COURS DE LA FACULTE DES SCIENCES DE PARIS
COURS
D'ANALYSE MATHEMATIQUE
PAR
EDOUARD GOURSAT
Membre de I'Institut,
Professeur a la Faculte
des Sciences de Paris
C1NQU1EME EDITION
TOME II
THEORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES
EQUATIONS PIFFERENTIELLES
EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
DU PREMIER ORDRE
GAUTHIER—VILLARS
PARIS

Э. Г У Р С А
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ТОМ ВТОРОЙ
ЧАСТЬ I
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
проф. -А. И. НЕКРАСОВА
П О Л РЕДАКЦИЕЙ
Б. К. МЛОДЗЕЕВСКОГО
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ВНОВЬПРОСМОТРЕННОЕ И ПЕРЕРАБО-
ПЕРЕРАБОТАННОЕ ПО ПЯТОМУ ФРАНЦУЗСКОМУ
ИЗДАНИЮ
проф. В. В. СТЕПАНОВЫМ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1933 ЛЕНИНГРАД

T 21-5-2.
Редакционную работу по этой книге провел редактор ГТТИ В. И. Контовт. Издание офор-
оформила О. Я. Персиянинова. Корректуру держал С. Ф. Морошкин. Наблюдал за выпуском
В. П. Mopes
Рукопись сдана в производство 8|1Х 193У"г^Листы подписаны к печати в июле 1933 г. Книга
вышла в свет в августе 1933 г. в количестве 5000 экземпляров на бумаге формата 62X94. Печатных
знаков в листе 67 000, листов в. книге 17. Заказ № 3584. ГТТИ № 618 Уполномоченный Главлнта
№ В-52569..
1-я „Образцовая" типография Огиза РСФСР треста „Полиграфкннга". Москва, Валовая, 28.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава XIII.
ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
Стр.
I. Общие замечания. Моногенные функции . . 9
255. Определения —
256. Непрерывные функции комплексного переменного 12
257. Моногенные функции 13
258. Голоморфные функции 16
259. Рациональные функции 17
260. Исследование некоторых иррациональных функций 18
26L Функции однозначные и многозначные 21
II. Целые ряды с мнимыми членами. Простейшие трансцендентные функции . —
262. Круг сходимости ....'..." 22
263. Ряды рядов 25
264. Разложение бесконечного произведения в степенной ряд .... 26
265. Показательная функция 28
266. Круговые (тригонометрические) функции 30
267. Логарифмы 31
268. Обратные функции: arc sin z, arc tg z 33
269. Приложение к интегральному исчислению 36
270. Разложение на простые элементы рациональной функции от sin z
и cos г 38
271. Разложение Log A + г) ^ 41
272. Распространение формулы бинома 43
III. Понятие о конформном преобразовании . , 45
273. Геометрическое истолкование производной —
274. Теорема Римана 49
275. Изотермические линии 51
Упражнения 52
Глава XIV.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО КОШИ.
I. Определенные интегралы между мнимыми пределами 56
276. Определения и общие положения . . . .• —
277. Замены переменных 58
278. Формулы Вейерштрасса и Дарбу '. 60.
279. Интегралы по замкнутому контуру 62
280. Исследование предпосылок, необходимых для доказательства основ-
основной теоремы , . 64
281. Случай сложных' контуров i 65
282. Распространение формул интегрального исчисления 67
283. Другой вывод предыдущих результатов 69

Стр.
II. Интеграл Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Особые точки. Вычеты .... 70
284. Основная формула —
285. Теорема Морера 73
286. Ряд Тейлора ' 74
287. Теорема Лиувилля 76
288. Ряд Лорана - 77
289. Разные ряды 80
290. Ряды голоморфных функций. Теорема Вейерштрасса . 82
291. Полюсы 84
292. Мероморфные функции 85
293. Существенно особые точки 86
294. Вычеты • • . . 88
III. Приложения общих теорем 90
295. Различные замечания —
296. Вычисление простейших определенных интегралов 91
297. Различные определенные интегралы 92
298. Вычисление цроизведения Г(/>)ГA—р) 95
299. Приложение к мероморфным функциям ,. 96
300. Приложение к теории уравнений 98
301. Формула Иенсена . . . 99
302. Формула Лагранжа 101
303. Исследование, функции при бесконечно-больших значениях пере-
переменного 103
IV. Периоды определенных интегралов , 106
304. Полярные периоды • . —
Z
305. Изучение интеграла I , 109
о
306. Периоды ультраэллиптических интегралов 110
307. Периоды эллиптического интеграла первого рода 114
Упражнения 116
Глава XV.
ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ.
L Первичные множители Вейерштрасса. Теорема Миттаг-Леффлера 126
308. Выражение целой функции через произведение первичных мно-
множителей —
309. Род целой функции ~\ . . . \ . . 131
310. Однозначные функции с конечным числом особых точек .... —
311. Однозначные функции с бесконечным множеством особых точек . 132
312. Теорема Миттаг-Леффлера 133
313. Исследование некоторых частных случаев 136
314. Способ Коши ¦ ... 138
315. Разложение ctg х и sin х " 14L
II. Двоякопериодические функции. Эллиптические функции , . 145
316. Периодические функции. Разложение в ряды "—
317. Невозможность существования однозначной функции с тремя пе-
периодами 147
318. Двоякопериодические функции 148
319. Эллиптические функции. Общие свойства < . 149
320. Функция @и 152
321. Алгебраическое соотношение между @и и g'u . ... . ... . . 156

т
Стр.
322. Функция Ы .......'.:. 158
323. Функция аи . V . 160
324. Общее выражение эллиптических функций ........... 161
325. Формулы сложения . . .....:..... 164
326. Интегрирование эллиптических функций . .< 4 166
327. Функция Ь 168
III. Обращение. Кривые первого рода . . 170
328. Соотношение между периодами и инвариантами . . —
329. Функция, обратная эллиптическому интегралу первого вида . ., . 172
330. Определение функции fu через инварианты '...:. 179
331. Приложение к плоским кривым третьего порядка . . .... . - 182
332. Общие формулы обращения '...'. 184
333. Кривые первого рода . • 188
Упражнения . . . . .... . . . . . . .. . . 191
Глава XVI.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ.
I. Определение аналитической функции одним из ее элементов 193
334. Первое понятие об аналитическом продолжении . . —
335. Другое определение аналитических функций *195
336. Особые точки 200
337. Общая задача 201
II. Различные методы аналитического продолжения . . . . % 203
338. Замена переменного —
339. Подпоследовательности 206
340. Преобразование к виду интеграла 207
341. Теорема Адамара 211
342. Теорема Миттаг-Леффлера 213
343. Теорему Пенлеве 214
III. Пустые пространства. Разрезы ¦ 215
344. Особые линии. Пустые пространства 216
345. Примеры . . 218
346. Особенности аналитических выражений 220
347. Формула Эрмита 221
Упражнения 224
Глава XVII.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
I. Общие свойства.. 226
348. Определения —
349. Совместные круги сходимости . .* 227
350. Двойные интегралы 229
35К Распространение теорем Коши ... 231
352. Функции, изображаемые в виде определенных интегралов .... 233
353. Приложение к функции Г 235
354. Аналитическое продолжение функции двух переменных 237
II. Неявные функции. Алгебраические функции 238
355. Теорема Вейерштрасса • —
356. Критические точки 242
357. Алгебраические функции 245

Стр.
358. Абелевы интегралы 248
350. Теорема Абеля 249
360. Приложение к ультраэллиптическим интегралам . . 251
361. Распространение формулы Лагранжа 255
Упражнения , 257
ДОПОЛНЕНИЕ.
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
1. Общие положения 258
2. Теорема Веиерштрасса 259
3. Область равномерной сходимости 261
4. Теорема Стильтьеса. Ядро равномерной сходимости —
5. Теорема Витали ....'. 263
6. Нормальные последовательности 265
7. Неограниченные сходящиеся последовательности 267
Указатель 269

ГЛАВА ХШ.
ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
255. Определения. Мнимым количеством, или комплексным количе--
ством, называется всякое выражение вида а-\-Ы, где а и b—какие-
нибудь действительные числа, и i—-особый символ, ввести который
оказалось нужным, чтобы придать алгебре больше общности. В сущно-
сущности, на комплексное количество можно смотреть как на систему двух
действительных количеств, взятых в определенном порядке. Хотя выра-
выражения вида а-\-Ы и не имеют сами по себе никакого конкретного
значения, тем не менее, условились применять к ним обыкновенные
правила алгебраического вычисления при условии заменять повсюду
выражение i2 через —1.
Два мнимых количества а-\-Ы и a'-\-b'i называются равными,
если а' = a, b' = b. Сумма двух мнимых количеств 'а -+* Ы ис-|-^гесть
символ того же вида (a -f-с) -\-i (b -+¦ d)\ точно так же разность {а-\-Ы) —
— (c-\-di) равна мнимому количеству (а— c)-'ri(b— d). Чтобы полу-
получить произведение а-\~Ы на c-\-di, его составляют по обыкновенному
правилу алгебраического умножения, заменяя г2 через — 1; это дает:
(a -j- bi) (с -f- di) — ac — bd + i {ad -f be).
Частное от деления а-\-Ы на c-\~di есть также мнимый символ
x-\-yi, произведение которого на c-\-di равно а-\-Ы. На основании
правила умножения, равенство
равносильно соотношениям
cx — dy==a, dx-\-cy = b;
отсюда имеем:
ас + bd be — ad
X y
Для изображения частного от деления а-\-Ы на c-\~di пользуются
обычным изображением алгебраических дробей:
а-\-Ы

10 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 255
чтобы найти хну, всего проще умножить числитель и знаменатель этой
дроби нас — di и раскрыть полученные произведения.
Все свойства основных алгебраических действий распространяются
и на действия над мнимыми символами; так, если А, В, С, ... обозна-
обозначают мнимые символы, то
А-В = В-А, (А-В)С=А-(ВС), А-(В-\-С) = АВ -f АС, ...
и т. д. Мнимые количества а-\~Ы и а—тЫ называются,сопряженными
мнимыми количествами. Два мнимых количества а-\-Ы и — а — bi,
сумма которых равна нулю, называются противоположными, или сим-
симметричными^ i
Пусть * мы имеем на плоскости систему прямоугольных осей коор-
координат хОу, расположенных, обычным образом. Тогда мнимое количе-
количество а -\-> bi изобразится на этой плоскости точкою М с координа-
координатами х = а, у=Ь. Таким образом чисто символические выражения
получают конкретное истолкование, и, каждому предложению, доказан-
доказанному для мнимых количеств, будет соответствовать теорема планимет-
планиметрии. В последующем мы всего лучше убедимся в огромных преимуще-
преимуществах этого способа изображать мнимые количества. Действительные
количества соответствуют точкам оси Ох, которая поэтому называется
также действительною осью. Мнимые сопряженные количества a -f- bi
и а — Ы соответствуют двум точкам, симметричным относительно оси Ох;
противополржные количества а-\-bi и —а — Ы представятся точками,
симметричными относительно точки О. .
Количество а-\-Ы, соответствующее точке М с координатами (а, Ь),
иногда называется также аффиксом этой точки. В тех случаях, когда
можно не опасаться неопределенности, мы будем обозначать одною и
тою же буквою как мнимое количество, так и ту точку, которая его
представляет.
Соединим начало координат с точкою т с координатами (а, Ь).
Расстояние От называется модулем количества a-\-bi, а угол, на ко-
который нужно повернуть полупрямую, совпадающую с Ох, чтобы при-
привести ее в совпадение с От (этот угол отсчитывается, как в тригоно-
тригонометрии, от Ох к Оу), называется аргументом количества а-\-Ы. Пусть
будут р и о модуль и аргумент количества а -)- Ы; действительные ко-
количества а, Ь, р, ю связаны двумя соотношениями
а — р cos ш, b = р sin ю,
отсюда имеем:
№, cosю— sin ю = — — .
" у | у j
Модуль есть вполне определенное существенно положительное число;
напротив, аргумент определяется только его тригонометрическими функ-
функциями и потому известен только с точностью до 2тг, что очевидно из
самого его определения. Поэтому всякое мнимое количество имеет бес-
бесконечное множество аргументов, образующих арифметическую прогрес-
прогрессию с разностью 2тт. Чтобы два мнимых количества были между собою
равны, их модули должны быть равны, и, кроме этого, необходимо,

§255
I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ
11
ж
чтобы аргументы разнились между собою на кратное 2тг; эти два условия
также и достаточны. Модуль мнимого количества z изображается тем же
символом \z\, как и абсолютное значение действительного количества.
Пусть будут z = a-\-bi, г' = а'-\-ЬЧ мнимые количества, т, т' —
соответствующие им точки; сумма z-\-z' изобразится точкою т", ле-
лежащею в вершине параллелограма, построенного
на От и On't Но стороны треугольника Отт"
(черт. 43), соответственно, равны модулям количеств
z, z1, z-\-z'. Отсюда следует, что модуль суммы
двух количеств не больше суммы и не меньше
разности модулей этих количеств. Так как про-
противоположные количества имеют общий11 модуль,
то эта теорема верна также и для модуля разности.
Наконец, тем же способом можно убедиться, что
модуль суммы любого числа мнимых количеств не
превосходит суммы их модулей, причем равенство Черт. 43.
имеет место только в том случае, е^и все точки,
представляющие эти различные количества, лежат на одной полупрямой,
выходящей из начала координат.
Если через точку т мы проведем прямые тх'\ ту' параллельно
осям Ох и Оу, то координаты точки т'
будут а'—а и b — У (черт. 44). Следо-
Следовательно, точка т' представляет в новой
системе осей разность г' — г; модуль раз-
разности' z' — z равен длине mm', а аргумент
равен углу 6, образуемому направлением
mm! с направлением тх'. Проведем через
точку О отрезок ОтЛ, равный и парал-
параллельный отрезку mm'; конец тЛ этого
отрезка представляет разность г' — г в
системе осей Ох, Оу. Но фигура Отт'тЛ
есть параллелограм;- следовательно, точка
/и, симметрична с точкою т относительно
в этой новой системе Осей
У
0
У
х>
X
Черт. 44.
середины с отрезка От'.
Приведем еще формулы для модуля и аргумента любого числа мно-
множителей. Пусть будут
*-гisinшл) (* = 1. 2> •••. n)
Эти множители; применяя правило умножения вместе с формулами сло-
сложения тригонометрических функций, получим для произведения:
г -f ю2 -4- ... -J- шл) ];
ism
отсюда следует, что модуль произведения.равен произведению модулей
и аргумент произведения равен сулеме аргументов. Отсюда легко по-
получается известная формула Муавра (Moivre):
cos т (о -f- / sin /я» = (cos ю -f- i sin v>)m,
заключающая в сжатом виде все формулы умноженля тригонометриче-
тригонометрических функций.

12 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 255-256
Введение мнимых символов позволило дать теории алгебраических
уравнений совершенные общность и симметрию, и .самые эти символы
появились впервые в связи с уравнениями второй степени. Эти сим-
символы имеют не меньшую важность и в анализе, и мы прежде всего
выясним с точностью, что следует понимать под словами: функция
мнимого переменного.
256. Непрерывные функции комплексного переменного. Комплексное
количество z = x-\-yi, где х и у — действительные независимые пере-
переменные, называется комплексным переменным. Если мы сохраним за
словом функция его наиболее общий смысл, то естественно называть
всякое другое мнимое количество и, значение которого зависит от зна-
значения z, функцией} переменного z. Ряд данных в предыдущем опреде-
определении непосредственно распространяется и на функции мнимого пере-
переменного. Так, функция и=/(г) называется непрерывною, если модуль
разности f{z-\- h)—f{z) стремится к нулю при приближении модуля А
к нулю, т. е. если можно найти для всякого положительного числа в
такое другое положительное число ij, чтобы было
всякий раз, когда |А| меньше числа 7j.
РЯ71
И0
все члены которого суть функции комплексного переменного z, назы-
называется равномерно сходящимся в области А плоскости, если для вся-
всякого положительного числа ? можно найти такое целое число N, чтобы
при всех значениях z, взятых в области А, было
если n^>N. Как и выше (т. I, § 30), можно доказать, что сумма ряда,.
равномерно сходящегося в области А, все члены которого суть в этой
области непрерывные функции от z, сама есть функция переменного г,
непрерывная в той же области; ряд будет равномерно сходящимся, если,
при всех рассматриваемых значениях переменного z модуль любого
члена ряда |ия| меньше соответствующего члена vn сходящегося ряда,
все члены которого суть постоянные положительные, числа. В этом
случае ряд Hq-j-Hj-}- ... будет одновременно равномерно и абсолютно
сходящимся.
Всякая непрерывная функция комплексного переменного z имеет
вид и = Р(х, y)-\-iQ(x, у), где Р и Q — действительные непрерывные
функции действительных переменных х, у. Поэтому, если бы мы не
прибавили к предыдущему определению никаких других условий, то
изучение функций комплексного переменного г привелось бы, в сущно-
сущности, к изучению системы двух функций двух действительных перемен-
переменных, и введение символа i не дало бы никаких существенных упроще-
упрощений. Чтобы теория функций комплексного переменного представляла
некоторую аналогию с теорией функций действительного переменного,
найдем, следуя Коши, каким условиям должны удовлетворять функ-
функции Р и Q, чтобы выражение P-\-iQ обладало основным свойством

§ 256—257 I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ 13
функций действительного переменного, к которым применимо исчисле-
исчисление бесконечно-малых.
257. Моногенные функции. Если /(х) есть функция действительного
f{x-\-h)—f(x)
переменного х, имеющая производную, то отношение —;
п
при приближении h к нулю стремится к пределу/'(х). Найдем также,
в каких случаях частное
Ди _ 6.Р -f- i \Q
стремится к определенному пределу всякий раз, как модуль |Дг| стре-
стремится к нулю, т. е. всякий раз, как Дх и Ду отдельно стремятся к
нулю. Легко предвидеть, что этого не будет, если функции Р(х, у)
и Q(x, у) будут вполне произвольными, так как предел предыдущего
Ду
отношения зависит, вообще, от предела , т. е. от того пути, по ко-
которому точка, представляющая значение количества z-j-Az, стремится
к точке, представляющей значение количества z.
Оставим сначала у постоянным и дадим х близкое значение х-|-Дх;
мы црлучим:
A«_PU + A*,y) — Р(х, у) .Q(x + Ax,y) — Q(x,y)
Дг Дх Дх
Чтобы это отношение имело предел, функции Р и Q должны иметь
¦частные производные по х; тогда этот предел будет иметь выражение:
,. Ди дР . .dQ
Дг Ьх ' их
Предположим затем, что х постоянно, и дадим у значение _у-]-Ду;
мы получим:
Ьи = Р(х,у-\-Ьу) — Р{х,у) , Q(x,y + Hy)— Q(x,y)
Дг /Ду ~г Ду
Если функции Р и Q имеют частные производные по у, то предел
этого отношения равен
Ъу 1 йу
Ди
ения j—
равны, должно быть:
Ди
Чтобы пределы отношения j— в обоих случаях были между собою
дх~Ьу ' ду~ Ъх' { '
Предположим, что функции Р и Q удовлетворяют этим условиям,
ЬР ЬР Ю Ю
и что частные производные —, —-, ^, ^-= непрерывны. Дадим те-
дХ oV oX ду

14 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 2ЬТ
перь х и у какие-нибудь приращения Ах и Ду; обозначая через 8 и fjr
положительные числа, меньшие единицы, получим:
= Ay Ру (х + Ьх,у + 6Ду) + Ьх Р'х {х + Ъ'Ьх, у) =
= Ах [Р; (х,» + е] + АУ [Ру (*,У) + е,],
и точно так *же
где s, г', Sj, ?-,' бесконечно малы вместе с Дх и Ду. Принимая во вни-
внимание условия A), мы можем представить приращение Ди = AP-\-iAQ
в виде:
где rj, r/ бесконечно малы. Отсюда имеем:
Аи ЙР , . SQ . г; Дх 4- ij' Ду
причем, если 17) и | г/ | меньше некоторого числа а, то модуль допол-
дополнительного члена меньше 2а. Следовательно,. при приближении Ах ш
Ду к нулю, этот член стремится к нулю, и мы имеем:
Аг Ъх ' дл
Таким образом соотношения A) представляют необходимые и доста-
.Дм
точные условия того; чтобы • отношение -г— имело единственный пре-
предел для каждого значения переменного z при условии непрерывности
частных производных от функций Р и Q. Такая функция и называется
моногенною, или аналитическою*, функциею переменного z; если
мы обозначим ее через f(z), то производная /' (z) будет равна
любому из следующих выражений, которые для моногенных функций
все между собою равнозначащи:
; Ъх ' Ьх йу ду дх ду ду ~ дх '
Необходимо обратить внимание на то, что ни одна из функций Р(х, у),
Q {х, у) не может быть взята произвольно. В самом деле, предполо-
* Словом моногенная функция часто пользовался Коши. Иногда уцртребляют также тер-
термин синектическйя функция. Мы будем чаще Пользоваться термином аналитическая функция;
ниже.мы увидим, что последнее определение вполне согласно с определением аиачитических функ-
функций, которое было дано ранее (т. I, § 188).

§ 257 I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ 15
жим, что функции Р и Q имеют производные второго порядка; ди-
ференцируя первое из равенств A) по х, второе по у и складывая
полученные соотношения, будем иметь:
точно так же мы можем доказать, что Дф~. 0. Следовательно, обе
функции Р(х, у), Q{x, у) суть решения уравнения Лапласа.
Обратно, всякое решение уравнения Лапласа может быть принято
за одну из функций Р или Q. Пусть будет, например, Р(х, у)одно
из решений этого уравнения; тогда уравнения A), где Q рассматри-
рассматривается как неизвестная функция, совместимы, и выражение
[T(
где С—произвольное постоянное, есть моногениая функция, действи-
действительная часть которой равна Р(х, у).
Таким образом изучение аналитических функций комплексного пере-
переменного г приводится, в сущности, к изучению системы двух дей-
действительных функций Р(х, у), Q(x,y) от двух действительных пере-
переменных х, у, удовлетворяющих соотношениям A), и можно было бы
развить всю теорию таких функций, не пользуясь символом i *. Мы,
однако, будем пользоваться символами Коши, заметив при этом, что
разница между обоими методами, в сущности, скорее кажущаяся, чем
действительная. Всякая теорема, доказанная для аналитической функ-
функции / (z), непосредственно переводится в равносильную теорему для.
функций Р и Q и обратно:
Примеры. Функция и = хг — у2 -t- lixy — аналитическая, так как для нее
соотношения A) удовлетворяются; ее производная равна 2х -\-2iy = 2z; эта функ-
функция есть не что иное, как (х ¦+- iyf = z2. Напротив, выражение v = х — iy не
есть аналитическая функция; в самом деле, мы имеем:
\v\х
+ Sx
\v Ду
и ясно, что предел отношения -г— зависит от предела отношения ~- .
Полагая Ar = pcos(o, j/ = psin<o и применяя формулы замены переменных
(т. I, §60), мы Можем представить соотношения A) в виде:
йя = _р<К> Ю = ?^_Р. C)
производная f'(z) будет иметь выражение:
(дР ¦
f (г) = (—• + ir~\(cos со — г sin a>).
\Ь? dp J
* С этой точки зрения обыкновенно смотрят на теорию аналитических функций немецкие
математики школы Римана.

16 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ $ 257—258
С помощью этих формул нетрудно показать, что функция
zm = рт (cos тч> -\- i sin ти>)
есть аналитическая функция переменного г, производная которой равна
/ир/я-1 (cos т<л + i sin тч>) (cos ш — i sin <¦>) = mz^-1.
258; Голоморфные функции. Предыдущие общие положения имеют не-
несколько неопределенный характер, так как до сих пор мы не касались
вопроса о тех границах, между какими мы будем изменять переменное г.
Часть А плоскости называется связною, если две любые точки, взя-
взятые в этбй части, можно соединить непрерывным путем, который весь
лежит в этой части плоскости. Связная часть плоскости, расположен-
расположенная вся на конечном расстоянии, может быть ограничена одйою или
несколькими замкнутыми линиями, среди которых всегда есть замкну-
замкнутая линия, ограничивающая ее извне. Связная часть плоскости, про-
простирающаяся в бесконечность, может состоять из совокупности точек,
лежащих вне одной или нескольких замкнутых линий; она может также
быть ограничена линиями, имеющими бесконечные ветви.
Мы будем называть связную часть плоскости областью.
Функция f(z) комплексного переменного z называется голоморфною
в связной части А плоскости, если она удовлетворяет следующим усло-
условиям:
1. Каждой точке z области А соответствует определенное значение
функции f(z).
2. Функция f(z) остается непрерывною, когда точка z перемещается
в области А, т. е. модуль f(z-\-h)—f(z) стремится к нулю вместе
с модулем А.
3. В "каждой точке z области А функция /(г) имеет единственную
производную f (z), т. е. каждой точке z' соответствует такое комплекс-
комплексное число f (z), что модуль разности
стремится к нулю, когда [ h \ стремится к нулю. Тогда для всякого по-
положительного числа ? можно найти такое другое положительное число rt,
чтобы было
— /(г)-*/(*) |< е| Л |, D)
если ! h | меньше числа г(.
Мы не сделаем пока никакого предположения относительно значений
функции /(г) вдоль контура, ограничивающего область А. Когда мы
будем говорить, что функция /(г) голоморфна внутри области А, огра-
ограниченной замкнутым контуром Г, и на самом этом контуре, то под
этим следует подразумевать, что функция/(г) голоморфна в области 9(,
содержащей контур Г и область А. ,
Аналитическая функция /(г) не должна быть непременно голоморф-
голоморфною во всей области существования; она имеет, вообще, особые точки,
которые могут быть очень различного рода. Здесь было бы преждевре-
преждевременно давать классификацию этих, особых точек, характер которых
вполне выяснится из дальнейшего.

§ 259 I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ 17
259. Рациональные функции. Так как правила диференцирования
суммы, произведения, частного являются логическими следствиями опре-
определения производной, то эти правила распространяются и на функции
комплексного переменного. То же имеет место и для правила диферен-
диференцирования функции от функции. Пусть будет u=f(Z) аналитическая
функция комплексного переменного Z; если мы заменим Z другою ана-
аналитическою функциею y{z) нового комплексного переменного z, то «бу-
«будет также аналитическою функциею и переменного z. В самом деле,
мы имеем:
ДыДм &Z
при приближении \\z\ к нулю, \1Z\ также стремится к нулю, и каж-
^ Ьи \Z
дое из отношений -г--, -— стремится к определенному пределу. Следо-
\Z \z
Дм
сам
Дм
вательно, отношение г- само стремится к пределу
lim~=/'(Z) <?'(*)•
Выше мы доказали (§ 257), что функция
m
sm — (x -)- iy)
есть аналитическая функция переменного z, имеющая производную тгт'1.
В этом можно убедиться непосредственно так же, как в случае действи-
действительного переменного. В самом деле, формула бинома, основывающаяся
единственно на свойствах умножения, очевидно, распространяется на
комплексные количества. Следовательно, мы имеем при т целом поло-
положительном:
и отсюда
очевидно, что при приближении модуля h к нулю правая часть имеет
пределом mzm~J.
Отсюда следует, что всякий целый многочлен с произвольными
коэфициентами есть также аналитическая функция, голоморфная во всей
плоскости. Рациональная функция, т. е. частное двух целых многочле-
многочленов Я (г), Q(z), которые можно предположить первыми между собою,
есть также аналитическая функция, но она имеет некоторое число осо-
особых точек, — именно, все корни уравнения QB) = 0. Эта функция го-
голоморфна во всякой области плоскости, не содержащей ни одного из
этих корней.
2 Э. Гурса, т. II, ч. 1.

1.8
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 260
&'
260. Исследование некоторых иррациональных функций. Если точка z
описывает замкнутый путь, то координаты х, у и модуль р изменяются
непрерывно; аргумент также изменяется непрерывно, если только опи-
описываемый путь не проходит через начало координат.
Если точка z, описав замкнутый путь, возвращается к своему на-
начальному положению, то х, у и р принимают свои начальные значения,
но это не всегда бывает с аргументом. Действительно, если начало ко-
координат находится вне области, ограничиваемой замкнутым путем
(черт. 45а), то очевидно, что аргумент возвращается к своему началь-
начальному значению; но этого не будет, если точка
описывает путь вида MaNPM0 или MonpqMo
(черт. 45Ь). После обхода в первом случае
аргумент возвращается к своему начальному
значению, увеличенному- на 2тг, а во втором
случае аргумент принимает свое начальное зна-
значение с приращением 4тт. Очевидно, что можно
перемещать переменное z по таким замкнутым
путям, что аргумент, непрерывно изменяясь
вдоль любого из них, придет к конечному
значению, отличающемуся от начального зна-
значения на 2ятг, где п—произвольное целое число,
положительное или отрицательное. Вообще,
если z описывает замкнутый путь, то аргумент
количества z — а возвращается к своему началь-
х ному значению, если точка а находится вне
области, ограничиваемой этим замкнутым путем,
но всегда можно выбрать такой путь для пере-
переменного г, чтобы конечное значение аргумента
количества z — а было равно начальному зна-
значению, сложенному с 2шт.
Рассмотрим теперь уравнение
Черт. 45а.
\У
л/
//
I
\
M4
if
\i
m
•-¦—
'
J
/
jx
/
/
/
P
Черт. 45Ь.
um=z,
E)
где т — целое положительное число. Для всякого значения z, кроме z= 0,
это уравнение дает т различных значений для и. В самом деле, полагая
z — р (cos со -f- i sin ш), и = г (cos cp —|— / sin tf),
мы получим два следующих уравнения, равносильных уравнению E):
лш = р, /и!р = ю -\-2kn;
из первого имеем: г=рт, т. е. г равно арифметическому корню /и-й
»>-|- 2/гтт
степейи из положительного числа р. Далее, находим: <р=-
т
и, чтобы получить все различные значения количества и, достаточно
давать произвольному целому числу k последовательно т целых зна-

§ 260
I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ
19
чений 0, 1, 2, , т—1. Таким образом мы получим выражения
для т корней уравнения E):
,=.pm \ cos
т
2тс* . . .
V-1 sin
t^l (ft = 0, 1, 2, ...,m-l). F)
Один какой-нибудь из этих корней изображают также через zm .
Если переменное z описывает непрерывный путь, то каждый из
этих корней изменяется также непрерывно. Если z описывает замкну-
замкнутый путь, оставляя начало координат снаружи, то после обхода
аргумент ю возвращается к своему начальному значению, и каждый
из корней и0, й-р..., ит_1 описывает также замкнутый путь (черт. 46а).
Черт. 46а.
Черт. 46Ь.
Но, если точка z описывает путь MONPA1O (черт. 45Ь), то ю переходит
в ш-|-2тг, конечное значение корня ut будет равно начальному значе-
значению корня и1+1, и пути, описываемые различными корнями, образуют
одну замкнутую линию (черт. 46Ь).
Следовательно, когда переменное z описывает вокруг начала ко-
координат в прямом направлении замкнутый путь без двойных точек,
то эти т корней замещают друг друга в круговом порядке. Очевидно,
что можно перемещать z по такому замкнутому пути, что если на-
начальное значение какого-нибудь корня равно, например, м0, то его ко-
конечное значение будет равно любому из других корней. Следовательно,
нельзя, не отказываясь от непрерывности, рассматривать т корней
уравнения E) как т различных функций от z, но на них нужно
смотреть как на т различных ветвей одной и той же функции.
Точка z0, при обходе вокруг которой эти т значений перемен-
переменного и замещают друг друга, называется критическою точкою, или
точкою разветвления, многозначной функции.
Чтобы т значений переменного и можно было рассматривать как
различные функции от z, нужно нарушить непрерывность этих корней
вдоль какой-нибудь бесконечной линии, выходящей из начала коорди-
координат. Конкретно это нарушение непрерывности можно представить себе
следующим образом: проведем на плоскости, на которой изобра-
2*

20
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 260
жается z, бесконечный разрез вдоль какой-нибудь полупрямой, выхо-
выходящей из начала координат, например вдоль полупрямой OL (черт. 47),
и раздвинем немного оба края этого раз-
У реза, так, чтобы путь, по которому переме-
перемещается переменное, не мог перейти с одного
_ ч края на другой.
\ При этих условиях никакой замкнутый
3\ ) путь не может окружать начала координат;
О /' ¦* поэтому каждому значению z будет соответ-
¦•—''S ствовать вполне определенное значение каж-
каждого из т корней ut, которое получим, взяв
для ' аргумента ш значение, заключающееся
между а и а — 2тг. Но должно заметить,
что значения корня и, в двух бесконечно
Черт. 47. близких точках т, т', лежащих по обе
стороны разреза, не будут между собою
равны. Значение корня ut в точке т' равно значению корня и1 в точке
т, умноженному на
' 2я 2п\
cos н i sin — .
т т J
Каждый из корней уравнения E) есть моногенная функция. Пусть
будет и0 значение одного из этих корней при данном значении z0;
значению г, близкому к z0, соответствует значение и, близкое к и0.
Вместо того чтобы искать предел отношения , можно искать
предел обратного отношения:
Этот предел равен
мы имеем выражение
и' ¦=¦
следовательно, для производной от и
т и

т z
вводя отрицательные показатели, мы можем представить иначе по-
последнее равенство в виде:
и чр.— z т '
т
но, чтобы иметь вполне определенное значение производной, соответ-
соответствующее какому-либо из корней, лучше взять выражение . Внутри
замкнутой линии, не окружающей начала координат, каждое из значе-
значений ^z есть голоморфная функция от г. Уравнение ит=А(г—а)
имеет также т корней, которые замещают друг друга в круговом
орядке вокруг критической точки z = a.

§ 260^-261 I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ 21
Рассмотрим еще уравнение
и**~А(г — е1)(г — ег)...(г — ея), G)
где ел, е2,..., еп суть п различных количеств. Обозначим теми же бук-
буквами точки, которые представляют эти п количеств. Положим
A=**R (cos a -f- i sin a),
z — ek=pk(tostak + ismtak) (k=\, 2,...,n),
и = /-(cos6 -j—/sin6);
is>k представляет угол, образуемый направлением ekz от точки ek до
точки г с направлением Ох. Из уравнения G) получаем:
следовательно, это уравнение имеет два противоположных по знаку корня:
_J_ _!_ .0 \ ¦ (8)
,..pJ^cos^+-+n)" + 2*) +
+ iSm\ —2 J]' )
Когда переменное z описывает замкнутый путь С, содержащий вну-
внутри себя р из числа точек ег, е2, ... , еп, то р из аргументов wv to2,...
..., сап возрастают на 2тг; следовательно, аргументы корней ил и и2
возрастают на рк. Если р — число четное, то оба корня принимают
после обхода свои начальные значения; если же р нечетное, то они
взаимно перемещаются. В частности, если контур содержит внутри одну
точку е(, то оба корня перемещаются. Таким образом и точек ei суть
точки разветвления. Чтобы оба, корня ил и и2 оставались вполне опре-
определенными функциями от z, достаточно провести систему разрезов та-
таким образом, чтобы любая замкнутая линия содержала внутри себя все-
всегда только четное число критических точек. Например, можно провести
бесконечные разрезы вдоль полупрямых, выходящих из каждой точки et,
так, чтобы эти разрезы не пересекались между собою. Но можно по-
поступать и различными другими способами. Например, если есть только
четыре критических точки е1, е2, е3, е4, то можно провести один разреа
вдоль прямолинейного отрезка еге2, а второй разрез — вдоль отрезка ?3е4.
261. Функции однозначные и многозначные. Рассмотренные нами
элементарные примеры выясняют один важный факт. Значение функ-
функции/(г) переменного z не всегда зависит единственно от значения пере-
переменного г, но оно может также в некоторой степени зависеть от
закона следования значений, принимаемых переменным при переходе
от начального значения к конечному значению, или, другими словами,
от пути, описываемого переменным.

22 ГЛАВА ХШ. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 261—262
Возвратимся, например, к функции "\f г. Если мы пойдем из точки
Мо к точке М по пути M0NM и М0РМ (черт. 45Ь), взяв в обоих
случаях для и одно и то же начальное значение, то в М мы не полу-
получим в обоих случаях для и одного и того же значения, так как полу-
получающиеся значения для аргумента переменного г будут разниться ме-
между собою на 2тт. Таким образом мы приходим к введению нового
подразделения функций.
Аналитическая функция/(г) называется однозначною, или монодром-
ною, в области А, если все пути, лежащие в Л и соединяющие точку г0
¦с какою-нибудь точкою г, приводят к одному и тому же конечному
значению для f(z). Если же конечное значение функции f(z) не будет
одинаково для всех возможных путей, то функ-
/\| ^-^ ~yQ ция называется многозначною. Функция, голоморф-
голоморфная в области А, необходимо однозначна в этой
области. Вообще, чтобы функция f(z) была одно-
значною в данной области, необходимо и доста-
достаточно, чтобы любой замкнутый путь, описываемый
переменным, возвращал функцию к ее начальному
Черт. 48. значению. В самом деле, если, переходя из тонки
А в точку В по путям АМВ и ANB (черт. 48),
мы в обоих случаях приходим в точку В с одним и тем же значением
для /(г), то очевидно, что, перемещая переменное по замкнутому кон-
контуру AMBNA, мы вернемся в точку А с начальным значением для/(г).
Обратно, предположим, что, перемещая переменное z по контуру
AMBNA, мы возвращаемся в исходную точку с начальным значением иа;
пусть будет иа значение функции в точке В, после того как z описало
путь АМВ. Когда Z описывает путь BNA, то функция, выходя от зна-
значения и1, приходит к значению а0; следовательно, обратный путь AN В
приведет функцию от значения и0 к значению иг, т. е. к тому же
значению, как и путь АМВ.
Следует заметить, что функция может быть многозначною в области,
и не имея в этой области критических точек. В самом деле, рассмотрим
часть плоскости между двумя концентрическими окружностями С и С
\_
с центром в начале координат. Функция u=zm не имеет ни одной
критической точки в этой области; однако, она не однозначна, так как,
после обхода переменного z по концентрической окружности, заключа-
ющейся между С и С, функция z m получает множитель
2тг . . 2тг
cos \-1 sin — .
mm
II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ. ПРОСТЕЙШИЕ ТРАНСЦЕН-
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ.
262. Круг сходимости. Рассуждения, которыми мы пользовались
при изучении целых рядов (т. I, гл. IX), непосредственно распростра-
распространяются и на целые ряды с мнимыми членами; для этого достаточна
только заменить слова абсолютная величина словом модуль.

§ 262
II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ
23
Напомним вкратце относящиеся сюда теоремы и результаты.
Пусть будет
ао + а1г ~Ь а2г2 ~Ь • • • -\-апг"~\~ • •' (9)
целый ряд, в котором коэфициенты и переменное могут иметь любые
мнимые значения. Рассмотрим, вместе с тем, ряд, составленный из модулей:
где Ai = \ai\, г=\г\; выше было доказано (т. I, § 172), что есть та-
такое положительное число R, что ряд A0) будет сходящимся при всяком
значении r<^R и расходящимся при всяком значении r^> R. Это чи-
число /? равно обратному значению наибольшего из пределов, членов по-
последовательности
и, в частности, может быть нулем или бесконечностью.
Из этих свойств числа R непосредственно следует, что ряд (9) бу-
будет абсолютно сходящимся, если \z\<^R. Ряд (9) не может быть
сходящимся при значении г„ коли-
количества z, если \zo\~^>R, так как в
этом случае ряд модулей МО) был
бы сходящимся при значениях г ~^> R
(т. I, § 172). Если в плоскости пере-
переменного z мы опишем круг С ра-
радиусом R и с центром в начале ко
ординат (черт. 49), то целый ряд (9)
будет абсолютно сходящимся для вся-
всякой точки внутри круга С и расхо-
расходящимся для всякой внешней точки;
отсюда круг С получил название
круга сходимости. В точках на са-
самой окружности С ряд может быть
сходящимся или расходящимся в за-
зависимости от свойств данного ряда*. Черт. 49.
Внутри круга С, концентриче-
концентрического с первым и. с радиусом R1 <^R, ряд (9) —равномерно сходя-
сходящийся. В самом деле, очевидно, что для всякой точки внутри круга
С мы имеем:
и мы можем выбрать число п настолько большим, чтобы при всяком
значении числа р правая часть была меньше любого данного положи-
* Пусть будет f(z) = ^anzn целый ряд, радиус сходимосш которого R равен единице. Если
коэфициенты Оо, аи аг .. . — положительные убывающие числа, причем, при неограниченном воз-
возрастании я, ап стремится к нулю, то ряд — сходящийся во всех точках на круге сходимости, кроме,
может быть, точки г=1. В самом деле, ряд ^гп, где | г 1 = 1, — неопределенный, кроме случая г=1,
2
так как модуль суммы его п первых членов меньше г- ;; следовательно, для доказательства пре-
предыдущего предложения достаточно применить рассуждение § 158, основываясь на обобщенной
лемме Абеля. Точно так же ряд о0 — а±г + а^* —. . . , получающийся из предыдущего через за-
замену г на —г, —сходящийся во всех точках круга г = 1 кроме, может быть, при 2= - 1
{см § ~1dS)

24 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 262
тельного числа е. Отсюда следует, что сумма ряда (9) есть функция t{z)
переменного z, непрерывная во всех точках внутри круга сходимо-
сходимости (§ 256).
Диференцируя ряд (9) почленно любое число раз, мы получим не-
неограниченное число целых рядов /, (г), /2 (г), ... , /п(г), ... , имеющих
круг сходимости общий с первым рядом (т. I, § 174). Как И выше
(т. I, § 175), можно доказать, что /г (г) есть производная от /(г), и
вообще, fn (z) есть производная от /я_7 (г). Следовательно, всякий це-
целый ряд есть голоморфная функция внутри круга сходимости. По-
Последовательность производных этих функций неограниченна, и все эти
производные суть также голоморфные функции в том же самом круге.
Рассмотрим точку z внутри круга С; опишем из этой точки как
из центра круг с, касающийся изнутри круга С, и возьмем внутри с
точку z-\-h; если г и р будут модули количеств z и А, то r-\-p<^R
(черт. 49). Сумма ряда f{z-\-h) равна сумме следующего ряда с двой-
двойным входом, составленной по столбцам:
Но этот ряд — абсолютно сходящийся, так как, если мы заменим
каждый член его модулем, то получим двойной ряд с положительными
членами, сумма которого равна:
Следовательно, можно составлять сумму двойного ряда A1) по
строкам. Таким образом для всякой точки z-\-h внутри круга с мы
имеем соотношение:
Ряд в первой части — наверное сходящийся, если \h\<^R — r,
но он может быть сходящимся и в более обширной области. Так
как функции /,(г), fo(z), ..., fn(z), ... равны последовательным
производным от /(г), то формула A2) тождественна с формулою Тейлора.
Если ряд (9) — сходящийся в точке Z на круге сходимости, то
сумма f(Z) ряда есть предел, к которому стремится сумма./(z), когда
точка г стремится к точке Z, оставаясь на радиусе, проходящем че-
через точку Z. Это предложение можно доказать, как в § 173 (т. I),
полагая z = 6Z и увеличивая 0 от 0 до 1.
В более общих предположениях, сумма f(z) имеет своим пределом f{Z),
когда точка z стремится к Z так, что угол наклона прямой, соединяющей Z и z,
к радиусу, направленному из точки Z к началу координат, остается меньшим
некоторого угла ?<-=-. В частности, /(г) стремится к /(Z), когда точка z,
оставаясь внутри круга сходимости, стремится к Z по некоторой кривой, имею-
имеющей касательную в точке Z, отличную от касательной к кругу сходимости.

§ 262—263 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ 25
Достаточно показать что ряд (9) будет сходиться равномерно в области плос-
плоскости, внутренней к кругу весьма малого радиуса с центром в точке Z и огра-
ограниченной двумя лучами, пересекающимися в Z и наклоненными к лучу ZO под:
углом if < -^-. Доказательство может быть дано в предположении Z= 1, так как
мы приходим к этому частному случаю, полагая z = Zu, где и — новое пере-
переменное.
Так как ряд (9) по предположению сходится в точке 2=1, то, полагая
•*« = «« +а« + 1 + ---+°п+р>
допустим, что число п мы выбрали настолько большим, что
< s,
каково бы ни было р, причем s — произвольное положительное число. Сумму
можно записать в виде:
или еще иначе (О. Stolz):
°я = A ~ z)z \ sn "г snz + ¦ • ¦ + sn z
Следовательно, полагая | 2 | = р < 1, [1 — z]-= г, имеем:
пР г-" кПгс Е- -
С другой стороны, для треугольника с вершинами в начале координат, в пере-
переменной точке г и в точке Z=\ справедливо соотношение р=1 —2rcos я +/•',
где 1 означает величину угла с вершиной в точке Z= 1, и следовательно:
г = 1+Р
1 — р 2 cos a — r'
Предположим, что угол а меньше некоторого угла ip < ¦—, и расстояние г меньше
некоторого числа о < 2 cos ip. В области, которую мы определили, при всяком р
будем иметь:
2
\ I COS If — О /
Следовательно, ряд (9) есть равномерно сходящийся в этой области, включая и
точку 2 = 1, и доказательство доводится до конца, как в ранее рассмотренных
случаях (§ 30, 173).
Если радиус R равен бесконечности, то круг сходимости охва-
охватывает всю плоскость, и функция /(г) будет голоморфною при вся-
всяком значении z. Такая функция называется целою функциею; изучение
этих трансцендентных функций составляет одну из наиболее важных
задач анализа. В следующих параграфах мы изучим простейшие основные
трансцендентные функции.
263. Ряды рядов. Рассмотрим целый ряд (9) с произвольными коэфициен-
тами; целый ряд 2^а„г", все коэфициенты которого действительны и положительны,
называется усиливающим для первого, если при всяком значении п мы
имеем |ая|-<а,. Все следствия, выведенные из употребления усиливающих
функций (т. I, § 177—180), применимы без изменения к случаю мнимых пере-
переменных. Мы укажем здесь другое применение усиливающих рядов.

26 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 263—264
Пусть будет
ряд, каждый член которого, в свою очередь, есть сумма целого ряда, сходящегося
в круге, радиус которого равен или больше числа /?>0:
fi (г) = ai0 +- ваг -(-...+ ainz" + ...
Предположим, что каждый член ряда A3) заменен своим разложением по сте-
степеням z; мы получим двойной ряд, каждый столбец которого образован разложе-
разложением функции//(z). Если этот ряд — абсолютно сходящийся при значении г
с модулем р, т. е. если двойной ряд 22 1 а'п I P" ~ сходящийся, то при всяком
i я
значении г, модуль которого не превосходит р, можно составить сумму первого
двойного ряда по строкам, и мы получим разложение суммы F(z) ряда A3) по
степеням z:
bn = af)n + aln+... (п = 0, 1, 2,...).
В сущности, это — тот же способ рассуждения, с помощью которого полу-
получается разложение f(z-\-h) по степеням h.
Предположим, например, что ряд /,•(«) имеет усиливающую функцию вида
—-— , и ряд ~^,Mt — сходящийся. В ряде с двойным входом модуль общего члена
I z Iя
меньше М,— —-. Всякий раз, когда |г[<л этот ряд — абсолютно Сходящийся,
так как ряд, составленный из его модулей, — сходящийся и имеет сумму, мень-
234. Разложение бесконечного произведения, в степенной ряд. Пусть
Р(г) = A + и»)A + «,)... A+ив)...
— бесконечное произведение, в котором каждая из функций ut есть непрерывная
функция комплексного переменного¦z в некоторой области D. Если ряд 2 I и/1
равномерно сходится в этой области, функция F (z) равна сумме ряда, равномерно
сходящегося в Д и следовательно, представляет непрерывную функцию (§ 166—
167). Из одной общей теоремы, которая будет доказана в дальнейшем (§ 290,
гл. XIV), следует, что, если эти функции ut суть аналитические функции пере-
переменного z, то же самое оказывается справедливым и по отношению к F(z).
Например, бесконечное произведение
:
представляет функцию переменного z, голоморфную в целой плоскости, потому
что ряд ]^ 2 есть РавномеРно сходящийся во внутренности любого замкну-
замкнутого контура. Это произведение обращается в нуль в том и только в том случае,
когда г = 0, ±1, i2, ...
Можно непосредственно доказать, что произведение F(z) разлагается в сте-
степенной ряд, в предположении, что каждая из функций и,- представляется степен-
степенным рядом
() + + + ... A = 0,1, 2,...),
и что двойной ряд
22 I ат I г"
i n
•сходится при подходящем выборе положительного значения г.

§ 264 ( II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ 27
Положим, как в § 165:
»„ = 1 + ц» vn = A + и0)A + н4) ... A + «n-i) и„\
достаточно показать, что сумму ряда
которая равна бесконечному произведению ^(z), можно представить степенным
рядом. Действительно, если еще положить
Щ' =•= I я/о I + I «д I 2 + ... + [ а1п | г" + . • - .
то очевидно, что произведение
*„' = A + «о') A + «/) •••(!+ «„Г-iK'
есть усиливающая функция для vn. Следовательно, ряд A4) может быть располо-
расположен по степеням переменного z, если это верно для вспомогательного ряда
»о + tV + ... + »„' -I- ... A5)
Если мы разложим каждый из членов этого последнего в целый ряд, то по-
получим двойной ряд, в котором каждый из коэфициентов положителен, и для на-
нашей цели достаточно показать, что этот двойной ряд сходится, если заменить
в нем z через г. Обозначим через Un' и Vn' значения функций ц„' и »„' для
z = r. Будем иметь:
Ve'=(l + У,)A 4- tfi) ••• A 4- Un-dUn,
и следовательно:
v0- + v/ + ... + vn< = (l + LV). -. (l + ил
или еще
Vo' + Vi' + •. • + Vn' < eW+ • • • +Unr.
При неограниченном возрастании п сумма f/0' + • • • + Un стремится к пре-
пределу, потому что ряд 2 Un по предположению сходится. Следовательно, двойной
ряд A5) есть абсолютно сходящийся, в случае если | z \ s^ r; следовательно, по-
подавно двойной ряд, полученный разложением каждого члена vn ряда A4), есть
абсолютно сходящийся внутри круга С, и его можно расположить по целым степе-
степеням переменного z.
Коэфициент Ьр при zp в разложении функции F(z) равен, на основании этого,
пределу при и->оо коэфициента Ьрп при zP в сумме tfe + *Ч 4- ••• ¦+" vn< или, что
го же самое, в разложении произведения
этот коэфициент получится, следовательно, если распространить на бесконечные
произведения обычное правило для нахождения '.коэфициентов при степенях z
в произведении конечного числа многочленов.
Например, бесконечное произведение
разлагается по степеням z, при условии, что | z | < 1. Любая степень z, напри-
например zN, присутствует в этом разложении с коэфициеитом, равным единице, так как
всякое целое число /V может быть записано одним и только одним способом
в виде суммы степеней числа 2. Следовательно, имеем при | z \ < 1:
F(z) = 1 + z + z-2 + ... + zn + ... = J_ , A6)
i — Z

28 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 264-265
что можно также весьма просто доказать при помощи тождества
265. Показательная функция. Очевидно, что арифметическое опреде-
определение показательной функции не имеет никакого смысла, если показа-
показатель — мнимый. Следовательно, чтобы обобщить определение показа-
показательной функции, необходимо исходить из такого ее свойства, которое
можно распространить на случай комплексного переменного. Мы при-
примем за основание свойство, выражаемое функциональным соотноше-
соотношением ах ¦ ах' = ах+х'. Определим целый ряд/(г), сходящийся в круге
с радиусом R и удовлетворяющий условию
/(* + «')=/(*)•/(*'), A7)
когда модули количеств z, z', z-\-z' меньше R; последнее, наверное»
о
будет иметь место, если \г\ и \г'\ меньше -^. Если мы положим
в-предыдущем соотношении г' = 0, то будем иметь:
/(*)=/(*)-/(О);
следовательно, должно быть:/@)=1. Представим искомый ряд в виде:
Заменим последовательно в этом ряде z через It, затем через X'/,
где X и X'— постоянные и t—произвольное переменное, и составим
произведение обоих рядов; мы получим:
27^ (а»1" + Т а«-^а-11'.+ • • ¦ + ап1Ы) + • • •
С другой стороны, мы имеем:
1 1 ¦ ^ . .. /?
Равенство f(d-\-\Ч) ==/(Хг)-/(k't) должно иметь место при всех зна-
чениях 1,V, t, удовлетворяющих неравенствам: Д | <^ 1, | V \ <^ 1,11 \ <^ -—. ;
следовательно, оба ряда должны б,ыть тождественны между собою, т. е.
должно быть:
= вяХ + аа_га^Ц + ^ fl(i_2aaXVH.. . + а„Х.
Отсюда вытекают соотношения а„:=а„_1Я1, ап==пк_2а2, ... ; их
можно соединить в единственное условие:
где р и ^—любые целые положительные числа.

§ 265 П. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ 29
Чтобы найти отсюда общее решение, предположим, что q=l} и
положим последовательно р= 1, /? = 2, р = 3, ... ; мы получим а2 = а12,
далее, as^=a2a1^a1s • ¦ • и> наконец, ап=алп.
Легко видеть, что полученные таким образом выражения вполне
удовлетворяют условиям A8), и следовательно, искомый ряд имеет вид:
этот ряд—сходящийся во всей плоскости, и соотношение
/(* + *')=/(*)•/(*')
удовлетворяется при всех значениях z и г'.
Предыдущий ряд зависит от произвольного постоянного аг; обозна-
обозначим функцию, соответствующую а, =1, через ег:
так что, следовательно, общее решение предложенной задачи будет e"lZ.
Если z имеет действительное значение х, то целая функция ez сов-
совпадает с известною из алгебры показательной функцией ех, и мы имеем
при всяких z и г':
е*+*' = ez -ez'.
Производная от функции ег равна этой же функции. На основании
формулы сложения A7; имеем:
gx+yi — gX.gyi-
отсюда, чтобы вычислить ег, когда, z имеет мнимое значение x-\-yi,
достаточно уметь вычислять eyl. Собирая вместе члены одинаковой чет-
четности, мы можем представить разложение eyL в виде:
1-2^Ь2-3-4 ¦¦""'" \\ 1-2.3^ 1-2-3-4-5 '¦')'
мы видим, что в правой части находится разложение cosy и sin_y, и
мы имеем при действительном у:
еУ' = cosy -f- i sin у.
Заменяя в предыдущей формуле eyi найденным выражением, получим:
ex+J"=ex{cosy-\-isiny), A9)
— функция ex*yi имеет модуль ех и аргумент у.
Из этой формулы видно важное свойство функции ег: если мы за-
заменим z через г-)-2п/, то х не изменится, ay получит приращение 2гг,
что не изменяет значения правой части формулы A6). Следовательно,
eZ+2~' = ez, показательная функция ег имеет период 2ni.
Решим уравнение ez = A, где А — какое-нибудь мнимое количество,
отличное от нуля. Пусть будут р и ю модуль и аргумент количества А;
мы имеем:
ех+У1 = ех (cos у -4- isinу) — а fcosw-f'sin o>);
отсюда: rv '
ех = р, у = со -\- 2kn.

30 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 265 -266
Из первого соотношения получим: jc = logp, причем знак log обо-
обозначает всегда неперов логарифм от положительного числа; что ка-
касается у, то оно имеет бесконечное множество значений, разнящихся
между собою на кратное 2тс. Если Л = 0, то уравнение е* = 0 невоз-
невозможно. Следовательно, уравнение ег=А, где А отлично от нуля,
имеет бесконечное множество корней, заключающихся в формуле
logp-\-i(<o-)-2?л); уравнение е'—О не имеет ни одного корня, дей-
действительного или мнимого.
Примечание. Можно было бы также определить е2, как предел много-
многочлена I 1 -)— J при неограниченном возрастании т. Метод, которым пользуются
в алгебре для доказательства, что этот многочлен имеет пределом ряд ег, при-
применим также и для мнимых значений z.
266. Круговые (тригонометрические) функции. Чтобы определить sin z
и cos г для мнимых значений z, мы распространим непосредственно на
мнимые значения целые ряды, выведенные для действительного перемен-
переменного; положим при z мнимом:
smz=- 1 9 ч ' 1 9 4 4е; '"'
1 1-2 3 1.2.3-4.5 { B0)
COS 2=1 — —- +¦ -¦
1-2 ' 1-2-3-4 "•' ]
Функции B0) суть целые трансцендентные функции, к которым прило-
жимы все свойства круговых (тригонометрических) функций. Так, из
формул B0) видно, что производная от sin г есть cos г, производная
от cosz есть —sin^; при замене г через —z функция smz изменяется
в —sin г, тогда как cos z не меняется.
Эти новые трансцендентные функции приводятся к показательной
функции. В самом деле, рассмотрим разложение ezi и соберем вместе
члены одинаковой четности:
е«=л t _| zl +il- — -?!_4-
1-2^1.2-3-4 "'^ \l \-2-3~^'
на основании формул B0) последнее равенство можно представить
в виде:
ezi = cos z-\-isinz.
Изменяя г в —z, получим также:
е~г' = cos z — i sin z;
из этих двух соотношений найдем, обратно:
COSZ = L; , Sin^^ — 1 B1)
Это — известные формулы Эйлера, приводящие круговые функции
к показательной. Из них видна периодичность этих функций, так как
правые части соотношений B1) не изменяются при изменении z
в 2-|-2т:. Возводя формулы B1) в квадрат и складывая, получим:
cos2 г-j-sin2 z— i.

§ 266—267 И. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ 31
Возьмем еще формулу сложения г(г+г')' = ее'ег'') или
cos (г Ц-2')-)-г sin (г-)- г') —(cos г -{-isinz) (cos z' -\- i sin z') =
= (cos z cos z' — sin z sin z') -f- г (sin 2 cos z' -+- cos г sin z');
изменяя в этой формуле z в —.г и 2Г в —гг', получим:
cos (z -f 2r) — г sin B + 2') =
= (cos z cos 2' — sin 2 sin г') —: 1 (sin г cos z' -j- cos 2 sin г');
из этих обеих формул имеем:
cos (г -+- z') = cos г cos z1 — sin 2 sin г',
sin (г -f- z') — sin г cos z' -)- cos г sin г'.
Следовательно, формулы сложения тригонометрических функций, а
также все следствия этих формул распространяются и на случай мни-
мнимых аргументов. Вычислим, например, действительную часть и коэфи-
циент при i в cos(x-\-yi) и sin(лг-f—_yz). Мы, прежде всего, имеем по
формулам Эйлера:
е-У А- еУ
cosyi = = chy,
е-У — еУ . .
sin у/ = —2~ —г shy;
затем из формул сложения получаем:
cos (x -\-yi) = cos x cosyi — sin x sin yi=cos yx chy — i sin x shy,
sin (x -\-yi) = sin x cos yi -j- cos x sinyi = sin x chy -+- i cos x sh y.
Остальные круговые функции приводятся к предыдущим. Например,
мы имеем:
_
это можно представить иначе в виде:
_ J_ е^"—\
gZ~ i e^+i-
Правая часть есть рациональная функция от егп; следовательно, tgz
имеет период тт.
267. Логарифмы. Если дано мнимое количество z, отличное от нуля,
то, как мы видели выше (§ 265), уравнение e" = z имеет бесконечное
множество корней. Пусть будет u = x-\-iy; если р и ш обозначают
модуль и аргумент количества z, то должно быть:
~ех = р, у = о) -\- 2kn.
Каждый из этих корней называется логарифмом от z; его обозна-
обозначают через Log (г). Следовательно, мы имеем:
Log (г) = log p + i (ю
причем знак log обозначает обыкновенный неперов логарифм от поло-

32 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 267
жительного числа. Таким образом всякое действительное или мнимое
количество, отличное от нуля, имеет бесконечное множество логариф-
логарифмов, образующих арифметическую прогрессию с разностью 2тп. В част-
частности, если z есть действительное положительное число х, то @=0,
и, взяв /2 = 0, мы получим обыкновенный логарифм; но кроме него
логарифм имеет еще бесконечное множество мнимых значений вида
Iogx-j- 2km. Если г — число действительное и отрицательное, то можно
взять со = тт; в этом случае все значения логарифма—мнимые*.
Пусть будет г1 другое мнимсе количество с модулем р' и аргумен-
аргументом со'. Мы имеем:
складывая оба логарифма, получим:
Log (z) + Log (г1) = log рр' -f / [«> + •»' + 2 (k -f- k1) тт].
Так как рг/ равно модулю количества zz', а ш -J— со' — его аргументу,
то эту формулу можно представить также в виде:
Log (г) + Log (z') = Log (zz');
отсюда видно, что, складывая какое-нибудь из значений Log (z) с ка-
каким-нибудь из значений Log (г'), мы получим в сумме одно из значе-
значений Log(zz').
Предположим теперь, что переменное z описывает в своей плоско-
плоскости какой-нибудь непрерывный путь, не проходящий через начало коор-
координат; вдоль этого пути р и о изменяются непрерывно, то же имеет
место и для различных значений логарифма. Но, если z описывает замк-
замкнутый путь, то могут представиться два существенно различных слу-
случая. Если z, выйдя из точки г0, возвращается в эту точку, описав
замкнутый путь, не содержащий внутри себя начала координат, то
аргумент ю количества z принимает свое начальное значение, и различ-
различные значения логарифма возвращаются, соответственно, к своим началь-
начальным значениям. Если бы мы представили каждое значение логарифма
точкою, то каждая из этих точек описала бы замкнутую линию. На-
Напротив, если переменное z описывает замкнутый путь вида М0ММР
(черт. 45Ь), то аргумент количества z возрастает на 2п, и каждое зна-
значение логарифма приходит к своему начальному значению, увеличен-
увеличенному на 2ш.
Вообще, если z описывает какой-нибудь замкнутый путь, то конеч-
конечное значение логарифма равно его начальному значению, сложенному
с 2kni, где k есть целое положительное или отрицательное число; это
число равно алгебраической сумме полных оборотов, сделанных радиу-
радиусом-вектором, соединяющим начало координат с точкою z, в то время,
когда z описывает свой замкнутый путь. Таким образом, если не нало-
наложено никаких ограничений на изменение переменного z, то нельзя рас-
рассматривать различные значения Log (г) как несколько различных функ-
'' Иногда называют главным, или приведенным, значением логарифма Log (z) то его значение,
у которого коэфициент при м-.имой часш > — - и :S л. Оно является в то же время значением
с наименьшим модулем.

§ 267—268 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ 33
ций от z, так как можно перейти непрерывно от- одного из этих
значений к другому. Это — различные ветви одной и той же функции,
переходящие одна в другую при обходе около критической точки г = 0.
Внутри области, ограниченной одною замкнутою линиею и не со-
содержащей начала координат, каждое из значений Log (z) есть непре-
непрерывная и однозначная функция от z. Чтобы доказать, что эта функция
голоморфна, достаточно показать, что она имеет в каждой точке един-
единственную производную. Пусть будут z и zy близкие между собою
значения переменного, и Log (z) и LogB:)— близкие значения вы-
выбранного значения логарифма; когда гг стремится к z, то модуль
разности Log'(Zj) — Log (г) стремится к нулю. Положим Log B) = к,
Log(?1) = M1; мы имеем:
но при приближении иг к и частное имеет пределом производ-
производную от еи, т. е. еи, или г. Следовательно, логарифм имеет в каждой
1
точке единственную производную, равную — .
Вообще, Log (г—а) имеет бесконечное множество значений, заме-
замещающих друг друга при обходе вокруг критической точки z = а; про-
производная этой функции равна .
z — и
Функция zm, где m — любое число действительное или комплекс-
комплексное, определяется при помощи равенства:
Если m не есть действительное рациональное число, то эта функ-
функция, подобно логарифму, имеет бесконечное множество значений, заме-
щаюших друг друга при обходе переменного z вокруг точки 2 = 0.
Достаточно провести бесконечный разрез вдоль полупрямой, выходящей
из начала координат, чтобы каждая ветвь этой функции была голо-
голоморфною функциею во всей плоскости. Производная этой функции
имеет выражение:
HL em LogB) _ mzm - 1 .
z
очевидно, что следует брать одинаковые значения для аргумента коли-
количества z как в функции, так и в ее производной.
268. Обратные функции: arc sin г, arctgz. Функции, обратные функ-
функциям sin г, cos 2, tg^, определяются аналогичным приемом. Так, функ-
функция и = arc sin z определяется соотношением:
2 = sin и;
чтобы решить это уравнение относительно и, представим его в виде:
3 Э. Гурса, т. И, ч. 1.

34 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 268
Вводя вспомогательное неизвестное U=eui, получим отсюда для [/
уравнение второй степени:
U2 — 2izU—l=0, B2)
Из этого уравнения находим:
U=iz±/\ — г2, B3)
и, следовательно,
« = arcsin2 = — Log (г"г 4;/l — г2). B4)
Таким образом уравнение z = sinu имеет два ряда корней, проис-
происходящих, с одной стороны, от двух значений корня \/~\—г2, с дру-
другой стороны, от бесконечного числа значений логарифма. Но, если изве-
известно одно из этих значений, то из него легко вывести все остальные.
Пусть будут LP — p'eiu>f и,{/'—р"е'ш" корни уравнения B2); эти два
корня связаны соотношением: U'U' = —1; следовательно, р'р"—1,
«,' -+- <л" = Bп-\- 1)тг. Очевидно, что мы можем предположить ш" —
= п — о)', и тогда будем иметь:
Log (?/') = log p' 4- i (ю' + 2А'п),
Log (?/") = — log p' -f / (тг — ш' -|- 2?"тс).
Следовательно, все значения arc sin z содержатся в одной из двух
формул:
arc sin z = о)' -f- 2k'n — /logp', arc sin z = т-\- 2k"n — to'=/logp';
полагая и' = т' — ilogp', мы можем представить предыдущие равенства
в виде:
arc sin г = и'-\- 2?'тс, (А)
arc sin 2 = Bk" + 1) я — и1. (В)
Если переменное z описывает непрерывный путь, то различные
значения логарифма в формуле B4) изменяются, вообще, непрерывно.
Действительно, единственными возможными критическими точками
являются точки 2 = +1, вокруг которых оба значения корня jAl —г2
взаимно перемещаются; количество lz~-+:V~1—22 не обращается в нуль
ни при каких значениях z, так как, возводя в квадрат обе части урав-
уравнения iz=±\'r\ —z2, получаем 1=0.
Проведем два разреза вдоль действительной оси, один — от точки —оо
до точки —1, и другой — от точки +1 до -j-oo. Если путь, описы-
описываемый переменным, не может переходить через эти разрезы, то различные
значения arc sin z суть однозначные функции переменного z. В самом деле,,
если переменное z описывает замкнутый путь, не переходящий ни через
один из этих разрезов, то оба корня U' и U" уравнения B2) описы-
описывают также замкнутые пути. Ни один из этих путей не окружает на-
начала координат; если бы путь, описываемый, например, корнем [/',
окружал начало координат, то этот путь пересекал бы ось Оу по край-

§ 268 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ 35
ней мере один раз в точке, лежащей над осью Ох. Но в силу соотно-
соотношения B2) значению корня U вида /а (а^>0) соответствует для пере-
1 4- я2 ¦ • ¦ ¦
менного z значение—~ , действительное и большее единицы. Следо-
10.
вательно, путь, проходимый точкою г, должен был бы переходить
через разрез между точками -j-lH -f-oo.
Далее, различные значения arc sin z суть голоморфные функции пере-
переменного z *. В самом деле, пусть будут и и иг близкие между со-
собою значения arc sin z, соответствующие близким значениям z и гг пере-
переменного. Мы имеем:
ил — и «j — и
гг — г sin Mj — sin и ' .
при приближении модуля разности иг — и к нулю правая часть преды-
1 -4-1
дущего равенства имеет пределом =— . Два значения произ-
cos и у \ — гг
водной соответствуют двум рядам значений (А) и (В) функции arc sin z.
Если на изменение переменного z не наложено никаких ограниче-
ограничений, то можно перейти от данного начального значения arc sin z к лю-
любому из значений, заставляя переменное z перемещаться по соответ-
соответственно выбранному замкнутому пути. В самом деле, прежде всего
очевидно, что если z описывает вокруг точки z = 1 замкнутый путь,
не заключающий внутри себя точки z^—1, то оба значения корня
У~\—г2 взаимно переставляются, и мы переходим от значения ряда (А)
к значению ряда (В). Предположим затем, что мы перемещаем z по
окружности с радиусом /?, большим единицы, и с центром в начале
координат; тогда обе точки U', U" описывают замкнутые пути. В силу
уравнения B2) точке z = -\-R соответствуют два значения U, именно,
U' = ia, U" = i$, где а и JJ — положительны; в силу того же уравне-
уравнения точке z~ — R соответствуют значения [/' = — га', W = — /рг,
где а' и Р' — также положительны. Следовательно, замкнутые пути, опи-
описываемые каждою из точек U', U", пересекают ось Оу в двух точках,
расположенных по обе стороны точки О; каждое из значений Log ([/'),
Log ([/") возрастает или уменьшается на 2гс/.
Таким же образом функция arc tg z определяется при помощи соот-
соотношения tgM = 2, ИЛИ
1 е2ш — 1
* Если мы возьмем в U—iz-\-V\—з2 то значение корня, которое при з=0 обращается в -j-1,
то действительная часть U остается положительною, если переменное z не переходит через раз-
разрезы, и можно положить U=Re , где Ф заключается между —— и -\- -J-. Соответствующее зна-
значение количества — Log (U)
arc sin г=— Log(l/)=4> — /log R
называется ииигда главным значением arc sin z\ оно приводится к обыкновенному значению
арксинуса, если г—действительное и заключается между —1 н -f 1.

36 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 268-269
отсюда имеем: 2В/ 1 -\-iz i — z
1 — iz i
и, следовательно,
1 (i~z\
arc tgz-= — Log I - j
Из этого выражения видно, что arctgz имеет две критических лога-
логарифмических точки +г. Если переменное z перемещается вокруг одной
II— z\
из этих точек, то Log]—-—I возрастает или убывает на 2то, a arctgz
\ i -\- z I
возрастает или убывает на тт.
269. Приложение к интегральному исчислению. Производные от опре-
определенных выше функций комплексного переменного имеют те же выра-
выражения, как и в случае действительного переменного. Обратно, правила
нахождения начальных функций распространяются также и на простей-
простейшие функции комплексных переменных. Так, обозначая через \f(z)dz
всякую функцию комплексного переменного z, производная которой
равна /(г), будем иметь:
Adz А 1 , , _
(z — а)т
Adz
z — a
...
: A Log (z — a).
При помощи этих двух формул можно найти первообразную функ-
функцию от любой рациональной функции с действительными или мнимыми
коэфициентами; нужно только знать корни знаменателя.
В частности, рассмотрим рациональную функцию действительного
переменного х с действительными коэфициентами. Если знаменатель
имеет мнимые корни, то они будут попарно сопряженными и одина-
одинаковой кратности. Пусть будут a-|-j$/ и а —1$/ сопряженные корни
кратности р. Если при разложении на простые дроби мы будем посту-
поступать с мнимыми корнями так же, как с действительными, то корень
a -f- $i даст ряд простых дробей:
.-"I" /v_ . „ Й.Л2 ~Г" •~Т",
корень a — jj/ даст такой же ряд, в котором числители будут сопря-
сопряженными с числителями предыдущего ряда. Соберем в начальной функ-
функции члены, происходящие от сопряженных дробей; мы имеем при р~^>\:
mp~np1 ,
^Pd
L Г M,
p — 1 [(x — a
NMx-a
0-1 I
p—\

§ 269 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ 37
причем, очевидно, числитель представляет сумму двух сопряженных
мнимых многочленов. Если р~=-\, то •
.i) Log [(x - a) - ОД + (Мг - Nfi Log [(* - a)
Заменяя логарифмы их выражениями (§ 267, 268), получим в пра-
правой части:
Мг log [(*— af -Ь р2] +2N, arc tg —Ц ;
Л ОС
Р / я , х-а\
достаточно заменить arctg—— через |— arctg—„—I, чтобы
х — а \ 2 р /
притти к результату, который может быть получен непосредственно,
без употребления мнимых символов.
Рассмотрим еще неопределенный интеграл:
имеющий два существенно различных вида в зависимости от знака
коэфициента А.
Вводя комплексное переменное, можно обе формулы привести к од-
одной; в самом деле, если в формуле
мы заменим х через ix, то получим:
здесь правая часть представляет как раз arc sin x.
Таким образом введение в интегральное исчисление мнимых симво-
символов позволяет приводить одну к другой такие формулы, связи между
которыми мы не могли бы заметить, оставаясь в области действитель-
действительных количеств.. Вот еще пример упрощения от введения мнимых коли-
количеств. Мы имеем при а и b действительных:
e(a+bi)x dx __ *' ' = а ' еах (COS jjx J_ isin bxy
a-\-bi a2 -\- bz
приравнивая между собою действительные части и коэфициенты при i,
мы сразу получаем два уже известных интеграла (т. I, § 103):
cos bx dx =
sin bx dx =

38 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 269—270.
Интегралы
\ хтеах cos bx dx, \ хтьах sin bx dx
таким же путем приводятся к интегралу \ хте^а+ь^х dx, который при т
целом и положительном нетрудно вычислить последовательным приме-
применением интегрирования по частям.
270. Разложение на простые элементы рациональной функции от sin z
и cos г. Пусть будет дана рациональная функция ?(sin?, cos z) от sin г
и cos г. Заменим в ней sin z и cos г их выражениями по формулам
Эйлера; тогда функция F(sinz, cosz) обратится в рациональную функ-
функцию /?(<) от t = ezt. Разлагая функцию R(t) на простые элементы, мы
получим сначала целую часть и затем ряд дробей, происходящих от
корней знаменателя функции R (t). Если этот знаменатель имеет корень
2 = 0, то мы присоединим к целой части также и дроби, происходя-
происходящие от этого корня, вследствие чего мы получим или многочлен или
рациональную функцию
где показатель т может иметь и отрицательные значения.
Пусть будет t = a корень знаменателя, отличный от нуля. Этот ко-
корень даст сумму простых дробей:
А А А
Л1 I Л2 I I "
Так как корень а не равен нулю, то уравнение ем = а имеет ко-
1 L /г — а\
рень а; выражается весьма просто через ctg I — — I . В самом
t — а \ 1 /
деле, мы имеем:
отсюда, обратно, получаем:
/dg \~2~~ ) J •
Таким образом рациональная функция f(t) обращается в многочлен
I z — а\
я-й степени относительно ctg I -—-— 1 :
\ * I
В -свою очередь, последовательные степени котангенса до я-й можно
выразить через его последовательные производные до (п—1)-й; в са-
самом деле, мы имеем:
dz

§ 270 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ 39
d ctg 2
с помощью этой формулы можно выразить ctg2 г через —— - , и нетрудно
доказать, что если этот закон верен для ctgnz, то он будет также ве-
верен и для ctgn+12\ Таким образом предыдущий многочлен л-й степени
I z — а\
лноситёльно ctg I ——— обратится в линейное выражение относи-
^ /
, (г — а\
тельно ctg I —-— I и его производных:
Поступим так же со всеми остальными корнями Ь, с,... , / знамена-
знаменателя функции ff(t), отличными от нуля, и сложим полученные резуль-
результаты, заменив предварительно в /?: {t) переменное t через е". Рассма-
Рассматриваемая рациональная функция /^(sin?, cos г) будет состоять из двух
частей:
F(sinz, cos-2) = <&(z)-fVB); B5)
функция Ф(г), аналогичная целой части рациональной функции, имеет
вид:
B6)
где т — целое число, не равное нулю. Что касается Ф (z), то она ана-
аналогична дробной части рациональной функции и представляется выра-
выражением вида:
V(z) = М,Оё (?--?) 4-Щ ^ ctg
<27)
Здесь простым элементом служит функция ctg /—-—I, как для ра-
рациональной функции простым элементом служит дробь
z —а
С помощью такого разложения легко проинтегрировать функцию
F{smz, cos г); в самом деле, мы имеем:
Остальные члены интегрируются непосредственно. Чтобы начальная
функция была периодическою, необходимо и достаточно, чтобы все
коэфициенты С, Мл, Nv .,. были равны нулю.

40 ГЛАВА ХШ. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 270
На практике, чтобы представить функцию F(sinz, cos z) в окон-
окончательном виде B5), не всегда бывает необходимо проходить через все
эти последовательные преобразования. Пусть будет а значение перемен-
переменного z, обращающее функцию F в бесконечность; простым делением
1 1
всегда можно вычислить коэфициенты при , — , ... в ча-
z — a (z — а.у
сти, обращающейся в бесконечность при z — a (т. I, § 179). С другой
стороны, мы имеем:
где P(z — а) — целый ряд; таким образом, приравнивая между собою
коэфициенты при последовательных степенях в обеих частях
z — а.
формулы B5), мы легко найдем М1, М2, ... , Мп.
Рассмотрим, например, функцию —; полагая ezl = t, e*'=a,
cosz — cos a
мы представим ее в виде:
2at
1
знаменатель имеет два простых корня ( = и и (= —, и степень чи-
а
слителя меньше степени знаменателя. Следовательно, мы будем иметь
разложение вида:
1
cos z — cos a
Чтобы определить М, умножим обе части равенства на z — а и
затем положим z = а; мы получим: М = — ^ . Точно так же най-
3 2 sin a
дем Л/= - . Заменяя М и N этими значениями и полагая 2=0,
2 sin a
будем иметь С=0; таким образом, окончательная формула будет:
cos2-cosa=2~slr74 Ctg \~T~) ~°tg ( ~~2~)J "
Применим еще общий метод к целым степеням от sin z и cos z. Например,
мы имеем (cosz)m= ( —-^ ) ; собирая вместе члены, равноотстоящие от
крайних членов разложения числителя, и применяя формулы Эйлера, получим'
непосредственно:
B cos z)"t =z 1 cos mz -t- 2m cos [(/я — 2) z] + 2 —- ~ -¦¦ cos \(m — 4) z] •+-...
Если m — нечетное, то последний член содержит cosz; если т — четное, то
последний член разложения не зависит от г и равен
(to*.

§ 270—271 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ 41.
Точно так же имеем при т нечетном:
B/sin z)« = 2isin mz — 2im sin [{m — 2) z] + 2/ ТГ" ¦ sin [(m — 4) z] — ...,
при tn четном:
m
Bisin zf — 2 cos mz — 2m cos [(m — 2) г] +...' + (— IJ' W
Из этих формул непосредственно следует, что начальные функции от (sin z)m'
и (cos г) будут периодическими функциями от z, если т нечетное, и притом
только в этом случае.
Примечание. Если функция F(%mz, cosz) имеет период к, то ее можно
выразить рационально через е*» и взять за простые элементы ctg (г — а),
t(p)
' 271. Разложение Log(l -\-г). Трансцендентные функции, которые мы
только что определили, распадаются на два рода: одни, как ez, sinz,
соъг, голоморфны во всей плоскости, другие, как Logz, arctg^, ... ,
имеют особые точки и не могут быть представлены разложениями в це-
целые ряды, сходящимися во всей плоскости. Тем не менее, для этих по-
последних функций существуют разложения, пригодные для некоторых
частей плоскости; мы покажем это для логарифмической функции.
Простым делением мы приходим к элементарной формуле:
-——=1-2 + ^-2 _|_...+ (-1)г±_;
1 -f- Z 1 -j- Z
если |.г|<М, то при неограниченном возрастании числа п остаточный
член —— стремится к нулю, и мы имеем внутри круга С с радиусом,
1 -\- Z
равным единице:
Пусть будет F(z) ряд, получающийся от интегрирования почленно
предыдущего ряда:
z z2 г3 z* г"+1
Fi) + ++( U" +
этот ряд — сходящийся в круге С и представляет в нем голоморфную
функцию, производная которой есть F'(z) = - . Но мы уже знаем
функцию, производная которой имеет то же выражение: это Log(l -|-z)
Следовательно, разность Log (\-\-z) — F(z) равна постоянному*; чтобы
* Чтобы производная аналитической функции Х+ YI была равна нулю, должно быть (§ 57)
—- =0, — =0 и, следовательно, — =0, —=0; отсюда следует, что X и У — постоянны. Таким же
й* Ъх ду ду
образом, исходя из условий A), легко показать, что модуль аналитической функции Vx*+Y*
не может оставаться постоянным в какой-либо области, как бы мала она ни была, без того, чтобы
сама функция / (г) не обращалась в постоянное.

42
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§271
найти это постоянное, необходимо точно определить выбранное значе-
значение логарифма. Если мы возьмем то значение, которое при 2 = О обра-
обращается в нуль, то во всех точках внутри круга С будем иметь:
. . Z Zn , 2° Z*
B8)
Соединим точку А с точкою
^черт. 50); модуль количества
У
представляющею переменное z
1 -\-г представится длиною г=АМ, и
за аргумент можно взять угол а, обра-
образуемый прямою AM с АО; если точка
М остается внутри круга С, то этот
тт тг
угол заключается между и +-77.
2* 2
Значение логарифма, обращающееся в
нуль при г = 0, равно log r-f-га, и
формула B8) не представляет никакой
неопределенности.
Изменяя в этой формуле z в —z
и взяв разность обеих формул, получим:
Черт. 50.
«если в этой формуле мы заменим z через iz, то будем иметь разложе-
разложение arctgz:
1-М\ - г z3 z-
Ряд B8) остается сходящимся во всякой точке на самом круге сходимости,
кроме точки А (§ 262, выноска); следовательно, ряды
cos29
2
sin 29
cos_39
3
sin 39
cos 49
T
sin 48
— оба сходящиеся для всех действительных значений 8, исключая 8 = i
(см. т. I, § 58). По теореме Абеля сумма ряда в точке М' равна пределу, к кото-
которому стремится сумма ряда в точке М, лежащей на радиусе ОМ', при прибли-
приближении М к М'. Предположим, что 8 заключается между —г. и + тс, тогда угол а
9 9
будет иметь пределом -~-, и предел модуля AM будет равен 2 cos у. Следова-
Следовательно, мы получим:
"cos 29 cos 38 cos 49
-г. < 9 < г).
sin 29 , sin 39
Если в последней формуле мы заменим 9 через я —9, то найдем формулу,
уже выведенную раньше непосредственно (т. I, § 195).

§ 272 П. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ 43
272. Распространение формулы бинома. Абель в своей работе, основ-
основной в теории целых рядов, определил сумму сходящегося ряда:
/ \ 1 1 т , гп{т— 1)
<р(/га, 2) = 1 +уг+ 1?2
1 гп(т — \) . ..{т — р-\- 1)
. . Н lT2T—
B9)
при всех действительных, или. мнимых значениях т и z, при условии
| z К 1. Эту задачу можно было бы решить при помощи диференци-
ального уравнения, как это было указано для случая действительных
переменных (т. I, § 174). Мы укажем здесь другой метод, представля-
представляющий применение рассуждений § 265 и ближе примыкающий к методу
Абеля. Предположим, что z дано, и |г|<М; изучим свойства количе-
количества <р (т, г), рассматривая его как функцию от т. Если т — целое
положительное число, то очевидно, что эта функция обращается в мно-
многочлен (\-\-г)т. Если т и т' ¦—произвольные значения параметра т,
то всегда:
(р (т, z) ¦ <р (т1, z) = <р (т -f /га', г). C0)
В самом деле, составим по обыкновенному правилу произведение
обоих рядов <р (т, z) и <f (mf, г); коэфициент при zp в этом произве-
произведении равен:
тр + тр-1т1+тр-2т2 \----+Щтр-ХЛ-тр, C1)
где для краткости мы положили
т*= 1-2... k•
Функциональное соотношение C0) будет доказано, если мы пока-
покажем, что выражение C1) тождественно с коэфициентом при гР в
у(т-\-т!, z), т. е. с (т -j- m')p. Можно было бы непосредственно убе-
убедиться в верности тождества:
(т + m!)p = mp-\-mp_xml-f... +тгтр<_х-\-тр\ {Щ
но можно и не производить вычисления, если мы заметим, что соотно-
соотношение C0), наверное, удовлетворяется всякий раз, когда т и т! — це-
целые положительные числа. Таким образом обе части формулы C2)
суть целые многочлены относительно т и /я', равные между собою
всякий раз, когда шит' — целые положительные числа; следовательно,
эти многочлены между собою тождественны.
С другой стороны, функцию <р (/га, z) можно разложить в целый
ряд по возрастающим степеням количества т. В самом деле, если мы
выполним в <р (т, г) все указанные произведения, то мы можем рас-

44
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 272
сматривать (р (т, z) как сумму двойного ряда, вычисляемую по
столбцам:
т2
/и2
(зз>
Этот двойной ряд—-абсолютно сходящийся. В самом деле, пусть
будут | z \ = р и | т I = о; если мы заменим каждый член в C0) его мо-
модулем, то сумма членов нового ряда, стоящих в (р-^-\)-и столбце* бу-
будет равна:
зC+1)...(а4-/>-1)р
1-2.. .р Р '
а это — общий член сходящегося ряда. Следовательно, можно соста-
составлять сумму двойного ряда C0) по строкам, и мы получим для (р (т, z)
разложение в целый ряд:
у(т,г)=\+ ^ т +¦ -"?- «*+...
В силу соотношения C0) и полученных выше результатов (§ 265) этот
ряд должен быть тождественен с e°im. Но коэфициентом при т служит
z z z* ,
: 1 2 3
следовательно, мы имеем:
причем для логарифма должно взять то значение, которое обращается
в нуль при 2 = 0. Выражение C4) обозначают также через A -\-z)m, ног
чтобы избежать неопределенности, удобнее пользоваться выражением
ет Log(l-fz)
Пусть будет т==]1-[-ж, если г и о имеют те же значения, как и
в предыдущем параграфе, то
gtn Log (I -j~ z) 0 (p. -f-v/) 0°S rJr fa) ^p- log г — **a fcOS (llOE —r— V loor f\ 1
-f- i sin (pa -f- v log /¦)].
В заключение исследуем свойства ряда у (/я, г) на самом круге сходимости.
Пусть будет Un модуль общего члена ряда в какой-нибудь точке z на этом круге;
отношение двух последовательных членов ряда модулей равно —— , т. е.,
если m = ц + ч1,
— 1 _ Н+ 1 , 9_(л)
~" я ^ п* '

§ 272—273 III. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 45
где при неограниченном возрастании п функция й («) остается конечною. На осно-
основании известного признака сходимости (т. I, § 155), этот ряд — сходящийся, если
(i-f-1 > 1, и расходящийся во всех остальных случаях. Следовательно, ряд B9) —
абсолютно сходящийся во всех точках на круге сходимости, если ц поло-
положительно.
Если jx -}— 1 отрицательно или равно нулю, то модуль общего члена никогда
не убывает, так как в этом случае отношение "+- никогда не может быть мень-
U п
ше единицы. Следовательно, ряд — расходящийся во всех точках на круге схо-
сходимости, если (i^—1.
Остается исследовать случай, когда —1 < ц^О. Рассмотрим ряд, общий
член которого равен I)'?; отношение двух последовательных членов этого ряда
равно:
, Чп)\Р , />(|i+l) , в,(я).
если мы возьмем р\$. -\-1) > 1, то этот ряд — сходящийся. Отсюда следует, что
U?, а следовательно, и модуль Un общего члена, стремятся к нулю. Сохраним
в обеих частях тождества
- <р (т, z) A + г) = f (т + 1, г)
только те члены, степень которых меньше или равна п 4- 1; мы получим соотно-
соотношение:
Sn A + ,) = Sn'+ mJ^^2-^=JL±Sl
где Sn и Sn' обозначают, соответственно, суммы (л -|- 1) первых членов в <р (/я, г)
и в <р (т -|- 1, г). Если действительная часть количества т заключается между —1
и 0, то действительная часть количества т +¦ 1 положительна. Предположим, что.
| г | = 1; тогда при неограниченном возрастании числа п сумма Sn' стремится к
пределу е «-t-i)Log(i-(-z^ а дополнительный член
т(т— 1) . ..(/я —я + 1) ztl+l
1-2 ... п
как мы только что заметили, стремится к нулю; отсюда следует, что Sn стремится
также к пределу, если только не будет 14-2 = 0. Таким образом, если
— 1<ц^0, то ряд — сходящийся зо всех точках на круге сходимости,
кроме точки z — — 1.
III. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ.
273. Геометрическое истолкование производной. Условия B), выра-
выражающие, что P-\-iQ есть моногенная функция переменного x+iy,
равносильны уравнениям G8) § 253 (т. I), встретившимся в совершенно
иной проблеме. Пусть Ох, Оу — система прямоугольных осей на пло-
плоскости, OX, OF—другая система прямоугольных осей в той же или
в другой плоскости. Формулы Х=Р(х, у), Y=Q(x, у) определяют
точечное преобразование, ставящее в соответствие каждой точке т(х,у)
первой плоскости точку М{х, у) во второй плоскости, и мы видели, что
это преобразование сохраняет углы в том и только в том случае, если
функции Р и Q удовлетворяют одной из двух систем соотношений:
_
Ъх йу' Ъу Ьх '
Ък йу ' Ъу й t' C5 bis)

46 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 273
Первая система соотношений выражает, что P-\-iQ является анали-
аналитической функцией переменного x-\-iy, а вторая — что Р—iQ есть
аналитическая функция от x-\-iy. Впрочем, вторая система приводится
к первой с помощью замены функции Q на —Q, что сводится к тому,
что преобразование второго вида может быть получено комбинацией
преобразования первого вида с поворотом вокруг некоторой прямой,
лежащей на плоскости. Окончательно, каждому конформному отобра-
отображению плоскости на плоскость соответствует аналитическая функция и
обратно.
Предполагая оси ОХ к OY, соответственно, параллельными и одина-
одинаково направленными с осями Ох и Оу, — направление вращения углов
сохраняется или не сохраняется в зависимости от того, удовлетворяют
ли функции Р и Q соотношениям C5) или C5 bis). Действительно,
в первом случае якобиан
, Q)
О(х, у)
выражается через
(?)'+(?)'¦
а во втором — этому выражению должен предшествовать знак минус.
Чтобы понять этот результат, следует обратиться к самому опреде-
определению производной. Пусть и = Х-\- Yi^=f(z)—функция комплексного
переменного z — x-\-yi, голоморфная в области А. Когда точка г опи-
описывает эту область А, точка (X, Y)- описывает в своей плоскости об-
область А', и мы предположим, для определенности, оси ОХ и OY, соот-
соответственно, параллельными и одинаково направленными с осями Ох
и Оу.
Пусть будут z и Zj близкие между собою точки области А, и и-
иг — соответствующие им точки области А'; из самого определения
производной следует, что при приближении модуля разности гг — z
к нулю частное — имеет пределом производную /' (z), каким бы
zi —z
путем разность гг — z ни приближалась к нулю. Предположим, что-
точка ~гг приближается к точке z, описывая кривую С, касательная
к которой в точке z образует с прямою, параллельною направлению ОХ,
угол о; при этом точка я3 также опишет некоторую кривую С, прохо-
проходящую через точку и. Исключим тот случай, когда f(z) равно нулю;
пусть будут р и <о модуль и аргумент количества f'(z), г и г, — рас-
расстояния ггг и ииг, а!—угол между направлением ггг и прямою zx\.
параллельною оси ОХ, и Р' — угол между направлением ииг и пря-
прямою иХ', параллельною оси ОХ. Модуль разности — равен — ,.
Z% Z Г
и аргумент равен р' — а!. Следовательно, мы имеем соотношения:
lim — = р, lim (В' — а') = ш-
т

§273
III. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
47
Остановимся на втором из этих соотношений; в нем можно поло-
положить & = 0, так как это равносильно увеличению аргумента <о на крат-
кратное 2гс. Если точка гг приближается к точке z, описывая кривую С,
то а! стремится к пределу о, следовательно, и $' стремится к некото-
некоторому пределу р, и мы имеем (з^а-|-а). Из этого равенства вытекает
следующее предложение: чтобы иметь направление касательной к кри-
кривой, описываемой точкою и, достаточно повернуть на постоянный
угол (о направление касательной к кривой, описываемой точкою z.
Понятно, что мы здесь считаем соответствующими друг другу те на-
направления касательных, которые соответствуют направлениям совместного-
движения точек z и и.
Черт. 51а.
Черт. 51b.
Пусть будет D какая-нибудь другая кривая на плоскости хОу, про-
проходящая через точку z, и D' — соответствующая ей кривая на плоско-
плоскости XOY. Обозначим через у и в .углы между соответствующими на-
направлениями касательных к этим обеим кривым и прямыми zx' и иХ'
(черт. 51а и 51Ь); мы имеем одновременно:
и следовательно, 5 — ^ = Y —а- Кривые С и D' пересекаются между
собою под тем же углом, как и кривые С и D. Кроме того, мы видим,,
что сохранилось также и направление вращения углов. Заметим, что
наше доказательство неприменимо, если f{z) = 0, так как в этом случае
угол р — а не имеет определенного значения.
В частности, если мы рассмотрим в какой-нибудь из плоскостей
хОу или XOY два семейства кривых, ортогональных между собою, то
соответствующие им кривые в другой плоскости образуют также два
семейства ортогональных кривых. Например, семейства линий Х= С,
Y= С и семейства линий
mod / (z) = С, arg/Br) = О C6>
образуют на плоскости хОу ортогональные сети, так как соответствую-
соответствующие им линии на плоскости ХО Y будут в первом случае системами пря-
прямых, параллельных осям координат, а во втором — кругами с центром
в начале координат и прямыми, выходящими из начала координат.
Примеры. 1. Пусть будет z' = z", где число я — действительное н положи-
положительное число. Обозначим через г и 8 полярные координаты точки z, и через г' и
в' — полярные координаты точки z'; предыдущее соотношение равносильно двум
соотношениям r' — f-, 8' = о9. Таким образом мы переходим от точки z к точке zV
возводя радиус-вектор в степень а и умножая полярный угол на а. При этом значени я

48 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 273
всех углов на плоскости z не изменяются кроме значений тех углов, вершины
которых лежат в начале координат: все такие углы умножаются на постоянный
множитель а.
2. Рассмотрим билинейное преобразование
а*+1 C7)
где а, Ъ, с, d — произвольны. В некоторых частных случаях закон перехода от
точки z к точке z' виден непосредственно. Рассмотрим; например, преобразова-
преобразование z'=z-\-b; пусть будут z = x-t-yi, z'=x' -\-yi, 6 = a-f-ji(; из предыдущего
соотношения имеем х' = х~\-а, у=_у+Р> отсюда видно, что в этом случае пе-
переход от точки z к точке z' совершается посредством простого переноса. Точно
так же, пусть будет z' = az; обозначая через р и м модуль и аргумент количе-
количества а, имеем f = р/% в' = <о + в. Следовательно, мы переходим от точки z к
точке z', увеличивая радиус-вектор в постоянном отношении р и поворачивая
новый радиус-вектор на постоянный угол ю. Следовательно, мы получим преобра-
преобразование, определяемое фоомулою z'= az, соединяя преобразование подобия с
вращением. Рассмотрим, наконец, соотношение
сохраняя за г, 9, г', в' их прежние значения, получим /т' = 1, в -)- в' = 0. Следо-
Следовательно, произведение радиусов-векторов равно единице, тогда как полярные
углы равны, но противоположны по знаку. Пусть нам дан круг С с центром А
и радиусом В; мы будем называть инверсией относительно круга С преобразо-
преобразование обратными радиусами-векторами с полюсом А и модулем /?2. Из предыду-
предыдущего видно, что мы получим преобразование, определяемое формулою zz'=l,
выполнив сначала инверсию относительно круга с радиусом, равным единице, и
с центром в начале координат и взяв затем точку, симметричную с полученною
точкою относительно оси Ох.
Самое общее преобразование вида C7) может быть представлено как соеди-
соединение рассмотренных выше частных преобразований. Если с = 0, то преобразо-
преобразование C7) можно заменить последовательными преобразованиями:
•если же с отлично от нуля, то, выполняя деление, получим:
, a be - ad
с c*z -+- сd '
и рассматриваемое преобразование может быть заменено последовательностью
преобразований:
d 1
С ' Z-2
Z4 — (be — ad) z3, z — «4 -| .
Все эти частные преобразования сохраняют углы и направление вращения и
изменяют круги в круги; следовательно, тем же свойством обладает и общее
преобразование C7); поэтому оно называется круговым преобразованием. Заме-
Заметим, что здесь должно рассматривать прямые линии, как окружности с бесконечно
большим радиусом.
3. Пусть будет
где е{, е3 ер — произвольные количества, и показатели -щ,, /я2, ••• > тр —
действительные положительные или отрицательные числа. Пусть будут М, Et,
Е2,... , Ер точки, представляющие, соответственно, количества z, elt е% ер;
Г{, г2 гр — расстояния MEt, МЕЪ, ...,МЕ„ и в4, 82, ... , в —углы, образуе-
образуемые направлениями EtM, Е%М ЕрМ с прямыми, нараллельными оси Ох.

§ 273—274 III. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 49
тр
Модуль и аргумент количества г', соответственно, равны г^г™3...гтр и гаД +
-t- ота92 -(-•••+ тр^р' следовательно, семейства линий
л-ця»! rs«.... Гртр = С, /пД + /и2в2 +... + трЬр = С
образуют ортогональную сеть. Если показатели т^ щ тр—числа рацио-
рациональные, то эти кривые —алгебраические *. Например, если р = 2, ml = m2=l,
то одно семейство состоит из двуфокусных кассиноид, а другое — из равносто-
равносторонних гипербол.
274. Теорема Римана. Рассмотрим в плоскости переменного z область А,
ограниченную одним контуром (или, что то же, простым контуром), и в плоско-
плоскости переменного и круг С. Риман доказал, что существует аналитическая функ-
функция u=f{z), голоморфная в области А н такая, что каждой точке области А
соответствует точка круга и, обратно, каждой точке круга соответствует одна и
только одна точка области А. При этом функция /(г) зависит от трех действи-
действительных произвольных постоянных, которыми можно располагать таким образом,
чтобы центр круга соответствовал определенной точке области А и произвольно
выбранная точка на окружности соответствовала определенной точке контура об-
области А. Мы не будем приводить здесь доказательства этой теоремы, а рас-
рассмотрим лишь несколько примеров.
Заметим, что круг С можно заменить полуплоскостью. В самом деле, пред-
предположим, что в плоскости и окружность С проходит через начало координат; вы-
выполнив преобразование и' = —, мы заменим эту окружность прямою, а самый
круг—частью плоскости и', расположенною по одну сторону этой прямой,
неограниченно продолженной в обоих направлениях.
1_
Примеры. 1. Пусть будет а = гг, где о действительно и положительно;
рассмотрим часть А плоскости, заключающуюся между направлением Ох и бес-
бесконечною полупрямою, выходящею из начала координат и образующею с Ох
угол ого (a ss: 2). Пусть будут z = re®, и = Re1^; мы имеем:
Если точка z описывает часть А плоскости, то г изменяется в .границах от О
до оо , и 6 — от 0 до ал; следовательно, R изменяется от 0 до оо, и м - от О
до л. Таким образом точка и описывает полуплоскость над осью ОХ, и каждой
точке этой полуплоскости соответствует только одна точка области А, так как, об-
обратно, имеем r= R*, 6 = ао>.
Рассмотрим еще часть В плоскости z, ограниченную двумя пересекающимися
дугами кругов. Пусть будут z0, Zj точки пересечения; если мы выполним сначала
преобразование
то область В преобразуется в область А плоскости z\ заключающуюся между
двумя бесконечными радиусами, выходящими из начала координат; в этом можно
убедиться, заметив, что вдоль дуги круга, проходящей через точки г0. zit аргу-
аргумент количества г ~" Z°- сохраняет постоянное значение. Применяя затем преды-
Z-Z, ^
дущее преобразование u = (z')a, мы видим, что при помощи функции
/
1
? V"
г -г,
* По поводу этих кривых см. G. D a r b о и х, Principes de Geometrie analylique; Paris, Gau-
thier-Villars, 1917, p. 152-159.
4 Э.Гугоа, т. II, ч. 1.

50
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 274
при соответствующем выборе числа а можно выполнить конформнее преобразо-
преобразование области В на полуплоскость.
2. Пусть будет и = cos z. Предположим, что z описывает бесконечную по-
полосу /?, или АОВА' (черт. 52), определяемую неравенствнми О^х^к.у^О;
найдем область, описываемую точкою u = X-\-Yi. Мы имеем здесь (§ 266):
е + еу
X = cos х —' = cos x ch у,
Y=— sin л;
-е-У
C8)
: — sin х sh у.
У
А'
X' С'
X
о в
При изменении х от 0 до it количество У постоянно отрицательно, и потому
точка а остается в полуплоскости, расположенной под осью Х'ОХ. Следовательно,,
каждой точке области R соответствует точка полуплоскости и; если точка z ле-
лежит на контуре области R, то Y=0, так как один из двух множителей sin л: или
shy равен нулю. Обратно,
каждой точке полуплоскости.
а. расположенной под осью.
ОХ, соответствует одна и
только одна точка полосы R-
в плоскости z. В самом деле,
если z' есть корень уравне-
уравнения u = cosz, то все осталь-
остальные корни содержатся в фор1-
муле 1Ы it z'. Предположим,
что у количества z' коэфи-
циент при i положителен;
тогда точкам полосы R могут
соответствовать только корни
2&л -j- z', так как все точки
2&л— г'лежат под осью Ох~
Из точек 2Н + z' всегда есть
одна, которая лежит в полосе R. В самом деле, среди точек 2Н 4- г' всегда есть
одна, абсцисса которой заключается между 0 и 2л; но эта абсцисса не может
заключаться между л и 2л, так как в этом случае было бы sin x < 0 и соответ-
соответствующее значение количества Y было бы положительным. Следовательно, эта
точка лежит в полосе R.
Из формуя C8) легко видеть, что если точка z описывает внутри полосы R
прямолинейный отрезок, параллельный оси Ох, то точка а описывает половину
эллипса. Если же точка z описывает прямую, параллельную Оу, точка и описывает
половину ветви гиперболы. Все эти конические сечения имеют общие фокусы
в точках С и С на оси ОХ с абсциссами — 1 и + 1-
3. Пусть при действительном и положительном а
Черт. 52.
Полагая Z — X-\-iy, имеем:
I — „2а"
Когда точка z описывает бесконечную полосу, ограниченную двумя пря-
прямыми
= + а, модуль \Z\ изменяется между 0 н + оо, a arg Z—между —=-
и + -jr-. Следовательно, точка Z описывает полуплоскость, расположенную справа;
от оси OY. Обратно, каждой точке этой полуплоскости отвечает единственное
значение х и единственное значение у, заключенное между — а и -f- a.
Далее, если мы положим:
z+v

§ 274-275 III. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 51
то легко видеть, что и опишет в своей плоскости круг единичного радиуса с цен-
центром в начале координат, когда точка Z опишет полуплоскость справа от OY.
Следовательно, комбинация этих обоих преобразований позволяет осуществить
конформное отображение на круг бесконечной полосы, заключенной между двумя
параллельными прямыми *.
275. Изотермические линии. Пусть будет U(x, у) решение уравнения
Лапласа
TT + Yi=* C9>
линии, представляемые в плоскости хОу уравнением
U{x,y) = C, D0)
где С — произвольное постоянное, образуют семейство изотермических линий.
Ко всякому решению U(x, у) уравнения Лапласа можно присоединить другое
V(x, у) такое, чтобы U-\- Vi было аналитическою функциею переменного x-j-yi.
Из соотношений
ъи_ъу ъи_ ъv
Ъх Ъу ' Ьу Ъх
следует, что семейства изотермических линий
U{x,y) = C, V(x,y) = C
ортогональны, так как угловые коэфициенты касательных к кривым С и С, соот-
соответственно, равны
дх Ъу Ъх Ъу
Следовательно, ортогональные траектории се'мейства изотермических линий
образуют другое семейство изотермических линий. Эти два семейства называ"
ются сопряженными. Мы получим все сопряженные системы изотермических
линий, рассматривая произвольную аналитическую функцию f(z) и беря линии,
для которых действительная часть функции f{z) или коэфициентпри i сохраняют
постоянное значение. Линии, для которых модуль R или аргумент й функции
f(z) остаются постоянными, образуют также две сопряженные системы изотерми-
изотермических линий, так как действительная часть аналитической функции Log|/(z)]
равна log R, а коэфициент при / равен Q.
Точно так же мы получим системы изотермических линий, рассматривая ли-
линии, описываемые точкою (X, Y), где /(z) = X + iY, и х или у имеют постоян-
постоянное значение. В самом деле, для доказательства достаточно рассмотреть, обратно,
х -+- iy как функцию от X -\- iY. Вообще, всякое преобразование между точками
двух плоскостей, сохраняющее значение углов, изменяет семейство изотермиче-
изотермических линий в новое семейство изотермических линий. Пусть будут
i х — р (х1, у'), у =щ (х\ у')
формулы преобразования, сохраняющего значение углов, и F(x',y') — результат
замены переменных х и у в U{x, у) через р{х', у') и q{x\ у'). Задача приво-
приводится к доказательству того, что F(x', у') есть решение уравнения Лапласа,
если U(x, у) есть решение уравнения Лапласа. Доказательство не представ-
представляет никакого затруднения (см. т. I, гл. III, упражнение 8), но теорему можно
доказать и без всяких вычислений. В самом деле, мы можем предположить, что
функции р {х\ у') и q (x, у') удовлетворяют соотношениям:
ор Ъq Ър Ъд
Ъх' Ъу' ду' йдг'
* Точки г = х -f- iy, для которых | в |< р < 1, заключены между двумя параллельными пря-
прямыми г = =ь -^ log ( ~~^ |. (Caratheodory.)
4*

52 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 275
так как очевидно, что преобразование по симметрии изменяет семейство изотер-
изотермических линий в новое семейство изотермических линий. При таком предполо-
предположении функция х -|- iy = р -|- iq есть аналитическая функция переменного z' =
— x'\-iy\ и U + iV после подстановки обращается также в аналитическую
функцию F(x\ У) + /Ф(х', У) того же переменного г'(§ 259). Следовательно,
семейства линий
F (х', У) = С, Ф (х\ У) = С
образуют новую ортогональную сеть, состоящую из двух сопряженных семейств
изотермических линий.
Например, концентрические окружности и радиусы этих окружностей обра-
образуют два семейства сопряженных изотермических линий; в этом можно убедиться
непосредственно, рассматривая аналитическую функцию Log г. Выполнив преобра-
преобразование обратными радиусами-векторами, мы получим систему изотермических
линий, состоящую из окружностей, проходящих через две данные точки. Сопря-
Сопряженная система также состоит из окружностей.
Точно так же софокусные эллипсы образуют изотермическую систему. В са-
самом деле, выше мы видели, что точка и = cos z описывает софокусные эллипсы,
если точка г описывает прямые, параллельные оси Ох (§ 274). Сопряженная сис-
система состоит из софокусных и ортогональных гипербол.
Примечание. Для того чтобы семейство линий, представляемых уравне-
уравнением Р(х, у)=С, было изотермическим, нет необходимости, чтобы Р(х,у) было
решением уравнения Лапласа. В самом депе, очевидно, что эти линии можно
представить также уравнением ч [Р (х, у)] = С, какова бы ни была функция <р, и
достаточно, чтобы эту функцию ч можно было выбрать в такой форме, чтобы
U{x, у)=ч(Р)
было решением уравнения Лапласа. Производя вычисление, находим, что в та-
таком случае:
ИР*[\Ъх) fW ГаР\Ъ*+Ъ*)
следовательно, нужно, чтобы отношение
Й*Р Й'Р
Ъх' Ьу
dP\2
fc) + (by)
зависело только от Р, и, если это условие выполнено, функция у находится
с помощью квадратур.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Определить аналитическую функцию f(z)—X-\-iY с действительной
частью X, равною:
2 sinlr
решить ту же задачу в предположении, что предшествующей функции равна
сумма Х+ У.
1. Пусть будет <?(т, р)—0 тангенциальное уравнение действительной алге-
алгебраической кривой, т. е. условие, чтобы прямая у — тх + р была касательного
к этой кривой. Доказать, что корни уравнения if (г, — iz) = 0 суть аффиксы дей-
действительных фокусов этой кривой.

УПРАЖНЕНИЯ 53
3. Показать, что если р и q — взаимно простые целые числа, то выражения
\\ zf и у' zp равносильны. Что будет, если р и q имеют общий наибольший
делитель d > 1?
4. Найти модуль и аргумент количества ех+У', рассматривая его как предел
Л , x + yi\m
многочлена A4 -^— ) при неограниченном возрастании целого числа т.
5. Вывести формулы:
sin (—
sin (—о~ * ) / Ь\
cos a \ cos (a -f- *)+... -f- cos (я + nb) = -r cos ( a + "o" ) >
sin Ы
sin [ —'— b j . ,
sin a -J- sin (я -f- 6) -f- ...-)- sin (a -(- «*) = 1 sin ( a + -y ) •
sin(y)
6. Определить конечное значение функции arc sin z, когда переменное z опи-
описывает прямолинейный отрезок между точками 0 и 1 -f- /, причем за начальное
значение arc sin z принят 0.
7. Пользуясь формулою A2) (§ 262):
доказать, что целый ряд есть непрерывная функция переменного.
[Для доказательства следует взять соответственную усиливающую функцию
для ряда в правой части.]
8. Вычислить интегралы
\ х"}еах cos bx dx, \ xme°* sin bx dx,
J ¦ J
ctg(^ —a)ctg(jr— V) ... ctg(x — 0dx.
9. Рассмотрим в плоскости хОу замкнутую кривую С, имеющую любое число
двойных точек; установим на ней некоторое определенное направление обхода и
припишем каждой области плоскости, определяемой этою кривою, числовой коэфи-
коэфициент по правилу § 93 (т. I). Пусть будут R и /?' две пограничные области,
разделяемые дугою ab контура, описываемою в направлении от я до Ь; тогда
коэфициент области, расположенной влево от ab, будет на единицу больше коэфи-
циента области, лежащей вправо от ab, причем область вне контура С имеет
коэфициент нуль.
Пусть будет г,1 точка в одной из этих областей, а ./V — коэфициент, соответ-
соответствующий этой области. Доказать, что 2Nx представляет изменение аргумента
количества z — z0, когда точка z описывает кривую С в установленном направ-
направлении обхода.
10. Доказать из рассмотрения разложения Log ( ) на круге сходимости,
V 1 — zj
что сумма ряда
sin6 sin 38 sin 58 sin Bл+ 1)8
13 5 ¦ In -\- 1
равна +-Т-, если sin 8 > 0, и — -^-, если sin8<0 ;см. т. I, § 195).
11. Исследовать линии, описываемые точкою Z=z2, когда точка z описывает
прямую линию или окружность.

54 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
с-
12. Доказать, что при помощи соотношения 2Z=z-\ можно отобразить
конформно область, заключающуюся между двумя софокусными эллипсами, на
круговое кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями.
[Для доказательства возьмем, например, решение z = Z + \/Z'2 — с* и, про-
проведя в плоскости Z прямолинейный разрез {— с, ¦+¦ с), условимся брать для корня
положительное значение, если Z действительно и больше, чем с.\
13. Показать, что всякое круговое преобразование г' = —i— равносильно
с z -\- а
четному числу инверсий. Обратная теорема.
14. Показать, что всякое преобразование, определяемое соотношением
z' = ° , где z0 есть мнимое количество, сопряженное с г, равносильно не-
нечетному числу инверсий. Обратная теорема.
15. Преобразования Фукса. Всякое круговое преобразование г'= -,
где а, Ь, с, d — действительные числа, удовлетворяющие условию ad—be = 1,
переводит всякую точку z, лежащую над осью Ох, в некоторую точку г' той же
полуплоскости.
Относительно всех этих преобразований определенные интегралы
Г
J
]/dx* -f- djp rrdxdy
являются инвариантами.
Рассматриваемое преобразование имеет две двойных точки, соответствующих
корням аир уравнения с г2 -f (d — a) z — b = 0. Если аир действительны и
, az -\- b „ ,
различны, то уравнение г = -j можно представить в равносильной форме:
где k действительно; в этом случае преобразование называется гиперболическим.
Если аир— сопряженные мнимые количества, то уравнение можно представить
в виде:
z' — а . z — a
г'-Р1 г-У
где ю действительно; это—эллиптическое преобразование. Наконец, если р = а,
то мы получим:
i i
z' — a z — a^
где я и ft действительны; в этом случае преобразование называется параболи-
параболическим.
16. Пусть будет z' = f(z) преобразованием Фукса. Положим
*i =/(*), г,=/(г1), .... *„=/(*„-!)¦
Показать, что все точки г, zt, z%, ... , zn лежат на окружности. Исследовать,
стремится ли точка zn к предельному положению при неограниченном возраста-
возрастании числа п.
17. Пусть Т означает треугольник, имеющий вершинами точки -4-1, — 1 и
произвольную третью точку z. Через начало координат проводим прямую, парал-
параллельную внутренней биссектрисе угла при вершине г, на которой наносим по
ту и по другую сторону от начала два отрезка длиною каждый \/\z — 1 | • | z ¦+- 1 |.
Показать, что концы обоих отрезков представляют два значения корня J/z2 - 1.
Что получится, если заменить внутреннюю биссектрису на внешнюю бис-
биссектрису?

УПРАЖНЕНИЯ 55
18. Найти аналитическую функцию Z=f(z), с помощью которой можно пе-
ремти от меркаторской проекции к стереографической.
19*, Если \q\<Cl, то мы имеем тождество:
!
[Эйлер.]
{Чтобы доказать это тождество, преобразуем бесконечное произведение в ле-
левой части в двойное бесконечное произведение, расположив в первой строке
множители 1 -J- q, I -f- q\ 1 + <74 1 + q'2" во второй строке — множители
I + q3, 1 4- ?6 1 + (?зJя и затем применим формулу A6) (§ 264).]
20. Разложить по степеням количества z бесконечные произведения:
ФB) = A + XZ){\
1Для решения этой задачи можно, например, воспользоваться соотношениями
F(xz) (l+xz) = F(z), Ф (x*z) A+лг) = ФD1
21*. Предполагая, что ]д:|<1, вывести формулу Эйлера:
д:3)... A -хп) ... =
Зя' —л Зл* + л
= 1 — х — х* 4- лгз - Х1 + х& — ... + х ~ — х 2 .
[См. Ж. Бертран, Calcul differentiel, стр. 328.]
22. Сделаем стереографическую проекцию шара с радиусом, равным еди-
единице, на плоскость его экватора, причем возьмем центр проекции в одном из
полюсов. Каждой точке М шара соответствует комплексное число 5 = х 4- iy,
где х и у суть прямоуг.ольные координаты проекции т точки М относительно
прямоугольных осей, лежащих в плоскости экватора и имеющих начало в центре
шара. Диаметрально противоположным точкам шара соответствуют комплексные
1
числа s и , где s0 — число, сопряженное с s.
Всякое линейное преобразование вида:
s' — а . s — я
= <?«» г , (А)
s' — Р s—[
где (Sa0 + 1 = 0, определяет вращение шара вокруг диаметра. Группам вращений,
приводящим правильный многогранник к совпадению с самим собою, соответ-
соответствуют группы конечного числа линейных подстановок вида (А).
[См. Клейн (Klein), Das Ikosaeder, стр. 32.]

ГЛАВА XIV.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО КОШИ.
I. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ.
276. Определения и общие положения. Теперь мы обратимся к сис-
систематическому изучению аналитических функций и проследим, какие
следствия вытекают из самого их определения. Напомним, что функция
f(z) называется голоморфною в области Л, если: 1) каждой точке z
области А соответствует определенное значение функции f(z); 2) не-
непрерывному изменению переменного z соответствует непрерывное изме-
изменение значения /(г); 3) для всякой точки z области А отношение
стремится к некоторому пределу f (z), когда модуль количества А стре-
стремится к нулю.
Рассмотрение определенных интегралов, когда переменное пробегает
ряд мнимых значений, было введено в анализ Коши *; оно служит
источником новых плодотворных методов.
Пусть будет /(г) функция переменного
z, непрерывная вдоль дуги кривой АМВ
(черт. 53); отметим на этой дуге некоторое
число точек деления z0, ?-,, z2, ... г/г_1, z\
следующих одна за другою в порядке воз-
возрастания указателей, когда точка z опи-
сывает дугу АМВ в направлении от А
О х до В; пусть точки z0 и г' совпадают
Черт. 53. с концами дуги А и В.
Возьмем затем на дуге АВ второй ряд.
точек С,, С2, ... , ?я> пРичем точка lk лежит на дуге zk_lzk, и рас-
рассмотрим сумму
* «Memoire sur les integrates definies prises entre des limit s imaginaires", 1825. Э,гот мемуаг»
переиздан в VII и VIII томах Bulletin des Sciences mathematiques A-я серия).

§ 276 I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 57
Если число точек деления гг, ...', zn_x неограниченно возрастает и
притом так, что модули всех разностей г, — z0, z2— г,, ... делаются,
меньшими всякого п оизвольно выбранного положительного числа, то-
сумма 5 стремится к некоторому пределу; этот предел называется опре-
определенным интегралом от функции f(z) вдоль дуги АМВ и изобра-
изображается символом:
fzdz.
АМВ
В самом деле, отделим в сумме 5 действительную часть от коэфи-
циента при /; пусть будут
причем функции X и Y непрерывны вдоль АМВ.
Собирая вместе соответственные члены, мы можем представить сумму
5 в виде:
При неограниченном возрастании числа подразделений сумма членою
в каждой квадратной скобке имеет пределом криволинейный интеграл,
взятый вдоль дуги АМВ, и предел суммы 5 равен сумме четырех кри-
криволинейных интегралов *:
^ f(z)dz= [ (Xdx— Ydy)+i f (Ydx+Xdy).
АМВ 'АМВ АМВ
Из этого определения интеграла по мнимому переменному непо-
непосредственно следует, что
f(z)dz = O.
АМВ ВМА
Часто бывает нужно знать верхнюю границу модуля интеграла.
Пусть будет 5 длина дуги AM, L — длина дуги АВ, sk_^, sk, ak —
длины дуг Агк_л, Azk, A?,k пути интегрирования.
* Чтобы избежать ненужной сложности в доказательствах, мы предположим, чго координаты
(х, у) точек ду! и АМВ суть непрерывные функции X = <р (/), у = ф (<) параметра t, имеющие между-
А и В только конечное число максимумов и минимумов. В этом случае можно разбить путь инте-
интегрировании на конечное число дуг, каждая, из которых представится или уравнением вида у = F(x)r
где фун^ия F непрерывна между соответствующими пределами, нли уравнением вида х — G (у).
В этом п'р-дположении нет никакого неудобства, так как во всех приложениях выбор пути инте-
интегрирования всегда допускает известную степень произвола. Впрочем, было бы достаточно пред-
предположи рь, что функции &(t) н ф (t) — с 01 раниченным изменением, тогда кривая АМВ будет
спрямляемою (т. 1, § 79, подстрочное примечание).

58 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 276—277
Полагая F(s)= /(г)\, имеем:
так как \гк— гк_л | представляет длину хорды, a (sk — ^_-,) — длину
С 5 б ^^() ( )
к
дуги. Следовательно, модуль суммы
л, переходя к пределу, получим:
не больше суммы
(-к — sk_j)
1
f(z)dz
АМВ
; [F(s)ds.
Пусть будет М верхняя граница модуля функции f(z) вдоль дуги
.АВ. Очевидно, что модуль интеграла в правой части меньше /VL, и
.мы имеем, a fortiori:
J
АМВ
f{z)dz
<_ML
277. Замена переменных. Рассмотрим тот случай, часто встречаю-
•щийся в приложениях, когда координаты х, у точек дуги АВ суть
непрерывные функции переменного параметра /, x = fi>(t), y — <b(t),
:имеющие непрерывные производные y'(t), фг(/); предположим, что при
.изменении t от а до |} точка (л:, у) описывает путь интегрирования
в направлении от А до В, Пусть будут P(t) и Q(t) функции пара-
параметра t, в которые обращаются функции X и У, если мы заменим
>ъ них х и у, соответственно, через y(t) и ф(/). По формуле замены
(переменных в криволинейных интегралах (т. I, § 91) имеем:
—Ydy=\i [P(t)'+'(t)-Q(t)V(t)]dt,
АВ
\Х dy + У dx = \[Р (t) ф' (t) + Q (t) ср' (t)] dt.
•i <j
AB a.
Сложим оба равенства, умножив предварительно обе части послед-
шего на i; мы будем иметь:
/(г) dz= \[P{t)
A)
АВ
Это тот же самый результат, который мы получили бы, если бы
•применили к интегралу \f{z)dz формулу замены переменных, выве-
выведенную для случая действительных функций и переменных: чтобы иметь
новый интеграл, достаточно заменить в f(z) dz переменное z через
••'¦Р @ + i Ф (t) и dz через [у1 (/) -f- i:d>r (/)] dt. Таким образом вычисление
интеграла \f(z)dz приводится к вычислению двух обыкновенных инте-

§ 277 - I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 59
градов. Если путь АМВ состоит из нескольких дуг различных кривых,
то предыдущую формулу следует применить к каждой из этих дуг
отдельно.
+ 1
f dz
Рассмотрим, например, определенный интеграл \ —. Этот интеграл
j
нельзя вычислять вдоль действительной оси, так как подинтегральная
функция обращается в бесконечность при г = 0, но можно итти любым
•путем, не проходящим через начало координат. Будгм перемещать
точку г по полуокружности с радиусом, равным единице, и с центром
в начале координат; для этого всего проще положить z = eu и изме-
изменять t от гс до 0. Мы будем иметь:
+ 10 0 0
С и С С Г
 = \ ie-tldt = i wstdt-\- s\ntdt = —2;
1 ~ 71 Tt
это — тот же результат, какой мы получили бы, применяя основную фор-
формулу интегрального исчисления к начальной функции — •—• (т. I, § 75).
Вообще, пусть будет z = <р (ы) непрерывная функция другого комплексного
переменного и = ? + т,г, такая, что, когда а описывает в своей плоскости путь
CND, то переменное г описывает дугу АМВ. Точкам разбиения дуги АМВ соот-
соответствуют на дуге CND точки разбиения щ, щ, и2, ... , «ft_i, ... , и'. Если функ-
функция у (и) имеет вдоль дуги CND производную <р'(«), то
причем sft стремится к нулю, когда ик стремится к Mft_t, оставаясь на кривой
CND. Вернемся к рассмотренной выше сумме S; взяв ^k_l = zk^i и заменяя раз-
яость zk — 2ft_4 ее значением, выведенным нз предыдущего равенства, мы можем
представать 5 в виде:
S/fel)f(n)K*l + Si»/(
Первая сумма в правой части имеет пределом определенный интеграл
CND
Что касается второй суммы, то ее модуль меньше, чем r\ML', где г] — поло-
положительное число, большее всех модулей j zk |, и V — длина дуги CND. Если можно
взять точки разбиения настолько близкими одна к другой, чтобы все модули | eft |
были меньшими произвольного положительного числа, то этот дополнительный
член стремится к нулю, и мы имеем общую формулу замены переменных:
[)f{z)dz = [ /[!(«)]?'(и) «fa. B)
АМВ CND
Эта формула применима всякий раз, когда функция <р («) — голоморфна; в са.

60 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 277—278
мом деде, ниже будет доказано, что производная голоморфной функции есть также
голоморфная функция (см. § 284) *.
278. Формулы Вейерштрасса и Дарбу. Доказательство формулы сред-
среднего значения (т. I, § 73) опирается на некоторые неравенства, кото-
которые не имеют места в случае мнимых количеств. Однако Вейерштрасс
и Дарбу пришли в этом направлении к интересным результатам, рас-
рассматривая интегралы, взятые вдоль отрезка действительной оси. Выше
мы видели, что и случай произвольного пути можно привести к этому
частному случаю при некоторых весьма общих предположениях отно-
относительно пути интегрирования.
Пусть будет / определенный интеграл следующего вида:
/ =
где fit), y(t), <b(t) — действительные функции действительного пере-
переменного t, непрерывные в промежутке (а, [5>; очевидно, что из самого
определения интеграла^следует, что
3
Для определенности предположим, что а<^$; тогда разность t — а
представит длину пути интегрирования, измеряемую от начала этого
пути, и общая формула для верхней границы модуля определенного
интеграла будет иметь вид:
* Действительно, пользуясь этим последним свойством голоморфных функций, нетрудно до-
доказать следующее предложение:
Пусть будет /(г) функция, голоморфная в конечной часта А плоскостп(включая границу).
Тогда для всякого положительного числа г можно найп.и такое положительное число t\, чтобы
было
если расстояний \h\ межРу точками z и z + h области А меньше числа i).
В самом деле, пусть будет /(г) = Р(х, у)-» iQ(x,y), h = Ax-\-iAy. На основании выво-
выводов, полученных при определении условий существования единственной производной (§ 257),
имеем:
/(г +А) -/(г) [РЛх+ЬЧис, у) - Р <(х, у)] Ах
р W +
[
Ьх +1 Ду
Так как производные Р x'iPy>Qx'iQJ непрерывны в области Л и на границе, то можно найти
такое число i), чтобы в предыдущем равенстве модули коэфициеитов при Дл и Ду были меньшими
— если Уд** -f by2 < т) • Следовательно, неравенство (А) будет иметь место, если |Л|<ч- Таким
образом, если функция ср (и) голоморфна, то все модули j t], | будут меньше данного положитель-
положительного числа е, если только расстояние между двумя соседними точками разбиения .оуги CND оудет
меньше соответствующего числа t\, и формула B) доказана.

§ 278 I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 61
Если, кроме того, между аир функция f(t) положительна, то
или, применяя к этому новому интегралу формулу среднего значения и
обозначая через ? некоторое значение переменного t, заключающееся
между аир:
3
Полагая F(t) = y(t) -\- /ф@> мы можем представить иначе этот ре-
результат в виде:
~ U)dt, C)
где X — комплексное число, модуль которого меньше или равен еди-
единице, это — формула Дарбу.
Вейерштрасс дал более точное выражение, которое можно связать
с одною из основных задач статики. Предположим, что при возраста-
возрастании t от а до р точка с координатами jr = <p(/), y = <b(t) описывает
некоторую дугу кривой L. Пусть будут (х0, у0), (хЛ, уЛ), ...
• • ¦ , K-iJi-i). • • • точки дуги L, соответствующие значениям a, tlt ...
-•• ) '#_1>»-- параметра t. Положим:
х = 5>
На основании известной теоремы статики X и Y суть косрдинаты
центра тяжести системы масс, находящихся в точках (дги, у0), (хл, уг),...
... , (Xk_j, Уь_л) линии L, причем в точке {хк_л, ук_г) помещена
масса /(ffr_1) (tk — tk_1). Очевидно, чтоэтот центр тяжести должен ле-
лежать внутри всякого замкнутого выпуклого контура С, окружающего
линию L. При неограниченном возрастании числа промежутков точка
<(Х, Y) имеет пределом точку (и, v) с координатами:
Р ,
(t)dt

62 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 278—279*
которая также находится внутри контура С. Обе эти формулы можно
соединить в одну:
I 9
где Z— аффикс некоторой точки, лежащей, внутри всякого замкну-
замкнутого выпуклого контура, окружающего линию L.
Очевидно, что в общем случае множитель Z Вейерштрасса может
изменяться в более тесной области, чем множитель \F(z) Дарбу.
279. Интегралы по замкнутому контуру. В выводах предыдущих па-
параграфов было достаточно предполагать, что функция f(z) комплекс-
комплексного переменного z непрерывна на всем пути интегрирования. Мы
теперь предположим, сверх того, что функция f(z) — аналитическая, и
прежде всего посмотрим, как влияет на значение определенного инте-
интеграла путь, описываемый переменным при переходе от А до В.
Если функция f(z) голоморфна внутри замкнутой линии и net
самой этой линии, то интеграл I / (z) dz, взятый вдоль этой линии,
равен нулю.
Для доказательства этой основной теоремы, принадлежащей Коши,.
мы покажем сначала несколько лемм.
1. Интегралы I dz, \zdz, взятые вдоль любой замкнутой линии,
равны нулю. В самом деле, по самому определению интеграла инте-
интеграл 1 dz, взятый вдоль любого пути между точками а и Ь, равен,
b — а; если путь — замкнутый, то этот интеграл равен нулю, так как-
в этом случае Ь = а. Найдем теперь значение интеграла I zdz, взятого
вдоль любого пути, соединяющего точки а и Ь; взяв в выражении для
5 § 276 один раз ^к = гь_г, а другой t,k = zk, мы можем представить
этот интеграл как предел суммы:
1±\—*1 Ь* — О»
h
если путь — замкнутый, то этот интеграл также равен нулю.
2. Если мы разобьем область, ограниченную каким-нибудь конту-
контуром С, произвольными секущими линиями, то сумма интегралов
1 / z) dz, взятых в одном и том же направлении вдоль контуров всех.
этих частей, равна интегралу f(z) dz, взятому вдоль всего контура С.
В самом деле, очевидно, что каждая часть проведенных вспомогатель-
вспомогательных линий разделяет две пограничные области и потому должна быть
проходима дважды в противоположных направлениях. Следовательно,

279
I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
65-
по сложении всех этих интегралов останутся только интегралы, взятые
вдоль частей контура С, и их сумма равна интегралу \fiz)dz.
с
Разобьем теперь область Л, с одной стороны, на правильные части,
состоящие из квадратов со сторонами, параллельными осям Ох, Оуу
с другой стороны — на неправильные ча-
части, получающиеся из тех квадратов, ко-
которые отчасти выступают за контур С.
Стороны этих квадратов могут и не иметь
одинаковой длины. Например, можно сна-
сначала провести все сети прямых, парал-
параллельных осям Ох и Оу и отстоящих друг
от друга на постоянное расстояние /, и
затем разбить получившиеся квадраты на
более мелкие квадраты новыми прямыми,
параллельными осям координат. При каж-
каждом способе разбиения предположим, что
мы имеем /V правильных частей и N' не-
неправильных частей; перенумеруем правиль-
правильные части в произвольном порядке от 1 до N и неправильные от Г
до N'. Пусть будут 1{ сторона /-го квадрата, 1? — сторона квадрата,.,
заключающего &-ую неправильную часть, L—длина контура С, и А —
площадь некоторого многоугольника, содержащего контур С внутри себя.
Пусть будет abed квадрат с номером i (черт. 54); если zl есть,
точка, взятая внутри или на одной из сторон этого квадрата, и z —
какая-нибудь точка его контура, то мы имеем:
J
/
[
X
\
\
1
V
a i
х t
I /, I
а
,
J
1
Ъ
Л
'1
}
1
Черт. 54.
-Z — Zt ' '
где ег очень мало, если только сторона квадрата сама очень мала. От-
Отсюда получим:
f(z) = zf (г.) +/B/) — zt f (г,) + М* — zt),
[г) dz =/' (z.) §zdz+ [f(Zi) - ztf (г,.)] j" dz 4- [ e, {z — г,) dz,
где интегралы взяты вдоль контура с1 квадрата abed. Применяя дока-
доказанную выше первую лемму, будем иметь:
[
F)-
Пусть будет pqrst неправильная часть с номером k; если zk' есть
точка, взятая внутри или на контуре этой части, и z — какая-нибудь,
точка ее контура, то мы можем положить и здесь
f(z)—f(z')

«4 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 279-280
где efe' бесконечно-мало вместе с lk', отсюда получаем:
Пусть будет 7] положительное число, большее модулей всех множи-
множителей s, и Sf/. Модуль разности z — zt меньше lt\f2, и из формулы F)
имеем:
dz
= Ц V2 со,,
где о),- — площадь г'-й правильной части. Точно так же из соотношения
.•(8) получим:
где o)ft'—площадь квадрата, содержащего k-ю неправильную часть.
•Складывая все эти неравенства, будем иметь a fortiori:
\\f(z)dz
(С
\
(С)
где X есть верхняя граница сторон lk'. Если число квадратов неограни-
неограниченно возрастает так, что все стороны /, и lk' стремятся к нулю, то
•сумма 2@/~Ь2@*'' наконеЦ, сделается меньшею площади А. Следова-
Следовательно, в правой части неравенства (9) мы имеем произведение множи-
множителя, остающегося конечным, на множитель 7], который можно сделать
меньшим всякого заданного положительного числа. Это может иметь
место только в том случае, если левая часть неравенства равна нулю;
следовательно, мы имеем:
f(z)dz = 0.
(С)
280. Исследование предпосылок, необходимых для доказательства
основной теоремы. Чтобы предыдущее заключение было верно, следует дока-
доказать, что можно взять размеры квадратов настолько малыми, чтобы, при надлежа-
надлежащем выборе точек zt и zk', модули всех количеств г,, еА' были меньше всякого за-
заданного положительного числа т) *. Мы будем говорить для краткости, что область,
ограниченная линиею f, лежащею в части плоскости, ограниченной контуром С,
удовлетворяет условию (а) относительно числа т), если можно найти внутри линии
Y или на самой этой линии такую точку г', чтобы было постоянно
\f{z)-f{z')~{z-zl)f{z')\^\z-z'\ri, («)
когда точка z описывает линию f. Наша задача будет решена, если мы докажем,
что можно взять размеры квад ратов настолько малыми, чтобы все рас-
рассматриваемые части, правильные и неправильные, удовлетворяла ycAOtwo (я)
.относительно числа т).
* Г у р с а, Тп nsactions of the American Mathematical Society, r, I, стр. 14, 1900.

¦§280-281
I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
65
Мы докажем эту новую лемму известным методом последовательных разбие-
разбиений. Проведем Сначала две сети прямых, Параллельных осям Ох и Оу, на посто-
постоянном расстоянии I друг от друга. Среди получившихся частей одни могут удо-
.влетворять условию (а), тогда как другие ему удовлетворять не будут. Не изменяя
ничего в частях, удовлетворяющих условию (а), разобьем остальные на более
мелкие части, соединяя середины противоположных сторон квадратов, образую-
образующих эти части, или квадратов, их содержащих. Если после этой новой операции
•останутся части, не удовлетворяющие условию (а), то мы повторим ту же опера-
операцию над этими частями и т. д. Продолжая поступать таким образом, мы можем
иметь только два случая: или мы не получим ни одной области, не удовлетворя-
удовлетворяющей условию (а), и тогда лемма доказана; или, как бы далеко мы ни шли
в ряде операций, всегда будут части, не удовлетворяющие этому условию.
Если имеет место последнее, то необходимо, чтобы, неограниченно разбивая
указанным приемом одну из правильных или неправильных частей, получившихся
после первого разбиения, мы никогда не пришли к областям, которые все удо-
удовлетворяют условикь(а). Пусть будет А{ эта часть; после второго разбиения эта
часть будет содержать в себе другую часть А2, которая не может быть разбита
иа части, все удовлетворяющие условию (а). Так как рассуждение можно про-
продолжать неограниченно, то мы получим последовательность областей
А{, Ait Аъ А„, ... ,
состоящих из квадратов или частей квадратов, каждая из которых заключается
в предыдущей и размеры которых стремятся к нулю при неограниченном возра-
возрастании числа п. Следовательно, у частей At есть предельная точка z0, лежащая
внутри контура С или на самом этом контуре. Так как, по предположению, функ-
функция f{z) при 2 = г0 имеет производную /'(г), то можно найти такое число р,
чтобы было
I /(*) - /(Ч> - (* - *,)/' (*о) I «? ч I z - z, |,
если будет \г — z0 | < р. Пусть будет с круг с радиусом, равным р, и с центром
в точке 20. Начиная с достаточно большого значения п, область Ап будет лежать
внутри круга с, и мы будем иметь во всех точках контура области Ап:
Очевидно, что точка гй лежит внутри области Ап или на её контуре; следова-
следовательно, эта область должна удовлетворять условию (а) относительно числа т\. Та-
Таким образом, предположив, что лемма неверна, мы пришли к противоречию.
281. Случай сложных контуров. Предыдущая тео-
теорема распространяется также и на контуры, со-
состоящие из нескольких отдельных замкнутых линий;
нужно только надлежащим образом условиться
относительно направления обхода этих контуров.
Например, рассмотрим функцию/(г), голоморфную
внутри области А, ограниченной замкнутою линиею
С и двумя внутренними линиями С', С" (черт. 55);
предположим, что функция f(z) голоморфна также
и на самих этих контурах С, С', С". Полный контур Г
области А состоит из этих трех различных линий;
мы будем говорить, что контур Г описывается в пря-
¦мом направлении, если при обходе вдоль этого кон-
контура область Л остается слева; стрелки на черт. 55 указывают прямое
¦направление обхода для каждого из этих контуров. При этом условии
мы имеем всегда:
S Э. Гурса, т. II, ». 1,
Чертб5

66 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 281
если интеграл взят в прямом направлении вдоль полного контура Г.
Доказательство этого предложения, данное для случая области, огра-
ограниченной одним контуром, применимо также и здесь; можно также
привести этот случаи к предыдущему, проведя поперечные линии
ab, cd и применяя теорему к замкнутой линии abmbandcpcdqa (т. I,
§ 146).
В приложениях иногда бывает удобно представлять предыдущую
формулу в виде:
с
причем все интегралы берутся в одинаковом направлении, т. е. два
последних интеграла должны быть взяты в направлении, обратном ука-
указанному стрелками.
Возвратимся к вопросу, предложенному в начале § 279; теперь-
очень легко дать на него ответ. Пусть будет f(z) функция, голоморф-
голоморфная в области D плоскости. Рассмотрим пути АМВ и ANB, соединяю-
соединяющие две точки А к В и расположенные на всем своем протяжении
внутри этой области.
Оба пути дадут одно и то же значение для интеграла f(z) dz, в пред-
предположении, что функция f(z) голоморфна во внутренности контура
составленного из пути АМВ и из пути BNA. (Для определенности мы
предположим, что эта замкнутая кривая не имеет двойной точки.)
Действительно, сумма двух интегралов, взятых вдоль АМВ и вдоль
BNA, равна нулю, и потому интегралы вдоль АМВ и вдоль ANB друг
другу равны. Этот результат можно выразить еще следующим образом:
дза пути АМВ и ANB, имеющие общлми начальную и конечна ю
точки, дают одно и то же значение \/(z)dz для интеграла, если
можно перейти от одного из этик путей к другому непрерывною
деформациею, не встречая при этом ни одной из точек, в которых
функция перестает быть голоморфною.
Это предложение верно и в том случае, если оба пути имеют кроме
конечных точек А и В любое число общих точек (т. I, § 145). Отсюда
следует, что если функция f(z) голоморфна внутри области, ограни-
ограниченной только одним замкнутым контуром, то интеграл \/(z)dz, взя-
взятый вдоль любого замкнутого контура, расположенного в этой области,
равен нулю.
Но нельзя распространять это заключение на случай области,
ограниченной несколькими отдельными замкнутыми линиями. На-
Например, рассмотрим функцию f{z), голоморфную в кольце, заключаю-
заключающемся между двумя концентрическими окружностями С и С Пусть
будет С" окружность, концентрическая с С и С и заключающаяся
между ними; интеграл \f(z)dz, взятый вдоль С", вообще, не равек

§ 281—282
I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
67
нулю. Из теоремы Коши следует только, что значение этого интеграла
не изменяется при изменении радиуса окружности С *.
282. Распространение формул интегрального исчисления. Пусть бу-
будет f(z) функция, голоморфная в области А, ограниченной простым
контуром С. На основании предыдущего, определенный интеграл
взятый от постоянной точки z0 до переменной точки Z вдоль какого-
нибудь пути, лежащего в области А, есть вполне определенная функция
верхнего предела Z. Мы покажем, что эта функция *&(Z) есть также
голоморфная функция переменного Z, производная которой равна f(Z).
Пусть будет Z -j- h точка, близкая к точке Z; мы имеем:
Z+h
и мы можем предположить, что последний интеграл взят вдоль прямо-
прямолинейного отрезка, соединяющего точки Z и Z-\-h. Если обе точки
очень близки между собою, то вдоль этого пути f(z) очень мало отли-
отличается от f(Z), и мы имеем:
где при достаточно малом значении | h \, модуль | Ь [ меньше всякого
заданного положительного числа jj. Разделив на h, получим:
Z+h
так как модуль последнего интеграла меньше числа Tj | A | , то при
приближении h к нулю левая часть имеет пределом f(Z).
Если уже известна одна функция F (Z), имеющая своею производ-
производного функцию/(Z), то функции Ф (Z) и F (Z) различаются между со-
* Для доказательства теоремы Коши нет необходимости предполагать ни существования
Функции f (z) вне области А, ограниченной контуром С, ни существования производной в каждой
точке этого контура. Достаточно, чтобы функция f (z) была голоморфною в каждой точке об-
ласги и непрерывною на контуре С.
Эта функция / (Z) в таком случае непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна во
всей замкнутой области, состоящей из точек, внутренних к С, и из точек на самом контуре С.
Когда точка z стремится к точке Z контура С, описывая кривую, расположенную в этой области
н оканчивающуюся в точке Z, то предел f (z) непременно должен быть равен J (Z), ,'для любого
описываемого пути, а не только для путей какого-либо частного вида.
Теперь рассмотрим область А, ограниченную двумя Прямолинейными отрезками, параллель-
параллельными оси Оу, х = а, х = Ь, и. двумя дугами кривых у{ = h (х) и у% = f, (Jc). JierKO показать, чго
интеграл Г t (z) dz, взятый вдоль контура этой области, есть предел при е ->0 интеграла, взятого
вдоль контура области А', внутренней по отношению к А, ограниченной прямыми х = а-\~с,
х = b — е и дугами Y, = /, (х) + е, Yt - /2 (х) — е. Ввиду того, что этот новый интеграл равен нулю,
так как коитур области А' расположен внутри А, то *е самое справедливо и по отношению к пер-
первому интегралу.
На основании сделанных предположений относительно контура С (§ 276) область А может
быть разбита с помощью трансверсалей, параллельны { оси Оу, на конечное число областей таких,
как предшествующая. Следовательно, теорема верна и в общем случае.
5*

6& ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 282
•бою только на постоянное (§ 271, выноска); отсюда следует, что
основная формула интегрального исчисления применима и к случаю
мнимых переменных:
*f(z)dg=F(z1) — F{z0). A0)
Формула A0) доказана нами в предположении, что обе функции
f(z), F(z) голоморфны внутри области А; но она применима и в более
общих случаях. Функция F(z) или обе функции f(z) и F(z) могут быть
многозначными; в этом случае интеграл \f(z)dz также имеет вполне
определенное значение, если только путь интегрирования не проходит
ни через одну из критических точек этих функций. В этом случае
нужно только при применении формулы A0) выбрать одно из началь-
начальных значений F(z0) многозначной функции F(z) и рассматривать не-
непрерывное изменение этой функции, когда переменное z описывает путь
интегрирования; если функция /(г) также многозначная, то из значений
функции F(z) нужно выбрать то, производная которого равна выбран-
выбранному значению для f(z).
Во всех тех случаях, когда путь интегрирования можно заключить
внутри области с простым контуром, в которой рассматриваемые ветви
функций f(z), F(z) голоморфны, мы можем считать формулу A0) до-
доказанною. С другой стороны, каков бы ни был путь интегрирования,
его всегда можно разбить на несколько дуг, для которых последнее
условие удовлетворяется; применяя формулу A0) к каждой из этих дуг
отдельно и складывая полученные результаты, мы видим, что формула A0)
имеет вполне общий характер, если только, применяя ее, мы будем
соблюдать необходимые предосторожности.
Например, вычислим определенный интеграл I zmdz, взятый вдоль
любого пути, не проходящего через начало координат; предположим,
что т есть действительное или мнимое число, отличное от — 1. Здесь
начальная функция равна -, и из общей формулы A0) следует:
\ZmdZ = -
т + 1 » /я
т Н-1
чтобы избежать неопределенности, которую представляет эта формула,
если т не есть целое число, представим ее в виде:
(m+l)LogB,) <т + l)Log(z0)
m + 1
Если начальное значение Log(z0) выбрано, то тем самым опреде-
определено значение функции zm = ет Los <s> вдоль пути интегрирования,

§ 282-283 I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 69
а также и конечное значение Log (гг). Таким образом значение предыду-
предыдущего интеграла зависит как от выбранного начального значения для
Log(zQ), так и от пути интегрирования. Точно так же формула
I-
dz = Log [/(г,)] - Log f f(z0)]
не представляет никакой неопределенности, если функция /(г) вдоль
пути интегрирования непрерывна и не обращается в нуль; тогда точка
u=f(z) описывает в своей плоскости путь, не проходящий через на-
начало координат, и правая часть равна изменению Log(и) вдоль этого
пути.
Заметим, сверх того, что так как формула интегрирования по частям
есть следствие формулы A0), то она тем самым распространяется и на
интегралы от функций комплексного переменного.
28}. Другой вывод предыдущих результатов. Свойства интегралов
| f(z) dz представляют большую аналогию со свойствами криволинейных
интегралов, для которых удовлетворяется условие интегрируемости
(т. I, § 145), и в самом деле, Риман показал, что теорема Коши не-
непосредственно вытекает из- аналогичной теоремы для криволинейных
интегралов. Пусть будет f(z) =AT-j-iY функция комплексного перемен-
переменного z, голоморфная внутри области А с простым контуром. Интеграл,
взятый вдоль какого-нибудь замкнутого пути С, лежащего в этой
области, равен сумме двух криволинейных интегралов:
I f(z) dz = [xdx — Ydy + / f Ydx-\- Xdy;
с 'с с
вследствие соотношений, связывающих производные от функций X и Y,
ЪХ^ дК ЪХ ЪУ_
Ъх^^у' ~ду Ъх~'
оба эти криволинейных интеграла равны нулю* (т. I, § 145). Отсюда
следует, что интеграл I f(z) dz, взятый от постоянной точки z0 до пере-
z° ^.
менной точки гг, есть функция Ф (z) переменного г, однозначная
в области А. Отделим в этой функции действительную часть от коэфи-
циента при i:
4>(z) = P(x, y) + lQ{x, у),
х, у л, у
Р(х, y)=[xdx—Ydy, Q(x, ,y) = j Ydx + Xdy;
xa, y0 xa, у„
* Следует заметить, что доказательство Римана предполагает непрерывность производных
-—, ——,..., т. е. непрерывность функции/'(z).
дх ду

70 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 283-284
функции Р и Q имеют частные производные:
~Ъ^ — Л< Ъу ~~ ' йдг ~ ' ^ —Л'
удовлетворяющие условиям:
йдг Ъу ' Ъу Ъх '
следовательно, Р -f- iQ есть голоморфная функция переменного zt
производная которой равна X-\-lY, т. е. равна /(г).
Если функция f{z) разрывна в каких-нибудь точках области А, то
по крайней мере одна из функций X, Y также разрывна, и криволи-
криволинейные интегралы Р(х, у), Q(x, у), вообще, имеют периоды, происхо-
происходящие от петель, описываемых вокруг точек разрыв! (т. I, § 146).
?
Следовательно, имеет периоды и интеграл \/(z)dz. Мы вернемся
к этим периодам впоследствии, когда подробнее ознакомимся с характе-
характером особых точек функции f(z).
z
Ограничиваясь пока одним примером, рассмотрим интеграл I —; отделяя
действительную часть от коэфициента при /, имеем:
г х,у х,у х,у
(' dz С dx -\- idy Г хdx + у dy . Г xdy — ydx
¦ ~i~~) x + iy — J jfl + yt +'J x*+y* •
1 10 10 10
) + y J + y J
1,0 1,0 1,0
Каков бы ни был путь интегрирования, действительная часть равш-^-
Что касгется коэфициента при I, то мы видели (г. I, § 146), что он имеет пе-
период 2jc; этот коэфициент равен углу, на который поворачивав!ся радиус-вектор,
соединяющий начало координат с точкою (х,у) Таким образом мы о лять получаем
все различные значения функции Log (г).
II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ. ВЫЧЕТЫ.
Мы теперь изложим новые и важные результаты, которые Коши
вывел из рассмотрения определенных интегралов, взятых между мнимыми
пределами.
284. Основная формула. Пусть будет f(z) функция от z, голо-
голоморфная в конечной области А, ограниченной контуром Г, состоящим
из одной или нескольких замкнутых линий, и непрерывная на самом
этом контуре. Если х есть одна из точек области А *, то функция
/(г)
z — х
голоморфна во всех точках области А кроме точки z = х.
¦ В последующем мы часто будем рассматривать одновременно несколько комплексных ко-
количеств. Мы будем обозначать их безразлично буквами х, х, а, ... Таким образом буква х, вообще,
уже не будет более служить для обозначения только действительного переменного.

§ 284
И. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
71
Опишем около точки х в области А круг у радиусом, разным р;
так как предыдущая функция голоморфна в части плоскости, ограни-
ограниченной контуром Г и кругом у> то к ней можно применить общую
теорему § 279. Предположим для определенности, -что контур Г со-
состоит из двух замкнутых линий С я С' (черт. 56); мы имеем:
tf(z)dz =
J Z—X
?«_ , Cf(z)dz
J Z — X ~"~J Z—X '
С т
причем эти интегралы взяты в направлении, указанном стрелками; это
равенство можно представить в виде
U{z)dz [f(z)dz
J Z~ X J Z—X '
г T
KOH-
Черт. 55.
причем интеграл l берется вдоль всего
тура Г в прямом направлении. Если радиус р
кружка у очень мал, то значение функции f(z)
в точках на этом круге очень мало отличается от значения
где |5| очень мало. Заменяя/(z) этим значением, получим:
dz , Г Ь dz
Z X
z — х J z — х
1 1
Первый интеграл в правой части легко найти; полагая г=
будем иметь:
z~x J реы
1 о
Следовательно, второй интеграл
Г bdz
J z — x
не зависит от радиуса р
окружности \; с другой стороны, если \Ь\ остается меньшим положи-
положительного числа Г), то модуль этого интеграла меньше, чем — ¦ 2ггр = 2щ.
Так как функция f(z) при z = x непрерывна, то можно взять радиус р
настолько малым, чтобы число т) было как угодно мало. Следовательно,
этот интеграл равен нулю, и, разделив обе части формулы A1) на 2ти,
мы получим:
A2)
flx) Lf/
ПХ)~ 2H/J z— х

72 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 284
Это —основная формула Коши. Она дает значение функции /(z) в лю-
любой точке х, лежащей внутри контура, если известны значения функции
вдоль этого контура.
Пусть будет х^\-\х точка, близкая к точке х; предположим, нз-
пример, что она лежит внутри круга у с центром в л: и с радиусом р..
Мы имеем по предыдущему:
г
вычитая отсюда почленно формулу A2) и разделив результат на
получим:
J(z)dz
Ьх 2гс/ J (z— x)(z — х — Дл:)
г
Если Дх стремится к нулю, то подинтегральная функция имеет
пределом —^—>-— . Чтобы строго доказать, что мы имеем право при-
(Z Л)
менять здесь формулу обыкновенного диференцирования, представим
этот интеграл в виде:
Г f(z)dz___== С f(z)dz Г bxf{z)dz
.1 (z~x){z—x — Ддс) J (г-др rJ (г — ху{г — х —
Ьх)
Пусть будет М верхняя граница модуля \f(z) \ вдоль контура Г,
Z. — длина этого контура и § -— нижняя граница расстояний между
точками круга у и точками контура Г. Модуль последнего интеграла
ML
правой части меньше количества —^— \\х\ и, следовательно, стремится
к нулю при приближении |Дх| к нулю. Таким образом, переходя
к пределу, имеем:
Точно так же можно доказать, что обычная формула диференциро-
диференцирования под знаком интеграла применима и к этому новому интегралу *,
а также и ко всем его производным, и мы получим последовательно:
f{z)dz L2-3 Г f(z)dz
f W J
1 W ~ 2т )(z—xY' f W~~2^T J (г —
r r
и, вообще,
2гг/
f{z)dz
z х)"+1 V ;
* Общая формула диференцирования под знаком интеграла будет установлена далее
(гл. XVII).

§ 284—285 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 75
Таким образом мы видим, что если функция f(z) голоморфна в не-
некоторой области плоскости, то последовательность высших производ-
производных этой функции неограниченна, и все эти производные суть функции,,
голоморфные в той же области. Следует заметить, что мы пришла
к этому результату, исходя только из предположения, что f(x) имеет-
первую производную.
Примечание. Из рассуждений этого паргграфа можно вывести более-
общие заключения. Пусть будет т (z) функция комплексного переменного z, не-
непрерывная (но не непременно аналитическая) вдоль дуги кривой Г, 31мкнуто4 или,
разомкнутой. Определенный интеграл
имеет определенное значение для всех значений х, не лежащих на пути интегри--
F(x + tbx)—F(x)>
рования. Из предыдущих вычислении следует, что отношение — д—
при приближении |Д*| к нулю имеет пределом определенный интеграл:
IMA*.
. [IM
— ) (z —
г
Следовательно, функция F{x) — аналитическая и голоморфная в любой части пло-
плоскости, ке содержащей ни одной из точек контура Г, но, если функция <f (z) за-
задана произвольно на контуре Г, значение F (х) в точке х, внешней по отношению»
к контуру, вообще, не стремится к <f(z), когда точка х приближается к какой-
либо точке z на котуре*.
Точно так же мы найдем, что производная и-го порядка F^n'(x) имеет выра-
нение:
Т (z) dz
285. Теорема Морера. Морера (Могега) принадлежит следующее предло-
предложение, представляющее обратную теорему по отношению к основной теореме
Коши: Если функция f (z) комплексного переменного z непрерывна в области А,
и если определенный интеграл \ f(z)dz, взятый вдоль любого пути, pa.no-
с
ложечного в области А, равен нулю, то функция f(z) голоморфна в области А,.
г
С
В самом деле, определенный интеграл F(z)=\f(t)dt, взятый между двумя
«о
точками z0, z области А вдоль любого пути, расположенного в этой области, имеет
определенное значение, независимое от этого пути; если точка z0 постоянна, то.
этот интеграл есть функция от г. Из рассуждений § 282 следует, что отношение
-т— при приближении | Дг \ к нулю имеет пределом функцию /(z). Таким образом^
функция F(z) есть голоморфная функция от г, имеющая производную f(z), и
следовательно, эта производная есть также голоморфная функция.
* Если, например, контуром Г служит окружность круга единичного радиуса с центром в на-
начале координат, и если на этом контуре мы полагаем f(z)= —, то, как легко видеть, функция
обращается в нуль в каждой точке х, внутренней к кругу.

74 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 286
288. Ряд Тейлора. Пусть будет /(z) функция, голоморфная внутри
круга С с центром в точке а; значение этой функции в любой
точке х, взятой внутри этого круга, равно сумме сходящегося ряда:
При доказательстве этой теоремы мы предположим, что функция
f(z) голоморфна и на самой окружности С; в самом деле, если х есть
•какая-нибудь точка, лежащая внутри круга С, то всегда можно найти
окружность С с центром в точке а и с радиусом, меньшим радиуса
круга С, которая содержала бы внутри себя точку х, и воспользоваться
при рассуждениях этою окружностью так же, как мы это будем делать
¦с С. Пусть х будет точка, лежащая внутри круга С; по основной
формуле мы имеем:
!Л^- <12bis)
Представим в следующем виде:
1 1
z — x . z — a — (x — a) z — a x — a'
z —a
или, выполняя деление до остатка (л -|— 1 )-й степени относительно
¦х — а,
1 1 , х— а , (х — аJ ,
z_х z — ax {z—af ' {z — a
- а)п . (х — e)»«
¦
* • • I
(z — a)"+1 ' (z — x)(z — a)
Заменим в формуле A2 bis) этим выражением и выведем
Z — Л?
из-под знака интеграла множители х — а, (х — аJ,..., не зави-
зависящие от z; мы получим:
причем коэфициенты /0, /3, ... , 1п и остаточный член Rn имеют сле-
следующие значения:
__ 1 [f(z)dz ,_ 1 f f{z)dz х
J°— 2ra- J z- a ' J ~ 2n/ J (z — af ' "' *
с с I
if f(z)dz r>_J_r fx-a\n+1f(z)dz |
'" » 2irfJ (г —a)»' "~ 2Ш
Kz —a/ z —д:
с ' с
A6)

§ 286 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 75
При неограниченном возрастании числа п остаточный член Rn стре-
стремится к нулю. В самом деле, пусть будут М верхняя граница модуля
функции f(z) вдоль окружности С, R — радиус этой окружности и
г—модуль разности х — а. Когда точка z описывает окружность С,
мы имеем \z — х\~^>R — г, и следовательно,
модуль количества Rn меньше, чем
1
z —х
1
^; поэтому
I r \n+1
где при неограниченном возрастании п множитель I -^ I стремится
к нулю. Таким образом f(x) равно сумме сходящегося ряда:
Но, полагая в формулах A2), A3), A4) х = а и принимая за контур Г
окружность С, мы будем иметь:
следовательно, полученный ряд тождествен с рядом A5), т. е. с рядом
Тейлора.
Круг С есть круг с центром в точке а, внутри которого функция
голоморфна; очевидно, что мы получим наибольший круг, удовлетво-
удовлетворяющий этому условию, взяв за его радиус расстояние от точки а до
особой точки функции f(z), ближайшей к точке а. Круг С есть, вместе
с тем, круг сходимости ряда, стоящего в правой части предыдущей
формулы *.
Из этой важной теоремы ясно видна тождественность обоих опре-
определений, данных нами для аналитических функций (§ 187 и 257).
В самом деле, всякий целый ряд представляет внутри своего круга
сходимости голоморфную функцию (§ 262), и, обратно, мы только что
видели, что всякая функция, голоморфная внутри круга с центром
в точке а, может быть разложена в целый ряд, расположенный по степе-
степеням разности х—аи сходящийся внутри этого круга. Заметим, вместе
с тем, что некоторые полученные выше результаты делаются теперь
почти очевидными; например, применяя теорему Тейлора к функциям
Log(l -\~г) и A -\-z)m, голоморфным внутри круга с центром в начале
координат и с радиусом, равным единице, мы получим формулы § 271
fix)
и 272. Рассмотрим еще частное двух целых рядов — —-, каждый из
которых — сходящийся в круге с радиусом, равным R; если ряд у{х)
не равен нулю при х = 0, то, так как он представляет непрерывную
функцию, всегда можно найти такой круг с радиусом, равным r<^R,
внутри которого ср(лг) не обращается в нуль. В этом' случае функция
¦ Дла этого последнего заключения требуется несколько поясчений относительно разгачных
видов особых точек; они будут даны в главе, посвященной аналитическому продолжению»

76 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 286—28Г
будет голоморфною внутри круга с радиусом, равным г, и следо-
следовательно, вблизи точки л;^0 она может быть разложена в целый ряд
(т. I, § 179). Точно так же можно еще раз доказать теорему о подста-
подстановке ряда в другой ряд и т. д.
Примечание. Пусть будет/(г) функция, голоморфная внутри круга С с
центром в точке вис радиусом, равным г, и непрерывная на самой окружно-
окружности С Модуль |/B) | функции на окружности С есть непрерывная функция, зна-
значение maximum которого мы обозначим через ЗУ? (г). С другой стороны, коэфи-
циент ап при {х — а)п в разложении функции f{z) равен -( /(л) (а), т. е. равет
-Lf f(z)dz
1ni\ (Z_ a)n+i'
с
следовательно, мы имеем:
таким образом, ЭД (г) больше всех произведений Апгп *. Поэтому в выражение
.пля усиливающей функции (т. I, § 177) можно взять Ш (г) вместо М.
Первое из этих неравенств приводит к следующему важному выводу. Пусть-
f(z) голоморфна в области D. В таком случае модуль \f(z)\ не может достигать-
максимума внутри этой области. В самом деле, предположим, что этот модуль
принимает максимальное значение Н в точке z = я, внутренней к области D. Из.
точки а как из центра опишем круг, расположенный внутри D, радиуса г до-
достаточно малого, так что вдоль окружности этого круга наибольшее значение
Ш{г) модуля |/(г)| не превосходит Н. На основании первого из неравенств A7>
имеем:
что противоречит условию Ш (г) ^ Н.
Это ргссуждение отпадает в том случае, если модуль | f(z)\ сохраняет по-
постоянное значение в круге с центром в точке а. Функция f(z) приводится в таком;
случае к постоянному (см. § 271, подстрочное примечание).
Таким же образом легко видеть, что \f(z)\ не может иметь внутри D поло-
положительного минимум?, так как модуль обратной функции достигал бы в таком:
случае максимума.
287. Теорема Л иу вил ля: Если функция f(x) голоморфна при всяком
конечном значении переменного х, то, каково бы ни было а, ее разло-
разложение по формуле Тейлора имеет место для всей плоскости, и рассматри-
рассматриваемая функция называется целою функциею.Из выражений, полученных
для коэфициентов разложения, нетрудно вывести следующее предложе-
предложение, принадлежащее Лиувиллю:
Всякая целая функция, модуль которой остается меньшим неко-
некоторого постоянного числа М, есть постоянное.
В самом деле, предположим, что f(x) разложена по степеням х — а;
пусть будет ап коэфициент при (л: — а)п. Очевидно, что каков бы ни
был радиус г круга С, количество Ш (г) меньше числа М, и следова-
Неравенства A7) содержатся в более общем неравенстве:
1 «о I*'*1
(см. Gutzmet, Ein Satz Ober Potenzreihen, Mathematische Annalen, т. XXXII, 188?, стр. 596 -600).
Коэфициенты a-t(i^>0) могут быть выражены также через посредство действительной части
функции /(г) на круге С (см. упражнение 30).

§ 287-288 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 77
М
тельно, | ап | <[ —я-. Так как радиус г может быть взят сколь угодно
большим, то при я ^ 1 мы имеем ал = 0, и f{x) приводится к постоян-
постоянному /(а).
Вообще, пусть будет f(x) такая целая функция, что при всех зна-
значениях переменного х, модуль которых больше положительного числа /?,
модуль частного —— остается меньшим некоторого определенного
числа М; такая функция f(x) приводится к многочлену, степень ко-
которого не выше т. В самом деле, предположим, что функция f(x) раз-
разложена по степеням переменного л;; пусть будет ап коэфициент при хп.
Если радиус г круга С больше числа /?, то мы имеем 9К ( ) <^ Мгт,
и следовательно, \ап\<^Мгт-п. Если я>-/и, то должно быть ап = 0,
так как, выбирая г достаточно большим, можно сделать Мгт~п мень-
меньшим всякого данного числа.
288. Ряд Лорана. Рассуждения, помощью которых Коши доказал
¦формулу Тейлора, можно значительно обобщить. Так, пусть будет /(к)
функция, голоморфная внутри кругового кольца, ограниченного двумя
концентрическими окружностями С и С' с центром в точке а. Докажем,
что знгчение f(x) функции в какой-нибудь точке х, взятой в этой
области, равно сумме двух сходящихся рядов, из которых один рас-
расположен по положительным степеням х — а, а другой — по положи-
1 „
тельным степеням *.
х — а
Как и выше, мы можем предположить, что функция f(z) голоморфна
и на самих окружностях С, С. Пусть будут /?, /?' радиусы этих кру-
кругов и г — модуль разности х — а; если С заключена внутри С, то
/?'<><#• Из точки лт как из центра опишем небольшой круг ут
расположенный всеми своими точками между С я С'. Мы имеем:
C
J
*
Cf(z)dZ
J
Z X ^J Z —X '
Tf
где интегралы взяты в надлежащих направлениях. Последний интеграл,
взятый вдоль у, равен 2т f(x), и мы можем представить предыдущее
равенство иначе, в виде:
где интегралы взяты в прежних направлениях.
Повторяя рассуждения § 286, мы получим:
¦л:
A9)
* Comptes rendus de VAcadinie des Sciences, т. XVII. См. „Oeuvres de Cauchy", 1-я серия,

78 глава xiv. Аналитические функции по коши § 288
причем коэфициенты /0, /,,..., /„,... определяются формулами A6).
Чтобы разложить в ряд второй интеграл, заметим, что мы имеем:
1 \ = _1 г —а
x — z x — a z — a x — a (at — a)
(g — af-i (z—ay
... " j" , ^^ v g I" / j. |[M[ ^\ /^
и что интеграл дополнительного члена
2ni J \x— a) x —
при неограниченном возрастании п стремится к нулю. В самом деле,
если М' есть наибольшее значение модуля \f(z)\ вдоль окружности С\
то модуль этого интеграла меньше, чем
AV
где множитель — меньше единицы. Следовательно, мы имеем также:
^^ ^ B0>
[,| | |
2п/ J z — х х — а^(х — а)* ^'"^(х— а)" ^ ' '
с
причем коэфициент Кп равен определенному интегралу:
^-ar->f(z)dz. B1)
Теперь достаточно сложить два разложения A9) и B0), чтобы иметь
разложение функции f(x).
В формулах A6) и B1), определяющих коэфициенты 1п и Кп, можно
брать интеграл вдоль любого круга Г с центром в точке а, содержащегося
между С и С, так как подинтегральные функции голоморфны в кру-
круговом кольце. Условившись изменять указатель я от — оо до -\- оо ,
мы можем представить разложение функции j{x) в виде:
ОО
f(x)=^In(x-ar, B2)
где, каков бы ни был знак указателя п, коэфициент 1п выражается
формулою:
Л Г* . / X *
B3)
" 2ш J (z—a)n+1 "

§ 288 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 79»
Примечания. 1. Одна и та же функция /(х) может иметь совершенна
различные разложения в зависимости от того, в какой области мы ее рассмат-
рассматриваем. Рассмотрим, например, рациональную функцию / (лг), знаменатель которой
имеет только простые корни с различными модулями; пусть будут а, Ь, с,..., I эти.
кории, расположенные в порядке возрастания их модулей. Отбрасывая целую-
часть, которая в дальнейшем не имеет значения, мы имеем:
D О Lt
х — а х — b' х—с ' "'* х — /'
Внутри круга с радиусом, равным \а\, и с центром в начале координат каждую-
из простых дробей можно разложить по положительным степеням переменного х,
и разложение функции f(x) тождественно с разложением по формуле Маклоренаг.
+ ... + -^х~~...
В круговом кольце, заключающемся между кругами с радиусами ]а\ и \Ь\, дроби . ,
1 1
,...,- j могут быть разложены по положительным степеням переменного дг,.
1 , 1
но дробь должна быть разложена по положительным степеням—и мы имеем:
х /*
¦«_ + А+^ + + Aan~l ¦-
• • • i х ' х* ' а" ^ ¦" '
В следующем круговом кольце мы будем иметь другое аналогичное разложение и т. д_
Наконец, вне круга с радиусом | / ] мы будем иметь разложение только по сте-
степеням — :
х
... Л+... + 1, Аа 4-... ± Ы , , Аап~1 + .. .4- Lln~i
/(*)= Т/ + -г + ... + -f ...
2. Вообще, пусть
h (x) = ao + aix + ... + anx"+...
— целый ряд, расположенный по степеням х, сходящийся в круге С радиуса R, w
пусть
— ряд, расположенный по степеням — , сходящийся вне круга С радиуса /?' (/?'< /?),,
причем оба круга имеют центр в начале координат. Очевидно, что сумма
есть функция, голоморфная в круговом кольце, заключенном между окружностями
С и С, и ее разложение в ряд Лорана получается сложением обоих рядов. Про-
Произведение j (x)=fi(x)- f%(x) также есть голоморфная функция в этом кольце,
и, поскольку оба ряда сходятся абсолютно в этой области, то можно составить
это произведение, перемножая их почленно и группируя частичные произведения
в произвольном порядке (см. т. I, § 160 и 161); следовательно, можно соединить
все частичные произведения с одинаковыми степенями переменного х. Таким
образом получаем ряд Лорана, который представляет произведение if (де) = /4 -/2:
? (х) = V Vй,

ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 288—28Э
тде
асогда т положительно или равно нулю; в случае отрицательного т коэфициенты
.выражаются аналогичным образом.
Например, функция
уЧЕШ~
¦где предполагается | а \ < I Ь |, является голоморфной в круговом кольце, заклю-
заключенном между окружностями Са, Сь радиусов | а\ и \Ь\ с центром в начале
координат.
Чтобы найти ее разложение в этой области, достаточно написать:
>и составить произведение обоих целых рядов, расположенных по степеням— и х,
.которые представляют оба сомножителя
1/1 и Л/ b —
х вне круга Са
.внутри круга Сь.
239. Разные ряды. Доказательства формулы Тейлора и формулы Маклорена
основываются, в сущности, на
особых разложениях простой
дроби , когда точка
Z — X
х остается внутри или вне
некоторого данного круга.
Аппель показал, что можно
еще обобщить эти формулы,
рассматривая функцию /(л),
голоморфную внутри некото-
некоторой области А, ограничивае-
/С" мой несколькими дугами кру-
кругов или несколькими целыми
окружностями *.
Рассмотрим, например,
функцию f(x), голоморфную
в криволинейном треуголь-
треугольнике PQR (черт. 57), обра-
образуемом тремя дугами PQ,
•QR, RP, принадлежащими, соответственно, трем окружностям С, С, С". Обозначая
через х какую-нибудь точку, лежащую внутри этого криволинейного треуголь-
треугольника, мы получим:
B4)
Черт. 57.
PQ QR RP
Если центр круга С лежит в точке а, то вдоль дуги PQ мы имеем:
1 = 1 , х ~а , (* —я)»
z—x z —
Когда z описывает дугу PQ, то модуль частного
мшцы, и следовательно, модуль интеграла
1
z — а
1 (x-a\n+i
—x\z — al
остается меньшим еди-
PQ
(
z—x \z-a
* Acta mathematica, т. I, 1883, стр. 145.

§ 28Э II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 81
при неограниченном возрастании числа я стремится к нулю, Поэтому
ii \ 'Л?=/в + '*с*-«н.,. + и*-&+.... w
(PQ)
где коэфициенты /0, Т,, ... суть постоянные, выражения которые нетрудно найти.
Точно так же, предполагая, что центр круга С лежит в точке Ь, будем иметь
вдоль дуги QR;
_J___J_ .j__?zi* . | (z-b)n-t 1 (г —by'
x — z * —ft "i" (*—*)*" (x—by ^x — z\x — b) '
Так как при неограниченном возрастании числа п модуль у И стремится
к нулю, то мы выведем отсюда для второго интеграла разложение вида:
1 Cf(z)dz_ К, К2 Кя_,
2S7 J ~z~^x -х^-Ь+ (^ ЬУ+ '" +(х~^ЬУ+"- (}>
(QR)
Наконец, если центр круга С лежит в точке с, то мы получим;
2« ()(ф
(RP)
Складывая формулы (a), (ji), (f), мы представим разложение функции /(«) в виде
суммы трех рядов, расположенных, соответственно, по положительным степеням
количеств х — а, , и . Ясно, что можно преобразовать эту сумму в ряд,
все члены которого суть рациональные функции от х; например для этого можно
соединить члены одинаковой степени относительно х — а, т. . Преды-
х ~~~~ о jc —~ с
дущее рассуждение имеет место при любом числе дуг.
Относительно предыдущего примера можно заметить, что ряды (я), (fl), (-j)
будут сходящимися и в том случае, если точка х находится внутри треугольника
P'Q'R', и сумма этих трех рядов тоже равна интегралу \ - -——, взятому в пря-
прямом направлении вдоль контура треугольника PQR. Но, если точка х лежит
в треугольнике P'Q'R', то функция --i-'- голоморфна внутри треугольника PQR,
Z — X
и следовательно, предыдущий интеграл равен нулю. Таким образом мы получаем
ряд рациональных функций, сходящийся, если точка х лежит в одном из двух
треугольников PQR и P'O'R', сумма которого равна f(x) uau нулю смотрч
по т >му, лежит ли точка х в треугольн ше PQR ил i в треугольнике P'O'R'.
Идя по тому же направлению, Пенлеве получил еще более общие результаты *.
Ограничиваясь очень простым случаем, рассмотрим замкнутую выпуклую кри-
кривую Г, имеющую касательную, непрерывно перемещающуюся вдоль кривой, и
предположим, что радиус кривизны кривой остается меньшим некоторой границы.
Как нетрудно убедиться, в этом случае можно найти для каждой точки М кри-
кривой Г соответствующий круг С, касающийся в этой точке кривой Г, содержащий
эту кривую всю внутри себя и притом такой, что его центр перемещается не-
непрерывно вместе с точкою М. Пусть будет /(z) функция, голоморфная внутри
контура Г и непрерывная на самом этом контуре. Рассмотрим основную формулу'
* „Surles lignes sineulieres des fonctions analytiques" (Annales de la Faculte de Toulouse,
t. II, 1888).
6 Э. Гуроа, т. II, ч. 1.

82 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИ ПО КОШИ § 289—290»
причем точка х лежит внутри контура Г. Мы имеем:
1 (х— a\
i z — x \z — xl
х — а {x — aY 1 (х— a\n+i
z —х~z— а*~(z — аJ + "" "*"(z _ aY+i z — x \z — x
где а обозначает центр круга С, соответствующего точке z контура; а уже не-
неесть более постоянное, как в предыдущих случаях, но, когда точка М описывает
кривую Г, а есть непрерывная функция от z. Однако модуль отношения х а,
Z — (X
которое есть непрерывная функция от z, остается меньшим некоторого опреде-
определенного числа р, меньшего единицы; следовательно, при неограниченном возра-
возрастании п интеграл дополнительного члена стремится к нулю. Поэтому мы имеем-
и*$ B5>
п = 0 (Г)
Ясно, что общий член этого ряда есть целый многочлен Рп (х) не выше я-й сте-
степени. Следовательно, внутри контура Г функция f(x) разлагается в ряд1
многочленов.
Пользуясь теориею конформных преобразований, можно получить для разло-
разложения голоморфных функций ряды другого вида. Пусть будет /(z) функция, голо-
голоморфная внутри некоторой области А, которая может простираться и в беско-
бесконечность. Предположим, что известно такое конформное отображение области А,
на область круга С, что каждой точке области А соответствует одна и притом
только одна точка круга, и обратно; пусть будет и = f{z) аналитическая функция,,
при помощи которой выполняется отображение области А на круг С плоскости к
с центром в точке и = 0. Когда точка и описывает этот круг, соответствующее
значение переменного z есть голоморфная функция от и. То же имеет место и
для функции /(z); следовательно, когда z остается внутри А, то функцию f(z)>
можно разложить в сходящийся ряд, расположенный по степеням переменного и
или по степеням <p(z).
Предположим, например, что область А есть неограниченная полоса, заклю-
заключающаяся между прямыми у = ±а, параллельными действительной оси. Мы ви-
е^-1
дели (§ 274), что, полагая и = —— , мы отобразим эту полосу на круг с
е2" + 1
радиусом, равным единице, и с центром в точке и — 0. Следовательно, всякую,
функцию /(z), голоморфную в рассматриваемой неограниченной полосе, можно-
разложить в этол полосе в сходящийся ряд вида:
2ЭЭ. Ряды голоморфных функций. Теорема Вейерштрасса. Сумма
равномерно сходящегося ряда, члены которого суть голоморфные
функции от z, есть непрерывная функция от z, но без особого дока-
доказательства нельзя было бы еще утверждать, что эта сумма есть также
и голоморфная функция. Необходимо еще доказать, что она имеег
в каждой точке единственную производную, это нетрудно сделать,
воспользовавшись интегралом Коши.
Заметим сначала, что равномерно сходящийся ряд, члены которого-
суть непрерывные функции комплексного переменного z, можно инте-
интегрировать почленно, как в случае действительного переменного. Дока-

§ 290 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 83
зательство, данное для действительных переменных (т, I, § 107), при-
применимо без изменения и к мнимым переменным, если только путь
интегрирования имеет конечную длину. Пусть будет
/a (*I-/2i*)-Г-..+/„(*)+••. B6>
ряд, все члены которого суть функции, голоморфные в некоторой
области D, и который равномерно сходится во всей этой области.
Пусть имеем внутри D произвольную точку х. Окружим ее замкну-
замкнутой кривой Г, расположенной в области D, таким образом, чтобы
ряд B6) был равномерно сходящимся и во внутренности Г, и на самом
контуре Г.
Пусть будет <f(z) сумма ряда B6) в какой-нибудь точке контура Г; <р г)
есть функция от z, непрерывная вдоль этого контура, и мы видели (§ 284,
примечание), что определенный интеграл
где х есть какая-нибудь точка области D, расположенная внутри кон-
контура Г, представляет функцию, голоморфную в этой области, производ-
производная порядка р которой имеет выражение:
+оо
dz. B8)
' 2т J {z — x)P+1 2ru \ (z—x)
(Г) J
(Г)
Но ряд B6) — равномерно сходящийся на контуре Г; точно так же
мы получим равномерно сходящийся ряд, разделив все члены ряда B6)
на z — лг; поэгому мы имеем:
2т" J z — x
v=l (Г)
или, иначе, так как f(z) есть функция, голоморфная внутри контура Г
[формула A2) § 284]:
Точно так же формулу B8) можно представить в виде:
(х) =&&
и мы в праве высказать следующее общее предложение, принадлежащее
Вейерштрассу:
Всякий ряд, равномерно сходящийся в области D плоскости, все
члены которого суть функции, голоморфные в D, представляет
функцию F(z), голоморфную в той же области. Производная по-
порядка, р от F{z) равна сумме ряда, который получим, диференцируя
р раз каждый член ряда, представляющего функцию F(z).
6*

84 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 291
291. Полюсы. Всякая функция, голоморфная в круге с центром
в точке а, равна внутри этого круга сумме целого ряда:
f(z)=A0 + A1 (z - а) + ... + Am(z — а)т-\- ... B9)
Для краткости мы будем говорить, что функция f(z) — правильная
в точке а, и точка а есть обыкновенная точка этой функции. Мы
будем называть областью точки а область, заключающуюся внутри
круга С с радиусом р, описанного из точки а как из центра, внутри
которой имеет место формула B9). При этом нет необходимости, чтобы
круг С был наибольшим кругом, внутри которого имеет место фор-
формула B9); радиус р области часто будет определяться каким-нибудь
другим частным свойством.
Если первый коэфициент Ао равен нулю, то f(a) = 0, и точка а
называется нулем функции f(z). Порядок нуля определяется так же,
как для многочленов: если разложение функции f{z) начинается
с члена m-й степени относительно z — а:
Дг) ^Am{z — a)" + Ап+1 (г — о)»+1 -f ... (т > 0),
где Ат не равно нулю, то мы имеем:
f(a) = O, /'(e) = 0, ... , /(«-«(*)=<>, /е»)(а)^=0,
и точка а называется нулем т-го порядка. Предыдущую формулу мсжно
также представить в виде:
/(«)=(«—в)»<р (г),
где <р (z) — целый ряд, не обращающийся в нуль при z = a. Так как
этот ряд есть непрерывная функция от z, то можно выбрать радиус
области настолько малым, чтобы tp (z) не обращалось в нуль в этой
области, и мы видим, что внутри этой области функция f(z) не будет
иметь другого нуля кроме точки а. Следовательно, нули голоморфной
функции суть изолированные точки.
Всякая не обыкновенная точка однозначной функции f(z) называется
особою точкою. Особая точка а функции /(г) называется полюсом,
если эта точка есть обыкновенная точка для обратного выражения
тт—;• Разложение т^^ по степеням z—а не может содержать постоян-
/(¦0 /(г)
ного члена, так как точка а была бы тогда обыкновенного для
функции f{z). Предположим, что разложение начинается с члена т-й
степени относительно z — а:
(*-<*)"?(*), C0)
где tp (z) обозначает функцию, правильную в области точки а и не
равную нулю при z = a. Отсюда получаем:
д»м_ 1 1 _ Ф(г)
J к ' {z - а)" <р (г) ' (z — а)"'
где ф {г) также обозначает функцию, правильную в области точки а и

§ 291—292 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 85
не равную нулю при 2 = а. Эту формулу можно представить в равно-
равносильном виде:
где мы обозначили через P(z — а), как мы это будем часто делать
в дальнейшем, функцию, правильную при z = а, а Вт, Вт_л, ... , Вг
суть постоянные. Некоторые из коэфициентов Вг, В2, ... , Вт_1 могут
быть равны нулю, но коэфициент Вт непременно отличен от нуля;
целое число т называется порядком полюса. Мы видим, что полюс
/и-го порядка функции /(г) есть нуль т-то порядка функции -тт-\ и
обратно.
В области полюса а разложение функции f(z) состоит из правиль-
правильной части Р (г — а) и из целого многочлена относительно ; этот
z— a
многочлен называется главною частью функции f(z) в области полюса.
Если модуль количества г — а стремится к нулю, то модуль
функции f{z) возрастает неограниченно, по какому бы пути точка z
ни приближалась к полюсу. В самом деле, так как функция ty(z) не
равна нулю при z = a, то мы можем предположить радиус области на-
настолько малым, чтобы в этой области модуль | ф (z) l оставался ббльшим
некоторого положительного числа М. Обозначая через г модуль раз-
М
ности z — а, мы имеем \/(z) | ^>-^~; следовательно, при приближении г
к нулю l/(z) | неограниченно возрастает. Так как функция ф (z) — пра-
правильная при z — а, то существует такой круг С с центром в точке а,
внутри которого сЬ (г) голоморфна. Частное ¦ голоморфно во
всех точках этого круга кроме самой точки а. Следовательно, в области
полюса а функция fyz) не имеет другой особой точки кроме самого
полюса; другими словами, полюсы суть изолированные особые точки.
292. Мероморфные функции. Всякая однозначная функция, которая
не имеет в области А других особых точек кроме полюсов, называется
мероморфною функциею в этой области. Мероморфная функция может
во всей плоскости иметь бесконечное множество полюсов, но в области,
лежащей всеми своими точками на конечном расстоянии, она может
иметь их только конечное число.
В самом деле, пусть функция f(z) мероморфна внутри области А,
лежащей всеми своими точками на конечном расстоянии, а также и на
контуре Г этой области. Если бы она имела бесконечное множество
полюсов в этой области, то множество (?) всех этих полюсов имело бы
по меньшей мере одну предельную точку (т. I, § 4), т. е_. существо-
существовала бы по крайней мере одна точка Z, расположенная в А или на Г,
вблизи которой было бы бесконечное множество полюсов. Эта точка Z
не могла бы быть ни полюсом, ни обыкновенного точкою. Точно так же
мы убедимся, что функция /(г) может иметь только конечное число

86 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОЩИ § 292-293
нулей в той же области. Следовательно, мы .можем высказать следующее
предложение:
Всякая функция, мероморфная в области А, лежащей всеми
своими точками на конечном , расстоянии, и на контуре этой
области, имеет в этой области только конечное число нулей и ко-
конечное ччсло п ыюсов.
В области любой точки а мероморфная функция f(z) может быть
представлена в виде:
Д) (){) C2)
где ср (z) — правильная функция, не равная нулю при z — а. Показа-
Показатель ji называется порядком функции f{z) в точке а. Этот порядок
равен нулю, если точка а не есть ни полюс, ни нуль для f{z); он ра-
равен т, если точка а есть нуль т-ro порядка функции /(г), и равен п,
если а есть полюс я-ro порядка функции f(z).
293. Существенно особые точки. Всякая особая точка однозначной
функции, которая не есть полюс, называется существенно особою точкою*
Существенно особая точка а есть изолированная, если можно описать
круг С с центром в а, внутри которого функция f(z) не имела бы
никакой другой особой точки кроме самой точки а, мы ограничимся
пока рассмотрением только таких точек.
Теорема Лорана дает непосредственно разложение функции/(z) в об-
области изолированной существенно особой точки. Пусть будет С круг с
центром в точке а, внутри которого функция/{г) не имеет другой особой
точки кроме точки а; с другой стороны, пусть будет с круг концентри-
концентрический и лежащий внутри С. В круговом кольце между кругами Сие
функция f{z) голоморфна и, следовательно, равна сумме ряда, располо-
расположенного по положительным и отрицательным степеням разности z — а:
f(z)= X Am{z—ar. C3)
m = —OO
Это разложение имеет силу для всех внутренних точек круга С
кроме точки а, так как, где бы в круге С ни лежала точка z, отличная
от а, всегда можно взять радиус круга с меньшим, чем \z—а\. и
коэфициенты Ат не зависят от этого радиуса (§ 288). Разложение C3)
содержит, во-первых, часть, правильную в точке a, P(z — а), обра-
образуемую членами с положительными показателями и, во-вторых, ряд,
расположенный по степеням :
z — а
A А_i А-т | ¦. C4)
z — a^ {z-af ^••¦^{z~ a)m^"' '
этот ряд называется главною частью функции /(г) в области особой
точки. Эта главная часть не приводится к многочлену, так как точка
z = а была бы тогда полюсом вопреки предположению *. Это —
* Чтобы не опустить никакого предположения, надо было бы также исследовать случай, когда
разложение функции /(г) внутри круга С содержит только положительные степени разности г —а,
ио значение f(a) функции в точке а отлично от члена ряда, не зависящего от г — а. Такая точка
z — а называется точкою разрыва. Мы не будем рассматривать здесь этой особенности,
носящей совершенно искусственный характер (см. дальше, глава XVI).

§ 293 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 87
целая функция от . В самом деле, пусть будет г какое-нибудь
положительное число, меньшее радиуса круга С; коэфициент А_т
ряда C4) имеет выражение (§ 288):
1
(С)
где интеграл взят вдоль круга С с центром в точке а и с радиусом г.
Следовательно, мы имеем:
\А_т\<Ш(г)гт, C5)
где 931 (г) обозначает максимум модуля функции f(z) вдоль окруж-
окружности С'. Следовательно, ряд C4) — сходящийся, если только \г — а\
больше г; а так как г есть положительное число, которое можно взять
сколь угодно малым, то ряд C4) — сходящийся при всяком значении z,
отличном от а, и мы имеем:
где P(z — а) обозначает функцию, правильную в. точке а, и G
целую функцию * от .
Если модуль разности z — а неограниченно убывает, то значение
функции /(г) не стремится ни к какому определенному пределу. Точнее,
если из точки а как из центра ми опишем круг С произвольно ма-
малого радиуса р, то внутри этого круга всегда существуют точки z,
в которых значение функции f(z) сколь угодно мало отличается от
всякого заданного числа (Вейерштрасс).
Докажем сначала, что, каковы бы ни были положительные числа р
и М, существуют значения переменного z, для которых одновременно
\z — а|<^р и \f(z)\^>M. В самом деле, если бы модуль функции /(г)
был не больше числа М при \z — а |<^ р, то 931(/") было бы меньше или
равно М при г<р, и, на основании неравенства C5), все коэфи-
циенты А_т были бы равны нулю, так как произведение Ш [r)rm ^ Мгт
стремилось бы к нулю вместе с г.
Рассмотрим теперь какое-нибудь число А. Если уравнение /(г) = А
имеет корни внутри круга С, как бы мал ни был его радиус р, то
теорема доказана. Если уравнение f(z) = A не имеет бесконечного
множества корней вблизи точки а, то можно взять радиус р настолько
малым, чтобы внутри круга С с радиусом рис центром в точке а это
уравнение не имело ни одного корня. Тогда функция ср (г) ==—:— бу-
/(г) — А
дет голоморфною во всякой точке z круга С кроме точки а; эта
точка а может быть только существенно особою точкою функции <j>(z),
* Мы часто будем обозначать через G (х) целую функцию от х.

88 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 293-294
так как в противном случае эта точка а была бы полюсом или обыкно-
обыкновенного точкою функции f(z). Следовательно, на основании только что
доказанного, внутри круга С существуют такие значения переменного zr
при которых
|Y» или |/B)—-А|<е,
как бы ни было мало положительное число г.
Это свойство устанавливает резкое различие между полюсами и су-
существенно особыми точками. Тогда как в области полюса модуль функ-
функции f(z) неограниченно возрастает, в существенно особой точке зна-
значение функции остается совершенно неопределенным. Пикар* получил
более определенное предложение, показав, что всякое уравнение/(z) = A
имеет бесконечное множество корней в области существенно особой
точки, причем исключение может иметь место только для одного част-
частного значения числа А.
Пример. Точка г = О есть существенно особая точка для функции
е _i+ я+12г1+... + _2_-_+...
Нетрудно убедиться, что уравнение еz = А имеет бесконечное множество корней
с модулем, меньшим р, как бы р ни было мало, бели только А не равно нулю.
Пусть будет А — г (cos 8 -j- i sin в); из предыдущего уравнения получаем:
чтобы было | z j < р, достаточно, чтобы
Очевидно, что существует бесконечное множество значений целого числа k, удо-
удовлетворяющих этому условию. В этом примере есть значение числа А, состав-
составляющее исключение, именно, А = 0. Но может случиться, что нет ни одного зна-
значения, составляющего исключение; таков, например, случай функции sin —.
Z
294. Вычеты. Пусть будет а полюс или изолированная существенно
г
особая точка функции /(г). Вычислим интеграл \f{z)dz, взятый вдоль
J
окружности С с центром в точке а, проведенной в области точки а. Мы
имеем правильную часть Р(г — а), интеграл которой равен нулю. Что
касается главной части G( 1, то ее можно интегрировать по-
\z — aj
член но; в самом деле, если а есть существенно особая точка, то
* Annales de I'Ecole Normale mperieure, 2-я серия, т. IX, 1880, стр. 145.

§ 294 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 89>
G I • I представляет целый, равномерно сходящийся ряд по
Интеграл общего члена
(z — a)m
с
равен нулю, если показатель т больше единицы, так как начальная?
А
функция — , —~т—г—г возвращается к начальному значению,.,
{т—\)iz—а)'1
когда переменное г описывает замкнутый путь. Но, если т = 1, то»
определенный интеграл А_л \ ¦ имеет значение 2itA_lt как
видно из вычислений § 284. Следовательно, мы имеем формулу
с
которая, в сущности, есть не что иное, как частный случай формулы B3),.
определяющей коэфициенты ряда Лорана. Коэфициент А_г называется?
вычетом функции /(г) относительно особой точки а.
Рассмотрим теперь функцию /(г), непрерывную на замкнутом кон-
контуре Г и имеющую внутри этого контура Г только конечное число
особых точек а, Ь, с, ... , I. Пусть будут А, В, С, ... , L вычеты,,
соответствующие этим особым точкам. Окружим каждую из этих осо-
особых точек кругом весьма малого радиуса; интеграл \f{z)dz, взятый*
вдоль Г в прямом направлении, равен сумме интегралов, взятых вдоль-
этих малых кругов в том же самом направлении, и мы получаем весьма1
важную формулу:
..+?), C6>
выражающую, что интеграл /(г) dz, взятый вдоль контура Г в пря-
прямом направлении, равен произведению 2ш на сумму вычетов отно-
относительно особых точек функции /(г), находящихся внутри этого-
контура.
Ясно, что эта теорема применима также к контурам Г, образован-
образованным несколькими различными замкнутыми кривыми.
Отсюда видно важное значение вычетов; полезно уметь их быстро»
вычислять. Если точка а есть полюс т-то порядка функции /(г), то
произведение (г — a)mf(z) — правильное в точке а, и очевидно, что-
вычет функции /(г) равен коэфициенту при (z — а)т~г в разложении:
этого произведения. В случае простого полюса правило упрощается:
тогда вычет равен пределу произведения (z — а)/(г) при г = а. Всего»
чаще функция /(г) является в виде:

SO ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 294-295
где функции Р(г) и Q(z)— правильные при г = а и Р(а) не равно
дулю, тогда как а есть простой нуль для Q(z). Пусть будет Q(z) =
= (z—d)R(z); тогда вычет равен частному-^-~-, или, иначе, как это
Р{а)
нетрудно видеть, - - .
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ.
Приложения последней теоремы бесчисленны. Мы дадим некоторые
из них, относящиеся, главным образом, к вычислению определенных
интегралов и к теории уравнений.
295. Различные замечания. Пусть будет /(г) такая функция, что про-
произведение (г—a)f(z) стремится к нулю вместе с \z—а\. Интеграл
¦от этой функции, взятый вдоль круга у с центром в точке а и с ра-
радиусом р, стремится к нулю вместе с радиусом этого круга. В самом
деле, мы имеем:
t t
•если 7j есть наибольшее значение модуля количества (z — a)f(z) вдоль
круга Yi т0 модуль интеграла будет меньше, чем 2ttjj, и следовательно,
-стремится к нулю, так как 7) само бесконечно-мало вместе с р. Точно
так же можно было бы убедиться, что если произведение (z — а)/(г)
стремится к нулю, когда модуль разности z — а неограниченно воз-
возрастает, то интеграл \f(z)dz, взятый вдоль круга С с центром в точке а,
при неограниченном возрастании радиуса этого круга стремится к нулю.
Эти замечания сохраняют свою силу и в том случае, когда интеграл
•берется не вдоль всей окружности, а только вдоль ее части, если только
рассматриваемое произведение стремится к нулю вдоль этой части.
Это свойство, вообще, применяют к функциям /(г) вида — -—,
где показатель }х предполагается положительным, и ср (z) остается ко-
конечной и отличной от нуля при приближении z к а или к бесконеч-
бесконечности. Для существования интеграла достаточно, чтобы было: в первом
случае ц<1, а во втором д>1 (см. т. I, § 87 и 89).
Часто приходится искать верхнюю границу модуля определенного
й
ин еграла вида f(x) dx, взятого вдоль действительной оси. Предпо-
а
ложим для определенности, что а<^Ь. Выше мы видели (§ 276), что
ь
модуль этого интеграла не более интеграла I f(x) \dx и, следовательно,
а
меньше, чем М{Ь — а), если М есть верхняя граница модуля функ-
функции f(x).

§ 296 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ 91
296. Вычисление простейших определенных интегралов. О пределе н-
ный интеграл I F(x)dx, где F(x) есть рациональная функция, взятый
—оо
вдоль действительной оси, имеет конечное значение, если только зна-
знаменатель не обращается в нуль ни при каком действительном значе-
значении х, и если степень числителя по крайней мере на две единицы
меньше степени знаменателя. Опишем из начала координат как из
центра круг С настолько большим радиусом R, чтобы все корни зна-
знаменателя функции F(x) содержались внутри этого круга, и рассмотрим
путь интегрирования, образуемый диаметром ВА, проведенным вдоль
действительной оси, и полуокружностью С, расположенною над дей-
действительною осью. Единственные особые точки функции F(z), лежащие
внутри этого контура, суть полюсы, происходящие от тех корней зна-
знаменателя функции F{z), у которых коэфициент при / положителен.
Следовательно, обозначая через 2^& сумму вычетов относительно этих
полюсов, мы имеем:
¦+R
-R (С) •
При неограниченном возрастании радиуса R интеграл, взятый
вдоль С', стремится к нулю, так как при бесконечном z произведение
z F(z) равно нулю, и мы в пределе получаем:
4-оо
F(x)dx=2ni'2,Rk.
—оо
Нетрудно привести к предыдущим интегралам определенные инте-
интегралы
I F(sinx, cosx)dx,
где F есть рациональная функция от sin с и cos x, не обращающаяся
в бесконечность ни при каком действительном значении переменного х,
и интеграл взят вдоль действительной оси. Заметим прежде всего, что
мы не изменим значения этого интеграла, взяв его пределами хп и
jc0 -I- 2тт, где лг0 — любое действительное число; следовательно, можно
взять пределами, например, —тт и -(-тт. Выполнив обычную замену
X
переменного tg о — t, мы приведем рассматриваемый интеграл к инте-
гралу от рациональной функции от t, взятому между пределами — оо
и -J- оо, так как, при возрастании х от —тт до тт, tg -^ возрастает от
— оо до -\- оо.

92 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 296-297
Но можно поступать еще иначе. Полагая exl = zi мы будем иметь
dx=— и по формулам Эйлера получим:
при этом рассматриваемый интеграл обращается в интеграл
2iz ' 2г ) iz '
Что касается нового пути интегрирования, то, когда х возрастает от
О до 2тт, переменное z описывает в прямом направлении круг с ра-
радиусом, равным единице, и с центром в начале координат. Следо-
Следовательно, достаточно вычислить вычеты стоящей под знаком интеграла
рациональной функции от z относительно полюсов, модуль которых
меньше единицы.
Возьмем, например, интеграл V ctg I \dx, имеющий конеч-
W
о
ное значение, если b не равно нулю. Мы имеем:
. (х-а
Ы \ . 1х —а — Ы\
а — Ы\ ,е V * >-\-е \ 2 '
— а — Ы \ . I х — а — Ы
2
-а — Ы\ _ . 1х — .
2 1-е \
или, иначе
: — а — bi\ ,eix-\-e-b?ai
2 I "' glx g-b + ai'
Следовательно, после замены переменного exi = z мы придем к инте-
интегралу:
dz
z — e
с
Подинтегральная функция имеет два простых полюса 2 = 0, z =
= e~b+al, и соответствующие вычеты суть —1 и -(-2. Если b поло-
положительно, то эти оба полюса лежат внутри контура интегрирования,
и интеграл равен 2ш; если b • отрицательно, то только один полюс
2 = 0 лежит внутри контура, и интеграл равен —2ш. Следовательно,
рассматриваемый интеграл равен + 2тт/ в зависимости от того, будет ли
b положительно или отрицательно. Теперь мы дадим несколько менее
простых примеров.
gimz
297. Различные определенные интегралы. 1. Функция т , 2 имеет два
?— т (>т
полюса + i и -/с вычетами -=т- и — -^т . Предположим для определенности,
что т положительно, и рассмотрим контур, образуемый полуокружностью очень
большого радиуса К с центром в начале координат, лежащею над действительною

III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
gmlz
93
Имеет только один полюс z — i, и
§ 297
осью. Внутри этого контура функция 3
интеграл, взятый вдоль всего контура, равен ке~">. Но интеграл, взятый вдоль
полуокружности, при неограниченном возрастании радиуса R стремится к нулю,
так как модуль произведения -,-у1~<1е'тг вдоль эт°й полуокружности стремится
к нулю. В самом деле, заменяя z через R (cos Ь -\- i sin 6), мы имеем:
miz .— mR sin 6 -(- imR cos 8
и модуль е—т Кsin 6 остается меньшим единицы, когда 8 изменяется от 0 до я.
Что касается модуля множителя -,—г~—, > то при бесконечном z он равен нулю.
1 -f- Z'
Следовательно, в пределе мы имеем:
- emix
1 -(- А'2
— ОО
Если мы заменим е"Чх через cos тх +' sin тх, то коэфициент при i в левой
части предыдущего равенства, очевидно, ра-
равен нулю, так как элементы интеграла по-
попарно уничтожаются; так как, сверх того,
cos (— тх) = cos тх, то мы можем предста-
вить предыдущую формулу в виде:
+ОО
COS/ПА"".,.. It .„_.
и
elz
2. Функция — голоморфна внутри кон-
О
Черт. 58.
тура ABMB'A'NA (черт. 58), образуемого
двумя полуокружностями 8MB', A'NA, описанными из начала координат как из
центра радиусами R и г, и прямыми АВ, В'А'. Следовательно, мы имеем соот-
соотношение:
е1х
е1г
г (BMB') -R
его можно представить иначе в виде
??* — e-ix
(A'NA)
г (BMB') (A'NA)
При приближении г к нулю последний интеграл стремится к — я/; в самом
деле, мы имеем:
z z
где P(z) есть функция, правильная в начале координат, и потому
Д'ЛГА
Интеграл от правильной части P(z) бесконечно мал вместе с длиною пути инте-
интегрирования; что касается последнего интеграла, то он равен изменению Log (z)
вдоль A'NA, т. е. равен —ш.

94
ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
§ 297
Интеграл вдоль пути ВМВ' стремится к нулю при неограниченном возра-
возрастании числа R.
Замечание § 295 неприменимо к этому интегралу, так как произведение
zf(z) = eiz не стремится к нулю во всех точках дуги ВМВ' при неограниченном
возрастании радиуса R. Модуль этого произведения с помощью замены z =
= R (cos 9 +1 sin 9) приобретает вид e-flsin 9, и, следовательно, не превосходит
единицы. Но, интегрируя по частям, мы вправе написать:
MB'
J
МВ
J
ВМВ'
Модуль обинтегрированной функции равняется -=т-, и к тому же интеграл
правой части, согласно замечанию § 295, при неограниченном возрастании R
стремится к нулю. Следовательно, то же самое справедливо и по отношению
к интегралу в левой части.
Следовательно, переходя к пределу, имеем (т. I, § 196):
+оо
eix — е~1х
dz — ш,
или
Г
**BJLdx«.
J
о
3. Интеграл от целой функции e-~ei, взятый вдоль контура ОАВО, составляе-
составляемого двумя радиусами ОА и Он, образующими угол
в 45°, и дугою круга АВ (черт. 59), равен нулю;
отсюда получаем:
R
^ е-*г dx+[e-'*dz = [е- * dz,
О АВ ОВ
г Вдоль дуги АВ произведение ze—&, при неогра-
неограниченном возрастании радиуса, не стремится к нулю.
во всех точках этой дуги, но модуль функции е— «'
не превосходит единицы. Следовательно, поступая, как
в предыдущем случае, мы вправе написать:
Чеот 59
J
АВ
АВ
dz = = тт \ dz,
L 2 z J<AB) 2 J ^
АВ
и оба члена в правой части стремятся к нулю при неограниченном возрастании
радиуса R окружности, содержащей дугу АВ. Следовательно, то же самое спра-
справедливо и по отношению к интегралу \е— ^dz.
А"в
Вдоль радиуса ОВ мы можем положить z = р (cos-г- + isin-т- J, откуда
Увеличивая неограниченно R, мы получим в пределе (см. т. I, § 127):
+ О0 +00 _
j *?-'>* (cos-|- +г sin-|Лйр= | е-*йх=Л^,
о1 о .

§ 2Э7—293
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
или, иначе:
+O&
1 _
J «-*• dp = *2- ^ cos T -1 sin TJ.
Приравнивая в обеих частях этого равенства действительные части и коэфициентм
при /, мы получим значения интегралов Френеля:
+оо
+оо
+00
C8),
о ' о
298. Вычисление произведения Г(/?)ГA—р). Определенный интеграл
, где переменное х и показатель р действительны, имеет ко-
конечное значение, если р положительно и меньше единицы; он равен,
произведению Г(/?)ГA—р) *.
Чтобы вычислить этот интеграл, рас-
смотрим функцию
имеющую один
т
полюс в точке z= —  и одну точку
разветвления г = 0. Рассмотрим контур
abmb'a'na (черт. 60), образованный двумя
окружностями С и С, описанными из
начала координат, соответственно, радиу-
радиусами г и р, и двумя бесконечно близкими
прямыми ab и а'Ь', расположенными по
обе стороны разреза, проведенного вдоль
zp-i
Ох. Функция -—j— однозначна внутри
I —|— g
этого контура, который содержит только
одну особую точку, полюс z = — 1; для окончательного ее определе-
определения условимся брать за аргумент переменного z тот, который заклю-
заключается между 0 и 2тт. Следовательно, обозначая через R вычет отно-
относительно полюса г — —1, мы имеем:
ab
zP~l
dz
dz-\-
dz-\-
zp~l
dz
b'a'
Интегралы, взятые вдоль окружностей С и С', стремятся к нулю,,
когда г неограниченно возрастает или р неограниченно убывает, так
Р
как вследствие неравенств
этом к нулю.
произведение
\+г
стремится при
* Заменим /через
в последней формуле § 128 (т* I). Формула C9), доказанная прн р дей-
стантельном, верна н при р мнимом, если действительная часть р заключается между U и 1.

SQ ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 298—299
Вдоль ab переменное z действительно; для большей ясности обо-
обозначим его через х. Так как аргумент переменного z равен нулю, то
zP-i равно арифметическому значению хР~г, Вдоль а'Ь' переменное z
также действительно, но, так как его аргумент равен 2it, то мы имеем:
2р-1 _ е(р — 1) (log х + 2м) _ е2гЛ (р - 1) хр _ 1 _
Следовательно, сумма обоих интегралов, взятых вдоль ab и вдоль а'Ь',
шмеет пределом:
+0О
Вычет /? равен (—l)*", предполагая аргумент —1 равным тт, т. е.
юн равен е'Р-1^', Следовательно, мы имеем:
+со
Г хР~г а _ Зттг^-3I1'' _ 2т —к
^~ 1 ^'(р-1)~г(/>-1)«(^-1)«~'sin^ ijTt'
+
Г
] \
"о
шли окончательно:
rfC9)
\-\-x
и
299. Приложение к мероморфным функциям. Рассмотрим функции
¦f(z), <p(z), из которых одна f{z) — мероморфная внутри некоторого
замкнутого контура С, а другая (р (z) — голоморфная внутри того же
контура, причем функции/B), f'(z , <p (z) непрерывны на контуре С.
t' (Z)
Найдем особые точки функции <f(z)—.—r-, лежащие внутри контура С.
Очевидно, что точка а, которая не есть ни полюс, ни нуль функ-
/' (z)
ции f(z), есть обыкновенная точка функции -—-, а следовательно, и
f'(z)
^функции <f(z)—~. Если точка а есть полюс или нуль функции/(z),
то в области этой точки мы имеем:
/(*) = (*_ а)* ф (*),
где р. есть положительное или отрицательное целое число, равное по-
порядку функции в этой точке (§ 292), а ф (г) — правильная функция, не
равная нулю при z = a. Взяв логарифмические производные от пре-
предыдущего соотношения, получаем:
t{z) z~a^^(z) ¦
"Так как, с другой стороны, в области точки а мы имеем:
<р (z) = ср (a) -j- {z — a) (f,' (a) + ...,
f'(z)
f(z)
-то точка а есть полюс первого порядка, произведения tp {z)~-^-, и вы-

§ 2&S III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ 97
чет равен р. (р (а), т. е. равен т tp (а), если точка а есть нуль /я-го по-
порядка функции f(z), и равен —яср(а), если точка а есть полюс л-го
порядка функции f(z). Следовательно, предполагая, что функция f(z)
не имеет корней, расположенных на контуре С, мы имеем по общей
теореме о вычетах:
где а есть один из нулей функции t(z), лежащих внутри контура С,
a b—один из полюсов, лежащих внутри того же контура, причем
каждый полюс и нуль считается столько раз, каков его порядок крат-
кратности. В формуле D0) заключается бесконечное множество соотноше-
соотношений, так как за ip (z) можно взять любую голоморфную функцию.
Положим, в частности, ср (гг) == 1; тогда предыдущая формула об-
обращается в
где N и Р обозначают, соответственно, число нулей и число полюсов
функции f(z), заключающихся внутри контура С. Из этой формулы
можно вывести важную теорему. В самом деле, — есть производная
J\z)
от Log [/(г)]; следовательно, чтобы вычислить определенный интеграл,
стоящий в правой части формулы D1), достаточно знать изменение
функции
когда переменное z описывает в прямом направлении контур С. Но
f{z) возвращается при этом к своему начальному значению, тогда как
аргумент функции f(z) возрастает.на 2/Стг, где К есть положительное
или отрицательное целое число. Следовательно, мы имеем:
т. е. разность N—Р равна частному от деления на 2я изменения
аргумента функции f(z), когда переменное z описывает в прямом на-
направлении контур С.
Отделим в f(z) действительную часть и коэфициент при г:
когда точка z = х -\- iy описывает в прямом направлении контур С,
точка, координаты которой относительно прямоугольных осей того же
направления, как и первые, суть X и Y, описывает также некоторый
замкнутый контур Сг, и достаточно построить приближенно этот кон-
ТУР С\, чтобы получить число К. В самом деле, для этого нужно
только сосчитать число оборотов, на которые повернулся в прямом
-7 Э. Гуроа. т. II, ч. 1.

98 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 300
или в обратном направлении радиус-вектор, соединяющий точку (X, У)
с началом координат. Формулу D2) можно представить иначе в виде:
с с
Y
так как функция ¦— возвращается к прежнему з-начению, когда z опи-
X
сывает замкнутый контур С, то определенный интеграл
CXdY— YdX
j X* -f- F2
, I Y\ ,C Y
равен / I,—- I, где число / равно указателю частного вдоль контура
\ л I л
С, т. е. равно разности между числом случаев, когда это частное обра-
обращается в бесконечность, проходя от -j-oo к —оо, и числом случаев,
когда оно обращается в бесконечность, проходя от — оо к -j- oo (т. I,
§ 76). Следовательно, мы можем представить формулу D3) в равно-
равносильном виде:
300. Приложение к теории уравнений. Если функция f(z) также
голоморфна внутри контура С и не имеет на этом контуре ни полю-
полюсов, ни нулей, то предыдущие формулы содержат только корни урав-
уравнения f(z) — 0, заключающиеся внутри С. Формулы D2), D3), D4)
определяют число N этих корней через изменение аргумента функции
/ У\
f{z) вдоль контура С или через указатель /I— . Если функция f(z)
\Х )
есть целый многочлен относительно z с произвольными коэфициентами
и контур С состоит из конечного числа дуг уникурсальных кривых, то
этот указатель можно вычислить посредством элементарных действий,
именно, умножениями и делениями многочленов. В самом деле, пусть
будет АВ дуга контура, которую можно представить формулами:
где <f(t), <Ь (i) — рациональные функции параметра t, который надо
изменять от а до р, чтобы точка (х, у) описала дугу АВ в прямом
направлении. Заменяя в многочлене/(z) переменное z через <р (t) -j- гф(/).
мы получим:
где R(t), Rz(t) — рациональные функции от t с действительными коэфи-
циентами. Следовательно, указатель / (— ) вдоль дуги АВ равен
R
указателю рациональной функции -J, когда t изменяется от а до р;
этот указатель мы уже умеем вычислять (т. I, § 76). Следовательно

§ 300—301 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ 99
если контур С состоит из -дуг уникурсальных кривых, то, чтобы иметь
число корней уравнения f(z) = 0, заключающихся внутри этого кон-
контура, достаточно вычислить указатель для каждой дуги и взять их
полусумму.
Примечания. 1. Когда функция /(z) голоморфна в области D, ограничен-
ограниченной только одним контуром, и не обращается в нуль в этой области, то на ос-
основании предшествующей теоремы все значения корня f/f (z) голоморфны в той
же области, так как аргумент arg/(z) возвращается всякий раз к своему началь-
начальному значению, когда z описывает произвольную замкнутую кривую, располо-
расположенную внутри D (см. § 260).
2. Из предыдущих результатов нетрудно вывести теорему Даламбера. Докажем
сначала лемму, которой мы будем неоднократно пользоваться. Пусть будут F (z),
Ф(г) функции, голоморфные внутри некоторого замкнутого контура С, непре-
непрерывные на этом контуре и такие, что вдоль С мы имеем | Ф (z) |< | F(z) ]; при
этих условиях уравнения
/=•(*) = 0, Р(г) + Ф(г) = 0
имеют внутри контура С одинаковое число корней. В самом деле, мы имеем
Ф (г)
когда точка z описывает контур С, точка Z= I + w~ описывает замкнутую кри-
кривую, лежащую всеми своими точками внутри круга с радиусом, равным единице, и
с центром в точке Z= 1, так как вдоль С будет | Z — 1 | < 1. Следовательно, когда
„ , Ф (г)
переменное г описывает контур с, аргумент множителя 1 -j—р у* возвРаШается к
своему начальному значению, и изменение аргумента суммы F (z) -\- Ф (г) равно
изменению аргумента функции F (z); таким образом, оба уравнения имеют внутри
С одно и то же число корней.
Пусть будет/(z) многочлен т-к степени с произвольными коэфициентами;
положим
А,гт-1 + ... + Дт> f(z) =F(z) + Ф (z).
Возьмем положительное число R настолько большое, чтобы было:
1
1
очевидно, что вдоль окружности С с, радиусом, большим, чем R, и с центром
Ф
в начале координат мы будем иметь
F
< 1. Следовательно, уравнение /(z) =
имеет внутри круга С то же число корней, как и уравнение F(z) = 0, т. е. т.
301. Формула Иенсена. Пусть будет/(z) функция, мероморфная внутри круга С
с радиусом г и с центром в начале координат и голоморфная и не имеющая
нулей на окружности С. Пусть будут а,, а2, ... , ап нули и bt, 62 ¦ • ¦ • > Ьт по-
полюсы функции /(z), находящиеся внутри этого круга, причем каждый из них
считается столько раз, каков его порядок кратности; мы предположим, сверх того,
что начало координат не есть ни полюс, ни нуль функции /(г). Вычислим опре-
определенный интеграл
(*^ D5)
взятый в прямом направлении вдоль С; для этого будем перемещать перемен-
переменное z, например, от точки z=r, лежащей на действительной оси, взяв для аргу-
7*

100 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 301
мента функции /(z) некоторое начальное значение. Интегрируя по частям, будем
иметь:
/= { Log (z) Log [/(г)] }(Q- j*Log (z) Щ- dz, D6)
С
где первый член правой части обозначает приращение произведения Log(z)Log [/(z)],
когда переменное z описывает окружность С. Если начальное значение аргу-
аргумента переменного z равно нулю, то это приращение равно:
(log/•+ 2га){Log [/(/¦)] + ЪЦп-т)} -log/-Log [/(/")] =
= 2w Log [/(/•)] + 2га (л — т) log r — 4 (л — т) rfi.
Чтобы вычислить определенный интеграл формулы D6), рассмотрим замкну-
замкнутый контур Г, образуемый окружностью С, окружностью с, описанною из начала
координат бесконечно малым радиусом р, и двумя бесконечно близкими краями ab,
а'Ь' разреза, проведенного вдоль действительной оси от точки z = p до точки
z = r (черт. 60). Мы предположим для определенности, что функция /(z) не
имеет на этой части действительной оси ни полюса, ни нуля; в противном случае
мы проведем разрез, образующий бесконечно малый угол с действительною
осью. Функция Log (z) голоморфна внутри контура Г, и по общей формуле D0)
мы имеем соотношение:
Г f'(z) Г f'(z) Г -еч-г\
L°g(z)-f77\ dzJf L°2 W Tk\ dz + \ L°S(Z'
ab С b'a'
Интеграл, взятый вдоль круга с, стремится к нулю вместе с р, так как произ-
произведение z Log (z) бесконечно мало вместе с р. С другой стороны, если аргумент
переменного z равен нулю вдоль ab, то он равен 2г. вдоль а'Ь', и сумма двух
соответствующих интегралов имеет пределом:
- J' 2я f-jQ dz = - -Ы Log [f (r)] + 2а Log [/@)].
о
Следовательно, остается
с
и формула D6) принимает вид:
/= 2та(я — т) log г + Ъл Log [/@)] — 2-г Log (а^^1р) - 4 (п - т) тЛ.
\О(Оа.. .bmj
Чтобы вычислить интеграл вдоль круга С, можно положить z = ге1ч и из-
изменять 9 от 0 до 2г.. Отсюда имеем — = ida; пусть будет /(г) = /?^Ф', где R
и Ф - непрерывные функции от if вдоль С. Приравнивая между собою коэфц-
циенты при i в предыдущей формуле, мы получим формулу Иенсена (Jensen)*:
¦^ [ log/?rfa = !og i/ @)|+ log
а1а.г...ап
о
в которую входят только обыкновенные неперовы логарифмы.
D7)
Ada Mathemaiica, т. XXII, стр. 359.

§ 301-302 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ 101
Если функция/(г) голоморфна внутри С, то произведение Ь±Ь%. ..Ьт, оче-
очевидно, должно заменить единицею, и формула D7) обращается в
lj log Rd<( = log |/@)| + log
Гп
я1а2.. .a
D8)
Это соотношение интересно тем, что в него входят только модули корней функ-
функции /(г), заключающихся внутри круга С, и модуль функции /(г) вдоль этой
окружности и в центре ее.
302. Формула Лагранжа., Формулу Лагранжа, которую мы вывели
методом Лапласа (т. I, § 186), можно также весьма легко вывести из
общих теорем Коши. Способ, который мы здесь изложим, принадлежит
Эрмиту.
Пусть будет f(z) функция, голоморфная внутри некоторой области D,
содержащей точку а. Уравнение
F(z) = z — a — at (г)—0, D9)
где а — переменный параметр, имеет при а = 0 корень z = a. Пред-
Предположим, что а =^=0. Пусть будет С круг с центром в точке а и с ра-
радиусом г, расположенный в области D и такой, что вдоль этого круга
\af(z)\<i\z — а |; по доказанной выше (§ 300) лемме уравнение F(z) = 0
будет иметь внутри контура С то же число корней, как и уравнение
z — я = 0, т. е. один корень; обозначим этот корень через ?.
Пусть будет П (z) функция, голоморфная в круге С. Функция
П (z)
имеет внутри круга С только один полюс, точку г — ,, и со-
соответствующий вычет есть , ; следовательно, по общей теореме мы
^@
имеем: П(О_ 1 Г П(г) 1 Г II (z)dz
F(Q ~~ 2п7 J Щг) 2тп" J z — а — a f (z)'
с с
Чтобы получить разложение по степеням а интеграла, стоящего в пра-
правой части, мы поступим так же, как при выводе формулы Тейлора; мы
будем иметь:
1 1 ¦
z~a — af(z) z — ar
, [а/И]" . 1
''" ' (z
(z — a)"+1 * z — a — a/ (z) [ z — a]
Внося это значение в интеграл, получим:
где
1 Г II (г) dz 1 nf(z)YYL(z)dz
°~2wJ z — a '••"' " 2nij (z— a)n+1 '
7? _ 1 Г II (г) {*№]»¦«
я+1 2m)z — a — aj(z)\z-a\

102 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 302
Пусть будет т наибольшее значение модуля произведения af{z)
вдоль окружности С; по предположению т меньше, чем г. Если М
есть наибольшее значение модуля функции II (z) вдоль С, то мы
имеем:
г-т
отсюда видно, что при неограниченном возрастании п остаточный
член /?я+1 стремится к нулю. Далее, из выражений коэфициентов
/0, /3 , .. . , /„,-.. из формул A4) (§ 284) получаем:
и мы приходим к следующему разложению в ряд:
-f со
^{n(a)[/(a)]ni- E0)
Эту формулу можно также представить в несколько ином виде.
Положим П(г)==Ф(г)[1—а/'(¦?)], где Ф(г) — функция, голоморфная
в той же области. Тогда левая часть формулы E0) не будет содержать
а и обратится в Ф Q. Что касается правой части, то заметим, что она
содержит два члена степени п относительно а, сумма которых равна:
n\ da"
{ф'(в) f/(a)]"-f яФ(а)[f(a)]»-*f (а)-пФ(а)\/(a)
и мы получаем формулу Лагранжа в ее обычном виде [т. I, § 166,
формула E2)]:
Ф @ = Ф (а) + •?¦ Ф' (a)f(a) + ¦ • • -f ~г #^zr {^'(а)[/(«)]л} + - • • E1)
Мы предположили, что вдоль окружности С мы имеем |
что будет иметь место, если | a j достаточно мало. Чтобы найти наи-
наибольшее значение |а|, ограничимся случаем, когда /(г) есть многочлен
или целая функция. Пусть будет Ш.(г) наибольшее значение модуля
\f{z) I вдоль окружности С, описанной из точки а как из центра ра-
радиусом, равным г; предыдущее доказательство применимо к этому кругу,
если только \а\Ш(г) <^г. Таким образом мы пришли к разысканию
f*
наибольшего значения отношения „., — , когда г изменяется от 0 до
93? {г)
-)-оо. Это отношение равно нулю при г = 0, так как, если бы 9Л: (/")
стремилось к нулю вместе с г, то точка z = a была бы нулем функции
f(z), и F(z) делилась бы на z — а. То же отношение равно нулю и

§ 302-303 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ 103
при г=оо, так как в противном случае f(z) было бы многочленом
первой степени (§ 287). Отсюда следует, что jmTT проходит через наи-
наибольшее значение ц при некотором значении гл радиуса г. Из преды-
предыдущего рассуждения следует, что уравнение D9) имеет один и только
один корень с модулем, меньшим rv если |а|<С}*; следовательно,
разложения E0) и E1) имеют место, если \а\ не превосходит ji, и
функции II (z) и Ф{г) голоморфны в круге Cj с радиусом гг.
Пример. Пусть будет f(z) — —-~— ; уравнение D9) имеет корень
— VI
стремящийся к а, когда а стремится к нулю. Возьмем II (г) =1- Формула E0)
обращается в
где Хп — полином Лежандра л-го порядка (т. I, § 180). Чтобы найти границы
в которых применима формула E2), предположим, что а действительно и больше
единицы. Очевидно, что на окружности с радиусом г мы имеем ЭД(г) =
= ^—— , и мы приходим к разысканию наибольшего значения отношения
2г
, когда г возрастает от 0 до + оо. Этот максимум имеет место при
{a + rf-Л ^
г— л/а*—1 и равен а — l/a'2—1. Точно так же, если а содержится между —1
г* + 1 — я2
и + 1, то при помощи простых вычислений мы найдем, что Ш(г)—— „_._ _.
2,1/ 1 ~-~ о.'
V^^i
2rVl^^a /.,
Максимум отношения -^у-,— д имеет место при г= 1/ 1 — а2 и равен единице.
г*-\-1—а1 '
Нетрудно проверить эти результаты. В самом деле, корень ]/1 — 2а«* -+- «*>
рассматриваемый как функция от а, имеет две критических точки а ± ]/aa — 1 •
Если а > 1, то ближайшая к началу координат критическая точка есть а — |/я2 — 1 ¦
Если а содержится между —1 и +1, то обе критические точки a±i\/\ — a2
имеют модуль, равный единице.
В литографированном курсе Эрмита D-е издание, стр. 185) дано подробное
исследование этим методом уравнения Кеплера z — а = a sin г. Задача приводится
к вычислению того корня трансцендентного уравнения ег(г—1) = е~г(г-\-1),
который содержится между 1 и 2. Стильтьес получил следующие значения:
rt = 1,19967 86402 57734, ц= 0,66274 34193 492.
303. Исследование функции при бесконечно больших значениях
переменного. Чтобы исследовать функцию f{z) при значениях перемен-
переменного, модуль которых неограниченно возрастает, можно положить г = —,-
и исследовать функцию /I — ) вблизи начала координат. Но нетрудно
устранить это промежуточное преобразование. Предположим сначала,
что можно найти такое положительное число /?, чтобы всякое конечное
значение переменного г с модулем, ббльшим R, было обыкновенного точ-

104 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 303
кою функции/(г). Если из начала координат мы опишем круг С ра-
радиусом, равным R, то функция f(z) будет правильною во всякой
точке z, лежащей на конечном расстоянии вне круга С. Мы будем на-
называть областью бесконечно удаленной точки область плоскости, рас-
расположенную вне круга С.
Рассмотрим вместе с кругом С концентрический круг С с радиусом
/?'^>^?. Так как функция/(г) голоморфна в круговом кольце, заклю-
заключающемся, между С и С', то, по теореме Лорана, она равна сумме ряда,
расположенного по положительным и отрицательным целым степеням
переменного г:
/(*)= ? A_mzm. E3)
? _mz
= -ОО
Коэфициенты А_т этого ряда не зависят от радиуса /?', и, так как
этот радиус можно взять сколь угодно большим, то отсюда следует,
что формула E3) применима во всей области бесконечно удаленной
точки, т. е. во всей области, расположенной вне С. Здесь надо разли-
различать несколько случаев:
1. Если разложение функции /(г) содержит только отрицательные
степени:
/(г) = Д) + Л1-1-М2-1+...+Л 1+..., E4)
то при неограниченном возрастании модуля \z\ функция/(г) стремится
к Ло; в этом случае функция f(z) называется правильною в бесконечно
удаленной точке, или, иначе, бесконечно удаленная точка есть обык-
обыкновенная точка функции f{z). Если коэфициенты Ап, Аг,...,Ат_-1
равны нулю, но Ат нулю не равно, то бесконечно удаленная точка
называется нулем т-го порядка функции f(z).
2. Если разложение функции f(z) содержит конечное число поло-
положительных степеней переменного z:
где Вт не равно нулю, то бесконечно удаленная точка называется
полюсом т-го порядка функции f{z), а многочлен Bmzm-\- ... -\-B:z —
главною частью для этого полюса; модуль \f{z) I неограниченно возра-
возрастает вместе с \z\, как бы переменное z ни перемещалось.
3. Наконец, если разложение функции /(г) содержит бесконечное
множество положительных степеней переменного z, то бесконечно уда-
удаленная точка называется существенно особою точкою функции /(г).
Ряд, образованный положительными степенями переменного z, представ-
представляет целую функцию G(z), которая называется главною частью в обла-
области бесконечно удаленной точки. В частности, мы видим, что целая
функция имеет бесконечно удаленную точку существенно особою
точкою.
Предыдущие определения были как бы предуказаны теми определе-
определениями, которые были приняты для точки, находящейся на конечном

§ 303 III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ 105
-расстоянии. В самом деле, полагая z = —,-, мы превратим функцию f{z\
в функцию ф (z') =f I — I от z', и нетрудно видеть, что мы лишь пе-
перенесли на бесконечно удаленную точку определения, принятые для
точки z' = 0 относительно функции <р {г'). Рассуждая по аналогии,
казалось бы естественным назвать вычетом коэфициент Л_-, при z
в разложении E3), но это было бы неверно. Чтобы сохранить харак-
характеристическое свойство вычета, мы будем называть вычетом относи-
относительно бесконечно удаленной точки коэфициент при — с обратным
знаком, т. е. — АЛ, Это число попрежнему равно
-Llf{z)dz>
причем интеграл взят в прямом направлении вдоль контура области
бесконечно удаленной точки. Но, так как областью бесконечно удален-
удаленной точки является часть плоскости вне С, то здесь соответствующее-
прямое направление противоположно обычному направлению. В самом
деле, этот интеграл приводится к интегралу:
и, когда z описывает окружность С в надлежащем направлении, аргу-
аргумент переменного z уменьшается на 2тт, и интеграл равен — А1.
Важно заметить, что функция может быть правильною в бесконечна
удаленной точке, хотя вычет ее не равен нулю, например функция
Если бесконечно удаленная точка есть полюс или нуль функции f(z),
то в области этой точки функцию можно представить в виде:
f(z) = г*у {г),
где jx есть положительное или отрицательное целое число, равное по-
порядку функции, взятому с обратным знаком, и функция ср (z) правильная
в бесконечно удаленной точке и не равная нулю при z=oo. Отсюда
получаем:
/'(г)^ у. , у'(г)
f(z) z ! <р(г)'
<т,'(г)
функция также правильная в бесконечно удаленной точке, но ее
<Р {z) ¦
разложение начинается с члена — или с высшей степени —. Сле-
z2 z

106 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 303-304
/' (г)
довательно, вычет функции равен —}х, т. е. порядку функции/(.г)
в бесконечно удаленной точке. Мы имеем здесь такое же предложение,
как для полюса или нуля, лежащих на конечном расстоянии.
Пусть будет f(z) однозначная функция, имеющая конечное число
особых точек. Пользуясь только что принятыми определениями для бес-
бесконечно удаленной точки, можно выразить весьма просто следующую
теорему:
Сумма вычетов функции /(г) во всей плоскости, включая и беско-
бесконечно удаленную точку, равна нулю.
Доказательство этой теоремы очень просто. Опишем из начала ко-
координат круг С, содержащий все особые точки функции f(z) кроме
¦бесконечно удаленной точки. Интеграл \f(z)dz, взятый вдоль этого
круга в обычном направлении, равен произведению 2тп на сумму выче-
вычетов относительно всех особых точек функции f(z), лежащих на конеч-
конечном расстоянии. С другой стороны, тот же интеграл, взятый вдоль
того же круга в обратном направлении, равен произведению 2гс/ на вы-
вычет относительно бесконечно удаленной точки. Так как сумма обоих
интегралов равна нулю, то равна нулю и сумма вычетов.
Коши назвал полным вычетом функции f(z) сумму вычетов этой
функции для всех особых точек, лежащих на конечном расстоянии.
Если особых точек конечное число, то мы видим, что полный вычет
равен вычету относительно бесконечно удаленной точки, взятому
с обратным знаком.
При me p. Пусть будет
_??L
7WY
где Р (г) и Q (г) — многочислены, из которых степень первого равна р, а сте-
степень второго—-четному числу 2q. Вне круга С с радиусом R, большим модулей
корней многочлена Q(z), функция /(г) однозначна, и мы имеем:
У(г) = гР-9<о (г),
где функция ю (г) — правильная в бесконечно удаленной точке и не равная нулю
при г= ос. Бесконечно удаленная точка есть полюс функции /(г), если р > <7.
и обыкновенная точка, если ps^q. Вычет, наверное, равен нулю, если р < q — 1.
IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
304. Полярные периоды. Изучение криволинейных интегралов показало
нам существование при некоторых условиях периодов у этих интегра-
интегралов. Так как всякий интеграл от функции f(z) комплексного перемен-
переменного z есть сумма криволинейных интегралов, то ясно, что этот интеграл
также может иметь некоторые периоды. Рассмотрим сначала аналитиче-
аналитическую функцию f{z), имеющую внутри замкнутой кривой С только ко-
конечное число изолированных особых точек — полюсов или существенно
особых точек. Этот случай вполне аналогичен тому, который мы изучали
относительно криволинейных интегралов (т. I, § 145), и прежние рас-
рассуждения применимы здесь без изменений. Все пути, расположенные

¦§ 304 IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 107
внутри контура С, которые можно провести между точками z0, Z этой
области, и не проходящие ни через одну из особых точек функции /(г),
приводятся к некоторому определенному пути, соединяющему эти обе
точки, и к нескольким петлям, описанным из точки z0, вокруг особых
точек аг, а2, ..., ап функции f{z). Пусть будут Av А2, ..., Ап соответ-
соответствующие вычеты функции/(г); интеграл I f (z)dz, взятый вдоль петли,
окружающей точку аг, равен ±2niAl; то же будет и для других пе-
петель. Следовательно, различные значения интеграла I / (z) dz содержатся
г»
в формуле:
z
f(z) dz = F(Z) + 2п/ (т^ -f щА2 -f ... -f тпАп)' E6)
где F(Z) — одно из значений этого интеграла, соответствующее неко-
некоторому определенному пути, a mv т2, ...—произвольные положитель-
положительные или отрицательные целые числа; периоды интеграла равны
JiTttAi* ЛтцАпЛ .... Лти/\^щ
В большинстве случаев точки а^, а2, ...,ап суть полюсы, и периоды
происходят от бесконечно малых обходов вокруг этих полюсов; поэтому
эти периоды называются обыкновенно полярными периодами, чтобы
отличить их от периодов другого рода, о которых мы будем говорить
дальше.
Вместо области плоскости, лежащей внутри замкнутой кривой, можно
рассматривать часть плоскости, простирающуюся в бесконечность; тогда
функция f(z) может иметь бесконечное множество полюсов, и интеграл —
бесконечное множество периодов.
Если вычет относительно особой точки а функции f{z) равен нулю,
то соответствующий период равен нулю, и для интеграла точка а есть
также полюс или существенно особая точка. Но, если этот вычет не ра-
равен нулю, то точка а есть критическая логарифмическая точка инте-
интеграла. Например, если точка а есть полюс т-го порядка функции f (z),
то в области этой точки мы имеем:
и следовательно,

108 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 304
где С—постоянное, зависящее от начального значения z0 и от пути,
проходимого переменным.
Применяя эти общие рассуждения к рациональным функциям, мы
сделаем очевидными некоторые уже известные результаты. Так, чтобы
интеграл от рациональной функции также был функциею рациональною,
необходимо, чтобы этот интеграл не имел периодов, т. е. чтобы все
вычеты были равны нулю. Это условие вместе с тем и достаточно.
Определенный интеграл
dz
z— а
имеет единственную критическую точку z — а, и соответствующий пе-
период равен 2го. Следовательно, именно в интегральном исчислении мы
найдем истинное происхождение множественности значений логарифма
{ dz
Log (z—а), как мы это уже подробно выяснили для I— (§ 282). Рас-
1
смотрим еще определенный интеграл
он имеет две логарифмические критические точки -\-i и — /, но
только один период, равный тт. Если ограничиться действительными
значениями переменного, то различные значения arctgx представляются
как различные функции переменного х. Напротив, мы видим, как, исходя
из идей Коши, мы приходим к взгляду на эти значения как на различ-
различные ветви одной и той же аналитической функции.
Примечание. Если определенный интеграл имеет более трех периодов,
то его значение в любой точке z может быть вполне неопределенным. Напомним
сначала следующий результат из теории непрерывных дробей *. Если дано ирра-
иррациональное действительное число а, то всегда можно найти два таких положи-
положительных или отрицательных целых числа р и q, чтобы было I p -f- qa | > е, где г —лю-
—любое положительное число.
Выбрав числа р и q таким образом, составим последовательность кратных
числа р -\- qa. Всякое действительное число А равно опному из этих кратных или
заключается между двумя последовательными кратными. Следовательно, всегда
можно найти два таких целых числа тип, чтобы было \m-\-na — А | < е. Рас-
Рассмотрим теперь функцию
1 . а , i . /В
-а^ z-b^z — с ' z — dj'
где а,Ъ,с — различные полюсы, а а, р. — иррациональные действительные числа.
Z
Интеграл \ f(z)dz имеет четыре периода: 1, a, i, /В. Пусть будут /(г)— значение
интеграла, взятого вдоль некоторого частного пути, идущего от го к Z, н
Несколько ниже дано прямое доказательство этого предложения (§ 317).

§ 304—305 IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 109
M-\-Ni — произвольное комплексное число. Всегда кожво найти четыре таких
целых числа т, п, т', п', чтобы модуль разности
/(г) + т + па -f i(m' -f- n'f) — (М +Щ
был меньше любого положительного числа е. Для этого достаточно, чтобы было:
\т + па-А\<~, |т'+л'р-В|<у,
где M-i-Ni — / (г) = A -f- /?. Следовательно, всегда можно переместить перемен-
переменное по такому пути, соединяющему две заданные точки г0 и г, чтобы значение
интеграла \ f{z) dz, взятого вдоль этого пути, сколь угодно мало отличалось
от всякого заданного числа. Мы видим еще раз, насколько важное значение для
конечного значения аналитической функции имеет путь, проходимый переменным.
С dz
305. Изучение интеграла I / . Интегральное исчисление дает
о
точно так же самое простое объяснение множественности значений
функции arc sin z; в самом деле, эти значения происходят от различных
значений определенного интеграла
в зависимости от пути, описываемого переменным. Предположим для
определенности, что мы выходим из начала координат с начальным
значением -)- 1 для корня. Обозначим через / значение этого интеграла,
взятого вдоль определенного (или прямого) пути, например вдоль пря-
прямой, если точка z не лежит на действительной оси вне отрезка, заклю-
заключающегося между — 1 и + 1; если же z действительно и | z \ > 1,
то за прямой путь мы возьмем путь, расположенный под действительною
осью. Так как точки z = -\-\ и z = —1 суть единственные критические
точки корня Y~\ —z2, то всякий путь, идущий от начала координат
в точку z, можно заменить последо-
последовательностью петель, описанных во
круг обеих критических точек -j-1
и —'1, и прямого пути. Следова-
Следовательно, мы приходим к изучению зна-
значения интеграла вдоль петли. Рас-
Рассмотрим, например, петлю ОатаО,
описанную вокруг точки z = -\-l; эта петля состоит из отрезка Оа, иду-
идущего изначала координат в точку 1—г, окружности ата с радиусом,
равным е, и с центром в точке z = -\-\ и отрезка аО (черт. 61).
Следовательно, интеграл, взятый вдоль петли, равен сумме интегралов:
1—s О
Г dz JL. Г dz _i_ Г dz
О ата 1 - е

110 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 305—306
Интеграл, взятый вдоль малой окружности, стремится к нулю вместе с г,
z— 1
так как произведение также стремится к нулю. С другой сто-
стороны, когда z описывает эту малую окружность, корень меняет знак,
и в интеграле вдоль отрезка аО должно взять для корня j/l — х'2
отрицательное значение. Следовательно, интеграл вдоль петли равен
пределу интеграла
1— г
2Г dx
о
когда г стремится к нулю, т. е. равен тт. Заметим, что значение этого
интеграла не зависит от направления, в котором описывается петля,
но мы возвращаемся в исходную точку с значением —1 для корня.
Если бы мы описали ту же петлю вокруг точки z = -j-\ при на-
начальном значении для корня, равном —1, то значение интеграла вдоль
петли было бы равно—тт, и мы вернулись бы в исходную точку с зна-
значением -+- 1 для корня. Точно так же мы увидим, что, описав петлю
вокруг критической точки z = —1, мы получим для интеграла значе-
значения — тс или -f- тт в зависимости от того, выйдем ли мы из точки
z¦¦:= 0 с начальным значением -f- 1 или —1 для корня.
Если переменное z описывает последовательно две петли, то мы
вернемся в начало координат с начальным значением -f-1 для корня,
и значение интеграла вдоль обеих этих петель будет равно -\- 2тх, 0
или—-2тг в зависимости от порядка, в котором описаны обе эти петли.
Следовательно, четное число петель дает для интеграла значение 2оттг
и приводит корень к его начальному значению -4-1. Напротив, нечет-
нечетное число петель дает для интеграла значение Bт-\~\)п, и. конечное
значение корня в начале координат будет равно —1. Отсюда следует,
что значение интеграла F{z) содержится в одном из двух видов:
2/ятт -4- Л Bт+\)и — 1,
в зависимости от того, можно ли заменить путь, описываемый перемен-
переменным, прямым путем с четным или нечетным числом петель.
306. Периоды ультраэллиптических интегралов. Точно так же можно
изучить различные значения определенного интеграла
7=, <58>
где Р (z) и R {г) — целые многочлены, из которых второй, R(z), сте-
степени п, обращается в нуль при п различных значениях переменного z:
Предположим, что точка Г z0 отлична от точек ег, e2, ..., еп; тогда
уравнение u2=R(zQ) имеет два различных корня -|-ио.и —ы0. Пусть
будет и0 начальное значение корня \rR{z). Если переменное z опи-
описывает какой-нибудь путь, не проходящий ни через одну из критиче-

§ 305
IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
111
ских точек е^,е„...,еп, то значение корня \/R(z) в каждой точке
этого пути определяется его непрерывным изменением. Проведем в пло-
плоскости из каждой точки ег, е2, ..., еп бесконечные разрезы так, чтобы
эти разрезы не пересекались между собою. Интеграл, взятый от zQ
до какой-нибудь точки z вдоль пути, не пересекающего ни одного
из разрезов (или прямого пути), имеет вполне определенное значение /(z)
в каждой точке z плоскости. Остается рассмотреть, как влияет на зна-
значение интеграла петля, описываемая,
исходя из точки za, вокруг какой-
нибудь критической точки et. Пусть
будет 2Et значение интеграла, взя-
взятого вдоль замкнутого контура, вы-
выходящего из точки zn и окружаю-
окружающего только одну критическую точку
еп причем начальное значение корня
равно и0. Это значение 2Е, инте-
интеграла не зависит от направления, в
котором описывается этот контур,
а зависит только от начального зна-
значения корня в точке z0. В самом
деле, обозначим через 2Е! значение
интеграла, взятого вдоль того же
контура в обратном направлении,
причем начальное значение корня попрежнему равно ип. Если перемен-
переменное z опишет рассматриваемый контур дважды в противоположных
направлениях, то очевидно, что сумма получающихся интегралов будет
равна нулю. Но интеграл вдоль первого контура равен 2Et, и мы воз-
возвращаемся в точку z0 с значением — иа для корня. Следовательно, инте-
интеграл, взятый вдоль этого контура в обратном направлении, равен — 2?Д
и потому Е!=ЕГ Рассматриваемый замкнутый контур можно привести
к петле, образуемой прямой zQa, окружностью ci с бесконечно малым
радиусом и с центром в точке е1 и прямою azn (черт. 62). Интеграл,,
взятый вдоль ср бесконечно мал, так как произведение
Черт. 62.
стремится к нулю вместе с модулем \г — е,\. Что касается интегралов,
вдоль гйа и вдоль az0, то их элементы складываются, и мы получим:
где интеграл взят вдоль прямой линии, и начальное значение корня
равно и0.
Интеграл, взятый вдоль любого пути, приводящегося к двум петлям,
описываемым вокруг точек еа, е^, равен 2??а —2?р, так как после пер-
первой петли мы приходим в точку г0 с значением ¦—н0 для корня, и инте.

112 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 306
грал вдоль второй петли равен — 2?р. После второй петли мы возвра-
возвращаемся в точку z0 с прежним начальным значением и0. Если путь,
совершаемый переменным, приводится к четному числу петель, описы-
описываемых последовательно вокруг точек еа, г^, е , еъ, ..., е%, ех (указатели
а, % ..., у., X взяты из чисел 1, 2, ..., п), и к прямому пути, идущему
от точки z0 в точку z, то, на основании предыдущего, значение инте-
интеграла, взятого вдоль этого всего пути, равно:
Напротив, если путь, проходимый переменным, можно привести к не-
нечетному числу петель, описываемых последовательно вокруг критиче-
критических точек еа, е*, ..., e.v еу, e , то значение интеграла равно
Следовательно, рассматриваемый интеграл имеет периодами все выра-
выражения 2 (Е( — Ел); но все эти периоды выражаются через (п— 1), из них:
«1 = 2 (?,-?„), *г = 2(Ег-Ея), ...,»„_, = 2 (?„_,-?„);
ъ самом деле, мы имеем:
Так как, с другой стороны, 2?A=в>|4-|-2?я, то мы видим, что все
значения определенного интеграла F(z) в точке z содержатся в двух
формулах:
где тЛ) т2, ..., тп_г—произвольные целые числа.
По поводу этого результата можно сделать несколько важных заме-
замечаний. Почти очевидно, что периоды не должны зависеть от начальной
точки г0; в этом нетрудно убедиться. Рассмотрим, например, период
2Et — 2?л; этот период равен значению интеграла, взятого вдоль замк-
замкнутого контура Г, проходящего через точку z0 и содержащего только
две критических точки et, eh. Если, например, мы предположим, что
внутри треугольника с вершинами в точках z0, et, eh нет никакой дру-
другой критической точки, то этот замкнутый контур можно привести
к контуру bb'nc'cmb (черт. 62); уменьшая неограниченно радиусы обеих
малых окружностей, мы видим, что период равен удвоенному интегралу:
взятому вдоль прямой, соединяющей две критических точки ер eh.
Может случиться, что п—1 периодов и15 оJ, . .., шп_г не будут
независимыми. Это имеет место всякий раз, когда степень многочлена R(z)
четная, если только степень многочлена Р(г) меньше, чем -^ 1.
Опишем из точки zQ окружность С настолько большим радиусом,
чтобы эта окружность содержала все критические точки, и предположим

§ 306 IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 113
для простоты, что мы перенумеровали эти критические точки от 1 до п
в том порядке, в каком их встречает бесконечная полупрямая, вращаю-
вращающаяся вокруг точки z0 в прямом направлении. Интеграл
взятый вдоль замкнутого контура z0AMAz0, образуемого радиусом z0A,
окружностью С и радиусом Az0, проходимым в обратном направлении,
равен нулю. В самом деле, интегралы, взятые вдоль z0A и Аг0, взаимно
уничтожаются, так как окружность С содержит четное число критиче-
критических точек, и, описав эту окружность, мы вернемся в точку А с тем же
значением для корня. С другой стороны, интеграл, взятый вдоль С,
при неограниченном возрастании радиуса стремится к нулю, так как,
на основании предположений, сделанных относительно степени много-
zP(z)
члена P(z), произведение —-=. стремится к нулю; так как этот
У R (г)
интеграл не зависит от радиуса, то отсюда следует, что он равен нулю.
Но рассматриваемый контур zQAMAz0 можно привести к последова-
последовательности петель, описываемых вокруг критических точек ег, е2, ...,еп
в порядке их указателей. Следовательно, мы имеем соотношение:
OP OF -i-OF OF _!_ I OF OF П
или иначе:
Мы видим, что п—1 периодов интеграла приводятся к п — 2
периодам <0j, ш2, ..., <о„_2.
Рассмотрим еще интеграл более общего вида:
F{2)J Р№
Q(z)]/R(zY
где P, Q, R-—многочлены, из которых последний, R(z), имеет только простые
корни. Из корней многочлена Q(z) некоторые могут входить в число корней
многочлена R(z); пусть будут а{, а,2 as корни, не принадлежащие к корням
многочлена R(z). Как и выше, интеграл F(z) имеет периоды 2(?, — Eh), где 2?,-
попрежнему обозначает интеграл, взятый вдоль замкнутого контура, выходящего
из точки 20 и оставляющего снаружи все корни обоих многочленов Q(z) и R(z)
кроме корня е,-. Но этот интеграл имеет, кроме того, несколько полярных перио-
периодов, происходящих от петель, описываемых вокруг полюсов а1, а2, ..., as. Полное
число периодов и в этом случае уменьшается на единицу, если степень п много-
многочлена R (г) четная, и если
где р и <7 — степени многочленов Р и Q.
Пример. Пусть будет R(z) многочлен четвертой степени, имеющий крат-
кратный корень. Найдем число периодов интеграла:
2
dz

114 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 306-307
Если R(z) имеет двойной корень ei и два простых корня ег, е3, то интеграл
имеет период 2?2 — 2Я3 и, сверх того, полярный период, происходящий от петли
вокруг полюса et; на основании только что сделанного замечания оба эти периода
между собою равны. Если R(z) имеет два двойных корня, то легко видеть, что
интеграл имеет только один полярный период.
Если R(z) имеет тройной корень, то интеграл
Z
dz
имеет период 2?4 — 2Я2, но, на основании общего замечания, этот период равен
нулю. То же самое будет, если R(z) имеет четверной корень. В итоге, если.
R{z) имеет один или два двойных корня, то интеграл имеет один пе-
период: если R(z) имеет тройной или четверной корень, то интеграл,
не имеет периодов.
Все эти результаты легко проверить непосредственно интегрированием.
307. Периоды эллиптического интеграла первого рода. Эллиптический
интеграл первого рода
где R(z) есть многочлен третьей или четвертой степени, первый с своею
производного, имеет согласно предыдущей общей теории два периода..
Мы докажем, что отношение этих двух периодов мнимое.
Не нарушая общности, можно предположить, что многочлен R (z) —
третьей степени. В самом деле, пусть будет R1 (z) многочлен четвертой
степени; если а есть корень этого многочлена, то, полагая г = а-(--—,,
получим (т. I, § 100):
dz Г dy
)
где R(y) — многочлен третьей степени, и очевидно, что оба интеграла
имеют одинаковые периоды. Если R(z) есть многочлен третьей степени,,
то всегда можно предположить, что он имеет корни 0 и 1, так как-
достаточно сделать линейную подстановку z = а -+- $у, чтобы притти
к этому случаю. Итак, все сводится к доказательству, что интеграл-
F{z) = Г dz =, E9).
)\/z(\—z)(a-z)
«о
где а отлично от нуля и единицы, имеет два периода, отношение ко-
которых мнимое.

§307
IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
115
Если а — число действительное, то предложение очевидно; например,
если а^>1, то интеграл имеет два периода:
1
о I — 9
dz
z)(a-z) .)yz(\—z)(a —
из которых первый — действительный, тогда как второй равен произве-
произведению I на действительное число. Ни один из этих периодов не может
быть равен нулю.
Предположим теперь, что а —мнимое число, положим, например, что
коэфициент при i в а положителен. Можно попрежнему взять за один
из периодов
dz
yz(\—z)(a — i
Применим к этому интегралу формулу Вейерштрасса (§ 278). Если z
изменяется от 0 до 1, то множитель ¦
остается положи-
1
тельным, и точка с аффиксом —=== описывает некоторую кри-
)/ a — z
вую L, о виде которой нетрудно составить себе представление. Пусть
будет А точка с аффиксом а; если z изме-
изменяется от 0 до 1, то точка а — z описывает д д
отрезок АВ, параллельный оси Ох, длина
которого равна единице (черт. 63). Пусть
будут Ор и Од биссектрисы углов, обра-
образуемых прямыми О А и О В с осью Ох; Ор'
и Од' — прямые, симметричные прямым Op ~ ~q
и Од относительно оси Ох. Если мы возь-
возьмем то значение корня Ya — z-> аргумент
которого заключается между 0 и -„ , то точка
с аффиксом У а — z опишет дугу ар, идущую Черт. 63.
от точки о на Ор к точке р на Од; следо-
следовательно, точка опишет дугу а'р', идущую от точки а' на Ор1
У a — z
к точке р' на Од'. Принимая во внимание формулу Вейерштрасса,
в этом случае имеем:
1
Уг(\-г)
где Zj — аффикс некоторой точки, лежащей внутри всякого выпуклого
контура, окружающего дугу а'$'. Ясно, что точка Z, расположена

116 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 307
в углу р'Од' и не может находиться в начале координат; следовательно,
, тс
ее аргумент заключается между —¦ — и 0.
За второй период можно взять
2 Г_=?_=
}Vz{\—z)(a~z)
ОА
=2
или, полагая z-=at,
Чтобы применить к этому интегралу формулу Вейерштрасса, заме-
заметим, что, когда t возрастает от 0 до 1, точка at описывает отрезок О А,
а точка с аффиксом 1 — at описывает равный и параллельный отрезок,
идущий от точки 2=1 к точке С (черт. 63). Выбирая надлежащим
образом значение корня, мы, подобно предыдущему, получим:
1
где Z2 есть мнимое количество, отличное от нуля, аргумент которого
заключается между 0 и —. Следовательно, отношение периодов^2,
Z2
или у ,—-мнимое.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Разложить по степеням х функции
где т — произвольное число.
Найти радиус круга сходимости.
2. Найти различные разложения функции — — ^- по положительным
или отрицательным степеням переменного z в зависимости от положения точки z
на плоскости.
3. Вычислить определенный интеграл iz^Logf ) dz, взятый вдоль окруж-
J V z — 1 /
ности с радиусом, равным 2, и с центром в начале координат, причем начальное
значение логарифма в точке z — 2 действительно. Вычислить определенный
интеграл
dz
J
взятый вдоль того же контура.

УПРАЖНЕНИЯ 117
4. Пусть будет /(г) функция, голоморфная внутри некоторого замкнутого
контура С, окружающего начало координат. Вычислить определенный интеграл
\f'(z)Logzdz, взятый вдоль кривой С, начиная от точки г0.
(С)
5. Доказать формулу
оо
Г _dt 1-3 5...Bл-1) „.
J A + ^)"+1"~~ 2-4-6...2/г "'
— оо
вывести из нее определенные интегралы
+ сх> + оо
dt dt
¦J
— OO • — OO
6. Вычислить, пользуясь "теорией вычетов, следующие определенные инте-
интегралы:
+ 0О
I sin тх dx
\ x(xi~+~<W т " а деиствительны>
о
оо
COSOJC
I
, - dx, а действительно,
1 -+¦ х*
— оо
+ ОО
J (х2_2^-^-а^+.' ° и Р Действительны,
— оо
+ 00
cos х dx
(**+!)(*> +4)'
— оо
1 +ОО
з,
>dx> \ xlogxdx
(+) .
о о
оо
cos ах — cos bx
I
X-2
0
dx, а и Ъ действительны и положительны.
( Чтобы вычислить последний интеграл, можно проинтегрировать функцию
\
I
ешг^еЫг \
~ вдоль контура, представленного на черт. 58. I
^ y-J—^г
А + С— {A — C)cos<f
7. Если определенный интеграл \ ^ y-J—^г имеет конечное
J А + С— {A — C)cos<f
значение, то он равен г "-.— , где е = ± 1 и выбрано таким'образом, чтобы
2 J/ЛС
коэфициент при i в ii-^—- был положителен.

118 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 307
8. Пусть будут F(z) и G(z) голоморфные функции, и z = a двойной корень
уравнения G(z) — 0, не обращающий в нуль функции F(z); соответствующий
F(z) 6F'(a)G"(a)-2F(a)G'"(a)
вычет функции ^ равен 3[О"(д)]«
Если а есть простой корень уравнения GB) = 0, то вычет функции ^^
F4a)G'(a)-F(a)G"(a) '
равен [G'(e)P
9. Вывести формулу
+ 1
ах и
) (х - а) уТ^ГР j7f=^T*'
если интеграл взят вдоль действительной оси с положительным значением корня;
а есть комплексное или действительное число, модуль которого больше единицы.
Указать точное значение, которое должно взять для j/l — aK
10. Рассмотрим интегралы I — —, I —- , где S и Si обозначают
.1 1/1+2» .! l/l + г*
E) E,)
контуры, образованные следующим образом. Контур 5 состоит из прямой ОА,
расположенной вдоль ОА", длина которой неограниченно возрастает, из окружно-
окружности с центром в точке О и с радиусом ОА и, наконец, из прямой АО. Контур S4
состоит из трех петель, окружающих точки а, Ъ, с, аффиксы которых суть корни
уравнения гЗ-f-l^O. Вывести соотношение между интегралами:
+ СО 1
i" dz С dt
J \7т+х~з' J /т^
исходя из сравнения предыдущих интегралов.
11. Вывести соотношение
+ ОО
I е-хг cos 2bx dx — j/ it е-ь\
интегрируя функцию e~z% вдоль контура прямоугольника, образуемого прямыми
у = 0, y = b, x = -\-R, x = — R, и неограниченно увеличивая число R.
12. Вычислить интеграл от функции e-zz"-t, где п действительно и положи-
положительно, взятый вдоль замкнутого контура, образуемого радиусом ОА, расположен-
расположенным вдоль ОХ, дугою окружности АВ с центром в точке О и таким радиусом ВО,
чтобы угол а^=АОВ заключался между 0 и -~ . Неограниченно увеличивая ОА,
вывести из полученного результата определенные интегралы:
+ ОО +ОО
+ +
I un-ie-"" cos budu, I и"-1е~<м sin
о
<м sin budu,
о о
где а и b — действительные положительные числа. Доказать, что полученные
формулы имеют место и при а = -ф, если л < 1.
13. Пусть будут т, т.', п — целые положительные числа (т < п, от' < п).
Вывести формулу:
+ ОО
Г fim — fin' тс Г /2т+ 1 \ . {2т'А-1

УПРАЖНЕНИЯ 119
14. Вывести из предыдущей формулы формулу Эйлера:
¦ «""rfi r.
1 + tin -
О
15. Если действительная часть числа а положительна и меньше единицы, то
Г е«х dx it
J 1 4- е* ™ sin ar.'
— оо
Эту формулу можно вывести из формулы (,39) (§ 298), или можно интегри-
gaz
ровать функцию ¦ вдоль контура прямоугольника, образуемого прямыми
у = 0, у = 2к, x = + R, x = — R, и неограниченно увеличивать число R.\
16. Вывести формулу
еах — е
I
1 _?Х
— сю
dz — т. (ctg ar. — ctg b-),
где действительные части чисел а и Ъ положительны и меньше единицы.
[Взять интеграл вдоль контура прямоугольника _у=0, y = r., x = -(-/?,
х = — # и воспользоваться предыдущим упражнением. |
17. Из формулы
М^ я(я-1)... (л -ft 4-1)
(С)
где п и k — целые положительные числа, и С — окружность с центром в начале
координат, вывести формулы
I
Г x*ndx _ 1-3-5... Bл —1)
J yr^xi ~ Г' ~~2^f... In '
—о
[Следует положить z = eiin, потом cosa = x и заменить п через п-\-к н k
через п.]
18*. Определенный интеграл
— а (х 4- Ух'2 — 1 cos »)'
о
когда он имеет конечное значение, равен ± <~ . , в зависимости от
у 1 — 2«: + а'2
относительного положения точек а и х. Вывести отсюда выражение полинома
Лежандра /г-го порядка, данное Якоби:
-я = -i f U
+ У* - 1 cos

120 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
19. Исследовать таким же образом определенный интеграл
rf|
J
о
J х — a -f- i/xi — 1 cos »
о
и вывести из результата формулу Лапласа:
(х -f- л/& — 1 cos ?)«+ *'
о
где г = ±1, в зависимости от того, будет ли действгительная часть переменного х
положительна или отрицательна.
20*. Вывести последнюю формулу, интегрируя функцию
1
Z"+ I j/i — 2XZ + ?2
вдоль окружности с центром в начале координат и неограниченно увеличивая
радиус этой окружности.
21*. Суммы Гаусса. Пусть будет Ts= е п (п и s — целые числа); обо-
обозначим через Sn сумму То-\- Т{ -f- ... -\- 7"„_?. Вывести формулу
е п
Применить теорему о вычетах к функции ?B)=-^ . , взяв интеграл
вдоль контура прямоугольника, образуемого прямыми дг = 0, х = n, y=-j-R,
у — —R, присоединив к нему две полуокружности, описанные из точек х = 0,
х = п радиусами, равными s, чтобы избежать полюсов 2 = 0, 2 =/г функции у (г);
затем неограниченно увеличивать число R.
22. Пусть будет /(г) функция, голоморфная внутри замкнутого контура Г,
содержащего точки а, Ь, с /; если a, [S 1 — целые положительные числа,
то сумма вычетов функции
относительно полюсов а,Ь,с, ...,/ есть многочлен F(x) степени a + ^ + ...+Х—1,
удовлетворяющий соотношениям:
=/(e), F'(a) = f'(a) Я«-0(„)=/(«-0(я),
= f(b), F'(b)=f'(b), ..., F(?-i)(b)=f?-i)(b),
При решении этой задачи можно исходить из соотношения:
1
(Г)
23*. Пусть будет /(г) функция, голоморфная внутри круга С с центром
в точке а. С другой стороны, пусть будет а{, а2, ... , ап, ... неограниченная по-
последовательность точек, лежащих внутри этого круга, причем при неограниченном

УПРАЖНЕНИЯ 12Г
возрастании числа п точка ап имеет пределом точку а. Для всякой точки z,
лежащей внутри кругл С, справедливо разложение:
где
Fn (*)=(* - «.) (z-at)...(z- an).
[Лоран, Journal de Mathemaliques, 5-я серия, т. VIII, стр. 325.] [При до-
доказательстве можно исходить из следующей формулы, которую легко проверить
1 1 1 х — ai ,, (х — ад • • • (х — an-i) i
z — x z —
и поступать так же, как при выводе формулы Тейлора.]
24. Пусть будет ze = a~\-bi корень и-го порядка уравнения f(x) — X +
-\-iV=0, причем функция f(z) вблизи этого корня голоморфна. Доказать, что
точка х = а, у = Ь есть кратная точка порядка п кривых ^;=0, К=0; каса-
касательные в этой точке к каждой из этих кривых образуют равноугольный пучок;
и лучи одного пучка суть биссектрисы углов, образуемых лучами другого.
25. Пусть будет /(г) = Х+ iY=Aoz'n^-Alz'"-i-{- ... А-Ат многочлен т-й
степени с произвольными коэфициентами. Доказать, что все асимптоты кривых
л
Х = 0, У=0 проходят через точку с аффиксом и расположены так, как
THAq
прямые в предыдущем упражнении.
26*. Даны две функции /(jc), F{x) переменного х; формула Лагранжа дает
разложение одной из них по степеням другой. Чтобы точнее формулировать
задачу, рассмотрим простой корень а уравнения F(x)=0 и предположим, что
обе функции f(x) и F{x) голоморфны в области точки а. В этой области мы
имеем:
Ft ч— х — а
Ч(х)
причем функция <?(х)— правильная при х = а, если а есть простой корень урав-
уравнения F(jc)=0. Если мы заменим F(x) через у, то предыдущее соотношение
можно представить в виде:
х — a — yif(x) = 0,
и мы приходим к вычислению разложения функции f(x) по степеням перемен-
переменного у.
Полученная формула часто ошибочно приписывается Бёрману (Burmann).
(См. Nielsen, Bulletin des Sciences mathematiques, 2-я серия, т. 48, 1924,
стр. 141.)
27*. Уравнение Кеплера. Уравнение z — а — е sin г — 0, где а и
е — положительные числа, а < к, е < 1, имеет один действительный корень, за-
заключающийся между 0 и я, и два комплексных корня, действительная часть
которых заключается между тп и (от+1)я, где т—положительное четное
или отрицательное нечетное число; но нет ни одного корня, действительная
часть которого заключалась бы между пк и (т -+- 1)п, если т есть положитель-
положительное нечетное или отрицательное четное число [Врио (Briot) и Буке, Theoriedes
fonctions elliptiques, 2-е издание, стр. 199].
[Рассмотреть кривую, описываемую точкою и — z—а — е sin z, когда пере-
переменное г описывает четыре стороны прямоугольника, образуемого прямыми дг = т-,
х = (т + 1)it, _у = +/?, у — — R, где R весьма велико].

122 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
28*. При очень больших значениях числа т оба корня уравнения предыду-
предыдущего упражнения, действительная часть которых заключается между 2/иг. и
Bт + 1)я, приблизительно равны
2|Яе + | + / ^о, B) + log Bm- + -J
[Г у р ь е (Gourier), Annales de VEcole Normale, 2-я серия, т. VII, стр. 73.]
29*. Обобщение формулы Лагранжа. Пусть f(z), <f(z) — функции
голоморфные в окрестности некоторой точки а, С — круг с центром в точке
а радиуса г такой, что вдоль окружности этого круга имеем:
h/(z)i + IM*)K'--
Уравнение
/>B) = *-в-
допускает внутри круга С один и только один корень Z. Всякая голоморфная
функция этого корня П(С) разлагается по степеням аир, исходя из формулы
II (q __ J_ Г Щг)ёг_
/•'@~2riJ z-a-afXi)-
которая дает на основании тех же рассуждений, как в § 302:
1—«/'(С)—
где предполагается, что индексы суммирования m и и не обращаются в нуль
одновременно. Полагая
П(г) = ФB)[1-<./'(г)-р?'(гI.
имеем также:
or/nRn //m + n—i ,
ф (Q = Ф (*) + S -L. rfa^^t { Ф' (в) [/(а)]« [, (а)]»},
предполагая попрежнему, что хотя бы одно из чисел от и и отлично от нуля.
30*. Н а х о ж д е н и е голоморфной функции по ее действи-
действительной части. Пусть
— функция, голоморфная внутри круга радиуса R с центром в начале координат.
Мы будем также писать, отделяя ее действительную часть и коэфициент мнимой
части:
Вдоль окружности круга Сг, концентрического с первым и имеющего радиус
г < R, Р и Q — непрерывные и периодические функции аргумента 9, и все коэфи-
циенты а{, я.2> ..., а„, ... выражаются с помощью интегралов, где присутствует
только действительная часть ЯгF) функции f(x) вдоль окружности Сг. Действи-
Действительно, на основании классических формул (§ 286), имеем:
1
а„т-.
= 27. J [Pr (
с другой стороны, в случае п > 0 имеем:
2-
( [Рг (в) -j- iQr @)] епЫdb = 0,

УПРАЖНЕНИЯ 123
так как этот интеграл совпадает с точностью до постоянного множителя с инте-
интегралом \ f{z) zn~l dz.
с
Предшествующее соотношение можно записать с заменой / на — /:
о
и следовательно, в случае п > 0:
2-
Щггп = \ Рг (в) в-яЛ db. A)
0
Это соотношение неприменимо в случае п = 0. Полагая
«о = Ро+«?о>
имеем:
2г 2-
B)
Эти формулы применимы также в предположении, что r = R, в случае если
функция f(x) непрерывна вдоль окружности круга радиуса R.
Пусть х = ре«? (р <_ г) — аффикс точки, внутренней к кругу Сг. Имеем:
+ ОО
г./(х) = т. (Ро + /Qo) + - ^ а„?«еяь,
tl — 1
что, на основании формулы A) и B), можно записать:
Ц
„=1
ввиду того, что ряд под знаком интеграла — равномерно сходящийся. Сумма
этого ряда равна
i-<?*(?-в)
Тр
где г =-дав есть Точка окружности круга Сг . Следовательно, окончательно:
2-
2zf(x) = 2ziQ0 +\pr (в) J±^ dO. C)
Ъ
Итак, голоморфная функция f(x) вполне определена внутри круга Сг,
если известно значение ее действительной части на контуре этого круга
и значение коэфициента при i в начале координат.
В частности, значение действительной части Р определяется в каждой точке,
внутренней к кругу Сг, с помощью значений, принимаемых ею вдоль контура
круга Сг {принцип Дирихле).

124 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
Исходя из формулы C), можно легко получить верхнюю границу модуля функ-
функции/^) во внутренней точке х. Когда z описывает окружность Сг,
Z — X
Г + X I
тается меньшим, чем = q. Следовательно, имеем в каждой внутренней
r—\x
точке круга С/.
I Pr (9) I м- D)
о
Пусть А (г) — максимум величины \РГ(®)\ вдоль окружности Сг. Очевидно,
что
2-
\'|Р,(в)|Л<2«Л(г),
о
и следовательно, также
Можно найти другую границу модуля \f{x)\. Пусть 31 (г) — не отрицательное
число, равное максимуму Яг(8) вдоль окружности круга Сг, в случае, если дей-
действительная часть положительна вдоль Сг, и равное нулю в случае, если в каж-
каждой точке окружности Сг имеем РГ(Ь)^О. Имеем на основании соотношений B):
2- 2-
В каждой точке, где Р ^ 0, имеем Р -\- \ Р ] = 0, а в точке контура Сг, где
Р > 0, величина Р-\-\Р\ не превосходит 2 31 (г). Следовательно:
2-
¦ро4-^| |P|d9 sg2 3l(r),
и
и поэтому
2-
причем равенство может иметь место лишь в случае, если 21(/-) = 0, т. е. в слу-
случае, если Р не принимает положительных значений вдоль контура Ст. Следова-
Следовательно, формула D) приводит к новому неравенству:
-Po]q. F)
Ясно, что эти неравенства остаются в силе, если в них заменить А (г) и 31 (г)
какими-либо большими числами. Так, в последнем можно заменить 31 (г) каким"-либо
положительным числом, превосходящим максимум функции Р вдоль контура Сг.
31*. Рекуррентные ряды. Пусть
— степенной ряд, в котором коэфициенты ы0, ы4 ит, ... образуют рекуррент-
рекуррентную последовательность, где п -\- 1 соседних членов ир, up+i «я+р связаны
Друг с другом линейным соотношением с постоянными коэфициентами
««+Р + а1и«+Р-1 + -.-+я„«р = 0 (апф0, /7 = 0,1,2,...), B)
позволяющим определить шаг за шагом все коэфициенты ряда A), если известны п
первых из них щ, и, un-i> которые могут быть выбраны произвольно. Со.

УПРАЖНЕНИЯ 123
отношение B) выражает, что коэфициент при дг«+Р (/>ЭгО) в произведении ряда
tp(jt) на многочлен степени п
/{х) = 1+а1Х + а,^+...+апх" C)
равен нулю. Следовательно, это произведение f (x)f(x) является многочленом $> (дг)
степени не выше п — 1. Обратно, если разложить в степенной ряд отношение
ту-т. где &(х) — многочлен с произвольными коэфициентами степени ниже п, то
J \х)
получается степенной ряд, в котором п -\-\ последовательных коэфициентов
удовлетворяют соотношению B).
Исходя из этого замечания, легко вывести общее выражение коэфициента ит
±
рекуррентного ряда. Пусть а, р, ... , X означают п корней уравнения /1 — J — 0.
Если эти корни различны, то рациональная дробь 77-( равна сумме простых
дробей
А . В ,
f{x) 1 —av" 1 — fx^ ' ' ' ^ 1 — ).лг'
и коэфициент при х" разложения в ряд есть
ит — Аат + ?$">-{- ... +Пт. D)
Если а есть корень уравнения / ( — ) = 0 кратности г, то следует заменить
\ х 1
А 1
-. многочленом степени г—1 относительно -. , коэфициенты которого
1 — cur 1 — ад: г
могут быть выбраны произвольно, а коэфициент при хт в разложении имеет
вид amPr_i(m), причем Яг_1 (/и) — многочлен степени г—1 с . произвольными
коэфициентами.
Если соотношение B) применимо лишь в случае р^здХ), то д первых
членов ряда у(дг) образуют многочлен Р(х) с произвольными коэфициентами,
() Р()
?(*) (х)
и ряд 1±-± — входит в состав только что изученного класса рядов.

ГЛАВА XV.
ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ.
Первая часть этой главы посвящена доказательству общих теорем
Вейерштрасса* и Миттаг-Леффлера (Mittag-Leffler) о целых функциях,
и об однозначных функциях, имеющих бесконечное множество особых
точек. В 'последующем эти теоремы применены к эллиптическим функ-
функциям. Невозможно изложить эту теорию сколько-нибудь полно на не-
небольшом числе страниц; поэтому мы ограничились лишь указанием
в общих чертах самого существенного, с тем, чтобы читатель мог соста-
составить представление о важном значении этих функций. Для тех, которые
пожелали бы глубже изучить эллиптические функции или научиться их
применять, общий курс анализа недостаточен; они необходимо должны
будут обратиться к специальным курсам.
I. ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА. ТЕОРЕМА
МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА.
308. Выражение целой функции через ¦ произведение первичных мно-
множителей. Всякий многочлен /и-й степени равен произведению постоян-
постоянного и т множителей вида х— а, равных или неравных между собою;
из этого разложения видны корни этого многочлена. Эйлер первый по-
получил для sin z аналогичное разложение в бесконечное произведение, но
множители этого произведения, как мы ниже увидим, — второй степени
относительно г. Коши нашел, что в некоторых случаях приходится
присоединить к каждому из биномиальных множителей вида х — а
соответственный показательный множитель. Но Вейерштрасс первый
изучил вопрос во всей общности, показав, что всякую целую функцию,
имеющую бесконечное множество корней, можно выразить через про-
произведение бесконечного множества множителей, каждый из которых
обращается в нуль только при одном значении переменного.
Нам уже известна целая функция, не обращающаяся в нуль ни при
каком значении переменного г, именно: е2; тем же свойством обладает
функция ее^, где g{z) — многочлен или целая функция. Обратно, вся-
всякая целая функция, не обращающаяся в нуль ни при каком значении
переменного г, имеет предыдущий вид. В самом деле, если целая функ-
функция О (г) не обращается в нуль ни при каком значении переменного г,.
. Теоремы Вейерштрасса, изложенные ниже, были опубликованы в его мемуаре „Zur Theorie:
der eindentigen aualytfechen Funktionen" (Abhandlungen der Akademte zu Berlin, 1876). Пикар дал
перевод этого мемуара. просмотаенный и дополненный Вейерштрассом, в Annales йе I'Ecole Nor-
mate suptrleure, 2-я серия, т. ЛЯП, стр. 111—150 A870). Исследования Миттаг-Леффлера собран»
в мемуаре в Ada Mathemaiica, т. IV.

§ 308 I. ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА 127
, Q{z)
то всякая точка z = a есть обыкновенная точка частного -~г^ , кото-
G{z)
рое, следовательно, есть также некоторая целая функция g1{z):
интегрируя обе части между пределами z0 и 2, получим:
где g(z)—также целая функция от z, и мы имеем:
) = е *<г>
Полученный результат — искомого вида.
Если целая функция G (г) имеет только п корней аг, а2, ... , ап,
различных или совпадающих, то очевидно, что функция G(z) имеет
вид:
G (г) = (z — аг) B — a2)...(z — an) ее(г).
Рассмотрим теперь случай, когда уравнение G (z) = 0 имеет беско-
бесконечное множество корней. Так как корней с модулем, меньшим или
равным любому числу /?, может быть только конечное число (§ 292),
то, если мы расположим эти корни в таком порядке, чтобы их модули
никогда не убывали, каждый из корней займет определенное место
в получившейся последовательности:
аг, а2, ... , а„, ая+1, ... , A).
где |ая|^|а„+]| и где \ап\ неограниченно возрастает вместе с ука-
указателем п. Мы предположим, что каждый из этих корней входит в
последовательность A) столько раз, каков его порядок кратности, и
что в нее не входит корень 2 = 0, если G@) = 0. Покажем сначала,
как можно составить целую функцию G: (z), имеющую корнями все
члены последовательности A) и не имеющую других корней.
Произведение A \eQ^z\ где Qv (г) обозначает многочлен, есть
целая функция, обращающаяся в нуль только при z = an. Мы возьмем
за Qv (г) многочлен v-й степени, который определим следующим обра-
образом. Мы можем представить предыдущее произведение в виде:
если мы заменим Log I 1 —— I его разложением в целый ряд, то раз-
\ ап I
ложение показателя начнется с члена (v -\-1 )-й степени, если мы примем:

128 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 308
Число v еще не определено. Покажем, что всегда можно выбрать это
число v в функции от п таким образом, чтобы бесконечное произве-
произведение
было абсолютно и равномерно сходящимся во всяком круге С с ра-
радиусом /? и с центром в начале координат, как бы ни было велико R.
Зададим число /?; пусть будет а положительное число, меньшее еди-
единицы. Выделим в произведении B) множители, соответствующие тем
корням ап, модуль которых не превосходит числа — . Если есть q
корней, удовлетворяющих этому условию, то очевидно, что произведе-
произведение q множителей
я
'¦<•-"(•-/:)¦
представляет целую функцию от z. Рассмотрим произведение множи-
множителей, начиная с (q-{-\)-ro:
+ 00
FAz)= П fl-.
Если z остается внутри круга с радиусом, равным ./?, то
и так как при п ^> q мы имеем | ап \ ]> — , то отсюда следует, что
| z |<^ а | ап |. Из того, как выбран многочлен Qv(z), следует, что каж-
каждый множитель этого произведения можно представить в виде:
•Обозначая этот множитель через \-\-ип, имеем:
1_ /_г у + » 1_ /г_у + 2_
и ___е > + Л«/ v + 2Va-' '" J
Задача приводится к доказательству того, что при соответственном вы-
выборе числа v ряд с общим членом (Jn=\un\—равномерно сходящийся
в круге с радиусом R (т. I, § 167). Вообще, если т есть какое-нибудь
действительное или мнимое число, то
\ет 1 \ ^ р\т\ 1.
следовательно, $¦ fortiori:

§ 308
I. ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА
129
или, замечая, что при \z\<^R мы имеем |гг|-<[а|ая
1
»+ 1 i an
> 1
1 -^
Но если x есть действительное положительное число, то ех— 1 мень-
меньше, чем хе"; поэтому, тем более:
1
и*< Ч-1
1 7Х-Т
1
1 —а
V+1
1
Чтобы ряд с общим членом Un был равномерно сходящимся в круге
с радиусом, равным R, достаточно, чтобы был равномерно сходящимся
z
ряд, общий член которого есть
. Если есть такое целое число р,
чтобы ряд
1
был сходящимся, то достаточно взять у=р—1.
Если нет целого числа р, обладающего этим свойством*, то достаточно
взять v = «—1. В самом деле, ряд с общим членом
—• равно-
равномерно сходящийся в круге с радиусом, равным R, так как его члены
меньше, чем члены ряда "V
R
/?
, и корень /г-й степени из общего чле-
члена этого ряда, равный —, при неограниченном возрастании п стре-
стремя
мится к нулю**.
Следовательно, всегда можно выбрать такое целое число v, чтобы
бесконечное произведение было абсолютно и равномерно сходящимся
в круге с радиусом, равным R; это произведение можно заменить сум-
суммою равномерно сходящегося ряда (т. I, § 167), все члены которого
суть голоморфные функции. Следовательно, это произведение F2(z)
само есть функция, голоморфная в том же круге (§ 290). Умножая F2 (z)
на произведение F-, (z), содержащее только конечное число голоморф-
голоморфных множителей, мы получим бесконечное произведение:
* Пусть будет, например, an=\ogn (п2== 2). Ряд с общим членом (log л)—Р — расходящийся,
каково бы ни было положительное число р, так как сумма его (л — 1) первых членов больше, чем
^ , а это выражение неограниченно возрастает вместе с п.
(log п)Р
•* Борель заметил, что достаточно взять за ч такое число, чтобы v -f-1 было больше, чем
log я. В самом деле, ряд
— — сходящийся, так как общий член можно представить
в виде е '
! IOg I
= я 1ог Р-
1
ство — "- будет больше, чем е*, и общий член — меньше, чем —г
/< л5
9 Э. Гуроа, т. II, ч. 1.
. Начиная с достаточно большого значения числа п, количе-

130 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 30»
которое, очевидно, само абсолютно и равномерно сходящееся в круге С
с радиусом, равным R, и представляет в этом круге голоморфную функ-
функцию. Так как радиус R может быть взят произвольно, и число v не
зависит от этого радиуса, то это произведение есть целая функция
Gj (z), имеющая корнями различные члены последовательности A), и
притом только их.
Если, сверх того, целая функция G(z) имеет нулем порядка р точ-
G(z)
ку 2 = 0, — частное есть аналитическая функция, не имеющая
во всей плоскости ни полюса, ни нуля. Следовательно, это есть целая
функция вида ezW, где g(z)— многочлен или целая функция, и мы
имеем для функции О(г) выражение вида:
П (l — — )e<?v«. D)
Целую функцию g(z), в свою очередь, можно заменить бесконечным
множеством способов суммою равномерно сходящегося ряда много-
многочленов:
и предыдущую формулу можно еще представить в виде:
+ ОО
множители этого произведения, каждый из которых обращается в нуль
только при одном значении переменного z, называются первичными
множителями.
Так как произведение D) — абсолютно сходящееся, то первичные
множители можно располагать в любом порядке или по произволу
соединять их между собою. В этом произведении, когда установлен
закон выражения числа v в функции от п, многочлены Qv(z) зависят
только от соответствующих корней; но показательные множители e^z>
не могут быть определены, если известны только корни функции G (г).
Рассмотрим, например, функцию sinnz, имеющую простыми корнями
все целые положительные или отрицательные числа. В этом случае ряд
i I 2
^ — —сходящийся; следовательно, можно взять v=l, и функция
где знак (') справа от II показывает, что указатель и не может иметь
значения нуль*, имеет те же корни, как и sinnz. Следовательно,
simiz — esW G (z), но из предыдущего рассуждения мы не можем опреде-
определить множитель е*<г). Ниже мы докажем, что этот множитель равен тс..
* В случае если в какой-либо формуле это исключение должно быть принято во внимание
мы напоминаем о нем. сопровождая знаком ' знак произведения или суммы, "

§ 309—310 I. ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА 131
309. Род целой функции. Пусть будет дана какая-нибудь бесконеч-
бесконечная последовательность а7, а2 , ... , ап, ... , где | ап \ неограни-
неограниченно возрастает вместе с п. Мы только что видели, как можно со-
составить бесконечное множество целых функций, имеющих нулями все
члены этой последовательности и не имеющих других нулей. Если су-
существует такое целое число р, что ряд 5]|я:я|~-р— сходящийся, то
все многочлены Qv(z) можно взять (р—1)-й степени. Пусть будет дана
целая функция вида:
л=1
где P(z) есть многочлен не выше (р—1)-й степени; число р— 1 на-
зывается родом этой функции. Так, функция |~[ A j 1—нулевого
л=1 ^ '
sin nz
рода; приведенная выше функция первого рода. Изучению ро-
тг
да целых функций за последнее время посвящено большое число ра-
работ*.
310. Однозначные функции с конечным числом особых точек. Если
однозначная функция F(z) имеет на всей плоскости только конечное
число особых точек, то эти особые точки суть необходимо изолиро-
изолированные особые точки; это — полюсы или изолированные существенно
особые точки. Точка г=оо также есть обыкновенная точка или изо-
изолированная особая точка (§ 303). Обратно, если однозначная функция
имеет во всей плоскости, включая и бесконечно удаленную точку,
только изолированные особые точки, то этих особых точек будет
конечное число. В самом деле, бесконечно удаленная точка есть обык-
обыкновенная точка функции или изолированная особая точка; в обоих
случаях можно описать круг С настолько большим радиусом, чтобы
вне этого круга функция не имела другой особой точки кроме самой
бесконечно удаленной точки. Внутри круга С функция может иметь
только конечное число особых точек; в самом деле, если бы она име-
имела их бесконечное множество, то была бы, по крайней мере, одна пре-
предельная (§ 292), и эта предельная точка не была бы изолированною
особою точкою. Таким образом однозначная функция, имеющая только
полюсы, имеет их конечное число, так как полюс есть изолированная
особая точка.
Всякая однозначная функция, правильная при всяком конечном
значении переменного г и при г=оо, сводится к постоянному. В са-
самом деле, если бы эта функция не сводилась к постоянному, то, так
как она правильная при всяком конечном значении переменного z, она
была бы многочленом или целою функциею, и бесконечно удален-
удаленная точка была бы для этой функции полюсом или существенно осо-
особою точкою.
¦ См. работу Б орел я, Le?ons sur les fonctions entieres A900) и работу Блюме нталя
(Blumenthal), Sur les fonctions entieres de genre infini A910).

132 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 310—311
Пусть будет FB) однозначная функция, имеющая п различных осо-
особых точек flj, а2, ..., ап, лежащих на конечном расстоянии; пусть
будет Gl ( I главная часть разложения функции F(z) в области
\z at]
точки а{, где G{ есть многочлен или целая функция. В обоих случаях
эта главная часть — правильная при всяком значении переменного z,
включая г = оо, кроме z = at. Далее, пусть будет P(z) главная часть
разложения функции F(z) в области бесконечно удаленной точки;
P(z) есть нуль, если бесконечно удаленная точка есть обыкновенная
точка функции F(z). Разность
i-1
очевидно, — правильная при всяком значении переменного z, включая и
z = oo; следовательно, она равна постоянному С, и мы имеем ра-
равенство*:
и
/ 1 \
V С. E)
Отсюда следует, что функция F(z) вполне определена до прибавоч-
прибавочного постоянного, если известны главные части в области каждой осо-
особой точки. При этом эти главные части, равно как и особые точки,
могут быть выбраны произвольно.
Если все особые точки суть полюсы, то главные части Gt суть
многочлены; Р(г), если оно отлично от нуля, есть также многочлен,
и правая часть формулы E) приводится к рациональной функции. Так
как, с другой стороны, однозначная функция, у которой особые точки
суть только полюсы, имеет их конечное число, то отсюда следует, что
однозначная функция, все особые точки которой суть полюсы, есть
рациональная дробь.
311. Однозначные функции с бесконечным множеством особых то-
чек. Если однозначная функция имеет бесконечное множество особых
точек в конечной области, то существует по крайней мере одна пре-
предельная точка, лежащая внутри или на границе этой области. Например,
функция г-имеет полюсами все корни уравнения sin (—J = 0, т. е.
sin —
z
все точки z= — , где k — любое целое число; точка z = 0 есть
* К формуле E) можно еще притти, приравнивая нулю сумму вычетов функции
1
еде z я z0 рассматриваются как постоянные, а х — как переменное (см. § 303).

§311-312 ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА 133
предельная точка. Функция —-—- также имеет особыми точками
sin
sin —
z
точ-
. /1\ ' 1
все корни уравнения sin —) = — среди которых находятся все
\ 2 J Ait
ки z = -— , где k и k! — произвольные целые числа.
2fe'ir + arcsin(^Lj
Все точки —-г- суть предельные точки, так как при k' постоянном и
Лк IT
при неограниченном возрастании числа k предыдущее выражение имеет
пределом , . Нетрудно было бы составлять все более и более слож-
сложные примеры того же рода, увеличивая число знаков синуса. Суще-
Существуют также, как мы увидим несколько ниже, функции, имеющие осо-
особыми точками все точки некоторой линии.
Может случиться, что однозначная функция имеет только конечное
число особых точек во всякой конечной части плоскости, хотя во всей
плоскости она их имеет бесконечное множество. В этом случае вне
круга С, как бы ни был велик его радиус, всегда существует беско-
бесконечное множество особых точек, и мы будем говорить, что бесконечно
удаленная точка есть предельная точка. В следующих параграфах мы
займемся рассмотрением однозначных функций с бесконечным множе-
множеством изолированных особых точек, имеющих единственною предель-
предельною точкою бесконечно удаленную точку.
312. Теорема Миттаг-Леффлера. Если во всякой части плоскости,
лежащей на*'конечном расстоянии, есть только конечное число особых
точек, то, как это было уже указано для нулей целой функции, можно
расположить эти точки в последовательность
а1, а2, ... , ап, ... F)
таким образом, чтобы было .lajsg | ая+1 |; очевидно, что )ап\ неогра-
неограниченно возрастает вместе с п. Мы можем предположить, сверх того,
что все члены этой последовательности различны. Для каждого чле-
члена at последовательности F) возьмем соответствующий многочлен или
целую функцию Qt I 1 от , причем мы можем выбрать эти
\Z — Gjl Z й[
функции совершенно произвольно. Теорему Миттаг-Леффлера можно
выразить следующим образом:
Существует однозначная аналитическая функция, правильная при
всяком конечном значении переменного z, не входящем в состав по-
последовательности F), главная часть которой в области точки

134 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 312
Для доказательства этого предложения мы покажем, что к каждой
функции
можно присоединить такой многочлен P(z), чтобы ряд
+О0
определял аналитическую функцию, обладающую этими свойствами.
Если точка z = О входит в состав последовательности F), то мы
примем соответствующий многочлен равным нулю. Для каждой из осталь-
остальных точек at выберем такое соответствующее положительное число е/,
чтобы ряд 5js/ ^ыл сходящимся; обозначим через а. положительное
число, меньшее единицы. Пусть будет Ct круг с центром в начале ко-
координат, проходящий через точку а,, и С{' — круг, концентрический
с предыдущим, радиус которого равен а\а{\. Так как функция
голоморфна в круге Ct, то во всякой точке, лежащей внутри этого
круга, мы имеем:
Целый ряд, стоящий в правой части,—равномерно сходящийся в кру-
круге С/ ; следовательно, можно найти настолько большое целое число v,
чтобы внутри С/ было
G, ( ) — a, —a z — ... — а.
\z — al
Определив число v таким образом, возьмем за Рг(г) многочлен
Пусть будет теперь С круг с радиусом, равным /?, и с центром
в точке г = 0. Выделим из последовательности F) те особые точки at,
п
модуль которых не превосходит числа —. Если число этих точек рав-
а
но q, то мы положим:
Оставшийся ряд
+ оо
ч
F2 (z) =

§ 312 ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА Ш
— абсолютно и равномерно сходящийся в круге С, так как во всякой
точке, взятой внутри этого круга, мы имеем \z\<^R<^a\at\, 'если
указатель i больше q, и на основании неравенства G) и того, как
выбран многочлен Pt(z), модуль общего члена второго ряда меньше,
чем s/; если z лежит внутри С. Следовательно, функция ^(^—го-
^(^—голоморфная в этом круге, и очевидно, что, присоединяя к ней Fj (z),
мы получим сумму:
+ оо
=1
имеющую в круге С те же особые точки, как и /Г, (z), с теми же глав-
главными частями. Но эти особые точки суть именно члены последователь-
последовательности F), модуль которых меньше R, и главная часть в области точ-
о,' '
z—
Так как радиус R произволен, то отсюда следует, что функция F(z)
удовлетворяет всем требуемым условиям.
Очевидно, что если мы прибавим к F(z) многочлен или какую-
нибудь целую функцию G(z), то сумма F(z)-\-G(z) будет иметь те
же особые точки, как и F(z), с теми же главными частями. Обратно,
мы имеем, таким образом, общее выражение однозначных функций,
имеющих данные особые точки с соответствующими главными частя-
частями, так как разность двух подобных функций, будучи правильною при
всяком конечном значении переменного z, есть многочлен или целая
функция. Так как функцию G(z) можно, в свою очередь, представить
суммою многочленов, то, следовательно, функция F(z)-\-G(z) сама
может быть представлена суммою ряда, каждый член которого мы по-
получим, прибавляя к главной части
— "//
соответствующий многочлен.
Если все главные части G{ суть многочлены, то функция мероморф-
на во всякой области плоскости, лежащей на конечном расстоянии, и
обратно. Таким образом мы видим, что всякую мероморфную функцию
можно представить суммою ряда, каждый член которого есть рацио-
рациональная дробь, обращающаяся в бесконечность только при некотором
конечном значении переменного. Это представление аналогично разло-
разложению рациональной дроби на простые элементы. Точно так же вся-
всякую мероморфную функцию Ф (z) можно представить йак частное двух
целых функций. В самом деле, предположим, что полюсы функции
Ф (z) суть члены последовательности F), каждый из которых считается
столько раз, какова его степень кратности. Пусть будет G{z) целая
функция, имеющая эти точки нулями. Произведение Ф(г)в(г) не

136 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 312-313
имеет более полюсов; следовательно, это — целая функция G1{z), и
мы имеем равенство:
, , . О, (z) .
313. Исследование некоторых частных случаев. Предыдущее доказа-
доказательство общей теоремы не всегда дает самый простой способ соста-
составления однозначной функции, удовлетворяющей требуемым условиям.
Предположим, например, что требуется составить функцию Ф (z), име-
имеющую полюсами первого порядка все точки последовательности F),
причем вычет равен единице; мы предположим, что 2 = 0 не есть по-
полюс. Главная часть, соответствующая полюсу at, есть • , и мы
z at
имеем:
1 1 z г''-* , 1
a. at2
если мы возьмем
то задача приводится к определению целого числа v в функции указа-
указателя i таким образом, чтобы ряд
+ ОО + ОО
(
— at\at
V
/=i I 1 ~ I
V ail
был абсолютно и равномерно сходящимся во всяком круге с центром
в начале координат, если откинуть достаточное число начальных чле-
нов. Попрежнему достаточно, чтобы ряд V I —) сам был абсо-
абсоV I —)
б
лютно и равномерно сходящимся в той же области. Если существует
такое число р, что ряд
1
р
— сходящийся, то достаточно взять
ч=р—1. Если нет целого числа, обладающего этим свойством, то,
как выше (§ 308), можно взять v = /—1 или v-)-l]>log''- Выбрав
надлежащим образом число v, мы получим мероморфную функцию
+ оо
Уъ+±+$+ •••+?]¦ <9>
имеющую полюсами первого порядка все точки последовательности F)
с вычетами, равными единице.
Отсюда нетрудно вывести другое доказательство теоремы Вейер-
щтрасса о разложении целой функции на первичные множители. В са-
самом деле, ряд (9) можно интегрировать почленно вдоль любого пути,"
не проходящего ни через один из полюсов, так как, если этот путь

§ 313 ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА 137
заключен в круге С с центром в начале координат, то ряд (9) можно
заменить рядом, равномерно сходящимся в этом круге, к которому
прибавлена сумма конечного числа мероморфных функций [это выте-
вытекает из самого доказательства формулы (9)]. Интегрируя и приняв точ-
точку z = 0 за нижний предел, получим:
О 1 = 1
и, следовательно,
Гф(г)Лг +ОО / \ ? + -?!+... + —
~П \ а.)
1=1 х "
Нетрудно проверить, что левая часть формулы A0) есть целая функ-
функция от z. В области значения z = a, не входящего в последователь-
z
% J" Ф (г) 6г
ность F), интеграл \<&(z)dz — голоморфный; функция е° —так-
о
же голоморфная и отлична от нуля при z = а. В области точки at
мы имеем:
Z
J Ф (z) dz = Log (z — a^\Q{z — a.),
о
г
J Ф (z) dz
где функции Р и Q голоморфны. Мы видим, что эта целая функция
имеет корнями члены последовательности F), и формула A0) тожде-
тождественна с формулою C), выведенною выше.
То же доказательство можно применить и к целым функциям, имею-
имеющим кратные корни. Если а1 есть кратный корень порядка г, то до-
достаточно [предположить, что Ф\(г) имеет полюс z = at с вычетом, рав-
равным г.
Составим еще мероморфную функцию, имеющую полюсами второго
порядка все точки последовательности F), причем главная часть в обла-
/ 1 \2
сти точки at есть I I . Предположим, что г = 0 есть обыкно-
обыкновенная точка, и что ряд
1
сходящийся; очевидно, что будет

138 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 313—314
1
сходящимся и ряд
. Ограничивая разложение дроби
по степеням переменного z его первым членом, получим:
1 _ 2atz — z2 __
{z — otf а? аДг —в,У
Ряд
+ оог , , п +оо _
К*-»1Г -г ш /~Г- A1)
представит решение задачи, если только он будет равномерно сходя-
сходящимся во всяком круге С с центром в начале координат, не считая
достаточного числа начальных членов. Но если, мы возьмем члены ряда,
происходящие от тех полюсов ап для которых \а, > —, где /? — ра-
л
диус круга С и а — положительное число, меньшее единицы, то мо-
/ z \ ~я
дуль, количества A I будет меньше некоторой границы, и на
основании предположений, сделанных относительно полюсов at, ряд
2z z"- , л
с общим членом —, будет абсолютно и равномерно сходящимся
а,* а*
в круге С-
314. Способ Коши. Когда дана мероморфная функция F(z), то, поль-
пользуясь теоремою Миттаг-Леффлера, можно составить ряд с рациональными
членами, сумма которого F-, (z) имеет те же полюсы, как и F(z), с те-
теми же главными частями. Но остается еще найти целую функцию, рав-
равную разности F(z) — F1(z). Задолго до работ Вейерштрасса Коши вы-
вывел из теории вычетов способ разложения мероморфной функции на
бесконечное множество рациональных членов при некоторых весьма
общих предположениях относительно этой функции. Впрочем, нетрудно
представить его метод в еще более общем виде.
Пусть будет F(z) мероморфная функция, правильная в области на-
начала координат; пусть будет, далее, Сг, С2, ..., Сп, ... бесконеч-
бесконечная последовательность замкнутых контуров, окружающих точку z = 0,
не проходящих ни через один из полюсов и таких, что, начиная с до-
достаточно большого значения числа л, расстояние от начала координат
до любой точки контура Сп остается больше всякого данного числа.
•Очевидно, что любой полюс функции F{z) будет, наконец, заключен
внутри всех последовательных контуров Сп, Ся+1 , ... , если только
п достаточно велико. Определенный интеграл
J
(Сп)

§ 314 ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА 139
где х есть любая точка, лежащая внутри контура Сп и отличная от
полюса, равен F{x), сложенному с суммою вычетов относительно раз-
различных полюсов функции F(z), лежащих внутри Сп. Пусть будет ak
один из этих полюсов; соответствующая главная часть Gkl 1
есть рациональная функция, и в области точки ак мы имеем:
В области этой точки мы имеем также:
1 11 г — ак
z — x (x — ak) — (z — ak) х — ак (х—ак)* (х—ак)*^"-'
составив произведение, мы видим, что вычет функции относи-
относительно полюса ак равен
Л л л
(х — ак)т
Следовательно, мы имеем соотношение:
Z — X
"" (Сп)
где знак J. обозначает, что сумма распространена на все полюсы ак,
лежащие внутри контура Сп. С другой стороны, мы можем заменить
1
через
Z X
1 г зеР 1 /г
— 4-— +. +— 1 L_(^
z ' z2 zP+1 z — х\ z
и представить предыдущую формулу в виде:
п (ЗД
(Сп) (Сп)
1 С F(z) dz
Интеграл -kzj \ —— равен F@), сложенному с суммою выче-
тов функции — F(z) относительно полюсов функции F(z), лежащих

140 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 314
1 Г F(z) dz
внутри Ся. Воооще, определенный интеграл — — \ — равен
(сп)
р(г-1) @)
сложенному с суммою вычетов функции z~rF(z) отно-
L2... (г— 1)'
сительно полюсов функции F(z), лежащих внутри Сп. Если мы обо-
обозначим через s^~^ вычет функции F(z)z~r относительно полюса ak,
то мы можем представить формулу A3) в виде:
= /Ч0) + -*Я@)
с„
Чтобы иметь верхнюю границу дополнительного члена, представим
его в виде:
C dz
'х«- 2га J zp г(г-х) '
Предположим, что вдоль Сп модуль отношения • остается меньшим
некоторого числа М, и модуль | z | большим, чем 8. Так как число и
должно неограниченно возрастать, то мы можем предположить, что мы
взяли его настолько большим, чтобы было 8^>|дг|; тогда вдоль Сп мы
будем иметь:
1
Z — X
1
Ъ — \х
Следовательно, если Sn есть длина контура Сп, то
\Яп\< 2тг мЬ(ЬЛ\Х\) •
Мы можем утверждать, что при неограниченном возрастании числа л
этот дополнительный член стремится к нулю, если можно найти по-
последовательность замкнутых контуров Сг, С2, ... , Сп, ... и целое
положительное число р, удовлетворяющее следующим условиям:
1. Вдоль всех этих контуров модуль выражения F(z)z~p остается
меньшим некоторого постоянного числа М. с
2. Когда п неограниченно возрастает, отношение -у длины конту-
контура Сп к наименьшему расстоянию 8 от начала координат до точек
этого контура остается меньшим некоторой границы L.
Если эти условия удовлетворяются, то \Rn\ остается меньшим част-
частного от деления некоторого постоянного числа на число 8—\х\, не-

§ 314—315
ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА
141
ограниченно возрастающее вместе с п. Следовательно, этот остаточный
член Rn стремится к нулю, и мы имеем в пределе:
..+ x"
1 • Z . . . р
„
Таким образом функция ^(л:) разложена в сумму бесконечного мно-
множества рациональных членов. Порядок, в котором они следуют друг
за другом, определяется законом следования контуров Сг, С2, ...
... , Сп, ... Если полученный ряд — абсолютно сходящийся, то мы
можем брать их в любом порядке.
Примечание. Если бы точка z = 0 была полюсом функции F(z) с глав-
главною частью G I — J, то достаточно было бы применить предыдущий метод к
функции F (z) — G ( — J.
315. Разложение ctg x и sin а;. Применим этот метод к функции
F(z)=ctgz , имеющей полюсами первого порядка точки z — kir,
где k есть любое целое число, отличное от нуля, с вычетом, равным
единице. Возьмем за контур Сп квадрат, на-
например ВСС'В' (черт. 64) с центром в начале
координат, стороны которого параллельны
осям координат и имеют длину 2лтс -|- п. На
этом контуре не лежит ни одного полюса, и
отношение длины Sn к наименьшему расстоя-
расстоянию 8 от начала координат до точек кон-
контура постоянно и равно 8. Квадрат модуля
функции ctg(x-\-iy) равен
2 cos 2x
в'
с
0
У
пп
В
с
е-2у—2 cos 2* '
Черт. 64.
На сторонах ВС и В'С мы имеем cos 2х = — 1, и модуль меньше еди-
единицы. На сторонах ВВ' и СО квадрат этого модуля меньше, чем
e-iy _|_ 2 _ /1 -j- е~
?y2 \l
в этой формуле надо заменить 2у через + Bл-\-1) тг, и мы видим,
что при неограниченном возрастании числа п полученное выражение
стремится к единице. Так как при неограниченном возрастании числа п
модуль функции — вдоль Сп стремится к нулю, то отсюда следует,
Z
что модуль функции Gbgz иа контуре Сп остается меньшим неко-

142 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 315
торого постоянного числа М, каково бы ни было число п. Следова-
Следовательно, к этой функции можно применить формулу A5), положив р = 0.
Мы имеем здесь:
х=о\ л: sin л:
1 1
и s^\ представляющее вычет функции —ctg z для полюса &гт,
равно -г- . Таким образом:
dgx - = lim Y](—l—-)-^), A6)
— n
причем значение k = 0 должно быть исключено при суммировании. Не-
Неограниченно увеличивая число п, мы получим ряд, который будет абсо-
абсолютно сходящимся, так как его общий член можно представить в виде:
1 , 1 х \__ х
х — kn ' kn kn (kn — x) ?2Tt2
и модуль множителя остается меньшим некоторой границы,
если только л: не есть кратное числа п. Следовательно, окончательно
мы имеем:
+
\ — ku ' kit
с»
A7)
Интегрируя обе части этого соотношения вдоль пути, выходящего
из начала координат и не проходящего ни через один из полюсов,
получим:
отсюда находим:
+ °° I \ х
Множитель «*'* равен здесь единице. Если в ряде A7) мы соединим по-
попарно члены, содержащие противоположные значения числа к, то получим
формулу:
+ ОО

§ 315 ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА 143
Точно так же, соединяя попарно множители произведения A8), соответствую-
соответствующие противоположным значениям числа k, мы получим другую формулу *:
+ ОО
1
заменяя в ней х через jut, мы можем представить ее еще иначе:
+ ОО
sin яде
in ъх П /, -v2 \
Различные замечания. 1. Из последних формул ясно видна перио-
периодичность функции sinx, тогда как ее нельзя непосредственно усмотреть из раз-
разложения этой функции в целый ряд. В самом деле, мы видим, что есть
предел при п, стремящемся к бесконечности, многочлена:
TeC*)=(l_?)(l-^
изменяя х в х-\-1, получим:
. , ,. . . п -\-1 -\- х
?„(-*+!)=-?„(•*)—~Т~ '
отсюда при неограниченном возрастании числа п находим sin (юг + я) = — sin юг,
или sin (z -f t) = — sin г, и следовательно,sin (z + 2z) = sin z.
1. На этом частном примере нетрудно видеть необходимость присоединения
к каждому биномиальному множителю вида 1 соответственного показатель-
ak
ного множителя, чтобы произведение было абсолютно сходящимся. Предположим
для определенности, что х действительно и положительно.
Так как ряд / . расходящийся, то произведение
неограниченно возрастает вместе с т, тогда как произведение
при неограниченном возрастании числа п стремится к нулю (т. I, § 168). Если
г, ъ sin кх
мы возьмем т = п, то произведение PmQm имеет пределом ; но если т и
w возрастают независимо одно от другого, то предел этого произведения совер-
совершенно неопределенный. В этом нетрудно убедиться, каково бы ни было значение
переменного х, воспользовавшись первичными множителями Вейерштрасса. За-
Заметим предварительно, что бесконечные произведения
+ ОО
+ оо
F,(x)= П
п =1
, , sin it.v
оба — абсолютно сходящиеся, и их произведение равно .
* Это разложение sin .v в бесконечное произведение принадлежит Эйлеру, получившему его
элементарным путем („Introductio in Analysin infinitorum").

144 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 315
Мы можем представить произведение PmQn в следующем виде:
ч=\
Если числа тип неограниченно возрастают, то произведение всех множителей
правой части без последнего множителя имеет пределом
Что касается последнего множителя, то мы видели, что выражение
14- Х 4- +-L-1-1 -1
имеет пределом logeo, где <в .есть предел отношения — (т. I, § 153). Следова-
,-. ^ sin tx г \п« и,
тельно, произведение PmQn имеет пределом е в : мы видим, что этот
предел зависит от того закона, по которому неограниченно возрастают оба чис-
числа т и п.
3. Такие же замечания можно сделать относительно разложения ctgjc. Мы
покажем только, как можно вывести периодичность этой функции из ряда A7).
Заметим сначала, что ряд с общим членом
1 1 1
кг. (А — 1)тс k{k — 1)в'
где указатель k принимает все значения от — с» до 4- оо, кроме значений /Ь=0,
2
к = 1, — абсолютно сходящийся, и его сумма равна , как в этом можно
убедиться, изменяя к сначала от 2 до + °°. а потом от — 1 до — оо. Следова-
Следовательно, мы можем представить разложение ctgx в виде:
_ 1 1 1 t?^ Г 1 1 1
gX~ х+х — г. тЛ 1* [x — kr. +(ft_l)K '
— оо
где значения k = 0, k—1 должны быть исключены при суммировании. Мы по-
получим это разложение, вычитая из каждого члена ряда A7) соответствующий
член сходящегося ряда, составленного из только что приведенного ряда, сложен-
2
ного с — . Изменяя х в х 4- ~, получим:
4- ОО
или иначе
+ОО
где k—1 принимает все целые значения кроме значения нуль. Мы видим, что
Правая часть последней формулы тождественна с разложением ctgx.

§ 316
II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИБ ФУНКЦИИ
145
II. ДВОЯКОПЕРЙОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
316. Периодические функции. Разложения в ряды. Аналитическая
однозначная функция f(z) называется периодическою, если есть такое
число со, действительное или комплексное, что при всяком z имеет
место соотношение /(г -{- о)=/B); число со называется периодом.
Отметим на плоскости точку с аффиксом со; начиная от начала коор-
координат, отложим на бесконечной прямой, проходящей через начало
координат и через точку ю, в обоих направлениях отрезки, равные |ю|.
Таким образом мы получим точки со, 2w, Зю, ... , яш, ... и точки
Черт. 65.
—-а>, —2ю, —Зш, ,.., —/ш, ... Через эти точки и через начало
координат проведем прямые, параллельные какому-нибудь направлению,,
отличному от Осо; таким образом мы' разобьем площадь на бесконеч-
бесконечное множество полос равной ширины (черт. 65).
Если через какую-нибудь точку z мы проведем прямую, параллель-
параллельную направлению От, то мы получим все точки этой прямой, изменяя
в выражении z-\-la действительный параметр X от —оо до -(-оо.
В частности, если точка z описывает первую полосу АА'ВВ1, то точ-
точка z -f- со опишет смежную полосу ВЬ'СС', точка z -\- 2со опишет третью
полосу и т. д. Все значения функции f(z) в первой Полосе будут пе-
периодически повторяться в следующих.
Пусть будут LV и ММ1 бесконечные прямые, параллельные напра-
2йг
влению Осо. Положим и=:е ш и найдем область плоскости, описывае-
описываемую переменным и, когда точка z остается в бесконечной полосе, за-
10 3. Гуроа, т. II, ч. 1.

146 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 316
ключающейся между параллельными прямыми. LL' и ММ'. Если j
есть аффикс какой-нибудь точки прямой LL', то мы получим все осталь-
остальные точки этой прямой, полагая z=asa-\-$i-\-\a и изменяя X от —со
до -j-оо. Тогда мы будем иметь:
(
но если \ изменяется от —оо до -j~°°> то переменное к описывает
окружность С, с центром в начале координат. Точно так же можно
убедиться, что если z описывает прямую ММ', то переменное и опи-
описывает окружность С2, концентрическую с первою. Если точка z опи-
описывает бесконечную полосу, заключающуюся между прямыми LV и
ММ', точка и описывает круговое кольцо, ограниченное окружностя-
окружностями Cj и С2. Но, тогда как каждому значению переменного z соответ-
соответствует только одно значение переменного и, наоборот, каждому зна-
значению переменного и соответствует бесконечное множество значений
переменного z, образующих арифметическую прогрессию с разностью со,
неограниченную в обоих направлениях.
Периодическая функция f(z), имеющая период со и голоморфная
в бесконечной полосе, заключающейся между прямыми LL', ММ', равна
некоторой функции <р (и) нового переменного и, голоморфной в кру-
круговом кольце, ограниченном окружностями С, и С2. В самом деле,
хотя каждому значению переменного и и соответствует бесконечное
множество значений переменного z, но, вследствие периодичности функ- ¦
ции f(z), все эти значения переменного z дают одно и то же значе-
значение для функции. С другой стороны, если м0 есть частное значение
переменного и, и zn— одно из соответствующих значений переменного г,
то значение г, стремящееся к zp, есть функция от а, голоморфная
в области точки и0; следовательно, то же имеет место и для функ-
функции tp {и). Поэтому мы можем применить к функции <р (и) теорему Ло-
Лорана: в круговом кольце, заключающемся между окружностями С5 и
С2, эта функция равна сумме ряда следующего вида:
+ ОО
— оо
Возвращаясь к переменному z\ мы заключаем, что внутри рассматри-
рассматриваемой полосы периодическая функция f(z) равна сумме ряда
Ame » . A9)
— с»
Если периодическая функция /Сг) голоморфна во всей плоскости, то
можно предположить, что прямые LL' и ММ', ограничивающие полосу,,
неограниченно удаляются, одна — вверх, а другая — вниз. Следова-
Следовательно, всякая целая периодическая функция разлагается в ряд, рас-
расположенный по положительным и отрицательным степеням выраже-
Iniz
ния е ш , — сходящийся при всяком конечном значении переменного г.

§ 317 II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 147
317. Невозможность существования однозначной функции с тремя пе-
периодами. Якоби принадлежит замечательная теорема, что однозначная функция не
может иметь более двух различных периодов. Чтобы доказать эту теорему, оче-
очевидно, достаточно показать, что однозначная функция не может иметь трех раз-
различных периодов. Докажем предварительно следующую лемму.
Пусть будут а, Ь, с три произвольных количества, действительных или мни-
мнимых, и т, п, р — три произвольных целых числа, положительных или отрица-
отрицательных, из которых по крайней мере одно отлично от. нуля. Если мы будем
давать целым числам т, п, р всевозможные'системы значений, кроме от = п =
= piO, то нижняя граница модуля \ та -+- nb-\- рс\ равна нулю.
Рассмотрим на плоскости множество {Е) точек,' аффиксы которых равны
та 4- пЬ + Рс- Если две точки, соответствующие двум различным системам целых
чисел, совпадают между собою, то, например, мы будем иметь:
та 4- nb -\- рс — т\п + nj> -t- ptc,
и следовательно,
(т — mt) а + (п — щ) Ь -f {р - pt) с — О,
причем по крайней мере одно из чисел т — mi, п — щ , р — pi не равно нулю.
В этом случае предложение очевидно. Предположим теперь, что все точки мно-
множества (Я) различны; пусть будет 23 нижняя граница модуля | та'-\- nb-\-pc\.
Это число 28 есть также нижняя граница расстояния между какими-нибудь двумя
точками множества (?); в самом деле, расстояние между двумя точками с аффик-
аффиксами та-\- пЬ -\- ре и т{а -{-щЬ + PiC равно | (т — т{) а-\-(п — л4) Ь + (р— Pi)c\.
Покажем, что, предполагая 8 > 0, мы придем к противоречию.
Пусть будет N положительное целое число; дадим каждому из целых чисел
т, п, р одно из значений последовательности —N, —(./V—1) О,...
... , N— 1,/V и будем соединять между собою всеми возможными способами эти
значения чисел т, п, р. Таким образом мы получим BN + IK точек последователь-
последовательности (?); по предположению, все эти точки будут различны. Предположим, что
а \ Зг | Ь [Э= | с [; тогда расстояние любой из этих точек от начала координат бу-
будет не больше, чем Ш [ а \. Следовательно, эти точки расположены внутри окруж-
окружности С с радиусом, равным 3N \ а \, и с центром в начале координат и на самой
этой окружности. Если из каждой из этих точек как из центра мы опишем
окружности с радиусом, равным &, то все эти круги будут лежать в круге Cj,
описанном из начала координат радиусом, равным 3N \a\-\-S, и не будут иметь
общих частей, так как расстояние между их центрами не может быть меньше,
чем 28. Следовательно, сумма площадей всех этих кругов меньше площади
круга (i, и Moi имеем:
или
8< .
При неограниченном возрастании- числа N правая часть стремится к нулю;
следовательно, при всяком N этому неравенству нельзя удовлетворить никаким по-
положительным числом 8. Отсюда следует,»что нижняя граница модуля | та -j- nb -(- рс\
не может быть положительным числом; она есть нуль, и лемма доказана.
Таким образом мы видим, что если ни при какой системе целых чисел т,
п, р (кроме т = п — р =¦ 0) не будет та -t- nb + pc = 0, то всегда можно найти
для этих целых чисел такие значения, чтобы было | та + nb + pc \ < е, как бы ни
было мало положительное число е. В этом случае однозначная функция /(г) не
может иметь трех различных периодов а, Ь, с. В самом деле, пусть будет гв
обыкновенная точка функции /(z); опишем нз точки г0 круг настолько малого
радиуса е, чтобы внутри этого круга уравнение /(z)==/(z0) не имелэ других
корней кроме z = z0 (§ 291). Если а, Ь, с суть гериоды функции f(z\ то ясно,
что та -+- nb -\- рс есть также период, каковы бы ни был*и целые числа т, п, р,
и мы имеем:
/(z0 + та + nb + рс) = /(*,,).
Следовательно, если мы выберем т, п, р таким образом, чтобы было
| та + nb ¦+- рс | < ?, то уравнение /B)=/(z0) имело бы корень г1, отличный
от z0 и такой, что [ zt — z0 | < е, что невозможно.
10*

148 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 317-318
Если между числами а, Ь, с существует соотношение вида
та + пЬ + рс = 0, B0)
где т, п, р не все равны нулю, то однозначная -функция /(г) может иметь пе-
периоды а, Ъ, с, но эти периоды приводятся к двум или к одному. Мы можем
предположить, что три числа т, п, р, взятые вместе, — взаимно простые. Пусть
будет D общий наибольший делитель чисел /пи л; мы имеем /n = ?)/n', n = Dn'.
Так как числа т' и п' — взаимно простые, то можно найти два таких других
целых числа т", п", чтобы было пИп"— т"п' = 1. Положим
т'а + п'Ь = а', т"а + п"Ь == Ь'\
мы будем иметь, обратно, а = п"а' — п'Ь', Ь= т'Ь' — т"а'. Если а и Ь — периоды
функции /(z), то будут периодами и а' и V и обратно. Следовательно, мы мо-
можем заменить систему двух периодов а и Ь системою двух периодов а' и Ь'.
Соотношение B0) обращается в Da' + рс = 0; так как числа Пир — взаимно
простые, то можно найти такие-целые числа D' и р', чтобы было Dp' — D'p = l;
положим D'a' -f- p'c = с'. Из предыдущих соотношений мы получаем а' = — рс',
c = Dc', и мы видим, что три периода а, Ь, с суть комбинации двух перио-
периодов Ь' и с'.
Примечание. Из предыдущей леммы вытекает как следствие, что если а и В суть дейст-
действительные количества, а т и л — произвольные целые числа (из которых по крайней мере одно
не равно нулю), то нижняя граница модуля | mn+(i$\ равна нулю; в самом деле, если мы поло-
полоцким о=а, й=C, с=1, то модуль | /яа-(- лр -\-pi | можег быть меньше числа е.<^1 только в том слу-
слу0 1 + g|<; О ф/(г) не
ц , (, , т ду | ( р \p | <^ у
чае, если р=0 и 1 mot + ng|<;6. Отсюда следует, что однозначная функция/(г) не можег иметь
а
двух различных действительных периодов а в C. Если отношение — иррационально, то можно
найти такие числа т и л, чтобы было | ли-}- ЛЭ I <Се> и рассуждение заканчивается, как выше.
Если же отношение - - рационально и равно несократимой дроби —, то мы возьмем два таких чи-
а л
ела т' и я', чтобы было /лл' —/л'л=1, и положим т'а— n'3=f. Число i есть также период, и нз
соотношений /ли — nft=O, т'а. — я'C = умы получаем а=— л?, так что аир суть кратные единствен-
единственного периода •{. Вообще, однозначная функция / (г) не может иметь двух различных периодов а
и Ь, отношение которых действительно, так как тогда функция / (az) имела бы действительные
периоды 1 и —,
а
318. Двоякопериодические функции. Двоякопериодическая функция
есть однозначная функция, имеющая два ' периода, отношение которых
мнимое. Пользуясь обозначениями Вейерштрасса, обозначим независимое
переменное через и, периоды через 2со и 2ш' и предположим, что коэфи-
со'
циент при /в — положителен. Отметим в плоскости точки 2а>, 4а>,
со
6ш, ... , и точки 2ш', 4(в1, 6ш', ... ; проведем через точки 2/ию пря-
прямые, параллельные направлению Ою', и через точки 2/и'со' — прямые,
параллельные направлению Ою. Таким образом мы разобьем плоскость на
сеть равных параллелограмов (черт: 66). Пусть будет/(м) однозначная
функция, имеющая периоды 2со, 2со'; из соотношений /(м -f- 2co) =/(и),
/(и -j- 2<о') =/(и) получаем /(и -|- 2/исо -f- 2/и'о/) =f(u), так что 2/гаю -(-
-{-2от'со' есть также период; мы обозначим его через 2w.
Точки-периоды суть как раз вершины сети предыдущих параллело-
параллелограмов. Когда точка и описывает параллелограм О ABC, имеющий вер-
вершины в точках 0, 2ю, 2<о-|-2а)', 2а/, точка u^-2w описывает парал-
параллелограм с вершинами в точках 2w, 2w -f- 2<o, 2w -f- 2co -(- 2<of, 2w -f- 2<o',
-и функция /(и) принимает одинаковые значения в соответственных точ-
точках обоих параллелограмов. Всякий параллелограм с вершинами в точ-
точках к0, и0 -|- 2(о, и0 -|- 2со -f- 2со', щ -\- 2о)' называется параллелограмом
периодов. Обыкновенно рассматривают параллелограм ОАВС, но можно
было бы заменить начало, координат любою точкою плоскости. Для

§ 318—319
II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
149
краткости мы будем' обозначать период 2о> -\- 2а>' через 2а>"; центр па-
раллелограма ОАВС лежит в точке со", так как точки ш и го' суть сере-
середины сторон ОА и ОС.
Всякая целая Овоякопериодическая функция есть постоянное. В са-
самом деле, пусть будет/(и) двоякопериодическая функция; если она целая,
то она голоморфна в параллелограме О ABC, и модуль функции /(и)
остается всюду в этом параллелограме меньше некоторого постоянного чи-
числа М. Но вследствие двоякой периодичности функции /(и) ее значение
в любой точке плоскости равно ее значению в некоторой точке парал-
лелограма ОАВС. Следовательно, модуль этой функции остается во всей
плоскости меньшим некоторого постоянного числа М, и, по теореме
Лиувилля, функция приводится к постоянному.
I\
Черт. 66.
319. Эллиптические функции. Общие свойства. Из предыдущей тео-
теоремы следует, что двоякопериодическая функция имеет особые точки,
лежащие на конечном расстоянии, если только оиа не приводится к по-
постоянному. Двоякопериодические мероморфные функции ' называются
эллиптическими функциями. В параллелограме периодов эллиптиче-
эллиптическая функция имеет несколько полюсов; число этих полюсов, причем
каждый из них считается столько раз, каков его порядок кратности,
называется порядком функции. Заметим, что если эллиптическая функ-
функция /(и) имеет полюс и0, лежащий на' стороне ОС, то точка ио-\-2а>,
лежащая на противоположной стороне АВ, есть также полюс; но при
счете числа полюсов, лежащих в параллелограме ОАВС, мы должны
считать только один из этих полюсов. Точно так же, если начало коор-
координат есть полюс, то все вершины сети суть также полюсы функции/(и),

150
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§319
но надо брать только один полюс в каждом параллелограме. Действи-
Действительно, достаточно было бы, например, переместить бесконечно мало
вершину сети, лежащую в начале координат, чтобы ни один полюс
рассматриваемой функции /(и) не лежал более на контуре параллело-
грама. Когда мы будем интегрировать эллиптическую функцию / (и)
вдоль контура цараллелограма периодов, мы всегда будем предполагать,
что этот цараллелограм, если это нужно, смещен так, что функция/(и)
не имеет полюсов на этом контуре. "Применяя общие теоремы теории
аналитических функций, мы легко приходим к следующим основным
предложениям:
1. Сумма Вычетов эллиптической функции, соответствующих по-
полюсам, лежащим в одном параллелограме периодов, равна нулю.
Предположим для определенности, что функция /(и) не имеет ни
одного полюса, лежащего на контуре ОАВСО. Сумма вычетов, соответ-
соответствующих полюсам, лежащим внутри контура ОАВСО, равна
причем интеграл взят вдоль контура. Этот интеграл равен нулю, так
как сумма интегралов, взятых вдоль противоположных сторон, равна
нулю. Например, мы имеем:
2ч> 2ш'
f/(«)<*«=?/(«)<&, ^f(u)du= f f(u)du;
OA ¦ О ВС 2со4-2шг
заменяя в этом последнем интеграле и через и -f- 2ш', получим,:
о о
и == Г /(и -(- 2ш')rf« = I f(u)du — — I* f(u)du.
ВС
2<D
2<u
OA
Точно так же мы убедились бы, что сумма интегралов, взятых вдоль
АВ и СО, равна нулю. Впрочем, это свойство можно непосредственно
d видеть из чертежа (черт. 67). В самом деле, рассмо-
рассмотрим два соответствующих элемента интегралов, взятых
вдоль ОА и вдоль ВС; в точках т и т' значения
функции /(и) одинаковы, тогда как значения du про-
противоположны. Из этой теоремы следует, что эллипти-
эллиптическая функция f(u) не может иметь в параллелограме
периодов только один полюс первого порядка. Эллип-
Эллиптическая функция не может быть ниже второго
порядка.
2. Число нулей эллиптической функции, лежащих
в параллелограме периодов, равно порядку этой функ-
функции, (каждый из нулей считается столько раз, каков его порядок
кратности).
Пусть будет /(и) эллиптическая функция; частное -у-- -=<р(и) е:ть
также эллиптическая функция, и сумма вычетов функции <р (и) в парал-
Черт. 67.

§ 319 II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 151
лелограме периодов равна числу нулей функции /(и) без числа .полю-
.полюсов (§ 299). Отсюда, применяя предыдущую теорему к функции <р(и),
мы приходим к высказанному предложению. Вообще, число корней
уравнения /(м) = С, лежащих в параллелограме периодов, равно по-
порядку функции /(м), так как при всяком постоянном С функция /(и) — С
имеет те же полюсы, как и функция /(м).
3. Разность между суммою нулей и суммою полюсов эллиптиче-
эллиптической функции, лежащих в параллелограме периодов, равна периоду.
Рассмотрим интеграл —. \ и -fj--r du, взятый вдоль контура паралле-
лограма ОАВС. Мы видели (§ 229), что этот интеграл равен сумме
нулей функции /(и), лежащих внутри этого контура, уменьшенной на
сумму полюсов функции J (и), лежащих в том же контуре. Вычислим
сумму интегралов, взятых вдоль противоположных сторон ОА и ВС:
2<ог
Ш
О +
изменяя в последнем интеграле к в и -f- 2w', мы представим эту сумму
в виде:
2<о О
О 2ш
или, принимая во внимание периодичность функции /(и), в виде:
2о>
2и>
Интеграл \ du равен изменению Log [/(и)], когда и описывает сто-
о
рону О А; при этом функция /(и) возвращается к своему начальному
значению, и следовательно, изменение логарифма Log [f(u)} равно
— 2m2ni, где т2 — целое число. Следовательно, сумма интегралов, взятых
вдоль противоположных сторон О А и ВС, равна -—D/и2тг/ш')=2/п2<о'.
Точно так же мы могли бы убедиться, что сумма интегралов, взятых
вдоль АВ и СО, равна 2,/WjM. Следовательно, рассматриваемая разность
равна 2т1(о~\-2т-1ш', т. е. периоду.
Это предложение относится также к корням уравнения /(и) = С,
где С—произвольное постоянное, заключающимся в параллелограме
периодов; доказательство такое же, как и выше.
4. Между каждыми двумя эллиптическими функциями с одинако-
одинаковыми периодами существует алгебраическое соотношение.
Пусть будут/(м) и Д (м) эллиптические функции, имеющие одина-
одинаковые периоды 2ш и 2а/. Рассмотрим в параллелограме периодов

152 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 319-320
точки а.,, а2, ... , ат, являющиеся полюсами для одной или для дру-
гой из функций/(к), /,(«), или для о'беих сразу, пусть будет ]s.{ наи-
наивысший порядок кратности .полюса а{ для этих двух функций; положим
jij 4-р2 +"• • • 4" Рт=М- ^ ДРУГОЙ стороны, пусть будет F(x, у) це-
целый многочлен я-й степени с постоянными коэфициентами. Если мы
заменим в этом многочлене х и у, соответственно, через /(«) и /т (и)»
то результат будет, новою эллиптическою функциею Ф (и), полюсы ко-
которой суть тблько точки аг, а2, ... , ат или те точки, которые мы
получим, прибавляя один из периодов. Чтобы эта функция Ф (к) при-
приводилась к постоянному, необходимо и достаточно, чтобы главные ча-
части в области каждой из точек а,, а2, ... , ат были равны нулю. Но
для функции Ф (и) точка at есть полюс не выше пц^гб порядка. Сле-
Следовательно, выражая, что все коэфициенты главных частей равны нулю,
мы получим всего не более
>я(»»1+М2+ ...+]im)=Nn
однородных и линейных соотношений между коэфициентами много-
многочлена F(x, у), причем член, не зависящий от х и у, в них не войдет.
л(я + 3)
Число этих коэфициентов равно —;—' ; если мы возьмем п настолько
большим, чтобы было п (п 4- 3) > 2Nn, или n-|-3>2N, то мы полу-
получим систему однородных линейных уравнений с числом неизвестных,
большим числа уравнений. Эти уравнения всегда имеют систему реше-
решений, отличную от нуля. Если ^(л:, у) есть полученный таким образом
многочлен, то эллиптические функции/(и), /г (и) удовлетворяют алге-
алгебраическому соотношению:
где С—постоянное.
Примечание. Прежде чем оставить эти общие предложения, сделаем еще несколько заме-
замечаний, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
Однозначная функция называется четною, если /(— и) =/(и); функция называется нечетною,
если/(—а)=—/(и). Производная от четной функции есть нечетная функция, и производная от
нечетной функции есть функция четная. Вообще, производные четного порядка от четной функции
суть сами функции четные, а производные нечетного порядка — нечетные функцин. Обратно, про-
производные четного порядка от нечетной функцин суть нечетные функцин, а производные нечетного
порядка — четные функции.
Пусть будет /(а) нечетная эллиптическая функция. Если w есть полупериод, то одновре-
одновременно должно быть f(w)——f(—w) и f[w)=f(—w), так как а>= — w-\-2w; следовательно, /(да)
равно нулю илн бесконечности, т. е. w есть нуль или полюс функции /(и). Порядок кратности
этого нуля или этого полюса необходимо нечетный; если бы w было нулем четного порядка 2ч
функции/(а), то производная /B") (п), которая есть нечетная функция, была бы голоморфна и
отлична от нуля при а=да; если бы w было полюсом четного порядка функции /(и), то оно было
бы нулем четного порядка функции ——. Таким образом всякий полупериод есть нуль или по-
полюс нечетной эллиптической функции.
Если четная эллиптическая фуикцня /(и) имеет полупериод w полюсом или нулем, то поря-
порядок кратности этого полюса или этого нуля есть четное число, а самом деле, если бы w было,
например, нулем нечетного порядка 2я4-1, то оно было бы нулем четного порядка производ-
производной /'(а), которая есть нечетная функция: то же имеет место и для полюсов. Так как удвоенный
период есть также период, то все вышеизложенное относительно полупериодов применимо также
и к самим периодам.
320. Функциями. Мы уже указали, что всякая эллиптическая функ-
функция имеет в параллелограме периодов по крайней мере два простых
полюса или двойной полюс. В обозначении Якоби за простые эле-
элементы берут функции, имеющие в параллелограме периодов, два про-

§ 320 И. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 153=
стых полюса. В обозначении Вейерштрасса за простой элемент беруг
эллиптическую функцию, имеющую в параллелограме периодов только
один двойной полюс; так как вычет должен быть равен нулю, то глав-
ная часть в области полюса а должна иметь вид:-; -а. Чтобы окон-
Си — яJ
чательно определить условие задачи, достаточно принять /4=1 и-
предположить, что полюсы функции суть точка и = 0 и все точки-пе-
точки-периоды 2w = 2/raco-j- 2т'J. Таким образом мы приходим прежде всето-
к решению следующей задачи:
Найти эллиптическую функцию, имеющую полюсами второго по-
порядка все точки 2w = 2/исо -)- 2/и'со', где mum1 — произвольные целые
числа, не имеющую других полюсов и притом такую, чтобы главная-
часть в области точки 2w была s—пг.
(и — 2wJ
Прежде чем мы приложим к этой задаче общий метод § 313, дока-
докажем сначала, что двойной ряд
1
S'f
B1).
где т и т' принимают все целые значения от — оо до -)- оо кроме
т = т'^= 0, — сходящийся, если показатель у. есть положительное
число, большее, чем 2. Рассмотрим треугольник с вершинами в точ-
точках и = 0, и = /ио), и = /иш -4- /и'со'; стороны этого треугольника, соот-
соответственно, равны |/жо |, |/и'ю'|, \mm-j-m'(o'\. Следовательно, мы имеет
соотношение:
| wco -f- m'ct' \2 = тг | со ,2 + /и'21 ш' j2 — 2mm11 coco' | cos О,
где 8 есть угол между направлениями Ош, Осо' (О<^0<Сп). Обозначим
для краткости |ш| = а, |си'[ = 6 и предположим, что asg#. Предыду-
Предыдущее соотношение можно представить иначе в виде:
| та -f т'и>' \2 — т2а2 -\- тп№ ± 2mm'ab cos в,
где 9 = 6, если б^^Г' и в = п — 9, если 6> — ; этот угол б не мо-
жет быть равен нулю, так как три точки 0, со, со' не лежат, на одной
прямой, и потому мы имеем: 0=^cos6<^l. Далее,
| /ясо -+- /и'ш' |2 = ( 1 — cos 9) (m2a2 -f тн&) -\- cos 6 (та ± m!bf,
следовательно,
! та + т'®' 12 5= A — cos в)(/и2а2 + т'Ч2) =3= A — cos 6)a2 (/и2 4" ™'2)-
Отсюда следует, что члены ряда B1), соответственно, меньше или равны
S'/ 1 \?
—^ ,5 2 , умноженным на постоянный множитель,.
\ т* -\- ти j.
а мы знаем, что этот последний ряд — сходящийся, если показатель-

454 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 320
\с->1 (т. I, § 163). Следовательно, ряд B1) — сходящийся, если ]i = 3
«ли fi = 4. На основании доказанного выше результата (§ 313) ряд
to (и) = ¦ „ 4- 7 i 1 ^—з — ^—s (^ =
представляет мероморфную функцию, имеющую те же полюсы и те же
главные части, как и искомая эллиптическая функция. Докажем, что
эта функция <р (и) действительно имеет периоды 2<о и 2<о'. Рассмотрим
сначала ряд
1 1
LA [
Bw -f 2coJ
где 2-ze; = 2/исо -)- 2/и'ю', и» суммирование распространяется на все целые
значения т и /и' кроме /и —/и' = 0 и т = — 1, /и' —0. Этот ряд —
абсолютно сходящийся, так как это — тот же ряд <р(и), в котором мы
заменили и через —2а>, отбросив, вместе с тем, два члена. Рассматри-
Рассматривая его как двойной ряд и вычисляя отдельно каждую из строк таб-
таблицы, легко показать, что его сумма равна нулю. Следовательно, вычи-
вычитая этот ряд из (р(и), мы можем представить <р(м) еще так:
1 1 . 1 уУ'Г 1
<Р W — и2- +(Н_|_ 2,оJ 4со2 + U [(и — 2wJ
тде комбинации (/и = /и' = 0), (т= — 1,/и' = 0) попрежнему исклю-
исключаются При суммировании. Изменим теперь и в и—— 2со; мы получим:
у (« - 2@) = -1 + ^' [(в _ 2J_ - 12юJ] ,
тде при суммировании исключена только одна комбинация (т=—1,
<«*'=:—1). Но правая часть этого равенства тождественна с <р(и). Сле-
Следовательно, эта функция имеет период 2w; точно так же мы могли бы
показать, что оиа имеет период 2шг. Это — та функция, которую Вейер-
штрасс обозначает знаком $и и которая, таким образом, определяется
•равенством:
й>и=-„4-У! Г ¦—^^-1 (w = mio4-mtal). B2)
и2 м |_(м — 2wJ 4:W2 J
Если в разно:ти fu 2 мы положим и = 0, то все. члены двойной
•суммы будут равны нулю, и эта разность также равна нулю. Следова-
Следовательно, функция $и обладает следующими свойствами:
1. Она — двоякопериодическая и имеет полюсами все точки 2w и
притом только их.
2. Главная часть в области начала координат равна —^ .
3. Разность $ и ? равна нулю при и = 0.

§ 320 Н. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 155
Эти свойства вполне характеризуют функцию %) и. В самом деле,
всякая функция /(и), обладающая двумя первыми свойствами, отли-
отличается от |f к только на постоянное, так как их разность есть двояко-
периодическая функция, не имеющая ни одного полюса. Если функция,
сверх того, такова, что/(и)——2 = 0 при и = 0, то/(и) — $и = 0 при
и = 0; следовательно, f(u) — fu.
Очевидно, что функция f (—и) обладает теми же тремя свой-
свойствами; следовательно, f(—u)=fu, к функция fu — четная, что не-
нетрудно усмотреть также из формулы B2).
Рассмотрим тот период, модуль которого наименьший; пусть будет Ь
этот модуль. В круге Cs с радиусом, равным Ь, с центром в начале
координат разность $и голоморфна, и ее можно разложить по
положительным степеням переменного и. Разложение общего члена
ряда B2) по степеням переменного и дает:
1 1 _ 2и , Зи2_ (п+\)ип
~ 4и?~ Bвд)з B^0* ' ¦ • + +
(и —
«4-1 *.- 5 • „
заменяя все множители - —г- большим числом -„ , нетрудно уое-
2" + 2 It)
диться, что этот ряд имеет мажорантой выражение
5 и
! «_
\w\
и 2и-
и, тем более, выражение, которое получим, изменяя 1 в 1— ...
Так как ряд V -—~г — сходящийся, то отсюда следует, что мы имеем
право складывать почленно получающиеся целые ряды (§• 263). Коэфи-
циенты при нечетных степенях переменного и равны нулю, так как
члены, происходящие от противоположных по знаку периодов, взаимно
уничтожаются, и мы можем представить разложение функции $и в виде:
i + с2Ф 4- с3и* + • • • + <\«2Х-а 4- .-., B3)
где
Тогда как формула B2) применима во всей плоскости, разложение B3)
имеет место только внутри круга С5 с центром в начале координат,
проходящего через наиболее близкую точку-период.

156 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 320-321
Производная $'и есть также эллиптическая функция, имеющая по-
полюсами третьего порядка все точки 2та>; она представляется во всей
плоскости разложением в ряд:
Вообще, производная и-го порядка ^(")и есть эллиптическая функция,
имеющая все точки u=-2w полюсами (л-)-2)-го порядка:
»- B6>
Предоставляем читателю доказать сходимость этих разложений,
что нетрудно сделать, основываясь на доказанных выше свойствах
(§ 290 и 312).
321. Алгебраическое соотношение между $и и ф'и. На основании
общей теоремы (§ 319) между функциями fu и f'u существует алге-
алгебраическое соотношение. Его нетрудно получить следующим образом.
В области начала координат по формуле B3) имеем:
р'и = - ~ +'2с2и + 4^ + ... ,
причем все остальные чле.ны равны нулю при и = 0. Следовательно,
разность $'2и — 4^з3и имеет точку и = 0 полюсом второго порядка, и
в области этой точки мы имеем:
20г
^и-^и= ^—28*3+... ,
причем остальные члены равны нулю при и = 0. Таким образом эллип-
эллиптическая функция —20с2$и — 28с, имеет те же полюсы с теми же
главными частями, как и эллиптическая функция jp'2 — 4jp3, и их раз-
разность равна нулю при и = 0. Следовательно, эти две эллиптические
функции тождественны между собою, и мы приходим к искомому со-
соотношению, которое можно представить в виде:
Wur = 4p*u—gapu-ga; B7)
где
= 28,з= 140 ?B-У
Соотношение B7) — основное в теории эллиптических функций;
количества g2, g3 называются инвариантами.

§ 321 Н.- ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 157
Все коэфициенты с} разложения B3) суть целые функции инвариан-
инвариантов g2, ga; в самом -деле, из соотношения B7) получаем, взяв произ-
производные и деля на 2f'u:
—^. B8)
С другой стороны, в области начала координат мы имеем:
f"u = -^ + 2г2 + 12с3и2 + • • • + BХ — 2) B). - 3) схи2>-* +
заменяя в соотношении B8) функции $и и $"и их разложениями и
приравнивая между собою коэфициенты при одинаковых степенях и, мы
получим рекуррентное соотношение:
С; =
BХ-И )(»¦—
Пользуясь этим соотношением, мы можем последовательно выразить все
коэфициенты с. через с2 и са и, следовательно, через g2 и g3; таким
образом, мы находим:
с --?2~ ,__3^з_ ...
4~2*-3-52' ^~«.5-7.1Г
Отсюда вытекает то замечательное алгебраическое предложение, что все
суммы 7 1 тт;—от выражаются целыми функциями двух первых.
Мы знаем корни выражения $)'и без всякого вычисления. Эта функ-
функция, будучи третьего порядка, имеет в параллелограме периодов три
корня. Так как она нечетная, то она имеет корни м = со, и = о>',
и = ш" =¦ о) -(- ш' (§ 319, примечание). Из соотношения B7) заклю-
заключаем, что корни уравнения 4j^>3 — g2f—jgr3==0 суть не что иное, как
значение функции $и при м = со, са', со". Эти корни обозначают через
Эти корни различны. В самом деле, если бы, например, было е1 = е2,
то уравнение ^зм = е3 имело бы внутри параллелограма периодов двз
двойных корня со и а/, что невозможно, так как $и — второго порядка.
Мы имеем также:
и между инвариантами g.,, g3 и корнями ег, е?, е3 мы имеем соотношение:
ei + e2-f^3 = 0, eie2 -\-егег + е2е3 = — &, е1в2е, = ^2-.
Дискриминант ^ <g23— %7g32) необходимо отличен от нуля.

158 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 322
322. Функций С и. Интегрируя функцию fu - вдоль какого-нибудь
пути, выходящего из начала координат и не проходящего ни через
один из полюсов, мы получим соотношение:
J ypU~V4dU==~
Ряд, стоящий в правой части, представляет мероморфную функцию,
имеющую полюсами первого порядка все точки к = 1w кроме и = 0.
Изменяя знак и прибавляя дробь — , положим:
тогда предыдущее соотношение можно представить в виде:
C0)
\ и" / и
о
и, взяв производные от обеих частей, получим:
С'а = —ре. C1)
Из той или другой из этих формул легко видеть, что функция ?и —
нечетная. На основании разложения B3) и формулы- C0> в облает»
начала координат имеем:
. 1 с2 Со
Г 11 —• 11'V —— " цО I
и 3 о '
Функция 5 и не может иметь периодов 2<о и 2ш', так как она имела
бы в параллелограме периодов только один полюс первого порядка. Но>
так как функции C(«-h2w) и Си имеют одну и ту же производную
— \ри, то эти две функции могут различаться только на постоянное; сле-
следовательно, когда аргумент и возрастает на период, функция Т,и воз-
возрастает на постоянное количество. Нетрудно получить выражение этого
постоянного. Для большей ясности представим формулу C0) в виде:
_ 1
б
изменяя и в м-}-2а) и вычитая обе формулы, получим:
и+2ч>
,-<« = _ j:

§ 322 И. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 159
Положим
«+2ш иЦ-2ш
27] = — | fvdv, 27]'=— I fvdv;
Tj и г/ — постоянные, не зависящие от нижнего предела и пути инте-
интегрирования. Это последнее положение очевидно a priori, так как все
вычеты функции $¦& равны нулю. Следовательно, функция С и «удовле-
«удовлетворяет двум соотношениям:
С (и + 2со) = ?и + 2Ч, : (и -L 2m1) = Си + 2г/.
Полагая в этих формулах и = —со или и =—со', получим rj = Ca>,
Между четырьмя количествами со, со', 7), г/ существует весьма про-
простое соотношение. Чтобы его получить, нужно только бычислить двумя
способами" интеграл I Си с/и, взятый вдоль параллелограма с вершинам»
и0, ио-)-2о), и0-j- 2o)-|- 2со', ио-|-2(о'. Предположим, что Си не имеет
ни одного полюса на контуре параллелограма, и коэфициент при г в —
положителен, так что, описывая, контур этого параллелограма в прямом*
направлении, мы встретим эти "вершины в том порядке, как они приве-
приведены выше. Внутри этого контура есть только одни полюс функции Си
с вычетом, равным +1; следовательно, рассматриваемый интеграл ра-
равен 2тт/. С другой стороны, сумма интегралов, взятых вдоль стороны,,
соединяющей вершины и0, ao-j-2a>, и вдоль противоположной стороны,,
равна (см. § 319):
j [Си-С(и + 2(о')]^и = —4ш/;
точно так же можно убедиться, что сумма интегралов, взятых вдоль двух
других сторон, равна 4cu'tj. Таким образом мы приходим к искомому
соотношению:
и+2ш
Вычислим еще определенный интеграл /7(и)= I Zvdv, взятый!
п
вдоль какого-нибудь пути, не проходящего ни через одни из полюсов..
Мы имеем:
/=*(«) = С (и + 2со) — С и = 2ij,
так что F(u) имеет вид: F(и) — 2ци-\-К, где постоянное К определено^
лишь до кратного 2iu, так как всегда можно так изменить путь инте-
интегрирования, не изменяя его концов, чтобы интеграл увеличился на лю-
любое кратное 2тг/. Чтобы найти это постоянное К, вычислим определен-

160 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 322-323
\ I ?г>
чшй интеграл \ I ?г> I dv, взятый вдоль пути, весьма близкого
— и)
ас прямолинейному отрезку, соединяющему точки со и —со. Этот иите-
грал равен нулю, так как можно заменить путь интегрирования прямо-
прямолинейным путем, и элементы нового интеграла попарно взаимно уничто-
уничтожаются. Но, заменяя и через —и> в формуле для F(u), имеем:
4»
J
4
:а интеграл \ —dv^^hni, так что можнэ положить /ST=2i](o^h7r/. Сле-
— ш
довательно, если не делать никакого предположения относительно пути
интегрирования, то мы; вообще, имеем:
frf9 = 2j)(a-f о) -f- Bm-fl)Tt/, C3)
и
тде /га— целое число; аналогичную формулу мы получим для инте-
+2
Г
I С v dv.
¦драла
к
323. Функция о и. Интегрируя функцию ?ы вдоль какого-нибудь
пути, выходящего из начала координат и не проходящего ни через
¦один ив полюсов, имеем:
о
'и следовательно,
а , и1
ае° =и11г 1—к—\е - '^
Целая функция, стоящая в правой части, есть простейшая из целых
-функций, имеющих простыми корнями все периоды 2w. Эта функция
обозначается через аи:
и и'
. " > (dO)
Равенство C4) можно представить в виде:
ои = ие° C4bis)

§ 323-324 II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 161
и, взяв логарифмические производные от обеих частей, получим:
— = —4-Си——=Си. C6)
аи и и
Функция аи, будучи целою функциею, не может быть двоякопериоди-
ческою; когда аргумент возрастает на период, она получает показатель-
показательный множитель, который можно определить следующим образом. На-
Например, из формулы C4bis) получаем:
и+2ш и-)-2и>
а (и + 2(о) _ и -f 2@ J4'"-i)rf"_ [ы"\
аи и '
этот интеграл был вычислен выше, и мы имеем:
Точно так же получим формулу:
о (и-(-2(о') = — е2г' <в+ш'> аи. C8)
Из формул C5) или C4bis) видно, что функция аи — нечетная.
Если мы разложим функцию аи по степеням переменного и, то по-
полученное разложение будет применимо во всей плоскости. Нетрудно
показать,'что все коэфициенты разложения суть целые функции от g4
и ?з- В самом деле, мы имеем:
3-4 5-6 2Х BХ—1)
Мы видим, что разложение не содержит члена с и3, и каждый коэфи-
циент есть целая функция от коэфициентов сх, а следовательно, и от
инвариантов g2 и g3; первые пять членов разложения — следующие:
24-3-5 2*-3-5-7 29-32-5-7 2^-З2• 52• 7• 11 "" 1 '
Три функции $и, ?и, ои суть основные элементы теории эллиптиче-
эллиптических функций. Две первых получаются из о и при помощи соотноше-
о'и
ний ?и = —, рЕ— ?'и.
324. Общее выражение эллиптических функций. Всякую эллиптичен
скую функцию /(и) можно выразить или только через функцию аи, или
через функцию j« и ее производные, или через функцию fu и %>'и.
Мы изложим кратко эти три способа.
1. Выражение функции f (и) через функцию аи. Пусть будут alt
а2,..., ап нули функции /(и), лежащие в параллелограме периодов,
11 Э. Гурва, I. II, ч. 1.

162 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 324;
и 6j, b2, ... , bn^— полюсы функции /(«), лежащие в том же паралле-
лограме, причем каждый из нулей и полюсов считается столько раз,,
каков его порядок кратности. Между этими нулями и полюсами суще-
существует соотношение:
1 , +e + D0)
где 2Q — период. Рассмотрим функцию
-*2) ...о(а — bn — 2Q) "
Эта функция имеет те же полюсы и нули, как и функция/(и), так
единственными нулями множителя в (и — а) будут и = а^ и значения и,,
отличающиеся от а, на период. С другой стороны, функция <р (и) —
двоякопериодическая, так как, изменяя, например, и в и-{-2а>, мы на
основании соотношения C7) найдем, что числитель и знаменатель функ-
функции ф (и) получат, соответственно, множители:
-\-n<o — а, — я,— ... — On) ^ ( \у е2?.(па+ пи> — 6, -Ь% — Ь„-2&) ^
а на основании соотношения D0) эти множители между собою равны.
Точно так же мы убедились бы, что <р (и -J- 2щ') = у (и). Следовательно,.
/(и)
частное есть двоякопериодическая функция от и, не имеющая ни
одного полюса, т. е. оно есть постоянное, и мы имеем:
Чтобы определить постоянное С, достаточно дать переменному и зна-
значение, отличное от полюса и от нуля.
Вообще, чтобы выразить эллиптическую функцию /(и) через функ-
функцию аи, когда известны ее полюсы и нули, достаточно выбрать п ну-,
лей (flj', а2', ... , ап') и п полюсов (#/, Ь2', ... , Ьп') таким образом,,
чтобы всякий корень функции /(и) равнялся одному из количеств а/,
сложенному с периодом, и всякий полюс /(и) равнялся одному и*
количеств Ь/, сложенному с периодом, и чтобы, сверх того, было
Srf/ = 2?>/. Эти полюсы и нули могут быть расположены в плоскости
произвольно, лишь бы только они удовлетворяли предыдущим условиям.
2. Выражение функции /(и) через функцию ?и и ее производные^..
Рассмотрим k таких полюсов аг, а2, ... , ak функции /(«), что всякий
другой полюс получается от прибавления периода к одному из преды-
предыдущих; например, можно взять полюсы, расположенные в одном и том
же параллелограме, но это не необходимо. Пусть будет
А?
, Af
~г '/„ _„\г -г • • • "Г,
а —а, ' (и — atf ^'" ' (и — а()
главная часть функции /(и) в области точки а,.

§ 324 II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 163
Разность
к
/ (И) - Jj [\4<{> С (и - а) - A« С (и - а.)
1
есть функция, голоморфная во всей плоскости. Сверх того, это — двоя-
копериодическая функция, так как при изменении ив и -\- 2ш эта
функция возрастает на — 2г( 2ЛМ, а это количество равно нулю, так
как 2Л<'> представляет сумму вычетов в параллелограме периодов. Сле-
Следовательно, рассматриваемая разность равна постоянному, и мы имеем,
к
f(u) =
Эта формула принадлежит Эрмиту. Чтобы было можно ее применять:
необходимо знать полюсы эллиптической функции /(и) и соответствую-
соответствующие главные части. Подобно тому как формула D1) аналогична фор-
формуле, дающей выражение рациональной функции через частное двух
многочленов, разложенных на их линейные множители, формула D2)
аналогична формуле, дающей разложение рациональной дроби на про-
простые элементы. Роль простого элемента играет здесь функция ?(м — а).
3. Выражение функции /(и) через функции fu и f'u. Рассмотрим
сначала четную эллиптическую функцию /(и). Нули этой функции,
отличные от периодов, попарно, противоположны. Следовательно, мы
можем найти п таких нулей (аг, а2, ... , ап), чтобы все остальные
нули, отличные от периодов, заключались в формулах:
, ... , Ч- ап -f- 2w.
Например, можно взять параллелограм с вершинами в точках ш 4- w',
to'—со, —(о — и', (о — (о' и рассмотреть нули, лежащие в этом парал-
параллелограме по одну сторону какой-нибудь прямой, проходящей через
начало координат. Если нуль at не равен полупериоду, то мы повто-
повторим его в последовательности аг, а2, ... , ап столько раз, сколько еди-
единиц в его порядке кратности. Если же, например, нуль аг равен полу-
полупериоду, то это есть нуль четного порядка 2г (§ 319, примечание), мы
повторим этот нуль в последовательности аг, а2,... , ап только г раз.
Произведение
{fu — $аЛ)($а — fa2) ... (fu — p an)
имеет те же нули, как и функция /(и), и с теми же степенями кратно-,
сти, если только не будет /@) = 0. Точно так же составим другое
произведение:
(fu — fbjifu — fbz) ... {fu — fbm),
U*

164 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 324-325
имеющие нулями полюсы функции /(и) и с тою же степенью кратно-
кратности, не считая точек-периодов. Положим
/(и)
частное —r-\ есть эллиптическая функция, имеющая конечное значение,
отличное от нуля, при всяком значении переменного и, не равном
периоду. Эта эллиптическая функция приводится к постоянному, так
как она могла бы иметь полюсами только периоды, а если бы это было
так, то обратное выражение не имело бы полюсов. Следовательно, мы
имеем:
Если t1 (и) есть нечетная эллиптическая функция, то -1-,— есть
четная функция, и следовательно, это частное есть рациональная функ-
функция от fu. Наконец, произвольная эллиптическая функция F(u) есть
сумма четной и нечетной функций:
_F{u)-\-F[(-u) F{u)-F(-u).
применяя предыдущие результаты, мы видим, что всякую эллиптическую
функцию можно представить в виде:
KAfu), D3)
где К а К — рациональные функции.
325. Формулы сложения. Формула сложения для функции sin* дает
выражение функции sin (a + b) через значения этой функции и ее про-
производной при х = а и х — Ь. Такая же формула существует и для
функции $и; только выражение j^(a-f-f) через $и, fv, f'u, <@/v не-
несколько более сложно, так как в него входит делитель.
Применим сначала общую формулу D1), в которую входит функ-
функция аи, к эллиптической функции f и — fv. Непосредственно видно,
а (и 4- v)a(u — v)
что — -z—5 есть эллиптическая функция, имеющая те же нули
и полюсы, как и функция $ и — fv. Следовательно, мы имеем:
-f) о (и — v)
\и — й v=C-
а2и
Чтобы определить постоянное С, достаточно умножить обе части этого
равенства на а2и и приближать и к нулю. Таким образом получим со-
соотношение: 1= — C&v, откуда находим:
a(u-\-v)a(u — v) ....
^J;¦'• D4)

§ 325 II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 165
Возьмем от обеих частей логарифмические производные, рассматривая v
как постоянное, а и как независимое переменное. Мы получим:
переставляя в этой формуле и и v, будем иметь:
Наконец, складывая обе формулы, придем к соотношению:
представляющему формулу сложения для функции ?и.
Диференцируя обе части по и, мы получили бы выражение для
$(u-\-v); правая часть будет содержать вторую производную %>"и, КО-
торую надо заменить через 6 f2u — -*-. Вычисление несколько длинно,
и мы придем к результату более изящным путем, доказав предвари-
предварительно формулу:
p(u + v)-\- fu + fV=[Z(u + v) — U — Zv]*. D6)
Будем рассматривать попрежнему и как независимое переменное.
Обе части [суть эллиптические функции, имеющие полюсами второго
порядка w=0, и = — v и все значения, которые получим, прибавляя
к этим значениям периоды. В области начала координат имеем:
?v-\-... — Си—г;г>=— --\-и l.'v-\-аи?-+-...,
и следовательно,
Главная часть есть —2, как и у левой части D6). Сравним также между
собою главные части в области полюса и = — v. Полагая м = — v-\-h,
будем иметь:
К А _ Z (A _ V) - fry = i_ _ 2 ?v + . . .
Следовательно, главная часть правой части формулы D6) в области.
точки и = — v есть , как и у левой части. Из этого следует,
что разность между обеими частями может быть только постоянным.

166 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 325-325
Чтобы вычислить это постоянное, сравним между собою разложения,
например, в области начала координат. В этой области мы имеем:
Сравнивая это разложение с разложением функции [? (и + v) — "и — Zv]2,
мы видим, что при и = 0 разность равна нулю. Следовательно, фор-
формула D6) доказана. Из сравнения формул D5) и D6) получаем фор-
формулу сложения для функции fu:
326. Интегрирование эллиптических функций. Формула разложения,
данная Эрмитом, применима непосредственно к интегрированию эллип'
тической функции. В самом деле, из формулы D2) получаем:
f(u) du = Си -|- X { А<? L°g t3 (« - в/I — А2° ч (« — «•) + • • ¦
(О
• •• + (-! У4 ^гщ^1 («-«/)• D8)
\
Мы видим, что интеграл от эллиптической функции выражается через
те же трансцендентные функции о, ?, f, как и сама эллиптическая
функция, но функция аи может входить в это выражение под знаком
логарифма. Чтобы интеграл от эллиптической функции был также эллип-
эллиптическою функциею, необходимо прежде всего, чтобы интеграл не имел
логарифмических критических точек, т. е. чтобы все вычеты А^ были
равны нулю. Если это будет так, то интеграл есть мероморфная функ-
функция; чтобы она была эллиптическою, достаточно, чтобы она не меня-
менялась при прибавлении периода, т. е. чтобы было
2Сш — 2т) X Л« = О, 2CV — 2г/ ? А « = О,
i I
откуда С = 0, ^^ = 0- Если эти условия удовлетворяются, то инте-
i
грал представится в виде, соответствующем теореме Эрмита.
Если эллиптическая функция, которую надо интегрировать, выражена через <§ и
и %>'и, то часто выгодно Исходить из этой формы, вместо того, чтобы пользо-
пользоваться общим методом. Пусть требуется проинтегрировать эллиптическую функ-
цию /?(^м)+^гм/?,(^м), где R и RL—рациональные функции. Интеграл \R{fu)$'udu
нас не затруднит, так как заменою переменного $ u — t мы приведем его к инте-
интегралу от рациональной функции. Что касается интеграла \ R(fu)~du, то можно
¦было бы привести его операциями рационального вида вместе с надлежащими
интегрированиями по частям к некоторому числу типических интегралов; но это
¦было бы равносильно повторению в другом виде вычислений, уже сделанных ра.

§ 326 П. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 167
нее (т. I, § 100). В самом деле, сделав замену переменного $u = t, получим
'd = dt, или
. dt dt
du= — =
я интеграл \ R($u) du принимает вид:
R(t)
I"
.dt.
/з _ git -
Мы видели, как можно разбить этот интеграл на рациональную функцию от <
и от корня \/it3 — gjt — g3, на сумму нескольких интегралов вида:
м наконец, на несколько интегралов вида:
f <?_(*) dt
J P(t) ]/W — g2t-gs'
где P[f) — многочлен, первый со своею производного и с 4?* — git — g3, a Q(t) —
первый cP[t) и низшей степени.
Следовательно, возвращаясь к переменному а, мы видим, что интеграл
\ R(yu) du равен рациональной функции от ^ и f'u, сложенной с интегралами
вида \{$u)ndu и с другими интегралами вида:
причем это приведение можно выполнить рациональными операциями (умноже-
(умножениями и делениями многочленов) вместе с некоторыми интегрированиями по
частям.
Нетруднр получить рекуррентную формулу для вычисления интегралов
In=\(gu)ndu. Заменим в соотношении
~ [(р н)л-' р'и] = (л — 1) (й> и)п-2 $Чи + (р и)п-^"и
прочзводные $>'2и и ^"и, соответственно, через 4^>3и— g^)M — g-3 и 6^2м—о~й;
располагая результат по степеням fu, го!учим:
отсюда, интегрируя обе части, будем иметь:
[n_i-(n-l)g3rn.i. E0)
Полагая в этой формуле последовательно л = 1, 2, 3, ..., мы выразим один
за другим все интегралы через два первых /0 = л, /t = — ?u.
Чтобы провести дальше приведение интегралов вида D9), на,по знать корни
многочлена Pit). Если эти корни известны, то мы приведем задачу к вычислению-
нескольких интегралов вида:
' du
\,

168 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 326-327
где fv отлично от е{, eit е3, так как многочлен Р {t) — первый с 4^ — gzt — g3.
Следовательно, значение v не равно полупериоду, и f'v отлично от нуля. То-да
из выведенной выше (§ 323) формулы
будем иметь:
^Yv = ~llLogo(u + v)-Logo(u-v)-2u:v) + C. E1)
327. Функция 8. Ряды, которыми мы определили функции $ и, 1и, аи, в том
числе и разложение в целый ряд функции аи, пригодное во всей плоскости, мало
удобны для нахождения численных значений. Основатели теории эллиптических
функций, Абель и Якоби, ввели другую замечательную трансцендентную функ-
функцию, которую уже встретил Фурье в своих работах по теории тепла и которую
можно разложить в ряд, весьма быстро сходящийся; это — функция 8. Мы выве-
выведем кратко оснозные свойства этой функции и покажем, каким образом можно
из нее легко получить функцию аи Вейерштрасса.
Пусть бугет т мнимое количество: т = г+и, где коэфициент s при I поло-
положителен. Обозначим через v комплексное количество; функция fl (v) определяется
разложением в ряд:
J? » = -*. E2)
— оо
который можно рассматривать как ряд Лорана, где г заменено через e~iv. Этот
ряд — абсолютно сходящийся, так как модуль Un его общего члена равен:
если p=a-f р/; мы видим, что 1/Ua при неограниченном возрастании числа п
по положительным значениям стремится к нулю; то же имеет место и для {/•''?/_„.
Следовательно, 8 (v) есть целая трансцендентная функция переменного v. Это —
нечетная функция; в самом деле, если мы соединим члены ряда, соответствующие
значениям указателя п и п— 1, причем будем изменять п от 0 до -f- оо , то мы
заменим разложение E2) следующим:
(„)
6 (v) = 2 ]Г (— \yq К" 2 ' sin Bл + 1) *яг, E3)
о
отсюда видно, что
6(—р) = —6(р), 6@) = 0.
Когда v возрастает на единицу, общий член ряда E2) получает множи-
множитель tfOin+i)io = —1. Следовательно, 8(г/-)-1)=—Q{v). Изменим v в f-j-i; мы
получим новый ряд, причем простого соотношения между рядами здесь непо-
непосредственно не видно. Но мы имеем:
( + |) + +
-ih 2 е i
— ОО
если мы изменим в этом ряде л в л—1, то общий член нового ряда?

327 II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 16S»
будет равен общему члену первого ряда E2), умноженному на —q->e-i7!'v. Сле"
довательно, функция 9 (v) удовлетворяет двум соотношениям:
E4)'
из этих соотношений видно, что функция в(т>) имеет нулями все точки nti-\- tn^r.
где mi и тг — произвольные целые числа, положительные или отрицательные,,
так как в@)= 0.
Это — единственные корни уравнения в (v) = 0. В самом деле, рассмотрим
параллелограм с вершинами в точках f0, fo-j- 1, г/04- 1+т, vu + т, причем пер-
первая вершина va взята таким образом, чтобы ни один из корней функции 8 (v) не-
нележал на контуре параллелограма. Покажем, что внутри этого параллелограма
уравнение в (v) =г 0 имеет только один корень. Для этого достаточно вычислить.
интеграл I -rj~i, 0> взятыи в прямом направлении вдоль контура параллело-
параллелограма; на основании предположения, сделанного относительно количества т, мы
встретим вершины в том порядке, в каком они приведены выше.
Из соотношений E4) получаем:
Из первого из этих соотношений следует, что в соответствующих точках ri и iv
Ь' Iv)
на сторонах AD и ВС (черт. 68) функция -тгг-\ имеет одинаковые значения.
Так как эти стороны описываются в противоположных направлениях, 'то
сумма соответствующих интегралов'? равна нулю.
Напротив, если мы возьмем две соответствующие . С(у+1+т)
точки т, т', лежащие на сторонах АВ, DC, то 0{и^Т) т> . /
8' И , /—^7=
значение функции -^~-г в точке /п равно значению / У
той же функции в точке /п, уменьшенному на 2ти. // / у
Следовательно, сумма интегралов, взятых вдоль "/ -/ уп
этих обеих сторон, равна Z ILL /п. ,•.
, A(ut) — %о*1
ci Черт. 68.
Так как очевидно, что в параллелограме ABCD есть одна и только одна точка,,
аффикс которой имеет вид: mt + /я2т> то отсюда следует, что функция в (w) не-
неимеет других нулей кроме указанных выше.
Таким образом функция 8 (v) есть нечетная целая функция, имеющая про-
простыми нулями все точки т1 + т^, и притом только их, и удовлетворяющая со-
соотношениям E4). Пусть будут теперь 2<о и 2<о' такие периоды, что коэфициент
О)' 11 О)'
при г в —¦ положителен. Заменим в 0 (о) переменное v через =— и.т через —V
Обозначим через <р (и) функцию
(|) E5>
<Р (и) — нечетная целая функция, имеющая нулями первого порядка все периоды
2(о = 2/пш -|- 2/п'ш'; соотношения E4) принимают вид:
Эти свойства весьма близки к свойствам функции аи. Чтобы получить аи, доста-
достаточно умножить у (и) на показательный множитель. В самом деле, положим
Ф(«) = вЧб)» *^ "'*(«)• <57>

170 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 327-328
где ri есть функция от «о и а/, определенная выше (§ 322). Функция ф(н) есть
также нечетная целая функция, имеющая те же нули, как и <р (и). Первое из со-
соотношений E6) оэращается в
-3- (о + 2ш
2ш Ы' + °» E8)
Далее, мы имеем:
2<о
г ; н
или, принимая во внимание соотношение i)u>—г)ш = —-:
E9)
Соотношения E8) и E9) тождественны с соотношениями, выведенными выше
Ф(и)
для функции аи. Следовательно, частное —- имеет два периода 2<о и 2о>', так
аи
как при Еозрастании и на период оба члена этого отношения получают по оди-
одинаковому множителю. Так как обе функции имеют одинаковые нули, то это отно-
отношение равно постоянному; кроме того, коэфициент при и в обоих разложениях
равен единице. Сле,сователько, мы имеем ви = ф(н), или
F0)
и функция аи выражена через функцию 6. Так как | q | < 1, то если аргумент v
¦получает действительные значения, ряд E3) сходится весьма быстро. Мы не бу-
будем развивать дальше этих указаний; их достаточно, чтобы видеть основное зна-
значение функции 6 в приложениях эллиптических функций.
III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА.
328. Соотношения между периодами и инвариантами. Всякой системе
двух комплексных чисел со, со', отношение которых - не есть действи-
действительное число, соответствует вполне определенная эллиптическая функ-
функция fu, имеющая периоды 2w, 2co' и правильная при всяком значении
переменного и, отличном от значений вида 2/жо + 2/я'о/, причем все пе-
периоды суть ее полюсы второго порядка. Функции ?« и аи, которые
получаются из $и одним или двумя интегрированиями, также опреде-
определены системою периодов B<о, 2со'). Когда необходимо указать эти пе-
периоды, можно пользоваться для трех основных функций обозначениями
<<# (и I со, си'), ?(и|со, со'), с (и ! со, со').
Однако должно заметить, что систему (со, со') можно заменить бес-
бесконечным множеством других систем (й, Q'), не изменяя функции <§ и.
В самом деле, пусть будут /и, п!,' п, rj такие целые положительные
или отрицательные числа, чтобы было mrJ — m'/i = =(=l. Полагая
Q =/яа>-|-ясо', Q'=/я'со-|-/zV> будем иметь, обратно: co = 4r(«'Q—пй'),
e>' = :b(mQ' — /и'й); ясно, что все периоды эллиптической функции fu
•суть комбинации двух периодов 2Q, 2Q', совершенно так же, как и
двух периодов 2со, 2со'. Две системы периодов Bсо, 2со') и BQ, 2Q')
равносильны. Функция f(u\&, Q') имеет те же периоды, те же по-
.люсы с теми же главными частями, как и функция (р(и|со, со'), и их

§ 328 III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА 171
разность равна нулю при и — О. Следовательно, они тождественны;
это следует также из разложения B2), так как множество количеств
2/яю -f- 2ffi'w' тождественно с множеством количеств 2mQ -\- 2m'Q'. На
том же основании будет ?(и|Й, Q') —?(и| и, ю'), a{u\Q, Q') = a(«| to, со').
Точно так же функции fu,Z,u, аи вполне определены и инвариан-
инвариантами g2, g3. В самом деле, мы видели, что функция аи определена раз-
разложением в целый ряд, все коэфициенты которого суть целые много-
_ с'и w
члены по g2 и g3; затем мы имеем ?и = — и, наконец, jf« = — ц и.
Чтобы обозначить функции, соответствующие инвариантам g2 и g3,
пользуются обозначениями f (и; g2, g3); Z(u;g2,g3); a{u;g2,g3).
Здесь возникает следующий существенный вопрос. Из самого спо-
способа образования функции fu очевидно, что всякой системе (ш, со')
. 0)'
соответствует эллиптическая функция %ри, если только отношение -
не есть действительное число; но ниоткуда непосредственно не видно,
чтобы всякой системе значений инвариантов g2, g3 соответствовала эллип-
эллиптическая функция. Мы знаем, что выражение g-,3—27g2 должно быть
отлично от нуля, но наверное нельзя еще утверждать, что это условие
достаточно. Рассматриваемая задача приводится, в сущности, к решению
выведенных выше трансцендентный уравнений (§ 321):
14°S
относительно неизвестных щ, <о', или, по крайней мере, к разысканию,
имеют ли эти уравнения при g23 — 27g32, отличном от нуля, такую сис-
тему решений, чтобы - - не было действительным числом. Если суще-
@
ствует одна система решений, то существует бесчисленное множество
других, но прямое решение предыдущих уравнений, повидимому, недо-
недоступно. К решению вопроса можно притти окружным путем, изучая
сначала задачу обращения эллиптического интеграла первого вида.
П р и.м е ч а н и е. Пусть будут <*>, и>' такие комплексные числа, что -- не есть
действительное число. Соответствующая функция <§ (и ! <о') удовлетворяет дифе-
ренциальному уравнению:
\du J
тДе g-ъ 5з опреиеляютсч уравнениямя F1). При и = о> количеств f<& равно корню
е{ уравнения 4$3 — gtf — g3^=0. Когда и изменяется от 0 до ш, $и описывает
линию L, идущую из бесконечности в точку et: так как мы имеем соотношение
, dp
¦"" — г , то отсюда заключаем, что полупериод равен определен-
определенному интегралу:
е,
do
¦=f
ос

172 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 328-329
ввятому вдоль линии L. Аналогичное выражение для <*>' мы получим, заменяя
в предыдущем интеграле ei через е%.
Таким образом мы имеем выражение полупериодов ш, <¦>' через инварианты.
Чтобы иметь ьозможность вывести отсюда решение рассматриваемой задачи,
необходимо было бы доказать, чга эта новая система уравнений равносильна
системе F1), т. е. что она определяет g3 и gs как однозначные функции от ш и <о'.
329. Функция, обратная эллиптическому интегралу первого вида.
Пусть будет R (г) многочлен третьей или четвертой степени, первый
со своею производного. Мы представим этот многочлен в виде:
R{z) = A{z — аг)(г — а2){г — a3)(z — а4),
где аг, а2, а3, ai — его различные корни, если R(z)—четвертой сте-
степени; если же R{z)— третьей степени, то мы обозначим его корни через
а:, а2, а3 и положим, кроме того, а4=оо , условившись заменять z — оо
в выражении R (г) единицею. Эллиптический интеграл первого вида есть
где для определенности предположим, что начало z0 отлично от кор-
корней многочлена R(z) и находится на конечном расстоянии, и корень
имеет определенное начальное значение. Если R(z) — четвертой сте- .
пени, то корень \^R{z) имеет четыре критических точки ал, а2, а3, о4,
и каждое из значений корня ]/rR(z) имеет точку z=oo полюсом вто-
второго порядка. Если R(z) — третьей степени, то корень ~\fR(z) имеет
только три критических точки а,, аг, а3 на конечном расстоянии. Но
если переменное z описывает окружность, содержащую внутри себя
точки ал, а2, а3, то оба значения корня переходят одно в другое; сле-
следовательно, точка 2=oo есть точка разветвления функции \rR{z\.
Напомним свойства эллиптического интеграла и, -выведенные выше
(§306 и 307). Если u(z) обозначает значение этого интеграла, соответ-
соответствующее переходу от точки z0 до точки z по определенному пути,
то этот интеграл может иметь в той же точке z бесконечное множество
значений,' которые все содержатся в формулах:
и — п(г)-\- 2ш»-}-2/и'о/, и = / — гф)-f 2/гаш-f 2/я'ш'. F3)
В этих формулах т и от' суть совершенно произвольные целые
числа, 2(о и 2ш' — периоды, отношение которых не есть действительное
число, и /—постоянное, которое можно принять, например, равным
интегралу, взятому вдоль петли, описанной вокруг точки а,.
Пусть будет f{u\w, <i>') эллиптическая функция, за периоды кото-
которой взяты периоды 2<о, 2ш' эллиптического интеграла F2). Заменим
в этой функции переменное и интегралом F2), уменьшенным на - - ;
пусть будет Ф (z) полученная таким образом функция от г:
F4

§ 329 Ш. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА 173
Эта функция Ф(г) есть однозначная функция переменного г. В самом
деле, если мы заменим и каким-нибудь из его значений F3), то, ка-
каковы бы ни были т и /я', мы получим:
, со' , или Ф (г) =f I — — й(г) | ш, соЧ ,
или фB) = !
т. е. единственное значение для Ф(г).
Найдем, каковы могут быть особые точки этой функции Ф (г).
Пусть будет сначала гл какое-нибудь значение переменного z, отлич-
отличное от точки разветвления. Предположим, что мы перемещаем перемен-
переменное z из точки г0 в точку z, по некоторому определенному пути. Мы
придем в эту точку с некоторым значением для корня и с значением и,
для интеграла. В области точки z, функция есть голоморфная
У А" (г)
функция от z, и мы имеем разложение вида:
:=ao-\-a1(z — гл)-\-а2 (г — ZjJ -{-..., с
отсюда получаем:
Если и, не равно периоду, то функция $[и ^ 1 голоморфна
в области точки uv и следовательно, Ф(г) голоморфна в области
точки г7. Если иг — -- равно периоду, то точка иг есть полюс второго
порядка для (р I и — "о" ) > и следовательно, zy есть полюс второго по-
порядка для Ф(г), так как в области точки иа мы имеем:
где Р — голоморфная функция.
Предположим затем, что z стремится к критической точке аг
В области точки at мы имеем:
[/?(*)]"=(*-а,)"Я(*-в/),
где Р голоморфно при z=a{, или
(г)
отсюда, интегрируя почленно, получаем:
F6)

174 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 32>
Если ut—-~- не равно периоду, то flu — —} есть голоморфная
функция от и в области точки иг Заменим в разложении этой функ-
функции по степеням и — и{ разность и — ut ее значением, выведенным из.
формулы F6); дробные степени разности z — at должны исчезнуть,,
так как мы знаем, что левая часть есть однозначная функция от z,
и мы видим, что Ф{г) голоморфно в области точки аг Заметим, между
/
прочим, что отсюда следует, что ut—— должно быть равно полупе-
риоду так как $ I u I должно быть четною функциею от и — ut L
Точно так же мы увидим, что если а{ — -_~ равно периоду, то точка at
есть полюс первого порядка функции Ф (z).
Изучим, наконец, свойства функции Ф (г) при бесконечно больших
значениях переменного z. Здесь надо различить два случая в зависи-
зависимости от того, будет ли /?(г) третьей или четвертой степени. Если
многочлен ^?(г) — четвертой степени, то вне круга С с центром в начале
координат, содержащего четыре корня, каждое из двух значений функ-
функции — есть голоморфная функция от - - . Например, для одного
VH {г) г
из них мы имеем:
и достаточно изменить все знаки на обратные, чтобы иметь разложе-
разложение второго значения. При неограниченном возрастании модуля пере-
1
менного z, причем корень , имеет приведенное выше значение,
УЩг)
интеграл и стремится к некоторому конечному значению Uqq, и мы
имеем в области бесконечно удаленной точки:
2^ _...
Если «до——- не равно периоду, то функция f I и — --) —правиль-
—правильная в точке и<эо> и следовательно, точка г=оо есть обыкновенная
точка функции Ф (z). Если Идо равно периоду, то точка
2
есть полюс второго порядка функции f I и — -^-1 , и так как в области
точки z —ос имеем:
то точка z=oo есть полюс второго порядка также и для функции ФB).

§ 329 Ш. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА 175-
Если R(z) — третьей степени, то вне круга с центром в начале ко-
координат, содержащего три критических точки av а2, а3, мы имеем раз-
разложение вида:
и следовательно,
Рассуждая, как и выше, мы увидим, что бесконечно удаленная точка!
есть обыкновенная точка или полюс первого порядка функции Ф(г).
Таким образом функция Ф (z) имеет особыми точками только полюсы;
следовательно, она есть рациональная функция от z, и эллиптический,
интеграл первого вида F2) удовлетворяет соотношению вида:
F9>>
где Ф (z)—рациональная функция. Нам еще не известна степень этой
функции; покажем, что она — первой степени, и для этого изучим
обратную функцию. Другими словами, мы рассмотрим теперь и как
независимое переменное и найдем- свойства верхнего предела z инте-
интеграл F2), рассматривая г как функцию этого интеграла и. Мы ра-
разобьем это довольно тонкое исследование на несколько частей.
1. Каждому конечному значению интеграла и соответствуют т
значений переменного z, если т есть степень рациональной функ-
функции Ф (z).
В самом деле, пусть будет иг какое-нибудь конечное значение пере-
переменного и; уравнение Ф (г) = ф(иг— .-1
решений, вообще, различных и конечных, но при частных значениях иЛ
некоторые из этих корней могут сливаться или обращаться в бесконеч-
бесконечность. Пусть будет гл одно из этих решений; значения эллиптического
интеграла и, соответствующие этому значению переменного z, удовле-
удовлетворяют уравнению:
относительно z имеет т-
Следовательно, мы имеем одно из двух соотношений:
и = и1-\- 2т1ш-\-2т2(й', и = 1—аг -\- 2т1а> -f- 2m.^m';
в том и в другом случае мы можем перемещать переменное z от zn к zr
по такому пути, чтобы значение интеграла, взятого вдоль этого пути,,
было именно равно и,. Следовательно, если степень функции Ф{г)
равна т, то есть т значений переменного z, при которых интеграл F2)
принимает данное значение и.
2. Пусть будет иг конечное значение интеграла и, которому со-
соответствует конечное значение г1 переменного г; значение перемен-

U76 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 329
мого z, стремящееся к zv когда и стремится к uv есть функция
от и, голоморфная в области точки иг.
В самом деле, если z1 отлично от критической точки, то значения
«переменных и и z, стремящихся, соответственно, к иг и гЛ, связаны вы-
выведенным выше соотношением F5), где коэфициент а0 не равен нулю.
По общей теореме о неявных функциях (т. I, § 184), отсюда, обратно,
¦получим для z—Z-, разложение по целым и положительным степеням
дэазности и—иГ Если, при частном значении и(, переменное z равно
критическому значению ап' то можно было бы рассматривать правую
часть формулы F6) как разложение по степеням корня ]/'z — а ; так
¦как а0 не равно нулю, то отсюда, обратно, выведем для ]/ z — at, а сле-
следовательно, и для z — at, разложение по целым степеням разности и— иг
3. Пусть будет «оо значение, которое принимает интеграл и, когда | г
¦«неограниченно возрастает; точка Uqq есть полюс для значения г, мо-
модуль которого неограниченно возрастает.
В самом деле, значение интеграла и, стремящееся к Uqq , предста-
представляется в области бесконечно удаленной точки одним из разложений F7)
«ли F8). В первом случае мы получим для — разложение в целый ряд,
Z
расположенный по степеням разности и — и^ :
-во втором случае мы будем иметь аналогичное разложение для ——.,
та следовательно,
(
Следовательно, точка Uqq есть полюс первого или второго порядка
• функции z в зависимости от того, будет ли многочлен R(z) четвертой
или третьей степени.
.. 4. Докажем, наконец, что каждому значению переменного и не мо-
..жет соответствовать более одного значения переменного z. В самом
деле, предположим, что, перемещая переменное z из точки z0 по двум
'путям в две различные точки zv z2, мы в обоих случаях получим для
интеграла и одинаковые значения. Тогда можно было бы найти такой
путь L, соединяющий эти обе точки гг,'г2, чтобы интеграл \ ,
)VR{)
L
взятый вдоль этого пути, был равен нулю. Если мы изобразим инте-
трал u = X-+iY точкою с координатами (X, У) относительно системы
•прямоугольных осей ОХ, ОУ, то мы видим, что при перемещении точки z
по незамкнутой линии L точка и описывала бы некоторую замкнутую
.линию Г. Мы сейчас докажем, что последнее несовместимо с выведен-
шыми выше свойствами.

§329 III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА 177
На основании соотношения (р I и—0-)=Ф(г) каждому значению
переменного и соответствует конечное число значений переменного z,
каждое из которых непрерывно изменяется вместе с «, если только путь,
описываемый переменным и, не проходит ни через одну, из точек, со-
соответствующих значению 2 = oo *. Мы допустили, что, когда перемен-
переменное и описывает в своей плоскости замкнутую линию F, выходя из
точки А («0) и возвращаясь в эту точку, переменное z описывает не-
непрерывную незамкнутую линию, идущую из точки гл в точку гг. Возь-
Возьмем на линии Г две точки М и Р (черт. 69); пусть будут z\ z" зна-
значения, с которыми мы приходим в эти точки М и Р, когда, взяв за на-
начальное значение для z значение zr мы перемещаем и по путям AM
и AMNP. Далее, пусть будет г" значение,
с которым мы приходим в точку Р, когда пе-
перемещаем и по дуге. AQP; по предположению,
z" и Zj" различны. Соединим точки М и Р
линиею. МР, лежащею внутри контура Г, и <
предположим, что переменное и описывает
дугу Ат?, а потом линию МР; пусть будет z2"
значение, с которым мы приходи^ в точку Р.
Это значение z2" будет отлично или от z" или
тэт г". Если оно отлично от z/', то Пути АтМР и AQP не приводят
к одному и тому же значению z в точке Р. Если z" и z2" различны,
то пути АтМР и AtnMQP не приводят к одному и тому же значению
в точке Р; следовательно, выходя из точки /И с значением ? для z
и перемещаясь из Ж в Я по пути МР или по пути MNP, мы полу-
получим для z различные значения. Мы видим, что в обоих случаях можно
заменить замкнутый контур Г меньшим замкнутым контуром Г1? лежа-
лежащим некоторыми своими частями внутри Г и таким, что, когда и опи-
описывает этот замкнутый контур, z описывает некоторую незамкнутую
линию. Повторяя ту же операцию с контуром Тг и т. д. неограниченно,
мы получили бы неограниченную последовательность замкнутых конту-
контуров Г, Г1( Г,, ...,¦ обладающих тем же свойством, как и первый кон-
контур Г. Так1 как очевидно, что можно выбирать эти последовательные
контуры таким образом, чтобы их размеры неограниченно убывали,
то отсюда мы заключаем, что контур Г„ стремится к некоторой пре-
предельной точке .1. Из самого определения этой точки ). следует, что
внутри круга, описанного из точки X радиусом s, всегда существует
замкнутый путь, не приводящий переменное z к его начальному значе-
значению, как бы s ни было мало. Но это невозможно, так как точка \
есть обыкновенная точка или полюс для различных значений z; в обоих
случаях z есть однозначная функция от и в области точки X. Следо-
Следовательно, допуская, что интеграл \ . , взятый вдоль некоторой
* Эти свойства неявных функций, которые мы здесь принимаем, будут доказаны ниж*
глава XVH). •

178 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 329
незамкнутой линии L, может быть равен нулю, или, что то же, допу-
допуская, что значению и соответствуют два различных значения перемен-
переменного z, мы пришли к противоречию. Выше мы заметили, что если при
двух различных значениях z1 и г:г переменного z будет Ф(г1) = Ф(г.)),
то можно найти такой путь L, соединяющий точки гг и г2, чтобы
интеграл \ — был равен нулю. Следовательно, рациональная функ-
J VR(z)
L
ция Ф (z) не может принимать одного и того же значения при двух
раз!ичных значениях переменного z, т. е. Ф (z) — первой степени:
ф(,)=
cz-\~d
Тогда из соотношения F9) получаем:
— dp (и —у
и мы приходим к следующему важному предложению: верхний предел z
эллиптического интеграла первого вида, рассматриваемый как функ-
функция этого интеграла, есть эллиптическая функция второго порядка.
Эллиптические интегралы были весьма глубоко изучены Лежандром,
но к открытию эллиптических функций Абель и Якоби пришли, решая
задачу об обращении этих интегралов.
Действительное определение эллиптической функции z = f{u) со-
составляет задачу обращения. Из соотношения F2) получаем:
и следовательно, Y^iz) =/'(")• Мы видим, что ]А/?(г) есть также
эллиптическая функция от и. Геометрически мы можем все предыду-
предыдущие результаты выразить следующим образом:
Пусть будет R(x) многочлен третьей или четвертой степени,
первый со своею производною; координаты точек кривой С, предста-
представляемой уравнением
G1)
выражаются через эллиптические функции от интеграла первого
<ида
X
Ч1И
таким образом, что каждой точке (х, у) этой кривой соответствует
только одно значение, переменного и, если не обращать внимания на
периоды.

§ 329-330 III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА 179
Чтобы доказать последнюю часть предложения, достаточно заметить,
что все значения переменного и, соответствующие данному значению
переменного х, заключаются в двух формулах:
ио-\-2т1ш-\-2т2а>', I—и0-\-2тг<й-\-2т2®'.
Все значения и, содержащиеся в первой формуле, происходят от чет-
четного числа петель, описанных вокруг критических точек, и прямого
пути, соединяющего х0 с х; они соответствуют одному и тому же зна-
значению корня \fR{x). Значения и, содержащиеся во второй формуле,
происходят» от нечетного числа петель, описанных вокруг критических
точек, и прямого пути, соединяющего Уо с х\ соответствующее значе-
значение у R(x) противоположно первому по знаку. Следовательно, если
одновременно заданы х и у, то соответствующие значения и содержатся!
только в одной из этих формул.
Из предыдущих вычислений следует, что эллиптическая функция
х =¦/(«) имеет двойной полюс в параллелограме периодов, если R(x)—
третьей степени, и два простых полюса, если/?(х)—четвертой степени;
следовательно, у = /'(«)— третьего или четвертого порядка в зависи-
зависимости от степени многочлена R(x).
Примечание. Предположим, что каким-нибудь образом мы выразим коор-
координаты (х, у) точек .кривой y% = R(x) через эллиптические функции параметра #,.
например x = y{v), у = <р4 (v). -Тогда интеграл первого рода обращается в
_ Cdx__C <t\v) dv.
эллиптическая функция ^-~ не может иметь полюса, так как и должно сохра-
пять конечное значение при всяком конечном значении параметра v; следова-
следовательно, она приводится к постоянному k, и мы имеем u = kv-\-l. Очевидно, что-
постоянное / зависит от значения/выбранного для нижнего предела интеграла и;
что касается коэфициента k, то для его определения достаточно дать параметру v
какое-нибудь частное значение.
330. Определение функции $ и через инварианты. Теперь нетрудно1
ответить на поставленный выше вопрос (§ 328). Ёели даны два таких
числа g2, g3, что g23 — 27g32 не равно нулю, то всегда существует
эллиптическая функция $и, у которой g2 и g3 суть инварианты-
В самом деле, многочлен
Г ¦ dz ¦
первый со своею производного, и эллиптический интеграл 1 ..
J V Я(г>
имеет два периода 2ю, 2<о', отношение которых мнимое. Пусть будет
f(u\w, a>') соответствующая эллиптическая функция. Заменим в этой
функции аргумент и интегралом
dz
12*

180
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 330
где л—постоянное, выбранное таким образом, чтобы одно из значе-
значений параметра и при z=oo было равно нулю. Например, можно про-
провести из точки z0 бесконечную полупрямую L и взять для Н значение
оо
\ =', взятого вдоль этой полупрямой L. Покажем сна-
)V'R~()
'интеграла
чала, что полученная таким образом функция есть однозначная функ-
функция переменного z. Пусть будет z какая-ни-
'L будь точка плоскости; обозначим через v. и
v' значения. интеграла
^ ^1 - dz
Черт. 70.
ком Zz0. Функция
VR
ZtjfflZ ZqtlZ
взятые при одном и. том же начальном зна-
значении корня YR (z), вдоль двух путей zomz
и zonz, которые вместе образуют замкнутый
контур, содержащий внутри себя три крити-
критических точки ег, е2, е3 корня (черт. 70). Рас-
Рассмотрим замкнутый контур zomznzQZMNZzb,
образуемый контуром zomznzo, отрезком z0Z,
кругом С с весьма большим радиусом и отрез-
голоморфна внутри этого контура, и мы имеем
соотношение:
J VRT*r)
dz
Z
Г
— \
)
dz
0 •
.?„
при неограниченном возрастании радиуса круга С это соотношение
обращается в v -\-v'—2Я=0. Следовательно, значения и, соответствую-
щие двум путям z^/nz и -zonz, удовлетворяют соотношению M-f-'a' = 0.
Так как $и — функция четная, то отсюда следует, что функция
Л) f[)vRi*)
г0
to
есть однозначная функция переменного г. Мы видели, чт,о это — линей-
линейная функция вида: —то- Чт°бы определить а, Ь, с, d, достаточно
рассмотреть разложение этой функции в области бесконечно удаленной
точки. Мы имеем в этой области:
—1—
VRi?)
2г'1
402
2г'/« ^ 16/

§ 330
III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА
181
следовательно, значение и, равное нулю при
разложением:
!
oo, представляется
Отсюда получаем:
dz-\-b
так что разность jj>m — 2 при 2= оо равна нулю. Но разность — z
может обращаться в нуль при z = оо только в том случае, если с = 0,
b = 0, a = d; таким образом,*^> (а | со, со') 'после замены в ней и через
интеграл G2) обращается в z. Взяв за нижний предел бесконечно уда-
удаленную точку, мы можем представить этот интеграл в виде:
оо
из этого соотношения вытекает $u = z, где за периоды функции %>и
взяты периоды 2и>, 2о/ интеграла \ — . Сравнивая между собою
значения производной — , выведенные из этих соотношений, мы по-
лучим (р'м = У R{z), или, возводя в квадрат:
g'2u = R(z) = 4p3u — gijpu— g3. G3l
Следовательно, числа ^2, ^3 — инварианты эллиптической функции" fu,
за периоды которой взяты 2о>, 2шг. Этим решена предложенная выше
задача (§328). Если g2* — 27^32 неравно нулю, то уравнения F1) удовле-
удовлетворяются бесконечным множеством систем значений количеств ш, ад'. Если
сг, е.г, е3 суть корни уравнения /? (z) = 4z3 — g2z — ^2 = 0, то мы по-
получим систему решений, полагая, например,
оо
Г dZ
оо
ш
С dz
,7Л\
G4)
и отсюда найдем все остальные системы решений, как это было ука-
указано выше.
В приложениях анализа, где приходится иметь дело с эллиптическими функ-
функциями, функция fu всего чаще определяется ее инвариантами. При выполнении
вычислений бывает нужно, зная g2 и ^3 > уметь вычислить систему периодов и,
сверх того, находить корень уравнения $и — А, где А — данное постоянное.
За всеми подробностями метода, а также за всем, касающимся пользования таб-
таблицами, мы можем только отослать к специальным сочинениям *.
* Исходя из формулы C9) разложения в целый ряд функции ои и из тех формул, которые по-
получаются из нее диференцированием, мы, по крайней мере теоретически, можем вычислить он, ч'и,
»'н и, следовательно, х,и\\ <gu для всякой системы значений н, g2, g,.

182 ГЛАВА XV.-ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 33.1
331. Приложение к плоским кривым третьего порядка. Если g23
не равно нулю, то уравнение
g, G5)
представляет кривую третьего порядка без двойной точки. Мы удовле' -
творим этому уравнению, полагая х = ^м, у = $'и, причем инварианть
функции $и суть именно gt, g3. Всякой точке кривой соответствует
в параллелограме периодов одно значение параметра и. В самом деле,
уравнение ^и = х имеет в параллелограме периодов два корня иг и и2;
сумма- и1-{-и2 есть период, и значения $иг и ^>'и2 противоположны
по знаку. Следовательно, они равны двум значениям переменного у,
соответствующим одному и тому же знамению переменного х.
Вообще, координаты точек каждой плоской кривой третьего по-
порядка без двойней точки можно выразить через эллиптические функции
параметра. В самом, деле, известно, что, выполняя томографическое
преобразование, можно привести уравнение кривой третьего порядка
к виду G5); но это преобразование можно выполнить только тогда,
когда известна точка перегиба кривой, а определение точек перегиба
зависит от решения уравнения девятой степени особого вида. Покажем,
как можно получить параметрическое представление кривой третьего
порядка через эллиптические функции параметра, не решая никакого
уравнения, если только известны координаты какой-нибудь точки этой
кривой.
Предположим сначала, что уравнение плоской кривой третьего по-
порядка имеет вид:
f 3 V2 + Щх + йз.
что равносильно тому, что бесконечно удаленная точка есть точка пере-
хиба. Мы приведем это уравнение к предыдущему виду, полагая
4 * 4
откуда
!где инварианты g2 и ga равны:
_
?г— 16 - ?з— 16 •
Следовательно, мы получаем для координат точек кривой G6) выра-
выражения:
л 4 4
°о "о "о
Рассмотрим теперь какую-нибудь плоскую кривую третьего по-
порядка С3; пусть будут (а, $) координаты одной из ее точек. Касатель-
Касательная к кривой в точке (а, Р) встречает кривую в другой точке (а'-, ?'),'
координаты которой выражаются рационально через а, [J.- Если эта

§ 331 III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА 183
точка (а1, $') взята за начало координат, то уравнение кривой прини-
принимает вид:
<Рз (х, У) + <р2 (х, у) + <Pi (х, У) = О,
где <р(.— однородный многочлен степени i (г = 1, 2, 3). Проведем секу-
секущую у=4х; х определяется уравнением второй степени
откуда
где /?@ обозначает многочлен <р220' <)— 4<р3A, *)<pj(l, <), который, во-
вообще,— четвертой степени. Корни этого многочлена суть угловые ко-
эфициенты касательных к кривой, проходящих через начало координат.
Нам заранее известен один корень этого многочлена, именно, угловой
коэфициент t0 прямой, соединяющей начало координат с точкою (ас, (J),
Полагая t= t0 -\- — , получим :
где многочлен R1(t') уже не выше третьей степени. Следовательно, ко-
координаты, (х, у) точек кривой С3 выражаются рационально через пара-
1метр t' и квадратный корень из многочлена Rj{t'). третьей степени.
Мы только что видели, -как можно выразить t' и |//?j(^') через эллип-
эллиптические функции параметра и; таким образом, мы выразим х и у че- ,
рез эллиптические функции от и.
Из предыдущих рассуждений следует, что каждой точке (х, у) кри-
кривой третьего порядка соответствует единственное значение параметра t
и вполне определенное значение корня ]//?(?) и, следовательно, вполне
определенные значения количеств t' и |//?1(i'). Но, как уже было ука-
указано, каждой системе значений количеств { и У^/?, (t'y соответствует
в параллелограме периодов только, одно значение параметра и. Следо-
Следовательно, полученные для координат точек кривой С3 значения x=f (и),
- у —/] (и) таковы, что все значения параметра и, соответствующие одной
и той же точке кривой, разнятся между собою на период.
Это параметрическое представление плоских кривых третьего порядка через
эллиптические функции имеет весйма важное значение *. Например, покажем,
как, пользуясь им, можно определить точки перегиба кривой. Пусть будут x=f(u),
y=fi(u) выражения ее координат; аргументы точек пересечения кривой с пря-
прямою Ах -\- By -\- С = 0 суть корни уравнения Af(u) + Bf{(u) + С = 0. Так как
каждой точке (дг, у) соответствует в параллелограме периодов только одно значе-
значение параметра и, то отсюда следует, что эллиптическая функция /1/(«)+/?/((«) 4-С
должна быть третьего порядка. Очевидно, что полюсы этой функции не зависят
от Л, В, С; следовательно,'если uit ut, щ суть аргументы, соответствующие трем
точкам пересечения кривой с прямою, то должно быть (§ 319):
«1 + «2 + «з = К + 2т.1<л -\-
* К л е 6 ш (Clebsch), Ueber die jenigen Curven, deren Coordinaten sich als ellipti che Functionen
eines Parameters darstellen lassen, CreUe's Journal, т. LXIV, 1865, стр. 210.

184 ГЛАВА XV, ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 331-332
где К есть сумма полюсов, лежащих в одном параллелограме. Заменяя в / и /,
параметр и через -=- + и, мы можем представить предыдущее соотношение проще:
«i + «г + «з = периоду.
Обратно, этого условия достаточно, чтобы три точки Mi (щ), Af2 (и2), М3 (и3) ле-
лежали на одной прямой. В самом деле, пусть будет Мя' третья точка пересечения
прямой Л14Л12 с кривою и «3 ~~ Соответствующее значение аргумента. Так как
сумма и{ + u.2 -\- u2 равна периоду, то щ и и3 разнятся между собою только на
период, и следовательно, М'г совпадает с М3.
Если и есть аргумент точки перегиба, то касательная в этой точке встречает
кривую в трех слившихся точках, и 3« должно быть равно периоду. Следова-
2 4 2'
, 2от,о> 4 2от,<о
тельно, должно быть и = —-—^ — • и очевидно, что достаточно давать целымг
о
числам tni и mi значения 0, 1,2, чтобы получить- все точки перегиба; таким
образом, у кривой есть девять точек перегиба. Прямая, проходящая через две
, | 2 {2
точки перегиба ^ и = , пересекает кривую в третьей
о , о
точке, аргумент которой равен
2(от4 + пи')<й + 2(m2 -f щ)<&'
3 ,
или также трети периода, т. е. в новой дочке перегиба. Число прямых, пересека-
8-9
ющих, таким образом, кривую третьего порядка в трех точках перегиба, равно -^-т ,
т. е. равно двенадцати.
Примечание. Точки пересечения нормальной кривой третьего порядка G5)
с прямою у = тх-\-п определяются уравнением f'u — т$и — п~ 0, левая'
часть которого имеет вместе с f'u тройной полюс и=?0. Следовательно, сумма
аргументов точек пересечения равна периоду. Если Щ и и2 суть аргументы двух
из этих точек, то можно принять — и± — щ за аргумент последней точки пере-
пересечения, и абсциссы этих трех точек, соответственно, равны ^> «4, *@щ, ^ (и4 + и.^.
Отсюда можно вывести другое доказательство формулы сложения для функ-
функции fu. В-самом деле, абсциссы точек пересечения суть корни уравнения:
4*3 — gix — ёг = {mx + nf;
следовательно, мы имеем:
х3 = ри, + р'и2 + j?(Mt + и2) —-^ .
С другой стороны, так как прямая у = гад: + л проходит через две точки
М{ (и,), 7и,(и.2), то мы имеем два соотношения (>эи4 = т^>и1 + л, ^и2 = от^)И2 -f- n,
откуда получаем:
таким образом, мы приходим к уже выведенному (§325) соотношению:
332. Общие формулы обращения. Пусть будет R(x) многочлен чет-
четвертой степени, первый со своею производного. Рассмотрим кривую С4,
представляемую уравнением:
}P = R {х) = аох* + 4гах* -f 6aox2 -f 4a3x + а4. G7)

§ 332 III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА 185
Покажем, как можно выразить координаты х и у точек этой кривой
через эллиптические функции параметра. Если известен корень а урав-
уравнения /?(*)= О, то можно воспользоваться тем способом, который
был дан для кривых третьего порядка. Полагая х = а -| , предста-
представим соотношение G7) в виде:
где /?,(*').— многочлен третьей степени. Следовательно, точки р'ассма--
триваемой кривой С4 однозначно соответствуют точкам кривой С3'
третьего порядка, представляемой уравнением у'2 = &1х'), и формулы,
1 У
устанавливающие это соответствие, суть: х = а-\ г, у = —^- Нопе-
X X
ременные х' и у' можно представить через параметр и формулами вида:
х'±=а\ри-\- р, у' — ацр'и, выбирая надлежащим образом а, р и инва-
инварианты функции $и. Отсюда получаем для хну следующие формулы:
dx
Из формул G8) имеем: du = , так что параметр и тождественен
до знака с интегралом первого вида \ — , и формулы G8) вполне
\ — , и
J VR\x)
решают задачу обращения.
Рассмотрим теперь общий случай, когда мы не знаем ни одного
корня уравнения /?(#) = (). Покажем, что можно, не вводя других
иррациональных выражений кроме квадратного корня, выразить ра-
рационально х и у через эллиптическую функцию $и, инварианты ко-
которой известны, и ее производную $'и. Заменим хну, соответственно,,
через t и v, так что соотношение G7) примет вид:
v2=R{t) = aoti-\-Aa^-{-Qa2P-\- 4a3t-{- ai. G7bis)
Многочлен R(t) можно бесчисленным множеством способов представить
в виде: R (t) = [tp2U)]2 — <Р1.@<Рз@. где Фи Ъ< "?я — многочлены, степень
которых отмечена их указателями. В самом деле, пусть будут (а, [$)
координаты какой-нибудь точки кривой С4. Возьмем многочлен (р2 (t) ¦
так, чтобы было tp2(a) = Pj очевидно, что это можно сделать беско-
бесконечным множеством способов. Уравнение
Я (О — [<Р2(<)]2 = 0
будет иметь корень t = a, и можно положить <p^(t) = t — а. Представив
многочлен R(t) в указанном виде, рассмотрим вспомогательную кривую
третьего порядка С3, изображаемую уравнением
\($) (УА G9)

186 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 332
Пересечем эту кривую секущею y = tx; абсциссы двух переменных то-
точек пересечения суть корни уравнения
и имеют выражения:
Х== ~ "Ра @ ! ~ = ~~ъ?) '
где v определяется уравнением G7 bis). Мы видим, что, обратно, можно
выразить рационально t и v через координаты х и у точек,кривой С3
по формулам:
(80)
Но координаты х и у можно выразить через эллиптические функции
параметра и, так как известна одна точка кривой С3, именно, начало
координат. Следовательно, то же имеет место и для переменных t и v.
Очевидно, что изложенный выше прием можно видоизменять различным
•образом, не вводя другой иррациональности кроме [$ = |/7?(а), при-
причем а произвольно.
Выполним вычисление, предполагая, что всегда можно сделать, что
коэфициент аг при t3 в R(t) равен нулю. В этом случае мы имеем:
«о # V) = К *2J + 6ао<У2 + 4<7оаз'
положим
Уравнение вспомогательной кривой третьего порядка С3 будет:
6аоа2ху2 + 4а0а3х2у -j- а0аАх3 + 2а ^ — х ==¦ 0. (81)
Согласно с общим методом пересечем эту кривую секущею y = tx;
полученное уравнение можно представить в виде:
У 2t* 1 FР
У Q Fо2 + 0^ + a0a4) = 0;
отсюда имеем:
Обратно, мы можем выразить t и \raQR(t) через хну:
(82)
С другой стороны, решая уравнение (81) относительно^, мы имеем:
— 2а0а3х2 -\-у 4а?а?х*—х(аоа4х2— 1) Fаоа2х -)- 2а0)
. 6аоа2х -\- 2а0

§332
III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА
187
Многочлен, стоящий под знаком корня, обращается в нуль при
х = 0; следовательно, применяя изложенный выше метод, мы можем
выразить хну через эллиптические функции параметра. Выполняя
вычисления, мы приходим к формулам:
1 а^и-а, т
(84)
причем инварианты g2, ^эллиптической функции fu равны:
а0а4-\-За22
ах
Заменяя в формулах (82) х и у их предыдущими значениями, по-
получим :
(85)
Эти формулы можно представить в более простом виде, заметив,
вследствие значений (84) инвариантов g2, g3 соотношения
^>v = ——", $v=— (86)
совместимы. С другой стороны, можно заменить — |" "— | через
4 \fpu — $v j
i(P(u-{-v)-\-$u-\-$v. Таким образом, соединяя эти результаты и заме-
заменяя t и ~\fF$(f), соответственно, через хну, мы можем высказать сле-
следующее предложение:
¦ Координаты (х, у) точек кривой С4, представленной уравне-
уравнением G7), где аг = 0, можно выразить через переменный параметр
и формулами:
где инварианты g2 и gs-определяются соотношениями (84), a $v и
$'v — совместимыми уравнениями (86).
Диференцируя по и выведенную выше (§ 325) формулу D5), по-
получим :
1 d 1фи — иГ

188 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 332-333
dK v , , у— dx _,
т. е. —= —^-= , или ди = |/а0—.Следовательно, параметр и пред-
предки 1/а0 .У
ставляет эллиптический интеграл первого вида:
dx
\
УаЛ
и формулы (87) решают задачу обращения.
333. Кривые первого рода. Плоская алгебраическая кривая Сп по-
A—1) (и —2)
рядка п не может иметь более двойных точек, не рас-
распадаясь на несколько различных кривых. Если кривая Сп не распадается
. , ' («_1)(,_2)
и имеет d двойных точек, то разность р =—— —d назы-
называется родом этой кривой. Кривые нулевого рода суть уникурсальные
кривые; координаты их точек можно выразить через рациональные
функции параметра. Следующими наиболее простыми кривыми являются
кривые первого рода; кривая Сп первого рода имеет
(я—1)(я —2) П{п-3)
2 2
двойных точек.
Координаты точек кривой перзого рода можно выразить через
эллиптические функции параметра.
Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим присоединенные кривые
л (п.— 3)
п — 2)-го порядка, т. е. кривые Сп2, проходящие через ¦=
двойных точек кривой С„. Так как для определения кривой (л — 2)-го
(л —2)(я+1) „
порядка нужно ^> точек, то присоединенные кривые Сп_9
зависят еще от
(я_2)(в+1)—я(я—3) = а 1
произвольных параметров. Если мы наложим на эти кривые условие,
чтобы они проходили еще через п—-3 простых точек, произвольно-
взятых на кривой Сп, то мы получим сеть присоединенных кривых,
.проходящих через все ——-—- двойных точек» кривой Сп и через
п — 3 ее простых точек. Пусть будет F(x, y) = 0 уравнение кривой
уравнение этой сети кривых Сп_2, где X и р. -— произвольные пара-
параметры. Всякая кривая этой сети пересекает Сп только в трех перемен-
переменных точках, так как каждая двойная точка должна считаться за две
общих точки, и мы имеем:
л (л — 3) + я — 3 == л (л — 2)'— 3.

333 III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА 189
Положим теперь
~А(хуУ ( '
/г(х,УУ *-Мх,уУ
Когда точка (х, у) описывает кривую Сп, точка (л', У) описывает
алгебраическую кривую С, уравнение которой мы получим, исключая
х и у из уравнений (88) и F(x, y) = 0. Точки кривых С и Сп свя-
связаны между собою бирациональным преобразованием, т. е., обратно,
координаты (х, у) каждой точки кривой Сп выражаются рационально
через координаты (х', У) соответствующей точки кривой С'. Чтобы
это доказать, достаточно показать, что каждой точке (х',у') кривой С'
может соответствовать только о'дна точка кривой Сп, т. е. что уравне-
уравнения (?8) вместе с F(x, у) = 0 могут иметь относительно хну только
одну систему решений, изменяющуюся вместе с х' и у'.
В самом деле, предположим, что какой-нибудь точке кривой С
соответствуют две точки (а, Ь), {а1, Ь') кривой Сп, не входящие k со-
состав основных точек сети кривых Ся_2. Мы имели бы в этом случае:
/i(af,y)= Л (*'.*') = Л К*')
А (а, Ь) /2 (а, Ь) ~/3 (а, Ь) *
и все кривые сети, проходящие через точку (а, Ь), проходили бы так-
также и через точку (а1, Ь'). Кривые сети, проходящие через эти две
точки, все-таки зависели бы еще линейно дт переменного параметра й
пересекали бы кривую Сп только в одной переменной точке; -коорди-
-координаты этой последней точки пересечения с кривою Сп были бы рацио-
рациональными функциями переменного параметра, и кривая Сп была бы
п(п — 3)
уникурсальною, но это невозможно, так как она имеет только _—
двойных точек. Следовательно, каждой точке (х',у!) кривой С' соот-
соответствует только одна точка {х,у) кривой Сп,% и потому, согласно тео-
теории исключения, координаты этой точки
х = <?1(х', У), у = Ф2(х', У) (89)
?уть рациональные функции от х' и у'.
Чтобы определить порядок кривой О, найдем число точек пересече-
пересечения этой кривой с какою-нибудь прямою ах'-\- Ьу'-\-с=0. Задача
приводится к определению числа общих точек кривой Сп и кривой
а А (*. У) + Ь/з (х- У) + с U (*. У) = °.
так как каждой точке кривой (У соответствует только одна точка кри-
кривой С„, и обратно.' Но таких общих точек, изменяющихся вместе с а,
Ь, с,—только три; следовательно, кривая С' — третьего порядка. Итак,
координаты точек кривой Ся? можно рационально выразить через коор-
координаты точек плоской кривой третьего порядка, а так как -координаты
точек кривой третьего порядка суть эллиптические функции параметра,
то то же имеет место и для координат точек кривой Сп.
Из этого доказательства и из того,' что было указано выше отно-
относительно кривых третьего порядка, следует также, что это представле.

190 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 333
ние через эллиптические функции можно сделать таким образом, чтобы
каждой точке (х, у) кривой Сп соответствовало только одно значение
и в каждом параллелограме периодов.
Пусть будут х = ф(й), j/ = <i)a(«) формулы, определяющие х и у.
Всякий абелев интеграл w = I R (х, у) dx, связанный с кривою Сп
(т. I, § 98), приводится этою заменою переменных к интегралу от
эллиптической функции; следовательно, этот интеграл сам выражается
через трансцендентные функции f, С, о теории эллиптических функций.
Введение этих трансцендентных функций в анализ значительно увели-
увеличило мощность интегрального исчисления.
П р и мбр. Бициркулярная кривая четвертого порядка. Кривая четвертого
порядка, имеющая две двойных точки, — первого рода. Если двойные точки суть
бесконечно удаленные круговые точки, то кривая Ct Называется бициркулярною
кривою четвертого порядка. Если мы примем за начало координат какую-ни-
какую-нибудь точку этой кривой, то за присоединенные кривые Сп_% можно взять окруж-
окружности, проходящие через начало координат,
yi + hc+v.y~0.
Чтобы получить кривую третьего порядка, однозначно соответствующую кривой С4
достаточно, согласно общему методу, положить
Отсюда, обратно, имеем:
У ~~
х* + у*"
а эти формулы определяют инверсию относительно круга, описанного из начала
координат радиусом, равным единице. Чтобы получить уравнение кривой третьего
порядка С3', достаточно заменить в уравнении кривой Ск переменные х и у их
предыдущими значениями. Предположим, например, что уравнение кривой С*
есть (jfJ4-_y2J—ау — 0; тогда кривая С3' представляется уравнением ау'(у'--\-
-t- х"?) —1=0.
Примечание. Если плоская кривая Сп имеет особые точки высшего по-
порядка, то она есть кривая первого рода, если все эти особые точки равносильны
~—' обыкновенным дбойным точкам. Например, кривая четвертого порядка,
имеющая только одну двойную точку, в которой две ветви кривой касаются друг
лруга, не представлял никакой особенности, — первого рола; чтобы в этом убе-
убедиться, достаточно пересечь эту кривую четвертого порядка сетью кривых второго
порядка, касающихся ее обеих ветвей в двойной точке и проходящих через ка-
какую-нибудь другую точку кривой. Кривая у = /?(*), где многочлен R(x) — чет-
четвертой степени, первый со своею производного,, представляет такую особенность
в бесконечно удаленной точке. Мы приведем ее бирациональным преобразованием
к кривой третьего порядка; полагая
х = х', у=у'+ j/fl,*'*;
отсюда нетрудно вновь получить формулы обращения (87).

ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ..УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Пользуясь разложением
доказать, что двоякопериодическая целая функция есть постоянное.
[Из условия f{z + m')=.f(z) следует, что Ап = 0, если пфО
2. Если а не есть кратное числа -, то
¦ ¦ +oo
sin a V a ) ¦"
— oo
[Изменить г в z + а в формуле разложения ctg г и затем интегрировать
между пределами 0 и г.]
3. Вывести из предыдущей формулы следующие бесконечные произведения:
Д)_Л
V
cosa V +2a + icJ-L1 [Х + 2а-Bл — Х)
— схэ
-J^.
sin a — sin 2
sin a
— oo
+ OO
cos г — cos a
-cos a
— 00
Преобразовать эти произведения в произведение первичных множителей или
в произведения, не содержащие более показательных множителей, как, например:
cos^=(l—4^) (l_g) ... [l___^_]...
4. Вывести формулы:
. L-4 4 4 J
(-.•.¦ + (—I)" h.-.l
Вывести аналогичные формулы для
1 1
sin г — sin a ' cos г — cos a'
5. Из формулы A7) § 315, дающей разложение функции ctg дг, вычислить,,
беря последовательные производные, значения сумм
+ оо ¦
S.—: т— , m > 1.
(х -f mt)'"
— оо

892 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Заменяя в первой из этих формул х через уг Log z, получаем соотношение
Стильтьеса:
+ ОО
— оо
6. Разложить на простые элементы функции ——, , .
7. Если й = 0, то
; о, й)=«(?(«; о, ?,)> i?r(a«; °' а)=1?'(и; о.
тде а — корень кубичный из единицы. Вывести отсюда разложение на простые
элементы функции -; — , когда л = 0.
8. Даны интегралы:
dx,
хь
J (Jf — 1) j/лгз — 1 Х' J j/l + j
1 - ЦЛ)
выразить переменное л: и один из этих интегралов через трансцендентные функ-
.ции |^, К, о.
9. Вывести формулу, разложения, данную Эрмитом (§ 324), приравнивая нулю
..•сумму вычетов функции F(z)[Z(x— г) — К(х0—.г)], заключающихся в параллело-
граме периодов, где F(x) — эллиптическая функция, и х, х9 рассматриваются как
постоянные.
6"'@)
10. Вывести из формулы F0) соотношение tj = — ^=—Шп\- [Заметить, что
ряд для ни не содержит члена с и3.]
11*. Выразить через эллиптические функции параметра координаты х и у
точек кривых:
jfi = A [(х-а)(х-Ь)(х-с)\*. у* = А [{х-а)(х-ft)]*.
— А(х — а? (х — ЬУ(х — с?, уб — А(х— af {x — bf,
А( )ЦЬ A()i(bf
у* + № + тх + п)у»- + А [(х — а)(х— Ь)(х - c)]i =± 0,
З3 А* \2 / зз Л4 \2
) =0, yi + Axy + tf^Bxt+^jz) =Q,
Вх> -4- 4? Jg) := 0, Г + ^^4 + ** (В* - 5-j 4-g j =0,
4* Л4 \2
Перем?нный параметр равен до постоянного интегралу I —.
[Врио и Буке (Briot et Bouquet), Theoriedes fonctions doublement periodiques,
'2-е издание, стр. 388—412.]

ГЛАВА XVI.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ.
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ОДНИМ ИЗ ЕЕ
ЭЛЕМЕНТОВ.
334. Первое понятие об аналитическом продолжении. Пусть будет/(г)
функция, голоморфная в связной части А плоскости, ограниченной
одной или несколькими линиями, замкнутыми или разомкнутыми; мы
попрежнему употребляем слово линия (т. I, § 13) в обычном элемен-
элементарном смысле, как мы это делали до сих пор.
Если значение функции f(z) и всех ее последовательных производ-
производных в какой-нибудь определенной точке а области А известны, то
отсюда можно получить значение этой функции в какой-нибудь другой
точке b той же области. Чтобы доказать это, соединим точки а и b
каким-нибудь путем L, лежащим на всем своем протяжении в области
А, например многоугольною линиею или кривою произвольного вида.
Пусть будет $ низшая граница расстояния точек пути L от точек кон-
контура области А, так что круг, описанный из любой точки линии L
радиусом, равным §, лежит всеми своими точками в области А. По
предположению нам известны значения функции /(а) и ее последова-
последовательных производных /'(а), /"(а), ... в точке z = а. Следовательно,
мы можем составить целый ряд, представляющий функцию / (z) в обла-
области точки а:
fw + ^g /
Радиус сходимости этого ряда равен по крайней мере 5, но он может
быть и больше. Если точка b лежит в" круге сходимости Со предыду-
предыдущего ряда, то достаточно заменить в этом ряде z через Ь, чтобы по-
получить f(b). Предположим, что точка b лежит вне круга Со; пусть
будет аа точка, в которой путь L пересекает круг Со * (черт. 71).
Возьмем на этом пути внутри Со точку zv близкую к точке а3" и та-
* Так как значение функции /(г) в точке Ь не зависит от пути L, пока Stot путь не выходит
¦из области А, то можно предположить, *ак это представлено на чертеже, что этот путь пересе-
пересекает крут Со только в одной точке, а круги С, С,, ... — не более чем в двух точка». Это сво-
сводится, в сущности, к тому, что мы берем за точку а последнюю точку пересечения пути L и
круга Со и то же самое для остальных точек.
13 Э. Гурса, т. II, ч. 1.

194 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 334
г
кую, чтобы расстояние между точками z1 и ал было меньше, чем —.
Пользуясь рядом A) и теми, которые мы получим, диференцируя ряд
A) любое число раз, мы можем вычислить значения функции /(г) и
всех ее производных/^), /'(га), ... , /(и)(г,), ... при z = zx. Следо-
Следовательно, коэфициенты ряда, представляющего функцию f{z) в области
точки гг, известны, если известны коэфициенты первого ряда A), и
мы имеем в области точки z:
^ ?ZI^V .. B).
Радиус круга сходимости С, этого ряда не меньше, чем Ь\ следова-
следовательно, точка ctj находится внутри этого круга; поэтому часть круга
Сг лежит вне круга Со. Если точка
b окажется внутри этого нового
круга С,, то достаточно положить
z = b в ряде B), чтобы иметь зна-
значение f{b). Предположим, что точка
Ь находится и вне круга Сг; пусть
будет а2 точка, в которой путь z-fi
пересекает этот круг. Возьмем на
пути L внутри круга С, точку z2,
такую, чтобы расстояние между точ-
Черт. 71. §
ками z2 и а2 было меньше, чем .
Пользуясь рядом B) и теми рядами, которые получим, диференцируу
ряд B) любое число раз, мы можем вычислить значение функции f(z)
и ее производных f(z2), f (z2), /" (z2), ... в точке z2. Следовательно, мы
можем составит^ новый ряд:
представляющий функцию f{z) в новом круге С2, радиус которого ра-
рен или больше, чем 8. Если точка b окажется в этом круге С2, то
мы заменим в предыдущем равенстве C) переменное z через Ь; если
же нет, то мы будем применять тот же прием далее. После конечного
числа действий мы непременно получим круг, содержащий внутри себя;
точку Ь; на чертеже b лежит внутри круга С3. В самом деле, всегда
можно выбрать точки zv z2, z3, таким образом, чтобы расстояние
8
между двумя последовательными точками было больше, чем — ; с дру-
другой стороны, пусть будет 5. длина пути L. Длина многоугольной линии-
а^г2 ... zplzpb всегда меньше, чем длина кривой 5; следовательно,
8
мы имеем р — -)- \zp — b j< S. Пусть будет р такое целое число, что-
чтобы было I -- -}- 1 j 8 ^> 51. Из этого неравенства следует, что после не

§ 334-335 I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 195-
более чем р операццй мы придем в точку г пути L, расстояние кото-
которой от точки b меньше, чем Ь\ точка b окажется вяутри круга сходи-
сходимости Ср целого ряда, представляющего функцию /{г) в области точки
z , и достаточно заменить в этом ряде z через Ь,- чтобы иметь f(b).
Таким же образом мы можем вычислить и все производные /' (Ь),.
Л*), ...
Из этого рассуждения следует, что возможно, по крайней мере тео-
теоретически, вычислить"значения функции, голоморфной в области А, и
всех ее производных в любой точке этой области, если известна после-
последовательность значений
/И, /'(а), /"(а), ... , /<">(а), ... D)
функции и ее производных в определенной точке а той же области.
Отсюда следует, что всякая функция, голоморфная в области А, вполне
определена во всей этой области, если ,она известна в сколь угодно
малой области, окружающей любую точку а области А, и даже если
она известна вдоль сколь угодно малой дуги кривой, ведущей в точку а.
В самом деле, если функция f(z) определена вдоль дуги кривой, то
определена также и ее производная f' (z), так как значение /{гг}
в какой-нибудь точке этой дуги равно пределу отношения -—^—- ?¦¦,.
когда точка z2 приближается к точке гЛ, оставаясь на рассматриваемой
дуге; если производная /'(г) известна, то отсюда получим /"(г), потом:
f'"{z) и т. д. Следовательно, все последовательные производные функ-
функции f(z) определены при z = a. Для краткости мы будем говорить,,
что, зная числовые значения всех членов последовательности D), мы
знаем элемент функции f(z). Тогда/полученный результат можно выра-
выразить следующим образрм: функция, голоморфная в области А, вполне
определена, если извгстен какой-нибудь ее элемент. Можно также
сказать, что если две функции, голоморфные в одной и той же обла-
области, имеют общий элемент, то они тождественны.
Для определенности мы предположили, что функция f(z) голо-
голоморфна; но рассуждение можно распространить и на любую аналити-
аналитическую функцию, если только путь L, по которому мы перемещаем
переменное при переходе из точки а в точку Ь, не проходит ни через
одну из особых точек функции. Для этого достаточно, как мы уж,е
видели (§ 282), разбить этот путь на несколько частей таким образом,
чтобы каждая часть пути заключалась в замкнутом контуре, внутри
которого рассматриваемая ветвь функции /(г) голоморфна. Достаточно,
по крайней мере теоретически, знать начальный элемент и путь, опи-
описываемый переменным, чтобы найти конечный элемент, т. е. числовые
значения всех членов последовательности такого же вида:
f{b), /'(?),..-, f(n)(b),... E)
335. Другое определение аналитических функций. Аналитические
функции, которыми мы занимались до сих пор, определялись выраже-
выражениями, пользуясь которыми можно было вычислять эти функции при
всяком значении переменного, заключающемся в области, в которой
функция изучалась. На основании предыдущего теперь мы знаем, что
13* '

196 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 335
можно определить значение аналитической функции для любого значе-
значения переменного, если известен только один элемент функции. Но,
чтобы с должною полнотою изложить теорию аналитических функций
с этой новой точки зрения, надо прибавить к определению аналитиче-
аналитических функций, данному Коши, новое условие, которое я считаю по-
полезным здесь отчетливо формулировать.
Пусть будут /г(г), f2(z) функции, голоморфные, соответственно,
в двух областях А1, А2, имеющих одну общую часть А' (черт. 72).
Если в общей части А' мы имеем /2 (г) =/г (г),
что будет иметь место, если эти две функции
имеют в части А' хотя бы только один, общий
элемент, то мы будем принимать, что/г (z) и /2 (г)
образуют одну голоморфную функцию F(z),
определяемую в области Аг-\-А2 равенствами
F(Z)=A&) в Л, и F(z) =/2(z) в А2. Мы будем
говорить также, что /2 (z) есть аналитическое про-
продолжение в область А2 — А' голоморфной функ-
Черт. 72. цИИ ^ ^г^ которая, по предположению, определена
только в области Av Очевидно, что аналитиче-
аналитическое продолжение функции/-, (z) в область Л2, лежащую вне области Av
возможно только одним способом *.
Рассмотрим теперь бесконечную последовательность действительных
или мнимых чисел:
а0, av а2, ..., ап, ... , F)
удовлетворяющих только одному условию, чтобы ряд
eo + ai* + V8+••.+««*«+.¦• G)
был сходящимся при каком-нибудь значении переменного г, отличном
от нуля. (Мы принимаем 2 = 0 за начальное значение переменного,
что не стесняет общности.) Следовательно, по предположению, ряд G)
имеет круг сходимости Со, радиус которого /? не равен нулю. Если R
бесконечно велик, то этот ряд — сходящийся при всяком значении
переменного z и представляет целую функцию переменного. Если ра-
* Чтобы доказать, что предыдущее условие отлично от определения аналитических функций,
достаточно-заметить, что из него непосредственно вытекает такое следствие: если функция f(z)
гдломорфна в области А, то всякая другая функция fi (z), совпадающая с f(z) в части области А,
тождественна с f (г) во всей области А. Между тем, рассмотрим функцию F{z), определяе-
определяемую следующим образом при всех значениях комплексного переменного z:
Как ни странным кажется это условие, оно нисколько не противоречит прежнему определе-
определению аналитических функций. Функция F{z), определенная таким образом, голоморфна при всяком
значении переменного z кроме z = -^-, которое есть особая точка особого рода; но свойства, этой
функции былн бы в противоречии с толькр что принятым условием, так как функции F{z) и
sin z были бы тождественны прн всех значениям z кроме z = —, которое было бы особою точ-
точкою только для одной нз них.
Вейерштрасс в Германии и Мере (М^гау) во Франции развили теорию аналитических функ-
функций, основываясь исключительно на свойствах целых рядов; должно отметить, что их изыскания
вполне независимы между собою. Теория Мерей изложена в его большой работе: „Lecons nou-
velles sur l'Analyse infinitesimale". Ниже мы покажем, как можно постепенно определить аналити-
аналитическую функцию, если известен один ее элемент, но предполагая попрежнему известными теоремы
Коши о голоморфных функциях.

§ 335 I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 197
диус R имеет конечное значение, отличное от нуля, то сумма ряда G)
есть функция f(z), голоморфная внутри круга Со. Но так как нам
известна только последовательность коэфициентов F), то мы ничего
не знаем заранее о характере этой функции вне круга Со. Мы не
знаем, можно ли присоединить к кругу Со соседнюю область, образу-
образующую с кругом связную область А, такую, чтобы в А существовала
голоморфная функция, совпадающая с /(г) внутри Со. Пользуясь мето-
методом предыдущего параграфа, мы можем узнать, имеет ли это место.
Возьмем в круге Со точку а, отличную от начала координат; пользуясь
рядом G) и рядами, которые получим, диференцируя почленно ряд G),
мы можем вычислить элемент функции /(г), соответствующий точке а,
и следовательно, составить целый ряд:
представляющий функцию f(z) в области точки а. Этот ряд — наверное
сходящийся в круге с центром в точке а и с радиусом, равным R — | а \
(§ 262), но он может быть сходящимся в большем круге, радиус кото-
которого не может;, однако, превзойти R-j-\a\, так как, если бы он быЛ
сходящимся в круге с радиусом, равным R-\-\a\-\-b, то отсюда сле-
следовало бы, что ряд G) — сходящийся в круге, описанном из начала
координат радиусом, равным /?-)-$, что противно предположению.
Предположим сначала, что радиус круга сходимости ряда (8) всегда
равен R—|а|, где бы в круге Со ни была взята точка а. В этом слу-
случае совсем нельзя аналитически продолжить функцию / (г) вне круга,,
по крайней мере, если пользоваться только целыми рядами. Мы можем
утверждать, что не существует голоморфной функции F(z), определен-
определенной в области А плоскости, большей, чем круг Со, и совпадающей
с f(z) в крусе Со, так как в про-
противном случае мы могли бы, как
видели, пользуясь методом анали-
аналитического продолжения, опреде-
определить значение это,й функции в
точке, лежащей вне круга Со.
В этом случае часть плоскости,
лежащая вне круга Со, называется
nvcmuM (ллкунарным) простран-
пространством для функции t(z). Не-
Несколько ниже мы увидим этому
примеры.
Предположим теперь, что при
соответственном выборе точки а Черт. 73.
в круге Со мы найдем, что круг
сходимости С, ряда (?) имеет радиус больший, чем R — \а\. Этот круг
Cj имеет часть, расположенную вне Со (черт. 73), и сумма ряда (8) есть
функция /, (z), голоморфная в круге С,. В круге Y с центром в точке а,
касающемся изнутри круга Со, мы имеем/j (z) =/(z) (§ 262); следователь-
следовательно, это равенство имеет место во всей области, общей обоим кругам Со, С,.
Пользуясь рядом (8), мы можем аналитически продолжить функцию f(z) в

198 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ' § 335
часть круга С,, лежащую вне круга Со. Пусть будет а' точка, взятая в этой
•области; поступая, как выше, мы составим новый целый ряд, располо-
расположенный по степеням z — в', сходящийся в некотором круге С2. Если этот
круг С2 не лежит всеми своими точками в круге С,, то новый ряд
даст возможность аналитически продолжить функцию J(z) в более ши-
широкую область и т д. Понятно, что таким образом можно постепенно
расширить область существования .функции f(z), которая была опреде-
определена сначала только внутри круга Со.
Ясно, что предыдущие операции можно выполнять бесконечно раз-
различными способами. Чтобы в них разобраться, надо точно определить
путь, проходимый переменным. Предположим, что можно получить, как
это изложено выше, аналитическое продолжение функции, определяе-
определяемой рядом G), вдоль некоторого пути L. Каждая точка х пути L есть
центр круга с радиусом г, внутри которого функция представляется
сходящимся целым рядом, расположенным по степеням разности z — х.
Радиус г этого круга меняется непрерывно вместе с х. В самом деле,
пусть будут х и х' две близкие между собою точки пути L, а г и
г' — соответствующие радиусы. Если х' настолько близко к х, что
\л'— х|<>, то, как было только что указано, радиус г3 заключается
между г—| х'— х\ и г-)-|х' — х\. Следовательно, разность г'¦—г
стремится к нулю вместе с \х' — х |. Пусть будет теперь Со' круг, опи-
R
санный из начала координат радиусом, равным , и а — какая-ни-
будь точка окружности Со'; радиус сходимости ряда (8) не меньше - ,
но он может быть и больше. Так как этот радиус непрерывно изме-
изменяется вместе с положением точки а, то, следовательно, для какой-
нибудь точки окружности Со' он проходит через наименьшее значение
~о'-\-г. Не может быть г^>0. В самом деле, если бы г было поло-
жительным, то существовала бы функция /""(г), голоморфная в круге,
описанном из начала координат радиусом, равным /?-j- r, и совпадаю-
совпадающая с f(z) внутри круга Со. При значении переменного z, модуль
которого заключается между R и /?-)-/-, функция F(z) была бы равна
сумме ряда вида (8), где а есть такая точка круга Go', что \z — а |<— + г-
Но тогда, по теореме Коши, функция F(z) была бы равна сумме це-
целого ряда, сходящегося в круге с радиусом, равным /? -J——-, и этот
ряд должен был бы быть тождественным с рядом G), что невозможно.
Следовательно, на окружности Сд' есть по крайней мере одна
точка а, для которой радиус круга сходимости ряда (8) равен -— , и
этот круг касается изнутри круга Со в точке а, в которой радиус Оа
пересекает этот круг. Точка а есть особая точка функции /(г), лежа-
лежащая на' окружности Со. Как бы ни был мал радиус круга с, описанного
из точки а, не может существовать голоморфной функции, которая

§ 335 I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 199
была бы тождественна с функциею f(z) в части, общей обоим кругам
Со и с. Ясно также, что круг сходимости ряда (8) с центром в любой
точке радиуса Оа касается круга Со изнутри в точке а *.
Рассмотрим теперь какой-нибудь путь L, выходящий из начала ко-
координат и приводящий в какую-нибудь точку Z, лежащую вне круга
СГ0; предположим, что переменное описывает этот путь, перемещаясь
постоянно в направлении от О к Z. Пусть будет аг точка, в которой
переменное выходит из круга; если эта точка а.г есть особая точка, то
итти по пути L за эту точку невозможно. Предположим, что аг не
есть особая точка; тогда можно составить целый ряд, расположенный
по степеням разности г— аг и сходящийся в некотором круге Сг
с центром в точке а1: сумма которого «совпадает с f(z) в части, общей
обоим кругам Со и Сг Чтобы вычислить /(а,), /(аа), ..., можно
взять, например, промежуточную точку, лежащую на радиусе Оаг.
Пользуясь суммою второго ряда, мы можем аналитически продолжить
функцию / [z) вдоль пути L, начиная от точки av пока переменное' z
не выйдет из круга Сг В частности, если весь путь, начиная от точки
ал, лежит внутри круга Cv то• этот ряд даст нам значение 'функции
в точке Z. Если путь выходит из круга Cj в точке а,, то мы составим
другой целый ряд, сходящийся в круге С2 с центром в точке а, и т. д.
Предположим сначала, что после конечного числа операций мы придем
к кругу С с центром в точке ар, содержащему всю оставшуюся часть
пути после точки ар и, в частности, точку Z. Достаточно будет заме-
заменить z через Z в последнем составленном ряде и в тех рядах, которые
получим, диференцируя первый ряд1 почленно, чтобы иметь значения
/(Z), /'(Zl, /"(Z), ... , с которыми мы приходим в точку Z, т. е.
иметь конечный элемент функции.
Ясно, что мы придем в любую точку пути L с вполне определен-
определенными значениями для функции и всех ее производных. Заметим также,
что можно было бы заменить круги Со, С,, С2, ... , Ср последователь-
последовательностью кругов, определенных таким же образом, с центрами в любых
точках zv z9, ... , z пути L; надо только, чтобы круг с центром в
* Если всг коэфициенты ап ряда G) действительны а положительны, то точка z = R есть
непременно особая точка на окружности Со. В самом деле, если бы это было не так, то целый
ряд
R
представляющий функцию f (z) в области точки z = ~^, имел бы радиус сходимости больший, чем
-л. Тем более это имело бы место и для ряда
каково бы ни было значение аргумента и>, так как очевидно, что если все коэфициенты ап поло-
положительны, то
/ Reim \ 1#\
Следовательно, минимум радиуса сходимости ряда (8), когда а описывает окружность CJ, был
<бы больше, чем ^.

200 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 336
точке 2^ содержал часть пути L, заключающуюся между точками z и
z,+r Можно также несколько изменять путь L, сохраняя те же концы;
при этом конечные значения функций f(z), f (z), /'(г), ... не изме-
изменятся. В самом деле, круги Со, С,, ..., С покрывают некоторую
часть плоскости, образующую род полосы, в которой лежит путь L;
можно заменить путь L всяким другим путем L', идущим из точки z0
в точку Z и расположенным в той же полосе. Предположим для опре-
определенности, что мы должны были
воспользоваться тремя последователь-
последовательными кругами Со, Ср С3 (черт. 74).
Пусть будет V другой путь, лежа-
лежащий в полосе, образуемой этими
тремя кругами; соединим между со-
собою точки тип. Если мы идем из
Опт сначала по пути Оа-^т, а по-
потом по пути Опт, то ясно, что мы
придем в т с одним и тем же эле-
элементом, так как в области, обра-
образуемой кругами Со и С1? функция
Черт. 74. голоморфна. Точно так же, если мы
идем из т в Z по пути ma0Z
или по пути mnZ, то в обоих случаях мы придем в точку Z с одним
и тем же элементом. Следовательно, путь L равносилен пути OnmnZ,
т. е. пути V. Способ доказательства останется тот же самый, каково
бы ни было число последовательных кругов. В частности, всегда можно
заменить любой путь ломаною линиею *.
336. Особые точки.- Применяя предыдущий прием, мы можем встре-
встретиться с таким случаем, когда нельзя найти круга, содержащего всю
оставшуюся часть пути L, как бы далеко мы ни продолжали операции;
так будет, если ар есть особая точка, лежащая на окружности Ср_1,
так как здесь мы должны будем остановиться. Если операцию можно
продолжать неограниченно, и мы никогда не придем к кругу, содержа-
содержащему всю оставшуюся часть пути L, то точки а_ -,, а , а +1, ...
стремятся к некоторой предельной точке X пути L, которою можег
быть или сама точка Z, или точка, лежащая между О и Z. Точка X
есть также особая точ<а, и нельзя вести аналитического продолжения
функции f(z) вдоль пути L за точку X.1 Но если X отлична от Z, то
отсюда не следует, что сама точка Z есть особая точка и что нельзя/
притти из О в Z другим путем. Рассмотрим, например, функции
"\f\-\-z или LogA -j-z); здесь нельзя итти из начала координат в точку
z = — 2 вдоль действительной оси, так как мы'не могли бы перейти
особой точки z = —1. Но если мы будем перемещать переменное г ¦
по пути, не проходящему через эту точку, то- ясно, что мы придем
в точку z = —2 после конечного числа операций, так как все после-
последовательные круги пройдут через точку z= — 1. Заметим, что преды-
предыдущее определение особых точек зависит от пути, проходимого пере-
* Рассужденд» должно быть проведено несколько подробнее, если путь L имеет двойные
точки, так как в этом случае полоса, образуемая последовательными кругами, может отчасти по-
покрывать самое себя. Впрочем, здесь, по существу, нет никаких действительных затруднений.

§ 336-337 I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 20!
менным; точка I может быть особою точкою для определенного пути
и не быть таковою для другого пути, если функция имеет несколько
различных ветвей.
Если два пути L,, L/, соединяющие начало координат с точкою Z,.
приводят к различным элементам в точке Z, то существует по крайней
мере одна особая точка внутри площади, которая была бы покрыта-
одним из путей, например, L,, если бы мы непрерывно деформировали
его, сохраняя неподвижными его конечные точки, так, чтобы он при-
пришел в совпадение с L/. Предположим (что всегда можно сделать), что
оба пути Lj, Z.-,' суть ломаные линии с одинако- -
вым числом сторон Oa-ybyCj. j. l^Z и OaJ b,'... //Z
П б /
(черт. 75). Пусть будут а2, Ь2, с2, ... , 12 середины X, t
отрезков ага^, ЬгЬг', ... , /,/-,'. Путь L2, предста- и ^—-
вляющий ломаную линию Оа2Ь2 ... 12Z, не может
быть равносилен одновременно обоим путям L^, /./,
если он не содержит особой точки. Если этот Ь\
путь L2 содержит особую точку, то теорема до-
доказана. Если же пути L-, и L2 не равносильны
друг другу, то тем же приемом мы найдем отсюда
новый путь Z.J, содержащийся между Ьл и L2.
Продолжая эти операций, мы или придем к пути/. ,
содержащему особую точку, или же получим нео-
неограниченную последовательность путей Ьл, L2,...
Эти пути стремятся к некоторому предельному
пути Л, так как точки а-,, а2, а3, ... стремятся к некоторой предель-
предельной точке, лежащей между а: и а,', и т. д. для других точек. Этот
предельный путь Л необходимо должен содержать особую точку, так
как можно провести по обе стороны Л два пути, бесконечно близких
к Л и приводящих к различным элементам для функции в точке Z;
этого не могло бы быть, если бы Л не содержало особой точки, так-
как тогда пухл, бесконечно близкие к Л, должны были бы быть равно-
равносильны этому пути А.
Предыдущее определение особых точек — чисто отрицательное и не
дает никаких указаний на характер функции вблизи особой точки. Ни
одно предположение относительно этих особых точек или их распре-
распределения в плоскости не может быть заранее отброшено, если только
оно не содержит противоречия. Только изучая аналитическое продол-
продолжение, мы мож«м выяснить различные возможные здесь обстоятельства*.
337. Общая задача. Из предыдущего следует, что аналитическая
функция, по существу,.определена, если известен один ее элемент, т. е.
* Пусть будет/(л:) аналитическая функция, голоморфная вдоль отрэзка аЬ действительной
оси. В области каждой точки а этого отрезка функция может быть представлена целым рядом, ра-
радиус сходимости котор-iro R(a) не равен нулю. Этот радиус /?, будучи непрерывною функцией) ¦
от и, имеет положительный минимум г. Пусть будет о положительное число, меньшее числа г, и
Е — область плоскости, описываемая кругом с радиусом, равным р, кокда центр этого круга пере-
перемещается по отрезку аЬ. Функция f (х) голоморфна в области Ениаее контуре. Пусть буяет М'
верчняя граница ее модуля; из общих формул A4) (§ 284) следует, что во всякой точке х отрезка
ab мы имеем неравенство (см. т. I, § 183):

'202 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § ЗЛ
если известна такая последовательность коэфициентов а0, а1, а2, ...
... ,ап, ... , что ряд
имеет радиус сходимости, отличный от нуля. Если эти коэфициенты
известны, то возникает следующая общая задача: найти значение
функции в какой-нибудь точке {$ плоскости, когда переменное описы-
описывает определенный путь, идущий из точки а в точку р. Можно
также искать особые точки аналитической функции; ясно, впрочем, что
обе задачи тесно связаны друг с другом. Самый метод аналитического
продолжения дает решение, по крайней мере, теоретическое, этих обеих
задач, но он применим только в весьма частных случаях. Например,
так как нам неизвестно заранее число промежуточных рядов, которые
надо ввести, чтобы перейти от точки а в точку [5, и так как суммы
этих рядов можно вычислить лишь с некоторым приближением, то не-
невозможно оценить степень точности полученного конечного приближе-
приближения. Поэтому необходимо искать более простые решения, по крайней
мере в частных случаях. Однако только за последнее время эта задача
явилась предметом ряда работ, которые привели к важным результатам;
некоторые из них мы вкратце изложим в ряде последующих параграфов.
То обстоятельство, что эти исследования появились лишь недавно, сле-
следует приписать не только трудности вопроса, как бы велика она ни
была. В самом деле, функции, которые последовательно изучались ма-
математиками, не выбирались ими произвольно: изучение этих функций
вызывалось характером самих задач, которые им представлялись. Между
тем, за исключением небольшого числа трансцендентных функций все
эти функции, -после элементарных явных функций, определялись или.
как корни уравнений, не допускающих формального решения, или как
интегралы алгебраических диференциальных уравнений. Таким образом
понятно, что изучение неявных функций и функций, определяемых
диференциальными уравнениями, должно было логически предшествовать
изучению общей задачи, по отношению к которой эти две задачи
являются, в сущности, лишь весьма частными случаями.
Нетрудно показать, как изучение алгебраических диференциальных
уравнений связано с теориею аналитического продолжения. Рассмотрим
для определенности два целых ряда у (х), z(x), расположенных по по-
положительным степеням переменного х и сходящихся в круге С, опи-
описанном из точки лг = О радиусом, равным R. С другой стороны, пусть
будет F(x, у, У, у", ... , у(Р\ z, z', z", ... , z^)) целый многочлен
относительно х, у, у, ... у^р\ z, z', . .. . zty. Заменим в этом мно-
многочлене у и z предыдущими рядами, у' у", ... , yW — производными
от ряда у(х) и г', г", ... , z^) — производными от ряда z(x); в ре-
результате мы получим тоже целый ряд, сходящийся в круге С. Если все
коэфициенты этого ряда равны нулю, то голоморфные функции у{х),
z(х) удовлетворяют, в круге С соотношению:
Р(х, У, У1,.--, У{р), z, z\ .-.., *<»>) =0. (9)
Докажем теперь, что функции, которые мы получим, продолжая ана-
аналитически ряды у(х) и z(x); удовлетворяют тому же соотношению

§ 337—338 II. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 203
во всей области их существования. Точнее, если мы будем перемещать
переменное х по пути L, выходящему из начала координат, пересека-
пересекающему окружность С и приходящему в некоторую точку а плоскости,
лежащую вне круга С, и если можно аналитически продолжить оба
ряда у(х), z(x) вдоль этого пути, не встретив ни одной особой точки,
то целые ряды У(х—a), Z(x — а), с которыми мы придем в точку а
представляют в области этой точки две голоморфных функции, удо-
удовлетворяющие соотношению (9). В самом деле, пусть будет хг какая-
нибудь точка пути L, лежащая внутри круга С и близкая к точке,
в которой путь L пересекает окружность С. Из точки х1 как из
центра можно описать круг С,, часть которого лежит вне круга С;
существуют два целых ряда у(х — хг), г(х— х^), сходящихся в круге С,,
суммы которых тождественны с суммами рядов у(х), z(x) в части,
общей обоим кругам С и С,. Заменяя в F функции у и г этими двумя
рядами, мы получим целый ряд Р(х — хг), сходящийся в круге Сг. Но
в части, общей обоим кругам С и 'С,, мы имеем Р(х — JCj)==O; сле-
следовательно, все коэфициенты ряда Р(х — хг) равны нулю, и оба новых
ряд,ау(х — хг) и z(x — хг) удовлетворяют в круге Сг соотношению (9).
Продолжая то же рассуждение, мы видим, что соотношение F=0
будет всегда удовлетворяться аналитическими продолжениями обоих
рядов у(х) и z(x), по какому бы пути мы ни перемещали переменное;
таким образом теорема дбказана.
Таким образом изучение функции, определяемой диференциальным
уравнением, есть, в сущности, лишь частный случай общей задачи
об аналитическом продолжении. Но, с другой стороны, нетрудно по-
понять, что знание частного соотношения между аналитическою функциею
и некоторыми из ее производных может в некоторых случаях облег-
облегчить решение задачи. Мы вернемся к этому вопросу при изучении
теории диференциальных уравнений.
Этот метод, очевидно, нельзя применять к произвольно заданному
целому ряду, в случае если мы не знаем его происхождения.
II. РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ.
338. Замена переменного. Если в какой-либо области D, внутренней
по отношению к окружности С радиуса R, задана аналитическая функ-
функция f(z) разложением в степенной ряд
во + а1г + ...+ *«*« + ..., A0)
или, проще говоря, ее элементом, то, чтобы получить,—в случае если
это возможно — аналитическое продолжение этой функции в более ши-
широкой области, пользовались многочисленными методами, по виду весьма
разнообразными, но основанными на весьма простой Общей идее. Ряд
Тейлора следует заменить каким-либо аналитическим выражением, опре-
определяющим функцию, голоморфную в некоторой односвязной области D',
частично расположенной вне D и имеющей с ней общую часть, причем
зто аналитическое выражение должно представлять ту же самую функ-
функцию /(г) в части, общей обеим областям. В части области D', внешней
по отношению к D, этот новый способ определения функции предста-

204 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 338
вляет аналитическое продолжение функции, заданной внутри D с по-
помощью степенного ряда A0). В качестве аналитических выражений, пред-
представляющих голоморфные функции, по большей части пользуются рав-
равномерно сходящимися рядами аналитических функций (§ 290) или же
определенными интегралами, в которых независимое переменное при-
присутствует в качестве параметра под знаком интеграции (см. § 352).
Общий прием последовательного нахождения аналитического про-
продолжения функции, заданной при посредстве степенного ряда A0),
применявшийся нами до сих пор, оказывается лишь весьма частным
следствием упомянутой общей идеи, так как он состоит в замене ряда
A0) другим степенным рядом,- расположенным по степеням разности
z— z0, где z0— точка, внутренняя к кругу С, и коего сумма совпадает
с суммой первого ряда в части, общей обоим кругам сходимости.
В сущности, это сводится по отношению к ряду A0) к замене пере-
переменного z = zr)-\-Z.
Вообще, пусть
означает функцию, голоморфную в области D плоскости переменного Z,
заключающей в себе начало координат, и такую, что \bo\<^R. Произ-
Производя замену переменного z = y(Z) в ряде A0), можно заменить его
другим степенным рядом, расположенным по- степеням переменного Z:
Z*+..., A2)
причем коэфициенты сп вычисляются при посредстве коэфициентов обоих"
рядов A0) и A1); этот новый ряд сходится в окрестности точки Z==0
(т. I, § 178). В упомянутом параграфе было установлено, что равен-
равенство f[y(Z)]=^F(Z) является справедливым в окрестности точки Z=0.
Теперь мы изучим этот вопрос более подробно.
Пусть Г означает окружность с центром Z=0, расположенную в области
D и в области сходимости ряда A2). Когда точка Z описывает область Д,
ограниченную окружностью Г, точка z = *(Z) описывает область D',
ограниченную замкнутой кривой С, и эта область D\ несомненно, со-
содержит часть, расположенную внутри D, так как она заключает в себе
точку z = b(t, которая отвечает точке Z = 0. Мы предположим, что
точки областей Д и D' соответствуют друг другу взаимно однозначно,
так что^ соотношение 2=cp(Z) определяет конформное отображение
области D' на круг Д. Пусть Z=ty(z) означает функцию, обратную
по отношению к <р (г), в свою очередь, голоморфную в области D'.
Если теперь в ряде F(Z) заменить Z через <b(z), то мы получаем функ-
функцию F[if(z)}, которая является голоморфною- функцией переменного z
в области D', совпадающею с функцией f(z) в окрестности точки z^По-
z^Последовательно, имеем равенство f(z) = F[§(z)}, справедливое в Общей
части обеих областей D и D', и если область D' имеет части, распо-
расположенные вне D, то новообразованный ряд A2) дает аналитическое про-
продолжение функции f(z) в части области D', внешней по отношению к D.
Итак, мы приходим к двум различным задачам, одна из которых1
была уже нами указана (§ 289). Если a priori известно, что функция;,
заданная рядом A0), голоморфна в области D', частично расположен-

§ 338 II. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 205
ной вне D, то, чтобы получить разложение функции f(z), имеющее силу
в этой новой области, достаточно будет найти конформное отображе-
отображение области D' на круг.
Совсем иная задача возникает в случае, если ничего не известно по
поводу особых точек функции /(г). В таком случай, напротив, нужно
исследовать, является ли возможным выбрать функцию ц>(/) таким об-
образом, чтобы при выполнении остальных высказанных услрвий ряд A2)
оказался сходящимся в точках, внешних по отношению к D. Очевидно,
что по этому поводу нельзя высказать определенных правил*.
Предположим R = 1 и выполним замену переменного z = , откуда, об-
1 -\- /.
ратно, находим ¦^=i • Ряд/(г) преобразуется к виду: ¦
где коэфициент сп, легко вычисляемый общим методом, имеет выражение:
сп — ап — (я — 1) an_i + (/LZ_i±^LZ_ а„_2 — ... ± (л — 1) а.г ц: at. A3)
Вблизи начала координат, несомненно, имеет место соотношение
у
Чтобы выяснить, в какой области это соотношение является справедливым,
заметим, что томографическое, преобразование Zz-\-z — Z=0 приводит в соот-
соответствие круги обеих плоскостей и что кругу Г радиуса р с центром в начале
координат, расположенному в плоскости переменного Z, отвечает в плоскости z
круг С, сопряженный по отношению к двум точкам z j= 0, z = 1 и такой, что для
каждой точки этого круга имеем:
\z\ = ?\z-l\.
Если р меньше или равно -=-, то круг С расположен изнутри круга С ра-
радиуса /?=1 с центром в начале координат или касается окружности С внутрен-
внутренним образом в точке z = —1. Следовательно, ряд F{Z) является сходящимся
в каждой точке, расположенной внутри круга Г радиуса -у, равенство f(z)'=
оказывается справедливым во всех точках, внутренних к соответ-
соответствующему кругу в плоскости z, который касается окружности С изнутри в точке
z—— 1. Если точка z= — 1 является особой точкой функции f{z), то Z =
= —2~ есть особая точка для F (Z), и второй ряд не может сходиться в круге
радиуса, большего -у. Если точка z =— 1 не является особой для /(z), то ряд
F(Z) сходится в круге радиуса р>-н-, и новый ряд позволит продолжить ана-
аналитически функцию f(z) за пределы круга С.
- При этом могут представиться следующие частные случаи:
1. -~- <р< 1. Кругу Г радиуса р, расположенному в плоскости Z, отвечает
в плоскости z круг С, заключающий внутри себя обе точки z = 0, z = —1, и
* Е. L i n d е 1 6 f, Remarques sur un principe general de la theorle des fonctions analytiques,
Ada Soietatis Fennicae, т. XXIV, № 7, Гельсингфорс 1898.

206 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 339
внутренности круга Г отвечает внутренность круга С. Равенство f(z) = F ^ ^ \
дает, следовательно, аналитическое продолжение функции /(г) в части, внутрен-
внутренней к кругу С и внешней по отношению к кругу С.
2. р = -~-. Внутренности круга Г отвечает часть плоскости переменного z,
расположенная слева от перпендикуляра к действительной оси, восставленного
в точке z = -jr. Функция, заданная внутри круга С при посредстве степенного
ряда A0), следовательно, голоморфна в целой полуплоскости, расположенной слева
от этой прямой, и представляется в этой области с помощью выражения
3. р > 1. Области плоскости переменного Z, внутренней к кругу Г радиуса р,
отвечает в плоскости z область, внешняя по отношению к соответствующему
кругу С, окружающему точку г=1, причем начало координат расположено вне
его. Функция /(г), следовательно, голоморфна в этой неограниченной части пло-
плоскости, включая бесконечно удаленную точку, соответствующую точке 2=1
в плоскости z. В частности, если f(z) не имеет другой особой точки кроме zj=l.
которая может быть полюсом или существенно особой изолированной точкой, то
в этом случае р = оо , и ряд F (-z ) оказывается сходящимся при любом z
кроме z = l.
339. Подпоследовательности. Если 'имеем абсолютно сходящийся ряд, то,
как известно (т. I, § 156), его можно заменить другим рядом, каждый член кото-
которого является суммой любого числа последовательных- членов первого ряда. Дру-
Другими словами, вместо того чтобы рассматривать последовательность, составленную
всеми частичными суммами St, S2 Sm ... членов ряда, можно ограничиться
рассмотрением последовательности, составленной некоторыми из них, Snt, Sn ....
... ,Sn ,..., где nt, щ пр,... суть возрастающие целые числа. Очевидно,
что если первая последовательность сходится, то же самое оказывается-справедливым
и по отношению ко второй, и предел должен быть одним и тем же для обеих
последовательностей, но обратное утверждение не всегда верно.
Применим это замечание к степенному ряду A0). Последовательность, со-
составленная частичными суммами Sn(z), Sn(z),..., Sn(z),..., сходится равно-
равномерно к функции /(г) в любой области, внутренней к кругу сходимости; но мо-
может случиться, что при подходящем выборе чисел nt, щ, ..., Пр, ... эта последова-
последовательность будет сходиться равномерно и в более широкой области. В таком слу-
случае предел этой последовательности представляет аналитическое продолжение
функции f(z) в части новой области сходимости, внешней по отношению к С.
Рассмотрим, например, степенной ряд, в котором все показатели имеют вид
'2«— 1,
f(z) = ao + aiz+a3zS + a^+... + a2n_lzin-i ц.... A4)
с -кругом сходимости конечного радиуса /?. Полагая \z = x{\ -\-x), получаем но-
вый ряд:
ао + aiX(l + х) + а3хЦ1
который может быть записан в виде ряда Тейлора, если расположить все члены
ряда A5) по возрастающим степеням х:
Обратно, исходя из степенного ряда A6), приходим к ряду A5). объединяя,
вместе все члены со степенями от 2«-\ до 2Я+1—2, так что все частичные сум^
мы членов ряда A5) входят в состав последовательности частичных сумм ряда A6).
Пусть г означает радиус сходимости ряда - A6). Последовательность, соста-
составленная всеми частичными суммами членов этого ряда, сходится внутри круга
радиуса г к пределу F(х). Но функция Fix) является в то же время пределом.

§ 339-340 II. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 207
последовательности, составленной частичными суммами членов ряда A5), и эта-
последовательность сходится в том случае, если | х A -+• х) \ < R. Новая область
сходимости, которая непременно содержит в себе первоначальную, ограничена
кассиноидой с двумя фокусами х = 0, х = —1. Если эта кассиноида может быть
описана одним непрерывным движением, то функция F{x) голоморфна внутри
этого контура и представляется во всей названной области с помощью ряда A5V
Если кассиноида состоит из двух отдельных замкнутых кривых, то аналитическое
продолжение функции F(x) определяется с помощью ряда A5) лишь во вну-
внутренности той ветви кассиноиды, которая заключает в себе начало координат.
Заметим еще, что эта кассиноида имеет с кругом радиуса г только одну общую
- 1 + l/f+~4/? , „
точку х = 1 ! , и что эта точка непременно является особой.
В рассмотренном примере положение вещей становится легко понятным,
если принять во внимание, что степенной ряд A4) заключает в себе пустоты.
Островским высказано следующее общее предложение*:
В случае, если из некоторого степенного ряда A0) можно выделить под-
подпоследовательность частичных сумм Sni, Sm,.... Sn ,..., сходящуюся рав-
равномерно вне круга сходимости, то названный ряд является суммой двух
степенных рядов, из которых один имеет больший радиус сходимости, а:
другой заключает в себе пустоты.
340. Преобразование к виду интеграла. Иногда бывает возможно по-
получить аналитическое продолжение функции, представленной с помощью
степенного ряда, подставляя на его место какой-либо определенный ин-
интеграл, равносильный ряду внутри круга сходимости ив то же время.
сохраняющий смысл во внешних точках. Рассмотрим относящийся сюда
пример, заимствованный из теории гипергеометрического ряда Гаусса..
Этот знаменитый ряд .
F(a, p, у, *)=1+у^-*+...
1)... (а+"в-1
в котором ни одно из чисел а, {$, у не равно целому отрицательному
числу, имеет круг сходимости единичного радиуса. Чтобы найти ана-
аналитическое продолжение за пределы этого круга, в некоторых случаях
достаточно бывает заменить названный ряд определенным интегралом,
принадлежащим Эйлеру. Предположим, что действительные части ffi$ и
9t(y—р) положительны. В таком случае определенный интеграл
1
Ф(лг)= (Vi(l —t)i-$--4l—tx)-dt, A8).
о
взятый вдоль отрезка действительной оси от t=0 до t=\, имеет
смысл при условии, что точка с аффиксом х не расположена на не-
неограниченной части действительной оси между х=\ и х + оо. Чтобы
окончательно уточнить смысл этого интеграла, условимся считать аргу-
аргументы Argtf и Arg(l—/) равными нулю и примем за аргумент для
A—tx) тот, который обращается в нуль при t=0. В таком случае,
при условии, если 1л:|<^1, функция A—tx)~* может быть разложена
* „Cber vollstandige Oebiete gleichmassiger Konvergenz von Folgen analytischer Funktionen..
(Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universitut, т. I, 1922, стр. Ь27")

208 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПГОДОЛЖЕНИЕ § 340
в ряд, сходящийся равномерно при всех действительных значениях t
между нулем и единицей:
. I a(g + i)-..(g-4«i) г„хП + ___
Помножая все члены этого ряда на 0~Ц\—/)т-Р-1) получаем дру-
другой ряд, который можно интегрировать почленно, и мы находим:
•¦¦40
ОО 1
Но интеграл
равен
т. е. (т. I, § 90 и 143)
Следовательно, при всяком х внутри круга сходимости:
В следующей главе мы увидим, что интеграл Ф(->с) есть функция
переменного х, голоморфная в целой плоскости, в предположении, что
путь, описываемый точкой х, не пересекает разреза l...-j-оо. Следо-
Следовательно, аналитическое продолжение ряда F(a, fi, у, л) голоморфно
во всей названной области. В частности, мы видим, что эта функция
голоморфна в части плоскости, расположенной слева от прямой 9t(x) =
= -у , и потому (§ 338) может быть разложена в этой области в ряд,
X
расположенный по степеням . Это разложение легко получить, ис-
X '— 1
.ходя из интеграла Ф.(дг). Действительно, если в нем заменить х на

§ 340 U. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО. ПРОДОЛЖЕНИЯ 209
и затем подставить 1 —v на место t, то этот интеграл примет
уС ¦ 1
вид:
(у \ с
X _ х )=П —X)* I г,т-Р-1A _г,)?-1A _ЛГ.)-» rfz>,
о
причем новый интеграл отличается от первоначального лишь замеьой {$
на у — Р-
Следовательно:
Теперь заменим X на и сравним полученную формулу с фор-
мулой A9).
Находим:
F(a, ?, у, *) = (!— *)"/'/я, у — ?, Y. ^т)' B0)
— формула, дающая возможность вычислить аналитическое продолжение
функции F(a, jj, y> x) в полуплоскости.
Рассмотренный приме.р можно связать с одним общим методом,
принадлежащим Адамару *. Сперва дадим несколько ' определений.
Предположим, что мы осуществляем аналитическое продолжение
функции f{z), заданной степенным рядом A0), заставляя пе-
переменное описывать полупрямую, выходящую из начала координат.
Если таким путем нельзя достигнуть всех точек этой полупрямой, то
можно достичь лищь тех< из них, которые расположены между началом
и какой-либо точкой а, каковая непременно является особой. Таким об-
образом на каждой полупрямой, выходящей из начала координат, най-
найдется точка а, которая может быть расположена на конечном расст я-
нии или в бесконечности.
Если удалить из каждой полупрямой ту часть, которая расположена
по другую сторону точки а относительно начала, то остающаяся часть
плоскости образует прямолинейную звезду Е функции f{z) относительно
точки О. Короче говоря, эта звезда образована множеством точек плоско-
плоскости, достижимых из точки О посредством прямолинейного аналитического
продолжения. Если функция/(г) имеет лишь конечное число особых точек,
то звезда состоит только из конечного числа лучей. Напротив, если
функция f[z), как мы это увидим в дальнейшем на ряде примеров, не
может быть аналитически продолжена за пределы какой-либо замкнутой
кривой, окружающей начало координат, то звезда должна состоять из ча-
части внутренней области,, ограниченной этой замкнутой кривой. Заме-
Заметим еще, что любая точка р, расположенная на продолжении отрезка Оа,
упирающегося в особую точку, не будет сама непременно особой для
рассматриваемой функции f(z) (§ 336).
* Journal de Mathematiqaes, 4-я серия, т, VIII, 1892, стр. 163.
14 Э. Гуроа, т. II, ч. 1.

210 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 340
Можно рассматривать также и криволинейные звезды, образуемые
множеством точек, достижимых с помощью аналитического продолже-
продолжения, отправляясь от какой-либо точки О, если заставить переменное
описывать криволинейные пути, подобные какой-либо заданной дуге.
В последующем изложении мы будем иметь дело лишь с прямолиней-
прямолинейными звездами .
Пусть теперь f(z) означает аналитическую функцию, заданную по-
посредством элемента A0), и пусть V (t) есть некоторая функция пере-
переменного t, непрерывная* вдоль отрезка действительной оси между ну-
нулем и единицей. Рассмотрим Определенный интеграл
Этот интеграл /л (z) есть функция переменного z, голоморфная во»
всей области D, внутренней по отношению к звезде Е функции f(z),
так как функция V (t)f(tz) .под, знаком интеграла, наверное, удовлетво-
удовлетворяет условию, которое будет указано в дальнейшем (§ 352). Если t
означает действительное число, заключенное между нулем и единицей,,
и если точка z описывает область D, внутреннюю по отношению к Е,
то и tz, в свою очередь, описывает область, расположенную внутри Ег
и следовательно, V(t)f(tz) есть голоморфная функция переменного z
в области D. '
Отсюда следует, что и функция /, (z) является голоморфной внутри
звезды Е. Чтобы найти ее разложение в ряд Тейлора вблизи начала
координат, достаточно заменить /(tz) ее разложением-:
Для значения z, по модулю меньшего, чем /?, этот ряд оказывается)
равномерно сходящимся, когда t изменяется между нулем и единицей.
Следовательно, ряд
можно интегрировать почленно, и коэфициент при zn в интеграле есть.
1
an\v(t)tadt.
'о
Итак, находим разложение в ряд Тейлора функции /, (z):
A iz) = °<А + aAz + • • • + a,finzn + • • • .
где мы полагаем
1
* Достаточно даже предположить, что интеграл j" [ V(t) | dt имеет смысл.

§ 340-341 , II. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 211
Следовательно, функция /"., (г), заданная элементом B1), голо-
голоморфна внутри звезды Е функции f(z), заданной элементом A0),
какова бы ни была функция V(t).
Положим, например, f(z) = - . В нашем случае ая='1, и
звезда Е имеет единственный луч, выходящий из точки z = 1 к -(-оо.
Следовательно, мы видим, что функция f(z), заданная элементом
+ ОО ' 1
голоморфна во всей плоскости за исключением купюры -j- 1...-(-
Полагая
fi-Hl—t)T9~i, /(г) = A—г)-,
снова находим пример Эйлера, причем звезда Е оказывается той же
самой, что и в первом примере.
341. Теорема Адамара. Предшествующее предложение было еще обобщено
Адамаром *.'Пусть попрежнему /(г)— аналитическая функция, заданная элементом
A0), Е — прямолинейная звезда этой функции, а — любая вершина этой звезды,
т. е. ближайшая точка некоторой полупрямой, выходящей из начала О, которой
нельзя достигнуть] двигаясь по прямолинейному пути. Пусть в то же время
«(z) — другая аналитическая функция, заданная разложением в ряд Тейлора:
f(z)^bo + biz+...+ bnzn+.:.-, B2)
сходящимся в круге С" радиуса R', Е'—прямолинейная звезда этой новой функ-
функции, ji — произвольная вершина этой звезды. Сперва исследуем следующий во-
вопрос: пусть Г — какой-либо замкнутый контур, не имеющий двойной точки, окру-
окружающий начало и расположенный внутри Е. Если х означает некоторое по-
_ х
стоянное число, и точка z описывает контур Г, то — описывает при этом некото-
некоторый замкнутый контур Гг, также окружающий начало координат. Посмотрим,
нельзя ли выбрать кривую Г, расположенную внутри Е, таким образом,
чтобы соответствующая кривая Г' целиком юдержалась внутри Е'. Неогра-
Неограниченной полупрямой, направленной от точки г= а к бесконечности, преобразо-
вание z' = — ставит в соответствие прямолинейный отрезок, соединяющий начало
координат с точкой —. Пусть S — неограниченная часть плоскости, внешняя
по отношению ко всем этим прямолинейным отрезкам. Когда точка z описывает
„ х
замкнутую кривую, окружающую начало и расположенную внутри Е, точка —
описывает замкнутую кривую Г' вокруг начала в области &. Чтобы эта замкну-
замкнутая кривая Г' была расположена внутри звезды ?', необходимо, чтобы ни одна
X
из точек — не попала на какой-либо из лучей звезды ?', и это условие в то же
а
время оказывается достаточным. Если бы это условие не было выполнено, мы бы
X
имели — = ?р, где а — какая-либо вершина звезды Е, р — вершина звезды Е и
k — положительное число, большее или равное единице. Следовательно, точка х
оказалась бы на одном из лучей звезды Ь", имеющей вершинами различные
точки с аффиксами ар, где а —любая вершина звезды Е и (I — любая вершина/:'.
* Acta mathematica, т. XXII, 1908.
14*

212 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 341
В конечном счете, чтобы возможно было описать контур Г, удовлетворяю-
удовлетворяющий высказанному условию, необходимо и достаточно, чтобы точка х ока-
оказалась внутри звезды Е".
Если точка х расположена внутри Е", то, как легко видеть, можно найти
бесконечное множество замкнутых кривых Г', окружающих начало координат и
расположенных одновременно в области S и внутри Е', и следовательно, беско-
бесконечно много кривых Г, удовлетворяющих требуемому условию.
. Пусть теперь х — внутренняя точка звезды Е". Определенный интеграл
/(*) =
взятый вдоль замкнутого контура Г^., удовлетворяющего требуемому условию и
окружающего начало координат, есть голоморфная функция переменного х
внутри Е". Действительно, этот интеграл имеет определенное значение для ка-
каждой точки х звезды Е", так как, если заменить контур Тх каким-либо другим
контуром Гу, удовлетворяющим тому же самому условию, значение интеграла
[ х \
1(х) не меняется, потому что функция f(z)y (— 1 голоморфна в области, заклю-
заключающей эти оба контура. С другой стороны, один и, тот же контур Тх относится
и к точке х, и ко всем точкам достаточно малой области, окружающей х. Сле-
Следовательно, интеграл 1{х) есть голоморфная функция переменного х в окрестно-
окрестности каждой точки х звезды Е". В частности, этот интеграл есть голоморфная
функция внутри круга, описанного из начала координат радиусом RR'. Если- | х \
меньше, чем RR', то можно взять за контуры Г и Г' две окружности с радиу-
радиусами r<CR, /•'</?' и такие, что \х\=гг. Вдоль контура Г обе функции/(г),
можно разложить в абсолютно и равномерно сходящиеся ряды:
— J
Произведение f(z)<f I — J— разлагается в ряд Лорана в области, заданной
\[ 1
\х[ ¦ 1
неравенствами Цс,-< | z [ </?, и коэфициент при— в этом разложении равен
Н • z
сумме ряда
! ф (х) = а„Ь0 +'а^х +...+ anbnx" +... B4)
Следовательно, этот ряд, который на основании классических неравенств
(§ 284), несомненно, сходится внутри круга радиуса RR', представляется в этой
области интегралом
и потому аналитическая функция, заданная элементом B4), голоморфна
внутри звезды Е".
Иначе можно сказать, что аналитическая функция, заданная этим эле-
элементом, может иметь в числе своих особых точж лишь те, которые полу-
получаются умножением аффиксов особых точек функции fix) на аффиксы та-
^овых же точек функции <f(x),
Приведенное доказательство позволяет уяснить точный смысл этого утверж-
утверждения *.
* За подробностями по этому поводу отсылаем к мемуару Адамара, статье Бореля в Bul-
Bulletin de la Sociiti mathemattque de France (т. XXVI, стр. 238) и разного рода обобщениям: Гур-
вица, Comptes rendus F февраля 1899 г.). Пинкерле и дель-Аньола (dell'Agnola), Rendiconti йе
VAcad, de Bologne, 1899; АШ dei Lincei, 1899; Arti dell Institute Veneto, 14 мая и 18 июля 1899 г.

§ 342 II. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 213
342. Теорема Миттаг-Леффлера. Наиболее общий результат, касающийся
проблемы аналитического продолжения, был получен Миттаг-Леффлером, дока-
доказавшим следующую теорему:
Аналитическая функция f{z), заданная элементом A0), может быть
представлена в любой области D, внутренней по отношению к прямолиней-
прямолинейной звезде этой функции, равномерно сходящимся рядом полиномов, коэфи-
циенты которых выражаются линейно через коэфщиенты ряба A0).
Среди многочисленных доказательств этого предложения наиболее элемен-
элементарное принадлежит Борелю, показавшему, что теорему Миттаг-Леффлера можно
весьма легко получить из интеграла Коши, опираясь на следующее положение,
справедливость которого будет установлена впоследствии (§ 392) и которое
к тому же доказывается многими способами.
Функция может быть разложена в равномерно сходящийся ряд
многочленов в любой области плоскости, расположенной на конечном рас-
расстоянии и не имеющей ни одной общей точки с неограниченной частью дей-
действительной оси от -f 1 до -+- о°- Пусть
1 =P0(x)+Pi(x)+...+ Рп(х)+...
1-х
—одно из таких разложений, сходящееся при условии, что х не принимает дей-
действительных значений, больших или равных единице. Общий член этого разло-
разложения Рп (х) есть многочлен степени т:
Рп{х) = ст + сих + ... +СрпхР+ ... + стпх»>.
Пусть х — любая точка прямолинейной звезды Е функции f(z), заданной эле-
элементом A0), и пусть Г—замкнутая кривая, расположенная внутри Е, окружающая
точку х и такая, что всякий луч, выходящий из начала, встречает эту кривую
в одной и только одной точке. Значение f{x) дается интегралом Коши:
Вместо того, чтобы заменить разложением по степеням х, мы напишем:
Z X
1 1 1
Z — X Z X
Z
X
Если точка z описывает кривую Г, то —• описывает замкнутый контур Гг?
не имеющий ни одной общей точки с разрезом -f-1...-)- оо. Следовательно, вдоль
контура [Г ^функцию A — — J можно заменить равномерно сходящимся рядом
X
полиномов относительно —:
и формулу для f(x) можно записать иначе в виде:

214 ГЛАЙА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 342-343
Ввиду того, что ряд B5) является равномерно сходящимся на контуре Г, его
можно интегрировать почленно, и потому
/(•*)=2-г;
я=0
г
Общий член ряда в правой части этой формулы есть полином относительно х,
коэфициенты которого выражаются через посредство коэфициентов в, ряда A0)
( х \
и коэфициентов срп полинома Р„. Действительно, заменяя PJ—J его разложе-
разложением, находим:
и коэфициент при хр в интеграле равен
cPn(f{z)dz
1rJ, ) zp+l '
т. е. српар. Следовательно, если положить
р = 0
то очевидно, что для каждой точки х прямолинейной звезды Е имеем разло-
разложение
/(*) = <?«>(*) + <?»(*)+...+ <?„(*) + ... . B6)
которое само оказывается равномерно сходящимся в любой области D, внутрен-
внутренней по отношению к этой звезде*, что и доказывает теорему Миттаг-Леффлера.
Если звезда Е функции f(x) задана-a priori, то формула B6) позволяет вы-
вычислить значение этой функции в каждой точке этой звезды. Для решения обрат-
обратной задачи нужно уметь находить область сходимости ряда B6) по данным ко-
эфициентам ап. Таким образом эта теорема, несмотря на ее общность, не умень-
уменьшает интереса более частных методов предшествующих параграфов.
343. Теорема Пенлеве. Следующая теорема, принадлежащая Пенлеве **, также
относится к теории аналитического продолжения.
Пусть fi(z), /2(z) — две данные функции, голоморфные, соответственно,
в областях Ъь ?»2, отделенных друг от друга спрямляемой дугой АВ и не имею-
имеющих ни одной общей точки кроме их общей границы. Если эта две функции
принимают одну и ту же непрерывную последовательность значений вдиль
Оуги АВ, то /2 (г) есть аналитическое продолжение функции ft (z), когоа пере-
переменное z переходит из области Dt в область Ог, пересеная дугу АВ.
Действительно, возьмем в области ?>4 какую-либо дугу АРВ, ограничивающую
вместе с дугой В А односвязную область Д{, целиком расположенную вД,, и
таким же образом в области jD2 возьмем дугу AQB, ограничивающую вместе с В А
область Д2, заключенную в ?>2. Для определенности мы предположим, что, когда
описывают контур АВРА, область Д4 остается слева, и таким же образом, когда
* Действительно, можно выбрать контур Г, заключающий виугри себя всю эту область D
*"яд B5) в таком случае оказывается равномерно сходящимся, когда точка х описывает область D
из — кривую Г.
** „Sur les lignes singulieres des fonctions analytiques", Annales de la FaOulte de Toulouse, II, 1888.

§ 343 III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ 215
описывают контур AQBA, то остается слева область Да. Пусть х — любая точка
области Д4. Интеграл Коши дает:
• АВ ВРА
Но, с другой стороны, **?•-' голоморфна внутри Д2, и потому
Z — X
25 1. J ~^Г^ J z- x \
BA AQB
Складывая и принимая во внимание, что /i=/2 вдоль дуги АВ, находим:
1'v ' 2га | 2 — х
AQB PA
причем g(z) означает функцию, непрерывную в,еоль контура, равную fi(z) вдоль
дуги BhA и /,2(z) —вдоль AQB, Такое же выражение, очевидно, можно было бы
написать и для /2(дг), где х - любая точка области Д2. Но функция
v ' 2м ) z—х
AQBPA
голоморфна во всей области Д, + Д2, внутренней к контуру интеграции^ Эта
функция совпадает с /{ в области Д( и с /2 в Д2. Отсюда следует, что /2 (z) дей-
действительно является аналитическим продолжением функции /((г), когда z пере-
пересекает дугу АВ, при переходе из области jDt в область jD2 и обратно.
Следствие. Предположим, что какая-либо функция fi{z), голоморфная
в области /),, обращается в'нуль во всех точках спрямляемой дуги АВ,принадле-
АВ,принадлежащей границе этой области. Можно принять за область ?>2 какую-либо область,
внешнюю по отношению к DL и ограниченную какой-либо замкнутой кривой,
в состав которой входит дуга АВ, затем положить /2 = 0. В данном случае усло-
условия теоремы выполнены, и потому f^{z), которая служит аналитическим продол-
продолжением функции fi(z), тождественно равна нулю. Следовательно, функция, голо-
голоморфная в некоторой области D, не может исчезать во всех точках какой-
либо дуга АВ; принадлежащей границе этой области, как бы мала она ни
была, не будучи тождественно равной нулю.
III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ.
Изучение эллиптических модулярных функций дало Эрмиту первый
пример аналитической функции, определенной только в части плоскости.
Вначале казалось, что функции этого вида должны быть рассматри-
рассматриваемы как исключительные, между тем как углубленное изучение ана-
аналитического продолжения привело к совершенно противоположному
выводу.
Действительно, на основании работ Бореля и Фабри мы в праве
заключить, что ряд Тейлора, взятый наудачу, не может быть анали-
аналитически продолжен за пределы его круга сходимости. За уяснением
точного смысла, какой следует приписать этому утверждению, я отсылаю
к мемуарам обоих упомянутых авторов и укажу лишь весьма простой
способ составления аналитических функций, имеющих пустым про-
пространством любую область плоскости, при некоторых предположениях
весьма общего характера относительно кривой, ограничивающей эту
область.

216 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПГОДОЛЖЕНИЕ § 344
344. Особые линий. Пустые пространства. Докажем сначала предва-
предварительную теорему*. Пусть будут аг, av ... , ап, ... и с,~, с2,...,
сп, ... два ряда с произвольными членами, из которых второй абсолютно
сходящийся и имеет все члены отличными от нуля. Пусть будет С
окружность с центром в точке г0, не содержащая внутри себя ни одной
из точек а и проходящая только через одну из этих точек; ряд
+ оо
Г±Г, B7)
•1= 1
представляет в круге С голоморфную функцию, которую можно разло-
разложить в целый ряд, расположенный по степеням z — z0. Круг сходи-
сходимости этого ряда есть как раз круг С.
Очевидно, что можно предположить, что ,го=О, так как, изменяя z
в 2, 4- z', мы изменим ач в а,, — z0, a cv не изменится. Предположим
также, что |а-,| = /?, где R обозначает радиус круга С, и \aR
с
при i ~^> 1. В круге С общий член — можно разложить в целый
ряд, и этот ряд имеет, как нетрудно видеть, усиливающую функцию
с \ \ <~ ' ¦
-1" . Так как ряд 5jIc<I — сходящийся, то, на основании дока-
1 R
занного выше общего предложения (§ 263), функцию F(z) можно
разложить в круге С в целый ряд, и этот ряд можно получить, скла-
складывая почленно целые ряды, представляющие его различные члены.
Следовательно, в круге С мы имеем:
+ ОО
Возьмем такое целое число р, чтобы V | c.t \ было меньше, чем ¦ -
+ ОО
| c \ было меньше чем
это возможно, так как сг не равно нулю, и ряд 2 CJ — сходящийся.
Выбрав числом таким образом, мы можем положить F(z) = Fz (z) -J- F2 (z),
где
p +oo
.-г 2W flj — z ' 1Л av — z
v=2 i=p+l
F-y (z) есть рациональная функция, все полюсы которой лежат вне
круга С; следовательно, в круге С' с радиусом /?'<^/? ее можно раз-
разложить в целый ряд. Что касается F2(z), то мы имеем:
+..., B8)
* Пуанкаре (Poiicare), Ada Societatis Fennicae, т. XIII, 1831; Г у р с a, Bulletin des Scien
ces mathematiques, 2-я серия, т. XI, стр. 119 н т. XVII, стр. 2i7.

§344
III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ
213'
где
«¦„+«
nil "t" • •
Этот коэфициент можно представить иначе в виде:
+ ОО
?. = —%-. Г
Но, по предположению,
1, и модуль суммы
+ ОО
s^r
вследствие указанного выше выбора числа р меньше, чем - - j сг |. Следо-
вательно, модуль коэфициента Вп заключается между
2R"
9рд+1 l
!>
модуль
z !"
общего члена ряда BS) заключается между
2/?"
следовательно, этот ряд сходящийся, еслю
\<^R. Очевидно, что, складывая ряд F2(z), сходящийся в круге с ра
i?li
2R
\z\<^R. Очевидно, что, складывая ряд F2
диусом, равным R, с рядом /^ (z>, сходящимся в круге с радиусом,,
равным R' ^> R, мы получим ряд F{z), у которого круг С с радиусом,,
равным R, будет- кругом сходимости; таким образом, теорема доказана.
Пусть будет теперь L кривая, замкнутая или разомкнутая, име-
имеющая, -в каждой точке определенный радиус кривизны. Предположим,,
что ряд 5jIcvI—абсолютно сходящийся, и точки последовательности
аг, а2, ... , а(, ... все лежат на кривой L и распределены на ней
таким образом, что на каждой конечной дуге кривой L всегда есть бес-
бесконечное множество точек этой последовательности. Легко видеть,
что ряд
+ОО
„— z
B9)
4=1
— сходящийся во всякой точке z0, не лежащей на кривой L, и пред-
представляет функцию, голоморфную в области этой точки; чтобы в этом
убедиться, достаточно было бы повторить первую часть предыдущего
доказательства, взяв за круг С любой круг с центром в точке z0, не
содержащий ни одной из точек аг Если кривая L незамкнутая и не
имеет двойных точек, то ряд B9i представляет функцию, голоморф-
голоморфную во всей плоскости кроме точек кривой L. Мы еще не можем за-
заключить отсюда, что кривая L есть особая линия; для этого необходимо,,
кроме того, убедиться, что анагитическое продолжение функции F[z)
невозможно ни через какую часть линии L, как бы мала эта часть ни

218 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 344-345
была. Для этого достаточно показать, что круг сходимости целого ряда,
представляющего функцию F(z) в области какой-нибудь точки z0, не ле-
лежащей на L, никогда не может содержать дуги этой линии, ¦ как бы
мала она ни была. В самом деле, предположим, что круг С с цент-
центром в точке zQ содержит дугу а$ линии L.' Возьмем на этой дуге ар
точку at и на нормали в а1 к этой дуге рассмотрим точку z', настолько
близкую к точке ап чтобы круг С{, описанный из точки z' радиусом,
равным ! z' — а{\, весь лежал внутри круга Си не имел другой общей
точки с дугою 0$ кроме самей точки аг На основании только что
доказанной теоремы круг Ct есть круг сходимости целого ряда, пред-
предоставляющего F(z) в области точки z'; но это находится в противоре-
противоречии с общими свойствами целых рядов, так как этот круг сходимости
не может быть меньше круга с центром в точке г', касающегося из-
изнутри круга С.
Если линия /- — замкнутая, то ряд B9) представляет две функции,
.аналитически различные, из которых одна существует только в об-
области А, лежащей внутри линии L, и для которой часть плоскости, ле-
лежащая вне этой линии, есть пустое пространство; напротив, другая
функция существует только вне линии L и имеет пустым пространством
внутреннюю область. В этом случае линия L называется существенным
разрезом для каждой из этих функций.
Если даны несколько линий, замкнутых или разомкнутых, Ьл,
L2, ... , L , то указанным приемом можно составить ряды вида B9),
каждый из которых имеет одну из этих линий существенным разрезом;
•сумма этих рядов имеет существенными разрезами все эти линии.
345. Примеры. Пусть будут А В прямолинейный отрезок, и а, р — аффиксы
л п а та 4- ив . ,
¦его концов А, В. Все точки т = ;—-, где т и п — целые положительные
т ¦+¦ п .
числа, изменяющиеся от 1 до 4- оо, лежат на отрезке АВ; на каждой конечной
части этого отрезка всегда есть бесконечное множество точек f, так как точка ¦{
ttt
делит отрезок АВ в отношении —. С другой стороны, пусть будет Ст,п общий
член абсолютно сходящегося двойного ряда. Двойной ряд
Ст,п
F(z) =
mi -
upw,. вляет аналитическую функцию, имеющую отрезок АВ существенным раз-
разрезом. В самом деле, этот двойной ряд можно преобразовать бесконечным мно-
множеством Способов в простой ряд. Очевидно, что, складывая несколько рядов
этого вида, можно составить аналитическую функцию, имеющую пустым про-
пространством любой многоугольник.
Вот другой пример, где линия L есть окружность. Пусть будет а иррацио-
иррациональное положительное число, v — положительное целое число. Положим
а = е2'™, а = а = e2fev«,
Все точки ач различны и лежат на окружности С, описанной из начала коорди-
«ат радиусом, равным единице. Сверх того, известно, что можно найти два таких
!целых числа тип, чтобы разность 2п(ла — т) по абсолютному значению была
тиеньше любого заданного положительного числа г (§ 317, примечание). Следо-
Следовательно, есть такие степени числа а, аргумент которых сколь угодно близок

345 III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ 219
к нулю, и следовательно, на всякой конечной дуге окружности всегда находится
ложим
•бесконечное множество точек а>. Положим, далее, сч~<)^'> по общей теореме ряд
представляет функцию, голоморфную в круге С,' имеющую пустым пространством
всю часть плоскости, лежащую вне этого круга. Разлагая каждый член по степе-
степеням переменного г, мы получим для F(z) разложение в целый ряд:
Нетрудно убедиться непосредственно, что функция, представляемая этим це-
целым рядом, не мож_т быть аналитически продолжена за круг С. В самом деле,
, . 1
прибавляя ряд , получим:
или
Изменяя в этом соотношении z в az, потом в aVz, ..., мы будем иметь об-
общее соотношение:
__L_;
C1)
отсюда видно, что разность 2nF{anz)— F(z) есть рациональная функция у (z),
, 1 1
имеющая п полюсов первого порядка 1,—, ... ,
a an~i
Формула C1) доказана при условиях | z | <Г 1, [ а | = 1. Если аргумент коли-
количества а соизмерим с г., то из формулы C1) следует, что F(z) есть рациональная
функция; чтобы в этом убедиться, достаточно взять для п такое целое число,
чтобы было ап — 1. Если же аргумент количества а несоизмерим с п, то функ-
функция F(z) не может быть голоморфною ни на какой конечной дуге АВ окружности,
как бы эта дуга ни была мала. В самом деле, пусть будут а~Р и ап~Р точки, ле-
лежащие на дуге АВ (л>р). Выбран числа пир таким образом, будем прибли-
приближать z к а~Р\ тогда anz будет стремиться к ап~Р, и обе функции F(z) и F(a"z)
должны были бы стремиться к конечным пределам. Но из соотношения C1)
видно, что это невозможно, так как функция ер (г) имеет полюс а-Р.
Как показал Адамар, аналогичный прием применим к ряду, рассмотренному
Вейерштрассом:
][V C2)
где а — положительное целое число, и Ь — постоянное, модуль которого меньше
•единицы. Этот ряд — сходящийся, если | z \ не превосходит единицы, и расходя-
расходящийся, если |г|>1. Следовательно, круг С с. радиусом, равным единице, есть
¦круг сходимости. Окружность С есть существенный разрез функции F(z). В са-
самом деле, предположим, что на какой-нибудь конечной дуге ар окружности нет
ни одной особой точки этой функции. Заменим в F(z) переменное z через ze c ,
где k и Л — положительные целые числа, а с —делитель числа а; начиная с члена
с указателем Л, все члены ряда C2) останутся без изменения; значит, разность

220 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 345
F(z)—F(zec ) есть многочлен. Следовательно, функция F(z) не имела бы
также особой точки на дуге aftpft, которую получим, повернув дугу aji вокруг на-
2&г . , 2т: ,
чала координат на угол —^-. Возьмем Л настолько большим, чтобы — было
меньше дуги ар. Положим последовательно: k = 1, 2, ..., еЛ; ясно, что дуги а,р,,
а2р2. • • вполне покроют окружность. Следовательно, функция F(z) не имела бы
ни одной особой точки на всей окружности, что невозможно (§ 335).
Этот пример представляет интересную особенность; ряд C2) — абсолютно и
равномерно сходящийся вдоль окружности С. Следовательно, он представляет на
этой окружности непрерывную функцию аргумента б *.
346. Особенности аналитических выражений. Всякое аналитическое
. выражение, например ряд, члены которого суть функции переменного z,
или определенный интеграл, в который это переменное входит как па-
параметр, представляет при некоторых условиях функцию, голоморфную
вблизи каждого "значения переменного z, при котором она имеет смысл.
Если множество этих значений переменного z вполне покрывает связ-
связную часть плоскости А, то рассматриваемое выражение представляет
функцию, голоморфную в этой области' А. Но если совокупность этих
значений переменного z образует две или несколько 'различных от-
отдельных областей, то может случиться, что рассматриваемое аналити-
аналитическое выражение представляет в, этих различйых областях совершенно
различные функции. Мы уже встретили пример этого в § 289. В самом
деле, мы видели, как можно составить ряд с рациональными членами,
сходящийся в двух криволинейных треугольниках PQR, P'Q'R' (черт. 57»,
сумма которого равна голоморфной"функции f(z) в треугольнике PQR и
нулю в треугольнике P'Q'R1. Складывая два таких ряда, мы получим ряд
с рациональными членами, сумма которого равна функции f(z) в тре-
треугольнике PQR и другой совершенно произвольной голоморфной функ-
функции ф (г) в треугольнике P'Q'R'. Так как эти две функции f(z) и <f.(z)
произвольны, то ясно, что сумма ряда в треугольнике P'Q'R' не имеет,
вообще, никакого отношения к аналитическому продолжению суммы
этого ряда в треугольнике PQR.
Вот еще весьма простой пример, аналогичный примеру, указанному
1 zn
Шредером (Schroder) и Таннри (Tannery). Выражение , , где и —
1 Z
оо
* Фредгольм (Fredholra) доказал также, что сумма ряда \\ anzn'' где а — положительное ко-
U
личество, меньшее единицы, не может быть продолжена за круг сходимости (Comptes rendus,
24 марта 1890). Этот пример приводит к следствию, которое стоит отметить. На окружности с ра-
радиусом, равным единице, ряд—сходящийся, и его сумма
F(b) = 2 a" [cos (я' ^
есть непрерывная функция аргумента 8, имеюшая бесконечное множество производных. Однако эту
функцию нельзя разложить в ряд Тейлора ни в одном промежутке, как бы мал он ни был. В са-
самом деле, предположим, что в промежутке (80 — а, 60 + ") мы имеем:
f(e) = A0 + ^,F-e0) + .,.+л„(е-ео)«+...
Рид, стоящий в правой части, представляет функцию комплексного переменного в, голоморфную
в круге с, описанном радиусом, равным а, из точки 90. Соотношение г ='е^ преобразует круг с
в некоторую замкнутую область А плоскости переменного г, содержащую дугу f окружности
с радиусом, равным единице, заключающуюся между точками с аргументами в0 — он 80+я- Следо-
Следовательно, в этой области А существовала бы голоморфная функция от 2, совпадающая вдоль
дуги y с суммою ряда J апгП2, что невозможно, так как нельзя продолжить сумму этого ряда за

§ 346—347 III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ 221
неограниченно возрастающее положительное целое число, имеет пределом
-f-1, если | z | <^ 1, и — 1, если | z \ ^> 1. Если | z | = 1, то это выра-
выражение не имеет предела кроме как при г-=\. Но сумма п первых
членов ряда
равна предыдущему выражению. Следовательно, этот ряд сходящийся,
если \z\ отлично от единицы; он представляет +1 внутри круга С,
описанного из начала координат радиусом, равным единице, и — 1 вне
этого круга. Пусть будут теперь f(z) и <p(z> произвольные аналити-
аналитические функции, например целые функции; выражение
Ф И = \ [/(*) + ? (*)] + у
равно /(г) внутри Си if (г) вне С. Окружность С есть для этого вы-
выражения разрез, но он совершенно отличен от существенных разрезов,
о которых говорилось выше. Функция, равная <b (z) внутри С, может
быть аналитически продолжена вне этого круга, и точно так же, функ-
функция, равная <b (z) вне С, может быть аналитически продолжена внутрь С.
Аналогичные особенности имеют место для функций, представляемых
определенными интегралами. Самый простой пример представляет инте-
интеграл Коши. Если /(г) есть функция, голоморфная внутри некоторого
г . 1 GB) «to
замкнутого контура 1 и на самом этом контуре, то интеграл ~—. \ — —
Ziiii *j z ~~~~ x
г
представляет f(x), если точка х лежит внутри Г; тот же интеграл
равен нулю, если точка х лежит вне контура Г, так как в этом случае
функция —— голоморфна внутри контура Г; здесь также линия Г
есть несущественный разрез для определенного интеграла. Опреде/тен-
2л
ный интеграл \ ctg I 1 dx имеет разрезом действительную ось; он
о
равен -\~2ni или —2л/ в зависимости от того, лежит ли точка х над
этим разрезом или под ним (§ 296;.
347. Формула Эрмита. К тому же кругу идей примыкает интересный ре-
результат, принадлежащий Эрмиту*. Пусть будут F(t, z), ,G(t, z) голоморфные
функции двух переменных t и г, например многочлены или целые ряды, схо-
сходящиеся при всех значениях этих двух переменных. Определенный интеграл
^)* C3)
взятый вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки аир, представляет,
как мы это докажем ниже (§ 352), функцию от г, голоморфную при всех значе-
значениях z кроме тех значений, которые суть корни уравнения G(t, z) = 0, где t
* Э р м и т (Hertnite), Sur quMques points de la thtSorie des fonctions, Qrellt's Journal, т. 91.

222
ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ 347
есть аффикс какой-нибудь точки, взятой на отрезке afl. Таким образом это уравне-
уравнение определяет конечное или бесконечное число линий, для которых интеграл
Ф(г) перестает существовать. Пусть будет АВ одна из этих линий, не имеющая
двойных точек. Чтобы иметь дело с вполне определенным случаем, предположим,
что, когда t описывает отрезок ар, один из корней уравнения G(t, z) описывает
дугу АВ, а все остальные кор-
ни того же уравнения, если они
существуют, остаются вне над-
надлежащим образом выбранного
замкнутого контура, окружаю-
окружающего .дугу АВ, так что между
точками отрезка aji и точками
дуги АВ существует взаимно
однозначное соответствие. Ин-
Интеграл C3) не имеет смысла,
АВ
Черт. 76.
р ()
если z приходит на дугу АВ;
вычислим разность значений
функции Ф (г) в двух точках N,
N', бесконечно близких к точке М линии АВ и лежащих по обе стороны этой
линии. Пусть будут К, Z -+¦ s, С ¦+¦ s', соответственно, аффиксы трех точек М, N, N'.
В силу соотношения G(t, г) = .О этим трем точкам соответствуют на плоскости
переменного t точка т, лежащая на дуге ар, и две бесконечно близких точки п, I
п', лежащих по обе стороны дуги af; пусть будут в, 6 + 7), в-+-т)' соответствую-
соответствующие этим точкам значения переменного t. Возьмем в области отрезка ар точку f,
настолько близкую к ар, чтобы внутри треугольника а^ (черт. 76) уравнение
G(t, С -+- е) не имело другого корня кроме f=^9-f-r). Следовательно, внутри тре-
треугольника ajiy фунйция ' имеет только один полюс 8 + т|, и, на осно-
основании сделанных предположений, этот полюс — простой. Следовательно, применяя
теорему Кош и, мы имеем соотношение:
CFt^+ \FJfJ+)
J
G(t.
G(t,
±1'J±1) C4)
Оба интеграла \, \ того же вида, как Ф (г); они представляют, соответственно,
две функции Ф{ (г), Фъ(г), которые голоморфны, пока переменное не лежит на
некоторых разрезах. Пусть будут АС и ВС разрезы, соответствующие отрезкам
erf и p-f плоскости переменного t и бесконечно близкие к разрезу АВ интеграла
Ф (г). Дадим теперь переменному г значение Z +¦ е'; соответствующее значение
переменного t есть 0 + т]г, представляемое точкою п', и функция _~,' „^-; пере-
переСледовательно, мы имеем со-
соменного t голоморфна внутри треугольника
отношение:
f ?
C5>
вычитая почленно формулы C4) и C5), мы можем представить полученное со-
соотношение в виде:
Но функции Ф, (г) и Ф2(г), не имея линию АВ разрезом, голоморфны в об-
области точки z = ?, и, приближая е и е' к нулю, мы получим в пределе разность

§ 347 III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ 22*
значений Ф(г) в двух бесконечно близких точках, лежащих по обе стороны ли-
линии АВ. Этот результат можно представить сокращенно в виде:
^ С> C6>
J)
de
это — формула' Эрмита. Мы видим, что она имеет простую связь с теоремою
Коши *. Из доказательства вполне ясно, как надо брать точки N и N'; точка
N(K + е) должна быть взята так, чтобы для наблюдателя, описывающего отрезок aji,.
соответствующая точка 6 -\- tj «оставалась слева.
Следует заметить, что линяя АВ не есть существенный разрез для функции
Ф(г). На основании формулы A8) в области точки N' можно заменить Ф (z)>
через — [Ф4 (z) -I- Ф2 (г)]; но сумма Ф1 (z) -J- Ф2 (г) голоморфна в криволинейном
треугольнике АСВ и на самой линии АВ, а также в области точкя N'. Следо-
Следовательно, можно перемещать переменное z так, чтобы оно пересекло линию АВ
в любой точке М этого пути, отличной от конечных точек А и В, и не встретить-
никакого препятствия для аналитического продолжения. Очевидно, что то же
самое имело бы место, если бы переменное z пересекало линии АВ, перемещаясь
в противоположном направлении.
Пример. Рассмотрим интеграл
Р
C7>
взятый вдоль отрезка АВ действительной оси, где f(t) есть функция, голоморф-
голоморфная вдоль отрезка АВ. Изобразим z, на той же плоскости, как и t. Функция Ф(г)>
переменного z голоморфна вблизи всякой точки, не лежащей на самом отрезке АВ„
который служит разрезом для интеграла. Разность Ф(;\)— Ф(УУ') здесь равна
± 2гс//(?), где ? есть точка отрезка АВ. Когда переменное z пересекает линию АВ,,
аналитическое продолжение функции Ф (z) есть Ф (z) :+: 2пг/(г).
Этот пример дает повод к следующему важному замечанию. Функция Ф (z)
переменного z будет также голоморфною, если f{t) и не есть аналитическая
функция переменного F, надо только, чтобы f{t) была непрерывной между а и $¦
(§ 284). Но в этом случае предыдущие рассуждения более ие применимы, и от-
отрезок АВ есть; вообще, существенный разрез для функции Ф(г). Пусть ? озна-
означает действительное число, заключенное между аир (см. § 284). Разность
где е положительно и бесконечно мало, уже нельзя вычислять при посредстве-
теоремы о вычетах, потому что функция f(t) не есть аналитическая. Эту раз-
разность можно записать в виде:
г_ __г? г_; к dt= I ,-,—¦
a
или также
2/е/@ ¦ ^ Г 2ft [/@-/@] „,
Первый из этих двух интегралов равен 2//(С) arctgf J и при
приближении е к нулю имеет пределом 2iu/(?), что же касается второго ин-
интеграла, то его можно разбить на три интеграла, взятых, соответственно, в пре-
пределах от а до К — h, от С — h до С -)- h и от К 4- h до р, причем h — весьма малое
положительное число. Если т| означает максимум функции \f(t) — /(С) | в интер-
интервале (Z — Л, К + Л), то, на основании предшествующего вычисления, модуль вто-
Г у р с a (Goursat), Sur un theoreme de M. Hermit, asta mathematica, т. I.

•224 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 347
Тэого интеграла оказывается меньшим 2щ, что же касается первого и третьего
интегралов, то они стремятся к нулю вместе с е, и модуль суммы этих трех
¦интегралов может быть сделан меньшим всякого данного положительного числа.
«Следовательно, мы имеем также после перехода к пределу *:
1Гт [Ф (С + к) - Ф (Г - «)] = 2/к / (Q.
s=0
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Найти линии разрыва определенных интегралов:
1 ь
«зятых вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки @, 1) или (а, Ь); устано-
,вить точно значение этих интегралов во всякой точке г, не лежащей на разрезах.
2. Даны четыре круга, описанных, соответственно, из точек 4-1, +/, —1,
— i радиусом, равным —/=¦• Пространство, лежащее вне этих четырех кругов,
-состоит из конечной области At, содержащей начало координат, и из бесконеч-
бесконечной области Л2. Пользуясь методом § 289, составить ряд рациональных функций,
«сходящийся в этих областях, сумма которого равна +1 в At и равна нулю в А%.
Проверить результат, вычислив сумму полученного ряда.
3. Решить те же вопросы, рассматривая две области, лежащие внутри круга,
•Описанного из начала^координат радиусом, равным- 2, и вне кругов, описанных,
•соответственно, из точек +1 и — 1 радиусом, равным 1.
[А п п е л ь, Ada mathematica, т. I.]
4. Определенный интеграл
+ ОО
лвзятый вдоль действительной оси, имеет разрезами прямые х — Bk 4- l)u, где k —
мелое число. Пусть будет ? = B?+- 1)п + к точка, лежащая на одном из этих
¦разрезов. Разность значений интеграла в двух точках, бесконечно близких к
точке С и лежащих по обе сторона разреза, равна г.(е<?— е-**).
[Э р м и т, Cretie's Journal, т. 91.]
5*. Определенные интегралы
+ 00 + СО
еШ-г) (' е-i('-z)
/= ,— dt, У, = \ -,— dt
t — z . J t — z '
— oo . — oo '
имеют в плоскости переменного z разрез вдоль действительной оси. Над этою
•осью мы имеем /== 2/п, У„ = 0, а под осью J = О, Jo = — 2/u. Вывести из этих
«формул значение определенных интегралов:
+ оо +оо
.1 1 - z dt' J ~*t -
- oo - oo
+ oo + oo
t - г ' 'J t — z
—oo —oo
[Э р м и т, Crelle's Journal, т. 91,]
• См. P I e m e 1 j> Monatshefte fur Mathematik and Physik, т. XIX, 1908, стр. 205.

УПРАЖНЕНИЯ 225
6*. Пользуясь разрезами, вывести формулу (глава XIV, упражнение 15):
I
1 -t- e* sin ar.
— оо
[Э р м и т, Crelle's Journal, т. 91.]
[Рассмотреть интеграл Ф (г) = j j-™^+z) dt, имеющий разрезами все
- о?
прямые y = Bk -(- 1) п и остающийся постоянным в полосе, заключающейся между
двумя последовательными разрезами, затем, вывести соотношение:
Ф (г + 2нт) = Ф (г) ¦+- 2тг«а, Ф (г f 2/it) = е&™ ф (г),
где г и г -J- 2й — точки, разделенные разрезом ^ = !t.]

ГЛАВА XVIL
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА. .
В этой главе мы будем изучать аналитические функции нескольких
независимых комплексных переменных. Чтобы упростить изложение и
формулы, мы ограничимся случаем только двух переменных; но нет ни-
никакой трудности распространить найденные общие свойства и на функ-
функции любого числа переменных.
348. Определения. Пусть будут z = u-\-iv, z' = w-\-it два незави-
независимых комплексна переменных; всякое другое комплексное количе-
количество Z, значение которого зависит от значений количеств z и z', мо-
может быть названо функциею двух переменных z и г'. Представим зна-
значения обоих переменных z и z' двумя точками с координатами (и, v),
(w, t) относительно двух систем прямоугольных осей, лежащих в пло-
плоскостях Р, Р1; пусть будут А и А' какие-нибудь части этих двух пло-
плоскостей. Функция Z=f(z, z') называется голоморфною в областях А
и А', если всякой системе двух точек, взятых, соответственно, в областях
А и А', соответствует вполне определенное значение функции f(z, z'),
изменяющееся непрерывно вместе с г и г', и если каждое из отношений
Дг + h, z')-/(z, z>) f(z, z' + k)-f(z, z')
A ' k
стремится к определенному пределу, когда при постоянных z и z' мо-
модули количеств Л и k стремятся к нулю. Эти пределы суть частные
производные от функции f(z, z'); их обозначают так же, как и в слу-
случае действительных переменных.
Отделим в f(z, z') действительную часть и коэфициент при /:
f(z, z') — X+iY; X и К суть действительные функции четырех дей-
действительных независимых переменных и, v, w, t, удовлетворяющие че-
четырем соотношениям:
йА"__ак ^__^ ъх _ъу ъх ъу
смысл которых очевиден *. Переходя к производным второго порядка,
* Если гиг' суть аналитические функции некоторого другого переменного х, то, пользуясь
этими соотношениями, нетрудно доказать, что производная от/ (г, г') по х получается по обыч-
обычному правилу диференцирования сложной функции. Следовательно, формулы диференцяального
исчисления и, в частности, формулы замены переменных распространяются и иа аналитические
функции комплексных-переменных.

§ 348—349
I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
227
можно исключить У шестью, различными способами, но шесть цоду-
чающихся соотношений сводятся только к четырем:
l0'"^+T^:
Большое число этих соотношений служит простым объяснением того,
почему до сих пор ими мало пользовались при изучении аналитических
функций двух переменных.
349. Совместные круги сходимости. Свойства целых рядов с двумя
действительными переменными (т. I, § 181 —183) легко распространить
на тот случай, когда коэфициенты и переменные имеют комплексные
значения. Пусть будет
F(z, z') = '2lamnzmztn B)
двойной ряд с произвольными коэфициентами. Пусть будет
мы видели (т. I, § 181), что существует, вообще, бесконечное множе-
множество систем двух таких положительных чисел /?, R', что ряд модулей
ЯА^Я* C)
— сходящийся, если одновременно Z<iR и Z'<^R', и расходящийся,
если Z~^>R и Z'^>R'. Пусть будет С круг, описанный в плоскости
Черт. 77.
переменного z из начала координат радиусом, равным /?; точно так же.
пусть будет С' круг, описанный в плоскости переменного z' из точки
г' = 0 радиусом, равным #' (черт. 77). Двойной ряд B) — абсолютно
сходящийся, если переменные z, г' остаются, соответственно, внутри
кругов С, С1, и расходящийся, если эти переменные находятся, соот-
соответственно, вне этих двух кругов (т. I, § 182). Круги С а С назы-
называются совместными кругами сходимости. Эта пара кругов играет здесь
ту же роль, как круг сходимости для целого ряда с одним переменным;
15*

22» ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ; МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 349
но вместо одного круга для целого ряда с двумя переменными суще-
существует бесконечное множество пар совместных кругов. Например, ряд
Yj —-—jl 2тг'п -¦- абсолютно сходящийся, если | z | -f- | z' | <^ 1, и притом
только в этом случае. Всякая пара кругов С, О, радиусы /?, /?' кото-
которых удовлетворяют соотношению R -\-R'=\, есть пара совместных
кругов сходимости. В некоторых случаях можно ограничиться рассмо-
рассмотрением только одной пары совместных кругов; например, это имеет ме-
место для, ряда ^гтг'а, — сходящегося, только притом условии, если од-
одновременна |.? |< 1, |z'\<< 1,
Пусть будет Сл круг, концентрический с С, радиус которого R^<^R;
точно так же пусть будет С,' круг, концентрический с С, радиус ко-
которого R1'<^fi'. Если переменные z и z' остаются, соответственно, вну-
внутри кругов Сг и С/, то ряд B) — равномерно сходящийся (см. т. I, § 182);
следовательно, внутри обоих кругов С и С его сумма есть непрерыв-
непрерывная функция F(z, z') двух переменных z и z'.
Диференцируя почленно ряд B), например относительно перемен-
переменного z, мы получим новый ряд ^lmamnzm'1z'n,—также абсолютно схо-
сходящийся, если z и z' остаются, соответственно, в кругах С и С, и его
сумма равна производной — от F(z, z1) no z. Доказательство совер-
шенно, такое же, какое было дано для действительных переменных
(т. I, § 182). Точно так же, F(z, z') имеет частную производную —-7
oZ
по z', представляемую двойным рядом, который получим, диференци-
диференцируя почленно ряд B) относительно z'. Это показывает, что в рассма-
рассматриваемой области функция F(z, z') есть аналитическая функция двух
переменных z и z'. Очевидно, что то же самое имеет место и для про-
изводных —, —j; следовательно, функцию F(z, г') можно диференци-
oZ oZ
ровать почленно любое число раз; все ее частные производные суть
также аналитические функции.
Возьмем внутри круга С какую-нибудь точку z с модулем г и опи-
опишем из этой точки круг с радиусом, равным /? — г, касающийся из-
изнутри круга С. Точно так же пусть будут z' какая-нибудь точка с мо-
модулем /' <[ R' и с' — круг, описанный из точки z' радиусом, равным
R' — г1. Наконец, пусть будут z-\-h и z'-\-k две какие-нибудь точки,
взятые, соответственно, в кругах с и с', так что
Заменив в ряде B). переменные z и г' через z-\-h и z'-\-k, мы
можем разложить каждый его член в ряд, расположенный по степеням h и k;
полученный таким образом кратный ряд — абсолютно сходящийся. Рас-
Располагая этот ряд по степеням А и к, мы получим, формулу Тейлора:

§350
1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
229
350, Двойные интегралы. Распространяя на функции многих ком*
плексных переменных общие теоремы Коши, выведенные им из рассмо*
трения интегралов, взятых между мнимыми пределами, мы встречаемся с
трудностями, которые были вполне выяснены Пуанкаре*. <Мы рассмотрим
здесь только один весьма простой частный случай, который нам будет
достаточен для после-
дующего. Пусть будет
f(z, zf) функция голо-
голоморфная, когда пере-
переменные z, z' остаются,
соответственно, в не-
некоторых областях А, А'
(черт. 78). Рассмотрим
линию ab, лежащую в
области А, и линию
а'д', лежащую в обла-
области А'. Разобьем произвольным числом точек деления каждую из этих
линий на меньшие дуги; обозначим через z0, z,, г2, ... , zp_v zk, ..., Z
точки деления дуги ab, где zQ и Z совпадают с а и Ь, и через z0',
Zj, г2', ... , zh'__j, zh', ... , «„'_!, Z* — точки деления дуги a'b\ при-
причем г0' и Z' совпадают с а' и V. Двойная сумма
стремится к некоторому пределу, если оба числа тип неограниченно
возрастают так, что все модули \гк—zk_z | и | zh' — 2ft'_j | стремятся
к нулю. Пусть будет /(г, z1) = X-\-iY, где X и Y—действительные
функции четырех переменных и, v, w, t; положим еще zk= u^-^-w^
Zfl = wh +- ith . Мы можем представить общий член суммы S в виде:
выполнив указанные умножения, мы получим восемь отдельных произ-
произведений. Докажем, например, что сумма частичных произведений
h=\Л=1
стремится к некоторому пределу. Предположим, как это имеет место
на чертеже, что прямая, параллельная оси Oj, пересекает кривую ab
только в одной точке, и точно так же, прямая, параллельная оси Ot,
пересекает кривую а'Ы не более чем в одной точке. Пусть будут i/=aip (и),
t = ty(<w) уравнения этих двух кривых; м0 и U — границы, между
которыми изменяется переменное и, a w0 и W—границы, между ко-
которыми изменяется переменное w. Заменяя в X переменные v и t, coot-
* Пуанкаре (Poincare), Sur les rSsidus des integrates doubles, Ac/a maihematica, т. IX.

239 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 350
ветственно, через ср (и) и ф (w), мы получим непрерывную функцию
Р(и, w) переменных и и w, и сумма F) принимает вид:
-WA_,). (б')
ft = l Л=1
При неограниченном возрастании тип эта сумма имеет пределом
двойной интеграл Р(к, w)dudw, распространенный на прямоуголь-
прямоугольник, ограниченный прямыми u = u0, u=U, ¦и/ = 'И>0, wz=:W. Этот
двойной интеграл можно представить иначе в виде:
и w
I du \ Я (и, w)dw,
или, вводя криволинейные интегралы,
I du I X(u, v; w, t)dw. G)
ab a'b'
В последнем выражении « и v обозначают координаты точек дуги
ab, a w и ^—координаты точек дуги a'b'. Предполагая, что точка
(и, v) постоянна, будем перемещать точку (w, t) по дуге a'b' и вы-
вычислим криволинейный интеграл I Xdw, взятый вдоль этой дуги a'b';
в результате получится некоторая функция ./?(«, v) от и, v. Затем мы
вычисляем криволинейный интеграл I R(u, v)du, взятый вдоль дуги ab.
Последнее выражение G), которое мы получили для предела суммы
F), применимо при всяких путях аЬ и a'b'. Для этого достаточно, как
мы это уже неоднократно делали, разбить каждую из кривых ab и a'b'
на дуги настолько малые, чтобы они удовлетворяли надлежащим усло-
зиям, сочетать совместно всеми возможными способами части дуги ab
с частями дуги a'b' и сложить результаты. Поступая так со всеми сум-
суммами частичных произведений, аналогичными сумме F), мы найдем, что 5
равно в пределе сумме восьми двойных интегралов, аналогичных инте-
интегралу G). Представив эту сумму через И F(z, z') dz dz', мы имеем ра-
равенство:
jjVB, z')dzdz' =
= \ du \Xdw~ [ dv [xdt— [ du { Y di — [ dv Г Y dw +
ab a'b' ab a'b' ab a'b' a'b a'b'
du [Ydw — г Г dv ^Ydt + i^d* [xdt-\-i[dv Г X dw; (8)
'b' b 'b' b 'b' b {'b'
a'b' ab a'b' ab a'b' ab {a'b')

§ 350-351 I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 2*1
его можно представить сокращенно в виде:
[\ F(z, z')dzdz' = Г {du-\-idv) f (K-\-iY)(dw-\-idt),
ab а'Ь'
или, иначе,
JJFB, z')dzdz' = ( dz j* f(z, z')dz'. (9)
ab a'b
Формула (9) вполне сходна с формулою, которою пользуются при
вычислении обыкновенного двойного интеграла, распространенного на
площадь прямоугольника, при помощи двух последовательных квадра-
квадратур (т. I, § 1*13). Сначала вычисляют интеграл I F(z,z')dz', взятый
вдоль дуги а'Ь', предполагая z постоянным: в результате получается
некоторая функция Ф (z) от z, которую затем интегрируют вдоль дуги ab.
Так как оба пути ab и а'Ь' играют аналогичную роль, то ясно, что
порядок интегрирований можно изменить в обратный.
Пусть будет М положительное число, большее модуля функции
F(z, z'), когда z и z' описывают дуги ab и а'Ь'; если L и V обозна-
обозначают, соответственно, длины этих дуг, то модуль двойного интеграла
меньше, чем MLL' (§ 276).
Если один из путей, например а'Ь', образует замкнутую линию, то
интеграл I F(z, z')dz равен нулю, если функция F(z, z') голоморфна
а'Ь'
при значениях переменной z', лежащих внутри этой линии, и при зна-
значениях переменного z, лежащих на линии ab; следовательно, и двой-
двойной интеграл равен также нулю.
351. Распространение теорем Коши. Пусть будут С и С' две замкну-
замкнутые линии без двойных точек, лежащие, соответственно, в плоскостях
переменных z и z',F(z, z') — функция голоморфная, когда z и z' оста-
остаются внутри областей, ограничиваемых этими линиями, и на самих
этих линиях. Рассмотрим двойной интеграл:
с а
где х — точка, лежащая внутри контура С, и х' — точка, лежащая внутри
контура С; предположим, что эти оба контура описываются перемен-
переменными в прямом направлении. Интеграл
F(z, z')dz'
с
где z обозначает постоянную точку, лежащую на контуре С, равен
о F{z, x') _
2т — -. Следовательно, мы имеем:
Z —X
J <

232 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 351
применяя еще раз теорему Кошн, получим:
Таким образом мы приходим к формуле
с с
вполне аналогичной основной формуле Коши и из которой можно вы-
вывести аналогичные, следствия. Из нее можно вывести существование
частных производных всех порядков от функции F(z, z1) в рассматри-
ваемых областях; так, производная т д равна
*m+HF 1-2... «-1-2... п Г Г Fjz^Xlz1
'" ' .„ =я: -~ ^—й I uZ \ : :'~" ~z i i—~: г . 11 И
А 1 "* «1 v "• 4-тт* I i(9* v i + * ( 9' *•• | Л +1 • *
С С
Чтобы получить формулу Тейлора, предположим, что контуры С и
С суть окружности; пусть будут а — центр окружности Си/? — ее ра-
радиус, b — центр окружности С' и /?'—ее радиус. Если точки х и х'
взяты, соответственно, внутри этих окружностей, то |л;—a\=i
\х'—b\=r'<^Rl, и мы можем разложить рациональную дробь
- . \_с_ _J
(z — x) (z1 — xl)~[z — a—(x — a)] [z1 — b — (x'—b)]
по степеням разностей х — а и х' — b:
+ OO+OO
(z — x){zl — xr)= Ъ
ряд, стоящий в правой части,— равномерно сходящийся, если z и .г'опи-.
сывают, соответственно, окружности С и С, так как модуль общего
1 / г \т( г> \п „ ' А
члена равен -^^ I -^— I ^. I . Следовательно, можно заменить в фор-
нн \к I \н j
муле A0) дробь —1 j- предыдущим рядом и интегрировать по-
лученное выражение почленно. Мы будем иметь:
+ оо+оо
т=0 л=0
с*
Принимая во внимание формулы, получающиеся из A0) и A1) по-
после замены х и х1 через а и Ь, мы придем к формуле Тейлора:
+ ОО +ОО
причем сочетание т = п = 0 при суммировании исключается.

§ 351-352 I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 233"
Примечание. Коэфьциент атп при (дг — af*(х'-*гЬ)" в предыдущем ряде-
равен двойному интегралу:
4n'J J (г — e)"» + »(z' — &)«+»•
С С
если М есть верхняя граница модуля \F{z, г')\ вдоль окгужнсстей С и С, то»
на основании общего замечания, мы имеем:
I атп К
Следовательно, функция
есть усиливающая для F(.f, *') (т. I, § 183).
332. Функции, изображаемые в виде определенных интегралов. При
изучении некоторых функций их часто выражают через определенные
интегралы, где независимое переменное входит под знаком интеграла как"
параметр. Мы уже дали для случая действительных переменных доста-
достаточные условия, при которых к этим выражениям можно применить
обычную формулу диференцирования (т. I, § 94—96).
Возвратимся к этому вопросу для случая комплексных переменных.
Пусть F(t, z)—функция двух переменных /, z, однозначная и непре-
непрерывная, когда комплексное переменное z остается в области D, в точ
время как переменное t принимает действительные значения, заключенные
между двумя пределами а и Ъ, или же комплексные значения, представлен-
представленные точками какой-либо дуги АВ кривой, допускающей в каждой точке-
непрерывно вращающуюся касательную или же составленной из конеч-
конечного числа дуг этого рода. Сверх того, мы предположим, что, когда
переменное t принимает определенное значение на дуге АВ% F(t, z)>
оказывается функцией переменного z, голоморфной в области D. Эти
условия, наверное, выполнены, если F(t, z) есть аналитическая функция'
двух комплексных переменных t и zx голоморфная, когда переменное/
остается в области Д, заключающей в себе дугу АВ, а переменное z —
в области D, но эти условия являются более общими.
Пусть х — произвольная точка. области D. Определенный интеграл
F(t,x)at A3)
АВ
оказывается, очевидно, однозначной и непрерывной функцией перемен-
переменного х в этой области. Чтобы убедиться в том, что эта функция яв-
является в то же время и аналитической, достаточно показать,что в.каждой
точке она имеет единственную производиую. Так как Fit, x) есть го-
голоморфная функция переменного л:,, то, на основании формулы Кошиг
мы в праве также написать:
z — х
ав с

234 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 352
причем С означает окружность с центром в точке х, расположенную
в области D.
Пусть будет х -\- Алг точка, близкая к точке х, лежащая в круге С;
мы имеем также:
АВ С
м следовательно, повторяя прежние вычисления (§ 284):
Ф(О 1 Г [F(t,z)dz
J
О 1 Г [F(t,z)d
2то J ) {z—xy
АВ С
Ьх J )
АВ С
F(t,z)dz
АВ С
Пусть будет М положительное число, большее модуля функции
F(t, z), когда переменные t и z описывают, соответственно, линии АВ
и С, 6'—длина дуги АВ, р — модуль количества Дх\ Модуль второго
^интеграла меньше, чем
2тг /?М/?-р) ^(/?р)'
и следовательно, при неограниченном приближении точки х-\-&Х к
точке х стремится к нулю. Следовательно, функция Ф{х) имеет един-
единственную первую производную, представляемую выражением
АВ
Но мы имеем также (§ 284):
*?— 1- ГF (t,z)dt
дд: 2тг/ J B — JfJ~ '
с
и предыдущую формулу можно представить иначе в виде:
Ф'(*)=Г-Л. A4)
АВ
Мы пришли к обычной формуле диференцирования под знаком ин-
интеграла.
Предыдущее рассуждение неприменимо, если путь интегрирова-
интегрирования L простирается в бесконечность. Предположим для определенности,
что L есть бесконечная полупрямая, выходящая из точки аа и образу»
чощая угол 6 с действительною осью. Мы будем называть интеграл
оо
С
ф(лг)=\ F(t,x)dt

§ 352—353
I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
235
равномерно сходящимся, если для всякого положительного числа s су-
существует такое положительное число Л/, чтобы при р~^>N было
F(t,x)dt
где бы точка х ни лежала в области А'. Разбивая путь интегрирования
на бесконечное множество прямолинейных отрезков, мы докажем, что
всякий равномерно сходящийся интеграл равен сумме равномерно схо-
сходящегося ряда, члены которого суть интегралы, взятые вдоль соответ-
соответствующих отрезков бесконечной полупрямой L. Все эти интегралы суть
голоморфные функции от х; следовательно, и
оо
J'
F(t, x) dt
также голоморфно (§ 290).
Точно так же можно убедиться, что здесь можно применить обыч-
обычную формулу диференцирования под знаком интеграла, если только по-
получающийся интеграл
оо
.Ь*'
а,
сам равномерно сходящийся.
Если функция F(t,z) обращается в бесконечность при пределе ап
пути интегрирования, то интеграл называется равномерно сходящимся
в некоторой области, если для всякого положительного числа 8 можно
найти на линии L такую точку ао-$-ц, чтобы было
J F(t,x)]dt
где Ь есть какая-нибудь точка, лежащая на линии L между точками а0
и ao-j-7j, причем это неравенство должно иметь место при всех значе-
значениях переменного х, заключающихся в рассматриваемой области. Точно
так же прежние заключения сохраняются в том случае, когда один из
пределов интеграла обращается в бесконечность, и доказываются таким
же способом.
353. Приложение к функции Г. Определенный интеграл, взятый вдоль дей-
действительной оси,
гОО
)= [
tz-te-tdt,
A5)
который мы рассматривали только при действительных и положительных значе-
значениях переменного z (т. I, § 90), имеет конечное значение, если действительная
часть переменного z, которую мы обозначим через SR (г), положительна. В самом

236 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 353
деле, пусть будет z — x + iy, отсюда имеем: \t*~ie-t\=tx-le-t. Так как при х
положительном интеграл
+ ?°
\ tdt
j *-«.-
имеет конечное значение, то очевидно, что имеет конечное значение и интеграл
A5) (т. I, §87—88). Этот интеграл — равномерно сходящийся во всей области,
определяемой условиями N> 91 (г) > т), где// и ч —произвольные положительные
числа. В самом деле, мы имеем:
Г (г) = [ t*- te-tdt + \ /*- <«-' Л,
о 1
н достаточно показать, что каждый из интегралов, стоящих в правой части, — рав-
равномерно сходящийся. Докажем это, например, для второго интеграла. Пусть бу-
будет / положительное число, большее единицы; если 31 (z) < N, то
\ t'-'e-t
\
и можно найти настолько большое положительное число Л, чтобы последний ин-
интеграл был меньше всякого положительного числа л, если/^ Л. Следовательно,
функция Г (г), определяемая интегралом A5), голоморфна во всей области пло-
плоскости, лежащей вправо от оси Оу. Эта функция Г (г) удовлетворяет попрежнему
соотношению:
T(z + l) = zY(z), A6)
которое получим, интегрируя по частям, а следовательно, и более общему соот-
соотношению:
A7)
представляющему непосредственное следствие предыдущего.
Пользуясь этим свойством, можно распространить определение функции Г (г)
на значения г, действительная часть которых отрицательна. В самом деле, рас-
рассмотрим функцию
Г(г + п)
где п—"целое положительное число. Числитель Г(г+п) есть голоморфная функ-
функция от z, вполне определенная, если 9t(z)> — п\ следовательно, 'К*) есть меро-
морфная функция, определенная при всех значениях переменного, действитель-
действительная часть которых больше, чем — п. Но на основании формулы (}7) эта функ-
функция ф(г) совпадает справа от оси Оу с голоморфною функциею Г (г); следова-
следовательно, оиа тождественна с аналитическим продолжением голоморфной функции
Г(г) в полосу;; заключающуюся между прямыми 9t(z) = O, 9tiz)= — й. Так как
число п произвольно, то отсюда следует, что существует мероморфная функция,
имеющая полюсами первого порядка все точки г=0, г = —1, г=^л-2,... z =
= — п которая справа от оси Оу равна интегралу A5). Эту ф^шецию также
изображают через T(z), но ее числовое значение можно вычислять по формуле A5)
только в том случае, если 31 U) > 0. Если 31 (г) < 0, то, чтобы иметь числоьое
значение этой функции, надо воспользоваться, сверх того, соотношением A7).
Следующее выражение функции Г (г) пригодно при всяком значении пере-
переменного z. Пусть будет S(z) целая функция:

§353—354 I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 237
Она имеет нулями полюсы функции Г (г), следовательно, произведение
S(z) Г (г) должно быть целою функциею; можно доказать, что эта целая функция
равна е~Сг, где С —эйлерово постоянное* (т. I, § 18). Отсюда получаем фор-
формулу:
+ОО
мы видим, что „. есть целая трансцендентная функция.
354. Аналитическое продолжение функции двух переменных. Пусть бу-
будет F(z, z1) функция двух переменных г и г', голоморфная, когда эти оба пере-
переменные остаются, соответственно, в связных частях А и Аг плоскостей, в которых
их представляют. Как и в случае одного переменного (§ 334), можно доказать, что
значение этой функции при какой-нибудь системе значений z и г', взятых в об-
областях А и А', определено, если известны значения функции F и всех еэ част-
частных производных при значениях z = a, z' = b, взятых в тех же областях. Вслед-
Вследствие этого, повидимому, нетрудно распространить на функции двух комплексных
переменных понятие аналитического продолжения. Рассмотрим двойной ряд 2а«л
такой, что есть два положительных числа г, г"г обладающих следующим свой-
свойством: ряд
/>(*,*¦)•= SW"*1" B0)
— сходящийся, если одновременно | z. [ < г, \z' \ < г', и расходящийся, если одно-
одновременно | z | > г, | z | > /¦'. В этом случае предыдущий ряд определяет функ-
функцию F(z, z), голоморфную, если переменные гиг' остаются, соответственно, в
кругах С и С с радиусами, равными г и /; но отсюда мы еще ничего Я'э зКаем
о том, какова эта функция, если [ г | > г или [ г' | > /¦'. Предположим для опре-
определенности, что переменное г перемещается по некоторому пути L, идущему из
начала координат в точку Z, лежащую вне круга С, а переменное г' переме-
перемещается по некоторому другому пути L', идущему из точки г' = 0 в точку Z',
лежащую вне круга С. Пусть будут аир две точки; взятые, соответственно, на
путях L и V, причем а лежит внутри С, а. Р лежит внутри С'.. Пользуясь рядом
B0) и теми рядами, которые получим, дифереицируя его любое число раз, мы
можем составить новый целый ряд
i »*,(*¦-«)*С*1-Р)". B1)
абсолютно сходящиеся, если | г — а | < г{ и | г' — fl | < /-,', где г4 иг/ —положитель-
—положительные числа, надлежащим образом выбранные.. Обозначим через Ct окружность,
описанную в плоскости переменного z из точки а радиусом, равным rit и. через
CY — окружность, описанную в плоскости переменного г' из точки' f радиусом,
равным г/. Если точка находится в части плоскости, общей обоим кругам С и
Сь и точка z' находится в части плоскости, общей обоим кругам С" и С4', то
сумма ряда B1) тождественна с суммою ряда B0). Если можно выбрать числа rt
и г/ так, чтобы круг Ct имел часть, лежащую вне круга С, или круг С/ имел часть,
лежащую вне круга С, то мы распространим определение функции F(z, г1) ня
область, отчасти лежащую вне1 первоначальной области. Продолжая те же дей-
действия, мы видим,, что. мы можем постепенно расширять область существования
функции F(z, z'). Но здесь входит новый существенный элемент.- В самом деле,
необходимо принимать во внимание, как переменные перемещаются одно
относительно другого по их соответствующим путям.
Что это обстоятельство является существенным, легко показать на одном,
почти банальном, примере. Пусть /(г + г') —; аналитическая функция перемен-
переменного Z= z -рг", имеющая точки" разветвления;. Если переменные z и г'описы-
г'описывают замкнутые пути С и С, то очевидно, что переменное Z'= z + г -также опи-
опишет некоторую замкнутую кривую Г, но эта кривая Г будет зависеть от способа,
¦ Э р м и т (Hermite), Cours d'Analyse, 4-е издание, стр. 142.,

238 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 355
каким переменные г и z' описывают свои пути. Легко построить примеры, в ко-
которых, если заставить переменные гиг' описывать пути С и С двумя различ-
различными способами, то окажется, что соответствующие два пути, описываемые пе-
переменным Z, не приводят к одному и тому же концевому значению функцию f(Z).
Пусть, например, f{z -\-z')^=Y z + z' — 3=YZ— 3; примем начальное зна-
значение функции для 2 = z' = 0 равным ij/~3. Предположим, что путь С, опи-
описываемый переменным г, состоит из отрезка действительной оси, идущего от
точки г = 0 к точке А с аффиксом z = 2, и из отрезка АО. За контур С" мы
примем окружность единичного радиуса с центром в точке z'=\. Вообразим
сперва, что точка г описывает отрезок ОА, в то время как i' сохраняет постоян-
постоянное значение z' = Q, затем, что г' описывает полную окружность С, между тем
как г остается равным 2, и наконец, что z описывает отрезок АО, причем г'
остается равным нулю. Очевидно, что путь Г, описываемый переменным Z=
= z + z', будет состоять из отрезка ОА, окружности круга единичного радиуса
с центром в критической точке Z=3 и, наконец, из отрезка АО.л Следовательно
мы вернемся к исходным значениям со значением для корня — i\/Ъ. Напротив,
если г' сперва описывает окружность С, в то время как г остается равным
нулю, а затем г последовательно описывает оба отрезка ОА, АО, между тем как г'
остается равным нулю, то очевидно, что путь, описываемый переменным Z, не
окружает критической точки Z=3, и следовательно, радикал ]/Z— 3 возвра-
возвращается к своему начальному значению /|/з.
Природа особейностей аналитических функций многих переменных известна
гораздо менее, чем функций только одного переменного. Одна из наиболее зна-
значительных трудностей задачи состоит в том, что пары особых точек не являются
изолированными *.
II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
355. Теорема Вейерштрасса. Мы уже установили (т. I, § 184) суще-
существование неявных функций, определяемых уравнениями, левая часть
которых разлагается в ряд, расположенный по возрастающим положи-
положительным степеням двух переменных. Рассуждения, при которых мы пред-
предполагали, что переменные и коэфициенты действительны, применимы без
изменения в том случае, когда переменные и коэфициенты имеют лю-
любые действительные или мнимые значения, если только остаются в силе
остальные предположения. Теперь мы докажем более общую теорему,
причем сохраним прежние обозначения (т. I, § 184); комплексные пе-
переменные мы обозначим через хну.
Пусть будет F(x, у) функция, голоморфная в области системы зна-
значений х — а, у — $ и такая, что F(a, P) = 0; предположим, что всегда
возможно, что a = j$ = O. Уравнение F@, у) —0 имеет корень у=0
некоторой кратности. В том случае, который мы рассматривали до сих
пор, у = 0 было однократным корнем: теперь мы рассмотрим тот слу-
случай, когда у=0 есть корень кратности п уравнения/7@, _у) = 0. Распо-
Располагая по степеням переменного у разложение функции F(x, у) в обла-
области точки х=у = 0, мы получим:
F(x, y)==A0-\-A1y + ... + Any» + An^y^-\- ..., \22)
¦ Все, касающееся этого вопроса, можно найти в мемуаре Пуанкаре (Рошсагй) (Ada biaihe-
matica, т. XXVI) и в диссертации Кузэна (Cousin) (там же, т. IX) и в сочинен и Осгуда (W.-F. Os-
good): »Topi;s in the Theory of functions of several complex variables", The Madison Colloquium, pu-
published by the American Mathematical Society, 1914.

§ 355 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 239
где коэфициенты At суть целые ряды относительно переменного х, и*
которых п первых равны нулю при х = О, тогда как Ап не
обращается в нуль при лг = О. Пусть будут С и С круги,,
описанные, соответственно, в плоскостях переменных х и у из начала
координат радиусами, равными R и /?'. Мы предположим, что функция
голоморфна в области, определяемой этими кругами, а также на самих
окружностях С и С. Так как Ап не равно нулю при лг = .О, то мы
можем взять радиус круга С настолько малым, чтобы ни внутри этого>
круга, ни на самой окружности С функция Ап не обращалась в нуль.
Пусть будет М верхняя граница модуля \F(x, у)\ в вышеуказанной
области, и В — нижняя граница |-<4я|. По общей теореме Коши мы
имеем:
_L Г п*,
2т ) у'-
где х и у— какие-нибудь точки, взятые в кругах С и С. Отсюда за-
заключаем, что, каково бы ни было значение переменного х в круге Сг
модуль коэфициента Ат при ут в формуле B2) меньше, чем —^ .
Мы можем представить F(x, у) в виде:
B3>
где
Пусть будет р модуль переменного у; мы имеем:
BRn \R''rR'2 ^•••) BR'n x_9_
Этот модуль | Р! будет меньше, чем — , если
С другой стороны, пусть будет ц(г) значение максимума модуля
функций Ао, А^, ... , Ап_1 при всех значениях переменного х, модуль
которых не превосходит числа r<^R. Так как эти п функций равны
нулю при х — 0, то it (г) стремится к нулю вместе с г, и можно взять г
настолько малым, чтобы было

240 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 355
где р— определенное положительное число; Выбрав числа риг так,
чтобы они удовлетворяли предыдущим условиям, заменим круг С кру-
кругом Сг, описанным в плоскости переменного х из точки лг=-0 радиу-
радиусом, равным г, и круг С1 кругом С', описанным в плоскости перемен-
•юго у из точки у = 0 радиусом, равным р. Дадим переменному х та-
такое значение, чтобы было | х \ ^ г, и будем перемещать переменное у
по окружности С; из самого выбора чисел г и о следует, что при этом
11
•будет |Я|<о~> |Q|<or> и следовательно, \Р-{- Q\<^\. Когда пе-
ременное у описывает в прямом направлении окружность С '• аргумент
количества \-^-P-\-Q возвращается к своему начальному значению,
тогда как аргумент множителя Апу" возрастает на 2пп. Следовательно
(§ 300), уравнение F(xt у) = 0, гЭе \х\^г, имеет п и только п кор-
корней, модуль которых меньше, чем р.
Все остальные корни уравнения F(x, y) = 0, если они существуют,
имеют модули большие, чем р. Так как число р можно заменить сколь
угодно малым числом, меньшим числа р, заменяя в то же время число г
меньшим числом, попрежнему удовлетворяющим условию B5), то мы'
видим, что уравнение F{x, .у) —0 имеет ровно п корней, стремящихся
к нулю вместе с х.
Если переменное х остается внутри или на самой окружности Сг,
то п корней уЛ, у2, , уг, модули которых меньше, чем р, остаются
в круге С'. Эти корни не будут, вообще, голоморфны в круге Сг, но
tсякая симметрическая целая функция этих п корней есть голоморф-
голоморфная функция от х в этом круге. Очевидно,- что достаточно доказать
это для суммы y-ik-\-y2k~\-' • •+ У„*, где k^-целое положительное число.
Для этого рассмотрим двойной интеграл
где \х\<^г. Если \у'\ = р1 то по предыдущему функция F(x', у') не
может обращаться- в нуль ни при каком значении переменного л', ле-
лежащем внутри или на окружности Сг, и единственным полюсом под-
интегральной функции, лежащим внутри круга Cr, 6yAef точка х1 = х.
Следовательно, мы имеем:
7>F(x, У)
Cr
и следовательно,

§ 355 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 241
По доказанной выше теореме (§ 299), этот интеграл равен
— 4п2 (у,* + у2к4-. ..+>>„*), где yv у2, ... , уп суть корни уравнения
F(x, у) = 0, модуль которых меньше, чем р. С другой стороны, инте-
интеграл / в круге Сг есть голоморфная функция от х, так как дробь
-, можно разложить в равномерно сходящийся ряд, расположенный
по степеням переменного х, и вычислить затем интеграл почленно. Так
как различные суммы 2 У/* суть функции, голоморфные в круге Сг, то
то же имеет место для суммы этих корней, для суммы их парных произ-
произведений и т. п.; следовательно, корни уг, у2,,... , уп суть вместе с тем
корни уравнения л-й степени
f(x, .у)*=у* + агу»-1+агу"-*+.. .+ ап_:у-\- а„=* 0, B6)
коэфициенты которого а,, а2, ... , ап суть функции от х, голоморфные
в круге Сг и обращающиеся в нуль при дг=О.
Обе функции F(x, у) и f{x, у) обращаются в нуль при одних и
тех же системах значений переменных х и у, лежащих внутри кру-
кругов Сг и С\ Покажем, что отношение j —'— есть функция, голоморф-
голоморфная в этой же области. Возьмем для этих переменных х и у опреде-
определенные значения под условием \х\<^г, \у\<С? и рассмотрим двойной
интеграл
_ f
J
;
Пх\у1)(х'-~х)(у'~уУ
При значении У, модуль которого равен р, функция fix1, у') перемен-
переменного х' не может обращаться в нуль ни при каком значении х', лежа-
лежащем внутри или на окружности Сг. Следовательно, подинтегральная
функция имеет внутри окружности Сг единственный полюс х' — х; со-
соответствующий ему вычет равен
?1_/
f(x, У)у'-у-
Таким образом мы имеем также:
Fix, у') dy1
/(*, У) У—у'
Обе голоморфные функции F(x, у'), /(х,У) переменного У имеют
внутри круга С одни и те же нули с одинаковыми степенями крат-
кратности. Следовательно, их частное есть функция от У, голоморфная
в круге С'о, и единственный полюс подинтегральной функции, лежащий
внутри этого круга, есть у' =у; таким образом мы имеем:
4
(*, У)
16 Э. Гурса, т. II, ч. 1.

242 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 356
С другой стороны^ в интеграле J можно заменить дробь
_ 1
п' — х)(у' — у)
ее разложением в равномерно сходящийся целый ряд, расположенный
по положительным степеням переменных х и у. Интегрируя почленно,
мы видим, что этот интеграл равен сумме, целого ряда, расположен-
расположенного \ по. степеням, переменных х и у и сходящегося в кругах Сг и
С'. Следовательно, мы имеем:
F(x,y)=f{x,y) Н(х,у),
или
.F(x, У) =5(y. + e, У1 +•••+«„) Н(х,у), B7)
тт-Н(х, у) голоморфно в кругах Сг, С'о.
Коэфициент Ап при у" в F(x, у) содержит постоянный член, отличг
ный от нуля; так как а, , а2, ... , ап равны нулю при х = 0, то раз-
лоадение функции Н(х,у) необходимо содержит постоянный член, отлич-
отличный .от нуля, и из разложений по формуле B7) видно, что мы получим
всё корни уравнения F(x, у) — 0, стремящиеся к нулю вместе с х,
приравнивая нулю первый множитель. Эта важная теорема принадлежит
В(ейерщтрассу *. Она представляет обобщение на функцию многих пе-
ременных, насколько это' возможно, разложения на множителей функ-
функций одного переменного. -
356. Критические точки. Мы таким образом привели изучение тех п
корней уравнений F(x, у) =0, которые бесконечно малы вместе с х,
к изучению при значениях х, близких к ну^ю, корней уравнения вида:
я = 0, B8)
где аг, а2, ..., ' ап — голоморфные функции, обращающиеся в нуль
при д; = 0. Если я^>1 (единственный случай, который нас здесь зани-
занимает), то точка х = 0 называется, вообще, критическою точкою. Исклю-
Исключим у из уравнений/= 0 и ^ = 0; результат Д(лг) есть целый мно-
ду
гочлен относительно коэфициентов аг, а2, ..., ап, и следовательно,
функция, голоморфная в области начала координат. При дг = О резуль-
результат Ь(х) равен нулю**, а так как нули голоморфной функции обра-
образуют систему изолированных точек, то'.мы можем взять радиус г кру-
круга СТ настолько малым, чтобы внутри Ст уравнение Д(лг) не имело
другого корня, кроме дг = О. Во всякой точке х0, взятой в этом
круге и отличной от начала координат, уравнение f(x0, у) = 0 имеет
п различных корней; в этом случае, как мы уже знаем (т. I, § 184)^
эти п корней уравнения B8) суть функции от х, голоморфные в обла-
области точки л;0. Следовательно, внутри круга Сг не может существовать,
другой критической точки, кроме начала координат.

§ 356 И. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 243
Пусть будут уг, у2, ,..,уп корни уравнения f(x0, у) = 0, Пред-
Предположим, что переменное х описывает петлю вокруг точки д; = 0, вы-
выходя, из точки л:0 ; вдоль этой петли п корней уравнения f(x, y) = Q
различны и изменяются непрерывно. Выходя из точки х0, например,
с корнем у1 и следуя за непрерывным изменением этого корня вдоль
петли, мы придем в точку с конечным значением, равным одному из
корней уравнения f{x0, y) = 0. Если это конечное значение есть у1У
то рассматриваемый корень есть однозначная функция в области на-
начала координат. Если же это конечное значение отлично от ул, то
предположим, что оно равно, например, у2. Описывая новую петлю
в том же направлений, мы придем от корня у2 к другому из корней
Ут , У2, ..о Уп- Конечное значение не может быть- равно у2, так как
обратный путь должен привести от у2 к ул. Следовательно, это конеч-
конечное значение должно быть одним из корней ул, у3, ..., уп; если оно
есть уг , то мы видим, что оба корня переходят один в другой, когда
переменное описывает петлю вокруг начала координат. Если это ко-
конечное значение не есть уг, то оно есть один из и—2 остающихся
корней; пусть это будет корень у3. Новая петля, описываемая в том
же направлении, приведет от корня у3 к одному из корней _у, , у2, уя,
У4 > •••> Уп' ^° тем же основаниям, как выше, это не может быть _у3;
это не может быть также и у2, так как обратный путь приводит от у2
к уг. Следовательно, это конечное значение есть уг или один из л — 3
остающихся корней уА , у5, ..., уп. Если оно есть ул, то три корня
ул, у2, У3 перемещаются в круговом порядке, когда переменное х опи^
сывает петлю вокруг начала координат. Если же конечное значение
отлично от уг, то мы будем продолжать перемещать переменное во-
вокруг начала координат, и после конечного числа операций мы необхо-
необходимо придем к одному из полученных уже корней, именно к корню у-±.
Предположим, например, что это случится после р операций. Мы ви-
видим, что р получающихся корней уг, у2, ..., ур переставляются в
круговом порядке, когда переменное х описывает петлю вокруг начала
координат; в этом случае говорят, что корни образуют круговую си-
систему р корней. Если р = п, то л корней образуют единственную круг
говую систему. Если р<^п, то мы снова начнем предыдущие рассуж-
рассуждения, исходя от одного из ri—p остающихся корней и т. д.; ясно,
что, продолжая те же операции, мы, наконец, исчерпаем все корни.
Таким образом мы можем высказать, следующее предложение: п корней
уравнения F(x, у) = 0, равных нулю при х = 0, ойразуют в области
начала координат одну или несколько круговых систем.
Чтобы это предложение было вполне общим, достаточно условиться,
что круговая система может также состоять только из одного корня;
тогда этот корень есть однозначная функция в области начала ко-
координат.
Корни одной и той же круговой системы можно представить одним
общим разложением. Пусть будут у7, у2, ..., у корни круговой си-
системы; положим х=х'р. Каждый из этих корней есть голоморфная
функция от х' при всех значениях переменного х', кроме д;' = 0; с
другой стороны, когда х' описывает петлю вокруг точки х' = 0, точ-
точка х описывает р последовательных петель в том же направлении во-
16*

244 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ MHOFHX ПЕРЕМЕННЫХ § 356
круг начала' координат; следовательно, каждый из корней уг , у2, ...,
у возвращается к своему начальному значению: они суть однозначные
функции от х' в области начала координат. Так как эти корни стре-
стремятся к нулю вместе с х', то точка х' = 0 может быть только обыкно-
обыкновенного точкою, и один из этих корней представляется разложением
вида:
y = alX'-\-a2^-\-...-{-amx""+..., B9)
или, заменяя х1 через хР;
JL ( J_\2 ( —\т
J \ ' 2 ^ /1***1 /я^ I*""' \/
Мы докажем теперь, что разложение C0) представляет все корни
одной и той же круговой системы, если только давать количеству
хр его р значений. В самом деле, предположим, что, взяв для корня
Р г —
у х одно из его значений, мы получили разложение корня уг; если
переменное х описывает в прямом направлении петлю вокруг начала
_i_ гиг-
координат, то уЛ изменяется в у2, а хР получает множитель еР. Точ-
Точно так же мы увидим, что мы получим у , заменяя в формуле C0) х р
через хРе р . Из единства этого разложения ясно видно, что р кор-
корней переставляются в круговом порядке.
Остается показать, как можно выделить п корней уравнения
F(x, y) = 0 в круговые системы и вычислить коэфициенты а, разложе-
разложений C0). Мы уже рассмотрели случай, когда х=у = 0 является двой-
двойной точкой. Рассмотрим еще один частный случай.
л с1
Если при л:=_у=0 производная — не равна нулю, то разложе-
о t
ние функции F(x,y) содержит член первой степени относительно х,
и мы имеем:
), C1)
причем опущенные члены делятся на один из множителей х2, ху, уя+1.
Примем на время у за независимое переменное; уравнение F(x, у) = 0
имеет единственный корень, стремящийся к нулю вместе с у, и этот
корень голоморфен в области начала координат. Его разложение, ко-
которое мы уже умеем вычислять (т. I, § 184), имеет вид:
^ 0 C2)
Извлекая корень п-& степени из обеих частей, получим:
1
хп=уУа0-\-а1у-\-... C3)
При у = 0 вспомогательное уравнение иа=а0-\-а1у-\- ... имеет п
различных корней, каждый из которых разлагается в целый ряд, рас-
расположенный по степеням переменного у. Так как эти корни получаются

§ 356—357 И. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 245
один из другого умножением их на различные степени от е " , то мож-
можно взять для угаа-\-агу-\- ... в формуле C3) какое-нибудь одно из
его значений, условившись давать для хп последовательно его п зна-
значений.
Следовательно, уравнение C3) можно представить в виде:
отсюда, обратно, получаем разложение у по степеням х ";
1 ( IV
у = сгх»+ся[х ")+••• C4)
2
Это разложение, где для х п надо брать его п значений, предста-
представляет п корней, стремящихся к нулю вместе с х. Следовательно, эти
я корней образуют единственную круговую систему.
Для изучения общего случая следует обратиться к сочинениям, по-
посвященным теории алгебраических функций*.
357. Алгебраические функции. Неявные функции, всего лучше изу-
изученные до сих пор, суть алгебраические функции, определяемые урав-
уравнением F(x, у) = 0, левая часть которого есть целый неразложимый
многочлен относительно хну. Целый многочлен называется неразло-
неразложимым, если нельзя найти два других таких целых многочлена мень-
меньших степеней FY(x,у) и F2(x,у), чтобы было тождественно
F(jc,y) = F1(x,y)-F2(x,y).
Если многочлен F{x, у) равен произведению такого вида, то ясно, что
уравнение F(x, у) = 0 можно заменить двумя отдельными уравнениями
F1(x,y) = 0, F2(x,y) = 0.
Пусть будет
„(х) = О C5)
уравнение и-й степени относительно у, где <р0, (ра, ..., <р„ суть целые
многочлены относительно л:. Исключая у из соотношений F=0, — = О,
мы получим целый многочлен Д(л;), который не может быть тожде-
тождественно равен нулю, так как F{x, у), по предположению, неразложимо
и потому не может иметь с F'(х, у) общих множителей. Отметим в
плоскости точки а3 , а2, ..., ak, представляющие корни уравнения
Д(х)=0, и точки [Jj, j}2, ..., $k, представляющие корни уравнения
уо(х) = О, причем некоторые из корней at могут входить также
в число корней уравнения <ро(л:) = 0. В точке а, отличной от точек
at-> Р;> уравнение F(a, у) = 0 имеет п различных и конечных корней
*i, Ьг, ..., Ьп. Следовательно, в области точки а уравнение C5)
имеет п голоморфных корней, стремящихся соответственно к Д,, Ь2, ...,
* См. также известный мемуар Пюизе (Puiseux) об алгебраических функциях {Journal йе Ма-
mmatiques, т. XV, 1850),

246 ' ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 357
br, когда х стремится к а. Рассмотрим корень at результанта
уравнение /;(й , у) = 0 имеет несколько равных корней. Предположим,
например, что оно имеет р корней, равных Ь. Эти р корней, стремя-
стремящихся к д, когда х стремится к а{, распадаются на некоторое число
круговых систем, и корни одной и той же круговой системы предста-
представляются разложением в ряд, расположенный по дробным степеням раз-
разности х—аг Если значение а1 не обращает в нуль многочлена уо{х),
то все корни уравнения C5) в области точки а1 распадаются, таким
образом, на несколько круговых систем, причем некоторые из этих
систем могут содержать только один корень. Для точки E,, обращаю-
обращающей в нуль многочлен %{х), некоторые из корней уравнения C5) обра-
обращаются в бесконечность. Чтобы изучить эти корни, положим у = -,-;
мы приходим к изучению корней уравнения
обращающихся в нуль при х = р,. Эти корни также распадаются на
несколько круговых систем, причем корни одной и той же системы
представляются (разложением в ряд вида:
т т -{- 1
7 ~ C6)
соответствующие корни уравнения относительно у определяются раз-
разложением:
У = (х-$,)~Т [ат4-ап+1(х-$р + ...f \ C7)
которое можно расположить по возрастающим степеням количества
(х — Ру) р , но некоторое конечное число первых членов разложения бу-
будет иметь отрицательные показатели.
Чтобы исследовать значения у при бесконечно больших значениях
1
X, положим л;=—г; мы придем к изучению корней уравнения того
же вида в области начала координат. В конечном выводе, в области
любой точки х = а все п корней уравнения C5) представляются неко-
некоторым числом рядов, расположенных по возрастающим степеням х—а
или (х — а) р , которые могут содержать конечное число членов с отри-
отрицательными показателями; это предложение применимо также к беско-
бесконечно большим значениям переменного х, при условии замены х—оо
1
через —.
х
Важно заметить, что дробные степени и отрицательные показатели
появляются только для исключительных точек. Следовательно, един-
единственные особые точки корней уравнения суть критические точки, во-
вокруг которых некоторые из этих корней переставляются в круговом
порядке, и полюсы, в которых некоторые из этих корней обращаются

§ 357 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 247
в бесконечность; при этом одна и та же точка может быть одновре-
одновременно и полюсом, и критическою точкою. Эти два вида особых точек
часто называются алгебраическими особыми точками.
До сих пор мы изучали корни данного уравнения только в обла-
области определенной точки. Предположим теперь, что мы соединили две
точки х = а, х = Ь, для которых уравнение C5) имеет п различных и
конечных корней, путем АВ, не проходящим ни через одну из особых
точек уравнения. Пусть будет уг корень уравнения F(a,y) = 0; корень
y = f(x), который обращается в уг при х = а, представляется в обла-
области точки а разложением в целый ряд P(v — а), и можно искать его
аналитическое продолжение, когда переменное описывает дугу АВ.
Это—частный случай общей задачи, и мы заранее знаем, что мы при-
придем в точку В с конечным значением, которое есть корень уравнения
F(b, у) = 0 (§ 337). Мы наверное придем в точку Ь после конечного
числа действий; в самом деле, радиусы кругов сходимости рядов, пред-
представляющих различные корни уравнения F(b, у) —0 и имеющих центры
в различных точках пути АВ, имеют нижнюю границу 8^>0*, так как
этот путь не содержит ни одной критической точки, и ясно, что всегда
можно взять радиусы различных кругов, которыми мы будем пользо-
пользоваться в аналитическом продолжении, не меаьшими, чем 8.
Из всех путей, соединяющих точки А и В, всегда можно найти
один, приводящий от корня уг к любому из корней уравнения F{b, у)==
= 0 как к конечному значению. Чтобы доказать это, мы "будем осно-
основываться на следующем предложении. Если аналитическая функция z
переменного х имеет только р различных значений при каждом 'зна-
'значении х, и если она имеет во всей плоскости, включая и бесконечно
удаленную точку, только алгебраические особые точки, то р значе-
значений функции z суть корни уравнения степени р. коэфициенты кото-
которого супи> рациональные функции от х. Пусть будут гЛ , z2, ..., zp
эти р значений функции г; если переменное х описывает замкнутую
линию, то эти р значений zx, z2, ..., z могут- только обмениваться
между собою. Следовательно, симметрическая функция
«* = *!* f *,*+..••+*/'
где k — целое положительное число, есть однозначная функция. Сверх
того, эта функция может иметь только полярные особенности. В самом
деле, в области любой точки х = а, лежащей на конечном расстоянии,
разложения значений гл , z2, .. , zp могут иметь только конечное
число членов с отрицательными показателями; следовательно, то, же
имеет место и для разложения uk. Кроме того, так как функция uk
однозначна, то ее разложение не может содержать дробных степеней.
Следовательно, точка а есть полюс или обыкновенная точка функции
ик; тоже имеет место и для бесконечно удаленной точки. Таким обра-
образом, каково бы ни было целое число k, функция uk есть рациональная
функция от х; следовательно, то же имеет место и для простых сим-
симметрических функций, как 22/> 2г'г*> --4й теорема доказана.
* Чтобы доказать это с полною строгостью, достаточно повторить рассуждение, аналогичное
рассуждению § 336.

248 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 357—358
Предположим теперь, что, переходя из точки а в какую-нибудь дру-
другую точку х плоскости всеми возможными путями, мы можем получить
как конечные значения только р из корней уравнения
Очевидно, что эти р корней у^ , у2, ..., у могут только обмени-
обмениваться местами, если переменное х описывает замкнутый контур, и они
обладают всеми свойствами р ветвей гг, z2, ..., zp аналитической
функции г, которые мы только что изучали. Отсюда мы заключаем,
чт0 У\ > ^' • • •' УР СУТЬ КОРНИ уравнения р-й степени F1 (x, у) = О
с рациональными коэфициентами. Следовательно, уравнение F(x, у) ==
= 0 имеет корнями все корни уравнения F^(x, _у) = 0, каково бы ни
было х, и многочлен F(x, у) должен быть разложимым, что противно
предположению. Таким образом, если не наложено никакого ограниче-
ограничения на путь, описываемый переменным х, то п корней уравнения C5)
должны рассматриваться как различные ветви одной и той же анали-
аналитической функции, как мы это уже заметили на некоторых простых
примерах (§ 260).
Проведем из каждой критической точки бесконечный разрез таким
образом, чтобы эти разрезы не пересекались между собою. Если путь,
проходимый переменным, не может пересекать ни одного разреза, то п
корней суть однозначные функции во всей плоскости, так как всякие
два пути, имеющие общие конечные точки, будет можно привести один
к другому непрерывным изменением, не пересекая ни одной из кри-
критических точек (§ 366). Чтобы можно было следить за непрерывным
изменением корня вдоль какого-нибудь пути, достаточно знать закон
обмена этих корней, когда переменное описывает петлю вокруг каждой
из критических точек.
Примечание. Изучение алгебраических функций относительно легко по-
потому, что можно заранее определить алгебраическими вычислениями особые
точки этих функций. Эго, вообще, не имеет места для неалгебраических неявных
функций, которые могут иметь трансцендентные особые точки. Например, неявная
функция у{х), определяемая уравнением е? — х— 1=0, не имеет ни одной алге-
алгебраической критической -точки, но рна имеет трансцендентную особую точку
лс=—1.
358. Абелевы интегралы. Всякий интеграл
где /?(*, у) есть рациональная функция от х до у, а у есть алгебраи-
алгебраическая функция, определяемая уравнением F(x, y) = 0, есть абелев
интеграл, принадлежащий к этой кривой F(r, \) = 0. Чтобы оконча-
окончательно определить этот интеграл, надо указать нижний предел д;0 и
соответствующее значениеу0 , взятое среди корней уравнения F(xo,y) =
= 0. Вот некоторые наиболее важные общие свойства этих интегра-
интегралов. Если мы переходим из точки х0 в какую-нибудь точку х всеми
возможными путями, то все значения интеграла / содержатся в одной
из формул:
/=/* + и1в1 + и2в2+---+'яЛ (fe=l,2, ..., п), C8)

§ 358-359 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 249
где Л,, /2, ..., /„ — значения интеграла, соответствующие некоторым'
определенным путям, тг, т2, ..., тТ — произвольные целые числа,,
o)j, ш2, ..., юг—периоды. Эти периоды — двух родов. Одни проис-
происходят от петель, описываемых вокруг полюсов функции R(x, у); он№
называются полярными периодами. Другие происходят от замкнутых
контуров, называемых циклами, окружающих несколько критических
точек; они называются циклическими периодами. Число различных
циклических периодов зависит только от рассматриваемого алгебраиче-
алгебраического соотношения F(x, у) = 0; оно равно 2р, где р — род соответ-
соответствующей кривой (§ 333). Напротив, число полярных периодов может-
быть произвольным. С точки зрения особенностей, различают три класса
абелевых интегралов. Интегралами первого вида называются те абелевы
интегралы, которые остаются конечными в области всякого значения
переменного х; если их модуль неограниченно возрастает, то это мо-
может, быть только от прибавления бесконечного множества периодов.
Интегралами второго вида называются интегралы, имеющие две лога-
логарифмических особых точки. Всякий абелев интеграл есть сумма инте-
интегралов трех видов, и число различных интегралов первого вида равно
роду алгебраического соотношения F(x,y) = 0.
Изучение этих интегралов выполняется весьма просто при помощи
плоских поверхностей со многими листами, называемых рияановыми
поверхностями. Мы не будем здесь им заниматься. Мы дадим только,
вследствие его большой простоты, доказательство основного предложе-
предложения, открытого Абелем.
359. Теорема Абеля. Чтобы выразить проще эту теорему, рассмотрим
плоскую кривую С, представляемую уравнением F(x, у)~ 0; пусть бу-
будет Ф (к, у) уравнение другой алгебраической плоской кривой С Эти
две кривые имеют Л/ общих точек:
число Л/ равно произведению степеней этих двух кривых. Пусть будет-
Я(Х>У) рациональная функция; рассмотрим следующую сумму:
R(x,y)dx, C9>
где I R (дг, у) dx обозначает абелев интеграл, взятый от постоянной
точки х0 до точки xt вдоль некоторого пути, который приводит для у
от начального значения у0 к конечному значению у1, причем для всех
интегралов начальное значение у0 переменного у одно и то же. Очевидно,,
что сумма / определена только до периода, как и каждый интеграл,,
в нее входящий. Предположим теперь, что некоторые из коэфициентов
аг, а2 , ..., ak многочлена Ф (дг, у) изменяются. Если этикоэфициенты
изменяются непрерывно, то точки xt также изменяются непрерывно;
если ни одна из точек не проходит через точки разрыва интеграла*
I R (х, у) dx, то сумма / изменяется так же непрерывно, если только брать

250 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 359
непрерывное изменение каждого из входящих в нее интегралов вдоль
11ути, описываемого соответствующим верхним, пределом. Следовательно,
«сумма / есть функция параметров аг, а2, .,.., ak, аналитический вид
•которых мы.сейчас найдем.
Обозначим, вообше, через bV полный диференциал от какой-нибудь
•функции V относительно переменных а1, а,, ..., ak :
8У ^8+ +8й
По формуле C9) мы имеем:
N
Из соотношений F (xt, у,) = 0, Ф (xt, yt) = 0 получаем:
« следовательно, $Х; = Ч!(хп у^ЪФ,, где Ф(лг/,,у/) есть рациональная
функция от Х[, уп аг, а2, ..., at и Ф, обозначает Ф(л^, >>;). Сле-
Следовательно, мы имеем:
Коэфициент при 8а: в правой части есть симметрическая рациональ-
рациональная функция координат Л/ точек (х,, у{) пересечения кривых С, С; из
теории исключения известно, что это есть рациональная функция ко-
эфициентов многочленов F(x,y) и Ф{х,у) и, следовательно, рацио-
рациональная функция от аг, а2, ;.., ак. Очевидно, что то же имеет
место и по отношению к коэфициентам при Ьа2, ..., Ъак, и мы по-
получим /, интегрируя полный диференциал:
r-J.,1
.., тт^ — рациональные функции переменных аг, а2, ..., ак.
Но интегрирование не может ввести других трансцендентных функций,
кроме логарифмов. Следовательно, сумма I равна рациональной функ-
функции коэфициентов аг, а,, ..., ak, сложенной с суммою логарифмов
от рациональных функций тех же коэфициентов, причем каждый
из этих логарифмов умножен на постоянный множитель*. Таково,
в его самом общем виде, содержание теоремы Абеля. Геометрически
«ее можно выразить следующим образом: сумма значений любого абе-
лева интеграла, взятых от общей начальной точки до N точек
пересечения данной кривой с переменною кривой Ф (дг, у) степени т,
равна рациональной функции коэфициентов многочлена Ф (х, у),
сложенной с конечным числом логарифмов от рациональных функций
* См., например, мою статью „Sur l'integratlon des difKrentielles totales rationneles", (Nou-
¦aelles Annales de Mathematiques, 5-я серия, т. II, 1923).

§359—350 И. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 251
тех же коэфициентов, причем каждый из логарифмов умножен на
постоянный множитель.
В этой второй форме теорема кажется на первый взгляд более
поразительною, но в приложениях всегда приходится обращаться мыслью
к ее аналитической форме, чтобы вычислить" непрерывное измене-
изменение суммы /, соответствующее непрерывному изменению параметров
ах, а2, ..., ak. Теорема имеет вполне точный смысл только в том
случае, если приняты во внимание, пути, описываемые N точками
х1, х2, ..., xN на плоскости переменного х.
Предложение Абеля делается замечательно простым, если интеграл / —
первого вида. В самом деле, если бы тга, п2, ..., uk не были тожде-
тождественно равны нулю, то можно было бы найти систему значений
а1==а1г, ..., ak^=a^, при которых / обращалось бы в бесконечность.
Пусть будут (хг', уа'), ..., (xN', yN') точки пересечения кривой С с
кривою С', соответствующею значениям а/, ..., aj параметров.
Интеграл
х, у
R (дг, у) dx
возрастал бы неограниченно, если бы верхний предел стремился к одной
из точек (г/, у'), что невозможно, так как интеграл — первого вида.
Следовательно, 81=0, и если а1, а2, ..., ak изменяются непрерывно,
/ остается постоянным; в этом случае теорема Абеля может быть вы-
выражена следующим образом:
Пусть будут даны постоянная кривая С и переменная кривая С
степени т; сумма приращений абелева интеграла первого вида, от-
отнесенного к кривой С, вдоль непрерывных линий, описываемы к точ-
точками пересечений С с С, равна нулю.
Примечание. Мы предполагаем, что степень кривой С остается посто-
постоянною и равною т. Если при некоторых частных значениях коэфициентов
д4, aj ..., ak эта степень понижается, то некоторые из точек пересечения кривых
С и С должны рассматриваться как бесконечно удаленные, и их надо принимать
во внимание в приложении теореМы. Приведем еще следующее, почти очевид-
очевидное замечание; что если некоторые из точек пересечения кривых С и С посто-
постоянны, то нет надобности вводить в сумму / соответствующие интегралы.
360. Приложение к ультраэллиптическим интегралам. Приложения
теоремы Абеля в анализе и геометрии многочисленны и важны. Мы
вычислим 8/ в раскрытом виде в случае ультраэллиптических интегра-
интегралов. Рассмотрим алгебраическое соотношение:
D0)
где многочлен Ц(х) — первый <со своею производною; мы предполо-
предположим, что Ао может быть равно нулю; что Ао и Аг не- равны, нулю
одновременно, так что степень многочлена R (л;) равна 2/7 —f-1 или
2р-\-2. Пусть будет Q(x) какой-нибудь многочлен степени q; возьмем
за начальную точку значение дг0 переменного дг, не обращающее в

252
ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 360
нуль многочлена R (х); пусть будет у0 корень уравнения
Положим
х-, у
' Q {х) их
С Q{x)d
= ) 7Щ
где интеграл взят вдоль пути, соединяющего точку х0 с точкою х, а
у обозначает конечное значение корня j//?(jt), когда мы выходим из
точки х0 с значением у0. Чтобы исследовать систему точек пересече-
пересечения кривой С, представляемой уравнением D0), с другою алгебраиче-
алгебраическою кривою С, очевидно, можно заменить в уравнении этой послед-
последней кривой четные степени от у, например у2г, через [R (*)]г, а не-
нечетные степени _у2Г+1 — через .У [/?(#)]'• Сделав эти подстановки, мы
получим уравнение, содержащее у только в первой степени, и можно
предположить, что уравнение кривой С' имеет вид:
О, D1)
где f(x) и ср (лг) — взаимно-простые многочлены степеней 1 и |i; пред-
предположим, что некоторые из их коэфициентов переменны. Абсциссы
точек пересечение кривых С и С суть корни уравнения степени Л:
*(x) — /2(х) = 0. D2)
При некоторых частных системах значений переменных коэфициентов
многочленов/(jr) и ср глг) степень уравнения ф <лс> = 0 может быть ни-
ниже, чем N; в этом случае некоторые из точек пересечения суть беско-
бесконечно удаленные точки, но соответствующие им интегралы должны быть
введены в изучаемую нами сумму. Всякому корню xt уравнения D2)
соответствует значение у, именно yl=——t- Рассмотрим сумму
N N *'*
: = 1 /=1 J
Q(x) x%
мы имеем:
/(г)
vi'
так как конечное значение корня в точке xt должно быть равно yt r
fix)
т. е. —— . С другой стороны, из уравнения ф(х/) = 0 получаем:
ф' (xt) 8 г, -I- 2/? (Xl) <p (xt) dip, - 2/(х,) if, = 0 *,
и следовательно,
.V
* Через Stpj и 6/j здесь обозначены диференциалы функций ср и / при постоянном значении
t = a:j и п,и переменных коэфициентах. (Ред.)

§ 360 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 253
или, принимая во внимание самое уравнение D2):
D3)
Вычислим, например, коэфициент при bak в ?/, где ak обозначает пе-
переменный коэфициент при хк в многочлене f(x). Так как iak не вхо-
входит в 8tp, и имеет множитель х^ в bft, то искомый коэфициент при
Ьак равен
где тт (х) = Q (х) * (дг) jc*. Предыдущую сумму нужно распространить
на все корни уравнения ф (х) = 0; это — симметрическая и рациональ-
рациональная функция этих корней, и следовательно, рациональная функция
коэфициентов многочленов /(л) и у(х). Вычисление можно упростить,
заметив, что >^ р\ равно сумме вычетов рациональной функции .
относительно Л^ полюсов хл , х2, ..., xN, лежащих на конечном рас-
расстоянии. На основании общего предложения (§ 303), эта сумма равна
также вычету относительно бесконечно удаленной точки, взятому с
обратным знаком. Следовательно, мы получим коэфициент при Ьак про-
простым делением.
Нетрудно проверить, что если интеграл v(x, у) — первого вида, то
этот коэфициент равен нулю. По предположению мы имеем q*SLp—1;
степень многочлена п(лг) равна q-{- ц-\- k, следовательно,
Степень многочлена ф (х) есть N. Если нельзя сделать приведение
высших членов многочленов /?(х) <p2(jf) и Р(х), то
2X
откуда
и, тем более, так как
Если бы в результате приведения два высших члена сокращались,
то было бы
но так как член akxx+k, вообще, в ф(х) не исчезает, то было бы
~Ь-\- k-e^N, и мы получили бы прежнее неравенство. Отсюда следует,
что всегда
q -r-Ji-f k^N— 2.
Следовательно, вычет рациональной фунции -:—- относительно беско-
ф(дг)
нечно удаленной точки равен нулю, так как разложение этой функции

254 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 360
начинается с члена с —г или с члена более высокой степени. Точно
дг2
так же мы найдем, .что если степень многачлена Q(x) равна/? — 1
или ниже, то коэфициент при bbh в 8/ равен нулю, где bh есть один
из переменных коэфициентов многочлена <р(дл. Эти результаты вполне сот
гласуются с общею теориею. Возьмем, например, ср {jc) = 1 и положим*
f{x) =УЛ дсЯ+1 + архР + ар_,хР^ -f ... + агх + а0 ,
где а0, аг, ..., а суть р + 1 переменных коэфициентов. Кривые
пересекаются в 2о -|- 1 переменных точках, и сумма значений интегра*
ла v(x,y), взятых от общей начальной точки до этих 2р J-.1 точек
пересечения, есть алгебраическо-логарифмическая функция коэфициен-
коэфициентов Oq , а.у, ..., а Но можно взять эти р-\-\ коэфициентов таким
образом, чтобы />-f-l точек пересечения были любыми, заданными точ-
точками кривой у2 — Ц(х); тогда координаты остальных р точек будут
алгебраическими функциями координат р -j- 1 данных точек. Следова-
Следовательно, сумма р-{-\ интегралов
взятых от общей начальной точки до р -\-\ произвольных точек, рав-
равна сумме р интегралов, пределы которых суть алгебраические функции
координат
сложенной с алгебраическо-логарифмическими выражениями. Ясно, что
последовательными приведениями можно распространить это предложе-
предложение на сумму m интегралов, где пг — любое целое число, большее,
чем р. В частности, сумму любого числа интегралов первого вида можно
привести к сумме только р интегралов. Это свойство, распространяю-
распространяющееся на самые общие абелевы интегралы первого вида, составляет
теорему сложения этих интегралов.
В случае эллиптических интегралов первого вида из теоремы Абеля можно
непосредственно получить теорему сложения для функции fu. Рассмотрим нор-
нормальную кривую третьего порядка
пусть будут Mi(xl, yt), М3(х$, .Уз), Ms(x3, y3) точки пересечения этой кривой
с некоторою прямою D. По общей теореме сумма
•Ч..Л х,,у, х,, у,
dx С dx (' dx
3 — g-2X—g3
oo oo oo
равна периоду, так как точки М,, Af2, Мг обращаются в бесконечно удаленные
точки, если прямая D сама делается бесконечно удаленною прямою. Но если мы

§ 360-361 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 255
воспользуемся; параметрическим представлением х=$и, y = f'u для кривой
третьего порядка, то параметр и как раз равен интегралу
х, у
dx
и предыдущая формула выражает, что сумма аргументов и,, ы2, и3, соответ-
соответствующих точкам М{, Af2, M3, равна периоду. Выше мы видели, что это со-
соотношение равносильно формуле сложения для функции $и (§ 331).
361. Распространение формулы Лагранжа. Общая теорема о неявных функ-
функциях, определяемых системою совместных уравнений (т. I, § 185), распростра-
распространяется также на комплексные переменные, если при этом сохраняются остальные^
условия теоремы. Рассмотрим, например, два совместных уравнения
где х к у —комплексные переменные, a f(x, у), <р(лг, у) — функции этих пере-
переменных, голоморфные вблизи системы значений х = а, у = Ь. 11ри а — 0, \ = О
уравнения D4) имеют систему решений х = а, у — b, и определитель —гО,-5—\-
и (х, у)
равен единице. Следовательно, по общей теореме, уравнения D4) имеют систему
решений, и притом только одну, стремящихся соответственно к а и Ь, когда ос
и [5 стремятся к нулю, и эти решения суть голоморфные функции от а и {L
Лаплас первый распространил на эту систему уравнений формулу Лагранжа
(§ 302).
Предположим для определенности, что из точек а и Ь соответственно в пло-
плоскостях переменных х и у описаны две окружности С и С настолько малыми
радиусами г и г', чтобы функции f(x, у), <р (лг, у) были голоморфны, когда х я.
у остаются внутри или на самих этих окружностях. Пусть будут М и М' наи-
наибольшие значения модулей \f(x, y)\ и \<?(х, у)\ в этой области. Предположим
сверх того, что постоянные а и ^ удовлетворяют условиям
М\а\<г, М' | ? | < /.
Дадим переменному х какое-нибудь значение, лежащее внутри или на самой,
окружности С; уравнение Q(x, y) = 0 имеет внутри С только одно решение
для у, так как аргумент количества у — Ь — $у(х,у) возрастает на 2п, когда у
описывает С в прямом направлении (§ 300). Этот корень yi = ф (х) есть функции,
от х, голоморфная в круге С. Если мы заменим в Р(х, у) переменное у этим
корнем у{, то получим уравнение х — a — af(xit _У() = 0, которое, по тем же
основаниям, как выше, имеет один и только один корень внутри С,
Пусть будет х = I этот корень, и т] — соответствующее значение перемен-
переменного у, т) = ф (?). Обобщенная формула Лагранжа дает разложение по степеням
количеств а и р всякой функции F(i, r,), голоморфной в определенной выше
области.
Рассмотрим двойной интеграл
F(x, у) dy
С С
Если х есть какая-нибудь точка окружности С, то Р(х, у) не может обращаться
в нуль ни при каком значении переменного у, лежащем внутри С, так как
аргумент количества х — а — а/(дг, у) непременно возвращается к своему началь-
начальному значению, когда у описывает С'. Следовательно, единственный полюс под-
интегральной функции, рассматриваемой как функция только одного перемен-
переменного у, есть полюс у=у1г определяемый корнем уравнения Q(x, _y) = 0, соот-

256 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 361
ветствующим значению переменного х, лежащему на окружности С; поэтому
:после первого интегрирования мы имеем:
Г р(*' У)ау — 9/я F(*1' у^
'с, Р (*i • Л) -т^
\dy
Правая часть, где yt заменено определенною выше голоморфною функциею
¦4 (х), имеет в свою очередь единственный полюс первого порядка, лежащий
внутри С, именно, точку дг = 5, которому соответствует значение yt = i\; не-
нетрудно найти, что соответствующий вычет равен:
Г/>(Я,<?)
Следовательно, двойной интеграл / равен
[~D(xTyj\x=i
С другой стороны, выражение -=^= можно разложить в равномерно сходя-
щийся ряд:
•отсюда имеем:
:где
j -
С Q
Этот интеграл уже был вычислен (§ 351), и мы нашли, что он равен
___4я*_ dm+" \F (a, b)fn (д, Ь) у" (а, Ь)]
т\ п\ дат ЪЬ"
Сравнивая между собою оба выражения интеграла /, мы получим искомую
•формулу, представляющую очевидную аналогию с формулою E0) (§ 302):
уу at b)fr"(a, b)<("(a, bj\
\D{P, <?)] ~2+2*т\\ Ъ^дЬ"
I'D (Т
ID (Ту) 1*^ П "
Можно было бы получить также вторую формулу, аналогичную формуле E1)
<(§ 302), полагая
•чю коэфициенты этой второй формулы не так просты, как в случае одного
шеременного.

УПРАЖНЕНИЯ 257
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Доказать, что всякую алгебраическую кривую Сп порядка п и рода р
можно привести бирациональным преобразованием к кривой порядка р -j- 2.
[Можно поступать, как в § 333, пересекая данную кривую пучком кривых
C/1-s ' проходящих через —- _ — 3 точек кривой С„ , среди чоторых есть
(п — 1) (я — 2)
„ р ее двойных точек, и полагая
v _ ?а v _ Ъ
Л. —- —- , / — ,
если уравнение пучка имеет вид: <ct{x, y) + l«?i(x, у) + ^ъ(х- 3') = 0.]
2. Вывести из предыдущего упражнения, что координаты точек кривой
рода два можно выразить через рациональные функции параметра t и корня
квадратного из многочлена R(t) пятой или шестой степени, первого со своею
производного.
[Можно сначала показать, что точки кривой взаимно однозначно соответ-
соответствуют точкам кривой четвертого порядка, имеющей двойную точку.]
3*. Пусть будет у = алх + a.qx*-\-... разложение в целый ряд алгебраиче-
алгебраической функции, корня уравнения F{x, y) = 0, где F(x, у) есть многочлен с це-
целыми коэфициентами, причем точка с координатами дг = 0, j/ = 0 есть простая
точка кривой, представляемой уравнением F[X, _y) = 0, с касательною, не парал-
параллельною оси Оу. Все коэфициенты а{, а2, ... суть дроби, и достаточно изменить
х в Кх, где К — надлежащее целое число, чтобы все эти коэфициенты сделались
целыми числами.
[Эйзенштейн (Eisenstein).]
[Заметим, что достаточно сделать преобразование вида х = №х', у = ky',
чтобы коэфициент при у' в левой части нового уравнения был равен единице,
а все остальные коэфициенты были целыми числами.]

ДОПОЛНЕНИЕ.
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ *.
Основная теорема Вейерштрасса (§ 290) послужила источником многочислен-
многочисленных работ о последовательностях аналитических функций; мы укажем зд^сь не-
некоторые из наиболее важных результатов, полученных по этому поводу. Как
уже было замечено в общем случае (т. I, § 15), изучение последовательностей
аналитических функций и рядов, все члены которых суть аналитические функции,
представляет две эквивалентные задачи. В дальнейшем при высказывании теорем,
по преимуществу, будет итти речь о функциональных последовательностях, но
не составит ни малейшего труда высказать их и дли рядов.
1. Общие положения. Области D, о которых будет итти речь в этом До-
Дополнении, мы будем предполагать расположенными на конечном расстоянии и
ограниченными одной или несколькими замкнутыми кривыми **, друг друга не
пересекающими, причем одна из этих кривых заключает внутри себя все осталь-
остальные. Подобная область является связной, т. е. две любые ее точки можно связать
непрерывной линией (например ломаной), целиком расположенной в этой обла-
области. Если D ограничена только одной замкнутой кривой, то две непрерывные
линии, связывающие любые две точки А и В области D, могут быть переведены
одна в другую при посредстве непрерывной деформации, не выходя за пределы
этой области, которую называют в этом случае односвязной.
Это обстоятельство не имеет места в случае (§ 281), если область D ограни-
ограничена какой-либо замкнутой кривой С и одной или несколькими замкнутыми кри-
кривыми С, С",... , внутренними по отношению к С. Эта область в таком случае
называется многосвязной.
Отметим еще следующие свойства, которые можно было бы принять за опре-
определение областей более общего вида, чем те, которые мы здесь рассматриваем.
Если точка М плоскости расположена внутри какой-либо области D того вида,
* Перечень литературных источников:
A. — Stieltjes, Recherches sur Ies fractions continues, Annales de Toulouse, т. VIII, 1894;
Correspondatice d'Hermite et de Stieltjes, т. II, стр. 368, письма № 399 и 4СЭ.
B. — V i t a I i, Sopra Ie eerie di funzioni analitiche, Rendiconti del R. 1. Lombardo, 2-я серия,
т. XXXVI, 1903, стр. 772; Annali di matematica, 3-я серия, т. Х, 1904, стр. 73.
C. — Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali tiber Folgen analylischer Funktionen,
Berichte der Math.-Physik. Classe Sachsischen Gesellschaft der Wiss. zu Leipzig, т. LXV11, 1915,
¦ стр. 194-200.
D. — Ostrowski, Ober vollstandige Gebiete gleichmassiger Konvergenz von Folgen analyti-
scher Funktionen, Abhandlungen aus dent Math. Semin&r der Hamburgischen Universitat, Bd. I,
H. 3-4. ¦•
E. — Caratheodory u. Landau. Beitra'ge zur Konvergenz von Funktionenfolgen, Sit-
zungsberichte der K. Preussischen Akad. der Wissenschaften, 1911, стр. 587—613.
F. — M о n t e 1, Sur Ies families de fonctions analytiques qui admettent des valeurs exception-
nelles dans un domaine, Annales de I'Ecole Normale, 1912, стр. 529.
G. — M о n t e 1, Sur Ies families quasi normales de fonctions holomorphes, Memoires de I'Aca-
riemie de Bruxelles, 2-я серия, т. VI, 1921, стр. 1.
H. -Montel, Sur la representation conforme, Journal de Mathematiques, 1-я серня, т. Ill,
1917, стр. 25.
I. — M о n t e 1, Lemons sur Ies series de polynomes, Paris, Gauthier-Villars, 1910. В частности,
см. гл. I, стр. 16 и гл. V, стр. 108—126.
¦-•* Для определенности мы предположим еще, что каждая из этих кривых состоит из конеч-
конечного числа простых дуг. хотя эта гипотеза и ие является необходимой при рассуждениях. Про-
Простая дуга представляется двумя уравнениями .v =/(<), у = g(t), где /(«) и g(t) — непрерывные функ-
функции, так же как и f (r), g' (t).

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 259
клкой мы только что определили, то и всякий круг с центром М и радиусом э
расположен всеми своими точками внутри D при условии, что р достаточно мало.
Напротив, если точка М является внешней по отношению к области, т. е. не
принадлежит ни самой области, ни какой-либо из ограничивающих ее кривых, то.
и всякий круг с центром М и радиусом р целиком оказывается вне D, также
при достаточно малом р. Наконец, если точка М расположена на одной из кри-
кривых, ограничивающих D, то всякий круг с центром М, как бы мал ни был его
радиус, содержит точки внутренние по отношению к D и точки внешние. Сле-
Следует еще различать случаи, когда точки границы рассматриваются как принадле-
принадлежащие к области или — как не принадлежащие. В первом случае область назы-
называется замкнутой, во втором — открытой. Всякое свойство, относящееся ко-
всем точкам какой-либо замкнутой области, очевидно, относится и ко всем точ-
точкам открытой области, но обратное утверждение не всегда справедливо.
Примером открытой области может служить множество точек, для которых
|г|</?, в то время как множество точек, обладающих тем свойством, что
\z\^R, представляет замкнутую область.
Пусть D' — какая-либо замкнутая область, внутренняя по отношению к дан-
данной области D. В таком случае можно описать в этой области D конечное число
кругов, внутренних к Л, и таких, что любая точка области D' будет лежать вну-
внутри по меньшей мере одного из этих кругов. В самом деле, пусть о есть наи-
наименьшее расстояние точек границы области D до точек границы D'. Вообразим
8
на плоскости сетку из квадратов со сторонами -»-, и пусть N означает число тех
из них, которые целиком или частично содержатся внутри D'. Выберем в каждом
из этих квадратов точку, внутреннюю к D', и вокруг каждой из выбранных точек
опишем круг радиуса 8. Все эти круги расположены внутри D, и каждый из них
содержит соответствующий квадрат, в котором находится его центр. Отсюда ясно,
что любая точка области D' и ее границы содержится по меньшей мере в одном
из названных кругов.
Заметим еще, что, если какая-либо последовательность функций сходится
равномерно в п областях Dit D.2, ... , Dn, она должна также сходиться равно-
равномерно и в области D, составленной из всех точек, принадлежащих по меньшей
мере одной из этих областей.
2. Теорема Вейерштрасса. Сперва мы восстановим доказательство этой тео-
теоремы (§ 290) с целью расширить ее в некоторых отношениях. Очевидно, она может
быть высказана следующим образом:
Всякая последовательность голоморфных функций, сходящаяся равно-
равномерно в любой области D', внутренней по отношению к Санной области D,
имеет пределом функцию F(z), голоморфную в D, и производная /„ (г) при
неограниченном возрастании п стремится, каково бы ни было р, к производ-
производной F{p) (z).
Это предложение легко можно расширить, показав, что последовательность
производных поряока р от членов оанной последовательности сходится рав-
равномерно в любой области D', внутренней к D.
Действительно, если дана какая-либо область D', внутренняя к D, то можно,
и притом бесконечным множеством способов, найти другую область D", внутрен-
внутреннюю к Л и заключающую в себе D'. Пусть С" есть граница D" и $ — кратчай-
кратчайшее расстояние между точками С" и точками границы С области D'. В точке х,
внутренней к D', имеем:
с"
Так как кривая С" содержится в области D, разность F(z) — fn(z) стремится
к нулю равномерно вдоль этой кривой, и потому можно найти такое целое число
N, что для всех значений лЗэЛГ в каждой точке кривой С" выполняется нера-
неравенство:
\F{z)-fn(z)\<z.

760 ДОПОЛНЕНИЕ
С другой стороны, вдоль С" имеем: \г — дг I > о. Следовательно, обозначая
через L длину кривой С", находим при всяком яУйЛГ:
откуда и вытекает справедливость высказанного утверждения.
Нетрудно сообразить, что единственно необходимым в предшествующем до-*
казательстве является предположение о равномерной сходимости на контуре инте-
интеграции, и потому теорема может быть высказана в еще более общем виде:
Если последовательность функций
/,(*), /2(z), .... /„(*),.... A)
голоморфных в данной области D, сходится равномерно вдоль какой-либо
замкнутой кривой С, внутренней к D, то эта последовательность сходится
также и в области D, внутренней по отношению к С, и ее предел есть
функция, голоморфная в названной области.
Теперь мы обратимся к исследованию одного еще более общего случая.
Пусть /(г) — функция, голоморфная в данной области D, которую мы для опре-
определенности предположим ограниченной только одной замкнутой кривой С. Рас-
Рассмотрим некоторую определенную точку z кривой С и какую-либо соседнюю
с ней точку х области D. Когда точка х приближается каким угодно способом
к z, оставаясь в области D, то может случиться, что f(x) или не стремится ни
¦к какому пределу, <яли имеет конечный предел. Если в каждой точке z контура
С существует предел f(x), то этот предел есть функция положения z на С, ко-
которое мы обозначим его криволинейной абсциссой s, отсчитываемой, например,
в прямом направлении от какого-либо выбранного начала. Названный предел
в таком случае оказывается некоторой функцией g(s), заданной в каждой точке
контура С и притом периодической. В случае если эта функция g(s) перемен-
переменного s, в свою очередь, непрерывна, то мы скажем, что f(z) непрерывна на кон-
контуре С. Теперь предположим, что функции последовательности A) голоморфны
в односвязной области D, ограниченной замкнутой кривой С, и принимают вдоль
С значения, образующие некоторую новую последовательность непрерывных
функций от 5/
&(*). gAs). •... gn(s),... B)
Мы не делаем никакого предположения по поводу существования функций
Jn{x) в области, внешней к контуру С, который может оказаться для некоторых
из этих функций, и.даже для всех, естественной границей.
Если последовательность B) равномерно сходится на С, то последова-
последовательность A) должна сходиться равномерно во всей области D, включая и
ее гоаницу.
В самом деле, предположим, что мы имеем:
в каждой точке контура С, при условии, что ns^N. Если х — произвольная
точка области D, то, как известно, модуль голоморфной функцииgn+p(x) — gn(x)
остается меньшим максимального значения ее модуля иа границе D (§ 286).
Следовательно, и в каждой точке области D будем иметь:
начиная с п ~-^ N.
Высказанное предложение есть непосредственное следствие только что напи-
написанных неравенств. Отсюда следует, что предел F(x) последовательности fn(x)
есть голоморфная функция от х в области D и что, сверх того, предел функции
F(x), когда х стремится к какой-либо точке контура С с абсциссой. 5, равен
пределу G(s) последовательности ^„E) в этой точке, ибо равномерная сходимость
имеет место в замкнутой области D. Что же касается. последовательности,
составленной из производных порядка р функций /„(*)• т° можно лишь утвер-
утверждать, что она сходится равномерно в любой области D', внутренней к D.

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 261
3. Область равномерной сходимости. В случае, если функции fn{z) суть
целые функции от г, всякая связная область, в которой последовательность
A) оказывается равномерно сходящейся, есть односвязная область.
Пусть, в самом деле, С — какая-либо замкнутая кривая, не имеющая двой-
двойных точек, расположенная в области D, где последовательность A) оказывается
равномерно сходящейся. В частности, эта последовательйость сходится равно-
равномерно на самом контуре С, и, поскольку функции fn(z) голоморфны в области
D', внутренней к С, то отсюда вытекает, что последовательность A) является
равномерно сходящейся и в названной области D'. Следовательно, невозможно,
чтобы область равномерной сходимости последовательности целых функций со-
состояла из части плоскости, ограниченной какой-либо замкнутою кривою С и од-
одною или несколькими замкнутыми кривыми, внутренними по отношению к С.
Если, в более общем случае, область равномерной сходимости последователь-
последовательности голоморфных функций ограничена контуром С и одним или несколькими
контурами, внутренними по отношению к С, то невозможно, чтобы все функции
fn(z) были голоморфны во всей области, внутренней к С Например, если область
равномерной сходимости есть круговое кольцо, ограниченное двумя концентри-
концентрическими окружностями с и С радиусов г и R (/-<#), то невозможно, чтобы все
функции fn(z) были голоморфны внутри с. Если F(z) есть функция, голоморф-
голоморфная в этой области, с особыми точками, расположенными внутри с, то ее можно-
будет представить как сумму равномерно сходящегося ряда не иначе, как в том
случае, если среди членов этого ряда присутствуют функции, также допускаю-
допускающие особые точки внутри контура с. В частности, это имеет место для ряда
Лорана, который можно записать таким образом, чтобы каждый его член имел
полюс в центре обоих кругов.
Мы имели примеры рядов, члены которых суть рациональные функции и
которые равномерно сходились в разделенных областях (§ 289). Легко построить
ряды целых функций, обладающие тем же свойством. Рассмотрим, например,
степенной ряд а0 -\- a{z -\- ... + anzn -s- ... с радиусом сходимости г, меньшим iji.
Если положить z = x(l—х), то область сходимости преобразованного ряда бу-
будет состоять из двух раздельных областей, ограниченных двумя овалами лемни-
лемнискаты.
4. Теорема Стильтьеса. Ядро равномерной сходимости. В дальнейшем
мы займемся изучением ограниченных последовательностей голоморфных функ-
функций. Для краткости мы условимся говорить, что последовательность функций /„(?),
голоморфных в данной области D, ограничена в этой области, если существует
число М, не зависящее от г и от п, такое, что неравенство I /„ (г) | < М справед-
справедливо, каково бы ни было п, в каждой точке z, внутренней к D. Условимся так-
также говорить, что последовательность функций, голоморфных в D, имеет в этой
области ядро равномерной сходимости, если существует область Д, внутренняя
по отношению к D, в которой эта последовательность равномерно сходится.
Теорема Вейерштрасса была обобщена Стильтьесом [А], доказавшим следую-
следующее предложение:
Всякая ограниченная последовательность функций, голомо/фных в дан-
данной области D, допускающая в названной области ядро равномерной сходи-
сходимости, сходится равномерно в любой области D1, внутренней по отноше-
отношению к D.
Пусть х0 — внутренняя точка области Д, представляющей ядро равномерной
сходимости. Опишем из этой точки как из центра две окружности с и С радиу-
радиусами, соответственно, равными си й (/"</?). так, чтобы с оказалась внутри Д, а
С—внутри D. По предположению, последовательность A) должна сходиться рав-
равномерно в области Д, и потому fn(x) имеет своим пределом.функцию F(x), го-
голоморфную в этой области.
Пусть
/«(¦*) = <> + *[П) (x-xt)+...+ af (х - хй)Р +...,
F (х) = с0 + с{ (х — л„) + ... + ср (х —
— разложения в ряд Тейлора этих двух функций в окрестности точки х0, из ко-
которых первое сходится в круге С, а второе — как внутри круга с, так и на са-

262 ДОПОЛНЕНИЕ
мой окружности. Применяя к разности F(x)—/„(.*) классическую формулу
•§ 286, находим:
По условию разность Fijz)—/„(z) стремится к нулю равномерно вдоль кон-
контура с, следовательно, интеграл в правой части при неограниченно возрастающем
л также стремится к нулю, и потому
c. = lim д(.п) (я —0, 1, 2,... ocV C)
= О0
С другой стороны, если М означает верхнюю границу модуля функций fn (z)
в области D, имеем неравенство:
и следовательно, коэфициенты с„ удовлетворяют тем же неравенствам:
так что функция F(z) должна быть голоморфна в круге С, так же как и сами
функции /„(г). Чтобы показать, что соотношение F(x) = limfn(x) справедливо
всюду внутри круга, рассмотрим круг Со радиуса р, внутренний и концентри-
концентрический к первому.'Мы покажем, что последовательность функций fn{x) сходится
равномерно в этой области к F{x), и с этой целью нам достаточно будет пока-
показать равномерную сходимость к нулю разности F(x) — /я(дг) вдоль контура Св.
Эта разность представляется разложением в ряд Тейлора:
г, - «(ол)+ (с, - я<">) (дг - л:,) + ... + (ср - $>) (х - х,)Р +
4+-.. E)
Модуль суммы ряда, образованного всеми членами, начиная с того, который
содержит (х — лго)р+1, на основании неравенств C) и D), остается меньшим, чем
Сперва выберем число р так, чтобы этот модуль был меньше, чем -„- , где г
есть наперед заданное положительное число, что возможно, потому что р < R.
Выбрав число р таким способом, обозначим через г) наибольший из модулей
разностей с0 — й^2', с{—а\п\..., ср — а^К Модуль многочлена, написанного
в правой части формулы A1), оказывается меньшим, чем т, A -\- р 4- р- -f- ... 4- рР),
и тйк как г) стремится к нулю при неограниченном возрастании п, существует
такое число N, что
Следовательно, для тех же значений и в каждой точке окружности Со будем
иметь:
\F(x)-fn(x)\<z,
¦откуда и заключаем о равномерной сходимости последовательности A) на контуре
и, следовательно, внутри круга Со. Очевидно, можно принять за дг0 любую точку
внутри ядра сходимости Д и за Со—любой круг с центром Хо, внутренний к D,
потому что всегда можно найти другой, концентрический с ним, круг большего
радиуса, который, в свою очередь, был бы расположен внутри D. Итак, мы при-
приладим к следующему выводу:

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 263
Последовательность A) равномерно сходится в любом круге С9, внут-
внутреннем к D, с центром в любой точке х9, расположенной внутри Д.
Следовательно, круг СЙ, в свою очередь, оказывается ядром равномерной
сходимости последовательности A), и, если из любой точки х{, внутренней к Со,
как из центра описать какой-либо круг С4, внутренний к D, то последователь-
последовательность A) оказывается равномерно сходящейся и в этом новом круге. Какова бы
ни была точка X, внутренняя к D, очевидно, что после конечного числа опера-
операций этого рода мы придем к круг/, содержащему в себе X, в котором последо-
последовательность A) должна сходиться равномерно (см. § 334).
Итак, рассматриваемая последовательность сходится равномерно в лю-
любом круге, расположенном внутри области D.
Пусть теперь D' — любая область, внутренняя к D. Выше мы показали
(п. 1), что можно найти конечное число кругов С(, С$ Ст, внутренних к D,
и таких, что каждая точка области D' принадлежит по меньшей мере одному из
этих кругов. Последовательность A), будучи равномерно сходящейся в каждом
нз этих кругов, должна сходиться равномерно и в области D'. Можно заметить,
что то же самое заключение остается в силе, если, вместо того чтобы предпола-
предполагать последовательность A) ограниченной во всей области D, предположить ее
ограниченной лишь во всякой области, внутренней к D.
Отсюда мы заключаем, что рассматриваемые последовательности обладают
в области D всеми свойствами, вытекающими из теоремы Вейерштрасса.
5. Теорема Витали. Результат Стичьтьеса был значительно обобщен Ви-
Витали [В], которому принадлежит следующая важная теорема:
Если ограниченная последовательность функций, голоморфных в неко-
некоторой области D, сходится в бесконечном множестве точек, внутренних
к D, и если эти точки сходимости имеют по крайней мере одну предельную
точку внутри D, то последовательность сходится равномерно во всякой
области и, внутренней к D*.
Пусть хй — предельная точка множества точек сходимости, внутренняя к D,
так что в круге произвольною радиуса с центром х0 всегда существует беско-
бесконечно много точек сходимости данной последовательности. С другой стороны,
рассмотрим круг С с центром х0 радиуса R, внутренний к D, и пусть М озна-
означает верхнюю границу модуля функций последовательности в области D. Разло-
Разложение в ряд Тейлора любой из функций /„(л)
/„ (х) =. 4Л) + «<"> (х - х,) +... 4- aw с*;- х„)р + ...
является сходящимся в круге С, и потому справедливы неравенства A0), приве-
приведенные выше.
Существенный момент доказательства состоит в том, чтобы показать, что ко-
эфициент «[)"' имеет предел при неограниченном возрастании п, что было легко
сделать в условиях теоремы Стильтьеса, но употребленный в этом случае метод
доказательства оказывается здесь неприменимым. Пусть х — любая точка, внутрен-
внутренняя к D. Имеем:
Если модуль разности х — х0 меньше, чем г, то модуль суммы ряда в пра-
правой части, у которого отброшен постоянный член, оказывается на основании
неравенства A0) меньшим, чем
= 2М- Г
¦/?-/••
Выберем число г таким образом, чтобы иметь:
Mr г
R — r ~4~ '
* Приведенное здесь доказательство принадлежит Эрнсту Линделёфу, Bulletin de ta Societe
matbematique, т. XLI, 1913, стр. 171.

264 ДОПОЛНЕНИЕ
где ? — произвольное положительное число. Мы видим, что если модуль разно-
разности х — Х(, остается меньше числа г, заданного таким способом, то, подавно,,
будем иметь:
\
( (х\ f
1п + р\х) J
(х\ f (
-4- —
т 2 '
По предположению, внутри круга радиуса г, описанного вокруг точки хй±
существует бесконечное множество точек сходимости данной последовательности..
Примем за х одну из этих точек сходимости. Тогда существует такое число Nr
что в выбранной точке х:
коль скоро п^ N. Следовательно, для тех же самых значений я мы должны иметьг
откуда следует (т. I, § 5), что а\р имеет предел с0 при неограниченном возра-
возрастании п.
Затем мы докажем рекуррентным способом, что то же самое справедливо м
по отношению костальным коэфициентам а'"\ а^\ ...
Предположим, что это свойство установлено для р первых коэфициентов:
!lim d^ = Co. lira a'"^ ~си ..., lim apn\_ j = c/)_1.
Чтобы показатбГ что коэфициент с№ также имеет предел при неограниченно
возрастающем п, рассмотрим вспомогательную последовательность функций
/„ (х) - аМ - а^ (х - х0) - ... - а<1! (х -
Эти функции, на основании неравенств A0), очевидно, голоморфны в круге С
и ограничены в любом концентрическом круге, внутреннем по отношению к С.
Сверх того, эта последовательность допускает те же точки сходимости, что н
первоначальная. Действительно, если х есть точка сходимости первой последо-
последовательности, то многочлен
а'»> + <> (*_*,)+...+ а<?11 (х - хв)Р- i
¦сходится при неограниченном возрастании п к пределу
(х—х0) +-...[+ cp^i (х —
Ввиду этого последовательность функций <?п(х) обладает теми же свойствами, что»
и /л С*). и потому коэфициент а^ имеет предел ср при неограниченно возра-
возрастающем п. Итак, вообще:
lim a^ = cp (/7 = 0,1,2,... оо).
Эти коэфициенты ср удовлетворяют к тому же неравенствам D'), так что
степенной ряд
F(x) = с0 + ci (x — хе) -\- ... + ср {х — хо)Р + ...
оказывается сходящимся в круге С и представляет функцию, голоморфную в этом
круге. Затем доказательство можно будет довести до конца, как в предшествую-
предшествующем пункте, показав, что разность Р(х)—fn(x) стремится к нулю равномерно
в концентрическом круге Со, внутреннем по отношению к С. Этот круг Со, сле-
следовательно, представляет ядро равномерной сходимости рассматриваемой после-
• довйтельности, и мы делаем отсюда то же самое заключение, что и ранее, т. е.

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 265
что данная последовательность есть равномерно сходящаяся в любой области D',
внутренней по отношению к D. Очевидно, можно было бы также заменить пред-
предположение, что данная последовательность ограничена в целой области D, более
общим предположением, что она ограничена в любой области, внутренней по
отношению к D.
Примечание. Из теоремы Витали также следует, что любая ограниченная
последовательность функций, голоморфных в некоторой области D, является равно-
равномерно сходящейся в любой области D', внутренней к D, в случае если данная
последовательность сходится вдоль дуги кривой или в какой-либо области 4, рас-
расположенной внутри D.
6. Нормальные последовательности. Теперь мы будем исходить из более
общих предположений. Рассмотрим любую ограниченную последовательность
функций
/i(z), ЛW /„W. ••-.- W
голоморфных в некоторой области D. По основной теореме Монтеля [G] аз по-
последовательности A) всегда можно извлечь частичную последовательность,
сходящуюся равномерно в любой области D', внутренней по отношению к D.
Пусть х0—какая-либо точка, внутренняя к D, С—круг с центром хп ради-
радиуса R, расположенный внутри D. В таком случае разложения в ряд Тейлора
функций /„
оказываются сходящимися в этом круге С, и, каковы бы ни были пир, имеем
неравенство:
I аУ
Р
где М имеет тот же самый смысл, что и ранее. В частности, модули всех коэфи-
циентов «q"' остаются меньшими, чем М, следовательно, точки с аффиксами а{"'
расположены внутри круга радиуса М, и это множество должно иметь по мень-
меньшей мере одну предельную точку. Следовательно, существуют число Ао и возра-
возрастающая последовательность целых чисел п , п , п",... таких, что числовая
последовательность
имеет своим пределом А„. Таким же образом модули членов последовательности
t " Я/Г
а, e"i, a,... остаются меньшими, чем -^. Ввиду этого из данной числовой
последовательности о™ можно извлечь частичную последовательность
сходящуюся к пределу At. Таким же образом из последовательности
a"i аП! пП1 „"-I
можно извлечь частичную последовательность
сходящуюся к пределу Аъ и т. д. Продолжая этот процесс, находим возрастаю-
возрастающую последовательность целых чисел ni, п.2,..., nq,... таких, что числовая по-
последовательность
при всяком значении р имеет своим пределом некоторое число Ар, когда q не-
неограниченно возрастает. Действительно, когда р = 0, члены последовательности (р>,

266 ДОПОЛНЕНИЕ
которые присутствуют среди таковых последовательности (а9), имеют своим пре-
пределом Аа. Для /;=1 члены последовательности (A) имеют предел Alt потому что
они входят в состав последовательности (аД и т. д. При этом, если заставить
число пд неограниченно возрастать, то из неравенств A0) следует:
I p. RP
Теперь рассмотрим функци о
голоморфную в круге С, и частичную последовательность
/Л*), /п>(г)....,/Пд(z) (Г)
выделенную из первоначальной, также ограниченную в области D. В данном
случае рассуждение п. 5 применимо слово в слово и показывает, что разность
f(z)—fa\z) сходится равномерно к нулю в любом концентрическом круге Со,
внутреннем по отношению к С. Ввиду этого частичная последовательность (Г)
имеет в D ядро равномерной сходимости и потому сходится равномерно в любой
области D', внутренней к D.
Всякая частичная последовательность, все члены которой принадлежат после-
последовательности A), обладает одинаковыми с нею свойствами, и потому из нее
можно также извлечь частичную последовательность, сходящуюся в D. Если на-
назвать, следуя Монтелю, нормальной всякую последовательность функций, обла-
обладающую тем свойством, что любая выделенная из нее частичная последова-
последовательность допускает но меньшей мере одну предельную функцию, то мы в праве
высказать такое предложение:
Всякая ограниченная последовательность функций, голоморфных в не-
некоторой области D, является нормальной.
На основании предшествующей теоремы из любой ограниченной функцио-
функциональной последовательности этого класса можно выделить бесконечно много схо-
сходящихся частич ных последовательностей. Если первоначальная последовательность
сама является сходящейся в области D, то очевидно, что и все выделенные из
нее частичные последовательности будут сходящимися и должны иметь тот же
самый предел.
Обратно, еслч все сходящиеся частичные последовательности, какие мо-
могут бить выделены из последовательности A), имеют один и тот же пре-
предел, то и сама последовательность A) оказывается сходящейся.
Пусть, в самом деле, <f (z) — предел какой-либо сходящейся частичной после-
последовательности, выделенной из последовательности A), которую мы предположим
расходящейся, и пусть х~ какая-либо точка, обладающая тем. свойством, что
fn(x) не стремится к <р(х) при неограниченно возрастающем п. Тогда существует
такое положительное число s, что для бесконечного множества значений п спра-
справедливо неравенство
Пусть л4. пл /^....—возрастающая последовательность целых положитель-
положительных чисел такая, что
\fn{x) - f(x); > t, | fn{x) - * (x)! > г, ...
В таком случае множество, составленное из точек /„ (х\ /„ (х),..., имеет
но меньшей мере одну предельную точку А^:*(х), и из последовательности
функций /„, /п, ...1 /я > можно будет выделить такую частичную последова-
последовательность, которая сходится в точке z — x к пределу, отличному от в (х). Следо-
Следовательно, существовали бы две частичные последовательности, выделенные из A),
сходящиеся к двум различным пределам.
Итак, чтобы показать, что данная ограничечиая последовательность A) схо-
сходится, достаточно установить, что никакие две выделенные из нее частичные
последовательности не могут сходиться к двум различным пределам. Предполо-
Предположим, в частности, что последовательность A) оказывается сходящейся на мно-
множестве точек Е, внутренних к D. Все сходящиеся частичные последовательности,
выделенные из A), должны иметь один и тот же предел в точках множества Е.

О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 267
Если какие-либо две из названных частичных последовательностей не сходятся
к одной и той же предельной функции, то их разность сходится к функции,
голоморфной в D, исчезающей в каждой точке множества Е. Следовательно,
чтобы доказать сходимость последовательности A) в области D, достаточно будет
убедиться в том, что не существует функции, голоморфной в D, кроме f(z) = 0,
исчезающей в каждой точке данного множества Е.
Этот вывод вполне согласуется с теоремой Витали, ибо в этом случае мно-
множество Е по предположению допускает по меньшей мере одну предельную точку,
внутреннюю к D, и функция, голоморфная в названной области, не может иметь
бесконечного множества нулей в окрестности такой точки.
Упомянутое свойство было использовано Blaschke в случае, когда ограни-
ограниченная последовательность A) оказывается сходящейся на бесконечном множестве
точек области D, имеющем предельную точку, расположенную на ее границе,
и Монтелем — в случае сходимости в каждой точке некоторой дуги, входящей
в состав этой границы fcM. С и Н |.
7. Неограниченные сходящиеся последовательности. Теперь обратимся
к рассмотрению неограниченной последовательности A) функций, голоморфных
в данной области D, которую мы для определенности предположим односвязной.
Так как всякая многосвязная область может быть разбита на односвязные, то,
делая такое предположение, мы не уменьшаем общности рассуждений. Сначала
мы установим следующее основное свойство:
Еслг данная последовательность A) сходится в какой-либо области D,
то можно найти такую область Д, внутреннюю к D, где она будет огра-
ограничена.
В самом деле, так как последовательность A) по предположению не ограни-
ограничена, то можно найти в области D точку Mit где одна из функций последова-
последовательности по модулю превосходит единицу. Пусть fn —такая функция. В силу
ее непрерывности существует область Dlt внутренняя к D, окружающая точку Mi3
где всюду \fn | > 1. Затем рассмотрим функциональную последовательность
In* Jnt + i Jn^p>- • •
Если она не ограничена в Dt, то можно найти такую точку Af3, принадле-
принадлежащую названной области, где одна из функций /„ этой новой последователь-
последовательности по модулю превосходит 2, а следовательно, и область Dit внутреннюю
к Dl, где | /„ [ > 2. Ту же операцию можно проделать с последовательностью
»' ¦'"j + )" ¦ ¦' f",+p''''
и т. д. Продолжая этот процесс, мы найдем такую область Dp, внутреннюю к D,
где все функции последовательности A), начиная с некоторой, будут оставаться
по модулю меньшими целого числа р, и последовательность A) будет ограни-
ограничена в этой области. Действительно, если бы указанный процесс можно было
продолжать неограниченно, то построенные нами области Dlt D%,..,, Dp,..., из
которых каждая последующая вложена в предыдущую, имели бы по меньшей
мере одну общую точку Р, внутреннюю к D, где при любом р мы имели бы:
\fnp\>P,
и последовательность A) не могла бы сходиться в точке Р.
Отсюда следует, что если какая-либо последовательность функций, голо-
голоморфных в данной области D, сходится в этой области, не будучи в ней огра-
ограничена, то в каждой области D', внутренней к D, как бы мала она ни была,
всегда можно найти другую область, где последовательность будет ограничена
и где ее предел F{x) представляет голоморфную функцию Но может случиться,
что область D можно разбить на бесконечное множество частичных областей,
в которых предел последовательности A) представляет совершенно различные
аналитические функции. В упомянутой книге Монтеля (стр. 110 — 112) приво-
приводятся весьма простые примеры этого рода.
Какая-либо точка х0 области D называется правильной, если можно найти
круг радиуса р>0 с центром х„, внутри которого последовательность vl) будет
сходиться равномерно.
Пусть г—верхняя граница положительных чисел р, удовлетворяющих этому
условию. Полученное число г аналогично радиусу сходимости степенного ряда.

268 ДОПОЛНЕНИЕ
Из этого определения непосредственно следует, что все точки, расстояния кото-
которых до какой-либо правильной точки х0 остаются меньшими числа г, являются
также правильными, и легко показать, с помощью рассуждения, аналогичного'
приведенному в § 335, что это число г изменяется непрерывным образом вместе
с положением центра хй.
Пусть f — какая-либо замкнутая кривая, расположенная в D, ограничиваю-
ограничивающая область 8, внутри которой все функции /„ голоморфны. Если все точки
этой кривой т оказываются правильными, то же самое справедливо и по
отношению ко всем точкам области Ь.
Пусть, в самом деле, s — криволинейная абсцисса какой-либо точки контура х
и г—соответствующее положительное число. Это число г есть непрерывная
функция от s, допускающая положительный минимум г0 > 0, когда мы описы-
описываем кривую Y- Следовательно, найдется конечное число кругов радиуса гОг
коих центры располагаюгся вдоль контура f и которые покрывают кольцевую
область А, заключающую в себе упомянутый контур. Последовательность A),
будучи равномерно сходящейся в каждом из этих кругов, является таковой и
в области А, а потому и вдоль контура у. Следовательно, она должна сходиться
равномерно и в области о, внутренней к у, и все точки этой области оказываются,
правильными.
Всякая точка, которая не является правильной, носит название неправиль-
неправильной. В случае, если последовательность A) не сходится равномерно во всей,
области Е>, эта последняя заключает в себе неправильные точки, и мы не можем
утверждать, что предел F (х) последовательности A) есть голоморфная функция,
в окрестности неправильной точки.
В заключение мы укажем несколько свойств множества Е всех неправиль-
неправильных точек. На основании теоремы, доказанной в начале этого пункта, названные
точки не могут заполнить никакую площадь, как бы мала она ни была.
Из этой теоремы также вытекает, что, вообще, в любой области D', внутрен-
внутренней к D, всегда можно найти другую область о, не содержащую ни одной точки
множества Е. Это свойство выражают, говоря, что множество Е нигде не плотно
в области D.
Множество Е не может иметь изолированных точек. Действительно, если бы
л^о была неправильная изолированная точка, то вокруг нее можно было бы опи-
описать окружность с центром х0, все точки которой были бы правильными, а в та-
таком случае все внутренние точки, как мы только что видели, также должны
оказаться правильными. С другой стороны, всякая предельная точка множества Е
сама должна принадлежать Е, потому что в окрестности правильной точки не
может содержаться бесконечно много неправильных точек. Следовательно, мно-
множество Е совпадает со своим производным множеством Е', т. е. оказывается со-
совершенным.
Это множество является континуумом. Всякая замкнутая кривая, окружаю-
окружающая какую-либо неправильную точку, сама содержит неправильные точки, по
той же причине, что и ранее. Это множество образует с границей D связное
множество. Действительно, если бы можно было заключить все эти точки
внутрь замкнутой кривой С, содержащей лишь правильные Точки, мы снова
пришли бы к противоречию.
В ранее упомянутых мемуарах читатель найдет другие важные теоремы,
изложению которых невозможно было уделить место в этом кратком дополнении.
В частности, я отсылаю его к работам П. Монтеля, которому я по преимуществу
обязан вышеприведенными библиографическими указаниями.

УКАЗАТЕЛЬ*.
(Цифры обозначают страницы настоящего полутома.)
Абель 23, 42, 43, 168, 178.
Абеля интегралы 258.
— теорема 249.
Адамар (Hadamard) 209, 212.
Адамара теорема 211.
Алгебраическая особая точка 247.
— функция 245.
Аналитическая последовательность 258.
•— функция 14, 195.
ДВУХ переменных 237.
Аналитическое продолжение 193.
Аппель 80, 224.
Аргумент мнимого количества 10.
Аффикс точки 10.
Бертран 55.
Бесконечное произведение 26.
Билинейное преобразование 48.
Бирациональное преобразование 189.
Бициркулярная кривая 190.
Блашке (Blaschke) 258.
Блюменталь (Blumenthal) 131.
Борель (Borel) 131, 212. 213, 215.
Брно и Буке (Briot et Bouquet) 192.
Вейерштрасс 126.
Вейерштрасса обозначение эллиптиче-
эллиптической функции 153, 168.
— первичные множители 126.
— теорема 82, 87, 242, 259.
—• формула 60.
Ветвь функции 19.
Витали (Vitali 258.
— теорема 263.
Вычет 88.
— полный 106.
Гаусса гипергеометрический ряд 207.
— суммы 120.
Геометрическое истолкование произ-
производной 45.
f иперболическое преобразование 54.
Гипергеометрический ряд 207.
Главная часть функции 85, 86, 104.
Главное значение логарифма 32.
обратной тригонометрической
функции 35.
Голоморфная функция 16.
Гурса 64, 223, 250.
Гутцмер (Gutzmer) 76.
Дарбу (Darboux) 49.
— формула 60.
Двойные интегралы 229.
Двоякопериодическая функция 145,148.
Действительная ось 10.
Дель-Аньола (dell Agnola) 212.
Дирихле принцип 123.
Иенсена формула 99.
Изотермические линии 51.
Инварианты теории эллитических функ-
функций 157.
Инверсия 48.
Интеграл двойной 229.
— Коши 70, 221.
— определенный между мнимыми пре-
пределами 56.
— по замкнутому контуру 61.
— ультраэллиптический 110, 251.
Интегралов вычисление 91.
Интегрирование функций комплексного
переменного 36.
— эллиптических функций 166.
Иррациональные функции 17.
Каратеодори (Caratheodory) 258.
Кассиноида 207.
Кеплера уравнение 103, 121.
Клебш (Clebsch) 183.
Клейн 55.
Комплексное количество 9.
— переменное 12.
Континуум 268.
Конформное преобразование 45.
Коши (Cauchy) 14, 56, 67, 101, 106, 196,
229, 233.
— интеграл 70, 221, 223, 231.
* Подробный именной я предметный указатель ко всему „Курсу математического анализа" Гур-
•са б)дег дан в конце Ш тома.

270
УКАЗАТЕЛЬ
Коши символ 15.
— теорема 67.
Кривые бициркулярные 190.
— первого рода 188.
— третьего порядка 182.
Критическая точка функции 19,138, 242.
Круг сходимости 22.
совместный 227.
Круговая функция 30.
Круговое преобразование 48.
Кузен (Cousin) 238.
Лагранжа формула 101.
— — обобщения 122, 255.
Лакунарное пространство 197, 215.
Ландау (Landau) '258,
Лаплас 255.
Лапласа уравнение 15, 52.
Лежандр (Legendre) 178.
Лежандра полином 119.
Линделйф (Lindelof) 205, 263.
Линия 193.
Лиувилля теорема 76.
Логарифм 31.
Лорана ряд 70, 77, 86.
Мерз (Мёгау) 196.
Мероморфная функция 85, 96.
Миттаг-Леффлер 126.
Митаг-Леффлера теорема 133, 213.
Мнимое количество 9.
Многозначная функция 19, 21, 22.
Многосвязная область 258.
Множество неправильных точек 268.
— нигде не плотное 268.
Модуль мнимого количества 10.
Моногенная функция 13.
Монодромная функция 22.
Монтель (Montel) 258, 265.
Морера (Могега) теорема 72.
Муавра формула 11.
Неограниченная сходящаяся последова-
последовательность 267.
Неправильная точка 268.
Непрерывная функция комплексного
переменного 12.
Нечетная функция 152.
Нигде не плотное множество 268.
Нормальная последовательность 265.
Нуль функции 84.
Область 16.
— бесконечно удаленной точки 104.
— замкнутая 259.
•— многосвязная 258.
— односвязная 258.
— открытая 259.
— равномерной сходимости 261.
— связная 258.
Область точки 84.
Обратная тригонометрическая функ-
функция 33.
Обращение эллиптического интеграла
178.
Обращения; общие формулы 184.
Обыкновенная точка функции 84.
Однозначная функция 21, 126.
Определенный интеграл между мни-
мнимыми пределами 56.
Осгуд (Osgood) 238.
Особая алгебраическая точка 247.
— линия 216.
— точка функции 84, 200.
Островский 207, 258.
Параболическое преобразование 54.
Пенлеве (Painleve) 81.
— теорема 214.
Первичные множители Вейерштрасса
126.
Период определенного интеграла 106.
— полярный 106, 249.
— ультраэллиптического интеграла 110.
— циклический 249.
— эллиптического интеграла 114.
Периодическая функция 145.
Пинкерле (Pincherle) 212.
Племель (Plemels) 224.
Подпоследовательность 206.
Показательная функция 28.
Полный вычет 106.
Полюс функции 84.
Полярный период 106, 249.
Порядок полюса 85.
— функции 86.
— эллиптической функции 149.
Последовательность аналитических
функций 258.
— нормальная 265.
Правильная точка 267.
— функция в точке 84.
— -— в бесконечно удаленной точке 104.
Преобразование билинейное 48.
— бирациональное 189.
— гиперболическое 54.
— инверсия 48.
— конформное 45.
— круговое 48.
— параболическое 54.
— Фукса 54.
— эллиптическое 54.
Приведенное значение логарифма 32.
Произведение бесконечнее 26.
Простая дуга 258.
Противоположные мнимые количества
10.
Прямолинейная звезда функции 209.
Пуанкаре (Poincare) 216, 229, 288.
Пустое пространство 197, 215.

УКАЗАТЕЛЬ
271
Пюизе (Puiseux) 245.
Равномерно сходящийся ряд 12. .
Разветвления точка 19.
Разложение мероморфной функции 138.
— функции в ряд 41.
Разрез 215.
Разрез существенный 218.
Разрыва точки 86.
Рациональная функция 17.
Рекуррентный ряд 124.
Риман 69.
Римана теория аналитических функций
15.
— — конформного преобразования 49.
Риманова поверхность 249.
Род целой функции 131.
Ряд гиперболический 207.
— голоморфных функций 82.
— Лорана 70.
— рекуррентный 124.
— рядов 25.
— с мнимыми членами 22.
— степенной 26.
— Тейлора 70.
— усиливающий 25.
Связная часть плоскости 16.
Связное множество 268.
Симметричные мнимые количества 10.
Синектическая функция 14.
Совершенное множество 268
Совместные круги сходимости 227.
Сопряженные мнимье количества 10.
— семейства изотермических линий 51.
Стильтьес (Stieltjes) 103, 258.
Стильтьеса теорема 261.
Существенно особая точка функции 86,
104.
Существенный разрез 218.
Сходимости круг 22.
Таннри (Tannery) 220.
Тейлора ряд 70.
Точка критическая 242.
— неправильная 268.
— нуль 84.
— обыкновенная 84.
— особая 84, 200.
— — алгебраическая 247.
— полюс 84.
— правильная 267.
— разрыва 86.
— существенно особая 86, 104.
Трансцендентная функция 22.
Тригонометрическая обратная функция
33.
— функция 30.
Ультраэллиптический интеграл 110,251.
Уравнений теория 98.
Усиливающий ряд 25.
Фабри 215.
Фредгольм (Fredholm) 220.
Фукса преобразование 54.
Функция алгебраическая 245.
— аналитическая 14, 195.
многих переменных 226.
— голоморфная 16, 227.
— двоякопериодическая 145, 148.
изображение определенным инте-
интегралом 232.
— иррациональная 17.
— круговая 30.
— мероморфная 85, 96.
— многозначная 21.
— моногенная 13.
— монодромная 22.
— непрерывная 12.
— нечетная 152.
— обратная тригонометрическая 33.
— однозначная 21, 127.
— периодическая 145.
— показательная 28.
— правильная в точке 84.
— — в бесконечно удаленной точке
104.
— рациональная 17.
— синектическая 14.
— трансцендентная 22.
— тригонометрическая 30.
— Фурье 168.
— целая 25, 87, 261.
— четная 152.
— эллиптическая 149.
Целая функция 25, 87, 261.
Цикл 249.
Циклический период 249.
Четная функция 152.
Шредер (Schroder) 220.
Эйзенштейн (Eisenstein) 257.
Эйлер 40, 55, 207.
Эйлера формулы 30.
— функции 149.
Элемент функции 195.
Эллиптическая функция 149.
Эллиптический интеграл 114.
Эллиптическое преобразование 54.
Эрмит (Hermite) 101, 103, 215, 224, 257.
Эрмита формула 221.
Ядро равномерной сходимости 261.
Якоби 119, 168, 178.
— обозначение эллиптических функций
152.
— теорема о периодах 147.