_С/

р/+1	Т- р1 Т ••• I

(9.37)

Здесь Со, Сь Сг — неопределенные коэффициенты разложения;
5 (р) — составляющая разложения, обусловленная полюсами 1Г (р)
[предполагается* что IX7 (р) не имеет полюсов в точке р = 0, и
№ (0) оо].

Для определения коэффициентов С представим уравнение (9.37)
в следующем виде:

(р) = Со + С, (р) +... + С, р* + 5 (р)	(9.38)

Последовательно дифференцируя по р и подставляя р = 0, находим

Со=[Е(О),

акм I

<Ик 1=о;	:

1 а2 и?

2 '	р=0’ "•

1	I

/’	(1р1 |р = о‘

(9.39)

Таким образом, изображение ошибки Л (р) может быть представ-
лено в виде двух составляющих — переходной, или свободной,

Апер (Р) = 5 (р)	(р),

(9.40)

которая затухает при оо, и вынужденной

АВЬ1И(р) = [С0 + С1р + С2р2+... + С1рЧХ(р),	(9.41)

где

ак г (р)
&рк

, ^ = 0, 1, 2,....

Р = о

Каждому слагаемому СкркХ (р) при I > 0 соответствует компо-
нента вынужденной составляющей ошибки

агК

Поэтому вынужденную составляющую ошибки можно записать
в виде суммы

6ЕЫн(О = Сох(О + С1



или

бВып(0= 2 Сй %<*>(/).
к = 0

(9.42)
Выражение (9.42) называется основной формулой метода коэффици-
ентов ошибки.

Определять коэффициенты Ск по формулам (9.39) довольно затруд-
нительно. Проще их можно найти, разложив передаточную функцию
В7 (р) по степеням р:

Г (р) = д»+61Р+1:-+^Рт. = Со + Сгр4-С:р24- - = V Ск р*. (9.43)

Лс-г^РЧ-----НЯпР"	*=0

Умножим правую и левую части тождества на знаменатель дроби
и, приравнивая коэффициенты при равных степенях р, получим

Ро = Ьо 67О,

= 01 «о + со а^\

= С 2 ао “Ь 0*1 ^1 4" Од п2»

&тп “ От (20 4" Ст«1 &14" .. * 4" О0 ят,

О = Ст^1 4- От 4" •• • 4- О0
откуда следует рекуррентная формула

(9.44)

(9.45)

причем

Ьк = 0 при к > т; а, = 0 при г > п.

Пример 9.4. Определить вынужденную погрешность следящей системы, пе-
редаточная функция которой в разомкнутом состоянии

(Р) = *ас/[Р (1 4-П Р) (1 + Г2р)],

где
/?ас а ЮО с"1; Тг 0,1 Т2 = 0,01 с
при управляющем воздействии

V «20 -К 2/ — 0,5/2 рад.

Согласно структурной схеме, представленной на рис. 9.11, и уравнению (9.2)
находим

Д(р) = Е(р) = ^ (р) V,

где

р(1+Т1р)(1+Т2р)	_	Т1Т2рЗ+(Г1+Г2)р2 + р

ек(Р) р(1+7'1Р)(1 + 7'ар)+Лас 7'1Г2р3 + (Г1 + 72)р2+р + йас'

Определяем три первых коэффициента ошибки по формуле (9.45):

Сд —	— 0 С^_ —г	—	— 0,01

ао	#0 ^ас

+ бр	1	/	1	\

С2 = — ----- '	Т1+Т'2+—— )=0,001 са.

^ас \	^ао /
Производные управляющего воздействия:

г(0 = 2— /, рад/с; р(0=—1, рад/с2.

Вынужденная погрешность (ошибка) по управляющему воздействию
евын (/) —$ВЬ1Н	(04"С1 ^(0 + ^2 6(0 =

= 0,01 (2—0—0,001 =0,019—0,01/, рад.

Вынужденная составляющая выхода системы
1/вын (1)^ V — еВын = 19,981 + 2,01/ — 0.5/2, рад.

Из рассмотренного примера видно,

что:

а)	вынужденная ошибка следящей
системы по управляющему воздействию
не зависит от постоянной составляющей
сигнала (Ло »=» 20 рад), поскольку Со =
-= 0;

Рис. 9.11

б)	составляющая сигнала, пропорциональная времени (Л! = 21 рад — сиг-
нал постоянной скорости), вызывает постоянную вынужденную ошибку, обратно
пропорциональную добротности следящей системы, поскольку = 1Дас;

(л

= 0,5/2 рад — сигнал постоянного ускорения), вызывает безгранично нарастаю-
щую по модулю вынужденную ошибку. Рассмотренная следящая система не успе-
вает отрабатывать ускоренно растущий сигнал управления.

Графики управляющего воздействия V и вынужденной ошибки есын приведе-
ны на рис. 9.12. Полную картину рассогласования системы в ходе отработки воз-
‘ действия и (?) можно получить лишь с учетом переходной ^свободной) состав-
ляющей ошибки.

§ 9.4. ПОРЯДОК АСТАТИЗМА СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Поскольку точность установившегося движения системы автома-
тического управления при заданном внешнем воздействии определя-
ется коэффициентами разложения передаточной функции ошибки по
этому воздействию в. степенной ряд, метод коэффициентов ошибки
может быть положен в основу классификации систем по точности
при отработке входного-воздействия вида

2	V!

Основным классификационным признаком при этом служит поря-
док астатизма V,
Системой с нулевым порядком астатизма по данному воздействию
х, или статической системой, называется система, вынужденная (сис-
тематическая) погрешность которой в режиме отработки постоянного
воздействия (задания) х — Ао = сопз1 пропорциональна величине
этого воздействия. Из уравнения (9.42) следует, что это может иметь
место только при Со 0.

Системой с астатизмом первого порядка, или астатической сис-

темой управления, называется система, вынужденная погрешность
которой при отработке постоянного воздействия равна нулю, а при
отработке воздействия, линейно изменяющегося во времени (режим
постоянной скорости) х = Ло + А^, постоянна и пропорциональна
скорости изменения этого воздействия Из уравнения (9.51) следу-

ет, что это может иметь место
только при Со = 0, Ф 0.

Системой с астатизмом
ч-го порядка называется си-
стема управления, вынуж-
денная систематическая по-
грешность которой при отра-
ботке воздействия, выражае-

Рис. 9.1В

мого в виде полинома степени

V по т» е. воздействия

х (I) = Ао + А1 (0 +... + Д- А„Г>,

постоянна и пропорциональна значению Ау. При отработке сигнала,
выражаемого полиномом меньшей степени, вынужденная погрешность
такой системы равна нулю. Из (9.42) следует, что при этом должно быть

Со = Сг = ... = Су—1 = 0; Су 0.

Таким образом, порядок астатизма системы равен номеру первого,
не равного нулю коэффициента ошибки по рассматриваемому воздей-
ствию.

Рассмотрим структурные условия, обеспечивающие астатизм замк-
нутой системы регулирования по отклонению при отработке управ-
ляющего воздействия и возмущений. На рис. 9.13 представлена ти-
повая структура системы автоматического регулирования. Приме-
нительно к реальным системам передаточная функция соответст-
вует регулятору, на входе которого сравниваются задающий сигнал
(уставка) V и выход системы регулирования у. Объект регулирования
с передаточной функцией 1Г2 подвержен действию возмущений /, ко-
торые приведены к его входу.

Передаточная функция разомкнутой системы регулирования

№р (р) =	(р) Г2 (р) = ^(р)	(Р)/Ю1 (Р)	(р)] = к (Р)/О (Р), (9.46)

где

К (р) = кт р™ +	Рт~1 +... + р + ро;

Р (Р) = Рп + ^п-1 Рп^ + • • • + Р + Йо.

Из физических соображений п т и к0 =/= 0.
Система без интегрирующих звеньев (статическая система).

Если система вообще не содержит интегрирующих звеньев, то й0 Ф О
и без ограничения общности можно положить, что

== с?01^02 ~ ^01 ' ^02 = 1-

Тогда к0 = к1ик20 = к— коэффициент усиления разомкнутой системы.

Согласно (9.2) изображение ошибки

Л (р) = Е (р) = Ге (р) V (р)- Г3 (р)	Р (р) = Е„ (р) + Е, (р). (9.47)

" 1 \р)

При постоянных воздействиях [п (/) = Со = сопз) и / (/) = Ро =
= сопз)] установившаяся статическая ошибка согласно (9.42) опреде-
ляется коэффициентом Со. Передаточная функция ошибки от управ-
ляющего воздействия

________1______ О(Р) _ ^пРп-Мп-1Рп~Ч-------------М1Р + 1

сЛР) 1-гХ(р)/©(р) К(р)+Щр) апРп+ап_1р«-Ч-...+а1Р+а0 ’

(9.48)

где аг — к{ + йр, в частности, а0 — 1 + к0 = 1 + к.

Из (9.44) получим, что

СОс=1/(1+й) и Дст=И0/(1+Л).	(9.49)

Передаточная функция ошибки от возмущения

№6,(р)- Л|р,,Р(,,)		(9.5О1

1+л'(р)даот к,о» К(р)+о<р)

или

&гРгЧ-бг-1рЛ 1 4-----

ап Рп + ^п-1	------1-01 р + о0 ’

(9.51)

Очевидно, что Ьо = к20 — коэффициент усиления объекта.

Из (9.44) находим, что

Со/ = ^о/(1 +*); Дст/- -/г20Г0/(1 +к).	(9.52)

На рис. 9.14 представлена статическая характеристика изменения
установившегося значения выхода системы У с ростом нагрузки Р
при постоянном задающем воздействии V = Ко, называемая нагрузоч-
ной^ или внешней характеристикой.

Статизм системы удобно определить как отношение статической
ошибки Аст/ = Уо— Уу к нагрузке Г, вызвавшей эту ошибку*.
Обычно статизм вычисляют применительно к номинальному режиму.
Следовательно,

®/а △ст / иоменом О^о ^ном)/^ном

(9.53)

* Исторически сложилось так, что статизмом, или остаточной неравномер-
ностью характеристики регулирования, бст было названо отношение статической '
ошибки системы при номинальной нагрузке Гном к номинальному значению выхо-
да системы Кном, выраженное в процентах. В настоящее время это определение
почти не находит практического применения.
Для линейной системы из (9.52) следует, что

б/3 = Дст//Р« = ^/(1 + /г).	(9.54)

а из (9.53) и рис. 9.14 видно, что статизм системы равен тангенсу
угла наклона а ее нагрузочной характеристики. Разомкнем систему
(см. рис. 9.13) на входе регулятора. Тогда статическая ошибка ра-
зомкнутой системы

А = АОТ.Р = — к20Е0.	(9.55)

Отношение статических ошибок (статизма) замкнутой и разомкну-
той систем в любом случае

Дст.з/Дст.р = МР= 1/(1 + &)-	(9.56)

Следовательно, включение
статического (пропорционально-
го) регулятора уменьшает ста-
тизм в 1/(1 + к) раз, где к —
коэффициент усиления разомк-
нутой системы.

Предельная статическая точ-
ность 63. мин определяется усло-
вием УСТОЙЧИВОСТИ к < 6пред.

Система с интегрирующими
звеньями (астатическая система
регулирования). Если система
содержит V интегрирующих
звеньев, то

... := б/у—I == 0,	9,

г

Рис. 9.14

причем V =

где V! — ЧИСЛО

интегрирующих звеньев в (р), а V2 — число интегрирующих
звеньев в устройстве с передаточной функцией (р)« Можно счи-
тать, что == <1у1 =	== 1 и к0 = к10к2() = к 0.

Согласно (9.48) в этом случае передаточная функция ошибки
от управляющего воздействия



_д„р.-у+„.+^+|Р+1^
апРпА-------Н1р+в0

где б/д == А?о === к, а у == ку*, «««» Оу—1 == ку_\*, @у == ку ~Н 1*

Согласно (9.42)

Со = Су = С2 = ... = Су-г = 0; Су = 1/к.	(9.58)

Следовательно, порядок астатизма системы по управляющему
воздействию равен числу интегрирующих звеньев, входящих в ее кон-
тур.

Значение постоянной ошибки от воздействия, содержащего стар-
шую степень Iх (при V = 1 она называется кинетической ошибкой
Акин), обратно пропорционально коэффициенту усиления разомкну-
той системы у-го порядка астатизма.

Согласно (9.50) передаточная функция ошибки по возмущению
^6, (р) =	(Р) (Р)ЛК (р) + О (р)].

Рассмотрим выражение, стоящее в числителе. По условию устрой-
ство с передаточной функцией (р) содержит тх интегрирующих
звеньев, следовательно, полином О, (р) содержит множитель р'\
Поскольку к0 = к10кг2 У* 0, то в этом случае

ьг рг~'/Ч---

= —гг--------—-Г—Г- ру*«	<9-59>

апрп+ап^ рп~'-\----Ра, р+а0

Где Ьу, =	^20» Й0 ^20^10 == к»

Согласно (9.51)

Со = Сд == ... = СУ]_| =0; Су, ® к20/к = 1//?хо.	(9.60)

Следовательно, порядок астатизма системы по возмущению (наг-
рузке), приложенному ко входу объекта с передаточной функцией УР2,
равен числу интегрирующих звеньев регулятора с передаточной функ-
цией №д и не зависит от числа интегрирующих звеньев объекта.

Значение постоянной ошибки по возмущению, содержащему стар-
шую степень обратно пропорционально коэффициенту усиления
/?10 регулятора тх-го порядка астатизма (с~г«1.

Проведенное исследование позволяет сформулировать общий струк-
турный признак для определения порядка астатизма замкнутой сис-
темы (см. рис. 9.13). Порядок астатизмасистемы по отношению к рас-
сматриваемому воздействию / равен числу интегрирующих звеньев,
включенных в цепь обратной связи между точками приложения
этого воздействия (входом) и измерения ошибки б (выходом), и не зависит
от числа интегрирующих звеньев, включенных в цепь прямого преоб-
разования сигнала между этими точками. По отношению к управля-
ющему воздействию весь контур системы представляет собой обратную
связь.

Заметим, что осуществление замкнутых систем с высоким порядком
астатизма достаточно затруднительно, поскольку система автомати-
ческого регулирования, содержащая только два интегрирующих
звена, структурно неустойчива и не может быть реализована без спе-
циальных корректирующих устройств.

$ 9.1. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ
ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

Общие положения. Найдем переходный процесс в системе с переда-
точной функцией 1Г (р) при подаче на вход единичного скачка. В силу
устойчивости системы ее передаточная функция 1Г (р) не имеет полю-
сов в правой полуплоскости р = о + /со и на ее мнимой оси р = /а>.

Из этого следует, что импульсная переходная (весовая) функция
устойчивой системы ю (I) удовлетворяет условию абсолютной интегри-
руемости и может быть вычислена с помощью обратного преобразова -
ния Фурье (см. приложение П.1), которое в этом случае принимает вид

оо	оо

(/) = — Г И7 (/со) е/ш ск» — — Г В7 (/со) (соз со/ / зш со/) йсо.

2л I	2л

--ОО	-ОО

В том случае, когда действительная часть В7 (/со) — четная функ-
ция со, а мнимая — нечетная, получим

оо	оо

и) (/) = — С Ке В7 (/со) соз со/ йсо-— С 1т В7 (/со) з!п со/ йсо.

л	Я ,)

о	о

При отрицательных значениях времени оригинал тождественно
равен нулю. Так как зсп со/ — нечетная функция времени, то

и) (—/) = — Г Ке В7 (/со) соз со/ йсо Ч—— С 1т В7 (/со) з!п со/ йсо = 0;

л	л и

о	о

У Ке В?' (/со) соз со/ йсо = —у 1т В7 (/со) з!п со/ йсо.

о	о

В окончательном виде оригинал запишется соотношением

а> (/) = — Г Ке В7 (/со) соз со/йсо	(9.61)

п /

о

или эквивалентным соотношением

о>(/) =—— С 1т В7 (/со) зт со/йсо.	(9.61а)

Л /

о

Пусть изображение переходной функции задано в виде
Н (р) = Г (р)/р.

Тогда оригинал й (/) можно, определить, интегрируя (9.61):

/г- оо
/» о р

И (/) == I — I Не № (/со) соз со/ с/ш

о •- п

й/.

Изменив порядок интегрирования, вычислим вначале интеграл
по времени
оо

/г (/) = — (* Ке № (/со) йсо.	(9.62)

Л	(О

о
Пусть дана система автоматиче-
ского регулирования, передаточная
функция которой в разомкнутом со-
стоянии равна И7р (р). При этом изо-
бражение сигнала на выходе системы

У = Ур (Р) у = ц? (р) у,
И-ИМР)

а изображение ошибки системы

14-^р(Р)

Согласно (9.61) имеем соответственно

оо

у (/) = у ₽е [№, (/со) V (/со)] соз со/ с/со;	(9.63)

о
оо

6 (0 =	У Ке [Г6 (/со) V (/со)] соз со/ йсо.	(9.64)

О

Величины Ке ПГ3 (/со) V (/со)] и Ке НУд(/со) V (/со)] называются
обобщенными вещественными частотными характеристиками
системы.

Если V = 1/р, то удобно пользоваться уравнением (9.62), откуда

оо	оо

р(/) = /г(/) = А С	81псо/йсо = — С^М^псо/с/со, (9.65)

Я 3 со	л О)

о	о

где

Р3(со) = Ке1^3(/со);
оо

6 (/) =	(0 = —	51П СО/ (/(О,	(9.66)

О
где
(со) = Не О<о).

Из (9.65) и (9.66) следует, что переходная функция выхода системы
Н (/) и переходная функция ошибки Ла (/) определяются соответственно
собственными вещественными частотными характеристиками сис-
темы Р3 (со) и Рб (со)*.

Построение переходных функций по типовым характеристикам.
В тех случаях когда вещественная частотная характеристика задана
экспериментальным графиком или таблицей, а также когда аналити-

* В дальнейшем изложении в термине «собственные вещественные частотные
характеристики» слово «собственные» будем опускать; для общности будем опу-
скать также индекс при Р (со).
ческое вычисление интегралов (9.65) или (9.66) затруднительно, при-
бегают к графическому вычислению. Для этого вещественную частот-
ную характеристику разбивают на типовые, трапецеидальные или
треугольные характеристики, для которых переходные процессы та-
булированы. Этот метод разработан В. В. Солодовниковым [Л.38]
и А. А. Вороновым [Л.9].

Допустим, что вещественная характеристика имеет вид трапеции
(рис. 9.15). Введем обозначения: соо — частота пропускания, а>й —
частота равномерного пропускания.

.Введем параметр

А = а>а/о>0, при этом 0 < А < 1.

Рис. 9.16

X	81 х	X	81 X
0	0	2л	К 4182
а/	0,09994	7,0	1,4546
0,25	0.2491	8,0	1,5742
0.5	0,4931	9,0	1,6650
0.75	0.7270	13,0	1.4994
ко г\./г	0,9461	15,0	1,6182
	1,3639	20,0	1,5482
2.0	1.6054	25,0	1,5315
г.з	1.7785	35,0	. 1,5963
3,0	1,8487	55,0	1,5707
7с	1.8519	60.0	.1,5867
3,5	1.8331	75,0	1,5586
4,0	1.7562	80,0	1,5723
1,5л	1.6089	85,0	1,5824
5,0	1,5499	100	(.5622
6,0	1,4247	Чю	1.5799
		130	1,5737

Переходная функция

шар

Ни) — — С 51П(о?ды —— 1 ~ 81па/Ло

Л 3 О)	л

о	о

, 2

1Г~

%

С а— Ьы .	. .

и

(9.67)

где величины а и Ь определяются следующими соотношениями:

й = Р(0)-^- = Р(0) —

<00-1 — А

С1>0 — СО <7	(Ор 1 — А

(9.68)

Проведя интегрирование в (9.67), получим для Р (0) — 1 (единич-
ная трапеция)

Нк(т) = —  — (81 т—А 81 Ат 4- — Т~СО5	),	(9.69)

л. 1—т У
т .

где 81 т = Г-1^ Дх — табулированная функция интегрального сину-
_ 1,1 Хг

са, график которой приведен на рис. 9.16; т = соо/.

Из (9.68) следует, что переходная функция (т) есть функция без-

размерного времени т и параметра К. Функция эта табулирована [Л.38].

Рассмотрим функцию (т) для двух предельных случаев.

При К = 0 вещественная частотная характеристика Р (со) и соот-
ветствующая переходная функция Ло (т) имеют вид, показанный на
рис. 9.17, а и б. Переходный процесс в этом случае имеет монотонный
характер.

5)

Рис. 9.18

При к = 1 вещественная частотная характеристика Р (со) представ-
ляет собой прямоугольник (рис. 9.18, а), а соответствующая ей пере-
ходная функция (т) имеет колебательный характер (рис. 9.18, б).

Время регулирования (установления с точностью брер — 0,05)
для трапецеидальных вещественных частотных характеристик лежит
в пределах

л/соо < /ре. < 4л/соо	(9.70)

и может быть оценено по рис, 9.19. Перерегулирование о может быть
оценено по рис. 9,20.

Пример 9.5. Рассмотрим построение переходной функции по трапецеидальной
вещественной частотной характеристике.
Пусть Р (0) •= 5; соо 100 с~г; со,? == 60 с~Ч

Найдем коэффициент 1 « сой/соо 0,6.

Пользуясь таблицей [Л.38], определяем значения й0}6 (?) Далее переходим
к размерному времени /, используя соотношение / » т/е>0, и находим переходную
функцию

Л (0 ~ Р (0)Л0,в (/).

Результаты приведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

т	0	0,5	1	2	3
''о.бО)	0	0,255	0,490	0,878	1,1
С	0	0,5  100	1  100	2  100	3  100
МО |	0 1	5x0,255 1	5X0,490 !	5X0,878	5X1,1

Пример 9.6. Рассмотрим построение переходного процесса по вещественной
частотной характеристике.

Пусть вещественная частотная характеристика имеет вид, показанный на
рис. 9.21, а. Аппроксимируем ее ломаной линией и разобьем на три трапеции
(рис. 9.21, б). Трапеции /, 2 и 3 характеризуются соответственно величинами:

Р(0)=Р2—Р41 «о = ад сой=С03;

Р(0) = Рй; й)0 —сов; со^==соб;

Р{О) = Ро—Р2*> со0 = о2; со<1=со1.

Пользуясь таблицами (т), для каждой трапеции найдем переходный про-
цесс 1ц (!), Ия (?) и /ц (/) (рис. 9.22). Суммируя их, получим искомый переходный
процесс И (0-

По вещественной частотной характеристике можно построить и
реакцию системы на единичный импульс — импульсную переходную
(или весовую) функцию системы. Согласно (9.61) и (9.63)

2 е

^(/) = ~ Ср(со)
л Л

о

СОЗ 0)/

(9.71)
Если Р (со) имеет вид трапеции (рис. 9.23), то из (9.71) следует, что

р (0) а . -- -

Л	(01 /

(9.72)

где й = (соо + сой)/2; С01 = (соо — ыа)/2.

Из (9.72) видно, что функция де (0 определяется значением функ:
ции вида 81 п х!х.

В случае, если вещественная частотная характеристика представ-
лена в виде суммы п трапеций, то

Рис. 9.21	Рис. 9.22

Построение вещественной частотной характеристики замкнутой
системы Р3 (со) по частотным характеристикам разомкнутой систе-
мы. Метод построения вытекает из соотношения

Р (со) = Ке Г3 (/со) = Ке	,	(9.74)

которое имеет простой геометрический смысл.

Наиболее удобен способ построения Р3 (со) по сетке линий посто-
янного значения вещественной частотной характеристики замкнутой
системы (Р-номограмме), заранее проведенной в комплексной плос-
кости 1ГР (/со). Линии этой сетки отвечают условию Р (со) = соп$1 = с,
где с — параметр семейства кривых.

Согласно (9.74) для этих линий

Р((*) = Ке[(х + /0/(1 + х + /0] = с.

или

Определим точки пересечения кривых (9.75) с вещественной осью.

Подставив условие у ~ 0 в (9.75), получим уравнение

х (1 + х) ~ с (1 + х)2,

из которого следует, что хг = —1; х2 = с?/(1 — с.) Таким образом, все
кривые имеют общую точку касания (—1, +/0) и представляют собой

окружности, центры которых расположены в точках х0 ==	— =

= 75 -------1), как показано на рис. 9.24. Значению параметра

с ~ 0 соответствует окружность, опирающаяся на отрезок (—1, 0)
вещественной оси; значению с = 1 — вертикальная прямая х = —1.
Разбиение плоскости 1ГР (/со) на области характерных значений Р (со)
показано на рис. 9.25. Задаваясь значениями параметра с и вычисляя
х0, нетрудно построить Р-номограмму, представленную на рис. 9.26.

Если заданы логарифмические амплитудные Ер (со) и фазовые
<рр (со) характеристики системы в разомкнутом состоянии, то, зная
характеристику в координатах <рр, Ер и используя номограмму Рв(со) =

Рис 9 27

— сопз! в плоскости ср, Ъ (рис. 9.27), строят вещественную частотную
характеристику замкнутой системы Ра (со), а по ней (указанным выше
путем) — переходную функцию системы.

§ 9.6. ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ
С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН

Современное развитие средств вычислительной техники и методов
программирования позволяет успешно решать задачи по исследованию
динамических процессов в системах автоматического управления.
Принципиальное отличие решения таких задач на ЭВМ состоит в прос-
стоте учета нелинейностей системы, так как при этом не требуется
выполнения принципа суперпозиции, на который опираются аналити-
ческие методы. Без принципиальных усложнений решается также зада-
ча учета запаздывания в системе автоматического управления.
Однако прежде чем приступить к исследованию процессов в линей-
ной системе без запаздывания на ЭВМ, всегда следует попытаться най-
ти аналитическое решение, так как оно может дать более точный и
обозримый результат, чем решение частной задачи, полученное с по-
мощью машины.

Для исследования динамических процессов в системах автомати-
ческого управления применяются как аналоговые (АВМ), так и циф-
ровые (ЦВМ) вычислительные машины. АВМ удобны в применении и
позволяют быстро и просто получить наглядное решение, проанализи-
ровать влияние параметров системы на качество процессов. Важным
достоинством АВМ является их простота.

Рис. 9.28

ЦВМ наиболее целесообразно применять при исследовании систем
с большими запаздываниями, сложными нелинейностями, сложными
входными сигналами. Однако основные преимущества ЦВМ раскры-
ваются при решении задач автоматического отыскания наилучших
(оптимальных) параметров системы.

Применение АВМ. АВМ, предназначенные для решения обыкно-
венных дифференциальных уравнений, представляют собой набор
решающих блоков (см. § 6.6), соединенных между собой так, чтобы
изменение напряжений в получившейся схеме описывалось диффе-
ренциальным уравнением, подобным исходному уравнению системы
автоматического управления. Решение задачи на АВМ зависит от того,
в какой форме заданы уравнения системы автоматического управления.
Наиболее удобно составлять схему решения задачи на АВМ непосред-
ственно по операционной структурной схеме системы автоматического
управления с помощью моделей типовых звеньев (см. § 6.6).

Пример 9.7. Составить структурную схему для исследования на АВМ сле-
дящей системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

^р(р)=Мр(1+рТ1)(1+р^)].

Следящая система содержит интегрирующее и два инерционных звена, вклю-
ченных последовательно (рис. 9.28). Усилитель 1 является моделью первого
инерционного звена, что обеспечивается при	Т* [см. (6.51)1. Одновременно

он выполняет роль сравнивающего звена, поскольку используются два входа, на
которые подаются напряжения — аналоги входного и выходного сигналов (нг и
—ЦуЦ причем второе из напряжений имеет обратный знак (—иу). Это получается
за счет нечетного числа инверсий знака в трех последовательно включенных ре-
шающих усилителях. Усилитель 2 является моделью второго инерционного звена
(Я4С = Т2)> а усилитель 3 — моделью интегрирующего звена. Общий коэффи-
циент усиления системы к может быть распределен между тремя усилителями
произвольно:

№//?1)(/?4//?з)(1/^С)с-^^ с-1	(9.76)

Обычно это делается из соображений повышения точности моделирования
так, чтобы коэффициент передачи каждого из усилителей не был слишком велик
[Л.52].

В модели напряжения и1} и иу в выбранном масштабе изображают входной
и выходной сигналы следящей системы. Обычно масштабы подбираются так, чтобы
полней использовать диапазон работы решающих усилителей (в вычислительных
машинах, построенных на лампах, от—100В до + ЮОВ) и повысить относительную
точность моделирования. В то же время напряжения на выходах всех усилителей
не должны выходить за пределы рабочего диапазона, так как при этом усилители
будут работать с погрешностями.

В рассматриваемой модели взят натуральный масштаб времени (масштаб
времени равен единице), так что если переходный процесс в исходной системе
длится Грег, с, то и в модели он будет иметь ту же продолжительность.

Явления в модели можно ускорить или замедлить, если воспользоваться мас-
штабом времени, отличным от единицы. Если, например, взять /?2С = 0,1 7\,
/?4С=0,1 Т2,	= 10/гс-1 [коэффициент усиления сле-

дящей системы имеет размерность с“г, поэтому величина (/?2//?1)(/?4//?3) X
X (1//?вО увеличена в 10 раз], то все процессы в модели будут происходить в
10 раз быстрее, чем в исходной системе,при этом подобие процессов сохраняется.
Масштабы времени используются при моделировании, чтобы «растянуть» слиш-
ком быстрые и «сжать» слишком медленные процессы. Обычно окончательные зна-
чения всех масштабов подбираются в процессе исследования модели.

. При моделировании систем автоматического регулирования на
АВМ имеется возможность исследовать процессы при любых началь-
ных условиях и при произвольных воздействиях на систему. Началь-
ные условия задаются с помощью предварительно заряженных конден-
саторов, находящихся в цепи обратной связи решающих усилителей.
Для задания желаемых внешних воздействий нужно обеспечить соот-
ветствующие законы изменения напряжений — аналогов входных сиг-
налов. При этом можно контролировать не только выходную величину,
но и другие параметры состояния системы, получающиеся на выходах
решающих усилителей. Так, например, в модели следящей системы
(см. рис. 9.28) напряжение на выходе второго усилителя пропорцио-
нально скорости изменения выходного сигнала.

Более подробно с вопросами моделирования систем автоматического
регулирования можно ознакомиться в специальной литературе [Л.20].

Применение цифровых вычислительных машин Методы составле-
ния программ для исследования динамических процессов на ЦВМ,
так же как и на АВМ, зависят от того, в какой форме дано математи-
ческое описание системы автоматического управления. Если система
описана обыкновенными дифференциальными уравнениями, то удоб-
но применять стандартные программы численного интегрирования.
Большинство стандартных программ используют методы Рунге—Кут-
та, являющиеся развитием хорошо известного численного метода Эй-
лера.

Удобно, особенно при наличии запаздывания, составлять прог-
раммы для ЦВМ по операционной структурной схеме системы автома-
тического управления*. Выберем достаточно малый шаг времени й и

* См., например, Г. Л. Баранов Метод структурного моделирования
на ЦВМ систем автоматического регулирования. Сборник «Проблемы технической
электродинамики». Киев, 1969, вып. 20.
будем вычислять значения сигналов на выходе каждого из звеньев
системы в дискретные равноотстоящие моменты времени I = Ы
(/ = 0,1,2,...).

Выходную величину типового звена на каждом шаге определим
по рекуррентным формулам, при этом действительное входное воздей-
ствие на каждом шаге вычислим по формуле линейной или квадратич-
ной интерполяции на основе значений сигнала, полученных в преды-
дущие моменты времени. Вывод рекуррентных формул рассмотрим
на примере определения реакции типового звена с передаточной функ-
цией

Г (р) = кТр/(1 + рТ).

(9.77)

Дифференциальное уравнение процесса в интервале (/ — 1) И <
< I 1К имеет вид

Тйу (т)/йт + у (т) — кТйх (т)/йт,	(9.78)

где т I — (I — 1) Л.

При т = 0 значение х 1(/ — 1) Н\ = х^, у [(/ — 1) 1г] = у^.

Переходя к изображениям по Лапласу и решая уравнение относи-
тельно У (р), получим

 ум-7^‘-‘+т5г|₽хот-*'-‘|-	(9-79>

При использовании формулы линейной интерполяции сигнал
х (/) в интервале 1(1 — 1) А, //г] определяется значениями х для двух
моментов времени = х (1Н) и = х [(/ — 1) й|, т. е.

*(0 = Хь-1 + ~57~1 т

или в изображениях

X (р} =	. -Ь	(9.80)

р	А	р2

При квадратичной интерполяции изображение входного сигнала
имеет вид

V /п\	XI  1 । XI	1 । XI	— 2	1	С1\

и определяется значениями х для трех моментов времени.

Подставляя выражения X (р) в (9.79), получим:

для линейной интерполяции

У (р) = —2— х + .	;	(9.82)

1+рГ 1 1 1-ррТ рП	'	’
для квадратичной интерполяции

VI т г I —	(	। *г—2х!-1+*;-а

‘ {Р’~ 1+рТ	1 + рТ \ 2рИ *' р2й*

Выполняя обратное преобразование Лапласа, запишем:
для линейной интерполяции

У (т) = е-т/г	+— (1 —е~^'т) (х,—х4_2);

для квадратичной интерполяции

+ ~~(х1-2х1.1+х1^){х-Т(\- е- V 0].
п*

При т = К, х, е. в конце интервала (/ = Иг), имеем:
для линейной интерполяции

Уг ~ УУг-г + Д*« + Вх^,

для квадратичной интерполяции

Уг = УУг-г + ЛхХд + 51хг_1 +

В формулах (9.86) и (9.87)

Т = е-Л/Г; Л=-В = -^(1-Т);

Д1 = -^[(1-?)(27-А)-2й];

Вг~ ~~1Т(Д—у) — к]‘,

С1 = -^[(1-у)(2Т + К)-21г].

(9.83)

(9.84)

(9.85)

(9.86)

(9.87)

(9.88)

В табл. 9.2 приведены рекуррентные формулы для различных ти-
повых звеньев первого порядка. В связи с тем, что рекуррентная фор-
мула для колебательного звена представляет собой сложную зависи-

мость, целесообразно колебательное звено заменять схемой, изобра-
женной на рис. 9.29. Ее передаточная функция У? (р) = й/(Г+ р7\+
+ р27\Т^. Заметим, что такую эквивалентную схему колебательного

Рис. 9.29

звена удобно применять и при
аналоговом моделировании.

Будем считать, что на систему
действует лишь задающий сигнал
V (1). В этом случае расчет начи-
наем с первого звена после звена
сравнения. Предположим, что
для /-го расчетного шага известно
Переда- точная функция звена	Коэффи- циент V	Линейная интерполяция входного сигнала  У^ УУ]—! +	Квадратичная интерполяция входного сигнала  Р^ГР^+А^+Вх^+Сх.-.
1	2	3	4
1 рт	1	II  СО  ЬЭ	5к „ 2к  “127 ’	“ 37 ‘  с=—А_  127
к  \ + рТ		СО  II  "	1  |	Д’ ЗУ  Д Д'	1  э  7	1  +	+  1	д-  5	"	сэ  1	Со  § _	II	1  =2 ”•	1	1  ”	1	го-  -	.	*	”•	4-	"  |	4-	_	т	—  2»	д*	н-  X	I	1	Г	।  ьо <	4	1  Ч	ьэ	х  “	3	н  + “ !5	2:	“Й  Э	?	"	1  о	1	н  1	*  э	+	+  к^“'
рт	0	Е*.  1  1  II т	,	37	27	7  А—	; В=—	; С=	  2Л	/1 ’	2/1
крТ 1+рт  л  г	е-й/Г	>  1  »"< Е*ч  **:  1  аз  1  II  •=с	Л = -^-И1-Т)(27-й)-2у;  2кТ  в- .2 [(1-Т)7-Л];  п*  С--^-2 1(1-Т)(27+Л)-2й] 4л1'1
к(\+рТ}	0	!ь  ? 11  "	Д’ | ЗУ  1  * +  1	Д’  «* •	А - 9. (37 4-2/г);  2кТ	кТ  В=——, С=— к	к
1 ±рТ1 к   рт2	1	я Ж+п  А=к- „  2Та  27« — к  В=—/г—1	  272	к  А-	(1271+5Л);  I/ 1 2  В= — — (37!—2/1); С=-~- 372	127г
Продолжение табл. 9.2

Переда точная функция звена	•  Коэффи- циент у	Линейная интерполяция входного сигнала  У 1 =	+	Квадратичная интерполяция входного сигнала  У1=V У1 _ 1 +	1 + 1 _ ! + Сх 1 _ 2
1	2	3	4
1+рЛ	е— Л/Г8	/г  А = ~ [(1—Т)Х  X (71-71)+*];  к .  в = -~^ [(1—т)х	/г  А-„.а [(1—Т)(Т9-Л)Х гп~  Х(2Т2-к)-]-2к (1г + Т1-Т.)]-г к  -2Т1Т2)+^+2к(Т1-Т2)]-,  С-	(Л + Г2)((1-Т)Х  Х(2Т2+Л)—2Л]

входное воздействие первого звена. Тогда по рекуррентным форму-
лам определяем его реакцию, которая, в свою очередь, является вход-
ным воздействием второго звена, и так далее до выходного сигнала
системы у.

Суммирующие звенья, к которым подводятся сигналы обратных
связей, выделяются в виде отдельных звеньев. Значение сигнала пря-
мой цепи в конце /-го интервала сравнивается со значением сигнала
обратной связи в конце (/ — 1)-го интервала, так как его значение
в /-й момент вначале неизвестно. В результате получается решение,
которое не учитывает изменение сигнала обратной связи на /-м ин-
тервале. Для повышения точности расчета целесообразно вычисления
сигналов, проведенные для /-го интервала, повторить, используя
уточненный разностный сигнал. Такое повторение проводится до тех
пор, пока уточняемые решения не станут достаточно близкими.
После этого программа переходит к следующему интервалу времени
с номером (/ + 1).

Для расчета процессов в системе с запаздыванием в памяти машины
резервируется т = т/Н ячеек памяти, где т — время запаздывания
(обычно т = 100 — 1000). Совокупность ячеек образует массив для
моделирования запаздывания. В конце очередного /-го такта в ячейку
массива, в которой было записано значение входного сигнала х^тУ
записывается значение х^ При этом старое содержание ячейки (х^т)
стирается. Выходной сигнал звена запаздывания формируется по ин-
терполяционной формуле на основе значений	-’О-т-на»

хранящихся в определенных ячейках массива.

Выбор величины шага Н проводится при наличии запаздывания.,
из соотношения К 0,01 т. Если же запаздывания нет, то обычно при-
нимают Н 0,1 Ту где Т — наименьшая из постоянных времени сис-
темы автоматического управления.
ГЛАВА X

КОСВЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

§ 10.1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КОСВЕННЫХ
МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Основные показатели качества переходного процесса управления —
быстрота ликвидации начальных отклонений (быстродействие системы)
и плавность протекания процесса (отсутствие или достаточная малость
перерегулирования) — далеко не всегда могут быть определены пря-
мыми методами. Следует, однако, отметить, что массовое применение
аналоговых моделирующих устройств все больше расширяет возмож-
ности прямого метода исследования качества и совместно с рациональ-
ной организацией моделирования и оценками его результатов придает
ему новую практическую ценность.

Главная задача исследования качества — установить влияние
структуры и параметров системы на быстроту и плавность протекания
переходных процессов. В случае линейных системе постоянными пара-
метрами эта задача успешно решается косвенными методами. Косвен-
ные методы делятся на три группы.

Частотные методы. Основное преимущество частотных методов —
возможность использования не только расчетных, но и эксперимен-
тальных характеристик разомкнутой системы для определения качест-
ва ее после замыкания цепи обратной связи. К этому добавляется про-
стота и наглядность оценки изменений в характеристиках, вызывае-
мых изменением структуры и параметров системы.

Наиболее плодотворным для оценки переходных процессов в замк-
нутой системе и соответственно для перехода к задаче ее синтеза ока-
зывается исследование амплитудно-частотной характеристики замкну-
той системы и связи ее параметров с частотными характеристиками
разомкнутой системы.

Интегральные методы. Наиболее сжатое представление о каком-
либо процессе, очевидно, достигается в том случае, когда этот процесс
можно охарактеризовать одним числом, значение которого достаточно
полно отражает протекание процесса на заданном интервале времени,
В математике оценки этого типа называются функционалами и, в част-
ности, могут быть заданы в виде определенного интеграла

7-^ </(/)} Л,

о
численное значение которого для зависимости Р определяется всем
ходом процесса / (/) при 0 I Т.

Задачи минимизации таких оценок, решаемые в общем случае ва-
риационными методами, позволяют осуществить синтез оптимальных
(наилучших в заданном смысле) систем [Л.50]. Постановка и решение
этих задач подробно рассматриваются во второй части курса.

Интегральные оценки легли в основу так называемого аналити-
ческого конструирования регуляторов — одного из наиболее перспек-
тивных методов синтеза автоматических систем.

Количественное (численное) представление показателя качества
дает возможность автоматически решать эту задачу и создавать
самооптимизирующиеся системы с заданным алгоритмом (программой
автоматической настройки). Сказанное определяет актуальность и
перспективное значение интегральных оценок в теории автоматическо-
го управления.

Корневые методы. Под общим названием корневых методов объе-
диняют различные способы оценки качества переходных процессов
по расположению нулей и полюсов передаточной функции замкнутой
системы в комплексной плоскости корней р = о + /со. Максимальные
возможности при этом дает исследование корневого годографа. Тру-
доемкость построения корневых годографов сложных систем (см.
гл. VIII) ограничивает применение корневых методов в инженерной
практике (если для этой работы не привлекаются специальные приспо-
собления — шаблоны, потенциальные аналоги и автоматические корне-
искатели). При помощи корневых методов в теории автоматического
управления осуществлено детальное исследование качества линейных
систем, описываемых дифференциальным уравнением третьего порядка
[Л.211.

§ 10.2.	ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

Показатель колебательности. На основании формулы (4.94) норми-
рованную переходную функцию колебательного звена можно записать
в виде

+	(10.1)

где т = соо^.

Из (10.1) следует, что прямые качественные показатели колеба-
тельного звена однозначно определяются двумя параметрами: коэффи-
циентом затухания $ и резонансной частотой соо.

Определим показатель колебательности М как относительное зна-
чение максимума амплитудно-частотной характеристики замкнутой
системы:

М == 1Г3 (со)1макЛ (0).

(10.2)
Согласно (4.87) и (4.88) для колебательного звена

д . __ И? (<ом) _____1_____.	»	1 2

№(0)	2& У1—	2 ’

(10.3)

где юм = ©о V1 — 2У

Выражения (10.1) и (10.3) позволяют установить зависимость пока-
зателей качества переходного процесса этого звена Дйм, т„ = 1ыт0\
трег = /рег фв, и С от показателя колебательности М его ампли-
тудно-частотной характеристики. Эти зависимости представлены
на рис, 10.1, а и б.

Система с передаточной функцией колебательного звена
№а(Р) = ®Ж + 2С«>ор + «ф	(10.4)

получается при замыкании последовательного соединения инерцион-
ного и интегрирующего звеньев единичной отрицательной обратной
связью и, следовательно,

^р = ^ас/[р(рТ + 1)];

№8 = (/гас/Т)/(р2+ ЦрТ+км1Т).

(10.5)

(10.6)

Соотношения (10.4) и (10.6) позволяют установить связь между па-
раметрами разомкнутой системы — постоянной времени инерцион-
ного звена Т и добротностью &ас— и параметрами колебательного
звена, получающегося после ее замыкания:

<оо = ГМ7Т ?=1/(2]/^),	(10.7)

а также между показателем колебательности замкнутой системы и за-
пасом по фазе ус разомкнутой системы на частоте среза <вс(Л1)

Те = 180° + <рр (<ос).	(10.8)

Зависимости этих оценок от Л1 представлены на рис. 10.2.

На рис. 10.3, а — в приведены примеры асимптотической логариф-
мической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы
с передаточной функцией (10.5) при различных значениях добротности
и соответствующие им переходные функции замкнутой системы.

Очевидно, что увеличение добротности кас приводит к росту час-
тоты колебаний в системе и увеличению перерегулирования. Увели-
чение показателя колебательности М сопровождается уменьшением
запаса по фазе ус. Считают, что для удовлетворительного качества
переходного процесса должно быть

Дй = 0,10,3.	(10.9а)

При этом согласно рис. 10.1 следует обеспечить

М = 1,1 4- 1,5,	(10.96)

что соответствует (по рис. 10.2)

Тс = 30° 4-50°.	(10.9в)

Если амплитудно-частотная характеристика независимо от слож-
ности исследуемой системы близка к амплитудно-частотной характе-
ристике колебательного звена с показателем колебательности М и
частотой резонанснего пика сом, то и переходные процессы в системе
будут близки к переходным процессам в колебательном звене. Эта
гипотеза позволяет оценивать переходные функции многих сложных
систем автоматического управления по амплитудно-частотной харак-
теристике замкнутой системы (показателю колебательности /И) и по
частотной характеристике разомкнутой системы (запасу по фазе ус).
Следует отметить, что в большинстве случаев качество переходных
процессов целесообразно характеризовать именно показателями Л1,
В)с, (Оо и ус.

Построение амплитудно-частотной характеристики замкнутой сис-
темы по годографу частотной характеристики разомкнутой системы.
Чтобы определить показатель колебательности 7И и частоту максимума
нужно построить или оценить амплитудно-частотную характерис-
тику замкнутой системы. Это может быть выполнено с помощью тех же

а)

расчетных или экспериментальных частотных характеристик разомк-
нутой системы, которые используются при исследовании ее устойчиво-
сти.

Связь между частотными характеристиками системы в разомкнутом
и замкнутом состоянии определяется формулой

«7з(/ю) = «7р (»/11 +

(10.10)

из которой следует, что в плоскости годографа частотной характерис-
тики разомкнутой системы 1ГР (/со) можно заранее построить сетку
линий равного значения модуля частотной характеристики замкнутой
системы.

По точкам пересечения годографа (отметки частоты должны быть
нанесены на кривой) с линиями сетки 11Г31 = сопз! = с легко
построить график | Ш’3 | = / (со) или непосредственно оценить ка-
чество замкнутой системы, определив М и сом.
Рассмотрим построение кривых |1Г81

*= Р + /С. Из (10.10) следует, что

= С В ПЛОСКОСТИ й7р (/©) =

|^81 = |^р (/(0)1/11 + ^р(/<о)| = |Р+/С1/|(И-Р) + /С| = с. (10.11)

Возводя в квадрат обе части уравнения (10.11), получим
(Р2 + <22)/Ц1 + Р)2 + <221 = с2,
откуда

/» _ 2Рс2/(1 — с2) + С2 == с2/(1 — с2).	(10.12)

После элементарных преобразований равенство (10.12) приво-
дится к виду

[Р — с2/(1 — с2)]2 + <22 = [с/(1 — с2)]2,	(10.13)

Полученное уравнение описывает семейство окружностей, центры
которых расположены по вещественной оси на расстоянии

Ро =-с2/(1 — с2)	(10.14)

от начала координат.

Точки пересечения каждой окружности с вещественной осью на-
ходятся как

Р± = —с/(1 + с) и Р8 = с/(1 — с),

а радиус

Р = | с/(1 - с2) |,

(10.15)

(10.16)

Рис. 10.4

где с — 1^3 = сопз! — параметр семейства.

Диаграмма, построенная согласно (10.13) 4- (10.16), приведена
на рис. 10.4.

Значению 1Г8 = оо соответствует точка (—1 + /0), а значению
= 0 — начало координат. При й73 = 1 получим вертикальную
прямую Р = —1/2. Окружности, соответствующие 1Г8 < 1, распола-
гаются справа, а 1Г8 > 1 — слева от этой прямой.

Аналогично диаграмме,
изображенной на рис. 10.4
(диаграмме Холла), можно
построить сетку линий рав-
ной фазы комплексного ко-
эффициента усиления замкну-
той системы

Ч>8 = аг§ 1Г8 (/ю) = сопз! = с.

Если максимум амплитуд-
но-частотной характеристики
замкнутой системы ограни-
чен заданным показателем
колебательности (10.2), т. е.

^з.макС^/ИГ8(0)=Мп.

(10.17)
то годограф частотной харак-
теристики разомкнутой си-
стемы 1ГР (/со) при Л4П 1
не может попасть внутрь кру-
га с параметром 1Г3 = с =
= Мп (см, рис, 10.4), Следо-
вательно, кривая 1ГР (/со) мо-
жет лишь касаться окружно-
сти = Мп в одной или
нескольких точках. Это ус-
ловие обеспечивается приме-
нением в системе автоматиче-
ского управления специаль-
ных корректирующих уст-
ройств, которые изменяют

фильтрующие свойства разомкнутой системы и деформируют годограф
ее частотной характеристики.

Постановка и решение задачи коррекции системы (см. гл. XI)
сильно упрощаются, если от ограничения (10.17), наложенного на ха-
рактеристику замкнутой системы, перейти к ограничению, наложен-
ному на модуль 1ГР и запас по фазе у комплексного коэффициента
усиления разомкнутой системы.

На рис. 10.5 изображена одна из окружностей диаграммы, пред-
ставленной на рис. 10.4. Для того чтобы получить уравнение гранич-
ной окружности 1Г3 == с = Л4П в полярных координатах ТГР, у,
подставим №р = Р2 + <22 и Р = —1ГР соз у в равенство (10.12),

тогда

+	СО8Т—^2-

Р р Г 1— М*

Мп

1-^

или

2№р СО8 у = 1 + Г * (М* - 1)/Ж.

Окончательно уравнение граничной окружности в полярных коор-
динатах запишется следующим образом:

со8у = [1 + 1Г* (М*-1)Ж]/(2^р).

(10.18)

Как следует из формулы (10.18) и рис. 10.5, для обеспечения пока-
зателя колебательности замкнутой системы не выше заданного, доста-
точно, чтобы в интервале

запас по фазе удовлетворял неравенству

агссоз —5— (1 + №р

2ГР I р

^-1 \

М* )'

(10.19)

Из рис. 10.5 видно, что деформировать годограф 1ГР (/со) при кор-
рекции необходимо так, чтобы в области резонансного пика 1Г3 (сом) =
= тах (или в интервале средних частот) запас системы по фазе у удов-
летворял неравенству у Умакс-

Поскольку изменение фильтрующих свойств системы достигается
применением специальных корректирующих устройств, усложняющих
систему, стараются добиться нужного качества при наименьшем фа-
зовом опережении, вносимом корректирующими схемами. Это требо-
вание выполняется, когда годограф №р (/со) касается граничной ок-
ружности лишь в одном точке А. В этом случае у (сом) = умакс и, как
следует из рис. 10.5 и формул (10.14) — (10.16),

8>п Тмакс = Я/| Л) | = 1 /С = 1 /Ма,

т. е.

(10.20)

Тмакс агс5ип (1/Л1п), Л'1П 1.

Рис. 10.6

На рис. 10.6 приведены годографы нескорректированной системы
(кривая /) и той же системы после коррекции, удовлетворяющей
требованию минимального фазового опережения (кривая 2).

Запас разомкнутой системы по фазе и усилению. В большинстве
практических задач удовлетворительное качество системы достига-
ется при выполнении более простых (необходимых) требований, сво-
дящихся к тому, чтобы рассмотренные в гл. VII запасы по фазе ус
на частоте среза и по усилению Ьзац были достаточно велики. Поль-
зуясь рис. 10.6, рассмотрим, каковы должны быть требуемые вели-
чины этих параметров.

1.	Запас по фазе ус на частоте среза со = сос при = 1.
Из (10.18) следует, что минимальный запас по фазе на частоте среза

Тс. мин = 2ГССО8 I1---агсзт 1/ 1-----------------Ц-.	(10.21)

н	\ 2Мп )	Мп V 4М% к 7

На рис. 10.7 построены графики умакс (7ИП) и ус мин (7ИП) соглас-
но (10.20) и (10.21).
Очевидно, что при выполнении
условия (10.20) сом < сос и умакс>
> Тс. мин* Чем больше Ма, тем
меньше разница между умакс и
Тс. МИН'

2.	Запас по усилению (запас
по модулю) — логарифм отноше-
ния предельного коэффициента
усиления системы по условию
устойчивости к ее коэффициенту
усиления в исследуемом случае.
Согласно критерию Найквиста это
отношение обратно пропорциональ-
но длине отрезка, отсекаемого го-
дографом (/со) на отрицатель-
ной вещественной полуоси при
со = (1)л:

*Пред/А=|Гр (/«>«) Г\

где соп — частота пересечения, определяемая условием

(} (<оя) = 0 при Р (<оя) < 0.

Таким образом, запас по модулю (дБ)

Тзап = 201ё|Гр(/Ил)|-Ч	(10.22)

Из уравнения (10.18) и рис. 10.6 следует, что минимальное значе-
ние запаса по усилению при заданном Л1п

Ьзап мин = 201е —— = 201§	.	(10.23)

МИН	°	> О 1	'	7

I I	А/п

Запас по усилению Ьзап реальных систем обычно выше минималь-
но необходимого значения (см. (10.23)1 и выбирается в пределах
8 4- 12 дБ.

Резонансная частота незатухающих колебаний замкнутой системы
со0 определяется из условия ср3 = —90°, что соответствует точке пе-
ресечения годографа (/со) с окружностью, диаметром которой слу-
жит отрезок {—1,01 вещественной оси (см. рис. 10.6). Из этого рисун-
ка, а также из рис. 10.1 и 10.2 следует, что при М > 1 частоты сом <
< сос < как правило, довольно близки друг к другу и сближа-
ются при увеличении М. Частота свободных затухающих колебаний
замкнутой системы <ое также заключена между сом и <оо. Например,
для колебательного звена

«м/“о = К1—2С2 < VI—С2 = ®/М,.

Поэтому при приближенных оценках считают, что

с^^сос,	(10.24)

—частота затухающих колебаний замкнутой системы в переходном
процессе—приближенно равна частоте среза разомкнутой системы.
Построение амплитудно-частотной характеристики замкнутой сис-
темы по годографу инверсной частотной характеристики разомкнутой
системы. Во многих случаях при исследовании устойчивости и качест-
ва удобно пользоваться не прямой, а инверсной частотной характе-
ристикой разомкнутой системы 1Гр 1 (/©).

Из выражения (10.10) следует, что

(Я) = 1+№-’ (/И) •	(Ю.2э)

Из этого равенства видно, что строить амплитудно-частотную ха-
рактеристику замкнутой системы по годографу инверсной частотной

характеристики разомкнутой системы 1 (/ю) проше, чем по годогра-
фу 1Гр (/©).

Построим сетку линий постоянного значения 1У3 (ю) = с = сопз!
в плоскости 117р 1 = X + /У.

Согласно (10.25)

1 , 1
с -------------- • или с2 =-------------,

114-Х + /П	(1+Л)2+У2

откуда уравнение линий сетки

1/с2 = (1 4- X)2 + У2,	(10.26)

где с — параметр семейства.

Выражение (10.26) показывает, что линии постоянных значений
амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы в плоскос-
ти инверсной частотной характеристики разомкнутой системы пред-
ставляют собой концентрические окружности с центром в точке
(-1, 4-/0).	'
Значение №'3 = соп8< на каждой окружности определяется величи-
ной, обратной радиусу этой окружности ~ 1/1Г8-.

На рис. 10.8 построена круговая диаграмма, соответствующая
выражению (10.26). Максимальное значение №'а (со) = Мп определя-
ется индексом окружности, которой касается годограф инверсной
частотной характеристики разомкнутой системы №р 1 (/со).

В качестве примера на рис. 10.8 приведен годограф инверсной
частое ной характеристики следящей системы (кривая 1) с переда-
точной функцией

и/р(р) = 16/(р(0,1р+ 1) (0,02р 4-1)],

а на рис. 10.9, а приведена соот-
ветствующая амплитудно-частотная
характеристика замкнутой системы.

Переходные процессы этой си-
стемы рассчитаны в примере 9.1.
Показатель колебательности (Л4П =*
= 1,94) слишком высок, что (как вид-
но из рис. 10.9, б, кривая /) приво-
дит к чрезмерному перерегулирова-
нию Аймаке = 0,39 и слабому зату-
ханию М = 2. Для сравнения на
рис. 10.9 приведена также переход-
ная функция колебательного звена
(кривая 2) с теми же значениями Ми
и а>м. Для этого звена №р выражает-
ся уравнением (10.5), а годограф
имеет вид кривой 2, приведенной на
рис. 10.8. Кривые практически сов-
падают.

Оценка качества по логарифмическим частотным характеристи-
кам. Типовые характеристики. Разомкнутую систему, как правило,
представляют в виде последовательного соединения звеньев. Частот-
ные характеристики некоторых из них могут быть заданы экспери-
ментальной таблицей или графиком, а остальные — формулами. Для
построения годографов №р (/«) или 1 приходится перемножать
модули векторов при совпадающем значении частоты. При переходе

от полярных координат

Гр(/со) = |Гр(/(о)|е/ч’р(а)

к прямоугольным логарифмическим

1п №р (/со) = 1п |Гр (/со) | + /срр (со)

умножение заменяется сложением, что значительно упрощает построе-
ние. Кроме того, переход от характеристики №р (/со) к характеристике
1 (/со) в прямоугольных координатах осуществляется простым из-
менением знаков осей координат. Это особенно удобно, когда требует-
ся исследовать качество не только по выходу замкнутой системы, но и
по ее рассогласованию е9 поскольку

М7е (/«) =----1----= .ЛрЧ/со)

1+«7р(»	14-^-4/®)

также зависит от 117“1 (/©), как Ш3 (/со) от Ц7р (/а).

*Р

•180460-^0-120-100-80-60-^-?0 О 20 ЬО 60 80 /00 /20 №0 160/60

Ось значений модуля логарифмической диаграммы обычно распола-
гают вертикально (номограмма Никольса), как показано на рис. 10.10.
Основную, равномерную шкалу на этой оси наносят в децибелах
^-р ~ 20 Ц7р. Для удобства может быть нанесен и логарифмический
масштаб 117р = | Ц7р (}‘а) | . По горизонтальной оси диаграммы откла-
дываются значения фазового сдвига разомкнутой системы <рр в граду-
сах или ее запаса по фазе т>р.

Сетки линий равного значения модуля М = «7з и фазы <р3 замкну-
той системы, нанесенные на номограмме, позволяют строить частотные
характеристики замкнутой системы по частотным характеристикам
разомкнутой.
Для примера на номограмму (рис. 10.10) нанесен годограф конкрет-
ной разомкнутой системы (жирной линией) с отмеченными на нем зна-
чениями параметра со. Изменение коэффициента усиления приводи!
к вертикальному сдвигу кривой относительно координатной сетки.

Удобство определения запасов по фазе и усилению видно из ри-
сунка.

При исследовании минимально-фазовых систем, которые в разомк-
нутом состоянии могут быть представлены последовательным соеди-

нением элементарных звеньев, использование частотных методов не вы-
зывает затруднений. Фазочастотная характеристика таких систем
однозначно определяется их амплитудно-частотной характеристикой,
а асимптотическая логарифмическая амплитудно-частотная характе-
ристика (ЛАЧХ) состоит из отрезков, наклон которых кратен
20 дБ/дек.

Согласно условию (10.9) приемлемое качество переходного процес-
са достигается в том случае, когда запас по фазе на частоте среза
Тс 2^ 30°, При этом в соответствии с условием (2.71) для минимально-
фазовых систем участок асимптотической ЛАЧХ разомкнутой систе-
мы, содержащий частоту среза фс, должен иметь наклон (—20 дБ/дек).
Чем больше длина этого участка, тем (при прочих равных условиях)
больше запас по фазе разомкнутой системы и меньше показатель колеба-
тельности замкнутой системы М.

Это положение иллюстрируется, в частности, рис. 10.3.
в»
Возможные конфигурации среднечастотной части характеристики
минимально-фазовых систем практически ограничены типовыми ха-
рактеристиками, соответствующими передаточной функции разомкну-
той системы

МТ0р+1И_____

РХ(Т1Р+\)Г (Т2р+1/

; т = 0,1,2; 1 — 1,2; г =1,2.

(10.27)

Параметры типовой частотной характеристики приведены на
рис. 10.11, а. Сравнительно небольшое число вариантов, подлежащих
исследованию, позволило рассчитать и построить набор номограмм,
которые связывают параметры типовых характеристик разомкнутой
системы с показателями амплитудно-частотной характеристики замк-
нутой системы (рис. 10.11, б) и ее переходной функции (рис. 10.11, б).
Подобные номограммы приведены в [Л.38], использование их снижает
трудоемкость расчета коррекции систем регулирования, в особенности
следящих систем [Л.6).

§ 10.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Интегральные методы анализа основаны на применении функцио-
нальных оценок вида

7 = ^ {Г (ИМ-
о

«

(10.28)

При этом по определению значение (/) должно в заданном смысле
характеризовать переходный процесс, поэтому в дальнейшем приня-
то, что (/) = улер (!) — сигнал переходного процесса. Верхний
предел интегрирования Т, характеризующий окончание переходного
процесса, в общем случае не может быть указан заранее, поэтому,
как правило, интегрирование производят с бесконечным верхним пре-
делом, откуда следует требование абсолютной интегрируемости
Г {г/цер (/)}. Это требование выполняется, если при I -> оо величина
Л {г/пер (/)} -> 0 как е~(а+/в>)/, где а > 0. Следовательно, вычисле-
ние интеграла (10.28) может быть непосредственно применено к пе-
реходной составляющей (3.85) рассогласования упер (!) = есв (/) =
= е (/) — еуст при отработке произвольного воздействия о (1) устой-
чивой системой (рис. 10.12). В качестве типовых сигналов анализи-
руется импульсная переходная функция */цер = ьУ(О или свободная
составляющая переходной функции улер =	— И (/).

Рассмотрим в порядке возрастающей сложности наиболее распро-
страненные оценки (10.28), технику их вычисления и область воз-
можного применения.

Линейные интегральные оценки. Линейной интегральной оценкой
переходной составляющей называется определенный интеграл вида

5 = 5ф(/)упер(/)^,	(10.29)

о
где <р (0 — заранее заданная функция времени — функция веса (ко-
торую не следует смешивать с ии (/) — весовой функцией системы).

Практическое распространение получили линейные интегральные
оценки

оо

5а/ = 5е-а'/^пер(/)Л
О

преимущественно вида

оо

5<Н = р' //пер (0 Л	(10.30)

0

с функцией веса ф (/) ~ I1.

Простейшая из этих оценок

оо

500 //цер (О

О

(10.31)

равна площади переходного процесса, заштрихованной на рис, 10.13
с учетом знака #пер. Для монотонных процессов (рис. 10.13, а) эта
оценка может служить характеристикой качества системы.

Оценка

•$01 “ ^/пер (0
о

(10.32)

равна моменту площади относительно начала координат. Отношение
Тпер =. 501/500 определяет положение центра тяжести фигуры, за-
штрихованной на рис. 10.13, а, и может служить характеристикой
быстродействия системы при монотонных процессах управления.
Старшие оценки (10.30) определяют моменты /-го порядка функции

(0, где I 2, 3, ... .

Линейные интегральные оценки весьма просто вычислить. Диффе-
ренцируя изображение увер (/) по комплексному параметру р, получим

.	1 оо	оо

и1 &	о

Уаср	Упер (0 е-₽/ 4й = С (-1)' /' упср (/) е- =

аР'	ар‘

= (-1У1{/^пер(/)(,
где Упер (р) — изображение риер (/).

Рис. 10.13

В соответствии с теоремой о предельном значении

~	а1

501 = \I1 У^р (П = (-1)' Иш -А- Упрр (р).

л	₽->о аР1

(10.33)

Равенство (10.33) аналогично равенству (9.80), используемому
в методе коэффициентов ошибки. Следует, однако, учесть, что переда-
точная функция, связывающая переходную составляющую и входную
величину системы, вообще говоря, не совпадает с передаточной функ-
цией системы. Согласно (10.33) оценка

5оо = ПтУпер(Р)=Упер(0).
р->0

(10,34)

Применение линейных интегральных оценок практически ограни-
чено, поскольку они приемлемы только для монотонных процессов.
Из рис. 10.13, б ясно, что для колебательного процесса значения 500
и других линейных оценок могут быть малыми при слабом затухании
и больших перерегулированиях. От этого недостатка свободны квад-
ратичные интегральные оценки.

Квадратичные интегральные оценки. Квадратичные интегральные
оценки вида

оо

•М [«, юр Л

о
предложены акад. Л. И. Ман-
дельштамом и Н. Д. Папалек-
си для широкого круга задач
теории колебаний в 1909 г. К
задачам приборостроения
оценка этого вида применена
А. А. Харкевичем в 1937 г. В
теории автоматического уп-
равления квадратичные оцен-
ки применены и развиты
А. А. Красовским (1946 г.) и
А. А. Фельдбаумом (1948 г.).

Простейшая квадратичная

интегральная оценка

оо

^0 ” Упер (0

О

(10.35)

характеризует протекание переходного процесса (рис. 10.14). Ее чис-
ленное значение, равное площади, заштрихованной на рисунке, учи-
тывает абсолютное значение отклонения г/иер, что позволяет приме-
нять оценку /,) также и к колебательным системам.

Интеграл проще всего определяется с помощью теоремы Релея
1см. приложение П.2, формулу (П.2.5)1, из которой следует, что

ОО	1 °°

«/о = 1/дер (0	I (/^) Г ^?С0,

о’	п 0

(10.36)

где | УПЕР (/со) | — амплитудный спектр переходной составляющей
на выходе системы управления.

В большинстве случаев изображение Упер (р) — дробно-рациональ-
ная функция

В(р) _ Ьт РСТ+ Ьт^1 Р™ *+  4-61 Р±Ьр

С(Р) спрп 4-сп_1рп-14-...4-с1р4-с0

и формула (10.36) принимает вид

оо

Д Г В (/со) В (—/со)
л .] С (/о) С (— /со)
о

(10.37)

(10.38)

Интегралы вида (10.38) в функции коэффициентов и сг вычисле-
ны впервые Мак-Леном для т = п — 1 и и = 1, 2, 3, ..., 7. Сущест-
вуют таблицы интегралов для п = 1	10 [Л.31], что с запасом удов-

летворяет запросы практики. Таблица для п = 1 4- 6 приведена в при-
ложении П.7.

В частности, при оценке реакции устойчивой системы управления
на импульс

Упер (0 = а'з (0Над (Р) = №3 (р);

I Гпер (>) I2 =	№) ^3 (-/со) = I В73 (/со) р.
Если же исследуется переходная функция системы, то

^Р(/)=\сТ-М0; Упер(р)=М=М);

/	/,7й|2- [^в(0)-^з(7<о)П«М0)-11М-М] _ в (М В (-/а)

пер (Я) I -	_щ2	С (/со) С ( — /со) •

Пример 10.1. Определить квадратичную интегральную оценку для системы
с переходной функцией

^з(р) = (Р3+Лр2 + Вр + 1)“1

и вычислить значения параметров А и В, минимизирующие /0. Поскольку
Г8(0) ~1, то

4/1	________!_______\ 1 — р^ -^р-у в

\	р34-Лр24-Вр 4-1 ) р	р3-]-Лр2 4- Вр + 1

Из приложения П.7 для п = 3

А)	Ь2) с0 Сз4~^р с2 сз

°	гсоСз^Са—сос3)

В рассматриваемом случае

Ьо и В; с2 == Л; Ь2 == с3 = с0 = 1,
откуда

В4-(Л2—2В)4-а2 Л В(ЛВ— 1)+Л2 В	Д2

°~ 2(ДВ —1)	2(ЛВ-1)	2 + 2(ЛВ-1) *

Определим частные производные:

0}о/дА = [2Л (АВ~ 1)—Д2 В]/2 (АВ~ I)2;
д/0/дВ = [1— А3!(АВ~ 1)2]/2.

Приравняв их нулю, получим А = 1, В = 2, при этом .10 ыин=«
*= 1,5.

Переходный процесс, соответствующий минимуму ^0, & исследуе-
мой системе становится колебательным, причем значение показателя
колебательности М = 1,34 указывает на значительное перерегулиро-
вание. Это неудивительно, поскольку оценка 10 не характеризует плав-
ность протекания процессов управления.

На рис. 10.15 показаны три различных процесса, соответствующих
одному и тому же значению интегральной квадратичной оценки
Очевидно, что процесс 1 мало пригоден для практики, процесс 2 удов-
летворителен, а процесс 3 соответствует хорошему качеству системы.

Наименьшее, нулевое, значение оценки согласно (10.35) дости-
гается при #пер (I) = 0 во всех точках, кроме I = 0. Такой процесс
не может быть принят в качестве эталона сравнения, поскольку чрез-
мерное быстродействие в линейной системе приводит к недопустимым
и практически нереализуемым перенапряжениям и перегрузкам.

От перечисленных выше недостатков свободна квадратичная ин-
тегральная оценка

оо

5 [^еР (П + Т? ? (/)] (И.	(10.39)

о

Учет скорости протекания процесса у (/) == ^уцер (1)1(11 с весом
тг придает этой оценке качественно новые свойства.

Интеграл (10.39) может быть представлен в виде

оо	оо

= $ ['Упер (/) + ЧУ (/)]* (11 - 2т, 5	(/) у (I) (11 =

о	о

оо

[^пер

0

оо

(0 + чйорЛ— 2т, ^пер (0 ^иср (0-
о

Так как по определению #пер (оо) = 0, то

оо

А = 5 1#пер (0 + Ч у (012 & + Ч Упер (0),
о

откуда следует, что значению

Амин — Ч Упер (0)

соответствует процесс, определяемый уравнением

Ч (1Упер/сЧ Упер

(10.40)

(10.40а)

при начальном условии упер (0),

Поэтому оптимальным по минимуму оценки У, процессом служит
получающаяся в результате решения уравнения (10.40а) экспонента
(рис. 10.16)

Упер. мин(0=1/Пер(0)е-//т’.	(10.41)

Задаваясь численным значением весового коэффициента, ограничи-
вают быстродействие оптимальной (эталонной) системы и обеспечива-
ют плавность протекания оптимального процесса. Обычно задают
Гррг/6 < т, < /рег/3, где /рег — требуемое время установления (ре-
гулирования).

Как показал А. А. Фельдбаум 1Л.43], интеграл 7, и старшие квад-
ратичные интегральные оценки обладают чрезвычайно важным
свойством: если экстремальное (минимальное) значение оценки
мин(^ = 1» 2, 3, ...) отличается от значения 1к, вычисленного для
исследуемой системы на величину

&к ~ к мин > О,

Рис. 10.16

то переходный процесс этой системы упер (/) в любой момент времени
отличается от экстремали г/перо (/) меньше, чем на

« = ]/№» ей,	(10.42)

где величина может быть заранее вычислена для любого интеграла
1к. Это положение иллюстрируется рис. 10.16, на котором заштри-
хована полоса | Аг/пер | < и. В частности, для Зк значение =
= 1/Т! И

1//пер (/пер. мин(0 I °

(10.43)

С ростом порядка дифференциального уравнения исследуемой
системы значение разности еъ достигаемой даже при наилучшем вы-
боре ее параметров, увеличивается и ширина заштрихованной поло-
сы растет. При этом теряется возможность с достаточной точностью
судить о близости переходного процесса системы к заданной экстре-
мали. Увеличение точности суждения обеспечивается применением
одной из старших квадратичных интегральных оценок

оо

= $ {(/пер (0 + Т? У* (/) + ... +	[у^ т (11,

О

(10.44)
экстремалью которой служит решение линейного дифференциального
уравнения

аъУ(к} (/) + йй_1^-1>(/) + ... + а1^(О + ао//(/)==О	(10.45)

при а0 = 1 и заданных начальных условиях. Обычно принимают

у(0)=*/пеР(0); у(0)=И0)= ... =^-о(0)=о.	(Ю.46)

Чтобы определить зависимость между коэффициентами веса фор-
мулы (10.44) и коэффициентами уравнения (10.45), записывают тож-
дество

оо

$	(0 + Т? ? (/) + ... + 4 (1/<« (/))«] сП =

о

оо

= $ (у + а1у+... + аку<к>)2с11 +С.
о

Раскрывая квадрат суммы под интегралом в правой части и интег-

рируя удвоенные произведения по частям с учетом начальных условий
(10.46), получим

С — Упер (0);

т? = а?—2аоа2;

'г2 = 0:2—2а1аз + °оа4;

Тз = «1—2п2 й4 + 2аг а6—2а0 ав;

(10.47)

Оценка вычисляется как сумма

А

«//г == «/0 “Ь 2 «Л)Ь

/=1

компоненты которой

оо

о

определяются по изображению к (I)} точно так же, как оценка
Уо (см. приложение П.7).

Пример 10.2. Вычислить квадратичные интегральные оценки 4^ и для
переходной функции системы с передаточной функцией

^з(Р) = 1/(Р2 + 2Ср + 1).

Определить значение при котором минимально. Сравнить полученный
переходный процесс с экстремалью.

Изображение

Г (	. V 1 Г,	Р + 2^

Ь(^ер(О} = КПеР(р)- р [1- рг+^р +! “ р2 + 2^ + 1 ’
или

ь {«/пер (0} = РУ пер (Р) - V (0) = -(Р2 +2&Р +1) “ Ч

Согласно приложению П.7 для пт 2

Л) = (&| Со + 60 С2)/(2б0С| с2).

Значения коэффициентов)

для Гпер (Р)

^=с2 = с0 = 1: Ь0 = С1=2,,

•при этом

У0 = («+4е)/4й

ДЛЯ рУПер (Р) — Упер (0)

*=> 0:	= с? *=• с0 = 1;	— 2^,

откуда

(1+т1)+С

Из уравнения

= (4С2 —(I +т?)1/4:2 =0

получим

с= VI +4/2.

В этом случае

1/1 +т?.

Поскольку при г/пер Ю) ш 1 согласно (10.40) мин Т|,

В! = *}/1 +^1 —11.

Как и следовало ожидать, уменьшается с ростом Т/ В частности, при
V == 1

•= у/2/2; &1 = }/2 — 1 « 0,414; и =»	=» 0,64.

Переходный процесс и экстремаль для этого случая показаны на рис. 10.16.

Интегральная квадратичная оценка отклонения от эталона. При
рассмотрении квадратичных интегральных оценок ]к было установле-
но, что образцовым переходным процессом (экстремалью) служит
решение линейного дифференциального уравнения (10.45), Оптими-
зация системы по этим оценкам осуществляется поиском относитель-
ного минимума <!к в пространстве варьируемых параметров системы.
Результат оптимизации определяется разностью полученного отно-
сительного и абсолютного мин минимумов.

Расширение класса процессов, применяемых в качестве образ-
цовых (эталонных), и более четкая постановка задачи оптимизации
системы достигаются при использовании интегральной квадратичной
оценки /эт отклонения от заданной (эталонной) функции
(рис. 10.17, а).

Оценка «/вт определяется равенством

/*=р(И - $ (0 - у (ПГ <и

(10.48)
и представляет собой площадь,
ограниченную кривой квадратич-
ного отклонения 62 процесса управ-
ления в исследуемой системе 4/пер
от рационально назначенного
наилучшего процесса уэт (рис.
10.17, б). Необходимым условием
сходимости оценки Уэт служит
равенство

Пт |ует(0—у(Л| = 0.
I —> оо

Оценка /эт по изображению
Л (р) = Уэт (р) — У (р) вычисля-
ется так же, как оценка по
изображению Упер (р), в частно-
сти, по таблице интегралов, при-
веденной в приложении П.7.

Пример 10.3. Определить опти-
мальный по критерию /эт коэффи-
циент затухания в системе второго
порядка с передаточной функцией

Рис. 10.17

(Р) = (2Ср + П/(Р2+2Ср + 1),
приняв в качестве эталона переходную функцию инерционного звена

^ЗТ=Уэт(0==1--е

Определим

Л, 1	1 2Ер + 1	_	(1—20р—1

Р Р1Р + О Р ’ р2 + 2^р + 1	рЗ + (2^ + 1) Р2+(2& + 1) Р + 1

__________(1 —а) р— 1______

” Р3+(а + 1)р2+(а+1)р + 1 ’

где а = 2^.

С помощью приложения П.7 найдем

7ЭФ = (а2_а + 2)/[2а(а4-2)].

Из условия

За2+4а—4
да =	2а2 (а 4-2)2

вычислим а «= 2 и ! При этом /эт.мин 0*25. Полученный процесс к (/)
и эталонный йзт (/) приведены на рис 10.18

§ 10.4. КОРНЕВЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Достаточно простые и объективные оценки качества с помощью
корневых методов удалось получить в настоящее время только для
системы с передаточной функцией

Г3 (р) = к/А (р),
когда исследование качества сводится к оценке процесса по распре-
делению корней характеристического уравнения замкнутой системы

А (р) = Б (р) + к = 0.

Определение области расположения корней характеристического
уравнения. Произведение корней = ог + /со* характеристического
уравнения замкнутой системы

апР" + «п-1Р”_1 + — +«1Р + а«= ап П (р—р,) = 0	(10.49)

имеет вид

Р1Р2 ••Рп — (— 1)ла0/ап,
поэтому наиболее простая для вычисления оценка
“о==| VР1Р2 — Рп| = | Vа0/ап

(10.50)

представляет собой среднее геометрическое значение модулей корней
и может служить относительной мерой быстродействия системы, что
следует из теоремы подобия преобразования Лапласа. Приведение
характеристического уравнения (5.49) к нормированному виду

^+Ап^1рп~1+ ... +Л1$+1 = 0

(10.51)

соответствует изменению масштаба плоскости корней р = и пере-
ходу к безразмерному времени протекания процессов в системе

Т = соо/.	(10.52>

Для колебательной системы второго порядка параметр равен
собственной частоте незатухающих колебаний.

Область расположения корней р/ характеристического уравнения
может быть определена тремя показателями: степенью устойчивости

= | Нер^ | мин, максимальным удалением корня от мнимой оси
I = | Ке р( | макс и колебательностью у = 1| макс, где

В плоскости нормированного уравнения (10,51) этими параметрами
являются

\—&/Ц)» Ид — И*

(10.53>
Геометрический смысл парамет-
ров ? и |х ясен из рис.
10.19. Если они заданы, то кор-
ни замкнутой системы находят-
ся в области аЬак'Ь'. В силу
симметрии можно рассматри-
вать только верхнюю половину
этой области — заштрихован-
ный четырехугольник аЬсй, гра-
ницы которого (аЪ. Ьс и сс?) за-
даются соответственно уравне-
ниями:

Р = —+

Р = о(1 + /р);

(10.54)

-В<а<-Л0;

(10.55)

0<1 со	Ер.(10.56)

Для того чтобы вычислить параметр Хо, сместим мнимую ось пло-
скости р влево так, чтобы она совпала с границей аЬ, соответственно
подставив р = р± — в (10.49). При этом исследуемая система ока-
жется на границе устойчивости. Характеристическое уравнение
(10.49) в преобразованных координатах с учетом (10.54) примет вид

Оп (Р1—+ «п-1 (Р1 — М"-1 + • • • + «1 (Р1—М + «0 = 0	(1 о. 57)

или

апР1 + о-п~1РпГ1 + — +а1Р1 + ао = О,

(10.58)

где а0, ось ап — функции и коэффициентов а0, ..., ап.

Установить, соответствует ли уравнение (10.58) границе области
устойчивости, можно с помощью любого из критериев, рассмотренных
в гл. VII. При этом можно поставить две задачи: прямую (зада-
чу анализа) — определить параметры ^0, р и по заданным коэффи-
циентам характеристического уравнения или первичным параметрам
самой системы; обратную (задачу синтеза)—определить коэф-
фициенты характеристического уравнения или первичные параметры
системы, при которых область расположения корней характеристи-
ческого уравнения будет соответствовать заданным значениям Хо, |
и р.

Решение прямой задачи оказывается достаточно трудоемким.
Практическую ценность представляют собой оценки для однокон-

Рис. 10.20
турной системы, не содержа-
щей колебательных звеньев,
структурная схема которой
приведена на рис. 10.20.

1.	Если рассматриваемая
система содержит только
инерционные звенья с по-
стоянными времени 7\ >

Тэ ..., то <С 1/7\.
Это утверждение следует из
корневого годографа рассмат-
риваемой системы, изобра-
женного на рис. 10.21, а. Оно
справедливо и при наличии
одного интегрирующего зве-
на с постоянной времени 7\
при 1/7\ -> 0. В этом случае
наибольшей постоянной вре-
мени инерционных звеньев
является Т2.

2.	Если рассматриваемая
система содержит еще и фор-
сирующее звено с переда-
точной функцией 1Гф (р) =
^Тор + 1, то Хо < 1/Т3, что
следует из корневого годо-
графа, изображенного на рис.
10.21, б. Наличие одного ин-
тегрирующего звена и в этом
случае может рассматривать-
ся как 1/7\ -> 0.

Постановка и решение об-
ратной задачи в общем виде
представляют особенный ин-
терес при синтезе систем с
расположением корней, за-
данным исходя из априор-

ных соображений. Системы, описываемые дифференциальным урав-
нением третьего порядка, допускают при этом исчерпывающее иссле-
дование.

Воспользуемся нормированным уравнением вида (10.51), посколь-
ку результаты его исследования могут быть применены к системе
с любым значением ш0 с помощью соотношений (10.52) и (10.53).
Первоначально нормированное характеристическое уравнение системы
третьего порядка

+ Ад2 + Вд + 1 = 0	(10.59)

было рассмотрено И. А. Вышнеградским (1876 г.), причем в области
устойчивости он выделил три области (/, //и ///), приведенные на
рис. 10.22, а. Области соответствуют качественно различному распо-
ложению корней, показанному на рис. 10.22, б.

Проведем количественное исследование области устойчивости пло-
скости (Л; В), для чего построим на ней линии равных значений пара-
метров Ед и р. Поскольку исследование ведется в области устой-
чивости, положим

д = о 4- /й = —а 4- а > 0.	(10.60)

Рис. 10.22

Подставив (10.60) в (10.59), получим уравнение

А [(а2—Й2)—2/Йа|4-В(—а4-/й)4-
+ 1 — а3 + ЗЙ2 а + /Й (За2—й2) = 0.

(10.61)

Комплексное уравнение (10.61) эквивалентно системе уравнений:

(а2—Й2) А—аВ = — 1 + а3 — ЗЙ2 а;

—2ЙаД 4- ЙВ = Й (Й2—За2).

(10.62)

Для комплексных корней р 4= 0 и Й =$= 0, поэтому, разрешив сис-
тему относительно А и В, запишем

А = 2а 4- (а2 4- й2)-1;

В = 2а/ (а2 4- Й2) + а2 4- Й2.

(10.63)
Для вещественных кор-
ней [1 — 0; й = 0. В этом
случае из первого уравнения
(10.62) следует, что

Рис. 10.23

а2А — аВ + I — а3 = 0.

(10.64)

Граница области устойчи-
вости (гипербола Вышне-
градского) соответствует ус-
ловию а = 0. Действительно,
при этом из (10.63) получим
А = 1/й2; В = й2, откуда
АВ = 1. 

Границу области аперио-
дичности определим как ча-
стный (предельный) случай
для р = 0 при построении
линий равной колебательно-
сти р = сопз!. Подставляя в
(10.63) условие й = ра, най-
дем параметрическое уравне-
ние семейства линий

А = 2а + 1/(а2С);

В = 2/(аС) + а2С,

(10.65)

где С = 1 + р2, которые и
построены на рис. 10.23, а.
В частности, при р~0, С= 1
определим границу области
апериодичности (кривая аЬс
на рис. 10.22, а и 10.23, а).
Если при этом из (10.65) ис-
ключить а, то уравнение бу-
дет записано в форме, полу-
ченной И. А. Вышнеградским:

А2В2 — 4 (А3 + В3) +

4-18 АВ — 27 = 0.

(10.66)

Для областей комплекс-
ных корней I и III линии
равных значений \ и соот-
ветствуют одному и тому же
условию а' = сопзГ

Чтобы различать эти се-
мейства, следует рассмотреть
случай, когда вещественная
часть комплексных корней
равна вещественному корню, что соответствует переходу из области
/ в область 111 (см. рис. 10.22, б). При этом

Из уравнения (10.59) следует, что 1 = —Поскольку комп-
лексные корни — сопряженные: дх ~ —а + /й; #2= —а—/й, то
вещественный корень

дв = —(а2 + Й2)"1.	(10.67)

Условие	определяет, что дх — —а, откуда

а -= (а2 + й2)"1,	(10.68)

При этом из (10.63) следует, что

А = За; В =*= а”1 + 2а2

или

2Л3 — 9АВ + 27 = 0,	(10.69)

что соответствует кривой сс! на рис. 10.22, а и 10.23, б. Выше этой
границы степень устойчивости \ определяется вещественным корнем
и линии равных значений \ должны строиться по уравнению (10.64);
ниже этой кривой степень устойчивости определяется комплексными
корнями и линии равных значений \ строятся по уравнениям (10.63).

Проведя разграничение, подставим условие а = С == сопз! в урав-
нение (10.63) и (10.64), что дает параметрические уравнения семей-
ства кривых

^ = 2С+1/(С’ + ^

В = 2С/(С2 + Й2)+ С2 + Й2	'	'

и уравнение семейства прямых

С2Л — СВ + 1 — С3 = 0.	(10.71)

Семейства линий равных значений^ и построены соответственно
на рис. 10.23, бив.

При трех вещественных корнях значение среднего корня опреде-
ляется из условия

—^2в«1 = <919з)"1 = ^1-	(10.72)

Заполним область р = 0, представленную на рис. 10.23, а, сет-
кой прямых равного значения корня а2 = С.

Диаграммы, представленные на рис. 10.22 и 10.23, позволяют прос-
то решить все вопросы анализа и синтеза системы третьего порядка,
а также построить переходные процессы, если числитель передаточной
функции замкнутой системы (р) = к! А (р) не зависит от р.

Наличие нулей в числителе не исключает возможности анализа
и синтеза системы этим методом, но делает его более сложным [Л.26],
поскольку приходится порознь исследовать компоненты переходного
процесса, выражаемого уравнением (2.28 б).

Оценка переходных процессов по показателям Хо, 2 и р. Зная
параметры зоны расположения корней, можно сравнить качество
близких по типу систем при сходных воздействиях. Так, чем больше
степень устойчивости Хо, тем быстрее в этих условиях затухает пере-
ходный процесс. Чем больше колебательность [х, тем больше макси-
мальное перерегулирование Л/гмакс и число перерегулирований УУ.
Чем больше отношение тем меньше влияние малых постоянных
времени и больше возможность вместо исходной системы рассматри-
вать упрощенные системы более низкого порядка.

Конкретные оценки разработаны только для узкого класса систем
при определенных начальных условиях. Доказательство справедли-
вости этих опенок дано А. А. Фельдбаумом и ввиду сложности здесь
не приводится.

Рассмотрим процесс, описываемый дифференциальным уравнением

ап^п'+ап-1!^п~1Н------\-аоу = 0	(10.73)

при начальных условиях

у (0) = 1; у(*> (0) - 0; к = 1, 2, (п - 1).
Если все корни характеристического уравнения замкнутой системы

ОпР" + Оп-1Р" Ч-----Еао = О

(10.74)

вещественны и отрицательны, то для переходного процесса у (I) спра-
ведливо неравенство

н(/Х !/(/)< у (0>

где миноранта

и(1) = е~к«1 = е~\

а мажоранта

V (т) = е~ Ч1 + т + т2/2 Ч-Ь ^/(п— 1)!].

(10.75)

(10.76)

(10.77)

При этом т =

Миноранта и определяется только значением Хо, а мажоранты ип
зависят и от порядка дифференциального уравнения системы (10.73).
На рис. 10.24 построены графики (где п = 1 4- 6) и и = в от-

носительном времени т = Х0Л
Оценка (10.75) иллюстрируется
рис. 10.25, перерегулирование
в рассматриваемой системе при
начальных условиях (10.73) не-
возможно. Для систем высоко-
го порядка (п > 3) расстояние
между минорантой и мажо-
рантой велико (см. рис. 10.24),
что снижает точность оценки
(10.75). Оценку можно уточ-
нить, учитывая параметр од-
нако при этом выражения для
миноранты и мажоранты зна-
чительно усложняются и, что
самое существенное, теряется
возможность заблаговременно-
го построения кривых в нор-
мированном виде. Поэтому уточ-
ненные оценки не нашли ши-
рокого применения.

Если среди корней уравне-
ния (10.74) имеется одна и
только одна пара комплексных
корней, то оценка (10.75) при-
нимает вид

(Ю.78)

что ’ иллюстрируется рис.
10.26, а. В начальном интер-
вале процесса и зоне макси-

Рис. 10.26
мильного перерегулирования эту оценку можно уточнить (рис»
10.26, б), поскольку

Омане =Дрт/р(О) < е~"^,	(10.79>

причем начальная часть процесса ограничивается минорантой

Н1(т;) = е-*П —о(1 —е-^)],

(10.80>

где а = еЬ1">/Ь; 2Ь = ейг» — 1, а т0 выбирается так, чтобы кривая
«! (т) сопрягалась с горизонтальной прямой у — —е-я/^ без излома.
Такое сопряжение в точке т показано на рис. 10.26, б. Нормирован-
ные миноранты иг (т) для различных р = 0,2 4- 5 приведены
на рис. 10.27.
ГЛАВА XI

СИНТЕЗ МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫХ ЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 11.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Задача синтеза, возникающая при проектировании системы авто-
матического регулирования, заключается в таком выборе структурной
схемы системы и технических средств ее реализации, при котором обе-
спечиваются требуемые динамические и эксплуатационные свойства
всей системы в целом. Синтез — лишь первый этап проектирования и
создания системы. Следующими этапами являются: выбор конкретных
элементов системы, энергетический и конструктивный расчет, согласо-
вание характеристик и т. д.

В зависимости от вида исходных данных, принимаемых при проек-
тировании системы, к задачам синтеза можно подходить с различных
точек зрения. Если имеется возможность достаточно полной свободы
выбора структуры и параметров в пределах физической реализуемости
и с учетом наложенных ограничений, то решается задача синтеза оп-
тимальной системы регулирования.

Под оптимальностью понимаются наилучшие свойства системы в
смысле некоторого критерия оптимальности (например, наилучшее
быстродействие, минимальная ошибка в переходном процессе и т. п.).
Наиболее распространенным методом синтеза оптимальных систем яв-
ляется метод параметров состояний, использующий векторы простран-
ства состояний (см. гл. 1 и II). Подробно задачи синтеза оптималь-
ных систем будут рассмотрены во второй части курса.

Задачи синтеза систем регулирования можно разбить на две груп-
пы. В задачах первой группы задается только объект управления и
требуется определить закон функционирования регулятора в целом;
при этом обычно предполагается, что полученные при расчетах свой-
ства регулятора могут быть технически реализованы с необходимой
точностью. Задачи рассматриваемого типа возникают, например,
при синтезе систем регулирования промышленных непрерывно функ-
ционирующих объектов (парогенераторов, электростанций, химиче-
ских реакторов, нагревательных печей и т. п.).

В задачах второй группы в понятие синтеза вкладывается еще
более узкий смысл; при этом рассматриваются задачи выбора и расчета
параметров специальных корректирующих устройств, обеспечиваю-
щих заданные статические и динамические характеристики системы.
При этом предполагается, что основные функциональные элементы
системы (исполнительные, усилительные и измерительные устройства)
уже выбраны в соответствии с техническим заданием и вместе с объек-
том регулирования представляют собой неизменяемую часть системы.
Такая задача чаще всего возникает при проектировании различного
рода следящих систем.

§ 11.2.	СПОСОБЫ ВКЛЮЧЕНИЯ
КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ

Применение корректирующих устройств преследует две цели:
1) обеспечить требуемую точность системы; 2) получить приемлемый

характер переходных процессов, т. е. качество регулирования.

Наиболее универсальным и эффективным методом повышения точ-
ности системы является увеличение общего коэффициента усиления.

Рис. 11.1

Это можно сделать за счет введения в си-
стему дополнительных усилителей или по-
вышения коэффициентов передачи отдель-
ных звеньев системы "(датчиков, редукто-
ров и т. д.).

Однако при увеличении общего коэф-
фициента усиления система приближает-
ся к границе устойчивости (см. гл. VII).
При некотором предельном значении ко-
эффициента усиления система может стать
неустойчивой. Таким образом, корректи-
рующие устройства должны не только
увеличить коэффициент усиления системы,
но и одновременно повысить запас ее
устойчивости.

Корректирующие звенья могут вводить-
ся в систему различными способами (рис.

11.1,	а—в): а) последовательно; б) параллельно; в) в виде местной

обратной связи.

На рисунке №ни (р) — передаточная функция подлежащей кор-
рекции неизменяемой части цепи регулирования; И7ПС (р), 1Гпр (р)„
1ГОС (р) — передаточные функции соответствующих корректирую-
щих звеньев. Используя формулы, приведенные в гл. VI, легко рассчи-
тать передаточные функции скорректированных систем для всех трех

случаев:

а)	последовательная коррекция

^СК (Р) =	(Р) ^пс (рУ,	(Н.1>

б)	параллельная коррекция

^сЛР) = «7та(Р)+^ир(Р);	(И.2>

в)	местная обратная связь

^ск (Р) = «7ВИ (Р)/11 +	(Р) с (Р)1.

(11 -3>

Использование корректирующих звеньев того или иного типа опре-
деляется удобством их технического осуществления,
Формулы перехода от одного типа корректирующего звена к дру-
гому можно получить, попарно приравнивая скорректированные
передаточные функции (11.1) — (11.3), откуда следуют шесть соот-
ношений эквивалентности:

(Н.4)

№пс (р) = [^ни (р) + й^вр (Р)1/^ни (Р);	(1 1.5)

^ир(Р/ = ^нИ(Р)[^пс(Р)-Н;	.	(И.6)

й?пр (Р) = -^ни (Р) го. с (р)/[1 + №ни (р) №0. с (р)];	(11.7)

С (Р) = [ 1 - ^цС (Р) 1 /1 й^ни (р) Й7ПС (р)];	(11.8)

й^о. С (Р) - - й^пр (р)/[й^и (р) + «7НИ (р) 1^пр (р)].	(11.9)

Применение коррекции в виде местной обратной связи повышает
стабильность характеристик системы. Это непосредственно вытекает
из уравнения (11.3) для комплексного коэффициента усиления в ди-
апазоне частот, когда | И7ни (/со) У70#с (/со) |	1. В этом случае

И7ск(/со)^1/1Г0.с(/со)	(11.10)

и характеристики системы практически не зависят от характеристик
звеньев, охваченных обратной связью, а определяются в основном ха-
рактеристиками корректирующего звена.

§ 11.3.	МЕТОДЫ СИНТЕЗА

В настоящее время разработано большое число в основном при-
ближенных методов синтеза корректирующих устройств. Наибольшее
распространение в инженерной практике получили графо-аналитиче-
ские методы синтеза, основанные на построении инверсных и логариф-
мических частотных характеристик разомкнутой системы. При этом
широко используются косвенные оценки качества переходного про-
цесса (не требующие решения системы дифференциальных уравнений),
такие, как запас по фазе, запас по модулю, колебательность, частота
среза, которые можно непосредственно определить по частотным ха-
растеристикам (см. гл. X).

К другой группе относятся аналитические методы синтеза. Для
них находится выражение, аналитически связывающее показатель ка-
чества системы с параметрами корректирующего устройства, и опре-
деляются значения параметров, соответствующих экстремальному зна-
чению функции. К этим методам относится синтез системы по интег-
ральным критериям качества переходного процесса, а также по крите-
рию среднеквадратичной ошибки.

Применение современных средств вычислительной техники снимает
трудности, связанные с непосредственным решением дифференциаль-
ных уравнений и построением переходных процессов. В связи с этим
наблюдается тенденция решать задачу синтеза не приближенными ме-
тодами, а .путем направленного перебора решений исходной системы
дифференциальных уравнений при вариации интересующих исследова-
теля параметров корректирующего устройства. Этот метод синтеза
системы автоматического управления сводится к задаче поиска, при-
чем основные трудности здесь связаны с разработкой такой программы
или алгоритма, с помощью которого можно было бы наискорейшим
способом найти самые выгодные параметры настройки системы.

Применяемые для этой цели алгоритмы будут изложены во второй
части книги.

Рассмотрим подробнее самый удобный из графо-аналитических ме-
тодов синтеза — метод логарифмических амплитудных характеристик.
Он применяется для синтеза минимально-фазовых систем автоматичес-
кого регулирования, у которых имеется однозначная связь между
амплитудной и фазовой частотными характеристиками.

Процесс синтеза обычно включает в себя следующие этапы.

1.	Строится логарифмическая амплитудно-частотная характеристи-
ка (ЛАЧХ) исходной нескорректированной системы 1нск (со) с учетом
требуемого коэффициента усиления системы йр>ск в разомкнутом со-
стоянии, который выбирается исходя из условия обеспечения заданной
точности системы в установившемся режиме.

2.	По заданным показателям качества — перерегулированию
омакс, времени регулирования/рег. мак0 — строится желаемая ЛАЧХ
системы (со). Подробно построение (со) будет рассмотрено
ниже.

3.	На основании желаемой и исходной ЛАЧХ системы определяет-
ся ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства.

Если желаемую передаточную функцию системы обозначить через
(р)> передаточную функцию исходной системы — 1ГНСК (р),
а корректирующего звена — №пс (р), то можно записать равенство

(Р) - № нск (Р)	(Р).	(11-10

откуда

^нс(Р) = ^ж(Р)/^нск(Р)>

для ЛАЧХ

Дпс (®) =	($9 ^нск ($9*	(1112)

Таким образом, ЛАЧХ корректирующего звена получается простым
вычитанием ординат нескорректированной ЛАЧХ из ординат желаемой.

4.	По полученной Тпс (ш) находится 1ГПС (р) и подбирается наибо-
лее простой способ технической реализации корректирующего звена.
В табл. 11.1 приведены основные типы электрических корректирующих
/?С-контуров. В случае необходимости последовательное звено может
быть пересчитано на эквивалентное параллельное звено или звено ме-
стной обратной связи по формулам (11.4) — (11.9).

Наиболее сложным и ответственным является второй этап синтеза»
включающий построение желаемой ЛАЧХ. Оно основано на связи
переходного процесса с вещественной частотной характеристикой замк-
нутой системы и ЛАЧХ разомкнутой системы.

Для синтеза используется типовая вещественная частотная харак-
теристика замкнутой системы (<о) (рис. 11.2). Она может быть опи-
сана следующими параметрами: н = ой/сопл — основной коэффициент
наклона, где <опл — интервал положительности; %а ==	=*

Передаточная функция

где

1Г(р) =

к

Тр + \

9

__	Г> .	А______

“ Л>1+#2 ь - я1 + д2 '

При /?2“оо имеем ^=1; 7 = /?1С1

где

Т*1 =	7,д = /?2С(



^2 Р + 1

Г1 р+ 1

где

Т1=С1 (^ + -"Лт- Ь

\	#1 + Аз /

+/?з
Логарифмическая амплитудно-час-
тотная характеристика

Схема ЯС'Цепи
Передаточная функция

«7(р)=

аТр

Тр + 1

где

р

?=(₽,+₽,) Сц а = —

где

«Чр) = *

Л Р + 1

Л Р+1

ь=—

#1“Ь#2

Л = (/?1+/?2)Сг;

Т2 = С1 ₽з +

+ ^2

ГСр)=Лкв±1ИШ+1к

(Лр+1)(Лр+1) ’

где

Т1 7* 4 —	72 = ^01; 7'з = ^2^2»

Ъ	1

“7 7^ ; Л= — А»' Т^ = аТ^
/?1+₽2	а
Схема ЯС-цепи			Логарифмическая амплитудно-час- тотная характеристика	
я,	^2		Мб	1	1  Та	Т,
°вх С1 -I	I- С2 -	•—0   а$ъгх		
				-40\
				
Передаточная функция

(Г(р) =

________________1________________

7’1Т2р2 +(Г!+72 + 7?! С2)р + 1

где

7\ —С1; 7з = /?2^2*

При /?] Сд 7\ + 7\ имеем Та~7\, Тъ~.Т%

(Лр + Р(7\р + 1)

(?Ъ р + 1) (Та р + 1)

л

где

?!=/?! С!:	72 = ^2 С2;

Я3 + Я4+Я5

При 7?3 < /?4; Т?2< /?5 имеем

ТЪ~Т2 +С2

(#3 + ^4)

/?з+/?4 + ^



#з(/?4 + /?6)

/?з+ #4+ ^5
= 0^(00—дополнительные коэффициенты наклона; Х1 = соь/сопл, Х2 =»
= со2/соо — коэффициенты формы.

Как показали тщательные исследования [381, если выполняются
условия х 0,8, ха 0,4,	0,5, то величина перерегулирования

определяется в основном величиной Рмакс. При этом переходные
процессы в системе имеют приемлемый вид.

Если Р3 (со) имеет отрицательную часть (при со >> юпл), то соответ-
ствующее ей перерегулирование До определяется неравенством

Обычно принимается

макс*

(11.13)

Р
1 мин

Общее перерегулирование

а = (Рмакс) + 0.31 Рмин 1100%,

(11.14)

где значения ох (РмакС) выбираются из рис. 11.3.

Пусть, например, задано о 30%. По графику, приведенному на
рис. 11.3, выбираем ох = 24%. Тогда Рмакс =1,2 и Рмин = — 0,2.
Из (11.14) имеем о = 24% + 0,3 • 0,2 • 100% = 30%.

На том же рисунке приведена зависимость /рег = / (РМакс)- Зная
-Рмакс и используя формулу /рег = кл/ып„, можно рассчитать величи-
ну частоты положительности. Пусть, помимо о 30%, задано /рег =
= 0,8 с. Тогда из графика при Рмакс = 1,2 находим

^рег я/сопл,

откуда сопЛ = 4 л//рег = 4 л/0,8 = 15,7 с-1.

После того как определены основные параметры вещественной час-
тотной характеристики, можно перейти к формированию желаемой
ЛАЧХ. Для этого надо воспользоваться номограммой перевода лога-
рифмической амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой систе-
мы в Ра (со) замкнутой системы (см. рис. 9.27). Например, если нужно
254	/
получить ст 30%, то, как было установлено выше, Рмакс = 1,2 и
РМин = — 0,2, т.-е. 1,2 > Р (со) > — 0,2,

Из рис. 9.27 видно, что условие (11.12) соответствует тому, чтобы
логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика не заходила
в запретную область, ограниченную кривыми с индексами Рмакс =
= 1,2 и Рмин = —0,2. Приближенно эти кривые заменяют прямо-
угольником с параметрами = 15 дБ, А2 = — 15 дБ, <р0 (со) = — 135°.
Величины и Ь2 будут определять запас устойчивости по ампли-
туде в диапазоне частот со^ и со/_, для которых А (со/^) = Аг и
А (ои2) = А2, а Аср (ю) ~ 180° — I <Ро (и>) I — запас устойчивости по
фазе в том же диапазоне частот. Частота среза желаемой ЛАЧХ выби-
рается из условия сос = (0,64-0,9) сопл, где сопл определяется из
рис. 11.3. При этом очевидно, что если требуемый запас устой-
чивости по амплитуде и фазе удовлетворяется в диапазоне частот и

то он будет удовлетворяться и на частоте среза сос системы. Наклон
желаемой ЛАЧХ в районе частоты среза выбирается —20 дБ/дек, при-
чем асимптота с таким наклоном должна пересекать ось частот на час-
тоте среза сос. Этот участок желаемой ЛАЧХ проводится влево и вправо
до модулей ординат, равных Ах и Ь2- Затем производится сопряжение
этого участка с низкочастотной и высокочастотной асимптотами, кото-
рые должны по возможности совпадать с такими же участками ЛАЧХ
нескорректированной системы. В этом случае корректирующее устрой-
ство получается наиболее простым.

Пример 11.1. Пусть передаточная функция нескорректированной следящей
системы в разомкнутом состоянии

Р (Р) = Р(7’о1Р + 1)(То2р + 1)(ТозР+1) ’	01 •16)

где А01 =0,1 с, Т02 с> А03	0,01 с, Лр = 20.

Заданы следующие показатели качества [Л. 18]:

1)	при угловой скорости вращения командного вала Аг = 36 град/с кине-
тическая ошибка не должна превышать 0,18 град, т. е. Дкин < 0,18 град;

2)	о < 30%;

3)	/рег <0,8 с.

Проведем синтез последовательного корректирующего устройства.

1.	Определим требуемый коэффициент усиления разомкнутой системы, при
котором обеспечивается заданная точность в установившемся режиме, исходя из
выражения (9.27):

А’р. ск==А/АКин = 36/0,18[град/с.град] = 200с~1.

2.	Построим асимптотическую ЛАЧХ исходной системы Ьнск (со) с учетом
требуемого коэффициента &р. ск (рис. 11.4). Сопрягающие частоты находятся из-
соотношений:

Цд —= Ю; йо2 = ~ =50; сооз = ~ =100.

* 01	1 02	1 оз

На частоте со = 1

Анск (1) = 20 1$ ^р. ск = 20 1Я 200 = 46 дБ.

Из выражения (11.16) следует, что первая низкочастотная асимптота до
частоты соог имеет наклон — 20 дБ/дек, затем от соО1 до со02 — наклон —40 дБ/дек»
далее до о)03 — наклон —60 дБ/дек и т. д.
3.	Построим желаемую ЛАЧХ. Для этого по заданному о определим Рмакс
« Рмин» используя (1Ц14) и рис. 11.3. Для о < 30% значение Рмакс =1»2 и
Рмин — —0,2. При Рмакс = Ь2 найдем /рег =* _4л/сопл, откуда частота поло-
жительности сопл = — 4л//рег = 4л/0,8 = 15,7 с"1

Частота среза должна лежать в пределах сос «= (0,6 — 0,9) сопл. Выбираем
<ос — О,7сопл — 0,7 • 15,7 «= 11 с"1.

На оси 0 дБ (рис. 11.4) отметим точку свс= 11 с-1 и проведем через нее пря-
мую с наклоном—20 дБ/дек, которая представляет собой среднечастотную асимп-
тоту желаемой ЛАЧХ.

Определим запасы устойчивости по амплитуде и 12 и фазе Аф по найден-
ному значению РмакС, используя диаграмму (см. рис. 9.27). Для Гмакс=1,2
имеем — 15 дБ, Р2 = дБ, Аф = —45°. Продолжим на рис. 11.4. сред-
нечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ влево и вправо от точки 1Ж (сос) до тех
гор, пока ординаты ее не станут равными соответственно Ц и Р2. Этим точкам

будут соответствовать частоты сог и со^. Обычно для получения переходных про-
цессов в системе заданного качества с некоторым запасом среднечастотный участок
желаемой ЛАЧХ несколько расширяют от 1Ж (со2) до Рж (со3), причем со2 < сог ,
а (1)3 > В данном случае со3 = соО2, что позволяет упростить вид корректи-
рующего звена. *

Низкочастотная асимптота (для а < (со)должна совпадать с такой же
асимптотой БНск так как она определяет ошибку системы в установившемся
режиме. Сопряжение низкочастотной и среднечастотной асимптот [от Ьж ((о^ до
Рж (ю2)1 производят Одним отрезком с наклоном —40 дБ/дек.

Высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ проводят так, чтобы разность накло-
нов между Рнск (со) и Рж (со) не превышала 20 дБ/дек. Это значит, что, начиная
с частоты со3 до со4 увеличивают наклон (со) на —20 дБ/дек, с частоты со4
еще на —20 дБ/дек и т. д. до тех пор, пока наклоны асимптот Бнск (со) и Бж (со)
совпадут. В рассматриваемом примере они совпадают при частотах со > со5.
Изложенное правило построения высокочастотного участка желаемой ЛАЧХ
позволяет получить наиболее простой вид корректирующего звена.

4.Определим ЛАЧХ последовательного корректирующего звена Ьпс (со),
которое получается вычитанием ординат Бнск (со) из ординат Рж (со) (см. рис. 11.4).
В соответствии с полученной ЛАЧХ корректирующее звено должно обладать пе-
редаточной функцией.

^пС(Р) = (Т2р+1)(Т3р4-1)/КТ1Р4-1)(Т,р+1)],

(Н.17)
Из табл. 11-1 видно, что требуемой передаточной функцией обладает инер-
ционно-форсирующий /? С-контур, для которого

1\ Т^Т2Т3.	(11.18)

В рассматриваемом случае величины постоянных времени 7\ и оп-
ределяются в результате построения (со). Вместе с тем имеется определенная
свобода в выборе значения Т2 1=3 1/со2, поскольку частота <о2 должна удовлетво-
рять лишь одному условию:

о>2 <

Выберем сод так* чтобы удовлетворялось условие (11,18). В результате будем
«меть

Л = 8с; Т2 = 0,5 с; Тэ = 0,1 с) 74 = 0,00625 с-

Пример 11.2. Используя результаты примера 11.1 и соотношения эквивалент-
ности (11.8), определим передаточную функцию корректирующего звена, вклю-
ченного в отрицательную обратную связь, охватывающую инерционное звено
нескорректированной системы (11.16) с наибольшей постоянной времени, т. е.

^НИ (р) —

^р. СК

Т01р + 1

200

0,1р + 1 •

Подставим (11.17) и (11.19) в (11.8), откуда

^о.с(Р) =

(71 Гз) Р2+(П+Л-Т2-Г3) Р

к?. сн(72р + 1)

(11.19)

(11.20)

Подставляя в (11.20) численные значения коэффициента усиления и постоян-
ных времени из примера 11.1, получим

с (р) = *о. с То. с Р/(7О. с Р+1),	(11.21)

где

7\), с — ^2 — 0,5с; с—0,074.

Таким образом, в цепь обратной связи необходимо включить инерционно-
дифференцирующее звено, осуществляющее гибкую отрицательную обратную
связь.

К сожалению, в большинстве случаев первоначальный синтез по-
следовательного корректирующего устройства и последующее определе-
ние эквивалентной передаточной функции корректирующей обратной
связи по формуле перехода (11.8) приводит к достаточно сложным ре-
зультатам. Поэтому широкое применение получил приближенный метод
непосредственного синтеза корректирующей обратной связи.

Для структурной схемы, приведенной на рис. 11.5, передаточная
функция скорректированной разомкнутой системы

(Р) =	—ГГ •	<П-22)

1 Т»ни(Р) «О. с(Р)

где и7Пск (Р) =	(Р) ^ви (Р) — передаточная функция нескорректи-

рованной системы; (р) — передаточная функция звена обратной
связи.
В диапазоне частот, где [№ни (/со) №0.с (/со)| <<: 1, уравнение (11.22)
запишется как

при этом

^ск (7е0) —	(7е0)»

^ск С*0) = ^нск (й*)*

(11.23)

В диапазоне частот, где |№ни (/со) ^70.с(/<о)] >> 1, получим

^ск (А) =

^нск ( ио)

№НИ(/ы)^о.с(М ’

при ЭТОМ

^ск С*0) — ^нск С*0) ^ни 0°) ^о. с ($>)•

(11.24)



Рис. 11.5

Следовательно, условием для
выбора С(со) является уравнение
(11.24) при 11ни (о))4-1о>с(о))1 > 0.
Обычно придерживаются опре-
деленной последовательности ра-
счета параметров корректирующе-
го звена обратной связи.

1.	Строят ЛАЧХ нескорректи-
рованной системы Анск (о).

2.	Строят желаемую ЛАЧХ1ж(ш)
по рекомендациям, приведенным
выше.

3.	Вычитая (со) из 7,нск (о), находят суммарную характеристику
^ни (<°) ^О.С

4.	Исходя из конкретной технической реализации системы, опре-
деляют №ни (р), т. е. места входа и выхода корректирующей обратной
связи.

5.	Строят !ни (со).

6.	В диапазоне частот, где Ини (<°) + 1о.с (<°)1 > 0, строят лога-
рифмическую характеристику корректирующего звена с (со), вы-
читая 1НИ (о) из суммарной характеристики [Ани (со) + 1О.С (<о)1.

7.	По виду 1о.с (<°)> учитывая условия (11.22), выбирают схему
корректирующего звена и рассчитывают его параметры.

Пример 11.3. Найдем вид корректирующего звена обратной связи, если пере-
даточная функция нескорректированной системы имеет вид (11.16).

Желаемая ЛАЧХ построена на рис. 11.4. На том же рисунке показана сум-
марная характеристика [Ани(о) + А0.с(со)], найденная вычитанием (со) из
^нся (со)-

Если, как и в примере 11.2, охватить обратной связью часть системы с пере-
даточной функцией (11.19), то Ьни (со) будет иметь вид, показанный на рис. 11.4.
Вычитая 1НИ (со) из суммарной характеристики [Тни (со) + Т0.с (со)] в диапазоне
частот от до со5, где [АНи(со) + й0.с (со)] > 0, найдем Т0.с- По виду Т0-с (со)
из табл. 11.1 определим вид корректирующего устройства — инерционно-диф-
ференцирующий С-контур с передаточной функцией типа (11.21).

Из рис. 11.4 определяем 70.с = 0,5 с, Л0.с ~ 0,075 (что соответствует
—23 дБ на рисунке). Таким образом, полученные в результате приближенного
расчета значения параметров корректирующего звена незначительно отличаются
от результатов расчета, приведенного в примере 11.2.
§11.4. КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
РЕГУЛИРОВАНИЯ. ИНВАРИАНТНОСТЬ

Если внешнее воздействие допускает прямое или косвенное изме-
рение, то точность системы может быть повышена за счет комбиниро-
ванного управления. Под комбинированным управлением понимается
такой метод построения автоматических систем, когда наряду с замк-
нутым контуром регулирования по отклонению используется регулиро-

вание по задающему или воз-
мущающему воздействию. Та-
ким образом, комбинирован-
ное управление сочетает
принципы регулирования по
замкнутому и разомкнутому
циклам.

Рассмотрим случай ком-
бинированного управления
по задающему воздействию.
Структурная схема системы
управления изображена на
рис. 11.6, а.

Если осуществлять регу-
лирование только по отк-
лонению, т. е. положить
№2(р) = 0, то

Рис. 11.6

у (р) = 1Г1 (р) V (р)/ П +	(р)1,

(11.25)

где 1Гг (р) — передаточная функция разомкнутой системы.

При введении регулирования по задающему воздействию получим

Ги=дта11+Л7*<₽)1т

(11.26)

Из уравнения (11.26) видно, что введение регулирования по задаю-
щему воздействию не меняет характеристического уравнения системы,
работающей по отклонению, так как знаменатели в уравнениях (11.25)
и (11.26) одинаковы. Это означает, что при комбинированном управле-
нии сохраняются не только условия устойчивости, но и оценки качест-
ва переходного процесса, основанные на использовании корней харак-
теристического уравнения.

Передаточная функция по ошибке (см. гл. VI)

Положив

1-Г2 (р)^ (р)
1+гнр)

Г2 (р) = 1/^ (р),

(11.27)

(11.28)



получим 1Гег — 0, т. е. ошибка системы не будет зависеть от задающего
воздействия.
Условие (11.28) называется условием полной инвариантности
(7. е. независимости) системы по отношению к задающему воздействию.
Поскольку реальные системы представляют собой различные комбина-
ции инерционных и интегрирующих звеньев, то (11.28) можно предста-
вить в виде

(р) = о0 + «1Р + о2Р2 + «зР3 + — .	(11.29)

Для астатических систем а0 = 0. Из (11.29) видно, что при комбини-
рованном управлении для получения полной инвариантности необхо-
димо вводить первую и высшие производные от задающего воздействия.
На практике получение высших производных (выше второй) затрудни-
тельно, поэтому может быть получена не полная, а частичная инвариант-
ность с точностью до некоторой величины е.

Комбинированное управление может быть использовано также для
уменьшения влияния контролируемого возмущающего воздействия
§ (/), приложенного в какой-либо точке системы (рис. 11.6, б). При этом
передаточная функция по возмущению

(Р) =	(Р)~ г2 (Р) гр (Р)1/» + гр (р)],	(11.30)

где Гр(р)= Гг (р) IV (р) — передаточная функция разомкнутой си-
стемы; щ^(р) — передаточная функция по данному возмущению в ра-
зомкнутой системе.

Полная инвариантность может быть получена при №уе (р) — 0, т. е.

Г2 (р) = Г8 (р)/Гр (р).	(11.31)

Если есть возможность контролировать несколько возмущений
в разных точках системы, то можно рассчитать условия инвариантно-
сти по каждому из них.
ГЛАВА XII

СИНТЕЗ СИСТЕМ
ПРОМЫШЛЕННОЙ АВТОМАТИКИ

§ 12.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОМЫШЛЕННЫХ
ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Особенностью систем регулирования промышленных объектов яв*
ляется относительно малая инерционность регулирующих устройств
сравнительно с инерционностью объекта регулирования. Практичес-
ки это означает, что необходимо не только выбирать корректирую-
щие устройства, исправляющие в нужном направлении характеристики
регулирующих устройств, но синтезировать весь регулятор в целом.
Кроме того, на промышленные объекты в процессе их нормальной ра-
боты может действовать большое число случайных возмущений, причем
динамические характеристики каналов, по которым эти возмущения
действуют на регулируемую величину, могут резко отличаться друг от
друга. Соответственно для описания регулируемого объекта с одной
регулируемой величиной может понадобиться столько динамических
характеристик, сколько возмущений действует на объект.

Схема взаимодействия регулятора с промышленным объектом регу-
лирования в соответствии с обозначениями, принятыми в гл. I и II,
показана на рис. 12.1. Рассматриваемая система является простейшей
из встречающихся! на практике.

Даже для одной регулируемой величины часто используется регу-
лятор (или комплекс регуляторов), который функционирует, основы-
ваясь на контроле не только этой величины, но также нескольких
других величин, среди которых могут быть и возмущающие воздейст-
вия [Л. 35].

Переходные характеристики промышленных регулируемых объек-
тов относительно регулирующего воздействия обычно представляют
собой монотонные функции времени (рис. 12.2, с и б). В первом случае
отклонение регулируемой величины с течением времени стремится
к некоторому установившемуся значению (объект с самовыравнивани-
ем). Во втором случае представлен объект без самовыравнивания.
В начальной части характеристики обычно наблюдается в большей
или меньшей степени выраженное запаздывание, т. е. регулируемая
величина начинает изменяться только через некоторое время после воз-
никновения возмущения.

Амплитудно-частотные характеристики объектов представляют со-
бой монотонно убывающие с ростом, частоты функции. При о) = О ко-
эффициент передачи 1^0б(/о) равен установившемуся значению переход-


Рис. 12.1

ной характеристики (рис.

12.2, в). Если имеется объект
без самовыравнивания, то

I ^об (/®) I 00 ПРИ 10 =0
(рис. 12.2, г).

Регулируемые объекты
представляют собой низкоча-
стотные фильтры, пропускаю-
щие гармонические воздейст-
вия с частотами в диапазоне
О < со < сов.

Амплитудно-фазовые характеристики объектов с самовыравнива-
нием и без самовыравнивания обычно имеют вид, показанный соответ-
ственно на рис. 12.2, д и е.

Указанные особенности характеристик промышленных объектов
позволяют аппроксимировать их передаточные функции дробно-рацио-
нальными функциями с введением, в случае необходимости, транспорт-
ного запаздывания. Обычно выбирается передаточная функция вида

Га(р) = /ге-^/[(71р+1)(Тр+1)-]>	(12.1)

где т = 1, 2, ... .

Для определения численных значений коэффициентов аппроксими-
рующей функции необходимо задаться критерием приближения. Выбор
такого критерия представляет собой довольно сложную задачу [Л. 61].
Для первоначальных расчетов систем обычно используется критерий
приближения, основанный на разложении действительной переходной
характеристики объекта в рад Тейлора в окрестности точки ее перегиба
4рг (Рис- 12-3)-

Если Я (0 — действительная характеристика объекта (полученная,
например, экспериментально), а йа (I) — аппроксимирующая ее харак-
теристика, то наилучшее приближение запишется как

(^прг) (^прг)’

(^прг)/^ =	(^прг)/

И (^Прг)/^П =	(^прг)/

(12-2)

при условии, что

к ( ©о ) = йа ( оо ) = коб = й.

Полученная система уравнений позволяет определить (п + 1)
коэффициент характеристики йа (0. Увеличивая число варьируемых
параметров йа(0 по сравнению с числом уравнений (12.2), можно полу-
чить определенную свободу в их выборе.

Определение производных выше первого порядка по графику
к (0 затруднительно, поэтому ограничимся использованием двух пер-
вых условий (12.2). Иначе говоря, приближение будет считаться удов-
летворительным, если истинная и аппроксимирующая характеристи-
ки совпадают в точках перегиба и, кроме того, совпадают их касатель-
ные, проведенные в этих точках.

Величина коэффициента передачи к аппроксимирующей передаточ-
ной функции (12.1) находится из действительной переходной характе-
ристики объекта И (/) из условия совпадения действительной и аппрок-
симирующей переходных характеристик при /-> 00,7.6,

ь = и

/V “уст»

(в данном случае предполагается, что действительная переходная ха-
рактеристика объекта определена при единичном, входном воздействии
или предварительно рассчитана).

Чтобы найти первую производную от действительной характеристи-
ки (Иг (/прг) к црй в точке перегиба проводится касательная до пе-
ресечения с линией нового установившегося значения и линией на-
чального значения. Тогда

^пргУ=	” ^^об»

где Тоб— отрезок времени между моментами пересечения касательной
указанных линий (см. рис, 12.3).

Одним из простейших частных случаев передаточной функции (12.1)
является передаточная функция апериодического звена с запаздыва-
нием:

^а(р) = к^1(Тр+\).	(12.3)
Соответствующая этой передаточной функции переходная харак-

теристика

На(1) = к(1при />т.	(12.4)

Условия (12.2) здесь приобретают следующий вид:

Л (/прг) = * (1 -е“(/прг - т>^);	(12.5)

АН (1^)101 = (к/Т) е-(/прг-т)/Г-	(12.6)

Вводя обозначение

6 = ^ирГ)/йуст	(12.7)

и решая полученную систему уравнений, найдем

Т = (,-6,7'"';	|	(12.8)

При Ь < 0,5 вторую формулу можно заменить более простой для
вычислений:

т = 'прр - ^06 а - 0256 - 0,62562).

(12.9)

Для упрощения расчетов при аппроксимации реальной переходной
характеристики характеристикой апериодического звена с запаздыва-
нием иногда можно в качестве постоянной времени Т выбирать величину
подкасательной ТОб». а время запаздывания т принимать равным от-
резку, отсекаемому касательной на оси времени (этот отрезок на
рис. 13.3 обозначен через тоб). Однако, как легко заметить, такое уп-
рощение допустимо лишь в случае, когда значение характеристики
в точке перегиба достаточно мало (6< 0,05). Вообще же говоря, такое
упрощение производить нецелесообразно, так как оно приводит к за-
ниженному расчетному времени запаздывания и завышенной постоян-
ной времени, т. е. создает более благоприятное впечатление о динами-
ческих свойствах объекта, чем это имеет место на самом деле.
Если в формуле (12.1) положить т — 1, то при т = О передаточная
функция апериодического звена второго порядка

V* (р) = М(Лр + 1) (Тр + 1)1.

Переходная характеристика этого звена

ь (/) = /> ( ]-11—е-</л_|---1—е-шЛ.

° к 7\—Т	1\—т У

(12.10)

(12.Н)

Продифференцировав (12.11) дважды и приравняв вторую производ-
ную нулю, получим выражения для ординаты точки перегиба Л. (/прг)
и коэффициента наклона касательной к характеристике в этой точке
(^прг):

йпрг = ЛЛ прг) = 4 1 —	+1)е /пр«'/г*

\ 1 1 /

) = _Л_ = __*_е_(прг/7'*

1 прг? Лб Л 6

(12.12)

а также абсциссы точки перегиба:

/ — т

спрг 1 1

Т17\

Т/Л —1,0

1п^;
Л

(12.13)

Тоб — эквивалентная постоянная времени объекта, определяемая из
его переходной характеристики (рис. 12.3).

На рис. 12.4 по формулам (12.12) и (12.13) построены зависимости
йпргДг, Т1/Тоб и <прг/7\ в функции отношения Т/Ти Используя их,
можно решить обратную

задачу: зная параметры
переходной характеристи-
ки йпр,./^, То6 и опре-
делить постоянные вре-
мени звена Тг и Т. Для
этого по известной вели-
чине ЛцР1/й из графика
йпрг/А: = / (Т/Т^ находит-
ся отношение 777\ и одно-
временно по графику
Т!/Тоб /(Т/Т!) -вели-
чина Л/7о6. График
~ / (Т/Т!) слу-
жит для проверки возмож-
ности аппроксимации за-
данной характеристики
объекта характеристикой
апериодического звена вто-
рого порядка. Если ока-
жется, что найденное по
этому графику значение
/прг совпадает с действительным, полученным из экспериментальной
характеристики (рис. 12.3), то такая аппроксимация возможна. Если
значение /прг, найденное из графика, окажется меньше действительно-
го, то необходимо ввести добавочное запаздывающее звено с транс-
портным запаздыванием

т А1рг.д ^прг	(12.14)

либо попытаться произвести аппроксимацию с большим значением
п передаточной функции (12.10) [Л. 35].

п 19 1 На рис. 12.5 приведены экспериментальные характеристики 1
давления пара'парогенератора ТП-80, полученные при двух различных нагруз-
ках и возмущении топливом. Их этих характеристик регулируемого объекта
1 оппелеляются следующие величины: /?прг^ 0,213, /об 10,15 мин и ^прг.д

2 95 мин. По величине йпрг /к (см рис. 12.4) находятся значения Т/Тг =
— п 95 7 /7 я = 0 63 и /ппг/Г] = 0,46 (на рисунке это определение показано
ЛЛ’ипй пинией! Зная Т„б, подсчитаем искомые величины 7, = 0,63 - 10,15 ==
- рн 4 МИН- 7 = о 25.6 4 = ’ "б мин; /прг = 0,46 . 6,4 = 2,95 мин. Поскольку
иайденное'значение <прг оказалось равным его действительному значению /прг.д,
взятому из характеристики разгона, то принятая аппроксимация в данном слу-
чае возможна, т. е. передаточная функция объекта может быть записана в виде:

Г (р) = ((6,4р + 1)(1,6р + I)]-1.

Аппроксимирующая характеристика показана штриховой линией на рис.12.5
<КРИДлЯя кривой 2 на рис. 12.5имеем йпрг//г = 0,170; 70е = 7,8 мин; ^ппг.д-
«= 2 2 мин. Согласно рис. 12.4, определяем 7/71	0,14, 71/70д	0,73 и

^прг/Л = 0,32, т. е.

0,73 , 7Д = 5,7 мин; Т = 0,14 « 5,7 — 0,8 мин; /прг — 0,32х
X* 5,7 = 1,83 мин.

Таким образом, найденное значение /прг оказалось меньше действительного
/ д> что требует ввести запаздывание

т = 2,2 — 1,83 = 0,37 мин.

При этом передаточная функция

иЧр) = е-°'37₽/[(5,7р + 1)(0,8р + 1)].

(12.15)

Аппроксимирующая характеристика для этого случая приведена на рис. 12.5
(кривая 2а).
§ 12.2. ТИПОВЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ
ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Динамические характеристики объектов обычно могут быть ап-
проксимированы некоторыми типовыми зависимостями. Это позволяет
все возможное разнообразие требуемых законов регулирования свести
к нескольким так называемым типовым законам регулирования, ко-
торые в подавляющем большинстве случаев используются на практике.
Соответственно проблема синтеза системы регулирования с этой точки
зрения сводится лишь к выбору подходящего (из номенклатуры, вы-
пускаемой приборостроительными заводами) регулятора с типовым
законом регулирования и определению оптимальных значений варьи-
руемых параметров (так называемых параметров настройки) выбран-
ного регулятора. Если регулирование объекта осуществляется ЦВМ,
то задача соответственно сводится к выбору типовой программы из
библиотеки стандартных программ машины.

В практике автоматизации производственных процессов в боль-
шинстве случаев применяются регуляторы со следующими линейными
законами регулирования.

Интегральные регуляторы (сокращенно И-регуляторы). Эти регу-
ляторы перемещают - регулирующий орган пропорционально интег-
ралу от отклонения регулируемой величины:

п (О = ^ин (/) Л.	(12.16)

Рассматриваемый закон может быть также записан в следующем
виде:

й(/) = /гине(О,	(12.17)

т. е. интегральные регуляторы перемещают регулирующий орган со
скоростью, пропорциональной отклонению регулируемой величины от
ее заданного значения. Коэффициент пропорциональности /гин, числен-
но равный скорости перемещения регулирующего органа при отклоне-
нии регулируемой вЛичины на единицу ее измерения, называется
коэффициентом передачи И-регулятора.

По своим динамическим свойствам И-регулятор подобен интегри-
рующему звену (см. §4.2). И-регуляторы могут устойчиво регулировать
работу лишь объектов, обладающих самовыравниванием.

Пропорциональные регуляторы (сокращенно П-регуляторы). Рас-
сматриваемые регуляторы перемещают регулирующий орган пропор-
ционально отклонению регулируемой величины от заданного значения:

МО = *рс1 е (/).	(12.18)

Коэффициент кре1 называется коэффициентом передачи П-регуля-
тора. Численно коэффициент передачи регулятора равен перемещению
регулирующего органа, которое осуществляет регулятор, при откло-
нении регулируемой величины на единицу ее измерения. П-регулятор
соответствует безынерционному звену (см. § 4.2).
Пропорциональные регуляторы позволяют устойчиво регулировать
работу практически всех промышленных объектов. Однако они обла-
дают тем недостатком, что при различных нагрузках регулируемого
объекта удерживают регулируемую величину на различных значе-
ниях. Объясняется это тем, что перемещение регулируемого органа
в новое положение, соответствующее новой нагрузке, может быть про-
изведено только на счет отклонения регулируемой величины. Это явле-
ние получило название статизма, или остаточной неравномерности
регулирования (см. гл. IX).

Пропорциональные регуляторы с введением в закон регулиро-
вания интеграла (сокращенно ПИ-регуляторы)'. Эти регуляторы пере-
мещают регулирующий орган пропорционально сумме отклонения и
интеграла от отклонения регулируемой величины:

и (О = ^рег + — Г е (I) <й1.	(12.19)

Формула (12.19) может быть представлена также в следующем
виде:

«(0 = бреД ё (/) + -?-е (/)! ,	(12.20)

I 'ин 1

т. е. скорость перемещения регулирующего органа пропорциональна
отклонению и скорости изменения регулируемой величины. Постоянная
времени Тин, величина которой характеризует степень ввода интеграла
в закон регулирования, называется постоянной времени интегрирова-
ния, или временем изодрома. В динамике ПИ-регулятор соответствует
системе из двух параллельно включенных звеньев: пропорционального
с коэффициентом передачи Арег и интегрирующего с коэффициентом
передачи /грег/7\н- При беспредельном увеличении Тин ПИ-регулятор
превращается в П-регулятор. Если &рег и 7ИН устремить к нулю, но
так, чтобы их отношение оставалось постоянным, то получим И-регу-
лятор с коэффициентом передачи Лрег/7Ин-

Передаточная функция ПИ-регулятора

«^рег (Р) = *рег (1 + 1/^инР).

(12.21)

ПИ-регуляторы, отличаясь простотой конструкции, позволяют
устойчиво и без статической ошибки регулировать работу большого
числа промышленных объектов. По этой причине они получили наи-
большее распространение на практике.

Пропорциональные регуляторы с введением в закон регулирования
интеграла и производной от регулируемой величины (сокращенно
ПИД-регуляторы). Рассматриваемые регуляторы перемещают регули-
рующий орган пропорционально отклонению, интегралу и скорости
изменения регулируемой величины:

I/ (/) — ^рег (0

\е(1)(11 + Тд е(1)
'ИН Л

(12.22)

ч Постоянная времени характеризующая степень ввода в закон
регулирования производной, называется постоянной времени диффе'рен-

ЯН
цирования, или временем предварения регулятора, В динамическом от-
ношении эти регуляторы подобны системе из трех параллельно вклю-
ченных звеньев: безынерционного, интегрирующего и идеального диф-
ференцирующего. При 7У= 0 ПИД-регулятор превращается в ПИ-
регулятор; если, кроме того, Тин-^ оо , то получается П-регулятор.
Передаточная функция ПИД-регулятора

^7рег(79 = ^рег(1 "Т“ 1/ ЛВДР + Т^р).	(12.23)

§ 12.3. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
С ТИПОВЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ

Рассмотрим графо-аналитический способ определения границы об-
ласти устойчивости системы регулирования с типовыми регуляторами,
используя критерий устойчивости Найквиста (см. § 7.3).

Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой одноконтурной
системы регулирования (см. рис. 12.1)

О) -1^06 (/<*) И%ег (/«).	(12.24)

Чтобы определить устойчивость замкнутой системы по известной
амплитудно-фазовой характеристике регулируемого объекта, достаточ-
но умножить ее на характеристику регулятора и посмотреть, охваты-
вает ли полученная амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой
системы точку с координатами ( — 1, /0) или нет.

П-регуляторы. Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой
системы



(12.25)

Еслийрег = 1, то амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой
системы отличается от характеристики объекта только размерно-
стью (очевидно, что амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой
системы безразмерна). Если &рег Ф 1, то каждый вектор амплитудно-
фазовой характеристики объекта, не меняя своего направления, изме-
няется по длине в /?рег раз. Следовательно, в системах регулирования
с П-регуляторами и регулирующими объектами, имеющими амплитуд-

но-фазовую характеристику, по-
казанную на рис. 12.2, д и е, уве-
личение 1грег ухудшает устой-
чивость системы, так как при
этом амплитудно-фазовая харак-
теристика разомкнутой . систе-
мы, «разбухая», может охватить
точку ( — 1, /0). Поэтому усло-
вие границы устойчивости мо-
жет быть записано следующим
образом (рис. 12.6):

^рег. кр й^об (/®л) = —1 >	(12.26)	Рис. 12,6
где Юя — частота, при которой 1Гоб (/со) пересекает отрицательную ве-
щественную полуось.

Из формулы (12.26) определяется величина критического (предель-
ного) коэффициента передачи регулятора, при превышении которого
система теряет устойчивость:

йрег.кр = -1Жб(Г’Ил),	(12.27)

т. е. критический коэффициент передачи П-регулятора равен обратной
величине отрезка, отсекаемого па отрицательной вещественной полуо-
си амплитудно-фазовой характеристикой регулируемого объекта.

И-регуляторы, Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой
системы

Жр О) = (^Ин/®)	О) е~^2.	(12.28)

При включении регулятора каждый вектор амплитудно-фазовой
характеристики регулируемого объекта поворачивается на 90° по часо-
вой стрелке и изменяет свою длину в /гин/о> раз (рис. 12.7).

Критическая величина /гин.кр находится из условия

(^ин. кр/®л/2) ^'об (/®л/2) = 1.

Т. е.

^ин. кр=®л/2/И7оС(/®л/2),	(12.29)

где (йя/2 — частота, при которой амплитудно-фазовая характеристика
регулируемого объекта пересекает отрицательную мнимую полуось.

Для устойчивой работы системы необходимо, чтобы величина как не
превышала критического значения йвп. кр.

И-регуляторы могут устойчиво регулировать только объекты с са-
мовыравниванием, так как амплитудно-фазовая характеристика разом-
кнутой системы с объектом, имеющим характеристику, приведенную
на рис. 12.2, е, при любом значении А’пн будет охватывать точку
(-1, /0).

ПИ-регуляторы. Амплитудно-фазовая характеристика разомкну-
той системы

(/®) = ^рег 0 /7®ТИН) ^об (,/®)’	(12.30)
при &рег = 1 она имеет вид

«МЯ =^об(/о))-/^об(/(о)/Тинсо.

(12.31)

Таким образом, чтобы получить амплитудно-фазозую характерис-
тику разомкнутой системы с ПИ-регулятором при &рег = 1 и некото-
ром заданном Уин, следует к каждому вектору характеристики регули-
руемого объекта добавить вектор длиной АЛ = А! (соТин) (А — дли-
на вектора характеристики объекта), повернутый на 903 по часовой
стрелке (рис. 12.8). Критическая величина коэффициента передачи ре-
гулятора йрег.кр Для выбранного значения Уин равна обратной величине
отрезка,.отсекаемого характеристикой М7р (/со) на отрицательной ве-
щественной полуоси.

ПИД-регуляторы. Амплитудно-фазовая характеристика разомкну-
той системы при йрег *= 1

О) = №об (/со) + Го6 (/со) ( -Д--со?())	(12.32)

\ ИН	/

Для некоторого выбранного отношения а = Тд/Т^п строится ана-
логично предыдущему случаю вектор ДА, длина которого

ДА = А/(соТйн) — аАсоТин.	(12.33)

Подобным образом вычисляется величина йрег.кр. В результате
расчетов в плоскости параметров настройки регулятора /грег и Тйн мож-
но построить семейство кривых, которые для различных значений от-
ношения а определяют границы области устойчивости.

Рассмотренные построения позволяют оценить эффект, который дает
введение в закон регулирования производной от регулируемой величи-
ны. Введение воздействия по интегралу в ПИ-регуляторе приводит
к тому, что амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы
получает дополнительное отставание по фазе и увеличение по модулю,
т. е. она приближается к опасной точке ( — 1, /0). Таким образом, вве-
дение интеграла в закон регулирования ухудшает устойчивость сис-
темы. Однако это воздействие приходится вводить для того, чтобы лик-
видировать остаточную неравномерность регулирования. Введение
добавочного воздействия от производной регулируемой величины
в ПИД-регуляторах дает опережение по фазе, компенсируя нежелатель-
ное отставание, вводимое воздействием по интегралу, и улучшая тем
самым устойчивость системы.

Следует, однако, иметь в виду, что указанный полезный эффект вве-
дения производной наблюдается на участке амплитудно-фазовой ха-
рактеристики объекта, расположенном в пределах 111 и IV квадрантов
комплексной плоскости. На более высокочастотном участке (в пределах
II квадранта комплексной плоскости) эффект действия производной
с точки зрения сохранения системой устойчивости оказывается уже
отрицательным, так как введение производной здесь не удаляет,
а приближает амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой сис-
темы к точке (— 1, /0). Это положение иллюстрирует рис. 12.9, где
^р.пи (/«) представляет собой амплитудно-фазовую характеристику
разомкнутой системы при отсутствии производной в законе регулиро-
вания, а появление векторов А&, А2В2 обусловлено введением этого
воздействия. Как видно из рисунка, вектор А1В1 удаляет исходную
характеристику от точки ( — 1, /0), а вектор А2В2 приближает ее к этой
точке.

Необходимо отметить также, что несмотря на то, что ОА2<. ОАи
может оказаться, что А2В2> А^, так как длина векторов АВ
изменяется с ростом частоты <о. В результате амплитудно-фазовая ха-
рактеристика системы с воздействием по производной может стать та-
кой, как показано на рис. 12.9 штриховой линией [характеристика
И^р.пид (/со)], т. е. она может оказаться расположенной ближе к точке
(— 1, /0) и даже может охватить ее.
Одно из важных прак-
тических следствий рас-
смотренного эффекта за-
ключается в том, что при
построении систем регули-
рования с воздействием по
производным первостепен-
ное значение для синтеза
начинает приобретать вы-
сокочастотный участок ам-
плитудно-фазовой характе-

ристики объекта в пределах II и даже I квадрантов комплексной плос-
кости. На это обстоятельство приходится обращать особое внимание^
так как указанный участок характеристики обычно имеет крайне не-
значительную величину по модулю (сравнительно с более низкочастот-
ными участками 111 и IV квадрантов), в результате чего точности опре-

деления этого участка при построении математической модели объекта

часто не уделяется должного внимания.

Пример 12.2. Определим критические параметры настройки регуляторов
в системе регулирования температуры электропечи, частотные характеристики
которой относительно регулирующего воздействия приведены на рис. 12.10.
Входная величина объекта измеряется в долях перемещения регулирующим ор-
ганом его полного диапазона, выходная — в милливольтах термопары, измеряю-
щей температуру в печи.

П-регулятор. Из амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик
объекта (рис. 12.10) находим, что фазовому сдвигу, равному —180®, соответ-
ствует значение амплитудно-частотной характеристики №ое (/соя) а 2,5 мВ.
Следовательно, критическая величина коэффициента передачи регулятора
брег-кр = —0,4 мВ”1, т. е. система будет работать устойчиво, если при отклоне-
нии э. д.с. термопары на 1 мВ регулятор переместит регулирующий орган не бо-
лее чем на 0 4 его полного хода. Неравномерность регулирования, которая будет
иметь место при изменении нагрузки объекта, соответствующей полному ходу
регулирующего органа, в этой системе не может быть сделана меньше 2,5 мВ,
т. е. П-регулятор в установившихся режимах поддерживает регулируемую вели-
чину заданного значения с точностью, не превышающей ±1,25 мВ

И-регулятор. Из рис. 12.10 и 12.11 находим, что фазовый сдвиг, равный
—90*3. будет иметь место при 1 мин”1, причем амплитудно-частотная харак-
теристика объекта при этой частоте имеет значение 26 мВ.

Воспользовавшись формулой (12 29), получим величину критического коэф-
фициента передачи регулятора

/гпн.кр = 1/26 = 0,039 1/мин  мВ.

Иначе говоря, система регулирования будет устойчивой только в том случае,
когда скорость перемещения регулирующего органа при отклонении температу-
ры на 1 мВ не будет превышать 0,039 мин-1 (т.е. полное перемещение регулирую-
щего органа при этих условиях должно происходить за время, не меньшее 26 мин).

ПИ-регулятор. На рис. 12.12, а показано построение амплитудно-фазовых
характеристик разомкнутой системы для различных значений 7ИН. Зависимость
брег.кр от ^ин приведена на рис. 12.12, б.

ПИД-регулятор. На рис. 12.13, а показано построение амплитудно-фазовых
характеристик разомкнутой системы при &рег = 1; а « 0,25 и различных зна-
чениях 7ИН- Результаты расчетов приведены в табл. 12.1.

Граница области устойчивости, построенная по этим данным в плоскости
параметров настройки регулятора йрег, Тин, приведена на рис. 12.13,6. Как видно
из этого рисунка, введение воздействия по производной от регулируемой вели-
чины в ПИД-регуляторе позволяет значительно увеличить 6рег регулятора по
сравнению с /?рег ПИ-регулятора без потери системой устойчивости (для сравнения
на рисунке штриховой линией показана граница области устойчивости системы
с ПИ-регулятором по рис. 12.12, б). Заметим также, что в то время как для систе-
мы с ПИ-регулятором увеличение 7ИН и уменьшение /?рег регулятора улучшает
устойчивость, для систем с ПИД-регулятором это утверждение справедливо дале-
ко не всегда. Например, при йрег =0,25 мВ система с ПИ-регулятором будет
устойчивой, если Тин >1,5 мин, причем чем больше величина Тин, тем глубже

Таблица 12.1

Тин. “ИН	0,5	0,6	0,8	1,0	1,25	1,5	2,0
—мВ	9; 5; 1,1	1,3	1,7	2,1	2,8	3,6	4,7
^рег. нр, мВ”1	0,11; 0.2;  0.91	0,77	0,59	0,48	0,36	0,28	0,21

1т, мВ

крег,мВ '

Рис. 12.13

1,0

0,8

0,6

ол

0,2
в область устойчивости уходит система. В системе с ПИД-регулятором при том
же йрег устойчивая работа возможна только при условии, что 1,65 <	0,48.

Поэтому расчет систем с ПИД-регуляторами следует производить с большой тща-
тельностью.

§ 12.4. РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ

Структура и параметры настройки регуляторов выбираются исходя
из динамических или математических моделей объектов, заданных,
например, в виде частотных характеристик. Модели могут быть полу-
чены как аналитически, так и экспериментально, например подачей
на входы действующего объекта соответствующим образом подобранных
пробных воздействий.

Аналитический метод получения математического описания объекта
обладает тем очевидным достоинством, что его можно использовать на
этапе проектирования объекта еще до того, как объект изготовлен и
включен в эксплуатацию. Однако, как показывает опыт, в большинстве
случаев таким путем удается получить модели лишь относительно не-
высокой точности, что обусловлено большой сложностью современных
технологических процессов.

Экспериментальные методы в принципе обладают более высокой
точностью. Однако при их применении не ясна картина внутренней
структуры объекта и характер взаимодействия между отдельными его
элементами. Кроме тогсч для использования подобных методов необхо-
димо располагать уже эксплуатируемым объектом.

Практически оба способа получения математической модели при-
меняют совместно. На этапе проектирования осуществляется построе-
ние приближенной математической модели объекта, позволяющей,
по крайней мере, наметить правильную структуру системы регулиро-
вания; существенную помощь здесь может оказать опыт проектирова-
ния аналогичных установок в прошлом. После монтажа системы регу-
лирования и включения автоматизируемого технологического процес-
са в наладочную эксплуатацию осуществляется уточнение модели объ-
екта и окончательная количественная оценка параметров системы.

При определении оптимальных параметров настройки регуляторов
промышленных процессов в качестве показателя оптимальности систе-
мы регулирования обычно выбирается требование минимума того или
иного интегрального критерия качества (см. гл. X) при действии на
объект наиболее тяжелого возмущения (или изменении заданного зна-
чения регулируемой величины) с учетом добавочного ограничения на
запас устойчивости системы.

При практических расчетах запас устойчивости удобно характери-
зовать показателем колебательности системы, величина которого в си-
стемах, имеющих интеграл в законе регулирования, совпадает с мак-
симумом амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы
регулирования. Как отмечалось в гл. X, для того чтобы этот максимум
не превышал заданной величины, амплитудно-фазовая характеристи-
ка разомкнутой системы не должна заходить внутрь окружности, центр
и радиус которой определяются формулами (10.14) и (10.16) при С =
>= Л4ДОП. Если же амплитудно-фазовая, характеристика касается ука-
занной окружности, то это означает, что система находится на границе
заданного запаса устойчивости.

Если расчетная величина показателя колебательности достаточно
мала (М < 2), то переходный процесс в системе имеет слабоколебатель-
ный характер и в качестве интегрального показателя оптимальности
может быть выбран простейший линейный интегральный критерий
(10.31), вычисляемый по формуле (10.34).

Для линейных систем регулирования практически наиболее тяже-
лым (с точки зрения максимального отклонения регулируемой ве-
личины) из класса ограниченных по модулю возмущений может считать-
ся возмущение ступенчатой формы:

^ (/) = х0 • 10 (0-

Соответственно формула (10.34) по отношению к наиболее упот-
ребимым системам, в законе регулирования которых имеется интеграль-
ная составляющая и которые поэтому не обладают остаточной неравно-
мерностью, запишется следующим образом:

5 = Игл______^уё

00 р_о р+р^рег(р)^об(р) '

В частности, для системы с И-регулятором

500 = Пт. ШШ(Р) = 2^ув ,
о-* О Р +	(р) ^ип ^об

(12.34)

(12.35)

где кУё, /?об — коэффициенты передачи объекта по соответствующим
каналам.

Для систем с ПИ- и ПИД-регуляторами

500 = 11т-------(Р)-------------- Зо Гин_ .	(] 2.36)

р.° р+Аег_(Гинр + 1)Ц7об(р) *рег*об

< ин

Таким образом, оптимальными параметрами настройки рассматри-
ваемых систем будут такие, при которых система с показателем колеба-
тельности М Мдоп будет иметь наибольший коэффициент при ин-
тегральной составляющей в законе регулирования (для И-регулято-
ра — наибольшее значение /?ин, для ПИ- и ПИД-регулятора— наиболь-
шее значение отношения /?рег/Тин).

Расчет оптимальной настройки системы складывается из двух
этапов:

1)	определения в пространстве параметров настройки регулятора
границы области, в которой, система обладает необходимым запасом
устойчивости;

2)	нахождения в этой области точки, удовлетворяющей требованию
минимума указанного критерия точности работы системы.

Рассмотрим порядок расчетов для каждого типового закона регу-
лирования.
П-регулятор. Величина &рег регу-
лятора, при которой амплитудно-
фазовая характеристика разомкну-
той системы будет касаться окруж-
ности с заданным 7И, определяется
следующим образом.

Строится амплитудно-фазовая ха-
рактеристика разомкнутой системы
с П-регулятором при некотором про-
извольном значении &рег и прово-
дится окружность с заданным М.

Если окажется, что характеристика не касается окружности, уточ-
няют значение и производят новое построение характеристики,
и так до тех пор, пока она не коснется окружности*

Расчет можно значительно упростить, если обратить внимание на то
обстоятельство, что вне зависимости от масштаба графиков окружность
•с заданным М всегда остается касательной к прямой ОЕ (рис. 12.14)
проведенной из начала координат под углом

Р — ЗГС81П (1/М)

(12.37)

к отрицательной вещественной полуоси. Действительно, из рисунка
следует, что

81П р = К1Р&

Подставив значения Рои Р из формул (10.14) и (10.16), придем
к формуле (12.37). Следовательно, при величине &рсг регулятора, со-
ответствующей заданному запасу устойчивости систем, окружность
с заданным М должна одновременно касаться амплитудно-фазовой ха-
рактеристики разомкнутой системы и линии ОЕ, При этом расчет про-
изводится в следующем порядке:

1)	строится амплитудно-фазовая характеристика регулируемого
объекта, и из начала координат проводится луч под углом (3 к отрица-
тельной вещественной полуоси;

2)	проводится окружность с центром на вещественной отрицатель-
ной полуоси, касающаяся одновременно амплитудно-фазовой харак-
теристики регулируемого объекта и этого луча. В общем случае радиус
полученной таким образом окружности будет отличаться от его требуе-
мого значения (10.16). Для того чтобы он стал равным этому значению,
амплитудно-фазовую характеристику регулируемого объекта следует
умножить на коэффициент йрег. пред, величина которого должна быть
выбрана из условия

^рег- „ред^МЛМ8-!),
т. е.

*рег. пред ==М1{(№-1)/?].	(12.3Я

Следует отметить, что если регулируемый объект обладает самовы-
равниванием, то величина максимума амплитудно-частотной характе-
ристики системы с П-регулятором не будет полностью определять
затухание переходного процесса, так как при со = 0 максимум ампли-
тудно-частотной характеристики замкнутой системы будет отличен от
единицы. Поэтому после определения &рег регулятора рассмотренным
способом необходимо вычислить значение амплитудно-частотной ха-
рактеристики замкнутой системы при со = 0:

Г3(0) =

^рег. пред ^об /(1 + ^рег. пред ^об)>	(12.39)

затем проверить величину показателя колебательности М. Если он
окажется существенно больше допустимого, расчет следует повторить,
выбрав меньшую величину максимума амплитудно-частотной характе-
ристики замкнутой системы. На практике'значение амплитудно-час-
тотной характеристики замкнутой системы при со = 0 оказывается на-
столько близким к единице, что подобные пересчеты приходится делать
в очень редких случаях. Найденное значение коэффициента &рег
[см. (12.38)1 определяет его предельно допустимую, по соображениям
сохранения системой требуемого запаса устойчивости, величину;
для обычно встречающихся на практике частотных характеристик объ-
ектов это условие будет выполняться, если установленное в регуляторе
значение ^ррг не будет превышать указанной величины. Выбор конкрет-
ной величины йрег в пределах допустимых его значений 0 Аррг <
<^гег. пред зависит от принятого критерия качества системы.

Для системы с П-регулятором обычно не желательным является су-
ществование остаточной неравномерности регулирования, которую
стремятся иметь возможно меньшей. Этого можно добиться увеличением
&р.г. Соответственно найденное по формуле (12.38) значение коэф-
фициента &рег> пред можно считать также и оптимальным.

И-регулятор. Для удобства графических построений амплитудно-
фазовую характеристику И-регулятора целесообразно представить
в следующем виде

^рег О) = (йрег/^ш^) е- 'л/2,	(12.40)

где

. ^рег^^ин

ин*

Расчет производится в два этапа.

1.	По амплитудно-фазовой характеристике регулируемого объекта
строится амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы
для /?гег = 1 и некоторого (любого) значения Тин,в удобного для по-
строения характеристики:

^Ро (Я) = [И70б (/<о)/о)Тин] е~ ^/2.	(12.41)

При этом каждый вектор амплитудно-фазовой характеристики регу-
лируемого объекта следует повернуть на 90° по часовой стрелке и умень-
шить в (о7ин раз (рис. 12.15).

2.	Проводится линия под углом р [см. (12.37)] к отрицательной ве-
щественной полуоси и окружность с центром, расположенным на этой
оси, касающаяся одновременно построенной линии и амплитудно-
фазовой характеристики 1Гро (/ы). Величина 6рег, обеспечивающая
заданное значение максимума амплитудно-частотной характеристики
замкнутой системы, по-прежнему, определяется формулой (12.38) и,
следовательно, предельный коэффициент передачи И-регулятора

^ин. пред = ^рег. пред^ин ==-Л4/[(Л12	1) /?ТИН].	(12.42)

Если критерием качества процесса регулирования выбран линейный
интегральный критерий, то в соответствии с формулой (12.35) предель-
ное значение йрег. пред регулятора является также и оптимальным.

ПИ-регулятор. После построения амплитудно-фазовых характе-
ристик разомкнутой системы для йррг = 1 при нескольких фиксиро-
ванных значениях 7ИН из начала координат проводится прямая линия
под углом (3 к вещественной отрицательной полуоси и строятся окруж-

ности с центрами на этой оси, касающиеся амплитудно-фазовых харак-
теристик и этой прямой. Предельное значение коэффициента передачи
регулятора для каждого значения времени изодрома определяется так
же, как и дляП-регулятора, по формуле (12.38), только в эту формулу
следует подставить значения радиусов окружностей, касающихся ам-
плитудно-фазовой характеристики для соответствующих значений Уин.

По результатам расчета в плоскости параметров настройки регуля-
тора &рег, Тин можно построить границу области, в которой максимум
амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы относитель-
но управляющего воздействия не будет превышать заданной величины.
Если качество процесса регулирования оценивается величиной линей-
ного интегрального критерия, то оптимальной настройке регулятора
будет соответствовать точка в этой области, для которой отношение
крег!Тап максимально [см. (12.36)1. Нетрудно видеть, что этому усло-
вию удовлетворяет точка касания касательной, проведенной к границе
области допустимого запаса устойчивости из начала координат. Дей-
ствительно, касательная будет геометрическим местом точек с постоян-
ным отношением	= сопз!, причем угловой коэффициент на-

клона ее будет равен этому отношению. Любая другая прямая, выходя-
щая из начала координат с большим угловым коэффициентомуне будет
проходить через область допустимого запаса устойчивости, и поэтому
большую величину отношения в данной системе получить невозможно
без уменьшения ее устойчивости ниже необходимой величины.

Аналогично определяется оптимальная настройка ПИД-регулятора*
Для этого строится семейство амплитудно-фазовых характеристик ра-
зомкнутой системы для = 1 при различных фиксированных
значениях отношения 7а/Тин = а. Порядок построения рассмотрен
в § 12.3. В остальном расчет ничем не отличается от расчета настройки
ПИ-регулятора.

Пример 12.3. Определим оптимальную настройку системы автоматического
регулирования, рассмотренной в примере 12.2.

ПИ-регулятор. На рис. 12.16 приведена амплитудно-фазовая характеристика
объекта и показана окружность, касающаяся этой характеристики и прямой ОЕ*
построенной для М = 1,6 (Р = 38°), ее радиус /? = 8,2 мВ.

Воспользовавшись формулой (12.38), получим

брег. опт —^рег. пред —6, 126 мВ-1.

Таким образом, при отклонении э. д. с. термопары на 1 мВ регулятор дол-
жен перемещать регулирующий орган на 0,126 его полного хода. Коэффициент
Боб = 84 мВ; следовательно, при ш -= 0 значение амплитудно-частотной харак-
теристики замкнутой системы регулирования

№3(0) = 0,126-84/(1 +0,126-84) = 0,92.

Отношение максимума амплитудно-частотной характеристики к ее значе-
нию при со — 0 составляет 1,76 и, следовательно, нет необходимости производить
повторный расчет.

Заметим, что при определении границы области заданного запаса устойчи-
вости системы с П-регулятором достаточно знать только часть амплитудно-фазо-
вой характеристики регулируемого объекта, расположенную в пределах угла,
образованного отрицательной вещественной полуосью и линией ОЕ.

И-регулятор. На рис. 12.17 построена амплитудно-фазовая характеристика
разомкнутой системы (12.41) для 7ИН == 5 мин. Радиус окружности, касающей-
ся одновременно этой характеристики и прямой ОЕ, Е “ 24,6 мВ. Следовательно,

^ин.опт *= 1 >6/1(1,62 — 1)«24,6*5] “ 0,008 (мВ . мин )“х,
т. е. регулятор должен перемещать регулирующий орган при отклонении э. д. с.
термопары на 1 мВ на 0,008 его полного хода в минуту (полное перемещение регу-
лирующего органа должно происходить не менее чем за 125 мин).

Рис. 12.18

ПИ-регулятор. На рис. 12.18, а приведены амплитудно-фазовые характери-
стики разомкнутой системы для /грег = 1, а также показаны окружности, ка-
сающиеся этих характеристик и линии ОЕ для Тин = 2 мин и 3 мин. Величины
радиусов окружностей для характеристик с выбранными величинами Тин,
а также значения коэффициентов передачи регулятора, вычисленные по формуле
(12.38), приведены в табл 12.2.

Таблица 12.2

Тин, мин	1,0	1,5	2,0	3,0	ОО
/?, мВ	34,0	15,2	12,0	10,0	8,2
^рег. пред* мВ'1 |	0,0294	1	0,0658	1	0,0834	1	' 0,0990	| 0,122

На рис. 12.18, б приведена граница области заданного запаса устойчивости
в плоскости параметров настройки регулятора, построенная по приведенным
данным. Там же штриховой линией показана граница области устойчивости по
рис. 12.12, б.

Точка касания касательной, проведенной из начала координат к границе
области заданного запаса устойчивости, дает значения оптимальных параметров
настройки:

^рег-опт = 0.066 мВ \ Тнн.опт = 1,6 мин.

ПИД-регулятор. На рис. 12.19, а приведены амплитудно-фазовые характе-
ристики разомкнутой системы для /?рег « 1, перечерченные с рис. 12.13, а также
показаны окружности, касающиеся этих характеристик и прямой ОЕ. Результа-
ты расчетов приведены в табл. 12.3.
Рис. 12.19

Т а б л и ца 12.3

Тин»	1,0	1,25	1,5		’	1  2,0
/?, мВ	4,8; 3,4	4/5	5,8	7,7
^рег- пред» мВ"1	|	| 0,29; 0,21 |	1	0,22 I	0,17	1	0,13

На рис. 12.19, б в плоскости параметров настройки регулятора по приведен-
ным данным построена граница области необходимого запаса устойчивости
системы. На этом же рисунке для сравнения нанесена граница области устой-
чивости по рис. 12.13, б. Оптимальными параметрами для а = 0,25 будут:
^рег-опт = 0,29 мВ 1; Уин.опт ~ 0,9 мин.
ГЛАВА XIII

ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

§ 13.1. ПРИМЕРЫ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Основные сведения. Импульсные системы автоматического регули-
рования представляют собой класс систем, которые часто могут быть
описаны с помощью линейных уравнений особого вида. В них выходная
величина какого-либо из элементов имеет дискретный характер, т. е.
представляет собой последовательность импульсов, один из параметров
которых (амплитуда, ширина, временной сдвиг) зависит от величины

на входе этого элемента в отдельные
дискретные моменты времени (моменты
съема), разделенные, как правило, оди-
наковыми интервалами времени. Среди
импульсных систем автоматического ре-
гулирования наиболее часто встречают-
ся системы, у которых дискретным яв-
ляется сигнал рассогласования. Между
моментами съема управление движе-
нием системы регулирования произво-

дится в соответствии с ранее определенными дискретными значе-

ниями рассогласования.

Представление сигнала с помощью дискретных его значений х0, хъ
х2,	...» (рис. 13.1) называют иногда квантованием по времени.

Дискретные величины х где Ти — интервал между моментами-
съема, I — целочисленные значения (/ = 0, 1,2, ...), образуют так на-
зываемую решетчатую функцию.

Квантованный по времени сигнал рассогласования модулирует,
как отмечалось выше, последовательность управляющих импульсов.
На рис. 13.2 показаны последовательности хп импульсов, получающие-
ся при амплитудно-импульсной модуляции (АЙМ, рис. 13.2, н), широт-
но-импульсной модуляции (ШИМ, рис. 13.2, б), временной импульсной
модуляции (ВИМ, рис. 13.2, в), причем сигнал х имеет гармонический
характер, а модулируемые импульсы имеют прямоугольную форму.
Далее будут рассматриваться широко применяемые системы с АИМ,
которые, как будет показано далее, могут быть описаны линейными
уравнениями*. При этом, если среди элементов системы автоматическо-
го регулирования имеются нелинейные элементы, то необходимо ис-
пользовать прием линеаризации и рассматривать малые приращения
величин. Далее изучаются импульсные системы автоматического регу-
лирования, содержащие только линейные элементы.

Квантование сигналов по времени сопровождается в общем случае
потерей информации, так как дискретные значения не передают харак-
тера изменения сигналов между моментами съема. Различные непрерыв-
ные сигналы могут дать одинаковые последовательности дискретных
значений, как это показано на рис. 13.3. Для того чтобы полней переда-
вать характер изменения сигнала с помощью дискретных значений, час-
тоту квантования = 2 л/Ти следует брать по возможности большей.

Увеличение сои, однако, приводит обычно к существенному усложне-
нию импульсной части системы, так что возможности в этом смысле во
всех практических случаях ограничены.

Принцип импульсного регулирования используется в системах
автоматического регулирования с цифровыми вычислительными уст-
ройствами, в многоканальных системах автоматического регулирова-
ния, в радиолокационных устройствах и в некоторых других системах.
Импульсный характер цифровых систем автоматического регулирова-
ния связан с тем, что большинство цифровых вычислительных устройств
выдают решение периодически. В многоканальных системах авто-
матического регулирования один регулятор обслуживает несколько
объектов, это также приводит к импульсному характеру измерения
и управления в каждой системе. В радиолокационных системах входные
и выходные сигналы — импульсные, а поэтому и сами системы являют-
ся импульсными.

Теория импульсных систем автоматического регулирования разра-
ботана советскими учеными Я. 3. Цыпкиным [Л. 46], Л. Т, Кузиным

* Системы с ШИМ при очень малой ширине импульсов эквивалентны систе-
мам с АИМ, так как действие очень короткого импульса определяется его пло-
щадью (см. П. 1). Встречаются также системы автоматического регулирования,
в которых модуляция управляющих импульсов производится не мгновенными»
а текущими значениями сигнала рассогласования, меняющимися за время дей-
ствия импульса, в результате чего форма импульсов в процессе модуляции ме-
няется. Такие системы автоматического регулирования являются по сути дела
системами с переменными параметрами (переменными коэффициентами усиления}
и в данной книге не рассматриваются.
1Л. 23] и др., а также американскими
учеными Л. А. Заде, Дж. Р. Рагац-
цини, Э. Джури 1Л.14] и др.

Рассмотрим некоторые примеры
и м и ул ьсн ы х систем автоматического
регулирования.

Цифровая следящая система. Ее
функциональная схема показана на
рис. 13.4. Цифровая следящая си-
стема служит для пропорциональ-
ного преобразования в определен-

ГП» 37# 47^ Ь

Рис. 13.3

ном масштабе входного цифрового

сигнала в угол поворота у выходного вала. Входной сигнал в виде
параллельного импульсного кода периодически поступает в цифровое
сравнивающее устройство (ЦСУ). Сюда же в те же моменты времени
поступает параллельный цифровой код уд, являющийся результатом
цифрового измерения угла поворота у. Измерение осуществляется ана-
лого-цифровым преобразователем (А/Ц), построенным, например, с по-

мощью кодового диска. ЦСУ производит вычитание числа у^ из числа
и выдает результат — цифровое рассогласование ец с некоторым за-
паздыванием т по сравнению с моментом поступления гц и уд. Величина
т определяется временем, необходимым для выполнения вычитания
в ЦСУ', часто т значительно меньше, чем Тя, и им можно пренебречь.

Параллельный код цифрового рассогласования ед поступает в циф-
ро-аналоговый преобразователь (ЦЛ4), в котором имеется регистр, хра-
нящий значение ец в течение периода Ти. Непосредственно перед по-

ступлением очередного числа ец во всех разрядах регистра устанавли-
ваются нули. На выходе Ц/А получается аналоговая величина — нап-

ряжение переменного тока которое далее усиливается в усилителе
У. Напряжение управления и поступает на исполнительный двигатель
ИД. Последний через редуктор Р вращает выходную ось так, чтобы
уменьшить рассогласование ед. В результате выходная величина
у «следит» за входной величиной гц.

На рис. 13.5, а показаны временные диаграммы, характеризующие
переходный процесс в цифровой следящей системе при отработке скач-
кообразного воздействия ги(/).Для сравнения на временной диаграм-
ме у (/) штриховой линией показан процесс в непрерывной следящей

Рис. 13.4
системе с такими же параметрами, но с непрерывной передачей сигналов
гц, уп и ец. При уменьшении Ги в импульсной системе разница между
процессами обеих систем делается меньше; в пределе при Ти 0 им-
пульсная система превращается в непрерывную.

На рис. 13.5, б показаны временные диаграммы, соответствующие
установившемуся режиму при отработке линейно меняющегося сигнала
При этом, как и в непрерывных следящих системах, у и меняются
также линейно, а рассогласование постоянно. Напряжение ие по-
стоянно, за исключением коротких импульсов, соответствующих уста-
новке на нуль регистра в Ц/А. В напряжении и эти импульсы уже в зна-
чительной степени сглажены,

Цифровые следящие системы применяются для преобразования ре-
зультатов вычисления управляющих ЦВМ в перемещения рабочих ор-
ганов управляемых объектов. Часто ЦВМ не только вырабатывает сиг-
нал гц, но и вычисляет разность гц — ^ц, поэтому нет необходимости
применять ЦСУ, При этом, поскольку на ЦВМ возлагают решения
целого ряда задач, период может получаться довольно большим
(для современных управляющих вычислительных машин Ги — 0,1—
—1,0 с, т = 1 мс).

Радиолокационная система автоматического сопровождения цели
по дальности (автодальномер). Функциональная схема авто дальномер а
показана на рис. 13.6, а. Она содержит следующие блоки: временной
селектор (ВС), два интегрирующих блока (ИБГ и ИБ^, временной
модулятор (ВМ) и генератор селекторных импульсов (ГСП), На
рис. 13.6, б приведены временные диаграммы, поясняющие работу ав-
тодальномера в течение одного периода

Зондирующий импульс (ЗИ), посылаемый к цели, подается на ВМ*
где он задерживается на время, зависящее от управляющего напряже-
ния и. В качестве ВМ может быть применена, например, фантастрон-
ная схема. Задержанный ЗИ запускает генератор ГСИ, построенный,
например, на блокинг-генераторах. ГСИ вырабатывает два селекторных
импульса (СИ) разных полярностей, следующих один за другим. Вре-
мя сдвига Ту границы СИ относительно ЗИ пропорционально а. СИ
вместе с отраженным от цели и сформированным импульсом (ОИ)
поступают на ВС. Время тг сдвига середины ОИ относительно ЗИ про-
порционально расстоянию до цели,

ВС содержит две схемы совпадения. На выходе ВС получаются два
импульса (/7Х и И2) с одинаковыми амплитудами и разными полярно-

Рис. 13.6

стями, которые представляют собой части ОИ, совпадающие с первым и
вторым селекторными импульсами. Разность длительностей Иг и И2
прспэрциональна рассогласованию те =	— ту. и И2 подаются

на блок ИБи который содержит две ключевые схемы на диодах и интег-
рирующую ЯС-цепочку с большой постоянной времени. Можно считать,
что напряжение ас на конденсаторе С изменяется при действии Иг или
И2 по линейному закону. В результате приращение напряжения ыс
после окончания и И2 пропорционально (с обратным знаком)
разности длительностей Иг и Й2, т. е. пропорционально рассогласова-
нию Напряжение на выходе ИВ1 пропорционально сумме рассогла-
сований те во все предыдущие моменты съема; таким образом, ИБг
представляет собой сумматор дискретных значений (дискретный ин-
тегратор).

Напряжение ис подается на блок ИБ^ в качестве которого приме-
нен решающий усилитель с передаточной функцией

г (р) = - (1 + рЛ)/рт2г

Где Тг = /?1СЬ Т2 = /?1С2. Сопротивление выбирается достаточно
большим, так что входная цепь решающего усилителя не нагружает
/?С-цепочку.

Если передаточную функцию операционного усилителя записать
в виде

(р) = - (7\/7г + 1/рТ2),

то видно, что напряжение и на его выходе имеет две составляющие:

одну — пропорциональную «с, вторую — пропорциональную интег-
ралу от ис (обе составляющие с отрицательными знаками). После окон-
чания действия и И2 напряжение и изменяется по линейному закону.
При этом, если тс > иу (те > 0) (см. рис. 13.6, б), то и возрастает,

в результате чего значение ху к следующему моменту съема увеличи-
вается, стремясь к тр. Если те < 0, то и и ту уменьшаются.

Им	Таким образом, авто-

Рис. 13.7

дальномер представляет
собой импульсную систе-
му автоматического регу-
лирования временного
сдвига Ту (и пропорцио-
нального ему напряжения
и). Входной величиной
является временной сдвиг
тр, пропорциональный рас-
стоянию до цели. Наличие
двух интегрирующих бло-
ков позволяет выполнить
сопровождение целей, дви-
жущихся с постоянной
скоростью, без ошибок.
Частота посылки ЗИ обыч-
но равна 100—1000 Гц
(7\ = 1—10 мс).

Система автоматиче-
ского регулирования тем-
пературы с падающей дуж-
кой. На функциональной
схеме системы автоматиче-
ского регулирования тем-
пературы (рис. 13.7, а)
приняты следующие обоз-
начения: ОР — объект ре-
гулирования (печь), ИМ—измерительный мост, Г — гальванометр
с падающей дужкой ПД, приводимой в движение кулачком А,
П — потенциометр, У — усилитель, ИД — исполнительный двига-
тель, Р — редуктор, КЛ — клапан, регулирующий подачу топлива
в печь.

Температура в печи измеряется при помощи терморезистора с со-
противлением Ру, которое вместе с задающим резистором Р„ включено
в измерительный мост.

Напряжение разбаланса моста ие подается на гальванометр с падаю-
щей дужкой. Падающая дужка приводится в периодическое движение
специальным синхронным двигателем (не показанным на рисунке) че-
рез кулачок и рычажную передачу. Она периодически прижимает на
время уТи стрелку гальванометра к потенциометру. На вход усилителя
с потенциометра П поступают импульсы напряжения нп прямоугольной
формы и постоянной длительности уТи. Амплитуда импульсов пропор-
циональна значениям рассогласования, взятым в моменты падения
дужки (моменты съема). Импульсы усиливаются и поступают на ис-
полнительный двигатель. Последний через редуктор поворачивает кла-
пан на угол 9 , увеличивая или уменьшая подачу топлива в печь.

В гальванометре с падающей дужкой получается значительное уси-
ление мощности, при этом прерывистый характер контакта между
стрелкой гальванометра и потенциометром исключает погрешность тре-
ния. Период 1\ обычно измеряется минутами, так как тепловой объект
обладает большой инерционностью. Регуляторы с падающей дужкой
исторически были одними из первых регуляторов импульсного типа.

На рис. 13.7, б показаны временное диаграммы, иллюстрирующие
характер изменения сигналов в системе.

§ 1X2 ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА ИМПУЛЬСНОЙ
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

На рис. 13.8, а изображена структурная схема импульсной системы
автоматического регулирования, содержащая помимо сравнивающего
звена импульсное звено (ИЗ) и непрерывную часть (НЧ) с передаточной
функцией №н.ч (р). Внутри импульсного звена показана форма управ-
ляющих импульсов. В общем случае она произвольна и характеризуется

функцией 5 (/)-, равной нулю вне ин-
тервала 0 < / < Ги. Во всех прак-
тических случаях функция $ (/) имеет
конечную высоту, она может быть
всегда нормирована путем учета ко-
эффициента модуляции в коэффи-
циенте усиления НЧ, и поэтому
$мякс ” 1 (рис. 13.8, б).

Сигнал рассогласования е (I) под-
вергается квантованию по времени,
и его дискретные значения модули-
руют по амплитуде импульсы в ИЗ.
Если считать, что е (/) = 0 при I <. О, то импульсный сигнал для
О I < оо

оо

М0 = 2 е(/Ти)8(Г-/Ти).

2 = 0



При исследовании удобно заменить импульсное звено, на выходе
которого получаются модулированные импульсы произвольной формы,
последовательным соединением простейшего импульсного звена, имею-
щего модулированные единичные импульсы на выходе, с формирующим
звеном. Формирующее звено должно иметь реакцию на единичный
импульс (весовую функцию), тождественную форме действующих в си-
стеме импульсов:

(0 = 5 (/).	(13.2>

Рис. 13.9	Рис. 13.10

Для этого передаточная функция формирующего звена должна быть
равна изображению функции $ (/), так как изображением единичного
импульса является единица, т. е.

(р) = 5 (р).	(13.3)

На рис. 13.9 показана эквивалентная схема импульсной системы
автоматического регулирования с простейшим импульсным звеном.
Единичный импульс внутри импульсного звена условно показан стрел-
кой единичной высоты. Формирующее звено (ФЗ) и непрерывная часть
(НЧ) соединены последовательно и образуют приведенную непрерывную
часть (ПНЧ) с передаточной функцией

н. ч (Р)	(р) 1^н. ч (Р).	(13.4)

Последовательность модулированных импульсов на выходе простей-
шего импульсного звена показана на рис. 13.10 и описана следующим
образом

оо

(0 = 2 е т ^и)-	(13.5>

Формирующее звено преобразует эту последовательность в последо-
вательность действительных импульсов еи (0 (см. рис. 13.9), действую-
щих на непрерывную часть системы.

Простейшее импульсное звено является типичным для линейных
импульсных систем. Его наличие отличает структурные схемы импуль-
сных систем от непрерывных. Особенностью импульсных систем являет-
ся недопустимость перемещения импульсного звена через непрерывное
звено в структурных схемах. Перемена мест импульсного и непрерывно-
го звеньев приводит к изменению свойств цепи (исключение составляет
безынерционное звено).

Пример 13.1. Рассмотрим эквивалентную схему цифровой следящей систе-
мы (см. § 13.1). Для простоты будем пренебрегать нелинейными явлениями,
имеющими место при аналого-цифровом преобразовании и связанными с округ-
лением величин при их цифровом представлении. Обычно погрешность округле-
ния мала и оказывает незначительное влияние на поведение системы. Управ-
ляющие импульсы в системе (см. рис. 13.5) имеют прямоугольную форму, их
коэффициент заполнения равен единице. Импульсное звено с такими импульсами
часто называют фиксатором, или экстраполятором нулевого порядка. Прямо-
угольный импульс единичной высоты и длительности 7И можно представить как
«сумму импульсов 10 (0 и (I — Ги) (рис. 13.11). Тогда

^ф(р)=5(р)=(1-е-₽Ги)/р.	(13.6)

Комплексный коэффициент передачи формирующего звена

(/<о) = -1"6 —=ТВ - ~(^2)- е-/юГи/2.	(13.7)

/со	со/ и/

На рис. 13.12 изображены частотные характеристики формирующего звена
с прямоугольными импульсами длительности Формирующее звено ослабляет
высокочастотные составляющие сигнала е* (/). На низких частотах при < 1

Ц7ф (/со) « Ти.	(13.8)

Приведенная непрерывная часть цифровой следящей системы при учете
только электромеханической постоянной времени двигателя Т имеет передаточ-
ную функцию

1 —е-₽Гв	к

------------р(,+рГ)-.	«3.9>

где /г — коэффициент усиления непрерывной части.

При этом комплексный коэффициент передачи

«^п. и. ч (М = - к (1 —е— 1<лТ*)/№ (1 + /(ОТ)).	(13.10)

В табл. 13.1 приведены передаточные функции и частотные характе-
ристики формирующих звеньев для некоторых типов импульсов.
Таблица 13.1

Форма импульса			Передаточная функция	(р)	Комплексный коэффи- циент передачи ^ф (/со)	Ч астотные характеристики	
<5  /  0	ЕрЖ^^ц		1—е	и  Р  9	. му ти Ч1П  уТ и	х  ыу/и	И/ф  * Гы  ч>  -я	
			1					2  Хе	2		0 ыи/г 2*4,/г со
						
	ГТи Ти 1					
В таблице взят экспоненциальный импульс бесконечной длительности,
который практически можно считать (с точностью до 5%) затухающим
к моменту времени у Ти. Во всех случаях формирующее звено вносит
ослабление высокочастотных составляющих, тогда, как на низких часто-
тах, оно близко к безынерционному звену с коэффициентом усиления
где Ли принимает разные значения для различных импульсов.

§ 13.3. СПЕКТРЫ И ИЗОБРАЖЕНИЯ
ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

Применение преобразований Фурье и Лапласа для дискретных сиг-
налов. Рассмотрим спектр и изображение дискретного сигнала х* (/),
получающегося на выходе простейшего импульсного звена, на входе
которого действует сигнал х (I) (рис. 13.13). Будем считать, что все сиг-
налы равны нулю при I < 0, а все выражения для сигналов справедли-
вы при I 0. Сигнал х* (/) равен, как уже отмечалось, сумме модули-
рованных и смещенных единичных импульсов:

оо

%*(/)= 2 х(/Ти)б(/-/Ти).

1=0

Преобразование Фурье, т. е. спектр для одного импульса
б (/ — /Тц), равен е-/й?п“, поэтому спектр

X* (/со) = 2 х (/Ти) е_,’“/ги.	(13.11)

1=0

Изображение сигнала х* (/) по Лапласу

оо

X* (р) = 2 X (1Тп)	(13.12)

1 = 0

Спектр и изображение сигнала х* (/) в выражениях (13.11) и (13.12)
определяются дискретными значениями х (1Ти). В литературе преоб-
разование (13.12) называют часто дискретным преобразованием Лап-
ласа [Л. 46].

Если в (13.12) заменить е₽?и на г, то можно получить формулу так
называемого г-преобразования для дискретных значений сигнала х:

оо

Х(г)= 2 Х(/Ти)2-/-	(13.13)

/-о

Это обозначение и термин также можно встретить в литературе.

Важной особенностью спектра дискретного сигнала является его
периодичность (сои = 2 л/Ти), что следует из (13.11), поскольку

^“7	Ю/Гд /г/2л ——

Таким образом, спектры дискретных сигналов можно рассматривать
в полосе частот — сои/2 < со сои/2; для других частот картина будет
периодически повторяться. Эта полоса может быть сужена вдвое:
Х(Р)

ХСО

Рис. 13.13

О со й>и/2, если учесть общее для
всех спектров свойство: значение спект-
ра для отрицательной частоты может
быть получено из значения спектра для
той же (по абсолютной величине) поло-
жительной частоты путем сопряжения.

Изображение X* (р) также периодич-
но в плоскости р вдоль мнимой оси с

периодом сои. Поэтому при рассмотрении изображений X* (р)
можно ограничиться горизонтальной полосой с шириной сои, сим-
метрично расположенной относительно действительной оси (рис. 13.14)
— сои/2 < 1т р сои/2.	(13.14)

Рассмотрим примеры изображений для простых дискретных
сигналов.

Пример 13.2. Дискретный сигнал х* (/) представляет собой единичный им-
пульс

X* (0 == б (О,
получаемый при подаче на вход импульсного звена любого сигнала х (I), равного
единице при I = 0 и равного нулю при I > 7И (рис. 13.15, а). Его изображение
Х*(р)=1.	(13.15)

Пример 13.3. Сигнал х (/) представляет собой единичную функцию 10 (/),
х* (/) _ дискретную единичную функцию (рис. 13.15, б)	.

**(0= 5 Ь(1-1Та).	(13.16)

<=0

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии с первым членом,
равным единице, и знаменателем е_рГи изображение

'ХГ' п1т	1	е₽7и

Х*(Р) = Уе и =--------------— =—----------•	(13.17)

1—е"рГи ер7и—1

Пример 13.4. Сигнал х (I) представляет собой экспоненту еа\ х* (I) — ди-
скретную экспоненту (рис. 13.15, в)

х*(1) = 2 еа/ги6(/—/Ти).	(13.18)

/=0

Изображение, аналогично предыдущему,

СЮ	ОО	|

Х*(Р)= Е ео/гие-раи= 3 е-‘р-°)/7'и=---------

/=0	/—О	1—е а) и

ерГи
е₽7и—еа7и

(13.19)

В частном случае при а = /со (гармонический сигнал, мнимая часть которо-
го показана на рис. 13.15, а)

X* (р) = е₽7и/(е₽7и—е/<й7и).

(13.20)

В приложении П.4 даны изображения X* (р) для сигналов х* (0,
получающихся при подаче на вход импульсного звена сигналов х (0,
описываемых некоторыми часто встречающимися
функциями. Там же приведены изображения
X ф).

Связь между спектрами и изображениями диск-
ретных и непрерывных сигналов. Найдем связь
между спектрами дискретного сигнала х* (/) на
выходе импульсного звена и сигнала х (/) на его
входе. Для этого рассмотрим периодическую
функцию, образованную повторяющимися через
интервал Ти на всей оси времени — оо < I < оо
единичными импульсами (рис. 13.16). Эта функция
может быть представлена рядом Фурье в компле-
ксной форме

2

2

1т

Р

Ре

Рис. 13.14

где

оо	оо

2 б(/-/ти)= 2 сг^«4,

1=—оо	г— — оо

(13.21)

сои = 2л/7'и.

Коэффициенты разложения, определяемые по формуле

Ги/2

2 6(?—1Та) е->'4(Ц,
_1——оо

равны 1/Ти Для любого г. Поэтому

оо

2 ба-/ти)=

1=^00

1

Та

2 е'г4.

Г = — оо

(13.22)

(13.23)

(13.24)

Дискретный сигнал х* (I) может быть записан как

%*(/)= 5х(/Ти)би-/Ти) = х(0 § 6(^-/Ти),	(13.25)

/—О	1= — оо

поскольку х (/) — 0 при I < 0 и б (I — 1ТВ) = 0 при I 1Та.
После подстановки (13.24) получаем

1	“

х*(/) = х(/)— У
Та

(13.26)

Спектр сигнала х* (/)

X* (»

х О') 2 е'ге>а1
г— —оо

е-/со^ (Ц =

х (0 е-/	< (11.

оо
Интеграл, стоящий под знаком суммы

1со“г<йиМ/ = Х[/(со—гаи)],

о

(13.27)

поэтому

оо

X* (/со) =

"У Х[/(со—гсо„)].

Г=--ОО

Заменяя — г на г и изменяя порядок суммирования, получаем

х*(/®)=4~ 2 хг/>+™и)1-
/ и

Г = —ос

(13.28)

Составляющие ряда при г 0 называются транспонированными
составляющими.

Полученный результат справедлив для функций х (/), равных нулю
при I = 0. Если же х (0)	0, то сумма, стоящая в правой части, долж-

на быть дополнена членом 0,5 х (0), т. е.

(13.29)

X* (/со)

Это объясняется тем обстоятельством,
что ряд (13.24) представляет собой четную
функцию времени / и поэтому единичный
импульс при / = 0 делится вертикальной
осью пополам. Сигнал х (/) отличен от нуля
при I 0. Поэтому составляющая спект-
ра сигнала (13.26), получающаяся за счет
значения сигнала х при / = 0, будет равна
0,5 х (0) вместо х (0), как это должно быть
согласно формуле (13.11). Чтобы испра-
вить положение, приходится в общем
выражении (13.29) добавлять 0,5 х (0).

Аналогичные выражения для изображе-
ний имеют вид:

при х (б) = 0

х*(р)=4-

* II

2 х(р+/Г0)и);

г = — оо

(13.30)
при х(Э).=М)

X* (р) =

1

тк

со

(13.31)

Основное значение формул, связывающих спектры и изображения
дискретных и непрерывных сигналов, состоит не столько в том, что они
дают дополнительный путь для вычисления X* (/ш) и X* (р), сколько
в наглядном истолковании явлений, происходящих в импульсных сис-
темах. На рис. 13.17 показаны действительные и мнимые составляющие
спектров X (/*>) и X* (М), причем последние получены путем сум-
мирования транспонированных на гсои (— оо с г < оо ) состав-
ляющих спектра 4- X (/о). В результате спектр X* (/о) оказывается
* и

периодическим по оси частот с периодом сои. Спектр X* (/о) отличается
от X (/со) не только на высоких частотах, но в общем случае и на низ-
ких частотах в интервале — сои/2 < со соп/2 из-за добавления высо-
кочастотных «хвостов» транспонированных составляющих. Последнее
обстоятельство связано с так называемым стробоскопическим эффектом
и может стать более понятным, если рассмотреть две гармонические сос-
тавляющие сигнала х (/)

(— оо < I < оо):

хг (/) = е' и х2 (0 = еИ(*>+™и)	,

где г целое число.

В моменты съема / = /Ти обе
составляющие имеют одинаковые
значения (рис. 13.18):

Х1(/Ти) = е/<<й/ги+<Р);

х2 (^и) = е/ К“>+ ™и> /7и+ =
(1д/Ти + <р) .е/г/2л __

= =Х1 (/Ги).

Следовательно, составляю-
щие хг (0 и х2 (/) входного сиг-
нала дадут одинаковые дискрет-
ные составляющие на выходе
импульсного звена, в результа-
те чего низко- и высокочастот-
ная составляющие сигнала х (/)
окажут одинаковое влияние на
поведение импульсной системы.

Как следует из (13.31),
изображение дискретного сигна-
ла X* (р) периодично вдоль мни-
мой оси. Поэтому, если Х*(р)
имеет особые точки (полюсы),



Рис. 13.17
то они периодически повторяются в вертикальном направлении
(рис. 13.19) и число их бесконечно.

Рассмотрим число полюсов изображения X* (р) в горизонтальной
полосе — сои/2 < 1тр сои/2. Согласно (13.31), полюсами X* (р)
являются прежде всего полюсы X (р) из этой же полосы (за счет слагае-
мого при г = 0). Все остальные полюсы из других частей плоскости
р также попадают в эту полосу (за счет остальных слагаемых). Таким
образом, общее число полюсов в рассматриваемой полосе с учетом их
кратности равно полному числу полюсов изображения X (р).

Исключение может составить случай, когда два или большее число полюсов
X (р) лежат на прямой, параллельной мнимой оси, и отличаются своими мнимы-
ми частями на /7гсои, где к — целое число. В изображении X* (р) эти полюсы
могут взаимно скомпенсироваться при суммировании транспонированных сос-
тавляющих в (13.31). Например, непрерывному сигналу х (/) = з!п соответ-
ствует изображение X (р) = <ои/(р2 + «2), которое имеет два полюса — /сои
и —Дискретные значения сигнала в моменты съема х (1Ти) равны нулю,
поэтому Х*(р) = Ои, следовательно, Х*(р) не имеет полюсов.

Полюс Х(р) '

О

а) 1т Х(Р)

**(Р)

Рис. 13.19

Восстановление непрерывного сигнала из дискретного. Из-за иска-
жения изображения X* (/со) на низких частотах высокочастотными
«хвостами» в общем случае невозможно восстановить исходный сигнал
х (/) из х* (/), даже если поставить фильтр низких частот, обрезающий
периодический спектр X* (/со) на высоких частотах. Это объясняется
тем, что для модуляции последовательности импульсов используются
лишь дискретные значения сигнала х, характер же изменения сигнала
между моментами съема не учитывается, в результате чего часть
информации о сигнале теряется.

Можно, однако, указать условия, при выполнении которых потери
информации не происходит. Если спектр сигнала х (/) ограничен час-
тотой согр и частота импульсного элемента взята достаточно большой»
так что

сои 2 соГр,

(13.32)

то транспонированные составляющие спектра X* (/со) не перекрыва-
ются (рис. 13.20), в результате чего в диапазоне частот — сои/2<со^
сои/2 спектры X* (/со) и ^-Х (/со) совпадают. Если поставить иде-
< и

альный фильтр низких частот с единичным коэффициентом усиления и
равномерным пропусканием в полосе — <оа/2 < (о <ои/2, то на его
выходе будет получен восстановленный сигнал ((). Этот результат
* и

представляет собой известную импульсную теорему — теорему
Котельникова.

Можно получить формулу, которая в случае выполнения условий
импульсной теоремы (сои >= 2согр) позволяет вычислить х (0 по дискрет-
ным значениям решетчатой функции х Применяя обратное пре-
образование Фурье, запишем

оо

х (0 = —— С X е/(йГ бко.
2л

— оо

(13.33)

Поскольку X = 0 при |<в| > <огр, причем согр ^©и/2, то
пределы в интеграле можно заменить:

сои/2

х (/)=—!— С Х(;<о)е'“Ма>.	(13.34)

“ми/2

Спектр X (/со) совпадает со спектром ТИХ* (/со) в интервале интег-
рирования — сои/2 < со сои/2:

Х(я) = ТиХ*(» = 7и § х(/Ти)е-^и,
/=0

(13.35)

поэтому

сои/2

*(0 —~2— Г Та
2л

-<ои/2

5 х (1ТИ) е-^^и

1 = 0

е/<о/

йал —

“и/2

У е/и‘'-/ги)

с1<о.

(13.36)

Интеграл внутри суммы

е/0) (< — «„)

е/а> («~<ТИ)

2 81П —/Тв)
п

/7И

(13.37)

Отсюда окончательно получаем

оо

= —У х(1Та)
п 1=0

Г Сйи	"I

^—/Ти

(13.38)

Ш-1ТИ)
Изображения дискретных сигналов при дробно-рациональных
Х(р) и наличии запаздывания. Возвращаясь к связи между спектрами
и изображениями непрерывных к (I) и дискретных х* (/) сигналов, рас-
смотрим случай, когда изображение непрерывной функции к (/) на входе
импульсного звена является дробно-рациональной функцией р

X (р) =	(р)/ М-(р),	(13.39)

при этом порядок знаменателя п больше порядка числителя т и поли-
ном в знаменателе М (р) не имеет кратных корней. Если корни этого
полинома рг известны, то X (р) может быть представлено в виде суммы
простых дробей:

Рис. 13.20

Рис. 13.21

Х(р) = у	. —1—,

М'(Р1)	р—р.

(13.40)

причем М' (р) = д.М (р)!(1р.

Выражение (13.40) показывает, что сигнал х (/) может быть пред-
ставлен в виде линейной комбинации экспоненциальных сигналов.

Пользуясь результатом, полученным в примере 13.4, запишем

X* (р) =

у ЛЧи)

М' (рг)

(13.41)

ерТи



Аналогичная формула может быть получена для кратных корней
М (р)\ здесь она не приводится ввиду громоздкости.

Из выражения (13.41) следует, что для дробно-рациональных функ-
ций X (р) изображение X* (р) представляет собой дробно-рациональ-
ную функцию относительно е'17», которая в дальнейшем будет обозна-

чаться как	X* (р) = X* (р)/М* (р),	(13.42)
где	Л?* (р) = Ьт	+ &ю_!	Рти +... + ьо-	(13.43)  М*(р)^апепр7’п-1-а,4_1е<п-1)₽7’и4- ..-)-а0.	(13.44'

Степень п полиномов М* (р) и М (р) одинакова.
Пример 13.5. Изображение непрерывного сигнала

	Х(Р)=*/[Р(1+РТ)],

что соответствует х (/) = к (1 — е //г). Найдем X* (р).

Корни знаменателя Р} = 0, р2 = —\/Т. Пользуясь (13.41), можно написать

	/ ер7и	ер7и	\  X* (р) = к 1			1 =  V рГи_1	ерГи_ -ТВ!Т ),  к(1—е~Ти'Т) еРТв  =	7.	' т ,т .	(13.45)  (е₽ “ —1)(е₽ н—е и/ )

Рассмотрим изображение дискретного сигнала х% (1\ получающегося
при подаче на вход импульсного звена запаздывающего сигнала
х (I — т) • 10 (I — т) (рис. 13.21, а). Запаздывание т заключено в ин-
тервале (к — 1) Ти < т кТп (рис. 13.21, б и в).

В этом случае

оо

1 = к



так как съемы по-прежнему происходят в моменты 1Тп.

Следовательно, общая формула для дискретного изображения за-
паздывающего сигнала

оо

(р)= 2х е~р1Т»-	а3-47)

1 = к

В частном случае, когда запаздывание равно целому числу периодов
т = кТИ9 получаем

оо

Х?(Р) = 2 х[(/-й)Ги]е-^и.

Заменяя (/ — к) на /, записываем выражение

х; (р)=2 х е~р1Тп=е~крТи х*

/ = 0

(13.48)

совпадающее с выражением для изображения непрерывного запазды-
вающего сигнала. В общем случае такого простого соотношения между
Х% (р> и X* (р) получить нельзя и приходится пользоваться общей
формулой (13.47).
Пример 13.6. Сигнал х (/) представляет собой экспоненту ео/, имеющую
изображение

Х(р)=——-

р—ОС

Запаздывающий сигнал х (I — т) « 10 (/ — т) имеет изображение

Хт(р) = е“рх/(р—а).

Согласно (13.47) изображение

X; (р)= 2 е“ е~р1Т*
1=к

Последнее выражение представляет собой сумму геометрической прогрессии
____________	—рйГ ..	_________...	___

с первым членом е	и	е  ет, что  еа (кТ  е и	и и знаменателем е и е	, из чего следу-  е₽Ги	еа (й?и-т)  •	7	=	^7	Х*(Р).	(13- 49>  ’>га_раТч	екрТч  V	С	V

где X* (р) — изображение дискретного экспоненциального сигнала без запазды-
вания (13.19).

При т =* кТи изображение описывается выражением (13.48).

Пример 13.7. Незадержанный сигнал представляет собой линейную комби-
нацию экспоненциальных сигналов, и его изображение является дробно-рацио-
нальной функцией

у, ^(р) _ Л ЛЧРО _________________1_

М(р) 1=1 М'(Р1) ’ Р-Р1 •

Изображение- задержанного сигнала

V „А V

Р — П

С учетом (13.49) изображение дискретного задержанного сигнала

X* (р)= —!— у -	еРг	------ (]3 50>

’(Р)	А М'(Р1)	₽ги /Л’	(13'50>

V	К.	V

Из (13.50) видно, что изображение дискретного запаздывающего сигнала
представляет собой дробно-рациональную функцию от ерГи, причем ее знамена-
тель отличается от знаменателя изображения дискретного сигнала без запазды-
крТ
вания (13.41) лишь множителем е и

Х% (р)=!К (р)1 \еРТ* М* (р)].	(13.Ы>

В приложении П.5 приведены изображения дискретных сих налов
хт (0, полученных после запаздывающего звена.

Формулы обращения для дискретных сигналов. При исследовании
импульсных систем автоматического регулирования может быть пос-
тавлена обратная задача нахождения оригинала х* дискретного сигна-
ла по его изображению X*. Поскольку сигнал х* (/) существует лишь
в дискретные моменты времени (моменты съема), то задача сводится
к определению дискретных значений решетчатой функции
И = 0, 1, 2, ...), которые равняются площадям импульсов <
х* (/) в соответствующие моменты съема. При достаточно больц
тоте квантования решетчатая функция х(/Ти) может давать дос
полную характеристику непрерывного сигнала х (/). При выпс
условий импульсной теоремы сигнал х (/) может быть целиком
новлен по дискретным значениям х (1Ти).

Для дискретных сигналов справедлива формула обращени
логичная известной формуле для непрерывных сигналов в пре
вании Лапласа. Приведем ее без вывода:

/«и/2

х(1Тп) = -^	С

Интегрирование в (13.52) производится по отрезку прямой,
лельной мнимой оси и отстоящей от нее на расстоянии с, так
«особые точки изображения X* (р) в горизонтальной полосе ш
<ои (см. рис. 13.14) лежат левее этого отрезка.

В частном случае, когда X* (р) — дробно-рациональная ф]

X* (р) =

X* (Р)
М*(Р)

, трТ	{т-1) рТ

Ьте и + 6т ге

+ • • • + ао

ПрТИ I
е +



причем т < п и корни знаменателя М* (р) — простые, можн
чить соотношение

х (1ТК) =

V Д'* (Р<>

еР1 <1- 1) Тп = у Х*(Рг) ерг 1ТЯ
4-1 р. т

1=1 е • ИМ*'(Р1)

при

х (/?„) = О

при /<»1.

Здесь

м*' (р)=ам*(р)/а(ерТ^,

— корни знаменателя М* (р) в полосе — со и/2 < 1т р^
(их число равно и).

Выражение (13.53) является аналогом известной формулы р;
ния для непрерывных функций. Подобная, но более громоздкая
ла может быть получена для кратных корней М* (р).

Формулы обращения (13.52) и (13.53) позволяют найти ли:
кретные значения сигнала х на входе импульсного звеца; значег
го сигнала в интервалах между моментами съема могут быть по
по найденным х (1ТИ) лишь в случае выполнения условия имп>
теоремы.
ГЛАВА XIV

ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 14.1. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ
ЧЕРЕЗ ИМПУЛЬСНУЮ СИСТЕМУ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрим прохождение сигнала е (/) через импульсную систему
автоматического регулирования, изображенную на рис. 13.9. Найдем
спектр выходной величины уь при этом будем считать (для простоты),
что е (0) = 0 и в системе имеют место нулевые начальные условия

У (/о) - №п.н.ч (/со)	(/ш),	(14.1)

где согласно (13.28)

1 00

Е*(7й))=_2_ у й[/(<о + г<ои)].	(14.2}

г = оо

Если выделить в выражении для У (/а>) слагаемое, соответствующее
г = 0, то

У (/“) = ~~ ГП. н. ч (/") Е (Н + ~ н. ч (/«) У Е [/	+ Г(ОИ) Г

/и	* И

Г — — оо
9^ 0

(14.3>

В выражении (14.3) первое слагаемое представляет собой спектр
выходного сигнала, который имел бы место в непрерывной системе
с частотной характеристикой №п.н.ч (/<о)/Ти. Второе слагаемое, содер-
жащее сумму транспонирован-
ных спектральных составляющих
Е [/(со + гй)и)1» отображает влияние
импульсного звена. На рис. 14.1
пояснено, как согласно (14.3) из-
меняется спектр сигнала Е Цы)
при прохождении через импульс-
ную систему. На рис. 14.1, а изо-
бражены спектры |В (/со)
* и

|Е (/ф)| и амплитудно-частотная ха-
рактеристика 11ГП Н ч (/со) [; на рис.
14.1, б изображен спектр | У (/со) |.
При этом для наглядности приведен случай, когда выполняются уело
вия импульсной теоремы: спектр ограничен частотой согр, причем сои^
^2 согр. Наличие импульсного элемента приводит к появлению в спект-
ре выходного сигнала высокочастотных составляющих, которых не
было в спектре сигнала Е (/со). Вследствие этого в общем случае с по-
мощью комплексного коэффициента, передачи невозможно связать
спектры сигналов Е (}<*)) и У (/со) в импульсной системе, подобно
тому, как это делается в непрерывных системах.

Рис. 14.2

Можно, однако, указать случай, когда такая связь существует.
На рис. 14.2, а показаны спектр сигнала Е ((а), ограниченный часто-
той согр, и частотная характеристика 1^п.н.ч, ограниченная частотой
согр1, причем сои согр + согр1. В результате в выражении (14.3)
для спектра сохраняется лишь первое слагаемое

У (/“) = ГП. в. ч (/“) (/»)•	О4-4)

1 и

и импульсная система делается эквивалентной непрерывной системе
с комплексным коэффициентом передачи в разомкнутом состоянии, рав-
ным 1УП.Н.Ч (/со)/Ти (рис. 14.2, а). Таким образом, при увеличении час-
тоты квантования сов свойства импульсной системы автоматического
регулирования приближаются (с точностью до множителя 1/Ув) к свой-
ствам ее приведенной непрерывной части; если же выполнено условие

СО и СОгр С0гр 1»	(14 .о)

то их свойства делаются тождественными. На практике часто считают,
что это имеет место, если наибольшая постоянная времени непрерывной
части системы значительно превышает период работы импульсного
звена Ти.

Нужно отметить, однако, что импульсное звено влияет на свойства
системы и при выполнении условия (14.5), поскольку частотная харак-
теристика приведенной непрерывной части зависит от частотной харак-
теристики формирующего звена 1ГП.Н.Ч (/со) = 1Гф(/со) (/со).
Выражение для изображения выходной величины в общем случае
аналогично (14.1) и (14.2):

У (Р) = н. ч (р) Е* (р) = 4- Гп. н. ч (р) У Е (р + /гои). (14.6)

— оо

§ 14.2. КОМПЛЕКСНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕДАЧИ
И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ РАЗОМКНУТЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ

Комплексные коэффициенты передачи. В § 14.1 было установлено,
что в общем случае пропорциональная связь между спектрами и изобра-
жениями входного сигнала е (/) импульсной системы автоматического
регулирования и ее выходного сигнала у (I) отсутствует. Оказывается,
однако, что такая связь существует между спектрами и изображениями
дискретных сигналов е* (/) и у* (/). Последний сигнал получается из
у (I) при пропускании его через простейшее импульсное звено
(рис. 14.3, а).

Рис. 14.3

Целесообразность отыскания указанной связи следует из возмож-
ности преобразования эквивалентной схемы импульсной системы авто-
матического регулирования к виду, показанному на рис. 14.3, б. Такое
преобразование схем вытекает из очевидного соотношения

е* = (о — у)* ~ V* — у*.

(14.7)

Рассмотрим сигналы у (/) и у* (/). Сигнал у (/) при нулевых началь-
ных условиях складывается из реакций приведенной непрерывной час-
ти системы На импульсы е* (/) (рис. 14.4, а). Реакция системы на им-
пульс, действующий в 1-й момент съема и имеющий площадь е (1ТИ)9
показана на рис. 14.4, б:

Уг (О — О^и) ^п. н. ч ^и)» и’

(И.8)

где шп.н.ч (/) — весовая функция приведенной непрерывной части.
Полный выходной сигнал системы
у(1), получаемый путем суммирования
составляющих уг (I), показан на рис.
14.4, в\ для /Ти < / < (/ + Г) Ти

У (О - 2 е ^п. Н. ч ('-*7И),(14.9)
/=о

где I — целая часть отношения //Ти.

Дискретное значение у (1Ти) нахо-
дится из (14.9) при подстановке I = /Ги:

У (^и) ™ 2 <*Ги) ^П- н. ч К^ — 0 Ти1-
/ = 0

(14.10)

Весовая функция о>п.н.ч (/), являясь
реакцией приведенной непрерывной ча-
сти на единичный импульс 6 (0, пред-
ставляет собой, по существу, реакцию
непрерывной части на один импульс
&(/), в который трансформируется еди-
ничный импульс при прохождении че-
рез формирующее звено.

Сигнал у* (/) получается из у (0 путем

Рис. 14.4

квантования по времени:

оо

^(0=2 У^д(1-1Т^,
1=0

(14.11)

или после подстановки выражения (14.10):

о° / I	1

^(0=2 2	р('-ад.	(14.12)

/=о о	1

Поскольку весовая функция а>д.н.ч при 0 тождественно равна
нулю, то вместо / в верхнем пределе внутренней суммы можно поста*
вить оо:

оо Г оо	Ч

у* (0 = 2 2 е	“’п.н.ч [(/-0 тн] 6 (/- /Ти).

/=о и=о	]

Изменяя порядок суммирования, получаем

^(0=2 ^Ти)(2 ^п.н.ч[(/-0^и]6(/-/Л)

1=0	0 = 0

Полагая I — I = записываем

ОО	/ ОО	Ъ

(0 = 2 С (»ТИ) 2 “'и. н. Ч (ЛТ.) 6	+ к) ТИ1 ,

/=о	и=— I	)

(14.13)

(14.14)

(14.15)
пли, учитывая, что (1) = 0 при I <С О,

ос	Г СО

(/*(/)= у е(г’Ги)|2 ^и.н.ч

<=0	Ь-0

(кта)ьц_(1+к)ти]

(14.16)

Найдем спектр сигнала у* (/) с помощью преобразования Фурье.
Спектр сигнала б I/ — (I + к) ТИ1 представляет собой величину
€—/а)(1+*ми, П0ЭТ0Му

У*о®) = 2 е({Т») (2 “'п.в. чте-(г+й»ги =
/=о и==о

= 2 ЛгТи)е-’^и №п.н.ч(^и)е-'^и.	(14.17)

1 = 0	& = 0

Первый сомножитель в (14.17) представляет собой спектр Е* (/со),
следовательно,

У* (/со) == И/; (/со) Е* (/со),	(14.18)

где коэффициент пропорциональности 117* (/со), являющийся отношени-
ем спектров У* (/со) и Е* (/со), называется комплексным коэффициен-
том передачи разомкнутой импульсной системы автоматического ре-
гулирования. Этот коэффициент

г; (/«)== 2 ^п.н.ч(^и)е-'^и

*=0

или после замены к на I

оо

^(/®) = 2 ®п.н.ч('Л,)е-^и.	(14.19)

/ = 0

Из (14.19) видно, что комплексный коэффициент передачи Ц7р (/со)
является спектром сигнала (0, который можно представить как
результат пропускания сигнала, равного весовой функции приведен-
ной непрерывной части йУп.н.ч(0» через простейшее импульсное звено.
Поэтому комплексный коэффициент Ц7* (/со) на основании (13.29) мо-
жет быть выражен через спектр Ц7П н ч (/со), представляющий собой
комплексный коэффициент передачи приведенной непрерывной части:

= ~ 2 ^п.в.ч(И“ + »-®и)1+0,5а»п.я.,(0).	(14.20)

г=—оо

Если степень знаменателя передаточной функции непрерывной час-
ти меньше степени ее числителя, то весовая функция а!п<н.ч (/)» являю-
щаяся реакцией непрерывной части на один импульс 5 (/) при конечной
высоте последнего (оба условия практически всегда имеют место),
имеет нулевое значение при I = 0, поэтому в дальнейшем будет исполь-
зоваться упрощенное выражение для 117* (/со) [см. (13.28)1:

= “ 2 ’Ри.н.ч [/(«> + ™в)1-	Т4.21)

' и г=— оо
Комплексный коэффициент
передачи (/со), будучи
спектром функции а>п.н.ч (О»
обладает всеми свойствами
спектров дискретных сигна-
лов, в частности он периоди-
чен по оси частот с периодом
<ои, и его значения для отри-
цательных частот могут быть
получены из значений для
положительных частот путем
сопряжения. Поэтому ампли-
тудно-фазовые характеристи-

диапазоне частот — сои/2 <

со сои/2. При со = сои/2

ки импульсных систем регу-
лирования рассматриваются лишь в

< со ц)и/2 или даже в диапазоне 0

00	__ / И ГГ

(/“„/2) = 2 “'п. Н. ч ити) е 2 ' и =
/= о

ос	__ СО

= 2 ®п. Н. Ч (^и) е'л/ = 2 (-1 у №п. н. ч (/Ти),
с=о	г=о

(14.22)

т. е. Г; (/сои/2) — действительное число.

На рис. 14.5 показаны амплитудно-фазовые характеристики при-
веденной непрерывной части системы 1Гп>нг1 (/со) и соответствующей
ей импульсной разомкнутой системы 1ГР (/со).

Ряд (14.21) сходится тем быстрее, чем сильнее убывает комплексны?!
коэффициент передачи 1ГП.Н.Ч (/<°) сростом со. В случае быстрого убыва-
ния число слагаемых в сумме может быть принято равным двум наи-
большим по модулю (для наименьших абсолютных значений частоты),
тогда

(/“) » ~ {^П. в. ч (/“) + №и. в. ч [/ («>—%)]} =
>	*и

= 4" <Гп. И. Ч (/®) + ^в. в. ч [/ («>И-®)]},	(1 4.23)

1 и

где №п.н.ч — сопряженное значение комплексного коэффициента пе-
редачи на частоте сои — со.

Если приведенная непрерывная часть имеет ограниченную полосу
пропускания <огр1, причем со.р1 <2 <ои/2 (т. е. полоса уже половины
частоты импульсного звена), то все слагаемые в (14.21), кроме одного
(при г == 0), будут равны нулю и поэтому в полосе частот — сои/2 <
< со сои/2

а®) =	^П. В. Ч (Я = 4"	^н. Ч (/«)•	(14.24)

1 и	1 и
На низких частотах (при со ©и/2) формирующее звено близко по
своим свойствам к безынерционному звену с некоторым коэффициентом
усиления ккТв. При этом

(/®) « кк 1ГВ. ч О).	(14.25)

Передаточные функции. Рассмотрим изображения сигналов в им-
пульсных системах. Выполнив преобразование Лапласа над сигналом
у* (/), подобно тому, как это было сделано для спектров (14.17), по-
лучим

Г* (Р) = Щ (Р) Е* (ру,	(14.26)

(р) = 2 ^п. и. ч ПК) е-«^и,	(14.27)

>=о

где 1Гр (р) — передаточная функция разомкнутой импульсной систе-
мы, которая является изображением сигнала Шп.н.ч (О и поэтому для
нее могут быть написаны выражения, аналогичные (14.20):

при йуп.н.ч (0) =/= 0

«^(Р) = 7- 5 Гп.н.ч(Р4-//-®и)4-0,5^п.н.ч(0);	(14.28)

* и --- оо

при шп.в.ч (0) = 0

«7р(Р) = 4- 2 й7п.н.ч(Р + />®и)-	(14.29)

1	и Г=— оо

По указанным выше причинам будем пользоваться формулой (14,29).

Передаточная функция 1Ер (р) периодична по мнимой оси в плоско-
сти р и поэтому рассматривается в полосе шириной сои вокруг дейст-
вительной оси — ®и/2 <. 1т р ти/2 (см. рис. 13.14).

Если ТЕПН.Ч (р) — дробно-рациональная функция, что имеет место,
когда И7ф (р) = 1 (управляющий импульс описывается 6-функцией) и
Гв.в.ч (Р) = ^н.ч (р) = Кн.ч (рУ^н-ч (р)> то согласно (13.41)

(р) = ,

Он.ч(Рг) е₽ и—еР{ в

(14.30)

где рг — простые корни полинома Пн ч (р).

Из (14.30) видно, что передаточная функция И7* (р) в данном случае
является дробно-рациональной функцией е₽г«. Формулой (14.30) мож-
но пользоваться и для определения комплексного коэффициента пере-
дачи

е/6)7и

е/<оГи___тн

(14.31)

(/В) = -н^

1 Е>н.ч (Рг)

Можно показать (см. § 15.3), что передаточная функция ТЕр (р) бу-
дет являться дробно-рациональной функцией относительно е”7» при
Ч^н.ч (р) — Ен.ч (рУЕ>в.ч (р) и при произвольной форме управляю-
щих импульсов. При этом порядок передаточной функции 1Гр (р) ==
— К* (р)Ю* (р) (степень ее знаменателя О* (р)(, независимо от фор-
мы управляющих импульсов, равен порядку непрерывной части систе-
мы [степени пзнаменателя Пн ч (р) передаточной функции непрерывной
части системы]. Исключение может возникнуть в случае, если среди
полюсов (р) имеются полюсы, различающиеся лишь мнимыми час-
тями на ]к <ди (к — целое число). При этом порядок передаточной функ-
ции (р) может оказаться меньше п. Практически такие случаи встре-
чаются чрезвычайно редко.

Если высота управляющих импульсов конечна, а степень знамена-
теля передаточной функции непрерывной части больше степени ее чис-
лителя (что практически всегда имеет место), то степень числителя
/С*(р) передаточной функции 1Гр (р) на единицу меньше степени ее
знаменателя Б* (р), т. е. равна п — 1.

Последовательное включение звена запаздывания в непрерыв-
ную часть импульсной системы приводит к смещению весовой функции
приведенной непрерывной части на время запаздывания т : (к — 1) X
хГи<т<йТи. На основании (14.27) и (13.51) передаточная функция
разомкнутой импульсной системы с запаздыванием

(Р) = Кг* (р)1\екрТа В* (Р)1,	(14.32)

где Кт (р) — полином от ер7и, имеющий при тех же условиях, которые
отмечались для полинома К* (р) (т. е. практически всегда), степень
п\ О* (р) — знаменатель передаточной функции системы без запазды-

вания.

На основании (14.27) и (Г3.48) при запаздывании на целое число пе-
риодов т = к7\ передаточная функция

(р) = е~*₽ги	(р) = К* (р)/[е'грГи Г* (р)],	(14.33)

где М7р (р) — передаточная функция системы без запаздывания.

Таким образом, импульсные системы автоматического регулирова-
ния с сосредоточенными параметрами и со звеньями запаздывания
в непрерывной части описываются передаточными функциями 1Гр (р)
или М7рТ (р), которые являются дробно-рациональными функциями от-
носительно ер?п; при этом степень знаменателя передаточной функции
В7р (р) или Ц7*х (р) практически всегда больше степени ее числителя.

Пользуясь понятием передаточной функции, можно дать дополни-
тельное истолкование смысла комплексного коэффициента передачи
импульсной системы регулирования. Рассмотрим прохождение через
разомкнутую систему (рис. 14.3, а) гармонического сигнала с фазором
е (0 = Ле'о/. Согласно (13.20) соответствующий дискретный сигнал
е* (/) имеет изображение

Е* (р) = А ерТ»/(ерТ*~е1аТ«).

Изображение выходного сигнала р* (/) записывается через переда-
точную функцию

У* (р) = 1ГР (р) Е* (р) = г; (р) А	- =

к* (р) А

о* (Р) ерГи_ЛгИ

(14.34)
Согласно (13.53) дискретные значения выходного сигнала могут быть
получены по У* (р):



О* (ДО)

де'“пи + V -----------:-------------е^'Ч /> 1,

/= 1 о*' (р.) (ер1 Ти_е,и>Т™)

(14.35)

где Р1 — корни знаменателя Г* (р) передаточной функции в полосе
— ои/2 1т р сои/2 (их число равно л).

В выражении (14.35) первое слагаемое, соответствующее корню
р = знаменателя изображения V* (р) [см. (14.34)1, представляет
собой установившуюся (или вынужденную) составляющую решетча-
той функции у (1Ти). Второе слагаемое, соответствующее корням зна-
менателя О* (р) передаточной функции, представляет собой переход-
ную составляющую, которая стремится к нулю, если разомкнутая им-
пульсная система устойчива (условия устойчивости импульсных сис-
тем регулирования будут рассмотрены в гл. XV). В этом случае устано-
вившаяся составляющая для дискретных значений выходного сигнала
представляет собой решетчатую гармоническую функцию

</уст (^и) = О)	(14.36)

Рис. 14.6

На рис. 14.6, а и б показаны
мнимые составляющие фазоров
входного е (/) и установившегося
выходного ууСт (I) сигналов, а
также соответствующих им сигна-
лов е* (/) и ууСТ (/).

Хотя выходной сигнал ууСт (О
и не является гармоническим, че-
рез его дискретные значения в мо-
менты съема можно провести гар-
моническую огибающую (рис.
14,6, в), соотношение амплитуды и
фазы которой с амплитудой и фа-
зой входного сигнала определяет-
ся комплексным коэффициентом
передачи (/со).

Полюсы передаточных функций.
Рассмотрим полюсы передаточной
функции 1Гр (р) разомкнутой им-
пульсной системы автоматического
регулирования в полосе — сои/2<
<С 1шр (ои/2 (см. рис. 13.14). Как
следует из (13.31) и как показано в
§ 13.3 для изображений сигналов,
число полюсов (р) в рассматри-
ваемой полосе равно общему числу
полюсов передаточной функции
^п.н.ч(р)» ПРИ ЭТОМ полюсы двух
этих передаточных функций либо совпадают [для тех полюсов
^п.н.ч (Р)» которые лежат в рассматриваемой полосе], либо отличают-
ся на целое число /сои [для полюсов №п.н.ч (р), лежащих вне рас-
сматриваемой полосы]*.

Полюсы передаточной функции приведенной непрерывной части
И^п.в.ч (Р) =	<Р) ч (р) в свою очередь являются полюсами пере-

даточной функции непрерывной части системы ч (р). Это следует
из того, что передаточная функция формирующего звена (р), равная
изображению функции 5 (/), описывающей форму управляющих им-
пульсов 1см. (13.3)1, не имеет конечных полюсов при ограниченной вы-
соте и длительности этих импульсов. Таким образом, полюсы 1Гр (р)
в рассматриваемой полосе с точностью до /гсои (г — целое число) сов-
падают с полюсами 1ГН Ч (р).

Если знаменатель передаточной функции №НвЧ (р) может быть пред-
ставлен в виде произведения

п

Он.ч(Р)= п (р-рг),	(14.37)

где Рг — полюсы №'к.ч(р), то каждому сомножителю (р — рг) соответ-
ствует сомножитель

е₽7и_е(р*~ /Г(°и)1 и =е₽7и_(14.38)

в знаменателе О* (р) передаточной функции 1Гр (р).

Инерционному звену, включенному последовательно в непрерывную
часть системы, соответствует множитель

Оинер (Р) = ерГи-е-ги/7,	(14.39)

где Т — постоянная времени инерционного звена.

Интегрирующему звену соответствует множитель

Оии(р) = ерГ«—1.

(14.40)

Последовательному соединению из V интегрирующих звеньев соот-
ветствуют множитель

^(Р)=(е₽г”-1Г.

(14.41)

Колебательному звену соответствует произведение двух сомножи-
телей первого порядка

7	/ __ т \‘

=	(•'-г-т-Ч] X

т / ____ 7	\	Т

Рт -Е-у—/	г2л1 2рТ о -^-т-

е и—е 1	/ =е и—2е	т

* Исключение может составить случай, отмеченный в § 13.3, который прак-
тически встречается очень редко.
X соз У1 —С2 -у- е₽Ти + е

(14.42)

где — степень затухания; Т — постоянная времени колебательного
звена.

Звену с запаздыванием т при (к— 1) Ти < х^.кТ„ соответствует*
как было показано, множитель е*"7» в Б* (р).

§ 14.3. ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
И КОМПЛЕКСНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕДАЧИ
РАЗОМКНУТЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Наиболее употребительный способ получения передаточных функ-
ций разомкнутых импульсных систем основан на разложении выраже-
ния передаточной функции приведенной непрерывной части системы
^п.н.ч (Р) =	(р) ^н.ч (Р) на простые дроби. Если предположить

вначале, что непрерывная часть системы имеет дробно-рациональную
передаточную функцию

(р) - Кн.ч (Р)ЮП.Ч (р),	(14.43>

то для наиболее часто встречающихся импульсов (см. табл. 13.1) пере-
даточная функция приведенной непрерывной части может быть пред-
ставлена в виде

№и.н.ч (Р) =	(Р) Кп.в.ч (Р)/Оп.н.Ч (Р).

(14.44)

где /Сп.н.ч (р)/Дп.н.ч (р) — дробно-рациональная часть; №т (р) — транс-
цендентная часть передаточной функции №п.н.ч (р)-

Для прямоугольных импульсов

№т (р) = 1 — е~руТ”,	(14.45)

для треугольных импульсов

1Гт(р)-(1—е~₽1,ги/2)2	(14.46)

и т. д. Рациональная часть передаточной функции (р) входит в со-
став АГп.н.ч (рЖ.н.ч (р) и увеличивает число полюсов, изменяя порядок
по сравнению с (р). Так, для прямоугольных импульсов добав-
ляется один нулевой полюс, для треугольных импульсов — два нуле-
вых полюса и т. д.

При разложении №п.н.ч(р) на простые дроби можно записать
Пп.н.ч (р) в виде произведения сомножителей первого и второго поряд-
ков. Тогда

^и.н.ч (Р) =	(Р)------------—; ч(Р1--------------- - (14.47)

рт П (1+рЛ) П (1+2^ рТ}+р2Т^

1=1	/=1

Здесь предполагается, что сомножители второго порядка имеют
комплексные корни и что кратными могут быть только нулевые полюсы.
Разложение на сомножители (14.47) наиболее просто получается
в случае одноконтурных систем, в которых непрерывная часть пред-
ставляет собой последовательное соединение типовых звеньев. Если

непрерывная часть системы имеет внутренние обратные связи, то для

разложения на множители приходится предварительно отыскивать
корни полинома Е>н ч (р).

Если степень числителя Кв.а ч (р) меньше степени знаменателя
^п.н.ч (р), что практически всегда имеет место, то передаточная функ-
ция приведенной части может быть представлена в виде суммы простых
дробей:

М7п.н.Ч(Р) = И7т(Р)



А& 1 у,	| у	/ Р

Р*	1 +РП Д 1 +2С7-рГ;+р2 Т}

(14.48)

Разложение (14.48) на простые дроби соответствует представлению
части системы с передаточной функцией /Сп.н.ч (р) /7ЭП.Н.Ч (р) в виде па-
раллельного соединения простых звеньев.

Постоянные	С7- и удобно определять с помощью метода

неопределенных коэффициентов. В простейших случаях (отсутствие
кратных нулевых корней Е)п,н.ч (р) и комплексных корней, приводящих
к множителям второго порядка) разложение на простые дроби можно
производить, пользуясь формулой (13.40). Разумеется, она справедли-
ва и при комплексных корнях, а для кратных корней имеются анало-
гичные формулы, однако практически удобней пользоваться методом
неопределенных коэффициентов.

Далее нужно раскрыть квадратные скобки в (14.48) и для получив-
шихся простых слагаемых , 1ЕТ ,

ц/ ____Р

т 1+2^.рТу+Р2П

искать соответствующие выражения импульсных передаточных функ-
ций по таблице (см. приложения П.4 и П.5 для членов без запаздыва-
ния и с запаздыванием соответственно). При этом слагаемые второго
и третьего типа предварительно приходится приводить к данному
в приложениях виду:

(14.49)

(14.50)
Найденные дроби (относительно ер7и) нужно сложить, приведя их
к общему знаменателю, в результате будет получено выражение переда-
точной функции (р) в дробно-рациональной относительно ер7^
форме



К*(р)

Я* (р)

(е₽ги_1)^ П (е"ги_е ти'т1} р[

/=1 »=1

К*(р)

(14.51>

т
( г_____ т

*' Т. созНЛ-^Л

В процессе определения й/р (р) сомножители знаменателя О* (р\
получившиеся за счет полюсов передаточной функции формирующего
звена 1Гф (р), непременно должны сократиться с аналогичными сомно-
жителями, которые появятся при сложении в К* (р). В противном слу-
чае порядок (р) не будет равен порядку передаточной функции не-
прерывной части системы (см. § 14.2). Кроме того, порядок числителя
1^р (р) после сокращения во всех реальных случаях должен быть на
единицу меньше порядка знаменателя. Обе отмеченные особенности
могут использоваться при проверке правильности вычисления Ц7* (р).

Описанный метод получения передаточных функций И^р (р) легко
распространяется на системы с последовательно включенным в непре-
рывной части запаздывающим звеном, имеющие передаточную функцию

И^н-Ч (Р) = [7<и.ч (р)^н.ч (Р)1 е-₽Т-

1

(14.52)

При этом выражение (14.44) принимает вид

^п.н.ч (р) =	(Р) е~РХ ^п.н.ч (Р)^п.н.ч (Р).	(14.53)

а вся описанная последовательность действий сохраняется. В резуль-
тате при (к — 1) Та <. х < кТи передаточная функция

(Р) =

(Р)
екрТ« О* (р)

рТ„
е и—е

П 1е2₽Г"-

1=1

а

е*₽7и(е₽7” —1/ П

К*(р)


В этом случае также должно произойти сокращение добавленных
за счет (р) сомножителей О* (р), так что общий порядок передаточ-
ной функции (р) будет на число к превышать порядок Оп.ч (р).
Порядок числителя (р) после сокращения во всех реальных слу-
чаях должен быть равен порядку знаменателя Ов>ч (р).

При запаздывании на целое число периодов т = кТа величина
К'{ (р) превращается в К* (р), тогда

й7и(₽) = е-Ар/“ 1^; (р) = К* (р)/[е*₽уи Я* (р)],	(14.55)

где 1^р (р) — передаточная функция системы без запаздывания.

Пример 14.1. Найдем передаточную функцию 1Г* (р) для импульсной
системы с прямоугольными импульсами при коэффициенте заполнения у < 1
и с непрерывной частью, содержащей инерционное звено

В соответствии с табл. 13.1 передаточная функция приведенной непрерывной
части

к

^п.я. ч (Р) =	(Р) ГС'н (Р) =-------- • - , - -	(14.56).

Р	> ~А Р-*

Трансцендентная часть

Гт(р)=1—е'^И;	(14.57)

дробно-рациональная часть

Кп.н.ч(Р)/1>п.н.ч(Р) = ^/[р(1+рП].	(14.58)

Разложение (14.58) на простые дроби удобно произвести по формуле (13.40):

*	/ 1 I

---------= — —------------
р(Д+рТ) р р + 1/Т

(14.59)

откуда следует, что

/ 1	1	\	/ 1	1	\ — руТ

-т+цг)' " <,4-6о>

Используя результаты примеров 13.5 (для первого слагаемого) и 13.7 (для
второго слагаемого с запаздыванием уТи, /г = 1) или соответственно приложения.
П.4 и П.5, получаем

/ ерги	ер/и \	/	]	е—(1—т)Ги/7 \

П7* (о} = к I ----- ——------------ I—к I-------— —------------ =

р(Р) [гТ-~1 ерТ«-е-Г»'Т ) и₽Л'-1 е^-е "М

еРги(ер7'и_е-Ги/Г)—ерГЦ(ерГи—!)—(ерГи—е~Ги/‘Г)+е-(1~Т)Ги/Г(ерГи—1)

(еРГи—1)(еРТи—е“Ги/Г)

= (ерГи-1)(ерГ^е-Ги/Г-ерГи+е-(1-у) _

(ерГ“—1)(ерГи—е~Ти/Г)

, -Мт1угя/т
Комплексный коэффициент передачи системы

1Гр (;со) = Ае—Т“/7 (е?Ги/Г—1)/(е;е>Г«—е-7^7").	(14.62)

Для построения годографа 1Гр (/©) рассмотрим вначале инверсный ком-
плексный коэффициент передачи

В7;-1 (/«)=----— - -	------(е''®ги_е-7И/ ‘).	(14.63)

Ле	—1)

Его годографом в интервале 0 < со < (ой/2 является полуокружность, рас-
положенная в верхней полуплоскости’ и показанная на рис. 14.7 штриховой ли-
нией.

Годограф 1Г*(/(о), получаемый путем инверсии (/со), представляет
собой также полуокружность, но расположенную в нижней полуплоскости и
опирающуюся на действительную ось в точках

е-Ти/^(е^и/Т_1)

к--------— —------ при ы=0;

1—е и/

е-ти/т{гтп/т_1}

—к ----------------- при со=Ши/2.

1+е и/

(14.64)

Этот годограф изображен на рис. 14.7 сплошной линией. В частном случае при

1Г;(р)=Л(1—е-7"и/Г)/(е₽Гч—е~Г"/Г);	(14.65)

*	Л(1—-е Тв,Т)

•	(14.66)

е	и—е	и

Годограф ТГ* (/со) опирается на действительную ось в точках
4-/г	при й)=0;

—к(1 —-е	и/ )/(1+е и' ) при (0=^/2. ,

Пример 14.2. Найдем передаточную функцию №* (р) для цифровой следящей
системы, описанной в § 13.1. Из передаточной функции приведенной непрерыв-
ной части (см. (13.9)( следует, что

1Гт(р)=1-е-₽Ч	1	(14 68)

^П-Н.Ч (Р)/^П.Н.Ч (Р) — ^/(Р2 (1 +рТ)1. )

Выполним разложение Кп.н.ч (р)/Пп н.ч (р) на простые дроби:

АГп.н.ч(р) __ А Л2 В± __(А1Т + В1)р^(А1+А2Т)р-^А2

Яп.н.ч(р) Р р2 + 1+рТ	Р2Ч+рТ)

откуда, определив коэффициенты Л1 = —кТ, А2 «= к, кТ2, получим

^п.н.ч(Р)/Пд.н.ч (Р) — & I—^/Р + 1/Р2+Г2/(1 4-рТ)Ь	(14.69)

Передаточная функция 1ГТ (р) содержит в себе запаздывание на Ти, поэтому
Ж* (р) определяется из передаточной функции, найденной для (14.69) по прило-
жению П.4, путем умножения на 1ГТ (р) «= (е₽ и — 1)/е₽Ги:

Р	е₽Ги [ е₽Ги—1	(е₽Ти_1)2	ерТи—е-Ги/Г
Ти к Г (1-е Г”/Г)

ер7И__1	ерТИ__

[Ти-7(1-е ?и/Г)]ерГи|г(1 е Ги/Г)Ги е~ги/г
(е₽Ги — 1) (е₽Ги—е~ Ги/Г)

(14.70>

ИЛИ

Комплексный коэффициент получаем, подставляя р = /со,
удобно выразить следующим образом



е'“Ги-1

&Т(1—е Г”/Г)

р^Ю/И__е~ Ти^Т

С	V»

при этом его

(14.72)

Годографом для первого слагаемого (рис. 14.8) является прямая /, параллель-
ная мнимой оси и расположенная в нижней полуплоскости; она заканчивается
при со = сои/2 на действительной оси в точке —кТ^/2. Это следует из того, что-
годографом инверсной составляющей (е7°Ги — 1)/(/гТи) является полуокруж-
ность, имеющая центр на действительной оси и проходящая через начало коор-
динат (штриховая линия Г).

Годографом для второго слагаемого является, как это показано в предыду-
щем примере, полуокружность 2, расположенная в верхней полуплоскости и
опирающаяся на действительную ось в точках

—кТ

кТ (1—е-Ги/Г)/(1+е-Ги/Г)

. ПРИ

при

со = 0;

со — сои/2

(14.73}

Общий годограф 3 комплексного коэффициента усиления И7* (/со) получается
путем векторного сложения годографов 1 и 2.
Пр« 7=0 передаточная функция непрерывной части системы
®'н.ч(Р) = */Р,
передаточная функция приведенной непрерывной части

(14.74)

Й7п.н.ч(р)=й(1-е

И)/Р2 •

В этом случае передаточная функция разомкнутой импульсной системы по-
лучается из (14.71) подстановкой Т = 0:

ТиеР'и

= А е2₽Г«-е₽Ги

рТ11 1
е и—1

(14.75)

Комплексный коэффициент усиления

^(/со)=*Ти/(е



(14. 76)

Годограф комплексного коэффициента усиления представляет собой прямую
/ на рис. 14.8.

В табл. 14.1 приведены выражения передаточных функций разомк-
нутых импульсных систем с прямоугольными импульсами (они встре-
чаются в практике наиболее часто) для простых непрерывных частей.
При пользовании этой таблицей на простые дроби разлагается не
Кп.н.ч (Р)/Яп.н.ч (р), а №н.ч (р) = Кн.ч (р)/Рн.ч (р):

<71	П

Р^ П (1+рГг)П (]+2^>Т,.+д?гр
1	1=1

Рк & \+рТг & 1+2^РТ; + р*Т*

(14.77)

и находятся постоянные Ак, В^ С/ и 2?/ с помощью метода неопределен-
ных коэффициентов или формулы (13.40). Далее в табл. 14.1 берутся
соответствующие функции №рй, 1^- и УГр,. Суммирование их дает

Пример 14.3. Найдем передаточную функцию 117* (р) для импульсной сле-
дящей системы с прямоугольными импульсами при у=1ис передаточной функ-
цией непрерывной части

И^н.ч (р) = * (1 +рТ2)/[р (1 +Р7Т) (I +р73)].	(14.78)

Разложим №н.ч (р) на простые дроби

7 Л В]	Вп	\

^.ч(р)^к — +— '	+—А • >	(14.79)

\ р	1+р1\	1+рТ3 /

где на основании метода неопределенных коэффициентов
Зак. 377

Таблица 14,1

Передаточная функция «^н. ч <₽>	•  • Передаточная функция №р (р)		Обозначения
	V < 1		
1  р	ер7“ —1	ти ерГи-1	
1 р2	СО  р-  ь,	—<  о.	1  1  СЧ  Р-  гм  Е-1	П ерГ»+1  2	(ерТи_1)2	
1	е^уЛ-р	1-е-Г*/У	
1+рт	ерГи_е“Ги/Т	ерГи_е-Ги/Г	
1	[—(1 С05 6 —СС/ 81П	С08 (1 — ?) 6+ I	(1 —а С05 5—сс1 81П 6)	+	— С08 $4~с 51>п в)	с=-1— у 1 -г2  й = е-г7и/7
	е2р7и_ 2асо8бе₽Ги+й2  ।	+с^‘~'>> 81й (1 —у) б] ер7“ ।		
1+2^рТ + /?2Т2	е2₽Ги—2^ созб е₽Г“+й2  ।	V С08 уб + сс11"" 7 51 п уб)  е2сГи—2<*со8беоГи-Ь<12	е2р7и—2б/ соз 6 е₽Ги~)-сР	

б=У1-^7’и/Т

1
----- — X
ТУ1-^

[Л соя 8—с?1"'1’ $1п (1—у) б] ер7”—с!2-т 51 п уб
е2рГ“-2й созбевГи+й2

Р

1 +2^Т4-р27’2



ТУГ^Г
д!81пб(ерГи—1)
е2₽Ги-2<*со5бе₽Ги-Н2
Согласно табл. 14.1

“’1И^Ыл+"'
\ V*	*

1_е“ги/Л 1_е-Ги/ГЕ \

--------- -4- В 2-7_ ]
е₽?и________________е—е₽Г|1_е— ^1,^3у

(14.81)

или после приведения

__________Ь? е2рУ~и^- 61 еР?и____________
(ерГ»—1) (ерГи— е-Ги/Г*) (ерТ”—е~Г,’/Г’)

(14.82)

Приведенные примеры показывают, что даже в'относительно про-
стых случаях определение передаточных функций импульсных систем
затруднительно. Поэтому целесообразно использовать для этих целей
(особенно в случае сложных систем высокого порядка) ЦВМ. В [Л.4)
описан машинный алгоритм, служащий для получения передаточной
функции систем с прямоугольными импульсами (алгоритм основав на
разложении №п н.ч (р) на простые дроби в соответствии с рассмотрен-
ной выше методикой), и приведена программа, составленная на языке
АЛ ГОЛ-60, для решения этой же задачи.

Однако для ЦВМ более удобным может быть другой путь определе-
ния передаточной функции 1Гр (р) [Л.25]*. Сопоставим два выражения
передаточной функции разомкнутой импульсной системы:

К*(р)	^етРГ" + ^_1е(т-|)РГ»+-+/го

^(Р) йпеврГи+4п_1е<я-,,рГи+...+Й0 ’

^(Р)= 2 №п.н.ч(/Г„)е-р/Ч
1=0

т < п; (14.84)

(14.85)

Выражение (14.85) представляет собой по сути дела разложение
дробно-рациональной функции (р) в ряд по отрицательным степе-
ням е₽ги. Из (14.84) и (14.85) следует, что

Рт етрГ» + кт_± е(т-1 > р/« +... + /е0 =

= [ап епрТ* + 4-г е("~1 ’рТ* + ••  + йо] ?о ^п. н. ч (1Ти) е~р1Т».

* См. также: А. В. Зайцева [и др.]. Об одном методе расчета передаточ-
ных функций цифровых систем управления. «Известия ЛЭТЙ», 1973, вып. 120,
322
Приравнивая коэффициенты при е/рТи в левой и правой частях по-
следнего равенства, получаем

=	^п- н- ч (0) 4“	н. ч (^и) 4“ ••• 4“	^п. н. ч 0

т—1, .*., 0, —1, —2................ .	(14.86)

Последнее соотношение можно рассматривать при I — т. ..., 0
как готовую формулу для вычисления коэффициентов числителя И7р (р)
по известным коэффициентам знаменателя (р) и дискретным значе-
ниям весовой функции приведенной непрерывной части.

Коэффициенты Ь* (р) могут быть определены, если положить
в (14.86) I = — 1, — 2,	— п. Для этих значений I коэффициенты

“ 0 и система (14.86) превращаются в систему п линейных алгебраи-
ческих уравнений относительно искомых коэффициентов О* (р) (коэф-
фициент (1п можно без ущерба для общности считать равным единице),
которые могут также быть решены на ЦВМ.

Весовая функция приведенной непрерывной части г^п.н.ч (ГГИ)
может быть рассчитана по стандартным программам путем численного
интегрирования дифференциальных уравнений непрерывной части
(см. § 9.6); она представляет собой реакцию непрерывной части на ре-
альный импульс 5 (/).

§ 14.4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Логарифмические частотные характеристики для непрерывных
систем автоматического регулирования позволили развить приближен-
ные методы, существенно упрощающие решение задач анализа и синте-
за систем. Тем более важно использовать подобные методы в случае
импульсных систем, когда не только расчет частотных характеристик,
но даже и получение передаточных функций затруднительно.

Прямое применение логарифмических масштабов для частотных
характеристик импульсных систем ничего не дает вследствие транс-
цендентного характера выражений передаточных функций. Замена
ер?и на г делает выражение (р) дробно-рациональным:



К (г)

б (г)	аП2п+^п-1гП-1 + -+4 ’

(14.87)

при этом левая полуполоса Не р< 0, — сои/2 < 1гпр ои/2 плоскости
р отображается внутрь круга единичного радиуса |г| <С 1 на плоско-
сти г; отрезок мнимой оси от — сои/2 до сои/2 преобразуется в окруж-
ность единичного радиуса (рис. 14.9, а и 6).

Произведем замену переменных:

2 = (1 + у)/(1—V);	(14.88)

^ = (2—1)/(г+1);	(14.89)

& = (ерГи-1)/(ер7'и+1)-	(14.90)
При этом окружность единичного радиуса в плоскости ? преобра-
зуется в мнимую ось на плоскости V. Таким образом, указанный отре-
зок мнимой оси на плоскости р преобразуется во всю мнимую ось на
плоскости V (рис, 14.9, в)

V = (е^и _ 1)/ (е/иГи + 1) = / ^ ^12.

(14.91)

При этом области внутри единичного круга в плоскости г (и левой
полуполосе Ке р < 0, — сои/2 < 1тр сои/2 на плоскости р) соот-
ветствует левая полуплоскость V.

Вместо переменной V удобно рассматривать пропорциональную ей
величину

при этом

. г = (1 +^Ти/2)/(1-ш7и/2).	(14.93)

Чисто мнимым значениям р = /со соответствует

2 е,ш7и___1	2 Т

Т Я ~ ”'Г<8“ 2	<14-94>

где со* — размерная псевдочастота:

(14.95)

* и

Левой полуполосе Ке р < 0, —	< 1гп р < на плоскости р

по-прежнему соответствует левая полуплоскость ю9 а мнимой оси
р = /со — мнимая ось и) = /со*.

Заметим, что при малых частотах ®Ти/2 ж (аТ^/2 и псевдочас-
тота со* » со. Поэтому при со < 2/7и в расчетах псевдочастоту можно
заменять действительной частотой, и наоборот.
Передаточная функция непрерывной части ^Н. ч <₽>	Передаточная функция	(а>) разомкнутой системы			Обозначения
	Общее выражение	ти/т->о	Ги/Т->оо	
1 р	>—* 1  §	8			1

325

1 р*	1  су2			♦
1	I	1-ю^  	2  1 +и>Т	1	?и  1 —ю —  	2	•ч II  1 1+ а.| а. а.  II л> 1
I +рт	1+шГ		1 <  1+^7	
Продолжение табл. 14.2.

Передаточная функция непрерывной части с <₽>	Передаточная функция №р (а?) разомкнутой системы			Обозначения
	Общее выражение	ги/т-о	ги/7'-‘х	
1	1	— \ (1 -[-дот)	1	Ги  	2	1  1 —12) —  	2	X « ?  Ч*"9 _и ^3.  	 <	И	й.  -8-	>	Я II  3- 8	« 2. ?	1	Л	1  Я-	я	1	1	я	Т 1	А	|Ч  й □ о '	8 8	1 ч  О’	5	2.	я	Х.Х.	..  А	О,	3	8	00 О’  °	О»  о  V—х-
14-2г;рТ+раг2	1+2^'®Т' + »«Т'2	1 4-2^7’4-ш2 г2	1	।  1	
»  р	ИЛГ1 Н —	!	•  / <	и \  ш 1 I —ву — 1	0	
14-2^рТ + р2Г	1+2^Т'4-®2Т'2	1+2;шГ + и2Т2		
Замена в (14.87) г по (14.93) сохраняет дробно-рациональный харак-
тер передаточной функции импульсной системы:

Й7р (ш) =

I 1 +шТи/2 \т

к-т I .	™ ”Г 1

к 1—шТ„/2 '

( 1 -}-101
1—и>7„/2 ’

] +и>Ги/2

1 — иТи/2

/ 1

“*	1-йТи/2 ,)

&ТИ \п~пг

— I

кт 10т-\-кт~-\ ЮГ7г"'1 + -.. +^о
(1п Т0пС1'п— 1 ш"'1-}-... +^0

(14.96)

где к[ и зависят от исходных коэффициентов и 7И.

Пример 14.4. Найдем преобразованную передаточную функцию разомкнутой
импульсной системы с прямоугольными импульсами при у = 1 и интегрирующим
звеном в качестве непрерывной части

1^н. ч (Р) “^/Р«

Согласно табл. 14.1

г;(р)=^а/(ерГи-1),

откуда

Гр (г) = *Ги/(г-1);

Гр (к/) — к (1 —и/Ти/2)/ш.

(14.97)

В табл. 14.2 приведены выражения преобразованных передаточных функций
для систем с прямоугольными импульсами при коэффициенте заполнения у = 1
для простейших Гн.ч (р), соответствующих разложению (14.48) [Л.30].

Исходя из выражения (14.96) и табл. 14.2, можно отметить харак-
терные особенности преобразованных передаточных функций. Во-пер-
вых, они содержат неминимально-фазовый член (1—юТи/2) (в общем
случае в степени п — т), в результате чего степень числителя №р (ш)
равна степени знаменателя [исключение составляет звено с 1ГН.Ч (р) =
= 1/р21. Во-вторых, для типовых звеньев знаменатель 1ГР (&>) сохра-
няет вид знаменателя исходной передаточной функции непрерывной
части 1ГН.Ч (р), меняются лишь коэффициенты.

В табл. 14.2 приведены предельные выражения 1ГР (&>) для
Ти/Т—>0 (практически непрерывные системы) и Т^/Т ->оо (системы
с очень большим относительным периодом Ти). Они существенно проще
основных выражений. В частности, при Т^/Т 0 выражения преобра-
зованных передаточных функций 1ГР (ау) совпадают с исходными выра-
жениями передаточных функций ГГН.Ч (р) с точностью до множителя
(1 — ьуТи/2), который будет оказывать влияние лишь при больших
значениях псевдочастоты со*.

Пользуясь методом разложения на простые дроби, рассмотренным
в § 14.3 и табл. 14.2, можно от произвольной передаточной функции
№н.ч (р) в системе с прямоугольными импульсами перейти к преобра-
зованной передаточной функции Ц7р (&у).
Пример 14.5. Найдем передаточную функцию +') для импульсной следя-
щей системы с прямоугольными импульсами при у = 1, рассмотренной в при-
мере 14.3. Для нее

ч (Р) = * (1 + рА)/1Р (1 +рТ1) (1 +рт3)].

Разложение на простые дроби было получено в (14.79) и (14.80).

Согласно табл. 14.2

[-7 + ~~ + ~~].	(и.98)

где

'90

Рис. 14.10

Ги 1+^1 . у = Тп 1+^з
2 ' 1—2 ’ 1—а3 ;

_/и

Л=е Л: а3=е т*,

а В± и В2 соответствуют выражениям (14.80).

После приведения к общему знаменателю и сложения получим

(14.99)

„„ , . , Л ги\ ^2(т;т^+^П+^70+^(7{ + 7’3'+51+в2) + 1

(су) — к I 1 —су — I  ---------—’-----------------

Р \	2 /	еу(1+^Т;)(1+^П)

(т \

1 — су | (1 4-шгД (1 Ч-и/Гг)
—

СУ (1+0/7’0 (1+^)

(14.100)

где —1/Т1 и — 1/Тг — корни квадратичного числителя (су).

При Ти = 0,1 с; 7х 10 с; Т2 = 0,79 с; Т3 = 0,025 с; к = 45 с”1 опреде-
ляем Т[ = 9,95 с, Т'3 = 0,052 с и

(су) = 45

(1 —0,05су) (1 +0,74су) (1 + 0,024су)
ш(1 +9,95йу) (1 +0,052и»)
Подставив ш =» /«*, выразим частотную характеристику функцией псевдо-
частоты и*:	•

(7р(7м*) = 45

(1 —[ 0,05о>*) (1 +/ 0,74(1]*) (1 4-/0,024йз*)

/и* (1 + / 9,95и>*) (1 +/ 0,052(0»)	'	<14-102>

Для этого выражения нетрудно построить асимптотическую логарифми-
ческую амплитудную Ь (со*) и фазовую ср (со*) характеристики (рис. 14.10). У ам-
плитудной характеристики две частоты сопряжения, соответствующие постоян-
ным времени 0,05 (в числителе) и 0,052 (в знаменателе), практически слились,
поэтому Ь (со*) состоит из четырех участков. Высокочастотный участок идет
с наклоном 0 дБ/дек, что объясняется равенством степеней числителя и знамена-
теля 1Гр (до). На высокочастотном участке

1« 20(УЧ/2).	(14.103)

он в соответствии с формулой (14.95) получается путем сильного растягивания по
оси частот 1Г* (/со) при со, близком к сои/2. На оси псевдочастот со* показаны
значения истинной частоты со, которые совпадают со значениями со* при малых
со* и значительно отличаются от них при больших со*, причем со < со* в соот-
ветствии с формулой обратного перехода от со* к со:

шМЗ/ЛОагйе (со*Ти/2).	(14.104)

Наличие горизонтального высокочастотного участка Ь (со*) является ха-
рактерной особенностью преобразованных логарифмических частотных характе-
ристик импульсных систем. Исключение составляют системы, у которых
1Г* (/®и/2)	0 (например, системы при (р) “ 1/р2, см. табл. 14.2).

Фазовая характеристика построена в соответствии с выражением

ф (со*) = —л/2 — агс1& 9,95со* + агс1е 0,74<о* —

— агс1§ 0,052со*—агс1^ О,О5со* + агс1^ 0,024со*,	(14.105)

непосредственно следующим из (14.102). Она проходит ниже фазовой характе*
ристики минимально-фазовой системы с такой же Ь (со*), существенно отличаясь
от нее на высоких частотах и асимптотически стремясь к —л при со* оо.

При определении частотных характеристик импульсных систем
с помощью разложения на простые дроби основная затрата труда свя-
зана с нахождением числителя (о/) и разложением его на множите-
ли, требующим отыскания его корней. Для того чтобы избежать
этих трудностей, предложена асимптотическая методика, основанная
на следующих предположениях.

1. Передаточная функция приведенной непрерывной части системы
имеет вид

1 _е “

В. Ч (Р) =	(Р) ч (Р) = —---------X

П (1+рт»

X-------------—----------------------.	(14.106)

<?

рх‘ П (1+РЛ) П (1+К)рТ}+р^)

(=1 1=1

т. е. рассматриваются системы с прямоугольными импульсами при
у = I (наиболее частый случай).
2.	Величина 1/Ти больше половины частоты среза сос частотной
характеристики 1^н ч (/с°) непрерывной части системы, т. е. сос7и <
<2.

3.	Постоянные времени Т1 и Т} знаменателя (р) делятся на две
группы. К первой относятся те, которым соответствуют сопрягающие
частоты логарифмической амплитудной частотной характеристики не-
прерывной части, меньшие частоты среза соР (большие постоянные вре-
мени Ли 7/ при I = 1, 2,	д'; / — 1,2, ..., г'). Ко второй группе от-

носятся те постоянные времени, которым соответствуют сопрягающие
частоты, большие частоты среза сос (малые постоянные времени 7\ и
Т} при I = / + 1, д’ + 2, д\ { = г' + 1, г' + 2, .... г).

4.	Постоянным времени числителя №н.ч (р) соответствуют со-
прягающие частоты, меньшие частоты среза сос.

5.	Пересечение частотной оси асимптотической логарифмической
амплитудной характеристикой непрерывной части происходит при на-
клоне —20 дБ/дек.

Заметим, что пункты 2,4,5 выполняются практически всегда в свя-
зи с требованиями, предъявляемыми к устойчивости и запасам устой-
чивости импульсных систем (см. гл. XV).

Разложение передаточной функции 1ГП.П<Ч (р) на простые дроби
выражается формулой, аналогичной (14.48), однако без учета полюсов
(Р):

!+рП +

1+2^ рТг±р*Т*

При сделанных предположениях логарифмические характеристики
разомкнутой импульсной системы, зависящие от псевдочастоты со*,
можно разделить на две части: низко- и высокочастотную. Первая
располагается левей значения псевдочастоты со^, соответствующего
сос, вторая — правее ее. Поскольку сос < 2/7^, на низкочастотном
участке со* может быть принята равной со (и сое = сос), т. е. изменения
масштаба частоты в этой части практически не происходит.

Вид логарифмических характеристик разомкнутой импульсной
системы при низких частотах определяется большими постоянными вре-
мени знаменателя и, следовательно, при построении Ь (со*) и ср (со*)
в разложении (14.48) можно ограничиться рассмотрением части слагае-
мых, соответствующих этим постоянным времени ( включая, конечно,

и первые слагаемые

В табл. 14.2 отмечалось, что для больших

постоянных времени (Тп/Т —> 0) преобразованные передаточные функ-

ции простых составляющих отличаются от исходных передаточных
функций лишь множителем (1 — шТи/2), который не влияет на час-
тотные характеристики при малых со*. Отсюда следует, что на низких
частотах при со* < со? « сос частотные характеристики импульсной
системы практически повторяют частотные характеристики непрерыв-
ной части системы:

П (1+/<о*П)

«7; (/(о*) =-------------к-^—_-------------------------. (14.107)

(/<о*Л П (1+/со*П) П (1 + )2^<о*Т7—со*2тН
/= 1	г= 1

На высоких частотах при со* > (Ос вид частотных характеристик
в соответствии со сделанными предположениями определяется следую-
щим выражением передаточной функции

ч (р) =-----------------------------------------. Н 4.108)

у	г

р П (1+рП) П (1+2С/рТ7+р271)
/=0'4-1	/=г'4-1

Переход от 1Гн.ч (р) к преобразованной передаточной функции
импульсной системы Й7" (щ) может быть выполнен путем разложения
на простые дроби и использования табл. 14.2, причем эта задача зна-
чительно проще преобразования полной передаточной функции, так
как выражение (14.108) проще исходного выражения 1ГП.Н.Ч (р). Если
при этом для постоянных времени 7\ и Т} в (14.108) выполняется усло-
вие Т{ < Ти12, Т, < Та/2, то при преобразовании простых слагаемых
в разложении №н.ч (р) следует пользоваться упрощенными предель-
ными выражениями из табл. 14.2 для ТК!Т -+ оо.

В частном случае, когда

ч (р)---/

р П 0+рЛ)
(=</'4-1

(14.109)

и 7^ < Ти/2, разложение на простые дроби имеет вид

Н?В.Ч (р) =

(Ос

В/

1+₽Л ’

(14.110)

<=е'-Н

причем

2	2	ТЬ “с = ®с.

/==<7'4-1	/=<7'4-1

*

(14.111)

Для рассматриваемого случая

№₽(>*)« (1-/«>*^ —
\	2 ) [ /оТ

<7

1-ЬЛо* та!‘2

1+/ш*

сос(1-)со*Т„/2)

/ш* (1 +/а*Ти/2)
Пример 14.6. Найдем асимптотическим способом преобразованные логарифми-
ческие частотные характеристики импульсной системы, рассмотренной в примерах
14.3 и 14.5. Для нее при принятых значениях параметров выполняются сформу-
лированные выше предположения, причем малая постоянная времени Т3 < Ти/2.
Согласно (14.107) низкочастотная часть частотных характеристик

Г; (/о*)=45 (1 + / 0,79<о*)/[/(о* (1 + / 10(о*)].	(14.113)

В соответствии с (14.112) высокочастотная часть характеристик

^ (/©*)=

(I -7а* Ги/2^ [1 4-/<о* (Ги/2-Г3)]

/со* (1 + /со*Ги/2)

сое (1 —/0,05со*) (1 + / 0,025(0*)
/со* (14-/ 0,05(0*)

(14.114)

На основании выражений (14.113) и (14.114) можно построить характе-
ристики Ь (со*) и ср (со*), которые практически будут совпадать с характери-
стиками, изображенными на рис. 14.10. Частота среза со* = 3,55 с-1.

Описанный асимптотический метод построения логарифмических
частотных характеристик может быть распространен на случай импуль-
сов произвольной формы, но при этом для каждой формы импульсов
необходимо получать соответствия, аналогичные приведенным в
табл. 14.2.

§ 14.5. КОМПЛЕКСНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕДАЧИ
И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТЫХ
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ

Полученные результаты для комплексных коэффициентов переда-
чи и передаточных функций разомкнутых импульсных систем имеют
самостоятельное значение и могут использоваться в различных кон-
кретных случаях при анализе разомкнутых систем. Здесь будут рас-
смотрены замкнутые импульсные системы автоматического регулирова-
ния. Основные характеристики замкнутых систем (комплексные коэф-
фициенты передачи и передаточные функции) могут быть выражены че-
рез соответствующие характеристики разомкнутых систем.

Структурная схема замкнутой импульсной системы регулирования
с одним импульсным звеном, показанная на рис. 14.3, б, может быть
приведена к виду, представленному на рис. 14.11. Эта схема повто-
ряет структурную схему для непрерывных систем автоматического ре-
гулирования, поэтому комплексный коэффициент передачи замкнутой
импульсной системы, определяемый как отношение спектров дискрет-
ных сигналов у* (7) и V* (I) на ее выходе и входе, выражается через
комплексный коэффициент разомкнутой системы 1Г* (До) так же, как
это имело место в случае непрерывных систем:

«’з* (/®) =у* О)/У* (>) = К* (До)Д 14- г; (/со)].	(14,115)
Передаточная функция замкнутой системы получается при замене
в (14.115)/со на р:

^(р)=^(р)/П + ^(р)1.	(14.116)

Подставив 1Гр (р) = К* (р)Ю* (р), получим

(р) = К* (р)/[К* (р) + Г>* (р)]=К* (р)/Л* (р),	(14.117)

где А * (р) — характеристический полином замкнутой системы

Л* (р) = Л* (р) + И* (р).

(14.118)

Основные результаты, полученные
для комплексных коэффициентов пере-
дачи и передаточных функций разом-
кнутых систем, распространяются
на аналогичные характеристики замк-
нутых систем с одним импульсным
звеном. Отметим некоторые из этих

Рис. 14.11

результатов.

Если приведенная непрерывная часть импульсной системы имеет
полосу пропускания, ограниченную частотой согр1, и выполняется
неравенство согр1 сои/2, то на основании (14.24) и (14.117)

«7, (/со) =

Ч?И. Н. Ч ( ДД)/П1

1 + Ч^П. Н. Ч ( 7<й)/7и

(14.119)

в полосе частот —сои/2 < со <ои/2. Практически равенство (14.119)
имеет место, если наибольшая постоянная времени системы много
больше Та.

Если при этом спектр входного сигнала ограничен частотой согр
5^ сои/2, то замкнутая импульсная система ведет себя так же, как
замкнутая непрерывная система с комплексным коэффициентом пе-
редачи разомкнутой системы П7п н ч (/а)/Тп.

Если условие согр сои/2 не выполняется, то начинают сказываться
стробоскопические свойства импульсной системы, определяемые пе-
риодичностью комплексного коэффициента передачи №1 (/со). При
этом поведение импульсной системы регулирования существенно от-
личается от поведения аналогичной непрерывной системы.

Условие идентичности импульсной системы автоматического регу-
лирования и непрерывной системы с комплексным коэффициентом пере-
дачи в разомкнутом состоянии №7П н.ч Ца>)/.Т„ может быть сформули-
ровано на основании (14.5) в более общем виде:

»и со{ р ^гр 1»

где согр и согр! — граничные частоты спектра входного сигнала и поло-
сы пропускания приведенной непрерывной части.

Передаточные функции замкнутых импульсных систем автомати-
ческого регулирования периодичны в плоскости комплексного пере-
менного р в направлении мнимой оси и поэтому рассматриваются в по-
лосе —сои/2 С 1шр «С ®и/2 (см. рис. 13.14). Они являются дробно-
рациональными функциями относительно ерГи. При этом порядок ха-


рактеристического полинома
Л* (р) равен порядку непре-
рывной части системы п, если
последняя не содержит звень-
ев запаздывания и полю-
сов, отличающихся на /Ыи.
В системах с запаздыванием
т при (к — 1)Тп < т кТа
порядок .4* (р) равен п + к.

Рис 14.12	Порядок числителя пере-

даточной функции * 1Г* (р) в
системах без запаздывания равен п — 1, в системах с запаздыва-

нием — п.

Пример 14.7. Определим передаточную функцию (р) системы, рассмотрен-
ной в примере 14.1, при у => 1. При подстановке (14.65) в (14.116) получим

№’'з(р)=/г(1—е-Ги/Г)/[ерГи+й—(й+1)е-Ги/П«	(14.120)

Пример 14.8. Определим передаточную функцию (р) цифровой следящей
системы, рассмотренной в примере 14.2. Найдем ее, подставив (14.71) в (14.116):

Г ______________^[Ти-г(1-е~Гв/Г)] ерГи+_________

е2₽Ги+^ [ги—г(1-е~Ги/Г)]— (1 + е“7и/7’)| е₽Ги+

+к [т (1 —е-Ги/Г)—Т„ е-7и/7]

->----г Г -Г7Л--------77^7—7777*	(14Л21>

+й|т(1 —е и/ )—Тие «' ]+е и/

При Т « 0

«/:(₽) =ЛГи/(е₽Ги-1 + ЛГи).	(14.122)

Можно изучить характер изменения рассогласования в импульсной
системе автоматического регулирования, пользуясь передаточной
функцией для рассогласования

Г' (р) =

Е* (р) = Ч^з (р)	1	=	Р*(Р)

V* (Р) г; (р)	1 +	(Р) К* (р) + О* (р) ‘

(14.123)

Пример 14.9. Определим передаточную функцию для рассогласования (р)
системы, рассмотренной в примере 14.1. Она получается при подстановке (14.65)
в (14.123):

г? (р)=(е₽Ги—е-Ги/Г)/[е₽Ги+й-(/г + 1) е~Ги/7] •	(14.124)

Иногда интересно знать характер изменения некоторой промежу-
точной величины уА в непрерывной части системы (рис. 14.12). Вводя
в этом случае фиктивное импульсное звено на интересующем нас выхо-
де (на рисунке показано штриховой линией), можно написать

П (р) _

1/*(Р)

М*з1 (р) =

г;, (Р) е* (Р)	и?;, (Р)

у*(р)	1+1г;(р) ’
где (р) — передаточная функция разомкнутой импульсной систе-
мы, соответствующей участку с передаточной функцией №и.и.ч1(р)
между сравнивающим звеном и интересующим нас выходом; 1Г*1 (р)
может быть получена по й^п.н.ч1 (р) илиьупльч1 (/) с помощью фор-
мул (14.27), (14.28), (14.29) или с помощью таблиц П.4, П.5.

При рассмотрении структурных схем импульсных систем автомати-
ческого регулирования (см. рис. 13.8) предполагали, что импульсное
звено включено непосредственно после звена сравнения. На самом деле,
между ними может быть включено звено с передаточной функцией

Ч1 (р) (рис. 14.13, а). Просто поменять местами Я71 и ИЗ в общем

Рис. 14.13

случае нельзя. С помощью эквивалентных преобразований структур-
ную схему, изображенную на рис. 14.13, а, можно привести к виду, по-
казанному на рис. 14.13, б. Тогда изображение выходной величины

у* (р) =	(Р) V! (р),

где

(Р) = 1Гр1 (р)/[1 +	(р)1;

И1(р)= 1Ги,ч1(р)И(р).

(14.126)

Передаточная функция И7р (р) соответствует непрерывной части
с передаточной функцией ч1 (р)1^н.ч2 (р).

Если на импульсную систему автоматического регулирования дей-
ствует сигнал помехи / (/) [изображение Р (р) на рис. 14.14, а), то
структурную схему системы удобно привести к виду, изображенному
на рис. 14.14, б и далее на рис. 14.14, в. В этом случае изображение вы-
ходной величины

Т*(р) = -	(р)-/7;(р)1 + /Т (Р),	(14.127)

1+«7р(р)
где Г] (р) — изображение дискретного сигнала, получающегося при
квантовании по времени сигнала Д (/), который, в свою очередь, полу-
чается при прохождении сигнала помехи [ (I) через звено с передаточ-
ной функцией 1ГН.Ч2 (р):

А (/) = I"1177 (р)Гв.ч2 (р)1.	(14.128)

Рис. 14.14

Здесь рассматривались системы с одним импульсным звеном, вклю-
ченным после сравнивающего звена. Можно представить себе систему
с несколькими импульсными звеньями, работающими в простейшем
случае синхронно и синфазно. В этом случае система разбивается на
несколько частей, относящихся к соответствующим импульсным
звеньям. Каждая из частей описывается своей импульсной передаточ-
ной функцией, общая же передаточная функция определяется по пра-
вилам, рассмотренным для непрерывных систем. Некоторые примеры
систем с несколькими импульсными звеньями будут приведены в гл. XV.
ГЛАВА XV

УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ
В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 11.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Условия устойчивости. Аналогично непрерывным системам линей-
ная импульсная система автоматического регулирования считается
устойчивой, если после кратковременного внешнего воздействия [на-
пример, единичного импульса о* (/) => 6(1), V* (р) => 1] она с течением
времени стремится к покою при выходном сигнале у -* 0, Изображение
выходного сигнала

Г* (р) = Г; (р) = А* (р)М* (р).	(15.1>

Дискретные значения выходного сигнала могут быть получены
по дробно-рациональному изображению V* (р) согласно (13,53):

п
ут = ^

<= 1

К* (Р<)

еР( Т" А*' (Р1)

(15.2)

1>\,

где Р1 — корни уравнения (считаем, что они простые)

А* (р) = ап епрТ« + ап_х е(п~“рт* +... + а0 = 0,	(15.3)

которое называется характеристическим уравнением замкнутой сис-
темы. Корни характеристического уравнения рассматриваются в по-
лосе —сои/2 < 1тр < (ои/2.

Если все корни характеристического уравнения имеют отрицатель-
ные вещественные части, т, е. расположены в левой половине указан-
ной полосы, то при /-> оо все слагаемые в (15.2) стремятся к нулю
и процесс у (1ТЙ) затухает. Такая импульсная система автоматическо-
го регулирования устойчива. Если хотя бы один корень характеристи-
ческого уравнения расположен в правой половине полосы, то соответ-
ствующее ему слагаемое в (15.2) будет неограничепо возрастать по аб-
солютной величине. В этом случае система неустойчива. Если один или
несколько корней характеристического уравнения расположены на
мнимой оси, то импульсная система находится на границе устойчивости.

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости
импульсных систем автоматического регулирования является располо-
жение всех корней характеристического уравнения замкнутой систе-
мы в левой половине полосы— сои/2 < 1тр <ои/2 комплексной пло-

скости р.

Левое расположение корней характеристического уравнения (15.3)
обеспечивает устойчивость импульсной системы регулирования лишь

для дискретных моментов съема и не исключает возможности ее не-
устойчивого поведения между этими моментами. Скрытые колебания
могут возникнуть в импульсной системе, в частности, если приведенная
непрерывная часть имеет передаточную функцию с полюсами в правой
полуплоскости, причем мнимая часть этих полюсов кратна половине
частоты импульсного звена сои. В этом случае замкнутая система может
иметь все корни характеристического уравнения (15.3) в левой

полуполосе, однако в приведенной не-
прерывной части могут возникнуть ра-
сходящиеся колебания, которые при со-
ответствующей фазе не будут ощущать-
ся системой из-за квантования по вре-
мени (рис. 15.1).

Скрытые колебания возникают в
импульсных системах автоматического
регулирования редко. Для их возник-
новения необходимо, чтобы юи имела

тот же порядок, что и собственные ча-
стоты звеньев в непрерывной части системы. Практически сои бывает
много больше этих частот.

Судить об устойчивости импульсных систем автоматического регули-
рования путем прямого вычисления корней характеристического урав-
нения так же трудно, как и непрерывных систем. Поэтому для импульс-
ных систем целесообразно использовать критерии устойчивости, ана-
логичные критериям устойчивости для непрерывных систем.

Алгебраические критерии устойчивости. В гл. XIV была рассмотре-
на замена переменных

ерГи = г = (1 + а)/(1 — а),

(15.4)

которая, с одной стороны, сохраняет дробно-рациональный характер
передаточных функций, а с другой — преобразует левую полу-

полосу комплексного переменного р Ке р < 0; — ~ < 1гп р

в левую полуплоскость комплексного переменного V. При
такой замене характеристическое уравнение (15.3) можно записать как

ап (1 + п)" 4- сп_г (1 + V)" 1 (1 —V) 4-... 4- а0 (1 —о)п = 0;

а'п1)п+ап-1 о"-14-... 4-по = О,

(15.5)

(15.6)

(15.7)
где а'к — новые коэффициенты уравнения, определяемые в общем слу-
чае по формуле [Л.46]

- + ь \ )("/’ )+(-1)*( [ Ш, (15.8}
\ «—* / \ 1 /	\ к /^

( I \	«!	,	. .

здесь — — — ——биномиальные коэффициенты.

К преобразованному характеристическому уравнению (15.7) мож-
но применять любые алгебраические критерии устойчивости, введенные
в гл. VII для непрерывных систем.

Пример 15.1. Рассмотрим характеристическое уравнение цифровой следящей
системы, которое можно получить из (14.121):

е2ргп + а1е₽ги+ао=О;	(15,9}

С1=/г[Ти—Т(1 —е_ги/г)]—(<+ е~ги/г);

, ,	г /та	т Тт,	т ,т	(15.10)

ао=/г[Т(1—е ги/г)—Гие ги/г]-|-е та/т

рТп

или, подставляя г и е , будем иметь

г2 + «12 4- а0 = 0.	(15.11)

Заменяя г == (1 + с)/(1 — о) и группируя члены с одинаковыми степенями,
получим

(1 —	+ я0>2 4- 2(1 — я0)р 4- 1 4- «1 4- До а 0.

(15.12)

Согласно критерию Гурвица, необходимым и достаточным условием для
устойчивости систем второго порядка является положительность коэффициентов
характеристического уравнения

1 + от 4- «о > 0; 1 — я0 > 0; 1 —	4- я0 > 0.	(15.13^

Подставляя в (15.13) значения аг и д0 из (15.10), получаем условия устойчи-
вости:

кТя (1 — е~ти/г) > 0;

1_е-7и/Т

. _т /т\ ... т 1Т ^пред1>

Т (1 — е 'и/7)—Ти е~Ги/т

_____2(1+е~ги/г)_______________

Ти (1 + е-?иЛ)-2Т (1 - е-ги/7) =/гпЕед2-

Первое из неравенств может быть переписано
к > 0.

(15.14)

(15.15)

(15.16)

(15.17)

Второе и третье неравенства говорят о том, что коэффициент усиления не-
прерывной части к должен быть меньше меньшего из двух предельных значений
&пред1 и &пред2:

___1_ Ти/Т (1 -	.

пред1 Г„ ‘ 1 _(1+ти/Г) е-ги/г ’

1	_______2ТИ/Т(1 + е-7и/г)

^пред2= • Тя1Т{у+^-Ти1Т}_2(у_^-Та1Т} ’

(15.18)

(15.19)
Таблица 15.1

Степень характеристи- ческого уравнения	Условия устойчивости
1	°1+°о>О С1—°о>О
2	02 4-^1 4-Яо>О аг—Я14-Оо>0 “2 	а0 2> 0
3	аз 4- а2 4- а1 "1“ ао > 0  «3 — 02 4“°! —а0 2> 0  «з (а3 —аО— а0 (а0—а2) > 0  3 ($з4~ао)	а2	а0
4	о4 + о3 4- а2 4- а14- ао > 0 о4—о34-02—014-о0 > 0 (о4—а»)2	—а24-Оо)4-  4- (о3—О1) (а4 а1 — а3 ае) > 0 2(о4—во)—а34-«1>0 2(о4—о0)4-о3—012> 0

Графики безразмерных величин &Пред1 и бдрепз зависящих от безраз-
мерного отношения Ти/Т, представлены на рис. 15.2 [Л.46]. Из графиков видно,
что при малых Ти/7 меньшим является /гпред1, при больших Т^/Т — &Прсда-
При 0 < Ти/Г < 0,5 значение /гпред1 Л1~2и поэтому предельный коэффициент
усиления системы

^пред 2/Ти в ои/л.	(15.20)

Таким образом, в достаточно широком диапазоне предельный коэффициент
усиления следящей системы пропорционален частоте импульсного звена.

При сои —> оо система становится непрерывной и &пред —*	как это и

.должно быть в непрерывной системе второго порядка. В частном случае, при
Т = 0 значение бпредг обращается в оо и условие устойчивости принимает вид

о < к < /?иред2 = 2/7и = <ои/л.

(15.21)

В табл. 15.1. приведены условия устойчивости импульсных систем

.автоматического регулирования, полученные на основании критерия
Гурвица и выраженные через коэффициенты характеристического урав-

нения замкнутой системы (15.3). -

Если импульсная система имеет
высокий порядок, то к трудностям,
связанным с применением алгеб-
раических критериев устойчивости
(см. гл. VII), добавляются трудно-
сти, вызванные применением форму-
лы (15.8) при расчете коэффициен-
тов преобразованного характеристи-
ческого уравнения (15.7). В этих
случаях целесообразно использовать
один из критериев нахождения в круге единичного радиуса корней ха-
рактеристического уравнения, полученного из (15.3) путем подстановки
е₽г“ = г:

А (г) = апгп + ап-1 г""1 +... + а0 = 0.	(15.22)

Таблица 15.2

	^0		• • •	ап-1	ап
	ап	1	ап -1	• » •		
	с0,2 = с1—^П-1	^1,2 = «2	^1^П-2	• • •	СП-\,2 =  «0	• • •
Л] 		С'П-1,2	СП — 2,Л	• 0 •	С0,2	» А «
1	с®’2	С0,3 = С1,2	  ^2 СП-2,2	С1,3 = ^2,2	  —^п — 3,2	♦ < 0	• • •	е • •
<я я*  1  С 1  *	СП- 2,3	<71-3,3	« • *	• • *	• • •
•	•  •	• « •	Л  	• • •	• • •
•	•  •	* • •			1 ♦ • •

Приведем без доказательства один из таких критериев — критерий
Шура — Кона [Л. 461 в табличной форме (табл. 15.2). В первой строке
выписываются коэффициенты многочлена А (г) в порядке возрастания
номеров, а во второй строке — в обратном порядке. Коэффициенты
верхних строк всех последующих пар для каждого К находятся по пра-
вилу, аналогичному правилу составления таблицы Рауса (см. гл. VII).
Нижние строки пар образуются теми же коэффициентами, но записан-
ными в обратном порядке.

Критерий устойчивости формулируется следующим образом.
Для устойчивости замкнутой импульсной системы необходимо и до-
статочно, чтобы все коэффициенты (/ = 1,2, ..., п) были по абсолют-
ной величине меньше единицы.

Критерий Шура — Кона аналогичен критерию Рауса для непрерыв-
ных систем и обладает преимуществами, которые особенно сказы-
ваются при использовании ЦВМ для анализа устойчивости импульс-
ных систем высокого порядка.

Критерий Михайлова. Для рассмотрения критерия Михайлова оп-
ределим изменение аргумента характеристического вектора замкнутой
системы Л* (/ш) при изменении со от —сои/2 до +сои/2. Это удобно
сделать, подставив г = в характеристический полином замкнутой
системы

А (г) = апгп +	+ ... + а0
и разложив его на сомножители

А (г) = ап (г — гх)(г — г2)...(г — гп),

(15.23)

где — корни уравнения А (г) = 0, соответствующие корням харак-
теристического уравнения А* (р) = 0.

Положим г = е/иГи и найдем изменение аргумента А агё(е/“ги—г;)
при — сои/2<со^сои/2 одного из сомножителей, входящих в состав
Л (г).

При этом нужно рассмотреть два случая: 1) корень характеристи-
ческого уравнения лежит внутри круга единичного радиуса в пло-
скости г; 2) корень 27 лежит вне этого круга. Первый случай соответ-
ствует расположению корня р, в левой половине полосы — соц/2 <

Рис. 15.3

< 1гпр со„/2 на плоскости р, второй — расположению его в правой
половине полосы. На рис. 15.3, а и б показаны соответственно оба
случая.

Концы векторов г — е'ыГ" и е/и7и — гг скользят по окружности
единичного радиуса против часовой стрелки при изменении со от
—сои/2 до сои/2. В первом случае изменение аргумента

А аге (е'“7и—гг) = 2л;	— сои/2 < со < сои/2,

во втором случае —

Даге(е7"7'в—2;) = 0;

— <ои/2 < со < сои/2.

Если предположить, что характеристическое уравнение системы
Л *(р) = 0 имеет к корней в левой половине полосы —сои/2 < 1тр
сои/2, то общее изменение аргумента характеристического вектора
(сумма изменений аргументов сомножителей для всех корней)

А аг§ Л* (/со) = 2йл; —сои/2 < со сои/2.

(15.24)

Учитывая, что

дее/юГи= Кее~/юЧ 1теми=-1те~'“г»	(15.25)
(откуда следует сопряженность комплексных векторов Л* (/<о) и
А* (—/со)), результат (15.24) может быть записан для половинного
диапазона со:

А аг§ А* (/«) =	0 < со < сои/2.	(15.26)

Система устойчива, если число корней в левой половине полосы
равно п, поэтому критерий Михайлова можно сформулировать следую-
щим образом. Для устойчивости импульсной системы автоматическо-
го регулирования необходимо и достаточно, чтобы при изменении со
от 0 до сои/2 характеристический вектор А*(/со) поворачивался на угол
пп, где п—степень характеристического уравнения, или, иначе, чтобы
годограф А* (/со) с ростом со от 0 до сои/2 обходил последовательно в по-
ложительном направлении 2п квадрантов.

Рис. 15.4

На рис. 15.4 показаны годографы характеристического вектора
А* (/со) для устойчивых (а и в) и неустойчивых (б и г) систем первого
и второго порядков. Эти годографы отличаются от соответствующих
годографов непрерывных систем гем, что не только начинаются, но
и оканчиваются на действительной оси при со = сои/2. В отличие от
непрерывных систем импульсные системы не только второго, но даже
и первого порядка могут быть неустойчивыми при положительных
коэффициентах характеристического уравнения, что видно также
из табл. 15.1.

Критерий Найквиста. Критерий Найквиста может быть выведен
путем рассмотрения изменения аргумента вектора 1 + 17р (/со), так
же, как это было сделано для непрерывных систем (см. § 7.3). Не повто-
ряя вывода, приведем формулировку критерия Найквиста для прямых
амплитудно-фазовых характеристик разомкнутых импульсных систем
в случаях, если разомкнутая система: 1) устойчива; 2) нейтральна.
В первом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо
и достаточно, чтобы при изменении ю от 0 до сои/2 амплитудно-фазовая
характеристика разомкнутой системы Ц7р (/со) не охватывала точку
(—1, /0), или, иначе, чтобы при изменении <о от 0 до сои/2 разность между
числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазо-
вой характеристики №р (/со) через отрезок (—оо, —1) действительной
оси была равна нулю (рис. 15.5,

Об устойчивости разомкнутой импульсной системы можно судить
по устойчивости ее непрерывной части, так как полюсы передаточной
функции разомкнутой системы совпа-
дают с точностью до их мнимой ча-
сти с полюсами передаточной функ-
ции непрерывной части. Если непре-
рывная часть устойчива, находится
на границе устойчивости или неустой-
чива, то и разомкнутая импульсная
система соответственно устойчива,
находится на границе устойчивости
или неустойчива.

Исключение составляют случаи,
когда приведенная непрерывная часть
неустойчива и два или большее число
полюсов №н.ч(р), лежащих в правой
полуплоскости переменного р, отли-
чаются друг от друга ЛИШЬ'МНИМЫМИ
частями, причем разница равна /7?сои,
где к — целое число. Такие случаи,
как было отмечено выше, редки.

Если приведенная непрерывная часть (и, следовательно, разомкну-

согласно
передачи

тая импульсная система) содержит х последовательно включенных ин-
тегрирующих. звеньев (нулевой полюс \>-й кратности), то
(14.41) передаточная функция и комплексный коэффициент

имеют вид

УП (Р) = к* (Р)/ [(е₽7и- 1)уг; (р)];	(15.27)

(Р) = К* (»/[(е/йГи- 1Г о; (»] •	(15.28)

Амплитудно-фазовая характеристика (/®) при малых а> начи-
нается в бесконечности (рис. 15.5, б). Если при малых ю представить

Г; (/со) = Нт

р~>о

к* (/со)
(е/«Ти_1+р^д«(/ш) .

(15.29)

то приведенная формулировка критерия Найквиста может использо-
ваться для рассматриваемых импульсных систем при условии, что ам-
плитудно-фазовая характеристика дополнена окружностью бесконечно
большого радиуса, начинающейся на вещественной оси (как в случае
непрерывных систем).
Пример 15.2. Проанализируем устойчивость системы, рассмотренной в при-
мере 14.1, которая при у^1в разомкнутом состоянии имеет комплексный коэф-
фициент передачи

№р (/со)= Л(1 — е“ги/г)/(е/<о7и—- е~ги/г).

Годограф (/о) был изображен на рис. 14.7. Для устойчивости замкнутой
системы при к > 0 согласно критерию Найквиста необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось неравенство, получаемое из (14.67):

к < (1 + с ^и/^)/(1—е ^и^^) = ^пред*	(15.30)

На рис. 15.6 изображен график изменения ЛПред в зависимости от безразмер-
ной величины Ти/Т. При Ти —» 0 система превращается в непрерывную и /?пгед
делается бесконечно большим, что естественно. При увеличении Ти предельный
коэффициент усиления уменьшается.

Пример 15.3. Рассмотрим устойчивость цифровой следящей системы с ком-
плексным коэффициентом передачи, выраженным формулой (14.76).

Его годограф был показан на рис. 14.8 (кривая /).

Единственным условием устойчивости при к > 0 является условие

(/сои/2) = ^ЛТи/2>-1,

откуда

/? 2/Ти =ши/зт,
что совпадает с (15.21).

Критерий Найквиста особенно удобен при использовании логариф-
мических частотных характеристик, зависящих от псевдочастоты <о*.
Формулировки критерия Найквиста, приведенные для непрерывных
систем в § 7.4, остаются- справедливыми и для импульсных систем.
Для импульсных систем целесообразно также пользоваться понятиями
запасов устойчивости, очень просто определяемых по логарифмическим
частотным характеристикам. Для системы, рассмотренной в примерах
14.3, 14.5, 14.6, эти запасы согласно рис. 14.10 составляют ус =53° ,
4ап = 23 ДБ-

Рассмотренные примеры показывают, что снижение частоты работы
импульсного элемента (увеличение Тп) обычно сопровождается умень*
шением предельного коэффициента усиления и ухудшением динами*
ческих свойств импульсной системы. Поэтому при проектировании
импульсных систем автоматического регулирования стремятся выбрать
период Тп так, чтобы он был намного меньше основной постоянной вре-
мени непрерывной части системы. При этом, как было отмечено в § 14.5
для входных сигналов с ограниченным спектром, импульсная система
ведет себя практически как непрерывная система, имеющая 1УР (р) =

= Гп.ь., (р)/Та.

Можно, однако, указать случай, когда наибольший коэффициент
усиления в импульсной системе регулирования получается при Та Ф 0.
Так получается, если амплитудно-фазовая характеристика приведенной
непрерывной части системы имеет вид, показанный на рис. 15.7. Ам-
плитудно-фазовая характеристика (/о))/Ти проходит через I и IV
квадранты, сохраняя в них достаточно большие значения. Характери-
стиками такого рода обладают системы, непрерывная часть которых
включает в себя звенья запаздывания.

На рис. 15.7 показана амплитудно-фазовая характеристика 1УР
которая построена по приближенной формуле (14.23). Там же проде-
монстрировано получение одной точки этой характеристики при со =
= сои/2. К комплексному вектору 1УП н ч (/сои/2)/7и добавляется со-
пряженный ему вектор 1Уп.н.ч(—1Уп\н.ч I/ (<ои/2—сои)]/Ги.

Если в импульсной системе рассматриваемого типа выбрать Тй
так, чтобы частотная отметка сои/2 оказалась в I квадранте, как показа-
но на рисунке, то можно получить 1УР (/со), пересекающую действи-
тельную ось правее, чем 1УП.Н.Ч (/со)/Ти. При этом импульсная система
будет иметь предельный коэффициент усиления больший, чем коэффи-
циент соответствующей непрерывной системы.

Сравнительная оценка применимости критериев устойчивости,
данная для непрерывных систем в гл. VII, справедлива и для импульс-
ных систем.

§ 15.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ ИЗМЕНЕНИЯ СИГНАЛОВ
В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Методы нахождения дискретных значений сигналов. Изображение
выходного сигнала в импульсной системе автоматического регули-
рования записывается с помощью передаточной функции замкнутой
системы:

У* (р) = Ц7* {Р)У* (р).

Здесь под V* (р) понимается изображение некоторого обобщенного
дискретного сигнала, который в общем случае образуется из задающего
сигнала и помехи, причем оба сигнала могут быть предварительно
пропущены через линейные звенья [см. рис. 14.13, 14.14 и формулы
(14.126), (14.127) и (14.128)1. В частном случае он может совпадать с
задающим сигналом.

Формулы обращения для перехода от изображения У* (р) к дис-
кретным значениям выходного сигнала у (1ТИ) (эти значения обычно
дают довольно полное представление о сигнале в целом) были получены
в гл. XIII [см. (13.52), (13.53)]:


2л/

е* 4-

$ V* (р) ер17» 4р;

--'®и/2

(15.31)

р(/7'и) = $	-	------е°г"и при />1,	(15.32)

где Р1 — корни М* (р).

Формула (15.32) справедлива для дробно-рациональных функций,
она требует предварительного определения корней полинома Л/1*(р)9
что в случае высокого порядка М* (р) затруднительно.

Интеграл в формуле (15.31) может быть приближенно рассчитан
с помощью графо-аналитического метода (будет рассмотрен далее для
весовых функций импульсных систем).

Приведем некоторые специфические для импульсных систем ме-
тоды нахождения процессов, происходящих в них.

Первый метод основан на использовании разностных урав-
нений, связанных с передаточными функциями. Если передаточная
функция замкнутой импульсной системы автоматического регулирова-
ния, равная отношению изображений V* (р) и V* (р) при нулевых на-
чальных условиях, имеет вид (14.117)

, трГИ т к	Орт ,	. .

Е* (р) __ V +^гэт„1 е______________н-р... + ^о

И* (р) ап епр] и-р ап^ ° р7и-р... _ра0

то ее можно переписать так

К* (р)

V* №	вп+Оп-1е_р/и+ ... +аое—пр,и

и далее написать следующие равенства:

(ап + ап-1 е ~ ₽7и + • - + а0 е ~прТ”) V* (р) =

= К е—’"~т)	+ кт^	» ₽ти + _ + ко е-пРтв] {р}.

ап У* (Р) + ап_, е-°ти У* (р) +... + а0 ^~прТ^ У* (р) =

= кте'(п- т} ₽г" У* (р) + кт_г е“(п-т+ ” рТ« V* (р) +...

... + кое~прТ*У* (р).

Из последнего равенства согласно теореме запаздывания получает-
ся соотношение для дискретных сигналов у* (/) и V* (/), а затем для
дискретных значений сигналов у и V:

ап У* (0 + «п-1 У* У—Та) +... + «о У*	=

= кте[1-(п-т) Та] + /гт_х V* [1-(п-т+ 1) Ти] +...
... + /гои*У—

ап^(^17’и) + ап-1У1(^1—I) ДЛ + ••• + йо Л(^.—о) Уи1 =

=	п + т)Уи1 + ^т-1У[(^—п + т— 1)7ИЦ-...

...4-^оЖ-п)^]
или после замены —п на I

апу1(1 + п) ЛЛ + ап-1У\Ц + «— 1)	...-\-аоу{1Т^ =

= кт V[(/ + т) Ти] + кт.г V [(/ + т—1) Та | +... + к0 V (15.33)

Это соотношение называется разностным уравнением замкнутой
импульсной системы автоматического регулирования (оно может быть
выражено через конечные разности функций у и о, образованные из
дискретных значений, взятых в моменты съема; отсюда и название —
разностное уравнение). Разностное уравнение может быть составлено
и для разомкнутой импульсной системы.

Разностные уравнения составляют по следующему простому пра-
вилу. Записывают соотношение типа (14.117) для рассматриваемой
системы в одну строчку, раскрывают скобки и заменяют в левой части
полученного равенства У* (р) на у (1ТИ), ерТ" У* (р) на у 1(1 + 1)ТИ),...
...» епр1иУ* (р) на у [(/ + п)ТАналогичные замены делают в правой
части равенства для V* (р), е₽Ги V* (р), ..., ет₽ти V* (р). Если же дано
разностное уравнение, то передаточную функцию импульсной системы
получают по обратному правилу.

Переписав (15,33) в виде

У [(/ + «) ТИ1 = — {Уто[(1 + т) Та] +... + V(1Та)-
ап

-ап-1у [(/ + п-1)	(15.34)

разностное уравнение можно рассматривать как рекуррентное соотно-
шение, которое позволяет отыскивать дискретные значения выходного
сигнала импульсной системы автоматического регулирования в
(I + п)-й момент съема по значениям сигналов на входе и выходе в
предшествующие моменты съема, начиная с /-го. Значение входного
сигнала V при / = (/'+ п)Ти не входит в рекуррентное соотношение,
потому что степень числителя передаточной функции меньше степени
ее знаменателя.

Пример 15.4. Рассмотрим цифровую следящую систему, передаточная функ-
ция которой (р) была получена в примере 14.8 [см. (14.121)]

е И+Я1е и4-а0

01=47и-7(1-е-Ги/Г)]-(1+е-Ти/Г):

Оо = , [г 0- е-ги/0-7ие-Ги/г]+ е-’-и/Л
/^ = 471,-7(1-е-7*/7)];

*0=Л[7(1-е-^)_Гие-7и/^

(15.35)
Разностное уравнение для этой системы имеет вид

у[(1+2)Тп]+а1у[(1+1)Ти] + а0у(1Ти) = к^[(1 + 1)Ти]+к0ю(1Ти)9	(15.36>

откуда следует, что

У 1(1 + 2) Ти] = V [(/ +1) Ти] + к0 V (1Тп)-а1 у [(/ + 1)ТИ]-а» у (1Ти). (15.37)

Рекуррентное соотношение (15.37) позволяет вычислять дискретный выход-
ной сигнал по его значениям, а также значениям входного сигнала в два пред-
шествующих момента съема. Оно справедливо как при положительных, так
и при отрицательных значениях /. При расчете следует начинать со значения
I = —2. При этом определяется у (0) = 0, так как входной и выходной сигналы
равны нулю при отрицательных I. Следующими значениями будут:

У(Ти) = к^(^

у (2ТИ) = к! V (Ти) + к. V (0) - а, у (7И);

У (ЗТи) V (2Ти)+й0 о(Ти)-а1 у т-а* у (Ти).

(15.38)

При суммировании число слагаемых, определяющих у (1ТК), постоянно.
В рассмотренном примере (начиная со значения I = 1) это число равно четырем.
При исследовании систем более высоких порядков оно увеличивается (для непре-
рывной части п-го порядка — 2п слагаемых).

Чтобы вычислить процессы в импульсных системах автоматического
регулирования вторым методом, можно воспользоваться соот-
ношением (14.10), полученным на основании принципа суперпозиции.
Подставив в него е (1Та) = V (гТи) — у (1ТИ)> запишем рекуррентное
соотношение

&(/7и)=2 ^(^и)^.в.ч[(/-0Ти]-

- 2 У ИЮ ®п.н.ч Ц/-0 Ги].	(15.39)

1=0

Начинать расчеты следует со значения I = 0. При этом, поскольку
^п.н.ч(О) = 0, У (0) также равно нулю. Последующими значениями бу-
дут:'

У (Ти) = V (0) шп.н.ч (7П);

У (2ТИ) = V (0) И^п.н.ч (2ТИ) V (ТЕ) К’ц.д.ч (7И)

У (Ги) ®П.П.Ч (Ги)>

у (37и) = V (0) ©п.в.ч (37и) + V (Т„) ®п.н.ч (2ТИ) +

4" V (2ТИ) ^п.ц.ч (Ги) У (Ти) ®д.н.ч (2ТИ)

У (2ТИ) ®п.в.ч (Ти)>

(15.40)

Число слагаемых, которые необходимо просуммировать, чтобы по-
лучить у (1ТЕ), равно 21 — 1; оно возрастает с ростом I, что затрудняет
вычисления. Правда, практически максимальное число слагаемых ог-
раничено из-за затухания весовых функций йУп.н.ч (/)•
Третий метод определения дискретных значений у (1Т и)
основан на разложении V* (р) в ряд по степеняме~рт". Поскольку

У*(р) = 2 у(/Ти)е-рП“,
/=0

то дискретные значения у (1Ти) представляют собой коэффициенты ряда
по степеням е—р^1!. Для дробно-рациональных функций } * (р) разложе-
ние в ряд можно производить, записав числитель и знаменатель в по-
рядке убывания степеней ер7“

с)

Рис. 15.8

У* (р) =

Л7* (р)
/VI* (р)

I тРТи . г (т~\) рТ.
Ьт?

прТ..
апе и

("	1)РГи+...+й0

и выполняя деление числителя на знаменатель по правилам деления
полиномов.

В результате деления в общем случае получается бесконечный ряд,
коэффициенты которого представляют собой искомые дискретные зна-
чения выходного сигнала.

Все рассмотренные методы применимы для анализа процессов в
замкнутых и разомкнутых импульсных системах автоматического уп-
равления. Во втором случае соотношение (15.39) упрощается, так как
исчезают слагаемые в правой части, содержащие значения выходного
сигнала. Эти методы особенно удобны при расчетах процессов в им-
пульсных системах с помощью ЦВМ (цифровое моделирование импуль-
сных систем), так как легко поддаются программированию. Недостат-
ком методов является большой объем вычислений при малых 7И,
Теория импульсных систем автоматического регулирования объяс-
няет явления, происходящие при расчете переходных процессов в не-
прерывных системах на основе численных методов, рассмотренных
в § 9.6. Метод Эйлера, например, соответствует включению п экстра-
поляторов нулевого порядка (п — порядок системы) перед интегри-
рующими звеньями в структурной схеме, соответствующей записи урав-
нений системы в нормальной форме Коши. При этом величина шага й
равна периоду работы импульсного звена. В соответствии с § 15.1 при
увеличении периода Ги импульсная система может сделаться неустой-
чивой. Следовательно, при недостаточно малом й (по сравнению с по-
стоянными времени звеньев моделируемой системы) цифровая модель
может быть неустойчивой, несмотря на устойчивость исходной системы.
Остальным методам, рассмотренным в § 9.6, соответствуют более слож-
ные эквивалентные импульсные схемы.

Переходная и весовая функции. Динамические свойства импульс-
ных систем (как замкнутых , так и разомкнутых) можно характери-
зовать с помощью переходной И (I) и весовой ш (/) функций, имеющих
тот же смысл, что и в случае непрерывных систем. Наиболее просто
можно определить их дискретные значения И (1ТИ) и ш (/Ти). Если
рассматривать эквивалентную схему импульсной системы, отобра-
женную на рис. 15.8, л, то И (1Ти) могут быть найдены по реакции си-
стемы на дискретную единичную функцию 1о (0 на входе (рис. 15.8, б).
Дискретные значения весовой функции ш (/Ти) определяются реакцией
системы на единичный импульс на ее входе (рис. 15.8, в).

В случае разомкнутых импульсных систем со (/) является весовой
функцией приведенной непрерывной части ^п.н.ч (/).

Зная весовую функцию импульсной системы, можно найти дискрет-
ные значения сигнала на выходе системы при произвольных воздей-
ствиях на ее входе. Формула может быть получена на основе принципа
суперпозиции аналогично тому, как это было сделано при выводе (14.9):

</(/)= 2 ^ТИ)№(/-(ТИ)	(15.41)

1 = 0

или для дискретных моментов съема

/	I

У{1ТК)= 2 1-(гТи)ш[(/-/)Ти1= 2	(15.42)

/=0	1=0

Вторая часть равенства (15.42) получена путем замены I—I на I
в первой и изменения порядка суммирования.

Приведенный способ нахождения дискретных значений сигналов
может применяться наряду со способами, рассмотренными выше.

Подчеркнем аналогию между выражениями (15.42) и (3.79) для не-
прерывных систем; выходной сигнал непрерывной системы в (3.79)
определяется путем интегрирования, а в (15.42) — путем суммирова-
ния (поскольку для управления применены квантованные по времени
сигналы).

Если подставить V (1ТИ) = 1 в (15.42), то можно получить переход-
ную функцию в дискретные моменты времени, выраженную через весо-
еую функцию:

I

ти)= 2^атв).

(15.43)

Обратная зависимость

I	1-1

а/ (//-„)= 5 (1ТИ) - 2 0Ти)=И (1Т„)-

/=0	/ = 0

—Л[(/—1 )?'„) = рй(/7’в),

(15.44)

где УН (1ТИ) — так называемая нисходящая разность первого порядка
дискретных значений переходной функции Н.

Формула (15.44) аналогична формуле (3.32) для непрерывных
систем, связывающей переходную и весовую функции.

Изображения дискретных сигналов И* (/) и ни* (/), образованных из
переходной и весовой функций импульсной системы, связаны между
собой выражением

Н* (р) = «7* (р) еТ^1(врТ^— 1).	(15.45)

Дискретные значения й (1Тв) и ни (1Ти) можно найти, пользуясь
способами, рассмотренными выше. Кроме того, зная передаточные
функции, можно определить дискретные значения по формуле разло-
жения (15.32), при условии, что порядок системы невысок.

Если передаточная функция (р) == К* (р)/А * (р), то

к* (рЛеР11Тц

Л (1ТИ) = у------------, I > 1,	(15.46)

(р) (е₽7и~ 1₽= ₽‘

где Р1 — корни полинома Л*(р)(е₽7и — 1)[Л*(р) имеет степень и|.
Вынесем из-под знака суммы слагаемое, соответствующее извест-

ному корню р = 0, при этом



К* (0)

Л* (0)

(ер1 Гъ- 1) А*' (Рй

1^1,

(15.47)

ер11\

где

А*’ (р) = аА* (р)/й (е₽Ч

р1 — корни характеристического уравнения импульсной системы
Л*(р) = 0.

Первая составляющая представляет собой установившееся значение
переходной функции

' Ьуст = К*(0)М*(0) = №*(0).	(15.48)

Вторая составляющая, содержащая сумму дискретных экспонент,
является переходной составляющей. Она затухает в устойчивых им-
пульсных системах регулирования, когда все корни характеристи-
ческого уравнения расположены слева от мнимой оси.
По формуле разложения дискретные значения весовой функции

И-У------

А е"< “ Л-' <р,)

1.

(15.49)

В устойчивой импульсной системе и» (1ТВ) затухает при I -> оо.

Пример 15.5. Найдем дискретные значения переходной функции для цифро
вой следящей системы с передаточной функцией, выраженной формулой (14.122)

Характеристическое уравнение системы запишется как

е₽ги_1 +*ти = 0,

откуда для единственного корня

еР> Ги = 1—ЛТи.

(15.50)

Вычисляя для этого значения Л (/Ти) по формуле (15.47), получаем
^7*

Л(1ТИ) = 1 +-—2— (\-кТа)‘ = 1-(\-кТа)1, 1>1.	(15.51)

— Й/и • 1

Установившееся значение Луст =* 1.

В тех случаях, когда система имеет высокий порядок, а период Ти
мал, применение всех описанных методов получения переходной и весо-
вой функций импульсной системы при ручном счете делается затруд-
нительным. При этом может оказаться полезным графо-аналитический
метод вычисления интеграла в формуле (15.31), которая для весовой
функции принимает вид

ш (1Т.) = Г

2л/
с—/й)и/2

Г* (р) е₽"и ар.

В случае устойчивой системы
«V2
и)(1Та) = ^- С	аа.

2 л	с)

-0>в/2

(15.52)

Здесь 1Г* (р) и П7*(/(о) — соответственно передаточная функция
и комплексный-коэффициент передачи системы, для которой опреде-
ляется № (1Та) .

Вводя понятие вещественной частотной характеристики Р*(ю)
и делая соответствующие преобразования, аналогичные выполненным
в § 9.5, формулу (15.52) можно представить в виде

IV (1Та) =

— {Р* (®) соз (о 1а со,

(15.53)

где со = ©Ти — безразмерная частота.

Переход от Р*(<а) к /э*(®) осуществляется простым преобразова-
нием масштаба по оси частот.
Приближенно представляя вещественную частотную характери-
стику Р*(со) в виде суммы т типовых трапецеидальных характеристик,
таких же, как в случае непрерывных систем (рис. 15,9), можно вы-
числить интеграл (15.53) и представить его в виде

)«— У А,

где

«4	'4 (9) <0Ср/, ®ср/	2	’

— _ Шо<—<0<Н

2	1

(15.54)

Вычисления по формуле (15.54)
производят, пользуясь таблицей
функции 51 п х!х (см.-, например,
(Л.461).

Рассмотренный метод легко обоб-
щается для случая получения реак-
ции у (1Та\ на произвольное воз-
действие. Особенно он удобен при
вычислении весовой функции чу (1Та)
замкнутой импульсной системы, ког-
да она анализируется с помощью
логарифмических частотных харак-

теристик. В этом случае по логарифмическим частотным характе-
ристикам, изображенным в функции псевдочастоты со*, следует по-
строить логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику Ь (ср)
и воспользоваться номограммами Ре (со) = сопз!, которыми пользуются

для непрерывных систем^

Характеристика (со) определяется из характеристики Р3 (со*)
путем замены псевдочастоты со* на со = 2агс<§ со* — (см. формулу
(14.104)1. Переходная функция Н3 (1Ти) может быть получена по
найденной оуа (1ТВ) согласно формуле (15.43).

Переходные процессы конечной длительности. Рассмотрим получе-
ние весовой функции способом, основанным на разложении изображе-
ния 1Г*(р) в ряд по степеням е~₽’и:

{Р)~ АЧР) ап^+ап^П-Ос7'и + ... +йв “

= ® ((П-/П) Ти] е-<п~га) рТ" + 1(п~щ+ 1) Ти)е-<«—+1 > ₽*и+....

(15.55)

Если спроектировать импульсною систему регулирования так, что

«п-1 = йп-а = —= йо = °; А*(р) = апепР‘а, (15.56)
то ряд (15.55) получается конечным;

Г*1р) = — [кте-{п—т>рти + йт_1е-<я-'п+1’₽гв +...+ /гое~’!р7и],
ап

(15.57)

все остальные члены ряда равны нулю. Это означает, что весовая функ-
ция (ее дискретные значения) затухает за конечное число периодов
Та, равное порядку системы п. В этом случае переходные процессы
в импульсной системе при произвольных воздействиях затухают для
дискретных значений за п периодов Тк. Действительно, согласно (15.42)

I

^«=0

= 2	—0Ти]Ш(гТи)— 2 «[(оо—1)Та]ш(1Тн).	(15.58)

? = 0	г ==□ I Н- 1

Первое слагаемое в (15.58) представляет собой вынужденную со-
ставляющую дискретных значений выходного сигнала, второе — пере-
ходную составляющую^ Если выполнены условия (15.56), то при
/ п переходная составляющая делается равной нулю, и в системе
начинается вынужденный процесс^

Подобное явление не встречалось в непрерывных системах автома-
тического регулирования, где переходные процессы при произвольных
воздействиях затухали лишь при сос Такие системы иногда назы-
вают системами с бесконечной степенью устойчивости, поскольку
при выполнении (15.56) характеристическое уравнение

апе"₽ги = 0	(15.59)

имеет п корней, равных —оо.

Получение переходных процессов конечной длительности в импуль-
сных системах может вызвать необходимость использования очень боль-
ших управляющих сигналов (особенно при малых Ги), которые нельзя
практически реализовать из-за ограничений в усилительных устрой-
ствах систем.

Пример 15.6. Найдем условия конечной длительности переходных процес-
сов в импульсной системе автоматического регулирования с передаточной функ-
цией замкнутой системы, выраженной формулой (14.120). Условие конечной дли-
тельности имеет вид

А = е_Г“/Г/(1 —е“Т«/:Г)-	(15.60)

При этом

1Г*(р) = е_7и/Ге_₽Ч	(15.61)

Весовая функция имеет одно отличное от нуля дискретное значение при
I ~ ТИ (рис. 15.10, а). Дискретные значения переходной функции получаются
суммированием согласно (15.43) (рис. 15.10, б).

Пример 15.7. Найдем условия конечной длительности переходных процессов
в цифровой следящей системе, передаточная функция которой получена в при-
мере 14.8. При Т «= 0 передаточная функция замкнутой системы выражается
формулой (14.122), откуда условие конечной длительности

* = 1/Ти.

При выполнении (15.62) передаточная функция
(р) = е~₽Ги.

(15.62)

(15.63)

Весовая функция г&3 имеет одно отличное от нуля дискретное значение при
I в Ти- На рис. 15.10, в, а показаны дискретные значения Бесовой и переходной
функций системы.

При Т =^= 0 для функции II7* (р) и ее коэффициентов справедливы выраже-
ния (15.35).

а)

™3

О

6)

е~г

г)

ъг.

Рис. 15.10

Ни зг„ <

в'7

о

Условия конечной длительности принимают вид

(15.64)





(15.65)

(15.65а)

Складывая почленно оба условия, получаем

/г7и(1— е~7и/7) —1=0,

О ткуда
кТа=И(1~ е_/и77').

При подстановке найденного значения /гТи во второе условие (15.64) опре-
деляем

кТ = Г2Т«/7Ю-е-Т-'Т)2.	(15.66)

Деля почленно (15.66) на (15.65а), находим уравнение для Т

7’/7и = е-2Ги/Г/(1—е~Ги/Г).	(15.67)

Нетрудно видеть, что уравнение (15.67) имеет единственное конечное реше-
ние 7—0. Таким образом, в цифровой следящей системе при Т ф 0 нельзя реа-
лизовать условия конечной длительности путем простого подбора параметров.
Определение закона изменения выходных
сигналов в интервалах между моментами
съема. Рассмотренные методы позволяют опре-
делять закон изменения выходных сигналов
импульсных систем автоматического регули-
рования лишь в дискретные моменты време-
ни (моменты съема — 0; Ти; 27и; ЗТИ; ...).
Очень часто информация о поведении си-
стемы в дискретные моменты времени оказы-
вается достаточной для того, чтобы судить о
ее поведении в интервалах между этими мо-
ментами. Так бывает, если непрерывная часть
системы имеет полосу пропускания, ограни-
ченную частотой согр1,и частота работы им-
пульсного элемента настолько велика, что
сои 2согр1. В этом случае сигнал на выхо-
де импульсной системы удовлетворяет усло-
виям импульсной теоремы (см. § 13.2) и по-
этому может быть восстановлен из дискрет-
ных значений по формуле (13.38).

Практически проведение плавной огибаю-
щей через найденные дискретные значения
выходного сигнала дает достаточно правиль-
ную характеристику поведения системы в ин-
тервалах между моментами съема при усло-
вии, что импульсный период Ти много мень-
ше основной постоянной времени непрерыв-
ной части системы.

Иногда, однако, знание дискретных значений сигналов в импульс-
ных системах не является достаточным для полного представления об
их поведении. В этом случае возникает задача определения закона из-
менения сигналов в интервалах между моментами съема.

Согласно (14.6) изображение непрерывного сигнала у (/) на выходе
импульсной системы автоматического регулирования можно получить,
зная изображение дискретного сигнала рассогласования Е* (р):

У (р) =	(Р)Е* (р),

причем Е*(р) можно определить из (14.123), так что

^(Р) = ^П.Н.Ч(Р)^(Р)/И + ^*(Р)].

(15.68)

Переход к оригиналу с помощью теоремы умножения изображений
приводит к результату, полученному ранее на основе принципа супер-
позиции [см. (14.9)].

Выражение (14.9) дает возможность найти закон изменения в ин-
тервалах между моментами съема, если заранее найдены дискретные
значения рассогласования, что можно выполнить на основе одного из
описанных методов.
Пример 15.8. Рассмотрим цифровую следящую систему при Т = 0 (примеры
14.2, 15.5). Весовая функция, соответствующая №п.н.ч (р) = /г/р

«Ъ.н.ч(О = ^	приО</<Ти;	(15.69)

^п.я.ч(О = ^и при Ти < I.	(15.70)

Ее график изображен на рис. 15.11, а. Сигнал у (/) изменяется в интервалах меж-
ду моментами съема по линейному закону, поэтому дискретные значения у (1Т^
могут быть соединены прямыми линиями. В частности, переходная функция си-
стемы, дискретные значения которой были получены в примере 15.5 [см. формулу
(15.51)], имеет вид ломаной, изображенной на рис. 15.11, б. Весовая и переходная
функции этой системы при выполнении условий конечной длительности показаны
на рис. 15.11, в и г (дискретные значения были показаны на рис. 15.10, в и г).

На основании формулы обращения переход от изображения (15.68)
к оригиналу

1	С+/О°	1	С+/°°	\7*(ГЛ

1 с—} оо	г—/ оо	‘ Р

(15.71)

сопряжен с большими трудностями, которые связаны с бесконечно
большим количеством полюсов подынтегрального выражения. Эти труд-
ности сказываются и при использовании для вычисления интеграла
(15.71) с р = /со приближенных графо-аналитических методов типа
метода трапецеидальных характеристик, поскольку спектр выходного
сигнала

Г (До) = №шн.ч(» V* (усо)/[1 + ^(»]	(15.72)

изображается сложными кривыми (см. рис 14.1, б).

Методы, разработанные для определения дискретных значений сиг-
налов в импульсных системах автоматического регулирования в мо-
менты съема, можно распространить и на дискретные значения сигна-
лов в промежутках между моментами съема Для этого в эквивалент-
ную схему импульсной системы нужно ввести фиктивное звено запаз-
дывания (рис. 15.12, штриховая линия) с временем запаздывания т,
которое можно менять от 0 до Ти. Тогда, задаваясь различными значе-
ниями времени запаздывания, можно исследовать сигнал на выходе си-
стемы в промежутках между моментами съема. Очевидно, что дискрет-
ное значение сигнала в /-й момент съема на выходе после звена запаз-
дывания (рисс 15.13, а) равно значению действительного сигнала на
выходе системы (рис. 15.13, б) в момент времени I =

Изображение сигнала на фиктивном выходе после звена запазды-
вания

П =......г,т;У ~	V* <15-73>

где 1ГрТ (р) — передаточная функция
разомкнутой импульсной системы,
включающей звено запаздывания.
Она может быть получена на основа-
нии выражения (14.32) и приложе-
ния П.5.

Переход от изображения к ди-
скретным значениям оригинала
у (17\—т) может быть выполнен с по-
мощью любого из рассмотренных ме-
тодов.

Естественно, что рассмотренные
методы анализа поведения между
моментами съема могут применяться
и для разомкнутых импульсных си-
стем; при этом соответствующие фор-

мулы упрощаются.

Установившиеся процессы. Рассмотрим установившиеся значения

дискретных сигналов в импульсных системах автоматического регули-
рования при стандартных воздействиях. Прежде всего покажем, что
установившаяся последовательность дискретных значений некоторого
сигнала х (1ТИ) может быть найдена по изображению X* (р). Для этого
представим х (1ТИ) в виде суммы приращений (разностей) для всех мо-
ментов съема, начиная с I = 0:

х (1Тп) = х (0) + [х (Ти)-х (0)1 +...

... + {х(1Та)-х ((/-1) Ти 1} = 2 т-

1 = 0

(15.74)

Установившееся значение, к которому стремится последователь-
ность х (1ТИ), можно получить из (15.74) при I-*• оо:

•«уст = 2 Vх <1Ти)-	(15.75)

г-о

Сумма всех дискретных значений некоторой величины / (/Ти) может
быть получена по изображению

Г(р) = 2 /(/Тв)е-₽пи,
если подставить в него р == 0;

оо

Р* (0) = 2 (/ти).

/ 0

На этом основании можно написать, что

Хуот=Ит 7Х'Кр),
р-*о

(15.76)

(15.77)

где ?Х* (р) — изображение последовательности разностей импульсов

(/) = х* (0 — х* (I — Ти):

УХ* (р) = Х* (р,—<ГрТ* X* (р) = (1 —е~₽ги) х* (р).	(15.78)

Таким образом,

хуст = Ит (1 —е-₽ги) X* (р) = Пт е-А X* (р).	(15.79)

у Р->О	р->о е и

Доказанная теорема является аналогом теоремы о конечном значе-
нии для непрерывных величин.

Найдем теперь выражение для установившегося рассогласования
импульсов системы автоматического регулирования при действии еди-
ничной функции на ее входе. Для изображений справедливо равенство

Л

е* (р)=г* (Р) • 1; (р)=г: (р) —-----=

е и— 1

_	1________^7в =	Р*(Р)	. *Р'И (15 т

1 + ^(Р>	е₽'и — I	Х*(Р) + О*(Р)	е₽Л«-1’

где е₽7и/(е₽ги — 1) — изображение единичного дискретного сигнала.

Установившееся рассогласование

еуст — Ит Н7? (р) = Нт —.	(15.81)

у р->о	₽->о К*(р) + й*(р)

Система будет астатической по задающему воздействию, если еуст =
= 0, что может иметь место только при наличии у передаточной функ-
ции №* (р) нуля хотя бы первого порядка в точке р = 0. Иначе гово-
ря, знаменатель передаточной функции разомкнутой системы должен
содержать множитель ер7" — 1, т. е.

О*(р) = (ерГи-1)Е>;(р).

(15.82)

В § 14.2 было показано, что это имеет место, если непрерывная часть
импульсной системы содержит последовательно включенное интегри-
рующее звено [см. формулу (14.40)1.

Если на входе импульсной системы автоматического регулирова-
ния действует возмущение, представляющее собой степенную функцию
V — 1п, то его изображение согласно приложению П.4

Г(р) =

Тп е"7*1
* и с

К (Р)

(15.83)



где Нп (р) — полином степени п — 1 относительно ер7и, не имеющий
нулевых корней.

В этом случае для рассогласования получаются следующие выра-
жения:

Тп ерГи

(/г;_ +, ИИ-

гх* / .	Тп И

Р (Р)____ _______И________ П:: /^Х.

/<*(р)+о*(р) ’	-0*4-1

(15.84)

еуст = Нт1ГЦр)
С’-О'О

К **п (Р)

(ерГи- 1Г

= Ит_____________

К*(Р)+^*(р)

К^(Р)

(ер7*-\У

(15.85)

<>	г	Т

Тп	2Тц	31 и

Если О*(р) содержит в качестве сомножителя (ер7и — 1)п+1, то
еуст = О'. Такая система является астатической системой (п + 1)-го
порядка по задающему воздействию. Она может быть реализована пу-
тем последовательного включения в непрерывную часть п + I инте-
грирующих звеньев.

В статической импульсной системе автоматического регулирова-
ния при действии на входе единичного сигнала установившееся значе-
ние рассогласования

еуст = г: (0) = 1/(1 + \У*Р (0)1,	(15.86)

что аналогично (9.49) для непрерывных си-
стем. Постоянные дискретные значения рас-
согласования при произвольной форме управ-
ляющих импульсов 8 (/) приводят к пульса-
ции выходного сигнала импульсной системы
вокруг среднего значения. На рис. 15.14 пока-
заны графики изменения дискретного рассо-
гласования е* (а)у управляющих импульсов
еи (б) и выходного сигнала у (в) в импульсной
системе автоматического регулирования с
непрерывной частью» имеющей передаточную
функцию Ы7Н.Ч (р) = к (1 + рТ), при дей-
ствии на входе системы постоянного сигна-
ла. Импульсы, действующие на непрерывную
часть, имеют прямоугольную форму, их ко-
эффициент заполнения 1. Если сделать

ТТИ ТИ 2ТИ Ли I
б)

।_____।____।_______•

ТЕ ТИ 21, ЗТ„ I

Рис. 15.14
•у=1, сохранив прямоугольную форму импульсов, то пульсаций не
будет.

Установившиеся значения сигналов в интервалах между моментами
съема можно отыскивать, пользуясь методом, основанным на введении
фиктивного запаздывания,. который был рассмотрен выше..

При действии на входе импульсной системы гармонического сигна-
ла Ле/<0/ дискретные значения динамической ошибки

е (1Та) = 1т (/о) Ле/а'ги.	(15.87)

Пример 15.9. Найдем установившееся значение рассогласования при еди-
ничном сигнале на входе импульсной системы (см. пример 14.1) с передаточной
функцией, выраженной формулой (14.65).

Согласно (15.86),

вуСТ=1/(1+*).	(15.88)

Пример 15.10. Установившаяся ошибка при единичном сигнале на входе
цифровой следящей системы (см. пример 14.2) равна нулю, так как непрерывная
часть системы содержит интегрирующее звено. Найдем установившуюся ошибку
в этой системе при действии на ее входе линейно возрастающего сигнала V = а1.
По приложению П.4 находим изображение

V* (р)=аГи е₽Ги/(е₽Г“—I)2.

С учетом (14.123) изображение рассогласования

(ер^-1)(е₽Ги—е~Тв,Т)	аТаерТ"

Е*(р) =--------------;-------------------------------,	(15.89)

*1е₽ в+й1) + (е₽Г“-1)(е₽Г“-е и/Г) (е₽Гв-1)2

где /гг и /г0 определяются согласно (15.35).

Установившаяся ошибка

еуст=аГи (1—е-Ги/Г)7(А04-Л1)=а/Л.	(15.90)

§ 11.3. УРАВНЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

В эквивалентной схеме импульсной системы, изображенной на
рис. 13.8, а, непрерывная часть системы находится под воздействием
последовательности модулированных импульсов. Будем считать, что
непрерывная часть описывается линейным дифференциальным урав-
нением п-го порядка. Тогда, зная значения выходной величины у и
(п — 1) ее производных в 1-й момент съема и считая их начальными
условиями, и, кроме того, зная значение е (1Та) = V (1ТИ) — у (1Тп)
и форму управляющих импульсов 8 (0, можно решить это дифферен-
циальное уравнение на (/ + 1)-м интервале и получить значения вы-
ходной величины и ее производных в (/ + 1)-й момент съема. В силу
линейности исходных уравнений связь между полученными и исход-
ными значениями будет линейной:

X 1(/ + 1) Т и) = Ае (/Ги) + ЭХ (1Та),	(15.91 а)
где

причем В — квадратная матрица размером п X п\

=	*2 == йу!(11\ Осе» =

Уравнение (15.91а) представляет собой векторную запись системы
п разностных уравнений первого порядка, описывающих движение им-
пульсной системы в п-мерном пространстве состояний, характеризуе-
мом координатами вектора X. Эти уравнения можно использовать как
рекуррентные соотношения, позволяющие определять последующие
значения вектора X по его значениям и значениям внешнего воздейст-
вия в предыдущий момент съема.

Из матричного уравнения (15.91а) можно получить передаточную
функцию разомкнутой (а затем и замкнутой) импульсной системы. Для
этого в (15.91а) нужно перейти к изображениям, считая что дискретные
значения сигналов соответствуют площадям мгновенных импульсов,
действующих в /-й и (/ т 1)-й моменты съема. Тогда уравнение
(15.9Га) примет вид

ерГи X* (р) = АД* (р) + ЭХ* (р)

ИЛИ

(ерГ« 1 _ р) X* (р) = АД* (р),

(15.916)

что аналогично (2.34).

Из (15 916) можно получить передаточную функцию разомкнутой
системы 1подобную (2е37)| для интересующей координаты (например,
для хх).

Рассмотрим еще один путь определения передаточной функции, свя-
занный с получением из системы уравнений (15с91 а) одного разностного
уравнения п-го порядка относительно х1г Для этого запишем (15.91а)
в последовательные моменты съема

X [(/ + 1) Та] = Ае (/Ти) + ОХ (/Ти);

X [(/ + 2) Ти] = Ке [(/ + 1) Ти] + ОХ [(/ +1) Ти];

X [(/ 4- п) Та] = Ке[(/ + п-1) ТИ1 + ОХ |(/ + п-1) Ти].

Из получившейся системы пг уравнений с числом п (п+ 1) перемен-
ных (х (1ТИ) — х 1(/ + п)Ти1) следует исключить ненужные коорди-
наты, составив одно уравнение с п + 1 значениями хг хг ((/ 4-
+ 1) Ди!» ...» Х1 1(/ + п)Тк\ и, естественно, со значениями е (1Та),
е[(1 + 1)ТИ1,е1(1 + п — 1)ТИ1. Разностное уравнение после замены
х± на у будет иметь вид

К УК* + п) Ти] + ^п-1 У 1(^ + п— 1) Ти] + ••• + У ЦТи) =

= К-1 е [(/ + п-1) Ти +... + й0 е (/Ти)].	(1-5.93)

Уравнению (15.93) соответствует дробно-рациональная импульсная
передаточная функция, у которой степень числителя на единицу мень-
ше степени знаменателя (см § 14.2).

Уравнения состояния и разностное уравнение п-го порядка для
замкнутой импульсной системы получаются из (15.91а) и (15.93) при
подстановке е — V — у. Эти уравнения имеют тот же вид, что и для ра-
зомкнутых систем, только вместо е везде стоит V, меняется матрица И
и коэффициенты левой части уравнения (15.93).

Пример 15.11. Рассмотрим цифровую следящую систему из примеров 14.2,
14.8. Для нее дифференциальные уравнения движения на (/ + 1)-м интервале
имеют вид

ТЛ^у / Лх* -\-Лу / Лх= ке (1Та),

(15.94)

где е(/7'и) = о(/7'п)-у(/Ги).

Здесь за начало отсчета принято I •= 1Та, т = I — 1ТИ.

При начальных значениях величины у и ее производной (1у/с1х = у', равных
у (1Та) и у' (1ТИ), эти уравнения имеют решения

У=к [х-Т (1 -е-т/г)1 е (1Ти)+у (1Та)+ Т (1 -е~х'т) у' (1Тпу,
у' =к(1-е-х'г)е(1Та)+е-^т у' (1Ти).

При т = Ги имеем

У [(/ + 1) ги] = /г[Та-Т (1 -е-Ги/Г)] е (1Тп)-\-у (1Та) +
+ 7'(1-е"Ги/Г)«/' (/Ги);

У' [(/+ 1) ти| = й (1 -е-7'и/Г) е (I Та) +е~Т*,Т у' (1Та)

или, подставляя е(1Та) = ю (1ТИ)—у(1Ти), получаем
«/1(14-1) Ти]=к [Ти-7 (1—е—ги/г)] О (/Ги) +
+ {1 -к [Т„-Т (1 -е-ги/7)1} у (1Ти)+
+Т(1-^т»/т}у‘ (1Тиу,

У' 1(/ + П Ги] = * (1-е-ги/г) ^(/Ти)-
-к (1 -е-ги/г) у (/Ти)+е~гИ/г у' (1ТК).

Обозначив

%2

/г [Ти —Г (1 —е"”/и/^)] 1	[Г1 Т(1-е-ги/г)

к(\—е“ги/7)	О е“7и/Г

(15.95)

(15.96)

(15.97)

(15.98)

из (15.96) получим уравнения состояния разомкнутой системы

х Ц/ +1) ти] = Ае (/Ти) + ОХ (1ТИ);

1/(/Ти) = х1(/Ти).
Используя звенья с запаздыванием на один период Ти, можно изобразить
схему цифровой следящей системы в виде эквивалентного импульсного фильтра
(рис. 15.15). В качестве коэффициентов в!, а2,	^2>	^22 должны быть взяты

соответствующие элементы матриц А и Виз (15.98).

Уравнения замкнутой системы аналогичны уравнениям разомкнутой систе-
мы:

X [(/+1) Ти] = Ао (/Ти) + ОХ (/Ти);

У (?ТИ) = Х1	и),

причем на основании (15.97)

0= р~ ЛТИ—Т(1—
— к(1 — е~7а,т)

та-е-^п'
е~'а/г

(15.99)

Рис. 15.15

Рассмотренный способ получения уравнений состояния импульс-
ных систем не является единственным. Можно исходя из передаточной
функции разомкнутой или замкнутой импульсной системы изобразить
схему эквивалентного импульсного фильтра и по ней получить урав-
нения для других координат состояния.

Пример 15.12. Для цифровой следящей системы с передаточной функцией

^з(р)-

^*(Р) ==	ерУи+Л0

^*(Р) е2р? ер7и4-а0’

где коэффициенты выражаются формулами (15.35), справедлива эквивалент-
ная схема (рис. 15.16) при п2 = 1, в чем можно убедиться, записав ее уравнения

Х*ерги = Х$;

Х| ер/ и =г ([/* — а0 X? — агХ1);

=	Х|

(15.100)

и исключив из них XI и X?. Тогда получим уравнение
(&1 ерГи4-/г0)У* = (е2рУи4-а1 е₽7и + <з0)
соответствующее исходной передаточной функции (р).
Из (15.100) следуют уравнения состояния:

+1) Ги] ~ *2 (^и)»

Х% [(^ + 1) ^и! = (^и)--С0 Х1 (^и)--а1 х2 (^и)»

У (1Ти) — к0 хг (/Ти)4-А?1 х2 (П’и).

(15.101)

или в матричной форме

(15.102)

причем

X |(7 + 1) Ти]=АгШТк)+ОХ (1ТгЛ):

Уити)=мтх,

(15.103)

«т» — знак транспонирования.

Рис. 15.16

Подобные эквивалентные им-
пульсные фильтры могут' быть
построены для любых систем.
При этом число последователь-
но включенных звеньев запаз-
дывания берется равным поряд-
ку системы, координаты состоя-
ния снимаются на выходах
звеньев запаздывания, отрица-
тельные обратные связи с выхо-
дов этих звеньев подаются с ко-
эффициентами знаменателя пе-
редаточной функции, а прямые
связи с коэффициентами числи-
теля используются для образо-
вания выходного сигнала у. Рас-

сматриваемый способ является-полной аналогией известного способа
составления схемы аналоговых моделей дифференциальных уравне-
ний [Л.20].

При построении схемы эквивалентного импульсного фильтра мож-
но также исходить из передаточной функции (р) или Ж (р), пред-
ставленной в виде произведения сомножителей первого порядка или
суммы простых дробей первого порядка. В результате могут быть по-
лучены еще два варианта уравнений в пространстве состояний 1Л.391.

Аналогично находятся уравнения состояний и схемы эквивалент-
ных импульсных фильтров в случае многосвязных импульсных систем
автоматического регулирования с многими импульсными звеньями.

Уравнения состояния и эквивалентные схемы в виде импульсных
фильтров могут быть использованы для получения цифровых моделей
импульсных систем автоматического регулирования.
§ 15.4. КОСВЕННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
И СИНТЕЗ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Основные определения, касающиеся качества процессов в непре-
рывных системах автоматического регулирования (см. гл. IX), справед-
ливы и для импульсных систем. Последние характеризуются теми же
пятью показателями качества, относящимися к переходной функции:
установившимся значением /1уСТ, временем регулирования /рер, мак-
симальным перерегулированием АЛмакс (или о), временем максималь-
ного перерегулирования /м, числом перерегулирований М за время ре-
гулирования /реР. Разница состоит лишь в том, что эти показатели в им-
пульсных системах обычно определяют на основании информации
о дискретных значениях переходной функции, поскольку последние
могут быть получены относительно просто. Практически в большинстве
импульсных систем автоматического регулирования частота работы
импульсного звена <ои выбирается достаточно большой, так что
системы по своим свойствам близки к непрерывным, при этом дискрет-
ные значения сигналов на графиках соединяются плавными кривыми.
Поэтому об их качестве можно судить и на основании дискретной ин-
формации. Впрочем, могут быть найдены законы изменения сигналов
в интервалах между моментами съема, и тогда появляется возможность
определять качество импульсной системы на основании полной инфор-
мации.

Показатели качества могут быть найдены после вычисления пере-
ходной функции Н (1ТЪ) одним из способов, указанных в § 15.3. Эта за-
дача довольно трудоемка и поэтому для импульсных систем, как и для
непрерывных систем, разработаны косвенные методы оценки качества:
частотные, суммарные (аналогичные интегральным) и корневые. Здесь
будут рассмотрены наиболее распространенные в практике частотные
методы оценки качества импульсных систем.

Частотные методы оценки качества. Так же, как и в случае непре-
рывных систем, качество импульсных систем автоматического регули-
рования можно оценивать с помощью показателя колебательности М,
запаса устойчивости по фазе ус, запаса устойчивости по усилению
1,ап (дБ) и частоты среза <ос.

Показатель колебательности определяется по амплитудно-частот-
ной характеристике замкнутой системы (рис. 15.17, а)

Л4 = ^.макс/Г*8,0.

Запасы устойчивости находятся на комплексной плоскости
1ГР (?с показан на рис. 15.17, б); запас устойчивости по усиле-
нию 1зав определяется по | ТГР (/а>л)| (отрезок Оа на рис. 15.17, б)

Азав = 201б[1/| Г;(/(оя)|].

Особенно? удобно при определении запасов устойчивости и показа-
теля колебательности пользоваться логарифмическими частотными ха-
рактеристиками в функции псевдочастоты (см. § 14.4 и 15.1), При
этом значение ГЛ можно находить с помощью номограмм равного зна-
чения 1(/со) I. полученных для непрерывных систем.

Для того чтобы импульсная система автоматического регулирова-
ния была качественной, в частности, для того чтобы максимальное пе-
ререгулирование о в ней составляло 0,15—0,3, показатель колебатель-
ности и запасы устойчивости должны иметь те же значения, что и в не-
прерывных системах: М = 1,2 — 1,5; ус = 30 — 50°; /,аап = 8 —
— 12 дБ. Это справедливо для импульсных систем с малым Ти, близ-
ким по своим свойствам к непрерывным системам.

Синтез корректирующих устройств. Для улучшения качества им-
пульсных систем автоматического регулирования в их непрерывные
части можно включать (последовательно или параллельно) корректи-
рующие звенья, с помощью которых можно деформировать частотные
характеристики непрерывной части желательным образом. Синтез

Рис. 15.17

непрерывных корректирующих устройств удобнее всего производить
с помощью логарифмических частотных характеристик Ь (со*). По-
скольку характеристика Ь (со*) практически совпадает с характеристи-
кой непрерывной части Ь (со) (см. § 14,4) в наиболее существенном диа-
пазоне частот 0 со* < 2/7\, при синтезе в качестве желаемых ха-
рактеристик можно брать характеристики, соответствующие переда-
точным функциям непрерывной части. Передаточные функции коррек-
тирующих устройств в импульсных системах определяются так же,
как это делалось в непрерывных системах. Импульсный характер систе-
мы сказывается на виде характеристики /.(со*) при высоких часто-
тах, что в большинстве практических случаев приводит к несуществен-
ному влиянию на качество системы.

Помимо корректирующих устройств, используемых в непрерывной
части, в импульсных системах можно использовать специфические им-
пульсные корректирующие устройства, которые проще всего реализу-
ются с помощью цифровых вычислительных устройств. При этом они
включаются в схему так, как это показано на рис. 15.18, где А/Ц —
аналого-цифровой преобразователь, ЦВУ — цифровое вычислительное
устройство, Ц/А — цифро-аналоговый преобразователь, НЧ — непре-
рывная часть.

На вход ЦВУ поступают дискретные значения сигнала рассогла-
сования е (1Тп), на выходе выдается дискретная последовательность
чисел «в (/Тв), реализующая тот или иной закон управления в систе-
ме. Эти числа преобразуются Ц/А в импульсы «, далее импульсы воз-
действуют на непрерывную часть.

ЦВУ может также сравнивать выходной и входной сигналы, в дан-
ном случае А/Ц должны помещаться в цепях этих сигналов.

Алгоритм ЦВУ может быть составлен таким образом, чтобы выход-
ной сигнал цц представлял собой результат решения линейного раз-
ностного уравнения вида

п	п

ип(1Та) = 2^-1^ [(/-/) Ги]-	(15.104)

г-=о	/=1

где и — постоянные коэффициенты.

Рис. 15.18

В этом случае выходной сигнал представляет собой линейную комби-
нацию, образованную из дискретных значений входного и выходного
сигналов для нескольких моментов съема; эти значения сигнала хра
нятся в памяти ЦВУ.

Если допустить, что на входе и выходе ЦВУ действуют дискрет-
ные импульсные сигналы, представляющие собой последовательность
модулированных единичных импульсов, причем модулирующие зна-
чения подчиняются соотношению (15.104) , то можно написать

= 2 ^е*(/-/Ти)- 2 4-г«ц(/-/Ги),	(15.105)

1=0	/ = 1

откуда можно перейти к уравнению в изображениях

^(Р) = 2 кп-1 (р) е-₽/ги __ 2	(Р) г (15.106)

М	/ = 1

а далее — к передаточной функции корректирующего ЦВУ

п

V ь . е р*ти

1 = ^ц(р) = Д П~*	= кпеПрГи+*п-1 е<п~ 1)рГ”+ • •• + *<,

ЕЧР} + '

(15.107)

Степень числителя (р) оказалась равной степени знаменателя
п, потому что при составлении разностного уравнения в правую часть
было включено дискретное значение входного сигнала для момента
1Та. ЦВУ могут передавать входную информацию на выход практи-
чески одновременно с ее поступлением (с очень небольшим запазды-
ванием).

Эквивалентная схема импульсной системы автоматического регули-
рования изображена на рис. 15.19. Преобразователи А/Ц и Ц/А вы-
полняют простое пропорциональное преобразование (пренебрегаем
ошибками округления). Коэффициенты усиления преобразователей
могут быть включены в функции И/к (Р) или Ц7П.Я.Ч (р).

Практически между сравнивающим звеном и может оказаться
включенным какое-либо непрерывное звено, однако с помощью экви-
валентных преобразований (см. § 14.5) в этом случае можно прийти
к схеме, показанной на рис. 15.19.

Передаточная функция скорректированной разомкнутой системы,
связывающая изображения Е*(р) и У*(р), представляется как

1Пк(Р) = 1Ук(р)1Г;(р)г	(15.108)

Рис. 15.19

где 1Ер (р) — передаточная функция разомкнутой системы до коррек-
ции, которая, в свою очередь, равна У*(р)/11*(р).

Передаточная функция замкнутой системы

г*3(р)=гр*.к (р)/п + г;.к «ри.

Если из каких-либо соображений задана желаемая передаточная
функция замкнутой системы (р), а также передаточная функция
1Ер (р) системы без коррекции, то передаточная функция корректи-
рующего ЦВУ

1^(р) = 1Е^(р)/Г;(р),	(15.109)

где (р) — желаемая передаточная функция разомкнутой системы:

Ш (р) =	(р)/[ 1 - Г? (р)].	(15.110)

Использование ЦВУ создает большие возможности для коррекции
импульсных систем автоматического регулирования. Можно, напри-
мер, добиться астатизма любого порядка путем включения в знамена-
тель О *(р) множителя е₽ги—1 в соответствующей степени. Для полу-
чения астатической системы первого порядка передаточная функция
должна иметь вид

й7к(Р) = 1/(е“рГ“-1).

(15.111)

Соответствующее разностное уравнение запишется как
^1(/+1)Гп]-ц(/7и)-^(/Ти)
или

п[(/+1)Ги] = е(/Ги) + ^(/Гй),

т. е.

и(0)=0;

^(Ти) =е(0);

и (2ТИ) = е (ТИ) + и (Ти) - е (0) + е (Ти);

И(/+1)ТЙ]=

г=0

Таким образом, в этом
случае ЦВУ представляет
собой сумматор входных ди-
скретных значений (дискрет-
ный интегратор) с запазды-
ванием на период Ти.

Для синтеза импульсных
корректирующих устройств
удобно также пользоваться
логарифмическими амплитуд-
ными частотными характе-
ристиками. Соотношение
(15.109) при этом принимает
вид

Лк(о)*) = Дк(ш*)-!(«*),

(15.1)2)

где	Ь—логарифмические амплитудные частотные характеристи-

ки соответственно: импульсного корректирующего устройства, желае-
мая, системы без коррекции. Желаемая частотная характеристика выби-
рается из тех же соображений, что и для непрерывных систем [Л.6, 42].

По виду Ьк (о*) находят преобразованную передаточную функцию
И/к (йу), а из нее путем подстановки (14.92)—функцию 1Гк(р)» по кото-
рой определяют алгоритм корректирующего ЦВУ в виде (15.104).

Пример 15.13 [Л.6]. Найдем передаточную функцию импульсного корректи-
рующего устройства для следящей системы с прямоугольными импульсами при
1 и с передаточной функцией непрерывной части

^н.ч(Р) = */Р2-	(15.113)

Тогда для системы без коррекции по табл. 14.1 получаем

И7р (р) = /гТи (ерГи4-1)/[2 (ерГи— 1)2],	(15.114)

а по табл. 14.2 —

№р (^) = М1 —^й/2)/Л	(15.115)

Соответствующая характеристика Г (о*) построена на рис. 15.20. Она не
имеет горизонтального участка, так как (/сои/%) а 0. Если принять в качестве
‘3*	371
желаемой характеристики показанную на рис. 15.20, то передаточная функция

М1 + ^)(1-^Гй/2)
ж ) ш2 (1 + ьуТи/2)

(15.116)

что приводит к выражениям

Ю'к (и-)=(1 + ®Т)/( 1 -®Ти/2);	(15.117)

а7.(р)=(,	п „5 ,,8|

2ер и	\ *	' и / \2 л и )

Рис. 15.21

откуда разностное уравнение, дающее алгоритм ЦВУ,

«ц(/^и)— [ 9 т ) ец(^и)+ ( 9 — т ] ец ((/—1) Ги].
\	* И /	*	\	>	/

В отдельных случаях при синтезе корректирующих устройств стре-
мятся получить импульсные системы с конечным временем переходных
процессов.

Пример 15.14. Найдем передаточную функцию корректирующего ЦВУ,
обеспечивающего выполнение условий конечной длительности в цифровой следя-
щей системе второго порядка, в которой не удается реализовать эти условия про-
стым подбором параметров (пример 15.7). Передаточная функция и ее коэффи-
циенты задаются формулами (15.35).

Желаемая передаточная функция (р) при выполнении условий конечной
длительности состоит из двух слагаемых:

(р) = №3(7’и)е-^и+^3(2Ти)е-2рГи.

(15.119)
Из условия сохранения астатизма системы следует (см. § 15.2), что
1Г«(0) = 1 —И7?(0)=0 или Г3(0) = 1,

откуда

(Тк)+(2ТИ) = 1 -	(15.120)

Учитывая (15Л20), запишем выражение (15Л19) в виде

Й73* (р) = О13 (Т„) е-₽7и+ [1 -в-з (7„)] е~2₽ги.	(15.121)

По формуле (15.110) найдем передаточную функцию скорректированной си-
стемы в разомкнутом состоянии

.	к-'з(^и)е" и + 1 —ш3(7и)

и7 ж (р) =	~

е2₽ги—(Ти) ер7и—1+а?8(Ти)

(15.122)

откуда передаточная функция корректирующего ЦВУ

™®8(7и)е₽гв+1-Е)з(7'и)

и7 к (р) —---------------

*ое₽7и+*1

(ер7в—1)(е₽ги-)-е

е2₽7и—(7И) ер7И—1 +ша (Ги) '

(15.123)

Выражение (15Л23) дает алгоритм для ЦВУ, который обеспечивает весовую
функцию с любым желаемым о>3 (Ъг)« Положим для упрощения, что

(ГГх **	тп^Г(1-е-7и/0

*1+*о Ги (1—е~ги/г)

Тогда

*	1	ер7в—е~^и^

где

_Гве-ги/г-Т(1-е-гИ/г)
Ти(1-е~ 'и'7)

(15Л25)

Алгоритм ЦВУ определяется разностным уравнением

«ц (/Ти)-а«ц((/-1)ти|= — /, 1 -7- К (ГГи)-е-ти/т ец [(/-1) Тв]}
я/и(1—е и' )

(15.126)

Пример 15.15. Рассмотрим цифровую следящую систему из предыдущего при-
мера, в которой коррекция осуществляется путем охвата импульсного звена с до-
полнительным усилителем У обратной связью с 7?С-цепью (рис. 15.21, а). Экви-
валентная схема этой системы показана на рис. 15.21, б, где Й7* (р) — передаточ-
ная функция (для дискретных импульсных сигналов) контура, структурная схема
которого дана на рис. 15.21, в:

Г^(р) =----

1+&У

ерГИ-е’7'и/^с
V.	~" V,

1 е-^Г^ УерГи+Лу

(15.127)

Передаточная функция (15.127) подобна (15.124).
ПРИЛОЖЕНИЯ

П.1. Частотное представление
детерминированных сигналов

Гармонический сигнал. Простейшим сигналом является гармоническое воз-
действие, выражаемое функцией

я=Хт0 соз (соо/ +Ф0),	(П. 1.1)

справедливой на всем интервале от —оо до +оо (рис. П.1.1, а). Этот сигнал может
быть представлен в виде действительной или мнимой части некоторого комплекса
X (/соо?), вращающегося с угловой скоростью соо и называемого фазором. Если
начало отсчета времени выбрано так, что мгновенное значение сигнала равно
вещественной части фазора (рис. П.1.1, б), то между ними существует зависимость

х (/) = Ке X (М = Ке Хт0	(П. 1.2)

где Хт0 = Атое/11:» — комплексная амплитуда сигнала.

Фазор выражается через амплитуду, фазу и частоту гармонического сигнала

X (/соо()=Хт0 еЛ“«/+*«> -	(П. 1.3)

Часто в литературе вместо мгновенного значения гармонического сигнала
пользуются фазором, имея в виду, что для перехода к мгновенному значению нуж-
но взять вещественную (или мнимую) часть фазора.

Для гармонического сигнала частотный спектр содержит одну линию и его
можно назвать моногар моническим (рис. П.1.2, а). Иногда для выражения гар-
монического сигнала удобно оперировать двумя частотами — положительной
и отрицательной —соо. В этом случае исходный гармонический сигнал равен
сумме двух составляющих:

О,5Х(/«о/)=О,5Хтое'“°';

сопряженной

0,5Х(/шоП=0,5Хпг0е-/в«<.

Действительно,

х(/)=Хтосо5(о)0/+^о) = 0.5Хто[е/(“«<+11’«)+е-/(и«'+’1’«>]. (П.1.4)

Таким образом, любой гармонический сигнал может быть представлен в виде
суммы двух сопряженных фазоров: 0,5Х (/о)0/) и 0,5Х (/сооО- Частотный спектр
в'этом случае имеет две линии: при сос и —соо (рис. П.1.2, б). Следовательно, один
и тот же простейший гармонический сигнал можно характеризовать односторон-
ним (несимметричным) частотным спектром (рис. П.1.2, а) и двусторонним (сим-
метричным) спектром (рис. П.1.2, б).

Периодический сигнал. Любой периодический сигнал, удовлетворяющий
условиям Дирихле, может быть разложен в ряд Фурье и представлен в виде со-
вокупности гармонических составляющих. Периодическая функция с периодом
Т удовлетворяет условию

х (1-[-пТ) = х (/).
Выразим периодический сигнал в виде симметричного двустороннего спект-
ра положительных и отрицательных частот. В этом случае

х(0 = 2 X еА“«г,
6 = — со

(П.1.5)

где

Л

X (1ка>й} =Г х (/) е -
2л

—л

с? (Юо/);

ГП. 1 6)

ш0~2л/Г.

На основании выражений (ПЛ.5) и (ПЛ.6) любой реальный несинусоидаль-
ный периодический сигнал может быть представлен в виде дискретного спектра
гармонических составляющих.

Пример П.1.1. Пусть х (/) = Хо + соз (ооЛ Этот сигнал (рис. ПЛ.3, а)
может быть представлен односторонним спектром, состоящим из постоянной со-
ставляющей Хо и первой гармоники Хт1 (рис. ПЛ.3, б). Однако его можно пред-
ставить и в виде двустороннего спектра:

х (0 = Х„ 4- — Хт1 СОЗ (/)+— Хт1 соз (4-®оП.

Дискретный спектр для этого случая показан на рис. ПЛ.3, &. Очевидно, что
спектральные представления, приведенные на рис. ПЛ.З, бив, тождественны.
Спектр фаз для данного случая дает нуль при любых частотах.

Пример ПЛ.2. Пусть

1 при

О при

т	т

пТ-— <1<пТ+~ 1

лГ+-^-</<(«+!) Г—

где п — любое целое число.

Тогда по формуле (П.1.6)

-Ьтл/Г	/ .,211	_/ьЛ1\	81п к —

Х(/А(оо) = — С е-/Аи»<й(й0П=— (е г-е Г )=-

—гл/Г
и, следовательно,

51П кяа
Ал



Р/А®о 7
е »

где соо = 2л/7, х/Т = а.

Таким образом, периодический сигнал, приведенный на рис. П.1.4, а может
быть представлен в виде дискретного симметричного спектра гармонических со-
ставляющих, показанного на рис. П.1.4, в.

Выделив постоянную составляющую для к -* оо и просуммировав гармоники
для к = ± ] к |, можно перейти к одностороннему спектру

2 81п кяа
к(0=о+ Л—---------с<кЛ<М.

&= 1

где

%т0
т~

изображенному на рис. П.1.4, б.

Непериодический сигнал. Задан-
ный аналитически непериодический
сигнал также может быть разложен
на гармонические составляющие. Та-
кое разложение получается путем
предельного устремления периода Т
сигнала, описываемого уравнения-
ми (П.1.5) и (П.1.6), к бесконечно-
сти, а частоты соо — к нулю. В этом
случае ряд Фурье преобразуется в
интеграл Фурье:

Рис. П.1.2

1

2л

X (до) е'"'Ло. (П.1.7)

— оо

сю

X (/&>)= у х(Ое_/ш'й.
— оо

(П.1.8)

При этом одним из наиболее жестких условий, вытекающих из условий Ди-
ОО

рихле, является абсолютная интегрируемость функции х (7), т. е. § [х (7)| дол-
оо

жен быть конечен.

С помощью интегралов (П.1.7) и (П.1.8) непериодический сигнал может быть
представлен в виде бесконечного множества гармонических составляющих, об-
разующих непрерывный спектр. Интеграл (П.1.8) называется прямым преобразо-
ванием Фурье, а интеграл (П.1.7) — обратным преобразованием Фурье.

Если сигнал у связан с сигналом х уравнением

у=*(1х/(Н9

(П.1.9)

то преобразование Фурье (П.1.8) для этого сигнала имеет следующий вид:

ос

Г ~~е—/а‘еД=коХ(/(о).

</

~оо

(П.1 10)

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся в теории управления
простейшие непериодические сигналы.


Единичный скачок. Единичным скачком 10 (0 называется функция, равная
нулю при I < 0 и единице при I > О (рис. П.1.5, а):

1о(О = {

О при I < О;

1 при I > О.

(П.1.11)

Единичный скачок может быть получен путем одного из предельных перехо-
дов:

или

10(П = Иш
т-*о

Л0(П-(/-т)10(*-т)

Рис. П.1.3

(П.1.12)

(П.1.13)

Для 10 (/) не выполняется условие абсолютной интегрируемости, так как
со

У| 10( /)|/Д=оо. Поэтому преобразование Фурье не может быть применено не-
—- оо
посредственно. Однако гармонический спектр единичного скачка может быть по-
лучен путем рассмотрения интегрируемой функции х (0 «=• е~а/ 10 (/) и последую-
щего устремления а к нулю.

Для функции е~а/ 10 (/) получаем

00 1

А(/ш)= Г 10(<)е_/Ш а( =—------------.	(П.1.14)

Ло	а-Ны	'

Производя предельный переход при а —>0, записываем частотный спектр
единичного скачка

1о(/(о)=11тХ(»= -Е=10 (со)е/’1:(“).	(П.1.15)

а-*-О	/(О

На рис. П.1.5, б показан спектр амплитуды и фазы единичного скачка.

Единичный импульс. Единичным импульсом Ъ (I) называется импульс, ин-
геграл которого равен единице, а продолжительность его стремится к нулю. Ана-
литическое выражение единичного импульса может быть представлено в виде

6(0= 1пп — [10 (0 —1о (*—?)].	(П.1.16)

т

Предельный переход для 6 (/), выражаемый уравнением (П.1.16), показан
1а рис. П.1.6, а. На рис. П.1.6, б показано условное обозначение импульса 6 (0
да временнбм графике.

Между единичными импульсом и скачком существует зависимость:

д(0 = ^1о(О/^-	(П.1.17)
ох,

6>=/<ц>„

со=Асо0

Рис. ПЛ.5

Рис. ПЛ.4



Единичный импульс 6 (/) может быть получен путем дифференцирования
функции 10 (/), выражаемой предельным переходом (П.1.12) и (П.1.13):

6 {I)~ Ит 10 (О.
«-►оо

(П.1.18)

Зная частотный спектр единичного скачка, частотный спектр единичного
импульса У (/со) = А (/со) можно получить по формуле (П.1.10):

А(Гсо) = П

(П.1.19)

Частотный спектр единичного импульса показан на рис. П.1.6, в.
Единичный импульс часто называют функцией Дирака.

Интеграл единичного скачка. Он выражается в виде

(П.1.20)

1
х(О= / 10(О^=Л0(О.
— оо

в)

Рис. П.1.6


Частотный спектр этой функции можно определить с помощью формулы
(П.1.8), умножая х (/) на и устремляя а к нулю. Произведя вычисления, по-
лучаем



(ПЛ.21)

Рис. П.1.7

Производная от единичного импульса. Если требуется найти производную от
единичного импульса, то его представление в виде разрывных функций (П.1Л6)
или (ПЛ. 18) неудобно. В этом случае единичный импульс более целесообразно
получить как предел непрерывной кривой треугольной формы, показанной на
рис. ПЛ.7, а.

При рассмотрении непрерывной функции

х(О = [Яо(О-2(^т)10(^т) + а-2т)1о(^2т)1/та	(ПЛ.22)

можно заметить, что х (О б (0 при т —» 0. Действительно, для л (0 при любом
значении т и I > 2т

I х(0<Я=1.
— оо
При т -* 0 получаем единичный импульс

6 (Л = Игпх(О«
г-0

(П.1.23)

Чтобы найти производную единичного импульса 6 (0, продифференцируем
функцию х (0

4х/^==[10 (О-21о(г-т)+1о (/—2т)]/т2.

(П.1.24)

При т—»0 получаем производную от 5-функции, состоящую из двух импуль-
сов второго порядка (положительного и отрицательного), смещенных один по от-
ношению к другому на стремящийся к нулю промежуток времени т (рис. ПЛ.7, б):

6' (0 = ^5 (0/Д/ = Нт (1x1(11.
т— о

(П.1.25)

Так как дифференцирование функции времени соответствует умножению на
/со ее частотного спектра [см. (ПЛ. 10)], то частотный спектр производной единич-
ного импульса Д' (/со) «= /со и может быть представлен графиком, показанным
на рис. ПЛ.7, в.

П.2. Распределение энергии в спектре сигнала

Рассмотрим, как связана анергия сигнала с его гармоническими составляю-
щими, как по спектру сигнала можно судить об энергии, передаваемой отдель-
ными гармониками.

Для периодического сигнала энергия, передаваемая в единицу времени, про-
порциональна среднеквадратичному значению за период.

Представляя х (0 в виде суммы гармонических составляющих по формуле
(П.1.5) и интегрируя, получаем

+т/2

у- С **(/)<« = 2 1Х</®оО|2= 2	—	(П.2.1)

7-/9	Л =—оо	к= — оо

При переходе от симметричного спектра к несимметричному, для которого

Х&ТП — I * (/^®о) I *

(П.2.2)

имеем

г/2

I X2 (Г) (11

-~Т№

1

(П.2.3)

где Хо— постоянная составляющая.

Рассматривая уравнения (П.2Л) и (П.2.3), можно сделать общий вывод:
мощность сигнала равна сумме мощностей отдельных гармонических составляю-
щих.

При рассмотрении непериодических сигналов можно сделать аналогичные
выводы, однако теперь уже невозможно говорить об усреднении за период, так
как период стремится к бесконечности и выводы можно сделать только в отноше-
нии энергии сигнала.

По аналогии с выражением (П.2.1) для непериодического сигнала рассмот-
рим интеграл от квадрата модуля частотного спектра:

| [Х(/со)|Мсо = | X (/СО)Х(—/О))бкО.
— оо	—оо
Выражая X (—/о) с помощью прямого преобразования Фурье (П.1.8), на-
ходим

| I X I2 Ло = у X (до) Ло у X(о е/й* Л=

— ОО	— оо	—оо

= у Х(/)Л Х(до)е^ йсо =2л у |х(/)1яЛ.
— ОО	—СЮ	—©о

(П.2.4)

При получении выражения (П.2.4) был изменен порядок интегрирования по
/и посои применено обратное преобразование Фурье (П.1.7).

Учитывая четность функции | X (/со) |2, можно проинтегрировать по со только
в диапазоне от 0 до +оо. В этом случае уравнение (П.2.4) принимает вид

оо

| [*(018

— оо

1 7

=— | X (/со)!3 скд.
л

о

(П.2.5)

Формула (П.2.5), полученная Релеем, дает возможность, зная частотный
спектр сигнала, найти его энергию. Из формулы непосредственно вытекает общий
вывод: энергия, передаваемая сигналом, распределяется по частотам пропорцио-
нально квадратам амплитуд частотного спектра.

П.З. Преобразование Лапласа

При анализе переходных процессов в системах автоматического управления
обычно рассматриваются сигналы, начинающие действовать в определенный мо-
мент времени, принимаемый за начало отсчета I 0. Такие сигналы х(1) удовлет-
воряют условию х (0 = 0 при I < 0. Если для них не удовлетворяется условие
©о

абсолютной интегрируемости и	то при соответствующем выборе

0

величины о0 умножение на е~~°п/ может обеспечить выполнение условия

У е 0 к (/) (11 Ф оо,
о

где о0 — некоторое положительное число.

В таком случае к функции х± (0 = е~°°г х (0 может быть применено прямое
преобразование Фурье:

Х1(/ш) = у Х1(/)е-/и/Л = ух(Ое-(а»+-'ю,Л=Х(о0+/со).	(П.3.1)

— оо	0

Соответствен’ о обратное преобразование Фурье имеет вид

х1(/) = е-а»'х(/) = -!-

оо

Х1 (/ш) е/м/ Ао,

— ОО

(П.3.2)

откуда с учетом (П.3.1) получаем

С (Оо+Ме^+'^'Ло.

хЛ «7

ОО
Если обозначить о0 + /со «=• р и, учитывая постоянство о0, подставить
/йсо = ар, то уравнения (П.3.1) и (П.3.3) запишутся как

Х(р)=|х(/)е р* (Их
о

*(О =

. 0о4-/со

1 С

— I л (Р) е"‘ ар.

2л/ Л

0О —/со

(П.3.4)

(П.3.5)

Выражения (П.3.4) и (П.3.5) являются соответственно прямым и обратным
преобразованием Лапласа.

Если затухающие сигналы описываются интегрируемой функцией, для кото-
рой можно принять о0 *=* 0, то преобразование Лапласа получается из преобра-
зования Фурье простой заменой /со на р.

Основные примеры преобразования Лапласа приведены в П.4—7

П.4. Изображения непрерывных и дискретных функций по Лапласу

№ п/п	х(0 при />(	X (р)	х*(р)
1	1о«)	1  р	е₽7“—1
2	1	V	_	е  Г"	!  (е1'	I)2
3	— I2  2)	У	Гн	е"и(ер'‘| + 1)  2!	(ерГ"— I)8
4	31		Гй ерГн(егрГи+4ер7и + 1)  31	(е₽Ги—1)«
5  ♦	1  	 /л		т^р‘-	,  (;^_1)п+1/?п(р)’где  1	1 —е₽7“ 0	} 0  тг 1  *	1	1	I  /й(р)= -Л _Ь	!	1 о  3!	21	]  					 ।  □-	-2	1_	11  п\	(п—1)1	(п—2)1	1
№ п/п	* (Л при 1	0	X (р)	Х*(р)
6	е“а?	1	п7  е 11
		р Н-а	рТп	е~ яГи
7	<е-“'	1  (р + а)2	Т ^~аГаеР1»  И(е₽/и_е-а7иу2
8	1 -е-а?  а	1  р(р + а)	(1—е~а,")ер/ц а(ерТи~ 1)(е₽Г11—е~аТ")
9	г 1—е-к/	1	Т» _	1\—е~а1а)еТ*
	а	а2	р2 (р + <х)	а (&р1 Ц	 1\2	9. р! п ... рТ	—ссТ...  (е	а2(е	и_е	и)
10	81П ₽Г	р Р2+Р2	81п рти ерГ« е2₽Ги—2 соз ртие₽Гв + 1
11	СОК р/	р Р2+Р2	еР,к (е° и—соз Р?~ц) е2рГ»_2 созРТ11е₽Ги+1
12	е~ш з!п р/	р	е-а/вз1п рг1е₽7и
		(р+«)2+Р2	е2₽7'и_2е-аГи соз рГи е₽/и + е~2а7и
13	е~соз р/	р + а	е₽/и(е₽7и—е-“Гисо.зрги)
		(р+а)2+Р2	е2р7'и_2е-“Г« соз РТИ е₽7 и-|-е~2а7и

Примечание. Здесь X* (р)—изображение по Лапласу функции х*(/) =
ОО

=х(0-1И0, еде 1б(0=2б«-^и).

/~0
<1.5. Изображения запаздыыншцмх непрерывных и у'.п^е'.мь' < функций по Лапласу [Л.з6]

№ п/п	х(7—г)  при 1 > у;  №-1Ии <т<6Тв	х,(р)	Ху(Р)	
1	10(*—Т)	—е~°’ Р		1	 е(*- 1)р7и (еРу'и_1)	
2	1—ф	_2_р —ПТ р2	кТа—х		Ти  е(й~1)рГ«(ерГи —1) - е(й” 1)рГи (ерГи_цг	
3	—-(/—т)2 21	_!_ е~₽т рЗ	(ЛГИ—т)г	(ЙГИ—т)Гп  2е(й- 1)рГи (е₽ги_1)	е(й~ 1)рги (ерги—1)2  Ти(еРГи+П  2е(й-1)рГИ{еРги_1)3	
4	е—а(г—У)	1	е-₽^		— а(кТ е	11
		₽ + «		е(,-О₽7и (е₽Ги__е-аГИ)
5	1—е-^-1»  (X		*	е-от р(р+а)	1  а	!	е~а(кТъ—г>  е<*~ >)рГи (ерТа__г} е(к- 1)Р7’И(еР7'и_е-аГи)

			
6	г 1_е-а«-Я		. е — РУ	Ти  	1	 /гТи— у—а~‘  е	и (е н—1)г	ае	11 (е п —1)  — а(67и — т) е  2 (*— ОрГ ( оТ	— а/  а2 е	11 (е и—е
	а	а2	р2 (р+а)	
7	8111(5(2—т)	Р	з1п Р (РТИ—т) еР/и+81п Р [т — (к— 1) Т„|
		Р2+У	е(й- 1)р7-и ^2рГе _2 со5 (ЗТи ес7 п()
8	СОЗ Р(/—т)	—-— е—рт рЧ-У	сое Р 1кТп—т) еР?и — соз Р [т—(Р — 1) Ти] е(/г 1,р/" (е2р;а — 2 СО5 рТц еР/"+ I)
9	е—а(Г—у) Б1пр(1—г)	Ре-1-'1  (Р+«)г+Р2	-а{к!и—т) з1п Р(/гТи—т) ерГд-|-е а/я ;Нп р |-г —(%— 1) Ги] е(*~ 1,РГи (е2рЛи—2е-“Ги соз РТП ерГв+е-2“?и)
10	е-'в(/—У) С0зР(<—т)	(р + «) е—рт (р+“)2+₽2	—а{кТ„—т) созР(РГи—т) е₽Ги — е а7всозр|-Г — (к—1)ТИ1 е	и ~	  е	11 (е к—2е	всо8рГие и-)-е	и)

СР

<5

Примечание. Здесь Ху(р)—изображение по Лапласу функции х*(<) = х(<—т)	<5(/—/Ти).

/=0
.8.6. Функции имеющие и^ра^монгльные
изображения по ливе;’

№ п/п	х (0 при 1	0	X (р)
1	2",/7/л	1 рУр
2	1—е1// ег(с	г  СЮ  рде ег!?: (х) = -т= е“1/? У	1  р(!+Ур‘Й
3	т]	1  1+/рТ
4	т Л т ег{с ,/ 	  V 4/	е“Уо?  р
5		е~1^

П.7. Таблица значений интеграла .гв для п от 1 до 6 [Л.31]

-•-V-

(СО

С Ь(р)Ь(—р)

3 с(р}с(~р)

— |со

• де

Ь(Р) = 6П_1 р"-1+ ...+&„}

с (Р')=спрп +...+ с„.

Интегоал

Л

О —

К	>	. ^Со + ^С8

—--- прип = 1; ^в——------—прип=2;

2сп С] •	2с0 С1 с8
—

Ь|спс1+(Ь1—2ЬС Ь2)с0 с3+^ с2с3

при п = 3;

2сос3(— С0С3+С! с2)

_ _Ь1(—«8 сз+сд сх с2)-НЦ—2/>! Ь3) с0 Сд Сд+(^—2Ь0 62) е0 с3с(
2с0 Сд ( -Со с| с\ Сд -1- Сд С2 Сз)

Ьп(—С1С|+с2С3Сд)
-------------------------при п =4;
2СО Сд < — Со С| —Сд Сд + с I с2 с3)

Л>—	—2&й Ь^гп! +(Ь|—20д Ьз + 2Ь0 Од) т2-]-

+(&?—26О Ь2) т3 + &§ т4]	прип = 5;

где

1

т0 =-------(с3 Отд —Сд т2);

Сб

1

т3 =----(с2 т2~с4 Ид);

со

Ид — —с0 с3-|-Сд с2;

1

т^ =-------(с2 т3—с 4т2);

со

«2------Со С^-^Сд с4>

Аб=с0 (сд тд—с3 т3+с5 т4).

^о —

I

2Д6

1.0 бт0-|-(6д —2&а &6) Шд (Од —2йа 6а 24?д 66) т2 -|-

2&д Ьз+2&0 Ьв) /л34-(Ьд—2Ь0 Ь2)/Пд 4-0^ т6] при п — б;

оде

1

т0=--------(Сд т1—с2 т2+с0 тэ), т1= —сосд с6-|-с0 с^ 4-с^ с4—Сд с2 с3;

се

т2 = СО с3 с64-с^ св—Сд с2 с6; тэ=с0 с% 4-Сд с8 се—с1 с4 св;

«д=------(с2 т3—Сд та4-св Мд); т6=---------(с2 т4—с* т3 ]-св т2);

с0	с0

△в=с0 (сд тй~с3 тл-]-с& т3).
х

П.8. Диффе^ >ные «ргяненч« м пере^-тсчные функции элементов систем автоматического регупи“->вания {Л.19)

№ п/п	Наименование .влемеита системы регулирования	Схема элемента	Уравнение элемента	Передаточная функция элемента
1	Механическая пере- дача (редуктор)	II о.  Л »• П !	Р4’  о	?1	1  сс5 —	«1, «2—	а1>  г?	' рев  где а3 и а2 — углы поворота зубча-  тых колес	Л? (р)	1  ^(Р)-—^- = — А (р)	ред

2

У силитель постоян-
ного тока

^2 — ку Пт»

где ку—коэффициент усиления
каскада

Ч (р) —., ,п.

1>т (Р)

3

Транзисторный уси-
литель переменного
тока

4 Сельсинная пара в
трансформаторном ре-
жиме

5 Термометр сопро-
тивления

«2 = кс (а—$) = кс 6,
где кс — коэффициент трансфор-
мации сельсина;

О -—к?, с
где Рт.с—коэффициент усиления
термометра сопротивления

0 ивых &

6

Магнитный усили-
тель

&Э
СЭ
:<О

1^2 — ^у ,

где /?у— коэффициент усиления
каскада

т Уъ(Р)

№ (р) =

01 (Р)



Ц7(Р) = —^2—=/; с

Цо (Р) Т‘С

•— йу и± 1

(/?) =

0-2 (Р)

От (р)	ТуР-}-!

где Ту—постоянная времени обмот-
ки управления магнитного усили-
теля; ку — коэффициент усиления
Наименование элемента
системы регулирования

Схема элемента

Уравнение элемента

Передаточная
функция элемента

Термопара

Гтп "Ь ®— &гп“вых>
(11

где Ттп — постоянная термопары;

А’тп —коэффициент усиления термо
пары



Ф(Р)

^вы? (Р*

&тп

Ттп Р +1

дифференцирую
щий трансформатор

Р= —— \ (Р1~ Ра)Л,
'ин

где Тцн—постоянная времени ин-

1 уДО

тег ратора —--=----—

'ИН	*

Г1 Ф2____________________Ф ____

Рд,+ ^?О	2	^/,5+Л’<1



____Р(Р)____
Р1 (.РУ—Р^р)

1__

ТИНР

Г(р)	Е-, (Р)
	Ех (р)
	Р
—	Тьр + 1 ’
где » —	1
	+ ^о
Ть	т,
	

Л2	Ла  ~7	' ~П~ =МВГ1Х>  «в	0-1	V/	^ВЫХ (Р)  ‘‘7(Р)—	, х — к2р  а(р)
где — кинетический момент ро- тора гироскопа;	
— коэффициент восстанавливаю- щего момента;	
— =к2	

(Р И-о	(1 I..

где

Т= в/~ —т- ?__________- Р - ~ :

г йс 2 |//гс

Рс

к = -—-, кд = кки
кс

кп — коэффициент пропорциональ-
ности между перемещением и дав-
лением

1Г (,□) =

^в (Р)
Р(Р)

______кд______

Т2р24-2|Тр + 1
В в	Наименование элемента системы регулирования	Схема элемента	Уравнение элемента	Передаточная функция элемента

13

Поплавковый уров-
немер

Гидропривод

сР х	Мх	/	гтй2 \

т + ~7Г + йс + У— ) х
й/2 й1	\	4 ]

где т—масса поплавка; О—коэф-
фициент жидкостного трения;
д—диаметр поплавка; х—переме-
щение поплавка; Л— изменение
уровня жидкости; у —удельная
плотность жидкости йс—коэффи-
циент жесткости пружины

Г(р) =

Х(р)
н (Р)

______^цу ,
п р^+^Тр+Г’

т

ла2
йс+т —

лй2

V —

*пу = шР

&с+Т

(р) =

*(р)
ХЙ(Р)

______^2П____

Р(Г2 р^+2^р+ 1)

,.„-41/^;
г г у

. _	1 /	_ дгп

р V руРоу?>
ЛИТЕРАТУРА

1.	Автоматизация производства и промышленная электроника. Под ред.
А. И. Берга и В. А. Трапезникова. «Советская энциклопедия», .1962—1965.

2.	Айзерман М. А. Лекции по теории автоматического регулирова-
ния. Гостехиздат, 1966.

3.	А р е п с В. Д. [и др.]. Динамика систем управления ракет с бортовыми
цифровыми вычислительными машинами. «Машиностроение», 1972.

4.	Барковский В. В., Захаров В. Н., Шаталов А. С.
Методы синтеза систем управления. «Машиностроение», 1969.

5.	Бендриков Г. А., Теодорчик К. Ф. Траектории корней ли-
нейных автоматических систем. «Наука», 1964.

6.	Б е с е к е р с к и й В. А., Попов Е. П. Теория систем автомати-
ческого регулирования. «Наука», 1972.

7.	Б о д е X Ф. Анализ цепей и расчет усилителей с обратной связью.
ИЛ, 1948.

8.	Б р и н И. А. Об устойчивости некоторых систем с распределенными
в сосредоточенными параметрами. Автоматика и телемеханика, 1962, № 7.

9.	Воронов н А. Основы теории ав-томатического управления. «Энер-
гия», ч. 1. 1965; ч. 2. 1966.

10.	Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц. «Наука», 1966.

11.	Гарднер М. Ф. и Б е р н с Д ж. Л. Переходные процессы в линей-
ных системах. Гостехиздат, 1949.

12.	Гольдфарб Л. С. Теория автоматического регулирования (конс-
пект лекций), ч. I и II. МЭИ, 1965.

13.	Г н о е н с к и й Л. С., Каменский Г. А., ЭльсгольцЛ. Э.
Математические основы теории управляемых систем. «Наука», 1962.

14.	Д ж у р и Э. Импульсные системы автоматического регулирования.
Физматгиз, 1963.

15.	Д и т к и н В. А., Кузнецов П. И. Справочник по операционно-
му исчислению. ГТТИ, 1951.

16.	3 е в е к е Г. В. и др. Основы теории цепей. «Энергия», 1975.

17.	Г. Ф. Зайце в. Коррекция систем автоматического управления по-
стоянного и переменного тока. «Энергия», 1969.

18.	3 у б о в В. И. Математические методы исследования систем автома-
тического регулирования. Судпромгиз, 1959.

19.	И в а щ е н к о Н. Н Автоматическое регулирование. «Машинострое-
ние», 1973.

20.	Коган Б. Я. Электронные моделирующие устройства и их приме-
нение для исследования систем автоматического регулирования. Физматгиз,
1963.

21.	К р у т о в В. И. Переходные процессы систем автоматического регу-
лирования. «Машиностроение», 1965.

22.	К р а с о в с к и й А. А., Поспелов Г. 6. Основы автоматики
и технической кибернетики. Госэнергоиздат, 1962.

23.	Кузин Л. Т. Расчет и проектирование дискретных систем управле-
ния. Машгиз, '962.

24.	Л е о н д е с К. Т [и др.]. Современная теория систем управления.
«Наука», 1970.

25.	Л и т в и н о в А. П. О вычислении передаточных функций дискрет-
ных систем управления — «Автоматика и телемеханика», 1973, Ач 8.

26.	М а р ь я н о в с к и й Д. И. Исследование переходных процессов
в линейных системах автоматического регулирования. — «Автоматика и телеме-
ханика», 1966, № 6.

27.	М е е р о в М. В. Системы многосвязного регулирования. «Наука»,
1965.

28.	М и х а й л о в А. В. О новом методе исследования замкнутых оегули-
руемых цепей. — «Автоматика и телемеханика», 1938, № 4—5.

29	Н е й м а р к Ю. И. Об определении значений параметров, при кото-
рых система автоматического регулирования устойчива. — «Автоматика и теле-
механика», 1948, № 4.
30.	Н и к о л а е в Ю. А. и др.]. Динамика цифровых слепящих систем.
«Энергия», 1970.

31.	Ньютон Дж К., Г у л д Л. А., К а й з е р Д ж Ф. Теория ли-
нейных систем (аналитические методы расчета). Физматгиз, 1961.

32.	Петров Б. Н. О построении и преобразовании структурных схем.
Изв. АН СССР, ОТН, 1945, № 12.

33.	Попов Е. П. Динамика систем автоматического регулирования.
Гостехиздат, 1954.

34.	Р о т а ч В Я Импульсные системы автоматического регулирования.
«Энергия», 1964.

35.	Р от а ч В. Я- Расчет динамики промышленных автоматических систем
регулирования. «Энергия» 1973.

36.	С а н к о в с к и й Е. А. [ред.]. Справочное пособие по теории систем
автоматического регулирования и управления. Минск, «Высшая школа», 1973.

37.	Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления
и ее применение. «Машиностроение», 1972.

38	Теория автоматического регулирования, кн. I. Под ред. В. В. Соло-
довникова. «Машиностроение», 1967.

39.	Т у Ю. Современная теория управления. «Машиностроение», 1971.

40.	Т у Ю. Цифровые и импулосные системы автоматического управления.
«Машиностроение», 1964.

41.	У д е р м а н Э. Г. Метод корневого годографа в теории автоматиче-
ских систем «Наука», 1972.

42.	Фатеев [и др.]. Расчет автоматических систем «Высшая школа»,
1973.

43.	Фельдбаум А. А. Электрические системы автоматического регу-
лирования. Оборонгиз, 1957.

44.	Фельдбаум А. А. [и др.]. Теоретические основы связи и управ-
ления. Физматгиз, 1953.*

45.	Цукерник Л. В. Обобщение уравнений динамики сложной энер-
госистемы и применение электронной счетной машины для анализа устойчиво-
сти. — «Автоматика и телемеханика» 1957, № 1.

46.	Цыпкин Я- 3. Теория линейных импульсных систем. Физматгиз,
1963.

47.	Цыпкин Я- 3., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульс-
ных систем. «Наука», 1973.

'8.	Чемоданов Б. К- (ред.). Математические основы теории автома-
тического регулирования. «Высшая школа», 1971.

49.	Ч е р н е ц к и й В. И., Д и д у к Г. А., Потапенко А А.
Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем.
«Энергия», 1970

50.	Чанг III. Ф. Л. Синтез оптимальных систем автоматического управ-
ления «Машиностроение», 1964

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автодальномер 286

Адаптация 29

Аппарат летательный 17, 65

Астатизм 196

— нулевого порядка 197

—	первого порядка 197

величина

—	контролируемая 7

—	неконтролируемая 7

— регулируемая 7

Воздействие 7

— типовое 181

Возмущение 7

енератор постоянного тока 11

Годограф

—	корневой 170

—	— асимптотический 171

—	Михайлова 151

—	частотный 57, 155

Двигатель асинхронный 15, 64

— постоянного тока 13, 64

Добротность 190

Звено

— апериодическое второго порядка
92
Звено дифференцирующее 77

— — реальное 84

— запаздывания 105, 165, 365

— затухания 107

— импульсное 290

— инерционное 79, 120

— инерционно-дифференцирующее
84, 257

—	инерционно-форсируюшее 86,
257, 258

—	интегрирующее 75

—	иррациональное 98, 163

—	колебательное 89, 123

—	консервативное 62

—	корректирующее 248

—	линейное 54, 72

—	минимально-фазовое 66

—	неминимально-фазовое 93

—	неустойчивое 96

—	обратной связи 121

—	особое 124

—	полуинерционное 103

— полуинтегрирующее 101, 124

—	пропорциональное 73

—	прямой связи 121

—	трансцендентное 104 163

—	упругое 86

	— — дифференцирующее 87

—	— интегрирующее 87

—	формирующее 290
форсирующее 83

Изображения по Лапласу 382
— — дискретных сигналов 300
Импульс единичный 54, 377
Инвариантность 259

Качество систем 181, 367

—	—, оценки 228

—	—, показатели 183

Кибернетика 5

Координаты состояния 7, 362
Корректирующие устройства
— — импульсные 112
— — —, синтез 368
— — обратной связи 248, 257
-----параллельные 248
-----последовательные 248 255
— —, примеры 251
— —, синтез 247, 249, 255
Коэффициент передачи 57, 86
— — импульсной системы 308
— —--------замкнутой 332

Критерий устойчивости 143
— Гурвица 143
— — импульсных систем 339
— Михайлова 149
— — импульсных систем 341
— Найквиста 153
-----импульсных систем 343

— Рауса 147, 178

Курс судна 16

Методы

— анализа качества интегральные
215, 228

—-------корневые 216, 237

— — — косвенные 215

— — — частотные 215

—	коэффициентов ошибок 193

Моделирование

—	аналоговое 185

—	непрерывных звеньев 123

—	цифровое 185, 350

Модуляция

—	амплитудно-импульсная 283

—	время-импульсная 283

—	широтно-импульсная 283

Нагрузка 7

Обратная связь 121

Объект управления 6, 9, 10, 261

—	многосвязный 8

— наблюдаемый 9

—	нейтральный 10

—	неустойчивый 10

—	односвязный 8

— с самовыравниванием 10, 261

—	управляемый 9

—	устойчивый 9

Оптимальность 247

Оценки качества

—	интегральные 228

—	— квадратичные 230

—	— линейные 228

—	корневые 237

Ошибка системы 182

—	кинетическая 188

—	статическая 186

Перерегулирование 184, 250

— максимальное 184

— —, время 184, 250

—, число 184

Переходный процесс

— — конечной длительности 354

— —, оценки качества 288

Печи 18

Поворот задающей оси 182

Полоса равномерного пропускания

191

Помехи 7

Преобразование Лапласа 49, 381

— — дискретное 293

Преобразователь аналого-цифровой
285, 368

— цифро-аналоговый 285, 368

Разбиение — О 175

Рассогласование 31
Регулирование 6

—	автономное 138

—	— уровня 140

—	—, время 183

—	, законы 267

Регулятор 31

— астатический 42

— И 267, 270, 273, 278, 2в0

— П 267, 269, 273, 277, 280

— ПИ 268, 270, 273, 279, 281

— ПИД 268, 271, 273, 280, 281

—	скорости электродвигателя 34,
38, 44, 46, 49, 52, 133, 136

—	статический 42

— уровня поплавковый 32, 37, 43,
45, 47, 132

Резервуар гидравлический 10, 63

Самонастройка 25, 29

Сигнал

—	гармонический 374

—	дискретный 293

—	задающий 182

—	периодический 374

—	постоянной скорости 188

Системы

—	астатические 197, 361

—	замкнутые 26

—	импульсные 283

—	линейные, синтез 181

	— рабочий диапазон 191

—	разомкнутые 25

— регулирования температуры 288

— следящие 25, 29. 35, 41, 45, 46,
49, 134

— — цифровые 285, 372, 353

— статические 197

Скачок единичный. 377

Слежение 29

Соединение звеньев 109

•— — параллельное встречное 120

•— — — согласное 118

— — последовательное 109

Составляющие транспонированные
296

Стабилизация 25, 27 .

— напряжения генератора постоян-
ного тока 33, 38, 43, 46, 48,
51, 132

Статцзм 198

Схемы структурные 22, 36

— — импульсных систем 335

— —преобразование 125

—	функциональные 22, 31

"еорема Котельникова 299

Управление 6

—	дуальное 30

—	жесткое 25

—	, качество 181

—	комбинированное 259

—	программное 25

Уравнение замыкания 121

— характеристическое 143

Устойчивость 61, 142

—, запас 168

—, критерии 143, 337

Фильтр импульсный 366

Функция

— весовая 61

— — импульсных систем 351

— передаточная 50, 58, 131, 388

— — импульсных систем 310, 332

. 351

— — по ошибке 60, 185, 262

— — аппроксимирующая 262

— импульсная 61, 187, 315

— решетчатая 283

Характеристика

— амплитудно-фазовая 57, 153

— внешняя 198

— логарифмическая амплитудно-
частотная 58, 160

— — — асимптотическая 115, 25.4

— — — желаемая 250, 256

— — — импульсных систем 323

— — — корректирующего звена
250, 256

— — — Нескорректированной сш
темы 250, 256

— — — типовая 225

— нагрузочная 198

— статическая 42, 136

— частотная вещественная обобщен

пая 202

—	— — замкнутой системы 206,
250

—	— — собственная 202

ЦВМ 149, 177, 210 350

Частота

—	граничная 191

—	пересечения 155

—	пропускания 203

—	резонансная 89

—	собственная 92

—	среза 218
ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр

Предисловие...................................................... 3

Глава 1

Общая характеристика объектов и систем
автоматического управления

•§ 1.1. Введение.............................................  .	5

§ 1.2.	Объект автоматического управления........................  6

§ 1.3.	Примеры объектов управления.............................  10

§ 1.4.	Функциональные и структурные схемы объектов.............. 22

{ 1.5. Принципы автоматического управления ....  ................25

§ 1.6.	Примеры простейших непрерывных замкнутых систем регулироза-
ния и их функциональные схемы..................................  31

Глава 11

Уравнения системы автоматического регулирования

§ 2.1.	Дифференциальные уравнения и структурные схемы систем автома-
тического регулирования .........................................36

§ 2.2.	Статические характеристики систем автоматического регулирова-
ния .............................................................42

§ 2.3.	Приведение задач к нулевым начальным условиям и линеаризация
математического описания системы.................................46

-§ 2.4. Уравнения линейных систем в изображениях по Лапласу . . . . 49

Глава III

Прохождение регуляторного сигнала
через линейное звено

§3.1.	Регулярные сигналы...................................... 54

§ 3.2.	Характеристики линейного звена............................56

§ 3.3.	Примеры передаточных функций объектов ... ................63

§ 3.4.	Общее свойство минимально-фазовых устойчивых звеньев	...	66

§ 3.5.	Преобразование произвольного сигнала линейным звеном	...	69

Глава IV

"киповые звенья линейных систем автоматического управления

§4.1. Общая хапактеристика типовых линейных звеньев.............72

§ 4.2.	Простейшие звенья.........................................73

§ 4.3.	Звенья первого порядка................................  .	79

§ 4.4.	Колебательное звено. . ...................................89

Глава V

Особые звенья линейных систем автоматического управления

§5.1.	Особенности характеристик некоторых линейных звеньев . . . . ЭЗ

§ 5.2.	Устойчивые неминимально-фазовые звенья....................93

§ 5.3.	Неустойчивые звенья.....................................  Э6
§ 5.4.	Иррациональные звенья  ....................................98

§ 5.5.	Трансцендентные звенья....................................104

Глава VI
Соединение звеньев и преобразование структурных схем
непрерывных линейных систем

§ 6.1.	Общая характеристика соединений звеньев...................109

§ 6.2.	Последовательное соединение звеньев........................ПО

§ 6.3.	Определение параметров минимально-фазовой системы по ее ампли-
тудно-часютной характеристике ...................................113

§ 6.4.	Параллельное согласное соединение звеньев.................118

§ 6.5.	Параллельное встречное соединение звеньев.................120

§ 6.6.	Модели непрерывных линейных звеньев.....................  123

§ 6.7.	Преобразование структурных схем...........................125

” 6.8.	Структурные схемы и передаточные функции простейших систем
автоматического регулирования..................................  131

§ 6.9.	Структурные схемы и передаточные функции систем регулирова-
ния двусвязных объектов .........................................137

§ 3,10.	Передаточная функция между произвольными узлами схемы . 141

Глава VII

Устойчивость лщ.ейных систем автоматического регулирования

§ 7.1.	Постановка задачи исследования устойчивости...............142

§ 7.2.	Алгебраические критерии устойчивости......................143

Г 7.3. Частотные критерии устойчивости...........................149

§ 7.4.	Суждение об устойчивости на основании критерия Найквиста по
логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой систе-
мы ..............................................................160

§ 7.5.	Устойчивость систем	автоматического	регулирования с иррацио-
нальными и трансцендентными	звеньями...................163

§ 7.6.	Запасы устойчивости.......................................168

Глава VIII

Исследование злияния параметров
линейных систем автоматического регулирования
на их устойчивость

§8.1.	Постановка задачи. . .....................................170

§ 8.2.	Метод корневого годографа.................................170

§ 8.3.	Метод О-разбиения.........................................175

Глава IX

Качество процессов управления н прямые методы его исследования

§ 9.1.	Показатели качества.......................................181

§ 9.2.	Качество регулирования при стандартных воздействиях .... 185

§ 9.3.	Вынужденная составляющая ошибки...........................193

§ 9.4.	Порядок астатизма систем автоматического управления.......196

6 9.5.	Частотный метод построения процессов управления...........200

§ 9.6.	Исследование качества регулирования с помощью электронных
вычислительных машин.............................................208

Г л а ь а X

Косвенные методы исследования качества
процессов управления

§ 10.1.	Общая характеристика косвенных методов исследования пере-
ходных процессов .................................................215
§ 10.2.	Частотные методы исследования качества процессов управления 216

§ 10.3.	Интегральные оценки качества переходных процессов....228

§ 10.4.	Корневые методы оценки качества переходных процессов ... . 237

Глава XI

Синтез минимально-фазовых линейных
систем регулирования

§ 11.1.	Постановка задачи......................................247

§ 11.2.	Способы включения корректирующих устройств.............248

§ 11.3.	Методы синтеза.........................................249

§ 11.4.	Комбинированные системы регулирования. Инвариантность . 259

Глава XII

•	Синтез систем промышленной автоматики

§ 12.1.	Динамические свойства промышленных объектов регулирования 261

§ 12.2.	Типовые линейные законы регулирования..................267

§ 12.3.	Устойчивость систем регулирования с типовыми регуляторами 269

§ 12.4.	Расчет оптимальных параметров настройки регуляторов . . . 275

Г л'а в а XIII
Импульсные системы автоматического регулирования.

Характеристики дискретных сигналов

§ 13.1.	Примеры импульсных систем автоматического регулирования 283

§ 13.2.	Эквивалентная схема импульсной системы автоматического регу-
лирования .......................................................289

§ 13.3.	Спектры и изображения дискретных сигналов.................292

Глава XIV

Характеристики импульсных систем автоматического регулирования

§ 14.1.	Прохождение сигналов через импульсную систему автоматическо-
го регулирования ............................................... 304

§ 14.2.	Комплексные коэффициенты передачи и передаточные функции
разомкнутых импульсных систем автоматического регулирования 306

§ 14.3.	Получение передаточных функций и комплексных коэффициен-
тов передачи разомкнутых импульсных систем автоматического
регулирования....................................................314

§ 14.4.	Логарифмические частотные характеристики импульсных систем
автоматического регулирования....................................323

5 14.5	. Комплексные коэффициенты передачи и передаточные функции
замкнутых импульсных систем автоматического регулирования 332

Глава XV

Устойчивость и качество, процессов в импульсных системах
автоматического регулирования

§ 15.1.	Устойчивость импульсных систем автоматического регулирования 337

§ 15.2.	Определение законов изменения сигналов в импульсных системах
автоматического регулирования......................................346

§ 15.3.	Уравнения импульсных систем автоматического регулирования
в пространстве состояний ........................................  362

§ 15.4.	Косвенные методы оценки качества и синтез импульсных систем
автоматического	регулирования.........	 367

Приложения.........................................................374

Литература.........................................................394

Предметный указатель...............................................400