COURS DE LA FACULTE DES SCIENCES DE PARIS
COURS
D’ANALYSE MATHEMATIQUE
PAR
EDOUARD GOURSAT
Membre de 1’Institut, Professeur a la FacultS des Sciences de Paris
CINQVIEME EDITION
ТОМЕ II
THEORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE
G A UTH I E R —V I L L A R S PARIS
Э. Г У Р С A
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ТОМ ВТОРОЙ
ЧАСТЬ I
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО проф. А. И. НЕКРАСОВА П О РЕДАКЦИЕЙ Б. К. МЛОДЗЕЕВСКОГО
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ВНОВЬ ПРОСМОТРЕННОЕ И ПЕРЕРА БО-ТАННОЕ ПО ПЯТОМУ ФРАНЦУЗСКОМУ ИЗДАНИЮ
ПРОФ. в. В. СТЕПАНОВЫМ
Г О С УД А РСТВЕН Н О Е ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКВА 1 933 ЛЕНИНГРАД
Т 21-5-2.
Редакционную работу по этой книге провел редактор ГТТИ В. И. Контовт. Издание оформила О. Н. Персиянинова. Корректуру держал С. Ф. Морошкин. Наблюдал за выпуском В, П. Морев
Рукопись сдана в производство 8[1Х 1932^п^Листы подписаны к печати в июле 1933 г. Книга вышла в свет в августе 1933 г. в количестве 5000 экземпляров на бумаге формата 62X94. Печатных знаков в листе 67 000, листов в. книге 17. Заказ № 3584. ГТТИ № 618. Уполномоченный Главлита № В-52569..
1-я „Образцовая1* типография Огиза РСФСР'траста „Полиграфкнйга”. Москва, Валовая, 28.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава XIII.
ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Стр.
I.	Общие замечания. Моногенные функции..........................   9
255.	Определения............................................ —
256.	Непрерывные функции комплексного переменного........... 12
257.	Моногенные функции..................................... 13
258.	Голоморфные функции.................................... 16
259.	Рациональные функции................................... 17
260.	Исследование некоторых иррациональных функций.......... 18
261,	Функции однозначные и многозначные..................... 21
II.	Целые ряды с мнимыми членами. Простейшие трансцендентные функции . —
262.	Круг сходимости .......'............................... 22
263.	Ряды рядов ............................................ 25
264.	Разложение бесконечного произведения в степенной ряд .... 26
265.	Показательная функция ..............................  .	28
266.	Круговые (тригонометрические) функции.................. 30
267.	Логарифмы.............................................. 31
268.	Обратные функции: arc sin z, arc tg z.................. 33
269.	Приложение к интегральному исчислению.................. 36
270.	Разложение на простые элементы рациональной функции от sin z и cos z ............................ 38
271.	Разложение Log (I + z)...............................   41
272.	Распространение формулы бинома......................... 43
III.	Понятие о конформном преобразовании . .....................  45
273.	Геометрическое истолкование	производной ................ —
274.	Теорема Римана.......................................   49
275.	Изотермические линии..............................    .	51
Упражнения............................................   52
Глава XIV.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО КОШИ.
I.	Определенные интегралы между мнимыми пределами................ 56
276.	Определения и общие положения . . . .•.................. —
277.	Замены переменных...................................... 58
278.	Формулы Вейерштрасса и Дарбу.............;............. 60
279,	Интегралы по замкнутому контуру........................ 62
280.	Исследование предпосылок, необходимых для доказательства основной теоремы...................................,	. .........  64
281.	Случай сложных'контуров...........................    ,	65
282.	Распространение формул интегрального исчисления . ..... 67
283.	Другой вывод предыдущих результатов...................  69
6
Стр,
II.	Интеграл Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Особые точки. Вычеты .... 70
284.	Основная формула ........................................  ~
285.	Теорема Морера.........................................   73
286.	Ряд Тейлора............................'................. 74
287.	Теорема Лиувилля......................................... 76
288.	Ряд Лорана..............-...............................  77
289.	Разные ряды.............................................. 80
290.	Ряды голоморфных функций. Теорема Вейерштрасса........... 82
291.	Полюсы...............................................     84
292.	Мероморфные функции...................................... 85
293.	Существенно особые точки................................. 86
294.	Вычеты...................	... :...................• . . 88
III.	Приложения общих теорем.......................................  90
295.	Различные замечания..................................  .	—
296.	Вычисление простейших определенных интегралов ....... 91
297.	Различные определенные интегралы........................  92
298-	Вычисление произведения Г(р)Г(1—р)....................... 95
299.	Приложение к мербморфным функциям...................... . ,. 96
300.	Приложение к теории уравнений  .......................... 98
301.	Формула Йенсена . . .  ...............................    99
302.	Формула Лагранжа.....................................    101
303.	Исследование, функции при бесконечно-больших значениях переменного ..................................................... 103
IV.	Периоды определенных интегралов................................106
304.	Полярные периоды.....................................  •	.	—
Z f dz
305.	Изучение интеграла I	.............................109
о
306.	Периоды ультраэллиптических интегралов . .................ПО
307.	Периоды эллиптического интеграла первого рода............114
Упражнения..............................................  116
Глава XV.
ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ.
I.	Первичные множители Вейерштрасса. Теорема Миттаг-Леффлера........126
308.	Выражение целой функции через произведение первичных множителей . . '.................................................. —
309.	Род целой функции......................................	131
310.	Однозначные функции с конечным числом особых точек .... —
311.	Однозначные функции с бесконечным множеством особых точек . 132
312.	Теорема Миттаг-Леффлера . ..............................133
313.	Исследование некоторых частных случаев..................136
314.	Способ Коши .............................. ........' . . . 138
315.	Разложение ctg х и sin х..........'.....................14L
II.	Двоякопериодические функции. Эллиптические функции...........,	. 145
317.	Невозможность существования однозначной функции с тремя периодами ............................................... .....	147
318.	Двоякопериодические функции..............................148
319.	Эллиптические функции. Общие свойства .................<	. 149
320.	Функция @и...........................................    152
321.	Алгебраическое соотношение между @и и &’и . .... . ... . . 156
7'
Стр.
322.	Функция tu......................  .	. . . . . . . Л . . . . 158
323.	Функция ««..;...............................................	160
324.	Общее выражение эллиптических	функций	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	161
325.	Формулы сложения . . ...........	.	.	:	.	.	.	.	.	164
326.	Интегрирование эллиптических	функций	..	^	...	...........166
327.	Функция 0..................................................168
111.	Обращение. Кривые первого рода . .....................................170
328.	Соотношение между периодами и инвариантами ...................... —
329.	Функция, обратная эллиптическому интегралу первого вида . ., . 172
330.	Определение функции через инварианты	.	.	.	.	.'.	. .	:	.	179
331.	Приложение к плоским кривым третьего	порядка	.	.	.	.	. .	.	.	182
332.	Общие формулы обращения . . . . . ................... . . . 184
333.	Кривые первого рода . .......... .	. .	.	.	.	.	.	.	....	188
Упражнения ;....... . . . . . .	. .	.	.	.	.	....	.	.	191
Глава XVI.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ.
I.	Определение аналитической функции одним из ее элементов.................193
334.	Первое понятие	об	аналитическом	продолжении . . .................. —
335.	Другое определение	аналитических функций........................*195
336.	Особые точки................................................200
337.	Общая задача.................................................... 201
II.	Различные методы аналитического продолжения . . . . i..................203
338.	Замена переменного .............................................. —
339.	Подпоследовательности...........................................206
340.	Преобразование к виду	интеграла ...............................207
341.	Теорема Адамара.......................................   ....	211
342.	Теорема Миттаг-Леффлера.........................................213
343.	Тебремд Пенлеве...............................................  214
III.	Пустые пространства. Разрезы.........................................215
344.	Особые линии. Пустые пространства..............................216
345.	Примеры............................................. • • 218
346.	Особенности аналитических выражений . .	. . . .................220
347.	Формула Эрмита..................................................221
Упражнения........................................................224
Глава XVII.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
I.	Общие свойства........................................................  226
348.	Определения..................................................... —
349.	Совместные круги сходимости . .".............................. 227
350.	Двойные интегралы..............................................229
35	Г Распространение теорем Коши ...	.......................231
352.	Функции, изображаемые в виде определенных интегралов .... 233
353.	Приложение к функции Г.........................................235
354.	Аналитическое продолжение функции двух переменных ..... 237
II.	Неявные функции. Алгебраические	функции................................238
355.	Теорема Вейерштрасса •.......................................... —
356.	Критические точки . .........................................  242
357.	Алгебраические функции........................................ 245
8
Стр.
358.	Абелевы интегралы .....................................248
359.	Теорема Абеля .....................................    249
350. Приложение к ультраэллиптическим интегралам .’.........251
361. Распространение формулы Лагранжа ........  .	.......255
Упражнения ,...........................................  257
ДОПОЛНЕНИЕ.
О ПОСЛЕДЦВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
1.	Общие положения......................................... 258
2.	Теорема Вейерштрасса ....................................259
3.	Область равномерной сходимости...........................261
4.	Теорема Стильтьеса. Ядро равномерной	сходимости........... —
5.	Теорема Витали...........................................263
6.	Нормальные последовательности............................265
7.	Неограниченные сходящиеся последовательности.............267
Указатель................................................269
ГЛАВА XIII.
ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
255.	Определения. Мнимым количеством, или комплексным количеством, называется всякое выражение вида а-\-Ы, где а и b—какие-нибудь действительные числа, и i—-особый символ, ввести который оказалось нужным, чтобы придать алгебре больше общности. В сущности, на комплексное количество можно смотреть как на систему двух действительных количеств, взятых в определенном порядке. Хотя выражения вида а-\-Ы и не имеют сами по себе никакого конкретного-значения, тем не менее, условились применять к ним обыкновенные правила алгебраического вычисления при условии заменять повсюду выражение i2 через —1.
Два мнимых количества а-\-Ы и a'-[-b'i называются равными, если а' = а, b' = b. Сумма двух мнимых количеств 'a -h bi и с -|- di есть символ того же вида (a -f- с) i (b -+- d); точно так же разность (а Ы) — — (с-[-di) равна мнимому количеству (а—с) -j- i (b — d). Чтобы получить произведение а-[-Ы на с-[-di, его составляют по обыкновенному правилу алгебраического умножения, заменяя i2 через —1; это дает:
(а Ы) (с di) = ас — bd-\-i (ad -|- be).
Частное от деления а-\- Ы на с-[-di есть также мнимый символ x-[-yt, произведение которого на с-[-di равно a-[-bi. На основании правила умножения, равенство
a -j- bi — (с -|- di) (х -|- у Г) равносильно соотношениям
ex — dy~a, dx-\-cy = b-, отсюда имеем:
____ас -I- bd ___be — ad х~72“^2“’ У — сТ+^2- *
Для изображения частного от деления а-[-Ы на c-\-di пользуются обычным изображением алгебраических дробей:
10
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 255
чтобы найти хи у, всего проще умножить числитель и знаменатель этой дроби на с — di и раскрыть полученные произведения.
Все свойства основных алгебраических действий распространяются и на действия над мнимыми символами; так, если А, В, С, ... обозначают мнимые символы, то
АВ = 6-А, {A-B)-C=A-(B-Q, А-(В С) = АВ + АС, ...
и т. д. Мнимые количества а - J - Z>z н гг—-Ы называются сопряженными мнимыми количествами. Два мнимых количества a-\-bi и — а — Ы, сумма которых равна нулю, называются противоположными, или симметричными^
Пусть * мы имеем на плоскости систему прямоугольных осей координат хОу, расположенных, обычным образом. Тогда мнимое количество a -j- Ы изобразится на этой плоскости точкою М с координатами х=а, у^=Ь. Таким образом чисто символические выражения получают конкретное истолкование, и, каждому предложению, доказанному для мнимых количеств, будет соответствовать теорема планиметрии. В последующем мы всего лучше убедимся в огромных преимуществах этого способа изображать мнимые количества. Действительные количества соответствуют точкам оси Ох, которая поэтому называется также действительною осью. Мнимые сопряженные количества, a -f- tn и а — Ы соответствуют двум точкам, симметричным относительно оси Ох; противоположные количества а-\-Ы и —а — Ы представятся точками, симметричными относительно точки О. .
Количество а-\-Ы, соответствующее точке М с координатами [а, Ь), иногда называется также аффиксом этой точки. В тех случаях, когда можно не опасаться неопределенности, мы будем обозначать одною и тою же буквою как мнимое количество, так и ту точку, которая его представляет.
Соединим начало координат с точкою т с координатами (а, Ь). Расстояние От называется модулем количества а-\-Ы, а угол, на который нужно повернуть полупрямую, совпадающую с Ох, чтобы привести ее в совпадение с От (этот угол отсчитывается, как в тригонометрии, от Ох к Оу), называется аргументом количества аА-Ы. Пусть будут р и io модуль и аргумент количества а -ф- bv, действительные количества а, Ь, р, о) связаны двумя соотношениями
а — р cos co, b = р sin со,
отсюда имеем:
р = + ]/а2 -|-	,
а cos (о = г, ]/ л2-Г Z>2
sin о)
b
Модуль есть вполне определенное существенно положительное число; напротив, аргумент определяется только его тригонометрическими функциями и потому известен только с точностью до 2тг, что очевидно из самого его определения. Поэтому всякое мнимое количество имеет бесконечное множество аргументов, образующих арифметическую прогрессию с разностью 2п. Чтобы два мнимых количества были между собою равны, их модули должны быть равны, и, кроме этого, необходимо,
§ 255 I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ	11
чтобы аргументы разнились между собою на кратное 2п; эти два условия также и достаточны. Модуль мнимого количества z изображается тем же символом |г|, как и абсолютное значение действительного количества.
Пусть будут z — a-\-bi, z' = а'-|-ЬЧ мнимые количества, т, т’~ соответствующие им точки; сумма z-\-z’ изобразится точкою т", ле-
жащею в вершине параллелограма, построенного на От и Ода'; Но стороны треугольника Отт" (черт. 43), соответственно, равны модулям количеств z, z’, z-^-z1. Отсюда следует, что модуль суммы двух количеств не больше суммы и не меньше разности модулей этих количеств. Так как противоположные количества имеют общий' модуль, то эта теорема верна также и для модуля разности. Наконец, тем же способом можно убедиться, что модуль суммы любого числа мнимых количеств не превосходит суммы их модулей, причем равенство имеет место только в том случае, если все точки,
Черт. 43.
представляющие эти различные количества, лежат на одной полупрямой,
выходящей из начала координат.
Если через точку т мы проведем прямые тх\ ту' параллельно
осям Ох и Оу, то координаты точки т’ будут а’ —а и b — У (черт. 44). Следовательно, точка т’ представляет в новой системе осей разность z’ — г; модуль разности г' — z равен длине тт!, а аргумент равен углу 6, образуемому направлением mni с направлением тх’. Проведем через точку О отрезок ОтЛ, равный и параллельный отрезку тт’-, конец т, этого отрезка представляет разность z’ — z в системе осей Ох, Оу. Но фигура Отт’т1
в этой новой системе осей
есть параллелограм; следовательно, точка
т} симметрична с точкою т относительно	Черт. 44.
середины с отрезка От’.
Приведем еще формулы для модуля и аргумента любого числа множителей. Пусть будут
zk = рДсоэ i sin (oft) (k — 1, 2, ..., n) эти множители; применяя правило умножения вместе с формулами сложения тригонометрических функций, получим для произведения:
—	[c°S(®i + шг4-.- + «0„) + *51П	••• Н- юя) ];
отсюда следует, что модуль произведения.равен произведению модулей и аргумент произведения равен сумме аргументов. Отсюда легко получается известная формула Муавра (Moivre):
cos т ш -|-1 sin тш — (cos ш -f- i sin ш)т, заключающая в сжатом виде все формулы умножения тригонометрических функций.
12
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 255-256
Введение мнимых символов позволило дать теории алгебраических уравнений совершенные общность и симметрию, и .самые эти символы появились впервые в связи с уравнениями второй степени. Эти символы имеют не меньшую важность и в анализе, и мы прежде всего выясним с точностью, что следует понимать под словами: функция мнимого переменного.
256.	Непрерывные функции комплексного переменного. Комплексное количество z = xA-yi, где х и у — действительные независимые переменные, называется комплексным переменным. Если мы сохраним за словом функция его наиболее общий смысл, то естественно называть всякое другое мнимое количество и, значение которого зависит от значения z, функциею переменного z. Ряд данных в предыдущем определении непосредственно распространяется и на функции мнимого переменного. Так, функция u—f(z) называется непрерывною, если модуль разности f(z-\-h)—f(z) стремится к нулю при приближении модуля h к нулю, т. е. если можно найти для всякого положительного числа е такое другое положительное число 7], чтобы было
\t(z-\-h)—f(z) ;<s
всякий раз, когда |А| меньше числа 7].
Ряд
"oW + “iW + - + “«W + -’
все члены которого суть функции комплексного переменного z, называется равномерно сходящимся в области А плоскости, если для всякого положительного числа е можно найти такое целое число N, чтобы при всех значениях z, взятых в области А, было
I Rn I •= \ип+1 (*) + ип+?(г) + • • • I < е,
если n^>N. Как и выше (т. I, § 30), можно доказать, что сумма ряда,, равномерно сходящегося в области А, все члены которого суть в этой области непрерывные функции от z, сама есть функция переменного z, непрерывная в той же области; ряд будет равномерно сходящимся, если, при всех рассматриваемых значениях переменного z модуль любого члена ряда |ия[ меньше соответствующего члена vn сходящегося ряда, все члены которого суть постоянные положительные- числа. В этом случае ряд и0-|- ит ... будет одновременно равномерно и абсолютно сходящимся.
Всякая непрерывная функция комплексного переменного z имеет вид и-=Р(х, y)-\-iQ(x, у), где Р и Q — действительные непрерывные функции действительных переменных х, у. Поэтому, если бы мы не прибавили к предыдущему определению никаких других условий, то изучение функций комплексного переменного z привелось бы, в сущности, к изучению системы двух функций двух действительных переменных, и введение символа I не дало бы никаких существенных упрощений. Чтобы теория функций комплексного переменного представляла некоторую аналогию с теорией функций действительного переменного, найдем, следуя Коши, каким условиям должны удовлетворять функции Р и Q, чтобы выражение P-\-iQ обладало основным свойством
§ 256—257 I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ
13
функций действительного переменного, к которым применимо исчисление бесконечно-малых.
257.	Моногенные функции. Если /(х) есть функция действительного /(x-f-Л)—/(х) переменного х, имеющая производную, то отношение ------------------
при приближении h к нулю стремится к пределу f (х). Найдем также, в каких случаях частное
Ди__ДР i AQ
Дг Дх-|-гДу
стремится к определенному пределу всякий раз, как модуль I Дг | стремится к нулю, т. е. всякий раз, как Дх и Ду отдельно стремятся к нулю. Легко предвидеть, что этого не будет, если функции Р(х, _у) и Q(x, Д’) будут вполне произвольными, так как предел предыдущего
,	Ду
отношения зависит, вообще, от предела . , т. е. от того пути, по ко-Дх
торому точка, представляющая значение количества z-\-bz, стремится к точке, представляющей значение количества z.
Оставим сначала у постоянным и дадим х близкое значение х-|-Дх; мы цолучим:
Ди___Р (х 4* Дх, У) — Р (х, у) . Q (х 4- ^х, у) — Q (х, у)
Дг~	Дх	+ 1	Дх “• '
Чтобы это отношение имело предел, функции Р и Q должны иметь
•частные производные по х; тогда этот предел будет иметь выражение:
Ди дР . dQ hz ЙХ 1 ЙХ
Предположим затем, что х постоянно, и дадим у значение j4~ Ду; мы получим:
Ди _ Р (х, у 4~ Ду) — Р (х, у) , Q(x,j>4-4y)— Q(x,y)
Дг	i Ду	~г	Ду
Если функции Р и Q имеют частные производные по у, то предел этого отношения равен
й£_ .ЙР йу йу ’
Чтобы пределы отношения в обоих случаях были между собою равны, должно быть:
ЙР = ЙС йР=_й^	/П
йх йу ’ йу. Йх ‘
Предположим, что функции Р и Q
удовлетворяют этим условиям,
и что частные производные
йР йР й<2 й(?
йР йГ йу непрерывны- Дадим те-
1.4
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 25Г
перь х и у какие-нибудь приращения Дх и Ду, обозначая через 9 и (И положительные числа, меньшие единицы, получим:
\Р — Р (х —Дх, у 4 Дм) — Р\х 4- Дх,_у) 4- Р (х 4- Д г,_у) — Р(х,_у) =
= Ду Ру (х 4- Дх, у ОДу) 4 ^х Рх (х + 9'Дх, у) =
= Дх [Л (х, у) + е] 4- Ду [Ру (х, у) -4 £,],
и точно так ‘же
Д(? = Дх [Q/ (х, у) 4- г'] 4- Ду [Q/ (х, у) 4- е/],
где е, е', ср ег' бесконечно малы вместе с Дх и Ду. Принимая во вни- . мание условия (1), мы можем представить приращение Ды = ДР-4гД4 в виде:
л \	। •	। л (	। •^э\ .	*	। к
дв -( й+ 4 +4 ^+‘ 4 ’ + ’у=
\ ОЛ сХ I
где 7j, т' бесконечно малы. Отсюда имеем:
Дц_ ЙР . ,_й£ Дг йх ~ йх
Tj Дх 4- Tj -Xv Дх 4- i Ду ’
причем, если | Jj I и | т/j меньше некоторого числа а, то модуль дополнительного члена меньше 2а. Следовательно,. при приближении Дх и Ду к нулю, этот член стремится -к нулю, и мы имеем:
' Ди ЙР . 4Q hm = —- -41 — .
Дг йх ох
Таким образом соотношения (1) представляют необходимые и доста-, Ди
точные условия того,' чтобы  отношение -т— имело единственный пре-Дг.
дел для каждого значения переменного z при условии непрерывности частных производных от функций Р и Q. Такая функция и называется моногенною, или аналитическою *, функциею переменного г; если мы обозначим ее через /(г), то производная f (г) будет равна любому из следующих выражений, которые для моногенных функций все между собою равнозначащи:
йх Йх йу йу дх ду ду дх
Необходимо обратить внимание на то, что ни одна из функций Р(х, у), Q (х> у) не может быть взята произвольно. В самом деле, предполо-
* Словом моногенная функция часто пользовался Коши. Иногда уцртребляют также термин синектическйя функция. Мы. будем чате тюльзоваться термином аналитическая функция; ниже.мы увидим, что последнее определение вполне согласно с определением аналитических функций, которое было дано ранее (т. 1,: § 188).	'
§ 257 I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ
15
жим, что функции Р и Q имеют производные второго порядка; ди-ференцируя первое из равенств (1) по х, второе по у и складывая полученные соотношения, будем иметь:
.ЛР=^+^_о-
А ЙХ2 + йу2 ~ ’
точно так же мы можем доказать, что Д Q. Следовательно, обе функции Р{х, у), Q(x, у) суть решения уравнения Лапласа.
Обратно, всякое решение уравнения Лапласа может быть принято за одну из функций Р или Q. Пусть будет, например, Р(х, у) одно из решений этого уравнения; тогда уравнения (1), где Q рассматривается как неизвестная функция, совместимы, и выражение
« —Р(х,
(Х,У)
(Ха, Л)
ар ЙХ
dy — --

где С—произвольное постоянное, есть моногенная функция, действительная часть которой равна Р(х, _у).
Такйм образом 'изучение аналитических функций комплексного переменного z приводится, в сущности, к изучению системы двух действительных функций Р(х, _у), Q (х, у) от двух действительных переменных х, у, удовлетворяющих соотношениям (1), и можно было бы развить всю теорию таких функций, не пользуясь символом i * *. Мы, однако, будем пользоваться символами Коши, заметив при этом, что разница между обоими методами, в сущности, скорее кажущаяся, чем действительная. Всякая теорема, доказанная для аналитической функции f Az), непосредственно переводится в равносильную теорему для. функций Р и <2 и обратно.
П р и м е р ы. Функция и = хг—у* + 21ху— аналитическая, так как для нее соотношения (1) удовлетворяются; ее производная равна 2х + 2zy = 2z; эта функция есть не что иное, как (х-+-zy)2 = z2. Напротив, выражение v = x— iy не есть аналитическая функция; в самом деле, мы имеем:
Sv
Sz
Sx—iSy Sx + i Sy ~
и ясно, что предел отношения зависит от предела отношения — .
Полагая х = р cosco, у = р sin со и применяя формулы замены переменных (т. I, §60), мы можем представить соотношения (1) в виде:
йР_ йф й(?_ ЙР.
йсо Р йр ‘ йсо Р йр ’ производная f (z) будет иметь выражение:
,,, , /ЙР	• • А
f (z) = I — 4- l )(COS co — I Sin co\
	\op <lp /
* С этой точки зрения обыкновенно смотрят на теорию аналитических функций немецкие математики школы Римана.
16	ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 257—258
С помощью этих формул нетрудно показать, что функция zm — ?т (cos ти> 4- i sin ти>)
есть аналитическая функция переменного z, производная которой равна мр/л-1 (cos ти> 4- i sin тч>) (cos ш — i sin ш) = mz">- *.
258.	Голоморфные функции. Предыдущие общие положения имеют несколько неопределенный характер, так как до сих пор мы не касались вопроса о тех границах, между какими мы будем изменять переменное г.
Часть А плоскости называется связною, если две любые точки, взятые в этдй части, можно соединить непрерывным путем, который весь лежит в этой части плоскости. Связная часть плоскости, расположенная вся на конечном расстоянии, может быть ограничена одйою или несколькими замкнутыми линиями, среди которых всегда есть замкнутая линия, ограничивающая ее извне. Связная часть плоскости, простирающаяся в бесконечность, может состоять из совокупности точек, лежащих вне одной или нескольких замкнутых линий; она может также быть ограничена линиями, имеющими бесконечные ветви.
Мы будем называть связную часть плоскости областью.
Функция /(г) комплексного переменного z называется голоморфною в связной части А плоскости, если она удовлетворяет следующим условиям:
1.	Каждой точке z области А соответствует определенное значение функции /(г).
2.	Функция f(z) остается непрерывною, когда точка z перемещается в области А, т. е. модуль	—f(z) стремится к нулю вместе
с модулем h.
3.	В 'каждой точке z области А функция/(г) имеет единственную производную f (z), т. е. каждой точке z' соответствует такое комплексное число f (z), что модуль разности
№ + л)/(г)/,(г)
п
стремится к нулю, когда | h | стремится к нулю. Тогда для всякого положительного числа s можно найти такое другое положительное число ij, чтобы было
!/(г+й)—/(z)-A/(z)|<e|A!,	(4)
если I h | меньше числа т(.
Мы не сделаем пока никакого предположения относительно значений функции /(г) вдоль контура, ограничивающего область А. Когда мы будем говорить, что функция f(z) голоморфна внутри области А, ограниченной замкнутым контуром Г, и на самом этом контуре, то под этим следует подразумевать, что функция/(г) голоморфна в области ?(, содержащей контур Г и область А. -
Аналитическая функция f(z) не должна быть непременно голоморфною во всей области существования; она имеет, вообще, особые точки, которые могут быть очень различного рода. Здесь было бы преждевременно давать классификацию этих, особых точек, характер которых вполне выяснится из дальнейшего.
§ 259 I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ	17
259. Рациональные функции. Так как правила диференцирования суммы, произведения, частного являются логическими следствиями определения производной, то эти правила распространяются и на функции комплексного переменного. То же имеет место и для правила диференцирования функции от функции. Пусть будет u~f(Z) аналитическая функция комплексного переменного Z; если мы заменим Z другою аналитическою функциею ф(г) нового комплексного переменного z, то «будет также аналитическою функциею и переменного z. В самом деле, мы имеем:
Д« Л« AZ
Az- AZ' Az ’
при приближении I Az | к нулю, | AZ | также стремится к нулю,
Д« AZ дое из отношении -т--, -— AZ Az
стремится к определенному пределу.
и каж-
Следо-
Д« вательно, отношение — само стремится к пределу
linl
Выше мы доказали (§ 257), что функция
есть аналитическая функция переменного z, имеющая производную /иг'”'1. В этом можно убедиться непосредственно так же, как в случае действительного переменного. В самом деле, формула бинома, основывающаяся единственно на свойствах умножения, очевидно, распространяется на комплексные количества. Следовательно, мы имеем при т целом положительном :
(2 + й)« = г. + ” 4 + + _
и отсюда
(z-^h)"1—-zm h
= /иг'”'1
+*
+ ... +
очевидно, что при приближении модуля h к нулю правая часть имеет пределом /иг'”-1.
Отсюда следует, что всякий целый многочлен с произвольными коэфициентами есть также аналитическая функция, голоморфная во всей плоскости. Рациональная функция, т. е. частное двух целых многочленов Р(г), Q(z), которые можно предположить первыми между собою, есть также аналитическая функция, но она имеет некоторое число осо-оых точек, — именно, все корни уравнения Q(z) = 0. Эта функция голоморфна во всякой области плоскости, не содержащей ни одного из этих корней.
2 Э. Гурса, т. II, ч. 1.
18	ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 260
260. Исследование некоторых иррациональных функций. Если точка z описывает замкнутый путь, то координаты х, у и модуль р изменяются непрерывно; аргумент также изменяется непрерывно, если только описываемый путь не проходит через начало координат.
Если точка z, описав замкнутый путь, возвращается к своему начальному положению, то х, у и р принимают свои начальные значения, но это не всегда бывает с аргументом. Действительно, если начало координат находится вне области, ограничиваемой замкнуты^ путем (черт. 45а), то очевидно, что аргумент возвращается к своему начальному значению; но этого не будет, если точка описывает путь вида MnNPM0 или MonpqMn (черт. 45b). После обхода в первом случае аргумент возвращается к своему начальному значению, увеличенному на 2п, а во втором случае аргумент принимает свое начальное значение с приращением 4п. Очевидно, что можно перемещать переменное z по таким замкнутым путям, что аргумент, непрерывно изменяясь вдоль любого из них, придет к конечному значению, отличающемуся от начального значения на 2/гп, где п — произвольное целое число, положительное или отрицательное. Вообще, если z описывает замкнутый путь, то аргумент количества z — а возвращается к своему начальному значению, если точка а находится вне области, ограничиваемой этим замкнутым путем, но всегда можно выбрать такой путь для переменного z, чтобы конечное значение аргумента количества г — а было равно начальному значению, сложенному с 2/гп.
Рассмотрим теперь уравнение um=z,	(5)
где т — целое положительное число. Для всякого значения z, кроме z= 0, это уравнение дает т различных значений для и. В самом деле, полагая
z = р (cos со i sin ш), и = г (cos tp-|-z sin <р),
мы получим два следующих уравнения, равносильных уравнению (5):
rm = р, mtp = <o-f- 2kn;
i
из первого имеем: г=рт, т. е. г равно арифметическому корню т-й „	.	ш -4- 2/гп
степейи из положительного числа р. Далее, находим: и =, г	т т
и, чтобы получить все различные значения количества и, достаточно давать произвольному целому числу k последовательно т- целых зна-
§ 260 I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ	19
чений 0, 1, 2,___, т—1. Таким образом мы получим выражения
для т корней уравнения (5):

со 4- 2тсЛ: ... <о 4- 2тг« cos —-----------н i sin---------
т	т
(6 = 0, 1, 2, .. ., т — 1). (6)
1
Один какой-нибудь из этих корней изображают также через zт .
Если переменное z описывает непрерывный путь, то каждый из этих корней изменяется также непрерывно. Если z описывает замкнутый путь, оставляя начало координат снаружи, то после обхода аргумент ш возвращается к своему начальному значению, и каждый из корней и0, Mj,..., ит_г описывает также замкнутый путь (черт. 46а).
Но, если точка z описывает путь /ИдЛТ’Л/о (черт. 45b), то ш переходит в ш-|-2тг, конечное значение корня и, будет равно начальному значению корня и/+1, и пути, описываемые различными корнями, образуют одну замкнутую линию (черт. 46b).
Следовательно, когда переменное z описывает вокруг начала координат в прямом направлении замкнутый путь без двойных точек, то эти т корней замещают друг друга в круговом порядке. Очевидно, что можно перемещать z по такому замкнутому пути, что если начальное значение какого-нибудь корня равно, например, w0, то его конечное значение будет равно любому из других корней. Следовательно, нельзя, не отказываясь от непрерывности, рассматривать т корней уравнения (5) как т различных функций от z, но на них нужно смотреть как на т различных ветвей одной и той же функции.
Точка z0, при обходе вокруг которой эти т значений переменного и замещают друг друга, называется критическою точкою, или точкою разветвления, многозначной функции.
Чтобы т значений переменного и можно было рассматривать как различные функции от z, нужно нарушить непрерывность этих корней вдоль какой-нибудь бесконечной линии, выходящей из начала координат. Конкретно это нарушение непрерывности можно представить себе следующим образом: проведем на плоскости, на которой изобра-2*
20
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 260
жается z, бесконечный разрез вдоль какой-нибудь полупрямой, выходящей из начала координат, например вдоль полупрямой OL (черт. 47), и раздвинем немного оба края этого раз-У	реза, так, чтобы путь, по которому переме-
xj-	щается переменное, не мог перейти с одного
..... края на другой.
тЛ/' \	При этих условиях никакой замкнутый
'	!________ путь не может окружать начала координат;
\ о / X поэтому каждому значению z будет соответ-'----ствовать вполне определенное значение каж-
дого из т корней и{, которое получим, взяв для ’ аргумента ш значение, заключающееся между а и а — 2тт. Но должно заметить, что значения корня и> в двух бесконечно Черт. 47.	близких точках т, т', лежащих по обе
стороны разреза, не будут между собою равны. Значение корня и{ в точке tri равно значению корня ut в точке т, умноженному на
( 2п . . . 2п\ cos-----н i sin — .
т mJ
Каждый из корней уравнения (5) есть моногенная функция. Пусть будет и0 значение одного из этих корней при данном значении z0; значению z, близкому к zQ, соответствует значение и, близкое к и0. и — ип
Вместо того чтобы искать предел отношения --------- , можно искать
г — z0
предел обратного отношения:
г — z0  ит — иот и-ий~ и — и0
Этот предел равен ти^'* 1; следовательно, для производной от и мы имеем выражение
,11	1 и
и' --------=-------;
т ит-~у	т z
вводя отрицательные показатели, мы можем представить иначе последнее равенство в виде:
1	--I .
U — Z т т
но, чтобы иметь вполне определенное значение производной, соответ-1 и
ствующее какому-либо из корней, лучше взять выражение — —. Внутри замкнутой линии, не окружающей начала координат, каждое из значений z есть голоморфная функция от z. Уравнение ит = А{г — а) имеет также т корней, которые замещают друг друга в круговом орядке вокруг критической точки z — a.
§ 260—261 I. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. МОНОГЕННЫЕ ФУНКЦИИ
21
Рассмотрим еще уравнение
u2=*A(z — e1)(z — e2)...(z — en),	(7)
где е,, е2,.... еп суть п различных количеств. Обозначим теми же буквами точки, которые представляют эти п. количеств. Положим
А =«е /? (cos a	i sin а),
z — ек = рк(cos шк + i sin wj (A—1, 2,..
и = r (cos 6 -f-1 sin 6);
представляет угол, образуемый направлением екг от точки ек до точки z с направлением Ох. Из уравнения (7) получаем:
А2 = А’р1р2...рп,	20 = а4-(о14-...4-<о>14-2/пп;
следовательно, это уравнение имеет два противоположных по знаку корня:
—	/ СС —I— в), ' I 1. . • -I - (0 \
«7 — (£?7?2 • • • р») 2 [ C0S [	+
. . . /аЧ-<0,4-... + со \
-Н sm ----------------
1 г	/	J	\	(8)
—	/я	<0, -I-... -4- <0 -4-2ir\
«2 = (/?Р]р2. . -Р„) ‘ [cos	4-
+ Zsin^^L±^±^±lrt) .
Когда переменное z описывает замкнутый путь С, содержащий внутри себя р из числа точек е3, е2, ..., еп, то р из аргументов Wj, (02,... ..., (0Я возрастают на 2п; следовательно, аргументы корнрй и, и и2 возрастают на ртг. Если р—число четное, то оба корня принимают после обхода свои начальные значения; если же р нечетное, то они взаимно перемещаются. В частности, если контур содержит внутри одну точку е(, то оба корня перемещаются. Таким образом п точек ei суть точки разветвления. Чтобы оба, корня и1 и и2 оставались вполне определенными функциями от z, достаточно провести систему разрезов таким образом, чтобы любая замкнутая линия содержала внутри себя всегда только четное число критических точек. Например, можно провести бесконечные разрезы вдоль полупрямых, выходящих из каждой точки et, так, чтобы эти разрезы не пересекались между собою. Но можно поступать и различными другими способами. Например, если есть только четыре критических точки е3, е2, е3, <?4, то можно провести один разрез вдоль прямолинейного отрезка е3е2, а второй разрез — вдоль отрезка с3е4.
261. Функции однозначные и многозначные. Рассмотренные нами элементарные примеры выясняют один важный факт. Значение функции/(г) переменного z не всегда зависит единственно от значения переменного г, но оно может также в некоторой степени зависеть от закона следования значений, принимаемых переменным при переходе от начального значения к конечному значению, или, другими словами, от пути, описываемого переменным.
22	ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 261—262
Возвратимся, например, к функции г. Если мы пойдем из точки А40 к точке М по пути M0NM и М0РМ (черт. 45b), взяв в обоих случаях для и одно и то же начальное значение, то в М мы не получим в обоих случаях для и одного и того же значения, так как получающиеся значения для аргумента переменного z будут разниться между собою на 2тт. Таким образом мы приходим к введению нового подразделения функций.
Аналитическая функция f(z) называется однозначною, или монодром-ною, в области А, если все пути, лежащие в А и соединяющие точку z0 с какою-нибудь точкою г, приводят к одному и тому же конечному значению для f(z}. Если же конечное значение функции f(z) не будет одинаково для всех возможных путей, то функ-ция называется многозначною. Функция, голоморф-/ ная в области А, необходимо однозначна в этой
/	/ области. Вообще, чтобы функция /(г) была одно-
_______значною в данной области, необходимо и доста-Д______точно, чтобы любой замкнутый путь, описываемый
переменным, возвращал функцию к ее начальному
Черт. 48. значению. В самом деле, если, переходя из точки А в точку В по путям АМВ и ANB (черт. 48), мы в обоих случаях приходим в точку В с одним и тем же значением для f(z), то очевидно, что, перемещая переменное по замкнутому контуру AMfiA/A, мы вернемся в точку А с начальным значением для/(г).
Обратно, предположим, что, перемещая переменное z по контуру □4/ИВМ4, мы возвращаемся в исходную точку с начальным значением ип; пусть будет иг значение функции в точке В, после того как z описало путь АМВ. Когда Z описывает путь BNA, то функция, выходя от значения и1, приходит к значению «0; следовательно, обратный путь ANB приведет функцию от значения и0 к значению иг, т. е. к тому же значению, как и путь АМВ.
Следует заметить, что функция может быть многозначною в области, и не имея в этой области критических точек. В самом деле, рассмотрим часть плоскости между двумя концентрическими окружностями С и С 1
с центром в начале координат. Функция u=zm не имеет ни одной критической точки в этой области; однако, она не однозначна, так как, после обхода переменного z по концентрической окружности, заключа-1
ющейся между Си С', функция z т получает множитель
2тт , . 2тт cos----k i sin — .
m m
II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ. ПРОСТЕЙШИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ.
262. Круг сходимости. Рассуждения, которыми мы пользовались при изучении целых рядов (т. I, гл. IX), непосредственно распространяются и на целые ряды с мнимыми членами; для этого достаточно только заменить слова абсолютная величина словом модуль.
§ 262
II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ
23
Напомним вкратце относящиеся сюда теоремы и результаты.
Пусть будет
a0 + ^ + a22* 2+(9)
целый ряд, в котором коэфициенты и переменное могут иметь любые мнимые значения. Рассмотрим, вместе с тем, ряд, составленный из модулей:
/l0 + V+'V!4-.. . +	+	(Ю)
где /lz = | at |, r = | г выше было доказано (т. I, § 172), что есть такое положительное число /?, что ряд (10) будет сходящимся при всяком значении г<^7? и расходящимся при всяком значении /?. Это число /? равно обратному значению наибольшего из пределов членов последовательности
Уа3,...,Уап,...
и, в частности, может быть нулем или бесконечностью.
Из этих свойств числа /? непосредственно следует, что ряд (9) будет абсолютно сходящимся, если \z\<^R- Ряд (9) не может быть
сходящимся при значении zn количества z, если |г0|>/?, так как в этом случае ряд модулей (10) был бы сходящимся при значениях
(т. I, § 172). Если в плоскости переменного z мы опишем круг С радиусом R и с центром в начале ко ординат (черт. 49), то целый ряд (9) будет абсолютно сходящимся для всякой точки внутри круга С и расходящимся для всякой внешней точки; отсюда круг С получил название круга сходимости. В точках на самой окружности С ряд может быть сходящимся или расходящимся в зависимости от свойств данного ряда*.
Внутри круга С, концентрического с первым и . с радиусом /?' <
, ряд (9) — равномерно сходя-
щийся. В самом деле, очевидно, что для всякой точки внутри круга С мы имеем:
! ая+^я+1 + • • • + an+ffin+p | <	+ ... + \+pR'n+p<
и мы можем выбрать число п настолько большим, чтобы при всяком значении числа р правая часть была меньше любого данного положи
* Пусть будет f(z) = ^anzn целый ряд, радиус сходимосш которого 7? равен единице. Если коэфициенты Oq, at, аа .. . — положительные убывающие числа, причем, при неограниченном возрастании п, ап стремится к нулю, то ряд — сходящийся во всех точках на круге сходимости, кроме, может быть, точки z = l. В самом деле, ряд где |«1 = 1,— неопределенный, кроме случая з=1,
2
так как модуль суммы его п первых членов меньше ------>; следовательно, для доказательства пре-
]1 —а-
дыдущего предложения достаточно применить рассуждение § 158, основываясь на обобщенной лемме Абеля. Точно так же ряд а0 — atzatz3—. . . , получающийся из предыдущего через замену z на —а, — сходящийся во всех точках круга а=1 кроме, может быть, при z— - 1 <см. § 158).	н ♦	» г
24	ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 262
тельного числа е. Отсюда следует, что сумма ряда (9) есть функция f(z) переменного z, непрерывная во всех точках внутри круга сходимости (§ 256).
Диференцируя ряд (9) почленно любое число раз, мы получим неограниченное число целых рядов (z), /2(г), ... , /я(г), ... , имеющих круг сходимости общий с первым рядом (т. I, § 174). Как й выше (т. I, § 175), можно доказать, что (z) есть производная от f(z), и вообще, fn (z) есть производная от /я_7 (г). Следовательно, всякий целый ряд есть голоморфная функция внутри круга сходимости. Последовательность производных этих функций неограниченна, и все эти производные суть также голоморфные функции в том же самом круге.
Рассмотрим точку z внутри круга С; опишем из этой точки как из центра круг с, касающийся изнутри круга С, и возьмем внутри с точку z /г; если г и р будут модули количеств z и h, то г-1-р<^/? (черт. 49). Сумма ряда /(z-j-гЛ) равна сумме следующего ряда с двойным входом, составленной по столбцам:
ao~\~aiz ~i~a2z2 4- • • • ~hanz”~h—	)
-|--|~ 2a2zA +-..	-*- nanzn~1h -|- ...	|
+-#+	- I (11)
............................................... J
Но этот ряд — абсолютно сходящийся, так как, если мы заменим каждый член его модулем, то получим двойной ряд с положительными членами, сумма которого равна:
А ~Г А А ?) 4* • • • + А (/-}- р)" 4-.. •
Следовательно, можно составлять сумму двойного ряда (11) по строкам. Таким образом для всякой точки z-\-h внутри круга с мы имеем соотношение:
h2	hn
f(z 4- h) =f(z) + hft (z) + —/2 (z) 4... 4- fn (z) +... (12)
Ряд в первой части — наверное сходящийся, если \h\<^R — r, но он может быть сходящимся и в более обширной области. Так как функции /j(z), /9(z), ..., /я(г), ... равны последовательным производным от/(z), то формула (12) тождественна с формулою Тейлора.
Если ряд (9) — сходящийся в точке Z на круге сходимости, то сумма f(Z) ряда есть предел, к которому стремится сумма./(z), когда точка z стремится к точке Z, оставаясь на радиусе, проходящем через точку Z. Это предложение можно доказать, как в § 173 (т. I), полагая z = 6Z и увеличивая 6 от 0 до 1.
В более общих предположениях, сумма f (z) имеет своим пределом /(Z), когда точка z стремится к Z так, что угол наклона прямой, соединяющей Z и z, к радиусу, направленному из точки Z к началу координат, остается меньшим некоторого угла ? < ~. В частности, f (z) стремится к f (Z), когда точка z, оставаясь внутри круга сходимости, стремится к Z по некоторой кривой, имеющей касательную в точке Z, отличную от касательной к кругу сходимости.
§ 262—263 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ	25
Достаточно показать что ряд (9) будет сходиться равномерно в области плоскости, внутренней к кругу весьма малого радиуса с центром в точке Z и ограниченной двумя лучами, пересекающимися в Z и наклоненными к лучу ZO под углом ср <	. Доказательство может быть дано в предположении Z—1, так как
мы приходим к этому частному случаю, полагая z — Zu, где и — новое переменное.
Так как ряд (9) по предположению сходится в точке z=l, то, полагая = ап + ап + 1 + • • • + °п+р ’ допустим, что число п мы выбрали настолько большим, что
каково бы ни было р, причем s — произвольное положительное число. Сумму — л | а	7п ~1“1 -Г-	4- а 7п+Р
°п anz + ап + 1 z ~	' ап — р z
можно записать в виде:
°Р = s°zn +	- s°n) zn +1 + ... +	- 5Г])z4 +р >
или еще иначе (О. Stolz):
ЯР = (1 - z)z"{ S°n + S'„Z + . . . +	}-u sP Z" + P.
Следовательно, полагая | z [ — р < 1, | 1 — z I — г, имеем:
I °" I < I— + ^п+р <Е {т“ +1} •
С другой стороны, для треугольника с вершинами в начале координат, в переменной точке z и в точке Z=1 справедливо соотношение р2 = 1—2rcosa-|-r', где а означает величину угла с вершиной в точке Z=l, и следовательно:
г 1+ Р
1 — р 2 cos а — г ’
Предположим, что угол а меньше некоторого угла ср < ~, и расстояние г меньше некоторого числа о < 2 cos ср. В области, которую мы определили, при всяком р будем иметь:
I ср„ I < е /-----г+ 11.
1 п I I z cos f — о /
Следовательно, ряд (9) есть равномерно сходящийся в этой области, включая и точку z = l, и доказательство доводится до конца, как в ранее рассмотренных случаях (§ 30, 173).
Если радиус R равен бесконечности, то круг сходимости охватывает всю плоскость, и функция /(г) будет голоморфною при всяком значении z. Такая функция называется целою функциею-, изучение этих трансцендентных функций составляет одну из наиболее важных задач анализа. В следующих параграфах мы изучим простейшие основные трансцендентные функции.
263. Ряды рядов. Рассмотрим целый ряд (9) с произвольными коэфициен-тами; целый ряд	все коэфициенты которого действительны и положительны,
называется усиливающим для первого, если при всяком значении п мы имеем	я,. Все следствия, выведенные из употребления усиливающих
функций (т. I, § 177—180), применимы без изменения к случаю мнимых переменных. Мы укажем здесь другое применение усиливающих рядов.
26	ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 263—264
/о (2)+Л (2)+А(2) + • • •+/л (2) + • • •
ряд, каждый член которого, в свою очередь, есть сумма целого ряда, сходящегося в круге, радиус которого равен или больше числа /?>0:
fa (2) = ал + aAz -+ ... + ainzn + ...
Предположим, что каждый член ряда (13) заменен своим разложением по степеням z\ мы получим двойной ряд, Каждый столбец которого образован разложением функции (z). Если этот ряд — абсолютно сходящийся при значении z с модулем р, т. е. если двойной ряд УУ |	— сходящийся, то при всяком
i п
значении г, модуль которого не превосходит р, можно составить сумму первого двойного ряда по строкам, и мы получим разложение суммы F(z) ряда (13) по степеням z:
F (г) = bf, + b±z + bnzn
bn — aon + ain 4* • • • (и = 0, 1, 2, •..).
В сущности, это — тот же способ рассуждения, с помощью которого получается разложение f(z + Л) по степеням Л.
Предположим, например, что ряд fa (г) имеет усиливающую функцию вида
- , и ряд — сходящийся. В ряде с двойным входом модуль общего члена
I 2, Iя
меньше	Всякий раз, когда | z | < г, этот ряд — абсолютно сходящийся,
так как ряд, составленный из его модулей, — сходящийся и имеет сумму, мень-шую •
234. Разложение бесконечного произведения, в степенной ряд. Пусть
F(z) = (l + uo)(l + «*) ... (1+«„)...
— бесконечное произведение, в котором каждая из функций и, есть непрерывная функция комплексного переменного • z в некоторой области D. Если ряд У, | и,-1 равномерно сходится в этой области, функция F(z) равна сумме ряда, равномерно сходящегося в D, и следовательно, представляет непрерывную функцию (§ 166— 167). Из одной общей теоремы, которая будет доказана в дальнейшем (§ 290, гл. XIV), следует, что, если эти функции ut суть аналитический функции переменного г, то же самое оказывается справедливым и по отношению к F(z).
Например, бесконечное произведение
представляет функцию переменного z, голоморфную в целой плоскости, потому El z Н	,
J—есть равномерно сходящийся во внутренности любого замкну-л*
того контура. Это произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда z = 0, ± 1, ct 2, ...
Можно непосредственно доказать, что произведение F(z) разлагается в степенной ряд, в предположении, что каждая из функций и, представляется степенным рядом
и1:(2) = ал + aii.z + • • • + alnzn +• • • • (i =0, 1, 2, ...),
и что двойной ряд
221।гп i п
сходится при подходящем выборе положительного значения г.
§ 264 '	II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ	27
Положим, как в § 165:
v9 — 1 + Щ,, vn — (1 + и0)(1 + Uj) ... (1 + ил-1) ип', достаточно показать, что сумму ряда
г’о + »1+ +vn+ ... ,	(14)
которая равна бесконечному произведению F(z), можно представить степенным рядом. Действительно, если еще положить
ui' I ait> | + |	| z 4- ... + | ain | z’ 4- ... ,
то очевидно, что произведение
vn — (1 + uo) + ul) •••(!+ Mnf -i)Mn
есть усиливающая функция для vn. Следовательно, ряд (14) может быть расположен по степеням переменного z, если это верно для вспомогательного ряда
»о'+ < + . •  + »п’+ •••	(15)
Если мы разложим каждый из членов этого последнего в целый ряд, то получим двойной ряд, в котором каждый из коэфициентов положителен, и для нашей цели достаточно показать, что этот двойной ряд сходится, если заменить в нем z через г. Обозначим через Un' и Vn’ значения функций ип' и vp для z — r. Будем иметь:
ц„'= (1 + ц0)(1 + ) • • • (1 +
и следовательно:
Ц/ + У/ + • • • + Ч/ = (1 + б'о) •••(! + или еще
Vo'+V/ + ...+Vn'<eW+...+W.
При неограниченном возрастании п сумма Цо' + • • • 4- Цп' стремится к пределу, потому что ряд 2 Un п0 предположению сходится. Следовательно, двойной ряд (15) есть абсолютно сходящийся, в случае если | z [ г; следовательно, подавно двойной ряд, полученный разложением каждого члена vn ряда (14), есть абсолютно сходящийся внутри круга С, и его можно расположить по целым степеням переменного z.
Коэфициент Ьр при zP в разложении функции F (z) равен, на основании этого, пределу при п->оо коэфициента Ьрп при zP в сумме г/0 +	+ • • • 4- vn, или, что
то же самое, в разложении произведения
Рп = + "о) (1 + Mi) •••(!+
этот коэфициент получится, следовательно, если распространить на бесконечные произведения обычное правило для нахождения ^коэфициентов при степенях z в произведении конечного числа многочленов.
Например, бесконечное произведение
F(z) = (l + z)(14-z*)(l + z4)...(l + za")...
разлагается по степеням z, при условии, что | z | < 1. Любая степень z, например zN, присутствует в этом разложении с коэфициентом, равным единице, так как всякое целое число N может быть записано одним и только одним способом в виде суммы степеней числа 2. Следовательно, имеем при \z | < 1:
A (z) — 1 4- z 4- z- -|-
. 4-z*4- ...
(16)
1 — z
28	ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 264- 265
что можно также весьма просто доказать при помощи тождества
+ г)(1 +г2)(1+г1)... (1
265. Показательная функция. Очевидно, что арифметическое определение показательной функции не имеет никакого смысла, если показатель — мнимый. Следовательно, чтобы обобщить определение показательной функции, необходимо исходить из такого ее свойства, которое можно распространить на случай комплексного переменного. Мы примем за основание свойство, выражаемое функциональным соотношением ах • ах' = ах+х'. Определим целый ряд f(z), сходящийся в круге с радиусом R и удовлетворяющий условию
f(z-\-z’)==f(z)-J(z<),	(17)
когда модули количеств z, z', z -|- г’ меньше /?; последнее, наверное, будет иметь место, если |z| и | меньше --. Если мы положим в-предыдущем соотношении г' = О, то будем иметь:
/(г) =/(?)•/(0);
следовательно, должно быть:/(0)=1. Представим искомый ряд в виде:
/(г) 1 +	+ .. . 4-—^+ • • •
Заменим последовательно в этом ряде z через \t, затем через "k't, где X и V— постоянные и t—произвольное переменное, и составим произведение обоих рядов; мы получим:
/(ша'о = 1+a•
ta	tl
 • • +	(-<>п Тап-^п-^ + • • • 4-*/“)4-...
С другой стороны, мы имеем:
|(х-н\нч-...4-г^п—а+тп4----
Равенство /(>./-|-V/) =/()?)•/(Х7) должно иметь место при всех зна-чениях X,V, t, удовлетворяющих неравенствам:, k | < 1, | i < 1, | Z | <	;
следовательно, оба ряда должны §ыть тождественны между собою, т. е. должно быть:
ап (к + Г)" = ап1" + А ап_га^ +	ак_2а21-^ +... +алк'".
Отсюда вытекают соотношения ап = ап_гаА, ап = ак_2а2, ... ; их можно соединить в единственное условие:
а = а ч ,	(18)
р+ч р я’	' '
где р и q — любые целые положительные числа.
265	П- ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ
29
Чтобы найти отсюда общее решение, предположим, что q=\, и положим последовательно р= 1, р — 2, р = 3, ... ; мы получим а2 = а1г, далее, а3 = а2а1 = а13... и, наконец, аге=а1л.
Легко видеть, что полученные таким образом выражения вполне удовлетворяют условиям (18), и следовательно, искомый ряд имеет вид:

' 1-2...п
этот ряд—сходящийся во всей плоскости, и соотношение f(z-\-z')=f(z')-f(z')
удовлетворяется при всех значениях z и z'.
Предыдущий ряд зависит от произвольного постоянного а2; обозначим функцию, соответствующую а, — 1, через ег\
так что, следовательно, общее решение предложенной задачи будет eaiZ.
Если г имеет действительное значение х, то целая функция ez совпадает с известною из алгебры показательной функцией ех, и мы имеем при всяких гиг’:
ег+г' = ez  es'.
Производная от функции ez равна этой же функции. На основании формулы сложения (17) имеем:
ех+У‘ = ех • еУ‘~,
отсюда, чтобы вычислить ег, когда, z имеет мнимое значение x-j-ji, достаточно уметь вычислять еУ‘. Собирая вместе члены одинаковой четности, мы можем представить разложение eyl в виде:
	________________^+._-У5_____________. V 1-2^1-2-3-4__________________________________________•”^Ц1	1-2-3' 1-2-3-4-5
мы видим, что в правой части находится разложение cosj и sinj, и мы имеем при дейстнительном у:
eyi = cos у -ф- i sin у.
Заменяя в предыдущей формуле eyi найденным выражением, получим: ex^yi — ех (cosj Zsiny),	(19)
— функция ex*yi имеет модуль ех и аргумент у.
Из этой формулы видно важное свойство функции ez~. если мы заменим z через z-|-2nZ, то х не изменится, г у получит приращение 2п, что не изменяет значения правой части формулы (16). Следовательно, ег+2-' = ег, показательная функция ег имеет период 2т4.
Решим уравнение ez = A, где А — какое-нибудь мнимое количество, отличное от нуля. Пусть будут р и ш модуль и аргумент количества А; мы имеем:
ex+yi = ex (cos у _]_ Zsinj) = р (cos ш 4- z sin со); отсюда:
ех = р, у = со ф- 2йп.
30	ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 265 -266
Из первого соотношения получим: х -- log р, причем знак log обозначает всегда неперов логарифм от положительного числа; что касается у, то оно имеет бесконечное множество значений, разнящихся между собою на кратное 2тг. Если Л = 0, то уравнение ех—0 невозможно. Следовательно, уравнение ег=А, где А отлично от нуля, имеет бесконечное множество корней, заключающихся в формуле log р _t (<о—f—2Агп); уравнение ег—0 не имеет ни одного корня, действительного или мнимого.
Примечание. Можно было бы также определить ег, как предел многочлена (l-f-^^npH неограниченном возрастании т. Метод, которым пользуются в алгебре для доказательства, что этот многочлен имеет пределом ряд ez, применим также и для мнимых значений z.
266.	Круговые (тригонометрические) функции. Чтобы определить sin z и cos z для мнимых значений z, мы распространим непосредственно на мнимые значения целые ряды, выведенные для действительного переменного; положим при z мнимом:
Z	Z3	,	Z5	1
sinz.	-	1.2-3	1 • 2• 3• 4- 5	• • • ’	I
1	^23	у 3 4 5	(	(20|
Функции (20) суть целые трансцендентные функции, к которым приложимы все свойства круговых (тригонометрических) функций. Так, из формул (20) видно, что производная от sin z есть cos г, производная от cos г есть —sinz; при замене z через —z функция sinz изменяется в —sinz, тогда как cosz не меняется.
Эти новые трансцендентные функции приводятся к показательной функции. В самом деле, рассмотрим разложение е?1 и соберем вместе члены одинаковой четности:
^2	/ 2	2^	\
ez‘ = 1_____|_____z_______। ; ______________f___L \ •
l-2^1-2-3-4	•',+Ц1	Ь2-3’"’/
на основании формул (20) последнее равенство можно представить в виде:
ez‘'= cos z	i sin z.
Изменяя zb —z, получим также:
e~z‘ = cos z — i sin z;
из этих двух соотношений найдем, обратно:
ez‘ + e~zi .	ег‘—е~"'
c°sz =---------, sinz=-------------.	(21)
Это — известные формулы Эйлера, приводящие круговые функции к показательной. Из них видна периодичность этих функций, так как правые части соотношений (21) не изменяются при изменении z в г-|-2тг. Возводя формулы (21) в квадрат и складывая, получим:
cos2 г sin2 z = 1.
§ 266—267 П. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ	31
Возьмем еще формулу сложения e^z+z">i — eziez'i, или
cos (z + г') -|- i sin (z Ц- г') = (cos z -f- i sin z) (cos z' -|- isin z') = = (cos z cos z' — sin z sin z') 4- i (sin z cos z' 4“ cos z sin z');
изменяя в этой формуле z в —z и z' в —z', получим:
cos (z Ц- z') — i sin (z + z') — = (cos z cos z' — sin z sin z') —; i (sin z cos z' -|-cos z sinz');
из этих обеих формул имеем:
cos (z -I- z') = cos z cos z' — sin z sin z', sin (z Ц- z') = sin г cos z' -|- cos z sin z'.
Следовательно, формулы сложения тригонометрических функций, а также все следствия этих формул распространяются и на случай мнимых аргументов. Вычислим, например, действительную часть и коэфи-циент при I в cos(x-f-ji) и sin (х -(-ji). Мы, прежде всего, имеем по формулам Эйлера:
е-у -|- еу cos yi = -------= ch у,
. . е-У — еУ . u sin y« =— ------— «shy;
затем из формул сложения получаем:
cos (х -f-yi) = cos х cosyi — sin x sin yi — cos_yx ch у — i sin x sh_y, sin (x = sin x cos yi Ц- cos x sin_yf = sin xch_y + i cosx sh_y.
Остальные круговые функции приводятся к предыдущим. Например, мы имеем: sinz 1 ег‘ — е~г1 tg z =---------------------------=-------;
cos z i tzl -j- e~zl
это можно представить иначе в виде:
1 e2zZ — 1 tg2 — Т е2г/Т~1 '
Правая часть есть рациональная функция от е2г‘; следовательно, tgz имеет период п.
267.	Логарифмы. Если дано мнимое количество z, отличное от нуля, то, как мы видели выше (§ 265), уравнение eu- = z имеет бесконечное множество корней. Пусть будет u = x-\-iy, если р и ш обозначают модуль и аргумент количества z, то должно быть:
е* = р, j = a>-|~2^1T-
Каждый из этих корней называется логарифмом от z; его обозначают через Log (г). Следовательно, мы имеем:
Log (г) = log р 4* i (ш 4- 2/гп), причем знак log обозначает обыкновенный неперов логарифм от поло
32	ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 267
жительного числа. Таким образом всякое действительное или мнимое количество, отличное от нуля, имеет бесконечное множество логарифмов, образующих арифметическую прогрессию с разностью 2п/. В частности, если z есть действительное положительное число х, то ш=0, и, взяв /г = 0, мы получим обыкновенный логарифм; но кроме него логарифм имеет еще бесконечное множество мнимых значений вида logx -j- 2/гш. Если г — число действительное и отрицательное, то можно взять ш = п; в этом случае все значения логарифма—мнимые*.
Пусть будет z' другое мнимсе количество с модулем р' и аргументом ш'. Мы имеем:
Log (?) = log р' -ф I (ш' -|- 2k!п);
складывая оба логарифма, получим:
Log (z) + Log (?) = log рр' -ф z [ш + ш' 2 (^4- k') п].
Так как рр' равно модулю количества zz', а ш -J- ш' — его аргументу, то эту формулу можно представить также в виде;
Log (г) Log (?) = Log (zz1);
отсюда видно, что, складывая какое-нибудь из значений Log(z) с каким-нибудь из значений Log (г'), мы получим в сумме одно из значений Log (£?).
Предположим теперь, что переменное z описывает в своей плоскости какой-нибудь непрерывный путь, не проходящий через начало координат; вдоль этого пути р и ш изменяются непрерывно, то же имеет место и для различных значений логарифма. Но, если г описывает замкнутый путь, то могут представиться два существенно различных случая. Если z, выйдя из точки z0, возвращается в эту точку, описав замкнутый путь, не содержащий внутри себя начала координат, то аргумент со количества z принимает свое начальное значение, и различные значения логарифма возвращаются, соответствённо, к своим начальным значениям. Если бы мы представили каждое значение логарифма точкою, то каждая из этих точек описала бы замкнутую линию. Напротив, если переменное г описывает замкнутый путь вида M0NMP (черт. 45b), то аргумент количества z возрастает на 2гс, и каждое значение логарифма приходит к своему начальному значению, увеличенному на 2ш.
Вообще, если г описывает какой-нибудь замкнутый путь, то конечное значение логарифма равно его начальному значению, сложенному с 2k.nl, где k есть целое положительное или отрицательное число; это число равно алгебраической сумме полных оборотов, сделанных радиусом-вектором, соединяющим начало координат с точкою z, в то время, когда z описывает свой замкнутый путь. Таким образом, если не наложено никаких ограничений на изменение переменного z, то нельзя рассматривать различные значения Log (г) как несколько различных функ-
"" Иногда называют главным, или приведенным, значением логарифма Log (z) то его значение, у которого коэфициент при м-имой чаши *> — - и Оно является в то же время значением с наименьшим модулем.
§ 267—268 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ	33
ций от z, так как можно перейти непрерывно от одного из этих значений к другому. Это — различные ветви одной и той же функции, переходящие одна в другую при обходе около критической точки г = 0.
Внутри области, ограниченной одною замкнутою линиею и не содержащей начала координат, каждое из значений Log (г) есть непре: рывная и однозначная функция от z. Чтобы доказать, что эта функция голоморфна, достаточно показать, что она имеет в каждой точке единственную производную. Пусть будут z и г, близкие между собою значения переменного, и Log (г) и Log(2j)— близкие значения выбранного значения логарифма; когда z2 стремится к z, то модуль разности LogYz-J — Log (г) стремится к нулю. Положим Log (2) = и, Log(?1) = «1; мы имеем:
Log (Zj) — Log (z)_ u} — и
г, — z	eUl — eu ’
—- (>u но при приближении и, к и частное -----------имеет пределом производ-
ную от еи, т. е. еи, или г. Следовательно, логарифм имеет в каждой
1 точке единственную производную, равную — .
г
Вообще, Log (г—а) имеет бесконечное множество значений, замещающих друг друга при обходе вокруг критической точки z = a; про-
изводная этой функции равна —-— . г — а
Функция гт, где т — любое число действительное или комплексное, определяется при помощи равенства:
gm — gm Log(z)
Если т не есть действительное рациональное число, то эта функция, подобно логарифму, имеет бесконечное множество значений, замещающих друг друга при обходе переменного z вокруг точки 2 = 0. Достаточно провести бесконечный разрез вдоль полупрямой, выходящей из начала координат, чтобы каждая ветвь этой функции была голоморфною функциею во всей плоскости. Производная этой функции имеет выражение:
т , . .
— ет Log(a) _ mzm -1.
2
очевидно, что следует брать одинаковые значения для аргумента количества 2 как в функции, так и в ее производной.
268.	Обратные функции: arc sin z, aretgz. Функции, обратные функциям sinz, cos2, tgz, определяются аналогичным приемом. Так, функция и = arc sin 2 определяется соотношением:
2 = sin и;
чтобы решить это уравнение относительно и, представим его в виде: eui — e~ul e2ui—1
2 ~ 2i ~ 4ieur~'
3 Э. Гурса, т. II, ч. 1.
34	ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 268
Вводя вспомогательное неизвестное U=eu‘, получим отсюда для IJ уравнение второй степени:
U2 — 2izU~ 1 — 0.	(22)
Из этого уравнения находим:
1 — A	(23)
и, следовательно,
1	г------
и — arc sin г = -т- Log (iz 4^ у 1—z2).	(24)
Таким образом уравнение z = sin и имеет два ряда корней, происходящих, с одной стороны, от двух значений корня 1—г2, с другой стороны, от бесконечного числа значений логарифма. Но, если известно одно из этих значений, то из него легко вывести все остальные. Пусть будут Z7’ = p'e‘l“' и . U" — корни уравнения (22); эти два корня связаны соотношением: U'U'~—1; следовательно, р’р" = 1, ш" = (2/i-|-1) п. Очевидно, что мы можем предположить ш"— = п--ш', и тогда будем иметь:
Log(fy’) = logp’ 4- i(<o’	2&'п),
Log(t7") = — log p' -|- i(n — o' -|- 2&''n).
Следовательно, все значения arc sin а содержатся в одной из двух формул:
arcsinz = <o' 4- 2&'п — ilogр', arcsinz = я-}- 2&"п — =ilogр'; полагая и' — ы'—zlogp', мы можем представить предыдущие равенства в виде:
arc sin г — и' -|- 2/г'тт,	(А)
arc sin z = (2k” 4~ 1) п — и'.	(В)
Если переменное z описывает непрерывный путь, то различные значения логарифма в формуле (24) изменяются, вообще, непрерывно. Действительно, единственными возможными критическими точками являются точки г =	1. вокруг которых оба значения корня р 1 —г2
взаимно перемещаются; количество Iz'A^yl—г2 не обращается в нуль ни при каких значениях z, так как, возводя в квадрат обе части уравнения ^=47)/1—z2, получаем 1—0.
Проведем два разреза вдоль действительной оси, один — от точки —оо до точки —1, и другой — от точки Ц-1 до Ц-оо- Если путь, описываемый переменным, не может переходить через эти разрезы, то различные значения arcsine суть однозначные функции переменного z. В самом деле,, если переменное z описывает замкнутый путь, не переходящий ни через один из этих разрезов, то оба корня 77' и U" уравнения (22) описывают также замкнутые пути. Ни один из этих путей не окружает начала координат; если бы путь, описываемый, например, корнем U', окружал начало координат, то этот путь пересекал бы ось Оу по край
§ 268	II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ	35
ней мере один раз в точке, лежащей над осью Ох. Но в силу соотношения (22) значению корня U вида 1а (а>-0) соответствует для пере-
1 +а2 г.	,	г
менного z значение—-------, действительное и большее единицы. Следо-
2а
вательно, путь, проходимый точкою 2, должен был бы переходить через разрез между точками 1 и -]-оо.
Далее, различные значения arcsine суть голоморфные функции переменного z *. В самом деле, пусть будут и и иу близкие между собою значения arcsine, соответствующие близким значениям z и z2 переменного. Мы имеем:
и1 — и иг~— и
Z-, — z sin и., — sin и’ .
при приближении модуля разности иг — и к нулю правая часть преды-1 ~+-1
дущего равенства имеет пределом-------— —---------. Два значения произ-
cos и у 1 — 22
водной соответствуют двум рядам значений (А) и (В) функции arcsine.
Если на изменение переменного z не наложено никаких ограничений, то можно перейти от данного начального значения arcsine к любому из значений, заставляя переменное z перемещаться по соответственно выбранному замкнутому пути. В самом деле, прежде всего очевидно, что если z описывает вокруг точки 2=1 замкнутый путь, не заключающий внутри себя точки z = —1, то оба значения корня 1—г2 взаимно переставляются, и мы переходим от значения ряда (А) к значению ряда (В). Предположим затем, что мы перемещаем z по окружности с радиусом /?, большим единицы, и с центром в начале координат; тогда обе точки U" описывают замкнутые пути. В силу уравнения (22) точке z = -|- R соответствуют два значения L7, именно, U’ = ia, U" = i$, где а и — положительны; в силу того же уравнения точке 2 =— R соответствуют значения U' — — ia.', U" — — i$r, где а’ и —также положительны. Следовательно, замкнутые пути, описываемые каждою из точек U', U", пересекают ось Оу в двух точках, расположенных по обе стороны точки О; каждое из значений Log (£/), Log (U") возрастает или уменьшается на 2ш.
Таким же образом функция arctg2 определяется при помощи соотношения tgu = z, или
_ 1 е2и‘ — 1 .
Z Т e2ui-{-1 ’
* Если мы возьмем в U=iz-\-V\—z* то значение корня, которое при г=0 обращается в -f-1, то действительная часть U остается положительною, если переменное z не переходит через разрезы, и можно положить U—Re^\ где Ф заключается между—и Соответствующее зна-
чение количестваLog (£7)
arc sin	Log (£7)=Ф — /log R
называется иногда главным значением arc sin г; оно приводится к обыкновенному значению арксинуса, если г —действительное и заключается между —1 и -|-1.
3*
36
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 268-269
отсюда имеем:	^Зи/ 1 -j-iz I — z
1 — iz / ф z' и, следовательно,	।	, _z
aretgz = -Log^—
Из этого выражения видно, что arctgz имеет две критических логарифмических точки -4- /. Если переменное z перемещается вокруг одной т Р — z\
из этих точек, то Log Н----) возрастает или убывает на 2ш, a arctgz
возрастает или убывает на тт.
269. Приложение к интегральному исчислению. Производные от определенных выше функций комплексного переменного имеют те же выражения, как и в случае действительного переменного. Обратно, правила нахождения начальных функций распространяются также и на простей-
шие функции комплексных переменных. Так, всякую функцию комплексного переменного равна f(z), будем иметь:
С Adz	А 1
J (z— а)т т — 1 (г — а)т A dz л т .
----Log(z — а
z — а
обозначая через \f{z}dz zy производная которой
0-
При помощи этих двух формул можно найти первообразную функцию от любой рациональной функции с действительными или мнимыми коэфициентами; нужно только знать корни знаменателя.
В частности, рассмотрим рациональную функцию действительного переменного х с действительными коэфициентами. Если знаменатель имеет мнимые корни, то они будут попарно сопряженными и одинаковой кратности. Пусть будут а-]-[}/ и а — сопряженные корни кратности р. Если при разложении на простые дроби мы будем поступать с мнимыми корнями так же, как с действительными, то корень а + fJ/ даст ряд простых дробей:
Mx + N,i М2 + 1^1	( Mp^-Npi
х— а — $1 ' (х — а — р/)3 ~г'‘’ ' (х— а—р^у’ корень а — р/ даст такой же ряд, в котором числители будут сопряженными с числителями предыдущего ряда. Соберем в начальной функции члены, происходящие от сопряженных дробей; мы имеем при р^>1:
С	[ Mp—Nj _
j (х— а — $i)p Х j (х — а р^У Х
=______1_ Г Mp + Npi Mp — Npi ’ =
р—1 | (х — а — piy~] ' (х— а + ^У"1
1 (Мр+^ух-а + ргу-1-]-...
Р— 1	[(х —а)2 + р2У~’
§ 269	II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ	37
причем, очевидно, числитель представляет сумму двух сопряженных мнимых многочленов. Если	то •
Г AE4-AU	(* М,— Na
\ ——----- =
Jx— а — ftr Jx— a-f-ft*
= (Mi 4-Mz‘) L°g[(*~ a) — M + (Mj — Nj) Log[(x —а) + ЭД.
Заменяя логарифмы их выражениями (§ 267, 268), получим в правой части:
411 log [(г— °)2 +• 321 аге tg —;
, ft	/ п х — а\
достаточно заменить arctg—— через [ —--------arctg——), чтобы
х — а	\ 2	р /
притти к результату, который может быть получен непосредственно, без употребления мнимых символов.
Рассмотрим еще неопределенный интеграл:
Г dx
J /Дх2Я^2вх4-С’
имеющий два существенно различных вида в зависимости от знака коэфициента А.
Вводя комплексное переменное, можно обе формулы привести к одной; в самом деле, если в формуле
[ ~7Т^ - .. =Log (х / 1 X2 )
J ]/ 1 -f-x2
мы заменим х через /х, то получим:
\	=т Log ^lx+1/1 ~ *2);
J у 1 —х2 1
здесь правая часть представляет как раз arc sin х.
Таким образом введение в интегральное исчисление мнимых символов позволяет приводить одну к другой такие формулы, связи между которыми мы не могли бы заметить, оставаясь в области действительных количеств.. Вот еще пример упрощения от введения мнимых количеств. Мы имеем при а и b действительных:
Г	+ п 
\ е<а+ь‘~>х dx — ——— = -j—, „ еах (cos bx -4- i sin Лх);
J	abi a?	b*
приравнивая между собою действительные части и коэфициенты при /, мы сразу получаем два уже известных интеграла (т. I, § 103):
f , . еах(а cos bx-У />sin£x)
I еах cos bx dx = — ---j—, „-------,
J	a2 b2 
, eax(sin/>x— bcosbx) I eax sin bx dx = —--- -j— ----- .
J	a£ p2'
38
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 269—270>.
Интегралы
§ хтеах cos bx dx,- J xmtax sin bx dx
таким же путем приводятся к интегралу xme(-a+bl>x dx, который при т целом и положительном нетрудно вычислить последовательным применением интегрирования по частям.
270. Разложение на простые элементы рациональной функции от sin z и cos г. Пусть будет дана рациональная функция Z:(sinz, cos г) от sinz и cosz. Заменим в ней sinz и cosz их выражениями по формулам Эйлера; тогда функция ^(sinz, cosz) обратится в рациональную функцию /?(/) от t~ezt. Разлагая функцию /?(/) на простые элементы, мы получим сначала целую часть и затем ряд дробей, происходящих от корней знаменателя функции /? (/). Если этот знаменатель имеет корень t = 0, то мы присоединим к целой части также и дроби, происходящие от этого корня, вследствие чего мы получим или многочлен или рациональную функцию
где показатель т может иметь и отрицательные значения.
Пусть будет t = a корень знаменателя, отличный от нуля. Этот корень даст сумму простых дробей:
f[O___ А 1_______t I А«______________
Так как корень а не равен нулю, то уравнение	имеет ко-
1	! z — я \
рень а; ----— выражается весьма просто через ctg I——I • В самом
деле, мы имеем:
.ег,--|-еа	/
= i --------, = i 1
ezl — е11	\
отсюда, обратно, получаем:
11	1 t • * (z~
t-а~ ez‘ — e^~	2е“'J?	*Ctg \ 2 /J ’
Таким образом рациональная функция /(/) обращается в многочлен
/z — а\
и-й степени относительно ctg ( —-— ) :
4/4-A’ctg —j + A/ctg2 4- •- .4-Л/ctg"	,
В -свою очередь, последовательные степени котангенса до л-й можно выразить через его последовательные производные до (л—1)-й; в самом деле, мы имеем:
rfctgz ;	1
dz sin2z
— 1 — ctg2 г; .
§ 270
II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ
39
d ctg z
с помощью этой формулы можно выразить ctg2г через —, и нетрудно доказать, что если этот закон верен для ctg"г, то он будет также верен и для ctg"+1 z. Таким образом предыдущий многочлен л-й степени (z — а\
—2~~ I обратится в линейное выражение относи-
(z — ч\
тельно ctg I —-— I и его производных:
(z — а.\ d I z — ч\	dn~i	/ z — ч \
+^ctgH~ +---+^^ctg —
Поступим также co всеми остальными корнями b, с,..., I знаменателя функции R (t), отличными от нуля, и сложим полученные результаты, заменив предварительно в (t) переменное t через ег'. Рассматриваемая рациональная функция A (sin г, cosz) будет состоять из двух частей:
/^(sinz, cos'z) = Ф	(25)
функция Ф(г), аналогичная целой части рациональной функции, имеет вид:
Ф (,z)-= Сcosmz 4- ^sin/wz),	(26)
где т — целое число, не равное нулю. Что касается Ф (z), то она аналогична дробной части рациональной функции и представляется выражением вида:
Здесь простым элементом служит функция ctg
/z — а\
I —-— I , как для ра-
циональной функции простым элементом служит дробь
С помощью такого разложения легко проинтегрировать функцию Z?(sinz, cosz); в самом деле, мы имеем:
Остальные члены интегрируются непосредственно. Чтобы начальная функция была периодическою, необходимо и достаточно, чтобы все коэфициенты С, -/Wj, АТ,, .,. были равны нулю.
40
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 270
На практике, чтобы представить функцию F(sin.z, cos г) в окончательном виде (25), не всегда бывает необходимо проходить через все эти последовательные преобразования. Пусть будет а значение переменного z, обращающее функцию F в бесконечность; простым делением
, 11
всегда можно вычислить коэфициенты при -, ----,... в ча-
z — а (г — а)2
сти, обращающейся в бесконечность при z — a. (т. I, § 179). С другой стороны, мы имеем:
, М—а\ 2	.
ctg (-?— =------ 4-P(z—а),
\ 2 j z — а
где Р (z—а) — целый ряд; таким образом, приравнивая между собою
коэфициенты при последовательных степенях ------- в обеих частях
z — а
формулы (25), мы легко найдем , М2, ... , Мп.
Рассмотрим, например, функцию ----------—; полагая e2l = t, е^‘=а,
cos z— cos а
мы представим ее в виде:
2at
a (Z21) — / (а21) ’
знаменатель имеет два простых корня t = a и /==— , и степень чи-
слителя меньше степени знаменателя. Следовательно, мы будем иметь разложение вида:
-----------= C-f- Мctg (2	Nctg ) •
cos а — cos а 1	\ 2 / 1	\ 2 /
Чтобы определить М, умножим обе части равенства на z — а и затем положим а = а; мы получим: М =	—. Точно так же най-
'	2 sin a
дем	JЗаменяя Л! и :V этими значениями и полагая z = 0,
2 sin а
будем иметь С~0; таким образом, окончательная формула будет:
1	1	[ , iz-}-a\ lz — а\*|
cos z — cos а 2 sin a[C£\ 2 ) Ct^\ 2 / J ’
Применим еще общий метод к целым степеням от sin г и cos 2. Например, / gzi -L e — zi\m
мы имеем (cosz)m~l------'---- ) ; собирая вместе члены, равноотстоящие от
крайних членов разложения числителя, и применяя формулы Эйлера, получим непосредственно:
(2 cos г)” = 2 cos mz -+ 2т cos [(zn — 2) z] -f- 2 — —— cos [(m — 4) г] •+-...
Если m — нечетное, то последний член содержит cos г; если т—четное, то •	’ j	т!
последний член разложения не зависит от z и равен	.
§ 270—271 II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ	41
Точно так же имеем при т нечетном:
(2/sin z)"» = 2/sin mz — 2im sin [(zzz — 2) z] -|- 2/ W sin [(zzz — 4) zj — ..
при m четном:
m
(21 sin z)"« = 2 cos mz — 2m cos [(zzz — 2) z] + • • • + (— 1) ?	m— .
(”')
Из этих формул непосредственно следует, что начальные функции от (sinz)"1 и (cosz)"1 будут периодическими функциями от z, если т нечетное, и притом только в этом случае.
Примечание. Если функция F(sinz, cosz) имеет период к, то ее можно выразить рационально через е^ и взять за простые элементы ctg (z — а), ctg(z —f),...
' 271. Разложение Log(l -j-z). Трансцендентные функции, которые мы только что определили, распадаются на два рода: одни, как ег, sinz, cosz, голоморфны во всей плоскости, другие, как Logz, arctgz, ... , имеют особые точки и не могут быть представлены разложениями в целые ряды, сходящимися во всей плоскости. Тем не менее, для этих последних функций существуют разложения, пригодные для некоторых частей плоскости; мы покажем это для логарифмической функции.
Простым делением мы приходим к элементарной формуле:
1	z" + 1
если | z | <2 1, то при неограниченном возрастании числа п остаточный jZZ+l
член —— стремится к нулю, й мы имеем внутри круга С с радиусом, 1 + z
равным единице:
.	= 1 — z —|—z2 — z^ —... —l)"z" + . . .
1 Т z
Пусть будет F(z) ряд, получающийся от интегрирования почленно предыдущего ряда:
этот ряд — сходящийся в круге С и представляет в нем голоморфную функцию, производная которой есть F' (z) = —. Но мы уже знаем функцию, производная которой имеет то же выражение: это Log(l -j-z) Следовательно, разность Log (1 —z)—- F(z) равна постоянному*; чтобы
* Чтобы производная аналитической функции Х+У7была равна нулю, должно быть (§ 57) дУ	дУ	дХ
=о,	=0 и, следовательно, —=0,—=0; отсюда следует, что X и Y — постоянны.Таким же
Ьх дх	ду	ду	______
образом, исходя из условий (1), легко показать, что модуль аналитической функции не может оставаться постоянным в какой-либо области, как бы мала она ни была, без того, чтобы сама функция / (а) не обращалась в постоянное.
42
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ	§ 271
найти это постоянное, необходимо точно определить выбранное значение логарифма. Если мы возьмем то значение, которое при z = 0 обращается в нуль, то во всех точках внутри круга С будем иметь:
Z Z2 .Z3	24
1 Г ‘	"4
(28)
Соединим точку А с точкою М, представляющею переменное z ^черт. 50); модуль количества
1 -J-z представится длиною r = AM, и за аргумент можно взять угол а, образуемый прямою AM с АО; если точка М остается внутри круга С, то этот тт . тг угол заключается между-%- и
Значение логарифма, обращающееся в нуль при 2 = 0, равно logr-j-ta, и формула (28) не представляет никакой неопределенности.
Изменяя в этой формуле 2 в —z и взяв разность обеих формул, получим: у ^3	<у5	\
г+т+у+->
Log,
«если в этой формуле нйе arctgz:
мы заменим z через iz, то будем иметь разложе-
arc tg z —
- г zs , z5 П У”1" У
Ряд (28) остается сходящимся во всякой точке на самом круге сходимости, кроме точки А (§ 262, выноска); следовательно, ряды
.	cos 20	cos 30	cos 40
C°S0---т + ----------4~+-”
. .	sin 20	sin 30	sin 40
sln0___ + _3--------4-+...
— оба сходящиеся для всех действительных значений 0, исключая 0 = (2Л-4-1)г. (см. т. I, § 58). По теореме Абеля сумма ряда в точке М' равна пределу, к которому стремится сумма	ряда в	точке	М, лежащей на радиусе ОМ',	при приближении М к М'. Предположим,	что 0	заключается	между —л и -f- г,;	тогда угол а
О	.	6	v
будет иметь пределом	-у, и предел	модуля AM	будет равен 2 cos	у. Следова-
тельно, мы получим:
.	0 \ д "cos 20 cos 30 cos 40
log ^2 cos-у J = cos 0----2- +-3—
0	. B sin 20 , sin 30
y = sln0------2- + ^-
Если в последней формуле мы заменим 0 через я — 0, то найдем формулу, уже выведенную раньше непосредственно (т. I, § 195).
0
§ 272	II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ	43
272. Распространение формулы бинома. Абель в своей работе, основной в теории цедых рядов, определил сумму сходящегося ряда:
, х 1 1 т । т(т — 1)	.
<₽(/п, z)=l +уг+ —\72—Z +•’•
т(т — 1) ...(/и — р-f-l)	,
1-2...р	'
(29)
при всех действительных. иди мнимых значениях т и г, при условии i z | <7 1. Эту задачу можно было бы решить при помощи диференци-ального уравнения, как это было указано для случая действительных переменных (т. I, § 174). Мы укажем здесь другой метод, представляющий применение рассуждений § 265 и ближе примыкающий к методу Абеля. Предположим, что z дано, и | z | <7 1; изучим свойства количества <р (т, г), рассматривая его как функцию от т. Если т — целое положительное число, то очевидно, что эта функция обращается в многочлен (1-J-2')'”- Если т и т'—произвольные значения параметра т, то всегда:
(р(/и, г)- <р (т1, z) = (р (т т', ’).	(30)
В самом деле, составим по обыкновенному правилу произведение обоих рядов (m, z) и ф (т1, z)', коэфициент при zp в этом произведении равен:
тР	+ тр-2тг f-..mxm^_ 1 + т’,
где для краткости мы положили
т (т —1) .., (т — A-j-1)
т/г~ 1-2 ... k ’
(31)
Функциональное соотношение (30) будет доказано, если мы покажем, что выражение (31) тождественно с коэфициентом при гр в z), т. е. с (т т')р. Можно было бы непосредственно убедиться в верности тождества:
(т + т')р = тр + тр _. 1 mJ -f-... -j- тг -}-тр',	(Д 2)
но можно и не производить вычисления, если мы заметим, что соотношение (30), наверное, удовлетворяется всякий раз, когда т и т' — целые положительные числа. Таким образом обе части формулы (32) суть целые многочлены относительно т и т', равные между собою всякий раз, когда т и т*— целые положительные числа; следовательно, эти многочлены между собою тождественны.
С другой стороны, функцию ср (т, z) можно разложить в целый ряд по возрастающим степеням количества т. В самом деле, если мы выполним в <р (т, г) все указанные произведения, то мы можем рас-
44
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 272
пг
Р
сматривать <f(m,z) как сумму двойного ряда, вычисляемую по столбцам: . , т т
(m, z) = l 4- yz- у
+ — ' 2
пг
И
т2
' 2~
т3
¥
(33>
Этот двойной ряд—-абсолютно сходящийся. В самом деле, пусть будут |z| = p и |/п1 = а; если мы заменим каждый член в (30) его модулем, то сумма членов нового ряда, стоящих в (р-|-1)-м столбце, будет равна:
а(з+1)... (а +Р-1)
1 -2 ... р р ’
а это — общий член сходящегося ряда. Следовательно, можно составлять сумму двойного ряда (30) по строкам, и мы получим для <р (т, z) разложение в целый ряд:
<f(m, г) = 1 +aj- т т2 .
В силу соотношения (30) и полученных выше результатов (§ 265) этот ряд должен быть тождественен с еа>т. Но коэфициентом при т служит
z	zP	z'^
a^-y + y-.-.-LogO+z); 1	X-	и
следовательно, мы имеем:
ф (т, z) ~ ет L°s О + г\	(34)
причем для логарифма должно взять то значение, которое обращается в нуль при г = 0. Выражение (34) обозначают также через (1 -f-z)m, но, чтобы избежать неопределенности, удобнее пользоваться выражением ет Log(l + Z)
Пусть будет т = если г и а имеют те же значения, как и в предыдущем параграфе, то
Log (1 z)  g (р- Ч-''Z) (Jog г4~fa) gfx log г — -п	()1Д —J— V log г) -|“
+ i sin (pa v log г)].
В заключение исследуем свойства ряда у(т, z) на самом круге сходимости. Пусть будет Un модуль общего члена ряда в какой-нибудь точке z на этом круге; отношение двух последовательных членов ряда модулей равно | ——1 |,т. е., если т = jx 4- ti,
У(р +1 — п)* -|-	_ j _ р4-1 (Цл),
л	л л2 ’
§ 272 -273 III. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
45
где при неограниченном возрастании п функция 0 (п) остается конечною. На основании известного признака сходимости (т. I, § 155), этот ряд — сходящийся, если |i4- 1 > 1, и расходящийся во всех остальных случаях. Следовательно, ряд (29) — абсолютно сходящийся во всех точках на круге сходимости, если и поло-
жительно.
Если |i -f- 1 отрицательно или равно нулю, то модуль общего члена никогда не убывает, так как в этом случае отношение никогда не может быть мень-
Un
ше единицы. Следовательно, ряд — расходящийся во всех точках на круге сходимости, если |i •••' — 1.
Остается исследовать случай, когда —1<ц^0. Рассмотрим член которого равен UP’, отношение двух последовательных членов
ряд, общий этого ряда
равно:
И+ 1 , Цп) 1 Р_ , _ Р(Н+ 1) , 9»(п).
п I- п2 J	п I- п2 ’
если мы возьмем р (ц + 1) > 1, то этот ряд — сходящийся. Отсюда следует, что U Р, а следовательно, и модуль Un общего члена, стремятся к нулю. Сохраним в обеих частях тождества
. <f(m, z)(l + z)= f (m + 1, z)
только те члены, степень которых меньше или равна п 4- 1; мы получим соотношение:
s, (1 + = S.-+	+	,
где Sn и Sn' обозначают, соответственно, суммы (n + 1) первых членов в <р (т, z) и в <р (т -|- 1, z). Если действительная часть количества т заключается между —1 и 0, то действительная часть количества т +• 1 положительна. Предположим, что. j z | = 1; тогда при неограниченном возрастании числа п сумма Sn' стремится к пределу е +1) Log U +z>, а дополнительный член
т(т—1)... (От —n + 1) f
1-2... п
как мы только что заметили, стремится к нулю; отсюда следует, что Sn стремится также к пределу, если только не будет 14- z = 0. Таким образом, если — l<|i=C0, то ряд — сходящийся во всех точках на круге сходимости, кроме точки z = — 1.
III. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ.
273. Геометрическое истолкование производной. Условия (2), выражающие, что P-\-iQ есть моногенная функция переменного x+iy, равносильны уравнениям (78) § 253 (т. I), встретившимся в совершенно иной проблеме. Пусть Ох, Оу — система прямоугольных осей на плоскости, OX, OY—другая система прямоугольных осей в той же или в другой плоскости. Формулы Х=Р(х, у), Y—Q(x, у) определяют точечное преобразование, ставящее в соответствие каждой точке т (х, у) первой плоскости точку М (х, у) во второй плоскости, и мы видели, что это преобразование сохраняет углы в том и только в том случае, если функции Р и Q удовлетворяют одной из двух систем соотношений:
4P	4Q ЙР__Й(?
ЙХ	йу ’ йу ЙХ ’
йр____й<2 йр_й<2
ЙХ	ЙУ ’ йу й С ’
(35)
(35 bis)
46
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 273
Первая система соотношений выражает, что P-\-iQ является аналитической функцией переменного х 1у, а вторая — что Р — IQ есть аналитическая функция от x-\-iy. Впрочем, вторая система приводится к первой с помощью замены функции Q на —Q, что сводится к тому, что преобразование второго вида может быть получено комбинацией преобразования первого вида с поворотом вокруг некоторой прямой, лежащей на плоскости. Окончательно, каждому конформному отображению плоскости на плоскость соответствует аналитическая функция и обратно.
Предполагая оси ОХ и OY, соответственно, параллельными и одинаково направленными с осями Ох и Оу, — направление вращения углов сохраняется или не сохраняется в зависимости от того, удовлетворяют ли функции Р и Q соотношениям (35) или (35 bis). Действительно, в первом случае якобиан
Д(Л Q)
О(Х, у)
выражается через
ЭР\2 pQ\2 Ъх] ' \йх/
а во втором — этому выражению должен предшествовать знак минус. Чтобы понять этот результат, следует обратиться к самому определению производной. Пусть и = X -)- Yi=f(z) — функция комплексного переменного z = x-\-yi, голоморфная в области А. Когда точка z описывает эту область А, точка (X, У)- описывает в своей плоскости область А', и мы предположим, для определенности, оси ОХ и О Y, соответственно, параллельными и одинаково направленными с осями Ох и Оу.
Пусть будут z и zy близкие между собою точки области А, и и Mj — соответствующие им точки области А'; из самого определения производной следует, что при приближении модуля разности — z
U, --и	X! , ч	е.
к нулю частное —------ имеет пределом производную / (z), каким бы
Zy — z
путем разность zy—z ни приближалась к нулю. Предположим, что-точка zy приближается к точке z, описывая кривую С, касательная к которой в точке z образует с прямою, параллельною направлению ОХ, угол а; при этом точка иА также опишет некоторую кривую С', проходящую через точку и. Исключим тот случай, когда f(z) равно нулю; пусть будут р и ш модуль и аргумент количества f’(z), г и г\— расстояния zzy и ииг, а' — угол между направлением zzA и прямою zx',. параллельною оси ОХ, и —угол между направлением ииА и пря-«1 — и	г,
мою иХ', параллельною оси ОХ. Модуль разности -4--------- равен —,
2>^ Z	Г
и аргумент равен fl* — а'. Следовательно, мы имеем соотношения:
Пгпу! = р, lim (^' — а') = <D 2kn.
§ 273 HI. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ	47
Остановимся на втором из этих соотношений; в нем можно положить k — О, так как это равносильно увеличению аргумента ш на кратное 2п. Если точка zy приближается к точке г, описывая кривую С, то а' стремится к пределу а, следовательно, и р' стремится к некоторому пределу [J, и мы имеем р = а-|-ш. Из этого равенства вытекает следующее предложение: чтобы иметь направление касательной к кривой, описываемой точкою и, достаточно повернуть на постоянный угол <о направление касательной к кривой, описываемой точкою z. Понятно, правления движения
что мы здесь считаем соответствующими друг другу те на-касательных, которые соответствуют направлениям совместного-точек z и и.
Черт. 51а.
G'
Черт. 51b.
Пусть будет D какая-нибудь другая кривая на плоскости хОу, проходящая через точку z, и [У — соответствующая ей кривая на плоскости XOY. Обозначим через у и 8 углы между соответствующими направлениями касательных к этим обеим кривым и прямыми zx' и иХ’ (черт. 51а и 51b); мы имеем одновременно:
Р = а -|- ш, § = {—<о,
и следовательно, S — [J — у — а. Кривые С' и D' пересекаются между собою под тем же углом, как и кривые С и D. Кроме того, мы видим,, что сохранилось также и направление вращения углов. Заметим, что наше доказательство неприменимо, если /(.?) = О, так как в этом случае угол [J — а не имеет определенного значения.
В частности, если мы рассмотрим в какой-нибудь из плоскостей хОу или XOY два семейства кривых, ортогональных между собою, то соответствующие им кривые в другой плоскости образуют также два семейства ортогональных кривых. Например, семейства линий Х = С, У=С и семейства линий
mod f(z) = С, argf(z) = C'	(36)>
образуют на плоскости хОу ортогональные сети, так как соответствующие им линии на плоскости XOY будут в первом случае системами прямых, параллельных осям координат, а во втором — кругами с центром в начале координат и прямыми, выходящими из начала координат.
Примеры. 1. Пусть будет г’.где число а — действительное и положительное число. Обозначим через г и 0 полярные координаты точки z, и через г' и — полярные координаты точки z'; предыдущее соотношение равносильно двум
соотношениям г'= r\ О' = а9. Таким образом мы переходим от точки z к точке z'r возводя радиус-вектор в степень а и умножая полярный угол на а. При этом значения
48
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 273
(37)
всех углов на плоскости z не изменяются кроме значений тех углов, вершины которых лежат в начале координат: все такие углы умножаются на постоянный множитель 1.
2. Рассмотрим билинейное преобразование
, az 4- b г = - — , cz + d
где а, Ь, с, d — произвольны. В некоторых частных случаях закон перехода от точки z к точке z' виден непосредственно. Рассмотрим; например, преобразование z' = z-\-b\ пусть будут z:=x-t-yi, z' — х' + y'i, In—из предыдущего соотношения имеем х' = х + а, у'=у-[-$; отсюда видно, что в этом случае переход от точки z к точке z’ совершается посредством простого переноса. Точно так же, пусть будет z' = az; обозначая через р и ш модуль и аргумент количества а, имеем г' = рг, 0':=»> + в. Следовательно, мы переходим от точки z к точке z', увеличивая радиус-вектор в постоянном отношении р и поворачивая новый радиус-вектор на постоянный угол ш. Следовательно, мы получим преобразование, определяемое формулою z’— az, соединяя преобразование подобия с вращением. Рассмотрим, наконец, соотношение
, 1 z =—;
z
«охраняя за г, в, г', в' их прежние значения, получим rr'.= \, O-j-O’^O. Следовательно, произведение радиусов-векторов равно единице, тогда как полярные углы равны, но противоположны по знаку. Пусть нам дан круг С с центром А и радиусом В\ мы будем называть инверсией относительно круга С преобразование обратными радиусами-векторами с полюсом А и модулем /?2. Из предыдущего видно, что мы получим преобразование, определяемое формулою zz' =1, выполнив сначала инверсию относительно круга с радиусом, равным единице, и с центром в начале координат и взяв затем точку, симметричную с полученною точкою относительно оси Ох.
Самое общее преобразование вида (37) может быть представлено как соединение рассмотренных выше частных преобразований. Если с =0, то преобразование (37) можно заменить последовательными преобразованиями:
a , b
^=~dX’ z
•если же с отлично от нуля, то, выполняя деление, получим:
, a be - ad z — — "Ь .-> — j » с c2z -г cd
и рассматриваемое преобразование может быть заменено последовательностью преобразований:
' d „ 1
Zi=z+~, Z.2 = c2z1, Z3— -, c	z2
Zi^=[bc — ad)z3, z=:z4 + y.
Все эти частные преобразования сохраняют углы и направление вращения и изменяют круги в круги; следовательно, тем же свойством обладает и общее преобразование (37); поэтому оно называется круговым преобразованием. Заметим, что здесь должно рассматривать прямые линии, как окружности с бесконечно большим радиусом.
3. Пусть будет
z' = (z — e^nh (z — а2)"Ч... (z — ер) тр,
где е{, е2, ... , ер — произвольные количества, и показатели -т,, т2.тр —
действительные положительные или отрицательные числа. Пусть будут М, Et, Е2, ... , Ер точки, представляющие, соответственно, количества z, et, е2.ер;
О, гз> , гр — расстояния MEt, МЕ2, ...,МЕр и в4, в2, ... , в — углы, образуемые направлениями EiM, Е.2М....... ЕрМ с прямыми, параллельными оси Ох.
§ 273—274 III. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 49
Модуль и аргумент количества z’, соответственно, равны ... гртр и т,01 -)--f- та02 + • • • + тр®р I следовательно, семейства линий
... гртр = С, т4в4	. •+ Мр^р = С
образуют ортогональную сеть. Если показатели т{, гщ......тр—числа рацио-
нальные, то эти кривые — алгебраические *. Например, если р—2, т1 — т2=1, то одно семейство состоит из двуфокусных кассиноид, а другое — из равносторонних гипербол.
274. Теорема Римана. Рассмотрим в плоскости переменного z область А, ограниченную одним контуром (или, что то же, простым контуром), и в плоскости переменного и круг С. Риман доказал, что существует аналитическая функция u = fiz\, голоморфная в области А и такая, что каждой точке области А соответствует точка круга и, обратно, каждой точке круга соответствует одна и только одна точка области А. При этом функция /(z) зависит от трех действительных произвольных постоянных, которыми можно располагать таким образом, чтобы центр круга соответствовал определенной точке области А и произвольно выбранная точка на окружности соответствовала определенной точке контура области А. Мы не будем приводить здесь доказательства этой теоремы, а рассмотрим лишь несколько примеров.
Заметим, что круг С можно заменить полуплоскостью. В самом деле, предположим, что в плоскости и окружность С проходит через начало координат; выполнив преобразование и' = —, мы заменим эту окружность прямою, а самый круг—частью плоскости и', расположенною по одну сторону этой прямой, неограниченно продолженной в обоих направлениях.
1
Примеры. 1. Пусть будет u — z’1, где а действительно и положительно; рассмотрим часть А плоскости, заключающуюся между направлением Ох и бесконечною полупрямою, выходящею из начала координат и образующею с Ох угол аг. (а ss;2). Пусть будут z = re‘\ u = Re‘^; мы имеем:
R = г \ <о = -1. а
Если точка z описывает часть А плоскости, то г изменяется в .границах от О до оо , и 0 — от 0 до ап; следовательно, R изменяется от 0 до оо , и <о — от О до п. Таким образом точка и описывает полуплоскость над осью ОХ, и каждой точке этой полуплоскости соответствует только одна точка области А, так как, обратно, имеем r= R«, 0 = ам.
Рассмотрим еще часть В плоскости z, ограниченную двумя пересекающимися дугами кругов. Пусть будут точки пересечения; если мы выполним сначала преобразование
то область В преобразуется в область А плоскости z', заключающуюся между двумя бесконечными радиусами, выходящими из начала координат; в этом можно убедиться, заметив, что вдоль дуги круга, проходящей через точки z0, zt, аргумент количества z ~ Zq сохраняет постоянное значение. Применяя затем преды-z— zt
1
дущее преобразование u — (z')x, мы видим, что при помощи функции
1
* По поводу этих кривых см. G. D а г b о и х, Principes de Geom£trie analytique; Paris, Gau-thier-Villars, 1917, p. 152-159.
А Э. Гуюа, т. II, 4. 1.
50
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 274
при соответствующем выборе числа а можно выполнить конформнее преобразование области В на полуплоскость.
2. Пусть будет h = cosz. Предположим, что z описывает бесконечную полосу R, или АОВА' (черт. 52). определяемую неравенствами 0 <х sgiz, у найдем область, описываемую точкою и = Х~у YI. Мы имеем здесь (§ 266):
еу + е~у
X = cos х —2-------= cos х У’
— е~~у
У = — sin х-----2-----— — sin х sh у.
(38)
При изменении х от 0 до я количество У постоянно отрицательно, и потому точка и остается в полуплоскости, расположенной под осью Х'ОХ. Следовательно,
каждой точке области R
соответствует точка полуплоскости и; если
точка z ле-
жит на контуре области R, то У= 0, так как один
из двух множителей sinx или shy равен нулю. Обратно, каждой точке полуплоскости и. расположенной под оськ> ОХ, соответствует одна и только одна точка полосы /? в плоскости z. В самом деле, если z' есть корень уравнения и = cos z, то все остальные корни содержатся в фор-муле 2£г. ± z'. Предположим, что у количества z' коэфи-циент при i положителен; тогда точкам полосы R могут соответствовать только корни 2fct -р z', так как все точки Iktt — /лежат под осью Ох.
Из точек 2йя + z' всегда есть одна, которая лежит в полосе R. В самом деле, среди точек 2fot 4- z' всегда есть одна, абсцисса которой заключается между 0 и 2л; но эта абсцисса не может заключаться между я и 2л, так как в этом случае было бы sin х < 0 и соответствующее значение количества У было бы положительным. Следовательно, эта точка лежит в полосе R.
Из формул (38) легко видеть, что если точка z описывает внутри полосы R прямолинейный отрезок, параллельный оси Ох, то точка и описывает половину эллипса. Если же точка z описывает прямую, параллельную Оу, точка и описывает половину ветви гиперболы. Все эти конические сечения имеют общие фокусы в точках С и С на оси ОХ с абсциссами — 1 и -f-1.
3. Пусть при действительном и положительном а
tzz
Z = ?a.
Полагая 2—х -f- ly, имеем:
~Х
|Z| = e2a, argz=^
Когда точка z описывает бесконечную полосу, ограниченную двумя прямыми у = ±в, модуль \Z\ изменяется между 0 и -)- оо, a arg Z—между —у и + Следовательно, точка Z описывает полуплоскость, расположенную справа от оси ОУ. Обратно, каждой точке этой полуплоскости отвечает единственное значение х и единственное значение у, заключенное между — а и -f- а.
Далее, если мы положим:
§ 274-275 III. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 51
то легко видеть, что и опишет в своей плоскости круг единичного радиуса с центром в начале координат, когда точка Z опишет полуплоскость справа от OY. Следовательно, комбинация этих обоих преобразований позволяет осуществить конформное отображение на круг бесконечной полосы, заключенной между двумя параллельными прямыми *.
275. Изотермические линии. Пусть будет U(х, у) решение уравнения Лапласа
л дЮ . дЮ _	,qQ4
д,у=т?+'»>=0;	(3”
линии, представляемые в плоскости хОу уравнением
U(x, у) = С,	(40)
где С—произвольное постоянное, образуют семейство изотермических линий. Ко всякому решению U(х, у) уравнения Лапласа можно присоединить другое V (х, у) такое, чтобы U + Vi было аналитическою функциею переменного х-\- yi. Из соотношений
dU__dV dU__dV йх ду ду йх
следует, что семейства изотермических линий
U(x,y) = C, V (х, у) = С
ортогональны, так как угловые коэфициенты касательных к кривым С и С, соответственно, равны
_dU ди _~ду\ду дх ду йх ду
Следовательно, ортогональные траектории семейства изотермических линий образуют другое семейство изотермических линий. Эти два семейства называ' ются сопряженными. Мы получим все сопряженные системы изотермических линий, рассматривая произвольную аналитическую функцию /(z) и беря линии, для которых действительная часть функции / (z) или коэфициент при i сохраняют постоянное значение. Линии, для которых модуль R или аргумент й функции /(z) остаются постоянными, образуют также две сопряженные системы изотермических линий, так как действительная часть аналитической функции Log|/(z)] равна log R, а коэфициент при i равен й.
Точно так же мы получим системы изотермических линий, рассматривая линии, описываемые точкою (A, Y), где f(z) = X + iY, и х или у имеют постоянное значение. В самом деле, для доказательства достаточно рассмотреть, обратно, х + iy как функцию от X -|- iY. Вообще, всякое преобразование между точками двух плоскостей, сохраняющее значение углов, изменяет семейство изотермических линий в новое семейство изотермических линий. Пусть будут
1 х = р (х', у’), y=-q (х', у’)
формулы преобразования, сохраняющего значение углов, и Fix', у')— результат замены переменных х и у в U(x, у) через р (х', у') и q (х', у'). Задача приводится к доказательству того, что F(x', у') есть решение уравнения Лапласа, если U(х, у) есть решение уравнения Лапласа. Доказательство не представляет никакого затруднения (см. т. I, гл. III, упражнение 8), но теорему можно доказать и без всяких вычислений. В самом деле, мы можем предположить, что функции р(х', у’) и q(x, У) удовлетворяют соотношениям:
др  dq	др _ dq
дх'	ду' ду' дх'
* Точки z = х + iy. для которых 1« ] < о < 1, заключены между двумя параллельными пря-2д , i \ р \
мыми z = ± — log I j-2-r 1. (Caratheodory.)
4*
52
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 275
так как очевидно, что преобразование по симметрии изменяет семейство изотермических линий в новое семейство изотермических линий. При таком предположении функция х iy = р + iq есть аналитическая функция переменного г'= = х' 4- iy', и U 4- IV после подстановки обращается также в аналитическую функцию F(x', у') 4- 7Ф(х’, у') того же переменного «'(§ 259). Следовательно, семейства линий
F(x',y') — C, Ф(х',у')=С'
образуют новую ортогональную сеть, состоящую из двух сопряженных семейств изотермических линий.
Например, концентрические окружности и радиусы этих окружностей образуют два семейства сопряженных изотермических линий; в этом можно убедиться непосредственно, рассматривая аналитическую функцию Log г. Выполнив преобразование обратными радиусами-векторами, мы получим систему изотермических линий, состоящую из окружностей, проходящих через две данные точки. Сопряженная система также состоит из окружностей.
Точно так же софокусные эллипсы образуют изотермическую систему. В самом деле, выше мы видели, что точка и = cosz описывает софокусные эллипсы, если точка z описывает прямые, параллельные оси Ох (§ 274). Сопряженная система состоит из софокусных и ортогональных гипербол.
Примечание. Для того чтобы семейство линий, представляемых уравнением Р(х, у)—С, было изотермическим, нет необходимости, чтобы Р(х,у) было решением уравнения Лапласа. В самом деле, очевидно, что эти линии можно представить также уравнением <р [Р (х, _у)] = С, какова бы ни была функция <р, и достаточно, чтобы эту функцию <р можно было выбрать в такой форме, чтобы
U(x, у) = ?(Р)
было решением уравнения Лапласа. Производя вычисление, находим, что в таком случае:
dpiL \йх/ + \йу / J + dPwйуМ
следовательно, нужно, чтобы отношение
Й*Р Й’Р
йх ' Й_у -
/ЙР\2 . ZdP\2 (йх) + (й>)
зависело только от Р, и, если это условие выполнено, функция <р находится с помощью квадратур.
УПРАЖНЕНИЯ.
1.	Определить аналитическую функцию f(z)—X-\-iY с действительной частью Л, равною:
2 sin 2х е1у 4- e~iy — 2 cos 2х ’ решить ту же задачу в предположении, что предшествующей функции равна сумма X 4- Y.
2.	Пусть будет р)=0 тангенциальное уравнение действительной алгебраической кривой, т. е. условие, чтобы прямая у = тх-\- р была касательною к этой кривой. Доказать, что корни уравнения о (z, — iz) — G суть аффиксы действительных фокусов этой кривой.
УПРАЖНЕНИЯ
53
3.	Показать, что если р и q - взаимно простые целые числа, то выражения (? г)” и zp равносильны. Что будет, если р и q имеют общий наибольший делитель d > 1?
4.	Найти модуль и аргумент количества ех+У‘, рассматривая его как предел многочлена ( 1 Ч--1 при неограниченном возрастании целого числа т.
5.	Вывести формулы:
cos а -|- cos (а + Ь) + ... -|- cos (а + nb)
sin а + sin (а + Ь) -|- ... -j- sin (а + nb) =
6.	Определить конечное значение функции arc sin z, когда переменное z описывает прямолинейный отрезок между точками 0 и 1 -f- i, причем за начальное значение arc sin z принят 0.
7.	Пользуясь формулою (12) (§ 262):
Д2	fan
доказать, что целый ряд есть непрерывная функция переменного.
[Для доказательства следует взять соответственную усиливающую функцию для ряда в правой части.]
8.	Вычислить интегралы
cos bx dx, у sin bx dx,
ctg (x — a) ctg (x — b)... ctg (x — [) dx.
9.	Рассмотрим в плоскости хОу замкнутую кривую С, имеющую любое число двойных точек; установим на ней некоторое определенное направление обхода и припишем каждой области плоскости, определяемой этою кривою, числовой ко^фи-циент по правилу § 93 (т. I). Пусть будут R и R' две пограничные области, разделяемые дугою ab контура, описываемою в направлении от а до Ь; тогда коэфициент области, расположенной влево от ab, будет на единицу больше коэфи-циента области, лежащей вправо от ab, причем область вне контура С имеет коэфициент нуль.
Пусть будет z4 точка в одной из этих областей, a N—коэфициент, соответствующий этой области. Доказать, что 2Аг. представляет изменение аргумента количества z — z0, когда точка z описывает кривую С в установленном направлении обхода.
10.	Доказать из рассмотрения разложения Log	на кРУге сходимости,
что сумма ряда
sin 0 sin 30 sin 50	sin (2л+1)0
-Г-+-3-+ — + -+4«T1+-
равна + -3-, если sin 0 > 0, и —если sin 0 < 0 ^см. т. I, § 195).
11.	Исследовать линии, описываемые точкою Z=z3, когда точка z описывает прямую линию или окружность.
54
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
С-
12.	Доказать, что при помощи соотношения 2Z=z + — можно отобразить конформно область, заключающуюся между двумя софокусными эллипсами, на круговое кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями.
[Для доказательства возьмем, например, решение z = Z-|-]/Z2 —с2 и, проведя в плоскости Z прямолинейный разрез (—с, -I- с), условимся брать для корня положительное значение, если Z действительно и больше, чем с.]
.	, az b
13.	Показать, что всякое круговое преобразование z —--равносильно
cz 4* а
четному числу инверсий. Обратная теорема.
14.	Показать, что всякое преобразование, определяемое соотношением . azn -I- b
z’ = —-----, где z0 есть мнимое количество, сопряженное с г, равносильно не-
cz., + d
четному числу инверсий. Обратная теорема.
15.	Преобразования Фукса. Всякое круговое преобразование z'— cz -г- d ' где а, Ь, с, d—действительные числа, удовлетворяющие условию ad — Ъс=\, переводит всякую точку г, лежащую над осью Ох, в некоторую точку z’ той же полуплоскости.
Относительно всех этих преобразований определенные интегралы
Г ]/dx2 -|- dy2 Г Г dx dy
J у ’ J J у2
являются инвариантами.
Рассматриваемое преобразование имеет две двойных точки, соответствующих корням а и {5 уравнения cz2 4- (d — a)z — b = Q. Если аир действительны и , az 4- b	„ .
различны, то уравнение z =	& можно представить в равносильной форме:
z'— а z — а где k действительно; в этом случае преобразование называется гиперболическим. Если а и — сопряженные мнимые количества, то уравнение можно представить в виде:
z’ — a, . z — a ,---,
z — fl z — fl
где <o действительно; это—эллиптическое преобразование. Наконец, если [1 = а, то мы получим:
—------—------------F k,
z — а z — а
где а и k действительны; в этом случае преобразование называется параболическим.
16.	Пусть будет z' = f(z) преобразованием Фукса. Положим
Zj=y(z), Zi — f{z{), ... , zn=fOn-C)-
Показать, что все точки z, z,, z2..zn лежат на окружности. Исследовать,
стремится ли точка zn к предельному положению при неограниченном возрастании числа п.
17.	Пусть Т означает треугольник, имеющий вершинами точки 4-1, — 1 и произвольную третью точку г. Через начало координат проводим прямую, параллельную внутренней биссектрисе угла при вершине г, на которой наносим по ту и по другую сторону от начала два отрезка длиною каждый j/| z — 1 ] • | z 4- 1 |. Показать, что концы обоих отрезков представляют два значения корня j/z2 - 1.
Что получится, если заменить внутреннюю биссектрису на внешнюю биссектрису?
УПРАЖНЕНИЯ
55
18.	Найти аналитическую функцию Z=f(z}, с помощью которой можно перейти от меркаторской проекции к стереографической.
19*. Если | q | < 1, то мы имеем тождество:
(1 + (! + Л . (1 + ... = •
[Эйлер.]
[Чтобы доказать это тождество, преобразуем бесконечное произведение в левой части в двойное бесконечное произведение, расположив в первой строке множители 1 + <?, 1 + q\ 1 + qi, ... , 1 + qin, .... во второй строке — множители 1 + q3, 1 + qs, , 1 + (q:‘)in, .... и затем применим формулу (16) (§ 264).]
20.. Разложить по степеням количества z бесконечные произведения:
F (z) = (1 -Ь xz) (1 + x2z) ... (1 + x"z) ... ,
Ф(г) = (1 +xz)(l + X3z) ... (1 +x2« + iz) ...
[Для решения этой задачи можно, например, воспользоваться соотношениями
F {xz) (1 -I- xz) = F (z), Ф (x^z) ( 1 + xz) = Ф (z).]
21*. Предполагая, что J x J < 1, вывести формулу Эйлера:
(1 — x) (1 — x2)(l— x’)... (1 — x") ... =
Зла— n Зл’Ц-л
= 1 — X — X2 + x3 — x7 + X*2 — . . . + X Z —X 2
[См. Ж. Бертран, Calcul differentiel, стр. 328.]
22. Сделаем стереографическую проекцию шара с радиусом, равным единице, на плоскость его экватора, причем возьмем центр проекции в одном из полюсов. Каждой точке М шара соответствует комплексное число s = x -у iy, где хну суть прямоугольные координаты проекции т точки М относительно прямоугольных осей, лежащих в плоскости экватора и имеющих начало в центре шара. Диаметрально противоположным точкам шара соответствуют комплексные 1 числа s и------, где — число, сопряженное с 5.
Всякое линейное преобразование вида:
где fa0 + 1 = 0, определяет вращение шара вокруг диаметра. Группам вращений, приводящим правильный многогранник к совпадению с самим собою, соответствуют группы конечного числа линейных подстановок вида (А).
[См. Клейн (Klein), Das Jkosaeder, стр. 32.]
ГЛАВА XIV.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО КОШИ.
I. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ.
276. Определения и общие положения. Теперь мы обратимся к систематическому изучению аналитических функций и проследим, какие следствия вытекают из самого их определения. Напомним, что функция f(z) называется голоморфною в области А, если: 1) каждой точке z области А соответствует определенное значение функции /(г); 2) непрерывному изменению переменного z соответствует непрерывное изменение значения /(г); 3) для всякой точки г области А отношение
/(?+&)-/(г)
h
стремится к некоторому пределу f (г), когда модуль количества У стре-
мится к нулю.
Рассмотрение определенных интегралов, когда переменное пробегает ряд мнимых значений, было введено в анализ Коши *; оно служит
точек £2, ... , £п, причем смотрим сумму
источником новых плодотворных методов.
Пусть будет / (г) функция переменного z, непрерывная вдоль дуги кривой АМВ (черт. 53); отметим на этой дуге некоторой число точек деления г0,	z2, ... zn_1, z'r
следующих одна за другою в порядке возрастания указателей, когда точка z описывает дугу АМВ в направлении от А до В; пусть точки г0 и z’ совпадают с концами дуги А и В.
Возьмем затем на дуге АВ второй ряд точка лежит на дуге zk_^zk, и рас-
— z0) +/(У (г2-г.) + ...	(z.-z^) + ...
* яМёто1ге sur les integrates definies prises entre des limit s imaginaires“, 1825. 9jot мемуар переиздан в VII и VIII томах Bulletin des Sciences math^matiques (1-я серия).
§ 276	I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	57
Если число точек деления гг, гп_г неограниченно возрастает и притом так, что модули всех разностей г, — z0, z2—z„ ... делаются меньшими всякого п оизвольно выбранного положительного числа, то-сумма S стремится к некоторому пределу; этот предел называется определенным интегралом от функции f(z) вдоль дуги АМВ и изображается символом:
j fzdz.
АМВ
В самом деле, отделим в сумме S действительную часть от коэфи-циента при /; пусть будут
/(г) = АГ4-Г/,	+
причем функции X и Y непрерывны вдоль АМВ.
Собирая вместе соответственные члены, мы можем представить сумму S в виде:
5=[Х('1, Ч1)(Х1 —х0)+...	r^(xk— xA_n)4- ...
...+X(S„,	Ч1)
+	у»-]) + • • •]-H’ьИл—Jo)+---1 +
+ '[^(Sp	x0)-|- ...].
При неограниченном возрастании числа подразделений сумма членов; в каждой квадратной скобке имеет пределом криволинейный интеграл, взятый вдоль дуги АМВ, и предел суммы S равен сумме четырех криволинейных интегралов *:
j f(z)dz = j* (Xdx — Ydy)-\- i f (Ydx -|- Xdy).
АМВ	’АМВ	AMB
Из этого определения интеграла по мнимому переменному непосредственно следует, что
J /(3)^-|-J f(z)dz = 0.
АМВ	ВМА
Часто бывает нужно знать верхнюю, границу модуля интеграла.. Пусть будет $ длина дуги AM, L — длина дуги АВ, вк_г, sk, ак— длины дуг Azk_v Azk, At,k пути интегрирования.
* Чтобы избежать ненужной сложности в доказательствах, мы предположим, чго координаты (х,у) точек дуги АМВ суть непрерывные функции х = ср (/), у = ф (/) параметра /, имеющие между А н В только конечное число максимумов и минимумов. В этом случае можно разбить путь интегрировании на конечное число дуг, каждая; из которых представится или уравнением вида у — F(x)r где функция F непрерывна между соответствующими пределами, или уравнением вида х = G (Д')-В этом rip-дположенин нет никакого неудобства, так как во всех приложениях выбор пути интегрирования всегда допускает известную степень произвола. Впрочем, было бы достаточно предположив, что функции 6(/) и ф (/) — с о<раниченным изменением, тогда кривая АМВ будет спрямляемою (т. 1, § 79, подстрочное примечание).
58
ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 276—277
Полагая F(s) = /(г)|, имеем:
|/(Q	- zk^) | = P(a*) | zk — гк_г | F (3*) (s* — sk_.),
так как \zk — zk^ | представляет длину хорды, a (sk — 5>_1) — длину дуги. Следовательно, модуль суммы S не больше суммы ^F(zk)
и, переходя к пределу, получим:
L
АМВ	О
Пусть будет М верхняя граница модуля функции f(z) вдоль дуги .АВ. Очевидно, что модуль интеграла в правой части меньше /ИЛ, и :мы имеем, a fortiori:
f{z) dz | < ML.
277. Замена переменных. Рассмотрим тот случай, часто встречаю-щийся в приложениях, когда координаты х, у точек дуги АВ суть непрерывные функции переменного параметра t, x = у = ф(7), шмеющие непрерывные производные (/), 'У (0; предположим, что при .изменении t от а до 0 точка (х, у) описывает путь интегрирования в направлении от А до В. Пусть будут Р(1) и Q(t) функции параметра t, в которые обращаются функции X и Y, если мы заменим « них х и у, соответственно, через <р(/) и ф(г). По формуле замены шеременных в криволинейных интегралах (т. I, § 91) имеем:
Р
X dx — Ydy = j [Р (/) (t) — Q (/) ф' (/)] di, АВ	а
Р
Ydx= [ [Р (/) ф'(/) 4-Q (Ц у (/)] dt.
АВ	"а
Сложим оба равенства, умножив предварительно обе части последнего на г; мы будем иметь:
Р
J/(г) dz = f[P(/) + i Q (г)] [у (t) -j- гф' (/)] dt.	(1)
АВ	а
Это тот же самый результат, который мы получили бы, если бы •применили к интегралу ^f(z)dz формулу замены переменных, выведенную для случая действительных функций и переменных: чтобы иметь новый интеграл, достаточно заменить в f(z)dz переменное z через мр (/) 4~гф(£) и dz через [(/(Г)-)-г ф'(г)] d/. Таким образом вычисление интеграла \f(z)dz приводится к вычислению двух обыкновенных инте-
§ 277	- I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ	59
градов. Если путь АМВ состоит из нескольких дуг различных кривых, то предыдущую формулу следует применить к каждой из этих дуг
отдельно.
Рассмотрим, например, определенный интеграл
—. Этот интеграл z2
нельзя вычислять вдоль действительной оси, так как подинтегральная функция обращается в бесконечность при z = 0, но можно итти любым путем, не проходящим через начало координат. Будем перемещать почку z по полуокружности с радиусом, равным единице, и с центром в начале координат; для этого всего проще положить z — etl и изменять t от п до 0. Мы будем иметь:
о
sintdt — — 2;
о
это—тот же результат, какой мы получили бы, применяя основную формулу интегрального исчисления к начальной функции---------(т. I, § 75).
Вообще, пусть будет z = <р (и) непрерывная функция другого комплексного переменного и = Е 4- т,Z, такая, что, когда и описывает в своей плоскости путь CND, то переменное z описывает дугу А МВ. Точкам разбиения дуги АМВ соответствуют на дуге CND точки разбиения щ, и{, и2, ... ,	... , и'. Если функ-
ция <р (w) имеет вдоль дуги CND производную то
zk — zk-i uk — uk-i
= f'
причем стремится к нулю, когда ик стремится к ufc_i, оставаясь на кривой CND. Вернемся к рассмотренной выше сумме S; взяв Zk-i=zk~l и заменяя разность гк— гк_{ ее значением, выведенным из предыдущего равенства, мы можем представать S в виде:
п	п
•S =2/Сгл-1) 7'	— uk-i) + S	(“л — “й-i)-
Й=1
Первая сумма в правой части имеет пределом определенный интеграл
(«)] du.
CND
Что касается второй суммы, то ее модуль меньше, чем где г| — положительное число, большее всех модулей | ек |, и L’ — длина дуги CAT). Если можно взять точки разбиения настолько близкими одна к другой, чтобы все модули | гк | были меньшими произвольного положительного числа, то этот дополнительный член стремится к нулю, и мы имеем общую формулу замены переменных:
f (z) dz = \ f [T (u)J T' (u) du.	(2)
AMB	CND
Эта формула применима всякий раз, когда функция ? (и) — голоморфна; в са-
60 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 277—278 мом деде, ниже будет доказано, что производная голоморфной функции есть также голоморфная функция (см. § 284) *.
278. Формулы Вейерштрасса и Дарбу. Доказательство формулы среднего значения (т. I, § 73) опирается на некоторые неравенства, которые не имеют места в случае мнимых количеств. Однако Вейерштрасс и Дарбу пришли в этом направлении к интересным результатам, рассматривая интегралы, взятые вдоль отрезка действительной оси. Выше мы видели, что и случай произвольного пути можно привести к этому частному случаю при некоторых весьма общих предположениях относительно пути интегрирования.
Пусть будет / определенный интеграл следующего вида:
з
/=J/(0 [<₽ +
а
где f(t), ср (/), Ф (/)— действительные функции действительного переменного t, непрерывные в промежутке (а, очевидно, что из самого определения интеграла^следует, что
3	3
а	а
Для определенности предположим, что тогда разность t — а представит длину пути интегрирования, измеряемую от начала этого пути, и общая формула для верхней границы модуля определенного интеграла будет иметь вид:
3
[|/(ОМ + Ж0]|^-
♦ Действительно, пользуясь этим последним свойством голоморфных функций, нетрудно доказать следующее предложение:
Пусть будет / (г) функция, голоморфная в конечной части А плоскости (включая границу). Тогда для всякого положительного числа е можно найп.и такое положительное число т], чтобы было
|Л£±Л)_д£)_/,(^<£)	(а>
если расстояние | h | между точками z и z~\-h области А меньше числа rt.
В самом деле, пусть будет / (г) = Р (х, у)^ iQ(x,y), h = Ьх by. На основании выводов, полученных при определении условий существования единственной производной (§ 257), имеем:
/(г + Л)— f(z)	[Р Цх+б'Дх, j) — Р '(х, _у)]Дх
-------------г(г) =-------------------------- +
[Р f (х + Дх, _и + 0 Ду) - Р ' (х, j)] Ду ч—--------------------г----------1_
Г	Дх-j-zAj	“
Так как производные Р xf, P^f, QJ непрерывны в области А и на границе, то можно найти такое число тд, чтобы в предыдущем равенстве модули коэфициентов при Дх и Ду были меньшими —, если УДх2-)- Ду«< т(. Следовательно, неравенство (А) будет иметь место, если | h | < тд. Таким
образом, если функция <р (и) голоморфна, то все модули j ejg | будут меньше данного положительного числа е, если только расстояние между двумя соседними точками разбиения дуги CND оудет меньше соответствующего числа гь и формула (2) доказана.
§ 278
I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
61
Если, кроме того, между а и функция /(/) положительна, то
I/| J7(0 I? (О + i Ф (О I dt, а
или, применяя к этому новому интегралу формулу среднего значения и обозначая через $ некоторое значение переменного t, заключающееся между а и
3 |/|<|<р(=) + гф($)|
а
Полагая F(t) = y (/) -|- /ф (О, мы можем представить иначе этот результат в виде:
Z = XF(;)	(3)
а
где К — комплексное число, модуль которого меньше или равен единице, это — формула Дарбу.
Вейерштрасс дал более точное выражение, которое можно связать с одною из основных задач статики. Предположим, что при возрастании t от г до точка с координатами х = <₽(/), y = ty(t) описывает некоторую дугу кривой L. Пусть будут (х0, _у0), (хг _уп), .. . ... , (хА_р ук_^), ... точки дуги L, соответствующие значениям a, tA, ... . ..,	параметра t. Положим:
yMJ/OWJ
Wk tfl-l)
у S Ф	^-l)
S (^*-1) Wk ^k-т)
На основании известной теоремы статики X и У суть координаты центра тяжести системы масс, находящихся в точках (xu, у0), (хр J'j),.. . _____ (Xk_1, Y^) линии L, причем в точке (хк_Л, ук_г) помещена масса	Очевидно, что этот центр тяжести должен ле-
жать внутри всякого замкнутого выпуклого контура С, окружающего линию L. При неограниченном возрастании числа промежутков точка <(Х, У) имеет пределом точку (и, v) с координатами:
' ₽ ₽ .
а	а
62 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 278—279> которая также находится внутри контура С. Обе эти формулы можно соединить в одну:
J = (иiv) f(t) dt = Z ^f(t)dt,	(4)
а	а
где Z—аффикс некоторой точки, лежащей, внутри всякого замкнутого выпуклого контура, окружающего линию L.
Очевидно, что в общем случае множитель Z Вейерштрасса может изменяться в более тесной области, чем множитель Дарбу.
279. Интегралы по замкнутому контуру. В выводах предыдущих параграфов было достаточно предполагать, что функция /(г) комплексного переменного z непрерывна на всем пути интегрирования. Мы теперь предположим, сверх того, что функция f(z) — аналитическая, и прежде всего посмотрим, как влияет на значение определенного интеграла путь, описываемый переменным при переходе от А до В.
Если функция f(z) голоморфна внутри замкнутой линии и на. самой этой линии, то интеграл ^f(z)dz, взятый вдоль этой линии, равен нулю.
Для доказательства этой основной теоремы, принадлежащей Коши,, мы покажем сначала несколько лемм.
1. Интегралы J* dz, j z dz, взятые вдоль любой замкнутой линии, равны нулю. В самом деле, по самому определению интеграла интеграл f dz, взятый вдоль любого пути между точками а и Ь, равен Ь — а\ если путь — замкнутый, то этот интеграл равен нулю, так каю в этом случае Ь = а. Найдем теперь значение интеграла \zdz, взятого-вдоль любого пути, соединяющего точки а и 6; взяв в выражении для А' § 276 один раз С/! = 2Д,_1, а другой = мы можем представить этот интеграл как предел суммы:
—ур,2х1 —г,-2 tA — a-i'
2	~£j	2	~	2
i
если путь — замкнутый, то этот интеграл также равен нулю.
2. Если мы разобьем область, ограниченную каким-нибудь контуром С, произвольными секущими линиями, то сумма интегралов f z) dz, взятых в одном и том же направлении вдоль контуров всех этих частей, равна интегралу ^f(z)dz, взятому вдоль всего контура С. В самом деле, очевидно, что каждая часть проведенных вспомогательных линий разделяет две пограничные области и потому должна быть проходима дважды в противоположных направлениях. Следовательно,
279
I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
63-
по сложении всех этих интегралов останутся только интегралы, взятые вдоль частей контура С, и их сумма равна интегралу \f<z)dz.
'с
Разобьем теперь область А, с одной стороны, на правильные части, состоящие из квадратов со сторонами, параллельными осям Ох, Оу,
с другой стороны — на неправильные части, получающиеся из тех квадратов, которые отчасти выступают за контур С. Стороны этих квадратов могут и не иметь одинаковой длины. Например, можно сначала провести все сети прямых, параллельных осям Ох и Оу и отстоящих друг от друга на постоянное расстояние /, и затем разбить получившиеся квадраты на более мелкие квадраты новыми прямыми, параллельными осям координат. При каждом способе разбиения предположим, что мы имеем N правильных частей и АГ не
правильных частей; перенумеруем правиль-
ные части в произвольном порядке от 1 до TV и неправильные от Г до АГ. Пусть будут /z сторона /-го квадрата, // — сторона квадрата, заключающего k-ую неправильную часть, L — длина контура С, и А —
площадь некоторого многоугольника, содержащего контур С внутри себя.
Пусть будет abed квадрат с номером I (черт. 54); если zt есть, точка, взятая внутри или на одной из сторон этого квадрата, и z — какая-нибудь точка его контура, то мы имеем:
f(z)—f(z^
-Z--Zt

(5>
где ez очень мало, если только сторона квадрата сама очень мала. Отсюда получим:
/(г) = zf (z.) -f-/(*z) — г;. /' (z.) + ez (г — £z), f(z) dz (z,) f zdz-\- [/(zz) — Zif (г,.)] f dz -|- f ez (z — ?z) dz,
где интегралы взяты вдоль контура cz квадрата abed. занную выше первую лемму, будем иметь:
J/(z) dz = ^^fz — z.) dz. Ci	Ci
Пусть будет pqrst неправильная часть с номером точка, взятая внутри или на контуре этой части, и точка ее контура, то мы можем положить и здесь
Применяя дока-
(6k
k; если zk' есть z — какая-нибудь.
/(z)-/(?/) z~z*
=f(z^ +
(7>
sj,
«4 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 279—280
где eft' бесконечно-мало вместе с Z/, отсюда получаем:
^j(z)dz = (z — z£)dz.	(8)
Пусть будет т) положительное число, большее модулей всех множителей е, и efr'. Модуль разности z — zt меньше |/^2, и из формулы (6) имеем:
J f(z) dz j < 4/z2ij |/ 2 — 4rt V 2 <oz,
(ci)
где <oz — площадь i-й правильной части. Точно так же из соотношения .(8) получим:
J/ (г) dz | < т) l< V 2 (4/; 4- rs) = 4т) /2 ш/ rj' /2 rs, (ck’
где <oft'—площадь квадрата, содержащего k-ю неправильную часть. •Складывая все эти неравенства, будем иметь a fortiori:
f/(*) dzl < т][4/2	+	22,].	(9)
(С)
где X есть верхняя граница сторон 1к. Если число квадратов неограниченно возрастает так, что все стороны lL и стремятся к нулю, то •сумма + У, шД наконец, сделается меньшею площади А. Следовательно, в правой части неравенства (9) мы имеем произведение множителя, остающегося конечным, на множитель т), который можно сделать меньшим всякого заданного положительного числа. Это может иметь место только в том случае, если левая часть неравенства равна нулю; следовательно, мы имеем:
$f(z)dz = 0.
(С)
280.	Исследование предпосылок, необходимых для доказательства основной теоремы. Чтобы предыдущее заключение было верно, следует доказать, что можно взять размеры квадратов настолько малыми, чтобы, при надлежащем выборе точек zz и гк', модули всех количеств ez, ек были меньше всякого заданного положительного числа т, *. Мы будем говорить для краткости, что область, ограниченная линиею у, лежащею в части плоскости, ограниченной контуром С, удовлетворяет условию (а) относительно числа т,, если можно найти внутри линии Y или на самой этой линии такую точку г', чтобы было постоянно
l/(z)— 7(z’) — (z — z')/'(z’) | =3S ] z — г’|ч,	(’)
когда точка z описывает линию у. Наша задача будет решена, если мы докажем, что можно взять размеры квадратов настолько малыми, чтобы все рассматриваемые части, правильные и неправильные, удовлетворяли условию (а) относительно числа т).
* С у р с a, Transactions of the American Mathematical Society, т I, стр. 14, 1900.
•§ 280—281 I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ
65
Мы докажем эту новую лемму известным методом последовательных разбиений. Проведем сначала две сети прямых, Параллельных осям Ох и Оу, на постоянном расстоянии I друг от друга. Среди получившихся частей одни могут удо-.влетворять условию (а), тогда как другие ему удовлетворять не будут. Не изменяя ничего в частях, удовлетворяющих условию (а), разобьем остальные на более мелкие части, соединяя середины противоположных сторон квадратов, образующих эти части, или квадратов, их содержащих. Если после этой новой операции останутся части, не удовлетворяющие условию (а), то мы повторим ту же операцию над этими частями и т. д. Продолжая поступать таким образом, мы можем иметь только два случая: или мы не получим ни одной области, не удовлетворяющей условию (а), и тогда лемма доказана; или, как бы далеко мы ни шли в ряде операций, всегда будут части, не удовлетворяющие этому условию.
Если имеет место последнее, то необходимо, чтобы, неограниченно разбивая указанным приемом одну из правильных или неправильных частей, получившихся после первого разбиения, мы никогда не пришли к областям, которые все удовлетворяют условию (а). Пусть будет А1 эта часть; после второго разбиения эта часть будет содержать в себе другую часть , которая не может быть разбита на части, все удовлетворяющие условию (а). Так как рассуждение можно продолжать неограниченно, то мы получим последовательность областей
А, Аа, А3,	, Ап, ... ,
состоящих из квадратов или частей квадратов, каждая из которых заключается в предыдущей и размеры которых стремятся к нулю при неограниченном возрастании числа п. Следовательно, у частей At есть предельная точка z0, лежащая внутри контура С или на самом этом контуре. Так как, по предположению, функция f(z) при z = z0 имеет производную f'(z), то можно найти такое число р, чтобы было
l/(^)-/(ze) —(z —z0)/'(z0)|^T)|z —ze|,
если будет |z — z№ | < р. Пусть будет с круг с радиусом, равным р, и с центром в точке гй. Начиная с достаточно большого значения п, область Ап будет лежать внутри круга с, и мы будем иметь во всех точках контура области
!/(*) — /(г0) - (z - ze)f (z0) | ^ | z — | л.
Очевидно, что точка za лежит внутри области Ап или на её контуре; следовательно, эта область должна удовлетворять условию (а) относительно числа т;. Таким образом, предположив, что лемма неверна, мы пришли к противоречию.
281.	Случай сложных контуров. Предыдущая теорема распространяется также и на контуры, состоящие из нескольких отдельных замкнутых линий; нужно только надлежащим образом условиться относительно направления обхода этих контуров. Например, рассмотрим функцию f(z), голоморфную внутри области А, ограниченной замкнутою линиею С и двумя внутренними линиями С, С (черт. 55); предположим, что функция f{z) голоморфна также и на самих этих контурах С, С, С". Полный контур Г области А состоит из этих трех различных линий; мы будем говорить, что контур Г описывается в прямом направлении, если при обходе вдоль этого кон-
тура область А остается слева; стрелки на черт. 55 указывают прямое направление обхода для каждого из этих контуров. При этом условии
мы имеем всегда:

5 Э. Гурса, т. II, я. 1,
66 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 28Е
если интеграл взят в прямом направлении вдоль полного контура Г. Доказательство этого предложения, данное для случая области, ограниченной одним контуром, применимо также и здесь; можно также привести этот случай к предыдущему, проведя поперечные линии ab, cd и применяя теорему к замкнутой линии abmbandcpcdqa (т. I, § 146).
В приложениях иногда бывает удобно представлять предыдущую формулу в виде:
^f(z)dz = ^f(z)dz -\-^f(z)dz, С	С'	С'
причем все интегралы берутся в одинаковом направлении, т. е. два последних интеграла должны быть взяты в направлении, обратном указанному стрелками.
Возвратимся к вопросу, предложенному в начале § 279; теперь-очень легко дать на него ответ. Пусть будет f(z) функция, голоморфная в области D плоскости. Рассмотрим пути АМВ и ANB, соединяющие две точки Л и В и расположенные на всем своем протяжении внутри этой области.
Оба пути дадут одно и то же значение для интеграла Jf(z) dz, в предположении, что функция f(z) голоморфна во внутренности контура составленного из пути АМВ и из пути BNA. (Для определенности мы предположим, что эта замкнутая кривая не имеет двойной точки.) Действительно, сумма двух интегралов, взятых вдоль АМВ и вдоль BNA, равна нулю, и потому интегралы вдоль АМВ и вдоль ANB друг другу равны. Этот результат можно выразить еще следующим образом: два пути АМВ и ANB, имеющие общлми начальную и конечна ю точки, дают одно и то же значение f (z) dz для интеграла, если можно перейти от одного из этик путей к другому непрерывною деформациею, не встречая при этом ни одной из точек, в которых функция перестает быть голоморфною.
Это предложение верно и в том случае, если оба пути имеют кроме конечных точек А и В любое число общих точек (т. I, § 145). Отсюда следует, что если функция f (z) голоморфна внутри области, ограниченной только одним замкнутым контуром, то интеграл ^f(z)dz, взя-*7
тый вдоль любого замкнутого контура, расположенного в этой области, равен нулю.
Но нельзя распространять это заключение на случай области, ограниченной несколькими отдельными замкнутыми линиями. Например, рассмотрим функцию f(z), голоморфную в кольце, заключающемся между двумя концентрическими окружностями С и С. Пусть будет С окружность, концентрическая с С и С' и заключающаяся: между ними; интеграл J f(z) dz, взятый вдоль С", вообще, не равен
§ 281—282 I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 67
нулю. Из теоремы Коши следует только, что значение этого интеграла не изменяется при изменении радиуса окружности С* *.
282.	Распространение формул интегрального исчисления. Пусть будет f(z) функция, голоморфная в области А, ограниченной простым контуром С. На основании предыдущего, определенный интеграл
z
<D(Z)=
- г»
взятый от постоянной точки г0 до переменной точки Z вдоль какого-нибудь пути, лежащего в области А, есть вполне определенная функция верхнего предела Z. Мы покажем, что эта функция Ф (Z) есть также голоморфная функция переменного Z, производная которой равна f{Z). Пусть будет Z -|- h точка, близкая к точке Z; мы имеем:
Z+h
Ф (ZЛ) —Ф (Z) = J t(z) dz,
и мы можем предположить, что последний интеграл взят вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки Z и Z-}-h. Если обе точки очень близки между собою, то вдоль этого пути f(z) очень мало отличается от f(Z), и мы имеем:
/(2)=/(Z) + S,
где при достаточно малом значении \h\, модуль |5[ меньше всякого заданного положительного числа ij. Разделив на h, получим:
Z+h
Ф(г+л)-Ф(г,^(2)+1^^
Z
так как модуль последнего интеграла меньше числа ij | Л |, то при приближении h к нулю левая часть имеет пределом f(Z).
Если уже известна одна функция Л (Z), имеющая своею производною функцию /(Z), то функции Ф (Z) и F (Z) различаются между со-
* Для доказательства теоремы Коши нет необходимости предполагать ни существования функции f (z) вне области Д, ограниченной контуром С, ни существования производной в каждой точке этого контура. Достаточно, чтобы функция f (Z) была голоморфною в каждой точке области и непрерывною на контуре С.
Эта функция f(z} в таком случае непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна во всей замкнутой области, состоящей из точек, внутренних к С, и из точек на самом контуре С. Когда точка z стремится к точке Z контура С, описывая кривую, расположенную в этой области и оканчивающуюся в точке Z, то предел f (z) непременно должен быть равен /(Z), ,‘для любого описываемого пути, а не только для путей какого-либо частного вида.
Теперь рассмотрим область А, ограниченную двумя Прямолинейными отрезками, параллельными оси Оу, х = а, х = Ь, ц двумя дугами кривых = ft (х) и у? = (х). Легко показать, что интеграл^ f (z) dz, взятый вдоль контура этой области, есть предел при еинтеграла, взятого вдоль контура области Д’, внутренней по отношению к Д, ограниченной прямыми x~a-\-t, х = b — е и дугами = Д (л) -j- е, Yt = Д (х) — е. Ввиду того, что этот новый интеграл равен нулю, так как контур области Д' расположен внутри Д, то же самое справедливо и по отношению к первому интегралу.
На основании сделанных предположений относительно контура С (§ 276) область Д_ может быть разбита с помощью трансверсалей, параллельные оси Оу, на конечное число областей таких, как предшествующая. Следовательно, теорема верна и в общем случае.
5*
«8 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 282
'бою только на постоянное (§ 271, выноска); отсюда следует, что основная формула интегрального исчисления применима и к случаю мнимых переменных:
^t(z)dz=F{z1) — F(z0).	(10)
«о
Формула (10) доказана нами в предположении, что обе функции /(г), F(z) голоморфны внутри области А; но она применима и в более общих случаях. Функция F (z) или обе функции f(z) и F(z) могут быть многозначными; в этом случае интеграл ^f(z)dz также имеет вполне определенное значение, если только путь интегрирования не проходит ни через одну из критических точек этих функций. В этом случае нужно только при применении формулы (10) выбрать одно из начальных значений F(z^ многозначной функции F(z) и рассматривать непрерывное изменение этой функции, когда переменное г описывает путь интегрирования; если функция /(г) также многозначная, то из значений функции F(z) нужно выбрать то, производная которого равна выбранному значению для /(г).
Во всех тех случаях, когда путь интегрирования можно заключить внутри области с простым контуром, в которой рассматриваемые ветви функций /(г), F(z) голоморфны, мы можем считать формулу (10) доказанною. С другой стороны, каков бы ни был путь интегрирования, его всегда можно разбить на несколько дуг, для которых последнее условие удовлетворяется; применяя формулу (10) к каждой из этих дуг отдельно и складывая полученные результаты, мы видим, что формула (10) имеет вполне общий характер, если только, применяя ее, мы будем соблюдать необходимые предосторожности.
Например, вычислим определенный интеграл J zmdz, взятый вдоль zo
любого пути, не проходящего через начало координат; предположим, что т есть действительное или мнимое число, отличное от —1. Здесь 2я,+1
начальная функция равна -----и из общей формулы (10) следует:
т -|-1
zi
чтобы избежать неопределенности, которую представляет эта формула, если т не есть целое число, представим ее в виде:
Г	(m + l)Log(z()_ lm+ l)Log(zri)
\zmdz = --------------------=4------------
J	/п 4* 1
Если начальное значение Log(z0) выбрано, то тем самым определено значение функции zm = ет L°£ вдоль пути интегрирования,
§ 282-283 I. ИНТЕГРАЛЫ МЕЖДУ МНИМЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 69
а также и конечное значение Log (гг). Таким образом значение предыдущего интеграла зависит как от выбранного начального значения для L°g(20), так и от пути интегрирования. Точно так же формула
Hi
| dz Log Log
J / \Х') го
не представляет никакой неопределенности, если функция /(г) вдоль пути интегрирования непрерывна и не обращается в нуль; тогда точка и—/(г) описывает в своей плоскости путь, не проходящий через начало координат, и правая часть равна изменению Log(и) вдоль этого пути.
Заметим, сверх того, что так как формула интегрирования по частям есть следствие формулы (10), то она тем самым распространяется и на интегралы от функций комплексного переменного.
28). Другой вывод предыдущих результатов. Свойства интегралов ^f(z)dz представляют большую аналогию со свойствами криволинейных интегралов, для которых удовлетворяется условие интегрируемости (т. I, § 145), и в самом деле, Риман показал, что теорема Коши непосредственно вытекает из аналогичной теоремы для криволинейных интегралов. Пусть будет f(z} — X-|- IY функция комплексного переменного г, голоморфная внутри области А с простым контуром. Интеграл, взятый вдоль какого-нибудь замкнутого пути С, лежащего в этой области, равен сумме двух криволинейных интегралов:
f(z) dz — j* Xdx — Ydy i f Ydx-\- Xdy; c	c .	.	c
вследствие соотношений, связывающих производные от функций X и Y,
дХ ЙУ дХ_____________ЙУ
ЙХ	йу ’ йу	ЙХ ’
оба эти криволинейных интеграла равны нулю* (т. I, § 145). Отсюда
следует, что интеграл I f{z)dz, взятый от постоянной точки г0 до передо
менной точки , есть функция Ф (z) переменного z, однозначная в области А. Отделим в этой функции действительную часть от коэфи-циента при /:
Ф(г) — Р(х, y) + iQ(x, у), х, У	х, у
Р{х, J)=j Xdx— Ydy, Q(x, j) = J Ydx + Xdy;
Xo , Уо	Xo , y0
* Следует заметить, что доказательство Римана предполагает непрерывность производных оХ оХ	.	.
-—, —   е. непрерывность функции /'(а).
d-v Оу
70
ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 283-284
функции Р и Q имеют частные производные:
дх ’ д^
удовлетворяющие условиям: dP_dQ дР _д£ дх д_у ’ д_У дХ ’
следовательно, РЦ-iQ есть голоморфная функция переменного г производная которой равна X-{-iY, т. е. равна f(z).
Если функция /(г) разрывна в каких-нибудь точках области А, то по крайней мере одна из функций X, Y также разрывна, и криволинейные интегралы Р(х, у), Q (х, .у), вообще, имеют периоды, происходящие от петель, описываемых вокруг точек разрыв! (т. I, § 146).
Следовательно, имеет периоды и интеграл f (z) dz. Мы вернемся к этим периодам впоследствии, когда подробнее ознакомимся с характером особых точек функции f(z).
Я
Ограничиваясь пока одним примером, рассмотрим интеграл ; отделяя
1
действительную часть от коэфициента при I, имеем:
Z
\ dz ( dx -4- i dy Г xdx + у dy , , \ xdy—ydx = J + -.................................•
1	1,0	1,0	1,0
Каков бы ни был путь интегрирования, действительная часть равна -у log (х8-|-у5). Что касается коэфициента при I, то мы видели (г. I, § 146), что он имеет период 2тс; этот коэфициент равен углу, на который поворачивав!ся радиус-вектор, соединяющий начало координат с точкою (х,у) Таким образом мы опять получаем все различные значения функции Log (z).
II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА. ОСОБЫЕ ТОЧКИ. ВЫЧЕТЫ.
Мы теперь изложим новые и важные результаты, которые Коши вывел из рассмотрения определенных интегралов, взятых между мнимыми пределами.
284.	Основная формула. Пусть будет f(z) функция от г, голоморфная в конечной области А, ограниченной контуром Г, состоящим из одной или нескольких замкнутых линий, и непрерывная на самом этом контуре. Если х есть одна из точек области А *, то функция
/(g) г — х
голоморфна во всех точках области А кроме точки z — х.
♦ В последующем мы часто будем рассматривать одновременно несколько комплексных количеств. Мы будем обозначать их безразлично буквами х, я, а, ... Таким образом буква х, вообще, уже не будет более служить для обозначения только действительного переменного.
§ 284 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА	71
Опишем около точки х в области А круг у радиусом, разным р; так как предыдущая функция голоморфна в части плоскости, ограниченной контуром Г и кругом у, то к ней можно применить общую теорему § 279. Предположим для определенности, ’что контур Г состоит из двух замкнутых линий С и С' (черт. 56); мы имеем:
/ (z) dz
Z —X с
I f(z) dz
J z — X С’
( f(z)dz
J z~x
t
причем эти интегралы взяты в направлении, указанном стрелками; это
равенство можно представить в виде
Г f(z)dz = f/(z) dz
J Z---X J Z-------X
г	т
причем интеграл J берется вдоль всего кон-г
тура Г в прямом направлении. Если радиус р	Черт. 58.
кружка у очень мал, то значение функции f(z)
в точках на этом круге очень мало отличается от значения /(х):
где |5| очень мало. Заменяя f(z) этим значением, получим:
f(z)=f(x)±t,
f(z)dz
Z--X
(И)
Первый интеграл в правой части легко найти; полагая z = x-|-pe9', будем иметь:
2-
Г zpe9‘dO j ре9' о
= 2 гл.
Следовательно, второй интеграл I ------- не зависит от радиуса р
t
окружности у; с другой стороны, если | 5! остается меньшим положи-
тельного числа T1, то модуль этого интеграла меньше, чем —  2ггр = 2пгр Р
Так как функция /(z) при z = x непрерывна, то можно взять радиус р настолько малым, чтобы число т; было как угодно мало. Следовательно, этот интеграл равен нулю, и, разделив обе части формулы (И) на 2m, мы получим:
/(X)
z —х
_ 1 [t(z)dz 2niJ г
(12)
72
ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
§ 2841
Это —основная формула Коши. Она дает значение функции /(z) в любой точке х, лежащей внутри контура, если известны значения функции
вдоль этого контура.
Пусть будет х-|-Дх точка, близкая к точке х; предположим, например, что она лежит внутри круга у с центром в х и с радиусом р. Мы имеем по предыдущему:
/(х4-Дх) = -^-7
J г
f(z) dz
Z —X —йх
получим:
Если
вычитая отсюда почленно формулу (12) и разделив результат на Дх,
/(х-|-Дх) —/(х)_ 1 Г /(z) dz________________
йх	2ти J (z—x)(z — х — Дх)
г
Дх стремится к нулю, то подинтегральная функция имеет
,	. Чтобы строго доказать, что мы имеем право при-
(z — х)2
менять здесь формулу обыкновенного диференцирования, представим этот интеграл в виде:
Г f(z) dz _____________Г /(г) dz . Г Дх / (г) dz
J (z — x)(z—х — Дх)	J (z — л)2 (z — x)2 (z — x — Дх) ’
Г	Г	Г
граница модуля |/(z)| вдоль контура Г, и 5—нижняя граница расстояний между контура Г. Модуль последнего ML . . .
Пусть будет М верхняя L— длина этого контура точками круга у и точками правой части меньше количества I Дх I и, следовательно, стремится о3
к нулю при приближении |Дх| к нулю. Таким образом, переходя к пределу, имеем:
интеграла
З3
7 W 2та J (z — х)
(13)
Точно так же можно доказать, что обычная формула диференцирования под знаком интеграла применима и к этому новому интегралу *, а также и ко всем его производным, и мы получим последовательно:
/"(*)
__1 • 2 Г f(z) dz 2-ni J (z — x)3 ’ г
_ 1 -2-3 Г j(z)dz 2ni J (z — x)4 ’ г

и, вообще,
/(«) (x) =
1 • 2... n Г / (z)dz 2nl J (z — x)”+1 г
(14)
( Х5/П)ОбЩаЯ Ф°^мУла диФеРен1*иР0Вання под знаком интеграла будет установлена далее
§ 284—285 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА 7S
Таким образом мы видим, что если функция /(х) голоморфна в некоторой области плоскости, то последовательность высших производных этой функции неограниченна, и все эти производные суть функции,, голоморфные в той же области. Следует заметить, что мы пришли, к этому результату, исходя только из предположения, что f(x) имеет: первую производную.
Примечание. Из рассуждений этого параграфа можно вывести более-общие заключения. Пусть будет ? (г) функция комплексного переменного z, непрерывная (но не непременно аналитическая) вдоль дуги кривой Г, згмкнуточ ил» разомкнутой. Определенный интеграл
г
имеет определенное значение для всех значений х, не лежащих на пути интегри--1Л	„	F(x + Ax)-F(x>
рования. Из предыдущих вычислении следует, что отношение —--------------
при приближении |Дх| к нулю имеет пределом определенный интеграл:
F'M== (W*.
Г W ) (Z — Х)2
Г
Следовательно, функция F(x)— аналитическая й голоморфная в любой части плоскости, не содержащей ни одной из точек контура Г, но, если функция tp (z) задана произвольно на контуре Г, значение F(x) в точке х, внешней по отношению-к контуру, вообще, не стремится к f(z), когда точка х приближается к какой-либо точке z на контуре*.
Точно так же мы найдем, что производная л-го порядка F'‘n'(x) имеет выражение:
г
285.	Теорема Морера. Морера (Могега) принадлежит следующее предложение, представляющее обратную теорему по отношению к основной теореме-Коши: Если функция f (г) комплексною переменного г непрерывна в области А, и если определенней интеграл \ f(z)dz, взятый вдоль лкбого пути, pa.no-
а
ложенного в области А, равен нулю, то функция f (г) голоморфна в области А,.
Z
В самом деле, определенный интеграл A(z) = \/(C^, взятый между двумя
z0
точками х0, г области А вдоль любого пути, расположенного в этой области, имеет определенное значение, независимое от этого пути; если точка z0 постоянна, то. этот интеграл есть функция от г. Из рассуждений § 282 следует, что отношение
при приближении | Дх | к нулю имеет пределом функцию /(х). Таким образом функция А(х) есть голоморфная функция от х, имеющая производную /(х), и следовательно, эта производная есть также голоморфная функция.
♦ Если, например, контуром Г служит окружность круга единичного радиуса с центром в начале координат, и если на этом контуре мы полагаем ср (z) = —, то, как легко видеть, функция обращается в нуль в каждой точке х, внутренней к кругу.
74
ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
§ 286
286.	Ряд Тейлора. Пусть будет f(z) функция, голоморфная внутри мру га С с центром в точке а', значение этой функции в любой точке х, взятой внутри этого круга, равно сумме сходящегося ряда'.
/W =/(а) +	' (а) 4-	(а) +...
+(гг^/(л)(а) + ---	(15)
I • 2 ... /I
При доказательстве этой теоремы мы предположим, что функция /(z) голоморфна и на самой окружности С; в самом деле, если х есть какая-нибудь точка, лежащая внутри круга С, то всегда можно найти окружность С с центром в точке а и с радиусом, меньшим радиуса круга С, которая содержала бы внутри себя точку х, и воспользоваться при рассуждениях этою окружностью так же, как мы это будем делать с С. Пусть х будет точка, лежащая внутри круга С; по основной формуле мы имеем:
У(х) = J_ I	(12 bis)
2ni J z —x c
Представим —-— в следующем виде:
1 1 1 1 z — х~ z— а — (х— a)	z — а х—а’
z — а
или, выполняя деление до остатка (л-|-1)-й степени относительно х — а,
1	__1	, х — а (г—о)2 ,
z — х z — a'(z — a')2‘(z— а)3
 (х — а)п .	(х-а)"*1
‘ ’ * (z— а)я+1 ~Г" (z—x)(z— а)я + 1 ’
Заменим—?— в формуле (12 bis) этим выражением и выведем из-под знака интеграла множители х — а, (х — а)2,..., не зависящие от z; мы получим:
/(х) = /0 4- Д (х - а) + ... + 1п (х - а)я 4- /?„,
причем коэфициенты /0,	, ... , 1п и остаточный член Rn имеют сле-
дующие значения:
_ 1 [f(z}dz 1 Г /(z)rfz	х
0 2тп J z — а	3 2ти j (z — а)2
_с	с „	,	> (16)
7	1 f /(-г) dz п 1 f !x—a\n + 1f(z)dz
п 2x1 j (z — а)п' п 2ttZ 1	— а) z —х
с	с
§ 286 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА	75
При неограниченном возрастании числа п остаточный член Rn стремится к нулю. В самом деле, пусть будут М верхняя граница модуля
функции f(z) вдоль окружности С, R—радиус этой окружности и г—модуль разности х — а. Когда точка z описывает окружность С,
мы имеем \z — х|>/?—г, и следовательно,
1
Z — X
1
; поэтому
модуль количества /?я меньше, чем
1 / г Л!	MR / г \л+1
2тг \ 7? /	/? —г /?ТГ —/?—г\Я /
где при неограниченном возрастании п множитель
стремится
к нулю. Таким образом /(х) равно сумме сходящегося ряда:
/ {х) = /0 -4- А (х — а) + ... + 1п (х — а)п -4- ...
Но, полагая в формулах (12), (13), (14) х = а и принимая за контур Г окружность С, мы будем иметь:
/(л) (а)
/0 =/(«). А=/'(а),А -ДзтД-;
следовательно, полученный ряд тождествен с рядом (15), т. е. с рядом Тейлора.
Круг С есть круг с центром в точке а, внутри которого функция голоморфна; очевидно, что мы получим наибольший круг, удовлетво-
ряющий этому условию, взяв за его радиус расстояние от точки а до особой точки функции f(z), ближайшей к точке а. Круг С есть, вместе с тем, круг сходимости ряда, стоящего в правой части предыдущей формулы *.
Из этой важной теоремы ясно видна тождественность обоих определений, данных нами для аналитических функций (§ 187 и 257). В самом деле, всякий целый ряд представляет внутри своего круга сходимости голоморфную функцию (§ 262), и, обратно, мы только что видели, что всякая функция, голоморфная внутри круга с центром в точке а, может быть разложена в целый ряд, расположенный по степеням разности х—а и сходящийся внутри этого круга. Заметим, вместе
с тем, что некоторые полученные выше результаты делаются теперь
почти очевидными; например, применяя теорему Тейлора к функциям
Log(l -J-2) и (1 -j-z)m, голоморфным внутри круга с центром в начале координат и с радиусом, равным единице, мы получим формулы § 271
и 272. Рассмотрим еще частное двух целых которых — сходящийся в круге с радиусом,
/(х)	„
рядов —, каждый из
<₽(t)
равным R; если ряд ср(х)
не равен нулю при х = 0, то, так как он представляет непрерывную функцию, всегда можно найти такой круг с радиусом, равным r^R, внутри которого <р(х) не обращается в нуль. В этом случае функция
* Для этого последнего заключения требуется несколько пояснений относительно различных видов особых точек; они будут даны в главе, посвященной аналитическому продолжению.
76 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 286-287
— ' будет голоморфною внутри круга с радиусом, равным вательно, вблизи точки х=0 она может быть разложена в
г, и следоцелый ряд
(т. I, § 179). Точно так же можно еще раз доказать теорему о подстановке ряда в другой ряд и т. д.
Примечание. Пусть будет/(г) функция, голоморфная внутри круга С с центром в точке а и с радиусом, равным г, и непрерывная на самой окружности С. Модуль | f (г) | функции на окружности С есть непрерывная функция, значение maximum которого мы обозначим через ЭД (г). С другой стороны, коэфи-циент ап при (х— а)п в разложении функции /(г) равен - /(«) (а), т. е. равен)
JLf f(z)dz
a)n+l’ с
следовательно, мы имеем:
^Я = .вя|<2я Т-я+т2пг = -^->	<17>
таким образом, ЭД (г) больше всех произведений Апгп *. Поэтому в выражении для усиливающей функции (т. I, § 177) можно взять ЭД (г) вместо М.
Первое из этих неравенств приводит к следующему важному выводу. Пусть f (г) голоморфна в области D. В таком случае модуль |/(г) | не может достигать максимума внутри этой Области. В самом деле, предположим, что этот модуль принимает максимальное значение //в точке z = а, внутренней к области D. Из-точки а как из центра опишем круг, расположенный внутри D, радиуса г достаточно малого, так что вдоль окружности этого круга наибольшее значение ЭД (л) модуля \f(z) | не превосходит Н. На основании первого из неравенств (17> имеем:
Я=|/(а)|< ЭД(г),
что противоречит условию ЭД (г) Н.
Это ргссуждение отпадает в том случае, если модуль | f(z) | сохраняет постоянное значение в круге с центром в точке а. Функция f(z) приводится в таком: случае к постоянному (см. § 271, подстрочное примечание).
Таким же образом легко видеть, что | f (г) I не может иметь внутри D положительного минимуме, так как модуль обратной функции достигал бы в таком: случае максимума.
287.	Теорема Лиувилля: Если функция /(х) голоморфна при всяком конечном значении переменного х, то, каково бы ни было а, ее разложение по формуле Тейлора имеет место для всей плоскости, и рассматриваемая функция называется целою функциеюМъ выражений, полученных для коэфициентов разложения, нетрудно вывести следующее предложение, принадлежащее Лиувиллю:
Всякая целая функция, модуль которой остается меньшим некоторого постоянного числа М, есть постоянное.
В самом деле, предположим, что /(х) разложена по степеням х — а; пусть будет ап коэфициент при (х — а)". Очевидно, что каков бы ни был радиус г круга С, количество 3R(r) меньше числа М, и следова
* Неравенства (17) содержатся в более общем неравенстве:
{ та (г) } ’ s I «П
(см. Gutzmer, Ein Satz uber Potenzreihen, Mathematische Annalen, т. XXXII, 1888, стр, 596—600).
Коэфициенты aj(f>0) могут быть выражены также через посредство действительной части функции /(z) на круге С (см. упражнение 30).
§ 287-288 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
77
тельно, | ая I <С • Так как радиус г может быть взят сколь угодно большим, то при и 1 мы имеем ап = 0, и /(х) приводится к постоянному f(a).
Вообще, пусть будет f(x) такая целая функция, что при всех значениях переменного х, модуль которых больше положительного числа /?, /(х)
модуль частного %т остается меньшим некоторого определенного числа /И; такая функция f(x) приводится к многочлену, степень которого не выие т. В самом деле, предположим, что функция /(х) разложена по степеням переменного х; пусть будет ап коэфициент при х". Если радиус г круга С больше числа /?, то мы имеем 2R( )<^Л1гт, и следовательно, | ап | <Мгт~п. Если п'у>т, то должно быть ап = 0, так как, выбирая г достаточно большим, можно сделать Мгт~п меньшим всякого данного числа.
288.	Ряд Лорана. Рассуждения, помощью которых Коши доказал формулу Тейлора, можно значительно обобщить. Так, пусть будет /(г) функция, голоморфная внутри кругового кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями С и С' с центром в точке а. Докажем, что значение /(х) функции в какой-нибудь точке х, взятой в этой области, равно сумме двух сходящихся рядов, из которых один расположен по положительным степеням х — а, а другой — по положительным степеням--------- *.
х — а
Как и выше, мы можем предположить, что функция f(z) голоморфна и на самих окружностях С, С. Пусть будут /?, /?' радиусы этих кругов и г — модуль разности х — а; если С' заключена внутри С, то /?'</• <2/?. Из точки х как из центра опишем небольшой круг у, расположенный всеми своими точками между С и С'. Мы имеем:
f(z)dz = С f(z)dz
Z — X ) Z-------X
с	с
dz
где интегралы взяты в надлежащих направлениях. Последний интеграл, взятый вдоль у, равен 2тгг/(х), и мы можем представить предыдущее равенство иначе, в виде:
 1. f
' 2iri J x — z ’ c
2Ш J Z — X С
(18)
где интегралы взяты в прежних направлениях.
Повторяя рассуждения § 286, мы получим:
2~гп j*^z—x = А) + А (v — а) 4" • • • + Л(х — а)п + • • • , с
(19)
* Comptes rendus de I'Academic des Sciences, т. XVII. Gm. „Oeuvres de Cauchy", 1-я серия, т. VIII, стр. 115.
78 глава xiv. Аналитические функции по коши § 288
причем коэфициенты /0,	_____ определяются формулами (16).
Чтобы разложить в ряд второй интеграл, заметим, что мы имеем:
1 — 1 /	1 \
х — z х — a z — а I
\	х— а!
-J_+	.
х — а ' (х — а)2 '
z — а)п~1 (х — а)а
(z—а)п
(х — z)(x — а)п ’
и что интеграл дополнительного члена
X — Z
dz
при неограниченном возрастании я стремится к нулю. В самом деле, если М* есть наибольшее значение модуля |/(z) | вдоль окружности С, то модуль этого интеграла меньше, чем
1 //?' \л ЛГ „ л, M’R' IR'\n 2-Дт)Л’(7) •
где множитель — меньше единицы. Следовательно, мы имеем также: г
.___^2—1_ . j——I ..,	(20)
2ш J z — х х — (i (х— а)2	’ ’ ' (х — а)п '
с
причем коэфициент Кп равен определенному интегралу:
Кп = ^ f (z-ay-'f^dz.	(21)
с
Теперь достаточно сложить два разложения (19) и (20), чтобы иметь разложение функции /(х).
В формулах (16) и (21), определяющих коэфициенты 1п и Кп, можно брать интеграл вдоль любого круга Г с центром в точке а, содержащегося между С и С’, так как подинтегральные функции голоморфны в круговом кольце. Условившись изменять указатель п от — оо до оо , мы можем представить разложение функции /(х) в виде:
+ оо
/(х)=22/„(х-а)л,	(22)
п = —оо
где, каков бы ни был знак указателя п, коэфициент 1п выражается формулою:
/ : 1 С №dz	(23)
" 2ш J (z — a)n+1 '
§ 288
II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
79’
Примечания. 1. Одна и та же функция /(х) может иметь совершенно различные разложения в зависимости от того, в какой области мы ее рассматриваем. Рассмотрим, например, рациональную функцию f (х), знаменатель которой имеет только простые корни с различными модулями; пусть будут а, Ь, с,..., / эти. корни, расположенные в порядке возрастания их модулей. Отбрасывая целую-часть, которая в дальнейшем не имеет значения, мы имеем:
, , . А ,	В „ С ,	.	L
f W ^~а +	+ • • * +
Внутри круга с радиусом, равным | а |, и с центром в начале координат каждую-из простых дробей можно разложить по положительным степеням переменного х, и разложение функции /(х) тождественно с разложением по формуле Маклорена:
+
•••-(4п+-- + /4<)хл —••
В круговом кольце, заключающемся между кругами с радиусами |а| и |£|, дроби г
1 1
----,...,——j могут быть разложены по положительным степеням переменного х,.
„ 1 1
но дробь----должна быть разложена по положительным степеням — и мы имеем:
•••-(-Дг+"-+ тпт)хл_---+4+S+--- + ~аап +•••
В следующем круговом кольце мы будем иметь другое аналогичное разложение и т. д. Наконец, вне круга с радиусом 111 мы будем иметь разложение только по сте-
1
пеням — :
A + ...	+ Z. ,	Aa-\-...±Ll ,	,	Aan-i + .-.A-Llr-i	,
7 w — х т х2 Т • • • Т	хп	1-	• • •
2. Вообще, пусть
Л (х)=а0 + а1х + ...-|-алх«+.--
— целый ряд, расположенный по степеням х, сходящийся в круге С радиуса R, и пусть
Л (х) = £0 + Л — + ••• + bn +•••
— ряд, расположенный по степеням — , сходящийся вне круга С радиуса /?' (/?'< /?),.
причем оба круга имеют центр вначале координат. Очевидно, что сумма
/ (х)=Л (х) +fi (*)
есть функция, голоморфная в круговом кольце, заключенном между окружностями С и С, и ее разложение в ряд Лорана получается сложением обоих рядов. Произведение f (х) =/i(x)-/2(х) также есть голоморфная функция в этом кольце, и, поскольку оба ряда сходятся абсолютно в этой области, то можно составить это произведение, перемножая их почленно и группируя частичные произведения в произвольном порядке (см. т. I, § 160 и 161); следовательно, можно соединить все частичные произведения с одинаковыми степенями переменного х. Таким образом получаем ряд Лорана, который представляет произведение <р (х)=/г/2:
+ ОО
?(х) = Устхт,
-ОО
so
ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 288—289
тде
£m — ambt + am+l Ь1 + • • • + ат+п Ьп + • • • >
когда т положительно или равно нулю; в случае отрицательного т коэфициенты .выражаются аналогичным образом.
Например, функция 
где предполагается | а | < | b |, является голоморфной в круговом кольце, заключенном между окружностями Са, Сь радиусов | а । и j Ь | с центром в начале координат.
Чтобы найти ее разложение в этой области, достаточно написать:
/(х) = |/ 1 ——х, , 1 м составить произведение обоих целых рядов, расположенных по степеням — их,
«которые представляют оба сомножителя
b — х вне круга Са и
внутри круга Сь.
289. Разные ряды. Доказательства формулы Тейлора и формулы Маклорена
основываются, в сущности, на особых разложениях простой
, 1
дроби —-— , когда точка х остается внутри или вне некоторого данного круга. Аппель показал, что можно еще обобщить эти формулы, рассматривая функцию /(л), голоморфную внутри некоторой области А, ограничиваемой несколькими дугами кругов или несколькими целыми окружностями *.
Рассмотрим, например, функцию /(х), голоморфную
ц„пт	в криволинейном треуголь-
р	нике PQP (черт. 57), обра-
зуемом тремя дугами PQ, •QP, РР, принадлежащими, соответственно, трем окружностям С, С, С". Обозначая через х какую-нибудь точку, лежащую внутри этого криволинейного треуголь-
ника, мы получим:
1 [f^dz 1 Cf(z)dz 1 [f{z)dz
J ' 2м J z — x	2rd z— x ' 2m J z — x
PQ	QR	RP
(24)
Если центр круга С лежит в точке а, то вдоль дуги PQ мы имеем:
1 _ 1 х - а	(х —а)т 1 lx—a\n+i
z—x z — a' (z—-а)1' ' “ (z — z — х\z — а/
Когда z описывает дугу PQ, то модуль частного -—- остается меньшим еди-z — а
;ницы, и следовательно, модуль интеграла
1	(-^V'dz
2rcz J z — x \z — a J
___________ PQ
♦ Ada mathematica, т. I, 1883, стр. 145,
§ 28Э II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА	81
при неограниченном возрастании числа п стремится к нулю, Поэтому
Л /=^о + А(х-а)Н7.... + 4(х-«)п+--.	(“)
2TCZ 1 Z — X	
(PQ)
где коэфициенты 70, суть постоянные, выражения которые нетрудно найти. Точно так же, предполагая, что центр круга С лежит в точке Ь, будем иметь вдоль дуги QR:
1 _ 1	, z-b	(z-by-i 1 !z — b\n
x — z	х—Ь'(х—Ьу'"'' (x—b)n ’rx~z\x-bl
_	/z - b\n
Так как при неограниченном возрастании числа п модуль	стремится
к нулю, то мы выведем отсюда для второго интеграла разложение вида:
J_ С	л- ~2 - л- .4______—п____(- .	(8)
2м ) z-x — х— b'{x; —	т(х — by^	w
«?/?)
Наконец, если центр круга С лежит в точке с, то мы получим:
1 Cf(z)dz_ Lt_________£2__,	, Ln
2ти ' z — x x—c'(x—c)i~r"‘~r(x— c)1 ‘	ш
(RP)
Складывая формулы (a), ([!), (f), мы представим разложение функции /(») в виде
суммы трех рядов, расположенных, соответственно, по положительным степеням
1 х — b
количеств
х — а,
и -----. Ясно, что можно преобразовать эту сумму в ряд,
все члены которого суть рациональные функции от х\ например для этого можно соединить члены одинаковой степени относительно х — а,	—ё • Преды-
дущее рассуждение имеет место при любом числе дуг.
Относительно предыдущего примера можно заметить, что ряды (а), (?), (у) будут сходящимися и в том случае, если точка х находится внутри треугольника ( f(z)dz
PQR, и сумма этих трех рядов тоже равна интегралу ।	ВЗЯТ0МУ в ПРЯ"
мом направлении вдоль .контура треугольника PQR. Но, если точка х лежит f(z)
в треугольнике P'Q’R', то функция У—голоморфна внутри треугольникаPQR. и следовательно, предыдущий интеграл равен нулю. Таким образом мы получаем ряд рациональных функций, сходящийся, если точка х лежит в одном из двух треугольников PQR и P'Q'R', сумма которого равна /(х) или нулю смотра по т лежит ли точка х в треуголен гке PQR ил i в треугольнике P'G'R'.
Идя по тому же направлению, Пенлеве получил еще более общие результаты *. Ограничиваясь очень простым случаем, рассмотрим замкнутую выпуклую кривую Г, имеющую касательную, непрерывно перемещающуюся вдоль кривой, и предположим, что радиус кривизны кривой остается меньшим некоторой границы. Как нетрудно убедиться, в этом случае можно найти для каждой точки М кривой Г соответствующий круг С, касающийся в этой точке кривой Г, содержащий эту кривую всю внутри себя и притом такой, что его центр перемещается непрерывно вместе с точкою М. Пусть будет f (z) функция, голоморфная внутри контура Г и непрерывная на самом этом контуре. Рассмотрим основную формулу'

Z— X
* „Surles lignes singull^res des fonctions analytiques" (Annates de la Faculty de Toulouse, t. Il, 1888).
6 Э. IVpca, т. II, 4. 1.
82 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИ ПО КОШИ § 289-290
причем точка х лежит внутри контура Г. Мы имеем:
1	1	। х — а	(х — а)п 1	/х—a\n+i
z —х~~ z— я "*(z — а)2 * " ' (z — а)п+ i' z — x \z — х/ ‘
где а обозначает центр круга С, соответствующего точке z контура; а уже не-есть более постоянное, как в предыдущих случаях, но, когда точка М описывает кривую Г, а есть непрерывная функция от z. Однако модуль отношения °, которое есть непрерывная функция от z, остается меньшим некоторого определенного числа р, меньшего единицы; следовательно, при неограниченном возрастании п интеграл дополнительного члена стремится к нулю. Поэтому мы имеем:
. Ч-оо р
Е J /(г) dz- (25> л = 0 (Г)
Ясно, что общий член этого ряда есть целый многочлен Рп(х) не выше n-й степени. Следовательно, внутри контура Г функции f (х) разлагается в ря& многочленов,
Пользуясь теориею конформных преобразований, можно получить для разложения голоморфных функций ряды другого вида. Пусть будет/(г) функция, голоморфная внутри некоторой области А, которая может простираться и в бесконечность. Предположим, что известно такое конформное отображение области А. на область круга С, что каждой точке области А соответствует одна и притом только одна точка круга, и обратно; пусть будет и — <f(z) аналитическая функция,, при помощи которой выполняется отображение области А на круг С плоскости и с центром в точке ы==0. Когда точка и описывает этот круг, соответствующее значение переменного z есть голоморфная функция от и. То же имеет место и для функции /(г); следовательно, когда z остается внутри А, то функцию f{z)< можно разложить в сходящийся ряд, расположенный по степеням переменного и или по степеням f(z).
Предположим, например, что область А есть неограниченная полоса, заключающаяся между прямыми y=dza, параллельными действительной оси. Мы ви-itz
е2а — 1
дели (§ 274), что, полагая и= ——-----, мы отобразим эту полосу на круг с
е*“ 4- 1
радиусом, равным единице, и с центром в точке и — 0. Следовательно, всякую-функцию f (z), голоморфную в рассматриваемой неограниченной полосе, можно-разложить в этол полосе в сходящийся ряд вида:
29Э. Ряды голоморфных функций. Теорема Вейерштрасса. Сумма равномерно сходящегося ряда, члены которого суть голоморфные функции от z, есть непрерывная функция от г, но без особого доказательства нельзя было бы еще утверждать, что эта сумма есть также и голоморфная функция. Необходимо еще доказать, что она имеет в каждой точке единственную производную, это нетрудно сделать, воспользовавшись интегралом Коши.
Заметим сначала, что равномерно сходящийся ряд, члены которого-суть непрерывные функции комплексного переменного z, можно интегрировать почленно, как в случае действительного переменного. Дока-
§ 290 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА	83
зательство, данное для действительных переменных (т. I, § 107), применимо без изменения и к мнимым переменным, если только путь интегрирования имеет конечную длину. Пусть будет
A (z)	'z) -)-••• + fn (А + • • •	(2®)
ряд, все члены которого суть функции, голоморфные в некоторой области D, и который равномерно сходится во всей этой области.
Пусть имеем внутри D произвольную точку х. Окружим ее замкнутой кривой Г, расположенной в области D, таким образом, чтобы ряд (26) был равномерно сходящимся и во внутренности Г, и на самом контуре Г.
Пусть будет <р(г) сумма ряда (26) в какой-нибудь точке контура Г; <р ‘ z) есть функция от z, непрерывная вдоль этого контура, и мы видели (§ 284, примечание), что определенный интеграл
F{x}
1 1 yiz'dz 2тп ) z — х
(Г)
1
2пг
+ 00
2 A (Z) v = 1
dz,
(27)
где х есть какая-нибудь точка области D, расположенная внутри контура Г, представляет функцию, голоморфную в этой области, производ-
ная порядка р которой имеет выражение:
F <р) (х) =1 ~2''	С (z\dz~ — 1'2- f J ~1 .2----------------(28)
' ’ 2m J (г—x)p+1	2ni 1 (z — x)p+1 v ’
(Г)	J
(f)
Но ряд (26) — равномерно сходящийся на контуре Г; точно так же мы получим равномерно сходящийся ряд, разделив все члены ряда (26)
на z — х; поэтому мы имеем:

1
2ni J z — х ’ (Г)
или, иначе, так как f(z) есть функция, голоморфная внутри контура Г [формула (12) § 284]:
^(*)=Л(х)+/2(*)+
Точно так же формулу (28) можно представить в виде:
F(p) (х) =	(х) + ... +/v^> (*)+-..,
и мы в праве высказать следующее общее предложение, принадлежащее Вейерштрассу:
Всякий ряд, равномерно сходящийся в области D плоскости, все члены которого суть функции, голоморфные в D, представляет функцию F(z>, голоморфную в той же области. Производная порядка р от F(z) равна сумме ряда, который получим, диференцируя р раз каждый член ряда, представляющего функцию F(z).
6*
84 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 291
291. Полюсы. Всякая функция, голоморфная в круге с центром в точке а, равна внутри этого круга сумме целого ряда:
f(z) = Ло-Ь A (z - а) + ... + Ат (z-a)m-f- ...	(29)
Для краткости мы будем говорить, что функция f(z) — правильная в точке а, и точка а есть обыкновенная точка этой функции. Мы будем называть областью точки а область, заключающуюся внутри круга С с радиусом р, описанного из точки а как из центра, внутри которой имеет место формула (29). При этом нет необходимости, чтобы круг С был наибольшим кругом, внутри которого имеет место формула (29); радиус р области часто будет определяться каким-нибудь другим частным свойством.
Если первый коэфициент Ао равен нулю, то /(а) = 0, и точка а называется нулем функции /(z). Порядок нуля определяется так же, как для многочленов: если разложение функции f(z} начинается с члена /л-й степени относительно z — а-
f(z) = Am(z-a)”+ Am+1(z — a)m+1.	(т>0),
где Ат не равно нулю, то мы имеем:
/(а) = 0, /'(а) = 0, ... , /(”-»(а) = 0, f(m)(a)=£0,
и точка а называется нулем т-го порядка. Предыдущую формулу можно также представить в виде:
/(z)==(z — а)т<р(г),
где tp (г) — целый ряд, не обращающийся в нуль при z = а. Так как этот ряд есть непрерывная функция от г, то можно выбрать радиус области настолько малым, чтобы tp (г) не обращалось в нуль в этой области, и мы видим, что внутри этой области функция /(г) не будет иметь другого нуля кроме точки а. Следовательно, нули голоморфной функции суть изолированные точки.
Всякая не обыкновенная точка однозначной функции /(г) называется особою точкою. Особая точка а функции /(г) называется полюсом, если эта точка есть обыкновенная точка для обратного выражения
1 гл	1
—;—. Разложение -т— по степеням z—а не может содержать постоян-/(2)	/(^)
ного члена, так как точка а была бы тогда обыкновенною для функции /(z). Предположим, что разложение начинается с члена /п-й степени относительно z — а:
= ~~ а^т ? (30)
J \zi
где y(z) обозначает функцию, правильную в области точки а и не равную нулю при z = a. Отсюда получаем:
!------— —	 ,	(31)
J v ' (z - d)m tp (z) (z — a)m	v
где ф (z) также обозначает функцию, правильную в области точки а и
§ 291—292 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
85
не равную нулю при z = a. Эту формулу можно представить в равносильном виде:
-^ + 7—”;^+ •••+ ~(31 bis)
7 ' (z — а)т (z— а)т~^	' z—а 1
где мы обозначили через P(z— а), как мы это будем часто делать в дальнейшем, функцию, правильную при z = a, а Вт, Вт_г, ... , В1 суть постоянные. Некоторые из коэфициентов В}, В2, .. . , Вт_-1 могут быть равны нулю, но коэфициент Вт непременно отличен от нуля; целое число т называется порядком полюса. Мы видим, что полюс
т-го порядка функции f(z) есть нуль т-го порядка функции - —- и f\z)
обратно.
В области полюса а разложение функции /(z) состоит из правиль-
ной части P(z— а) и из целого многочлена относительно —-—этот г— а
многочлен называется главною частью функции f(z) в области полюса. Если модуль количества z — а стремится к нулю, то модуль функции f(z) возрастает неограниченно, по какому бы пути точка z ни приближалась к полюсу. В самом деле, так как функция ф/z) не
равна нулю при z~ а, то мы можем предположить радиус области на
столько малым, чтобы в этой области модуль | ф (г) 1 оставался большим некоторого положительного числа М. Обозначая через г модуль раз
ности z — а, мы имеем |/(z)|
следовательно, при приближении г
к нулю \f(z) | неограниченно возрастает. Так как функция ф (z)—правильная при z — а, то существует такой круг С с центром в точке а, внутри которого ф (г) голоморфна. Частное	голоморфно во
всех точках этого круга кроме самой точки а. Следовательно, в области полюса а функция fyz) не имеет другой особой точки кроме самого полюса; другими словами, полюсы суть изолированные особые точки.
292.	Мероморфные функции. Всякая однозначная функция, которая не имеет в области А других осо'ых точек кроме полюсов, называется мероморфною функциею в этой области. Мероморфная функция может во всей плоскости иметь бесконечное множество полюсов, но в области, лежащей всеми своими точками на конечном расстоянии, она может иметь их только конечное число.
В самом деле, пусть функция /(а) мероморфна внутри области А, лежащей всеми своими точками на конечном расстоянии, а также и на контуре Г этой области. Если бы она имела бесконечное множество полюсов в этой области, то множество (£) всех этих полюсов имело бы по меньшей мере одну предельную точку (т. I, § 4), т. е_. существовала бы по крайней мере одна точка Z, расположенная в А или на Г, вблизи которой было бы бесконечное множество полюсов. Эта точка Z не могла бы быть ни полюсом, ни обыкновенною точкою. Точно так же мы убедимся, что функция /(г) может иметь только конечное число
86 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 292-293
нулей в той же области. Следовательно, мы .можем высказать следующее предложение:
Всякая функция, мероморфная в области А, лежащей всеми своими точками на конечном . расстоянии, и на контуре этой области, имеет в этой области только конечное число нулей и конечное число полюсов.
В области любой точки а мероморфная функция /(а) может быть представлена в виде:
/(z) = (z-a)^(c),	(32)
где <р (а) — правильная функция, не равная нулю при z — a. Показатель ц называется порядком функции /(а) в точке а. Этот порядок равен нулю, если точка а не есть ни полюс, ни нуль для /(г); он равен т, если точка а есть нуль /я-го порядка функции /(г), и равен п, если а есть полюс л-го порядка функции f(z}.
293.	Существенно особые точки. Всякая особая точка однозначной функции, которая не есть полюс, называется существенно особою точкою. Существенно особая точка а есть изолированная, если можно описать круг С с центром в а, внутри которого функция /(z) не имела бы никакой другой особой точки кроме самой точки а, мы ограничимся пока рассмотрением только таких точек.
Теорема Лорана дает непосредственно разложение функции f(z) в области изолированной существенно особой точки. Пусть будет С круг с центром в точке а, внутри которого функция f{z) не имеет другой особой точки кроме точки а\ с другой стороны, пусть будет с круг концентрический и лежащий внутри С. В круговом кольце между кругами С и с функция /(z) голоморфна и, следовательно, равна сумме ряда, расположенного по положительным и отрицательным степеням разности z—а:
+<5О
f(z)= 2 Am(z—a)m.	(33)
т = — <50
Это разложение имеет силу для всех внутренних точек круга С кроме точки а, так как, где бы в круге С ни лежала точка z, отличная от а, всегда можно взять радиус круга с меньшим, чем \z—а\. и коэфициенты Ат не зависят от этого радиуса (§ 288). Разложение (33) содержит, во-первых, часть, правильную в точке a, P(z— а), образуемую членами с положительными показателями и, во-вторых, ряд,
1 расположенный по степеням -----:
z — а
^-1 I А-2 I I -т z — a (z — а}2 ' ’ ’ ‘ ‘ (z — а')т
этот ряд называется главною частью функции /(г) в области особой точки. Эта главная часть не приводится к многочлену, так как точка z = а была, бы тогда полюсом вопреки предположению *. Это —
* Чтобы не опустить никакого предположения, надо было бы также исследовать случай, когда разложение функции f(z) внутри круга С содержит только положительные степени разности z — a, но значение /(а) функции в точке а отлично от члена ряда, не зависящего от z — а. Такая точка z — а называется точкою разрыва. Мы не будем рассматривать здесь этой особенности, носящей совершенно искусственный характер (см. дальше, глава XVI).
§ 233 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
87
целая функция от ------. В самом деле, пусть будет г какое-нибудь
z — а
положительное число, меньшее радиуса круга С; коэфициент А_т ряда (34) имеет выражение (§ 288):
2rt? j (z — a)m~'lf(z)dz, (С)
где интеграл взят вдоль круга С с центром в точке а и с радиусом г. Следовательно, мы имеем:
|Д _т |<3R(/-)r«
(35)
где 2R (г) обозначает максимум модуля функции /(г) вдоль окружности С'. Следовательно, ряд (34) — сходящийся, если только |г— а] больше г; а так как г есть положительное число, которое можно взять сколь угодно малым, то ряд (34) — сходящийся при всяком значении г, отличном от а, и мы имеем:
/(г) = Р(г_а) + 0(—L-V
\z — а)
где P{z—а) обозначает функцию, правильную в. точке а, и О( —-—| — yz — а )
целую функцию * от —-— .
Если модуль разности z — а неограниченно убывает, то значение
функции /(г) не стремится ни к какому определенному пределу. Точнее, если из точки а как из центра мы опишем круг С произвольно малого радиуса р, то внутри этого круга всегда существуют точки z, в которых значение функции f{z) сколь угодно мало отличается от всякого заданного числа (Вейерштрасс).
Докажем сначала, что, каковы бы ни были положительные числа р и Ж, существуют значения переменного г, для которых одновременно \z— а|<р и \f{z}\~^> М. В самом деле, если бы модуль функции /(г) был не больше числа М при \z — а | <( р, то 2R (г) было бы меньше или равно М при г<р, и, на основании неравенства (35), все коэфи-циенты А_т были бы равны нулю, так как произведение (г')гт Мгт стремилось бы к нулю вместе с г.
Рассмотрим теперь какое-нибудь число А. Если уравнение /(г) = Д имеет корни внутри круга С, как бы мал ни был его радиус р, то теорема доказана. Если уравнение f(z) = A не имеет бесконечного
множества корней вблизи точки а, то можно взять радиус р настолько малым, чтобы внутри круга С с радиусом рис центром в точке а это
уравнение не имело ни одного корня. Тогда функция (р(г) —	-—- бу-
/ (г) — А
дет голоморфною во всякой точке z круга С кроме точки а; эта точка а может быть только существенно особою точкою функции <р (z),
Мы часто будем обозначать через G (х) целую функцию от х.
88 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 293-294 так как в противном случае эта точка а была бы полюсом или обыкновенною точкою функции /(г). Следовательно, на основании только что доказанного, внутри круга С существуют такие значения переменного z, при которых
|'Р(-г)|>у, или |/(г) — Л|<е,
как бы ни было мало положительное число е.
Это свойство устанавливает резкое различие между полюсами и существенно особыми точками. Тогда как в области полюса модуль функции /(г) неограниченно возрастает, в существенно особой точке значение функции остается совершенно неопределенным. Пикар* получил более определенное предложение, показав, что всякое уравнение f(z)=A имеет бесконечное множество корней в области существенно особой точки, причем исключение может иметь место только для одного частного значения числа А.
Пример. Точка z = 0 есть существенно особая точка для функции
= 1L_L_i_ _i____________1_____Lj.
+ z + 1-2 z‘^ ••• + 1-2...П z'>+‘"
1
Нетрудно убедиться, что уравнение ег = А имеет бесконечное множество корней с модулем, меньшим р, как бы р ни было мало, если только А не равно нулю. Пусть будет А — г (cos 0 -f- i sin б); из предыдущего уравнения получаем:
у = log р + г (б + 2£-);
чтобы было | z | < р, достаточно, чтобы
(logr?+(0 + 2b)a 1.
Очевидно, что существует бесконечное множество значений целого числа k, удовлетворяющих этому условию. В этом примере есть значение числа А, составляющее исключение, именно, А == 0. Но может случиться, что нет ни одного значения, составляющего исключение; таков, например, случай функции sin-^-.
294.	Вычеты. Пусть будет а полюс или изолированная существенно особая точка функции f(z). Вычислим интеграл J/(a)dz, взятый вдоль окружности С с центром в точке а, проведенной в области точки а. Мы имеем правильную часть Р(г — а), интеграл которой равен нулю. Что касается главной части 0^——J, то ее можно интегрировать почленно; в самом деле, если а есть существенно особая точка, то
Annates de 1’Ёсо1е Normale supdrieure, 2-я серия, т. IX, 1880, стр. 145.
§ 294 II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА	89>
G ------.1 представляет целый, равномерно сходящийся ряд по --
Интеграл общего члена
Л „dz — тп
(z — а)т с
равен нулю, если показатель т больше единицы, так как начальная? л '	Л „
функция — —-----1J7 —возвРаи1ается к начальному значению,.,
когда переменное г описывает замкнутый путь. Но, если /л=1, то dz	о ..
------ имеет значение 2т iA л, как этсм г — а
видно из вычислений § 284. Следовательно, мы имеем формулу
2ш‘А_1= / (г) dz, с
определенный интеграл А_г
которая, в сущности, есть не что иное, как частный случай формулы (23),. определяющей коэфициенты ряда Лорана. Коэфициент А_г называется/ вычетом функции /(z) относительно особой точки а.
Рассмотрим теперь функцию /(г), непрерывную на замкнутом контуре Г и имеющую внутри этого контура Г только конечное число особых точек а, Ь, с, ... , I. Пусть будут А, В, С, ... , L вычеты,, соответствующие этим особым точкам. Окружим каждую из этих особых точек кругом весьма малого радиуса; интеграл §f(z)dz, взятый" вдоль Г в прямом направлении, равен сумме интегралов, взятых вдоль-этих малых кругов в том же самом направлении, и мы получаем весьма? важную формулу:
p(z)<Zz=2ni(A4-B-]-C-]-...4-L),	(36>
‘г
выражающую, что интеграл (г) dz, взятый вдоль контура Г в прямом направлении, равен произведению 2ш на сумму вычетов относительно особых точек функции /(г), находящихся внутри этого-контура.
Ясно, что эта теорема применима также к контурам Г, образованным несколькими различными замкнутыми кривыми.
Отсюда видно важное значение вычетов; полезно уметь их быстро вычислять. Если точка а есть полюс яг-го порядка функции /(г), то произведение (г — a)m/(z)— правильное в точке а, и очевидно, что-вычет функции /(г) равен коэфициенту при (z — а)^1 в разложении-этого произведения. В сдучае простого полюса правило упрощается: тогда вычет равен пределу произведения (z— a)f(z) при г = а. Всего чаще функция /(z) является в виде:
SO ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 294-295
где функции Р(г) и Q(z} — правильные при z = a и Р(а) не равно
пулю, тогда как а есть простой нуль для Q(z). Пусть будет Q(z) =
= (z—a)P(z); тогда вычет равен
нетрудно видеть
Р(.)
Q' «
Р(а) частному —- - , ' /?(а)
или, иначе, как это
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ.
Приложения последней теоремы бесчисленны. Мы дадим некоторые из них, относящиеся, главным образом, к вычислению определенных интегралов и к теории уравнений.
295.	Различные замечания. Пусть будет f(z) такая функция, что произведение (г — a)f(z) стремится к нулю вместе с \z — а\. Интеграл от этой функции, взятый вдоль круга у с центром в точке а и с радиусом р, стремится к нулю вместе с радиусом этого круга. В самом деле, мы имеем:
— a)f(z) ^-а ;
7	7
если 7] есть наибольшее значение модуля количества (z— a)f(z) вдоль круга у, то модуль интеграла будет меньше, чем 2пт;, и следовательно, стремится к нулю, так как 7] само бесконечно-мало вместе с р. Точно так же можно было бы убедиться, что если произведение (г — а)/(г)
стремится к нулю, когда модуль разности z—а неограниченно возрастает, то интеграл l/(z)rfz, взятый вдоль круга С с центром в точке а,
при неограниченном возрастании радиуса этого круга стремится к нулю. Эти замечания сохраняют свою силу и в том случае, когда интеграл берется не вдоль всей окружности, а только вдоль ее части, если только рассматриваемое произведение стремится к нулю вдоль этой части.
Это свойство, вообще, применяют к
ф (2) функциям f(z) вида	,
(z — ау-
где показатель р предполагается положительным, и (z) остается конечной и отличной от нуля при приближении z к а или к бесконечности. Для существования интеграла достаточно, чтобы было: в первом случае р<4, а во втором (см. т. I, § 87 и 89).
Часто приходится искать верхнюю границу модуля определенного ь
ин еграла вида j f(x) dx, взятого вдоль действительной оси. Предпо-а
ложим для определенности, что а<^Ь. Выше мы видели (§ 276), что й
/(х) | dx и, следовательно,
а
меньше, чем М (Ь — а), если М есть верхняя граница модуля функции f(x).
модуль этого интеграла не более интеграла J
§ 296
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
91
296.	Вычисление простейших определенных интегралов. Определен-+оо
ный интеграл F (х) dx, где Ffx) есть рациональная функция, взятый —оо
вдоль действительной оси, имеет конечное значение, если только знаменатель не обращается в нуль ни при каком действительном значении х, и если степень числителя по крайней мере на две единицы меньше степени знаменателя. Опишем из начала координат как из центра круг С настолько большим радиусом R, чтобы все корни знаменателя функции F(x) содержались внутри этого круга, и рассмотрим путь интегрирования, образуемый диаметром ВА, проведенным вдоль действительной оси, и полуокружностью С, расположенною над действительною осью. Единственные особые точки функции F(z), лежащие внутри этого контура, суть полюсы, происходящие от тех корней знаменателя функции F(z), у которых коэфициент при i положителен. Следовательно, обозначая через сумму вычетов относительно этих полюсов, мы имеем:
4-Я
f F(^) Cf(z) 2ш .
-Я '	(С1) •
При неограниченном возрастании радиуса R интеграл, взятый вдоль С', стремится к нулю, так как при бесконечном z произведение z F\z) равно нулю, и мы в пределе получаем:
4-оо
J Г(х)йГх = 2тп£/?*.
—оо
Нетрудно привести к предыдущим интегралам определенные интегралы 2г.
j F(sinx, cosx)dx,
6
где F есть рациональная функция от sin с и cos х, не обращающаяся в бесконечность ни при каком действительном значении переменного х, и интеграл взят вдоль действительной оси. Заметим прежде всего, что мы не изменим значения этого интеграла, взяв его пределами хп и х0 4-2тг, где х0 — любое действительное число; следовательно, можно взять пределами, например, —п и -|-тг. Выполнив обычную замену
переменного
tg 2 =t,
мы приведем рассматриваемый интеграл к инте
гралу от рациональной функции от t, взятому между пределами — оо
I		л х
и -f-оо, так как, при возрастании х от —п до тт, tg -% возрастает от — оо до -f- оо.
92 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 296-297
Но можно поступать еще иначе. Полагая ел/ = г, мы будем иметь
rfx= — и по формулам Эйлера получим: z'z
Z2 -р 1	X2---1
cos х — —-----, sin х — —:
2г	2zz
при этом рассматриваемый интеграл обращается в интеграл
C^/z2 — 1 z2 -I- 1 \ zfz
I \ 2zz ’ 2г / iz
Что касается нового пути интегрирования, то, когда х возрастает от О до 2тг, переменное z описывает в прямом направлении круг с радиусом, равным единице, и с центром в начале координат. Следовательно, достаточно вычислить вычеты стоящей под знаком интеграла рациональной функции от z относительно полюсов, модуль которых меньше единицы.
2л
„	Г Iх — а — bi\ ,
Возьмем, например, интеграл I ctg I------ -----lax, имеющий конеч-
о
ное значение, если b не равно нулю. Мы имеем:
или, иначе
ctg	2----)—Ле1х_е-Ь + а1-
Следовательно, после замены переменного ex‘ = z мы придем к интегралу:
Г z -р е~ b + ai dz ) z — e~b + ai z c
Подинтегральная функция имеет два простых полюса z = 0, z — = e~b+at, и соответствующие вычеты суть —1 и -р2. Если Ь положительно, то эти оба полюса лежат внутри контура интегрирования, и интеграл равен 2тг/; если b • отрицательно, то только один полюс z = 0 лежит внутри контура, и интеграл равен — 2тг/. Следовательно, рассматриваемый интеграл равен -+-2та' в зависимости от того, будет ли b положительно или отрицательно. Теперь мы дадим несколько менее простых примеров.
etmz
<2Sn. Различные определенные интегралы. 1. Функция гз имеет два . .	.	е-т ет „
полюса i и — г с вычетами и —	' Предположим для определенности,
что т положительно, и рассмотрим контур, образуемый полуокружностью очень большого радиуса А* с центром в начале координат, лежащею над действительною
§ 297
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
93
gmtz
осью. Внутри этого контура функция ; имеет только один полюс z — i, и 1 + Z'1
интеграл, взятый вдоль всего контура, равен пе~т. Но интеграл, взятый вдоль полуокружности, при неограниченном возрастании радиуса R стремится к нулю, z .	„
так как модуль произведения ^^у~^е1тг вдоль этои полуокружности стремится
к нулю. В самом деле, заменяя z через R (cos 0 + i sin 0), мы имеем:
emiz е— mR sin 8 + imR cos 8
и модуль #sin 6 остается меньшим единицы, когда 0 изменяется от 0 до ь
Что касается модуля множителя ,, то при бесконечном z он равен нулю. 1 + z-
Следовательно, в пределе мы имеем:
+о° С emix
—оо
Если мы заменим е”Чх через cos тх 4- i sin тх, то коэфициент при I в левой
части предыдущего равенства, очевидно, равен нулю, так как элементы интеграла попарно уничтожаются; так как, сверх того, cos(—mx) = cos тх, то мы можем представить предыдущую формулу в виде:
+оо
f cosmx it _
J 1+X>dx=2e m- (37) о
2. Функция — голоморфна внутри кон-
тура ABMB'A'NA (черт. 58), образуемого
двумя полуокружностями ВМВ', A'NA, описанными из начала координат как из центра радиусами R и г, и прямыми АВ, В'А'. Следовательно, мы имеем соотношение:
Я .	-г
Г elx	С eiz С eix С е&
I —dx+	I —dz| -	dx 4-	I	—rfz = O;
J x	J z	J x ‘	J	z
r	(BMB')	—R	(A'NA)
его можно представить иначе в виде
(' е‘х—е~‘х	с е‘г • С
--------dx+ —dz+ — dz=O.
J	J Z	I	Z
Г	(BMB')	(A'NA)
При приближении г к нулю последний интеграл стремится к — л/; в самом деле, мы имеем:
е‘*	1
Т = - + -Р(4
где P(z) есть функция, правильная в начале координат, и потому
С eiz
I — dz =
.) г
A'NA
A’NA	A'NA
Интеграл от правильной части Р(г) бесконечно мал вместе с длиною пути интегрирования; что касается последнего интеграла, то он равен изменению Log (г) вдоль ANA, т. е. равен —w. .
94
ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
§ 297
Интеграл вдоль пути ВМВ' стремится к нулю при неограниченном возрастании числа R.
Замечание § 295 неприменимо к этому интегралу, так как произведение-zf{z)-=eiz не стремится к нулю во всех точках дуги ВМВ’ при неограниченном возрастании радиуса R. Модуль этого произведения с помощью замены z ~ — R (cos 0 +1 sin 0) приобретает вид е~Rsin 0, и, следовательно, не превосходит единицы. Но, интегрируя по частям, мы вправе написать:
f^=l[£9	+± (
J z I [ z J(BjMB') i J z*
МВ’	ВМВ’
2
Модуль обинтегрированной функции равняется —, и к тому же интеграл 1\
правой части, согласно замечанию § 295, при неограниченном возрастании R стремится к нулю. Следовательно, то же самое справедливо и по отношению к интегралу в левой части.
Следовательно, переходя к пределу, имеем (т. I, § 196):
е‘х — е-ix J ---------— dz — ~z,
о
или
sin х , n
----dx = -v
x 2
У
А *
О
Черт. 59.
0
3. Интеграл от целой функции е—«*, взятый вдоль контура ОАВО, составляемого двумя радиусами ОА и Ob, образующими угол в 45°, и дугою круга АВ (черт. 59), равен нулю; отсюда получаем:
В
e—xl dx А- e— zt dz = \ е— 21 dz, о	Ав	ов
Вдоль дуги АВ произведение ze— «•, при неограниченном возрастании радиуса, не стремится к нулю, во всех точках этой дуги, но модуль функции «•—2* не превосходит единицы. Следовательно, поступая, как в предыдущем случае, мы вправе написать:
г	1 Ге-*
z	L 2 z J (AB) 2 J
AB	AB	AB
и оба члена в правой части стремятся к нулю при неограниченном возрастании радиуса R окружности, содержащей дугу АВ. Следовательно, то же самое справедливо и по отношению к интегралу {e—z'dz.
Ав
Вдоль радиуса ОВ мы можем положить z
откуда
е — & =
Увеличивая неограниченно R, мы получим в пределе (см. т. I, § 127):
гс . . . п
cos-Н sin 4
I ^dx = ^, b
§ 297—293
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
95
или, иначе:
+оЬ	_
С 	Ч J "У к /	я	. . п
I е—ч?аь—,~-\ cos ,--z sin —-
J	2 \	4	4
о
Приравнивая в обеих частях этого равенства действительные части и коэфициенты при i, мы получим значения интегралов Френеля;
1 ,/я sin р2 rfp = у у ~2
(38>
298. Вычисление произведения Г (р) Г (1—р). Определенный интеграл +оо
г хР~гах	„
I--------где переменное х и показатель р действительны, имеет ко-
J 1
о
меньше единицы; он равен.
смотрим функцию -
нечное значение, если р положительно и произведению Г(р)Г(1 —р) *.
Чтобы вычислить этот интеграл, рас-, имеющую один
полюс в точке z = —‘1 и одну точку разветвления г = 0. Рассмотрим контур abmb'a'na (черт. 60), образованный двумя окружностями С и С', описанными из
начала координат, соответственно, радиу-
сами г и р, и двумя бесконечно близкими прямыми ab и а'/И, расположенными по
обе стороны разреза, zp~l Ох. Функция	:—
1 Н-2
проведенного вдоль
однозначна внутри
У
этого контура, который содержит только одну особую точку, полюс z = — 1; для
Черт. 60. окончательного ее определе-
ния условимся брать за аргумент переменного z тот, который заключается между 0 и 2п. Следовательно, обозначая через R вычет отно-
сительно полюса z — —1, мы имеем:
f zp~x Г гр~г С zp~' С гР~г
I ;-------dz -4- i 5-------dz -4- I -—।— dz I —— dz = 2ztt/?.
J 1 ±z 1 —\~z	1 J 1 + 2	1 ] 1 -|-z
ab	C	b'a'	C'
Интегралы, взятые вдоль окружностей С и С', стремятся к нулю,, когда г неограниченно возрастает или р неограниченно убывает, так гР
как вследствие неравенств 0<^р<^1 произведение стремится при 1 z
этом к нулю.
* Заменим t через -—~ в последней формуле § 128 (т* I). Формула (39), доказанная при р действительном, верна и при р мнимом, если дейс!внтельная часть р заключается между и и 1.
$6 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 298—299
Вдоль ab переменное z действительно; для большей ясности обозначим его через х. Так как аргумент переменного z равен нулю, то гр~1 равно арифметическому значению хл-i. Вдоль а’Ь’ переменное z также действительно, но, так как его аргумент равен 2гг, то мы имеем:
zp — 1 — g(.P — 1) (log х + 2«) — е2тЛ (р — 1) д-р — 1 _
Следовательно, сумма обоих интегралов, взятых вдоль ab и вдоль а'Ь', имеет пределом:
+оо
[1 _e2n<(p-l)J I
J 1 "I о
Вычет R равен (— 1)₽-1, предполагая аргумент —1 равным тт, т. е. (рн равен	Следовательно, мы имеем:
+со
Г хР^ л _	_ 2тп _	— тт
] 1 Ц-х Х 1—— e(p-i)w ' sin (/?— 1 )тг ’ о
гили окончательно:
хР-1
ах = -------.
sin ри
(39)
и
299. Приложение к мероморфным функциям. Рассмотрим функции -f(z)t <p(z), из которых одна f(z) — мероморфная внутри некоторого замкнутого контура С, а другая y(z)—голоморфная внутри того же контура, причем функции f(z), /' (z , <р (z) непрерывны на контуре С.
Найдем особые точки функции	, лежащие внутри контура С.
J (z>
Очевидно, что точка а, которая не есть ни полюс, ни нуль функ-(г)
ции /(г), есть обыкновенная точка функции -—-, а следовательно, и J (z)
f'(z)
функции (р (г) —-—, Если точка а есть полюс или нуль функции f(z), J\z'i
то в области этой точки мы имеем:
f(z) = (z — а)нф(г), где ц есть положительное или отрицательное целое число, равное порядку функции в этой точке (§ 292), а ф (z) — правильная функция, не равная нулю при z = a. Взяв логарифмические производные от предыдущего соотношения, получаем:
/'(g) _ U , Ф' (z) /(г) z—— а “*”ф(г)
Так как, с другой стороны, в области точки а мы имеем: ф (*) = ф (а) (z — а) <р' (а) -ф ...,
/' (г)
то точка а есть полюс первого порядкд произведения	, и вы-
§ 299
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
97
чет равен ц ip (а), т. е. равен т р (а), если точка а есть нуль т-го порядка функции f(z), и равен —пц>(а), если точка а есть полюс /г-го порядка функции f(z). Следовательно, предполагая, что функция /(г) не имеет корней, расположенных на контуре С, мы имеем по общей теореме о вычетах:
1 Г f4z\
ы J ?7(7) =S <?(*)- S m с
(40)
где а есть один из нулей функции /(г), лежащих внутри контура С, а b — один из полюсов, лежащих внутри того же контура, причем каждый полюс и нуль считается столько раз, каков его порядок кратности. В формуле (40) заключается бесконечное множество соотношений, так как за <р (z) можно взять любую голоморфную функцию.
Положим, в частности, ср (z) = 1; тогда предыдущая формула обращается в
N—P=
1
2 я/
(41)
где X и Р обозначают, соответственно, число нулей и число полюсов функции f(z), заключающихся внутри контура С. Из этой формулы о	/'(•?)
можно вывести важную теорему. В самом деле, —— есть производная f (^)
от Log [/(2)]; следовательно, чтобы вычислить определенный интеграл, стоящий в правой части формулы (41), достаточно знать изменение функции
log f(z) 1 + /arg f(z),
когда переменное z описывает в прямом направлении контур С. Но f(z) возвращается при этом к своему начальному значению, тогда как аргумент функции f(z) возрастает .на 2А"п, где К есть положительное пли отрицательное целое число. Следовательно, мы имеем:
2 яг
(42)
т. е. разность N—Р равна частному от деления на 2я изменения аргумента функции f(z), когда переменное z описывает в прямом направлении контур С.
Отделим в / (г) действительную часть и коэфициент при /:
f(z)—X-\-iY',
когда точка z~x-\-iy описывает в прямом направлении контур С, точка, координаты которой относительно прямоугольных осей того же направления, как и первые, суть X и Y, описывает также некоторый замкнутый контур Сг, и достаточно построить приближенно этот контур , чтобы получить число К- В самом деле, для этого нужно только сосчитать число оборотов, на которые повернулся в прямом 7 Э. Гурса. т. II. ч. 1.
98'
ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
§ 300.
в виде:
(43>
или в обратном направлении радиус-вектор, соединяющий точку (А\ У) с началом координат. Формулу (42) можно представить иначе
д, п 1	. (Y\	1 {XdY—YdX
С	с
Y так как функция — возвращается к прежнему значению, когда сывает замкнутый контур С, то определенный интеграл Г XdY — YdX J X2-)- У2
Z опи-
/ Y \	Y
равен 1 I,—- I, где число 1 равно указателю частного вдоль
С, т. е. равно разности между числом случаев, когда это частное обращается в бесконечность, проходя от -{-оо к —оо, и числом случаев, когда оно обращается в бесконечность, проходя от — оо к ~{- оо (т. 1, § 76). Следовательно, мы можем представить формулу (43) в сильном виде:
контура
равно-

(44)
также полю-
300. Приложение к теории уравнений. Если функция /(г) голоморфна внутри контура С и не имеет на этом контуре ни сов, ни нулей, то предыдущие формулы содержат только корни уравнения /(г) = 0, заключающиеся внутри С. Формулы (42), (43), (44) определяют число N этих корней через изменение аргумента функции
/ У\
f(z) вдоль контура С или через указатель ZI — I. Если функция f(z) есть целый многочлен относительно z с произвольными коэфициентами и контур С состоит из конечного числа дуг уникурсальных кривых, то этот указатель можно вычислить посредством элементарных действий, именно, умножениями и делениями многочленов. В самом деле, пусть будет АВ дуга контура, которую можно представить формулами:
* = Ч>(0> У = Ф(О>
где <р(/), ф (I) — рациональные функции параметра t, который надо изменять от а до jj, чтобы точка (х, у) описала дугу АВ в прямом направлении. Заменяя в многочлене f(z) переменное z через (р (/) -|- гф (/)-мы получим:
f(z) = R(t)-^iRy (t),
где R(t), R2(t) — рациональные функции от i с действительными коэфи-/ у\
циентами. Следовательно, указатель I I — 1 вдоль дуги АВ равен
R
указателю рациональной функции-^, когда / изменяется от а до
этот указатель мы уже умеем вычислять (т. I, § 76). Следовательно
§ 300—301
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
99
если контур С состоит из -дуг уникурсальных кривых, то, чтобы иметь число корней уравнения f(z) = Q, заключающихся внутри этого контура, достаточно вычислить указатель для каждой дуги и взять их полусумму.
Примечания. 1. Когда функция f(z) голоморфна в области D, ограниченной только одним контуром, и не обращается в нуль в этой области, то на основании предшествующей теоремы все значения корня fy'f(z') голоморфны в той же области, так как аргумент arg f(z) возвращается всякий раз к своему начальному значению, когда z описывает произвольную замкнутую кривую, расположенную внутри D (см. § 260).
2.	Из предыдущих результатов нетрудно вывести теорему Даламбера. Докажем сначала лемму, которой мы будем неоднократно пользоваться. Пусть будут F (z), Ф (z) функции, голоморфные внутри некоторого замкнутого контура С, непрерывные на этом контуре и такие, что вдоль С мы имеем | Ф (z) | < | F (z) при этих условиях уравнения
F(z) = 0, F (z)Ф (z) = 0
имеют внутри контура С одинаковое число корней. В самом деле, мы имеем
„	У 1	. Ф(2)
когда точка z описывает контур С, точка Z—1 -j-	 описывает замкнутую кри-
вую, лежащую всеми своими точками внутри круга с радиусом, равным единице, и с центром в точке Z = 1, так как вдоль С будет | Z— 1 | < 1. Следовательно, когда z-	, Ф (z)
переменное z описывает контур с, аргумент множителя I -|—^—--возвращается к Г" (Z)
своему начальному значению, и изменение аргумента суммы Д’(г) + Ф(л) равно изменению аргумента функции F(z); таким образом, оба уравнения имеют внутри С одно и то же число корней.
Пусть будет/(z) многочлен т-н степени с произвольными коэфициентами; положим
F(z)=:	Ф(л) = Л1г"г-‘ + ... + Лт, f (z) = F(z) + Ф (z).
Возьмем положительное число R настолько большое, чтобы было:
‘о
очевидно, что вдоль окружности С с радиусом, большим, чем R, и с центром в начале координат мы будем иметь | -1 < 1. Следовательно, уравнение /(z) = 0 имеет внутри круга С тоже число корней, как и уравнение F(z) = 0, т. е. т.
301.	Формула Йенсена. Пусть будет/(г) функция, мероморфная внутри круга С с радиусом гис центром в начале координат и голоморфная и не имеющая нулей на окружности С. Пусть будут а{, а%...ап нули и bt, b2.....Ьт по-
люсы функции /(z), находящиеся внутри этого круга, причем каждый из них считается столько раз, каков его порядок кратности; мы предположим, сверх того, что начало координат не есть ни полюс, ни нуль функции f(z). Вычислим определенный интеграл
/^{Log[/(z)]^,	(45)
с
взятый в прямом направлении вдоль С; для этого будем перемещать переменное z, например, от точки z= г, лежащей на действительной оси, взяв для аргу-7*
100 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 301
мента функции f (z) некоторое начальное значение. Интегрируя по частям, будем иметь:
/ = { Log (z) Log [/(z)] } (C)— ^Log (z) dz,	(46)
C
где первый член правой части обозначает приращение произведения Log(z)Log [/(z)J, когда переменное z описывает окружность С. Если начальное значение аргумента переменного z равно нулю, то это приращение равно:
(log г 4- 2r.t) {Log[/ (г)] + 2zi (л — т)} — log г Log [ / (г)] = = 2л/ Log [/ (г)] Ц- 2и (л — т) log г — 4 (п — т) к2.
Чтобы вычислить определенный интеграл формулы (46), рассмотрим замкнутый контур Г, образуемый окружностью С, окружностью с, описанною из начала координат бесконечно малым радиусом р, и двумя бесконечно близкими краями ab, а'Ь' разреза, проведенного вдоль действительной оси от точки z т= р до точки z-.-r (черт. 60). Мы предположим для определенности, что функция / (z) не имеет на этой части действительной оси ни полюса, ни нуля; в противном случае мы проведем разрез, образующий бесконечно малый угол с действительною осью. Функция Log (z) голоморфна внутри контура Г, и по общей формуле (40) мы имеем соотношение:
J L°g (^7((f) dz + ( Log JjTfdz + j* Log (z) dz + ab	C	b'a’
+ f L°g (Z)	= 2w Log ( 2	) •
J J (z)	\Ь^.2.. ,bm)
Интеграл, взятый вдоль круга с, стремится к нулю вместе с р, так как произведение z Log (z) бесконечно мало вместе с р. С другой стороны, если аргумент переменного z равен нулю вдоль аЬ, то он равен 2г. вдоль а'Ь', и сумма двух соответствующих интегралов имеет пределом:
('2п-^ .) /(*)
о
dz=^~ 2iz/ Log [/(г)] -h 2kz Log [/(0)].
Следовательно, остается
( Log (г) тй’ dz ы Log () + 2я’Log 1770)1 ’ c
и формула (46) принимает вид:
2ri (п — т) log г 4- 2rZ Log [f (0)] — 2ri Log (	— 4 (л __ m) г'2.
‘От/
Чтобы вычислить интеграл вдоль круга С, можно положить z—rew и из-dz
менять ? от 0 до 2-. Отсюда имеем — = zde; пусть будет /(z) = /?еФ', где R и Ф - непрерывные функции от if вдоль С. Приравнивая между собою коэфи-циенты при i в предыдущей формуле, мы получим формулу Йенсена (Jensen)*:
1-
log/?d» = log I/(0)|+log
0
b,b,... bm' rn-m ---------
а^а,...an\
(47)
в которую входят только обыкновенные неперовы логарифмы.
* Acta Mathematica, ?. XXII, стр. 359.
§ 301-302
111. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
101
г"
lata.2.. .а
(48)
Если функция/(z) голоморфна внутри С, то произведение blb.2...bm, очевидно, должно заменить единицею, и формула (47) обращается в
2-
log Я df =log|/(0) | + log
0
Это соотношение интересно тем, что в него входят только модули корней функции /(г), заключающихся внутри круга С, и модуль функции f(z) вдоль этой окружности и в центре ее.
302.	Формула Лагранжа.. Формулу Лагранжа, которую мы вывели методом Лапласа (т. I, § 186), можно также весьма легко вывести из общих теорем Коши. Способ, который мы здесь изложим, принадлежит Эрмиту.
Пусть будет f(z) функция, голоморфная внутри некоторой области D, содержащей точку а. Уравнение
F(z} = z— а — a/(z) = 0,	(49)
где а — переменный параметр, имеет при а = 0 корень z— а. Предположим, что ат^О. Пусть будет С круг с центром в точке а и с радиусом г, расположенный в области D и такой, что вдоль этого круга | a.f(z) | <С| z — а |; по доказанной выше (§ 300) лемме уравнение F(z) ~ О будет иметь внутри контура С то же число корней, как и уравнение z — а = 0, т. е. один корень; обозначим этот корень через ?.
Пусть будет П (г) функция, голоморфная в круге С. Функция II (z)
—-— имеет внутри круга С только один полюс, точку z = s, и со-^(•г)	п
ответствующий вычет есть —; следовательно, по общей теореме мы
имеем:	П(0_ 1 Г II(z) _ j_ Г II (z) dz
F(£) 2ni J F(z) Z 2wjz— a — af(z)' c	c
Чтобы получить разложение по степеням а интеграла, стоящего в правой части, мы поступим так же, как при выводе формулы Тейлора; мы
будем	иметь: 1	=	1	|_ Я/(>) . z — а — af(z) z — a (z — а)2 [ot/(z)]n .	1	Г gf(z)ln+1 ' (z— a)n*i ' z — a — a.f(z) z— aJ
Внося	это значение б интеграл, получим: =4 + «А + • • • +	г,
где		 1 С И (г) dz	_ 1 Г [/(z)]"II (z)rfz 0 2tuJ z-—а	п 2tuj (z—<z)n + 1 R =±C	Щ 2nZ } z — a — a J (z) Iz — a c
102 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 302
Пусть будет т наибольшее значение модуля произведения af(z) вдоль окружности С; по предположению т меньше, чем г. Если М есть наибольшее значение модуля функции II (z) вдоль С, то мы имеем:
1 / т\Л+12ялИ
2д \ г J г — т’
отсюда видно, что при неограниченном возрастании п остаточный член /?„+1 стремится к нулю. Далее, из выражений коэфициентов /	. из формул (14) (§ 284) получаем:
1 dn
/0 = П(а),..., 4 = -Г^я-{[/(«)ГП(<»)}.
и мы приходим к следующему разложению в ряд:
4 00
(Ж
П = 1
Эту формулу можно также представить в несколько ином виде. Положим П(г) = Ф(г)[1—а/' (г)], где Ф(г)— функция, голоморфная в той же области. Тогда левая часть формулы (50) не будет содержать а и обратится в Ф (ч). Что касается правой части, то заметим, что она содержит два члена степени п относительно а, сумма которых равна:
ап dn	ап dn~y
W [/«'7'4) } =
ап dn~A
-=	{Ф'Ю Г/(Л]л 4- л Ф(а) [/(а)]л-1/(а) — « Ф(Л\f (а)]"-У'(а)} =
дЛ ДП-У
и мы получаем формулу Лагранжа в ее обычном виде [т. I, § 166, формула (52)]:
/у	/7Л~1
Ф (") = Ф (а) + т Ф' (a)f(a) + ... + ft,-	{Ф'(«) [/(а)]"} 4~ - • • (51)
Мы предположили, что вдоль окружности С мы имеем
что будет иметь место, если | а| достаточно мало. Чтобы найти наибольшее значение |а|, ограничимся случаем, когда /(г) есть многочлен или целая функция. Пусть будет 9Л (г) наибольшее значение модуля |/(г)| вдоль окружности С, описанной из точки а как из центра радиусом, равным г; предыдущее доказательство применимо к этому кругу, если только | а | 9)1 (г) г. Таким образом мы пришли к разысканию
Г
наибольшего значения отношения , когда г изменяется от 0 до 9)? (г)
-|-оо. Это отношение равно нулю при г = 0, так как, если бы 9)1 (г) стремилось к нулю вместе с г. то точка z — a была бы нулем функции f (z), и F(z) делил ась бы на z—а. То же отношение равно нулю и
§ 302 -303
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
103
при г=оо, так как в противном случае f(z) было бы многочленом
первой степени (§ 287). Отсюда следует, что
г
W)
проходит через наи-
большее значение р при некотором значении г7 радиуса г. Из предыдущего рассуждения следует, что уравнение (49) имеет один и только один корень с модулем, меньшим га, если | а | < g; следовательно, разложения (50) и (51) имеют место, если |а| не превосходит g, и функции II (z) и Ф (г)' голоморфны в круге Сг с радиусом гг
Пример. Пусть будет /(z)— —; уравнение (49) имеет корень
у  1 — V 1~2аГ+^
4	а	’
стремящийся к а, когда а стремится к нулю. Возьмем II (z) — 1. Формула (50) обращается в
+ y	=1+У ял Xh(a), .52)
1/1—2аа + а«	^nldanl 2» J	I52)
где Хп — полином Лежандра и-го порядка (т. I, § 180). Чтобы найти границы в которых применима формула (52), предположим, что а действительно и больше единицы. Очевидно, что на окружности с радиусом г мы имеем 9Ji(r) =
(а + r)J - 1
=	%—~ • и мы приходим к разысканию наибольшего значения отношения
2/*
(д' -|- г)2_1 ’ когда г возрастает от 0 до + оо. Этот максимум имеет место при
г — 1/а2—1 и равен а — у'а1 — 1. Точно так же, если а содержится между — 1
pl _1_ 1 _ д2 и 4-1, то при помощи простых вычислений мы найдем, что 98 (г) —	.-г.
к»	/,---,
Максимум отношения	имеет место при г — у 1 — а2 и равен единице.
Нетрудно проверить эти результаты. В самом деле, корень ]/1 — 2аа2 + а2, рассматриваемый как функция от а, имеет две критических точки а ± ]/д3 — 1 • Если а > 1, то ближайшая к началу координат критическая точка есть а — |д2 — 1 • Если а содержится между — 1 и —1, то обе критические точки а ± i [/1 — а2 имеют модуль, равный единице.
В литографированном курсе Эрмита (4-е издание, стр. 185) дано подробное исследование этим методом уравнения Кеплера z — а = a sin z. Задача приводится к вычислению того корня трансцендентного уравнения ег(г—l) = e-'’(r-f-1), который содержится между 1 и 2. Стильтьес получил следующие значения:
>1 = 1,19967 86402 57734, и = 0,66274 34193 492.
303. Исследование функции при бесконечно больших значениях переменного. Чтобы исследовать функцию f(z) при значениях перемен-1 ного, модуль которых неограниченно возрастает, можно положить z=—,-
и исследовать функцию /(Д-) вблизи начала координат. Но нетрудно \г /
устранить это промежуточное преобразование. Предположим сначала, что можно найти такое положительное число /?, чтобы всякое конечное значение переменного г с модулем, ббльшим /?, было обыкновенною точ-
104 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § ЗСЗ кою функции / (г). Если из начала координат мы опишем круг С радиусом, равным /?, то функция f(z) будет правильною во всякой точке z, лежащей на конечном расстоянии вне круга С. Мы будем называть областью бесконечно удаленной, точка область плоскости, расположенную вне круга С.
Рассмотрим вместе с кругом С концентрический круг С' с радиусом Так как функция f(z) голоморфна в круговом кольце, заключающемся , между С и С', то, по теореме Лорана, она равна сумме ряда, расположенного по положительным и отрицательным целым степеням переменного г:
+оо
/(*) = £ A_mzm.	(53)
Коэфициенты А_т этого ряда не зависят от радиуса /?', и, так как этот радиус можно взять сколь угодно большим, то отсюда следует, что формула (53) применима во всей области бесконечно удаленной точки, т. е. во всей области, расположенной вне С. Здесь надо различать несколько случаев:
1.	Если разложение функции f(z) содержит только отрицательные степени:
/(г) = Л0-|-Л1-—. -\~Ат	,	(54)
то при неограниченном возрастании модуля Izl функция/(г) стремится к Ао; в этом случае функция /(г) называется правильною в бесконечно удаленной точке, или, иначе, бесконечно удаленная точка есть обыкновенная точка функции f{z'). Если коэфициенты Ап, AJ,...,Am_1 равны нулю, но А нулю не равно, то бесконечно удаленная точка называется нулем т-го порядка функции f(z).
2.	Если разложение функции f(z) содержит конечное число положительных степеней переменного г:
/(г) = Втгт + Вт_^ + . .. + B,z-ф- Ао -ф- A. -j- + А2 1 -ф-..., (55)
где Вт не равно нулю, то бесконечно удаленная точка называется полюсом т-го порядка функции f{z), а многочлен	. -\-Byz—
главною частью для этого полюса; модуль \f(z) I неограниченно возрастает вместе с |г|, как бы переменное z ни перемещалось.
3.	Наконец, если разложение функции /(г) содержит бесконечное множество положительных степеней переменного z, то бесконечно удаленная точка называется существенно особою точкою функции f(z). Ряд, образованный положительными степенями переменного z, представляет целую функцию G (z), которая называется главною частью в области бесконечно удаленной точки. В частности, мы видим, что целая функция имеет бесконечно удаленную точку существенно особою точкою.
Предыдущие определения были как бы предуказаны теми определениями, которые были приняты для точки, находящейся на конечном
§ 303
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
105
-расстоянии. В самом деле, полагая с мы превратим функцию/(г) z'
в функцию <р (•?')=/(-р-j от г', и нетрудно видеть, что мы лишь перенесли на бесконечно удаленную точку определения, принятые для точки г'= 0 относительно функции <р(г'). Рассуждая по аналогии, казалось бы естественным назвать вычетом коэфициент А-^ при z в разложении (53), но это было бы неверно. Чтобы сохранить характеристическое свойство вычета, мы будем называть вычетом относительно бесконечно удаленной точки коэфициент при — с обратным
знаком, т. е. — А3. Это число попрежнему равно
причем интеграл взят в прямом направлении вдоль контура области бесконечно удаленной точки. Но, так как областью бесконечно удаленной точки является часть плоскости вне С, то здесь соответствующее прямое направление противоположно обычному направлению. В самом деле, этот интеграл приводится к интегралу:
1 CA-jdz	а, О	\
—- I-----= —1 Log z ,
2т J z	2,т \	/с
и, когда z описывает окружность С в надлежащем направлении, аргумент переменного z уменьшается на 2п, и интеграл равен —А.,.
Важно заметить, что функция может быть правильною в бесконечна удаленной точке, хотя вычет ее не равен нулю, например функция 1+4-
Если бесконечно удаленная точка есть полюс или нуль функции f(z),. то в области этой точки функцию можно представить в виде:
/(г) = гн<р(2),
где р. есть положительное или отрицательное целое число, равное порядку функции, взятому с обратным знаком, и функция <р (г) правильная в бесконечно удаленной точке и не равная нулю при г=оо. Отсюда получаем:
И । <?'(г) .
/(г) z ! (с (г)’
.	ф' (г)
функция •—— также правильная в бесконечно удаленной точке, но ее
У Z	1 л 1
разложение начинается с члена —- или с высшей степени —. Сле-с2	z
106 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 303-304
довательно, вычет функции  равен —jx, т. е. порядку функции/(г) J\z)
в бесконечно удаленной точке. Мы имеем здесь такое же предложение, как для полюса или нуля, лежащих на конечном расстоянии.
Пусть будет f(z) однозначная функция, имеющая конечное число особых то^ек. Пользуясь только что принятыми определениями для бесконечно удаленной точки, можно выразить весьма просто следующую теорему:
Сумма вычетов функции f(z) во всей плоскости, включая и бесконечно удаленную точку, равна нулю.
Доказательство этой теоремы очень просто. Опишем из начала координат круг С, содержащий все особые точки функции /(г) кроме бесконечно удаленной точки. Интеграл ^f(z)dz, взятый вдоль этого круга в обычном направлении, равен произведению 2пг на сумму вычетов относительно всех особых точек функции /(г), лежащих на конечном расстоянии. С другой стороны, тот же интеграл, взятый вдоль того же круга в обратном направлении, равен произведению 2п/ на вычет относительно бесконечно удаленной точки. Так как сумма обоих интегралов равна нулю, то равна нулю и сумма вычетов.
Коши назвал полным вычетом функции /(г) сумму вычетов этой функции для всех особых точек, лежащих на конечном расстоянии. Если особых точек конечное число, то мы видим, что полный вычет равен вычету относительно бесконечно удаленной точки, взятому с обратным знаком.
При m e р. Пусть будет
Р (z) /оМ’
где Р (z) и Q (z) — многочислены, из которых степень первого равна р, а степень второго — четному числу 2<у. Вне круга С с радиусом R, большим модулей корней многочлена Q (г), функция f (г) однозначна, и мы имеем:
’/ (z) = z Р - я и (z),
где функция <р (z) — правильная в бесконечно удаленной точке и не равная нулю при z—oo. Бесконечно удаленная точка есть полюс функции /(г), если p>q, и обыкновенная точка, если p~Cq. Вычет, наверное, равен нулю, если р < q — 1.
IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
304. Полярные периоды. Изучение криволинейных интегралов показало нам существование при некоторых условиях периодов у этих интегралов. Так как всякий интеграл от функции /(г) комплексного переменного z есть сумма криволинейных интегралов, то ясно, что этот интеграл также может иметь некоторые периоды. Рассмотрим сначала аналитическую функцию /(г), имеющую внутри замкнутой кривой С только конечное число изолированных особых точек — полюсов или существенно особых точек. Этот случай вполне аналогичен тому, который мы изучали относительно криволинейных интегралов (т. I, § 145), и прежние рассуждения применимы здесь без изменений. Все пути, расположенные
§ 304	IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	107
внутри контура С, которые можно провести между точками z0, Z этой области, и не проходящие ни через одну из особых точек функции f(z), приводятся к некоторому определенному пути, соединяющему эти обе точки, и к нескольким петлям, описанным из точки z0, вокруг особых точек аг, а2, ..ап функции f(z). Пусть будут Л,, А2, ..., Ап соответствующие вычеты функции /(г); интеграл ^f(z}dz, взятый вдоль петли, окружающей точку а2, равен	то же будет и для других пе-
z
тель. Следовательно, различные значения интеграла J/(z) dz содержатся
в формуле: z
J/(a) dz = F(Z)-\- 2ni (m^ + m2A2 -f- . . . -J- mnAn), (56) «0
где F(Z)— о^но из значений этого интеграла, соответствующее некоторому определенному пути, а mv т2, ...—произвольные положительные или отрицательные целые числа; периоды интеграла равны
2тгМп 2щД,,	, 2тАп.
В большинстве случаев точки а2,а2,...,ап суть полюсы, и периоды происходят от бесконечно малых обходов вокруг этих полюсов; поэтому эти периоды называются обыкновенно полярными периодами, чтобы отличить их от периодов другого рода, о которых мы будем говорить дальше.
Вместо области плоскости, лежащей внутри замкнутой кривой, можно рассматривать часть плоскости, простирающуюся в бесконечность;тогда функция f(z} может иметь бесконечное множество полюсов, и интеграл — бесконечное множество периодов.
Если вычет относительно особой точки а функции f(z) равен нулю, то соответствующий период равен нулю, и для интеграла точка а есть также полюс или существенно особая точка. Но, если этот вычет не равен нулю, то точка а есть критическая логарифмическая точка интеграла. Например, если точка а есть полюс тя-го порядка функции f(z), то в области этой точки мы имеем:
Rm	R	R
и следовательно, z
(р
f,г| iz=с~	— •+« Log <г-0) +
4-4(z-a)+X(-^L2 + ..., Л
108 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 304 где С—постоянное, зависящее от начального значения z0 и от пути, проходимого переменным.
Применяя эти общие рассуждения к рациональным функциям, мы сделаем очевидными некоторые уже известные результаты. Так, чтобы интеграл от рациональной функции также был функциею рациональною, необходимо, чтобы этот интеграл не имел периодов, т. е. чтобы все вычеты были равны нулю. Это условие вместе с тем и достаточно. Определенный интеграл
J 2— а
имеет единственную критическую точку z — а, и соответствующий период равен 2тг/. Следовательно, именно в интегральном исчислении мы найдем истинное происхождение множественности значений логарифма
Г dz
Log (г — а), как мы это уже подробно выяснили для I— (§ 282). Рас-
J 2
1 смотрим еще определенный интеграл
Z fdz о
он имеет две логарифмические критические точки i и —i, но только один период, равный п. Если ограничиться действительными значениями переменного, то различные значения arctgx представляются как различные функции переменного х. Напротив, мы видим, как, исходя из идей Коши, мы приходим к взгляду на эти значения как на различные ветви одной и той же аналитической функции.
Примечание, Если определенный интеграл имеет более трех периодов, то его значение в любой точке z может быть вполне неопределенным. Напомним сначала следующий результат из теории непрерывных дробей *, Если дано иррациональное действительное число а, то всегда можно найти два таких положительных или отрицательных целых числа р и q, чтобы было I р + дч | > е, где г —любое положительное число.
Выбрав числа р и q таким образом, составим последовательность кратных числа р -|- qa. Всякое действительное число А равно одному из этих кратных или заключается между двумя последовательными кратными. Сдедовательно, всегда можно найти два таких целых числа тип, чтобы было \m-j-na-A | < е. Рассмотрим теперь функцию
! « = S +г4-Л А).
где а,Ь,с — различные полюсы, а а, $ — иррациональные действительные числа, Z
Интеграл ftzjdz имеет четыре периода: 1, a, i, /р. Пусть будут / (z)— значение интеграла, взятого вдоль некоторого частного пути, идущего от z0 к Z, и
* Несколько ниже дано прямое доказательство этого предложения (§ 317).
§ 304—305 IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
109
jM-f-zVz— произвольное комплексное число. Всегда можно найти четыре таких целых числа т, п, т', п', чтобы модуль разности
/ (z) Д- т Д- па Д- I (т1 Д- п'ф) — (/И Д- Az)
был меньше любого положительного числа е. Для этого достаточно, чтобы было: |m-f-zza — A|<y, I т’ Д- zz'? — В \ < ~,
где М -+- А/—/(г)=АД-/Д. Следовательно, всегда можно переместить переменное по такому пути, соединяющему две заданные точки ze и z, чтобы значение интеграла f (z) dz, взятого вдоль этого пути, сколь угодно мало отличалось от всякого заданного числа. Мы видим еще раз, насколько важное значение для конечного значения аналитической функции имеет путь, проходимый переменным.
f	и,
305. Изучение интеграла I —-	. Интегральное исчисление дает
о
точно так же самое простое объяснение множественности значений функции arcsinz; в самом деле, эти значения происходят от различных значений определенного интеграла
( *	' Т'
A(z)=	,-_^	(57)
J у 1 — z-0
в зависимости от пути, описываемого переменным. Предположим для определенности, что мы выходим из начала координат с начальным значением 1 для корня. Обозначим через / значение этого интеграла, взятого вдоль определенного (или прямого) пути, например вдоль прямой, если точка z не лежит на действительной оси вне отРезка, заключающегося между — 1 и 4-1; если же z действительно и | z | > 1, то за прямой путь мы возьмем путь, расположенный под действительною осью. Так как точки z — -j-l и z = —1 суть единственные критические точки корня 1—z2, то всякий путь, идущий от начала координат в точку z, можно заменить последовательностью петель, описанных во круг обеих критических точек 1 и —1, и прямого пути. Следовательно, мы приходим к изучению значения интеграла вдоль петли. Рассмотрим, например, петлю ОатаО.
описанную вокруг точки z — -]~1; эта петля состоит из отрезка Оа, идущего из начала координат в точку 1 — е, окружности ата с радиусом, равным е, и с центром в точке z = -(-l и отрезка аО (черт. 61). Следовательно, интеграл, взятый вдоль петли, равен сумме интегралов:
1—е	о
110 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 305-306
Интеграл, взятый вдоль малой окружности, стремится к нулю вместе с ег z— 1	„
так как произведение ......также стремится к нулю. С другой сто-
роны, когда z описывает эту малую окружность, корень меняет знак, и в интеграле вдоль отрезка аО должно взять для корня 1 — х1 отрицательное значение. Следовательно, интеграл вдоль петли равен: пределу интеграла
1— г
9 С dx J y-j— о
когда г стремится к нулю, т. е. равен и. Заметим, что значение этого интеграла не зависит от направления, в котором описывается петля, но мы возвращаемся в исходную точку с значением —1 для корня.
Если бы мы описали ту же петлю вокруг точки z = -|-l при начальном значении для корня, равном —1, то значение интеграла вдоль петли было бы равно — тт, и мы вернулись бы в исходную точку с значением и- 1 для корня. Точно так же мы увидим, что, описав петлю вокруг критической точки z ——1, мы получим для интеграла значения — тт или -|-тт в зависимости от того, выйдем ли мы из точки z — 0 с начальным значением -(-1 или —1 для корня.
Если переменное z описывает последовательно две петли, то мы вернемся в начало координат с начальным значением 1 для корня, и значение интеграла вдоль обеих этих петель будет равно 2п, О или — 2тт в зависимости от порядка, в котором описаны обе эти петли. Следовательно, четное число петель дает для интеграла значение 2/итг и приводит корень к его начальному значению -I- 1. Напротив, нечетное число петель дает для интеграла значение (2/га —1) тт, и. конечное значение корня в начале координат будет равно —1. Отсюда следует, что значение интеграла F(z) содержится в одном из двух видов:
2//гтг —J—Z, (2//г —1) тг— /, в зависимости от того, можно ли заменить путь, описываемый переменным, прямым путем с четным или нечетным числом петель.
306. Периоды ультраэллиптических интегралов. Точно так же можно изучить различные значения определенного интеграла
(58)
где Р (z) и R (z)— целые многочлены, из которых второй, R(z), степени п, обращается в нуль при п различных значениях переменного z:
R (z) — A (z — е2) (z — e,) ... (z— еп).
Предположим, что точка Г z0 отлична от точек ev е2, ..., еп; тогда уравнение и2 = R (zQ) имеет два различных корня -|-«0 .и —и0- Пусть будет и0 начальное значение корня IR(z). Если переменное z описывает какой-нибудь путь, не проходящий ни через одну из критиче-
§ 305	IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	111
ских точек ev е2, ..., еп, то значение корня ]/P(z) в каждой точке этого пути определяется его непрерывным изменением. Проведем в плоскости из каждой точки ег, е2,____ еп бесконечные разрезы так, чтобы
эти разрезы не пересекались между собою. Интеграл, взятый от zQ до какой-нибудь точки z вдоль пути, не пересекающего ни одного из разрезов (или прямого пути), имеет вполне определенное значение I(z) в каждой точке z плоскости. Остается рассмотреть, как влияет на зна-
Черт. 62.
чение интеграла петля, описываемая, исходя из точки zn, вокруг какой-нибудь критической точки et. Пусть будет 2Е. значение интеграла, взятого вдоль замкнутого контура, выходящего из точки zn и окружающего только одну критическую точку е{, причем начальное значение корня равно и0. Это значение 2Е, интеграла не зависит от направления, в котором описывается этот контур, а зависит только от начального значения корня в точке zn. В самом деле, обозначим через 2Е.' значение интеграла, взятого вдоль того же контура в обратном направлении,
причем начальное значение корня попрежнему равно ип. Если переменное z опишет рассматриваемый контур дважды в противоположных направлениях, то очевидно, что сумма получающихся интегралов будет равна нулю. Но интеграл вдоль первого контура равен 2£;, и мы возвращаемся в точку 20 с значением — ип для корня. Следовательно, интеграл, взятый вдоль этого контура в обратном направлении, равен — 2£Д и потому Е]=Е.. Рассматриваемый замкнутый контур можно привести к петле, образуемой прямой zoa, окружностью сг- с бесконечно малым радиусом и с центром в точке е[ и прямою azn (черт. 62). Интеграл,, взятый вдоль бесконечно мал, так как произведение
P{z)
V
(г —cz)
стремится к нулю вместе с модулем ]z — е, |. Что касается интегралов.
вдоль гйа и вдоль az0, то их элементы складываются, и мы получим:
,__I P(z)dz
где интеграл взят вдоль прямой линии, и начальное значение корня равно и0.
Интеграл, взятый вдоль любого пути, приводящегося к двум петлям, описываемым вокруг точек ел, е$, равен 2£а — 2Е,., так как после пер. вой петли мы приходим в точку z0 с значением —и0 для корня, и инте.
112 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 306
трал вдоль второй петли равен — 2£'р. После второй петли мы возвращаемся в точку z0 с прежним начальным значением и0. Если путь, совершаемый переменным, приводится к четному числу петель, описываемых последовательно вокруг точек еа, ер, е , е~, ..., ег, е~к (указатели а, ..., 7„ л взяты из чисел 1,2......л), и к прямому пути, идущему
от точки z0 в точку z, то, на основании предыдущего, значение интеграла, взятого вдоль этого всего пути, равно:
F (z) = I + 2 (£а - £р) + 2 (E.t - EJ Ч- •  • + 2 (Е* - Е-,).
Напротив, если путь, проходимый переменным, можно привести к нечетному числу петель, описываемых последовательно вокруг критических точек еа, е$, ..., е7, еу, е , то значение интеграла равно
F(z) = 2 (Ел-Е?) + ... + 2 (Е* -£х) + 2^-7.
Следовательно, рассматриваемый интеграл имеет периодами все выражения 2 (Eg—Eh); но все эти периоды выражаются через (п — 1), из них:
“1 = 2	- Еп), ш2 = 2 (£, - Еп),	= 2 (Еп_. - £„);
ъ самом деле, мы имеем:
2 (Е, — Eh) = 2 (Et — Еп) — 2 (Eh - Еп) = ш. - шл.
Так как, с другой стороны, 2Е11=ш^-}-2Еп, то мы видим, что все значения определенного интеграла E(z) в точке z содержатся в двух формулах:
F(г) =/4-^(0^... 4-/n„_1w„_1,
E(z) = 2Еп — 74-	+ ... + mn_^n_2,
где т3, т2, ..., /и„_1 — произвольные целые числа.
По поводу этого результата можно сделать несколько важных замечаний. Почти очевидно, что периоды не должны зависеть от начальной точки z0; в этом нетрудно убедиться. Рассмотрим, например, период 2Ej—-2Eh'’ этот период равен значению интеграла, взятого вдоль замкнутого контура Г, проходящего через точку z0 и содержащего только две критических точки ez, eh. Если, например, мы предположим, что внутри треугольника с вершинами в точках zQ, ez, eh нет никакой другой критической точки, то этот замкнутый контур можно привести к контуру bb'nc'cmb (черт. 62); уменьшая неограниченно радиусы обеих малых окружностей, мы видим, что период равен удвоенному интегралу:
еъ,
Р (z) dz
РЖ
взятому вдоль прямой, соединяющей две критических точки ez, eh.
Может случиться, что п—1 периодов Wj, <о2, ..., w 7 не будут независимыми. Это имеет место всякий раз, когда степень многочлена P(z)
четная, если только степень многочлена Р (г) меньше, чем — 1.
Опишем из точки z0 окружность С настолько большим радиусом, чтобы эта окружность содержала все критические точки, и предположим
§ 306	IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	113
для простоты, что мы перенумеровали эти критические точки от 1 до л в том порядке, в каком их встречает бесконечная полупрямая, вращающаяся вокруг точки zQ в прямом направлении. Интеграл
С P(z> dz
J 7^7) ’
взятый вдоль замкнутого контура гйАМАгй, образуемого радиусом z^A, окружностью С и радиусом Az0, проходимым в обратном направлении, равен нулю. В самом деле, интегралы, взятые вдоль z0A и Az0, взаимно уничтожаются, так как окружность С содержит четное число критических точек, и, описав эту окружность, мы вернемся в точку А с тем же значением для корня. С другой стороны, интеграл, взятый вдоль С, при неограниченном возрастании радиуса стремится к нулю, так как, на основании предположений, сделанных относительно степени много-z P(z)
члена P(z), произведение	стремится к нулю; так как этот
интеграл не зависит от радиуса, то отсюда следует, что он равен нулю.
Но рассматриваемый контур	можно привести к последова-
тельности петель, описываемых вокруг критических точек ег, е2, ..., еп в порядке их указателей. Следовательно, мы имеем соотношение:
ЧЕ, — ЧЕ, 4- ЧЕ, — ЧЕ, 4- ... ЧЕп, — ЧЕ,. = О, J	1	О	*х •		я л	ft
или иначе:
Ш] — <о2 —I— <о3 — о>4 4~ • • • 4~ wn-i=О-
Мы видим, что п—1 периодов интеграла приводятся к п — Ч периодам со,, о>2, ..., шя_2.
Рассмотрим еще интеграл более общего вида:
2 F(z)=(	Р^.
J Q(z) j/p(z)
где Р, Q, Р-—многочлены, из которых последний, 7?(z), имеет только простые корни. Из корней многочлена Q (z) некоторые могут входить в число корней многочлена 7?(z); пусть будут а4, a.2, ..., as корни, не принадлежащие к корням многочлена 7?(z). Как и выше, интеграл F(z) имеет периоды 2(£,— Ел), где ЧЕ,-попрежнему обозначает интеграл, взятый вдоль замкнутого контура, выходящего из точки z0 и оставляющего снаружи все корни обоих многочленов Q (г) и Р (z) кроме корня в;. Но этот интеграл имеет, кроме того, несколько полярных периодов, происходящих от петель, описываемых вокруг полюсов а4, а2, .. ., а^. Полное число периодов и в этом случае уменьшается на единицу, если степень п многочлена Р (г) четная, и если
А’<'7 4“21’
где р и q — степени многочленов Р и Q.
Пример. Пусть будет P(z) многочлен четвертой степени, имеющий кратный корень. Найдем число периодов интеграла:
Г
114 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 306—307
Если R(z) имеет двойной корень et и два простых корня е.2, е3, то интеграл
F(z) = С-----------r-dz
J (г — е2) yA(z — e2)(z — е3)
имеет период 2Е2— 2Е3 и, сверх того, полярный период, происходящий от петли вокруг полюса еу, на основании только что сделанного замечания оба эти периода между собою равны. Если R(z) имеет два двойных корня, то легко видеть, что. интеграл имеет только один полярный период.
Если R(z) имеет тройной корень, то интеграл
Z
dz
(2 — е,) \/А(г — е{) (г — е2) «о
имеет период 2Е1 — 2Е2, но, на основании общего замечания, этот период равен нулю. То же самое будет, если /?(г) имеет четверной корень. В итоге, если. R(z) имеет один или два двойных корня, то интеграл имеет один период', если R(z) имеет тройной или четверной корень, то интеграл, не амеет периодов.
Все эти результаты легко проверить непосредственно интегрированием.
307. Периоды эллиптического интеграла первого рода. Эллиптический интеграл первого рода
Z
где R(z) есть многочлен третьей или четвертой степени, первый с своею! производною, имеет согласно предыдущей общей теории два периода.. Мы докажем, что отношение этих двух периодов мнимое.
Не нарушая общности, можно предположить, что многочлен R(z)— третьей степени. В самом деле, пусть будет RA (z) многочлен четвертой , 1 степени; если а есть корень этого многочлена, то, полагая z = а-4-— „
У
получим (т. I, § 100):
dz ____ р dy
ТО) JFW)’
где R(y)— многочлен третьей степени, и очевидно, что оба интеграла имеют одинаковые периоды. Если R(z) есть многочлен третьей степени,, то всегда можно предположить, что он имеет корни 0 и 1, так каю достаточно сделать линейную подстановку z — аjjy, чтобы притти к этому случаю. Итак, все сводится к доказательству, что интегра.т
f* dz az	(59)'
J у д(1 —z)(a — z) «о
где а отлично от нуля и единицы, имеет два периода, отношение которых мнимое.
§ 307	IV. ПЕРИОДЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ	115
Если а — число действительное, то предложение очевидно; например, если а>1, то интеграл имеет два периода:
------, 2 Г	.
J /z(l — z)(a — z} .) Уг(1~z)(a — z) о	i
из которых первый — действительный, тогда как второй равен произведению / на действительное число. Ни один из этих периодов не может быть равен нулю.
Предположим теперь, что а — мнимое число, положим, например, что коэфициент при I в а положителен. Можно попрежнему взять за один из периодов
dz
У z (1 —z)(a— z) о
23=2
Применим к этому интегралу формулу Вейерштрасса (§ 278). Если z
изменяется от 0 до 1, то множитель	— остается положи-
/^(1-2)
тельным, и точка с аффиксом — описывает некоторую кри-]/ а — z
вую L, о виде которой нетрудно составить себе представление. Пусть
будет А точка с аффиксом а; если z изменяется от 0 до 1, то точка а—z описывает отрезок АВ, параллельный оси Ох, длина которого равна единице (черт. 63). Пусть будут Ор и Oq биссектрисы углов, образуемых прямыми ОА и ОВ с осью Ох; Ор' и Oq' — прямые, симметричные прямым Ор ~ и Oq относительно оси Ох. Если мы возьмем то значение корня У а— z, аргумент
которого заключается между 0 и -- , то точка
с аффиксом У а — z опишет дугу сф, идущую	Черт. 63.
от точки а на Ор к точке [J на Oq; следо-
вательно, точка у- опишет дугу аф', идущую от точки а' на Ор'
У а — z
к точке Р' на Oq'. Принимая во внимание формулу Вейерштрасса, в этом случае имеем:
1
(* У! 9
Й, = 2Z. I —-------= 2nZ.,
2Jyz(l-2)
о
где Zj — аффикс некоторой точки, лежащей внутри всякого выпуклого контура, окружающего дугу аф'. Ясно, что точка Z, расположена
116
ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 307
в углу p'Oq' и не может находиться в начале координат; следовательно, ее аргумент заключается между----------— и 0.
За второй период можно взять
dz
й2 = 2
= 2
. .2(1 — z)(a — z)
ОА
или, полагая га/,
dz
-z)(a — z)’
о
Q, = 2
Г_______dt______
J \t{\-t){\-at) ’ о
Чтобы применить к этому интегралу формулу Вейерштрасса, заметим, что, когда t возрастает от 0 до 1, точка at описывает отрезок ОА, а точка с аффиксом 1—at описывает равный и параллельный отрезок, идущий от точки z=\ к точке С (черт. 63). Выбирая надлежащим образом значение корня, мы, подобно предыдущему, получим:
dt
2, = 2Z, I —_Z_ = 2ttZ, , о
где Z2 есть мнимое количество, отличное от нуля, аргумент которого , п п „	2,
заключается между 0 и —. Следовательно, отношение периодов —, 2	SJj
или —2,— мнимое.
УПРАЖНЕНИЯ.
1.	Разложить по степеням х функции
> = 1(х+ у^1)т+1-(х-У^А)т,
где т — произвольное число.
Найти радиус круга сходимости.
2. Найти различные разложения функции
1 (z*+l)(z-2)
по положительным
или отрицательным степеням переменного z в зависимости от положения точки z
на плоскости.
3.	Вычислить определенный интеграл j z'2 Log	взятый вдоль окруж-
ности с радиусом, равным 2, и с центром в начале координат, причем начальное значение логарифма в точке z = 2 действительно. Вычислить определенный интеграл
dz
j/z- + z -j- 1
взятый вдоль того же контура.
УПРАЖНЕНИЯ
117
4.	Пусть будет /(z) функция, голоморфная внутри некоторого замкнутого контура С, окружающего начало координат. Вычислить определенный интеграл \f'(z) Log zdz, взятый вдоль кривой С, начиная от точки za. (С)
5.	Доказать формулу + сю f dt _ 1-3 5...(2/z—1)_. J (1+12)«+‘—	2-4-6.,.2/z
— <50
вывести из нее определенные интегралы
+ оо	+ <50
Г dt	f	dt
J [(* — a)2	р2]л+< ’ J (Д12 _|_ <2Bt + <?)«+*’
— <50	— <50
6.	Вычислить, пользуясь ’теорией вычетов, следующие определенные интегралы:
+ <50 1 sin тх dx 1	тиа действительны,
' X (х2 4- ц2)2 О
+ <50
Г cos ах ,
I -------dx, а действительно,
J 1 + х« — <50 + <50
С	й
1 Г~=>---> a и р действительны,
J (х2— 23/х—^2 — а2)т+1 г — <50 + <50
f cos хdx
J (х2+1)(Х2 + 4)’ — <50
I	+<50
('	3/--------- |
I 1/ 4x2 (1 — x) . lx log x dx
’	(1 +X)3 X’ .) (1+72)3’
о	0
+ <50 f cos ax — cos bx ,	,
i ---------------dx, а и b действительны и положительны.
J x2 0
Чтобы вычислить последний интеграл, можно проинтегрировать функцию ewz~_ebiz	\
----—---- вдоль контура, представленного на черт. 58. \ ,,	(	dv
7.	Если определенный интеграл |	—Гл—гл--------- имеет конечное
J	-1~ С.	J COS
О
значение, то он равен г	, где е ~ zt 1 и выбрано таким’образом, чтобы
.	. a Vac
коэфициент при i в —— был положителен.
118 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГЮ КОШИ § 307
8.	Пусть будут F(z) и G(z) голоморфные функции, и z — а двойной корень уравнения G(z) = 0, не обращающий в нуль функции F(z); соответствующий F(z\ 6F'(a)G"(d) — 2F(a)G"'(a)
вычет функции равен -----------------ЗТО"(а)]2---------
Z7 (z)
Если а есть простой корень уравнения G(z) = 0, то вычет функции jQj'xp
F'(a) G'(а) — F (a) G" (а) '
равен	[G'(<z)]3
9.	Вывести формулу
+ i
Г dx ___________________ r.i
J (х — a) )/1 — х2 j/1 — а2 ’
если интеграл взят вдоль действительной оси с положительным значением корня; а есть комплексное или действительное число, модуль которого больше единицы. Указать точное значение, которое должно взять для j/1—д2.
10.	Рассмотрим интегралы f — , f—— . где S и S, обозначают .! 1/1+z3 J l/1-t-z»
($)	(SJ
контуры, образованные следующим образом. Контур S состоит из прямой ОА, расположенной вдоль ОХ, длина которой неограниченно возрастает, из окружности с центром в точке О и с радиусом О А и, наконец, из прямой АО. Контур S, состоит из трех петель, окружающих точки а, Ь, с, аффиксы которых суть корни уравнения z2 -f- 1 = 0. Вывести соотношение между интегралами:
4-оо	I
Г	_	dz__ Г	_	dt__
J	]/1 + уз ’ J	/1— <з’
о	о
исходя из сравнения предыдущих интегралов.
11.	Вывести соотношение
Ч-оо
е-*' cos 2b х dx — ]/ it е-*’,
—'оо
интегрируя функцию <?-«’ вдоль контура прямоугольника, образуемого прямыми у.-0, у—b, х= + /?, х =— /?, и неограниченно увеличивая число R.
12.	Вычислить интеграл от функции e~zzn~i, где «действительно и положительно, взятый вдоль замкнутого контура, образуемого радиусом ОА, расположенным вдоль ОХ, дугою окружности АВ с центром в точке О и таким радиусом ВО, чтобы угол а- = АОВ заключался между 0 и . Неограниченно увеличивая ОА, вывести из полученного результата определенные интегралы:
Ч-оо	4-оо
У un-ie-at cos bu du,	M4-ie-aasin budu,
о	b
где а и b — действительные положительные числа. Доказать, что полученные формулы имеют место и при а = /-, если п < 1.
13.	Пусть будут т, т', п — целые положительные числа (т < п, т’<_ п). Вывести формулу:
4-оо
f Р™ — Р™' it Г /2m-f-1 \	. /2m'Ч-l \1
0
УПРАЖНЕНИЯ
119
14.	Вывести из предыдущей формулы формулу Эйлера:
+ оо Г t-m dt	г.
I 1 +	. / 2m 4- Г \ ‘
15.	Если действительная часть числа а положительна и меньше единицы, то + °°
Г еах dx  п
J 1 ч- ех	sinar.'
— оо
[ Эту формулу можно вывести из формулы (39) (§ 298), или можно интегри-eaz
ровать функцию ——— вдоль контура прямоугольника, образуемого прямыми
_у = 0, у = 2;:, x=-\-R, х =— R, и неограниченно увеличивать число R.
16.	Вывести формулу + оо
Г рах — о
J 1 ~rfZ = I:(Ctg Ctg6')-— оо
где действительные части чисел а и b положительны и меньше единицы.
[Взять интеграл вдоль контура прямоугольника _у=0, _y = r, x = -\-R, х = — R и воспользоваться предыдущим упражнением. |
17.	Из формулы
fd+z)'1 d7	-«(«—1)—*-4-1)
(С)
где п и k — целые положительные числа, и С — окружность с центром в начале координат, вывести формулы
[	. (п + 1)(л ч- 2) ... (п 4- k)
I (2 cos и)п+1 cos(п — k)udu — -vм -Q— - , -—'—7. d	1 • Z • • • Л
0
+1 r x^dx _ 1-3-5... (2л —1) J 1/1 — xi~7'	2-4-6... 2л
—о
[Следует положить г — е^‘п, потом cosa = x и заменить л через л -{- k и k через л.]
18*. Определенный интеграл
ф (х) — Г__________
J 1-а(х+ /х2-1 cosy) ’ о
к когда он имеет конечное значение, равен zt г —	, в зависимости от
|/ 1 — 2ах ч- а2
относительного положения точек а и х. Вывести отсюда выражение полинома Лежандра л-го порядка, данное Якоби:
1 cos v)ndf.
120	ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
19. Исследовать таким же образом определенный интеграл
Л г	df
J х — а + j/x*— 1 cos f
и вывести из результата формулу Лапласа:
X _ _£. С	df_______
"	“ J (x+l/x2— lCOSf)*+i’
О
гДе £ = ± 1, в зависимости от того, будет ли действительная часть переменного х положительна или отрицательна.
20*. Вывести последнюю формулу, интегрируя функцию
_______ 1
Z" + 1 j/Г — 2XZ +
вдоль окружности с центром в начале координат и неограниченно увеличивая радиус этой окружности.
2-/^
21*. Суммы Гаусса. Пусть будет Ts=e п (и и s — целые числа); обозначим через Sn сумму Го + 7\ -f- ... -j- Тп_1. Вывести формулу
<?___(1 + 0 (1 + г3л) ./—
—	2 V п‘
2-iz*
е п
Применить теорему о вычетах к функции f(z) =	----1 > взяв интеграл
вдоль контура прямоугольника, образуемого прямыми х = 0, х = п, у=-|-7?, у = — R, присоединив к нему две полуокружности, описанные из точек х = 0, х=п радиусами, равными г, чтобы избежать полюсов z = 0, z-~n функции <p(z);
затем неограниченно увеличивать число R.
22.	Пусть будет /(z) функция, голоморфная внутри замкнутого контура Г, содержащего точки а, Ь, с..../; если a, fi..1 — целые положительные числа,
то сумма вычетов функции
относительно полюсов а,Ь,с...I есть многочлен F (х) степени	—Ь
удовлетворяющий соотношениям:
/?(а)=/(а), F'(a) = f'(а), ... ,	0 (а)=/<“-!) (а),
F(Z>) = f(b), F'{b)—f'(b), ... , /=•<₽-D(Z>)=/(3-D(/>),
При решении этой задачи можно исходить из соотношения:
+ ~ ^<t(z)dz.
" (Г)
23*. Пусть будет /(z) функция, голоморфная внутри круга С с центром в точке а. С другой стороны, пусть будет alt а.2, , ап, ... неограниченная последовательность точек, лежащих внутри этого круга, причем при неограниченном
УПРАЖНЕНИЯ
121
возрастании числа п точка ап имеет пределом точку а. Для всякой точки z, лежащей внутри круга С, справедливо разложение:
п
/•(z)=/(a,) +	+(z — at)(z — а2)... (z — а„_{) V ч+ ••• .
ZJ Fn (ah)
h = l
где
F«(2)=(2-a()(z — а,)... (z — ап).
[Лоран, Journal de Mathimaiiques, 5-я серия, т. VIII, стр. 325.] [При доказательстве можно исходить из следующей формулы, которую легко проверить
1 =	1	, x — ai	___(х — а,)... (х —________
z —х z — а, (z — aO(z —	(z — a,)... (z —
,___1 (x —at)...(x—a„)
z — x(z — al)...(z — an)’
и поступать так же, как при выводе формулы Тейлора.]
24. Пусть будет zt — a-\-bi корень п-го порядка уравнения /(х) = X + —|-/К= 0, причем функция /(z) вблизи этого корня голоморфна. Доказать, что точка х = а, у = Ь есть кратная точка порядка п кривых 27 = 0, У=0; касательные в этой точке к каждой из этих кривых образуют равноугольный пучок, и лучи одного пучка суть биссектрисы углов, образуемых лучами другого.
25. Пусть будет f(z) = X-y iY — Апгт Н- 4- ... + Ат многочлен т-й степени с произвольными коэфициентами. Доказать, что все асимптоты кривых
А
X — Q, У=0 проходят через точку с аффиксом-------•- и расположены так, как
тАо прямые в предыдущем упражнении.
26*. Даны две функции /(х), F(x) переменного х; формула Лагранжа дает разложение одной из них по степеням другой. Чтобы точнее формулировать задачу, рассмотрим простой корень а уравнения F(x)=0 и предположим, что обе функции /(х) и F(x) голоморфны в области точки а. В этой области мы имеем:
причем функция ?(х)~ правильная при х = а, если а есть простой корень уравнения F(x)=0. Если мы заменим А'(х) через у, то предыдущее соотношение можно представить в виде:
х — а — у <р (х) = О,
и мы приходим к вычислению разложения функции /(х) по степеням переменного у.
Полученная формула часто ошибочно приписывается Вёрману (Burmann). (См. Nielsen, Bulletin des Sciences mathematiques, 2-я серия, т. 48, 1924, стр. 141.)
27*. Уравнение Кеплера. Уравнение z — а—esinz=0, где а и е — положительные числа, а < г., е<1, имеет один действительный корень, заключающийся между 0 и я, и два комплексных корня, действительная часть которых заключается между т~ и (/п + 1)я. где /«—положительное четное или отрицательное нечетное число; но нет ни одного корня, действительная часть которого заключалась бы между т- и (т + 1)-, если т есть положительное нечетное или отрицательное четное число [Врио (Briot) и Буке, Theorie des fonctions elliptiques, 2-е издание, стр. 199].
[Рассмотреть кривую, описываемую точкою и —z—а — esinz, когда переменное z описывает четыре стороны прямоугольника, образуемого прямыми х = т-, х = (/«-|-1)п, у = -[-/?, у =— R, где R весьма велико].
(122	ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
28*. При очень больших значениях числа т оба корня уравнения предыдущего упражнения, действительная часть которых заключается между 2т- и (2т 4- 1)к, приблизительно равны
2mc-h-£	(у)+log(2mz + y)J.
[Г у р ь е (Courier), Annales de ГЁсо1е Normale, 2-я серия, т. VII, стр, 73.]
29*. Обобщение формулы Лагранжа. Пусть /(г), ?(г) — функции голоморфные в окрестности некоторой точки а, С — круг с центром в точке а радиуса г такой, что вдоль окружности этого круга имеем:
lI/(2)l + IH(2)Kr-
Уравнение
F(z) = z— a — af(z)— f <p(z) -.= O
допускает внутри круга С один и только один корень С. Всякая голоморфная функция этого корня П(С) разлагается по степеням а и 0, исходя из формулы
, 11 <С) — _L С ____U_(z)dz____
/•' (Q~ 2~z J z — a — if(z)—^(z)’
которая дает на основании тех же рассуждений, как в § 302:
П (С\	цткп rfm + n ,
ГЕТу' ((;)Т^7'(С) = П И + Х ^п\ dam+n { 11	[?(«)]"}>
где предполагается, что индексы суммирования т и п не обращаются в нуль одновременно. Полагая
П (2) = Ф (2) [1 — а /' (2) — ₽ <р' (2)], имеем также: а/лйл rfm+n-i .
ф (Q = Ф (й) + S	{ф- (fl) [/(а)]- [? (а)]ч },
предполагая попрежнему, что хотя бы одно из чисел т и п отлично от нуля.
30*. Н а х о ж д е н и е голоморфной функции по ее действительной части. Пусть
/(л) = а0 + а{х + ... + апхп + ...
— функция, голоморфная внутри круга радиуса R с центром в начале координат. Мы будем также писать, отделяя ее действительную часть и коэфициент мнимой части:
/(л) = Р+/(?.
Вдоль окружности круга Сг, концентрического с первым и имеющего радиус г < R, Р и Q — непрерывные и периодические функции аргумента 0, и все коэфициенты ait а,,, ..., а„, ... выражаются с помощью интегралов, где присутствует только действительная часть Pr(d) функции / (х) вдоль окружности Сг. Действительно, на основании классических формул (§ 286), имеем:
2-
J РД8) + iQr (в) ] е- dd-, О
с другой стороны, в случае п > 0 имеем:
2г
\ РЛ8) 4- ZQr(e)] e^idd =. 0,
О
УПРАЖНЕНИЯ
123
так как этот интеграл совпадает с точностью до постоянного множителя с интегралом /(z) zn~ * dz.
с
Предшествующее соотношение можно записать с заменой i на — i: 2г.
\ [Pr (9) — iQr (9)]	= 0.
О
м следовательно, в случае п > 0: 2' капгп = Рг (0) е—п$ d$.	(1)
о
Это соотношение неприменимо в случае п = 0. Полагая ао —	>
имеем: 2,-	2г
2r.P0 = J Рг (0) d0, 2r.Q№ = J Qr (0) dO.	(2)
б	б
Эти формулы применимы также в предположении, что г = /?, в случае если функция /(х) непрерывна вдоль окружности круга радиуса R.
Пусть х=рг'? (р < г) — аффикс точки, внутренней к кругу Сг. Имеем:
+ ОО
п/(х) = г. (Ро 4- ZQ0) + '
/г = 1
что, на основании формулы (1) и (2), можно записать:
2г
о
ввиду того, что ряд под знаком интеграла — равномерно сходящийся. Сумма этого ряда равна
— (?— г
1 —<?'('? -8) Г
т. е.
где z ге& есть точка окружности круга Сг . Следовательно, окончательно:
2г
2-/(x) = 2rjQ0b РДО)£±5 d«.
J 2 * о
(3)
Итак, голоморфная функция f (х) вполне определена внутри круга Сг, если известно значение ее действительной части на контуре этого круга и значение коэфициента при i в начале координат.
В частности, значение действительной части Р определяется в каждой точке, внутренней к кругу Сг, с помощью значений, принимаемых ею вдоль контура круга Сг {принцип Дирихле).
124	ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
Исходя из формулы (3), можно легко получить верхнюю границу модуля функ-I % ~Н х I ции /(х) во внутренней точке х. Когда z описывает окружность Сг, % ос-г 4- х I _
тается меньшим, чем ---!— = q. Следовательно, имеем в каждой внутренней
г — | х I
точке круга Сг:
i/WKIQol + ^d J|Pr(9)|d9.	(4)
О
Пусть Л (г)—максимум величины | Рг (0) [ вдоль окружности Сг. Очевидно, что
2“ \|Рг(в)|//в<2пА(г), о
и следовательно, также ]/(л)] < | С?о 1 4-	(5)
Можно найти другую границу модуля | f(x) |. Пусть 21 (г) — не отрицательное число, равное максимуму Рг(%) вдоль окружности круга Сг, в случае, если действительная часть положительна вдоль Сг, и равное нулю в случае, если в каждой точке окружности Сг имеем Рг(в)^0. Имеем на основании соотношений (2):
2г	2г
₽o + i'f l₽|,rf9 = i f [iP| + P]d9. о	b
В каждой точке, где Р^О, имеем Р-МР| —0, а в точке контура Сг, где Р > 0, величина Р-f- | Р 1 не превосходит 2 $1 (г). Следовательно;
2~ p«+iJ1Plrf9 и
и поэтому
2~
1 | |Р|^^221(г)-Р0, о
причем равенство может иметь место лишь в случае, если 21(г) = 0, т. е. в случае, если Р не принимает положительных значений вдоль контура Сг. Следовательно, формула (4) приводит к новому неравенству:
1/МК I <2ol + [22l(r)-P0] q.	(6)
Ясно, что эти неравенства остаются в силе, если в них заменить А (г) и 21 (г) какими-либо большими числами. Так, в последнем можно заменить 21 (г) каким"-либо положительным числом, превосходящим максимум функции Р вдоль контура Сг.
31*. Рекуррентные ряды. Пусть
fW = «o + «ix+... 4-итх'«+...	(1)
— степенной ряд, в котором коэфициенты и0, и,,..., ит, ... образуют рекуррентную последовательность, где /г-н 1 соседних членов ир, ир+1, ... , ип+р связаны друг с другом линейным соотношением с постоянными коэфициентами
“n+p + ai«n+p-i+ •+anup = Q (ап=£0, // = 0,1,2,...),	(2)
позволяющим определить шаг за шагом все коэфициенты ряда (1), если известны п первых из них иа, ut...un_it которые могут быть выбраны произвольно. Со.
УПРАЖНЕНИЯ
125
отношение (2) выражает, что коэфициент при хп+Р (/> 5-0) в произведении ряда ?(х) на многочлен степени п
равен нулю. Следовательно, это произведение у (х)/(х) является многочленом ф(х) степени не выше п — 1. Обратно, если разложить в степенной ряд отношение ф (х)
~-2, где ф(х)— многочлен с произвольными коэфициентами степени ниже п, то J 1*^1
получается степенной ряд, в котором п 4-1 последовательных коэфициентов удовлетворяют соотношению (2).
Исходя из этого замечания, легко вывести общее выражение коэфициента ит
рекуррентного ряда. Пусть a, j!, ... , X означают п корней уравнения /	~ 0-
с	, ф (х)
Если эти корни различны, то рациональная дробь -д-j равна сумме простых дробей
L
Ф(х)_ А . В f(x) 1 — a v f 1 — рх
(4)
и коэфициент при хп разложения в ряд есть
ит — Аат -f-
Если а есть корень уравнения =0 кратности г, то следует заменить
А	,	4	1
у---~х многочленом степени г — 1 относительно у--—, коэфициенты которого
могут быть выбраны произвольно, а коэфициент при хт в разложении имеет вид	причем (т) — многочлен степени г—1 с. произвольными
коэфициентами.
Если соотношение (2) применимо лишь в случае	то q первых
членов ряда ?(х) образуют многочлен Р(х) с произвольными коэфициентами,
? (х) — Р (х)
и ряд -х——------входит в состав только что изученного класса рядов.
ГЛАВА XV.
ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ.
Первая часть этой главы посвящена доказательству общих теорем Вейерштрасса * и Миттаг-Леффлера (Mittag-Leffler) о целых функциях, и об однозначных функциях, имеющих бесконечное множество особых точек. В последующем эти теоремы применены к эллиптическим функциям. Невозможно изложить эту теорию сколько-нибудь полно на небольшом числе страниц; поэтому мы ограничились лишь указанием в общих чертах самого существенного, с тем, чтобы читатель мог составить представление о важном значении этих функций. Для тех, которые пожелали бы глубже изучить эллиптические функции или научиться их применять, общий курс анализа недостаточен; они необходимо должны будут обратиться к специальным курсам.
I. ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА. ТЕОРЕМА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА.
308.	Выражение целой функции через: произведение первичных множителей. Всякий многочлен /и-й степени равен произведению постоянного и т множителей вида х — а, равных или неравных между собою; из этого разложения видны корни этого многочлена. Эйлер первый получил для sin z аналогичное разложение в бесконечное произведение, но множители этого произведения, как мы ниже увидим, — второй степени относительно z. Коши нашел, что в некоторых случаях приходится присоединить к каждому из биномиальных множителей вида х — а соответственный показательный множитель. Но Вейерштрасс первый изучил вопрос во всей общности, показав, что всякую целую функцию, имеющую бесконечное множество корней, можно выразить через произведение бесконечного множества множителей, каждый из которых обращается в нуль только при одном значении переменного.
Нам уже известна целая функция, не обращающаяся в нуль ни при каком значении переменного z, именно: е*; тем же свойством обладает функция ее(г\ где g(z) — многочлен или целая функция. Обратно, всякая целая функция, не обращающаяся в нуль ни при каком значении переменного г, имеет предыдущий вид. В самом деле, если целая функция G (г) не обращается в нуль ни при каком значении переменного z,.
* Теоремы Вейерштрасса, изложенные ниже, были опубликованы в его меиуаре ,Zur Theories der eindeutigen analytischen Funktionen* (Abhandlungen der Akademie zu Berlin, 1876). Пикар дал перевод этого мемуара. просмотренный и дополненный Вейерштрассом, в Annates de f^cole Nor~ male superleure, 2-я серия, т, VUI, стр. 111—160 (1870). Исследования Миттаг-Леффлера собраны) в мемуаре в Acta Mathematica, т. IV.
§ 308	I. ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА	127
, G'(2)
то всякая точка z = a есть обыкновенная точка частного , кото-G(z)
рое, следовательно, есть также некоторая целая функция (г):
О (г)	’’
интегрируя обе части между пределами z0 и z, получим:
Z
=	(2) dz=g(z) — g(zj,
где g{z)—также целая функция от z, и мы имеем:
Q(^z) = Q(z^es (г) “ s ы =es (2)~g (2|,) + Log [G (г»)]
Полученный результат — искомого вида.
Если целая функция G (z) имеет только п корней аг, а2, ... , ап, различных или совпадающих, то очевидно, что функция G(z) имеет вид:
G(z) = (z— a2)(z — а2) ... (z — ап)ее{г\
Рассмотрим теперь случай, когда уравнение G (г) = 0 имеет бесконечное множество корней. Так как корней с модулем, меньшим или равным любому числу /?, может быть только конечное число (§ 292), то, если мы расположим эти корни в таком порядке, чтобы их модули никогда не убывали, каждый из корней займет определенное место в получившейся последовательности:
aj, а2, ... , ап, ап+1, ... ,	(1),
где |ая|^|ая+]| и гДе 1ая| неограниченно возрастает вместе с указателем п. Мы предположим, что каждый из этих корней входит в последовательность (1) столько раз, каков его порядок кратности, и что в нее не входит корень z = 0, если G(0)=0. Покажем сначала, как можно составить целую функцию Gj (z), имеющую корнями все члены последовательности (1) и не имеющую других корней.
Произведение 11----где Qt(z) обозначает многочлен, есть
целая функция, обращающаяся в нуль только при z=an. Мы возьмем за Q, (z) многочлен v-й степени, который определим следующим образом. Мы можем представить предыдущее произведение в виде:
<?., (z)+Log(l--M
е	\	°»/;
Z \	„
1-----его разложением в целый ряд, то раз-
ложение показателя начнется с члена (у-|-1)-й степени, если мы примем:
2	2%
^(2) = ^ + 2^+-”+^-п	п	П
128	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§ 308
Число v еще не определено. Покажем, что всегда можно выбрать это число v в функции от п таким образом, чтобы бесконечное произведение
+ ОО ,	,
П (1 — — )Л(г)	(2)
было абсолютно и равномерно сходящимся во всяком круге С с радиусом R и с центром в начале координат, как бы ни было велико /?. Зададим число 7?; пусть будет а положительное число, меньшее единицы. Выделим в произведении (2) множители, соответствующие тем
7? о
корням аг, модуль которых не превосходит числа — . Если есть q корней, удовлетворяющих этому условию, то очевидно, что произведение q множителей 4
= П (1 —Z )Л(г)
представляет целую функцию от z. Рассмотрим произведение множителей, начиная с (^-|-1)-го:
+ оо
f2(z)= П f1 —a~)e<?v(z)-
я=? + 1'	п /
Если z остается внутри круга с радиусом, равным R, то \z\^R, и так как при n^>q мы имеем | ап |-- , то отсюда следует, что \ z\<^a \an \. Из того, как выбран многочлен Q^(z), следует, что каждый множитель этого произведения можно представить в виде:
•Обозначая этот множитель через 1-|-«п, имеем:
_ 1 (г V +1 _ 1 «у + 2_ „ _-р «+!'«' “v + 2'а/	__ j
 п *
Задача приводится к доказательству того, что при соответственном выборе числа v ряд с общим членом Un=\un\—равномерно сходящийся в круге с радиусом R (т. I, § 167). Вообще, если т есть какое-нибудь действительное или мнимое число, то
|	— 1 | О | "И — 1;
следовательно, a" fortiori:
§ 308	I. ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА	129
или, замечая, что при	мы имеем | z | < а | а |:
Но если х есть действительное положительное число, то ех — 1 мень-
ше, чем хе*; поэтому, тем более:
z +
1 — а •
Чтобы ряд с общим членом Un был равномерно сходящимся в круге с радиусом, равным /?, достаточно, чтобы был равномерно сходящимся
Z ап
был сходящимся,
ряд, общий член которого есть
,	V''	1 р
чтобы ряд у . —
Если нет целого числа р, обладающего
. Если есть такое целое число р,
то достаточно взять >=/?—1.
этим свойством*, то достаточно
взять > = л—1. В самом деле, ряд с общим членом
мерно сходящийся в круге с радиусом, равным R, так
Z Р
—	— равно-
ап
как его члены
меньше, чем члены ряда 2- Ы , и корень л-й степени из общего чле-
„ R
на этого ряда, равный —, при неограниченном возрастании п стремится к нулю**.
Следовательно, всегда можно выбрать такое целое число >, чтобы бесконечное произведение было абсолютно и равномерно сходящимся в круге с радиусом, равным R; это произведение можно заменить суммою равномерно сходящегося ряда (т. I, § 167), все члены которого суть голоморфные функции. Следовательно, это произведение F2(z) само есть функция, голоморфная в том же круге (§ 290). Умножая F2(z) на произведение F, (z), содержащее только конечное число голоморфных множителей, мы получим бесконечное произведение:
+ оо
О,(г) = П(1 — —	(3)
, \	а„ /
л = 1 '	п
* Пусть будет, например, an=log л (л ^2). Ряд с общим членом (log л)—Р — расходящийся, каково бы ни было положительное число р, так как сумма его (л — 1) первых членов больше, чем л —1 - —— — ’ а 9Т0 выРажение неограниченно возрастает вместе с л.
•* Борель заметил, что достаточно взять за v такое число, чтобы >4-1 было больше, чем I R I log л
log я. В самом деле, ряд —	—сходящийся, так как общий член можно представить
в виде е л Io2 I = л *°£ I—I . Начиная с достаточно большого значения числа п, количе-I ап I	'ап ‘
ство —будет больше, чем е1, и общий член — меньше, чем — .
9. 3. Гурва, т. II, ч. 1.
130
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 308
которое, очевидно, само абсолютно и равномерно сходящееся в круге С с радиусом, равным /?, и представляет в этом круге голоморфную функцию. Так как радиус 7? может быть взят произвольно, и число v не зависит от этого радиуса, то это произведение есть целая функция Gj (г), имеющая корнями различные члены последовательности (1), и притом только их.
Если, сверх того, целая функция G(z) имеет нулем порядка р точ-„	G (г)
ку г = 0, — частное : есть аналитическая функция, не имеющая
J	z? Gj (г)
во всей плоскости ни полюса, ни нуля. Следовательно, это есть целая функция вида где g(z)— многочлен или целая функция, и мы имеем для функции G (г) выражение вида:
G(z) = c^^zP П (1--------£ 1е9,(г).
п = 1 ' ап '
Целую функцию g(z), в свою очередь, можно заменить бесконечным множеством способов суммою равномерно сходящегося ряда многочленов:
(4)

g (г) = & (г) 4-^2 (г) 4- ... gn (г) 4- ... и предыдущую формулу можно еще представить в виде:
+ 00
G(z) = zp П (1 —-п=1 ' ап
множители этого произведения, каждый из которых обращается в нуль только при одном значении переменного г, называются первичными множителями.
Так как произведение (4) — абсолютно сходящееся, то первичные множители можно располагать в любом порядке или по произволу соединять их между собою. В этом произведении, когда установлен закон выражения числа v в функции от п, многочлены (z) зависят только от соответствующих корней; но показательные множители е^г> не могут быть определены, если известны только корни функции G (г). Рассмотрим, например, функцию sin кг, имеющую простыми корнями все целые положительные или отрицательные числа. В этом случае ряд 2
— сходящийся; следовательно, можно взять v=l, и функция
G{z) = z J"]’ (1-----] е п ,
\ п /
(') справа от II показывает, что указатель п не может иметь нуль*, имеет те же корни, как и sinnz. Следовательно,
1
'п
где знак значения sin иг = е^г) G (г), но из предыдущего рассуждения мы не можем определить множитель Ниже мы докажем, что этот множитель равен п.
* В случае если в какой-либо формуле это исключение должно быть принято во внимание мы напоминаем о нем. сопровождая знаком ' знак произведения или суммы.	*
§ 309—310	1. ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА	131
309.	Род целой функции. Пусть будет дана какая-нибудь бесконечная последовательность а7, а2, ... , ап, ... , где | ап | неограниченно возрастает вместе с п. Мы только что видели, как можно составить бесконечное множество целых функций, имеющих нулями все члены этой последовательности и не имеющих других нулей. Если существует такое целое число р, что ряд 2lani-р — сходящийся, то все многочлены Q.,(z) можно взять (р— 1)-й степени. Пусть будет дана целая функция вида:
+ ос
G(z)=«zze₽(2i П (1------—
я = 1 '
/ . Z \
I 1 — I — нулевого
где P(z) есть многочлен не выше (р—1)-й степени; число р— 1 на-+ ОО
зывается родом этой функции. Так, функция
п= 1 sin тег
рода; приведенная выше функция-------------первого рода. Изучению ро-
тг
да целых функций за последнее время посвящено большое число работ *.
310.	Однозначные функции с конечным числом особых точек. Если однозначная функция F(z) имеет на всей плоскости только конечное число особых точек, то эти особые точки суть необходимо изолированные особые точки; это — полюсы или изолированные существенно особые точки. Точка z = oo также есть обыкновенная точка или изолированная особая точка (§ 303). Обратно, если однозначная функция имеет во всей плоскости, включая и бесконечно удаленную точку, только изолированные особые точки, то этих особых точек будет конечное число. В самом деле, бесконечно удаленная точка есть обыкновенная точка функции или изолированная особая точка; в обоих случаях можно описать круг С настолько большим радиусом, чтобы вне этого круга функция не имела другой особой точки кроме самой бесконечно удаленной точки. Внутри круга С функция может иметь только конечное число особых точек; в самом деле, если бы она имела их бесконечное множество, то была бы, по крайней мере, одна предельная (§ 292), и эта предельная точка не была бы изолированною особою точкою. Таким образом однозначная функция, имеющая только полюсы, имеет их конечное число, так как полюс есть изолированная особая точка.
Всякая однозначная функция, правильная при всяком конечном значении переменного z и при z—oo, сводится к постоянному. В самом деле, если бы эта функция не сводилась к постоянному, то, так как она правильная при всяком конечном значении переменного z, она была бы многочленом или целою функциею, и бесконечно удаленная точка была бы для этой функции полюсом или существенно особою точкою.
♦ См. работу Борела, Lemons sur les fonctions entieres (1900) и работу Блюменталя (Blumenthal), Sur les fonctions entiSres de genre infini (1910).
9*
132
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 310-311
Пусть будет F(z) однозначная функция, имеющая л различных особых точек аг, а2,	, ап, лежащих на конечном расстоянии; пусть
будет Gz (—-—главная часть разложения функции F{z) в области у 2 ' " CL J
точки at, где Gz есть многочлен или целая функция. В обоих случаях эта главная часть — правильная при всяком значении переменного z, включая z — oo, кроме z — at. Далее, пусть будет P{z) главная часть разложения функции F(z} в области бесконечно удаленной точки; P(z) есть нуль, если бесконечно удаленная точка есть обыкновенная точка функции F(z). Разность
п
г = 1
очевидно, — правильная при всяком значении переменного z, включая и z = oo; следовательно, она равна постоянному С, и мы имеем равенство *:
п
F(z)==:P(z) + yGz (-1—) + С.	(5)
\ z	az /
г = 1
Отсюда следует, что функция F(z) вполне определена до прибавочного постоянного, если известны главные части в области каждой особой точки. При этом эти главные части, равно как и особые точки, могут быть выбраны произвольно.
Если все особые точки суть полюсы, to главные части Gz суть многочлены; P(z), если оно отлично от нуля, есть также многочлен, и правая часть формулы (5) приводится к рациональной функции. Так как, с другой стороны, однозначная функция, у которой особые точки суть только полюсы, имеет их конечное число, то отсюда следует, что однозначная функция, все особые точки которой суть полюсы, есть рациональная дробь.
311.	Однозначные функции с бесконечным множеством особых то* чек. Если однозначная функция имеет бесконечное множество особых точек в конечной области, то существует по крайней мере одна предельная точка, лежащая внутри или на границе этой области. Например, функция —имеет полюсами все корни уравнения sinf——0, т. е.
z
все точки z= —, где k — любое целое число; точка z = 0 есть /гтт
* К формуле (5) можно еще притти, приравнивая нулю сумму вычетов функции
Z
cie z и рассматриваются как постоянные, а х — как переменное (см. § 303).
§ 311-312
ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА
133
предельная точка.
Функция ------—j----- также имеет особыми
sin /——
\ sin — /
\ z /
точками
. / 1 \ 1 все корни уравнения sin — ) = —
\ z J kit
ки z~-----------?------j— , где k
2/г'ттarcsin
Все точки суть предельные тс IT
, среди которых находятся все точ-и k1—произвольные целые числа.
>чки, так как при k' постоянном и
при неограниченном возрастании числа k предыдущее выражение имеет
пределом . Нетрудно было бы составлять все более и более 2k тт
слож-
ные примеры того же рода, увеличивая число знаков синуса. Существуют также, как мы увидим несколько ниже, функции, имеющие особыми точками все точки некоторой линии.
Может случиться, что однозначная функция имеет только конечное число особых точек во всякой конечной части плоскости, хотя во всей плоскости она их имеет бесконечное множество. В этом случае вне круга С, как бы ни был велик его радиус, всегда существует бесконечное множество особых точек, и мы будем говорить, что бесконечно удаленная точка есть предельная точка. В следующих параграфах мы займемся рассмотрением однозначных функций с бесконечным множеством изолированных особых точек, имеющих единственною предельною точкою бесконечно удаленную точку.
312,	Теорема Миттаг-Леффлера. Если во всякой части плоскости, лежащей на''конечном расстоянии, есть только конечное число особых точек, то, как это было уже указано для нулей целой функции, можно расположить эти точки в последовательность
«1 , а2, .,. , ап, .. .	(6)
таким образом, чтобы было I ап | ап+л |; очевидно, что j ап | неограниченно возрастает вместе с п. Мы можем предположить, сверх того, что все члены этой последовательности различны. Для каждого члена at последовательности (6) возьмем соответствующий многочлен или
„ / 1 \ 1
целую функцию ОЦ--------j от -------> причем мы можем выбрать эти
функции совершенно произвольно. Теорему Миттаг-Леффлера можно выразить следующим образом:
Существует однозначная аналитическая функция, правильная при всяком конечном значении переменного z, не входящем в состав последовательности (6), главная часть которой в области точки
z~ai есть
134
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 312
Для доказательства этого предложения мы покажем, что к каждой функции
можно присоединить такой многочлен P(z), чтобы ряд
определял аналитическую функцию, обладающую этими свойствами.
Если точка z — 0 входит в состав последовательности (6), то мы примем соответствующий многочлен равным нулю. Для каждой из остальных точек а{ выберем такое соответствующее положительное число ez, чтобы ряд 2е/ был сходящимся; обозначим через а. положительное число, меньшее единицы. Пусть будет Ct круг с центром в начале координат, проходящий через точку а,, и С' — круг, концентрический с предыдущим, радиус которого равен a az|. Так как функция
голоморфна в круге Cz, то во всякой точке, лежащей внутри этого круга, мы имеем:
G/ G~7)=flt'o +а'* 2 + -- - +
Целый ряд, стоящий в правой части, — равномерно сходящийся в круге С/ ; следовательно, можно найти настолько большое целое число v, чтобы внутри Ct' было
G. (-------------| — а, — a z — ... — а, г4
' I z — aJ ‘о h	‘'i
(7)
Определив число > таким образом, возьмем за Pt(z) многочлен а/0	’ ahz • • •
Пусть будет теперь С круг с радиусом, равным R, и с центром в точке z = 0. Выделим из последовательности (6) те особые точки az, модуль которых не превосходит числа —. Если число этих точек рав-
но д, то мы положим:
Оставшийся ряд
+ оо

§ 312
ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА
135
— абсолютно и равномерно сходящийся в круге С, так как во всякой точке, взятой внутри этого круга, мы имеем | z | < R<^a | at |, если указатель г больше q, и на основании неравенства (7) и того, как выбран многочлен Pz(z), модуль общего члена второго ряда меньше, чем е,, если z лежит внутри С. Следовательно, функция FA (z) — голоморфная в этом круге, и очевидно, что, присоединяя к ней Ft (z), мы получим сумму:
+ °°r	, i х
У гМт—7
,	L	и11	J
=1
имеющую в круге С те же особые точки, как и Fy (z), с теми же главными частями. Но эти особые точки суть именно члены последовательности (6), модуль которых меньше /?, и главная часть в области точки а, есть
Так как радиус /? произволен, то отсюда следует, что функция F(z) удовлетворяет всем требуемым условиям.
Очевидно, что если мы прибавим к F(z) многочлен или какую-нибудь целую функцию О (г), то сумма F(z)-\-G(z) будет иметь те же особые точки, как и F(z), с теми же главными частями. Обратно, мы имеем, таким образом, общее выражение однозначных функций, имеющих данные особые точки с соответствующими главными частями, так как разность двух подобных функций, будучи правильною при всяком конечном значении переменного z, есть многочлен или целая функция. Так как функцию G(z) можно, в свою очередь, представить суммою многочленов, то, следовательно, функция F(z)-{-G(z) сама может быть представлена суммою ряда, каждый член которого мы получим, прибавляя к главной части
соответствующий многочлен.
Если все главные части О, суть многочлены, то функция мероморф-на во всякой области плоскости, лежащей на конечном расстоянии, и обратно. Таким образом мы видим, что всякую мероморфную функцию можно представить суммою ряда, каждый член которого есть рациональная дробь, обращающаяся в бесконечность только при некотором конечном значении переменного. Это представление аналогично разложению рациональной дроби на простые элементы. Точно так же всякую мероморфную функцию Ф (г) можно представить йак частное двух целых функций. В самом деле, предположим, что полюсы функции Ф(г) суть члены последовательности (6), каждый из которых считается столько раз, какова его степень кратности. Пусть будет G(z) целая функция, имеющая эти точки нулями. Произведение Ф(г)б(г) не
136	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 312-313
имеет более полюсов; мы имеем равенство:
следовательно, это — целая функция Сг(г), и
ф<г>=^-
313. Исследование некоторых частных случаев. Предыдущее доказательство общей теоремы не всегда дает самый простой способ соста-
вления однозначной функции, удовлетворяющей требуемым условиям. Предположим, например, что требуется составить функцию Ф (z), имеющую полюсами первого порядка все точки последовательности (6), причем вычет равен единице; мы предположим, что z = 0 не есть по-1
люс. Главная часть,
соответствующая полюсу at, есть ----—
и мы
имеем:
1 _________Г z
z — at at at2
если мы возьмем
то задача приводится к определению целого числа v в функции указателя i таким образом, чтобы ряд
был абсолютно и равномерно сходящимся во всяком круге с центром
в начале координат, если откинуть достаточное число начальных чле-S/ z V + 1
I — I сам был абсо-
лютно и равномерно сходящимся в той же области. Если существует
V! 1 р
— сходящийся, то достаточно взять
S1 1 —
у—р—1. Если нет целого числа, обладающего этим свойством, то, как выше (§ 308), можно взять v = i—1 или v-|-l^>logi. Выбрав надлежащим образом число v, мы получим мероморфную функцию
г = 1
имеющую полюсами первого порядка все точки последовательности (6) с вычетами, равными единице.
Отсюда нетрудно вывести другое доказательство теоремы Вейер-щтрасса о разложении целой функции на первичные множители. В самом деле, ряд (9) можно интегрировать почленно вдоль любого пути; не проходящего ни через один из полюсов, так как, если этот путь
§ 313
ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА
137
заключен в круге С с центром в начале координат, то ряд (9) можно заменить рядом, равномерно сходящимся в этом круге, к которому прибавлена сумма конечного числа мероморфных функций [это вытекает из самого доказательства формулы (9)]. Интегрируя и приняв точку z = 0 за нижний предел, получим:
г	+оог /	\	т
J	Zj L \ ai / ai ^ai
0 .	1 = 1
и, следовательно,
[ф(2)& +OO /	К £ + — »+•••+—,
eo — Г1 11__________2ai '“‘i .	(10)
L a‘{
Нетрудно проверить, что левая часть формулы (10) есть целая функция от z. В области значения z = a, не входящего в последователь-
Z
р	J ф (z) dz
ность (6), интеграл \Ф(г)йг— голоморфный; функция	—так-
о
же голоморфная и отлична от нуля при z = a. В области точки at мы имеем:
$(*) = -ZT" + P{z — а,),
Z
j0(z)dz = Log(z — at)	Q(z — а),
О
Z
[ Ф (z) dz е° =(z—
где функции Р и Q голоморфны. Мы видим, что эта целая функция имеет корнями члены последовательности (6), и формула (10) тождественна с формулою (3), выведенною выше.
То же доказательство можно применить и к целым функциям, имеющим кратные корни. Если а, есть кратный корень порядка г, то достаточно [предположить, что Ф,'(г) имеет полюс z = at с вычетом, равным г.
Составим еще мероморфную функцию, имеющую полюсами второго порядка все точки последовательности (6), причем главная часть в обла-/ 1 \2
сти точки а, есть I-----I . Предположим, что z — 0 есть обыкно-
L1 з
— —сходящийся; очевидно, что будет
138
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 313—314
сходящимся и
. Ограничивая разложение дроби
1
(г — ар

по степеням переменного z его первым членом, получим:
1	1 _ 2atz — z2 ___ 2аtz —z2
{z — aj)2 а2~a2(z — а^2	! z \2 '
и, I 1	I
\	all
Ряд + °°г	1	1 д + °° о	,
1=1 /=1
представит решение задачи, если только он будет равномерно сходящимся во всяком круге С с центром в начале координат, не считая достаточного числа начальных членов. Но если, мы возьмем члены ряда, , _ R
происходящие от тех полюсов а,, для которых |a. |	— , где /? —ра-
число, меньшее единицы, то мо-
диус круга С и а — положительное /	z \ ~2
Дуль, количества (1-----I будет меньше некоторой границы, и на
\	ai '
основании предположений, сделанных относительно полюсов а,, ряд 2z z2
с общим членом —8—— будет абсолютно и равномерно сходящимся
в круге С.
314. Способ Коши. Когда дана мероморфная функция F(z\ то, пользуясь теоремою Миттаг-Леффлера, можно составить ряд с рациональными членами, сумма которого Fy (z) имеет те же полюсы, как и F(z), с теми же главными частями. Но остается еще найти целую функцию, равную разности F(z) — F1(z). Задолго до работ Вейерштрасса Коши вывел из теории вычетов способ разложения мероморфной функции на бесконечное множество рациональных членов при некоторых весьма общих предположениях относительно этой функции. Впрочем, нетрудно представить его метод в еще более общем виде.
Пусть будет F(z) мероморфная функция, правильная в области начала координат; пусть будет, далее, Ст, С2, ..., Сп, ... бесконечная последовательность замкнутых контуров, окружающих точку z — 0, не проходящих ни через один из полюсов и таких, что, начиная с достаточно большого значения числа п, расстояние от начала координат до любой точки контура Сп остается больше всякого данного числа. •Очевидно, что любой полюс функции F(z) будет, наконец, заключен внутри всех последовательных контуров Сп, Сч+1, . .. , если только п достаточно велико. Определенный интеграл
dz,
(С„)
Z — X
ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА
139
§ 314
где х есть любая точка, лежащая внутри контура Сп и отличная от полюса, равен Fix), сложенному с суммою вычетов относительно различных полюсов функции F(z), лежащих внутри Сп. Пусть будет ак „ / 1 \ один из этих полюсов; соответствующая главная часть -------1
\z аь>
есть рациональная функция, и в области точки ak мы имеем:
А	л	А
+	+ •  • +^ + В.+В.^-«,>+-
В области этой точки мы имеем также:
z — X	(х — ak} — {z — ah}	x — ak {x—akY (х—аку* '
F{z) составив произведение, мы видим, что вычет функции ---------— относи-
тельно полюса ак равен j4-i	1	« /	1
__ ___j __	__ ____т — 1____ _____т	-   fl I _____
х — ак '* (х — а/г)т-1 (х — ак)т Цх— ак
Следовательно, мы имеем соотношение:
1 Г F{z)dz 2ш ] z — х '
(Сп)
(12)
где знак
обозначает, что сумма распространена на все полюсы ак
лежащие внутри контура Сп. С другой стороны, мы можем заменить 1
-—- через
м представить предыдущую формулу в виде:
Сп х
1 Г F(z)dz
2ni 1 z
(Сп}
dz.
(13)
(С„)	(Cn)
1 f F(z\dz
Интеграл j —~---------- равен F(0), сложенному с суммою выче-
тов функции — F(z) относительно полюсов функции F(z), лежащих
140
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 314
внутри Сп» Вообще, определенный
1 Г интеграл —— | 2тп J
F(z)dz zr
равен
^(г-1) (0)
1-2...(г-1)
(С„)
сложенному с суммою вычетов функции z~r F(z) отно-
сительно полюсов функции F(z), лежащих внутри Сп. Если мы обозначим через вычет функции F(z)z~r относительно полюса ак, то мы можем представить формулу (13) в виде:
F(x) = F(0) + -<F'(0)-b ... -f- -—^—^(О)-}-1	1  2 . , ,
+ У] М 7-М + Ф + 41’ + • •  + Я +
с,
1 "*/
1 С + 2пГ ]
Сп
р+1
dz.
(14)
Чтобы иметь его в виде:
верхнюю границу дополнительного члена, представим

_xP+i\F(z) dz
2ttz J zp z (z — x)
Предположим, что вдоль Cn модуль отношения
F(z)
---- остается меньшим zp
некоторого числа Af, и модуль | z | большим, чем S. Так как число п должно неограниченно возрастать, то мы можем предположить, что мы взяли его настолько большим, чтобы было	тогда вдоль Сп мы
будем иметь:
1
Z — X
1
S — |х|
Следовательно, если Sn есть длина контура Сп, то
S(S —|х|)
Мы можем утверждать, что при неограниченном возрастании числа п
этот дополнительный член стремится к нулю, если можно найти последовательность замкнутых контуров Сг, С2, ... , С„, ... и целое
условиям:
F(z)z~p остается
Sn длины конту-0
положительное число р, удовлетворяющее следующим
1. Вдоль всех этих контуров модуль выражения меньшим некоторого постоянного числа М.
2. Когда п неограниченно возрастает, отношение
ра Сп к наименьшему расстоянию S от начала координат до точек
этого контура остается меньшим некоторой границы L.
Если эти условия удовлетворяются, то |/?я| остается меньшим частного от деления некоторого постоянного числа на число S — | х |, не-
§ 314-315 ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА	141
ограниченно возрастающее вместе с п. Следовательно, этот остаточный член Rn стремится к нулю, и мы имеем в пределе:
F(x) = F(0) 4- х F> (0) 4- ... + f 2<Р --Лр) (0) 4-
4- lim У Г G„ (—5—) 4- Чо)+Ф х + • • • + ^хР n=tx**
Сп
(15)
Таким образом функция F(x) разложена в сумму бесконечного множества рациональных членов. Порядок, в котором они следуют друг за другом, определяется законом следования контуров Cj, С2, ... ... , Сп, ... Если полученный ряд — абсолютно сходящийся, то мы можем брать их в любом порядке.
Примечание. Если бы точка z = 0 была полюсом ною частью G т0 достаточно было бы применить
функции F{z) —
функции F (г) с глав-предыдущий метод к
315. Разложение ctg г и sin а;. Применим этот метод к функции
F(z)=ctgz------ , имеющей полюсами первого порядка точки z = kit,
z
где k есть любое целое число, отличное о единице. Возьмем за контур Сп квадрат, например ВСС'В’ (черт. 64) с центром в начале координат, стороны которого параллельны осям координат и имеют длину 2лтг4_тт- На этом контуре не лежит ни одного полюса, и отношение длины Sn к наименьшему расстоянию 8 от начала координат до точек контура постоянно и равно 8. Квадрат модуля функции ctg (х 4~ iy) равен
е?У 4“ е~2у +" 2 cos %х e'iy _|_ е~2У — 2 cos 2х '
На сторонах ВС и В'С' мы имеем cos 2х = — 1, и модуль меньше единицы. На сторонах В В' и СС квадрат этого модуля меньше, чем
егу 4. е-ъу 4- 2 _ /1 4-	2 _
е2у^е-гу^_2 ~ 1 _ е-чуу :
в этой формуле надо заменить 2у через гЬ (2л —1) тт, и мы видим, что при неограниченном возрастании числа п полученное выражение стремится к единице. Так как при неограниченном возрастании числа п
модуль функции — вдоль С„ стремится к нулю, то отсюда следует, Z
что модуль функции ctg z ---- на контуре Сп остается меньшим неко-
142	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§ 315
торого постоянного числа М, каково бы ни было число п. Следовательно, к этой функции можно применить формулу (15), положив р = 0. Мы имеем здесь:
F (0) = lim (*-C0S*—\ = o, X = O \ xsmx /
и представляющее вычет функции —ctg z------------- для полюса Агт,
Z	Z*
1
равно — . Таким образом: Ап
ctg х--- = lim У ( —Ц—	т- ) ,
х n=oo^i\x—L кп	лтг/
— п х	/
(16)
причем значение £ = 0 должно быть исключено при суммировании. Неограниченно увеличивая число п, мы получим ряд, который будет абсолютно сходящимся, так как его общий член можно представить в виде:
1	, 1_________X_______1 X
х — kn ‘ kn &п(йтг— х) k2n2 I Х\’
\ kn)
и модуль множителя ------ остается меньшим некоторой границы,
1 —#
kn
не есть кратное числа п. Следовательно, окончательно
если только х мы имеем:
CtgX =
+ OO ,	.
.y7_i_____4-iV
4J — Атт ’ knj —OO
(17)
Интегрируя
из начала координат и не проходящего ни через один из полюсов, получим:
обе части этого соотношения вдоль пути, выходящего
1 \	,	/ sin X
х------ах = Log I--------
+ °о
=s L°g О
— оо
kn) ' kn
п
1
о
отсюда находим:
4-оо
kn Г
(18)
— оо
Множитель eg^ равен здесь единице. Если в ряде парно члены, содержащие противоположные значения формулу:
(17) мы соединим по-числа k, то получим
ctgx =
1
(17'J
хг — kW
§315
ПЕРВИЧНЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВЕЙЕРШТРАССА
143
Точно так же, соединяя попарно множители произведения (18), соответствующие противоположным значениям числа k, мы получим другую формулу *:
4-оо
sinx = x П (1-£г):	(18'}
1
заменяя в ней х через пх, мы можем представить ее еще иначе: + со
sin т.х i-r /, х2 \ = х П И-*,)-1
Различные замечания. 1. Из последних формул ясно видна периодичность функции sinx, тогда как ее нельзя непосредственно усмотреть из раз-о ,	~	sin дх
ложения этой функции в целый ряд. В самом деле, мы видим, что —-— есть предел при л, стремящемся к бесконечности, многочлена:
,«(*)= (1--J) О-^1)	(1 + 4);
изменяя х в х + 1, получим:
1)= —fnW
П + 1 + X . п —X ’
отсюда при неограниченном возрастании числа п находим ип(кх-|-п) = — sinrx, ил и sin (z 4- л) = — sin z, и следовательно, sin (z 4- 2п) = sin z.
2. На этом частном примере нетрудно видеть необходимость присоединения _	, х
к каждому биномиальному множителю вида 1--соответственного показатель-
ного множителя, чтобы произведение было абсолютно сходящимся. Предположим для определенности, что х действительно и положительно.
Так как ряд —расходящийся, то произведение
₽m=x(i+4)...(i+i)
неограниченно возрастает вместе с /и, тогда как произведение ^=(i-x)(i-4)...(i-^-)
при неограниченном возрастании числа п стремится к нулю (т. I, § 168). Если г, _	sianx
мы возьмем т = п, то произведение PmQm имеет пределом —-—; но если т и
п возрастают независимо одно от другого, то предел этого произведения совершенно неопределенный. В этом нетрудно убедиться, каково бы ни было значение переменного х, воспользовавшись первичными множителями Вейерштрасса. Заметим предварительно, что бесконечные произведения
Н-оо
Л(х) = х П (j + v)*
rt — 1
4-оо	х
п =1
sin кх оба — абсолютно сходящиеся, и их произведение равно —-—.
* Это разложение sin х в бесконечное произведение принадлежит Эйлеру, получившему его элементарным путем („Introductio in Analysin infinitorum*).
144	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§ 315
Мы можем представить произведение PmQn в следующем виде: 'т	х п	X 1	11	1	1	1 \
4=1	4=1
Если числа т и п неограниченно возрастают, то произведение всех множителей правой части без последнего множителя имеет пределом
£7 / \ Z7 / \ S1I1 ТиДГ f1(x)f2(x) = —— .
Что касается последнего множителя, то мы видели, что выражение
имеет пределом logoi, где <о .есть предел отношения — (т. I, § 153). Следова-
/~х	S1H ТЕД» v lot? <1)
тельно, произведение PmQn имеет пределом —-— е к : мы видим, что этот
предел зависит от того закона, по которому неограниченно возрастают оба числа т и п.
3. Такие же замечания можно сделать относительно разложения ctgx Мы покажем только, как можно вывести периодичность этой функции из ряда (17). Заметим сначала, что ряд с общим членом
1 1 _ 1 kr. (k — l)n	k (k — l)r.’
где указатель k принимает все значения от — оо до + °°> кроме значений k—О,
2
k = 1, — абсолютно сходящийся, и его сумма равна---, как в этом можно
К
убедиться, изменяя k сначала от 2 до + оо, а потом от — 1 до — оо . Следовательно, мы можем представить разложение ctg х в виде:
+ оо
*	1 ,	1	1 , V’" Г 1	,	1	1
С	X X------Г. It	[ X -kr. +(£— l)n| ’
— oo
где значения k = 0, k=l должны быть исключены при суммировании. Мы получим это разложение, вычитая из каждого члена ряда (17) соответствующий член сходящегося ряда, составленного из только что приведенного ряда, сложен-2
ного с —. Изменяя х в х + г., получим:
4-00
ctg(X + 0=1	- ±-+ £’ [__А__ +	,
— оо
или иначе
4-оо
ctg(x + .) = l + £' [-_(л1_1)я+(Т-±у7] , — оо
где k 1 принимает все целые значения кроме значения нуль. Мы видим, что Правая часть последней формулы тождественна с разложением ctg х.
§ 316	п. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	145
II. ДВОЯКОПЕРЙОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
316.	Периодические функции. Разложения в ряды. Аналитическая однозначная функция f(z) называется периодическою, если есть такое число ш, действительное или комплексное, что при всяком z имеет место соотношение /(zw)=/(z); число ю называется периодом. Отметим на плоскости точку с аффиксом <о; начиная от начала координат, отложим на бесконечной прямой, проходящей через начало координат и через точку ю, в обоих направлениях отрезки, равные |<о|. Таким образом мы получим точки ю, 2<о, Зю, ... , лш, ... и точки
— <о, —2<о, —Зю,..., —лю, ... Через эти точки и через начало координат проведем прямые, параллельные какому-нибудь направление, отличному от Ош; таким образом мы' разобьем площадь на бесконечное множество полос равной ширины (черт. 65).
Если через какую-нибудь точку z мы проведем прямую, параллельную направлению Ош, то мы получим все точки этой прямой, изменяя в выражении z-J-tao действительный параметр к от —оо до -|- оо. В частности, если точка z описывает первую полосу АА'ВВ', то точка z ю опишет смежную полосу ВЬ'СС', точка z 4- 2ю опишет третью полосу и т. д. Все значения функции /(z) в первой полосе будут периодически повторяться в следующих.
Пусть будут Ы! и ММ' бесконечные прямые, параллельные напра-2/-Z
влению Ош. Положим и = е ш и найдем область плоскости, описываемую переменным и, когда точка z остается в бесконечной полосе, за-10 Э. Гуреа, т. II, ч. 1.
146	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§316
ключающейся между параллельными прямыми. LV и ММ’. Если есть аффикс какой-нибудь точки прямой LL', то мы получим все остальные точки этой прямой, полагая z — at —fiz —|—>.<d и изменяя X от —сю до оо. Тогда мы будем иметь:
(а + +Хш)	2ил
и = е “	= е е “ ;
но если X изменяется от —сю до -f-сю, то переменное и описывает окружность Су с центром в начале координат. Точно так же можно убедиться, что если z описывает прямую ММ’, то переменное и описывает окружность С2, концентрическую с первою. Если точка z описывает бесконечную полосу, заключающуюся между прямыми LL’ и ММ’, точка и описывает круговое кольцо, ограниченное окружностями Cj и С2. Но, тогда как каждому значению переменного z соответствует только одно значение переменного и, наоборот, каждому значению переменного и соответствует бесконечное множество значений переменного z, образующих арифметическую прогрессию с разностью <о, неограниченную в обоих направлениях.
Периодическая функция f(z), имеющая период <о и голоморфная в бесконечной полосе, заключающейся между прямыми LL’, ММ', равна некоторой функции <р(и) нового переменного и, голоморфной в круговом кольце, ограниченном окружностями С, и С2. В самом деле, хотя каждому значению переменного и и соответствует бесконечное множество значений переменного z, но, вследствие периодичности функции /(г), все эти значения переменного z дают одно и то же значение для функции. С другой стороны, если и0 есть частное значение переменного и, и za— одно из соответствующих значений переменного z, то значение z, стремящееся к zp, есть функция от и, голоморфная в области точки и0; следовательно, то же имеет место и для функции Поэтому мы можем применить к функции ф (и) теорему Лорана: в круговом кольце, заключающемся между окружностями С, и С2, эта функция равна сумме ряда следующего вида:
+ сю
Т (и) = Атит.
— сю
Возвращаясь к переменному г, мы заключаем, что внутри рассматриваемой полосы периодическая функция f(z) равна сумме ряда
f(z)= 2jAme “ .	(19)
— °°
Если периодическая функция f(z) голоморфна во всей плоскости, то можно предположить, что прямые LL’ и ММ’, ограничивающие полосу, неограниченно удаляются, одна — вверх, а другая — вниз. Следовательно, всякая целая периодическая функция разлагается в ряд, расположенный по положительным и отрицательным степеням выраже-2itiz
ния е ш , — сходящийся при всяком конечном значении переменного 2.
§ 317	II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	147
317.	Невозможность существования однозначной функции с тремя периодами. Якоби принадлежит замечательная теорема, что однозначная функция не может иметь более двух различных периодов. Чтобы доказать эту теорему, очевидно, достаточно показдть, что однозначная функция не может иметь трех различных периодов. Докажем предварительно следующую лемму.
Пусть будут а, Ь, с три произвольных количества, действительных или мнимых, и т, п, р — три произвольных целых числа, положительных или отрицательных, из которых по крайней мере одно отлично от. нуля. Если мы будем давать целым числам т, п, р всевозможные'системы значений, кроме т = п = = р — 0, то нижняя граница модуля | та 4- nb -|- ре | равна нулю.
Рассмотрим на плоскости множество (Е) точек,' аффиксы которых равны та + nb -|- рс. Если Две точки, соответствующие двум различным системам целых чисел, совпадают между собою, то, например, мы будем иметь:
та 4- nb 4- рс = т1а 4- nfi 4- pjc, и следовательно,
(т — mt) а 4- (п — п{) b 4- (р — р{) с = О, причем по крайней мере одно из чисел т — mt, п—п1г р — pt не равно нулю. В этом случае предложение очевидно. Предположим теперь, что все точки множества (£) различны; пусть будет 23 нижняя граница модуля | та'-\- nb 4- рс\. Это число 23 есть также нижняя граница расстояния между какими-нибудь двумя точками множества (£); в самом деле, расстояние между двумя точками с аффиксами та 4- nb -|- рс и mia 4- ntb -j- pjc равно | (т — пц) а-[~(п — ni) + (Р — Pi) с|-Покажем, что, предполагая 3 > 0, мы придем к противоречию.
Пусть будет W положительное целое число; дадим каждому из целых чисел т, п, р одно из значений последовательности —N, — (N—1)......... О,...
..., ^— 1, и будем соединять между собою всеми возможными способами эти значения чисел т, п, р. Таким образом мы получим (2W 4- I)3 точек последовательности (Е); по предположению, все эти точки будут различны. Предположим, что | а | 2s | b | с |; тогда расстояние любой из этих точек от начала координат будет не больше, чем 3W | а |. Следовательно, эти точки расположены внутри окружности С с радиусом, равным 3W | а |, и с центром в начале координат и на самой этой окружности. Если из каждой из этих точек как из центра мы опишем окружности с радиусом, равным 3, то все эти круги будут лежать в круге Cit описанном из начала координат радиусом, равным ЗЛГ|а|4-^, и не будут иметь общих частей, так как расстояние между их центрами не может быть меньше, чем 23. Следовательно, сумма площадей всех этих кругов меньше площади круга (л , и мы имеем:
(31V|a|4-3)3>^4-l)332,
ИЛИ
злгм ^4-1)»—1 *
При неограниченном возрастании- числа W правая часть стремится к нулю; следовательно, при всяком W этому неравенству нельзя удовлетворить никаким положительным числом 3. Отсюда следует,-что нижняя граница модуля | та -f- nb рс j не может быть положительным числом; она есть нуль, и лемма доказана.
Таким образом мы видим, что если ни при какой системе целых чисел т, п, р (кроме тп=п = р = 0) не будет та -I- nb 4- рс = 0, то всегда можно йайти для этих целых чисел такие значения, чтобы было | та Ц- nb 4- рс | < е, как бы ни было мало положительное число е. В этом случае однозначная функция / (z) не может иметь трех различных периодов «, Ь, с. В самом деле, пусть будет ze обыкновенная точка функции f(z); опишем из точки z0 круг настолько малого радиуса е, чтобы внутри этого круга уравнение /(z)=/(z0) не имел э других корней кроме z = z0 (§ 291). Если а, Ь, с суть периоды функции f (z\ то ясно, что та 4- nb 4- рс есть также период, каковы бы ни бы/и целые числа т, п, р, и мы имеем:
/(го 4- та 4- nb -)- рс) = /(z0).
Следовательно, если мы выберем т, п, р таким образом, чтобы было | та 4- nb + рс | < е, то уравнение f (z) = f (z0) имело бы корень z(, отличный от z0 и такой, что | z( — z0 | < е, что невозможно. 10*
148	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 317-318
Если между числами а, Ь, с существует соотношение вида та + nb + рс = 0,	(20)
где т, п, р не все равны нулю, то однозначная -функция f(z) может иметь периоды а, Ь, с, но эти периоды приводятся к двум или к одному. Мы можем предположить, что три числа т, п, р, взятые вместе, — взаимно простые. Пусть будет D общий наибольший делитель чисел т и л; мы имеем m — Dm', n — Dri. Так как числа т' и п' — взаимно простые, то можно найти два таких других целых числа т", п", чтобы было т'п"— т"п’ = 1. Положим
т'а -|- п'Ь == а’,	т"а-^-п"Ь = Ь';
мы будем иметь, обратно, а~п"а'— п'Ь’, Ь—т'Ъ'— т"а'. Если а и Ь — периоды функции f(z), то будут периодами и а' и Ь' и обратно. Следовательно, мы можем заменить систему двух периодов а и b системою двух периодов а' и Ь'. Соотношение (20) обращается в Da' рс = 0; так как числа D и р — взаимно простые, то можно найти такие-целые числа D' и р', чтобы было Dp' — D'p = l', положим D'a' •]- р'с = с'. Из предыдущих соотношений мы получаем а’ = — рс', с — De', и мы видим, что три периода а, Ь, с суть комбинации двух периодов Ь' и с'.
Примечание. Из предыдущей леммы вытекает как следствие, что если а и 0 суть действительные количества, а т и п — произвольные целые числа (из которых по крайней мере одно ие равно нулю), то нижняя граница модуля ( та 4- р0 } равна нулю; в самом деле, если мы полоцким а=«, д=0, с=/, то модуль | та Ц- п0 Ц- pi j может быть меньше числа е < 1 только в том случае, если р=0 и I та4- д0 (	Отсюда следует, что однозначная функция f(z) не может иметь
а
двух различных действительных периодов а н 0. Если отношение — иррационально, то можно а
найти такие числа т и п, чтобы было | та 4* п$ j < е, и рассуждение заканчивается, как выше.
Если же отношение - - рационально и равно несократимой дроби —, то мы возьмем два таких чи-а	п
ела т' и л', чтобы было тп'— тп'п=1, и положим т'а.— n’0=f. Число 7 есть также период, и из соотношений та — л0=О, т'а— п'0=7мы получаем «= — n-f, так что а и 0 суть кратные единственного периода %. Вообще, однозначная функция/(а) не может иметь двух различных периодов а и Ь, отношение которых действительно, так как тогда функция f(az) имела бы действительные , b
периоды 1 и —. а
318.	Двоякопериодические функции. Двоякопериодическая функция есть однозначная функция, имеющая два ' периода, отношение которых мнимое. Пользуясь обозначениями Вейерштрасса, обозначим независимое переменное через и, периоды через 2ш и 2ш' и предположим, что коэфи-циент при / в — положителен. Отметим в плоскости точки 2ш, 4ш, ш
6ш, ... , и точки 2ш', 4ш*, 6ш', ... ; проведем через точки 2т<о прямые, параллельные направлению Ош', и через точки 2/п'ш' — прямые, параллельные направлению Ош. Таким образом мы разобьем плоскость на сеть равных параллелограмов (черт; 66). Пусть будет /(а) однозначная функция, имеющая периоды 2ш, 2ш'; из соотношений /(ц2ш) =/(и), f(u-]-2w')=f(u) получаем f(u Ц- 2mw + 2/п'ш') =f(u), так что 2mt»-^ -j- 2т'ш' есть также период; мы обозначим его через 2w.
Точки-периоды суть как раз вершины сети предыдущих параллелограмов. Когда точка и описывает параллелограм ОАВС, имеющий вершины в точках 0, 2ш, 2ш 4 2ш', точка и 4 2w описывает параллелограм с вершинами в точках 2о>, 2®-4-2ш, 2w2ш2ш', 2гг»42(0’> -и функция /(а) принимает одинаковые значения в соответственных точках обоих параллелограмов. Всякий параллелограм с вершинами в точках а0, «0-{-2ш, а0-|-2ш42ш', а042ш' называется параллелограмом периодов. Обыкновенно рассматривают параллелограм ОАВС, но можно было бы заменить начало, координат любою точкою плоскости. Для
§ 318—319 II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ	149
краткости мы будем' обозначать период 2<о	2<о' через 2<о"; центр па-
раллелограма О АВС лежит в точке ш", так как точки ш и го' суть середины сторон ОА и ОС.
Всякая целая двоякопериодическая функция есть постоянное. В самом деле, пусть будет /(а) двоякопериодическая функция; если она целая, то она голоморфна в параллелограме О АВС, и модуль функции f(u) остается всюду в этом параллелограме меньше некоторого постоянного числа М. Но вследствие двоякой периодичности функции f(u) ее значение в любой точке плоскости равно ее значению в некоторой точке парал-лелограма О АВС. Следовательно, модуль этой функции остается во всей плоскости меньшим некоторого постоянного числа М, й, по теореме Лиувилля, функция приводится к постоянному.
319.	Эллиптические функции. Общие свойства. Из предыдущей теоремы следует, что двоякопериодическая функция имеет особые точки, лежащие на конечном расстоянии, если только она не приводится к постоянному. Двоякопериодические мероморфные функции ' называются эллиптическими функциями. В параллелограме периодов эллиптическая функция имеет несколько полюсов; число этих полюсов, причем каждый из них считается столько раз, каков его порядок кратности, называется порядком функции. Заметим, что если эллиптическая функция f(u) имеет полюс и0, лежащий на' стороне ОС, то точка wo-f-2<o, лежащая на противоположной стороне АВ, есть также, полюс; но при счете числа полюсов, лежащих в параллелограме ОАВС, мы должны считать только один из этих полюсов. Точно так же, если начало координат есть полюс, то все вершины сети суть также полюсы функции f{u),
150
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 319
но надо брать только один полюс в. каждом параллелограме. Действительно, достаточно было бы, например, переместить бесконечно мало вершину сети, лежащую в начале координат, чтобы ни один полюс рассматриваемой функции /(а) не лежал более на контуре параллело-грама. Когда мы будем интегрировать эллиптическую функцию / (а) вДоль контура цараллелограма периодов, мы всегда будем предполагать, что этот цараллелограм, если это нужно, смещен так, что функция f(u) не имеет полюсов на этом контуре. ’Применяя общие Деоремы теории аналитических функций, мы легко приходим к следующим основным предложениям:
1.	Сумма Зычетов эллиптической функции, соответствующих полюсам, лежащим в одном параллелограме периодов, равна нулю.
Предположим для определенности, что функция /(а) не имеет ни одного полюса, лежащего на контуре ОАВСО. Сумма вычетов, соответствующих полюсам, лежащим внутри контура ОАВСО, равна
-Ду \f(“)du,
Ди J
причем интеграл взят вдоль контура. Этот интеграл равен нулю, так как сумма интегралов, взятых вдоль противоположных сторон, равна нулю. Например, мы имеем:
2и>	2«И
f(u) du= £ f(u)du, f(u)du= | f(u)du;
О А	О	ВС	2ш+2ш'
заменяя в этом последнем интеграле и через и 2ш', получим,:
0 0
f(u -|- 2ш') du — j f(u)du =— f(u)du.
ВС	2<n	2ш	OA
Точно так же мы убедились бы, что сумма интегралов, взятых вдоль АВ и СО, равна нулю. Впрочем, это свойство модсно непосредственно
Черт. 67.
ции (каждый кратности).
видеть из чертежа (черт. 67). В самом деле, рассмо-трим два соответствующих элемента интегралов, взятых вдоль ОА и вдоль ВС; в точках т и т' значения функции /(а) одинаковы, тогда как значения du противоположны. Из этой теоремы следует, что эллиптическая функция /(а) не может иметь в параллелограме периодов только один полюс первого порядка. Эллиптическая функция не может быть ниже второго порядка.
2.	Число нулей эллиптической функции, лежащих в параллелограме периодов, равно порядку этой функ-из нулей считается столько раз, каков его порядок
Пусть будет /(«) эллиптическая функция; частное у^у=<?(а) е:ть также эллиптическая функция, и сумма вычетов функции <р (а) в парал-
§ 319	II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	151
лелограме перйодов равна числу нулей функции /(а) без числа .полюсов (§ 299). Отсюда, применяя предыдущую теорему к функции ср (а), мы приходим к . высказанному предложению. Вообще, число корней уравнения f(u) = C, лежащих в параллелограме периодов, равно порядку функции /(а), так как при всяком постоянном С функция f (а)— С имеет те же полюсы, как и функция /(а).
3.	Разность между суммою нулей и суммою полюсов эллиптической функции, лежащих в параллелограме периодов, равна периоду.
Рассмотрим интеграл и ^~du, взятый вдоль контура паралле-лограма ОАВС. Мы видели (§ 229), что этот интеграл равен сумме нулей функции /(и), лежащих внутри этого контура, уменьшенной на сумму полюсов функции /(а), лежащих в Том же контуре. Вычислим сумму интегралов, взятых вдоль противоположных сторон ОА и ВС:
2ш
J /(И) о
2и>'
du + (' uf_ {“}du-, TJ /(«)
изменяя в последнем интеграле и в и 2а/, мы представим эту
сумму
в виде:
2ш
f /'(«).
I и —— du
J fw о
2ш
(и -J- 2ш')
/' (а 4- 2а>') /(“ + 2ш')
</а,
или, принимая во внимание периодичность функции f(u), в виде:
2ш
— f 2ш' du.
J /(«) о
2<т> (* -ft / \
Интеграл j 2-	 du равен изменению Log [/’(“)], когда и описывает сто-
\) J \и) о
рону О А; при этом функция /(а) возвращается к своему начальному значению, и следовательно, изменение логарифма Log [/(а)] равно — 2m2ni, где т2— целое число. Следовательно, сумма интегралов, взятых вдоль противоположных сторон О А и ВС, равна 2^-(4/и2п/ш')=2/п2(1)'.
Точно так же мы могли бы убедиться, что сумма интегралов, взятых вдоль АВ и СО, равна 2,тгы. Следовательно, рассматриваемая разность равна 2/и1(1)	2т1ш1, т. е. периоду.
Это предложение относится также к корням уравнения f(u)^C, где С—произвольное постоянное, заключающимся в параллелограме периодов; доказательство такое же, как и выше.
4.	Между каждыми двумя эллиптическими функциями с одинаковыми периодами существует алгебраическое соотношение.
Пусть будут /(а) и /Да) эллиптические функции, имеющие одинаковые периоды 2ш и 2(о'. Рассмотрим в параллелограме периодов
152
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 319-320
точки а-,, а2, ... , ат, являющиеся полюсами для одной или для другой из функций/(и), Д (а), или для о'беих сразу, пусть будет наивысший порядок кратности .полюса ai для этих двух функций; положим
-4-р2. + pm=/V. С другой стороны, пусть будет F(x, у) целый многочлен га-й степени с постоянными коэфициентами. Если мы заменим в этом многочлене х и у, соответственно, через /(и) и Д (и)» то результат будет, новою эллиптическою функциею Ф (и), полюсы которой суть тблько точки ал, а2, ... , ат или те точки, которые мы получим, прибавляя один из периодов. Чтобы эта функция Ф (и) приводилась к постоянному, необходимо и достаточно, чтобы главные части в области каждой из точек аг а2, ... , ат были равны нулю. Но для функции Ф (и) точка а, есть полюс не выше гар.-гб порядка. Следовательно, выражая, что все коэфициенты главных частей равны нулю, мы получим всего не более
OT(gI + jx2+--- + Mm) = ^«
однородных и линейных соотношений между коэфициентами многочлена F(x, у), причем член, не зависящий от х и у, в них не войдет, и	л,	л (га 3)
Число этих коэфициентов равно -------•’ если мы возьмем га настолько
большим, чтобы было га (га 4-3) 2А/га, или га —3	22V, то мы полу-
чим систему однородных линейных уравнений с числом неизвестных, большим числа уравнений. Эти уравнения всегда имеют систему решений, отличную от нуля. Если F(x, у) есть полученный таким образом многочлен, то эллиптические функции /(u), f. (и) удовлетворяют алгебраическому соотношению:
где С—постоянное.
Примечание. Прежде чем оставить эти общие предложения, сделаем еще несколько замечаний, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
Однозначная функция называется четною, если f(—u) = f(u); функция называется нечетною, если/(—чи)=—/(а). Производная от четной функции есть нечетная функция, и производная от нечетной функции есть функция четная. Вообще, производные четного порядка от четной функции суть сами функции четные, а производные нечетного порядка — нечетные функции. Обратно, производные четного порядка от нечетной функции суть нечетные функции, а производные нечетного порядка — четные функции.
Пусть будет /(а) нечетная эллиптическая функция. Если w есть полупериод, то одновременно должно быть /(w)=—/(—w) и /(w)=/(—w), так как w=-w-\-2w\ следовательно, /(w> равно нулю или бесконечности, т. е. w есть нуль или полюс функции /(а). Порядок кратности этого нуля или этого полюса необходимо нечетный; если бы w было нулем четного порядка 2п функции/(а), то производная	которая есть нечетная функция, была бы голоморфна и
отлична от нуля при a=w; если бы w было полюсом четного порядка функции /(и), то оно было бы нулем четного порядка функции . Таким образом всякий полупериод есть нуль или полюс нечетной эллиптической функции.
Если четная эллиптическая функция /(а) имеет полупериод а’/юлюсом или нулем, то порядок кратности этого полюса или этого нуля есть четное число, а самом деле, если бы w было, например, нулем нечетного порядка 2я4~1, то оно было бы нулем четного порядка производной ff(u), которая есть нечетная функция: то же имеет место и для полюсов. Так как удвоенный период есть также период, то все вышеизложенное относительно полупериодов применимо также и к самим периодам.
320. Функциями. Мы уже указали, что всякая эллиптическая функция имеет в параллелограме периодов по крайней мере два простых , полюса или двойной полюс. В обозначении Якоби за простые элементы берут функции, имеющие в параллелограме периодов, два про
§ 320	11. .ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	153*
стых полюса. В обозначении Вейерштрасса за простой элемент берут-эллиптическую функцию, имеющую в параллелограме периодов только один двойной полюс; так как вычет должен быть равен нулю, то глав*
^4
ная часть в области полюса а должна иметь вид:----6. Чтобы окон-
(и— а)2
чательно определить условие задачи, достаточно принять А—1 и‘ предположить, что полюсы функции суть точка и = 0 и все точки-периоды 2w = 2/по)-ф 2/п'ш'. Таким образом мы приходим прежде всего-к решению следующей задачи:
Найти эллиптическую функцию, имеющую полюсами второго порядка все точки 2w = 2/по) -ф 2иг'о)', где тит! — произвольные целые числа, не имеющую других полюсов и притом такую, чтобы главная'
часть в области точки 2w была ------.
(и — 2w)2
Прежде чем мы приложим к этой задаче общий метод § 313, докажем сначала, что двойной ряд
Li |/по)-ф/п'о)'ф’
где т и т! принимают все целые значения от — оо до -ф оо кроме т — т!^=0,—сходящийся, если показатель ц есть положительное число, большее, чем 2. Рассмотрим треугольник с вершинами в точках и = 0, и = т<л, и = тш-\- т'т’; стороны этого треугольника, соответственно, равны | /по) j, | m!w! |, | т<л-\- т'а Следовательно, мы имеем) соотношение:
| /ио) т'в,' )2 = т21 о) 2 -ф т'2 j о/12 — 2mm110)0)' | cos О,
где 9 есть угол между направлениями Оо), 0о>' (0<^9<фп). Обозначим для краткости I ш | = а, |о/[ = Z> и предположим, что й^/). Предыдущее соотношение можно представить иначе в виде:
| /яо) /п'о)' j2 — т2а2 -ф m'2b2 + 2mm'ab cos 9,
где 9 = 9, если 9=^^-, и 9 = тт — 9, если 9у ; этот угол 9 не мо
жет быть равен нулю, так как три точки 0, о), о)' не лежат, на одной прямой, и потому мы имеем: 0sgcos9<^l. Далее,
| /по) -|- т'ю' |2 = (1 — cos 9) (т2а2 -ф т!2Ь2) -ф cos 9 (та + т'Ь)2,
следовательно,
| /по)-ф- /п'о)' |2 5= (1 — cos9)(/n2a2 -ф m'2b2)	(1 — cos9)a2 (т2 -ф т'2).
членам
Отсюда следует, что члены ряда (21), соответственно, меньше или равны'
L’ /	1 U
I —2 j 2 , умноженным на постоянный множитель,.
а мы знаем, что этот последний ряд — сходящийся, если показатель-
<54
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 320
-£->1 (т- I, § 163). Следовательно, ряд (21) — сходящийся, если g = 3 «ли р = 4. На основании доказанного выше результата (§ 313) ряд
представляет мероморфную функцию, имеющую те же полюсы и те же главные части, как и искомая эллиптическая функция. Докажем, что эта функция <р (и) действительно имеет периоды 2ш и 2ш'. Рассмотрим сначала ряд
L"r______1 .________i_]
(2w 4“ 2ш)2	(2w)2J
где 2w = 2ffz<o-|-2ffz'a>', и-суммирование распространяется на все целые значения т и т' кроме т = т' = 0 и т = — 1, т' — О. Этот ряд — абсолютно сходящийся, так как это — тот же ряд <р (и), в котором мы заменили и через —2ю, отбросив, вместе с тем, два члена. Рассматривая его как двойной ряд и вычисляя отдельно каждую из строк таблицы, легко показать, что его сумма равна нулю. Следовательно, вычитая этот ряд из <р(и), мы можем представить <р («) еще так:
u2 + (u-H2w)2
<?(и-2(0) = ---ьУ
1________________1
(и — 2w)2	(2w -|- 2d),2
тде комбинации =	— (т =— 1,/п' = 0) попрежнему исклю-
чаются при суммировании. Изменим теперь и в и —2<о; мы получим:
1__________________1
(и — 2(0 — 2w)2	(2w -|- 2(о)2
тде при суммировании исключена только одна комбинация (т =—1, т' =—1). Но правая часть этого равенства тождественна с <р(и). Следовательно, эта функция имеет период 2со; точно так же мы могли бы показать, что она имеет период 2ш'. Это-—та функция, которую Вейер-тптрасс обозначает знаком %>и и которая, таким образом, определяется равенством:
~т~? 1	(те = /п(о-|-7п'(1)').	(22)
“ u2 ZJ L(u — 2w)2 4w2J
_ . 1
ЕСЛИ в разногти %>U —2 мы положим и —0, то
все. члены двойной
•суммы будут равны нулю, и эта разность также равна нулю. Следовательно, функция $>и обладает следующими свойствами:
1.	Она— двоякопериодическая и имеет полюсами все точки 2w и притом только их.
2.	Главная часть в области начала координат равна .
3.	Разность	равна нулю при и = 0.
§ 320
II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
155
ни одного полюса. Если функция, при и = 0, то f (и)— ^>и — 0 при
обладает теми же тремя свой-
Эти свойства вполне характеризуют функцию %> и. В самом деле, всякая функция f(u), обладающая двумя первыми свойствами, отличается от и только на постоянное, так как их разность есть двоякопериодическая функция, не имеющая	~
сверх того, такова, что f(u)---- = О
и2 и = 0; следовательно, f(u) = %> и.
Очевидно, что функция	(—и)
ствами; следовательно, ^>( — и)=$и, и функция $и— четная, что нетрудно усмотреть также из формулы (22).
Рассмотрим тот период, модуль которого наименьший; пусть будет S этот модуль. В круге С5 с радиусом, равным S, с центром в начале координат разность $и—— голоморфна, и ее можно разложить по положительным степеням переменного и. Разложение общего члена ряда (22) по степеням переменного и дает:
1	__1 _ 2ц Зц2	to+W
(и — 2w)2	4w2	(2w)3 ' (2w)4 "I” ’'' * (2ге>)я+2 ”1”
л + 1 , .	5	x
заменяя все множители ^n+F большим числом , нетрудно убедиться, что этот ряд имеет мажорантой .Выражение
5 и
16 | w j3 и ’ |w| ,	и . 2и
и, тем более, выражение, которое получим, изменяя 1-в 1 —.
Так как ряд ।	— сходящийся, то отсюда следует, что мы имеем
право складывать почленно получающиеся целые ряды (§• 263). Коэфициенты при нечетных степенях переменного и равны нулю, так как члены, происходящие от противоположных по знаку периодов, взаимно уничтожаются, и мы можем представить разложение функции р в виде:
+с2ц24-^4+...+^2)-2Н-...,	(23)
где
C2 = 3S ‘W’ C3 = 5S -(2w)«’ •” |	(24>
... ,c} = (2\ — 1)^	J
Тогда как формула (22) применима во всей плоскости, разложение (23) имеет место только внутри круга С5 с центром в начале координат, проходящего через наиболее близкую точку-период.
156
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 320—321
Производная %>'и есть также эллиптическая функция, имеющая полюсами третьего порядка все точки 2w; она представляется во всей плоскости разложением в ряд:
9	t 1
^“=-7.-2L	<25>
Вообще, производная л-го порядка ^(л)м есть эллиптическая функция, имеющая все точки и=-2то полюсами (л-{-2)-го порядка:
+	+	2-^-,.	(26)
Предоставляем читателю доказать сходимость этих разложений, что нетрудно сделать, основываясь на доказанных выше свойствах (§ 290 и 312).
321.	Алгебраическое соотношение между $и и $'и. На основании общей теоремы (§ 319) между функциями и и $'и существует алгебраическое соотношение. Его нетрудно получить следующим образом. В области начала координат по формуле (23) имеем:
= — у3 +’2с2м + 4сз“3 + • • • >
4 8с
1 Чг
^м)3=7« + ^+3сз+---’
причем все остальные чл^ны равны нулю при а = 0. Следовательно, разность — 4^>3а имеет точку и=0 полюсом второго порядка, и в области этой точки мы имеем:
^2и_4^зи== _£^2. _ 28с3 4- ... ,
причем остальные члены равны нулю при а = 0. Таким образом эллиптическая функция —20с2^>а— 28cs имеет те же полюсы с теми же главными частями, как и эллиптическая функция — 4^>3, и их разность равна нулю при и=0. Следовательно, эти две эллиптические функции тождественны между собою, и мы приходим к искомому соотношению, которое можно представить в виде:
(^)2 = 4£>3и — g^u — g3,	(27)
где
Lz / 1 \ 4	Viг / 1 \6
Ь»)  =	(2-) .
Соотношение (27) — основное в теории эллиптических функций; количества g2, g3 называются инвариантами.
§ 321	11- ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	157
Все коэфициенты с, разложения (23) суть целые функции инвариантов g2, g3, в самом -деле, из соотношения (27) получаем, взяв производные и деля на 2^'и:
^>"и = 6^2и—.	(28)
С другой стороны, в области начала координат мы имеем:
fu =	4- 2г2 + 12сзИ2 4- ... + (2Х - 2) (2). - 3) ctu^ 4- ... ,
заменяя в соотношении (28) функции %>и и %>"а их разложениями и приравнивая между собою коэфициенты при одинаковых степенях и, мы получим рекуррентное соотношение:
(МТ17Д773) S'A-.	[« = 2. 3, ...
Пользуясь этим соотношением, мы можем последовательно выразить все коэфициенты с} через с2 и С3 и, следовательно, через g2 и g3; таким образом, мы находим:
с =-?2— г
4	24-3-52’ 4	24-5-7-11’
Отсюда вытекает то замечательное алгебраическое предложение, что все суммы (2w)2" выРажаются иелыми функциями двух первых.
Мы знаем корни выражения без всякого вычисления. Эта функция, будучи третьего порядка, имеет в параллелограме периодов три корня. Так как она нечетная, то она имеет корни и = о>, и~о>', и = ш" = и 4* со' (§ 319, примечание). Из соотношения (27) заключаем, что корни уравнения 4^>3—g2*@—g3 = 0 суть не что иное, как значение функции g>u при и=а>, а/, <о". Эти корни обозначают через <?i, е2, е3:
^=^<0, е2 = ^ш', г3 = £>а>.
Эти корни различны. В самом деле, если бы, например, было б’1 = е2, то уравнение ^>и = е:| имело бы внутри параллелограма периодов два двойных корня со и а/, что невозможно, так как %>и— второго порядка. Мы имеем также:
4^3u—g2^u—g3 = 4(^u — ei)(^u—e2){^u—e3),
и между инвариантами^,^ и корнями е3, е.., е3 мы имеем соотношение:
^i + ^4-^ = 0, е2е2 4-^3 -1-^3 = — -|2, е/2е3=^2-.
Дискриминант^/^3—27^32) необходимо отличен от нуля.
158
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 322
322.	Функций ? и. Интегрируя функцию фи----вдоль
и2
какого-нибудь
пути, выходящего из начала координат и не проходящего ни через один из полюсов, мы получим соотношение:
О
Ряд, стоящий в правой части, представляет мероморфную функцию, имеющую полюсами первого порядка все точки и — 2w кроме и = 0.
Изменяя знак и прибавляя дробь — , положим:
—1-+ 1 +—1;
и — 2w' 2w^(2w)2
тогда предыдущее соотношение можно представить в виде:
(29)
(30)
(31)
и
0
и, взяв производные от обеих частей, получим.*
Z,'u = —$U.
Из той или другой из этих формул легко видеть, что функция Си— нечетная. На основании разложения (23) и формулы- (30j в области начала координат имеем:
С и — —------- и3 — и5 .
и 3 а 1
Функция Си не может иметь периодов 2ш и 2ш’, так как она имела бы в параллелограме периодов только один полюс первого порядка. Но так как функции С(и-)-2то) и Си имеют одну и ту же производную — фи, то эти две функции могут различаться только на постоянное; следовательно, когда аргумент и возрастает на период, функция Си возрастает на постоянное количество. Нетрудно получить выражение этого постоянного. Для большей ясности представим формулу (30) в виде:
и
(7 ’L 1 г
J u>v-^)dv=--^u’ о
изменяя и в и-|-2й> и вычитая обе формулы, получим:
д-|-2(О
С(и-|-2ш) — Си — — J $vav.
и
§ 322	II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	159
Положим
« + 2ш
2rt~— J pvdv, 2т/— — j* pvdw,
Г| и т/— постоянные, не зависящие от нижнего предела и пути интегрирования. Это последнее положение очевидно a priori, так как все вычеты функции равны нулю. Следовательно, функция С, и .удовлетворяет двум соотношениям:
C(« + 2<o) = Sa + 27j, £(b-1-2©’) = Cb-|-2t/.
Полагая в этих формулах и — —ш или и~ — ©’, получим rj = £ (D„ 7/ = С®’.
Между четырьмя количествами ш, ©’, 7], т/ существует весьма простое соотношение. Чтобы его получить, нужно только вычислить двумя способами' интеграл J ^udu, взятый вдоль параллелограма с вершинами и0 , и0-1-2<о, и02<о-]-2<о', и0-|-2(о’. Предположим, что Си не имеет . о/ ни одного полюса на контуре параллелограма, и коэфициент при г в -— (О положителен, так что, описывая, контур этого параллелограма в прямом, направлении, мы встретим эти 'вершины в том порядке, как они приведены выше. Внутри этого контура есть только один полюс функции *zz с вычетом, равным -|-1; следовательно, рассматриваемый интеграл равен 2тт/. С другой стороны, сумма интегралов, взятых вдоль стороны* соединяющей вершины и0, zz0 -|-2(o, и вдоль противоположной стороны* равна (см. § 319):
и04-2ш
J [Си — С (и -J- 2©’)] du =— 4(от/; “о
точно так же можно убедиться, что сумма интегралов, взятых вдоль двух других сторон, равна 4(и'т;. Таким образом мы приходим к искомому соотношению:
©'г; — (or/=-^-z.	(32>
и 4- 2 (0
Вычислим еще определенней интеграл F(u)=- J ^vdv, взятый Л
вдоль какого-нибудь пути, не проходящего ни через один из полюсов.. Мы имеем:
(zz) = С (zz Ч- 2(d) — С и — 2гь
так что F{u} имеет вид: F(и) — 2циК, где постоянное К определено лишь до кратного 2ш, так как всегда можно так изменить путь интегрирования, не изменяя его концов, чтобы интеграл увеличился на любое кратное 2та. Чтобы найти это постоянное К, вычислим определен-
160
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 322—323
4-ш
шый интеграл J -----------dv, взятый вдоль пути, весьма близкого
— ш
ж прямолинейному отрезку, соединяющему точки ши —ш. Этот интеграл равен нулю, так как можно заменить путь интегрирования прямолинейным путем, и элементы нового интеграла попарно взаимно уничто-:жаются. Но, заменяя и через —ш в формуле для F(u), имеем:
4 ш
J ^vdv =— 2т]ш-|-А', — и> +“
;а интеграл J	д/, так чт0 можно положить К = 2|;ш -4- т. Сле-
довательно, если не делать никакого предположения относительно пути [интегрирования, то мы; вообще, имеем:
2<ог
J С v dv = 2т] (и ш) 4- (2т	1) ш,	(33)
и
где т— целое число; аналогичную формулу мы получим для инте-
трала
к
323.	Функция <зи. Интегрируя функцию Си----вдоль какого-нибудь
пути, выходящего из начала координат и не проходящего ни через •один ив полюсов, имеем:
л
'И следовательно,
Целая функция, стоящая в правой части, есть простейшая из целых •функций, имеющих простыми корнями все периоды 2w. Эта функция Обозначается через аи:
и
2w
Равенство (34) можно представить в виде:
f — "u") du >
аи = ие°	(34bis)
au = uW I 1
и__и1
е
(35)
§ 323—324 II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	161
и, взяв логарифмические производные от	обеих	частей, получим:
а’и 1	1
— = — + £и--------= ^и.	(36)
аи и	и
Функция а и, будучи целою функциею, не может быть двоякопериодическою; когда аргумент возрастает на период, она получает показательный множитель, который можно определить следующим образом. Например, из формулы (34bis) получаем:
и-\-2<м
а (и + 2(о) и + 2(0 f('u-^)au hudu
<зи	и
этот интеграл был вычислен выше, и мы имеем:
а(и + 2(о) = е27>(“+ш) + <2от+1)м'аи — — е2т<(“+") аи.
Точно так же получим формулу:
а (и + 2(о') = — е2т/ (“+"'> аи.
Из формул (35) или (34bis) видно, что функция а и — нечетная.
Если мы разложим функцию аи по степеням переменного и, то полученное разложение будет применимо во всей плоскости. Нетрудно показать, , что все коэфициенты разложения суть целые функции от g, и g3. В самом деле, мы имеем:
(37)
(38)
и
du =-----^-и*-----С±-и5— .
3-4	5-6
--------и2 >• — 2k(2k—1)
аи = ие 3-4	5,6
Мы видим, что разложение не содержит члена с и3, и каждый коэфициент есть целая функция от коэфициентов а следовательно, и от инвариантов g2 и g3; первые пять членов разложения — следующие:
^2и3	&&+11
—“ 24-3-5 "г 2*.3-5-7	29-32-5-7	27-32-52-7-И •”
Три функции %>и, £и, аи суть основные элементы теории эллиптических функций. Две первых получаются из <зи при помощи соотноше-
Уи	.
ний ?и =—,	=— С'и.
<зи *
324.	Общее выражение эллиптических функций. Всякую эллиптиче* скую функцию /(и) можно выразить или только через функцию аи, или через функцию Си и ее производные, или через функцию %>и и %>'и. Мы изложим кратко эти три способа.
1.	Выражение функции f(u) через функцию аи. Пусть будут аг, а2, ... , ап нули функции /(и), лежащие в параллелограме периодов, И Э. Гурва, т. II, ч.1.
tp(w)
162	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§ 324
и by, Ь2, ... , Ьп — полюсы функции /(и), лежащие в том же параллелограме, причем каждый из нулей и полюсов считается столько раз,, каков его порядок кратности. Между этими нулями и полюсами существует соотношение:
ai +а2 4~ • • •	= ^i + ^2+ • • • + + 2^> ИО)
где 2Q — период. Рассмотрим функцию
а (и — ay) g (и — а2) ... а (а — ап а (и — by) о (и — Ь2) ...а(и — Ьп — 22)
Эта функция имеет те же полюсы и нули, как и функциями), так как единственными нулями множителя а (и—а) будут u = at и значения иг отличающиеся от at на период. С другой стороны, функция tp (и) — двоякопериодическая, так как, изменяя, например, и в и -|- 2<о, мы на основании соотношения (37) найдем, что числитель и знаменатель функции tp (и) получат, соответственно, множители:
(__ ] )л g2|i (ла4-лш —а, —а, — ... — Оц) ,	(_ ] )л g2|x(na + лш — b, — ft2 - ... — Ьп - 2й)
а на основании соотношения (40) эти множители между собою равны. Точно так же мы убедились бы, что tp (и 2ш') = tp (и). Следовательно г /(и)	.
частное —— есть двоякопериодическая функция от и, не имеющая ни одного полюса, т. е. оно есть постоянное, и мы имеем:
flu) = С.	(4П
' ' а (и — Ьу)а(и — Ь2) ... а (и — Ьп — 22)	k г
Чтобы определить постоянное С, достаточно дать переменному и значение, отличное от полюса и от нуля.
Вообще, чтобы выразить эллиптическую функцию / (и) через функцию aw, когда известны ее полюсы и нули, достаточно выбрать п ну-, лей (а/, а2', ... , aj) и п полюсов (by, b2', ... , Ьп') таким образом,, чтобы всякий корень функции f(u) равнялся одному из количеств а/, сложенному с периодом, и всякий полюс /(и) равнялся одному из; количеств Ь/, сложенному с периодом, и чтобы, сверх того, было 2d/= 2^/. Эти полюсы и нули могут быть расположены в плоскости произвольно, лишь бы только они удовлетворяли предыдущим условиям.
2.	Выражение функции /(и) через функцию Z,u и ее производные.. Рассмотрим k таких полюсов Оу, а2, ... , ак функции /(а), что всякий другой полюс получается от прибавления периода к одному из предыдущих; например, можно взять полюсы, расположенные в одном и toms же параллелограме, но это не необходимо. Пусть будет
и — ai (и — ai? ' (w — at)n главная часть функции f(u) в области точки а,.
^-i)(« —С/)
§ 324	II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	163
Разность
k
J [ДЮ С (а - at) - Л<‘) ? (и - а.) +... /=1
(—1)<^-1)Л<о •' * + 1.2 ... (л,— 1)
есть функция, голоморфная во всей плоскости. Сверх того, это — двоякопериодическая функция, так как при изменении ив и 2ш эта функция возрастает на —2г)2ДЮ, а это количество равно нулю, так как 2ДИ представляет сумму вычетов в параллелограме периодов. Следовательно, рассматриваемая разность равна постоянному, и мы имеем,
k
f(u) = С+ [л({> : (« - */) - С (и-at) 1=1
'>]• <421
Эта формула принадлежит Эрмиту. Чтобы было можно ее применять: необходимо знать полюсы эллиптической функции /(«) и соответствующие главные части. Подобно тому как формула (41) аналогична формуле, дающей выражение рациональной функции через частное двух многочленов, разложенных на их линейные множители, формула (42) аналогична формуле, дающей разложение рациональной дроби на простые элементы. Роль простого элемента играет здесь функция Ци — а).
3.	Выражение функции f(u) через функции %>и и %>'и. Рассмотрим сначала четную эллиптическую функцию /(и). Нули этой функции, отличные от периодов, попарно, противоположны. Следовательно, мы можем найти п таких нулей (а3, а2, ... , ап), чтобы все остальные нули, отличные от периодов, заключались в формулах:
4=a1-|-2w, +a2-}-2w, ... , -4-ая4~
Например, можно взять параллелограм с вершинами в точках ш 4- о/, —со, —ш — о>', о> — со' и рассмотреть нули, лежащие в этом параллелограме по одну сторону какой-нибудь прямой, проходящей через начало координат. Если нуль at не равен полупериоду, то мы повторим его в последовательности а2, а2, ... , ап столько раз, сколько единиц в его порядке кратности. Если же, например, нуль аА равен полупериоду, то это есть нуль четного порядка 2г (§ 319, примечание), мы повторим этот нуль в последовательности аА, а2,... , ап только г раз. Произведение
(^и — pajtpu — ра2) ... (уи — рап)
имеет те же нули, как и функция f(u), и с теми же степенями кратно-. сти, если только не будет /(0) —0. Точно так же составим другое произведение:
(&и — рЬ1)(ри — рЬ2)...(фи—рЬт), 11*
164
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 324-325
имеющие нулями полюсы функции /(и) и с тою же степенью кратности, не считая точек-периодов. Положим
V (ри — ybf}($u — $Ь2)...($и — $Ьт) ’
/(«) .
частное есть эллиптическая функция, имеющая конечное значение, отличное от нуля, при всяком значении переменного и, не равном периоду. Эта эллиптическая функция приводится к постоянному, так как она могла бы иметь полюсами только периоды, а если бы это было так, то обратное выражение не имело бы полюсов. Следовательно, мы имеем:
flu) = С^и — ^а^ № и—&а2)	& ап)
^u — ybf)(yu — yb2) ...($и — ф ьт) 
Если t\ (и) есть нечетная эллиптическая функция, то есть четная функция, и следовательно, это частное есть рациональная функция от )ри. Наконец, произвольная эллиптическая функция F(u) есть сумма четной и нечетной функций:
F(„\	^(“) + F((—м) г Л«) —f(—«) .
г (и) = ---------------1---------------
2
2
(43)
дает продля
применяя предыдущие результаты, мы видим, что всякую эллиптическую функцию можно представить в виде:
F(u) = К0? и) -|-$и	(р и),
где К и К —рациональные функции.
325. Формулы сложения. Формула сложения для функции sinx выражение функции sin (а + Ь) через значения этой функции и ее изводной при х = а и х — Ь. Такая же формула существует и
функции только выражение ^(м-|-т<) через %>и, %>v, f>'u, несколько более сложно, так как в него входит делитель.
Применим сначала общую формулу (41), в которую входит функция аи, к эллиптической функции %) и— gv. Непосредственно видно, а (и 4- v)a(u — v) что --------------- есть эллиптическая функция, имеющая те же нули
CrU
и полюсы, как и функция и — ypv. Следовательно, мы имеем:
а(и 4-т>) а(и — v)
$u — $v=C-----------2-------.
Чтобы определить постоянное С, достаточно умножить обе части этого равенства на а2и и приближать и к нулю. Таким образом получим соотношение: 1=—CcPv, откуда находим:
а (и 4-v) а (и—т>)
(44)
а2и a2v
§ 325	II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	165
Возьмем от обеих частей логарифмические производные, рассматривая v как постоянное, а и как независимое переменное. Мы получим:
переставляя в этой формуле и и v, будем иметь:
= ? (и □_	_ ц,, _ V) _ 2?v
Наконец, складывая обе формулы, придем к соотношению:
=	,	(45)
2 $ и — yv представляющему формулу сложения для функции £и.
Диференцируя обе части по и, мы получили бы выражение для ^(a-j-'u); правая часть будет содержать вторую производную $"и, которую надо заменить через 6 у1 и—	. Вычисление несколько длинно,
и мы придем к результату более изящным путем, доказав предварительно формулу:
Р (и + v) 4- и 4- & т> = Щи 4- и) — С и — С •и]2.	(46)
Будем рассматривать попрежнему и как независимое переменное. Обе части [суть эллиптические функции, имеющие полюсами второго порядка и—0, и~— v и все значения, которые получим, прибавляя к этим значениям периоды. В области начала координат имеем:
^(и-Ь'и) ——?'ц=?'и4~и^1'_Н" — ^и—Zv=—-4- u^'v-V аа24~. • •> и следовательно,
[;(и_|_г,)_ ru_ ^]2==J__ 2^'v — 2а«4-. . .
Главная часть есть , как и у левой части (46). Сравним также между собою главные части в области полюса и = — v. Полагая и = — v-\-h„ будем иметь:
5h — ?(—v-\-h)—	= ~------h -j- $h2 4- . . . ,
[Zh - C (A - v) - ^]2 = -1 - 2С-П 4- . . .
Следовательно, главная часть правой части формулы (46) в области точки и =— v есть -—•—— , как и у левой части. Из этого следует, («4-^) что разность между обеими частями может быть только постоянным.
166
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 325-326
Чтобы вычислить это постоянное, сравним между собою разложения, например, в области начала координат. В этой области мы имеем:
Сравнивая это разложение с разложением функции (и -|- г») — "и — ^]2, мы видим, что при и = 0 разность равна нулю. Следовательно, формула (46) доказана. Из сравнения формул (45) и (46) получаем формулу сложения для функции %>ir.
+ + + ,47)
326. Интегрирование эллиптических функций. Формула разложения, данная Эрмитом, применима непосредственно к интегрированию эллиптической функции. В самом деле, из формулы (42) получаем:
Г	*
1 f(u) du = Си -|- У | ДМ Log [s (и — а;.)] — Д^ч (и— а.)4~...
J	;=1
(О д
••• + (- 1)^-1 ^1ЯГ-2 (a-az).	(48)
Мы видим, что интеграл от эллиптической функции выражается через те же трансцендентные функции а, £, как и сама эллиптическая функция, но функция аи может входить в это выражение под знаком логарифма. Чтобы интеграл от эллиптической функции был также эллиптическою функциею, необходимо прежде всего, чтобы интеграл не имел логарифмических критических точек, т. е. чтобы все вычеты были равны нулю. Если это будет так, то интеграл есть мероморфная функция; чтобы она была эллиптическою, достаточно, чтобы она не менялась при прибавлении периода, т. е. чтобы было
2Сш — 2т| У Д(р == 0, 2Сш' — 2т/у ДМ —О, i	I
откуда С = 0, У ДМ= 0. Если эти условия удовлетворяются, то инте-
I
грал представится в виде, соответствующем теореме Эрмита.
Если эллиптическая функция, которую надо интегрировать, выражена через и и ^'и, то часто выгодно исходить из этой формы, вместо того, чтобы пользоваться общим методом. Пусть требуется проинтегрировать эллиптическую функцию R^uy+^'uR^u), где/? и Rt — рациональные функции. Интеграл \R(«?u)$'udu нас не затруднит, так как заменою переменного р и — t мы приведем его к интегралу от рациональной функции. Что касается интеграла ^/?(^>и)</и, то можно было бы привести его операциями рационального вида вместе с надлежащими интегрированиями по частям к некоторому числу типических интегралов; но это было бы равносильно повторению в другом виде вычислений, уже сделанных ра_
§ 326
II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
167
нее (т. I, § 100). В самом деле, сделав замену переменного gu = t, получим $’udu = dt, или
. dt	dt
du — — =	- ,
tfu j/W-gd-g, и интеграл R u) du принимает вид:
________________dt. J J/41*- git- g3
Мы видели, как можно разбить этот интеграл на рациональную функцию от I и от корня ]/41*— g.j: — g3, на сумму нескольких интегралов вида:
Г dt и наконец, на несколько интегралов вида:
Г<?(0 dt
J P(t) ]/4ti-g2t-g3’
где P(f) — многочлен, первый со своею производною и с 4t*— gtt — g3, a Q(t) — первый с P(t) и низшей степени.
Следовательно, возвращаясь к переменному и, мы видим, что интеграл \ Я(|?и) du равен рациональной функции от %>и и д’и, сложенной с интегралами вида ^($u)ndu и с другими интегралами вида:
Г Q ^^da	(4Э1
причем это приведение можно выполнить рациональными операциями (умножениями и делениями многочленов) вместе с некоторыми интегрированиями по частям.
Нетруднр получить рекуррентную формулу для вычисления интегралов In=\(guy du. Заменим в соотношении
[((£» чу-' $’и] = (п — 1) (g> п)ч-2 g’di + (р uy-iff"u
производные $'2и и ^"и, соответственно, через 4g>3W'—g^u — g3 и 6$2u—^-g2; располагая результат по степеням ди, готучим:
£	^и] = (4л+ 2) (guy + »— (п —'j g.2(ff uy-i — (n— 1) g3 (ff uy-2;
отсюда, интегрируя обе части, будем иметь:
(#иу-1 у'и = (4п + 2) /в+1 — ( п — -i) gJn-i — (л — 1) g3In. 2.	(50)
Полагая в этой формуле последовательно л = 1, 2, 3, ..., мы выразим один за другим все интегралы через два первых 13 = п, 12 =— Си.
Чтобы провести дальше приведение интегралов вида (49), надо знать корни многочлена P(t). Если эти корни известны, то мы приведем задачу к вычислению нескольких интегралов вида:
(* du
$u—$v ’
168
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 326-327
где $v отлично от е{, е3, е3, так как многочлен Р (t) — первый с 4Z3— g2t — g3. Следовательно, значение v не равно полупериоду, и g'v отлично от нуля. Тогда из выведенной выше (§ 325) формулы
—1Р£  ци — С (ы — v) — 2С t»
будем иметь:
J ^u~-'<§v = [Log °{U + v} ~ Log ’ (« ~ ~ 2« Cv] + C. (51)
327. Функция 0. Ряды, которыми мы определили функции и, К и, а и, в том числе и разложение в целый ряд функции аи, пригодное во всей плоскости, мало удобны для нахождения численных значений. Основатели теории эллиптических функций, Абель и Якоби, ввели другую замечательную трансцендентную функцию, которую уже встретил Фурье в своих работах по теории тепла и которую можно разложить в ряд, весьма быстро сходящийся; это — функция 0. Мы выведем кратко основные свойства этой функции и покажем, каким образом можно из нее легко получить функцию аи Вейерштрасса.
Пусть будет т мнимое количество: t = r-\-si, где коэфициент 5 при I положителен. Обозначим через v комплексное количество; функция 0 (v) определяется разложением в ряд:
0(гО = у£(-	2' /2л+1)т') q^e™,	(52)
— оо
который можно рассматривать как ряд Лорана, где z заменено через e*‘v. Этот ряд — абсолютно сходящийся, так как модуль Un его общего члена равен:
^л = е-^(л+уУ-(2л+1)^ ,
если v — a -|- ₽/; мы видим, что n^Ua при неограниченном возрастании числа п по положительным значениям стремится к нулю; то же имеет место и для U-n. Следовательно, 0(d) есть целая трансцендентная функция переменной) v. Это — нечетная функция; в самом деле, если мы соединим члены ряда, соответствующие значениям указателя п и п— 1, причем будем изменять п от 0 до 4- оо , то мы заменим разложение (52) следующим:
+ °° fnJ-iy
0 (d) = 2 У (— l)1	2 sin (2л + 1) t.d;	(53)
о
отсюда видно, что
0(— v) = — 0(d),	0(О) = О.
Когда v возрастает на единицу, общий член ряда (52) получает множитель ₽(2л+1)м = —1. Следовательно, 0(d4~1) ——0(d). Изменим v в D-j-i; мы получим новый ряд, причем простого соотношения между рядами здесь непосредственно не видно. Но мы имеем:
I 12?	(Л + |)’+2л + 1 (2л+1)^
0(d + t) = ± £(-1)Л/	2' е	;
- оо
если мы изменим в этом ряде п в п — 1, то общий член нового ряда
(_ j)"-1 9(л-4)’+2"-1 ₽<2лЦ-1)«г>е-2^0
327	II. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	169»
будет равен общему члену первого ряда (52), умноженному на —q-te-**™. Сле' довательно, функция 0 (v) удовлетворяет двум соотношениям:
0(^4- 1) = — в(»), 0(а-|-т) = — q-t e~i~iv 0 (w);	(54)’
из этих соотношений видно, что функция 0(w) имеет нулями все точки тг~..
где т{ и та—произвольные целые числа, положительные или отрицательные,, так как 0(0)= 0.
Это — единственные корни уравнения 0 (v) = 0. В самом деле, рассмотрим параллелограм с вершинами в точках v0, »о+ 1, v04- 1 4-т,	+ т, причем пер-
вая вершина v0 взята таким образом, чтобы ни один из корней функции 0 (и) не-
лежал на контуре параллелограма. Покажем, что внутри этого параллелограма уравнение в(г>) = 0 имеет только один корень. Для этого достаточно вычислить.
Г 0' (v) .
интеграл I dv, взятый в прямом направлении вдоль контура параллело
грама; на основании предположения, сделанного относительно количества т, мы встретим вершины в том порядке, в каком они приведены выше.
Из соотношений (54) получаем:
9'(»+ 1) _ О' (v) 0(v + 1)— в (а)’
в' (V + т) _ 6' (V) О (v ~ 0 (v) '
Из первого из этих соотношений следует, что в соответствующих точках п и п'-(f (t>)
на сторонах AD и ВС (черт. 68) функция имеет одинаковые значения.
Так как эти стороны описываются в противоположных направлениях, ' тс»
сумма соответствующих интегралов'’равна нулю. Напротив, если мы возьмем две соответствующие точки т, т', лежащие на сторонах АВ, DC, то
.	9' (*0	>
значение функции у j в точке т равно значению
той же функции в точке т, уменьшенному на 2ти. Следовательно, сумма интегралов, взятых вдоль
этих обеих сторон, равна
\ — 2~i dv — 2-f.
CD
Черт. 68.
Так как очевидно, что в параллелограме ABCD есть одна и только одна точка,, аффикс которой имеет вид: + т2т, то отсюда следует, что функция в (v) не-имеет других нулей кроме указанных выше.
Таким образом функция в (v) есть нечетная целая функция, имеющая простыми нулями все точки т{ 4- тр, и притом только их, и удовлетворяющая соотношениям (54). Пусть будут теперь 2<о и 2<о' такие периоды, что коэфициент “>'	о	„ , ,	и	<о'-
при I в — положителен. Заменим в 0 (v) переменное v через	и,т через — V
Обозначим через <р (и) функцию (55>
f (и) — нечетная целая функция, имеющая нулями первого порядка все периоды 2<о =2m<o -|- 2т'<о'; соотношения (54) принимают вид:
<f(u-|-2w) = —<р(и),	<р (и 2<о') — — е ш <р(и).	(56>
Эти свойства весьма близки к свойствам функции ей. Чтобы получить ей, достаточно умножить <р (и) на показательный множитель. В самом деле, положим
,. .	2<о
и“)==б'7о)’ е ?(и)>
(57>
170
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 327—328
где г; есть функция от ш и <о', определенная выше (§ 322). Функция -|(«) есть также нечетная целая функция, имеющая те же нули, как и f (и). Первое из соотношений (56) обращается в
9,1	-sr-(“ + 2u>)’
ф(м + 2<й) = -^е2ш	,?(«)=-^<а+ш)ф(И).
Далее, мы имеем:
(58)
2<о	^(и+2ш')1
?(и + 2«>') = —вТ(оу«	е	?(и),
Г	1	™
мли, принимая во внимание соотношение —т/со ——: ф(м-}-2<1>') = — е2Т| (и^~ш)ф(м).
(59)
Соотношения (58) и (59) тождественны с соотношениями, выведенными выше ф(д)
для функции а и. Следовательно, частное имеет два периода 2<о и 2<о', так
как при Еозрастании и на период оба члена этого отношения получают по одинаковому множителю. Так как обе функции имеют одинаковые нули, то это отношение равно постоянному; кроме того, коэфициент при и в обоих разложениях равен единице. Следовательно, мы имеем аи — ^(и), или
2® °“ = 0'-(О)е	6
и функция а и выражена через функцию 0. Так как | q | < 1, то если аргумент v получает действительные значения, ряд (53) сходится весьма быстро. Мы не будем развивать дальше этих указаний; их достаточно, чтобы видеть основное значение функции 0 в приложениях эллиптических функций.
(60)
III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА.
328. Соотношения между периодами и инвариантами. Всякой системе (j)f
двух комплексных чисел ш, ш , отношение которых - не есть действи-(0
тельное число, соответствует вполне определенная эллиптическая функция %>и, имеющая периоды 2ш, 2а)' и правильная при всяком значении переменного и, отличном от значений вида 2т<о -(- 2т'ш', причем все периоды суть ее полюсы второго порядка. Функции и аи, которые получаются из <@и одним или двумя интегрированиями, также определены системою периодов (2ш, 2ш'). Когда необходимо указать эти периоды, можно пользоваться для трех основных функций обозначениями
{U I 0), о/), Z (U | 0), 0)'), G(njo), 0)').
Однако должно заметить, что систему (ш, ш') можно заменить бесконечным множеством других систем (й, йг), не изменяя функции $ и. В самом деле, пусть будут т, nJ,'п, rJ такие целые положительные или отрицательные числа, чтобы было mrJ— nJn = ±l. Полагая Q ~ тшпш', Q' = т'ч>-[- п'ш', будем иметь, обратно: о —-4-(>zffi—nQ.'), <й, = гЬ(/пй'— /п'й); ясно, что все периоды эллиптической функции у и •суть комбинации двух периодов 2Й, 2Й', совершенно так же, как и двух периодов 2ш, 2а>'. Две системы периодов (2ш, 2о>г) и (2Й, 2Й') ’равносильны. Функция р (и | й, й') имеет те же периоды, те же полюсы с теми же главными частями, как и функция ^(и|ш, о/), и их
•§ 328
III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА
171
разность равна нулю при м —0. Следовательно, они тождественны; это следует также из разложения (22), так как множество количеств 2/и<о -|- 2/и'а)' тождественно с множеством количеств 2отй + 2m'Q'. На том же основании будет £ («| й, й') ==?(«! и, ш'), а (а | й, й') = а («| ш, ш’).
Точно так же функции $и, %, и, а и вполне определены и инвариантами g2, g3. В самом деле, мы видели, что функция аи определена разложением в целый ряд, все коэфициенты которого суть целые много-а'и	,
члены по g2 и g-3; затем мы имеем £ и = --- и, наконец, <@и =— С и.
Чтобы обозначить функции, соответствующие инвариантам g2 и g3, пользуются обозначениями	g3); Ци; g2, g3); а(«; g2, g3).
Здесь возникает следующий существенный вопрос. Из самого способа образования функции %>и очевидно, что всякой системе (<в, ш') ш' соответствует эллиптическая функция %>и, если только отношение -не есть действительное число; но ниоткуда непосредственно не видно, чтобы всякой системе значений инвариантов g2, g3 соответствовала эллиптическая функция. Мы знаем, что выражение g23 — 27g32 должно быть отлично от нуля, но наверное нельзя еще утверждать, что это условие достаточно. Рассматриваемая задача приводится, в сущности, к решению выведенных выше трансцендентный уравнений (§ 321):
(2/иш-|-2/п'ш')4 ’	(2тш 2т’<й’)6’ ^0
относительно неизвестных со, ш', или, по крайней мере, к разысканию, имеют ли эти уравнения при g23— 27^32, отличном от нуля, такую сис-о/
тему решений, чтобы - не было действительным числом. Если суще-ш
ствует одна система решений, то существует бесчисленное множество других, но прямое решение предыдущих уравнений, повидимому, недоступно. К решению вопроса можно притти окружным путем, изучая сначала задачу обращения эллиптического интеграла первого вида.
При-мечание. Пусть будут ш, ш' такие комплексные числа, что ~ не есть действительное число. Соответствующая функция (и I <о') удовлетворяет дифе-ренциальному уравнению:
(d&u\2
= ёгр-ёз.
g2 = 60 V
тде ёь ёз определяются уравнениями (61). При и = <о количество равно корню <4 уравнения 4$3 — ё'. Ф ~~ ёз~0- Когда и изменяется от 0 до <о, описывает линию L, идущую из бесконечности в точку так как мы имеем соотношение
du =  г--=  , то отсюда заключаем, чтэ полупериод равен определен-
УЧ^ё^-ёз
«ому интегралу:
= ('г-	
о©
172
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 328-329
взятому вдоль линии L. Аналогичное выражение для ш' мы получим, заменяя в предыдущем интеграле через е3.
Таким образом мы имеем выражение полупериодов ш, а’ через инварианты. Чтобы иметь возможность вывести отсюда решение рассматриваемой задачи, необходимо было бы доказать, что эта новая система уравнений равносильна системе (61), т. е. что она определяет g3 и g3 как однозначные функции от м и ш'.
329. Функция, обратная эллиптическому интегралу первого вида. Пусть будет /? (г) многочлен третьей или четвертой степени, первый со своею производною. Мы представим этот многочлен в виде:
R(z) = A(z — ai)(z~a2)(z — a3)(z — ai),
где а2, а3, а4 — его различные корни, если R(z~)—четвертой степени; если же /?(г)—третьей степени, то мы обозначим его корни через
Др а2, а3 и положим, кроме того, ai—oo , условившись заменять г — оо в выражении R(г) единицею. Эллиптический интеграл первого вида есть
Z
Г dz
и~ JPW
*о
(62)
где для определенности предположим, что начало z0 отлично от корней многочлена R(z) и находится на конечном расстоянии, и корень имеет определенное начальное значение. Если R{z)— четвертой степени, то корень	имеет четыре критических точки а^, а2, а3, а4,
и каждое из значений корня ]Л/?(г) имеет точку z — oo полюсом второго порядка. Если R{z)— третьей степени, то корень 1^R(z) имеет только три критических точки а,, а2, а3 на конечном расстоянии. Но если переменное z описывает окружность, содержащую внутри себя точки а2, а3, то оба значения корня переходят одно в другое; следовательно, точка г=оо есть точка разветвления функции t^R(z).
Напомним свойства эллиптического интеграла и, ^выведенные выше (§ 306 и 307). Если и (г) обозначает значение этого интеграла, соответствующее переходу от точки z0 до точки z по определенному пути, то этот интеграл может иметь в той же точке z бесконечное множество значений,' которые все содержатся в формулах:
и= и(г)-\-2ты-]-2т'а>',	и= 1 — и {г) 2тш 2т'ш*.	(63)
В этих формулах т и т' суть совершенно произвольные целые числа, 2ш и 2ш' — периоды, отношение которых не есть действительное число, и /—постоянное, которое можно принять, например, равным
интегралу, взятому вдоль петли, описанной вокруг точки а,.
Пусть будет ^>(м|ш, ш') эллиптическая функция, за периоды которой взяты периоды 2ш, 2ш' эллиптического интеграла (62). Заменим в этой функции переменное и интегралом (62), уменьшенным на - - ; пусть будет Ф (д) полученная таким образом функция от д:
(64
§ 329
III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА
173
Эта функция Ф(г) есть однозначная функция переменного г. В самом деле, если мы заменим и каким-нибудь из его значений (63), то, каковы бы ни были т и /я', мы получим:
или Ф(г) = ^^«(г) — у | ш, со'J, или Ф(г) = ^^у—u(z)! со, ш' J , т. е. единственное значение для Ф(г).
Найдем, каковы могут быть особые точки этой функции Ф(г). Пусть будет сначала z} какое-нибудь значение переменного г, отличное от точки разветвления. Предположим, что мы перемещаем переменное 2 из точки г0 в точку г, по некоторому определенному пути. Мы придем в эту точку с некоторым значением для корня и с значением для интеграла. В области точки функция j есть г0Л0М0РФная функция от г, и мы имеем разложение вида:
- а0 4- а, (г —z:) 4- а2 (г —	4- ..., а0 =£ 0;
отсюда получаем:
« = «, 4-я0(’ — +	— г,)2 4-- • •	(65)
1	• £
Если и,----2'
в области точки
не равно периоду, то функция <)	голоморфна
«j, и следовательно, Ф(г) голоморфна в области
точки z1. Если «j—- - равно периоду, то точка иг есть полюс второго / > \
порядка для I и — — I , и следовательно, гу есть полюс второго порядка для Ф(г), так как в области точки иг мы имеем:
Р(и — И])
2	- h (^
где Р — голоморфная функция.
Предположим затем, что z стремится к критической точке а,. В области точки at мы имеем:
Р(г)] г = (г—Я/) 2P(z-o;),
где Р голоморфно при z=ar или
1т4т=1==^==[ао + а’(г~^ + аДг —а;)2 4-. . . ], ао^О;
г •* \^)	‘V %	& [
отсюда, интегрируя почленно, получаем: [9	“|
2а0-|- -3,(2 — д)4~... .	(66)
О	'	I
174
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 32>
Если функция
I
2 от и в
не равно периоду, то — у) есть голоморфная области точки иг Заменим в разложении этой функ-
ции по степеням и — ut разность и — и{ ее значением, выведенным из. формулы (66); дробные степени разности z — а, должны исчезнуть,, так как мы знаем, что левая часть есть однозначная функция от г, и мы видим, что Ф(г) голоморфно в области точки аг Заметим, между
прочим, что отсюда следует, что ut—— должно быть равно полупе-
так
как $ f и-- I Должно быть четною функциею от и — ut
Точно так же мы увидим, что если и;.— -- равно периоду, то точка aL
есть полюс первого порядка функции Ф (2).
Изучим, наконец, свойства функции Ф (г) при бесконечно больших значениях переменного г. Здесь надо различить два случая в зависимости от того, будет ли R (г) третьей или четвертой степени. Если многочлен R (г) — четвертой степени, то вне круга С с центром в начале координат, содержащего четыре корня, каждое из двух значений функ-
1 . 1 „
ции -у.__.__ есть голоморфная функция от у . Например, для одного’
из них мы имеем;
1	^до I Д1 | Д2
]/~R(z)	& 'r z3 ' 24
аот^°>
и достаточно изменить все знаки на обратные, чтобы иметь разложение второго значения. При неограниченном возрастании модуля пере-
1
менного z, причем корень — имеет приведенное выше значение,
интеграл и стремится к некоторому конечному значению Uqq, и мы имеем в области бесконечно удаленной точки:
и — иоо—
Д1?з
2г2 З^з
(67)-
Если Uqq--— не равно периоду, то функция ——правиль-
2	ч 2 /
ная в точке и оо, и следовательно, точка г=оо есть обыкновенная
точка функции Ф (2). Если Uoq-у равно периоду, то точка и-оо
есть полюс второго порядка точки 2 = оо имеем:
и так как в области
функции I и---у
то точка z=oo есть полюс второго порядка также и для функции Ф (z).
§ 329
III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА
175-
Если R(z)— третьей степени, то вне круга с центром в начале ко-
ординат, ложение
содержащего три критических точки ар а2, а3, мы имеем развила:
VR(z> zs,i \°^ z ' z*

и следовательно, 1 /о l 2«1 1	1	\
И = Иоо~уТ\ + ” /
(68>
Рассуждая, как и выше, мы увидим, что бесконечно удаленная точка: есть обыкновенная точка или полюс первого порядка функции Ф(д). Таким образом функция Ф (z) имеет особыми точками только полюсы; следовательно, она есть рациональная функция от z, и эллиптический, интеграл первого вида (62) удовлетворяет соотношению вида:
где Ф (z)—рациональная функция. Нам еще не известна степень этой функции; покажем, что она — первой степени, и для этого изучим обратную функцию. Другими словами, мы рассмотрим теперь и как независимое переменное и найден свойства верхнего предела z интеграл (62), рассматривая z как функцию этого интеграла и. Мы разобьем это довольно тонкое исследование на несколько частей.
1. Каждому конечному значению интеграла и соответствуют т значений переменного z, если т есть степень рациональной функции Ф (г).
В самом деле, пусть будет и3 какое-нибудь конечное значение пере-- , .	/ I \
менного и; уравнение Ф(г) = ^(«1— - относительно z имеет от-
решений, вообще, различных и конечных, но при частных значениях некоторые из этих корней могут сливаться или обращаться в бесконеч
ность. Пусть будет одно из этих решений; значения эллиптического
интеграла и, соответствующие этому значению переменного z, удовле
творяют уравнению:
( М т, , ч / М
7 = ф	=	27 •
Следовательно, мы имеем одно из двух соотношений:
и= и, 4- 2от,о> 4- 2OT,<of, и = /— и, 4- 2от,и 4- 2от..«ог;
II	II	L '	II	II	А г
в том и в другом случае мы можем перемещать переменное z от zn к zr по такому пути, чтобы значение интеграла, взятого вдоль этого пути», было именно равно иР Следовательно, если степень функции Ф (/) равна от, то есть от значений переменного z, при которых интеграл (62) принимает данное значение и.
2. Пусть будет и2 конечное значение интеграла и, которому соответствует конечное значение z3 переменного г; значение перемен-
А76	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§ 329
мого z, стремящееся к zr когда и стремится к иг, есть функция от и, голоморфная в области точки иг.
В самом деле, если z^ отлично от критической точки, то значения «переменных и я z, стремящихся, соответственно, к и z,, связаны выведенным выше соотношением (65), где коэфициент д0 не равен нулю. По общей теореме о неявных функциях (т. I, § 184), отсюда, обратно, получим для z — разложение по целым и положительным степеням ^разности и—иг. Если, при частном значении и., переменное z равно критическому значению az,' то можно было бы рассматривать правую часть формулы (66) как разложение по степеням корня ]/”z—а ; так -как д0 не равно нулю, то отсюда, обратно, выведем для ~\Г г—at, а следовательно, и для z —at, разложение по целым степеням разности и — ut.
3. Пусть будет Uqq значение, которое принимает интеграл и, когда I z | неограниченно возрастает; точка есть полюс для значения г, модуль которого неограниченно возрастает.
В самом деле, значение интеграла и, стремящееся к u^q , предста-вляется в области бесконечно удаленной точки одним из разложений (67) «.или (68). В первом случае мы получим для -^- разложение в целый ряд, расположенный по степеням разности и — и^:
y = ?i(“ — “оо) + ?2(и — “оо)2 + - • • ,
1
-во втором случае мы будем иметь аналогичное разложение для —— ]/г
«и следовательно,
~ — (и — uoo)2 [?i “Ь (м — иоо) + • • • ]2-
Следовательно, точка Uqq есть полюс первого или второго порядка • функции z в зависимости от того, будет ли многочлен R (z) четвертой или третьей степени.
.. 4. Докажем, наконец, что каждому значению переменного и не мо-..жет соответствовать более одного значения переменного z. В самом деле, предположим, что, перемещая переменное z из точки г0 по двум «путям в две различные точки zv z2, мы в обоих случаях получим для интеграла и одинаковые значения. Тогда можно было бы найти такой г •	„	,	Г dz
путь L, соединяющий эти обе точки z,, z„, чтобы интеграл 1
J/ад
L
взятый вдоль этого пути, был равен нулю. Если мы изобразим инте-грал u = X-+iY точкою с координатами (X, У) относительно системы •прямоугольных осей ОХ, ОУ, то мы видим, что при перемещении точки z по незамкнутой линии L точка и описывала бы некоторую замкнутую .линию Г. Мы сейчас докажем, что последнее несовместимо с выведенными выше свойствами.
§ 329	III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА	177
На
основании соотношения р I и—	)=Ф(г) каждому значению
переменного и соответствует конечное число значений переменного z, каждое из которых непрерывно изменяется вместе с и, если только путь, описываемый переменным и, не проходит ни через одну, из точек, соответствующих значению z= оо *. Мы допустили, что, когда переменное и описывает в своей плоскости замкнутую линию F, выходя из точки А (и0) и возвращаясь в эту точку, переменное z описывает непрерывную незамкнутую линию, идущую из точки в точку z2. Возьмем на линии Г две точки М и Р (черт. 69); пусть будут z', z" значения, с которыми мы приходим в эти точки М и Р, когда, взяв за начальное значение для z значение гг, мы перемещаем и по путям AM и AMNP. Далее, пусть будет z." значение,
♦	[У ______
с которым мы приходим в точку Р, когда пе-
ремещаем и по дуге. AQP; по предположению, /
z" и z“ различны. Соединим точки М и Р	}
линиею. МР, лежащею внутри контура Г, и '	Z/m
предположим, что переменное и описывает Уг -— дугу Ат47, а потом линию МР-, пусть будет z”	Д(и0)
значбние, с которым мы приходи^ в точку Р.
Это значение z2" будет отлично или от z' или	Черт. 69.
от Zy . Если оно отлично от г/', то Пути АтМР и AQP не приводят к одному и тому же значению z в точке Р. Если z" и z2" различны, то пути АтМР и AmMQP не приводят к одному и тому же значению в точке Р\ следовательно, выходя из точки М с значением z' для z и перемещаясь из М в Р по пути МР или по пути MNP, мы получим для z различные значения. Мы видим, что в обоих случаях можно заменить замкнутый контур Г меньшим замкнутым контуром Г7, лежащим некоторыми своими частями внутри Г и таким, что, когда, и описывает этот замкнутый контур, z описывает некоторую незамкнутую линию. Повторяя ту же операцию с контуром Г2 и т. д. неограниченно, мы получили бы неограниченную последовательность замкнутых контуров Г, Гп Г9, ..., обладающих тем же свойством, как и первый контур Г. Так как очевидно, что можно выбирать эти последовательные контуры таким образом, чтобы их размеры неограниченно убывали, то отсюда мы заключаем, что контур Гя стремится к некоторой предельной точке .1. Из самого определения этой точки X следует, что внутри круга, описанного из точки X радиусом г, всегда существует замкнутый путь, не приводящий переменное z к его начальному значению, как бы е ни было мало. Но это невозможно, так как точка X есть обыкновенная точка или полюс для различных значений z; в обоих случаях z есть однозначная функция от и в области точки X. Следо-
С dz
вательно, допуская, что интеграл I —= . взятый вдоль некоторой J /я (г)
* Эти свойства неявных функций, которые мы здесь принимаем, будут доказаны ниже глава XV11).
178	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§329
незамкнутой линии Z., может быть равен нулю, или, что то же, допуская, что значению и соответствуют два различных значения переменного z, мы пришли к противоречию. Выше мы заметили, что если при двух различных значениях и г:г переменного z будет Ф(г]) = Ф(г.,), то можно найти такой путь L, соединяющий точки zy и г2, чтобы С dz
интеграл j -у. был равен нулю. Следовательно, рациональная функ-L
ция Ф (z) не может принимать одного и того же значения при двух различных значениях переменного г, т. ё. Ф (z) — первой степени:
Тогда из соотношения (69) получаеЯ:
b — dy (и — у)
2 = —7-----JT----(70)
м~ 2)~а
и мы приходим к следующему важному предложению: верхний предел z эллиптического интеграла первого вида, рассматриваемый как функция этого интеграла, есть эллиптическая функция второго порядка.
Эллиптические интегралы были весьма глубоко изучены Лежандром, но к открытию эллиптических функций Абель и Якоби пришли, решая задачу об обращении этих интегралов.
Действительное определение эллиптической функции z = f(u) составляет задачу обращения. Из соотношения (62) получаем:
^=/7?(7),
и следовательно, }/7?(.г)=/'(и). Мы видим, что }/7?(г) есть также эллиптическая функция от и. Геометрически мы можем все предыдущие результаты выразить следующим образом:
Пусть будет Й(х) многочлен третьей или четвертой степени, первый со своею производною-, координаты точек кривой С, представляемой уравнением
У =	(71)
выражаются через эллиптические функции от интеграла первого еида
C.dx С dx
и = I — = I ——=-
J у . J ]//?(*)
таким образом, что каждой точке (х, у) этой кривой соответствует только одно значение, переменного и, если не обращать внимания на периоды.
§ 329-330 Ш. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА	179
Чтобы доказать последнюю часть предложения, достаточно заметить, что все значения переменного и, соответствующие данному значению переменного х, заключаются в двух формулах:
и0 -|- 2rKj(o -(- 2/я2о)',	I—и0 -|-	2/иа<о'.
Все значения и, содержащиеся в первой формуле, происходят от четного числа петель, описанных вокруг йритических точек, и прямого пути, соединяющего х0 с х; они соответствуют одному и тому же значению корня ^^(х). Значения и, содержащиеся во второй формуле, происходят, от нечетного числа петель, описанных вокруг критических точек, и прямого пути, соединяющего Уо с х; соответствующее значение ]//?(х“| противоположно первому по знаку. Следовательно, если одновременно заданы х и у, то соответствующие значения и содержатся, только в одной из этих формул.
Из предыдущих вычислений следует, что эллиптическая функция x—f{u) имеет двойной полюс в параллелограме периодов, если R(x)— третьей степени, и два простых полюса, если R(x)—четвертой степени; следовательно, y=f'(u)— третьего или четвертого порядка в зависимости, от степени многочлена /?(х).
Примечание. Предположим, что каким-нибудь образом мы выразим координаты (х, у) точек .кривой y- = R(x) через эллиптические функции параметра например х = <f (»), у = <р4 (»). -Тогда интеграл первого рода обращается в
J у J *(»)
эллиптическая функция не может имёть полюса, так как и должно сохранять конечное значение при всяком конечном значении параметра »; следовательно, она приводится к постоянному k, и мы имеем и — kv + I. Очевидно, что-постоянное / зависит от значения, выбранного для нижнего предела интеграла и; что касается коэфициента k, то для его определения достаточно дать параметру v какое-нибудь частное значение.
330. Определение функции %) и через инварианты. Теперь нетрудно' ответить на поставленный выше вопрос (§ 328). Если даны два таких числа g2, g3, что g23 — 27^32 не равно нулю, то всегда существует эллиптическая функция %>и, у которой g2 и g3 суть инварианты. В самом деле, многочлен
/?(г) = 4г3 — g2z — g3
Г • dz -первый со своею производною, и эллиптический интеграл I--------------—.
имеет два периода 2<о, 2<о', отношение которых мнимое. Пусть будет КР(и | со, <о') соответствующая эллиптическая функция. Заменим в этой функции аргумент и интегралом
\ dz
Н,
(72)
12*
180
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§ 330
где Н—постоянное, выбранное таким образом, чтобы одно из значений параметра и при г=оо было равно нулю. Например, можно провести из точки z0 бесконечную полупрямую L и взять для Н значение оо с dz
взятого вдоль этой полупрямой L. Покажем сна-
интеграла \ —. _ =,
*0 чала, что полученная
таким образом функция есть однозначная функция переменного z. Пусть будет z какая-нибудь точка плоскости; обозначим через v. и v' значения. интеграла
Г dz
v — I	/— >
J /Ж*)
zQmz
Черт. 70.
i Г dz
v = \ >-—=> J //?(*)
ZfflZ
взятые при одном и том же начальном зна-
чении корня VR(z), вдоль двух путей zQmz и zonz, которые вместе образуют замкнутый контур, содержащий внутри себя три критических точки г,, е2, е3 корня (черт. 70). Рассмотрим замкнутый контур ZomznzoZMNZz^, образуемый контуром zomznzo, отрезком z0Z, кругом С с весьма большим радиусом и отрез-
ком Zz0. Функция	голоморфна внутри этого контура, и мы имеем
соотношен ие:
Z	Z
Г	dz С	dz С	dz ____
J j7W) +J	J /ад-
z,)	C	.Zq
при неограниченном возрастании радиуса круга С это соотношение обращается в v-]-v'—2/7—0. Следовательно, значения и, соответствую- ' щие двум путям z^mz и zzonz, удовлетворяют соотношению и-\-и' = 0.
Так как — функция четная, то отсюда следует, что функция
Z
/I к / С &Z	।	»\
10 (и а), to') = j0 I —_~----Н to, to' I
*0
есть однозначная функция переменного г. Мы видели, ч^о это — линей-,	az-\-b ,, „
ная функция вида:-------— . Чтобы определить а, о, с, d, достаточно
cz +
рассмотреть разложение этой функции в области бесконечно удаленной точки. Мы имеем в этой области:
_ 1
. 1	_ _1_ (1 __	\ 2 _ 1	। ё, >
//?(г)	2г’1»	4г2	4г^)	2z^	16z7l« r ’
§ 330
III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА
181
следовательно, значение и, равное нулю при г=оо, представляется разложением:
_ 1
U г‘1« I 1 1 40г2
g?
Отсюда получаем:
- = z (14--^-w2 I '40г2
~2=z— g2
20г
az 4- b
----—z
cz -+ d
если с — 0,
так что разность ^>и — г при г= оо равна нулю. Но разность может обращаться в нуль при г=оо только в том случае, Ь — 0, a—d; таким образом, (и | о>, о>') 'после замены в ней и через интеграл (72) обращается в г. Взяв за нижний предел бесконечно удаленную точку, мы можем представить этот интеграл в виде:
Z
Г dz и = \ ~7—= jvw) оо
из этого соотношения вытекает ^u — z, где за периоды функции г dz
взяты периоды 2о>, 2а/ интеграла I —----. Сравнивая между собою
(72)
„ du
значения производной —, выведенные из этих соотношений, мы получим р'и = У R(z), или, возводя в квадрат:
^2u=-R(z) = A^u—g^u — g3.	(73)
Следовательно, числа g2, g3— инварианты эллиптической функции $>и, за периоды которой взяты 2о>, 2а/. Этим решена предложенная выше задача (§328). Если g23 — 27g32 не равно нулю, то уравнения (61) удовлетворяются бесконечным множеством систем значений количеств о>, о/. Если ег, е2, е3 суть корни уравнения R (г) = 4г3 — g2z— g2 = 0, то мы получим систему решений, полагая, например,
оо
. Г dz
О) — I	,
J VR(z)
оо
Г dz
' РЖ’
со =
(74)
и отсюда найдем все остальные системы решений, как это было указано выше.
В приложениях анализа, где приходится иметь дело с эллиптическими функциями, функция ми всего чаще определяется ее инвариантами. При выполнении вычислений бывает нужно, зная & и & , уметь вычислить систему периодов и, сверх того, находить корень уравнения $и = А, где А — данное постоянное. За всеми подробностями метода, а также за всем, касающимся пользования таблицами, мы можем Только отослать к специальным сочинениям *.
Исходя из формулы (39) разложения в целый ряд функции о« и из тех формул, которые по-ручаются из нее диференцированием, мы, по крайней мере теоретически, можем вычислить & и и, следовательно, £ и и $ и для всякой системы значений и, g^, g-.
182	ГЛАВА XV.-ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§ 33.1
331; Приложение к плоским кривым третьего порядка. Если g23—%7g32 не равно нулю, то уравнение
y2 = 4-x3 — g,x — g3	(75)
представляет кривую третьего порядка без двойной точки. Мы удовле-творим этому уравнению, полагая х = $и, у = $'и, причем инварианты функции %>и суть именно g2, g3. Всякой точке кривой соответствует в параллелограме периодов одно значение параметра и. В самом деле, уравнение %>и — х имеет в параллелограме периодов два корня и, и и2; сумма- u1-f-u2 есть период, и значения и противоположны по знаку. Следовательно, они равны двум значениям переменного у, соответствующим одному и тому же знамению переменного х.
Вообще, координаты точек каждой плоской кривой третьего порядка без двойней точки можно выразить через эллиптические функции параметра. В самом, деле, известно, что, выполняя томографическое преобразование, можно привести уравнение кривой третьего порядка к виду (75); но это преобразование можно выполнить только тогда, когда известна точка перегиба кривой, а определение точек перегиба зависит от решения уравнения девятой степени особого вида. Покажем, как можно получить параметрическое представление кривой третьего порядка через эллиптические функции параметра, не решая никакого уравнения, если только известны координаты какой-нибудь точки этой кривой.
Предположим сначала, что уравнение плоской кривой третьего порядка имеет вид:
у2 — Ьох3 ЗЬ^х2 ЗЬ2х -|- Ь3,	(76)
что равносильно тому, что бесконечно удаленная точка есть точка перегиба, Мы приведем это уравнение к предыдущему виду, полагая
откуда
У2 = 4х'3— g^ — g3,
• где инварианты g2 и g3 равны:
12 (b2 - bQb2) 3bob,b2 - ЧЬ3 — b02b3 ^2—	16	>	16
Следовательно, мы получаем для координат точек кривой (76) выражения :
Ь3 . 4	4 ,
x=z-~b^T^u' У=-Ь^и-"о
Рассмотрим теперь какую-нибудь плоскую кривую третьего порядка С3; пусть будут (а, {$) координаты одной из ее точек. Касательная к кривой в точке (а, ^) встречает кривую в другой точке (а', р'),’ координаты которой выражаются рационально через а, {С Если эта
§ 331	in. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА	183
точка (а', Р') взята за начало координат, то уравнение кривой принимает вид:
<?з (*> -У) + Фг (•*> У) + <₽i (х’ -У) = °’
где <р(.— однородный многочлен степени i (i = 1,2, 3). Проведем секущую у — 'tx\ х определяется уравнением второй степени
откуда
X* <₽3(1, о+хТ2(1,/)4-^(1, 0 = 0,
— Ф2(1, О +
2?3(1,0
у = tx,
где 7?(/) обозначает многочлен tp22 (1, С — 4tp3 (1, /) <р3 (1, t), который, вообще,— четвертой степени. Корни этого многочлена суть угловые коэфициенты касательных к кривой, проходящих через начало координат. Нам заранее известен один корень этого многочлена, именно, угловой коэфициент t0 прямой, соединяющей начало координат с точкою (a, ji).
Полагая	-, получим:

/'2
где многочлен (f) уже не выше третьей степени. Следовательно, координаты. (х, у) точек кривой С3 выражаются рационально через параметр t' и квадратный корень из многочлена ^(f). третьей степени. Мы только что видели, как можно выразить t' и	через эллип-
тические функции параметра и; таким образом, мы выразим х и у через эллиптические функции от а.
Из предыдущих рассуждений следует, что каждой точке (х, J') кривой третьего порядка соответствует единственное значение параметра t и вполне определенное значение корня (t) и, следовательно, вполне определенные значения количеств t' и	Но, как уже было ука-
зано, каждой системе значений количеств t' и 7?, (/')' соответствует в параллелограме периодов только, одно значение параметра и. Следовательно, полученные для координат точек кривой С3 значения x=f(u), y~f2(u) таковы, что все значения параметрам, соответствующие одной и той же точке кривой, разнятся между собою на период.
Это параметрическое представление плоских кривых третьего порядка через эллиптические функции имеет весйма важное значение *. Например, покажем, как, пользуясь им, можно определить точки перегиба кривой. Пусть будут xr=/(u), у —Щи) выражения ее координат, аргументы точек пересечения кривой с прямою Ах By-\-C-Q суть корни уравнения Af(u) -ф ВД(и) + С — 0. Так как каждой точке (х, .у) соответствует р параллелограме периодов только одно значение параметра и, то отсюда следует, что эллиптическая функция A f(u)-]-Bfi(u) + C должна быть третьего порядка. Очевидно, что полюсы этой функции не зависят от А, В, С; следовательно,'если u1; и2, и3 суть аргументы, соответствующие трем точкам пересечения кривой с прямою, то должно быть (§ 319):
Щ “ф Ug -ф Ug — /С “ф 2/ZI,<0 -ф 2/Пд<0г,
* К л е б ш (Ctebsch), Ueber die jenigen Curven, deren Coordinaten sich als eliipti che Functionen eines Parameters darstellen lassen, Crelle's Journal, t. LXIV, 1865, стр. 210.
184	ГЛАВА XV, ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 331-332
где X есть сумма полюсов, лежащих в одном параллелограме. Заменяя в / и ft параметр и через -у + и, мы можем представить предыдущее соотношение проще: ui + ui + = периоду.
Обратно, этого условия достаточно, чтобы три точки Л14 (z/J, Af2(u3), Af3(u3) лежали на одной прямой. В самом деле, пусть будет Afg третья точка пересечения прямой AfjAlj с кривою и м3 — соответствующее значение аргумента. Так как сумма и{ + м.2 -f- и2' равна периоду, то м3 и и3 разнятся между собою только на период, и следовательно, Л43 совпадает с Л12.
Если и есть аргумент точки перегиба, то касательная в этой точке встречает кривую в трех слившихся точках, и Зм должно быть равно периоду. Следова-„	2/и,о> + 2тчи>'
тельно, должно быть и =-----------— , и очевидно, что достаточно давать целый
числам и т.2 значения 0, 1, 2, чтобы получить- все точки перегиба; таким образом, у кривой есть девять точек перегиба. Прямая, проходящая через две 2ffij<o-|-2ffi3co' 2т <л-\-2т2 <o'
точки перегиба -------=------ и —-----=------, пересекает кривую в третьей
точке, аргумент которой равен
2 (т1 + Отд ) <о -I- 2 (т2 ф- т2 )<о'
3	’
или также трети периода, т. е. в новой дочке перегиба. Число прямых, пересека-,	'	,	8-9
ющих, таким образом, кривую третьего порядка в трех точках перегиба, равно , т. е. равно двенадцати.
Примечание. Точки пересечения нормальной кривой третьего порядка (75) с прямою у = тх-\-п определяются уравнением ф'и — т$и — п — 0, левая часть которого имеет вместе с тройной полюс м=?0. Следовательно, сумма аргументов точек пересечения равна периоду. Если Uj и и2 суть аргументы двух из этих точек, то можно принять —Uj — и.2 за аргумент последней точки пересечения, и абсциссы этих трех точек, соответственно, равны ^u4, ^и2, (z/j-|-.
Отсюда можно вывести другое доказательство формулы сложения для функции $и. В-самом деле, абсциссы точек пересечения суть корни уравнения:
4x3 — g2x — g3 = (тх + п)*; следовательно, мы имеем:
х4 + х2 + х3 =	+ ри.2 -I- v(Ul + и.2) =— .
С другой стороны, так как прямая _у = их-|-и проходит через две точки Afj (Uj), jH9(u.2), то мы имеем два соотношения = т^и1 -f- п, ^и2 = m$u.2-f- п, откуда получаем:
таким образом, мы приходим к уже выведенному (§ 325) соотношению:
g>U4 + По 4- (Uj + По) = АУ	'l
ь	ь 	4	— &Щ. j
332. Общие формулы обращения. Пусть будет /?(х) многочлен четвертой степени, первый со своею производною. Рассмотрим кривую С4, представляемую уравнением:
_У2 = /? (х) = а0х44-42ах3-]-6а2х2-]-4а3х-|- а4.	(77)
§ 332
111. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА
185
Покажем, как можно выразить координаты х и у точек этой кривой через эллиптические функции параметра. Если известен корень а уравнения R(x) — 0, то можно воспользоваться тем способом, который был дан для кривых третьего порядка. Полагая х-=а , представим соотношение (77) в виде:
У = R +	=
\ х J
х'4
где R-^x').— многочлен третьей степени. Следовательно, точки р'ассма--триваемой кривой С4 однозначно соответствуют точкам кривой С3' третьего порядка, представляемой уравнением у'2 =R1(x'), и формулы, устанавливающие
1	у'
это соответствие, суть: х = а-\------t, ^—-^.Попе-
ременные х' и у' можно представить через параметр и формулами вида: х' = а$и -|- [J, у' — афи, выбирая надлежащим образом а, (5 и инварианты функции <@и. Отсюда получаем для х и у следующие формулы:
х а + яр«4-Р’ У
dx
Из формул (78) имеем: du = — — , так что параметр и тождественен
f dx
до знака с интегралом первого вида I  — , и формулы (78) вполне Jy/?(x)
решают задачу обращения.
Рассмотрим теперь общий случай, когда мы не знаем ни одного корня уравнения 7?(х)=0. Покажем, что можно, не вводя других: иррациональных выражений кроме квадратного корня, выразить рационально х и у через эллиптическую функцию $и, инварианты которой известны, и ее производную %>'и. Заменим х и у, соответственно,, через t и о, так что соотношение (77) примет вид:
п2 = R(i) = с0<4-|- 4а]/3-|-6л2/2 -|- 4а3Р-|- а4.	(77bis)
Многочлен R (t) можно бесчисленным множеством способов представить в виде: R (г) = [<р2(г)]2— Фз (0, где ЧЩ Ч’г, *рз— многочлены, степень которых отмечена их указателями. В самом деле, пусть будут (a, fi) координаты какой-нибудь точки кривой С4. Возьмем многочлен <р2(/) так, чтобы было <р2 (а) = {$; очевидно, что это можно сделать бесконечным множеством способов. Уравнение
/?(/)—[<р2 (*)Р = 0
будет иметь корень t — a, и можно положить tp,(t) = t — а. Представив многочлен R{t) в указанном виде, рассмотрим вспомогательную кривую третьего порядка С3, изображаемую уравнением
х3 4>з	+ 2x2 Ч>2~~ ) + х Чч
И = о.
(79)
186	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§ 332
Пересечем эту кривую секущею у — tx; абсциссы двух переменных точек пересечения суть корни уравнения
*2 Уз (О + 2х У2 (О + <₽1 (0 = О
и имеют выражения:
х=— У2 (О ±Vlf2 W12 — Ф1 (0 Уз (0 = — У2 (о + v Уз<0	Уз (О
где v определяется уравнением (77 bis). Мы видим, что, обратно, можно выразить рационально t и v через координаты х и у точек, кривой С3 по формулам:
/ = г'==Х'Рз • (80)
Но координаты х и у можно выразить через эллиптические функции параметра и, так как известна одна точка кривой С3, именно, начало координат.. Следовательно, то же имеет место и для переменных t и г»,’ Очевидно, что изложенный выше прием можно видоизменять различным •образом, не вводя другой иррациональности кроме ^=^7?(а), причем а произвольно.
Выполним вычисление, предполагая, что всегда можно сделать, что коэфициент ал при t3 в /?(/) равен нулю. В этом случае мы имеем:
ао Я (0 = (<V2)2 + 6аоа2г2 +	+ аоа4 ’
ПОЛОЖИМ
У1 (0 = — 1,	У2(0 = «ог2. Уз(0 = 6а0а2Р + 4а0аЗ( + а0а4 •
Уравнение вспомогательной кривой третьего порядка С3 будет:
6а0а,х_у2 4аоа3х2_у а0а4х3 -]~ За^2 — х == 0.	(81)
Согласно с общим методом пересечем эту кривую секущею y-=tx\  полученное уравнение можно представить в виде:
/ 1 \2 1
( — j — 2aOt2 — — <3a0a2t2 + 4a0a3Z +	= °;
отсюда имеем:
^ = ао/2-|-’Као7?(/)-
Обратно, мы можем выразить t и Д/<?0/? (/) через х и у.
* = р Va0R(t) = --a0	.	(82)
•А-	Л	\ Л I '
С другой стороны, решая уравнение (81) относительно у, мы имеем:
__— Заоа3х2 -|~]/4а02а32х4—х(а0а4х2— 1) (6аоа2х -|- 2а0) . 6аоа2х 2а0
§ 332	III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА	187
Многочлен, стоящий под знаком корня, обращается в нуль при х = 0; следовательно, применяя изложенный выше метод, мы можем выразить х и у через эллиптические функции параметра. Выполняя вычисления, мы приходим к формулам:
1
___	ао — аз
2а0ри—а3’	У	2(а0^и4-а2)(2а0|^и—а2) ’
(83)
причем инварианты g2, ^эллиптической функции равны:
Заменяя в формулах (82) х и у их предыдущими значениями, получим:
Эти формулы можно представить в более простом виде, заметив, ^то вследствие значений (84) инвариантов g.,, g3 соотношения
ipv —— -2,	&'v= -3	(86)
«о	«о
„	1 /у« —
совместимы. С другой стороны, можно заменить — (°----°— через
4 \ $и —gv I
^ («-f-г/) 4~	Таким образом, соединяя эти результаты й заменяя t и	соответственно, через х и у, мы можем высказать сле-
дующее предложение:
 Координаты (х, у) точек кривой С4, представленной уравнением (77), где аг = 0, можно выразить через переменный параметр и формулами:
1 $U — i&'v	, ,--
У=Уао^и — Sf»(«H-^)].	(87>
где инварианты g2 и g3-определяются соотношениями (84), а ри и $'v — совместимыми уравнениями (86).
Диференцируя по и выведенную выше (§ 325) формулу (45), получим:
1 d (^'и—^'и\	. , .
-о-	-----2-— I = и>и— w (и -4- у).
2 du\^>u — g>v /	« v । /•
188	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 332—333
d к v	— dx „
т. е. —	или du =]/ а0 —. Следовательно, параметр и пред-
du V а0	У
ставляет эллиптический интеграл первого вида:
/«of
dx
У tf“(x) ’
и формулы (87) решают задачу обращения.
333. Кривые первого рода. Плоская алгебраическая кривая Сп по-(*-!)(« —2)
рядка п не может иметь более -------------- двойных точек, не рас-
падаясь на несколько различных кривых. Если кривая Сп не распадается (п — 1)('г — 2)
и имеет а двойных точек, то разность р——-— -------------——d назы-
вается родом этой кривой. Кривые нулевого рода суть уникурсальныё кривые; координаты их точек можно выразить через рациональные функции параметра. Следующими наиболее простыми кривыми являются кривые первого рода; кривая Сп первого рода имеет
(п—1)(я — 2)	п(п— 3)
_ - _ = _
двойных точек.
Координаты точек кривой первого рода можно выразить через эллиптические функции параметра.
Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим присоединенные кривые п (п—3) п—2)-го порядка, т. е. кривые Сп_2, проходящие через ---------
двойных точек кривой Сп. Так как для определения кривой (п— 2)-го (п — 2)(zz—|—1)	„
порядка нужно ------------ точек, то присоединенные кривые Сп_2
•
зависят еще от (« — 2)(«+l)—л(и —3)	1
произвольных параметров. Если мы наложим на эти кривые условие, чтобы они проходили еще через п—-3 простых точек, произвольно-взятых на кривой Сп, то мы получим сеть присоединенных кривых, п(п — 3)	„
.проходящих через все ——-—~ двойных точек- кривой Сп и через
п — 3 ее простых точек. Пусть будет F(x, _у) = 0 уравнение кривой С„ и
Л (х,	f2(x, _У) + И /3(х, _У) = °
уравнение этой сети кривых Сп_2, где 1 и р — произвольные параметры. Всякая кривая этой сети пересекает Сп только в трех переменных точках, так как каждая двойная точка должна считаться за две общих точки, и мы имеем:
п(п — 3) п — 3 — п(п — 2) — 3.
333
HI. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА
189
Положим теперь
х< J^x' ы =А_(^У). A (х, у)' у А (*’ у)
(88)
Когда точка (х, у) описывает кривую Сп, точка (х', У) описывает алгебраическую кривую С, уравнение которой мы получим, исключая х и у из уравнений (88) и F(x, у) = 0. Точки кривых С’ и Сп связаны между собою бирациональным преобразованием, т. е., обратно, координаты (х, у) каждой точки кривой Сп выражаются рационально через координаты (х', У) соответствующей точки кривой С. Чтобы это доказать, достаточно показать, что каждой точке (х',У) кривой С может соответствовать только о‘дна точка кривой Сп, т. е. что уравнения (88) вместе с Л(х, _у) = 0 могут иметь относительно х и у только одну систему решений, изменяющуюся вместе с х' и у’.
В самом деле, предположим, что какой-нибудь точке кривой С’ соответствуют две точки (а, Ь), (а1, Ь’) кривой Сп, не входящие в состав основных точек сети кривых Сп_2. Мы имели бы в этом случае:
A(a',b')_f2(a',b')_f3(a',b')
A(a,b) f2(a,b)	f3(a,b)*
и все кривые сети, проходящие через точку (а, Ь), проходили бы также и через точку (а', Ь'). Кривые сети, проходящие через эти две
точки, все-таки зависели бы еще линейно qt переменного параметра й
пересекали бы кривую Сп только в одной переменной точке; -коорди-
наты этой последней точки пересечения с кривою Сп были бы рациональными функциями переменного параметра, и кривая Сп была бы
п(п— 3) уникурсальною, но это невозможно, так как она имеет только ---—
двойных точек. Следовательно, каждой точке (х',У) кривой С соответствует только одна точка (х,_у) кривой и потому, согласно теории исключения, координаты этой точки
х = <Р1(х', У), у = у2(х', у')	(89)
суть рациональные функции от х' и у.
Чтобы определить порядок кривой С \ найдем число точек пересечения этой кривой с какою-нибудь прямою ах’-[ by' с = 0. Задача приводится к определению числа общих точек кривой Сп и кривой
а А (*- -V) + ЬА (х, у) -f-х /] (х, у) = О,
так как каждой точке кривой С соответствует только одна точка кривой Сп, и обратно. Но таких общих точек, изменяющихся вместе с а, Ь, с,—только три; следовательно, кривая С' — третьего порядка. Итак, координаты точек кривой Сн можно рационально выразить через координаты точек плоской кривой третьего порядка, а так как координаты точек кривой третьего порядка суть эллиптические функции параметра, то то же имеет место и для координат точек кривой Сп.
Из этого доказательства и из того/ что было указано выше относительно кривых третьего порядка, следует такжё, что это представле.
190	ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	§ 333
ние через эллиптические функции можно сделать таким образом, чтобы каждой точке (х, у) кривой Сп соответствовало только одно значение и в каждом параллелограме периодов.
Пусть будут х = ф(п), _у=ф1(и) формулы, определяющие х и у.
Всякий абелев интеграл w = R (х, у) dx, связанный с кривою Сп (т. I, § 98), приводится этою заменою переменных к интегралу от эллиптической функции; следовательно, этот интеграл сам выражается через трансцендентные функции $>, С, а теории эллиптических функций. Введение этих трансцендентных функций в анализ значительно увеличило мощность интегрального исчисления.
Пример. Бициркулярная кривая четвертого порядка. Кривая четвертого порядка, имеющая две двойных точки, — первого рода. Если двойные точки суть бесконечно удаленные круговые точки, то кривая С* Называется бициркулярною кривою четвертого порядка. Если мы примем за начало координат какую-нибудь точку этой кривой, то за присоединенные кривые С„_2 можно взять окружности, проходящие через начало координат,
хг -г У2 +	+ |\у = 0.
Чтобы получить кривую третьего порядка, однозначно соответствующую кривой С4 достаточно, согласно общему методу, положить
, х	. у
X2 + д,2 ’ X Х2-\-уГ
Отсюда, обратно, имеем:
_ х'	__ у'
Х~~ х'* + уЧ'	У~- Х'2+у2’
а эти формулы определяют инверсию относительно круга, описанного из начала координат радиусом, равным единице. Чтобы получить уравнение кривой третьего порядка С3', достаточно заменить в уравнении кривой (\ переменные х и у их предыдущими значениями. Предположим, например, что уравнение кривой С* есть (х* + у2)2 — ду —0; тогда кривая С3' представляется уравнением лу’(у'2 + -j- л’2) — 1—0.
Примечание. Если плоская кривая Сп имеет особые точки высшего порядка, то она есть кривая первого рода, если все эти особые точки равносильны п (л — 3) ,	„	u
---2"—- обыкновенным двойным точкам. Например, кривая четвертого порядка, имеющая только одну двойную точку, в которой две ветви кривой касаются друг друга, не представляя никакой особенности, — первого рода; чтобы в этом убедиться, достаточно пересечь эту кривую четвертого порядка сетью кривых второго порядка, касающихся ее обеих ветвей в двойной точке и проходящих через какую-нибудь другую точку кривой. Кривая у2 = /?(х), где многочлен /?(х)—четвертой степени, первый со своею производною,, представляет такую особенность в бесконечно удаленной точке. Мы приведем ее бирациональным преобразованием к кривой третьего порядка; полагая
х = х', у =у' + j/zztx’2;
отсюда нетрудно вновь получить формулы обращения (87).
ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ*.УПРАЖНЕНИЯ
УПРАЖНЕНИЯ.
1.	Пользуясь разложением + °° 2п/т.г
— оЬ
доказать, что двоякопериодическая целая функция есть постоянное.
[Из условия f(z + <&')=. f(z) следует, что А„=^0, если л^РО.]
2.	Если а не есть кратное числа то
' +оо	Z
(1 + £> ТТ f 1 _ А .
sm а \ а \ а—пт.) — оо
[Изменить z в zа в формуле разложения ctgz и затем интегрировать между пределами 0 и г.}
3.	Вывести из предыдущей формулы следующие бесконечные произведения:
 +оо	Z
cos(z + a)_ Л 2z \-rp Г	2z.... 1 ~
cos а \ 2а + л/ “ |	'2а — (2л—1)т:]
— оо
Преобразовать эти произведения в произведение первичных множителей нли в произведения, не содержащие более показательных множителей, как, например:
/	4z2\ /	4z2\ Г
cosz=p-р
4z2 I
(2л Л)2^] "
4.	Вывести формулы:
tgz — 2z
Г* ,+ 9г.2	" +(2л+ 1)2^2
4~ Z Т Z"	4
_2. — 2z I------------------------Р ... + (— 1Уг-1----------...
sin Z — Z [Z2 — Г.2	Z2—4г.2^	’ Zi-n'iTfi^
Вывести аналогичные формулы для 1 1 sin z — sin а ’	cosz—cos а’
5.	Из формулы (17) § 315, дающей разложение функции ctgx, вычислить,, беря последовательные производные, значения сумм
+ оо '
S,—Р—г— , т > 1.
(х -[- т)т — оо
092
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Заменяя в первой из этих формул х через Log z,
Стильтьеса:
4-	оо
z V 1
(z — 1)-	(Log z 2niz)- ’
— oo
получаем соотношение
6.	Разложить на простые элементы функции	'
7.	Если й = 0, то
^(ам; 0, й)=а^(и; 0, g3), /(ам; 0, &) = (?'(«! О, g3),
тде а — корень кубичный из единицы. Вывести отсюда разложение на простые элементы функции —-------г-> когда gi = 0.
$ и — gv
8.	Даны интегралы:
ах 4- b
(х —1)/хз^Т
dx
х3 j/x* — х ’
Г _ ах3 4- b
ах3 4- b .
—r-=~dx, J/14--V4
выразить переменное х и один из этих интегралов через трансцендентные функ-,ции С, о.
9.	Вывести формулу, разложения, данную Эрмитом (§ 324), приравнивая нулю .*сумму вычетов функции F(z)[C(x — z) — t(x0—х)], заключающихся в паралле'ло-граме периодов, где F(x)—эллиптическая функция, и х, х0 рассматриваются как
постоянные.
10. Вывести из формулы
ряд для а и не содержит члена с и3.]
11*. Выразить через эллиптические функции параметра координаты х и у
(60) соотношение п = —	4 7 . [Заметить, что
1Z Ш V I и I
точек кривых:
у3 = А\(х-а)(х-Ь)]3, yi = A (х — а)’(х — 6)3, у3 — А (х — а)3 (х — bf, уг.= А(х — а)Цх— b'f‘,
уЗ = А [(х — а) (х — Ь) (х — с)|2, у* = А (х — а)8 (х — Z»)3 (х — с)3, _у4 = А (х — а)2 (х — />)з,
ув = А(х — а)3 (х — (х — с)3, = А (х — а)3-(х — by.
у3 4- (/х3 4- тх 4- л) у3 4- А [(х — а) (х — Ь) (х - с)]2 — 0, f З3 Д4 \ 2	/ З3 44 \ 2
3,» + ?иуз + хз(Вх+ А =0,	у44-Дх^4-х2(Вх24-^£д) =0,
\	4 о /	\	4 о /
/ зз Л4 V	/	44 Л5 \2
J4.4- Дху34-	:=0, У; + Axyi + x^Bx— =0,
/	44 44 \2
у3 4- Аху^ 4- Вх3 — 53 4-в) = 0.

Переменный параметр равен до постоянного интегралу
[Врио и Буке (Briot et Bouquet), Theorledes fonctions doublement periodiques, '2-е издание, стр. 388—412.]
ГЛАВА XVI.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ.
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ОДНИМ ИЗ ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ.
334. Первое понятие об аналитическом продолжении. Пусть будет f(z) функция, голоморфная в связной части А плоскости, ограниченной одной или несколькими линиями, замкнутыми или разомкнутыми; мы попрежнему употребляем слово линия (т. I, § 13) в обычном элементарном смысле, как мы это делали до сих пор.
Если значение функции /(г) и всех ее последовательных производных в какой-нибудь определенной точке а области А известны, то отсюда можно получить значение этой функции в какой-нибудь другой точке b той же области. Чтобы доказать это, соединим точки а и b каким-нибудь путем L, лежащим на всем своем протяжении в области А, например многоугольною линиею или кривою произвольного вида. Пусть будет J низшая граница расстояния точек пути L от точек контура области А, так что круг, описанный из любой точки линии L радиусом, равным 5, лежит всеми своими точками в области А. По предположению нам известны значения функции /(а) и ее последовательных производных /'(a), f" (а), ... в точке z=~--a. Следовательно, мы можем составить целый ряд, представляющий функцию У (г) в области точки а:
/(2) =/(а) +	(а) +	f (а) + ...
(z__а\п
+ + (1)
Радиус сходимости этого ряда равен по крайней мере 5, но он может быть и больше. Если точка b лежит в' круге сходимости Со предыдущего ряда, то достаточно заменить в этом ряде z через Ь, чтобы получить f(b). Предположим, что точка b лежит вне круга Со; пусть будет аг точка, в которой путь L пересекает круг Со * (черт. 71). Возьмем на этом пути внутри Со точку zv близкую к точке а/ и та-
* Так как значение функции f (z) в точке b не зависит от пути L, пока этот путь не выходит из области А, то можно предположить, -как это представлено на чертеже, что этот путь пересекает круг Со только в одной точке, а круги С., С», ... — не более чем в двух точка*. Это сводится, в сущности, к тому, что мы берем за точку а последнюю точку пересечения пути L и круга Со и то же самое для остальных точек.
13 Э. Гурса, г. 11, ч. 1.
194
ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ 334
д кую, чтобы расстояние между точками г} и а: было меньше, чем
Пользуясь рядом (1) и теми, которые мы получим, диференцируя ряд (1) любое число раз, мы можем вычислить значения функции /(г) и всех ее производных f(zA), ••• ,	••• ПРИ z = zr Следо-
вательно, коэфцциенты ряда, представляющего функцию f(z) в области точки г15 известны, если известны коэфициенты первого ряда (1), и мы имеем в области точки г:
f(z) =f{21) + z^-hf (Z]) + .	(z1} + ...	(2),
1	1 • 4 • • • •t'
Радиус круга сходимости этого ряда не меньше, чем о; следовательно, точка а, находится внутри этого круга; поэтому часть круга
Сг лежит вне круга Со. Если точка b окажется внутри этого нового круга Cj, то достаточно положить z = b в ряде (2), чтобы иметь значение f(b). Предположим, что точка b находится и вне круга С3; пусть будет а2 точка, в которой путь z^b пересекает этот круг. Возьмем на пути L внутри круга точку z2, такую, чтобы расстояние между точ-
§ ками г, и а, было меньше, чем „.
Z Z	2
Пользуясь рядом (2) и теми рядами, которые получим, диференцируи ряд (2) любое число раз, мы можем вычислить значение функции f(z) и ее производных /(г2), f (z2), /”(z2), ... в точке z2. Следовательно, мы можем составит^ новый ряд:
/(г)=/(г2) + 2-^/(г2)+... + ^--^/(")(г2)+ ... , (3> 1	1 • Z , . ,
представляющий функцию / (г) в новом круге С2, радиус которого ра-рен или больше, чем д. Если точка b окажется в этом круге С2, то мы заменим в предыдущем равенстве (3) переменное z через Ь\ если
же нет, то мы будем применять тот же прием далее. После конечного числа действий мы непременно получим круг, содержащий внутри себя точку Ь; на чертеже b лежит внутри круга С3. В самом деле, всегда можно выбрать точки г2, z3, ... таким образом, чтобы расстояние й
между двумя последовательными точками было больше, чем — ; с дру
гой стороны, пусть будет S’ длина пути L. Длина многоугольной линии az1z2 ... Zp ^Zpb всегда меньше, чем длина кривой S; следовательно, S ,
мы имеем р —	| zp — b\<^S. Пусть будет р такое целое число, что-
бы было ( £- + 1) $ > •£
Из этого неравенства следует, что после не
§ 334-335 I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ	195
более чем р операций мы придём в точку zp пути L, расстояние которой от точки b меньше, чем 5; точка b окажется внутри круга сходимости Ср целого ряда, представляющего функцию /(г) в области точки z , и достаточно заменить в этом ряде z через Л,- чтобы иметь fib). Таким же образом мы можем вычислить и все производные /' (Ь),.
Из этого рассуждения следует, что возможно, по крайней мере теоретически, вычислить'значения функции, голоморфной в области А, и цсех ее производных в любой точке этой области, если известна последовательность значений
f(a), f (a), f (а), ... , /^(а), ...	(4)
функции и ее производных в определенной точке а той же области. Отсюда следует, что всякая функция, голоморфная в области А, вполне определена во всей этой области, если .она известна в сколь угодно малой области, окружающей любую точку а области А, и даже если она известна вдоль сколь угодно малой дуги кривой, ведущей в точку а. В самом деле, если функция /(г) определена вдоль дуги кривой, то определена также и ее производная /' (г), так как значение f izf) в какой-нибудь точке этой дуги равно пределу отношения7————
Z2 Z1 когда точка z2 приближается к точке оставаясь на рассматриваемой дуге; если производная f'(z) известна, то отсюда получим /"(г), потом /'"(г) и т. д. Следовательно, все последовательные производные функции f(z) определены при z = a. Для краткости мы будем говорить,, что, зная числовые значения всех членов последовательности (4), мы знаем элемент функции fiz). Тогда/полученный результат можно выразить следующим образрм: функция, голоморфная в области А, вполне определена, если известен какой-нибудь ее элемент. Можно также' сказать, что если две функции, голоморфные в одной и той же области, имеют общий элемент, то они тождёственны.
Для определенности мы предположили, что функция fiz) голоморфна; но рассуждение можно распространить и на любую аналитическую функцию, если только путь L, по которому мы перемещаем переменное при переходе из точки а в точку Ь, не проходит ни через одну из особых точек функции. Для этого достаточно, как мы уму видели (§ 282), разбить этот путь на несколько частей таким образом, чтобы каждая часть пути заключалась в замкнутом контуре, внутри которого рассматриваемая ветвь функции /(?) голоморфна. Достаточно, по крайней мере теоретически, знать начальный элемент и путь, описываемый переменным, чтобы найти конечный элемент, т. е. числовые значения всех членов последовательности такого же вида:
fib), fib),..., f^ib),...	(5)
335. Другое определение аналитических функций. Аналитические функции, которыми мы занимались до сих пор, определялись выражениями, пользуясь которыми можно было вычислять эти функции при всяком значении переменного, заключающемся в области, в которой функция изучалась. На основании предыдущего теперь мы знаем, что 13* '
196
ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ 335
можно определить значение аналитической функции для любого значения переменного, если известен только один элемент функции. Но, чтобы с должною полнотою изложить теорию аналитических функций с этой новой точки зрения, надо прибавить к определению аналитических функций, данному Коши, новое условие, которое я считаю полезным здесь отчетливо формулировать.
Пусть будут (z), /2(г.) функции, голоморфные, соответственно, в двух областях А2, имеющих одну общую часть А' (черт. 72).
Если в общей части А' мы имеем /2(z)=/[ (z), что будет иметь место, если эти две функции /	Г\	\	имеют в части	Л'	хотя бы только одиц	общий
/	/Л/	।	элемент, то мы	будем принимать, что /j (z)	и /2 (г)
[	\/	j	образуют одну	голоморфную функцию	F(z),
( Д	X .	/	определяемую	в	области	равенствами
\	2 у F(z)=fyz) в Л, и F(z) =f2(z) в Л2. Мы будем
говорить также, что /2 (z) есть аналитическое продолжение в область Л2 — А' голоморфной функ-Черт. 72. ции которая, по предположению, определена только в области Лт. Очевидно, что аналитическое продолжение функции(z) в область Л2, лежащую вне области Аг, возможно только одним способом *.
Рассмотрим теперь бесконечную последовательность действительных или мнимых чисел:
а0, av а2, ... , ап, ... ,	(6)
удовлетворяющих только одному условию, чтобы ряд
а0 + а1гАга.у + ...+апгп+ ...	(7)
был сходящимся при каком-нибудь значении переменного z, отличном от нуля. (Мы принимаем z = 0 за начальное значение переменного, что не стесняет общности.) Следовательно, по предположению, ряд (7) имеет круг сходимости Со, радиус которого /? не равен нулю. Если /? бесконечно велик, то этот ряд — сходящийся при всяком значении переменного z и представляет целую функцию переменного. Если ра-
♦ Чтобы доказать, что предыдущее условие отлично от определения аналитических функций, достаточно-заметить, что из него непосредственно вытекает такое следствие: если, функция f(z) гдломорфна в области А, то всякая другая функция fa (z), совпадающая с f (г) в части области А, тождественна с f (z) во всей области А. Между тем, рассмотрим функцию F(z), определяемую следующим образом при всех значениях комплексного переменного г:
F(z) = sinz. eMHzz^/yj;
Как ни странным кажется это условие, оно нисколько не противоречит прежнему определению аналитических функций. Функция F(z), определенная таким образом, голоморфна при всяком значении переменного z кроме z = у , которое есть особая точка особого рода; но свойства.этой функции были бы в противоречии с только что принятым условием, так как функции F(z) и
sin z были бы тождественны при всех значениях z кроме z — которое было бы особою точ-
кою только для одной из них.
Вейерштрасс в Германии и Мере (М*гау) во Франции развили теорию аналитических функций, основываясь исключительно на свойствах целых рядов; должно отметить, что их изыскания вполне независимы, между собою. Теория Мерей изложена в его большой работе; „Lemons nou-velles sur 1’Analyse infinitgsimale". Ниже мы покажем, как можно постепенно определить аналити* вескую функцию, если известен один ее элемент, но предполагая попрежнему известными теоремы Коши о голоморфных функциях.
§ 335 I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ	197
диус 7? имеет конечное значение, отличное от нуля, то сумма ряда (7) есть функция /(г), голоморфная внутри круга Со. Но так как нам известна только последовательность коэфициентов (6), то мы ничего не знаем заранее о характере этой функции вне круга CQ. Мы не знаем, можно ли присоединить к кругу Со соседнюю область, образующую? с кругом связную область А, такую, чтобы в А существовала голоморфная функция, совпадающая с /(г) внутри Со. Пользуясь методом предыдущего параграфа, мы можем узнать, имеет ли это место. Возьмем в круге Со точку а, отличную от начала координат; пользуясь рядом (7) и рядами, которые получим, диференцируя почленно ряд (7), мы можем вычислить элемент функции /(д), соответствующий точке а, и следовательно, составить целый ряд:
Ж + z-^f (а) + ... 4-	(*) + • • • -
(8)
представляющий функцию /(г) в области точки а. Этот ряд—наверное сходящийся в круге с центром в точке а и с радиусом, равным 7? — | а |
(§ 262), но он может быть сходящимся в большем круге, радиус кото-
рого не может,, однако, превзойти 7? -f-1 а |, так как, если бы он быЛ сходящимся в круге с радиусом, равным 7? -ф-1 а ।	5, то отсюда сле-
довало бы, что ряд (7) — сходящийся в круге, описанном из начала координат радиусом, равным 7? -1- что противно предположению. Предположим сначала, что радиус круга сходимости ряда (8) всегда равен 7?—| а I,- где бы в круге Со ни была взята точка а. В этом случае совсем нельзя аналитически продолжить функцию / (г) вне круга,
по крайней мере, если пользоваться только целыми рядами. Мы можем
утверждать, что не существует голоморфной функции /^(г), определенной в области А плоскости, большей, чем круг Со, и совпадающей
с /(г) в круге Со, так как в противном случае мы могли бы, как видели, пользуясь методом аналитического продолжения, определить значение этцй функции в точке, лежащей вне круга Со. В этом случае часть плоскости, лежащая вне круга Со, называется пустым (лакунарным) пространством для функции t{z). Несколько ниже мы увидим этому примеры.
Предположим теперь, что при соответственном выборе точки а
в круге Со мы найдем, что круг
сходимости Cj ряда (£) имеет радиус больший, чем 7? — |а|. Этот круг С3 имеет часть, расположенную вне Со (черт. 73), и сумма ряда (8) есть функция /, (г), голоморфная в круге С,. В круге у с центром в точке а, касающемся изнутри круга Со, мы имеем/, (z) =f{z) (§ 262); следовательно, это равенство имеет место во всей области, общей обоим кругам Со, С,. Пользуясь рядом (8), мы можем аналитически продолжить функцию /(г) в
198	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 335
часть круга С\, лежащую вне круга Со. Пусть будет а’ точка, взятая в этой области; поступая, как выше, мы составим новый целый ряд, расположенный по степеням z — а', сходящийся в некотором круге С2. Если этот круг С2 не лежит всеми своими точками в круге Q, то новый ряд даст возможность аналитически продолжить функцию /(г) в более широкую область и т д. Понятно, что таким образом можно постепеннс расширить область существования .функции /(г), которая была определена сначала только внутри круга Со.
Ясно, что предыдущие операции можно выполнять бесконечно различными способами. Чтобы в них разобраться, надо точно определить путь, проходимый переменным. Предположим, что можно получить, как это изложено выше, аналитическое продолжение функции, определяемой рядом (7), вдоль некоторого пути L. Каждая точка х пути L есть центр круга с радиусом г, внутри которого функция представляется
сходящимся целым рядом, расположенным по степеням разности z — х. Радиус г этого круга меняется непрерывно вместе с х. В самом деле, пусть будут х и х' две близкие между собою точки пути L, а г и г' — соответствующие радиусы. Если х' настолько близко к х, что | х'— х | <>, то, как было только что указано, радиус г' заключается между г—| х' — х| и г-1-|х' — х|. Следовательно, разность И—г стремится к нулю вместе с | х' — х |. Пусть будет теперь Со' круг, опи-
санный из начала координат радиусом,
равным
/?
2 ’
и а — какая-ни
F(z) была бы равна что \z — а | -< - 4* г. бы равна сумме це-„ . г  7’
будь точка окружности Со'; радиус сходимости ряда (8) не меньше ~ , но он может быть и больше. Так как этот радиус непрерывно изменяется вместе с положением точки а, то, следовательно, для какой-нибудь точки окружности Со' он проходит через наименьшее значение R
2 г- Не может быть г^>0. В самом деле, если бы г было положительным, то существовала бы функция /Пг), голоморфная в круге, описанном из начала координат радиусом, равным	и совпадаю-
щая с f(z) внутри круга Со. При значении переменного z, модуль которого заключается между /? и	функция
сумме ряда вида (8), где а есть такая точка круга Go', Но тогда, по теореме Коши, функция F(z) была
лого ряда, сходящегося в круге с радиусом, равным R -f- -у, и этот ряд должен был бы быть тождественным с рядом (7), что невозможно.
Следовательно, на окружности Q1 есть по крайней мере одна R точка а, для которой радиус круга сходимости ряда (8) равен —, и этот круг касается изнутри круга Со в точке а, в которой радиус Оа пересекает этот круг. Точка а есть особая точка функции f(z), лежащая на- окружности Со. Как бы ни был мал радиус круга с, описанного из точки а, не может существовать голоморфной функции, которая
§ 335 I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ	199
была бы тождественна с функциею f(z) в части, общей обоим кругам С’о и с. Ясно также, что круг сходимости ряда (8) с центром в любой точке радиуса Оа. касается круга Со изнутри в точке а*.
Рассмотрим теперь какой-нибудь путь L, выходящий из начала координат и приводящий в какую-нибудь точку Z, лежащую вне круга Со; предположим, что переменное описывает этот путь, перемещаясь постоянно в направлении от О к Z. Пусть будет аА точка, в которой переменное выходит из круга; если эта точка аА есть особая точка, то итти по пути L за эту точку невозможно. Предположим, что аг не есть особая точка; тогда можно составить целый ряд, расположенный по степеням разности z — аг и сходящийся в некотором круге Сг с центром в точке а3, сумма которого совпадает с f(z) в части, общей обоим кругам Со и С3. Чтобы вычислить /(а3), у*(ot3), можно взять, например, промежуточную точку, лежащую на радиусе Оаг. Пользуясь суммою второго ряда, мы можем аналитически продолжить функцию / (г) вдоль пути L, начиная от точки а3, пока переменное'г не выйдет из круга С3. В частности, если весь путь, начиная от точки а3, лежит внутри круга Сг, то-этот ряд даст нам значение ’функции в точке Z. Если путь выходит из круга С3 в точке а9, то мы составим другой целый ряд, сходящийся в круге С2 с центром в точке а, и т. д. Предположим сначала, что после конечного числа операций мы придем к кругу Ср с центром в точке ар, содержащему всю оставшуюся часть пути после точки ар и, в частности, точку Z. Достаточно будет заменить z через Z в последнем составленном ряде и в тех рядах, которые получим, диференцируя первый ряд1 почленно, чтобы иметь значения /(Z), f (Zl, f (Z), ... , с которыми мы приходим в точку Z, т. е. иметь конечный элемент функции.
Ясно, что мы придем в любую точку пути L с вполне определенными значениями для функции и всех ее производных. Заметим также, что можно было бы заменить круги Со, С3, С2,	, Ср последователь-
ностью кругов, определенных таким же образом, с центрами в любых точках z3, z9, ,.. , zp пути L\ надо только, чтобы круг с центром в
* Если всэ коэфициенты ап ряда (7) действительны и положительны, то точка z — R есть непременно особая точка на окружности Со. В самом деле, если бы это было не так, то целый ряд
’	R
представляющий функцию /(z) в области точки г = —, имел бы радиус сходимости больший, чем
R т й
~2 • 1ем более это имело бы место и для ряда

каково бы ни было значение аргумента ш, так как очевидно, что если все коэфициенты ап положительны, то

Следовательно, минимум радиуса сходимости ряда (8), когда а описывает окружность Со\ был 'бы больше, чем
200	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ	§336
точке zL содержал часть пути L, заключающуюся между точками z и г Можно также несколько изменять путь L, сохраняя те же концы; при этом конечные значения функций /(г), f (z), f (г), ... не изменятся. В самом деле, круги Со, С\, ... , Ср покрывают некоторую часть плоскости, образующую род полосы, в которой лежит путь L', можно заменить путь L всяким другим путем И, идущим из точки в точку Z и расположенным в той же полосе. Предположим для определенности, что мы должны были
воспользоваться тремя последовательными кругами Со, C-j, С2 (черт. 74). Пусть будет U другой путь, лежащий в полосе, образуемой этими тремя кругами; соединим между собою точки тип. Если мы идем из О в т сначала по пути ОаАт, а потом по придем ментом,
зуемой кругами Со и Сл, функция голоморфна. Точно так же, если мы идем из т в Z по пути ma2Z то в обоих случаях мы придем в точку Z с одним
пути Опт, то ясно, что мы в тс одним и тем же эле-так как в области, обра-
или по пути mnZ,
и тем же элементом. Следовательно, путь L равносилен пути OnmnZ,
т. е. пути L'. Способ доказательства останется тот же самый, каково
бы ни было число последовательных кругов. В частности, всегда можно заменить любой путь ломаною линиею *.
336. Особые точки.' Применяя предыдущий прием, мы можем встретиться с таким случаем, когда нельзя найти круга, содержащего всю
оставшуюся часть пути L, как бы далеко мы ни продолжали операции; так будет, если ар есть особая точка, лежащая на окружности Ср_1, так как здесь мы должны будем остановиться. Если операцию можно
продолжать неограниченно, и мы никогда не придем к кругу, содержащему всю оставшуюся часть пути L, то точки чр, яр+1, ••• стремятся к некоторой предельной точке X пути L, которою может быть или сама точка Z, или точка, лежащая между О и Z. Точка X есть также особая топча, и нельзя вести аналитического продолжения функции /(г) вдоль пути L за точку X.' Но если X отлична от Z, то отсюда не следует, что сама точка Z есть особая точка и что нельзя притти из О в Z другим путем. Рассмотрим, например, функции или Log (1 z); здесь нельзя итти из начала координат в точку z = — 2 вдоль действительной оси, так как мы'не могли бы перейти особой точки z <=—1. Но если мы будем перемещать переменное г по пути, не проходящему через эту точку, то - ясно, что мы придем в точку z = —2 после конечного числа операций, так как все последовательные круги пройдут через точку г= —1. Заметим, что предыдущее определение особых точек зависит от пути, проходимого пере-
. Рассуждение-должно быть проведено несколько подробнее, если путь L имеет двойные точки, так как в этом случае полоса, образуемая последовательными кругами, может отчасти покрывать самое себя. Впрочем, здесь, по существу, нет никаких действительных затруднений.
§ 336-337
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
201
ценным; точка X может быть особою точкою для определенного пути и не быть таковою для другого пути, если функция имеет несколько различных ветвей.
Если два пути Z.,, L,', соединяющие начало координат с точкою Z,. приводят к различным элементам в точке Z, то существует по крайней мере одна особая точка внутри площади, которая была бы покрыта-одним из путей, например, Z.,, если бы мы непрерывно деформировали его, сохраняя неподвижными его конечные точки, так, чтобы он при-можно сделать), что
b\
Черт. 75.
некоторой предель-других точек. Этот особую точку, так
к
шел в совпадение с LJ. Предположим (что всегда оба пути Ly, Lj. суть ломаные линии с одинаковым числом сторон Оа^Ь^С). j . l^Z и Оа/ bt'... Z/Z (черт. 75). Пусть будут а2, Ь2, с2, ... , 12 середины отрезков byb.*, ... , /,//. Путь L2, представляющий ломаную линию Оа2Ь2 ... l2Z, не может быть равносилен одновременно обоим путям L^, если он не содержит особой точки. Если этот путь L2 содержит особую точку, то теорема доказана. Если же пути Ly и L2 не равносильны друг другу, то тем же приемом мы найдем отсюда новый путь L3, содержащийся между Л1 и L2. Продолжая эти операций, мы или придем к путиЛр, содержащему особую точку, или же получим неограниченную последовательность путей Л1, L2\... Эти пути стремятся к некоторому предельному пути А, так как точки ар а2, а3, . . . стремятся ной точке, лежащей между и а/, и т. д. для предельный путь А необходимо должен содержать как можно провести по обе стороны А два пути, бесконечно близких к А и приводящих к различным элементам для функции в точке Z; этого не могло бы быть, если бы А не содержало особой точки, так-как тогда пуки, бесконечно близкие к А, должны были бы быть равносильны этому пути А.
Предыдущее определение особых точек — чисто отрицательное и не дает никаких указаний на характер функции вблизи особой точки. Ни одно предположение относительно этих особых точек или их распределения в плоскости не может быть заранее отброшено, если только оно не содержит противоречия. Только изучая аналитическое продолжение, мы мон^ем выяснить различные возможные здесь обстоятельства*.
337. Общая задача. Из предыдущего следует, что аналитическая функция, по 'существу,.определена, если известен один ее элемент, т. е.
* Пусть будет /(х) аналитическая функция, голоморфная вдоль отразка ab действительной оси. В области каждой точки а этого отрезка функция может быть представлена целым рядом, радиус сходимости которого R (а) не равен нулю. Этот радиус /?, будучи непрерывною функциею-от а, имеет положительный минимум г. Пусть будет о положительное число, меньшее числа г, и Е — область плоскости, описываемая кругом с радиуЬом, равным о, ковда центр этого круга перемещайся по отрезку ab. Функция /(х) голоморфна в области Е и на ее контуре. Пусть будет М верхняя граница ее модуля; из общих формул (14) (§ 284) следует, что во всякой точке х отрезка ab мы имеем неравенство (см. т. I, § 188):

'202	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 3:7
если известна такая последовательность коэфициентов а0, аг, а2, . .. ... , ап, . .. , что ряд
“о +	~ “) + • • • + ап (* — а)" + • • •
имеет радиус сходимости, отличный от нуля. Если эти коэфициенты известны, то возникает следующая общая задача: найти значение функции в какой-нибудь точке [J плоскости, когда переменное описывает определенный путь, идущий из точчи а в точку f!. Можно также искать особые точки аналитической функции; ясно, впрочем, что обе задачи тесно связаны друг с другом. Самый метод аналитического продолжения дает решение, по крайней мере, теоретическое, этих обеих задач, но он применим только в весьма частных случаях. Например, так как нам неизвестно заранее число промежуточных рядов, которые надо ввести, чтобы перейти от точки а в точку [J, и так как суммы этих рядов можно вычислить лишь с некоторым приближением, то невозможно оценить степень точности полученного конечного приближения. Поэтому необходимо искать более простые решения, по крайней мере в частных случаях. Однако только за последнее время эта задача явилась предметом ряда работ, которые привели к важным результатам; некоторые из них мы вкратце изложим в ряде последующих параграфов. То обстоятельство, что эти исследования появились лишь недавно, следует приписать не только трудности вопроса, как бы велика она ни была. В самом деле, функции, которые последовательно изучались математиками, не выбирались ими произвольно: изучение этих функций вызывалось характером самих задач, которые им представлялись. Между тем, за исключением небольшого числа трансцендентных функций все эти функции, -после элементарных явных функций, определялись или. как корни уравнений, не допускающих формального решения, или как интегралы алгебраических диференциальных уравнений. Таким образом понятно, что изучение неявных функций и функций, определяемых диференциальными уравнениями, должно было логически предшествовать изучению общей задачи, по отношению к которой эти две задачи являются, р сущности, лишь весьма частными случаями.
Нетрудно показать, как изучение алгебраических диференциальных уравнений связано с теориею аналитического продолжения. Рассмотрим для определенности два целых ряда у (х), z(x), расположенных по положительным степеням переменного х и сходящихся в круге С, описанном из точки х~0 радиусом, равным /?. С другой стороны, пусть будет F(x, у, у', у", ... , у^р\ z, z', г!', ... , z^) целый многочлен относительно х, у, у', ... у^р\ z, z1, . .. . zty. Заменим в этом многочлене у и z предыдущими рядами, у' у", ... , у(р) — производными от ряда у(х) и z', z", ... ,	— производными от ряда г(х); в ре-
зультате мы получим тоже целый ряд, сходящийся в круге С. Если все коэфициенты этого ряда равны нулю, то голоморфные функции у(х), z (х) удовлетворяют, в круге С соотношению:
F(x, у, у1, ... , у₽), z, г’, .... , z^) = 0.	(9)
Докажем теперь, что функции, которые мы получим, продолжая аналитически ряды у(х) и z(x); удовлетворяют тому же соотношению
§ 337—338 II. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 203 во всей области их существования. Точнее, если мы будем перемещать переменное х по пути L, выходящему из начала координат, пересекающему окружность С и приходящему в некоторую точку а плоскости, лежащую вне круга С, и если можно аналитически продолжить оба ряда j/(x), z(x) вдоль этого пути, не встретив ни одной особой точки, то целые ряды Y(x — a),	с которыми мы придем в точку а
представляют в области этой точки две голоморфных функции, удовлетворяющие соотношению (9). В самом деле, пусть будет хг какая-нибудь точка пути L, лежащая внутри круга С и близкая к точке, в которой путь L пересекает окружность С. Из точки хА как из центра можно описать круг С1; часть которого лежит вне круга С; существуют два целых ряда у (х— хг), z(x — х,), сходящихся в круге С2, суммы которых тождественны с суммами рядов _у(х), z(x) в части, общей обоим кругам С и Сг Заменяя в F функции у и z этими двумя рядами, мы получим целый ряд Р(х—хг), сходящийся в круге С2. Но в части, общей обоим кругам С и 'С,, мы имеем Р(х — х1) = 0; следовательно, все коэфициенты ряда Р(х — х2) равны нулю, и оба новых ряда_у(х— xj и z(x — X!) удовлетворяют в круге Сг соотношению (9). Продолжая то же рассуждение, мы видим, что соотношение F=0 будет всегда удовлетворяться аналитическими продолжениями обоих рядов jy(x) и г(х), по какому бы пути мы ни перемещали переменное; таким образом теорема доказана.
Таким образом изучение функции, определяемой диференциальным уравнением, есть, в сущности, лишь частный случай общей задачи об аналитическом продолжении. Но, с другой стороны, нетрудно понять, что знание частного соотношения между аналитическою функциею и некоторыми из ее производных может в некоторых случаях облегчить решение задачи. Мы вернемся к этому вопросу при изучении теории диференциальных уравнений.
Этот метод, очевидно, нельзя применять к произвольно заданному целому ряду, в случае если мы не знаем его происхождения.
II. РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ.
338. Замена переменного. Если в какой-либо области D, внутренней по отношению к окружности С радиуса 7?, задана аналитическая функция f(z} разложением в степенной ряд
/(z) = a0 + a1z + ... + <7„2'! + ... ,	(10)
или, проще говоря, ее элементом, то, чтобы получить,—в случае если это возможно — аналитическое продолжение этой функции в более широкой области, пользовались многочисленными методами, по виду весьма разнообразными, но основанными на весьма простой общей идее. Ряд Тейлора следует заменить каким-либо аналитическим выражением, определяющим функцию, голоморфную в некоторой односвязной области £>', частично расположенной вне D и имеющей с ней общую часть, причем это аналитическое выражение должно представлять ту Же самую функцию f(z) в части, общей обеим областям. В части области D', внешней по отношению к D, этот новый способ определения функции предста
204
ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ 338
вляет аналитическое продолжение функции, заданной внутри D с помощью степенного ряда (10). В качестве аналитических выражений, представляющих голоморфные функции, по большей части пользуются равномерно сходящимися рядами аналитических функций (§ 290) или же определенными интегралами, в которых независимое переменное присутствует в качестве параметра под знаком интеграции (см. § 352).
Общий прием последовательного нахождения аналитического продолжения функции, заданной при посредстве степенного ряда (10), применявшийся нами до сих пор, оказывается лишь весьма частным следствием упомянутой общей идеи, так как он состоит в замене ряда (10) другим степенным рядом; расположенным по степеням разности z — z0, где Zq — точка, внутренняя к кругу С, и коего сумма совпадает с суммой первого ряда в части, общей обоим кругам сходимости. В сущности, это сводится по отношению к ряду (10) к замене переменного z = z0-4-Z.
Вообще, пусть
<P(Z) = ^OH-^Z+^2Z2 + ...	(11)
означает функцию, голоморфную в области D плоскости переменного Z, заключающей в себе начало координат, и такую, что I />01 R. Производя замену переменного z = y(Z) в ряде (10), можно заменить его другим степенным рядом, расположенным по' степеням переменного Z:
F(Z) = COH-C1Z4-C2Z2 4- ... ,	(12)
причем коэфициенты сп вычисляются при посредстве коэфициентов обоих' рядов г 10) и (11); этот новый ряд сходится в окрестности точки Z=0 (т. I, § 178). В упомянутом параграфе было установлено, что равенство /(ip(Z)] = F{Z) является справедливым в окрестности точки Z=0. Теперь мы изучим этот вопрос более подробно.
Пусть Г означает окружность с центром Z= 0, расположенную в области D и в области сходимости ряда (12). Когда точка Z описывает область Д, ограниченную окружностью Г, точка z=^(Z) описывает область D', ограниченную замкнутой кривой С, и эта область D', несомненно, содержит часть, расположенную внутри D, так как она заключает в себе точку z = bn, которая отвечает точке Z = 0. Мы предположим, что точки областей Ди/)' соответствуют друг другу взаимно однозначно, так что соотношение z=ip(Z) определяет конформное отображение области /)' на круг Д. Пусть Z —ф(г) означает функцию, обратную по отношению к <р (z), в свою очередь, голоморфную в области /)'. Если теперь в ряде F (Z) заменить Z через ф(г), то мы получаем функцию F{ty(z)], которая является голоморфною- функцией переменного z в области D', совпадающею с функцией /(z) в окрестности точки z = bn. Следовательно, имеем равенство f{z) = Афф (z)l, справедливое в общей части обеих областей D и D', и если область D' имеет части, расположенные вне/), то новообразованный ряд (12) дает аналитическое продолжение функции /(z) в части области /)’, внешней по отношению к />.
Итак, мы приходим к двум различным задачам, одна из который была уже нами указана (§ 289). Если a priori известно, что функция;, заданная рядом (10), голоморфна в области /)', частично расположен
§ 338	II. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ	205
ной вне D, то, чтобы получить разложение функции f(z), имеющее силу в этой новой области, достаточно будет найти конформное отображе» ние области D1 на круг.
Совсем иная задача возникает в случае, если ничего не известно по поводу особых точек функции f{z), В таком случай, напротив, нужно исследовать, является ли возможным выбрать функцию ф(') таким образом, чтобы при выполнении остальных высказанных услрвий ряд (12) оказался сходящимся в точках, внешних по отношению к D. Очевидно, что по этому поводу нельзя высказать определенных правил *.
Z
Предположим /? = 1 и выполним замену переменного z — -- , откуда, об-1 -f- Z
ратно, находим	Ряд У (г) преобразуется к виду: •
где коэфициент сп, легко вычисляемый общим методом, имеет выражение:
,	, (п — 1) (п — 2)	.	..	_
сп = ап — (я — 1) ап_{ + -----------а„_2 — ... -ь (П _ 1) а.г ч- at. (13)
Вблизи начала координат, несомненно, имеет место соотношение
Чтобы выяснить, в какой области это соотношение является справедливым, заметим, что томографическое, преобразование Zz-\-z — Z=0 приводит в соответствие круги обеих плоскостей и что кругу Г радиуса р с центром в начале координат, расположенному в плоскости переменного Z, отвечает в плоскости z круг С, сопряженный по отношению к двум точкам z^O, z=l и такой, что для каждой точки этого круга имеем:
|z|=p|z — 1|.
Если р меньше или равно -у, то круг С расположен изнутри круга С радиуса R = 1 с центром в начале координат или касается окружности С внутренним образом в точке z = —1. Следовательно, ряд F(Z) является сходящимся в каждой точке, расположенной внутри круга Г радиуса -у, равенство
—	оказывается справедливым во всех точках, внутренних к соответ-
ствующему кругу в плоскости z, который касается окружности С изнутри в точке z=— 1. Если точка z=—l является особой точкой функции f(z), то Z= — —2" есть особая точка для F (Z), и второй ряд не может сходиться в круге радиуса, большего Если точка Z — —1 не является особой для f (z), то ряд F(Z) сходится в круге радиуса р>-^-, и новый ряд позволит продолжить аналитически функцию /(z) за пределы круга С.
 При этом могут представиться следующие частные случаи:
1.	-i- <р< 1. Кругу Г радиуса р, расположенному в плоскости Z, отвечает в плоскости z круг С, заключающий внутри себя обе точки z = 0, z = —1, и
*Е. Lin del Of, Remarques sur un principe general de la th£orie des fonctions analytiques, Aera Soieiatis Fennicae, t. XkIV, № 7, Гельсингфорс 1898.
206	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 339
/ z > внутренности круга Г отвечает внутренность круга С. Равенство f{z)~F ?
дает, следовательно, аналитическое продолжение функции f (z) в части, внутренней к кругу С и внешней по отношению к кругу С.
2.	р=-1. Внутренности круга Г отвечает часть плоскости переменного z, расположенная слева от перпендикуляра к действительной оси, восставленного в точке z = “. Функция, заданная внутри круга С при посредстве степенного ряда (10), следовательно, голоморфна в целой полуплоскости, расположенной слева от этой прямой, и представляется в этой области с помощью выражения
z
1 — Z
F
3.	р > 1. Области плоскости переменного Z, внутренней к кругу Г радиуса р, отвечает в плоскости z область, внешняя по отношению к соответствующему кругу С, окружающему точку z = 1, причем начало координат расположено вне его. Функция /(z), следовательно, голоморфна в этой неограниченной части плоскости, включая бесконечно удаленную точку, соответствующую точке z = 1 в плоскости z. В частности, если /(z) не имеет другой особой точки кроме z==l. которая может быть полюсом или существенно особой изолированной точкой, то в этом случае р=оо,и ряд F 2 оказывается сходящимся при любом z кроме z = 1.
339. Подпоследовательности. Если имеем абсолютно сходящийся ряд, то, как известно (т. I, § 156), его можно заменить другим рядом, каждый член которого является суммой любого числа последовательных- членов первого ряда. Другими словами, вместо того чтобы рассматривать последовательность, составленную всеми частичными суммами S(, S2, ... , S„, ... членов ряда, можно ограничиться рассмотрением последовательности, составленной некоторыми из них, 5Л1, Sn*,... ... ,S„^.....где пь пг, ... , пр, ... суть возрастающие целые числа. Очевидно,
что если первая последовательность сходится, то же самое оказывается*справедливым и по отношению ко второй, и предел должен быть одним и тем же для обеих последовательностей, но обратное утверждение не всегда верно.
Применим это замечание к степенному ряду (10). Последовательность, составленная частичными суммами S„(z), S„(z), .... S„(z), .... сходится равномерно к функции / (z) в любой области, Ьнутренней к кругу сходимости; но мо-же}' случиться, что при подходящем выборе чисел п1, п2,.... Пп.... эта последовательность будет сходиться равномерно и в более широкой области. В таком случае предел этой последовательности представляет аналитическое продолжение функции f (z) в части новой области сходимости, внешней по отношению к С.
Рассмотрим, например, степенной ряд, в котором все показатели имеют вид '2л — 1,	•
f (z) = + etz + a3z3 + a^z~> +•. •+ e2„_1z2n-‘ 4-...	(14)
с'кругом сходимости конечного радиуса R. Полагая tz = x(l -f-x), получаем новый ряд:
а9 Н- atx (1 + х) + а3х3 (1 + х)з +.. .-f- a2,_4 [х(1 + х)]2л~* +   ,	(15)
который может быть записан в виде ряда Тейлора, если расположить все члены ряда (15) по возрастающим степеням х:
F (х) = b3 + Ь{х -|- М2 +•.. + ЬрХР +...	(16)*
Обратно, исходя из степенного ряда (16), приходим к ряду (15). объединяя, вместе все члены со степенями от 2"-1 до 2л+‘—2, так что все частичные суммы членов ряда (15) входят в состав последовательности частичных сумм ряда (16).
Пусть г означает радиус сходимости ряда - (16). Последовательность, составленная всеми частичными суммами членов этого ряда, сходится внутри круга радиуса г к пределу F(x). Но функция F(x) является в то же время пределом.
§ 339-340 II. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 207 последовательности, составленной частичными суммами членов ряда (15), и эта-последовательность сходится в том случае, если | х (1 -f- х) | <7?. Новая область сходимости, которая непременно содержит в себе первоначальную, ограничена кассиноидой с двумя фокусами х = 0, х =—1. Если эта кассиноида может быть описана одним непрерывным движением, то функция В(х) голоморфна внутри этого контура и представляется во всей названной области с помощью ряда (15).. Если кассиноида состоит из двух отдельных замкнутых кривых, то аналитическое продолжение функции Р(х) определяется с помощью ряда (15) лишь во внутренности той ветви кассиноиды, которая заключает в себе начало координат. Заметим еще, что эта кассиноида имеет с кругом радиуса г только одну общую
— 1 “Е 1/1 -f- 4/?	-
точку х = -------1t и что эта точка непременно является особой.
В рассмотренном примере положение вещей становится легко понятным, если принять во внимание, что степенной ряд (14) заключает в себе пустоты. Островским высказано следующее общее предложение *:
В случае, если из некоторого степенного ряда (10) можно выделить подпоследовательность частичных сумм S„t, Sm,S„ , ... , сходящуюся равномерно вне круга сходимости, то названный ряд является сум'мой двух степенных рядов, из которых один имеет больший радиус сходимости, а другой заключает в себе пустоты.
340. Преобразование к виду интеграла. Иногда бывает возможно получить аналитическое продолжение функции, представленной с помощью степенного ряда, подставляя на его место какой-либо определенный интеграл, равносильный ряду внутри круга сходимости ив то же время сохраняющий смысл во внешних точках. Рассмотрим относящийся сюда пример, заимствованный из теории гипергеометрического ряда Гаусса,. Этот знаменитый ряд
F(a, р, у, х) = 1
a(a+l)...(a + n_-im? + l) •••(?+"-!) хП п п 1--2-...« у (у-j-1)... (т4-л— 1)	п
в котором ни одно из чисел a, [J, у не равно целому отрицательному числу, имеет круг сходимости единичного радиуса. Чтобы найти аналитическое продолжение за пределы этого круга, в некоторых случаях достаточно бывает заменить названный ряд определенным интегралом,. принадлежащим Эйлеру. Предположим, что действительные частй ?)(ф и /( (у-— ji) положительны. В таком случае определенный интеграл
1
Ф(х) = J /3-1(1 — /)т-р-1(1 — tx)~*dt,	(18).
о
взятый вдоль отрезка действительной оси от /=0 до /=1, имеет смысл при условии, что точка с аффиксом х не расположена на неограниченной части действительной оси между х=1 и х + оо. Чтобы окончательно уточнить смысл этого интеграла, условимся считать аргументы Arg/ и Arg(l—t) равными нулю и примем за аргумент для (1—/х) тот, который обращается в нуль при / = 0. В таком случае, при условии, если | х | < 1, функция (1—/х)~“ может быть разложена
* .Ober vollstandige Gebiete gleichmdssiger Konvergenz von Folgen analytischer Funktionen.. (Abhandlungen aus dem Mathematischen Semindr der Hamburgischen Universitat, т. I, 1922, стр. b27“>
208	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 340
в ряд, сходящийся равномерно при всех действительных значениях t между нулем й единицей:
(1—<х)-а=1 _|_а^_|_^“_у_А^2л2 4-...
а_(а+1 ),,.(a4_n_i)
1.2....л	5 +---
-s
Помножая все члены этого ряда на	получаем дру-
гой ряд, который можно интегрировать почленно, и мы находим:
1
ф (X) = J ZP-1( 1 — ф - з -1 dt -ф-‘о
ОО I а(аЧ-1)... (а + я- 1) з+я-1	т-3-i
L • 	------Lt	<1 — z)	xndt_
1•2 .... Л
Но интеграл	,
Р+Л-1	т-р-1
t (1-4) dt о равен
Г (ft 4-и) Г (у —ft) Г(г + »)
т. е. (т. I, § 90 и 143)
В (ft + 1) - • .(ft + n- 1)Г(3)Г(у —ft)
Y(rH-l) ... (Y-4-л— 1)Г(у)
Следовательно, при всяком х внутри круга сходимости: 0(x)=IWAziL)F(a, ft, у, х).	(19)
В следующей главе мы увидим, что интеграл Ф(х) есть функция переменного х, голоморфная в целой плоскости, в предположении, что путь, описываемый точкой х, не пересекает разреза 1...-|-оо. Следовательно, аналитическое продолжение ряда F(ol, ft, у, л) голоморфно во всей названной области. В частности, мы видим, что эта функция голоморфна в части плоскости, расположенной слева от прямой JK(x) =
1
= -g- , и потому (§ 338) может быть разложена в этой области в ряд,
расположенный
по степеням ---
х— 1
. Это разложение легко получить, ис-
ходя из интеграла Ф.(х). Действительно, если в нем заменить х на
§ 340 И. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО, ПРОДОЛЖЕНИЯ	209
А	<		. .
~—- и затем подставить 1—v на место г, то этот интеграл примет вид:
(АГ \	Г
х - 1" /	— Xdv,
и
причем новый интеграл отличается от первоначального лишь заменой на у — р.
Следовательно:
ф	Г(у)—-а-ЛО'Ня, т-?, Y> *)•
Теперь заменим X на мулой (19).
Находим:
= (1-
и сравним полученную формулу с фор-
(20)
— формула, дающая возможность вычислить аналитическое продолжение функции Е(а, ji, у, х) в полуплоскости.
Рассмотренный пример можно связать с одним общим методом, принадлежащим Адамару *. Сперва дадим несколько ' определений. Предположим, что мы осуществляем аналитическое продолжение функции f(z), заданной степенным рядом (10), заставляя переменное описывать полупрямую, выходящую из начала координат. Если таким путем нельзя достигнуть всех точек этой полупрямой, то можно достичь лишь тех. из них, которые расположены между началом и какой-либо точкой а, каковая непременно является особой. Таким образом на каждой полупрямой, выходящей из начала координат, найдется точка а, которая может быть расположена на конечном расст я-нии или в бесконечности.
Если удалить из каждой полупрямой ту часть, которая расположена по другую сторону точки а относительно начала, то остающаяся часть плоскости образует прямолинейную звезду Е функции f(z) относительно точки О. Короче говоря, эта звезда образована множеством точек плоскости, достижймых из точки О посредством прямолинейного аналитического продолжения. Если функция/(г) имеет лишь конечное число особых точек, то звезда состоит только из конечного числа лучей. Напротив, если функция /(г), как мы это увидим в дальнейшем на ряде примеров, не может быть аналитически продолжена за пределы какой-либо замкнутой кривой, окружающей начало координат, то звезда должна состоять из части внутренней области,, ограниченной этой замкнутой кривой. Заметим еще, что любая точка [}, расположенная на продолжении отрезка Оа, упирающегося в особую точку, не будет сама непременно особой для рассматриваемой функции f(z) (§ 336).
* Journal de MathJmatiques, 4-я серия, т, VIII, 1892, стр. 163.
14 Э. Гурса, т. II, я. 1.
210	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 340
Можно рассматривать также и криволинейные звезды, образуемые множеством точек, достижимых с помощью аналитического продолжения, отправляясь от какой-либо точки О, если заставить переменное описывать криволинейные пути, подобные какой-либо заданной дуге. В последующем изложении мы будем иметь дело лишь с прямолинейными звездами.
Пусть теперь /(г) означает аналитическую функцию, заданную посредством элемента (10), и пусть V (/) есть некоторая функция переменного t, непрерывная* вдоль отрезка действительной оси между нулем и единицей. Рассмотрим Определенный интеграл
1 jy(zY-^V(t)t(tz)dt. °
Этот интеграл (г) есть функция переменного z, голоморфная во всей области Z), внутренней по отношению к звезде Е функции /(z), так как функция V (t)f (tz) .под знаком интеграла, наверное, удовлетворяет условию, которое будет указано в дальнейшем (§ 352). Если t означает действительное число, заключенное между нулем и единицей,, и если точка z описывает область D, внутреннюю по отношению к Е, то и tz, в свою очередь, описывает область, расположенную внутри Ег и следовательно, V(t)t(tz) есть голоморфная функция переменного zr в области D. '
Отсюда следует, что и функция /, (г) является голоморфной внутри звезды Е. Чтобы найти ее разложение в ряд Тейлора вблизи начала координат, достаточно заменить /(tz) ее разложением-:
f(tz) = Oq -f- а,	.-\-ап (te)’-|-...
Для значения z, по модулю меньшего, чем /?, этот ряд оказываете» равномерно сходящимся, когда t изменяется между нулем и единицей.
Следовательно, ряд
V(t)^an(tzy
можно интегрировать почленно, и коэфициент при zn в интеграле есть
1 an\v(t)tadt. о
Итак, находим разложение в ряд Тейлора функции (z)\
fi (*) = aobo + aybyz	+ anbnzn+... ,	(21)
где мы полагаем
1
bn —V (t) tn dt.
о
1
* Достаточно даже предположить, что интеграл J ( ИЦ; j dt имеет смысл. U
§ 340—341 II. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 211
Следовательно, функция f, (z), заданная элементом (21), голоморфна внутри звезды Е функции f(z), задание й элементом (10),
какова бы ни была функция V (t).
Положим, например, /(z) = -——. В нашем случае л„—1, и
звезда Е имеет единственный луч, выходящий из точки z— 1 к -|- оо . Следовательно, мы видим, что функция f(z), заданная элементом
+ оо
п= L
где = J V о
голоморфна во всей плоскости за исключением купюры-|-1...-|-Полагая
=	— ф-3-i, /(г) = (1 -г)—,
снова находим пример Эйлера, причем звезда Е оказывается той же самой, что и в первом примере.
341. Теорема Адамара. Предшествующее предложение было еще обобщено Адамаром * Пусть попрежнему f(z)— аналитическая функция, заданная элементом (10), Е — прямолинейная звезда этой функции, я — любая вершина этой звезды, т. е. ближайшая точка некоторой полупрямой, выходящей из начала О, которой нельзя достигнуты двигаясь по прямолинейному пути. Пусть в то же время «(z)— другая аналитическая функция, заданная разложением в ряд Тейлора:
? (г) = Ьй + b\z +...+ bnzn + ...',	(22)
сходящимся в круге С радиуса R', Е’—прямолинейная'звезда этой новой функции, р — произвольная вершина этой звезды. Сперва исследуем следующий вопрос: пусть Г — какой-либо замкнутый контур, не имеющий двойной точки, окружающий начало и расположенный внутри Е. Если х означает некоторое по-„ х
стоянное число, и точка z описывает контур I, то — описывает при этом некоторый замкнутый контур Г', также окружающий начало координат. Посмотрим, нельзя ли выбрать кривую Г, расположенную внутри Е. таким образом, чтобы соответствующая кривая Г' целиком содержалась внутри Е’. Неограниченной полупрямой, направленной от точки  z = я к бесконечности, преобразо-
X
вание z' — — ставит в соответствие прямолинейный отрезок, соединяющий начало
координат с точкой —. Пусть <§ — неограниченная часть плоскости, внешняя а
по отношению ко всем этим прямолинейным отрезкам. Когда точка z описывает х замкнутую кривую, окружающую начало и расположенную внутри Е, точка — описывает замкнутую кривую Г1 вокруг начала в области <§• Чтобы эта замкнутая кривая Г' была расположена внутри звезды Е, необходимо, чтобы ни одна из точек ~ не попала на какой-либо из лучей звезды Е, и это условие в то же время оказывается достаточным. Если бы это условие не было выполнено, мы бы имели ~ = /$, где я — какая-либо вершина звезды Е, [1—вершина звезды Е' и k — положительное число, большее или равное единице. Следовательно, точка х оказалась бы на одном из лучей звезды £", имеющей вершинами различные точки с аффиксами яр, где я—-любая вершина звезды Е и р—любая вершина/:'.
* Acia maihematica, т. XXH, 1908.
14*
212	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 341
В конечном счете, чтобы возможно было описать контур Г, удовлетворяющий высказанному условию', необходимо и достаточно, чтобы точка х оказалась внутри звезды Е".
Если точка х расположена внутри Е", то, как легко видеть, можно найти бесконечное множество замкнутых кривых Г', окружающих начало координат и расположенных одновременно в области S и внутри Е', и следовательно, бесконечно много кривых Г, удовлетворяющих требуемому условию.
Пусть теперь х—внутренняя точка звезды Е". Определенный интеграл
/(x) = f/(^(^.	(23)
г«
взятый вдоль замкнутого контура Гх, удовлетворяющего требуемому условию и окружающего начало координат, есть голоморфная функция переменного х внутри Е". Действительно, этот интеграл имеет определенное значение для каждой точки х звезды Е", так как, если заменить контур Гл каким-либо другим контуром Гх', удовлетворяющим тому же самому условию, значение интеграла 1(х) не меняется, потому что функция /С2)? голоморфна в области, заключающей эти оба контура. С другой стороны, один и.тот же контур Гх относится и к точке х, и ко всем точкам достаточно малой области, окружающей х. Следовательно, интеграл 1(х) есть голоморфная функция переменного х в окрестности каждой точки х звезды Е". В частности, этот интеграл есть голоморфная функция внутри круга, описанного из начала координат радиусом /?/?'. Если- | х | меньше, чем RR', то можно взять за контуры Г и Г' две окружности с радиусами г <7?, r'<R' и такие, что |х| = гг. Вдоль контура Г обе функции/(г), <р можно разложить в абсолютно и равномерно сходящиеся ряды:
f(z) = а0 + а& 4-.. .-J- anzn +... ,
<р(4)=^4-^4+..-+Ц4) +•••
Произведение /(г)<р ('у)'у разлагается в ряд Лорана в области, заданной
I х I ,. , , п		1
неравенствами < J z | < R, и коэфициент при — в этом разложении равен Z
сумме ряда
|ф(х) = а0&0-|-,а1&1х-|- ... -\-апЬпхв-\-...	(24)
Следовательно, этот ряд, который на основании классических неравенств (§ 284), несомненно, сходится внутри круга радиуса RR', представляется в этой области интегралом
ТьЧарНт)'?'
Г
и потому аналитическая функция, заданная элементом (24), голоморфна внутри звезды Е".
Иначе можно сказать, что аналитическая функция, заданная этим элементом, может иметь в числе своих особых точек лишь те, которые получаются умножением аффиксов особых точек функции f (х) на аффиксы таковых же точек функции <р(х).
Приведенное доказательство позволяет уяснить точный смысл этого утверждения *.
* За подробностями по этому поводу отсылаем к мемуару Адамара, статье Бореля в Bulletin de la SocUte mathimatique de France (т. XXVI, стр. 238) и разного рода обобщениям: Гурвица, Comptes rendus (6 февраля 1899 г.), Пинкерле и дель-Аньола (dell’Agnola), Rendiconti de I'Acad, de Bologne, 1899; Atti dei Lincei, 1899; Atti dell Institute Veneto, 14 мая и 18 июля 1899 г.
§ 342
II. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ
213
342. Теорема Миттаг-Леффлера. Наиболее общий результат, касающийся проблемы аналитического продолжения, был получен Миттаг-Леффлером, доказавшим следующую теорему:
Аналитическая функция f(z), заданная элементом (10), может быть представлена в любой области D, внутренней по отношению к прямолинейной звезде этой функции, равномерно сходящимся рядом полиномов, коэфициенты которых выражаются линейно через коэфициенты ряда (10).
Среди многочисленных доказательств этого предложения наиболее элементарное принадлежит Бор ел ю, показавшему, что теорему Миттаг-Леффлера можно весьма легко получить из интеграла Коши, опираясь на следующее положение, справедливость которого будет установлена впоследствии (§ 392) и которое к тому же доказывается многими способами.
Функция ।---- может быть разложена в равномерно сходящийся
ряд
многочленов в любой области плоскости, расположенной на конечном расстоянии и не имеющей ни одной общей точки с неограниченной частью действительной оси от -(- 1 до -р оо. Пусть
i-- — P»W+ Р1 (*) + • • • + Рп (х) + • •
—одно из таких разложений, сходящееся при условии, что х не принимает действительных значений, больших или равных единице. Общий член этого разложения Рп(х) есть многочлен степени т‘.
Pn{x) = ctSn + clrx+ ...+српхР + ... -j-
стпхт •
Пусть х — любая точка прямолинейной звезды Е функции f(z), заданной элементом (10), и пусть Г—замкнутая кривая, расположенная внутри Е, окружающая точку х и такая, что всякий луч, выходящий из начала, встречает эту кривую в одной и только одной точке. Значение /(х) дается интегралом Коши:
'	2п« )	—х
г
Вместо того, чтобы заменить х разложением по степеням х, мы напишем:
1 _ 1 1
Z — X Z 1 X *
Если точка z описывает кривую Г, то — описывает замкнутый контур Гг? не имеющий ни одной общей точки с разрезом -J-1 • • • + оо. Следовательно, вдоль контура [Г [функцию	можно заменить равномерно сходящимся рядом
X полиномов относительно —: Z
^ = ₽«С7)+₽'(т)+-+р.(7)+--	<25>
и формулу для /(х) можно записать иначе в виде:
/»=sT/-r!{p’(T)+-f'-	(т)+ •••}
г
214	ГЛАЙА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 342-343
Ввиду того, что ряд (25) является равномерно сходящимся на контуре Г, его можно интегрировать почленно, и потому
4- ос
л=0 г
Общий член ряда в правой части этой формулы есть полином относительно х, коэфициенты которого выражаются через посредство коэфициентов а, ряда (10) и коэфициентов срп полинома Рп. Действительно, заменяя Рп[~^ его разложением, находим:
f(z) ’ / ' хД f(z) (	, х	/ х\Р '	/ х\т\
~zPn\T] z J У + • • • +	+	+ Стп (т) / —
----------------с0п 2 Т С1п г2 + • •  I српх zp+i Т  • • ’ и коэфициент при хр в интеграле равен
Срп (fV)dz ) ZP^ ’
г
т. е. српар . Следовательно, если положить
т
QAX) apCprXP, р = 0
то очевидно, что для каждой точки х прямолинейной звезды Е имеем разложение
У(х) = (?0(х)4-(?1(х)+... +<?л(х)+... ,	(26)
которое само оказывается равномерно сходящимся в любой области D, внутренней по отношению к этой звезде*, что и доказывает теорему Миттаг-Леффлера.
Если звезда Е функции у(х) задана a priori, то формула (26) позволяет вычислить значение этой функции в каждой точке этой звезды. Для решения обратной задачи нужно уметь находить область сходимости ряда (26) по данным ко-эфициентам ап. Таким образом эта теорема, несмотря на ее общность, не уменьшает интереса более частных методов предшествующих параграфов.
343. Теорема Пенлеве. Следующая теорема, принадлежащая Пенлеве **, также относится к теории аналитического продолжения.
Пусть (z), y2(z) —две данные функции, голоморфные, соответственно, в областях /Д, £>2, отделенных друг от друга спрямляемой дугой АВ и не имеющих ни одной общей точки кроме их общей границы. Если эти две функции принимают одну и ту же непрерывную последовательность значений вдоль оуги АВ, то у2 (z) есть аналитическое продолжение функции fi(z), когоа переменное z переходит из области Dt в область П2, пересекая дугу АВ.
Действительно, возьмем в области какую-либо дугу АРВ, ограничивающую вместе с дугой В А односвязную область At, целиком расположенную в Dt, и таким же образом в области Z)2 возьмем дугу AQB, ограничивающую вместе с ВА область zAj, заключенную в Д>2. Для определенности мы предположим, что, когда описывают контур АВРА, область At остается слева, и таким же образом, когда
* •Действительно, можно выбрать контур Г, заключающий внутри себя всю эту область D Ряд (25) в таком случае оказывается равномерно сходящимся, когда точка х описывает область D и а — кривую Г.
** »Sut les lignes singulteres des fonctions analytiques“, Annales de la Faeulte de Toulouse, II, 1888.
§ 343	III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ	215
списывают контур AQBA, то остается слева область Д2. Пусть х— любая точка области Aj. Интеграл Коши лает:
дат
• АВ	ВРА
Но, с другой стороны, голоморфна внутри Д2, и потому
0_Д[ Cft(z)dz Г f2(z)dzl
2га I . J z — x J z — x J'
BA	AQB
Складывая и принимая во внимание, что Д =/2 вдоль дуги АВ, находим:
= С -8^-dz,
J1 v ’ 2ra ) z — x
AQB PA
причем g(z) означает функцию, непрерывную вдоль контура, равную Д(г) вдоль дуги ВРА и /2 (z) — вдоль AQB. Такое же выражение, очевидно, можно было бы написать и для /2(х), где х - любая точка области Д2. Но функция
F(x)	*	f
4 ’ 2га	) z — х
AQBPA
голоморфна во всей области Д(-]-Д2, внутренней к контуру интеграции/ Эта функция совпадает сД в области Д( и с /2 в Д2. Отсюда следует, что f2(z) действительно является аналитическим продолжением функции /. (z), когда z пересекает дугу АВ, при переходе из области в область D2 и обратно.
Следствие. Предположим, что какая-либо функция /t(z), голоморфная в области £)(, обращается в'нуль во всех точках спрямляемой дуги АВ, принадлежащей границе этой области. Можно принять за область D2 какую-либо область, внешнюю по отношению к и ограниченную какой-либо замкнутой кривой, в состав которой входит дуга АВ, затем положить /2 = 0. В данцом случае условия теоремы выполнены, и потому/2(z), которая служит аналитическим продолжением функции fi (z), тождественно равна нулю. Следовательно, функция, голоморфная в некоторой области D, не может исчезать во всех точках какой-либо дуги АВ; принадлежащей границе этой области, как бы мала она ни была, не будучи тождественно равной нулю.
III.	ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ.
Изучение эллиптических модулярных функций дало Эрмиту первый пример аналитической функции, определенной только в части плоскости. Вначале казалось, что функции этого вида должны быть рассматриваемы как исключительные, между тем как углубленное изучение аналитического продолжения привело к совершенно противоположному выводу.
Действительно, на основании работ Бореля и Фабри мы в праве заключить, что ряд Тейлора, взятый наудачу, не может быть аналитически продолжен за пределы его круга сходимости. За уяснением точного смысла, какой следует приписать этому утверждению, я отсылаю к мемуарам обоих упомянутых авторов и укажу лишь весьма простой способ составления аналитических функций, имеющих пустым пространством любую область плоскости, при некоторых предположениях весьма общего характера относительно кривой, ограничивающей эту область.
216	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 344
344.	Особые линий. Пустые пространства. Докажем сначала предварительную теорему*. Пусть будут аг, а2, ... , ап, ... и с,', с2, ... , сп, ... два ряда с произвольными членами, из которых второй абсолютно сходящийся и имеет все члены отличными от нуля. Пусть будет С окружность с центром в точке д(1, не содержащая внутри себя ни одной из точек а и проходящая только через одну из этих точек; ряд
+ <5О
',<2)=S«+^	<27)
представляет в круге С голоморфную функцию, которую можно разложить в целый ряд, расположенный по степеням z — z0. Круг сходимости этого ряда есть как раз круг С.
Очевидно, что можно предположить, что z0 = 0, так как, изменяя z в z, + z', мы изменим д, в a.t— z0, а не изменится. Предположим также, что [0-,! = /?, где /? обозначает радиус круга С, и с
! ?> 1. В круге С общий член -—~ можно разложить и этот ряд имеет, как нетрудно видеть, усиливающую занного выше общего разложить в круге С в дывая почленно целые Следовательно, в круге
при
ряд,
в целый
функцию
. Так как ряд J |с-, I — сходящийся, то, на основании дока-
предложения (§ 263), функцию f (г) можно целый ряд, и этот ряд можно получить, скла-ряды, представляющие его различные члены. С мы имеем:
+ <50
В(г) = А0±А^ + А^- + .
(Ю')
+ оо
Возьмем такое целое число р, чтобы |cj было меньше, чем 2~lci I?
4 — л+1
это возможно, так как сА не равно нулю, и ряд ^|сч|— сходящийся. Выбрав числор таким образом, мы можем положить /7(г) = /:'1 (г)-|- B2(z), где
+ <50
\Д с.
i/я	к	Uj
. ^-2
а —г
(г) есть рациональная функция, все полюсы которой лежат вне круга С; следовательно, в круге С1 с радиусом	ее можно раз-
ложить в целый ряд. Что касается f2 (z), то мы имеем:
F2(z) = B0+B1z+...+Bnz"+ ... ,	(28)
* Пуанкаре (Роисагё), Acta Socle tat is Fennicae, т. XIII, 1831; Г у р с a, Bulletin des Scien ces matMmatiques, 2-я серия, т. XI, стр. 119 и т. XVII, стр. 2i7.
§ 34,4
III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ
213’
где
= _5_ ।	। ср^ ,
°? + 1 4W +1	(“р+2)Л + 1
Этот коэфициент можно представить иначе в виде:
£1 ai
и модуль суммы
Но, по предположению,
+ ОО
,=/>+1
вследствие указанного выше выбора числа р меньше, чем j |. Следо-
вательно,
модуль коэфициента Вп заключается
МеЖДУ
и модуль общего члена ряда (28)
заключается
между
Е11
27?
'z
3ICJ 27?
следовательно, этот ряд
сходящийся, если!
3 ,
п и
7
- -1
*1
| г | < /?. Очевидно, что, складывая ряд F2 (z), сходящийся в круге с ра
диусом, равным R, с рядом FT (z>, сходящимся в круге с радиусом,, равным R1 /?, мы получим ряд F{z), у которого круг С с радиусом,.
равным /?, будет кругом сходимости; таким образом, теорема доказана.
Пусть будет теперь L кривая, замкнутая или разомкнутая, имеющая. -в каждо/i точке определенный радиус кривизны. Предположим,, что ряд 21 С, | — абсолютно сходящийся, и точки последовательности а1? а2, ... , а,,... все лежат на кривой L и распределены на ней таким образом, что на каждой конечной дуге кривой /. всегда есть бесконечное множество точек этой последовательности. Легко видеть,
что ряд
+ОО
V=1
(29)
— сходящийся во всякой точке z0, не лежащей на кривой L, и представляет функцию, голоморфную в области этой точки; чтобы в этом убедиться, достаточно было бы повторить первую часть предыдущего доказательства, взяв за круг С любой круг с центром в точке z0, не содержащий ни одной из точек аГ Если кривая L незамкнутая и не имеет двойных точек, то ряд (29 > представляет функцию, голоморфную во всей плоскости кроме точек кривой L. Мы еще не можем заключить отсюда, что кривая L есть особая линия; для этого необходимо^ кроме того, убедиться, что анагитическое продолжение функции F\z) невозможно ни через какую часть линии L, как бы мала эта часть ни
218	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 344-345
была. Для этого достаточно показать, что круг сходимости целого ряда, представляющего функцию F(z) в области какой-нибудь точки z0, не лежащей на L, никогда не может содержать дуги этой линии, - как бы мала она ни была. В самом деле, предположим, что круг С с центром в точке z0 содержит дугу ajj линии L.' Возьмем на этой дуге сф точку at и на нормали в а[ к этой дуге рассмотрим точку z1, настолько близкую к точке az, чтобы круг С;, описанный из точки z1 радиусом, равным \ z' — а;|, весь лежал внутри круга С* и не имел другой общей точки с дугою aji кроме самой точки at. На основании только что доказанной теоремы круг С; есть круг сходимости целого ряда, пред-ставляющего F(z} в области точки z'; но это находится в противоречии с общими свойствами целых рядов, так как этот круг сходимости не может быть меньше круга с центром в точке z', касающегося изнутри круга С.
Если линия /. — замкнутая, то ряд (29) представляет две функции, .аналитически различные, из которых одна существует только в области А, лежащей внутри линии L, и для которой часть плоскости, лежащая вне этой линии, есть пустое пространство; напротив, другая функция существует только вне линии L и имеет пустым пространством внутреннюю область. В этом случае линия L называется существенным разрезом для каждой из этих функций.
Если даны несколько линий, замкнутых или разомкнутых, Л-,, L2, ... , Lp, то указанным приемом можно составить ряды вида (29), каждый из которых имеет одну из этих линий существенным разрезом; •сумма этих рядов имеет существенными разрезами все эти линии.
345.	Примеры. Пусть будут АВ прямолинейный отрезок, и a, j) — аффиксы
его концов А, В. Все точки -у = —	, где т и п — целые положительные
' т + п , .
числа, изменяющиеся от 1 до 4- оо, лежат на отрезке АВ; На каждой конечной части этого отрезка всегда есть бесконечное множество точек -у, так как точка -у делит отрезок АВ в отношении —. С другой стороны, пусть будет Cm,n общий член абсолютно сходящегося двойного ряда. Двойной ряд
т п
вляет аналитическую функцию, имеющую отрезок АВ существенным разрезом. В самом деле, этот двойной ряд можно преобразовать бесконечным множеством Способов в простой ряд. Очевидно, что, складыдая несколько рядов этого вида, можно составить аналитическую функцию, имеющую пустым пространством любой многоугольник.
Вот другой пример, где линия L есть окружность. Пусть будет а иррациональное положительное число, v — положительное целое число. Положим
а = е^‘™, а^ = а< =	.
Все точки а.а различны и лежат на окружности С, описанной из начала координат радиусом, равным единице. Сверх того, известно, что можно найти два таких щелых числа т и п, чтобы разность 2г. (па — т) по абсолютному значению была меньше любого заданного положительного числа е (§ 317, примечание). Следовательно, есть такие степени числа а, аргумент которых сколь угодно близок
§ 345
III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ
219
к нулю, и следовательно, на всякой конечной дуге окружности всегда находится
бесконечное множество точек а>. Положим, далее,
а*
с, = 2^-; по общей теореме ряд
+оо
V = 1
представляет функцию, голоморфную в круге С,' имеющую пустым пространством всю часть плоскости, лежащую вне этого круга. Разлагая каждый член по степеням переменного z, мы получим для F (z) разложение в целый ряд:
F(z)=1 + 2^T1 + 2^1 + -"+	(30).
Нетрудно убедиться непосредственно, что функция, представляемая этим целым рядом, не мож.т быть аналитически продолжена за круг С. В самом деле, , 1
прибавляя ряд j-— , получим:
^г) + 14т = 2 + г(Й + !) + +«-(2^ + 1) + ...=2^). (ИЛИ
/^ = ±/« + ±1-2-.
Изменяя в этом соотношении z в az, потом в a?z, ...» мы будем иметь общее соотношение:
/7(аЛг) = 2^/;'(г)+2Г(Г2Г7) + 2^Т(’1 — az) +	+ 2(1 — а«-*г) ’	(31)
отсюда видно, что разность 2п F (a^z) — F (z) есть рациональная функция у (z), , 1 1 имеющая п полюсов первого порядка 1, —,
Формула (31) доказана при условиях | z | < 1, | а | — 1. Если аргумент количества а соизмерим с п, то из формулы (31) следует, что F (z) есть рациональная функция; чтобы в этом убедиться, достаточно взять для п такое целое число, чтобы было ап — 1. Если же аргумент количества а несоизмерим с п, то функция F (z) не может быть голоморфною ни на какой конечной дуге АВ окружности, как бы эта дуга ни была мала. В самом деле, пусть будут а~Р и ап~Р точки, лежащие на дуге АВ (п > р). Выбран числа п и р таким образом, будем приближать z к а~Р\ тогда anz будет стремиться к ап-р, и обе функции F(z) и F(anz) должны были бы стремиться к конечным пределам. Но из соотношения (31) видно, что это невозможно, так как функция <p(z) имеет полюс а-Р.
Как показал Адамар, аналогичный прием применим к ряду, рассмотренному Вейерштрассом:
F(z) = ^bnza\	(32)
где а — положительное целое число, и b — постоянное, модуль которого меньше •единицы. Этот ряд — сходящийся, если | z j не превосходит единицы, и расходящийся, если | z | > 1. Следовательно, круг С с. радиусом, равным единице, есть круг сходимости. Окружность С есть существенный разрез функции F (z). В самом деле, предположим, что на какой-нибудь конечной дуге аЗ окружности нет ни одной особой точки этой функции. Заменим в F(z) переменное z через ze ch , где k и h — положительные целые числа, а с —делитель числа а; начиная с члена < указателем /г, все члены ряда (32) останутся без изменения; значит, разность
220	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 346
f(z)—F(zec>l) есть многочлен. Следорательцо, функция F(z) не имела бы также особой точки на дуге a$k, которую получим, повернув дугу aji вокруг на-
2Лп „	.	,	, . 2т: ,
чала координат на угол . Возьмем л настолько большим, чтобы было меньше дуги af. Положим последовательно: k=l, 2, ... , ch\ ясно, что дуги а2{Ц, . . вполне покроют окружность. Следовательно, функция F(z) не имела бы ни одной особой точки на всей окружности, что невозможно (§ 335).
Этот пример представляет интересную особенность; -ряд (32) — абсолютно и равномерно сходящийся вдоль окружности С. Следовательно, он представляет на этой окружности непрерывную функцию аргумента в* *.
346.	Особенности аналитических выражений. Всякое аналитическое выражение, например ряд, члены которого суть функции переменного г, или определенный интеграл, в который это переменное входит как параметр, представляет при некоторых условиях функцию, голоморфную вблизи каждого 'значения переменного z, при котором она имеет смысл. Если множество этих значений переменного z вполне покрывает связную часть плоскости Л, то рассматриваемое выражение представляет функцию, голоморфную в этой области' А. Но если совокупность этих значений переменного z образует две или несколько ’различных отдельных областей, то может случиться, что рассматриваемое аналитическое выражение представляет, в, этих различйых областях совершенно различные функции. Мы уже встретили пример этого в § 289. В самом деле, мы видели, как можно составить ряд с рациональными членами, сходящийся в двух криволинейных треугольниках PQR, P'Q'R' (черт. 57 ), сумма которого равна голоморфной'функции f (z) в треугольнике PQR и нулю в треугольнике P'Q'R'. Складывая два таких ряда, мы получим ряд с рациональными членами, сумма которого равна функции f(z) в треугольнике PQR и другой совершенно произвольной голоморфной функции ф(г) в треугольнике P'Q'R'. Так как эти две функции f(z) и <р(д) произвольны, то ясно, что сумма ряда в треугольнике P'Q1 R' не имеет, вообще, никакого отношения к аналитическому продолжению суммы этого ряда в треугольнике PQR.
Вот еще весьма простой пример, аналогичный примеру, указанному
1 — zn
Шредером (Schroder) и Таннри (Tannery). Выражение ..........р - , где и —
1 “г z
°°
* Фредгольм (Fredholm) доказал также, что сумма ряда anzn'’ где а — положительное ко-и
личество, меньшее единицы, не может быть продолжена за круг сходимости (Comptes rendus, 24 марта 1890). Этот пример приводит к следствию, которое стоит отметить. На окружности с радиусом, равным единице, ряд—сходящийся, и его сумма
F(0) = S en[cos(n'0)4- I sinJn’O))
есть непрерывная функция аргумента 6, имеющая бесконечное множество производных. Однако эту функцию нельзя разложить в ряд Тейлора ни в одном промежутке, как бы мал он ни был. В самом деле, предположим, что в лромежутке (б0 — а, 60-]-а) мы имеем:
F (6) = До + Д( (6 - е0) + .,, + Дп (б - б0)" +.,.
Ряд, стоящий в правой части, представляет функцию комплексного переменного 6, голоморфную в круге с, описанном радиусом, равным а, из точки 60. Соотношение преобразует круг с в некоторую замкнутую область Д плоскости переменного г, содержащую дугу ? окружности с радиусом, равным единице, заключающуюся между точками с аргументами 60—а и б0-]-а. Следовательно, в этой области А существовала бы голоморфная функция от z, совпадающая вдоль дуги f с суммою ряда £ ля«П2, что невозможно, так как нельзя продолжить сумму этого ряда за круг.
§ 346—347 III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ
221
неограниченно возрастающее положительное целое число, имеет пределом -4-1, если | z | <f 1, и —1, если | z [ 1. Если | z | = 1, то это выражение не имеет предела кроме как при z—1. Но сумма п первых членов ряда
равна предыдущему выражению. Следовательно, этот ряд сходящийся, если |z| отлично от единицы; он представляет 1 внутри круга С, описанного из начала координат радиусом, равным единице, и — 1 вне этого круга. Пусть будут теперь f(z) и y(z) произвольные аналитические функции, например целые функции; выражение
Ф (*) = 4 [/(г) + <?	+ 4 (2) [/(z) - ср (г)]
равно /(г) внутри Си ср (г) вне С. Окружность С есть для этого вы
ражения разрез, но он совершенно отличен от существенных разрезов, о которых говорилось выше. Функция, равная ф (z) внутри С, может быть аналитически продолжена вне этого круга, и точно так же, функция, равная ф (z) вне С, может быть аналитически продолжена внутрь С.
Аналогичные особенности имеют место для функций, представляемых определенными интегралами. Самый простой пример представляет инте
грал Коши. Если /(z) есть функция, голоморфная внутри некоторого
Т,	If /(z) t/Z
замкнутого контура 1 и на самом этом контуре, то интеграл . I — — 2ш 2 ~ X
Г
представляет /(х), если точка х лежит внутри Г; тот же интеграл равен нулю, если точка х лежит вне контура Г, так как в этом случае у(2)
функция ------ голоморфна внутри контура Г; здесь также линия Г
есть несущественный разрез для определенного интеграла. Опредеаен-2.1 Г* / - - к \
ный интеграл I ctg I—-—1 dx имеет разрезом действительную ось; он
о
равен —2тт/ или —2 щ' в зависимости от того, лежит ли точка х над этим разрезом или под ним (§ 296;.
347.	Формула Эрмита. К тому же кругу идей примыкает интересный результат, принадлежащий Эрмиту*. Пусть будут F(t, z), G(t, z) голоморфные функции двух переменных t и z, например многочлены или целые ряды, сходящиеся при всех значениях этих двух переменных. Определенный интеграл
•♦w-foH*	<33>
а
взятый вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки а и р, представляет, как мы это докажем ниже (§ 352), функцию от z, голоморфную при всех значениях z кроме тех значений, которые суть корни уравнения G(t, z) =. О, где t
•Эрм и т (Hermite), Sur qutlques points de la thdorie des fonctions, Crelic's Journal, t. 91.
222	ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 347
Черт. 76.
есть аффикс какой-нибудь точки, взятой на отрезке ар. Таким образом это уравнение определяет конечное или бесконечное число линий, для которых интеграл Ф(г) перестает существовать. Пусть будет АВ одна из этих линий, не имеющая двойных точек. Чтобы иметь дело с вполне определенным случаем, предположим» что, когда t описывает отрезок ар, один из корней уравнения G(t, z) описывает дугу АВ, а все остальные корни того же уравнения, если они существуют, остаются вне надлежащим образом выбранного замкнутого контура, окружающего .дугу АВ, тдк что между точками отрезка ар и точками дуги АВ существует взаимно однозначное соответствие. Интеграл (33) не имеет смысла, если z приходит на дугу АВ~, вычислим разность значений функции Ф (z) в двух точках N, лежащих по обе стороны этой
а
близких к точке М линии
АВ и
АГ', бесконечно
линии. Пусть будут С, С 4 е, С 4 е', соответственно, аффиксы трех точек М, N, N'. В силу соотношения G(t, z)=0 этим трем точкам соответствуют на плоскости переменного t точка т, лежащая на дуге ар, и две бесконечно близких точки и, i п', лежащих по обе стороны дуги ар; пусть будут 0, 0 4 т;, 0 -+-соответствующие этим точкам значения переменного t. Возьмем в области отрезка ар точку у, настолько близкую к ар, чтобы внутри треугольника ару (черт, 76) уравнение G(t, С-+-е) не имело другого корня кроме f = 9-|-i). Следовательно, внутри треугольника ар-' функция	0 имеет только ОДИН полюс 9 4 т,, и, на осно-
вании сделанных предположений, этот полюс — простой. Следовательно, применяя теорему Коши, мы имеем соотношение:
г	(34)
J G(t, С 4-е) J G (t, t 4- e) J G(t, C-t-e) G/(9 4 r;, C-f-e)
3
Оба интеграла \, того же вида, как Ф (z); они представляют, соответственно, ? 1
две функции Ф| (z), Фа (г), которые голоморфны, пока переменное не лежит на некоторых разрезах. Пусть будут АС и ВС разрезы, соответствующие отрезкам a-f и р-' плоскости переменного t и бесконечно близкие к разрезу АВ интеграла Ф (z). Дадим теперь переменному z значение С 4 Е'; соответствующее значение переменного t есть 0 4*1 > представляемое точкою п, и функция C4I') пеРе~ менного t голоморфна внутри треугольника ару Следовательно, мы имеем соотношение:
f
JG(U4E)	JG(U4E)	jG(f, C + e')
’	3	7
вычитая почленно формулы (34) и (35), мы можем представить полученное соотношение в виде:
Ф (С 4 г) - Ф (С 4 е') 4 [Ф1 (С + е) - Ф1 (С + *')] + [Ф2 G + 0 - Ф2 С + *')!= _2. г(9+^ с + о
~	0/(04 г»: 4 е)"
Но функции Ф] (г) и Ф2(г), не имея линию АВ разрезом, голоморфны в области точки Z—C и, приближая е и е' к нулю, мы получим в пределе разность
(35)
§ 347	III. ПУСТЫЕ ПРОСТРАНСТВА. РАЗРЕЗЫ	223-
значений Ф (г) в двух бесконечно близких точках, лежащих по обе стороны линии АВ. Этот результат можно представить сокращенно в виде:
Ф (А) — Ф (N') г=	;	(36)
это — формула' Эрмита. Мы видим, что она имеет простую связь с теоремою Коши*. Из доказательства вполне ясно, как надо брать точки N и А'; точка А (С + е) должна быть взята так, чтобы для наблюдателя, описывающего отрезок <ф, соответствующая точка 6 -|- rj «оставалась слева.
Следует Заметить, что линия АВ не есть существенный разрез для функции Ф(г). На основании формулы (18) в области точки N' можно заменить Ф (z) через —[Ф, (z) -+- Ф2 (z)]; но сумма Ф, (z)Ф2 (z) голоморфна в криволинейном треугольнике АСВ и на самой линии АВ, а также в области точки N'. Следовательно, можно перемещать переменное z так, чтобы оно пересекло линию АВ в любой точке М этого пути, отличной от конечных точек А и В, и не встретить-никакого препятствия для аналитического продолжения. Очевидно, что то же самое имело бы место, если бы переменное z пересекало линии АВ, перемещаясь в противоположном направлении.
Пример. Рассмотрим интеграл
=	(37>
а
взятый вдоль отрезка АВ действительной оси, где /(t) есть функция, голоморфная вдоль отрезка АВ. Изобразим z, на той же плоскости, как и t. Функция Ф(г)-переменного z голоморфна вблизи всякой точки, не лежащей на самом отрезке АВ,. который служит разрезом для интеграла. Разность Ф(Л) — Ф(А') здесь равна ± 2ra f(Q, где С есть точка отрезка АВ. Когда переменное z пересекает линию АВ,. аналитическое продолжение функции Ф (z) есть Ф (z) zt 2r.z/(z).
Этот пример дает повод к следующему важному замечанию. Функция Ф (z) переменного z будет также голоморфною, если f(t) и не есть аналитическая функция переменного t‘ надо только, чтобы f(t) была непрерывной между а и {!• (§ 284). Но в этом случае предыдущие рассуждения более не применимы, и отрезок АВ есть; вообще, существенный разрез для функции Ф(г). Пусть С означает действительное число, заключенное между а и р (см. § 284). Разность
Ф(С + /г)]-Ф(:-/е), где е положительно и бесконечно мало, уже нельзя вычислять при посредстве-теоремы о вычетах, потому что функция f(t) не есть аналитическая. Эту разность можно записать в виде:
ф с+ч - ф к - ч=рю	" = У -
а	а
или также
3	3
С _2?/(0_ dt, Г?? l/(O-/(QJ dt
J (/_Q2 + e2nt + J а	а
'	Г	/ t — C VI p
Первый из этих двух интегралов равен 21/(Q arc tg (----- 1 и при
- L	« £ J .1 а
приближении е к нулю имеет пределом 2ra/(Q, что же касается второго интеграла, то его можно разбить на три интеграла, взятых, соответственно, в пределах от я до С — й, от С — h до С + h и от С + h до {!, причем h — весьма малое положительное число. Если т; означает максимум функции |/(t)—/(С)| в интервале (С — й, С й), то, на основании предшествующего вычисления, модуль вто-
* Г у р с a (Goursat), Sur un Нгёогёте de М. Hermit, Hsia mathematica, г. I.
‘224	ГЛАВА XVI, АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ‘	§ 347
-рого интеграла оказывается меньшим 2ст), что же касается первого и третьего интегралов, то они стремятся к нулю вместе с е, и модуль суммы этих трех интегралов может быть сделан меньшим всякого данного положительного числа. ’Следовательно, мы имеем также после перехода к пределу *:
1Гт [Ф (С + А) — Ф (С - й)] = 2ir.f(q.
УПРАЖНЕНИЯ.
z dt
1.	Найти линии разрыва определенных интегралрв:
ь
Г dt
) 1+22{2’	| t IZ ’
0	а
.взятых вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки (0, 1) или (а, Ь); установить точно значение этих интегралов во всякой точке z, не лежащей на разрезах.
2.	Даны четыре круга, описанных, соответственно, из точек 4- 1, -+-I, —1,
— i радиусом, равным—Пространство, лежащее вне этих четырех кругов, /2
состоит из конечной области At, содержащей начало координат, и из бесконечной области А2. Пользуясь методом § 289, составить ряд рациональных функций, •сходящийся в этих областях, сумма которого равна -1-1 в А{ и равна нулю в А2. Проверить результат, вычислив сумму полученного ряда.
3.	Решить те же вопросы, рассматривая две области, лежащие внутри круга, Описанного из начал% координат радиусом, равным- 2, и вне кругов, описанных, •соответственно, из точек + 1 и — 1 радиусом, равным 1.
[Аппель, Acta mathematica, т. I.]
4. Определенный интеграл
+ oo
. , . f ta sin z ~ J FT2t cos z dt’ 0
.взятый вдоль действительной оси, имеет разрезами прямые (2й + 1)". где k — щелое Число. Пусть будет С = (2А-f-l)it 4-й точка, лежащая на одном из этих •разрезов. Разность значений интеграла в двух точках, бесконечно близких к точке С и лежащих по обе стороны разреза, равна — е~^).
[Эрмит, Crelle's Journal, т. 91.]
5*. Определенные интегралы + oo
J= I e‘“^dt, J t—Z.
— oo
I eit t — z — oo + oo
—oo
Г e~tl^dt .
J t — 2
ОО
имеют в плоскости переменного z разрез вдоль действительной оси. Над этою
•осью мы имеем J= 2й, J„ = 0, а под осью J = 0, Jo = — 2m. Вывести из этих формул значение определенных интегралов:
+ ОО
dt,
— ОС
+ ос
С sl^^dt.
' J	t — z
—оо
[Эрмит, Crelle's Journal, т. 91.]
* См. Р 1 е tn е I j, Mpnaishefte fiir Mathematik и nd Pfiysik, T. XIX, 1908, стр. 205.
УПРАЖНЕНИЯ
225
6*. Пользуясь разрезами, вывести формулу (глава XIV, упражнение 15):
+ ОО
f eat dt = г-
J 1 -t- el sin ar.' — oo
[Эрмит, Crelle’s Journal, t. 91.]
+ oo
rr>	ж / \ f e<>U+z)
[Рассмотреть интеграл Ф(г)— I j—~dt, имеющий разрезами все - oo
прямые у = (2k +1) к и остающийся постоянным в полосе, заключающейся между двумя последовательными разрезами, затем, вывести соотношение:
Ф (z + 2zn) = Ф (z) -|~ 21г.е’-та, ф (z -|- 2й) = еР^а Ф (z),
где z и z { 21г. — точки, разделенные разрезом у — к.]
ГЛАВА XVIL
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА. .
В этой главе мы будем изучать аналитические функции нескольких независимых комплексных переменных. Чтобы упростить изложение и формулы, мы ограничимся случаем только двух переменных; но нет никакой трудности распространить найденные общие свойства и на функции любого числа переменных.
348. Определения. Пусть будут z~u-[- iv, z' — <№-{-it два независимых комплексных переменных; всякое другое комплексное количество Z, значение которого зависит от значений количеств z и г', может быть названо функцией) двух переменных z и г'. Представим значения обоих переменных z и г' двумя точками с координатами (и, v), (w, t) относительно двух систем прямоугольных осей, лежащих в плоскостях Р, Р'; пусть будут А и А' какие-нибудь части этих двух плоскостей. Функция Z=f{z, z') называется голоморфною в областях А и Д', если всякой системе двух точек, взятых, соответственно, в областях А и А', соответствует вполне определенное значение функции /(г, г'), изменяющееся непрерывно вместе с г и г', и если каждое из отношений
/(г4-A, z')—/(z, г') f(z, г'4-А)—/(г, h	’	k
стремится к определенному пределу, когда при постоянных z и г' модули количеств h и k стремятся к нулю. Эти пределы суть частные производные от функции /(г, г'); их обозначают так же, как и в случае действительных переменных.
Отделим в f(z, z') действительную часть и коэфициент при i: f(z, z') = X 4- IY', X и Y суть действительные функции четырех действительных независимых переменных и, v, w, /, удовлетворяющие четырем соотношениям:
дАГ-дК d^___dK dAf_dr _______________________
d« ЙУ du du ’ dw ~bt ' 1)t dw ’
смысл которых очевиден*. Переходя к производным второго порядка,
♦ Если z и г' суть аналитические функции некоторого другого переменного xt то, пользуясь этими соотношениями, нетрудно доказать, что производная от / (z, z') по х получается по обычному правилу днференцировання сложной функции. Следовательно, формулы днференцяального исчисления и, в частности, формулы замены переменных распространяются и на аналитические функции комплексных'Переменных.
§ 348—349	I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА	227
можно исключить Y шестью, различными способами, но шесть получающихся соотношений сводятся только к четырем:
0. *£ + **=о, ^+^-0 "+^_о (1)
<Щ<)/ dvdw dudw'	~dU2 ~ й^2 ЙШ2 ~ й/2	‘ 1 7
Большое число этих соотношений служит простым объяснением того, почему до сих пор ими мало пользовались при изучении аналитических функций двух переменных,
349. Совместные круги сходимости. Свойства целых рядов с..двумя действительными переменными (т. I, § 181 — 183) легко распространить на тот случай, когда коэфициенты и переменные имеют комплексные значения. Пусть будет
f(z, z,) = '^lamnzmz,a	(2)
двойной ряд с произвольными коэфициентами. Пусть будет
тп i тп 11
мы видели (т. I, § 181), что существует, вообще, бесконечное множество систем двух таких положительных чисел /?, 7?', что ряд модулей
S^z-z"'	(3)
— сходящийся, если одновременно Z<^7? и Z'<^7<', и расходящийся, если Z>R и	Пусть будет С круг, описанный в плоскости
ш
Черт. 77.
переменного z из начала координат радиусом, равным /?; точно так же. пусть будет С' круг, описанный в плоскости переменного z' из точки z' = 0 радиусом, равным R' (черт. 77). Двойной ряд (2) — абсолютно сходящийся, если переменные z, z' остаются, соответственно, внутри кругов С, С', и расходящийся, если эти переменные находятся, соответственно, вне этих двух кругов (т. I, § 182). Круги С и С' называются совместными кругами сходимости. Эта пара кругов играет здесь ту же роль, как круг сходимости для целого ряда с одним переменным; 15*
22а
ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 349
но вместо одного круга для целого ряда с двумя переменными существует бесконечное множество пар совместных кругов. Например, ряд
zmz'a абсолютно сходящийся, если I z I -4- I z' I <" 1, и притом mini	1
только в этом случае. Всякая пара кругов С, Сг, радиусы /?, которых удовлетворяют соотношению	= 1, есть пара совместных
кругов сходймЬсти. В некоторых случаях можно ограничиться рассмо-
трением только одной пары совместных кругов; например, это имеет место для ряда 2 zmz,a, — сходящегося только при. том условии, если одновременно I z | < 1, |гг|<Ь
Пусть будет С, круг, концентрический с С, радиус которого /?3	/?;
точно так же пусть будет С/ круг, концентрический с С, радиус которого	Если переменные z и z' остаются, соответственно, вну-
три кругов Cj и Сг', то ряд (2) — равномерно сходящийся (см. т. I, § 182); следовательно, внутри обоих кругов С и С его сумма есть непрерывная функция F(z, z') двух переменных z и /.
ДифереНцируя почленно ряд (2), например относительно переменного 2, мы получим новый ряд 2marnKzm^1z'1',—также абсолютно сходящийся, если z и z' остаются, соответственно, в кругах С и С, и его
сумма равна производной — от F(z, z1) по z. Доказательство совер-dz
шенно. такое же, какое было дано для действительных переменных
(т. I, § 182). Точно так же, F(z, z') имеет частную производную —-у vZ
по а', представляемую двойным рядом, который получим, диференци-руя почленно ряд (2) относительно г'. Это показывает, что в рассматриваемой области функция F{z, z') есть аналитическая функция двух переменных z и г1. Очевидно, что то же самое имеет место и для про-
*F изводных -— , йг
й^ йг'
; следовательно, функцию F(z, z') можно
диференци-
ровать почленно любое число раз; все ее частные производные суть также аналитические функции.
Возьмем внутри круга С какую-нибудь точку z с модулем г и опишем из этой точки круг с радиусом, равным 7? — г, касающийся изнутри круга С. Точно так же пусть будут z' какая-нибудь точка с модулем r'<^R! и с'—круг, описанный из точки z' радиусом, равным R'— F. Наконец, пусть будут г-|-Л и z' -\-k две какие-нибудь точки, взятые, соответственно, в кругах с и с\ так что
|г| + !Л|<Я,
Заменив в ряде (2), переменные z и г* через z-\-h и z'-^-k, мы можем разложить каждый его член в ряд, расположенный по степеням h и k\ полученный таким образом кратный ряд — абсолютно сходящийся. Располагая этот ряд по степеням Л и k, мы получим< формулу Тейлора:
йт+пГ
F\z + h-z’-}-k}=^
ЪгтЪг,п
1-2...nhmkn'
(4)
§ 350
J. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
229
350, Двойные интегралы. Распространяя на функции многих ком* плексных переменных общие теоремы Коши, выведенные им из рассмО-
трения интегралов, взятых между мнимыми пределами, мы встречаемся с трудностями, которые были вполне выяснены Пуанкаре*. Мы рассмотрим здесь только один весьма простой частный случай, который нам будет
достаточен для последующего. Пусть будет /(z, ?') функция голоморфная, когда переменные г, / остаются, соответственно, в некоторых областях А, А' (черт. 78). Рассмотрим линию ab, лежащую в области А, и линию а'Ь', лежащую в обла-
сти А'. Разобьем произвольным числом точек деления каждую из этих линий на меньшие дуги; обозначим через z0, zv z2, ... , zk_y, zk, ..., Z точки деления дуги ab, где z0 и Z совпадают с а и b, и через z0', г/, z2, ... , zA'_v г/,	, z^_v Z*— точкй деления дуги a'b', при-
чем z0' и Z' совпадают с а' и Ь'. Двойная сумма
п т
$	Zh~l)(zk zk-f)(zh Zh~'^
*=1Л=1
стремится к некоторому пределу, если оба числа т и п неограниченно возрастают так, что все модули |гЛ—zk_1 | и | zh' — zh'^J\ стремятся к нулю. Пусть будет /(а, г') = Л -j- гУ, где X и У—действительные функции четырех переменных и, v, w, t; положим еще zk = Zf,' = -у ith . Мы можем представить общий член суммы 5 в виде:
th_A)^-iy(uk_., vk_y wh_^, <А_3)]Х
X [uk — uk_x + i (Vk—vk_j\ [wh —	-j- i
выполнив указанные умножения, мы получим восемь отдельных произведений. Докажем, например, что сумма частичных произведений
п т
^-1’’ WA-1> *Л-1)	(6>
А = 1 Л=1
стремится к некоторому пределу. Предположим, как это имеет место на чертеже, что прямая, параллельная оси Oj, пересекает кривую ab только в одной точке, и точно так же, прямая, параллельная оси Ot, пересекает кривую а'Ь' не более чем в одной точке. Пусть будут v = if (и), t — ф (w) уравнения этих двух кривых; и0 и U — границы, между которыми изменяется переменное и, a и U7—границы, между которыми изменяется переменное w. Заменяя в X переменные v и t, соот-
* Пуанкаре (Рошсагё), Sur les rSsidus des int6grales doubles, Ada mathematica, т. IX.
230	ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ	§ 350
ветствОнно, через ср (и) и ф(та), мы получим непрерывную функцию Р(«, ^переменных и и w, и сумма (6) принимает вид:
л m
— Uk-№h~ WA-1)-	(6')
Л=1Л=1
При неограниченном возрастании т и п эта сумма имеет пределом двойной интеграл	^>}dudw, распространенный на прямоуголь-
ник, ограниченный прямыми и = и0, u = U, vd — iUq, rw=W. Этот двойной интеграл можно представить иначе в виде:
и	w
J du j Р(и, n))dw, и,	Чв,
или, вводя крйволинейные интегралы,
J du Х(и, v, w, ^dw.	(7)
ab а’Ь’
В последнем выражении и и v обозначают координаты точек дуги ab, a w и t — координаты точек дуги а'Ь'. Предполагая, что точка (и, v) постоянна, будем перемещать точку (w, t) по дуге а'Ь' и вычислим криволинейный интеграл J Xdw, взятый вдоль этой дуги а!Ь'\ в результате получится некоторая функция /? (и, г») от м, v. Затем мы вычисляем криволинейный интеграл J/? (и, v)du, взятый вдоль дуги ab.
Последнее выражение (7), которое мы получили для предела суммы (6), применимо при всяких путях ab и а'Ь'. Для этого достаточно, как мы это уже неоднократно делали, разбить каждую из кривых ab и а'Ь' на дуги настолько малые, чтобы они удовлетворяли надлежащим условиям, сочетать совместно всеми возможными способами части дуги ab с частями дуги а'Ь' и сложить результаты. Поступая так со всеми суммами частичных произведений, аналогичными сумме (6), мы найдем, что 5
равно в пределе сумме восьми двойных гралу (7). Представив эту сумму через венство:
интегралов, аналогичных инте-JJ F(z, z') dzdz', мы имеем ра-
F(z, г') dzdz' —
Ч" du j Ydw — i’ j	dv |	Ydt -|- i j du j X dt	i j	dv j X dw,	(8)
a&	ab arb*	ab a*b*	ab (a',br)
§ 350-351
I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
231
его можно представить сокращенно в виде:
j F(z, z')dzdz' = J (du-j-idv) (XiY)(dwidt), ab	a'b'
или, иначе,
z')dzdz' = j dz F (z, z')dz'.	(9)
ab a1b
Формула (9) вполне сходна с формулою, которою пользуются прй вычислении обыкновенного двойного интеграла, распространенного на площадь прямоугольника, при помощи двух последовательных квадратур (т. I, § 1'13). Сначала вычисляют интеграл j F(z, z')dz\ взятый вдоль дуги а'Ь', предполагая г постоянным: в результате получается некоторая функция Ф (г) от г, которую затем интегрируют вдоль дуги ab. Так как оба пути ab и a’ft’ играют аналогичную роль, то ясно, что порядок интегрирований можно изменить в обратный.
Пусть будет М положительное число, большее модуля функции F(z, г'), когда гиг' описывают дуги ab и а'Ь'; если L и L' обозначают, соответственно, длины этих дуг, то модуль двойного интеграла меньше, чем MLL' (§ 276).
Если один из путей, например а'Ь', образует замкнутую линию, то интеграл	z')dz равен нулю, если функция F(z, г') голоморфна
a'b*
при значениях переменной г', лежащих внутри этой линии, и при значениях переменного г, лежащих на линии aft; следовательно, и двойной интеграл равен также нулю.
351.	Распространение теорем Коши. Пусть будут С и С' две замкнутые линии без двойных точек, лежащие, соответственно, в плоскостях переменных г и z', F(z, z')— функция голоморфная, когда гиг' остаются внутри областей, ограничиваемых этими линиями, и на самих этих линиях. Рассмотрим двойной интеграл:
']az)(z-x}(z' — x')’ с с
где х — точка, лежащая внутри контура С, и х' —точка, лежащая внутри контура С; предположим, что эти оба контура описываются переменными в прямом направлении. Интеграл
С F(z, z')dz?
}(Z-x){2'—x'Y с
где г обозначает постоянную точку, лежащую на контуре С, равен F(z х')
2irt----—Следовательно, мы имеем:
г —х
, .CF(z,x'),
1= 2т \--------dz;
J — х с
232	ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ	§ 351
применяя еще раз теорему Коши, получим:
I — —4п2/?(х,х').
Таким образом мы приходим к формуле
F(x, х') =
1 Г , f F(z,2')dz' 4rt2J j (г — х)(г' —x')’ с с
(10)
вполне аналогичной основной формуле Коши и из которой можно вывести аналогичные следствия. Из нее можно вывести существование частных производных всех порядков от функции F(z, z') в рассматри-д'я+лА
ваемых областях; так, производная - —- равна
in+l,F 1-2 длт дх'п
. от • 1 • 2... п Г Г F(z,2?\dz'
4п2	J z j \z — x)"' + 1(2'---x'}n + 1 '
с с
Чтобы получить формулу Тейлора, предположим, что контуры С и С суть окружности; пусть будут а — центр окружности С и R — ее радиус, b—центр окружности С' и /?'—ее радиус. Если точки х и х' взяты, соответственно, внутри этих окружностей, то |х—a\—r<^R, |х' — Ь\ = г'</?(, и мы можем разложить рациональную дробь
 _______1__г____________________ 1____________________
(Z — х) (z1 — х') [z—a — (х — а)]	— b — (х' — й)]
по степеням разностей х — а и х' — Ь'.
+ оо+оо
1	= V V (х ~ fl)'n (*' — ^)° .
(z —х) (? —х’)	(z — a)/n+i(z' — b)n+1'
ряд, стоящий в правой части,— равномерно сходящийся, если z и г'описывают, соответственно, окружности С и С', так как модуль общего
1 / г \т1 ''
члена равен f I — 1 Ь—f I . Следовательно, можно заменить в фор-
1
муле (10) дробь —---------Pj пРедыдУи1им Рядом и интегрировать по-
лученное выражение почленно. Мы будем иметь:
£)я + 1 •
F(x,.x')==-^-2
те=0 л=о	J jy
Принимая во внимание формулы, получающиеся из (10) и (11) после замены х и х' через а и Ь, мы придем к формуле Тейлора:
Sty”*’/7 (х—о^ — Ьу (]2)
Zjiamibn т\п\ > у f m=0
причем сочетание /п = /г==О при суммировании исключается.
§ 351-352	I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА	233~
Примечание. Коэфгциент атп при (х — а)”(х’Ьу> в предыдущем ряде равен двойному интегралу:
— — fdz С z)dz'____________ •
4tc'J J (z— d)m-*-l(z'—Ь)п+*’
c c
если M есть верхняя граница модуля |F(z, д') I вдоль окружностей С и С, тана основании общего замечания, мы имеем:
. .	1^1 М О О О О'__________
I атп I < Rm+tR'n-n	_ RmR,n•
Следовательно, функция
 М
есть усиливающая для F(x, х’) (т. I, § 183).
352.	Функции, изображаемые в виде определенных интегралов. При изучении некоторых функций их часто выражают через определенные интегралы, где независимое переменное входит под знаком интеграла как-параметр. Мы уже дали для случая действительных переменных достаточные условия, при которых к этим выражениям можно применить-обычную формулу диференцирования (т. I, § 94—96).
Возвратимся к этому вопросу для случая комплексных переменных. Пусть F(t, z)—функция двух переменных t, z, однозначная и непрерывная, когда комплексное переменное z остается в области D, в точ время как переменное t принимает действительные значения, заключенные между двумя пределами а и Ь, или же комплексные значения, представленные точками какой-либо дуги АВ кривой, допускающей в каждой точке-непрерывно вращающуюся касательную или же составленной из конечного числа дуг этого рода. Сверх того, мы предположим, что, когда переменное t принимает определенное значение на дуге ЛВ, F(t, z\ оказывается функцией переменного z, голоморфной в области D. Эти условия, наверное, выполнены, если F(t, z) есть аналитическая функция двух комплексных переменных t и zx голоморфная, когда переменное/ остается в области А, заключающей в себе дугу АВ, а переменное z — в области D, но эти условия являются более общими.
Пусть х—произвольная точка.области D. Определенный интеграл Ф (')= ^Р(*,х) at	(13)
АВ
оказывается, очевидно, однозначной и непрерывной функцией переменного х в этой области. Чтобы убедиться в том, что эта функция является в то же время и аналитической, достаточно показать, что в . каждой точке она имеет единственную производную. Так как F(t, х) есть голоморфная функция переменного х,_ то, на основании формулы Кошиг мы в праве также написать:
« . ,	1 Г ,, f F(t, z)dz
ф х) = —. \dt\ — 7 2ш J J z — х АВ С
234	ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ	§ 352
причем С означает окружность с центром в точке х, расположенную в области D.
Пусть будет х-|-Дх точка, близкая к точке х, лежащая в круге С; мы имеем также:
Ф(х + Дх)=-2^ f dt f	,
1 2ш J J z—x — bx
AB C
:п следовательно, повторяя прежние вычисления (§ 284): Ф(х-|-Дг)—Ф(<)  1 С ?F(t,z)dz 2т J J (z — x)J ab c
F(t,z)dz
Дх
' 2т J J (z — x)2(z— х—Дх) АВ С
Пусть будет М положительное число, большее модуля функции F(t, z), когда переменные t и z описывают, соответственно, линии АВ и С, S—длина дуги АВ, р— модуль количества Дх. Модуль второго интеграла меньше,
чем
_P_ M 2nA>. ?MS
2тг T?2 (/? — p) *	/?(/?— p)’
при неограниченном приближении точки х-|-Дх к к нулю. Следовательно, функция Ф(х) имеет един-
и следовательно, точке х стремится ственную первую производную, представляемую выражением
k ’ 2т J	J (z — х)з
АВ	С
Но мы имеем также (§ 284):
iF____ 1 Г F (t, z) dt
dx 2nZ J (z — x)2
и предыдущую формулу можно представить иначе в виде:
Ф' (х) = \ dt.
J О V
АВ
(14)
Мы пришли к обычной формуле диференцирования под знаком интеграла.
Предыдущее рассуждение неприменимо, если путь интегрирования L простирается в бесконечность. Предположим для определенности, что L есть бесконечная полупрямая, выходящая из точки аа и образующая угол 6 с действительною осью. Мы будем называть интеграл
оо
Ф(х) = j F(t, x)dt
§ 352—353	I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА •	235
равномерно сходящимся, если для всякого положительного числа г существует такое положительное число TV, чтобы при р М было
оо
F(t, х) dt < г,
где бы точка х ни лежала в области А'. Разбивая путь интегрирования на бесконечное множество прямолинейных отрезков, мы докажем, что всякий равномерно сходящийся интеграл равен сумме равномерно сходящегося ряда, члены которого суть интегралы, взятые вдоль соответствующих отрезков бесконечной полупрямой L. Все эти интегралы суть голоморфные функции от х; следовательно, и
<50
J F(t,x)dt «о
также голоморфно (§ 290).
Точно так же можно убедиться, что здесь можно применить обычную формулу диференцирования под знаком интеграла, если только получающийся интеграл
оо
а,
сам равномерно сходящийся.
Если функция F(t, z) обращается в бесконечность при пределе ап пути интегрирования, то интеграл называется равномерно сходящимся в некоторой области, если для всякого положительного числа е можно найти на линии L такую точку а0-|-Гр чт°бы было
ь
J F (t, х) \dt < е,
“о + Т1
где b есть какая-нибудь точка, лежащая на линии L между точками aQ и </0-|-Тр причем это неравенство должно иметь место при всех значениях переменного х, заключающихся в рассматриваемой области. Точно так же прежние заключения сохраняются в том случае, когда один из пределов интеграла обращается в бесконечность, и доказываются таким же способом.
353.	Приложение к функции Г. Определенный интеграл, взятый вдоль действительной оси,
+оо
Г(г) = tt-'e-tdt,	(15)
о
который мы рассматривали только при действительных и положительных значениях переменного z (т. I, § 99), имеет конечное значение, если действительная часть переменного z, которую мы обозначим через SR (z), положительна. В самом
236	ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 353
деле, пусть будет г = х-|-/у; отсюда имеем: |	|Так как при х
положительном интеграл
+ оо j tx-ie-^dt о.
имеет конечное значение, то очевидно, что имеет конечное значение и интеграл (15) (т. I, § 87—88). Этот интеграл — равномерно сходящийся во всей области, определяемой условиями А> Ж (z) .> т), где А и ц —произвольные положительные числа. В самом деле, мы имеем:
1	4-оо
Г (2)= \tz-ie-*dt + \ tz-ie-tdt, о	1
н достаточно показать, что каждый из интегралов, стоящих в правой части, — равномерно сходящийся. Докажем это, например, для второго интеграла. Пусть будет I положительное число, большее единицы; если SR (z) < N, то
4-оо
I
4-оо
I
и можно найти настолько большое положительное число Л, чтобы последний интеграл был меньше всякого положительного числа ,е, еслиЛ. Следовательно, функция Г (z), определяемая интегралом (15), голоморфна во всей области плоскости, лежащей вправо от оси Оу. Эта функция Г(г) удовлетворяет попрежнему соотношению:
Г (z + 1) = z Г (z),	(16)
которое получим, интегрируя по частям, а следовательно, и более'общему соотношению:
T(z-(- n) = z(z+ 1)... (z + л — l)T(z),	(17)
представляющему непосредственное следствие предыдущего.
Пользуясь этим свойством, можно распространить определение функции Г (z) на значения z, действительная часть которых отрицательна. В самом деле, рассмотрим функцию
;ф(г) =______!'(*+*)_______ (18)
z(z+l)...(z4-n-l)’	V 1
где п — целое положительное число. Числитель Г (z-f- п) есть голоморфная функция от z, вполне определенная, если 9i(z)> —л; следовательно, ф(г) есть мероморфная функция, определенная при всех значениях переменного, действительная часть которых больше, чем — л. Но на основании формулы (17) эта функция '}(z) совпадает справа от оси Оу с голоморфною функциею Г(z); следовательно, она тождественна с аналитическим продолжением голоморфной функции T(z) в полосу) заключающуюся между прямыми 9i(z) = 0, 9i(Z) = —й. Так как число л произвольно, то отсюда следует, что существует мероморфная функция, имеющая полюсами первого порядка все точки z = 0, z — — 1, z = f—2,...z — = —и.......которая справа от оси Оу равна интегралу (15). Эту ф^шсцию также
Изображают через Г (z), но ее числовое значение можно вычислять по формуле (15) только в том случае, если SR cz) > 0. Если 3((z)<0, то, чтобы иметь числовое значение этой функции, надо воспользоваться, сверх того, соотношением (17).
Следующее выражение функции Г(г) пригодно при всяком значении переменного z. Пусть будет S(z) целая функция:
4-00	_ _г
S(z) = zn (1+4)* " л = 1
§ 353—354
I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
237
Она имеет нудями полюсы функции Г (z), следовательно, произведение S(z) Г (z) должно быть целою функциею; можно доказать, что эта целая функция равна е~Сг, где С —эйлерово постоянное* (т. I, § 18). Отсюда получаем формулу:
JT«=r(7Ti)=Z'n ('+?)' "	<19>
Л—1
I	’	.
мы видим, что	есть целая трансцендентная функция.
354.	Аналитическое продолжение функции двух переменных. Пусть будет F(z, z’) функция двух переменных z к г', голоморфная, когда эти оба переменные остаются, соответственно, в связных частях А и Аг плоскостей, в которых их представляют. Как и в случае одного переменного (§ 334), можно доказать, что значение этой функции при какой-нибудь системе значений z и z', взятых в областях А и А', определено, если известны значения функции F и всех ее частных производных при значениях z — а, г' =Ь, взятых в тех же областях. Вследствие этого, повидимому; нетрудно распространить на функции двух комплексных переменных понятие аналитического продолжения. Рассмотрим двойной ряд такой, что есть два положительных числа г, Fr обладающих следующим свойством: ряд
Р(2г,/)=2в/яя2г’п/'»
(20)
— сходящийся, если одновременно | z\ < г, |z' | <г*, и расходящийся, если одновременно | zj > г, ,| г' [ > г'. В этом случае предыдущий ряд Определяет функцию F(z, г), голоморфную, если переменные z и г' остаются, соответственно, в кругах С и С' с радиусами, равными г и г; но отсюда мы еще ничего не знаем о том, какова эта функция, если | z | > г или | г' | > г'. Предположим для определенности, что переменное z перемещается по некоторому пути L, идущему из начала ко'ординат в точку Z, лежащую вне круга С, а переменное z' перемещается по некоторому другому пути L', идущему из точки z' = 0 в точку Z', лежащую вне круга С. Пусть будут i и f две точки; взятые, соответственно, на путях L и L’, причем а лежит внутри С, а [3 лежит внутри С'.. Пользуясь рядом (20) и теми рядами, которые получим, диференцируя его любое число раз, мы можем составить новый целый ряд
(21)
абсолютно сходящийся, если | z — а | < г, и | г' — [11 < г/, где г, иг/ —положительные числа, надлежащим Образом выбранные.. Обозначим через окружность, описанную в плоскости переменного z из точки а радиусом, равным rlt и. через С/ — окружность, описанную в плоскости переменного г'' из точки’ f радиусом, равным г/. Если точка находится в части плоскости, общей обоим кругам С и Ct, и точка г' находится в части плоскости, общей обоим кругам С и С/, то сумма ряда (21) тождественна с суммою ряда (20). Если можно выбрать числа г, и г/ так, чтобы круг Ct имел часть, лежащую вне круга С, или круг С/ имел часть, лежащую вне круга С, то мы распространим определение функции F(z, на область, отчасти лежащую вне- первоначальной области. Продолжая те же действия, мы видим,, что. мы можем постепенно расширять область существования функции F(z, z'). Но здесь входит новый существенный элемент.. В самом деле, необходимо принимать во внимание, как переменные перемещаются одно относительно другого по itx соответствующим путям.
Что это обстоятельство является существенным, легко показать на одном, почти банальном, примере. Пусть /(z-|-z')-т аналитическая функция переменного Z — z-f-’Z, имеющая точки разветвления: Если переменные z и г' описывают замкнутые пути С и С, то очевидно, что переменное Z=z + г' также опишет некоторую замкнутую кривую Г, но эта кривая Г будет зависеть от способа,
Эрмит (Hermite), Cours <ГAnalyse, 4 е издание, стр.142.
238	ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 355
каким переменные z и z' описывают свои пути. Легко построить примеры, в которых, если заставить переменные z и z’ описывать пути С и С’ двумя различными способами, то окажется, что соответствующие два пути, описываемые переменным Z, не приводят к одному и тому же концевому значению функцию/^).
Пусть, например, f (z -\-z’)^=Yz Т г' — 3 = У Z— 3; примем начальное значение функции для z=z' = 0 равным zj/З. Предположим, что путь С, описываемый переменным z, состоит из отрезка действительной оси, идущего от точки г —О к точке А с аффиксом z — 2, и из отрезка АО. За контур С мы примем окружность единичного радиуса с центром в точке z'= 1. Вообразим сперва, что точка z описывает отрезок ОА, в то время как z* сохраняет постоянное значение z' = 0, затем, что z’ описывает полную окружность <7, между тем как z остается равным 2, и наконец, что z описывает отрезок АО, причем zr остается равным нулю. Очевидно, что путь Г, описываемый переменным Z= = z-\-z’, будет состоять из отрезка ОА, окружности круга единичного радиуса с центром в критической точке Z = 3 и, наконец, из отрезка АО.Следовательно мы вернемся к исходным значениям со значением для корня — ij/З. Напротив, если z' сперва описывает окружность С, в то время как z остается равным нулю, а затем z последовательно описывает оба отрезка ОА, АО, между тем как zr остается равным нулю, то очевидно, что путь, описываемый переменным Z, не окружает критической точки Z=3, и следовательно, радикал Z— 3 возвращается к своему начальному значению ij/~3.
Природа особейностей аналитических функций многих переменных известна гораздо менее, чем функций только одного переменного. Одна из наиболее значительных трудностей задачи состоит в том, что пары особых точек не являются изолированными *.
II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
355.	Теорема Вейерштрасса. Мы уже установили (т. I, § 184) существование неявных функций, определяемых уравнениями, левая часть которых разлагается в ряд, расположенный по возрастающим положительным степеням двух переменных. Рассуждения, при которых мы предполагали, что переменные и коэфициенты действительны, применимы без изменения в том случае, когда переменные и коэфициенты имеют любые действительные или мнимые значения, если только остаются в силе остальные предположения. Теперь мы докажем более общую теорему, причем сохраним прежние обозначения (т. I, § 184); комплексные переменные мы обозначим через х и у.
Пусть будет F(x, у) функция, голоморфная в области системы значений х— а, _у==£ и такая, что F(a, [}) = 0; предположим, что всегда возможно, что а = [I == 0. Уравнение F(0, _у) = 0 имеет корень О некоторой кратности. В том случае, который мы рассматривали до сих пор, у = 0 было однократным корнем: теперь мы рассмотрим тот случай, когдау==0 есть корень кратности я уравнения F(0, _у) = 0. Располагая по степеням переменного у разложение функции Fix, у) в области точки х—_у = 0, мы получим:
F(x, 3,)=д04-д^4-...4-диу«4-дя+1Г+14- ...,	\22)
* Все, касающееся этого вопроса, можно найти в мемуаре Пуанкаре (Рошсагё) (Acta fnathe-matica, т. XXVI) и в диссертации Кузэна (Cousin) (там же, т. IX) и в сочинен и Осгуда (W.-F. Osgood): „Topics in the Theory of functions of several complex variables", The Madison Colloquium, published by the American Mathematical Society, 1914.
§ 355 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
239»
где коэфициенты At суть целые ряды относительно переменного х, иа которых п первых равны нулю при х=0, тогда как Ал не обращается в нуль при х=0. Пусть будут С и С круги,, описанные, соответственно, в плоскостях переменных х и у из начала координат радиусами, равными У? и /?'. Мы предположим, что функция голоморфна в области, определяемой этими кругами, а также на самих окружностях С и С. Так как Ап не равно нулю при х = .О, то мы можем взять радиус круга С настолько малым, чтобы ни внутри этого-круга, ни на самой окружности С функция Ап не обращалась в нуль. Пусть будет М верхняя граница модуля |F(x, _у)| в вышеуказанной области, и В—нижняя граница |ЛЯ|. По общей теореме Коши мы имеем:
if F(x,jW
F (х, у) — z—. \ -.-
2т I у' — у с1
где х и .у—какие-нибудь точки, взятые в кругах С и С'. Отсюда заключаем, что, каково бы ни было значение переменного х в круге С„ М
модуль коэфициента Ат при ут в формуле (22) меньше, чем .
Мы можем представить F {х, у) в виде:
F(x, J)=/I„y"(14-P-|-Q),	(23)
где
АпУп
71 n
I ^л-1 ’"Г Ап У
Пусть будет р модуль переменного у; мы имеем:
Р
PI/Ц_₽^4-BR,n р 
Я
Этот модуль | Р i будет меньше, чем —
если
р</?'
ВР,п
ВР'п-\-2М '
(24>
С другой стороны, пусть будет ц(г) значение максимума модуля функций Ло, /Ц, ... , An_j при всех значениях переменного х, модуль которых не превосходит числа r<^R. Так как эти п функций равны нулю при х = 0, то pt(r) стремится к нулю вместе с г, и можно взять г настолько малым, чтобы было
(25)

240
ГЛАВА XVIL ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 355
где р — определенное положительное числом Выбрав числа риг так, чтобы они удовлетворяли предыдущим условиям, заменим круг С кругом Сг, ^писанным в плоскости переменного х из точки х — 0 радиусом, равным г, и круг С кругом СД описанным в плоскости перемен-зого у из точки у = 0 радиусом, равным р. Дадим переменному х такое значение, чтобы было | х [ г, и будем перемещать переменное у по окружности Сиз самого выбора чисел г и р следует, что при этом 11
•будет [Р|<;—, | Q | <Стг > и следовательно, | Р-}" QI 1 • Когда пе-_ ременное у описывает в прямом направлении окружность аргумент количества 1—|—/-*—(- С? возвращается к своему начальному значению, тогда как аргумент множителя Апуп возрастает на 2/т. Следовательно •(§ 300), уравнение F(x< у) = 0, где | х | г, имеет п и только п корней, модуль которых меньше, чем р.
Все остальные корни уравнения F{x, у) = 0, если они существуют, имеют модули бдлыпие, чем р. Так как число р можно заменить сколь угодно малым Числом, меньшим числа р, заменяя в то же время число г меньшим числом, попрежнему удовлетворяющим условию (25), то мы' видим, что уравнение F(x, _у) = 0 имеет ровно п корней, стремящихся к нулю вместе с х.
Если переменное х остается внутри или йа самой окружности Сг, то п корней уг, у2,___, уг, модули которых меньше, чем р, остаются
в круге Cpf. Эти корни нб будут, вообще, голоморфны в круге Сг, но tсякая симметрическая целая функция этих п корней есть голоморфная функция от х в этом круге. Очевидно,- что достаточно доказать это для суммы Vik -\-угк	где kцелое положительное число.
Для этого рассмотрим двойной интеграл
SC	—(х>'
, , \ ,ь Ъу' дх' J У Т[х'~У)~ хГ^х ’ G?' С?
где |х|<г. Если |у|=р, то по предыдущему функция F(x', У) не может обращаться в нуль ни при каком значении переменного х', лежащем внутри или на окружности Сг, и единственным полюсом подинтегральной функции, лежащим внутри круга Сг, будет1 точка х1 = х.
Следовательно, мы имеем:
SdF(x', У)	йЛ(х, У)
у F(x , У) х’ X	F(Jt, У) ’
с/
и следовательно,	,	,,
’	Г )F(x, у'}
/=2тп \ у'* -=.^У , ду'.
J F(x, У)  <
§ 355 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 241
По доказанной выше теореме (§ 299), этот интеграл равен — 4п2(у]*4-у2*-|-. •где уи у2, ... , уп суть корни уравнения F(x, у) — О, модуль которых меньше, чем р. С другой стороны, интеграл I в круге Сг есть голоморфная функция от х, так как дробь -г-  можно разложить в равномерно сходящийся ряд, расположенный по степеням переменного х, и вычислить затем интеграл почленно. Так как различные суммы Jy/ суть функции, голоморфные в круге С , то то же имеет место для суммы этих корней, для суммы их парных произведений и т. п.; следовательно, корни ylt у2> • •• > Уп СУТЬ вместе с тем корни уравнения л-й степени
/(*, у} —У1 +	а2Уя“2 + • • •+-|- ап =» 0,	(26)
тех
коэфициенты которого а,, а2,	, ап суть функции от х, голоморфные
в круге Сг и обращающиеся в нуль при х=0.
Обе функции F(x, у) и /(х, у} обращаются в нуль при одних и же системах значений переменных х и у, лежащих внутри кру-fix,- у)
Сг и С?. Покажем, что отношение	есть функция, голоморф-
в этой же области. Возьмем для этих переменных х и у опреде-г, |у1<Р и рассмотрим двойной
гов
ная
ленные значения под условием | х| интеграл
dV
F(x', У) ________ /(*', У) (х' — х)(У~уУ
?
При значении У, модуль которого равен р, функция /(х', у') переменного х' не может обращаться в нуль ни при каком значении х', лежащем внутри или на окружности Сг. Следовательно, подинтегральная функция имеет внутри окружности Сг единственный полюс х' = х; соответствующий ему вычет равен
1
t(x, У) У — у'
Таким образом мы имеем также:
J — 2 гл
F(x, >') dy' /(*, У ) у' — у ‘
Обе голоморфные функции F(x, У), /(х, У) переменного У имеют внутри круга С' одни и те же нули с одинаковыми степенями кратности. Следовательно, их частное есть функция от У, голоморфная в круге С', и единственный полюс подинтегральной функции, лежащий внутри этого круга, есть у' —у; таким образом мы имеем:
— 4п2
F(x, j) t(x, У)
16 Э. Гурса, т. II, ч. 1.
242 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ	§356
С другой стороны, в интеграле J можно заменить дробь
_ 1___________
(д' — х)(у' — у)
ее разложением в равномерно сходящийся целый ряд, расположенный по положительным степеням переменных х и у. Интегрируя почленно, мы видим, что этот интеграл равен сумме, целого ряда, расположенного\ по. степеням; переменных х и у и сходящегося в кругах Сг и Следовательно, мы имеем:
P(x,y)==f(x,y) Н(х,у),
ИЛИ
F(x, У) (>"-+-Я; У*-1-}- ... +а„) Н(х, у),	(27)
где 7/(х, у) голоморфно в кругах Cr, С.
Коэфициент Ап при у" в F(x, у) содержит постоянный член, отличг ный от нуля; так как а, , а2, ... , ап равны нулю при х=0, то разложение функции Н(х, у) необходимо содержит постоянный член, отличный .от нуля, и из разложения по формуле (27) видно, что мы получим всё корни уравнения F(x, у} — О, стремящиеся к нулю вместе с х, приравнивая нулю первый множитель. Эта важная теорема принадлежит Венерпгграссу *. Она представляет обобщение на функцию многих переменных, насколько это' возможно, разложения на множителей функций одного переменного..
356.	Критические точки. Мы таким образом привели изучение тех п корней уравнений F(x, у) == 0, которые бесконечно малы вместе с х, к изучению при значениях х, близких к нулю, корней уравнения вида:
/(х; у) = уп 4-а1Уя-14-а2Уя'-24- ... 4-ая_, У+ап = 0,	(28)
где аг, а2 , ..., ' ап—голоморфные функции, обращающиеся в нуль при х==0. Если и>1 (единственный случай, который нас здесь занимает), то точка х = 0 называется, вообще, критическою точкою. Исключим у из уравнений f—О и ^ = 0; результат Д(х) есть целый мно-ду
гочлен относительно коэфициентов Oj, а2, ..., ап, и следовательно, функция, голоморфная в области начала координат. При х — 0 результат А(х) равен нулю**, а так как нули голоморфной функции образуют систему изолированных точек, то мы можем взять радиус г круга Сг настолько малым, чтобы внутри Сг уравнение Д(х) не имело другого корня, кроме х=0. Во всякой точке х0, взятой в этом круге и отличной от начала координатуравнение f(xQ, у) = 0 имеет п различных корней; в этом случае, как мы уже знаем (т. I, § 184); эти я корней уравнения (28) суть функции от х, голоморфные в области точки ха. Следовательно, внутри круга Сг не может существовать другой критической точки, кроме начала координат.
* „Abhandlungen aus der Functionenlehre" von К- Weierstrass (Берлин I860'» Это предложение можно также доказать, основываясь исключительно на свойствах целых рядов и на теореме о существовании неявных функций (Bulletin de la Society mathtmatique, т. XXXVI, 1903, стр. 209—215).
** Мы устраняем из рассмотрения случай, когда А (х), тождественно равно нулю. В этом случае f(x, у) делилось бы на множитель [fi (x, Д')]*, где £>1, а Л (л, у) имеет тот же вид, как и / (л, у).
§ 356 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 243
Пусть будут , у2, ,,.,уп корни уравнения/(х0, у)=0. Предположим, что пёременное х описывает петлю вокруг точки х = 0, выходя. из точки х0 ; вдоль этой петли л корней уравнения/(x,_y) = Q различны и изменяются непрерывно. Выходя из точки х0, например, с корнем уг и следуя за непрерывным изменением этого корня вдоль петли, мы придем в точку с конечным значением, равным одному из корней уравнения/(х0, _у) — 0. Если это конечное значение есть , то рассматриваемый корень есть однозначная функция в области начала координат. Если же это конечное значение отлично от у2 , то предположим, что оно равно, например, у2. Описывая новую петлю в том же направлений, мы придем от корня у2 к другому из корней Ут , У2, .. о Уп- Конечное значение не может быть равно у2, так как обратный путь должен привести от у2 к j,. Следовательно, это конечное значение должно быть одним из корней у,, у3,	уп; если оно
есть Ут , то мы видим, что оба корня переходят один в другой, когда переменное описывает петлю вокруг начала координат. Если это конечное значение не есть уг, то оно есть один из л—2 остающихся корней; пусть это будет корень у3. Новая петля, описываемая в том же направлении, приведет от корня _у3 к одному из корней у, , у2, _уя j _у4, уп. По тем же основаниям, как выше, это не может быть уа; это не может быть также и у2, так Как обратный путь приводит от у2 к уг. Следовательно, это конечное значение есть _у3 или один из л—3 остающихся корней у± , у5 , ..., уп. Если оно есть _у3, то три корня j Уг > Уз перемещаются в круговом порядке, когда переменное х описывает петлю вокруг начала координат. Если же конечное значение отлично от уг, то мы будем продолжать перемещать переменное вокруг начала координат, и после конечного числа операций мы необходимо придем к одному из полученных уже корней, именно к корню _у3. Предположим, например, что это случится после р операций. Мы видим, что р получающихся корней _у3, у2, ..., ур переставляются в круговом порядке, когда переменное х описывает петлю вокруг начала координат; в этом случае говорят, что корни образуют круговую систему р корней. Если р = п, то л корней образуют единственную круг говую систему. Если р<^п, то мы снова начнем предыдущие рассуждения, исходя от одного из п—р остающихся корней и т. д.; ясно, что, продолжая те же операции, мы, наконец, исчерпаем все корни. Таким образом мы можем высказать, следующее предложение: л корней уравнения F(x, у) = 0, равных нулю при х=0, образуют в области начала координат одну или несколько круговых систем.
Чтобы это предложение было вполне общим, достаточно условиться, что круговая система может также состоять только из одного корня; тогда этот корень есть однозначная функция в области начала координат.
Корни одной и той же круговой системы можно представить одним общим разложением. Пусть будут уг, у2, ..., ур корни круговой системы; положим х = х'Л Каждый из этих корней есть голоморфная функция от х1 при всех значениях переменного х', кроме х' = 0; с другой стороны, когда х' описывает петлю вокруг точки х' — О, точка х описывает р последовательных петель в том же направлении во-16*
244
ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 356
круг начала'координат; следовательно, каждый из корней , у2, у возвращается к своему начальному значению: они суть однозначные функции от л' в области начала координат. Так как эти корни стремятся к нулю вместе с х1, то точка х' = 0 может быть только обыкновенною точкою, и один из этих корней представляется разложением вида:
у = агх'	••• +	•••,	(29)
1
или, заменяя х* через х?:
у = агхр 4-я2(хр) + ...	.	(30)
Мы докажем теперь, что разложение (30) представляет все корни одной и той же круговой системы, если только давать количеству 1
хр его р значений. В самом деле, предположим, что, взяв для корня
Р г-
у х одно из его значений, мы получили разложение корня _yj; если
переменное х описывает в прямом направлении петлю вокруг начала
1	2тс<
координат, то уг изменяется в у2, а хр получает множитель ер . Точ-г	X
но так же мы увидим, что мы получим у , заменяя в формуле (30) хр 1
через хре р . Из единства этого разложения ясно видно, что р корней переставляются в круговом порядке.
Остается показать, как можно выделить п корней уравнения
F(x, _у) = 0 в круговые системы и вычислить коэфициенты at разложений (30). Мы уже рассмотрели случай, когда x=_y = 0 является двойной точкой. Рассмотрим еще один частный случай.
Г-	л
Если при х—у — 0 производная — не равна нулю, то разложе-о V
ние функции Р(х, у) содержит член первой степени относительно х,
и мы имеем:
F(x,j/) = Xx4-Byn-f- ...	(AB^Q),	(31)
причем опущенные члены делятся на один из множителей х2, ху, уя + 1. Примем на время у за независимое переменное; уравнение F(x, у) = 0 имеет единственный корень, стремящийся к нулю вместе с у, и этот корень голоморфен в области начала координат. Его разложение, которое мы уже умеем вычислять (т. I, § 184), имеет вид:
х=у(а0 + ^4-...)	(ао^0).	(32)
Извлекая корень n-Vi степени из обеих частей, получим:
х п =yi/ra0^-a1y-]- ...	(33)
При _у=0 вспомогательное уравнение ип=<?04_а] j-|- ... имеет п различных корней, каждый из которых разлагается в целый ряд, расположенный по степеням переменного у. Так как эти корни получаются
§ 356-357 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 245
один из другого умножением их на различные степени от е ”, то можно взять для ]/а0 -|- а1у-\- ... в формуле (33) какое-нибудь одно из 1
его значений, условившись давать для х п последовательно его п значений.
Следовательно, уравнение (33) можно представить в виде:
1
+	+	(^^0);
1
отсюда, обратно, получаем разложение у по степеням х ”;
1	/ Л\2
у = С1хп -\-с2{хп)	(34)
1
Это разложение, где для х п надо брать его п значений, представляет п корней, стремящихся к нулю вместе с х. Следовательно, эти п корней образуют единственную круговую систему.
Для изучения общего случая следует обратиться к сочинениям, посвященным теории алгебраических функций*.
357.	Алгебраические функции. Неявные функции, всего лучше изученные до сих пор, суть алгебраические Функции, определяемые уравнением F(x, у) = 0, левая часть которого есть целый неразложимый многочлен относительно х и у. Целый многочлен называется неразложимым, если нельзя найти два других таких целых многочлена меньших степеней F1(x, у) и F2(x, у), чтобы было тождественно
F(x,y) = F1(x,y)- F2(x,y).
Если многочлен F(x, у) равен произведению такого вида, то ясно, что уравнение F(x, у) — 0 можно заменить двумя отдельными уравнениями /71(х,_у) = 0, F2(x,y)=0.
Пусть будет
F(x,y) = <р0(х) ,Уя + <₽ (х)У-1 + ... 4-<₽„_iWj-]-4>„(x) = 0 (35)
уравнение л-й степени относительно у, где <р0, <р2, ..., <ря суть целые й/7
многочлены относительно х. Исключая у из соотношений /7==0, — = 0, мы получим целый многочлен Д(х), который не может быть тождественно равен нулю, так как F(x, у), по предположению, неразложимо и потому не может иметь с F'(х, у) общих множителей. Отметим в плоскости точки в], а2, ..., ak, представляющие корни уравнения Д(х) = 0, и точки jJ2, р2 , ...,	, представляющие корни уравнения
<ро(х) = О, причем некоторые из корней at могут входить также в число корней уравнения <ро(х) = О. В точке а, отличной от точек а,, Р/, уравнение F(a, у) = 0 имеет л различных и конечных корней Ьг, Ь2, ..., Ьп. Следовательно, в области точки а уравнение (35) имеет л голоморфных корней, стремящихся соответственно к Ьг, Ь2, ...,
* См. также известный мемуар Пюизе (Puiseux) об алгебраических функциях (Journal de Ма-thdmatiques, т. XV, 1850),
246	ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ	§ 357
Ьг, когда х стремится к а. Рассмотрим корень at результанта Д(х); уравнение /;(! , у) = 0 имеет несколько равных корней. Предположим, например, что оно имеет р корней, равных Ь, Эти р корней, стремящихся к Ь, когда х стремится к az, распадаются на некоторое число Круговых систем, и корни одной и той же круговой системы представляются разложением в ряд, расположенный по дробным степеням разности х—аг Если значение az не обращает в нуль многочлена <р0 (х), то все корни уравнения (35) в области точки az распадаются, таким образом, на несколько круговых систем, причем некоторые из этих систем могут содержать только один корень. Для точки обращающей в нуль многочлен <f0 (х), некоторые из корней уравнения (35) обращаются в бесконечность. Чтобы изучить эти корни, положим у =	;
мы приходим к изучению корней уравнения
F, (*> У) =У" Fix, Д | =0, \ У /
обращающихся в нуль при х = ^у.. Эти корни также распадаются на несколько круговых систем, причем корни одной и той же системы представляются (разложением в ряд вида:
т	т 4-1
^ = amix — ?/)' +a-r+i(* — ?/) р +••; (ат^0);	(36)
соответствующие корни уравнения относительно у определяются разложением:
у = (х~ т [am-\-am+1{x—^j)P -j- ...] \	(37)
которое можно расположить по возрастающим степеням количества 1
(х—р, но некоторое конечное число первых членов разложения будет иметь отрицательные показатели.
Чтобы исследовать значения у при бесконечно больших значениях
х.
1 положим х = —, : х
мы придем к изучению корней уравнения того
же вида в области начала координат. В конечном выводе, в области любой точки х = а все л корней уравнения (35) представляются некоторым числом рядов, расположенных по возрастающим степеням х—а 1
или (х — а) р, которые могут содержать конечное число членов с отрицательными показателями; это предложение применимо также к бесконечно большим значениям переменного х, при условии замены х—оо
1 через —.
Важно заметить, что дробные степени и отрицательные показатели появляются только для исключительных точек. Следовательно, единственные особые точки корней уравнения суть критические точки, вокруг которых некоторые из этих корней переставляются в круговом порядке, и полюсы, в которых некоторые из этих корней обращаются
§ 357 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 247 в бесконечность; при этом одна и та же точка может быть одновременно и полюсом, и критическою точкою. Эти два вида особых точек часто называются алгебраическими особыми точками.
До сих пор мы изучали корни данного уравнения только в области определенной точки. Предположим теперь, что мы соединили две точки х — а, х = Ь, для которых уравнение (35) имеет п различных и конечных корней, путем АВ, не проходящим ни через одну из особых точек уравнения. Пусть будет корень уравнения F(a, у) = 0; корень _у = /(х), который обращается в при х—а, представляется в области точки а разложением в целый ряд Р(г — а), и можно искать его аналитическое продолжение, когда переменное описывает дугу АВ. Это—частный случай общей задачи, и мы заранее знаем, что мы придем в точку В с конечным значением, которое есть корень уравнения F(b,y) = 0 (§ 337). Мы наверное придем в точку b после конечного числа действий; в самом деле, радиусы кругов сходимости рядов, представляющих различные корни уравнения F(b, у)=0 и имеющих центры в различных точках пути АВ, имеют нижнюю границу 8^>0*, так как этот путь не содержит ни одной критической точки, и. ясно, что всегда можно взять радиусы различных кругов, которыми мы будем пользоваться в аналитическом продолжении, не меньшими, чем 8.
Из всех путей, соединяющих точки А и В, всегда можно найти один, приводящий от корня к любому из корней уравнения F(b, у)== — О как к конечному значению. Чтобы доказать это, мы 'будем основываться на следующем предложении. Если аналитическая функция z переменного х имеет только р различных значений при каждом 'значении х, и если она имеет во всей плоскости, включая и бесконечно удаленную точку, только алгебраические особые точки, то р значений функции z суть корни уравнения степени р. коэфициенты которого суть рациональные функции от х. Пусть будут г,, z2, ..., zp эти р значений функции г; если переменное х описывает замкнутую линию, то эти р значений zA, z2, . .., zp могут только обмениваться между собою. Следовательно, симметрическая функция
и» = г1‘Н2‘ + '-.-+г;,
где k — целое положительное число, есть однозначная функция. Сверх того, эта функция может иметь только полярные особенности. В самом деле, в области любой точки х — а, лежащей на конечном расстоянии, разложения значений z} , z2, .. , zp могут иметь только конечное число членов с отрицательными показателями; следовательно, то, же имеет место и для разложения uk. Кроме того, так как функция uh однозначна, то ее разложение не может содержать дробных степеней. Следовательно, точка а есть полюс или обыкновенная точка функции uk\ тоже имеет место и для бесконечно удаленной точки. Таким образом, каково бы ни было целое число k, функция uh есть рациональная функция от х; следовательно, то же имеет место и для простых симметрических функций, как	Z,zh, ..., и теорема доказана.
* Чтобы доказать это с полною строгостью, достаточно повторить рассуждение, аналогичное рассуждению § 336.
248 ГЛАВА XVH. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 357—358
Предположим теперь, что, переходя из точки а в какую-нибудь другую точку х плоскости всеми возможными путями, мы можем получить как конечные значения только р из корней уравнения
/7(»',J) = O (р<п).
Очевидно, что эти р корней j,, у2, ..., ур могут только обмениваться местами, если переменное х описывает замкнутый контур, и они обладают всеми свойствами р ветвей z2, z2, ..., zp аналитической функции z, которые мы только что изучали. Отсюда мы заключаем, что , у2, ..., ур суть корни уравнения p-Vi степени F1(x,j)=0 с рациональными коэфициентами. Следовательно, уравнение F(x, у) == = 0 имеет корнями все корни уравнения F, (х, j) = 0, каково бы ни было х, и многочлен F(x,y) должен быть разложимым, что противно предположению. Таким образом, если не наложено никакого ограничения на путь, описываемый переменным х, то п корней уравнения (35} должны рассматриваться как различные ветви одной и той же аналитической функции, как мы это уже заметили на некоторых простых примерах (§ 260).
Проведем из каждой критической точки бесконечный разрез таким образом, чтобы эти разрезы не пересекались между собою. Если путь, проходимый переменным, не может пересекать ни одного разреза, то п корней суть однозначные функции во всей плоскости, так как всякие два пути, имеющие общие конечные точки, будет можно привести один к другому непрерывным изменением, не пересекая ни одной из критических точек (§ 366). Чтобы можно было следить за непрерывным изменением корня вдоль какого-нибудь пути, достаточно знать закон обмена этих корней, когда переменное описывает петлю вокруг каждой из критических точек.
Примечание. Изучение алгебраических функций относительно легко потому, что можно заранее определить алгебраическими вычислениями особые точки этих функций. Эго, вообще, не имеет места для неалгебраических неявных функций, которые могут иметь трансцендентные особые точки. Например, неявная функция у (х), определяемая уравнением е?— х— 1 = 0, не имеет ни одной алгебраической критической -точки, но рна имеет трансцендентную особую точку х=-1.
358.	Абелевы интегралы. Всякий интеграл
7 = J/?(х, y)dx,
где R(x,y) есть рациональная функция от х до у, ay есть алгебраическая функция, определяемая уравнением Р(х, у) = 0, есть абелев интеграл, принадлежащий к этой кривой у) = 0. Чтобы окончательно определить этот интеграл, надо указать нижний предел х0 и соответствующее значение j0 , взятое среди корней уравнения Р(х0 , у) — = 0. Вот некоторые наиболее важные общие свойства этих интегралов. Если мы переходим из точки х0 в какую-нибудь точку х всеми возможными путями, то все значения интеграла I содержатся в одной из формул:
7 = Ik -ф-	-ф- m2w2 -ф- ... -ф- mrwr (k = 1, 2, ..., n),	(38)
§ 358-359 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
249
где /j, /2, ..., 1п — значения интеграла, соответствующие некоторым’ определенным путям, т1, т2, ..., тг — произвольные целые числа,. Wj, а>2, ..., шг—периоды. Эти периоды—двух родов. Одни происходят от петель, описываемых вокруг полюсов функции 2?(х, у); они; называются полярными периодами. Другие происходят от замкнутых контуров, называемых циклами, окружающих несколько критических точек; они называются циклическими периодами. Число различных циклических периодов зависит только от рассматриваемого алгебраического соотношения F(x, у) —О', оно равно 2р, где р — род соответствующей кривой (§ 333). Напротив, число полярных периодов может’ быть произвольным. С точки зрения особенностей, различают три класса абелевых интегралов. Интегралами первого вида называются те абелевы интегралы, которые остаются конечными в области всякого значения переменного х; если их модуль неограниченно возрастает, то это может быть только от прибавления бесконечного множества периодов. Интегралами второго вида называются интегралы, имеющие две логарифмических особых точки. Всякий абелев интеграл есть сумма интегралов трех видов, и число различных интегралов первого вида равно роду алгебраического соотношения F(x, _у) = 0.
Изучение этих интегралов выполняется весьма просто при помощи плоских поверхностей со многими листами, называемых римановыми-поверхностями. Мы не будем здесь им заниматься. Мы дадим только, вследствие его большой простоты, доказательство основного предложения, открытого Абелем.
359.	Теорема Абеля. Чтобы выразить проще эту теорему, рассмотрим плоскую кривую С, представляемую уравнением F (х, у) ~ 0; пусть будет Ф (х, у) уравнение другой алгебраической плоской кривой С1. Эти две кривые имеют N общих точек:
(х2,у2), ..., (xN, yN)',
число N равно произведению степеней этих двух кривых. Пусть будет-R(x, у) рациональная функция; рассмотрим следующую сумму:
N х \у
/— ^2 J R{x,y)dx,	(39>
i = 1 Л0.Л X, ,У1
где j R (х, j) dx обозначает абелев интеграл, взятый от постоянной
ТОЧКИ Хо ДО ТОЧКИ X, вдоль некоторого пути, который приводит для у от начального значения у0 к конечному значению yt, причем для всех интегралов начальное значение у0 переменного у одно и то же. Очевидно,, что сумма / определена только до периода, как и каждый интеграл,, в нее входящий. Предположим теперь, что некоторые из коэфициентов <Zj, а2, ..., ak многочлена Ф(х,_у) изменяются. Если эти.коэфициенты изменяются непрерывно, то точки xt также изменяются непрерывно; если ни одна из точек не проходит через точки разрыва интеграла' J R (х, _у) dx, то сумма / изменяется так же непрерывно, если только брать.
250	ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ	§ 359
непрерывное изменение каждого из входящих в нее интегралов вдоль пути, описываемого соответствующим верхним, пределом. Следовательно, сумма I есть функция параметров а2, а2, ak, аналитический вид которых мы. сейчас найдем.
Обозначим, вообще, через SV полный диференциал от какой-нибудь •функции V относительно переменных аг, а,,______ ak :
S V — — Ьаг -j- ...	— bak.
Аа1 1 1	1 Aak к
По формуле (39) мы имеем:
N
bI=^R(Xl,y^Xl. i=l
Из соотношений F(xz>yz) = 0, Ф(х/,у/) = 0 получаем:
§х + §у - о, $х, +	5у,+ гФ,=о,
йх, ‘	' йх, 1 ' йу, 1	1
и следовательно, Зх, = Ф (х,, у,)§Ф., где Ф(х,, у,) есть рациональная функция от х,, у,, аг, а2, ..., ah и Ф, обозначает Ф(х,, у,). Следовательно, мы имеем:
i=N
§/^У^/?(г,,у,)ф(х,, у,)5Ф,.
/=1
Коэфициент при Sa, в правой части есть симметрическая рациональная функция координат А/ точек (х,, у,) пересечения кривых С, С'; из теории исключения известно, что это есть рациональная функция ко-эфициентов многочленов F (х, у) и Ф(х, у) и, следовательно, рациональная функция от а,, а2, ;.., ak. Очевидно, что то же имеет место и по отношению к коэфициентам при Sa2, ..., 8ал, и мы получим I, интегрируя полный диференциал:
1 = J *14 + *2Sfl2 + ^ak .
где тт,, тг2, ..., п* — рациональные функции переменных а,, а2, ..., ak. Но интегрирование не может ввести других трансцендентных функций, кроме логарифмов. Следовательно, сумма I равна рациональной функции коэфициентов аг, а,, ______ ak, сложенной с суммою логарифмов
от рациональных функций тех же коэфициентов, причем каждый из этих логарифмов умножен на постоянный множитель*. Таково, в его самом общем виде, содержание теоремы Абеля. Геометрически ее можно выразить следующим образом: сумма значений любого абелева интеграла, взятых от общей начальной точки до N точек пересечения данной кривой с переменною кривой Ф(х,у) степени т, равна рациональной функции коэфициентов многочлена Ф(х, у), сложенной с конечным числом логарифмов от рациональных функций
* См,, например, мою статью „Sur - {’integration des diffgrentielles totales rationneles®, (Nou-tfelles Annales de Mathgmatiques, 5-я серия, т. П, 1923).
§ 359—360 IL НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 251 тех же коэфициентов, причем каждый из логарифмов умножен на постоянный множитель.
В этой второй форме теорема кажется на первый взгляд более поразительною, но в приложениях всегда приходится обращаться мыслью к ее аналитической форме, чтобы вычислить’ непрерывное изменение суммы I, соответствующее непрерывному изменению параметров а1, а2, ..., ак. Теорема имеет вполне точный смысл только в том случае, если приняты во внимание, пути, описываемые N точками Xj, х2, ..., xN на плоскости переменного х.
Предложение Абеля делается замечательно простым, если интеграл I — первого вида. В самом деле, если бы Ttj, п2, ..., irfr не были тождественно равны нулю, то можно было бы найти систему значений а1 = а1>, ..., ак = ак, при которых I обращалось бы в бесконечность. Пусть будут (х/, у/), ..., (-Пу, Уд/) точки пересечения кривой С с кривою С, соответствующею значениям а^, ..., параметров. Интеграл
х. у
J R(x,y}dx
Xi, Уо
возрастал бы неограниченно, если бы верхний предел стремился к одной из точек (г/, у/), что невозможно, так как интеграл — первого вида. Следовательно, 81=0, и если аг, а2, ..., ак изменяются непрерывно, / остается постоянным; в этом случае теорема Абеля может быть выражена следующим образом:
Пусть будут даны постоянная кривая С и переменная кривая С степени т; сумма приращений абелева интеграла первого вида, отнесенного к кривой С, вдоль непрерывных линий, описываемых точками пересечений С с С, равна нулю.
Примечание. Мы предполагаем, что степень кривой С остается постоянною и равною т, Если при некоторых частных значениях коэфициентов а^, а2 ..., ак эта степень понижается, то некоторые из точек пересечения кривых С и С должны рассматриваться как бесконечно удалейные, и их надо принимать во внимание в приложении теореМы. Приведем еще следующее, почти очевидное замечание; что если некоторые из точек пересечения кривых С и С постоянны, то нет надобности вводить в сумму / соответствующие интегралы.
360. Приложение к ультраэллиптическим интегралам. Приложения теоремы Абеля в анализе и геометрии многочисленны и важны. Мы вычислим 81 в раскрытом виде в случае ультраэллиптических интегралов. Рассмотрим алгебраическое соотношение:
У2 = R (X) = Л0х’Р+4 + HjX’/’+l + . . . 4- А2Р + 2 ,	(40>
где многочлен 7? (х) — первый со своею производною; мы предположим, что Ло может быть равно нулю; что и /Ц не равны, нулю одновременно, так что степень многочлена f? (х) равна 2р-|-1 или 2р2. Пусть будет Q(x) какой-нибудь многочлен степени q; возьмем за начальную точку значение х0 переменного х, не обращающее в
252	ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 360
нуль многочлена Положим
7?(х); пусть будет у0 корень уравнения j2 = 7?(x0).
и(г, >) =
Q (х) dx
VW) ’
где интеграл взят вдоль пути, соединяющего точку х0 с точкою х, а у обозначает конечное значение корня ]/7?(х), когда мы выходим из точки х0 с значением у0. Чтобы исследовать систему точек пересечения кривой С, представляемой уравнением (40), с другою алгебраическою кривою С’, очевидно, можно заменить в уравнении этой последней кривой четные степени от у, например у2г, через [7?(х)]г, а нечетные степени j2r+1— через у [7? (х)]г. Сделав эти подстановки, мы получим уравнение, содержащее у только в первой степени, и можно предположить, что уравнение кривой С' имеет вид:
f(x) = 0,	(41)
где f(x) и tp (х)—взаимно-простые многочлены степеней к и g; предположим, что некоторые из их коэфициентов переменны. Абсциссы точек пересечение кривых С и С' суть корни уравнения степени А:
ф (х) = 7? (х) tp2 (х) — /2 (х) = 0.
(42)
При некоторых частных системах значений переменных коэфициентов многочленов /(х) и tp (х) степень уравнения ф|х) = 0 может быть ниже, чем N; в этом случае некоторые из точек пересечения суть беско-
нечно удаленные точки, но соответствующие им интегралы должны быть
введены в изучаемую нами сумму. Всякому корню х, уравнения (42)
соответствует значение у, именно yt
tpfxj
Рассмотрим сумму
7 = j?v(x„	= £ I
7=1	J=1 J
Q(x) x
мы имеем:
jy__y* QCxJJxy y, Q (x;) tp (xz)
/(*)
так как конечное значение корня в точке xt должно быть равно jz, т. е. ——z	С другой стороны, из уравнения ф(х;) = 0 получаем:
ф' Ю 8 rt 4* 27? (xz) tp (xz) 8<pz — 2/(xz) 8/z = 0 *,
и следовательно,
>/_ V	If4.	(*/) '?(xi> fy/
* Через ocpj и бд здесь обозначены диференциалы функций tp и / при постоянном значении x = xi и пги переменных коэфициентах. (Ред»)
§ 360 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 253 или, принимая во внимание самое уравнение (42):
Вычислим, например, коэфициент при bak в И, где ak обозначает переменный коэфициент при хк в многочлене /(х). Так как iak не входит в и имеет множитель х* в 5/,, то искомый коэфициент при iak равен
ут 2Q (xz) <р (xz) х? у-, it (xz) Л'(^)	—
где n(x) = Q(x) (р(х)х*. Предыдущую сумму нужно распространить на все корни уравнения ф (х) = 0; это — симметрическая и рациональная функция этих корней, и следовательно, рациональная функция коэфициентов многочленов /(х) и ф(х). Вычисление можно упростить,
V» К (X.)	„ .	к (X)
заметив, что 7 j ф'Т) РавН0 сУмме вычетов рациональной функции относительно N полюсов х, , х2, ..., xN, лежащих на конечном расстоянии. На основании общего предложения (§ 303), эта сумма равна также вычету относительно бесконечно удаленной точки, взятому с обратным знаком. Следовательно, мы получим коэфициент при Ьак простым делением.
Нетрудно проверить, что если интеграл v(x, у)— первого вида, то этот коэфициент равен нулю. По предположению мы имеем q^p—1; степень многочлена п(х) равна 9ц-|-Л, следовательно, ? + и	1-
Степень многочлена ф(х) есть N. Если нельзя сделать приведение высших членов многочленов /?(х)<р2(х) и /г(х), то
2Х<ЛГ, 2/?4-1 4-2ц<?/, откуда
х + и+р + км
и, тем более, так как
а + н+р + 1
Если бы в результате приведения два высших члена сокращались, то было бы
но так как член akxl+k, вообще, в ф(х) не исчезает, то было бы X + k N, и мы получили бы прежнее неравенство. Отсюда следует, что всегда
?-Ьи + АКЛГ—2.
„	„ . п(х)	'
Следовательно, вычет рациональной фунции относительно бесконечно удаленной точки равен нулю, так как разложение этой функции
254
ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 360
начинается с члена с —- или с члена более высокий степени. Точнд х2
так же мы найдем, .что если степень много-члена Q(x) равна р—1 или ниже, то коэфициент при 8bh в 3/ равен нулю, где bh есть один из переменных коэфициентов многочлена tp (х I. Эти результаты вполне сот гласуются с общею теориею. Возьмем, например, tp (х) = 1 и положим
/(х) =УА0 хР +1 -f- арХРар_АхР-i	. ф- агх + а0,
где а0, аг, .ар суть р 4- 1 переменных коэфициентов. Кривые
>2 = 7?(х), _у = /(х)
пересекаются в 2о -ф- 1 переменных точках, и сумма значений интегра+ ла v(x, у), взятых от общей начальной точки до этих 2р 4- 1 точек пересечения, есть алгебраическо-логарифмическая функция коэфициентов а^, а3, ..., ар. Но можно взять эти р-\- 1 коэфициентов таким образом, чтобы р 4- 1 точек пересечения были любыми , заданными точками кривой _у2=-/?(х); тогда координаты остальных р точек будут алгебраическими функциями координат р ф- 1 данных точек. Следовательно, сумма р-ф-1 интегралов
^(•*1. Л) + г'(х2- Л)+	+	- УР+1)>
взятых от общей начальной точки до />4~1 произвольных точек, равна сумме р интегралов, пределы которых суть алгебраические функции координат
(*i- J,), .... (хр+1, jrp+1),
сложенной с алгебраическо-логарифмическими выражениями. Ясно, что последовательными приведениями можно распространить это предложение на сумму т интегралов, где т — любое целое число, большее, чем р. В частности, сумму любого числа интегралов первого вида можно привести к сумме только р интегралов. Это свойство, распространяю^ щееся на самые общие абелевы интегралы первого вида, составляет теорему сложения этих интегралов.
В случае эллиптических интегралов первого вида из теоремы Абеля можно непосредственно получить теорему сложения для функции $и. Рассмотрим нормальную кривую третьего порядка
У2 = 4x3 _ giX _ gi;
пусть будут М1{х1, у,), Afs(xa, уа), Af3(x3, у3) точки пересечения этой кривой с некоторою прямою D. По общей теореме сумма
-ч.Л	х2,у,	х,,у,
Г dx	С	( _______dx______
J ]Л4х3 — giX — g3	'	]/4х3 — gix— g3	j	]/4хЗ — g2x—g3
CO	OO	OO
равна периоду, так как точки Aft, Af2, Af3 обращаются в бесконечно удаленные точки, если прямая D сама делается бесконечно удаленною прямою. Но если мы
§ 360—361 II. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 255
воспользуемся: параметрическим представлением х=$и, у = $’и для кривой третьего порядка, то параметр и как раз равен интегралу
х, у
1 dx
.) V4x3 — gix-g3’ оо
и предыдущая формула выражает, что сумма аргументов и(, и2,и3, соответ-ствующих точкам , М3, М3, равна периоду. Выше мы видели, что это соотношение равносильно формуле сложения для функции $и (§ 331).
361. Распространение формулы Лагранжа. Общая теорема о неявных функциях, определяемых системою совместных уравнений (т. I, § 185). распространяется также на комплексные переменные, если при этом сохраняются остальные условия теоремы. Рассмотрим, например, два совместных уравнения
Р{х, у) = х — a — af(x, y) = G,	Q(x, у) = у — Ь — $ч(х, у) = 0,	(44>
где х и у — комплексные переменные, a f(x, у), ?(х, у) —функции этих переменных, голоморфные вблизи системы значений х = а, у=Ь. При а — 0, f-- О
уравнения (44) имеют систему решений х = а, у = Ь,
D (Р, Q) и определитель
равен единице. Следовательно, по общей теореме, уравнения (44) имеют систему решений, и притом только одну, стремящихся соответственно к а и Ь, когда а и f стремятся к нулю, и эти решения суть голоморфные функции от а и {L Лаплас первый распространил на эту систему уравнений формулу Лагранжа (§ 302).
Предположим для определенности, что из точек а и b соответственно в плоскостях переменных х й у описаны две окружности С и С настолько малыми радиусами г и г', чтобы функции f(x, у), <р (х, у) были голоморфны, когда х я. у остаются внутри или на самих этих окружностях. Пусть будут М и М' наибольшие значения модулей \f(x, у) | и |?(х, у) | в этой области. Предположим сверх того, что постоянные i и f удовлетворяют условиям
М | а | < г,
М' | ? | < г'.
Дадим переменному х какое-нибудь значение, лежащее внутри или на самой окружности С; уравнение Q (х, у) = 0 имеет внутри С'только одно решение для у, так как аргумент количества у—b — f?(x, у) возрастает на 2г., когда у описывает С в прямом направлении (§ 300). Этот корень у{ = <|» (х) есть функции, от х, голоморфная в круге С. Если мы заменим в Р (х, у) переменное у этим корнем у(, то получим уравнение х — а — af(xit у()==0, которое, по тем же основаниям, как выше, имеет один и только один корень внутри С>
Пусть будет х = Е этот корень, и т>—соответствующее значение переменного у, т) = ф (Е). Обобщенная формула Лагранжа дает разложение по степеням количеств а и f всякой функции /ДЕ, т,), голоморфной в определенной выше области.
Рассмотрим двойной интеграл
/= I dx
С
С у) аУ
J р (X, у) Q (х, у) •
С'
(45)
Если х есть какая-нибудь точка окружности С, то Р(х, у) не может обращаться в нуль ни при каком значении переменного у, лежащем внутри С, так как аргумент количества х — a — af(x, у) непременно возвращается к своему начальному значению, когда у описывает С'. Следовательно, единственный полюс подинтегральной функции, рассматриваемой как функция только одного переменного у, есть полюс у =У|, определяемый корнем уравнения Q (х, у) = 0, соот
256	ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 361
ветствующим значению переменного х, лежащему на окружности С; поэтому после первого интегрирования мы имеем:
f У^аУ _ о;, F(-Xf У»)
1 Р(х, у) Q (х, у)	/ dQ\
с-	Р (л' - Л) \
Правая часть, где у, заменено определенною выше голоморфною функциею 4 (х), имеет в свою очередь единственный полюс первого порядка, лежащий внутри С, именно, точку х=Е, которому соответствует значение у ,=;>),• нетрудно найти, что соответствующий вычет равен:
2«F(E,i))
Г£(Л_<?)]	’
LD(x,y) ]х=е
У=т1
Следовательно, двойной интеграл I равен
_____________
Г£_(Л_9)1 L £> (х, у) J х =г
У=т\
„ . „ 1
С другой стороны, выражение можно разложить в равномерно сходя-щийся ряд:
1
(х — а — af)(y—d —	^(х— а)т + *(у — tyn+i*
«отсюда имеем:
где
, _ f „ С F (* У) [/ (-Г. У)1т [у (х, у)] п dy тп ’	) (х— а)т^1(у— Ь)п+*
С Ci
Этот интеграл уже был вычислен (§ 351), и мы нашли, что он равен
 4я2 дт+п [F(a, b)fm(a, b) уп(а, 6)] т\ п!	дат дЬп
Сравнивая между собою оба выражения интеграла /, мы получим искомую •формулу, представляющую очевидную аналогию с формулою (50) (§ 302):
____F(?. ч)__= У У ат^п дт+п	fn(a< ^)1	(46)
ГО(Р, Q)1	2^.^т\п\	датдЬп
[ яуЗо Ь=:- т ”
Можно было бы получить также вторую формулу, аналогичную формуле (51) (§ 302), полагая
F(x, у) = Ф (х, у)	.
v ” D(x,y)
шо коэфициенты этой второй формулы не так просты, как в случае одного 'переменного.
УПРАЖНЕНИЯ
257
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Доказать, что всякую алгебраическую кривую Сп порядка п и рода р можно привести бирациональным преобразованием к кривой порядка р 2.
[Можно поступать, как в § 333, пересекая данную кривую пучком кривых „	п(п — 1)	„ _
Сл_2, проходящих через —- ------ - 3 точек кривой Сп, среди которых есть
(п — 1) (л — 2)
-----2------ — р ее двойных точек, и полагая
ft	¥1
если уравнение пучка имеет вид: <р,(х, >)4Д. ®2(х, >) + н Тз (х, у) = 0.]
2. Вывести из предыдущего упражнения, что координаты точек кривой рода два можно выразить через рациональные функции параметра t и корня квадратного из многочлена R (t) пятой или шестой степени, первого со своею производною.
[Можно сначала показать, что точки кривой взаимно однозначно соответствуют точкам кривой четвертого порядка, имеющей двойную точку.]
3*. Пусть будет у = ape + a-jX* Д- ... разложение в целый ряд алгебраической функции, корня уравнения F(x, у) = 0, где F(x, у) есть многочлен с целыми коэфициентами, причем точка с координатами х = 0, у = 0 есть простая точка кривой, представляемой уравнением F(x, yi—O, с касательною, не параллельною оси Оу. Все коэфициенты , а.2, ... суть дроби, и достаточно изменить х в А'х, где К — надлежащее целое число, чтобы все эти коэфициенты сделались целыми числами.
[Эйзенштейн (Eisenstein).]
[Заметим, что достаточно сделать преобразование вида х = £2х', y = ky', чтобы коэфициент при у’ в левой части нового уравнения был равен единице, а все остальные коэфициенты были целыми числами.]
ДОПОЛНЕНИЕ.
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ *
Основная теорема Вейерштрасса (§ 290) послужила источником многочисленных работ о последовательностях аналитических функций; мы укажем зд^сь некоторые из наиболее важных результатов, полученных по этому поводу. Как уже было замечено в общем случае (т. I, § 15), изучение последовательностей аналитических функций и рядов, все члены которых суть аналитические функции, представляет две эквивалентные задачи. В дальнейшем при высказывании теорем, по преимуществу, будет итти речь о функциональных последовательностях, но не составит ни малейшего труда высказать их и для рядов.
1.	Общие положения. Области D, о которых будет итти речь в этом Дополнении, мы будем предполагать расположенными на конечном расстоянии н ограниченными одной или несколькими замкнутыми кривыми**, друг друга не пересекающими, причем одна из этих кривых заключает внутри себя все остальные. Подобная область является связной, т. е. две любые ее точки можно связать непрерывной линией (например ломаной), целиком расположенной в этой области. Если D ограничена только одной замкнутой кривой, то две непрерывные линии, связывающие любые две точки А и В области D, могут быть переведены одна в другую при посредстве непрерывной деформации, не выходя за пределы этой области, которую называют в этом случае односвязной.
Это обстоятельство не имеет места в случае (§ 281), если область D ограничена какой-либо замкнутой кривой С и одной или несколькими замкнутыми кривыми С, С"....внутренними по отношению к С. Эта область в таком случае
называется многосвязной.
Отметим еще следующие свойства, которые можно было бы принять за определение областей более общего вида, чем те, которые мы здесь рассматриваем. Если точка ЛТ плоскости расположена внутри какой-либо области D того вида,
* Перечень литературных источников:
А. — S t ie 1 t j e s, Recherches sur les fractions continues, Annales de Toulouse, т. VIII, 1894; Correspondence d’Hermite et de Stieltjes, т. II, стр. 368, письма <№ 399 и 400.
В. — Vi t a li, Sopra le serie di funzioni analitiche, Rendiconti del R. 1. Lombardo, 2-я серия, т. XXXVI, 1903, стр. 772; Annali di matematica, 3-я серия, т. X, 1904, стр. 73.
С. — Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali Uber Folgen analytischer Funktionen, Berichte der Math.-Physik. Cldsse Sachsischen Gesellschaft der Wiss. zu Leipzig, т» LXV11, 1915, стр. 194-200.
D. — Ostrowski, Ober vollstandige Gebiete gleichmassiger Konvergenz von Folgen analytischer Funktionen, Abhandlungen aus dem Math. Seminar der Hamburgischen Universitat, ВЦ. 1, H. 3-4. ••
E. — Carath6odory u. Landau. Beitrage zur Konvergenz von Funktionenfolgen, Sit-zangsberichte der K. Preussischen Ahad, der Wissenschaften, 1911, стр. 587—613.
F. — Mo nt el, Sur les families de fonctions analytiques qui admettent des valeurs exception* nelles dans un domaine, Annales de I’Ecole Normale, 1912, стр. 529.
G. — M о n t e 1, Sur les families quasi normales de fonctions holomorphes, Memoires de I'Academic de Bruxelles, 2-я серия, т. VI, 1921, стр. 1.
Н. — М о n t е 1, Sur la representation conforme, Journal de Mathematiques, 7-я серия, т. Ill, 1917, стр. 25.
1. — M о n t e 1, Lemons sur les series de polynomes, Paris, Gauthier-Villars, 1910. В частности, см. гл. 1, стр. 16 и гл. V, стр. 108—126.
Для определенности мы предположим еще, что каждая из этих кривых состоит из конечного числа простых дуг, хотя эта гипотеза и не является необходимой при рассуждениях. Простая дуга представляется двумя уравнениями х = f(t), у = g(t), где /(г) и g(t) — непрерывные функции, так же как и f (t), g' (/).
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 259
какой мы только что определили, то и всякий круг с центром М и радиусом э расположен всеми своими точками внутри D при условии, что р достаточно мало. Напротив, если точка М является внешней по отношению к области, т. е. не принадлежит ни самой области, ни какой-либо из ограничивающих ее кривых, то. и всякий круг с центром М и радиусом р целиком оказывается вне D, также при достаточно малом р. Наконец, если точка М расположена па одной из кривых, ограничивающих D, то всякий круг с центром М, как бы мал ни был его радиус, содержит точки внутренние по отношению к D и точки внешние. Следует еще различать случаи, когда точки границы рассматриваются как принадлежащие к области или — как не принадлежащие. В первом случае область называется замкнутой, во втором — открытой. Всякое свойство, относящееся ко-всем точкам какой-либо замкнутой области, очевидно, относится и ко всем точкам открытой области, но обратное утверждение не всегда справедливо.
Примером открытой области может служить множество точек, для которых | z | < /?, в то время как множество точек, обладающих тем свойством, что jzlsg/?, представляет замкнутую область..
Пусть D' — какая-либо замкнутая область, внутренняя по отношению к данной области D. В таком случае можно описать в этой области D конечное число кругов, внутренних к D, и таких, что любая точка области D’ будет лежать внутри по меньшей мере одного из этих кругов. В самом деле, пусть о есть наименьшее расстояние точек границы области D до точек границы D'. Вообразим 8
на плоскости сетку из квадратов со сторонами -у, и пусть АГ означает число тех из них, которые целиком или частично содержатся внутри D'. Выберем в каждом из этих квадратов точку, внутреннюю к D’, и вокруг каждой из выбранных точек опишем круг радиуса 8. Все эти круги расположены внутри D, и каждый из них содержит соответствующий квадрат, в котором находится его центр. Отсюда ясно, что любая точка области D’ и ее границы содержится по меньшей мере в одном из названных кругов.
Заметим еще, что, если какая-либо последовательность функций сходится равномерно в п областях D2, D.2, ... , Dn, она должна также сходиться равномерно и в области D, составленной из всех точек, принадлежащих по меньшей мере одной из этих областей.
2.	Теорема Вейерштрасса. Сперва мы восстановим доказательство этой теоремы (§ 290) с целью расширить ее в некоторых отношениях. Очевидно, она может быть высказана следующим образом:
Всякая последовательность голоморфных функций, сходящаяся равномерно в любой области D', внутренней по отношению к данной области D, имеет пределом функцию F(z), голоморфную в D, и производная (г) при неограниченном возрастании п стремится, каково бы ни было р, к производной Flp>(z).
Это предложение легко можно расширить, показав, что последовательность производных порядка р от членов данной последовательности сходится равномерно в любой области D', внутренней к D.
Действительно, если дана какая-либо область D', внутренняя к D, то можно, и притом бесконечным множеством способов, найти другую область D”, внутреннюю к D и заключающую в себе D'. Пусть С" есть граница D" и 8 — кратчайшее расстояние между точками С" и точками границы С' области D'. В точке х, внутренней к D', имеем:
FW (X) -	(х) f	dz.
J (z — x)
С”
Так как кривая С" содержится в области D, разность F(z)—fn(z) стремится к нулю равномерно вдоль этой кривой, и потому можно найти такое целое число N, что для всех значений п 5? N в каждой точке кривой С" выполняется неравенство:
'iF(z) — fn(z)\ < е.
17*
260
ДОПОЛНЕНИЕ
С другой стороны, вдоль С" имеем: \z— х I > о. Следовательно, обозначая через L длину кривой С", находим при всяком n^N:
zrxe
откуда и вытекает справедливость высказанного утверждения.
Нетрудно сообразить, что единственно необходимым в предшествующем до--казательстве является предположение о равномерной сходимости на контуре интеграции, и потому теорема может быть высказана в еще более общем виде:
Если последовательность функций
f^z), ft(z), .... f„(z),...,	(1)
голоморфных в данной области D, сходится равномерно вдоль какой-либо замкнутой кривой С, внутренней к D, то эта последовательность сходится также и в области D', внутренней по отношению к С, и ее предел есть функция, голоморфная в названной области.
Теперь мы обратимся к исследованию одного еще более общего случая. Пусть / (я) — функция, голоморфная в данной области D, которую мы для определенности предположим ограниченной только одной замкнутой кривой С. Рассмотрим некоторую определенную точку z кривой С и какую-либо соседнюю с ней точку х области D. Когда точка х приближается каким угодно способом к z, оставаясь в области D, то может случиться, что /(х) или не стремится ни к какому пределу, «или имеет конечный предел. Если в каждой точке z контура С существует предел /(х), то этот предел есть функция положения z на С, которое мы обозначим его криволинейной абсциссой s, отсчитываемой, например, в прямом направлении от какого-либо выбранного начала. Названный предел в таком случае оказывается некоторой функцией g(s\ заданной в каждой точке контура С и притом периодической. В случае если эта функция g-(s) переменного 5, в свою очередь, непрерывна, то мы скажем, что /(я) непрерывна на контуре С. Теперь предположим, что функции последовательности (1) голоморфны в односвязной области D, ограниченной замкнутой кривой С, и принимают вдоль С значения, образующие некоторую новую последовательность непрерывных функций ОТ 5.'
& (4 й(4 •••> g«(s). •••	(2)
Мы не делаем никакого предположения по поводу существования функций J (х) в области, внешней к контуру С, который может оказаться для некоторых из этих функций, и даже для всех, естественной границей.
Если последовательность (2) равномерно сходится на С, то последовательность (1) должна сходиться равномерно во всей области D, включая и ее границу.
В самом деле, предположим, что мы имеем:
< -
в каждой точке контура С, при условии, что п -'^.М. Если х—произвольная точка области D, то, как известно, модуль голоморфной функции gn+p (х) — gn (х) остается меньшим максимального значения ее модуля на границе D (§ 286). Следовательно, и в каждой точке области D будем иметь:
I ёп+р (*) — Еп (*) I < начиная с п N.
Высказанное предложение есть непосредственное следствие только что написанных неравенств. Отсюда следует, что предел F (х) последовательности fn (х) есть голоморфная функция от х в области D и что, сверх того, предел функции F(x), когда х стремится к какой-либо точке контура С с абсциссой, з, равен пределу О(з) последовательности gn(s) в этой точке, ибо равномерная сходимость имеет место в замкнутой области D. Что же касается последовательности, составленной из производных порядка р функций /„ (х), то можно лишь утверждать, что она сходится равномерно в любой области D', внутренней к D.
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 261
3.	Область равномерной сходимости. В случае, если функции fn(z) суть целые функции от z, всякая связная область, в которой последовательность (1) оказывается равномерно сходящейся, есть односвязная область.
Пусть, в самом деле, С — какая-либо замкнутая кривая, не имеющая двойных точек, расположенная в области D, где последовательность (1) оказывается равномерно сходящейся. В частности, эта последовательйость сходится равномерно на самом контуре С, и, поскольку функции fn(z) голоморфны в области D', внутренней к С, то отсюда вытекает, что последовательность (1) является равномерно сходящейся и в названной области D'. Следовательно, невозможно, чтобы область равномерной сходимости последовательности целых функций состояла из части плоскости, ограниченной какой-либо замкнутою кривою С и одною или несколькими замкнутыми кривыми, внутренними по отношению к С.
Если, в более общем случае, область равномерной сходимости последовательности голоморфных функций ограничена контуром С и одним или несколькими контурами, внутренними по отношению к С, то невозможно, чтобы все функции fn(z) были голоморфны во всей области, внутренней к С. Например, если область равномерной сходимости есть круговое кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с и С радиусов г и R (г < R), то невозможно, чтобы все функции f„(z) были голоморфны внутри с. Если F(z) есть функция, голоморфная в этой области, с особыми точками, расположенными внутри с, то ее можно, будет представить как сумму равномерно сходящегося ряда не иначе, как в том случае, если среди членов этого ряда присутствуют функции, также допускающие особые точки внутри контура с. В частности, это имеет место для ряда Лорана, который можно записать таким образом, чтобы каждый его член имел полюс в центре обоих кругов.
Мы имели примеры рядов, члены которых суть рациональные функции и которые равномерно сходились в разделенных областях (§ 289). Легко построить ряды целых функций, обладающие тем же свойством. Рассмотрим, например, степенной ряд а0 + atz 4- anzn -^ ... с радиусом сходимости г, меньшим Если положить z = x(l—х), то область сходимости преобразованного ряда будет состоять из двух раздельных областей, ограниченных двумя овалами лемнискаты.
4.	Теорема Стильтьеса. Ядро равномерной сходимости. В дальнейшем мы займемся изучением ограниченных последовательностей голоморфных функций. Для краткости мы условимся говорить, что последовательность функций fn (z), голоморфных в данной области D, ограничена в этой области, если существует число М, не зависящее от z и от п, такое, что неравенство I /„ (z) | < М справедливо, каково бы ни было п, в каждой точке z, внутренней к D. Условимся также говорить, что последовательность функций, голоморфных в D, имеет в этой области ядро равномерной сходимости, если существует область А, внутренняя по отношению к D, в которой эта последовательность равномерно сходится.
Теорема Вейерштрасса была обобщена Стильтьесом [А], доказавшим следующее предложение:
Всякая ограниченная последовательность функций, голомо/ фных в данной области D, допускающая в названной области ядро равномерной сходимости, сходится равномерно в любой области D1, внутренней по отношению к D.
Пусть х0 — внутренняя точка области А, представляющей ядро равномерной сходимости. Опишем из этой точки как из центра две окружности с и С радиусами, соответственно, равными г и 7? (r< R), так, чтобы с оказалась внутри А, а С—внутри D. По предположению, последовательность (1) должна сходиться равномерно в области А, и потому/„(х) имеет своим пределом. функцию /'(х), голоморфную в этой области.
Пусть
fn (-0 — аол) + (х — х0) + ... + (х — х0)/>
F(x) = c0 4- Ci(x — л0)+ ••• + ср(х — х0?+ •
— разложения в ряд Тейлора этих двух функций в окрестности точки _с0, из которых первое сходится в круге С, а второе — как внутри круга с, так и на са-
262
ДОПОЛНЕНИЕ
мой окружности. Применяя к разности F(x)— fn(x) классическую формулу § 286, находим:
с	f^d2.
р Р 2гл J (z —х0)Р+<
По условию разность F (z)—fn(z) стремится к пулю равномерно вдоль контура с, следовательно, интеграл в правой части при неограниченно возрастающем л также стремится к нулю, и потому
c„ lirn (nz-Q, 1, 2,... ocl	(3)
у п =	р
С другой стороны, если М означает верхнюю границу модуля функций fn(z) в области D, имеем неравенство:
и следовательно, коэфициенты ср удовлетворяют тем же неравенствам:
М
Rp’
(4')
так что функция F(z) должна быть голоморфна в круге С, так же как и сами функции fn(z). Чтобы показать, что соотношение F(х) = limfn(х) справедливо всюду внутри круга, рассмотрим круг Со радиуса р, внутренний и концентрический к первому, дан покажем, что последовательность функций /Л(л) сходится равномерно в этой области к F(x), и с этой целью нам достаточно будет показать равномерную сходимость к нулю разности F(x) — fn(x) вдоль контура Со. Эта разность представляется разложением в ряд Тейлора:
F (х) _ fn (х) =	_ я(«)+ (f) _ aW) (х _ хо) + ... + {Ср _ аЮ) (х _ х0)д +
Модуль суммы ряда, образованного всеми членами, начиная с того, который содержит (х — x0)P+i, на основании неравенств (3) и (4), остается меньшим, чем
Сперва выберем число р так, чтобы этот модуль был меньше, чем > где г есть наперед заданное положительное число, что возможно, потому что а < /?. Выбрав число р таким способом, обозначим через ц наибольший из модулей разностей с0—	, с{—ср —	. Модуль многочлена, написанного
в правой части формулы (11), оказывается меньшим, чем т, (1 4- р -L р2 . 4- рр), и тик как т) стремится к нулю при неограниченном возрастании л, существует такое число N, что
^(1+р + ?!+-+^<у (»^М).
Следовательно, для тех же значений п в каждой точке окружности Со будем иметь:
I F(x)-fn(x) 1< г,
откуда и заключаем о равномерной сходимости последовательности (1) на контуре и, следовательно, внутри круга Св. Очевидно, можно принять за х0 любую точку внутри ядра сходимости Д и за Со — любой круг с центром х0, внутренний к D, потому что всегда можно найти другой, концентрический с ним, круг большего радиуса, который, в свою очередь, был бы расположен внутри £>, Итак, мы при-хиднм к следующему выводу:
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
263
Последовательность (1) равномерно сходится в любом круге Со, внутреннем к D, с центром в любой точке х0, расположенной внутри Ь.
Следовательно, круг Со, в свою очередь, оказывается ядром равномерной сходимости последовательности (1), и, если из любой точки х{, внутренней к Со, как из центра описать какой-либо круг С{, внутренний к D, то последовательность (1) оказывается равномерно сходящейся и в этом новом круге. Какова бы ни была точка X, внутренняя к D, очевидно, что после конечного числа операций этого рода мы придем к кругу, содержащему в себе X, в котором последовательность (1) должна сходиться равномерно (см. § 334).
Итак, рассматриваемая последовательность сходится равномерно в любом круге, расположенном внутри области D.
Пусть теперь D' — любая область, внутренняя к D. Выше мы показали (п. 1), что можно найти конечное число кругов Clt Cit ... , Ст, внутренних к D, и таких, что каждая точка области D' принадлежит по меньшей мере одному из этих кругов. Последовательность (1), будучи равномерно сходящейся в каждом из этих кругов, должна сходиться равномерно и в области D'. Можно заметить, что то же самое заключение остается в силе, если, вместо того чтобы предполагать последовательность (1) ограниченной во всей области D, предположить ее ограниченной лишь во всякой области, внутренней к D.
Отсюда мы заключаем, что рассматриваемые последовательности обладают в области D всеми свойствами, вытекающими из теоремы Вейерштрасса.
5.	Теорема Витали. Результат Стильтьеса был значительно обобщен Витали [В], которому принадлежит следующая важная теорема:
Если ограниченная последовате <ьность функций, голоморфных в некоторой области D, сходится в бесконечном множестве точек, внутренних к D, и если эти точки сходимости имеют по крайней мере одну предельную точку внутри D, то последовательность сходится равномерно во всякой области D', внутренней к D ;'.
Пусть х0 — предельная точка множества точек сходимости, внутренняя к D, так что в круге произвольною радиуса с центром х0 всегда существует бесконечно много точек сходимости данной последовательности. С другой стороны, рассмотрим круг С с центром х0 радиуса /?, внутренний к D, и пусть М означает верхнюю границу модуля функций последовательности в области D. Разложение в ряд Тейлора любой из функций /„(»)
/„ (х)	я<0"’ + д <"> (х — х0) + ... 4- Фрп> (х]— х0)/> + ...
является сходящимся в круге С, и потому справедливы неравенства (10), приведенные выше.
Существенный момент доказательства состоит в том, чтобы показать, что коэфициент имеет предел при неограниченном возрастании п, что было легко сделать в условиях теоремы Стильтьеса, но употребленный в этом случае метод доказательства оказывается здесь неприменимым. Пусть х — любая точка, внутренняя к D. Имеем:
fn+pW -fn W =	+ - «0Л) +
+ [	+ Л _ я(«)] (х - х0) + [ 4"+/’) - а^] (х - х0)2 + ...
Если модуль разности х — х0 меньше, чем г, то модуль суммы ряда в правой части, у которого отброшен постоянный член, оказывается на основании неравенства (10) меньшим, чем
“ К+(й’+-]=м^-
Выберем число г таким образом, чтобы иметь:
Mr г
г“ Приведенное здесь доказательство принадлежит Эрнсту Линделёфу, Bulletin de ta Societe mathematique, т. XLI, 1913, стр. 171.
264
ДОПОЛНЕНИЕ
где. г — произвольное положительное число. Мы видим, что если модуль разности х — х0 остается меньше числа г, заданного таким способом, то, подавно,, будем иметь:
Н+р) - ^ < i w*)-/«м I+1 •
По предположению, внутри круга радиуса г, описанного вокруг точки х0, существует бесконечное множество точек сходимости данной последовательности.. Примем за х одну из этих точек сходимости. Тогда существует такое число 7V, что в выбранной точке х:
1 fП + Р 0^) fП (-^) | < "2" >
коль скоро п	N. Следовательно, для тех же самых значений п мы должны иметь:
| _0'«) |<Е,
откуда следует (т. I, § 5), что cfp имеет предел с0 при неограниченном возрастании п.
Затем мы докажем рекуррентным способом, что то же самое справедливо и по отношению костальным коэфициентам а"\ ар,...
Предположим, что это свойство установлено для р первых коэфициентов:
Tim Ду”1 = с0. Пт	..., lima^Lj =cp-i-
Чтобы показать^ что коэфициент также имеет предел при неограниченно возрастающем п, рассмотрим вспомогательную последовательность функций
?п(-«)=^П) + ар+1(Х — Хо)+ ... =
_ fn —4Л)—«г* (*—*о) - • • • — «р L j (*—-1
“	(х — х^Р
Эти функции, на основании неравенств (10), очевидно, голоморфны в круге С и ограничены в любом концентрическом круге, внутреннем по отношению к С_ Сверх того, эта последовательность допускает те же точки сходимости, что и первоначальная. Действительно, если х есть точка сходимости первой последовательности, то многочлен
“Р + 4П) (х — х0) + ... + ар_ 1 (х — хв)Р-‘
сходится при неограниченном возрастании п к пределу
fo+fl(X— Хо) +'••[+ ср~1 (х — ХоУ'-1.
Ввиду этого последовательность функций ®„(х) обладает теми же свойствами, что и /„ (х), и потому коэфициент а^р имеет предел ср при неограниченно возрастающем п. Итак, вообще:
lim ар = ср (р = 0, 1, 2, ... оо). «=оо р
Эти коэфициенты ср удовлетворяют к тому же неравенствам (4'), так что» степенной ряд	
/=,(х) = с0 + с1 (х — х0)+ ... +ср(х — х0)Р+ ...
оказывается сходящимся в круге С и представляет функцию, голоморфную в этом круге. Затем доказательство можно будет довести до конца, как в предшествующем пункте, показав, что разность Р(х)—fn(x) стремится к нулю равномерно в концентрическом круге Со, внутреннем по отношению к С. Этот круг Со, следовательно, представляет ядро равномерной сходимости рассматриваемой последовательности, и мы делаем отсюда то же самое заключение, что и ранее, т. е .
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
265
что данная последовательность есть равномерно сходящаяся в любой области D', внутренней по отношению к D. Очевидно, можно было бы также заменить предположение, что данная последовательность ограничена в целой области D, более общим предположением, что она ограничена в любой области, внутренней по отношению к D.
Примечание. Из теоремы Витали также следует, что любая ограниченная последовательность функций, голоморфных в некоторой области D, является равномерно сходящейся в любой области D', внутренней к D, в случае если данная последовательность сходится вдоль дуги кривой или в какой-либо области А, расположенной внутри D.
6.	Нормальные последовательности. Теперь мы будем исходить из более общих предположений. Рассмотрим любую ограниченную последовательность функций
/Цг), /2(z), ..., /„(z), ...,	(1)
голоморфных в некоторой области D. По основной теореме Монтеля [G] из последовательности (1) всегда можно извлечь частичную последовательность, сходящуюся равномерно в любой области D', внутренней по отношению к D.
Пусть х0—какая-либо точка, внутренняя к D, С—круг с центром хп радиуса R, расположенный внутри D. В таком случае разложения в ряд Тейлора функций fn
fn (х) = а™ + а<п> (х - х0) + ... + 4"’ (х - х0)Р + ...
оказываются сходящимися в этом круге С, и, каковы бы ни были пир, имеем неравенство:
где М имеет тот же самый смысл, что и ранее. В частности, модули всех коэфициентов а^ остаются меньшими, чем М, следовательно, точки с аффиксами расположены внутри круга радиуса М, и это множество должно иметь по меньшей мере одну предельную точку. Следовательно, существуют число А6 и возрастающая последовательность целых чисел п , п , л",... таких, что числовая последовательность
<!’- 4-	•••
имеет своим пределом Ао. Таким же образом модули членов последовательности я”1, а”», а"‘,... остаются меньшими, чем . Ввиду этого из данной числовой последовательности а” можно извлечь частичную последовательность
а,1 , а”2 , а"’, a"s
сходящуюся к пределу А{. Таким же образом из последовательности
, а”2, а"2, а"2 ,...
можно извлечь частичную последовательность
ЛП1 пП1 пП\ пП а2 , а2 > О 2 , а^з ,
сходящуюся к пределу А2, и т. д. Продолжая этот процесс, находим возрастающую последовательность целых чисел л4, п.2,..., па,... таких, что числовая последовательность	'	4
при всяком значении р имеет своим пределом некоторое число Ар, когда q неограниченно возрастает. Действительно, когда р — 0, члены последовательности (f),
266
ДОПОЛНЕНИЕ
которые присутствуют среди таковых последовательности (as), имеют своим пределом Аа. Для р=1 члены последовательности ({!) имеют предел потому что они входят в состав последовательности (аД и т. д. При этом, если заставить число пд неограниченно возрастать, то из неравенств (10) следует:
м ,.<А
Теперь рассмотрим фупкци о
F(z) = Ао + А{ (z — х0) +... 4- Ар (z — х0)/' +•..,
голоморфную в круге С, и частичную последовательность
(1')
выделенную из первоначальной, также ограниченную в области D. В данном случае рассуждение п. 5 применимо слово в слово и показывает, что разность E(z)—fa[Z) сходится равномерно к нулю в любом концентрическом круге Св, внутреннем по отношению к С. Ввиду этого частичная последовательность (Г) имеет в D ядро равномерной сходимости и потому сходится равномерно в любой области D’, внутренней к D.
Всякая частичная последовательность, все члены которой принадлежат последовательности (1), обладает одинаковыми с нею свойствами, и потому из нее можно также извлечь частичную последовательность, сходящуюся в D. Если назвать, следуя Монтелю, нормальной всякую последовательность функций, обладающую тем свойством, что любая выделенная из нее частичная последовательность допускает по меньшей мере одну предельную функцию, то мы в праве высказать такое предложение:
Всякая ограниченная последовательность функций, голоморфных в некоторой области D, является нормальной.
На основании предшествующей теоремы из любой ограниченной функциональной последовательности этого класса можно выделить бесконечно много сходящихся частич ных последовательностей. Если первоначальная последовательность сама является сходящейся в области D, то очевидно, что и все выделенные из нее частичные последовательности будут сходящимися и должны иметь тот же самый предел.
Обратно, еслч все сходящиеся частичные последовательности, какие могут быть выделены из последовательности (1), имеют один и тот же предел. то и сама последовательность (1) оказывается сходящейся.
Пусть, в самом деле, p(z)— предел какой-либо сходящейся частичной последовательности, выделенной из последовательности (1), которую мы предположим расходящейся, и пусть х—какая-либо точка, обладающая тем. свойством, что fn(x) не стремится к ? (х) при неограниченно возрастающем п. Тогда существует такое положительное число г, что для бесконечного множества значений п справедливо неравенство
I/.W-tWIX
Пусть nY-	пр,..возрастающая последовательность целых положитель-
ных чисел такая, что
\fn W — ?•(*)I >	\fn W- !WI>E. • • •
1	3
В таком случае множество, составленное из точек fn (х\ /л (х),.... имеет но меньшей мере одну предельную точку Л.-+г»(х), и из последовательности функций /я, .... /я .... можно будет выделить такую частичную последовательность, которая сходится в точке z=x к пределу, отличному от е (х). Следовательно, существовали бы две частичные последовательности, выделенные из (1), сходящиеся к двум различным пределам.
Итак, чтобы показать, что данная ограниченная последовательность (1) сходится, достаточно установить, что никакие две выделенные из нее частичные последовательности не могут сходиться к двум различным пределам. Предположим, в частности, что последовательность (1) оказывается сходящейся на множестве точек Е, внутренних к D. Все сходящиеся частичные последовательности, выделенные из (1), должны иметь один и тот же предел в точках множества Е.
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 267
Если какие-либо две из названных частичных последовательностей не сходятся к одной и той же предельной функции, то их разность сходится к функции, голоморфной в D, исчезающей в каждой точке множества Е. Следовательно, чтобы доказать сходимость последовательности (1) в области D, достаточно будет убедиться в том, что не существует функции, голоморфной в D, кроме f (z) — О, исчезающей в каждой точке данного множества Е.
Этот вывод вполне согласуется с теоремой Витали, ибо в этом случае множество Е по предположению допускает по меньшей мере одну предельную точку, внутреннюю к D, и функция, голоморфная в названной области, не может иметь бесконечного множества нулей в окрестности такой точки.
Упомянутое свойство было использовано Blaschke в случае, когда ограниченная последовательность (1) оказывается сходящейся на бесконечном множестве точек области D, имеющем предельную точку, расположенную на ее границе, и Монтелем — в случае сходимости в каждой точке некоторой дуги, входящей в состав этой границы [см. С и Н
7.	Неограниченные сходящиеся последовательности. Теперь обратимся к рассмотрению неограниченной последовательности (1) функций, голоморфных в данной области D, которую мы для определенности предположим односвязной. Так как всякая многосвязная область может быть разбита на односвязные, то, делая такое предположение, мы не уменьшаем общности рассуждений. Сначала мы установим следующее основное свойство:
Еслг данная последовательность (1) сходится в какой-либо области D, то можно найти такую область А, внутреннюю к D, где она будет ограничена.
В самом деле, так как последовательность (1) по предположению не ограничена, то можно найти в области D точку где одна из функций последовательности по модулю превосходит единицу. Пусть fn —такая функция. В силу ее непрерывности существует область Dlt внутренняя к D, окружающая точку где всюду |/л | > 1. Затем рассмотрим функциональную последовательность
/л» fn +l’•••’ fn + £>•••
Если она не ограничена в D{, то можно найти такую точку Afa, принадлежащую названной области, где одна из функций fn этой новой последовательности по модулю превосходит 2, а следовательно, и область Dit внутреннюю к Dt, где \fn | > 2. Ту же операцию можно проделать с последовательностью
/лз> f п^ + 1 > •   > fnt+p<- • •
и т. д. Продолжая этот процесс, мы найдем такую область Dp, внутреннюю к D, где все функции последовательности (1), начиная с некоторой, будут оставаться по модулю меньшими целого числа р, и последовательность (1) будет ограничена в этой области. Действительно, если бы указанный процесс можно было продолжать неограниченно, то построенные нами области D{,	Dp,..., нз
которых каждая последующая вложена в предыдущую, имели бы по меньшей мере одну общую точку Р, внутреннюю к D, где при любом р мы имели бы:
\f»pl>P,
и последовательность (1) не могла бы сходиться в точке Р. Отсюда следует, что если какая-либо последовательность
функций, голоморфных в данной области D, сходится в этой области, не будучи в ней ограничена, то в каждой области D', внутренней к D, как бы мала она ни была, всегда можно найти другую область, где последовательность будет ограничена и где ее предел Fix) представляет голоморфную функцию Но может случиться, что область D можно разбить на бесконечное множество частичных областей, в которых предел последовательности (1) представляет совершенно различные аналитические функции. В упомянутой книге Монтеля (стр. 110 — 112) приво
дятся весьма простые примеры этого рода.
Какая-либо точка х0 области D называется правильной, если можно наити круг радиуса f>Oc центром х(|, внутри которого последовательность Ц) будет
сходиться равномерно.
Пусть г—верхняя граница положительных чисел р, удовлетворяющих этому условию. Полученное число г аналогично радиусу сходимости степенного ряда.
268
ДОПОЛНЕНИЕ
Из этого определения непосредственно следует, что все точки, расстояния которых до какой-либо правильной точки х0 остаются меньшими числа г, являются также правильными, и легко показать, с помощью рассуждения, аналогичного' приведенному в § 335, что это число г изменяется непрерывным образом вместе с положением центра х0.
Пусть у — какая-либо замкнутая кривая, расположенная в О, ограничивающая область 8, внутри которой все функции /„ голоморфны. Если все точки этой кривой 7 оказываются правильными, то же самое справедливо и по отношению ко всем точкам области 3.
Пусть, в самом деле, х — криволинейная абсцисса какой-либо точки контура у и г—соответствующее положительное число. Это число г есть непрерывная функция от s, допускающая положительный минимум > 0, когда мы описываем кривую у. Следовательно, найдется конечное число кругов радиуса гй г коих центры располагаются вдоль контура у и которые покрывают кольцевую область А, заключающую в себе упомянутый контур. Последовательность (1), будучи равномерно сходящейся в каждом из этих кругов, является таковой и в области А, а потому и вдоль контура у. Следовательно, она должна сходиться равномерно и в области о, внутренней к у, и все точки этой области оказываются, правильными.
Всякая точка, которая не является правильной, носит название неправильной. В случае, если последовательность (1) не сходится равномерно во всей области Д>, эта последняя заключает в себе неправильные точки, и мы не можем утверждать, что предел Е (х) последовательности (1) есть голоморфная функция, в окрестности неправильной точки.
В заключение мы укажем несколько свойств множества Е всех неправильных точек. На основании теоремы, доказанной в начале этого пункта, названные точки не могут заполнить никакую площадь, как бы мала она ни была.
Из этой теоремы также вытекает, что, вообще, в любой области D', внутренней к D, всегда можно найти другую область о, не содержащую ни одной точки множества Е. Это свойство выражают, говоря, что множество Е нигде не плотно в области D.
Множество Е не может иметь изолированных точек. Действительно, если бы была неправильная изолированная точка, то вокруг нее можно было бы описать окружность с центром х0, все точки которой были бы правильными, а в таком случае все внутренние точки, как мы только что видели, также должны оказаться правильными. С другой стороны, всякая предельная точка множества Е сама должна принадлежать Е, потому что в окрестности правильной точки не может содержаться бесконечно много неправильных точек. Следовательно, множество Е совпадает со своим производным множеством Е', т. е. оказывается совершенным.
Это множество является континуумом. Всякая замкнутая кривая, окружающая какую-либо неправильную точку, сама содержит неправильные точки, по той же причине, что и ранее. Это множество образует с границей D связное множество. Действительно, если бы можно было заключить все эти точки внутрь замкнутой кривой С, содержащей лишь правильные Точки, мы снова пришли бы к противоречию.
В ранее упомянутых мемуарах читатель найдет другие важные теоремы, изложению которых невозможно было уделить место в этом кратком дополнении. В частности, я отсылаю его к работам П. Монтеля, которому я по преимуществу обязан вышеприведенными библиографическими указаниями.
УКАЗАТЕЛЬ*.
(Цифры обозначают страницы настоящего полутома.)
Абель 23, 42, 43, 168, 178.
Абеля интегралы 258.
—	теорема 249.
Адамар (Hadamard) 209, 212.
Адамара теорема 211.
Алгебраическая особая точка 247.
—	функция 245.
Аналитическая последовательность 258. — функция 14, 195.
-----двух переменных 237.
Аналитическое продолжение 193.
Аппель 80, 224.
Аргумент мнимого количества 10.
Аффикс точки 10.
Бертран 55.
Бесконечное произведение 26.
Билинейное преобразование 48.
Бирациональное преобразование 189.
Бициркулярная кривая 190.
Блашке (Blaschke) 258.
Блюменталь (Blumenthal) 131.
Борель (Borel) 131, 212. 213, 215.
Брно и Буке (Briot et Bouquet) 192.
Вейерштрасс 126.
Вейерштрасса обозначение эллиптической функции 153, 168.
— первичные множители 126.
— теорема 82, 87, 242, 259.
—	• формула 60.
Ветвь функции 19.
Витали (Vitali 258.
—	теорема 263.
Вычет 88.
—	полный 106.
Гаусса гипергеометрический ряд 207. — суммы 120.
Геометрическое истолкование производной 45.
Гиперболическое преобразование 54.
Гипергеометрический ряд 207.
Главная часть функции 85, 86, 104.
Главное значение логарифма 32.
-----обратной тригонометрической функции 35.
Голоморфная функция 16.
Гурса 64, 223, 250.
Гутцмер (Gutzmer) 76.
Дарбу (Darboux) 49.
—	формула 60.
Двойные интегралы 229.
Двоякопериодическая функция 145,148.
Действительная ось 10.
Дель-Аньола (dell Agnola) 212.
Дирихле принцип 123.
Йенсена формула 99.
Изотермические линии 51.
Инварианты теории эллитических функций 157.
Инверсия 48.
Интеграл двойной 229.
—	Коши 70, 221.
—	определенный между мнимыми пределами 56.
—	по замкнутому контуру 61.
—	ультраэллиптический 110, 251.
Интегралов вычисление 91.
Интегрирование функций комплексного переменного 36.
—	эллиптических функций 166.
Иррациональные функции 17.
Каратеодори (Caratheodory) 258.
Кассиноида 207.
Кеплера уравнение 103, 121.
Клебш (Clebsch) 183.
Клейн 55.
Комплексное количество 9.
—	переменное 12.
Континуум 268.
Конформное преобразование 45.
Коши (Cauchy) 14, 56, 67, 101, 106, 196, 229 233
—	интеграл 70, 221, 223, 231.
* Подробный именной и предметный указатель ко всему „Курсу математического анализа11 Гур-•са будет дан в конце Л1 тома.
270
УКАЗАТЕЛЬ
Коши символ 15.
—	теорема 67.
Кривые бициркулярные 190.
—	первого рода 188.
—	третьего порядка 182.
Критическая точка функции 19,138,242.
Круг сходимости 22.
---совместный 227.
Круговая функция 30.
Круговое преобразование 48.
Кузен (Cousin) 238.
Лагранжа формула 101.
— — обобщения 122, 255.
Лакунарное пространство 197, 215.
Ландау (Landau) 258,
Лаплас 255.
Лапласа уравнение 15, 52.
Лежандр (Legendre) 178.
Лежандра полином 119.
Линделбф (LindelOf) 205, 263.
Линия 193.
Лиувилля теорема 76.
Логарифм 31.
Лорана ряд 70, 77, 86.
Мерз (Мёгау) 196.
Мероморфная функция 85, 96.
Миттаг-Леффлер 126.
Митаг-Леффлера теорема 133, 213.
Мнимое количество 9.
Многозначная функция 19, 21, 22.
Многосвязная область 258.
Множество неправильных точек 268. — нигде не плотное 268.
Модуль мнимого количества 10.
Моногенная функция 13.
Монодромная функция 22.
Монтель (Montel) 258, 265.
Морера (Могега) теорема 72.
Муавра формула И.
Неограниченная сходящаяся последовательность 267.
Неправильная точка 268.
Непрерывная функция комплексного переменного 12.
Нечетная функция 152.
Нигде не плотное множество 268.
Нормальная последовательность 265.
Нуль функции 84.
Область 16.
— бесконечно удаленной точки 104.
—	замкнутая 259.
—	многосвязная 258.
—	односвязная 258.
—	открытая 259.
—	равномерной сходимости 261.
—	связная 258.
Область точки 84.
Обратная тригонометрическая функция 33.
Обращение эллиптического интеграла 178.
Обращения; общие формулы 184.
Обыкновенная точка функции 84.
Однозначная функция 21, 126.
Определенный интеграл между мнимыми пределами 56.
Осгуд (Osgood) 238.
Особая алгебраическая точка 247. — линия 216.
— точка функции 84, 200.
Островский 207, 258.
Параболическое преобразование 54.
Пенлеве (Painleve) 81.
— теорема 214.
Первичные множители Вейерштрасса 126.
Период определенного интеграла 106. — полярный 106, 249.
—	ультраэллиптического интеграла 110.
—	циклический 249.
—	эллиптического интеграла 114.
Периодическая функция 145.
Пинкерле (Pincherle) 212.
Племель (Plemels) 224.
Подпоследовательность 206.
Показательная функция 28.
Полный вычет 106.
Полюс функции 84.
Полярный период 106, 249.
Порядок полюса 85.
—	функции 86.
—	эллиптической функции 149.
Последовательность аналитических функций 258.
—	нормальная 265.
Правильная точка 267.
—	функция в точке 84.
---в бесконечно удаленной точке 104.
Преобразование билинейное 48.
—	бирациональное 189.
—	гиперболическое 54.
—	инверсия 48.
—	конформное 45.
—	круговое 48.
—	параболическое 54.
—	Фукса 54.
— эллиптическое 54.
Приведенное значение логарифма 32.
Произведение бесконечнее 26.
Простая дуга 258.
Противоположные мнимые количества 10.
Прямолинейная звезда функции 209. Пуанкаре (Poincare) 216, 229, 288. Пустое пространство 197, 215.
УКАЗАТЕЛЬ
271
Пюизе (Puiseux) 245.
Равномерно сходящийся ряд 12.
Разветвления точка 19.
Разложение мероморфной функции 138. — функции в ряд 41.
Разрез 215.
Разрез существенный 218.
Разрыва точки 86.
Рациональная функция 17.
Рекуррентный ряд 124.
Риман 69.
Римана теория аналитических функций 15.
---конформного преобразования 49.
Риманова поверхность 249.
Род целой функции 131.
Ряд гиперболический 207.
—	голоморфных функций 82.
—	Лорана 70.
—	рекуррентный 124.
—	рядов 25.
—	с мнимыми членами 22.
—	степенной 26.
—	Тейлора 70.
—	усиливающий 25.
Связная часть плоскости 16.
Связное множество 268.
Симметричные мнимые количества 10.
Синектическая функция 14.
Совершенное множество 268 Совместные круги сходимости 227. Сопряженные мнимье количества 10. — семейства изотермических линий 51. Стильтьес (Stieltjes) 103, 258.
Стильтьеса теорема 261.
Существенно особая точка функции 86, 104.
Существенный разрез 218.
Сходимости круг 22.
Таннри (Tannery) 220.
Тейлора ряд 70.
Точка критическая 242.
—	неправильная 268.
—	нуль 84.
—	обыкновенная 84.
—	особая 84, 200.
--- алгебраическая 247.
—	полюс 84.
—	правильная 267.
—	разрыва 86.
— существенно особая 86, 104.
Трансцендентная функция 22.
Тригонометрическая обратная функция 33.
— функция 30.
Ультраэллиптический интеграл 110,251.
Уравнений теория 98.
Усиливающий ряд 25.
Фабри 215.
Фредгольм (Fredholm) 220.
Фукса преобразование 54.
Функция алгебраическая 245.
— аналитическая 14, 195.
---многих переменных 226.
—	голоморфная 16, 227.
—	двоякопериодическая 145, 148.
---изображение определенным интегралом 232.
—	иррациональная 17.
—	круговая 30.
—	мероморфная 85, 96.
—	многозначная 21.
—	моногенная 13.
—	монодромная 22.
—	непрерывная 12.
— нечетная 152.
—	обратная тригонометрическая 33. — однозначная 21, 127.
—	периодическая 145.
—	показательная 28.
—	правильная в точке 84.
—	— в бесконечно удаленной точке 104.
—	рациональная 17.
—	синектическая 14.
—	трансцендентная 22.
—	тригонометрическая 30.
—	Фурье 168.
—	целая 25, 87, 261.
—	четная 152.
—	эллиптическая 149.
Целая функция 25, 87, 261.
Цикл 249.
Циклический период 249.
Четная функция 152.
Шредер (Schroder) 220.
Эйзенштейн (Eisenstein) 257.
Эйлер 40, 55, 207.
Эйлера формулы 30.
—	функции 149.
Элемент функции 195.
Эллиптическая функция 149.
Эллиптический интеграл 114.
Эллиптическое преобразование 54. Эрмит (Hermite) 101, 103, 215, 224, 257. Эрмита формула 221.
Ядро равномерной сходимости 261.
Якоби 119, 168, 178.
—	обозначение эллиптических функций 152.
—	теорема о периодах 147.