Автор: Гейн А.Г. Шеврин Л.Н. Коряков И.О.
Теги: учебные пособия и учебники по математике математика издательство просвещение школьное образование учебник для школьников библиотека учителя математики
ISBN: 5-09-001537-6
Год: 1989
Текст
Библиотека учителя математики
ДОБРО
ПОЖАЛОВАТЬ!
1м = 10дм =100 см =1000мм
0,1м- 1дм =10см в100мм
0,01м в0,1дм в 1см “10мм
0,001 м = 0,01 дм = 0,1 см “1мм
3,6,9,12, 15, 18, 21, 24,27, 30,...
5, 10,15,20, 25,30, 35, 40,45,50, ...
КЛАСС
C=D=n
ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ (ДО1ООО)
2 41 97 157 227 283 367 439 509 599 661 751 829 919
3 43 101 163 229 293 373 443 521 601 673 757 839 929
5 47 103 167 233 307 379 1449 523 607 677 761 853 937
7 53 107 173 239 311 383 457 541 613 683 769 857 941
11 59 109 179 241 313 389 461 547 617 691 773 859 947
13 61 113 181 251 317 397 463 557 619 701 787 863 953
17 67 127 191 257 331 401 467 563 631 709 797 877 967
1» 71 131 193 263 337 409 479 569 641 719 809 881 971
23 73 137 197 269 347 419 ! 487 571 643 727 811 883 977
29 79 139 199 271 349 421 491 577 647 733 821 887 983
31 83 149 211 277 353 431 499 587 653 739 823 907 991
37 89 151 223 281 359 433 503 593 659 743 827 911 997
Библиотека учителя математики
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНИК-СОБЕСЕДНИК
ДЛЯ 5'6 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Допущено
Г осу дарственным
комитетом СССР
по народному
образованию
МОСКВА .ПРОСВЕЩЕНИЕ" 1989
ББК 22.1я72
М34
Авторы:
Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И. О. Коряков, М. В. Волков
Учебник получил премию
на Всесоюзном конкурсе учебников математики
для средней общеобразовательной школы
Математика: Учеб.-собеседник для 5—6 кл. сред. шк. /
М34 Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И. О. Коряков, М. В. Волков.—
М.: Просвещение, 1989.— 495 с.:-ил.— (Б-ка учителя мате-
матики)ISBN 5-09-001537-6
Учебник математики для 5—6 классов написан в соответствии с прог-
раммой 11-летней общеобразовательной школы. Книгу отличают
развернутые объяснительные тексты и разнообразные приемы разви-
вающего обучения: диалог с читателем, сквозная рубрика «Учимся рас-
суждать при решении задач», использование специальных персонажей
(Смекалкина, его младшего брата, клоуна) и др. Большое внимание
уделяется задачам, отражающим жизненные ситуации, а также различ-
ным приемам, повышающим занимательность учебника (игровые эле-
менты, загадки, ребусы и т. п.). Учебник хорошо приспособлен для
организации самостоятельной работы учащихся.
. 4306010000—703
М 103(03)—89 ПОДПИСНОе
ББК 22.1 я72
ISBN 5-09-001537-6
© Шеврин Л. Н. и другие, 1989
Предисловие
Предлагаемый вниманию читателя учебник был представлен
на конкурс школьных учебников математики,
объявленный в 1986 г. Министерством просвещения СССР
и Госкомиздатом СССР. По итогам конкурса ему присуждена
третья премия. Конкурсная комиссия отметила большую работу
авторского коллектива по созданию учебной книги нового
типа и перспективность использования этой книги
в качестве пособия для учащихся. С целью ознакомления
широкой учительской общественности с учебником
издательство «Просвещение» выпускает его в серии
«Библиотека учителя математики». Нужно отметить,
что оформление учебника, следуя в основном оригинальному
замыслу, из-за условий данного издания несколько
отличается от задуманного авторами (использован более
мелкий шрифт, оставлены более узкие поля, не воспроизведен
цвет в знаковой системе аппарата ориентировки и т. п.).
Смысл цветных ориентирующих знаков объяснен во введении
«Как работать с учебником». В конце книги помещена
адресованная учителю пояснительная записка.
Авторы и издательство будут признательны за предложения,
которые способствовали бы дальнейшему совершенствованию
учебника.
Редакция математики
КАК РАБОТАТЬ С УЧЕБНИКОМ
Когда путешественник отправляется в путь, что полез-
но ему знать? Конечно, многое. Например, он должен
хорошо знать дорожные указатели. Тогда он точно опре-
делит, где нужно свернуть, где можно остановиться, где
получить помощь.
Работа с учебником — это все равно что долгое’ путе-
шествие по стране Математике. Вот мы и хотим объяснить
вам самое необходимое для того, чтобы сделать это
путешествие легче и интереснее. Ведь и в учебнике есть
всякие «дорожные указатели», и их смысл надо хорошо
понимать. А еще надо ясно представлять, на какие части
будет делиться наш долгий маршрут.
То, что мы здесь объясняем, разделено на 7 пунктов.
Вовсе не обязательно прочитать их все сразу, можно и с
перерывами.
1. На какие части делится учебник
Самые крупные части — главы. Главы делятся на
параграфы, а параграфы — на еще более мелкие ча-
сти, которые мы решили назвать уроками. Чтобы прой-
ти один урок из учебника, вам понадобится иногда один
школьный урок, но чаще всего — два или больше. Каж-
дый урок в учебнике начинается с объяснительного текста.
За ним идут вопросы и задания.
Узнать названия глав, параграфов и уроков легче
всего по оглавлению. Вы часто будете пользоваться им,
чтобы найти, например, на какой странице начинается
нужный урок. Но мы советуем разглядывать оглавление
и с другой целью — чтобы лучше ориентироваться в изу-
чаемом материале. Так разглядывание карты местности
помогает туристу лучше ориентироваться в походе.
2- Как в объяснительном тексте
выделяются важные слова
Если мы хотим привлечь особое внимание к какому-
то слову, то это слово печатается вразрядку. Если мы
хотим выделить в тексте какое-то название, свойство или
правило, то нужные слова печатаются жирным шрифтом.
САМЫЕ ВАЖНЫЕ НАЗВАНИЯ» СВОЙСТВА
И ПРАВИЛА
ПЕЧАТАЮТСЯ ПРОПИСНЫМИ БУКВАМИ.
Что делать, если вы забыли объяснение какого-
нибудь названия и хотите найти его в учебнике? Тогда
надо заглянуть в предметный указатель. Найдите там
интересующее вас название. Против него указан номер
урока, в котором и содержится объяснение этого назва-
ния.
3. Как вы будете работать
с объяснительным текстом
Объяснительный текст вы обычно будете читать дома.
По ходу текста мы часто обращаемся к вам с вопросами
или небольшими заданиями. Для чего? А для того, чтобы
вы тут же проверили, как поняли рассказанное, лучше
запомнили, потренировались. Чтобы такие обращения
были заметнее, около каждого из них изображен вопроси-
тельный или восклицательный знак голубого цвета1.
Попробуйте-ка уже здесь откликнуться на два таких
обращения.
Скажите, зачем нужен предметный указатель?
Тому, кто не сможет ответить, совет: перечитайте
конец п. 2.
Подсчитайте, не перелистывая весь учебник,
число страниц в каждой главе.
Тот, кто не смог это сделать, найдет совет в конце п. 3.
Обычно в тексте после вопроса приведен ответ на
него. Но не спешите сразу смотреть в дальнейший текст:
кому же интересно подглядывать ответ до того, как сам
подумаешь!
В объяснительном тексте вы нередко встретите нари-
сованный колокольчик, какой изображен чуть ниже. Он
означает, что при чтении текста в этом месте можно оста-
новиться и передохнуть, можно отвлечься. А вот до коло-
кольчика надо стараться читать текст, не отвлекаясь.
Если в объяснительном тексте несколько таких переды-
шек, то первая из них обозначается одним колоколь-
чиком, вторая — двумя и т. д.
1 По техническим причинам использовать цвет в знаковой системе аппарата
ориентировки в настоящем издании оказалось невозможным. Голубые вопроси-
тельный и восклицательный знаки всюду заменены здесь контурными знаками, а
упоминаемые ниже знаки красного цвета — залитыми.
А теперь обещанный совет: для подсчета числа страниц
воспользуйтесь оглавлением. После подсчета можно срав-
нить главы по длине. Например, глава II длиннее главы
III (проверьте!).
4. Поговорим о вопросах и заданиях
к уроку
Каждый вопрос (задание) нумеруется двумя числами,
разделенными точкой. Первое из них указывает номер
урока, второе — номер вопроса (задания) в этом уроке.
Например, 6-е задание в 1-м уроке имеет номер 1.6 (чита-
ют: один-шесть). А 1-й вопрос в 6-м уроке имеет номер
6.1 (читают: шесть-один). В начале группы вопросов
стоит красный вопросительный знак, в начале группы
заданий — красный восклицательный знак.
На вопросы вы будете отвечать устно. Некоторые
задания выполняются тоже устно — те, у которых после
номера напечатано (У) или (Загадка). Все другие задания
выполняются письменно.
Около номеров некоторых заданий стоит звездочка.
Это значит, что такое задание немного труднее. В любом
классе есть ученики, которые любят решать и более труд-
ные задачи. Мы будем рады, если вы тоже полюбите
это.
Иногда на полях около номера задачи нарисован крас-
ный квадратик И. Это значит, что ответ такой задачи
понадобится позднее для решения каких-то последующих
задач.
Будет много заданий, где нужно заполнить какую-
нибудь таблицу. Никогда не заполняйте ее в самом учеб-
нике! Ведь после вас учебником будут пользоваться дру-
гие ученики. Перерисуйте таблицу к себе в тетрадь, вот
тогда и заполняйте!
5. Кто такой Смекалкин
Смекалкин — это внимательный и очень пытливый
ученик. Мы урок за уроком обсуждали с ним написанное
в учебнике, объясняли, спрашивали. Так вот, он не
только отвечал на наши вопросы, но и частенько задавал
вопросы нам. А иногда и предлагал что-нибудь дельное.
Мы решили, что вопросы и предложения Смекалкина
будут интересны и другим ученикам, и включили их в
текст учебника. В объяснительном тексте в этих местах на
полях помещен рисунок, изображающий Смекалкина.
Хотя изредка Смекалкин попадает впросак, мы сове-
туем вам брать с него пример: не стесняйтесь спраши-
вать учителя, если что-то будет непонятно; учитесь до-
7
гадываться, как Смекалкин, и вообще — проявляйте ини-
циативу.
Смекал кин здесь обязательно бы спросил:
А что такое инициатива?
Ответить можно так: инициатива — это когда ученик
не только не ленится, но и не успокаивается на достигну-
том, всегда старается узнать как можно больше, выпол-
нить задания как можно лучше. Инициатива в учении,
да и в любом деле,— вещь важная!
6. Что объясняет Смекалкин своему
младшему брату
В тексте учебника иногда говорится и о младшем брате
Смекалки на. Он частенько не понимает что-нибудь или
что-то путает, а Смекалкин тогда объясняет ему, как
все обстоит на самом деле. Это очень полезно — кому-
нибудь объяснять: тогда и сам поймешь лучше! Попробуй-
те-ка дома сыграть роль учителя математики. А в ученики
себе берите кого захотите, можно даже родителей, или
дедушку, или бабушку.
1. Кто такой клоун
В учебнике вы не раз встретитесь с клоуном. Кто
такой клоун? «Вот так вопрос! — можете удивиться вы.—
Каждый знает, что клоун — это тот, кто смешит публику
в цирке». Так-то оно так, только клоун у нас особенный —
математический. И предлагает он публике задачки с
умыслом: то нарочно запутает, то нарочно перепутает
что-нибудь. Будьте внимательны, решая задачки клоуна, и
не попадайте впросак.
Путешествие по стране Математике начинается.
В добрый путь!
8
КЛАСС
Глава НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
I И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В младших классах вы научились читать и записывать
числа до миллиона, выполнять действия с ними, решать
всякие задачи, в которых участвуют числа. Все это мы,
конечно, повторим — какое же учение без повторения! Но
знать про числа нужно значительно больше. В этом
параграфе вы узнаете, что такое натуральный ряд, позна-
комитесь с числами больше миллиона, научитесь срав-
нивать любые числа.
Урок 1 Что такое натуральные числа
Как вы уже знаете, для счета предметов используются
числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. Такие числа одинаково годятся
для подсчета яблок в вазе, грузовиков в гараже, учеников
в классе. Они употребляются также для измерения вели-
чин. Давайте вспомним, какие величины вам уже извест-
ны. Это длина, площадь, масса, время, скорость. Для
каждой из них используются свои единицы измерения.
Мы говорим, например: 2 сантиметра, 15 квадратных
метров, 3 килограмма, 45 минут, 60 километров в час.
И здесь можно сказать, что делается подсчет — только
не предметов, а единиц измерения.
Но числа появляются не только тогда, когда мы
считаем предметы или единицы измерения. Подсчитывать
приходится и многое другое: количество автобусных
маршрутов в городе и рейсов самолетов между города-
ми, уроков математики в учебном году и глав в книге...
Скажите, что еще можно считать
с помощью чисел.
Вот как разнообразны случаи, в которых возникает потреб-
ность использовать числа для подсчета чего-нибудь! Для
таких чисел давно придумано специальное название —
натуральные числа.
9 (Урок 1)
Натуральные числа возникают и при решении различ-
ных задач. В 4-м классе вы решали немало задач, где
надо было над числами выполнять действия: сложение,
вычитание, умножение, деление. Вам придется постоянно
складывать, вычитать, умножать и делить натуральные
числа и в 5-м классе.
Вопросы и задания
* 1Л. Какие действия над натуральными числами вы
знаете?
V 1.2. (У) Придумайте какие-нибудь случаи, когда ис-
пользуются единицы измерения, указанные в примерах
а) —г). Для каждой величины назовите еще по две
единицы измерения:
а) единицы длины: метр, сантиметр;
б) единицы площади: квадратный метр, квадратный
сантиметр;
в) единицы времени: минута, сутки;
г) единицы скорости: километр в час, метр в минуту.
1.3. (У) Прочитайте числа: а) 12; б) 33; в) 517; г) 630;
д) 2637; е) 5022; ж) 91305; з) 40001; и) 999 999;
к) 703 206; л) 1 000 000.
1.4. (У) В задании 1.3 в записи чисел из пунктов а) и б)
используются по две цифры, т. е. эти числа двузначные. В пер-
вом числе цифры различные, а во втором — одинаковые. В запи-
си чисел из пунктов в) и г) используют три цифры, эти числа
трехзначные. Сколькизначные числа в пунктах д) —л)? Сколько
различных цифр используется в записи каждого из них?
1.5. Запишите цифрами следующие числа: а) семь тысяч сто
сорок три; б) тринадцать тысяч сорок два; в) сто две тысячи
двенадцать; г) один миллион. Сколькизначное каждое из них?
1.6. Придумайте по два четырехзначных, пятизначных и
шестизначных числа; запишите их на отдельном листочке словами
(так же как в задании 1.5). По указанию учителя передайте
листок соседу по парте и предложите ему записать ваши числа
цифрами. Проверьте, правильно ли он выполнил задание. .
1.7. (У) Ответьте на вопросы: а) Какое число больше числа
17 на 6? б) На сколько 28 больше, чем 19? в) Какое число мень-
ше числа 32 на 8? г) На сколько 45 меньше, чем 56? д) Какое
число больше числа 6 в 9 раз? е) Во сколько раз число 56 боль-
ше, чем 7? ж) Какое число меньше числа 64 в 8 раз? з) Во сколько
раз 8 меньше, чем 72?
1.8. Миша коллекционирует марки. До каникул в его коллек-
ции было 376 марок. За лето он собрал еще 48 марок. Сколько
теперь марок в его коллекции?
1.9. Коля и Петя летом ходили в туристические походы. Каж-
(Урон 2) tO
дый вел счет, сколько километров он прошел. Когда они встрети-
лись 1 сентября, Коля сказал, что прошел 96 км. Петя ответил, что
он прошел меньше. «На сколько?» — спросил Коля. «Подсчитай
сам,— загадочно произнес Петя.— Я только скажу тебе, что число
моих километров записывается теми же двумя цифрами». На
сколько километров меньше прошел Петя?
1.10* Катя летом гостила две недели у бабушки. Ее подруга
Оля ездила по путевке во Всесоюзный пионерский лагерь
«Артек». Она пробыла там в три раза дольше, чем Катя у бабуш-
ки. Сколько дней провела Оля в «Артеке»?
1Л1. Мальчик решил сосчитать, сколько шагов он сделает,
пройдя от одного угла дома до другого. Он сделал всего 70 шагов.
Сколько шагов он сделал левой ногой? Сколько правой?
1.12. (У) Клоун, чтобы посмешить публику, рассказал
одну историю о том, как он ходил на рыбалку. В этой
истории он нарочно перепутал все единицы измерения.
«Я встал пораньше, в 4 килограмма утра. Позавтракал плот-
но, выпил 1 километр молока. Потом отправился на озеро. Рас-
стояние до него немалое, 5 градусов. Утром было прохладно,
температура всего 10 часов тепла. Поэтому я шел быстро, со
скоростью 6 литров. Пришел, закинул удочки. Не прошло, и 20 сан-
тиметров> как я поймал первую рыбину. Большущую — длиной
50 минут и весом 3 километра в час. Отличная получилась уха!»
Найдите все ошибки, допущенные клоуном в рассказе. Пере-
скажите его историю, правильно расставив единицы измерения.
Урок 2
Числовые выражения и числовые равенства
Записывая решение задачи, вы соединяете числа зна-
ками действий и знаком равенства.
Запись, в которой числа соединены знаками дейст-
вий, называют числовым выражением.
Если выполнить действия, указанные в числовом вы-
ражении, то получится число, которое называют значе-
нием данного числового выражения. Например, значе-
нием числового выражения (37—17): 5 4-6 является
число 10. (Проверьте!)
Запись, в которой знаком равенства соединены два
числа, или два числовых выражения, или числовое выра-
жение и число, называют числовым равенством. Примеры
числовых равенств:
2 = 2;
5-5 = 25; 27==(11 — 8)-9;
54:6=1+8.
То, что в числовом равенстве написано слева от зна-
11
(Урок. 2)
левая часть* правая часть
Рис. 1
ка « = », называют левой частью равенства; то, что напи-
сано справа, называют правой частью равенства (см.
рис. 1).
Назовите отдельно левую часть и отдельно пра-
вую часть в каждом из написанных выше равенств.
Левая часть и правая часть числового равенства —
это всегда числа или числовые выражения. Поэтому мож-
но найти их значения. Полученные числа называют зна-
чением левой части равенства и значением правой части
равенства. Числовое равенство утверждает, что оба эти
значения равны.
Вопросы и задания
9 2.1. Что такое числовое выражение?
2.2. Как найти значение числового выражения?
2.3. Что такое числовое равенство?
2.4. Что называют левой частью равенства? Правой
частью? Что утверждает числовое равенство?
Т2.5. Запишите в виде числового выражения: а) сум-
му восьмисот двадцати четырех и ста семидесяти трех;
б) разность трехсот пятнадцати и двухсот семи; в) про-
изведение сорока шести и семидесяти пяти; г) частное четырех
тысяч пятисот восьмидесяти четырех и шести.
Найдите значение каждого из этих выражений.
2.6. (У) Что больше: а) 74-9 или 3-5; б) 8*6 или 7*7;
в) 20—11 или 72:9; г) 24:4 или 40:8?
2.7. (У) Найдите значение выражения:
а) 8*44-1; в) 6-74-2; д) 9*34-5; ж) 6*64-7;
б) 4*8-1; г) 7*6-2; е) 3*94-7; з) 9*9-8.
2.8. Прочитайте числовое выражение и вычислите его значе-
ние: а) 7774-888; б) 10 001—818; в) 42*43; г) 5535:45.
2.9. Вычислите значение числового выражения:
а) 32*64-56:7;
б) 202-805:5 + 389;
в) 789+1629:9*4;
г) 2183:37—2668:46;
д) (48+15)*17-71;
е) 29*(95 —32):7;
ж) 61 *73-(845 +608);
з) 4758 :(413-352)+222.
(Урок 3) 12
2.10* Запишите в виде числового выражения: а) сумму чисел
746 и 857, увеличенную в 7 раз; б) произведение чисел 328 и 81,
уменьшенное на 1000; в) разность числа 25 637 и произведения
чисел 117 и 93; г) частное от деления числа 87 024 на разность
чисел 491 и 99. Найдите значения этих выражений.
| 2.11. В воскресенье Вася помогал родителям собирать яблоки
на садовом участке. На следующий день он принес в класс 12
яблок, чтобы угостить приятелей. А его одноклассницы сестры-
близнецы Валя и Вера принесли на 4 яблока больше. Яблоки сло-
жили в кучу, и ребята стали угощаться. Когда все ученики класса
(включая Васю, Валю и Веру) взяли по одному яблоку, яблок в
куче не осталось. Сколько учеников в классе?
2.12. Вася спросил Валю и Веру, сколько яблонь у них на са-
довом участке. Они ответили, что пять. «А у нас яблонь больше —
шесть,— сказал Вася. — Значит, и яблок мы собрали больше».
Девочки возразили: «Это еще неизвестно! Нужно учесть,
сколько яблок вы собрали с каждой яблони. Мы собрали по 50 кг.
А вы?» «По 40»,— ответил Вася.
а) Прав ли был Вася, что он с родителями собрал больший
урожай? С какого участка яблок собрали больше и на сколько?
б) Сколько яблок собрали с обоих участков вместе?
2.13. Клоун придумал для выступления четыре число-
> вых равенства. Их левые и правые части он написал на от-
дельных карточках. Идя к публике, он споткнулся и рассы-
пал все свои карточки. Вот карточки с левыми и правы-
ми частями его равенств:
19 + 13
90—18
6-9 24-3 32:2 4-8 96:6 71 — 17
Перерисуйте их в тетрадь и соедините линиями те, которые были
левыми и правыми частями одного и того же равенства.
Урок з Начинаем изучать
свойства натуральных чисел
На первом уроке мы вспомнили, как часто людям
приходится использовать натуральные числа для подсче-
та чего-нибудь. Поэтому нужно познакомиться с нату-
ральными числами поближе, т. е., как обычно говорят,
надо изучать их свойства. Перечитайте-ка самое первое
предложение урока 1. Если хорошенько задуматься над
ним, то уже можно найти одно важное свойство нату-
ральных чисел. Смотрите, мы начали перечислять числа:
один, два, три, четыре, пять и так далее. Как пояснить
здесь слова «и так далее»? Какое свойство скрывается
за ними?
Чтобы дать ответ, продолжим перечислять. Какое чис-
13 (Урок 3)
ло идет за числом пять? Шесть. А за ним? Семь. А после
семи? Восемь. А за ним? Девять. А за ним? Десять. А
после него? Одиннадцать. А за ним? Двенадцать. А за
ним?
Смекалкин тут не выдержал:
Но ведь так можно продолжать без конца!
Вот-вот, мы и нашли одно важное свойство натуральных
чисел: их можно перечислять без конца. Запомните:
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА МОЖНО ПЕРЕЧИСЛЯТЬ
БЕЗ КОНЦА.
А какие другие свойства есть у натуральных чисел?
Смекалкин задал хороший вопрос. Натуральные числа
имеют много свойств, и плохо было бы останавливаться,
найдя лишь одно из них. В последующих уроках мы
займемся отыскиванием других свойств.
Вопросы и задания
9 3.1. Какое свойство натуральных чисел вы уже знаете?
в 3.2. Можно ли указать среди натуральных чисел
самое последнее? А самое первое?
3.3. (У) Назовите пять идущих подряд натуральных
£ чисел, начиная с числа: а) 124; б) 167; в) 398; г) 999.
3.4. В нашей стране пятилетние планы развития народного
хозяйства называют пятилетками. Первый год двенадцатой пя-
тилетки — 1986-й. Назовите по порядку все остальные годы две-
надцатой пятилетки. Запишите, с какого года начинается три-
надцатая пятилетка. Когда она закончится? В какой пятилетке
будет 1997 г.? А 2000-й?
3.5. (У) Назовите пять натуральных чисел, идущих подряд
в обратном порядке, начиная с числа: а) 78; б) 33; в) 102;
г) 1001.
3.6. (У) Найдите значение числового выражения:
а) 32:4 + 3; г) 42:6 — 5; ж) 36:6 + 9;
б) 32:8-3; д) 27:9 + 7; з) 81:9+11.
в) 42:7 + 5; е) 27:3 — 7;
3.7. Валя и Вера покупают открытки. Валя купила 5 открыток
по цене 6 к. У Веры столько же денег, сколько у Вали, но ей пон-
равились открытки за 10 к. Сколько таких открыток может ку-
пить Вера?
3.8. Теплоход вверх по течению реки шел со скоростью
30 км/ч и прошел расстояние от одной пристани до другой за
6 ч. Обратно вниз по течению он шел с большей скоростью —
36 км/ч. За сколько часов он проделал обратный путь?
(Урок 3) 14
3.9. Когда горит лампочка или работает электрический при-
бор (утюг, телевизор, паяльник и др.), расходуется электроэнер-
гия. Ее тоже измеряют. Это еще одна величина, о которой вы дол-
жны знать. В быту используют единицу измерения, которую на-
зывают киловатт-час (сокращенно кВт*ч). Что это такое, вы уз-
наете на уроках физики в старших классах. А пока вполне доста-
точно будет знать, что обычно 1 кВт-ч стоит 4 к.
а) Электрический утюг за 1 ч работы расходует 1 кВт-ч элект-
роэнергии. Им два дня гладили белье: 2 ч в первый день и 3 ч во
второй. Сколько стоит электроэнергия, израсходованная на эту
работу?
б) В подъезде пятиэтажного дома на каждом этаже ночью
горит лампочка. За 10 ч одна такая лампочка расходует 1 кВт-ч
электроэнергии. В сентябре свет в этом доме с вечера до утра го-
рит как раз 10 ч. Сколько стоит электроэнергия, расходуемая од-
ной лампочкой в течение сентября? А всеми лампочками подъ-
езда?
3.10. Если какое-то число обозначено буквой а, еще какое-то
число — буквой 6, то их сумму записывают а + 6, разность запи-
сывают а —6, произведение — а*Ь, частное — а:Ь. Например, ес-
ли буква а обозначает число 8, а буква b обозначает число 2, то
а+Ь — это 8 + 2, а — b — это 8 — 2, а-b — это 8-2, а:Ь — это 8:2.
Проверьте, правильно ли заполнены клетки во втором столбце
следующей таблицы. Заполните пустые клетки таблицы:
а 15 408 480 408 387 711 282
b 5 12 12 17 37 43 61
20 430
а — Ъ 10 235 122
а-Ь 75 31 487
а:Ь 3 3 8
Рис. 2
3.11. (У) Рассмотрите рисунок 2. Сколько
здесь треугольников? Сколько четырехугольни-
ков?
3.12. (У) Выразите:
а) 3 кг в граммах;
б) 12 км в метрах;
в) 3 ч в минутах;
г) 9 м в сантиметрах;
д) 7 мин в секундах;
е) 8 м в миллиметрах.
3.13. (У) Клоун предложил кому-нибудь из публики
поиграть с ним в такую игру. Он называет натуральное
число. Игрок из публикй называет еще большее нату-
ральное число. Затем клоун называет еще большее, игрок
15 (Урок 4)
из публики еще больше и т. д. Выигрывает тот» кто назовет число,
больше которого никаких натуральных чисел нет.
Объясните, может ли вообще в этой игре кто-нибудь выиграть.
урок 4 |(ак натуральные числа
по порядку идут
В вопросе 3.2 мы спрашивали, какое натуральное число
самое первое. Мы уверены» что каждый ответил правиль-
но: I. За числом I идет 2. За числом 2 идет 3. В прошлом
- уроке Смекалкин правильно заметил, что так можно про-
должать без конца. А как — так? Надо четко выра-
зить словами, т. е. как в математике говорят, надо
сформулировать свойство натуральных чисел, которое по-
казывает, как именно все они следуют друг за другом.
Если немного подумать, то легко догадаться, как сфор-
мулировать это свойство. Очень просто:
ЗА КАЖДЫМ НАТУРАЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ИДЕТ
СЛЕДУЮЩЕЕ, КОТОРОЕ НА I БОЛЬШЕ.
Можно представить, что натуральные числа выстраи-
ваются по порядку друг за другом в ряд. Для этого ряда
давно придумано название — натуральный ряд.
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД —ЭТО РЯД ИЗ ВСЕХ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ВЫСТРОЕННЫХ
ПО ПОРЯДКУ.
Как же записать натуральный ряд?
Ведь, записывая число за числом, мы никогда
не кончим эту работу!
Конечно, записать натуральный ряд весь невозможно.
Значит, надо договориться, какая запись будет обозначать
натуральный ряд. Договариваются выписывать из него
несколько первых чисел, разделяя их запятыми, а затем
ставить три точки — многоточие. Например, можно запи-
сать так:
I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Н, 12, 13, 14, 15, ... .
Но совсем необязательно выписывать именно пятнадцать
первых чисел. Вполне можно обойтись и меньшим коли-
чеством, например пятью или шестью:
I, 2, 3. 4, 5, 6, ... .
А вот без многоточия не обойтись. Оно указывает на то
важное свойство, что натуральные числа можно перечне-
(Урок 4)
лять без конца. Это свойство короче можно сформулиро-
вать так: натуральный ряд бесконечен»
Значит, мы обнаружили уже два свойства натурально-
го ряда. Одно говорит, что натуральный ряд бесконечен.
Другое указывает, на сколько следующее число больше
предыдущего.
Теперь рассмотрите запись: 2, 3, 4, 5, 6, ... .
с/ Обозначает ли она натуральный ряд?
Конечно, нет. Ведь в натуральном ряде должны содер-
жаться все числа, а здесь нет числа 1. Значит, нужно не
упускать из виду еще одно свойство:
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД НАЧИНАЕТСЯ С ЧИСЛА 1.
Этим свойством и начнем список свойств натурального
ряда. Давайте повторим их:
1) он начинается с числа ‘1;
2) в нем каждое следующее число на 1 больше преды-
дущего;
3) он бесконечен.
Вопросы и задания
4.1. Что такое натуральный ряд? Какие три его свойст-
j ва были сформулированы в уроке?
4.2. Как записать, что ряд чисел бесконечен?
4.3. Чего не хватает в записи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, чтобы она
обозначала натуральный ряд?
4.4. (У) Рассмотрите ряды чисел:
а) I, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, ...;
б) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 8, 10, 11, ...;
в) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, ...;
г) 1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 9, 10, И, ... .
Ни один из них не является натуральным рядом. Чтобы объяснить
это, нужно для каждого ряда указать то место, в котором наруша-
ется какое-то свойство натурального ряда. Укажите эти места.
Какое свойство там нарушается?
4.5. а) (У) Если буква п обозначает какое-то натуральное
число, то следующее за ним в натуральном ряде число на 1 больше
п и, значит, равно п-\- 1. Говорят также, что п предшествует числу
1. У каждого ли натурального числа есть предшествующее ему
в натуральном ряде?
б) Если п = 6, то п + 1 =7. А если п — 19, то п + I =20. Какое
число обозначает «+1, если п обозначает число 8; 9; 90; 900;
9999; 99 099? Решение запишите в тетрадь в виде таблицы, запол-
нив пустые клетки:
17 (Урок 4)
л 6 8 9 90 900 9999 99 099
л + 1 7
4.6. а) (У) Если п больше 1, то у п обязательно есть предшест-
вующее число. Оно на 1 меньше п и, значит, равно n —1. Чему
равно натуральное число, следующее за л —1?
б) Какое число обозначает л—1, если л обозначает число
2; 30; 301; 3100; 30 000? Запишите решение в виде таблицы так
же, как в задании 4.5.
4.7. В задаче 2.11 вы узнали, сколько учеников в Васином клас-
се. Из них 15 девочек.
а) ‘Кого в классе больше: мальчиков или девочек — и на
сколько?
б) Ученики Васиного класса сидят за партами по двое. А од-
на парта остается пустой. Сколько парт в Васином классе?
в) Парты в Васином классе стоят в три ряда, в каждом одно
и то же число парт. Сколько парт в каждом ряду?
г) Ученики Васиного класса составляют план дежурств на
сентябрь. Договорились дежурить по очереди, каждый день новая
пара. Но ребята быстро выяснили, что некоторым парам придется
дежурить в сентябре по второму разу. Сколько пар будет дежурить
в сентябре дважды? (Совет: не забудьте учесть количество
воскресений в сентябре.)
4.8. (У) Найдите значение числового выражения:
а) 21+4-7; в) 35 + 5-9; д) 47 + 6-9; ж) 16+12-4;
б) 29-36:6; г) 38-40:5; е) 43-72:8; з) 56 — 39:3.
4.9. (У) Вычислите:
а) 3000 + 30 + 3;
б) 7 + 70 + 700 + 7000 + 70 000;
в) 100 000 + 20 000 + 3000 + 400 + 50 + 6;
г)* 10000-1000+100-10+1.
4.10. На изготовление одного автомобиля расходуется
2000 кВт-ч электроэнергии. Завод каждые 5 мин выпускает
автомобиль. Сколько электроэнергии расходует завод на изготов-
ление автомобилей за 1 ч?
4.11. а) (У) На каких рисунках изображены треугольники,
а на каких — четырехугольники (см. рис. 3)? Какие из этих фигур
имеют прямые углы? У какого из нарисованных четырехугольни-
ков все углы прямые? Как называется такой четырехугольник?
S)
6)
Рис. 3
(Урок 5)
18
б) Нарисуйте в тетради на клетчатой бумаге с помощью толь-
ко линейки отрезок, прямой угол, треугольник, прямоугольник.
4.12. Клоун услышал о том, что для передачи секретных сообщений
иногда буквы шифруют, т. е. заменяют цифрами. Он решил тоже
зашифровать буквы, чтобы рассказать публике «секретную» сказку.
Первую букву А он зашифровал цифрой 1, вторую букву Б — циф-
рой 2 и т. д. Зашифровав девятую букву 3 цифрой 9, клоун запнулся.
Ведь осталась только цифра О, а буквы с нулевым номером нет. «Ничего, обойдусь
и этими буквами! — подумал клоун.— И из них немало слов получится».
Буквы А Б В д Е Е Ж 3
Их шифр 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Шифром клоуна слово БЕГ обозначается числом 264, а число 419 обозначает
слово ГАЗ (проверьте!). Зашифруйте слова ВАЗА, ДЕВА, ЕЗДА.
Вот какую шифрованную сказку рассказал клоун:
Жили-были 565 и 2121. Во дворе у них жили 78 и 8121. Приходит однажды
2121 и взволнованно говорит: «2651! Я вижу только 681. Ты не знаешь, 456 8121?»
565 отвечает: «51, знаю. Она 3 3196».—’«Но там 86 была морская 9369511 456
она?» — «Я подарил 67 внучке 196».
Расшифруйте сказку клоуна.
Урок 5 Как записывают натуральные числа
Что общего между буквами и цифрами? И буквы, и
цифры — это знаки, применяемые для записи. Буквами
записывают слова, цифрами — числа. Так же как вы не
путаете слова и буквы, никогда не путайте числа и
цифры.
ЦИФРЫ —ЭТО ЗНАКИ, С ПОМОЩЬЮ КОТОРЫХ
ЗАПИСЫВАЮТ ЧИСЛА.
Способ записи чисел цифрами очень удобен. Чтобы
почувствовать это, давайте представим, что никаких цифр
у нас нет и каждое число записывается таким количеством
палочек, каково это число. Как это было бы неудобно!
Тогда, например, число 35 выглядело бы так:
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII.
а какое число записано здесь:
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII.
сразу и не скажешь. На запись больших чисел уходи-
ла бы уйма времени! Например, для записи палочками
числа 200 000 не хватило бы и суток. Даже если неутоми-
мо писать по две палочки в секунду. А цифрами мы можем
записать его за 5—6 секунд! И в 2 раза большее число
400 000 тоже запишем за 5—6 секунд. Да хоть в 10 раз
большее!
19 (Урок 5)
Способ записи чисел называют нумерацией. По-друго-
му его называют системой счисления. Наша нумерация
удобна не только тем, что можно быстро записывать
числа. Используя ее, легко выполнять действия над числа-
ми. узнавать всякие их свойства. Мы займемся этим
позднее. А сначала познакомимся поближе со свойствами
нашей нумерации.
Начнем с очень простого. Рассмотрим три числа:
358, 853, 385. В их записи участвуют одни и те же цифры,
но сами числа, конечно, различны.
Чем же отличаются их записи?
4
Ответ каждому ясен: расположением цифр. Вот
мы и обнаружили одно свойство нашей нумерации: в
записи числа важно то, какую позицию занимает цифра,
т. е. на каком месте она стоит. Нумерацию с таким свой-
ством называют позиционной, так что наша нумерация
позиционная.
Место, на котором стоит цифра в записи числа, по-
другому называют разрядом числа. Следующая таблица
напомнит разряды, которые вы знаете.
V
а
Перерисуйте эту
таблицу себе
в тетрадь.
Цифры в разрядах показывают, сколько нужно взять еди-
ниц, десятков, сотен, тысяч и т. д., чтобы сложить данное
число. Например, число 25 176 складывается из таких
разрядных слагаемых: 2 десятка тысяч + 5 тысяч +
+ 1 сотня + 7 десятков 4- 6 единиц.
Ясно представлять себе разрядные слагаемые необхо-
димо, чтобы легко сравнивать многозначные числа и вы-
полнять над ними действия. Обо всем этом мы очень скоро
расскажем. А пока давайте разберемся с одной особенной
цифрой — цифрой 0.
Что означает цифра 0 в каком-нибудь разряде?
Ответить можно так: цифра 0 в разряде единиц озна-
чает отсутствие единиц среди разрядных слагаемых числа;
цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десят-
ков; цифра 0 в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д.
(Урок 5)
20
В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не
произносится. Сравните, например:
172 526 — сто семьдесят две тысячи пятьсот двадцать шесть;
102 026 —сто две тысячи двадцать шесть
Г/ - Л Впишите оба эти числа в таблицу.
У W
Итак, вы повторили, как записывают числа и что такое
разряд числа. Запись числа читают, рассматривая разря-
ды слева направо. А от младших к старшим разряды
идут справа налево: 1-й разряд — единицы, 2-й —
десятки, 3-й — сотни, 4-й — тысячи, 5-й — десятки тысяч,
6-й разряд — сотни тысяч.
А за 6-м разрядом ведь тоже какие-то разряды
идут? Как они называются?
Смекалкин правильно понял, что на 6-м разряде счет не
заканчивается. Раз натуральные числа можно перечислять
без конца, то и разряды можно перечислять без конца.
7-й разряд называется разрядом миллионов. О нем и не-
скольких других следующих разрядах мы будем говорить
в уроке 7.
Вопросы и задания
5.1. Что такое нумерация? Как иначе называют нуме-
X рацию?
в 5.2. Какое свойство нашей нумерации мы отметили в
уроке? Как называют нумерацию с таким свойством?
5.3. Что такое разряд числа?
5.4. Когда при чтении натурального числа в каком-то его раз-
ряде ничего не произносится?
W 5.5. (У) Назовите по порядку разряды: а) четырех-
J значного числа; б) шестизначного.
5.6. (У) а) Перечислите все десять цифр, применяемых для
записи чисел, б) Среди цифр есть одна, которая никогда не
может быть первой в записи натурального числа. Что это за
цифра?
5.7. Запишите цифрами и словами (как это сделано в тексте
урока) разрядные слагаемые, из которых складывается число:
а) 395; б) 4208; в) 50 716; г) 128 004. Выпишите каждое
из этих чисел в таблицу разрядов, которая нарисована у вас в
тетради.
5.8. То, как число складывается из разрядных слагаемых,
можно записать и без слов, с помощью лишь математических
знаков. Например, 25 176 = 20000 + 5000+ 100 + 704-6. Запиши-
те так же число: а) 6315; б) 77 043; в) 827 002; г) 304 600.
21
(Урок 5)
5.9. (У) а) Младший брат Смекалкина загадал ему загадку:
«Я задумал однозначное число. Следующее за ним число тоже
однозначное. Какое число я задумал?» Смекалкин объяснил
брату, что эту загадку отгадать нельзя. Потому что есть несколько
чисел с тем свойством, что само число однозначное и следующее
за ним число тоже однозначное. Назовите все числа с таким свой-
ством. Сколько их?
б) Младший брат хорошенько подумал и придумал новую
загадку: «Я задумал трехзначное число» для которого предыдущее
число двузначное. Какое число я задумал?» Смекалкин сказал,
что это настоящая загадка, и сразу отгадал ее. Какое число бы-
ло задумано?
5.10. (Загадки.) а) Задумано трехзначное число, следующее
за ним в натуральном ряде число четырехзначное. Какое число
задумано?
б) Задумано шестизначное число. Предшествующее ему в на-
туральном ряде число пятизначное. Какое число задумано?
5.11. (У) Выразите: а) 2000 г в килограммах; б) 43 000 м
в километрах; в) 120 мин в часах; г) 5000 см в метрах; д) 360 с
в минутах; е) 50 000 мм в метрах.
5.12. Каждый видел у себя в квартире
или доме электрический счетчик. Число на его
панели показывает, сколько электроэнер-
гии израсходовано. Если в комнате горит
лампочка, то цифры в крайнем правом раз-
ряде медленно меняются от 0 до 9. Если,
кроме того, включены какие-нибудь электро-
приборы, то смена цифр происходит намно-
го быстрее. Показания счетчика обычно за-
писывают 1-го числа каждого месяца. Если 1 января счетчик?
показывал 3847, а 1 февраля — 3923, то за январь израсходова-
но 3923—3847 = 76 (кВт-ч) электроэнергии.
а) Сколько надо уплатить за это количество электроэнергии?
б) Попросите у родителей разрешения посмотреть счета за *
электроэнергию и заполните такую таблицу: *
Дата Показания счетчика Сколько электроэнергии израсходовано Сколько надо заплатить
1 января 1 февраля 1 марта За январь За февраль За январь За февраль
Продолжите такую таблицу до сентября.
в) Подсчитайте, сколько уплачено за 1-е полугодие.
г) Посмотрите показание счетчика сегодня. Подсчитайте,
на какую сумму израсходовано электроэнергии с 1 июля до
сегодняшнего дня.
(Урок *6.) 11
д) (У) Обратите внимание на то, когда плата за месяц боль-
ше — зимой или летом. Как вы думаете почему?
5ЛЗ. Клоун, чтобы насмешить публику, стал записы-
вать числа просто так, как слышит, не думая. Ему назы-
jjJT* вают пятьсот пять, а он пишет: 5005. Вместо пятьсот
пятьдесят он пишет: 50050. И вместо пять тысяч пятьдесят
он пишет: 500050.
а) Запишите числа, которые называли клоуну, правильно,
б) Прочитайте числа, которые написал клоун.
Урок 6 Почему нашу нумерацию называют
десятичной
В задаче 5.12 мы рассказывали об электрическом
счетчике. Когда счетчик работает, в его крайнем правом
разряде цифры меняются от 0 до 9. Что же произойдет
после появления цифры 9? Какая цифра следующая
появится в том же разряде? Ведь цифры 10 нет. Все
знают, что тогда в этом разряде возникнет цифра 0, зато
цифра в соседнем разряде сменится на следующую. Когда
уже в этом соседнем разряде накопится десять единиц,
в нем появится 0, зато сменится цифра в следующем
разряде и т. д.
По такому же принципу работают и счетчик оплаты
проезда в такси, и счетчик километров в любом автомоби-
ле, и вообще любой счетчик. Такая работа счетчика под-
сказывает нам одно важное правило, которое действует
в нашей нумерации: десять единиц одного разряда состав-
ляют единицу следующего, старшего разряда. Другими
словами это правило можно сформулировать так:
ЕДИНИЦА КАЖДОГО СЛЕДУЮЩЕГО РАЗРЯДА
В 10 РАЗ БОЛЬШЕ ЕДИНИЦЫ ПРЕДЫДУЩЕГО
РАЗРЯДА.
Поэтому нашу нумерацию называют десятичной.
Из урока 5 вы узнали, что наша нумерация позицион-
ная. Так что мы обнаружили уже два ее свойства. Запом-
ните:
НАША НУМЕРАЦИЯ ПОЗИЦИОННАЯ
И ДЕСЯТИЧНАЯ.
Замена мелких единиц более крупными происходит
не только при записи чисел. Вспомним, например, о еди-
ницах времени:
60 секунд = 1 минута, 60 минут=1 час, 24 часа = 1 сут-
ки, 7 суток = 1 неделя, 12 месяцев = 1 год, 100 лет =
= 1 век.
2Э (Урок. 6)
Здесь никакого удобного правила высказать нельзя. Су-
дите сами: замена происходит при числах 60, 60; 24, 7, 12,
100; Наша же нумерация отличается тем удобным пра-
вилом, которое сформулировано выше большими буквами.
Вопросы и задания
6.1. Как называется наша система счисления? Почему
она называется позиционной? Почему она называется
десятичной?
6.2. Выполните действия и
число:
а) 312*10; д) 673-1000;
б) 72-100; е) 31 200:10;
в) 5-1000; ж) 302 000:100;
г) 820-100; з) 800 000:1000;
прочитайте получившееся
и) 7230-10:100;
к) 620 800:100-10;
л) 45 700:10-100;
м) 26-1000:100.
6.3. (У) Кроме граммов и килограммов, часто используются
другие единицы массы — центнер и тонна.
1 центнер = 100 килограммов 1 тонна = 1000 килограммов
Сокращенно центнер обозначают ц, пишут, например: 1 ц, 5 ц,
33 ц и т. д. Тонну обозначают т, пишут; 1 т, 7 т, 100 т и т. д.
а) Сколько килограммов в 2 ц; 7 ц; 40 ц?
бг) Сколько центнеров в 800 кг; 5300 кг; 7000 кг?
в) Сколько килограммов в 3 т; 27 т; 60 т?
г) Сколько тонн в 8000 кг; 43 000 кг; 80 000 кг?
д) Сколько центнеров в 1 т; Ют; 100 т?
е) Сколько тонн в 10 ц; 100 ц; 23 000 ц?
ж); Сколько, граммов в 1 кг; 1 ц; 1 т?
6.4. (У) Вычислите:
а) 720:8; в) 450:15; д) 1313:13; ж) 59059:59;
б) 360:3; г) 320:16; е) 4747:47; з) 600 600:60.
6;5. Проверьте, правильно ли заполнены клетки во втором
столбце следующей таблицы. Заполните в ней пустые клетки.
а 126 2444 7917 17 476
b 42 52 36 91 84
с 6 13 12 17 14
а: b 3 477
bz с 7 13 4
а: с 21 150
(Урок 7)
24
а)
S)
Рис. 5
6.6. На рисунке 4, а три прямоугольника. На рисунке 4, б они
заштрихованы каждый по отдельности, а) На рисунке 5, а шесть
прямоугольников. Нарисуйте шесть рисунков, где каждый из них
заштрихован по отдельности, б) Сколько прямоугольников на ри-
сунке 5,6? Сделайте рисунки, как и в пункте а).
6.7. В годы первой пятилетки (1928—1933 гг.) в СССР был
построен первый тракторный завод и выпущен первый трактор.
А в 1940 г. в нашей стране было выпущено уже 31 600 тракто-
ров. В 1960 г. их было выпущено 239 000, а в 1986 г.— 595 000.
На сколько увеличился выпуск тракторов с 1940 по 1960 г.? А с
1960 по 1986 г.?
6.8. Для экономии электроэнергии при освещении подъездов
придумали выключатель, который автоматически выключает
свет через минуту после включения. Применение такого выклю-
чателя уменьшает расход электроэнергии в 10 раз.
В задаче 3.9 вы нашли, сколько электроэнергии расходуется
► в сентябре на освещение подъезда пятиэтажного дома.
а) Сколько электроэнергии будет сэкономлено, если в подъ-
езде установить такой выключатель?
б) Используя 1 кВт*ч, можно выпечь 100 буханок хлеба.
Сколько буханок хлеба можно выпечь на сэкономленной электро-
энергии?
в) Используя 1 кВт*ч, можно изготовить 3 пары ботинок.
Сколько пар ботинок можно сделать на сэкономленной электро-
энергии?
урок 7 Разряды и классы в записи чисел
Позиционная десятичная нумерация позволяет запи-
сывать какие угодно большие числа. При этом для удобст-
ва разряды объединяют в группы по три разряда, начи-
ная с разряда единиц. Каждая такая группа называется
классом. Так что можно сказать, что вы уже знаете класс
25 (Урок 7)
единиц и класс тысяч. Название следующего класса —
класс миллионов. Легко догадаться, какие три разряда он
имеет: миллионы, десятки миллионов, сотни миллионов.
За классом миллионов идет класс миллиардов (или
биллионов). Снова легко догадаться, какие три разряда он
имеет.
Вы догадались? Назовите разряды класса
миллиардов.
Познакомимся поближе с числом миллиард. Вот
запись этого числа: 1 000 000 000. Выясним, во сколько
раз 1 миллиард больше, чем 1 миллион. Иначе говоря,
сколько миллионов в одном миллиарде. Давайте рас-
суждать. Напишем последовательно:
1 000 000 — 1 миллион
10 000 000 — 10 миллионов
100 000 000 — 100 миллионов
1 000 000 000 — 1000 миллионов
Вот мы и ответили: в одном миллиарде 1000 миллионов.
А сколько тысяч в одном миллиарде? 1 миллион
тысяч.
о
0
Проверьте это дома. Напишите, как от
1 тысячи последовательным увеличением
в 10 раз дойти до 1 миллиарда. Тогда ,...у
и ответ получится. . u
Как представить себе миллиард? Почти 32 года придется ждать,
пока истечет миллиард секунд. Книга в 1 миллиард страниц была бы
толщиной больше 40 км. А записать все числа от 1 до 1 000 000 000
(даже если круглые сутки неутомимо писать по одной цифре в
секунду) никто не сможет: для этого потребуется больше 300 лет.
А после миллиардов какой класс идет?
Класс триллионов. Запишем в следующую таблицу все
уже известные вам классы и разряды:
Класс триллионов Класс миллиардов Класс миллионов Класс тысяч Класс единиц
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
сотни триллионов , десятки триллионов единицы триллионов сотни миллиардов десятки миллиардов единицы миллиардов сотни миллионов десятки миллионов единицы миллионов сотни тысяч десятки тысяч единицы тысяч сотни десятки единицы
(Урок 7) 26
Чтобы было удобно читать и записывать многозначные
числа, в их записи классы отделяют друг от друга неболь-
шими промежутками. Например, вместо 49765011904837
пишут: 49 765 011 904 837; теперь легче прочитать это
число: сорок девять триллионов семьсот шестьдесят пять
миллиардов одиннадцать миллионов девятьсот четыре
тысячи восемьсот тридцать семь.
А после триллионов тоже будет класс
каких-нибудь «ллионов»?
Хотя смешного слова «ллионэ нет, Смекалкин правильно подметил:
название каждого следующего класса образуется из этого «ллионк»
присоединением нужной приставки. После триллионов идут квадриллио-
ны, за ними квинтиллионы и т. д.
Очень большими числами людям в повседневной жизни приходится
пользоваться редко. Однако они необходимы, когда говорят о разме-
рах добычи полезных ископаемых в стране, о сборе урожая, о выпус-
ке продукции фабриками н заводами. В нашей стране ежегодно
добывается более 600 миллионов тонн нефти, собирается более 210 мил-
лионов тонн зерна, вырабатывается более 1 триллиона 500 миллиар-
дов киловатт-часов электроэнергии. Миллионы тонн металлолома соби-
рают ежегодно школьники для металлургического производства.
В квадриллионах рублей исчисляют общенародное богатство нашей
Родины. Квинтиллионами километров измеряется расстояние от нашей
Земли до ближайших звезд.
Вопросы и задания
7.1. Как называются первые пять классов натураль-
ш- ных чисел?
7.2. Сколько сотен миллионов в миллиарде? Сколько десят-
ков миллиардов в сотне миллиардов?
7.3. а) Сколько миллиметров в одном километре? в десяти
километрах? в ста километрах?
б) Сколько граммов в одной тонне? в десяти тоннах? в ста
тоннах?
V7.4. (У) а) Назовите по порядку все разряды семи-
значного числа: 1-й — единицы, 2-й — десятки... (Про-
должите сами.) б) Выполните то же задание для деся-
тизначного числа, в) Выполните то же задание для двенадцати-
значного числа.
7.5. (У) Число 103 274 095 240 читают так: сто три миллиарда
двести семьдесят четыре миллиона девяносто пять тысяч двести
сорок. Прочитайте число: а) 7 852 314; б) 53 600 702;
в) 205 037 821; г) 13 410 056; д) 605 000 222 703;
е) 357 918 624 589; ж) 2 357 918 624 589; з) 4 204 100 006 873.
27 (Урок 7)
7.6. Записи чисел нередко появляются без промежутков
между классами, например, когда число печатает электронно-
вычислительная машина (ЭВМ). Представьте, что ЭВМ, решая
какую-то задачу, отпечатала такие числа: а) 1000001000001;
б) 9000009000009; в) 999999999999999; г) 123456787654321;
д) 2000300040005000. Отделите в этих записях друг от друга клас-
сы и прочитайте числа.
7.7. Запишите цифрами число: а) пятьдесят семь миллионов
двести сорок шесть тысяч семьсот девяносто три; б) триста пят-
надцать миллиардов сто двадцать пять тысяч пятьсот шесть;
в) сорок семь триллионов двести семьдесят шесть миллиардов
сто три миллиона триста пятнадцать тысяч девятьсот тридцать
два; г) шестьсот триллионов шестьдесят миллиардов шесть мил-
лионов шестьдесят шесть тысяч шестьсот шестьдесят шесть.
7.8. Для записи больших чисел используют сокращения: тыс.
(тысячи), млн. (миллионы), млрд, (миллиарды). Напишите, ис-
пользуя эти сокращения, число 85 107 034 000. Запишите только
цифрами число: а) 312 млн. 27 тыс; б) 13 млрд. 605 млн.
314 тыс.; в) 27 млрд. 27 тыс.; г) 645 млрд. 98 млн.
7.9. Ежедневная продукция спичечной фабрики вывозится на
трех грузовиках. В кузов грузовика вмещается 120 ящиков. В каж-
дом упаковано по 2 тыс. коробков. В одном коробке 60 спи-
чек. Сколько спичек ежедневно производит фабрика?
7.10. а) Сделайте свой обычный шаг и из-
мерьте его длину. Какое расстояние вы бы про-
шли, сделав миллион шагов? Сколько дней
пришлось бы вам идти, если проходить по
10 км в день?
б) Вечером младший брат сказал Смекалкину: «Я сегодня
очень много ходил. Наверное, сделал миллион шагов!» Смекал-
кин засмеялся и ответил, что этого быть не может. Прав ли
Смекалкин? Ответ объясните.
7.11. (У) Выполните деление:
а) 1 000 000 000 000:1000;
б) 1 000 000 000 000:1 000 000;
в) 1 000 000 000 000:1 000 000 000;
г) 1000 000 000 000:10.
(Урок 8) 28
7.12. (У) Что больше: a) 111 111 или 99 999; б) 4764 или
4794?
урок 8 Сравнение натуральных чисел
Что значит сравнить два числа? Это значит опреде-
лить, какое из них больше. Сравнивать небольшие числа
очень легко.
Скажите-ка, что больше: 8 или 2; 3 или 13;
22 или 19.
Мы уверены, что для каждой пары чисел вы ответили на
заданный вопрос за секунду. Но удастся ли вам сравнить
так же быстро многозначные числа? Скажите, например,
какое из чисел больше:
88888888888888 или 888888888888888;
8501349728998106457 или 850134972869106457;
11110111111 или 7777707777;
31415926898305 или 314154268398305.
Мы думаем, что нескольких секунд на решение вам здесь
не хватит. Потребуется много минут. Тем более что нужно
не только ответить, но и суметь объяснить свой ответ.
А на самом-то деле можно научиться сравнивать быстро и
такие большие числа. Этому помогут знания, полученные
к на предыдущих уроках.
Вспомните, что в записи каждого числа есть разряды,
а само число равно сумме разрядных слагаемых. Пред-
ставьте, что у двух чисел одноименные разряды «сорев-
нуются», чье разрядное слагаемое больше: единицы с
единицами, десятки с десятками и т. д. Ясно: то число
больше, у которого «победит» старший разряд. Сравним,
например, числа 3206 и 787. Первое число четырехзначное,
старший разряд у него — тысячи. А второе число трех-
значное, у него старший разряд только сотни. Ясно, что
«победил» старший разряд первого числа. Оно и больше
второго.
Я догадался: вообще каждое четырехзначное
число больше любого трехзначного числа.
Правильно?
Правильно. И так всегда: если в записи одного числа
больше разрядов (иначе говоря, больше цифр), чем в за-
писи другого, то это число больше. Вот мы и обнаружи-
ли первое правило сравнения чисел: из двух чисел с раз-
ным количеством цифр больше то, у которого цифр больше.
29 (Урок 8)
Скажите, какое число больше:
53 078 или 8635; 99 999 или 777 777;
19 191 919 или 6 060 606.
А как сравнивать числа, у которых в записи одинако-
вое количество цифр? Сравним, к примеру, числа 3206 и
4193. Старшие разряды у них — тысячи. Сколько тысяч
у первого числа? Три. У второго? Четыре. Значит, «побе-
дил» старший разряд второго числа, оно и больше.
Скажите, какое число больше: 63 287 или
47 375; 89 898 989 или 98 989 898.
У чисел 4206 и 4193 в старшем разряде тысяч одна и
та же цифра, т. е. тысяч одинаковое количество. Тогда
смотрим на разряд сотен. У первого числа их больше;
значит, само оно больше.
У чисел 4206 и 4293 цифры одинаковы и в разряде
тысяч, и в разряде сотен. Значит, смотрим на разряд
десятков.
Какое из этих чисел больше?
В числах 4206 и 4204 цифры одинаковы и у тысяч, и
у сотен, и у десятков. Значит, смотрим на разряд единиц.
Ясно, что 4206 больше, чем 4204.
Вот мы и обнаружили второе правило сравнения чи-
сел: числа с одинаковым количеством цифр сравнивают
поразрядно, начиная со старшего разряда.
Этим правилом особенно удобно пользоваться, если
записывать сравниваемые числа так, чтобы одноименные
разряды находились один под другим: единицы под еди-
ницами, десятки под десятками и т. д. Тогда сразу вы-
смотришь тот первый по старшинству разряд, в котором
два данных числа отличаются. Например:
26 560 287 658 373 245 623
,26 560 287 658 373, 443 723
Цифры в одноименных Сразу видно, что
разрядах одинаковы второе число больше
Вернемся к тем многозначным числам,
которые мы предложили сравнить на с. 28.
Определите-ка теперь, какое из них больше.
Сколько секунд понадобилось вам на этот
раз, чтобы дать ответ?
Результат сравнения двух чисел записывают при по-
мощи математических знаков > (больше) и< (мень-
(Урок 8) 30
ше). Например, 12>8, 15<25. Знаки > и < называ-
ются знаками неравенства. Иногда сравниваемые много-
значные числа могут оказаться и равными; тогда, конеч-
но, придется употребить знак =. Все вместе знаки >,
< и = называют знаками сравнения.
Вопросы и задания
8.1. Что значит сравнить два числа? Какими матема-
тическими знаками записывают результат сравнения?
8.2. Какие два правила сравнения чисел вы узнали на уроке?
8.3. Какое из двух чисел больше: шестизначное или пяти-
значное: семизначное или девятизначное?
Т8.4. Сравните числа и запишите результат сравнения
с помощью знаков > или <:
а) 1986 и 993;
б) 305 286 и 327 158;
в) 65 287 115 и 652 987 115;
г) 86 345 167 603 и 86 345 197 603.
8.5. Сравните значения выражений и запишите результат срав-
нения с помощью знаков > или <с:
а) 23-24 и 3456:6; в) 12-13 + 456 и 1000—18-19;
б) 18-23 + 44 и 17-29-36; г) (99-63).25 и (99 + 63).5.
8.6. (У) Мама поручила Игорю купить 3 бутылки молока по
30 к. и дала 1 р. В магазине было еще мороженое за 18 к. Хватит
ли Игорю денег, чтобы купить и 3 бутылки молока, и мороженое?
8.7. В автомобиле «Москвич» на крепление фар требуется
14 винтов. Завод ежедневно выпускает 288 автомобилей. На скла-
де имеется 120 500 винтов. Хватит ли их на месяц работы? Если
ответ «хватит», то узнайте, сколько винтов останется, а если ответ
«не хватит», то сколько винтов еще нужно изготовить.
8.8. В Васином классе 28 учеников. Они решили поехать за
город в первое воскресенье сентября всем классом вместе с клас-
сным руководителем и пионервожатой. На автовокзале выясни-
лось, что на ближайший автобус продано уже 23 билета, а на сле-
дующий за ним продано 18 билетов. В каждом автобусе 36 мест.
Может ли вся группа уехать этими двумя автобусами?
8.9. (У) Смекалкин приготовился выполнять задание на срав-
нение чисел и переписал в тетрадь несколько пар чисел, между
которыми нужно поставить знак > или <. Вдруг он нечаянно
уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые
цифры стало невозможно разобрать1. Вот что получилось:
1 В серии заданий с размазанными цифрами в учебнике по замыслу авто-
ров размазанные цифры должны обозначаться знаком типа кляксы. В данном
издании по техническим причинам для их обозначения применяется знак ф .
a) 210 О О и 230 О О;
б) О 0412 и О 090;
в) О 0 52 0 и 3678;
>1 (Урок 9)
г) 0 00 0 и 00 0 0 0;
д)* 9500 0 и 0 4 030 ;
е)* 13070 и 05040.
Разглядывая эти подпорченные записи, Смекалкин догадался,
как дать обоснованный ответ, не зная размазанных цифр. По-
ставьте и вы нужные знаки > или-< между числами. Ответы
объясните.
8.10. (У) Смекалкину понравилось, что он смог выполнить
задание с размазанными цифрами. Ведь вместо задания получи-
лись загадки. Он решил сам придумать загадки с размазанными
цифрами и предложить их младшему брату. В следующих запи-
сях некоторые цифры размазаны. Нужно отгадать, какие это
цифры.
а) 1О587< 10632; в) 89243< 00765; д)* 70612>7ф6<>3;~
б) 5138>5ф72; г) 39828<30845; е)* 50683< 50601.
Младший брат отгадал цифру только в пункте а). Он догадался,
что левое число будет больше правого, если подставить вместо
кляксы любую цифру, кроме... Но мы не будем раскрывать отгад-
ку. Постарайтесь сами разгадать цифры. ____________
8.11. (У) Сколько прямоугольников изо-
бражено на рисунке 6?
Каких прямоугольников больше: тех, кото- _________ . _
рые являются квадратами, или тех, которые
квадратами не являются?
8.12. Клоун, чтобы посмешить пуб-
лику, начал высказывать такие утверж-
Рис. 6
дения:
а) 1000 мм больше, чем 5 м. Ведь 1000 больше, чем 5.
б) 1000 с больше, чем 1 ч. Ведь 1000 больше, чем 1.
в) 1 млрд, г больше, чем 500 т. Ведь 1 млрд, больше, чем 500.
г) 1 млн. см больше, чем 10 км. Ведь 1 млн. больше, чем 10.
Публика смеялась: всем было ясно, что клоун не учитывает
единицы измерения величин и потому делает ошибки. Но один раз
оказалось несмешно, потому что получилось верное утверждение.
Укажите верное утверждение и исправьте остальные.
Урок » Числовые неравенства
В уроке 3 мы рассказали о числовых равенствах. В
математике, кроме равенств, часто приходится пользо-
ваться и неравенствами. Запись, в которой знаком >
или- < соединены два числа, или два числовых выраже-
ния, или числовое выражение и число, называют число-
вым неравенством. То, что в неравенстве написано слева
(Урок 9) 32
от знака неравенства, называют левой частью неравен-
ства; то, что написано справа,— правой частью нера-
венства.
Назовите отдельно левую и отдельно правую
части в каждом из следующих неравенств:
23<31; 123-654> 7846;
45 678 >12 345 + 23 456.
Левая и правая части числового неравенства — это
всегда числа или числовые выражения. Поэтому можно
найти их значения. Полученные числа называют значени-
ем левой части неравенства и значением правой части
неравенства. Числовое неравенство со знаком > утверж-
дает, что значение его левой части больше значения пра-
вой части. Со знаком- < оно утверждает, что...
и
° Вопросы
Закончите предложение.
и задания
9.1. Что такое числовое неравенство? Что называют
5 левой частью неравенства? правой частью?
9.2. Что утверждает всякое числовое неравенство?
W 9.3. а) Младший брат Смекалкина писал числовые
а равенства. «Ой! — воскликнул он.— Я перепутал в ра-
венстве правую и левую части». Смекалкин сказал: «Не страш-
но. Все равно равенство будет верным». Согласны ли вы со Сме-
калкиным? Напишите несколько числовых равенств, поменяйте
в них местами левую и правую части и проверьте, остались ли
равенства верными.
б) (У) В числовом неравенстве со знаком < младший брат
перепутал левую и правую части. «Не страшно,— сказал он,
вспомнив слова Смекалкина о равенстве.— Все равно неравенст-
во будет верным». Смекалкин объяснил брату, что тот неправ.
Если в таком неравенстве меняешь левую и правую части места-
ми, то знак- < надо заменить. На какой знак его надо заменить?
в) На какой знак надо заменить в числовом неравенстве знак
> , если нечаянно переставишь в нем левую часть и правую часть?
Напишите два неравенства со знаками > и <, поменяйте места-
ми левую и правую части и поставьте между ними правильный
знак.
9.4. Найдите значения числовых выражений, сравните их и
запишите результаты сравнения, используя знаки >, <, = :
а) 123-205 — 8960 и 32 280:24;
б) 76 007:17 и 8466:34 + 21-201;
в) 17-71+26-62 и 16-61+97-17;
г) (358 + 324)-116 и (637-386)-317.
33 (Урок 9)
9.5. Петя пробежал 40 м за 8 с, а Коля — 30 м за 5 с. Кто из
них бегает быстрее (т. е. у кого скорость больше)?
9.6. Садовый участок у Васиных родителей имеет форму пря-
моугольника со сторонами 8 м и 15 м, а участок у родителей Вали
и Веры — прямоугольника со сторонами Эми 13 м.
а) Родители поручили Васе вырыть вокруг участка канавку
для стока дождевой воды. Какую длину будет иметь канавка?
б) Вокруг участка Вали и Веры тоже вырыта канавка. Вокруг
какого из двух участков канавка длиннее?
в) Вася, Валя и Вера поливают свои садовые участки. На
каждый квадратный метр требуется 1 лейка воды. На поливку
какого участка требуется больше воды? На сколько леек больше?
9.7. В четырехугольнике на рисунке 7 измерь- в
те отрезки АС и BD. Какой из них больше?
9.8. Что больше: а) 10 000 с или 3 ч; б) 1 сут- /
ки или 1339 мин; в) 2 недели или 330 ч; г) 1 год
или 52 недели? а D
9.9* . (У) Младший брат, глядя на то, как рис 7
ловко Смекалкин выполнил задание 8.9, сам за-
хотел придумать что-нибудь похожее. Вот что он придумал:
«Поставьте нужные знаки > или < между числами:
а) 0526 и 3678; б) 4735 и 4053; в) 30507 и 30507».
Смекалкин сказал, что выполнить это задание нельзя, и объяс-
нил почему: «В пункте а) можно представить, что вместо кляксы
была цифра 2, тогда между числами нужно поставить знак <
Но можно представить, что там цифра 4, а тогда надо поставить
знак >. Поэтому никак нельзя определить, какой знак поставить
между числами в пункте а)». Постарайтесь и вы объяснить, поче-
му нельзя выполнить задания в пунктах б) и в).
9.10. (У) Выполните действие:
а) 300-7; д) 5600:7;
б) 40-60; е) 81 000:90;
в) 50-800; ж) 24 000:800;
г) 200-700; з) 150 000:300.
9.11. Экономисты подсчитали, что струйка
воды из неисправного крана — это 140 кг еже-
суточно. Конечно, в таком случае надо срочно
устранить неисправность. Но представьте, что
кран исправен и просто плохо закрыт по небреж-
ности. Из него каждую секунду капает всего
одна капля. Интересно узнать, много ли утечет
воды в этом случае. Чтобы узнать это, дайте
ответы на следующие вопросы:
а) Сколько капель вытечет из крана за час;
за сутки?
2 Учебник-собеседник
(Урок 10) Э4
б) Масса ста капель равна 7 г. Сколько граммов воды выте-
чет за час? Сколько граммов воды вытечет за сутки?
9.12. Клоун написал публике несколько равенств и не-
равенств, а затем сказал: «Вообще-то я поставил здесь
знаки = , > и < просто так, совсем не думая. Так что
я не знаю, какие тут равенства и неравенства верные, а какие —
неверные». Вот записи клоуна:
а) 56• 789 =567-89;
б) 246:6 — 24<357:7;
в) 343-797>637-427;
г) 12 345:15=45 678:46;
д) 100000—135-246< 1000+ 123-456;
е) 12-3 + 45-6 + 78-9> 1.23 + 4-56 + 7.89.
Вычислите значения написанных выражений, найдите ошиб-
ки клоуна, исправьте их и запишите равенства и неравенства
верно.
урок io Цепочки равенств
и цепочки неравенств
Вычисляя значение числового выражения, выполняют
одно действие за другим. Такие вычисления удобно запи-
сывать в виде цепочки равенств. Вот пример такой записи:
3.7+15:5 = 21 + 15:5 = 21+3 = 24.
и
□
Здесь получилась цепочка из трех равенств. Переходя в
ней от каждого выражения к последующему, мы выпол-
няли по одному действию. Глядя на эту цепочку, легко
высмотреть равенство 3.7+15:5 = 24. Оно получается,
если соединить знаком « = » то выражение, с которого
цепочка началась, и то число, которым она закончилась.
Вот какое свойство мы обнаружили: в цепочке равенств
крайние выражения или числа можно соединить зна-
ком « = ».
Цепочки равенств могут быть составлены из двух,
трех или большего количества равенств.
Вычислите цепочкой равенств значение
числового выражения 48:(11 — 5)+ 2-7.
Из скольких равенств получилась цепочка?
Кроме цепочек равенств, можно записывать и цепочки
неравенств. Например, 32 > 27 > 16 > 8; 2 + 3<2 + 5<
<4 + 5. В цепочках неравенств всегда употребляют один
и тот же знак неравенства. Глядя на такую цепочку, лег-
ко высмотреть, что крайние выражения или числа можно
соединить тем же знаком неравенства, который написан
35 (Урок 10)
в цепочке. Значит, вот какое полезное свойство неравенств
мы обнаружили: в цепочке неравенств крайние выраже-
ния или числа можно соединить тем же знаком неравен-
W ства.
Цепочка неравенств 7<12<18<23<65 показывает,
что в ряде чисел 7, 12/18, 23, 65 каждое следующее число
больше предыдущего. Про всякий ряд с таким, свойством
говорят, что числа в нем расположены в порядке возра-
стания. Бывают и бесконечные ряды с таким свойством.
Вспомните-ка, например, натуральный ряд.
Теперь рассмотрите ряд чисел 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.
В нем каждое следующее число меньше предыдущего.
Про всякий ряд с таким свойством говорят, что числа в
нем расположены в порядке убывания.
Л бывают ли бесконечные ряды» в которых числа
Жж расположены в порядке убывания?
Это очень хороший вопрос! А ответ на него такой. Если числа
в ряде натуральные и расположены в порядке убывания, то бесконеч-
ным такой ряд быть не может. Чтобы понять это, давайте подсчита-
ем, сколько чисел стоит в натуральном ряде перед числом п. Всего лишь
п —1 число. Значит, если убывающий ряд натуральных чисел начи-
нается с числа л, то в нем чисел не более чем п.
Но, кроме натуральных, есть и другие числа. Вы познакомитесь
с ними во второй главе. И вот из них-то можно составить беско-
нечные ряды, в которых числа идут в порядке убывания. Вы сами легко
сможете приводить примеры таких рядов.
Вопросы и задания
10.1. Каким знаком можно соединить крайние выраже-
у ния или числа в цепочке равенств?
10.2. а) В цепочке неравенств каждое последующее
число меньше предыдущего. Какой знак надо поставить между
первым и последним числами этой цепочки? б) В цепочке не-
равенств каждое последующее число больше предыдущего. Каким
знаком нужно соединить первое и последнее число в такой
цепочке?
10.3. Что значит записать числа в порядке убывания? в поряд-
ке возрастания?
В 10.4. Найдите значение числового выражения, записы-
® вая цепочку равенств:
а) 120:6 + 87; д) (28+ 14.):7 — (43 — 38);
б) 32-25 — 600:3; е) 45-(83-63)+1200:(91-67);
в) 18-(52 —47):6; ж) 123+132 + 213 + 231+321+312;
г) 13 + 27 + 32 + 28 + 11; з) 900:30-25:15.60:3.
(Урок IQ) 36
10.5. Боря старше Вити, но моложе Ани, а Галя младше
Вити. Кто старше: Галя или Аня? Запишите, как располагаются
эти дети по старшинству.
10.6. а) Расположите в порядке возрастания следующие числа:
27, 13, 44, 37, 35, 63, 12.
б) Найдите значения следующих числовых выражений:
(37+ 14)-17; 13-27 + 356; 5711 —85-57; (34 631 - 18 347.):23.
Запишите эти значения в порядке возрастания. Составьте из
данных числовых выражений цепочку неравенств со знаком-<.
10.7. а) Расположите в порядке убывания следующие числа
367, 265, 738, 800, 352.
б) Измерьте стороны четырехугольника на рисунке 7 и запи-
шите их длины в порядке убывания. Какая сторона самая длин-
ная? Какая самая короткая?
10.8. а) Работающие на заводе бригады Иванова, Петрова и
Сидорова соревнуются между собой за увеличение выпуска про-
дукции. В январе бригада Иванова изготовила 12 988 деталей,
бригада Петрова — 13 107 деталей, а бригада Сидорова — 12 949
деталей. Кто стал победителем соревнования в январе?
б) В феврале все бригады изготовили деталей больше, чем
в январе: бригада Иванова на-677 деталей, бригада Петрова на
543 детали, а бригада Сидорова на 699 деталей. Кто занял 1-е
место в феврале?
в) В марте бригада Иванова изготовила на 662 детали боль-
ше, чем в феврале, бригада Петрова — на 594 детали больше,
а бригада Сидорова — на 739 деталей больше. Кто стал победи-
телем соревнования в марте?
г)* Какая бригада победила в соревновании по итогам 1-го
квартала года (т. е. за три первых месяца)?
10.9. Смекалкин, узнав про цепочки неравенств, снова стал
придумывать загадки с размазанными цифрами (см. 8.10). В
следующих загадках Смекалкина нужно угадать размазанные
цифры:
а) 2795 < 20 37 < 2846; г) 5263 < О О О О <5265;
б) 3427 < 340 5 < 3442; д) 837 < О О 4 < О 0 О < 846;
в) 6132< О 103< 6143; е)* 4486< 0 090 <440 1.
"но- Клоун догадался, что шифровать можно не только буквы
цифрами, но и цифры буквами. Он решил воспользоваться своим
шифром из задачи 4.12, только наоборот: цифру 1 шифровать буквой Л,
цифру 2 — буквой Б и т. д. Зашифровав цифру 9 буквой 3, он
запнулся. Ведь для записи чисел нужна еще цифра 0, а она не
участвует в старом шифре. «Пусть цифра 0 шифруется следующей буквой — И, —
решил клоун.— Ведь 0 часто перечисляют вслед за цифрой 9».
Цифры 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Их шифр А Б В JT д Е Е Ж 3 И
37 (Урок 11)
Чтобы посмешить публику, клоун предложил ей зашифрованные вопросы и
задания:
а) Сначала он сказал: «Я сейчас назову пятизначное число, а вы отгадайте,
что это за число. Это число ВЕЗДЕ».
«Где же это число?»— спросил кто-то из публики. «Я ведь уже сказал. Вот
оно — ВЕЗДЕ».
б) Потом он сказал: «Я сейчас напишу крупными буквами девятизнач-
ное число, а вы прочитайте его». И он написал: ГДЕ ДВА ЕЖА.
в) Потом он спросил: «Скажите, что больше: ЗИГ или ЗАГ. И на сколь-
ко больше?»
г) Потом он предложил решить две задачи.
Задача 1. Сколько получится, если ГАЗ умножить на ДВА?
Задача 2. В только что построенный зоопарк поступили животные. Сначала
ЕЖ, а потом ЖАБА. Сколько всего животных поступило в зоопарк?
д) А в конце клоун предложил вычислить значение следующих выраже-
ний: (БЕГ4-ДА)-ДА; ВИ Д-(БЕДА —ЕДА); (ГДЕ + БАГАЖ)*. А; (ВАЗА-
— БАЗА): БДИ.
Публика смеялась. Никто ведь не знал шифра, и было очень смешно искать
число, которое ВЕЗДЕ, умножать ГАЗ на ДВА и находить ГДЕ^ БАГАЖ.
Расшифруйте все числа, ответьте на вопросы клоуна и выполните его задания.
Урок 11
Задания на повторение к § 1
Чтобы хорошо усваивать математику, надо постоянно повто-
рять изученное. Давайте же вспомним и повторим, что вы узна-
ли в этом параграфе. Самый легкий способ для этого — просто
перечитать названия уроков. Удобнее всего это сделать по оглав-
лению. Там все названия расположены рядышком.
Но из названий уроков многого не вспомнишь. Чтобы повто-
рить пройденное конкретней и подробней, нужно вернуться к
текстам уроков. Мы советуем вам заново перечитать вопросы, ко-
торые идут сразу после объяснительного текста каждого урока.
Ответьте на них. Если при этом возникнут затруднения, то
перечитывайте объяснение в тексте урока.
Кроме ответов на вопросы, выполняйте задания, которые при-
ведены ниже.
а)
б)
в)
11.1. (У) Найдите значение числового выражения:
(23+17).7; г) (57 —46)-4; ж) (27+18):9;
(62 —42)-9; д) (23 + 31):6; з) (82 —46):6.
(6+ 5)-6; е) (78-36): 7;
11.2. Цепочкой равенств вычислите значение числового выра
жения:
а) 55:5+81:9;
б) 3-8—(47 —7-5);
в) (18 —7+25) + (43-28):3;
г) 27:(25— 16)+64:(49-33);
д) (37 + 23-48 + 54- 16)-2;
е) 4-12:3-2:8'5:10.
(Урок 11) 38
1L3. (У) Выразите: а) 1 м 20 см в сантиметрах; б) 3 кг 720 г
в граммах; в) 630 мм в сантиметрах; г) 120 мин в часах; д) 1300 г
в килограммах и граммах; е) 320 с в минутах и секундах;
ж) 1248 мм в метрах, сантиметрах и миллиметрах.
| 11.4. Рассмотрите следующую таблицу:
Вид Добыча (производство) Прирост
1986 г. 1990 г.
Нефть (т) Уголь (т) Электроэнергия (кВт«ч) 615 млн. 751 млн. 1599 млрд. 635 млн. 795 млн. 1860 млрд.
Вычислите, на сколько возрастет производство угля, нефти и
электроэнергии в 1990 г. по сравнению с 1986 г. (т. е. прирост)
и заполните последний столбец таблицы. Прочитайте все числа в
таблице.
11.5. Решая задачу 9.11, вы нашли, сколько воды вытекает
за сутки из крана, даже если она только капает: 6048 г. Это
больше 6 кг! Будем для удобства считать, что вытекает ровно
6 кг. Много это или мало?
а) Если в городе 200 000 квартир и в каждой будет проте-
кать по одному такому крану, то сколько воды вытечет из них за
сутки? Запишите полученный ответ в тоннах.
б) Пользуясь ответом к задаче а), определите, сколько воды
вытекает за месяц, в котором 30 дней.
в) Вода необходима для полива сельскохозяйственных культур.
Например, для полива капусты требуется ежемесячно 450 кг воды
на 1 кв. м. Пользуясь ответом к задаче б), определите, капустное
поле какой площади можно было бы поливать целый месяц этой
бесполезно вытекшей водой.
11.6. а) «Вот какое сложное равенство я составил!»—воск-
ликнул младший брат Смекалкина и показал Смекалкину свою
запись:
123 + 2-74- 169= 1208:4 — 57— 143.
Проверьте, правильно ли составлено равенство.
б) Смекалкин посмотрел на запись и сказал, что может
сразу написать много еще более сложных равенств:
123 + 2-74—169+ 18= 1208:4-57- 143+ 18;
123 + 2-74—169+ 1000= 1208:4-57— 143+ 1000;
123 + 2-74— 169 — 29= 1208:4-57- 143-29;
123 + 2-74- 169— 101 = 1208:4-57—143—101.
Проверьте эти равенства.
в) Младший брат удивился, как быстро Смекалкин сумел напи-
сать новые равенства. Смекалкин объяснил, что он знает правило:
если к левой и правой частям равенства прибавить одно и то же
39 (Урок 11)
число, то снова получится равенство. Пользуясь этим правилом,
он получил первые два равенства из б). Последние два равенства
пункта б) тоже получены по какому-то правилу из равенства
пункта а). Догадайтесь, какое это правило, сформулируйте его и
запишите в тетрадь.
11.7. (У) Какие из записей обозначают натуральный ряд:
а) 1, 2, 4, 5, 6, 7,...; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
б) 1,2, 3, 5, 4, 6, 7,д) 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...;
в) 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,...; е) 1,3, 4, 6, 5, 7, ...?
Ответ объясните. (Совет: скажите, какие именно свойства на-
турального ряда нарушаются в тех записях, которые не обоз-
начают натуральный ряд.)
11.8. а) Первая цифра восьмизначного числа — 4. Младший
брат начал читать это число: «Четыре...», а Смекалкин, не до-
слушав до конца, сразу понял, что брат читает неверно. Смекал-
кин был прав. Почему? Какое слово должно на самом деле
прозвучать первым при чтении этого числа? Напишите какое-ни-
будь восьмизначное число, начинающееся цифрой 4. Прочитайте
его.
б) А если 4 будет первой цифрой девятизначного числа, то
какое слово прозвучит первым при его чтении? Напишите девяти-
значное число с первой цифрой 4 и прочитайте его.
в) А если число будет десятизначным? Напишите и прочитайте
десятизначное число, все цифры которого — четверки.
11.9. (У) а) Какое число больше: восьмизначное или девяти-
значное? стозначное или девяностодевятизначное?
б) Одно число начинается цифрой 9, а другое — цифрой 8.
Верно ли, что первое число больше второго? (Совет: подумайте,
известно ли вам, сколько цифр в записи каждого из этих чисел.)
11.10. Мама дала Игорю 2 р. и поручила купить молока,
кефира и сметаны, а) Игорь решил купить 3 бутылки молока
по 30 к., 2 бутылки кефира по 28 к. и банку сметаны за 41 к. Хва-
тит ли ему денег? Если хватит, то сколько сдачи он должен
получить? б) Хватит ли денег, если Игорь решит купить на одну
бутылку кефира больше? Если хватит, то получит ли он тогда
сдачу?
11.11. а) Найдите значения следующих числовых выражений:
5372 4-72-27; 468 • 783 — 359-137; (83 046 — 37 864): 19 4- 4985;
(78+ 53)-(634 —568). б) Расположите эти значения в порядке
убывания, в) Составьте из данных числовых выражений цепочку
неравенств со знаком <.
11.12. Буквой М зашифрована цифра 4, а буквой У—цифра 6. Тогда сло-
во МУ обозначает число 46, а число 4646 шифруется словом МУМУ, Какое
двузначное число зашифровано словом УМ? Известно, что числа, обозначенные
словами УМ и УС, идут в натуральном ряде подряд: сначала УМ, за ним
УС, Отгадайте, какая цифра зашифрована буквой С.
(Урок 12) 40
$ 2. ДЕЙСТВИЯ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
Зачем нужно изучать действия над числами? Ответить
на этот вопрос очень просто: их приходится выполнять при
решении задач. Значит, надо уметь определять, где какое
действие нужно применить, как правильно да побыстрее
его выполнить. В этом параграфе мы повторим кое-что
уже известное вам и продолжим изучение действий над
числами. Прежде чем начать новый урок, давайте вспом-
ним и перечислим те действия, которые вам хорошо
знакомы. Все, что нам нужно вспомнить, удобно изобра-
зить таблицей:
Действие Запись буквами Компоненты действия Результат
а b с
Сложение Вычитание Умножение Деление а-]-Ь = с а—Ь — с а-Ь~с а\Ь = с !-е слагаемое Уменьшаемое 1-й множитель Делимое 2-е слагаемое Вычитаемое 2-й множитель Делитель Сумма Разность Произведение Частное
В ней буквами обозначены числа, которые участвуют в
действии, и результат действия; для каждого действия мы
напоминаем названия его компонентов и результата.
Не забывайте время от времени заглядывать в эту таб-
лицу.
урок 12 Сложение
Задумывались ли вы над тем, почему удобно склады-
вать многозначные числа «столбиком»? Чтобы объяснить
причину удобства такого способа сложения, давайте вни-
мательно посмотрим, что мы делаем, когда применяем
его. Мы подписываем числа точно одно под другим:
единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.
А потом складываем единицы с единицами, десятки с
десятками и т. д. Значит, как мы складываем? Пораз-
рядно. В этом-то и удобство! Ведь в каждом разряде
приходится складывать лишь однозначные числа. А в ре-
зультате узнаем сумму чисел многозначных. Вот как хоро-
ша позиционная нумерация!
А причем здесь позиционная нумерация?
Сейчас объясним. Возьмем два числа и найдем их сумму.
Например; 31 528 и 17 241. Представим каждое из них в
виде суммы разрядных слагаемых, подпишем эти сла-
гаемые друг под другом и будем их складывать:
(Урок 12)
3 десятка тыс. 4-1 тыс. 4-5 сотен 4-2 десятка 4" 8
1 десяток тыс. 4~ 7 тыс. 4“ 2 сотни + 4 десятка 4“ 1
4 десятка тыс. 4-8 тыс.+ 7 сотен 4-6 десятков 4“ 9
Значит, 31 5284-17241=48 769.
Чем же мы воспользовались в этом вычислении? Разрядными
слагаемыми. А они бывают только в позиционной нумерации!
Вы до сих пор складывали числа до миллиона. Но способ
сложения «столбиком» годится для любых чисел. Ведь каждое
натуральное число можно представить в виде суммы разрядных
слагаемых.
А как быть, если в каком-то разряде сумма станет боль-
ше 9? Вы знаете, что тогда происходит перенос одной единицы в
следующий разряд. Это правило, известное вам для чисел до
миллиона, сохраняется и для больших чисел. Например:
871 504 083
518 636 148
1 390 140 231
Итак, можно сделать вывод: сложение натуральных
чисел выполняют поразрядно, начиная с разряда единиц.
Знак сложения называется «плюс». Поэтому выраже-
ние 7-|-8 можно прочитать так: «семь плюс восемь».
А можно, конечно, и по-старому: «Сумма чисел семь и
восемь».
Вопросы и задания
12.1. Чем удобен способ сложения многозначных чисел
«столбиком»? Как выполняется сложение при этом спосо-
бе?
12.2. Как называется знак « + »? Как называются компоненты
сложения и результат?
12.3. Как можно прочитать выражения: 3644 4-102; а+102;
38444-6; а + Ь?
12.4. (У) Выполните действия:
а) 37+11;
б) 142 + 33;
в) 753 + 246;
Д) 18 + 35;
е) 25 + 54;
ж) 11 + 12+13.
г) 9910 + 89;
12.5. (У) Прочитайте следующие числовые выражения, исполь-
зуя слово «плюс», и найдите значение каждого из них:
а) 37+17;
б) 142 + 39;
в) 735 + 248;
г) 9970 + 89;
д) 18+15 + 47;
е) 26 + 54 + 48;
ж) 11 + 12+13+14.
(Урок 12) 42
12.6. Заполните пустые клетки таблицы:
а 57 298 615 608 483 000 627 93 789 989 71 469 324
b 78 451 615 608 39 865 446 2 906 543 079 5 728 677
а+Ь
12.7. Выполните действия:
а) 282 828 282 4-128 282 828;
б) 123 456 789 + 937 222 111;
в) 615 608 + 895 516 + 387 657;
г) 579 246 + 753 162 + 371 849.
12.8. «Столбиком» можно одновременно складывать не только
два числа, но и больше. Выполните сложение;
а)
73 857 б)
+61 715;
38 214
37 826
68 730
+ 543 290;
7 476 300
+ 272 170;
9 659 100
8 376
55 718
673 545 •
8 775 367
12.9. Смекалкин придумал три примера с размазанными цифра-
ми (историю о том, как первый раз возникли размазанные
цифры, см. в 8.9):
а). 3789 б) , 07 фЗ в) ,0068
Q8Q7; +6О8О; 3 7 QQ .
6646 12 0 0 5 82 1 7
Восстановите размазанные цифры.
12.10. Сумма 21 +64 — число двузначное, а сумма 21 +84 —
число трехзначное.
а) Придумайте два трехзначных числа, сумма которых
трехзначна, и два трехзначных числа, сумма которых четырех-
значна.
б) Придумайте два четырехзначных числа, сумма которых че-
тырехзначна, и два четырехзначных числа, сумма которых пяти-
значна.
в)* Может ли сумма двух двузначных чисел быть числом
четырехзначным? Ответ объясните.
12.11. Клоун решил подсчитать, сколько зрителей посеща-
ло воскресные представления в августе. Он составил
таблицу:
Дин Число зрителей, посетивших представление Всего зрителей
утреннее дневное вечернее
1-е воскресенье 813 793 927 2533
2-е воскресенье 779 856 908 2444
3-е воскресенье 782 756 943 2472
4-е воскресенье 867 885 898 2650
43 (Урок 13)
Проверьте, правильно ли он подсчитал сумму в каждой строке.
Если вы нашли ошибки, то укажите, в каких строках.
Урок 1з Какие задачи решают сложением
Смекалкин обратился к младшему брату с вопросом:
«Как решать следующую задачу? Было сколько-то, доба-
вилось еще сколько-то; сколько стало?» Младший брат
удивился: «Вот так задача! Чего было — не сказал; сколь-
ко было — не сказал; сколько добавилось — тоже не ска-
зал. Разве можно решить такую задачу?» Смекалкин
возразил: «Но я ведь и не прошу тебя решать ее. Я
только спросил, как ее решать. А решать ее нужно
одним действием — сложением. К тому, сколько было,
надо прибавить столько, сколько добавилось. Сумма и даст
ответ, сколько стало».
Смекалкин неплохо объяснил брату суть дела. Действи-
тельно, ведь совсем неважно, о каких предметах идет
речь в этой задаче, сколько их было и сколько доба-
вилось. В ней можно говорить про любые предметы и
числа: а) было 376 марок в коллекции; б) было 30 926 книг
в библиотеке; в) было 1500 р. на сберегательной
книжке; г) было 243 машины в автохозяйстве... Мы сейчас
как бы начали условия сразу четырех задач. Можно про-
должить эти условия тоже сразу для всех четырех задач.
Добавилось 48 марок, 1175 книг, 100 р., 128 машин...
Г7 Поставьте вопрос в каждой из этих четырех задач.
U Решите их. Придумайте сами условия одной-двух
таких же задач.
Придумывать такие задачи очень просто. Ведь они со-
ставлены совершенно одинаково. Как обычно говорят, они
составлены по одной и той же схеме. Пересказать эту
схему удобнее всего, используя буквы.
Схема 1. Было а ..., доба-
вилось Ь .... Сколько стало?
(Ответ: а-\-Ь . .. .)
Вместо букв здесь можно ста-
вить любые числа, а вместо про-
пусков — подходящие слова — су-
ществительные. Разглядывайте эту
схему и вспоминайте, какие за-
дачи за ней скрываются.
Младший брат Смекалкина,
услышав первый раз слово «схе-
ма», подумал, что это какое-то
непонятное слово. А оказалось, что
13) 44
все очень понятно: схема задачи — это когда сразу про
много-много похожих задач сказано! Он даже как будто
стишок придумал: «Было а, добавим Ь. Сколько станет?
а плюс &».
Ну, а вам-то уже встречалось слово «схема». Напри-
мер, на уроках и в учебнике по русскому языку. Там
вы изучаете схемы предложений. Эти схемы показывают,
как одинаково могут быть составлены разные предложе-
ния. А наши схемы задач показывают, как одинаково
могут быть составлены разные задачи.
Вот еще одна схема задач на сложение. Мы выскажем
ее, тоже используя буквы.
Схема 2. В одном а
.. . , в другом — b .. . . Сколько
в них всего . . . ? (Ответ тот же:
а + b . . . .)
Вместо «в одном» можно
здесь писать «в одной», «у одной»
и т. п.
Какие задачи скрываются за
этой схемой? Вместо букв, ко-
нечно, нужно опять ставить какие-нибудь числа. А ка-
кие существительные ставить вместо пропусков? Здесь
можно придумать очень много вариантов. Для каждого
нужно вместо пунктира из точек ставить одно и то же
существительное, а вместо пунктира из черточек — дру-
гое. Вот несколько примеров. Мы только начнем ус-
ловия задач, а вы в каждом случае заканчивайте:
в одном £л_а£с£ а ХУ.е.?.иЛ?.?; в одном а яблок; в
ОДНОЙ библиотеке д книг ; у ОДНОГО мальчика д марок ; у ОДНОЙ
девочки д кукол
А можно по-другому сказать про ту же схему?
Например, так: один сделал а ... , другой — Ь . . . ;
сколько . . . они сделали вместе?
Конечно, можно. Смекалкин правильно понял, что для
этой схемы можно придумать много задач и с другими
глаголами. Вот примеры: а) Одна бригада слесарей отре-
монтировала а станков * другая — Ь станков, СКОЛЬКО станков
отремонтировали обе бригады вместе? б) Отец заработал
за месяц а рублей , мать — Ь рублей. Сколько рублей родители
заработали вместе? в) За один день туристы прошли а
километров- за другой — Ь километров, СКОЛЬКО ^Я^.Р^етРр?
они прошли за два дня? Видите, сколько разных глаго-
и
□
45 (Урок 13)
лов в этих задачах: «отремонтировали», «заработали»,
«прошли».
Придумайте сами одну-две задачи, имеющие
схему 2. Какие глаголы вы в них употребили?
А вот еще одна схема задач на
сложение.
Схема 3. У одного---------а
... , у другого — на b .. . больше.
Сколько ... у другого? (Ответ
опять тот же: а + Ь ... .)
И здесь вместо букв нужно ста-
вить какие-нибудь числа, а вместо пропусков — подхо-
дящие существительные (одни для пунктира из точек, дру-
гие для пунктира из черточек). Конечно, вместо «у дру-
гого на b больше» можно то же самое сказать так: «у пер-
вого на b меньше, чем у второго».
Что же мы видим? Мы разобрали три схемы задач.
И все задачи, имеющие такие схемы, решаются совершен-
но одинаково — сложением. В каждой из них нужно найти
сумму двух чисел.
При решении более сложных задач надо уметь выде-
лять те пункты плана решения, где применяется сложение.
Среди заданий к этому уроку есть задачи, в которых
либо чередуются разные схемы, либо какая-то схема пов-
торяется несколько раз.
Задания
Г 13.1. Перечитайте в объяснительном тексте примеры
а), б), в) задач, имеющих схему 2. В следующей табли-
це даны числа, которые в этих задачах могут быть
подставлены вместо букв а и 6. Запишите условие каждой задачи
и решите ее.
а) б) в)
а 8 280 17
b 9 130 16
13.2. В овощехранилище было 813 т картофеля. В понедель-
ник добавилось еще 236 т, а во вторник привезли еще 247 т
картофеля. Сколько картофеля стало в овощехранилище?
13.3. В одной цистерне было 38 т бен-
зина, а в другой — 43 т. В первую ци-
стерну добавили еще 13 т бензина.
Сколько бензина стало в обеих цистер-
нах вместе?
(Урок 13) 46
13.4. Сахарный песок хранился в двух банках. В одной было
500 г, в другой — 800 г. Мама поручила Игорю ссыпать весь
песок в одну большую банку и добавить туда еще 1 кг, кото-
рый она купила. Сколько сахарного песку будет в большой банке?
13.5. (У) На одной стороне аллеи было 17 деревьев. Когда
ребята посадили на ту же сторону еще 4 дерева, оказалось, что
на другой стороне на 2 дерева больше, чем стало на первой.
Сколько деревьев на другой стороне?
13.6. (У) В одном цехе 37 станков, в другом — на 4 боль-
ше. Во второй цех добавили еще 3 станка. Сколько станков
стало во втором цехе?
13.7. На одном складе было 135 627 деталей, на другом —
206 315, на третьем — 89 637. Сколько всего деталей?
13.8. Площадь Соединенных .Штатов Америки (США)
9363 тыс. кв. км, а площадь Канады 9976 тыс. кв. км. Площадь
нашей страны на 3063 тыс. кв. км больше, чем площади США
и Канады, вместе взятые. Какова площадь нашей страны?
13.9. На одной ферме 270 коров, а на другой — на 20 больше.
Сколько коров на двух фермах вместе?
13.10. В 1975 г. в нашей стране было 131 400 библиотек.
В 1980 г. их было на 600 больше, чем в 1975 г., а в 1986 г.
стало на 2200 больше, чем в 1980 г. Сколько библиотек стало в
1986 г.?
13.11. (У) а) Сумму чисел 22 и 4 увеличили на 2. Какое
число получилось?
б) У Вити было 22 к., у Гриши — на 4 к. больше, чем
у Вити, а у Димы — на 2 к. больше, чем у Гриши. Сколько
денег было у Димы?
в) Рыбак за первый час поймал 22 окунька, за второй час —
еще 4, за третий — еще 2. Сколько окуньков он поймал за 3 ч?
г) Что общего у задач в пунктах а), б) ив)? Можно ли
сказать, что все это одна и та же задача про натуральные
числа? Какое числовое выражение получается из ее условия?
13.12. (У) Поезд Кишинев — Москва идет через Киев. От Ки-
шинева до Киева он идет 12 ч. Это на 2 ч меньше, чем время,
необходимое ему на путь от Киева до Москвы. Сколько часов
идет поезд от Кишинева до Москвы?
13.13. а) Измерьте отрезки АВ и CD. изображенные на
рисунке 8, и постройте отрезок, длина которого равна сумме
длин этих отрезков, б) Постройте отрезок на 18 мм длиннее, чем
отрезок АВ.
Рис. 8
47
(Урок 14
Рис. 9
13.14. Измерьте каждый отрезок у ломаной и найдите ее
длину в миллиметрах. Выразите длину в сантиметрах и милли-
метрах. Выполните это задание: а) для ломаной KLM
(см. рис. 9, а); б) для ломаной ABCDEF (см. рис. 9, б).
13.15. (У)
12-3;
12-8;
15-4;
Вычислите:
г) 15-7;
д) 17-3;
е) 17-9;
ж) 23’4;
з) 37-5;
и) 42-6;
к) 51-8;
л) 66«6;
м) 83-7.
а)
б)
в)
13.16. (У) а) Клоун пожаловался публике: «За по-
следнюю неделю я сильно потолстел. Весил всего 79 ча-
сов и поправился на 3 рубля. Представляете, сколько
метров я сейчас вешу!» Публика смеялась: ведь все
знают, что массу надо измерять единицами массы, а не часами,
рублями и метрами. Замените названия единиц на правильные
и узнайте, сколько весит клоун.
б) Клоун сказал: «Хорошо, я буду измерять массу едини-
цами массы. Для слона было заготовлено 600 килограммов сена.
Сегодня еще привезли 50 центнеров. Да я привез на тележке
2 тонны. Теперь у нас единиц корма заготовлено 600 + 50 + 2, т. е.
всего 652». Публика смеялась. Всем было ясно, чУо клоун скла-
дывает неправильно: он выразил слагаемые в разных единицах.
Исправьте ошибку клоуна, выберите подходящую единицу массы
и подсчитайте, сколько сена заготовили слону.
урок 14 Вычитание
Вычитание — это действие, обратное сложению. По-
нять, почему здесь уместно употреблять слово «обратное»,
поможет следующая задача: «Маневровый тепловоз прое-
хал по станционным путям в одном направлении 500 м
до стрелки, а затем еще 300 м в том же направлении.
300м
14) 48
Затем он проехал в обратном направлении 300 м.
На сколько метров он переместился в результате?»
Рассуждения здесь очень простые: тепловоз вернулся
к стрелке и, значит, в результате переместился на 500 м.
Запишем с помощью математических знаков то, как пере-
мещался тепловоз:
(500 + 300) —300 = 500.
Вот и понятно, почему вычитание называют действием,
обратным сложению: если из суммы вычесть одно слага*
емое, то получится другое слагаемое. Если слагаемые обоз-
начить буквами а и Ь, а их сумму — буквой с, то можно
записать: с = а + 6 и а = с — Ь. Глядя на эти равенства,
легко ответить на вопрос, что такое разность двух чисел.
РАЗНОСТЬ ДВУХ ЧИСЕЛ с И b — ЭТО
ТАКОЕ ЧИСЛО а, ЧТО СУММА ЧИСЕЛ а И Ь
РАВНА г.
а = с —6, если а + 6 = г.
Это свойство позволяет проверить, правильно ли вы-
полнено вычитание. Для такой проверки нужно сложить
разность и вычитаемое. Тогда должно получиться умень-
шаемое.
Вы знаете, что правильность вычитания можно прове-
рить и по-другому: из уменьшаемого вычесть раз-
ность. Тогда должно получиться вычитаемое.
Повторим компоненты вычитания и варианты его про-
верки:
Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность .
Проверка:
2)
Разность
+ Вычитаемое
Уменьшаемое — Разность
Уменьшаемое
Вычитаемое
Способ вычитания чисел «столбиком», который вы при-
меняли для чисел меньше миллиона, годится для любых
натуральных чисел. Объяснить его можно точно так же,
как и для сложения. Найдем, например, разность чисел
48 769 и 31 528. Представим каждое из них в виде суммы
(Урок 14)
разрядных слагаемых, подпишем эти слагаемые друг под
другом и будем вычитать:
__4 десятка тыс.+ 8 тыс.+ 7 сотен+ 6 десятков 4-9
3 десятка тыс. 4-1 тыс. 4-5 сотен 4-2 десятка 4-8
1 десяток тыс. 4-7 тыс. 4-2 сотни 4-4 десятка 4-1
Сохраняется и правило «занимать единицу» у старшего
разряда. Например:
33 092 805 446
1 298 334 519
31 794 470 927
Какой же вывод можно сделать? Такой же, как и для
сложения: вычитание натуральных чисел выполняют по-
разрядно, начиная с разряда единиц.
Знак вычитания называется «минус».
П Прочтите числовые выражения, используя
“ слова «плюс» и «минус»:
16 — 9; 17+15 — 26; 46-12-18.
Найдите значения этих выражений.
Вопросы и задания
14.1. Почему вычитание называют действием, обрат-
ным сложению?
14.2. Как называется знак « —»? Как называются компоненты
вычитания и результат? Что такое разность двух чисел?
14.3. Как выполняется вычитание многозначных чисел?
14.4. Как проверить правильность выполненного вычитания
сложением? А вычитанием?
»14.5. (У) Повторим на нескольких примерах, что такое
разность двух чисел. Закончите утверждения а) — г) по
следующему образцу. Образец: разность чисел 36 и 31 —
это такое число 6, что 31 4" ^ = 36.
а) Разность чисел 51 и 26 — это такое число, что...,
б) Разность чисел 51 и m — это такое число с, что...,
в) Разность чисел и и 26 — это такое число d, что...,
г) Разность чисел п и пг — это такое число а, что... .
14.6. (У) а) Глядя на равенство 53 6694-67 382=121 051,
скажите, не вычисляя, чему равна разность 121 051—67 382.
б) Глядя на равенство 71 8374-163 304 = 235 141, скажите, не
вычисляя, чему равна разность 235 141—71 837.
14.7. (У) Найдите значения числовых выражений, не подсчи-
тывая предварительно суммы в каждом из них:
а) 3 + 5 — 5; в) 28 + 47 — 28;
б) 3 + 5-3; г) 28 + 47-47;
<(Урок. 14) И
д) 72 356 803 + 96 873 544 - 96 873 544;
е) 10 001000 0104-22 222 222 222—10 001 000 010.
14.8. Запишите разности чисел 10 000 и 901; п и 100; 200 и а;
п и а. Вычислите (устно) первую разность.
14.9. (У) Выполните действие:
а) 69 — 23; б) 287-64; в) 683-233; г) 1000—25.
14.10. (У) Выполните действие:
а) 62-23; б) 2237 - 64; в) 683-238; г) 1000-777.
14.11. Выполните действие:
а) 57 575 757-39 393 939; в) 603 270 846 - 374 642 277;
б) 987 654 321-123 456 789; г) 841 376 248 - 562 058 749.
Правильность выполненного вычитания проверьте в пунктах
а) и б) сложением, а в пунктах в) и г) вычитанием.
14.12. Заполните пустые клетки таблицы:
а 63 179 946 276 5 437 654 73 815 1 356 783
b 34 795 86 237 1 857 239 653 226 2 375 867
а—Ь 47 658 547 355 775 146 4 835 214
14.13. Найдите значение числового выражения:
а) 2 370 812 4-(6 873 5214-7 235 643);
б) 52 613 021-37 753 6234-80 236 508;
в) 130 248 605-55 707 217-44 826 357;
г) 225 678007- (120 703 657+ 72 047 538) ;
д) 730 002 305 — (1 223 657 113 - 528 708 306).
14.14. Смекалкин придумал примеры с размазанными цифра-
ми. Восстановите размазанные цифры.
а) _7058 б) _ОЗО2О в)
2810; 0 2 0 9;
4545 7 5 7 9
14.15 . (У) Вычислите:
а) 14-3; г) 17-7;
б) 14-8; д) 19-6;
в) 17-4; е) 19-8;
00120 0 г) _000000
2Q 900; Q1Q5Q
7 102 8 60003
ж) 23'6; к) 57-3;
з) 38-3; л) 64-6;
и) 43-7; м) 72-6.
14.16. (У) Клоун объявил, что покажет математи-
кой ческий фокус. «Задумайте каждый какое-нибудь число и
не говорите его мне. Затем прибавьте к нему число 28.
Теперь вычтите задуманное число. А я за две секунды
объявлю сразу всем, какие числа у вас получились. У каждого
получилось число 28».
Объясните, какое свойство вычитания применил здесь клоун.
51
(Урок 15)
Урок is Какие задачи решают вычитанием
Раз вычитание — это действие, обратное сложению, то
можно догадаться, как получить схемы задач на вычита-
ние. А именно, разбирая схемы задач на сложение, нужно
в каждой из них находить одно слагаемое, вычитая из сум-
мы другое слагаемое. Давайте займемся этим и посмотрим,
что у нас получится.
Схема 1 из урока 13 дает две схемы задач на вычитание.
Вот одна из них:
Схема 1а. Было с ..убави-
лось Ь ... . Сколько ... осталось?
(Ответ: с — b ... .)
Как обычно, вместо пропусков
надо ставить подходящие суще-
ствительные, а вместо букв —
какие-нибудь числа. Например:
а) Было 867 в школе,
убыло 12. б) Было 500 в
гараже, отправлено в ремонт 15.
в) Было 36 конфах, съедено 11. Как вы
видите, вместо гла-
гола «убавилось» могут быть и другие глаголы.
и
а
Поставьте вопроси к этим задачам и решите их.
А вот другая схема:
Схема 16. Было с ..., уба-
вилось сколько-то ..., осталось
а ... . Сколько убавилось? (От-
вет: с —а ... .)
Приведем условие конкретной
задачи, имеющей такую схему:
«В коробке было 36 конфет, де-
вочка сколько-то съела, осталось
29 крнфет».
Поставьте вопрос к задаче и решите ее.
Схема 2 из урока 13 дает такую схему задач на вычи-
тание:
Схема 2. В двух-------вме-
сте с ..., в одном из них а ... .
Сколько ... в другом? (Ответ:
с—а ... .)
Вот задачи, имеющие такую
схему: а) В двух размес-
тилось 65 в одном из
(Урок. 15) 52
них 36 ШЛОДУдаЛРЛ . Сколько W.W.HllWP.? в другом? б) За два
месяца у июль и август, артист дал 40 коидздто», причем за
июль 22. Сколько №№££?£? дал артист в августе?
и
Решите обе задачи.
Схема 3 из урока 1 дает снова
Схема За. В одном_______с
..., в другом — на Ь ... меньше.
Сколько ... в другом? (Ответ:
с — Ь ... .)
Схема 36. В одном
с ..., в другом а ..., причем
О а. На сколько ... во втором
_____меньше, чем в первом? (От-
вет: на с —а ... .)
Вместо слова «меньше» в зада-
чах этих схем могут быть похожие
по смыслу слова: «ниже», «лег-
че», «дешевле», «моложе» и т. п.
Точно так же в задачах схемы 3
две схемы:
из урока 13 вместо слова «больше» могут быть слова:
«выше», «тяжелее», «дороже», «старше» и т. п.
Среди заданий к уроку будут задачи, в которых разо-
бранные в уроке схемы или чередуются, или какая-нибудь
одна схема повторяется несколько раз, или добавляется
какая-нибудь схема из урока 13.
Задания
15.1. Составьте таблицу, в которой все схемы задач
на сложение и вычитание собраны вместе. В следующую
таблицу одна схема уже вписана, остальные впишите
сами:
Схемы задач на сложение Схемы задач на вычитание
1. Было а, добавилось Ь. 1а.
Сколько стало? 16.
2. 2.
3. За.
36.
15.2. Придумайте по одной задаче на каждую схему, разобран-
ную в этом уроке.
15.3. а) (У) Смекалкин предложил младшему брату такую
задачу на вычитание: «В городе 8 кинотеатров — это на 7 больше,
53 (Урок 15)
чем в соседнем селе. Сколько кинотеатров в соседнем селе?»
Брат удивился: «Разве это задача на вычитание?! Ведь в ней ска-
зано «больше»! Значит, она на сложение». Смекалкин объяснил
брату, что тот не прав. Никогда нельзя только по одному слову
«больше» делать вывод, что задача на сложение. Нужно внима-
тельно читать условие, чтобы понять, какое число мы ищем —
больше данного или меньше данного. Задача Смекалкина про ки-
нотеатры имеет схему За этого урока. Перескажите условие этой
Выдачи, используя слово «меньше», и дайте ответ.
б) Придумайте сами задачу на вычитание, в условии которой
использовалось бы слово «больше». Запишите ее на листочке и
предложите соседу по парте решить ее. Затем проверьте, правиль-
но ли выполнено задание.
в) Придумайте задачу на сложение, используя в условии сло-
во «меньше». Также предложите решить ее соседу по парте.
15.4. В овощехранилище было 813 т картофеля. В понедельник
из овощехранилища в магазин увезли 27 т, во вторник — еще 29 т.
Сколько тонн картофеля осталось в овощехранилище?
15.5. Валя и Вера купили 40 грецких орехов. Валя расколола 7
орехов, а сколько орехов расколола Вера, никто не считал. Девоч-
ки заспорили, кто из них расколол орехов больше. Пересчитали
оставшиеся, их оказалось 26. Кто расколол орехов больше?
15.6. Валя и Вера читают по очереди одну книгу, в которой
98 страниц. Вера сначала прочитала 36 страниц, а Валя прочитала
на 17 страниц больше, чем Вера. Сколько страниц осталось про-
читать Вале? А сколько Вере?
15.7. Автопробег Москва — Владивосток планируется про-
вести за две недели. Расстояние по автодорогам от Москвы до
Владивостока — 9768 км. В первую неделю было пройдено 4516 км.
Что больше и на сколько: пройденный или оставшийся путь?
15.8. 1 сентября день длится 14 ч, а 22 сентября — на 2 ч
меньше. Какова продолжительность ночи 22 сентября?
15.9. Площадь Украинской ССР — 603 700 кв. км; площадь
ФРГ — 248 200 кв. км, а площадь Италии — 300 900 кв. км. На
сколько квадратных километров площадь Украинской ССР боль-
ше, чем площади ФРГ и Италии, вместе взятые? Найдите на карте,
где расположены Украинская ССР, ФРГ и Италия.
15.10. Прочитайте задачу 13.3. а) Составьте обратную задачу,
в которой требуется узнать, сколько бензина первоначально было
94т 94т 94т
Рис. 10
(Урок 16) 54
в первой цистерне (рис. 10, а). Решите ее. б) Составьте обратную
задачу по рисунку 10, б. Решите ее. в) Составьте обратную задачу
по рисунку 10, в. Решите ее.
15.11. а) 5-й А класс собрал 372 кг металлолома, 5-й Б —
на 43 кг меньше. Сколько металлолома собрали оба класса вместе?
б) Составьте обратную задачу, в которой требуется узнать, на
сколько килограммов меньше собрал 5-й Б класс.
15.12. Измерьте отрезки, изображенные на рисунке 11. а)
сколько миллиметров отрезок АВ короче отрезка CD? б) Постр^^И
те отрезок, который на 18 мм короче отрезка АВ,
А В
D
Рис. 11
15.13. Отрезок АС составили из двух отрезков: АВ и ВС. Длина
АС 63 см, длина ВС 28 см. Какова длина отрезка АВ?
15.14. У прямоугольника длина больше ширины на 38 дм.
Каков его периметр, если длина прямоугольника 72 дм?
15.15. (У) Вычислите:
а) 21+22 + 23; в) 69—43 + 37; д) 18+(42 —24);
б) 31+41—51; г) 85-27-43; е) 37 —(63-36).
15.16. Вычислите:
а) 2 001 007-307 246 + 9 008 183-696 949;
б) 39 023 608 —(10 102 036 —7 904 815) + (80 010 080 —8 001 008);
в) (12 384 000-1 543 314)—(45 278 367 —39 499 819-5 062 137).
15.17. (У) Вычислите:
а) 25-7; в) 47-6; д) 27-8; ж) 62-9; и) 93-7;
б) 33-8; г) 53-4; е) 83-5; з) 78-6; к) 48-9.
урок 16 Особенное число 0
Задача. В зале кинотеатра на сеансе было 500 зри-
телей. Когда сеанс закончился, из зала вышло 500 чело-
век. Сколько человек осталось в зале?
Ответ каждому ясен: нисколько. А какое выражение
нужно составить при решении этой задачи? Вот какое:
500 — 500. Конечно, нет натурального числа, равного раз-
ности 500 — 500. Но что, если присоединить к натураль-
ным числам такое число, которое на вопрос «сколько?»
отвечало бы «нисколько»?
Вы уже знаете такое число. Это нуль. (Говорят также
и ноль). И цифра, которой записывается число нуль,
вам давно известна — 0. Так что верно числовое равенство
500 — 500=0. И другие похожие равенства верны: 1 —
SS (Урок 16)
— 1=0; 2 — 2 = 0 и т. д. Вообще если буква а обозначает
любое натуральное число, то
а — а = 0.
Сформулируем обнаруженное свойство: разность двух
одинаковых чисел равна нулю.
Придумайте еще одну задачу, решение которой
давалось бы выражением а—а.
Что получится» если к натуральному числу или к нулю
прибавить нуль? Ответить очень просто. Ведь приба-
вить 0 — значит нисколько не прибавить. Поэтому 0 + 0=
= 0, 1+0=1, 2 + 0=2 и т. д. Точно так же 0+1 = 1,
0+2 = 2 и т. д. Вообще если буква а обозначает любое
натуральное число или 0, то верны равенства:
а + 0 = а,
0 + а = а.
А такие равенства могут появляться
при решении задач?
Конечно. Вот пример: «В мебельный магазин в поне-
дельник завезли 120 стульев, а во вторник стульев не
завезли. Сколько стульев завезли в магазин за эти два
дня?» Если обозначить число 120 буквой а, то решение
дается равенством а + 0 = а.
Прочитайте это равенство два раза,
произнося во второй раз вместо буквы а
число 120. Придумайте задачу на равенство
0 + а = а.
Свойство, записанное равенствами а + 0 = а, 0 + а = а,
можно сформулировать так: если одно слагаемое равно
V’W* нулю, то сумма равна другому слагаемому.
А что получится, если из натурального числа или нуля
вычесть нуль? Рассуждение опять очень простое. Ведь вы-
честь 0 — значит нисколько не вычесть. Поэтому 0 — 0 = 0,
1—0=1, 2 — 0 = 2 и т. д. Вообще верно равенство
а — 0 = а.
Скажите, какие числа может обозначать
буква а в этом равенстве. Придумайте задачу,
решение которой давалось бы таким равенством.
(Урок 16) 56
Обнаруженное сейчас свойство можно сформулиро-
вать так: если вычитаемое равно нулю, то разность равна
уменьшаемому.
В уроках 17 и 21 мы обсудим, как ведет себя 0 при
умножении и делении. А сейчас поговорим о сравнении
нуля с натуральными числами.
Какое из чисел: 0 или 1 — меньше другого?
Ответ ясен: 0<1. Точно так же 0<2, 0<3, и вообще
i
выполняется такое свойство: число нуль меньше лю
натурального числа. Другими словами то же свойс^Н!
можно сформулировать так: любое натуральное число
больше нуля.
Записать это свойство при помощи математических
знаков можно так: если буква а обозначает какое угодно
натуральное число, то верны неравенства
0<а; а>(к
Много особенных свойств у числа 0. Мы в этом уроке
объяснили только некоторые из них: как 0 складывается с
натуральными числами, как из них вычитается, как срав-
нивается с ними.
Вопросы и задания
16.1. Какое число получится, если из натурального
числа вычесть то же самое число?
16.2. Какое число получится, если к данному чисду приба-
вить 0; если из данного числа вычесть О?
16.3. Чему равна сумма 0 + 0; 0 + 0 + 0; 0 + 0 + 0 + 0 и вообще
сумма нескольких нулей?
V 16.4. (У) Сформулируйте свойство, которое записы-
• вается равенствами а + 0 = а и 0 + а — а.
16.5. (У) Вычислите:
а) 13-6 + 0; в) 43-5-0; д) 420:6 + 0;
б) 0 + 27-4; г) 14-4 — 8-7; е) 4200:60—0.
16.6. (У) Найдите значение выражения:
а) (628 —628)+ 7283; г) (73 + 18 — 31)+(44—21 — 23);
б) 65 872+ (87 652 —87 652); д) (12-4 — 6-8)+ 13 273;
в) 41 653 —(58 267 —58 267); е) (63:3 — 7-3)+88 888.
16.7. Перечитайте задачу 15.8. На сколько часов день длин-
нее ночи 1 сентября? А 22 сентября?
16.8* а) Сколько прямоугольников изображено на рисун-
ке 12? Сколько из них квадратов? На сколько квадратов здесь
57
(Урок 17)
Рис. 12
Рис. 13
меньше, чем прямоугольников, не являющихся квадратами? б) От-
Вьте на те же вопросы для фигуры, изображенной на рисунке 13.
Й6.9. а) Младший брат спросил Смекалкина: «Всегда ли сум-
ма двух чисел больше каждого из слагаемых?» Смекалкин объяс-
нил, что если складываются натуральные числа, то всегда. Но
выполняется свойство: если одно из слагаемых ..., то сумма равна
другому слагаемому. Запишите это свойство, заполнив пропуск.
б) Перепишите следующее предложение, заполнив пропуск в
конце: «Если сумма равна каждому слагаемому, то эти слагаемые
равны ...».
16.10, Найдите значения следующих выражений и запишите
полученные числа в порядке возрастания:
а) 684:(80 171—79 829); в) 234 567—132 675;
б) 21 653-367-59; г) 784-22 707:29.
16.11. Клоун раздал публике 8 карточек с числовыми
А выражениями и объявил, что некоторые карточки призо-
вые — те, где значение выражения равно нулю. Тому, кому
досталась призовая карточка, он вручит столько апельси-
нов, каково первое число в выражении на карточке.
(I +255):8-345:23
2 • 186 —- (101 — 89)-31
(5 + 388):3-6157:47
6-672—(241 —157)-41
3 —(54-37 —499-4)
7 + (62-73- 11 • 103)
4-(73 + 59) —48-11
8 -(357 + 268) - 1999
Найдите все призовые карточки и определите, сколько всего
апельсинов будет вручено.
Урок 17 Умножение
Почему возникло действие умножения? Потому что
нужно было придумать более удобный способ для записи
и вычисления суммы одинаковых слагаемых. Например,
27 + 27 + 27 + 27 = 27-4. Видите, сумма одинаковых слага-
емых заменяется произведением одного слагаемого на ко-
личество слагаемых.
(Урок 17)
Произведение маленьких чисел легко находить в уме.
Для больших чисел обычно применяют способ умножения
«столбиком».
А в этом способе опять помогает позиционная
нумерация? Как и при сложении?
Да. Правило умножения «столбиком» можно объяснить
только с помощью позиционной нумерации. Умножим, к
примеру, число 31 213 на 232. Запишем 232 в виде 20
+ 30 + 2. Тогда ясно, что 31 213 нужно взять слагае
200 раз, потом еще 30 раз и, наконец, еще 2 раза. ЗначТГГ,
31 213-232 = 31 213-200 + 31 213-30 + 31 213-2. Как раз
эту сумму и
^31213
А 232
62426
+ 936390
6242600
7241416
записывают «столбиком»:
Нули в конце второй и последующих строк
не пишут, но представляют мысленно. Чтобы
напомнить здесь о них, мы изобразили их
пунктиром. При обычной записи будьте вни-
мательны и не занимайте другими цифрами
места, которые принадлежат нулям.
Итак, сформулируем общее правило: на-
туральные числа умножаются поразрядно,
начиная с разряда единиц.
При умножении, как и при сложении, иногда прихо-
дится одну или несколько единиц переносить в следующий
разряд. Это происходит, например, при умножении чисел
723 и 4 (проверьте!).
В уроке 16 мы обещали обсудить, как ведет себя 0 при
умножении. Что получится, если натуральное число или 0
умножить на 0? Давайте рассуждать. Умножить данное
число на 0 — это значит взять его слагаемым нуль раз,
т. е. не взять ни разу. Сколько же получится? Нисколько,
т. е. 0.
А если 0 умножить на натуральное число? Тогда 0 надо
взять слагаемым несколько раз. Чему будет равна сумма?
Мы уже задавали этот вопрос (см. 16.3), ответ вы зна-
ете: 0.
Итак, мы обнаружили такое свойство нуля: если один
из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.
Если буква а обозначает натуральное число или нуль,
то это свойство нуля можно записать следующими ра-
венствами:
а-0 = 0; 0-а = 0.
Что будет при умножении чисел «столбиком», если во
втором множителе в каком-то разряде стоит 0? При умно-
жении на этот 0 будет получаться 0. Значит, одна строка
будет состоять из нулей. Она не влияет на результат
» (Урок 17)
сложения «столбиком». Поэтому ее не пишут, а лишь
мысленно представляют. Вот пример:
.80674
306
484044
80674
306
4- 00000
242022
'24686244
+ 484044
242022
24686244
Пропуская такую строку, ученики иногда ошибаются. Они
пишут крайнюю правую цифру не под тем разрядом,
забывая о строке из нулей. Не делайте таких ошибок!
Если множители оканчиваются нулями, то на эти нули
не умножают. Их просто приписывают к результату умно-
жения чисел без этих нулей:
6103
240Q
24412*•
12206 И
146472о6
41200
X ч*
1006ft
2472 ч»
412 |П
414472000
Вопросы и задания
17.1. Как выполняется умножение натуральных чисел
j «столбиком»? В чем удобство этого способа?
17.2. Чему равно произведение любого числа на нуль?
А нуля на любое число?
17.3. Какое свойство записано равенствами а-0 = 0и0-а=0?
Что в них обозначает буква а?
17.4. Как называются компоненты умножения и результат?
Т17.5. (У) Вычислите:
ш а) 17-6; г) 62-8; ж) 44-4; к) 94-6;
б) 71-6; д) 35-7; з) 77-7; л) 38-9;
в) 26-8; е) 53-7; и) 49-6; м) 83-9.
17.6. (У) Вычислите:
а) 3-4-5; г) 3-5-7; ж) 5-7-8; к)13-3-2.
б) 5-6-5; д) 2-7-8; з) 11-7-3;
в) 4-6-8; е) 3-7-9; и) 11-8-4;
17.7. Заполните пустые клетки таблицы:
а 2906 74 125 803 706 208 3050 6004 378 000
b 67 333 6507 7028 3005 60 400 8200
а*Ь
(Урок 17) 60
17.8. Найдите значение выражения:
а) 12 345 678-1234-9876;
б) (321 432 543 — 301 030 503)-7040;
в) 6789-4321+7698-3412;
г) (5238 -4981- 26 084 647) -1987.
17.9. (У) Найдите значение числового выражения, заменив,
где это возможно, сложение умножением:
а) 17+17+17+17+17+17;
б) 4328 + 4328 + 4328 + 4328 + 4328 + 4328 + 4328 + 4328 +
+ 4328 + 4328;
в) 77 + 77 + 77 + 99;
г) 16+16+16+16+16 + 23 + 23 + 23+23.
17.10. (Загадки,) а) Задумано число. После того как его сло-
жили с самим собой, получили 0. Какое число задумано? б) За-
думано число. После того как его сложили с самим собой 100 раз,
получилось оно само. Какое число задумано?
17.11. Смекалкин придумал пять примеров с размазанными
цифрами. Восстановите размазанные цифры.
100 5
д)*
17.12. Число 6 можно получить, перемножая 1 и 6 или числа
2 и 3. Других пар натуральных чисел, произведение которых
равно числу 6, нет. Напишите все пары натуральных чисел,
произведение которых равно: а) 10; б) 12; в) 18; г) 25; д) 3;
е) 7; ж) 1.
17.13. (У) Можно ли найти два натуральных числа, произ-
ведение которых равно нулю?
И 17.14. Измерьте у прямоугольника, изображенного на рисун-
ке 14, длину и ширину. Найдите его площадь и периметр.
Рис. 14
61 (Урок 18)
урок is Какие задачи решают умножением
□
Название этого урока похоже на названия уроков
13 и 15. Посмотрите, о чем рассказывалось в тех уроках.
О схемах задач на сложение и вычитание. Обнаружив
это, вы должны догадаться, о чем пойдет речь в этом
уроке,— о схемах часто встречающихся задач, где тре-
буется применить умножение.
Схема I. Есть b----------, в каждом по а ....
Сколько ... в них всего? (Ответ: а*Ь . .. .)
Как получить из этой схемы конкретные задачи? Как
обычно: нужно вместо букв а и Ь ставить какие-нибудь
числа, а вместо пропусков — подходящие существитель-
ные (для пунктира из точек — одно и то же существи-
тельное, для пунктира из черточек — другое). Вместо сло-
ва «есть» могут быть и другие глаголы.
Вот примеры условий задач, имеющих схему 1: а) в
кинотеатре 30 £я5?вt в каждом по 25 б) швейная
фабрика должна сшить 15 тыс. нубашек нового фасона,
на каждой будет по 7 ПУЛ?®?.1? ; в) в магазин привезли
200 ^и_к0_в_ с фруктовой водой, в каждом по 20 бутылок .
Поставьте вопросы в каждой задаче и дайте
ответы.
Иногда в схеме 1 одно из чисел не указывается явно,
но его сразу видно из условия. Вот пример: «Месячная
зарплата рабочего 250 р. Сколько он получает за год?»
Видите, та же схема! Вместо буквы а число 250.
А что здесь должно быть поставлено вместо
буквы Ь? Каков ответ в этой задаче?
Во второй схеме будут участвовать таблицы. Как
устроена таблица? В ней есть строки и столбцы (столб-
цы по-другому называются колонками). А на пересече-
нии строк и столбцов получаются клетки. Например, сле-
дующая таблица имеет 3 строки и 4 столбца. Каждая
строка относится к одному из учеников. А столбцы указы-
вают по очереди имя, возраст, рост и массу.
Строки
1-я Вася 10 лет 144 см 36 кг
2-я Валя 10 лет 133 см 31 кг
3-я Вера 10 лет 132 см 32 кг
1-й 2-й 3-й 4-й
Столбцы
(Урок 18) 62
Схема 2. В таблице а строк и b столбцов. Сколь*
ко в таблице клеток? (Ответ: а-b клеток.)
Как и раньше» буквы а и b здесь обозначают какие-
то натуральные числа. А как объяснить здесь ответ а*&?
Сделаем это на примере рассмотренной выше таблицы.
В ней 4 столбца. В каждом столбце по 3 клетки. Мы
видим, что возникла схема 1. Сколько же всего клеток
в таблице? Произведение 3-4. И вообще если в таблице b
столбцов и а строк, то в каждом столбце будет
по а клеток (возникла схема 1) и, значит, всего клеток —
произведение ....
П Закончите это утверждение. Сколько, например,
g клеток в таблице, имеющей 15 строк и 5 столбцов?
Вот и объяснение ответа а-b получилось!
Очень важный вариант схемы 2 — вычисление площади прямо-
угольника. Вычислять ее вы научились уже в 4-м классе. А почему
мы назвали это вычисление вариантом схемы 2, объясним в $ 10.
(Самые нетерпеливые могут, конечно, и сейчас туда заглянуть.)
Схема 3. У одного-------------а ..., у другого —
в b раз больше. Сколько ... у другого? (Ответ все тот
же: а*Ь . ...)
Объясните ответ и придумайте одну-две
задачи, имеющие такую схему.
В заданиях к этому уроку какая-то схема задач на
умножение может чередоваться с другими, а также со
схемами задач на сложение или вычитание.
Задания
В заданиях 18.1 — 18.4 мы напоминаем несколько особенно
важных вариантов схемы 1. Каждый из них показывает за-
висимость между тремя связанными друг с другом величина-
ми: 1-й вариант — зависимость между ценой, количеством и
стоимостью; 2-й — между скоростью, временем и расстоянием;
3-й — между производительностью труда, временем и количеством
изделий; 4-й — между урожайностью, площадью и общим урожа-
ем. Напомним:
Цена — это стоимость одного изделия или единицы товара.
Скорость — это расстояние, пройденное в единицу времени.
Производительность труда — это количество изделий, или
единиц продукции, произведенных за единицу времени.
Урожайность — это урожай, собранный с единицы площади.
В схеме мы использовали буквы а и Ь. Но, конечно, можно
использовать и другие буквы. Например, скорость обычно обо-
значается буквой v, а время — буквой t.
63 (Урок 18)
Ш 18.L (У) Если а — цена изделия или единицы товара»
J b — количество изделий или единиц товара, то стоимость
всех изделий или всего товара равна а*Ь. В задачах
а) и б) вместо букв а и b будут числа.
а) Родители поручили Оле купить 3 л молока по цене 28 к. за
1 л. Сколько денег она должна заплатить?
б) Во время ремонта школы пришлось заменить 20 парт на
новые. Цена одной парты — 42 р. Сколько рублей сэкономила
бы школа при более бережном отношении учащихся к школь-
ному имуществу?
18.2. (У) Если и — скорость движения, t — время движения,
то пройденное расстояние равно v-t. В задачах а) и б) вместо
букв v и t будут числа.
а) Мотоциклист едет со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние
он проедет за 3 ч?
б) Космический корабль «Восток», на котором совершил полет
первый космонавт Ю. А. Гагарин, имел скорость 460 км/мин.
Какое расстояние пролетал «Восток» за 10 мин; за 1 ч?
18.3. (У) Если k — производительность труда, t — время рабо-
ты, то количество изделий, произведенных за это время, равно
k-t. В задачах а) и б) вместо букв k и t будут числа.
а) Производительность труда токаря — 26 деталей за час.
Сколько деталей выточит токарь за 8-часовой рабочий день?
б) Производительность ткацкого станка — 10 кв. м ткани в
час. Сколько квадратных метров ткани выпускается на одном
станке за 8-часовой рабочий день?
18.4. Если р — урожайность, S — площадь или количество
растений, то общий урожай равен p*S. В задачах а) и б)
вместо букв р и S будут числа.
а) Урожайность зерна в колхозе «Прогресс»— 340 т с 1 кв. км.
Какой урожай соберет колхоз с поля площадью 27 кв. км?
б) Урожайность клубники составляет 5 кг с 1 кв. м. Какой
урожай клубники будет собран с площади 375 кв. м?
В 18.5. В следующей таблице указано, сколько продукции полу-
чает наша страна за 1 рабочую минуту. Заполните столбцы
этой таблицы, вычислив, сколько продукции производится за 1 ч
и за 1 сут.
Вид продукции За 1 мин За 1 ч За 1 сут
Электроэнергия Минеральные удобрения Цемент Ткани Обувь Радиоприемники Телевизоры Холодильники 3042 тыс. кВт-ч 66 т 257 т 23 тыс. кв. м 1524 пары 17 штук 18 штук 11 штук
(Урок 18) 64
18.6. Смекалкин подарил младшему брату на день рождения
коробку конфет. Конфеты были расположены в 4 ряда, по 9 кон-
фет в каждом ряду. Младший брат угостил всех, кто был на
дне рождения. Каждый взял по одной конфете (в том числе Сме-
калкин и младший брат). После этого в коробке осталось 28 кон-
фет. Сколько гостей было на дне рождения?
18.7. Покупатель попросил отмерить ему 8 м полотна по цене
6 р. за метр. Для оплаты он подал 50 р. Сколько рублей сдачи
должен получить покупатель?
18.8. 1 сентября 5100 тыс. ребят нашей страны пришли в 1-й
класс. Каждый из них имел с собой по 2 тетради, а) Сколько
тетрадей нужно было изготовить нашей промышленности только
для первоклассников? б) Представьте, что все они выложены в
дорожку так, что одна тетрадь приложена к другой по длине.
Измерьте длину тетради и вычислите, какую длину имеет такая
дорожка, в) Что больше: длина этой дорожки или расстояние
от Ленинграда до Волгограда (оно равно 1722 км)?
18.9. На последней странице каждой книги указан ее тираж
(т. е. число напечатанных экземпляров). Измерьте толщину учеб-
ника линейкой. Какой высоты получится стопка учебников, если
сложить в нее весь тираж?
А В
• ♦
Рис. 15
18.10. Измерьте отрезок АВ, изображенный на рисунке 15,
и начертите отрезок, который в 4 раза длиннее отрезка АВ.
18.11. а) Одна сторона прямоугольника 17 дм, а другая — на
5 дм меньше. Какова площадь прямоугольника?
б) Одна сторона прямоугольника 31 м, а другая — в 3 раза
больше. Какова площадь прямоугольника?
18.12. (У) Вычислите:
а) 103-4; в) 305-6; д) 507-8; ж) 809-6; и) 604-2;
б) 204-5; г) 406-7; е) 708-4; з) 806-7; к) 402-9.
18.13. Клоун рассказал публике историю, состоящую
из трех задач о том, как он выращивал на огороде
картофель. В этой истории он опять нарочно перепутал
все единицы измерения. А еще он объявил, что ответ у
задачи а) нужно использовать в задаче б), а ответ у задачи б) —
в задаче в).
Вот эти задачи: а) Длина огорода 35 р., ширина 10 кв. м.
Сколько килограммов составляет его площадь? б) Урожайность
картофеля была 2 к. за 1 кг. Сколько метров составил собран-
ный урожай? в) Цена картофеля 12 кг с 1 кв. м. Сколько
метров стоил бы этот картофель, если бы был куплен в магазине?
Правильно расставьте в задачах а) — в) названия единиц и
решите задачи.
Урок
и
□
и
6S (Урок 19)
Возведение в степень.
Квадрат и куб числа.
Вы знаете, что сумму равных слагаемых заменяют
произведением, например: 5 + 54-5 + 5 = 5*4. Это короче и
удобней. А нельзя ли придумать такой же способ записи,
чтобы заменить произведение равных сомножителей? Как,
например, произведение 5*5*5*5 записать короче?
Такой способ есть. Произведение 5*5*5*5 записывают
короче: 54. Итак, 54 = 5*5*5*5. Запись 54 читают: «Пять
в четвертой степени». Возвести 5 в четвертую степень —
это значит взять его множителем 4 раза.
Число 54 (а это 625, проверьте!) называют четвертой
степенью числа 5. Число 25 (а это 32, проверьте!) назы-
вают пятой степенью числа 2. В записи каждой степе-
ни участвуют два числа. Одно, которое возводится в
степень, называют основанием степени. Другое, которое
показывает, сколько раз берется множителем основание
степени, называют показателем степени. Например, в за-
писи 54 число 5 — основание степени, число 4 — показа-
тель степени. В записи 25 число 2 — основание степени,
число 5 — показатель степени.
Назовите основание и показатель степени
в записях 23, З2, З3. Вычислите записанные
здесь степени*
Если показатель степени равен 1, то что это значит?
Давайте рассуждать. Это значит, что основание степени
надо взять множителем один раз. Как это представить?
Взяли основание, а второго множителя нет! Вот и догова-
риваются в этом случае оставлять основание степени, как
оно есть. Поэтому 2’=2, 3’=3, 4‘ == 4 и т. д. Вообще пер-
вая степень любого числа равна этому числу.
Вторая и третья степени числа имеют еще и особые
названия. Вторую степень называют квадратом. Так что
квадрат числа 2 равен 4, квадрат числа 3 равен 9.
Запись 22 читают: «Два в квадрате».
А почему такое название — квадрат?
Ведь у нас никаких геометрических фигур
здесь не появилось.
Фигура сейчас появится. И именно квадрат. Рассмот-
рим квадрат со стороной 2 см. Его площадь как раз
равна 2*2 = 22 = 4 (кв. см). А еще можно представить
квадратную таблицу, у которой число строк равно числу
столбиков. Например, шахматную доску (см. рис. 16).
У нее 8 строк (горизонталей) и 8 столбцов (вертикалей).
Клетки этой та блицы-доски называют полями.
3 Учебник-собеседник
(Урок 19)
66
и
13
Сколько у нее полей?
Ответ ясен: 8*8=82=64.
Видите: восемь в квадрате!
Вообще пусть буквой а обо-
значено какое-то число. Тогда
число клеток в квадратной таб-
лице, у которой а строк и
а столбцов, равно квадрату
числа а.
Вычислите 42. Нарисуй-
те таблицу, у которой Рис 16
4 строки и 4 столбца.
Третью степень числа называют кубом этого числа.
Запись 23 читают: «Два в кубе». Наверное, вы догада-
лись, почему здесь появилось слово «куб». Если рассмот-
реть куб (рис. 17, а), ребро которого имеет длину 2 см,
то видно, что он сложен из восьми кубиков с ребром 1 см.
Но 8 как раз и равно 2-2-2 = 23.
и
□
На рисунке 17, б изображен куб с ребром 3 см.
Из скольких кубиков с ребром 1 см он сложен?
Рис. 17
33=3-3*3=27
б)
Вопросы и задания
7 19.1. Что такое основание степени? показатель степе-
в ни?
19.2. Дано число. Чему равна его первая степень?
19.3. Что такое квадрат данного числа? куб данного числа?
19.4. Чему равна площадь квадрата со стороной а м?
19.5. Дан куб со стороной а см (а — натуральное число).
Из скольких кубиков с ребром 1 см он сложен?
67 (Урок 19)
W 19.6. (У) Прочитайте записи: а) 26; б) З4; в) 23;
J г) 52; д) 5 , е) 101; ж) I02; з) 103; и) 105; к) 109;
л) 123; м) 132; н) 202; о) 252.
19.7. а) (У) В каждой записи степеней из 19.6 назовите
основание и показатель степени, б) Вычислите значения степеней
из 19.6.
19.8. Запишите цифрами: а) седьмую степень числа двести
сорок пять; б) семьсот в восьмой степени; в) квадрат числа
три тысячи шестьсот двадцать семь; г) пятьсот тридцать четыре
в кубе; д) двенадцать в одиннадцатой степени; е) одиннадцать
в двенадцатой степени.
19.9. Сравните значения выражений:
а) 23 и З2; г) 103 и 302; ж) II2 и 10-12;
б) 24 и 42; д) 102 и 9-11; з) 92 и 7-11.
в) 25 и 52; е) 82 и 7-9;
19.10. Вычислите значение выражения:
а) 1002; в) 10I2; д) 1232; ж) 1503;
б) 1003; г) 1112; е) 1502; з) 98762.
19.11. (У) Найдите значение выражения:
a) I2, I3, I4, 1'°, 1 1987; б) О2, О3, О4, 0'°, О'987.
19.12. Используя возведение в степень, запишите короче:
а) 7-7-7.7; б) 13.13-13 + 31-31-31; в) 47-47-81-81-81.
19.13. а) В квадратной комнате длина одной стены 3 м.
Найдите площадь этой комнаты в квадратных метрах, а затем
выразите ее в квадратных сантиметрах.
6) Поле имеет форму квадрата со стороной 3 км. Найди-
те площадь этого поля в квадратных километрах, а затем выра-
зите ее в квадратных метрах.
в) Сторона поля шахматной доски имеет длину 3 см. Найди-
те площадь этого поля в квадратных сантиметрах. Чему равна
площадь всей доски?
19.14. Число 100 равно квадрату числа 10. Это можно запи-
сать равенством: 100= Ю2. В заданиях а) — в) ответы также за-
пишите равенствами.
а) Какой степенью числа 10 является число 1000; 10 000;
1 000 000; 100 000 000?
б) Какой степенью числа 2 является число 4; 8; 32; 128?
в) Какой степенью числа 5 является число 5; 25; 125; 625?
19.15. (Загадки.) а) Квадрат задуманного натурального числа
равен 9. Какое число задумано?
б) Квадрат задуманного натурального числа равен 1. Какое
число задумано?
19.16. (Загадка.) Есть ровно два числа, равных своему квад-
рату. Отгадайте, что это за числа.
19.17. Сколько раз надо взять слагаемым число 3, чтобы получить З2;
З3: 3<?
(Урок 20) 68
19.18. а) Рассмотрите ряд чисел: 1» 4, 9, 16, 25, 36, .... Нетрудно догадаться,
как идут в нем числа. А именно: это квадраты чисел натурального ряда.
Продолжите запись, написав еще пять чисел этого ряда.
б) Рассмотрите ряд чисел 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... . Как идут числа в
этом ряде? Напишите два следующих числа этого ряда.
Урок 20 Почему действие, обратное умножению,
называют делением
Деление — это действие, обратное умножению. Оно ве-
дет себя по отношению к нему так же, как вычи-
тание — по отношению к сложению. Смотрите, как можно
записать определения этих двух обратных действий одно-
временно.
Действием, обратным называется нахожде-
умножению
слагаемого
ние неизвестного .......... по известным
множителя
слагаемому
и другому ....... .
J множителю
сумме
произведению
Мы здесь «одним ударом» записали сразу два предло-
жения. Если везде прочитывать слова над пунктирной
линией, то получим определение вычитания. Если про-
читать слова под линией, то получим определение
деления.
Как вы думаете, почему действие, обратное
умножению, называют делением?
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте обсудим задачу
о плитке шоколада. Такая плитка имеет форму прямо-
угольника, разделенного на клеточки (см. рис. 18, а).
Настоящая таблица! У нее и строки и столбцы
есть.
Полезное наблюдение. Им мы и воспользуемся. Будем
говорить про строки и столбцы в шоколадной плитке.
Задача 1. В плитке шоколада 5 строк и 8 столбцов.
Сколько в ней долек?
°* (Урок 20)
Вы, конечно, сразу нашли ответ: 40 долек. Но сейчас
интересней не ответ получить, а понять, какую схему
имеет эта задача. Посмотрите-ка урок 18. Видите, наша
задача имеет в точности схему 2, где вместо буквы а
поставлено число 5, а вместо b — число 8.
А теперь пусть множитель а нам неизвестен, т. е.
получается задача, обратная к задаче 1.
Задача 2. В плитке шоколада 40 долек и 8 столбцов.
Сколько в ней строк?
Каждому видно: сколько строк, столько и долек в
шоколадном столбце. Значит, вопрос задачи можно пере-
сказать так: сколько долек в каждом столбце? Чтобы дать
ответ, надо разделить плитку на 8 столбцов (см.
рис. 18,6). Вот и понятно, почему обратное действие
названо делением. Ответ в задаче дает выражение 40:8.
Вообще если в таблице с клеток и b столбцов, то в
ней с:Ь строк. Итак,
ЧАСТНОЕ ПРИ ДЕЛЕНИИ ЧИСЛА с
НА ЧИСЛО b — ЭТО ТАКОЕ ЧИСЛО а,
ЧТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ а НА Ь, РАВНО с.
a = c:bt если а-Ь = с
А теперь пусть в схеме 2 урока 19 неизвестен мно-
житель Ь. Тогда получается задача, тоже обратная к
задаче 1.
Задача 3. В плитке 40 долек и 5 строк. Сколько в
ней столбцов?
Объясните, как появляется деление при решении
задачи 3. Запишите решение и ответ.
Вообще если в таблице с клеток и а строк, то в ней
с:а столбцов.
Вопросы и задания
4^ 20.1. Что такое действие, обратное умножению? Как
4г называется это действие?
" 20.2. Как называются компоненты деления и результат?
20.3. Как найти множитель, если известно произведение и
другой множитель?
20.4. Как найти делимое, если известны делитель и частное?
20.5. (У) Повторим на нескольких примерах, что зна-
чит разделить одно число на другое. Закончите утвержде-
ния а) — г) по следующему образцу:
Образец: частное при делении числа 72 на число 8— это такое
число а, что а *8 — 72.
(Урок 20) 70
а) Частное при делении числа 132 на число 6 — это такое
число Ь9 что .... б) Частное при делении числа 132 на число
т — это такое число с, что ... .в) Частное при делении числа
п на число 6 — это такое число d, что .... г) Частное при
делении числа п на число т — это такое число а, что ... .
20.6. (У) а) Глядя на равенство 133*276 = 36 708, скажите,
не вычисляя, чему равно частное при делении 36 708 на 276.
б) Глядя на равенство 218-473=103 114, скажите, не вычисляя,
чему равно частное при делении 103 114 на 218.
20.7. (У) Найдите значение числового выражения, не выпол-
няя умножение в скобках:
а) (2-5.):5; б) (2-5):2; в) (37-62):37; г) (37-62):62;
д) (2 375 826 701 -53 268 084 315):53 268 084 315;
е) (73 428 030 261-8 080 808 808): 73 428 030 261.
20.8. (У) Найдите значение числового выражения, не вычис-
ляя квадрат числа:
а) 22:2; в) 19872: 1987;
б) 82:8; г) 3 820 063 5172:3 820 063 517.
20.9. Запишите частное при делении чисел 164 и 4; а и 4;
164 и и; а и п\ т и п. Найдите (устно) первое частное.
20.10. (У) Вычислите:
а) 45:3; б) 132:6; в) 4788:9; г) 67 835:5.
20.11. (У) Вычислите:
а) 4500:3; б) 13 200:60; в) 478 800:900; г) 678 350:5.
20.12. Мама поручила Игорю узнать, сколько граммов сахар-
ного песку вмещает одна столовая ложка. Игорь взял 1 кг сахар-
ного песку и стал пересыпать его ложкой в банку. Получилось
40 ложек. Сколько граммов вмещает одна ложка?
20.13. Чтобы упаковать шесть коробок конфет, потребовалось
3 м ленты. Сколько сантиметров ленты потребуется, чтобы упа-
ковать седьмую коробку?
20.14. (У) Карусель совершает 20 оборотов за 3 мин. За
сколько секунд она делает один оборот?
20.15. (У) Вычислите:
а) 301-9; в) 503-7; д) 705-4;
б) 402-8; г) 604-4; е) 706-9;
ж) 703-8;
з) 704-7;
и) 708-6;
к) 709-5.
20.16. (У) Клоун объявил, что покажет математиче-
ский фокус. «Задумайте каждый какое-нибудь число и не
говорите его мне. Затем умножьте его на 13. Теперь резуль-
тат разделите на задуманное число. А я за две секунды
объявлю сразу всем, какие числа у вас получились. У каждого
получилось число 13».
Объясните, какое свойство деления применил здесь клоун.
71 (Урок 21)
урок 21 |(ак одно число разделить на другое
Вы умеете делить «столбиком» числа до миллиона.
Вспомните: сначала подбирается в частном цифра самого
старшего разряда, затем следующего по старшинству раз-
ряда и т. д. Это правило действует и для всех нату-
ральных чисел. Вот примеры деления семизначных чисел
на четырехзначные:
2728296 3672
25704 743
15789
~~ 14688
11016
~11016
0
7032300 3417
6834 12058
19830
~17085
27450
~~ 27336
114
и
Объясните в этих примерах, как возникает
каждая цифра частного.
В первом примере число 2 728 296 разделилось на 3672
и частное равно 743. Во втором случае осталось число
114. Его дальше делить на 3417 невозможно: ведь оно
меньше, чем 3417. Число 114 называется остатком от деле-
ния числа 7 032 300 на число 3417. Если при делении од-
ного натурального числа на другое получается остаток,
значит, первое число не делится на второе. Итак, мож-
но сделать вывод: из двух данных натуральных чисел не
всегда одно делится на другое.
Назовите два числа, из которых одно делится
на другое, и два числа, ни одно из которых
не делится на другое.
Никогда не забывайте, что остаток всегда меньше дели-
теля.
Я слышал, что на 0 делить нельзя. Как это
объяснить?
Давайте рассуждать. Возьмем какое-нибудь число,
например 5. Что значит разделить 5 на 0? Это значит
найти такое число а, что а-0 = 5. Но мы знаем, что а-0 = 0
всегда. Так что подобрать нужное число невозможно.
НИКАКОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НЕВОЗМОЖНО
РАЗДЕЛИТЬ НА 0.
А нуль возможно разделить на натуральное
число?
(Урок 21) 72
Опять давайте рассуждать. Что значит разделить 0 на чис-
ло 6? Это значит найти такое число а, что а-Ь — 0. Мож-
но ли такое число а найти? Всем ясно, что можно —
годится число 0. Ведь 0*& = 0. Итак, при делении нуля на
натуральное число частное равно нулю.
Как проверить, правильно ли выполнено деление? Для
такой проверки есть два способа. 1-й — нужно перемно-
жить делитель и частное, получится делимое. 2-й —
нужно разделить делимое на частное, получится делитель.
Делимое"]:| Делитель |=| Частное
Проверка:
| делитель |»| частное
делимое ;
2) | делимое частное
делитель
Вопросы и задания
21.1. Всегда ли из двух данных натуральных чисел одно
делится на другое?
21.2. Можно ли‘ натуральное число разделить на 0?
21.3. Можно ли 0 разделить на натуральное число?
21.4. Как проверить правильность выполненного деления ум-
V ножением? А делением?
! 21.5. Выполните действие:
а) 12 690:141;
б) 214 652:206;
в) 3 039 720:584;
г) 1 311 254:409;
д) 1769 482:3497;
е) 4 624 862:7249;
ж) 3 097 500-4130;
з) 3 710 000:3500;
и) 67 089:67 089;
к) 83 147:1;
л) 0:64 247;
м) 0:1.
21.6. Во сколько раз 111 111 111 больше чем 12 345 679?
21.7. Выполните действие:
а) 2 152 771:3071. Результат проверьте умножением;
б) 2 224 222:2222. Результат проверьте делением.
21.8. Заполните таблицу:
а 572 163 3 909 984 131 289 43 132 000 0
b 709 3856 613 263 000 5796 8713
а:Ь 321 5273 0
21.9. Выполните деление с остатком:
а) (У) 8 на 3; в) 6290 на 13; д) 3 159 849 на 864;
6) 137 на 5; г) 2235 на 14; е) 3 129 977 на 961.
73 (Урок 22)
Урок 22 Какие задачи решают делением
Смекалкин догадался, что схемы задач на деление мож-
но получить из схем задач на умножение. Ведь деле-
ние — это действие, обратное умножению. Из каждой схе-
мы урока 20 получаются по две схемы задач на деле-
ние. В первой из них даны произведение с и 1-й мно-
житель а, неизвестен 2-й множитель. Во второй даны про-
изведение с и 2-й множитель Ьу неизвестен 1-й мно-
житель.
Схема 1а. Есть сколько-то________, в каждом по
а . . ., а всего в них с . . . . Сколько есть_? (Ответ:
с:а . . . .)
Схема 16. Есть b ______, всего в них с . . . . Сколько
... в каждом? (Ответ: схЬ ... .)
Как и раньше, вместо пунктира из точек нужно ста-
вить одно существительное, вместо пунктира из черто-
чек — другое, а вместо букв — какие-нибудь числа.
Следующие две схемы уже были разобраны в уроке 18.
Повторим их.
Схема 2а. В таблице а строк и сколько-то столб-
цов, а всего в ней с клеток. Сколько в таблице столбцов?
(Ответ: с\а столбцов.)
Схема 26. В таблице сколько-то строк и Ь столбцов,
а всего в ней с клеток. Сколько в таблице строк? (Ответ:
с:Ь строк.)
Осталось написать еще две схемы, которые получаются
из схемы 3 урока 20.
Схема За. У одного а . . . , у другого — с ... ,
причем О а. Во сколько раз у второго больше, чем у пер-
вого? (Ответ: в с:а раз.)
Схема 36. У одного_________сколько-то . . ., у дру-
гого — с . . ., причем у второго в b раз больше. Сколько
... у первого? (Ответ: с: b ... .)
В заданиях к этому уроку будут задачи на все эти
схемы.
В уроках 13, 15, 18 и 22 мы уже разобрали несколько
схем задач на сложение, вычитание, умножение и деление.
Нужно ли заучивать номера схем? Вовсе нет! Главное —
ясно понимать все эти схемы и уметь обнаруживать их
в разных конкретных задачах.
Вопросы и задания
22.1. Почему из каждой схемы задач на умножение
получается по две схемы задач на деление?
22.2. (У) Ткацкой фабрикой выпущено 3000 м ткани
общей стоимостью 36 000 р. Какова цена 1 м этой ткани?
(Урок 22) 74
22.3. (У) За 8 ч работы фрезеровщик изготовил 120 деталей.
Какова производительность труда фрезеровщика?
22.4. Первый искусственный спутник Земли был запущен в
СССР 4 октября 1957 г. Он весил 84 кг. Первый американ-
ский спутник был запущен 31 января 1958 г. Он весил 14 кг. Во
сколько раз первый советский спутник тяжелее первого амери-
канского спутника?
22.5. Поезд прошел 2108 км за 34 ч. Какова его скорость?
22.6. (У) Молокозавод выпускает ежедневно 24 000 бутылок
молока. В ящик входит 20 бутылок. Сколько ящиков ежедневно
нужно заводу?
22.7. (У) Скорость самолета Ту-154 850 км/ч. За какое время
он преодолеет расстояние 1700 км?
22.8. В 1939 г. высшее образование в нашей стране имели
1200 тыс. человек, а в 1986 г.— 20 400 тыс. человек. Во сколько
раз увеличилось число людей с высшим образованием за указан-
ные годы?
22.9. С поля площадью 230 кв. м собрали 2530 кг моркови.
Какова урожайность моркови на этом поле?
22.10. (У) Периметр квадрата 24 м. Какова длина его сто-
роны?
22.11. (У) За один час хлопкоуборочная машина обрабатывает
поле площадью 3000 кв. м. За сколько часов она обработает
поле площадью 36 000 кв. м?
22.12. В задаче 18.5 вы узнали, сколько электроэнергии вы-
рабатывается в СССР за 1 ч. Чтобы выпустить 1 тепловоз,
требуется 35 000 кВт-ч электроэнергии, а на 1 вагон —
25 000 кВт-ч. Сколько: а) тепловозов; б) вагонов можно вы-
пустить, если использовать всю энергию, вырабатываемую за 1 ч?
22.13. Найдите значение числового выражения:
а) 675 019 + 88 892:284 — 98 603;
б) 308 803 — 75 152:176 + 79 008;
в) 230 441-(229 682-228 904:52);
г) 510 081—(90 334+16 536:212);
д) 1336:(128 + 7416:36);
е) 349 044:2006 + 7 403 670:765.
22.14. а) Прочитайте еще раз внимательно условия задач 22.2—22.12 и вы-
ясните, какую из схем имеет каждая задача. Запишите результаты своего ис-
следования так: «Схему . .. имеют задачи.. ...» (вместо первого много-
точия поставьте номер схемы, а вместо последующих — номера задач).
22.15. Придумайте по одной задаче на каждую схему этого урока. Запи-
шите их на листочке и предложите соседу по парте решить их. Проверьте,
правильно ли он решил задачи.
75
(Урок 23)
уРок 23 Свойства числа 1
Какими свойствами знаменито число 1? Прежде всего
тем, что с него начинается натуральный ряд. Но не только
этим. Выполняя действия над числами, можно обнаружить
другие его свойства, которые не имеет никакое число,
кроме 1.
Сложение. Если к натуральному числу приба-
вить 1, то получится следующее натуральное число. Если
же прибавлять какое-нибудь другое число, то следующее
не получится. Значит, только 1 имеет такое свойство.
Обдумывая его, можно сделать интересный вывод: приме-
няя многократно действие сложения, из числа 1 можно
получить любое натуральное число:
1 + 1=2, 1 + 1 + 1=3, 1 + 1 + 1 + 1=4 и т. д.
Вот какая всемогущая единица!
Вычитание. Если из натурального числа вы-
честь 1, то получится предыдущее число. Ясно, что опять
только 1 имеет такое свойство.
Умножение. Вспомните какую-нибудь схему задач
на умножение (см. урок 18). Например, схему 1. Пред-
ставьте, что буква а обозначает в ней число 1. Как будет
выглядеть тогда эта схема?
Есть 1_____ в каждом по а ... . Сколько . . . всего?
Что мы видим? Раз у нас есть не какое-то число,
а именно 1, то слова «в каждом» неуместны; надо гово-
рить просто «в нем» (или «в ней»). Вот конкретная задача
с такой схемой: Прошла одна минута, в ней 60 секунд;
сколько секунд прошло? Решение даже первокласснику
понятно: 60*1=60. Ну, а в нашей общей схеме (перво-
классник до нее еще не дорос!) можно записать: а-1 =а.
Рассмотрите еще раз схему 1 и представьте,
что в ней теперь буква b обозначает
число /. Подумайте, что тогда получится.
Вот конкретная задача для такого варианта. В городе
98 школ, в каждой по одному директору; сколько человек
в городе работают директорами школ? Решение тут тоже
не надо долго объяснять: 1-98 = 98. Ну, а в общей
схеме получится равенство 1-^ = 6. Вместо буквы b можно
использовать и любую другую букву. Например, букву
а — ведь она тут не используется. Получим равенство
1 • а —а.
Какие же свойства мы обнаружили?
Если один множитель равен единице, то произведение
равно другому множителю.
(Урок 23) 76
Деление. И при этом действии число 1 ведет себя
по-особенному. Вот какие свойства легко обнаружить.
Частное при делении любого числа на единицу равно
этому числу.
Частное при делении любого числа на само себя равно 1.
гт Объясните эти свойства. (Совет: придумайте
и подходящие задачи, используя какую-нибудь
D схему из урока 22.)
Если для этих свойств опять записать равенства с бук-
вой, то они будут выглядеть так:
а: 1 =а; а:а= 1.
А чему равно частное от деления единицы
на любое натуральное число?
Это очень хороший вопрос. Если а обозначает натуральное число,
не равное 1, то, конечно, частное 1:а не может быть числом нату-
ральным. Но что, если присоединить к натуральным числам какие-
нибудь числа, чтобы можно было делить единицу на натуральное число?
Мы начнем рассказывать о таких числах (их называют дробями) в
главе II. Немало уроков в 5-м и 6-м классах вы будете заниматься изу-
чением дробей.
Вопросы и задания
23.1. Чем замечательно число 1 в натуральном ряде?
23.2. Какое свойство числа 1 при сложении мы отме-
тили? Какой интересный вывод получается из этого
свойства?
23.3. Каким свойством обладает число 1 при вычитании?
23.4. Какое свойство числа 1 проявляется при умножении?
23.5. Что получится, если данное число разделить на 1; на само
себя?
23.6. Найдите значение числового выражения:
i a) 1-J-1-1 — 1:1+(1 + 1 — (1 + 1);
б) 1:1 + 1 + 1-(1 + 1:1-1).! 4-1 _ 1 :(14- Ы-1).
23.7. (У) Найдите значение выражения:
а) 317.1+233:1; г) 7218:7218 + 999.1;
б) (657 -656). 49 — 36; д) 634:(1 000 — 999) + 66;
в) 4506-0 + 6473:1; е) 3208:3208-5628:5628.
23.8. Найдите значение выражения:
а) 638 275-1+572 357:1;
б) (83 756 —83 755).2 597 635 — 719 976;
в) 6709 • 3086 + 27 035:27 035;
г) 56 728:56 728-2 726 784:789.
77 (Урок 23)
23.9. Папа, мама и их сын Игорь отправились в воскресенье
за покупками. Они купили 12 кг картошки и 7 кг других продук-
тов. Сумку с картошкой взялся нести папа. Сумку с остальными
продуктами решила нести мама. Но папа предложил Игорю по-
мочь маме. Игорь взял 3 пачки сахара, по 1 кг каждая,
а остальное взял папа, решив полностью разгрузить маму. Сколько
килограммов будет нести папа?
23.10. Перепишите в тетрадь 10 раз запись из десяти единиц:
1111111111
Если расставить между единицами знаки действий так: Ы +
+ 1 • 1 4- 1 • 1 + 1 • 1 + 1 • 1, то получится числовое выражение, значе-
ние которого равно пяти (проверьте!). Расставьте в каждой из
ваших записей 9 знаков действий так, чтобы первое числовое
выражение имело значение 1, второе — 2, третье — Зит. д., деся-
тое — 10. (Во всех случаях, кроме последнего, это можно сделать
несколькими способами.)
23.11* . а) Используя скобки и знаки действий, которые можно
ставить между числами 1, составьте несколько числовых выра-
жений из записи четырех единиц: 1111. Какое из ваших число-
вых выражений имеет самое большое значение? б) Выполните то
же задание для записи шести единиц, в) Выполните то же задание
для восьми единиц.
На уроке можно устроить «конкурс» таких выражений с самым
большим значением.
23.12. (У) а) Клоун утверждал, что всегда произведение
кВГ двух натуральных чисел больше каждого множителя. Пуб-
лика смеялась: все знали, что иногда произведение может
быть равно одному из множителей. Скажите, в каком слу-
чае это будет так. б) В каком случае произведение равно каждому
множителю?
23.13. а) Смекалкин загадал младшему брату загадки. Он написал числовые
равенства, в которых знаки действий + , —, », : обозначил одним и тем же зна-
ком о. Показав равенства брату, он сказал, что легко отгадать, какой знак дей-
ствия скрывается за кружочками в каждом месте. Брат отгадал все загадки. Рас-
смотрите внимательно равенства и отгадайте, где какой знак должен стоять вместо
кружочка:
5391° 1 =2408 + 2982; I о(70J — 344)= 59+298; 908 622:234 = 3882° 1;
(642 753 864°642 753 864)°(468 357 246»468 357 246)=2.
б) (У) Младший брат в ответ загадал Смекалкину похожую загадку: «Какие
знаки действий должны стоять вместо кружочков: 12°1 = 12; 308 249 555« 1 =
= 308 249 555?»
Смекалкин подумал и сказал, что отгадать такую загадку невозможно, пото-
му что вместо кружочка здесь может стоять и знак умножения, и знак деления.
Можно ли отгадать, какой знак скрывается за кружочком в равенстве 1°1 = 1?
Ответ объясните.
23.14*. а) Можно ли отгадать, знак какого действия скрывается за кружочком в
равенстве 2°2 = 4? А в равенстве 3«3=0?
б) Можно ли отгадать, знаки каких действий скрываются за кружочками в
равенстве 3<>3<?3 = 2? А в равенстве 3е3о3 = 3?
Во всех заданиях объясните ответ.
78
урок 24 Учимся рассуждать при решении задач.
Когда скорости складываются,
а когда вычитаются
Изучая математику и применяя ее, надо уметь рассуж-
дать. Ведь чтобы обнаружить какое-то свойство или пра-
вило, без рассуждений не обойтись. Постоянно нужны они
и при решении задач.
Среди всяких задач, которые приходится решать, не-
редко бывают задачи на движение. В них движутся пеше-
ходы, велосипедисты, мотоциклисты, автомашины, поезда,
самолеты и т. п. Надо уметь легко решать такие задачи.
Чтобы вы получше научились этому, мы разберем здесь ос-
новные варианты задач на движение.
Кто именно или что именно будет двигаться, нам не-
важно. Ведь план решения от этого не зависит! Поэтому
договоримся, что у нас будут двигаться два путешествен-
ника — пешеход Антон и велосипедист Иван. Договоримся
еще, что во всех вариантах задач про Антона и Ивана их
скорости будут одни и те же: Антон ходит со скоростью
4 км/ч, а Иван ездит со скоростью 20 км/ч. Ради краткости
мы не станем повторять эти скорости в условиях задач.
Вариант 1. Антон и Иван отправились одновремен-
но навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние
между которыми 96 км (рис. 19).
а) На какое расстояние они сблизятся за 1 ч; за 2 ч?
б) Через сколько часов они встретятся?
Давайте рассуждать. Антон за 1 ч пройдет 4 км. Иван
за 1 ч проедет 20 км. Значит, они сблизятся на 4 + 20 =
= 24 (км). За второй час они сблизятся еще на 24 км; зна-
чит, за 2 ч они сблизятся уже на 24 *2 = 48 (км). Ответы на
вопросы из а) даны.
Количество километров, на которое за единицу вре-
мени (1 ч) сближались Антон и Иван, называют ско-
ростью сближения. В этой задаче она равна 24 км/ч.
Перейдем к вопросу 6). Каждый час Антон и Иван
сближаются на 24 км, а расстояние между ними 96 км.
Значит, чтобы узнать, через сколько часов Антон и Иван
встретятся, нужно разделить 96 на 24.
96км
Рис. 19
79
(Урок 24)
4
Рис. 20
Каков же ответ на вопрос б)?
Вариант 2. После встречи Антон и Иван отправи-
лись одновременно в противоположные сто-
роны друг от друга (рис. 20). На какое расстояние
они удалятся друг от друга за 1 ч; за 2 ч?
Давайте рассуждать. Ясно, что расстояние между ними
за каждый час будет увеличиваться на 4 + 20 = 24 (км).
Количество километров, на которое за единицу времени
удаляются друг от друга Антон и Иван называется
скоростью удаления друг от друга. В этой задаче она
равна 24 км/ч. Схема 1 задач на умножение из уро-
ка 18 подсказывает нам, как решить задачу 2. За 1 ч Ан-
тон и Иван удалятся друг от друга на 24*1=24 (км),
за 2 ч — на 24-2 = 48 (км).
Разобрав варианты 1 и 2, мы можем сделать вывод:
ПРИ ДВИЖЕНИИ .Л»'™-4'
в стороны друг от друга
СКОРОСТЬ С.б-Л‘-1-Ж.е”^- РАВНА СУММЕ СКОРОСТЕЙ,
удаления
Мы здесь опять (как и в уроке 20) «одним ударом» за-
писали два предложения. Вы, конечно, легко прочитаете
каждое по отдельности. Для первого надо прочитывать
верхние слова, для второго — нижние.
Вариант 3. Антон и Иван отправились одновремен-
но из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км,
и движутся в одном направлении так, что Иван догоня-
ет Антона (рис. 21). а) На какое расстояние они сблизят-
ся за 1 ч; за 2 ч? б) Через сколько часов Иван догонит
Антона?
Давайте рассуждать. Ясно, что расстояние между ними
4
96 км
Рис. 21
(Урок 24)
И
96км
Рис. 22
каждый час будет уменьшаться на 20 — 4=16 (км). Зна-
чит, скорость их сближения равна 16 км/ч. За 1 ч Ан-
тон и Иван сблизятся на 16-1 = 16 (км), за 2 ч они сбли-
зятся на 16-2 = 32 (км). Ответы на вопросы из а) даны.
Дайте сами ответ на вопрос б).
Вариант 4. Антон и .Иван отправились одновре-
менно из двух пунктов и движутся в одном направлении
так, что Иван удаляется от Антона (рис. 22). На
какое расстояние они удалятся друг от друга за 1 ч; за 2 ч?
Давайте рассуждать. В этом случае расстояние меж-
ду ними каждый час будет увеличиваться на 20—4 =
= 16 (км). Значит, скорость удаления их друг от друга
равна 16 км/ч. За 1 ч Антон и Иван удалятся друг от друга
на 16-1 = 16 (км), за 2 ч — на 16-2 = 32 (км).
Разобрав варианты 3 и 4, мы можем сделать вывод:
ПРИ ДВИЖЕНИИ В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ
СКОРОСТЬ СБЛИЖЕНИЯ (ИЛИ УДАЛЕНИЯ)
РАВНА РАЗНОСТИ СКОРОСТЕЙ.
Вопросы и задания
24.1. Что нс
24.1. Что называется скоростью сближения, скоростью
удаления?
24.2. Когда скорость сближения равна сумме скоростей пу-
тешественников? Когда она равна разности скоростей?
24.3. Когда скорость удаления равна сумме скоростей путе-
шественников? Когда она равна разности скоростей?
24.4. Антон и Иван вышли одновременно из одного пункта.
Чему равна скорость их удаления друг от друга, если они
движутся: а) в одном направлении; б) в противоположных на-
правлениях?
24.5. Два мотоциклиста выехали одновременно из двух
пунктов, расстояние между которыми 450 км. Скорость
одного из них 80 км/ч, скорость другого 70 км/ч. На ка-
ком расстоянии будут они друг от друга через 2 ч, если
они движутся: а) навстречу друг другу; б) друг от друга; в) в од-
ном направлении и при этом один удаляется от другого; г) в одном
направлении и при этом один догоняет другого?
81 (Урок 25)
Для каждого случая а) — г) нарисуйте схему их движения.
24.6. По плану игры «Зарница» 5-й А класс занимает оборону
около озера, а 5-й Б наступает из пункта, удаленного от озера на
2 км 300 м. Чтобы узнать намерения противника, командир 5-го А
выслал разведчиков, которые двигаются со скоростью 65 м/мин.
Через сколько минут разведка встретит противника, если 5-й Б на-
ступает со скоростью 50 м/мин?
24.7. Игорь обнаружил, что отец, уходя на работу, забыл
взять зонт, а бюро прогнозов обещало вечером дождь. Игорь взял
зонт и побежал догонять отца. Через сколько минут он догонит
отца, если тот идет со скоростью 65 м/мин, Игорь бежит со ско-
ростью 80 м/мин и отец успел уйти от дома на 90 м?
24.8. Две овощеводческие бригады начали сбор огурцов на
поле длиной 3 км. За 1 ч первая бригада успевает собрать огур-
цы по всей ширине поля и продвинуться вперед на 230 м, вторая
бригада — на 270 м. Бригады движутся навстречу друг другу. Че-
рез сколько часов они встретятся, т. е. уберут все поле?
24.9. Два теплохода одновременно отошли от пристани и по-
плыли в одном направлении. Скорость одного теплохода на 5 км/ч
больше, чем другого. Через 3 ч первый теплоход прибыл в конеч-
ный пункт. На каком расстоянии от него находился в это время
другой теплоход?
24.10. От автовокзала по маршруту Ленинград — Петроза-
водск отошел автобус. Одновременно с ним по тому же маршруту
выехала автомашина. Автобус движется со скоростью 75 км/ч,
а автомашина — со скоростью 90 км/ч. Когда автомашина прибы-
ла в Петрозаводск, автобусу осталось проехать еще 60 км.
а) Сколько часов ехала автомашина от Ленинграда до Петроза-
водска? б) Каково расстояние между Ленинградом и Петроза-
водском?
Урок 25
Задания на повторение к § 2
Мы заканчиваем § 2. Сейчас можно было бы повторить объяс-
нительный текст из урока 11. Перечитайте этот текст!
25.1. Заполните пустые клетки таблицы:
а)
Уменьшаемое 6352 15 753 3 726 532 85 717 0
Вычитаемое 4728 427 839 85 237 0
Разность 7298 572 161 3 726 532 0 63 207 0 0
82
(Урок 25)
6)
Делимое 246 521 192 153 837 245 57 314
Делитель 307 1208 63 217 1 36 345
Частное 379 651 837 245 ' 1 85 741 1 0
25.2. а) В 1980 г. общая площадь жилья в городах нашей стра-
ны была 2202 млн. кв. м, а к 1985 г. она увеличилась на 359 млн.
кв. м. Какова была площадь городского жилья в 1985 г.?
б) В 1980 г. общая площадь жилья в сельской местности была
1370 млн. кв. м, а к 1985 г. она увеличилась на 140 млн. кв. м.
Какова была площадь жилья в сельской местности в 1985 г.?
в) Какова была общая площадь жилья в нашей стране в
1985 г.?
г) На сколько увеличилась общая площадь жилья в нашей
стране за одиннадцатую пятилетку с 1980 по 1985 г.?
д) По плану двенадцатой пятилетки общая площадь жилья
увеличится на 595 млн. кв. м. Какой будет площадь жилья
в 1990 г.?
25.3. Одним килограммом краски можно покрасить 5 кв. м по-
ла. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить: а) 1 кв. м;
б) 3 кв. м; в) 6 кв. м; г) 15 кв. м?
25.4. , Шерлоку Холмсу принесли счет, испорченный злоумыш-
ленником (см. рис. 23). Через 2 мин все числа, залитые чернила-
ми, были найдены. А вы сможете так же быстро провести рас-
следование?
Рис. 23
25.5. Если в квадрате каждую сторону раз-
делить на 3 равные части, а затем точки деле-
ния на противоположных сторонах соединить, как
показано на рисунке 24, то получится 9 квадра-
тиков. Сколько квадратиков получится, если каж-
дую сторону квадрата разделить на 10 частей;
на 15 частей; на 1987 частей?
83 (Урок 25)
25.6. Нарисуйте на клетчатой бумаге прямоугольник со сторо-
нами 3 и 5 клеток и квадрат со стороной 4 клетки. Пред-
ставьте» что оба четырехугольника разрезали на клетки, а затем
выложили эти клетки в ряд отдельно для прямоугольника и
отдельно для квадрата. Какой ряд будет длиннее?
25.7. В задаче 18.5 вы нашли, сколько электроэнергии выра-
батывается в нашей стране за 1 ч. Чтобы понимать, много это
или мало, надо знать, какую работу может производить I кВт-ч
электроэнергии. Израсходовав 1 кВт-ч, можно: а) выплавить
3 кг стали, или б) добыть 50 кг угля, или в) изготовить 10 м
ткани, или г) изготовить 3 пары ботинок, или д) выпечь 100 бу-
ханок хлеба, или е) выдоить электродоильным аппаратом 45 ко-
ров, или ж) остричь электромашинкой 15 овец, или з) побрить
электробритвой 400 мужчин.
Все, что человек производит, требует энергии. Пользуясь приве-
денными данными, подсчитайте, сколько за 1 ч можно выпла-
вить стали, добыть угля и т. д., если всю электроэнергию
нашей страны употребить на это. .
В СССР проживает 130 900 000 мужчин. Хватит |
ли этой энергии, чтобы их всех побрить?
25.8. Решите задачу, составив числовое выра-
жение: 1.
а) Телевизионная башня в Москве состоит из же- g
лезобетонной основы высотой 385 м и металлической П
части, которая короче железобетонной основы на £(
230 м. Какова высота всей башни?
б) Когда турист прошел 9 км, ему осталось до
конца маршрута пройти в 3 раза меньше. Какова 385м( = 1
длина всего маршрута?
25.9. Придумайте задачу, решение которой за-
писывается выражением: |
а) 78+ (76+13); в) 32 + 32-3; Д
б) 113+(113 —27); г) 27 + 27:3.
25.10. Витя и Гриша договорились встретиться ровно в 5 часов.
Они одновременно выходят из дому и идут навстречу друг другу,
пока не встретятся. Витя обычно идет со скоростью 40 м/мин,
а Гриша — 45 м/мин. За сколько минут до 5 часов они должны
выйти из дому, если расстояние между их домами 510 м?
25.11. а) Собака погналась за лисицей, когда расстояние
между ними было 120 м. Через сколько минут собака догонит
лисицу, если лисица пробегает в минуту 320 м, а собака — 350 м?
б) Составьте обратную задачу, в которой, были бы известны
скорости собаки и лисицы, время, за которое собака догонит
лисицу, а требовалось бы найти расстояние между ними тогда,
когда началась погоня.
25.12. В задаче 17.14 вы нашли периметр прямоугольника,
изображенного на рисунке 14. Нарисуйте в тетради квадрат,
имеющий такой же периметр.
(Урок 25) 84
25.13. Вы знаете пять действий над числами: сложение, вы-
читание, умножение, деление и возведение в степень. Для каждо-
го из них составьте числовое выражение, применяя это действие
к двум одинаковым числам 4. Какое из составленных выражений
имеет самое большое значение, а какое — самое маленькое?
25.14. Смекалкин придумал несколько примеров с размазанны-
ми цифрами:
О
Восстановите размазанные цифры.
25.15*. Клоун предложил четыре ребуса:
а) ОХОХО б) _ ПОДАЙ в)
+ АХАХА ; ВОДЫ ;
АХАХАХ ПАША
БУЛОК
+ БЫЛО;
МНОГО
г) —ТОК
КОТ .
кто
В каждом ребусе расшифруйте, какую цифру обозначает каждая буква.
25.16. Младший брат обратился к Смекалкину: «Я понял, что натураль-
ное число делить на 0 нельзя. А сам 0 на себя можно разделить?» Смекал-
кин предложил брату порассуждать: «Что значит 0 разделить на 0? Это значит
найти такое число д, что а *0=0. Можно ли из этого равенства понять, чему
именно равно а? Конечно, нельзя. Потому что для равенства а*0=0 годится
любое а. Так что делить 0 на 0 не имеет смысла».
Продумайте объяснение Смекалкина и заполните пропуски над пунктирной ли-
нией и под ней в следующем утверждении:
натуральное число
Делить ...................на нуль ......
нуль
§ 3. ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Когда люди говорят о математике, они обычно вспоми-
нают не только числа и фигуры, но также формулы и
уравнения. И в самом деле, в математике без формул и
уравнений не обойтись! А в них обязательно участву-
ют выражения с буквами. За каждой буквой всегда скры-
ваются числа — то какое-то одно, то много. В предыдущих
уроках вы уже не раз встречались с выражениями, в
которых были буквы; их называют буквенными (или по-
85 (Урок 26)
другому алгебраическими) выражениями. Нужно хорошо
понимать, какие числа скрываются за буквами в каждом
таком выражении. В этом параграфе мы расскажем, как
возникают и используются при решении задач буквенные
выражения, формулы и уравнения.
урок 26 |^ак возникают буквенные выражения
при решении задач
Задача 1. Когда родился Игорь, его отцу было 24 го-
да. Сколько лет было Игорю, когда отцу было: а) 25 лет;
б) 26 лет; в) 27 лет; г) 28 лет; д) 29 лет и т. д.?
Ответ можно дать таблицей:
Возраст отца 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 • • •
Возраст Игоря 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • • •
Но Игорь и отец собираются жить долго. Что же,
обязательно писать длинную таблицу? Нельзя ли выразить
ответ короче? Можно. И очень просто. Обозначим возраст
отца буквой п. Тогда возраст Игоря будет п—-24. Вот
и возникло буквенное выражение. Какое число скрывается
в нем за буквой п? Число лет отца.
Задача 2. У кассы кино-
театра младший брат спросил
Смекалкина: «Сколько всего де-
нег заплатят за билеты зрители,
которые придут на этот сеанс?»
Смекалкин сразу же ответил:
«10* а + 25 •Ь копеек». «Как это
понять?» — удивился младший
брат. Смекалкин начал объяс-
нять: «Детский билет на этот сеанс стоит 10 копеек, взрос-
лый — 25 копеек. Если в зале будет а детей (мы ведь не
знаем пока, сколько будет детей), то за их билеты будет
уплачено 10*а копеек. . . ».
Закончите объяснение Смекалкина. Что
обозначает буква Ь в выражении 10-а^25-Ь?
ф--------------&
СТОИМОСТЬ БИЛЕТОВ
на один сеанс
Для детей 10коп.
для взрослых_____25коп.
При решении задач 1 и 2 возникают буквенные выра-
жения п—24, 10-а + 25-6. В них встречаются буквы п, а, Ь,
числа 24, 10, 25, знаки —, +,-•. Вообще
БУКВЕННЫМ ВЫРАЖЕНИЕМ НАЗЫВАЮТ
ЗАПИСЬ, В КОТОРОЙ ЧИСЛА И БУКВЫ
СОЕДИНЕНЫ ЗНАКАМИ ДЕЙСТВИЙ.
(Урок 26) «6
Вот еще примеры буквенных выражений: п 4-1; л—1;
a+b; 2-d —5; zn:24“8-c; (а + 30):7.
Придумайте сами два-три примера буквенных
выражений.
Если в буквенное выражение вместо букв подставить
числа, то получится числовое выражение. Значит, из
одного буквенного выражения возникает много чис-
ловых выражений. Все они похожи. Чем именно? В них од-
ни и те же действия надо выполнить в одном и том
же порядке. Только числа вместо букв могут быть разные.
При каждом наборе чисел можно вычислить значение
полученного числового выражения. Его называют число-
вым значением буквенного выражения при данных значе-
ниях букв.
Например, в выражении п — 24, подставляя вместо п
число 33, получаем числовое выражение 33—24. Его
значение — число 9. Если вспомнить задачу 1, то можно
сказать, что это возраст Игоря, когда отцу было 33 года.
Подсчитайте значение выражения п — 24 при
значении п, равном 50. Что означает полученное
число?
В выражении 10-а4-25*6, подставляя вместо а число 220,
а вместо Ь число 80, получаем числовое выражение
10*2204-25-80. Если вспомнить задачу 2, то значение это-
го выражения указывает, сколько денег выручит кино-
театр за сеанс, на котором было 220 детей и 80 взрослых.
Найдите эту выручку и выразите ее в рублях.
Выше мы подставляли вместо п число 33, вместо а
число 220, вместо b число 80. В таких случаях обычно
пишут: лг = 33, а = 220, 6 = 80. И говорят: «При п, равном
тридцати трем, выражение п — 24 принимает значение 9»,
«При а, равном двумстам двадцати, и &, равном восьми-
десяти, выражение 10-а4-25 *Ь..л>.
Закончите последнее предложение. Рассмотрите
выражение т: 2 4-8 -с\ вычислите его значение
при т = 6, с~3.
Итак, вы увидели, что буквенные выражения возни-
кают при решении задач, когда какие-то данные в их
условиях могут меняться. В задаче 1 меняется возраст
отца. В задаче 2 могли быть различными и число детей,
и число взрослых, пришедших на киносеанс. Но буквенные
выражения могут появляться и в других случаях. О них
мы расскажем в последующих уроках.
87
(Урок 26)
Вопросы и задания
26.1. Что называется буквенным выражением?
£ 26.2. Как из буквенного выражения получаются число-
вые выражения? Что схожего во всех таких числовых
выражениях?
Г 26.3. (У) Прочитайте буквенное выражение и найдите
его числовое значение при k = 42: а) 179 + &; б) 235— k;
" в) fe —7; г) 4-k\ д) fe:6; е) 126:/?.
26.4. а) Даны числовые выражения: (3 + 7):2; (3 + 9): 2;
(3+11): 2. Из какого буквенного выражения с одной буквой они
получаются и при каких значениях этой буквы? б) Выполните
то же задание для выражений 23*10 + 62; 23*113+62; 23*4 + 62.
26.5. Мебельная фабрика делает а комплектов мебели в год.
В каждом комплекте 6 стульев. Сколько стульев для комплек-
тов ежегодно делает фабрика? (Дайте ответ, составив выраже-
ние.)
2&6. Решив задачу 9.6, вы узнали, что для полива участка
Вале и Вере нужно 117 леек воды. Сколько леек воды должна
принести Вера, если Валя принесла 1 лейку; 2 лейки; 3 лейки;
4 лейки и т. д.? Решение задачи запишите двумя способами:
а) составьте таблицу из двух строк, заполнив в ней 10 столб-
цов; б) составьте буквенное выражение. Что будет обозначать
в нем буква? Найдите числовое значение выражения при следую-
щих значениях буквы: 39; 56; 78.
26.7. а) Перечитайте условие задачи 2 из объяснительного
текста и заполните таблицу:
1-й сеанс 2-й сеанс 3-й сеанс 4-й сеанс 5-й сеанс
а 327 272 486 423 341
b 153 184 313 357 217
Ю-а + 25-6
б) (У) Для каждого столбца объясните, что означают стоя-
щие в нем числа. На каком сеансе выручка была наибольшей?
Чему при этом равны а и 6?
26.8. В магазине ежедневно продают а стаканов по 6 к. и
b чашек по 18 к. Объясните, что обозначают выражения 6-а;
18-&; 6*а+18*&; а + 6. Заполните таблицу:
Понедельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота
а 53 47 63 0 33 125
b 24 0 63 18 42 126
6-а-Н8^
(Урок 27) 88
В какой день недели выручка была наибольшей? А наимень-
шей?
-д- 26.9. (У) Клоун показал публике четыре буквен-
LjL ных выражения: а) х+1; б) 100—х; в) 2-х— 1; г) 4:х.
Он заявил, что ни одно из них не принимает значение 1 ни
при каком значении буквы х.
Публика смеялась: всем было видно, что клоун ошибается.
Найдите и вы для каждого из выражений а) — г) то значе-
ние х, при котором выражение принимает значение I.
Урок 27 Когда без обозначения чисел буквами
не обойтись
Буквы необходимы для записи свойств и правил, ко-
торые выполняются для любых чисел. Таких свойств и
правил вы знаете уже немало. Посмотрите, например,
урок 23. Видите, сколько там утверждений записано ра-
венствами,обведенными рамками! И в каждом из них при-
сутствует буква а. Почему? Потому что она там обозна-
чает любое натуральное число. Представьте-ка, что вам
предложили записать эти свойства математическими зна-
ками и запретили пользоваться буквами для обозна-
чения чисел. Пришлось бы числовые равенства писать без
конца! А с буквой нам удалось в каждом свойстве
сказать про все числа сразу.
А вот еще пример. Вспомните правило, сформулирован-
ное в уроке 19: первая степень любого числа равна
этому числу. Видите, опять говорится о любом чис-
ле. Как записать это правило математическими знаками?
Нужно применить букву, например, а для обозначения
любого числа. Тогда правило запишется так:
В том же уроке было сформулировано правило, по кото-
рому находят число клеток в квадратной таблице, имею-
щей а строк и а столбцов. Как записать математическими
знаками квадрат числа а? Квадрат числа 2 записывают 22,
квадрат числа 3 записывают 3* и т. д. Легко догадаться,
что квадрат числа а надо записать а2. Куб числа а
будем записывать а3.
2
—а3.
89 (Урок 27)
Такой же способ применяют и для записи других сте-
пеней.
Запишите, используя показатель степени, произве-
дение а*а-а-а. Запишите в виде произведения а5.
Какой же главный вывод можно сделать? А вот какой.
Без букв не обойтись при записи математическими знака-
ми свойств и правил, выполняющихся для любых чисел*
В заданиях к этому уроку буквы обозначают нату-
ральные числа или нуль. Для краткости мы не будем
каждый раз об этом напоминать. Вместо слов «число,
обозначенное буквой а», «сумма числа, обозначенного
буквой п, и числа 3» и т. п. будем говорить короче
и проще: «число а», «число rz + 3» и т. п.
Вопросы и задания
27.1. Какой главный вывод был сделан в тексте
урока?
Г 27.2. Даны числа а и Ь. Запишите: а) их сумму;
б) их разность; в) их произведение; г) их частное.
Найдите (устно) числовые значения этих выражений при
а=120, 6 = 40.
27.3. а) Замените сумму произведением: а + а + а + л; % + % +
+ х + х + х + %;
б) Запишите произведение в виде степени: а-а-а-а;
27.4. а) Вспомните правило: если из суммы двух чисел вы-
честь одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Ис-
пользуя буквы и математические знаки, это правило можно за-
писать двумя равенствами. Первое таково: (а 4-6) — а = Ь. Второе
равенство напишите сами.
б) Вспомните похожее правило: если произведение двух чи-
сел разделить на один из множителей, то получится другой
множитель. Запишите это правило двумя равенствами, используя
буквы и математические знаки.
27.5. а) (У) Не вычисляя квадратов чисел, найдите значе-
ния числовых выражений: 22:2; 142:14; 1232:123. б) Обдумайте
ответы из задания а), сформулируйте правило и запишите
его, используя букву для обозначения любого числа.
27.6. а) Сравните значения числовых выражений:
(245+189) 4-(245-189) и 2-245;
(703+ 518) +(703 — 518) и 2-703;
(657+ 324)+ (657-324) и 2-657.
б)* Какое свойство можно обнаружить, выполнив задание а)?
Запишите это свойство, используя буквы и математические
знаки.
(Урок 28) М
27.7. Заполните таблицу, найдя числовые значения буквенных
выражений при данных значениях буквы с.
с 1073 1517 1537 2173 1961 1189
(4857 4- с) 783
с-2056—1 857 019
2 331 629:с + 6823
27.8. а) Заполните таблицу:
п 3 4 7 10 11 13 15 16 20 25
5-я -f-7-n
12-/г
б)* Какое свойство можно обнаружить, разглядывая вторую и
третью строчки этой таблицы?
27.9. Для каждой пары значений а и ft,
данных в таблице, составьте задачу по вы-
ражению + Решите составленные
а 8 80 800 147
Ь 2 20 200 228
вами задачи.
27.10. Ветер сорвал с прохожего шляпу и покатил ее по тро-
туару со скоростью 3 м/с. Прохожий побежал за ней. В тот
момент расстояние до шляпы было 8 м. Скорость прохожего
5 м/с. Через сколько секунд он догонит шляпу?
Урок 28 в каком порядке выполняют действия
Вычисляя значение числового выражения, мы выполня-
ем в определенном порядке действия над чис-
лами. Порядок выполнения действий — вещь важная! Ес-
ли перепутать его, можешь получить неверный резуль-
тат. Вы уже знаете, в каком порядке выполняют в чис-
ловом выражении действия сложения, вычитания, умноже-
ния и деления.
U Укажите, какое действие нужно выполнить первым,
какое — вторым и т. д. в выражениях
° 3-8— 15-2:3; 6-(2 + 3):2-4.
Теперь вы познакомились еще с одним действием —
возведением в степень. Услышав об этом действии, млад-
ший брат Смекалкина предложил ему найти значение
выражения 2*54. Смекалкин сказал: «Я не знаю, что делать
раньше: умножать или возводить в степень? Если сначала
91 (Урок 28)
умножить 2 на 5, а затем результат возвести в четвертую
степень, то получится 10 000. Если сначала возвести 5
в степень, а затем умножить 2 на полученное число,
то получится 1250. Какой результат правильный?»
Чтобы точно знать, в каком порядке выполнять дей-
ствия, договариваются возводить в степень раньше, чем
выполнять все другие действия. Так что правильный ответ
здесь 1250. А если бы надо было сначала умножить 2
на 5, то пришлось бы использовать скобки и записать
(2-5)4. Итак, верны равенства
2-54= 1250, (2 • 5)4 = 10 000.
Нужно хорошо помнить правила, указывающие, в ка-
ком именно порядке выполняют действия. Чтобы сформу-
лировать их, условимся сложение и вычитание называть
действиями 1-й ступени» умножение и деление — действия-
ми 2-й ступени, возведение в степень — действием 3-й
ступени.
Правила, указывающие порядок действий, таковы:
В выражении без скобок сначала выполняют действия
большей ступени. Если же в нем все действия одной
ступени, то их выполняют в том порядке, в каком они
записаны — слева направо. В следующих примерах циф-
рами в квадратиках указан порядок действий:
0 Ш □
ШЕ ЕЕ
ЭЕ 0
З2 • 42 • 172 ;
217—6-7 + 30:5-7 — 725Н-52.
Если нужно изменить порядок выполнения действия, то
пользуются скобками.
6 выражении со скобками сначала выполняют все
действия внутри скобок.
Вот примеры:
S Ш ЕЕ
Е
И
ш
37-58+ 121 :(5 + 6)2 - 9;
5 —(4 —(3 —(2—1))).
Вопросы и задания
28.1. Какие действия называют действиями 1-й ступе-
ни; 2-й ступени; 3-й ступени?
28.2. В каком порядке выполняются действия в выра-
жении без скобок? в выражении со скобками?
28.3. (У) Укажите порядок действий и найдите зна-
чение выражения: а) 23 + З2; б) И2—10-12; в) 70 —
-(24-3)2; г) (5 —4)20; д) 7-103 + 3-102 + 6• 10 + 2;
е) 5* 106 + 3-104 + 8.102+ 1.
(Урок 29) 92
28.4. Найдите значение выражения:
а) 326-62 —497 142:71+828-33;
б) (32-22+ 12 204:113)-24:42;
в) (512-33 — 9915)-(16 250:50— 182);
г) (31 -7)2 + (17 + 25)2 + (42-23)2.
28.5. Найдите значение выражения 80 808 :/? — (&• 1134 +
+ 12 852):315 при А = 37; 42; 52. При каком из этих значе-
ний буквы k данное буквенное выражение принимает: а) наи-
большее значение; б) наименьшее значение?
28.6. Составьте выражение и найдите его значение: а) сумму
чисел 72 816 и 68 637 разделить на квадрат числа 13; б) раз-
ность квадратов чисел 731 и 602 разделить на сумму этих же
чисел; в) куб разности чисел 356 и 289 увеличить на 8327;
г) произведение чисел 182 и 156 разделить на квадрат их раз-
ности.
28.7. Найдите значение выражения:
а) 100 000—10 000—1000—100—10—1;
б) 100 000-(10 000 — (1000—(100—(10 — 1))));
в) 100 000 — (100 000 — (100 000 — (100 000 — 1)));
г) 100 000 —(20 000+(3000-(400+ (50-6)))).
28.8. Клоун, услышав о буквенных выражениях, сос-
тавил выражение %+ 1. Он утверждал, что *+1 меньше,
чем 1000, потому что в записи %+1 используются три
знака, а в записи 1000— четыре. Публика смеялась: всем
было ясно, что сравнивать буквенное выражение и число нель-
зя. Ведь при разных значениях буквы х будут получаться раз-
личные значения выражения % +1. Среди них могут быть и числа,
меньшие 1000, и числа, большие 1000. Например, при х = 5 по-
лучаем 5 + 1 < 1000, а при х = 5000 получаем 5000+1 > 1000.
а) Укажите по три значения буквы х, при которых выраже-
ние х+1 примет значение, меньшее чем 1000; большее чем
1000. б) При каком значении х значение выражения %+1 будет
равно 1000?
Урок 29 Что такое формула
Задача. Поезд идет со скоростью 70 км/ч. Какое
расстояние он пройдет за 1 ч; за 2 ч; за 5 ч; за t часов?
В этой задаче заданы четыре вопроса. Ответы на них
дают четыре выражения: 70.1 (км); 70*2 (км); 70-5 (км);
70-/ (км). Но можно догадаться, что будет вполне доста-
точно иметь только последнее из них — буквенное выра-
жение 70-t. Ведь при /=1, / = 2 и / = 5 получаются и
первые три. Подставляя же вместо t всякие другие числа,
мы сможем узнавать, сколько километров пройдет поезд
W (Урок 29)
за любое данное число часов. Вот как удобно буквенное
выражение!
Скажите, что в этой задаче означают числовые
выражения 70-4; 70-6.
Буквенное выражение, указывающее, как зависит ка-
кая-то одна величина от какой-то другой величины, назы-
вается формулой. Формула 70- / указывает, как зависит
от времени расстояние, пройденное поездом.
Формула может указывать зависимость какой-то вели-
чины и от нескольких других величин. Так что и
букв в формуле может встречаться несколько. Представь-
те, что мы решаем точно такую же, как и в начале уро-
ка, задачу на движение. Только вместо поезда в условии
говорится про что-нибудь другое. Например, про пешехода
Антона или велосипедиста Ивана из урока 24. Напомним,
что скорость движения Антона 4 км/ч, а Ивана 20 км/ч.
Тогда в нашей задаче вместо числа 70 надо взять или 4
(если задача про Антона), или 20 (если задача про Ива-
на) .
Какое расстояние--1-^-за t часов?
г проедет И ван
Составьте выражения, дающие ответы для Антона и
Ивана.
Записав здесь имена выше и ниже пунктирной линии, мы
«одним ударом» задали два вопроса: про Антона и про
Ивана.
Но можно «одним ударом» решить и вообще все такие
задачи. А именно обозначим буквой v скорость движуще-
гося предмета или существа. Тогда расстояние, пройден-
ное им за t часов, будет выражаться формулой v-t.
Эта формула указывает, как интересующая нас величина
(т. е. расстояние) зависит от двух других величин: от
скорости v и от времени /.
Если расстояние обозначить буквой s, то получим ра-
венство s = v-t. И про такое равенство тоже говорят, что
это формула.
Зависимость между различными величинами часто ста-
раются записывать формулами.
Запишите формулами зависимость: а) между ценой а,
количеством изделий b и стоимостью с; б) ' между
производительностью труда k, временем t и общим
числом изделий п; в) между урожайностью р, пло-
щадью S и общим урожаем tn. (Совет: вспомните,
что сказано об этих величинах в уроке 18.)
Итак, повторим:
(Урок 30) 94
ФОРМУЛА — ЭТО БУКВЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
ИЛИ РАВЕНСТВО, ПОКАЗЫВАЮЩЕЕ
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ.
Но формулы могут также говорить о свойствах дей-
ствий над числами. Много таких формул вы найдете в § 4.
Вопросы и задания
29.1. Что такое формула?
* 29.2. Запишите формулой, как находится: а) скорость,
w если известны пройденный путь s и время /; б) время,
f которое нужно затратить, чтобы пройти заданный путь s с
заданной скоростью и; в) время, которое нужно затра-
тить, чтобы изготовить п изделий, если производительность тру-
да равна k.
29.3. Стоимость покраски 1 кв. м пола 21 к. Запишите фор-
мулой стоимость покраски пола в комнате длиной а (м) и шири-
ной b (м). Найдите эту стоимость, если 5 м, а Ь = 3 м.
29.4. В задаче 18.5 приведены данные о выпуске в нашей
стране продукции за одну минуту. Составьте формулы, указываю-
щие, как зависит от времени t (мин) количество: а) электроэнер-
гии; б) минеральных удобрений; в) цемента; г) ткани; д) обуви;
е) радиоприемников; ж) телевизоров; з) холодильников; и) моло-
ка; к) колбасных изделий; л) консервов.
29.5. В Театре юного зрителя цена билета зависит от ряда,
в который билет продается. На утренний спектакль установлены
три цены: 30 к., 40 к. и 50 к. Запишите формулу с тремя
буквами, указывающую зависимость выручки театра от того,
сколько билетов было продано по цене 30 к., 40 к. и 50 к.
Найдите эту выручку, если по 30 к. было продано 82 билета,
по 40 к.— 204 билета, а по 50 к.— 118 билетов.
29.6. Для каждой пары значений а и Ь, данных в таблице, составьте задачу по выражению а-\-(а — Ь). Решите составлен- ные вами задачи. а 14 140 1400 85
b 6 60 600 18
29.7. Перечитайте в объяснительном тексте урока 24 условие
задачи в варианте 1. Какое расстояние будет между Антоном и
Иваном через 3 ч; 5 ч; 6 ч; 8 ч?
Урок зо Что такое уравнение
Как выглядит математическая задача? В ней какие-то
числа известны, а какое-то (пока неизвестное) число надо
найти. Условие задачи обычно записывают словами. Но
можно переписать его, используя только математические
знаки. Тогда неизвестное число будет легко найти. Рас-
95
(Урок 30)
смотрим несколько простых задач и посмотрим, как это де-
лается.
Задача 1. Покупая бублик, Вася подал 20 к. и полу-
чил сдачу 15 к. Сколько стоит бублик?
Обозначим неизвестное число копеек буквой х. Что
такое сдача? Это такое число, которое дополняет х до
20. Тогда условие задачи говорит нам, что х+15 = 20.
Вот мы и записали условие математическими знаками!
Давайте разберемся, какая запись получилась. Видите:
это равенство. Его правая часть — число 20, левая часть—
буквенное выражение х+15. Значит, наша запись — это
равенство, содержащее букву х. Что обозначает в нем
буква х? Неизвестное число. Найдешь х — и задача реше-
на. Такое равенство с неизвестным числом называют урав-
нением. Итак,
УРАВНЕНИЕМ НАЗЫВАЮТ РАВЕНСТВО,
СОДЕРЖАЩЕЕ БУКВУ, ЕСЛИ ТРЕБУЕТСЯ НАЙТИ
НЕИЗВЕСТНОЕ ЧИСЛО, ОБОЗНАЧЕННОЕ
ЭТОЙ БУКВОЙ.
Для задачи 1 у нас получилось уравнение х+ 15 = 20.
Буква х обозначает в нем неизвестное слагаемое. А неиз-
вестное слагаемое находят вычитанием: х = 20—15 =
= 5 (к.). Уравнение решено.
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ — ЗНАЧИТ НАЙТИ
НЕИЗВЕСТНОЕ ЧИСЛО.
Задача 2. За буханку хлеба стоимостью 20 к.
покупатель подал монету в 50 к. Сколько копеек сдачи
он получит?
Рассуждая так же, как при решении задачи 1, мы
составим уравнение 20 + х = 50.
Решите это уравнение.
Задача 3. К неизвестному числу прибавили 71,
получилось 100. Найдите неизвестное число.
Напишите уравнение для задачи 3 и решите его.
В задачах 1—3 неизвестным было одно из слагаемых.
Точно так же, если в задаче неизвестным числом будет
уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое или дели-
тель, можно найти их, составив и решив уравнение.
Решим таким способом одну задачу на нахождение не-
известного множителя.
Задача 4. Произведение двух чисел равно 72, один
множитель равен 8. Чему равен второй множитель?
(Урок 30) 96
Обозначим неизвестное число буквой х. Тогда условие
задачи говорит нам, что 8-х = 72. Вот и уравнение готово!
А неизвестное число в уравнении обязательно
мак обозначать буквой х?
Нет. Можно использовать любую букву. Обычно не-
известное число обозначают какой-нибудь из последних
букв латинского алфавита: х, у или 2, особенно часто
буквой х.
Вопросы и задания
ЗОЛ. Какое равенство называют уравнением? Что обоз-
начает буква в уравнении? Что значит решить урав-
нение?
30.2. (У) Решите уравнение:
а) х + 72=119; в) 150 —х = 83;
б) х —63 = 78; г) х-77=154;
д) х:7 = 21;
е) 390:х=30.
30.3. Решите уравнение:
а) 1 375 682+х = 4 586 318;
б) х —7 843 415 = 2 470 387;
в) 8 063 704 —х = 5 217 366;
г) 352-х=1 653 344;
д) х: 6307 = 4268;
е) 2 499 786:х= 678;
ж) % —386 715 = 487-639;
з) 473-х=1 973 624 + 877 147;
и) х + 8409 = 6 331 977:753;
к) 123-456-х= 12 345;
л) х-(852 —528) = 319 788;
м) 199 243:649 + х = 888.
30.4. Из неизвестного числа вычли 678, получилось 876. Найди-
те неизвестное число.
30.5. а) (У) Решите уравнение для задачи 4 из объяснитель-
ного текста.
б) Придумайте задачу, где известны делитель и частное,
а неизвестно делимое. Запишите ее на листочке. Предложите
соседу по парте составить уравнение для этой задачи и решить
его. Проверьте, правильно ли он составил и решил уравнение.
30.6. Клоун объявил, что он сейчас предложит каждому зрителю
решить по уравнению. Из публики раздались удивленные возгласы:
чЛвх «Сколько же времени вы будете их диктовать? Ведь нас здесь не-
сколько сотен! Последнему придется ждать свои уравнения до утра!»
Клоун ответил: «Ничего подобного. Я успею продиктовать все урав-
нения за одну минуту. Смотрите, я пишу равенство: х+а=1000. Пусть каждый
подставит в это равенство вместо буквы а номер своего места. Вот и получится
для него уравнение с буквой х. Решайте свои уравнения!» Так находчивый клоун
«одним ударом» предложил каждому по уравнению.
Подставьте в равенство клоуна вместо буквы а число, выражающее ваш
рост в сантиметрах, и решите полученное уравнение.
97 (Урок 31)
урок з1 Учимся рассуждать при решении задач.
Что значит рассуждать
Смекалкин предложил младшему брату такую задачу:
Задача. Бригада электриков устанавливает электри-
ческие счетчики в двух одинаковых многоквартирных
домах. В первом доме, устанавливая по 30 счетчиков
в час, бригада проработала 6 ч. Во втором доме она
работала более производительно и устанавливала по 36
счетчиков в час. За сколько часов бригада выполни-
ла работу во втором доме?
Младший брат начал решать задачу: «Пробуем так.
Первым действием узнаем, сколько счетчиков в час уста-
навливала бригада в двух домах: 36-}-30 — 66 (счет-
чиков в час). Вторым действием...» Тут он запнулся, не
зная, как продолжить.
Скажите, нужно ли для решения задачи то первое
действие, которое предложил младший брат?
Смекалкин пожурил брата: «Эх ты! Твое первое дей-
ствие совсем некстати. Поэтому ты не знаешь, что делать
дальше. Тут не пробовать надо, а рассуждать!» Младший
брат спросил: «А что это значит — рассуждать?»
Смекалкин не смог ответить на такой вопрос. Это и
на самом деле непростой вопрос. Ответить на него можно
так. Рассуждать — это как бы беседовать с самим собой:
задавать вопросы и отвечать на них, обдумывать все,
что дано в условии, и делать из этого выводы, из
полученных выводов делать новые выводы и т. д. Давайте
возьмем задачу Смекалкина и порассуждаем, как ее ре-
шать. Будем задавать себе вопросы и отвечать на них.
Чтобы яснее показать, как это делается, разделим
страницу на две части. Слева будем записывать вопросы,
справа — ответы. Следите внимательно за тем, как идут
рассуждения. Начнем с вопроса задачи.
Что нужно узнать в задаче?
Что для этого нужно знать?
Чему равно число счетчиков,
устанавливаемых за 1 ч?
Как же найти общее число счет-
чиков во втором доме?
4 Учебник-собеседник
За сколько часов бригада вы-
полнит работу во втором доме.
Общее число счетчиков во вто-
ром доме. Тогда, разделив его
на число счетчиков, устанавли-
ваемых за I ч, мы и узнаем тре-
буемое время.
По условию оно равно 36.
Надо вспомнить, что оба дома
одинаковые. Значит, и число
счетчиков в них одно и то же.
(Урок 31) W
А как найти число счетчи-
ков в первом доме? Что дано
в условии?
Бригада устанавливала по 30
счетчиков в час и работала 6 ч.
Значит, надо умножить 30
на 6.
Теперь стало ясно, как составить план решения. Вот он:
1) найти число счетчиков в доме;
2) найти время, за которое бригада выполнит работу.
А решать будем по действиям или числовым
выражением?
Большой разницы между этими способами нет. Ведь,
указав действия, мы можем сразу записать числовое
выражение, дающее ответ. В нашей задаче это (30-6.):36.
А вычисляя значение составленного выражения, мы вы-
полняем действия, предусмотренные планом решения.
Скажите, каков ответ в этой задаче.
В уроке 30 мы рассказали, как возникают уравнения
при решении задач. Давайте решим задачу Смекалкина,
составив уравнение. Как рассуждать в этом случае? На-
чать нужно с того, что обозначить неизвестное число
буквой. Например, буквой х.
О равенстве каких величин
можно сделать вывод из усло-
вия задачи? Чему равно число
счетчиков в первом доме?
Какая формула выражает чис-
ло счетчиков во втором доме?
Как получить уравнение?
Так как дома одинаковые, то в
них одинаковое число счетчи-
ков. Оно равно 30*6. Ведь бри-
гада устанавливала по 30 счет-
чиков в час и работала 6 ч.
36-х.
Приравнять числа счетчиков в
обоих домах. Получаем уравне-
ние 36-х = 30-6.
И всегда нужно так записывать рассуждения?
Нет. Рассуждают обычно мысленно. Но мы советуем
при решении задач к этому уроку записывать рас-
суждения, чтобы лучше научиться рассуждать.
Задания
V 31 Л. (У) Решите уравнение, составленное в объясни-
в тельном тексте урока.
31.2. (У) Решите уравнение: а) 2-х+1=7; б) 2-х —3=11;
в) 17 —3-х = 8; г) 8 + 3-х = 20.
31.3. Следующие задачи а) —д) решите двумя способами:
составляя числовое выражение и с помощью уравнения:
99 (Урок 32)
а) Токарю надо выточить 180 деталей за 8-часовой рабочий
день. За первые 4 ч. он выточил 80 деталей. Сколько деталей
в час должен вытачивать токарь за оставшиеся 4 ч?
б) От станции электрички до озера 15 км. Туристы прошли
6 км пешком, а затем сели на попутную машину. Скорость
машины 900 м/мин. За сколько минут она доставит туристов
к озеру?
в) Водитель автобуса за свой 8-часовой рабочий день успе-
вает сделать Шесть рейсов. До конца работы у него остается
еще 18 мин для профилактического осмотра машины. Сколько
времени длится один рейс?
г) В магазин привезли 37 ящиков с молоком в пакетах.
В каждом ящике 12 пакетов. Через час осталось 329 пакетов.
Сколько молока было продано за час?
д) Оля считала воробьев, которые сидели на двух кустах.
Едва она успела сосчитать, что на одном их было 9, как на него
с другого куста перелетели 3 воробья. Оля заметила, что теперь
воробьев на обоих кустах поровну. Сколько воробьев было пер-
воначально на втором кусте?
31.4. Придумайте задачу, которая бы решалась уравнением:
а) х + 20 = 40; б) х —5 = 50; в) 45-х = 50-9.
Запишите задачи на листочки и дайте соседу по парте,
чтобы он их решил. Проверьте его решения.
31.5. а) Придумайте задачу, которая решалась бы уравне-
нием х-20 — 127 = 333. Запишите ее в тетрадь и решите, соста-
вив числовое выражение, б) Придумайте задачу по числовому
выражению (65 + 43): 12. Запишите ее в тетрадь и решите, соста-
вив уравнение.
Урок 32
Задания на повторение к § 3
Мы заканчиваем § 3. Сейчас можно было бы повторить объяс-
нительный текст из урока 11. Перечитайте этот текст.
»32.1. (У) Найдите значение числового выражения:
и а) З3; б) (5 —З)3; в) 1989’; г) 6-103 + 3-102 + 4-104-7.
32.2. Выполните действия:
а) (16-4)2:1444-(114-2)2:1694-(12-|- 13)2:625;
б) 9012 — 9999 — 8976-95:30;
в) (174- 12)3-|-(32- 15)3 + (51 -25)3.
32.3. Найдите числовое значение буквенного выражения
(168 +£)?:£ — (£ + 246) при £ = 3; 7; 8.
32.4. (У) Сравните числовые значения выражений л+1 и
т + 2 при данных значениях букв: а) л = 2, т = 2; б) л = 5,
т = 3; в) п = 9, zn = 8.
(Урок 32) 100
32.5. За каждое слово в телеграмме отправитель платит 5 к.
и еще берется 20 к. телеграфного сбора, а) Сколько надо запла-
тить за телеграмму из 10 слов; 15 слов; 22 слов? б) Запишите
формулой стоимость телеграммы, содержащей п слов. Найдите
значения получившегося выражения при и = 7; 24; 30.
32.6. Буквой п обозначено некоторое натуральное число. Если,
например, п обозначает число 1327, то неравенство л >248
верное, а если п обозначает число 75, то неравенство л >248
неверное. Придумайте еще примеры чисел, которые может обозна-
чать буква л так, чтобы неравенство и >248 было верным. Бу-
дет ли верным это неравенство, если л обозначает число 248?
Для неравенства: а) и> 1000; б) л <6287; в) 7 999 999<л;
г) л <100 000 000 напишите два числа, которые может обозна-
чать буква л так, чтобы неравенство было верным.
32.7. По образцу задания 32.6 придумайте три неравенства
с буквой. Запишите их на листочке и предложите соседу по пар-
те написать для каждого неравенства по два примера чисел, ко-
торые могла бы обозначать буква, чтобы неравенство было вер-
ным.
32.8. (У) Решите уравнение:
а) *4" 8 = 96; б) х — 8 = 96;
32.9. Решите уравнение:
а) *4-165 376:323 = 704;
б) 193 543:643 —£/ = 287;
в) 341-2 = 880 014 — 694 851;
г) (И 15-874)-х = 97 123;
д) i/:283 657= 125 146 —309-405;
е) 663-851:2 = 897;
в) х-8 = 96;
г)
х:8=96.
ж) 383-* + 22 222=101 503;
з) 32673 + «/-37 = 110521;
и) 29-2 — 38 718 = 68 843;
к) 97 544 —х-271 = 10 553;
л) //:7034-1987 = 7891;
м) 9187 — 2:409 = 7819.
32.10. Решите задачу, составив уравнение: «На двух кустах си-
дело 16 воробьев. Когда с одного улетели 2 воробья, то на
кустах их стало поровну. Сколько воробьев было вначале на каж-
дом кусте?»
32.11. а) Двум экскаваторщикам поручили вырыть траншею
для трубопровода длиной 3 км 900 м. Они одновременно начали
копать ее с противоположных концов, двигаясь навстречу друг
другу. Один успевает за час прорыть 72 м, а другой — 78 м.
Сколько времени потребуется, чтобы выполнить всю работу?
б) Двум рабочим поручили изготовить 144 одинаковые детали.
Первый рабочий за час изготовляет 17 деталей, а второй — 19 де-
талей. Сколько времени им нужно, чтобы выполнить всю работу?
в) Двум машинисткам поручили напечатать рукопись на
154 страницах. Одна машинистка за час печатает 6 страниц, дру-
гая — 5 страниц. Сколько времени им нужно, чтобы выпол-
нить всю работу? Сколько страниц напечатает каждая маши-
нистка?
(Урок 33)
101
32.12. а) Заполните пустые клетки таблицы:
б)* Какое свойство можно об-
наружить, рассматривая запол-
ненную таблицу? Запишите это
свойство формулой.
а 12 213 68 704 873
а3: а2
32.13. (У) Какое натуральное число обозначено буквой а,
если: а) а =9; б) а2 = 25; в) а2= 121?
32.14* . Число 64 является квадратом числа 8 и кубом числа 4
(проверьте!). Найдите еще какое-нибудь число, которое является
квадратом одного числа и кубом другого.
§ 4. СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ НАД НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
В этой главе вы изучаете числа и действия над ними.
Что значит изучать числа? Это значит обнаруживать их
свойства. А что значит изучать действия над числами?
То же самое — обнаруживать их свойства. Знание таких
свойств помогает выполнять вычисления лучше и быст-
рее. С некоторыми свойствами действий вы познакомились
еще в начальной школе. В этом параграфе мы напом-
ним их и расскажем о новых полезных свойствах.
Урок зз Переместительное и сочетательное
свойства сложения
Младший брат Смекалкина повторял свой стишок:
«Было а, добавим Ь, сколько станет — а плюс Ь». По-
том решил переставить в нем буквы: «Было Ь. добавим а,
сколько станет — b плюс а». И вдруг догадался, что
это ведь одно и то же: а-\-Ь и Ь-\-а. «Правда?» —
спросил он Смекалкина.
Подумайте, правильно ли догадался младший
брат?
Чтобы ответить на заданный вопрос, обсудим такую за-
дачу. Тракторной бригаде нужно вспахать два поля: одно
площадью 4 кв. км, другое — 5 кв. км. Если вспахивать
сначала меньшее поле, а затем большее, то всего брига-
да вспашет 4 + 5 (кв. км). Если же очередность вспаш-
ки полей поменять, то вспаханная площадь будет равна
5 + 4 (кв. км). Но площадь, которую нужно вспахать,
не зависит от того, в каком порядке пахать поля. Какой
вывод можно сделать? Вот какой: верно равенство 4 + 5==
= 5 + 4.
А теперь повторим задачу, только вместо чисел 4 и 5
(Урок 33) 102
возьмем любые числа а и Ь. Какой будет вывод? Та-
кой же:
В рамке мы записали формулой вот какое свойство:
КАКИЕ БЫ ЧИСЛА а И b МЫ НИ ВЗЯЛИ,
ВСЕГДА a-\-b = b-]-a.
Часто это свойство формулируют так:
ОТ ПЕРЕМЕНЫ МЕСТ СЛАГАЕМЫХ
СУММА НЕ МЕНЯЕТСЯ.
Обнаруженное свойство сложения называют перемести-
тельным свойством» Оно настолько важно, что его называ-
ют даже законом — переместительный закон сложе-
ния. Мы только что этот закон сформулировали дважды.
Смекалкин испугался:
И оба утверждения надо запоминать?
Нет, вполне достаточно запомнить одно из них, любое. Но
самое главное — надо хорошо понимать, о чем перемести-
тельный закон говорит. Если понимаешь хорошо, то и
сформулируешь его правильно, и запомнишь легко.
Представьте двух братьев-пассажиров, у которых три
чемодана массой 8 кг, 5 кг и 9 кг. Сначала первый брат
взял чемоданы массой 8 кг и 5 кг, а второй — чемодан
массой 9 кг. Общую массу их багажа указывает выраже-
ние (84-5)+ 9 (кг). Потом первый брат передал второму
чемодан массой 5 кг. Какое числовое выражение те-
перь указывает общую массу багажа? Вот какое: 8 +(54“
4-9) (кг). Но ведь общая масса багажа не изменилась.
Значит, верно числовое равенство
(8 + 5)4-9 = 8 + (54-9).
Если бы массы чемоданов были другими, то мы сделали
бы тот же вывод. А именно если чемоданы имеют
массу а кг, b кг и с кг, то, рассуждая точно так же,
как и только что, мы получим равенство
103
(Урок 33)
Размышляя над этим равенством, можно забыть о че-
моданах с их массами, а помнить только о числах. Теперь
легко догадаться, что выполняется такое свойство сло-
жения:
КАКИЕ БЫ ЧИСЛА а, b И с МЫ НИ ВЗЯЛИ,
ВСЕГДА (д + 6) + с = а + (b + с).
Это свойство иначе можно сформулировать так:
ОТ ИЗМЕНЕНИЯ РАССТАНОВКИ СКОБОК
СУММА НЕ МЕНЯЕТСЯ.
Обнаруженное свойство сложения называют сочета-
тельным свойством. Оно говорит нам, что слагаемые в сум-
ме можно объединять (т. е. сочетать) по-разному. Это
важное свойство тоже называют законом — сочетатель-
ный закон сложения.
Сочетательный закон часто может облегчить вычисле-
ние суммы нескольких слагаемых. Пусть, например, надо
вычислить сумму 367 +146 + 254 +133. Легко дога-
даться, что в первую очередь здесь удобнее сложить 146 и
254. Запишем вычисления цепочкой равенств: 367+ 146 +
+ 254+133 = 367+ (146 + 254)+133 = 367 + 400+133 =
= 767+ 133 = 900. Вот видите, как полезен сочетательный
закон!
Но польза от сочетательного закона будет еще больше,
если его применять вместе с переместительным законом.
Ведь переместительный закон позволяет еще и перестав-
лять слагаемые. Поэтому можно группировать их так, как
будет удобнее. Вот пример:
37 + 2 + 113 + 98 = (37+ 133) + (2 + 98)= 150+ 100 = 250.
То, что переместительный и сочетательный законы вер-
ны, можно объяснить многими способами. Несколько таких
способов мы предлагаем вам в заданиях 33.2—33.6. При-
думайте и вы какие-нибудь свои способы объяснения то-
го, что эти законы верны.
Вопросы и задания
33.1. Как называются свойства сложения, которые
сформулированы в этом уроке? Сформулируйте каждое
из них каким-нибудь из двух утверждений, приведенных
в тексте урока.
33.2. (У) В одной банке а г крупы, в другой —
на b г больше, чем в первой, в третьей Ь г крупы,
(Урок 33)
104
а в четвертой на а г больше, чем в третьей.
Что можно сказать о количестве крупы
во второй и четвертой банках?
33.3. (У) Рассмотрите рисунок 25 *и
Рис. 25
придумайте подходящую задачу, объясняю-
щую, что а-]-Ь=;Ь-\-а.
33.4. (У) а) Вырежьте из бумаги две
полоски одинаковой ширины. Одну пометь-
те буквой а, другую — буквой 6. Представь-
те, что буквы а и b обозначают длины этих
полосок (сами длины измерять необязатель-
но!). Приложите полоски друг к другу сначала так, как показано
на рисунке 26, а, а затем так, как показано на рисунке 26, б.
Какой вывод мы опять можем сделать? Полоски какой длины
получатся в обоих случаях?
а)
Рис. 27
Рис. 26
б) Выполняя задание а), вы приготовили две полоски одина-
ковой ширины, помеченные буквами а и Ь. Вырежьте из бумаги еще
одну полоску той же ширины и пометьте ее буквой с. Приложите
полоски друг к другу, как показано на рисунке 27.
Запишите длину получившейся полоски двумя выражениями.
Какой вывод можно сделать?
33.5. (У) Железная дорога, соединяющая Москву и Курск,
проходит через Тулу и Орел (рис. 28). Расстояние между Москвой
и Тулой 194 км, между Тулой и Орлом 189 км, между Орлом и
Курском 154 км.
Рис. 28
105 (Урок 33)
а) Что означают выражения 194 4-189 (км) и 1894-194 (км)?
Что означает равенство 194 + 189= 189 4-194? Какой вывод опять
можно сделать?
б) Два пассажира проехали по железной дороге из Москвы в
Курск. Один из них сделал остановку в Орле, а другой — в Туле.
Что означают выражения (1944-189)4-154 и 194 4-(189 4-154)?
Какой вывод опять можно сделать?
33.6. Заполните пустые клетки таблицы:
а 23 617 57 276 345 678
b 85 086 38 724 64 237
a-j-b 95 402 1 234 567
b + а 86 315 137 824
33.7. (У) Объясните, почему верно равенство:
а) 856 2044-(321 4854-750 832) = (856 204 4-321 485)4-750 832;
б) 473 0284-(540 3244-543 987) = (473 0284-543 987) + 540 324;
в) 47 003 4- (36 754 4- 35 965) = (35 965 + 47 003) + 36 754.
33.8. Вычислите цепочкой равенств, используя законы сложе-
ния:
а) 464-87+13; в) 11+93 + 429 + 317; д) 326 + 758 + 374;
б) 37+139 + 23; г) 23 + 248 + 227 + 32; е) 684 + 353 + 647.
33.9. (У) Выполните сложение наиболее простым способом:
а) 63 + (37 + 79); в) (144 + 279)+121;
б) 491+(726 + 209); г) (165 + 267)+135.
33.10. Выполнив в уме сложение, заполните Таблицу по образ-
цу, данному в ее второй строке:
а b с Наиболее удобный порядок вычисления суммы а4~^+^ а + ^ + с
623 317 607 398 84 289 93 713 77 11 152 202 (623 4-77) + 84 784
33.11. Пользуясь законами сложения, замените сумму одина-
ковых чисел произведением. Образец:
х + га + х + m = (х + х) + (tfz + т)=2 • х + 2 • т.
а) а+а + а + ^ + 6 + & + &; д)
б) х + а + х + а + х + а + %; е)
в) а+а + а + с + с + т + т-\-т-\-т\ ж)
г) а + & + с + # + c-|-a + f+ а + £; з)
x + (x + */ + z) + z;
(а + Ь) + (Ь + с) + (с + а);
% + (*+ 1) + (х + 2);
(13 + а) + а + (а + 31).
(Урок 34)
106
33.12. Решите уравнение:
а) х + х + х = 255;
б) х + 163 + *== 751;
в) х+(х + 342) = 678;
г) (х+11) + (23 + х)=212;
Д) х + (х+1) + (х + 2) = 822;
е) (53 + х) + х + (х+47)=400.
33.13. а) Решите, составив выражение, следующую задачу:
«Самолет Ту-154 в первоначальном варианте имеет 158 пассажир-
ских мест. В его усовершенствованном варианте на 22 места боль-
ше. Из Казани в Минск ежедневно летают два самолета Ту-154:
один первоначального вида, другой усовершенствованный. Сколь-
ко пассажиров за день может улететь из Казани в Минск?»
б) Составьте обратную задачу, в которой нужно узнать, на
сколько мест больше имеет усовершенствованный вариант самоле-
та Ту-154. Решите эту задачу, составив уравнение.
33.14. а) Решите, составив выражение, следующую задачу:
«Коле на два дня дали книжку с интересной фантастической
повестью. В первый день Коля прочитал 67 страниц. Чтобы
отдать книгу вовремя, Коле во второй день нужно прочитать на
28 страниц больше. Сколько страниц в этой повести?»
б) Составьте обратную задачу, в которой нужно узнать, на
сколько страниц больше должен прочитать Коля во второй день.
Решите эту задачу, составив уравнение.
^7/ 33.15. (У) Клоун сказал публике: «У меня есть 6
карточек с числовыми выражениями. Я сейчас соединю
2^7 их знаками равенства и покажу вам одно свойство сло-
жения». В этот момент погас свет, и клоун наугад разложил
карточки. Вот что получилось:
37 826 + 67 538 — 37 826 + 48 934
48 934 + 67 538 48 934 + 37 826
67 538 + 48 934 67 538 + 37 826
Публика смеялась. Все видели, что эти равенства неверны.
Не вычисляя сумм, укажите те пары карточек, на которых записа-
ны равные между собой суммы. Какое свойство хотел показать
клоун?
Урок 34 Совместные свойства сложения
и вычитания
Задача 1. Экскаватору нужно вырыть траншею
длиной 147 м. За первый час он вырыл 36 м, а за второй —
еще 42 м. Сколько метров траншеи ему осталось вырыть?
Решить эту задачу можно двумя способами.
107
(Урок 34)
l-й способ. За два часа
экскаватор выроет 36 + 42 (м).
Значит, ему останется вырыть
147 —(36 + 42) (м).
2-й способ. После перво-
го часа осталось вырыть 147 —
— 36 (м); после второго часа
осталось (147 —36) —42 (м).
Но как ни решай задачу, вы-
рыть экскаватору останется од-
Поэтому можно за-
но и то же число метров траншеи.
писать равенство
147 — (36 + 42) = (147 —36) — 42.
Представьте теперь, что вместо чисел 147, 36, 42 в усло-
вии задачи даны какие-нибудь числа а, b и с. Какую
формулу мы получим, если повторим рассуждения? Вот
какую:
а — (6 + с) = (а — Ь) — с.
Эта формула говорит нам о следующем свойстве: вычесть
из числа сумму двух чисел — это то же самое, что вычесть
из него одно слагаемое, а затем из результата другое.
еперь давайте разберемся, какая может получиться
формула, когда из числа вычитают разность двух чисел.
Для этого обсудим такую задачу:
Задача 2. Младший брат Смекалкина запланиро-
вал решить за каникулы 20 уравнений. Когда он решил
15 уравнений, Смекалкин проверил его решения и обна-
ружил, что 6 уравнений решены неверно. Сколько урав-
нений осталось решить младшему брату, чтобы выпол-
нить свой план?
И эту задачу можно решить двумя способами.
1-й способ. Раз 6 уравнений решены с ошибками,
то верно решение 15— 6 (уравнений). Значит, осталось ре-
шить еще 20 — (15 — 6) (уравнений).
2-й способ. Младший брат еще не брался за 20 — 15
(уравнений), да 6 уравнений ему надо решить заново. Зна-
чит, осталось решить (20—15) + 6 (уравнений).
Но как ни рассуждай, остается решить одно и то же
число уравнений. Значит, 20—(15 —6) = (20—15)+6.
Такое равенство верно не только для чисел 20, 15 и 6,
но и для любых чисел а, b и с. Вот и формула по-
лучилась:
а —(& —с)=(а —6) + с.
(Урок 34) 108
Эта формула говорит еще об одном свойстве: вычесть из
числа разность двух чисел — это то же самое, что вы-
честь из него уменьшаемое, а затем к результату при-
бавить вычитаемое.
Выше мы обнаружили два свойства действий и каждое
записали формулой. Вы видите, что эти свойства и фор-
мулы говорят о вычитании и сложении вместе. Мы сейчас
обнаружим еще одно такое совместное свойство. Для
этого обсудим еще одну задачу.
Задача 3. В одной коробке 30 конфет, в другой —
20. Девочка съела из первой коробки 6 конфет. Сколько
конфет осталось в двух коробках вместе?
И здесь можно решать задачу двумя способами.
1-й с п о с о б. В первой коробке осталось 30 — 6 (кон-
фет). Значит, в двух коробках осталось (30-6)4-20
(конфет).
2-й способ. Сначала в обеих коробках было 30 + 20
(конфет). Значит, осталось (30 + 20) — 6 (конфет).
Но при любом способе решения останется одно и то же
число конфет. Поэтому верно равенство (30 + 20) —6 =
==(30-6)+ 20.
Всем, конечно, ясно, что вместо чисел 30, 20, 6 могут
быть любые числа а, b и с. Получается формула
(а + Ь) — с = (а — с) + Ь.
Свойство, записанное этой формулой, словами можно ска-
зать так: вычесть число из суммы двух чисел — это
то же самое, что вычесть его из одного слагаемого и к
результату прибавить другое.
Это свойство можно записать и такой формулой:
(а+ 6) — с = а + (Ь — с).
Объясните, как она получается.
Вопросы и задания
I 34.1. Какие совместные свойства сложения и вычита-
ния сформулированы в этом уроке?
34.2. (У) Со склада надо доставить 27 т груза. На пер-
вом грузовике увезли 7 т, на втором — 8 т. Что означают
выражения (27 —7) —8 и 27 —(7 + 8)? Какой вывод можно
сделать?
34.3. (У) Вычислите наиболее простым способом:
а) (2454-38)-145; в) 284-(844-37); д) 137 —(37—18);
б) (654-358)-158; г) 648 -(48 4- 85); е) 752-(52-37).
109 (Урок 35)
34.4. Используя совместные свойства сложения и вычитания,
вычислите цепочкой равенств:
а) (2972+1569) —672;
б) (3563+ 2878)-463;
в) (2734 + 2687) —387;
г) (5888 + 4356) —256;
д) 1256+ (233-188);
е) 3445+ (655-278);
ж) 5783-(483+ 2878);
з) 8577-(377+ 5444);
и) 4657-(357-285);
к) 2823-(423—176);
л) (2357-168)-132;
м) (4642 —275)—125.
34.5. На отрезке AD отмечены точки В и С так, как показано
на рисунке 29. а) Длина AD равна 47 см, длина АВ —12 см,
длина ВС — 23 см. Какова длина СО? б) Длина AD равна
2 м 6 см, длина АВ — 93 см, длина CD — 67 см. Какова дли-
на ВС?
Рис. 29
34.6. В сеансе одновременной игры шахматист сыграл 20 пар-
тий. Из них 11 выиграл и 7 свел вничью. Проиграл ли он
кому-нибудь? Если проиграл, то сколько партий?
34.7. Однажды Антон гостил у Ивана (о них мы рассказы-
вали в уроке 24). Через 4 ч после ухода Антона Иван обнаружил,
что тот забыл у него тетрадь. Иван решил догнать Антона на
велосипеде. Скорость Антона 4 км/ч, скорость Ивана 20 км/ч.
Сколько времени понадобится Ивану, чтобы догнать Антона?
34.8. В полдень от пристани отошел теплоход. Через 3 ч от той
же пристани по тому же маршруту отправился катер. Скорость
теплохода 30 км/ч, скорость катера 75 км/ч. Сколько времени
понадобится катеру, чтобы догнать теплоход? На каком расстоя-
нии от пристани они будут в этот момент?
34.9* . В уроке 33 мы обнаружили два важных закона для сложения: пере-
местительный и сочетательный. Поразмышляйте: верны ли такие же законы для
вычитания?
Урок 35 Переместительное и сочетательное
свойства умножения
Вспомните шоколадку-таблицу из задачи 1 урока 20
(рис. 30, а). В ней 5 строк и 8 столбцов. Запишем вы-
ражением, сколько в ней долек: 5-8. А теперь ту же шоко-
ладку повернем так, как показано на рисунке 30, б. Те-
перь в ней 8 строк и 5 столбцов. А выражение для числа
долек таково: 8-5. Всем понятно, что число долек все время
одно и то же. Так что 5-8 = 8-5.
И вообще если в таблице а строк и Ь столбцов,
то, повернув ее «на бок», мы получим таблицу, в кото-
(Урок 35)
110
а)
Рис. 30
рой Ь строк и а столбцов. Число клеток в
нечно, то же самое. Значит,
ней,
ко-
Итак, мы записали формулой такое свойство:
КАКИЕ БЫ ЧИСЛА а И b МЫ НИ ВЗЯЛИ,
ВСЕГДА a-b = b-a.
Часто это свойство формулируют так:
ОТ ПЕРЕМЕНЫ МЕСТ МНОЖИТЕЛЕЙ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕ МЕНЯЕТСЯ.
Это свойство умножения называют переместительным
свойством. Оно настолько важно, что его называют даже
законом — переместительный закон умножения. Вспомни-
те: похожий закон верен для сложения.
А сочетательным свойством умножение тоже
обладает?
Чтобы ответить на вопрос Смекалкина, обсудим такую
задачу:
Задача. Ежедневно на молокозавод 75 автомашин
привозят молоко в бидонах. В каждой машине 24 бидона.
В каждом бидоне 40 кг молока. Сколько килограммов
молока привозят на завод ежедневно?
Решить эту задачу можно двумя способами.
1-й способ. Узнаем сначала, сколько килограммов
молока привозит одна машина: 40*24 (кг). Раз машин
75, то все вместе они привозят (40-24)*75 (кг).
2-й способ. Узнаем сначала, сколько бидонов при-
возят ежедневно на молокозавод: 24*75 (бидонов). Раз в
каждом бидоне 40 кг, то всего привозят 40*(24-75) (кг)
Всем ясно, что, как бы мы ни подсчитывали, число
килограммов молока, которое ежедневно привозят на мо-
локозавод, одно и то же. Так что верно равенство
(40 *24) *75 = 40 *(24.75).
Конечно, в этом равенстве вместо чисел 40, 24, 75 мо-
гут быть любые числа, ведь может быть другая вмести-
мость бидонов, другая грузоподъемность машин или дру-
111 (Урок 35)
гое число машин. Равенство все равно будет верным. Зна-
чит,
КАКИЕ БЫ ЧИСЛА а, Ь И с МЫ НИ ВЗЯЛИ,
ВСЕГДА (а-6)-с = а-(д-с).
А вот как еще можно сформулировать это свойство:
ОТ ИЗМЕНЕНИЯ РАССТАНОВКИ СКОБОК
ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕ МЕНЯЕТСЯ.
Обнаруженное свойство называется сочетательным
свойством (или сочетательным законом) умножения. Фор-
мулой его записывают так:
(а*Ь)-с = а>(Ь-с).
Какое свойство сложения напоминает эта
формула? Вспомните, что разрешает делать
такое свойство сложения?
Сочетательное свойство умножения разрешает в произ-
ведении ставить скобки и объединять множители как удоб-
нее. Для примера найдем значение выражения (737-25)-4.
Пример кажется трудным для вычисления в уме: сна-
чала надо умножить 737 на 25, а потом еще и на 4. Но,
применив сочетательный закон, мы сразу очень упрощаем
задачу. Смотрите: (737 • 25) . 4 = 737 - (25 • 4) = 737 - 100 =
= 73 700. На вычисления хватит 5 секунд! Польза от соче-
тательного закона будет еще больше, если применять его
вместе с переместительным законом.
Прежде чем начинать вычисления, нужно всегда поду-
мать, как это сделать проще!
Вопросы и задания
35.1. Какие свойства умножения сформулированы
в уроке? Сформулируйте их.
35.2. Для какого еще действия выполняются перемес-
тительный и сочетательный законы?
35.3. (У) В кинотеатре 30 рядов по 20 мест. Цена
билета на дневной сеанс 25 к. Что обозначают выраже-
ния (25-20)-30 и 25-(20-30)? Какой вывод можно сделать?
35.4. (У) Объясните, почему верно равенство:
856 204-(321 485-750 832) = (856 204-321 485)-750 832;
473 028-(540 324-543 987) = (473 028-543 987)-540 324;
47 003 • (36 754 - 85 965) = (85 965 • 47 003) - 36 754.
35.5. Заполните пустые клетки таблицы:
(Урок 35)
112
а 243 473 517 843
Ъ 357 628 286 807
а-д 224 196 280 731
Ь-а 507 529 156 442
35.6. Пользуясь переместительным законом, перемножьте чис-
ла в наиболее удобном порядке:
а) 7-248; в) 27-4534; д) 621-5327;
б) 6-629; г) 32-6824; е) 317-4284.
35.7. (У) Пользуясь сочетательным законом, вычислите:
а) 3-5-8-3; г) 11-8-5-3; ж) 61-25-8-4;
б) 7-5-4-4; д) 33-125-8-3; з) 23-25-2-3;
в) 13-2-5-3; е) 77-25-4-2; и) 43-15-2-4.
35.8. Пользуясь переместительным и сочетательным законами,
вычислите наиболее простым способом. Образец: 125 • 25 • 77 • 4 • 8 =
= 77-(125-8)-(25-4) = 77• 1000-(25-4) = 77-1000-100 = 7 700 000.
а) 5-379-2; в) 6-333-5; д) 125-15-31-8-2;
б) 4-957-25; г) 8-427-25; е) 2-31-4-7-5-25.
35.9. Если в произведении нескольких чисел некоторые множи-
тели обозначены буквами, то, пользуясь переместительным и со-
четательным законами, можно переставить их в конец. Образец:
а-8-6-4-с-5 = 8-4-5-а-6-с= 160-а-6-с. Записывая цепочку ра-
венств, упростите выражение по образцу:
a) x-3-r/-5-z-7; д) 6-Л-т-7-и-4;
б) а-2-6-7-с-3; е) З-а-6-12-Г-2;
в) 6-6-8-дп-п- 15; ж) 2-а-2-6-2-C-2-J;
г) X-4-8-//-Z-6; з) 11-a-x-5-f/-6-/?-3-z.
35.10. Если в произведении имеются одинаковые множите-
ли, то, пользуясь переместительным и сочетательным законами,
их можно сгруппировать вместе и заменить степенью. Образец:
3-а-х-а-5-х-а=(3-5)-(а-а-а)-(х-х) = 15-а?-х2. Упростите выра-
жение по этому образцу:
a) a-fe-c-a-c-a; в) 7-/п-3-п-ди-п; д) (а-6)-(&-с)-(с-а);
б) 3-x-x-t/-z-x-z; г) а-X'b-х-с-х; е) x-(x-*/-z)-z.
35.11. Собственная скорость теплохода (т. е. скорость в стоя-
чей воде) 33 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч. Расстояние
от одной пристани до другой 180 км. За какое время теплоход
без остановки пройдет от одной пристани до другой и вер-
нется обратно?
113 (Урок 36)
урок 36 Совместные свойства умножения
и деления
Мы уже не раз повторяли, что вычитание — это дей-
ствие, обратное сложению, а деление — действие, обратное
умножению. Так что действия можно разбить на пары:
сложение — вычитание, умножение — деление. Вспоми-
нать об этих парах полезно при изучении свойств дейст-
вий. Когда это может пригодиться? А вот когда: обна-
ружив какие-нибудь свойства пары сложение — вычита-
ние, можно догадаться, что похожие свойства выполняют-
ся и для пары умножение — деление. Мы уже пользова-
лись один раз такой догадкой, когда рассказывали о
схемах задач на деление (см. урок 22).
А сейчас применим ту же догадку, чтобы обнаружить
совместные свойства умножения и деления. Напомним
формулами свойства, сформулированные в уроке 34 для
сложения и вычитания:
(а — Ь) — с = а — (Ь + с); (а + b) — с = (а — с) + b;
а — (Ь — с) — (а — Ь)+с; (а + Ь) — с = а + (Ь — с).
Глядя на эти формулы, можно написать похожие форму-
лы для умножения и деления. Надо только везде вместо
знака «плюс» писать знак умножения, а вместо знака «ми-
нус» — знак деления. Вот какие формулы получаются:
(а:6):с = а:(&-с); (а-6):с = (а:с)-6;
а: (Ь: с)=(а: fr) • с; (а • b): с = а • (Ь: с).
Задания
36.1. (У) Поле длиной 240 м
и шириной 40 м разделили на 3
равные части. Рассмотрите ри-
сунок 31 и скажите, что означа-
ют выражения (240-40):3 и
(240:3)-40. О каком свойстве
умножения и деления можно
сделать вывод?
36.2. Придумайте задачу,
похожую на задачу 36.1, кото-
рая объясняла бы равенство
36.3. (У) Прямоугольную за-
готовку площадью 720 кв. см
разделили на 5 одинаковых
Рис. 31
(Урок 37)
114
полосок, а затем каждую полоску разрезали поперек на 9 равных
частей (см. рис. 32). Скажите, что означают выражения (720:5):9
и 720: (5-9). О каком свойстве можно сделать вывод?
36.4. Вычислите цепочкой равенств, применяя свойства умно-
жения и деления:
а) (730:5): 2;
6) (640:5): 4;
в) (3700:25):4;
г) 2730: (273; 13);
д) 846: (423:47);
е) 672: (336:42);
ж) (31 -77):И;
з) (24-93): 12;
и) (56-65): 14.
36.5. а) Масса чугунной болванки 18 кг. Эти болванки рас-
плавляют, а затем чугун разливают в формы, в которых изготов-
ляют нужные детали. Сколько болванок нужно взять, чтобы полу-
чить 54 детали массой по 13 кг каждая? б) Составьте обратную
задачу, в которой требуется найти, сколько деталей можно
изготовить из данного материала.
36.6. На соревнования приехало 120 спортсменов. Утром на
завтрак каждый спортсмен выпивает стакан молока. Одного
литрового пакета хватает ровно на 5 стаканов. Сколько ящиков
с молочными пакетами надо иметь в столовой к завтраку, если
в каждом ящике 12 пакетов?
36.7. Игорь собирается пойти навстречу отцу, который воз-
вращается домой после работы. Расстояние от дома до работы
840 м. Игорь идет со скоростью 42 м/мин, а его отец — 63 м/мин.
а) Через сколько минут Игорь встретит отца, если он выйдет из
дома одновременно с окончанием рабочей смены отца?
б) Через сколько минут после выхода из дома Игорь встретит
отца, если выйдет за 5 мин до окончания смены?
в) За сколько минут надо выйти Игорю из дома, чтобы встре-
тить отца сразу по окончании смены?
Урок 37 Распределительные свойства умножения
В уроке 34 мы обнаружили совместные свойства дейст-
вий 1-й ступени (т. е. сложения и вычитания), в уроке 36 —
совместные свойства действий 2-й ступени (т. е. умножения
и деления). В этом уроке вы познакомитесь с совместными
свойствами действий 1-й и 2-й ступени.
Задача. В таблице 5 строк и 7 столбцов. К ней при-
писали еще 4 столбца (см. рис. 33). Сколько клеток стало
в таблице?
*
Рис. 33
115 (Урок 37)
Для решения этой задачи можно составить выражение
5-7 + 5-4. А можно составить другое выражение: 5-(7 + 4).
Объясните, каков план решения в каждом
случае?
Ясно, что число клеток в получившейся таблице будет
одним и тем же, как бы его ни подсчитывать. Так что мож-
но записать равенство 5-(7-|-4) = 5*7 + 5-4. Если взять
таблицу, в которой а строк и b столбцов и приписать к
ней еще с столбцов, то получим равенство
а • (Ь + с) = а • b + а • с.
В этой формуле буквы а, b и с обозначают любые на-
туральные числа. Переставляя в ней множители, полу-
чаем формулу
При вычислениях бывают нужны обе формулы. Их можно
сказать словами так:
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛА И СУММЫ ЧИСЕЛ
РАВНО СУММЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ДАННОГО ЧИСЛА И КАЖДОГО СЛАГАЕМОГО.
Обнаруженное свойство говорит, что числовой множи-
тель как бы распределяется к слагаемым. По-
этому это свойство называют распределительным зако-
ном умножения относительно сложения.
Представьте теперь таблицу, в которой а строк и b
столбцов. Вычеркнем из нее с столбцов. Сколько клеток
будет в получившейся таблице? Ответ опять можно дать
двумя выражениями:
а*Ь—й‘С и а-(Ь — с). Вывод: верна формула:
Переставляя в ней множители, получаем похожую фор-
мулу:
(Ь — с) • а = b - а —- с • а.
Эти две формулы тоже можно сказать словами:
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛА И РАЗНОСТИ ДВУХ ЧИСЕЛ
РАВНО РАЗНОСТИ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ДАННОГО ЧИСЛА НА УМЕНЬШАЕМОЕ
И ВЫЧИТАЕМОЕ.
(Урок 37) 116
Обнаруженное свойство называют распределительным
законом умножения относительно вычитания.
Вопросы и задания
37.1. Какое свойство называют распределительным за-
5 коном умножения относительно сложения; вычитания?
Г37.2. (У) Двое рабочих изготовляют одинаковые де-
тали. Один рабочий делает за час 27 деталей, а другой —
32 детали. Продолжительность рабочей смены 8 ч. Что
означают выражения (27+ 32)-8 и 27-8 + 32-8? Какой вывод
можно сделать?
37.3. (У) Опытный участок шириной 75 м разделен на две час-
ти (см. рис. 34). Длина одной части 200 м, а другой — 300 м.
Что означают выражения (200 4-300)-75 и 200’754-300-75? Какой
вывод можно сделать?
Рис. 34
37.4. (У) От опытного участка длиной 500 м и шириной 75 м
отделили часть длиной 200 м. Что означают выражения (500 —
— 200)-75 и 500-75 — 200-75? Сделайте вывод.
37.5. Заполните пропуски так, чтобы каждое равенство выра-
жало какой-нибудь распределительный закон:
а) (254-78)-4 = ...;
б) 8-(54+125) = ...;
в) (1 И -36)-7 = ...;
г) 16-(93— 18) = ...;
д) ... = 47-84-53-8;
е) ... = 14-624-14-18;
ж) ... = 26-45-12-45;
з) ... = 37-45-37-28;
и) ...-7= 12-...4-27-...;
к) (15 + 71)-... = ...-12 + 71-...;
л) ....13 = 23-... —16-...;
м) (34-27)-... = ...-23-27-...;
н) 18-... = ...-75 + ...-93;
о) 63-... = .л-51-...-28.
37.6. (У) Вычислите наиболее простым способом:
а) 138-48+138-52; в) 111-3028—11-3028;
б) 67-149+149-33; г) 150-97-57-150.
37.7. Вычислите, применив распределительный закон:
а) 67-126 + 38-126; в) 1234-56—1111-56;
б) 157-69 + 69-73; г) 8888-43 — 43-8642.
37.8. Распределительный закон можно применять не только
к двум, но и к трем, и к большему числу слагаемых. Например:
(34+ 57 + 64)-47 = 34-47 + 57-47 + 64-47.
117
(Урок 38)
Вычислите, применив распределительный закон:
а) 358-63 + 41 -63 + 21*63; в) 674-53-33-53-41-53;
б) 49-57 + 49-48 + 49-65; г) 68-549 — 68-77 — 68-72.
37.9. Запишите равенство, выражающее какой-нибудь распре-
делительный закон:
а) (5*8).а = ...; л) (3 + fr)-5 = ...;
б) (9 —4)-х = ...; м) (13 —у)-3 = ...;
в) 6-(7 + 6)=...; Н) 7.(с + П)=...;
г) у.(8-3) = ...; о) 8-(25-7) = ...;
д) 5-т + 7 •«! = ...; п) (л + т). 13 = ...;
е) 8-Ь — 4 + = ...; р) (х —у)-21 =...;
ж) n*6 + n-8=...; с) 5.(а+Ь)=.„;
з) с-7 — с-2 = ...: т) 16 *(с —rf)=...;
и) (а + 8).4 = ...; у) 7-х+7-у = ...;
к) (х—7)-6 = ...; ф) 9-у— 9*г = ... .
37.10. Упростите выражение, применив распределительный за-
кон, и вычислите его значение:
а) 6-6 + 5-& при
б) 13-х —8-х при
в) а-8 + а-12 при
г) т-24 — т-14 при
д) 8-J/ + 8-Z при
е) 13-а— 13-ft при
6 = 2; 22; 222;
х = 4; 45; 456;
а = 7; 76; 765;
т=123; 234; 235;
у = 37 и z = 63;
а = 62 и 6 = 61.
37.11. Решите уравнение, упростив сначала левую часть
а) 5-х + 4-х = 720;
б) 6-// + 5-z/= 121;
в) 13-z +3-z — 2-z = 432;
г) 13-х —8-х= 115;
д) 23-1/ —5-г/ = 252;
е) 23-2 —8-2 = 405.
37.12. Найдите значение выражения:
а) 7-а + 7-6,
б) х-13 + ^-13,
в) 8-с —8-d,
г) т-21—п-21,
если
если
если
если
а+6 = 23;
х + ^=11;
с — d = 32;
т — п = 15.
Урок 38 Как свойства действий помогают
вычислять
Младший брат Смекалкина, выполняя домашнее
задание, складывал числа 188 и 37 «столбиком». Смекал-
кин заглянул к нему в тетрадь и сразу объявил ответ.
Младшему брату понравилось, как легко и быстро тот
выполнил задание. Смекалкин объяснил, что он восполь-
(Урок 38) 11S
зовался сочетательным законом. «Но здесь ведь только
два числа» а в сочетательном законе говорится про три
числа. При чем тут сочетательный закон?» — удивился
младший брат. Смекалкин сказал: «Вот при чем. Я заме-
тил, что до «круглого» числа 200 числу 188 не хватает
12. А 37 легко представить как 12 + 25. Вот и получается:
188 + 37 = 188+ (12+ 25) = (188+ 12) +25 = 200 + 25 =
= 225. Теперь видишь, в каком месте я воспользовался
сочетательным законом?»
Г7 Укажите и вы, в каком равенстве Смекалкин
q воспользовался сочетательным законом
сложения. Тем же методом дополнения
до «круглого» числа выполните сложение:
798 + 57; 376 + 48; 957 + 96.
И другие свойства действий помогают вычислять.
Смотрите: 836 — 378 = 836 — (400 — 22) = 836 ~ 400 + 22 =
= 436 + 22 = 458.
П Каким свойством мы воспользовались здесь?
g Примените метод дополнения вычитаемого
до «круглого» числа и вычислите:
625 — 486; 1043-666.
Для того чтобы легче было перемножать числа, можно
пользоваться переместительным и сочетательным зако-
нами умножения:
35-16 = 35.(2-8) = (35-2:)-8 = 70-8 = 560;
15*65’4= 15-65*2• 2 = (15*2)*(65-2) = 30-130 = 3900.
Еще чаще при умножении применяют распределитель-
ный закон:
156-4 = (100 + 50 + 6)’4 = 400 +200 + 24 = 624;
98-17=(100 —2). 17= 1700-34= 1666.
Вычислите в уме:
247-3; 1357-5; 197-12; 999-37.
a Vfc
Не надо думать, что свойства действий используются
только в устных вычислениях. На самом деле без них не
обходится и вычисление «столбиком». Вспомним, напри-
мер, как складывают многозначные числа — поразрядно.
Чтобы объяснить, как возникает это правило, рассмотрим
пример:
35 426 + 42 253 = (30 000 + 5000 + 400 + 20 + 6) +
+ (40 000 + 2000 + 200 + 50 + 3)=(30 000 + 40 000) +
+ (5000 + 2000) + (400 + 200) + (20 + 50)+(6 + 3) =
= 70 000 + 7000 + 600 + 70 + 9 = 77 679.
119 (Урок 38)
Видите, здесь применены и переместительный, и сочета-
тельный законы сложения.
Задания
W 38.1. (У) Дополняя до «круглого» числа, вычислите:
J а) 378 + 56; в) 686 + 77; д) 1395+147;
б) 227 + 298; г) 346 + 2988; е) 6328 + 2477.
38.2. (У) Дополняя вычитаемое до «круглого» числа, вычис-
лите: а) 666-98; б) 777 — 88; в) 2341-279; г) 5632-
-2984.
38.3. (У) Представляя какой-нибудь множитель в виде произ-
ведения, примените переместительный и сочетательный законы
и вычислите значение выражения: а) 65*4; б) 75-8;
в) 115-4-15.
38.4. (У) Объясните следующие приемы умножения:
а) Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10
и разделить на 2. б) Чтобы умножить число на 25, нужно умно-
жить его на 100 и разделить на 4. в) Пользуясь этими приемами,
вычислите: 18-5; 45-5; 222-5; 2468-5; 3256-5; 36-25; 168-25;
142-25; 2468-25.
38.5. Пользуясь свойством а: (6-с) ==(«:&.): с, вычислите зна-
чение выражения.
Образец: 630:35 = 630:(7-5)==(630:7.):5 = 90:5= 18.
а) 270:45; б) 490:35; в) 360:45; г) 252:63.
38.6. (У) Объясните следующие приемы деления:
а) Чтобы разделить число на 5, нужно умножить его на 2
и разделить на 10.
б) Чтобы разделить число на 25, нужно умножить его на 4
и разделить на 100.
в) Пользуясь этими приемами, вычислите: 315:5; 235:5;
225:25; 425:25; 650:25; 740:5.
38.7. (У) Пользуясь распределительным законом, вычислите:
а) 308-3; в) 154-6; д) 97-13; ж) 297-12;
б) 203-7; г) 524-4; е) 98-16; з) 198-17.
38.8. Упростите выражение:
а) 2-а + 3-а + 5-& —2-6; г) 7-а —6-а+13+17;
б) 10-с+ 17 + 3-С+ 14; д) а + 9-а+18- 14;
в) 16-а + 3-а + 7-а + 4-а; е) 13-а + & + а + 6-6.
38.9. Найдите значение выражения, сначала упростив его:
а) 6«а4-14*а + 45-}-75 при а=8; 13; 25;
б) 32 +17-6-7-64-8 при 6 = 0; 27; 113;
в) 26-С4-484-14-С—12 при с=5; 43; 217;
г) 57-х 4- 47 4- 28 4- 23-х при х=9; 72; 741.
(Урок 39) 120
38.10. Упростите левую часть уравнения и решите его:
а) З-х + 2-х—18 = 32;
б) 16-х—17 + 4-х = 83;
в) 15-х — 7-х— 14 = 42;
г) 23+ 14-х— 13-х = 72;
38.11 *. Упростите выражение:
д) 7-х+ 12 + 3-х+ 14= 106;
е) 5-х + х + 29- 13 = 88;
ж) х+37 + 4-х+24 = 96;
з) 2-х + х + З-х —52 = 74.
а) 5-(а + 2) + 3-(а + 3);
б) 2-(3-х + 7) + 4-(х-3);
в) 6-(2 + &) + 4-(&+ 1);
г) 7-(2-r/ + 3)+5-(6 + i/).
38.12 *. Чему равна сумма (а + &) + (& + с)+(с + а), если а +
+ & + с = 8?
38.13 . (У) Клоун начал подсчитывать «столбиком»
сумму следующих чисел:
999 Он долго возился с записями, путался и начинал
999 снова, вспотел, но никак не мог сосчитать сумму. Публи-
। ООО ка смеялась. Ведь всем было видно, что такую сумму
' легко подсчитать в уме, если догадаться, что каждое
999 слагаемое 999 надо дополнить до ... . Но не будем под-
5 сказывать.
Объясните, каким способом быстрее всего подсчитать эту
сумму. Таким же образом вычислите сумму:
а) 9999 + 9999 + 9999 + 5;
б) 998 + 998 + 998 + 9;
в) 999 + 998 + 997 + 6;
г) 99 999 + 99 999+12.
урок 39 |(ак с помощью уравнений отгадывать
математические загадки и показывать
математические фокусы
Загадка. Задуманы два числа. Одно на 26 больше
другого, а их сумма равна 100. Какие числа задуманы?
Эту загадку легко отгадать, если использовать урав-
нение.
А разве тут можно использовать уравнение?
Ведь в уравнении одно неизвестное число,
а здесь их два!
Неизвестных чисел здесь, конечно, два. Но легко дога-
даться, что, зная одно, мы сразу найдем другое, ведь оно
на 26 больше. Так что можно представить, что нам неиз-
вестно одно из чисел, например меньшее. Обозначим его
буквой х. Тогда большее число будет равно х + 26. Запи-
шем их сумму: х + (х + 26). А нам известно, что эта сумма
равна 100. Вот и уравнение получилось: х + (х + 26)= 100.
Применяя сочетательный закон и заменяя затем сумму
х + х произведением х-2, получаем цепочку равенств х +
121 (Урок 39)
+ (х + 26) = (х + х) + 26 = х-2 + 26= 100. Находим первое
слагаемое: х*2=100— 26 = 74. Теперь находим неизвест-
ный множитель.
Найдите, чему равно х. Какие числа были
задуманы?
Фокус. Клоун предложил каждому из публики заду-
мать число- Потом он сказал: «Прибавьте к задуманному
числу 5. Теперь из результата вычтите 2. Теперь к резуль-
тату прибавьте 7». Потом клоун спросил у желающих,
какое число получилось. Услышав ответ, он немедленно
объявлял каждому, какое число тот задумал.
Хотите научиться показывать такие фокусы? Делать
это очень просто, если знаешь уравнения. Мы сейчас
объясним. Слева мы записываем задания «фокусника»,
а справа — выражения, которые он мысленно при этом
представляет.
Задумайте число.
Прибавьте к нему число 5.
Из результата вычтите 2.
К результату прибавьте 7.
Скажите ваш результат.
Обозначаю его буквой х.
Получается число %4-5.
Получается число (х + 5) —2.
Получается ((х + 5) — 2)4-7.
Приравнивая составленное выра-
жение ((* + 5) — 2)+ 7 к названно-
му числу, получаю уравнение.
Если, например, получилось число 13, то уравнение
выглядит так: ((* + 5)— 2)+7= 13. Чтобы быстрее решить
его, упростим левую часть, воспользовавшись свойствами
сложения и вычитания:
(х + 5)-2 = х + (5-2)=х + 3;
((х+5)-2) + 7 = (х + 3)+7 = х + (3 + 7) = х+ 10.
Объясните, какие свойства использовались.
Уравнение теперь получилось совсем простое: 10 =
= 13.
Какое число задумано?
Теперь вы и сами можете придумывать похожие
математические фокусы.
Задания
V39J. Задуманы два числа, одно из которых на 38 мень-
ше, чем другое. Их сумма равна 111. Какие числа были
задуманы?
39.2. Задуманы два числа, сумма которых равна 315, а раз-
ность 57. Какие числа задуманы?
(Урок 40)
122
39.3. Задуманы три числа. Второе число на 17 больше, чем
первое, а третье — на 25 больше, чем второе. Сумма всех трех
чисел равна 236. Какие числа задуманы?
39.4. (У) Какое число было задумано, если в фокусе из
объяснительного текста получился результат: а) 27; б) ИЗ;
в) 10?
39.5. Клоун показал другой фокус: «Задумайте число.
Прибавьте к нему 12, затем вычтите 7. К результату
прибавьте 8. Скажите, сколько получилось». Какое число
было задумано, если в ответе получилось: а) 16; б) 27;
в) 13?
39.6. Вот еще один фокус клоуна: «Задумайте число. Удвойте
его. Прибавьте к результату 7, а затем вычтите 4. Скажите полу-
чившееся число». Какое число было задумано, если в ответе полу-
чилось: а) 9; б) 77; в) 3?
39.7. И еще один фокус: «Задумайте число. Прибавьте к не-
му 11, затем вычтите 6. К результату прибавьте то число, которое
задумали. Скажите, сколько получилось». Какое число было заду-
мано, если в ответе получилось: а) 11; б) 87; в) 5?
39.8. Придумайте сами математический фокус, похожий на фо-
кусы 39.5—39.7, и покажите его соседу по парте. Смогли ли вы
угадать, какое число он задумал?
урок 40 Учимся рассуждать при решении задач.
Как уравнение помогает решить задачу
Младший брат Смекалкина прочитал на бутылке
с вишневым сиропом, что его нужно разбавлять водой:
на 1 часть сиропа рекомендуется 5 частей воды. Решив
приготовить один стакан вишневого напитка, он, не по-
думав, отмерил в стакан 6 столовых ложек сиропа и долил
воду. Но напиток оказался слишком сладким — пить
его было просто невозможно. Вот какой конфуз полу-
чился!
Видя неудачу брата, Смекалкин сказал: «Прежде чем
готовить, надо было все рассчитать. Ведь в стакан вме-
щается 18 ложек жидкости. Значит, ты долил только
12 ложек воды. Поэтому воды оказалось не в 5 раз боль-
ше, чем сиропа, а лишь в 2 раза». Затем Смекалкин что-то
подсчитал в уме и сообщил, сколько ложек сиропа нужно
было взять для решения задачи. «Как ты узнал?» —
удивился младший брат. «Я составил уравнение и решил
его»,— ответил Смекалкин. «А как ты его составил?» Сме-
калкой объяснил.
Давайте порассуждаем, как здесь составить уравнение.
Начнем с того, что обозначим буквой х необходимое число
ложек сиропа.
123
Сколько тогда должно быть
ложек воды?
А всего сколько получится
ложек напитка?
Сколько ложек жидкости
вмещается в стакан?
Как получить уравнение?
(Урок 40)
В 5 раз больше, т. е. х-5
(ложек).
х ложек сиропа, да еще х-5
ложек воды, всего х + х-5
(ложек).
По условию 18 ложек.
Приравнять выражение х +
+ х-5 к 18.
Вот и уравнение получилось: x-J-x-5==l8.
Решите его. Ответьте, сколько ложек сиропа
должен был налить в стакан младший брат.
Задания
40.1. Смекалкин решил приготовить яблочно-грушевый
J напиток. На 1 часть яблочного сока он берет 2 части гру-
шевого сока. В стакан вмещается 18 ложек жидкости.
Сколько ложек каждого сока нужно взять, чтобы приготовить
один стакан напитка?
40.2. На опытном участке площадью 1500 кв. м юннаты хотят
посадить морковь и капусту. Под капусту решено выделить в 3 ра-
за больше площади, чем под морковь. Какая площадь выделена
под морковь и какая под капусту?
40.3. В магазин привезли 20 т картофеля, который загрузи-
ли в два бункера. В один бункер входит в 4 раза больше карто-
феля, чем в другой. Сколько картофеля в каждом бункере?
40.4. Задуманы два числа, одно из которых в 6 раз больше
другого. Какие числа задуманы, если их сумма равна 84?
40.5. Задуманы два числа, одно из которых в 5 раз больше
другого. Какие числа задуманы, если их разность равна 56?
40.6. Задуманы два числа. Их сумма равна 48, а частное при
делении одного на другое равно 3. Какие числа задуманы?
40.7. Задуманы два числа. Их разность равна 234, а частное
при делении большего числа на меньшее равно 10. Какие числа
задуманы?
40.8. а) Отрезок длиной 24 см нужно разделить на две
части так, чтобы одна из них была в 2 раза больше другой. Какую
длину имеют эти части?
б) Измерьте отрезок АВ на рисунке 35, а затем отметьте на
нем точку С так, чтобы отрезок АС был в 3 раза длиннее отрез-
ка СВ.
Рис. 35
(Урок 41) 124
40.9. Периметр прямоугольника равен 40 см, а его длина в
3 раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоуголь-
ника.
40.10. Одно число больше другого на 324, или в 7 раз. Найдите
эти числа.
40.11. На пути от школы до дома, где живет Игорь, находится
магазин. Расстояние от школы до магазина в 2 раза больше рас-
стояния от магазина до дома. Путь от школы до дома Игорь обыч-
но проходит за 9 мин. Представьте, что он вышел из школы, когда
до начала перерыва в магазине осталось: а) 4 мин; б) 7 мин.
Успеет ли Игорь зайти в магазин до перерыва, если будет идти
со своей обычной скоростью?
Урок 41
Задания на повторение к § 4
Мы заканчиваем § 4. Сейчас можно было бы повторить объяс-
нительный текст из урока 11. Перечитайте этот текст!
Г 41.1. (У) На грузовик с прицепом погрузили 3 кон-
и тейнера. На сам грузовик — контейнеры массой 3827 кг и
1264 кг, а в прицеп — контейнер массой 2473 кг. Затем
контейнер массой 1264 кг перегрузили в прицеп. Что означают
выражения (3827+1264)4-2473 и 3827+ (1264+ 2473)? Какой
вывод можно сделать?
41.2. Упростите выражение и вычислите его значение:
а) 5*% + л>7 при х = 40; 141; 6446;
б) с-42-31.с при с=15; 125; 5725;
в) в-а + Э-а+Ю-а при а = 23; 247; 756.
41.3. (У) Найдите значение выражения:
а) 5.а + 5-6, если а + & = 30;
б) 7*6 — 7-с, если 6 — с—11;
125 (Урок 41)
в) 4-%+y-4, если х-\-у— 15;
г) 11-х — г/-11, если х — у = 8.
41.4. Решите уравнение:
а) 3-х + х-5= 1216; в) х-17 4-5-х —42 = 200;
б) 7-г/ — £/-2 = 8315; г) г/-48 — 13• г/+ 71 = 701.
41.5. а) Найдите три числа, сумма которых равна 222, если
второе число в 2 раза больше первого, а третье — в 3 раза больше
первого.
б) Найдите три числа, сумма которых равна 777, если второе
число в 2 раза больше первого, а третье — в 4 раза больше пер-
вого.
в) Найдите три числа, сумма которых равна 333, если второе
число в 2 раза больше первого, а третье — в 3 раза больше вто-
рого.
г) Найдите три числа, сумма которых равна 111 111, если
первое число в 2 раза меньше второго, а третье — в 2 раза больше
второго.
41.6. а) Отрезок AD длиной 35 см нужно разделить на три
части точками В и С так, чтобы отрезок ВС был в 2 раза длиннее
отрезка АВ, а отрезок CD — в 4 раза длиннее, чем АВ. Какую
длину имеет каждая из этих частей?
б) Измерьте отрезок AD на рисунке 36, а затем отметьте на
нем точки В и С так, чтобы отрезок ВС был в 2 раза короче отрезка
АВ и в 2 раза длиннее отрезка CD.
Рис. 36
41.7. Площадь Азербайджанской ССР 86 600 кв. км, Армян-
ской ССР 29 800 кв. км, Грузинской ССР 69 700 кв. км. Какова
общая площадь Советских Закавказских республик?
41.8. В 1986 г. в нашей стране железнодорожным транспор-
том перевезено 4078 млн. т грузов, морским транспортом —
249 млн. т, а автомобильным — 26 345 млн. т. Сколько всего
перевезено тонн?
41.9. На отрезке AD отмечены точки В и С, как показано на
рисунке 37.
Д
*
Рис. 37
а) Отрезок AD имеет длину 48 см, отрезок АС — длину 32 см,
а отрезок ВС — длину 17 см. Какова длина отрезка BD?
б) Отрезок AD имеет длину 2 м 7 см, отрезок АС — длину
93 см, а отрезок BD — длину 1 м 38 см. Какова длина отрезка
ВС?
(Урок 41) 116
в) Составьте задачу, обратную задаче из пункта а), в которой
требуется найти длину отрезка AD. Решите ее, составив число-
вое выражение.
г) Составьте задачу, обратную задаче из пункта б), в которой
требуется найти длину отрезка AD. Решите ее, составив число-
вое выражение.
41.10. У Миши в коллекции было 424 марки в двух альбо-
мах. Один альбом Миша решил подарить Оле на день рождения.
Оля обрадовалась: теперь у нее стало 284 марки. Миша и Оля со-
считали, сколько марок у них вместе: оказалось 527. Сколько
марок Миша подарил Оле?
41.11. В комнате паркетный пол надо выложить прямоуголь-
ными плитками длиной 25 см и шириной 15 см. Сколько плиток
нужно взять, если длина комнаты 5 м 10 см, а ширина 3 м 50 см?
41.12. Эскалатор в метро движется со скоростью 32 м/мин.
Длина эскалатора 96 м.
а) За какое время пассажир, стоящий на эскалаторе, спустит-
ся к поезду?
б) Пассажир, чтобы быстрее спуститься,
идет по эскалатору со скоростью 16 м/мин. За
какое время спустится этот пассажир?
в) Помните старика Хоттабыча из извест-
ной книги? Когда он впервые попал в метро,
то бросился бежать вверх по спускающемуся
вниз эскалатору. Скорость, с которой бежит
Хоттабыч, 48 м/мин. Через какое время он
добежит до верха эскалатора?
41.13. а) Рассмотрите ряд чисел: 10, 20,
Можно сказать, что это ряд десятков. Hai
(семь-восемь) следующих чисел этого ряда. Укажите три свойства
ряда десятков, похожие на свойства натурального ряда; с какого
числа он начинается; на сколько в нем каждое последующее число
больше предыдущего; бесконечен ли он.
б) А вот ряд сотен: 100, 200, 300, 400, 500, ... . Напишите
несколько его следующих чисел. Какие три свойства этого ряда,
похожие на свойства натурального ряда, можно указать?
в) Так же можно составить и ряд тысяч. Напишите несколь-
ко первых чисел этого ряда. Укажите три его свойства, похожие
на свойства натурального ряда.
41.14. (У) Рассмотрите ряд чисел: 1, 4, 7, 10, 13.Легко указать правило,
по которому идут в нем числа. Он начинается с числа 1, а из последующих чисел
каждое на 3 больше предыдущего.
Л в ряде 2, 20, 200, 2000, ... числа идут по такому правилу: он начинается
с числа 2, а каждое последующее число в 10 раз больше предыдущего. По-дру-
гому можно сказать, что запись каждого следующего числа получается припи-
сыванием нуля справа.
Скажите, по какому правилу идут числа в следующих рядах:
а) 2. 5, 8, 11, 14, ...; в) 3, 33, 333, 3333. ...;
б) 1.5, 9, 13. 17, ...; г) 3» 30, 300, 3000, ...
30, 40, 50, ... .
шште несколько
127 (Урок 42)
§ 5. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Сложение и умножение отличаются от вычитания и
деления вот каким примечательным свойством. Когда
складываешь или умножаешь натуральные числа, можно
не беспокоиться: результат всегда будет натуральным
числом. А вот с вычитанием и делением дело обстоит ина-
че. Не всегда найдется натуральное число, равное разности
или частному данных натуральных чисел.
Как узнать, когда разность будет натуральным числом?
Ответ здесь прост: когда уменьшаемое больше вычитае-
мого. А это легко определить и не выполняя вычитания:
ведь сравнивать натуральные числа вы умеете. С делением
же все не так просто. В этом параграфе мы научим вас
легко определять, делится или не делится данное нату-
ральное число на числа 2, 3, 5, 9, Ю. Кроме того, обсудим,
когда при решении задач может пригодиться деление
с остатком.
Урок 42 на что похож натуральный ряд
Чтобы было интереснее изучать натуральный ряд, да-
вайте представим, на что он похож. Можно представить,
что натуральный ряд — это бесконечная прямая дорога, на
которой расставлены метки. На больших дорогах, идущих
от крупных городов, обычно стоят столбы, которые отме-
чают по порядку километры. Ну, а у нас вместо километро-
вых столбов будут метки — натуральные числа. На обыч-
ной дороге расстояние между соседними столбами I км.
У нас никаких километров, конечно, нет, но про удален-
ность натуральных чисел друг от
друга говорить можно. Например,
соседние числа удалены друг от
друга на 1 (на одну единицу). Чис-
ла 1 и 3 удалены друг от друга
на 2. Числа 17 и 19, 20 и 18, 20 и 22
также удалены друг от друга на 2.
Придумайте еще несколько примеров чисел,
удаленных друг от друга на 2.
Числа 1 и 4, 30 и 33, 36 и 33 удалены друг от друга на 3.
Придумайте примеры чисел, удаленных друг
от друга на 3.
Легко догадаться, как узнать, на сколько удалены
друг от друга два данных числа: нужно из большего
вычесть меньшее.
(Урок 42) 128
Давайте применим это правило для решения следую-
щей задачи:
Задача. Оля живет на 6-м этаже, а Катя — в том
же подъезде на 11-м этаже. На сколько этажей выше
живет Катя?
Каждый сразу решит эту задачу. А ведь в ней как раз
и говорится про удаленность чисел 6 и 11 в натуральном
ряде. Эти числа удалены друг от друга на 5.
Я вот что придумал: натуральный ряд похож
не только на бесконечную дорогу, но и на
лестницу, идущую в небо без конца. Правда?
А еще он похож на бесконечную линейку.
Да. Это удачные картины. Особенно бесконечная линей-
ка: такая линейка пригодится нам позднее, в 6-м классе.
Вопросы и задания
4^ 42.1. Что значит, что два числа удалены друг от друга
f в натуральном ряде на 4; на 7; на данное число? Приду-
майте примеры чисел, удаленных друг от друга на 6, на
10, на 100.
42.2. Как узнать, на сколько удалены друг от друга в нату-
ральном ряде два числа? На сколько удалены друг от друга в
натуральном ряде числа 6 и 11; числа 117 и 203?
Т42.3. а) В натуральном ряде число 238 стоит между
числами 139 и 339. От какого из них оно дальше?
б) Туристы вышли из леса на шоссе неподалеку от
километрового столба с отметкой 249 и решили пойти на ближай-
шую автобусную остановку. Руководитель группы посмотрел на
план местности и сказал, что автобусные остановки расположены
на 246-м и 251-м километрах. Куда пойдут туристы?
42.4. а) На сколько число 172 удалено в натуральном ряде
от числа 123? Какое еще число удалено от числа 123 на столь-
ко же?
б) Какое число в натуральном ряде удалено от числа 48 на
столько же, на сколько удалено от него число 33?
42.5. Один толстяк, весивший 110 кг, серьезно решил поху-
деть. Он стал соблюдать строгую диету и усиленно заниматься
спортом. Через полгода он весил уже 99 кг. В следующие полгода
он похудел на столько же килограммов, на сколько в предыдущие,
а) Сколько стал весить толстяк через год? б) На сколько кило-
граммов он похудел за год?
42.6. а) Рядом с автобусной остановкой у деревни Сосновки
стоит километровый столб, на котором написано 115. Это означает,
что от города до Сосновки 115 км. А на столбе у Ольховки написано
143. Какое расстояние от Сосновки до Ольховки? б) За Ольхов-
кой идет село Кедровое. Автобусная остановка у Ольховки одина-
129
(Урок, 42)
ково удалена и от Сосновки, и от Кедрового. Какой километро-
вый столб стоит у остановки села Кедрового? в) Какое расстоя-
ние от Сосновки до Кедрового?
42.7. (У) а) В натуральном ряде число 7 одинаково удалено
от чисел 2 и 12. Проверьте это. На сколько удалено число 7 от чи-
сел 2 и 12? б)* Какое число одинаково удалено от чисел 7 и
13?
42.8. В натуральном ряде у каждого числа, кроме первого,
имеются два соседних: число, ему предшествующее, и число, за
ним следующее. Например, соседи числа 21 — это 20 и 22. Каковы
в натуральном ряде соседи чисел: а) 136; б) 299; в) 3000;
г) 52 011? Если п обозначает число, большее 1, то как должны
быть обозначены числа, соседние с ним в натуральном ряде?
42.9. Заполните пустые клетки в таблице:
п — 1 12 89 998
п 13 24 110
п 4-1 14 256 2101
42.10. а) (У) Буквой п обозначено натуральное число, боль-
шее 4. Чему равны числа, удаленные от п на 2? А на 3?
б) Чему равны числа, удаленные от п на 2, если п обозначает
число 8; 212; 1001; 159 999? Решение запишите в виде таблицы,
похожей на таблицу из задачи 42.9.
в) Чему равны числа, удаленные от 1 000 000 на п, если п
обозначает число 8; 212; 1001; 159 999?
42.11. Нарисуйте на клетчатой бумаге такой же отрезок, как
на рисунке 38. Поставьте на этом отрезке: а) точку, расположен-
ную ближе к концу А, чем к концу В; б) точку, расположенную
ближе к концу В, чем к концу А; в) точку, одинаково удаленную
от концов Л и В.
Рис. 38
5 Учсбник-собсседкик
Урок
130
43 Знакомимся
с четными и нечетными числами
Представьте, что сказочный волшебник отправился «в
поход» по натуральному ряду. Сделав первый шаг, он
наступил левой ногой на число 1, вторым шагом насту-
пил правой ногой на число 2. Затем левой — на число 3,
правой — на 4 и т. д. Какой ряд чисел пройдет правая
нога волшебника? Представить это нетрудно:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... .
Это, конечно, не натуральный ряд, но легко указать, по
какому правилу идут в нем числа: он начинается с числа
2, а из последующих чисел в нем каждое на 2 больше
предыдущего. Многоточие, как обычно, означает, что он
бесконечен.
Легко увидеть, что каждое число в этом ряде делит-
ся на 2.
Действительно, выберем какое-то число п, на которое волшебник
наступил правой ногой. Чтобы дойти до л, ему пришлось сделать оди-
наковое число шагов левой и правой ногой. (Например, до числа 34
он сделал всего 34 шага: 17 левой ногой и 17 правой.) Всего он сделал
п шагов. Это в 2 раза больше, чем число шагов только правой или
левой ногой. Значит, п делится на 2.
НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НАЗЫВАЕТСЯ ЧЕТНЫМ,
ЕСЛИ ОНО ДЕЛИТСЯ НА 2.
Так что правой ногой волшебник пройдет ряд четных
чисел.
А какой ряд пройдет его левая нога? Вот он:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... .
В этом ряде любое число не делится на 2.
131 (Урок 43)
НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НАЗЫВАЕТСЯ НЕЧЕТНЫМ,
ЕСЛИ ОНО НЕ ДЕЛИТСЯ НА 2.
Так что левая нога волшебника пройдет ряд нечетных
чисел.
Укажите, по какому правилу идут в нем числа.
Чтобы определить, будет число четным или нечетным,
надо выяснить, делится ли оно на 2.
Скажите, четным или нечетным является число:
а) 218; б) 7017; в) 35 194. Интересно,
за сколько секунд или минут удалось
вам ответить на эти вопросы?
На самом деле на любой такой вопрос каждый ученик
скоро сможет отвечать всего за одну секунду! Как этому
научиться, мы расскажем в уроке 45.
Если между числами ряда нечетных чисел вставить
числа ряда четных чисел так, как это показано ниже:
С । 3» । 5, । 7, । 9, II, । ...,
2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ,
то получится как раз натуральный ряд. Представили? Так
что мы обнаружили такое свойство:
В НАТУРАЛЬНОМ РЯДЕ ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ
ЧИСЛА ЧЕРЕДУЮТСЯ.
Об этом свойстве натурального ряда можно было также
догадаться, если представить, как идет волшебник. Ведь
при ходьбе шаги правой и левой ногой чередуются.
Вопросы и задания
4^ 43.1. Что такое четное число? Что такое нечетное
j число?
43.2. Как располагаются в натуральном ряде четные
й нечетные числа?
43.3. Представьте, что сказочный волшебник вычеркнул из
натурального ряда все четные числа:
1, ?, 3, 4, 5, 0, 7, 0, ... .
Какой ряд чисел остался? Какой ряд останется, если из натураль-
ного ряда вычеркнуть все нечетные числа?
43.4. На сколько удалены друг от друга соседние числа в
ряде четных чисел? А в ряде нечетных чисел?
V43.5. Бесконечный ряд чисел начинается с числа 2,
а из последующих чисел в нем каждое на 2 больше пре-
дыдущего. Напишите несколько первых чисел этого ряда.
Какой это ряд чисел?
(Урок 43) 132
43.6. Даны числа: 42, 58, 73, 306, 117, 1017, 250, 99. Выпишите
из них отдельно четные числа, отдельно нечетные.
43.7. а) Выпишите по порядку 10 чисел натурального ряда,
начиная с числа 45. Подчеркните нечетные. Сколько среди напи-
санных чисел четных и сколько нечетных?
б) Выберите сами какое-нибудь натуральное число и, начи-
ная с него, снова выпишите 10 последовательных чисел. Сколько
среди них четных чисел и сколько нечетных?
в) Вообще что можно сказать о количестве четных и нечет-
ных чисел среди 10 идущих подряд натуральных чисел? Поду-
майте, как можно объяснить свой ответ.
43.8. Вычислите значение числового выражения и определите,
является ли это значение четным или нечетным числом:
а) 23-(45б + 789)- 10 101; в) (2424+ 4242):(42+ 24);
б) 54321-(1234 + 56-789); г) (6798 + 7986): (976 - 888).
43.9. (У) а) Если буква п обозначает какое-то четное число,
то каким будет число п+1 —четным или нечетным? А п + 2?
А п + 3?
б) Ответьте на те же вопросы, если п — нечетное число.
43.10. Ученики 5-го А класса решили посадить деревья в честь
Дня Конституции СССР и предложили 5-му Б классу тоже при-
нять в этом участие. Школьники договорились, что каждый поса-
дит по одному дереву. В 5-м А 28 учеников. В 5-м Б на 3 ученика
больше. Сколько саженцев надо приготовить для посадки? Можно
ли их посадить по двум сторонам аллеи так, чтобы с каждой сторо-
ны деревьев было поровну?
43.11. Ребята двух домов договорились играть в футбол. Из
одного дома пришли 13 человек, из другого — на 4 меньше. Могут
ли они разделиться на две команды так, чтобы в обеих командах
было одинаковое число игроков? А если один из них захочет быть
судьей, то удастся ли остальным игрокам разделиться поровну?
43.12. (У) Посмотрите на рисунок 39 и ответьте, не подсчи-
тывая количество машин: в какой автоколонне количество машин
четно, а в какой нечетно?
Рис. 39
43.13. Номера домов на улице обычно идут так. Если двигать-
ся от меньших номеров к большим, то на левой стороне будут не-
четные номера, на правой — четные. Витя, Гриша и Дима живут
на одной улице: Витя в доме № 17, Гриша в доме № 54, Дима в
доме № 103.
а) Витя отправился в гости к Грише. Придется ли ему перехо-
почта и тир?
133 (Урок 43) »
дить на другую сторону улицы? А если
Витя пойдет в гости к Диме? А если Ди-
ма.— к Грише?
б) В доме, соседнем с Витиным и име-
ющем больший номер, находится аптека.
В доме, соседнем с Гришиным домом и
имеющем больший номер,— почта. В до-
ме, соседнем с Диминым домом и имею-
щем меньший номер,— тир. Какие номера
имеют дома, в которых находятся аптека,
43.14. Две самые главные газеты в нашей стране называются
«Правда» и «Известия». Они выходят ежедневно. У «Известий»
есть приложение — газета «Неделя», выходящая раз в неделю.
Ее выпуски содержат либо 16, либо 24 страницы. 1-й номер выхо-
дит на 24 страницах, 2-й — на 16, 3-й — снова на 24 и т. д.
Столько страниц содержит 39-й номер «Недели»; 43-й; 46-й; 50-й?
(Совет: не перебирать номер за номером, а использовать свойства
четных и нечетных чисел.)
43.15. В школе работают два ночных сторожа: Андрей Ива-
нович и Борис Иванович. Сторожа дежурят с вечера до утра, их
дежурства чередуются. 1 сентября на дежурство заступил Андрей
Иванович, 2 сентября — Борис Иванович и т. д.
а) Чья очередь будет заступать на дежурство 16 сентября;
30 сентября; 1 октября; 8 октября; 30 октября? (Совет: не пере-
бирать дату за датой, а опять использовать свойства четных и
нечетных чисел.)
б) Вообще по каким числам — четным или нечетным — в сен-
тябре и октябре заступает на дежурство Андрей Иванович?
А Борис Иванович?
43.16. В предыдущей задаче рассказывалось о школьных сто-
рожах Андрее Ивановиче и Борисе Ивановиче. Определите те-
перь, кто из них заступит на дежурство 31 октября. Чья очередь
будет заступать на дежурство 1 ноября, 7 ноября, 30 ноября, 3 де-
кабря? Кому придется дежурить в ночь под Новый год?
Рис. 40
43.17. Найдите в сантиметрах периметр прямоугольников,
изображенных на рисунке 40. Запишите ряд полученных чисел.
По какому правилу они идут?
134
44 Что такое
кратное натурального числа
Говорят, что число а — кратное числа Ь (или, по-дру-
гому, кратно числу Ь), если а делится на Ь, Вот несколь-
ко кратных числа 6: само число 6, далее 12, 18, 24. А числа
13, 26, 39 кратны числу 13.
Назовите еще по два кратных каждого из
чисел 6 и 13, Назовите по три числа,
кратных числам 7, 11, 100,
Если а — кратное числа Ь, то можно найти частное а:Ь.
Обозначим это частное буквой с. Тогда произведение чисел
b и с равно а. Значит, всякое кратное числа b можно полу-
чить, умножая b на подходящее натуральное число. На-
пример, те несколько кратных числа 6, которые мы запи-
сали выше,— это просто произведения 6-1, 6*2, 6*3, 6-4.
Теперь ясно, как находить одно за другим кратные данно-
го числа. Для этого нужно по порядку умножать его на
числа натурального ряда.
Давайте найдем таким способом числа, кратные числу
3. Сначала запишем натуральный ряд:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... ,
а под ним разместим произведения чисел этого ряда
на 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... .
Получился новый ряд — ряд кратных числа 3. Легко со-
образить, по какому правилу идут в нем числа. Он начи-
нается с числа 3, а каждое последующее число больше
предыдущего на 3. Кроме того, раз натуральный ряд бес-
конечен, то и ряд кратных числа 3 бесконечен. Так же
можно получить ряд кратных любого числа.
Запишите ряд кратных числа 5. С какого
числа он начинается? На сколько каждое
последующее число в этом ряде больше
предыдущего?
Вообще если обозначить натуральное число буквой Ь,
то ряд его кратных можно записать так:
6-1, 6*2, 6-3, 6-4, 6-5, &-6, 6-7, Л-8, &*9, ... .
Такой ряд начинается с числа Ь, каждое последующее
число в нем больше предыдущего на Ь'9 кроме того, этот
ряд бесконечен.
135 (Урок 44)
А эти три свойства очень похожи на свойства
натурального ряда!
Это неудивительно. Ведь натуральный ряд — это тоже ряд
кратных одного натурального числа, а именно числа 1.
Вспомните-ка: всякое натуральное число делится на 1;
другими словами, всякое натуральное число кратно чис-
лу 1. Поэтому ясно, что ряд кратных числа 1 —это
попросту натуральный ряд.
Кроме натурального ряда, среди рядов кратных у нас
есть еще один старый знакомый. Догадались, о каком ряде
идет речь? Конечно же, это ряд четных чисел. Ведь чет-
ные числа — это числа, которые делятся на 2, а иначе
говоря, числа, кратные числу 2.
Вопросы и задания
4* 44.1. Что такое кратное натурального числа?
Z 44.2. Как записать ряд кратных данного натурального
числа Ь? Какими свойствами обладает этот ряд?
44.3. На сколько удалены друг от друга соседние числа в
ряде кратных числа 3? А в ряде кратных числа 5?
44.4*. Является ли ряд нечетных чисел рядом кратных какого-
нибудь натурального числа? Ответ объясните.
44.5. (У) Для каждого из следующих рядов определи-
те, является ли он рядом кратных, и если да, то какому
числу:
а) 4, 8, 12, 16, 20, г) 13, 26, 39, 52, 65,
б) 1, 3, 5, 7, 9, д) 1, 2, 3, 4, 5, 6,
в) 2, 4, 7, 10, 14, е) 3, 6, 9, 15, 18, ... .
44.6. (У) Младший брат Смекалкина решил написать ряд чи-
сел, кратных некоторому числу. Первым он написал число 2, а
за ним 7. Смекалкин, не дожидаясь, когда будет написано следую-
щее число, понял, что брат пишет неверно. Объясните, почему это
так.
44.7. а) Найдите среди чисел 83, 95, 72, 64, 100, 75, 111, 108, 80
кратные числа 5 и запишите их в порядке возрастания, б) Найди-
те среди чисел 144, 153, 145, 150, 161, 139, 141, 165, 157 кратные
числа 3 и запишите их в порядке убывания.
44.8. Найдите три натуральных числа, для которых кратным
будет: а) число 91; б) число 289; в) число 361.
44.9. (У) В классе 28 учеников. На уроках физкультуры они
обычно строятся в 2 шеренги. Можно ли построить их: а) в 3 оди-
наковые шеренги; б) в 4 одинаковые шеренги; в) в 5 одинаковых
шеренг; г) в 7 одинаковых шеренг?
44.10. (У) Клоун утверждал, что нет такого числа, ко-
hjriC торое было бы кратно числам 3 и 5 одновременно. Публика
(Урок 45) 136
смеялась: все видели, что клоун ошибается. Придумайте несколь-
ко таких чисел.
44.1 L* Придумайте число, которое: а) кратно числам 7 и 12;
б) больше 100 и кратно числам 9 и 11; в) меньше 100 и кратно
числам 9 и 12.
урок 45 Признаки делимости на 2, на 5 и на 10
Как узнать, четно число или нечетно? Надо проверить,
делится ли оно на 2. Но на самом деле ответ можно дать,
не выполняя деления. Стоит только взглянуть на послед-
нюю цифру числа.
Чтобы разобраться в том, как получать ответ, запишем
ряд четных чисел:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.
Обратите внимание на последние цифры этих чисел. Да-
вайте составим из них ряд:
2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, ....
А теперь запишем ряд нечетных чисел:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, ... .
Снова обратите внимание на последние цифры. Из них
получается такой ряд:
1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9, !, 3, 5, 7, ....
Какой вывод можно сделать? Вот какой: всякое четное
число оканчивается одной из цифр 2, 4, 6, 8, 0; всякое не-
четное число оканчивается одной из цифр 1, 3, 5, 7, 9.
Теперь легко догадаться, как определить, четно число
или нечетно. Возьмем, к примеру, число 16 049 355. Его
последняя цифра — 5. Может ли четное число оканчивать-
ся цифрой 5? Учитывая только что сделанный вывод,
каждый скажет: нет, не может! Значит, число 16 049 355
нечетное. А число 237 986 504 четно?
Г7 Примените сделанный вывод и ответьте на этот
g вопрос.
Можно сформулировать следующее правило:
ЕСЛИ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ
ОДНОЙ ИЗ ЦИФР ?••••’• то ОНО .
1, 3, 5, 7, 9 нечетно
Это правило называют признаком делимости на 2.
<1 А что такое признак?
137 (Урок 45)
Признаком называют правило, пользуясь которым
можно легко и удобно обнаруживать свойство. Нас инте-
ресовало свойство, будет ли число четным, т. е. делится
ли оно на 2. А сформулированное правило позволяет не-
медленно обнаруживать это. Вот почему его и называют
признаком делимости на 2.
Найдем признак делимости на 5. Для этого запишем
ряд кратных числа 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ....
Вы уже писали его в уроке 44. Видно, что он состоит из
всех таких чисел, которые оканчиваются цифрой 5 или
цифрой 0. Значит, можно сформулировать такой признак
делимости на 5:
ЕСЛИ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ
цифрой 0 или цифрой 5
любой цифрой, кроме 0 и о
ТО ОНО . НА 5.
не делится
С помощью признака делимости на 5 можно узнать,
не выполняя деления, что, например, число 366 625 на 5 де-
лится, а число 8 623 451 на 5 не делится.
Теперь будем искать признак делимости на 10. Легко
догадаться, что и здесь надо записать ряд кратных
числа 10.
Запишите этот ряд.
Посмотрите: вы уже встречались с ним, выполняя задание
41.13,
Обратите внимание на последнюю цифру
у чисел этого ряда. Какой вывод можно сделать?
ЕСЛИ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО ОКАНЧИВАЕТСЯ
цифрой 0
любой цифрой, кроме О'
ТО ОНО ..^Л-И.Т5”.. НА 10.
не делится
Вот признак делимости на 10 и найден! Применяя его,
можно, например, сразу сказать, что число 108 360 на 10
делится, а число 1 234 567 на 10 не делится.
Вопросы и задания
45.1. Какими цифрами могут оканчиваться четные
числа; нечетные числа?
(Урок 45) 138
45.2. Как, не выполняя деления, определить, четно данное
число или нечетно?
45.3. Как, не выполняя деления, определить, делится ли дан-
ное число на 5; на 10?
W 45.4. (У) Определите, четно или нечетно число:
i а) 84371; б) 195 764; в) 617628; г) ill 111;
д) 123 456 789; е) 1000.
45.5. В следующих таблицах заполните пустые клетки и рядом
с каждым четным числом поставьте букву «ч», а рядом с каждым
нечетным — букву «н», как это сделано во вторых строчках
таблиц:
Слагаемое Слагаемое Сумма
145 н 236 ч 381 н
1034 2598
4560 7113
5619 6548
1357 1579
Уменьшаемое Вычитаемое Разность
769 н 616 ч 153 н
3022 2984
9782 8999
10 351 9888
4861 3867
Множитель Множитель Произведение
91 н 11 н 1001 и
45 114
934 101
156 3002
317 —гт - 243 L - -- - -
Делимое Делитель Частное
1024 ч 64 ч 16 ч
10 800 144
9633 79
1353 123
10 404 102
Какие выводы можно сделать?
45.6. (У) Может ли нечетное число делиться на четное число?
Ответ объясните.
45.7. Из 8 спичек можно выложить только два разных прямо-
угольника. а) Сколько разных прямоугольников можно выложить
из 10 спичек? Нарисуйте их. б) Можно ли выложить прямоуголь-
ник из 9 спичек?
45.8. (У) Какие из чисел 1256, 10 860, 2725, 12 345, 10 000,
141 987, 62 448 делятся: а) на 2; б) на 5; в) на 10?
45.9. Игорь пошел в магазин за продуктами. Когдгз он стал
платить за покупки, то увидел, что у него в кошельке только 5-ко-
пеечные и 10-копеечные монеты. Сможет ли Игорь уплатить ими
без сдачи за: а) 6 кг картошки по 12 к. за 1 кг; б) 4 бутылки мо-
лока по 30 к. за бутылку; в) полкило сахара по 90 к. за 1 кг?
45.10. (У) Какой цифрой оканчивается четное число, которое
делится на 5? Какому числу обязательно кратно такое число?
139 (Урок 46)
45.11. (У) а) Клоун предложил публике загадку: «Я за-
думал число, которое делится на 10 и не делится на 2. Ка-
кое число я задумал?» Публика смеялась: всем было яс-
но, что числа с таким свойством нет. Объясните почему,
б) Клоун предложил другую загадку: «Я задумал число, ко-
торое делится на 10 и не делится на 5. Какое число я задумал?»
Что вы можете сказать об этой загадке?
45.12. а) Напишите ряд кратных числа 100. Обратите внима-
ние на две последние цифры чисел этого ряда. Сформулируйте
признак делимости на 100.
б) Напишите ряд кратных числа 25. Обратите внимание на две
последние цифры чисел этого ряда. Сформулируйте признак дели-
мости на 25.
урок 46 Признаки делимости на 9 и на 3
Задумаемся, почему делимость числа на 2, на 5 и на 10
зависит только от его последней цифры. Оказывается, все
дело здесь в нашей десятичной нумерации. Ведь если пред-
ставить число в виде суммы разрядных слагаемых (напри-
мер, 25 176 = 20 0004-5000-F 1004’704-6), то сразу видно,
что и его десятки, и его сотни, и его тысячи и т. д. делятся
и на 2, и на 5, и на 10. Если еще и единицы числа делятся,
скажем, на 2, то и все число будет четным. Поэтому чет-
ность числа зависит только от его последней цифры. Точ-
но так же можно объяснить и признаки делимости на 5 и
на 10.
А можно ли по последней цифре числа узнать, делится
ли оно на 9?
Конечно, нет! Например, число 63 делится
на 9, а число 13 не делится. А кончаются
оба эти числа на одну и ту же цифру.
Верное наблюдение. Оно показывает, что лишь по послед-
ней цифре не определить, делится ли число на 9. Прихо-
дится искать какие-то другие свойства чисел, кратных 9.
Чтобы обнаружить эти свойства, рассмотрим такую за-
дачу:
Задача. В районе 9 школ. Их директора договори-
лись распределить поровну все поступающие в район
школьные учебники. Удастся ли разделить поровну меж-
ду этими школами 837 новых учебников математики?
Решить задачу нам снова поможет десятичная нумера-
ция. Представим число 837 в виде суммы разрядных сла-
гаемых: 837 = 800 4-30 4-7. Из каждой сотни учебников
возьмем по 99 книг. Их разделить легко — отправить в
каждую школу по 11 учебников. После этого от 8 сотен
(Урок 46)
140
учебников останется 8 книг. Теперь из каждого десятка
учебников возьмем по 9 книг и отправим их по одной
в каждую школу. От 3 десятков учебников останется
3 книги. Всего останутся нераспределенными 8 + 3 + 7
(книг). Если их можно разделить между школами поров-
ну, то и все 837 учебников будут разделены поровну.
Но 8 + 3 + 7=18, а число 18 кратно 9. Значит, все учеб-
ники можно поровну разделить между школами.
Обдумывая решение этой задачи, мы видим, что дели-
мость числа на 9 зависит от суммы числа его единиц, числа
его десятков, числа его сотен и т. д.
То есть от суммы цифр?
Складывают, конечно, числа, а не цифры. Но каждая циф-
ра обозначает число разрядных единиц. Договариваются
ради краткости называть сумму этих чисел суммой цифр
данного числа.
Итак, сумма цифр числа 837 равна 18 и делится на 9.
Поэтому и все число 837 можно разделить на 9. А вот
если бы учебников в задаче было 3265, то, разделив
999 книг из каждой тысячи, 99 — из каждой сотни и 9 -
из каждого десятка, мы бы увидели, что остается 3 +
+ 2 + 6+5=16 (книг). Число 16 на 9 не делится, значит,
и 3265 разделить на 9 нельзя. Итак,
ЕСЛИ СУММА ЦИФР ЧИСЛА ..^ли.тс.я.. НА 9,
не делится
ТО И САМО ЧИСЛО • НА 9.
не делится
Вот и получился признак делимости на 9. Пользуясь
им, легко проверить, например, что число 16 352 604 де-
—- лится на 9, так как сумма его цифр равна 27. А вот число
\] л. 224 103 на 9 не делится, так как на 9 не делится сумма его
о цифр (проверьте!).
Делимость числа на 3, так же как и его делимость на 9,
зависит от суммы цифр этого числа. Поэтому и признак де-
лимости на 3 очень похож на найденный выше признак де-
лимости на 9:
ЕСЛИ СУММА ЦИФР ЧИСЛА ••^л-и.т.ся. НА 3,
не делится
ТО И САМО ЧИСЛО .^л-и-тся... НА 3.
не делится
Например числа 16 352 604 и 224 103 делятся на 3, так
как на 3 делятся суммы их цифр 27 и 12. Число 963 241 на
3 не делится, потому что сумма его цифр не делится на 3
(проверьте/).
141
(Урок 46)
Вопросы и задания
46.1. Как, не выполняя деления, определить, делится
* ли данное число на 9; на 3?
" 46.2. Делится ли на 9 число: а) 6237; б) 22 445;
в) 123 456; г) 999 999 999; д) 111 111 111 111?
46.3. Делится ли на 3 число: а) 1428; б) 6591; в) 222 333;
г) 108 902 703; д) 1 000 000 000?
V 46.4. а) Заполните пустые клетки таблицы словами
2 «да» или «нет» по образцу второго столбца:
Число 15 21G 3275 82 314 27 501 10 101 3333
Делится ли на 3 Да
Делится ли на 9 Нет
б)* (У) Посмотрите, встречаются ли в таблице числа, крат-
ные 3, но не кратные 9; числа, кратные 9, но не кратные 3. Какие
два вывода можно сделать?
46.5. Напишите на листочке шесть четырехзначных чисел,
три из которых делятся на 3, а остальные не делятся на 3.
Предложите соседу по парте определить, какие из них делятся
на 3. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.
46.6. Выпишите из натурального ряда:
а) все числа, кратные 3 и расположенные между числами
623 и 650; б) все числа, кратные 9 и расположенные между
1000 и 1030.
46.7. а) Из чисел 98; 69; 73; 105; 118; 1023; 251; 162 выпи-
шите числа, кратные 3, и расположите их в порядке возрастания,
б) Из чисел 6; 72; 180; 217; 921; 1008; 961; 351; 543; 999 вы-
пишите числа, кратные 9, и расположите их в порядке убывания.
46.8. Три поросенка Ниф-Ниф, Наф-
Наф и Нуф-Нуф собрали в лесу желуди
и решили разделить их поровну.
а) (У) Ниф-Ниф собрал 100 желу-
дей, Наф-Наф — 88, Нуф-Нуф — 127.
Удастся ли поросятам разделить желуди
поровну? б) Ответьте на тот же вопрос,
если Ниф-Ниф собрал 137 желудей,
Наф-Наф — на 46 желудей меньше, а Нуф-Нуф — в 2 раза боль-
ше, чем Наф-Наф.
46.9. (Загадки.) а) Следующие числа делятся на 9, отгадайте
в них размазанные цифры: 2350, 4702, 5065, 0711.
б) Младший брат Смекалкина отгадал загадки из пункта а) и
захотел придумать похожие загадки. Вот что он придумал: «Вос-
становите размазанные цифры в следующих числах, делящихся
на 3: 350, Ю2, 071». Смекалкин объяснил брату, что его за-
гадки отгадать нельзя, потому что для каждого из этих чисел мож-
(Урок 47) U1
но указать несколько цифр, с которыми оно будет делиться на 3.
Для каждого числа укажите все возможные такие цифры.
46.10. (Загадки.) а) Трехзначное число с 1-й цифрой 1 делит-
ся на 9 и на 5, но не делится на 2. Угадайте его. б) Трехзначное
число с 1-й цифрой 7 делится на 9, на 5 и на 2. Угадайте его.
^7 46.11*. Клоун придумал такой фокус: «Задумайте дву-
значное число, большее чем 12. Умножьте его на 9 и скажи-
те мне 2-ю и 3-ю цифры произведения. А я угадаю 1-ю
цифру». Объясните фокус клоуна. Попробуйте сами пока-
зать его кому-нибудь.
урок 47 Играем в математические игры
Смекалкин с младшим братом играли в такую игру:
Игра 1. 1-й игрок называет число 1. 2-й игрок при-
бавляет единицу и говорит, сколько получилось. Затем
1-й игрок к названной сумме опять прибавляет 1 и говорит
новую сумму и т. д. Выигрывает тот, кто назовет число 10.
Младший брат захотел сделать первый ход.
Как вы думаете, кто тогда выиграл?
Выиграл Смекалкин. И объяснил брату, что в этой игре
всегда выигрывает 2-й игрок. Ведь четные и нечетные
числа чередуются, поэтому 1-й игрок всегда называет не-
четные числа, а 2-й — четные. Число 10 четное, значит,
назовет его 2-й игрок.
Какой игрок выиграет в игре 1, если нужно
назвать число 13; 30; 100; 1987?
Видите, зная свойства четных и нечетных чисел, можно
сразу определить, кто выиграет в такой игре. В других иг-
рах могут пригодиться признаки делимости на какие-ни-
будь другие числа.
Вот игра, где используется признак делимости на 3.
Игра 2. 1-й игрок называет число 1 или число 2. 2-й
игрок прибавляет к названному числу по своему желанию
либо 1, либо 2 и говорит, сколько получилось. Затем 1-й
игрок к названной сумме опять прибавляет либо 1, либо 2
по своему желанию и говорит новую сумму и т. д. Выигры-
вает тот, кто назовет число 30.
Поиграйте в эту игру с кем-нибудь. Побудьте по
очереди 1-ми 2-м игроком. Кто у вас выигрывал?
Младший брат играл со Смекалкиным и первым, и вто-
рым, но оба раза проиграл. «Плохо знаешь признак
делимости на 3», — сказал Смекалкин. «При чем тут де-
143 (Урок 47)
лимость на 3?» — удивился младший брат Смекалкин
объяснил, что и в этой игре 2-й игрок всегда может вы-
играть. Для этого он должен строго придерживаться сле-
дующего правила: если 1-й игрок прибавил 1, то при-
бавлять 2; если 1-й игрок прибавил 2, то прибавлять 1»
Тогда легко проследить, что 2-й игрок будет называть вот
какой ряд чисел:
3, 6, 9, 12, 15, ....
Что это за ряд чисел? Встретится ли в нем число 30?
Это ряд чисел, кратных 3. Конечно, число 30 в нем
встретится. Значит, его назовет 2-й игрок, если будет при-
менять сформулированное правило. Но если он ошибется,
1-й игрок сможет сам называть какое-нибудь из чисел
этого ряда и выиграет, действуя далее по тому же правилу.
Когда Смекалкин назвал первым ходом число 2, младший
брат добавил 2 и получил 4. Смекалкин тут же назвал 6 и
затем выиграл.
Как же узнать, встречается ли данное число в этом
ряде? Вот тут-то и пригодится признак делимости на 3.
Определите, кто выигрывает в этой игре, если нужно
назвать число 72; 111; 207
Задания
47.1. Изменим немного условия игры 1.
• а) Пусть 1-й игрок называет первым ходом не число 1,
а число 2. Кто тогда выиграет, если в игре требуется на-
звать число 10; 55; 100?
б) 1-му игроку первым ходом разрешается назвать любое дву-
значное число. Кто тогда выиграет, если в игре требуется назвать
111; 200? Как для этого нужно играть?
47.2. а) На крайней правой клетке полоски клетчатой бума-
ги стоит фишка (см. рис. 41). За один ход каждому из двух игроков
разрешается передвинуть фишку на 1 клетку влево. Проигрывает
тот, кому некуда будет ходить. Кто в этой игре выигрывает — 1-й
игрок или 2-й, если полоска состоит из 10 клеток; из 25 клеток?
б) На крайних клетках полоски клетчатой бумаги стоят белая
и черная фишки (см. рис. 42). 1-й игрок своим ходом передвигает
белую фишку на 1 клетку вправо, а 2-й игрок — черную фишку на
1 клетку влево. Прыгать через фишку и ставить две фишки на одну
клетку запрещено. Проигрывает тот, кому некуда будет ходить.
Кто выигрывает в этой игре— 1-й игрок или 2-й, если полоска
состоит из 10 клеток; из 25 клеток?
о •
Рис. 42
Рис. 41
(Урок 48) 144
47.3. В кучке 100 камней. За один ход игроку разрешается
взять либо 1 камень, либо 3 камня. Из двух игроков выигрывает
тот, кому удастся взять последний камень.
а) 1-й игрок первым ходом взял 3 камня. Кто выиграет?
б) 1-й игрок первым ходом взял 1 камень. Кто выиграет?
47.4. а) В игру 1 стали играть три человека. 1-й игрок назы-
вает число 1; 2-й игрок прибавляет 1 к числу, названному 1-м
игроком; 3-й игрок прибавляет 1 к числу, названному 2-м игроком,
наконец, снова 1-й игрок прибавляет 1 к числу, названному 3-м
игроком, и т. д. Выигрывает тот, кто назовет число 30. Какой из
трех игроков выигрывает в этой игре? (Совет: рассмотрите ряды
чисел, которые в этой игре называют 1-й, 2-й и 3-й игроки.)
б) Из кучки камней три игрока по очереди берут по одному
камню. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Какой из
трех игроков выигрывает в этой игре, если в кучке 30 камней; 135
камней, 12 345 камней?
в)* Что похожего в решении задач из пунктов а) и б)?
47.5. а) В кучке 120 камней. За один ход разрешается взять
либо 1 камень, либо 2 камня. Игроки делают ходы по очереди. Вы-
игрывает тот, кто возьмет последний камень. Какой из двух игро-
ков выигрывает в этой игре? По какому правилу он должен
играть?
б) Изменим условие игры из пункта а), разрешив каждому
игроку брать по его желанию любое количество камней от 1 до 4
Какой из двух игроков выигрывает в такой игре? По какому прави-
лу он должен играть?
в) Изменим условие игры из пункта а), разрешив каждому иг-
року брать по его желанию любое количество камней от 1 до 5.
Какой из двух игроков выигрывает в такой игре? По какому прави-
лу он должен играть?
Урок 48 Что значит разделить с остатком
Вы знаете, что не всегда одно натуральное число делит-
ся на другое. Но всегда можно выполнить деление с остат-
ком. Что значит разделить с остатком? Чтобы ответить на
этот вопрос, решим такую задачу:
Задача. Шофер городского автобуса приступил к
работе в 7 ч, а обеденный перерыв у него начинается
в 12 ч. Один рейс автобуса длится 48 мин. Сколько рейсов
успеет сделать шофер до обеда и сколько минут у него
останется для осмотра автобуса?
Давайте рассуждать. Всего шофер до обеда прора-
ботает 5 ч, т. е. 300 мин. Требуется узнать, сколько рейсов
продолжительностью 48 мин будет сделано за это время.
Ясно, что нужно разделить 300 на 48. Выполним деление.
145 (Урок 48)
Видно, что 300 делится на 48 с остатком: 300 48
в частном получается 6, а в остатке 12. ’”288 6
12
Значит, шофер успеет сделать до обеда 6 рейсов, а на
осмотр автобуса останется 12 мин.
Если сложить время, потраченное на 6 рейсов, и вре-
мя, потраченное на осмотр автобуса, то получится все
рабочее время до обеда, т. е. 300 мин: 300 = 48-64-12.
Вообще при делении с остатком верно свойство: делимое
равно произведению делителя и частного, сложенному
с остатком.
Вот примеры:
517 |13
39 39
127
117
10
786 Ц5
~75 52
_36
30
517=13-39 4-10
786=15-52 4-6
Вспомните еще, что остаток всегда меньше делителя.
Два свойства деления с остатком, которые мы сейчас
сформулировали, позволяют дать ответ на вопрос, что
значит разделить с остатком:
РАЗДЕЛИТЬ С ОСТАТКОМ ЧИСЛО а НА ЧИСЛО b —
ЗНАЧИТ НАЙТИ ДВА ТАКИХ ЧИСЛА с И d (ЧАСТНОЕ
И ОСТАТОК), ЧТО a = b>c + d И d<b.
Вопросы и задания
48.1. Что значит разделить с остатком одно число на
другое?
48.2. Каким равенством связаны делимое, делитель,
частное и остаток?
48.3. (У) Найдите делимое, если: а) частное равно 7,
остаток равен 3, а делитель — 6; б) частное равно 11,
остаток равен 1, а делитель — 9; в) частное равно 20,
остаток равен 13, а делитель — 17.
48.4. Заполните пустые клетки таблицы:
Делимое Делитель Частное Остаток
1397 215
72 101 17
ЮЗ 215 1002
326 91 87
20 090 200 90
(Урок 49) 146
48.5. (У) а) Напомним, что в Васином классе 28 учеников.
Они построились в шеренги. Получилось несколько шеренг из
6 человек и одна неполная шеренга. Сколько получилось полных
шеренг и сколько человек в неполной шеренге?
б) Ученики Васиного класса снова построились в шеренги.
На этот раз получилось 5 одинаковых полных шеренг и одна не-
полная. Сколько человек в каждой шеренге? А в неполной?
48.6. (У) а) Бутылка кефира стоит 28 к. У Игоря есть 1 р., и
он хочет купить на эти деньги как можно больше кефира. Сколько
бутылок кефира он купит и сколько копеек сдачи получит? б) Оля
подала за 3 бутылки сливок 2 р. и получила 35 к. сдачи. Сколько
стоит одна бутылка сливок? в) Вася купил 2 баночки сметаны
по 41 к. и получил 18 к. сдачи. Сколько денег подал Вася про-
давцу?
48.7. В магазине к перерыву осталось 897 бутылок молока.
Сколько в этот момент было полных корзин (по 12 бутылок в каж-
дой) и сколько бутылок молока осталось в неполной корзине?
48.8. а) У Миши в коллекции 243 марки. Он
хочет разместить их в кляссеры. В каждый входит
36 марок. Сколько потребуется кляссеров? Ока- ЦЗЙРвУЙЕД
жется ли неполный кляссер и сколько в нем будет
марок?
б) Правление колхоза решило организовать
коллективное посещение городского театра. На
спектакль поедут 243 человека. Для поездки нужны автобусы.
В каждом автобусе 36 мест. Сколько потребуется автобусов? Ока-
жется ли неполный автобус и сколько в нем будет человек?
в) Обратите внимание на то, как похожи задачи а) и б).
Можно сказать, что они имеют одну и ту же схему и одни и те же
числа в условии. Придумайте еще похожую задачу.
Урок 49 Учимся рассуждать при решении задач.
Когда может пригодиться деление
с остатком
Задача 1. Сколько воскресений может быть в году?
Вот так задача! А где же у нее условие?
И никаких чисел тут что-то не видно.
Это только на первый взгляд не видно. Если же немно-
го подумать, то и условие с числами появится, и станет
ясно, что для решения придется применить деление с
остатком.
Давайте рассуждать. Воскресенье бывает I раз в не-
делю. Значит, надо узнать, сколько в году недель. А как
это узнать? Разделить число дней в году на 7. Вот уже
147 (Урок 49)
делитель появился. Сколько дней в году? 365 или 366
у (если год високосный). Вот появилось и делимое —
□ 365 или 366. Частное здесь равно 52 (проверьте!), а
остаток — I или 2 в зависимости от того, делим мы
365 или 366. Запишем это равенствами:
365 = 7-52+1,
366 = 7-52 + 2.
Каков же вывод? Полных недель в году 52, это 364 дня,
плюс еще 1 или 2 дня. В первых 364 днях 52 воскресенья.
Если 365-й или 366-й день — воскресенье, то всего воскре-
сений в году будет 53. Если же это какой-то другой день
недели, то их будет 52.
Задача 2. В семье чет-
веро детей: Аня, Боря, Витя,
Галя. Каждый день кто-то из
них дежурит по дому: поли-
вает цветы, вытирает пыль, вы-
носит мусор и т. п. Дети де-
журят по очереди в указанном
порядке. 1 марта дежурит Аня. а) По каким числам в мар-
те будет дежурить Аня? б) Кто будет дежурить 8, 11, 12,
30 марта?
Давайте рассуждать. Для краткости вместо имен де-
тей будем писать только их первые буквы. Тогда график
дежурства можно записать такой таблицей:
Числа 1 2 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 • - .
Дежурные А Б В I А Б
и
Заполните в этой таблице пустые клетки
во 2-й строке.
Разглядывая таблицу, легко высмотреть правило, по
которому дежурят дети.
Для буквы Г числа составляют ряд 4, 8, ... . Это числа,
кратные числу 4. Мы узнали числа, по которым дежурит
Галя. Для буквы «А» числа составляют ряд 1, 5, 9, ... .
Легко догадаться, что это как раз те числа, для которых
при делении на 4 получается остаток 1.
Продолжите запись этого ряда и укажите числа,
по которым будет дежурить Аня.
Для буквы «Б» числа составляют ряд 2, 6, 10, ... . Лег-
ко догадаться, что это как раз те числа, для которых при
делении на 4 получится остаток 2. По этим числам дежу-
рит Боря. Осталось определить числа, по которым дежу-
рит Витя.
(Урок 49)
и
□
148
Напишите ряд чисел для буквы «В». Какой
остаток получается при делении этих чисел
на 4?
Теперь можно ответить на все вопросы задачи. Как,
например, узнать, кто дежурит 30 марта? Для этого вовсе
необязательно продолжать таблицу дежурств до числа 30.
Есть более простой способ: разделить 30 на 4 и узнать
остаток. Он равен 2. Значит, 30 марта дежурит...
и
□
Заполните пропуск. Ответьте на остальные
вопросы задачи.
р
Задача 3. Юра живет в квартире № 67 пятиэтаж-
ного дома. В каждом подъезде на каждом этаже 3 квар-
тиры: в порядке возрастания номеров одна слева, одна
посередине, одна справа.
а) В каком подъезде живет Юра?
б) На каком этаже он живет?
в) Где расположена его квартира — слева, справа,
посередине?
Давайте рассуждать. Начнем с вопроса а). Сколько
подъездов, начиная с l-ro, надо пройти, чтобы попасть
в Юрин подъезд? Для этого нужно знать, сколько квар-
тир в каждом подъезде. Такую задачку решит и перво-
классник: в подъезде 15 квартир (проверьте!). Делим
67 на 15, получаем частное 4 и остаток 7. Вывод: надо
пройти 4 подъезда. Теперь на вопрос а) ответ готов: Юра
живет в 5-м подъезде.
Ответим на вопрос б). Остаток 7 показывает, какой
по счету будет квартира № 67 в 5-.м подъезде. Сколько
этажей надо пройти, чтобы попасть на Юрин этаж? Мы
знаем, что на каждом этаже 3 квартиры. Делим 7 на 3,
получаем частное 2 и остаток 1. Вывод: надо пройти 2 эта-
жа, и, значит, Юра живет на 3-м этаже.
Осталось ответить на вопрос в). Остаток 1 показыва-
ет, что на лестничной площадке Юрина квартира первая
по порядку. Значит, она расположена слева.
Видите, как полезно оказалось деление с остатком при
решении самых разных задач!
Задания
V 49.1. а) Сколько в текущем году воскресений, чет-
вергов?
б) Какой день недели в текущем году встретится
53 раза?
49.2. а) 1 января 1995 г.— воскресенье. Сколько воскресений
будет в 1995 г.? Сколько понедельников?
149 (Урок 50)
б) 1 января 2000 г.— суббота. Сколько воскресений будет в
2000 г.? Сколько понедельников? Сколько вторников?
в) Пользуясь данными из б), определите, каким днем недели
будет 1 января 2001 г.? Сколько воскресений будет в 2001 г.?
49.3. Перечитайте условие задачи 2 из объяснительного тек-
ста. Кто из детей будет дежурить: а) 1 апреля; б) 12 апреля;
в) 21 апреля; г) 30 апреля; д) 1 мая?
49.4. Перечитайте условие задачи 3 из объяснительного тек-
ста. а) (У) Какой номер имеет квартира, расположенная точно
над Юриной квартирой; точно под Юриной квартирой? б) В каком
подъезде, на каком этаже и с какой стороны расположена квар-
тира № 25; квартира № 45; квартира № 65? в) Какой номер имеет
квартира, расположенная в 3-м подъезде на 4-м этаже посереди-
не; в 4-м подъезде на 3-м этаже справа?
49.5. 1 мая — понедельник. Каким днем недели будет 8 мая,
9 мая, 11 мая, 15 мая, 20 мая, 30 мая, 1 июня?
49.6. Во вторник у учителя математики день методической
подготовки, и в этот день он уроки не ведет. В остальные рабочие
дни недели у него обязательно есть уроки. 1 февраля — понедель-
ник. Будут ли у учителя уроки 9 февраля, 15 февраля, 21 февраля,
23 февраля, 26 февраля, 1 марта?
49.7. а) В игру, объясненную в задаче 47.2 а), стали играть
трое. Каждый игрок своим ходом сдвигает фишку на одну клетку
влево. Какой из трех игроков выигрывает в этой игре, если в по-
лоске 10 клеток; 30 клеток; 50 клеток; 100 клеток?
б) Перечитайте игру, объясненную в задаче 47.4 б). Какой
из трех игроков выигрывает в этой игре, если в кучке первона-
чально 10 камней; 50 камней; 100 камней?
49.8* . Перечитайте игру 2 из урока 47. Какой из игроков выигрывает в такой
игре, если требуется назвать число 20; 40; 60; 80; 100? Сформулируйте правило,
по которому должен играть выигрывающий игрок.
49.9*. Перечитайте игры, объясненные в задаче 47.5, заменив 120 камней на
100 камней; на 1551 камень; на 2112 камней. Какой из игроков выигрывает?
Урок 50 Задания на повторение к § 5
Мы заканчиваем главу I. Вы должны были бы уже
заметить, что объяснительные тексты уроков «Задания
на повторение» к § 2—4 (т. е. уроков 25, 32, 41) были
почти одинаковыми. В них мы просто предлагали вам пе-
речитать объяснительный текст самого первого урока на
повторение — урока И. Мы надеемся, что вы уже твердо
знаете, как повторять пройденное в каждом параграфе.
Поэтому не предлагаем сейчас перечитывать объясни-
тельный текст урока 11. А в следующих уроках под назва-
нием «Задания на повторение» вообще не будет объясни-
тельного текста. Приступайте сразу к выполнению поме-
щенных в этих уроках заданий.
(Урок 50) 150
W 50.1. (У) Найдите значение числового выражения и
определите, четно оно или нечетно:
а) 6-3 + 24; в) 48:4+18; д) (25 + 27):4;
б) 27-28:4; г) 51:3 — 6; е) (101 —29):9.
50.2. (У) Посмотрите на рисунок 43.
Не подсчитывая, ответьте, четное или не-
четное количество птиц в улетающей на
юг стае.
50.3. (У) а) Если буква п обозначает
какое-то четное число, то каким будет
число п—1 —четным или нечетным (мы,
конечно, предполагаем здесь, что и>1)?
А число п —2 (здесь предполагается,
что л >2)? А число п — 3 (здесь пред-
полагается, что л>3)? б) Ответьте на
те же вопросы, если п обозначает не-
четное число.
50.4. Для повышения урожайности на
песчаных почвах применяют такое чере-
дование посевов на поле: 1-й год — рожь
и бобовое растение люпин, 2-й год —
картофель, 3-й год — только люпин, 4-й
год — только рожь. Затем все повторяет-
ся снова. Так что люпин сеют через год.
В 1987 г. на поле был посеян только
люпин, а) Будет ли в 1990 г. на этом
поле сеяться люпин? А в 1992 г.? в 1997 г.?
Рис. 43
б) Вообще в какие годы с 1987 по 2000 на этом поле будут сеять
люпин? Запишите их. в)* Из выписанных в пункте б) лет подчерк-
ните те, в которых, кроме люпина, будут сеять еще и рожь.
50.5. Перечитайте условие задачи 43.13 и вспомните номера
домов, в которых живут Витя, Гриша и Дима, и номер дома, где
расположен тир.
а) Дом, в котором находится школа, имеет номер 60. Кому из
мальчиков приходится, идя в школу, переходить на другую сторо-
ну улицы? Кто из них живет ближе всего к школе?
б) Как-то, возвращаясь из школы, мальчики зашли постре-
лять в тир. Пришлось ли им перейти дорогу? Кто из них, направ-
ляясь в тир, приближался к своему дому, а кто удалялся?
50.6. Используя цифры 1 и 2, можно написать только два дву-
значных числа, в которых эти цифры встречаются по одному разу:
12 и 21. Оба эти числа делятся на 3 (проверьте!).
а) Используя цифры 1,2 и 3, можно написать шесть трехзнач-
ных чисел, в которых каждая цифра встречается по одному разу.
Напишите их. Проверьте, что все эти числа делятся на 3. Подчерк-
ните среди них четные числа. Какие из этих шести чисел делятся
на 6?
151 (Большая перемена I)
б) Младший брат Смекалкина захотел написать все четырех-
значные числа, в записи которых по одному разу используются
цифры 1, 2, 3 и 4. Смекалкин сказал: «Таких чисел 24. Тебе потре-
буется немало времени, чтобы написать все эти числа. Лучше
напиши только те из них, которые делятся на 3». Сколько чисел
придется написать младшему брату?
50.7. (У) а) Какой цифрой оканчивается произведение
I-2-3-4-5-6-7? б) Какой цифрой оканчивается произведение
1-3-5-7-9-11•13?
50.8. (У) На сколько удалены друг от друга соседние числа
в ряде кратных: а) числа 8; б) числа 100; в) числа а?
50.9. Сколько различных прямоугольников можно выложить
из 12 спичек? Можно ли выложить прямоугольник из 11 спичек?
50.10* . Сумма трех натуральных чисел четна. Может ли про-
изведение этих чисел быть числом нечетным? (Совет: придумайте
сначала несколько примеров троек натуральных чисел с четной
суммой и найдите в каждом случае произведение, сделайте вывод
и объясните его.)
50.11* . В некотором царстве, в некотором
государстве на чудо-яблоне выросло 45 бананов
и 20 ананасов. Каждый день садовник срывает
два плода и на их месте тут же вырастает
один новый. При этом если он срывает два оди-
наковых плода, то вырастает ананас, а если два
разных — банан. Может ли последний плод,
который останется на этом дереве, оказаться
ананасом?
Большая перемена I
РИМСКИЕ ЦИФРЫ
Закончилась первая глава. Давайте устроим перед следующей гла-
вой большую перемену. Как бы немного отклонимся от основного
маршрута нашего путешествия по стране Математике. Ведь в этой
стране имеется немало интересного и полезного и помимо того, что
вы должны изучать на уроках математики. Рассказы в больших пере-
менах нашего учебника можно читать и обсуждать на занятиях мате-
матического кружка. А можно и просто читать их дома.
Начиная этот рассказ, мы хотим напомнить о позиционной де-
сятичной нумерации, которой все постоянно пользуются. В ней десять
цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Эти цифры называют арабскими, потому
что о них европейские народы узнали от арабов. А придуманы они
были (еще в шестом веке) в Индии.
Имеются и другие нумерации. Об одной из них мы здесь расска-
жем. Это римская нумерация. Ее придумали в Древнем Риме. И цифры
в ней называются римскими. В римской нумерации семь цифр: I, V,
X, L, С, D, М. Какие числа они обозначают, показывает следующая
таблица:
Римская цифра I V X С D М
Число, которое она обозначает 1 5 10 50 100 500 1000
(Большая перемена I)
152
Римская нумерация не позиционная. На каком бы месте ни стояла
цифра в записи числа, она везде обозначает одно и то же.
Число 2 римскими цифрами записывается II, число 3 записыва-
ется III. Число 4 когда-то записывали четырьмя палочками, но по-
том поняли, что это неудобно. Удобнее писать IV. Единицу слева как
бы нужно вычесть из пяти. А если единица стоит справа, то ее нужно
прибавить, так что VI обозначает число 6. Далее идет VII (прибавили
к пяти две единицы) — число 7. Потом VIII (прибавили три едини-
цы) — число 8. Прибавлять больше нельзя, четыре палочки не пишут.
Так что для числа 9 запись будет IX. Видите: единица слева от десяти,
значит, опять вычитаем. Если единица справа, то прибавляем: XI
обозначает число И.
Давайте повторим: 1V = V—I, VI — V+I,
IX = X-I, XI = X + I.
Попробуйте теперь сами записать числа
от 12 до 18 римскими цифрами.
Далее идет Х1Х = Х+1Х, т. е. 19, за ним XX, т. е. 20. Вот
первые двадцать чисел, запи-
санных римскими цифрами:
I II III IV V VI VII VIII
1 2 3 4 5 6 7 8
IX X XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX XX
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Запишем римскими цифрами еще несколько чисел:
XXI=21, XXIX = 29, ХХХ=30, XL = 40, XLI—41. Видите: в
записи XLI слева от цифры L стоит младшая цифра X, а справа —
младшая цифра I. Тогда то, что слева, вычитаем, а то, что справа,
прибавляем: 50—10+1=41.
В нашей стране и во многих других странах римскими цифрами
нередко пользуются, чтобы выделить числа с каким-то особым значе-
нием. Обычно это бывает порядковый номер чего-то крупного, важно-
го: веков, событий, глав книги и т. п. Мы пишем, например, XX век,
XXII Олимпийские игры, II глава в книге.
Очень важными событиями в жизни нашей страны являются съез-
ды Коммунистической партии Советского Союза. Их порядковые номе-
ра тоже принято записывать римскими цифрами. В 1986 г. состоял-
ся XXVII съезд КПСС. Он определил перспективы ускоренного разви-
тия нашей страны на ближайшие пятилетки.
Иногда римские цифры можно встретить в обычной обстановке,
например, па циферблатах часов.
Где приходилось встречать римские цифры вам?
А вот для сравнения чисел, для действий над числами римские
цифры неудобны. Судите сами.
В записи IV две цифры, а в записи V одна, но IV меньше, чем V.
В записях VI и IX по две цифры, и в VI первая цифра обозначает
большее число, чем I, но VI меньше, чем IX.
А давайте-ка рассмотрим, удобно ли складывать или вычитать
«столбиком» числа, записанные римскими цифрами. Вот два примера:
153
(Большая перемена I)
IX
VI
XV
XV
XI
IV
^>^0
Разве можно здесь говорить о поразрядных действиях? В первом при-
мере ведь Нельзя представить, что сумма X и I дает цифру V, а сумма
1 и V дает X, это была бы просто чепуха! Точно так же и во втором при-
мере не представишь, что разность X — X равна I.
Видите: никаких удобных правил! Поневоле оценишь преимущест-
ва удобной позиционной нумерации!
Наш рассказ подходит к концу. Чтобы вы лучше усвоили то, что
здесь рассказано, мы поступим, как и в уроках учебника: зададим
несколько вопросов и заданий. Номер каждого из них — это, как и в
уроках, два числа, только теперь первое из них записано римской
цифрой.
Вопросы и задания
1.1. Сколько цифр в римской нумерации? Напишите их.
1.2. Почему римская нумерация не является позиционной?
1.3. Не глядя в таблицу из текста урока, напишите римскими
цифрами числа от 1 до 20.
1.4. а) (У) Прочитайте числа: XXII, XXIII, XXIX, XXX, XXVIII, ХС,
XCV, XCIV, XCIX.
б) Запишите римскими цифрами следующие числа: 24, 25, 27, 31,
35, 49, 51, 55.
1.5. (У) а) Клоун предложил публике несколько числовых равенств
с римскими цифрами, слеженными из палочек (см. рис. 44).
Рис. 44
Посмотрев внимательно на свои равенства, он вдруг обнаружил, что в каж-
дом из них ровно одну палочку он положил не туда. Какую палочку и куда надо
переложить в каждом равенстве, чтобы исправить ошибки клоуна?
б) Затем он сложил несколько неравенств (см. рис. 45) и снова ровно
одну палочку положил не туда.
Какую палочку и куда надо переложить в каждом неравенстве, чтобы оно
стало верным?
в) Смекалкин, отвечая на вопросы из пунктов а) и б), обнаружил, что
в некоторых случаях палочку можно переложить разными способами. Найди-
те и вы хотя бы один такой случай.
vhbv^x xdv+v>xdx
VI+DV<X П+XVcXV
Рис. 45
Глава ДРОБНЫЕ ЧИСЛА
II ______________
§ 6. ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Вы знаете, что, кроме натуральных чисел, есть и другие
числа — дроби. Дроби возникают, когда натуральное чис-
ло делят на равные части: надвое, на три части, на десять
частей и т. д. Но мало знать, что такое дробь. Нужно
уметь сравнивать их, выполнять над дробями действия,
решать всякие задачи с дробями. Этим вы и начнете за-
ниматься в § 6.
Урок si Как единица на доли делится
Людям часто приходится делить целое на доли. Самая
известная доля — это, конечно, половина. Слова с при-
ставкой «пол» можно услышать, пожалуй, каждый день:
полчаса, полкилограмма, полбулки.
Назовите еще несколько слов с этой
приставкой.
Но есть и другие употребительные доли. Например,
четверть, десятая, сотая. Когда образуются доли? Тогда,
когда один предмет (буханка хлеба, лист бумаги) или
единица измерения (час, килограмм) делятся на рав-
ные части. Доля — это каждая из равных частей еди-
ницы. Название доли зависит от того, на сколько равных
частей разделили единицу. Разделили на две части —
название доли «половина», на три — «треть», на четы-
ре — «четверть».
А если разделить на пять частей, то что ли
«пятерть», на шесть — «шестерть»?
Таких смешных слов в русском языке нет. А чтобы
было удобно называть всякие доли, пользуются словами
«пятая», «шестая», «седьмая» и т. д. Четверти по-другому
называют четвертыми, трети — третьими, а половины —
вторыми долями.
155 (Урок 51)
Для записи любой доли используют горизонтальную
черточку. Ее называют дробной чертой. Над ней ставится
единица, а под чертой пишется число равных частей, на ко-
торые единица делится. Например, вторая, двадцать
первая, сто пятая доля записываются: . Чи-
тают: «одна вторая», «одна двадцать первая», «одна сто
пятая». Если число равных частей, на которые поделена
единица, обозначено буквой и, то эту букву и пишут под
дробной чертой: Читают: «одна энная».
Зачем нужны доли? Ответить очень просто: при изме-
рении величин часто бывает невозможно обойтись только
целыми единицами. Представьте, например, что для изме-
рения длины нам разрешили пользоваться только целыми
метрами. Как тогда мы бы смогли измерить рост чело-
века? Или спортивные результаты в прыжках? В таких
случаях пользуются сантиметрами.
Скажите, какая это доля метра — сантиметр?
А в технике часто нужны более мелкие доли метра — ты-
сячные. Они, как вы знаете, называются миллиметрами.
И более крупные доли метра бывают полезны, например
десятые.
Сколько сантиметров в — м? Как такая
доля метра называется?
Запомните:
1 мм= 1000 м 1 см = йо м , 1 дм==То м
Вопросы и задания
51.1. Что такое доля?
ж 51.2. а) Как называется тысячная доля метра? Сколько
11 миллиметров в одном метре?
б) На доли делят единицы не только длины, но и других ве-
личин. Например, лекарства в аптеке отвешивают в тысячных до-
лях грамма. Их называют миллиграммами. Один миллиграмм
записывают: 1 мг. Сколько миллиграммов в 1 г?
Т51.3. Запишите цифрами: а) одна семнадцатая; б) од-
на триста третья; в) одна десятитысячная; г) одна
в стотысячная; д) одна миллионная.
51.4. (У) Прочитайте: а) б) в) ; г)
/ ODD
1001 •
(Урок 51)
156
51.5. Придумайте три доли и запишите их на листочке словами.
Предложите соседу по парте записать их цифрами. Проверьте,
правильно ли он выполнил задание.
51.6. а) Квадрат на рисунке 46 поделен на
одинаковые квадратики. Какую долю квадрата
составляет один квадратик?
б) Рассмотрите рисунок 18, а в уроке 20. Ка-
кую долю плитки шоколада составляет одна
долька?
51.7. (У) а) Сколько миллиметров в 1 см;
в 1 дм; в 1 км? б) Сколько миллиграммов в
10 г; в 100 г; в 1 кг; в 1 т? в) Сколько граммов в
То кг’ в Гбо кг? г) Сколько килограммов в ц; в
Рис. 46
51.8. Сколько сантиметров составляет: а) м; б) м;
в) м; г) м; д) м? Запишите ответ в виде равенства.
О и о
Образец: м—50 см.
51.9. Сколько минут составляет: а) ч; б) ч; в) -С ч;
z о 4
\ 1 ч 1 \ 1 \ 1
Г) _ ч; д) т ч; е) - ч; ж) - ч?
51.10. Пионеры 5-х и 6-х классов собрали 6 ц макулатуры.
Треть всей макулатуры собрали ученики 6-го А, четверть — уче-
ники 6-го Б, восьмую долю — ученики 6-го В. На долю 5-го А
класса пришлось всей макулатуры, на долю 5-го Б класса —
и на долю 5-го В — . Сколько килограммов макулатуры
собрали ученики каждого класса?
51.11. На соревнованиях команда школы, составленная из уче-
ников 5—11-х классов, должна преодолеть дистанцию в 1 км. По-
ловину дистанции пройдет на лыжах ученик 11-го класса, четверть
пробежит на коньках десятиклассница, восьмую долю проедет на
157
(Урок 52)
роликовой доске девятиклассник. Задача восьмиклассника — про-
l _ 1
вести мяч на — пути, а ученицы 7-го класса — пропрыгать — пути
со скакалкой, Шестиклассник пробежит— дистанции в мешке, и на
чи
I
долю пятиклассника останется проползти — всего расстояния.
Сколько метров нужно преодолеть каждому ученику?
51.12. Клоун, чтобы посмешить публику, объявил ант-
ракт на суток и сказал, что в буфете продается мо-
роженое порциями по ц. Публика смеялась: ведь
всем известно, что продолжительность антракта обычно измеряют
в минутах, а массу порции мороженого — в граммах. Скажите, на
сколько минут был объявлен антракт и сколько граммов в одной
порции мороженого.
урок 52 Как из долей получаются дроби
Задача. Валя и Вера пригласили на свой день рож-
дения семерых одноклассников. Как им поделить два оди-
наковых кекса поровну на девятерых? Сколько кекса по-
лучит каждый?
Как решить эту задачу? Можно поступить так: разре-
зать каждый кекс на 9 равных частей и раздать Вале,
Вере и каждому гостю по две такие части. Тогда каждый
получит две девятых кекса.
Видите, у нас возникло число «две девятых». Это не на-
туральное число, но и не доля единицы. Это сумма двух
(Урок 52)
158
одинаковых долей. Для чисел, которые являются или до-
лями, или суммами долей, используют общее назва
ние — дробные числа. Дробные числа называют и просто
дробями.
ДРОБЬ — ЭТО ИЛИ ДОЛЯ, ИЛИ СУММА
НЕСКОЛЬКИХ ОДИНАКОВЫХ ДОЛЕЙ.
Так что число «две девятых» — это дробь. Цифрами она
записывается: —. Дробь — равна сумме двух одинако-
9 У
2 1 1
вых девятых долей: — — ——Ь —. Вот еще несколько дро-
V*
- u 1 3 4
Запишите, суммой каких долей являются
- з 4
ороои — и
Для записи дроби используют дробную черту и два на-
туральных числа. Под дробной чертой пишут знаменатель
дроби. Он показывает, из каких долей складывается
дробь. Над чертой пишется числитель дроби. Он показыва-
ет, суммой скольких долей является дробь. Например, у
дроби — знаменатель равен 4, а числитель — 3, у дро-
би — знаменатель равен 7, а числитель — 4. Читают эти
дроби так: «три четвертых» (или «три четверти»), «четы-
ре седьмых».
Запишите и прочитайте дробь с числителем 5 и
знаменателем 11. Суммой каких долей является
эта дробь? Сколько таких долей взято слагаемыми?
Вспомните, что сумму одинаковых натуральных чисел
заменяют произведением одного слагаемого на число сла-
гаемых. Точно так же можно поступать и с суммой оди-
наковых долей. Например, сумму заменяют
произведением —-3, вместо — + — + — + — пишут
у-4 и т. д. Вообще если обозначить числитель дроби бук-
вой т, а знаменатель — буквой л, то дробь равна про-
изведению доли и натурального числа пг:
159
(Урок 52)
Вопросы и задания
52.1. Что такое дробь?
52.2. Что показывает знаменатель дроби; числитель
дроби?
52.3. (У) Прочитайте записи и назовите числитель
и знаменатель каждой дроби:
х 6 . 13. . 355 . v 1000 . к 12 345
а* 10’ °' 12’ ИЗ’ Г' 1000 ’ 67890 *
52.4. Запишите дроби цифрами и представьте каждую из них
в виде суммы долей: а) две пятых; б) три восьмых; в) две со-
тых.
52.5. Запишите дроби цифрами и представьте каждую из них
в виде произведения доли и натурального числа: а) семь пятых;
б) восемь восьмых; в) сто две сотых.
52.6. Смекалкин предложил младшему брату записать цифра-
ми две дроби: а) четыре тысяча вторых; б) четыре тысячи вторых.
«Так это ведь одна и та же дробь!» — воскликнул брат. Смекалкин
объяснил брату, что тот невнимателен. Перечитайте вниматель-
но задания Смекалкина и запишите названные им дроби.
52.7. (У) Какая часть круга закрашена на рисунке 47, а, б, в?
Рис. 47
52.8. (У) Рассмотрите квадрат на рисунке 46. Какую часть
квадрата составляют а) два квадратика; б) три квадратика;
в) пять квадратиков; г) шесть квадратиков? В случаях б) и г) по-
старайтесь ответить двумя способами.
52.9. (У) Рассмотрите рисунок 18, а в уроке 20. Какую часть
плитки шоколада составляют а) две дольки; б) три дольки; в) пять
долек; г) восемь долек; д) десять долек; е) пятнадцать до-
лек?
52.10* . В некоторых из случаев а) — е) задания 52.9 ответ
можно дать несколькими способами. Укажите все такие случаи и
для каждого из них запишите дроби, дающие ответ.
52.11. Запишите дробь, у которой: а) числитель равен 23, а зна-
менатель на 21 больше; б) знаменатель равен 42, а числитель на
18 меньше.
52.12. Запишите дробь, у которой: а) числитель равен значе-
нию выражения 5883:37 — 2852:46, а знаменатель — значению вы-
ражения 43-(95 — 32): 21; б) числитель равен значению выраже-
ния 207 480:456+ 1 572 480:3456, а знаменатель — значению выра-
жения 3-(42 664 135-30 959 975): 2210.
(Урок. 53)
з
52.13. Как узнать, сколько сантиметров составляют м? Да-
вайте рассуждать. Вы знаете, что м —50 см. Формула, приве-
3 1 3
денная в конце урока, показывает: —~ —-3. Поэтому м =
= -i- м-3 = 50 см-3 = 150 см. Сколько сантиметров составляют:
а) ± м; б) | м; в) А м; г) || м; д) g м; е) g м; ж) ™ м?
4 4
52.14. Сколько граммов составляют: а) — кг; б) — кг;
.4 ч 2 .10 . 50 .
в) - кг; г) - кг; д) - кг; е) — кг?
з
52.15. Вася подсчитал, что в учебные дни он спит -у суток,
а по воскресеньям — суток. Сколько часов спит Вася в будни и в
воскресенье? Когда он спит дольше?
w 52.16. Клоун, чтобы посмешить публику, сказал, что
wfr? 9 2 т-г
пЕС рост у него км, а масса — т. Публика смеялась: всем
5000 25
было ясно, что клоун выбрал неподходящие единицы дли-
ны и массы. Скажите, каков рост клоуна в сантиметрах
и какова его масса в килограммах.
урок 53 Дроби и деление натуральных чисел
Прочитайте еще раз задачу, с которой начался преды-
дущий урок. Похожие задачи, где нужно распределить с
предметов поровну между b людьми, вам уже встреча-
лись — см. урок 22. Такие задачи решают делением и
ответ записывают в виде частного с:Ь. Точно так же и в
нашей задаче ответ можно дать в виде частного 2:9. Но
в предыдущем уроке мы записали ответ в виде дроби —.
2
Значит, — и есть частное 2:9. Получаем равенство
9
2:9 = t.
Видите, среди дробей нашлось частное при делении на-
турального числа 2 на натуральное число 9. Вообще
с помощью дробей можно записать частное при делении
любых натуральных чисел: частное при делении одного
натурального числа на другое равно дроби, числитель ко-
торой равен делимому, а знаменатель — делителю. Это же
правило можно сформулировать и короче:
161 (Урок 53)
ДРОБЬ РАВНА ЧАСТНОМУ ПРИ ДЕЛЕНИИ
ЧИСЛИТЕЛЯ НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
Если обозначить числитель дроби буквой т, а знамена-
тель — буквой и, то наше правило запишется такой фор-
мулой:
Например, 4:7 =—, 5:6 = -^- и т. д.
Что же, делимое может быть меньше делителя?
А ведь мы привыкли с помощью деления
узнавать, во сколько раз делимое больше
делителя.
Конечно, если делимое меньше делителя, то спраши-
вать, во сколько раз оно больше делителя, было бы
смешно. В таком случае спрашивают, какую часть делите-
ля составляет делимое. Например, в Васином классе 28
учеников, из них 15 девочек. Можно спросить, какую часть
класса составляют девочки? Чтобы ответить на этот воп-
рос, надо разделить 15 на 28. Получим 15: 28 = ^. От-
15
вет: девочки составляют — класса.
ZO
Подсчитайте, какую часть вашего класса
составляют девочки. А какую часть
составляют мальчики?
Не надо думать, что дроби получаются при делении
натуральных чисел только тогда, когда делимое меньше,
чем делитель. Нет, в виде дроби записывается частное при
делении любых натуральных чисел. Например, 6:5 =
= А 9«2 = — 8*4 = —
5 ’ 2 ’ 4
Но ведь 8:4 = 2! Значит, натуральное
число 2 равно дроби — ?
Совершенно верно! Можно придумать много таких при-
меров: 9:3 = 3, поэтому число 3 равно дроби —, 10:2 = 5,
поэтому 5=-у- и т. д. Вообще каждое натуральное число
а можно выразить в виде дроби, причем многими спосо-
бами — с любым знаменателем. Если выбрать знаме-
6 Учебник-собеседник
(Урок 53) 162
натель пу то числитель нужной дроби равен произве-
дению а^п.
Самый простой способ — когда п равно 1. Например,
з 5
3 = —, 5 =—. И вообще для любого натурального числа
а
а верно равенство —=а.
Вопросы и задания
ЛЬ 53.1. Какой дроби равно частное при делении одного
j натурального числа на другое? Как записать дробь в виде
частного?
53.2. Может ли натуральное число равняться дроби? Приве-
дите пример.
V53.3. (У) Объясните равенства: а) 10=^; б) 14 = -^-;
о 4
® \ 9 1 v 1024 л. х lo.tn 13 ч 7.ос 7
в) Т=1: г> -Тб-=64: д) 13:10=10; е) 7:2б = 26-
53.4. Заполните пустые клетки таблицы:
Делимое Делитель Частное Числитель Знаменатель Дробь
12 23 12:23 12 23 12 23
42 9
33:20
101 200
6 17
53.5. Периметр квадрата 7 см. Найдите длину его стороны.
53.6. Площадь прямоугольника 19 кв. см, а его длина 6 см.
Найдите ширину прямоугольника.
53.7. Два пятых класса собрали 340 кг металлолома, 5-й А
собрал 150 кг, остальное — 5-й Б. Какую часть металлолома
собрал 5-й Б?
53.8. Самостоятельная работа продолжалась 15 мин. Какую
часть урока заняла самостоятельная работа?
53.9. Содержание одного ребенка в детском саду ежегодно
обходится в 474 р., причем часть расходов берет на себя госу-
163 (Урок 54)
дарство. Какая это часть, если родителями ребенка уплачено за
год 108 р.?
53.10. Запишите: а) число 6 в виде дроби со знаменателем
5; 6) число 8 в виде дроби со знаменателем 7; в) число 1 в виде
дроби со знаменателем 10; г)* число 4 в виде дроби с числи-
телем 32; д)* число 9 в виде дроби с числителем 999.
53.11. (У) а) Смекалкин загадал младшему брату загадку:
«Дробь равна своему числителю. Чему равен ее знаменатель?»
Отгадайте эту загадку.
б) Младший брат, отгадав загадку Смекалкина, придумал по-
хожую загадку: «Дробь равна своему знаменателю. Чему равен ее
числитель?» Смекалкин объяснил, что отгадок здесь видимо-неви-
димо: 4, 9, 16 и т. д. Ведь 4-=2, ^г=4. Какой
Л о 4
числитель имеет дробь, равная своему знаменателю, если этот зна-
менатель 5, 6, 7?
в)* Как зависит от п число т, если — — п?
' п
урок 54 Сравнение дробей.
Правильные и неправильные дроби
Дробные числа, как и натуральные, можно сравнивать.
Сравним, например дроби — и — (см. рис. 48). Давайте
рассуждать. У первой дроби числитель 3, а знаменатель 4.
Значит, она равна сумме трех четвертых долей:
1 . I 1 I Л Л 5
= ——|-——Н—. А дробь — равна сумме пяти таких же
о 5 1 , 1 . 1 . 1 . 1 г
долей: — = — +-—F-r+-r + -r’ Слага-
4 4 4 4 4 4
емые во второй сумме такие же, как и в
первой, но их больше. Поэтому вторая
сумма больше первой. Мы доказали, что
5 _3_
4 4 ‘
Такими же рассуждениями дока-
4 8*
жите, что —<Z—.
Сформулируем теперь общее правило
Рис. 48
сравнения дробей с одинаковыми знаменателями:
ИЗ ДВУХ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ
больше
меньше
ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
ТА, ЧИСЛИТЕЛЬ КОТОРОЙ
больше
меньше*
(Урок 54)
164
Рис. 49
Можно сказать и так: чтобы сравнить две дроби с оди-
наковыми знаменателями, нужно сравнить только их чис-
лители.
4 3 5
Возьмем дробь — и сравним ее с дробями — и При-
3 4
меяим наше правило: раз 3<4, то — , Раз 5>4, то
-у. А чему равна сама дробь Ответ дать легко, ес-
ли вспомнить свойство дробей из прошлого урока: дробь
равна частному 4:4, т. е. единице (см. рис. 49).
4 3 5
Итак, — = 1, —< 1, — > 1. Точно так же можно прове-
4 4 4 г
рить, что, например, -у-= 1, < 1, 1. Вообще, срав-
нивать дробь с единицей помогают такие правила:
ЕСЛИ ЧИСЛИТЕЛЬ ДРОБИ РАВЕН ЗНАМЕНАТЕЛЮ,
ТО ДРОБЬ РАВНА 1.
ЕСЛИ ЧИСЛИТЕЛЬ ДРОБИ 6°J1-b.UJЗНАМЕНАТЕЛЯ,
меньше
ТО ДРОБЬ
больше
меньше
Если гп> п,
Если
Чтобы эти правила стали еще яснее, пред-
ставьте, что числитель и знаменатель дроби
соревнуются, кто сильнее, и каждый тянет
дробь в свою сторону. Числитель тянет
дробь вверх. Если он больше знаменателя,
то дробь больше чем I. А знаменатель упи-
рается и тащит дробь вниз. Если перетянет
он, то дробь меньше чем 1. Если
же числитель уравновесит знаменатель, то
дробь равна 1.
Дробь, меньшая чем 1, называется правильной. На-
пример, дроби 4”’ П"’ П пРавильные- Дробь, боль-
шая единицы или равная ей, называется неправильной.
п 4 5 7 8
Дроби —, —, —, — неправильные.
и
165 (Урок 54)
Придумайте еще несколько примеров правиль-
ных, и неправильных дробей. Для каждой дроби
объясните, почему она правильная или
неправильная.
Смекалкин спросил:
А как сравнивают дроби с разными знаменателями?
Это непростой вопрос. На него мы ответим
пока обсудим, как сравнивать доли. Какая
позднее, в 6-м классе.
доля
больше:
или
1
2
— ? Представьте, что один раз яблоко делят
на две равные части.
а в другой раз — на три. Ясно, что в первый раз получится большая
доля, чем во второй. И вообще, чем на большее число равных частей
делят единицу, тем меньшие доли получают
ИЗ ДВУХ ДОЛЕЙ ТА, У КОТОРОЙ
больше
ЗНАМЕНАТЕЛЬ
больше
меньше
Вопросы и задания
54.1. Как узнать, какая из двух дробей с одинаковыми
знаменателями больше?
54.2. Как узнать, что дробь больше единицы; мень-
ше единицы; равна единице? Как называются дроби,
меньшие чем 1? А дроби, большие единицы или равные ей?
54.3. Может ли натуральное число равняться правильной дро-
би; неправильной дроби? Ответ объясните.
О 1Q 9 3
V 54.4. (У) Сравните дроби: а) и ~ ; б) — и — ;
. 7 13 . 8 И ,1 1
В) 6 И 6 ’ 8 И 11 ’ 100 И 1000’
54.5. (У) Какие из следующих дробей правильные, а какие
3 11 4 123 355 1000 1001 999
неправильные. —, 4 » и * 45е» юоо » юоо » юоо •
54.6. Расположите числа в порядке возрастания:
2 11 1 23 6 к 4 2 5 11 17 8
9 ’ 9 ’ 9 ’ 9 ’ 9 ’ '5’5’5’ 5’ 5*5’
8 16 93 . 42 7 . г\* 1 1 1 1 1
40 ’ 40 ’ 40 ’ 1’ 40 ’ 40 ’ ' 2 ’ 8 ' 6 ’ 4 ’ 5 ’
54.7. Расположите числа в порядке убывания:
4 8 41 13 2 .
13 ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’
9 8 . 4 60 18 .
17 ’ 17 ’ 17 * 17 ’ 17 ’
166
(Урок 55)
4 — 8 42 А-
В' 9’11’9’11’9’
1 4 1
5*3’3’
54.8. а) Запишите все правильные дроби со знаменателем 5;
7. б) Запишите все неправильные дроби с числителем 4; 6.
54.9. (Загадка.) Буквой п обозначено число. Известно, что
существует ровно одна правильная дробь со знаменателем л.
Какое число обозначено буревой п?
54.10. Аня подсчитала, какую часть декабря
составили дни с различным типом погоды. Полу-
чилось, что — месяца была солнечная погода,
----пасмурная погода со снегом и —-------пас-
31 О 1
мурная погода без снега. Дней с каким типом
погоды было а) больше всего; б) меньше всего?
54.11. Мама поручила Игорю купить продукты. На хлеб Игорь
2 9 7 15
истратил — всех денег, на молоко — —, на овощи — —, а —
1 40 40 40 40
всех денег Игорь заплатил за яблоки, а) На какую покупку
Игорь истратил больше всего денег; меньше всего? б) Остались
ли у Игоря деньги после всех покупок?
54.12. (У) Клоун предложил кому-нибудь из публики поиграть с
ним в такую игру. Он называет дробь. Игрок из публики называет мень-
шую дробь. Затем клоун называет еще меньшую дробь, игрок из
публики — еще меньшую и т. д. Выигрывает тот, кто назовет дробь,
меньше которой уже дробей нет.
Объясните, можно ли выиграть в такой игре?
урок 55 как из дроби выделить целую часть
Задача. Молоко из пяти литровых бутылок нуж-
но разлить поровну в две кастрюли. Как это сделать?
Сколько литров молока будет в Каждой кастрюле?
Все ясно! Надо из каждой бутылки половину
молока вылить в одну кастрюлю, а половину —
в другую. В каждой кастрюле будет тогда — л
молока.
ддл
—J у J
лдддд
Так рассуждать можно. Но
есть и другой способ решения.
Выльем в кастрюлю две бутылки
молока целиком и еще половину
бутылки. Останутся половина бутылки и еще две полных.
Их выльем в другую кастрюлю. В каждой кастрюле бу-
дет ^2 + “-) л молока.
Каким бы способом мы ни решали задачу, количество
молока в ответе должно быть одним и тем же. Значит,
167 (Урок, 55)
5 1
выполняется равенство —=2 + —. Оно показывает, что
5
в — л молока содержатся два целых литра и еще поло-
с
вина литра. Мы записали неправильную дробь — в виде
суммы целой части (натурального числа 2) и дробной
части । правильной дроби —) .
Вот еще похожий пример. Васин рост 154 см, т. е.
154
— м. Эту же величину часто записывают так: 1 м 54 см,
54 154
т. е. 1 м + Yqq м. Здесь неправильную дробь — предста-
вили в виде суммы целой части (натурального числа 1)
и дробной части (правильной дроби
Вообще любую неправильную дробь можно предста-
вить в виде суммы целой и дробной частей. Целая часть
неправильной дроби — это натуральное число, которое
показывает, сколько целых единиц содержит дробь. Дроб-
ная часть неправильной дроби показывает, какую часть
единицы нужно добавить к целой части, чтобы получить
всю дробь. В примерах, которые мы привели, дробная
часть была правильной дробью. Но, например, непра-
вильная дробь ---равна частному 6:3, т. е. натуральному
О
числу 2. Значит, чтобы получить всю дробь —, к ее це-
о
лой части 2 ничего не нужно добавлять. Другими сло-
вами, дробная часть дроби — равна 0.
О
Итак, любую неправильную дробь можно представить
в виде суммы целой части и дробной части. Целая часть
неправильной дроби — это натуральное число, а дробная
часть — правильная дробь или число 0.
Найдем целую и дробную части дроби Чтобы
найти целую часть, нужно узнать, сколько целых единиц
содержится в одиннадцати пятых. Единица равна пяти
пятым. Значит, целых единиц в — будет столько, сколько
раз 5 содержится в 11. А чтобы узнать, сколько раз 5 со-
держится в 11, нужно разделить 11 на 5. При делении
получатся частное 2 и остаток 1. Значит, целая часть
л ю < .
дроби — равна 2, т. е. —. А остаток 1 показывает, что
к — нужно добавить еще —, чтобы получить исходные
0 0 о
(Урек 55)
168
Поэтому дробная часть дроби равна -i-.
э
Точно так же можно найти целую и дробную части
любой неправильной дроби. Правило здесь такое:
Нужно поделить с остатком числитель на знамена-
тель. Частное будет целой частью, а остаток числите-
лем дробной части. Знаменатель у дробной части оста-
ется таким же, как и у данной неправильной дроби. Если
же при делении остатка нет, то дробная часть равна
нулю.
Обычно сумму натурального числа и правильной дро-
би записывают без знака « + » как одно число: вместо
1*1 3 3
24- — пишут 2—, вместо 404-тттг пишут 40—— и т. д.
о b 100 J 100
Читают: «три целых и две пятых», «сорок целых и три
сотых». Число, записанное таким способом, называют
смешанным числом. Смешанное число — это сумма на-
турального числа и правильной дроби, записанная без
знака « + ».
Итак, неправильную дробь -У- можно записать в виде
D
П п 1
смешанного числа: —=2—.
5 5
13
Запишите в виде смешанного числа дробь —.
О
Вопросы й задания
55.1. Как найти целую и дробную части неправиль-
ной дроби?
55.2. Каким числом является целая часть непра-
вильной дроби; дробная часть неправильной дроби?
55.3. Что такое смешанное число?
55.4. Когда дробная часть неправильной дроби равна 0?
55.5. (У) Найдите целую и дробную части непра-
вильной дроби:
53
105
100 ’
10
U9 (Урок 56)
1000 . 22 . 40 . ч 19 ч 66 . , 123
1000 ’ 7 > Д) 13 ’ е) 2 ’ Ж) 11’3) I
55.6. (У) Прочитайте смешанные числа: а) 1 —; б) 3—;
4 7
»> 'O-iB-i г> 135Г;Д> 45Го' '> |ООГЙГ
55.7. Запишите цифрами смешанное число: а) пять целых
и шесть седьмых; б) десять целых и тридцать сотых; в) две-
надцать целых и сто пять тысячных; г) сто целых и двести
трехсотых.
55.8. Запишите неправильную дробь в виде суммы целой и
нпЛАг.Лй _ - х 99 355 ч 956 х 8653 . 1001
дробной частей: а) -; б) ; в) —; г) —; д) —.
55.9. Запишите неправильную дробь в виде смешанного числа:
. 41 . Л. 93 . . 156 . 318 . ,999. . 1867 . 656 . 6523
Э) 14 ’ ) 39 ’ В) 51 ’ Г) 103 ’ 200 ’ 63 ’ Ж^ 481 ’ 3) 986’
55.10. Запишите частное сначала в виде дроби, а потом в виде
27 7
смешанного числа. Образец: 27:10 =——2 — .
а) 96:13;
б) 111:11;
в) 225:19;
г) 1327:49;
д) 4563:100;
е) 17 089:1000.
55.11. Когда вы слушаете проигрыватель, пластинка делает
за 3 мин ровно 100 оборотов. Запишите в виде смешанного числа,
сколько оборотов делает пластинка за 1 мин; сколько секунд
длится каждый оборот.
55.12. В Васином классе 15 девочек. Чтобы сшить для них
школьную форму, понадобилось 27 м ткани. Сосчитайте и запи-
шите в виде смешанного числа, сколько ткани пошло на одно
платье.
55.13. Скорость пешехода Антона 4 км/ч, а скорость велоси-
педиста Ивана 20 км/ч.
| а) Сколько метров в минуту проходит Антон, проезжает
Иван?
б) На сколько метров за минуту сближаются Антон и Иван,
если Иван догоняет Антона? А если они движутся навстречу?
55.14. На прямоугольнрм участке длиной 30 м и шириной
1® м школьная производственная бригада вырастила 25 ц морко-
ви. Сколько килограммов моркови собрали с каждого квадрат-
ного метра?
Урок 56 Почему важно знать целую часть числа
Поезд-экспресс ЭР-200 преодолевает расстояние меж-
93
ду Ленинградом и Москвой за ч. Много это или мало?
56) ПО
Как рассчитать, успеет ли пассажир экспресса выспаться
в пути? Ответить на этот вопрос будет легко, если за-
писать время поездки иначе: 4 — ч. Итак, путь займет
меньше чем 5 ч, поэтому выспаться в поезде, конечно,
не удастся.
В этом примере, подсчитав, сколько целых часов со-
93
держится в — ч, мы смогли лучше оценить, сколько вре-
мени займет путь. Вообще величину неправильной дроби
оценивать легче, если записывать дробь в виде смешан-
ного числа. Тогда становится видно, сколько целых еди-
ниц эта дробь содержит. Например, неправильная дробь
— равна смешанному числу 12 — . Сразу ясно, что это
число больше, чем 12, но меньше 13. Можно записать
цепочку неравенств 12<12-~-< 13. Вот еще похожая
цепочка: 21 <21 — <22. Вообще смешанное число боль-
ше своей целой части, но меньше натурального числа,
следующего за целой частью.
Обнаруженное нами свойство позволяет легко срав-
нивать смешанные числа с разными целыми частями.
Сравним, например, числа 2— и 4—. Смешанное число
О 4
4 4- больше своей целой части 4, а смешанное число
4
2
2 — меньше числа 3, следующего за его целой частью.
О
Кроме того, 3<4. Получаем цепочку неравенств
2-|-<3<4<4-L.
Помните свойство цепочек неравенств из урока 10?
Сформулируйте его.
Соединяя знаком- < начало и конец написанной цепочки,
2 1
получим неравенство 2—<4 — . А обдумывая, как мы
о 4
его получили, приходим к такому выводу: из двух сме-
шанных чисел с разными целыми частями больше то
число, целая часть которого больше.
А когда целые части равны, наверное, нужно
сравнивать дробные части?
Конечно. Сравним, например, числа 2 4-и 2-|~- Вто-
о о
171
(Урок 56)
2 1
рое из них больше, так как —> —. И вообще, из двух
о о
смешанных чисел с одинаковыми целыми частями боль-
ше то число, дробная часть которого больше.
Повторим «одним ударом» правила сравнения сме-
шанных чисел:
ИЗ ДВУХ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ С ................Р?.?.1?.^”..
одинаковыми
ЦЕЛЫМИ ЧАСТЯМИ БОЛЬШЕ ТО ЧИСЛО, • ^ая-
дробная
ЧАСТЬ КОТОРОГО БОЛЬШЕ.
Вопросы и задания
56.1. Как сравнить смешанные числа с разными целы-
ми частями; с одинаковыми целыми частями?
56.2. (У) Повторите сформулированное в уроке пра-
вило сравнения смешанных чисел, употребляя вместо
слова «больше» слово «меньше».
56.3. (У) Между какими последовательными натуральными
числами заключено смешанное число:
а) б|;«) и£; в) 26^-; г) 7 | ?
56.4. Между какими последовательными натуральными чис-
- х 69 ..117 . 423
лами заключена неправильная дробь: а) —; б) —; в) —;
X* ж 1
V 1001 . 2487 . 5721 ~
г> -6Г : Д) Л56~ : е> Ю49- ?
56.5. (У) Сравните числа: а) 19-^- и 23-Ь; б) 7-S- и 2-Ь;
в) 5-Ь и 5-Ь; г) 14 и 14-Ь; д) 9-Ь и 10; о) 28 и 30-Ь
1LJ Ю О V О
56.6. Сравните неправильные дроби, записав их в виде сме-
.11 20 170 279 . 355 625
шанных чисел: а) — и —; 6) — и —; в) — и —;
Z d Id Zd lid did
1234 1!
567 И 6 ’
Д)*
22
— И
25
8
56.7. Сравните значения числовых выражений:
а) (43+ 157):9 и 1897:(41 4-59);
б) (108-71):23 и 4671 :(3-5);
в) 672:103 и (15 689-11 036):(231+769);
г) (122+52): 132 и 91:7:13.
(Урок 57) 172
л х 43 19
56.8. Расположите числа в порядке возрастания: а) —, —
О <J
.5 г И ,, 96 120 „ 103 1Л 7 ч 1 24 7 4 .5
4 7 , 6, 2 , ) 12 , Ц , 9, 10 , 10 ]0 ; Б) 5 , 23 , 7 , 5 - 1 23 •
„ ,, .80 100
56.9. Расположите числа в порядке убывания: а) —, —,
108 я 7 200 41 98 .« 1 . . 7 42 10 . 1 8
12 ’ 6 9 ’ U; °' 14 ’ 3 ’ 6 ’ 16 3 ’ В' 9 ’ 40 ’ 10 ’ 40 ’ 9 '
56.10. Поезд-экспресс «Красная стрела» идет от Москвы до
34
Ленинграда 2— ч. Тот же путь поезд «Аврора» преодолевает
за ч, поезд «Ленинград» — за ч, поезд «Юность» — за ч.
Какой из этих поездов самый быстрый? Запишите названия
поездов в порядке возрастания времени в пути.
56.11. Школьная бригада состоит из трех звеньев. 1-е зве-
но с площади 80 кв. м собрало 6 ц моркови, 2-е со 120 кв. м —
11 ц моркови, а 3-е со 100 кв. м — 8 ц моркови. На участке како-
го из звеньев урожайность (в кг с кв. м) была наибольшей? Рас-
положите звенья в порядке убывания урожайности их участков.
56.12. Спринтер пробегает 100 м за 10 с. Конькобежец мо-
жет преодолеть 500 м за 38 с. Велосипедист проезжает 1 км за
1 мин 3 с. Пловец проплывает 100 м за 51 с. Кто из спортсменов
развивает на дистанции наибольшую скорость (в м/с)? Распо-
ложите их в порядке возрастания скорости.
56.13. Какое наибольшее натуральное число может обозна-
чать буква п в неравенстве: а) п<.-^-\ б) n<Z——\ в) т-->гг?
г 53 46 117
Урок 57 Среднее арифметическое
натуральных чисел
Однажды Вася захотел узнать расстояние от дома
до школы. Он знал длину своего шага и решил сосчи-
тать число шагов, которые делает по дороге в школу.
Выйдя из дома, Вася начал считать шаги и у дверей шко-
лы остановился на числе 417. На обратном пути он насчи-
тал 431 шаг. «Вроде бы ни дом, ни школа не двигались
с места, а стали дальше друг от друга на целых 14 ша-
гов! — удивился Вася.— Тут что-то не так. Наверное,
я сбился при подсчете». На следующий день Вася снова
сосчитал свои шаги по дороге в школу и на пути домой.
И получил... еще два результата: 406 шагов и 426 шагов.
Тут он вконец растерялся.
А как вы думаете, почему у Васи каждый раз
получались разные результаты?
173 (Урок 57)
На самом деле ничего удивительного не произошло.
Ведь длина шага не остается все время одинаковой.
Когда идешь быстро, шаги поневоле делаются длиннее.
Когда спешить некуда, шаги становятся короче. Поэтому
на одном и том же пути в разных условиях можно на-
считать разное число шагов.
Но как тогда узнать расстояние, которое хочет
измерить Вася? Какое из его чисел нужно все-
таки взять?
Поступим так: сложим все Васины результаты и поде-
лим их на число слагаемых. Получим (417 + 431 + 406 +
+ 426):4 = 420 (шагов). Число 420 больше, чем 417 и
406, ио меньше, чем 431 и 426. Такое число шагов могло бы
получиться, если бы Вася делал все время не широкие и
не короткие, а обычные, средние шаги. Его назы-
вают средним арифметическим чисел 417, 431, 406, 426.
Вообще средним арифметическим нескольких чисел
называется частное от деления суммы этих чисел на
число слагаемых.
Если при нескольких измерениях какой-то величины
получается несколько результатов, то за значение ве-
личины обычно принимают их среднее арифметическое.
И Васе можно посоветовать принять число шагов от
дома до школы равным 420.
В нашем примере среднее арифметическое натуральных
чисел снова оказалось натуральным числом. Но так бы-
вает далеко не всегда. Подсчитаем-ка среднее арифме-
тическое чисел 12, 15 и 13:
(12Н-15Ч-13):3 = 40:3 = + -
W
Среднее арифметическое оказалось дробным числом. Не-
правильную дробь — можно заменить смешанным чис-
О
лом 13-^-. Видно, что это число больше, чем 12 и 13, но
меньше, чем 15.
Со средним арифметическим приходится встречаться
и во многих других случаях. Представьте, например,
что председателю колхоза нужны сведения об удое на
одну корову за день. Но в колхозе много коров, удои
у всех разные. Неужели составлять длинную таблицу:
от Зорьки надоили 12 л, от Ночки — Элит, д.? Как это
было бы неудобно! Поступают иначе. Весь дневной надой,
т. е. сумму удоев всех коров, делят на число ко-
ров. Что получится в частном?
Среднее арифметическое удоев всех коров!
(Урок 57) 174
Да. Или, говоря короче, средний удой. Например, если
на ферме 160 коров и от них получено за день 1760 л
молока, то средний удой составит 1760:160—11 (л).
Бывает не только средний удой, но и средние значе-
ния других величин: массы (например, капли дождя),
высоты (к примеру, дерева в лесу) и т. д. Говоря о зна-
чениях каких-то величин, люди часто имеют в виду имен-
но средние значения этих величин.
Вопросы и задания
57.1. Что называется средним арифметическим не-
£ скольких чисел?
я 57.2. (У) Найдите среднее арифметическое чисел:
f а) 8 и 10; б) 20 и 11; в) 6, 7 и 8; г) 19, 12 и 15;
о д) 5, 21, 11 и 23; е) 14, 33, 9 и 25; ж) 10, 11, 12, 13 и 14;
з) 19, 10, 7, 6 и 2.
57.3. (У) Какое из чисел больше: а) 12 или среднее ариф-
метическое чисел И и 14; б) среднее арифметическое чисел
21 и 18 или число 20; в) среднее арифметическое чисел 7 и 8
или среднее арифметическое чисел 10, 9 и 6; г) среднее ариф-
метическое чисел 19, 11 и 13 или среднее арифметическое чисел
12, 18 и 14?
57.4. Во время перемены измерьте два или три раза шагами
длину школьного коридора. Найдите среднее арифметическое
результатов ваших измерений.
57.5. (Загадки.) Найдите задуманное число, если: а) сред-
нее арифметическое числа 11 и задуманного числа равно 10;
б) среднее арифметическое чисел 12, 15 и задуманного числа
равно 13; в) среднее арифметическое чисел 22, 16, 18 и задуман-
ного числа равно 18.
57.6. Юра в течение недели запоминал, в какое время он
выходит утром из дома и в какое время приходит в школу, а
потом записывал это в тетрадь. Вот такая таблица получилась
у Юры:
День недели Поне* дельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота
Вышел из дома 7 ч 58 мин 7 ч 59 мин 7 ч 47 мин 7 ч 56 мин 7 ч 57 мин 8 ч 1 мин
Пришел в школу 8 ч 14 мин 8 ч 15 мин 8 ч 6 МИИ 8 ч 14 мин 8 ч 15 мин 8 ч 18 мин
а) Сколько времени шел Юра в школу в каждый из дней
недели? б) Сколько минут в среднем тратит Юра на дорогу?
В) (У) в один из дней недели Юра дежурил. Как вы думаете»
17S (Урок 57)
в какой? г) Составьте сами похожую таблицу. С ее помощью
подсчитайте, сколько времени в среднем уходит у вас ежедневно
на дорогу от дома до школы. Это поможет вам лучше планиро-
вать время!
57.7. Чтобы узнать массу капли, сначала взвесили пустой
стакан, а потом накапали в него 100 капель воды и взвесили
снова. Оказалось, что масса пустого стакана 55 г, а масса ста-
кана и капель 62 г. Найдите среднюю массу одной капли.
57.8. В колхозе «Луч» 165 коров. Их дневной надой вы-
везли на молокозавод в 44 бидонах, по 40 кг молока в каждом.
В колхозе «Маяк» 170 коров, а дневной надой уместился в 48 та-
ки,ч же бидонах. Найдите средний удой на одну корову в каждом
из колхозов. В каком колхозе средний удой больше?
57.9. Вася подсчитал, что средний рост мальчиков в их 5-м А
1921 2103
классе — — см, а средний рост девочек —15~ см. Кто в среднем
выше в Васином классе — мальчики или девочки? Подсчитайте
средний рост мальчиков и девочек в своем классе. Кто выше?
57.10. Средняя температура лета — это среднее арифметиче-
ское средних температур трех летних месяцев: июня, июля и ав-
густа. Заполните пустые клетки в таблице:
Город Средняя температура месяца (°C) Средняя температура лета (°C)
Июнь Июль Август
Москва 16 18 16 СП ос| ьо
Мурманск 8 12 11
Владивосток 18 20 17
Баку 23 26 25
Киев 18 20 19
Якутск 15 19 15
Ашхабад 28 31 30
Расположите города, перечисленные в таблице, в порядке
возрастания средней температуры лета.
57.11. По своему «Дневнику природы» найдите среднюю днев-
ную температуру в вашей местности в сентябре.
57.12* . Среднее арифметическое двух чисел а и Ь можно
записать буквенным выражением (а + &):2. Каким буквенным вы-
ражением можно записать среднее арифметическое трех чисел;
четырех чисел?
176
58 Сложение и вычитание дробей
Дробные числа, как и натуральные, тоже можно скла-
дывать, вычитать, умножать и делить. В 6-м классе вы
научитесь выполнять действия над любыми дробями.
А пока поговорим о сложении и вычитании дробей с оди-
наковыми знаменателями.
2
Что получится, если сложить, например, дроби — и
3 2
— ? Давайте рассуждать. Дробь — равна сумме двух
к 3
седьмых долей, а дробь —----сумме трех таких же до-
лей. Ясно, что если к двум седьмым долям прибавить
еще три такие доли, то получится пять
седьмых долей (рис. 50). Поэтому мож- >^ТГГгъ?\
2 I з 5 A DK \
но записать равенство ——/X. \ \
Такими же рассуждениями дока- /
4,6 I о
жите, что — + — = — • \у
Теперь легко догадаться, как сфор- Рис 50
мулировать общее правило сложения дро-
бей с одинаковыми знаменателями.
ЧТОБЫ НАЙТИ СУММУ ДРОБЕЙ
С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ, НУЖНО
СЛОЖИТЬ ИХ ЧИСЛИТЕЛИ И ОСТАВИТЬ ТОТ ЖЕ
ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
Если обозначить числитель одной дроби буквой а,
числитель другой — буквой Ь, а знаменатель обеих дро-
бей буквой л, то это правило можно записать формулой
а , b a -J- b
--1---— ——
п п п
Займемся теперь вычитанием дробей с одинаковыми
знаменателями. Но сначала надо вспомнить, что такое
разность.
Что такое разность чисел с и а?
Вы знаете, что разность чисел сна — это такое
число Ь, что сумма чисел а и b равна с (см. урок 14).
Как же найти, например, разность дробей — и —? Очень
3 2 5 5 3 9
просто: раз мы знаем, что ——, то ~--------------
(Урок 58)
<г 4 . 6 10 10 6 4 о
Точно так же раз,то Видно,
что знаменатель у разности остается таким же, каким
был у уменьшаемого и вычитаемого. А что происходит
с числителем, легко догадаться: ведь 2 = 5 — 3, 4 = 10 — 6.
Догадались? Тогда сформулируем правило:
ЧТОБЫ НАЙТИ РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ
С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ, НУЖНО
ИЗ ЧИСЛИТЕЛЯ УМЕНЬШАЕМОГО ВЫЧЕСТЬ
ЧИСЛИТЕЛЬ ВЫЧИТАЕМОГО И ОСТАВИТЬ ТОТ ЖЕ
ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
Если, как и выше, записать дроби с помощью букв,
то правило можно выразить такой формулой:
а b а — Ь
п п п
Вопросы и задания
б)
12
41
100
6
58.L Как найти сумму двух дробей с одинаковыми зна-
менателями?
58.2. (У)
Как найти разность двух таких дробей?
Найдите значение
8
12 7
37
10
100 ’
10 ,
23 *
63
101 ’
23
96
101
10 ’
Ю .
23 7
19 30
’ 42
141 100
100 100
23
12
42 *
60
100 ’
переместительный и
числового выражения:
з.з.з
ю ' ю ' ю ’
з
10
13
10
13 1
3 '
13 13
' 23
58.3. Вы знаете
сложения натуральных чисел. Эти законы верны и для дробных
чисел. Они помогают группировать слагаемые так, как будет
сочетательный законы
ю , ю
3 ’
удобнее. Вот пример: -—*+
1 О
13 , 30 -
30 * 13 1 30 \ 13 ' 13/ * \ 30 ‘ 30/
^-^-=2. Найдите значение выражения, используя законы
L о ои
сложения:
2
25 .
16 ’
7 Д_ 12 I 14
16 13 “Г 13
б) — + —
' 15 ’ 10
81
10 ’
9
9
8
(Урок 58)
178
58.4. Сравните значения числовых выражений:
7 . II 13 . 6
10 + 10 и 10 + 10 ’
19 10 46 33
— — **~~ ——“ и “ *—
36 36 36 36 '
57 13 21 , 22
66 66 66 ' 66 ’
41 । 6 40 19 .
15 * 15 И 7 7 ’
пХ 19 ,15 23 2
17 17 И 9 9 ’
v 56 43 37 5
е)----------и---------•
' 20 20 31 31 ’
1 27 . 19 5 31 . 50
Ж) 61 + 7 7 И 21 + 21 ’
. 67 34 15 . 3 . I
3) 18 18 И 8 10 + 8 '
7 5
58.5. Длина прямоугольника — дм, его ширина — дм. Най-
дите периметр прямоугольника.
21
58.6. В 1-й день похода туристы прошли — маршрута. Во
2-й день — на часть пути больше, чем в 1-й. А в 3-й день —
з
на — части меньше, чем во 2-й. а) Какую часть всего пути прошли
туристы за три дня? б)* Какую часть маршрута им еще предстоит
пройти?
58.7. Масса Юры составля-
ет массы Васи, масса Пе-
ти — ~ массы Васи, масса Ко-
1 о 12 * * * * * * * * * * * * * * * * *
12
ли — — массы Васи. Мальчики
хотят покачаться на качелях. Кто перетянет, если: а) на одну
сторону качелей сядут Юра и Вася, на другую — Петя и Коля;
б) на одну сторону сядут Юра и Коля, на другую — Петя и Вася;
в) на одну сторону сядут Юра и Петя, на другую — Вася и Коля?
58.8. Вася составил план, как разместить весной овощи на
пришкольном участке. Он предложил на участка посеять мор-
3 2 1 12
ковь, на 25-— редис, на ~ — свеклу, на —— укроп, а на — по-
садить картошку. Удастся ли осуществить этот план?
58.9. (У) Решите уравнение:
х . 7 16 .13 31.
а) 13 13 ’ Г) х 67 ~ 67’
9 2 ч 123 , 123
) 11 Н’ 456 ”1“Х~456 ’
1 32 । ___ 44, . 789 __ 789
В' 43‘“Х“43’ 1011 У~1011’
(Урок. 59)
179
урок so Как найти неправильную дробь,
зная ее целую и дробную части
В уроке 56 мы объяснили, почему бывает удобно запи-
сывать неправильную дробь в виде смешанного числа.
Это помогает оценить величину дроби. А выполнять дей-
ствия обычно легче с неправильными дробями. Поэтому
нужно уметь выражать смешанное число неправильной
дробью. Как это делать?
Вспомните, что смешанное число — это сумма целой
3 3
части и дробной части. Например, 2—=2 +—. Вы знаете,
что натуральное число 2 можно записать в виде дроби со
знаменателем 4. Запишем: 2=^=-А Значит, 2 + *^-—
==-|—|-А. Дроби А и А складываем по правилу из
предыдущего урока: = наш,пи непРа"
вильную дробь, равную данному смешанному числу:
9А-1!_
4 4 ’
Точно так же можно выразить неправильной дробью
смешанное число. Вот какое получается правило:
Чтобы выразить неправильной дробью смешанное чис-
ло, нужно записать целую часть в виде дроби с тем же зна-
менателем, что и знаменатель дробной части, а затем сло-
жить ее с дробной частью.
Вычисления обычно записывают цепочкой равенств.
Например:
г 6 е , 6 5-7.6 35 + 6 41
5-=5+-=—+-=—-=-г-
9
Выразите неправильной дробью 8—.
Вопросы и задания
59.1. Как выразить смешанное число неправильной
дробью?
59.2. (У) Назовите неправильную дробь, равную сме-
шанному числу: а) l-g; б) 3-^-; в) 5g; г) log; д) 7g.
59.3. Выразите неправильной дробью смешанное число:
a) 9g; б) 23g; в) 96§; г) l07g|; д)123^.
(Урок 59) <80
59.4. Выразите смешанные числа неправильными дробями
и выполните действия. (Совет: все вычисления можно запи-
сать одной цепочкой равенств. Образец: 7——j-З—=(7 + — ) +
59.5. Решите уравнение:
а) х + 2-^- = 5^-; в) 7-^--у =
б) 10А+х=ц2_; Г) 2_|_ = б-1-.
59.6. Свойства сложения и вычитания позволяют иногда вы-
полнять действия, не выражая смешанное число неправильной
дробью. Например:
6-|-+ 2-у*=(б + 4-) + (2 + - (6 + 2)+(y + т) = 8 + 4- =
Выполните действия, не выражая смешанные числа неправиль-
ными дробями:
59.7. Вася за лето поправился на 1— кг, а за осень — еще
на — кг. Сколько весит Вася, если его первоначальная масса
2
была 36— кг? На сколько граммов он поправился за лето и осень?
59.8, Клоун гастролировал в двух городах: в одном
8-|- недели, в другом на Зу- недели меньше. Сколько
всего недель гастролировал клоун? Сколько дней он про-
вел в каждом городе?
181
(Урок 60)
урок go Умножение и деление дроби
на натуральное число
Задача 1. Оля заболела. Доктор назначил ей в те-
чение недели принимать лекарство: по — таблетки 3 раза
в день. Сколько всего лекарства придется принять Оле?
Эту задачу можно решить двумя способами.
з
1-й способ. Ясно, что за день Оля примет — таб-
з
летки. Поэтому за неделю ей придется принять -у-* 7 (таб-
леток) .
2-й способ. Каждый день Оля будет принимать ле-
карство 3 раза, так что за неделю она примет его 3*7, т. е.
21 раз. Значит, всего за неделю она примет -i-*21 (таб-
леток). По формуле из урока 52 произведение доли на
21
натуральное число 21 равно дроби —. Так что получаем
21 Л
ответ: — таблетки.
4
Но как бы мы ни решали задачу, Оле придется
принять одно и то же количество лекарства. Значит, верно
равенство
з 7_2£
4 * ~ 4 ’
Приглядитесь к нему повнимательнее. В левой части запи-
з
сано произведение дроби ~ и натурального числа 7. А
4 3
дробь в правой части получается из дроби —, если умно-
жить на 7 только ее числитель 3. Другими словами,
чтобы умножить на 7 всю дробь, мы умножили на 7 ее
числитель. Обнаружили такое правило:
ЧТОБЫ УМНОЖИТЬ ДРОБЬ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО,
НУЖНО УМНОЖИТЬ НА ЭТО ЧИСЛО ЕЕ ЧИСЛИТЕЛЬ,
НЕ МЕНЯЯ ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
1Т 2 2-5 10 7 А 7-9 63
Например, Т-о = —= т, -^-9 =—=-.
Задача 2. Полбуханки хлеба разрезали на 10 рав-
ных кусков. Какую долю буханки составляет один кусок?
И эту задачу можно решить двумя способами.
1-й способ. Раз кусок получается при делении бу-
(Урок 60)
182
ханки на 10 равных частей, то его величина равна
1 чл
частному — .10.
2-й способ. Раз в половине буханки содержится
10 кусков, то в целой буханке будет 20 таких же кусков.
Поэтому каждый кусок равен буханки.
Получаем равенство
В левой части записано частное при делении дроби -i- на
натуральное число 10. А дробь в правой части получается
из дроби если умножить на 10 ее знаменатель 2.
Значит, чтобы разделить всю дробь на 10, мы умножили
на 10 ее знаменатель. Обнаружили правило:
ЧТОБЫ РАЗДЕЛИТЬ ДРОБЬ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО,
НУЖНО УМНОЖИТЬ ЕЕ ЗНАМЕНАТЕЛЬ НА ЭТО ЧИСЛО,
НЕ МЕНЯЯ ЧИСЛИТЕЛЬ.
и 2 - 2 2 7 ,п 7 7
Например, 9 .5— g 5 —45» 6 <9— 6.9 ~54-
Найденные правила умножения и деления дроби на на-
туральное число удобно записать в виде формул:
т т
п г п-р
Вопросы и задания
60.1 . Как умножить дробь на натуральное число?
60.2 . Как разделить дробь на натуральное число?
60.3 . (У) Вычислите: а) -|~9; 6) 11; в) -~100;
г) 4-(13 + 7); д) А.(42-12); е) А;7; ж) -|-:12; з) Д-:50.
60.4.
а)(~7):9;
б) (—41) :5G;
в) 87;
Найдите значение числового выражения:
г) (-|-:10,У 101; ж) 93;
д) 11:(65-38); з) j-) :54;
е) —(51+49); и) (у— Д) • 1000.
183
(Урок 60)
60.5. Сравните значения числовых выражений:
a) -L.39 + -L-31 и -L.(39 + 31);
б) -64+4-36 и 4-‘(64 + 36);
О э □
в) Т'97“Т-47 и Т’(97-47);
г) 4-51- — 49 и 4-(51-49);
О О о
д) 4- 14 + 4" 14 и (т+т)-14:
') " (+4)'29:
“> ТТ'35—гг35 7 * * * 11 (тг-1т)-35;
. 9 3 /9 3 \ ..
3) IO*4 IO*4 И \ Ю 10/’ '
Какие выводы можно сделать?
60.6. Вычислите наиболее простым способом:
а> и т47-г'47;
б> Йг67~Йг66: 4-26+4-53 + 4-21;
в) 4-23 + 4-23; е) ^7 + ^7-^7.
60.7. Выразите смешанное число неправильной дробью и вы-
полните действия: а) 7-|-6; б) Н-|— 21; в) 9^-:5; г) 7-^-:67.
У О 10 тУ
7
60.8. а) Дан квадрат со стороной — см. Найдите его пери-
о
9
метр, б) Периметр квадрата — дм. Найдите длину его стороны.
14
60.9. а) Длина прямоугольника — см, ширина 8 см. Найдите
о
площадь прямоугольника, б) Длина прямоугольника 11 дм, а его
29
площадь — кв. дм. Найдите ширину прямоугольника.
7
60.10. а) Пионеры 5-х классов собрали — ц макулатуры, а
о
пионеры 6-х классов — в 2 раза больше. Сколько макулатуры со-
брали шестиклассники? б) Ученики 10-х классов собрали -у-т ме-
таллолома, а ученики 9-х классов — в 3 раза меньше. Сколько
металлолома собрали девятиклассники?
(Урок 61)
184
60.11. а) Тихий океан занимает всей поверхности Земли,
а Атлантический океан — в 2 раза меньше Тихого. Какую часть
поверхности Земли занимает Атлантический океан? б) Австралия
и Океания занимают всей поверхности сущи, а Южная
Америка — вдвое больше, чем Австралия и Океания. Какую часть
суши занимает Южная Америка?
60.12. В шахматах за выигрыш присуждается 1 очко, за ни-
чью -----очка, за проигрыш — 0 очков.
а) Шахматист сыграл 24 партии, из них 5 выиграл и 4 проиг-
рал, а остальные свел вничью. Сколько очков он набрал?
б) В 5-м А классе состоялся шахматный турнир. Его резуль-
таты показывает следующая таблица. Заполните в ней пустые
клетки.
Участник Выиграл Проиграл Свел вничью Набрал очков Место
Вася 3 партии 4 партии 3 партии
Валя 5 партий 3 партии 2 партии
Вера 4 партии 4 партии 2 партии
Юра 1 партию 5 партий 4 партии
Игорь 6 партий 1 партию 3 партии
Коля 3 партии 5 партий 2 партии
60.13. Так же как и для натуральных чисел, среднее ариф-
метическое дробей — это частное от деления их суммы на число
1 2
слагаемых. Найдите среднее арифметическое дробей: а) — и —;
□ о
5 2 8 . х 3 7 II 15 16 25 17 23
) 7 ’ 7 И 7 ’ ) 8 ’ 8 ’ 8 И 8 ’ 11’ 16’ 11 И 16'
Урок 61 Основное свойство дроби
Вы уже замечали, что две по-разному записанные дро-
1 2
би могут быть равны между собой. Например, —= —
1 3
—=— и т. д. Как объяснить такое интересное явление?
о У
I 2
А что тут объяснять? Ведь равенства и
Л-х 1 3 4
—= — совершенно понятны, если рассмотреть
о У
рисунок 51!
185
(Урок 61)
Эти равенства, конечно, понятны. Но мы хотим обнару-
жить свойство, которое будет годиться для любых дробей.
ТЛ 1 10 23
Как, например, объяснить равенство --= . —
1UU 1UUU 4э
23 000 000
45 000 000
? Ведь рисунок с миллионами клеточек нари-
совать не удастся! Здесь без рассуждений не обойтись.
А помогут нам рассуждать правила умножения и деления
дроби на натуральное число.
Возьмем любую дробь . Умножив на натуральное
число р, мы увеличим ее в р раз. Если затем получившееся
т
произведение — -р разделить на р, т. е. уменьшить в р раз,
то снова получится исходная дробь . Сказанное можно
записать таким равенством:
Обратим внимание на произведение в скобках и применим
правило умножения дроби на натуральное число: =
m-р * т-р
А теперь разделим на р по правилу деления
дроби на натуральное число:
. Получается це-
почка равенств
(т \ т-р т-р
— р ) :р = ——:р=—
n J п п-р
Соединим в ней знаком равенства крайние выражения:
т-р-п^т,р
п 'V п-р
Сравним друг с другом равенства а) и б). Левые части
у них одинаковы, значит, и правые части должны быть
равны. Получается формула
т __т-р
п п-р '
(Урок 61)
186
Эта формула выражает такое свойство:
ЕСЛИ У ЛЮБОЙ ДРОБИ ЧИСЛИТЕЛЬ
И ЗНАМЕНАТЕЛЬ УМНОЖИТЬ НА ОДНО И ТО ЖЕ
НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО,
ТО ПОЛУЧИТСЯ РАВНАЯ ЕЙ ДРОБЬ.
Это важное свойство называют основным свойством
дроби. Пользуясь им, легко обнаружить равные друг другу
дроби. Теперь мы без труда объясним, например, почему
—= 2а вое 9ЯР.. Умножим числитель и знаменатель дроби
45 45 000 000
— на 1 000 000. Смотрите:
23 _ 23-1 000 000 _ 23 000 000
45 45 • 1 000 000 45 000 ООО '
Объясните, почему
Основное свойство дроби позволяет заменить дробь
равной ей дробью со знаменателем, кратным числу п. Это
помогает сравнивать дроби с разными знаменателями, вы-
полнять над такими дробями действия. Мы займемся всем
этим в 6-м классе.
Вопросы и задания
•у 61.1. В чем заключается основное свойство дроби?
61.2. (У) Объясните, почему равны дроби: а) — и ;
9 900 к 11 99 к 4 80 . .8 64
6} 10 И 1000’ В) 3 и 27’ Г) 5 и 100’ Д) 9 И 72 ’
\ 70 7
е' 10 000 и 1000 *
61.3. Найдите среди следующих дробей равные между собой:
х 33 5 1 11 по. 16 1 3 24 _8_. ' 81 5
3 J 42 ’ 10 ’ 2 ’ 14 ’ 20 ’ °' 18 ’ 10 > 30 ’ 27 ’ 9 ’ 99 ’ 4 ’
99 20
121 ’ 16 •
61.4. Как найти дробь со знаменателем 12, равную дроби -у?
Заметим, что 12 = 3*4, поэтому если умножить числитель и зна-
5 5*4
менатель дроби — на 4, то получится равная ей дробь —, т. е.
О О * тг
20
—, со знаменателем 12. Найдите: а) дробь со знаменателем 36,
равную дроби б) дробь со знаменателем 196, равную дроби
О тУ
187
(Урок 62)
в) дробь со знаменателем 91, равную дроби г)* дробь с числи-
телем 72, равную дроби
61.5. (У) Клоун предложил публике задачу: что боль-
К© ше — сто десятых или тысяча сотых? Публика смеялась:
всем было ясно, что эти числа равны. Объясните почему.
Как здесь можно воспользоваться основным свойством
дроби? Как то же самое можно объяснить по-другому?
Урок 62
Задания на повторение к § 6
62. L (У) а) Сколько граммов составляет кг; -i- кг;
ж
4"кг?
о
3 2 3 3 3 5
б) Сколько минут составляют — ч; — ч; — ч; —ч; —ч; — ч?
Л О 4 D О 1Z
62.2. Из задачи 52.15 вы знаете, что в учебные дни Вася
з с 1 1
спит — суток. Еще -т- суток он занят в школе, — суток делает до-
О О 1
машние задания, столько же времени помогает по дому, суток
С 4
тратит на еду. Все оставшееся время Вася свободен. Сколько ча-
сов в сутки Вася свободен? Какую часть суток составляет его
свободное время?
62.3. Сравните значения числовых выражений:
62.4. а) Известно, что дробь правильная. Запишите все чис-
ла, которые может обозначать буква т. б) Известно, что дробь
(Урок 62) 188
— неправильная. Запишите все числа, которые может обозначать
буква п.
62.5. (Загадки.) а) Буквой т обозначено число. Известно,
что существует только одна неправильная дробь с числите*
лем т. Какое число обозначено буквой т? б) Отгадайте, какое
число обозначено буквой и, если известно, что существуют ровно
две правильные дроби со знаменателем, равным п.
62.6. Решите уравнение:
а) х-7 = ^-; г) х:21=^-; ж) х:5 = 4-Ь; к) 3-х—у-=у-;
б) д) х-3 = 3-Ь; з) х:8 = 3-^; л) х:6+~=-?-;
в) х:9=-Ь е) х.9=11^-; и) 5-х—м) х:9+|—
62.7. Витя, Гриша и Дима зашли
пострелять в тир. Витя стрелял 4 ра-
за и выбил 7, 6, 3 и 8 очков, Гри-
ша стрелял трижды и выбил 1, 5 и
9 очков, а Дима пятью выстрелами
выбил 7, 4, 6, 3 и 5 очков. Ребята
заспорили, кто из них самый мет-
кий. Дима говорил, что он выбил
самую большую сумму очков: 25.
Гриша утверждал, что он сделал
самый меткий выстрел: выбил 9 оч-
ков. В конце концов, друзья решили
подсчитать, сколько очков каждый
выбил в среднем одним выстрелом.
Сравните средние результаты Вити, Гриши и Димы и определи-
те, кто из них самый меткий.
62.8. Какое наименьшее натуральное число может обозначать
буква л, чтобы следующее неравенство было верным: а) п> —;
I
365 ч 1676 . 10 111 „
б) В) П>-[ТГ; Г)
62.9. (Загадка.) Задумано натуральное число. Среднее ариф-
метическое этого числа и числа, следующего за ним в натураль-
ном ряде, равно 7-^-. Какое число задумано?
62.10. В задаче 55.13 вы узнали, сколько метров в минуту
проходит Антон и проезжает Иван. Антон и Иван одновремен-
но отправились из одного пункта в одном направлении, а) Сколько
метров пройдет Антон за 7 мин; за 9 мин? б) Сколько метров прое-
дет Иван за 6 мин; за 8 мин? в) Какое расстояние будет между
Антоном и Иваном через 10 мин; через 15 мин?
189 (Урок 63)
62.11. Следующие числа представьте в виде суммы разрядных
слагаемых, назовите самый старший разряд и самый младший не-
нулевой разряд: а) 90 668; б) 301 240; в) 501 900; г) 1 000 000.
§ 7. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Вы уже познакомились с дробями. В записи каждой
дроби участвуют два натуральных числа. Поэтому выпол-
нять действия над дробными числами немного труднее, чем
над натуральными числами. Но есть дроби, действовать с
которыми почти так же легко, как и с натуральны-
ми числами. Это дроби, знаменатель которых равен степе-
ни числа 10. Такие дроби называют десятичными. О том,
как записывать десятичные дроби удобным способом и как
выполнять над ними действия, мы и расскажем в этом па-
раграфе.
Урок 63 Что такое десятичная дробь
Наша нумерация десятичная. Такое название произош-
ло от правила: единица каждого разряда в 10 раз больше
единицы предыдущего младшего разряда (см. урок 6).
А как применить это правим к разряду
единиц? Ведь для него нет младшего разряда!
и
□
Да, разряд единиц — самый младший в записи нату-
ральных чисел. Но правило к нему применить удастся, ес-
ли мы будем иметь дело и с дробными числами. Давайте-
ка порассуждаем. Единица предшествующего младшего
разряда должна быть в 10 раз меньше единицы каждого
разряда. Что в 10 раз меньше чем 1? Дробь -^j-.
Вот люди и договорились правее разряда единиц по-
мещать разряд десятых долей. А чтобы указать, где кон-
чаются единицы и начинаются десятые доли, перед деся-
тыми долями ставят запятую.
Например, запись 34,2 обозначает число 34-^-. Число
5-^- можно записать: 5,9.
Скажите, какое число обозначает запись
67,1; 88,8. Запишите, применяя запятую,
числа 6-Ь, 101-Ь.
Разряды справа от запятой можно продолжать и даль-
ше. Что будет обозначать единица второго такого раз-
ряда? Чтобы сохранялось правило, она должна быть в 10
(Урок 63) 190
раз меньше чем Значит, это -^-:10, т. е. —. Единица
третьего разряда после запятой— это 10, т. е. .
Итак,
1-й разряд после запятой — десятые доли,
2-й разряд после запятой — сотые доли,
3-й разряд после запятой — тысячные доли.
4^ Какие доли записываются единицами 4, 5 и 6-го раз-
ш рядов после запятой?
Дробь, записанную с помощью цифр и запятой, назы-
вают десятичной дробью, дробь, записанную с помощью
дробной черты, называют обыкновенной дробью.
Как и натуральные числа, всякую десятичную дробь
можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.
Например,
27.8056-20 + 7+-^+-^+-^
В следующей таблице мы изобразили несколько первых
разрядов после запятой и записали в нее цифры, обозна-
чающие разрядные слагаемые числа 27,8056.
Разряды целой части числа Разряды дробной части числа
инхоэ десятки единицы десятые сотые тысячные десятитысячные 1 стотысячные । миллионные десятимиллионные стомиллионные миллиардные
2 7 8 5 6
и» Перерисуйте эту таблицу в тетрадь.
° Какое число обозначает, например, запись 7,63? Чтобы
понять это, нужно представить 7,63 в виде суммы разряд-
-7 со -7 I 6 | 3 IJ 6 60
ных слагаемых: 7.63 = 7+-+-. Но —=—
урок 61), так что 7,63 = 7 + ^ + ^. Значит, 7,63 и
7 63
7—— это две записи одного и того же числа.
Мы только что записали десятичную дробь 7,63 в виде
(см.
(Урок 63)
63
обыкновенной дроби 7—. Вообще можно сформулиро-
о
вать такое правило:
Чтобы десятичную дробь записать в виде обыкно-
венной дроби, нужно:
1) то, что стоит до запятой, записать целой частью
числа;
2) то, что стоит после запятой, записать в числитель
дробной части, а в знаменатель записать единицу и столько
нулей, сколько цифр после запятой.
Десятичную дробь и читают так же, как обыкновен-
ную. Например, 7,63 — семь целых шестьдесят три сотых;
0,107 — нуль целых сто семь тысячных; 3,005 — три целых
пять тысячных.
В наше время хорошими помощника-
ми человека являются вычислительные
машины. Самая простая из них — микро-
калькулятор (см. рис. 52). Если его вклю-
чить, на индикаторе высветится 0. Нажи-
мая клавиши с цифрами, можно на инди-
каторе набрать натуральное число. Если
нажать клавишу С , то число исчезнет
и снова появится 0.
Наберите число 123; 258; 6037;
93 456 732.
и
п
Как же набрать дробное число? Обыкновенную дробь
набрать на большинстве микрокалькуляторов невозмож-
но: ведь у нее есть и числитель, и знаменатель, а на
индикаторе помещается только одно число. Поэтому при
расчетах на микрокалькуляторе используют десятичные
дроби. Чтобы набрать десятичную дробь, нужно после на-
бора цело:! части нажать клавишу с изображением точки.
В вычислительных машинах всегда используется точка
вместо запятой. Поэтому сейчас в научных и технических
книгах для записи десятичных дробей нередко пользуются
не запятой, а точкой.
Наберите число 65,17; 70,813, 0,438;
0,00102. Наберите какую-нибудь десятичную
дробь, покажите индикатор соседу по парте,
пусть он прочитает набранное вами число.
Проверьте, правильно ли он прочитал.
Вопросы и задания
63.1. Какая дробь называется десятичной?
63.2. Какая дробь называется обыкновенной?
(Урок 63) 1М
63.3. Как десятичную дробь записать в виде обыкновенной?
63.4. Какой знак используется в микрокалькуляторе вместо
запятой?
3 63.5. а) Запишите следующие числа в таблицу разря-
• дов: 16,28; 4,1; 13,013; 7,2056; 100,001; 202,02; 23,7648;
4,00008. Назовите самый старший и самый младший раз-
ряд у каждого из этих чисел, прочитайте числа.
б) (У) Назовите самый старший и самый младший разряды у
каждого из следующих чисел: 65,18; 9,03; 4,0404; 7,01; 7,001;
7,0001; 6,0277. Прочитайте числа.
в) (У) Прочитайте числа: 3,1415; 31,415; 0,31415; 0,031415;
3,14150; 0,314150; 3,01415; 3,01040105.
63.6. Запишите числа в виде десятичных дробей: а) две це-
лые семь десятых; 6) одна целая тридцать семь сотых; в) двад-
цать целых тридцать семь тысячных; г) нуль целых тридцать семь
тысячных; д) семь целых триста семь тысячных; е) девяносто
целых триста семьдесят тысячных; ж) нуль целых одна десятиты-
сячная; з) одна целая семь миллионных.
63.7. Запишите десятичную дробь в виде суммы разрядных
слагаемых: а) 63,712; б) 808,08; в) 80,888; г) 8,08080; д) 8,080800;
е) 0,1; ж) 0,01; з) 0,0305; и) 0,000009.
63.8. (У) Вычислите и результат скажите десятичной дробью:
а) 70 + 7 +—+— ; г) 5 + —+ ; ж) —++ 1000 I
б) 80 +—; д) 40Ч-—; з) 10Q0 ;
в) 30 + 6 + ^-+-^, е) 2+-[оо-Ч 10000 i и) Лоо+ 1Ооо + 10000
63.9. Прочитайте десятичные дроби и запишите их в виде
обыкновенных дробей: 1,7; 37,56; 0,3; 0,03; 0,003; 0,61; 0,061;
0,0061; 37,00403; 20,78; 0,02078; 100,001.
63.10. Запишите числа в виде десятичных дробей:
7 7 7
а' 10 ' 100 ’ 1000 ’ 10 000 *
17 239 8453
6} 10 ’ 100 ’ 1000 ’ 10 000 ’
\ 43 513 417 5123 7029
д) 10. 10 ’ 100 ’ 1000 ’ 1000 ’
9 41 103
100 ’ 1000 ’ 100 000 ’
г) 17-Ц-; Ю—; 5-^-;
10 ’ 100 ’ 100 ’ 1000 ’
7009
1000 ’
63.11. а) Перепишите в тетрадь соотношения между единица-
ми массы, заполнив пропуски десятичными дробями по следую-
щему образцу: 1 г — 0,001 кг.
1 кг = ... ц; 1 кг = ... т; 1 ц—... т;
мг =
мг—...
1 мг = ... ц.
б) Выразите в тоннах и запишите десятичной дробью: 2 кг,
25 кг, 257 кг, 2 т 573 кг, 25 ц 73 кг.
193 (Урок 64)
в) Выразите в центнерах и запишите десятичной дробью:
7 кг, 48 кг, 623 кг, 6 ц 23 кг, 17 ц 5 кг.
63.12. а) Перепишите в тетрадь соотношения между единицами
длины, заполнив пропуски десятичными дробями по следующему
образцу: 1 см —0,01 м.
1 мм = ... м; 1 дм = ... м; 1 мм = ... см;
1 см = ... км; 1 мм = ... мм; 1 м = ... км.
б) Выразите в метрах и запишите десятичной дробью: 3 см,
47 см, 572 см, 5 м 72 см, 57 дм, 57 дм 2 см, 3 м 9 см, 2 м 5 мм.
в) Выразите в километрах и запишите десятичной дробью:
8 м, 8 дм, 8 см, 8 мм, 5 м 3 см, 1 км 63 м 24 см.
63.13. Клоун придумал для выступления 4 равенства с
обыкновенными и десятичными дробями. Левые и правые
части этих равенств он написал на отдельных карточках:
левая часть каждого равенства — десятичная дробь, пра-
вая — то же число, записанное обыкновенной дробью. Вот
эти карточки:
0,24
24
1000
3,076
24
100
Выйдя к публике, он вдруг забыл, какие из этих дробей
равны. Перерисуйте эти карточки в тетрадь, соединив знаком « = »
дроби, обозначающие одно и то же число.
урок 64 Когда десятичные дроби равны
Рассмотрим три десятичные дроби: 3,702, 3,7020
и 3,70200. Чем они отличаются друг от друга? Только
количеством нулей в конце записи. А какие числа они обоз-
начают? Чтобы выяснить это, нужно, как вы знаете из
прошлого урока, записать для каждой из дробей сумму
7 2
разрядных слагаемых. Запишем: 3,702 —ЗН-—-|-у^;
3.7020 = 3+-^+-^; 3,70200 = 3+-^+-А. Посмот-
рите, во всех равенствах справа написана одна и та же
сумма. Значит, все три дроби обозначают одно и то же
число 3 10W)'. Иначе говорят, эти три дроби равны: 3,702=
=3,7020=3,70200. Какие же свойства мы обнаружили?
Вот какие:
ЕСЛИ К ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ ПРИПИСАТЬ
СПРАВА НЕСКОЛЬКО НУЛЕЙ, ТО ПОЛУЧИТСЯ
РАВНАЯ ЕЙ ДРОБЬ.
7 Учебник-собеседник
(Урок 64) 194
ЕСЛИ В ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ ПОСЛЕДНИЕ
ЦИФРЫ ПОСЛЕ ЗАПЯТОЙ — НУЛИ, ТО ПОСЛЕ ИХ
ВЫЧЕРКИВАНИЯ ПОЛУЧИТСЯ РАВНАЯ ЕЙ ДРОБЬ
Первое из этих свойств позволяет и любое натуральное
число записать десятичной дробью. Для этого надо после
разряда единиц поставить запятую и написать столь*
ко нулей, сколько нужно. Например, 23 = 23,0 = 23,00 =
= 23,000 и т д.
Вопросы и задания
64.1. К десятичной дроби приписаны справа несколько
и нулей. Равна ли полученная дробь первоначальной?
64.2. У десятичной дроби вычеркнули несколько последних
нулей после запятой. Равна ли полученная дробь первоначаль-
ной?
V64.3. (У) Объясните, почему верны равенства: 0,850 =
= 0,85; 4,2 = 4,200; 3,600 = 3,60; 0,720 = 0,7200.
64.4. Даны дроби: 2,7; 0,850; 60,37. Для каждой из них среди
следующих дробей выберите равные ей дроби: 2,700; 60,370;
6,037; 0,85; 2,70; 0,8500; 0,0850; 60,3700. Результат запишите
равенствами по образцу: 2,7=2,700 = 2,70.
64.5. а) Даны дроби: 2,8; 13,54; 0,6; 28,315. Для каждой
из них запишите равную ей десятичную дробь с тремя знаками
после запятой, б) Даны дроби: 7,28; 13,6; 2,571, 0,62 По образ-
цу задания а) уравняйте в них число знаков после запятой,
в) Выполните то же задание для чисел 6,315; 8,4; 0,02;
20,3; 0,009; 14
64.6. Прочитайте десятичные дроби. Затем перенесите запятую
на один разряд влево и прочитайте получившиеся числа.
а) 16,47; в) 103,1, д) 300,003; ж) 50,107,
б) 20,309; г) 68,002; е) 12,3456; з) 23,6984.
64.7. В дробях а) — з) из 64.6 перенесите запятую на один
разряд вправо и прочитайте получившиеся числа.
64.8. Запишите натуральные числа в виде десятичных дро-
бей, а затем перенесите запятую на один разряд влево. Прочи-
тайте получившиеся числа. Образец: 17=17,0; 1,70=1,7.
а) 235; 62; 513; 78; б) 180; 600; 30; 270.
Скажите, во сколько раз уменьшилось каждое число из б) после
перенесения запятой.
1см
64.9. а) Перепишите в тетрадь соотношения
между единицами площади, заполнив пропуски
десятичными дробями по следующему образцу:
1 кв. мм = 0,01 кв. см (см. рис. 53).
1 кв. см = ... кв. м; 1 кв. мм = . .. кв. дм;
1 кв. см = ... кв. Дм, 1 кв. мм = . .. кв. м;
1 кв. дм = ... кв. м; 1 кв. м = ... кв. км.
Рис. 53
195 (Урок 65)
б) Выразите в квадратных метрах и запишите в виде деся-
тичных дробей: 7 кв. см; 73 кв. см; 734 кв. см; 8675 кв. см; 8 кв. м;
13 кв. см; 813 кв. дм.
в) Выразите в квадратных сантиметрах и запишите в виде
десятичных дробей: 8 кв. мм; 84 кв. мм; 843 кв. мм; 40 кв. мм;
3 кв. см; 5 кв. мм.
64.10. Запишите в порядке возрастания все трехзначные
числа, которые начинаются цифрой 4 и заканчиваются цифрой 7.
Урок 65 Сравнение десятичных дробей
В записи десятичных дробей, как и в записи нату-
ральных чисел, важно то, какую позицию занимает циф-
ра. Вспомните, как мы сравнивали натуральные числа
(см. урок 8). Так вот, сравнивая десятичные дроби, снова
можно представить, что одноименные разряды «соревну-
ются», чье разрядное слагаемое больше: единицы с еди-
ницами, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т. д. Срав-
ним, например, числа 37,634 и 37,628. Цифры в раз-
рядах десятков, единиц и десятых долей у них одина-
ковые. Смотрим тогда на разряд сотых. У первого числа
сотых долей больше, значит, и само оно больше:
37,654>37,628.
Сравните числа 5,38 и 5,29; 0,73 и 0,76; 23,514
и 24,279; 16,737 и 9,859.
Мы сравнивали числа с одинаковым количеством
цифр после запятой. А как быть, если этих цифр разное
количество? Как, например, сравнить числа 6,27 и 6,2499?
Очень просто. Вы уже знаете, что к десятичной дроби
всегда можно приписать справа столько нулей, сколько
нужно. В данном случае припишем к дроби 6,27 два ну-
ля: 6,27 = 6,2700. Мы получили десятичную дробь с та-
ким же числом цифр после запятой, как и у дроби 6,2499.
Какая дробь больше? Ясно, что 6,2700. Значит, 6,27>
>6,2499. Конечно, эти нули писать необязательно. Обыч-
но их представляют мысленно. Вот примеры:
638,470354276
638Д7035377628
0,07238567832
0.07238567832024
Цифры в
одноименных
разрядах
одинаковы
Сразу видно,
что второе
число меньше
Цифры в
одноименных
разрядах
одинаковы
t
Сразу видно,
что второе
число больше
(Урок 65)
196
Значит, при сравнении десятичных дробей пользуются
тем же правилом, что и для натуральных чисел: деся-
тичные дроби сравнивают поразрядно, начиная со стар-
шего разряда.
Вопросы и задания
65.1. Что значит сравнить два числа? Какими Mare-
s' магическими знаками записывается результат сравнения?
V65.2. Как сравнивают десятичные дроби?
65.3. Сравните числа:
а) 6,31 и 17,28; д) 0,0302 и 0,0032; и) 0,5 и 0,49;
б) 6,837 и 6,829; е) 0,025 и 0,035; к) 0,4607 и 0,4617;
в) 43,24 и 43,172; ж) 5,025 и 5,03; л) 6,001 и 6,01;
г) 0,527 и 0,572; з) 16,2302 и 12,23; м) 1,82 и 18,2.
65.4. В таблице приведены данные о пассажирских самолетах
в порядке введения их в эксплуатацию:
Марка самолета Год Скорость (км/мия) Число пассажиров Средняя дальность полета (тыс. км)
Ту-154 1970 15,83 158 6,6
Ил-62 1972 16,67 197 10,3
Ту-144 1975 41,67 121 6,5
Ил-86 1975 16,33 350 4,2
Як-42 1984 13,67 118 2,9
Запишите марки самолетов в порядке убывания: а) ско-
ростей; б) числа пассажиров; в) средней дальности полета.
197 (Урок 65)
65.5. Цепочку из двух неравенств называют двойным не-
равенством. Вот примеры двойных неравенств: 6,3<6,47<7,2;
18,5>18>17,6.
Вставьте вместо многоточия какое-нибудь число так, чтобы
было верно двойное неравенство:
а) 2,2<...<2,4; г) 2,4<„-<2,5;
б) 0,864>...>0,81; д) 0,19>...>0,18;
в) 23,465<...<24,465; е) 6,7>...>6,699.
65.6 . О числе b говорят, что оно стоит между числами
а и с, если справедливо двойное неравенство a<fe<c. Какое
натуральное число стоит между числами: а) 18 и 20; б) 7,3
и 8,5; в) 33 и 34,3; г) 99,9 и 101; д) 0,23 и 1,7?
65.7 . Сколько натуральных чисел стоит между числами:
а) 3,7 и 6,6; б) 18,2 и 19,8; в) 43 и 45,42; г) 15 и 18?
65.8 . Между какими соседними натуральными числами стоит
число: а)8,4; 6)16,376; в)99,5; г) 83,17; д) 100,001?
65.9 . Смекалкин придумал примеры на сравнение чисел с
размазанными цифрами (о том, как они возникли, см. 8.9 и 8.10):
а) 2,01 <2,02; г) 1,892< 1,00765;
б) 6,413>6,408; д) 4,5О8>4,593;
в) 0,39826<0,3О845; е)* 50,683 <50,6<> 1.
Восстановите размазанные цифры.
65.10 . Не восстанавливая размазанные цифры, поставьте
нужные знаки < и > между числами в следующих парах:
а) 4,300 и 4,700; г) 0,000 и 00,00;
б) 00,412 и 0,90; д)* 95,00 0 и 04,030.
в) 0,742 и 0,7410 0;
Ответ объясните.
65.11 . (У) Какой знак надо поставить между цифрами 3
и 4, чтобы получилось число, большее трех, но меньшее четырех?
65.12 . Выразите величины в одинаковых единицах измере-
ния, а затем сравните их между собой: а) 6,7 и 6690 мм;
б) 18,34 кг и 243,6 г; в) 7,3 дм и 8,6 см; г) 83,62 ц и 8,362 т;
д) 74,38 см и 693,7 мм.
65.13 . Найдите значение числового выражения, выполнив
действия в наиболее удобном порядке:
а) 7982+ (212 6184-71 717);
б) 865+(1097+1135);
в) (13 256 + 80 719) + 26 744;
г) (3057+11 147)+ 6943.
Объясните, какими свойствами сложе-
ния вы воспользовались.
65.14. Токарю нужно выточить де-
таль, имеющую две части (рис. 54).
Рис. 54
(Урок 66) 198
Длина одной из них 15,7 см, а другой 13,2 см. Найдите длину
заготовки, выразив сначала длину каждой части в миллиметрах.
Ответ запишите в сантиметрах
65.15. (У) Клоун утверждал
а) 3,7 меньше, чем 3,278 Ведь в первом числе цифр
SWU меньше, чем во втором,
б) 25,63 равно 2,563. Ведь у них одни и те же цифры
идут в одном и том же порядке.
Публика смеялась: всем было ясно, что клоун не учитывает
положение запятой в записи десятичных дробей. Исправьте
утверждения клоуна.
Урок 66 Сложение и вычитание
Задача. Деталь имеет две части (рис. 54). Длина
одной из них 15,7 см, длина другой 13,2 см. Какую
длину должна иметь заготовка?
Вы решали эту задачу (см. 65.14), выражая длины
в миллиметрах. В ответе получилось 28,9 (см). Но длина
заготовки равна сумме 15,7+13,2 (см) Значит, верно
равенство 15,7+13,2=28,9
Легко заметить, что сложение здесь выполняется
поразрядно: десятки складываются с десятками, едини-
цы — с единицами, десятые доли — с десятыми Если бы
были сотые доли, то их тоже складывали бы друг с другом.
Например, 15,73+13,24=28,97 Тысячные доли склады-
ваются с тысячными и т. д
Найдите сумму 15,732 и 13,246.
И вообще, сложение десятичных дробей выполняется
поразрядно, начиная с младшего разряда.
Как сложить десятичные дроби с разным числом
знаков после запятой? Для этого к дроби с меньшим
числом таких знаков приписывают нули. Например,
3,75+2,1463=3,7500+2,1463=5,8963. Эти нули обычно не
пишут, а представляют мысленно.
Правило поразрядного сложения позволяет склады-
вать десятичные дроби точно так же, как и натураль-
ные числа,— «столбиком». Надо только внимательно
писать числа, чтобы одноименные разряды оказались
друг под другом. Тогда и запятые в записях дробей обя-
зательно окажутся друг под другом. Например:
,46,4212 3,78 2,346 ,0,0714. 417
41,2627’ +14,172’ + 0,247 ' 0.052 ’ 3,56
87^6839 17,952 2^93 0,1234 420,56
Видите, и при сложении десятичных дробей может
происходить перенос одной единицы в следующий разряд.
199 (Урок 66)
Вычитание - действие, обратное сложению. Поэтому
поразрядный способ сложения десятичных дробей подска-
зывает нам, что вычитание можно тоже выполнить пораз-
рядно, начиная с младших разрядов. Например:
__ 87,6839
41,2627
46,4212
Если в уменьшаемом и вычитаемом разное количество
знаков после запятой, то их число надо уравнять, приписав
нужное количество нулей. Например, чтобы вычислить 3,7 —
—1,814, запишем:
3,700
1,814
1,886
Повторим теперь, как складываются и вычитаются де-
сятичные дроби «столбиком»:
.. сложить две десятичные дроби
Чтобы ................................... «столби-
вычесть одну десятичную дробь из другой
ком», нужно:
1) подписать одну дробь под другой так, чтобы цифры
одноименных разрядов были точно друг под другом (тогда
запятая окажется под запятой);
сложить
2) дроби поразрядно;
вычесть
3) в полученном результате поставить запятую под за-
пятыми обеих дробей.
Итак, сложение и вычитание выполняются над десятич-
ными дробями точно так же, как и над натуральными чис-
лами. Поэтому свойства сложения и вычитания, сформули-
рованные в уроках 33 и 34 для натуральных чисел, верны и
для десятичных дробей.
Какие законы сложения вы знаете?
Сформулируйте их.
Для сложения это переместительный и сочетательный
законы. Часто они помогают легче находить сумму деся-
тичных дробей. Например, (37,8 +1,836)+0,364 = 37,8 +
+ (1,836 + 0,364) = 37,8 + 2,2 = 40.
Вопросы и задания
66.1. Как складываются и вычитаются десятичные
дроби?
66.2. Как называются компоненты сложения и резуль-
(Урок 66)
200
тат? Как называются компоненты вычитания и результат? Что
такое разность двух чисел? Как проверить правильность выпол-
ненного вычитания?
66.3. Какие совместные свойства сложения и вычитания чисел
вы знаете?
66.4. (У) Глядя на равенство 20,64-3,7=24,3, ска
жите, не вычисляя, чему равна разность 24,3 — 3,7.
66.5. (У) Выполните действие:
а) 3,7 + 1,1;
б) 1,42+0,33;
в) 1,42+3,3;
г) 7,53+2,46;
д) 0,98 + 0,02;
е) 3,7+ 1,7;
ж) 7,55 + 2,46;
з) 0,033 + 0,167;
и) 6,9 —2,3;
к) 2,87—0,64;
н) 10—0,25;
о) 6,2-2,3;
л) 68,3-23,3;
м) 0,84 — 0,52;
66.6. (У) Найдите сумму:
а) 7,8 + 0,1; г) 0,25 + 0,1;
б) 7,8+0,2; д) 0,25+0,01;
в) 7,8 + 0,7; е) 0,25 + 0,001;
п) 2,37 — 0,64;
р) 68,3—23,8;
с) 10—7,77;
т) 0,84-0,25.
ж) 0 + 0,57;
з) 23,629 + 0;
и) 3,456+1.
66.7. Вычислите:
а) _9,673. б) _476,02 . в) _412
0,545’ 0,8739 ' 0,753’
г) _ 46,00659
8,059 ’
66.8. Выполните действие:
а) 0,26 + 0,45; з) 6,28 — 5,32; п) 0,4092-0,3999;
б) 12,123 + 4,024; и) 45,103 — 6,294; р) 2,056—1,96;
в) 37,4 + 3,06778; к) 51,72 — 5,7; с) 0,03—0,0246;
г) 0,93+1,5079; л) 0,456 — 0,376; т) 1,726 — 0,9;
д) 4,507 + 0,193; м) 245,678 — 5,678; у) 25 — 2,647;
е) 8,003+12,707; н) 30 — 0,0058; ф) 83 — 82,876;
ж) 0,251+47,749; о) 1—0,998; х) 12 — 11,999.
Результаты пунктов и), п), р) проверьте сложением. Результа-
ты пунктов к), л), н) проверьте вычитанием.
66.9. Запишите обыкновенную дробь в виде десятичной и вы-
полните действия:
а) 0,45 + + в) 1.32-i; л) 1^-0,394;
6) 1;+5,493;
®-°’053-
е) Ю.42-®-
66.10. «Столбиком»
чем два. Вычислите:
а) 5,27 + 4,2+0,628;
б) 0,047+14,07+6,3;
можно складывать и больше слагаемых,
в) 0,04 + 21,2637 + 8 + 0,7963;
г) 12,3 + 1,23+0,123+0,0123.
201
(Урок 66)
66.11. Найдите значение
а) 7,21-1,5 + 3,72-0,06,
б) 18 —(11,03-9,5) + 6,28,
выражения
в) 44,4-(37,45+ (50-46,54)),
г) 8,3 + (14,6 —(12,91 -11,97)).
66-12. Вычислите значение выражения (а+1,37)+(а— 0,16)
при а = 2,58; 4,63; 3,147; 0,16; 0,32.
66.13. Решите уравнение:
а) х +7,564 = 8,24, г)
б) 6,83+х = 33,004, д)
в) х — 0,57=6; е)
3,579 —х = 0,888,
9,359 + 2-х =15,359,
3-х —0,284 = 5,716.
66.14. Используя свойства действий, вычислите наиболее удоб-
ным способом:
а) 0,27+(1,78+ 5,73);
б) 21,49 + 73,674 + 31,51,
в) (1,777+ 9,878)+ 2,223;
г) 37,45 —(26,45 + 8,888);
д) 6,73-(4,73-2,87);
е) 9,14 — 5,67 — 2,33;
ж) 13,88+8,46—2,46,
з) 23,63 + 9,78-2,63
66.15. Смекалкин придумал примеры с размазанными цифра-
ми. Перепишите их в тетрадь, восстановив размазанные цифры:
а)
,3,050 б)
ФО,4О .
4,187 ’
0 0,5 в)
0,000,
1 8,5 4 8 ’
0,20 г)
2,08 0 .
1,447 ’
06,070
0,0 О
2 6,8 6 5 *
66.16. Скорость лодки на озере (в стоячей воде) 3,3 км/ч С ка-
кой скоростью будет плыть лодка по течению реки и с какой про-
тив течения, если скорость течения 2,8 км/ч?
66.17. В 1987 г. в школах нашей страны училось 44,8 млн.
школьников, в ПТУ — 4,1 млн. учащихся. В том же году в техни-
кумах обучалось на 0,4 млн. человек больше, чем в ПТУ, а в ву-
зах — на 0,6 млн. больше, чем в техникумах. Сколько всего чело-
век в нашей стране училось в 1987 г. в школах, ПТУ, техникумах,
вузах?
66.18. На уроке физкультуры Вася, Валя и Вера бежали в од-
ном забеге на 60 м. Вася пробежал дистанцию за 10,4 с. Валя при-
бежала второй, на 0,8 с позже Васи. А Вера прибежала на 0,3 с
позже Вали. Через неделю была проведена эстафета в три этапа
по 60 м. Вася, Валя и Вера оказались в одной команде. За сколь-
ко секунд они пробегут всю дистанцию эстафеты, если будут бе-
жать с той же скоростью, что и неделю назад?
66.19. Са мые высокие вершины в СССР — пик Коммунизма,
пик Победы и пик Ленина. Высота пика Коммунизма 7,495 км. Пик
Победы на 0,056 км ниже пика Коммунизма, а пик Ленина ниже
пика Коммунизма на 0,361 км. Какова высота пика Победы, пика
Ленина? На сколько пик Победы выше пика Ленина?
(Урок 67)
202
66.20. Клоун придумал несколько примеров на сложе-
ние и вычитание десятичных дробей, а чтобы было смеш-
но, стер в них запятые. Вот какие забавные равенства по-
лучились:
а) 32+18 = 5;
б) 3+108 = 408;
в) 42+17 = 212; д) 63 — 27 = 603;
г) 736-336=4; е) 57 — 4 = 17.
Перепишите их в тетрадь, поставив в нужных местах запятые
Урок 67 Умножение и деление на степень
числа 10
Давайте вспомним, что происходит с разрядными сла-
гаемыми у числа, которое умножают на 10. Возьмем, к
примеру, число 548. Тогда 548-10 = (500 + 40+8)-10 =
= 5000 + 400 + 80. Мы видим, что каждое разрядное сла-
гаемое становится в 10 раз больше, значит, оно становит-
ся разрядным слагаемым следующего разряда: 5 сотен
превратились в 5 тысяч, 4 десятка — в 4 сотни, 8 еди-
ниц — в 8 десятков.
То же самое происходит, если умножить на 10 десятич-
ную дробь: каждое разрядное слагаемое увеличивает-
ся в 10 раз. Значит, оно становится разрядным слагае-
мым следующего, старшего разряда; десятые доли стано-
вятся единицами, сотые — десятыми, тысячные — сотыми
и т. д. Где теперь после умножения на 10 должна встать
запятая? Ясно, что она должна переместиться на один
разряд вправо: 13,768-10= (1 десяток + 3 единицы +
+ 7 десятых-|-6 сотых+ 8 тысячных) * 10= 1 сотня+ 3 де-
сятка+7 единиц+6 десятых+ 8 сотых = 137,68.
А как умножить 13,768 на 100? Вспомним, что 100 =
= 102=10-10. Поэтому 13,768.100=(13,768-10)-10=
= 137,68.10=1376,8. Видите, запятая переместилась на
два разряда вправо.
Какое число получается, если умножить
13,768 на 1000? (Совет: вспомните, что
1000 = 103.)
[ Ю,
Итак, умножая на) 10°» переносим запятую вправо.
I 1000,
II разряд.
2 разряда
3 разряда.
И вообще, умножая десятичную дробь на степень
203 (Урок 67)
числа 10, нужно перенести запятую вправо на столько зна-
ков, каков показатель степени.
А если, например, требуется умножить число 13,768 на
10 000? Надо перенести запятую на 4 разряда, но знаков
после запятой здесь только 3. Как быть?
Догадались, что нужно сделать с дробью,
чтобы она была записана с нужным числом
знаков после запятой?
Надо приписать недостающее количество нулей. Так что
при умножении 13,768 на 10 000 напишем сначала 13,7680,
а затем, перенося запятую, получим 137 680.
Деление — действие, обратное умножению. Поэтому
сразу можно догадаться, что при делении на 10 запятую
надо переносить на один разряд... .
Догадались, в какую сторону переносить?
Закончите сами предложение.
Конечно же, надо переносить в обратном направлении, т. е.
влево. Чтобы объяснить это правило, надо вспомнить, что
при делении на 10 каждая разрядная единица становится
в 10 раз меньше, значит, она превращается в единицу сле-
дующего младшего разряда: десятки — в единицы, еди-
ницы — в десятые доли, десятые — в сотые, сотые — в
тысячные и т. д.
А как разделить десятичную дробь на 100? Нужно раз-
делить ее сначала на 10, а потом еще раз на 10. Каждое
деление на 10 перемещает запятую влево на 1 разряд. Зна-
чит, при делении на 100 запятая перемещается влево на
2 разряда.
На сколько разрядов перемещается влево
запятая при делении на 1000; на 10 000?
Разделим теперь 13,768 на 1000. Запятую надо пере-
нести влево на три разряда, а перед запятой стоят только
две цифры. Как быть? Легко догадаться, что перед первой
цифрой нужно написать нули. Получится 0,013768.
Сделаем общий вывод: при
умножении
делении
десятичной дро-
л вправо
би на степень числа 10 нужно запятую перенести ............
влево
на столько разрядов, сколько нулей в записи этой степени.
(Урок 67) 204
Теперь пусть нам надо разделить на 100 натуральное
число, например 1037. Где взять запятую, чтобы перенести
ее влево? Для этого запишем 1037 десятичной дробью с
нулевой дробной частью: 1037,0. После деления на 100
получим 10,370, но ведь 10,370=10,37. Этот пример под-
сказывает общее правило деления натурального числа
на степень числа 10: чтобы разделить натуральное число
на степень числа 10, надо отделить запятой справа столь-
ко цифр, сколько нулей в записи этой степени.
Правила деления и умножения на степень числа 10 по-
могают легко переходить от крупных единиц измерения
к более мелким и обратно. Например,
7,583 м = (7,583-100) см = 758,3 см;
6537 г =(6537:1000) кг = 6,537 кг.
Вопросы и задания
степень числа
67.1. Как десятичную дробь на
10? А
67.2. На сколько разрядов и в какую сторону перемеща-
ется запятая при умножении на 10; на 1000; на 100 000? А при де-
лении на те же числа?
67.3. При десятичной дроби на степень
числа
10 запятую перенесли на 3 разряда BMW? , На какое число
умножили дробь?
разделили г
67.4. а) В десятичной дроби запятую перенесли на 4 раз-
ряда вправо. Во сколько раз увеличилась дробь? б) В десятичной
дроби запятую перенесли на 5 разрядов влево. Во сколько раз
дробь уменьшилась?
Г67.5. а) Умножьте 245,073 на 100; на 1000; на 100 000.
б) Разделите 245,073 на те же числа.
и 67.6. а) Во сколько раз 76,345 больше, чем 0,76345?
б) Во сколько раз 76,345 меньше, чем 7634,5?
67.7. Найдите зна-
чение буквенного выра-
жения а -100 + Ь: 10 при
значениях букв, ука-
занных в таблице:
а 3,657 0,246 0,0354 0 0,2
b 2358 737,4 86,8 0,3 0
67.8. Решите уравнение:
а) 10-% + 3,72 = 5,69;
б) 0,58+100-х= 10,12;
в) Jt: 10— 1.87 = 8,45;
г) 18,345 —х:100 = 8,73;
д)* 6,37 •* +28,73 = 92,43;
е)* 4,38+ 18,96 :х = 2,484.
205 (Урок 68)
67.9. Запишите: а) 7,3456 м в сантиметрах, миллиметрах;
б) 6,043 т в центнерах, килограммах, граммах; в) 0,8 р. в копей-
ках; г) 346 мм в сантиметрах, метрах, километрах; д) 73,6 кг в
центнерах, тоннах; е) 749 к. в рублях.
67.10. а) Запишите числа только цифрами: 9,7 тыс.; 0,3 тыс.;
6,3 млн.; 0,098 млн.; 1,3 млрд.; 5,04 млрд, б) Запишите в тысячах
37 200; 8352; 3 452 780; 340. в) Запишите в миллионах 12 345 000;
4 003 200; 560 430.
67.11. Чтобы выработать 80 г меда, пчеле надо облететь 1 млн.
цветков. Сколько граммов меда в среднем собирает пчела с одно-
го цветка?
| 67.12. Длина прямоугольника 4,3 см, ширина 3,8 см. Запиши-
те длину и ширину в миллиметрах, найдите площадь прямоуголь-
ника в квадратных миллиметрах, а затем запишите ее в квадрат-
ных сантиметрах.
67.13. а) Рассмотрите цепочку равенств и объясните в ней
каждое равенство: 63,78*0,1 =63,78*^-=63,78:10 = 6,378.
б) Вычислите, записывая цепочки равенств, как ива):
80,57 *0,1; 165,6 * 0,01; 5647,3 • 0,001;
3,95 * 0,1; 37,43 • 0,01; 457,98 * 0,001.
в)* В каждом примере из б) сравните положение запятой в
1-м множителе и в результате. Какое правило можно сформули-
ровать?
Урок 68 Умножение на десятичную дробь
Вспомните, что значит умножить данное число на на-
туральное число. Это значит взять данное число несколь-
ко раз слагаемым. Например, 3,67 • 4 = 3,67 + 3,67 + 3,67 +
-|-Зэ67= 14,68. Сравним выполненные действия с умноже-
нием 367 на 4. Получим 367 • 4 = 367 + 367 4- 367 + 367 =
= 1468. Ответы в этих двух примерах очень схожи и от-
личаются лишь положением запятой.
Чтобы объяснить схожесть ответов, надо вспомнить,
что сложение десятичных дробей выполняют (как и сло-
жение натуральных чисел) поразрядно. А запятая отде-
ляет в сумме столько же десятичных знаков справа, сколь-
ко их в каждом из одинаковых слагаемых. Значит, при
умножении на натуральное число действует правило: в
произведении десятичной дроби на натуральное число за-
- пятая отделяет столько же знаков справа, сколько их от-
li^ деляет запятая в исходной дроби.
Десятичные дроби приходится умножать не только
на натуральные числа, но и снова на десятичные дроби.
(Урок 68) 206
Вот задача, в которой требуется перемножить две деся-
тичные дроби:
Задача. Длина прямоугольника 4,3 см, ширина
3,8 см. Найти площадь прямоугольника в квадратных
сантиметрах.
Чтобы решить эту задачу, нужно 4,3 умножить на 3,8.
Вы. решали эту задачу (см. 67.12), выражая длины сто-
рон в миллиметрах. У вас получилось 16,34 кв. см. Значит,
верно равенство 4,3*3,8=16,34.
К этому равенству можно прийти и другим путем, записав цепоч-
ку равенств:
4.3.3,8 = 4,3-(38:10) = (4,3-38): 10= 163,4:10= 16,34.
Объясним все равенства в этой цепочке:
[Т|— подставили 38:10 вместо 3,8 (это ведь одно и то же);
ПИ—использовали свойство умножения и деления (а*Л):с=п*(Ь:с);
[3]— умножили 4,3 на натуральное число 38 по уже известному правилу,
отделив один знак запятой;
|4~|—перенесли запятую на один знак вправо, воспользовавшись пра-
вилом деления на 10.
Если бы требовалось умножить не на 3,8, а, например, на 6,87, то
нужно было бы вместо 6,87 написать 687:100. И вообще, всегда умно-
жение на десятичную дробь можно свести к умножению на целое чис-
ло, а затем к переносу запятой на столько разрядов, сколько ею отделе-
но во втором множителе.
Подведем итог. Следите внимательно! Десятичные дроби перемно-
жают как натуральные числа и затем ставят в нужное место запятую:
сначала отделяют ею справа столько же знаков, сколько их отделено в
первом множителе, а потом еще переносят ее влево на столько знаков,
сколько отделено запятой во втором множителе. Сколько же всего де-
сятичных знаков будет отделено запятой? Ответ ясен: сумма числа зна-
ков после запятой в первом множителе и числа знаков после запятой
во втором множителе.
Сформулируем правило:
Чтобы перемножить две десятичные дроби, их надо
перемножить как натуральные числа (т. е. не обращая
внимания на запятую), а затем в полученном результате
отделить запятой столько десятичных знаков, сколько их
в обоих сомножителях вместе.
Примеры: v 0,245 4,9
х 0,03 *0,79
0,00735 . 441
'343
3.871
207 (Урок 68)
Для умножения десятичных дробей (так же как и для
умножения натуральных чисел) выполняются перемести-
тельный, сочетательный и распределительный законы. Час-
то они помогают проще выполнять умножение. Например,
(0,25 • 7,23) • 4 = (7,23 - 0,25) - 4 =
=7,23 • (0,25 • 4) = 7,23 • 1 = 7,23; 8,2 - 3,7 +1,3 • 8,2 =
=8,2-(3,7 4- 1,3)=8,2-5=41.
Вопросы и задания
68.1. Как умножают десятичные дроби? Как называют-
J ся компоненты умножения и результат?
* 68.2. Какие законы умножения вы знаете? Сформули-
руйте их.
68.3. Чему равно произведение данного числа на 0;
на 1?
V 68.4. Замените сложение умножением, а затем вы-
2 числите:
а) 3,08 + 3,084-3,084-3,084-3,08;
б) 18,4 + 18,4+ 18,4—(13,8 + 13,8+13,8+13,8).
68.5. (У) Вычислите:
а) 0,3-8; д) 9-0,7; и) 0,4-0,6; н) 0,42; с) 1,3-1,1;
б) 1,4-2; е) 11-0,6; к) 0,12-0,4; о) 0,32; т) 0,13-1,1;
в) 1,7-3; ж) 5-0,14; л) 1,7-0,3; п) 0,112; у) 1,3-0,11;
г) 0,13-4; з) 60-0,5; м) 1,9-0,6; р) 0.13; ф) 0,13-0,11.
68.6. Выполните умножение:
а) 31,3-2,7; д) 8,6-3,07; и) 0,43-0,07; н) 3,242;
б) 0,91-5,8; е) 17,9-0,8; к) 2,3-0,008; о) 0.4762;
в) 120-7,49; ж) 1,45-1,6; л) 7,4-0,403; п) 4,833;
г) 12,6-7,5; з) 7-12,037; м) 8,2-3,007; р) 23,023.
j 68.7. Найдите значение числового выражения:
а) 8,42- 3,8 • (7,16- 4,615)+2,23;
?б) (0,567 + 0,753)2+70 -0,006;
в) 29,38 - 19,48 •( 10 - 9,35)+7,52;
+) 13—10-(0,038+ 0,162)—1,372;
Д) (0,87 + 0,76 - 0,63) -(15,2 - 7,8)2.
. 68.8. (У) Найдите значение выражения, выполнив вычисления
^Наиболее простым способом:
£а) (19,3-5)-20; д) 57,48-0,396+42,52-0,396;
И 2,5-1,47-4; е) 0,89-5,06 + 5,06-1,11;
В) 0,2-3,87-0,5; ж) 53,76-78,91-43,78-78,91;
>г) 0,25-7,53-0,4;
з) 8,39-4,32 — 4,32-6,39.
(Урок 6 208
68.9. Заполните таблицу, вычислив значения буквенного вы-
ражения:
а 1,83 6,57 0,56 11,3 10,8 1 7,34
b 2,01 5,69 0,56 9,4 11,3 0,63 0
11,3-а—9,4-6
68.10. Решите уравнение:
а) х:3,57+12,32 = 21,23; в) х:5,04 — 27,13 = 3,62;
б) 37,42 —х:4,009= 18,73; г) 7,32 + %:2,86 = 60.
68.11. Те, кто смотрел мультфильм «38 попугаев», знают, что
длина удава равна 38 попугаям. Длина попугая 0,24 м. Какова
длина удава?
68.12. Запишите цену этого учебника математики. Нацдите
на последней странице, каким тиражом он выпущен. Какова стои-
мость всего тиража?
Вам учебники предоставлены бесплатно. Берегите их!
68.13. При посеве моркови расходуется 0,35 г семян на 1 кв. м.
Сколько семян надо приготовить для посева на поле длиной 260 м
и шириной 145 м?
68.14. Кусок проволоки ювелир разделил на два куска, равных
по массе. Из одного куска он сделал цепочку, состоящую из 80 оди-
наковых звеньев, а из другого — цепочку, состоящую из 100 оди-
наковых звеньев. Масса одного звена первой цепочки 0,12 г. Ка-
кова масса одного звена второй цепочки?
68.15. В 1960 г. общеобразовательную школу в нашей стране
окончило 1,06 млн. человек, а в 1986 г. — в 2,86 раза больше.
Сколько человек окончило школу в 1986 г.?
68.16. Перечитайте задачу 66.16. Какое расстояние проплывет
лодка за 2 ч, за 3 ч, за 1,5 ч, если она плывет: а) по озеру; б) по
реке против течения; в) по течению реки?
урок 69 Деление на натуральное число
Изучая сложение, вычитание и умножение десятичных
дробей, вы убеждались, что эти действия выполняются
так же, как и над натуральными числами. Надо только
правильно определить, куда ставить запятую. И деление
десятичной дроби на натуральное число выполняется по
тому же правилу, что и деление натуральных чисел. Надо
лишь научиться ставить запятую в частном. Проследим
на примере, когда появляется запятая:
209
(Урок 69)
47,31 13___
3_ П577
17
15
_2 3
2 1
_ 21
21
0
Как обычно, начинают с подбора
цифры старшего разряда в частном.
Дважды мы нашли цифры (это 1 и
5), выполняя деление целой части
дроби (т. е. 47). Жирным шрифтом
выделен остаток от деления целой
части. Он меньше делителя. Дальше
деление нацело невозможно и поэто-
му появляются доли, сначала деся-
тые, затем сотые.
Итак, чтобы разделить десятичную дробь на натураль-
ное число, надо делить ее так же, как натуральное число,
а запятую в частном поставить сразу, как только кончит-
ся деление целой части.
А если целая часть делимого сразу меньше
делителя, где тогда ставить запятую?
Что ли нуль целых писать?
Правильно. Вот примеры:
2,736 18
1 8 7)7152
_93
90
“36
. 36
_ 13,26
"12 0
_ I 26
1 20
60
60
о
15
0,884
Нуль, напечатанный пунктиром, потребовалось при-
писать для того, чтобы закончить деление.
Десятичные дроби могут появиться и при делении це-
лых чисел. Например:
21
~ 18
30
“30
3 4
_3о пШ
28
20
20
0
Значит, можно записать: 21:6 = 3,5 и 3:4=0,75.
Какой обыкновенной дробью записывается
частное 21:6, 3:4?
Каждый знает, что ^-=21:6, а -|-=3:4. Так что -^-=3,5
и -^-=0,75. Видите, мы обыкновенную дробь записали де-
(Урок 69) HQ
сятичной дробью. А как эту десятичную дробь вычислили?
Разделили числитель на знаменатель. Вот правило:
ЧТОБЫ ОБЫКНОВЕННУЮ ДРОБЬ ЗАПИСАТЬ
ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБЬЮ, НАДО ЧИСЛИТЕЛЬ
РАЗДЕЛИТЬ НА ЗНАМЕНАТЕЛЬ.
Вопросы и задания
69.1. Как делят десятичную дробь на натуральное
число?
69.2. Как записать обыкновенную дробь в виде деся-
тичной?
69.3. (У) Выполните деление:
а) 2,6:2;
б) 15,9:3;
в) 20,8:4;
г) 18,9:9;
д) 3,6:4;
е) 5,4:9;
ж) 0,18:6;
з) 0,24:3;
69.4 . Найдите частное:
и) 5,68:8;
к) 1,05:5;
л) 4,26:6;
м) 0,032:4;
а) 93,15:23;
б) 159,84:72;
в) 484,38:69;
г) 686,93:730;
Результаты б) и е)
69.5 . Запишите
д) 101,854:127;
е) 1128,423:141;
ж) 12,025:185;
з) 17,604:326;
и) 6,06:6;
о) 60,6:6;
п) 11,11:11;
р) 111,1:11.
и) 1:2; н) 13:25;
к) 3:5; о) 48:75;
л) 3:4; п) 39:15;
м) 9:8; р) 117:78
проверьте умножением.
обыкновенные дроби в виде десятичных:
»> f; 6) в) А; г) 2.;
ч 36. V 63 „V 97
И) 75 ’ 175 ’ Л) 250 ’
69.6. Решите уравнение:
а) 7- х4-13,48=97,9;
б) 57,3-11 -х= 18,14;
в) 17,6:2,27 = 1,73;
г) 4,36 —5,28 :х= 1,36;
д) (х—8,59)- 6= 17,49;
е) (х +2,67): 7=0,86;
ж) (5-х—23,8)-8 = 37,6;
з) х-|-х-|-х-|-х=5,46.
69.7. Расстояние от Астрахани до Махачкалы по Каспийско-
му морю 410 км. Теплоход на подводных крыльях «Буревестник»
способен пройти это расстояние за 4 ч. С какой скоростью
должен для этого плыть теплоход?
69.8. На производство 7100 пар детских ботинок фабрика
израсходовала 89 957 р. Какова стоимость одной пары?
69.9. Летчик-испытатель Комаров на самолете Е-266 устано-
вил мировой рекорд скорости 825 м/с.
а) Ветер, скорость которого достигает 30 м/с, называют ура-
ганом. Во сколько раз быстрее урагана летел Комаров?
211
(Урок 70)
б) Скорость звука 330 м/с. Во сколько раз Комаров превы-
сил скорость звука?
69.10. С опытного участка площадью 41 400 кв. м собра-
ли 17 388 кг зерна. На другом опытном участке урожайность
зерна была на 0,07 кг/кв. м больше. Какой урожай собрали со
второго участка, если его площадь 40 200 кв. м? С какого поля
собрали больший урожай и на сколько килограммов?
69.11. Прямоугольную пластинку длиной 41,3 мм требуется
разрезать на два прямоугольника той же ширины, что и данная
пластинка, так, чтобы длина одного из
них была на 3,7 мм больше, чем длина
другого (рис. 55). Какую длину имеет
каждый прямоугольник? (Совет: со-
ставьте уравнение.)
69.12. Используя совместные свой-
ства умножения и деления, вычислите
цепочкой равенства:
Рис. 55
а) (7,7-6):7; в) (17:25):4;
б) (8,8-9): 11; г) (7,9:5):2.
Урок то Деление на десятичную дробь
Как разделить одну десятичную дробь на другую?
Нельзя ли заменить такое деление делением на натураль-
ное число? Ведь делить на натуральное число мы умеем!
Оказывается, можно.
Найти нужное правило нам поможет решение примера. Разделим,
например, 12,831 на 2,73. Представим 2,73 как 273:100 и запишем
цепочку равенств: 12,831: 2,73 =12,831 :(273:100)=(12,831:273).100=
= (12,831 • 100):273= 1283,1:273. Мы воспользовались здесь совместными
свойствами умножения и деления, а также правилом умножения де-
сятичной дроби на степень числа 10. Соединим в цепочке крайние
выражения знаком равенства:
12,831:2,73=1283,1:273.
Видите, деление на дробь 2,73 заменено делением в 100 раз большего
числа на натуральное число 273. Другими словами, мы и делимое, и
делитель увеличили в 100 раз, т. е. в их записи запятые перемести-
лись вправо на одно и то же число знаков.
Сформулируем правило:
Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо в
делимом и делителе перенести запятую вправо на столь-
ко знаков, сколько их после запятой в делителе, а затем
выполнить деление получившихся чисел.
Рассмотрите внимательно, как это правило приме-
няется в следующих примерах:
(Урок 70)
а) 12,831:2,73 = 4,7;
_1283,1 1273
1092 4,7
_191 1
191 1
0
212
б) 4,5:1,25 = 3,6;
450 1125
375 ГЗДГ
750
750
О
в) 10,24:0,16 = 64.
1024 116
96 Гб4~
64
64
О
При делении «столбиком» в примере б) в записи дели-
мого появился нуль, а в примере в) в записи делителя
нуль исчез. Объясните, почему так произошло.
Для умножения и деления десятичных дробей верны
те же свойства, что и для этих действий над натуральны-
ми числами. Часто они помогают проще находить зна-
чения числовых выражений. Например, 7,38:0,75:4 =
= 7,38: (0,75 - 4) = 7,38:3 = 2,46.
Вопросы и задания
70.1. Как разделить число на десятичную дробь?
5 70.2. Как называются компоненты деления и результат?
Что такое частное? Как проверить правильность выполнен-
ного деления?
70.3. Какие совместные свойства умножения и деления вы
знаете? Сформулируйте их.
70.4. (У) а) Глядя на равенство 1,57-1,2 = 1,884, скажи-
; те, не вычисляя, чему равно частное 1,884:1,2.
б) Глядя на равенство 0,26-0,51=0,1326, скажите, не вычис-
ляя, чему равно частное 0,1326:0,26.
70.5. Выполните деление:
а) 41,58:5,4; е) 130,248:6,48;
б) 49,44:4,8; ж) 6809,46:52,3;
в) 85,68:0,42; з) 55 284,3:54,9;
г) 86,1 +2,46; и) 54,0204:4,2;
д) 0,2091:4,1; к) 20,3812:4,06;
Результаты в), з), н) проверьте
и), о) —делением.
70.6. Найдите частное:
а) 0,83:0,1; в) 3,456:0,01; д)
б) 0,057:0,1; г) 0,17:0,01; е)
л) 36:2,25; р) 2,7:0,36;
м) 24:0,625; с) 0,7:0,16;
н) 1:0,8; т) 3:0,015;
о) 1:12,5; у) 7,7:0,07;
п) 1:1,25; ф) 3,3:0,66.
умножением, а результаты г),
2,318:0,001; ж) 0,1:0,01;
0,53:0,001; з) 0,01:0,1.
70.7. Найдите значение числового выражения:
а) 51,328:6,4 —6,66: (8,2—6,72);
213
(Урок 71)
б) (6,24:4,16 + 6,867:2,18):0,15;
в) 27,5967:(8—1,186)+18:0,6;
г) (35,8164 + 4,444): 8,02 + 105,21:3,5.
70.8. Найдите значение буквенного выражения
6,57:(с+ 0,2+ 7,56):(с-0,2) при с = 0,3; 0,44; 0,7; 1,4; 1,8.
70.9. Решите уравнение:
а) х-10,7 + 6,48 = 12,151; в) 51,912:х + 0,321 = 1,351;
б) 13,57 — 0,69-1,8193; г) 23,53 —7,35:х= 18,63.
70.10. Вычислите цепочкой равенств, используя свойства
действий:
а) 36,8:0,5:4; г) 6,3:(0,7:5,6); ж) (1,7:0,25).(9:0,4);
б) (0,7-8,8): 1,1; д) (6,7:3,2).(3,2:6,7); з)* (6:0,75):(4:3,7).
в) (3,6:0,25):0,9; е) (15:0,16):(7,5:0,8);
70.11. Победительница Игр доброй воли 1986 г. Анжел Май-
ерс проплыла 50 м за 25,6 с. С какой скоростью она плыла?
70.12. При посеве гречихи на 1 кв. м расходуется 12,5 г се-
мян. Какую площадь можно засеять, имея 23 000 г семян?
70.13. На побелку потолка в комнате, длина которой 4,8 м,
а ширина 3,6 м, израсходовали 1,89 кг мела. Сколько надо взять
мела на побелку потолка в комнате, длина которой 5,2 м, а ши-
рина 3,8 м?
70.14. а) Перечитайте задачу 68.14. Составьте обратную ей
задачу, в которой требуется найти количество звеньев в первой
цепочке.
б) Перечитайте задачу 69.7. Составьте обратную ей задачу,
в которой требуется найти время, необходимое теплоходу, что-
бы проплыть от Астрахани до Махачкалы.
Урок 71 Тренируемся в действиях
над десятичными дробями
Для того чтобы хорошо выполнить
действия над десятичными дробями,
нужно постоянно тренироваться. В этом
уроке дается много упражнений и задач
для такой тренировки. Некоторые из
них (по указанию учителя) вы будете
выполнять с помощью микрокалькуля-
тора.
На микрокалькуляторе (см. рис. 56)
все действия выполняются по одним
и тем же правилам. Сначала набира-
ют первый компонент действия, затем
нажимают клавишу с изображением
MU' до
ЭЛЕКТРОНИКА
Рис. 56
(Урок 71)
214
знака нужного действия, после этого набирают вто-
рой компонент действия и, наконец, нажимают на кла-
вишу с изображением знака « = ». На индикаторе вы-
свечивается результат действия. Клавиши сложения +
и вычитания
вы легко узнаете. Действие умноже-
ния обозначено клавишей X , действие деления — кла-
вишей
Вычислите 2,23 + 4,89; 7,35 — 0,763; 4,2-3,76;
18,7572:6,09.
Если вместо
нажать клавишу со знаком дейст-
вия, то на индикаторе высветится результат предыду-
щего действия и он станет первым компонентом нового
действия. Например, чтобы вычислить 3,7-4,1—13,2,
нужно: 1)
брать 4,1;
набрать 3,7; 2) нажать клавишу X ; 3) на-
4) нажать клавишу — ; 5) набрать 13,2;
6) нажать клавишу
Вычислите 3,7 *4,1 —13,2 по указанному
плану. Затем вычислите (5,8 + 6,3) *4,06.
Итак, вы познакомились с клавишей = и кла-
вишами действий + , — , X , 4- .
А какая клавиша обозначает возведение
в степень?
На микрокалькуляторе, который мы рассматриваем
(МК-62), такой клавиши нет. Поэтому, чтобы возвести
число в степень, поступают так: набирают основание
степени, потом нажимают на клавишу X , а затем
нажимают
показатель
нужно: 1)
3) нажать
на клавишу
степени. Например,
набрать 7,3; 2)
на один раз меньше, чем
чтобы вычислить (7,3)3,
нажать клавишу X ;
клавишу = ; 4)
нажать клавишу
Вычислите 7,33; 3,7\
115 (Урок 7I)
На более сложных микрокалькуляторах есть клавиша возведения
в степень. Как пользоваться ею, написано в инструкции по эксплуа-
тации.
А если случайно набрал число неправильно,
то клавишу С нажимать и все сначала
начинать?
Можно и так исправить ошибку, но тогда исчезнут
оба компонента действия. Поэтому для исправления есть
специальная клавиша СК . Она гасит только послед-
нее набранное число. Вместо него можно набрать нуж-
ное число.
В следующих главах мы расскажем о других возмож-
ностях микрокалькулятора.
Вопросы и задания
71.1. Какие действия называют действиями 1-й ступе-
5 ни, 2-й ступени, 3-й ступени?
71.2. В каком порядке выполняются действия в число-
вом выражении без скобок?
71.3. В каком порядке выполняются действия в числовом
выражении со скобками?
71.4. Выполните действия:
I а) 86,4.(17,01:4,2):6,4;
б) 6,72 — (35,656 + 4,444):8,02;
в) (5,2:26+ 26:5,2).6,1+5,25:5;
г) 4,42 • 30,3 + 6,68: (0,6 + 3,852:3,6);
д) 10,12 —5,454 :(14,8 —7,3-2,02);
е) (4,6 -3,5+15,32): 31,42 + (7,26 — 5,78): 0,148;
ж) (101,96 - 6,8 - 7,2): 4,24 - 3,4 • (10 -6,35);
з) 3,26-0,62—4,97142:7,1 4-82,8-0,33.
71.5. Найдите значение бук-
венного выражения O'b:(c-[-d)
при значениях букв, указанных
в таблице:
а 7,7 24,7 14,3 1,33 9,1
b 2,21 11,9 3,23 18,7 20,9
с 3,62 16,56 5,49 3,78 7,15
d 3,53 38,69 5,56 6,67 7,15
71.6. При каком значении х значение буквенного выражения:
а) х-6,73 4-13,473 равно 34,336;
б) х:3,07 — 5,67 равно 3,45?
(Урок 72)
216
71.7. Решите уравнение:
а) (х-15,43).0,2 = 3,73; в) 0,78-(х +0,2) = 3,9;
б) (0,1 — х): 0,106 = 0,67; г) 5,43 • (х- 1,36) = 5,8101.
71.8. Используя распределительные свойства умножения, уп-
ростите выражение, а затем найдите его значение:
а) 0,36.а + 0,84-а + 3,8-а при а= 1,7; 0,95; 3,08; 4,17;
б) 2,47-6— 1,35-6 + 0,88-b при 6=6,3; 0,54; 7,09; 3,28;
в) г«4,69 — с-2,73 — £«0,96 при £ = 3,5; 8,73; 9,47; 8,542;
г) 5,72.d+l,28.d — d при d = 2,4; 5,21; 0,43; 7,41;
д) 6,37-е —3,79.£ —2,58-е при е = 7,9; 16,83; 73,15; 19,86.
71.9. Решите уравнение:
a) 3,5-x + 4,08-x + 2-x = 4,79; д) 0,8.х + 0,95-х + 49,7 = 84,7;
б) 0,27-х + х —0,18-х = 7,63; е) 0,4-х+ 2,75+ 6,2-х = 5,555;
в) 5,2-х —3,3-х —0,1 *х = 0,36; ж) х —0,2-х —3,57=6,43;
г) х —0,15«х —0,4«х= 1,35; з) 0,37-х +0,63-х —3,59 = 0.
71.10. а) Цена 1 кг сливочного масла 3 р. 60 к. Сколько сто-
ят 2 кг; 2,5 кг; 0,5 кг; 1,3 кг; 0,3 кг; 400 г; 250 г; 1 кг 600 г; 2 кг 750 г?
б) Обозначьте буквой а массу масла в килограммах. Запишите
формулой стоимость а килограммов масла.
71.11. Сколько минут составляют 2 ч; 2,5 ч; 0,5 ч; 0,3 ч; 3,4 ч;
а часов?
71.12. Скорость пешехода 0,9 м/с. а) Какое расстояние он
пройдет за 1 мин? Какова его скорость в м/мин? б) Сколько мет-
ров тот же пешеход пройдет за 1 ч? Какова его скорость в м/ч?
Сколько километров проходит пешеход за 1 ч? Какова его ско-
рость в км/ч?
71.13. Скорость автомобиля а м/с. а) Какое расстояние
проедет автомобиль за 1 мин? Какова скорость автомобиля в
м/мин? б) Сколько метров тот же автомобиль проедет за 1 ч?
Сколько километров он проедет за 1 ч? Какова скорость авто-
мобиля в км/ч? в) Запишите в км/ч следующие скорости: 23 м/с,
17,7 м/с, 30,2 м/с, 0,8 м/с.
урок 72 Учимся рассуждать при решении задач.
Как находить ответ, когда
спрашивается «хватит ли?»
В большинстве задач, которые вы уже решали, от-
вечать приходилось ’на вопрос «сколько?» Тогда ответом
было число. Например, число литров, число метров, чис-
ло штук и т. п. Но часто бывает нужно не только узнать
количество чего-то, но и ответить на вопрос «хватит ли?».
Вот очень простая задача. С похожей задачей может
столкнуться каждый из вас, помогая дома по хозяйству.
217 (Урок 72)
Задача 1. Мама поручила Игорю купить 3 бу-
тылки молока по 30 к. У Игоря на покупку 1 р. Хватит
ли ему этой суммы?
Давайте рассуждать.
Как узнать, хватит ли 1 р.
на покупку?
Как узнать, сколько копеек
требуется на покупку?
Нужно сравнить эту сумму (100 к.)
с числом копеек, которое требу-
ется для покупки.
Нужно цену одной бутылки умно-
жить на число покупаемых буты-
лок: 30 «3.
Теперь легко составить план решения. Вот он:
1) Найти стоимость покупки.
2) Сравнить ее с суммой имеющихся денег.
Дайте ответ на поставленный к задаче вопрос.
Ответом «хватит» или «не хватит» задача не всегда
заканчивается. Например, если к задаче 1 Игорю денег
не хватит, то следовало бы определить, сколько еще денег
надо взять; если хватит, то нужно понять, будет ли сда-
ча, и не забыть ее получить. В общем, узнав, хватит
или не хватит, надо принять решение, что делать дальше.
Вот пример такой задачи:
Задача 2. На животноводческой ферме 270 коров.
Каждая дает 12 кг молока в день. Молоко с фермы выво-
зят в бидонах, по 40 кг в каждом. Сегодня на ферме
есть 65 пустых бидонов. Хватит ли их, чтобы вывезти
весь сегодняшний надой молока?
Если ответ «хватит», то останутся ли пустые бидо-
ны и сколько их останется? Если ответ «не хватит», то
сколько бидонов надо привезти на ферму?
Давайте рассуждать. Видно, что задача распадает-
ся на две части. Ясно, что начинать надо с вопроса:
хватит ли бидонов? Чтобы на него ответить, нужно уз-
нать сколько их потребуется для вывоза ежедневного
общего надоя на ферме.
Как узнать, сколько потре-
буется бидонов?
Как найти общий надой?
Как узнать, хватит ли бидо-
нов?
Надо общий надой разделить
на 40.
Надо умножить 12 (кг) на 270.
Надо сравнить значение выраже-
ния (12-270):40 с числом 65.
Чтобы продолжить решение задачи, для удобства обо-
значим значение выражения (12«270):40 буквой а. В этой
части задачи придется выполнить только один из следую-
щих пунктов:
1) Если а=65, то бидонов хватит и пустых не оста-
нется.
(Урок 72) 218
2) Если а <65, то бидонов хватит и останется 65 —а
бидонов.
3) Если а >65, то бидонов не хватит и надо привезти
а —65 бидонов.
V
а
Вычислите значение а и решите задачу.
Какой из пунктов: 1, 2 или 3 — пришлось
вам выполнить?
Если в задаче 2 будут другие данные, то, возможно,
при ее решении придется выполнить какой-то другой
из пунктов 1, 2, 3. Другие варианты задачи 2 мы предла-
гаем в задании 72.1.
Задания
V72.1. Перечитайте задачу 2 из объяснительного текста.
Изменим некоторые данные в ее условии: а) на ферме
есть не 65 бидонов, а 85; б) на ферме 65 бидонов, а коров
200; в) на ферме 65 бидонов, коров 200, а удой каждой
коровы 13 кг.
Какой из пунктов: 1, 2 или 3 — вам пришлось выпол-
нить, решая задачу в варианте а); в варианте б); в варианте в)?
72.2. Для посева гречихи требуется 12,5 г семян на 1 кв. м.
Хватит ли 100 т семян для посева на поле длиной 5 км и шщэиной
3 км? А 200 т? В каждом случае продолжите задачу по образцу
вопросов пункта б) задачи 2 из объяснительного текста.
72.3. а) Юра захотел взять в школьной библиотеке на обыч-
ный срок 10 дней сразу три книги: в одной 124 страницы, в дру-
гой 188, в третьей 86. Библиотекарь выразил сомнение в том,
что он успеет прочитать их за этот срок. Юра сказал ему, что
успеет: каждый день он может выделять на чтение 2 ч, а ско-
рость его чтения — 1 страница за 3 мин. Действительно ли Юра
успеет прочитать все три книги за 10 дней?
б) Изменится ли ответ в задаче а), если в третьей книге не
86 страниц, а 136 страниц?
в) Изменится ли ответ в задаче а), если в третьей книге
135 страниц, но Юра может выделять на чтение 3 ч в день?
г) Изменится ли ответ в задаче а), если в третьей книге
135 страниц, Юра выделяет на чтение 3 ч в день, но его ско-
рость — 1 страница за 4 мин?
72.4. Вася решил за 1 ч проехать на велосипеде по шоссе
18 км, а именно, 9 км туда и столько же обратно.
а) С какой средней скоростью должен ехать Вася?
б) Дорога туда идет под гору. Поэтому Вася ехал со ско-
ростью, на 2 км/ч большей, чем вычисленная средняя скорость.
Обратно он решил ехать со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем
вычисленная средняя скорость. Вася предполагает, что он потра-
тит на всю дорогу тот же 1 ч. Прав ли он?
219
(Урок 73)
Урок 73
Задания на повторение к § 7
73.1. Запишите обыкновенные дроби в виде десятич-
ных, а затем выполните действия:
26 । _з_- в\ 207 । 65 . \ 16» । 105 .
52”*" 4 ’ В-1 75 I-52’ 92 84 ’
1 н 153 117 \ 207 219
85 65 ’ ' 68 52 ’ 69 73 '
73.2. Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных, а за-
тем сравните их:
а)
б)
57 _5_.
95 И 8 ’
2— И 2—•
2 85 И 2 16 ’
В)
306 234 .
68 И 52 ’
75 И
169
104
156 126 .
Д) 104 И 84 ’
е) — и —
9 138 65
а)
б)
в)
73.3. Решите уравнение:
0,8 • (х + 2) + 0,2 • х = 5,2; г)
0,3.у+1,3.(у + 2,4) = 6; д)
l,7.(z-l)+l,5-z=4,7; е)
0,6.(х+ 1,2)—'0,4-х=2,8;
3,6-f/4"0,4-(7 —1/)= 15,6;
5,4 • z+0,8 • (0,9+z)=0,72.
73.4. В 1940 г. в СССР было выпущено 3,5 тыс. холодильни-
ков, а в 1985 г. — 5859 тыс. Во сколько раз увеличился выпуск
холодильников за указанные годы?
73.5. В 1919 г. колонии капиталистических стран занимали
территорию 97,8 млн. кв. м и в них проживало 1235 млн. человек.
В результате национально-освободительной борьбы многие стра-
ны обрели независимость, и в 1985 г. территория колоний стала
1 млн. кв. км, а население 13 млн. человек. Во сколько раз умень-
шилась территория колоний и во сколько раз уменьшилось их
население?
73.6. Расстояние между домами Оли и Кати 380 м. Девочки
договорились выйти из дому одновременно и идти навстречу
друг другу. Олина скорость 42,3 м/мин, Катина — 47,7 м/мин.
а) Через сколько минут девочки встретятся? б) На каком рас-
стоянии от Олиного дома произойдет встреча? А от Катиного?
73.7. Две бригады маляров должны покрасить 256 кв. м
стен. Одна бригада за 1 ч красит 13,3 кв. м, а другая — на 1 кв. м
меньше, а) За какое время обе бригады вместе выполнят эту
работу? б) Сколько квадратных метров стен покрасит каждая
бригада?
73.8. а) Придумайте числовое равенство с десятичными дро-
бями. Предложите соседу по парте проверить его.
б) Вспомните правило, сформулированное в задании Н.бв).
Прибавьте к обеим частям равенства, составленного вами в пунк-
(Урок 74) 220
те а), одну и ту же десятичную дробь. Проверьте полученное
равенство. Сформулируйте правило, которое теперь можно об-
наружить.
в) Вычтите из обеих частей равенства, составленного в пунк-
те а), одну и ту же десятичную дробь. Проверьте полученное
равенство. Сформулируйте правило, которое теперь можно об-
наружить.
73.9. От двух пристаней, расстояние между которыми 4 км,
одновременно навстречу друг другу отправились две лодки.
Скорость каждой из них в стоячей воде 3,2 км/ч. Скорость те-
чения 2,7 км/ч. а) Через какое время лодки встретятся? б) На
каком расстоянии от каждой из пристаней произойдет встреча?
73.10. Периметр квадрата 31,2 мм. Какова его площадь?
73.11* . Клоун предложил публике разгадать ребус:
а) СУМК.А б) СЛОВ,О
+ СУМК.А + СЛОВ,О
БАГАЖ ПЕСНЯ
*
Расшифруйте в каждом ребусе, какую цифру обозначает каждая буква.
§ 8. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ В ПРАКТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Вы уже научились выполнять действия над десятич-
ными дробями: складывать их, вычитать, умножать и де-
лить. Умеете вы и сравнивать десятичные дроби. Но этого
недостаточно для их применения в практических вычисле-
ниях. Чтобы с пользой применять десятичные дроби,
нужно хорошо понимать, как они появляются в практи-
ческих задачах, уметь округлять их и вычислять проценты.
Всему этому мы и будем учить вас в § 8.
урок 74 Приближенное значение числа
Задача. Цена 1 кг сметаны 1 р. 40 к. В банку
вошло 420 г. Сколько нужно заплатить за эту сметану?
Давайте рассуждать. Так как 420 г = 0,420 кг, а
1 р. 40 к.= 140 к., то за 420 г. надо заплатить 140*0,42 =
= 58,8 (к.).
Но заплатить 58,8 к. невозможно. Ведь не станешь раз-
ламывать копейку на части! Заплатить можно только целое
число копеек. Каким же натуральным числом надо за-
менить дробь 58,8? Чтобы ответить на этот вопрос, запи-
шем, между какими соседними натуральными числами она
расположена: 58<58,8 <59. Числа 58 и 59 называют
приближенными значениями дроби 58,8. Число 58 —
приближенное значение с недостатком (ведь ему до чис-
ла 58,8 недостает 0,8). Число 59 — приближенное зна-
чение с избытком (оно на 0,2 превосходит 58,8).
и
а
221 (Урок 74)
К какому из приближенных значений дробь 58,8 бли-
же — к 58 или к 59? Конечно, к числу 59. Ведь она
отличается от 59 на 0,2, а от 58 на 0,8. Поэтому в
нашей задаче 58,8 будет разумно заменить числом 59.
Такую замену дроби ближайшим натуральным числом
называют округлением до единицы. Значит, за сметану на-
до заплатить 59 к.
Если бы сметаны в банке было 410 г, то ее стоимость
получилась бы 57,4 к. (проверьте!). Дробь 57,4 ближе
к числу 57, чем к числу 58. Значит, округляя ее до
единицы, мы получим 57.
Для записи действия округления используют знак при-
ближенного равенства: «. Можно записать: 58,8 «59,
57,4 «57. Читают: «Число 58,8 приближенно равно чис-
лу 59», «Число 57,4 приближенно равно числу 57».
Если стоимость 420 г сметаны выражать не в копейках,
а в рублях, то получится 0,588 р. Число 0,588 располо-
жено между 0,58 и 0,59. Заменяя 0,588 числом 0,59,
мы округляем 0,588 до сотых долей. Округляя до сотых
дробь 0,574, получаем 0,57.
А до десятых тоже можно округлить?
Конечно. И до десятых, и до любых других разрядов.
Округлить число до данного десятичного разряда —
значит заменить его ближайшим числом, в котором от-
сутствуют разряды, меньшие данного.
Например, округляя 0,588 до десятых, получаем 0,6.
Округлите 3,3674 до тысячных, до сотых,
до десятых.
Дано число 2,3675. Как округлить его до тысячных?
Оно попадает между числами 2,367 и 2,368 и одинаково
от них удалено (на 0,0005). Значит, оба они — ближайшие
к данному числу. Какое же из них взять для округления?
Люди договорились в таких случаях заменять число его
приближенным значением с избытком. Так что
2,3675 «2,368.
Г7 Округлите 2,365 до сотых, 2,35 до десятых,
° 2,5 е^ини^
Давайте округлим число 5,4796 до тысячных. У нас
получится 5,480.
А можно не писать последний нуль?
ШЙЬ Ведь 5,480 = 5,48!
Если не писать последний нуль, то, глядя на число
5,48, можно было бы подумать, что округление числа
5,4796 производилось до сотых, а не до тысячных. В
(Уро* 74) 222
числе 5,480 нуль в конце записи сигнализирует, до како-
го именно разряда произведено округление.
Вопросы и задания
74.1. Что значит округлить число до данного разряда?
74.2. Как называется знак ««»?
74.3. Округлите числа в таблице до указанных раз-
рядов:
Число До тысячных До сотых До десятых До единиц
24,6357
6,2745
0,8053
74.4. (У) Прочитайте записи и скажите, до какого разряда
округлены числа:
а) 8,37826 «8,3783; 8,37826«8,38; 8,37826«8;
б) 0,564398 «0,6; 0,564398 « 0,564; 0,564398« 0,56440.
74.5. Цена 1 кг колбасы 2 р. 90 к. Сколько надо запла-
тить денег за: а) 300 г; б) 430 г; в) 680 г; г) 250 г; д) 375 г?
74.6. Побелка 1 кв. м потолка стоит 13 к. а) Сколько надо
заплатить за побелку потолка в комнате длиной 6 м 20 см и ши-
риной 3 м 40 см? б) Измерьте длину и ширину вашей клас-
сной комнаты в сантиметрах. Запишите эти величины в метрах и
вычислите, сколько надо заплатить за побелку потолка в вашем
классе.
Рис. 57
74.7. Приближенные значения часто воз-
никают при измерениях. Вы, например,
умеете измерять отрезки линейкой с точ-
ностью до миллиметров. Конечно, имеются
инструменты, позволяющие измерять и бо-
лее точно. Но мы пока будем пользо-
ваться обычной линейкой. На рисунке 57
изображен треугольник АВС с прямым углом
при вершине В и сторонами АВ длиной 16 мм
и ВС длиной 25 мм. Измеряя отрезок ДС,
мы видим, что точка С попадает между де-
лениями 29 мм и 30 мм. Если обозначить
длину стороны АС буквой х, то можно
записать х«29 мм (с недостатком) и
х«30 мм (с избытком).
а) Нарисуйте треугольник АВС с прямым углом при вершине
В и сторонами АВ длиной 17 мм и ВС длиной 37 мм. Измерь-
те у этого треугольника сторону АС с недостатком и избытком.
223
(Урок 75)
б) Выполните то же задание для треугольника со сторонами
АВ длиной 23 мм и ВС длиной 37 мм.
74.8. Округлите до десятых число а, если:
а) 2,76<а<2,78;
б) 3,85 < а <3,93;
в) 0,75<а<0,85;
г) 0,12<а<0,14;
д) 7,15<а<7,22;
е) 8,97 <а< 9,02;
ж) 6,37 <а< 6,42;
з) 4,22<а<4,25;
и) 9,95<а<9,96.
74.9. В задаче 65.4 приведены скорости самолетов, а) (У) До
какого разряда округлены эти скорости? б) Найдите скорости
самолетов в км/час и округлите их значения до единиц.
ag® 74.10. Клоун стал округлять число 5,4545: а) до еди-
ниц; б) до десятых; в) до сотых; г) до тысячных. Он решил
просто не писать цифры в «ненужных» разрядах и получил
ответы: а) 5; б) 5,4; в) 5,45; г) 5,454. Некоторые из
этих ответов верны, другие не верны. Укажите верные
ответы и исправьте неверные.
урок 75 Округлять приходится и натуральные числа
Клоун рассказал такую смешную историю:
— В краеведческом музее экскурсовод, показывая ске-
лет мамонта, сказал: «Этому мамонту 1 миллион 9 лет
3 месяца и 8 дней». Экскурсанты удивились: «Откуда
вы это знаете? Разве можно определить возраст мамонта
с такой точностью? Ведь у мамонта нет свидетельства
о рождении!» Экскурсовод ответил так: «Когда я поступил
на работу, мне сказали, что этому мамонту 1 миллион лет.
С того дня я работаю в музее 9 лет 3 месяца и 8 дней.
Вот я и прибавил к 1 миллиону этот срок».
Публика смеялась. И мы тоже можем посмеяться над
незадачливым экскурсоводом. Он, конечно, не учел, что
возраст мамонта был сообщен ему округленным
числом. Более точно определить возраст было нельзя.
Мы видим, что округлять иногда приходится и нату-
ральные числа. В каких случаях? Во-первых, тогда, когда
излишняя точность неоправдана. Надо ли, например, с
точностью до миллиметра знать размер участка, чтобы ого-
родить его забором? Конечно, нет! А вот стыковочный
узел на космическом корабле изготовляют с точностью до
долей миллиметра. Никто не считает собранный колхозом
урожай в зернах или граммах, для этого применяют
центнеры и тонны. А вот при взвешивании лекарств нельзя
даже до граммов округлять, на аптекарских весах нужна
точность до долей миллиграмма.
Во-вторых, зачастую и невозможно указать точное ко-
личество чего-нибудь в данный момент времени. Например,
численность населения города или страны: почти каждую
минуту кто-то рождается, кто-то, увы, умирает, кто-то уез-
жает, кто-то приезжает.
(Урок 75) 224
Что же значит округлить натуральное число? Это зна-
чит заменить его ближайшим к нему «круглым» числом,
т. е. числом, оканчивающимся одним или несколькими
нулями. Возьмем, к примеру, число 2738. Выделим те чис-
ла, составленные из «круглых» десятков, между которыми
оно стоит: 2730 <2738 <2740. Какое из них ближе к
числу 2738? Ясно, что 2740. Значит, 2738 округляется до
числа 2740. Округлить число до десятков — это значит
заменить его ближайшим числом, состоящим из десятков,
т. е. имеющим 0 в разряде единиц.
Давайте округлим теперь то же число 2738 до сотен.
Между какими «круглыми» сотнями находится это число?
Между 2700 и 2800. Какое из них ближе к числу 2738?
Ясно, что 2700. Вот мы и округлили 2738 до сотен.
Округлить число до сотен — это значит заменить его бли-
жайшим к нему числом, состоящим из сотен, т. е. имеющим
нули в разрядах десятков и единиц.
/Я) Л что значит округлить число до тысяч?
& до десятков тысяч? до миллиона? Округлите
число 2738 до тысяч.
Как округлить до десятков 2735? Ведь от чисел 2730 и
2740 оно одинаково удалено. В этом случае действует та же
договоренность, что и в случае десятичных дробей: если
число одинаково удалено от «круглых» чисел, то берут
большее из них. Значит, 2735^2740.
Конечно, не очень трудно узнать, к какому «круглому»
числу данное нам число ближе. Но при этом все-таки
приходится выписывать заранее два возможных резуль-
тата округления. Нельзя ли найти другой, более быстрый
и легкий способ округлять числа? Потерпите до сле-
дующего урока, где мы об этом расскажем.
Вопросы и задания
75.1. Что значит округлить число до сотен; до сотен
тысяч?
75.2. Сколькими нулями оканчивается число, округлен-
ное до сотен; до десятков тысяч; до миллионов?
75.3. Округлите числа в таблице до указанных раз-
рядов:
Число До тысяч До сотен тысяч До десятков миллионов
31 902 873
186 276 501
9 857 318
225
(Урок 76)
75.4. (У) Прочитайте записи и скажите, до какого разряда
округлены числа: а) 486 573 « 486 570; 486 573« 487 000;
486 573 « 500 000; б) 2 175 309 « 2 000 000; 2 175 309 « 2 180 000;
2 175 309«2 175 300.
75.5. (У) Расстояние от Земли до Солнцам 149 600 000 км, до звезды Си-
риус « 81 900 000 000 000 км, до звезды Вега « 249 500 000 000 000 км. Прочтите
эти записи. До каких разрядов округлены указанные расстояния?
75.6. В задаче 66.17 приведены данные о числе учащихся в
нашей стране. Запишите эти данные цифрами и скажите, до
какого разряда они округлены.
75.7. Рассмотрите таблицу.
Число До какого числа округляется
От 50 до 149 100
От 150 до 249 200
От 250 до 349 300
а) Продолжите таблицу, напи-
сав еще 7 строк, б) Представь-
те, что таблица продолжается.
Запишите, как выглядят 12, 19,
20, 21 и 32-я строки.
75.8. Возьмите номер какой-нибудь газеты и выпишите из нее
примеры употребления округленных чисел. Кто в вашем классе
нашел больше всего таких примеров из одной газеты?
урок 76 Учимся округлять числа быстро
В уроке 75 мы обещали найти быстрый и легкий способ
округления чисел. Чтобы его найти, рассмотрим таблицу:
Число 27,01 27,15 27,2 27,33 27,49 27,5 27,51 27,8 27,94
Сколько до ближайшего натурального числа 0,01 0,15 0,2 0,33 0,49 0,5 0,49 0,2 0,06
Число, округленное до единиц 27 27 27 27 27 28 28 28 28
Сравним 1-ю и 3-ю строки. Посмотрите: когда в разряде
десятых стоит 0, 1, 2, 3 или 4, то при округлении до еди-
ниц цифры дробной части отбрасываются, а остальные
цифры остаются без изменения. Если же стоит цифра 5, 6,
7, 8 или 9, то в разряде единиц цифра меняется на следую-
щую. А какая цифра стоит в разряде сотых, знать оказа-
лось не нужно.
Если бы мы округляли до десятых, то нужно было бы
учитывать только то, какая цифра стоит в разряде сотых.
Если бы округляли до десятков, то нужно было бы учиты-
вать цифру только в разряде единиц (и заменять ее нулем)
и т. д. Всегда результат округления зависит от первой
8 Учебник-собеседник
(Урок 76) 226
слева цифры округляемых разрядов И правило округле-
ния такое:
1) из всех цифр округляемых разрядов рассмотреть ту,
которая стоит первой слева;
О, 1, 2, 3 или 4 все цифры левее ее не менять
............ , ТО......................
5, 6, 7, 8 или 9 прибавить единицу в соседнем
2) если это
слева разряде ’
3) те цифры округляемых разрядов, которые стоят
после запятой, отбросить, а те, которые стоят до запятой,
заменить нулями.
Вопросы и задания
вЪ 76.1. Какую цифру нужно знать, чтобы выполнить
J округление? Сформулируйте правило округления чисел.
¥76.2. (У) Прочитайте записи и скажите, до какого
разряда округлены числа в каждом случае:
а) 2318,57 « 2318,6; 2318,57 « 2320; 2318,57 » 2000;
б) 763,248 « 800; 763,248,» 763; 763,248 » 763,25.
76.3. Округлите числа так, чтобы подчеркнутые цифры замени-
лись нулями: а) 78,28; б) 234,16; в) 175,283. Скажите, до каких
разрядов округлялось каждое число.
76.4. Округлите следующие числа до сотых, до единиц, до со-
тен, до десятков тысяч, сначала подчеркнув в каждом числе
округляемые разряды:
а) 86 357,683; в) 273 448,316, д) 97 804,622;
б) 30 245,508; г) 296 237,415, е) 347,653.
76.5. Придумайте пример на округление десятичной дроби до
какого-нибудь разряда. Запишите его на листочке и предложите
выполнить соседу по парте. Потом проверьте, правильно ли он вы-
полнил задание.
76.6. Сколько округленно метров содержится:
а) в 2318 см; б) в 3755 см; в) в 63 250 см?
76.7. Сколько округленно килограммов содержится:
а) в 36 727 г; б) в 715 243 г; в) в 276 500 г?
76.8. Округлите результат до сотых:
а) 3,783 + 2,654, б) 0,27-4,56; в) 9,252:3,6.
76.9. Округлите результат до единиц:
а) 23,84—17,47, б) 3,85-4,1, в) 38,85:3,7
76.10. Каждое из чисел 3673 и 4261 округлите до сотен Найди-
те сумму исходных чисел и сумму округленных чисел Верно ли,
что одна из полученных сумм является округлением другой до
сотен?
76.11. * Младший брат предложил Смекалкину «Давай будем округлять
числа постепенно». «Как это постепенно?» — спросил Смекалкин «А вот как.
227
(Урок 77)
Берем число, округляем его сначала до десятков, результат округляем до сотен
к т. д.>. Смекалкин задумался: всегда ли будет получаться то же число, что и при
округлении сразу до нужного разряда? Как вы думаете? Ответ объясните. (Совет:
рассмотрите несколько различных чисел.)
Урок
Как возникают десятичные дроби
в практических вычислениях
Задача. По квартальному плану (т. е. за 3 месяца)
бригада маляров должна покрасить 3900 кв. м. За первый
месяц она покрасила 1560 кв. м. а) Во сколько раз пло-
щадь, которую бригада должна покрасить за квартал,
больше площади, выкрашенной за первый месяц? б) Ка-
кую часть площади, запланированной на квартал, выкра-
сила бригада за первый месяц?
Чтобы ответить на вопрос а) нужно, как вы знаете,
разделить 3900 на 1560. В ответе получится 2,5 (про-
верьте!) .
Чтобы дать ответ на вопрос б), нужно разделить
1560 на 3900. Получится 0,4 (проверьте!). Значит, 1560
кв. м составляют 0,4 от 3900 кв. м.
При решении задачи мы использовали такое правило:
ЧТОБЫ УЗНАТЬ, в°.£™л~ко .раз одно ЧИСЛО
какую часть
другого, нужно
составляет от
РАЗДЕЛИТЬ
большее
меньшее
ЧИСЛО НА
меньшее
большее *
И в том и в другом случае могут возникать десятичные
дроби (см. ответы к только что решенной задаче).
Сформулированное правило используется часто. Ведь
людям часто бывает нужно узнать, какая часть работы
выполнена, какая часть материалов израсходована, какая
часть средств выделена на что-то. При этом числа иногда
оказываются такими, что их деление приводит к десятич-
ным дробям с большим количеством цифр.
Представьте, что в условии рассмотренной задачи
бригада выкрасила не 1560 кв. м, а 1550 кв. м. Ка-
кие тогда возникнут дроби? Выполняя деление, получим
3900:1550=2,516129..., 1550:3900=0,397458.... Здесь
многоточие заменяет цифры, которые получаются при
делении, писать их пришлось бы слишком долго! В таких
ситуациях частное обычно округляют до тех разрядов,
какие нужны на практике. Давайте округлим записанные
частные до тысячных:
3900:1550 « 2,516; 1550:3900 « 0,397.
(Урок 77) 228
Прежде чем получить округленный результат, мы запи-
сали в каждом частном цифры до миллионных долей. Но
давайте задумаемся, нужно ли было вычислять так много
цифр в этих частных. Правило округления подсказывает
нам ответ: для округления до тысячных нужно было
знать цифру в частном лишь в разряде десятитысячных
долей. Значит, выполняя деление, можно было остановить-
ся, получив четвертый знак после запятой.
И вообще, чтобы получить частное, округленное до
данного разряда, нужно выполнить деление до следующего
разряда и полученный результат округлить.
Вопросы и задания
77.1. Как узнать, во сколько раз одно число больше
j или меньше другого?
77.2. Как узнать, какую часть одно число составляет
от другого?
77.3. До какого разряда надо проводить деление, чтобы по-
лучить частное с точностью: а) до сотых; б) до десятых; в) до
единиц, г) до сотен?
f77.4. Две бригады вспахали поле площадью 4,5 кв. км.
Первая бригада вспахала 1,8 кв. км. а) Какая бригада вы-
и полнила большую работу и во сколько раз? б) Какую
часть работы выполнила первая бригада? А вторая?
77.5. Из 48 кг свежих вишен получается 9,6 кг сушеных,
а) Во сколько раз масса свежих вишен больше массы сушеных?
б) Какую часть массы теряют свежие вишни при сушке?
77.6. В книге 80 страниц Оля прочитала 36 страниц. Какую
часть книги прочитала Оля? Какую часть ей осталось прочитать?
77.7. Выполняя заказ, токарь в первый день выполнил 0,36
всей работы, а во второй день — 0,31 всей работы, а) Какую часть
работы выполнил токарь за два дня? б) Какую часть работы
ему осталось выполнить в третий день? в) В какой из этих трех
дней он выполнил больше всего работы?
77.8. При помоле пшеницы 0,81 часть массы дает муку, 0,02 ча-
сти массы дают манную крупу, а остальное составляют кормовые
отходы. Какую часть массы составляют кормовые отходы?
77.9. (У) а) Младший брат Смекалкина прочитал книгу за
три дня и сказал «В первый день я прочитал 0,36 книги, во второй
день — 0,31 книги, в третий день — 0,32 книги» Смекалкин зая-
вил, что брат где-то ошибся в своих вычислениях Смекалкин
был прав. Объясните почему
б) Младший брат сказал «Ой, я действительно ошибся! В
третий день я прочитал 0,34 книги» Смекалкин заявил, что брат
опять ошибается Прав ли Смекалкин? Ответ объясните.
77.10. а) В задаче 9.5 вы узнали, с какой скоростью бега-
ют Коля и Петя Используя данные задачи 66.18, вычислите с
229
(Урок 77)
точностью до сотых, с какой скоростью бегают Вася, Валя и
Вера. Составьте список этих пяти школьников, расположив их
имена в порядке убывания скоростей. Кто из них бегает быстрее
всех? А кто медленнее всех?
б) Узнайте, за сколько секунд вы пробегаете 60 м. Вычисли-
те скорость своего бега с точностью до сотых. Кто бегает быстрее:
вы или Вася (см. пункт а); вы или Вера?
77.11. В таблице приведены данные (на 1 января 1986 г.)
о площади и численности населения союзных республик СССР.
Республика Площадь Численность населения
Азербайджанская ССР 86,6 тыс. кв. км 6 718 тыс. чел.
Армянская ССР 29,8 тыс. кв. км 3 369 тыс. чел.
Белорусская ССР 207,6 тыс. кв. км 10 002 тыс. чел.
Грузинская ССР 69,7 тыс. кв. км 5 239 тыс. чел.
Казахская ССР 2 717,3 тыс. кв. км 16 036 тыс. чел.
Киргизская ССР 198,5 тыс. кв. км 4 055 тыс. чел.
Латвийская ССР 63,7 тыс. кв. км 2 621 тыс. чел.
Литовская ССР 65,2 тыс. кв. км 3 603 тыс. чел.
Молдавская ССР 33,7 тыс. кв. км 4 142 тыс. чел.
РСФСР 17 075,3 тыс. кв. км 144 027 тыс. чел.
Таджикская ССР 143,1 тыс. кв. км 4 643 тыс. чел.
Туркменская ССР 488,1 тыс. кв. км 3 271 тыс. чел.
Узбекская ССР 447,4 тыс. кв. км 18 479 тыс. чел.
Украинская ССР 603,7 тыс. кв. км 50 973 тыс. чел.
Эстонская ССР 45,1 тыс. кв. км 1 541 тыс. чел.
Плотностью населения называется число, показывающее,
сколько человек в среднем проживает на 1 кв. км площади,
а) Найдите с точностью до десятых долей плотность населения
в каждой союзной республике, б) Какая республика имеет самую
высокую плотность населения? самую низкую? в) Найдите плот-
ность населения по всей территории СССР.
77.12. Бригады Иванова, Петрова и Сидорова выполнили ра-
боту, стоимость которой 7315 р. Бригада Иванова выполнила
0,28 всей работы, бригада Петрова — 0,35 всей работы, а бригада
Сидорова — оставшиеся 0,37 всей работы. Каждая бригада долж-
на получить такую же часть от 7315 р., какую она выполнила
от общей работы. Сколько денег получит каждая бригада?
77.13. Три бригады производили малярные работы в много-
квартирном доме. Первая бригада покрасила 2100 кв. м, вто-
рая — 2400 кв.м, третья — 2300 кв.м, а) Какую часть работы
выполнила каждая бригада? (Ответ округлите до тысячных.)
б) Стоимость выполненных работ 1770 р. Сколько денег зарабо-
тала каждая бригада? в)* Можно ли для получения ответа в
пункте б) ответ в пункте а) округлять до десятых? Целесообраз-
но ли было бы округлять этот ответ до десятитысячных?
77.14. а) (У) Рассмотрите цепочку равенств и объясните в
ней каждое равенство: 725,3:100 = 725,3 •^=725,3 • 0,01.
(Урок 78) 230
б) В следующих примерах, как ива), деление на степень
числа 10 замените умножением на десятичную дробь. 58,75:100-
63,4:10; 35,34:1000; 6,3:100, 752:10, 0,027:1000
в) Рассматривая примеры из а) и б), можно сделать вывод:
разделить число на 100 — это то же самое, что умножить его
на 0,01 Сделайте похожие выводы при деление на 10, на 1000
Запишите эти выводы в тетрадь.
Урок 78
Что такое 1%
Сотая часть метра — сантиметр, сотая часть рубля —
копейка, сотая часть центнера — килограмм. Люди давно
заметили, что сотые доли величин удобны в практиче-
ской деятельности Потому для них было придумано спе-
циальное название — процент (от латинского «про цен-
тум» — на сто) Значит, 1 к.— это 1 процент от 1 р.,
а 1 см — это 1 процент от 1 м и т. д. Итак,
ОДИН ПРОЦЕНТ — ЭТО ОДНА СОТАЯ ДОЛЯ.
Математическими знаками один процент записывается
так: 1%. Записи 2%, 5% читают: «Два процента», «Пять
процентов».
Прочитайте предложения. «К 15 апреля
вспахано 93% всех пахотных земель»,
«Производительность труда повысилась на 4%»,
«Цены снижены на 30%»
Определение одного процента можно записать равенством:
I %-0,01.
Каждый быстро сообразит, что 5% =0,05, 23% =0,23,
130% = 1,30 и т. д.
Запишите в виде десятичных дробей 7%, 10%,
50%, 100%.
Как найти 1% от числа? Раз 1%—это одна сотая
часть, то надо число разделить на 100. В задаче 77.14
мы сделали вывод, что деление числа на 100 можно
заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1%
от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если
нужно найти 5%, то умножаем данное число на 0,05 и т. д.
) Чему равны 7% от 30, 23% от 60 50% от 120
100% от 713?
231 (Урок 78)
Вот какое правило получилось:
Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно
проценты записать десятичной дробью, а затем число
умножить на эту десятичную дробь.
Вопросы и задания
9 78.1. Что такое 1%?
в 78.2. Как найти данное число процентов от числа?
¥78.3. Запишите десятичными дробями следующие про-
центы: 1%; 5%; 27%; 30%; 50%, 75%; 95%; 100%;
120%; 200%; 0,1%; 0,7%; 3,5%, 16,72%.
78.4. Запишите десятичные дроби с помощью процентов: 0,17;
0,06; 0.2; 1,38; 6,5; 0,183; 3,456.
78.5. В задаче 18.5 вы нашли, сколько продукции произво-
дится в нашей стране ежедневно. Вычислите, сколько дополни-
тельной в день продукции каждого вида дает 1% прироста.
78.6. В 1986 г. в народном хозяйстве трудилось 130 млн. че-
ловек. Из них в промышленности 29,2%, в сельском хозяйстве
18,8%, в строительстве 8,9%, в транспорте и связи 9,6%, в торгов-
ле и общественном питании 7,7%, в здравоохранении 5,2%, в
народном образовании 7,7%, в науке, культуре и искусстве 4,9%,
в других отраслях 8%. Вычислите, сколько человек трудится в
каждой отрасли народного хозяйства
78.7. В 1987 г. население СССР составляло 281,7 млн человек.
Из них 66% проживало в городах.
а) Какой процент населения проживает в сельской местности?
б) Сколько человек проживает в городах и сколько в сель-
ской местности?
78.8. Бронза — это сплав 90% меди и 10% олова Сколько
килограммов меди и сколько килограммов олова надо взять,
чтобы получилось 83 кг бронзы?
78.9. Латунь — это сплав 60% меди и 40% цинка Сколько
меди и сколько цинка надо взять, чтобы получить 42 кг латуни?
78.10. Для изготовления подшипников используется сплав ме-
ди и свинца, содержащий 32% свинца- Сколько свинца и сколько
меди надо взять, чтобы получить 56 кг сплава?
78.11. Для паяльных работ используют сплавы металлов Чаще
всего применяют сплавы двух видов. Один называют мягким
припоем — он содержит 40% меди, 2% сурьмы и 58% свинца,
другой называют твердым припоем — он содержит 45% серебра,
30% меди и 25% цинка.
Фабрика по плану должна ежедневно выпускать 7 т мягкого
припоя и 9 т твердого. Сколько меди, свинца, сурьмы, серебра и
цинка должна ежедневно получать фабрика, чтобы выполнить
план?
78.12. При размоле пшеницы получается 81% муки, 2% ман-
ной крупы и 17% кормовых отходов Сколько муки, манной
крупы и кормовых отходов получится из 2,5 т зерна?
(Урок 79) 232
78.13, На весенней сезонной распродаже цены снижены
на 30%. Сколько будет стоить пальто на распродаже, если
его обычная цена: а) 87 р.; б) 115 р.; в) 188 р.?
78.14. Масса Земли 5975 квинтиллионов тонн, а) Масса железа составляет
37,04% от всей массы Земли. Какова масса железа на нашей планете? б) Мас-
са воды на планете составляет 9%. Какова масса воды на Земле?
Урок 79 Решаем задачи на проценты
Задача 1. Токарь вытачивал за 1 ч 40 деталей.
Применив резец из сверхпрочной стали, он стал выта-
чивать на 10 деталей в час больше. На сколько про-
центов повысилась производительность труда токаря?
Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько про-
центов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем
сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40.
Как вычислить эту часть?
Вы знаете, что нужно разделить 10 на 40. Получится
0,25. А теперь 0,25 запишем в процентах — 25%. Полу-
чаем ответ: производительность труда токаря повыси-
лась на 25%.
Итак, чтобы найти, сколько процентов одно число
составляет от другого, нужно разделить первое число
на второе и полученную дробь записать в виде про-
центов.
Задача 2. Тракторист вспахал 1,32 кв. км пашни.
Это составило 60% всей площади, которую он должен
вспахать. Какова вся площадь, которую ему нужно вспа-
хать?
Давайте рассуждать. Вся площадь нам неизвестна.
Обозначим ее буквой х. Мы знаем, что 60% от числа х
составляют 1,32.
Как записать это утверждение равенством?
Правило, сформулированное в уроке 78, подсказывает
нам, что сначала нужно заменить десятичной дробью,
а затем записать уравнение х-0,60 =1,32. Решая его,
получаем, что х= 1,32:0,6 = 2,2 (кв. км).
Что же мы сделали, чтобы найти х? Во-первых, за-
менили проценты десятичной дробью, а во-вторых, раз-
делили данное нам число на получившуюся десятичную
дробь.
Конечно, площадь и число процентов в этой задаче
могли быть другими. Но путь решения остался бы тем
же самым. Значит, можно сформулировать правило:
233
(Урок 79)
Если дано, сколько процентов от искомого числа со-
ставляет данное число, то, чтобы найти искомое число,
нужно заменить проценты десятичной дробью и разде-
лить на эту дробь данное число.
Вопросы и задания
4% 79.1. Как найти, сколько процентов одно число состав-
ж ляет от другого?
* 79.2. Как узнать число, если известно, сколько про-
центов от него составляет данное число?
79.3. Сколько процентов составляют:
! а) 28 от 40; г) 102 от 425; ж) 36,9 от 12,3,
б) 63 от 75; д) 4,71 от 31,4. 3) 43,7 от 43,7?
в) 144 от 384; е) 14,5 от 11,6;
79.4. Поверхность всей Земли 510,1 млн. кв. км. Суша за-
нимает 149,2 млн. кв. км, остальная часть поверхности покрыта
водой, а) Какова площадь поверхности, покрытой водой? б) Сколь-
ко процентов поверхности Земли покрыто водой? (Ответ округли-
те до десятых.)
79.5. Пользуясь данными задачи 41.8, вычислите, сколько
процентов от массы всех грузов перевозится в СССР каждым
видом транспорта: железнодорожным, морским, автомобильным.
(Ответы округлите до десятых.)
79.6. а) Территория всех государств нашей планеты 135,8 млн.
кв. км. Социалистические страны занимают территорию
35,6 млн. кв. км, а СССР имеет территорию 22,4 млн. кв. км.
Сколько процентов территории занимают социалистические стра-
ны, СССР? Сколько процентов территории социалистических стран
занимает СССР? (Ответы округлите до десятых )
б) В 1987 г. население Земли составило 5 млрд, человек.
Население социалистических стран 1668 млн. человек, насе-
ление СССР 281,7 млн. человек. Сколько процентов населе-
ния проживает в социалистических странах, в СССР? Сколько
процентов населения социалистических стран проживает в СССР?
(Ответы округлите до сотых )
в) Ученые подсчитали, что к 2000 г население Земли составит
6,1 млрд, человек. На сколько процентов возрастет население
по сравнению с 1987 г.?
79.7. (У) а) На сколько процентов 32 меньше числа 40?
6) На сколько процентов 40 больше числа 32?
79.8. Используя полученный вами ответ в задаче 11.4, вы-
числите, на сколько процентов возрастет в СССР добыча нефти
и угля, а также производство электроэнергии за двенадцатую
пятилетку 1986—1990 гг (Ответ округлите до десятых.)
79.9. Для изготовления бронзы (ее состав см. в задаче 78.8)
мастер взял 16,2 кг меди а) Сколько килограммов бронзы у
(Урок 80) 234
него получится? б) Сколько килограммов олова надо добавить
для приготовления бронзы?
79.10. Для изготовления латуни (ее состав см. в задаче 78.9)
в плавильную печь загрузили 123 кг меди, а) Сколько килограм-
мов латуни получится? б) Сколько килограммов цинка надо
загрузить в печь?
79.11. По содержанию углерода сталь бывает трех типов: ее
называют низкоуглеродистой, если она содержит менее 0,3% уг-
лерода, среднеуглеродистой, если содержит от 0,3% до 0,65% уг-
лерода, и высокоуглеродистой, если содержит более 0,65% угле-
рода. В лабораторию поступило 500 г стали. Какая это сталь,
если в ней обнаружено: а) 3,2 г углерода; б) 1,3 г углерода;
в) 1,6 г углерода; г) 4,8 г углерода; д) 7 г углерода?
79.12. Концентрацией раствора называют число, показываю-
щее, какую часть массы раствора составляет растворенное
вещество. Концентрацию обычно записывают в процентах. На-
пример, если в 100 г раствора йода содержится 5 г йода, то
концентрация равна 5%. а) Сколько граммов йода содержится
в 300 г его 6%-ного раствора; 3%-ного; 12%-ного? б) Сколько
граммов соли содержится в 2 кг ее 2%-ного раствора; 10%-ного;
35%-ного?
79.13. Для засолки огурцов используют раствор соли (рас-
сол) следующих концентраций: 8% для крупных огурцов, 7%
для средних и 6% для мелких. Сколько соли надо взять, что-
бы приготовить для каждой концентрации: а) 10 кг рассола;
б) 16 кг рассола; в) 50 кг рассола?
79.14. Какую концентрацию будет иметь рассол, если в 1 кг
воды растворить: а) 250 г соли; б) 600 г соли; в) 1 кг соли?
79.15. а) Оля в стакан чая кладет обычно 2 чайные ложки
сахара и считает такой чай сладким. Масса чая в стакане
200 г, масса сахара в одной ложке 10 г. Какова концентрация
сахара в Олином чае? (Ответ округлите до 1%.)
б) Исследуйте, при какой концентрации сахара вы считаете
чай сладким.
урок во Учимся рассуждать при решении задач.
Иногда бывает нужно запастись
терпением
В уроке 5 мы обсуждали, как неудобен способ записи
больших чисел палочками. Помните? Мы утверждали,
что для записи палочками числа 200 000 не хватило бы
суток. Как проверить это? Неужели засечь время и пи-
сать до изнеможения все 200 000 палочек?
Конечно, нет. Мы сможем подсчитать, как долго
нам придется писать палочки, если будем знать, сколько
времени в среднем тратится на запись одной палочки.
235 (уРОК 81)
Пусть на запись одной палочки в среднем уходит
полсекунды. Тогда на 200 000 палочек нужно 0,5 X
X200000= 100 000 (с). Больше это или меньше одних
суток? Чтобы дать ответ, выразим получившееся число
в минутах, часах, сутках. Вот тут-то и потребуется тер-
пение. Ведь чтобы выразить данное число секунд в ми-
нутах, нужно разделить его на 60, полученное число
разделить на 60, чтобы выразить время в часах, и, наконец,
результат разделить на 24, чтобы узнать, сколько суток
умещается в этих часах.
Проведите расчеты самостоятельно и убедитесь
в том, что наше утверждение верно.
Задания
»80.1. Засеките время и напишите 20 палочек. Узнайте,
сколько времени в среднем вы тратите на запись одной
палочки. Вычислите, сколько времени вы потратите, чтобы
написать: а) 200 000 палочек; б) I млн. палочек.
80.2. Волжский автозавод каждые 20 с выпускает машину
«Жигули». Сколько машин выпускает автозавод за високосный
год?
80.3. Сердце человека делает в среднем 75 ударов в минуту.
Сколько ударов сделает сердце за 70 лет (продолжительность
года возьмите в среднем 365,25 дней)?
80.4. Скорость, с которой Земля движется вокруг Солнца,
равна 29,71 км/с. Продолжительность года 365 сут 5 ч 18 мин
46 с. Какова длина орбиты Земли вокруг Солнца?
80.5. В уроке 7 мы утверждали, что книга в 1 млрд, страниц
была бы толщиной больше 40 км. Проверьте утверждение, учи-
тывая, что толщина одного листа в книге 0,09 мм.
80.6. Что больше: 1 год или 1 млн. секунд; 1 век или 1 млрд, се-
кунд?
80.7. Узнайте по часам, сколько времени вам понадобится
для умножения двух десятизначных чисел, например 4 276 835 102
и 1 502 973 142 (не считая времени на их запись). Подсчитайте,
сколько вам потребуется времени для выполнения 1 000 000 та-
ких действий. Ответ выразите в сутках, часах, минутах и се-
кундах. На выполнение 1 000 000 таких умножений ЭВМ тра-
тит I с. Во сколько раз ЭВМ считает быстрее, чем вы?
Урок 81
Задания на повторение к § 8
»81.1. Цена 1 м ситца 3 р. 15 к. Сколько надо заплатить:
а) за 2 м 40 см; б) за 3 м 35 см; в) за 63 см? (Совет:
результаты вычислений разумно округлите.)
(Урок 81)
236
81.2. Цена 1 кг капусты 8 к. Сколько надо заплатить за ко-
чан капусты весом: а) 3 кг 700 г; б) 1 кг 250 г; в) 4 кг 420 г?
| 81.3. Решая задачу 78.76), вы узнали, сколько человек в на-
шей стране проживало в 1986 г. в городах и сколько в сельской
местности. Тогда же городской жилищный фонд составил
2560 млн. кв. м, а сельский — 1510 млн. кв. м. Сколько квадрат-
ных метров жилой площади приходилось в среднем: а) на го-
родского жителя; б) на сельского жителя? Ответ дайте с точ-
ностью до десятых.
81.4. Холодильник стоил 220 р. После модернизации его це-
на повысилась на 25%, а через год она была понижена на 20%.
Дороже или дешевле 220 р. стал стоить холодильник через год?
81.5. а) Смекалкин предложил младшему брату увеличить
число 8 на 30%, а затем результат уменьшить на 30%. «Тут
и решать нечего! — воскликнул брат.— Ясно, что снова полу-
чится число 8». Согласны ли вы с таким ответом? Проделайте
вычисления и проверьте, прав ли младший брат Смекалкина.
б) Число 20 уменьшили сначала на 10%, а затем результат
увеличили на 10%. Что больше: получившееся число или чис-
ло 20? Ответ проверьте вычислением.
81.6. а) После того как тракторист вспахал 70% поля, ему
осталось вспахать 2,4 кв. км. Какова площадь поля? б) Со-
ставьте обратную задачу, в которой требуется найти, какую
площадь осталось вспахать трактористу.
81.7. В таблице приведены данные о пассажирских перевоз-
ках в СССР различными ви-
дами транспорта за 1940 г.,
1970 и 1985 г. (в млн. человек).
Для каждого года вычисли-
те, какой процент пассажи-
ров перевозился каждым ви-
дом транспорта. Ответы ок-
руглите до сотых долей про-
Транспорт 1960 1970 1986
Железнодорож- ный 2231 3354 4345
Морской 26,7 38,5 50,8
Речной 119 145 135
Воздушный 16 71,4 116,1
цента.
81.8. Когда кто-то кладет денежный вклад в сберегательную
кассу, его деньги могут быть временно использованы государст-
вом. За это вкладчику выплачиваются проценты. При обычном
вкладе — 2% в год. Так что если вкладчик положил 100 р.,
то 2% составляют 2 р. и через год его вклад будет уже 102 р.
Еще через год 2% от 102 р. будут 2р. 4 к., поэтому его вклад
станет 104 р. 4 к. а) Каков будет этот вклад через 3 года?
На сколько процентов увеличится вклад за 3 года? б) Вкладчик
положил в сберкассу 300 р. и за 3 года не брал с вклада и не
добавлял к нему денег. Каков будет этот вклад через 3 года?
в) Вкладчик положил 500 р., а через год добавил еще 200.
Каков будет размер вклада, когда пройдет еще один год?
г) Вкладчик положил 600 р., а через год снял с вклада 300 р.
Каков будет размер вклада, когда пройдет еще один год?
237 (Большая перемена II)
81.9. Руда, загружаемая в домну, содержит 60% железа.
В домне из руды выплавляется чугун, который содержит 98% же-
леза. Сколько тонн чугуна будет выплавлено из 245 т руды?
81.10. В совхозе два поля квадратной формы. Сторона од-
ного из них 1,4 км, а другого — на 10% больше, а) Каков
периметр каждого поля? На сколько процентов периметр вто-
рого поля больше периметра первого? б) Какова площадь каж-
дого поля? На сколько процентов площадь второго поля больше
площади первого?
Большая перемена II
БЕСЕДА О МАТЕМАТИЧЕСКИХ СЛОВАХ
Младший брат спросил Смекалкина: «Что такое дробь?» Смекалкин
переспросил: «А в каком смысле? Ведь слово «дробь» многозначное».
Младший брат удивился: «Я знаю многозначные числа, но разве
бывают многозначные слова?»
А вы знаете, что такое многозначное слово?
Нужно вспомнить о лексических значениях слов. Об этом го-
ворилось на уроках русского языка и написано в учебнике рус-
ского языка. Слово называется многозначным, если у него несколь-
ко значений. Если поразмышлять над словом «дробь», то нетрудно
догадаться, что у него как раз несколько значений. Вот три слово-
сочетания, в которых это слово используется с разными значе-
ниями: 1) охотничья дробь; 2) барабанная дробь; 3) десятичная
дробь. Так что Смекалкин не зря переспрашивал младшего брата!
В третьем словосочетании значение слова «дробь» относится к мате-
матике. Давайте договоримся называть математическим всякое слово,
которое имеет значение, относящееся к математике.
При изучении математики, конечно, постоянно приходится поль-
зоваться математическими словами.
Приведите несколько примеров математических слов.
Таких слов очень много. В любом учебнике математики они встре-
чаются почти в каждой строке. И среди них немало многознач-
ных. Несколько многозначных математических слов приведено в сле-
дующей таблице.
Слово Словосочетание, где исполь- зуется значение слова, отно- сящееся к математике Словосочетание, где исполь-. зуется какое-нибудь другое значение слова
Натуральный Натуральный ряд Натуральный сок
Разряд Разряд десятков Разряд молнии
Класс Класс миллионов
Прямая Прямая речь
Назовите подходящие словосочетания для
пустых клеток таблицы.
(Большая перемена II)
Некоторые многозначные слова могут иметь два разных значе-
ния, из которых оба относятся к математике. Например, слово «нуль»;
есть число нуль и есть цифра нуль.
и
Приведите примеры словосочетаний со словом «нуль*,
использованным в каждом из этих двух смыслов.
Как вы знаете, значения слов указываются в толковом словаре.
Так что, отыскав в нем какое-нибудь математическое слово, можно
определить, будет ли оно многозначным. Но бывает интересным уз-
навать и происхождение слов. У некоторых математических
слов оно сразу понятно. Например, «делимое» — ясно, что так назвали
число, которое делят на другое число, т. е. это слово происходит от
глагола «делить». Еще пример: «вычитаемое».
От какого глагола происходит это слово?
Еще пример, немного потруднее: «точка». Можно догадаться,
что это слово произошло от глагола «ткнуть». А если не сможешь
догадаться? Как тогда быть? Тогда можно обратиться к специаль-
ному словарю, в котором рассказывается о происхождении слов.
Такой словарь называется этимологическим. Много слов вошло в рус-
ский язык из других языков, такие слова называют заимствованными.
Знакомиться с ними можно по словарю иностранных слов.
Вот пример заимствованного математического слова: «цифра».
Оно арабского происхождения. А возникло это слово так. Индийские
математики, придумавшие (в VI в.) позиционную десятичную нуме-
рацию, поняли (в IX в.), что нужен специальный знак для обозна-
чения отсутствия какого-нибудь разряда в записи числа. Такой
знак они назвали «сунья», что означает пустой. Арабы перевели это
слово на свой язык, и получилось слово «сифр». Из арабского языка
это слово перешло (в средние века) в европейские языки, превратив-
шись в «цифру».
Итак, сначала слово «цифра» означало нуль. Начиная с XV в.
этим словом стали называть все числовые знаки (а для нуля по-
явилось слово «зеро», которое вошло в несколько европейских язы-
ков, например в английский и французский). В русский язык слово
«цифра» вошло в XVIII в. Во французском языке слово «цифра»
превратилось в слово «шифр». В таком виде оно тоже пришло в рус-
ский язык, но уже с другим значением: условная азбука
для секретного письма. Родство слов «шифр» и «цифра»
остается и в русском языке, ведь для шифров как раз удобно при-
менять цифры! В нашем учебнике такое применение цифр есть: пом-
ните задачки клоуна в § 1, где кое-что шифровалось?
Немало заимствованных математических слов пришло из гре-
ческого и латинского языков. Ведь математика развивалась в Древней
Греции и Древнем Риме задолго до создания русской письменности.
Уже само слово «математика» греческого происхождения: оно обра-
зовано от слова «матема» — наука, учение. Греческое слово
«аритмос» означает число; от него образовано слово «арифме-
тика» (искусство счета). Арифметика — древнейшая часть ма-
тематики. Другая ее древнейшая часть — геометрия; ее название
получилось из двух греческих слов «гея» (земля) и «метрон» (м е-
ра). Так что первоначальный смысл слова «геометрия» был земле-
мерие. Слово «метр» также образовано от слова «метрон».
Мы советуем вам задумываться над происхождением математи-
ческих слов. Иногда мы говорим об этом в учебнике, а, кроме того,
вы можете обратиться к своему учителю или поискать интересующее
вас слово в словаре. Много интересных рассказов о понятиях ма-
тематики и математических словах есть, например, в «Энциклопе-
239 (Большая перемена 1!)
дическом словаре юного математика». Мы особенно рекомендуем вам
читать эту книгу.
Если хорошо помнить смысл некоторых приставок и корней, за-
имствованных из других языков, то легко будет понимать смысл
многих математических слов. Например, употребительны следующие
приставки, перечисленные в таблице (в скобках указано происхож-
дение: гр.— из греческого языка, лат-.— из латинского, фр.— из фран-
цузского) :
Приставка Ее значение Примеры
дека... (гр.) 10-кратно исходной единице дека литр =10 литров
гекто... (гр.) 100-кратно исходной единице гектолитр = 100 литров
кило... (гр.) 1000-кратно исходной единице километр = 1000 метров килограмм = 1000 граммов
деци... (лат.) 0,1 исходной единицы дециметр=0,1 метра
санти... (фр.) 0,01 исходной единицы сантиметр=0,01 метра
милли... (лат.) 0,001 исходной единицы миллиметр=0,001 метра миллиграмм = 0,001 грамма миллилитр = 0,001 литра
Эти приставки нередко используют в названиях единиц физи-
ческих величин. Когда вы в старших классах узнаете, например, что
такое вольт и ампер, автоматически будут понятны и слова «кило-
вольт» и «миллиампер».
Скажите, что означает каждое из этих двух слов?
Приставка «гекто» (только без гласной «о») используется в сло-
ве «гектар», которое означает 100 аров. Это единица измерения
площади, мы познакомим вас с ней в уроке 93. Приставка «дека»
встречается, например, и в слове «декада», означающем 10 дней.
Слово «миллион» начинается с «милли», но здесь это не приставка
«одна тысячная», а корень «тысяча». Само же слово «миллион» по-
явилось впервые в средневековой Италии для обозначения «большой
тысячи», т. е. «тысячи тысяч». Как из «милли» произошла мера длины
«миля», мы расскажем в следующей большой перемене.
Задания
T1I.1. Выпишите из предметного указателя в нашем учебнике мно-
гозначные слова (это задание не на один раз, а на много недель).
Назовите (или запишите) для каждого из них те лексические зна-
чения, которые вам известны.
П.2*. Рассмотрите таблицу многозначных слов в объяснительном тексте
большой перемены, а) Для каждого слова из таблицы приведите по три сло-
восочетания с разными значениями этого слова, б) Продолжите таблицу дру-
гими многозначными математическими словами.
IL3. В словах «диагональ» и «диаметр» одна и та же приставка «диа»
(гр.), обозначающая «через». Греческое слово «гониа» означает угол, «диа-
гональ» означает прямую линию, проходящую «через углы». А буквальный
перевод слова «диаметр» — «измерение через» окружность. Приведите еще
несколько слов с приставкой «диа».
11.4. (У) В ‘задании 3.9 впервые в этом учебнике был упомянут киловатт-
час — это единица измерения электроэнергии. Более мелкая единица называ-
ется ватт-часом. Во сколько раз 1 кВт-ч больше, чем 1 Вт-ч?
П.5. (У) В старших классах вы узнаете, что такое калория (единица коли-
чества тепла), что такое бел (единица громкости звука). Какое лексическое
значение имеют слова «килокалория» и «децибел»?
Глава ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
III ______________________________________
§ 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Числа на практике часто возникают при измерении
разных величин. В этом параграфе мы будем рассказы-
вать о геометрических величинах. Они помогают изучать
геометрические фигуры: линии, углы, многоугольники. Все
эти фигуры плоские. Их можно представить начерченными
на плоскости стола, на ровной площадке земли и, конеч-
но, на листе бумаги.
Некоторые геометрические величины вам давно зна-
комы. Например, длина. Но и про длину вы узнаете
здесь кое-что новое: научитесь измерять не только длину
отрезка, но и длину окружности. А еще вы познакомитесь
с одной новой величиной, которую применяют для измере-
ния углов. Что это за величина? Потерпите до урока 89,
где мы начнем о ней рассказывать.
урок 82 цем интересуются, когда изучают
многоугольники
Если спросить, почему треугольник называется тре-
угольником, то каждый ответит: потому, что у него три
угла. Но давайте задумаемся, чем нам пришлось поинте-
ресоваться, отвечая на такой вопрос. Углами треугольни-
ка. Точнее, их числом.
Про треугольники, четырехугольники, пятиугольники
и т. д. можно сказать, что все это многоугольники. Чем
еще интересуются, изучая многоугольники? Пожалуй,
прежде всего их вершинами. Каждому видно: у любого
многоугольника вершин столько же, сколько углов. А еще
интересуются сторонами. Если двигаться по сторонам
многоугольника от вершины к вершине, то можно вы-
смотреть еще и такое свойство: сторон у многоугольника
столько же, сколько углов.
241
(Урок 82)
Значит, треугольник можно было бы назвать
и «трехвершинником», и «трехсторонником»?
Да. Но люди давно договорились упоминать в названии
только углы. Ведь по виду углов часто судят о форме
многоугольника. Вспомните, например, прямоугольник.
Почему он так называется? Потому, что у него все углы
прямые. Значит, можно интересоваться не только числом
углов, но и тем, какие углы у многоугольника.
Прямые углы встречаются часто. У книги, у открытки,
у окна все углы прямые. Эти предметы имеют форму
прямоугольника.
Укажите среди окружающих предметов еще
несколько таких, которые имеют форму
прямоугол ьн ика.
Рассмотрите два многоугольника на рисунке 58.
Б
А
D
Н Рис. 58
Чем они похожи (т. е. что у них общего) и
чем отличаются?
Общее у них то, что оба они четырехугольники и у
каждого все углы прямые, т. е. они прямоугольники.
А отличаются они длинами сторон. У прямоугольника
ABCD стороны имеют длину 2 см и 1,5 см, у прямоугольни-
ка EFGH — 3 см и 1 см (проверьте!). Значит, нам
пришлось поинтересоваться здесь не только числом сторон,
ноидлиной каждой стороны.
Среди прямоугольников есть особенные — у которых
все стороны имеют одну и ту же длину. Вы, конечно,
помните, что их называют квадратами.
Давайте повторим:
ПРЯМОУГОЛЬНИК — ЭТО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК,
У КОТОРОГО ВСЕ УГЛЫ ПРЯМЫЕ.
КВАДРАТ —ЭТО ПРЯМОУГОЛЬНИК,
У КОТОРОГО ВСЕ СТОРОНЫ ИМЕЮТ
ОДИНАКОВУЮ ДЛИНУ.
Итак, чем же интересуются, когда изучают много-
угольники? Главным образом числом вершин (углов, сто-
(Урок 82) 242
рон), видом углов, длинами сторон. Зная длину сторон,
можно вычислить периметр многоугольника. Им тоже
часто интересуются. Напомним, что периметр многоуголь-
ника — это сумма длин всех его сторон. Вы уже много
раз вычисляли периметр прямоугольников.
Мы и площадь прямоугольников тоже вычисляли.
wHh Ею ведь тоже интересуются. А площадь других
фигур тоже можно вычислять?
Можно. Но это непростая задача. Мы обсудим ее в
§ 10.
Вопросы и задания
gfe 82.1. Сколько вершин у треугольника; шестиугольни-
ж ка? Сколько сторон у четырехугольника; семиугольника?
82.2. Что такое прямоугольник? Что такое квадрат?
82.3. Всякий ли четырехугольник является прямоугольником?
Всякий ли прямоугольник является квадратом? Ответы объясните.
82.4. Что такое периметр многоугольника?
Г82.5. Отметьте в тетради четыре
точки так же, как на рисунке 59. Пе-
речислите треугольники, вершины кото-
рых будут среди этих точек: АВС.
ABD. ... (продолжите список).
Сколько всего таких треугольников?
82.6. Возьмите угольник и начертите в
тетради четырехугольник, у которого: а) толь-
ко один прямой угол; б) только два прямых
Рис. 59
угла.
82.7. Отара овец содержится в загоне (специально огорожен-
ном месте), имеющем форму квадрата со стороной 40 м. Когда
отара увеличилась, было решено перестроить загон: при той же
ширине 40 м он будет иметь длину 70 м. а) На сколько увели-
чится длина ограды? б) На сколько увеличится площадь загона?
в)* Если длину ограды сделать такой же, как у запланирован-
ного нового загона, а форму оставить квадратной, то какую
площадь будет иметь загон?
82.8. На рисунке 60 показан кусок ткани,
свернутый в рулон, а) (У) Какую форму
примет этот кусок, если рулон развернуть?
б) Длина куска ткани в рулоне 50 м, ширина
140 см, а 1 кв. м ткани весит 350 г. Какова
масса рулона? в) Длину ткани в рулоне уве-
личили на 15%. Какова теперь масса рулона? На сколько про-
центов увеличилась масса рулона?
243
(Урок. 83)
82.9. Измерьте стороны треугольника АВС
на рисунке 61. а) Найдите периметр треуголь-
ника АВС. б) Длину стороны ВС обозначим
буквой а, длину стороны АС — буквой Ь, а
длину стороны АВ — буквой с. Заполните сле-
дующую таблицу:
Сумма длин двух сторон а-|-6 = а-±-с= Ь-\-с=
Длина третьей стороны с= ь= а=
82.10. (У) Из четырех одинаковых планок
своего конструктора Юра сделал квадрат.
Но гайки оказались не очень крепко закру-
ченными, и квадрат перекосился (см. рис. 62).
Что общего у этих двух четырехугольников и
чем они отличаются?
Рис. 62
урок 83 Поговорим о сторонах прямоугольника.
Формула для периметра
Рассмотрим прямоугольник ABCD
на рисунке 63. Стороны АВ и CD проти-
воположные, у них нет общих вершин.
Стороны АВ и ВС имеют общую верши-
ну В, такие стороны называют смежны-
ми. Давайте перечислим все пары смеж-
ных сторон нашего прямоугольника:
АВ и ВС, ВС и CD. ... .
Закончите этот список. Перечис-
лите две пары противоположных
сторон прямоугольника ABCD.
в
Рис. 63
а
□
Стороны AD и ВС имеют одинаковую длину (проверь-
те!). Говорят также, что они равны. А математическими
знаками это записывается так: AD=BC. Стороны АВ и
CD также равны (проверьте!): AB = CD. Вообще в любом
прямоугольнике противоположные стороны равны. Поль-
зуясь этим свойством, можно найти удобную формулу,
выражающую зависимость периметра прямоугольника от
длин его сторон.
Найдем периметр прямоугольника ABCD. Длина
стороны АВ (значит, и длина CD) равна 3 см, длина
стороны AD (значит, и длина ВС) равна 5 см. Вычисляя
(Урок 83)
244
Рис. 64
Рис. 65
и
периметр, получаем цепочку равенств:
3 +54-3 + 5 = 3 + 3 + 5 +5 = 3-2 + 5-2 =
= (3 + 5)*2 (см). Обратите внимание: мы восполь-
зовались здесь несколькими свойствами действий
над числами — переместительным и сочетательным
законами сложения, распределительным законом
умножения.
Периметр любого другого прямоугольника вы-
числяется точно так же. Обозначим буквами а и b
длины смежных сторон прямоугольника (см. рис. 64),
а буквой Р — его периметр. Тогда получаем цепочку
равенств: Р = а + & + а + & = а + а + & + 6 = а*2 +
+ &.2=(а + &)-2 = 2-(а + 6).
Помните свойство цепочки равенств, которое
мы обнаружили в уроке 10? Сформулируйте
его.
Соединяем знаком равенства крайние выражения
в нашей цепочке:
Р = 2-(а + &).
Вот и формула получилась! Простая и удобная. Она
наглядно показывает, что для вычисления периметра
прямоугольника незачем измерять длины всех сто-
рон, а нужно знать длины только двух смежных.
Если прямоугольник является квадратом, то фор-
мула для его периметра еще проще. Ведь у квадрата
все стороны равны, значит, достаточно знать длину
только одной стороны. Обозначим эту длину буквой
а (рис. 65). Тогда Р=а + а + а + а = а-4 = 4-а. По-
лучили формулу
Пользуясь найденными формулами, вы сможете
быстро и легко вычислять периметры любых прямо-
угольников.
Вопросы и задания
83.1. Какое свойство противоположных сторон прямо-
угольника было сформулировано в уроке?
83.2. Напишите формулы для периметра прямоуголь-
ника и периметра квадрата. Что обозначают буквы в этих
формулах?
83.3. Закройте тетрадь, измерьте длины ее смежных
сторон. Откройте тетрадь и вычислите ее периметр по
формуле.
245
(Урок 84)
83.4. (У) Боксерский ринг — это площадка
квадратной формы со стороной 6 м. Ринг огоро-
жен тройным канатом. Сколько метров каната
нужно для одного ринга?
83.5. (У) Периметр квадрата 84 м. Найдите
его сторону.
83.6. а) Постройте прямоугольник со сторонами 5,4 и 2,2 см.
Найдите, его площадь, б) Постройте квадрат, периметр которого
равен периметру уже построенного прямоугольника. Найдите его
площадь.
83.7. Сад нужно огородить сплошным забором из досок шири-
ной 10 см. Сколько нужно заготовить досок, если сад имеет форму
прямоугольника со смежными сторонами 80 и 120 м?
83.8. В спортивном зале размечают баскетбольную и волей-
больную площадки, которые имеют форму прямоугольников.
Смежные стороны баскетбольной площадки — 14 м и 26 м, волей-
больной — 9 м и 18 м. Чтобы провести линию длиной 1 м, нужно
40 г краски. Сколько нужно краски, чтобы обвести линией обе
площадки? Q
83.9. Измерьте стороны треугольника АВС /v
на рисунке 66 и заполните такую же таблицу, /
как в задании 82.9. /
83.10. Перерисуйте прямоугольник, изобра- <
женный на рисунке 67, на листок клетчатой бу- А
маги и разрежьте его на две одинаковые части Рис- 66
так, чтобы из них можно было сложить треуго- ————— —
льник. Сколько разных треугольников вам уда- — ——— —
лось сложить? -------------
Рис. 67
Урок 84 Что значит измерить.
Сравнение отрезков
Людям постоянно приходится измерять разные величи-
ны: массу, температуру, площадь и многое-многое другое.
Среди измеряемых величин самая простая — длина отрез-
ка. Эту величину часто называют другими словами.
Например, ширина дороги, высота башни, глу-
бина колодца, толщина доски. Слова разные, но
они всегда означают длину какого-нибудь отрезка.
Назовите еще несколько случаев, когда можно
использовать слова «ширина», «высота», «глубина»,
«толщина».
84) 246
Вспомним еще одно важное слово — «расстояние».
Расстояние между двумя точками на плоскости — это
длина отрезка, соединяющего эти две точки.
Для измерения длин применяют линейки (обычные
и складные), рулетки, мерные ленты и другие приспособ-
ления.
11111 !l I I 111 I 1 )l I И 11 I ч 11 m | । । । » унт 1'| i t। । | I J м 11 । । । j । । гч jiHTT
Как измеряют длину отрезка
линейкой? Очень просто: прикла-
дывают линейку и смотрят, сколь-
ко делений линейки содержится
между концами измеряемого отрез-
ка. На рисунке 68 между концами
А и В отрезка содержатся 23
миллиметровых деления линейки.
Поэтому говорят, что длина от-
Рис. 68
резка АВ равна 23 мм, и пишут: |АВ|=23 мм. Если мы
хотим выразить длину в сантиметрах, то придется восполь-
зоваться дробями, например десятичными. Для нашего
отрезка получим |АВ 1=2,3 см.
Вы видите, что длина выражается числом с указанием
единицы измерения. Конечно, единицы измерения исполь-
зуются разные. Если выразить длину отрезка АВ в кило-
метрах, то получится |АВ| =0,000023 км. Ясно, что это
неудобно.
Какими единицами удобно измерять длину гвоз-
дя? высоту дома? расстояние между городами?
Отрезок, длина которого равна выбранной единице
измерения, называют единичным отрезком. Теперь мы мо-
жем сформулировать, что значит измерить длину.
ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОТРЕЗКА — ЗНАЧИТ НАЙТИ
ЧИСЛО, ПОКАЗЫВАЮЩЕЕ, СКОЛЬКО ЕДИНИЧНЫХ
ОТРЕЗКОВ СОДЕРЖИТСЯ В ДАННОМ ОТРЕЗКЕ.
Вам приходилось уже сравнивать натуральные числа
(см. урок 8) и дроби (см. уроки 54 и 65). Отрезки тоже
147 (Урок 84)
можно сравнивать. Что значит В
сравнить два отрезка? Это
значит узнать, какой из них *
длиннее. А как это узнать? Из- ^*'**х^
мерить их длины и сравнить два £ &
полученных числа. Например, из- « •
меряя отрезки АВ и CD на ри- Ряс> до
сунке 69, получаем 1451=26 мм,
I CD 1=28 мм. Вы видите, что |CD|>|AB|. Значит,
отрезок CD длиннее отрезка АВ, а отрезок АВ короче
отрезка CD.
Может случиться так, что два отрезка имеют одну и ту
же длину. Отрезки одинаковой длины называют равными.
Вопросы и задания
84.1. Что такое расстояние между двумя точками на
ш плоскости?
" 84.2. Что значит измерить длину отрезка?
84.3. Что значит сравнить два отрезка?
84.4. Какие отрезки называют равными?
84.5. Измерьте отрезки на рисунке 70, а. Какой из них
* самый длинный; самый короткий? Запишите цепочку
неравенств из длин этих отрезков.
84.6. а) Сравните отрезки KL и MN на рисунке 70, б на глаз.
Затем измерьте их. Какой из них длиннее? б) Сравните отрезки
АС и СЕ на рисунке 70, в на глаз. Затем измерьте их. Какой из них
короче?
а)
Рис. 70
(Урок 84) 248
84.7. На прямой отметьте точки Л, В, С и D так» чтобы вы-
полнялись равенства |ЛВ|=2см 1 мм, |ВС| = 1 см 4 мм, |СО| =
= 3 см 5 мм. Найдите суммы (|ЛВ| + |ВС|) + |СО| и |ЛВ|4-
+ (|ВС| + |СО|). Длине какого отрезка равна каждая из этих
сумм? О каком свойстве сложения говорит их равенство?
84.8. а) Начертите в тетради отрезок АВ длиной 2 см. б) Про-
должите отрезок АВ до точки С так, чтобы точка В лежала на
отрезке Л С и выполнялось равенство |ЛС|=4 см. в) Продолжи-
те отрезок АС до точки D так, чтобы точка Л лежала на отрезке
DC и выполнялось равенство I DC | =5 см. г) Продолжите отрезок
DC до точки Е так, чтобы точка С лежала на отрезке DE и вы-
полнялось равенство |DB|=6 см.
84.9. На рисунке 71 показан треугольник ЛВС. Выполните
для него такое же задание, как 82.9.
84.10. Периметр прямоугольника равен 4 дм, а длина одной
стороны — 1,5 дм. Найдите длину смежной с ней стороны.
84.11. Лист бумаги сложили вдвое, потом еще вдвое (на ри-
сунке 72 пунктиром показаны линии сгиба). Измерив периметр
дважды сложенного листа, получили 51 см. Какой периметр
у развернутого листа бумаги?
84.12. Установите раствор циркуля 14 мм (так, как показано
на рисунке 73). Начертите окружность, не меняя раствора цир-
куля, и отметьте на ней три точки Л, В и С. Не измеряя отрезки
Л О, ВО и СО, скажите, какую длину они имеют. Проверьте свою
догадку измерением.
Рис. 72
А Рис. 73
249
(Урок 85)
84.13* . Парк окружен прямоугольной оградой со смежными
сторонами 760 и 530 м. Снаружи парка, на удалении 1 м от
ограды, пролегает тропинка. Тренируясь, каждое утро спортсмен
пробегает по тропинке вокруг парка два раза. Какое расстояние
пробегает по утрам спортсмен?
84.14. Клоун рассказал публике, что он проехал на
поезде по самому длинному беспересадочному маршру-
ту — от Москвы до Владивостока. И что длина этого
маршрута 9 297 000 000 мм. А за время пути он прочитал
книгу толщиной 0,000026 км. Публика смеялась: всем было
ясно, что клоун пользовался неподходящими единицами длины.
Запишите длину маршрута в километрах, а толщину книги в
миллиметрах.
Урок 85 Прямая линия и луч
Какая линия самая знаменитая? Пожалуй, каждый
скажет, что прямая. Чертить прямые линии по линейке вам
приходилось уже не раз. А как обозначить данную пря-
мую линию? Можно отметить на ней две точки А и В
(рис. 74) и сказать: «Прямая АВ» или «Прямая ВА» —
это одно и то же. Почему для этого достаточно указать
две точки? Потому что выполняется такое свойство:
через две точки проходит только одна прямая. Это свой-
ство и позволяет обозначать прямую, называя две ее точки.
Посмотрите еще раз на рисунок 74. Можно сказать,
что прямая АВ получается из отрезка АВ, если его про-
должить бесконечно в обе стороны. Чтобы лучше предста-
вить бесконечность прямой, вспомните-ка сказочного вол-
шебника, который отправился «в поход» по натуральному
ряду (см. урок 43). Что если он пойдет «в поход» по
прямой линии? Тогда, в какую бы сторону волшебник ни
пошел, он никогда не дойдет до конца. Потому что концов
у прямой нет!
Если отрезок бесконечно продолжить только в одну
сторону, то получится луч. Про луч на рисунке 75 можно
сказать, что он начинается в точке А, проходит через
точку В и дальше идет без конца. Точку А называют
началом луча АВ. Обратите внимание: луч АВ и луч
ВА — это два разных луча. Они начинаются в разных точ-
ках, да и направлены в противоположные стороны.
Рис. 74
Рис. 75
Рис. 76
(Урок 85)
250
Рис. 77
Если на прямой отметить точку Л, то получим два
луча, которые начинаются в точке А и направлены в проти-
воположные стороны (см. рис. 76). Их называют проти-
воположными лучами.
Будьте внимательны, когда говорите об отрезке АВ,
прямой АВ и т. д. Конечно, очень важно называть точки
А и В. Но не менее важны и слова «отрезок», «прямая»,
«луч». Рисунок 77 поможет вам запомнить свойства этих
фигур.
Вопросы и задания
9 85.1. Сколько прямых проходит через две точки?
85.2. Чем отличаются лучи АВ и ВА?
85.3. Какие два луча называются противоположными?
W 85.4. Нарисуйте в тетради две точки и проведите через
них прямую линию. Отметьте три точки, лежащие на
прямой, и три точки, не лежащие на ней.
85.5. (У) а) Сколько отрезков на рисунке 78? Назовите их.
б) Как можно обозначить прямую на этом рисунке? в) Сколько
лучей на рисунке 78? Назовите лучи с началом в точке В.
85.6. Являются ли прямыми линии АВ и CD на рисунке 79?
Как вы это проверили?
85.7. Нарисуйте точку О и проведите из нее два непротиво-
положных луча. На каждом луче отметьте по точке на расстоя-
нии 4 см от точки О. Найдите середину отрезка, соединяющего
эти две точки. Обозначьте середину буквой К и проведите луч ОК.
85.8. Сравните на глаз горизонтальные отрезки на рисунке
80. Потом измерьте их. Какой из них длиннее?
85.9. Отрезок, соединяющий противоположные вершины че-
тырехугольника, называют диагональю этого четырехугольника.
а) На рисунке 81 отрезок АС — диагональ четырехугольника
151
(Урок 86)
Рнс. 80
А
В
D
ABCD. Укажите еще одну диагональ. Измерьте диагональ АС
и сторону AD. Какой отрезок короче?
б) Начертите прямоугольник со смежными сторонами 3 см и
4 см. Измерьте его диагонали и сравните их длины.
в)* Как вы думаете, что можно сказать про длины диагона-
лей любого прямоугольника? (Совет: начертите несколько разных
прямоугольников и измерьте их диагонали.)
85.10. а) Нарисуйте в тетради точку М и проведите через
нее две прямые линии, б) На каждой прямой отметьте точки
на расстоянии 3 см от точки М. в) Точки, построенные в пунк-
те б), соедините отрезками. Какой получился четырехугольник?
(Совет: посмотрите, какие у него углы.)
85.11. Скорость света 299 792 км/с. От Солнца до Земли свет
идет 8 мин 19 с. Найдите расстояние от Земли до Солнца. Округ-
лите его до сотен тысяч километров.
Урок 86 ОкруЖНОСТЬ.
Формула для длины окружности
Еще одна знаменитая линия —
это окружность. Ее легко начер-
тить с помощью циркуля. Точка, в
которую упирается ножка-иголка
циркуля — это центр окружности
(точка Р на рисунке 82). Отрезок,
соединяющий центр с какой-либо
точкой на окружности, называют ра-
диусом. На рисунке 82 радиусами
являются отрезки РК, PL и РМ. Все
Рис. 82
86)
252
эти радиусы равны между собой, ведь их длина — это
расстояние между ножками циркуля. Значит, вот какое
свойство мы обнаружили: все точки окружности находят-
ся на одинаковом расстоянии от ее центра.
Найденное свойство удобно использовать, чтобы от-
вечать на вопрос: «Что такое окружность?»
ОКРУЖНОСТЬ —ЭТО ЗАМКНУТАЯ ЛИНИЯ,
ВСЕ ТОЧКИ КОТОРОЙ НАХОДЯТСЯ
НА ОДИНАКОВОМ РАССТОЯНИИ
ОТ НЕКОТОРОЙ ТОЧКИ. ЭТА ТОЧКА
НАЗЫВАЕТСЯ ЦЕНТРОМ ОКРУЖНОСТИ.
Обычно вместо слов «длина радиуса» говорят просто
«радиус». Например, радиус окружности на рисунке 82
равен 1,5 см.
Хорда — это отрезок, концы которого лежат на окруж-
ности. Хорду, проходящую через центр, называют диа-
метром. На рисунке 82 отрезки АВ и KL — хорды, причем
KL — диаметр. Концы диаметра делят окружность на две
одинаковые половинки — полуокружности. Обычно вместо
слов «длина диаметра» говорят просто «диаметр». Ясно,
что диаметр равен двум радиусам.
Зная диаметр, можно найти длину окружности.
Но ведь окружность не отрезок! К ней и линейку
приложить нельзя. Как же ее измерить?
В самом деле, линейкой окружность из-
мерить нельзя. Но можно поступить иначе.
Возьмем, к примеру, стакан. Его край —
окружность. Если обвязать стакан ниткой,
а потом разрезать эту нитку и измерить
ее линейкой, то мы и получим длину ок-
ружности. Попробуйте дома проделать это. Вы увидите,
что длина нитки будет приблизительно в три раза больше
диаметра стакана.
Обозначим длину окружности буквой С, а ее диаметр
буквой D. Оказывается, какую бы окружность ни взять,
частное от деления С на D всегда одно и
то же. Это частное обозначают гречес-
кой буквой л (читается «пи»). Прибли-
женное значение числа л равно 3,14.
Позже вы узнаете, как можно вычис-
лить значение л более точно.
Из равенства С:О = л выводим, что
C — n-D. Обозначим буквой /? ра-
диус окружности. Тогда 0 = 2-/?, а
CD=n
253 (Урок 30
С = л«(2-/?). Пользуясь сочетательным и переместитель-
ным законами умножения, получаем формулу для длины
окружности:
Вопросы и задания
86.1. Какой отрезок называют радиусом окружности,
5 хордой, диаметром?
86.2. Какое свойство точек окружности обнаружено в
уроке?
86.3. Что обозначают буквой л? Какое приближен-
ное значение этого числа вы знаете?
V 86.4. Нарисуйте в тетради две точки А А в
и В. а) Из этих точек как из центров од- • •
ним и тем же раствором циркуля сделайте
засечки (см. рис. 83). Не меняя раствора
циркуля, начертите окружность с центром в точ- х/
ке М. Лежат ли точки А и В на вашей окруж-
ности? б) Изменив раствор циркуля, начертите рис. 83
еще две окружности, проходящие через точки А
и В.
86.5. Нарисуйте две точки К и L на расстоянии 25 мм друг от
друга, а) Начертите окружность радиусом 10 мм с центром в
точке К. б) Начертите шесть окружностей с центрами в точке
L и радиусами 10 мм, 15 мм, 20 мм, 30 мм, 35 мм, 40 мм. В скольких
точках каждая из этих окружностей пересекается с первой окруж-
ностью?
86.6. Найдите длину окружности, если ее радиус равен: а) 1 м;
б) 12 см; в) 1,5 км; г) 3,2 мм.
86.7. а) Радиус одной окружности равен 6 см, радиус дру-
гой — 2 см. Во сколько раз первая окружность длиннее второй?
б) Радиус одной окружности равен 9 м, радиус другой — 3 м.
Во сколько раз первая окружность длиннее второй? в)*Сравните
ответы а) и б). Какой вывод можно сделать?
86.8. а) Длина земного экватора приближенно
равна 40 000 км. Найдите диаметр земного эква-
тора с точностью до сотен километров, б) Ди-
аметр Луны 3476 км. Найдите длину лунного эк-
ватора с точностью до 1 км. в) Диаметр Солнца
равен 1 392 000 км. Найдите длину солнечного
экватора с точностью до тысяч километров.
86.9. Колеса автомашины имеют диаметр 75 см. Машина едет
по шоссе с такой скоростью, что каждую секунду колеса делают
8 оборотов. Найдите скорость машины в км/ч.
86.10. В задании 2.12 мы рассказывали, что в саду у Васи-
(Урок 87)
254
ных родителей растут 6 яблонь. Вася решил определить их диа-
метр на высоте 1 м от земли. Измерив окружность стволов на
этой высоте» он заполнил верхнюю строку таблицы. В нижнюю
строку он записал диа-
метры, округлив их до сан-
тиметров. Найдите и вы
округленные значения
Длина окружности 13 15 16 21 ^2% 25
Ее диаметр
диаметров.
урок 87 Четыре вида углов
Какая получится фигура, если из одной точки про-
вести два луча? Такую фигуру называют углом. Значит,
угол — это два луча с общим началом. Лучи называют
сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.
На рисунке 84 точка А — вершина, а лучи АВ и АС —
стороны угла ВАС. Этот угол можно назвать и так:
угол С АВ.
Рассмотрите углы на рисунке 85. Угол в середине
прямой. Вы хорошо его знаете и умеете чертить с помощью
угольника. Мы будем обозначать прямой угол, рисуя
внутри него квадратик. Слева от прямого тупой угол,
а справа острый.
А как узнать, какой нарисован угол — прямой,
тупой или острый?
Нужно сравнить его с прямым углом. Например, при-
ложив угольник. Как происходит сравнение? Надо со-
вместить с вершиной данного угла вершину прямого угла.
А одну сторону прямого угла наложить на одну из сторон
данного угла. Допустим, мы наложили ее на сторону АВ.
Тогда если сторона АС пойдет вне прямого угла
(рис. 86, а), то угол ВАС тупой; если же внутри (рис. 86, б),
то угол ВАС острый*
Про острый угол говорят, что он меньше прямого,
а про тупой — что он больше прямого.
Но ведь слова «меньше» и «больше» мы
используем для сравнения чисел! А здесь
нет никаких чисел.
255
(Урок 87)
Рис. 86
Числа скоро появятся. А именно, рассказывая об измере-
нии углов, мы познакомим вас с мерой для углов. Причем
острого меньше
мера ...... угла всегда будет числом, которое .......
тупого . больше
меры прямого угла. Потерпите до уроков 89 и 90, где
мы объясним, что это за мера и как она применяется
для сравнения любых углов.
А теперь познакомимся еще с одним видом углов.
Давайте рассмотрим противоположные лучи. Они выходят
из общего начала. Значит, они тоже составляют угол.
Его называют развернутым углом. На рисунке 87 внизу
показан развернутый угол с началом в точке О.
Итак, теперь вы знаете четыре вида углов: прямой,
острый, тупой и развернутый. В следующих уроках вы
продолжите знакомство с ними.
Рис. 87
Вопросы и задания
4* 87.1. Что такое угол? Что называют вершиной угла,
у сторонами угла?
87.2. Какие четыре вида углов вы знаете?
V 87.3. Начертите на листочке по два разных угла каждо-
5 го вида. Предложите соседу по парте указать вид каждо-
го угла. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.
87.4. Определите на глаз вид углов ABE, СВЕ, BED, BEF,
изображенных на рисунке 88. Проверьте ответы, пользуясь уголь-
ником.
(Урок 87)
256
D
Рис. 88
87.5. Нарисуйте в тетради точку О и проведите через нее две
прямые. На каждой прямой отметьте две точки по разные стороны
от точки О. Обозначьте их буквами. На вашем рисунке получи-
лось несколько углов, а) Перечислите их, указывая вид каждого
угла, б)* Сколько всего углов на рисунке?
87.6. (У) Возьмем развернутый угол АОВ и проведем из его
вершины О еще один луч (см. рис. 89). Углы АОС и СОВ называ-
ют смежными. Закончите следующие предложения:
а) если один из смежных углов острый, то другой...;
б) если один из смежных углов тупой, то другой...;
в) если один из смежных углов прямой, то другой... .
С
Рис. 89
87.7. Рассмотрим угол между стрелками часов, когда минут-
ная стрелка показывает на 12 (рис. 90). Этот угол будет тупым
в 8 ч, прямым в 9 ч, острым в 10 ч. Начертите в тетради и запол-
ните таблицу. В верхней строке проставьте часы от 1 до 11, а в
Час 1 2 • • • 11
Угол
нижней — буквы О, П, Т или Р в зависи-
мости от того, какой в этот час угол между
стрелками — острый, прямой, тупой или
развернутый.
257
(Урок 88)
Рис. 90
87.8. Начертите окружность какого-нибудь
радиуса с центром О. Проведите диаметры АВ
и CD так, чтобы угол ВОС был прямой, как на
рисунке 91. Соедините хордами точки А, С, В н D.
Какой получился четырехугольник ACBD? (Со-
вет: измерьте длины сторон и установите вид
углов четырехугольника ACBD.)
87.9* . Дома у Юры часы с боем. Они бьют
каждый час.
Рис. 91
а) Когда Юра пришел из школы, угол между стрелками был
тупой. Ровно через полчаса часы пробили. В этот момент угол
между стрелками стал прямым. Когда Юра пришел из школы?
б) Когда Юра пришел с прогулки, часы били, а угол между
стрелками был тупой. Ровно через полтора часа Юра снова взгля-
нул на часы. Угол между стрелками был опять тупой. Какое время
показывали часы?
Урок 88 «акне бывают треугольники
Смекалкин спросил младшего брата: «Бывают ли тре-
угольники с двумя прямыми углами? с двумя тупыми?
с прямым углом и тупым углом?»
Как бы вы ответили на эти вопросы?
Младший брат попробовал нарисовать треугольники,
о которых его спросил Смекалкин (см. рис. 92). «Третья
вершина не получается,— сказал он.— Таких треуголь-
ников не бывает».
Да, у треугольника два угла непременно острые. И
только один угол может быть прямой или тупой, от него
зависит название треугольника (см. табл.).
9 Учеб ник-собеседник
(Урок 88J
258
Какие у треугольника углы Название треугольника Как он выглядит
Все три угла острые Остроугольный
Один из углов прямой Прямоугольный
Один из углов тупой Тупоугольный
Из урока 82 вы знаете, что, кроме числа и вида углов,
интересуются еще и длинами сторон. Если у треугольни-
ка две стороны равны, то его называют равнобедренным,
а если равны все три стороны, то его называют равно-
сторонним.
Проверьте, что на рисунке 93 все треугольники
равнобедренные. Есть ли среди них равносторон-
ние?
Рис. 93
Конечно, может быть и так, что все три стороны тре-
угольника разной длины. Такой треугольник называют
разносторонним.
Любыми ли могут быть длины сторон треугольника?
Посмотрите ответы в пунктах «б» заданий
82.9, 83.9, 84.9, 85. 9. Сравните длину
каждой стороны треугольника с суммой длин
двух других сторон. Какой можно сделать вывод?
Выполняется вот какое свойство:
В ТРЕУГОЛЬНИКЕ ДЛИНА КАЖДОЙ СТОРОНЫ
МЕНЬШЕ СУММЫ ДЛИН ДВУХ ДРУГИХ СТОРОН.
259
(Урок 88)
Вопросы и задания
88.1. Сколько в треугольнике может быть прямых или
< тупых углов? Сколько может быть острых углов?
* 88.2. Какой треугольник называют остроугольным,
прямоугольным, тупоугольным?
88.3. Какое свойство треугольника про длины сторон было
сформулировано в уроке?
88.4. Как называют треугольник с двумя равными сторонами?
с тремя равными сторонами?
»88.5. (У) а) Смекалкин объяснил младшему брату,
что треугольник с вершинами А, В и С можно называть
по-разному: треугольник АВС, треугольник АСВ... Про-
должите это перечисление. Сколько всего названий у
этого треугольника? б) «Все ясно,— заявил младший брат.—
Три точки можно называть в любом порядке. Значит, угол KLM
тот же, что и углы KML, MKL, MLK, LKM, LMK». Прав ли млад-
ший брат? Сколько различных углов он назвал на самом деле?
88.6. Если прямоугольник разрезать по диагонали, то полу-
чатся два прямоугольных треугольника (см. рис. 94). а) Начер-
тите на листочке прямоугольник. Вырежьте его и разрежьте на
два прямоугольных треугольника, б) Начертите остроугольный
и тупоугольный треугольники. Покажите, проведя линию, как
каждый из них разрезать на два прямоугольных треугольника.
88.7. На рисунке 95 показано, как называются стороны пря-
моугольного треугольника. Начертите в тетради прямой угол с
вершиной С. Отметьте точки Л и В на сторонах угла так, чтобы
прямоугольный треугольник АВС имел катеты 3
мерьте длину гипотенузы.
см и 4 см. Из-
Рис. 94
и
Гипотенуза
Рис. 95
9
отложите
88.8. Начертите луч АС
на нем отрезок длиной 2 см. Для этого
установите раствор циркуля 2 см и сделай-
те циркулем засечку (см. рис. 96). Эта
засечка отметит на луче такую точку В,
что |ЛВ|—2 см. Точно так же отложи-
те на луче ЛС отрезок длиной 3 см.
88.9. а) Начертите угол с вершиной
в точке О. Установите раствор циркуля
25 мм и, не меняя его, сделайте засечки
на сторонах угла, отложив отрезки АО
Рис. 96
(Урок 88)
260
Рис. 07
Рис. 98
и ОВ длиной 25 мм (см. рис. 97). Соедините отрезком точки А и
В, Какого вида получился треугольник АО В? б) Постройте три
равнобедренных треугольника: остроугольный, прямоугольный
и тупоугольный, у которых равные стороны имеют длину 3 см.
88.10. а) Начертите окружность радиусом 2 см с центром в
точке О и отметьте на окружности какую-нибудь точку А. Из точ-
ки А, не меняя раствора циркуля, сделайте засечку (см. рис. 98).
На окружности получится новая точка В. Соедините отрезками
точки А, В и О. Какого вида получился треугольник АВО? б) По-
стройте равносторонний треугольник, стороны которого имеют
длину 3 см.
88.11. а) Начертите отрезок АВ длиной 35 мм. Начертите
окружность радиусом 20 мм с центром в точке А и окружность
радиусом 25 мм с центром в точке В. Эти окружности пересекут-
ся в двух точках (см. рис. 99). Обозначьте точки буквами С и D.
Какие получились длины сторон у треугольников АВС и ABD?
б) Выполните такое же задание, взяв отрезок АВ длиной 20 мм,
а радиусы окружностей 23 мм и 17 мм. в) Можно ли выполнить
такое же задание, если длины отрезков будут 20 мм, 6 мм, 8 мм?
Рис. 99
(Урок 89)
261
88.12. (У) Объясните, почему диаметр окруж-
ности является хордой наибольшей длины. (Со-
вет: пользуясь свойством длин сторон треуголь-
ника, покажите, что длина любой другой хор-
ды меньше двух радиусов, см. рис. 100.)
88.13. (У) Клоун объявил публике,
» что он начертил треугольник со сторона-
Л?*1 ми длиной 10 см, 1 см и 2 см. Публика
смеялась. Объясните почему.
Рис. 100
Урок 89 Измерение углов
Для измерения углов применяют транспортир. Он со-
стоит из полукольца, соединенного с линейкой. Полукруг-
лый край транспортира — это половинка окружности,
центр которой — точка О в середине верхнего края ли-
нейки (рис. 101). Полуокружность разделена черточками
на 180 равных частей — градусных делений.
Как измерить угол транспортиром? Нужно приложить
верхний край линейки к одной из сторон угла так, чтобы
центр О совпал с вершиной угла (см. рис. 102). Затем
нужно посмотреть, сколько градусных делений содержит-
ся между сторонами угла. Число таких делений называют
градусной мерой угла или, по-другому, величиной угла.
На рисунке 102, а градусная мера угла ВОС равна 80 гра-
дусам. А градусная мера угла НОМ на рисунке 102, б
равна 143 градусам. Записывают это так:
Z ВОС = 80°; А НОМ = 143°.
Начертите с помощью угольника прямой угол
и измерьте его транспортиром.
Рис. 101
Рис. 102
(Урок 89)
262
Вы, конечно, обнаружили, что
градусная мера прямого угла
равна 90°. А развернутого угла?
Его меру легко найти: ведь меж-
ду противоположными лучами со-
держатся все 180 градусных де-
лений. Поэтому градусная мера
развернутого угла равна 180°.
С помощью транспортира уг-
лы можно не только измерять, но
Рис. 103
и строить. Построим,
например, угол величиной 50°. Для этого нужно из одной
точки (вершины) провести два луча (стороны). Одну
из сторон начертим сразу. Пусть это будет луч ОД. Рас-
положим транспортир так, как на рисунке 103, и поставим
точку В у черточки с отметкой 50. Проведем луч ОВ.
Тогда угол АОВ будет иметь градусную меру 50°.
Углы называют равными, если у них одна и та же ве-
личина. Градусные деления транспортира делят развер-
нутый угол на 180 равных углов. И каждый из этих углов-
долей имеет меру 1°. Значит, 1° — это величина угла,
который является одной сто восьмидесятой долей развер-
нутого угла. 1° — это основная единица измерения углов.
Вопросы и задания
89.1. Какова основная единица измерения углов? Что
такое 1°? Что такое градусная мера угла?
89.2. Какие углы называют равными?
89.3. Какую градусную меру имеет прямой угол; развернутый
89.4. а) Измерьте углы на рисунке 104. б) Начертите
угол и предложите соседу по парте измерить его.
89.5. Измерьте углы своего угольника. Чему равна сумма
величин его углов?
89.6. Начертите квадрат и проведите одну диагональ. Измерь-
те углы получившихся прямоугольных треугольников.
89.7. Постройте с помощью транспортира угол, градусная
мера которого равна: а) 20°; б) 150°; в) 36°; г) 95°; д) 88°.
263
(Урок 89)
Рис. 105
Pfcc. 106
89.8. а) Определите на глаз величину углов на рисунке 105.
Проверьте себя, измерив углы транспортиром, б) Начертите в
тетради эти углы.
89.9. Измерьте три угла на рисунке 106. Проверьте равенство
ААОВ + А ВОС — ЛАОС.
Z.ZOC 30° 45° 60° 90° 120° 135°
/.СОВ
89.10. а) Чему равна сум-
ма мер смежных углов (см.
задание 87.6.)? б) В следу-
ющей таблице углы А ОС и
СОВ смежные. Перечертите
таблицу в тетрадь и запол-
ните нижнюю строку.
89.11. У равнобедренного треугольника равные стороны на-
зывают боковыми, а третью сторону — основанием. На рисун-
ке 107 отмечены углы при основании, а) Начертите какой-нибудь
равнобедренный треугольник, у которого угол против основания
имеет величину 100°. (Совет: загляните в задание 88.9.)
И б) Измерьте у полученного треугольника углы при основании.
Найдите сумму величин всех углов.
89.12. Прямой угол на рисунке 108 разделен на четыре рав-
ных угла, а) (У) Сколько градусов содержит каждый из этих
углов? б) Начертите в тетради прямой угол и разделите его с по-
мощью транспортира на три равных угла, в) Начертите развер-
нутый угол и разделите на пять равных углов.
89.13. а) Начертите треугольник, у которого известны длины
двух сторон и величина угла между этими сторонами. Именно
пусть |4В|=5 см, 1/4671=3 см, Z.BAC — 40°. (Совет: сначала
начертите угол с вершиной Л, а потом отложите на его сторонах
нужные отрезки.)
Ц б) Найдите сумму мер углов этого треугольника.
ОсноВон ие
Рис. 107
Рис. 108
(Урок 90)
264
89.14. а) Начертите треугольник, у
которого известны длина одной стороны
и градусные меры двух прилегающих к
ней углов. Именно пусть |КЛ4|—6 см,
ZMKL = 60°, Л/СИ£ = 30°. (Совет: сна-
чала начертите сторону КМ, а потом по-
стройте углы, как на рис. 109.)
И б) Найдите сумму градусных мер уг-
лов этого треугольника.
89.15. Клоун объявил публике, что он начертил тре-
угольник с углами, величина которых 90°, 100°, ... . Пуб-
лика, даже не дождавшись объявления величины третьего
угла, засмеялась. Объясните
почему.
Урок 90 Как градусы
помогают сравнивать углы
В уроке 87 мы обещали объяснить, как появляется
мера для углов и как она применяется для сравнения
углов. Первое обещание выполнено в предыдущем уроке.
Сейчас выполним второе.
На рисунке НО изображены . .
сразу несколько углов с общей сто- \ \ /
роной ОЛ. Разглядывая этот рису- \\ / /
нок, можно сделать следующий //
вывод: мера острого угла меньше
90°, а мера тупого угла больше 90°. А
Поэтому И говорят, ЧТО острый угол Рис. 110
меньше прямого, а тупой больше
прямого. Ясно также, что острый угол всегда меньше
тупого.
Но сравнивать друг с другом можно и углы одного
вида. Как сравнить два острых угла на рисунке 111, а? Или
два тупых на рисунке 111,6?
Я догадался! Угол ВАС острее угла FDE.
А угол MKN тупее угла SPR.
Рис. 111
265 (Урок 90)
Можно и так сказать. Но в математике используют слова
«меньше» и «больше». Эти слова годятся для сравнения
любых углов.
Л меньше
Один угол ....... другого, если градусная мера перво-
больше
меньше о
го угла ........ градусной меры второго угла.
больше
Основной единицей измерения углов является 1°. Но
измерять углы приходится и с большей точностью — в
астрономии, географии, технике. В таких случаях градус
слишком крупная единица (так же, например, как метр
при измерении гвоздиков!). Тогда используются доли
градуса — минуты и секунды.
Вот так да! Как будто мы время измеряем!
Мы сейчас говорим, конечно, не об измерении времени. Но
это точно такие же доли градуса, какими являются минуты
и секунды при делении часа. Минута — это шестидесятая
доля градуса, а секунда — шестидесятая доля минуты:
1 минута=1' = -^.1°, I секунда= 1"=±. 1'=-^. Г.
Например, величину угла в 28 градусов 31 минуту 57 се-
кунд можно записать как 28°31'57". А можно эту вели-
чину записать только в градусах, в виде десятичной
дроби: 28,5325°.
Почему же при измерении углов используются не десятые доли,
как при измерении длин, а шестидесятые? Дело в том, что градусы,
минуты и секунды — очень древние единицы. Измерять ими углы вави-
лонские астрономы начали приблизительно 2500 лет назад. Для записи
чисел они применяли позиционную шестидесятеричную нумерацию. Так
возникли шестидесятые доли градуса. Позже и час стали делить на
минуты и секунды.
Вопросы и задания
90.1. Что можно сказать про градусные меры острых и
ж тупых углов?
90.2. Что значит один угол меньше другого; больше
другого?
90.3. Что такое минута, секунда?
90.4. а) Сравните острые углы на рисунке 112, а, изме-
J рив их транспортиром. Результат запишите в виде цепоч-
ки неравенств, б) Выполните такое же задание для
тупых углов на рисунке 112,6.
В 90.5. Начертите равносторонний треугольник и измерьте его
углы. Чему равна сумма градусных мер всех его углов?
90.6. (У) Посмотрите еще раз свои ответы в заданиях 89.5,
89.136), 89.146), 90.5. Какой вывод о сумме величин углов
треугольника можно сделать? Вот какой: сумма величин углов
треугольника равна 180°. Используя это свойство, вычислите,
чему равен третий угол треугольника, если два других равны:
а) 30° и 45°; б) 60° и 80°; в) 120° и 40°.
90.7. а) Какую часть одного градуса составляют 30';
18'; 42'? Запишите ответ десятичной дробью, б) Запишите в
градусах десятичной дробью 14°30'; 8°45'; 34°15'; 67°18'.
90.8. а) В тексте урока сказано, что 28,5325° = 28°31'57".
Как проверить это равенство? Для этого дробную часть надо
выразить в минутах и секундах. Выразим 0,5325° в минутах:
60'-0,5325, т. е. 31,95'. Теперь дробную часть минут надо выра-
зить в секундах. Закончите вычисления, б) Запишите в градусах,
минутах и секундах 26,5°; 11,25°; 50,34°; 36,345°.
90.9. Клоун объявил, что он построил: а) тупой угол,
мера которого 324 000"; 6) тупой угол с мерой 6600';
в) острый угол с мерой 5500'. На самом деле клоун в
двух случаях неправильно назвал вид угла. Выясните,
в каких именно.
урок 91 Окружность тоже делится на градусы
Вы, конечно, не раз видели компас (см. рис. ИЗ).
В учебнике природоведения (на с. 10) рассказано, как он
устроен. Шкала компаса — это
окружность, разделенная на 360
градусных делений. В том же уче-
бнике рассказано об экваторе
Земли и меридианах. Это тоже
окружности, и они тоже разделе-
ны на градусы. Например, у эква-
тора 180° восточной долготы и
180е западной долготы (см.
рис. 114, на нем изображен гло-
бус со стороны Северного полю-
са). И вообще любая окружность
делится на 360 градусов.
Рис. из
267
(Урок 91)
Если циркуль, рисующий окружность, пройдет только
часть пути, то он начертит дугу этой окружности (см.
рис. 115, а). Всякую дугу окружности можно измерить
градусами. Для этого строят угол с вершиной в цент-
ре окружности, стороны угла проводят через концы дуги.
Градусной мерой (угловой величиной) дуги называют
у градусную меру получившегося угла. Например, градус-
□ ная мера дуги АВ на рис. 115, б равна 70° (проверьте!).
С помощью угла можно измерить только дугу, кото-
рая целиком помещается на некоторой полуокружности.
На рисунке 115,6, кроме измеренной нами дуги, есть и
другая дуга: она проходит вне угла АОВ. Как ее измерить?
Вся окружность содержит 360°, значит, градусная мера
второй дуги равна 360° — 70° = 290°.
Градусами можно измерять не только дуги окруж-
ностей, но и любые предметы. Посмотрите на рисунок
116, а. Из точки О отрезок АВ виден под углом 40°. Поэто-
му говорят, что с точки зрения наблюдателя О угловой
размер отрезка АВ равен 40°. Конечно, угловые размеры
зависят от расстояния (см. рис. 116, б). Солнечное затме-
ние можно наблюдать на Земле потому, что угловые
размеры Луны и Солнца приблизительно одинаковы.
Рис. 116
(Урок 91)
Вопросы и задания
91.1. На сколько градусов делится окружность?
91.2. Как строят угол, с помощью которого дугу окруж-
ности измеряют градусами?
91.3. Начертите окружность и разделите ее с помощью
транспортира на 10 равных частей.
91.4. На рисунке 117 показаны основные и промежу-
точные стороны горизонта. Сравните этот рисунок с рисун-
ком 113, где изображен компас. Начер-
тите и заполните таблицу, в которой для
каждой стороны горизонта указан ази-
мут.
С св • • 4 сз
0° 45° • • • 315°
91.5. В романе Ж. Верна «Пятнадцатилетний капитан» зло-
дей Негоро положил под компас железный брусок. Стрелка
компаса стала указывать не на север, а на северо-восток. Не зная
об этом, рулевой Том считал, что ведет судно на восток. На
сколько градусов судно отклонилось от заданного курса? В каком
направлении оно шло на самом деле?
91.6. а) Начертите окружность радиусом 3 см. Пользуясь
транспортиром, разделите ее на 6 равных частей и отметьте точки
деления. Каждую пару соседних точек соедините отрезком.
Измерьте углы и стороны полученного шестиугольника. Чему
равна сумма величин его углов? Чему равен его периметр?
б) Постройте пятиугольник, разделив окружность на 5 равных
частей. Измерьте его углы и найдите сумму их величин.
91.7. На рисунке 118, а изображена дуга в 60°. а) Начертите
в тетради окружность, частью которой является эта дуга. Из
скольких таких дуг можно составить окружность? б) Выполните
задание а) для дуги, изображенной на рисунке 118,6.
91.8. а) Рассмотрите «цветок» на рисунке 119, а. Этот «цве-
ток» составлен из дуг окружностей. Построить его можно так.
Рис. 117
269
(Урок 91)
Рис. 119
Начертите окружность и отметьте на ней точку. Не меняя раствора
циркуля, проведите из этой точки как из центра новую окруж-
ность. Она пересечет старую окружность в двух точках. Те-
перь из этих точек как из центров снова проведите окружности
(см. рис. 119,6). Продолжив построение, вы получите нужную
фигуру. Закрасьте ее цветным карандашом.
б)* Догадайтесь, сколько градусов содержит каждая из дуг
«цветка» (рис. 119, а). Проверьте свою догадку измерением.
91.9. Минутная стрелка часов за 1 ч делает полный оборот,
т. е. поворачивается на 360°. а) На сколько градусов повернется
минутная стрелка за 15 мин; за 5 мин; за 1 мин; за 40 мин?
б) За какое время минутная стрелка повернется на 1°; на 60°?
в) На какой угол повернется часовая стрелка за 1 ч; за 6 ч; за
30 мин; за 1 мин? г) За какое время часовая стрелка повернется
на 1°; на 60°?
91.10* . Вы помните часы с боем у Юры дома (см. задание
87.9)? а) Однажды, услышав бой часов, Юра заметил, какой был
угол между стрелками. Когда часы пробили в следующий раз,
угол стал вдвое меньше. Какое время часы показывали в первый
раз? б) Когда Юра сел выполнять домашнее задание, часы про-
били. Через 1,5 ч Юра закончил делать уроки и взглянул на часы:
угол между стрелками был 15°. Когда Юра закончил делать
уроки?
91.11. Длина меридиана 40 000 км. а) Какова (с точностью
до 1 м) длина его дуги, угловая мера которой равна 1°? б) Мор-
ская миля — это длина дуги меридиана, угловая мера которой
равна 1'. Найдите длину морской мили с точностью до метров.
91.12. Экватор пересекает берега Африки в точках, восточная
долгота которых приближенно равна 90° и 43°. Найдите ширину
Африки вдоль экватора (длина экватора~40 000 км).
(Урок 92) 270
Урок 92
Задания на повторение к § 9
92.1. Периметр одного квадрата равен 10 см, периметр
J другого — 50 см. На сколько сантиметров сторона первого
квадрата короче стороны другого квадрата?
92.2. Постройте прямоугольный треугольник с катетами
24 мм и 32 мм. Измерьте его гипотенузу. (Совет: загляните в зада-
ние 88.7.)
92.3. а) Постройте прямоугольный треугольник, у которого
один катет равен 3 см, а угол между этим катетом и гипотенузой
равен 60°. (Совет: загляните в задание 89.14.) б) Измерьте дли-
ну гипотенузы.
92.4. Начертите какой-нибудь прямоугольный треугольник. С
помощью угольника достройте его до прямоугольника (см.
рис. 120).
92.5. Постройте равнобедренный треугольник с боковыми сто-
ронами 3 см и основанием 4 см. Измерьте его углы.
92.6. Постройте треугольник, длины сторон которого равны
44 мм, 36 мм и 28 мм. (Совет: загляните в задание 88.11.)
92.7. Начертите окружность радиусом 15 мм и проведите ее
диаметр MN. Тем же раствором циркуля сделайте засечки из
точки N (см. рис. 121). Построенные точки К и L соедините
отрезками друг с другом и с точкой М. Измерьте углы треугольни-
ка KLM и его стороны. Какой получился треугольник?
Рис. (20
92.8. Найдите величину угла, если она в 8 раз больше величины
смежного к нему угла (см. задание 87.6).
92.9. Ракета стартовала с космодрома и полетела по прямой
со скоростью 8,4 км/с. Ровно через сутки стартовала другая ракета
и полетела тем же курсом со скоростью 18 км/с. а) Через сколько
часов после старта первой ракеты ее догонит вторая? б)* Через
сколько суток после старта первой ракеты вторая ракета окажется
вдвое дальше от Земли, чем первая?
92.10. Глубину моря измеряют с помощью эхолота. Издавае-
мый им звук доходит до дна, отражается и возвращается к эхо-
лоту. Эхолот измеряет полное время прохождения звука. Скорость
271
(Урок 92)
звука в воде 1500 м/с. а) Время, изме-
ренное эхолотом, 1,8 с. Какая глубина
моря в этом месте? б) Самое глубокое
место на Земле — Марианская впадина
в Тихом океане. Глубина впадины равна
11 022 м. Найдите с точностью до 0,1 с
время, измеренное там эхолотом.
92.11. Два самолета, вылетев из точки Л, летят по окруж-
ности радиуса 100 км навстречу друг другу (рис. 122). Скорость
одного самолета в 2 раза больше скорости другого. Над точкой
Af они пролетят одновременно (на разной высоте), а) Найдите
величину угла АОМ. б) Изменится ли величина угла, если радиус
будет равен 500 км?
Рис. 122
Рис. 123
92.12. Периметр квадрата больше его стороны на 48 см. Най-
дите площадь квадрата.
92.13* . Смекалкин загадал младшему брату загадку: «В тре-
угольнике АВС длины сторон не известны, но зато известны
такие суммы: |АВ|4-|ВС|=8 см, |ЛС| + |ВС| = 10 см, |ЛВЦ-
+ 1ЛС| = 12 см. Каковы длины сторон?» Младший брат сказал,
что это трудная загадка. На самом деле она не очень трудная.
Постарайтесь отгадать ее. (Совет: будет легче, если сначала найти
периметр треугольника АВС.)
92.14*. Как разрезать треугольник, изображенный на рисунке
123, на две части, чтобы из этих частей
можно было сложить квадрат? Какую
площадь будет иметь квадрат? (Совет:
измерьте стороны треугольника и дога-
дайтесь, какую длину будет иметь сто-
рона нужного квадрата.)
92.15. Мышка хочет скорей добраться до сыра.
К сыру ведут несколько одинаково коротких путей.
Сколько именно?
§ 10. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
В этом параграфе вы будете изучать еще две важные
величины — площадь и объем. Площадь прямоугольника
вы уже умеете измерять. А здесь мы расскажем, как
(Урок 93) 272
измерять площадь и некоторых других фигур. В конце
параграфа вы познакомитесь с прямоугольным паралле-
лепипедом и научитесь измерять его объем.
Урок 9з Какими единицами измеряют площадь*
Формула для площади прямоугольника
Для измерения площади используют единичные квад-
раты. Единичным называют квадрат, длина стороны кото-
рого равна выбранной единице длины. Название площади
единичного квадрата получится, если к названию выбран-
ной единицы длины добавить прилагательное «квадрат-
ный». Например, 1 квадратный сантиметр — это площадь
квадрата со стороной 1 см.
Скажите, что такое 1 квадратный метр,
С/ 1 квадратный миллиметр, 1 квадратный
километр.
Обычно единицы площади записывают сокращенно.
Например:
I квадратный метр = 1 кв. м = 1 м2;
1 квадратный километр =1 кв. км=1 км2.
Сформудируем теперь, что значит измерить площадь
фигуры. Сначала нужно выбрать единичный квадрат.
ИЗМЕРИТЬ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ — ЗНАЧИТ НАЙТИ
ЧИСЛО, ПОКАЗЫВАЮЩЕЕ, СКОЛЬКО ЕДИНИЧНЫХ
КВАДРАТОВ СОДЕРЖИТСЯ В ДАННОЙ ФИГУРЕ.
Проще всего измерить площадь прямоугольника. Вам
приходилось делать это много раз. А сейчас мы получим
удобную формулу для площади прямоугольника. Рассмот-
рим прямоугольник, смежные стороны которого содержат
а и b единиц длины. Видно, что такой прямоугольник
разбивается на единичные квадраты-клетки. Получилась
таблица, в которой а строк и b столбцов (см. рис. 124). Но
Рис. 124
273 (Урок 93)
тогда можно применять схему 2 из урока 18: общее число
единичных квадратов будет равно а*Ь. Обозначим буквой
S площадь нашего прямоугольника и запишем найденную
формулу:
Если прямоугольник является квадратом со стороной
а, то а = Ь и формула для площади имеет вид:
V
Формула для площади квадрата позволяет легко выра-
жать одни единицы площади через другие. Например,
1 м2=(100 см)2=10 000 см2, 1 км2 = (1000 м)2 =
= 1 000 000 м2.
На практике часто применяют еще такие единицы
площади: гектар и ар. Гектар — это площадь квадрата
со стороной 100 м. Ар — это площадь квадрата со сторо-
ной 10 м. Названия этих единиц сокращенно записывают
так: га, а. Верны равенства: 1 га = 10 000 м2, 1 а =100 м2
(проверьте!). Гектарами измеряют площадь сельскохозяй-
ственных полей, лесных угодий. Ары в быту обычно назы-
вают «сотками», в них выражают площадь огорода, при-
усадебного участка. Легко вычислить, что 1 га =100 а
(проверьте!). Слово «гектар» как раз и означает «100
аров».
Вопросы и задания
4^ 93.1. Какой квадрат называют единичным?
j 93.2. Что значит измерить площадь фигуры?
93.3. Что такое гектар, ар?
93.4. Сколько квадратных метров в 1 га; в 1 а? Сколько
_ гектаров в 1 км2?
f 93.5. (У) Выразите: а) в квадратных метрах 2 а; 13,6 а;
20 а; 0,18 а; 4 га; 8,7 га; 100 га; 0,45 га; б) в квадратных
километрах 15 га; 200 га; 315 га; 16,9 га; в) в гектарах 5400 м2;
10 000 м2; 375 000 м2; 3 км2; 16,08 км2; г) в арах 800 м2; 1647 м2;
240 м2; 3 га; 82,4 га.
93.6. Морская миля имеет длину 1852 м (см. задание 91.11).
Выразите квадратную милю в м2; в км2; в а; в га.
93.7. Измерьте площадь одной страницы этого учебника,
а) Какова площадь всей бумаги, из которой изготовлен один
экземпляр учебника? б) Посмотрите, каков тираж учебника, и
вычислите, сколько квадратных километров бумаги израсходовано
на изготовление всех экземпляров учебника, в) Для производства
1000 м2 бумаги требуется вырубить лес с га. С какой площа-
(Урок 93) 274
ди потребовалось вырубить лес, чтобы выпустить весь тираж
учебника?
93.8. Валя и Вера живут в прямоугольной комнате высотой
2,5 м. Длина стен равна 6 м и 4 м. Девочки будут оклеивать сте-
ны обоями от пола до потолка. В одной стене имеется дверь шири-
ной 1 м и высотой 2 м, а в другой стене — квадратное окно со
стороной 1,5 м. Какова площадь требуемых обоев?
93.9. (У) а) В некотором царстве, в некотором государстве
была такая единица длины — бумбамс. Двор вокруг царского
дворца имел форму прямоугольника со сторонами 50 и 80 бумбам-
сов. Найдите площадь двора в квадратных бумбамсах. б) А сам
дворец стоял в углу двора, занимая квадрат со стороной 20 бум-
бамсов. Царь решил выложить весь двор снаружи коврами,
имевшими форму прямоугольника со сторонами 2 и 3 бумбамса.
Сколько потребовалось для этого ковров?
93.10. Из бумаги склеена круглая трубка диаметром 5 см и
высотой 8 см (рис. 125). Если разрезать ее по пунктирной
линии, то получится прямоугольник. Найдите его площадь.
93.11. Смежные стороны прямоугольника ABCD (на рис. 126)
равны 15 мм и 24 мм. а) Какова площадь прямоугольника?
6) Какова площадь треугольников АВС и ACD?
93.12. Сторона квадрата KLMN на рисунке 127 равна 16 мм.
Какова площадь треугольников PKL, PLM, PMN, PNK?
Рис. 125
Рис. 126
Рис. 127
215 (Урок 94)
93.13. а) Смекалкин дал младшему брату линейку в 18 см и
предложил измерить площадь развернутой газеты «Пионерская
правда». Брат удивился: «Как же измерять, если газета большая,
а линейка маленькая?» Смекалкин посоветовал согнуть газету
пополам в 4 раза. Получился прямоугольник со сторонами 15 см и
10,5 см. Какова площадь газеты в развернутом виде? б) Измерь-
те тем же способом площадь какой-нибудь газеты для взрослых.
93.14. (У) Какова сторона квадрата, если его площадь рав-
на: а) 9 см2; б) 49 дм2; в)* 121 м2?
93Л5. Клоун рассказал публике, что в одном кол-
хозе ему показали пшеничное поле площадью
2 400 000 000 см2 и подарили фотографию этого поля,
имеющую площадь 0,000 000 36 га. Публика смеялась: всем
было ясно, что клоун пользовался неподходящими единицами
площади. Запишите площадь поля в гектарах, а площадь фото-
графии в квадратных сантиметрах.
урок 94 Поговорим о вычислении
площадей фигур
Как измерить площадь треугольника? Ведь треуголь-
ник нельзя разбить на единичные квадраты. Прежде
чем ответить на вопрос, обсудим, как находить площадь
прямоугольного треугольника.
Рассмотрите прямоугольный треугольник ЛС£>, у кото-
рого |Л£)|=а, \DC\=b (рис. 128, а). Вам уже прихо-
дилось достраивать прямоугольный треугольник до прямо-
угольника (см. задание 92.4). Поступим и здесь так же.
Получим прямоугольник ABCD (см. рис. 128, б). Из урока
93 вы знаете, как найти его площадь: она равна а-b. Диа-
гональ АС делит прямоугольник на два одинаковых пря-
моугольных треугольника. Поэтому площадь треугольника
ACD вдвое меньше площади прямоугольника ABCD, Зна-
чит, она равна ~. Давайте обозначим ее SACD. Тогда
|Л£>|. |DC|
ACD----------о
Ряс. 128
(Урок 94) 176
Стороны AD и DC треугольника образуют прямой
угол. Такие стороны в задании 88.7 были названы кате-
тами. Поэтому можно сформулировать следующее пра-
вило:
ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
РАВНА ПОЛОВИНЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДЛИН
ЕГО КАТЕТОВ.
А если треугольник не прямоугольный? Оказывается,
для вычисления площади любого треугольника достаточ-
но уметь вычислять площади прямоугольных треугольни-
ков. В самом деле, любой треугольник можно разбить
(т. е. мысленно разрезать) на два прямоугольных. На-
пример, треугольник АВС на рисунке 129 разбит
на прямоугольные треугольники ABD и BCD. Значит, пло-
щадь SABC треугольника АВС равна сумме площадей
SABD и $bcd треугольников ABD и BCD. А площади
SABD и SBCD вы умеете находить.
В
Рис. 129
Рис. 130
Рис. 131
Теперь вы сможете вычислить площадь и многих дру-
гих фигур. Как вычислить площадь фигуры ABCDE на
рисунке 130? Ясно, что ее площадь равна сумме площа-
дей треугольников АВЕ. ВСЕ и CDE. А вычислять площа-
ди треугольников вы уже научились.
Иногда, чтобы найти площадь, удобно не складывать
другие площади, а вычитать. Чтобы узнать площадь
заштрихованной фигуры на рисунке 131, можно достроить
ее до прямоугольника. А потом из площади прямоуголь-
ника вычесть площадь треугольника и квадрата. Это и
будет искомая площадь.
Вопросы и задания
94.1. Чему равна площадь прямоугольного треуголь-
ника?
94.2. Как найти площадь любого треугольника?
94.3. Убедитесь, что треугольники на рисунке 132
прямоугольные. Измерьте их катеты и найдите площади.
777 (Урок 94)
Рис. 132
Рис. 133
94.4. а) Проделайте нужные измерения и найдите площадь
треугольника FGH, изображенного на рисунке 133. б) Треуголь-
ник АВС помещен в прямоугольник, как показано на рисунке 134.
Смежные стороны прямоугольника имеют длину 2 см и 4 см.
Какова площадь треугольника ЛВС? в) На рисунке 135 от-
резок LN. имеет длину 18 мм, а сторона КМ — 30 мм. Найдите
площадь треугольника KLM.
А
Рис. 134
Рис. 135
94.5. У яхты два паруса: грот и стаксель (рис. 136). Оба
паруса имеют форму прямоугольного треугольника. У грота ка-
теты имеют длину 3 м и 5 м, у стакселя катеты имеют длину
1,5 м и 4 м. Сколько квадратных метров парусины требуется
для изготовления этих парусов?
94.6. Площадь заштрихованного прямоугольника на рисунке
137 равна 3 см2. Найдите площадь: а) треугольника ВСМ\
б) треугольника ЛВС; в) треугольника ABD\ г) треугольника
ACD.
Рис. 136
Рис. 137
94.7. Рассмотрите следующую таблицу. В первых двух строках
указываются длины катетов прямоугольного треугольника, пло-
(Урок 94) 278
щадь которого записывается в 3-й строке. Заполните эту табли-
цу.
1-й катет 3 дм 8,2 м 2,6 км 68 мм
2-й катет 4 дм 5 см 3,5 м 1 км 45 м
Площадь 12 см2 2516 мм2 1,53 га
94.8. В четырехугольнике ABCD на рисунке 138 выполняют-
ся равенства |ДВ| = |ЛО| = 14 мм, |ВС| = |СО| =25 мм. Найди-
те площадь этого четырехугольника. (Совет: проведите в нем одну
из диагоналей.)
94.9. На рисунке 139 показан план школьного сада. Найдите
площадь сада в арах.
Рис. 138
94.10. Площадь одной клеточки 0,25 см2, а) Внимательно рас-
смотрите фигуры на рисунке 140 и скажите, какую площадь
имеет «голова Буратино», б) Найдите площадь каждой фигуры на
рисунке 141. в) Найдите площадь буквы «Т» на рисунке 142.
—
г»А-£У — ц
Рис. ио
279
(Урок 95)
Урок 95 Круг.
Формула для площади круга
Круг знаком вам так же хорошо, как и окружность.
Ведь круг — это часть плоскости, ограниченная окруж-
ностью (рис. 143, а). Центр окружности называют также
центром круга; радиус, диаметр круга — те же самые, что
и у ограничивающей его окружности. Часть круга, ограни-
ченная двумя радиусами и дугой окружности, соединяю-
щей их концы, называется сектором (см. рис. 143,6).
В этом уроке мы расскажем, как находить площадь
круга. Для вычисления площади круг удобно разрезать
на секторы, как торт иа дольки. Давайте возьмем круг
радиуса R и разрежем его на несколько равных секторов,
как на рисунке 144, а. Для наглядности половина сек-
торов заштрихована. А теперь из этих секторов составим
другую фигуру (рис. 144,6). Боковые стороны фигуры
В)
Рис. 144
(Урок. 95) МО
можно сделать вертикальными (рис. 144, в). Для этого
нужно разрезать пополам крайний (например, левый)
сектор и приставить одну половинку с другой стороны.
Площадь новой фигуры такая же, как у круга.
А сама фигура похожа на прямоугольник!
Верно. А если мы будем разрезать круг на еще более
мелкие секторы, то новая фигура будет еще более похо-
дить на прямоугольник (см. рис. 145).
Рис. 145
Как же вычислить площадь такой фигуры? Так же как
и площадь обычного прямоугольника — перемножить дли-
ны сторон. Найдем эти длины. Вертикальные стороны —
это радиусы. Значит, их длины равны /?. А горизонталь-
ные стороны? Верхняя, например, образована дугами
заштрихованных секторов. Но длины этих дуг в сумме
составляют половину длины окружности.
Обозначим длину окружности буквой С. Вы знаете,
что С = 2-л-7?, где л«3,14 (см. урок 86). Значит, гори-
зонтальные стороны нашего «прямоугольника» имеют дли-
ну -^-=л*/?. Теперь уже можно вычислить его площадь
S. Она равна /?*л*/?, т. е. л-/?2. Но у круга площадь
такая же. Вот мы и получили формулу для площади
круга:
5 = л*/?2.
Вопросы и задания
95.1. Что такое круг?
95.2. Что такое сектор круга?
95.3. Чему равна площадь круга радиуса /??
95.4. Вычислите площадь круга, радиус которого
равен: а) 3 см; б) 10 м; в) 1,4 км; г) 0,01 мм.
95.5. а) Начертите на листочке круг и определите на
глаз его площадь. А теперь измерьте радиус и вычисли-
281 (Урок 95)
те площадь круга. На сколько вы ошиблись? б) Передайте
свой чертеж соседу по парте и предложите выполнить то же
задание. Выясните, у кого из вас глазомер лучше.
95.6. Воспользовавшись ответом в задаче 86.10, найдите пло-
щадь поперечного сечения каждой яблони в саду у Васи.
И 95.7. «Цирк» и «циркуль» — это слова-родственники. Ведь
оба слова происходят от латинского «циркус», что означает
«круг». Цирковая арена имеет форму круга. Ее диаметр равен
13,5 м. Какова ее площадь?
95.8. Отец Вали и Веры предложил де-
вочкам сделать две клумбы. Он дал им
веревку длиной 6 м, чтобы с ее помощью
наметить границу каждой клумбы. Валя ре-
шила сделать клумбу квадратной, а Вера —
круглой, а) Чья клумба будем иметь боль-
шую площадь? Радиус круглой клумбы вы-
числите с точностью до сотых, б) Во ско-
лько раз площадь одной клумбы будет боль-
ше площади другой? в) Ответьте на вопрос б) в том случае,
когда длина веревки равна 8 м.
95.9. В прямоугольной пластине просверлено круглое отверс-
тие. Все размеры в миллиметрах указаны на рисунке 146.
а) Найдите с точностью до 0,1 мм площадь этой детали, б) 1 см2
этой пластины весит 2 г. Сколько граммов весит вся деталь?
95.10. (У) На рисунке 147 точки А и Е — середины сторон.
ВС и CD — дуги окружностей с центрами А и Е. Найдите пло-
щадь заштрихованной фигуры.
Рис. 146
Рис. 147
95.11. а) Фигура на рисунке 148, а состоит из квадрата и
четырех полукругов. Рассмотрите ее, выполните нужные измере-
ния и найдите площадь фигуры, б) Найдите площадь заштрихо-
ванной фигуры на рисунке 148,6.
95.12. а) Цирковую арену разделили на 6 одинаковых секто-
ров (рис. 149). Какова градусная мера дуги каждого сектора?
6) Площадь арены вы нашли, решив задачу 95.6. Какова пло-
щадь каждого из секторов? в) Арену разделили на 360 оди-
наковых секторов. Ответьте на такие же вопросы, как в а), б).
(Урок 96)
282
Рис. 148
б)
Рис. 149
Д
Рис. 150
95.13. Площадь круга на рисунке 150 равна 630 мм2, а) Круг
разделен на 360 одинаковых секторов. Какова площадь каж-
дого сектора? б)* Какова площадь секторов ОАВ и OCD?
95.14. В 1986 г. в нашей стране было 82,2 млн. рабочих,
12,4 млн. колхозников и 36,3 млн. служащих. Вычислите с точ-
ностью до тысячных, какую часть всех 130,9 млн. перечисленных
трудящихся составляют рабочие, колхозники, служащие.
урок 9в Круговые диаграммы
На рисунке 151 изображена круговая диаграмма пло-
щади земной поверхности. Она показывает, какую часть
Рис. 151
этой поверхности занимают мате-
рики и острова, а какую — оке-
аны и моря. Как построена эта ди-
аграмма? Суша занимает 29% всей
площади земной поверхности. По-
этому площадь суши изображена
сектором, дуга которого содержит
29% от 360°. Остальная часть круга
показывает площадь воды.
Круговые диаграммы используют
в тех случаях, когда хотят нагляд-
283
(Урок 96)
служащие
колхозники
-рабочие
Рис. 152
но показать, на какие части делится что-то целое. Рас-
смотрим еще один пример. Решив задачу 95.14, вы
нашли, какие части составляли в 1986 г. рабочие, кол-
хозники и служащие нашей страны. Именно: рабочие
составляли 0,628, колхозники — 0,095, а служащие —
0,277 от их общей численности.
В круговой диаграмме, показывающей численность
рабочих, колхозников и служащих, будет три сектора.
Нужно подсчитать, сколько градусов должна содержать
дуга каждого сектора. Находим: 360°-0,628 = 226,08° «
«226°; 360°-0,095 = 34,20°^ 34°; 360°-0,277 = 99,72°«
«100°. Теперь можно чертить круговую диаграмму
(см. рис. 152).
Задания
g 96.1. Сколько градусов содержит дуга сектора, изобра-
жающего сушу на первой диаграмме в текстах урока?
96.2. Океаны Земли занимают приблизительно такие пло-
щади (в млн. км2): Тихий—180, Атлантический — 92, Индий-
ский — 75, Северный Ледовитый — 13. Начертите круговую
диаграмму, показывающую площади всех океанов.
96.3. Начертите круговую диаграмму, показывающую, какую
часть суток занимает у вас время, потраченное на пребывание
в школе, выполнение домашних заданий, прочие занятия, сон.
96.4. Материал 5-го класса в этом учебнике занимает три
главы, а) Подсчитайте число уроков в каждой из трех глав. На-
чертите круговую диаграмму, показывающую распределение
уроков 5-го класса по этим главам, б) Выполните такое же
задание, взяв число страниц вместо числа уроков.
96.5. Для приготовления компота из свежих фруктов нужно
взять 600 г фруктов, 1100 г воды и 360 г сахара. Начертите
круговую диаграмму, изображающую этот рецепт.
96.6. В 1985 г. заводы нашей страны выпустили 8 849 000
радиоприемников, 9 371 000 телевизоров, 4 665 000 магнитофонов,
а) Вычислите с точностью до сотых, какие части всех этих радио-
изделий составляют радиоприемники, телевизоры, магнитофо-
ны. б) Начертите круговую диаграмму выпуска радиоизделий.
(Урок 97) 284
96.7. Используя ответ, полученный вами в задании 81.7,
начертите круговую диаграмму, показывающую, какая часть пас-
сажиров перевозится в СССР каждым видом транспорта.
96.8. В 1985 г. сельскохозяйственные культуры в нашей стра-
не занимали такие посевные площади (в млн. га): зерновые —
117,9; технические — 13,9; овощные — 8,7; кормовые — 69,8.
а) Вычислите с точностью до сотых, какие части всей посевной
площади занимали перечисленные культуры, б) Начертите кру-
говую диаграмму посевных площадей.
96.9. В 1985 г. ткани, выпущенные в нашей стране, имели
такую площадь (в миллиардах м2): хлопча-
тобумажные — 7,7; шерстяные — 0,7; льня-
ные — 0,8; шелковые — 1,9; прочие ткани —
1,0. а) Вычислите с точностью до тысячных те
части, на которые делится общая площадь
тканей, б) Составьте круговую диаграмму
площади тканей.
96.10. В одной роще подсчитали число де-
ревьев, и оказалось, что их 14 760. На диаг-
рамме (рис. 153) показано, какая часть де-
ревьев хвойные, а какая — лиственные. Узнай-
те, сколько каких деревьев было в роще.
Рис. 153
Урок 97 Знакомимся
с прямоугольным параллелепипедом
Оглянитесь вокруг себя и вы всюду обнаружите пря-
моугольные параллелепипеды. Такую форму имеют кирпич
и книга, холодильник и книжный шкаф, комната и мно-
гоэтажный дом.
Рассмотрим какой-нибудь прямоугольный параллеле-
пипед, например кирпич (рис. 154, а). Его поверхность
состоит из 6 прямоугольников (все они хорошо видны
на рисунке 154,6). Их называют гранями параллелепи-
педа. Стороны граней называют ребрами, а вершины гра-
ней — вершинами параллелепипеда.
Сколько у параллелепипеда ребер? Сколько
вершин?
Рис. 154
285 (Урок 97)
Две грани называют противоположными, если у них
нет общего ребра. Видно, что среди шести граней будут
три пары противоположных.
Укажите эти пары граней в комнате, где вы
находитесь.
Для противоположных граней выполняется такое же
свойство, как и для противоположных сторон прямоуголь-
ника. А именно: в прямоугольном параллелепипеде проти-
воположные грани равны.
Среди ребер тоже есть равные. На рисунке 155 нагляд-
но видно, какие ребра равны друг другу.
Рис. 155
Рис. 156
Видно, что измерять длины двенадцати ребер нужно
не 12 раз, а самое большее 3 раза. Чтобы различать эти
три измерения, обычно пользуются названиями: длина,
ширина, высота (рис. 156). Конечно, иногда какие-то из
этих трех чисел могут оказаться равными. Если же все
они равны друг другу, то такой прямоугольный паралле-
лепипед называют кубом. Что такое куб, представляют
даже маленькие дети, но вам теперь надо не только пред-
ставлять это, но и уметь дать определение куба.
КУБ — ЭТО ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, У КОТОРОГО ВСЕ РЕБРА
РАВНЫ.
Каждому ясно, что грани куба — это квадраты.
Вопросы и задания
4% 97.1. Как называются прямоугольники, составляющие
J поверхность прямоугольного параллелепипеда? Как назы-
ваются их стороны?
97.2. Какие грани параллелепипеда называют противопо-
ложными? Какое их свойство сформулировано в уроке?
97.3. Какие названия обычно используют, измеряя длины
ребер прямоугольного параллелепипеда?
(Урок 97)
286
Рис. 157
Рис. 158
Рис. 159
97.4. Что такое куб? Какие у куба грани?
V97.5. а) Для прямоугольного параллелепипеда
(рис. 157) всегда выполняются равенства \AD\ — \EH\ =
—... Продолжите эту цепочку и запишите две другие
цепочки равенств для ребер, б) Запишите все пары про-
тивоположных граней. Что можно сказать о площадях противо-
положных граней?
97.6. Показанный на рисунке 158 параллелепипед построен
из кубиков с ребром I см. а) Сколько таких кубиков в этом
параллелепипеде? б) Найдите площадь поверхности, т. е. сумму
площадей всех его граней.
И 97.7. Ящик для цветов сделан в форме прямоугольного парал-
лелепипеда из досок толщиной 2 см. Наружные размеры (в см)
ящика показаны на рисунке 159. Найдите внутренние размеры
ящика.
97.8. Прямоугольный параллелепипед можно сложить из раз-
вертки. Она показана на рисунке 160. а) По развертке найдите
длину, ширину, высоту параллелепипеда и площадь его развертки
(т. е. площадь поверхности параллелепипеда), б) (Практиче-
ское задание.) Склейте из бумаги прямоугольный параллеле-
пипед длиной 7 см, шириной 5 см и высотой 3 см. Найдите пло-
щадь его поверхности. (Совет: предусмотрите «язычки» для
склейки, они показаны на рисунке 160, б.) в) Начертите в тетради
развертку куба с ребром 2 см. Найдите площадь поверхности
этого куба.
О)
Рис. 160
287 (Урок 93)
97.9. а) Найдите площадь поверхности куба с ребром 3 см;
5 м; 2 км; 10 мм. б)* Догадайтесь, как записать формулой пло-
щадь поверхности куба с ребром а.
97.10. Найдите площадь поверхности прямоугольного парал-
лелепипеда, у которого: а) длина 7 см, ширина 6 см и высота
2 см; б) длина 50 м, ширина 40 м и высота 25 м.
97.11. Клоун объявил, что он изготовил прямоуголь-
ный параллелепипед, у которого грани имеют площадь
1 м2, 2 м2, 3 м2, 4 м2, ... . Публика засмеялась, не дослу-
шав этого перечисления. Всем было ясно, что такого
параллелепипеда быть не может. Объясните почему.
урок 98 Какими единицами измеряют объем
Отвечая на вопрос «сколько вещества?», обычно изме-
ряют его массу или объем. Масса — физическая величи-
на» вы будете изучать ее на уроках физики. Объем —
геометрическая величина, и мы начнем изучать ее здесь.
Вы уже знаете, что для измерения какой-либо вели-
чины нужно прежде всего выбрать единицу измерения.
Чтобы определить единицу длины, указывают единичный
отрезок. Определяя единицу площади, указывают еди-
ничный квадрат. Точно так же, чтобы определить еди-
ницу объема, нужно указать единичный куб. Единич-
ным называют куб» длина ребра которого равна выбран-
ной единице длины. Объем единичного куба и принимают
за единицу объема, называя такую единицу кубической.
Например, кубический метр — это объем куба, ребро кото-
рого имеет длину 1 м (см. рис. 161). На практике куби-
ческий метр часто называют кратко кубометром.
Скажите, что такое 1 кубический километр,
1 кубический миллиметр, 1 кубический
дециметр.
Обычно единицы объема записывают сокращенно.
Например:
I кубический метр=1 куб. м. = 1 м3;
1 кубический километр = 1 куб. км = 1 км3.
Рис. 161
Рис. 162
(Урок 98) 288
Всем хорошо известна и такая единица объема —
1 литр, обозначение — 1л. Это другое название кубиче-
ского дециметра: 1 л=1 дм3.
На рисунке 162 показаны тела, составленные из куби-
ков с ребром 1 см. В каждом из них содержится по
6 таких кубиков. Значит, объемы этих тел равны б см3.
Сформулируем теперь, что значит измерить объем како-
го-то тела:
ИЗМЕРИТЬ ОБЪЕМ ТЕЛА — ЗНАЧИТ НАЙТИ
ЧИСЛО, ПОКАЗЫВАЮЩЕЕ, СКОЛЬКО ЕДИНИЧНЫХ
КУБОВ СОДЕРЖИТСЯ В ДАННОМ ТЕЛЕ.
Измерять объемы тел обычно бывает трудно. Но объем
прямоугольного параллелепипеда найти легко. В следую-
щем уроке мы выразим его удобной формулой.
Вопросы и задания
98.1. Какой куб называют единичным?
98.2. Что такое кубический метр, кубический санти-
метр? Что такое литр?
98.3. Что значит измерить объем тела?
¥98.4. (У) Ребро куба на ри-
сунке 163 имеет длину 10 единиц.
Куб разрезан на горизонтальные
слои, а) Сколько в одном слое
единичных кубиков? б) Сколько
слоев в кубе? в) Сколько всего
единичных кубиков в этом кубе?
98.5. Сколько кубических миллимет-
ров в 1 см3, кубических сантиметров в
1 дм3, кубических дециметров в 1 м3?
(Совет: воспользуйтесь ответом на воп-
рос в) из 98.4.)
98.6. Тела на рисунке 164 построены
из кубиков с ребром 1 см. Подсчитайте
объемы этих тел. У каких тел объемы
Рис. 163
одинаковы?
Рис. 164
289 (Урок 99)
98.7. а) Производительность старого экскаватора 90 м3/ч.
Он может вырыть нужный строителям котлован за 20 ч работы.
Но если вместе с ним будет работать новый экскаватор, они
выполнят работу за 8 ч. Какова производительность работы
нового экскаватора?
б) Составьте обратную задачу, в которой требуется узнать,
за сколько часов выполнят работу два экскаватора вместе.
98.8. Для строительства дома требуется 9000 м3 цемента.
Завод производит 75 м3 цемента за 1 ч. За сколько часов будет
произведено нужное количество цемента?
98.9. Бак автомашины «Жигули» вмещает 39 л бензина. Одно-
го литра хватает на 14 км пути. Хватит ли одной заправки бака,
чтобы доехать от Москвы: а) до Курска (500 км); б) до Белго-
рода (640 км)?
урок 99 Формула для объема
прямоугольного параллелепипеда
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у кото-
рого длина а, ширина b и высота с (рис. 165). Видно, что
его можно разрезать на с оди-
наковых горизонтальных слоев.
Вычислим объем одного такого
слоя, т. е. подсчитаем число еди-
ничных кубов в нем. Но число
единичных кубов в слое равно
числу единичных квадратов, со-
держащихся в горизонтальной
грани. Значит, оно равно площади
этой грани, т. е. а-b. Итак, в од-
ном слое содержится а-b единич-
ных кубов, таких слоев с. Значит,
Рис. 165
наш параллелепипед содержит a-b-с единичных кубов.
Это число и показывает объем параллелепипеда. Обозна-
чим объем буквой V и запишем полученную формулу:
V=a-b-c.
Если параллелепипед является кубом, то а = Ь = с и фор-
мула для объема имеет особенно простой вид:
V — a3
С помощью этой формулы легко выражать одни еди-
ницы объема через другие. Например, 1 км3 =
= (1000 м)3 = 1 000 000 000 м3, 1 см3=Н0 мм)3 =
= 1000 м3, 1 л=1 дм3=(10 см)3=1000 см. Тысячную
10 Учебник-собеседник
(Урок 99) 290
долю литра называют миллилитром, пишут: 1 мл. Послед-
няя цепочка равенств показывает, что 1 мл=1 см3.
Вопросы и задания
99.1. Что такое миллилитр? Сколько миллилитров в
f 1 л?
99.2. Сколько кубических метров в 1 км3? Сколько
кубических сантиметров в 1 л?
99.3. Сколько литров в кубометре? Сколько кубических
миллиметров в 1 м3? Сколько миллилитров в 1 м3?
>99.4. Выразите: а) в кубических метрах объемы:
2км3, 1 дм3, 35 дм3, 1 мм3, 100 см3, 28 л; б) в кубических
11 миллиметрах объемы: 2 м3, 24 см3, 3 дм3, I км3, 1 л;
в) в литрах объемы: 6 м3, 350 см3, 1 мм3, 2 км3, 1 мл.
99.5. Измерьте спичечный коробок и найдите: а) площадь
его поверхности (в мм2, в см2); б) его объем (в мм3, в см3).
99.6. Вспомните: в некотором царстве, в некотором государ-
стве есть единица длины бумбамс (см. задание 93.9). а) (У) Ука-
жите, что такое кубический бумбамс. б) Высота дворца 30 бум-
бамсов. Каков объем дворца?
99.7. В первых трех строках таблицы указаны измерения
прямоугольного параллелепипеда, а ез четвертой — его объем.
Длина 12 см 2,5 м 5 км 68 мм 1,5 м 1 км
Ширина 2,4 м 4,6 км 4,5 см 0,9 дм 1 см
Высота 5 см 1,3 м 0,3 м 4 см 13 см
Объем 480 см3 41,4 км3 12 л 1170 см3 10 м3
Заполните таблицу.
99.8. Железный брусок в форме прямоугольного параллеле-
пипеда имеет длину 24 см, ширину 6 см и высоту 4 см. Найдите
его массу в килограммах, если 1 см3 железа имеет массу 7,88 г.
99.9. Пачка чая (в бумажной упаковке) весом 100 г имеет
длину 75 мм, а ширину и высоту 60 мм. Какой объем (в литрах)
занимает 1 кг чая?
99.10. а) Площадь пола в комнате равна 21 м2, а высота ком-
наты 3 м. Сколько кубометров воздуха содержит комната?
б) Объем комнаты равен 45 м3. Найдите площадь пола, если
высота комнаты 2,5 м.
99.11. а) Из прямоугольного листа жести длиной 15 дм и шири-
ной 10 дм решили сделать короб. Для этого вырезали уголки
так, как показано на рисунке 166. Какой объем будет иметь короб,
если сторона каждого вырезанного квадратика равна 3 дм? Ответ
выразите в литрах.
291
(Урок 99)
Рис. 166
Рис. 167
б) Перечитайте условие задачи из пункта а).
Постарайтесь представить, большего или меньшего объема
получится короб, если из того же листа жести вырезать квадра-
тики со стороной 2 дм? Сделайте расчет и проверьте свое пред-
положение.
99.12. Кирпич имеет длину 250 мм, ширину 120 мм и толщину
65 мм. Грузовик привез на стройку 3,9 м3 кирпичей. Найдите
число кирпичей, доставленных на стройку.
99.13. На балконе в квартире Васи поставили четыре ящика
для цветов. Выполнив задание 97.7, вы нашли внутренние раз-
меры одного ящика, а) Вычислите, сколько литров земли вмещает
один ящик, б) Вася должен наполнить ящики землей. За один
раз он может принести два ведерка, по 4,5 л в каждом. Сколько
раз Васе придется сходить за землей?
99.14. Крупнопанельные здания строят из бетонных панелей.
На рисунке 167 показана панель шириной 3 м, высотой 2,7 м и
толщиной 0,25 м. В панели прорезан оконный проем размером
1,4 м на 1,5 м. а) Найдите объем панели, б) Кубометр бетона
весит 2,4 т. Сколько весит панель?
99.15. Экскаватор должен вырыть траншею длиной 54 м,
шириной 2 м и глубиной 3 м. а) Какой объем грунта придется
вынуть экскаватору? б) Сколько раз придется зачерпнуть ков-
шом грунт, если объем ковша 0,4 м3?
99.16. Ивану и Антону поручено выкопать канаву длиной
17,6 м, шириной 1 м и глубиной 0,5 м. Иван работает с произво-
дительностью 0,7 м3/ч, а Антон — 0,9 м3/ч. а) Сколько потребу-
ется времени, чтобы завершить работу? б) Какую часть канавы
(по длине) выкопает Иван, а какую Антон?
99.17. Больному прописали глазные капли, по 2 капли 3 ра-
за в день в оба глаза. Во флаконе 10 мл лекарства. Объем кап-
ли мл. Хватит ли одного флакона на неделю? Ответ объясните.
У
292
Урок 100
Задания на повторение к § 10
у 100.1. Картофельное поле прямоугольной формы имеет
• длину 1400 м. С поля собрали 672 т картофеля при уро-
жайности 12 т с 1 га. Какую ширину имеет поле?
100.2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если
его катеты имеют длину: а) 5 см и 8 см; б) 24 м и 9 м; в) 1,5 км
и 0,6 км; г) 44 мм и 32 мм.
100.3. Зал для электронно-вычислительной машины (ЭВМ)
имеет прямоугольную форму длиной 24 м и шириной 16,5 м. В зале
нужно настелить линолеум. Сколько нужно принести рулонов
линолеума, если в одном рулоне 12 м линолеума шириной
1600 мм?
100.4. Диаметр иллюминатора (так называют круглое окно
корабля или самолета) 40 см. Какую массу имеет стекло, закры-
вающее иллюминатор, если 1 см2 стекла имеет массу 1,5 г?
100.5. а) Выполните измерения и
найдите площадь полукруга, изобра-
женного на рисунке 168. б) Какая
площадь у заштрихованной части по-
лукруга?
100.6. Площадь одной клеточки ра-
вна 0,25 см2, а) Найдите площадь фи-
Рис. 169
37 13
100.7. В графине было — л воды, а в кувшине — на — л
меньше. Валя хотела перелить воду из графина и из кувшина в
трехлитровую банку, а Вера сказала, что тогда вода перельется
через край. Права ли Вера?
293
(Большая перемена II!)
100.8. Масса 1 л растительного масла 0,95 кг. Цистерна
вмещает 120 м3 масла. Найдите массу (в т) масла в цистерне.
100.9. У Васи есть кубики с длиной ребра 3,5 см. а) Из всех
кубиков можно построить сразу два больших кубика с ребрами
14 см и 7 см. Сколько всего кубиков у Васи? б) Все кубики запол-
няют доверху коробку длиной 21 см и шириной 14 см. Какова
высота коробки?
100.10* . Аквариум длиной 50 см, шириной 25 см и высотой
40 см наполнили доверху снегом. Масса 1 л снега 150 г, масса 1 л
воды 1 кг. а) Какой объем будет занимать вода, когда снег
полностью растает? б) Какова будет высота воды в аквариуме?
100.11. Смекалкин спросил младшего брата: «Какой объем
имеет один лист бумаги?» Брат удивился: «Разве у листа бумаги
может быть объем?!» Смекалкин дал младшему брату 250 листов
бумаги, сложенных в пачку, и- предложил использовать ее для
вычисления объема листа. Длина пачки 288 мм, ширина 203 мм,
высота 23 мм. Найдите объем одного листа.
100.12* . Из квадратного листа жести надо
изготовить короб высотой 6 см и объемом
294 см3. Для этого из листа вырезают уголки
так, как показано на рисунке 170. Каких разме-
ров надо взять лист, чтобы выполнить задание?
100.13. Клоун объявил, что площадь
цирковой арены 46 круглых метров. Пуб-
лика смеялась: все знали, что таких еди-
ниц площади нет. Клоун объяснил: «Та-
кую единицу я только что сам придумал,
круга, имеющего радиус 1 м». Выразите площадь, объяв-
Это площадь
ленную клоуном, в квадратных метрах и сравните с отве-
том в задании 95.6.
Большая перемена III
КАК ИЗМЕРЯЛИ В СТАРИНУ
Все знают, что такое метр. Но эта единица длины появилась на
свет всего лишь два столетия назад. Метр был «рожден» Великой
французской революцией в 1791 г. Так назвали
1
40 000 000
долю дли-
ны меридиана. Вместе с метром родилась метрическая систе-
ма мер. Она включает сам метр и другие единицы длины, которые
получаются из метра умножением и делением на 10, 100, 1000 и т. д.
Включает она также единицы площади и объема, которые определяются
метрическими единицами длины. (В метрическую систему входит и масса
1 кг, но мы рассматриваем здесь лишь геометрические единицы.) В
1918 г., после Великой Октябрьской социалистической революции, мет-
рическая система стала обязательной в нашей стране.
Но ведь людям издавна приходилось измерять расстояния между го-
родами, определять площадь земельных участков, использовать
точные размеры при строительстве зданий, мостов и т. п. Как измеряли
раньше? Какими пользовались единицами? Об этом мы и поговорим
здесь.
(Большая перемена III)
294
Старые единицы длины уже не используют, но их названия нередко
вспоминают в различных поговорках: «Мерит на свой а р ш и н» —
о человеке, который других «по себе судит»; «Семи пядей во
лбу» — так говорят сб умном человеке. А о человеке могучего телосложе-
ния могут сказать: «Косая сажень в плечах», о людях небольшого
роста: «От горшка три вершка» или «Сам с ноготок, а борода
с локоток». Слова, написанные выше в разрядку,— это названия
древних единиц длины. Что это за единицы или, как их еще называют,
меры длины?
В старину для определения единицы длины люди нередко исполь-
зовали части своего тела, длину своих шагов и другие величины,
которые всегда были под рукой. Например, локоть — это длина руки
от локтевого сгиба до кончика среднего пальца. Такая единица дли-
ны применялась многими народами, но, конечно, под разными назва-
ниями: «аммату» в Вавилоне, «немех» в Египте, «пехий» в Греции,
«кубитус» в Риме. Обычно локоть имел длину от 42 до 54 см. Были меры
длины ладонь и палец, объяснять их не нужно. Пядь — это расстоя-
ние между растянутыми большим и указательным пальцами (рис. 171),
длина пяди была от 17 до 22 см. Все эти меры «ручные». Были
и «ножные» меры: русская «нога», греческий «нус», английский «фут»;
их длины приблизительно равны 30 см. В Риме часто использовался
«пасс» — двойной шаг. Тысяча двойных шагов — «милиа пассуум»,
это римская миля. От нее произошли и другие мили, по сей день
используемые в ряде стран.
Рис. 172
Рис. 171
Начиная с XI в. в строительных и землемерных работах на Руси
использовали сажени. Их было две: прямая сажень — это расстояние
между кончиками пальцев вытянутых в стороны рук (рис. 172, а),
косая сажень — это расстояние между пальцами вытянутой вверх
левой правой
...... руки и носком отставленной ...... ноги (рис. 172, б). Длина
правой левой
прямой сажени 152,7 см, а косой — 216 см.
Это что же, у всех людей расстояние между
пальцами было 152,7 см? Так ведь не бывает!
Конечно, так не бывает. Расстояние между пальцами рук использовали
только в приближенных измерениях, в быту. А для более точных
измерений применяли линейки, как и в наше время.
Времена менялись, исчезали одни меры, появлялись другие. Пря-
мая сажень заменилась мерной саженью длиной 176,4 см; длина косой
сажени стала равной 248 см. В XVI в. на смену локтю пришел аршин.
Это тоже был локоть, но персидский, длиной 72 см. Тогда же на
Руси появился и вершок, равный — аршина.
16
295
(Большая перемена 111)
В XVIII в. Россия стала больше торговать с Западной Европой.
Нужны были меры, которые было бы легче сравнивать с западными
мерами. Решили сохранить названия старых мер, но заново определить
их длину. Для определения длины Петр I предложил воспользоваться
английскими мерами. Английские меры не менялись уже несколько
столетий, и ими часто пользовались в торговле. (Эти меры до сих пор
применяют в Англии и США, хотя и эти страны в последнее время
начали переход к метрической системе мер.)
Основные английские меры длины — ярд, фут и дюйм. Одна ста-
рая легенда говорит, что ярд был определен в 1101 г. как расстояние
от носа английского короля Генриха I до кончика среднего пальца его
вытянутой руки. По другой легенде, ярд — это длина меча Генриха I.
Фут определяли как одну треть ярда. Но в одно из воскресений
1324 г. другой король Эдуард II повелел определить I фут как сред-
нее арифметическое «длин ступней 16 человек». С тех пор 1 фут =
= 30,48 см, а 1 ярд = 3 футам =91,44 см. «Дюйм»— голландское слово
и означает «большой палец», а точнее, первую фалангу большого пальца
руки. Поначалу 1 дюйм определяли как длину трех ячменных зерен.
По затем установили, что 1 дюйм =
— фута, и, значит, 1 дюйм = 25,4 мм.
1 £
Именно эти английские меры и были положены в основу новых
русских мер. По указу Петра I сажень, аршин, пядь, вершок опреде-
лялись так, чтобы выполнялись равенства:
1 сажень = 3 аршинам =12 пядям = 48 вершкам = 7 футам = 84 дюймам.
Но, несмотря на царский указ, повсюду применялись самые разнооб-
разные меры длины, площади, объема. Использовались десятки различ-
ных «футов», «миль», огромное количество мер объема. Только переход
в 1918 г к метрической системе мер положил конец этой неразберихе.
С тех пор старинные меры на практике не применяются. Но их не-
редко можно встретить в рассказах и повестях, в книгах по истории.
Когда вам такие меры встретятся, вспомните наш рассказ о том, как
измеряли в старину.
Задания
TI1I.1. а) Какой рост в миллиметрах у Дюймовочки в одноимен-
ной сказке Х.-К. Андерсена?
б) А. С. Пушкин говорит, что у царя Салтана родился сын «в
аршин». Найдите рост будущего князя Гвидона в дюймах; в санти-
метрах.
III.2. Обычное пожелание морякам перед плаванием- «Семь футов воды под
килем!» Сколько это будет в сантиметрах?
III.3. Кольцо баскетбольной корзины расположено на высоте 10 футов. Най-
дите эту высоту (в м, см и мм).
III.4. Длина футбольных ворот 7 м 32 см, а высота 2 м 44 см. Найдите
размеры ворот в футах. (Совет: можно считать, что 1 фут=30,5 см.)
III.5. В хоккей на траве играют на прямоугольной площадке со сторонами
91,5 м и 54,9 м. Найдите длины сторон в ярдах, а площадь в квадратных
ярдах. (Совет- округлите длину ярда до 0,1 см.)
III.6. Выразите в дюймах и сантиметрах 1 вершок, I пядь, 1 аршин,
1 сажень.
II 1.7. Верста это 500 саженей. Найдите длину версты в метрах.
II 1,8. Десятина — это площадь в 2400 кв. саженей Найдите площадь деся
тины (в кв. м, в га).
111,9. Горшок имеет высоту 2 пяди. Найдите рост в сантиметрах того, кто
«от горшка три вершка» (имеется в виду на 3 вершка выше).
III. 10. Бывают ли люди «семи пядей во лбу»? Ответ объясните.
III.11. В одной поговорке говорят: «Пять верст до небес, и все лесом»
Сколько метров до «небес»? (См. задание III.7.)
КЛАСС
Глава ДЕЙСТВИЯ НАД ДРОБНЫМИ ЧИСЛАМИ
IV -------------------------------------
§ 11. РАЗЛОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ НА МНОЖИТЕЛИ
В самом начале учебника работу с ним мы сравнили с
долгим путешествием по стране Математике. Закончились
летние каникулы, и эту работу-путешествие нужно продол-
жать. В настоящем путешествии редко возвращаются в
те места, которые уже прошли. При изучении же матема-
тики, напротив, возвращаться к пройденному приходится
нередко: ведь оно служит опорой для новых знаний!
Приступая к изучению математики в 6-м классе, надо пом-
нить пройденное в 5-м, а если что-то забылось — повто-
рить.
В этом параграфе продолжается изучение делимости
натуральных чисел. Оно началось в § 5, поэтому прежде
всего стоит хорошенько вспомнить то, о чем там было рас-
сказано. Мы советуем вам перечитать объяснительные
тексты уроков 44—46. Кроме того, в уроках из § 11 мы
предложим повторно выполнить некоторые задания к уро-
кам 5-го класса.
А что нового будет в этом параграфе?
Вы узнаете, какие натуральные числа называют про-
стыми, как из простых чисел составляются другие нату-
ральные числа и что скрывается за сокращениями НОД и
нок.
Урок 101 Делители натурального числа
Натуральные числа, на которые натуральное число а
делится без остатка, называются делителями числа а.
Например, числа 2, 3 и 4 — делители числа 12, числа 1,
5, 10 и 20 — делители числа 20. А вот число 7 делителем
числа 12 не будет: ведь 12 на 7 без остатка не поде-
лишь.
□
Какие еще, кроме записанных выше, есть
делители у числа 12; у числа 20? Будет ли
7 делителем числа 20?
297 (урок 102)
Отыскивать делители натурального числа помогают
признаки делимости. Например, сразу ясно, что 2 — дели-
тель числа 7458. Ведь 7458 оканчивается цифрой 8, зна-
чит, по признаку делимости оно делится на 2.
Вопросы и задания
101.1. Какое число называется делителем данного на-
j турального числа.
101.2. Признаки делимости на какие числа вы знаете?
Сформулируйте их.
101.3. Будет ли: а) 2 делителем числа 5319; б) 3 делителем
числа 7254; в) 5 делителем числа 16 286; г) 9 делителем числа
161 532; д) 10 делителем числа 87 550?
Т 101.4. (У) Назовите все делители числа: а) 10; б) 15;
в) 21; г) 25; д) 30; е) 18; ж)* 36; з)* 23.
101.5. Запишите все делители числа: а) 16; б) 50;
в) 100; г)* 96; д)* 97.
101.6. (У) а) Смекалкин загадал младшему брату загадку:
«Какое число является делителем любого натурального числа?»
Отгадайте ее.
б) Младший брат Смекалкина, отгадав загадку, заявил, что
у каждого натурального числа а есть самое меньшее два
делителя. «Ведь а делится без остатка и на себя, и на 1»,—
говорил он. «Так-то оно так, — сказал Смекалкин,— но разве обя-
зательно а и 1 — это разные делители?» Поразмышляйте над
словами Смекалкина и назовите натуральное число, у которого
всего один делитель. Сколько таких чисел?
101.7. Выполните задание: а) 1.5; б) 2.6; в) 3.10; г) 4.10;
д) 5.11; е) 6.4; ж) 7.5; з) 8.5; и) 9.12; к) 10.7; л) 11.1.
101.8* . (У) Клоун объявил, что знает два разных на-
ЬЖд туральных числа, каждое из которых является делителем
другого. Публика смеялась: всем было ясно, что таких чи-
сел не бывает. Объясните почему. (Совет: подумайте, мо-
жет ли делитель числа быть больше этого числа.)
Урок 102 Простые и составные
натуральные числа
У числа 7 только два делителя: само число 7 и число 1.
Таким же свойством обладают числа 11, 19, 23: у каждого
из них только два делителя (проверьте!). А вот у числа
10, кроме 10 и 1, есть еще два делителя: 5 и 2, т. е.
всего делителей больше двух. Таким же свойством обла-
дают и числа 12, 25, 28, 33: у каждого из них больше
двух делителей (проверьте!).
298
СУрок 102)
НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НАЗЫВАЕТСЯ • • ,
составным
ЕСЛИ У НЕГО
только два делителя
больше двух делителей
Значит, числа 7, И, 19, 23 простые, а числа 12, 25, 28,
33, 10 составные.
А число 1 простое или составное?
Число I имеет только один делитель: само число 1.
Поэтому число 1 нельзя считать ни простым, ни составным.
Самое маленькое простое число — 2. Это единственное
четное простое число. Все остальные простые числа нечет-
ны. В самом деле, если четное число п больше чем 2,
то уже можно указать три разных делителя: 1, 2 и п\
поэтому у числа п больше двух делителей. Значит, все
четные числа, большие чем 2, составные.
Вопросы и задания
4^ 102.1. Какое натуральное число называется простым?
Z А составным?
102.2. Какое натуральное число не является ни про-
стым, ни составным? Ответ объясните.
102.3. Почему все простые числа, кроме числа 2, нечетные?
102.4. Могут ли быть простые числа среди: а) кратных числа 3;
б) кратных числа 5; в) кратных числа 4? Ответ объясните.
Т 102.5. (У) Найдите простые и составные числа среди
следующих чисел: а) 8, 5, 1, 2, 9, И, 6, 12, 14; б) 21, 3, 4,
10, 13, 7, 15, 24; в) 17, 22, 18, 19, 20, 16, 23, 27, 25,
29, 26.
102.6. Число 64 составное: оно делится на 2. Так как 64:2 = 32,
это число можно разложить в произведение чисел 2 и 32, т. е.
записать равенство 64 = 2*32. Проверьте, что каждое из следую-
щих чисел составное, и разложите его в произведение двух
чисел, не равных 1: а) 75; б) 81; в) 123; г)* 169.
102.7. (Загадки.) а) Задумано простое число. Следующее за
ним натуральное число тоже простое. Какое число задумано?
б)* Задуманы два простых числа. Их сумма тоже простое число.
Какие числа задуманы?
102.8. Выполните задание: а) 12.11; б) 13.11; в) 14.11; г) 15.11;
д) 16.12; е) 17.11; ж) 18.11; з) 19.11; и) 20.11; к) 21.7; л) 22.3;
м) 22.5; и) 22.9; о) 23.12; п) 24.6; р) 25.11.
102.9* (У) Клоун объявил, что нашел в натуральном
Км! ряде такие три числа, идущие подряд, что каждое из них
простое. Публика смеялась: все понимали, что так быть не
может. Объясните почему. (Совет: воспользуйтесь тем, как
идут в натуральном ряде четные и нечетные числа.)
299
(Урок 103)
Урок 103 Ряд простых чисел
и
□
Как узнать про данное число, простое оно или состав-
ное?
Если число небольшое, то можно перебрать одно за
другим все числа, которые могут быть его делителями.
Например, возьмем число 13. Его делители могут встре-
титься лишь среди чисел от I до 13. Ясно, что 1 и 13 —
делители числа 13; а перебирая одно за другим числа от
2 до 12, убеждаемся, что ни на одно из них 13 не делится.
Так что у числа 13 только два делителя, и, значит,
оно простое.
Если же число велико, то перебирать числа в поисках
его делителей придется слишком долго. Чтобы не тратить
время на эту однообразную работу, пользуются рядом про-
стых чисел.
Ряд простых чисел — это ряд, в котором простые числа
расположены в порядке возрастания. Начинается он с чис-
ла 2, затем идут числа 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т. д. Ряд простых
чисел бесконечен. Все числа этого ряда, которые меньше
1000, можно найти на форзаце учебника. Этих чисел
168, самое большое из них — число 997.
С помощью ряда простых чисел узнать, простое число
или составное, очень легко. Надо только посмотреть, есть
ли в нем это число. Например, число 149 в ряде простых
чисел встречается (найдите его!), значит, оно простое. А
вот числа 803 в ряде простых чисел нет — после простого
числа 797 там идет сразу число 809. Значит, число 803
составное.
Это очень похоже на то, как проверяют по
таблице, выиграл или нет лотерейный билет.
Но как быть, если число больше тысячи и
нужно узнать, простое оно или нет?
Для этого есть таблицы, в которых записаны все про-
стые числа, меньшие чем 10 000 000. Их составили с
помощью ЭВМ.
Вопросы и задания
JRh 103.1. Что такое ряд простых чисел? С какого числа
ш он начинается? Какое еще свойство этого ряда сфор-
мулировано в уроке?
f 103.2. (У) С помощью таблицы простых чисел опреде-
лите, какие из следующих чисел простые, а какие состав-
" ные: а) 871; б) 379; в) 697; г) 991; д) 649; е) 541.
103.3. Выпишите все простые числа, которые больше чем 500
и меньше чем 550.
(Урок 104) 300
103.4. Напишите все составные числа» которые больше чем 100 и
меньше чем 114. Каждое из них разложите в произведение двух
чисел, не равных 1.
103.5. Где простых чисел больше: между числами 100 и 200 или
между числами 200 и 300?
103.6. Сколько составных чисел заключено: а) между числами
600 и 700; б) между числами 800 и 900?
103.7. Используя таблицу простых чисел, найдите: а) три
идущих подряд составных числа; б) пять идущих подряд состав-
ных чисел.
103.8. Среди простых чисел до 10 000 000 самое большое —
число 9 999 991. Проверьте, что все числа от 9 999 992 до 10 000 000
составные. (Совет: убедитесь, что каждое из этих чисел делится
или на 2, или на 3, или на 5, или на 7.)
103.9. Выполните задание: а) 26.3; б) 27.4; в) 28.4; г) 29.3;
д) 30.3; е) 31.3; ж) 32.4.
103.10. а)* (У) В ряде простых чисел любые два соседних чис-
ла, кроме чисел 2 и 3, удалены друг от друга на четное число.
Объясните почему.
б) Простые числа, удаленные на 2, называются близнецами.
Напишите все пары простых чисел-близнецов, меньших чем 1000.
(Совет: воспользуйтесь таблицей простых чисел.)
Урок 104 Разлагаем натуральные числа
на простые множители
Число НО составное, и его можно разложить в
произведение чисел, не равных единице: 110=10-11. Но
число 10 само составное, и его тоже можно разложить в
произведение: 10 = 2-5. Получаем:
110 = 2-5-11.
Теперь в правой части равенства все множители — про-
стые числа. Мы записали число 110 в виде произведения
простых чисел, или, как говорят, разложили его на простые
множители.
РАЗЛОЖИТЬ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НА ПРОСТЫЕ
МНОЖИТЕЛИ — ЗНАЧИТ ПРЕДСТАВИТЬ ЕГО В
ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.
Какие натуральные числа можно разложить на простые
множители? Чтобы дать ответ, нужно учесть, что каждое
натуральное число либо простое, либо составное, либо рав-
но 1. Единица, конечно, не разлагается на простые мно-
жители. Если взять простое число, то можно сказать, что
оно само для себя будет единственным простым множите-
(Урок 104)
110 |=| 2^*| 5 |*| 11
11 t>lQ,, Q.
Рис. 173
301
лем. Ну, а любое составное чис-
ло можно разложить в произве-
дение нескольких простых мно-
жителей. Поэтому составные чис-
ла и назвали составными: ведь они
составлены из простых множителей, как железнодорож-
ный состав из вагонов (рис. 173).
Дано составное число п. Как разложить его на простые
множители? Обычно поступают так. Сначала с помощью
признаков делимости на 2, 3, 5 проверяют, делится ли п
на одно из этих простых чисел. Если делится, то находят
частное. Если оно простое число, то сразу получается
нужное разложение, а если оно составное, то продолжают
разлагать в произведение. Например:
Пример I. Число 65 составное, оно делится на 5.
Частное 65:5=13 — простое число. Поэтому сразу полу-
чаем разложение числа 65 на простые множители:
65 = 5 - 13.
Пример 2. Число 510 составное, оно делится на 2.
Частное 510:2 = 255 снова составное число, оно делится на
3. Следующее частное 255:3 = 85 также составное число,
кратное 5. И только частное 85:5=17, наконец, будет
простым числом. Получаем цепочку равенств
510 = 2-255 = 2-3-85 = 2-3 «5* 17.
Соединяя его начало и конец знаком « = », записываем
разложение числа 510 на простые множители: 510 =
= 2-3-5-17.
Вычисления, которые выполняют при разложении со-
ставного числа на простые множители, удобно записывать
так. Справа от исходного числа пишут его простой дели-
тель. Частное пишут ниже исходного числа, справа от
него — простой делитель частного. Следующее частное пи-
шут под предыдущим и т. д. В записи возникают два
столбика чисел. Вычисления заканчивают, когда в левом
столбике появляется число 1. Простые числа, записанные
в правом столбике, и будут теми простыми множителями,
на которые разлагается исходное число. Вот как выглядит
запись вычислений из примеров 1 и 2:
65 5
13 13
1
65 = 5-13
510
255
85
17
1
2
3
5
17
510 = 2-3-5-17
(Урок 104)
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
72 = 2-2.2*3-3
302
Разложим на простые множители число
72. В получившемся разложении есть не-
сколько одинаковых простых множителей:
три раза встречается число 2 и два раза —
число 3. В таком случае разложение можно
записать короче, заменяя произведение оди-
наковых множителей степенью. Так как
2-2-2 = 23, 3-3 = 32, получаем 72 = 23-32.
Если число, которое нужно разложить на простые
множители, не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, под-
бирают его простой делитель среди простых чисел 7, 11,
13, 17, 19, ..., проверяя их одно за другим по порядку.
А дальше находят частное и действуют так же, как и
раньше.
Вопросы и задания
4^ 104.1. Что значит разложить натуральное число на
g простые множители?
fl 04.2. (У) Разложите на простые множители число:
а) 10; б) 15; в) 8; г) 12; д) 16; е) 24; ж) 30; з) 33; и) 28;
к) 49; л) 77.
104.3. Разложите на простые множители число: а) 100;
б) 42; в) 105; г) 111; д) 225; е) 216; ж) 441; з) 1000;
и) 3600; к)* 539; л)* 1001; м)* 847; н)* 689; о)* 961.
104.4. Определите, какие из следующих чисел являются про-
стыми, а какие — составными. Составные числа разложите на
простые множители: а) 313; б) 341; в) 343; г) 347; д) 349; е) 377;
ж) 383; з) 391; и) 397; к) 401.
104.5. Найдите все простые делители числа: а) 300; б) 512;
в) 729; г) 980; д) 625; е) 1024.
104.6. Смекалкин придумал несколько примеров с размазан-
ными цифрами: а) 00-0 = 111; б) 0 * 00 — 259; в)* 00*0 =
=406; г)* 00-00=609. Восстановите размазанные цифры.
104.7. Выполните задание: а) 33.13; б) 34.9; в) 35.3; г) 36.5;
д) 37.9; е) 38.9; ж) 39.2; з) 40.2; и) 41.11.
104.8. Клоун написал несколько равенств и утверждал,
fejg что это разложение чисел на простые множители:
120 = 2-3-4-5; 1539 = 92-19; 7497 = 3-72-51.
Публика смеялась: все видели, что клоун ошибается. Объясните,
почему утверждения клоуна неверны, и напишите правильные
разложения чисел 120, 1539 и 7497 на простые множители.
303 (Урок 105)
Урок 105 Наибольший общий делитель двух
натуральных чисел
Задача. Пионеры 6-го класса решили к празднику
Октября сделать подарки октябрятам из подшефного клас-
са. Они собрали 87 воздушных шариков и 58 флаж-
ков и все их раздали малышам поровну. Сколько учени-
ков в подшефном классе?
Давайте рассуждать. Раз пионеры смогли поровну раз-
делить и флажки, и шарики между своими подшефными,
то число учеников должно быть делителем и числа флаж-
ков, и числа шариков. Делители числа 87 — это числа
1, 3, 29, 87; делители числа 58 — это числа 1, 2, 29, 58.
Видно, что есть только два общих делителя чисел 87 и
58 — число 1 и число 29. Но в классе не может учиться
всего один ученик, значит, в подшефном классе 29 уче-
ников.
Для решения задачи нам понадобился общий делитель
двух данных чисел, т. е. число, на которое оба эти числа
делятся. У чисел 87 и 58 оказалось два общих делителя:
1 и 29.
Найдем общие делители чисел 96 и 72. Сначала запи-
шем делители каждого из них в порядке возрастания:
так будет легче высмотреть, какие числа встретятся
дважды.
Делители числа 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
Делители числа 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.
Числа, встретившиеся дважды, мы подчеркнули — это и
есть общие делители. Выпишем их отдельно: 1, 2, 3, 4,
6, 8, 12, 24. Наибольшим из них является число 24.
Оно называется наибольшим общим делителем чисел 72 и
96. Вообще наибольший общий делитель двух натураль-
ных чисел — это наибольшее число, на которое оба данных
числа делятся.
Наибольший общий делитель натуральных чисел тип
обозначается НОД (ди, м) — по первым буквам слов «Наи-
больший Общий Делитель». Например, НОД (87, 58) =
= 29, НОД (72, 96) =24.
Найдите НОД (9, 12), НОД (15, 25),
НОД (19, 16).
Зачем может пригодиться наибольший общий дели-
тель? Чтобы ответить на этот вопрос, напишем все дели-
тели числа 24. Это числа 1,2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Посмотрите-
ка, снова получились все общие делители чисел 72 и 96.
Это не случайно. Дело в том, что выполняется такое
свойство: каждый делитель числа НОД (ди, п) является
(Урок 105) 304
общим делителем чисел т и п и, наоборот, каждый их
общий делитель является делителем числа НОД (т, и).
Например, зная, что НОД (108, 196) =4, можно сразу
сказать, что все общие делители чисел 108 и 196 — это
делители числа 4, т. е. 1, 2 и 4. Находить же все осталь-
ные делители чисел 108 и 196, как мы делали раньше,
не нужно.
Я понял. Но как найти сам наибольший
делитель?
Тут поможет разложение на простые множители. Чтобы
найти НОД(т, п\ числа тип разлагают на простые
множители и подчеркивают общие множители двух разло-
жений. Затем все подчеркнутые множители одного из чисел
выписывают отдельно и перемножают. Получающееся
произведение и будет наибольшим общим делителем дан-
ных чисел. Например, 72 = 2 _2_-2 * 3 -3, 96 = 2 » 2 * 2 X
Х2 • 2- 3, значит, НОД (72, 96) = 2-2-2-3 = 24.
Вопросы и задания
105.1. Что такое общий делитель двух чисел?
* 105.2. Что такое наибольший делитель двух чисел?
Как он обозначается?
105.3. Как, зная наибольший общий делитель двух
чисел, найти все их общие делители?
W 105.4. (У) Найдите наибольший общий делитель чисел:
£ а) 42 и 36; б) 54 и 63; в) 48 и 64; г) 100 и 65; д) 121 и 99.
105.5. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 144и 150;
б) 192 и 210; в) 242 и 132; г) 729 и 216; д)* 1155 и 1001.
105.6. Найдите наибольший общий делитель числителя и зна-
менателя дроби: a) f; б) в) г) f; д) е) >.
105.7. Найдите: а) НОД (8, 9); б) НОД (27, 28) ; в) НОД (19,
31); г) НОД (63, 64). Какой вывод можно сделать?
105.8. Найдите: а) НОД (7, И); б) НОД (13,23); в) НОД (19,
31) ; г) НОД (37, 53).
105.9* . Обратите внимание, что в задании 105.8 отыскивался
наибольший общий делитель двух простых чисел. Выберите в
таблице простых чисел еще два простых числа и найдите их
наибольший общий делитель. Какой вывод можно сделать?
105.10 (У) Что можно сказать о числах тип, если НОД (т, и)—и? При-
думайте примеры таких чисел.
105.11* . Валя и Вера покупают одинаковые почтовые наборы.
Каждый набор состоит из открытки с конвертом. Валя упла-
тила за наборы 65 к., а Вера — на 26 к. больше. Сколько стоит
один набор? Сколько наборов купила Валя? А Вера?
305 (Урок 106)
105.12. Длина комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комна-
те нужно выложить декоративными плитками в форме квадра-
та. Каков наибольший возможный размер стороны такого квадра-
та? Сколько плиток такого размера понадобится?
105.13. Выполните задание: а) 42.6; б) 43.11; в) 44.7; г) 45.8;
д) 46.5; е) 47.3; ж) 48.8; з) 49.1; и) 50.8.
105.14. (У) Клоун сказал, что сейчас решит о-о-очень
трудную задачу: найдет наименьший общий делитель чи-
сел... Не успел он досказать условие, как публика за-
смеялась: всем было ясно, что наименьший общий дели-
тель у любой пары натуральных чисел один и тот же и
искать его незачем. Что это за число?
урок 106 Наименьшее общее кратное
натуральных чисел
Задача. По плану парада физкультурники сначала
должны маршировать строем по 12 человек в шеренге.
Потом они должны перестроиться в колонну по 18 че-
ловек в шеренге. Сколько физкультурников нужно при-
гласить для участия в параде?
Давайте рассуждать. Чтобы
физкультурников можно было
построить и в шеренги по 12
человек, и в шеренги по 18 че-
ловек, нужно, чтобы их число
было кратно и 12, и 18. За-
пишем ряды кратных этих чи-
сел и подчеркнем в них общие числа.
Ряд кратных числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ... .
Ряд кратных числа 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ... .
Видно, что для участия в параде можно пригласить
или 36, или 72, или 108, или ... физкультурников.
о
Назовите еще два-три числа, которые могут
быть ответами в этой задаче.
В решении задачи встретились общие кратные двух
данных чисел, т. е. числа, кратные каждому из данных.
Видно, что их можно перечислять без конца, но среди них
есть наименьшее — число 36. Вообще наименьшее общее
кратное двух данных натуральных чисел — это наимень-
шее число, кратное каждому из них.
Наименьшее кратное натуральных чисел пг и п обоз-
начается НОК (^, и) — по первым буквам слов «Наимень-
шее Общее Кратное». Например, НОК (12, 18) =36.
Найдите НОК (9, 12), НОК (15, 25), НОК (11, 7).
(Урок 106) 306
С помощью наименьшего общего кратного легко найти
все общие кратные данных чисел. В самом деле, запи-
шем ряд кратных числа 36: 36, 72, 108, 144, ... . Посмотри-
те, этот ряд состоит как раз из тех чисел, которые
мы подчеркнули при решении задачи выше, т. е. из общих
кратных чисел 12 и 18. Вот какое свойство мы обна-
ружили: каждое кратное числа НОК (т, п) является об-
щим кратным чисел тили, наоборот, каждое их общее
кратное является кратным числа НОК (т, л). Например,
зная, что НОК (40, 150) =600, можно сразу сказать, что
общими кратными чисел 40 и 150 будут числа ряда
600, 1200, 1800, 2400....Записывать же ряды кратных
чисел 40 и 150, как мы делали выше для чисел 12 и 18,
незачем.
Свойство наименьшего общего кратного
похоже на свойство наибольшего общего
делителя. Наверное, наименьшее общее кратное
тоже можно найти с помощью разложения
на простые множители?
Да, и сделать это можно так. Разложим данные числа
на простые множители и подчеркнем общие множители
двух разложений. Произведение всех неподчеркнутых мно-
„первого
жителей...... числа называется дополнительным множи-
второго
второго „
телем ...... числа. Если теперь любое из данных чисел
первого
умножить на его дополнительный множитель, то получится
наименьшее общее кратное данных чисел. Например,
40= 2 -2• 2- 5 ; дополнительный множитель для 150 равен
2-2, т. е. 4; 150= 2 -3- 5 *5; дополнительный множитель
для 40 равен 3*5, т. е. 15. Тогда НОК (40, 150) =40* 15 =
= 600, или, по-другому, НОК (40, 150) = 150-4 = 600.
Вопросы и задания
4^ 106.1. Что такое общее кратное двух чисел?
< 106.2. Что такое наименьшее общее кратное двух
чисел? Как его обозначают?
Т 106.3. Как найти все общие кратные двух чисел, зная
их наименьшее общее кратное?
106.4. (У) Назовите три общих кратных чисел: а) 5 и
6; б) 10 и 15; в) 18 и 9.
106.5. (У) Найдите наименьшее общее кратное двух чисел:
а) 14 и 21; б) 24 и 30; в) 18 и 27; г) 9 и 11.
106.6. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 63 и 72;
б) 100 и 48; в) 121 и 88; г) 156 и 91; д) 729 и 343.
307 (Урок 107)
106.7. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дро-
.8 7 11 4 . 9 16 . з 7
беи. а) 9 и 6, ) [2 и (5; в) 2Q и 25; г) —- и ;
ч 19 17
д) 1АА И Тсс’•
144 156
106.8. Заполните пустые клетки следующей таблицы по образ-
цу второго столбца:
т 35 49 74 100 144 132 1000
п 21 42 111 125 84 242 1000
НОД (тп, п) 7
НОК (т, л) 105
tn •п — ... 735
НОД (/77, л)-НОК (/77, Л) 735
Какой вывод можно сделать?
106.9. Что можно сказать о числах тип, если НОК (т, п) = гп> Придумайте
примеры таких чисел.
106.10. Олины родители работают водителями трамваев: мама
на 2-м маршруте, папа на 5-м. Один рейс 2-го маршрута длится
48 мин., а 5-го — 72 мин. У этих маршрутов есть общая конеч-
ная станция. Вскоре после начала работы папин и мамин ваго-
ны подошли к ней одновременно. Через какое время они снова
встретятся на этой станции?
106.11. Выполните задание: а) 51.11; б) 52.15; в) 53.8;
г) 54.12; д) 55.11; е) 56.13; ж) 57.8; з) 58.8; и) 59.4;
к) 60.7; л) 61.3; м) 62.7.
106.12. (У) Клоун объявил, что сейчас найдет наиболь-
шее общее кратное чисел... Не успел он назвать числа, как
публика засмеялась: все поняли, что клоун не сможет этого
сделать. Объясните почему.
Урок 107
Задания на повторение к § 11
В начале урока 50 мы договорились не помещать больше
объяснительных текстов к урокам «Задания на повторение». Мы
имели при этом в виду, что вы хорошо помните, как повторять
пройденное в каждом параграфе. После летних каникул это, на-
верное, немного забылось. Поэтому мы снова советуем вам перечи-
тать объяснительные тексты уроков 11 и 50.
(Урок 107) 308
V 107.1. (У) Первый урок, относящийся к 6-му классу,
в имеет в учебнике номер 101, второй — номер 102 и т. д.
а) Какой номер в учебнике имеет третий по порядку урок,
относящийся к 6-му классу; двадцатый урок; сороковой урок?
6) Каким по порядку будет в 6-м классе 131-й урок; 160-й урок?
в) Какое общее правило можно сформулировать?
107.2. (У) Вычислите:
а) НОД (14,21); в) НОК (7,35); д) НОД (27,45); ж) НОК (5.9);
б) НОД (33,22); г) НОК(91,13); е) НОД(Ю0,40); з) НОК(6,8).
107.3. Найдите значение числового выражения и разложите
получившееся число на простые множители:
а) (10004-1): 11; в) 1224-52; д) 29-31 + 196:142;
б) 1024:2:4:8:16 + 9; г) 142 + 52 + 22; е) 333-3 + 625:252.
107.4, Число 1000 можно получить, перемножая два числа, в
записи которых нет нуля: 125 и 8. Можно ли получить 1 млн., пе-
ремножая два числа, в записи которых нет нуля? А 1 млрд.?
107.5. (У) В одной кучке спичек на 1 больше, чем в дру-
гой. Можно ли, используя все спички обеих кучек, выложить из
них контур прямоугольника? Ответ объясните. (Совет: нужно до-
гадаться, каким будет число всех спичек — четным или нечетным.)
107.6. (Сказка с заданиями.) а) 28 сентября
число 28 решило пригласить в гости всех своих
делителей, меньших чем оно само. Первой при-
бежала единица, за ней двойка, за ней... Напиши-
те список всех гостей числа 28.
б) Когда все гости собрались, число 28 уви-
дело, что их немного. Оно огорчилось и предло-
жило, чтобы каждый из гостей привел еще и сво-
их делителей. Сколько придет новых гостей?
в) Единица объяснила числу 28, что при таком условии новые гости к нему
не придут: ведь если какое-то число Ь — делитель числа а, а число с — делитель
числа Ь, то с будет делителем и числа а. Проверьте это при а = 30: найдите
все его делители и для каждого из них его делители.
г)* Чтобы утешить число 28, его гости соединились знаком « + ». И, о чудо,
сумма оказалась равной самому числу 28! Единица сказала, что всякое число,
которое равно сумме своих меньших делителей, называется совершенным. Так что
28 — совершенное число. Число 28 обрадовалось и спросило, какие есть еще совер-
шенные числа. Всезнающая единица объяснила, что совершенные числа встре-
чаются очень редко: среди чисел до миллиона только 4 совершенных. Число
28 — единственное двузначное совершенное число, есть только одно трехзначное
совершенное число — 496 и только одно однозначное. Проверьте, что число 496 со-
вершенное, и найдите однозначное совершенное число.
д) Наступило 29 сентября, и число 29 тоже решило пригласить в этот день
в гости своих меньших делителей. Первой, как всегда, пришла единица.
Кто еще пришел в гости? Что можно сказать про число 29? Какое оно?
е) Числам понравилось приглашать в гости своих делителей. Кто пришел в
гости 30 сентября, вы знаете, если выполнили задание в). И в октябре про-
должался тот же обычай. Только одно число не дождалось гостей. Что это за число?
Сколько раз оно само побывало в гостях?
ж) У каких чисел был только один гость? Что это за гость?
107.7. Ученики Васиного класса решили приготовить своей учительнице
по математике подарок ко Дню учителя: придумать математические задачи,
решаемые в два действия. Договорились перебрать все возможные комбинации
309
(Урок 108)
действий. Чтобы не пропустить ни одной комбинации, стали составлять табли-
цу с двумя столбцами: в 1-м столбце указывать 1-е действие задачи, а во 2-м —
2-е действие. Здесь показано, как выглядит начало этой таблицы.
а) Допишите остальные строки табли-
цы. Сколько всего получается комбинаций
действий?
б) В Васином классе 28 учеников. Они
разобрались на пары, и каждая пара при-
думывала задачи со своей комбинацией
действий. Хватило ли пар учеников на все
комбинации действий?
в) Организуйте такое придумывание
задач в своем классе. По указанию учи-
теля обменяйтесь составленными задачами
l-е действие 2-е действие
Сложение Сложение Сложение Сложение Вычитание Сложение Вычитание Умножение Деление Сложение
• • • • «
и затем проверьте правильность их
решения.
107.8. Выполните задание: а) 63.10; б) 64.4; в) 65.5;
г) 66.7; д) 67.7; е) 68.7; ж) 69.6; з) 70.6; и) 71.13;
к) 72.3; л) 73.3; м) 74.4; н) 75.3; о) 76.4; п) 77.5;
р) 78.6; с) 79.7; т) 80.3; у) 81.9.
107.9*. Клоун придумал три ребуса:
а)
ВАГОН
+ ВАГОН
СОСТАВ
б) ОДИН
+ ОДИН
МНОГО
СИНИЦА
СИНИЦА
ПТИЧКИ
В каждом из них расшифруйте, какая цифра скрывается за каждой буквой.
§ 12. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ
В уроке 61 мы узнали основное свойство дроби: если у
дроби числитель и знаменатель умножить на одно и то же
натуральное число, то получится равная ей дробь. Напри-
мер, потому что числитель и знаменатель дроби
б з
— получаются из числителя и знаменателя дроби — ум-
ножением на одно и то же число 2.
Почему это свойство называют основным? Потому, что
на нем основаны правила действий над дробями с разны-
ми знаменателями и правило сравнения таких дробей. Эти
правила вы и будете изучать в § 12. Но сначала мы со-
ветуем вам перечитать урок 61, чтобы хорошенько
вспомнить то, о чем там было рассказано.
Урок 108 цт0 значит сократить дробь
Вспомните формулу из урока 61, выражающую ос-
новное свойство дроби. Поменяем в ней местами левую
и правую части равенства. Тогда получится такая фор-
мула:
(Урок 108)
310
т-р__ т
п-р п '
Она утверждает равенство двух дробей. Если числитель
т-р и знаменатель п-р первой дроби разделить на их об-
щий делитель, то получится вторая дробь. Например,
3-2 3 801-37 801
—-—= —; . Мы видим, что основное свойство
5-2 5 62-37 62
дроби можно сформулировать и «с другого конца»: если
у дроби числитель и знаменатель разделить на их общий
делитель, то получится равная ей дробь.
Если этот общий делитель больше единицы, то числи-
тель и знаменатель дроби, конечно, уменьшается. В таком
случае говорят, что дробь сократили.
СОКРАТИТЬ ДРОБЬ — ЗНАЧИТ РАЗДЕЛИТЬ
ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ НА ИХ ОБЩИЙ
ДЕЛИТЕЛЬ, БОЛЬШИЙ ЕДИНИЦЫ.
п
При сокращении дробь заменяют равной дробью
с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Поэто-
му сокращение дробей облегчает вычисления.
zr 16-4 9-12 101
> Сократите дробь —
Не всякую дробь можно сократить. Например, дробь
— сократить нельзя, ведь у числителя 4 и знаменателя
7 нет общих делителей, больших единицы. Дробь, кото-
рую нельзя сократить, называют несократимой.
Если дробь можно сократить, то ее обычно сокращают
на наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
После такого сокращения общих делителей уже не оста-
ется, поэтому получается несократимая дробь. Давайте
сократим так дробь -Ц-. Подсчитаем НОД (48,84):
48 = 2-2-2-2-3, 84 = 2-2-3-7; значит, НОД (48,84) =
48
= 2-2-3=12. Сокращая дробь — на 12, получаем несок-
4
ратимую дробь —.
Итак, всякая дробь равна какой-то несократимой
дроби.
Вопросы и задания
108.1. Какое основное свойство дроби вы знаете?
Сформулируйте его со словом «умножить»; со словом
«разделить».
311 (Урок 108)
108.2. Что значит сократить дробь? Как называют дробь,
которую нельзя сократить?
108.3. Всякая ли дробь равна какой-то несократимой дроби?
Г 108.4. Объясните, почему равны дроби: а) (У) — и
28
3 , 18 , 6 . .121 11 . . 2 3 .9
4 ’ 21 И 7 ’ В) 99 И 9 * Г) 4 И 6 ’ Д^ 27 И
28. ,45 24 . 200 20
84 ’ е) 30 И 16 ’ Ж) 200 И 20 '
108.5. Найдите несократимую дробь, равную дроби: а) (У)
Лв
zv\ 12. . 72. . 212 . . 333 „ч 625 . . 6520. . 113.
5) (У) 18» в) 90 ♦ г) 4б2 , д) 4158 , е) 1000 , ж) 755 , з) нз,
242 . . 3030
121 ’ 101 *
108.6. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной дроби,
а полученную обыкновенную дробь сократите. Образец:
а) 0,4; в) 0,125; д) 1,5; ж) 2,56; и)* 17,3125;
б) 0,25; г) 0,0625; е) 6,4; з) 3,128; к)* 101,1024.
108.7. Придумайте дробь, которую можно сократить. Запишите
ее на листочке и предложите соседу по парте найти несократи-
мую дробь, равную исходной. Проверьте, правильно ли он выпол-
нил задание. (Совет: придумывая дробь, воспользуйтесь основным
свойством. Чтобы было интереснее, не придумывайте слишком лег-
кое задание!)
108.8. Сравните дроби, предварительна сократив их: а) — и
<7
8 . й. 4 9
12’ 16 И 12’
9 20.
15 И 25’
Г)
14 24 . - . 625 729 .
18 И 27 ’ Д' 125 И 81 ’
. 343 980
е) 7 И 20 '
108.9. Выполните действия над дробями,
кратив их:
.18 2
27 6 '
12’ °) 16 12’
предварительно со-
21 5 . . 6 .
28 20 ’ г' 18
I 4-5
108.10. Клоун сократил дробь на 5 и объявил, что
она равна дроби Публика смеялась: всем было видно,
что клоун сократил на слагаемое. А на слагаемое не
сокращают — это полная чепуха! Выполните сложение в числителе
и в знаменателе дроби
и сократите ее правильно.
312
урок 109 Приводим дроби к общему знаменателю.
Теперь можно сравнивать любые дроби
В 5-м классе вы научились сравнивать, складывать и
вычитать дроби только с одинаковыми знаменателями. А
как быть, если знаменатели различны? Нельзя ли тогда
заменить дроби равными им дробями с одним и тем же
знаменателем? Оказывается, можно! В таких случаях го-
ворят, что дроби приведены к общему знаменателю.
ПРИВЕСТИ ДРОБИ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ —
ЗНАЧИТ НАЙТИ РАВНЫЕ ИМ ДРОБИ
С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ.
Научившись приводить дроби к общему знаменателю,
можно будет сравнивать, складывать и вычитать любые
дроби.
2 4
Приведем, например, дроби — и — к общему зна-
«5 О
менателю 15. Как найти дробь со знаменателем 15, рав-
2
ную дроби — ? Нетрудно догадаться, что нужно восполь-
О
зоваться основным свойством дроби: умножить числитель
и знаменатель на 5.
2 _ 2*5 10
3 ~ 3*5 ““ 15 '
Найдите дробь со знаменателем 15, равную
о дроби Догадались, на сколько нужно
умножить числитель и знаменатель?
4 12
Получится —=—. Цель достигнута.
О 1 о
Дроби и можно привести и к общему знамена-
телю 30. Ведь а (проверьте!). Общим
о uv О oU
2 4
знаменателем для дробей — и — могут служить и другие
о D
числа, например 45, 60, 75 и вообще любое общее кратное
чисел 3 и 5.
Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаме-
2 4
нателю. Для дробей — и — таким наименьшим общим
. о □
знаменателем будет число 15. Вообще наименьший общий
знаменатель несократимых дробей равен наименьшему
общему кратному их знаменателей.
313 (Урок 109)
Чтобы привести несократимые дроби к наименьшему
общему знаменателю, разлагают знаменатели этих дробей
на простые множители и находят дополнительные множи-
тели. После этого остается применить основное свойство
дроби и умножить числитель и знаменатель каждой дроби
на дополнительный множитель ее знаменателя.
Пример. Приведем к наименьшему общему знаме-
9 23
нател го дроби — и —:
г 16 60
16 = 2 «2* 2 «2; дополнительный множитель для 60 равен
2-2, т. е. 4;
60 = 2-2-3-5; дополнительный множитель для 16 равен
3-5, т. е. 15.
Теперь умножаем числитель и знаменатель каждой дро-
би на дополнительный множитель ее знаменателя:
9 __ 9-15 __ 135 . 23_234__ 92
16“ 16-15 “ 240 ’ 60 “60-4“ 240 ’
Если нужно привести к наименьшему общему знамена-
телю две любые дроби, то их сначала сокращают (если это
возможно), а с полученными несократимыми дробями
поступают так, как только что объяснено.
Давным-давно (см. урок 54) Смекалкин спрашивал,
как сравнивать дроби с разными знаменателями. Теперь
нетрудно дать ответ на этот вопрос и объяснить, как
сравнивать любые дроби. Сравним, к примеру, дроби
7 5
— и Сначала приведем их к общему знаменателю:
-4-=44, А сейчас можно воспользоваться прави-
9 18 6 18
лом сравнения дробей с одинаковыми знаменателями: из
двух таких дробей больше та, числитель которой больше.
„ ,Л 15 _ 14 5^7
Раз 15> 14, то значит,
1о 1о О У
Обдумывая, что же нам пришлось проделать для дости-
жения цели, мы можем сформулировать правило сравне-
ния любых дробей:
Чтобы сравнить две дроби, нужно привести их к общему
знаменателю н сравнить числители полученных дробей.
Вопросы и задания
109.1. Что значит привести дроби к общему знамена-
телю?
109.2. Чему равен наименьший общий знаменатель
двух несократимых дробей?
109.3. Как сравнивать любые дроби?
(Урок ПО) 314
109.4. (У) Приведите дроби к общему знаменателю 48:
\ 3 5 . 13 17 V 1 I . к 3 2
а) 4 и 6 ’ 24 и 48 ’ В) 6 и 16 ’ Г) 16 и 3 ’
д) 12 и 8 •
109. 5. Для каких пар дробей а) — д) из задания 109.4 есть
общий знаменатель, меньший чем 48? Каков у них наименьший
общий знаменатель? 2
109. 6. Приведите дроби к общему знаменателю: а) (У) — и
о
1 gr к /\j\ 2 % 7 10 у 17 31 х 2
Т’ б) (У) — И в) ~9" и 77’ Г) 36 и 72*’ ~ и
9_.
6 ’
10
14
21 ‘
109. 7. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю и
сравните их: а) (У) 4» и 4 ; б) (у) 4 и в) 4 и 4;
О О о Z О О
ч 5 7 х ZVv 3 5 ч 6 10
Т? и 18’ 6 И То ’ е) 14 и 22’
109. 8. Придумайте две дроби и предложите соседу по парте
сравнить их. Проверьте» правильно ли он выполнил задание.
109. 9. Клоун высказал такие утверждения: а) — боль-
у jwBjk 2
ше, чем —: ведь 3 больше, чем 2, а 7 больше, чем 5;
б) -^-больше, чем ведь 13 больше, чем 11, а 40 больше,
tU <jU
чем 30; в) больше, чем ведь 100 больше 1, а 1000 больше
10. Публика смеялась: всем было ясно, что клоун неверно срав-
нивает дроби. Но один раз оказалось несмешно, потому что клоун
нечаянно высказал верное утверждение. Сравните дроби, назван-
ные клоуном, и разберитесь, где он высказал верное утверждение»
а где нет.
урок ио |(ак найти сумму и разность любых дробей
Задача. Ученики 6-х классов собирают металлолом
для пионерской плавки.б-й А класс собрал — т металлолома,
7
а 6-й Б — — т. а) Сколько металлолома собрали оба
24
класса вместе? б) На сколько тонн один класс собрал
металлолома больше, чем другой?
Чтобы ответить на вопрос а), нужно сложить дроби
5 7
— и —. Приведем их сначала к общему знаменателю 48
(Урок ПО)
315
5 _ 5-3 _ 15. 7 _ 7-2 __ 14
16 ” 16-3 “ 48 * 24 ” 24-2 ”48 ’
Теперь вспомним правило сложения дробей с одинаковым
знаменателем: чтобы найти сумму дробей с одинаковым
знаменателем, нужно сложить их числители и оставить тот
же знаменатель. Применим это правило:
15 . 14 _ 15 +14 _ 29
48 ’ 48 — 48 ”48‘
5 7 29 29
Итак, -4-—=—. Оба класса собрали вместе — т метал-
16 24 48 г 48
лолома.
Ответим теперь на вопрос б). Каждый видит, что 6-й А
15 14
собрал металлолома больше, чем 6-й Б: ведь — > —. Что-
г 48 48
бы узнать, на сколько тонн больше собрал 6-й А, нужно
5 7 5
найти разность ———. Заменяя дробь — равной дробью
а дробь Дробью 4- получаем, что
14 1 о
— 48’^48’ ^десь мы воспользовались правилом вычита-
ния дробей с одинаковым знаменателем.
Обдумывая, что же нам пришлось проделать при сло-
жении и вычитании дробей — и —, мы можем сделать
16 24
такой вывод:
Чтобы найти разность двух дробей, нужно привести
сумму
их к общему знаменателю, числителей полу-
ченных дробей записать в числитель результата и оставить
общий знаменатель.
Если знаменатели слагаемых невелики, то общий зна-
менатель и дополнительные множители обычно находят
в уме. Тогда все вычисления записывают цепочкой ра-
венств. Для удобства дополнительные множители пишут
чуть выше и правее слагаемых и подчеркивают небольшой
дужкой. Например:
7 । 2 4 _ 35 । 8_ 35 + 8 43
12 ’15 ”60 ’ 60 “ 60 “60*
Так же записывают вычисления и при вычитании. Напри-
мер:
1 2 __ 3 2 _ 3 — 2 _ 1
3” — 9 ”9 9~“ 9 “ 9 '
(Урок ПО) 316
Если в результате получается сократимая дробь, ее со-
кращают, в неправильной дроби выделяют целую часть.
Например:
Вопросы и задания
110.1. Как находят сумму дробей; разность дробей?
110.2. (У) Вычислите:
110.3. Вычислите:
б) 9 + 27 ’
И) 2 + 9 ’
К) 4-+^;
Д) 18 24 ’ 6 15’
ч 11 7 ч 5 5
7 36 24’ 7 9 12
110.4. Вычислите:
5 . 5
48 36 *
В примерах д), е) выполненное вычитание проверьте сложением,
а в примерах ж), з) — вычитанием.
110.5. Придумайте два примера на сложение дробей с разными
знаменателями, запишите их на листочке и предложите соседу
по парте. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.
110.6. Записав смешанное число неправильной дробью, най-
дите значение выражения: а) 2-^--б)
110.7. Замените десятичную дробь обыкновенной и выполните
действие: a) 0,54—i-; б) 1-1,2; в) —0.6; г) 2,8 —1Ц-.
О о । О
317 (Урок ПО)
110.8. а) Сформулируйте переместительный закон сложения и
запишите его формулой с буквами а и Ь. Проверьте его выпол-
13 17 37
некие при а = — и Ь=—; при а~2~ и 6 = 6—.
г 42 30 г 7 15
б) Сформулируйте сочетательный закон сложения и запишите
его формулой с буквами х, у, z. Проверьте его выполнение при
3 18 6 ,13 7 о 17
х”“13’ 29’ z~ 5 ’ ПРИХ“118> ^"'•24’ z — З36‘
110.9. Вычислите, используя свойства сложения и вычитания:
7 । / 4 । 2 \ . / 4 . 5 \ 1 ч 6 . 7 } 5 2
11 "Ц 5 11) ’ \ 9 ’ 12/ 9’ 11"^13”|“и 13*
110.10. Свойства сложения и вычитания часто позволяют вы-
полнять действия над смешанными числами, не записывая их
неправильной дробью. Например, 1 ——1-2—=( 1 +( 2 +
/ 7 1 \ _ 1 1 21— 4_ . 17
\ 8 6 ) 1 24 “ 1 24 ’
Вычислите, не записывая смешанное число неправильной дробью
110.11. Найдите значение выражения:
110.12. Решите уравнение:
110.13. Мама поручила Игорю купить полбуханки хлеба. По
просьбе пожилой соседки, которой трудно дойти до магазина, он
купил еще четверть буханки. Сколько всего хлеба купил Игорь?
(Урок Ilf) 318
110.14. Вася подсчитал, какую часть от общего числа его
оценок за месяц составляют пятерки, а какую — четверки. Полу-
ченные дроби он сократил, и оказалось: пятерок —, четверок
а) Каких оценок у Васи было больше — пятерок или четверок?
1
б) Какую часть Васиных оценок составляют пятерки и четверки
вместе? в)* Сколько оценок получил Вася за месяц, если известно,
что их число больше 40, но меньше 80?
110.15. В марте цех выполнил часть годового плана, а в
1 41
феврале — на — часть меньше. Какая часть плана выполнена за 2
месяца?
110.16. (У) Вычислите: а) б) -у 4; в) у5;
\ 15-7
г)
110.17. (У) Используя совместные свойства умножения и деле-
ния, вычислите наиболее простым способом:
а) (7-8,8):8; б) (4,5-14):7; в) (3,4:16)-8; г) (5,2:25)-5.
урок in Умножение и деление дробей
Правила умножения и деления дробей на нату-
ральное число вы знаете из урока 60. Напомним их здесь:
чтобы
умножить _
разделить ДР°бь на натуральное число, нужно умно-
жить на это число
числитель
знаменатель
4
дроби. Например, — *3 =
4-3 = 12 4 .с- 4 = 4
~~ 7 — 7 , 7 .о— 7 5 — 35 -
А как умножить или разделить одну дробь на другую?
Например, как наити произведение и частное —?
Чтобы ответить на вопрос, вспомним, что дробь равна
частному при делении числителя на знаменатель. Значит,
дробь у можно заменить частным 3:5 и произведение
-у--у записать так: -у-(3:5). Воспользуемся теперь сов-
местным свойством умножения и деления (оно верно и тог-
да, когда одно из ч-исел — дробь). Получим равенство
-у»(3:5)=(-у-з) :5. Теперь можно умножить дробь -у на
натуральное число 3, а полученную дробь разделить на на-
туральное число 5. Выполним эти действия:
/ 4 4<3 .с_ 4’3 __ 12
\ 7 7 -О— 7л5 —35-
319 (Урок 111)
Сделаем вывод: числитель произведения дробей и
з
— равен произведению их числителей, а знаменатель —
э
произведению их знаменателей. Ясно, что точно так же
можно перемножать любые дроби. Получается вот какое
правило:
Чтобы найти произведение двух дробей, нужно произ-
ведение их числителей записать в числитель результата,
а произведение их знаменателей записать в знаменатель
результата.
Формулой это правило можно записать так:
а с а*с
b d b-d *
Вычислите произведение: -Ц-~
13 5 6 5
10 ’ 26 ’ 5*6’
Теперь подсчитаем частное Будем действовать
I о
по тому же плану, что и при вычислении произведения
этих дробей. Заменим дробь — частным 3:5 и запишем
4 3 4 5
—так: —:(3:5). Снова воспользуемся одним из сов-
местных свойств умножения и деления и получим ра-
венство — :(3:5)=/ — :3 } «5. Теперь разделим дробь
на натуральное число 3, а полученную дробь умножим
на натуральное число 5:
/ 4 с 4 г 4«5 20
-3; *5=-ЛЗ~5==-7^-=2Г’
Сделаем вывод: числитель частного дробей и ра-
вен произведению числителя первой дроби на знаменатель
второй, а знаменатель частного равен произведению зна-
менателя первой дроби на числитель второй. Вместо этих
дробей можно взять любые другие, вывод останется тем
же. Получается вот какое правило:
Чтобы найти частное двух дробей, нужно произведение
числителя делимого и знаменателя делителя записать в
числитель результата, а произведение знаменателя дели-
мого и числителя делителя записать в знаменатель ре-
зультата.
Формулой это правило можно записать так:
(Урок 111)
320
Вычислите частное:
а . с ct'd
b ’ d b’C
9.8. 6.6
10 * 15 ’ 5’5*
Вопросы и задания
111.1. Как найти произведение двух дробей; частное
двух дробей?
111.2. Буквой а обозначено какое-то число. Чему равно
а -1, а: 1, а:а, а«0?
111.3. (У) Вычислите: а) б) 4"*4"»
о О /о
к 13 2 .115. ч 6 . 5 . х 8.7
В) И ' 3 ’ Г) 8 ’ 3 ’ Д) 7*9’ е) 1Г 12 ’
ч 14. 3 . 2 .10
ж) 9 ‘ Ю ’ 3) 7 * 9 ’
111.4. Найдите значение числового выражения:
111.5. Заполните пустые клетки таблицы:
а 7 3 8 11 33 13 72 65 42 55 4 4 60 3 7 15 1 0
b 7 23 4 15 2 3 13 10 42 55 2 3 4 3 9 11 1 6 13 со |ю со
CL'b
a:b
111.6. а) Сформулируйте и запишите, используя буквы а и Ь,
з
переместительный закон умножения. Проверьте его для а = ~,
41
б) Сформулируйте и запишите, используя буквы х, у иг,
сочетательный закон умножения. Проверьте его для х = —
— 11 =li
~ 18 ’ г-“23*
в) Сформулируйте и запишите, используя буквы а, Ь и с, рас-
пределительные законы умножения относительно сложения и вы-
5 7 2
читания. Проверьте их для а ——, Ь=—, с — —.
12 1 о 3
(Урок 111)
321
11L7. (У) Вычислите наиболее простым способом:
a) \ 7 I 5 4 „\ 156 5 JL-
1 7 6/5* В' 12* 21 12 ’ 21 ' Д' 1 7 * 17 7*17’
б) 2_.2_.il и ±.12 . 1з,_4_ е) 2—-1—— 1—- 1А
’ 11 41 7 ‘ Г’ 9 28+28 9 ’ ’ 17 1 6 1 6 1 17
111. 8. Найдите значение буквенного выражения —-а+—:а
1 Q О 18 12
при a=-T-: -Е-; 0.6.
Z О D
111. 9. Упростите выражение и найдите его значение:
a) a-s-+a«-=—a--r- при а=Г,-=-; 1-у-; 0;
Z о 4 D /
б> + при 4-; 21V: °-6:
13 , 5 „ . 7 „ а. 13. о 1 . л. 1987
в) 4 ♦«+ 6 *с 1 12’С при с — 2, 2|. 3 7,0. 1д88.
111.10. Решите уравнение:
з
111.11. В 1-й день колхозная бригада собрала 3— т огурцов,
1 5
во 2-й день — в 1 — раза больше. Сколько тонн огурцов собрала
бригада за 2 дня?
111.12. Обработка детали на станке-автомате уменьшает мае-
о
су отходов в 2— раза по сравнению с обработкой на обычном
станке. Сколько отходов получается при обработке детали на стан-
ке-автомате, если при работе на обычном станке их получается
4 *
111.13. а) Пешеход идет со скоростью 5 км/ч. Сколько ки-
лометров он пройдет за 1 мин? Какова скорость пешехода в
м/мин?
б) Скорость автомобиля а км/ч. Запишите формулой скорость
этого автомобиля в м/мин. Найдите эту скорость при а=80; 90; 76.
в) Выразите в м/с скорость 4 км/ч; 40 км/ч; 90 км/ч; а км/ч.
111.14. Вокруг дома идет дорожка длиной 340 м. Петя и Коля
побежали по этой дорожке в противоположные стороны, стар-
товав одновременно из одной точки. Скорость Пети 5,7 м/с, ско-
рость Коли 5-Ц- м/с. Через сколько секунд они встретятся?
11 Учебник-собеседник
(Урок 112) 322
111Л5*. Петя и Коля из предыдущей задачи побежали по той
же дорожке в одну сторону. Коля бежит быстрее и через какое-то
время догонит Петю. Через какое именно?
Урок 112 Взаимно обратные числа
Рассмотрим дробь—. Если ее «перевернуть», т. е. поме-
О
нять местами числитель и знаменатель, то получится
дробь —. Полученную дробь называют обратной к
О
дроби Вообще обратной к дроби -2- называется дробь
п
т ’
2 19
Назовите дробь, обратную к дроби: а) —; б) —.
О
а
Каждому понятно, что если из данных двух дробей пер-
вая обратна ко второй, то вторая обратна к первой. По-
этому про такие дроби можно говорить, что это дроби,
4 7
обратные друг к другу. Например, дроби — и -т-,
и ю 1 юо -
1о и ТГ’ 1бо и И--обратные друг к другу.
Что получится, если перемножить две дроби, обрат-
п m п т*п .
ные друг к другу? Давайте посмотрим: —•— =--------=1.
п т п*т
Вывод:
Произведение дробей, обратных друг к другу, равно
единице.
Два числа, произведение которых равно единице, назы-
вают взаимно обратными числами. Значит, обратные друг
к другу дроби являются взаимно обратными числами.
Наоборот, если даны два взаимно обратных дробных
числа, то их можно записать в виде обратных друг к
другу дробей. Например, 1,25 и 0,8 — взаимно обратные
числа (проверьте!). Запишем их в виде обыкновенных
дробей: 1,25 =
5 4
—; 0,8 =—. Всем сразу видно, что эти дро-
би обратны друг к другу.
Каждое из двух взаимно обратных чисел называют по
отношению к другому обратным числом. Например, чис-
лом, обратным к числу 0,75, будет —; числом, обратным к
8 7 3
числу 8—, будет
323 (Урок 112)
Проверьте оба утверждения. Найдите число,
обратное к числу 3-^-.
Ал
Пользоваться обратными числами удобно при выпол-
нении деления дробных чисел.
11 на
л nd
Разделим, например,
5
*
9 *
11-9
5 ‘
Смотрите, деление на можно заменить умножением на
9 9 5
число обратное к числу -5-. Тот же самый вывод
о У
получится, если взять любые дроби -у- и Применяя
формулы из предыдущего урока, можно записать цепочку
а с a*d a d
равенств —: ——= -г--------• Соединяя знаком « = »
r b d b-c b с
крайние выражения, получаем формулу
а # с a d
b * d b с *
Сформулируем обнаруженное правило:
Чтобы разделить одно число на другое, нужно делимое
умножить на число, обратное к делителю.
А для всякого ли числа есть обратное к нему
число?
Хороший вопрос! Чтобы ответить на него, давайте
порассуждаем. Возьмем какое-нибудь число и. Если v —
обратное к нему число, то u*v= 1, Всегда ли найдется та-
кое число v? Нетрудно догадаться, что нет, не всегда.
Ведь если п = 0, то и произведение u-v равно нулю и,
значит, не может быть равно единице. Итак, число 0 не
имеет обратного к себе числа. Еще раз убедились в том,
какое это особенное число нуль!
Как найти число, обратное к данному числу? Ответить
на этот вопрос легко. Ведь если v — число, обратное к дан-
ному числу и, то u*v=\. А вы давно знаете: чтобы
найти один из множителей, надо разделить произведение
на другой множитель. Значит, v=l:u. Итак, запомните:
Число, обратное к данному числу и, равно частному
1 :и.
324
(Урок 112)
Вопросы и задания
112.1. Какая дробь называется обратной к дроби
J Почему можно говорить: «Дроби, обратные друг к
другу»?
112.2. Чему равно произведение дробей, обратных друг к
другу? Как называются числа, произведение которых равно еди-
нице?
112.3. Умножением на какое число можно заменить деление
на данное число?
112.4. Для всякого ли числа есть обратное к нему число? Ответ
объясните. Чему равно число, обратное к данному числу?
112.5. Если дробь правильная, то правильной или неправиль-
ной будет обратная к ней дробь? Ответ объясните,
о
112.6. (У) Назовите дробь, обратную к дроби: а) —;
100 \ 4
6) —; в) т.
112.7. Найдите число, обратное к числу: а) 0,2; б) 0,5;
в) 3; г) 10; д) 1,7; е) 3,003; ж) з) =^; и) 2-|s
к)12^-
112.8. Будут ли взаимно обратными числа: а) (У) 0,4 и 2,5;
б) (У) 0,2 и 2; в) 14- И 0,9; г) 1,234 и ?
О 01 /
112.9. Вычислите частное и сравните его с делимым:
. n\ YL-2-- \ 1L-JL- \ 13.51.
а' 16*3’ В' 28'34’ 20 * 22’ Ж' 111'37’
9. 3 , . 17.34. .11.22 . 13.37
б) 16' 2 ’ ) 28'7’ е) 20* 5 ’ 3) 111'51’
112.10. Решите уравнение: а) (У) x*-g-=2; б)
в) х-0,8 = 0,2; г) х-0,2 = 0,8; д) 2,3-х = 0,06.
(У) *'4-=3:
112.11. Клоун приготовил три пары
карточек с числовыми выражениями.
Значения выражений на карточках
каждой пары — это взаимно обратные
числа. Когда клоун шел к публике,
обезьянка выхватила у него одну кар-
точку и убежала. Вот какие карточки
остались:
1 . 3
10 * 5
0,6:0,7
46._7_
35'23'
325 (Урок 113)
а) Перерисуйте их в тетрадь. Соедините линией те, где зна-
чения выражений — взаимно обратные числа.
б) Найдите значение выражения, написанного на карточке,
которую утащила обезьянка.
Урок из Решаем задачи на дроби
Задача 1. Площадь поля 12 га, из них 8 га засеяно
пшеницей. Какая часть поля засеяна пшеницей?
Чтобы решить задачу, надо 8 разделить на 12. Полу-
8 2
чится —, т. е. —.
12^ О
И вообще, чтобы найти, какую часть одно число состав-
ляет от другого, нужно разделить первое число на второе.
С этим правилом вы на самом деле познакомились
давным-давно (посмотрите-ка урок 53).
2
Задача 2, Площадь поля 3 га, — этого поля засеяли
□
рожью. На какой площади посеяна рожь?
2
Чтобы решить эту задачу, надо найти — от 3 га. Вы уже
а 2
знаете, что для этого надо умножить 3 на —. Ответ:
*-г (га)‘
И вообще, чтобы найти дробь от числа, надо это число
умножить на данную дробь.
Задача 3. На площади 6 га посеяна гречиха, эта
площадь составляет поля. Какова площадь поля?
Эту задачу очень легко решить уравнением. Обозначим
з
площадь всего поля буквой х. Тогда % «у- — это площадь,
на которой посеяна гречиха, т. е. 6 га. Вот и уравнение
получилось: х-—=6. Решая его, получаем х = б:—=
= 14 (га). 1 '
Конечно, данные в этой задаче могли быть другими, но
путь решения остался бы тем же. Значит, можно сформу-
лировать правило:
Если известна дробь, показывающая, какую часть ис-
комого числа составляет данное число, то, чтобы найти
искомое число, нужно данное число разделить на дробь.
Вопросы и задания
113.1. Как найти, какую часть от числа составляет дру-
гое число?
113.2. Как найти дробь от числа?
(Урок 113) 326
113.3. Как найти число, если известна дробь, показываю-
щая, какую часть искомого числа составляет данное число?
у 113.4. (У) Чему равно:
а) -В-от 40; б) 4“ от 100; в) от ПО; г) от 14?
О / 1 1
113.5. Чему равно:
а) 4- от 8,7; в) # от 0,8; д) 2Дот 6,9; ж)ДотД;
б) -I-от 6,3; г) £ от 6,8; е) 7 Д от 8,3; з)3-£отбД?
/ Z«J ХО 11 о
113.6. Запишите обыкновенной дробью:
а) б)Д%; в) 2 4-%; r)24^-%; д) 67±|-%; е) 102-L
О / О * I Хг V О
13.7. Вычислите:
а) 4% от 27; в) 2-|-% от 7,2; д) 67^% от 14,3;
б) 4% от г) 24|[% от —у ; е) 102^% от 3-|-.
113.8. а) Длина прямоугольника 22,2 см, а его ширина сос-
тавляет -рр от длины. Каков периметр прямоугольника?
б) Периметр треугольника 37,8 м. Одна его сторона состав-
ляет — от периметра, другая--—. Каковы стороны треуголь-
У 7
ника?
113.9. Туристы за 3 дня должны пройти 43,35 км. В 1-й день
они планируют пройти Д всего пути, во 2-й день —пути.
Сколько километров должны пройти туристы в 1, во 2 и в 3-й
дни?
113.10. В 1985 г. в СССР письма составляли — всех почто-
о
„ 1 1
вых отправлении, посылки — —, денежные переводы — —, а
телеграммы-----Постройте круговую диаграмму, показываю-
щую долю каждого вида почтовых отправлений.
113.11. Из учебника природоведения вы узнали, что длина
границ СССР 60 тыс. км. При этом 20 тыс. км составляют
сухопутные границы, а остальное — морские. Какую часть границ
СССР составляют морские?
113.12. (У) Чему равно число, если:
2 13
а) — от него равно 40; в) — от него равно 130;
о II
5 22
б) от него равно 100; г) — от него равно 11?
327 (Урок 114)
113.13. Чему равно число, если:
2 1
a) -z- от него равно 3.6; в) 2 — от него равно 4.5;
о /
35 4
б) — от него равно 0,7; г) 3 — от него равно 1,25?
113.14. Чему равно число, если:
2 3
а) —% от него равно 5; в) 32 —% от него равно 72;
О D
б) 2от него равно 12,5; г) 102-|-% от него равно 92?
о и
113.15. До привала туристы прошли 18 км. По карте они
2 TZ
определили, что это — всего маршрута. Какова длина всего
о
маршрута? Сколько километров осталось пройти туристам?
113.16. а) На школьной выставке 220 рисунков выполнены
красками, а остальные — карандашами. Сколько всего рисунков
на выставке, если карандашами выполнено — всех рисунков?
б) Составьте обратную задачу, в которой требуется найти
количество рисунков, выполненных красками.
113.17. В 1986 г. зерновые культуры занимали 116,5 млн. га,
233
что составляет всех посевных площадей нашей страны.
Какова эта вся посевная площадь?
113.18. В 1986 г. в СССР всех выпускников 10-х классов
оо
поступили на работу в народное хозяйство, а остальные 1849 тыс.
выпускников продолжили обучение на дневных отделениях раз-
личных учебных заведений. Сколько выпускников поступило на
работу?
Урок 114 Учимся рассуждать при решении задач.
Важно хорошо продумывать условие задачи
Смекалкин предложил младшему брату такую задачу:
Задача 1. Лифт от l-го до 2-го этажа идет 4 с.
Сколько секунд он будет идти без остановки от 1-го до
6-го этажа?
Младший брат рассуждал так: «Во сколько раз 6-й
этаж выше 2-го? Делим 6 на 2, получаем 3. В 3 раза
выше! Значит, на подъем до 6-го этажа лифту потребует-
ся в 3 раза больше времени. Умножаем 4 на 3, полу-
чаем 12. Ответ: 12 с».
Правильно ли рассуждал младший брат
Смекалкина? Правильно ли он решил задачу?
(Урок 114)
328
Рис. 174
Давайте разберемся. Чтобы определить» во сколько раз
6-й этаж выше 2-го, нарисуем схему этажей от 1-го до
6-го (см. рис. 174). Смотрите: от 1-го этажа до 2-го
один пролет (на рисунке он закрашен). А сколько таких
пролетов от 1-го этажа до 6-го? Каждый видит, что их 5.
Значит, 6-й этаж не в 3 раза выше 2-го, как, не подумав,
утверждал младший брат, а в 5 раз! Младший брат
не продумал условие как следует и решил задачу непра-
Г7 ВИЛЬНО.
а Решите задачу правильно.
Задача 2. Совхоз выделил под вишневые сады два
квадратных участка земли. Сторона 1-го квадрата 1 км,
сторона 2-го—1,5 км. В 1-м саду высадили 60 тыс.
вишневых деревьев. Сколько деревьев потребуется для
2-го сада?
Младший брат Смекалкина, решая эту задачу, рас-
суждал так: «2-й сад в 1,5 раза больше 1-го, значит,
и деревьев для него потребуется в 1,5 раза больше.
Умножаем 60 000 на 1,5. получаем 90 000. Ответ: потре-
буется 90 тыс. деревьев».
Смекалкин сказал брату, что тот не продумал условие
задачи, рассуждал неправильно и получил неверный ответ.
Объясните, в чем состояла ошибка младшего
брата.
Давайте задумаемся над такими словами из рассуж-
дений младшего брата: «2-й сад в 1,5 раза больше 1-го,
значит, и деревьев для него потребуется в 1,5 раза боль-
ше». Вот здесь-то и ошибка! Ведь младший брат вспом-
нил только о длине стороны квадрата. А для реше-
ния задачи нужно учитывать площадь! Во сколько раз
больше площадь, во столько раз больше потребуется
деревьев. Ясно, что площадь 1-го сада 1 км2. А какова
площадь 2-го?
Найдите ее. Определите, во сколько раз она
больше площади 1-го сада, и завершите
решение задачи.
Задания
114.1. Перечитайте условие задачи 1 из объясни-
J тельного текста и определите, сколько секунд лифт будет
идти без остановки: а) от 1-го до 7-го этажа; б) от 1-го
до 10-го этажа; в) от 2-го до 10-го этажа; г) от 3-го до 12-го
этажа.
114.2. Младший брат спросил Смекалкина: «Сколько секунд
329 (Урок 115)
потребуется тебе на запись чисел от 1 до 20?» Смекалкин засек
время и написал первые пять чисел, потратив на запись 5 с
«А остальные числа почему не пишешь?» удивился младший
брат Смекалкин объяснил, что незачем. Ведь уже можно опре-
делить, с какой скоростью он пишет цифры, и ответить на
заданный вопрос. Младший брат определил: одна цифра в се-
кунду «Значит, числа от 1 до 20 ты запишешь за 20 с»,—
сказал он. Смекалкин объяснил брату, что тот ошибается. Ведь
не каждое число записывается одной цифрой.
а) Ответьте правильно на заданный вопрос.
б) Сколько секунд потребуется Смекалкину на запись чисел
от 1 до 40, если он будет писать без остановки?
114.3. В семи номерах подряд журнала «Пионер» публикова-
лась новая повесть. Окончание дано в № 11. С какого номера
нужно попросить журнал в библиотеке, чтобы прочитать всю
повесть?
114.4. Учительница выбирает путевку в санаторий. Срок по-
нравившейся ей путевки 24 дня, начиная с 7 августа. Один
день нужен на дорогу. Какого числа кончается срок путевки?
Может ли учительница поехать по этой путевке и успеть вер-
нуться к началу учебного года?
114.5. В коллективном саду есть два кубических бака для
воды. Ребро 1-го куба 1 м, ребро 2-го— 1,5 м. Во сколько раз
больше воды вмещается во 2-й бак, чем в 1-й?
114.6. Клоун объявил, что на представлении присут-
ствуют 576 детей и что это составляет — всех зрителей.
Чтобы узнать, сколько всего зрителей на представлении,
g
он умножил 576 на — и получил 224 (зрителя). Пуб-
лика смеялась: все понимали, что клоун вместо того, чтобы
искать число по дроби, искал дробь от числа.
а) Сколько всего зрителей было на представлении?
б) Какую часть зрителей составляли взрослые?
в) Проверьте, правильно ли хоть клоун умножил 576 на —.
Урок 115
Задания на повторение к § 12
115.1. Сократите дробь:
х х./х 12 кх /v\ ЮО . „х 315 X* 2323 ч* 1111
а) (У) ; б) (У) в) —; г) 3232*; д) -„nn- .
7 77 ч 888 8888
115.2. Сравните дроби: а) -у и ; б) и gggg--
(Урок 115)
330
115.3. (У) Сократима ли дробь: a) б) в)
111 О / О Ом У о
115.4. Чему равна дробь, числитель которой: а) в 3 раза
меньше знаменателя; б) в 7 раз меньше знаменателя? (Совет:
обозначьте числитель какой-нибудь буквой.)
115.5. Запишите в порядке возрастания дроби:
V _5_. 51_. 501 . 5001 . 1005 . 105 . J5_
а) 7 * 7t ♦ 701 » 7001 ’ °' 1007 ’ 107 ’ 17 ’ 7 ’
115.6. Даны две дроби. Числитель первой дроби в 2 раза
меньше знаменателя второй дроби, а знаменатель первой дроби
в 3 раза меньше знаменателя второй, а) Чему равно частное
при делении первой дроби на вторую? (Совет: обозначьте у пер-
вой дроби числитель буквой а, знаменатель буквой Ь.) б) (У)
Основываясь на ответе в а), скажите, какая дробь больше: пер-
вая или вторая?
115.7. Винни-Пух съедает банку меда за
3 ч, а его друг Пятачок — за 4 ч. За какое
время они съедят такую банку меда, если
начнут со своей обычной скоростью есть ее
вместе?
115.8. (Старинная задача, XVII в.) Четыре плотника у неко-
его купца нанялись* двор ставити. И говорит первый плотник так:
«Только бы мне одному тот двор ставити, я бы его поставил един
год». Другой молвил: «Я бы его поставил в два года». А третий
молвил: «Я бы его поставил в три года». Четвертый так рек: «Я
бы его поставил в четыре года». Все те четыре плотника учали
тот двор ставити вместе. Сколько долго они ставили, сочти.
115.9. Два колхоза строили дорогу. Один построил — до-
роги, другой — остальную часть, а) Какую часть дороги построил
второй колхоз? б) Во сколько раз часть дороги, построенная
первым колхозом, больше, чем ее часть, построенная вторым
колхозом?
115.10. В начале игры «Зарница» наступающий отряд нахо-
дился на расстоянии 1340 м от отряда, занимающего оборону.
Командир обороняющихся выслал разведчиков, которые встре-
9
тили противника через 13— мин. Скорость, с которой двигались
о
2
разведчики, 52 —м/мин. а) На каком расстоянии от обороняюще-
о
гося отряда разведчики встретили наступающий отряд? б) Какова
скорость, с которой движется наступающий отряд? в) Через какое
время после встречи с разведчиками наступающий отряд подой-
дет к обороняющемуся? 7
115.11. а) К числителю и знаменателю дроби — прибавили
по 6. Большее или меньшее получилось число? б) Из числителя
331 (Урок 115)
и знаменателя дроби 4т вычли по 6. Большее или меньшее полу-
1о
чилось число?
115.12. Сравните дроби: а) (У) и б) и
.10 10 . 11 11 .20 20 -
в) 2Г и 49’’ г) 36 и 48' Д) йТ и 259 • СдеЛЭИТе ВЫВ°Д "
сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковыми чис-
лителями.
115.13. Найдите значение числового выражения:
115.14. Выполните задание 73.8, используя вместо десятич-
ных дробей обыкновенные.
115.15. Запишите десятичные дроби в виде обыкновенных
дробей и выполните действия:
*а) -|~8,7; » г) 6,8--£;
б) 6,3д) 2 4-6,9;
в) -£.0,3; е) 8,3.3-—;
ж) б.б:^-; к) -£:6,5;
з) -£:0,6; л) 3,3:2
и) 7,2:^-; м) 3-£:6,3.
115.16. Найдите число, обратное к данному числу:
а) (У) 0,01; б) (У) 0,00001; в) 2 £; г) 6,25; д) 2,25.
115.17. Вычислите произведение и сравните его с первым
множителем:
2
б) 16 з
17 34 .
28* 7 *
17 _7_.
28 * 34 ’
\ асе 22 \ 13 3 \ о 7
д) 0,55»—, ж) - —; и) 2*—;
\ л tcc 13 1^ • \ о 24
е) 0’55*22 ’ 3) ТТГ*Тз* к) 2*“*
Сделайте вывод: увеличивается или уменьшается число при ум-
ножении на дробь, большую единицы; на дробь, меньшую едини-
цы; на дробь, равную единице?
115.18. Рассмотрите примеры а) —к) из задания 112.9.
Можно ли утверждать, что в этих примерах вычисления те же
самые, что и в примерах а) —к) из задания 115.17? (Совет:
для объяснения ответа воспользуйтесь правилом из урока 112.)
Сделайте вывод: увеличивается или уменьшается число при
делении на дробь, большую единицы; на дробь, меньшую еди-
ницы; на дробь, равную единице?
(Урок 116) 332
115.19. Каждое из семи двухметровых бревен надо распилить
2
на равные части по — м. Сколько всего распилов надо сделать?
115.20. Для провешивания линии электропередачи установи-
ли 100 столбов. Расстояние между каждыми двумя столбами 50 м.
Какую длину имеет провод, соединяющий первый и последний
столбы?
115.21. (У) а) Не выполняя вычитания, скажите, что больше: 1—Д или
1Уоо
3 1 . .X п ч * 1987 1988
1 — |ПОП ? б) Пользуясь ответом к заданию а), сравните дроби и .
1УоУ 1Уоо 1УоУ
§ 13. ПРОПОРЦИИ
Что объединяет между собой движение транспорта
и кулинарию, изготовление сплавов и малярные рабо-
ты, вычерчивание карт и рассматривание микробов в мик-
роскоп? Кому-то такой вопрос может показаться стран-
ным. Но того, кто изучал математику в 6-м классе, ответ
не затруднит: во всех перечисленных делах и процессах
нередко возникают пропорции. Что такое пропорция и как
пропорции помогают решать разные задачи, вы узнаете, 4
проработав этот параграф.
Урок 116 Что такое отношение
При сравнении двух значений какой-то величины
часто возникает вопрос: а) во сколько раз одно значе-
ние больше другого или б) какую часть по отношению
к другому оно составляет? Вы знаете, что и в случае а),
и в случае б) ответ дается частным. В таких случаях
частное двух чисел называют их отношением. Разберем
несколько примеров отношений.
Пример 1. Рассмотрим два отрезка длиной 5 см
и 2 см (см. рис. 175): \АВ | =5 см, I CD | =2 см. Отношение
с
|ЛВ| к | CD | равно —. Если длины выразить в миллимет-
50
рах, то отношение |ДВ| к |С£>| можно записать в виде —.
5 50
Оба отношения — и ~~ показывают, во сколько раз |ДВ|
л»
больше | СО|: в 2,5 раза. Ведь 2,5.
•D
Рис. 175
333
(Урок 116)
Пример 2. Масса батона 360 г, а масса бухан-
360
ки хлеба 800 г. Отношение показывает, какую часть
800 J
составляет первая масса по отношению ко второй: 0,45.
Ведь 11^=0,45 (проверьте/). Если эти массы выразить в ки-
0,36
лограммах, то их отношение можно записать в виде
Но ведь дробную черту мы использовали для
записи дробей! А сейчас записана не дробь.
Верно. Но вы давно знаете, что при записи деления
натуральных чисел вместо знака деления можно исполь-
зовать дробную черту. Так вот, договариваются о том
же и при записи деления любых чисел. Итак, если а
и b — любые числа, то
И записать отношение числа а к числу b можно двумя
способами:-?- и а:Ь.
Придумайте два-три примера, где с помощью
отношения сравниваются значения какой-то
величины: длины, массы, времени и т. п.
Запишите возникшие при этом отношения.
Еще один важный случай, когда возникает отноше-
ние, показан в следующем примере:
Пример 3. Если пешеход за 40 с проходит 50 м,
то его скорость равна т. е. 1,25 м/с. Видите: для
определения скорости нам пришлось найти отношение
пройденного расстояния к времени движения:
длина (пройденного пути)
скорость
время (потраченное на этот путь)
В виде отношений определяются и другие величины:
производительность труда, урожайность, цена (см.
урок 18).
Вопросы и задания
I 116.1. Как найти отношение чисел а и Ь? Как записы-
вают это отношение?
(Урок 117) 334
116.2. Каково отношение длины окружности к ее диаметру?
Т 116.3. (У) Длина отрезка KL равна 12 м, а длина
отрезка MN равна 60 м. а) Найдите отношение \KL\ к
|A1W|. Что показывает это отношение? б) Найдите
отношение |Л1ЛИ к |KL|. Что показывает это отношение?
116.4. (У) Найдите отношение: а) числа 12 к числу 4; б) чис-
ла 4 к числу 12; в) числа 6,3 к числу 9; г) числа 3 к числу --р
116.5. Стоимость 1340 м черной ткани 24 120 р., стоимость
960 м серой ткани 18 240 р. Цена 1 м какой ткани выше?
116.6. Турист за день прошел 32 км. До обеда он шел 4 ч
и прошел 20 км. Еще 3 ч он шел после обеда. Когда скорость
туриста была выше: до или после обеда?
116.7. Бегун пробежал 100 м за 10 с. Больше или меньше
его скорость, чем обычная скорость теплохода 35 км/ч?
116.8. Одна бригада маляров за 3 ч покрасила 32 м2 стен, а
другая бригада за 4 ч покрасила 42 м2. У какой бригады произ-
водительность труда выше?
116.9. (У) Найдите отношение площади квадрата к длине его
стороны, если длина стороны равна: а) 3 мм; б) 0,2 мм; в) 14 км.
116.10. а) Клоун решил найти
отношение массы мышки к массе
слона. Мышка весит 50 г, слон —
5 т. «Составляем отношение:
— сказал клоун.— Мышка в
- ® ®
Ц 10 раз тяжелее слона!» Публика
смеялась: все видели, что клоун
Использовал разные единицы массы. Составьте правильное отно-
шение и найдите, какую часть массы слона составляет масса мышки.
в) Затем клоун решил сравнить скорости черепахи и косми-
ческой ракеты. Скорость ракеты 8 км/с, скорость черепахи
400 см/ч. «Составляем отношение: -775г,— сказал клоун.— Ско-
рость ракеты составляет 0,02 от скорости черепахи». Публика
смеялась: все видели, что клоун опять использовал неодинако-
вые единицы скорости. Составьте правильное отношение и най-
дите, во сколько раз скорость ракеты больше скорости черепахи.
урок 117 Знакомимся с пропорцией.
Основное свойство пропорции
В примере 1 из урока 116 мы встретились с равенством
- 5
двух отношении ~^=
£
50
20 ’
33S (Урок 117)
РАВЕНСТВО ДВУХ ОТНОШЕНИЙ НАЗЫВАЮТ
ПРОПОРЦИЕЙ.
И в примере 2 из урока 116 можно получить про-
порцию Ведь оба написанных отношения озна-
oUU U,о
чают одно и то же (посмотрите-ка этот пример!).
Вспомните из урока 116 пример 3 про пешехода. Его
скорость
торое он
мер, за
15 z
12 М/С-
можнр было бы найти, измерив расстояние, ко-
пр ой дет за какое-нибудь другое время. Напри-
12 с он пройдет 15 м. Значит, его скорость
Вспомнив отношение для той же скорости,
50 15
опять получаем пропорцию: —= —.
14k
Пропорцию можно прочитать так: «Отношение
аки равно отношению b к или «а так относится к и,
как Ь относится к и», или «а, деленное на и, равно
6, деленному на V». Числа а, &, u, v называют членами
этой пропорции.
Из пропорции можно вывести равенство произведений
г, 5 50
ее членов. Посмотрите: для пропорции —=— произвело-
4k Лл V
ния 5*20 и 2-50 равны. И вообще если —=—, то a*v=
= u*b.
Чтобы не перепутать, какие члены пропорции
перемножить, посмотрите, как они расположены
порции:
________________________
-у
Они лежат крест-накрест!
Да. Так и будем их называть — накрест лежащие
Теперь можно сформулировать основное свойство про-
порции:
В ЛЮБОЙ ПРОПОРЦИИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИХ ЧЛЕНОВ РАВНЫ.
Пропорцию записывают и в виде a:u=6:v.
Тогда накрест лежащие члены а и v называют крайними,
Ь и и — средними членами пропорции. Если левую и пра-
вую части пропорции поменять местами, то крайние чле-
ны станут средними и наоборот:
нужно
в про-
члены.
средние
a: u~b:v
средние
b:v — a:u
t t
-крайние-1
(Урок 117) 334
Основное свойство пропорции легко сформулировать
и для такой записи:
ПРОИЗВЕДЕНИЕ КРАЙНИХ ЧЛЕНОВ ПРОПОРЦИИ
РАВНО ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЕЕ СРЕДНИХ ЧЛЕНОВ.
Вопросы и задания
117.1. Что называют пропорцией?
ж 117.2. Какое основное свойство имеет пропорция?
* 117.3. Прочитайте следующие пропорции и назовите
в них крайние и средние члены. Проверьте, что выполнено
основное свойство пропорции.
а) 25:5 = 50:10; б) 2,4:0,6 = 8:2; в) 3,5:7 = 1,25:2,5.
117.4. Определите, какие из следующих отношений равны, и
1 12
составьте из них пропорции: 28:14; 2—:2; 8:4; —; 3:10;
2,1:7; 3:0,3.
117.5. Скорость самолета 900 км/ч, скорость автомашины
108 км/ч. Выразите эти скорости в м/с и допишите пропорцию
900:108=... .
117.6. Объем одной банки 800 мл, объем другой — 2,5 л.
Найдите отношение их объемов, выразив оба объема: а) в мил*
лилитрах, б) в литрах. Составьте пропорцию.
Ц П7.7. Длина окружности 72 см. а) Какова длина дуги, гра-
дусная мера которой равна 180°; 90°; 1°; 5°? б) Используя
72 24
ответы пункта а), продолжите цепочку пропорций: -,гп=т5х-=
ovv l^v
= ... . в)* Посмотрите на рисунок 176 и допишите пропорцию
=
л —- *
| 117.8. Площадь круга 240 см2, а) Найдите площадь сектора,
дуга которого имеет градусную меру 180°; 120°; 3°; 72°. б) Ис-
пользуя ответы пункта а), продолжите цепочку пропорции:
=—=... . в)* Посмотрите на рисунок 177 и допишите пропор-
$
цию —==... .
А
Рис. 176
Рис. 177
337
(Урок 118)
урок ns Продолжаем изучать свойства пропорций
Как проверить, составляют ли пропорцию отношения
132 143
TZo" и лзл? Если составляют, то произведения накрест
loo loJ
лежащих членов должны быть равны, т. е. 132-182 =
= 168’143. Это и в самом деле так: оба произведения
равны числу 24 024 (проверьте!). Оказывается, верно и
обратное: из равенства 132 *182 =168 «143 выводится про-
порция Чтобы увидеть это, разделим число
10о lox
24 024 на число 168*182 двумя способами, воспользо-
вавшись сокращением дробей:
24 024 _ 132.182 _ 132
168*182” 168*182” 168 *
132 143
Значит, 1б8 182.
24 024 _ 168-143 __ 143
168*182” 168*182 182 ’
В этом примере вместо взятых нами конкретных чисел
можно взять любые числа а, Ь, и. v (лишь бы и и v не
были равны нулю). Тогда ясно, что выполняется такое
свойство:
если a*v~ u*b, то —.
и V
Обратите внимание, что равенство а-и = и*Ь— это
и
а
равенство произведений накрест лежащих членов четырех
_ « а Ь а и
пропорции:
’ -г=V (пР°веРьте-')-
И наоборот, эти четыре пропорции можно вывести из ра-
венства a‘V = u-b (конечно, числа а, Ь, и, v тогда не долж-
ны быть равны нулю). Например, из равенства 132* 182 =
= 168*143 получаем пропорции
132 _ 143 132 168 168 _ 182 143__ 182
168 — 182’ 143—182’ 132 143 ’ 132 168’
Значит, если выполняется одно из следующих пяти
равенств, то выполняются и четыре другие:
338
(Урок 118)
Задания
Г 118.1. Проверьте, правильно ли составлены
. 5 __ 125. 51 __ 3 . V 1,25__0,25 .
4 100 ’ °' 187— 1 ’ В' 15 3 ’
пропорции:
Г' 0,6 2,1*
Д)
5,38__95,7 л _г
777=^7- Ответ объясните.
l,oZ 2/,о
118.2. Можно ли составить
19
209 19 46 *
н —; б) — и —,
пропорцию
226
371 И 23 ’
ИЗ
Г)
двух отношений:
266 14 .
437 И 23 *
д) и -Ц-; е) и —? Ответ объясните.
О io о а!
118.3. Составьте четыре пропорции, используя равенство:
3-8=6-4; б) 6-0,25=0,5-3; в) a-v = u-Z>.
118.4. Найдите отношение и к и, если: а) -^-=-|-; б) -^-=
5
v
а)
. 20
в) —
' и
118.5. Плотностью вещества называют отношение массы ве-
щества к занимаемому им объему. Например, 10 см3 железа имеют
массу 78,8 г; значит, плотность железа равна ^-~=7,88 (г/см3).
Найдите плотность в г/см3 и в кг/м3 воды, нефти, воздуха я свинца,
если: а) 1 л воды имеет массу 1 кг; б) 5 м3 нефти имеют массу
4 т; в) -i- м3 воздуха имеет массу 430 г; г) свинцовый кубик с
О
ребром 5 см имеет массу 1412,5 г.
Ц 118.6. Если плотность тела меньше плотности жидкости, то
это тело будет плавать в жидкости, а) Тело имеет массу 361 г и
объем 380 см3. Будет ли оно плавать в нефти; в воде? (Плотность
этих жидкостей вы нашли, выполнив задание 118.5.) б) 5 л ртути
имеют массу 68 кг. Будет ли плавать в ртути свинцовый кубик
из задания 118.5 г); золотой кубик с ребром 10 см и массой
19,3 кг?
118.7. Масса чего больше: 1 км3 воздуха или свинцового
куба с ребром 48 м; 59 л нефти или 3,5 л ртути? (Плотность
этих веществ вы узнали, выполнив задания 118.5 и 118.6.)
118.8. а) Какой объем нефти имеет такую же массу, что и
1 л ртути? б) Плотность сибирской пихты 375 кг/м3, а плотность
алюминия 2,7 г/см3. Алюминиевый брусок имеет такую же массу,
как пихтовый кубик с ребром 6 см. Найдите объем алюминие-
вого кубика.
118.9. Решите уравнения: а) х:12 = 2:3; б) в) —=
= ; г) 117:63=143:*. (Совет: воспользуйтесь основным
свойством пропорции.)
33® (Урок 119)
118.10. Клоун объявил, что он составил из членов
ytfL- равенства 3-4 = 6-2 несколько пропорций: 3:6.=2:4;
SV 4:6=2:3; 3:6 = 4:2; 6:3 = 2:4; 3:2 = 4:6; 6:4 =
=«3:2; 6:3 = 4:2; 6:4=2:3. Публика смеялась: все виде-
ли, что половина пропорций составлена неправильно. Укажите
пропорции, составленные правильно.
урок 119 Решаем задачи на пропорции
Если три члена пропорции известны, а четвертый нужно
найти, то говорят, что это задача на пропорцию. Задачи
на пропорции возникают очень часто. Нужно научиться
уверенно решать их. Вот одна из таких задач:
Задача 1. Масса железного куба с ребром 5 см
равна 985 г. Какова масса железного куба с ребром 10 см?
Напомним, что в задании 118.5 мы определили плот-
ность вещества как отношение его массы к занимаемо-
му объему.
Объем первого куба равен 125 см3, а его масса —
985 г. Вычислим плотность железа: г/см3. Объем вто-
рого куба равен 1000 см3, а его искомую массу обозначим
буквой х. Теперь плотность железа можно записать и от-
ношением . * Так как плотность одна и та же, получаем
уравнение в виде пропорции
985 _ х
125 1000 ’
Перемножим накрест, лежащие члены: 985* 1000= 125»х.
985*1000_*7ооп
Решая это уравнение, находим х =—ттт— =7880. Вот и
ответ: искомая масса равна 7880 г.
С помощью пропорций удобно решать задачи на про-
центы.
Задача 2. Бригада трактористов за неделю вспа-
хала 1170 га, что составило 36% общей площади совхоз-
ных полей. Найдите общую площадь полей.
Обозначим буквой х искомую площадь. Тогда условие
задачи можно записать в виде пропорции
1170_ 36
х 100 *
Перемножая накрест лежащие члены, получим
1170 • 100 = х • 26. Отсюда находим искомую площадь:
117°-100 -=3250 га.
36
(Урок 119) 340
Задания
VI 19.1. Из 18 т железной руды выплавляют 10 т же-
леза. Сколько железа выплавят из 35 т руды?
" 119.2. Чтобы заварить 1,5 л чая, нужно 30 г сухого чая. Чай’
ник вмещает 0,39 л. Сколько нужно сухого чая для заварки?
119.3. Валя и Вера собрались варить варенье из 2,5 кг смо-
родины. По рецепту на 2 кг ягод нужно 3 кг сахара. Валя сказа-
ла, что им потребуется 3,75 кг сахара, а Вера — что 3,25 кг. Кто
из них прав? Ответ объясните.
119.4. Дуга окружности имеет длину 785 мм и градусную
меру 30°. Найдите длину дуги той же окружности, если градус-
ная мера дуги равна 18°; 252°; 96°. (Совет: посмотрите свое ре-
шение задания 117.7 и составьте нужные пропорции.)
119.5. Сектор круга имеет площадь 64 см2, а его дуга имеет гра-
дусную меру 48°. Найдите площадь сектора того же круга, если
дуга сектора имеет величину 18°; 240°; 105°. (Совет: посмотрите
свое решение задания 117.8; составьте пропорции.)
119.6. В школьном коридоре длиной 56 м нужно выкрасить
пол. Выкрасив часть коридора длиной 22 м, израсходовали
8,25 кг краски. Сколько еще нужно краски, чтобы докрасить ко-
ридор?
119.7. Масса 8 л бензина 5,68 кг. Цистерна имеет объем
500 м3. Хватит ли ее, чтобы вместить 306 т бензина? Ответ
объясните.
119.8. Чтобы сварить 4 порции пшенной каши, нужно взять
220 г пшена, 1 л молока и 30 г сахара. Сколько потребуется этих
продуктов, чтобы сварить 14 порций каши? (Совет: составьте три
пропорции — для каждого продукта отдельно.)
119.9. Чтобы засеять 2 га пашни, нужно 360 кг пшеницы.
Используя эти данные, придумайте задачу на пропорцию и пред-
ложите решить ее соседу по парте. Проверьте его решение.
119.10. Придумайте задачу, которая решалась бы составле-
3 240 п
нием пропорции —• Предложите соседу по парте решить
X ио
ее и проверьте, правильно ли он решил.
119.11. а) Кофейные зерна при жарении теряют 12% своего
веса. Сколько килограммов свежих зерен надо взять, чтобы полу-
чить 4,4 кг жареных? б) Яблоки при сушке теряют 84% своего
веса. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить
16 кг сушеных?
119.12. Универмаг за месяц продал товаров на 621 тыс. р.,
перевыполнив план на 15%. Какой план продажи был установ-
лен универмагу?
119.13. а) Сахарная свекла содержит 14% сахара. С 1 га со-
бирают 30 т сахарной свеклы. Сколько гектаров надо засеять са-
харной свеклой, чтобы получить 100 т сахара? б) Составьте об-
ратную задачу, в которой требуется найти, сколько сахара можно
341 (Урок 120)
получить из сахарной свеклы, посеянной на заданной площади.
Решите составленную задачу.
119.14. Даны два числа. Какое из чисел больше и на сколько,
если: а) 5% от первого числа равны 15, а 8% от второго равны
16; б) 18% от первого числа равны 72, а 15% от второго равны
60; в) 28% от первого числа равны 140, а 25% от второго числа
равны 35% от первого?
119.15* . (У) Даны два числа. Какое из них больше, если:
а) 25% от первого числа равны 35% от второго; б) 140% от
первого числа равны 110% от второго?
Урок 120 Строим диаграммы
Диаграмма на рисунке 178 показывает, как меняется
со временем численность населения Земли (выраженная в
миллионах человек). Чтобы построить эту диаграмму, мы
для изображения 100 млн. человек выбрали отрезок дли-
ной 1 мм. Если для каждого отрезка диаграммы записать
отношение его длины к изображаемому числу, то получит-
ся цепочка пропорций
7,3 = 9,5 = 12,5 = 16,5 = 25 = 48,5
730 950 1250 1650 2500 4850 *
В этом случае говорят, что длины отрезков пропорцио-
нальны числам 730, 950, 4850.
Столбчатая диаграмма изображает массы динозавров,
вымерших десятки миллионов лет назад. Почему столб-
чатая? Потому, что массы изображаются не отрезками,
а прямоугольными столбиками. Столбики заметнее отрез-
ков! Конечно, и здесь высоты столбиков пропорциональ-
ны массам: столбик высотой 10 мм изображает массу
трицератопс тиранозавр брахиозавр апатозавр спинозавр
10 т, 50 мм — 50 т и т. д. Значит, масса 1 т изобразилась
бы столбиком высотой 1 мм.
Диаграммы часто используют в разных книгах и на
плакатах, чтобы наглядно сравнить какие-нибудь цифро-
вые данные.
Задания
120.1. В таблице указано, сколько процентов составила
продукция промышленности СССР за некоторые годы в
процентах к продукции 1940 г. Постройте диаграмму^
изображая 50% отрезком длиной 2 мм.
Год 1940 1950 1960 1970 1975 1980 1986
Продукция (проценты) 100 170 520 1180 1690 2100 2660
120.2. По таблице постройте диаграмму выработки электро-
энергии в СССР. Изобразите уровень 1960 г. отрезком дли-
ной 1 см.
Год 1960 1970 1975 1980 1985 1990 (план)
Выработка электроэнергии (млрд. кВт-ч) 292 741 1038 1294 1544 1860
343
(Урок 121)
120.3. Постройте диаграмму потребления человечеством прес-
ной воды в км3 за 1 год (на 2000 г. прогноз). Изобразите 100 км3
столбиком высотой 1 мм.
Год 1900 1940 1950 1960 1970 1975 1985 2000
Потребление воды (км3) 400 820 1100 1900 2600 3000 3900 6000
120.4. В таблице для некоторых
городов показано годовое количест-
во осадков (в мм). Постройте столб-
чатую диаграмму, изображая 100 мм
осадков столбиком высотой 3 мм.
Москва 704 Сочи 1664
Мургаб 97 Поти 1831
Ереван 339 Рига 678
Донецк 524 Омск 430
Батуми 2685 Баку 247
120.5. Части света имеют площади (в млн. км2): Европа —
10,5; Азия — 44,4; Африка — 30,32; Северная Америка — 24,25;
Южная Америка—17,83; Австралия с Океанией — 8,504; Ан-
тарктида— 14,11. Составьте диаграмму, изображая 1 млн. км2
столбиком высотой 1,5 мм.
И 120.6. Бегущий человек достигает
скорости приблизительно 40 км/ч, жи-
раф — 50, лев — 60, лошадь — 64, бор-
зая— 72, гепард—120. На рисунке 179
показана часть диаграммы, в которой
скорости изображаются горизонтальными
отрезками, а) Измерьте отрезки и скажи-
те, какую скорость изображает отрезок длиной 1 мм. б) Построй
те полностью диаграмму скоростей.
человек
---------1 Мкм/Ч
жираф
-----------1 50 км/ч
Рис. 179
Урок 121
Как целое делить на пропорциональные части
Из урока 120 вы уже знаете, что числа a, b называют
пропорциональными числам u, v, если Оба отно-
шения в этой пропорции равны одному и тому же числу.
Обозначим его буквой k. Тогда А, Число k
называют коэффициентом пропорциональности.
Найдем, к примеру, числа а и 6, пропорциональные
числам 4 и 7, с коэффициентом пропорциональности 3.
Условие означает, что -7-= 3, -7-= 3. Ясно, что а = 3 • 4 = 12,
b = 3-7 = 21.
Но коэффициент пропорциональности не всегда бывает
задан.
Задача 1. Числа а и b пропорциональны числам
4 и 7. Найдите а и 6, если их сумма равна 253.
121) 344
Решение. Сначала нужно найти коэффициент про-
порциональности. Обозначим это неизвестное число бук-
вой k. Запишем условие задачи равенствами -7-= Л,
-|-=&. Тогда а = 6 *4, b = k* 7. Нам известно, что а + Ь =
= 253. Значит, получается уравнение &*4 + 6*7 = 253.
Перепишем его, применив распределительный закон ум-
253
ножения: k-(4 + 7) = 253. Решим уравнение: £ = -^-=23.
Теперь находим требуемые числа: а = 23*4 = 92, 6 = 23Х
Х7=161.
Задачу, которую мы только что решили, обычно фор-
мулируют так: разделить число 253 на части а и Ь9 про-
порциональные числам 4 и 7. Можно делить целое не на
две, а на три пропорциональные части, на четыре и т.д.
Задача 2. Для изготовления посуды часто приме-
няют сплав £ красивым названием нейзильбер (в быту
его называют мельхиором). Это сплав никеля, цинка и
меди, массы которых берут пропорциональными числам
3, 4 и 13. Сколько килограммов этих металлов требу-
ется для получения 150 кг нейзильбера?
Решение. Обозначим буквами х, у и z неизвестные
массы никеля, цинка и меди. Условие задачи означает,
что выполняется двойная пропорция: -^-=-|“=^-. Обо-
значив буквой k коэффициент пропорциональности, по-
лучим:
х=Л*3, у = Л-4, z = &*13.
Так как сумма х, у и г равна 150, должно выпол-
няться равенство Л*3 + Л*4-|-£*13=150. Опять получи-
лось уравнение, похожее на уравнение из решения зада-
чи 1. Решая его, получим й = 7,5 (проверьте!). Тогда
x=7,5*3, у=7,5-4, z=7,5*13. Ответ: потребуется 22,5
кг никеля, 30 кг цинка и 97,5 кг меди.
Само слово «пропорция» произошло от задач, где при-
ходится что-то целое делить соответственно долям, частям,
порциям. Ведь латинское «про-порцио» означает «соот-
ветственно порциям».
о а b а и
Вы знаете, что из пропорции - выводится пропорция —-
и обратно (см. урок 118). Поэтому пропорция a:b=u:v тоже означает,
что числа а, b пропорциональны числам «, и. Нередко и двойную про-
а b с
порцию —=—=— записывают в виде a:b :c — u:v:w.
и v w
Например,
условие задачи 2 можно записать в виде x:i/:z=3:4:13. Когда вы встре-
тите такие записи в книгах (например, в учебниках химии и физи-
ки), вспомните то, что мы о них рассказали.
345
(Урок 122)
Вопросы и задания
121.1. В каком случае числа а, Ь называют пропор-
j циональными числам и, и> Какое число называют коэф-
_ фициентом пропорциональности?
121.2. Пропорциональны ли числа 3 и 5 числам: а) 537
и 995; б) 0,513 и 0,855; в) 2,37 и 3,85? Ответ объясните.
121.3. (У) Проверьте, что числа 6, 18, 12 пропорциональны чис-
лам 4, 12, 8, и найдите коэффициент пропорциональности.
121.4. Найдите такие х и у, чтобы числа х, у, 36 были про-
порциональны числам: а) 3, 1, 1; б) 6, 8, 9; в) 4-, —, —.
8 ’ 27 ’ 3 '
121.5. Периметр прямоугольника равен 64 см. Найдите длины
его сторон, если они пропорциональны числам 3 и 5.
121.6. Длины сторон треугольника пропорциональны числам
4, 9 и 6. Найдите эти длины, если длину 18 см имеет: а) самая
короткая сторона; б) самая длинная сторона; в) средняя сторона.
121.7. Периметр треугольника равен 90 м. Найдите длины его
сторон, если они пропорциональны числам 5, 12 и 13.
121.8. Три машины-цементовоза, сделав одинаковое число рей-
сов, привезли на стройплощадку 609 т цемента. Первая машина
за один рейс перевозила 8 т цемента, вторая — 13,5 т, третья —
22 т. Сколько цемента перевезла каждая машина?
121.9. Во время субботника три
класса должны посадить 24 сажен-
ца деревьев. В 6-м А — 32 учени-
ка, в 6-м Б — 28, а в 6-м В — 36 уче-
ников. Как разделить саженцы по
классам пропорционально числам
учеников?
урок 122 Прямо пропорциональная зависимость
Возьмем квадрат и обозначим буквой а длину его сто-
роны, а буквой Р его периметр. Вы давно знаете, что
Р=4-а. Значит, для вычисления Р нужно знать величину
а. В таких случаях говорят, что Р зависит от а. Говорят
также, что между величинами а и Р имеется зависимость.
У этой зависимости есть одно замечательное свой-
ство, а именно: хотя периметр Р зависит от длины а и ме-
няется вместе с ней, их отношение остается по-
стоянным: Иначе говоря, какие бы квадраты мы
ни брали, их периметры пропорциональны длинам сторон
с коэффициентом пропорциональности 4.
Точно так же длины окружностей пропорциональны
их радиусам.
(Урок 122)
346
Чему здесь равен коэффициент
пропорциональности?
Рассмотрим еще один пример. Вспомним пешехода
из урока 116 и составим для него следующую таблицу:
t(c) 2 4 6 10 12 40 120
s (м) 2,5 5 7,5 12,5 15 50 150
В 1-й строке указывается промежуток времени t, а во
2-й — расстояние s, проходимое пешеходом за это время.
Каждому значению t соответствует одно значе-
ние s. Например, промежутку времени 2 с соответствует
расстояние 2,5 м, промежутку 12 с соответствуют 15 м
и т. д.
И здесь мы обнаруживаем то же самое замечатель-
ной свойство. Хотя расстояние s зависит от времени дви-
жения ty их отношение остается постоянным: —=
= 1,25 (м/с). Значит, какие бы промежутки времени мы ни
брали, соответствующие им расстояния пропорциональны
этим промежуткам. Коэффициентом пропорциональности
служит скорость движения 1,25 м/с.
Сформулируем теперь общее определение:
Зависимость между величинами называют
прямо пропорциональной, если отношение этих величин
остается постоянным.
Число, которому равно это отношение, называют коэф-
фициентом пропорциональности.
Обозначим величины буквами х и у. Тогда прямо
пропорциональная зависимость между ними выразится
формулой
— =£, ИЛИ, по-другому, y = k*x\
X
буквой k здесь обозначен коэффициент пропорциональ-
ности. Говорят также, что величина у прямо пропорцио-
нальна величине х с коэффициентом k.
Например, расстояние s, проходимое пешеходом, прямо
пропорционально времени движения t с коэффициентом
1,25 м/с.
Вопросы и задания
122.1. В каком случае зависимость между величинами
называют прямо пропорциональной? Что называют коэф-
фициентом пропорциональности?
347 (Урок 122)
122.2. В 1-й строке следующей таблицы указывается
длина стороны квадрата, во 2-й — его периметр. Запол-
ните эту таблицу.
а 3 100 0,5 3,6
р 48 3,2 0,1 3,6
122.3. Буквой х обозначим длину стороны равностороннего
треугольника, а буквой у — его периметр, а) (У) Будет ли величи-
на у прямо пропорциональна величине х? Чему равен коэффициент
пропорциональности? б) Заполните таблицу:
в) (У) Будет ли величина х пря-
мо пропорциональна величине у?
Чему равен коэффициент пропорцио-
нальности?
X 1 4 0,5
У 9,6 105
122.4. Поезд идет со ско-
ростью 60 км/ч. Заполните таб-
лицу, в 1-й строке которой ука-
зывается время движения, а во
2-й — расстояние, соответст-
вующее этому времени.
t (ч) 0,5 2,25 3,8
s (км) 90 300 378
122.5. Обозначим буквой х массу (в кг) конфет некоторого
сорта, а буквой у стоимость (в р.) этих конфет, а) (У) Будет
ли величина у пропорциональна вели-
чине х? Как называют в этом случае
коэффициент пропорциональности?
б) Заполните таблицу. Определите це-
X 0,3 2,4 0,2
У 1,05 28 5,95
ну конфет.
122.6. Кусок медного провода длиной 5_м имеет массу 430 г.
а) Какова масса куска этого провода длиной 3 м; 14 м; 380 м;
12 км? б) С каким коэффициентом масса провода пропорцио-
нальна его длине?
122.7. Младший брат Смекал кина решил построить столбча-
тую диаграмму по некоторым данным. Смекалкин сказал, что
в таблице есть ошибка.
Данные 380 460 520 640 780 800
Высота столбика 19 23 26 34
Младший брат удивился: «Откуда ты знаешь? Ведь тебе не-
известно, что за данные у меня. Да и таблица не дописана!>
Смекалкин объяснил ему, что высоты столбиков должны быть
пропорциональны данным. Перечертите таблицу, исправьте и до-
пишите.
348
урок 123 Обратно пропорциональная зависимость
У
Представьте, что вам поручили вырезать из бумаги
несколько прямоугольников. Но с одним непременным
условием: чтобы площадь у всех прямоугольников была
одна и та же, например 4 см2.
Обозначим буквами х и у длины (в
см) смежных сторон прямоугольника
(рис. 180). Тогда наше условие можно х
записать формулой х*#=4 (см2). Про
такие величины говорят, что они о б-
ратно пропорциональны, а чис-
ло 4 называют коэффициентом обратной
пропорциональности.
Другой простой пример обратной пропорциональности
дают взаимно обратные числа хи—. Ведь для них вы-
полняется равенство х«—= 1. Сформулируем общее опре-
деление.
Зависимость между величинами называют обратно
пропорциональной, если произведение этих величин
остается постоянным»
Число, которому равно это произведение, называют коэф-
фициентом обратной пропорциональности.
Обратно пропорциональная зависимость между вели-
чинами х и у выражается формулой
x-y = k9 или, по-другому, у=—;
«Л»
буквой k здесь обозначен коэффициент обратной пропор-
циональности. Говорят также, что величина у обратно
пропорциональна величине х с коэффициентом k.
Вопросы и задания
123.L В каком случае зависимость между величинами
называют обратно пропорциональной? Что называют
коэффициентом обратной пропорциональности?
123.2. В таблице указываются длины смежных сторон
прямоугольников, площадь которых равна 4 см2. Запол-
ните эту таблицу.
1-я сторона (см) 0,01 0,2 0,5 1 2 4 40 100
2-я сторона (см)
349 (Урок 124)
123.3. Рассмотрите превращения снега, выпавшего в горах.
В 1-й строке таблицы указана его плотность: легкий снег посте-
пенно уплотняется в тяжелый лед. В предпоследнем столбце —
плотность воды: лед растаял. А в последнем — плотность пара:
вода испарилась. Снега было 60 кг. Заполните таблицу.
Плотность (кг/м3) 60 120 200 600 800 1000 0,012
Объем (м3)
123.4, В уксусной эссенции концентрация уксуса 80%.
Концентрация столового уксуса 9%. Сколько воды нужно доба-
вить к 180 мл эссенции, чтобы получить столовый уксус?
(Совет: воспользуйтесь тем, что при разбавлении водой масса
уксуса не изменяется; подумайте, какая имеется зависимость
между концентрацией уксуса и объемом его раствора.)
123.5, Рассмотрите прямоугольные параллелепипеды одного
и того же объема 36 м3. Площадь основания обозначим буквой S,
а высоту — буквой й (см. рис. 181). а) Чему равен коэффициент
обратной пропорциональности между величинами S и й? б) За-
полните таблицу:
S (м2) 36 2 27
А (м) 4,5 9
Рис. 182
Рис. 181
123.6* . Брусок золота имеет длину 10 см, а его поперечное
сечение — это квадрат со стороной 1 см (см. рис. 182). Из этого
бруска изготовили проволоку. Какова длина этой проволоки, если
ее поперечное сечение — квадрат со стороной: а) 1 мм; б) 0,005 мм?
123.7. Представьте себе, что человек, лев, борзая и гепард
решили пробежать эстафету 4 по 100 м. Скорости бегунов вы мо-
жете найти в задании 120.6. а) За какое время каждый из них
пробежит 100 м? б) Чему равен коэффициент обратной пропор-
циональности между скоростью и временем?
Урок 124 Когда бывает нужен масштаб
Карта местности на рисунке 183 сделана в масштабе
1:250 000. Это означает, что все расстояния на местности
при вычерчивании карты уменьшены в 250 000 раз. Поэто-
му отрезку на карте длиной 1 см соответствует расстоя-
ние 250 000 см = 2,5 км на местности. Другими словами,
(Урок 124) 3S0
расстояния на карте прямо пропорциональны расстояниям
на местности. А коэффициентом пропорциональности
служит масштаб, равный ocn‘nnn=0,000 004.
ZuU vvv
Как найти расстояние между г. Нос и ст. Ухо? Нужно
измерить отрезок, соединяющий соответствующие точки
на карте, а затем умножить его длину на 250 000. Отрезок
на карте имеет длину 2,4 см. Значит, расстояние между
указанными населенными пунктами равно 250 000Х
Х2,4 см = 600 000 см =6 км.
Рис. 183
Масштаб используют не только при
вычерчивании карт. Прежде чем по-
строить здание или сделать шагающий
экскаватор, их чертят на бумаге. Ко-
нечно, все размеры при этом умень-
шают, используя подходящий мас-
штаб.
Рис. 184
А если нужно изготовить маленькие наручные часы
или микрокалькулятор? Их детали тоже сначала вычер-
чивают на бумаге, но в увеличенном виде. Для
этого применяют масштаб, который больше 1, например
25:1 или 100:1. Еще больший масштаб потребовался на
рисунке 184. Здесь изображен опасный микроб — дизен-
терийная амеба.
Вопросы и задания
124.1. Какая имеется зависимость между расстоя-
j ниями на карте и расстояниями на местности? Как эта
зависимость связана с масштабом?
124.2. Отрезок на карте имеет длину 6 см. Найдите
масштаб карты, если этому отрезку соответствует на
местности отрезок длиной: а) 140 км; б) 15 км;
в) 2400 км.
124.3. Расстояние между Москвой и Владимиром 180 км.
Найдите масштаб карты, если на ней расстояние между изобра-
жениями Москвы и Владимира равно: а) 72 мм; б) 45 см;
в) 1,2 см.
351 (Урок 125)
124.4. Река Тигр имеет длину 1850 км. Какой длины будет
изображение этой реки на карте, масштаб которой 1:2 500 000?
124.5. Изобразите в масштабе 1:200: а) отрезок длиной 5 м;
б) окружность радиусом 3,2 м; в) треугольник со сторонами
2 м, 4 м и 2,8 м.
124.6. На рисунке 185 изображен вирус и нарисован отрезок,
показывающий масштаб рисунка. Измерьте этот отрезок и найдите
длину вируса.
124.7. Юные географы решили сделать глобус Земли диамет-
ром 3 м, изобразив в том же масштабе рельеф земной поверх-
ности. Земля — шар диаметром 12 741 км. а) Сколько метров бу-
дет изображать 1 мм модели? б) Какой высоты (с точностью
до 0,1 мм) будет изображение высочайшей горы Джомолунгмы
(8848 м)? Какой глубины (с точностью до 0,1 мм) будет изобра-
жение глубочайшей Марианской впадины (11 022 м)?
124.8. Треугольник на рисунке 186 — это изображение некото-
рого треугольника на местности; рядом с чертежом указан
масштаб. Проделайте нужные измерения и вычислите размеры
треугольника на местности.
Рис. 185
Рис. 187
124.9. Чтобы измерить расстояние между точками А и S,
выбрали точку С на расстоянии 200 м от точки А и измерили углы
ВАС и АСВ (рис. 187). а) Постройте изображение треугольни-
ка АВС в масштабе 1:5000. б) Измерьте изображение отрезка
АВ и вычислите длину этого отрезка.
Урок 125 Учимся рассуждать при решении задач.
Могут быть разные способы решения
Вы знаете, что одну и ту же задачу нередко можно
решить разными способами. Поэтому, решив задачу или
составив план ее решения, всегда полезно подумать, нель-
зя ли решить ее иначе. Вдруг найдется более прос-
той способ! Тогда лучше избрать его, не так ли? Давай-
те обсудим несколько задач.
Задача 1. Туристы в походе шли со скоростью
4 км/ч. В 1-й день они находились в пути 7 ч, во 2-й —
6 ч. Сколько километров прошли туристы за два дня?
Задачу можно решить двумя способами.
(Урок
125) 352
1-й способ. Сначала узнаем, сколько километров
прошли туристы в 1-й день: 4*7 = 28 (км). Затем сколько
во 2-й день: 4-6 = 24 (км). Наконец, вычислим, сколько
километров пройдено за два дня: 284-24 = 52 (км).
2-й способ. Узнаем, сколько часов были туристы
в пути за два дня: 7 + 6=13 (ч). А теперь — сколько
километров прошли они за два дня: 4*13=52 (км).
Конечно, ответ один и тот же. Но давайте подумаем:
может быть, один из двух способов решения лучше дру-
гого? Посмотрите: при 1-м пришлось выполнить три дей-
ствия; все они хорошо видны в выражении 4*7+4*6. При
2-м оказалось только два действия; здесь они видны
в выражении 4 *(7+6).
При выборе 2-го способа решения выигрыш, конечно,
невелик: сэкономили всего одно действие. Но представьте,
что решается задача, в которой сотни тысяч действий!
(А такие задачи людям часто приходится решать с
помощью ЭВМ.) Тогда экономия при более простом
способе решения может стать огромной! Вот почему важно
всегда искать такие способы.
Задача 2. Для вывоза с шахты 2400 т угля понадо-
билось 44 железнодорожных вагона. Сколько таких же
вагонов понадобится для вывоза 3000 т угля?
Задачу можно решать двумя способами.
1-й с п о с о б. Сначала узнаем, сколько тонн угля вме-
щается в один вагон: 2400:44 =
Выполните деление. Быстро ли вы справились
с вычислениями?
Теперь, разделив 3000 на число, найденное предыдущим
действием, мы и получим ответ.
Завершите решение задачи.
2-й способ. В нем нам поможет уравнение в виде
пропорции. Если буквой х обозначить искомое число ваго-
нов, то легко догадаться, что получается пропорция:
3000 _ 2400
х 44
Ведь оба записанных отношения означают одно и то же —
сколько тонн угля вмещается в 1 вагон. Применим
основное свойство пропорции: 3000*44 = х*2400. Полу-
ченное уравнение решить очень легко. Запишем цепочку
равенств, пользуясь правилом сокращения дробей: х =
3000-44 5-6-100-4-11 с tl г, t \ п
= ' "л с mn—=5-11=55 (вагонов). Вот и ответ
получился.
353 (Урок 125)
Не правда ли, 2-й способ привел нас к цели быстрее?
Вы видите, что задачу можно решить даже устно, запи-
сав только дробь . Ведь совсем нетрудно предста-
Л WW
вить записанные выше разложения числителя и знамена-
теля на множители, а затем провести сокращение дроби!
Задача 3. Сколько всего двузначных натуральных
чисел?
Вот так, задача! Условия нет, а сразу
вопрос.
Что ж, бывают и такие задачи. Условие здесь понятно.
Ведь все знают, какими цифрами записывают натураль-
ные числа.
1-й способ решения. Пишем подряд все дву-
значные числа от 10 до 99 и ведем счет: первое 10,
второе 11 и т. д.
Ой, какой неинтересный путь! И очень
долгий!
Способ действительно неинтересный. Если каждую
секунду писать по цифре, то на запись двузначных чисел
уйдет 3 мин.
Есть намного более интересный способ решения. Вот
он:
2-й способ решения. Все двузначные числа
можно расположить в виде таблицы:
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
__ каждой строке первую
Числа в ............ имеют одну и ту же ........
каждом столбце вторую
цифру. В роли цифры должны выступить все
J второй
цифры от до девяти. Значит, в таблице 9 строк
нуля
12 Учебник*собеседник
(Урок 125) 3S4
и 10 столбцов. Сколько же в ней <клеток»-чисел? (Вспом-
ните-ка схему 2 из урока 18.) Ответ всем ясен: произведе-
ние 9-10, т. е. 90.
Эту таблицу вовсе необязательно записывать.
Ее легко себе представить! А тогда на вычисление
произведения 9-10 уйдет всего лишь 2—3 секунды.
3-й способ решения. Всего однозначных и дву-
значных чисел 99, от 1 до 99. Из них однозначных
чисел 9, от 1 до 9. Значит, двузначных чисел 99—9,
т. е. 90.
И этот способ решения хорош, и при нем на решение мы
потратим, 2—3 с. Он, пожалуй, даже лучше 2-го: при нем
и таблицу из чисел представлять не нужно. Но такая
таблица может пригодиться и для решения других задач,
например задачи 125.5.
Каждую задачу к этому уроку постарайтесь решить
двумя способами. Сравните способы. Какой из них вам
понравился больше? Почему?
Задания
125.1. От одной пристани одновременно отошли скоро-
стной катер и теплоход. Скорость катера 75 км/ч, скорость
теплохода 36 км/ч. Через 3,5 ч катер прибыл на следую-
щую пристань. На каком расстоянии от этой пристани в этот
момент находился теплоход?
125.2. Смекалкин, уходя в школу, вышел из дому на 3 мин
позже младшего брата. Расстояние до школы 320 м. Обычно Сме-
калкин идет со скоростью 40 м/мин, а его брат — 32 м/мин.
Догонит ли Смекалкин брата, прежде чем тот придет в школу?
125.3. Для вывоза с фермы 3120 л молока понадобилось
75 бидонов. Сколько таких же бидонов понадобится для вывоза
4160 л молока?
125.4. а) Младший брат купил 3 банки
рыбных консервов, по 250 г консервов
в каждой. Он положил 3 банки на весы.
Весы показали 840 г. <Но ведь в трех
банках должно быть 750 г.! — удивился
младший брат.— Что ли в эти банки по-
ложили больше консервов?» Дома Смекалкин
указанная на банке масса 250 г — это масса нетто, т. е. без учета
массы самой банки. А масса вместе с банкой называется массой
брутто. Какова масса брутто 5 таких же банок?
б) В одной коробке помещается 36 банок сгущенного молока.
Масса брутто всех этих банок 16,2 кг. Масса нетто каждой банки
400 г. Покупатель купил 5 банок. Сколько жести израсходовано
на эти 5 банок?
объяснил, что
355 (Урок 126)
125.5. (У) а) Разглядывая таблицу двузначных чисел, при-
веденную в объяснительном тексте (с. 353), подсчитайте, сколько
двузначных чисел имеют цифру 5 в своей записи, б) Разгляды-
вая ту же таблицу, подсчитайте, сколько двузначных чисел имеют
сумму цифр 5; 8. в) Разглядывая ту же таблицу, подсчитайте,
сколько всего четных двузначных чисел. А сколько нечетных?
Как иначе (т. е. без таблицы) подсчитать количество четных
двузначных чисел? (Совет: вспомните, как идут в натуральном
ряде четные и нечетные числа.) г)* Сколько всего двузначных
чисел, делящихся на 3? Сколько двузначных чисел, не деля-
щихся на 3?
Урок 126 Задания на повторение к § 13
126.1. Объем одного металлического бруска 57 см3,
объем другого— 133 см3. Одинакова ли плотность этих
брусков, если: а) масса первого 347 г, второго 813 г;
б) масса первого 306 г, второго 714 г?
126.2. Если шариковой ручкой провести линию длиной 20 см,
то уровень пасты в стержне понизится на 0,006 мм. Измерьте
высоту столбика пасты в стержне своей ручки
и вычислите, линию какой длины можно ею на-
чертить.
126.3. а) Какова градусная мера дуги АВ
на рисунке 188? б) Найдите длину и радиус
окружности, если длина дуги АВ равна 15,7 мм.
в) Найдите длину дуги CD.
126.4. Таблица показывает производство в
СССР мяса.
D
Рис. 188
Год 1960 1965 1970 1975 1980 1985
Производство мяса (млн. т) 8,7 10,0 12,3 15,0 15,1 17,1
Постройте диаграмму, изображая 1 млн. т отрезком длиной
2 мм.
126.5. Мельхиор — это сплав никеля и меди, массы которых
пропорциональны числам 2 и 9. Сколько потребуется никеля и
меди для выплавки 187 кг мельхиора?
126.6. Три токаря вытачивают одинаковые детали. За 1 ч
первый вытачивает 12 деталей, второй— 15, третий— 13. Про-
работав одно и то же время, все вместе они выточили 280 деталей.
Сколько деталей выточил каждый токарь?
126.7. В школе три спортивные секции: волейбольная, бас-
кетбольная и гимнастическая. Числа школьников, посещающих
эти секции, пропорциональны числам 3, 4 и 5. Среднее число спорт-
сменов в одной секции равно 20. Сколько спортсменов в каждой
секции?
(Большая перемена IV) 356
126.8. Аня, Катя и Оля договорились купить к празднично-
му столу 12 пирожных. Аня купила 5 штук, Катя — 7, а Оля вместо
своей доли пирожных внесла 88 к. Как Аня и Катя должны разде-
лить между собой эти деньги?
126.9. Железнодорожный рельс длиной 12,5 м имеет массу
625 кг. Рельсовая колея — это два рельса железнодорожного
пути. Какова масса рельсовой колеи от Москвы до: а) Казани
(793 км); б) Свердловска (1759 км); в) Красноярска (3959 км);
г) Владивостока (9297 км)? С каким коэффициентом масса (в т)
рельсовой колеи пропорциональна ее длине (в км)?
126.10. (У) а) У прямоугольного треугольника один катет
имеет длину 6 см, а другой — х см. Обозначим буквой S площадь
треугольника. Определите, какая будет зависимость между вели-
чинами х и S. б) Площадь прямоугольного треугольника 5 см2.
Обозначим буквами х и у длины (в см) катетов. Определите, какая
будет зависимость между величинами х и у.
126.11. В таблице приведены плотности древесины. Вычислив
с точностью до 1 см3 объем, занимаемый 1 кг древесины каждой
породы, заполните таблицу:
Порода Ива Ель Осина Сосна Бук Дуб
Плотность (кг/м3) 415 445 495 500 670 690
Объем (ем3)
126.12. Река’Днестр имеет длину 1352 км, а ее изображение
на карте имеет длину 16,9 см. Найдите масштаб карты.
126.13. Масштаб чертежа дома 1:250. Измерьте чертеж и
найдите размеры дома (рис. 189).
9
Рис. 189
126.14. Перечитайте задачу 125.1. Составьте обратную к ней
задачу, в которой требуется узнать, через сколько часов катер
прибыл на следующую пристань.
Большая перемена IV
КАК ВОЗНИКЛИ ЧИСЛА
Подсчитывать предметы люди научились еще в древнем камен-
ном веке — палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило?
Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых
357 (Большая перемена IV)
предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше пло-
дов, в каком стаде больше оленей и т. п.
Затем в человеческом языке появились числительные, и люди
смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких
числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Авст-
ралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2).
Другие числа они выражали составными числительными: 3=«петче-
вал-энэа», 4 = «петчевал-петчевал» и т. д. Еще одно австралийское
племя — камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2),
гулиба (3). И здесь другие числа получались сложением мень-
ших: 4 —«бул ан-бул ан», 5=«булан-гулиба», 6—«гулиба-гулиба»
и т. д.
У многих народов название числа зависело от подсчитываемых
предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число
10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число
10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине
и берегах Амура нивхи. Еще в прошлом веке одно и то же число они
называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети,
звезды, палки. Мы и сейчас используем разные неопределенные
числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча»,
«пучок» и др.
С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше
понимать, что общего у трех лодок и трех топоров, десяти стрел и
десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»;
к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось
ясно, что число 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит,
и называть его можно одним словом.
Постепенно люди начали использовать для счета камешки, палоч-
ки, части собственного тела. Вот как известный русский ученый
Н. Н. Миклухо-Маклай описывал счет папуасов: «Папуас загибает
один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук,
например «бе, бе, бе ...». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон-бе»
(рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя
«бе, бе...», пока не дойдет до «ибон-али» (две руки). Затем он идет
дальше, приговаривая «бе, бе...», пока не дойдет до «самба-бе» (одна
нога) и «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас
пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».
у 7] Похожие способы счета применяли и другие народы. Так воз-
% • / никли нумерации, основанные на счете пятерками, десятками, двад-
Ш / цатками.
g I До сих пор мы рассказывали об устном счете. А как записы-
Б I вали числа? Поначалу, еще до возникновения письменности, нсполь-
Р I зовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на веревках.
Е I На рисунке 190 показана волчья кость, найденная в Дольни-Вестонице
₽ I (Чехословакия). На кости 55 насечек, сделанных более 25 000 лет
EJ назад. Заметьте, что насечки сгруппированы по 5, что означает счет
Ё I пятерками.
t I Когда появилась письменность, появились и цифры для записи
Е | чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте
fl и Вавилоне, в Этрурии и Финикии, в Индии и Китае небольшие числа
к I записывали палочками или черточками. Например, число 5 записывали
Е I пятью палочками. Индейцы астеки и майя вместо палочек использовали
| I точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких,
f I как 5 и 10 (вспомните римские цифры, о которых мы рассказали в
I I большой перемене I).
I \ В то время почти все нумерации были не позиционными, а похо-
J 1\ жими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесяте-
ричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля,
а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и
Рис. 190
(Большая перемена IV)
358
та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600, и — и т. д. Угады-
ьи
вать значение числа приходилось по смыслу задачи.
За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ
записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфа-
вита. Первые 9 букв обозначали числа от 1 до 9 (как у клоуна в зада-
нии 10.10); следующие 9 букв обозначали десятки 10, 20, ..., 90, а еще
9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались
до aVII в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буква-
ми-числами ставили черточку (на Руси эта черточка называлась
«титло»).
Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнять ариф-
метические действия. Поэтому изобретение в VI в. индийцами десятич-
ной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших
достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры
стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.
При записи дробей еще долгое время целую часть записывали
в новой, десятичной нумерации, а дробную — в шестидесятеричной.
Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль-Каши
стал употреблять в вычислениях десятичные дроби. С конца XVI в.
десятичные дроби стали применять и в Европе.
Числа, с которыми вы работали до сих пор, называют положитель-
ными. В следующей главе мы расскажем н о других числах — отрица-
тельных. Их начали использовать в начале новой эры китайские и
индийские математики. Позже отрицательные числа появились в Евро-
пе, а с XVII в. их применяют повсеместно.
Теперь вы знакомы со многими видами чисел, узнали историю
их возникновения. Но это еще ие все числа, которые используют
в математике и других науках! В старших классах вы познакоми-
тесь и с другими видами чисел.
Глава РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
V И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§ 14. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
С чего начинается изучение математики? С натураль-
ных чисел. Ими вы занимаетесь с 1-го класса, а подроб-
но стали изучать их в 5-м классе. Но натуральных чисел
для математики недостаточно. Вы давно знаете, что есть
еще дробные числа. Их вы тоже начали как следует
изучать в 5-м классе. Но и дробных чисел недостаточно,
чтобы решать всевозможные задачи в математике.
В этой главе вы познакомитесь с новым видом чисел,
а именно: к известным вам натуральным и дробным числам
(мы будем называть их вместе положительными числами)
добавятся числа отрицательные. Положительные и отри-
цательные числа да еще нуль — все вместе называют ра-
циональными числами. Значит, в этом параграфе начина-
ется изучение рациональных чисел.
Урок 127 |^ак возникают числа вместе
с противоположными направлениями
Задача 1. Портовый кран движется по рельсам
вдоль причала с запада на восток. Начав работу, кран
проехал в направлении на восток 300 м, а потом в направ-
лении на запад: а) 200 м; б) 400 м. На сколько метров и
в каком направлении он в результате переместился?
Мы уверены, что каждый сразу решил задачу. И в том и
в другом варианте задачи кран переместился на 100 м
Но в чем разница между вариантами а) и б) ? В случае
(Урок 127) 360
а) кран переместился на восток, а в случае б) —
на запад.
Задача 1 показывает, что иногда приходится интересо-
ваться не только числами, но и противоположными
направлениями. Можно привести разные примеры таких
пар противоположных направлений: на восток — на за-
пад; на север — ...; вверх — ...; вперед — ... .
Заполните пропуски нужными словами.
° Задача 2. Гимнаст начал тщательно следить за
своей массой и взвешиваться ежедневно. За первый день
он стал тяжелее на 300 г, за второй — легче: а) на 200 г;
б) на 400 г. Легче или тяжелее стал гимнаст за два дня
и на сколько граммов?
В обоих вариантах масса гимнаста из-
менялась на 100 г. Разница же между a)
и б) в том, что в варианте а) она увели- | рН I
чилась, а в б) уменьшилась. Ill KJ
Обратите внимание, как похожи задачи 1 Bl
~ и 2. Можно сказать, что у них одна и та III ЖЛ
же схема (и даже числа в условиях одина- U I —I
ковы). Давайте разберемся, что это за
схема. Разделим страницу на три столбца. В первых двух
запишем, что происходит в задачах 1 и 2, а в третьем —
что общего в этих задачах.
Задача 1 Задача 2 Общая схема
Условие Есть исходное положение портового крана. Кран проехал на восток 300 м. Затем кран проехал на запад: а) 200 м; б) 400 м. Есть исходная масса гимнаста. Масса увеличилась на 300 г. Затем масса умень- шилась: а) на 200 г; б) на 400 г. Есть исходное положение какой-то точки. Точка переместилась в од- ном направлении на 300 единиц. Затем точка переместилась в противоположном направ- лении: а) на 200 единиц; б) на 400 единиц.
Вопрос Как расположен кран от- носительно исходного по- ложения? Как отличается мас- са гимнаста от исход- ной? Как расположена точка от- носительно исходного поло- жения?
Ответ Кран относительно ис- ходного положения рас- положен на 100 м: а) вос- точнее; б) западнее. Масса по сравнению с исходной стала на 100 г: а) больше; б) меньше. Точка относительно исход- ного положения удалена на 100 единиц: а) в первона- чальном направлении; б) в противоположном направле- нии.
П Придумайте сами задачи, имеющие такую же
схему с противоположными направлениями,
используя слова
«вверх — вниз», «вперед — назад» и т. п.
364 (Урок 127)
Как математически записывать числа вместе с проти-
воположными направлениями? Об этом мы расскажем в
следующем уроке.
Задания
Т 127.1. Днем улитка проползла по
дереву от сучка вверх 43 см, а ночью
спустилась вниз: а) на 27 см; б) на
59 см. На сколько сантиметров от сучка
и в каком направлении переместилась улит-
ка за сутки? Что общего имеют ответы в ва-
риантах а) и б) и чем они различаются?
127.2. Турист прошел от палатки на север 2 км 400 м, а затем
прошел в обратном направлении: а) 1 км 300 м; б) 3 км 500 м.
На каком расстояний от палатки будет находиться турист и в ка-
ком направлении? Что общего имеют ответы в вариантах а) и б)
и чем они отличаются?
127.3. Оля начала с 1 ноября систематически измерять днев-
ную температуру воздуха. 2 ноября стало теплее на 3 градуса,
а 3 ноября — холоднее: а) на 2 градуса; б) на 4 градуса. На
сколько градусов и в какую сторону изменилась температура
за два дня? Что общего имеют ответы в вариантах а) и б) и чем
они отличаются?
127.4. В воскресенье утром Вася
чем в субботу. Зато в понедельник он
встал на полчаса позже,
встал раньше, чем в вос-
кресенье: а) на 20 мин; б) на 40 мин. Раньше
или позже встал Вася в понедельник, чем в
субботу, и на сколько минут? Что общего
имеют ответы в вариантах а) и б) и чем они
отличаются?
127.5. Рассмотрите рисунок 191. Точка А на-
ходится на 3 клетки правее точки О, а точка В —
на 4 клетки левее. Где по отношению к точ-
ке О находится точка С; точка D?
127.6. Начертите в тетради горизонтальную
прямую и отметьте на ней точку О. Отметьте
на этой прямой точки Л, L, М и 7V, если дано
следующее:
а) К правее О на 6 клеток;
б) L левее О на 8 клеток;
Рис. 191
Рис. 192
(Урок 128) 362
в) М левее О на 12 клеток; г) N правее О на 15 клеток.
127.7. Рассмотрите рисунок 192. Точка А находится на 2 клет-
ки выше точки О, а точка В — на 5 клеток ниже. Где по отноше-
нию к точке О находится точка С; точка О; точка Е?
127.8. Начертите в тетради вертикальную прямую и отметьте
на ней точку О. Отметьте на этой прямой точки К, L, М и N, если
дано следующее:
а) К выше О на 5 клеток; в) М ниже О на 9 клеток;
б) L ниже О на 11 клеток; г) N выше О на 10 клеток.
127.9. Младший брат загадал Смекал кину загадку: «Я вошел
в лифт на 3-м этаже и проехал два этажа. На каком этаже я
вышел из лифта?» Смекалкин сказал, что отгадать такую загадку
нельзя. Объясните почему. Уточните условие загадки двумя спо-
собами и в каждом случае дайте ответ.
Урок 128 Знакомимся с координатной прямой
В предыдущем уроке мы обещали рассказать, как
_ записывают числа вместе с противоположными направле-
17 ниями. Рассказать об этом нам поможет общая схема
о задач, обнаруженная в том уроке (вспомните-ка ее!).
В ней говорится о точке, которая может перемещаться
в каком-то из двух противоположных направлений.
А еще в этой схеме есть исходное положение точки.
Теперь легко догадаться, как изобразить числа вместе
с направлениями. Их удобно изображать точками на
прямой линии.
Берут прямую и отмечают на ней исходную точку О,
эту точку называют началом отсчета.
Затем на этой прямой выбирают одно из двух возмож-
ных направлений. Договариваются называть его положи-
тельным. Для горизонтальной прямой положительным
направлением принято считать направление слева напра-
во, для вертикальной прямой — снизу вверх. Положи-
тельное направление обычно указывают стрелкой. Про-
тивоположное направление называют отрицательным.
Начало отсчета делит прямую на два противоположных
луча. Тот луч, который идет в положительном направле-
нии от начала отсчета, называют положительным. Луч,
идущий в отрицательном направлении от начала отсчета,
называют отрицательным.
Затем выбирают единичный отрезок. Если последова-
тельно откладывать его от начала отсчета в положитель-
ном направлении, то на положительном луче мы тем самым
отметим точки. Они изображают натуральные числа
1, 2, 3, ... . Сколько раз отложили отрезок, такое число
и изображено.
363 (Урок 128)
Какое число изображает на рисунке 193
точка А; точка В?
Числа, изображаемые точками на положительном луче,
так и называют — положительными.
А я догадался, какие числа называют
отрицательными! Те, которые изображаются
точками на отрицательном луче. Правильно?
Правильно. Если единичный отрезок последовательно
откладывать от начала отсчета в отрицательном направ-
лении, то получающиеся точки тоже изображают какие-то
числа. Эти числа договорились называть отрицательны-
ми. Значит, отрицательные числа — это числа, изображае-
мые точками на отрицательном луче. Чтобы отличать их
от положительных чисел, используют знак «минус»: —1,
— 2, —3....Читают: «Минус один», «Минус два», «Минус
три»
Какое число изображает на рисунке 194
точка С; точка D?
О . А
О
А
Рис. 193
Рис. 194
Для большего отличия положительных чисел их
иногда записывают со знаком «плюс». Например,
записи +5 и 5 обозначают одно и то же число:
+ 5 = 5.
Точка О изображает нуль. Нужно хорошо пом-
нить, что число 0 не является ни положитель-
ным, ни отрицательным.
Обычно рядом с точками, изображающими чис-
ла на прямой, пишут сами эти числа. Рассмотри-
те на рисунке 195 две такие прямые — горизонталь-
ную и вертикальную. Когда прямая горизонтальная,
4—4-
О 1
Рис. 195
(Урок 128) 364
положительные числа располагаются вправо от нуля,
отрицательные — влево от нуля. Для вертикальной пря-
мой положительные числа располагаются вверх от нуля,
отрицательные — вниз от нуля.
ПРЯМУЮ, НА КОТОРОЙ ОТМЕЧЕНО НАЧАЛО
ОТСЧЕТА, ВЫБРАНО НАПРАВЛЕНИЕ И УКАЗАН
ЕДИНИЧНЫЙ ОТРЕЗОК, НАЗЫВАЮТ
КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ.
А почему такую прямую называют координатной?
Потому что каждая точка на такой прямой имеет
координату. Tart называют то число, которое изображает
эта точка. Например, на рисунке 194 точка А имеет
координату 2. Пишут: А (2). Точка С имеет координа-
ту -—3. Пишут: С(—3).
и
Запишите точки В и D вместе с их координатами.
Положительные координаты имеют все точки на
положительном луче, кроме начала отсчета. Отрицатель-
ные координаты имеют все точки на отрицательном луче,
кроме начала отсчета.
А вертикальная координатная прямая похожа
на термометр. На нем ведь тоже есть О,
положительные и отрицательные числа,
обозначающие температуру.
Верно подмечено! При измерении температу-
ры как раз удобно использовать положитель-
ные и отрицательные числа. При этом числом О
обозначают температуру таяния льда. Про
температуру +10° часто говорят: «10 граду-
сов тепла», про температуру —10° говорят:
«10 градусов мороза».
И при измерении времени бывает удобно
применять положительные и отрицательные
числа; тогда запись +5 ч обозначает «через
5 часов», а —5 ч обозначает «5 часов назад».
И при денежных расчетах положительные и
отрицательные числа могут оказаться полез-
ными; тогда запись +5 р. обозначает «доба-
вилось 5 рублей», а —5 р. обозначает «убави-
лось (например, потратили) 5 рублей» и т. п.
И вообще изменение величин очень удобно
записывать положительными и отрицательны-
ми числами — увеличение или уменьшение вре-
мени, скорости, массы и т. д.
365
(Урок 128)
Вопросы и задания
4^ 128.1. Какую прямую называют координатной прямой?
ж 128.2. Какие числа называют положительными; отрица-
тельными?
128.3. а) В какую сторону от нуля располагаются положи-
тельные числа, когда координатная прямая горизонтальна; вер-
тикальна?
б) В какую сторону от нуля располагаются на тех же прямых
отрицательные числа?
128.4. Какое число не является ни положительным, ни отри-
цательным?
Т 128.5. Что такое координата точки на координатной
прямой?
и 128.6. (У) Рассмотрите рисунок 196 и назовите коор-
динату точки: а) Л; б) В; в) С; г) О; д) О; е) К; ж) Af.
КМ В о С A D
I ♦ ♦ - I— —♦ ' 1 » । ф ф- . । ।
-5 “5 -4 -J -2 -7 О 1 2 3 4 5 6 7 8
Рис. 196
128.7. Начертите координатную прямую и отметьте на ней
точки А (3), ... и т. д. Данные возьмите из следующей таблицы:
Точка А В £ О Е D К L М N р
Число 3 6 —2 0 —3 5 -I + 1 7 — 7 -но
128.8. (У) Прочитайте показания термометров, изображенных
на рисунке 197.
°C °C °C °C °C
9“ — 9- — 9- — 9- 9-
Q- 6- — 8- 8- — 8-
7- 7- — 7- ?“• — 7- —
Ь~ — 6- — 6- 6- 6- —
5-| — 5- 5- — 5- — 5~ —
A J 4- — 4- — 4- ; 4- —
3-1 3~ — 3- — 3- - 3- —.
2"1 2- 2- — 2- i 2- =
1-1 1- 1- 1- 1- —
-iJ -1- -1- 1 -1-. -1-1
-2-1 -2- -2- -2-1 -2-1
-3-1 -3- — -3- — -3-1 -3-1
-4-1 -4- — -4-| -4-1 -4-1
-5-1 -5- -5-1 -5-1 -5-1
-6-1 -6- -б4 -6-1 -6-1
-7-1 -7- -7 -1 -7 -1 -7-1
—Я—| -в- -8-1 -8-1 -в]
-9-1 -9- -9-1 -9-1 -9-1
Рис. 197
(Урок 129) 366
128.9. (У) Какую температуру будет показывать каждый из
термометров на рисунке 197, если температура: а) повысится на
1 °; б) понизится на 1°; в) повысится на 3°; г) понизится на 3°?
128.10. В воскресенье гимнаст весил 63 кг 700 г. С понедельни-
ка он начал ежедневно записывать изменение своей массы:
Понедельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота Воскресенье
+ 200 г — 100 г — 200 г 4-120 г — 20 г — 70 г 4-100 г
Какую массу имел гимнаст в понедельник, вторник и т. д.?
128.11. Точка А обозначает на горизонтальной координат-
ной прямой число 3. Затем она сместилась на: а) 4-2 единицы;
б) —2 единицы; в) 4-4 единицы; г) —4 единицы; д) 0 единиц.
Какое число будет обозначать А в каждом из этих случаев?
128.12. Оля в дневнике наблюдений записывала ежедневно
температуру воздуха:
Понедельник Вторник Среда Четверг Пятница Суббота Воскресенье
4-6° С 4-8° С 4-3° С + 4’С 4-7° С 4-4* С 0° С
Запишите, как изменилась температура с понедельника на втор-
ник, со вторника на среду и т. д.
урок 129 Числа, противоположные друг другу
В уроке 128 вы познакомились с координатной пря-
мой. Давайте рассмотрим такую прямую (горизонтальную,
см. рис. 198). Отложим на ней вправо от начала отсче-
та половину единичного отрезка. Легко догадаться, что
полученная точка изображает число Иначе говоря,
— координата этой точки. Если половину единичного от-
резка отложить влево от начала отсчета, то получен-
ная точка будет иметь координату —i-. Читают: «Минус
одна вторая».
Рис. 198
Вообще как изобразить на координатной прямой какое-
то число? Для этого надо отложить от начала отсче-
та отрезок нужной длины, причем вправо, если число
положительное, влево, если число отрицательное.
W (Урок 129)
Начертите координатную прямую, отметив на ней
точки с координатами —5, —4, —3, — 2, —1,
О, 1, 2, 3, 4, 5. Затем отметьте точки
л(~т)и : и D(‘>4)-
Вот что интересное придумал Смекалкин. Он предста-
вил, что в начале отсчета поперек координатной прямой
поставлено зеркало. Если оно обращено к положительным
числам, то отражением точки будет как раз точ-
ка А ( —5-) . Если же зеркало обращено к отрицатель-
ным числам, то, наоборот, отражением точки А ( —
будет точка • Это происходит потому, что точки
—i-) и В(4“) расположены на одинаковом расстоя-
нии от начала отсчета. Точки С (—1,4) и D (1,4) тоже
одинаково удалены от начала отсчета. Рассмотрите это
на своем чертеже.
Два числа называют противоположными друг другу,
если изображающие их точки расположены на координат-
ной прямой по разные стороны от начала отсчета и на
одинаковом расстоянии от него. Например, противополож-
ным числу 3 является число —3; противоположным
числу 1,4 является число —1,4; противоположным числу
—является число (см. рис. 199).
3 3
Рис. 199
Какое число противоположно числу —2,3;
числу 3-у?
Размышляя о рассказанном про числа, противополож-
ные друг другу, можно обнаружить такие свойства: 1)
противоположные числа отличаются друг от друга только
знаком; 2) каждое число имеет только одно противопо-
Л ч положительному
ложное ему число; 3) число, противоположное.................
отрицательному
отрицательно .. Л
числу, ........... ; 4) число 0 противоположно самому
положительно
себе.
(Урок 129) 368
Пусть буква а обозначает какое-то число. Как тогда
обозначить число, противоположное ему? Договариваются
обозначать это противоположное число — а. Конечно, если
а — число положительное, то таким обозначением вы поль-
зовались не раз. Например, число, противоположное числу
к к
2у-, записывают — 2 у-- Но если а — число отрицатель-
ное, то получается новый вывод, а именно: запись —( — 7)
обозначает число, противоположное числу —7, но таким
числом является 7. Значит, — (— 7) = 7. И вообще, какое
бы число а мы ни взяли, верна формула
— (—а)=а.
Вопросы и задания
129.1. Какие числа называют противоположными друг
другу?
129.2. Чем отличаются противоположные друг другу числа?
129.3. Сколько противоположных чисел имеет данное число?
129.4. Каким будет число, противоположное положительному
числу? А отрицательному числу?
129.5. Какое число противоположно числу О?
129.6. Каким будет число —а, если число а положительно;
отрицательно; равно О?
129.7. Положительно или отрицательно число а, если —а по-
ложительно; отрицательно; равно О?
V 129.8. (У) Назовите число, противоположное числу: а) 15;
б) -18; в) -14,7; г) 20,03; д) 0,8; е) --1-; ж) -1-^-;
О 1 /
3) 8^.
129.9. Заполните пустые клетки в таблице:
X 2.7 —3,8 0,72 0 0,63
— X —5,6 3,2 —2,9 0
129.10. Изобразите на координатной прямой данное число и
з
число, ему противоположное: а) 4; б) —2,5; в) 3—.
129.11. (У) Найдите значение выражения:
а) — k, если k = 5; —7,2; 0,85; — 2-|-;
б) т, если —т = 32; —6,03; 0,02; —17-^-;
в) —(— п), если п = 13; —2,95; 0; —7-|-.
369 (Урок 130)
129.12. На рисунке 200 найдите все пары точек» изображающие
числа, противоположные друг другу.
к
М N
о
Рис. 200
129.13. Решите уравнение: а)
—у= —
129.14. На координатной прямой изображены точки Д(—2);
(2 \
—) ; D (4); Е (5,5). Найдите расстояние в единичных
О /
отрезках между точками: a) D и Е\ б) А и D; в) В и Е;
г) В и D\ д) С и О; е) А и С. (Совет: ответить будет легче, если
нарисовать координатную прямую и отметить на ней указанные
точки.)
урок 1зо чТо такое рациональные числа
Какие числа вы научились изображать на числовой
прямой? Положительные числа (натуральные и дробные),
противоположные им отрицательные числа и число 0. Все
вместе эти числа называют рациональными.
Среди рациональных чисел особо выделяются целые
числа. Целыми числами называют натуральные числа,
противоположные им числа и число 0.
Вопросы и задания
(Л 130.1. Какие числа называют рациональными? Какие
j числа называют целыми?
130.2, (Загадка.) В словосочетании «целое положи-
тельное число» два прилагательных «целое положитель-
ное» можно заменить каким-то одним. Каким?
W 130.3. (У) Пусть а — целое число. Будет ли целым чис-
а ло — а? Ответ объясните.
130.4. Даны числа 3; —2,6; +9; 5; —6; 5,3; +8,8; 0; —3;
5 7
—2—; 6-7-; —3,7; —4. Выпишите из них: а) целые числа;
• б) положительные числа; в) отрицательные числа; г) целые поло-
жительные числа; д) целые отрицательные числа; е) натуральные
числа; ж) неотрицательные числа; з) неположительные числа.
130.5. Какие целые числа расположены на координатной пря-
мой между числами: а) 4 и 8; б) — 1 и 5; в) —3 и 0; г) —2
и 2; д) -3,7 и 2,2; е) —|-и
(Урок 131) 370
130.6. Служебная собака погналась за нарушителем границы,
когда между ними было 1,8 км. С какой скоростью бежал нару-
шитель, если скорость собаки 19 км/ч и она догнала нару-
шителя через 12 мин?
130.7. (Старинная задача, VII в.) В городе Афинах был водоем,
в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить
водоем за 1 ч, другая, более тонкая — за 2 ч, третья, еще более
тонкая — за 3 ч. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы
наполняют водоем.
урок 131 Модуль числа
Возьмем два противоположных числа а и —а. Точки,
изображающие их на координатной прямой, расположены
на одинаковом расстоянии от начала отсчета (см. рис. 201).
Для такого расстояния придумано специальное назва-
ние — модуль числа а.
-а
4-
0
4-
а
Рис. 201
МОДУЛЕМ ЧИСЛА НАЗЫВАЮТ РАССТОЯНИЕ
ОТ ТОЧКИ, ИЗОБРАЖАЮЩЕЙ ЭТО ЧИСЛО
НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ,
ДО НАЧАЛА ОТСЧЕТА.
Модуль числа а обозначают |а!. Читают: «Модуль а>.
Например, 151 =5, | — 3| = 3. В самом деле, расстояние от
точки А (5) до нуля равно 5, а расстояние от точки В (—3)
до нуля равно 3 (рис. 202).
Рис. 202
Модули противоположных чисел равны. Например,
| -|~| — | . Раз модуль числа — это расстояние, он
никогда не бывает отрицательным. А чему равен модуль
нуля? Конечно, нулю. Для всех других чисел модуль по-
ложителен.
Вот какие свойства мы обнаружили:
371
(Урок 131)
IO|=O.
Если а^=0, то |а| положителен.
Если число положительно, то его модуль равен самому
числу. Если же оно отрицательно, его модуль равен про-
тивоположному числу. В сдмом деле, | —3|=3=—(— 3),
I —1 =4- — — ( —. Оба эти важных свойства мож-
но сформулировать, используя букву:
положительно 1а|=а
Если число а ............., то ,••••....
отрицательно 1*1 = —л
Вопросы и задания
gfe 131.1. Что такое модуль числа?
ш 131.2. Чему равен модуль положительного числа; отри-
цательного числа?
131.3. Как располагаются на координатной прямой точки, изоб-
ражающие не равные числа с равными модулями?
V 131.4. Какое значение может принимать а, если |а| =
= 3,3?
" 131.5. а) Известно, что lai =7. Чему равен I—а|?
б) Известно, что |—61=3,6. Чему равен |6|?
131.6. (У) Найдите модуль числа: а) 81; б) —3,2; в) —|-;
г) 3^-; д) 0.
131.7. (Загадки.) а) Задумано отрицательное число, модуль
которого равен 3. Какое число задумано? б) Задумано поло-
жительное число, модуль которого равен 7. Какое число заду-
мано? в) Задумано положительное число, модуль которого совпа-
дает с модулем числа —4. Какое число задумано?
131.8. (У) Вспомните, какие числа называются противополож-
ными. Сформулируйте это, используя слово «модуль».
131.9. (У) Вычислите:
а) |3,7|; г) | -2-^-| ; ж) |3|-|-9|; к) |-63|:|7|;
б) 1-2,81; д) 15Ц-1—81; з) |-2,2|-|-5|; л) |-3|:|11|;
в) | 1-|-| ; е) 1-7Ц-131; и) L|;M) |-1,2|:|4|.
131.10. Найдите значение выражения:
а) |х| при х = 3,2; —7-|-; —9,3; 6-|-; 0;
б) Ixl + lyl при х= —2,7, «/=3-|-.
(Урок 132) 371
131.11. В каждой паре чисел выберите то число, у которого
модуль больше: а) —5,73 и —7,42; б) — 3-|- и 2-|-; в) —0,2
и 0; г) 3,7 и 8-|-.
131.12. Расположите числа в порядке возрастания их модулей:
а) 3,1; -2,43; -3; -2,4; 2,42; 3,05; б) -1-|-; 2-Ь 0; —
а 11 ^7
131.13. а) Найдите модуль числа, изображенного на коорди-
натной прямой точкой А (— 2); В
(-2^-) ; С(-0,63); £>(-2,7).
б) На каком расстоянии от начала отсчета находится точка
Л (-1,5); в(-2-у-) ; С(3,27); £>(-0,87); Е(3-Ц ?
131.14. (У) Назовите все числа, имеющие модуль: а) 12; б) 3,7;
в) 2-Ь г) 0.
131.15. Решите уравнение:
а) |х|-0; б) |х-1|=0; в) |2-х-1,4|=0.
131.16. (У) Младший брат Смекалкина утверждал, что модуль
целого числа всегда число натуральное. Смекалкин сказал, что
есть ровно одно число, для которого это не так. Какое это
число? Объясните, почему для всех остальных целых чисел утвер-
ждение младшего брата верно.
Урок 132 Сравнение чисел
Вы давно знаете, что числа можно сравнивать. Давайте
вспомним, какие числа вы уже научились сравнивать:
любые натуральные числа (в уроке 8); обыкновенные
дроби с одинаковым знаменателем (в уроке 54); десятич-
ные дроби (в уроке 65); любые дроби (в уроке 109).
Значит, вы умеете сравнивать любые положительные ра-
циональные числа друг с другом и с нулем.
А отрицательные числа тоже можно
сравнивать?
Конечно. И отрицательные друг с другом, и отрицательные
с положительными, и отрицательные с нулем. Именно об
этом мы сейчас будем рассказывать.
Возьмем два числа: например, 1 и 2-|-. Каждый знает,
з
что К 2—. Представьте горизонтальную координатную
прямую. Как на ней расположены друг относительно друга
з
373 (Урок 132)
(3 \
2 — \ ? Ясно, что точка А расположена
левее точки В (см. рис. 203). И вообще если а и Ь — поло-
жительные числа и a<zb, то точка с координатой а рас-
положена левее точки с координатой Ь. То же самое
свойство можно сформулировать и так: на горизонтальной
„ о большей „ правее
координатном прямой точка с........ координатой .......
меньшей левее
MPUklllofi
точки с ...... координатой*
большей
О А В
.. и, а
Рис. 203
Обдумывая это свойство, можно догадаться, что вовсе
необязательно рассматривать здесь точки с положитель-
ными координатами. Ведь слова «правее» и «левее» годят-
ся для точек, имеющих любые координаты. Вот так и
получается правило сравнения любых чисел:
ИЗ ДВУХ ЧИСЕЛ ТО, которое
меньше
ИЗОБРАЖАЕТСЯ НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ
КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ .
левее
Применяя это правило, видим, например: —3<—2;
— 3<1; —3>-5;2>—5; -5<0.
Сравните числа — 1000 и —2000; 5 и —50.
Если рассматривать вертикальную координатную пря-
мую, то в сформулированном правиле сравнения нужно
заменить слово «правее» на «выше», а слово «левее» — на
«ниже».
Сформулируйте правило сравнения чисел,
когда они изображены на вертикальной
координатной прямой.
Что же, для сравнения чисел всегда надо
представлять координатную прямую?
Представлять ее полезно, но вовсе необязательно.
Например, каждому понятны такие свойства, которые
легко запомнить:
__ - положительное больше
Любое ............... число ..... нуля,
отрицательное меньше
(Урок 132)
374
_ - положительное больше отрицательного
Любое ................ число ....................
отрицательное меньше положительного
Учитывая первое из этих свойств, утверждение, что
положительно
число а ..........., можно записывать неравенством
отрицательно
а>0
а<0*
Чтобы научиться легко сравнивать отрицательные чис-
ла, не пользуясь координатной прямой, давайте порассуж-
даем. Когда теплее — при —20° или при — 5°? Ответ каж-
дому ясен: при —5°. Забудем о температуре и спросим:
какое из чисел —20 и —5 больше? Ясно, что — 5> — 20.
Ведь на координатной прямой число —5 изображается
точкой, расположенной ближе к началу отсчета, чем точка
с координатой —20. Другими словами, —5 имеет мень-
ший модуль: | — 5| С I —20[.
vбольше
И вообще из двух отрицательных чисел .......то, по-
меньше
меньше
дуль которого .....
больше
Запомнив это правило, можно и не представлять ко-
ординатную прямую. И наоборот, представив координат-
ную прямую, легко вспомнить сформулированное правило.
Вопросы и задания
132.1. Какое правило сравнения чисел сформулировано
g в этом уроке?
132.2. Какое из двух чисел больше: положительное
или отрицательное; отрицательное или нуль; положитель-
ное или нуль?
132.3. Как сравнить отрицательные числа, не пользуясь коор-
динатной прямой?
132.4. Положительно или отрицательно число х, если:
а) х>0; б) х<0?
VI32.5. (У) а) Число а больше 2. Обязательно ли а
положительно? б) Число b меньше 3. Обязательно ли Ь
11 отрицательно? в) Число с больше, чем —1. Обязательно
ли с положительно? г) Число d меньше, чем — 5. Обяза-
тельно ли d отрицательно? Ответы объясните.
132. 6. Запишите в порядке возрастания числа, изображенные
(см. рис. 204) точками Л, В, С, £>, О на координатной пря-
мой.
375
(Урок 132)
Рис. 204
D В ОС А
, । « | .е .. |.- । е . и-. » ।
-3 -2 -/ 0 1 2 3
132. 7. Изобразите числа точками на координатной прямой,
сравните их и результат сравнения запишите неравенством:
а) 3 и 5; д) —3 и 0; и) —2 и 0,7; н) — 2 и —4;
б) 0,6 и 4; е) 0 и —2,6; к) 5 и —1,8; о) —Зи —0,2;
в) 0 и 2-|-; ж) — 3-1-и 0; л) —0,5 и 0,3; п) — 1-т-и —2;
О О о
г) 0,2 и 0; з) 2 и —3; м) 2-|-и -3^-; р) —2,3 и
и О □
132. 8. Не
а) 11 и 13;
б) -11 и 13;
в) И и —13;
г} —11 и — 13;
Д) -11 и 0;
е) 0 и —13;
пользуясь координатной прямой, сравните числа
ж) 2-1-и 2-1-;
j о
з) — 2-1-и 2-1-;
У о
и) 2-1-и -2-1-;
j о
К) -2-1-и — 2-Ь
У о
л) -2-1-и 0;
м) 0 и — 2-1-;
О
н) 4,7 и 5,03;
о) —4,7 и 5,03;
п) 4,7 и —5,03;
р) —4,7 и —5,03
132.9. Вставьте вместо многоточия какое-нибудь число так,
чтобы было верно двойное неравенство:
132.10. (У) Какое целое число стоит между числами;
а) —1,1 и —0,6; в) —5,3 и —3; д) —7 и —5; ж) —2 и 0;
б) —0,8 и 0,2; г) —1,8 и 0; е) —4 и —2,3; з) — 1 и 1?
132.11. (У) Сколько целых чисел стоит между числами:
а) —5,4 и —1,2; в) —9,6 и 0; д) —5 и —1,2; ж) —7 и —2;
б) —7,5 и 3,2; г) —4,5 и 8; е) —3 и 0,75; з) —4 и 4?
132.12. Смекалкин придумал примеры с размазанными циф-
рами:
а) — 3,02 <— 3,01;
б) — 7,5О8> —7,513;
в) —0,4 О 854 <—0,49826;
г) —1,00765 < — 1,892;
д) —4,593 >-4,5 О 8;
е)* —50,601 <—50,68.
Восстановите размазанные цифры.
(урок 133) Э76
132.13. Не восстанавливая размазанные цифры, поставьте нуж
ные знаки неравенства между
а) —4,400 и —4,800;
б) —00,412 и —0,090;
в) — 0,742 и — 0,7410 0;
числами в следующих парах:
г) —0,000 и —00,00;
д) -0,000 и 0;
е)* —95,00 0 и —04,030-
Ответы объясните.
132.14. а) Расположите числа в порядке возрастания: —3; 2,1;
3-|-; —0,6; —1-|-; —2,99; — 3-|-; 0,01; 0,6. б) Расположи-
3 • о
те числа в порядке убывания: —0,8; —2;
0; 1,9; -1,9.
132.15. В таблице указана высота над
уровнем моря некоторых городов СССР.
Запишите эти города в порядке возрас-
тания их высоты над уровнем моря, а
затем в порядке убывания этой высоты.
-4,2; 3,02; 2; -2,02;
Город Высота (м)
Москва 150
Ленинград 5
Астрахань —25
Ереван 1100
Иркутск 450
132.16. В задаче 77.11 приведена таблица численности насе-
ления и площади республик СССР. В ней названия республик
расположены в алфавитном порядке. Напишите названия респуб-
лик в порядке убывания: а) площади; б) численности насе-
ления; в) плотности населения.
Урок 1зз Как разные задачи превращаются
в одну задачу про числа
_- В объяснительном тексте урока 127 мы обсудили две
у задачи: про портовый кран и про гимнаста. (Прочитайте-
п ка их еще раз!) Мы выяснили там, что они имеют одну и
ту же схему. Чтобы разобраться в этой схеме, мы рас-
сказали про точку, которая перемещается в двух противо-
положных направлениях. Теперь вы уже знакомы с коорди-
натной прямой и отрицательными числами, и эту схему
можно пересказать легче. А именно: обе задачи из уро-
ка 127 превращаются в одну и ту же задачу про
числа. Вот такую:
Задача. К числу 300 прибавили: а) число —200;
б) число —400. Сколько получится?
Г7 Вспомните ответы в задачах 1 и 2 из урока
g 127 и догадайтесь, как ответить на
заданный вопрос.
Легко догадаться, что ответ будет такой: в варианте
а) 100; в варианте б) —100.
377 (Урок 133)
Видите, решение одной задачи про числа может дать
решение сразу нескольких конкретных задач. Тем и
хороша математика, что одна и та же задача про числа
может пригодиться для решения разных конкретных задач.
Поэтому надо учиться видеть в каждой конкретной зада-
че математическую задачу. Тогда, разобравшись с одной
конкретной задачей, вы легко сможете решить и другие,
на нее похожие.
В задаче, которая сформулирована выше, нужно найти
сумму двух чисел: в варианте а) 300+( — 200); в варианте
б) 300+( — 400). Видите, одно из слагаемых — отрица-
тельное число.
А как находить сумму, если среди слагаемых
окажутся отрицательные числа?
Потерпите до следующего параграфа, где мы ответим на
этот вопрос и вообще научим вас выполнять действия над
рациональными числами.
Задания
f 133.1. (У) а) Алеша, Боря и Вася живут в одном доме,
в одном подъезде на разных этажах: Алеша на 5-м, Боря
на 8-м. Алеша пошел к Боре поиграть в шахматы. Бори-
ны родители сказали ему, что Боря ушел к Васе. Алеша помнил,
что Борин этаж от его и от Васиного этажа удален одинаково.
До какого этажа нужно еще подняться Алеше?
б) Киномеханник приступил к работе в 5 ч вечера. В 8 ч
вечера, начав последний сеанс, он заметил, что до конца его рабо-
чей смены осталось столько же, сколько он уже проработал.
До какого времени будет работать киномеханник?
в) Перечитайте условия задач а) и б). Перескажите каждую из
них как задачу про числа. Можно ли утверждать, что получи-
лась одна и та же задача?
133.2. (У) а) Счет этажам в шахте ведется сверху вниз,
этажи в шахте называют горизонтами. Лифт в шахте с 4-го
горизонта опустился еще на 2 горизонта, а затем поднялся
на 3 горизонта. Выше или ниже относительно первоначального
положения оказался лифт и на сколько горизонтов?
б) Вчера в полдень термометр показывал —4°. К вечеру
температура еще понизилась на 2°, а сегодя к полудню она повы-
силась на 3°. Повысилась или понизилась полуденная температура
за сутки и на сколько градусов?
в) Задачи а) и б) можно превратить вот в какую задачу:
Точка А( — 4) переместилась по вертикальной координатной
прямой вниз на 2 единицы, а затем переместилась вверх на 3
единицы. Выше или ниже относительно первоначального положе-
ния оказалась точка и на сколько? Решите эту задачу.
(Урок 134) 378
г) Перескажите и решите ту же задачу, когда рассматривается
точка на горизонтальной прямой.
133.3. а) Для приготовления компота из персиков берут сахар,
персики и воду в пропорции 1:1:3. Сколько граммов каждого
продукта надо взять, чтобы сварить 1 кг компота?
б) Для изготовления защитной смеси от жуков-вредителей
берут смолу, нафталин и керосин в пропорции 1:1:3. Какую массу
каждого вещества надо взять, чтобы приготовить 1 кг смеси?
в) Перескажите условия задачи а) и б) как задачи про
числа. Можно ли утверждать, что получилась одна и та же задача?
133.4. а) Школьники собрали за лето 34,2 кг липового цвета
и ромашки. Ромашки собрали на 7,8 кг больше, чем липового
цвета. Сколько килограммов ромашки и сколько килограммов
липового цвета собрали школьники? б) Перескажите эту задачу
как задачу про числа. Придумайте еще какую-нибудь задачу,
которая превратилась бы в ту же задачу про числа.
урок 134 Учимся рассуждать при решении задач.
Какие практические задачи могут
скрываться за задачами про числа
Зачем нужно уметь решать математические задачи?
Ответ очень прост: многие практические задачи, если над
ними подумать, превращаются в задачи математические,
например в задачи про числа.
А если задача про числа появилась просто
так, не из практики, то ее незачем решать?
Это интересный вопрос. А ответить на него можно так.
Задачи просто про числа стоит решать уже потому, что
они дают хорошую тренировку. Потренируешься хоро-
шенько в их решении и с практическими задачами легче
справишься! Но дело ие только в этом. Очень часто
бывает так: задача про числа, а за ней скрываются
всякие практические задачи.
Вспомните-ка, например, задачу из урока 125: сколько
всего двузначных натуральных чисел? Как может возник-
нуть эта задача на практике? Мы обсудим два примера.
Задача 1. Построили 100-квар-
тирный дом. На дверях его квартир
нужно прибить номера цифрами, изго-
товленными из металла. Средняя масса
одной цифры 25 г. Сможет ли один рабо-
чий принести со склада (в мешке или
коробке) все нужные цифры?
Давайте рассуждать. Чтобы решить задачу, надо уз-
нать массу всех цифр. А для этого надо подсчитать,
379 (Урок 134)
сколько всего цифр потребуется на номера квартир. Девять
номеров — однозначные числа, от 1 до 9; на них потребует-
ся девять цифр. Один номер трехзначный, 100, еще три
цифры. Остальные номера двузначные. Сколько же их?
Вот и появилась наша старая задача про числа! Вы пом-
ните, что двузначных чисел 90. Значит, цифр на них уйдет
2*90, т. е. 180. А всего цифр потребуется 9+180-}-3, т. е.
192. Средняя масса одной цифры дана в условии.
и
а
Вычислите массу всех цифр и дайте ответ
на вопрос задачи.
Перечитайте вопрос б) задачи 115.4. Там имелось в
виду, что Смекалкин записывает без остановки числа от
1 до 40 и никакие другие знаки при этом не пишет.
Но в жизни часто приходится писать и какие-нибудь
дополнительные знаки, например запятые. Тогда полу-
чаются задачи потруднее. Вот одна из таких задач.
3 а д а ч а 2. Машинистке нужно напечатать на пишу-
щей машинке ряд чисел от 1 до 100. После каждого
числа ставится знак препинания: запятая для чисел от 1
до 99, точка для числа 100. После запятой пробел (т. е.
пропуск знака) или переход в следующую строку. Маши-
нистка печатает со скоростью 2 удара в секунду. За один
удар получается либо цифра, либо знак препинания, либо
пробел, либо переход в другую строку. Успеет ли машини-
стка напечатать нужный ряд чисел за 3 мин?
Давайте рассуждать. Ясно, что надо подсчитать число
ударов, необходимых для выполнения работы. Тогда,
разделив полученное число ударов на 2, мы узнаем время
(в секундах), за которое машинистка выполнит работу.
Сколько ударов уйдет на
знаки препинания?
Сколько ударов уйдет на
пробелы и переносы?
Сколько ударов уйдет на
цифры для всех чисел?
Ясно, что 100 ударов.
Ясно, что 99 ударов. Ведь между
числами от 1 до 100 есть 99 про-
межутков.
9 ударов на однозначные числа,
3 удара на число 100. Чтобы уз-
нать число ударов на двузначные
числа, надо 2 умножить на число
двузначных чисел.
Вот мы и опять встретились с нашей старой задачей про
числа! Число ударов, которое потребуется на цифры,
равно 192 (мы уже подсчитывали его при решении зада-
чи 1). Теперь подсчитаем общее число ударов: 100+
+ 99+192 = 391.
За сколько секунд напечатает машинистка
нужный ряд чисел? Кейсов ответ в задаче?
(Урок 135) 380
Задания
JF Для каждой из задач 134.1 — 134.6 придумайте какую-
нибудь практическую задачу, которая за ней скрывается.
134.1. Одно число равно 47, а другое — на 24 его больше.
Какова сумма этих двух чисел?
134.2. Одно число равно 36, а другое — в 3 раза больше.
Какова разность этих чисел?
134.3. Во сколько раз число 234 больше суммы чисел 36 и 42?
134.4. Сумма трех чисел равна 378. Первое из них в 2 раза
больше второго, но в три раза меньше третьего. Найдите эти
числа.
134.5. Сумма трех чисел 125. Сумма первого и второго равна
93; сумма второго и третьего равна 76. Найдите эти числа.
134.6. Разделите число 240 на части в пропорции 3:4:5.
134.7. Перечитайте задачу 1 из объяснительного текста. Рабо-
чий за один раз может нести груз до 20 кг. Каков будет ответ
в задаче, если условие изменить так: в доме а) 200 квартир;
б) 400 квартир?
134.8. Перечитайте задачу 2 из объяснительного текста. Изме-
ним условие так: машинистке нужно напечатать ряд чисел а) от 1
до 200; б) от 1 до 300. За какое время она выполнит эту работу?
Урок 135
Задания на повторение к § 14
135.1. (У) На рисунке 205, а изображена шкала прибо-
ра. Стрелка показывает на ней число —2. Прочитайте
показания прибора на рисунке 205, б, в, г, д.
а) 5) 6) г) д)
Рис. 205
135.2. При измерении высот и глубин за 0 принимают уро-
вень Мирового океана. Высоты при этом записываются поло-
жительными числами, а глубины — отрицательными. Рассмотрите
рисунок 206 и запишите с точностью до 1 км указанные на
нем высоты и глубины положительными и отрицательными чис-
лами.
135.3. а) Отметьте на координатной прямой точки А (— 1), В (3),
С ( — 2,5), 0(2,5). Каково расстояние от каждой из этих точек до
начала координат? б) Каждая из указанных точек переместилась
381.
(Урок 135)
по координатной прямой влево на 3 единицы. Изобразите получив-
шиеся точки на той же прямой. Какие координаты они имеют?
135.4. В новогоднюю ночь 1 января 1987 г. температура воз-
духа была: в Архангельске —25°, в Ашхабаде +6°, в Душан-
бе + 9°, в Киеве — 10°, в Красноярске —44°, в Ленинграде —17°,
в Магадане —20°, в Москве —20°, в Ростове —5°, в Свердлов-
ске —18°, в Ташкенте +4°, в Тбилиси —3°, в Хабаровске —29°,
в Чите —32°, в Якутске — 45°. Постройте по этим данным столбча-
тую диаграмму. (Совет: выберите масштаб 1° в 1 мм и дога-
дайтесь, какие столбцы надо чертить вверх, а какие — вниз.)
135.5. Заполните пустые клетки таблицы:
X -3.1 2,8 -2.6 1.9 — 2,6 3,6 — 1
У 2.7 -1.5 — 0,9 3,2 0 — I 1
W + W
|х| • lt/1
135.6. Расположите числа —3,2; 1; —7,4; 0; —1,5: а) в
порядке убывания; б) в порядке убывания их модулей.
135.7. (У) Младший брат Смекалкина, увидев запись —х,
сказал, что здесь записано отрицательное число. Смекалкин объяс-
нил брату, что так утверждать нельзя. То, какое число —х, за-
висит от того, каким числом является х. Каким числом будет
— х, если: а) х>0; б) х<0; в) х = 0?
135.8. (У) Пусть известно, что |а|<3. Такое неравенство
может выполняться и при положительных значениях буквы а,
и при отрицательных. Например, при а— — 1 и при а = 2 (про-
верьте!).
(Урок 135) 382
Для каждого из следующих неравенств назовите одно положи-
тельное значение буквы и одно отрицательное, при которых нера-
венство будет верным: а) |а|<1,2; б) |а|>2; в) |Ь|<0,8;
г) |т|>0.
135.9* . (У) Смекалкин задал младшему брату вопрос: «Может
ли быть так, что число меньше трех, а его модуль больше
трех?» Младший брат ответил: «Нет, не может! Что за странный
вопрос! Разве неверно, что если число меньше трех, то и его
модуль меньше трех? Вот, например, 2<3и |2|<3». Смекалкин
объяснил брату, что для положительных чисел это верно. Но ведь
есть и отрицательные числа!
Назовите два-три таких числа, что само число меньше трех,
а его модуль больше трех.
135.10. (У) а) Игорь вместе с родителями в январе пойдет
в театр: 1-й раз — 9 января, 2-й раз — через неделю после 1-го,
3-й раз — через две недели после 2-го. Какого января он пойдет в
театр во 2-й и в 3-й раз?
б) В 9 км от города находится автозаправочная станция.
За ней по той же дороге через 7 км расположена база отдыха,
еще дальше — пионерский лагерь. Пионерский лагерь удален от
базы отдыха на расстояние, в 2 раза большее, чем то, на которое
она удалена от автозаправочной станции. На каком расстоянии
от города находится база отдыха; пионерский лагерь?
в) (У) Перечитайте внимательно условия задач а) и б).
Перескажите каждую из них как задачу про числа. Можно ли
утверждать, что получилась одна и та же задача?
135.11. Галя, Даша и Ева живут в одном 10-этажном доме
в одном подъезде. Дашин этаж одинаково удален от Галиного
этажа и от Евиного этажа. Галя живет на 4-м этаже, Даша —
на 7-м. На каком этаже живет Ева?
135.12. Для решения этой задачи нужно запастись большим
терпением. В таблице в алфавитном порядке записаны все города
СССР, население которых в 1987 г. было больше 1 млн. человек.
Город Население (тыс.) Прирост (проценты)
1979 г. 1987 г.
Алма-Ата 910 1107
Баку 1550 1741
Горький 1344 1425
Днепропетровск 1066 1182
Донецк 1021 1090
Ереван 1019 1168
Казань 993 1169
Киев 2132 2544
Куйбышев 1206 1280
Ленинград 4588 4945
Минск 1260 1543
Москва 8122 8801
Новосибирск 1312 1423
Одесса 1046 1141
383 (Урок 136)
Продолжение
Город Население (тыс.) Прирост (проценты)
1976 г. 1987 г.
Омск 1014 1134
Пермь 999 1075
Свердловск 1211 1333
Ташкент 1780 2123
Тбилиси 1066 1194
Уфа 979 1092
Харьков 1444 1587
Челябинск 1030 1119
а) Напишите список городов-миллионеров в порядке убывания
численности их населения в 1987 г.
б) Вычислите, на сколько процентов увеличилось население
каждого города с 1979 по 1987 г., и результат, округленный до
десятых долей процента, впишите в четвертый столбец.
в) Напишите список городов в порядке убывания процента при-
роста населения.
$ 15. ДЕЙСТВИЯ НАД РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
В § 12 вы научились складывать, вычитать, умножать и
делить любые положительные рациональные числа. Но те-
перь вы знаете, что есть еще и отрицательные числа.
С ними тоже нужно уметь выполнять действия. Как нахо-
дить сумму, разность, произведение, частное любых раци-
ональных чисел, мы расскажем в этом параграфе.
Урок 138 Сложение
Что происходит, когда складывают два числа? Приба-
вим, например, к числу 3 число 5. На горизонтальной
координатной прямой это можно изобразить так: точка с
координатой 3 перемещается на 5 единичных отрезков
вправо (см. рис. 207). А что произойдет, если к тому
же числу 3 прибавить число —5, противоположное чис-
лу 5? Тогда точка с координатой 3 переместится на
5 единичных отрезков в противоположном направлении,
т. е. влево (см. рис. 208).
Рис. 207
Рис. 208
(Урок 136)
384
Вообще когда к числу а прибавляют
положительное
отрицательное
число Ь, то точка с координатой а перемещается на |6|
вправо
единичных отрезков ••••••• •
влево
Зная это правило, легко находить сумму чисел на
координатной прямой. Найдем, например, сумму (-2)4-3.
На рисунке 209 видно, что если точку А (— 2) переместить
на 3 единичных отрезка вправо, то получится точка
В(1). Значит, ( —2)4-3= 1.
<< Xе
ШИ
Рис. 209
Рассматривая координатную прямую, вычислите
суммы 5-Н-3), 1+(-3), (-2)4-2, (-3)+(-4).
Посмотрим, что происходит при сложении чисел — 3
и —4. Точка А( —3) расположена на координатной пря-
мой левее точки О и удалена от нее на 3 единичных отрез-
ка. Точка В, изображающая сумму, расположена левее
точки О и удалена от нее на 7 единичных отрезков
(рис. 210). Как получилось здесь число 7? Это 3 + 4,
т. е. сумма модулей слагаемых —3 и —4. Итак, (— 3)4-
4-(-4)=-(34-4)=-7.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -7
Рис. 210
+
О
Можно сделать такой вывод:
ЧТОБЫ СЛОЖИТЬ ДВА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЛА,
НУЖНО ВЗЯТЬ СУММУ ИХ МОДУЛЕЙ
СО ЗНАКОМ «МИНУС».
Например, (-3,25)+(-6,75)= —(3,25 + 6,75)= — 10;
- +f _J_\ = _/_L+ J_\ __L.
3 / 4 / \ 3 “ 4 ) 12
Чтобы найти правило сложения чисел разных знаков,
опять ради наглядности обратимся к координатной пря-
мой. Сложим, например, числа —2 и 5. Тогда точка А (— 2)
385 (Урок 136)
переместится на 5 единичных отрезков вправо. Точка В,
изображающая на рисунке 211 сумму, расположена правее
точки О и удалена от нее на 3 единичных отрезка. Как
получилось сейчас число 3? Это 5 — 2, т. е. разность
модулей слагаемых 5 и —2. Итак, (— 2)+ 5 = 5 — 2 = 3.
Рис. 211
Чтобы найти сумму (— 7) + 5, придется опять вычислить
разность модулей слагаемых, но взять ее со знаком
«минус».
Убедитесь в этом и запишите, чему равна сумма
(-7)4-5.
Видно, что точка, изображающая сумму чисел разных
правее - положительного
знаков будет .......... точки О, если модуль ..................
левее отрицательного
отрицательного
слагаемого больше, чем модуль ..................... слагаемого.
положительного
Это похоже на перетягивание каната.
Положительное слагаемое как бы тянет сумму
вправо, отрицательное — влево. У какого
слагаемого модуль больше, то и перетягивает.
Хорошее сравнение! Нам остается сформулировать
правило:
ЧТОБЫ СЛОЖИТЬ ЧИСЛА РАЗНЫХ ЗНАКОВ,
НУЖНО ИЗ БОЛЬШЕГО МОДУЛЯ ВЫЧЕСТЬ
МЕНЬШИЙ И ПОЛУЧЕННУЮ РАЗНОСТЬ
ВЗЯТЬ СО ЗНАКОМ ТОГО СЛАГАЕМОГО,
МОДУЛЬ КОТОРОГО БОЛЬШЕ.
Модули слагаемых сравнивают обычно в уме и все
вычисления записывают цепочкой равенств. Например,
9 + (~7,5) = (9-7,5)=1,5;
2 1 ( 3 \ / з 2 \ „ 7
5 Н 4 ) ( 4 5) 20 ’
Легко догадаться, что правило сложения с числом 0
для любых чисел такое же, как и для положительных
чисел: а + 0 = а, 0 + а = а.
п Объясните каждое из этих равенств.
13 Учебник-собеседник
(Урок 136) 386
А вот со следующим свойством вам встречаться еще
не приходилось. Чтобы обнаружить его, вычислим значе-
ния нескольких сумм (см. рис. 212): 5 + ( — 5) = 5 — 5=0;
( — —| 9 — 9 9 —п-
Г7 \ 2 У-1" 2 2 2 —U’
п 3,7-|“(““3,7) = ... (заполните пропуск!).
Рис. 212
Можно сделать вывод:
СУММА ЧИСЕЛ, ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ
ДРУГ ДРУГУ, РАВНА НУЛЮ.
Формулой это свойство запишется так:
Вопросы и задания
136.1. Как перемещается на горизонтальной координат-
ж ной прямой точка с координатой а, если к числу а при-
" бавить число 2; 3; —5; —1,5; Ь?
136.2. Как сложить два отрицательных числа; два числа
с разными знаками?
136.3. Чему равна сумма противоположных чисел; сумма данно-
го числа и числа 0?
VI36.4. а) Отметьте на горизонтальной координатной
прямой точку А (— 4). Затем отметьте точки, изображаю-
щие суммы (-4)4-2; (-4)4-5; ( —4)+(— 1); ( —4)+( —3);
(-4)4-4.
б) Выполните то же задание, что и в а), на вертикальной
координатной прямой. Сформулируйте правило, как перемещается
на вертикальной координатной прямой точка с координатой а,
когда число а складывают с числом Ь.
в) Придумайте по одному заданию, похожему на задания а)
и б), предложите их соседу по парте, а затем проверьте, пра-
вильно ли он их выполнил.
136. 5. Вчера температура воздуха была 3°. Сегодня она:
а) повысилась на 2°; б) понизилась на 2°; в) понизилась на 4°;
г) понизилась на,3°. В каждом варианте а) — г) запишите в виде
суммы сегодняшнюю температуру и вычислите ее.
387
(Урок 136)
136.6. Вычислите:
а) (-37)+(-112);
б) (-4,5)+(-4.6);
в) ( —2,4)+(—2,4);
ж)
з)
и)
(-42)+ 53;
(-6.7)+2,9;
(-3,5)+3,5;
Д) ( — 0,8)+( — 3,2);
е) ( — 6,9)+(—6,9);
л) (-2,5)+ о,9;
м) (-2,5)+4,7;
н) 13+(-31);
о) 3,7+(-2,8);
п) 4,5+(-4,5);
136.7. (У) Вычислите:
а) (-22)+35; в) 1,5+(-6,3);
б) (-3,7)+2,8; г) 8,2+(-8,2).
136.8. Вычислите:
а) (-37)+25+(-18);
б) 6,8+(-9,5)+1.4;
в) ( —7,2)+(—3,5)+10,63;
г) ( — 3,2)+( — 2,9)+( — 8,5);
д) -5т+4т+3т’
е) 5,4 + (-3,7)+(-4,2);
ж) 12,8+(-3,5)+(-7,6);
136.9. Сравните значения выражений:
а) 3,87+(-2,63) и 5,29+(-3,59);
б) (—7,35)+4,54 и (-4,68)+3,46;
г) (—5,68)+3,95 и 2,63+(—5,3).
136.10. Сформулируйте переместительный закон сложения, ис-
пользуя буквы а и Ь. Проверьте его при следующих значениях букв:
а) а=— 9, 6=11; б) а =—8,9, 6 = —3,5; в) а = 2^-,
136.11. Сформулируйте сочетательный закон сложения и запи-
шите его формулой, используя буквы а, b и с. Проверьте его
при значениях букв: а) а = 4, &=—3, с=—5; б) а——2,7,
6=4,6, с =—3,8; в) а= —14-, 6= — с=3^-; г) а =
3 о 4
= —0,8, 6 =—3,5; с—— 6,2.
136.12. Переместительный и сочетательный законы сложения
часто облегчают вычисление суммы. Например, 3,5+(— 2,7) +
+4>6+(-5,8) = (3,5 + 4,6) + ((-2,7) + (-5,8)) = 8,1 +(-8,5) =
= —0,4 (здесь мы сначала отдельно сложили положитель-
ные слагаемые и отрицательные слагаемые); 2,9 + 3,7+( —4,2) +
+( —2,9) + 4,2 - (2,9 + (-2,9)) + 3,7+((-4,2)+ 4,2) = 0 + 3,7 +
+ 0 = 3,7 (здесь мы сначала сгруппировали противоположные сла-
гаемые, сумма которых равна 0).
(Урок 137) 388
Вычислите наиболее простым способом:
а) 6,3+( — 3,7)+ 2,6; г) 1,7 + (-2,6)+(- 1,7) + 2,6;
б) ( — 9,2)+ 5,4+ ( — 3,6); д) (-4,9)+ 5,5+ 4,9+ (-5,5);
в) 8,2+(-2,9)+1,2; е) 1,8 +(-6,2) + (-4,1) +(-1,8)+ 6,2.
136.13. Заполните пустые клетки таблицы, вычислив значение
буквенного выражения jx + r/l+%:
X 3,2 2,8 — 4,5 6,32 — 5,2 -2,9 4,2 -2,3 -6,2 0
У 6,9 — 1,9 0,37 -7,8 7,2 -4,7 4,2 -2,3 0 -3,2
1 * + 1/1 +*
136.14. Смекалкин предложил младшему брату придумать два
числа, сумма которых меньше каждого из них. «Разве так бы-
вает?» — удивился брат. Смекалкин объяснил, что, конечно, бы-
вает. а) Придумайте два таких числа, б)* Может ли одно из них
быть положительным? Ответ объясните, в)* Что можно сказать о
знаках чисел, сумма которых больше каждого слагаемого?
136.15. (У) Найдите число, противоположное числу: а) 3,7;
б) -2,6; в) -7-Т; г) 8-Т; д) -16,02.
«3 У
урок 137 Вычитание
Смекалкин предложил младшему брату вычесть из чис-
ла 2 число 5. Тот воскликнул: «Но ведь нет такого числа,
которое было бы разностью 2 — 5!» Смекалкин объяснил,
что такого числа нет среди положительных чисел.
А среди отрицательных его найти очень легко:
это —3. Почему? Как в этом убедиться?
Давайте разберемся. Что такое разность чисел с и а?
Это такое число Ь, что выполнено равенство а-\-Ь — с. В
примере Смекалкина с =2, а = 5, и Смекалкин утвержда-
ет, что тогда Ь=—3. Проверим: a-f-fe = 5 + ( — 3) = 5—
— 3 = 2 = с. Все в порядке! Итак, 2 — 5=—3.
Проверьте, что 1 — 10=—9. Найдите
разность 3 —11.
Теперь, зная отрицательные числа, вы можете нахо-
дить разность любых чисел. Как это делать? Оказывается,
вычитание можно заменить сложением с числом, противо-
положным вычитаемому. Так, в примере Смекалкина, что-
бы вычесть из числа 2 число 5, можно, наоборот, при-
бавить к 2 число, противоположное 5, т. е. число —5.
Посмотрите-ка:
2 + (-5)=-(5-2)=-3.
389 (Урок 137)
А ведь выше было проверено, что —3 равно разности
2 и 5. Значит, 2 —5 = 2+( —5). Точно так же 1 —10= 1 +
+(-10)=-(10-1)=—9. И вообще,
ЧТОБЫ ВЫЧЕСТЬ ИЗ ЧИСЛА ЧИСЛО,
НАДО К УМЕНЬШАЕМОМУ ПРИБАВИТЬ
ЧИСЛО, ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ ВЫЧИТАЕМОМУ.
То же самое можно записать такой формулой:
с — а = с+(—а).
Этой формулой пользуются, чтобы находить разность лю-
бых чисел — хоть положительных, хоть отрицательных.
Вот примеры:
6—( —9)=6+9=15;
(-7)-(-3)=(-7)+3= -(7-3)= -4;
(-9)- 1,5=(—9)+(—1,5)= -(9+1,5)= - 10,5.
Итак, сделаем важный вывод, главный в этом уроке:
Для любых двух чисел можно найти число, которое
будет их разностью.
А если одно из чисел — это нуль?
Формула для разности дает ответ в любом случае. Пос-
мотрите: при с=0 получается равенство 0—а=0+
+(— а)=—а; при а=0 получается равенство с—0 =
= с+( — 0)=с+0=с. В этом равенстве вместо с можно
писать и букву а. Значит, верны формулы:
0—а= — а; а—0=а.
Вопросы и задания
137.1. Какой важный вывод был сделан в уроке?
137.2. Как вычитание заменяют сложением? Что при
этом прибавляют к уменьшаемому?
137.3. Чему равна разность чисел 0 и а?
137.4. (У) Замените вычитание сложением:
а) 18-6; б) 37—(-8); в) (—17)-9; г) (—6)-(-13).
137.5. Вычислите:
а) 15-18;
б) 3,8 —6,4;
в) (—7,2)—2,8;
е)
4,5-(-3,7);
ж) ( — 8,6)—( — 9,5);
и) (-7)-(-7);
к) (-5,3)-5,3;
г) (-24-)-!-к
\ о / о
д) 12—(—17);
(Урок 137)
л) 9,93-(-4,6);
н) (-З)-З;
390
о) 0—0;
п) 0 — 5,9;
р) о-(“71г) •
Выполненное вычитание в примерах е) и з) проверьте сложе-
нием, а в примерах л), м) —вычитанием.
137.6. (У) Вычислите:
а) 22—27; в) 19-(-2); д) 0—7.
б) ( — 13)—8; г) (—27)—(—34);
137.7. Заполните пустые клетки таблицы:
а 3,7 2,4 — 3,5 2,7 — 3,9
b — 3,8 6,3 -2,5 4,3 -3,7 -4,2
а+Ь 5,9 7,2 4,6 -1,8 -4,6 -2,2 0,8 —2,6 -2,2
137.8. Решите уравнение:
г) х —4,5 = —6,2;
д) х-(-1,7) = 3,5;
е) ( — 2,6)—х=4;
ж) (-х)+0,6=-3,7;
з) (-х)-(-1,7)=2,9;
и) ( —0,4) —( —х)= —1,2
137.9. а) Заполните пустые клетки таблицы:
х 2,9 6,2 -2,5 —4,8 2,8 — 3,6 6,3 0 3,9
У 3,7 -4,1 3,9 -2,5 — 3,7 -5,1 4,8 -3,3 4,7
*-У -6,3 -1.1
у—х
б)* Какое свойство можно обнаружить, разглядывая запол-
ненные две последние строки таблицы из пункта а)? Запишите
обнаруженное свойство с помощью букв и математических
знаков.
137.10. ("У) Смекалкин предложил младшему брату придумать
такие два числа, чтобы их разность была больше уменьшаемого.
«Разве так бывает?» — удивился брат. Смекалкин объяснил, что,
конечно, бывает, а) Придумайте два таких числа, б)* Может
ли при этом вычитаемое быть положительным? Ответ объясните,
в)* Что можно сказать о знаке вычитаемого, если разность
меньше уменьшаемого?
137.11. Вы знаете совместные свойства сложения и вычита-
ния. Вот они записаны формулами:
391
(Урок 138)
(a + b)—с=(а — c)+b
(а+6) —с=а+(6 —c)l
а—(6 + с)=(а — Ь)—с t а—(6 —с)=(а —6)+с
Проверьте каждую из них: а) при а= —1,2, 6=0,8, с=—2,3;
б) при а=1,7, 6=—2,6, с =—4,5; в) при а=—2,6, Ь =
= —3,5, с =—0,2; г) при а=0, 6 = 1,4, с =—2,7.
137.12* . Если в первую формулу из задания 137.11 вместо
а подставить 0, то получится равенство (0 + 6)—с=(0 — с)+6.
Так как 0 + 6 = 6 и 0—с— — с, получается формула
6 —с=(— с)+ 6
которая тоже выполняется для любых чисел бис. Подставляя
в остальные формулы из задания 137.11 вместо а число 0, напи-
шите еще три новые формулы. Какие еще новые формулы можно
получить, используя похожим образом букву 6?
137.13. Перечитайте условие задания 129.14. Найдите расстоя-
ние в единичных отрезках между точками: а) С и Е; б) Л и Е.
Урок 138 Формула для расстояния между двумя
точками с заданными координатами
Задача. Муравей ползет по координатной прямой от
точки А до точки В. Какое расстояние он преодолевает,
если: а) координата точки А равна 3, а координата точки
В равна 9 (рис. 213); б) координата точки А равна
— 1, а координата точки В равна 4 (рис. 214); в) коорди-
ната точки А равна —2, а координата точки В равна
— 6 (рис. 215)?
Рис. 213
Рис. 215
Рис. 214
(Урок 138) 392
Смекалкин легко решил задачу для варианта а}: мура-
вей проползет 6 единичных отрезков. Ведь точка В (9) от
точки О удалена на 9 таких отрезков, а точка А (3) —
на 3 и обе эти точки лежат справа от точки О. Значит,
из 9 вычитаем 3, вот и получится 6.
Вариант б) показался Смекалкину потруднее, но, по-
думав, он и здесь нашел решение. Сначала муравей от
точки Л( — 1) проползет 1 единичный отрезок до точки
О, а затем еще 4 единичных отрезка до точки В (4). Зна-
чит, всего он проползет 5 единичных отрезков.
И в варианте в) Смекалкин нашел ответ: муравью
придется проползти 4 единичных отрезка.
Верен ли этот ответ Смекалкина?
° В задаче про муравья расстояние между точками
отыскивалось только для трех конкретных вариантов
а) —в). Давайте задумаемся, как находить расстояние
между любыми двумя точками Л (а) и В (6). Такое рас-
стояние равно числу единичных отрезков, на которое нуж-
но переместить точку Л(а), чтобы попасть в точку В(Ь).
Если а>Ь, то это число равно а — Ь\ если а<Ь, то оно
равно Ь — а. Легко догадаться, как записать оба случая
одной формулой:
\АВ\ = \а — Ь\ = \Ь — а\.
Вопросы н задания
б)
138.1. Чему равно расстояние между точками с коор-
динатами а и 6?
138.2. Найдите расстояние между точками А (а) и В (6),
если:
(У) а = 2, Ь = 8;
(У) а = 9, Ь = 3
д)
2
138.3. Дана точка Л ( — 2,7). Какая из точек удалена от
точки Л дальше: а) В ( — 4,2) или С ( — 3,9); б) 0(0,2) или
Е(1); в) К (-5,8) или L (0,8); г) М(-3) или 7V(-2,4)?
138.4. Заполните пустые клетки таблицы:
X 3,7 -2,7 3,2 -4,6 — 7,6 -2,3 0 -6,2 3,4
У 5,2 4,1 -2,8 -3,1 — 8.1 -2,3 -3,1 0 3,4
1*—1/| —х
У— |х—у\
393 (Урок 139)
138.5. Человек за минуту делает в среднем 15 вдохов»
поглощая за каждый вдох 0,55 л воздуха. Какой объем воздуха
он вдыхает за 1 ч; за 1 сутки? Какой объем воздуха вдыхает
ваш класс за 1 урок? Выразите его в кубических метрах и
сравните с объемом вашей классной комнаты.
138.6. Расстояние от Аниного дома до Катиного 1260 м.
Однажды Аня и Катя одновременно вышли навстречу друг
другу и встретились через 14 мин. Какова скорость Ани, если Катя
2
шла со скоростью 43— м/мин?
о
138.7. (У) Клоун искал расстояние от точки А (5) до
точки В ( — 6): «Применяем формулу 15 — 6| = | — 11 = 1-
Расстояние между А и Ь равно единице». Публика смея-
лась: всем была видна ошибка клоуна, а) Скажите,
в чем состояла ошибка клоуна, б) Найдите правильно рас-
стояние между точками А (5) и В ( — 6). в) Какие точки распо-
ложены на расстоянии 1 от точки А (5); от точки В( — 6)?
урок 139 Умножение и деление
Задумаемся, что значит умножить число а на число
А что тут думать? Всем известно: умножить
число а на число b — значит взять число
а слагаемым b раз.
Этот ответ годится только для натурального множителя
Ь. А если Ь — дробь? Или отрицательное число? Тогда
такой ответ не будет иметь смысла. Ведь нельзя же
з
взять число а слагаемым — раза или — 4 раза! Поэто-
му нужно отвечать иначе.
Нам поможет здесь вот такая пропорция:
Проверьте, что пропорция составлена
правильно.
a-b b
(То, что отношения -у- и — составляют пропорцию,
сразу видно из равенства a*b*\=a*b.) Давайте прочи-
таем ее: а-Ь так относится к а, как Ь относится к 1.
Поэтому можно сказать, что умножить число а на число
Ь — значит получить из а новое число так же, как b
получается из 1.
Это определение умножения годится уже для любых
чисел. Применим его, например, к числам а = 5 и Ь =
=-|-. Умножить 5 на -----значит получить из числа 5
(Урок 139)
394
новое число так же, как получается из 1. Дробь
з
— получается из 1 так: 1 делится на 4 равные части
и таких частей берется 3; значит, и 5 надо разделить на
4 равные части по и таких частей взять 3. Получит-
ся
15
4 *
Точно так же можно умножать и на отрицательное
число. Умножим, например, 3 на —4. Чтобы получить
число —4 из 1, нужно сменить у 1 знак и повторить — 1
слагаемым 4 раза. Поэтому у числа 3 надо сменить знак
(получится — 3) и повторить —3 слагаемым 4 раза.
Получится —12. Итак, 3-(—4)= —12.
Рассмотрим еще один пример: вычислим произведение
( — 5)-( — 2). Для этого с числом —5 нужно проделать
то же, что нужно проделать с числом 1, чтобы получить
— 2, т. е. нужно сменить у —5 знак (получим 5) и повто-
рить результат слагаемым 2 раза, получим 10.
Итак, ( —5)-(—2)=10.
Объясните равенства ( — 2,3)*5= — 11,5;
Посмотрите, модуль произведения двух чисел равен
произведению модулей множителей: |а• Ь \ = |а| • | b |. А
знак произведения зависит от знаков множителей: если
множители имеют одинаковые знаки (т. е. оба положитель-
ны или оба отрицательны), то произведение положитель-
но, а если разные — отрицательно. Значит, можно сфор-
мулировать такое правило умножения рациональных
чисел:
ЧТОБЫ НАЙТИ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ДВУХ ЧИСЕЛ ЗНАКОВ,
разных
НУЖНО ПЕРЕМНОЖИТЬ МОДУЛИ ЭТИХ ЧИСЕЛ
И РЕЗУЛЬТАТ ВЗЯТЬ СО ЗНАКОМ .. .
минус
Найти правило деления рациональных чисел будет
легко, если вспомнить, что деление можно заменить
умножением на число, обратное делителю. Давайте сна-
чала подумаем, какой знак будет у числа, обратного
отрицательному числу.
395 (Урок 139)
Число, обратное отрицательному, само должно
быть отрицательным! Ведь произведение взаимно
обратных чисел равно положительному числу 1.
Верный ответ. Например, числом, обратным числу —2,
число —числом, обратным —— > будет число
будет
9
Проверьте эти утверждения, пользуясь
правилом умножения рациональных чисел.
Теперь уже легко выполнить деление в следующих
примерах, заменяя его умножением на число, обратное
делителю:
6:11=6.1-=^=+(6:11).
И здесь можно заметить, что каждый раз модуль част-
ного равен частному модулей делимого и делителя:
|а;61 = |а|: 16]. А знак частного ведет себя так же, как
знак произведения: если делимое и делитель имеют оди-
наковые знаки, то частное положительно, а если разные,
то отрицательно. Получается правило деления рациональ-
ных чисел, очень похожее на правило их умножения:
ЧТОБЫ НАЙТИ ЧАСТНОЕ ДВУХ ЧИСЕЛ
одинаковых ЗНАК0В НУЖНО РАЗДЕЛИТЬ
разных
МОДУЛЬ ДЕЛИМОГО НА МОДУЛЬ ДЕЛИТЕЛЯ
И РЕЗУЛЬТАТ ВЗЯТЬ СО ЗНАКОМ — •
минус
Зависимость знака произведения и частного от знаков
компонентов действия наглядно показывает таблица:
Знак числа а Знак числа b Знак чисел а-b и а:Ь
— •
— —|—
— — -j-
(Урок 139)
396
и
Ее можно назвать таблицей умножения и деления знаков.
Запомнить ее очень легко. Например, последнюю комби-
нацию знаков обычно читают так: «Минус на минус дает
плюс». Предпоследнюю комбинацию знаков читают: «Ми-
нус на плюс дает минус».
Прочитайте все 4 комбинации знаков
в таблице.
Надо помнить, как ведут себя при умножении и деле-
нии особенные числа 1, —1 и 0. Свойства числа 1 вы
повторите, выполняя задание 139.19. А сейчас давайте
разберемся с числом —1. Нужно выяснить, чему будет
умножения
равен результат, если среди компонентов .......... есть
деления
— 1. Для этого рассмотрим примеры и применим сфор-
мулированные выше правила умножения и деления:
5.(_ 1)== _ (5.1)= _ 5; 5:(-1)=-(5:1)=-5;
(—1):5= —(1:5)= —L
И вообще верны такие утверждения:
_ один из множителей
Если ....................равен —1, то результат равен
делитель
другому множителю
числу, противоположному ...............
делимому
записанное формулами):
(см. то же,
а-(—1)= — а; (— 1)-а= — а.
а:(— 1)= —а.
Если делимое равно — 1, то частное противоположно
числу, обратному делителю, и обратно числу, противо-
положному делителю (см. то же, записанное формулами):
(—1):о= —(1 :<з)= 1:(—а), а=#0.
Сформулируем, наконец, свойства числа 0 при
умножении
делении
Если один из множителей равен 0, то произведение
равно 0.
Если делимое равно 0, а делитель — любое число,
отличное от 0, то частное равно 0.
Запишите эти свойства формулами.
Не забывайте, что на 0 делить нельзя!
397
(Урок 139)
Вопросы и задания
- Т7 умножить
139.1. Как ........ одно число на другое?
f разделить
1 on n TZ « произведение
139.2. Какой знак имеет ...........двух положительных
частное
чисел; двух отрицательных чисел; положительного числа на
отрицательное?
139.3. а) Произведение двух чисел положительно. Какими
могут быть знаки множителей? б) Произведение двух чисел
отрицательно. Какими должны быть знаки множителей? в) От-
ветьте на те же вопросы для частного двух чисел.
139.4. а) Какой знак имеет произведение трех отрицательных
чисел; четырех отрицательных чисел; пяти отрицательных чисел;
шести отрицательных чисел? б) Какое общее правило о знаке
произведения отрицательных чисел можно
сформулировать?
139.5. (У) Вычислите:
в а) (-7)-3; к) (-2)2; Ф) (—2,4):(—6);
б) (—2,1)-5; л) (- 2)3; х) 3:(-0,1);
в) 7-(-8); м) (- 5)2; и) (-6): 0,5;
г) (-9)-6; н) (-0,1)2; ч) (-2,4): 0,8;
д) (-6)-(-7); о) (-0,1); ш) О.(-2,32);
е) И-(-0,3); п) (-3,5): 7; щ) 6,23-(—1);
ж) (-1,2).(-2); р) (-6,3): 0,9; ы) 0:(—3,5);
з) (—I-)*14; с) 63:(-9); э) 4,2:(—1);
\ 7/ т) 56:(-7); ю) 1:(-1).
и) (-3).0,6; у) (-48):(-8);
139. 6. Вычислите:
а) (-3,15)-2,04; л) 4 ; Ф) ( “7 Тг) *9
б) (—18,6)-0,35; м) (_8б,1);2,46; 2 . ,,
в) 49-(-2,02); н) (-41,58):5,4; х> ~ 1 т) ’
г) (-41,02).(-1,3); о) (—49,44):4,8;
д) 2,Об-(-7,05); п)8,01:(-9); ц) (-2-L) - 1-L'
е) ( —7,2):0,036; р) 0,75:(-1,5);
(Урок 139) 398
Выполненное деление в примерах е), о) проверьте умножением,
а в примерах м), и) —делением.
139. 7. Замените сложение одинаковых слагаемых умножением
и вычислите значение выражения:
a) a + a + a + a^b + b-^b при а= —1,3 и 6 = 2,1;
б) х+у + * + У + х + У + х + у + х при х=3,5 и (/=—4,1.
139. 8. Заполните пустые клетки таблицы:
X 2,6 -7,2 -1,3 L3 -3,1 5,6 3,8
У — 3,7 -1,02 -27,1 — 1 — 1
*'У 6,5 -5,42 — 10,01 0 — 3,8 1
139. 9. В холодильной установке первоначальная температура
камеры 0°. Через 1 ч она стала — 2° и продолжает понижаться
с той же скоростью. Какой будет температура через 2 ч; 5 ч;
а ч?
139.1 0. Найдите значение выражения:
а) (2,3 —3,2)-(5,4 —4,5); г) (— 1,9) - 42:3.8;
б) (io-5f-8.5).(-4f+5i-) ; л) (-З-!.).^:!
в) (-2,7).((-2,3) +0,8-(-2,3)); / 2П., _L
ж) ((- 0,5): 1,25 + 1,4: (- 3,5) - (- 0,3)) • 2,2;
з) (( —2,75)—0,15 — 1,32): ((+- 1,75)+ 2,5+ 0,05);
и) (( —3,1)+(1,6)2):(( —2,1) —(—1,2));
к) (( —0,2)3+(—0,1)3):( —0,03).
139.1 1. Найдите значение выражения (х2 +1,1): (х — 1) при х =
= 3; -1; 0,3; 1,3; -1,5; 2; 4-; 0-
О *
139.1 2. Решите уравнение:
а) х-2,1 = —15,33;
б) х:3,9 =—6,08;
в) х-3,7—( — 2,9)=— 6,72;
г) х:2,4 +3,7=2.3;
д) (-0,37)-х= 11,1;
е) (—1,1)-х= —3,74;
ж) х: 16,7=—0,02;
з) х:(—1,72)=0,21;
и) 23,1 :х=—0,033;
к) ( —0,312):х= —2,6;
л) ( —9,8)-х = 490,98;
м) ( —х):5,7= 14,2;
н) 3-Ь(-х)=3-1-.
139.13. Сформулируйте переместительное свойство умноже-
ния, запишите его формулой, используя буквы а и 6, и проверьте
при следующих значениях букв: а) а =—2,3, 6=1,8; б) а =
= 14-’ * = —З-^; в) а =—5,2, b-------------0,6.
• yj
399 (Урок 139)
139.14. Сформулируйте сочетательное свойство умножения,
запишите его формулой, используя буквы х, у, 2, и проверьте
при следующих значениях букв: а) х=—3,2, у=1,8, г=—2,5;
б) х —2-^-, — 4-~-, z= — 1-|-; в) х=—0,3, у= — 2,5,
11 о и
2=—3,1.
139.15. Сформулируйте распределительные свойства умноже-
ния относительно сложения и вычитания, запишите эти свойства
формулами, используя буквы а, Ь и с, и проверьте при следующих
значениях букв: а) а——3,3, 6 = 0,6, с=— 2,1; б) а=^-1
у
139.16. Используя
простым способом:
а) 3,8-(-0,25)-4;
б) ( —2)-4.8-( —0,25);
свойства умножения, вычислите наиболее
л) (-24-).бЛ+(-2т)-2П;
е) (-3,7). 0,8+(-3,7). 0,2;
ж) ( —2,5).( —8,9)+1,5-( —8,9);
и) (-5,7)-3,02-(-2,6)-3,02;
к) (-1-Й-7-Ц—(-1-й,24-
' \ 15/ 13 \ 15/ 13
139.17. Упростите выражение и найдите его значение:
а) ( — 2,7)*а+ 3,6-а—( — 4,9)-а при а=1,2; —3,6; 0,5; —0,1;
б) 6,2.6+(-3,7)-6-(-5,9)-6 при 6 = —1; 0,7; —2,1, —3,7.
139.18. Решите уравнение:
а) ( — 3,1)-х + 2,6-х — 0,7-х = — 2,7;
б) 2,3*у—( —7,2)-у+(—1,5)*у = —2,4;
в) (-4,6)-2 + 5,2-г + (-0,8)-2 = 5,7;
г) 3,7 *т— 8,4 • т — (— 2,2) -т = 6,3.
139.19. Вам хорошо известны свойства числа 1, записанные
следующими формулами:
Эти свойства сохраняются и когда а — отрицательное число,
а) (У) Сформулируйте утверждения, записанные этими фор-
(Урок 139) 400
мулами, б) Проверьте каждое из них при а= — I; —
—-0,79; -10.
2
139.20. Найдите число, обратное числу —2; ——0,5;
— 2—.
11
139.21. (У) Младший брат Смекал кина догадался, что число
1 обратно самому себе, и загадал Смекалкину загадку: «Отга-
дай число, которое обратно самому себе». Смекалкин объяснил,
что среди положительных чисел отгадка только одна — число 1.
Но число, обратное самому себе, есть и среди отрицательных
чисел. Отгадайте, что это за число.
139.22. Вычислите значение выражения (— а):а при а = 3;
2 4
— 2; 0,6; —0,4; —; — 2 — . Какое правило можно сформулиро-
О г
вать? Запишите его формулой.
139.23. В 1986 г, в новые квартиры переехало 7,3 млн. чело-
век. Средний размер одной новой квартиры 57,1 м2, а всего таких
квартир было построено 2 млн. 71 тыс. Сколько квадратных мет-
ров жилой площади приходится в среднем на одного жителя в
новых квартирах? Сравните результат с ответом в задаче 81.3.
139.24 Родители купили Игорю новый аквариум. Его длина
80 см, ширина 52 см и высота 27 см. а) Сколько литров воды
вмещает этот аквариум? б) В старом аквариуме, длина которого
60 см, а ширина 58 см, вода налита до высоты 25 см. До какой
высоты будет заполнен новый аквариум, если в него перелить всю
воду из старого?
139.25. (У) (Старинная задача XVII в.) Юноша некий пошел
с Москвы к Вологде и идет на всякий день по 40 верст. А другой
пошел после его на следующий день, а на всякий день идет по
45 верст. Во сколько дней тот юноша догонит прежнего юношу,
сочти.
139.26. (У) Рассмотрите ряд равенств:
(— 1)‘= — 1; (— 1)2=1; (— 1)^= — 1; (—1)^=1; — .
Какое общее правило можно сформулировать? Вычислите:
(-1)", (_И)Г987> (_1)2000
401 (Урок 140)
*урок 140 «Сложенческо-умноженческий» словарь
Сейчас впору окинуть взглядом путь, который мы уже прошли,
изучая числа и действия с ними. В самом начале 5-го класса вы
имели дело только с натуральными числами. А теперь вы знаете, что
натуральные числа составляют лишь часть большого числового семей-
ства, называемого множеством рациональных чисел.
Какие еще виды рациональных чисел вы знаете?
° Вспомните, рациональные числа бывают целые и дробные, поло-
жительные и отрицательные; не забывайте и об особенном числе 0.
Изучая действия над числами, мы не раз обнаруживали похо-
жие свойства сложения и умножения, вычитания и деления. Напри-
мер, переместительный закон выполняется как для сложения, так и для
умножения; сочетательный закон выполняется как для сложения, так
и для умножения. И совместные свойства каждого из этих действий со
своим обратным (сложения с вычитанием, умножения с делением)
выглядят почти одинаково. Посмотрите, как похожи друг на друга
следующие формулы-двойники:
(а 4-6)—с=а+(6 — с), (а-Ь):с=а-(6:с).
Если в первой из этих формул заменить знак сложения на знак
умножения, а знак вычитания на знак деления, то получится как раз
вторая формула. И наоборот, если во второй формуле знаки умно-
жения и деления заменить на знаки сложения и вычитания, то по-
лучится первая формула. Значит, достаточно помнить одну из формул и
тогда без труда восстановишь другую. Можно представить себе, что мы
как бы переводим формулы с «языка сложения» на «язык умноже-
ния» и наоборот. При этом нужно не забывать, что если в языке
сложения вычитание умножения
встретилось , то в языке . нужно
умножения...................................................деление.сложения
делением
заменить его ..........
вычитанием
U Переведите формулу (а + Ю — а — Ь с языка сложения на язык
умножения, а формулу (а*а):а = а с языка умножения на язык
® сложения.
Таким способом можно немало формул переводить с языка сложения
на язык умножения и наоборот.
А формулу а-|-0=а тоже можно перевести с языка сложения
Wife на язык умножения?
Хороший вопрос! А ответ на него: можно. Только нужно дога-
даться, что при этом переводе число 0 заменяют на число 1. Полу-
чается известная всем формула а*1=а. Вот еще пример: если
формулу a'.fl-l перевести с языка умножения на язык сложения,
то получится формула а — а = 0.
(Урок 140)
402
Интересно! Наверное, можно составить такой словарь для пе-
ревода сложения на язык умножения? «Сложенческо-умножен-
ческий» словарь!
Неплохая идея. Давайте составим такой словарь. Оформим его
в виде таблицы из двух столбцов; в левом будем писать слова,
знаки и буквенные выражения, относящиеся к сложению, в правом
столбце — их переводы на язык умножения.
Язык сложения
Сложение
Сумма
а + Ь
Вычитание
Разность
а — b
Нуль
0
Противоположное число
— а
Кратное
а-2
а*3
Язык умножения
Умножение
•
Произведение
а ‘Ь
Деление
Частное
а:Ь
Единица
1
Обратное число
1
а
Степень
Наш «сложенческо-умноженческий» словарь немного похож на сло-
варь для перевода с одного языка на другой. Например, с английского
на русский — вы знаете, что такой словарь называют англо-русским.
Словарь для перевода с русского языка на английский называют
русско-английским. Если в составленном нами словаре переставить
столбцы, то получится «умноженческо-сложенческий» словарь; но пере-
ставлять столбцы, конечно, незачем — можно просто в нашем словаре
от записи в правом столбце переходить к записи в левом столбце.
Запишем, пользуясь составленным словарем, несколько пар важных
формул:
Язык сложения Язык умножения
а-\-Ь = Ь-^а а-Ь = Ъ*а
(a-h6)4-c = a4-(6-f-€) (a-b)-c=a-(b *с)
а4~0 = а а* 1 =а
а—0= а а: 1 =а
а — а = 0 а'.а— 1
0 — а= —а 1:а=— а
а + а = а*2 2 а • а = а
а-а-а = а3
403
(Урок 141)
Задания
140.1. Пользуясь «сложенческо-умноженческим» словарем, пере-
ведите следующие формулы:
а) с языка сложения на язык умножения:
[а—6)4-с=(а-|-с)— Ь; &4-6*2=/>-3; а*2 — а=а\ (&4-с)=(а— Ь)—с\
б) с языка умножения на язык сложения:
a*(b*. с)=(Д’Ь):с; b3:b = b2\ а:(Ь:с)=(а:Ь)-с; Ь4:Ь2 = Ь2.
140.2. Напишите на листке два буквенных выражения: первое на языке
сложения, второе на языке умножения. Передайте листок соседу по парте, и
пусть он переведет первое выражение на язык умножения, а второе — на язык
сложения. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.
140.3* . Объясните, почему верны следующие равенства, и переведите их с
языка сложения на язык умножения:
(а + ^)-2 = а-2 + />-2;
(а-Ь).2 = а-2^-2;
(а 4- Ь) • 3 — а • 3 + b • 3;
(а-2) *2 —а *4;
(а • 2) • 3 = а • 6;
(а*3)»2 = а-6.
Урок 141
Учимся рассуждать при решении задач.
Как планировать свои действия
Задача 1. В воскресенье Коля запланировал схо-
дить в музей. Расстояние от дома до музея 1 км. Туда и
обратно Коля решил идти пешком, туда со скоростью
4 км/ч, а обратно со скоростью 3 км/ч. В музее он пла-
нирует пробыть 2 ч, а вернуться хочет к 14 ч, чтобы успеть
посмотреть мультфильм по телевизору. Когда самое позд-
нее Коля должен выйти из дому?
Давайте рассуждать.
Сколько времени уйдет у Коли
на дорогу до музея?
Сколько времени уйдет на об-
ратную дорогу?
Сколько времени уйдет на до-
рогу туда и обратно?
Сколько времени уйдет на весь
поход в музей?
Делим расстояние на скорость:
<4*-
Действуем так же: 1:3=4~ (ч).
Складываем: -j—(ч).
В музее Коля по плану будет
2 ч, значит, всего времени уй-
и
а
7
Выразив 2 — ч в минутах, получаем 2 ч 35 мин (про-
А
верьте!). Чтобы вернуться к 14 ч, Коля должен выйтя из
дому не позже... (закончите предложение!).
(Урок 141) 404
Задача 2. Москвич Петров отправился в санаторий.
Самолет, на который он взял билет, вылетает в 21 ч
20 мин из аэропорта Домодедово. Регистрация пассажиров
в аэропорту начинается за 1,5 ч и заканчивается за
40 мин до вылета. До аэропорта Петров будет ехать
1 ч электричкой от Павелецкого вокзала. В вечернее время
электрички в аэропорт отправляются в 18 ч 38 мин, 19 ч
15 мин, 19 ч 41 мин и позднее. От своего дома до Павелец-
кого вокзала Петров добирается за 30 мин, на вокзал надо
прибыть за 15 мин до отправления электрички. Когда
самое позднее Петров может выйти из дому?
Давайте рассуждать. Прежде всего надо выяснить,
какая электричка годится Петрову. Если он поедет в 19 ч
41 мин, то прибудет в аэропорт в 20 ч 41 мин. В этот момент
до вылета останется 39 мин, регистрация закончится, т. е.
Петров опоздает. Значит, надо ехать более ранней элект-
ричкой. Годится ли та, что отправляется в 19 ч 15 мин?
Если Петров поедет на ней, то прибудет в аэропорт
в 20 ч 15 мин. В этот момент до вылета останется 1 ч 5 мин,
т. е. регистрация еще не закончится. Электричка в 19 ч
15 мин годится!
Перечитайте конец условия задачи и дайте
ответ на вопрос.
Конечно, тем более годится электричка в 18 ч 38 мин.
Тогда у Петрова будет дополнительный запас времени.
Сколько времени будет от прибытия электрички
в аэропорт до начала регистрации?
Задания
V 141.1. Коля закончил выполнять домашнее задание
J в 16 ч 10 мин. Вечером у него тренировка в спортзале.
Коля обдумывает, успеет ли он сходить в кино. В кино-
театре «Луч» ближайший сеанс в 17 ч 00 мин, в кино-
театре «Мир» — в 16 ч 30 мин. Фильм идет 1 ч 25 мин. От дома до
каждого кинотеатра идти 10 мин, до спортзала — 15 мин. а) Смо-
жет ли Коля посетить какой-нибудь кинотеатр, вернуться домой
и успеть на тренировку, если она начинается в 18 ч 00 мин. Если
да, то какой кинотеатр? б) Ответьте на те же вопросы при
условии, что начало тренировки в 18 ч 30 мин.
141.2. Врач в санатории рекомендовал Петрову проходить
каждый день пешком 10 км. Петров ходит со скоростью 4,5 км/ч
и до обеда тратит на ходьбу 1,5 ч. Чтобы выполнить дневную
норму, он ходит еще перед ужином до 18 ч 00 мин. а) Когда
самое позднее должен Петров начинать ходьбу перед ужином?
(Совет: результат вычисления разумно округлите.) б) Если он
405 (Урок 141)
начнет ходьбу в 16 ч 00 мин, то на сколько процентов он пере-
выполнит свою дневную норму? Ответ округлите до 1%.
141.3. Аня и ее родители любят пить чай. За день Анин папа
выпивает 4 стакана чаю, мама — 3 стакана, Аня — 2 стакана.
Воду для чая предварительно отстаивают в банке. Папа пьет
чай без сахара, мама кладет на стакан 1 чайную ложку сахар-
ного песку, Аня — 2 чайные ложки, а) Объем одного стакана
0,25 л. Вместится ли необходимая на день вода для чая в трех-
литровую банку? А в двухлитровую? б) Одна чайная ложка вме-
щает 10 г сахарного песку. Сколько сахара для чая надо купить,
чтобы его хватило на 4 недели? в) Ответьте на вопросы из
а) и б) при измененном условии: к Ане приехала погостить на
4 недели бабушка, которая выпивает за день 5 стаканов чаю
и кладет в стакан 2 чайные ложки сахарного песку.
141.4, а) Группа туристов из 13 мужчин и 8 женщин отправ-
ляется на неделю в поход в горы. Каждый мужчина за день
съедает 400 г хлеба, женщина — 300 г. Масса одной буханки хле-
ба 1 кг. Сколько хлеба должна взять с собой группа? б) Решите
такую же задачу, если в группе 7 мужчин и 4 женщины, но группа
идет на 2 недели.
141.5. Экипаж космического корабля состоит из двух мужчин
и одной женщины. Они будут находиться на орбите 40 дней.
Каждому мужчине на день требуется 1,5 л питьевой воды, жен-
щине— 1,4 л. Космонавты возьмут полуторный запас питьевой
воды. Сколько литров питьевой воды возьмут космонавты?
141.6. В Москве одна поездка
на любом виде городского транс-
порта — метро, трамвае, троллейбусе,
автобусе — стоит 5 к. Вместо того
чтобы оплачивать каждую поездку
по отдельности, можно сразу ку-
пить единый проездной билет на
месяц. Он стоит 6 р.
Москвич Петров подсчитал, что
каждый день он пользуется городским транспортом в среднем
4 раза, а) Что обойдется Петрову дешевле — оплачивать каждую
поездку в феврале по отдельности или купить на этот месяц
проездной билет? Зависит ли ответ от того, високосный год или
нет? б) Ответьте на тот же вопрос для марта и апреля.
141.7. На ежегодный ремонт одного старого станка завод тра-
тит в среднем 800 р. Более совершенный новый станок работает
в 2 раза производительней старого и будет работать без ремон-
та 5 лет. Но стоит дорого — 7500 р. Что обойдется заводу дешев-
ле — ремонтировать два старых станка или заменить их одним
новым?
ФЕВРАЛЬ
ЕД Ы й
1988
ЛК X; 0614946
W оргачнзяциЯ ii.ua 9 f>)A.
406
урок 142 Задания на повторение к § 15
Итак, вы научились выполнять действия над рацио-
нальными числами. Теперь нужно как следует трениро-
ваться, чтобы выполнять эти действия уверенно и быстро.
А на микрокалькуляторе рациональное число
можно набрать?
х
1ЧБЭ.ЧЭг7
МК 62 о
0 0 И 0 ЕЗ
CZ] И И El ЕЗ
0HH00
□ E10SEI
ЭЛЕКТРОНИКА
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить, ка-
кие числа вы уже умеете набирать на микрокалькуляторе.
Перечитайте ту часть объяснительного текста урока 63,
около которой нарисован микрокалькулятор.
Вы знаете, что на микрокалькуляторе
можно набирать положительные десятич-
ные дроби и нуль. Отрицательные деся-
тичные дроби тоже можно набирать (см.
рис. 216). Чтобы набрать на микрокаль-
куляторе отрицательное число, набирают
его модуль, а затем нажимают на кла-
вишу /—/ . Она называется клавишей
изменения знака числа. Если, например,
набрать число 10,38 и нажать клавишу
/—/ , то на индикаторе появится число
— 10,38. Правда, на некоторых микро-
калькуляторах оно изобразится непривычным для вас
образом: знак «минус» будет стоять не в начале числа, а
в конце. Если затем снова нажать клавишу /—/ , то на
табло вернется число 10,38. Значит, при нажатии клавиши
/—/ число заменяется противоположным ему числом.
Наберите на микрокалькуляторе число —3,27;
Рис. 216
и
—0,571; —2,03. Пронаблюдайте действие
клавиши /—/ , нажав ее несколько раз подряд.
Действия над отрицательными числами выполняются
на микрокалькуляторе так же, как и над положительными.
Некоторые задания этого урока вы по указанию учите-
ля будете выполнять на микрокалькуляторе.
Задания
142.1, (У) Вычислите:
а) 26 —( — 5); б) ( — 8)—14; в) 14+(-6); г) 19-26;
142)
д) ( —3)—(—8);
е) (_4)-Н-18);
ж) (-11)4-5;
з) (-6)4-11;
407
И) 2.(-8);
к) (—3)*9;
л) (-4Н-7);
м) ( —8)-(—6);
(Урок
Н) (—З)2;
о) 54: (—9);
п) (—36):3;
р) (—72):(—8).
142.2. Найдите значение выражения;
а>(17-7-):<-3>-61Т:(-6Тт)-
б) (7-8T')'2V”15:(т-т) ;
\ / 3 \ 7 8 / 4 \ . 1
В‘ \ 14/9 15 А 5 ) 12 ’
г) (4f-7)-’f+(4Т-6):|4--
Д) (—1,5):(—0,5)4-2,7:(—1,8);
е) (—3,6)-(—2,5)-|-12,96:(—1,6);
ж) (0,8 — 2,86:2,6)-(3,04 — 7,02).
142.3. Заполните пустые клетки таблицы:
X 2,7 — 2,4 4,2 -7,3 2,8 -4.3 -2,7 0 2,9 0
У 5,8 3,7 0,8 — 6,8 -1,5 0,8 -2,7 -3,1 0 1»7
|х— у\ +у
142.4. ("У) а) Вычислите значение выражения |х|:х при х=
= 2; 3; 0,5; —1,7; 2-^-; —3-^-. б)* Какой вывод о значениях
I 1 <5
выражения |х| :х можно сделать?
142.5» (У) Не выполняя действий, скажите, какой знак имеет
значение числового выражения:
а) (-3,1).(-2,1).(-1)«2,6.(-5,2).(-1,1).4,1 •( —-(-0,2);
б) (- 1,2):6,3.(-3,7):(-2,5). 1£:(--1-).(-7):(-3,2);
в) б,8.(-2,3).(-3,7).(-4,2):6,3:(-2,9):(-1):(-5);
г) (-3,4).(-7,2):6,1:(-3,2):(-2).(-1,5).(-3,9):(—L-)
142.6. Решите уравнение:
а) 3,2.х4-(-1,2)-х4-2,7=-4,9;
б) ( — 5,6)* у 4" 2,9* у —3,86=—9,8;
в) —z—2,8*z4-3,7=—0,14;
г) 3,5«х—( —3,1)-х—1,9= -1,73;
Д) (-1,9)-у4-3,5-у4-2,8 = 4,2;
е) 2,5-z4-(—3,4)-z —5,2= — 3,94.
(Урок 142) 408
142.7. (У) Сумма трех слагаемых равна одному из них.
Как связаны между собой два других слагаемых?
142.8. (У) Произведение трех чисел отрицательно. Какими
могут быть знаки множителей?
142.9. Запишите сумму всех целых чисел, начиная с самого
большого двузначного отрицательного числа и кончая самым
маленьким двузначным положительным числом. Устно вычисли-
те ее.
142.10. Верно ли, что |а| +а = 2-а для любого числа а?
142.11. Объясните равенство (—1)3= — 1. Есть ли еще какое-
нибудь число, куб которого равен самому числу?
142.12. В хоккейном турнире на приз газеты «Известия» в
1986 г. участвовало 5 команд.
а) Заполните пустые клетки в итоговой таблице турнира:
Команды СССР Канада , Швеция Чехосло- вакия Финлян- дия
Число заброшенных шайб 14 11 8
Число пропущенных шайб 4 13 9 12
Разность заброшенных и про- пущенных шайб — 4 1 — 2
б) Найдите сумму чисел в последней строке таблицы. Можно
ли было предсказать ответ, не заполняя эту строку?
142.13. При увеличении температуры на 1° столбик ртути в
термометре поднимается на 2 мм. При температуре 0° длина
столбика ртути 37 мм. Запишите формулой зависимость длины I
столбика ртути от температуры t. Найдите значение / при t =
+ 6°; — 3°; +20°; —12°; 0°.
142.14. По своему дневнику наблюдений природы вычислите
среднемесячную температуру в вашей местности за январь, фев-
раль, март.
142.15. Понижение среднемесячной температуры на 1° увели-
чивает расход топлива для обогрева жилых помещений на 0,5%.
а) На отопление 16-этажного дома в ноябре потребовалось 83 т
топлива. Синоптики предсказывают, что среднемесячная темпера-
тура в декабре будет на 8,2° ниже, чем в ноябре. Сколько тонн
топлива надо запасти для этого дома на декабрь? б) В зада-
че 142.14 вы нашли среднемесячную температуру в январе и
феврале. В какой из этих месяцев расход топлива был боль-
ше и на сколько процентов?
142.16. (У) а) Смекалкин спросил младшего брата: «Какой
знак имеет квадрат отрицательного числа?» Брат удивился: «Как
же ответить на этот вопрос, если неизвестно, какое именно
число?!» Смекалкин объяснил, что ответ здесь не зависит от выбо-
ра числа. Ответьте на вопрос Смекалкина.
409 (Урок 143)
б) Какой знак имеет куб отрицательного числа? А четвертая
степень? А пятая?
в)* Какое общее правило можно сформулировать?
142Л7*. (Загадки.) а) Младший брат Смекалкина загадал
загадку: «Какое число в квадрате равно 9?» Смекалкин объяснил,
что среди натуральных чисел есть только одна отгадка — число 3.
Но среди отрицательных чисел есть еще одна отгадка. Какая
именно? б) Какие числа могут скрываться за буквой а, если а2 =
= 25? А если а2 = 121?
142.18*. а) Можно ли в клетки таблицы, содержащей 3
строки и 3 столбца (рис. 217), так записать числа —1, 2,
— 3, 4, —5, 6, —7, 8, —9 (по одному числу в каждую
клетку), чтобы их произведения в любой строке, любом стол-
бце и любой диагонали были отрицательными?
б) Можно ли те же числа в ту же таблицу запи-
сать так, чтобы все указанные в пункте а) произведения
были положительными? Ответ объясните. (Совет: поразмыш-
ляйте о знаке произведения всех чисел, если допустить,
что требуемое заполнение таблицы возможно.)
§ 16. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
В 5-м классе вы познакомились с десятичными дробя-
ми. При выполнении арифметических действий они удоб-
нее обыкновенных дробей. Вы помните, что для превра-
щения обыкновенной дроби в десятичную числитель дроби
делят на знаменатель. Однако может случиться так, что
это деление будет продолжаться без конца. Как узнать,
закончится ли деление? Что будет получаться, если деле-
ние придется выполнять без конца? Для чего может при-
годиться результат такого деления? На эти вопросы мы и
ответим в § 16.
Урок 143 Что такое бесконечная десятичная дробь
2
Однажды Смекалкин решил записать — десятичной
о
дробью. Он знал, что для этого нужно числитель делить на
знаменатель, и начал выполнять деление. Вычислив не-
сколько цифр частного, Смекалкин увидел закономер-
ность, с которой эти цифры появляются.
2 3
"18 0,666...
__ 20
18
“20
“ 18
“20
(Урок 143) 410
А вы догадались, какие цифры будут все время
с/ появляться?
Видно, что в частном будут получаться одни шестерки.
Но ведь так можно продолжать без конца!
Вот-вот. Поэтому получающуюся дробь и называют бес-
конечной десятичной дробью. Записать ее полностью не-
возможно. Так что где-то придется оборвать запись и
поставить многоточие. Надо только, чтобы была понятна
закономерность, с которой цифры идут друг за другом. Для
дроби мы обнаружили выше такую закономерность.
Можно записать: -^-=0,666666....
W
Бесконечные десятичные дроби — это тоже числа. Их
можно складывать и вычитать, умножать и делить, срав-
нивать между собой. Сравнивают их по тому же правилу,
что и конечные (т. е. обычные) десятичные дроби. Напри-
мер, 10,63186318... > 10,631846318..., так как в разряде
стотысячных долей у первого числа стоит цифра 6, а у
второго — 4.
Давайте отбросим в бесконечной десятичной дроби все
цифры, начиная с некоторого разряда. У нас получится
конечная десятичная дробь. Например, из дроби 0,666666...
можно получить конечные дроби 0,6; 0,66; 0,666; 0,6666; ... .
Говорят, что каждая из них — приближение с недостат-
ком данной бесконечной десятичной дроби. Из этих при-
ближений можно выстроить бесконечную цепочку нера-
венств: 0,6<0,66<0,666<0,6666<.... Каждая дробь в
цепочке меньше данного числа 0,666666...; и чем больше
цифр содержит дробь, тем она ближе к этому числу.
Теперь снова отбросим в бесконечной десятичной дро-
би все цифры, начиная с некоторого разряда, но послед-
нюю цифру увеличим на единицу. Тогда мы опять полу-
чим конечную десятичную дробь. Она будет больше дан-
ной бесконечной десятичной дроби. Ее называют прибли-
жением с избытком. Например, для числа 0,666666...
дроби 0,7; 0,67; 0,667; ... — приближения с избытком. Каж-
дая из этих дробей больше числа 0,666666...; и чем
больше цифр содержит дробь, тем она ближе к это-
му числу.
Итак, что же мы поняли? Вот что: чем больше цифр
взято в приближении данного числа, тем ближе получаю-
щаяся конечная десятичная дробь к данному числу.
Помня, что -^-=0,666666..., мы можем получить много
приближенных равенств. Несколько из них записано в
следующей таблице, где указано, с точностью до каких до-
лей получается каждое приближение.
411
(Урок 143)
Приближение С точностью
до десятых до сотых до тысячных
С недостатком О 4«о.бб о 4 «о.ббб
С избытком 4«°-б) 7 о ~ «0,67 О 4 «0,667 и
Вопросы и задания
О 143.1. Как получается приближение бесконечной деся-
и тичной дроби с недостатком; с избытком?
Т 143.2. Запишите обыкновенную дробь бесконечной де-
сятичной дробью, вычислив шесть цифр после запятой.
Объясните (устно), с какой закономерностью идут цифры
1 1 5
в получающейся десятичной дроби: а) —; б) —; в) —;
oil
. 43 1 16 .37 о 8 X Л 2
г) 1П . д) 9 » €) 18 » Ж) 2 15 » з) 9 7 .
143.3. Для каждого из чисел, указанных в задании 143.2,
составьте таблицу приближений с точностью до десятых, до
сотых, до тысячных. (См. образец такой таблицы в объяснитель-
ном тексте.)
143.4. Сравните числа:
а) 3,737373... и 3,767676...; в) —0,1845 и —0,184184184...;
б) 6,821821... и 6,8218; г) 7,315315... и 7,315316.
143.5. Сравните числа:
а) 0,545545545... ив) 7-^ и 7,65765765...;
1 1 1о
б) -2-1-и —2,21221221...; г)* 1,2121212... и 1^-.
У Оо
143.6. Расположите числа в порядке возрастания: 0,466;
4?; 0,4636363...; 0,463736; 0,4656565... .
143.7. (У) Объясните, с какой закономерностью идут цифры в
бесконечной десятичной дроби:
а) 0,383838383...; г)* 0,1010010001000010 ...;
б) 42,2912912912...; д)* 1,252255222555222255...;
в) 5,328717717717...; е)* 0,410414104141410414... .
Назовите в каждом примере три последующие цифры.
412
144 «як узнать, какой десятичной дробью
может быть выражено рациональное число
Вы давно знаете, что некоторые обыкновенные дроби
записываются в виде конечных десятичных дробей. Напри-
мер, -4=0,5; -4=1.75; 44 =0,112. В уроке 143 выясни-
лось, что есть такие обыкновенные дроби, которые можно
выразить только бесконечной десятичной дробью. Нельзя
ли сразу, глядя на дробь, сказать, какая десятичная
дробь из нее получится — конечная или бесконечная?
Оказывается, можно. Как это делать, мы и хотим сейчас
объяснить.
Если знаменатель дроби — степень числа 10, то такую
дробь легко записать в виде десятичной.
Запишите десятичными дробями
1UV 1 vUv 1 vvLF UUU
На какие простые множители разлагается степень
числа 10? Ясно, что этими множителями могут быть только
числа 5 и 2. Ведь 10=2*5; 100=2-2-5-5; 1000=2-2-2Х
Х5-5-5 и т. д. Заметьте, что в каждом произведении
здесь количество множителей 2 и 5 одинаково. Значит,
знаменатель обыкновенной дроби будет степенью числа 10,
если его простые множители — числа 2 и 5, причем их
поровну.
А если количество множителей 2 и 5 в знаменателе
3 3
неодинаково? Например, — =——— . Домножим чис-
литель и знаменатель на 5-5-5. Тогда дробь не изме-
нится (помните основное свойство дроби?), но в знаме-
3
нателе двоек и пятерок станет поровну: ———
z*^*z*z*v
2«2*2-2-5*5-5’5 10 000 *
Точно так же можно поступить с любой дробью, у зна-
менателя которой простые множители только числа 2 и 5.
Сделаем вывод:
ЕСЛИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ОБЫКНОВЕННОЙ
ДРОБИ НЕТ ПРОСТЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ, КРОМЕ 2 И 5,
ТО ОНА ЗАПИСЫВАЕТСЯ КОНЕЧНОЙ ДЕСЯТИЧНОЙ
ДРОБЬЮ.
Можно ли дробь 4- записать конечной десятичной
о
дробью? Можно: — =0,5, А ведь у знаменателя 6 есть
413 (Урок 144)
простой множитель 3. Но легко заметить, что эту дробь
можно сократить; получится Множитель 3 в знамена-
теле исчез!
А если в знаменателе дроби никаким сокращением
нельзя избавиться от простых множителей, отличных от
2 и 5? Тогда ясно, что такую обыкновенную дробь не
удастся записать конечной десятичной дробью. Итак,
ЕСЛИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ НЕСОКРАТИМОЙ ОБЫК-
НОВЕННОЙ ДРОБИ ИМЕЮТСЯ ПРОСТЫЕ МНОЖИ-
ТЕЛИ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ 2 И 5, ТО ЭТУ ДРОБЬ МОЖНО
ВЫРАЗИТЬ ТОЛЬКО БЕСКОНЕЧНОЙ ДЕСЯТИЧНОЙ
ДРОБЬЮ.
Вопросы и задания
4^ 144.1. Когда обыкновенная дробь записывается конеч-
g ной десятичной дробью?
144.2. Когда несократимую обыкновенную дробь нельзя
записать конечной десятичной дробью? Какой десятичной дробью
в этом случае ее можно выразить?
144.3. (У) Не выполняя деления, скажите, конечной
или бесконечной десятичной дробью можно выразить дан-
ную обыкновенную дробь:
х 3 х 1 ч 41 ч 31 ч 2 v 1 562
а) 5 ’ В) 6 ’ 49 ’ 80 ’ И) 6 ’ Л) 123’ Н) 1344’
7 ч 13 х 17. s 8 к 6 ч 33 ч* 942
6) 4 ’ Г) 26 * е) 20 ’ 3) 75 ’ К) 9 ’ М) 576’ 1344’
144.4. Приведите дробь к знаменателю, являющемуся сте-
пенью числа 10:
. 3 11 ч 15 ч 13 ч 60 ч 45 . ч 49
4 ’ 6) 25 ’ В) 16 ’ Г) 50 ’ 125 ’ е) 72 ’ 245
144.5. Выполните действия. (Совет: там, где возможно, за-
мените обыкновенные дроби десятичными, а в остальных приме-
рах, наоборот, десятичные дроби замените обыкновенными.)
а) (24-2-|—О,з) :0,6; в) 9,6-2-1—(2,125-if):f;
\ 4 о / Z \ IZ/4
б> (А-2'18)(М-+0'2) • г>
144.6. Найдите значение выражения:
а) (-4+0,8-if) .(2,34-4^— 1,28) ;
б) (3f+0,25-lf):(3f-2f+0,75):l||;
(Урок 145) 414
144.7. Найдите значение выражения 2,7-с2— 3,5: с при
с=0,1; 0,7; -2; 1~; -0,9; 1^-.
О о о
урок 145 Зачем нужны бесконечные десятичные дроби
Результаты измерения величин часто записывают ко-
нечными десятичными дробями. Но оказывается, что не
всегда длина отрезка выражается конечной десятичной
дробью. Чтобы показать вам, как это может произойти,
мы расскажем об одном знаменитом открытии. Его дав-
ным-давно, в VI в. до н. э., сделал греческий мате-
матик Пифагор.
Представьте, что дан квадрат со стороной 1 м и нужно
измерить длину d его диагонали АВ (рис. 218, а). Если к
диагонали приложить большую линейку, то сразу будет
видно, что d ^1,4 м. В действительности точка В попадет
между черточками, обозначающими 1,4 м и 1,5 м,
т. е. выполняется двойное неравенство 1,4 мCd<1,5 м.
Используя сантиметровые деления, можно увидеть, что
выполняется более точное неравенство 1,41 M<d< 1,42 м.
Если же на линейке есть и миллиметровые деления, то
мы обнаружили бы, что 1,414 M<d< 1,415 м. Это видно
на рисунке 218, б, где в большом круге показано уве-
личенное изображение маленького круга. Давайте пред-
ставим, что на нашей линейке есть сколь угодно мел-
кие деления, т. е. каждый миллиметр разделен на 10 но-
вых частей, каждая новая часть — на 10 других и т. д. без
конца.
В каком случае длину отрезка АВ удалось бы запи-
сать конечной десятичной дробью? Вот в каком: если бы от-
415
(Урок 145)
резок содержал целое число каких-нибудь мелких делений.
Тогда точка В попала бы на черточку, которой закан-
чивается одно из таких делений. Но в нашем случае
точка В никогда не попадет на черточку, какими бы мел-
кими ни были деления! Именно такое свойство диаго-
нали квадрата и открыл когда-то Пифагор.
Продолжая измерять, мы обнаружили бы, что выпол-
няются такие двойные неравенства:
1,4142 м
d< 1,4143 м,
1,41421 м <d< 1,41422 м,
1,414213 м <d<l,414214 м,
1,4142135 м <d< 1,4142136 м
и т. д. Но это означает, что числовое значение d выра-
жается бесконечной десятичной дробью 1,4142135... .
То, что d нельзя записать конечной десятичной дробью,
вы сможете доказать в 8-м классе.
В 5-м классе вы познакомились с числом л (посмотри-
те-ка урок 86). Его приближенное значение с точностью до
сотых вы знаете.
Назовите его.
Число л тоже можно выразить только бесконечной
десятичной дробью. Вот как выглядит число л с первыми
десятью знаками после запятой: л = 3,1415926535... .
Решая задачу 143.2, вы сформулировали закономерности, с кото-
рыми идут цифры в записях полученных вами десятичных дробей.
Посмотрите свои записи. Они выглядят, скорее всего, так:
1 43
а) — = 0,333333...; г) — = 0,387387...;
О lit
б) -1 = 0,090909...; д) ^=1,777777...;
1 1 кЛ
в) ^ = 0,185185...; е) Ц= 2,055555....
27 1 о
Легко заметить, что в каждом примере одна цифра или группа
цифр начинает повторяться с некоторого места. Такую повторяющуюся
группу цифр называют периодом бесконечной десятичной дроби, а саму
дробь называют периодической. Конечную десятичную дробь тоже можно
считать периодической — ее период состоит из нуля. Например, 3,7=
=3,70000000... .
А всякое ли число можно записать периодической дробью?
Это очень интересный вопрос. В старших классах вы докажете,
что каждое рациональное число можно записать периодической деся-
тичной дробью. И наоборот, если число записано периодической де-
сятичной дробью, то оно рациональное. Но, кроме рациональных чисел,
есть еще и другие числа. Именно это обнаружил Пифагор. Он доказал
удивительную вещь: оказывается, длину диагонали единичного квад-
рата нельзя записать рациональным числом! А бесконечной десятичной
дробью ее записать можно (см. начало этого урока). Точно так же
нельзя записать периодической дробью число л.
416
(Урок. 145)
Задания
V 145.1. В объяснительном тексте мы указали несколько
приближений с недостатком и с избытком для числа d —
длины диагонали квадрата со стороной 1 м. В левый
столбец таблицы записаны приближения с недостатком, в пра-
вый — с избытком, а) В средние столбцы запишите квадраты
этих приближений, б) Какое целое число можно расположить
между квадратами приближений из каждой строки?
1,4 1,96 2,25 1.5
1,41 1,42
1,414 1,415
1,4142 1,4143
145.2. (У) На рисунке 219 в некотором масштабе изображен
квадрат ACBD со стороной 1 м. а) Чему равна площадь квад-
рата ABMN? б) Обозначим буквой d длину диагонали АВ. Чему
равно значение величины d2? в) Сравните ответ из б) с отве-
том задания 145.1 б).
145.3. Катеты прямоугольных треугольников в углах большого
квадрата на рисунке 220 имеют длины 1 см и 2 см. Измерьте
длину а гипотенузы одного треугольника. Чему равно а2?
Рис. 219
Рис. 220
145.4. (У) Рассмотрите рисунок 220. Догадайтесь, как, не
измеряя, найти: а) площадь одного треугольника; б) площадь
маленького (пунктирного) квадрата; в) площадь большого квад-
рата; г)* площадь среднего квадрата; это точное значение
величины а2 из задания 145.3. Чему оно равно? Сравните с отве-
том в 145.3.
145.5. а) Греческий математик Архимед в Ш в, до н. э. об-
наружил, что для числа л выполняется двойное неравенство
Зур<л<3-|~. Проверьте это неравенство. (Совет: выразите
числа 3— и 3— бесконечными десятичными дрооями, вычислив
для каждого из них четыре цифры после запятой.)
417 (Урок 146)
б) Индийский математик Ариабхата в V в. писал: «Прибавь
4 к 100, умножь на 8 и прибавь ко всему этому 62 000. То, что
получишь,— приближенное значение длины окружности, если ее
диаметр 20 000». Найдите приближение числа л, указанное Ариаб-
хатой, Какое это приближение (с недостатком или с избытком)
и с какой точностью?
в) Китайский математик Цзу-Чунчжи в V в. предложил для
355
л приближенное значение угг-. Вычислите первые восемь цифр
десятичной дроби, получающейся при делении 355 на 113. Сколько
одинаковых первых цифр у этого приближения и у числа л?
145.6. (У) Определите, какие из десятичных дробей, перечис-
ленных в задании 143.7, периодичны, а какие нет. Ответ объясни-
те.
Урок 146 Учимся рассуждать при решении задач.
Когда в условии задачи
данных недостаточно
Задача 1. Юре дали почитать книгу на 3 дня. Он ре-
шил прочитывать каждый день одно и то же число
страниц. Читает Юра со скоростью в среднем 1 страница
за 2,5 мин. Сколько времени он будет тратить ежеднев-
но на чтение этой книги?
Давайте рассуждать. Если Юра будет прочитывать за
день а страниц, то на их чтение потратит 2,5*а (мин).
Чтобы найти число а, нужно число страниц в книге раз-
делить на 3. Так что для решения задачи требуется
знать число страниц в книге.
Дано ли это в условии задачи?
Нет, не дано. Видим, что данных в условии недостаточно
и, значит, решить задачу с таким условием нельзя. Такие
задачи с неполным условием называют неопределенными.
Чтобы задача стала определенной, нужно добавить в
ее условие недостающие данные. В задаче 1 таким данным
должно быть число страниц в книге. Давайте решим не-
сколько вариантов этой задачи с дополненным условием.
а) В книге 150 страниц.
Решите задачу 1 в этом варианте устно.
Выразите ответ в часах и минутах.
б) В книге 200 страниц.
Решение. Чтобы узнать, сколько страниц будет
прочитывать Юра за день, разделим 200 на 3. Получится
9 2
66— (проверьте!). В уроке 143 мы выразили — беско-
3 з
14 Учебник-собеседник
(Урок 146) 418
2
нечной десятичной дробью 0,666666... . Так что 66—=
о
= 66,666666... . В задаче 1 особая точность не нужна,
поэтому будет разумно округлить найденное число до це-
лых. Получим приближенное равенство: 66—^67. Можно
считать, что Юра ежедневно должен прочитывать 67 стра-
ниц. Сколько времени он на это потратит? Умножаем:
2,5*67 = ... .
Выполните умножение. Округлите результат
до целых. Найденный ответ (в мин) выразите
затем в часах и минутах.
Задача 2. Игорь купил книжку за 40 к., а потом еще
два одинаковых блокнота. Сколько денег у него оста-
лось?
Каких данных недостает в условии?
Легко понять, что здесь недостает двух данных: 1) цены
одного блокнота; 2) первоначальной суммы денег у Игоря.
Решите задачу 2 (устно) в каждом из
следующих вариантов: а) блокнот стоит 15 к.,
а у Игоря было 80 к.; б) блокнот стоит
30 к., а у Игоря был 1 р.
На практике неопределенные задачи встречаются не-
редко. Чтобы применить к практической задаче математи-
ку и решить задачу, нужно хорошенько продумать ее
условие и понять, достаточно ли в нем данных. Если
данных недостаточно, то надо постараться дополнить
условие необходимыми данными.
В задания к этому уроку мы включили несколько
таких неопределенных задач. Прочитав условие каждой
задачи, прежде всего подумайте, достаточно ли в нем дан
ных; если нет, то каких именно данных недостает. Затем
дополните условие нужными данными: либо придумайте
их (правдоподобно), либо спросите у взрослых, какими
могут быть эти данные, либо получите сведения из под-
ходящих книг.
Задания
VI 46.1. Определите среднюю скорость своего чтения.
Представьте, что вам дали почитать книгу в 320 страниц,
а) За сколько дней вы ее прочитаете, если будете читать
1,5 ч каждый день? б) Если книгу необходимо прочитать равными
порциями за 3 дня, то сколько времени придется ежедневно
тратить на чтение?
419 (Урок 147)
146.2. На автомашине нужно проехать по шоссе 400 км, сделав
две остановки: для заправки бензином и для обеда. Сколько вре-
мени отнимет поездка?
146.3. С двух полей собрали урожай пшеницы; с одного —
360 т, с другого — 400 т. На каком поле урожайность выше?
146.4. Изучая географию, вы узнали, что температура воды в
морях и океанах понижается с глубиной. Какая будет темпера-
тура на глубине 3000 м, если на глубине 1000 м она 15°? (Со-
вет: недостающие данные можно найти в § 27 учебника «Физи-
ческая география».)
146.5. На капустной грядке растет 20 кочанов. Их раз в день
поливают водой, 60% которой капуста затем испаряет. Сколько
воды надо на ежедневный полив этой капустной грядки? (Со-
вет: данные о количестве воды, испаряемой одним кочаном, можно
найти в § 35 учебника «Ботаника».)
146.6. Представьте, что 20 апреля в 6.00 запущен очередной
спутник. Сколько оборотов вокруг Земли сделает он до полудня
1 мая?
146.7. Придумайте задачу с недостающими данными и предло-
жите соседу по парте решить ее. Обсудите с ним его решение.
146.8* Открывая 1-е отделение, клоун объявил, что
позавчера в цирк привезли несколько обезьянок, вчера
привезли еще столько же обезьянок, а сегодня еще одну.
Половина всех обезьянок выступит в 1-м отделении, поло-
вина — во 2-м. «Сколько обезьянок выступит в каждом
отделении?» — спросил клоун. Публика смеялась: все понимали,
что на вопрос клоуна ответить нельзя. Как ни добавляй здесь
недостающие данные, общее число обезьянок не разделить на
две равные части. Объясните почему. (Совет: обозначьте буквой
число обезьянок, привезенных в первый раз.)
Урок 147
Задания на повторение к § 16
f 147.1. Выразите число бесконечной десятичной дробью,
вычислив семь ее цифр. Объясните (устно), с какой зако-
в номерностью идут цифры в получающейся десятичной
дроби.
• V 2 7 . 12 х 4 X 7 . V 25 . \ 6 .
а) 'д-; б) и; в) 37; г) 3 , д) 30, е) 22, ж) 1645»
з)
41
333 ’
147.2. Для каждого из чисел, указанных в задании 147.1,
составьте таблицу приближений с точностью до десятых; до
сотых; до тысячных. (Совет: см. образец такой таблицы в объясни-
тельном тексте урока 143.)
(Большая перемена V) 420
147.3. Найдите какую-нибудь конечную десятичную дробь,
расположенную между двумя данными числами:
а) Зу-вЗу; ,б) -1„ -f; в) 2^ и 2^; г) -|£ и
(Совет: выразите каждое число бесконечной десятичной дробью.
Подумайте, сколько цифр после запятой достаточно вычислить в
каждом примере.)
147.4. Найдите значение выражения:
а) 5-(14,7:(—0,75 —0,7:2^-)—0,15)- 101,26;
6) -5,13:(5^-lf.l,25+l§);
в) (З—• L9+ 19,5.4—) .(— 25) ,
г) (-0,5-4-) :(-3)+-А—(—М:(-2);
\ * / о \ и /
д) (^-1,И8)4:((з^-6^).24).
147.5* (У) Выясните, с какой закономерностью идут цифры в
десятичной дроби: а) 0,123456789101112...; б) 0,1491625364964...;
в) 0,182764125216....
147.6*. Клоун предложил в слове «шалаши» каждую
hVL букву заменить цифрой так, чтобы выполнялось равен-
ство ш:а —л,аши (одинаковые буквы заменяются одинако-
выми цифрами, разные — разными). Сделайте то, что
предложил клоун.
Большая перемена V
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ ДРЕВНОСТИ И СРЕДНЕВЕКОВЬЯ
Мы уже не раз сравнивали работу над учебником с путешествием
по стране Математике. Но кто был первооткрывателем этой замеча-
тельной страны, кто проложил дорогу, по которой вы сейчас путе-
шествуете? Это сделали ученые-математики. О самых знаменитых из них
мы и расскажем сейчас.
Самые ранние математические открытия были сделаны еще 40 ве-
ков назад в Древнем Египте и Вавилоне. К сожалению, история не
сохранила имен великих математиков того времени. Первые ученые-
математики, сведения о которых дошли до нас, жили в VI в. до
н. э. в Древней Греции. Это Фалес (624—548 гг. до н. э.) иПифагор
(570—500 гг. до н. э.). Фалес в молодости много путешествовал
и познакомился с математикой Египта и Вавилона. Затем он сам сделал
важные математические открытия. Например, именно Фалес установил,
что диаметр делит окружность на две равные половины (мы обсужда-
ли это в уроке 86). Он же открыл, что у всякого равнобедренного
треугольника равны величины углов при основании. Это свойство вы
будете изучать в 7-м классе.
421
(Большая перемена V)
Фалес
Пифагор
Пифагор обнаружил, что сумма вели-
чин углов треугольника равна 180° (см.
урок 90, задание 90.6). Он же нашел
три первых совершенных числа: 6, 28
и 496 (см. урок 107, задание 107.6).
Об одном замечательном открытии Пифа-
гора мы рассказали в уроке 145. Но са-
мое знаменитое открытие Пифагора вам
предстоит изучить в 8-м классе. Оно сос-
тоит в том, что площадь квадрата, пост-
роенного на гипотенузе любого прямо-
угольного треугольника, равна сумме пло-
щадей квадратов, построенных на кате-
тах того же треугольника (рис. 221).
Это свойство именуют теоремой Пифа-
гора.
Своего наивысшего расцвета наука
Древней Греции достигла в IV—III вв. до
н. э. Знаменитый ученый
Евклид (340—287 гг. до н.э.) свел воедино все открытия греческих
математиков в 13 книгах под общим заглавием «Начала». Это
Евклид
Архимед
(Большая перемена V)
422
грандиозное научное сочинение служило энциклопедией математических
знаний и учебником на протяжении двух тысячелетий, да и позднее
не утратило своего значения. С момента изобретения книгопечатания
«Начала» издавались в разных странах более тысячи раз. Многие
сведения, упомянутые в нашем учебнике, впервые появились именно
в «Началах». Например, свойство, что ряд простых чисел бесконечен
(см. урок 103), — это 20-е предложение IX книги «Начал».
Величайшим ученым древности был Архимед (287—212 гг. до
н. э.). Он открыл ряд важнейших законов природы, о которых вы
узнаете в 7-м классе, когда начнется новый учебный предмет физика.
Но самыми важными были открытия Архимеда в математике. Мы уже
рассказывали о том, как точно вычислил Архимед знаменитое число л
(урок 145, задание 145.5). Он же первым изобрел способ, как с по-
мощью позиционной нумерации записывать любые, сколь угодно огром-
ные натуральные числа. Архимед нашел также площади и объемы мно-
гих важных геометрических фигур и тел. Эти открытия Архимеда
опередили свое время и были поняты только 19 веков спустя. Вы
Аль-Хорезми
когда будете изучать
техники.
познакомитесь с ними в старших классах.
В средние века значительных успе-
хов в математике достигли ученые Сред-
ней Азии. Величайшим математиком того
времени был Мухаммед бен Муса
(783—850 гг.), больше известный как аль-
Хорезми (т. е. уроженец Хорезма в
Узбекистане). Именно его трудам мы
обязаны повсеместному распространению
индийской позиционной десятичной нуме-
рации. В книге «Об индийском счете» аль-
Хорезми изложил правила записи чи-
сел с помощью арабских цифр и пра-
вила действий с ними «столбиком», зна-
комые теперь каждому. В XII в. эта
книга была переведена на латинский язык
и получила широкое распространение в
Европе. Любопытно, что от латинского на-
писания имени аль-Хорезми возникло впо-
следствии слово «алгоритм», обозначающее
теперь одно из важнейших понятий ма-
тематики. С этим понятием вы познакомитесь,
предмет основы информатики и вычислительной
Другая знаменитая книга аль-Хорезми посвящена решению уравне-
ний. Она называется «Китаб аль-джебр валь мукабала», т. е. «Книга
о восстановлении и противопоставлении». Восстановлением аль-Хорезми
называл перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, а
противопоставлением — приведение подобных членов. Мы обсудим эти
приемы решения уравнений в § 18. И вторая книга аль-Хорезми стала
известна европейцам, а от слова «аль-джебр» из ее заглавия возник-
ло слово «алгебра» — название одной из главных частей математики
Мы рассказали об ученых, заложивших фундамент математики
Математики нового времени воздвигли на этом фундаменте велико-
лепный дворец современной математической науки, верхние этажи кото-
рого продолжают расти на наших глазах. Мысленно обозревая этот дво-
рец, не устаешь восхищаться величием человеческой мысли и сме-
лостью человеческой фантазии!
Большой вклад в развитие математической науки внесли матема-
тики нашей страны. О некоторых из них мы расскажем в последней,
VI большой перемене.
423
(Большая перемена V)
Задания
ГУ.1. Древнегреческий историк Геродот рассказывает, что Фалес
предсказал солнечное затмение в Малой Азии в 585 г. до н. э. Солнеч-
ные затмения повторяются в данной точке Земли каждые 1244 года.
Предскажите, в каком году в Малой Азии состоится очередное солнеч-
ное затмение. (Совет: учтите, что года с номером 0 не было, поэтому если запи-
сать годы до н. э. с помощью отрицательных чисел, то 585 г. до н. э. запи-
шется как —584 г.).
V.2. Пифагор был не только знаменитым ученым, но и выдающимся атлетом,
победителем Олимпийских игр. Олимпийские игры в Древней Греции проводи-
лись каждые 4 года. Первые игры состоялись в 776 г. до н. э., а последние —
в 393 г. н. э.
а) Сколько всего раз проводились Олимпийские игры в Древней Греции?
(Воспользуйтесь советом к заданию V.I.)
б) Неизвестно, победителем какой именно Олимпиады был Пифагор. Если
считать, что он выиграл Олимпийские игры,, когда ему было больше 20, но мень-
ше 40 лет, то каким мог быть номер этих игр?
V .3. Пифагор называл два натуральных числа дружественными, если сумма
всех делителей каждого из них равна сумме этих двух чисел. Он же открыл
первую пару дружественных чисел. Одно из этих чисел равно 220. Найдите
дружественное ему число.
V .4*. На вопрос, сколько учеников посещают его школу, Пифагор ответил:
«Половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает
в молчании, кроме того, есть три женщины». Сколько учеников посещало школу
Пифагора?
V .5. В IX книге «Начал» Евклид доказал, что если число 2rt—1 простое, то
число 2"~,(2rt— 1) будет совершенным. Например, число 22—1—3 простое,
значит, число 21-(22— 1)=6 совершенное.
а) Проверьте, что совершенные числа 28 и 496 также можно получить по
формуле Евклида.
б)* С помощью формулы Евклида найдите еще одно совершенное число.
(Совет: воспользуйтесь таблицей простых чисел.)
V.6. Архимед изобрел подъемное устройство полиспаст, с помощью кото-
рого один человек может приподнять и спустить на воду огромный корабль. По-
лиспаст состоит из одного или нескольких подвижных блоков (на рис. 222
изображены полиспасты из одного и двух блоков). Применение каждого блока
дает двукратный выигрыш в силе. Взрослый человек может приподнять груз
массой 40 кг. Сколько блоков должен содержать полиспаст, чтобы с его по-
мощью один человек мог приподнять корабль массой 80 т?
V.7. Сиракузский царь попросил Архиме-
да определить, нет ли примеси серебра в
его золотой короне. Решая эту задачу, Архи-
мед и открыл свой знаменитый закон: тело,
погруженное в жидкость, теряет в весе столько
же, сколько весит вытесненная им жидкость.
Известно, что масса I см3 золота равна
19,3 г; а масса 1 см3 серебра — 10,5 г. Если
объем короны равен 250 см , а масса — 3 кг
725 г, то сколько процентов золота в ней
содержится?
V.8*. В книге «Об индийском счете» аль-
Хорезми предлагает такую задачу: «Если от
числа отнять его треть и его четверть, то
получится 8. Найдите число».
Рис, 222
Глава ПОДГОТОВКА К ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ
VI И АЛГЕБРЫ В 7-м КЛАССЕ
$ 17. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ
В § 14 вы познакомились с координатной прямой. Но
координаты бывают нужны для точек не только на прямой,
но и на плоскости. Что такое координатная плоскость и
как ее используют, вы узнаете в этом параграфе. Коорди-
натная плоскость определяется выбором двух перпенди-
кулярных координатных прямых. Поэтому мы начнем
параграф с рассказа о том, что такое перпендикулярные
прямые. Появятся в параграфе и параллельные прямые.
Ну, а подробно изучать параллельные и перпендикулярные
прямые вы будете уже в 7-м классе в новом предмете
геометрия.
урок 148 Перпендикуляр —
важная вещь в геометрии.
Строим перпендикуляр к прямой
Две пересекающиеся прямые образу-
ют четыре неразвернутых угла. Если один
из них прямой, то остальные тоже пря-
мые (см. рис. 223). В этом случае прямые
линии называются перпендикулярными.
Рис. 223
А бывают перпендикулярные от-
резки?
Да. Вообще можно назвать перпендику-
лярными любые две линии, лежащие на перпендикуляр-
ных прямых. Так что перпендикулярными могут быть два
луча, отрезок и прямая и т. п. Часто про перпендикуляр-
ные линии говорят, что каждая из них — перпендикуляр
к другой.
Изучая геометрические фигуры, вы уже не раз встре-
чались с перпендикулярами. Например, смежные стороны
(Урок 148)
425
прямоугольника перпендикулярны. Или
три ребра прямоугольного параллелепи-
педа, имеющие общую вершину; любые
два из них перпендикулярны друг дру-
гу — ведь это смежные стороны прямо-
угольной грани (рис. 224).
Как убедиться в том, что две линии
перпендикулярны? Надо проверить, что
какой-нибудь из углов, образованный
ими, прямой. Вы знаете, как это сде-
лать с помощью угольника или тран-
спортира. На практике применяют и
другие способы. С древних пор строите-
ли проверяли перпендикулярность сте-
ны основанию дома с помощью о т в е-
с а, т. е. грузика на веревке. Отсюда и
произошло название перпендикуляра:
латинское «перпендикулярно означает
«отвесный».
Рис. 224
Чтобы построить перпендикуляр к прямой, достаточно
построить прямой угол. Это вы умеете делать и с помощью
угольника (рис. 225, а), и с помощью транспортира
(рис. 225, б).
Перпендикуляров к данной прямой I можно провести
много. Обычно приходится решать такую задачу: по-
строить перпендикуляр, проходящий через заданную точку
М. Это можно делать теми же инструментами (см.
рис. 225).
Вопросы и задания
148.1. Какие пересекающиеся прямые линии называют
перпендикулярными?
148.2. В тексте урока мы воспользовались таким свой-
ством пересекающихся прямых линий (рис. 226): если
угол ВОС прямой, то и углы BOD, DOA, АОС прямые.
Объясните, почему это так. (Совет: вспомните, чему равна
величина развернутого угла.)
426
(Урок 148)
С
А П В
О
D
Рис. 226
(1) (2) (3) (4)
Рис. 227
148.3. Определите с помощью угольника или транспортира,
какие из прямых на рисунке 227 перпендикулярны.
148.4. Начертите в тетради прямую. Отметьте точку Л, лежа-
щую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой, а) С по-
мощью транспортира проведите через точку А перпендикуляр
к прямой, б) С помощью угольника проведите через точку В
перпендикуляр к прямой.
148.5. а) Нарисуйте в тетради точку О. Проведите через нее
две перпендикулярные прямые, б) Отметьте точку Д, не лежащую
на построенных прямых. Проведите через точку А прямые, пер-
пендикулярные уже построенным, в) Скажите, какую фигуру огра-
ничивают все построенные прямые.
148.6. Начертите окружность и проведите ее диаметр. Через
центр окружности проведите диаметр, перпендикулярный к пер-
вому.
148.7. Начертите прямую I и нарисуйте точку Л1, не лежа-
щую на ней. а) Проведите через точку М перпендикуляр к
прямой I. Обозначьте буквой D точку пересечения прямой I и
перпендикуляра, б) На прямой I отметьте две точки А и В по
разные стороны от точки D. Проведите прямые МА и МВ. в) Из-
мерьте отрезки МА, МВ и MD. Какой м
из них короче? г) Найдите площадь Х/'
треугольника АМВ. /\
148.8. Начертите треугольник и от- / \
метьте точку внутри него. Проведите / \
через эту точку перпендикуляры ко / \
всем сторонам треугольника. д / I л
148.9. Начертите отрезок АВ дли- •—4———— — «
ной 4 см. а) Установите раствор цир- I
куля 3 см и начертите дуги окруж- \ /
ностей с центрами А и В так, чтобы \ /
они пересекались (см. рис. 228). б) Про- \ /
ведите прямую MN. Проверьте, бу- \ /
дет ли она перпендикулярна отрез-
ку АВ. в) Обозначьте буквой С точ-
ку пересечения отрезков АВ и MN. Рис. 228
427 (Урок 149)
Измерьте отрезки АС и СВ. Будут ли они равны? г) Начертите
отрезок длиной 5 см. Проведите через его середину перпенди-
куляр к нему так, как это описано в пунктах а) и б).
148.10. Начертите прямую, отметьте на ней две точки и про-
ведите через них перпендикуляры к прямой. Пересекутся ли
эти перпендикуляры? Попробуйте объяснить свой ответ.
Урок 149 Какие прямые называют параллельными
Если рельсы железнодорожного пути изобразить пря-
мыми линиями (рис. 229), то эти линии будут идти ря-
дом, нигде не пересекаясь, — они параллельны.
дв, ztn_f* ** ФУ
a ии uzj гы а ц u и
Рис. 229
Рис. 230
Прямые называют параллельными, если^они лежат в
одной плоскости и не пересекаются. Название произошло
от греческого «параллелос», что значит «идущий рядом».
Как и в случае перпендикулярных линий, можно говорить
о параллельных отрезках, лучах и т. п. Две линии на-
зывают параллельными, если они лежат на параллельных
прямых (рис. 280). Параллельные отрезки встречаются так
же часто, как и перпендикулярные. Например, в любом
прямоугольнике противоположные стороны параллельны
(рис. 231). В многих городах есть районы с прямоуголь-
ной планировкой. На рисунке 232 приведен план части
Васильевского острова в Ленинграде. Три проспекта и
набережная лейтенанта Шмидта параллельны друг другу.
Улицы, расположенные на плане вертикально, тоже парал-
лельны друг другу. Все они перпендикулярны проспектам.
Малый проспект
Средний проспект
6оль шой проспект
над. лейт. Шмидта
I ! I > I 1
Рис. 231
Рис. 232
(Урок 149) 428
Параллельные линии можно обнаружить в разлиновке
ваших тетрадей, на шахматной доске и много где еще.
П Укажите сами несколько примеров
У параллельных линий.
В 5-м классе (см. урок 88) мы рассказывали, как
младший брат Смекалкина пытался нарисовать треуголь-
ник с двумя прямыми углами. Конечно, у него ничего
не вышло: две стороны, йерпендикулярные к третьей, шли
рядом, не пересекаясь. Свойство, обнаруженное младшим
братом, можно сформулировать так: две прямые, лежащие
в одной плоскости и перпендикулярные к третьей прямой,
параллельны (рис. 233).
Именно это свойство используют как при построении
параллельных прямых, так и для проверки их параллель-
ности (рис. 234).
□____________
Рис. 233
Вопросы и задания
(Л 149.1. Какие прямые называют параллельными?
* 149.2. (У) Рассмотрите рисунок 235 и представьте
прямые, на которых лежат ребра нарисованного прямо-
угольного параллелепипеда, а) Какие из этих прямых па-
• раллельны? б) Какое самое большое число пар таких
* параллельных прямых найдено в вашем классе?
149.3. Нарисуйте в тетради точки Л, В, К, В, М и N так, как
показано на рисунке 236. Проведите прямые АК, BL, AM, BN, КМ
и LN. Определите,
какие из них параллельны.
Рис. 235
Рис. 236
429 (Урок 149)
149,4. Начертите с помощью линейки и угольника четыре
параллельные прямые.
149.5. Начертите прямую / и точку М, не лежащую на ней.
Проведите через точку М прямую, параллельную прямой L
149.6, Начертите какой-нибудь четырехугольник. Соедините
отрезками середины смежных сторон (рис. 237). Проверьте, будут
ли параллельны противоположные стороны нового четырехуголь-
ника.
149.7. Начертите квадрат со стороной 2 см и проведите через
его вершины прямые, параллельные диагоналям. Эти прямые
ограничивают четырехугольник, а) Какого вида этот четырех-
угольник? (Совет: измерьте его стороны и углы.) б) Найдите
его площадь.
149.8. Начертите прямую /. Отметьте на ней точки Л, В и С
(рис. 238). Проведите через точку А прямую, перпендикуляр-
ную прямой /. Обозначьте ее буквой т. а) Проведите через
точку В прямую р, перпендикулярную прямой /. Будет ли она
параллельна прямой ди? б) Проведите через точку С прямую /г,
параллельную прямой р. Будет ли она перпендикулярна пря-
мой /? в) Будет ли прямая k параллельна прямой т?
149.9. На рисунке 239 карта местности. Начертите в тетра-
ди такой же прямоугольник; проведите отрезок MN, изображаю-
щий телеграфную линию, и отметьте точку Л. Нанесите маршрут
группы туристов по следующему описанию, а) Группа вышла из
Рис. 239
Рис. 240
(Урок 150) 430
точки А и прошла на северо-восток 1 км. б) Тут она свернула
на север и прошла еще 1,5 км. в) Затем туристы шли 1 км
параллельно телеграфной линии, г) Повернув направо, они про-
шли 2 км перпендикулярно к телеграфной линии и остановились.
149.10. В некотором царстве, в некотором государстве все горо-
да имеют прямоугольную планировку. Улицы вытянуты с запада
на восток и с юга на север. Главные ворота города расположены
в юго-западном углу (см. план на рисунке 240, где каждый квад-
ратик — это квартал). На вопрос «В каком квартале ты живешь?»
любой житель отвечает, называя два числа. Например, житель
квартала М говорит: «В квартале (2; 3)». Это означает, что
квартал М — 2-й на восток и 3-й на север от главного входа.
Скажите, как жители города называют квартал, помеченный бук-
вой К; £; N; Р.
Прямоугольная система координат
на плоскости
Урок 150
Из географии вы знаете, что положение
точки на Земле можно определить, зная
ее географические координат ы — дол-
готу и широту. Для этого используют сеть
параллелей и меридианов. Но на обыч-
ной карте определять координаты труд-
но, ведь там параллели и меридианы
искривлены. Гораздо удобнее пользоваться специальной
морской картой (рис. 241).
Рис. 241
На ней очертания материков выглядят чуть иначе, чем
на обычной карте. Но зато на морской карте легко на-
431 (Урок 150)
ходить координаты точек, так как параллели и меридианы
образуют прямоугольную сеть. Найдем, к примеру,
координаты Москвы. Для этого нужно из точки, изобра-
жающей Москву, провести перпендикуляры к экватору и
нулевому меридиану. Получим 37,6° восточной долготы и
55,8° северной широты.
Обратите внимание: на карте градусы западной долго-
ты и южной широты написаны со знаком «минус». Направ-
ления на восток и на север считаются положительными, а
противоположные им направления, западное и южное,—
отрицательными.
Координаты обычно записывают в скобках — сначала
долготу, затем широту. Тогда Москва имеет координаты
(37,6°; 55,8°), Гавана— (—82,4°; 23,1°). А остров Пет-
ра I имеет координаты (—90,5°; —68,8°). Где он располо-
жен? Высмотрите его на карте мира.
Положение точки удобно определять координатами не
только на Земле. Координатами пользуются и на плоско-
сти.
Начертим две перпендикулярные прямые. Точку О
их пересечения сделаем началом отсчета на каждой пря-
мой и назовем началом координат. Выберем единичные
отрезки и укажем положительные направления на прямых.
У нас получились две координатные прямые (см. рис. 242).
Их называют осями координат — ось Ох и ось Оу. Они
образуют прямоугольную систему координат на плоскости.
Плоскость, на которой задана прямоугольная система ко-
ординат, называют координатной плоскостью.
Как найти координаты точки? Так же, как на морской
карте: проведем из данной точки М перпендикуляры к
каждой оси координат (см. рис. 243). На оси Ох получи-
лась точка с координатой 4, а на оси Оу — точка с коорди-
натой 3. Числа 4 и 3 называют координатами точки М\
записывают: М (4; 3). Первую координату называют абсци-
ссой, вторую — ординатой. Значит, 4 — абсцисса точки Л4,
а 3 — ордината точки М. Абсциссой точки N будет число
(Урок 150) 432
1,5, а ординатой — число — 2; поэтому пишем: N (1,5; —2).
Точка Р имеет координаты ( — 2; 0).
Какие координаты имеет точка О?
Рассмотрим теперь обратную за-
дачу: даны координаты (—3; 2) точ-
ки А. Как найти саму точку А?
Отметим на оси Ох точку с координа-
той — 3, а на оси Оу точку с ко-
ординатой 2 (рис. 244). Проведем
через эти точки перпендикуляры к
осям. Их пересечение и даст нам
точку А,
Рис. 244
Вопросы и задания
плоскостью?
4^ 150.1. Что называют координатной
j 150.2. Как называют точку пересечения координатных
осей? Какие у этой точки координаты?
150.3. Как найти координаты точки? Как называют первую
координату; вторую?
150.4. Как найти точку на плоскости, если известны ее ко-
ординаты?
ft 50.5. Чему равна абсцисса любой точки, расположен-
ной на оси Оу? Чему равна ордината любой точки,
и расположенной на оси Ох?
150.6. (У) Найдите координаты точек Л, В, С, О, £, F, G, по-
казанных на рисунке 245.
Рис. 246
150.7. Начертите прямоугольную систему координат, а) Отметь-
те точки М (-4; -1),Р(3; 0),Х(4; 4), L (1; 2), Q (0; -1).
б) Проведите отрезок £Р, найдите на нем точку с ординатой 1.
Чему равна ее абсцисса? в) Проведите прямую WQ, отметьте на
43* (Урок 150)
ней точку с абсциссой 4. Чему равна ее ордината? Чему равна
ордината любой точки на прямой NQ?
150.8. а) Определите на рисунке 246 длины отрезков АВ,
PQ, KL, LM. б) Вычислите площадь фигур ABCD, PQR, KLMN.
в) Чему равна абсцисса любой точки отрезка ВС; AD; KN; PQ?
г) Чему равна ордината любой точки отрезка PR; АВ; NM?
150.9. Начертите прямоугольную систему координат, а) По-
стройте прямую, проходящую через точки А (—5; 2) и В (—2; 2).
б) Постройте прямую, проходящую через точки М (4; 1) и
N (4; —2). в) Обозначьте буквой Т точку пересечения прямых АВ
и MN. Какие у нее координаты? г) Проведите прямую через
начало координат О и точку Т. Отметьте на прямой ОТ точки с
абсциссами 2; —2; 6; —6. Чему равны их ординаты?
150.10. а) Найдите в координатной плоскости треугольник с
вершинами 4(3; 5), В (3; —1); С( — 5; —1). Убедитесь, что он
прямоугольный, б) Проведите параллельно осям координат отрез-
ки от середин катетов до гипотенузы. Соедините отрезком середины
катетов, в) Проверьте, что длины сторон полученного маленько-
го треугольника пропорциональны длинам сторон треугольника
АВС. Найдите отношение площадей этих треугольников.
150.11. Величина у прямо пропорциональна величине х с
коэффициентом 2, т. е. у = 2*х. а) Начертите и заполните таблицу:
б) Каждую пару соответствен-
ных значений х, у из таблицы
изобразите точкой с координа-
тами (х; у). У вас получатся
точки с координатами ( — 2; —4). (1; 2), .... в) Проведите прямую
через точки с координатами (— 2; —4) и (4; 8). Проверьте, лежат
ли остальные точки на этой прямой.
150.12. а) Проведите прямую через начало координат О и
точку М (6; 3). б) Отметьте на прямой ОМ точки, абсциссы
которых указаны в 1-й строке следующей таблицы:
в) Во 2-ю строку запишите орди-
наты этих точек, г) Заполните
3-ю строку таблицы. Какой вывод
можно сделать о зависимости
у от х?
150.13. а) Рассмотрите линию на рисунке 247 и заполните
таблицу:
В ее 1-й строке указаны абсциссы
некоторых точек, лежащих на ли-
нии. Во 2-ю строку надо записать
соответствующие ординаты, б) За-
полните 3-ю строку таблицы. Ка-
кой вывод можно сделать о зави-
симости между величинами х и у?
X -2 — 1 0,5 1 2 2,5 3 4
У —4 2
X — 2 -1 1 2 4 6 8
У
У X
15 Учеб ник *собеседник
(Урок 151)
434
Урок 151 |(ак зависимости между величинами
изображают графически
Рассмотрим прямо пропорциональную зависимость
между величинами, выражаемую формулой у = 2-х. Вы
уже знаете, что каждую пару соответственных значений
х и у можно изобразить точкой на координатной плос-
кости. Зависимость у = 2>х встретилась вам в задании
150.11.
Посмотрите свое решение этого задания.
На какой линии расположены точки,
изображающие пары соответственных
значений величин х и у?
Эти точки расположены на
прямой линии (рис. 248). И об-
ратно: любая точка этой прямой
изображает какую-то пару соот-
ветственных значений х и у. По-
этому говорят, что данная прямая
линия изображает зави-
симость «/==2-х.
Точно так же прямая линия из
задания 150.12 изображает зави-
симость х. Линию на ко-
ординатной плоскости, изобра-
Рис. 248
435 (Урок 151)
жающую какую-то зависимость, называют графиком
этой зависимости. График прямо пропорциональной за-
висимости всегда будет прямой линией, проходящей через
начало координат.
Рассмотрим теперь обратно пропорциональную зави-
симость. Вспомните пример такой зависимости из урока
123. Там рассматривались длины х и у смежных сторон
прямоугольников, площадь которых равна 4 см2. Некото-
рые пары соответственных значений х и у записаны в
таблице:
чек. Чем больше будет нарисовано точек, тем точнее
можно представить зависимость у=~. Точки, изобра-
жающие всевозможные соответственные пары, будут рас-
полагаться на кривой линии (см. рис. 249,6). Значит,
эта линия является графиком обратно пропорциональ-
ной зависимости у=—. Сравните этот рисунок с ри-
Ли
сунком из задания 150.13 — ведь там тоже изображена
обратно пропорциональная зависимость.
Рис. 249
Единичные отрезки на осях координат не всегда имеют
одинаковую длину, а сами оси не всегда обозначают
буквами х и у. Прямая линия на рисунке 250 — график
движения поезда; она изображает зависимость расстоя-
ния от времени. На горизонтальной оси откладывается
время движения t в часах, а на вертикальной — соот-
ветствующее расстояние s в километрах.
(Урок 151)
436
Определите, с какой
скоростью движется
поезд.
На вертикальной оси 100 км
изображаются отрезком дли-
ной 1 см. Значит, масштаб здесь
1:10 000 000. Можно выразить-
ся проще, сказав, что масштаб
100 км в 1 см. Слово «мас-
штаб» употребляют и для другой
оси: говорят, что масштаб го-
ризонтальной оси — 1 ч в 1 см.
(А скорость поезда 80 км/ч.)
Рассмотрим еще пример. У
день рождения измеряли рост (см. таблицу). Как изобра-
зить графически зависимость роста от возраста? Нане-
сем на координатную плоскость точки с координатами
(0; 50), (1; 71) и т. д. Соединим эти точки отрезками.
Возраст t (годы) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Рост h (см) 50 71 82 94 102 108 114 119 124 128 132 138 144 152
Вот и получился график зависимости роста от возраста
(см. рис. 251).
h(CM)k
Рис. 251
т (Урок 151)
Графики часто используют, чтобы наглядно предста-
вить ту или иную зависимость. С некоторыми примерами
зависимостей и их графиков вы еще встретитесь в зада-
ниях к этому уроку.
Вопросы и задания
151.1. Как называют линию на координатной плос-
dr кости, изображающую зависимость между величинами?
151.2. Какой линией будет график прямо пропор-
циональной зависимости?
з
у 151.3. Начертите график зависимости: a) z/=—-х;
б) t/=—2-х. (Совет: сначала найдите для каждой зави-
симости пару ненулевых соответственных значений и изобрази-
те ее точкой.)
151.4. Антон поехал на велосипеде в магазин, но по дороге
встретил Ивана, и они немного поговорили. Все это показано
графиком на рисунке 252. а) Сколько времени и с какой ско-
ростью Антон ехал до встречи с Иваном; после встречи с Ива-
ном? б) Сколько всего времени Антон затратил на дорогу и какое
проехал расстояние?
151.5. На рисунке 253 показан график зависимости высоты
самолёта от времени полета, а) Какова наибольшая высота,
на которую поднимался самолет? Сколько времени он затратил
на подъем? С какой скоростью он поднимался? б) С какой ско-
ростью самолет снижался до высоты 6 км? в) С какой скоростью
он снижался с высоты 6 км до земли?
151.6. На рисунке 254 показан график зависимости темпера-
туры воздуха от времени суток. Температуру измеряли каждые
2 ч. а) Какая и в какой час была измерена самая низкая темпе-
ратура: самая высокая? б) Какая приблизительно была темпе-
ратура в 9 ч; в 17 ч?
(Урок J5!)
438
151.7. В таблице даны результаты измерения температуры в
лесу каждые 6 ч в течение 4 суток. Время удобно отсчитывать от
О ч 30 марта. Например, 6 ч 31 марта — это будет 30 ч. Построй-
те график зависимости температуры от времени. Масштабы
осей — 1 ч в 1 мм и 0,5 °C в 1 мм.
Дата 30 марта 31 марта 1 апреля 2 апреля
Время (ч) 0 6 12 18 0 6 12 18 0 6 12 18 0 6 12 18 24
Температу- ра (°C) 2 — 1 14 9 6 4 14 16 5 -2 15 18 6 4 16 23 11
151.8. На остров Протекшей в 1937 г. завезли 8 фазанов.
В следующей таблице показано, как изменялась их численность.
Год 1937 1938 1939 1940 1941 1942
Число фазанов - 8 30 81 282 641 1194
Постройте график изменения численности. Масштаб горизон-
тальной оси — 1 год в 1 см, вертикальной — 100 штук в 1 см.
(Урок 152)
Урок 152 439
Задания на повторение к § 17
» 152.1, Начертите окружность и проведите в ней два
перпендикулярных диаметра. Через концы каждого диа-
метра проведите прямые, параллельные другому диаметру.
Какой четырехугольник ограничивают эти прямые? Найдите
отношение площади круга к площади этого четырехугольника.
(Напомним, что ля^3,14.)
152.2. Самолет летит со скоростью 900 км/ч. Начертите
график его движения. Масштаб горизонтальной оси — 1 ч в 1 см,
вертикальной — 500 км в 1 см.
152.3, Юра сел на велосипед и поехал от дома со скоростью
20 км/ч. Через 2 км его велосипед сломался. В течение 10 мин
Юра пытался починить велосипед, но не смог и вернулся домой
на попутной машине. Машина ехала со скоростью 30 км/ч.
а) Сколько минут длилась Юрина прогулка? б) Выбрав подхо-
дящие масштабы осей, начертите график движения Юры.
152.4. Рост мальчика измеряли каждый год. В 1-й строке
таблицы возраст t (в годах), во 2-й строке — рост h (в см).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16
73 90 98 106 112 117 124 131 138 143 146 151 155 163 175 180
Начертите график зависимости роста от возраста. Масштаб
горизонтальной оси — 2 года в 1 см, вертикальной— 1:20.
152.5. У нескольких мальчиков и девочек несколько лет подряд
измеряли силу правой руки с помощью динамометра. В следую-
щей таблице записана средняя сила мальчиков и девочек в
разном возрасте. Постройте в одной прямоугольной системе
координат графики зависимости силы от возраста для мальчиков
и для девочек. Масштабы осей выберите сами.
Возраст (годы) 11 12 13 14 15 16 17
Сила мальчиков (кг) 25 28 32 37 43 49 55
Сила девочек (кг) 21 24 27 28 32 34 35
152.6. В следующей таблице приведены среднемесячные тем-
пературы самого жаркого (Репетек в Каракумах) и самого холод-
ного (Оймякон в Якутии) мест в СССР. (В первой строке номера
месяцев с января по декабрь.)
Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Темпера- тура (°C) Репетек 1 4 . 10 18 24 29 31 29 22 15 8 3
Оймякон -50 — 44 — 32 — 15 2 12 15 10 2 - 15 -36 -47
(Урок. 153)
440
Начертите графики температуры в од-
ной координатной плоскости. Масштабы осей
выберите сами.
152.7. Поднимаясь на воздушном шаре,
можно наблюдать, как изменяется темпе-
ратура воздуха. Оказывается, при подъеме
на 1 км температура понижается на 6,5°. Эта
зависимость наблюдается до высоты 11 км.
а) Считая, что температура у поверхности
земли равна 15°, заполните .таблицу:
Высота (км) 0 1 • • 4 11
Температура (°C) 15 8,5
б) Постройте график зависимости темпера-
туры от высоты. Температуру откладывай-
те на горизонтальной оси (1 °C в 1 мм), а
высоту — на вертикальной (2 км в 1 см), в) Выполните задания
а) и б), считая, что температура у поверхности земли равна 0°.
Какая получилась зависимость между температурой и высотой?
§ 18. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБ АИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Алгебраические выражения (в 5-м классе мы чаще
называли их буквенными) вам уже хорошо знакомы.
Вспомните, с их помощью записывают свойства и правила,
зависимости й формулы, уравнения и неравенства. В дан-
ном параграфе подводится итог тем знаниям об алгебраи-
ческих выражениях, которые вы получили за два года.
Эти знания понадобятся в 7-м классе при изучении нового
предмета алгебра.
урок 153 Раскрываем скобки в алгебраической сумме
В уроке 137 мы вывели важную формулу: с—а=с +
+(—а). Посмотрите: она показывает, что разность чисел
можно записать в виде суммы. Например, выражение
1—2 + 3 —4 можно записать в виде суммы 1+(—2)+
+ 3+(—4). Вот ее слагаемые: 1; —2; 3; —4. Еще пример:
выражение 3—а — 6+3-а—2-&-с можно записать сум-
мой 3+( — а)+( — 6) + 3-а+( — 2-ft-с). Вот ее слагаемые:
3; —а; — 6; 3*а; — 2-Ь-с. Вы видите, что среди слагаемых
этой суммы встречаются числа (положительные и отри-
цательные) и выражения. Всякие такие суммы называют
алгебраическими.
441 (Урок 153)
Алгебраической суммой называется сумма, у которой
каждое слагаемое — это число или выражение.
Запишите в виде алгебраической суммы
выражение —2 + я—x*z-\-b*c — 8 и назовите
ее слагаемые.
В алгебраической сумме могут стоять скобки, выделяю-
щие группы каких-то слагаемых. Например, (— 4 + а)4-
+(Ь — а-b) — (7 4-х). Такие выражения обычно упрощают,
преобразовывая их в выражения без скобок. Это делают,
используя свойства сложения и вычитания. Вспомните,
например, что сочетательный закон сложения разре-
шает писать равенство а + (д + = а + 6 + Глядя на
него, можно сказать, что выражение а + (Ь-|-с) преобразо-
вано в выражение + с без скобок.
Рассмотрим алгебраическую сумму а-|-(5 — с). Нельзя
ли ее тоже преобразовать в алгебраическое выражение
без скобок? Можно. Смотрите:
а + (д — с) = а+ (& + ( — с)) = а + Ь + ( — с) = а + Ь — с.
Объясните, как получается каждое равенство
в написанной цепочке равенств.
Соединим знаком « = » крайние выражения в этой
цепочке: а+(6 — с)=а-|-6 — с. Мы опять преобразовали
сумму со скобками в выражение без скобок.
Вот еще одна алгебраическая сумма со скобками:
а + ( — Ь + с). Легко догадаться, как ее можно преобразо-
вать:
а + ( — &-[-с)=а + (( — 6)-|-с)==а4-(—. Ь) + с=а—Ь + с.
Объясните каждое равенство в этой цепочке.
Напишите цепочку равенств, объясняющую
равенство а-\-( — Ь — с)=а — Ь — с.
Выпишем полученные выше четыре формулы:
+с)—4- с; а+( —6 + с)=а—& +
а+(6 —c)=a + fr —с; а+( — & — с)=а—Ь — с.
Какой вывод можно сделать? Вот какой:
ЕСЛИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЕ ПЕРЕД
СКОБКАМИ СТОИТ ЗНАК <ПЛЮС>, ТО ЭТОТ ЗНАК
И СКОБКИ МОЖНО НЕ ПИСАТЬ (ПРИ ЭТОМ ЕСЛИ
ПЕРВОЕ СЛАГАЕМОЕ В СКОБКАХ БЫЛО ЗАПИСАНО
БЕЗ ЗНАКА, ТО ПЕРЕД НИМ СТАВИТСЯ <ПЛЮС>).
А если перед скобками стоит знак «минус»,
то от скобок тоже можно избавиться?
(Урок 153) 442
Да. Для этого нужно, во-первых, вспомнить совмест-
ные свойства сложения и вычитания (мы повторили их
в задании 137.11). Вот они:
а—(6 — с)—a — b + c\ a—(b + c)=a — b — c.
А во-вторых, нам понадобятся такие две формулы:
а —( — 6 + с)=а + & — с и а—( —6 —с)=а + & + с.
Чтобы объяснить первую из них, напишем цепочку ра-
венств:
а —( —fr + r)=a —(( —6) + с)=а—( —&) —с = а + & —с.
П Объясните каждое равенство в этой цепочке.
g Напишите цепочку равенств, объясняющую,
что а—( — & —г)=а + & + г.
Как здесь сформулировать правило преобразования
алгебраической суммы? Нетрудно высмотреть закономер-
ность: при записи без скобок все слагаемые, стоившие
в скобках, поменяли свои знаки на противоположные.
Итак,
ЕСЛИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СУММЕ ПЕРЕД
СКОБКАМИ СТОИТ ЗНАК «МИНУС», ТО ЭТОТ ЗНАК
И СКОБКИ МОЖНО НЕ ПИСАТЬ, А ЗНАК КАЖДОГО
СЛАГАЕМОГО, СТОЯВШЕГО ВНУТРИ СКОБОК»
НУЖНО ЗАМЕНИТЬ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ
- (ПРИ ЭТОМ ЕСЛИ ПЕРВОЕ СЛАГАЕМОЕ В СКОБКАХ
БЫЛО ЗАПИСАНО БЕЗ ЗНАКА, ТО ПЕРЕД НИМ
W СТАВИТСЯ «МИНУС»).
Применяя два правила, напечатанные в этом уроке
большими буквами, обычно говорят «раскрываем скобки».
Раскрыть скобки в алгебраическом выражении — это
значит преобразовать его в выражение без скобок.
Иногда бывает нужно, наоборот, несколько слагаемых
заключить в скобки. Если перед скобками ставится
«плюс», то слагаемые пишутся в скобках с теми же зна-
ками, что и в исходной сумме. Если перед скобками ста-
вится «минус», то у всех слагаемых, заключаемых в
скобки, знак меняется на противоположный. Например,
3 —2 + 6 = 3 + ( —2 + 6); а —Ь-\-с = а — (Ь — с).
Вопросы и задания
153.1. Что называют алгебраической суммой?
153.2. Как раскрывают скобки, перед которыми стоит
знак «плюс»; знак «минус»?
443 (Урок 153)
153.3. Что значит раскрыть скобки в алгебраическом выра-
жении?
153.4. Как заключают слагаемые в скобки, перед которыми
ставят «плюс»; ставят «минус»?
V 153.5. Запишите в виде алгебраической суммы следую-
щее выражение и выпишите ее слагаемые:
а) а—-7 + Ь— 13; в) —с+ 9-а — 3 — а*с;
б) — 3 + х — 2-х-у + 3*у; г) — 2*х + 3*у —5*z —а+10-6.
153.6. Раскройте скобки в алгебраической сумме:
а) (а —&)+(£—</); г) (с — d)+( —х+у);
б) (*-Ьу)—(<* + &); Д) ( — k + m) — (—а+с);
в) (т —п) —(х—</); е) ( —х—z)—(—т—k).
153.7. Упростите выражение» раскрыв в нем скобки:
a) a—(b — с)+(т — п)—(х+у);
б) — (х+у)—(а — £>)+(—с—т)-,
в) —(z — a)+c —(m + k)+( —х+у);
г) 2-х—(3-y++z)—(4-т — 3-л);
д) (4-а —6-Ь)4-( —7-х—8-1/) — (—5>т + п);
е) (—х — 2'у4-5-г)—(а — 6-6 + 7-c+3-d)4*( — 2-т + п— 3-6).
153.8. Упростите выражение, раскрыв скобки, и выполните
там, где возможно, действия. Образец: 3,7—(2,8 +а)=3,7 — 2,8 —
— а = 0,9 — а; — х + (— 9,6 4* х) = — х — 9,6 4* х = — х + х —
-9,6=-9,6.
а) — 24-(3,1— т); ж) 0,44-(т — 3,2); н) т—(т — п);
б) 5—(34-х); з) (6—х) — 8,3; о) —(л — х) — х;
в) 2—(-|—а) ; и) —(2,34-у) —3,7; п) а+(-а+Ь);
г) —а+(а+2,7); к) р4-(0,8—р); р) Ь+(с—Ь);
д) b—(^b —3-2-J ; л) — 2— 0—zj ; с) —у—(а—у);
е) У4-(-у + б2?) ; м) -Ь4-(-3^4-*); т) z-(-b + z).
153.9. Напишите сумму двух выражений и упростите ее:
а) — 4 — т и т + 2; в) 6—1,3 и 1,3 —с; д) х —у и у —z;
б) 3 —а и а —2; г) х —2,8 и 3,6 —х; е) х+у и z — y.
153.10. Напишите разность двух выражений и упростите
ее:
а) — 2 + а и а —3; в) 6 + 2,8 и 2,8 + с; д) х+у и y + z;
б) 3 — а и —а + 4; г) х —3,92 и 4,08+х; е) х —у и z—y.
(Урок 154) 444
153.11. Заключите в скобки два последних слагаемых, поста-
вив перед скобками знак «плюс»:
а) -3-1-44-7 — 5; в) — 34-^ — n + k; д) х—у —z4-3,l;
б) а — 6 — с — d\ г) а — 6,2 — Ь + с\ е) — а + Ь — 2,9 — с.
153.12. Заключите в скобки три последних слагаемых, поста-
вив перед скобками знак «минус»:
а) -6 — 24-4 — 3; в) — т4-2,4 — п — k\ д) х4-у —?4-3,7;
б) т — n-\-c—d\ г) а — 3,7 — b — 2,3; е) 3 — а — Ь-{-с.
153.13. Составьте две алгебраические суммы: одну со скоб-
ками, другую без скобок. Предложите соседу по парте раскрыть
скобки в первой сумме, а во второй сумме несколько слагаемых
заключить в скобки. Проверьте, правильно ли он выполнил зада-
ние.
153.14. Скорость течения реки 2,3 км/ч. На сколько больше
скорость лодки, плывущей по течению, скорости лодки, плыву-
щей против течения? (Совет: обозначьте собственную скорость
лодки буквой а.)
153.15. Клоун заявил, что следующие два выражения
равны: 3 —(а —5) и 3 —а —5. «Я раскрыл скобки в пер-
вом выражении, и получилось второе»,— сказал он.
Публика смеялась: все видели, что клоун не умеет рас-
крывать скобки, а) Объясните, в чем состояла ошибка клоуна,
и раскройте скобки в первом выражении правильно, б) Найдите
разность этих выражений.
Урок 154 Что такое коэффициент
и
Надо уметь упрощать не только алгебраические
суммы, но и такие выражения, в которых встречается
умножение. Рассмотрим, например, выражение 3*а*7Х
Хй-( —2). Записать его проще помогут известные вам
свойства умножения, а именно: все числовые множители
можно записать перед буквами. Вот цепочка равенств,
которая показывает, как это делается: 3-а*7 *Ь *(—2) =
=(3-7)-а.Ь(-2)=(3-7-(-2))*а-&.
Объясните каждое равенство в этой цепочке
Теперь можно выполнить действия над числами: 3»7Х
Х( —2)=—42. Поэтому 3-а* 7 • b •(“ 2)= —42*а • 6. Чис-
ловой множитель, стоящий перед буквой, называют коэф-
фициентом. Значит, в выражении — 42*а- b число —42 —
коэффициент.
Найдите коэффициент в выражении
—7-fe).
445 (Урок 154)
А какие коэффициенты в выражениях а и —а? Чтобы
ответить на этот вопрос, нужно вспомнить известные вам
формулы Ьа = о и (—1)*а=— а. Договариваются коэф’
фициентом выражения а считать число 1, а коэффициен-
том выражения —а считать число —1.
Обычно договариваются не писать знак умножения
(т. е. точку) между буквами в произведении, а также
между коэффициентом и буквенным множителем. Напри-
мер, вместо пишут 2abx.
Вопросы и задания
154.1. Что называют коэффициентом?
154.2. Какие коэффициенты у выражений а и —а?
154.3. (У) В следующем выражении назовите коэффи-
циент:
з
а) 7аЬс\ в) 1,5 inn; д) — kmn; ж) т; и) хуг;
б) — 8ху; г) —0,03d; е) —2— Ьс; з) —с; к) —ab,
154.4. ЗУ простите выражение и найдите его коэффициент-
б) (—2)-5х;
в) 6*х*3;
г) (-4а).(-2);
д) 0,7с «1,3d;
е) (—2,3)а«6,55;
ж) а’3,26;
з) 2,6х-( — с);
и) 4-с-гт;
О /
\ ( з \ 5
к) \
м) — 6а-( — Ь);
н) 6а--|-Ь-(—1,1) с;
о) (-2а).&-(-1);
п) — За*26*( —е);
Р) 6х.(-у).(~3)
154.5. Вспомните формулы для периметра прямоугольника и
периметра квадрата (см. урок 83), длины окружности (см. урок
86), площади прямоугольника (см. урок 93), площади круга
(см. урок 95), объема прямоугольного параллелепипеда
(см. урок 99). Запишите перечисленные формулы, не используя
точку для обозначения умножения. В таком виде эти полезные
формулы легче запомнить.
154.6. Замените сумму одинаковых слагаемых произведением,
найдите его коэффициент. Вычислите значение выражения при
данных значениях буквы:
2
а) аЦ-а4-а+а при о=—0,3; 3—; 0; —1,5;
О
б) -b — b-b-b — b при 5 = 1; -2,7; 0,2;
в) —2х — 2х — 2х — 2х при х=3,5; —1 ; 0; 0,27
(Урок 155) 446
154.7. (У) Младший брат Смекалкина рассматривал алгеб-
раическую сумму За — 2Ь — c-^d— 4е. Он сказал: «Коэффициенты
у слагаемых этой суммы такие: 3; 2; 4». Смекалкин объяснил
брату, что тот не назвал два коэффициента, а из трех остальных
коэффициентов у двух указал неверный знак. На самом деле
коэффициенты здесь такие: 3, —2; —1; 1; —4.
Назовите коэффициенты у слагаемых в следующих алгебраи-
ческих суммах:
а) 3,2х — 7,3д/ + 2,8г — т — п — 3,3/г + а;
б) — 6,1а — 2,26+ с — 2,7d —-х + 1,3у;
в) 2-|-а — 3-^-Ь — 6c+d —х —8r/ + z.
л О
154.8. (У) Вычислите,
умножения:
а) 3,7-0,8+ 3,7-0,2;
б) 5,3-(-1,6)+ 5,3-0,6;
используя распределительные законы
в) 7,9-0,4 —2,9-0,4;
г) 2,7* 1,5 —( — 0,3). 1,5.
урок 155 Приводим подобные слагаемые
Подобными слагаемыми в алгебраической сумме назы-
вают такие слагаемые, в которых буквенный множитель
один и тот же, а отличаться могут только коэффициенты.
Давайте найдем подобные слагаемые в какой-нибудь
алгебраической сумме. Например, в этой: Зх + 5 —6ас +
+ & + 4 — 2х + д + 7ас + 4х. Посмотрите: слагаемые Зх,
-2х и 4х содержат один и тот же буквенный множи-
тель х и отличаются только коэффициентами 3, —2 и
4. Значит, это подобные слагаемые. Точно так же слагае-
мые — бас и 7ас подобные. Слагаемые Ь и b тоже подоб-
ные (они даже равны). Слагаемые 5 и 4 тоже называют
подобными, в них вообще буквы не участвуют.
Используя переместительный и сочетательный законы
сложения, можно сгруппировать друг с другом подобные
слагаемые. Сделаем это для рассмотренной только что
суммы. Тогда она преобразуется так: (Зх —2х + 4х) +
+ ( — бас+ 7ас)+ (£ + &) +(5+ 4). В выражении (Зх —2х +
+ 4х) можно х вынести за скобки (объясните почему).
Получится (3 —2 + 4)«х. Выполнив действия в скобках,
запишем (3 —2 + 4)х = 5х. Значит, сумму Зх —2х + 4х мож-
но заменить одним слагаемым 5х.
Замену суммы подобных слагаемых одним слагаемым
называют приведением подобных слагаемых.
Если привести подобные слагаемые в сумме Ь + д,
447 (Урок 155)
то получится 2d. Приведя подобные слагаемые в сумме
— 6ас + 7ас, получим ас. Наконец, приведем подобные
слагаемые в сумме 5 + 4 (приведите!). В результате рас-
смотренная нами сумма преобразуется в такую: 5* + ас +
+ 2& + 9.
А зачем нужно приводить подобные слагаемые?
До ответа легко догадаться: чтобы делать суммы
более короткими, т. е. преобразовывать их в суммы с
меньшим числом слагаемых. Посмотрите: в нашей исход-
ной сумме было 9 слагаемых, а преобразовали мы ее в
сумму с четырьмя слагаемыми. С более короткими сум-
мами легче выполнять вычисления. Значит, надо научить-
ся приводить подобные слагаемые. Правило, по которому
их приводят, очень простое:
ЧТОБЫ ПРИВЕСТИ ПОДОБНЫЕ СЛАГАЕМЫЕ,
НУЖНО ВЫЧИСЛИТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ СУММУ
КОЭФФИЦИЕНТОВ И ВЗЯТЬ ЕЕ КОЭФФИЦИЕНТОМ
ПРИ БУКВЕННОМ МНОЖИТЕЛЕ.
V
Конечно, если буквенного множителя нет, то вычисля-
ется просто сумма тех чисел, которые представляют
собой подобные слагаемые.
Приведите подобные слагаемые в сумме
a + 5 + 2d — 6 — За.
Вопросы и задания
155.1. Какие слагаемые называют подобными?
155.2. Что называют приведением подобных слагае-
мых?
155.3. Как приводят подобные слагаемые?
155.4. Назовите в алгебраической сумме подобные сла-
гаемые, приведите их:
а) За + 6х—2а;
б) 1,7ft + 3,5с — 2,3с;
в) — 0,43х+4/;— 1,7х;
г) ++1+-+;
д) 0,6х2 + 3,5t/2 —2,7у2;
е) 5а6 + 3х</— 6а6 + 8ху;
ж) 2,3с—7,4e+3,4e+6,8d;
з) —а 4-5,4а —0,136 +4с;
и) 2,36—3,66 + 1,5+1,46;
к) 0,1х+3,7 —2,5z+1,5.
155.5. Упростите выражение и найдите его значение при ука-
занных значениях буквы:
а) —За —4а+9,2а —3,7 при а=1; ——1.8; 0;
(Урок 156) 448
б) — 2-|-х4-8 —4,2х—12 при х = 3; —Г, 0; 2; 5; 4"!
О о
в) 3,1у2—2,3у —4,3у24-1,7у при у = 2,1; —L; 0; 41; 1.
О
155.6. Решите уравнение:
а) 2х-|-Зх—6х =—10;
б) у —4,2у+6,3у—9,3 = 0;
в) —z + 3,7z—2,8z=0;
г) '3,9—6хЧ-2,1х—4,5=0;
д) 5,8у —3,7+4,2у + 2= -1,5;
е) — 3,lz—2,7—4,6z 4-1,2=0,3.
155.7. Замазку для окон готовят из смеси мела и олифы. Мела
берут в 4 раза больше, чем олифы. Сколько граммов каждого
из этих веществ надо взять, чтобы приготовить 850 г замазки?
155.8. Для приготовления клюквенного киселя сахар, крах-
мал, клюкву и воду берут в пропорции 3:1:3:25. Сколько грам-
мов каждого продукта надо взять, чтобы приготовить 6 порций
киселя по 200 г?
урок 156 Как раскрывать скобки
в алгебраическом выражении
V
Каждый из вас научился раскрывать скобки в алгеб-
раической сумме. Но скобки встречаются и в более слож-
ных алгебраических выражениях. Вот пример: 3(а + 7)—
— а -(2 — Ь). Чтобы избавиться здесь от скобок, нужно
воспользоваться распределительными законами для умно-
жения: 3(а + 7) = 3-а + 3-7 = 3а4“21; а-(2 — 6) = а-2 — аХ
Х& = 2а — ab.
Теперь мы можем данное алгебраическое выражение
записать в виде суммы: (За + 21) — (2а — ab). Скобки здесь
еще сохранились, но из сложного алгебраического выра-
жения получилась алгебраическая сумма. А как раскры-
вать скобки в алгебраической сумме, мы объяснили в
уроке 153.
Раскройте скобки в полученной
алгебраической сумме и приведите подобные
слагаемые.
Итак,
Чтобы раскрыть скобки в алгебраическом выражении*
нужно:
1) воспользоваться распределительными законами для
умножения и преобразовать это выражение в алгебраи-
ческую сумму;
2) раскрыть скобки в полученном алгебраической сумм*
449
(Урок 157)
Вопросы и задания
156. 1. Как раскрывают скобки в алгебраическом вы
ражении?
156. 2. Раскройте скобки:
а) (а — * + с)«8;
б) (— 5)-(т — п — fe);
в) 2-(х—3,5+у);
г) (—0,8):(х2—6+х);
д) (-1 +(2х-3у + 5г);
е) (2,3а —3,4*+ 2,7)-1,3;
ж) а-(* —c+d);
з) (—х)-(2у —Зг);
и) (5а —7*)-4с.
156.3. Раскройте скобки и
а) 7 (2х—3)+4(3х — 2);
б) (—2).(4m+9)—3(5m — 1);
в) (2-у)(-8)+4(3-4у);
г) (—3) (—х+3)—(10—х);
д) (8а—1)(—6)+(—2)(а —7);
приведите подобные слагаемые
е) 4х (2—а)+4ах;
ж) 8m — 4 (2т — 1);
з) (—3)(5а-*)—3*;
и) —5* + *(а + 5);
к) (— т) (3 — *) — k (т + 3).
156.4. Упростите выражение и найдите его значение:
а) (—6)(Зт + 8)—3(т — 5) при т—1; —0,8; 0; —2,5;
О
б) 2а(3 — *)+3(2а+1) при а=-2,3, Ь = 1-^.
156.5. Вынесите за скобки общий множитель. Образец:
За + 6а* — 7а2 = а- 3 + а- 6- * — а • 7 • а = а (3+6* — 7а).
а) 9-За — 9-7*; в) 6х—7ху; д) 7-2х — 7-Зу+7-5г;
б) Зхг—2yz; г) Зху —Зхг; е) — 2ах+3ау —7аг.
156.6. Найдите значение выражений (Зх—1):(х—7) и (6—
— 5х):(6—х) при х = 1; —0,5; 2; —0; 1,8; 9. При каких из
О
указанных значений х значения этих выражений равны?
156.7. (У) Клоун заявил, что следующие два выраже-
ния равны: а(6 + 3) и аб + 3. «Я раскрыл скобки в первом
выражении, и получилось второе»,— сказал он. а) Ска-
жите, не ошибся ли клоун. Ответ объясните, б) Найдите
разность указанных клоуном выражений, в)* Преобразуйте выра-
жение, полученное в б), вынеся за скобки числовой множитель.
урок 157 Повторяем, что такое уравнение.
Корень уравнения
Вам уже много раз приходилось решать различные
уравнения. Вспомним, что называется уравнением. Равен-
ство, содержащее букву, называют уравнением, если тре-
(Урок 157) 450
буется найти неизвестное число, обозначенное этой бук-
вой. Вот примеры уравнений:
а) 6х4-2 = 5-4х; б) (х+2)(х4-3) = 12;
в) х:(5—х) = 7.
Если вместо буквы подставить обозначенное ею неиз-
вестное число, то получится верное числовое равенство.
Каждое значение буквы, при котором уравнение стано-
вится верным числовым равенством, называют корнем
уравнения.
Проверим, например, что число 0,3 — корень уравне-
ния а). Вычислим значение левой части при х = 0,3. Полу-
чится 6-034-2 = 3,8. А значение правой части таково:
5 —4-0,3 = 3,8. Значит, 6-0,34-2 = 5 — 4-0,3, т. е. 0,3 —
корень. Если вместо х подставить, например, число 0, то в
левой части уравнения получится 2, а в правой получит-
ся 5. Значит, число 0 не является корнем уравнения а).
Точно так же можно проверить, что числа 1 и —6 —
П корни уравнения б), а числа 0,1 и — 1 корнями не являют-
п ся (проверьте!). Итак, чтобы проверить, является ли дан-
ное число корнем, нужно подставить это число вместо
буквы, обозначающей неизвестное число. Если равенство
получится верным, значит, это число — корень; если ра-
венство неверно, то это число корнем не является.
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ — ЗНАЧИТ НАЙТИ
ВСЕ ЕГО КОРНИ.
Но ведь все числа не перепробуешь, чтобы
узнать, какие из них будут корнями
уравнения? Как же решать всякие уравнения?
Хороший вопрос. Ответить на него нелегко. Учиться
решать всякие уравнения вы будете вплоть до 11-го
класса на уроках алгебры. О самых простых уравнениях
и способах их решения мы расскажем в уроках 158 и
159.
Вопросы и задания
157.1. Что такое уравнение?
157.2. Что такое корень уравнения? Как проверить,
является ли данное число корнем уравнения?
157.3. Что значит решить уравнение?
157.4. (У) Является ли число 7 корнем уравнения:
а) х+13=20; в) 5-х=33;
б) 32—х=23; г) 63:х=9?
451
(Урок 158)
157.5. Какие из чисел 4,5;
ми уравнения:
а) 2 (х- 1) + 3 = 7-4х;
б) 6х- 11 =(-5) (х+ 1);
в) Зх(4х-13,2) = 0;
2
—; 1; —1,5; 0 являются корня-
ж) 3x4-7= 1— х;
з) х:(х-|-1)=—2;
и) х-(х+1)=—2?
157.6. Решите уравнение:
а) 2х —3=—7;
б) 5—Зх=1,2;
в) х 4-1,7=0;
г) —24-4х = 9;
д) 1—х:5 = 3,8;
е) 7-|-6-х=5;
ние б)
157.7. Клоун предложил решить следующие два
уравнения: а) х4-1=х4-2; б) (х4-2)*3 = 6-|-Зх. Пуб-
лика смеялась: все видели, что уравнение а) решить
нельзя, потому что оно совсем не имеет корней, а уравне-
решать неинтересно, потому что у него любое число будет
корнем. Объясните то и другое.
урок 158 Как преобразования алгебраических
выражений помогают решать уравнения
Задача. Два шестых и два седьмых класса собрали
вместе 1695 кг металлолома. Оказалось, что 6-й А собрал
на 22 кг больше, чем 6.-й Б, а седьмые классы собрали в
1,5 раза больше, чем вместе собрали 6-й А и 6-й Б. Сколько
металлолома собрал 6-й А?
Решение. Обозначим буквой х массу (в кг) метал-
лолома, собранного 6-м А классом. Тогда:
(х — 22) кг—масса металлолома, собранного 6-м Б
классом;
х+(х —22) кг — масса металлолома, собранного ше-
стыми классами вместе;
1,5 (х+(х —22)) кг — масса металлолома, собранного
седьмыми классами;
х-р(х —22)+ 1,5 (х + (х — 22)) — общая масса метал-
лолома, собранного шестыми и седьмыми классами.
Так как шестые и седьмые классы собрали 1695 кг, то
верно равенство
х + (х-22)+ 1,5 (х + (х-22))= 1695.
Вот и уравнение получилось. В нем буква х напи-
сана 4 раза. Но левую часть можно упростить, пользуясь
U преобразованиями алгебраических выражений (проде-
лайте это!). Получится уравнение 5х — 55 = 1695. Такое
° уравнение должен решить каждый шестиклассник!
(Урок 158)
452
Решите уравнение и дайте ответ в задаче.
Значит, преобразования алгебраических выражений
позволяют записывать уравнения в более простом виде.
Задания
158.1. Решите уравнение:
а) 2х4-7х==18;
б) 3r/ + 4i/ + 5// = 316;
в) 2z + 9z — 7,8= —21;
г) 2x4-3 4* + 3 4-=54;
О о
д) 2,5у — 0,24-3,8^=1,06;
е) z — 3,5z-|- 1,2= — 0,3;
ж) 0,2-3,75 = 2-J-*-5,754-4,25;
з) 1,7 (0,2у —0,01)4-0,76у= 1,2;
и) 3,2 (6,5z —1,3)4* 1,7 (2,2 —z)=3,4;
м)* z4”5-(z4-4-(z4“r)) =4’-
158.2. Участникам школьной викторины было предложено
30 вопросов. За каждый правильный ответ полагалось 12 очков,
а за неправильный 7 очков снималось. Петя набрал в итоге 227 оч-
ков. На сколько вопросов Петя ответил правильно?
158.3. Конфета с фантиком весит 15 г, а сам фантик весит
1 г. Смекалкин с младшим братом купили 20 конфет. Младший
брат съел несколько конфет, а пустые фантики от них свернул в
виде конфеты. «Отгадай, не разворачивая фантики, сколько
конфет я съел»,— сказал он. Смекалкин положил на весы конфе-
ты и пустые фантики и увидел, что их общая масса 230 г. Он что-то
подсчитал и объявил брату, сколько тот съел конфет. Найдите
и вы это число.
158.4. а) В треугольнике ЛВС сторона Л В длиннее ВС на 3,2 см
и короче АС на 1,6 см. Периметр этого треугольника 15,5 см.
Найдите длины его сторон, б) В равнобедренном треугольнике
боковая сторона больше основания на 0,8 см. Каковы длины сто-
рон этого треугольника, если его периметр 13,6 см? в) Длины сто-
рон треугольника относятся как 5:7:9. Найдите их, если его
периметр 31,5 м.
158.5. Одно число относится к другому как 9 к 5. Найдите
эти числа, если: а) их сумма равна 98; б) их разность равна
16.
158.6. Площадь озера Байкал на 13 200 км2 больше площади
453 (Урок 159)
озера Балхаш, а отношение этих площадей равно 105:51. Найдите
площадь каждого озера.
15$.7. (Старинная задача.) Летела стая гусей, а навстречу
ей летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, 100 гусей!» Вожак
стаи ему отвечает: «Нас не 100 гусей. Если бы нас было столько,
сколько сейчас, да еще столько, да еще полстолько, да еще чет-
верть столько, да еще ты один гусь, тогда нас было бы 100 гусей».
Сколько было гусей в стае?
158.8* . В пятиугольнике 4 стороны имеют одинаковую дли-
ну, а пятая отличается от них на 2,5 см. Какую длину имеет
каждая сторона пятиугольника, если его периметр 8 см? (Совет:
задумайтесь над тем, в каких двух смыслах можно пони-
мать здесь слово «отличается».)
158.9. Выполните задание 73.8, используя вместо десятич-
ных дробей какие-нибудь (положительные и отрицательные)
рациональные числа.
урок 159 |(ак в уравнении переносить слагаемые
из одной части в другую
Решим уравнение Зх + 26 = х + ЗО.
Как же решать такое уравнение? Ведь у него
неизвестное число и в левой части
равенства, и в правой!
Сейчас объясним. Уравнение утверждает, что числа Зх +
+ 26 и х+30 равны. А мы знаем: если из обеих частей
равенства вычесть одно и то же число, то снова получится
равенство. Давайте вычтем из чисел Зх + 26 и х + 30
искомое число х. Тогда можно записать равенство
(Зх + 26)—х=(х + 30) — х.
После преобразования правой части буква х в ней исчез-
нет, останется только число 30. Перепишем равенство:
(Зх + 26)—х = 30.
Оно получилось из исходного уравнения. Изобразим это с
помощью стрелки:
Зх + 26=х + ЗО—>-(Зх + 26)—х = 30.
Смотрите: слагаемое х из правой части исходного уравне-
ния как бы перенеслось в левую часть полученного уравне-
ния, сменив при этом знак « + » на « —».
Теперь в полученном уравнении преобразуем левую
часть. Получится 2х + 26=30. Из обеих частей этого
равенства вычтем число 26:
(2х + 26) — 26 = 30 — 26.
(Урок 159) 454
В левой части после преобразования останется 2х,
т. е.
2x4-26 = 30—^2х=30 —26.
Смотрите: слагаемое 26 из левой части как бы перенеслось
в правую часть, сменив при этом знак «4“> на « —
Закончите решение уравнения и найдите х.
° А как поступать, если надо решить, например, уравне-
ние 8х —17 = 33 — 2х? Здесь, чтобы избавиться от 2х
в правой части, надо 2х прибавить к обеим частям равенст-
ва:
(8х-17)4-2х = (33-2х)4-2х.
Тогда в правой части останется число 33:
(8х-17)4-2х = 33.
Смотрите: слагаемое — 2х из правой части перенеслось
в левую, сменив при этом знак « —» на < + >•
Закончите решение уравнения и найдите х.
Итак, мы обнаружили правило:
МОЖНО ПЕРЕНОСИТЬ СЛАГАЕМОЕ ИЗ ОДНОЙ
ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ В ДРУГУЮ, МЕНЯЯ ПРИ ЭТОМ
ЕГО ЗНАК НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ.
Вопросы и задания
159.1. Что происходит со знаком слагаемого, когда
оно переносится из одной части уравнения в другую?
159.2. Перенесите слагаемое из одной части уравнения
в другую так, чтобы в левой части были только слагае-
мые, содержащие неизвестное число, а в правой — сла-
гаемые, не содержащие
щите уравнение:
а) 5x4-3 = 27 —Зх;
б) 2у — 12=18 — 4у-
в) 6z4-24 = 2z4-13;
г) 17 + 5х=Зх —9;
д) 144-6у=18-у;
е) 2z—4 = z4-9;
159.3. Решите уравнение:
а) 5 (х —7)=3 (х —4)—13;
б) 4 (у—3)= 16—5 (у4~6);
неизвестного числа. Затем ре-
ж) 2х4-43 = 4х —65;
3) Зу —35 = 7у —28;
и) 73 —2z = 3z4-24;
к) —х~Ь 11 ==4х—13;
л) -134-7у = 13у-7;
м) z— l=3z — 12.
в) 3z4-2(2z —3) = 22 —7z;
г) 3(2m4-7)4-4 = 5(m —3);
45$
2i/—1 __ 7 .
3f/4-2 8 ’
(Урок 159)
ж) 1^=3.
В уравнениях б), г), е) проверьте найденный корень.
159.4. У Пети и Коли одинаковая сумма денег. Петя купил на
все деньги 3 тетради и блокнот за 26 к., а Коля — 1 тетрадь
и авторучку за 30 к. Сколько стоит 1 тетрадь?
159.5. Валя и Вера задумали одно и то же число. Затем Валя
умножила свое число на 2, а Вера прибавила к своему числу 2.
Валя к результату прибавила 3» а Вера свой результат умножила
на 3. И у них снова получились одинаковые числа. Какое число
было задумано?
159.6. В двух кусках было поровну шелковой ткани. Когда
от одного куска отрезали 10 м, а от другого — 40 м, то в первом
куске стало вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров
ткани было первоначально в каждом куске?
159.7. Игорю исполнилось 11 лет, а его отцу 35. Через сколько
лет отец будет старше Игоря: а) втрое; б) вдвое; в) в каком
возрасте Игорь был младше отца в 4 раза?
159.8. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами
за 7 ч. Если бы его скорость была на 10 км/ч больше, то то же
расстояние он проехал бы за 6 ч. а) Какова скорость автомобиля?
б) Каково расстояние между городами?
159.9. За книгу заплатили 60 к. и еще ее стоимости. Сколько
стоила книга?
159.10. Летели галки и сели на ветки. Одна ветка осталась
пустая, а на остальных ветках сидят по 2 галки. Если бы на
каждую ветку село по одной галке, то одной галке не хватило бы
ветки. Сколько было галок и сколько веток?
159.11. а) Дана дробь Какое одно и то же число нужно
прибавить к числителю и знаменателю этой дроби, чтобы она
стала равной — ?
о
29
б) Дана дробь —. Какое одно и то же число надо вычесть из
числителя и знаменателя этой дроби, чтобы она стала равной
159.12. На памятнике древнегреческому математику Диофанту
(Ш в.) имеется надпись: «Прохожий! Под этим камнем покоит-
ся прах Диофанта, умершего в старости. Шестую часть его жизни
заняло детство, двенадцатую — отрочество, седьмую — юность.
Затем он женился, и через 5 лет у него родился сын, который
прожил вдвое меньше отца. 4 года, до самой своей кончины,
Диофант оплакивал сына». Сколько лет жил Диофант?
(Урок 160) 456
159.13. (У) Клоун решал уравнение 2{/+1=у+8.
Вот как он перенес у из правой части в левую» а 1 из левой
части в правую: 2^ + у = 8+1. Затем он привел подоб-
ные слагаемые, получил уравнение Зу = 9 и нашел его
корень 3. Чтобы проверить, правильно ли найден корень, клоун
поставил в исходное уравнение число 3 вместо буквы у. «Вот
чудеса! — воскликнул он.— В левой части получилось 7, а в пра-
вой 11. Получается, что 7 равно 11. Значит, я решил уравнение
неверно»?
Объясните, в чем состояла ошибка клоуна при решении
этого уравнения. Решите уравнение правильно.
Урок 160
Задания на повторение к § 18
160.1. Упростите выражение:
а) (2х—Зу)—(5х-|-4у); д) (3,2ху — l,8xz)—(1,2xz 4-5,6ху);
б) —(3,7 —2,1а)4-(6,5а-2,3); е) -(3,8а2—2,8b)—(1,36 — 6а2);
в) 3,2 —(1,6x4-13,1—7,8у); ж) 2,8—(5,3х2 —7,24-ву2);
г) -1,34-(1,5а4-0,8-0,66); з)* 3,7а-(2,8-(1,34-1,8а)4-3,1 а).
160.2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а) 2,3 (2а —36)—1,7 (76 —2а); д) x(3y-5z)-y (7x4-3z);
б) -1,8 (3,5-2х)+3,1 (1,7-х); е) а (2а-6)4-6 (а-36);
в) 6,6 —2,8 (14,3m4-3,7 —2,8я); ж) Зху—х(Зх-|-2у —5ху);
г) —3,74-2,3 (-6,9с4-1,4-3,76); з) 9а6 -36 (а -26 4-0,7).
160.3. На двух кустах сидело равное число воробьев. Затем
с одного куста на другой перелетели 4 воробья. На сколько боль-
ше стало воробьев на одном кусте, чем на другом? (Совет: обо-
значьте буквой первоначальное число воробьев на каждом кусте.)
160.4. Два одинаковых катера отправились по реке — один
вверх по течению, другой вниз по течению. Скорость течения реки
3,2 км/ч. На сколько километров больше пройдет за 3 ч катер,
плывущий вниз по течению, чем катер, плывущий вверх по тече-
нию?
160.5. Найдите значения числового выражения:
457 (Урок 160)
160.6. Найдите числовое значение алгебраического выра-
жения:
a) a:b — ab при 6=—0,5;
б) 2°Л^С) при а=~Т* &=7-’ с=0’,;
в) 5- *4~ при *=—0,6, У —4--
° У о
160.7. Решите уравнение:
а) 3 (х —2)4-5(7-х)=4;
б) 0,8 (2у4-3)—1,2 (Зу —4)=0,6;
в) 2-l-(5z-l)-3-|-(4-3z)=7^-;
г) 2,3 (5 —3m) 4-7,6 (т —2) = —1,46;
160.8. Решите уравнение:
а) 3,1 (2—х)4-4,5=7,2—4,3 (—3,7 4-х);
о D
»> Fr=-4-
3—5г г—-4
б) 2-|~3-|-(2-Зх)=8-|-4-4-1-(-1^-4-2х) ;
в) 5,5 (х—2,1)—3,1 (4,5—2х)=7,2 (3,54-*)-1,2;
г)* 2х(х4-2)-4,1=(2х-3)х4-3,7.
160.9. Дано уравнение 2 (Зх-f-1)—9 = 3 (2х —7)4-14. а) Какие
9
из чисел 3; —1,4; 0; 1 —; —7 являются его корнями?
б)* Есть ли такое число, которое не будет корнем данного уравнения? Ответ
объясните. (Совет: преобразуйте отдельно левую и правую части уравнения.)
160.10. Дано уравнение 4(7—х)—27=(—2)(Зх4-2х)4-1.
а) Какие из чисел 2; —3,6; —1; 4-^- являются его корнями?
б)* Имеет ли это уравнение корень? Ответ объясните.
160.11. Для детского сада купили столики. Если в каждую
комнату поставить по 3 столика, то 4 столика останутся. Если в
каждую комнату поставить по 4 столика, то 3 столика не хватит.
Сколько комнат в детском саду и сколько купили столиков?
160.12. В одной пачке было в 2,5 раза больше тетрадей,
чем в другой. Когда из второй пачки переложили в первую 5
тетрадей, то во второй пачке стало тетрадей в 3 раза меньше, чем
в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке?
160.13. Задуманы два числа, одно из которых на 18 больше
другого. Известно, что 25% большего из этих чисел равны 35%
меньшего из них. Что это за числа?
160.14. В городе три пекарни. Первая из них выпекает в 2 раза
больше хлеба, чем вторая, но в 3 раза меньше, чем третья. Сколько
тонн муки должна получить каждая пекарня, если на выпечку
хлеба ежедневно выделяется 21 т муки?
(Большая перемена VI)
458
160.15» Картофель в магазине был расфасован в 24 пакета
двух видов: по 5 кг и по 3 кг. Масса всех пакетов по 5 кг оказалась
равной массе всех пакетов по 3 кг. Сколько было тех и других
пакетов?
160.16* . Разведчик доложил командиру, что поезд, за которым
он вел наблюдение, прошел мимо него за 15 с, а мост прошел пол-
ностью за 45 с. Командир знал, что длина моста 450 м, и быстро
вычислил длину и скорость поезда, а) Найдите длину и скорость
поезда, б) Через какое время поезд прибудет на станцию, уда-
ленную от моста на расстояние 72 км?
160.17. Клоуну назвали число и предложили умножить
его на 0,5, а к результату прибавить 3. Но он все перепу-
тал: данное число разделил на 0,5 и вычел из результата 3.
Ответ, однако, получился тот же. Какое число было
названо клоуну?
160.18. Клоун сообщил, что число котят, живущих у него,
3 3^3
равно — этого числа и еще — котенка. Слова про — котенка
звучали смешно. Однако клоун все сказал правильно. Сколько
котят живет у клоуна?
160.19* . Для каждого уравнения, в котором неизвестное число обозначено
буквой х, число 1 является корнем уравнения. Найдите, какое число в каждом
из уравнений обозначает при этом буква а.
а) х+1=а; в) 3(х—1)=х+а; д) (5 —а)+7х = 3а;
б) 2х —3 = 24-а;
г) (а —х)+2 = 2а;
е) ах -|-3 = 5.
Большая перемена VI
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ НАШЕЙ СТРАНЫ
В начале XVIII в. Россия развивалась стремительно. Один за
другим возникали новые города, строились заводы, на верфях Во-
ронежа и Архангельска закладывался флот, в сражениях мужала ар-
мия. Стране как воздух были нужны образованные люди, ученые.
Как писал великий русский ученый М. В. Ломоносов, Петр 1 «усмотрел
тогда ясно, что ни полков, ни городов надежно укрепить, ни кораблей
построить и безопасно пустить в море, не употребляя математики...
невозможно».
В 1725 г. в Петербурге по указу Петра открылась Академия
наук. Так как своих ученых в России тогда не хватало, для работы
в академии были приглашены ученые из-за границы. Среди них был
и математик из Швейцарии Леонард Эйлер (1707—1783). Россия,
куда Эйлер переехал в 1727 г., стала для него второй родиной. Здесь
он неутомимо вел математические исследования и вскоре был признан
первым математиком мира. Эйлер достиг поразительных результатов
во всех известных тогда областях математики, более того, он создал
несколько новых математических дисциплин. За свою долгую жизнь
Эйлер написал почти 900 научных трудов, полное собрание его сочи-
нений насчитывает 72 тома! И это при том, что еще в 1735 г. Эйлер,
выполнив всего за 3 дня необычно сложный расчет движения кометы,
от перенапряжения ослеп на один глаз, а в 1766 г. потерял зрение
полностью. Поистине «творчество Эйлера изумительно и в науке бес-
примерно», как писал академик А. Н. Крылов.
459
(Большая перемена VI)
Л. Эйлер
Н. И. Лобачевский
Из учебника природоведения вы знаете о великом польском уче-
ном Копернике, открывшем, что Земля вращается вокруг Солнца.
Это открытие произвело переворот в представлениях человека о Все-
ленной. А великого русского математика Николая Ивановича Лоба-
чевского (1792—1856) часто называют «Коперником геометрии».
Кем же был Лобачевский и что он открыл?
Вся жизнь Лобачевского связана с Казанским университетом.
Сначала Лобачевский был его студентом, потом работал в универ-
ситете, стал профессором, а позднее и ректором (т. е. руководителем
университета). Одновременное преподаванием Лобачевский вел исследо-
вания в области геометрии. Он поставил перед собой дерзкую зада-
чу — изобрести геометрию, отличную от классической геометрии евкли-
довых «Начал». А ведь в то время авторитет Евклида был непрере-
каем: более двух тысячелетий все математики знали только одну
геометрию и были твердо уверены, что другой быть не может. Лоба-
чевский же смог построить новую геометрию, носящую теперь его имя.
Влияние этого открытия на представления человека о пространстве
можно сравнить только с влиянием открытия Коперника.
Идеи Лобачевского не были поняты его современниками. Их
смог оценить по достоинству лишь величайший немецкий математик
того времени Карл Фридрих Гаусс (1777—1855), которого за много-
численные выдающиеся открытия называли «королем математиков».
Однако и Гаусс побоялся открыто выступить в поддержку Лобачев-
ского. Лобачевский же проявил себя не только как замечательный
ученый, но и как мужественный человек. На протяжении 30 лет он в
одиночестве боролся за свои идеи и не дожил всего 7 лет до того дня,
когда его геометрия получила всеобщее признание.
Каждому случалось наблюдать за прихотливым вращением волч-
ка. Но волчок не только детская игрушка. Крутящиеся с огромной
скоростью волчки (в технике их называют гироскопами) используются
во многих важных приборах. Без них, например, невозможно управ-
лять движением корабля или полетом самолета. Поэтому ясно, как
важно уметь математически рассчитать вращение гироскопа. Первым
этой задачей занялся великий Эйлер, но ее окончательное решение —
заслуга нашей замечательной соотечественницы, первой русской женщи-
ны-математика Софьи Васильевны Ковалевской (1850—1891).
Когда Соне было 8 лет, стены ее комнаты из-за нехватки обоев
©клеили листами из учебника высшей математики. Как потом вспоми-
(Большая перемена VI)
460
нала Ковалевская, «от долгого ежеднев-
ного созерцания внешний вид многих из
формул так и врезался в моей памяти». С
15 лет Ковалевская начала систематичес-
ки изучать высшую математику. В то вре-
мя в России женщины не имели права
учиться в университете. Поэтому, чтобы
получить высшее образование, Ковалевс-
кой пришлось уехать в Германию. Одна-
ко и в Берлинском университете ей не бы-
ло разрешено посещать лекции. Тогда
великий немецкий математик Карл Вей-
ерштрасс (1815—1897), убедившийся в
незаурядных способностях Ковалевской,
стал заниматься с ней индивидуально.
Под руководством Вейерштрасса Кова-
левская уже в возрасте 24 лет получила
ученую степень доктора философии. Вер-
нувшись на родину, она, однако, не
смогла найти работу, соответствующую
ее знаниям: в царской России женщины не
званиям. Поэтому с 1883 г. Ковалевская работала в Швеции в дол-
жности профессора Стокгольмского университета. Именно тогда
она решила упоминавшуюся уже задачу о вращении гироскопа. За
это выдающееся достижение Ковалевская была удостоена премии
Парижской академии, а в 1889 г. по предложению передовых рус-
ских ученых Петербургская академия наук избрала Софью Ва-
сильевну своим член-корреспондентом. Ковалевская была первой
женщиной, чьи научные заслуги были оценены столь высоко. Ее яркий
пример указал многим женщинам путь в науку.
Особого расцвета математика нашей страны достигла за годы
Советской власти. Из многих выдающихся ученых мы назовем здесь
прежде всего имена Героя Социалистического Труда академика Але-
ксея Николаевича Крылова (1863—1945) и трижды Героя Социали-
стического Труда академика Мстислава Всеволодовича Келдыша
(1911 —1978). Оба они сделали много замечательных математиче-
ских открытий и успешно применили эти открытия для решения
важных практических задач. Так, труды А. Н. Крылова служат осно-
вой кораблестроения, его расчеты по непотопляемости судов спасли
жизнь тысячам моряков. Он же разработал правила действий с округ-
ленными числами, очень важные для практических вычислений. С этими
правилами вы познакомитесь в 8-м классе.
М. В. Келдыш открыл способы борьбы с флаттером и шимми —
грозными явлениями, разрушавшими скоростные самолеты. Позднее
он руководил всеми расчетами, связанными с космическими полетами,
был главным теоретиком космонавтики. А с 1961 по 1975 г. М. В. Кел-
дыш возглавлял Академию наук СССР — был ее президентом.
В Академии наук СССР плодотворно работали многие замеча-
тельные математики-академики: Д. А. Граве (1863—1939), В. А. Стек-
лов (1864- 1926), Д. Ф. Егоров (1869—1931), Н. М. Крылов (1879—
1955), С. Н. Бернштейн (1880—1968), Н. Н. Лузин (1883—1950),
В. И. Смирнов (1887—1974), О. Ю. Шмидт (1891 — 1956), Н. И. Мус-
хелишвили (1891 — 1976), И. М. Виноградов (1891 —1983), П. С. Алек-
сандров (1896—1983), М. А. Лаврентьев (1900—1980), И. Г. Петров-
ский (1901 —1987), П. С. Новиков (1903—1975), А. Н. Колмогоров
(1903—1987), И. Н. Векуа (1907—1977), Л. С. Понтрягин (1908—1988),
С. Л. Соболев (1908—1989), А. И. Мальцев (1909—1967), Л. В. Канто-
рович (1912—1986), Ю. В. Линник (1915—1972), В. М. Глушков
(1923—1982), А. П. Ершов (1931—1988) и др. И сейчас в академии
трудится немало крупных ученых-математиков.
461
(Большая перемена VI)
Задания
В заданиях к этой большой перемене мы предлагаем несколько задач из
учебников математики, по которым в разные времена учились дети в нашей
стране. Подборки задач чередуются с небольшими рассказами об авторах этих
учебников.
В 1701 г. по указу Петра I в Москве была открыта Математике-навигац-
кая школа. Ее учителем Петр назначил лучшего математика Москвы Леонтия
Филипповича Магницкого (1669—1739). Магницкий сразу же принялся за
составление учебника для воспитанников школы, и в 1703 г. огромным для того
времени тиражом (2400 экземпляров) был издан первый русский учебник
математики — книга «Арифметика, сиречь наука числительная». «Арифметика»
стала энциклопедией математических знаний своего времени. На протяжении
полувека верой и правдой служила она, как писал Магницкий, «ради обуче-
ния мудролюбивых российских отроков и всякого чина и возраста людей».
По «Арифметике» Магницкого учился и М. В. Ломоносов, назвавший ее «врата-
ми учености». Задачи VI. 1—VI.3 взяты из «Арифметики» Магницкого.
tVI.l. Найти число, такое, что если к нему добавить его третью часть и
от полученной суммы отнять ее шестую часть, то будет 100.
VI.2. Купил некто сукно трех сортов, а всего 106 аршин. Первого купил на
12 аршин больше, чем второго, а второго — на 9 аршин больше, чем третьего.
Сколько же сукна каждого сорта было куплено?
V I.3. Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если
2
ты дашь мне — твоих денег, то я один смогу заплатить ее цену». А второй отве-
О
з
чает первому: «Дай мне — твоих денег, тогда и я заплачу ее цену». Сколько у
каждого из них денег, если корова стоит 24 р?
Леонард Эйлер был не только великим математиком, но и знаменитым педа-
гогом, автором многих учебников как по высшей, так и по элементарной (школь-
ной) математике. Задачи VI.4 и VI.5 взяты из учебника Эйлера «Основания
алгебры», а задача VL6 — это известная задача Эйлера о кенигсбергских
мостах, положившая начало новой математической науке — топологии.
fVI.4. Отец, у которого было трое сыновей, оставил им 1600 крон. Стар-
ший сын получил на 200 крон больше среднего, а средний — на 100 крон боль-
ше младшего. Сколько получил каждый из сыновей?
V I.5*. Осел, жалуясь на свою судьбу, сказал мулу: «Мне нужно только сто
фунтов твоей ноши, чтобы моя стала вдвое тяжелее твоей». На это мул ему ответил:
«Да, это так, но если бы ты мне отдал сто фунтов из твоей ноши, то я был бы
нагружен втрое больше тебя». Сколько фунтов нес осел и сколько фунтов нес
мул?
V I.6*. В городе Кенигсберге (ныне г. Калинин-
град) есть остров, окруженный рекой, через кото-
рую перекинуто семь мостов (см. рнс. 255). Можно
ли обойти их все, проходя только однажды через
каждый мост?
Во второй половине прошлого века большую
известность в России имели книги Александра
Федоровича Малинина (1834—1888), видного рус-
ского педагога, директора Московского учитель-
ского института. Его учебники и задачники по ма-
тематике и физике выдержали множество изданий и даже вошли в
По учебникам Малинина учился Владимир Ильич Ленин. Задачи
взяты из книги А. Ф. Малинина и К. П. Буренина «Руководство
собрание алгебраических задач».
W VI.7. Купец рассчитал, что если он станет продавать сукно
Рнс. 255
поговорку.
VI.7—VI.9
алгебры и
п 3
по 3— р.
р. за
за аршин, то получится убытку 18 р. 50 к.; если же продаст по 4у
аршны, то будет иметь прибыль 37 р. Сколько аршин сукна у него было?
(Большая перемена VI)
462
V I.8. Для перевозки 25 зеркал нанят извозчик с условием заплатить ему по
1 — р. за доставку каждого зеркала в целости и вычесть с него по 5 р. за каждое
зеркало, разбитое им. При расчете он получил 18 р. Сколько зеркал доставлено им
в целости?
V I.9*. В 6 ч минутная и часовая стрелки часов со-
ставляют одну прямую линию. Когда они будут опять
стоять в направлении одной прямой (см. рис. 256)?
Долгую жизнь прожил Андрей Петрович Киселев
(1852—1940). Долгую жизнь прожили и учебники матема-
тики, написанные им. По ним учились ваши бабушки и де-
душки, прабабушки и прадедушки и даже прапрабабушки
и прапрадедушки. Впервые книги Киселева появились в
1880-х гг. А последние издания киселевских учебников ис-
пользовались в школе и в Советское время вплоть
до начала 70-х годов. Конечно, учебники менялись со
временем, Киселев много работал над их усовершенст-
вованием и добился ясности, последовательности и четко-
Рнс. 256
сти изложения. Задачи VI. 10—VI. 12 взяты из книги А. П. Киселева «Арифме-
тика».
fVI.10. Разделить 125 на такие 4 части, чтобы первая часть относилась
ко второй как 2:3, вторая к третьей как 4:5, а третья к четвертой как 6:11.
VI.11. За перепечатку рукописи уплачено 123 р. Перепечатка производи-
лась тремя машинистками. Первая работала 8 ч, перепечатывая по 6 страниц в
час, вторая работала 6 ч, печатая по 10 страниц в час, третья работала 7 ч, пе-
чатая по 8 страниц в час. Сколько заработала каждая машинистка?
VI.12. На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно,
израсходовано 120 л керосина. На сколько хватит 216 л керосина, если 9 таких
же керосинок будут гореть по 8 ч в день?
Кроме учебников, есть всякие другие книги по математике для детей. Про-
читаешь их — и узнаешь немало нового и интересного. Еще до революции пере-
довые педагоги заботились о том, чтобы развивать у школьников любознатель-
ность, наблюдательность и смекалку. В начале столетия появилась интересная
книга Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки», она неоднократно переиздавалась
и до революции, и в последние годы. Много занимательных книг написано
Я. И. Перельманом: «Живая математика», «Занимательная арифметика», «Зани-
мательная геометрия», «Занимательная алгебра». Стоит познакомиться с книгами
Б. А. Кордемского «Математическая смекалка» и Ф. Ф. Нагибина и Е. С. Кани-
на «Математическая шкатулка». А еще напомним вам об «Энциклопедическом
словаре юного математика», где имеется много интересных рассказов по матема-
тике и приведен большой список занимательных математических книг.
Работа с учебником закончена,
но вы не прощаетесь с математикой
Вот и подошла к концу ваша работа с этим учебником.
В самом начале мы сравнили ее с путешествием.
Так что сейчас можно сказать, что путешествие
заканчивается. Означает ли это, что вы прошли всю
страну Математику? Конечно, нет!
Математика огромна, и изучать ее можно без конца.
Начиная с 7-го класса у вас будет уже два математических
предмета: алгебра и геометрия. Позднее к ним добавится
предмет «Основы информатики и вычислительной техники».
При изучении этих и других предметов не обойтись
без знаний по математике, полученных в 5-м и 6-м классах.
А узнали вы немало. Чтобы окинуть все пройденное
одним взглядом, можете снова рассмотреть оглавление.
Так путешественник разглядывает карту пройденной страны,
чтобы вспомнить те места, которые он посетил.
Мы прощаемся с вами. Но вы с математикой не прощаетесь.
Математика настолько нужна людям, что ее изучают в школе
основательно — с 1-го и до последнего класса.
Так что впереди еще несколько лет занятий этой
замечательной наукой.
Желаем вам на этом долгом и интересном пути
успехов!
464
ОТВЕТЫ
Урок 1.
Урок 2.
Урок 3.
Урок 4.
Урок 6.
Урок 7.
Урок 8.
Урок 9.
Урок 10.
Урок 11.
Урок 12.
Урок 13.
Урок 14.
Урок 15.
Урок 16.
Урок 17.
Урок 18.
Урок 19.
Урок 20.
9. На 27 км. 10. 42 дня.
9. а) 200; 6) 430; в) 1513; г) 1; д) 1000; е) 261; ж) 3000;
з) 300. 10. а) И 221; г) 222. И. 28 учеников. 12. 6) 490.
7. 3 открытки. 9. б) 1р. 20 к.; 6 р.
10. 24 000 кВт«ч.
6. б) 10. 7. 207 400; 356 000.
9. 43 200 000 спичек.
8. Может.
5. Коля. 6. а) 46 м; в) на 3 лейки. И. а) 3600 капель;
86 400 капель; б) 252 г; 6048 г.
4. а) 107; б) 600; в) 15; г) 111; д) 1; е) 950; ж) 1332;
з) 1000. 8. а) Бригада Петрова; 6) бригада Иванова;
в) бригада Сидорова; г) бригада Петрова.
2. а) 20; б) 12; в) 41; г) 7; д) 100; е) 2. 5. а) 1200 т;
б) 36 000 т; в) 80 кв. м. 11. а) 7316; 7307; 7363; 8646.
7.6) 1 060 678 900; в) 1 898 781; г) 1 704 257. 8.6) 8057 416;
в) 10 000 000; г) 9 513 006.
3.94 т. 4.2 кг 300 г. 7.431 579 деталей. 8.22 402 тыс. кв. км.
9. 560 коров. 10. 134 200 библиотек.
11. 6) 864 197 532; в) 228 637 569; г) 279 317 499.
13. б) 95 095 906; г) 32 926 812; д) 35 053 498.
6.45 стр.; 62 стр. 8. 12 ч. 9. На 54 600 кв. км. 14. 214 дм.
16. а) 10 004 995; б) 108 835 459; в) 10 124 275.
7. На 4 ч; на 0 ч. 8. а) 18 прямоугольников; 8 квадратов;
на 2; б) 12 прямоугольников; 6 квадратов; на 0.
8. б) 143 630 361 600; в) 55 600 845. 12. б) 1 и 12; 2 и 6;
3 и 4; в) 1 и 18; 2 и 9; 3 и 6; г) I и 25; 5 и 5; е) 1 и 7.
4. б) 1875 кг. 7. 2 р. 8. а) 10 млн. 200 тыс. тетрадей.
11. а) 204 кв. дм; б) 2883 кв. м.
10. в) 10 201; г) 12 321; д) 15 129; е) 22 500; ж) 3 375 000;
з) 97 535 376. 14. б) 4=22; 8 = 23; 32 = 25 *; 128 = 27 8 9 * 11; в) 5 = 5';
25 = 52; 125 = 53; 625 = 54.
12. 25 г. 13. 50 см.
465
Урок 2 /. 5. в) 5205; д) 506; е) 638; з) 1060. 6. В 9 раз. 7. б) 1001. 9. б) Частное 27» остаток 2; г) частное (59, оста- ток 9; д) частное 3657, остаток 201; е) частное 3257, остаток 0.
Урок 22. 4. В 6 раз. 5. 62 км/ч. 8. В 17 раз. 9. 11 кг с 1 кв. м. 13. а) 576 729; в) 5161; г) 419 669; д) 4; е) 9852.
Урок 23. Урок 24. 6. б) 3. 8. а) 1 210 632; в) 20 703 975. 9. 16 кг. 5. б) 750 км; г) 430 км. 6. 20 мин. 7. 6 мин. 8. 6 ч. 9. 15 км. 10. а) 4 ч; б) 360 км.
Урок 25. 2. а) 2561 млн. кв. м; б) 1510 млн. кв. м; в) 4071 млн. кв. м.; г) на 499 млн. кв. м. 3. в) 1 кг 200 г; г) 3 кг. 8. а) 536 м; б) 12 км. 10. За 6 мин. 11. а) 4 мин.
Урок 27. 10. Через 4 с.
Урок 28. 4. б) 812; г) 2701. 5. 2010; 1732; 1326; а) при fe=37; б) при k = 52. 6. б) 129; г) 42. 7. в) 1; г) 77 444.
Урок 29. 2. б) с:сг, в) п:р. 3. 21 -а*Ь; 315 k. 7. 24 км; 24 км; 48 км; 96 км.
Урок 30. 3. а) 3 210 636; б) 10 313 802; в) 2 846 338; г) 4697; е) 3687; ж) 697 908; и) 0; к) 43 743; м) 581. 4.1554.
Урок 31. 3. а) 25 деталей; б) за 10 мин; в) 77 мин; г) 115 бутылок; д) 15 воробьев.
Урок 32. 2. а) 3; б) 773 378; в) 46 878. 3. 9498; 4122; 3618. 9. а) 192; в) 543; д) 283 657; ж) 207; и) 3709; л) 4 150 512; м) 559 512. 10. 9 и 7 воробьев. П. а) 26 ч; б*) 4 ч; в) 14 ч.
Урок 33. 8. б) 199; в) 850; г) 530; е) 1684. 11. в) З‘а+2-с+4-m; г) 3-а-|-3-б + З-с; е) 2*а-}-2-6 + 2-г; ж) З-х-^З; з) 3*а + 44. 12. г) 89; д) 273; е) 100. 13. а) 338. 14. а) 162.
Урок 34. Урок 35. 4. в) 5034. 5. а) 12 см. 6. Проиграл 2 партии. 8. Через 2 ч. 6. б) 3774; в) 122 418; д) 3 308 067; е) 1 358 028. 9. в) 720«£*/п*л; д) 168«&»m-n; е) 72«а«6*с. 10. б) в) 21 •т2'П2\ г) a*b»ox\ е) x2-y-z2. И. За 11 ч.
Урок 36. 4. 6)32; в) 37; д) 94; е) 84; з) 186; и) 260. 6.9 коробок. 7. а) Через 8 мин; б) через 11 мин; в) за 20 мин.
Урок 37. 7.6) 15 870; в) 6888; 8.6) 8330; г) 27 200. 10. а) 22; 242; 2442; б) 20; 225; 2280; в) 140; 1520; 15 300. 11. а) 80; б) 11; в) 24; д) 14; е) 27. 12. а) 161; б) 143; в) 256; г) 315.
Урок 38. 5. б) 14; в) 8; г) 4. 9. а) 280; 380; 620; б) 40; 310; 1170; в) 236; 1756; 8716; г) 759; 5835; 59 355. 10. а) 10; б) 5; в) 7; г) 49; д) 8; е) 12; ж) 7; з) 21. 11. а) 8«а-Н9; б) Ю-х + 2; в) 1О‘&+16; г) 19-//+51. 12. 16.
Урок 39. 1.39 и 72. 2. 186 и 1-29. 3. 59, 76 и 101. 5. а) 3; б) 14; в) 0. 6. а) 3; б) 37; в) 0. 7. а) 3; б) 41; в) 0.
16 Учебник-собеседник
466
Урок 40.
Урок 41.
Урок 42.
Урок 43.
Урок 44.
Ур&к 46.
Урок 48.
Урок 49.
Урок 50.
Урок 51.
Урок 52.
Урок 53.
Урок 54.
Урок 55.
1. 6 ложек яблочного и 12 ложек грушевого. 2. 375 кв. м под
морковь, 1125 кв. м под капусту. 3. 4 т и 16 т. 4. 12 и 72.
5. 14 и 70. 6. 36 и 12. 7. 260 и 26. 8. а) 8 см и 16 см.
9. 15 см и 5 см. 10. 378 и 54. 1!. а) Не успеет; б) успеет.
2. а) 480; 1692; 77352; б) 165; 1375; 62 975; в) 621; 6669;
20412. 4. а) 152; б) 1663; в) II; г) 18. 5. а) 37; 74; 111;
б) 111; 222; 444; г) 15 873; 31 746; 63 492. 7. 186 100 кв. км.
8. 30 672 млн. т. 9. а) 33 см; б) 24 см. 10. 181 марку.
Н. 476 плиток. 12. а) 3 мин; б) 2 мин; в) 6 мин.
3. б) К 251-у км. 5. а) 88 кг; б) на 22 кг.
8. а) 18 534; 6) 8903; в) 101; г) 168. 10. 59 саженцев; нель-
зя. 14. 39-й и 43-й по 24 стр., а 46-й и 50-й по 16 стр.
7. б) 165; 153; 150; 144; 141.
6. б) 1008; 1017; 1026. 7. а) 69; 105; 162; 1023.
7. 74 корзины; 9 бутылок. 8. а) 7 кляссеров; 27 марок.
2. а) 53 воскресенья, 52 понедельника; б) 53 воскресенья,
53 понедельника, 52 вторника.
7. б) Нисколько. 10. 3 прямоугольника из 12 спичек.
12. Не может.
6. б) -^7. 8. б) м==25 см; в) — м = 20 см; г) м =5 см;
4U 4 о 20
д) i м==4 см. 10. 6-й А — 200 кг; 6-й Б — 150 кг; 6-й В — 75 кг;
5-й А — 50 кг; 5-й Б — 100 кг; 5-й В — 25 кг. 11. На лыжах
500 м, на коньках 250 м, на роликовой доске 125 м, ведение мяча
50 м, пропрыгать 40 м, пробежать в мешке 25 м, проползти 10 м.
12. Антракт длится 15 мин; масса порции мороженого 100 г.
93 24 910
,ta)44: 6>5Г 12’б)15888’ >3- в) 40 см; д) 110 см;
ж) 200 см. 14. в) 500 г; д) 400 г; е) 400 г. 15. В будни 9 ч,
в воскресенье 10 ч. 16. 180 см; 80 кг.
_ 7 19 190 о 15 366 <Л 56
5. -г- см. 6. -х- см. 7. —. 8- те • 9. 7=7. 10. б) —.
4 6 340 45 474 7
7 8 16 42 93 2 4 5 8 11 П
*’ б) 40’ 40’ 40' *’ 40’ 40’ В) 5’ 5’ 5’ 5' 5’ 5’
1 । 1 1 1
г) 8’ 6’ 5’ 4’ 2' 8 *‘б) 1’ 2’ 3’ 4’ 1’ 2’ 3’ 4’
—, Д-. 10. а) С солнечной погодой; б) С пасмурной погодой без
5 о
снега. 11. а) На яблоки; на хлеб; б) остались.
8. в) 25+Ц; г) 85+^. 9. в) 3^ ; г)3^; е) 29^;
37 1U1 bl 1U3 оЗ
467
, . 175 , .607 ,, 1 . ,, 16 ... 63
ж) l4gl ; з) 6986- 10. б) 10и ; в) 11 19; д) 45100-
е) 17Т^л- lt 33| оборота, 1^-с. 12. 1||м. 14. 8^-кг.
1UOO о 100 1Ь о
Урок 56. 4. в) Между 10 и 11; г) между 15 и 16; д) между 15 и 16; 96 л 103 7 120 , 1 4 7 24 е) между 5 и 6. 8. б) , 9, —, 10— , —; в) -у, -у. у. £3 • 15 о 98 200 41 io 1 > 42 i± 12 А *23’ 9‘ °' 6’ 14’ 3 ’ J 3 ’ 40’ 40’ 10’ 9’ 7 —. 11. На участке 2'го звена; 2-е звено, 3-е звено, 1-е звено. 13. б) 4.
Урок 57. 2 7 110 6. б) 17— мин. 7. г. 8. В колхозе «Луч» кг, 6 100 юь „ . 50 в колхозе «Маяк» И кг.
Урок 58. 3. в) 4; г) 2. 5. 2 дм. 6. а) ; б) ~. 7. а) Петя и Коля; б) Петя и Вася; в) никто.
Урок 59. „ 1490 , 9584 . 26 962 . 97 503 . . ,45 3’ б) 63 ’ В) 99 ; ° 251 ; Д) 789 ’ *’ В) 1 8 ’ г) 11; д) 2у е) 0. 5. б) 4 = в) ; г) 7. 6. б) 2^; g в) 4—; е) 6; ж) 4; з) 9. 8. 15 недель; 65 дней и 40 дней. 1953 ,344 „ , „„ 1 ,, , 7
Урок 60. 7.6) у-; г) 9. а) 37— кв. см; б) l^x дм. 10. а) 4 ч; б) 57 т- 1>- а) 4- ,2- а) 124 очков- D Z 1 О * « 15 6 13. б) п; г) у. 16 24 1 3 81 99 5 _20
Урок 61. 3’ б) 18“27’ 10“30’ В’ 99—121 ’ 4 16’
Урок 62. 2. 6 ч; -i- часть суток. в. а) ; б) gg; в) 1; г) 43; . 35 ,184 е) 27: з) у; и) 1; л) 6. 7. Витя. 8. а) 5; в) 15. 40 40 4П 10. а) 466— м; 600 м; б) 2000 м; 2666— м; в) 2666^ м; 4000 м. OU О0 00
Урок 65. 6. б) 8; г) 100. 7. б) Одно; г) два. 8. б) Между 16 и 17; д) между 100 и 101.
Урок 66. 8.6)16,147; г) 2,4379; ж) 48; л) 0,08; п) 0,0093; у) 22,353; х) 0,001. 9. б) 5,723; г) 0,137; е) 9,73. 10. б) 20,417; г) 13,6653. 11. б) 22,75; г) 21,96. 12. 6,37; 10,47; 7,504;
468 1,53; 1,85. 13. б) 26,174; г) 2,691; е) 2. 14. б) 126,674; д) 4,87. 19. 7,439 км; 7,134 км; на 0,305 км.
Урок 67. 8. б) 0,0954; д) 10. 9. б) 60,43 ц; 6043 кг; 6 043 000 г; в) 80 к. 10. в) 12,345 млн.; 4,0032 млн.; 0,56043 млн.
Урок 68. 4. б) 0. 6. в) 898,8; г) 94,5; е) 14,32; к) 0,0184; м) 24,6574; о) 0,226576; р) 12 198,767608. 7. г) 9,1231. 10. б) 74,92821; г) 19,1906. 11. 9,12 м. 13. 13 кг 195 г. 15. 3,286 млн. человек. 16. в) 12,2 км; 18,3 км; 915 км.
Урок 69. 4. в) 7,02; е) 8,003; з) 0,054; л) 0,75; п) 2,6; р) 1,5. 5. б) 0,25; г) 2,25; и) 0,48; л) 0,388. 6. б) 3,56; е) 3,35; з) 1,365. 9. а) В 27,5 раза; б) в 2,5 раза. 10. 19 698 кг; со 2-го поля больше на 2310 кг. 11. 18,8 мм и 22,5 мм. 12. г) 0,79 кг.
Урок 70. 5. б) 10,3; в) 204; е) 2,01; м) 38,4; п) 0,8; с) 4,375. 6. б) 0,57; г) 17; з) 0,1. 7. б) 31; г) 35,08. 9. б) 17,03. 10. в) 16; г) 50,4; д) 1; е) 10; ж) 153; з) 7,4. 11. 1,953125 м/с.
Урок 71. 4. а) 54,675; в) 32,77; д) 1,01; ж) 0,09. 6. а) 3,1; б) 27,9984. 7. а) 34,08; б) 0,02898; г) 2,43. 8. а) 8,5; 4,75; 15,4; 20,85; б) 12,6; 1,08; 14,18; 6,56; г) 14,4; 31,26; 2,58; 44,46. 9. б) 7; г) 3; е) 0,425; ж) 12,5; з) 3,59. 10. б) 3,6-д.
Урок 73. 1. б) 0,6; г) 0; д) 3; е) 0. 3. а) 3,6; б) 1,8; в) 2; д) 4; е) 0. 4. В 1674 раза. 5. В 97,8 раза; в 95 раз. 6. а) Через 14 мин. 7. а) За 10 ч. 8. а) 0,675 ч. 9. 60,84 кв. мм.
Урок 74. 5. в) 1 р. 97 к.; г) 73 к.; д) 1 р. 9 к. 8. б) а«0,1; д) а«7,2; з) а«9,0; и) ах 10,0.
Урок 76. 6. б) 38 м; в) 633 м. 7. б) 715 кг; в) 277 кг.
Урок 77. 4. а) 2-я бригада в 1,5 раза; б) 0,4; 0,6. 7. а) 0,67; б) 0,33; в) в 1-й день. 12. Бригада Иванова — 2048 р. 20 к; бригада Петрова — 2560 р. 25 к; бригада Сидорова — 2706 р. 55 к.
Урок 78. 9. 25,2 кг; 16,8 кг. 11. Меди — 5,5 т; сурьмы — 0,14 т; свин- ца — 4,06 т; серебра — 4,05 т; цинка — 2,25 т. 12. Муки — 2 т. 25 кг; манной крупы — 50 кг; кормовых отходов — 425 кг.
Урок 79. 3. б) 84%; г) 24%; е)125%; з) 100%. 6. б) «31,04%; «5,57%; «17 96%; в) на 22%. 10. а) 205 кг. 12. б) 40 г; 200 г; 700 г. 13. б) 1,28 кг; 1,12 кг; 0,96 кг. 14. в) 50%. 15. «9%.
Урок 80. 2. 1 581 120 машин. 3. 2 761 290 000 ударов. 4. 937 502 803,46 км.
Урок 81. 1. в) 198 к. 2. б) 10 к; в) 35 к. 4. Столько же. 5. б) Число 20 больше. 8. б) 318 р. 36 к.; г) 318 р. 24 к. 9. 150 т.
Урок 82. 8. в) 28,175 кг; на 15%.
469
Урок 83. 6. а) 11,88 кв. см. 8. 5 кг 360 г.
Урок 84, 10. 0.5 дм.
Урок 86. 6. в) 9,42 км; г) 20,096 мм. 7. а) В 3 раза; б) в 3 раза. 8. а) « 12 700 км; 6) «10 915 км; в) «4 371 000 км. 9. 67,824 км/ч.
Урок 90. 6. в) 20°. 7. б) 14,5°; 8,75°; 34,25°; 67,3°. 8. б) 26°30'; 11° 15'; 50°20'24"; 36°20'42"
Урок 91. 9. а) На 90°; на 30°; на 6°; На 240°; б) за 10 с; за 10 мин; в) на 30°; на 180°; на 15°; на 0,5°; г) за 2 мин; за 2 ч. 10. а) 10 ч или 22 ч; б) 17 ч 30 мин, 12. 3778 км.
Урок 92. 1. На 10 см. 8. 160°. 9. а) Через 21 ч; б) 15 суток. 10. а) 1350 м; б) «14,7 с. 11. а) 120°. 12. 256 кв. см.
Урок 93. 6.3 429 904 м2; 3,429904 км2; 34 299,04 а; 342,9904 га. 9. а) 4000 кв. бумбамсов; б) 600 ковров. 10. 125,6 см2. 12. 64 мм-2.
Урок 94. 5. 10,5 м2. 6. в) 6 см2; г) 3 см2. 9. 16,5 а. 10. в) 2,5 см2
Урок 95. 3. а) 28,26 см2; б) 314 м2; в) 6,1544 км? 12. а) 1,75 мм2
Урок 96. 6. а) 0,39; 0,41; 0,20. 9. а) 0,636; 0,058; 0,066; 0,157; 0,083.
Урок 97 9. б) 6-а2. 10. а) 136 см2; б) 8500 м2.
Урок 98. 8. 120 ч. 9. а) Хватит; б) не хватит.
Урок 99. 14. а) 1,5 м3; б) 3,6 т. 16. а) 55 ч.
Урок 100. 3. 21 рулон. 9. а) 72 кубика. 10. б) 6 см.
Урок 104. 3. б) 2-3-7; г) 3-37; е) 23-З3; з) 23-53; и) 24-32-52 5. в) 3; г) 2, 5, 7; е) 2.
Урок 105. 12. 25 см; 345 плиток.
Урок 106. 10. 2 ч 24 мин.
Урок ПО. . 71 ,35 ,1 .. х. 2Э. . ™ «е 17 4* б) 48’ Г) 144’ 72 36 ’ В) 5‘ 99’
Урок 111. 47 41 29 41 2 1 11 8. IL 8V т- 12’ 2V ч’ 14’ 2977 ’ 36 36 36 36 5 3 41
Урок 113. 15. 45 км; 27 км. 16. 385 рисунков. 17. 210,5 млн. га.
Урок 114. 4. 30 августа; может. 5. В 3,375 раза.
Урок 118. 8. а) 17 л; б) 30 см3. 9. б) 30; г) 91.
Урок 119. 2. 13 г. 6. 12,75 кг. 8. 770 г; 3,5 л; 105 г
Урок 121. 6. б) 8 см; 18 см; 12 см; в) 12 см; 27 см; 18 см.
Урок 123. 4. 1420 мл. 6. а) 1000 см; б) 400 км.
Урок 124. Урок 125. 2. б) 1:250 000. 3. б) 1:400 000. 2. Нет. 4. б) 250 г.
470
Урок 126- 6. 84 детали; 105 деталей; 91 деталь. 7. 15 человек; 20 человек;
25 человек. 8. Ане 22 к.; Кате 66 к.
Урок, 130. 6. 10 км/ч.
Урок 131. 15. б) 1; в) 0,7.
Урок 133. 4. а) 21 кг; 13,2 кг
Урок 137. 8. б) 6,2; г) —1,7; е) —6,6; ж) 4,3; и) —0,8.
Урок 138. 5. 495 л; 11 880 л. 6. 46-^ м/мин.
О
Урок 139. 10. з) —5,275; к) 0,3. 23. «16,2 м2. 24. а) 112,32 л;
б) «21 см.
Урок 141. 2. а) 17—t б) на 58%.
Урок 142. 6. б) 2,2; г)
29 2
Урок 144. 5. а) 0,125; б) -0,455; г) -1 —. 6. б) I; г) -178—.
уи □
Урок 147. 4. а) —172,01; б) —1,26; в) 1бХ
Урок 151. 4. б) 8 мин; 2 км. 5. а) 8 км; 0,5 ч; 16 км/ч; б) 8 км/ч;
в) 12 км/ч.
Урок 152 3. а) 20 мин.
Урок 153. 5. ж) — 2,64-ги; з) — 2,3 —х; и) ^ — 6; к) 0,8.
Урок 154. 4. а) 42; б) —10; е) -14,95. 6. а) —1,2; 14-?-; 0; —6.
О
Урок 155. 5. а) —1,5; -4,3; -7,66; -3,7. 6.6) 3; в) 0. 7. 170 г олифы
и 680 г мела.
Урок 156. 4. а) —54; —16,2; —47; —33; 19,5.
Урок 157. 5. а) 1; б) нет; г) 1 и 0.
Урок 158. 7. 36 гусей.
Урок 159. 4. 2 к. 5. —3. 6. 70 м. 9. 90 к. 10. 3 ветки, 4 галки.
Урок 160. 3. На 8 воробьев. 4. На 19,2 км. 14. 9 пакетов по 5 кг и
15 пакетов по 3 кг. 15. а) 15 м/с; 225 м; б) через 1 ч 20 мин.
17. 3 котенка.
471
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уроки
Абсцисса точки 150
алгебраическая сумма 153
ар 93
Бесконечная десятичная дробь 143
биллион 7
буквенное выражение 26
Взаимно обратные числа 112
выражение буквенное 26
— числовое 2
вычитание десятичных дробей 66
— натуральных чисел 14
— обыкновенных дробей 58, 110
— рациональных чисел 137
Гектар 93
гипотенуза 88
градус 89
градусная мера дуги 91
----угла 89
график зависимости 151
Деление десятичных дробей 70
— натуральных чисел 20
-------с остатком 21, 48
— обыкновенных дробей 111
деление рациональных чисел 139
делитель 101
— общий 105
диагональ 85
диаграмма круговая 96
— столбчатая 120
диаметр 86
длина окружности 84
— отрезка 86
доля единицы 51
дробная часть 55
дробь 52
— десятичная 63
Уроки
— неправильная 54
—^несократимая 108
— обыкновенная 63
— правильная 54
дуга 91
Зависимость обратно пропор-
циональная 123
— прямо пропорциональная 122
закон сложения
----переместительный 33
----сочетательный 33
— умножения перемести-
тельный 35
•---сочетательный 35
значение числового выраже-
ния 2
Катет 88
квадрат 32
— числа 19
класс (группа разрядов) 7
координата точки на прямой 128
координатная плоскость 150
— прямая 128
координаты точки на плоско-
сти 150
корень уравнения 157
коэффициент 154
— обратной пропорциона-
льности 123
— пропорциональности 121, 122
кратное 44
— общее 106
круг 96
куб 97
— числа 19
Литр 98
луч 85
472
Уроки Уроки
Масштаб 124 — прямоугольника 93
микрокалькулятор 63,71, 142 — треугольника 94
миллиард 7 подобные слагаемые 155
миллион 5 показатель степени 19
многоугольник 82 положительные числа 128
модуль числа 131 приближение с избытком 143
— с недостатком 143
Наибольший общий делитель 105 приближенное значение с из-
наименьшее общее кратное 106 бытком 74
натуральное число 1 с недостатком 74
нечетное 43 признак делимости на 2 45
простое 102 на 5 45
составное 102 — — на 10 45
четное 43 на 3 46
натуральный ряд 4 на 9 46
начало координат 150 прирост И
— отсчета 128 производительность труда 18
неравенство 9 пропорция 117
нуль 16 простое число 102
нумерация 5 противоположные числа 367
процент 78
Общее кратное 108 прямая 85
общий делитель 105 прямоугольная система коор-
объем куба 99 динат 150
— прямоугольного парал- прямоугольник 82
лелепипеда 99 прямоугольный параллелепи-
округление чисел 74, 75 пед 97
окружность 86
ордината точки 150 Равенство 2
оси координат 150
основание степени 19 радиус 86
основное свойство дроби 61 распределительный закон 37
пропорции 117 рациональные числа 130
отношение 116
отрезок 35 Сектор круга 95
отрицательные числа 128 система счисления 5
скорость 18
Параллельные прямые 149 сложение десятичных дробей 66
переместительный закон сло- — натуральных чисел 12
жения 33 — обыкновенных дробей 58, НО
умножения 35 — рациональных чисел 136
перпендикуляр 148 составное число 102
перпендикулярные прямые 148 сочетательный закон сложе-
плотность вещества 118 ния 33
— населения 77 умножения 35
площадь квадрата 93 среднее арифметическое 173
— круга 95 сформулировать 4
473
Уроки Уроки
схемы задач на вычитание 15 — рациональных чисел 139
на деление 22 уравнение 30, 157
на сложение 13 урожайность 18
на умножение 13 Формула 29
Треугольник остроугольный 88
— прямоугольный 88 Хорда 86
— равнобедренный 88
— равносторонний 88 Целая часть дроби 55
— разносторонний 88 целые числа 130
— тупоугольный 88 цена 18
триллион 7 цепочка неравенств 10
— равенств 10
Угол 87
— острый 87 Числа, пропорциональные дан-
— прямой 87 ным 121
— развернутый 87 число, обратное к данному 112
— тупой 87 — отрицательное 128
умножение десятичных дробей 68 — положительное 128
— натуральных чисел 17 число рациональное 130
— обыкновенных дробей ПО — целое 130
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Учитывая нетрадиционный характер настоящего учебника, мы считаем целесо-
образным коснуться в данной пояснительной записке ряда основных принципов,
которыми руководствовались авторы, и указать на вытекающие из них способы
решения в учебнике соответствующих психолого-дидактических задач. Рамки
записки не позволют, конечно, сделать это с достаточной полнотой. Мы фокуси-
руем внимание лишь на тех установках, учет которых считаем особенно актуаль-
ным, и на тех дидактических приемах, которые, быть может, в большей степени
несут в себе черты непривычности.
1. Некоторые соображения о том, каким хотелось бы
видеть учебник математики для детей
Хотя многие из высказываемых ниже тезисов можно, по-видимому, отнести
к учебникам математики для любого класса средней школы, мы преимуществен-
но будем иметь в виду ту возрастную категорию, которой адресован наш учеб-
ник, т. е. детей 10—12 лет. В этом возрасте начинается изучение системати-
ческого курса школьной математики, поэтому особенно важно, чтобы учебник по-'
могал воспитанию необходимых навыков математического мышления и заинтересо-
ванного отношения к математике вообще. Мы убеждены в том, что для про-
гресса в этом деле более чем желательна реализация тех установок, о которых
ниже пойдет речь. Что касается способов такой реализации, то, конечно, они
могут оказаться разными. Веря в эффективность предлагаемых нами подходов,
мы вместе с тем являемся сторонниками идеи многовариантности. Эта идея
предусматривает право учителя на выбор методик и учебников, равно как и
обеспечение реальной возможности такого выбора.
1.1. Об объяснительных текстах в учебнике
Основу учебника составляют его объяснительные тексты. От них в опреде-
ляющей степени зависит то, в какой мере учебник сможет обеспечить выпол-
нение принципиального требования — учить мыслить. На практике же
сложился стереотип, согласно которому объяснительные тексты носят характер
скучноватого конспекта, излагающего преимущественно формулировки определе-
ний и правил, а также отдельные примеры и образцы алгоритмов для вы-
полнения заданий. Такой стереотип наделял учебник математики, скорее, чертами
аннотированного (в большей или меньшей степени) задачника. Он настраивал
учащегося в основном на запоминание, но не на творческую мыслитель-
ную работу с учебником.
Нам кажется, что без отказа от упомянутого стереотипа не удастся добиться
существенного повышения уровня преподавания математики в школе. Учебник дол-
жен по-настоящему объяснять материал, а не бегло и схематично сообщать его.
Выполнение данного условия потребует, конечно, большей развернутости текстов.
Может возникнуть вопрос: не будет ли это противоречить известному прин-
ципу краткости? Наша точка зрения состоит в том, что требование краткости ни
в коем случае нельзя абсолютизировать. Догматическое следование ему и превра-
щение краткости в самоцель несут в себе опасность появления куцых текстов,
вряд ли способных эффективно выполнять обучающую функцию. Отметим, что
475
суждение о дидактической неполноценности слишком кратких текстов давно изве-
стно и многократно в той или иной форме высказывалось в научно-методи-
ческой и публицистической литературе. В числе распространенных недостатков
современных учебников (и не только по математике) нередко называют именно
чрезмерную краткость, наличие недостаточно полных и расчлененных объяснений.
При этом подчеркивается, что подобные объяснения, содержащие пропуски
элементов, нужных для понимания, отнюдь не снижают нагрузку учащегося,
но ведут к снижению эффективности усвоения. С другой стороны, известны и
суждения, выражающие сомнения в том, что дети будут читать развернутые
тексты. По этому поводу хотелось бы заметить, что все зависит от того, каков
характер текста: наукообразный текст с длиннотами будет, конечно, скучен,
малопонятен и утомителен, но динамичный текст может быть интересен и увле-
кателен.
С характером текста тесно связан объем учебника. Он должен предусматри-
вать возможность и хороших объяснительных текстов, и достаточного набора
задач и упражнений. Ясно, что если при этом объединить под одной
обложкой материал 5-го и 6-го классов (как это было предписано условиями
конкурса), то получится тяжелая — в буквальном смысле— книга, пользоваться
которой и носить которую в школу ученику было бы неудобно. Представляется
целесообразным иметь для каждого из этих двух классов отдельный учебник.
Можно было бы сохранить один учебник «Математика, 5—6», но разделить
тогда функции учебника и задачника. В этом случае учебник, кроме объясни-
тельных текстов, будет содержать лишь столько задач и упражнений, сколько
требуется, чтобы представить все основные типы таковых. Серии же разнообраз-
ных «дублирующих» задач, а также многочисленные упражнения тренировочного
характера будут помещены в задачник. Последний при этом мог бы в отличие от
учебника быть более «мобильным», чаще обновляться. Заметим, что разделение
учебника и задачника было бы, вероятно, полезным и при наличии отдельных
учебников «Математика, 5» и «Математика, 6».
Еще один вопрос, который необходимо затронуть в контексте обсуждений дан-
ного пункта,— соотношение объяснений учителя и объяснительного текста учебни-
ка. Существует точка зрения, что основной груз объяснений ложится на плечи
учителя, а учебник должен лишь напомнить ученику сведения, с которыми тот
познакомился на уроке, а поэтому и нет нужды в подробных объяснениях в
учебнике. Что этой точке зрения можно противопоставить?
Во-первых, даже при самом ярком и талантливом объяснении учителя на
уроке восприятие материала каждым отдельным учеником не может быть вполне
адекватным по очевидным причинам (рассеянное внимание, недостаточный уровень
предшествующего развития, замедленная скорость восприятия и понимания и т. п.).
Во-вторых, к моменту домашнего чтения ученик забывает многое из рассказан-
ного на уроке, и отсутствие эффективной поддержки в тексте учебника не позволит
ему понять и усвоить материал должным образом.
В-третьих, не секрет, что, нередки еще, к сожалению, серые и безликие уроки
математики. Если в таких случаях не компенсировать их привлекательными и
добротными объяснительными текстами учебника, то ученик начисто лишается
возможности получить хорошее объяснение материала.
В-четвертых, довольно велик и устойчив процент (как известно, порядка 10%)
пропусков учениками занятий по болезни и другим причинам. В таких случаях
ученик вообще не получает по пропущенным темам обучающего источника, кроме
учебника.
Вывод из всего сказанного очевиден: учебник математики должен иметь до-
статочно автономный и хорошо организованный объяснительный текст. В идеале
такой учебник должен быть пригоден для самообразования. И уж конечно, только
учебник с полноценным объяснительным текстом создаст реальную возможность
для организации учителем самостоятельной работы учащихся,
что, как известно, является задачей принципиальной важности. Талантливому
учителю такой учебник никоим образом не помешает выстраивать при желании
свою собственную линию объяснения. Но многим учителям он поможет находить
лучшую методическую обработку излагаемого материала. Наконец, что тоже не-
маловажно, такой учебник создаст хорошие предпосылки для участия роди-
476
телей в процессе обучения. Известно, что многие родители, желающие помочь
своим детям в учебе, испытывают подчас трудности, не находя в учебниках
должной методической поддержки. Наличие в учебнике более комфортного текста
предоставит родителям в этом отношении лучшие возможности.
1.2. О задачах, включаемых в учебник
Научить решению задач — одна из важнейших целей обучения математике.
До сих пор стремление к достижению этой цели в учебниках осуществлялось
преимущественно экстенсивными методами: комплекты включаемых в учебник
задач в основном расширялись. Нам кажется, что здесь имеется разумная аналогия
с другими сферами деятельности, где осознано, что экстенсивный путь развития
себя исчерпал. Мы далеки от того, чтобы недооценивать важность достаточно
большого набора решаемых учебных задач. Но сейчас, пожалуй, особенно актуаль-
ной ощущается проблема совершенствования в учебнике системы специальных
приемов развивающего обучения, в том числе и применительно к решению задач.
Другой существенный аспект — это характер задач. Здесь обращает на себя
внимание то, что ученикам предлагается еще немало задач, условия которых можно
назвать «надуманными». Они, как правило, имеют краткие формулировки, но не
способны возбудить интерес учащихся. При решении таких задач у учащихся до-
вольно быстро создается (и впоследствии нередко так и не исчезает) впечатле-
ние, что математика занимается вещами, для реальной жизни ненужными.
Представляется очевидным, что в тематике задач, включаемых в учебник, должно
происходить заметное увеличение доли таких тем, которые относятся к реальным
жизненным ситуациям, причем охватывают ситуации из детской жизни и из жизни
семьи, содержат важную в воспитательном отношении информацию о жизни страны
и вообще развивают у учащихся умение «видеть математику» в окружающей дей-
ствительности.
1.3. О характере изложения
Тезис о том, что изложение в школьном учебнике должно быть живым и занима-
тельным, стал за последнее время уже общим местом в научно-методической и
публицистической литературе, посвященной проблемам школьного образования.
Однако на деле положение менялось мало: учебникам математики оставалась
свойственна довольно сухая манера изложения. Подобная манера, на наш взгляд,
особенно нежелательна в учебных книгах для детей младшего и среднего возраста.
Неинтересное изложение в учебнике вкупе с унылым преподаванием математики
на школьных уроках (а первое нередко провоцирует второе!) не может не способ-
ствовать созданию у детей представления о математике как о сухом и скучном пред-
мете. Такое представление, увы, весьма распространено.
Вывод также очевиден: и в этом важном аспекте надо переходить от слов к
делу. Мы считаем, что хороший учебник должен быть УЧЕБ НИКОМ-СОБЕСЕД-
НИКОМ. Лишь учебник такого типа может реально способствовать воспитанию
устойчивого интереса к предмету. Такой учебник детям будет интересно читать, с
таким учебником они смогут эффективнее работать. Занимательность учебника
можеть быть повышена многими средствами. Среди них, конечно, и живой харак-
тер изложения, и увеличение доли задач, моделирующих распространенные жи-
тейские ситуации (о чем уже говорилось). Но, имея в виду возраст читателей
учебника «Математика, 5—6», особенно следует подчеркнуть желательность и
арсенала различных специальных приемов — игровых элементов, задач с занима-
тельным сюжетом, загадок и т. п.
В заключение хочется повторить известную мысль о том, что учение — труд,
который нужно сделать радостным трудом. В том, чтобы учение стало
таковым, главное, конечно, зависит от учителя. Но достижение этой цели вряд
ли возможно без учебника, работа с которым вызывала бы у ученика удоволь-
ствие. Мы стремились написать учебник именно такого типа.
2. О некоторых основных особенностях нашего учеб-
ника
Прежде всего, нужно сказать, что мы постарались реализовать те установки,
речь о которых шла в предыдущем разделе пояснительной записки Конечно,
имеются и авторам видны резервы дальнейшего улучшения учебника, и, как уже
было сказано в предисловии, мы были бы признательны читателям за предложения,
направленные на это.
Принципиальная задача, поставленная авторами перед собой, построить
учебник таким образом, чтобы, работая с ним, учащиеся не только приобре
тали знания и навыки, но и учились мыслить Перечислять
и сколь-нибудь подробно характеризовать многочисленные дидактические и методи-
ческие приемы, использованные при этом нами, в рамках пояснительной записки
невозможно (да и вряд ли нужно) Некоторые из них будут указаны в п 2.2—2.4
ниже, но мы надеемся, что внимательный и заинтересованный читатель учебника
обнаружит в нем реализацию целого ряда приемов и помимо тех, о которых
пойдет речь в упомянутых пунктах. В п 2.1 кратко охарактеризованы не
которые композиционные особенности учебника
2.1. Материал учебника, тематическое планирование
и последовательность изложения
Содержащийся в учебнике материал определен программой Сделанные нами
небольшие модификации по части содержания сводятся, по существу, к двум
моментам. Первый — введение в явном виде цепочек равенств и родственного
понятия цепочек неравенств. Фактически цепочки равенств давно используются
в школьной практике, начиная с 4-го класса это важное и удобное понятие,
весьма органичное во многих темах, легко понимаемое и применяемое детьми
То же самое можно сказать и о цепочках неравенств Отсутствие до сих
пор явного рассказа о них в учебниках мы воспринимаем как очевидный про-
бел, в нашем учебнике он ликвидирован Второй момент относится к еще более
стандартному понятию: в теме «Квадрат и куб числа» мы считаем целесообразным
(как это уже практиковалось и ранее) ввести общее понятие степени с нату-
ральным показателем. Оно ничуть не сложнее понятий второй и третьей
степени, зато позволяет во всей полноте продемонстрировать параллель с
заменой суммы одинаковых слагаемых произведением.
Что касается «Тематического планирования», то мы могли бы высказать
определенные замечания по опубликованному его варианту на наш взгляд, в
нем избран не самый удачный вариант структурного деления и распределения
времени. Осуществленные корректировки отражены в предложенном нами струк-
турном делении учебника.
Выбранная нами последовательность изложения почти полностью совпадает
с последовательностью в опубликованном варианте «Тематического планирования»
Небольшое число осуществленных нами здесь изменений продиктовано принци-
пиальными соображениями. Приведем их.
А) Вопрос о том, что дробь не изменится, если ее числитель и знамена
тель умножить на одно и то же число (так называемое основное свойство
дроби), обсуждается уже в 5-м классе в главе «Дробные числа», в конце па-
раграфа «Дроби и действия над ними», д© темы «Десятичные дроби». Без этого
обсуждения вряд ли можно добиться осознанного усвоения равенства десятич-
ных дробей в их позиционной записи. Разумеется, в 6-м классе «основное
свойство дроби» повторяется и служит уже, как обычно, фундаментом для
объяснений действий над дробями, приведения их к общему знаменателю и т. д.
Б) Обсуждение вопроса об округлении десятичных дробей и приближенном
значении числа поставлено нами после параграфа «Десятичные дроби и действия
над ними» в параграфе «Десятичные дроби в практических вычислениях». Мотива-
ционно указанное обсуждение более уместно именно после изучения действий,
478
ибо на практике потребность в округлении чисел возникает чаще всего при вы-
полнении действий над ними.
В) Введение диаграмм в теме «Проценты» (как это рекомендуется в опуб-
ликованном варианте тематического планирования) кажется явно преждевремен-
ным. В самом деле» круговые диаграммы естественнее всего обсуждать только
после темы «Площадь круга»» а столбчатые диаграммы органичнее рассматри-
вать после знакомства с пропорциями. Высказанные соображения и реализованы
нами в учебнике.
Г) Введение отрицательных чисел наиболее естественно, на наш взгляд,
увязывать с их изображением на координатной прямой. Это определило осу-
ществленные нами перестановки внутри темы «Рациональные числа и действия над
ними».
В некоторых откликах на последний вариант программы (в частности,
опубликованных в журнале «Математика в школе») критиковались отрыв темы
«Проценты» от темы «Пропорции» и концентрированное изложение геометрическо-
го материала. Мы, однако, считаем предложенную программой последовательность
изложения тем достаточно оправданной. А именно тема «Проценты» естественней
всего увязывается с темой «Десятичные дроби» (что не мешает, конечно, при
изучении пропорций вернуться к рассмотрению процентов). При такой компоновке
проценты выступают попросту как частный случай десятичных дробей. В этой
связи уместно вспомнить суждение, высказанное в свое время одним из видных
советских математиков и педагогов А. Я- Хинчиным в предисловии к учебнику
А. П. Киселева «Арифметика» (М.: Учпедгиз, 1955): изъяв из учебника спе-
циальный раздел о процентах, он мотивировал это тем, что не следует излишне
выпячивать тему «Проценты» и создавать у учащихся представление, что действия
с процентами являются чем-то принципиально новым по сравнению с действия-
ми над десятичными дробями. Как пишет А. Я. Хинчин, «это представле-
ние затрудняло применение уже приобретенных навыков к задачам, которые
лишь облечены в новую форму, но по существу не представляют ничего
нового».
Что касается геометрического материала в учебнике, то у каждого способа его
компоновки можно найти свои достоинства и недостатки Концентрированное
изложение этого материала позволяет более выпукло, нежели при разрозненном
изложении, подать идею измерения геометрических величин, а учащимся поможет
осоз-нать, что есть такая область математики — геометрия.
2.2. О дидактических приемах в объяснительных текстах
А) Прежде всего, мы стремились к тому, чтобы сделать эти тексты действи-
тельно объясняющими, разумеется на уровне, доступном детям данного
возраста. Осуществить в достаточно полной мере это стремление нам помешали
рамки объема, предписанные условиями конкурса. В частности, изложение мате-
риала 6-го класса проведено далеко не с той степенью развернутости, какую
мы считали бы необходимой.
Б) Особое внимание уделено осуществлению дидактической функции, которую
принято называть мотивационно-стимуляционной. Это делается, во-первых, по ходу
текстов уроков (о наименовании «урок» в учебнике см. п. 2.5), во-вторых, в начале
каждого параграфа. Первый уровень можно назвать мотивацией локального
значения: это постановки естественных вопросов, высказывание текущих гипотез н
т. п. Второй уровень можно назвать мотивацией глобального значения: это форму-
лирование ближайших целей, которые нужно достичь, а также краткий анонс того,
чему будет посвящен параграф. Промежуточный уровень мотивации состоит в
достаточном числе «мотивационных» заглавий уроков; в таких заглавиях довольно
типичны глаголы, а также операционно-проблемные слова и обороты «как»,
«какие», «что такое» и т. п.
Упомянутые приемы проблемного обучения настраивают ученика на осмысле-
ние поставленных целей, стимулируют его внимание и способствуют выработке
столь необходимого оценочного отношения к получаемым сведениям. К этим
приемам добавляются конкретные ссылки на те или иные предшествующие уроки.
479
а также нередкие напоминания фактов (правил, формул), на которые опирается
излагаемый материал. В совокупности все это призвано содействовать созданию
у ученика представления о математике не как о простом скоплении разрозненных
определений, правил, формул, задач, но как о целостной системе, части которой
связаны друг с другом. Важность создания такого целостного представления
очевидна.
В) Мы старались строить изложение в живом (местами даже разговорном)
стиле, будучи убежденными, что лишь такой стиль единственно приемлем для
учебника, адресованного 10—12-летним детям. Использованные при этом средства
довольно разнообразны. Из психологических компонентов такого стиля отметим
повторяющиеся в подходящих местах призывы порассуждать, догадаться о каком-
нибудь свойстве и т. п.
Г) Другим существенным компонентом стиля задуманного нами УЧЕБНИКА-
СОБЕСЕДНИКА является систематическое включение в объяснительный текст
обращений к читателю-ученику. Они двух видов: вопросы по ходу изложения
и небольшие задания. Такие обращения выполняют целый ряд дидактических
функций: они привлекают внимание учащегося к тем или иным важным момен-
там в изложении; осуществляют моментальный мини-контроль усвоения и первич-
ный уровень повторения; способствуют активизации восприятия, внося разнообра-
зие в изложение и разрушая его монотонность. Роль подобных обращений при
домашнем чтении учебника особенно очевидна: они погружают ученика в ситуа-
цию диалога. Но и для работы в классе, как мы надеемся, они окажутся
полезными, в частности, они могут подсказать учителю соответствующую канву
организации диалога с классом.
Д) Еще одним существенным компонентом нашего диалога с читателем-
учеником является созданный нами специальный персонаж — ученик по фамилии
Смекалкин. Введение в учебник такого персонажа позволяет эффективно решить
целый ряд важных дидактических задач: в органичной форме подсказать учащ-имся,
какие вопросы могут и должны естественно возникать при восприятии нового
материала в различных конкретных местах (как известно, одна из важнейших
задач обучения — научить задавать обоснованные вопросы в рассматриваемых си-
туациях) ; учить детей догадываться и вообще воспитывать в них раскованность и
инициативу. Ясно, что, кроме всего прочего, присутствие в учебнике Смекалкина
заметно повышает и степень занимательности изложения. При организованной ав-
торами апробации подтвердились значительные потенциальные возможности этого
приема (например, можно в игровом стиле на школьных уроках поручить какому-
то ученику роль Смекалкина и т. п.).
Е) В учебник введена специальная линия уроков с общим тематическим заго-
ловком «Учимся рассуждать при решении задач» и с разными конкретными подзаго-
ловками. В этих уроках в особо подчеркнутой форме осуществляется обучение
детей рассуждениям. В ряде случаев и текст таких уроков организуется специ-
альным образом (см. уроки 31, 40, 72, 134, 141), чтобы имитировать диалог
рассуждающего ученика-читателя с самим собой. Отраженные в подзаголов-
ках конкретные темы относятся к целому ряду важных элементов обучения
математике: продумыванию условия, поиску разных способов решения задачи,
некоторым специальным вопросам — задачам на движение, задачам на применение
деления с остатком и др.
Ж) Особое внимание уделено одной из важнейших в методологическом
отношении линий—воспитанию у учащихся навыков обнаружения общего в
частном. По существу, речь идет о пропедевтике (на доступном уровне) такого
важнейшего понятия, как математическая модель. Эта линия проводится последо-
вательно: на примерах обсуждается, что общего имеют продемонстрированные
разные конкретные задачи (они превращаются в одну и ту же математическую
задачу), анализируется «обратный ход» — какие практические задачи могут скры-
ваться за одной математической задачей и т. п. Продолжение этой линии осу-
ществляется и в некоторых заданиях.
3) Мы применяем целый ряд известных приемов локальной организации
материала. Упомянем среди них формулировки родственных утверждений с исполь-
зованием «двухэтажных обойм» (типичный прием —формулировка правила
480
умножения о „
.......... десятичном дроби на степень числа 10» см. урок 67). При прочиты-
деления
вании в этих обоймах верхнего ряда получается одно из двух парных утвержде-
ний» при прочитывании нижнего ряда — другое.
И) Характер объяснительных текстов позволяет в принципе любой из уроков
использовать для самостоятельной работы» и учителю предоставляется здесь широ-
кий спектр возможностей. Но три урока задуманы нами специально как уроки для
самостоятельной проработки дома: урок 80 («Учимся рассуждать при решении
задач. Иногда бывает нужно запастись терпением»)» урок 140 («Сложенческо-
умноженческий словарь») и урок 145 («Зачем нужны бесконечные десятичные
дроби»), В качестве следующих «кандидатов» на самостоятельную проработку мы
назвали бы урок 94 («Поговорим о вычислении площади многоугольника») и
урок 124 («Когда бывает нужен масштаб»).
2,3, О дидактических приемах в системе заданий
А) Как отмечалось в п. 2.2, часть заданий вкраплена уже в объяснитель-
ный текст. Это первичный слой заданий, иллюстрирующий в объяснительном
тексте некоторые узловые моменты и подкрепляющий их.
Б) Во второй части каждого урока помещены систематические комплекты
заданий. Они имеют заголовки «Вопросы и задания» (изредка только «Задания»)
и построены по единой композиционной схеме.
В этой схеме сначала идут контрольные вопросы, предназначенные для
повторения и закрепления изложенных в тексте урока понятий и правил. Число
вопросов зависит от содержания урока и колеблется от одного до четырех-
пяти. Система этих вопросов покрывает все основные понятия курса и все основ-
ные правила. Вопросы, прочитанные учащимися дома, будут стимулировать его
познавательную деятельность, заставлять перечитывать объяснительный текст,
тренироваться в ответах на вопросы перед домашними и т. д. Вместе с тем эти
вопросы призваны служить четким ориентиром для учителя при организации после-
дующего опроса учащихся.
Затем в упомянутой схеме идут собственно задания, т. е. упражнения и задачи.
В их отборе и упорядочении действует разветвленная система мотивов: общее
движение от простого к более сложному, сочетание устных и письменных зада-
ний, примеров-упражнений и текстовых задач, формулировок «академических»
и занимательных, заданий «обязательного минимума» и дополнительных. Часть за-
даний предназначена для выполнения в классе, другие — для выполнения дома.
Ориентировочные рекомендации на этот счет содержатся в разработанном автора-
ми тематическом плане, фрагмент которого приведен в разделе 3 данной пояс-
нительной записки.
В) При выборе сюжетов задач мы руководствовались, кроме всего прочего,
установкой, изложенной в п. 1.2,—старались выдерживать линию задач, со-
держание которых приближено к тем или иным реалиям современной жизни
(как детской, так и взрослой). Мы включили немало задач, условия которых
имеют формулировки, носящие характер проблемных ситуаций — когда нужно по-
лучить сведения не по «прошедшим» событиям, а составить «прогноз» по пред-
стоящим. Мы глубоко убеждены, что таких задач на самом деле должно быть
еще больше, но рамки объема не позволили пока реализовать эту сторону в
такой степени, в какой хотелось бы.
Г) Другая линия, которая последовательно выдерживалась нами в учебнике
в целом и в особенности в заданиях,— это линия занимательности. Немало задач
облечено в ту или иную игровую форму: загадка, ребус, занимательный сюжет
и т. д. Два урока в учебнике имеют даже специальные «игровые» заглавия:
урок 39 «Как с помощью уравнений отгадывать математические загадки и пока-
зывать математические фокусы» и урок 47 «Играем в математические
игры».
Д) Особую роль в реализации принципа занимательности в учебнике играет
следующий сквозной прием: в ткань учебника введен специальный персонаж —
клоун. От имени клоуна учащимся предлагаются задачи с широким спектром
психолого-дидактических функций. Это юмористически оформленные мини-расска-
зики с «шифровками» или нелепо выбранными единицами измерения: задачи-
«перевертыши» с бросающимися в глаза ошибками, которые ученик должен распоз-
нать и исправить; задачи с живым сюжетом, решение которых потребует внима-
ния и сосредоточенной работы, и т. д. Введение клоуна призвано, кроме всего
прочего, в большой степени содействовать повышению положительного эмоциональ-
ного настроя детей в процессе работы с учебником. Результаты организованной
авторами апробации подтверждают действенность «задач клоуна» во всех задуман-
ных аспектах.
Е) К «задачам клоуна» по. роли тесно примыкает другой задуманный авто-
рами прием: в учебник введен еще один персонаж — младший брат Смекалкина.
Младший брат задает Смекалкину вопросы или предлагает задания, имитирующие,
как правило, недостаточно продуманные суждения или «ложные ходы» каких-
либо умозаключений. Он нередко попадает впросак, а его оплошности и ошибки
анализируются и исправляются. В тексте учебника эти исправления отчасти де-
лаются от имени Смекалкина, а отчасти они оформляются в виде заданий чита-
телю-ученику. Последний тем самым вовлекается в (оформленный опять-таки игро-
вым образом) важный процесс критического осмысления ситуации, поиска пра-
вильного ответа или решения и объяснения другому своего выбора.
В вопросах младшего брата Смекалкина, а также в некоторых задачах
клоуна воспроизводится ряд наиболее распространенных математических ошибок и
заблуждений, допускаемых детьми этого возраста. Их выявление призвано осу-
ществлять необходимую профилактику. Как мы убедились, учащиеся с большим ин-
тересом и увлечением решают задачи, в которых фигурирует младший брат
Смекалкина.
Ж) Прием «младший брат Смекалкина» подводит нас к реализации известно-
го и важного принципа дидактики — «Уча другого, обучаюсь сам». Специально
реализации этого принципа посвящен следующий применяемый нами прием:
сквозное проведение в учебнике линии «ученик в роли учителя своего соседа по
парте». Это задания, в которых учащемуся предлагается: а) придумать пример или
задачу указанного типа; б) передать их соседу по парте для решения; в) за-
тем проверить решение. Само собой разумеется, осуществление этого приема долж-
но проходить под руководством и под контролем учителя. Мы убедились, что
дети с большим интересом (иногда даже с азартом) вовлекаются в такую
игру-обучение. Учебно-воспитательные функции этого приема достаточно
велики.
3) Один из более частных приемов, реализованных нами в системе зада-
ний,— сюжетная преемственность задач. Речь идет прежде всего о цепочках задач,
когда ответ к одной используется в условии другой, ситуация в которой разви-
вает ситуацию предшествующей задачи. Имеется в виду, что используемые далее
ответы записываются в специальную тетрадь, относящуюся к раздаточным мате-
риалам (о способе выделения необходимых задач см. ниже в п. 2.5).
И) Специально следует сказать о системе задач на повторение. Разумеется,
здесь незачем обсуждать важнейшую роль этого вида заданий. Мы предусмат-
риваем задания на повторение (как закрепляющее, так и подготовительное) в
подавляющем большинстве уроков учебника. Однако мы считаем, что соответствую-
щая рубрика в к н и г е не должна быть надоедливой. Заголовок «Задания на
повторение» мы употребляем для специальных уроков в конце каждого п а р а г р а-
ф а. Мельчить же рубрикацию, помещая подобные заголовки (для небольшого чис-
ла заданий) в конце каждого урока, было бы плохо с нескольких точек
зрения, в том числе и с ком позиционно-эстетической. Учитель сам выделит не-
обходимые для повторения задания из комплекта заданий к данному уроку
(а в случае необходимости — из таких комплектов к другим урокам). Примеры
рекомендаций на этот счет см. в разделе 3 пояснительной записки.
Кстати, также ненужной считаем мы специальную рубрику типа «Задачи для
домашней работы». Разумеется, есть и должны быть задания, выполнять которые
целесообразнее всего именно дома. Но очевидно, что учитель должен иметь воз-
482
можность сам осуществить выбор таких заданий, исходя из конкретной ситуации,
своих взглядов и т. п. Кроме того, явная демонстрация перед учеником рубрики
«Задачи для домашней работы» создала бы у него ненужное впечатление о
якобы существующем специальном жанре задач. В разделе 3 мы приводим ре-
комендации по использованию заданий в классе и дома применительно к материалу
§ L Однако мы считаем свои рекомендации лишь ориентировочными и никоим обра-
зом не стали бы настаивать на неукоснительном следовании им. Повторимся:
учителю должна быть предоставлена свобода выбора н инициативы.
Что касается количества заданий в уроках «Задания на повторение», то нам
хотелось бы, чтобы оно было несколько большим. К сожалению, ограничен-
ность объема помешала осуществить и это намерение.
2.4. О некоторых методических приемах в учебнике
Таковых слишком много, чтобы пытаться даже хотя бы бегло обсуждать их
в пояснительной записке. Среди них есть и давно зарекомендовавшие себя в
учебной математической литературе, и предлагаемые авторами, по-видимому, впер-
вые. Из тех, на которые хотелось бы обратить внимание читателя, упомянем
только три.
Мы предлагаем модифицированное определение уравнения как равенства
вместе с требованием найти неизвестное число, обозначенное буквой
(см. уроки 30 и 157). Такое определение, трактующее уравнение как задачу,
ярче демонстрирует учащемуся суть уравнения и четко выделяет уравнения среди
всевозможных равенств алгебраических выражений. Ведь ереди таких равенств
есть и тождества (например, %4-л = 2х), и функциональные соотношения (напри-
мер, у=— ) — все они попадают под формулировку типа «равенство с буквой»,
которая, увы, нередко предлагается в качестве определения уравнения. Близость
понятий «уравнение» и «задача» (первое есть специальный случай второго) вообще,
как нам кажется, стоило бы оттенять при обучении математике.
Мы предлагаем по две формулировки переместительного и сочетательного
законов, причем в случае сочетательного закона одна из них является новой
(см. уроки 33 и 35). Она, во-первых, отличается компактностью (и, конечно,
легче будет запоминаться учащимися), во-вторых, родственна «классической»
формулировке аналогичного переместительного закона, в-третьих, в полном соот-
ветствии с сутью закона имеет форму констатации факта.
При введении десятичных дробей мы последовательно опираемся на позицион-
ный принцип записи, попросту вводя новые — только не более крупные, а более
мелкие — разрядные единицы. Такой подход обеспечивает перенос на десятичные
дроби всех алгоритмов, изученных ранее для натуральных чисел. При этом
обыкновенные дроби используются для обоснования существования соответствую-
щих разрядных единиц, а основное свойство дроби служит для подтверждения
десятичного принципа перехода от мелких разрядных единиц к более крупным.
Хотим подчеркнуть в этой связи, что, как показывает практика преподавания,
основные трудности при изучении десятичных дробей возникают по причине
слабого усвоения позиционной системы применительно к натуральным числам.
Поэтому представляется целесообразным перераспределить учебное время в пользу
основательной проработки действий над натуральными числами — подлинного фун-
дамента арифметической части курса математики в 5-м и 6-м классах. Тогда и
выработка необходимых навыков обращения с десятичными дробями потребует
меньше времени, нежели указанное в опубликованном варианте тематического
планирования.
483
2.5. О структурных компонентах учебника
и аппарате ориентировки
А) Учебник начинается введением «Как работать с учебником». Мы счи-
таем наличие такого введения необходимым атрибутом любого школьного учебни-
ка. Отметим» что при написании введения мы также руководствовались уста-
новками, обсужденными выше, в частности в п. 1.3.
Б) Для основной структурной единицы мы выбрали название «Урок». Другие
возможные названия мы считаем менее подходящими. Например, слово «пункт»,
с одной стороны, безлико, с другой стороны, лучше использовать его как рабочий
термин в конкретных ситуациях: пункт плана, пункт задачи и т. п. Слово «параграф»
уместнее для более крупных структурных единиц и используется нами именно в
этом качестве: основной текст учебника делится на 18 параграфов, объединенных
в 6 глав, по 3 на каждый класс. Параграфы тематически замкнуты. Каждая
глава заканчивается специальной рубрикой под названием «Большая пере-
мена».
Название «Урок» (давно применяемое в учебниках иностранного языка) ка-
жется нам более живым и более детским, а следовательно, и более приемлемым
для возрастной категории читателей нашего учебника. Нередко материал одного
урока в учебнике будет проходиться за один академический час (плюс, разумеется,
домашнее задание). В других случаях потребуется два, иногда три часа (изредка
больше); такие уроки договоримся называть ниже кратными. Рекомендуемое нами
распределение часов по урокам учебника содержится в разработанном авторами
тематическом плане, фрагмент которого приведен в разделе 3 данной записки.
При желании учителя осуществлять изучение материала крупными блоками, объяс-
нительный текст кратных уроков можно давать «за один присест», а иногда
можно объединять некоторые смежные уроки (например, допускают объедине-
ние уроки 3 и 4, 5—7, 8—10, 20 и 21, 26 и 27 и т. д.).
В) Специальное внимание уделено нами дозировке непрерывного чтения объяс-
нительного текста. Во-первых» рассказ-объяснение авторов перемежается обраще-
ниями к читателю, о которых сказано в п. 2.2. В этих случаях внимание
ученика должно переключиться на обдумывание ответа на заданный вопрос или на
выполнение задания (как правило, легкого и чаще всего устного).
Во-вторых, мы ввели специальные цезуры, разделяющие относительно замкну-
тые фрагменты текста. Эти цезуры обозначены специальным знаком — колоколь-
чиком (или несколькими колокольчиками, если подобных цезур более одной).
В таком месте ученик может делать остановки при чтении (об этом четко
сказано во введении). Разумеется, колокольчики обязательно присутствуют в крат-
ных уроках, и учитель может давать точные указания, от какого и до какого
места нужно прочитать текст дома. Отметим, что цезуры с колокольчиками не
тождественны границам, указывающим разделение объяснительного текста меж-
ду несколькими академическими часами; они могут указывать и более дробное
деление текста.
Г) Основной материал учебника осуществляет обязательный уровень обуче-
ния и занимает подавляющую часть объема. Небольшая часть (около 8%)
отводится дополнительному материалу. В объяснительном тексте это отдельные
дополнительные факты, дополнительные рассуждения-доказательства, допол-
нительные мотивировки. В заданиях это непосредственное продолжение тех или
иных линий, проводимых на обязательном уровне. Целиком дополнительному
материалу отведены «большие перемены», нацеленные на расширение кругозора
учащихся. Наличие дополнительного материала делает учебник, на наш взгляд,
интереснее, а главное — позволяет учителю лучше реализовать важный принцип
индивидуализации обучения. Формы использования этого материала могут быть
различными: использование отдельных элементов непосредственно на уроках (в тех
случаях, когда это позволит уровень класса, наличие времени и т. д.) и на заня-
тиях математического кружка» выдача индивидуальных заданий отдельным учени-
кам и т. п. Нам очень хотелось увеличить долю дополнительного материала в
учебнике, но ограничение объема сказалось и тут. По этой причине в дополни-
тельный материал, к сожалению, не вошли такие полезные и интересные темы,
484
как двоичная и другие позиционные системы счисления, способы представле-
ния больших чисел, элементы комбинаторики и т. д.
Д) Подчеркнем, что само по себе отнесение какого-то фрагмента текста
или какого-то задания к дополнительному материалу еще не означает, что
речь идет о чем-то более сложном. Напротив, среди дополнительных заданий есть
очень простые (в том числе и занимательные задачки клоуна). Вместе с тем в
системе заданий предусмотрены и отдельные более трудные упражнения и задачи.
Они могут относиться как к основному материалу, так и к дополнительному
Таким образом, возникает четыре группы заданий: а) обычные из обязательно-
го программного минимума (их, разумеется, подавляющее большинство); 6) обыч-
ные дополнительные; в) повышенной трудности из обязательного программного
материала; г) повышенной трудности дополнительные. Наличие такого спектра
заданий предоставляет учителю достаточные возможности для маневров в органи-
зации работы с хорошо успевающими учениками.
Задания повышенной трудности мы не считаем целесообразным группировать
в специальный раздел, они распределены по соответствующим урокам и отме-
чены звездочкой.
Е) Для нумерации вопросов и заданий вне объяснительного текста мы выбрали
двухиндексную систему вместо сквозной. Мы считаем ее более предпочтительной по
ряду соображений. Дети усваивают ее легко, тем более что в окружающей их
действительности есть немало применений аналогичной системы: номер дома —
номер квартиры в адресе, ряд — место в зале кинотеатра и т. п.
Ж) Мы считаем важным использование в учебнике достаточно богатой систе-
мы шрифтовых выделений. Смысл основных применяемых нами шрифтовых выделе-
ний объяснен во введении «Как работать с учебником». К этому здесь нужно лишь
добавить, что дополнительный материал набран мелким шрифтом (объяснять детям
во введении, что такое дополнительный материал, по нашему мнению, нецелесо-
образно).
3) Оригинальный замысел авторов предусматривает использование цвета как
одного из важнейших элементов знаковой системы в аппарате ориентировки.
При этом объяснительный текст сопровождается всегда одним цветом (мы имеем
в виду голубым), вопросы и задания из второй части урока — другим (красным).
Цветными мы представляем и заголовки уроков (голубой цвет), и заголовки
«Вопросы и задания» (красный цвет). В объяснительном тексте на полях на-
против каждого обращения-вопроса и обращения-задания стоит соответствующий
голубой знак (вопросительный или восклицательный). В вопросах и заданиях вне
объяснительного текста красный вопросительный знак предваряет группу контроль-
ных вопросов, красный восклицательный знак предваряет группу последующих
упражнений и задач. Упражнения и задачи, которые предлагается решать устно,
предваряются аббревиатурным знаком с очевидным мнемоническим значением —
прописной буквой «У» в скобках. Задачи, ответ в которых потребуется
позднее (см. о них в п. 2.3), отмечаются красным квадратиком.
Наиболее важные формулы, приведенные в объяснительном тексте, заключают-
ся в рамку голубого цвета. Несколько раз такая рамка появляется и внутри
заданий — когда уже известные формулы (законы действий, свойства единицы)
воспроизводятся повторно в новой ситуации, т. е. для более широкой числовой
области; в этих случаях мы посчитали целесообразным не загромождать соот-
ветствующим повтором непосредственно объяснительный текст.
Как уже отмечалось в предисловии к учебнику, цветовое решение в настоящем
издании осуществить оказалось невозможным и оно заменено соответствующими
шрифтовыми приемами.
И) Мы считаем, что в учебнике для детей иллюстраций должно быть зна-
чительно больше, нежели помещено в данном издании. К сожалению, рамки
объема сказались и тут.
485
3. О тематическом планировании
Прежде всего приведем предлагаемое нами распределение часов по темам.
Хотим еще раз подчеркнуть» что наши предложения носят рекомендательный
характер и учитель должен иметь возможность сам осуществлять почасовое
планирование в зависимости от конкретной обстановки. Нам очень близка вы-
сказанная А. Я. Хинчиным (в уже упоминавшемся предисловии к учебнику
«Арифметика») мысль о том» что учебник как цельное и систематическое руко-
водство не может и не должен в точности воспроизводить живой педагоги-
ческий процесс.
В перечне тем мы следуем названиям параграфов нашего учебника. Часы,
указанные для каждого параграфа, включают время на проведение контрольных
работ.
Глава I. 5 КЛАСС Натуральные числа и действия над ними (78 ч) § 1. Натуральные числа (15 ч) § 2. Действия над натуральными числами (24 ч) § 3. Числовые и буквенные выражения (И ч) § 4. Свойства действий над натуральными числами (16 ч) § 5. Делимость натуральных чисел (12 ч)
Глава II. Дробные числа (84 ч) § 6. Дроби и действия над ними (19 ч) § 7. Десятичные дроби и действия над ними (44 ч) § 8. Десятичные дроби в практических вычислениях (21 ч)
Глава III. Измерение геометрических величин (30 ч) § 9. Геометрические фигуры (14 ч) § 10. Измерение площадей и объемов (16 ч)
Итоговое повторение (12 ч)
6 КЛАСС
Глава IV. Действия над дробными числами (85 ч) § 11. Разложение натуральных чисел на множители (31 ч) § 12. Основное свойство дроби (30 ч) § 13. Пропорции (24 ч)
Глава V. Рациональные числа и действия над ними (61 ч) § 14. Положительные и отрицательные числа (19 ч) § 15. Действия над рациональными числами (34 ч) § 16. Конечные и бесконечные десятичные дроби (8 ч)
Глава VI. Подготовка к изучению геометрии и алгебры в 7-м классе (41 ч) § 17. Координатная плоскость (12 ч) § 18. Преобразование алгебраических выражений (29 ч)
Итоговое повторение (17 ч)
486
Авторами разработано конкретное тематическое планирование по учебнику.
Из-за ограниченности объема данного издания поместить тематический план цели-
ком в эту книгу не представилось возможным (да и вряд ли было очень актуаль-
ным). Для того чтобы дать читателю представление об облике тематического
плана» мы приводим ниже его фрагмент, относящийся к § 1.
Структура нашего тематического плана отличается от традиционной наличием
дополнительной графы «Задания, распределяемые по усмотрению учителя». В ней
приведены номера тех заданий, которые с учетом учебной обстановки могут
выполняться в классе или дома, а также использоваться в дальнейшем для
организации повторения. Некоторые задания осуществляют одновременно и функ-
цию освоения нового материала, и функцию повторения. В этом случае номер
печатается жирным шрифтом и помещается в двух соответствующих столбцах.
Задачи повышенной трудности помечены звездочкой, а номера дополнительных
заданий набраны курсивом. Во избежание громоздкости мы, приводя номера зада-
ний, опускаем, как правило, первый индекс; он восстанавливается по номеру
урока, указанному в первом столбце. Исключением служат только те номера, кото-
рые приводятся не в «своем уроке».
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ПО § 1
Номер урока в учебнике Количество часов Задания, рекомендуем! в классе aie для выполнения дома Задания, распределяемые по усмотрению учителя
Новый материал Общее повторение Подготовит, повтор. Новый материал Общее повторение Подготовит, повтор. Новый материал Общее повторение Подготовит, повтор.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 1 3; 4; 7; 5а, г; 8; 11 56, в; 6; 12 2; 9; 10
2 2 5а, г; 7а—г 6а, 6; 7а—г 56, в 8; 9; 12
7д—з; 106, в 6в, г: 7д—з; 11 10а, г 13
3 1 9; 13 8 3; 5; 12 7 4 6; 10; 11
4 2 4; 5; 8 Па 116; 12
6; 9 7; 10
5 1 5; 6; 7а, в; 8а, в; 9 11 76, г; 86, г 12 13 10
6 1 4 3 5; 6 7; 8 2
7 1 4; 5; 6а; 7а; 8а; 12 13 66, д, 76, в, 11 6в, г; 7г; 8в, г; 9; 10
Продолжение
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 Контрольная работа № 1
8 1 4а, в; 5а; 6; 11 46, г; 56 7; 8; 9; 10; 12
9 1 4а, г; 5; 12 10 46, в; 6 11 7; 8; 9*
10 2 4а, б, в 8.5в 4г, д 8.5г 4е—з
5; 6а; 7а 66; 76; 8 9 10
11 I 1; 3; 6; 9; 8 2; 4; 5; 10; 11; 12 -
488
489
ОГЛАВЛ ЕНИЕ
Предисловие......................................................... 3
Как работать с учебником . . 4
5 класс
Глава I НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§ 1. Натуральные числа 8
Уроки
1. Что такое натуральные числа..................................... 8
2. Числовые выражения и числовые равенства.........................10
3. Начинаем изучать свойства натуральных чисел.....................12
4. Как натуральные числа по порядку идут...........................15
5. Как записывают натуральные числа................................18
6. Почему нашу нумерацию называют десятичной.......................22
7. Разряды и классы в записи чисел.................................24
8. Сравнение натуральных чисел.....................................28
9. Числовые неравенства............................................31
10. Цепочки равенств и цепочки неравенств..........................34
11. Задания на повторение к § 1....................................37
§ 2. Действие над натуральными числами .... 40
Уроки
12. Сложение.................................................... 40
13. Какие задачи решают сложением .................................43
14. Вычитание..................................................... 47
15. Какие задачи решают вычитанием.................................51
16. Особенное число 0..............................................54
17. Умножение..................................................... 57
18. Какие задачи решают умножением ............................... 61
19. Возведение в степень. Квадрат и куб числа......................65
20. Почему действие, обратное умножению, называют делением ... 68
21. Как одно число разделить на другое.............................71
22. Какие задачи решают делением.................................. 73
23. Свойства числа 1.............................................. 75
24. Учимся рассуждать при решении задач. Когда скорости складывают-
ся, а когда вычитаются............................................78
25. Задания на повторение к § 2....................................81
§ 3. Числовые и буквенные выражения 84
Уроки
26. Как возникают буквенные выражения при решении задач ... 85
490
27. Когда без обозначения чисел буквами не обойтись.................88
28. В каком порядке выполняют действия..............................90
29. Что такое формула...............................................92
30. Что такое уравнение.............................................94
31. Учимся рассуждать при решении задач. Что значит рассуждать ... 97
32. Задания на повторение к § 3.....................................99
§ 4. Свойства действий над натуральными числами . 101
Уроки
33. Переместительное и сочетательное свойства сложения.............101
34. Совместные свойства сложения и вычитания.......................106
35. Переместительное и сочетательное свойства умножения............109
36. Совместные свойства умножения и деления........................113
37. Распределительные свойства умножения...........................114
38. Как свойства действий помогают вычислять.......................117
39. Как с помощью уравнений отгадывать математические загадки и
показывать математические фокусы....................................120
40. Учимся рассуждать при решении задач. Как уравнение помогает ре-
шить задачу.........................................................122
41. Задания на повторение к§4......................................124
§ 5. Делимость натуральных чисел . 127
Уроки
42. На что похож натуральный ряд...................................127
43. Знакомимся с четными и нечетными числами.......................130
44. Что такое кратное натурального числа...........................134
45. Признаки делимости на 2, на 5 и на 10.........................136
46. Признаки делимости на 9 и на 3................................139
47. Играем в математические игры..................................142
48. Что значит разделить с остатком................................|44
49. Учимся рассуждать при решении задач. Когда может пригодиться де-
ление с остатком....................................................146
50. Задания на повторение к § 5....................................149
Большая перемена I. Римские цифры.................................151
Глава II. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА
$ 6. Дроби и действия над ними 154
Уроки
51. Как единица на доли делится....................................154
52. Как из долей получаются дроби..................................157
53. Дроби и деление натуральных чисел..............................160
54. Сравнение дробей. Правильные и неправильные дроби .... 163
55. Как из дроби выделить целую часть..............................166
491
56. Почему важно знать целую часть дроби............................. 169
57. Среднее арифметическое натуральных чисел......................... 172
58. Сложение и вычитание дробей...................................... 176
59. Как найти неправильную дробь, зная ее целую и дробную части . . 179
60. Умножение и деление дроби на натуральное число . . . 181
61. Основное свойство дроби.......................................... 184
62. Задания на повторение к § 6...................................... 187
§ 7. Десятичные дроби и действия над ними ... 189
Уроки
63. Что такое десятичная дробь........................................189
64. Когда десятичные дроби равны......................................193
65. Сравнение десятичных дробей.......................................195
66. Сложение и вычитание..............................................198
67. Умножение и деление на степень числа 10...........................202
68. Умножение на десятичную дробь.....................................205
69. Деление на натуральное число......................................208
70. Деление на десятичную дробь.......................................211
71. Тренируемся в действиях над десятичными дробями...................213
72. Учимся рассуждать при решении задач. Как находить ответ, ког-
да спрашивается «хватит ли?> ......................................216
73. Задания на повторение к § 7.......................................219
§ 8. Десятичные дроби в практических вычислениях . . 220
Уроки
74. Приближенное значение числа..................................... 220
75. Округлять приходится и натуральные числа..........................223
76. Учимся округлять числа быстро.....................................225
77. Как возникают десятичные дроби в практических вычислениях . . . 227
78. Чтотакое1%........................................................230
79. Решаем задачи на проценты.........................................232
80. Учимся рассуждать при решении задач. Иногда бывает нужно запас-
тись терпением.....................................................234
81. Задания на повторение к § 8.......................................235
Большая перемена II. Беседа о математических словах...................237
Глава III. ИЗМЕРЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
$ 9. Геометрические фигуры 240
Уроки
82. Чем интересуются, когда изучают многоугольники....................240
83. Поговорим о сторонах прямоугольника. Формула для периметра . 243
84. Что значит измерить. Сравнение отрезков...........................245
85. Прямая линия и луч................................................249
492
86. Окружность. Формула для длины окружности........................251
87. Четыре вида углов...............................................254
88. Какие бывают треугольники.......................................257
89. Измерение углов.................................................261
90. Как градусы помогают сравнивать углы............................264
91. Окружность тоже делится на градусы..............................266
92. Задания на повторение к § 9.....................................270
§ 10. Измерение площадей и объемов.................271
Уроки
93. Какими единицами измеряют площадь. Формула для площади пря-
моугольника .......................................................272
94. Поговорим о вычислении площадей фигур...........................275
95. Круг. Формула для площади круга.................................279
96. Круговые диаграммы..............................................282
97. Знакомимся с прямоугольным параллелепипедом.....................284
98. Какими единицами измеряют объем.................................287
99. Формула для объема прямоугольного параллелепипеда .... 289
100. Задания на повторение к§10.....................................293
Большая перемена III. Как измеряли в старину........................293
6 класс
Глава IV. ДЕЙСТВИЯ НАД ДРОБНЫМИ ЧИСЛАМИ
§ 11. Разложение натуральных чисел на множители « 296
Уроки
101. Делители натурального числа....................................296
102. Простые и составные натуральные числа..........................297
103. Ряд простых чисел..............................................299
104. Разлагаем натуральные числа на простые множители...............300
105. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел...............303
106. Наименьшее общее кратное натуральных чисел.....................305
107. Задания на повторение к § 11...................................307
§ 12. Основное свойство дроби......................309
Уроки
108. Что значит сократить дробь ................................... 309
109. Приводим дроби к общему знаменателю. Теперь можно сравнивать
любые дроби.........................................................312
ПО. Как найти сумму и разность любых дробей.........................314
111. Умножение и деление дробей.....................................318
112. Взаимно обратные числа .... 322
113. Решаем задачи на дроби.........................................325
493
114. Учимся рассуждать при решении задач. Важно хорошо продумывать
условие задачи....................................................327
115. Задания на повторение к § 12 ..............................329
§ 13. Пропорции . 332
Уроки
116. Что такое отношение...........................................332
117. Знакомимся с пропорцией. Основное свойство пропорции . . . 334
118. Продолжаем изучать свойства пропорций.........................337
119. Решаем задачи на пропорции....................................339
120. Строим диаграммы..............................................341
121. Как целое делить на пропорциональные части....................343
122. Прямо пропорциональная зависимость............................345
123. Обратно пропорциональная зависимость......................... 348
124. Когда бывает нужен масштаб....................................349
125. Учимся рассуждать при решении задач. Могут быть разные спосо-
бы решения........................................................351
126. Задания на повторение к § 13..................................355
Большая перемена IV. Как возникли числа............................356
Глава V. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
$ 14. Положительные и отрицательные числа „ 359
Уроки
127. Как возникают числа вместе с противоположными направлениями ♦ 359
128. Знакомимся с координатной прямой..........................362
129. Числа, противоположные друг другу.........................366
130. Что такое рациональные числа.............................. 369
131. Модуль числа.............................................. 370
132. Сравнение чисел.............................................. 372
133. Как разные задачи превращаются в одну задачу про числа . . . 376
134. Учимся рассуждать при решении задач. Какие практические задачи
могут скрываться за задачами про числа............................378
135. Задания на повторение к § 14..................................380
§ 15. Действия над рациональными числами . . . 383
Уроки
136. Сложение......................................................383
137. Вычитание.....................................................388
138. Формула для расстояния между двумя точками с заданными коорди-
натами ...........................................................391
139. Умножение и деление...........................................393
140. «Сложенческо-умноженческий» словарь...........................401
494
141. Учимся рассуждать при решении задач. Как планировать свои действия 403
142. Задания на повторение к § 15...................................406
§ 16. Конечные и бесконечные десятичные дроби . 409
Уроки
143. Что такое бесконечная десятичная дробь.........................409
144. Как узнать, какой десятичной дробью может быть выражено рацио-
нальное число.......................................................412
145. Зачем нужны бесконечные десятичные дроби.......................414
146. Учимся рассуждать при решении задач. Когда в условии задачи
данных недостаточно.................................................417
147. Задания на повторение к § 16...........................419
Большая перемена V. Великие математики древности и средневековья « 420
Глава VI. ПОДГОТОВКА К ИЗУЧЕНИЮ ГЕОМЕТРИИ И
АЛГЕБРЫ В 7-М КЛАССЕ
§ 17. Координатная плоскость . . ... 424
Уроки
148. Перпендикуляр — важная вещь в геометрии. Строим перпендикуляр
к прямой........................................................... 424
149. Какие прямые называют параллельными............................427
150. Прямоугольная система координат на плоскости.................. 430
151. Как зависимости между величинами изображают графически . . 434
152. Задания на повторение к § 17...................................439
§ 18. Преобразование алгебраических выражений 440
Уроки
153. Раскрываем скобки в алгебраической сумме.......................440
154. Что такое коэффициент..........................................444
155. Приводим подобные слагаемые................................... 446
156. Как раскрывать скобки в алгебраическом выражении .... 448
157. Повторяем, что такое уравнение. Корень уравнения...............449
158. Как преобразования алгебраических выражений помогают решать
уравнения...........................................................451
159. Как в уравнении переносить слагаемые из одной части в другую 453
160. Задания на повторение к § 18...................................456
Большая перемена VI. Великие математики нашей страны................458
Работа с учебником закончена, но вы не прощаетесь с математикой .
Ответы.....................................................
463
464
495
Предметный указатель................................................471
Приложение, Пояснительная записка...................................474
1. Некоторые соображения о том, каким хотелось бы видеть учебник
математики для детей............................................... 474
2. О некоторых основных особенностях нашего учебника .... 478
3. О тематическом планировании..................................... 484
Учебное издание
Шеврин Лев Наумович
Гейн Александр Георгиевич
Коряков Игорь Олегович
Волков Михаил Владимирович
МАТЕМАТИКА
Учебник-собеседник для 5—6 классов средней школы
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Н. Д. Песина
Младший редактор Л. И. Заседателева
Художники Ю. М. Гордон, М. С. Серебряков, Б. Л. Николаев
Художественные редакторы Е. Р. Дашу к, Ю. В. Пахомов
Технический редактор Е. В. Богданова
Корректор О. В. Ивашкина
ИБ № 12180
Сдано в набор 20.02.89. Подписано к печати 05.10.89. Формат бОхЭО’/ю. Бумага типографская № I,
Гарнитура Литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 31,04-0,25 форз. Усл. кр.-отт. 31,69.
Уч.-изд. л. 30,324-0,42 форз. Тираж 224 500 экз. Заказ 491. Цена 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного
комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов,
ул. Чернышевского, 59.